😊出会いの泉😊

牛乳を入れると側面中央がそれぞれ約2mm膨らむそうです(AIの回答)。
この曲線を円弧として計算すると、断面積が49→52.7となり、
19.5を掛けると1000を超えます。

はい牛乳を入れると側面が僅かに膨らみ、ピッタリ1ℓを注ぐことになるそうです。
工業デザインとはよく考えられているものですね。
そういえば缶コーヒーのプルトップも引っ張って切れやすいように非対称的な円形構造をしていますね。

多分
[1] n=32325229*k-3411452 のとき 32325229
[2] n=174878089*k-97513454 のとき 174878089

(追記)
ところで
gcd(n^5+3,(n+1)^5+3)は n=41*k-12 だけではないですね。
n=6311*k-2501のときに6311になると思います。
つまり、gcd(n^5+3,(n+1)^5+3)は
n=258751*k-236008 … (1) のとき 258751
（41k-12と6311k-2501の共通部分）
(1)以外でn=6311*k-2501 のとき 6311
(1)以外でn=41*k-12 のとき 41
上記以外のとき 1
となるのではないでしょうか。

同様に、
[1]は 32325229 の他に 3185062281087740571181
[2]は 174878089 の他に 833544852825037
があると思います。

わ～他の最大公約数もあるんですね。
こんな大きなものは全く予想外でした。

では
gcd(n^17+9,(n+1)^17+9)の1以外の値は見つかりますか？

> gcd(n^17+9,(n+1)^17+9)の1以外の値は見つかりますか？

1658074432246579665377027434627058627273061920217757410397795384493223
352114972939771130346840082354341978716844306415221012933487999
の素因数であることまではわかったのですが、この133桁の数が素因数分解できていないため、具体値は今のところわかりません（しばらくかかりそうですが、現在計算中です）。

[8936582237915716659950962253358945635793453256935559 1]
[13621228647205028136235902561643175420131 2]
の分解になるようです。

なるほど、それでしたら1以外の値は
8936582237915716659950962253358945635793453256935559
だけだと思います。（経験的にp^2のpにはならないようなので）
おそらく
n=8936582237915716659950962253358945635793453256935559*k-○ のときだけ
最大公約数が 8936582237915716659950962253358945635793453256935559
になると思いますが、○を特定する方法はわかりません。

gcd(n^5+3,(n+1)^5+3)
において
n=29(その後41の開きの部分) で41
n=3810(その後6311の開きの部分) で6311
n=22743(その後258751の開きの部分) で258751
その他のnではすべて　1

これを発見するのに終結式が上手く使えることになっていました。
終結式はシルベスター行列Sが使えて
[1 0 0 0 0 1 0 0 0 0]

[0 1 0 0 0 5 1 0 0 0]

[0 0 1 0 0 10 5 1 0 0]

[0 0 0 1 0 10 10 5 1 0]

[0 0 0 0 1 5 10 10 5 1]

[3 0 0 0 0 4 5 10 10 5]

[0 3 0 0 0 0 4 5 10 10]

[0 0 3 0 0 0 0 4 5 10]

[0 0 0 3 0 0 0 0 4 5]

[0 0 0 0 3 0 0 0 0 4]

この行列式が
gp > matdet(S)
%4 = 258751
これを因数分解して
gp > factor(%)
%5 =
[ 41 1]

[6311 1]
から
gcd=41,6311,258751（その他は1すべて)が見れる。

そこでこれをgcd(n^17+9,(n+1)^17+9)に使うと
[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1 0]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17 1]

[9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136 17]

[0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680 136]

[0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380 680]

[0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188 2380]

[0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376 6188]

[0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448 12376]

[0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310 19448]

[0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310 24310]

[0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448 24310]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376 19448]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188 12376]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380 6188]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680 2380]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136 680]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17 136]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 17]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10]

これから
gp > matdet(%)
%13 = 8936582237915716659950962253358945635793453256935559
gp > factor(%)
%14 =
[8936582237915716659950962253358945635793453256935559 1]
即ち素数

これって
gcd(n^17+9,(n+1)^17+9)
の値は
n=1,2,3,･････････,8424432925592889329288197322308900672459420460792432 まですべて　1
n=8424432925592889329288197322308900672459420460792433 でいきなり8936582237915716659950962253358945635793453256935559
また次からは　1が続いていき
つぎの8936582237915716659950962253358945635793453256935559だけ離れた
n=17361015163508605989239159575667846308252873717727992 で再び　8936582237915716659950962253358945635793453256935559
以下同様

という物凄い現象が起こることを示しているのですよね。
だれがこれだけ1が続いていて、いきなりビックリするような値が対応してくると想像できるだろうか！
いくら既成の事実が示されていても、数学的帰納法の様な魔法の証明で示さない限り真実ではないと心しておかないといけないんだと
いう警告を与えてくれます。

n=1 のとき g=27
n≡161 (mod 162) のとき g=1467
それ以外のとき g=9
でしょうか。
（nが大きいとき他の値をとる？）

はい。
もっと大きな所で探していたら突然これ以外が現れました。
しかしそれ以上があるのと言われたら何とも言えないのですが・・・

多分
n≡35281 (mod 37170) のとき g=334539
ですね。
この上は現在探索中です。
（しばらく見つからなければ諦めます）

その後しばらく探しましたが、見つかりませんでした。
おそらくn＜1億では他にないと思います。

10^5までで3時間30分ほど
10^6で9時間30分ほどの時間がかかるので
オーダーが一桁上がると指数関数的に所要時間が延びる
従って10^9ともなると243時間以上(10日以上)の時間がかかりそうです。

(裏話)
所で2024年度イギリスで開催された国際数学オリンピック大会で
問題2（全部で6題の問題が出される)に
正の整数の組(a,b)であって、次を満たす正の整数gとNが存在するようなものをすべて求めよ。
　任意の整数Nについてgcd(a^n+b,b^n+a)=g が成り立つ。
(ただし、正の整数x,yに対し、xとyの最大公約数をgcd(x,y)で表す。)

この解答が
求める正の整数組は(a,b)=(1,1)に限る
であるという。（全問正解者がいるというのだからそれはすごい)

ということは必ずやあるN以上の自然数nすべてで一定のgの値で固定してしまうことは起こらないわけで
gcd(9^n+18,18^n+9)の値は9が圧倒的に出現回数が起こるが、ここで調査したように
n≡-1 (mod 162)ではg=1467
n≡-1889 (mod 37170)ではg=334539
（今のところ他は不明)
がずっと続くのだからこの反例とはならない。
この問題を知って(a,b)をいろいろ変えて調査していた時
(a,b)=(6,18)==>６が続くもn=49で366へ移る
(a,b)=(10,15)==>5が続くもn=71で5045となり
(a,b)=(9,18)==>9が続くもn=161で1467が出現
ということで(9,18)の場合を出題しておりました。

