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射影幾何

点と線の双対原理
「異なる二点を通る、ただ一つの直線が、存在する。」
「異なるに直線を通る、ただ一つの点が、存在する。」
パスカルの定理とブリアンションの定理
チェバの定理とメネラウスの定理
デザルグの定理は、それ自身と双対の関係
現実の物理世界は、どんな空間でしょうか?
有限だそうですが。

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チェバの定理とメネラウスの定理は射影幾何の定理ではありませんし、双対の関係ではないと思います。

私が今年の4月に投稿した問題
(
https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/36
または
お茶の時間 > パズル&クイズ > 三角形のある等式
)
は、厳密には双対ではないのでしょうけれど、それぞれの定理の双対を意識して作った問題です。
[1]がメネラウスの定理に対応し、[2]がチェバの定理に対応しています。

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作図不可能

「任意の角の三等分をつくることは、定規とコンパスだけではできない」
と言われていますが、折り紙では、できるみたいですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

折り紙を使うと角の3等分はおろか5等分もできるらしいですね。

定木とコンパスとでは出来ない正11角形の作図もできるとか。
↓
https://core.ac.uk/download/pdf/59041733.pdf

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月19日 06:56)

平面に3点A,B,Cをとり、今角∠ABCを3等分することを試みる。
但し定規に2つの傷、もしくは目印としてP,Qの2点をマジックで印を付けておく。
①;直線AB上に点BからPQの距離と同じ長さとなるように、そこに点Oをとる。
② ; 点Oを通り直線BCに平行な線ODを引く。
③ ; 点Oを中心として半径OB(=PQ)である円を描く。
④ ; 定規を点Bを通る様にして、点Pが円と点Qが直線ODと重なる様に調整したら定規に線BEを引く。
  (説明のために円と直線(=OD)との交点をそれぞれP,Qと名付ける。)

以上の作業から
△OPQ,△OBPは二等辺三角形より
∠POQ=∠PQO=θ なら
∠OPB=∠OBQ=2θ で
また平行から
∠OQB=∠CBQ=θ
これから
∠ABC=3θ

したがって角∠ABCの3等分線の一つは直線BEであり
後は角∠ABE=2θを従来のやり方でこれを2等分すればよい。

*定規の目的を直線をただ引くという役目に、ちょっと手を加えるだけで全てが変化する
 ことが面白いです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月19日 07:12)

> 後は角∠ABE=2θを従来のやり方でこれを2等分すればよい。

せっかくいろいろ補助線がありますので、これを利用して
Qを中心としてPを通る円を描いて、円OとのPでない交点をFとすれば
BFがもう一つの三等分線になりますね。

引用して返信編集・削除(未編集)

> ④ ; 定規を点Bを通る様にして、点Pが円と点Qが直線ODと重なる様に調整したら定規に線BEを引く。

この条件を満たす定規の角度は全部で 6 つあります。
2 つは点 Q を点 O におき、定規を直線 AB に重ねて置く方法、
1 つは点 P を点 B に重ね、点 Q は点 O と異なるところに置く方法。
この 3 つは明らかに目的の線ではないので除外するとして、
残り 3 つのうちどの線を使って作図すればよいのでしょうか?

鋭角の場合は内角に 1 つと外角に 2 つなので内角にあるやつを選択すればいいとしても、鈍角の場合は内角に 2 つあります。

引用して返信編集・削除(未編集)

鈍角の場合は鋭角である外角を三等分したのちに三等分線から外側に60°の角度をとれば
鈍角の三等分線ができますので、鋭角だけ三等分できれば十分とも言えますね。

引用して返信編集・削除(未編集)

有理数と2次無理数の違い

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%96%91%E5%95%8F%E7%AC%A6%E9%96%A2%E6%95%B0

にミンコフスキーの疑問符関数(?(x))というものが考えられている。

話を限定するために今考えるxの範囲を[0,1]区間の有理数及び2次無理数(a+b*sqrt(p))
(a,b;有理数,p;平方因子を含まぬ整数)とすれば
xが有理数なら連分数表示は有限で、2次無理数ならある部分からサイクルが繰り返される。
こうしてxの連分数表示を2の指数部へ用いることで、ここに定義された?(x)関数は区間[0,1]
からそれ自身への全射対応の単調増加な連続関数を与える。

この関数を利用して計算してみると
?(1/2)=1/2
?(2/3)=3/4
?(3/5)=5/8
?(5/8)=11/16
・・・・・
?(10/19)=513/1024

等々xが有理数なら計算結果は必ず分母は偶数(しかも2の冪に限る。)

そこで、計算結果に着目し
1/2=?(1/2)

1/4=?(1/3)
3/4=?(2/3)

1/8=?(1/4)
3/8=?(2/5)
5/8=?(3/5)
7/8=?(3/4)

1/16=?(1/5)
3/16=?(2/7)
5/16=?(3/8)
7/16=?(3/7)
9/16=?(4/7)
11/16=?(5/8)
13/16=?(5/7)
15/16=?(4/5)

・・・・・・・・・・・

すると分母が2の冪ではない他の偶数、および奇数のものは2次無理数を使うことの結果として
発生する。
例えば
2/3=?((sqrt(5)-1)/2)
1/5=?((2-sqrt(2))/2)
1/6=?((5-sqrt(5))/10)
・・・・・・・・

そこで
a[i]/7=?(x[i])
ここにa[i]=i (i=1,2,3,・・・,6)
の結果を与える[0,1]区間にある2次無理数x[i] (i=1,2,3,・・・,6)
の具体的明示式を求めてほしい。

できれば
1/10,3/10,7/10,9/10を与えるやはり2次無理数y[j] (j=1,2,3,4)も

引用して返信編集・削除(未編集)

x[1]=2-√3
x[2]=(√3-1)/2
x[3]=(3-√3)/3
x[4]=√3/3
x[5]=(3-√3)/2
x[6]=√3-1

y[1]=(3-√2)/7
y[2]=(4-√2)/7
y[3]=(3+√2)/7
y[4]=(4+√2)/7
でしょうか。

引用して返信編集・削除(未編集)

