😊出会いの泉😊

高木貞治 著「初等整数論講義」によれば、
「ax+by＋cz=k が解を持つ　⇔　kが、d=(a,ｂ, c)で割り切れる」
が成り立ち、変数の数は任意とのことです。

ax+by+cz=dにおいて
dがa,b,cの最大公約数で割り切れないときは明らかに解を持ちません。
（左辺はa,b,cの最大公約数の倍数にしかならないため）
dがa,b,cの最大公約数で割り切れる場合は、最大公約数で割ったものを
あらためてa,b,c,dとすればax+by+cz=d, (a,b,c)=1です。
このとき
b=Bg,c=Cg,(B,C)=1とすれば(a,b,c)=1から(a,g)=1であり
ax+Bgy+Cgz=d
ax+g(By+Cz)=d
これはBy+Cz=wとおけばax+gw=d,(a,g)=1なので解を持ちます。
この解のwに対してBy+Cz=wは(B,C)=1から解を持ちますので、
元の式も解を持つことになります。

5x+11y=Aとおくと31A+55z=1
31×2=62≡7(mod55), 7×8=56=1(mod55)なので31×16≡1(mod55)とわかり、
(31×16-1)÷55=9なので(A,z)=(16,-9)が解の一つ
|z|＜100の範囲で(55,-31)を足し引きしていくと
(126,-71),(71,-40),(16,-9),(-39,22),(-94,53),(-149,84)となるので
|z|が素数という条件を満たすものは(A,z)=(126,-71),(-94,53)の二つ
A=126のとき5x+11y=126
(x,y)=(1,11)が解の一つなので|x|,|y|＜100の範囲で(11,-5)を足し引きすると
(-98,56),(-87,51),(-76,46),(-65,41),(-54,36),(-43,31),(-32,26),(-21,21),(-10,16),
(1,11),(12,6),(23,1),(34,-4),(45,-9),(56,-14),(67,-19),(78,-24),(89,-29)となるので
|x|,|y|が素数という条件を満たすものは(x,y)=(-43,31),(67,-19),(89,-29)
よって解は(x,y,z)=(-43,31,-71),(67,-19,-71),(89,-29,-71)
A=-94のとき5x+11y=-94
(x,y)=(1,-9)が解の一つなので|x|,|y|＜100の範囲で(11,-5)を足し引きすると
(-98,36),(-87,31),(-76,26),(-65,21),(-54,16),(-43,11),(-32,6),(-21,1),(-10,-4),
(1,-9),(12,-14),(23,-19),(34,-24),(45,-29),(56,-34),(67,-39),(78,-44),(89,-49)
|x|,|y|が素数という条件を満たすものは(x,y)=(-43,11),(23,-19)
よって解は(x,y,z)=(-43,11,53),(23,-19,53)
従ってまとめると、条件を満たす解は
(x,y,z)=(-43,11,53),(-43,31,-71),(23,-19,53),(67,-19,-71),(89,-29,-71)の5組。

(1)は、（Ａ，Ｂ）＝（84，3528）、（168，1764）、（252，1176）、（504，588）
(2)は、（Ａ，Ｂ，C）＝（１２，３６，４８）
(3)は、（Ａ，Ｂ，C）＝（１２，３６，２４０）、（１２，４８，１８０）、（１２，６０，１４４） ですね！

解は意外と多くて
(2)
1;(12,24,144)
2;(12,36,48)
3;(12,36,144)
4;(12,48,72)
5;(12,48,144)
6;(12,72,144)
7;(24,36,48)
8;(24,36,144)
9;(36,48,72)
10;(36,48,144)


(3)
1;(12,24,720)
2;(12,36,240)
3;(12,36,720)
4;(12,48,180)
5;(12,48,360)
6;(12,48,720)
7;(12,60,144)
8;(12,60,720)
9;(12,72,240)
10;(12,72,720)
11;(12,120,144)
12;(12,120,720)
13;(12,144,180)
14;(12,144,240)
15;(12,144,360)
16;(12,144,720)
17;(12,180,240)
18;(12,180,720)
19;(12,240,360)
20;(12,240,720)
21;(12,360,720)
22;(24,36,240)
23;(24,36,720)
24;(24,48,180)
25;(24,60,144)
26;(24,60,720)
27;(24,144,180)
28;(24,180,240)
29;(24,180,720)
30;(36,48,60)
31;(36,48,120)
32;(36,48,180)
33;(36,48,240)
34;(36,48,360)
35;(36,48,720)
36;(36,60,144)
37;(36,60,240)
38;(36,60,720)
39;(36,72,240)
40;(36,120,144)
41;(36,120,240)
42;(36,120,720)
43;(36,144,240)
44;(36,180,240)
45;(36,240,360)
46;(36,240,720)
47;(48,60,72)
48;(48,60,144)
49;(48,60,180)
50;(48,60,360)
51;(48,60,720)
52;(48,72,180)
53;(48,120,180)
54;(48,144,180)
55;(48,180,240)
56;(48,180,360)
57;(48,180,720)
58;(60,72,144)
59;(60,72,240)
60;(60,72,720)
61;(60,120,144)
62;(60,144,180)
63;(60,144,240)
64;(60,144,360)
65;(60,144,720)
66;(72,180,240)
67;(120,144,180)
68;(144,180,240)
だけ存在できます。

