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28,621

平方数と相性

6×6に0から35までを一つずつ入れたいところを
30を入れずその代わり36を入れています。

[ 2 1 36 5 0 35]

[ 6 33 20 29 4 13]

[25 7 14 24 31 12]

[21 32 11 15 22 16]

[34 18 23 10 19 9]

[17 8 3 28 27 26]


または1から36を一つずつ入れたいところを
34を使わず代わりに40を入れている。

[20 21 9 36 19 14]

[ 5 26 6 33 18 25]

[22 24 35 15 12 11]

[32 3 30 7 27 8]

[ 1 17 23 10 16 40]

[29 28 2 4 31 13]

しかしこうすることで、各数字を平方してみると
どちらも6次の魔方陣を構成してくれる。
(2つの対角線の和も含む)


ところでこれを更に広げて
7×7のものを考えて中に
0から48の数字を一つずつ入れる。(例外を含まない。)

[25 45 15 14 44 5 20]

[16 10 22 6 46 26 42]

[48 9 18 41 27 13 12]

[34 37 31 33 0 29 4]

[19 7 35 30 1 36 40]

[21 32 2 39 23 43 8]

[17 28 47 3 11 24 38]

(*各行での和はどれも168で一定です。)


こうしてこれらの数字の平方を作ってみると

[ 625 2025 225 196 1936 25 400]

[ 256 100 484 36 2116 676 1764]

[2304 81 324 1681 729 169 144]

[1156 1369 961 1089 0 841 16]

[ 361 49 1225 900 1 1296 1600]

[ 441 1024 4 1521 529 1849 64]

[ 289 784 2209 9 121 576 1444]

となり、見事に7次の魔方陣が出来上がることに驚愕します。

平方数と7×7の相性は抜群です。

なお入れる数字を1~64にすれば、次の8×8に配置した
[16 41 36 5 27 62 55 18]

[26 63 54 19 13 44 33 8]

[ 1 40 45 12 22 51 58 31]

[23 50 59 30 4 37 48 9]

[38 3 10 47 49 24 29 60]

[52 21 32 57 39 2 11 46]

[43 14 7 34 64 25 20 53]

[61 28 17 56 42 15 6 35]

ではこれ自身8次の魔方陣(定和260)であり
さらにこれの位置でそれぞれを平方した数でも
やはり8次の魔方陣(定和11180)が構成されるというから、腰が抜けそう!

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月16日 07:16)

情報を求む

A^3+B^3=C^3
には自然数解が存在しないことが証明されましたが

A^4+B^4+C^4=D^4 には
95800^4+217519^4+414560^4=422481^4
2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4
など立派に自然数解がある。

同じく
A^5+B^5+C^5+D^5=E^5 では
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
55^5+3183^5+28969^5+85282^5=85359^5
とやはり解は存在する。

そこで
A^6+B^6+C^6+D^6+E^6=F^6
には果たして自然数解は存在するのかしないのか?
これは調査中なのかそれとも存在できないことが証明されているのか?
色々調べてみましたが、この等式での実例は探せませんでした。
なお7個の6乗数の和で
74^6+234^6+402^6+474^6+702^6+894^6+1077^6=1141^6
は見つけられている様です。
これについての情報をお知りの方は知らせて下さい。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月09日 20:01)

もし「存在できないことが証明されている」としたら
↓こちらの第5項に「0」が入れられるはずなので、
https://oeis.org/A264764
少なくとも非存在の証明はされていないと思います。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月09日 12:01)

7項の6乗数の総和が6乗数となる式は
GAIさんから御提示頂いた式の他にも、たとえば
1645^6 = 1560^6 + 1299^6 + 864^6 + 702^6 + 618^6 + 430^6 + 150^6
など、幾つかが見つけられているようですね。

こうした式をデータベース化しているサイトがありまして、上記はそこから引きました。
一方
・6項の6乗数の総和が6乗数となる式
・5項の6乗数の総和が6乗数となる式
は、このデータベースには登録されていないようです。

■御参考データベース
Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
http://euler.free.fr/database.txt

