😊出会いの泉😊

十進法で表記された数
N＝a10^n+b10^n-1++c10+d≡０(mod p) pは、7より大きな素数のとき、
a10^(n-1)＋+b10^(n-2)+…+cーXd≡０(mod p)となるように、
ｐ進体で、Xを選ぶことができる。
10を、両辺にかけても、
a10^n+b10^n-1++c10-10Xd≡０(mod p)
-10X≡1となるように、Ｘを選べばよい。
そうすると、元の式に戻ります。ｘの値は、Ｐによって異なり,以下
P X
7 2
11 1
13 9
17 5
19 17
23 16
29 26
31 3
37 11
41 4
43 30
47 14
53 37

73 51
縦書きで失礼します。
足すか、引くかどちらでも
７３＝５１＋22なので、２２≡ー51（mod73)
桁数を一個ずつ下げていくので、計算回数が増えます。

大きな数の場合、四ケタずつ区切り、四つ数の、奇数番目の和と偶数番目の和を
引いて73で、割れる時、７３で、割り切れ、
同じく引いた結果が、１３７で、割り切れる時、１３７で割り切れることが、
分かりました。
１000１＝１３７×７３
７，１１，１３のときは、３ケタずつですが。
指摘を受けて、修正しました。

素数5以上の素数p1ならその数を末尾に持つものの中で次の素数p2で割り切るものが必ず存在する。
p1=5なら
15,25,35,45,･･･,105,・・・,175,･････
などが候補で、この中で次の素数ｐ２＝７で割り切れるのは
35,105,175,245,315,･･･等が見つかる。
そこでこの中の最小値の35に注目する。

p1=7ならp2=11で割り切れるものとして
77,187,297,407,･････なので77を選ぶ。

こうして各素数p1に対する末尾にp1を持ち、しかも次の素数p2で割り切れる最小の整数が取れて行く。
こうして見つかる最小の整数の和が
5≦p1≦100000
の範囲で何になるかを求めて下さい。

一般化されたグラスマン数について、英語版のWikipedia(https://en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number)のGeneralisationsの項で記載があります。
グラスマン数には、反可換性といって、2つのグラスマン数θ1,θ2についてθ1θ2+θ2θ1=0が成り立ち、特にグラスマン数にはθ^2＝0という冪零性があります。n個のグラスマン数から成るグラスマン代数では2^n個の基底が含まれ、2^n×2^n行列で表現されます。
一般化されたグラスマン数は、θ^N＝0(N>2)で、θ_{i1},θ_{i2},...,θ_{iN}の積の全ての順列の総和についてθ_{i1}θ_{i2}...θ_{iN}＋θ_{iN}θ_{i1}θ_{i2}＋...＝0が成り立ちます。
Wikipediaでは特にθ^3＝0の場合が取り上げられていて、θ1,θ2の2つの一般化グラスマン数を含む代数は10×10行列で表現されるそうですが、θi^3＝0(i=1,2)の場合は、Wikipediaにあるθ1θ2^2+θ2θ1θ2+θ2^2θ1＝0という条件、および、θ2θ1^2+θ1θ2θ1+θ1^2θ2＝0という条件を課すだけでは基底が無限個になってしまい、(θ1θ2)^3＝(θ2θ1)^3＝0という条件をさらに課しても基底は23個となります。基底が10個となるには、Wikipediaにあるθ1θ2^2＝-(1/2)θ2θ1θ2＝θ2^2θ1という条件、および、θ2θ1^2＝-(1/2)θ1θ2θ1＝θ1^2θ2という条件をさらに課す必要があり、このとき、10個の基底は1,θ1,θ2,θ1^2,θ1θ2,θ2θ1,θ2^2,θ1^2θ2,θ2^2θ1,θ1^2θ2^2で表されます。
θ1θ2^2＝-(1/2)θ2θ1θ2＝θ2^2θ1という条件、および、θ2θ1^2＝-(1/2)θ1θ2θ1＝θ1^2θ2という条件はどのように導き出されたのでしょうか。
θi^3＝0(i=1,2)の場合の一般化グラスマン代数は10個の基底をもちますが、θi^3＝0(i=1,2,3)の場合、および、θi^4＝0(i=1,2)の場合は何個の基底があるのでしょうか。

同じ大きさの正六角形の板を100万個作っておく。
各板の中央に1から順番に100万までの数字が
書かれているものとする。
そのピースを次の様に並べて行くものとする。
1と書かれたピースをまず中央に置く。（上下に平行線がある様にしておく)
時計の12の位置から反時計周りに外側に2,3,4,5,6,7と書かれたピースを
辺に合わせて置いていく。
次に、また12時の位置から（2の番号のピースの上になる）同様に2周目と
なるように数字の8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19のピースを1週目
の各ピースの各辺に揃えて反時計周りに置いていく。
これを繰り返し100万個のピースがハチの巣状に置かれた巨大なものが
出来上がる。(想像だけにして下さい。実際作らないよう・・・)

