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196,604

累乗和

8個の累乗和
(1,8,26,44,54,72,90,97)と
(2,6,33,34,64,65,92,96)
0~7乗和まで、成立します。
友人が、プログラムして、みつけてくれました。

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12個の累乗和
(0, 11, 24, 65, 90, 129, 173, 212, 237, 278, 291, 302) と
(3, 5, 30, 57, 104, 116, 186, 198, 245, 272, 297, 299)
なら0~11乗和まで成立すると思います。

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0乗和を考える上で、0は問題があると思います。

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いろいろなプログラム言語で0^0(または0**0)を尋ねると
Mathematica では不定
Wolfram Alpha では未定義
Microfoft Excel では#NUM!
Python, Ruby, SageMath, PARI-GP, VBA, GAP, GRAPS 等多くのソフトでは1
を返すようですね。
PARIのソフトで計算確認していたものですから、つい0乗も含めて記述していました。
なおウィキペディアの「0の0乗」での記事に
計算機科学者のドナルド・クヌースは、0^0 は 1 でなければならないと強く主張している
という文章を載せていた。

引用して返信編集・削除(編集済: 2024年01月14日 05:35)

たしかクヌースには、そうすると計算機科学で使われる各種公式が綺麗になるという理由があったと思います。
蓋し、あまり深い理由ではありません。

※たとえば nC0 は 1 と考えたい。
すなわち、公式を素直に拡張すると
nC0=n!/(0!*(n-0)!) =1
としたい。
此れがキマるためには
0!=0^0=1
が要請される………など。

未確認ですが、Excelの表計算とExcelのvbaとで0^0の扱いが違う時期があったと記憶しています。今はどうなのでしょうか。

引用して返信編集・削除(編集済: 2024年01月13日 22:56)

4つの数

4つの数があり、それぞれ2乗して、和を取ると平方数になります。
また、4乗して、和を取ると平方数になります。
但し、(1,1,1,1)の場合を除く。

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(2, 2, 2, 2), (4, 4, 4, 4), (8, 8, 8, 8), ・・・
という自明な解もありますが、互いに素な異なる4数に限定すると
(26, 22, 7, 4), (33, 27, 17, 3), (46, 44, 13, 2), (58, 17, 8, 2),
(74, 52, 22, 19), (75, 45, 35, 27), (87, 82, 36, 6), (118, 92, 31, 26), ・・・

引用して返信編集・削除(編集済: 2024年01月11日 15:26)

らすかるさん、ありがとうございます。
因みに、4つの数は、
3乗して和を取ると、平方数になります。

引用して返信編集・削除(未編集)

(4, 4, 4, 4)は何乗和でも平方数になります。

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10の約数の、約数の個数
1,2,2,4 をそれぞれ何乗しても、平方数になりました。
よく見ると、1+A+A+A^2=(1+A)^2
元々、平方数でした。無数。悪しからず

引用して返信編集・削除(未編集)

合成関数

f(g(x))=4x^2 となるf、gを求む。
但し、(f、g)は、(x^2,2x)、(4x^2、x)、
(x、4x^2)以外でお願いします。

引用して返信編集・削除(未編集)

(F,G)=((1/4)x^4,2√x) など無数に存在するような...?出題の意図がよく分からない。

引用して返信編集・削除(未編集)

(f,g)=(x+a,4x^2-a),(4(x-a)^2,x+a),((2x/a)^2,ax)
など(aは0でない実数定数)。

引用して返信編集・削除(編集済: 2024年01月12日 12:50)

限定しても、解が無数にあるようですね。
恐ろしい。勉強になりました。
f=2x^2ー4x+2、g=√2x+1

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面積計算27

高校数学範囲で、以下より速い解法(特に、式をこねくり回さない初等幾何的解法)はあるんでしょうか?

-----

凸四角形のみ考えればいいことは明らかです。

∠D の大きさを変数 θ とおきます。
凸四角形のみ考えているので、0 < θ < π です。
∠B の大きさを変数 φ とおきます。
こちらは辺の長さの都合で「0 < φ < π よりは狭いある範囲」を動きます。

余弦定理で AC^2 を 2 通りに表すことにより、
3^2 + 5^2 - 2*3*5*cosθ = 10^2 + 12^2 - 2*10*12*cosφ
すなわち
34 - 30cosθ = 244 - 240cosφ
より
cosθ + 7 = 8cosφ …… (A)

「0 < φ < π よりは狭いある範囲」では cosφ は狭義単調減少関数なので、θ を決めれば φ が 1 つに決まる、
つまり φ は θ の関数とみなすことができます。

