😊出会いの泉😊

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

google翻訳しました。
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騒動のもう 1 つの理由は、これらの若い先駆者が提案した証明が、確立された数人の数学者に彼らの言葉を食い物にするかもしれないということです。

これは、彼らの証明が三角法を使用しているためです。

では、なぜそれがそんなに大きな問題なのですか？ さて、私たちの三角恒等式と法則の多くはピタゴラスの定理に依存しているため、多くの数学者は、三角法を使用した定理の証明は循環論理であると示唆しています。 別の言い方をすれば、三角法を使用してピタゴラスを証明することは、基本的に A を使用して B を証明することであり、A が既に B に依存している場合に、彼らは主張します。 -定理の三角法による証明、および三角法の証明は不可能であることを明示的に述べています。

しかし、この観点はここ数十年でますます疑問視されてきており、それ以来、ピタゴラスのいくつかの三角法による証明が行われてきました. ジョンソンとジャクソンの証明がピタゴラスの最初の三角法による証明であるというメディアの主張は誇張されていますが、彼らの証明は、これまでに見た中で最も美しく、最も単純な三角法の証明である可能性が十分にあり、明らかに若くて鋭い知性の作品であり、 多くの経験豊富な数学者の仕事を特徴付ける深い研究の年。
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新しい手法なんだけど、要するに、

別の言い方をすれば、三角法を使用してピタゴラスを証明することは、基本的に A を使用して B を証明することであり、A が既に B に依存している場合に、彼らは主張します。 -定理の三角法による証明、および三角法の証明は不可能であることを明示的に述べています。

ということが、問題点でもあるということですね。

はい。

ですので今回はそうした循環論法を避けている、という理解でよろしいことかと。

いえ、よーーーく読むと循環論法の完全な回避は微妙に失敗してます。

In this case we have an isoceles right-angled triangle and, our angles ⍺ = β = π/4 radians. So our hypotenuse is a/sin(π/4) = √2a, which satisfies the Pythagorean Theorem.

その sin(π/4) の値はどこから？
通常は三平方の定理で導出するものでしょうから、循環論法を避けることに成功したと主張するにはこれを別の方法で導出して見せる必要があったでしょう。
まあ、相似な図形の面積比を使うとか回避方法はいくらでもあるので加筆修正は容易でしょうけど。

おおっ。
a=b の特殊なケースでは
AやCの分母が 0 になってしまい
今回の証明が通用しない、
そういう話の流れなのですね！！

そのケースでの短証明に
sin(π/4)
を使うのは確かに反則ですね。

寄せられていたコメントを追いかけたところ
a = b のケースでは、次のように改善する案があげられていました。

By the way, that case is trivial: the triangle is a one-fourth of a square whose side length is $c$. The area of this square is c^2, while the triangle’s area is (ab)/2 = a^2/2. Therefore c^2=4 times a^2/2 = 2a^2 = a^2+b^2, as desired.

google翻訳しました
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この新しい証拠は何ですか？

わかりましたので、これが私が考える方法です。 この図を見て、この証明を通してずっと参照してください。
図のように、辺 a、b、c (斜辺) を持つ左上の単純な直角三角形から始めましょう。 ここでは、a ≠ b と仮定しましょう — この記事の最後の注で、a = b の自明な特殊なケースを扱います。 長さ b と c の辺の間の角度を ⍺ とし、長さ a と c の辺の間の角度を β とします。 次に、この元の直角三角形から 3 つの幾何学的なステップを作成します。

長さ b の辺に反映して、右上の等価三角形を形成します。
元の三角形の長さ c の辺に垂直な直線を延長します。
反射した三角形の斜辺から連続線を延長します。

ステップ 2 と 3 から延長した線が交わると、図のように、斜辺の長さが C、辺が A と c の新しい大きな直角三角形が形成されます。

この大きな直角三角形内に、図のように一連の小さくて小さい類似の直角三角形を描画し、サイズが減少する類似の三角形の無限のシーケンスを形成します。

この無限の相似三角形のシーケンスを使用して、長さ A と C を導出する方法を調べます。

小さい三角形の辺の長さを導き出す

辺の長さ A の左上から 1 番目の直角三角形を見ると、この三角形の辺の長さは 2a であり、したがって斜辺の長さは 2a/sinβ です。 しかし、元の三角形から、sinβ = b/c であることがわかっているので、この斜辺は長さ (2ac)/b であると結論付けることができます。 これにより、この三角形の 3 番目の辺は 2a²/b になります。

すぐに右側の三角形に移動すると、短辺の 1 つが長さ 2a²/b であることがわかります。したがって、この三角形の斜辺 (辺の長さ C のセグメント) は 2a²/(bsinβ) = (2a²c) /b² です。

このプロセスを続けることができますが、小さな相似三角形のそれぞれが a²/b² の係数で減少することが明らかになります。 これは、長さ A が最初の項 (2ac)/b と公比 a²/b² を持つ等比級数であることを意味します。 同様に、長さ C は c で始まり、最初の項 (2a²c)/b² と公比 a²/b² の等比級数になります。

長さ A と C の計算

これで、等比級数の和の式を使用して、長さ A と C を計算できます。初項 k と公比 r の等比級数の和の式は、k/(1-r) です。 この合計は、r の絶対値が 1 未満の場合に収束します。この場合、r は a²/b² であるため、常に収束することを確認できます (a>b の場合は、それらを交換するだけです)。

それでは、長さ A を計算してみましょう。この場合、k = (2ac)/b および r = a²/b² となるので、
A=2ac/b(1-a^2/b^2)=2abc/b^2-a^2
k = (2a²c)/b² で同様のアプローチを使用し、最初に c を追加する必要があることを思い出してください。
C=c+2a^2c/b^2(1-a^2/b^2)=c(b^2+a^2)/(b^2-a^2)
それでは、長さ A を計算してみましょう。この場合、k = (2ac)/b および r = a²/b² となるので、
k = (2a²c)/b² で同様のアプローチを使用し、最初に c を追加する必要があることを思い出してください。

この美しい証明を締めくくる

A と C の比を取るとどうなるか見てみましょう。
A/C=2ab/(a^2+b^2)
しかし、元の図から、これは sin(2⍺) であることがわかります。

ここで、元の直角三角形を反映して形成された上の二等辺三角形の正弦規則を見てみましょう。 正弦定理は直角三角形に依存しないことに注意してください。 サイン ルールは、どの三角形でも、辺とその反対側の角度のサインとの比率は常に同じであると述べています。

したがって：
sin 2α/2a=sinβ/c
したがって、現在わかっていることを次の式に変換します。
b/(a^2+b^2)=b/c^2
この状況では、a、b、c のいずれもゼロではないことに注意し、分子が同一であることに注意すると、分母が同一であるという結論に至ります。 これでピタゴラスの定理が証明されました。

[注: a = b という特殊なケースでは、三角形に長さ a の 2 つの短い辺と斜辺がある場合、証明は自明です。 この場合、直角二等辺三角形があり、角度 ⍺ = β = π/4 ラジアンです。 したがって、斜辺は a/sin(π/4) = √2a であり、ピタゴラスの定理を満たします。 ミディアムユーザーに感謝
ウォットシット
この特別なケースに対処する必要性を指摘してくれて.]
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図がここにはありませんが、原文にはあります。

拾いものです。

𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − (𝑥 − 𝑦))
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑦)
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥(𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦)
= (𝑐𝑜𝑠² 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛² 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑦.
cos y が0でなければ、両辺をこれで割る。

以上は、ピタゴラスの定理を陽には使わずに
cos^2x と sin^2x との和を 1 と示すものです。

加法定理は一体どこから湧いて出たのでしょうか。

sin や cos を微分で定義している場合は加法定理もマクローリン展開と二項定理で示すことになるでしょうし、その場合はこれで大丈夫という話なのかな？

と思いましたが、少し考えてみたら
s’(x) = c(x)
c’(x) = -s(x)
s(0) = 0
c(0) = 1
の解を s(x) = sin x, c(x) = cos x とする定義の場合、

{ (sin x)^2 + (cos x)^2 }’ = 0 が一瞬で示せるので、加法定理を使うまでもなかった……。

級数で定義した場合もこの微分の関係式をすぐ作れますし、何を目的とした式変形だったんでしょうねコレ。

失礼しました。
拾った場所を記し漏らしました。

https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf

です。

あ、鋭角限定なんですね。
それなら確かに加法定理に三平方は不要ですね。

でも、鋭角限定でもやっぱり加法定理使うまでもないような気もしますね。

∠B = θ, ∠C = π/2, AB = 1 の三角比の定義に使ういつもの直角三角形 ABC に対し、
辺 DE が点 C を通るように長方形 ABDE を書けば相似な直角三角形が 3 つできて、
BC = cosθ で DC = (cosθ)^2
AC = sinθ で EC = (sinθ)^2
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = DC + EC = AB = 1

で終わる話なような。

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

＞ですので今回はそうした循環論法を避けている、という理解でよろしいことかと。

しかし、sinα、sinβという三角関数の概念を使っていますよね。

＞辺の長さ A の左上から 1 番目の直角三角形を見ると、この三角形の辺の長さは 2a であり、したがって斜辺の長さは 2a/sinβ です。 しかし、元の三角形から、sinβ = b/c であることがわかっているので、この斜辺は長さ (2ac)/b であると結論付けることができます。 これにより、この三角形の 3 番目の辺は 2a²/b になります。

より、明らかですね。sinβ = b/c は、

＞すぐに右側の三角形に移動すると、短辺の 1 つが長さ 2a²/b であることがわかります。したがって、この三角形の斜辺 (辺の長さ C のセグメント) は 2a²/(bsinβ) = (2a²c) /b² です。

