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「極限ず方皋匏の解」の遞択B

α^n + β^n に぀いお盎接は調べない方針で。
䌌たようなこずをやっおるず蚀われたら吊定はしきれたせんが。


たず、0 以䞊の任意の敎数 n に぀いお、
cos(α^n*π) = cos(β^n*π)
sin(α^n*π) = -sin(β^n*π)
が成り立぀こずを数孊的垰玍法で瀺したす。

(i) n = 0 のずき

cos(α^n*π) = cos(π) = 1
cos(β^n*π) = cos(π) = 1

sin(α^n*π) = sin(π) = 0
-sin(β^n*π) = -sin(π) = 0

より、成立したす。

(ii) n = 1 のずき

解ず係数の関係より β = 2p - α なので、

cos(α^n*π) = cos(απ)
cos(β^n*π) = cos(βπ) = cos(2pπ-απ) = cos(απ)

sin(α^n*π) = sin(απ)
-sin(β^n*π) = -sin(βπ) = -sin(2pπ-απ) = sin(απ)

より、成立したす。

(iii) n = k, k+1 の堎合に等匏が成立するず仮定しお、n = k+2 の堎合を考えたす。

cos(α^(k+1)*π) = cos(β^(k+1)*π)
sin(α^(k+1)*π) = -sin(β^(k+1)*π)
が成り立぀ので、任意の実数Ξに察しお
cos(Ξ+α^(k+1)*π)
= cos(Ξ) cos(α^(k+1)*π) - sin(Ξ) sin(α^(k+1)*π)
= cos(Ξ) cos(β^(k+1)*π) + sin(Ξ) sin(β^(k+1)*π)
= cos(Ξ-β^(k+1)*π)
が成り立ちたす。
よっお、
cos(2p*α^(k+1)*π)
= cos((2p-1)*α^(k+1)*π-β^(k+1)*π)
= cos((2p-2)*α^(k+1)*π-2*β^(k+1)*π)
= cos((2p-3)*α^(k+1)*π-3*β^(k+1)*π)
= 


= cos(α^(k+1)*π-(2p-1)*β^(k+1)*π)
= cos(-2p*β^(k+1)*π)
= cos(2p*β^(k+1)*π)

同様に
sin(2p*α^(k+1)*π) = -sin(2p*β^(k+1)*π)
も瀺されたす。

これらず、α^2 = 2pα + 1, β^2 = 2pβ + 1 を甚いるず
cos(α^(k+2)*π)
= cos(α^k*(2pα+1)*π)
= cos(2p*α^(k+1)*π+α^k*π)
= cos(2p*α^(k+1)*π) cos(α^k*π) - sin(2p*α^(k+1)*π) sin(α^k*π)
= cos(2p*β^(k+1)*π) cos(β^k*π) - sin(2p*β^(k+1)*π) sin(β^k*π)
= cos(2p*β^(k+1)*π+β^k*π)
= cos(β^k*(2pα+1)*π)
= cos(β^(k+2)*π)

sin(α^(k+2)*π) = -sin(β^(k+2)*π) も同様に瀺されたす。
よっお、n = k, k+1 の堎合に等匏が成立するず仮定するず、n = k+2 の堎合も成立したす。

以䞊、(i), (ii), (iii) より、0 以䞊の任意の敎数 n に぀いお、
cos(α^n*π) = cos(β^n*π)
sin(α^n*π) = -sin(β^n*π)
が成り立぀こずが瀺されたした。

たた、解ず係数の関係から αβ = -1 で、
|α| > 1 であるこずから 0 < |β| < 1 なので、
lim[n->∞] (-α)^n*sin(α^n*π)
= lim[n->∞] -(-α)^n*sin(β^n*π)
= lim[n->∞] -(-α)^n*β^n*π*sin(β^n*π)/(β^n*π)
= lim[n->∞] -π*sin(β^n*π)/(β^n*π)
= -π*1
= -π

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

WolframAlpha

ChatGPTで䞖間は、隒いでいたすが、AIの数孊版は、WolframAlphaです。

x^3-5=0ず入力するず、解いおくれたす。

「半埄5cmの円を曞け。」ず入力するず、円を曞いおくれたす。
「sin^2(pi/7)+sin^2(2pi/7)+sin^2(3pi/7)」ず入力するず、7/4ず出力し、たくさんの解析匏を衚瀺したす。

(a^n+b^n)^2>(a+b)^nは、「暙準の蚈算時間制限を超えたした... 」ず出たした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月16日 15:34)

yahooで、幟䜕孊なら、WolframAlpfa 幟䜕孊 ず怜玢すれば芋぀かりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月16日 16:00)

高等孊校 数孊 です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

二項定理の䞍思議 その

フェルマヌの最終定理に挑戊し盎しです。

二項定理より、{http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfより}
   n
a^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}----(a)
    i=1

   n
b^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}----(b)
    i=1

   n
c^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}----(c)
   i=1

a^n+b^n=c^nずするず、{ただしa<b<cずする}

a^n-1+b^n-1=c^n-1
(a^n-1)+(b^n-1)=(c^n-1)
(a^n-1)=(c^n-1)-(b^n-1)
匏(a),(b),(c)より、
n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}
i=1

 n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
 i=1

 n
ヌΣ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}
 i=1

   n
a^n-1Σ nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
   i=1

そこで、(a^n-1)=(c^n-1)-(b^n-1)が成り立぀には、

i=nのずき、a^n-1のnCn項は、
nCn{1^0+2^0+3^0+・・・+(a-1)^0)}=nCn{a-1}=a-1----(d)
䞀方(c^n-1)-(b^n-1)のnCn項は、
nCn{b^0+(b+1^0+(b+2)^0・・・+(c-1)^0}=nCn{(c-1)-(b-1)}=c-b---(e)

匏(d),(e)が等号で結ばれるのは、
c-b=a-1---(i)
のずきだけである。

i=n-1のずき、a^n-1のnC(n-1)項は、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}=nC(n-1){(a-1)a/2}----(f)
䞀方(c^n-1)-(b^n-1)のnC(n-1)項は、
nC(n-1){b+(b+1)+(b+2)・・・+(c-1)}=n{(c-1)c/2-(b-1)b/2}---(g)

匏(f),(g)が等号で結ばれるのは、
(c-1)c/2-(b-1)b/2=(a-1)a/2
のずきだけである。
(c-1)c-(b-1)b=(a-1)a
c^2-c-b^2+b=(a-1)a
c^2-b^2-(c-b)=(a-1)a
(c-b)(c+b-1)=(a-1)a
匏(d),(e)が等しいずき匏(f),(g)も等しくないずいけないから、匏(i)より、
c+b-1=a 巊蟺を(c-b)で割っお、右蟺を(a-1)で割っおなぜなら匏(i)より
c+b-2=a-1=c-b 匏(i)より
c+b-2=c-b
c+b-2-(c-b)=0
c+b-2-c+b=0
2b-2=0
b=1
これは、c>b>aに矛盟する。
したがっお、
(d)≠(e)、(f)≠(g)
぀たり、
(a^n-1)≠(c^n-1)-(b^n-1)
a^n≠c^n-b^n
a^n+b^n≠c^n

よっお、フェルマヌの最終定理は初等的に蚌明された。

二項定理の文曞の匕甚は緑色の「うんざりはちべえ」をクリックすれば、開けたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月11日 15:20)

> a^n+b^n=c^nずするず、{ただしa<b<cずする}

> a^n-1+b^n-1=c^n-1

巊蟺で 2 回 -1 したなら、右蟺も 2 回 -1 する必芁があるのでは。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

二項定理より、{http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfより}
   n
a^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}----(a)
i=1

   n
b^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}----(b)
i=1

   n
c^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}----(c)
i=1

a^n+b^n=c^nずするず、{ただしa<b<cずする}

a^n-1+b^n-1+1=c^n-1
(a^n-1)+(b^n-1)+1=(c^n-1)
(a^n-1)+1=(c^n-1)-(b^n-1)
匏(a),(b),(c)より、
n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}
i=1

 n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
 i=1

 n
ヌΣ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}
 i=1

    n
a^n-1+1Σ nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
    i=1

そこで、(a^n-1)+1=(c^n-1)-(b^n-1)が成り立぀には、

i=nのずき、a^n-1のnCn項は、
nCn{1^0+2^0+3^0+・・・+(a-1)^0)}+1=nCn{a-1}+1=a----(d)
䞀方(c^n-1)-(b^n-1)のnCn項は、
nCn{b^0+(b+1^0+(b+2)^0・・・+(c-1)^0}=nCn{(c-1)-(b-1)}=c-b---(e)

匏(d),(e)が等号で結ばれるのは、
c-b=a---(i)
のずきだけである。

i=n-1のずき、a^n-1のnC(n-1)項は、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}=nC(n-1){(a-1)a/2}----(f)
䞀方(c^n-1)-(b^n-1)のnC(n-1)項は、
nC(n-1){b+(b+1)+(b+2)・・・+(c-1)}=n{(c-1)c/2-(b-1)b/2}---(g)

匏(f),(g)が等号で結ばれるのは、
(c-1)c/2-(b-1)b/2=(a-1)a/2
のずきだけである。
(c-1)c-(b-1)b=(a-1)a
c^2-c-b^2+b=(a-1)a
c^2-b^2-(c-b)=(a-1)a
(c-b)(c+b-1)=(a-1)a
匏(d),(e)が等しいずき匏(f),(g)も等しくないずいけないから、匏(i)より、
c+b-1=a-1 巊蟺を(c-b)で割っお、右蟺をaで割っおなぜなら匏(i)より
c+b=a=c-b 匏(i)より
c+b=c-b
c+b-(c-b)=0
c+b-c+b=0
2b=0
b=0
これは、c>b>aに矛盟する。
したがっお、
(d)≠(e)、(f)≠(g)
぀たり、
(a^n-1)≠(c^n-1)-(b^n-1)
a^n≠c^n-b^n
a^n+b^n≠c^n

よっお、フェルマヌの最終定理は初等的に蚌明された。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(d) ず (e) が等しいずいえる根拠はなんですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(a^n-1)+1=(c^n-1)-(b^n-1)が成り立぀ためです。
぀たり、
    n
a^n-1+1Σ nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
    i=1
ずいうこずで、右蟺はすべお正の数なの和なのです。
たた、a^n-1+1は
n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}
i=1
もすべお、正の数の和ですから、
nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}
の右巊蟺のnCiどおし等しくなければなりたせん。
匏(d),(e)は、nCnの項なので、
a^n-1+1はi=nの
nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}
ですが、この項だけ、が䜙分にあり、(c^n-1)-(b^n-1)は、i=nの
nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
ですから、お互いに等しくなければなりたせん。だから匏(d),(e)は、等しくなければなりたせん。

二項定理で、同じべき乗なら、
(a+b)^nの各項は、nCi a^(n-i) b^iで、(a+b)^n=(c+d)^nなら、 a^(n-i) b^i= c^(n-i) d^iずいうこずです。
぀たり、nCiの係数項はa^(n-i) b^i= c^(n-i) d^iのように等しくならなければならないずいうこずです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月11日 19:56)

i=n-1のずき、a^n-1のnC(n-1)項は、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}=nC(n-1){(a-1)a/2}----(f)

i=n-1のずき、a^n-1のnC(n-1)項は、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}+1=nC(n-1){(a-1)a/2}----(f)
じゃないでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> (a+b)^n=(c+d)^nなら、 a^(n-i) b^i= c^(n-i) d^iずいうこずです。

a=1, b=-1, c=0, d=0 で考えるず、
「(1-1)^n = (0+0)^n なら、1^(n-i) (-1)^i = 0^(n-i) 0^i ずいうこず」っお意味になりたすけど、あっおたす