(A) 式を θ で微分すると、
-sinθ = -8sinφ*(dφ/dθ)
つまり、
dφ/dθ = (1/8)*(sinθ/sinφ)
と導関数が得られます。
また、sinθ > 0, sinφ > 0 であることから φ は θ の単調増加関数であることがわかります。

四角形の面積 S を考えます。
S = (1/2)*3*5*sinθ + (1/2)*10*12*sinφ
= (15/2)sinθ + 60sinφ
なので、
dS/dθ = (15/2)cosθ + 60cosφ*(dφ/dθ)
= (15/2)cosθ + (15/2)cosφ*(sinθ/sinφ)
= (15/2)*sin(θ+φ)/sinφ

sinφ > 0 であることから、
θ+φ ≦ π となる範囲では S は単調増加、
θ+φ ≧ π となる範囲では S は単調減少です。
これと φ が θ の単調増加関数であることを合わせて考えると、
θ+φ = π となるときが S が最大になるときです。

そのとき (A) 式から cosθ = -7/9, cosφ = 56/9
よって sinθ = sinφ = 4√2/9 なので
S = (15/2)*(4√2/9) + 60*(4√2/9) = 30√2

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初等幾何的でもないし速くもないですが、とりあえず三角関数を使わない解法です。
BD^2=xとおくと、
> 3辺の長さの2乗がp,q,rである三角形の面積は
> (1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
というヘロンの公式の亜種により
4△ABD=√{2(1296+153x)-(81+20736+x^2)}=√{(x-81)(225-x)}
4△BCD=√{2(2500+125x)-(625+10000+x^2)}=√{(x-25)(225-x)}
4S=4(△ABD+△BCD)=√{(x-81)(225-x)}+√{(x-25)(225-x)}
{4S}'=(306-2x)/{2√{(x-81)(225-x)}}+(250-2x)/{2√{(x-25)(225-x)}}
={(306-2x)√(x-25)+(250-2x)√(x-81)}/{2√{(x-25)(x-81)(225-x)}}
={(153-x)√(x-25)+(125-x)√(x-81)}/√{(x-25)(x-81)(225-x)}
(153-x)√(x-25)+(125-x)√(x-81)=0とすると
(153-x)√(x-25)=-(125-x)√(x-81)
(x-25)(153-x)^2=(x-81)(x-125)^2
(x-25)(x^2-306x+23409)=(x-81)(x^2-250x+15625)
x^3-331x^2+31059x-585225=x^3-331x^2+35875x-1265625
4816x=680400
∴43x=6075
よって面積の最大値は
S=(1/4){√{(x-81)(225-x)}+√{(x-25)(225-x)}}
=(√(225-x)/4){√(x-81)+√(x-25)}
={√(225*43-43x)/(4*43)}{√(43x-43*81)+√(43x-43*25)}
={√(9675-6075)/(4*43)}{√(6075-3483)+√(6075-1075)}
={√3600/(4*43)}{√2592+√5000}
={60/(4*43)}(√2){√1296+√2500}
={30/(2*43)}(√2)(36+50)
=(30/86)(√2)*86
=30√2

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DD++さんの計算結果からABCDは円に内接することから
A(-6,0),B(6,0)とx軸上にとり、中点を原点としy軸の正の方向にCをとると
C(-16/9,40/9*sqrt(2)), D(-237/43,90/43*sqrt(2))
これより4点を通る円の方程式が
x^2+(y-3/8*sqrt(2))^2=(3/4*sqrt(129/2))^2
となりました。

引用して返信編集・削除(編集済: 2024年01月11日 07:01)

ブレートシュナイダーの公式で示される四辺形の面積をぐっと睨むと、面積が最大になるのは、公式中の cos() に引き渡される変数の値が π/2 になるときとわかります。
この場合に四辺形は円に内接します。
この四辺形の面積はブラーマグプタの公式で求められます。

ということに?

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ブレートシュナイダーの公式そのものは高校範囲ではなく、
じゃあ高校範囲の知識でブレートシュナイダーの公式の証明を書くかというと、多分私の解法より長くなりそうな気がします。

あと、ブラーマグプタは何のために持ち出されているんでしょう?
持ち出すことに何の意味もないような?