でも使われています。b/cをsinβということなしに、論理はくみたてられないと思います。

＞A と C の比を取るとどうなるか見てみましょう。
A/C=2ab/(a^2+b^2)
しかし、元の図から、これは sin(2⍺) であることがわかります。

ここでも、sin(2⍺)という三角関数の概念が使われています。

＞循環論法を避けている

とは言えないのではないでしょうか？
でなければ、文章の前半は、いらなかったはずです。「循環論法なるけど、」という前置きがあるから、この文書があるのではないでしょうか？

三角関数の定義自体を使うだけなら循環論法にはなりませんよ。

お手元の数学の教科書を見てください。
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1 という重要な式の証明に三平方の定理が関わっていますね。
だから、そのページより後に書いてあることは、三平方の定理の証明に使ってはなりません。
言い方を変えれば、そのページより前に書いてあることは別に使っても何も問題はないんです。
だから「三角関数（の三平方の定理を使う前の部分）できちんと三平方の定理を証明することに成功した」という話題なのですよ。

はちべえさんはどうも数式しか見ていないようですが、言語と合わせて読むようにした方がよろしいかと。

(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1
これを前提とせずに
正弦定理ってなりたつんだっけ？

くらいを念のために確認はいたしました。
循環論法になっていないことを確認するためです。

あ、そういえば正弦定理使ってましたか。

では、2 つ上のコメントを訂正。
「三角関数（の三平方の定理を使う前の部分と、教科書の掲載順的には後ろだけど三平方を使うものに依存せず証明が構成されているもの）できちんと三平方の定理を証明することに成功した」
ですね。

鋭角の三角比の定義
tan = sin / cos
鋭角の正弦定理
第一余弦定理（高校で習うやつは第二余弦定理で、そっちはダメ）
鋭角の加法定理……くらいですか。

なんか昔ここで似たようなことやったような、と思って調べてみたらありました。

「中線定理」
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun658.html

三平方の定理を使わずに中線定理を示せるか、という話題です。

名前クリックからも飛べるようにしておきます。

管理人さんから疑義があがっていることに
気が付きました。概ね、下記のごとくと存じます。

「正弦定理は(第２)余弦定理から導かれる。この余弦定理からは直接に三平方の定理が導かれる。ジョンソンとジャクソンによる今回の新証明が正弦定理に依拠するのはまずいのではないか？」

私も少々考え込みました。
調べたところ、以下もわかりました。すなわち
三角関数の加法定理のもとでは
正弦定理と第１余弦定理と第２余弦定理とは
同値である。
ですから
加法定理に依拠しつつ
ジョンソンとジャクソンとの新証明を理解すること、これはまずかろう。循環論法の謗りを免れない。

じゃあどうすればいいのか？

正弦定理の各種の証明を調べてくださっているテキストをみつけました。

http://izumi-math.jp/K_Satou/seigen/seigen.htm

上記のなかから適切なものを見いだせればよいと思いました。

ジョンソンとジャクソンは
面積による証明を回避し
辺の長さの相似を利用していますから
その志向とも整合したほうが良いですね。

　さきの文書の「普通の証明（２）」
が解りやすいかと思いました。

あるいは、
「９　幾何学的証明　ﾖｯﾛｰﾊﾟにおける三角法の基礎をつくったﾚｷﾞｵﾓﾝﾀﾇｽ(1436-1376)の証明」
も素敵です。


それにしても、DD++さんによる
No.858
はクールですね。

手元に高校数学の教科書がないので記憶頼りですが、日本の高校教育では正弦定理は同じ円周角をもつ直角三角形を使って証明していたと思います。

そこで使っているのは
・円周角の定理
・タレスの定理
・三角比の定義
・直径と半径の定義
くらいだったはずで、三平方の定理は全く使ってないですね。

余弦定理を使う方法は、私は今回調べて初めて存在を知りました。
海外だとどの方法での証明がメジャーなんだろう。

law of sines で検索して英語ページをいろいろ見てみました。

日本とは違って、=2R がついていない形で紹介されていることがほとんどのようです。
そのため、証明も以下で終わりというのが普通のよう。

A も B も鋭角の場合、頂点 C から辺 AB に下ろした垂線の長さを考えると
b*sinA = a*sinB
両辺を sinA および sinB で割って得られる。
どちらかが鈍角の場合は内角と外角の sin の値は等しいことを考えれば同じことが言える。

問題は三平方の定理を使っているかどうか。
直角や鈍角の場合はそもそも三平方の定理を使って定義するのでダメですが、鋭角の場合に限定すれば使ってないですね。
そして件の証明では、2αもβも鋭角です。
よって、海外で主流っぽい正弦定理の証明方法を前提とした場合、循環論法にはなっていないと言ってよさそうです。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんにちは。

ありがとうございます。

２）α^n=nB+αの導出
(4)式より、
　　(1+1)^n=1^n +nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
　　(2+1)^n=2^n +nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
　　(3+1)^n=3^n +nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
　　(4+1)^n=4^n +nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
　　(5+1)^n=5^n +nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　(r+1)^n=r^n +nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
+)　(a+1)^n=a^n +nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
は、
　　(1+1)^n-1^n= nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
　　(2+1)^n-2^n= nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
　　(3+1)^n-3^n= nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
　　(4+1)^n-4^n= nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
　　(5+1)^n-5^n= nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　(r+1)^n-r^n= nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
+)　(a+1)^n-a^n= nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
---------------------------------------------------------------------------------
　　(a+1)^n-1^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a
　　(a+1)^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a+1
ところで、nが奇素数ならばnCsはnの倍数であるから
(a+1)^n=nB+a+1---(6)
ただし、nB=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}

さて、(6)式で、α=a+1とおくと、
α^n=nB+α----(7)
α^n-α=nB
α{α^(n-1)-1}=nB
より、nBは、n,αの倍数でもある。
したがって、
α{α^(n-1)-1}=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
なお、
①=1^(n-1)+2^(n-1)+3^(n-1)+・・・・・+(a-1)^(n-1)+a^(n-1)
②=1^(n-2)+2^(n-2)+3^(n-2)+・・・・・+(a-1)^(n-2)+a^(n-2)
③=1^(n-3)+2^(n-3)+3^(n-3)+・・・・・+(a-1)^(n-3)+a^(n-3)
④=1^(n-4)+2^(n-4)+3^(n-4)+・・・・・+(a-1)^(n-4)+a^(n-4)
　　　　　　　　　　　　　・
n-2番目=1^2+2^2+3^2+・・・・・+(a-1)^2+a^2
n-1番目=1+2+3+・・・・・+(a-1)+a

３）フェルマーの最終定理

a,b,cが互いに素な自然数であり、nが奇素数であるならば、
a^n+b^n=c^nとすると、(7)式より、
nX+a+nY+b=nZ+c
n(X+Y-Z)=c-a-b
X+Y-Z=c/n-a/n-b/n
ここで、a,b,cが互いに素な自然数であるから、a,b,cは同時にnの倍数でない。
したがって、左辺は自然数なのに、右辺は自然数でない。
しかし、c=kn+j、a=ln+j、b=mnとすると、c/n=k+j/n,a/n=l+j/n,b/n=mで右辺は自然数になるかもしれない。
そこで、a,b,cが互いに素な自然数であり、nは奇素数から、
c (mod n)≠b (mod n)
c (mod n)≠a (mod n)
a (mod n)≠b (mod n)
よりありえない。
ゆえに、フェルマーの最終定理が証明された。

以前とは打って変わってちゃんと論理を書いてくださるようになり、ちゃんと数学的議論をするに値する記述になっていますね。

> nは奇素数から、
> c (mod n)≠b (mod n)
> c (mod n)≠a (mod n)
> a (mod n)≠b (mod n)
> よりありえない。

これは「右辺が自然数になることが」ありえないの意味だと解釈しましたが、ここに 2 つツッコミどころがありますね。

まず 1 つ、4≡11 (mod7) のように、互いに素でも奇素数を法として合同になる場合はあり得ます。
もう 1 つ、そもそも別に a, b, c が合同でなくても 10/7 - 2/7 - 1/7 = 1 のように 3 つの分数の和や差が整数になることはあり得ます。

DD++様、こんにちは。

３）フェルマーの最終定理
は、
２）α^n=nB+αの導出
の応用例として、作ったものですが、詰めが甘かったようですね。

互いに素な自然数a,b,c
というのをやめて、
c (mod n)≠b (mod n)
c (mod n)≠a (mod n)
a (mod n)≠b (mod n)
とするとしたら、良かったかな？

でも、
a=jn+gとしてa (mod n)≡g
b=kn+hとしてb(mod n)≡h
c=ln+iとして c(mod n)≡i
としてもc/n-a/n-b/nで、i-g-h=0はありえますね。

フェルマーの最終定理は「どんな a, b, c でも」その等式が成立しないというものです。
自分で勝手に条件を足した a, b, c で議論を始めてしまったらそれはもう最終定理とは別の話になってしまいます。

＞ところで、nが奇素数ならばnCsはnの倍数であるから
＞α^n=nB+α----(7)

α^n－α＝nB　この右辺がｎで割り切れるので左辺もｎで割り切れる。
∴α^n－α≡０（mod ｎ）ここで、αとｎを互いに素とすると、両辺をαで割れる。
∴α^(n-1)－１≡０（mod ｎ）
∴α^(n-1)≡１（mod ｎ）ただし、ｎは素数でαとｎは互いに素
https://manabitimes.jp/math/680

KY様、こんばんは。

なるほど、フェルマーの小定理ですね。気づきませんでした。

フェルマーの小定理といえば、ソフィー・ジェルマンのフェルマーの最終定理への業績ですよね。違ったかな？

私と壊れた扉さんも同じような手法でフェルマーの最終定理を証明しています。
フェルマーの最終定理の制限（ a + b － c が 素数である）付きの一般の n の場合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-1.pdf

さらにすすめて、
フェルマーの最終定理の制限（ a + b － c が n の倍数でない）付きの一般の n の場合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-2.pdf