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY様、おはようございたす。

nC(n-1)=n!/(n-(n-1)!(n-1)!)=n!/(n-1)!=n
なので、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}=nC(n-1){(a-1)a/2}=n{(a-1)a/2}----(f)
たた、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}+1=nC(n-1){(a-1)a/2}---(f)
は、nCnの項だけに䜜甚したすので、nC(n-1)には、関係したせん。
ですから、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}=nC(n-1){(a-1)a/2}=n{(a-1)a/2}----(f)
でいいはずです。

DD++様、おはようございたす。

そういうふうにすれば、そうなりたすね。

投皿制限がかかっおいるので、ここに曞きたす。

なるほど、぀たり、はちべえさんは (-1)^i = 0^n が正しいず出匵しおいるわけですね

今回の堎合、a,b,c,dずもに、自然数ですから、そうはならないず思いたす。

ご指摘の、
「(1-1)^n = (0+0)^n なら、1^(n-i) (-1)^i = 0^(n-i) 0^i ずいうこず」
ですから、(1-1)^n=0、(0+0)^n=0で、党䜓で芋れば、等号が成り立ちたすが、1^(n-i) (-1)^i = 0^(n-i) 0^iずは、蚀えないですね。

ちなみに、(1-1)^nは、
(1-1)^n=nC0 1^n (-1)^0+nC1 1^(n-1) (-1)^1+nC2 1^(n-2) (-1)^2+nC3 1^(n-3) (-)1^3+・・・・+nC(n-1) 1^(n-(n-1)) (-1)^(n-1)+nCn 1^(n-n) (-1)^n
においお、

nが偶数なら、たずえばn=10なら、
0=10C0-10C1+10C2-10C3+10C4-10C5+10C6-10C7+10C8-10C9+10C10
マむナスの項を巊蟺に移項するず、
10C1+10C3+10C5+10C7+10C9=10C0+10C2+10C4+10C6+10C8+10C10
よっお、
nC1+nC3+nC5・・・+nC(n-1)=nC0+nC2+nC4+・・・・+nCn
巊右で項数が違うのに䞍思議に思うかもしれたせんが、こうなのです。

nが奇数なら、たずえばn=11なら、
0=11C0-11C1+11C2-11C3+11C4-11C5+11C6-11C7+11C8-11C9+11C10-11C11
マむナスの項を巊蟺に移項するず、
11C1+11C3+11C5+11C7+11C9+11C11=11C0+11C2+11C4+11C6+11C8+11C10
よっお、
nC1+nC3+nC5・・・+nCn=nC0+nC2+nC4+・・・・+nC(n-1)

パスカルの䞉角圢を思い出しおください。
         1 -2 1
        1 -3 3 -1
       1 -4 6 -4  1
      1 -5 10 -10 5 -1
     1 -6 15 -20 15 -6 1
ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月12日 07:41)

なるほど、぀たり、はちべえさんは (-1)^i = 0^n が正しいず䞻匵しおいるわけですね

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月12日 08:21)

曎新蚘事を芋お、掲瀺板にないはずの謎の返信が来おいるず思ったら  。

返事は必ず新しいメッセヌゞで曞いおください。
過去の投皿に加筆しお返事をされおも気づきたせん。


なるほど、自然数限定だからずおっしゃるならこうしたしょう。

a = 1, b = 3, c = 2, d = 2 で考えたす。
文句なく自然数ですね

で、(1+3)^n = (2+2)^n は成り立ちたす。これも問題ないですね

ずいうこずは、はちべえさんは 1^(n-i) 3^i = 2^(n-i) 2^i である、ず、
぀たり 3^i = 2^n は正しい匏であるず䞻匵するわけですね

はちべえさんがこの匏を誀りだず断ずるなら、たったく同じ論理で䜜った (d) = (e) も誀りずいうこずです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、おはようございたす。

そのずおりですね。

このフェルマヌの最終定理の蚌明は、間違いですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月13日 07:02)

䌝わったようで、よかったです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

二項定理より、{http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfより}
   n
a^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}----(a)
i=1

   n
b^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}----(b)
i=1

   n
c^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}----(c)
i=1

a^n+b^n=c^nずするず、{ただしa<b<cずする}

a^n-1+b^n-1+1=c^n-1
(a^n-1)+(b^n-1)+1=(c^n-1)
(a^n-1)+1=(c^n-1)-(b^n-1)
匏(a),(b),(c)より、
n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}
i=1

 n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
 i=1

 n
ヌΣ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}
 i=1

    n
a^n-1+1Σ nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
    i=1

n
Σ nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}-(a)匏-1----(d)
i=1

ずするず、(d)匏の
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)
の倧小関係を調べればよい。
公匏、
x^n-y^n=(x-y){x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+・・・+xy^(n-2)+y^(n-1)}
より、
x,yが自然数なら、{}の䞭は、正の自然数。したがっお、(x-y)が正か負でx^nずy^nの倧小関係がわかる。
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)
においお、c>b>aより、c-1>a-1より、
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)>0
ずなる。よっお(d)匏は>0
ただ、c-bの項数ずaの項数が問題ずなる。
したがっお、条件はc-b≧aが぀く。

これを満足すれば、フェルマヌの最終定理は蚌明できる。

なお、(a)匏+1の郚分は、b^0-1-1>0はa,b,cは自然数であり、c>b>a>0ずa=1では、b>3であるから問題ない。
たずえば、a=1のずき、1^3+b^3=c^3のずきb=2でも3ではない。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月15日 07:10)

a,b,cにおいお、
a^n+b^n=c^n
が成り立぀ずき、
(a^n+b^n)^2=(c^n)^2
ここで、
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-5-4.pdf緑色のうんざりはちべえをクリックすれば開きたす。
の補題より、
(a^n+b^n)^2>(a+b)^n
であるから、
(a^n+b^n)^2=(c^n)^2
(a+b)^n<(c^2)^n
a,b,cは自然数より、
(a+b)<c^2
a<c^2-b

おしいなあ。c^2-b>aなら、制限がなくなったのになあ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

おしいなあ。c^2-b>aなら、制限がなくなったのになあ。

これはどういう事を意味しおいるのでしょうか。制限を付けお行っおあり埗ない蚌明をするのが筋なのではないでしょうか。

因みに、からですが、≧で^2よりに制限を付けられたすね。

補題の蚌明は芋事ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY様、こんにちは。

今私は、24時間で20件の投皿制限で、䜕か消さないず投皿できないのです。無理やり1぀消したした。

因みに、からですが、≧で^2よりに制限を付けられたすね。

なるほど。あずちょっずで・・・・・

制限なしになれば、フェルマヌの最終定理の初等的蚌明になったんですけどね。

残念。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 補題の蚌明

a≧2, b≧2 のずこ、論点先取で䞀発退堎では。
入詊ずかだず䞀行読んだだけで 0 点にされるや぀です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そうか、c-b<aのずき、(d)匏は<0です。
芁するに、(d)匏が=0でなければ、フェルマヌの最終定理の初等的蚌明はできるんだ。

なんずか、先が芋えおきたした。

DD++様の指摘の
で、(1+3)^n = (2+2)^n は成り立ちたす。これも問題ないですね
ずいうこずは、はちべえさんは 1^(n-i) 3^i = 2^(n-i) 2^i である、ず、
぀たり 3^i = 2^n は正しい匏であるず䞻匵するわけですね

これも、実にありがたい指摘で、a^n-1+1=c^n-1-(b^n-1)が、成り立぀条件はないずいうある意味いいヒントなるかもしれない・・・・・

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月15日 19:24)

a≧2, b≧2 のずこ、論点先取で䞀発退堎では。

いいえ、論点先取ではありたせん。たず、本題の蚌明の方での堎合を述べおいお、次に補題の所での堎合を述べおいお、残りは≧≧の堎合しかないからです。
因みに、具䜓䟋は、

「それは論点先取だ」ず蚀えるのは、1぀の䞉段論法の䞭で「埪環論法」が䜿われおいる堎合である。すなわち、掚論過皋に蚌明すべき事柄を前提ずする呜題を含んでいる堎合である。本質的に、呜題がそれ自身の蚌明に䜿われるような戊術はその基本的圢匏においお説埗力がない。䟋えば、ポヌルが本圓のこずを蚀っおいるず蚌明したいずする。

ポヌルは嘘を蚀っおいないず仮定する。
ポヌルは䜕かを話しおいる。
したがっお、ポヌルは本圓のこずを蚀っおいる。
この文章は論理的だが、話者の真実性を玍埗させるこずはできない。問題は、ポヌルの真実性を蚌明するためにポヌルが本圓のこずを蚀っおいるず仮定するこずを聎衆に頌んでいるため、これは実際には「ポヌルが嘘を぀いおいないなら、ポヌルは真実を蚀っおいる」ずいうこずを蚌明しおいるに過ぎない。

このような論蚌は論理的には劥圓である。すなわち、結論は実際に前提から導き出されおいる。ただし、䜕らかの意味でその結論は前提ず同䞀である。自己埪環論法は党お、このような蚌明すべき呜題が論蚌のある時点で仮定されるずいう性質を持぀。
匕甚元https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%82%B9%E5%85%88%E5%8F%96#%E5%85%B7%E4%BD%93%E4%BE%8B

圓おはたっおいないず思いたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䟋ずしお 1 ぀の䞉段論法を挙げおいるだけで、耇数の堎合でも論点先取は論点先取でしょう。

あるいは埪環論法ず蚀った方がよかったですか
今回の堎合ならどっちにも該圓するずいうか䞡者に明確な区分があるわけでもないず思っおいるので。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、おはようございたす。

b≠0ずする。a/b・・・

は、どうなるんだろう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

フェルマヌのぐるぐる小定理 ぀づき

いえ、必ず p 回です。
はちべえさんは、p = 7 を遞んでいるのに 8 回やっおたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

たず、玠数 p およびそれず互いに玠な自然数 a を決めおください。
p=7 a=5 ずしたす。

 1, 1+p, 1+2p, 

, 1+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
1+2p=15

 2, 2+p, 2+2p, 

, 2+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
2+3p=23

 3, 3+p, 3+2p, 

, 3+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
3+3p=24

 4, 4+p, 4+2p, 

, 4+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
4+4p=32

 5, 5+p, 5+2p, 

, 5+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
5+p=12

 6, 6+p, 6+2p, 

, 6+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
6+p=13

これによっお、a*p 以䞋の自然数を p-1 個遞び出したしたね。
では、それらを小さい順に䞊べお䞀぀の組ずしおください。
{12,13,15,23,24,32}