またもや全問正解です。

2次無理数を有理数へ写像するアイデアをよく思いつくものですね。
というわけで

[0,1]区間で
?(x)=x
を満たすxは0,1/2,1以外にも存在していますが、その値は?
理屈的にはこの値は2次無理数のはずですよね。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月17日 16:00)

0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
という値になりますが、これは2次無理数ではないですね。
(もしxが2次無理数なら?(x)は有理数なので?(x)=xにはなりません)

引用して返信編集・削除(未編集)

そうか!
例の不動点の小数第37位までを作る2次無理数で
gp > (sqrt(3219756132232550086641835218537)-1054710584836911)/(2*879764482467118)
%67 = 0.42037233942322307564099300664622187395
が作れたのでてっきり可能だろうと思ってしまった。
?(x)関数は連続ではないんですね。Pi/4や∛2などの点では繋がらない。
数ってどんだけあるんだってことですね。

ちなみに
1-0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
=0.57962766057677692435900699335377812605・・・
も不動点となりますね。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月17日 18:38)

> ?(x)関数は連続ではないんですね。

連続関数と書かれています。
Pi/4などの数でも、上と下から有理数で押さえれば?(x)もいくらでも近い値になりますので、
その有理数の極限として表されるPi/4もその間の値として定義され、連続になりますね。

引用して返信編集・削除(未編集)

無限個和への挑戦

使う数字を6と素であるもの
{1,5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,・・・}
を順番に分母に使っていき(分子は常に1)
繋いでいく符号を

(1)+,-,+,-,+,-,・・・と交互にしていく。即ち
S1=1/1-1/5+1/7-1/11+1/13-1/17+・・・・・

(2)+,+,+,+,-,-,-,-,+,+,+,+,・・・と4個ずつで交互にしていく。
S2=1/1+1/5+1/7+1/11-1/13-1/17-1/19-1/23+1/25+・・・・・

(3)+,+,-,-,+,+,-,-,・・・と2個ずつで交互にしていく。
S3=1/1+1/5-1/7-1/11+1/13+1/17-1/19-1/23+・・・・・

(4)+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,+,・・・と4個のパターンを繰り返していく。
S4=1/1-1/5-1/7+1/11+1/13-1/17-1/19+1/23+1/29-・・・・・

さてこうして集めて行くとき、各和S1,S2,S3,S4は如何なる値になるものか?
明示式で表して下さい。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月04日 06:55)

S1 = π/(2√3)
S2 = π/√6
S3 = π/3
S4 = log(2+√3)/√3
かな?

引用して返信編集・削除(未編集)

全て正解です。
(4)はasinh(√3)/√3 (asinh(x)はハイパボリックアークサイン)の式でも可です。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月04日 19:56)

調和数列が、発散することから、
等差数列の逆数和も発散する。
公差がいくつでも、間が空いても、発散する。

引用して返信編集・削除(未編集)

等差数列の逆数和も発散する。
だが符号を交互にした交代級数にすると収束できます。
初項を1、公差をdにすると
d=1; S1=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+・・・・・=log(2)
d=2; S2=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+・・・・・=π/4
d=3; S3=1-1/4+1/7-1/10+1/13-1/16+・・・・・=(π+√3*log(2))/(3*√3)
d=4; S4=1-1/5+1/9-1/13+1/17-1/21+・・・・・=√2/8*(π+2*log(1+√2))
d=5; S5=1-1/6+1/11-1/16+1/21-1/26+・・・・・=(2*log(2)+√(2+2/√5)*π+√5*log((3+√5)/2))/10
d=6; S6=1-1/7+1/13+1/19-1/25+1/31-1/37+・・・・・=0.9037717737487720468・・・・・
d=7; S7=0.91547952683・・・・・
d=8; S8=0.92465170577・・・・・
d=9; S9= 0.93203042415・・・・・

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月05日 11:52)

S6とS8は
S6=(π+(√3)log(2+√3))/6
S8=(√(4+2√2)π+√(2-√2)log(7-4√2+2√(20-14√2))+√(2+√2)log(7+4√2+2√(20+14√2)))/16
と書けますね。

引用して返信編集・削除(未編集)

どうしてS7を飛ばしてS8(これも結構複雑)を出されたのだろうと
何気にS7へ挑戦していたら、たっぷりと時間をとられて

S7=1/7*(log(2)-2*sin(π/14)*log(2*sin(3*π/14))-2*cos(π/7)*log(2*sin(π/14))+2*sin(3*π/14)*log(2*cos(π/7)))+π/28*tan(π/14)+1/tan(π/14))

なる決して美しくはない式でした。

なるべく統一して
t=sin(π/14)と置いて
S7=1/7*(log(2)-2*t*log(2*(3*t-4*t^3))-2*(1-2*t^2)*log(2*t)+2*(3*t-4*t^3)*log(2*(1-2*t^2)))+π/(28*t*sqrt(1-t^2))

で少しはショートに

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月06日 06:26)

S7の式をこねくり回して何とかきれいな形にしたところ、
S3,S5,S7,S9は同じ形で書けることがわかりました。

S3=(2/3){π/(4sin(π/3))
-cos(π/3)log(sin(π/6))}

S5=(2/5){π/(4sin(π/5))
-cos(π/5)log(sin(π/10))
-cos(3π/5)log(sin(3π/10))}

S7=(2/7){π/(4sin(π/7))
-cos(π/7)log(sin(π/14))
-cos(3π/7)log(sin(3π/14))
-cos(5π/7)log(sin(5π/14))}

S9=(2/9){π/(4sin(π/9))
-cos(π/9)log(sin(π/18))
-cos(3π/9)log(sin(3π/18))
-cos(5π/9)log(sin(5π/18))
-cos(7π/9)log(sin(7π/18))}

n=2m+1(m≧1)のとき
Sn=(2/n){π/(4sin(π/n))-Σ[k=1~m]cos((2k-1)π/n)log(sin((2k-1)π/(2n)))}
が成り立ちそうですね。

