😊出会いの泉😊

幸運数41

二次式　X（X＋１）＋41　
Xに、0から39の４０個の数に対して、連続して全て素数になるという
オイラーっが見つけた式で
同じような
X（X＋１）＋P（素数）として最長のようです。
式の形、係数を、変えても最長でしょうか？
もっと、長く、連続して素数を生み出す式がありますか？

No.2768ks8月22日 10:43

あまり意味のない式ですが、例えば
X(X-79)+1601
はX=0～79の80個で素数になります。

(追記)
一次式であれば、いくらでも長い連続があることは証明されています。
（ただし、具体値は最長で27連続ぐらいまでしか見つかっていません。）

No.2769らすかる8月22日 20:04

ありがとうございます。
らすかるさんの式は、４０横へ平行移動して得ることができました。
元の式は、連続でなくても、他の数でも、素数になりますね。
やはり、特別感が、あります。
二次の項の係数を変えて、AX^2＋BX＋C　の形では
何か新しい結果、ないでしょうか？

No.2770ks8月23日 17:51

小さい数については探索してみましたが、
40個も連続するものは他に見つかりませんでした。
他で見つかった最大は2x^2+29の29連続(x=0～28)です。

No.2771らすかる8月24日 01:07

邪道ですが次の様な二次式では途中マイナスの符号は取るが、値としては素数を
堅持するものも何とか認めてやると連続45とか43とかはいるようです。

gp > f1(x)=36*x^2-810*x+2753
gp > for(x=0,45,print(x";"f1(x)" ; "isprime(f1(x))))
0;2753 ; 1
1;1979 ; 1
2;1277 ; 1
3;647 ; 1
4;89 ; 1
5;-397 ; 0　(マイナスを除くと素数となる)
6;-811 ; 0
7;-1153 ; 0
8;-1423 ; 0
9;-1621 ; 0
10;-1747 ; 0
11;-1801 ; 0
12;-1783 ; 0
13;-1693 ; 0
14;-1531 ; 0
15;-1297 ; 0
16;-991 ; 0
17;-613 ; 0
18;-163 ; 0
19;359 ; 1
20;953 ; 1
21;1619 ; 1
22;2357 ; 1
23;3167 ; 1
24;4049 ; 1
25;5003 ; 1
26;6029 ; 1
27;7127 ; 1
28;8297 ; 1
29;9539 ; 1
30;10853 ; 1
31;12239 ; 1
32;13697 ; 1
33;15227 ; 1
34;16829 ; 1
35;18503 ; 1
36;20249 ; 1
37;22067 ; 1
38;23957 ; 1
39;25919 ; 1
40;27953 ; 1
41;30059 ; 1
42;32237 ; 1
43;34487 ; 1
44;36809 ; 1
45;39203 ; 0

gp > f2(x)=47*x^2-1701*x+10181
gp > for(x=0,45,print(x";"f2(x)" ; "isprime(f2(x))))
0;10181 ; 1
1;8527 ; 1
2;6967 ; 1
3;5501 ; 1
4;4129 ; 1
5;2851 ; 1
6;1667 ; 1
7;577 ; 1
8;-419 ; 0　　(マイナスを除くと素数となる)
9;-1321 ; 0
10;-2129 ; 0
11;-2843 ; 0
12;-3463 ; 0
13;-3989 ; 0
14;-4421 ; 0
15;-4759 ; 0
16;-5003 ; 0
17;-5153 ; 0
18;-5209 ; 0
19;-5171 ; 0
20;-5039 ; 0
21;-4813 ; 0
22;-4493 ; 0
23;-4079 ; 0
24;-3571 ; 0
25;-2969 ; 0
26;-2273 ; 0
27;-1483 ; 0
28;-599 ; 0
29;379 ; 1
30;1451 ; 1
31;2617 ; 1
32;3877 ; 1
33;5231 ; 1
34;6679 ; 1
35;8221 ; 1
36;9857 ; 1
37;11587 ; 1
38;13411 ; 1
39;15329 ; 1
40;17341 ; 1
41;19447 ; 1
42;21647 ; 1
43;23941 ; 0

No.2772GAI8月24日 08:47

返信 (4)

進数表示の小数は量子化されている　（たとえば、10進小数は量子化されている）

0.9999・・・＝１とする。１は有理数なので、0.9999・・・も有理数。
よって、

　　　　　　　 9999999999999999999・・・
0.9999・・・=------------------------------------------
　　　　　　　10000000000000000000・・・

また、0.9999・・・＝１より、

　　　　　　　 9999999999999999999・・・
0.9999・・・=-----------------------------------＝１
　　　　　　　10000000000000000000・・・
よって、
9999999999999999999・・・＝10000000000000000000・・・

ところで、左辺の各桁の数の和は９の和であるから左辺は９の倍数。
ところが、右辺は10の倍数。
よって矛盾
0.9999・・・＝１ではない。
ゆえに、
0.9999・・・≠１

したがって、
１－0.999・・・＝β
さて、β＞1ー1/n (ただし nは自然数）があるとする。
（すなわち、0.999・・・＜1/n）
1ー0.999・・・＞1ー1/n=1ー0.9999・・・p
1ー0.999・・・＞1ー0.9999・・・p
0.999・・・＜0.9999・・・p＝1/n
また、pは10進数の定義により、０から9のいずれかでなければならない。
ところが、
0.999・・・はすべて9なので、0.9999・・・ｐを満たす9よりおおきなpは存在しない。
よって、0.999・・・＝0.9999・・・p
したがって、1/nは存在しない。
つまり、０．９９９・・・と１の間に０．９９９・・・よりおおきな1/nがあるということはない。つまり、間をつなぐものはないという事で、連続でない(0.9999・・・≠１より明らかである)、それは離れているという事である。（β＞０）