引用して返信編集・削除(未編集)

このサイトでの情報は物凄いですね。
色々な人が世界各地で膨大な時間を費やして、ふとした疑問に真剣に取り組んでいる有様は佐渡金山や石見銀山に見るような地下に張り巡らされている
鉱脈を掘って突き進む鉱山師の姿を彷彿と思い起こされます。
現代においては個人で掘り進むというより、どれだけ他人が掘った特色や系統を総合的に観察、分類していけるかが重要なんじゃないかと感じてしまう。こんな情報を集めれるリテラシーを鍛えねばと思います。

なおこのデータをソートして観察していたら
taxi cab 的造りで(6,3,3)のパターンが1934年Subba Rao氏が見つけたという
3^6+19^6+22^6=10^6+15^6+23^6
だけしか登録されていなかったので、少し範囲を広げて検索してみたら
36^6+37^6+67^6=15^6+52^6+65^6
33^6+47^6+74^6=23^6+54^6+73^6
32^6+43^6+81^6=3^6+55^6+80^6
37^6+50^6+81^6=11^6+65^6+78^6
などが比較的簡単に探すことができました。

そういえば
Degan さんのペンネームは「モスラの歌」からきているのですか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月10日 08:55)

六個の場合、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=x^6-y^6=g^6
となるgは存在しない。

また、五個の場合、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6-y^6=f^6
となるfは存在しない。

というのは、どうでしょう?

引用して返信編集・削除(未編集)

7個でも、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=x^6-y^6=h^6
となるhは存在しない。

となってしまうな。

だめでした。

引用して返信編集・削除(未編集)

a^3+b^3+y^3=x^3
a^3+b^3=x^3-y^3
a^3+b^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に、
a^3+b^3=C^3
となるcは存在しない。

という具合に、フェルマーの最終定理もできてしまうなあ?

引用して返信編集・削除(未編集)

そうか、x^6-y^6となる必要はないんだ。x^3-y^3もおなじ。

7個の場合、合計数の素因数分解がu^6 v^6 z^6・・・であれば良く、 6個でも、5個でも、おなじ。

フェルマーの最終定理もおなじで、a^3+b^3+y^3=x^3でなくて、a^3+b~3=c^3であればいいんだな。

うっかりでした。

引用して返信編集・削除(未編集)

GAIさん、御明察です。ペンネームは「モスラの歌」からです。
この曲のカバーはいくつも出ていますが、やはり御初代様によるものが一番の好みです。

さて。話題を戻しますけれども。

GAI さんが探しておられた (6,1,5)の他、 (6,2,4)も、《探索すべし》というニーズがあった模様でして、
そこで一挙両得の探索として(6,2,5)を組織的に試みるプロジェクトがあったようです。
(変数のひとつが 0 であればという)

そして(6, 2, 5)は多量にみつかりましたが、(6,1,5)も (6,2,4)も見つからなかったようです。
今回は以下を見て投稿しております。

arXiv:1108.0462v1[math.NT]2Aug2011

All solutions of the Diophantine equation
a^6 + b^6 = c^6 + d^6 + e^6 + f^6 + g^6 for a, b, c, d, e, f, g < 250000
found with a distributed Boinc project
Robert Gerbicz
Jean-Charles Meyrignac
Uwe Beckert
August, 2011

※未来から見たら小さいレンジでの探索なのでしょうけれども…
(6,1,5)や (6,2,4)がひとつやふたつ見つかったしても〔仮定法過去〕私には不思議とは思えません。

以上です。

引用して返信編集・削除(未編集)

無限

コンピューターは、無限を理解できるでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

図形の難問

単位円内(円周を含む)に曲線をいくつか描き、長さ1の線分を
単位円内(同)のどこにどんな向きで置いても、描かれている曲線との
共有点を持つようにする。
このとき、曲線の長さの和の最小値は?