この解の個数は
gcd(A,B,C)=G,lcm(A,B,C)=L
A=a*G;B=b*G;C=c*G ((a,b,c)は互いに素）とするとき
gcd([a,b,c])==1かつlcm([a,b,c])==L/G
を満たす(a,b,c)の組合せが存在する数と対応しています。
(2)なら144/12=12,(3)なら720/12=60ですので

(2)gcd([a,b,c])==1かつlcm([a,b,c])=12
(3)gcd([a,b,c])==1かつlcm([a,b,c])==60
でその組合せが決まり、それぞれから10通り,68通りが生じてきます。

A,Bの２つでの場合しか経験してなかったので、3つの場合を調べていて
こんなにも多く存在することに驚いてしまいました。

このことからL/Gの値が解の個数の決め手になっていることが面白く感じたので
s=L/Gの値で解の個数が如何ほどか調査してみたら100までのもので
s;　解の個数
1; 0 21; 4 41; 0 61; 0 81; 3
2; 0 22; 4 42; 32 62; 4 82; 4
3; 0 23; 0 43; 0 63; 10 83; 0
4; 1 24; 16 44; 10 64; 5 84; 68
5; 0 25; 1 45; 10 65; 4 85; 4
6; 4 26; 4 46; 4 66; 32 86; 4
7; 0 27; 2 47; 0 67; 0 87; 4
8; 2 28; 10 48; 22 68; 10 88; 16
9; 1 29; 0 49; 1 69; 4 89; 0
10; 4 30; 32 50; 10 70; 32 90; 68
11; 0 31; 0 51; 4 71; 0 91; 4
12; 10 32; 4 52; 10 72; 34 92; 10
13; 0 33; 4 53; 0 73; 0 93; 4
14; 4 34; 4 54; 16 74; 4 94; 4
15; 4 35; 4 55; 4 75; 10 95; 4
16; 3 36; 22 56; 16 76; 10 96; 28
17; 0 37; 0 57; 4 77; 4 97; 0
18; 10 38; 4 58; 4 78; 32 98; 10
19; 0 39; 4 59; 0 79; 0 99; 10
20; 10 40; 16 60; 68 80; 22 100; 22

100倍まではs=60,84,90
で最も多く68通り

このことはgcd(A.B,C)=Gの値が何であれ、例えば
gcd(A.B,C)=8
lcm(A,B,C)=8*60=480

gcd(A.B,C)=10
lcm(A,B,C)=10*60=600

gcd(A.B,C)=11
lcm(A,B,C)=11*84=924

gcd(A.B,C)=16
lcm(A,B,C)=16*90=1440

それぞれを満たす解の個数はすべて68通り存在することができます。
この同じ68の値を発生させるsの特徴は
60=2^2*3*5
84=2^2*3*7
90=2*3^2*5
で一般に素数p,q,rでp^2*q*r型で示されます。

このことからsの数字の特徴がsの素因数構造で分類できることが起こせます。
sを1000まで延長させて分類すると(以下p,q,r,sは素数です。大小を問いません。)
s=p^(k+1) ->k(k=0,1,2,･･･)
s=p*q ->4
s=p^2*q　->10
s=p^3*q ->16
s=p^4*q(またはq^2*q^2) ->22
s=p^5*q ->28
s=p^6*q ->34
s=p^7*q ->40
s=p^4*q^2(またはp^8*q) ->46
s=p^5*q^2 ->58
s=p^4*q^3(またはp^6*q^2) ->70
s=p^5*q^3 ->88
s=p*q*r ->32
s=p^2*q*r ->68
s=p^3*q*r ->104
s=q^4*q*r(またはp^2*q^2*r) ->140
s=p^5*q*r ->176
s=p^3*q^2*r ->212
s=p^4*q^2*r ->284
s=p*q*r*s ->208
s=p^2*q*r*s ->424
s=p^3*q*r*s ->640

の様な対応がつけられました。

法則を見つけただけで証明はしていませんが、上の計算は
n=(素数の種類の数)、m=(各素因数の指数の積)とすると
6^(n-1)×m - 2^(n-1)
と表されますね。

お～～！！
こんな式で統一できるんだ。
途中でp^4*qとp^2*q^2、p^6*qとp^3*q^2、p^4*q^3とp^6*q^2などが同じ数字が対応してきていたので不思議に感じていました。
こんな背景があったのですね。

全くの勘であって確認していませんが、
3数A,B,C で 6^(n-1)×m - 2^(n-1) = 3!^(n-1)×m - 2!^(n-1) ならば
4数A,B,C,Dの場合は 4!^(n-1)×m - 3!^(n-1) = 24^(n-1)×m - 6^(n-1) かも？