この問題の正解への導き方が想像にも及ばない。

どうぞお大事に……。

お大事に・・・

どうかお身体に気をつけて……

お大事になさってください。

ＨＰの更新を明日より再開したいと思います。ただ、まだ体調が万全ではないので、しばらくは不定期での更新とさせていただきます。皆様にはご迷惑をおかけしますが、よろしくお願いいたします。

お帰りなさい。
自分事で恐縮ですが私も偶然にも大腸検査なるものをひょんな事から受けて、とても大きなポリープがあり
とても当病院では取れないので紹介状を書きますからここで手術を早めに受けて下さいとの宣言を頂いた。
日頃全く自覚症状は無く、他の検査も同時に受けた自分の心臓や肺、胃、大腸の映像を見せられ、これが自分の
中に有るのだ！　と改めて「自分の身体は自分が全く知らない」のだの認識を強く持ちました。
考えてみたら心臓なんて生まれてこの方　1秒間に1回70年間も生きておれば
60*60*24*365*70 = 2207520000（回)
もの拍動を一時も休まず動き続けていると思うとほんとにお疲れ様と言いたいです。

お互い身体を労わりながら、これからも付き合っていきましょう。

ＧＡＩさんもお身体を大切に！

管理人様

本日の更新を見て、ほっとしました。
ご退院、おめでとうございます。

早速ですが
角の大きさ（４９）を見て、

中心角が２７０度なので
円周角は１３５度
と解きました。

下記であっていますか？

n*(n +1)*(n +2)*(n +3)*(n +4)*(n +5)
(n^4/2 +5*n^3 +16*n^2 +(35*n)/2 +2)^2 -(n^4/2 +5*n^3 +15*n^2 +(25*n)/2 -2)^2

※別解もあるのかもしれず、ずっとあれこれこねくりまわしております。

合っていますね。
((a+b)/2)^2-((a-b)/2)^2=abから
nが偶奇の同じa,bの積で表せれば平方数の差で表せます。
例えば

a=(n+3)(n+4)(n+5), b=n(n+1)(n+2)とすれば
(a+b)/2=n^3+15n^2/2+49n/2+30
(a-b)/2=9n^2/2+45n/2+30
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^3+15n^2/2+49n/2+30)^2-(9n^2/2+45n/2+30)^2

a=n(n+3)(n+5), b=(n+1)(n+2)(n+4)とすれば
(a+b)/2=n^3+15n^2/2+29n/2+4
(a-b)/2=n^2/2+n/2-4
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^3+15n^2/2+29n/2+4)^2-(n^2/2+n/2-4)^2

a=(n+2)(n+3)(n+4)(n+5), b=n(n+1)とすれば
(a+b)/2=n^4/2+7n^3+36n^2+155n/2+60
(a-b)/2=n^4/2+7n^3+35n^2+153n/2+60
なので
n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)=(n^4/2+7n^3+36n^2+155n/2+60)^2-(n^4/2+7n^3+35n^2+153n/2+60)^2

などのようにいろいろな組み合わせが作れます。

Dengan kesaktian Indukmuさんが書かれた例は
a=n(n+2)(n+3)(n+5), b=(n+1)(n+4)
のようにおいたものと一致しますね。

あっ。そういう追い方をするのでしたか。
ありがとうございます。スッキリしました。

3以上の奇数は全て2個の平方数の差で構成可能が言えますね。
その中でも最も分割可能となるものは異なる奇素数を多く含む奇数が
予想出来るので、ちなみに6個の異なる奇素数を含む
N=3*5*7*11*13*17=255255
を2つの平方数の差で表せるパターンがどれだけ可能か予測してみました。
６つの素因数を2組(a,b)に分ける方法は
どんなに分けようともa,bは共に奇数にしかならないから、a,bから作られる
A=(a+b)/2;B=(a-b)/2は共に整数となりA^2-B^2はNを作ってくれる。

さてa,bへの分け方は
6C0=1　(1 VS 255255）
6C1=6
6C2=15
6C3/2=10(大小を区別するため）
全部で32通り可能
(n+1)^2-n^2=2*n+1=255255
からn=127627までが範囲ということで

チェックしてみた。
gp > {t=0;}for(a=1,127628,for(b=1,a-1,if(a^2-b^2==255255,print(t++";"a"^2-"b"^2"))))
1;508^2-53^2
2;512^2-83^2
3;524^2-139^2
4;536^2-179^2
5;604^2-331^2
6;628^2-373^2
7;668^2-437^2
8;688^2-467^2
9;752^2-557^2
10;776^2-589^2
11;856^2-691^2
12;964^2-821^2
13;1132^2-1013^2
14;1268^2-1163^2
15;1448^2-1357^2
16;1544^2-1459^2
17;1696^2-1619^2
18;1996^2-1931^2
19;2348^2-2293^2
20;2528^2-2477^2
21;3292^2-3253^2
22;3664^2-3629^2
23;3884^2-3851^2
24;6088^2-6067^2
25;7516^2-7499^2
26;8516^2-8501^2
27;9824^2-9811^2
28;11608^2-11597^2
29;18236^2-18229^2
30;25528^2-25523^2
31;42544^2-42541^2
32;127628^2-127627^2

予想通り32のパターンで255255の数字は２個の平方数の差で作ることが出来た。

通常{2^n};1,2,4,8,16,32,････(n=0,1,2,･･･)
を示すのに二項係数を使って
∑[i=0,n]C(n,i)が多用されている。

しかし例の異なる奇素数をｋ個含む場合の2つの平方数の差で構成する方法を
考える中で何も上記の式に寄らなくてもパスカルの三角形をもう一段降りて
2C0+2C1+2C2=1+2+1=4を
3C0+3C1=1+3=4

3C0+3C1+3C2+3C3=1+3+3+1=8を
4C0+4C1+4C2/2=1+4+3=8

4C0+4C1+4C2+4C3+4C4=1+4+6+4+1=16を
5C0+5C1+5C2=1+5+10=16

5C0+5C1+5C2+5C3+5C4+5C5=1+5+10+10+5+1=32を
6C0+6C1+6C2+6C3/2=1+6+15+10=32
としても不都合は起こらない。