(追記)
偶数も

S2=(2/2){π/(4sin(π/2))
-cos(π/2)log(sin(π/4))}

S4=(2/4){π/(4sin(π/4))
-cos(π/4)log(sin(π/8))
-cos(3π/4)log(sin(3π/8))}

S6=(2/6){π/(4sin(π/6))
-cos(π/6)log(sin(π/12))
-cos(3π/6)log(sin(3π/12))
-cos(5π/6)log(sin(5π/12))}

S8=(2/8){π/(4sin(π/8))
-cos(π/8)log(sin(π/16))
-cos(3π/8)log(sin(3π/16))
-cos(5π/8)log(sin(5π/16))
-cos(7π/8)log(sin(7π/16))}

のように書けるようです。
偶奇合わせて
Sn=(2/n){π/(4sin(π/n))-Σ[k=1~[n/2]]cos((2k-1)π/n)log(sin((2k-1)π/(2n)))}
でOKでした。
(奇数の式のΣの終値のmを[n/2]に変えただけです)

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月06日 06:07)

昔この極限値はガンマ関数(gamma(x))を真数にとった対数(log(gamma(x)))の
導関数をとったd(log(gamma(x))/dxをpsi(x)関数と表示し
psi(x)=gamma'(x)/gamma(x)
の性質を利用することで、この公差d(初項は1)の等差数列の逆数での交代級数の
極限和T(d)が

T(d)=(psi((d+1)/(2*d))-psi(1/(2*d)))/(2*d)

で算出できるところから、数値を算出していました。

今回らすかるさんの式

S(n)=(2/n)*(Pi/(4*sin(Pi/n))-sum(k=1,floor(n/2),
cos((2*k-1)*Pi/n)*log(sin((2*k-1)*Pi/(2*n)))))

で2つの数量を見較べましたらピタリ2つは一致しました。(n=1は除外)


また以前こんな計算をしていて不思議に思ったことに
zeta(3) =1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3+・・・
3/4*zeta(3)=1-1/2^3+1/3^3-1/4^3+1/5^3-・・・
には円周率が現れないのに(zeta(5)にも)
1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+1/9^3-1/11^3+・・・=π^3/32
上の応用で(psi''(3/4)-psi''(1/4))/128 より計算可能('記号は微分を示す。)

1-1/3^5+1/5^5-1/7^5+1/9^5-1/11^5+・・・=5*π^5/1536
(psi''''(3/4)-psi''''(1/4))/24576 より計算可能

と公差2で交代級数をとれば円周率が姿を現す。(他の公差dでは現れない。)

ディリクレ指標[1,-1,0]のL関数でも
1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+1/7^3-1/8^3+1/10^3-1/11^3+・・・=4*π^3/(81*sqrt(3))
1-1/2^5+1/4^5-1/5^5+1/7^5-1/8^5+1/10^5-1/11^5+・・・=4*π^5/(729*sqrt(3))
やはり円周率が顔をのぞかせる。

たとえ交代級数的でもなく,+符号だけの等差数列数のものでも
1/3^3+1/7^3+1/11^3+1/15^3+・・・+1/(4*n-1)^3+・・・=7/16*zeta(3)-π^3/64
やはり円周率が顔をのぞかせる。

ほんんとに無限は不思議です。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月06日 08:44)

無限級数で、Σ1/N(数字の0の表示された数を除く)
が、収束することが知られていますが、
収束値が、20くらいだったようですが、御存知の方よろしくお願いします。他の数字を除いた場合も調べています。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月06日 14:04)

0を除く oeis.org/A082839 23.103447909420541616034054043325598138302800005282141886723094772…
1を除く oeis.org/A082830 16.176969528123444266579603880364009305567219790763133864516906490…
2を除く oeis.org/A082831 19.257356532808072224532776770194454115526053831154870149868362949…
3を除く oeis.org/A082832 20.569877950961230371075217419053111414153869674730783489508528500…
4を除く oeis.org/A082833 21.327465799590036686639401486939512843750951703270021817251189541…
5を除く oeis.org/A082834 21.834600812296918163407235040609182717846567515013918291679359184…
6を除く oeis.org/A082835 22.205598159556091884167380480007527105193856106668463270276938233…
7を除く oeis.org/A082836 22.493475311705945398176226915339775974005915541672512361791460444…
8を除く oeis.org/A082837 22.726365402679370602833644156742557889210702616360219843536376162…
9を除く oeis.org/A082838 22.920676619264150348163657094375931914944762436998481568541998356…
参考
http://shochandas.xsrv.jp/series/harmonicseries.htm

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかるさん、いつも、ありがとうございます。
以前にも、同様の内容がありましたが、
0の数字を除いた極限値が一番大きくて、
1の数字を除いた極限値が一番小さい。
極限値の比較は、容易に示せたりしますか?
曖昧な質問ですが、知りたいです。
今、数字1のみで表される(1,11,111,…)の逆数和をSとして、数字2のみで表される(2,22,222,…)の極限値は2S。
多分、収束するとしてですが、調査中です。

引用して返信編集・削除(未編集)

1+1/11+1/111+…の極限値は
↓こちらにあります。
http://oeis.org/A065444
これが収束することは
1+1/11+1/111+…<1+1/10+1/100+…=10/9から言えますね。
1/2+1/22+1/222+…の極限値は上記の半分です。

引用して返信編集・削除(未編集)

早速、ありがとうございます。
1/9=1/10+1/100+…
   <1/(10-1)+1/(100-1)+…
=1/9+1/99+1/999+
=1/9(1+1/11+1/111+…)=s/9
1<s=
まで