(追記)
その理屈だと2数の場合に2!^(n-1)×m-1!^(n-1)=2^(n-1)×m-1となりますが、
(84,3528)のときに合わないので違いますね。

4数A,B,C,Dの場合
p^n->1/2*(n-1)*(n-2) (n≧3)
p*q->1
p^2*q->13
p^3*q->39
p*q*r->64
p^2*q^2->70
p^4*q->79
p^5*q->133
p^3*q^2->177
p^6*q->201
p^7*q->283
p^2*q*r->304
p^4*q^2->334
p^8*q->379
p^3*q^3->425
p^5*q^2->541
p^3*q*r->740
p^4*q^3->783
p^6*q^2->798
p^2*q^2*r->1246
p^5*q^3->1251
p*q*r*s->1284
p^4*q*r->1372
p^5*q*r->2200
p^3*q^2*r->2888
p^6*q*r->3224
p^2*q^2*r^2->4780
p^2*q*r*s->5076
p^4*q^2*r->5230
p^3*q*r*s->11612

なる対応になると思いますが･･･
その他のパターンは0が対応しています。
（重複部分は解消されます。）

4数になるとずいぶんと複雑になるのですね。「全くの勘」は完全にはずれでした。
素因数2種類、3種類の一般式は
p^m*q^n → 6(mn)^2+m^2+n^2-9mn+2
p^l*q^m*r^n → 70(lmn)^2+14{(lm)^2+(mn)^2+(nl)^2}-54(lm+mn+nl-l-m-n)-48
あたりでしょうか。
（l,m,n＞1の場合は例が一つしかなかったのでl=m=n=2以外では正しくないかも知れません）

追加データ
p^3*q^2*r->2888
p^3*q^2*r^2->10814
p^4*q^2*r->5230
p^4*q^2*r^2->19348
p^4*q^3*r->11804
p^4*q^3*r^2->43166
p^4*q^3*r^3->95868
p^5*q^2*r->8272
p^5*q^2*r^2->30382
p^5*q^3*r->18572
p^5*q^3*r^2->67592
p^5*q^3*r^3->149832
p^5*q^4*r->33100
p^5*q^4*r^2->119902
p^5*q^4*r^3->265292
p^5*q^4*r^4->469270
p^5*q^5*r->51856
p^5*q^5*r^2->187312
p^5*q^5*r^3->413972
p^5*q^5*r^4->731836

時間がかかりましたが、ようやく素因数3種類の一般式が出せました。
p^l*q^m*r^n → (1/3){(6l^2+1)(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-54lmn
という比較的綺麗な式になりました。
これにならうと、素因数2種類の一般式は
p^m*q^n → (1/6){(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-9mn
となり似たような形になります。
両方とも「11」という定数が含まれているのが面白いですね。
この形から素因数4種類の一般式を数少ないデータを使って予想すると
p^k*q^l*r^m*s^n → (2/3){(6k^2+1)(6l^2+1)(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-324klmn
それにより完全な一般式は素因数n種類で指数がa[1],a[2],…,a[n]のとき
(1/24){(2^n)(Π{6(a[k])^2+1}+11)-(6^(n+1))Πa[k]}
となりそうで、これは素因数が1種類の場合も正解と一致しています。

自分も一般式が構成出来ないものかと、らすかるさんが見つけられた様式を参考にあれこれ挑戦していたんですが、係数が分数になったり
素数の指数と上手く連動しなかったりと、ほとんど絶望状態でした。
ほんの一部でi=1,2,3,･･･で
p^i*q^i->(2*i^2-1)*(3*i^2-2)
p^i*q*r->98*i^2-54*i+20
p^i*q->7*i^2-9*i+3
p^m*q^2->25*m^2-18*m+6 (m=2,3,4,･･･)
p^n*q^3->55*n^2-27*n+11 (n=3,4,5,･･･)
などの個別の式でした。

これを一気に記述できる一般式に到達出来ることが物凄いです。
論理的に攻めて行けるものなのですか？
それとも何となくこんな式なのかと直感的に予測していくのですか？
自分なりにあれこれ挑戦した感覚としてこんな式のあり様がどこから考えてこれるのかとても不思議です。

式の形は無数にありますので、「何となくこんな式なのかと直感的に予測」はほとんど無理ですね。
特別な場合の式を立て、それを統合する式を考えていってすべて論理的に攻めてます。
今回の場合は、「l,m,nに関して対称」ということがかなり使えました。

とりあえずパッと思いつくのは
a=10010, b=1001, c=1002001
ですが、もっと小さいのがありますかね？

但し1≦a≦b≦cであるとする。
の条件に合わないので、これも含んでお願いします。
最小とコメントしていたんですが、最小に少し自信が無くなったのでa>10000
であるものを探して下さい。できれば3組ほど。