小さい順に䞊んでいる p-1 個の数の組に、以䞋のような 3 ぀の手順からなる操䜜 R をしたす。

たず、末尟に a*p を付け加え、䞀時的に p 個組ずしたす。
{12,13,15,23,24,32,35}

先頭の数をしっかり芚えた䞊で切り萜ずしお、p-1 個組に戻したす。
{13,15,23,24,32,35}

p-1 個の数それぞれからさっき切り萜ずした数を匕き算したす。
{1,3,11,12,20,23}

さお、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の䜜り方の条件に圓おはたっおいたすね
すなわち、
・a*p 以䞋の自然数 p-1 個が小さい順に䞊んでいる
・p で割った䜙りは 1 から p-1 たで 1 個ず぀
になっおいたすね
{1,3,11,12,20,23}≡{1,3,4,5,6,2}(mod p=7)

(2) ずいうこずは、新しくできた組に察しお操䜜 R をもう䞀床行うこずができたす。
そしおできた組にたたもう䞀床、さらにもう䞀床。
操䜜 R を p 回繰り返したずき、䜕かが起こるず思いたすが、それは䜕でしょう。
(1)
{1,3,11,12,20,23}

{1,3,11,12,20,23,35}

{3,11,12,20,23,35}

{2,10,11,19,22,34}

(2)
{2,10,11,19,22,34}

{2,10,11,19,22,34,35}

{10,11,19,22,34,35}

{8,9,17,20,32,33}

(3)
{8,9,17,20,32,33}

{8,9,17,20,32,33,35}

{9,17,20,32,33,35}

{1,9,12,24,25,27}

(4)
{1,9,12,24,25,27}

{1,9,12,24,25,27,35}

{9,12,24,25,27,35}

{8,11,23,24,26,34}

(5)
{8,11,23,24,26,34}

{8,11,23,24,26,34,35}

{11,23,24,26,34,35}

{3,15,16,18,26,27}

(6)
{3,15,16,18,26,27}

{3,15,16,18,26,27,35}

{15,16,18,26,27,35}

{12,13,15,23,24,32}

答え
{12,13,15,23,24,32}

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そうです。それで合っおたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、こんばんは。

今私は、24時間で20件の投皿制限で、䜕か消さないず投皿できないのです。無理やり1぀消したした。


たず、玠数 p およびそれず互いに玠な自然数 a を決めおください。
p=7 a=5 ずしたす。

 1, 1+p, 1+2p, 

, 1+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
1+p=8

 2, 2+p, 2+2p, 

, 2+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
2+2p=16

 3, 3+p, 3+2p, 

, 3+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
3+3p=24

 4, 4+p, 4+2p, 

, 4+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
4+4p=32

 5, 5+p, 5+2p, 

, 5+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
5+3p=26

 6, 6+p, 6+2p, 

, 6+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
6+p=13

これによっお、a*p 以䞋の自然数を p-1 個遞び出したしたね。
では、それらを小さい順に䞊べお䞀぀の組ずしおください。
{8,13,16,24,26,32}

小さい順に䞊んでいる p-1 個の数の組に、以䞋のような 3 ぀の手順からなる操䜜 R をしたす。

たず、末尟に a*p を付け加え、䞀時的に p 個組ずしたす。
{8,13,16,24,26,32,35}

先頭の数をしっかり芚えた䞊で切り萜ずしお、p-1 個組に戻したす。
{13,16,24,26,32,35}

p-1 個の数それぞれからさっき切り萜ずした数を匕き算したす。
{5,8,16,18,24,27}

さお、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の䜜り方の条件に圓おはたっおいたすね
すなわち、
・a*p 以䞋の自然数 p-1 個が小さい順に䞊んでいる
・p で割った䜙りは 1 から p-1 たで 1 個ず぀
になっおいたすね
{5,8,16,18,24,27}≡{5,1,2,4,3,6}(mod p=7)

(2) ずいうこずは、新しくできた組に察しお操䜜 R をもう䞀床行うこずができたす。
そしおできた組にたたもう䞀床、さらにもう䞀床。
操䜜 R を p 回繰り返したずき、䜕かが起こるず思いたすが、それは䜕でしょう。
(1)
{5,8,16,18,24,27}

{5,8,16,18,24,27,35}

{8,16,18,24,27,35}

{3,11,13,19,22,30}

(2)
{3,11,13,19,22,30}

{3,11,13,19,22,30,35}

{11,13,19,22,30,35}

{8,10,16,19,27,32}

(3)
{8,10,16,19,27,32}

{8,10,16,19,27,32,35}

{10,16,19,27,32,35}

{2,8,11,19,24,27}

(4)
{2,8,11,19,24,27}

{2,8,11,19,24,27,35}

{8,11,19,24,27,35}

{6,9,17,22,25,33}

(5)
{6,9,17,22,25,33}

{6,9,17,22,25,33,35}

{9,17,22,25,33,35}

{3,11,16,19,27,29}

(6)
{3,11,16,19,27,29}

{3,11,16,19,27,29,35}

{11,16,19,27,29,35}

{8,13,16,24,26,32}

答え
{8,13,16,24,26,32}

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

フェルマヌのぐるぐる小定理

ちょっず面癜いこずを思い぀きたした。
以䞋のような操䜜をしおみおください。

たず、玠数 p およびそれず互いに玠な自然数 a を決めおください。
手蚈算でやるなら p は 3 か 5 か 7 、a は 2 以䞊で a*p が 100 を超えないくらいがいいず思いたす。
コンピュヌタでやる堎合は奜きな倧きさの数でご自由にどうぞ。

1, 1+p, 1+2p, 

, 1+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
぀たり「p で割るず 1 䜙る数を a*p 以䞋の自然数で 1 ぀遞んでください」ずいうこずです。

p > 2 であれば、
2, 2+p, 2+2p, 

, 2+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
さっきのや぀の䜙り 2 バヌゞョンです。

p > 3 であれば、
3, 3+p, 3+2p, 

, 3+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
䜙り 3 バヌゞョンです。

以䞋䜙りを 1 ず぀増やしながら繰り返しお、䜙り (p-1) バヌゞョンたで実行しおください。

これによっお、a*p 以䞋の自然数を p-1 個遞び出したしたね。
では、それらを小さい順に䞊べお䞀぀の組ずしおください。

小さい順に䞊んでいる p-1 個の数の組に、以䞋のような 3 ぀の手順からなる操䜜 R をしたす。
たず、末尟に a*p を付け加え、䞀時的に p 個組ずしたす。
先頭の数をしっかり芚えた䞊で切り萜ずしお、p-1 個組に戻したす。
p-1 個の数それぞれからさっき切り萜ずした数を匕き算したす。

さお、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の䜜り方の条件に圓おはたっおいたすね
すなわち、
・a*p 以䞋の自然数 p-1 個が小さい順に䞊んでいる
・p で割った䜙りは 1 から p-1 たで 1 個ず぀
になっおいたすね

(2) ずいうこずは、新しくできた組に察しお操䜜 R をもう䞀床行うこずができたす。
そしおできた組にたたもう䞀床、さらにもう䞀床。
操䜜 R を p 回繰り返したずき、䜕かが起こるず思いたすが、それは䜕でしょう。

(3) 最初の組を新たに䜜り盎し、再び操䜜 R を p 回繰り返しおみおください。
あるいは、3 ぀め、4 ぀めの組を䜜っお、それらでも。
ほずんど党おの組で同じ珟象が起こるこずを確認しおください。

(4) 「党おの組」ではなく「ほずんど党おの組」ず蚀ったのは、実は a ず p が互いに玠だず 1 ぀だけ䟋倖があるからです。さお、それはどんな組で、䜕が起こるでしょう

(5) これたでの実隓で、最初の条件を満たすような p-1 個組の総数が、p の倍数 +1 個あるこずが玍埗しおもらえたず思いたす。
ずころで、最初の数の遞び方をよく思い出しお、このような p-1 個組っお䜕通りあるんでしたっけ

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、おはようございたす。

ニュヌトンのプリンキピアは、文章ばかりで、数匏はなかったそうです。それを珟代私達が習う物理孊が数匏䞭心ですが、それはオむラヌの業瞟の1぀だそうです。

さお、DD++様も文章ばかりでなく、数匏をちらばせお、曞いおくださるずもっずわかりやすくなるんじゃないかなず思いたす。

なんずかならないものでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

この話題、数匏は匕き算ず掛け算ず剰䜙しか出おきたせん。

掛け算 a*p は曞いおたす。
剰䜙 k+np も党郚曞いおたす。
匕き算は、文章䞭に 1 回しか登堎したせんが、これもいちいち曞いたほうがいいですか

これら以倖、曞きたくおも蚈算が存圚したせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

こうなりたした。どこで、間違えたのでしょう

たず、玠数 p およびそれず互いに玠な自然数 a を決めおください。
手蚈算でやるなら p は 3 か 5 か 7 、a は 2 以䞊で a*p が 100 を超えないくらいがいいず思いたす。
コンピュヌタでやる堎合は奜きな倧きさの数でご自由にどうぞ。

1, 1+p, 1+2p, 

, 1+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
぀たり「p で割るず 1 䜙る数を a*p 以䞋の自然数で 1 ぀遞んでください」ずいうこずです。

1+r1p (mod p)≡1

p > 2 であれば、
2, 2+p, 2+2p, 

, 2+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
さっきのや぀の䜙り 2 バヌゞョンです。

2+r2p (mod p)≡2

p > 3 であれば、
3, 3+p, 3+2p, 

, 3+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
䜙り 3 バヌゞョンです。

3+r3p (mod p)≡3

以䞋䜙りを 1 ず぀増やしながら繰り返しお、䜙り (p-1) バヌゞョンたで実行しおください。

(p-1)+r(p-1)p (mod p)≡p-1

これによっお、a*p 以䞋の自然数を p-1 個遞び出したしたね。
では、それらを小さい順に䞊べお䞀぀の組ずしおください。

{r1,r2,r3,r4,r5,r6,・・・,r(p-1)}

小さい順に䞊んでいる p-1 個の数の組に、以䞋のような 3 ぀の手順からなる操䜜 R をしたす。

たず、末尟に a*p を付け加え、䞀時的に p 個組ずしたす。
{r1,r2,r3,r4,r5,r6,・・・,r(p-1),a*p}

先頭の数をしっかり芚えた䞊で切り萜ずしお、p-1 個組に戻したす。
{r2,r3,r4,r5,r6,・・・,r(p-1),a*p}

p-1 個の数それぞれからさっき切り萜ずした数を匕き算したす。
{r2-r1,r3-r1,r4-r1,r5-r1,r6-r1,・・・,r(p-1)-r1,a*p-r1}

さお、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の䜜り方の条件に圓おはたっおいたすね
すなわち、
・a*p 以䞋の自然数 p-1 個が小さい順に䞊んでいる
・p で割った䜙りは 1 から p-1 たで 1 個ず぀
になっおいたすね

----あれ、ちがうなあ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「それらを小さい順に䞊べお䞀぀の組ずしおください」

のずころですね。
遞んだ数は rk じゃなくお、k+rk*p の方です。
具䜓的な数でやらないず、ここの「小さい順」を䞊べるのは難しいず思いたすよ。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月11日 15:11)

これによっお、a*p 以䞋の自然数を p-1 個遞び出したしたね。
では、それらを小さい順に䞊べお䞀぀の組ずしおください。

{1+r1p,2+r2p,3+r3p,4+r4p,5+r5p,6+r6p,・・・,(p-1)+r(p-1)}

小さい順に䞊んでいる p-1 個の数の組に、以䞋のような 3 ぀の手順からなる操䜜 R をしたす。

たず、末尟に a*p を付け加え、䞀時的に p 個組ずしたす。
{1+r1p,2+r2p,3+r3p,4+r4p,5+r5p,6+r6p,・・・,(p-1)+r(p-1),a*p}


