😊出会いの泉😊

私の解釈が正しければ
(1,3,3), (2,2,3), (1,2,4), (2,6,6), (3,5,6), (4,4,6), (1,5,8),
(2,4,8), (3,3,8), (7,8,8), (3,9,9), (4,8,9), (5,7,9), (6,6,9)
の14通りだと思います。ちなみにこれで正しいならば、最大辺が
100までなら2060通り、1000までなら281334通り、10000までなら36553574通り、
100000までなら4487105091通り、1000000までなら532281148674通り、
10000000までなら61589103127262通り、100000000までなら6995157501115431通り、
1000000000までなら783139679297467648通り

私も初めはらすかるさんが出された数値でOKだと思ていたんですが、
展開図を書いて確認していた中で(2,9,10)の組み合わせも可能なはずだよな？
(底面２×9;高さ10とか)
これが何故取ってこれないのかを考え直し、改めてプログラムをし直して
(1,6,7),(2,5,10),(2,9,10),(3,5,9),(4,5,8),(5,5,7),(5,6,6),(5,8,10),(6,8,9)
の9個も考えられなくもないと思い直しました。
あとは人工知能を搭載してない私は、展開図を書きながら最短距離が整数となるかを
見て行くと(5,6,6)の組合せだけ最短距離が√157で整数となるコースどりでは13とは
なれるも最短ではないことになってしまう!
他の8個は最短を確認できました。
以上から異なる直方体の種類は14+8=22でないかと思っているところです。

私も初めに作っていたプログラムでは100まででは2060通りとなっていました。
でも今は確かめようもなくどうだろう？と思っているところです。

(2,9,10)の場合
√((2+9)^2+10^2)=√221
√((2+10)^2+9^2)=15
√((9+10)^2+2^2)=√365
√221＜15＜√365
となり最短の√221は整数ではないので不適では？

あと、もし「3方向のうち最短であるものが整数」でなく
「3方向のうちどれかが整数」でよいならば、
(5,6,6)も√((6+6)^2+5^2)=13で整数なので
(5,6,6)も含めて23通りにしないとおかしいと思います。
（つまり22通りとなる考え方はあり得ないのでは、という意味です）

そうか！
直方体の向かい合う角に向かうルートは3通り出来るので、そのうちの最短が整数とならなければいけないのが
条件でしたから追加しようとした9個は全くこの条件を満たしませんね。
ついつい自分が書いた展開図のみに従って判断していました。

問題の解釈とプログラムが正しければ
πは
進み方: 右下下下右右下下右下右下右右下下右右
合計: 3+1+8+2+5+0+2+3+2+0+3+0+6+2+0+4+0+6+7=54
eは
進み方: 下右下右下右下下右下右右右下下右下右
合計: 2+4+5+0+2+6+2+0+7+4+7+2+4+0+4+2+1+2+7=61
のようになると思います。
しかし、せっかく「上下左右どの方向へも進める」という条件なのに
右と下しか出てきませんね。
100×100=10000桁にすると、「上」や「左」が出てきます。
（特に、πの場合は最小値となるために上も左も必要です。eは右と下だけでも最小値が得られます。）
また、10×10の場合は最小となる進み方は1通りずつしかありませんが、
100×100の場合は複数通りになります。
では、100×100の場合、π・eそれぞれについて、最小値はいくつで
最小となる経路の数はそれぞれいくつあるでしょうか？

πでの最小値430
e での最小値455
でしょうか？(先人のやり方を大いに参考にしてやってみましたが･･･自信はありません。)
なお何通りの行き方があるのかやコースがどの様に辿っているか知るためのプログラムは
今は手も足もでません。
よかったらπのコースでなるだけ上や左へのコースを辿るものがあれば教えて下さい。

430と455は正解です。πの経路は4608通り、eの経路は48通りです。
100×100のπはすべて「上」を2個含み、「左」は2個(768通り)・
3個(2304通り)・4個(1536通り)のいずれかです。
「左」を4個含むものは、例えば
右右右下右右右下右下右下下下下右下下下右右右下右右下右下右右
右上右右右右右右下下右右右下下右右右右右右右右右下下右下下左
下下右右右下下下下右下右右下右右下下下右右右右右下右右右右右
上右右右右下下下下下右右右下右下下右右右右右右下右右下右下下
右右右右下右右右下下右下右右右下下下下右下下下下右右下下下下
右下下右右右下右下下下下右下下左左下下右下下右右下右右下下下
左下下下下下右右右下下右下下右下右下下下下下下下下下下下下下