# 解の候補はありますが、それが正解かどうかはわかっていません。
# もちろん「曲線」には「線分」も含みます。

引用して返信編集・削除(未編集)

最小値っぽい数値は確かにすぐに出ますが、本当に最小値かと言われると証明は難しいですね。
まずその値を取る曲線の書き方が無数に存在しますし……。

引用して返信編集・削除(未編集)

もしもその「最小値っぽい数値」が6でしたら、それは最小値ではありません。
6ならば無数に存在しますけどね。

引用して返信編集・削除(未編集)

なんと。
ハニカム構造が最強だろうと思ったらもっと効率いい引き方があるんですか。
それは意外。

引用して返信編集・削除(未編集)

私もしばらく6の壁を越えられなかったのですが、2~3日考えてようやく思いつくことができました。
ちなみにその値は約5.885です。
案を思いついても、正確な長さの計算はかなり面倒でした。約5.885という値は三重根号を含んでいます。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月02日 03:37)

2√3+6√2-6 ≒ 5.949
という解はできたのですが、ここもらすかるさんが通った道でしょうか。
だとすれば、もうちょっと短くなる可能性があって、かつ三乗根がでてきてもおかしくない図形のアイデアが浮かぶのですが、ちょっとこれを計算する気力を絞り出すのは大変……。

引用して返信編集・削除(未編集)

私はその解は通過していないですね。
なので、どんな図形なのかわからないので知りたいです。
私は6からいきなり5.885に行きました。
とはいっても、6より小さくする案を思いついてから最小にするためにはどうこう・・・と
よく考えて図形を決めてから計算しましたが。
「計算する気力を絞り出すのは大変」の案が5.885かも知れませんね。

引用して返信編集・削除(未編集)

O(0,0), A((√3-√2+1)/2,0), B(√3/2,(√6-√3)/2), C(√3/2,-(√6-√3)/2)
として、OA, AB, AC をそれぞれ線分で結びます。
そうしてできた Y 字型を、O を中心に 90 度ずつ回して複製した図形です。

外側の隙間で長さ 1 が確保できないように 45 度ずつ 8 点取る発想で作りましたが、7 点だと cos(2π/7) とか登場して 3 乗根になるよなー、と。

引用して返信編集・削除(未編集)

なるほど、面白い方法ですね。私の案とは方針が違いました。
ではそろそろ私が思いついた案を書きます。
O(0,0),A(1,0)として円周上を6等分するようにB,C,D,E,Fをとります。
B(1/2,√3/2),C(-1/2,√3/2),D(-1,0),E(-1/2,-√3/2),F(1/2,-√3/2)です。
Eを中心とする半径1の劣弧FOに接し直線OFと平行な直線と、
Cを中心とする半径1の劣弧OBの交点をIとします。
また劣弧FOと直線の接点をGとします。FG=GOとなります。
座標は
G((√3-1)/2,-(√3-1)/2),
I((√(4√3-3)+2√3-5)/4,(2+√3-√(12√3-9))/4)
となります。
y軸に関してIと対称な点をJ、Gと対称な点をHとします。
H(-(√3-1)/2,-(√3-1)/2),
J(-(√(4√3-3)+2√3-5)/4,(2+√3-√(12√3-9))/4)
です。
そして
OI,IA,IB,OJ,JC,JD,OH,HE,OG,GFの各線分を描きます。
すると長さの合計は
√(30-16√3+2√(120√3-207))+√(22-4√3-6√(4√3-3))+2(√6-√2)≒5.885
となります。

半直線IG(劣弧FOの接線)と単位円の交点をKとすると、
四角形OFKIは平行四辺形なのでIK=1となります。
この線分IKを、Gを通りながらI側の端を線分IOに沿ってO方向に、
K側の端を弧FAにそってA方向に移動すると、I側の端がOに到達した時に
長さが1となりますが、その移動途中では1よりわずかに短くなります。

引用して返信編集・削除(未編集)

三重根号を三乗根と読み間違えていた……。

なるほど、上側で六方向への放射線を一部共有すれば、下方向に皺寄せが来てもお釣りが出る、ということですね。
私の案での中心部分の 90 度クロスに同じアイデア使ったらもっと短くなるかな?