これから一般に
G(n)=if(n%2==1,sum(i=0,floor(n/2),C(n,i)),sum(i=0,n/2-1,C(n,i))+C(n,n/2)/2);
としてやれば
gp > for(n=1,20,print(n";"G(n)"=2^"n-1))
1;1=2^0
2;2=2^1
3;4=2^2
4;8=2^3
5;16=2^4
6;32=2^5
7;64=2^6
8;128=2^7
9;256=2^8
10;512=2^9
11;1024=2^10
12;2048=2^11
13;4096=2^12
14;8192=2^13
15;16384=2^14
16;32768=2^15
17;65536=2^16
18;131072=2^17
19;262144=2^18
20;524288=2^19

私には全く今まで気付きもしなかった視点でした。

「素数でないときp^2で割り切れない」も成り立ちそうですね。

とりあえずプログラムで調べてみましたが、
上と下が正反対の順番になるときに必要となる横棒が最大数となり、
そのときの横棒の数はn(n-1)/2本のようです。
例

私のプログラムでも同じ値になりました。
ついでに8桁まで調べましたので、2桁～8桁のk=1～100を書きます。
(2桁～7桁はすべて8桁から作れますので、8桁以外はあまり意味はないです)

2桁
88, 64, 72, 08, 96, 44, 88, 76, 44, 12, 08, 76, 76, 76, 76, 68, 52, 76, 88, 08,
92, 04, 92, 52, 88, 92, 36, 12, 16, 44, 64, 56, 16, 84, 32, 48, 52, 96, 64, 56,
64, 12, 44, 64, 92, 08, 88, 04, 44, 52, 96, 76, 24, 24, 08, 48, 84, 16, 12, 92,
44, 84, 52, 44, 16, 92, 04, 64, 64, 92, 72, 16, 88, 96, 76, 04, 12, 12, 84, 84,
12, 48, 48, 72, 56, 92, 96, 32, 32, 36, 32, 52, 28, 56, 32, 52, 04, 96, 36, 16,

3桁
288, 864, 472, 008, 496, 544, 688, 176, 144, 112, 808, 576, 376, 176, 976, 168, 952, 776, 688, 608,
992, 704, 392, 152, 488, 992, 536, 512, 216, 344, 664, 256, 216, 784, 032, 848, 352, 496, 664, 856,
264, 712, 144, 864, 792, 008, 088, 704, 544, 152, 696, 776, 024, 624, 408, 448, 784, 616, 712, 192,
944, 184, 152, 344, 616, 992, 104, 464, 264, 792, 872, 216, 088, 896, 976, 104, 112, 112, 784, 984,
512, 848, 648, 072, 456, 192, 896, 232, 432, 736, 032, 352, 528, 256, 032, 552, 104, 296, 536, 616,

4桁
6288, 6864, 3472, 9008, 2496, 2544, 4688, 4176, 8144, 6112,
7808, 6576, 9376, 4176, 0976, 3168, 3952, 5776, 4688, 6608,
6992, 8704, 3392, 1152, 3488, 4992, 3536, 2512, 5216, 5344,
3664, 8256, 5216, 2784, 6032, 6848, 2352, 8496, 5664, 9856,
3264, 1712, 4144, 2864, 1792, 1008, 7088, 0704, 0544, 9152,
5696, 3776, 7024, 8624, 9408, 4448, 8784, 1616, 7712, 2192,
0944, 9184, 7152, 1344, 9616, 2992, 3104, 2464, 1264, 9792,
9872, 5216, 3088, 6896, 6976, 3104, 0112, 0112, 6784, 9984,
6512, 6848, 3648, 3072, 1456, 0192, 6896, 1232, 4432, 8736,
6032, 0352, 2528, 0256, 2032, 3552, 1104, 5296, 9536, 5616,

5桁
36288, 16864, 53472, 79008, 62496, 12544, 94688, 54176, 38144, 46112,
67808, 16576, 09376, 34176, 10976, 43168, 53952, 35776, 34688, 36608,
96992, 88704, 63392, 41152, 63488, 64992, 33536, 72512, 85216, 05344,
93664, 48256, 65216, 62784, 16032, 46848, 72352, 38496, 85664, 49856,
83264, 11712, 54144, 12864, 61792, 91008, 77088, 60704, 20544, 09152,
65696, 63776, 37024, 18624, 29408, 24448, 18784, 51616, 87712, 52192,
70944, 49184, 77152, 21344, 59616, 12992, 03104, 02464, 51264, 29792,
99872, 25216, 73088, 76896, 66976, 03104, 30112, 70112, 26784, 69984,
16512, 66848, 83648, 23072, 51456, 00192, 16896, 51232, 94432, 68736,
96032, 40352, 42528, 20256, 12032, 03552, 11104, 15296, 09536, 35616,

6桁
036288, 916864, 753472, 579008, 162496, 412544, 194688, 754176, 638144, 946112,
167808, 416576, 109376, 834176, 510976, 143168, 653952, 435776, 434688, 436608,
396992, 488704, 963392, 441152, 063488, 364992, 433536, 072512, 185216, 305344,
993664, 448256, 265216, 462784, 116032, 046848, 172352, 338496, 385664, 049856,
683264, 811712, 254144, 812864, 761792, 291008, 977088, 160704, 020544, 409152,
765696, 163776, 937024, 418624, 929408, 024448, 718784, 951616, 187712, 752192,
170944, 149184, 577152, 321344, 159616, 412992, 103104, 902464, 651264, 129792,
399872, 825216, 873088, 176896, 366976, 103104, 130112, 970112, 726784, 969984,
616512, 366848, 683648, 323072, 051456, 800192, 016896, 751232, 994432, 068736,
596032, 740352, 342528, 520256, 012032, 103552, 311104, 215296, 009536, 735616,

7桁
0036288, 0916864, 7753472, 1579008, 7162496, 8412544, 4194688, 0754176, 3638144, 1946112,
8167808, 3416576, 7109376, 4834176, 6510976, 5143168, 4653952, 7435776, 2434688, 4436608,
7396992, 4488704, 7963392, 5441152, 4063488, 7364992, 6433536, 1072512, 2185216, 7305344,
8993664, 4448256, 4265216, 9462784, 7116032, 6046848, 7172352, 1338496, 0385664, 5049856,
6683264, 7811712, 5254144, 7812864, 9761792, 3291008, 5977088, 1160704, 3020544, 1409152,
4765696, 3163776, 5937024, 3418624, 2929408, 8024448, 9718784, 7951616, 9187712, 9752192,
9170944, 7149184, 2577152, 3321344, 0159616, 9412992, 9103104, 5902464, 6651264, 8129792,
4399872, 0825216, 0873088, 0176896, 0366976, 1103104, 5130112, 6970112, 4726784, 0969984,
3616512, 4366848, 0683648, 4323072, 0051456, 5800192, 2016896, 4751232, 0994432, 0068736,
3596032, 6740352, 2342528, 5520256, 0012032, 8103552, 1311104, 2215296, 9009536, 8735616,