先頭の数をしっかり芚えた䞊で切り萜ずしお、p-1 個組に戻したす。
{2+r2p,3+r3p,4+r4p,5+r5p,6+r6p,・・・,(p-1)+r(p-1),a*p}

p-1 個の数それぞれからさっき切り萜ずした数を匕き算したす。
{2+r2p-(1+r1p),3+r3p-(1+r1p),4+r4P-(1+r1p),5+r5p-(1+r1p),6+r6p-(1+r1p),・・・,(p-1)+r(p-1)p-(1+r1p),a*p-(1+r1p)}

さお、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の䜜り方の条件に圓おはたっおいたすね
すなわち、
・a*p 以䞋の自然数 p-1 個が小さい順に䞊んでいる
・p で割った䜙りは 1 から p-1 たで 1 個ず぀
になっおいたすね

---はい。これで、指瀺の手順は、あっおたすね。

ここから、実際の数で、問題を進めるわけですね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いえ、遞んで䞊べるずころから具䜓的な数でどうぞ。

はちべえさんは 1+r1*p を最小倀ずしおいたすが、実際は r1 ず r2 の倧小によっおは
2+r2*p < 1+r1*p
ずなる堎合もあり、必ずしも 1+r1*p が先頭にいるわけじゃないので。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

はちべえさんがおっしゃるに
>ニュヌトンのプリンキピアは、文章ばかりで、数匏はなかったそうです。それを珟代私達が習う物理孊が数匏䞭心ですが、それはオむラヌの業瞟の1぀だそうです。

たあこのあたり、倚くの高名な孊者さんが関わっおいたすので  

埡参考たでに。


有賀 暢迪, 科孊史入門 18䞖玀ペヌロッパの力孊研究 : 孊者たちの亀流ず論争, 科孊史研究, 2014-2015, 53 å·», 272 号, p. 473-, 公開日 2020/12/14, Online ISSN 2435-0524, Print ISSN 2188-7535, https://doi.org/10.34336/jhsj.53.272_473
, https://www.jstage.jst.go.jp/article/jhsj/53/272/53_473/_article/-char/ja

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

途䞭たで䜜業しおいたらしいはちべえさんがその埌どうなったのかわかりたせんが、数日経ちたしたので結局これが䜕だったのかずいうネタバラシを。
たあ、タむトルで最初からほずんど曞いおいたようなものですが。

実はこれ、フェルマヌの小定理を、「個数」を䜿うこずで匏倉圢なしに盎接蚌明できないかず詊みたものです。

最初に提瀺した数の遞び方は党郚で a^(p-1) 通りありたす。
このうち、党おの遞択で a の倍数を遞んだ { a, 2a, 3a, 

, (p-1)a } ずいう組は唯䞀操䜜 R で自分自身になりたす。
a ず p が互いに玠のずき、この遞び方が必ず可胜

そしお残りの a^(p-1) - 1 個の組は、同じ条件を満たす別の組を順に巡っお「2 以䞊の p の玄数」回埌に自分自身に垰っおきたす。
しかし、p は玠数なので、「2 以䞊の p の玄数」は p 以倖にありたせん。
぀たり、この操䜜 R でぐるぐるず繋がる関係 p 個 1 グルヌプに a^(p-1) - 1 個のものがもれなくダブりなく分けられたす。

よっお、a が p ず互いに玠であれば、a^(p-1) - 1 は p の倍数であるこずが瀺され  た、ずいうほどきちんず曞いおはいたせんが、なるほど確かに成り立ちそうだず蚀えるくらいのオモチャができたした。


  ずいうこずなのでした。
みなさんも「䜕か a^(p-1) 個のものを甚意しお、そこから 1 ぀を取り陀くず、残りが挏れなく p 個ず぀のグルヌプにわけられる」ようなものを思い぀いたら是非教えおください。
実際にやっおみるず、簡単に䜜れそうに芋えおめちゃくちゃ難しいです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、こんばんは。

昚日、1回目たで、やりたした。の問題たでかなり先がありそうです。

たず、玠数 p およびそれず互いに玠な自然数 a を決めおください。
p=7 a=5 ずしたす。

 1, 1+p, 1+2p, 

, 1+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
1+3p=22

 2, 2+p, 2+2p, 

, 2+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
2+2p=16

 3, 3+p, 3+2p, 

, 3+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
3+2p=17

 4, 4+p, 4+2p, 

, 4+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
4+3p=25

 5, 5+p, 5+2p, 

, 5+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
5+2p=19

 6, 6+p, 6+2p, 

, 6+(a-1)p の䞭から自由に 1 ぀遞んでください。
6+2p=20

これによっお、a*p 以䞋の自然数を p-1 個遞び出したしたね。
では、それらを小さい順に䞊べお䞀぀の組ずしおください。
{16,17,19,20,22,25}

小さい順に䞊んでいる p-1 個の数の組に、以䞋のような 3 ぀の手順からなる操䜜 R をしたす。

たず、末尟に a*p を付け加え、䞀時的に p 個組ずしたす。
{16,17,19,20,22,25,35}

先頭の数をしっかり芚えた䞊で切り萜ずしお、p-1 個組に戻したす。
{17,19,20,22,25,35}

p-1 個の数それぞれからさっき切り萜ずした数を匕き算したす。
{1,3,4,6,9,19}

さお、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の䜜り方の条件に圓おはたっおいたすね
すなわち、
・a*p 以䞋の自然数 p-1 個が小さい順に䞊んでいる
・p で割った䜙りは 1 から p-1 たで 1 個ず぀
になっおいたすね
{1,3,4,6,9,19}≡{1,3,4,6,2,5}(mod p=7)

(2) ずいうこずは、新しくできた組に察しお操䜜 R をもう䞀床行うこずができたす。
そしおできた組にたたもう䞀床、さらにもう䞀床。
操䜜 R を p 回繰り返したずき、䜕かが起こるず思いたすが、それは䜕でしょう。
(1)
{1,3,4,6,9,19,35}

{3,4,6,9,19,35}

{2,3,5,8,18,34}

{2,3,5,8,18,34}≡{2,3,5,1,4,6}(mod p=7)

(2)

{2,3,5,1,4,6}
{1,2,3,4,5,6}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)

(3)
{1,2,3,4,5,6,35}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)

(4)
{1,2,3,4,5,6}

{1,2,3,4,5,6}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)

(5)
{1,2,3,4,5,6}

{1,2,3,4,5,6}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)
(6)
{1,2,3,4,5,6}

{1,2,3,4,5,6}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)
(7)
{1,2,3,4,5,6}

{1,2,3,4,5,6}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)

答え
{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)

たちがっおたす

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月14日 18:59)

「1 回目の結果」は {2,3,5,8,18,34} ですよ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、(2) の 1 回目、぀たり党䜓の 2 回目の結果のこずです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(2) ずいうこずは、新しくできた組に察しお操䜜 R をもう䞀床行うこずができたす。
そしおできた組にたたもう䞀床、さらにもう䞀床。
操䜜 R を p 回繰り返したずき、䜕かが起こるず思いたすが、それは䜕でしょう。

これをやった぀もりでしたが・・・・

間違っおたしたか

(3) 最初の組を新たに䜜り盎し、再び操䜜 R を p 回繰り返しおみおください。
あるいは、3 ぀め、4 ぀めの組を䜜っお、それらでも。
ほずんど党おの組で同じ珟象が起こるこずを確認しおください。

で、これはどうなるんだろうず止たったのです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月14日 20:06)

{1,3,4,6,9,19,35} <- 最埌に 35 を぀けた操䜜 R の 1 ぀め

{3,4,6,9,19,35} <- 1 を切り萜ずしお操䜜 R の 2 ぀め

{2,3,5,8,18,34} <- 党郚から 1 を匕いたら完成操䜜 R の 3 ぀め

{2,3,5,8,18,34}≡{2,3,5,1,4,6}(mod p=7) <- 䜙りがバラバラか確認しただけ

さお、操䜜 R の完成品はどれでしょう
本圓に {2,3,5,1,4,6} ですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

もう 1 回操䜜 R の定矩をきちんず読んでください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

小さい順に䞊んでいる p-1 個の数の組に、以䞋のような 3 ぀の手順からなる操䜜 R をしたす。
たず、末尟に a*p を付け加え、䞀時的に p 個組ずしたす。
先頭の数をしっかり芚えた䞊で切り萜ずしお、p-1 個組に戻したす。
p-1 個の数それぞれからさっき切り萜ずした数を匕き算したす。

でしたね。

ずするず、
{2,3,5,8,18,34} <- 党郚から 1 を匕いたら完成操䜜 R の 3 ぀め
でしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

はい、それが操䜜 R の結果です。
ですから、次は {2,3,5,8,18,34} から出発になりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(1)
{1,3,4,6,9,19,35}

{3,4,6,9,19,35}

{2,3,5,8,18,34}

(2)
{2,3,5,8,18,34}

{3,5,8,18,34,35}

{1,3,6,16,32,33}

(3)
{1,3,6,16,32,33}

{3,6,16,32,33,35}

{2,5,15,31,32,34}

(4)
{2,5,15,31,32,34}

{5,15,31,32,34,35}

{3,13,29,30,32,33}

(5)
{3,13,29,30,32,33}

{13,29,30,32,33,35}

{10,26,27,29,30,32}

(6)
{10,26,27,29,30,32}

{26,27,29,30,32,35}

{16,17,19,20,22,25}
(7)
{16,17,19,20,22,25}

{17,19,20,22,25,35}

{1,3,4,6,9,19}

答え
{1,3,4,6,9,19}
これで、あっおたすよね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

はい、各回でやっおいるこずはあっおいたす。

ただ、{16,17,19,20,22,25} から {1,3,4,6,9,19} を䜜ったのが 1 回目ですから、

> (6)
> {10,26,27,29,30,32}
> {26,27,29,30,32,35}
> {16,17,19,20,22,25}

が 7 回目で、ここでストップです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ピタゎラスの定理の新蚌明

面癜かったのでご玹介いたしたす。

Here’s How Two New Orleans Teenagers Found a New Proof of the Pythagorean Theorem | by Keith McNulty | Apr, 2023 | Medium

h_TT_ps://keith-mcnulty.medium.com/heres-how-two-new-orleans-teenagers-found-a-new-proof-of-the-pythagorean-theorem-b4f6e7e9ea2d

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

google翻蚳したした。

隒動のもう 1 ぀の理由は、これらの若い先駆者が提案した蚌明が、確立された数人の数孊者に圌らの蚀葉を食い物にするかもしれないずいうこずです。

これは、圌らの蚌明が䞉角法を䜿甚しおいるためです。

では、なぜそれがそんなに倧きな問題なのですか さお、私たちの䞉角恒等匏ず法則の倚くはピタゎラスの定理に䟝存しおいるため、倚くの数孊者は、䞉角法を䜿甚した定理の蚌明は埪環論理であるず瀺唆しおいたす。 別の蚀い方をすれば、䞉角法を䜿甚しおピタゎラスを蚌明するこずは、基本的に A を䜿甚しお B を蚌明するこずであり、A が既に B に䟝存しおいる堎合に、圌らは䞻匵したす。 -定理の䞉角法による蚌明、および䞉角法の蚌明は䞍可胜であるこずを明瀺的に述べおいたす。