「最小」というのは、「aが最小」ですか？それとも「cが最小」ですか？

aがでおねがいします。

あ、問題を読み飛ばしちゃってました。
失礼しました。

aの小さい順だと
10010^3+17290^3=2484300^2
10054^3+13178^3=1817904^2
10065^3+23010^3=3633525^2
ですかね。

最小に自信がなくなったとコメントしたのは、bの探索範囲を広げてみたら
10016^3+2153440^3=3160088064^2
なるものが出現したので、もっと広げてやれば10010が最小とは限らないんじゃないのかな？
と疑問をもったためでした。
bの探索範囲を広げて行けば時間が掛かってしまうし･････
で３個と問い直しました。

と思っていたら
(10016,2153440,3160088064)=(626*4^2,134590*4^2,49376376*4^3)
なので既約ではありませんでした。
他のaでは
10080^3+15120^3=2116800^2( しかしこれは既約にならない。)
(10080,15120,2116800)=(70*12^2,105*12^2,1225*12^3)
10082^3+231886^3=111668232^2 (これも既約でない。）
(10082,231886,111668232)=(2*71^2,46*71^2,312*71^3)
10089^3+1169298^3=1264410081^2 (これも既約でない。）
(10089,1169298,1264410081)=(1121*3^2,129922*3^2,46830003*3^3)

ですのでaが10000を超えて既約候補の3個は上のものですね。

続きは
10122^3+149961^3=58081023^2
10129^3+1244420^3=1388195367^2
10147^3+115997^3=39519864^2
10166^3+17342^3=2503228^2
10185^3+234934^3=113877127^2
10199^3+182693^3=78094534^2
10270^3+13430^3=1872300^2
となるようですね。


ちなみに一部の解は手計算でも出せます。
例えば2つの素数11と19を使って
11^3+19^3=8190=2×3^2×5×7×13
平方要素を除くと 2×5×7×13=910
11×910=10010, 19×910=17290なので
10010^3+17290^3=(11^3+19^3)×910^3
=(2×3^2×5×7×13)×(2×5×7×13)^3
=(2^2×3×5^2×7^2×13^2)^2=2484300^2

17と29を使うと
17^3+29^3=29302=2×7^2×13×23
平方要素を除くと 2×13×23=598
17×598=10166, 29×598=17342なので
10166^3+17342^3=(17^3+29^3)×598^3
=(2×7^2×13×23)×(2×13×23)^3
=(2^2×7×13^2×23^2)^2
=2503228^2

# 最初の2数は素数である必要はありません。
# 例えば15と346から
# 10185^3+234934^3=113877127^2
# が得られます。

また、この方法を使えば単純探索では厳しいようなかなり大きい値の解の例も算出できます。
例えば271と314を使うと
271^3+314^3=50861655=3^3×5×13×73×397
平方要素を除くと 3×5×13×73×397=5651295
271×5651295=1531500945, 314×5651295=1774506630なので
1531500945^3+1774506630^3=(271^3+314^3)×5651295^3
=(3^3×5×13×73×397)×(3×5×13×73×397)^3
=(3^3×5^2×13^2×73^2×397^2)^2
=95811405531075^2

面白い構成方法ですね。（よくこんな方法を思いつけますね。）
10129^3+1244420^3=1388195367^2
は7 と860
10166^3+17342^3=2503228^2
は17と29
10270^3+13430^3=1872300^2
は13と17
から構成できますね。
でもこれで出来たり、出来なかったりすることもまた面白いです。

＜追伸＞
探索範囲を広げれば
いやいや、これで全部作れてしまいますね。
10054^3+13178^3=1817904^2は
457 と599
10065^3+23010^3=3633525^2は
671 と1534
10122^3+149961^3=58081023^2は
482 と 7141
10147^3+115997^3=39519864^2は
139 と1589
10199^3+182693^3=78094534^2は
1457 と26099

この構成方法に気づきましたので、10100より大きい解はこの方法のプログラムを作って調べました。
2数をs,t（s≦t）としたとき、tは+1ずつですが、sは例えばaの範囲が10000～10300とするならば
s=4000やs=6000などを調べる必要がない（整数倍して10000～10300の範囲にならない）ので
結構高速化できました。
（具体的には、sを+1ずつして[10000/s]=[10299/s]になったらs/[10000/s]まで飛ばしてよい）