8桁
00036288, 10916864, 27753472, 01579008, 57162496, 58412544, 74194688, 40754176, 33638144, 41946112,
78167808, 83416576, 67109376, 34834176, 76510976, 55143168, 94653952, 07435776, 92434688, 74436608,
97396992, 84488704, 87963392, 15441152, 44063488, 37364992, 06433536, 91072512, 02185216, 17305344,
18993664, 24448256, 04265216, 09462784, 07116032, 76046848, 67172352, 31338496, 50385664, 05049856,
16683264, 97811712, 25254144, 87812864, 29761792, 93291008, 05977088, 41160704, 63020544, 91409152,
04765696, 73163776, 55937024, 83418624, 82929408, 98024448, 49718784, 67951616, 59187712, 79752192,
49170944, 97149184, 02577152, 83321344, 90159616, 39412992, 29103104, 35902464, 16651264, 88129792,
04399872, 50825216, 10873088, 60176896, 50366976, 21103104, 55130112, 86970112, 64726784, 60969984,
83616512, 24366848, 30683648, 64323072, 20051456, 25800192, 12016896, 54751232, 10994432, 90068736,
03596032, 56740352, 72342528, 55520256, 40012032, 38103552, 71311104, 32215296, 99009536, 38735616,

8桁までだと何とも中途半端なので、10桁まで求めました。
10桁だとe[10000000000]が作れませんので、配列を使わないようにしました。
その代わりk=1～100を求めるのに数時間かかっています。

9桁
000036288, 210916864, 027753472, 001579008, 957162496, 058412544, 574194688, 840754176, 933638144, 441946112,
378167808, 283416576, 067109376, 534834176, 576510976, 755143168, 894653952, 407435776, 792434688, 474436608,
597396992, 284488704, 387963392, 515441152, 344063488, 337364992, 306433536, 891072512, 802185216, 117305344,
218993664, 524448256, 904265216, 409462784, 307116032, 676046848, 467172352, 631338496, 350385664, 605049856,
516683264, 397811712, 725254144, 787812864, 329761792, 293291008, 405977088, 441160704, 863020544, 791409152,
804765696, 073163776, 655937024, 283418624, 182929408, 298024448, 249718784, 667951616, 059187712, 279752192,
049170944, 397149184, 902577152, 083321344, 290159616, 939412992, 829103104, 435902464, 016651264, 388129792,
104399872, 850825216, 110873088, 260176896, 450366976, 221103104, 655130112, 986970112, 164726784, 060969984,
183616512, 724366848, 230683648, 064323072, 820051456, 025800192, 712016896, 054751232, 110994432, 590068736,
303596032, 856740352, 672342528, 255520256, 340012032, 438103552, 571311104, 932215296, 899009536, 738735616,

10桁
0000036288, 5210916864, 0027753472, 8001579008, 4957162496, 5058412544, 2574194688, 2840754176, 0933638144, 6441946112,
1378167808, 0283416576, 9067109376, 4534834176, 2576510976, 9755143168, 3894653952, 5407435776, 2792434688, 8474436608,
7597396992, 4284488704, 3387963392, 5515441152, 3344063488, 2337364992, 5306433536, 6891072512, 6802185216, 6117305344,
6218993664, 5524448256, 5904265216, 4409462784, 4307116032, 6676046848, 0467172352, 7631338496, 7350385664, 6605049856,
9516683264, 8397811712, 0725254144, 9787812864, 8329761792, 4293291008, 4405977088, 8441160704, 5863020544, 5791409152,
8804765696, 4073163776, 1655937024, 4283418624, 6182929408, 1298024448, 2249718784, 9667951616, 5059187712, 1279752192,
3049170944, 4397149184, 4902577152, 5083321344, 8290159616, 3939412992, 6829103104, 4435902464, 0016651264, 8388129792,
0104399872, 4850825216, 9110873088, 6260176896, 3450366976, 6221103104, 3655130112, 0986970112, 6164726784, 2060969984,
0183616512, 1724366848, 4230683648, 9064323072, 5820051456, 7025800192, 8712016896, 0054751232, 0110994432, 6590068736,
5303596032, 3856740352, 7672342528, 1255520256, 0340012032, 5438103552, 6571311104, 7932215296, 4899009536, 3738735616,

8桁なら膨大な次元のベクトルが必要だなと思っていたんですが、それを実行されていたんですね。
10桁はまた異なるアルゴリズムで求められていてどんな対応も自由自在にこなせる能力には
ほとほと感心します。

10^14!=10^(14!)という解釈で正しければ、0の直前は1だけです。
（Pari/GPでも10^14!=10^(14!)と解釈されます）
もし(10^14)!ならば・・・今ちょっと忙しいので後で気が向いたら計算してみます。

おー失礼しました。
N=（10^14)!でお願いします。

プログラムにバグがなければ、76だと思います。
N=(10^k)!としてk=1～36に対して以下のようになりました。
88, 64, 72, 08, 96, 44, 88, 76, 44, 12,
08, 76, 76, 76, 76, 68, 52, 76, 88, 08,
92, 04, 92, 52, 88, 92, 36, 12, 16, 44,
64, 56, 16, 84, 32, 48

おープログラムでk=36までの超巨大数まで判明可能なのですか！
N=（10^14)!に対して手動で(少し面倒な計算は計算機に任せてもよい。)
進める戦略はとれますか？