引用して返信編集・削除(未編集)

2つの4で11

「4つの4」のルールに準じて、「2つの4」で11を作ることを試みると痺れると思います。むろん、解はあります。

引用して返信編集・削除(未編集)

多分もっとよい解があると思いますが、とりあえず
11=(4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!)
(分子は13重階乗)

(追記)ガウス記号を使うとたくさん
11=[4!!*log4]
11=4-[tan(4!!)]
11=[4+exp(√4)]
11=[-exp(√4)/cos(4)]
11=[(4!)^(-sin(4))]

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年08月29日 14:36)

(4!)!!!!!!!!!!!!!=24*11なので、(4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!)=11ですか!これは確かに痺れますね...。

引用して返信編集・削除(未編集)

2つの4で11を作るというネタのもとは、「4つの4」の記事に含まれる下記の式から導いたものです。
123=Γ(Γ(4))+Γ(√4)+Γ(√4)+Γ(√4)
この式をみて下記を導いた次第です。

11 = √(1+5!)= √(Γ(√(4))+Γ(Γ(4)))

※13重階乗を用いたらすかるさんによる解にはビックリしました…… 以上です。

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかるさんが「2つの4」で11を作ったテクニックを利用すると、「2つの3」で、任意の有理数が
作れるような気がいたします。 一例をあげます。 22/7 を「2つの3」で作ってみました。

(((3!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/(((3!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
=(48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/(48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
=(48*22)/(48*7)
=22/7

らすかるさんによる手法はとても強力であると思います。

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかるさんへのお詫び

すみません。
タイプの打ち間違えをやっており、上記の問題で再投稿し直しています。

タイプの都合上
sqrtn(x,2)=√x
sqrtn(x,3)=∛x
sqrtn(x,4)=∜x
・・・・・
なる記号で表すとするとき
f(x):=x*(sqrtn(x,2)*(sqrtn(x,3)*(sqrtn(x,4)*(sqrtn(x,5)*(sqrtn(x,6)*(・・・・・・・・))))))
で定義するf(x)の不定積分

∫f(x)dx は?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年08月21日 16:20)

> f(x):=x*(sqrtn(x,2)*(sqrtn(x,3)*(sqrtn(x,4)*(sqrtn(x,5)*(sqrtn(x,6)*(・・・・・・・・))))))

これは入れ子になっているわけではないので
f(x)=x*sqrtn(x,2)*sqrtn(x,3)*…
=x^(1+1/2+1/3+…)
=0 (0≦x<1), 1 (x=1), +∞ (x>1)
と同じでは?
(勘違いがあったらごめんなさい)

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年08月21日 09:14)

2行目の意味がよくわからないのですが、どこかに「再投稿」されたのですか?
その下の式は変更されていませんよね?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年08月23日 00:34)

最初投稿した形が
x*sqrtn(x,2)*sqrtn(x,3)*sqrtn(x,4)*sqrtn(x,5)*sqrtn(x,6)*・・・
だったので、これは入れ子になっていないと思い返し直ぐに訂正して
x*(sqrtn(x,2)*(sqrtn(x,3)*(sqrtn(x,4)*(sqrtn(x,5)*(sqrtn(x,6)*・・・・・・))))))
の様にタイプし直しておりました。
これは入れ子になっていないですかね?
入れ子をどうタイプで表現したらいいのかわからないまま、ついこの表現となっていました。

引用して返信編集・削除(未編集)

一見すると入れ子っぽいですが、「*」の計算順序は変えられますので実際は入れ子とは言えないですね。
sqrtn(sqrtn(x,4),3)
のようになっていれば入れ子ですが。

引用して返信編集・削除(未編集)

選ばれなかったグループがわかる3つのグループの分け方

思いついた問題です。

1〜nまでを、3つのグループに分ける。(各グループには少なくとも1つの数が入る)
いずれかの2グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数から、選ばれなかったグループを確定したい。
mod 3以外の分け方はあるでしょうか?