s;tを変化させて一気に構成してみました。
1;2=>1^3 + 2^3 = 3^2
1;3=>7^3 + 21^3 = 98^2
1;4=>65^3 + 260^3 = 4225^2
1;5=>14^3 + 70^3 = 588^2
1;6=>217^3 + 1302^3 = 47089^2
1;7=>86^3 + 602^3 = 14792^2
1;8=>57^3 + 456^3 = 9747^2
1;9=>730^3 + 6570^3 = 532900^2
1;10=>1001^3 + 10010^3 = 1002001^2
1;11=>37^3 + 407^3 = 8214^2
1;12=>1729^3 + 20748^3 = 2989441^2
1;13=>2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
1;14=>305^3 + 4270^3 = 279075^2
1;15=>211^3 + 3165^3 = 178084^2
1;16=>4097^3 + 65552^3 = 16785409^2
1;17=>546^3 + 9282^3 = 894348^2
1;18=>5833^3 + 104994^3 = 34023889^2
1;19=>35^3 + 665^3 = 17150^2
1;20=>889^3 + 17780^3 = 2370963^2
1;21=>9262^3 + 194502^3 = 85784644^2
1;22=>10649^3 + 234278^3 = 113401201^2
1;23=>2^3 + 46^3 = 312^2
1;24=>553^3 + 13272^3 = 1529045^2
1;25=>15626^3 + 390650^3 = 244171876^2
1;26=>217^3 + 5642^3 = 423801^2
1;27=>4921^3 + 132867^3 = 48432482^2
1;28=>21953^3 + 614684^3 = 481934209^2
1;29=>2710^3 + 78590^3 = 22032300^2
1;30=>27001^3 + 810030^3 = 729054001^2
2;3=>70^3 + 105^3 = 1225^2
2;4=>4^3 + 8^3 = 24^2
2;5=>266^3 + 665^3 = 17689^2
2;6=>28^3 + 84^3 = 784^2
2;7=>78^3 + 273^3 = 4563^2
2;8=>260^3 + 1040^3 = 33800^2
2;9=>1474^3 + 6633^3 = 543169^2
2;10=>14^3 + 70^3 = 588^2
2;11=>2678^3 + 14729^3 = 1792921^2
2;12=>868^3 + 5208^3 = 376712^2
2;13=>10^3 + 65^3 = 525^2
2;14=>86^3 + 602^3 = 14792^2
2;15=>6766^3 + 50745^3 = 11444689^2
2;16=>228^3 + 1824^3 = 77976^2
2;17=>9842^3 + 83657^3 = 24216241^2
2;18=>730^3 + 6570^3 = 532900^2
2;19=>1526^3 + 14497^3 = 1746507^2
2;20=>4004^3 + 40040^3 = 8016008^2
2;21=>18538^3 + 194649^3 = 85914361^2
2;22=>148^3 + 1628^3 = 65712^2
2;23=>974^3 + 11201^3 = 1185845^2
2;24=>6916^3 + 82992^3 = 23915528^2
2;25=>386^3 + 4825^3 = 335241^2
2;26=>2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
2;27=>39382^3 + 531657^3 = 387735481^2
2;28=>1220^3 + 17080^3 = 2232600^2
2;29=>48794^3 + 707513^3 = 595213609^2
2;30=>844^3 + 12660^3 = 1424672^2
3;4=>273^3 + 364^3 = 8281^2
3;5=>114^3 + 190^3 = 2888^2
3;6=>9^3 + 18^3 = 81^2
3;7=>1110^3 + 2590^3 = 136900^2
3;8=>33^3 + 88^3 = 847^2
3;9=>63^3 + 189^3 = 2646^2
3;10=>3081^3 + 10270^3 = 1054729^2
3;11=>4074^3 + 14938^3 = 1844164^2
3;12=>585^3 + 2340^3 = 114075^2
3;13=>417^3 + 1807^3 = 77284^2
3;14=>8313^3 + 38794^3 = 7678441^2
3;15=>126^3 + 630^3 = 15876^2
3;16=>12369^3 + 65968^3 = 16999129^2
3;17=>3705^3 + 20995^3 = 3050450^2
3;18=>1953^3 + 11718^3 = 1271403^2
3;19=>20658^3 + 130834^3 = 47416996^2
3;20=>24081^3 + 160540^3 = 64432729^2
3;21=>774^3 + 5418^3 = 399384^2
3;22=>1281^3 + 9394^3 = 911645^2
3;23=>36582^3 + 280462^3 = 148693636^2
3;24=>57^3 + 456^3 = 9747^2
3;25=>11739^3 + 97825^3 = 30623138^2
3;26=>52809^3 + 457678^3 = 309865609^2
3;27=>6570^3 + 59130^3 = 14388300^2
3;28=>65937^3 + 615412^3 = 483076441^2
3;29=>4578^3 + 44254^3 = 9314704^2
3;30=>9009^3 + 90090^3 = 27054027^2
･･･････････････

sとtが互いに素でない場合は「既約な組」になりませんので、互いに素でないものは除いた方が良いかも知れません。

チェバの定理とメネラウスの定理は射影幾何の定理ではありませんし、双対の関係ではないと思います。

私が今年の4月に投稿した問題
（
https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/36
または
お茶の時間　＞　パズル＆クイズ　＞　三角形のある等式
）
は、厳密には双対ではないのでしょうけれど、それぞれの定理の双対を意識して作った問題です。
[1]がメネラウスの定理に対応し、[2]がチェバの定理に対応しています。