これで各ピースはどれも周りを6つのピースが取り囲んだ状態（一番外側は例外となります。)
なので次に中央の数字とそれを取り囲んでいる6個のピースの数字の関係に着目する。
例
中央の数字が１
ならその周りには2,3,4,5,6,7がいる。
そこで各周りと中央の数字の差をみると
1,2,3,4,5,6なのでこの中には2,3,5の3個の素数が発生する。
次に中央の数字が2
ならその周りには
8,9,3,1,7,19がいることになるので、その差は(絶対値で処理)
6,7,1,1,5,17よりやはり7,5,17の3個の素数がとれる。
中央の数字が3
なら周りは
9,10,11,4,1,2の数字なので差は
6,7,8,1,2,1より今度は素数は2個となる。
いろいろ試しておれば現れる素数の数は最大が3個までで、それ以上は発生しない。

なお中央が8なら周りは
20,21,9,2,19,37の数字のピースなので差は
12,13,1,6,11,29でこれも3個の素数が発生している。


さてここで問題です。
中央のピースと回りの6個のピースとの差が3個の素数を発生させるものはこの巨大な
配列に何個存在しているでしょうか？
またその中で中央の数字も素数であるものはいくつあるでしょうか？
（上記の様に8は3個の素数は発生させるが8自体は素数でないのでカウントされません。)

００００～９９９９までの数を使って、
四則演算と()により、10を創るおなじみの問題です。
できない場合もありますが、「一つだけ、好きな文字数に
変えれば、可能になる。」
例えば、000１→0091、9998→99１8
但し、文字数が、1，2，3文字の場合、一つ文字を生んでよい。
例えば、１だけの時、9を生んで、１＋9＝10です。
「」は、真か偽か？

一時期ABC予想が望月新一氏によって証明されたと騒がれ、しかしそれを精査した
確かショルツェなどと感情的な対立が起こり世界的には承諾とはならないという騒動が
今どの様になっているかは知る由もないが（数学に命を懸けている人には、心の
琴線に触れると爆発的怒りが起こるものと想像される。）
しかし和と積の根本的な違いを思い知らせるABC予想には興味深いものがある。

定義によると
aとbが互いに素であり、かつa+b=cを満たす自然数の組(a,b,c)をabc-triple　と呼び、
不等式　c>(rad(a*b*c))^(1+ε) を満たすabc-triple が無限個に存在するような正の実数 ε>0
は存在しない。
なおrad(n)はnの素因数のうち相異なるものの積を表し根基関数とも呼ぶ。

とある。
そこでとりあえずc>rad(a*b*c)が起こるabc-tripleを探してみると
(a,b,c)=(1,8,9)なら
gcd(1,8)=1でrad(a*b*c)=rad(72)=rad(2^3*3^2)=2*3=6 ここに9>rad(a*b*c)=6 を満たすので
るabc-tripleの条件を満たしている。
同じく
(a,b,c)=(5,27,32)も
gcd(5,27)=1でrad(a*b*c)=rad(5*3^3*2^5)=5*3*2=30 より32>rad(a*b*c)=30 を満たし
これもabc-tripleの条件を満たす。
また中には
(a,b,c)=(1,80,81);rad(a*b*c)=rad(1*2^4*5*3^4)=2*3*5=30
(a,b,c)=(32,49,81);rad(a*b*c)=rad(2^5*7^2*3^4)=2*3*7=42
の様に同じcでも2通りの構成が可能なものも発生する。
こうしてc<1000まででのabc-tripleを探していくと全部で31個の組合わせが見つかり
（ちょっとしたプログラムを組めば短時間で探せます。)
そこに現れるcの合計をとると(上記の様に81は2回合計することになる。）それは12523
となります。

ここまではちょっとした計算機とプログラムで可能です。
では
c<120000 までにとれるabc-tripleでcが現れる（中には何度も顔を出すものも出る。)すべてのｃの値の合計は如何に？

となると前のプログラムではいくら時間が有っても無理じゃない？
とつい思ってしまう。
そこを何とかこれを超えて下さい。

ヘロンの公式S＾２＝ｓ(s-a)(s-b)(s-c)
の拡張としてブターマグプタの公式があります。
S^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)　 d=0 とすれば、得られます。
これは、内接四角形の場合ですが、
内接しない四角形について、ブレートシュナイダーの公式
S^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)ーabcdcos^2(A+C)/2

小学２年生の、おじゃま虫
「九九の研究」

九九の表には８１個の答えがあるが、
重複しているものを消すと４５個になる。

１～８１の中で、
九九の答に無いものは４５個

これは偶然の一致？？？

スピリチュアルの江原啓之さん曰く。
この世には偶然はなく全て必然に起こる。
私の頭がボケてるだけ？？？

整数 a, b, c (ただし 0 < a < b < c) に対し、a の平方と c の平方の相乗平均が b の平方となる、すなわち

√(a² · c²) = b²  
または同じことですが
a² · c² = b⁴

を満たす整数解は、たとえば a, b, c が等比数列の場合などから容易に見出すことができ、無数に存在します。

これを踏まえ、次の問題について検討してください。

整数 a, b, c (0 < a < b < c) において、a の平方から 1 を引いた数と c の平方から 1 を引いた数の相乗平均が、b の平方から 1 を引いた数となる、すなわち

√((a² – 1)(c² – 1)) = b² – 1  
または同じことですが
(a² – 1)(c² – 1) = (b² – 1)²

を満たす整数解は、無数に存在するのでしょうか？

※ひとつの例として、
(577² – 1)(3363² – 1) = (1393² – 1)²
を挙げておきます。