思いついたのは...
(2進法で1が偶数桁だけ),(2進法で1が奇数桁だけの奇数),(それ以外の数)

ですが...合ってますかしらん?
また、それ以外での分け方ってありますでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

t=(1+sqrt(5))/2
f(n)=floor(n*t^2)
g(n)=floor(t*floor(n*t)
h(n)=floor(t*floor(n*t^2))
で
n=1~50でf(n),g(n),h(n)を計算させると
gp > for(n=1,50,print(n";"f(n) " VS "g(n) " VS " h(n)))
1;2 VS 1 VS 3
2;5 VS 4 VS 8
3;7 VS 6 VS 11
4;10 VS 9 VS 16
5;13 VS 12 VS 21
6;15 VS 14 VS 24
7;18 VS 17 VS 29
8;20 VS 19 VS 32
9;23 VS 22 VS 37
10;26 VS 25 VS 42
11;28 VS 27 VS 45
12;31 VS 30 VS 50
13;34 VS 33 VS 55
14;36 VS 35 VS 58
15;39 VS 38 VS 63
16;41 VS 40 VS 66
17;44 VS 43 VS 71
18;47 VS 46 VS 76
19;49 VS 48 VS 79
20;52 VS 51 VS 84
21;54 VS 53 VS 87
22;57 VS 56 VS 92
23;60 VS 59 VS 97
24;62 VS 61 VS 100
25;65 VS 64 VS 105
26;68 VS 67 VS 110
27;70 VS 69 VS 113
28;73 VS 72 VS 118
29;75 VS 74 VS 121
30;78 VS 77 VS 126
31;81 VS 80 VS 131
32;83 VS 82 VS 134
33;86 VS 85 VS 139
34;89 VS 88 VS 144
35;91 VS 90 VS 147
36;94 VS 93 VS 152
37;96 VS 95 VS 155
38;99 VS 98 VS 160
39;102 VS 101 VS 165
40;104 VS 103 VS 168
41;107 VS 106 VS 173
42;109 VS 108 VS 176
43;112 VS 111 VS 181
44;115 VS 114 VS 186
45;117 VS 116 VS 189
46;120 VS 119 VS 194
47;123 VS 122 VS 199
48;125 VS 124 VS 202
49;128 VS 127 VS 207
50;130 VS 129 VS 210
の値が
それぞれが決まるので
全ての自然数は
この3グループに完全に振り分けられていきます。

引用して返信編集・削除(未編集)

GAI様へ ^^

早速にありがとうございます。
問題文
>いずれかの2グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数から
を
「いずれかの2グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数の和から」

のつもりでした... ^^;

その場合ではどうなのでしょう?

引用して返信編集・削除(未編集)

> 思いついたのは...
> (2進法で1が偶数桁だけ),(2進法で1が奇数桁だけの奇数),(それ以外の数)
>
> ですが...合ってますかしらん?

これは例えば
2進法で1が偶数桁だけ: 10100010(2)
2進法で1が奇数桁だけの奇数: 1000001(2)
それ以外の数: 2進法で1が奇数桁だけの偶数と偶数桁奇数桁の両方に1がある数
という意味でしょうか?
もしそうだとしたら
1001(2)=9(10)という和があったときに
第1グループと第2グループの和: 1000(2)+1(2)=1001(2)
第1グループと第3グループの和: 10(2)+111(2)=1001(2)
のどちらなのか区別がつかないと思います。
解釈が違っていたらごめんなさい。

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかる様へ

考えてくださってありがとうございます Orz
偶数桁だけが1の数:10, 1010,101010,...
奇数桁だけが1の数:1,101,10101,1010101,...
のつもりでした ^^;...

ちなみに、
ある方から、{1,n,その他の数}
の3グループに分けても可能と教えていただきました...