これは、どういうことかというと10進小数は量子化されているという事である。

追記：
もちろん、何進数でも、成り立ちます。
たとえば、m+1進数なら、
0.mmmmm・・・≠1

たとえば、８=7+1進数なら、
0.7777・・・≠1

たとえば、5=4+1進数なら、
0.4444・・・≠1

No.2760うんざりはちべえ8月13日 14:32

m+1進数において、位取り記法では、定義によって、0.mmm・・・・＜１　（ただし、位取り記法の各桁の値がmのとき、0.mmm・・・・の次は桁上がりして１であるから）
さて、もし仮に、１と0.mmm・・・・の間に0.mmm・・・pという小数があるとすると、
0.mmm・・・・＜0.mmm・・・p＜１
ところである桁のpはm+1進数なので定義によって0〜mでなければならない。
しかし、0.mmm・・・・はすべての桁がmなので、ある桁のpはm+1でなければならないが、それはｍ＋１進数の定義によって不可能である。
したがって、0.mmm・・・pは存在しない。
また、0.mmm・・・・＜１より、1ー0.mmm・・・・＝β>0
ゆえに、m+1進数において、小数は量子化されている。

No.2761うんざりはちべえ8月15日 11:17

返信 (1)

変則パーセントダイス

出る目の分布が0から99まで全ての非負整数となりおのおの等確率で出現する10面ダイスのペアは自明なものを除くと

A=[0,1,4,5,8,9,12,13,16,17]　、B=[0,2,20,22,40,42,60,62,80,82]
A=[0,1,2,3,4,25,26,27,28,29]　、B=[0,5,10,15,20,50,55,60,65,70]
A=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45]　、B=[0,1,2,3,4,50,51,52,53,54]
A=[0,1,20,21,40,41,60,61,80,81]　、B=[0,2,4,6,8,10,12,14,16,18]
A=[0,5,20,25,40,45,60,65,80,85]　、B=[0,1,2,3,4,10,11,12,13,14]
A=[0,1,10,11,20,21,30,31,40,41]　、B=[0,2,4,6,8,50,52,54,56,58]
の6組がありましたが、6組の10面ダイスペアをDMMの3Dプリントサービスでつくりました。

https://make.dmm.com/market/item/1707731/
https://make.dmm.com/market/item/1707732/

No.2759kuiperbelt8月11日 17:53

返信

電卓遊び

電卓遊び
789
456
123
のように、ボタンが、並んでたら、回り数の,尻取りみたいに
789+963+321+147＝2220
896+632+214+478＝2220
どこからでも、右回りでも、左回りでも2220

No.2754KS8月9日 06:55

何通りでもできますね！
555+555+555+555=2220
222+444+666+888=2220
111+333+777+999=2220

No.2758ks8月10日 21:00

返信 (1)

2を、3つ

あいた口がふさがりません。

どこからそんな道筋を見つけてくることやら……

No.2753Dengan kesaktian Indukmu8月8日 23:14

自分の計算機では280になってしまう！
gp > floor(sqrt(sqrt(exp(exp(2)))))!/floor(log(sqrt(exp(exp(2)))))+floor(sqrt(exp(exp(2))))
%193 = 280

（内わけ）
gp > floor(sqrt(sqrt(exp(exp(2)))))!
%194 = 720
gp > floor(log(sqrt(exp(exp(2)))))
%195 = 3
gp > floor(sqrt(exp(exp(2))))
%196 = 40

No.2755GAI8月9日 07:09

最後のexp 2についているカッコは[　]です。つまり
floor(sqrt(exp(exp(2)))) = 40
ではなく
floor(sqrt(exp(floor(exp(2))))) = 33
です。

No.2756らすかる8月9日 07:24

お遊びで2を5個も使ってみました。

gp > round(exp(2+2)/(log(2)-sin(2)-cos(2)))
%253 = 273

No.2757GAI8月10日 08:51

返信 (3)

3乗の和

３＾3＋４＾3＋５＾３＝６＾３
について、任意のｋ倍で、3乗の和が、見つかりますが、
別の３乗の和がないか、友人が、見つけてくれました。
７＾３＋１４＾３＋１７＾３＝20＾3
もっと、公式的に見つかればよいのですが。

No.2746ks8月2日 15:58

a=3m^2+5mn-5n^2
b=4m^2-4mn+6n^2
c=5m^2-5mn-3n^2
d=6m^2-4mn+4n^2
のとき
a^3+b^3+c^3=d^3
という一般式があり（全解は表さないようです）、
(m,n)=(1,0)のとき 3^3+4^3+5^3=6^3
(m,n)=(2,1)のとき 17^3+14^3+7^3=20^3
となります。

No.2747らすかる8月2日 17:30

左辺を(共通因数を持たない)３個の整数の３乗数の和に拡張すると、3個の整数の３乗和が6^2=216または20^3=8000になるものは、他にもあるので、いくつか挙げます。