「k=36まで」は、そこらへんまでなら多倍長演算せずに簡単に計算できるから
36で終わりにしただけで、多倍長演算を行えば計算時間的にはk=1000でも可能です。

具体的には以下のように計算しています。
n=2^a[n]・5^b[n]・c[n] （c[n]は5で割り切れない奇数）として
a=Σ[n=1～N]a[n], b=Σ[n=1～N]b[n] とします。
a,bの計算は「2026!の末尾に0がいくつ続くか」などの問題で
使う方法で簡単に求められますね。
そして求めたいのは
2^(a-b)・Π[n=1～N]c[n] を100で割った余り
ですから、これをすべてmod100で計算すればOKです。
2^k % 100は先頭の2個を除き周期20でまわりますので
N≧8であれば
76 52 4 8 16 32 64 28 56 12 24 48 96 92 84 68 36 72 44 88
という配列d[20]のd[(a-b)%20]をとってくれば終わります。
Π[n=1～N]c[n]の方は
1～Nの中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/5]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/5^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
1～[N/2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2/5]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2/5^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
1～[N/2^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2^2/5]の中の末尾1,3,7,9の数の積
1～[N/2^2/5^2]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
1～[N/2^x/5^y]の中の末尾1,3,7,9の数の積
・・・
のすべての積をmod100で求めればよいわけですが、
(1～100で末尾1,3,7,9の数の積)%100=1ですから、
(1～Mの中の末尾1,3,7,9の数の積)
≡(1～M%100の中の末尾1,3,7,9の数の積) (mod 100)
であり、これもさっきと同様に
1 1 1 3 3 3 3 21 21 89 89 79 79 27 27 27 27 59 59 21
21 41 41 43 43 43 43 61 61 69 69 39 39 87 87 87 87 19 19 41
41 81 81 83 83 83 83 1 1 49 49 99 99 47 47 47 47 79 79 61
61 21 21 23 23 23 23 41 41 29 29 59 59 7 7 7 7 39 39 81
81 61 61 63 63 63 63 81 81 9 9 19 19 67 67 67 67 99 99 1
という配列e[100]のe[M%100]をとってくるだけで各行の計算が終わります。
（もちろんd[20]とe[100]は固定配列でなく、プログラムで計算して作っています）
結局e[100]から各行の値をとってきたものと上の方のd[(a-b)%20]を
すべてmod100で掛ければ終わりです。
具体例としてk=4(N=10000!)の場合は
1～10000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～2000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～400の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～80の末尾1,3,7,9の数の積=e[80]=81
1～16の末尾1,3,7,9の数の積=e[16]=27
1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
1～5000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～1000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～200の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～40の末尾1,3,7,9の数の積=e[40]=41
1～8の末尾1,3,7,9の数の積=e[8]=21
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～2500の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～500の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～100の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
1～20の末尾1,3,7,9の数の積=e[20]=21
1～4の末尾1,3,7,9の数の積=e[4]=3
1～1250の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
1～250の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
1～50の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
1～10の末尾1,3,7,9の数の積=e[10]=89
1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
1～625の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
1～125の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
1～25の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
1～5の末尾1,3,7,9の数の積=e[5]=3
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～312の末尾1,3,7,9の数の積=e[12]=79
1～62の末尾1,3,7,9の数の積=e[62]=21
1～12の末尾1,3,7,9の数の積=e[12]=79
1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
1～156の末尾1,3,7,9の数の積=e[56]=47
1～31の末尾1,3,7,9の数の積=e[31]=39
1～6の末尾1,3,7,9の数の積=e[6]=3
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～78の末尾1,3,7,9の数の積=e[78]=39
1～15の末尾1,3,7,9の数の積=e[15]=27
1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
1～39の末尾1,3,7,9の数の積=e[39]=41
1～7の末尾1,3,7,9の数の積=e[7]=21
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～19の末尾1,3,7,9の数の積=e[19]=21
1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
1～9の末尾1,3,7,9の数の積=e[9]=89
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
1～4の末尾1,3,7,9の数の積=e[4]=3
1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
そして
a=5000+2500+1250+625+312+156+78+39+19+9+4+2+1=9995
b=2000+400+80+16+3=2499
d[(9995-2499)%20]=d[16]=36
なので、求める2桁は
81×27×3×41×21×21×3×49×49×49×89×43×43×43×3×79
×21×79×47×39×3×39×27×3×41×21×21×3×89×3×36≡8 (mod 100)
（長くなりますので×1はすべて省略しました）
から「08」とわかります。

参考: k=1～1000の範囲の値
88 64 72 08 96 44 88 76 44 12 08 76 76 76 76 68 52 76 88 08
92 04 92 52 88 92 36 12 16 44 64 56 16 84 32 48 52 96 64 56
64 12 44 64 92 08 88 04 44 52 96 76 24 24 08 48 84 16 12 92
44 84 52 44 16 92 04 64 64 92 72 16 88 96 76 04 12 12 84 84
12 48 48 72 56 92 96 32 32 36 32 52 28 56 32 52 04 96 36 16
92 52 36 72 84 76 92 56 92 88 92 44 12 72 64 08 24 92 04 44
92 84 88 76 84 12 32 92 84 88 08 28 08 72 84 64 52 64 04 28
76 12 24 56 72 56 52 48 64 64 08 44 52 24 56 48 04 88 96 84
48 68 08 28 32 28 64 56 96 28 48 56 56 16 92 12 04 16 48 96
44 76 84 52 36 88 12 64 92 44 84 04 36 92 24 84 48 36 48 96
56 28 36 92 84 36 24 96 12 88 24 72 84 16 12 48 68 36 48 64
48 84 08 56 68 84 36 32 48 84 72 64 92 04 52 44 88 68 12 12
08 24 24 84 04 76 16 88 36 16 36 12 72 52 32 88 88 36 52 08
52 96 32 96 64 76 96 72 16 12 48 08 72 96 64 68 64 96 16 36
44 56 24 56 08 52 96 76 92 32 84 84 76 28 84 84 64 68 56 64
04 48 44 72 16 48 64 88 64 24 56 24 64 64 76 32 64 84 96 16
76 68 56 48 92 48 76 36 28 12 64 88 88 16 04 64 96 64 16 96
64 88 96 96 48 08 48 12 92 56 12 04 36 32 48 64 28 08 56 36
56 72 84 08 64 32 84 12 56 52 12 92 92 08 08 08 04 56 92 88
12 96 84 96 24 76 16 48 28 88 72 28 64 72 24 12 12 92 64 64
68 76 12 28 88 16 36 68 16 56 52 44 08 12 64 32 44 72 32 24
64 56 64 52 16 52 36 52 64 16 48 88 84 92 48 92 92 08 08 48
92 76 64 68 96 04 12 44 48 48 48 28 24 88 84 96 96 96 72 64
72 92 24 88 16 32 16 32 52 24 68 08 16 04 92 48 36 48 68 04
16 12 64 36 88 76 68 88 84 24 32 84 88 44 04 84 64 92 52 48
68 48 16 52 68 72 32 96 32 28 48 48 24 36 76 68 12 36 36 76
36 96 16 76 48 44 08 96 96 72 28 92 44 28 08 68 64 44 48 36
32 72 32 68 52 16 32 12 28 76 36 36 52 88 72 24 76 64 32 48
56 84 12 36 88 68 56 92 56 84 72 64 96 48 92 48 76 44 36 92
04 64 52 12 92 68 84 68 92 64 84 84 92 72 48 68 68 12 36 32
04 96 92 92 56 72 04 96 04 32 16 08 88 68 92 48 56 72 24 44
84 24 28 16 92 16 88 84 88 24 44 44 16 48 08 28 88 96 88 96
48 12 68 52 88 48 56 08 12 16 12 72 84 84 28 16 68 96 08 44
72 48 76 68 32 72 24 36 04 48 64 64 56 52 56 08 52 24 92 08
56 12 16 68 96 84 08 84 88 72 96 12 16 64 08 08 08 44 52 48
72 76 28 72 32 24 24 08 16 44 52 68 24 56 04 88 36 36 08 88
52 16 44 12 52 16 96 64 84 12 84 92 76 52 08 76 72 04 16 72
64 88 96 88 68 76 08 28 36 84 32 04 96 68 76 84 96 68 72 48
64 44 32 96 72 32 28 24 24 84 12 92 44 32 32 08 48 04 84 96
84 96 52 64 44 16 04 12 92 12 04 32 32 04 08 88 52 36 92 72
32 36 88 84 04 08 52 64 48 16 68 68 28 32 72 28 32 28 84 56
64 52 76 92 48 08 24 88 64 32 56 72 32 88 96 96 64 72 64 68
56 08 24 68 44 16 52 88 04 08 08 32 04 08 52 24 76 12 16 12
76 48 16 36 88 92 48 32 92 68 76 56 84 04 72 48 84 04 64 88
16 28 44 12 24 12 32 68 52 16 76 52 36 52 92 76 04 76 28 56
72 96 16 64 44 84 28 52 76 08 64 76 28 16 16 68 84 32 96 76
48 96 56 52 16 88 44 56 88 16 24 76 52 24 76 08 76 28 16 96
04 08 44 84 08 04 72 12 28 28 36 24 72 72 32 24 88 68 24 36
44 52 28 28 64 04 56 84 88 04 68 44 24 76 84 16 28 32 28 72
68 96 72 12 12 72 08 08 72 52 52 88 04 76 92 12 16 44 68 44