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++さん。
まさしくおっしゃる通りですね。
高校数学のシバリを失念しておりました。

なお、ブラーマグプタについては
GAIさんが「ABCDは円に内接する」と書いておいででしてそのことが私の頭に反響しておりました。ならばブラーマグプタで面積が出ると。
ならばブラーマグプタでは処理できないときのブレートシュナイダーの公式から、【最大】が得られてもよいだろうとの
逆算の発想です。舞台裏はこんなところなのでした。

引用して返信編集・削除(未編集)

新年のご挨拶、本年もよろしく

新年早々能登地震には驚きました。
ニュースの合間にご一考を

[1]
4つの非負整数a,b,c,dで
和が21を構成できるのは何通り?
(a,b,c,d)=
(21,0,0,0)
(20,1,0,0)
(20,0,1,0)
・・・・・・
(0,0,0,21)


[2]
3×3のマトリックスMで22を始めとする
M=[binomial(22,1) binomial(22,2) binomial(22,3)]

  [binomial(23,1) binomial(23,2) binomial(23,3)]

 [binomial(24,1) binomial(24,2) binomial(24,3)]

を成分に持つ行列式の値は?


[3]
自然数p,qで和を23とする
p+q=23
の関係をもつ(p,q)の取り合わせのすべてについて
p*qの値の和は?
1*22+2*21+3*20+・・・・・+22*1

引用して返信編集・削除(未編集)

www.youtube.com/watch?v=Rgk0q6ecOeU&t=1000
↑こちらからの知識があったので[1]と[3]は計算不要でした。

引用して返信編集・削除(未編集)

GAIさん、本年もよろしくお願いします。
早速、解答は・・・。
[1]異なる4個のものから重複を許して21個とる組合せの数に等しいので、4H21=24C21=24C3=2024(通り)
[2]行列式を計算して、2024 となりました。
[3]Σ(k=1~22)k(23-k)=23*22*23/2-22*23*45/6=5819-3795=2024

引用して返信編集・削除(編集済: 2024年01月02日 12:38)

あけましておめでとうございます。

昨夕から昨夜にかけて
津波から逃げておりました。
予報では3メートル予想でしたので、自動車で1時間ほど内陸へ。
ラジオ聞いて、津波第2波の高さがそれほどでもなく、旧ツイッター情報でも被害もなさそうなのでようやく自宅にもどってご飯食べて酒喰らって寝つきました。

2024 といえば、聞いたところでは以下が面白いのだそうです。珍しい数字ということで、しかも小学生にもわかるネタです。

https://t.co/wwW6gNE4SH

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あけましておめでとうございます。
本年もよろしくお願い致します。

勝手に追加で
[4]
Σ[k=1…21] 18/{k(k+1)(k+2)(k+3)} の値は?

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年明け早々に地震が来たり、日航機が海上保安庁の機体と接触して炎上するなど、波乱万丈の1年になりそうですね。皆さん、ご無事で何よりです。

引用して返信編集・削除(未編集)

あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします。


[4]
Σ[k=1…21] 18/{k(k+1)(k+2)(k+3)}
= Σ[k=1…21] { 6/{k(k+1)(k+2)} - 6/{(k+1)(k+2)(k+3)} }
= 6/(1*2*3) - 6/(22*23*24)
= 1 - 1/2024
= 2023/2024

引用して返信編集・削除(未編集)

地球注連縄

よく地球の赤道上をひもで巻き付け、その長さに1(m)の長さのひもを継ぎ足して
再び赤道に巻き付けたとすると、どれだけの隙間を一周全体で空けることが出来るか?
の問いに対して
赤道半径をRとして
2*π*R+1=2*π*(R+x)から
x=1/(2*π)=0.159154・・・
で約16(cm)
と驚かされた。(Rの値には依存しない!)

そこで同じ設定で巻き付けたひもを一方に可能な限り引っ張りよせ、巻き付けた部分以外はピンと
ひもを張って、なるだけ空高い部分でひもを結ぶ様子を想像して欲しい。
さてこの様にして1(m)伸ばしたひもを赤道上でこの様に再び貼り付けて行ったとすると、
ひもはどれだけ地上より高い位置に上げることが可能か?
但し地球は完全楕円体とし赤道半径は6378137(m)とする。(Wikipediaより)

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年12月27日 20:06)

巻きつきが地面から離れる 2 点をそれぞれ地球中心と結んだとき、その間にできる角度を 2θ とおきます。

条件より
2Rtanθ + R(2π-2θ) = 2πR + 1
つまり
2tanθ - 2θ = 1/R

θ が微小だと思えば tanθ は
tanθ ≒ θ + (1/3)θ^3
と近似できるので、
(2/3)θ^3 = 1/R

よって、求める高さは
R(1/cosθ-1) ≒ (1/2)Rθ^2 = (3/4)*(2R/3)^(1/3)

実際の値とは異なりますが、計算しやすい R≒6144000 だと 120 m なので、それよりもうちょっと高いくらいですかね。
感覚的に 1km くらい行くかと思ってたのに意外と低い……。
計算ミスってないですよね?