-1^3-8^3+9^3=216
3^3+4^3+5^3=216　 (左辺が3個の自然数の３乗和)
-32^3-33^3+41^3=216
97^3+551^3-552^3=216
-121^3-768^3+769^3=216
-127^3-180^3+199^3=216
-179^3-216^3+251^3=216
-381^3-436^3+517^3=216
-479^3-718^3+783^3=216
521^3+1143^3-1178^3=216
-547^3-1685^3+1704^3=216
551^3+3337^3-3342^3=216
565^3+2144^3-2157^3=216
675^3+1244^3-1307^3=216
769^3+4650^3-4657^3=216
-828^3-1585^3+1657^3=216
-865^3-1119^3+1270^3=216
-865^3-1494^3+1585^3=216
-867^3-1597^3+1678^3=216
-900^3-1801^3+1873^3=216
-908^3-5581^3+5589^3=216
-911^3-1321^3+1452^3=216
-1647^3-2257^3+2518^3=216
1773^3+14363^3-14372^3=216
1890^3+3881^3-4025^3=216
2493^3+5410^3-5581^3=216
-2542^3-4091^3+4395^3=216
-2598^3-6299^3+6443^3=216
-2828^3-3297^3+3881^3=216
2983^3+4521^3-4918^3=216
3560^3+7663^3-7911^3=216
3743^3+13105^3-13206^3=216
4490^3+5175^3-6119^3=216
4897^3+23120^3-23193^3=216
-7387^3-31718^3+31851^3=216
-7695^3-11369^3+12440^3=216
8013^3+12115^3-13186^3=216
9027^3+18989^3-19646^3=216
-9577^3-23399^3+23922^3=216
10583^3+15409^3-16920^3=216
-11112^3-18715^3+19939^3=216
12973^3+14712^3-17509^3=216
13159^3+20961^3-22564^3=216
16395^3+77629^3-77872^3=216
19743^3+22825^3-26956^3=216
-19957^3-98742^3+99013^3=216
-21290^3-67243^3+67947^3=216
-23615^3-48241^3+50058^3=216
27739^3+60290^3-62187^3=216
28759^3+32558^3-38775^3=216
30813^3+74864^3-76565^3=216
31254^3+41689^3-46873^3=216
-35148^3-46873^3+52705^3=216
-35792^3-71299^3+74187^3=216
37837^3+86651^3-88992^3=216
-47328^3-49315^3+60907^3=216
-50876^3-78661^3+85197^3=216
-60213^3-74699^3+85958^3=216
-60629^3-78651^3+89186^3=216
-63281^3-92103^3+101144^3=216
-46525^3-106500^3+109381^3=216
-25439^3-109593^3+110048^3=216
-88342^3-134079^3+145807^3=216
43984^3+156887^3-158031^3=216
-45610^3-160665^3+161881^3=216
-80387^3-156790^3+163539^3=216
33311^3+164329^3-164784^3=216
64927^3+166953^3-170164^3=216
-124651^3-171341^3+190992^3=216
-30505^3-195602^3+195849^3=216
103746^3+194717^3-204077^3=216
137139^3+183637^3-206236^3=216
154333^3+190403^3-219522^3=216
-14203^3-224189^3+224208^3=216
39401^3+226999^3-227394^3=216
107715^3+229381^3-237040^3=216
-194643^3-211109^3+256028^3=216
109381^3+250350^3-257125^3=216
-165472^3-385053^3+394981^3=216
-307415^3-358369^3+421860^3=216
286513^3+378462^3-426769^3=216
-42361^3-436412^3+436545^3=216
-226666^3-487617^3+503425^3=216
-185557^3-540680^3+547869^3=216
-272665^3-541488^3+563617^3=216
-190409^3-572562^3+579497^3=216
272585^3+629631^3-646220^3=216
-600723^3-659810^3+795827^3=216
-135599^3-800457^3+801752^3=216
483908^3+769047^3-828239^3=216
-141457^3-850298^3+851601^3=216
128785^3+894480^3-895369^3=216
272029^3+898995^3-907222^3=216
-559773^3-841748^3+917285^3=216
337378^3+916521^3-931513^3=216
451881^3+998815^3-1028740^3=216
-117943^3-1115912^3+1116351^3=216
390785^3+1139719^3-1154832^3=216
737729^3+1073799^3-1179188^3=216
-862040^3-1005091^3+1183083^3=216
-885106^3-993455^3+1187343^3=216
-418889^3-1221487^3+1237692^3=216
-172619^3-1239480^3+1240595^3=216
404505^3+1402159^3-1413292^3=216
-299833^3-1433855^3+1438212^3=216
-1256803^3-1289234^3+1604163^3=216
-906011^3-1615690^3+1705563^3=216
-400093^3-1765446^3+1772269^3=216
700231^3+1745688^3-1782463^3=216
1036131^3+1775710^3-1886275^3=216
-1335296^3-1684797^3+1927685^3=216
-602957^3-1940038^3+1959261^3=216
320402^3+1988827^3-1991595^3=216
584900^3+1998153^3-2014721^3=216
318115^3+2019006^3-2021635^3=216
431687^3+2036865^3-2043308^3=216
474769^3+2037468^3-2046025^3=216
148882^3+2299595^3-2299803^3=216
-1173025^3-2208348^3+2313577^3=216
411594^3+2443061^3-2446949^3=216
-412878^3-2454511^3+2458399^3=216
1615967^3+2203140^3-2461463^3=216
845224^3+2459859^3-2492683^3=216
629830^3+2570381^3-2582925^3=216
1397665^3+2480490^3-2620369^3=216
825727^3+2626700^3-2653623^3=216
860845^3+2704227^3-2732998^3=216
1203628^3+2657723^3-2737587^3=216
1886265^3+2472631^3-2794750^3=216
2185760^3+2462631^3-2938655^3=216
1607829^3+2980211^3-3128684^3=216
867229^3+3774494^3-3789693^3=216
-585531^3-3865570^3+3870043^3=216
-2167259^3-3700512^3+3933347^3=216
-1260036^3-4072541^3+4112357^3=216
-2982769^3-3869471^3+4387746^3=216