(追記)
図を作ってみましたが、ここでは粗くてよく見えませんので
精細な画像はこちらでどうぞ → http://www10.plala.or.jp/rascalhp/image/pi10000.gif

私もエクセルに数値を貼り付け、教えてもらったコースを塗り潰してコースを眺めていました。
ふと思ったのですが、このコースを見つける方法は最小値を求めるために利用していたπの数値と
対応させていた100×100行列のデータを逆から辿っていけば見つけられるかも？
(10×10の時はそうやってコースを手作業で見つけていた。)
でもプログラムの構成方法はまだ分かりませんが･･･
全部で4608通りのコースが存在できるとはおったまげ～です。

ちなみにもし進路を右と下だけに限定させて進めるとしたら最小値は442である。
は合っていますか？

> ふと思ったのですが、このコースを見つける方法は最小値を求めるために利用していたπの数値と
> 対応させていた100×100行列のデータを逆から辿っていけば見つけられるかも？

はい、そうですね。私のプログラムではそのようにしてコースを調べています。
やり方は人間が手作業でやるのと同じで、「このマスにはどこから来たか」を
4方向調べ、値が一致する方向に進んでそれを繰り返す、というのを再帰的に
処理すれば、自動的に何通りかもわかります。
既に通過した場所に再度行かないように、マップの大きさ分の「通過済みフラグ」も
必要です（それがないと0が二つ隣り合っているところで無限ループします）。

> もし進路を右と下だけに限定させて進めるとしたら最小値は442である。
> は合っていますか？

はい、確かに442でした。その場合の経路数は3456通りです。

あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします。

R[n]=(10^n-1)/9 (repunit=1をn個並べた自然数) とする。
n桁の数の平方は2n桁または2n-1桁になるが、
(a+R[n])^2-a^2=2aR[n]+(R[n])^2＞R[2n-1] となるから
条件を満たすためには元の数は2n桁でなければならない。
(a+R[n])^2-a^2=R[2n] を解くと a=4R[n]+1 となるが
n≧3のとき4R[n]+1の平方の上から2桁目が9になり
「次の数字」が存在せず不適。
よって条件を満たすものは4R[1]+1=5, 4R[2]+1=45の二つ。
前者の平方の25は例示されているものだから、
答えは後者の平方の2025。

お見事です。

実は当初「√2025=25である」で出題しようとしていたのですが、その形だともう1つ解があることに気づいて慌てて記述を変更しました。
危なかった……。

書き間違い。
√2025=45ですね……。

最小は
39402x9x7x3
ですね。11桁ではこれ一つしかありませんでした。
12桁は現在探索中ですが、時間がかなりかかりそうなので
ある程度見つからなければ探索は中止します。
(追記・再追記)
12桁の解が何個も見つかりました。探すと結構あるようです。
631359x8x5x3
75428x5x5x91
106x6x0x1413
108x3x4x7411
181x3x2x8131

(返礼)
1～9の9個の数字を1個ずつ並べてできる9桁のある自然数Nに対し
[tanN]=2025 （[　]はガウス記号）
が成り立つという。このNとは？

N=463921857

順列の番号が一つずれると
tan(463921785) = -3.8184026056948050477279917320576295638
tan(463921875) = 0.87838965697493010866553946740976926836
こうも姿が変わってしまうしまうんですね。

> N=463921857
ありがとうございます。
Nは9!通りあるわけですが
[tanN]が2025近辺の値になるものは他になく、
これに気づいたのは3～4年前だったので
この時期までずっと保存していた問題でした。

# 0～9を3個入れて素数になるものは引き続き探索していますが、
# 結構解がでてきましたので元の記事に追記しています。

３～４年も温めていたとは流石です。(よくもこんなものの調査を試みていたんですね。)
2000年代だけを調べると、次の17通りのものしかないんですね。(次は11年後)
2009,2025,2036,2079,2136,2142,2216,2244,2275,2324,2506,2556,2685,2695,2723,2929,2935
因みに
最大は356187　 (順列;876423591で) (次が70898ですから飛びぬけてトップです。)
最小は-11031260 (順列;465178293で)　（次が-80234ですから飛びぬけて離れています。)
でありました。
最頻値とか調べて行くと結構面白いですね。
統計的に興味が湧きそう！