とやりました。

＞フェルマーの小定理といえば、ソフィー・ジェルマンのフェルマーの最終定理への業績ですよね。違ったかな？

天才フェルマー
「フェルマーはいくつかの実験的な観察から一般的に成り立つ命題を見つける天才で、大小様々な命題を残しました。例えば、自然数の２乗から１を引きます。すると、
２^2－１＝３＝３×１，(３^2－１＝８），４^2－１＝１５＝３×５，
５^2－１＝２４＝３×８，（６^2－１＝３５），７^2－１＝４８＝３×１６，
８^2－１＝６３＝３×２１，（９^2－１＝８０）
などとなります。元の定数ａが３の倍数ならば、その２乗から１を引けば３の倍数でなくなるのは当たり前ですので、（　）内に入れました。そうでないときには、ａ^2－１は３の倍数になっているようですね。自然数を４乗して１を引くとどうなるでしょう。
２^4－１＝１５＝５×３，３^4－１＝８０＝５×１６，
４^4－１＝２５５＝５×５１，（５^4－１＝６２４），
６^4－１＝１２９５＝５×２５９，７^4－１＝２４００＝５×４８０，
８^4－１＝４０９５＝５×８１９，９^4－１＝６５６０＝５×１３１２
となって、元の数ａが５の倍数でなければ、ａ^4－１は５の倍数になっているようです。フェルマーにとっては、これは次のように一般化するのはたやすい仕事でした：

　ａが素数ｐと互いに素ならば、ａ^(p-1)－１はｐで割り切れる

これが数論における最も基本的な定理、フェルマーの小定理です。記号ではａ^(p-1)≡１（mod ｐ）と書きます。とても美しい定理ですね。」
「数学の花束」中村滋著より

因みに、証明をしたのはライプニッツだそうです。ウィキペディアには３通りの証明法が載っていますが、作り出したのは初めて見ました。是非、ＰＤＦファイルにでもして残して下さい。

KY様、おはようございます。

ありがとうございます。

早速、PDFにしました。

フェルマーの小定理の証明
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf

以前もそうだったのですが、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf　で検索しても辿り着きませんでした。（多分、私のパソコンがおかしいと思うのですが。）

因みに、グーグル検索では、

https://www.google.com/search?q=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&hl=ja&ei=phkyZP7OAdu02roPrfCbsAg&ved=0ahUKEwj-ufa-15v-AhVbmlYBHS34BoYQ4dUDCA8&oq=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&gs_lcp=Cgxnd3Mtd2l6LXNlcnAQDEoECEEYAFAAWABgAGgAcAB4AIABAIgBAJIBAJgBAA&sclient=gws-wiz-serp

ヤフー検索では、

https://search.yahoo.co.jp/search?p=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=32910&aq=-1&oq=&at=&ai=8ca69f0b-b347-4657-b8ca-050b0f50e8b7

という画面です。私には見られませんが、大切に保管して下さい。

KY さんはなぜ URL を検索しようと思ったんだろう……。

URL が何なのかわかってないのかとも思いましたが、その割には Google 検索の結果画面を自分で URL 書いてますし。
うーん？？

で、PDF 読ませていただきました。
きちんと証明できていると思います。
Wikipedia の証明 (2) と同様のものですが、あちらはかなり省略した書き方をしているのに対して、はちべえさんはかなり丁寧に進めていらっしゃいますね。

細かい点ですが、改善点を 1 つ。
2 ページ目後半から 3 ページ目前半にかけて a = 6 での例示をしているあたり、
1^(n-1) + 2^(n-1) + 3^(n-1) + 4^(n-1) + …… + 5^(n-1)
みたいになっていますが、4 の次が 5 なので、この「……」は不要かなと思います。

DD++さん、こんにちは。私は以前「通りすがり」というハンドルネームを使っていたものですが。

＞KY さんはなぜ URL を検索しようと思ったんだろう……。

もしかして、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf　をクリック出来るようになっているのでしょうか。

私のパソコンではクリック出来ないので、コピペして検索したのですが、辿り着きませんでした。

＞Wikipedia の証明 (2) と同様のものですが、あちらはかなり省略した書き方をしているのに対して、はちべえさんはかなり丁寧に進めていらっしゃいますね。

言われて見直してみましたら、確かに理論的には同じですね。

ああ、なるほど、何で詰まってるかわかりました。

そもそも web ブラウザって「URL を指定して web サイトを閲覧するツール」です。
リンクをクリックしたりブックマークで移動したりするのは、 単に URL を指定する手間を省いてくれるだけで、「本来通り自分で直接 URL を指定してもサイトを閲覧できる」んですよ。
手入力が面倒なら最初や最後の文字が欠落したり余計な文字が入ったりしないように注意しながらコピーペーストで大丈夫です。

…… ってことで当たってますか？

メッセージ中の URL を自動でリンクにする機能が無効になっているのは、おそらくスパムとかの対策ですかね。
普通のユーザーが自動でリンクしてほしいと思ったときは、メッセージ欄じゃなく URL 欄にその URL を書けばいいわけですし。
（はちべえさんがなぜそうしなかったのかは、私にはわかりませんが）

KY様、こんにちは。

＞ヤフー検索では、

https://search.yahoo.co.jp/search?p=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=32910&aq=-1&oq=&at=&ai=8ca69f0b-b347-4657-b8ca-050b0f50e8b7

となりますが、このhttps://・・・・・と表示されているところに、
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf
を張り付けるのです。つまり、コピーペーストするのです。

今この画面を見ているときは、
(http://)shochandas.xsrv.jp(/）　(　)で囲まれている部分は表示されません。
と表示されている行です。ここに、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfをコピーペーストします。

その画面から戻ってくるには、「←（左矢印）」をクリックするとこの画面に戻れます。

パソコン素人な者ですみません。

＞手入力が面倒なら最初や最後の文字が欠落したり余計な文字が入ったりしないように注意しながらコピーペーストで大丈夫です。

http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfをそのままコピーペーストしてグーグル検索してもヤフー検索してもこのURLに行けないんです。普通は、いつも一番上に出るのですが、うんざりはちべえさんの例えば、

フェルマーの最終定理の制限（ a + b － c が 素数である）付きの一般の n の場合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-1.pdf

で（グーグル）検索すると一番上に「奇数の完全数はない」が出ます。これです。http://y-daisan.private.coocan.jp/html/kanzensu.pdf

＞メッセージ中の URL を自動でリンクにする機能が無効になっているのは、おそらくスパムとかの対策ですかね。
普通のユーザーが自動でリンクしてほしいと思ったときは、メッセージ欄じゃなく URL 欄にその URL を書けばいいわけですし。
（はちべえさんがなぜそうしなかったのかは、私にはわかりませんが）

これをして頂ければ辿り着けると思いますが。

URLを記入しました。これでどうでしょう？

緑色の「うんざりはちべえ」をクリックしてください。

そういう機能を使ってなかったもんで。てっきり、自分のホームページを貼るもんだと思っていました。

ただ、気になることがあります。TexでPDFをつくると、フォントが埋め込まれないので、Windowsでは、日本語の文字が変な文字に割り振られることがあります。

アクロバットリーダーをインストールしておけば、問題ないのですが。

もちろん、アクロバットリーダーは、無料です。

うんざりはちべえさん、ありがとうございます。無事、辿り着きました。

DD++さんの指摘の、

＞細かい点ですが、改善点を 1 つ。
2 ページ目後半から 3 ページ目前半にかけて a = 6 での例示をしているあたり、
1^(n-1) + 2^(n-1) + 3^(n-1) + 4^(n-1) + …… + 5^(n-1)
みたいになっていますが、4 の次が 5 なので、この「……」は不要かなと思います。

これは直されたのでしょうか。大丈夫みたいですが。

＞Wikipedia の証明 (2) と同様のものですが、あちらはかなり省略した書き方をしているのに対して、はちべえさんはかなり丁寧に進めていらっしゃいますね。

ａ^p＝[１＋(ａ－１)]^p
　　≡１^p＋[１＋(ａ－２)]^p
　　≡１＋１^p＋[１＋(ａ－３)]^p
　　≡ａ（mod ｐ）

こちらの方こそ・・・を入れた方が良いと思います。

因みに、これを見てうんざりはちべえさんの解法を作れる人はいませんね。

いや、だからなぜ検索欄に打ち込むのか……。
検索欄は「これに関係する情報がある場所を教えてください」です。
「この場所に連れて行ってください」ではありませんし、そんな機能は Google にも Yahoo にもありません。

ようやく意味が分かりました。直接上の鍵印の所にコピペすれば良かったのですね。

お騒がせしました。

分母が7のときと比較して
Pは(3-A)/2が(5-A)/2に変わるので11/4
Qは(3+A)/2が(5+A)/2に変わるので9/4
Rは7C3/7C1が11C3/11C1に変わるので15
Sは7C2/7C0が11C2/11C0に変わるので55
となりますね。

7 や 11 と言わず、一般の奇数でやりましょう。
ということで、私から GAI さんに問題。
GAI さんのお手並み拝見です。


n を自然数とし、掲示板の見やすさのため N=2n+1 とします。

(1) {cot(π/N)}^2 + {cot(2π/N)}^2 + …… + {cot(nπ/N)}^2 を求めてください。
（n = 3 と n = 5 の場合は既に解答が出ていますので、検算をしたければどうぞ）

(2) {csc(π/N)}^2 + {csc(2π/N)}^2 + …… + {csc(nπ/N)}^2 を求めてください。
（csc と cot の間には csc^2 = 1 + cot^2 の関係があります）

(3) 突然ですが、x を 0 < x < π/2 の範囲の実数とするとき、0 < sin(x) < x < tan(x) であることを示してください。
（高校数学の sin(x)/x -> 1 (x->0) を示すときのアレです）