-314917^3-4869470^3+4869909^3=216
1884752^3+4847391^3-4940567^3=216
2316655^3+4874588^3-5043111^3=216
-4030381^3-4295307^3+5250160^3=216
1731798^3+5219803^3-5282587^3=216
3170425^3+4886159^3-5295792^3=216
-3190888^3-5062983^3+5454415^3=216
4174756^3+4750085^3-5645565^3=216
3537560^3+5607381^3-6042125^3=216
-3015699^3-6077068^3+6315163^3=216
2887029^3+6275842^3-6473221^3=216
3786437^3+6545923^3-6943584^3=216
1531675^3+7117050^3-7140619^3=216
-471557^3-7454131^3+7454760^3=216
-5666025^3-6701455^3+7845256^3=216
3336672^3+7927939^3-8120251^3=216
-3889854^3-8077309^3+8367469^3=216
4134921^3+8136754^3-8478169^3=216
-1930493^3-8482875^3+8516072^3=216
2635872^3+8571463^3-8653759^3=216
3236089^3+9107663^3-9241860^3=216
-5633415^3-8802097^3+9512404^3=216
816857^3+9744472^3-9746385^3=216
-2400413^3-9928995^3+9975542^3=216
3220960^3+9963329^3-10074297^3=216
3875534^3+10112895^3-10299167^3=216
7041127^3+11266664^3-12117471^3=216
-7389901^3-11887955^3+12772398^3=216
4391454^3+13161305^3-13322297^3=216
-9192061^3-12632370^3+14082013^3=216
-1758245^3-14462547^3+14471204^3=216
3399645^3+15447403^3-15502096^3=216
-9459480^3-14887715^3+16065131^3=216
11003002^3+15120227^3-16855635^3=216
4929693^3+17077931^3-17213768^3=216
11121191^3+15715873^3-17387988^3=216
-10415820^3-17294119^3+18471535^3=216
-11188123^3-17174837^3+18630546^3=216
-3182467^3-18600368^3+18631371^3=216
12008131^3+17300540^3-19046715^3=216
-9243302^3-19545313^3+20211441^3=216
9872400^3+20833979^3-21548147^3=216
2695565^3+21936435^3-21949994^3=216
-9274213^3-23034492^3+23525101^3=216
12033943^3+23260628^3-24288207^3=216
-19466061^3-19877594^3+24787661^3=216
-4828737^3-25320887^3+25379288^3=216
-19194137^3-21965383^3+26045886^3=216
17930006^3+24432085^3-27300885^3=216
2361038^3+29548273^3-29553297^3=216
-9237993^3-29418191^3+29718764^3=216
11071689^3+31018642^3-31481881^3=216
-4817773^3-32272784^3+32308533^3=216
26453277^3+28691708^3-34796309^3=216
-18169249^3-33782648^3+35450793^3=216
21805392^3+32588779^3-35563171^3=216
4375839^3+36555142^3-36576031^3=216
-9072239^3-38275654^3+38444799^3=216
-10612063^3-39019674^3+39279583^3=216
21232607^3+43380049^3-45013326^3=216
-9498547^3-45316421^3+45455100^3=216
-23418939^3-48703237^3+50445142^3=216
32705145^3+45987506^3-50947145^3=216
-19013037^3-50817736^3+51689845^3=216
12514220^3+52686297^3-52920593^3=216
-7019517^3-55070816^3+55108805^3=216
-27790354^3-54289413^3+56615653^3=216
38395530^3+49990775^3-56622119^3=216
6417881^3+57045295^3-57072360^3=216
-39581857^3-49999688^3+57185961^3=216
21050844^3+57608587^3-58530691^3=216
15916325^3+58692579^3-59080172^3=216
23675762^3+58798195^3-60050883^3=216
9250045^3+60325131^3-60397540^3=216
43161071^3+54802201^3-62572416^3=216
44008279^3+55271153^3-63336900^3=216
-32646390^3-62326301^3+65179373^3=216
-18635465^3-65776966^3+66271833^3=216
-39757415^3-61758033^3+66823412^3=216
5176176^3+68958719^3-68968439^3=216
-36398131^3-65925741^3+69434062^3=216
37945783^3+66060476^3-69994863^3=216
-14460744^3-71315905^3+71513545^3=216
-11491084^3-72703857^3+72799417^3=216
51033161^3+70111719^3-78164174^3=216
-26263109^3-79046251^3+80001066^3=216
28454131^3+81570270^3-82708435^3=216
4356761^3+90106663^3-90110058^3=216
56779609^3+82181039^3-90372168^3=216
56000621^3+87576091^3-94626156^3=216
-13979821^3-100491075^3+100581178^3=216
-42625829^3-99416211^3+101962496^3=216
-54384565^3-100519683^3+105568312^3=216
-52095779^3-104697597^3+108831662^3=216
-68506971^3-106646405^3+115341278^3=216
-8505619^3-128220320^3+128232795^3=216
140387049^3+299533223^3-309478790^3=216
139989079^3+304309592^3-313880271^3=216
3073465^3+364099688^3-364099761^3=216
-32118201^3-380839526^3+380915657^3=216
26073361^3+394269879^3-394307884^3=216
62439690^3+417645869^3-418110557^3=216
121955818^3+426540357^3-429838069^3=216
129892934^3+430522725^3-434428517^3=216
-152866494^3-436383085^3+442548445^3=216
27755847^3+448145729^3-448181216^3=216
109692385^3+498497528^3-500261721^3=216
-45469243^3-505832885^3+505955322^3=216
133902324^3+512190901^3-515223469^3=216