引用して返信編集・削除(未編集)

s=1+1/11+1/111+…なのでs>1は自明ですが、No.334の意図は何でしょうか?
ところで
1,1/11,1/111,…を1/9した1/9,1/99,1/999,…の小数を並べて書くと
0.11111111111111111111…
0.01010101010101010101…
0.00100100100100100100…
0.00010001000100010001…
0.00001000010000100001…
これを縦に足すと
小数第1位は 1の(正の)約数の個数
小数第2位は 2の約数の個数
小数第3位は 3の約数の個数
小数第4位は 4の約数の個数
小数第5位は 5の約数の個数
小数第6位は 6の約数の個数
・・・
のようになり、1,2,3,…の約数の個数は
1,2,2,4,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6,…
ですから、
0.12242424342624452626…
を9倍すれば1+1/11+1/111+…の収束値になりますね。
(ただし約数の個数が10以上のときは上の桁に繰り上げる)

引用して返信編集・削除(未編集)

有限と無限

無限というものの凄さを感じさせるものに
S1=1+1/2+1/3+1/4+・・・+1/n+・・・
はS1→∞
であり

S2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-・・・・・+(-1)^(n+1)*1/n+・・・
はS2→log(2)(=0.693147・・・)

S3=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+・・・(2と素であるものの交代級数)
はS3→π/4(=0.785398・・・)

S4=1+1/3-1/5-1/7+1/9+1/11-1/13-1/15+1/17+1/19-1/21-1/23+・・・
=∑[n=1,∞]kronecker(n,8)/n 
はS4→sqrt(2)*π/4(=1.110720・・・)

S5=1-1/3-1/5+1/7+1/9-1/11-1/13+1/15+1/17-1/19-1/21+1/23+・・・
=∑[n=1,∞]kronecker(n,2)/n
はS5→log(1+sqrt(2))/sqrt(2)(=0.623225・・・)

S6=1-/1/2+1/4-1/5+1/7-1/8+1/10-1/11+・・・(3と素であるものの交代級数)
はS6→π/(3*sqrt(3))(=0.604599・・・)

S7=1+1/2-1/4-1/5+1/7+1/8-1/10-1/11+1/13+1/14-1/16-1/17+・・・(上記の符号を変更したもの)
=∑[n=1,∞]kronecker(n,3)/n
はS7→2*π/(3*sqrt(3))(=1.209199・・・)

S8=1-1/2-1/3+1/4+1/6-1/7-1/8+1/9+1/11-1/12-1/13+1/14+1/16-・・・(5と素なもので構成)
=∑[n=1,∞]kronecker(n,5)/n
はS8→log((3+sqrt(5))/2)/sqrt(5)(=0.43041・・・)

S9=1-1/5+1/7-1/11+1/13-1/17+1/19-1/23+・・・(6と素であるものの交代級数)
=∑[n=1,∞]kronecker(n,12)/n
はS9→π/(2*sqrt(3))(= 0.906899・・・)

S10=1 +1/2 -1/3 +1/4 -1/5 -1/6
+1/8 +1/9 -1/10+1/11-1/12-1/13
+1/15+1/16-1/17+1/18-1/19-1/20
+1/22+・・・             (7と素なもので構成)
  =∑[n=1,∞]kronecker(n,7)/n
はS10→π/sqrt(7)(=1.187410・・・)

・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

などなど使う数字と符号を微妙に変えると、無限に繰り返す操作でこんなにも変化に富む
世界と通じて行くことを見つけ出したオイラーやライプニッツやディリクレなどの先人が
如何に無限という世界の扉をこじ開けてきたのかを驚愕をもって感じられます。

*取り急ぎまとめたものなので、どこかしら例により勘違い部分があるかと思いますが、
その時はご指摘宜しくお願い致します。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月30日 10:38)

GAI様、こんばんは。

はじめまして。

この構造は、バーゼル問題と同じですね。

有理数の無限和が、無理数になる。

引用して返信編集・削除(未編集)

うんざりはちべえさんは、バーゼル問題について誤解していませんか?

有理数の無限和が有理数になる場合もあるのでは?

例えば、 1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+・・・=1 ですよね...。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月30日 20:27)

管理人様、こんばんは。

ああ、そうなんですか?

オイラーがどうやったかは、詳しくなると、
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1583-12.pdf
に書いてありますが、よく理解できてません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月01日 10:17)

管理人様、

>有理数の無限和が有理数になる場合もあるのでは?
>例えば、 1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+・・・=1 ですよね...。

管理人様のおかげで、有理数は四則演算で有理数で閉じていることと無限和が無理数になるという矛盾の手がかりが見えて来ました。

ありがとうございます。

これで、数学に対する不信感が幾分和らいだのです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月01日 07:46)

調和級数
Σ(n^sの逆数)<s/(s-1)… *
s>1のとき、収束し、s=1のとき、発散することがよく知られています。
ところが、素数の逆数和が発散するのには、びっくりです。
流石に、双子素数の逆数和では、収束する。
収束と発散の境目は、難しいですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

数の表現ー続き3

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

Dengan kesaktian Indukmu様の投稿で、わたしは、納得しました。

忠告に従って、私としては、終わりにしようと思います。

そういうことで、DD++様、無回答をお許しください。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月01日 09:20)

数の表現~続き2

うんざりはちべえさんの仰る
「0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・は、無理数である」
を直接証明していただけませんか?

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人様、おはようございます。

いつも、ご迷惑おかけします。

これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもので、私がそれを証明できる技量・ヒントは、現在持ち合わせておりません。

いずれか将来、そういうチャンスに恵まれたときまで、お待ちください。

また、投稿の余計な一文が管理人様のご機嫌を損ねたことをお許しください。

引用して返信編集・削除(未編集)

すると、すべての無限小数は、無理数になるのではないかという疑問が、生じると思います。

その疑問も答えは、
では、1/3は、無理数にならないのかというと、1/3は1÷3で、あまりが循環するから、循 環するのです。つ まり、1÷3=0.333・・・+0.00・・・・1で、0.00・・・・1は、あまりです。

つまり、演算が可能な範囲で0.333・・・が並んでいるので、無限では、演算ができないので、1÷3は、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数です。

その説明では、√2は、無理数ですが、無限に計算してゆくので、無限では、演算ができないなら、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数ですとなってしまうではないか?