引用して返信編集・削除(未編集)

なるほど。
そうだとしても
1111(2)=15(10)という和があったときに
第1グループと第2グループの和: 1010(2)+101(2)=1111(2)
第2グループと第3グループの和: 1(2)+1110(2)=1111(2)
のどちらなのか区別がつかないと思います。

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかる様へ

そっか...!!
浅はかでした ^^;
ありがとうございました Orz〜☆

引用して返信編集・削除(未編集)

1,2,3をどのグループに入れるかを場合分けして細かく調べることにより、
条件を満たす分け方は
「mod3で分ける」
「1とnとその他に分ける」
の2通りしかないことが証明できました。
証明は長くなりますのでとりあえず省略します。

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかる様へ
面白いですね ^^

どのように証明できるのか分かりませんが ^^;

一般に、mod (m: 3以上の奇数) でグループ分け(mグループ)すれば、すべてのグループからの和は mod mで0になるので、
mグループに分けて、m-1グループから取り出した和≡r (mod m) なら、取り出さなかったグループはm-rのグループとわかり、
mod(m: 4以上の偶数)でグループ分けすれば、全てのグループからの和は mod mで m/2 のなるので、取り出さなかったグループはm/2-rのグループとわかるので、一般化できますね。

また、1,n,その他も...
k,n,その他でも、全部の和がn(n+1)/2 なので、2グループの和を引いたものがk or n以外なら、その他とわかるので可能ですね。
同様に、mグループの時も...
例えば...
1,2,...,(m-2),n,その他
に分けていれば、全体の和が一定なので同じことが言えるので、一般化できますね。

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自然数の分割数を勉強してみて

自然数nの分割数として
n=6なら
[6]
[1, 5]
[2, 4]
[3, 3]
[1, 1, 4]
[1, 2, 3]
[2, 2, 2]
[1, 1, 1, 3]
[1, 1, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1]
以上11通り
n=8なら
[8]
[1, 7]
[2, 6]
[3, 5]
[4, 4]
[1, 1, 6]
[1, 2, 5]
[1, 3, 4]
[2, 2, 4]
[2, 3, 3]
[1, 1, 1, 5]
[1, 1, 2, 4]
[1, 1, 3, 3]
[1, 2, 2, 3]
[2, 2, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 4]
[1, 1, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 3]
[1, 1, 1, 1, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
以上22通りとnに対してその分割数が決まるので、それをP(n)で表すことにする。
n=1,2,3,・・・,20では
P(n);1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231,297,385,490,627
と言うことになる。

さてこの一見不規則な数の並びに例のラマヌジャンがn=0,1,2,3,・・・のすべてに対し
P(5*n+4)==0 (mod 5)
P(7*n+5)==0 (mod 7)
P(11*n+6)==0 (mod 11)
を発見する。
P(13*n+7)==0 (mod 13)
と調子に乗りたいが、これは全く成立しない。
1960年代でAtokinがやっと
P(11^3*13*n+237)==0 (mod 13)
を発見する。
その後
P(59^4*13*n+111247)==0 (mod 13)
も見つかる。

次の素数17では
P(23^3*17*n+2623)==0 (mod 17)
P(41^4*17*n+1122838)==0 (mod 17)

素数19では
P(101^4*19*n+815655)==0 (mod 19)
他に

P(999959^4*29*n+289956221336976431135321047)==0 (mod 29)

P(107^4*31*n+30064597)==0 (mod 31)

が成立しているという。

また素数5,7,11だけを組み合わせたような数には
If δ = 5^a*7^b*11^c and 24*λ ≡ 1 (mod δ),
then P(δ*n + λ) ≡ 0 (mod δ)
とラマヌジャンは予想する。

これを元に調べてみると1000以下にある条件数では
25=>P(25*n + 24)==0 (mod 25)
35=>P(35*n + 19)==0 (mod 35)
49=>P(49*n + 47)==0 (mod 49)
55=>P(55*n + 39)==0 (mod 55)
77=>P(77*n + 61)==0 (mod 77)
121=>P(121*n + 116)==0 (mod 121)
125=>P(125*n + 99)==0 (mod 125)
175=>P(175*n + 124)==0 (mod 175)
245=>P(245*n + 194)==0 (mod 245)
275=>P(275*n + 149)==0 (mod 275)
343=>P(343*n + 243)==0 (mod 343)
385=>P(385*n + 369)==0 (mod 385)
539=>P(539*n + 292)==0 (mod 539)
605=>P(605*n + 479)==0 (mod 605)
625=>P(625*n + 599)==0 (mod 625)
847=>P(847*n + 600)==0 (mod 847)
875=>P(875*n + 474)==0 (mod 875)
が起こることになる。