(4) (3) を用いて、1≦k≦n である任意の自然数 k について、(π/N)^2*{cot(kπ/N)}^2 < 1/k^2 < (π/N)^2*{csc(kπ/N)}^2 であることを示してください。

(5) 何か気がついたことがあればどうぞ。

(1) n*(2*n-1)/3

(2) 2*n*(n+1)/3

(3) 半径1,中心角x(0<x<π/2)の扇形OAP (Oは原点,Aはx軸上にとる。)
でAにおける接線とOPとの延長との交点をTとしたとき
　　面積を考えると
　　　　　　△OAP < 扇形OAP < △OAP
よって 1/2*sin(x) < 1/2*x 　< 1/2*tan(x)
これより不等式は成立する。

(4) 今任意の自然数nに対しn/(2*n+1)<1/2 なので
　　k=1,2,3,･･･,n なるkに対し
　　x=k*π/(2*n+1) と置くと0<x<π/2 が成立するので
　　(3)での不等式から
　　1/{tan(x)}^2 < 1/x^2 <1/{sin(x)}2
これに
　 x=k*π/(2*n+1)=k*π/Nを代入して
　　{cot(kπ/N)}^2 < N^2/(k*π)^2 < {csc(kπ/N)}^2
これから
(π/N)^2*{cot(kπ/N)}^2 < 1/k^2 < (π/N)^2*{csc(kπ/N)}^2
　k=1,2,3,･･･,nとおいて和をとれば(1),(2)の結果から
　　π^2/(2*n+1)^2*n*(2*n-1)/3 < ∑[k=1～n]1/k^2 < π^2/(2*n+1)^2*2*n*(n+1)/3
π^2/3*(2*n^2-n)/(4*n^2+4*n+1)< ∑[k=1～n]1/k^2 < π^2/3*(2*n^2+2*n)/(4*n^2+4*n+1)
π^2/3*(2-1/n)/(4+4/n+1/n^2)< ∑[k=1～n]1/k^2 < π^2/3*(2+2/n)/(4+4/n+1/n^2)

n→∞ とすれば　π^2/6 ≦ζ(2) ≦ π^2/6
したがって　 ζ(2)=π^2/6

(5) 何とバーセル問題の結論が出たではないか！
　　うんざりさん
　　納得できない部分は何処ですか？
　n→∞ の時の1/n,1/n^2→0　が受け入れ出来ないんでしょうね～
　　確かにこの値までもっていくにはnは莫大な大きさまでの数が必要なことは分かります。
　　しかしこの値に限りなく近づいていくことは絶対に正しいと私は信じられます。

　具体的には踏み込めない奥深さを持っているけど、その世界のあり様を思考力を使って探れることこそ
人類が持っている物凄い文化だと感じます。

(3) の途中の不等式、最右辺の △OAP は △OAT の誤記ですかね？
何にせよ、お見事でした。

さて、他人を煽り始めるくらい余裕な GAI さんなら (5) まではまだ浅瀬でチャプチャプしてただけだとお気づきのことと思います。
深淵に向かって続きをどうぞ。

(6) N-1 次の係数と N-3 次の係数の比は、{cot(kπ/N)}^2 の総和の -1 倍を意味しました。では、N-1 次の係数と N-5 次の係数の比は何を意味するでしょうか？

(7) {cot(π/N)}^4 + {cot(2π/N)}^4 + …… + {cot(nπ/N)}^4 を求めてください。

(8) {csc(π/N)}^4 + {csc(2π/N)}^4 + …… + {csc(nπ/N)}^4 を求めてください。

(9) 1≦k≦n である自然数 k について、1/k^4 の評価およびそれらの総和の評価をどうぞ。

(10) 同様にして、1/k^6 もどうぞ。

(11) さらに、1/k^8 もどうぞ。

(12) ところで、1/k^3 は？

GAI様、おはようございます。

＞(5) 何とバーセル問題の結論が出たではないか！

なるほど。

DD++さんのどこか勘に障ったようですが、別に他人を煽り始めるくらい余裕でも、浅瀬でチャプチャプしているつもりもありませんが
(7),(8)のみ溺れかけながら考えてみました。

(7)1/45*n*(2*n-1)*(4*n^2+10*n-9)
(8) 8/45*n*(n+1)*(n^2+n+3)

これ以上は壁が高すぎて登る気力が湧きませんので、踵を返すことにします。

いえ、私の問題をダシにはちべえさんを煽り始めたなあ、と思いまして。

(7) と (8) が出たなら (9) はもう (4) と全く同じ方法ですよ。

(12) について、cot^3 や cot^5 のような奇数乗の場合のことを考えようとすると、+cot(kπ/N) を解に持つが -cot(kπ/N) は解に持たないような方程式を作る必要があって難しいんですよね。
等号は欲張りすぎにしても不等号で評価できたりすればなにか面白いことが起きそうなんですが、誰か何かいいアイデアはないものでしょうか。

複素平面上の単位円に内接する正七角形の重心が原点であることから
Σ[k=0～6]cos(2kπ/7)=0
これと cos(2kπ/7)=cos(2(7-k)π/7) と cos(0)=1 から
A=cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2 なので
{sin(π/7)}^2+{sin(2π/7)}^2+{sin(3π/7)}^2
={1-cos(2π/7)}/2+{1-cos(4π/7)}/2+{1-cos(6π/7)}/2
=(3-A)/2=7/4
{cos(π/7)}^2+{cos(2π/7)}^2+{cos(3π/7)}^2
={1+cos(2π/7)}/2+{1+cos(4π/7)}/2+{1+cos(6π/7)}/2
=(3+A)/2=5/4

正7角形だったので、π/7と/7がでてきたのですね。

これも、2倍角、3倍角でやれば、いくつか解があるのでしょうね？

cosはともかく、sinはsin2θ=2sinθcosθでできませんでした。

通りすがり様の、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5のθは、±π/7か±2π/7か±3π/7というのは、正7角形の回転をイメージすれば、良いのでしょうか？

また、(cosθ)^2+(cos2θ)^2+(cos3θ)^2=5/4のθも、±π/7か±2π/7か±3π/7というのは、正7角形の回転をイメージすれば、良いのでしょうか？

http://izumi-math.jp/K_Katou/ori_t/ori_t.htm

こちらの正七角形の図で、

＞Σ[k=0～6]cos(2kπ/7)=0

これはOAのｘ座標の値＋OBのｘ座標の値＋…＋OHのｘ座標の値＝０を意味しています。

＞cos(2kπ/7)=cos(2(7-k)π/7)

これはOBとOHのｘ座標の値，OCとOGのｘ座標の値，ODとOFのｘ座標の値が等しい事を意味しています。
それらとcos(0)=1と考えると、cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2が出ます。

＞{sin(π/7)}^2+{sin(2π/7)}^2+{sin(3π/7)}^2
={1-cos(2π/7)}/2+{1-cos(4π/7)}/2+{1-cos(6π/7)}/2

これは半角の公式を考えれば分かります。以上を整理すると、7/4が出ます。（素晴らしい解法ですね。）

以前もこんなような解説をして出禁になった事があるので、失礼します。

sin の場合。
cot や tan のときと類似の手段をとると、
(√(1-x^2)+ix)^7 = (√(1-x^2)-ix)^7
という 7 次方程式（根号は全部消える！）の解が x = sin(kπ/7) (k=0,±1,±2,±3) ですので、そこから解と係数の関係で。
しかし tan ほどは係数をスパッと求める方法はなさそうで、全部二項展開して地道に整理して 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x = 0 を得るしかないのかな？
そうなると半角の方が早そう。

cos の場合は (x+i√(1-x^2))^7=(x-i√(1-x^2))^7 を整理しても √(1-x^2) が残るのでこの手は直接は使いにくいですね。
まあ、x≠±1 を想定していると言って両辺 √(1-x^2) で割ってしまえば対処可能ではありますが、やっぱり半角の方が早そう。

ド・モアブルの公式を知らない人でもこちらのサイトはいいですね。https://e-littlefield.com/teito-vision/hint/regular-polygon/

念のため、直接は関係ありません。

投稿後に、7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 というどう見ても 7Ck な係数を見て、
先ほどのはとんでもない遠回りをしていたことに気づいてしまった……。


kπ/7 は 7 倍すると π の整数倍になるので、
cot(kπ/7) + i = { cos(kπ/7) + i sin(kπ/7) } / sin(kπ/7) は 7 乗すると実数です。

よって、6 次方程式 (x+i)^7 - (x-i)^7 = 0の解は x = ±cot(π/7), ±cot(2π/7), ±cot(3π/7) であるはずです。

この方程式の左辺を全部展開したとき、
x^6 の係数は 2*7C1*i^1
x^4 の係数は 2*7C3*i^3
その比 7C3/7C1*i^2 = -35/7 = -5 は、6 つの解の異なる 2 つずつの積の総和ですが、
符号違いが打ち消し合うことを考えれば、それは - {cot(π/7)}^2 - {cot(2π/7)}2 - {cot(3π/7)}^2 に他なりません。

よって、{cot(π/7)}^2 + {cot(2π/7)}2 + {cot(3π/7)}^2 = 5

ところで、2倍角、3倍角の公式は
　　　　　2tanθ
tan2θ=-----------
　　　　1-(tanθ)^2

　　　　1-(cotθ)^2
cot2θ=-----------
　　　　　2cotθ

これは、なんとなく逆数というイメージなのでわかったような気になるんですが、（でも数学的におかしいという印象ですよね？）
　　　　
　　　　3tanθ-(tanθ)^3
tan3θ=-----------------
　　　　1-3(tanθ)^2