それには、循環する無限小数は、有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数であるが、答えにならないでしょうか?
つまり、循環してないといけないのです。

0.999・・・は、根拠もなしにただ、9を並べ多数ですから、演算はどこにもありません。

循環小数は有理数なので、分数にできますが、0.999・・・は、分数にできません。私が、x=aとして、10倍して引いてもx=aでした。
0.333・・・という循環小数を分数にする方法では、1/3になりますが、1/3は、0.333・・・より、+0.00・・・・1で、0.00・・・・1は、あまりです。つまり、0.333・・・より大きくなっているのですから、循環小数を分数にする方法は、間違いです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月29日 13:07)

うんざりはちべえさん、論理が破綻していませんか?

引用して返信編集・削除(未編集)

論理が破綻してますか?どのへんでしょうか?それは、さておいて、多分、

>これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもの 

もともと、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が怪しいのです。

すると、すべての無限小数は、有理数になってしまいます。バーゼル問題が正しければ、すべての無限小数は、無理数になってしまいます。

>循環する無限小数は、有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数である。

からも矛盾します。

もともと、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題は、不適切な命題なんでしょうね。

引用して返信編集・削除(未編集)

これで終わりにしましょう。
長い間、ご迷惑おかけしました。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月29日 16:05)

……関係があるのかもしれないと思いまして投稿いたします。

まずは参考文献のご案内から。

■《高校生における「無理数」の概念》(大山正信・米沢光洋)
( https://core.ac.uk/download/pdf/144571306.pdf )

この参考文献の p.10 から引用します。

-----
彼のこの誤解は,彼が【1】において,「無理数とは確定した数が存在しないもの」としているところから生じていると考えられる
-----

引用部分にある生徒の誤解は、「無限回の操作を必要とするのでいつまでたっても確定した値を取れない」といった気持ちからくるものなのであろうと推察されます。

自分自身を振り返りますと、小学生くらいの頃までは同じような気持ちが強かったと思います。

私の場合には中学一年の頃に出会った関根先生の教え方が上手だったのかもしれませんけれど、なんとなくですがこうした疑問は消えてしまいました。

関根先生は 確か、
「全ての有限小数は無限小数としても書くことができる、書き方が違うだけで値は同じだ」としつこく宣言していらっしゃいました。
こうした宣言を念仏もしくは御題目のようにことあるごとにバリトンの声で繰り返していらっしゃいました。
関根先生が好きな例題は1/4でした。
黒板に書くのはいつも
0.25=0.24999999999………………………
でした。チョークで……を素早く黒板の端から端まで一気に書く必殺技をお持ちでして、一部の生徒たちも真似しようと奮闘していたことが懐かしく思い出されます。 これがなかなか難しいのですけれど。

尻切れトンボですけれども、今回の投稿は以上です。
追記:先程の参考文献で【切断】関連の問いかけを行なったときの生徒たちの反応についてのアンケート結果が出ていまして大変に興味深いものでした。

以上です。

 さて、うんざりはちべえさんは、おそらく、2人で行うグーチョキパーで行うジャンケンは(原理的には)公平であるとお考えの筈です。
 
ジャンケンぽんっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
勝ったー(負けたー)
 
という例のやつです。
 
《このジャンケンのルールは公平である》ことと
《3進法で記すときに 1/2 = 0.111111………(無限小数)の等式が成立する》
こととは同値であることを指摘しておきたく思います。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月29日 17:15)

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

ありがとうございます。

引用して返信編集・削除(未編集)

> このことから、
> 0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
> は、無理数であるとなりますね。

なるわけないじゃないですか。
私の主張を勝手に捻じ曲げないでください。

引用して返信編集・削除(未編集)

続き2に入ってからの投稿を見ましたが、はちべえさんがやっていることは数学と呼べないように思います。

はちべえさんは、根拠があろうとなかろうと自分の予想が間違っているわけがないという前提に立っているように感じます。
そのような考え方は、良く言って宗教、悪く言えば妄想と呼ばれるべきものです。

ここは数学の場です。
証明が用意できないのならば(公理と定義を除き)どんな記述も真実かどうかわからない、という数学的立場で発言してください。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、おはようございます。

ご指摘ありがとうございます。

さて、https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...によれば、0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もあるそうです。それは、無限小を0とするかしないかの違いだそうです。

昨日は、2日も更新されず、これは、DD++様への返信が、必要であると気づいて、投稿したのですが、あの行は、DD++様の発言の回答には、不要であると気づいて、あの行を消そうと思った時に、管理人様の投稿があったのです。それで、不要な事態を招いてしまいました。

皆様、大変、ご迷惑おかけしました。

引用して返信編集・削除(未編集)

うんざりはちべえさんは、
 「0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もある」
ということを知った上で、「0.999・・・=1という体系」は誤りだという立場なんですよね?

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人様、おはようございます。

無限小を⊿とします。
0.999・・・=1の考えでは、⊿=0です。
一方0.999・・・<1の考えでは、⊿>0です。

ここで、四則演算が、無限でも適用できるとします。

1)さて、実数は連続なので、a+⊿=bとすると、a,bは隣り合うはずですね。
ところが、⊿=0なら、a=bで、同じものです。実数は、飛び飛びで、隣り合うものができない、連続でないとなりませんか?

2)有理数の稠密性で、a<bなら、a<(a+b)/2<bですね。(a+b)/2=cとおくと、
a<(a+c)/2<c<bで稠密なんですよね。

ここで、b=2⊿+aとすると、a<(a+b)/2<bは
a<(a+⊿)<a+2⊿
となりますね。⊿=0では、この不等式は成り立ちませんね。
すると、有理数の稠密性が成り立ちませんとなりませんか?

私は、普通の一般人なので、こんな初歩的な疑問です。

引用して返信編集・削除(未編集)

> さて、実数は連続なので、a+⊿=bとすると、a,bは隣り合うはずですね。

「隣り合う」とは何を意味していますか?
そして、その意味の上で「a+⊿=bとすると、a,bは隣り合う」の証明は?