No.2748H.Nakao8月4日 07:48

7^3+14^3+17^3=8000 (左辺が3個の自然数の３乗和)
33^3+96^3-97^3=8000
-54^3-79^3+87^3=8000
-89^3-487^3+488^3=8000
-109^3-379^3+382^3=8000
118^3+257^3-265^3=8000
-151^3-353^3+362^3=8000
159^3+192^3-223^3=8000
-198^3-565^3+573^3=8000
-322^3-669^3+693^3=8000
381^3+443^3-522^3=8000
-646^3-1081^3+1153^3=8000
696^3+1293^3-1357^3=8000
813^3+1683^3-1744^3=8000
831^3+13830^3-13831^3=8000
1161^3+22839^3-22840^3=8000
-1241^3-25240^3+25241^3=8000
2453^3+15296^3-15317^3=8000
-3623^3-47584^3+47591^3=8000
4133^3+12579^3-12726^3=8000
4793^3+8591^3-9062^3=8000
-5077^3-21611^3+21704^3=8000
5274^3+8993^3-9561^3=8000
7119^3+17073^3-17476^3=8000
7683^3+39429^3-39526^3=8000
10036^3+25397^3-25909^3=8000
10137^3+34886^3-35169^3=8000
-10458^3-39085^3+39333^3=8000
13054^3+25865^3-26929^3=8000
13529^3+21471^3-23130^3=8000
-16567^3-23433^3+25920^3=8000
-17123^3-29524^3+31331^3=8000
-24858^3-30013^3+34869^3=8000
27437^3+27634^3-34693^3=8000
34758^3+90659^3-92331^3=8000
-40189^3-82088^3+85181^3=8000
51087^3+92441^3-97374^3=8000
-53778^3-70531^3+79707^3=8000
56964^3+69243^3-80251^3=8000
12591^3+104409^3-104470^3=8000
-26343^3-106657^3+107190^3=8000
-86325^3-105156^3+121781^3=8000
65061^3+118086^3-124333^3=8000
56455^3+122468^3-126343^3=8000
127731^3+138120^3-167731^3=8000
18072^3+175299^3-175363^3=8000
92441^3+167343^3-176262^3=8000
110225^3+167344^3-181969^3=8000
-140533^3-148842^3+182445^3=8000
83674^3+194153^3-199201^3=8000
93813^3+218658^3-224269^3=8000
161583^3+194969^3-226566^3=8000
-124333^3-225738^3+237669^3=8000
148029^3+227715^3-246904^3=8000
-38599^3-264849^3+265122^3=8000
-203650^3-248943^3+287943^3=8000
134436^3+287661^3-297133^3=8000
-86633^3-298492^3+300905^3=8000
199272^3+285561^3-314809^3=8000
230583^3+305664^3-344311^3=8000
277402^3+316037^3-375421^3=8000
52831^3+379490^3-379831^3=8000
197266^3+436859^3-449875^3=8000
22839^3+457161^3-457180^3=8000
-371273^3-376831^3+471302^3=8000
264890^3+465459^3-492459^3=8000
-382768^3-409857^3+499905^3=8000
25241^3+505220^3-505241^3=8000
-344311^3-456468^3+514167^3=8000
80048^3+544533^3-545109^3=8000
65031^3+546297^3-546604^3=8000
287696^3+549141^3-574293^3=8000
-266674^3-595745^3+613049^3=8000
-525519^3-540754^3+671847^3=8000
-508146^3-588135^3+694271^3=8000
-536538^3-578115^3+703163^3=8000
599402^3+601389^3-756453^3=8000
578458^3+665453^3-787429^3=8000
197721^3+833654^3-837345^3=8000
-451657^3-924799^3+959398^3=8000
208527^3+979697^3-982836^3=8000
330552^3+981075^3-993427^3=8000
549827^3+936436^3-995779^3=8000
-429811^3-971898^3+999147^3=8000
175206^3+1034651^3-1036323^3=8000
829505^3+858687^3-1063812^3=8000
-858824^3-880183^3+1095671^3=8000
78124^3+1114259^3-1114387^3=8000
659886^3+1111989^3-1184605^3=8000
137864^3+1231127^3-1231703^3=8000
-898615^3-1141633^3+1303258^3=8000
1001036^3+1160647^3-1369159^3=8000
1106831^3+1147801^3-1420798^3=8000
-180807^3-1515825^3+1516682^3=8000
-740161^3-1512191^3+1569128^3=8000
1112733^3+1393866^3-1598677^3=8000
-114718^3-1730657^3+1730825^3=8000
743699^3+1852022^3-1891163^3=8000
-1404363^3-1757293^3+2016234^3=8000
-1551081^3-1720663^3+2066592^3=8000
-1281493^3-2032739^3+2190026^3=8000
106881^3+2269703^3-2269782^3=8000
-962049^3-2322888^3+2376641^3=8000
1891472^3+2140445^3-2549597^3=8000
-1901082^3-2375949^3+2727173^3=8000
819908^3+2861009^3-2883281^3=8000
-1705303^3-3088801^3+3253162^3=8000
2380017^3+2869212^3-3335281^3=8000
2517662^3+2870427^3-3408771^3=8000
341741^3+3420051^3-3421188^3=8000
-1782687^3-3578889^3+3720638^3=8000
-434099^3-3936340^3+3938099^3=8000
-2818272^3-3509685^3+4033397^3=8000
2455031^3+4023132^3-4307319^3=8000
3513170^3+4061919^3-4796919^3=8000
-3471945^3-4293304^3+4945929^3=8000
-1942153^3-4878847^3+4979350^3=8000
-1200257^3-5082751^3+5104964^3=8000
-3637819^3-4795589^3+5411012^3=8000
-3126971^3-5236285^3+5584346^3=8000
-4633638^3-4791609^3+5939201^3=8000
639209^3+7256343^3-7257996^3=8000
3402707^3+7000304^3-7258643^3=8000
-789768^3-7386885^3+7389893^3=8000
984006^3+7458993^3-7464697^3=8000
-574414^3-7483239^3+7484367^3=8000
4754328^3+6859047^3-7548775^3=8000
6037175^3+6672258^3-8026383^3=8000
4323152^3+7751973^3-8176485^3=8000
876633^3+8513664^3-8516761^3=8000
-3425887^3-8405296^3+8590879^3=8000
-1336497^3-8893744^3+8903793^3=8000
4337031^3+8614752^3-8966599^3=8000
-1477261^3-9060614^3+9073685^3=8000
5312942^3+8908325^3-9498317^3=8000
4496257^3+10015766^3-10309129^3=8000
-2930851^3-10655332^3+10728739^3=8000
-7683455^3-9848449^3+11210324^3=8000
7526609^3+10104082^3-11339113^3=8000
-2754689^3-11423938^3+11477081^3=8000
7232973^3+11022059^3-11975466^3=8000
-9594600^3-10252843^3+12516843^3=8000
-8908243^3-11138730^3+12783243^3=8000
4883254^3+12952967^3-13180303^3=8000
2591174^3+13182333^3-13215621^3=8000
5013011^3+13147430^3-13386011^3=8000
4299933^3+14249931^3-14379262^3=8000
6545997^3+14404800^3-14841997^3=8000
-10691046^3-12901111^3+14991423^3=8000
973901^3+15118491^3-15119838^3=8000
-7959759^3-14664360^3+15407759^3=8000
-12279138^3-12336523^3+15506979^3=8000
-9460357^3-14564915^3+15789482^3=8000
-7791998^3-15970021^3+16565837^3=8000
-3892975^3-17480426^3+17544551^3=8000
14032737^3+14402207^3-17915916^3=8000
14183196^3+16037097^3-19108969^3=8000
-12821797^3-17989724^3+19941413^3=8000
-11777694^3-18576681^3+20036945^3=8000
10023277^3+19170152^3-20043181^3=8000
4836282^3+20160839^3-20253183^3=8000
11129165^3+21119492^3-22103117^3=8000
9427389^3+21933972^3-22499773^3=8000
-16470141^3-19080963^3+22515932^3=8000
12495101^3+22047451^3-23311378^3=8000
-15998092^3-20772915^3+23548467^3=8000
-17284633^3-21697575^3+24868008^3=8000
-7081099^3-24843789^3+25034082^3=8000
-12336784^3-25059735^3+26019159^3=8000
-8782926^3-26735199^3+27047495^3=8000
5065141^3+30508043^3-30554512^3=8000
11604746^3+30008847^3-30576519^3=8000
7966437^3+31076571^3-31250104^3=8000
20935037^3+27951684^3-31418493^3=8000
-15579015^3-31082169^3+32335544^3=8000
-18568097^3-33631351^3+35421074^3=8000
-7867089^3-35410120^3+35539089^3=8000
19191777^3+34767879^3-36617038^3=8000
-5906643^3-39306093^3+39350504^3=8000
8383863^3+39910641^3-40033582^3=8000
4447236^3+41335877^3-41353029^3=8000
2269703^3+48207969^3-48209646^3=8000
17726483^3+49421973^3-50170734^3=8000
22836748^3+49172735^3-50762623^3=8000
-36020275^3-46608756^3+52894131^3=8000
-31306004^3-49499959^3+53364407^3=8000
-11970177^3-53483175^3+53682302^3=8000
-22499773^3-52348584^3+53698941^3=8000
24184263^3+52241850^3-53915263^3=8000
-32659974^3-50738901^3+54899165^3=8000
24845063^3+53730178^3-55445599^3=8000
-17785367^3-61053745^3+61552742^3=8000
-34001070^3-62037943^3+65270943^3=8000
39145844^3+61731177^3-66586473^3=8000
-42224776^3-66586473^3+71823657^3=8000
-44900052^3-72367323^3+77722715^3=8000
1843259^3+74021062^3-74021443^3=8000
-4102633^3-84013591^3+84016852^3=8000
3957929^3+89972503^3-89975056^3=8000
-25204644^3-91065165^3+91704269^3=8000
-41270026^3-90205423^3+92997607^3=8000
27292038^3+93622119^3-94388911^3=8000
-12190529^3-97020487^3+97084598^3=8000
-60458957^3-90884266^3+99047429^3=8000
-32936367^3-99443310^3+100633367^3=8000
-37721205^3-100437451^3+102180576^3=8000
-13886818^3-121628109^3+121688421^3=8000
-46081415^3-259863634^3+260345759^3=8000
-68057876^3-303087373^3+304226957^3=8000
-50266232^3-307911991^3+308357879^3=8000
-88694134^3-409726241^3+411106985^3=8000
126055431^3+414033657^3-417892444^3=8000
-65488116^3-420919713^3+421447457^3=8000
126339945^3+440369138^3-443808513^3=8000
23436159^3+444875841^3-444897520^3=8000
94424006^3+529136217^3-530136609^3=8000

