😊出会いの泉😊

凸四角形の場合、四角形ABCDとして、
辺ABの中点をE,BCの中点をF,CDの中点をG,DAの中点をHと置きます。
点Eと点Gをを結んだ線分上に、Fから垂線の足をP、点Hからの垂線の足をQとします。
すると、裁断して、四角形AEQHをEを中心に、四角形HQGDを中心に回転し
長方形ができ、
四角形ABCDの面積S＝２EG・HQ＝２EG・FP＝EG（HQ＋FP）
を知り、感動しました。
裁断により、正三角形を正方形にすることも、すごいですね!

長方形は出来ない？

管理人様

お恥ずかしいぃ～。。。

私は九九の表を斜めに、約、真っ二つにしただけでした。
正確には３６個でしたね（＾＾；

今更ながら・・・・・

私の表現の仕方が悪かったです。
【九九の重複】の意味は
下記のような、答えの重複ではなく
１ｘ６＝６
２ｘ３＝６

「式の重複」を意図としていました。
３ｘ４＝１２
４ｘ３＝１２
これらを1通りと考えると４５個になり、
九九の答えに無い数字の個数４５個と同じになる。

GAI さん風の出題を志向しております。

a[1]=3, a[2]=7, a[n+2]=2a[n+1]+a[n] という漸化式により
3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, … (A001333)
という数列が生成されますが、このとき
(a[2n-1]^2-1)(a[2n+1]^2-1)=(a[2n]^2-1)^2
が成り立ちます。
# これは (a[2n])^2=a[2n-1]a[2n+1]-2 と a[n+2]=2a[n+1]+a[n] から示せます。
従って解は無数にあります。
なお、上記に含まれない
(4^2-1)(31^2-1)=(11^2-1)^2
(2^2-1)(97^2-1)=(13^2-1)^2
など存在しますので、上記は全解ではありません。

らすかるさん　瞬殺、お見事です。

こいつら、興味深いですが難物そうですね。
(4^2-1)(31^2-1)=(11^2-1)^2
(2^2-1)(97^2-1)=(13^2-1)^2

10000000以下では554455と9343439の2個でしたが、
「10000000以下」を
「100000000000000以下」にしても1個しか増えませんでした。
9^2+10^2+…+118^2 = 554455
331^2+332^2+…+335^2 = 554455
102^2+103^2+…+307^2 = 9343439
657^2+658^2+…+677^2 = 9343439
2967^2+2968^2+…+14087^2 = 923222222329
42462^2+42463^2+…+42967^2 = 923222222329

(追記)
答えが↓ここにありました。
https://oeis.org/A267600

昨年からProject Eulerの問題をproblem1 から順番にプログラムの練習にと解いていて
https://projecteuler.net/about
problem=125にPalindromic Sumsのテーマの問題に（https://projecteuler.net/problem=125）
当たっていた。
いろいろ苦労しながら3日位かけやっと
the sum of all the numbers less than 10^8
that are both palindromic and can be written as the sum of consecutive squares.
の値を算出し答え合わせをすると間違っているとの結果をもらう。
いくら見直してもどこが間違っているかがどうしても分からず、何時間も悩みエクセルに見つけた
その回文的数を貼り付け(168個存在)どこに見落としがあるのか悩んでいた。
ふと重複しているかもの疑問を持ち重複する値があるのかをコマンドの機能を利用すると
なんと2か所で印が付くではないか！
それは同じ値が2つの作り方が存在していることを示していることに相当し、その重複した値を
それぞれ削除し、もう一度合計数を求めその値で尋ねたらやっとのことで正解の返事をもらった。
(168個もあったので重複していることが全く見えていなかった。)

この経験を元に問題を作り尋ねたことでした。
これ以上の重複があるとは思えたが、今までかかった時間を考えると先に進む勇気が出なかった。
OEISのA267600にそれが載っているとは世の中誰かが調べているものですね。
a(4) > 10^18, if it exists
のメモを見るだけでもう腰が引けてしまいます。

これを短時間で見出すらすかるさんの手腕に敬服です。

九九の表に現れない数字を小さい順に並べたものと考えると、答えは「２３」かな？

管理人様

大当たりぃ～でござりまする。。。

大変、遅くなりましたが、
本年もよろしくお願いいたします。

１１　１３　１７　１９　２２
といきなり素数以外の22が入り込んで来るので、戸惑ってしまいました。
そこで
1,2,3,5,7,11,13,17,19,22,23,25,26,29,
と続いていく数列の次の10個の数は何でしょう？