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、こんにちは。

a≠bとなるb>a>0とします。c=(b-a)とすると、cの最小値は、⊿になりますよね。

aとbの距離は、最小値⊿ですから、隣り合うとなると思います。

三次元のグラフ上のa,bとなると、話が違ってきますが、数直線で考えるとということです。

cの最小値は⊿しかないわけですから。

なお、以下の話は、ないものとしておきます。

1)連続なら、a<(a+b)/2<bが存在するから最小値は⊿/2だ、(無限小は⊿なので、)とはなりませんよね。

2)微分の⊿>⊿^2>0も、ここでは、扱わないとします。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月30日 13:20)

(1) 「隣り合う」という言葉を正確に定義してください。
(2) その c=
b-a に最小値は存在しません。

引用して返信編集・削除(未編集)

「隣り合うとは」
最小目盛り幅が⊿の数直線で、目盛り上のaの隣の目盛り上をbとして、隣り合うa,bと言ってます。
すべての点は、最小目盛り幅の自然数倍にあるとします。
ただし、a,bが3目盛り離れていると、中点cは1.5目盛りなので、目盛り上からずれてしまいます。
また、点間は、無限小以上を守らないといけないので、連続するには、すべての点は、最小目盛り幅でなければならないと思います。
デジタル的だと思うかもしれませんが、無限小間隔です。目盛りは可付番で、どれ一つ同じものはありません。

つまり、⊿=0だと、すべての点が、座標で決められていれば、一点に重なります。座標とは無関係ならば、座標が1点になるので、多くの点が消えてしまいます。これは、先に、⊿>0で座標が決まっていたものを、⊿=0にするという勘違いですね。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月30日 18:57)

c が目盛り上からずれてしまうというのは、
・c=(a+b)/2 は実数とは認めない
・この点の集合は全ての実数を表していない
のどちらですか?

引用して返信編集・削除(未編集)

cは、実数です。

目盛り上で、ないといけないというのではなくて、点と点の幅が⊿以上あればよいのではないでしょうか?

最初に書いたb=a+⊿です。これを目盛り付きの数直線で、説明したほうが、隣り合うということを説明しやすかったもので・・・・

だから、連続も、点と点の幅が⊿であれば、目盛り上である必要はないと書いたつもりです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月30日 19:22)

では、a と b の間が 3 目盛りだとして、
c=(a+b)/2 と d=(a+2b)/3 の表す点の幅はいくつですか?

引用して返信編集・削除(未編集)

うんざりはちべえさんがΔを持ち出していらしたので、横入りですけれどもひとことを。

うんざりはちべえさんが現在展開なさろうとしている無限小についてのお話しの筋立てには未来がありません。早晩、矛盾があちこちから吹き出して行き詰まります。やめておいたほうがいいです。

うんざりはちべえさんが、オリジナルな方法で、真剣に無限小を実数に組み込もうと思っていらっしゃるのであれば、
数学基礎論をひととおり勉強し、なかでもモデル理論について自信が持てるほどにしっかりと身につけ、
そうした武器を駆使した上でオリジナルの超実数について体系を構成していくべきです。
私たちは、通常、標準的なモデルの上で数学について語り合っています。
いま、うんざりはちべえさんは、標準的なモデルの上で、Δを持ち出していらっしゃいますが、これは不毛です。標準的なモデルにはおっしゃるような概念のつけいる隙はありません。

ですので、「私はこのように無限小を捉えたい」というのであれば、
全く新しい非標準的なモデルの上での数の体系を創造しなければなりません。
これは、素人には無理な話です。
テキトーにやろうとすると失敗するので、厳密なやり方をまずは学ぶ必要があるのです。たぶん、大学院レベル。

なお、新しいモデルの上で無限小を定式化し実数の体系を補完し新しい数の体系を生み出した事例は既に *複数* 、存在していますが、
そうしたなかには、1=0.999…を是とした体系も、1>0.999…を是とした体系も、ともにあるのだそうですよ。
どれが正解だ、という問いは存在せず、「かくかくしかじかの手法で数の体系を構築したら、こうなった、おもろい。」でしかないのです。
重ねて申し上げますが、標準的なモデルでの上での実数体を前提としている、大概の数学掲示板では、1=0.999……が真です。
これが偽だといいはじめると、おそらく会話がうまくいきません。

「だったら新しい体系を建設してもってきてね、数学基礎論の言葉で各種の述語を定義して、公理・定理の連鎖でもって、実数体の拡張をしてみてくださいね」としか、反応できませんよね。

※たしか、ロビンソン流の超準解析でも、1=0.999……だった気がしますが、不勉強の私ですから眉唾ですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

調査での不一致

円周率π(3.141592・・・)
に現れる数字0~9が何個出現するのかを調査していて(先頭の3も含む。)
全部で10^n個中の特に"6"の数字についての調査結果で
n=1->1
n=2->9
n=3->94
n=4->1021
n=5->10028
n=6->99548
n=7->999337
・・・・・・・・・・・・・・
n=12->99999807503

までの結果がOEISのA099297に載せてある。
他にも数字"0","1",・・・,"9"
などのデータも他の項目で載っているのだが、この"6"のn=5での数字だけが
自分の調査では10028は10029となってしまいこれと一致しなかった。
(他の数字はピタリなのでやり方は間違っていないと思うのですが
何方か、この数字を確認して頂けませんでしょうか?)