　　　　(cotθ)^3-3cotθ
cot3θ=------------------
　　　　　3(cotθ)^2-1

と全く同じ構造なんですよ。不思議ですね。（でも数学的におかしいという印象ですよね？）

数学をちゃんとやる人は、そもそも数学的におかしいかどうかを印象で言ったりは絶対にしません。

写し間違えてますね。

　　　　(cotθ)^2-1
cot2θ=-----------
　　　　　2cotθ

です。もしかしたら偶数と奇数で逆になるのかもしれませんね。（研究して下さい。）

DD++様、おはようございます。

(%i1) float((cot(%pi/7))^2+(cot(2*%pi/7))^2+(cot(3*%pi/7))^2);
(%o1) 5.000000000000001
ならは、tanとcotの先の印象から、
(%i2) float((tan(%pi/7))^2+(tan(2*%pi/7))^2+(tan(3*%pi/7))^2);
(%o2) 20.99999999999999
より、21になりそうな印象ですが・・・・

通りすがり様、おはようございます。

写し間違えていました。ご指摘、ありがとうございます。

tan の方は、7 次方程式 (1+xi)^7 - (1-xi)^7 = 0 の解が x = 0, ±tan(π/7), ±tan(2π/7), ±tan(3π/7) であることから、7C2/7C0 由来で 21 が得られますね。

ちょっと、問題から外れますが、１）、２）を上げます。

１）
　　　　(cotθ)^2-1
cot2θ=-----------------
　　　　　2cotθ

　　　　(cotθ)^3-3cotθ
cot3θ=-----------------------
　　　　　3(cotθ)^2-1

を使って、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5　をやってみる。
cotθ=xとおくと、
　　　　x^2-1　　　　　x^3-3x
x^2＋(------------)^2＋(-----------------)^2=5　　
　　　　　2x　　　　　　3x^2-1

49x^8-72x^6+62x^4-8x^2+1
----------------------------------------=5
　　　4x^2(3x^2-1)^2
　　　
49x^8-72x^6+62x^4-8x^2+1=20x^2(3x^2-1)^2
(7x^2-1)(7x^6-35x^4+21x^2-1)=0
より、7x^2-1=0と7x^6-35x^4+21x^2-1=0が、成り立てば、
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5　は、ただしい。
7x^2-1=0ではx=±1/√7　実数解がある。
7x^6-35x^4+21x^2-1=0では、実数解はないが複素数解はある。
ゆえに、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5　は、実数解があるのでただしい。

２）
　　　　　2tanθ
tan2θ=----------------
　　　　1-(tanθ)^2

　　　　3tanθ-(tanθ)^3
tan3θ=------------------------
　　　　1-3(tanθ)^2
を使って、(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21　をやってみる。
tanθ=xとおくと、

　　　　2x　　　　　　3x-x^3
x^2＋(------------)^2＋(---------------)^2=21　　
　　　　1-x^2　　　　　1-3x^2

2x^2(5x^8-16x^6+40x^4-28x^2+7)
------------------------------------------------=21
　　(x-1)^2(x+1)^2(3x^2-1)^2
2x^2(5x^8-16x^6+40x^4-28x^2+7)=21(x-1)^2(x+1)^2(3x^2-1)^2
(2x^2-1)(5x^2-3)(x^6-21x^4+35x^2-7)=0
より、2x^2-1=0、5x^2-3=0とx^6-21x^4+35x^2-7=0が、成り立てば、
(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21　は、ただしい。
2x^2-1=0ではx=±1/√2　実数解がある。
5x^2-3=0ではx=±√3/√5　実数解がある。
x^6-21x^4+35x^2-7=0では、実数解はないが複素数解はある。
ゆえに、(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21は、実数解があるのでただしい。

＞7x^6-35x^4+21x^2-1=0では、実数解はないが複素数解はある。

実数解が６個ありますね。ｘ＝±0.2282432,±0.7974733,±2.0765214
最後のでθ＝π/7が合うと思います。

通りすがり様、こんばんは。

大変、ありがとうございます！

やっと、ケリがつきました。

(%i12) fpprec:50; 50桁指定
(%o12) 50
(%i13) x:bfloat(cot(%pi/7));
(%o13) 2.076521396572336567163538861485840330705720206626b0
(%i14) 7*x^6-35*x^4+21*x^2-1;に代入
(%o14) - 6.8422776578360208541197733559077936097669040130689b-49
答え

ほぼ０です。

近似解を求めると、
(%i1) allroots( 7*x^6-35*x^4+21*x^2-1);
(%o1) [x = 0.2282434743901499, x = - 0.2282434743901499,
x = 0.7974733888824038, x = - 0.797473388882404, x = - 2.076521396572337,
x = 2.076521396572336]

と通りすがり様の結果になります。

また、tan（π/7）は、
float(tan(%pi/7));
(%o3) 0.4815746188075286
で、
近似解を求めると、
(%i2) allroots(x^6-21*x^4+35*x^2-7);
(%o2) [x = - 0.4815746188075286, x = 0.4815746188075286,
x = - 1.253960337662704, x = 1.253960337662703, x = 4.381286267534823,
x = - 4.381286267534823]

となり、tan（π/7）がありました。

No.794 の記事だけ全然違う問題に向かっているのは意図的にやっているものなんでしょうか？

そして意図的なのだとしたら、向かっている問題を述べてから始めてください。
なんか4回ほど「ただしい」と言っていますが、「何がただしい」のか誰にもわかりません。

DD＋＋様、こんばんは。

もともと、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5を証明せよ。だったので、そっちに主眼を置きました。θ＝π／７が見えなかったからです。

(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21もそうです。

でも、通りすがり様の研究結果から、θ＝π／７が見えてきたのです。

そこで、流れがこういう風になったのです。すみません。

そうですよね。θが π/7 に限らない話をしていますよね。
だとしたら、「ただしい」とは何のことを言っているのですか？
θが定まっていないならば、θの値によって等式は成り立ったり成り立たなかったりするはずですが。

DD++様、おはようございます。

＞だとしたら、「ただしい」とは何のことを言っているのですか？

(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０
が成り立つかということです。
式を展開整理したら、
(7x^2-1)(7x^6-35x^4+21x^2-1)=0
となったので、7x^2-1=0か、あるいは7x^6-35x^4+21x^2-1=0となり、これより、
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０
は、θによっては、成り立つので、正しいと言っているのです。もちろん、不等式にはならなかったですしね。

＞θが定まっていないならば、θの値によって等式は成り立ったり成り立たなかったりするはずですが。

そうです。これは、8つの解があるので、θは、8通りあります。

調べていませんが、ｘ＝±0.2282432,±0.7974733,±2.0765214の残り２つで２π/７と３π/７に対応しているのではないでしょうか。（調べて頂けると納得出来ます。）

通りすがり様、おはようございます。
maximaで、
%i1) solve(x^3+1=0,x);　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛解を求めよ｝
　　　　　　　　sqrt(3) %i - 1　　 sqrt(3) %i + 1　　　　　　　{%iは虚数｝
(%o1) [x = - -----------------, x =--------------------, x = - 1]
　　　　　　　　　　2　　　　　　　　2
(%i2) allroots(x^3+1=0);
(%o2) [x = 0.8660254037844386 %i + 0.5, x = 0.5 - 0.8660254037844386 %i,
x = - 1.0]
となりますので、通りすがり様は、実数解を求めていたのですね。近似解とはすみませんでした。

さて、ご推察のとおり、
(%i5) float(cot(%pi/7));
(%o5) 2.076521396572337
(%i6) float(cot(2*%pi/7));
(%o6) 0.797473388882404
(%i7) float(cot(3*%pi/7));
(%o7) 0.22824347439015

π/7、２π/7、３π/7でした。さすがです。

だとしたら、
「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０ は特殊なθのときに成り立つ場合がある」が「ただしい」ときちんと述べてください。

我々は超能力者じゃないので、はちべえさんの頭の中にしか存在しない文は読めません。

＞「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０ は特殊なθのときに成り立つ場合がある」が「ただしい」ときちんと述べてください。

これが、不等式になれば、成り立つ場合がありませんので、方程式として「正しくありません」。

成り立つ場合があるのであれば、方程式として「ただしい」と言ったら納得していただけますか？

方程式として正しいとは、通常、その式が方程式の定義に該当するという意味です。
すなわち、式（定義された計算記号が正しく使われている数字と記号列）が等号の両辺に書いてあり、そこに未知数が含まれているものである、ということです。
だから「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2-5=0」と書かれただけで、「方程式の定義に該当しているのだから、方程式として正しい」とみんな認めますよ。

念のため言っておくと、方程式の定義に、実際に成り立つ場合があるかどうかは言及されていません。
解がない方程式は、ただ解がないという特徴があるというだけの正しい方程式です。

だから、はちべえさんが「ただしい」と言っている内容は、おそらく「方程式として正しい」じゃなく「特殊なθのときに成り立つ場合がある」と書かれるべきものじゃないかと思うのですが。

DD＋＋様、こんにちは。

ありがとうございました。ご指摘はわかりました。

11,aで始めると、300番目で繰り返すのかな・・・・？

初項が「１１」だと、絶対に元に戻らないのでは？

HP管理者様、こんばんは。

2桁の場合です。2桁ですから、10が最小値です。次が、11です。

計算が大変です。間違いもあるかもしれませんが、
======================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
======================================================================
0| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22 |5a+33 |8a+55 |13a+88 |21a+43|24a+31 |
--------------------------------------------------------------------　
10|45a+74|69a+5 |14a+79|83a+84|97a+63|80a+47|77a+10|57a+57|34a+67|91a+24 |
--------------------------------------------------------------------　
20|25a+91|16a+15|41a+6 |57a+21|98a+27|55a+48|53a+75| 8a+23|61a+98|69a+21 |
--------------------------------------------------------------------　
30|30a+19|29a+40|59a+59|88a+99|47a+58|35a+57|82a+15|17a+72|99a+87|16a+59 |