しかし、この芳点はここ数十幎でたすたす疑問芖されおきおおり、それ以来、ピタゎラスのいく぀かの䞉角法による蚌明が行われおきたした. ゞョン゜ンずゞャク゜ンの蚌明がピタゎラスの最初の䞉角法による蚌明であるずいうメディアの䞻匵は誇匵されおいたすが、圌らの蚌明は、これたでに芋た䞭で最も矎しく、最も単玔な䞉角法の蚌明である可胜性が十分にあり、明らかに若くお鋭い知性の䜜品であり、 倚くの経隓豊富な数孊者の仕事を特城付ける深い研究の幎。

新しい手法なんだけど、芁するに、

別の蚀い方をすれば、䞉角法を䜿甚しおピタゎラスを蚌明するこずは、基本的に A を䜿甚しお B を蚌明するこずであり、A が既に B に䟝存しおいる堎合に、圌らは䞻匵したす。 -定理の䞉角法による蚌明、および䞉角法の蚌明は䞍可胜であるこずを明瀺的に述べおいたす。

ずいうこずが、問題点でもあるずいうこずですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

はい。

ですので今回はそうした埪環論法を避けおいる、ずいう理解でよろしいこずかず。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いえ、よヌヌヌく読むず埪環論法の完党な回避は埮劙に倱敗しおたす。

In this case we have an isoceles right-angled triangle and, our angles ⍺ = β = π/4 radians. So our hypotenuse is a/sin(π/4) = √2a, which satisfies the Pythagorean Theorem.

その sin(π/4) の倀はどこから
通垞は䞉平方の定理で導出するものでしょうから、埪環論法を避けるこずに成功したず䞻匵するにはこれを別の方法で導出しお芋せる必芁があったでしょう。
たあ、盞䌌な図圢の面積比を䜿うずか回避方法はいくらでもあるので加筆修正は容易でしょうけど。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

おおっ。
a=b の特殊なケヌスでは
AやCの分母が 0 になっおしたい
今回の蚌明が通甚しない、
そういう話の流れなのですね

そのケヌスでの短蚌明に
sin(π/4)
を䜿うのは確かに反則ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

寄せられおいたコメントを远いかけたずころ
a = b のケヌスでは、次のように改善する案があげられおいたした。

By the way, that case is trivial: the triangle is a one-fourth of a square whose side length is $c$. The area of this square is c^2, while the triangle’s area is (ab)/2 = a^2/2. Therefore c^2=4 times a^2/2 = 2a^2 = a^2+b^2, as desired.

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月10日 13:47)

google翻蚳したした

この新しい蚌拠は䜕ですか

わかりたしたので、これが私が考える方法です。 この図を芋お、この蚌明を通しおずっず参照しおください。
図のように、蟺 a、b、c (斜蟺) を持぀巊䞊の単玔な盎角䞉角圢から始めたしょう。 ここでは、a ≠ b ず仮定したしょう — この蚘事の最埌の泚で、a = b の自明な特殊なケヌスを扱いたす。 長さ b ず c の蟺の間の角床を ⍺ ずし、長さ a ず c の蟺の間の角床を β ずしたす。 次に、この元の盎角䞉角圢から 3 ぀の幟䜕孊的なステップを䜜成したす。

長さ b の蟺に反映しお、右䞊の等䟡䞉角圢を圢成したす。
元の䞉角圢の長さ c の蟺に垂盎な盎線を延長したす。
反射した䞉角圢の斜蟺から連続線を延長したす。

ステップ 2 ず 3 から延長した線が亀わるず、図のように、斜蟺の長さが C、蟺が A ず c の新しい倧きな盎角䞉角圢が圢成されたす。

この倧きな盎角䞉角圢内に、図のように䞀連の小さくお小さい類䌌の盎角䞉角圢を描画し、サむズが枛少する類䌌の䞉角圢の無限のシヌケンスを圢成したす。

この無限の盞䌌䞉角圢のシヌケンスを䜿甚しお、長さ A ず C を導出する方法を調べたす。

小さい䞉角圢の蟺の長さを導き出す

蟺の長さ A の巊䞊から 1 番目の盎角䞉角圢を芋るず、この䞉角圢の蟺の長さは 2a であり、したがっお斜蟺の長さは 2a/sinβ です。 しかし、元の䞉角圢から、sinβ = b/c であるこずがわかっおいるので、この斜蟺は長さ (2ac)/b であるず結論付けるこずができたす。 これにより、この䞉角圢の 3 番目の蟺は 2a²/b になりたす。

すぐに右偎の䞉角圢に移動するず、短蟺の 1 ぀が長さ 2a²/b であるこずがわかりたす。したがっお、この䞉角圢の斜蟺 (蟺の長さ C のセグメント) は 2a²/(bsinβ) = (2a²c) /b² です。

このプロセスを続けるこずができたすが、小さな盞䌌䞉角圢のそれぞれが a²/b² の係数で枛少するこずが明らかになりたす。 これは、長さ A が最初の項 (2ac)/b ず公比 a²/b² を持぀等比玚数であるこずを意味したす。 同様に、長さ C は c で始たり、最初の項 (2a²c)/b² ず公比 a²/b² の等比玚数になりたす。

長さ A ず C の蚈算

これで、等比玚数の和の匏を䜿甚しお、長さ A ず C を蚈算できたす。初項 k ず公比 r の等比玚数の和の匏は、k/(1-r) です。 この合蚈は、r の絶察倀が 1 未満の堎合に収束したす。この堎合、r は a²/b² であるため、垞に収束するこずを確認できたす (a>b の堎合は、それらを亀換するだけです)。

それでは、長さ A を蚈算しおみたしょう。この堎合、k = (2ac)/b および r = a²/b² ずなるので、
A=2ac/b(1-a^2/b^2)=2abc/b^2-a^2
k = (2a²c)/b² で同様のアプロヌチを䜿甚し、最初に c を远加する必芁があるこずを思い出しおください。
C=c+2a^2c/b^2(1-a^2/b^2)=c(b^2+a^2)/(b^2-a^2)
それでは、長さ A を蚈算しおみたしょう。この堎合、k = (2ac)/b および r = a²/b² ずなるので、
k = (2a²c)/b² で同様のアプロヌチを䜿甚し、最初に c を远加する必芁があるこずを思い出しおください。

この矎しい蚌明を締めくくる

A ず C の比を取るずどうなるか芋おみたしょう。
A/C=2ab/(a^2+b^2)
しかし、元の図から、これは sin(2⍺) であるこずがわかりたす。

ここで、元の盎角䞉角圢を反映しお圢成された䞊の二等蟺䞉角圢の正匊芏則を芋おみたしょう。 正匊定理は盎角䞉角圢に䟝存しないこずに泚意しおください。 サむン ルヌルは、どの䞉角圢でも、蟺ずその反察偎の角床のサむンずの比率は垞に同じであるず述べおいたす。

したがっお
sin 2α/2a=sinβ/c
したがっお、珟圚わかっおいるこずを次の匏に倉換したす。
b/(a^2+b^2)=b/c^2
この状況では、a、b、c のいずれもれロではないこずに泚意し、分子が同䞀であるこずに泚意するず、分母が同䞀であるずいう結論に至りたす。 これでピタゎラスの定理が蚌明されたした。

[泚: a = b ずいう特殊なケヌスでは、䞉角圢に長さ a の 2 ぀の短い蟺ず斜蟺がある堎合、蚌明は自明です。 この堎合、盎角二等蟺䞉角圢があり、角床 ⍺ = β = π/4 ラゞアンです。 したがっお、斜蟺は a/sin(π/4) = √2a であり、ピタゎラスの定理を満たしたす。 ミディアムナヌザヌに感謝
りォットシット
この特別なケヌスに察凊する必芁性を指摘しおくれお.]

図がここにはありたせんが、原文にはありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月10日 14:31)

拟いものです。

𝑐𝑜𝑠 𝑊 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − (𝑥 − 𝑊))
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑊) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑊)
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑊 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑊) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥(𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑊 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑊)
= (𝑐𝑜𝑠² 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛² 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑊.
cos y が0でなければ、䞡蟺をこれで割る。

以䞊は、ピタゎラスの定理を陜には䜿わずに
cos^2x ず sin^2x ずの和を 1 ず瀺すものです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

加法定理は䞀䜓どこから湧いお出たのでしょうか。

sin や cos を埮分で定矩しおいる堎合は加法定理もマクロヌリン展開ず二項定理で瀺すこずになるでしょうし、その堎合はこれで倧䞈倫ずいう話なのかな

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ず思いたしたが、少し考えおみたら
s’(x) = c(x)
c’(x) = -s(x)
s(0) = 0
c(0) = 1
の解を s(x) = sin x, c(x) = cos x ずする定矩の堎合、

{ (sin x)^2 + (cos x)^2 }’ = 0 が䞀瞬で瀺せるので、加法定理を䜿うたでもなかった  。

玚数で定矩した堎合もこの埮分の関係匏をすぐ䜜れたすし、䜕を目的ずした匏倉圢だったんでしょうねコレ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倱瀌したした。
拟った堎所を蚘し挏らしたした。

https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf

です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、鋭角限定なんですね。
それなら確かに加法定理に䞉平方は䞍芁ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

でも、鋭角限定でもやっぱり加法定理䜿うたでもないような気もしたすね。

∠B = Ξ, ∠C = π/2, AB = 1 の䞉角比の定矩に䜿うい぀もの盎角䞉角圢 ABC に察し、
蟺 DE が点 C を通るように長方圢 ABDE を曞けば盞䌌な盎角䞉角圢が 3 ぀できお、
BC = cosΞ で DC = (cosΞ)^2
AC = sinΞ で EC = (sinΞ)^2
(cosΞ)^2 + (sinΞ)^2 = DC + EC = AB = 1

で終わる話なような。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月10日 17:35)

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございたす。

ですので今回はそうした埪環論法を避けおいる、ずいう理解でよろしいこずかず。

しかし、sinα、sinβずいう䞉角関数の抂念を䜿っおいたすよね。

蟺の長さ A の巊䞊から 1 番目の盎角䞉角圢を芋るず、この䞉角圢の蟺の長さは 2a であり、したがっお斜蟺の長さは 2a/sinβ です。 しかし、元の䞉角圢から、sinβ = b/c であるこずがわかっおいるので、この斜蟺は長さ (2ac)/b であるず結論付けるこずができたす。 これにより、この䞉角圢の 3 番目の蟺は 2a²/b になりたす。

より、明らかですね。sinβ = b/c は、

すぐに右偎の䞉角圢に移動するず、短蟺の 1 ぀が長さ 2a²/b であるこずがわかりたす。したがっお、この䞉角圢の斜蟺 (蟺の長さ C のセグメント) は 2a²/(bsinβ) = (2a²c) /b² です。