引用して返信編集・削除(未編集)

GAIさんによる御指摘の真偽を判定するには至りませんでしたけれども、少なくとも OEIS に誤植があろうことは確実と思われます。

実際に検算いたしますと、
A099291[5]+A099292[5]+A099293[5]+A099294[5]+A099295[5]+A099296[5]+A099297[5]+A099298[5]+A099299[5]+A099300[5]=
9999 +10137 +9908 +10025 +9971 +10026 +10028 +10025 +9978 +9902
=99999
となりまして
OEISが無矛盾であるときに期待される値である100000に1足りません。
GAIさんによる御提起に状況証拠となるやもしれません。

引用して返信編集・削除(未編集)

↓こちらで解決済みだと思います。
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1309.html

引用して返信編集・削除(未編集)

あら!
近ごろ記憶障害が起き出しているのかも。
随分前に記録していたノートのメモを読み返していたら、この部分についての ”どうして違うのだろう?”
というコメントを残して居ったので、つい以前投稿していたことを全く忘れており再び投稿してしまった次第です。
お恥ずかしい。(先頭の3はカウントに入れるの間違いも犯していました。3は入れないが正しいです。)
ノートに投稿済みとメモを追加しておきました。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月30日 06:49)

数の表現ー続き

スレッドに追加できないと表示されましたので、新規にしました。

DD++様、おはようございます。

>はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。

私としましては、自然数の2乗の逆数の和を求めるバーゼル問題は、有理数の四則演算なので、有理数で閉じているから、無限であっても、有理数のはずです。オイラーが、π^2/6と求めたのが、間違いであろうと思います。
ですから、当然、オイラー積も有理数で閉じていますから間違いで、リーマンのζ関数も間違いです。
と、私は思っています。

>で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう?

0.999・・・のあとに、どれだけ9をつけたしても、小数点は、移動しません。また、末位で、9の次の記号が必要になったら、桁上がりの連鎖がおきて、1になります。小数点は、移動しません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月26日 07:37)

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。
はじめまして。

おしゃっていることが、レベルが高すぎて、理解できません。

引用して返信編集・削除(未編集)

No.254の有理数進数では、無理数を表せないと修正します。

引用して返信編集・削除(未編集)

> 有理数の四則演算なので、有理数で閉じているから、無限であっても、有理数のはずです。

なるほど、ではその証明をどうぞ。
四則演算一般でなく和の場合のみ、すなわち「有理数の総和は有理数である」という命題だけで構いません。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、遅れてすみません。24時間に20投稿という制限がありました。うっかりです。

これで、どうでしょう?

有理数と有理数の和が有理数であることを証明する。
数学的帰納法を使う。

a0/b0を初項とする。有理数である。
これに、a1/b1をたすと、
a0/b0+a1/b1=(b1a0+b0a1)/(b1b0)
であり、右辺は有理数である。

a0/b0からan/bnまでを足しても有理数cn/dnだったとする。
さて、これに、a(n+1)/b(n+1)を加えると、
cn/dn + a(n+1)/b(n+1) = {b(n+1) cn+dn a(n+1)}/{dn b(n+1)}
右辺は有理数である。

よって、数学的帰納法によって、証明された。

ちょっと、雑ですが、お許しください。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月26日 16:36)

数学的帰納法は、任意の自然数nについてある条件が成立することを示す証明法です。
つまり、はちべえさんがここで証明した命題は正しくは「任意の自然数nについて任意のn個の有理数の総和は有理数となる」という命題です。

確かにこれで、個数が100個であろうが1万個であろうが、有理数のみからなる総和は有理数であることが保証されました。
しかし、数学的帰納法を用いた以上、そこには【その個数が自然数として表現できる限りは】という制約がついてきます。

無限は残念ながら自然数ではありませんね。
したがってこの証明では有理数のみからなる無限和が有理数になるかどうかは実は不明なままなんです。
無限和でも有理数だと主張したいのであれば、個数が自然数でなくても適用できる証明をしなくてはなりませんが、さて、どうでしょう?

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、おはようございます。

>無限和でも有理数だと主張したいのであれば、個数が自然数でなくても適用できる証明をしなくてはなりませんが、さて、どうでしょう?

困りました。

そこで、世間では、どうしているのだろうと、みると、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
の「収束することの証明」では、無邪気に無限までなんの説明もなく、やっています。

まあ、参考にはなりませんね。困りました。いい案ないですかね?

ところで、放送大学の「初歩からの数学」で、有理数には、循環する無限小数はふくまれ、循環しない無限小数は無理数だと習いました。循環する無限小数は、例えば、1÷7ですが、あまりが循環するので、循環する無限小数となるのです。ところが、0.999・・・は、無限小数ですが、あまりはありません。つまり、あまりが循環する循環小数では、ないのです。したがって、無理数です。1は有理数で、0.999・・・は、無理数で、等号で結べませんと思います。

引用して返信編集・削除(未編集)

世間一般では、「0.999・・・」は循環小数だと思うのですが、うんざりはちべえさんはそう考えないわけですね?

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人さん、おはようございます。

いつもご迷惑おかけします。

さて、0.999・・・は、ただ9を並べただけで、9が連続する(循環する)理由がないですよね。見かけは、循環しているように見えますが、ちがいますよね。
1÷7は、あまりが循環するから、循環小数になり、無限小数になります。

循環する根拠(理由)は、いりませんか?

引用して返信編集・削除(未編集)

1÷1を計算すれば、9が連続しませんか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 14:19)

1÷1=1で、長さ0の有限小数です。あまり、0です。

もしかして、
0.9999
1)1
  10
   9
  --------
    10
    9
   ------
    10
     9
    -------
     10
     9
を言ってます?あまり1で循環させることもできます・・・
昔の同僚が、学校の数学の先生から1=0.999・・・の証明として、説明されたと言ってました。

これで、1=0.999・・・は、終わりにしますか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 11:33)

> 困りました。いい案ないですかね?