ところがここが数論の繊細で玲瓏,陰翳深い部分で
そのほとんどが成立するのであるが、ただ一つ
343=>P(343*n + 243)==0 (mod 343)
だけはn=0,1,2,・・・,20に対し
245,294,0,196,0,0,0,196,98,0,98,0,0,0,98,98,0,196,0,0,0
が並び、予想に反する。
他のより多くの実例を観察することでその原因が
343=7^3
で数を構成する素数7の部分の指数にあり、そこを変更して
一般に7^b -> 7^(floor(b/2)+1)
として処理せねばならないことが判明した。
即ちb=3なら
floor(3/2)+1=1+1=2
つまり(mod 343) ではなく(mod 7^2)=(mod 49)で処理せよ。
343=>P(343*n + 243)==0 (mod 49)なら
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
と予想に合致する。
そこで次の変更が加えられた。

If δ = 5^a*7^b*11^c and 24*λ ≡ 1 (mod δ),
then P(δ*n + λ) ≡ 0 (mod 5^a*7^(floor(b/2)+1)*11^c)

ういうわけである。
一見不規則のようでも色々な微妙な不変規則が潜んでいるもんですね。

どなたか素数23に対する0に繋がる合同式をご存知ならお知らせ下さい。
(いろいろ文献やサイトを探し回ったのですが、これだけは見つけられなくいます。
また自分で探してみてはいるんですが
ひょんな事から次の式は(mod 23)では0にならないのだろうかと思った。
時間の関係で一部しか確認されていない。(でもこんなにあるわけないだろうに?)
P(37^4*23*n+631052)
P(67^4*23*n+5476393)
P(95^4*23*n+18897974)
P(133^4*23*n+29309936)
P(179^4*23*n+60460032)
P(185^4*23*n+103152724)

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年08月11日 09:23)

GAIさんによる御投稿「自然数の分割数を勉強してみて」に関連する話題について記載しているサイトをみつけましたので御報告いたします。
■分割数をグランドカノニカル分布で求める(http://zakii.la.coocan.jp/physics/75_partition_number.htm)です。

引用して返信編集・削除(未編集)

ガウス記号の不定積分

ガウス記号を含む関数の【定積分】についてはなんとかなるにしても
ガウス記号の【不定積分】ついてはなんとかなるとは思えないのです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年08月20日 15:27)

リーマン積分では被積分関数の連続性が要請されますが、ガウス記号含む関数の【定積分】については
ルベーグ積分でやるんですかね?

引用して返信編集・削除(未編集)

ガウス記号も何とかなると思います。
例えば[x]の不定積分は(2x-[x]-1)[x]/2+Cと書けます。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年08月20日 07:06)

絶対値の付いた多項式関数の不定積分

問題
∫|6x^2-18x+12|dxを求めよ。

引用して返信編集・削除(未編集)

高校生のときに、以下の計算をした覚えがあります。
Abs(x)*x=±x^2 なので、両辺を微分すると、(Abs(x)*x)’=±2x=2Abs(x) と書ける。
よって、2Abs(x)の不定積分は、Abs(x)*xとなる。
絶対値のついた不定積分の問題はほとんど出題されないと思いますが、上記の計算をなぜか不思議な
感覚になったことを覚えています。

引用して返信編集・削除(未編集)