折り紙を使うと角の３等分はおろか５等分もできるらしいですね。

定木とコンパスとでは出来ない正１１角形の作図もできるとか。
↓
https://core.ac.uk/download/pdf/59041733.pdf

平面に３点A,B,Cをとり、今角∠ABCを３等分することを試みる。
但し定規に２つの傷、もしくは目印としてP,Qの２点をマジックで印を付けておく。
①；直線AB上に点BからPQの距離と同じ長さとなるように、そこに点Oをとる。
② ; 点Oを通り直線BCに平行な線ODを引く。
③ ; 点Oを中心として半径OB(=PQ)である円を描く。
④ ; 定規を点Bを通る様にして、点Pが円と点Qが直線ODと重なる様に調整したら定規に線BEを引く。
　　(説明のために円と直線(=OD)との交点をそれぞれP,Qと名付ける。)

以上の作業から
△OPQ,△OBPは二等辺三角形より
∠POQ=∠PQO=θ　なら
∠OPB=∠OBQ=2θ　で
また平行から
∠OQB=∠CBQ=θ
これから
∠ABC=3θ

したがって角∠ABCの３等分線の一つは直線BEであり
後は角∠ABE=2θを従来のやり方でこれを２等分すればよい。

＊定規の目的を直線をただ引くという役目に、ちょっと手を加えるだけで全てが変化する
　ことが面白いです。

> 後は角∠ABE=2θを従来のやり方でこれを２等分すればよい。

せっかくいろいろ補助線がありますので、これを利用して
Qを中心としてPを通る円を描いて、円OとのPでない交点をFとすれば
BFがもう一つの三等分線になりますね。

> ④ ; 定規を点Bを通る様にして、点Pが円と点Qが直線ODと重なる様に調整したら定規に線BEを引く。

この条件を満たす定規の角度は全部で 6 つあります。
2 つは点 Q を点 O におき、定規を直線 AB に重ねて置く方法、
1 つは点 P を点 B に重ね、点 Q は点 O と異なるところに置く方法。
この 3 つは明らかに目的の線ではないので除外するとして、
残り 3 つのうちどの線を使って作図すればよいのでしょうか？

鋭角の場合は内角に 1 つと外角に 2 つなので内角にあるやつを選択すればいいとしても、鈍角の場合は内角に 2 つあります。

鈍角の場合は鋭角である外角を三等分したのちに三等分線から外側に60°の角度をとれば
鈍角の三等分線ができますので、鋭角だけ三等分できれば十分とも言えますね。

x[1]=2-√3
x[2]=(√3-1)/2
x[3]=(3-√3)/3
x[4]=√3/3
x[5]=(3-√3)/2
x[6]=√3-1

y[1]=(3-√2)/7
y[2]=(4-√2)/7
y[3]=(3+√2)/7
y[4]=(4+√2)/7
でしょうか。

またもや全問正解です。

２次無理数を有理数へ写像するアイデアをよく思いつくものですね。
というわけで

[0,1]区間で
?(x)=x
を満たすxは0,1/2,1以外にも存在していますが、その値は？
理屈的にはこの値は２次無理数のはずですよね。

0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
という値になりますが、これは2次無理数ではないですね。
（もしxが2次無理数なら?(x)は有理数なので?(x)=xにはなりません）

そうか！
例の不動点の小数第37位までを作る２次無理数で
gp > (sqrt(3219756132232550086641835218537)-1054710584836911)/(2*879764482467118)
%67 = 0.42037233942322307564099300664622187395
が作れたのでてっきり可能だろうと思ってしまった。
?(x)関数は連続ではないんですね。Pi/4や∛2などの点では繋がらない。
数ってどんだけあるんだってことですね。

ちなみに
1-0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
=0.57962766057677692435900699335377812605･･･
も不動点となりますね。

> ?(x)関数は連続ではないんですね。

連続関数と書かれています。
Pi/4などの数でも、上と下から有理数で押さえれば?(x)もいくらでも近い値になりますので、
その有理数の極限として表されるPi/4もその間の値として定義され、連続になりますね。

S1 = π/(2√3)
S2 = π/√6
S3 = π/3
S4 = log(2+√3)/√3
かな？

全て正解です。
(4)はasinh(√3)/√3　(asinh(x)はハイパボリックアークサイン)の式でも可です。

調和数列が、発散することから、
等差数列の逆数和も発散する。
公差がいくつでも、間が空いても、発散する。

等差数列の逆数和も発散する。
だが符号を交互にした交代級数にすると収束できます。
初項を1、公差をdにすると
d=1; S1=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+･････=log(2)
d=2; S2=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+･････=π/4
d=3; S3=1-1/4+1/7-1/10+1/13-1/16+･････=(π+√3*log(2))/(3*√3)
d=4; S4=1-1/5+1/9-1/13+1/17-1/21+･････=√2/8*(π+2*log(1+√2))
d=5; S5=1-1/6+1/11-1/16+1/21-1/26+･････=(2*log(2)+√(2+2/√5)*π+√5*log((3+√5)/2))/10
d=6; S6=1-1/7+1/13+1/19-1/25+1/31-1/37+･････=0.9037717737487720468･････
d=7; S7=0.91547952683･････
d=8; S8=0.92465170577･････
d=9; S9= 0.93203042415･････