引用して返信編集・削除(未編集)

2tanθ - 2θ = 1/R
辺りをコンピュータ等の利用で、θを探すと
θ=0,00617253・・・(rad)
辺りでこれから
最大121.56060・・・(m)
程度になりました。

私の印象ではこんなにも高くなるんかい!
の方での驚きでした。
DD++さんは逆なんですね。
直線と曲線はやっぱり違う性質を持っているんだな~(当たり前と言えば当たり前か?)
なおこの角度でR*θ=39369(m)なので
最高になる地点から約40km東西でひもは地面から離れ始めることになる構造です。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年12月29日 18:02)

全体を浮かせる場合は球が大きいと不利そう(実際はそうでもない)なのに対し、
一箇所だけ引っ張って浮かせるなら球は大きければ大きいだけ有利なのが明らかですからねえ。

引用して返信編集・削除(未編集)

あけまして?おめでとうございます。

245813719612412378787994384765625

ふたつの平方数の和として、新年の西暦にちなんで
2024通りの表し方がある数(らしい)です。

計算機でブルートフォース的に確認するのですかね?

引用して返信編集・削除(未編集)

ヤコビの二平方和定理から考えれば、素因数分解の形でいいなら手計算でもいけますよ。
2024/4 = 506 = 2*11*23 なので、
4で割ると1余る素数に小さい順に 23-1, 11-1, 2-1 を指数として与えればいいだけです。
つまり N = 5^22 * 13^10 * 17 ですかね。

……これ自体を年明けに出題すればよかったのでは?

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++さん、御教示をまことに有難うございます。

OEISでみかけたのに、検索にかからなくて往生しておりました。

年賀挨拶のフライングは、ええと、もうクリスマスが過ぎたのでいいかなあと?【違】

引用して返信編集・削除(未編集)

URL がみつかりました。
https://oeis.org/A016032/b016032.txt

引用して返信編集・削除(未編集)

Γ(z)とγとζ(z)の三つ巴

Dengan kesaktian Indukmuさんから紹介されるサイトの関連リンク
http://www.math.aoyama.ac.jp/~kyo/sotsuken/2019/sotsuron_2019_Shoda.pdf
を読んでいたら
ガンマ関数Γ(z),オイラーのガンマ数γ,ゼータ関数ζ(z)の関係式として
Γ(1)=1
Γ'(1)=-γ
Γ''(1)=π^2/6+γ^2=ζ(2)+γ^2
の延長として
Γ'''(1)=-(2*ζ(3)+3*γ*ζ(2)+γ^3)
が紹介されていたので更に続きを探っていくと
Γ''''(1)=6*ζ(4)+8*γ*ζ(3)+3*ζ(2)^2+6*γ^2*ζ(2)+γ^4
(リンク先のこの部分は計算ミスが起きていると思われます。)
更に
Γ'''''(1)=-(24*ζ(5)+20*γ*ζ(4)+20*γ^2*ζ(3)+20*ζ(2)*ζ(3)+15*γ^2*ζ(2)^2+10*γ^3*ζ(2)+γ^5)
等々の関係式が生まれてくるようです。

ここまでは一応計算機により同じ値を与えていくことを確認しました。(最後の部分の確認が下記)
gp > gamma'''''(1)
%80 = -117.83940826837742425256416965496496106
一方
gp > -(24*zeta(5)+30*Euler*zeta(4)+20*Euler^2*zeta(3)+20*Euler^2*zeta(3)\
+20*zeta(2)*zeta(3)+15*Euler*zeta(2)^2+10*Euler^3*zeta(2)+Euler^5)
%81 = -117.83940826837742425256416965496496106

残念ながらζ(3),ζ(5)にはπが含まれていないのでΓ''(1)が最も結びつける接着力が強いようです。
また
γ=1/2*(ζ(2)-1)+2/3*(ζ(3)-1)+3/4*(ζ(4)-1)+4/5*(ζ(5)-1)+・・・・・
なる式にも引き付けられます。
(参考)
gp > sumpos(n=2,(n-1)/n*(zeta(n)-1))
%83 = 0.57721566490153286060651209008240243103
gp > Euler
%84 = 0.57721566490153286060651209008240243104

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年12月24日 17:15)

不連続関数の積分

次の定積分の値は何?
(1)∫[0→3]floor(x^2)dx

(2)∫[0→3]ceil(x^2+floor(x))dx

(3)∫[1/π→1/2]log(floor(1/x))dx

(4)∫[e^√π→(√π)^e^2]ceil(x)dx

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年12月12日 06:47)