まだ、aの循環の確認ができていませんが、11の循環はできました。
270| 59|9a+60| 9a+19| 8a+79|7a+98|5a+77|2a+75|7a+52|9a+27|6a+79 |
--------------------------------------------------------------------　
280| 5a+6 |a+85 | 6a+91| 7a+76|3a+67| 43|3a+10|3a+53|6a+63|9a+16 |
--------------------------------------------------------------------　
290| 5a+79|4a+95| 9a+74| 3a+69|2a+43|5a+12|7a+55|2a+67|9a+22| a+89 |
--------------------------------------------------------------------
300| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22|5a+33

ちょっと見にくいかもしれませんが、
======================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
======================================================================
0| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22 |5a+33 |8a+55 |13a+88 |21a+43|34a+31 |
--------------------------------------------------------------------　
10|55a+74|89a+5 |44a+79|33a+84|77a+63|10a+47|87a+10|97a+57|84a+67|81a+24 |
--------------------------------------------------------------------　
20|65a+91|46a+15|11a+6 |57a+21|68a+27|25a+48|93a+75|18a+23|11a+98|29a+21 |
--------------------------------------------------------------------　
30|40a+19|69a+40| 9a+59|78a+99|87a+58|65a+57|52a+15|17a+72|69a+87|86a+59 |
--------------------------------------------------------------------　
40|55a+46|41a+5 |96a+51|37a+56|33a+7 |70a+63| 3a+70|73a+33|76a+3 |49a+36 |
--------------------------------------------------------------------　
50|25a+39| 4a+75|69a+14|73a+89|42a+3 |15a+92|57a+95|72a+87|29a+82| a+69 |
--------------------------------------------------------------------
60|30a+51|31a+20|61a+71|92a+91|53a+62|45a+53|98a+15|43a+68|41a+83 |94a+51 |
--------------------------------------------------------------------　
70|35a+34|29a+85|64a+19|93a+4 |57a+23|50a+27| 7a+50|57a+77|64a+27|21a+4 |
--------------------------------------------------------------------　
80|85a+31| 6a+35|91a+66|97a+1 |88a+67|85a+68|73a+35|58a+ 3|31a+38 |89a+41 |
--------------------------------------------------------------------　
90|20a+79| 9a+20|29a+99|38a+19|67a+18| 5a+37|72a+55|77a+92|49a+47|26a+39 |
--------------------------------------------------------------------　
100|75a+86| a+25|76a+11|77a+36|53a+47|30a+83|83a+30|13a+13|96a+43| 9a+56 |
--------------------------------------------------------------------　
110| 5a+99|14a+55|19a+54|33a+9 |52a+63|85a+72|37a+35|22a+7 |59a+42|81a+49 |
--------------------------------------------------------------------
120|40a+91|21a+40|61a+31|82a+71|43a+2 |25a+73|68a+75|93a+48|61a+23 |54a+71 |
--------------------------------------------------------------------　
130|15a+94|69a+65|84a+59|53a+24|37a+83|90a+7 |27a+90|17a+97|44a+87|61a+84 |
--------------------------------------------------------------------　
140| 5a+71|66a+55|71a+26|37a+81| 8a+7 |45a+88|53a+95|98a+83|51a+78|49a+61 |
--------------------------------------------------------------------　
150| 39|49a+0 |49a+39|98a+39|47a+78|45a+17|92a+95|37a+12|29a+7 |66a+19 |
--------------------------------------------------------------------　
160|95a+26|61a+45|56a+71|17a+16|73a+87|90a+3 |63a+90|53a+93|16a+83|89a+76 |
--------------------------------------------------------------------
170|85a+59|54a+35|39a+94|93a+29|32a+23|25a+52|57a+75|82a+27|39a+2 |21a+29 |
--------------------------------------------------------------------
180|60a+31|81a+60|41a+91|22a+51|63a+42|85a+93|48a+35|33a+28|81a+63|14a+91|
--------------------------------------------------------------------　
190|95a+54| 9a+45| 4a+99|13a+44|17a+43|30a+87|47a+30|77a+17|24a+47| a+64 |
--------------------------------------------------------------------　
200|25a+11|26a+75|51a+86|77a+61|28a+47| 5a+8 |33a+55|38a+63|71a+18| 9a+81 |
--------------------------------------------------------------------　
210|80a+99|89a+80|69a+79|58a+59|27a+38|85a+97|12a+35|97a+32| 9a+67| 6a+99 |
--------------------------------------------------------------------　
220|15a+66|21a+65|36a+31|57a+96|93a+27|50a+23|43a+50|93a+73|36a+23|29a+96 |
--------------------------------------------------------------------　
230|65a+19|94a+15|59a+34|53a+49|12a+83|65a+32|77a+15|42a+47|19a+62|61a+9 |
--------------------------------------------------------------------
240|80a+71|41a+80|21a+51|62a+31|83a+82|45a+13|28a+95|73a+8 | a+3 |74a+11 |
--------------------------------------------------------------------　
250|75a+14|49a+25|24a+39|73a+64|97a+3 |70a+67|67a+70|37a+37| 4a+7 |41a+44 |
--------------------------------------------------------------------　
260|45a+51|86a+95|31a+46|17a+41|48a+87|65a+28|13a+15|78a+43|91a+58|69a+1 |
--------------------------------------------------------------------　
270|60a+59|29a+60|89a+19|18a+79| 7a+98|25a+77|32a+75|57a+52|89a+27|46a+79 |
--------------------------------------------------------------------　
280|35a+6 |81a+85|16a+91|97a+76|13a+67|10a+43|23a+10|33a+53|56a+63|89a+16 |
--------------------------------------------------------------------　
290|45a+79|34a+95|79a+74|13a+69|92a+43| 5a+12|97a+55| 2a+67|99a+22| a+89 |
--------------------------------------------------------------------
300| 11|a | a+11| 2a+11|3a+22|5a+33

301番目から元に戻りました。一般論にするには・・・・・？

この数列は各項ごとに下一桁を取り出して、
{a[n]} = 1,3,4,7,1,8,9,7,6
のようにしていますが、実はこれは
{b[n]} = 1,3,4,7,11,18,29,47,76
のように全桁ある状態で足した後で一の位だけを取り出しても同じ数列ができます。
（証明は数学的帰納法でできます。確か東大入試でまさにこの問題が出たことあったような……）

そして、全桁足す場合の数列は
b[n] = b[1]*F[n-2] + b[2]*F[n-1]
と一般項が書けるのです。（これも数学的帰納法で証明できます）
なお、F[n] はフィボナッチ数列で、
F[1] = F[2] = 1, F[n+2] = F[n+1] +F[n] で定義され、今回は漸化式を逆向きに使って F[0] = 0 と F[-1] = 1 まで使用します。

今回のカラクリは F[59] の一の位が 1、F[60] の一の位が 0、F[61] の一の位が 1、となっていることで、
b[61] = b[1]*F[59] + b[2]*F[60] の一の位が b[1] に一致し、
b[62] = b[1]*F[60] + b[2]*F[61] の一の位が b[2] に一致することにあります。
これにより、元々考えていた数列では a[61] = a[1], a[62] = a[2] であるということになりますね。
この 2 つが成り立てば、a[3] と a[63] は全く同じ計算をすることになり、a[4] と a[64] は全く同じ計算をすることになり、……を繰り返すので a[61] 以降は最初と同じ数列のループになるというわけです。

最初の 2 項の値によっては 20 項ループだったりすると思いますが、それはこの 60 項ループ自体がたまたま同じ数列 3 周で構成されてしまった場合ということですね。

もちろん、60 項でループする証明を書くのがゴールなら、「a, b, 」から始めてはちべえさんのように気合いで 62 番目まで全部書き出しても正解です。


さて、下二桁で同じことをするとどうなるか。
はちべえさんは 300 項と当たりをつけたようですが、
果たして F[299], F[300], F[301] の下二桁はどうなっているでしょうか？

下三桁の場合、何項でループするでしょうか？

ぜひ研究してみてください。

DD++様、おはようございます。

＞のように全桁ある状態で足した後で一の位だけを取り出しても同じ数列ができます。

全くそのとおりです。2桁の場合もそうです。はじめは手計算で何度も失敗しましたが、excelでそのように、計算しています。

＞そして、全桁足す場合の数列は
b[n] = b[1]*F[n-2] + b[2]*F[n-1]
と一般項が書けるのです。（これも数学的帰納法で証明できます）
なお、F[n] はフィボナッチ数列で、
F[1] = F[2] = 1, F[n+2] = F[n+1] +F[n] で定義され、今回は漸化式を逆向きに使って F[0] = 0 と F[-1] = 1 まで使用します。

なんとフィボナッチ数列ですか？たまたま、元に戻る理由は、そういうものだから・・・・？

また、2桁の一般式はどうしたものかな？300という数字が出ましたが、一般式ではどうなるのかな？

さて、3桁もどうなるのでしょうね？

> たまたま、元に戻る理由は、そういうものだから・・・・？

いえ、下n桁であれば、10^(2n) 項以内にループに突入することは鳩ノ巣原理で証明できます。
つまり、n=1 のときに多くとも 100 項以内にループが 1 周することは必然です。
それが 60 項という数字だったことまで必然かというと……どうでしょうね。
私はそれを実験なしで導出する方法は知りませんが、世の中のどこかには存在するかも？

n=2 のときにも多くとも 10000 項以内にループが 1 周することは必然です。
それが本当に 300 項という数字かどうかは、私からは黙っておきますので、はちべえさん自身で確かめてみてください。
自分で気合いでやらなくても、「フィボナッチ数　一覧」とかで検索すると、F[500] までとか F[1000] までとか載せてくれているサイトが見つかりますから。