No.2749H.Nakao8月4日 07:49

不定方程式
x^3+y^3+z^3=w^3
の自然数解　(x,y,z,w)で、
gcd(x,y,z)=1, 0<x<y<z, 0<w<=123
を満たすものを求めてみると、以下のようになります。

3^3+4^3+5^3=6^3
1^3+6^3+8^3=9^3
3^3+10^3+18^3=19^3
7^3+14^3+17^3=20^3
4^3+17^3+22^3=25^3
18^3+19^3+21^3=28^3
11^3+15^3+27^3=29^3
2^3+17^3+40^3=6^3+32^3+33^3=41^3
16^3+23^3+41^3=44^3
3^3+36^3+37^3=7^3+30^3+37^3=46^3
29^3+34^3+44^3=53^3
12^3+19^3+53^3=54^3
15^3+42^3+49^3=58^3
22^3+51^3+54^3=67^3
36^3+38^3+61^3=69^3
7^3+54^3+57^3=70^3
4^3+39^3+65^3=72^3
38^3+43^3+66^3=75^3
31^3+33^3+72^3=76^3
25^3+48^3+74^3=81^3
19^3+60^3+69^3=82^3
28^3+53^3+75^3=84^3
50^3+61^3+64^3=95^3
20^3+54^3+79^3=26^3+55^3+78^3=38^3+48^3+79^3=87^3
21^3+43^3+84^3=17^3+40^3+86^3=89^3
25^3+38^3+87^3=58^3+59^3+69^3=90^3
32^3+54^3+85^3=93^3
19^3+53^3+90^3=96^3
45^3+69^3+79^3=97^3
12^3+31^3+102^3=103^3
33^3+70^3+92^3=105^3
13^3+51^3+104^3=15^3+82^3+89^3=108^3
29^3+75^3+96^3=110^3
50^3+74^3+97^3=113^3
3^3+34^3+114^3=115^3
23^3+86^3+97^3=116^3
9^3+55^3+116^3=120^3
49^3+84^3+102^3=121^3
19^3+92^3+101^3=122^3

No.2750H.Nakao8月6日 15:23

以下の4つが足りないと思います。
14^3+23^3+70^3=71^3
25^3+31^3+86^3=88^3
16^3+47^3+108^3=111^3
44^3+51^3+118^3=123^3

以下の4つに打ち間違い（それぞれ1文字不足か1文字違い）があります。
7^3+30^3+37^3=46^3 → 27^3+30^3+37^3=46^3
4^3+39^3+65^3=72^3 → 34^3+39^3+65^3=72^3
50^3+61^3+64^3=95^3 → 50^3+61^3+64^3=85^3
21^3+43^3+84^3=89^3 → 21^3+43^3+84^3=88^3

No.2751らすかる8月7日 00:36

らすかる氏提示の関係式
m,nをパラメータとして
A(m,n)=3*m^2+5*m*n-5*n^2
B(m,n)=4*m^2-4*m*n+6*n^2
C(m,n)=5*m^2-5*m*n-3*n^2
D(m,n)=6*m^2-4*m*n+4*n^2
で定義すれば
gp > A(m,n)^3+B(m,n)^3+C(m,n)^3
%129 = 216*m^6 - 432*n*m^5 + 720*n^2*m^4 - 640*n^3*m^3 + 480*n^4*m^2 - 192*n^5*m + 64*n^6
gp > D(m,n)^3
%130 = 216*m^6 - 432*n*m^5 + 720*n^2*m^4 - 640*n^3*m^3 + 480*n^4*m^2 - 192*n^5*m + 64*n^6
で見事
A(m,n)^3+B(m,n)^3+C(m,n)^3=D(m,n)^3
が成立する。

どんな考えでこんな式が生まれるのか想像もできないが今流行りのAIに2パラメータ解があるかを尋ねると
A(m,n)=3*m^2-5*m*n-5*n^2
B(m,n)=4*m^2-4*m*n+6*n^2
C(m,n)=5*m^2+5*m*n-3*n^2
D(m,n)=6*m^2-4*m*n+4*n^2
なるものを返してきた。（Euler 型などの名称を付けている。)
らすかるさんの提示の式とそっくりですが2か所の符号が異なっています。
そこで喜んでこれで計算させていたら合わないのです。