S6とS8は
S6=(π+(√3)log(2+√3))/6
S8=(√(4+2√2)π+√(2-√2)log(7-4√2+2√(20-14√2))+√(2+√2)log(7+4√2+2√(20+14√2)))/16
と書けますね。

どうしてS7を飛ばしてS8（これも結構複雑）を出されたのだろうと
何気にS7へ挑戦していたら、たっぷりと時間をとられて

S7=1/7*(log(2)-2*sin(π/14)*log(2*sin(3*π/14))-2*cos(π/7)*log(2*sin(π/14))+2*sin(3*π/14)*log(2*cos(π/7)))+π/28*tan(π/14)+1/tan(π/14))

なる決して美しくはない式でした。

なるべく統一して
t=sin(π/14)と置いて
S7=1/7*(log(2)-2*t*log(2*(3*t-4*t^3))-2*(1-2*t^2)*log(2*t)+2*(3*t-4*t^3)*log(2*(1-2*t^2)))+π/(28*t*sqrt(1-t^2))

で少しはショートに

S7の式をこねくり回して何とかきれいな形にしたところ、
S3,S5,S7,S9は同じ形で書けることがわかりました。

S3=(2/3){π/(4sin(π/3))
-cos(π/3)log(sin(π/6))}

S5=(2/5){π/(4sin(π/5))
-cos(π/5)log(sin(π/10))
-cos(3π/5)log(sin(3π/10))}

S7=(2/7){π/(4sin(π/7))
-cos(π/7)log(sin(π/14))
-cos(3π/7)log(sin(3π/14))
-cos(5π/7)log(sin(5π/14))}

S9=(2/9){π/(4sin(π/9))
-cos(π/9)log(sin(π/18))
-cos(3π/9)log(sin(3π/18))
-cos(5π/9)log(sin(5π/18))
-cos(7π/9)log(sin(7π/18))}

n=2m+1（m≧1）のとき
Sn=(2/n){π/(4sin(π/n))-Σ[k=1～m]cos((2k-1)π/n)log(sin((2k-1)π/(2n)))}
が成り立ちそうですね。

(追記)
偶数も

S2=(2/2){π/(4sin(π/2))
-cos(π/2)log(sin(π/4))}

S4=(2/4){π/(4sin(π/4))
-cos(π/4)log(sin(π/8))
-cos(3π/4)log(sin(3π/8))}

S6=(2/6){π/(4sin(π/6))
-cos(π/6)log(sin(π/12))
-cos(3π/6)log(sin(3π/12))
-cos(5π/6)log(sin(5π/12))}

S8=(2/8){π/(4sin(π/8))
-cos(π/8)log(sin(π/16))
-cos(3π/8)log(sin(3π/16))
-cos(5π/8)log(sin(5π/16))
-cos(7π/8)log(sin(7π/16))}

のように書けるようです。
偶奇合わせて
Sn=(2/n){π/(4sin(π/n))-Σ[k=1～[n/2]]cos((2k-1)π/n)log(sin((2k-1)π/(2n)))}
でOKでした。
（奇数の式のΣの終値のmを[n/2]に変えただけです）

昔この極限値はガンマ関数（gamma(x))を真数にとった対数(log(gamma(x)))の
導関数をとったd(log(gamma(x))/dxをpsi(x)関数と表示し
psi(x)=gamma'(x)/gamma(x)
の性質を利用することで、この公差d（初項は1)の等差数列の逆数での交代級数の
極限和T(d)が

T(d)=(psi((d+1)/(2*d))-psi(1/(2*d)))/(2*d)

で算出できるところから、数値を算出していました。

今回らすかるさんの式

S(n)=(2/n)*(Pi/(4*sin(Pi/n))-sum(k=1,floor(n/2),
cos((2*k-1)*Pi/n)*log(sin((2*k-1)*Pi/(2*n)))))

で2つの数量を見較べましたらピタリ２つは一致しました。(n=1は除外）


また以前こんな計算をしていて不思議に思ったことに
zeta(3) =1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3+･･･
3/4*zeta(3)=1-1/2^3+1/3^3-1/4^3+1/5^3-･･･
には円周率が現れないのに(zeta(5)にも)
1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+1/9^3-1/11^3+･･･＝π^3/32
上の応用で(psi''(3/4)-psi''(1/4))/128 より計算可能('記号は微分を示す。)

1-1/3^5+1/5^5-1/7^5+1/9^5-1/11^5+･･･＝5*π^5/1536
(psi''''(3/4)-psi''''(1/4))/24576　より計算可能

と公差2で交代級数をとれば円周率が姿を現す。（他の公差dでは現れない。）

ディリクレ指標[1,-1,0]のL関数でも
1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+1/7^3-1/8^3+1/10^3-1/11^3+･･･=4*π^3/(81*sqrt(3))
1-1/2^5+1/4^5-1/5^5+1/7^5-1/8^5+1/10^5-1/11^5+･･･=4*π^5/(729*sqrt(3))
やはり円周率が顔をのぞかせる。