HP管理者様、おはようございます。

適切なコメントありがとうございました。早速勉強します。

また、結構いくつもループがあったんですね。

DD++様、ご指摘、ありがとうございます。

2桁の一般解ができました。a,bは、10から99までの自然数です。
====================================================================================
\ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
====================================================================================
0| b | a | a+b | 2a+b |3a+2b |5a+3b |8a+5b |13a+8b |21a+13b|34a+21b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
10|55a+34b|89a+55b|44a+89b|33a+44b|77a+33b|10a+77b|87a+10b|97a+87b|84a+97b|81a+84b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
20|65a+81b|46a+65b|11a+46b|57a+11b|68a+57b|25a+68b|93a+25b|18a+93b|11a+18b|29a+11b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
30|40a+29b|69a+40b| 9a+69b|78a+ 9b|87a+78b|65a+87b|52a+65b|17a+52b|69a+17b|86a+69b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
40|55a+86b|41a+55b|96a+41b|37a+96b|33a+37b|70a+33b| 3a+70b|73a+ 3b|76a+73b|49a+76b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
50|25a+49b|74a+25b|99a+74b|73a+99b|72a+73b|45a+72b|17a+45b|62a+17b|79a+62b|41a+79b |
-------------------------------------------------------------------------------------
60|20a+41b|61a+20b|81a+61b|42a+81b|23a+42b|65a+23b|88a+65b|53a+88b|41a+53b|94a+41b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
70|35a+94b|29a+35b|64a+29b|93a+64b|57a+93b|50a+57b| 7a+50b|57a+ 7b|64a+57b|21a+64b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
80|85a+21b| 6a+85b|91a+ 6b|97a+91b|88a+97b|85a+88b|73a+85b|58a+73b|31a+58b|89a+31b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
90|20a+89b| 9a+20b|29a+ 9b|38a+29b|67a+38b| 5a+67b|72a+ 5b|77a+72b|49a+77b|26a+49b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
100|75a+26b| a+75b|76a+ 1b|77a+76b|53a+77b|30a+53b|83a+30b|13a+83b|96a+13b| 9a+96b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
110| 5a+ 9b|14a+ 5b|19a+14b|33a+19b|52a+33b|85a+52b|37a+85b|22a+37b|59a+22b|81a+59b |
-------------------------------------------------------------------------------------
120|40a+81b|21a+40b|61a+21b|82a+61b|43a+82b|25a+43b|68a+25b|93a+68b|61a+93b|54a+61b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
130|15a+54b|69a+15b|84a+69b|53a+84b|37a+53b|90a+37b|27a+90b|17a+27b|44a+17b|61a+44b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
140| 5a+61b|66a+ 5b|71a+66b|37a+71b| 8a+37b|45a+ 8b|53a+45b|98a+53b|51a+98b|49a+51b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
150|0+ 49b|49a+ 0 |49a+49b|98a+49b|47a+98b|45a+47b|92a+45b|37a+92b|29a+37b|66a+29b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
160|95a+66b|61a+95b|56a+61b|17a+56b|73a+17b|90a+73b|63a+90b|53a+63b|16a+53b|69a+16b |
-------------------------------------------------------------------------------------
170|85a+69b|54a+85b|39a+54b|93a+39b|32a+93b|25a+32b|57a+25b|82a+57b|39a+82b|21a+39b |
-------------------------------------------------------------------------------------
180|60a+21b|81a+60b|41a+81b|22a+41b|63a+22b|85a+63b|48a+85b|33a+48b|81a+33b|14a+81b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
190|95a+14b| 9a+95b| 4a+ 9b|13a+ 4b|17a+13b|30a+17b|47a+30b|77a+47b|24a+77b| a+24b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
200|25a+ 1b|26a+25b|51a+26b|77a+51b|28a+77b| 5a+28b|33a+ 5b|38a+33b|71a+38b| 9a+71b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
210|80a+ 9b|89a+80b|69a+89b|58a+69b|27a+58b|85a+27b|12a+85b|97a+12b| 9a+97b| 6a+ 9b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
220|15a+ 6b|21a+15b|36a+21b|57a+36b|93a+57b|50a+93b|43a+50b|93a+43b|36a+93b|29a+36b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
230|65a+29b|94a+65b|59a+94b|53a+59b|12a+53b|65a+12b|77a+65b|42a+77b|19a+42b|61a+19b |
-------------------------------------------------------------------------------------
240|80a+61b|41a+80b|21a+41b|62a+21b|83a+62b|45a+83b|28a+45b|73a+28b| a+73b|74a+ b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
250|75a+74b|49a+75b|24a+49b|73a+24b|97a+73b|70a+97b|67a+70b|37a+67b| 4a+37b|41a+ 4b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
260|45a+41b|86a+45b|31a+86b|17a+31b|48a+17b|65a+48b|13a+65b|78a+43b|91a+78b|69a+91b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
270|60a+69b|29a+60b|89a+29b|18a+89b| 7a+18b|25a+ 7b|32a+25b|57a+32b|89a+57b|46a+89b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
280|35a+46b|81a+35b|16a+81b|97a+16b|13a+97b|10a+13b|23a+10b|33a+23b|56a+33b|89a+56b |
-------------------------------------------------------------------------------------　
290|45a+89b|34a+45b|79a+34b|13a+79b|92a+13b| 5a+92b|97a+ 5b| 2a+97b|99a+ 2b| a+99b |
-------------------------------------------------------------------------------------
300| b|a | a+ b| 2a+ b| 3a+ 2b|5a+ 3b

300で収まっています。1桁の60の5倍です。

3桁は1500でした。2桁の300の5倍です。

4桁は、3桁の1500の5倍は7500ですが、らしく見えますがちょっと違うようです。

https://oeis.org/A096363
↑ここによると
4桁以上は15000,150000,1500000,…つまり
1.5×10^(桁数)となるようです。

らすかる様、こんばんは。
　　　　　3桁　　　　　4桁
番号　aの　bの係数　　aの　bの係数
14998 2 997 2 9997
14999 999 2 9999 2
15000 1 999 1 9999
15001 0 1 0 1
15002 1 0 1 0
15003 1 1 1 1
15004 2 1 2 1
15005 3 2 3 2
15006 5 3 5 3
15007 8 5 8 5
15008 13 8 13 8
15009 21 13 21 13
15010 34 21 34 21
15011 55 34 55 34
15012 89 55 89 55

おっしゃる通り15000でした。3桁は10回目の折返しですね。

フィボナッチ数列ですから、
f2=f1+f0
f3=f2+f1
f4=f3+f2
f5=f4+f3
　　・
　　・
　　・
fn=fn-1+fn-2
より、
　f2-f1=f0
　f3-f2=f1
　f4-f3=f2
　f5-f4=f3
　　・
　　・
　　・
+)fn-fn-1=fn-2
------------------------
fn-f1=f0+f1+f2+f3+・・+fn-2
そこで、
　　n-2
fn=f1+Σfi　　---(1)
　　　i=0
また、
f2=f1+f0
(1)より、
f3=f1+f0+f1=2f1+f0
f4=f1+f0+f1+f2=f1+f0+f1+(f0+f1)=3f1+2f0
f5=f1+f0+f1+f2+f3=f1+f0+f1+(f0+f1)+(2f1+f0)=5f1+3f0
f6=f1+f0+f1+f2+f3+f4=f1+f0+f1+(f0+f1)+(2f1+f0)+(3f1+2f0)=8f1+5f0

f2=f1+f0
f3=2f1+f0
f4=3f1+2f0
f5=5f1+3f0
f6=8f1+5f0
f7=13f1+8f0
f8=21f1+13f0
f9=34f1+21f0
f10=55f1+34f0
f11=89f1+55f0
f12=144f1+89f0
f13=233f1+144f0
f14=377f1+233f0
f15=610f1+377f0
f16=987f1+610f0
f17=1597f1+987f0
これをやり続けると
f58 f59 f60 f61 f62
f0の係数 365435296162 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961
f1の係数 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881
fnの係数 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881 6557470319842
fnの最下位は 1 0 1 1 2

このように、299番目で、fnの最下位から二桁が、00に、300番目で、01に、1499番目でfnの最下位から三桁が、000に、1500番目で、001に、というふうになるのでしょうね。しかし、桁数が膨大なので、libreoffice　のCalcでも、Excelでも、確認は取れません。
fn=mod(fn,10^k)とすれば、できています。

なお、aは16,31,46番目も最下位は0ですが、次が1にはなりません。それは、61番目と62番目です。

0: 0
1: 1
2: 1
60: 1548008755920
61: 2504730781961
62: 4052739537881
300: 222232244629420445529739893461909967206666939096499764990979600
301: 359579325206583560961765665172189099052367214309267232255589801
302: 581811569836004006491505558634099066259034153405766997246569401
1500: 135511256685631019516369368671…800838145996187122583354898000 (314桁)
1501: 219261819175562414066861037063…414440690362014196035679949001 (314桁)
1502: 354773075861193433583230405734…215278836358201318619034847001 (314桁)
15000: 291822482420491383023640722369…140908611007655976683548980000 (3135桁)
15001: 472178695237723741550776991928…405008577933901775242024490001 (3135桁)
15002: 764001177658215124574417714298…545917188941557751925573470001 (3135桁)
のようになります。（間の全桁も計算はしていますが、
掲示板に書くには長すぎますので省略しています。）

らすかる様、こんにちは。

ありがとうございます。

「原点を通りax+by+c=0と垂直な直線」とax+by+c=0との交点は(-ac/(a^2+b^2),-bc/(a^2+b^2))なので、例えば
p=-ac/(a^2+b^2)+b
q=-bc/(a^2+b^2)-a
r=-ac/(a^2+b^2)-b
s=-bc/(a^2+b^2)+a
とすれば条件を満たしますね。

追記
(p,q)と(r,s)は(-ac/(a^2+b^2),-bc/(a^2+b^2))に関して対称な点にしましたが、
どちらかが(-ac/(a^2+b^2),-bc/(a^2+b^2))でも構いませんし、より一般には
(-ac+(a^2+b^2)+bt,-bc/(a^2+b^2)-at)でtの値を変えればよいだけなので、2点と言わず何点でもとれます。