ほんの僅かな違いが決定的に全体に影響を与えることに改めて元の式が精密に組み立てられていることに驚きます。

さらにNakao氏がいろいろな具体的等式を作り報告されているのを見て、すべての成立する等式はbrute forceでしか
求まらないのかと思ってしまいます。
これらの結果を利用してOEISに検索を掛けて色々調べてみた結果次のようなパラメータ解を1826年(何と江戸時代）
算額で奉納していた人物(Shiraishi Chochu)がいたことを外国人の研究者とYoshio Mikamiの共著で1914年
A HISTOTY of JAPANESE MATHEMATICS の著名で出版されているという。

数ある等式の中に
P(n)=3*n^2
Q1(n)=6*n^2-3*n+1
Q2(n)=6*n^2+3*n+1
R1(n)=9*n^3-6*n^2+3*n-1
R2(n)=9*n^3+6*n^2+3*n
S1(n)=R1(n)+1
S2(n)=R2(n)+1
で定義しておけば

P(n)^3+Q1(n)^3+R1(n)^3
%138 = 729*n^9 - 1458*n^8 + 1701*n^7 - 1188*n^6 + 567*n^5 - 162*n^4 + 27*n^3
gp > S1(n)^3
%139 = 729*n^9 - 1458*n^8 + 1701*n^7 - 1188*n^6 + 567*n^5 - 162*n^4 + 27*n^3
または
P(n)^3+Q2(n)^3+R2(n)^3
%140 = 729*n^9 + 1458*n^8 + 1701*n^7 + 1431*n^6 + 891*n^5 + 432*n^4 + 162*n^3 + 45*n^2 + 9*n + 1
S2(n)^3
%141 = 729*n^9 + 1458*n^8 + 1701*n^7 + 1431*n^6 + 891*n^5 + 432*n^4 + 162*n^3 + 45*n^2 + 9*n + 1
となり
P(n)^3+Q1(n)^3+R1(n)^3=S1(n)
P(n)^3+Q2(n)^3+R2(n)^3=S2(n)
の等式が成立することになる。
これらから
3^3+4^3+5^3=6^3
3^3+10^3+18^3=19^3
12^3+19^3+53^3=54^3
12^3+31^3+102^3=103^3
27^3+46^3+197^3=198^3
27^3+64^3+306^3=307^3
48^3+85^3+491^3=492^3
48^3+109^3+684^3=685^3
--------------------
--------------------
などの等式を導ける。

いや～日本人も捨てたもんじゃないぞ！！(A226903参照)

No.2752GAI8月7日 18:13

返信 (6)

素数の無限性

aとbが、互いに素のとき、
an+bの形の素数は、無限に存在する。(ディリクレ)は、証明が難しいと思いますが、
部分的に限定した。例えば、5n+1,5n+2,5n+3,5n+4の、それぞれの形の、素数は、無限に存在する。について、証明はどうでしょうか？

No.2740ks7月2日 21:44

ある本に、6n+5の素数が、無限に、存在する。証明が、載ってました。
6n+1の、素数も、無限に存在する、事実は、知られていますが、証明は、難しいですか？

No.2743ks7月11日 12:47

6n+1型の素数が有限個(m個)と仮定し、p[1]～p[m]とする。
a=6p[1]p[2]…p[m], b=a^3+1とすると
bは2,3,6n+1型の素数で割り切れないのでbの素因数は6n+5型のみ。
bの素因数の一つをq=6k+5とするとb≡0(mod q)なのでa^3≡-1 (mod q)
よってa^(6k+3)≡(a^3)^(2k+1)≡-1 (mod q)
一方、フェルマーの小定理からa^(q-1)=a^(6k+4)≡1 (mod q)なので
a≡-1 (mod q)
つまりa^3+1の素因数はすべてa+1の素因数であることになるが、
b=a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)でa^2-a+1の素因数もa+1の素因数となり矛盾。
（∵a+1とa^2-a+1は互いに素）
従って6n+1型の素数は無限個。

# もし上記の証明に誤りがありましたらご指摘下さい。

No.2744らすかる7月17日 14:24

らすかるさん、いつも、有難うごさいます。
証明を、試みましたが、力不足です。

No.2745ks7月26日 05:50

返信 (3)

「あの関係式」の一般化

以下、全ての文字は正であるとします。

(1)
a^2 + b^2 ≧ 2ab であることを（左辺から右辺を引く方法で）証明してください。

(2-1)
前問の結果を利用して、(a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c) であることを証明してください。

(2-2)
前問の結果を利用して、(a^3+b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c) であることを証明してください。

(2-3)
前問の結果の、右辺の分母がcではなくaやbであるものも同様に作り、それら3つを足し合わせることで「あの関係式」の3変数の場合を証明してください。

(3-1)
前問の結果を利用して、(a/b)(a/c)(a/d) ≧ 3(a/d) - (b/d) - (c/d) であることを証明してください。

(3-2)
前問の結果を利用して、(a^4+b^4+c^4)/(abcd) ≧ (a/d) + (b/d) + (c/d) であることを証明してください。

(3-3)
前問の結果の、右辺の分母がdではなくaやbやcであるものも同様に作り、それら4つを足し合わせることで「あの関係式」の4変数の場合を証明してください。

(4以降)
同様に、お好きなところまでどうぞ。
もしくは数学的帰納法で2以上の任意のnまでどうぞ。

ざっと検索した感じ、同様の方法で証明した例は見当たりませんでした。
先行例はあるでしょうか？

No.2741DD++7月4日 23:39

数日経ちましたんで、解答を。
「あの関係式」とは相加平均と相乗平均の大小関係でした。

(1)
左辺 - 右辺 = (a^2+b^2) - 2ab = (a-b)^2 ≧ 0

(2-1)
(1) の結果で、a^2 を (a/b)(a/c) に、b^2 を (b/c) に書き換えると、
(a/b)(a/c)*(b/c) = (a/c)^2 となることから、
(a/b)(a/c) + (b/c) ≧ 2(a/c)
すなわち
(a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c)

(2-2)
(2-1) の結果でaとbを入れ替えたものを並べると
(a/b)(a/c) ≧ 2(a/c) - (b/c)
(b/a)(b/c) ≧ 2(b/c) - (a/c)
これらの両辺を足すと
(a^3+b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c)