回答ではありません。申し訳ありません。
最近、こんなのを見かけまして目を丸くしていた次第です。

∫[0→1](1/x -floor(1/x))dx = 1 -γ

x=0 の付近で激しく振動する関数の定積分なのでどうやって求めるのかと思案投げ首です。

なお、wolfalpha では答えてくれませんでした。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年12月12日 16:49)

∫[0→1](1/x-floor(1/x))dx
=∫[1/2→1](1/x-1)dx+∫[1/3→1/2](1/x-2)dx+∫[1/4→1/3](1/x-3)dx+…
=lim[n→∞]{∫[1/n→1](1/x)dx-Σ[k=2~n](1/n)}
=lim[n→∞]{logn-Σ[k=2~n](1/n)}
=-lim[n→∞]{Σ[k=2~n](1/n)-logn}
=1-lim[n→∞]{Σ[k=1~n](1/n)-logn}
=1-γ
となりますね。

引用して返信編集・削除(未編集)

∫[x=1→∞](1/floor(x)-1/x)dx=γ
となるようですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

Euler's constant (or the Euler-Mascheroni constant), gamma.
と言われるγについて、Wikipediaでの記事を読んでみたら
γと円周率πとの関係が分かっていないという記述を見かけた。
例えばπと自然対数の底eとはこれをつなぐ関係式はしばしば見ることはあるが、
そういえばγとπはあまり見たことはなかった。

そこでなんかないのかと探し回ったら
Γ関数で
Γ(1/2)=√π
Γ'(1)=-γ
とガンマ関数で表現でき

またたまたま
γ^2+π^2/6=Γ''(1)=∫[x=0→∞]e^(-x)*(log(x))^2dx
が成立することを発見した。(A081855参照)

これは2つを結びつける大きな関係ではなかろうか?
何方か他に何か2つを結ぶ関係式をご存知の方はお教え下さい。

引用して返信編集・削除(未編集)

本日みかけたのですが
∫[x=0→∞] ((sin(x)*log(x))/x)dx = -γ*π/2
なのだそうです。

【御参考】
https://mathlog.info/articles/FB8gF9bmpb3LJ5CDZBzo

引用して返信編集・削除(未編集)

計算機で確認したらピタリ同じ数値を確認しました。
sinとlogの組合せ!
数学って不思議で面白い。

引用して返信編集・削除(未編集)

凸多角形の考察

任意の三角形は、その頂点が、同一円周上に、収めることができる。
鋭角な角を持つ平行四辺形は、同一円周上に、収めることができない。
任意の凸五角形は、その頂点が、同一の円周上に、収めることができる。
(そのままでは無理平行四辺形を含むため、条件を緩めて、角A,B,C,D,
Eと同じ並びの五角形、合同ではない)は可能でしょうか?
「WATTA ADVENTURE」のように、不可能が、可能に?

引用して返信編集・削除(未編集)

凸五角形ABCDEに対して、∠A=a、∠B=b,∠C=c,∠D=d,∠E=e
置きます。
a=θ1+Θ2+Θ3 +0 + 0
b=0+Θ2+Θ3+Θ4+0
c=0+0+Θ3+Θ4+Θ5 =A(Θ1,Θ2,Θ3,Θ4,Θ5)
d=Θ1+0+0+Θ4+Θ5   列ベクトル
e=Θ1+Θ2+0+0+Θ5
巡回行列Aは、正則で、逆行列を持ち、
与えられた(a,b,c,d,e)に対して、(Θ1,Θ2,Θ3,Θ4,Θ5)
が決まります。作図ができるか心配ですが、(角度が切り取りできれば、)
円周上に、一点A(仮)を適当にとり、左から、Θ1=∠BAC,Θ2=∠CAD,
Θ3=∠DAEとして、点B,C,D,Eを定める。Θ4=∠ECA,Θ5=∠ADBになるように、改めて点AをBEの間に定めれば、できるかもしれませんが、自信がありません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年12月14日 16:31)

正方形BCDEと正三角形ABCとを作図します。
このときに凸五角形ABCDEの各頂点を同一円周上には配置できないと思われますけれども、私の題意読み違えなのでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

反例、ありがとうございます。
この場合、Θ2が、マイナスになりました。
正数値でも、分母が3の場合、作図が難しそうですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

対角の和が、180°ならば、円に内接することが可能。
任意の五芒星(ペンタグラフ)は、円に内接させることができる。
(長さは同じでなくとも、角の並びが、同じという意味で)
任意の六芒星も、可能。

引用して返信編集・削除(未編集)
合計1842件 (投稿303, 返信1539)

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