解答
∫|6x^2-18x+12|dx
=(2x^3-9x^2+12x)-|x-1|(2x^2-7x+5)+|x-2|(2x^2-5x+2)+C
となります。

この問題については最近考えたのですが、一般の絶対値付き多項式の不定積分は以下のようになります。
n次多項式f(x)に対する∫|f(x)|dxの解は
F(x)=
∫f(x)dx (n次の係数が正の場合)
-∫f(x)dx (n次の係数が負の場合)
(積分定数は何でも可)
G(x,α)は{F(x)-F(α)}÷(x-α)の商
# G(x,α)={F(x)-F(α)}/(x-α)とするとx=αで定義されないのでNGで、
# G(x,α)はF(x)-F(α)を(x-α)で割った商とする必要があります。
そしてf(x)=0の実数解のうちx軸を横切る解
(つまりf(x)=0,f(x+ε)f(x-ε)<0であるx)を小さい順に
a[1],a[2],…,a[m]とすると
mが偶数のとき
∫|f(x)|dx = F(x)+Σ[k=1~m](-1)^k・|x-a[k]|・G(x,a[k])
mが奇数のとき
∫|f(x)|dx = Σ[k=1~m](-1)^(k-1)・|x-a[k]|・G(x,a[k])
(いずれも積分定数省略)
となります。
(m=0のときは∫|f(x)|dx=F(x)+Cです。)

引用して返信編集・削除(未編集)

∫|6x^2-18x+12|dx=|x^2-3x+2|(2x-3)+2|x-1|+|x-2|+C
でどうでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

f(x)=|x^2-3x+2|(2x-3)+2|x-1|+|x-2|とおくと
f(3/4)=41/32
f(1)=1
となって減少していますので、ちょっと違うようです。

引用して返信編集・削除(未編集)

aを正の数とするとき
∫[-a,a]|x^2+x-2|dx
を計算せよ。

これに対して、この不定積分公式で処理すればどの様になるのですか?

引用して返信編集・削除(未編集)

f(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)なのでf(x)=0の解はx=-2,1
(つまりm=2,a[1]=-2,a[2]=1)
F(x)=∫f(x)dx=x^3/3+x^2/2-2x ※定数項は0とする
G(x,-2)={F(x)-F(-2)}/(x+2)
={(x^3/3+x^2/2-2x)-(-8/3+2+4)}/(x+2)
=(2x^3+3x^2-12x-20)/(x+2)=(2x^2-x-10)/6
G(x,1)={F(x)-F(1)}/(x-1)
={(x^3/3+x^2/2-2x)-(1/3+1/2-2)}/(x-1)
=(2x^3+3x^2-12x+7)/{6(x-1)}=(2x^2+5x-7)/6
mは偶数なので
∫|f(x)|dx=F(x)+Σ[k=1~m](-1)^k・|x-a[k]|・G(x,a[k])+C
=(x^3/3+x^2/2-2x)-|x+2|(2x^2-x-10)/6+|x-1|(2x^2+5x-7)/6+C
={2x^3+3x^2-12x-|x+2|(2x^2-x-10)+|x-1|(2x^2+5x-7)}/6+C
よって
∫[-a,a]|x^2+x-2|dx
={2a^3+3a^2-12a-|a+2|(2a^2-a-10)+|a-1|(2a^2+5a-7)}/6
 -{-2a^3+3a^2+12a-|-a+2|(2a^2+a-10)+|-a-1|(2a^2-5a-7)}/6
={4a^3-24a-|a+2|(2a^2-a-10)-|a+1|(2a^2-5a-7)+|a-1|(2a^2+5a-7)+|a-2|(2a^2+a-10)}/6
={4a^3-24a-(a+2)(2a^2-a-10)-(a+1)(2a^2-5a-7)+|a-1|(2a^2+5a-7)+|a-2|(2a^2+a-10)}/6 (∵a>0)
={27+|a-1|(2a^2+5a-7)+|a-2|(2a^2+a-10)}/6

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年08月18日 17:11)

今まではグラフ等を利用し
aによって場合分けをして
0<a≦1なら-2/3*a^3+4*a
1≦a≦2ならa^2+7/3
2≦aなら2/3*a^3-4*a+9
と個別に答えていたと思います。

この公式により3つの場合に分けて記述していたものが
{27+|a-1|*(2*a^2+5*a-7)+|a-2|*(2*a^2+a-10)}/6
の一つの式だけで済ませれるのか!
(上記の3つの式から、この式を思いつくのは至難の技だが、
下の絶対値を含む式から上記の3つの式を導くのは容易い。)

引用して返信編集・削除(未編集)
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