12桁の解は以下の11個でした。
106x6x0x1413
108x3x4x7411
181x3x2x8131
631359x8x5x3
65x285x614x1
73x177x527x1
75428x5x5x91
8x105x849x63
83x9x7x94663
9x739x264x03
99x1x4x69743
xの部分の値（例えば106x6x0x1413では101010000の倍数）は
7の倍数でなければならないため、特徴的な配置になっています。
（7の倍数でないとすると0～9のどれかで7の倍数になってしまうため）
またxの部分の値は11の倍数になり得ないため、0の一つ手前（例えば
106060001413-101010000）が必ず11の倍数になり、x=0～9の場合を
11で割った余りは1～10がすべて出現することになります。
こういった理屈はプログラムの高速化に役立てています。

プログラムが正しければ
3素数 (3,37,67) 和=107
4素数 (3,7,109,673) 和=792
5素数 (13,5197,5701,6733,8389) 和=26033
さらに
6素数 (25819,29569,209623,234781,422089,452041) 和=1373922

問われている5素数まではあっという間に終わっていたのですが、
6素数に挑戦していて時間がかかってしまいました。
6素数の場合は結構工夫しないと現実的な時間で求まりませんので、
なかなか面白いプログラミング問題でした。

(追記)
上記を投稿した後になって6素数の結果を検索してみたのですが、
この解を見つけている人はやはりいるのですね。
https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_626.htm

[(n+1)*(n+2)-(n+1)*(-1)^n: n in [43..44]]
をほうりこむと
[ 2024, 2025 ]
が得られますね。

magmaは私も時々使いますがいろいろな機能がありますね。

G2型リー代数の表現の次元数について
R := RootDatum("G2");
for i:=0 to 4 do;
for j:=0 to i do;
i,j,RepresentationDimension(R, [j,i-j]);
end for;
end for;


PSL(2,9)の指標表について
G := PSL(2,9);
CharacterTable(G);


方程式x^6+2*x^5+3*x^4+4*x^3+5*x^2+6*x+7=0のガロア群について
P<x> := PolynomialRing(Integers());
f:=x^6+2*x^5+3*x^4+4*x^3+5*x^2+6*x+7;
G, L, S := GaloisGroup(f);
G;
S;


3-進数体での-7/2の平方根について
K := pAdicField(3,40);
_<x> := PolynomialRing(Integers(K)); // printing
HasRoot(2*x^2+7);
K`SeriesPrinting := true;
Sqrt(K!(-7/2));


二次体Q(√-31)でのノルムが100未満の素イデアルについて
R<x> := PolynomialRing(Integers());
K := NumberField(x^2+x+8);
FactorBasis(K, 100);

９次の二重魔方陣においてふたつある対角線の【立方和】が等しくなっているのですね。強烈ですね。

私が思うに反例はないと思います。
4n+3 のタイプの奇数の積は mod 8 で 7 にはなりません。
上を確認したのちにルジャンドルの三平方和の定理に当てはめればよいと思います。

ルジャンドルの定理は、強力ですね。素数に関係なく
（４ｋ＋３）（４ｌ＋３）＝
１６ｋl＋１２（ｋ＋ｌ）＋９≡１，５(mod 8)
ｋ＋ｌ偶数ならば、１、奇数ならば、５
なので、三平方和が、可能！
有難うございました。

私の理解が正しければ、mod3で証明できます。
nが1～20のとき、ΣS_n=Σn=210からa+b+c+d+e+f=21
(a,b,c,d,e,fがそれぞれ10回ずつ登場するので210÷10=21)

以下集合Aの要素と和はmod3で表します。
3つの和が0になるものがn=3,6,9,12,15,18の6通り
3つの和が1になるものがn=1,4,7,10,13,16,19の7通り
3つの和が2になるものがn=2,5,8,11,14,17,20の7通り

A={x,x,x,x,y,z} (x,y,zはそれぞれ0か1か2) の場合
2x+yが6通り、2x+zが6通り、3xが4通り、x+y+zが4通り
このとき0,1,2が偶数個ずつにしかならないので不適
よってmod3が一致するものは3個以下

Aの要素で0が3個のとき、総和が0(21≡0)なので
(0,0,0,1,1,1)か(0,0,0,2,2,2)のいずれか。
しかしどちらの場合も0になるものが
2通り((0,0,0)と(1,1,1)または(2,2,2))しかなく不適。
# いずれの場合も1になるものと2になるものがそれぞれ9通りずつです。