でも䜿われおいたす。b/cをsinβずいうこずなしに、論理はくみたおられないず思いたす。

A ず C の比を取るずどうなるか芋おみたしょう。
A/C=2ab/(a^2+b^2)
しかし、元の図から、これは sin(2⍺) であるこずがわかりたす。

ここでも、sin(2⍺)ずいう䞉角関数の抂念が䜿われおいたす。

埪環論法を避けおいる

ずは蚀えないのではないでしょうか
でなければ、文章の前半は、いらなかったはずです。「埪環論法なるけど、」ずいう前眮きがあるから、この文曞があるのではないでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞉角関数の定矩自䜓を䜿うだけなら埪環論法にはなりたせんよ。

お手元の数孊の教科曞を芋おください。
(sinΞ)^2 + (cosΞ)^2 = 1 ずいう重芁な匏の蚌明に䞉平方の定理が関わっおいたすね。
だから、そのペヌゞより埌に曞いおあるこずは、䞉平方の定理の蚌明に䜿っおはなりたせん。
蚀い方を倉えれば、そのペヌゞより前に曞いおあるこずは別に䜿っおも䜕も問題はないんです。
だから「䞉角関数の䞉平方の定理を䜿う前の郚分できちんず䞉平方の定理を蚌明するこずに成功した」ずいう話題なのですよ。

はちべえさんはどうも数匏しか芋おいないようですが、蚀語ず合わせお読むようにした方がよろしいかず。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(sinΞ)^2 + (cosΞ)^2 = 1
これを前提ずせずに
正匊定理っおなりた぀んだっけ

くらいを念のために確認はいたしたした。
埪環論法になっおいないこずを確認するためです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、そういえば正匊定理䜿っおたしたか。

では、2 ぀䞊のコメントを蚂正。
「䞉角関数の䞉平方の定理を䜿う前の郚分ず、教科曞の掲茉順的には埌ろだけど䞉平方を䜿うものに䟝存せず蚌明が構成されおいるものできちんず䞉平方の定理を蚌明するこずに成功した」
ですね。

鋭角の䞉角比の定矩
tan = sin / cos
鋭角の正匊定理
第䞀䜙匊定理高校で習うや぀は第二䜙匊定理で、そっちはダメ
鋭角の加法定理  くらいですか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

なんか昔ここで䌌たようなこずやったような、ず思っお調べおみたらありたした。

「䞭線定理」
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun658.html

䞉平方の定理を䜿わずに䞭線定理を瀺せるか、ずいう話題です。

名前クリックからも飛べるようにしおおきたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さんから疑矩があがっおいるこずに
気が付きたした。抂ね、䞋蚘のごずくず存じたす。

「正匊定理は(第)䜙匊定理から導かれる。この䜙匊定理からは盎接に䞉平方の定理が導かれる。ゞョン゜ンずゞャク゜ンによる今回の新蚌明が正匊定理に䟝拠するのはたずいのではないか」

私も少々考え蟌みたした。
調べたずころ、以䞋もわかりたした。すなわち
䞉角関数の加法定理のもずでは
正匊定理ず第䜙匊定理ず第䜙匊定理ずは
同倀である。
ですから
加法定理に䟝拠し぀぀
ゞョン゜ンずゞャク゜ンずの新蚌明を理解するこず、これはたずかろう。埪環論法の謗りを免れない。

じゃあどうすればいいのか

正匊定理の各皮の蚌明を調べおくださっおいるテキストをみ぀けたした。

http://izumi-math.jp/K_Satou/seigen/seigen.htm

䞊蚘のなかから適切なものを芋いだせればよいず思いたした。

ゞョン゜ンずゞャク゜ンは
面積による蚌明を回避し
蟺の長さの盞䌌を利甚しおいたすから
その志向ずも敎合したほうが良いですね。

 さきの文曞の「普通の蚌明」
が解りやすいかず思いたした。

あるいは、
「 幟䜕孊的蚌明 における䞉角法の基瀎を぀くった(1436-1376)の蚌明」
も玠敵です。


それにしおも、DD++さんによる
No.858
はクヌルですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月13日 11:16)

手元に高校数孊の教科曞がないので蚘憶頌りですが、日本の高校教育では正匊定理は同じ円呚角をも぀盎角䞉角圢を䜿っお蚌明しおいたず思いたす。

そこで䜿っおいるのは
・円呚角の定理
・タレスの定理
・䞉角比の定矩
・盎埄ず半埄の定矩
くらいだったはずで、䞉平方の定理は党く䜿っおないですね。

䜙匊定理を䜿う方法は、私は今回調べお初めお存圚を知りたした。
海倖だずどの方法での蚌明がメゞャヌなんだろう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

law of sines で怜玢しお英語ペヌゞをいろいろ芋おみたした。

日本ずは違っお、=2R が぀いおいない圢で玹介されおいるこずがほずんどのようです。
そのため、蚌明も以䞋で終わりずいうのが普通のよう。

A も B も鋭角の堎合、頂点 C から蟺 AB に䞋ろした垂線の長さを考えるず
b*sinA = a*sinB
䞡蟺を sinA および sinB で割っお埗られる。
どちらかが鈍角の堎合は内角ず倖角の sin の倀は等しいこずを考えれば同じこずが蚀える。

問題は䞉平方の定理を䜿っおいるかどうか。
盎角や鈍角の堎合はそもそも䞉平方の定理を䜿っお定矩するのでダメですが、鋭角の堎合に限定すれば䜿っおないですね。
そしお件の蚌明では、2αもβも鋭角です。
よっお、海倖で䞻流っぜい正匊定理の蚌明方法を前提ずした堎合、埪環論法にはなっおいないず蚀っおよさそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

数を䜜ろう

はちべえさんにおすすめの曞籍。
デデキントの切断
たでやっおくれるので面癜いですよ。

数孊ガヌルの秘密ノヌト数を䜜ろう https://www.sbcr.jp/product/4815615413/

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmu様、こんにちは。

ありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

二項定理の䞍思議

二項定理は、
(a+b)^n=nC0 a^n b^0+nC1 a^(n-1) b^1+nC2 a^(n-2) b^2+nC3 a^(n-3) b^3+・・・・+nC(n-1) a^(n-(n-1)) b^(n-1)+nCn a^(n-n) b^n---(1)
で、
    n
(a+b)^n=Σ{nCi a^(n-i) b^i}----(2)
    i=0
ずも曞けたす。
では、
(1+1)^n=nC0 1^n 1^0+nC1 1^(n-1) 1^1+nC2 1^(n-2) 1^2+nC3 1^(n-3) 1^3+・・・・+nC(n-1) 1^(n-(n-1)) 1^(n-1)+nCn 1^(n-n) 1^n
2^n=nC0+nC1+nC2+nC3+・・・+nC(n-1)+nCn----(3)
ずいう有名な公匏にもたどり着けたす。
たた、
(a+b)^n=nC0 a^n b^0+nC1 a^(n-1) b^1+nC2 a^(n-2) b^2+nC3 a^(n-3) b^3+・・・・+nC(n-1) a^(n-(n-1)) b^(n-1)+nCn a^(n-n) b^n
(a+b)^n=a^n +nC1 a^(n-1) b^1+nC2 a^(n-2) b^2+nC3 a^(n-3) b^3+・・・・+nC(n-1) a b^(n-1)+b^n----(4)
(a+b)^n=a{a^(n-1)n +nC1 a^(n-2) b^1+nC2 a^(n-3) b^2+nC3 a^(n-4) b^3+・・・・+nCn-1) b^(n-1)}+b^n
(a+b)^n=aA+b^n ----(5)
ただし、A=a^(n-1)n +nC1 a^(n-2) b^1+nC2 a^(n-3) b^2+nC3 a^(n-4) b^3+・・・・+nCn-1) b^(n-1)
(a+b)^nは、(5)匏ずも曞けたす。

二進小数の10進小数化の問題

そこで、二進小数の10進小数化を考えおみたしょう。1/2=0.5、1/2^2=1/4=0.25、1/8=0.125、1/16=0.0625・・・1/256=0.00390625
ず末尟が、必ず5になるのです。蚌明しおみたしょう。
1/(2^n)=1/(2^n) 10^n/10^n=1/(2^n) (2^n・5^n)/10^n=5^n/10^n=5(4+1)^(n-1)/10^n
ここで、二項定理の(5)匏より、(4+1)^(n-1)=4A+1
5(4+1)^(n-1)/10^n=5(4A+1)/10^n=(20A+5)/10^n=20A/10^n+5/10^n=2A/10^(n-1)+5/10^n
ここで、2Aは自然数なので、5/10^nより、䞊䜍の小数です。
したがっお、末尟は5になりたす。[蚌明終わり]

䞀般に2進小数は
n
Σ{ai(1/2^i)} ただし、aiは0か1
i=0
なので、すべおの2進小数の10進小数化は末尟は5になりたす。

これより、二進小数では10進小数の1/5=0.2は衚せないこずになりたすね。0.24も0.23も0.22も0.21も衚せたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

α^n=nB+αの導出
(4)匏より、
  (1+1)^n=1^n +nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
  (2+1)^n=2^n +nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
  (3+1)^n=3^n +nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
  (4+1)^n=4^n +nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
  (5+1)^n=5^n +nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
                    ・
  (r+1)^n=r^n +nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
                    ・
+) (a+1)^n=a^n +nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
は、
  (1+1)^n-1^n= nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
  (2+1)^n-2^n= nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
  (3+1)^n-3^n= nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
  (4+1)^n-4^n= nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
  (5+1)^n-5^n= nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
                    ・
  (r+1)^n-r^n= nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
                    ・
+) (a+1)^n-a^n= nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
---------------------------------------------------------------------------------
  (a+1)^n-1^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a
  (a+1)^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a+1
ずころで、nが奇玠数ならばnCsはnの倍数であるから
(a+1)^n=nB+a+1---(6)
ただし、nB=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}

さお、(6)匏で、α=a+1ずおくず、
α^n=nB+α----(7)
α^n-α=nB
α{α^(n-1)-1}=nB
より、nBは、n,αの倍数でもある。
したがっお、
α{α^(n-1)-1}=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
なお、
①=1^(n-1)+2^(n-1)+3^(n-1)+・・・・・+(a-1)^(n-1)+a^(n-1)
②=1^(n-2)+2^(n-2)+3^(n-2)+・・・・・+(a-1)^(n-2)+a^(n-2)
③=1^(n-3)+2^(n-3)+3^(n-3)+・・・・・+(a-1)^(n-3)+a^(n-3)
④=1^(n-4)+2^(n-4)+3^(n-4)+・・・・・+(a-1)^(n-4)+a^(n-4)
             ・
n-2番目=1^2+2^2+3^2+・・・・・+(a-1)^2+a^2
n-1番目=1+2+3+・・・・・+(a-1)+a

フェルマヌの最終定理

a,b,cが互いに玠な自然数であり、nが奇玠数であるならば、
a^n+b^n=c^nずするず、(7)匏より、
nX+a+nY+b=nZ+c
n(X+Y-Z)=c-a-b
X+Y-Z=c/n-a/n-b/n
ここで、a,b,cが互いに玠な自然数であるから、a,b,cは同時にnの倍数でない。
したがっお、巊蟺は自然数なのに、右蟺は自然数でない。
しかし、c=kn+j、a=ln+j、b=mnずするず、c/n=k+j/n,a/n=l+j/n,b/n=mで右蟺は自然数になるかもしれない。
そこで、a,b,cが互いに玠な自然数であり、nは奇玠数から、
c (mod n)≠b (mod n)
c (mod n)≠a (mod n)
a (mod n)≠b (mod n)
よりありえない。
ゆえに、フェルマヌの最終定理が蚌明された。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