ありません。なぜなら、実際には無限和の場合この命題は偽だからです。反例の1つがまさにバーゼル問題です。

同様に、交換法則、結合法則等も無限和においては成立せず、それどころか同じ内容の式であれば何回計算しても常に同じ答えになることすら保証されません。

もちろん、9を付け足していくという操作に関しても、有限回であれば当たり前のことが無限回で成り立つかどうかは逐一証明が必要です。
9を付け足しているだけでは繰り上がりが起こらない……本当に無限回でもそうですか?
というのが最初に私が指摘した内容です。

引用して返信編集・削除(未編集)

「あまり1で循環させることもできます・・・」とのことですが、どうするのでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

宇宙人との接触に成功し懸命に文化・学問の交流を試みはじめていました。
この宇宙人とのあいだで、地球の数学概念・数学記号について対話しています。
宇宙人側は万能翻訳機に近いものを持ってはいたのですが……
対話のなかで
不等号についてはすぐに宇宙人にご理解いただけました。
ところが等号についてはなかなかご理解いただけていません。

宇宙人側にとって、
1=0.999999……
がどうやら難関のようです。

十進の有限小数の範囲までなら等号の意味を理解はしてもらってはいるのですけれども。

そんなある日のこと、地球側の小さな子ども(ジョン)が、宇宙人の子ども(名前不明)と話はじめました。

ジョン
「あのねえ
A=B
について説明するよ。
もひとつなんでもいいから十進の有限小数となるCをもってくる。
A<C 
B<C 
がともになりたつか
A>C 
B>C 
がともになりたつかの、
どちらかがどんなCについても必ずいえるとき
A=B
というんだよ。 」

名無し(宇宙人の子)
「なあんだ、地球の等号って、そういうことなのか、悩んで損したなあ」

子どもたちの会話を聞いていた大人たちは喜びました。
地球の十進無限小数の概念が伝わった瞬間でした。

※あとでわかったことですが宇宙人の数学での数の表現は連分数展開を基調とするものだったのでした。


―――

という例えばなしはいかがでしょうか?

十進の有限小数の全体の集合をデデキントっぽく切断して十進の無限小数(循環小数または無理数)に拡大するというお伽噺です。

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DD++様、こんにちは。

無限では、情報はなくなるという理解でいいのでしょうか?

管理人様、こんにちは。

>「あまり1で循環させることもできます・・・」とのことですが、どうするのでしょうか?

管理人様の1÷1のことです。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんにちは。

難しいお話ですが、お手数をおかけして、申しわけございません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 12:23)

具体的にどう計算するのかを知りたいのですが…。

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人様、No.275です。
 --------
1)1
で、あまり1として、
  0.9
 --------
1)10
   9
  -----
   1
とあまり1にするのです。
  0.99
 --------
1)10
   9
  -----
   10
    9
   ------
    1
とあまり1にするのです。
もう説明不要でしょう?

もちろん、
  1
 -------
1)1
  1
  ----
  0
ですけどね。だから、1=0.999・・・となります。

もちろん、これは、方便に過ぎないと思いますが、あまり1で循環する無限小数となります。有理数になります。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 14:04)

1÷1で、あまり1が続く計算から、0.999…が循環小数であることを示されたわけですが、
このことは今まで言われていたことに矛盾しませんか?

引用して返信編集・削除(未編集)

0.999・・・は、無理数です。循環小数とする根拠がありませんからね。

この1÷1は、あくまで、方便です。0.999・・・を作るのに、インチキしてますからね。

1=0.999・・・を終わらせる方便です。管理人様の発案を利用しただけです。

この議論は、終わりにしないと、管理人様にもいつまでも迷惑をおかけし、他の人にも迷惑だと思いました。

本当は、これから、0.999・・・は、循環小数かという議論が、したかったのですが・・・。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0
には、0.999・・・は、循環小数と書かれています。

勝手な行動ばかりで、管理人様には、本当にすみません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 15:46)

「情報が失われる」という数学的用語は私が知る限り存在しませんが、それを「演算について閉じなくなる」と同じ意味で用いているのであれば、そうです、無限の場合にはそうなることがあります。
また、そうならない場合でも、無限の場合でも適用可能な証明をするまでは断言することはできません。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、おはようございます。

>なぜなら、実際には無限和の場合この命題は偽だからです。反例の1つがまさにバーゼル問題です。

このことから、
0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
は、無理数であるとなりますね。

DD++様の
>「情報が失われる」という数学的用語は私が知る限り存在しませんが、それを「演算について閉じなくなる」と同じ意味で用いているのであれば、そうです、無限の場合にはそうなることがあります。

は、理解できました。

>また、そうならない場合でも、無限の場合でも適用可能な証明をするまでは断言することはできません。

は、注意しておきます。

ありがとうございます。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月29日 10:49)

勘違いなのかな?

https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue
内の記事で

Dirichlet's theorem says there are an infinite number of primes of this form. 2521 is the smallest,
and indeed 1^2 ≡ 1, 1046^2 ≡ 2, 123^2 ≡ 3, 2^2 ≡ 4, 643^2 ≡ 5, 87^2 ≡ 6, 668^2 ≡ 7, 429^2 ≡ 8, 3^2 ≡ 9, and 529^2 ≡ 10 (mod 2521).

の内容を見る。

そこでこれを確かめていたら
素数2351に置いて(mod 2351)では
1^2 ≡ 1
480^2 ≡ 2
84^2 ≡ 3
2^2 ≡ 4
97^2 ≡ 5
353^2 ≡ 6
684^2 ≡ 7
960^2 ≡ 8
3^2 ≡ 9
460^2 ≡ 10
898^2 ≡ 11
168^2 ≡ 12
13は存在しない。
820^2 ≡ 14
1095^2 ≡ 15
4^2 ≡ 16
17は存在しない。

また10までの連続と限定しても素数2399では
(mod 2399)では
1^2 ≡ 1
49^2 ≡ 2
541^2 ≡ 3
2^2 ≡ 4
427^2 ≡ 5
120^2 ≡ 6
1157^2 ≡ 7
98^2 ≡ 8
3^2 ≡ 9
668^2 ≡ 10
11は存在しない。
1082^2 ≡ 12

が存在するのでsmallest 2521 は相応しくないのでは?
解釈が間違っていたらご指摘下さい。

引用して返信編集・削除(未編集)

「p≡1 (mod 8), (mod 12), (mod 5), (mod 28)のとき・・・であるが、それを満たす最小の素数は2521」
と言っているのでは?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 19:31)
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