あ、なるほど、確かに方向ベクトルを使えば 2 点目どころか好きなだけ取れますね。
盲点でした。

参考になりました、ありがとうございます。

元々なぜこれが気になったかというと、以下のような疑問からでした。

点と直線の距離の公式は高校数学IIの教科書に掲載されています。
そして、おそらく全ての教科書で「直線が x 軸に平行な場合」「直線が y 軸に平行な場合」「それ以外の場合」と場合分けされて示されていると思います。
しかし、元々の題材は平面上の点と直線であり、x 軸と y 軸を導入するまではそこには特別な向きは存在しません。
だったら、特別な方向の場合分けが必要ない方法で証明する方が流れとして自然なのでは？

ということで、手始めに直線を方程式ではなく通る 2 点で表現することから始めようと思ったまではいいものの。
初っ端から思わぬ難渋となり、助け舟を求めてみた次第でした。
2 点が取れたら次は内分や外分で直線上の任意の点を書けると考えていたのですが、まさか一段階すっ飛ばしていきなり任意の点を取る方が早かったとは。

で、実際に場合分けが不要な点と直線の距離の公式の証明を書いてみたのがこちら。
途中でブラーマグプタの二平方恒等式 (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 - (ad-bc)^2 を用いていますが、その証明は両辺展開するだけなので省略しています。

--------

(a,b) ≠ (0,0) より a^2+b^2 ≠ 0
よって、( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) という座標で表される点は任意の実数 t について直線 ax + by + c = 0 上にあり、
逆に直線 ax + by + c = 0 上にある任意の点の座標は、ある実数 t を用いて ( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) と書ける。

したがって、点 (X,Y) と直線 ax + by + c = 0 との距離は、点 (X,Y) と点 ( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) の距離を t の関数と考えたときの最小値として求められる。

ここで、

-ac/(a^2+b^2) + tb - X
= { -ac + b(a^2+b^2)t - a^2*X - b^2*X + abY - abY } / (a^2+b^2)
= { b( (a^2+b^2)t - bX + aY ) - a( aX + bY + c ) } / (a^2+b^2)

-bc/(a^2+b^2) - ta - Y
= { -bc - a(a^2+b^2)t - a^2*Y - b^2*Y + abX - abX } / (a^2+b^2)
= { -a( (a^2+b^2)t - bX + aY ) - b( aX + bY + c ) } / (a^2+b^2)

となるので、ブラーマグプタの二平方恒等式を用いると、2 点間の距離 L の 2 乗は

L^2 = ( -ac/(a^2+b^2) + tb - X )^2 + ( -bc/(a^2+b^2) - ta - Y )^2
= (a^2+b^2){ (a^2+b^2)t - bX + aY )^2 + ( aX + bY + c )^2 } / (a^2+b^2)^2
= { (a^2+b^2)t - bX + aY )^2 + ( aX + bY + c )^2 } / (a^2+b^2)

となる。
これは t = ( bX - aY ) / (a^2+b^2) のときに最小値 ( aX + bY + c )^2 / (a^2+b^2) をとる。
したがって、点 (X,Y) と直線 ax + by + c = 0 との距離はこの L^2 の最小値の負でない平方根、すなわち
d = | aX + bY + c | / √(a^2+b^2)
である。

--------

場合分けが必要な特別な方向が存在しない、自然な流れの証明……という感じではないなあ。

> 管理人さんのコメント

いつもこのサイト内に情報がないか探すとき、
「数学感動秘話」
「私の備忘録」
「お茶の時間」→「パズル&クイズ」
のタイトル一覧をザッと確認するんですが、まさか
「私の備忘録」→「その他」→「裏技の記録」
にも記事の集まりがあったとは。
記事のタイトル一覧みたいになっているページってこの 4 ヶ所で全部でしょうか？


肝心の点と直線の距離公式の話ですが、確かに法線ベクトルを使って垂線を引いてしまえば場合分け不要かつ簡素で良いですね。
しかも、この証明はそのまま丸ごと空間内における点と平面の距離の公式の証明に転用できるという点が素晴らしい。
高校数学だと数学Bの内容を数学IIで使うわけにはいかないという事情もあるんでしょうが、この証明はもっと広まってほしいところです。

> 管理人さんのコメント

情報ありがとうございます。
記事の集合体、思った以上にいっぱいあったんですね……。
またじっくり読ませていただきたいと思います。

大きくなるのは、「2×なるべく大きな素数」ですかね？

問われてはいませんが、小さくなる方はさっぱり予想がつきませんね。
双子素数の積みたいなのが強いのか、それとも約数の個数が非常に多い数が強いのか。

分散は範囲が小さい方が小さくなりますので、4のときの分散(14/9)が最小になる気がします。
(追記)
（大きい方を）調べてみたところ、n=1,2では「2×最大の素数」でしたが、n≧3では違いました。

あ、そうですね。
小さい方は範囲を逆に「ある数以上の範囲で」としないといけませんね。

大きい方ですが、素数の平方という存在を忘れてました。
なぜか約数の個数の最小は 4 個だと思い込んでいた……。

各nでの第1位、第2位、第3位はこうなるようです。
n=1 ;10(=2*5),9(=3^2), 8(=2^3)
n=2 ;94(=2*47),95(=5*19),93(=3*31)
n=3 ;961(=31^2),989(=23*43),998(=2*499)
n=4 ;9409(=97^2),9991(=97*103),9983(=67*149)
n=5 ;97969(=313^2),99973(=257*389),99899(=283*353)
n=6 ;994009(=997^2),999997(=757*1321),999919(=991*1009)
n=7 ;9840769(=3137^2),9999727(=2549*3923),999557(=2617*3821)
n=8 ;99460729(=9973^2),99999233(=9433*10601),99998791(=9719*10289)

＊n=6までは確認しましたが、それ以上では予想です。

n≧5の第2位、第3位の値がすべて正しくないようです(第1位は正しいです)。
例えばn=5の第2位は99973=257×389と書かれていますが
99973の約数は1,257,389,99973で分散は1865930500
それに対し96721=311^2の約数は1,311,96721で分散は2072193622.222…
ですから96721の方が分散が大きいです。

n=4 ;全部で10000（個)だったので全分散計算を元に第3位まで調べたら2つの素数の積が10000に近づく
パターンが候補に上がったので、n=5での大量のデータを処理することなくてっきりこのパターンに限定
で探しに行っていました。(n=2,3でもこの傾向を示していた。)
この範囲まで広げるとあの再び素数の平方のパターンが入り込むことができるんですね。（面倒さを避けるためつい思い込んでしまった。）

改めて予想では
n=5 ;97969(=313^2), 96721(=311^2), 94249(=307^2)
n=6 ;994009(=997^2), 982081(=991^2), 966289(=983^2)
n=7 :9840769(=3137^2), 9740641(=3121^2), 9728161(=3119^2)
n=8 ;99460729(=9973^2), 99341089(=9967^2), 98982601(=9949^2)

また思い込みが起こってしまうのか？
n=8で全合成数でチェックしてみましたが、間違いないようでした。

私も同じ結果になりましたので、問題ないと思います。

15:20追記
n=9について計算してみました。
n=9 ;999002449(=31607^2), 998623201(=31601^2), 997485889(=31583^2)
この後もずっと素数の2乗が続きそうですね。

1～10^(2*n)
までの合成数の中でその約数の分散が最大になるものは
ある素数pで、その平方が10^nを越えない最大の素数pであるものを
見つけてその平方数が求めるものになる。（但しn=2,3,4,･･･)
1～10^4-->9409=97^2 (97<10^2 での最大の素数)
1～10^6-->994009=997^2 (997<10^3 での最大の素数）
1～10^8-->99460729=9973^2 (9973<10^4 での最大素数)

平方して、この10^nを越えない最大の素数に着目してOEISで検索かけると
https://oeis.org/A132153
がヒットし、そこにはn=1～2000 ものデータが揃っていた。
n;偶数での素数に着目すると、数字9がとても多く連続して並ぶことが起きてしまう
ことが起きてしまう。(なぜなら平方することで10^nに最も近づいているから)
2000の内のその半分1000個に集中すれば
https://oeis.org/A003618
ここには見事に9が並んでしまう素数が揃っている。

その1000個をじっと眺めていると下数桁で一つだけ9ではない数が現れてしまうタイプの素数が
いくつかあり（当然全部の数が9での素数はあり得ず、精いっぱいの9を含む素数となっている。)

分類例
99･･････91(最後の最後で1) (n=10,14,66,90,210,394,398,562,602,634)
n=634とは10^634に最もその平方が近づける素数ｐがp=99･････91 （9が連続634/2-1=317-1=316個並ぶもの)
であるということになる。

99････9919(10位だけが1)　(n=182,678,814)

99････9929(10位だけが2)　(n=254,302,548)

99････9949(10位だけが4)　(n=128)

99････9959(10位だけが5)　(n=94,176,260)

99･･････97(最後の最後で7) (n=4,6,34,280,1980)
n=1980はp=99･･････97 (9がなんと連続1980/2-1=989個も並んでしまう素数があることを示す。)

99････9979(10位だけが7) (n=216,816)

99････9799(100位だけが7) (n=1152)

99････9989(10位だけが8)　(n=16,24,30,36,40,60,160,304,328,352,478,582.648,1008,1188,1966)

99････9899(100位だけが8) (n=42,1432,1558)

99･･･98999(1000位だけが8) (n=652)


こんなに９の数字が並んでしまう素数の具体例を見たことが無かったので、何気なく合成数の分散を
探してみようという試みから思わぬ副産物に出会えて面白かったです。
勿論素数は無限にあるので（通常はこんな世界には無縁ではありますが･･･)更に驚くべき素数が潜んでいることでしょう。