以前ずは打っお倉わっおちゃんず論理を曞いおくださるようになり、ちゃんず数孊的議論をするに倀する蚘述になっおいたすね。

> nは奇玠数から、
> c (mod n)≠b (mod n)
> c (mod n)≠a (mod n)
> a (mod n)≠b (mod n)
> よりありえない。

これは「右蟺が自然数になるこずが」ありえないの意味だず解釈したしたが、ここに 2 ぀ツッコミどころがありたすね。

たず 1 ぀、4≡11 (mod7) のように、互いに玠でも奇玠数を法ずしお合同になる堎合はあり埗たす。
もう 1 ぀、そもそも別に a, b, c が合同でなくおも 10/7 - 2/7 - 1/7 = 1 のように 3 ぀の分数の和や差が敎数になるこずはあり埗たす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、こんにちは。

フェルマヌの最終定理
は、
α^n=nB+αの導出
の応甚䟋ずしお、䜜ったものですが、詰めが甘かったようですね。

互いに玠な自然数a,b,c
ずいうのをやめお、
c (mod n)≠b (mod n)
c (mod n)≠a (mod n)
a (mod n)≠b (mod n)
ずするずしたら、良かったかな

でも、
a=jn+gずしおa (mod n)≡g
b=kn+hずしおb(mod n)≡h
c=ln+iずしお c(mod n)≡i
ずしおもc/n-a/n-b/nで、i-g-h=0はありえたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月08日 16:12)

フェルマヌの最終定理は「どんな a, b, c でも」その等匏が成立しないずいうものです。
自分で勝手に条件を足した a, b, c で議論を始めおしたったらそれはもう最終定理ずは別の話になっおしたいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ずころで、nが奇玠数ならばnCsはnの倍数であるから
α^n=nB+α----(7)

α^nαnB この右蟺がで割り切れるので巊蟺もで割り切れる。
∎α^nα≡mod ここで、αずを互いに玠ずするず、䞡蟺をαで割れる。
∎α^(n-1)≡mod 
∎α^(n-1)≡mod ただし、は玠数でαずは互いに玠
https://manabitimes.jp/math/680

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY様、こんばんは。

なるほど、フェルマヌの小定理ですね。気づきたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

フェルマヌの小定理ずいえば、゜フィヌ・ゞェルマンのフェルマヌの最終定理ぞの業瞟ですよね。違ったかな

私ず壊れた扉さんも同じような手法でフェルマヌの最終定理を蚌明しおいたす。
フェルマヌの最終定理の制限 a + b  c が 玠数である付きの䞀般の n の堎合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-1.pdf

さらにすすめお、
フェルマヌの最終定理の制限 a + b  c が n の倍数でない付きの䞀般の n の堎合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-2.pdf

ずやりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

フェルマヌの小定理ずいえば、゜フィヌ・ゞェルマンのフェルマヌの最終定理ぞの業瞟ですよね。違ったかな

倩才フェルマヌ
「フェルマヌはいく぀かの実隓的な芳察から䞀般的に成り立぀呜題を芋぀ける倩才で、倧小様々な呜題を残したした。䟋えば、自然数の乗からを匕きたす。するず、
^2×(^2^2×
^2×^2^2×
^2×^2
などずなりたす。元の定数がの倍数ならば、その乗からを匕けばの倍数でなくなるのは圓たり前ですので、 内に入れたした。そうでないずきには、^2はの倍数になっおいるようですね。自然数を乗しおを匕くずどうなるでしょう。
^4×^4×
^4×^4
^4×^4×
^4×^4×
ずなっお、元の数がの倍数でなければ、^4はの倍数になっおいるようです。フェルマヌにずっおは、これは次のように䞀般化するのはたやすい仕事でした

 が玠数ず互いに玠ならば、^(p-1)はで割り切れる

これが数論における最も基本的な定理、フェルマヌの小定理です。蚘号では^(p-1)≡mod ず曞きたす。ずおも矎しい定理ですね。」
「数孊の花束」䞭村滋著より

因みに、蚌明をしたのはラむプニッツだそうです。りィキペディアには通りの蚌明法が茉っおいたすが、䜜り出したのは初めお芋たした。是非、ファむルにでもしお残しお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY様、おはようございたす。

ありがずうございたす。

早速、PDFにしたした。

フェルマヌの小定理の蚌明
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

以前もそうだったのですが、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf で怜玢しおも蟿り着きたせんでした。倚分、私のパ゜コンがおかしいず思うのですが。

因みに、グヌグル怜玢では、

https://www.google.com/search?q=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&hl=ja&ei=phkyZP7OAdu02roPrfCbsAg&ved=0ahUKEwj-ufa-15v-AhVbmlYBHS34BoYQ4dUDCA8&oq=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&gs_lcp=Cgxnd3Mtd2l6LXNlcnAQDEoECEEYAFAAWABgAGgAcAB4AIABAIgBAJIBAJgBAA&sclient=gws-wiz-serp

ダフヌ怜玢では、

https://search.yahoo.co.jp/search?p=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=32910&aq=-1&oq=&at=&ai=8ca69f0b-b347-4657-b8ca-050b0f50e8b7

ずいう画面です。私には芋られたせんが、倧切に保管しお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY さんはなぜ URL を怜玢しようず思ったんだろう  。

URL が䜕なのかわかっおないのかずも思いたしたが、その割には Google 怜玢の結果画面を自分で URL 曞いおたすし。
うヌん

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

で、PDF 読たせおいただきたした。
きちんず蚌明できおいるず思いたす。
Wikipedia の蚌明 (2) ず同様のものですが、あちらはかなり省略した曞き方をしおいるのに察しお、はちべえさんはかなり䞁寧に進めおいらっしゃいたすね。

现かい点ですが、改善点を 1 ぀。
2 ペヌゞ目埌半から 3 ペヌゞ目前半にかけお a = 6 での䟋瀺をしおいるあたり、
1^(n-1) + 2^(n-1) + 3^(n-1) + 4^(n-1) + 

 + 5^(n-1)
みたいになっおいたすが、4 の次が 5 なので、この「  」は䞍芁かなず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さん、こんにちは。私は以前「通りすがり」ずいうハンドルネヌムを䜿っおいたものですが。

KY さんはなぜ URL を怜玢しようず思ったんだろう  。

もしかしお、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf をクリック出来るようになっおいるのでしょうか。

私のパ゜コンではクリック出来ないので、コピペしお怜玢したのですが、蟿り着きたせんでした。

Wikipedia の蚌明 (2) ず同様のものですが、あちらはかなり省略した曞き方をしおいるのに察しお、はちべえさんはかなり䞁寧に進めおいらっしゃいたすね。

蚀われお芋盎しおみたしたら、確かに理論的には同じですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ああ、なるほど、䜕で詰たっおるかわかりたした。

そもそも web ブラりザっお「URL を指定しお web サむトを閲芧するツヌル」です。
リンクをクリックしたりブックマヌクで移動したりするのは、 単に URL を指定する手間を省いおくれるだけで、「本来通り自分で盎接 URL を指定しおもサむトを閲芧できる」んですよ。
手入力が面倒なら最初や最埌の文字が欠萜したり䜙蚈な文字が入ったりしないように泚意しながらコピヌペヌストで倧䞈倫です。



 っおこずで圓たっおたすか

メッセヌゞ䞭の URL を自動でリンクにする機胜が無効になっおいるのは、おそらくスパムずかの察策ですかね。
普通のナヌザヌが自動でリンクしおほしいず思ったずきは、メッセヌゞ欄じゃなく URL 欄にその URL を曞けばいいわけですし。
はちべえさんがなぜそうしなかったのかは、私にはわかりたせんが

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

KY様、こんにちは。

ダフヌ怜玢では、

https://search.yahoo.co.jp/search?p=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=32910&aq=-1&oq=&at=&ai=8ca69f0b-b347-4657-b8ca-050b0f50e8b7

ずなりたすが、このhttps://・・・・・ず衚瀺されおいるずころに、
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf
を匵り付けるのです。぀たり、コピヌペヌストするのです。

今この画面を芋おいるずきは、
(http://)shochandas.xsrv.jp(/ ( )で囲たれおいる郚分は衚瀺されたせん。
ず衚瀺されおいる行です。ここに、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfをコピヌペヌストしたす。

その画面から戻っおくるには、「←巊矢印」をクリックするずこの画面に戻れたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月09日 13:47)

パ゜コン玠人な者ですみたせん。

手入力が面倒なら最初や最埌の文字が欠萜したり䜙蚈な文字が入ったりしないように泚意しながらコピヌペヌストで倧䞈倫です。

http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfをそのたたコピヌペヌストしおグヌグル怜玢しおもダフヌ怜玢しおもこのURLに行けないんです。普通は、い぀も䞀番䞊に出るのですが、うんざりはちべえさんの䟋えば、

フェルマヌの最終定理の制限 a + b  c が 玠数である付きの䞀般の n の堎合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-1.pdf

でグヌグル怜玢するず䞀番䞊に「奇数の完党数はない」が出たす。これです。http://y-daisan.private.coocan.jp/html/kanzensu.pdf

メッセヌゞ䞭の URL を自動でリンクにする機胜が無効になっおいるのは、おそらくスパムずかの察策ですかね。
普通のナヌザヌが自動でリンクしおほしいず思ったずきは、メッセヌゞ欄じゃなく URL 欄にその URL を曞けばいいわけですし。
はちべえさんがなぜそうしなかったのかは、私にはわかりたせんが

これをしお頂ければ蟿り着けるず思いたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

URLを蚘入したした。これでどうでしょう

緑色の「うんざりはちべえ」をクリックしおください。

そういう機胜を䜿っおなかったもんで。おっきり、自分のホヌムペヌゞを貌るもんだず思っおいたした。

ただ、気になるこずがありたす。TexでPDFを぀くるず、フォントが埋め蟌たれないので、Windowsでは、日本語の文字が倉な文字に割り振られるこずがありたす。

アクロバットリヌダヌをむンストヌルしおおけば、問題ないのですが。

もちろん、アクロバットリヌダヌは、無料です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月09日 15:19)

うんざりはちべえさん、ありがずうございたす。無事、蟿り着きたした。

DD++さんの指摘の、

现かい点ですが、改善点を 1 ぀。
2 ペヌゞ目埌半から 3 ペヌゞ目前半にかけお a = 6 での䟋瀺をしおいるあたり、
1^(n-1) + 2^(n-1) + 3^(n-1) + 4^(n-1) + 

 + 5^(n-1)
みたいになっおいたすが、4 の次が 5 なので、この「  」は䞍芁かなず思いたす。

これは盎されたのでしょうか。倧䞈倫みたいですが。

Wikipedia の蚌明 (2) ず同様のものですが、あちらはかなり省略した曞き方をしおいるのに察しお、はちべえさんはかなり䞁寧に進めおいらっしゃいたすね。

^p[()]^p
  ≡^p[()]^p
  ≡^p[()]^p
  ≡mod 

こちらの方こそ・・・を入れた方が良いず思いたす。

因みに、これを芋おうんざりはちべえさんの解法を䜜れる人はいたせんね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いや、だからなぜ怜玢欄に打ち蟌むのか  。
怜玢欄は「これに関係する情報がある堎所を教えおください」です。
「この堎所に連れお行っおください」ではありたせんし、そんな機胜は Google にも Yahoo にもありたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ようやく意味が分かりたした。盎接䞊の鍵印の所にコピペすれば良かったのですね。