31、33、34、37、38、41、43、46、47、51 ですか？

大正解です。
必ず素数は入っているが、それ以外にも合成数が時々入り込めるところが面白い。
ベルトランの仮説がここから発生しているらしく、よくもこんな性質に着目できるものだと感心します。
またこれを証明したチェビシェフの能力にも脱帽です。

三線極点(trilinear pole)と三線極線(trilinear polar)のことですよね？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E7%B7%9A%E6%A5%B5%E7%B7%9A


これが何かの一般化なのかどうか私は知りませんが、
円や二次曲線の極・極線とは無関係だと思った方がいいと思います。

よくあることですが、別のものに同じような名称が使われていると紛らわしいですよね。


この図で基準三角形を△ABCとするとき、点Pと直線UVWが三線極点・三線極線の関係にあります。

No.2538 の図について説明を書いておこうと思います。

以下では射影平面で考えることとし、
ユークリッド平面で必要な平行線の場合分けを一切省略します。

点から始める場合と直線から始める場合でそれぞれ説明ができますが、
それぞれの説明は射影幾何の双対の関係にあります。


(1)[点Pから始める場合]

基準三角形を△ABCとします。
点Pは直線BC,CA,AB上にない点とします。

BCとAPの交点をA'，CAとBPの交点をB'，ABとCPの交点をC'とするとき、
△A'B'C'を(△ABCに関する)点Pのチェバ三角形といいます。

基準三角形△ABCとチェバ三角形△A'B'C'は点Pを中心とする配景の位置にあるので
デザルグの定理により配景の軸が存在します。
すなわち、BCとB'C'の交点U，CAとC'A'の交点V，ABとA'B'の交点Wはある直線l上にあり、
この直線lを(△ABCに関する)点Pの三線極線といいます。

また、A,A'に関する点Pの調和共役点をA''，B,B'に関する点Pの調和共役点をB''，
C,C'に関する点Pの調和共役点をC''とするとき、
△A''B''C''を(△ABCに関する)点Pの反チェバ三角形といいます。
4点A,U,B'',C''，4点B,V,C'',A''，4点C,W,A'',B''はそれぞれ一直線上にあります。

基準三角形△ABCと反チェバ三角形△A''B''C''は点Pを中心とする配景の位置にあるので
デザルグの定理により配景の軸が存在しますが、それは直線lに一致します。


(2)[直線lから始める場合]

基準三角形を△ABCとします。
直線lは点A,B,Cを通らない直線とし、
直線lと直線BC,CA,ABの交点をそれぞれU,V,Wとします。

3直線AU,BV,CWを辺とする三角形を△A''B''C''とします。
(BVとCWの交点をA''，CWとAUの交点をB''，AUとBVの交点をC''とします。)

基準三角形△ABCと△A''B''C''は直線lを軸とする配景の位置にあるので
デザルグの定理により配景の中心が存在します。
すなわち、3直線AA'',BB'',CC''はある点Pで交わり、
この点Pを(△ABCに関する)直線lの三線極点といいます。

また、BC,AUに関する直線lの調和共役線をi，CA,BVに関する直線lの調和共役線をj，
AB,CWに関する直線lの調和共役線をkとするとき、
3直線i,j,kを辺とする三角形を△A'B'C'とします。
(jとkの交点をA'，kとiの交点をB'，iとjの交点をC'とします。)
4直線BC,AA'',j,k，4直線CA,BB'',k,i，4直線AB,CC'',i,jはそれぞれ一点で交わります。

基準三角形△ABCと△A'B'C'は直線lを軸とする配景の位置にあるので
デザルグの定理により配景の中心が存在しますが、それは点Pに一致します。

すみません、最後の一文の0も偶数に含めるものとする、は余計でしたね！

辺上の格子点が奇数個⇔辺の中点が格子点⇔辺の両端の座標の偶奇がx,yとも同じ
辺上の格子点が偶数個⇔辺の中点が非格子点⇔辺の両端の座標の偶奇がx,yいずれかで異なる
となるから、問題の条件ではA,B,Cの座標の偶奇はx,yとも同じ
そしてDとCは座標の偶奇がx,yいずれかで異なるから
DとAも座標の偶奇がx,yいずれかで異なることになり、
辺DA上の格子点の個数は必ず偶数個。