Aの要素で0が2個のとき、総和が0なので(0,0,1,1,2,2)
このとき0になるものが(0,1,2)の組合せ2×2×2=8通りとなり不適。
# 1になるものは(0,0,1)が2通り、(0,2,2)が2通り、(1,1,2)が2通りの計6通り
# 2になるものは(0,0,2)が2通り、(0,1,1)が2通り、(1,2,2)が2通りの計6通り

Aの要素で0が1個のとき、総和が0になるものは
(0,1,1,1,1,2)か(0,1,2,2,2,2)しかなく、
同じものが4個以上になるので不適。

Aの要素で0が0個のとき、総和が0で同じものが3個以下なので(1,1,1,2,2,2)
このとき0になるものが(1,1,1)と(2,2,2)の2通りとなり不適。

従って解は存在しません。

ちなみにn=0～19の場合は、上記と全く同じ手順で考えると
(0,0,0,1,1,2), (0,0,1,2,2,2), (0,1,1,1,2,2)
の3通りが条件を満たします。
# 条件は総和が190÷10=19≡1、3つの和が0,1,2になるものが順に7,7,6通り
# 解の存在証明ではありません

らすかるさん、まことに有難うございます。
なるほど mod 3 で！！　ウロコが目からボロボロと。

【付記１】
①の解として
a=−5, b=2, c=3, d=4, e=6, f=9
があります。
おそらくはこれひとつだけと存じます。

【付記２】
②をおいかけていて
下記までで挫折しました。お笑いください。

a+b+c = 1
d+e+f = 20
a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f

実は
a < b < c < d < e < f
である。なんとなれば、たとえば題意から
a+b+c < a+b+d
とならねばならず、他の組み合わせどうしでも同様だからである。

◆補題１
d ≤ 5

証明
6 ≤ d と仮定する。
すると d < e < f より
7 ≤ e
8 ≤ f
さらに
21 ≤ d+e+f
を得る。
これは d+e+f = 20 と矛盾する。
背理法により補題１
d ≤ 5 が証明された。

◆補題２
c ≤ 4
b ≤ 3
証明
b < c < d ≤ 5
より明らか

◆補題３
-6 ≤ a

証明
c ≤ 4 ,b ≤ 3 より
b+c ≤ 7
a+b+c = 1 であるから
1 -a = b+c ≤ 7
-6 ≤ a

◆補題４
d = c +1
証明
３つの総和が最大のものは
d + e +f
２番目に大きいものは
c +e +f
前者は 20 ,後者は 19
ゆえに
d = c +1

ここから全数をあたるプログラムでも作ろうかと思っていたのです……とほほ

続きを手作業で証明してみました。

a+b+c=1からc≧2 (∵c≦1ならばa+b+c＜1)
よってc=2,3,4

3番目に大きいものは
b+e+f または c+d+f

3番目に大きいものがb+e+fである場合
b+1=c,c+1=d,1-b-c=aなので
(a,b,c,d)=(-2,1,2,3),(-4,2,3,4),(-6,3,4,5)

(a,b,c,d)=(-2,1,2,3)の場合
1+2+3=6なので1～5に-2が使われる。
-2,1,2,3で4は作れないから、4-(-2)-2=4または4-(-2)-1=5のいずれかが必要。
f≧8なので4か5になるのはe。
e=4のとき(-2)+1+4=(-2)+2+3=3となり不適。
e=5のとき(-2)+3+5=1+2+3=6となり不適。
よって(a,b,c,d)=(-2,1,2,3)は不適。

(a,b,c,d)=(-4,2,3,4)の場合
2+3+4=9なので1～8に-4が使われる。
-4,2,3,4で4は作れないから、4-(-4)-3=5または4-(-4)-2=6のいずれかが必要。
f≧8なので5か6になるのはe。
e=5のとき(-4)+2+5=(-4)+3+4=3となり不適。
e=6のときd+e+f=20なのでf=10となるが(-4)+3+10=2+3+4=9となり不適。
よって(a,b,c,d)=(-4,2,3,4)は不適。

(a,b,c,d)=(-6,3,4,5)の場合
3+4+5=12なので1～11を作るのに-6を使わなければならないが、
-6を使えるのはちょうど10回なので不適。
よって(a,b,c,d)=(-6,3,4,5)も不適なので
「3番目に大きいものがb+e+f」は不適。