お隒がせしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

色々なアプロヌチ

ず蚀うこずは
P=sin(Pi/11)^2+sin(2*Pi/11)^2+sin(3*Pi/11)^2+sin(4*Pi/11)^2+sin(5*Pi/11)^2
Q=cos(Pi/11)^2+cos(2*Pi/11)^2+cos(3*Pi/11)^2+cos(4*Pi/11)^2+cos(5*Pi/11)^2
R=cot(Pi/11)^2+cot(2*Pi/11)^2+cot(3*Pi/11)^2+cot(4*Pi/11)^2+cot(5*Pi/11)^2
S=tan(Pi/11)^2+tan(2*Pi/11)^2+tan(3*Pi/11)^2+tan(4*Pi/11)^2+tan(5*Pi/11)^2
も簡単に求められるずいうこずかな

各自のお手䞊みを芋おみたい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

分母が7のずきず比范しお
Pは(3-A)/2が(5-A)/2に倉わるので11/4
Qは(3+A)/2が(5+A)/2に倉わるので9/4
Rは7C3/7C1が11C3/11C1に倉わるので15
Sは7C2/7C0が11C2/11C0に倉わるので55
ずなりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月06日 09:42)

7 や 11 ず蚀わず、䞀般の奇数でやりたしょう。
ずいうこずで、私から GAI さんに問題。
GAI さんのお手䞊み拝芋です。


n を自然数ずし、掲瀺板の芋やすさのため N=2n+1 ずしたす。

(1) {cot(π/N)}^2 + {cot(2π/N)}^2 + 

 + {cot(nπ/N)}^2 を求めおください。
n = 3 ず n = 5 の堎合は既に解答が出おいたすので、怜算をしたければどうぞ

(2) {csc(π/N)}^2 + {csc(2π/N)}^2 + 

 + {csc(nπ/N)}^2 を求めおください。
csc ず cot の間には csc^2 = 1 + cot^2 の関係がありたす

(3) 突然ですが、x を 0 < x < π/2 の範囲の実数ずするずき、0 < sin(x) < x < tan(x) であるこずを瀺しおください。
高校数孊の sin(x)/x -> 1 (x->0) を瀺すずきのアレです

(4) (3) を甚いお、1≩k≩n である任意の自然数 k に぀いお、(π/N)^2*{cot(kπ/N)}^2 < 1/k^2 < (π/N)^2*{csc(kπ/N)}^2 であるこずを瀺しおください。

(5) 䜕か気が぀いたこずがあればどうぞ。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月07日 12:57)

(1) n*(2*n-1)/3

(2) 2*n*(n+1)/3

(3) 半埄1,䞭心角x(0<x<π/2)の扇圢OAP (Oは原点,Aはx軞䞊にずる。)
でAにおける接線ずOPずの延長ずの亀点をTずしたずき
  面積を考えるず
      △OAP < 扇圢OAP < △OAP
よっお 1/2*sin(x) < 1/2*x  < 1/2*tan(x)
これより䞍等匏は成立する。

(4) 今任意の自然数nに察しn/(2*n+1)<1/2 なので
  k=1,2,3,,n なるkに察し
  x=k*π/(2*n+1) ず眮くず0<x<π/2 が成立するので
  (3)での䞍等匏から
  1/{tan(x)}^2 < 1/x^2 <1/{sin(x)}2
これに
  x=k*π/(2*n+1)=k*π/Nを代入しお
  {cot(kπ/N)}^2 < N^2/(k*π)^2 < {csc(kπ/N)}^2
これから
(π/N)^2*{cot(kπ/N)}^2 < 1/k^2 < (π/N)^2*{csc(kπ/N)}^2
 k=1,2,3,,nずおいお和をずれば(1),(2)の結果から
  π^2/(2*n+1)^2*n*(2*n-1)/3 < ∑[k=1n]1/k^2 < π^2/(2*n+1)^2*2*n*(n+1)/3
π^2/3*(2*n^2-n)/(4*n^2+4*n+1)< ∑[k=1n]1/k^2 < π^2/3*(2*n^2+2*n)/(4*n^2+4*n+1)
π^2/3*(2-1/n)/(4+4/n+1/n^2)< ∑[k=1n]1/k^2 < π^2/3*(2+2/n)/(4+4/n+1/n^2)

n→∞ ずすれば π^2/6 ≊ζ(2) ≩ π^2/6
したがっお  ζ(2)=π^2/6

(5) 䜕ずバヌセル問題の結論が出たではないか
  うんざりさん
  玍埗できない郚分は䜕凊ですか
 n→∞ の時の1/n,1/n^2→0 が受け入れ出来ないんでしょうね
  確かにこの倀たでもっおいくにはnは莫倧な倧きさたでの数が必芁なこずは分かりたす。
  しかしこの倀に限りなく近づいおいくこずは絶察に正しいず私は信じられたす。

 具䜓的には螏み蟌めない奥深さを持っおいるけど、その䞖界のあり様を思考力を䜿っお探れるこずこそ
人類が持っおいる物凄い文化だず感じたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(3) の途䞭の䞍等匏、最右蟺の △OAP は △OAT の誀蚘ですかね
䜕にせよ、お芋事でした。

さお、他人を煜り始めるくらい䜙裕な GAI さんなら (5) たではただ浅瀬でチャプチャプしおただけだずお気づきのこずず思いたす。
深淵に向かっお続きをどうぞ。

(6) N-1 次の係数ず N-3 次の係数の比は、{cot(kπ/N)}^2 の総和の -1 倍を意味したした。では、N-1 次の係数ず N-5 次の係数の比は䜕を意味するでしょうか

(7) {cot(π/N)}^4 + {cot(2π/N)}^4 + 

 + {cot(nπ/N)}^4 を求めおください。

(8) {csc(π/N)}^4 + {csc(2π/N)}^4 + 

 + {csc(nπ/N)}^4 を求めおください。

(9) 1≩k≩n である自然数 k に぀いお、1/k^4 の評䟡およびそれらの総和の評䟡をどうぞ。

(10) 同様にしお、1/k^6 もどうぞ。

(11) さらに、1/k^8 もどうぞ。

(12) ずころで、1/k^3 は

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAI様、おはようございたす。

(5) 䜕ずバヌセル問題の結論が出たではないか

なるほど。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんのどこか勘に障ったようですが、別に他人を煜り始めるくらい䜙裕でも、浅瀬でチャプチャプしおいる぀もりもありたせんが
(7),(8)のみ溺れかけながら考えおみたした。

(7)1/45*n*(2*n-1)*(4*n^2+10*n-9)
(8) 8/45*n*(n+1)*(n^2+n+3)

これ以䞊は壁が高すぎお登る気力が湧きたせんので、螵を返すこずにしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いえ、私の問題をダシにはちべえさんを煜り始めたなあ、ず思いたしお。

(7) ず (8) が出たなら (9) はもう (4) ず党く同じ方法ですよ。

(12) に぀いお、cot^3 や cot^5 のような奇数乗の堎合のこずを考えようずするず、+cot(kπ/N) を解に持぀が -cot(kπ/N) は解に持たないような方皋匏を䜜る必芁があっお難しいんですよね。
等号は欲匵りすぎにしおも䞍等号で評䟡できたりすればなにか面癜いこずが起きそうなんですが、誰か䜕かいいアむデアはないものでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月08日 09:58)

䞉角関数の倀の求め手法は

(1) {sin(π/7)}^2+{sin(2*π/7)}^2+{sin(3*π/7)}^2

(2) {cos(π/7)}^2+{cos(2*π/7)}^2+{cos(3*π/7)}^2

の倀を求めるには

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

耇玠平面䞊の単䜍円に内接する正䞃角圢の重心が原点であるこずから
Σ[k=06]cos(2kπ/7)=0
これず cos(2kπ/7)=cos(2(7-k)π/7) ず cos(0)=1 から
A=cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2 なので
{sin(π/7)}^2+{sin(2π/7)}^2+{sin(3π/7)}^2
={1-cos(2π/7)}/2+{1-cos(4π/7)}/2+{1-cos(6π/7)}/2
=(3-A)/2=7/4
{cos(π/7)}^2+{cos(2π/7)}^2+{cos(3π/7)}^2
={1+cos(2π/7)}/2+{1+cos(4π/7)}/2+{1+cos(6π/7)}/2
=(3+A)/2=5/4

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

æ­£7角圢だったので、π/7ず/7がでおきたのですね。

これも、2倍角、3倍角でやれば、いく぀か解があるのでしょうね

cosはずもかく、sinはsin2Ξ=2sinΞcosΞでできたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月05日 17:54)

通りすがり様の、(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2=5のΞは、±π/7か±2π/7か±3π/7ずいうのは、正7角圢の回転をむメヌゞすれば、良いのでしょうか

たた、(cosΞ)^2+(cos2Ξ)^2+(cos3Ξ)^2=5/4のΞも、±π/7か±2π/7か±3π/7ずいうのは、正7角圢の回転をむメヌゞすれば、良いのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月05日 19:02)

http://izumi-math.jp/K_Katou/ori_t/ori_t.htm

こちらの正䞃角圢の図で、

Σ[k=06]cos(2kπ/7)=0

これはOAの座暙の倀OBの座暙の倀 OHの座暙の倀を意味しおいたす。

cos(2kπ/7)=cos(2(7-k)π/7)

これはOBずOHの座暙の倀OCずOGの座暙の倀ODずOFの座暙の倀が等しい事を意味しおいたす。
それらずcos(0)=1ず考えるず、cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2が出たす。

{sin(π/7)}^2+{sin(2π/7)}^2+{sin(3π/7)}^2
={1-cos(2π/7)}/2+{1-cos(4π/7)}/2+{1-cos(6π/7)}/2

これは半角の公匏を考えれば分かりたす。以䞊を敎理するず、7/4が出たす。玠晎らしい解法ですね。

以前もこんなような解説をしお出犁になった事があるので、倱瀌したす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

sin の堎合。
cot や tan のずきず類䌌の手段をずるず、
(√(1-x^2)+ix)^7 = (√(1-x^2)-ix)^7
ずいう 7 次方皋匏根号は党郚消えるの解が x = sin(kπ/7) (k=0,±1,±2,±3) ですので、そこから解ず係数の関係で。
しかし tan ほどは係数をスパッず求める方法はなさそうで、党郚二項展開しお地道に敎理しお 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x = 0 を埗るしかないのかな
そうなるず半角の方が早そう。

cos の堎合は (x+i√(1-x^2))^7=(x-i√(1-x^2))^7 を敎理しおも √(1-x^2) が残るのでこの手は盎接は䜿いにくいですね。
たあ、x≠±1 を想定しおいるず蚀っお䞡蟺 √(1-x^2) で割っおしたえば察凊可胜ではありたすが、やっぱり半角の方が早そう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ド・モアブルの公匏を知らない人でもこちらのサむトはいいですね。https://e-littlefield.com/teito-vision/hint/regular-polygon/

念のため、盎接は関係ありたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈1091件 (投皿178, 返信913)

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