詳しく説明してもらいありがとうございます。

k=4でも
> 具体例としてk=4(N=10000!)の場合は
> 1～10000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～2000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～400の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～80の末尾1,3,7,9の数の積=e[80]=81
> 1～16の末尾1,3,7,9の数の積=e[16]=27
> 1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
> 1～5000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～1000の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～200の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～40の末尾1,3,7,9の数の積=e[40]=41
> 1～8の末尾1,3,7,9の数の積=e[8]=21
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> 1～2500の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～500の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～100の末尾1,3,7,9の数の積=e[0]=1
> 1～20の末尾1,3,7,9の数の積=e[20]=21
> 1～4の末尾1,3,7,9の数の積=e[4]=3
> 1～1250の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
> 1～250の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
> 1～50の末尾1,3,7,9の数の積=e[50]=49
> 1～10の末尾1,3,7,9の数の積=e[10]=89
> 1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
> 1～625の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
> 1～125の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
> 1～25の末尾1,3,7,9の数の積=e[25]=43
> 1～5の末尾1,3,7,9の数の積=e[5]=3
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> 1～312の末尾1,3,7,9の数の積=e[12]=79
> 1～62の末尾1,3,7,9の数の積=e[62]=21
> 1～12の末尾1,3,7,9の数の積=e[12]=79
> 1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
> 1～156の末尾1,3,7,9の数の積=e[56]=47
> 1～31の末尾1,3,7,9の数の積=e[31]=39
> 1～6の末尾1,3,7,9の数の積=e[6]=3
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> 1～78の末尾1,3,7,9の数の積=e[78]=39
> 1～15の末尾1,3,7,9の数の積=e[15]=27
> 1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
> 1～39の末尾1,3,7,9の数の積=e[39]=41
> 1～7の末尾1,3,7,9の数の積=e[7]=21
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> 1～19の末尾1,3,7,9の数の積=e[19]=21
> 1～3の末尾1,3,7,9の数の積=e[3]=3
> 1～9の末尾1,3,7,9の数の積=e[9]=89
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> 1～4の末尾1,3,7,9の数の積=e[4]=3
> 1～2の末尾1,3,7,9の数の積=e[2]=1
> 1～1の末尾1,3,7,9の数の積=e[1]=1
> そして
> a=5000+2500+1250+625+312+156+78+39+19+9+4+2+1=9995
> b=2000+400+80+16+3=2499
> d[(9995-2499)%20]=d[16]=36
> なので、求める2桁は
> 81×27×3×41×21×21×3×49×49×49×89×43×43×43×3×79
> ×21×79×47×39×3×39×27×3×41×21×21×3×89×3×36≡8 (mod 100)****************(＊)
> （長くなりますので×1はすべて省略しました）
> から「08」とわかります。

これの行程を真似てプログラムを構成して走らせたのですが
k=7とかになると(＊)部分などの個数も膨大な場合が発生し、その積をとると
途轍もなく巨大な数に膨れ上がるので結局時間がかかってしまってk=14などはぐすっともしませんでした。

(行程を真似してみた拙いプログラムです)
gp > a(n)=n-vecsum(digits(n,2));
gp > b(n)=(n-vecsum(digits(n,5)))/4;
gp > d(n)=(a(n)-b(n))%20;
gp > powermod(r,n,k)={m=n;p=1;s=lift(Mod(r,k))};\
while(m!=0,if(lift(Mod(m,2))==1,p=lift(Mod(p*s,k)));\
s=lift(Mod(s*s,k));m=m\2);p
gp > T(n)=powermod(2,d(n),100)
gp > W(n)={t=1;}for(k=1,n,if(k%5!=0 && k%2==1,t*=k));t%100
gp > U(n)={A=[];}while(n>=1,A=concat(A,[W(n)%100]);n=floor(n/5));A
gp > V(n)={B=[];}while(n>1,B=concat(B,[(U(floor(n/2))%100)]);n=floor(n/2));B
gp > X(n)=vecprod(U(n))*vecprod(apply(i->vecprod(i),V(n)))*T(n)%100
などを準備し
gp > X(10^3); X(10^4);X(10^5);X(10^6)
から　　　72; 08; 96; 44
は算出できました。

gp > for(k=1,100,printf("%3d,",powermod(2,k-1,100)",");if(k%20==0,print))
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,
76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,
76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,
76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,
76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88,