3番目に大きいものがc+d+fである場合
c+1=d,d+1=e,20-d-e=fなので
(c,d,e,f)=(2,3,4,13),(3,4,5,11),(4,5,6,9)

(c,d,e,f)=(2,3,4,13)の場合
2+3+4=9なので10～20を作るのに13を使わなければならないが、
13を使えるのはちょうど10回なので不適。

(c,d,e,f)=(3,4,5,11)の場合
3+4+5=12なので13～20に11が使われる。
3,4,5,11で17は作れないから、17-11-5=1または17-11-4=2のいずれかが必要。
a＜0なので1か2になるのはb（∵a≧0のときa+b+c≧3）。
b=1のとき、a+b+c=1なのでa=-3となるが-3+4+11=3+4+5=12となり不適。
b=2のとき、2+5+11=3+4+11=18となり不適。
よって(c,d,e,f)=(3,4,5,11)は不適。

(c,d,e,f)=(4,5,6,9)の場合
4+5+6=15なので16～20に9が使われる。
4,5,6,9で17は作れないから、17-9-6=2または17-9-5=3のいずれかが必要。
上と同様に2か3になるのはb。
b=2のとき2+4+9=4+5+6=15となり不適。
b=3のとき3+6+9=4+5+9=18となり不適。
よって(c,d,e,f)=(4,5,6,9)も不適なので、
「3番目に大きいものがc+d+f」は不適。

以上により、解なし。

いやあ、素晴らしいです！

n=0～19に同じ証明方法を適用すれば全解が得られるはずなので
やってみたくなりました。
プログラムによる総当たりで解は(-5,2,3,4,6,9)の一つとわかっていますので、
結果が合えば内容を確認していただく必要はありません。
ただの落書きとしてスルーして下さい。

n=0～19のときa＜b＜c＜d＜e＜fとして
a+b+c=0
d+e+f=19
d=c+1
-7≦a≦-1
-1≦b≦3
1≦c≦4
2≦d≦5
3≦e≦8
8≦f≦14
(ここまで証明省略)
c=1のとき(a,b,c,d)=(-1,0,1,2)となるが、
このときa+d+e=b+c+eとなり不適。
よって2≦c≦4, 3≦d≦5, 4≦e≦8, 8≦f≦12。

3番目に大きいものはb+e+fまたはc+d+f

3番目に大きいものがb+e+fである場合
b+1=c, c+1=d, a+b+c=0なので
(a,b,c,d)=(-3,1,2,3),(-5,2,3,4),(-7,3,4,5)

(a,b,c,d)=(-3,1,2,3)の場合
1+2+3=6なので0～5に-3が使われる。
-3,1,2,3で3は作れないから、3-(-3)-2=4または3-(-3)-1=5のいずれかが必要。
f≧8なので4か5になるのはe。
e=4のとき(-3)+1+4=(-3)+2+3=2となり不適。
e=5のときf=19-5-3=11となるが(-3)+1+11=1+3+5=9となり不適。
よって(a,b,c,d)=(-3,1,2,3)は不適。

(a,b,c,d)=(-5,2,3,4)の場合
2+3+4=9なので0～8に-5が使われる。
-5,2,3,4で3は作れないから、3-(-5)-3=5または3-(-5)-2=6が必要。
f≧8なので5か6になるのはe。
e=5のとき(-5)+2+5=(-5)+3+4=2となり不適。
e=6のときf=19-6-4=9となるが、(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9)は
(-5)+2+3=0, (-5)+2+4=1, (-5)+3+4=2, (-5)+2+6=3, (-5)+3+6=4, (-5)+4+6=5,
(-5)+2+9=6, (-5)+3+9=7, (-5)+4+9=8, 2+3+4=9, (-5)+6+9=10, 2+3+6=11, 2+4+6=12,
3+4+6=13, 2+3+9=14, 2+4+9=15, 3+4+9=16, 2+6+9=17, 3+6+9=18, 4+6+9=19 となり適。
よって(a,b,c,d)=(-5,2,3,4)のときの解は(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9)

(a,b,c,d)=(-7,3,4,5)の場合
3+4+5=12なので0～11に-7が使われることになるが、-7が使われるのは10回なので不適。

従って「3番目に大きいものがb+e+f」のときに解が一つ得られた。

3番目に大きいものがc+d+fである場合
c+1=d, d+1=e, d+e+f=19なので
(c,d,e,f)=(2,3,4,12),(3,4,5,10),(4,5,6,8)