たとえ交代級数的でもなく,＋符号だけの等差数列数のものでも
1/3^3+1/7^3+1/11^3+1/15^3+･･･+1/(4*n-1)^3+･･･=7/16*zeta(3)-π^3/64
やはり円周率が顔をのぞかせる。

ほんんとに無限は不思議です。

無限級数で、Σ１/N(数字の０の表示された数を除く)
が、収束することが知られていますが、
収束値が、２０くらいだったようですが、御存知の方よろしくお願いします。他の数字を除いた場合も調べています。

0を除く oeis.org/A082839 23.103447909420541616034054043325598138302800005282141886723094772…
1を除く oeis.org/A082830 16.176969528123444266579603880364009305567219790763133864516906490…
2を除く oeis.org/A082831 19.257356532808072224532776770194454115526053831154870149868362949…
3を除く oeis.org/A082832 20.569877950961230371075217419053111414153869674730783489508528500…
4を除く oeis.org/A082833 21.327465799590036686639401486939512843750951703270021817251189541…
5を除く oeis.org/A082834 21.834600812296918163407235040609182717846567515013918291679359184…
6を除く oeis.org/A082835 22.205598159556091884167380480007527105193856106668463270276938233…
7を除く oeis.org/A082836 22.493475311705945398176226915339775974005915541672512361791460444…
8を除く oeis.org/A082837 22.726365402679370602833644156742557889210702616360219843536376162…
9を除く oeis.org/A082838 22.920676619264150348163657094375931914944762436998481568541998356…
参考
http://shochandas.xsrv.jp/series/harmonicseries.htm

らすかるさん、いつも、ありがとうございます。
以前にも、同様の内容がありましたが、
０の数字を除いた極限値が一番大きくて、
１の数字を除いた極限値が一番小さい。
極限値の比較は、容易に示せたりしますか？
曖昧な質問ですが、知りたいです。
今、数字１のみで表される（１，１１，１１１，…）の逆数和をSとして、数字２のみで表される（２，２２，２２２，…）の極限値は２S。
多分、収束するとしてですが、調査中です。

1+1/11+1/111+…の極限値は
↓こちらにあります。
http://oeis.org/A065444
これが収束することは
1+1/11+1/111+…＜1+1/10+1/100+…=10/9から言えますね。
1/2+1/22+1/222+…の極限値は上記の半分です。

早速、ありがとうございます。
１/9=1/10+1/100＋…
　　　＜1/(10-1)+1/(100-1)+…
＝1/9+1/99+1/999+
=1/9(1+1/11+1/111+…)＝ｓ/9
1<s=
まで

s=1+1/11+1/111+…なのでs＞1は自明ですが、No.334の意図は何でしょうか？
ところで
1,1/11,1/111,…を1/9した1/9,1/99,1/999,…の小数を並べて書くと
0.11111111111111111111…
0.01010101010101010101…
0.00100100100100100100…
0.00010001000100010001…
0.00001000010000100001…
これを縦に足すと
小数第1位は 1の(正の)約数の個数
小数第2位は 2の約数の個数
小数第3位は 3の約数の個数
小数第4位は 4の約数の個数
小数第5位は 5の約数の個数
小数第6位は 6の約数の個数
・・・
のようになり、1,2,3,…の約数の個数は
1,2,2,4,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6,…
ですから、
0.12242424342624452626…
を9倍すれば1+1/11+1/111+…の収束値になりますね。
（ただし約数の個数が10以上のときは上の桁に繰り上げる）

GAI様、こんばんは。

はじめまして。

この構造は、バーゼル問題と同じですね。

有理数の無限和が、無理数になる。

うんざりはちべえさんは、バーゼル問題について誤解していませんか？

有理数の無限和が有理数になる場合もあるのでは？

例えば、　１/（１・２）＋１/（２・３）＋１/（３・４）＋・・・＝１　ですよね．．．。

管理人様、こんばんは。

ああ、そうなんですか？

オイラーがどうやったかは、詳しくなると、
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1583-12.pdf
に書いてありますが、よく理解できてません。

管理人様、

＞有理数の無限和が有理数になる場合もあるのでは？
＞例えば、　１/（１・２）＋１/（２・３）＋１/（３・４）＋・・・＝１　ですよね．．．。

管理人様のおかげで、有理数は四則演算で有理数で閉じていることと無限和が無理数になるという矛盾の手がかりが見えて来ました。

ありがとうございます。

これで、数学に対する不信感が幾分和らいだのです。

調和級数
Σ（ｎ＾ｓの逆数）＜ｓ/(s-1)…　＊
s＞１のとき、収束し、ｓ＝１のとき、発散することがよく知られています。
ところが、素数の逆数和が発散するのには、びっくりです。
流石に、双子素数の逆数和では、収束する。
収束と発散の境目は、難しいですね。