から
2^(a(n)-b(n)) が上の周期20のサイクルを繰り返すことから
S1=[76, 52, 4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88]
の数列を準備して置き(らすかるさんのd[20]に対応)
S1[d(n)+1]の値に対応させればよい。
(初めの1,2は無視しすべてが繰り返せる76,52へ変更させている。)

次に
Π[n=1～M](5の倍数でない奇数の積を100で割った余り)
の値は下記の数列を準備して置き
gp > for(k=1,300,printf("%3d,",W(k-1)",");if(k%20==0,print))
1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 21, 21, 89, 89, 79, 79, 27, 27, 27, 27, 59, 59, 21,
21, 41, 41, 43, 43, 43, 43, 61, 61, 69, 69, 39, 39, 87, 87, 87, 87, 19, 19, 41,
41, 81, 81, 83, 83, 83, 83, 1, 1, 49, 49, 99, 99, 47, 47, 47, 47, 79, 79, 61,
61, 21, 21, 23, 23, 23, 23, 41, 41, 29, 29, 59, 59, 7, 7, 7, 7, 39, 39, 81,
81, 61, 61, 63, 63, 63, 63, 81, 81, 9, 9, 19, 19, 67, 67, 67, 67, 99, 99, 1,
1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 21, 21, 89, 89, 79, 79, 27, 27, 27, 27, 59, 59, 21,
21, 41, 41, 43, 43, 43, 43, 61, 61, 69, 69, 39, 39, 87, 87, 87, 87, 19, 19, 41,
41, 81, 81, 83, 83, 83, 83, 1, 1, 49, 49, 99, 99, 47, 47, 47, 47, 79, 79, 61,
61, 21, 21, 23, 23, 23, 23, 41, 41, 29, 29, 59, 59, 7, 7, 7, 7, 39, 39, 81,
81, 61, 61, 63, 63, 63, 63, 81, 81, 9, 9, 19, 19, 67, 67, 67, 67, 99, 99, 1,
1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 21, 21, 89, 89, 79, 79, 27, 27, 27, 27, 59, 59, 21,
21, 41, 41, 43, 43, 43, 43, 61, 61, 69, 69, 39, 39, 87, 87, 87, 87, 19, 19, 41,
41, 81, 81, 83, 83, 83, 83, 1, 1, 49, 49, 99, 99, 47, 47, 47, 47, 79, 79, 61,
61, 21, 21, 23, 23, 23, 23, 41, 41, 29, 29, 59, 59, 7, 7, 7, 7, 39, 39, 81,
81, 61, 61, 63, 63, 63, 63, 81, 81, 9, 9, 19, 19, 67, 67, 67, 67, 99, 99, 1,

と100個分で同じ数列を凝り返すので
S2=[1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 21, 21, 89, 89, 79, 79, 27, 27, 27, 27, 59, 59, 21,\
21, 41, 41, 43, 43, 43, 43, 61, 61, 69, 69, 39, 39, 87, 87, 87, 87, 19, 19, 41,\
41, 81, 81, 83, 83, 83, 83, 1, 1, 49, 49, 99, 99, 47, 47, 47, 47, 79, 79, 61,\
61, 21, 21, 23, 23, 23, 23, 41, 41, 29, 29, 59, 59, 7, 7, 7, 7, 39, 39, 81,\
81, 61, 61, 63, 63, 63, 63, 81, 81, 9, 9, 19, 19, 67, 67, 67, 67, 99, 99, 1]
を(らすかるさんのe[100]に対応)

しかしこのS2の使い方がよく理解できなかったので
gp > vecprod(U(10^3))%100*vecprod(apply(i->vecprod(i)%100,V(10^3)))
%1552 = 82278194000121
gp > vecprod(U(10^4))%100*vecprod(apply(i->vecprod(i)%100,V(10^4)))
%1553 = 109786271559133741803
gp > vecprod(U(10^5))%100*vecprod(apply(i->vecprod(i)%100,V(10^5)))
%1554 = 1339686270466548439750497
gp > vecprod(U(10^6))%100*vecprod(apply(i->vecprod(i)%100,V(10^6)))
%1555 = 1195260938150882293323699122133
で求め

例でらすかるさんが示されていた掛け算は
gp > 81*27*3*41*21*21*3*49*49*49*89*43*43*43*3*79*21*79*47*39*3*39*27*3*41*21*21*3*89*3
%1529 = 29307609212615439766454106237028765009203
は下記のコマンドで求まりました。
gp > vecprod(U(10^4))*vecprod(apply(i->vecprod(i),V(10^4)))
%1528 = 29307609212615439766454106237028765009203

最後に上記の計算結果と2^(a-b)部分の計算を組合せ
gp > lift(Mod(S1[d(10^3)+1]*%1552,100))
%1564 = 72
gp > lift(Mod(S1[d(10^4)+1]*%1553,100))
%1560 = 8
gp > lift(Mod(S1[d(10^5)+1]*%1554,100))
%1561 = 96
gp > lift(Mod(S1[d(10^6)+1]*%1555,100))
%1562 = 44

これで(10^3)!,(10^4)!,(10^5)!,(10^6)!までは何とか我慢できる時間の範囲では求まりました。
例のd[20]での配列の方の使い方は何となくわかったのですがe[100]をどう利用したらいいのかがいまいち掴めないでいます。

e[100]の意味はわかりますよね？
1以下で5の倍数でない奇数の積は1
2以下で5の倍数でない奇数の積は1
3以下で5の倍数でない奇数の積は1×3=3
4以下で5の倍数でない奇数の積は1×3=3
5以下で5の倍数でない奇数の積は1×3=3
6以下で5の倍数でない奇数の積は1×3=3
7以下で5の倍数でない奇数の積は1×3×7=21
8以下で5の倍数でない奇数の積は1×3×7=21
9以下で5の倍数でない奇数の積は1×3×7×9=189なのでmod100で89
10以下で5の倍数でない奇数の積は1×3×7×9=189なのでmod100で89
11以下で5の倍数でない奇数の積は1×3×7×9×11=2079なのでmod100で79
e[0]は1として
1,1,1,3,3,3,3,21,21,89,89,79,…
それで下2桁だけ求めればよいので
81×27×3×41×21×21×3×49×49×49×89×43×43×43×3×79
×21×79×47×39×3×39×27×3×41×21×21×3×89×3×36≡8 (mod 100)
の計算は
81×27=2187→87
87×3=261→61
61×41=2501→1
1×21=21
21×21=441→41
・・・
のように順次mod100にすれば巨大な数にならずに求められますね。
このe[○]の値は順次得られますので、得られた時に掛けて100で割った余りに
しておけば簡単だと思います。
私のプログラムでは以下のような感じです。
m = d[(a - b) % 20];
for(n1 = n; n1 > 0; n1 /= 2)
for(n2 = n1; n2 > 0; n2 /= 5)
m = m * e[n2 % 100] % 100;
※すべて整数変数なのでn1/=2,n2/=5は整数除算(余り無視)です。
ついでに、e[100]を求める部分は以下のような感じです。
e[0] = e[1] = e[2] = 1;
for(i = 3; i < 100; i += 2)
if(i % 5 == 0)
e[i] = e[i + 1] = e[i - 1];
else
e[i] = e[i + 1] = e[i - 1] * i % 100;
※ループの最終回でe[99]とe[100]に値が代入されますので、配列はe[101]としています。