(c,d,e,f)=(2,3,4,12)の場合
2+3+4=9なので10～19に12が使われる。
2,3,4,12で16は作れないから、16-12-4=0または16-12-3=1のいずれかが必要。
a≦-1なので0か1になるのはb。
b=0のときa=0-0-2=-2となるが(-2)+3+4=0+2+3=5となり不適。
b=1のとき1+4+12=2+3+12=17となり不適。
よって(c,d,e,f)=(2,3,4,12)は不適。

(c,d,e,f)=(3,4,5,10)の場合
3+4+5=12なので13～19に10が使われる。
3,4,5,10で16は作れないから、16-10-5=1または16-10-4=2のいずれかが必要。
a≦-1なので1か2になるのはb。
b=1のときa=0-1-3=-4となるが(-4)+3+10=1+3+5=9となり不適。
b=2のとき2+5+10=3+4+10=17となり不適。
よって(c,d,e,f)=(3,4,5,10)は不適。

(c,d,e,f)=(4,5,6,8)の場合
4+5+6=15なので16～19に8が使われる。
4,5,6,8で16は作れないから、16-8-6=2または16-8-5=3のいずれかが必要。
a≦-1なので2か3になるのはb。
b=2のとき2+5+8=4+5+6=15となり不適。
b=3のとき3+6+8=4+5+8=17となり不適。
よって(c,d,e,f)=(4,5,6,8)は不適なので、
「3番目に大きいものがc+d+f」は不適。

従って条件を満たす解は(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9)のみ。

さらに n=2～21 や n=3～22 などのように範囲を変えるとどうなるかを
考えたのですが、0～19と1～20の場合からすべて導けますね。
まずa,b,c,d,e,fすべてに1を足せば3つの和は3大きくなりますので
n=0～19で解があることからn=3～22, 6～25, 9～28, …でも
+1,+2,+3,…した唯一解が存在することがわかります。
同様に、n=1～20で解がないことからn=4～23, 7～26, 10～29, …でも
解がないことがわかります。
そしてn=2～21の場合は
n=0～19のときのa,b,c,d,e,fを全部7から引いて
7-f,7-e,7-d,7-c,7-b,7-aをあらためてa,b,c,d,e,fとすると
3数の和は21から引いたものになり2～21が作れます。
よってn=2～21のときの唯一解は
(a,b,c,d,e,f)=(7-9,7-6,7-4,7-3,7-2,7-(-5))=(-2,1,3,4,5,12)
とわかり、上と同様にn=5～24, 8～27, 11～30, …では
それぞれに+1,+2,+3…した解が存在します。
従ってn=t～t+19のときの一般解は
t=3kのとき (a,b,c,d,e,f)=(-5+k, 2+k, 3+k, 4+k, 6+k, 9+k)
t=3k+1のとき 解なし
t=3k+2のとき (a,b,c,d,e,f)=(-2+k, 1+k, 3+k, 4+k, 5+k, 12+k)
(kは負でもOK)
とわかりました。

らすかるさん、いろいろと勉強になります！
《n=0～19のときのa,b,c,d,e,fを全部7から引いて》→口をあんぐりとあけました！！！

1〜20で解がないことの超スッキリした証明、できました。

Σ (S_n)^2 = 10*(a^2+b^2+……f^2) + 8*(ab+ac+……+ef)
すなわち
2870 = (a+b+c+d+e+f)^2 + 9*(a^2+b^2+……f^2) + 6*(ab+ac+……+ef)
左辺を3で割った余りは2、右辺を3で割った余りは0か1なので、条件を満たす数は存在しない。

DD++ さんによる鮮やかな短証明を拝見して感激しております。

2870 = (a+b+c+d+e+f)^2 + 9*(a^2+b^2+……f^2) + 6*(ab+ac+……+ef)

のところで a+b+c+d+e+f = 21 を代入してもよいかもしれません。

それをするには a+b+c+d+e+f = 21 の証明を書き足さないといけないので……

あっなるほど。これはウッカリしておりました。失礼いたしました。

それにしても平方で評価するなんて驚きました。

a≦b≦cとして11組です。
(4,28,35)
(5,8,44)
(5,20,40)
(6,15,42)
(6,30,33)
(8,19,40)
(13,16,40)
(15,30,30)
(16,20,37)
(20,20,35)
(20,28,29)
a≦b≦cの条件を外すと、9×6+2×3=60通りとなります。