正解です！
ちょっと簡単過ぎましたかね。

133の後に1をn個続けて素数になる最小のnは2890ですから、それらの値はすべて合成数とわかっています。
実際、それらの値をPari/GPでisprime((10^2248*1198-1)/9)のように調べると、すべて(1秒以内で)0(つまり合成数)と判定されます。
参考: https://oeis.org/A069568
↑このページのデータは私が2023年にa(119)～a(602)を追加するまではa(1)～a(118)までしかありませんでした。
603の後に1を何個続けると素数になるかは、おそらく誰もわかっていないと思います。
（少なくとも30万個までは合成数でした。）

らすかるさん、偉業ですね。

※ (11980000*(1000000^(n))-1)/9 → 実はこちらの変種でもがいておりました。(⁠゜⁠o⁠゜⁠;

a(603) が不明とのこと、大変に心惹かれます。

白状しますと
MAGMA で以下のコードで走らせて素数がみつかっていなかったので悲しいです。

for n in [4000] do
p := (1198 * 10^n - 1) div 9;
if IsPrime(p) then
printf "n = %o, candidate = %o\n", n, p;
end if;
end for;

Python で下記を走らせたところ、たしかに、
n = 2890 で素数となりました。

from sympy import isprime

# n を 2889 から 2891 の範囲で調べる
n_range = range(2889, 2892)

# 結果を格納する変数
prime_results = []

for n in n_range:
P_n = (1198 * 10**n - 1) // 9 # 整数値を計算
if isprime(P_n):
prime_results.append((n, P_n)) # n とその素数を記録

prime_results # 結果を出力

> ※ (11980000*(1000000^(n))-1)/9 → 実はこちらの変種でもがいておりました。(?゜?o?゜?;

(10^n*1198-1)/9 は
nが奇数のとき11で割り切れ、
n≡0 (mod 6)のとき7で割り切れ、
n≡2 (mod 6)のとき3で割り切れますので、
素数になるとしたら
n≡4 (mod 6)しかありません。
それを表したのが
(11980000*(1000000^(n))-1)/9
ですね。
（つまり「変種」すなわちこの形にならない(10^n*1198-1)/9は合成数なので、調べる必要がないということです）

n=2890の次に素数になるのはn=17710でした。
ただし、n=17710のときの値は確率的素数です。

らすかるさん、有難うございます。
C言語で組まれていますか？

はい、C言語です。

らすかるさん、
御回答をありがとうございました。

それらは数列サイト（https://oeis.org/Axxxxxx）の以下の項目にありますね。
21111…111が素数: A056700
31111…111が素数: A056704
41111…111が素数: A056706
51111…111が素数: A056713
61111…111が素数: A056717
71111…111が素数: A056719
81111…111が素数: A056722
91111…111が素数: A056726
また、関連するものは以下の通りです。
13333…333が素数: A056698
23333…333が素数: A056701
43333…333が素数: A056707
53333…333が素数: A056714
73333…333が素数: A056720
83333…333が素数: A056723
17777…777が素数: A089147
27777…777が素数: A056702
37777…777が素数: A056705
47777…777が素数: A056708
57777…777が素数: A056715
67777…777が素数: A056718
87777…777が素数: A056724
97777…777が素数: A056727
19999…999が素数: A002957
29999…999が素数: A056703
49999…999が素数: A056712
59999…999が素数: A056716
79999…999が素数: A056721
89999…999が素数: A056725
ちょうど今、これらの未開拓な部分について計算しているところです。
17777…777は一つ見つけましたので、先月追加しました。

あと、Pari/GPでは4500桁ぐらいまでは決定的素数判定法で素数かどうか調べられます。
ただし、4500桁となるとメモリが12GB、時間が（最近のPCで）15時間程度必要です。
私のPCはメモリが16GBしかありませんのでこの程度が限界ですが、
さらにメモリがあれば5000桁ぐらいまではいけると思います（ただし数日～1週間ぐらいかかります）。
そんな感じなので、8111…111の474個、902個はPari/GPでは1分程度で決定的素数と判定できます。