S2集合をどの様に使ったらいいのかが目に見えなかったが、らすかるさんの解説とプログラムの
情報で何となく分ってきました。
S１の方の情報とS2の方の情報が別々になっており、n/=2,n/5= の組合せでの変化の仕方を
上手く計算に載せるやり方がこんがらがって構成し難かった。
らすかるさんの行列の番号は初項a[0]のインデックスのようで、PARIではA[1]で処理されるので
少し混乱した。やっとS2の成分を利用して掛けるべき数字を集めvecprodでその成分全体の積
を100で割る手法で組むと10^10以上では困難であった計算も10^10～10^50までは難なく出力
してくれるようになった。mod 100　が決め手なので100個の枠内でくるくる回っている感じです。
でも(10^100)!とか(10^1000)!では手も足も出ないログラムでした。
k=1～1000の範囲の値を挙げてあったので、こんなのはどうして出すんだろうと参考にプログラムを
掲載されているのをよ～くみてみた。
探すべきnの数字をnを2で割る数字をスタートにそれを次々と5で割る数列を作っていくことを
どうしたらいいかを
for(n1 = n; n1 > 0; n1 /= 2)
for(n2 = n1; n2 > 0; n2 /= 5)
m = m * e[n2 % 100] % 100;
がどうPARIのコードに書き直せるのかに四苦八苦しました。(nをn1,n2と分割しておくと出来るんですね.)
(ソフトが違うとコードの書き方が全く異なってくるので難儀です)
特にn%100した時0になる場合があり、これをPARIでどう処理したらいいのかが混乱した
所です。
やっとのことで何とか有限の時間内で結果を出してくれるところまで改良していった。

挑戦で
k=1001～1500の範囲で調べてみました。
24, 36, 48, 16, 88, 52, 88, 96, 76, 84, 12, 88, 92, 32, 52, 64, 52, 76, 12, 88,
48, 64, 16, 44, 52, 24, 88, 92, 64, 08, 56, 92, 84, 72, 16, 08, 12, 68, 08, 76,
36, 48, 12, 36, 24, 12, 96, 48, 48, 44, 72, 52, 76, 64, 24, 84, 56, 84, 48, 48,
92, 44, 36, 92, 44, 68, 12, 88, 16, 96, 92, 52, 68, 84, 12, 64, 08, 44, 72, 72,
64, 64, 64, 28, 84, 28, 04, 68, 04, 48, 96, 36, 16, 68, 36, 92, 52, 24, 44, 36,
24, 16, 12, 08, 04, 32, 88, 04, 48, 88, 32, 76, 48, 24, 76, 28, 04, 32, 44, 68,
76, 28, 56, 12, 84, 24, 52, 56, 48, 68, 92, 48, 36, 24, 64, 48, 08, 16, 76, 52,
04, 28, 36, 04, 16, 56, 72, 48, 92, 28, 08, 88, 16, 12, 12, 44, 04, 44, 56, 52,
76, 84, 96, 36, 32, 64, 24, 92, 52, 24, 52, 32, 88, 84, 28, 32, 64, 88, 28, 28,
92, 28, 76, 68, 12, 24, 08, 88, 08, 96, 36, 76, 16, 68, 52, 92, 88, 88, 16, 36,
92, 32, 52, 16, 96, 36, 24, 72, 68, 36, 68, 92, 16, 16, 68, 44, 04, 52, 12, 88,
72, 24, 52, 32, 84, 16, 52, 96, 48, 36, 56, 96, 76, 04, 52, 52, 92, 92, 56, 76,
76, 28, 16, 52, 08, 76, 36, 92, 04, 28, 36, 48, 92, 28, 84, 72, 08, 92, 36, 36,
76, 24, 56, 68, 76, 48, 76, 64, 08, 08, 36, 24, 92, 76, 76, 72, 12, 48, 08, 92,
12, 56, 56, 28, 84, 48, 08, 36, 64, 68, 16, 04, 52, 84, 76, 28, 68, 32, 24, 48,
36, 96, 36, 32, 28, 12, 64, 56, 48, 92, 48, 72, 48, 04, 28, 88, 08, 84, 52, 48,
48, 88, 08, 72, 24, 24, 28, 24, 32, 56, 72, 84, 56, 92, 52, 08, 96, 96, 52, 32,
72, 08, 04, 36, 24, 68, 92, 52, 48, 08, 84, 04, 36, 08, 52, 24, 36, 96, 28, 52,
16, 16, 12, 48, 68, 76, 44, 24, 04, 52, 12, 16, 88, 36, 64, 52, 28, 16, 68, 84,
76, 84, 08, 48, 44, 12, 92, 56, 08, 28, 48, 84, 48, 64, 12, 12, 76, 96, 88, 04,
52, 76, 92, 16, 08, 88, 68, 04, 92, 52, 76, 92, 12, 28, 84, 48, 76, 24, 56, 48,
96, 92, 68, 24, 68, 16, 68, 56, 36, 64, 72, 68, 36, 68, 36, 92, 48, 92, 08, 52,
24, 48, 52, 04, 04, 72, 68, 32, 32, 56, 92, 84, 92, 84, 44, 44, 32, 72, 36, 84,
88, 84, 04, 92, 28, 72, 52, 32, 76, 84, 76, 68, 48, 52, 16, 72, 88, 08, 84, 88,
12, 12, 48, 04, 92, 84, 08, 72, 56, 96, 72, 92, 24, 16, 52, 52, 92, 64, 68, 44,

高速化できたようでよかったです。
1001～1500の値は私も計算してみましたが、同じ値になりました。