(2-3)
(2-2) の結果で文字をサイクリックを入れ替えて
(a^3+b^3)/(abc) ≧ (a/c) + (b/c)
(b^3+c^3)/(abc) ≧ (b/a) + (c/a)
(c^3+a^3)/(abc) ≧ (c/b) + (a/b)
これらを全て加えて
2*(a^3+b^3+c^3)/(abc) ≧ (a/b+b/a) + (b/c+c/b) + (c/a+a/c)
右辺は (1) の関係式を使えば
(a/b+b/a) + (b/c+c/b) + (c/a+a/c) ≧ 2 + 2 + 2 = 6
となるので、
2*(a^3+b^3+c^3)/(abc) ≧ 6
すなわち
a^3+b^3+c^3 ≧ 3abc

(3) も同様。

任意のn個の変数に対する証明は、双方向に進む帰納法か、解析方面の知識を頼るか、大体そのどちらかです。
純粋な四則演算と累乗だけで1つずつ前進する帰納法は書けないもんなの？と長年思っていましたが、ふと解決したので投稿した次第でした。

簡単に思いつくものですかと言われると、えーと、うん、まあ……ね。

No.2742DD++7月9日 07:09

返信 (1)

正方格子

2×２の格子に、1，2，3，4を配置し、固定します。４！＝２４通り
１から４まで、隣同士のとき、なぞっていくことができるのは、８通り。
１→２
　　↓
４←３
３×３の場合１～９まで配置。同様に考えると
３つのパターンがあり、全部で８×３通り
でしょうか？

No.2734ks6月21日 09:55

1が左上隅のパターンが8通り、1が中央のパターンが8通りなので
8×4+8=40通りだと思います。
(参考: oeis.org/A096969)

No.2735らすかる6月21日 18:53

返信 (1)

定木のみの作図によせて

管理人さんによる記事【基本の作図】( http://shochandas.xsrv.jp/figure/construction.htm ) より、下記を引用いたします。添付の図は同じページからのスクリーンショットです。

《引用》
定木とコンパスを用いて、直線外の1点から直線に平行な直線を作図することは易しい。

ここでは、定木のみを使って、平行線 l とmが与えられたとき、直線外の1点Pから直線に平行な直線を作図する方法を考える。
《引用終わり》

P が平行線に挟まれていない領域に置かれている場合の作図方法が同記事に詳しく説明してありました。では、平行線にはさまれている領域のときにはどうしたらよいのでしょうか？

この件について一定の解決方法が見えたつもりになりましたので以下に算額としてご案内いたします。

【算額】
平行線 j と k とが、与えられています。
また、それらにはさまれる領域内に、点 O が与えられています。
コンパスを使わずに定木のみで、点 O を通り直線 j に平行な直線 h を作図してください。

※私のアイデアでは、O と j との間の距離と、O と k との間の距離とが等しいと、作図にひと手間余計にかかってしまいます。もっと良いアイデアがあるのではと期待してしまいます。また、作図がうまくいくことを示すための補題の証明も、ベクトル解析を使ったゴリゴリ計算によるものでして、エレガントではありませんでした。もしかしたら本質をついていない可能性もあります。
皆様から寄せられる素晴らしい作図を期待しております。

↓↓↓ 添付は、平行線の外に所与の点がある問題のスクリーンショットです。

No.2728Dengan kesaktian Indukmu6月11日 22:46

外にある場合と全く同じ方法が使えるように思うのですが、何かダメな理由があるんでしたっけ？

No.2729DD++6月12日 09:57

ややや DD++ さん、
私のボーンヘッドでしたか……
外にある場合には、ほぼ２倍の手数がかかるとばかり思い込んでいました。

今は出先ですので、あとで確認します。

No.2730Dengan kesaktian Indukmu6月12日 12:15

DD++さんからご指摘頂いた件は、力不足のため私にはまだまだ相当に時間がかかりそうです。しかもこちらの方が本線で本質をついていることは間違いないことと思います。

まずは早めに筋悪な愚案たる作図方法のみをご披露することといたします。添付の図をご覧ください。

① 平行線 j, k にはさまれた点 O が与えられます。O は、j の方により近いものとします。
② O を通る線分 AT, BS を作図します。
③ 直線 AS, BT の交点を Q とします。
④ Q から直線 CU を引きます。 C は j との交点、U は k との交点とします。j 上で A,B,C はこの順に並ぶものとします。
⑤ 線分 BU と線分 CT との交点を P とします。
⑥ 直線 OP に名前をつけて h とします。h は　J と平行となります。

( 今回は作図のみのご案内です )

※ O が j, k のど真ん中にある場合には、Q の作図が、できません。無限遠になります。これがこの作図の欠点です。回避策として、O とは別の O' を j, k の間の領域、しかも、ど真ん中でないようにダミーで配置し、O' を通過する j に平行な直線 j' をいったん作図します。
j' と k との組みならば、O を通過する平行線を引けます。【２倍の手順がかかります】

今日はここまでとさせてください。

No.2731Dengan kesaktian Indukmu6月12日 22:00

どうでも良い情報ですが、さきほどの添付の図は、生成AI に作らせた HTLMに表示させたものです。canvas要素と JavaScript およびに、初めて見た描画のためのライブラリを使っているようです。

Gemini に「こんなのの図を作れ」と指示を出しました。《こんなの》は以下の英文です。生成AIに理解できるように英文を書くほうが、普通にツールで作図
するよりも時間がかかること請け合いです。

Let two parallel lines j and k be given. Consider a point Q located on the same side of both lines, such that line j is closer to Q than line k.

From point Q, draw three distinct lines a, b, and c, each intersecting both j and k, in such a way that each line intersects j before it intersects k as we move away from Q.

Specifically, let line a intersect j at point A and k at point S; line b intersect j at point B and k at point T; and line c intersect j at point C and k at point U.

Assume that the points A, B, and C appear in this order along line j, as we move along j in a fixed direction.

Let O be the point of intersection of segments AT and BS, and let P be the point of intersection of segments BU and CT.

Define line h as the line passing through points and P.

No.2732Dengan kesaktian Indukmu6月12日 22:09

j と k とが、はなから実は平行ではなかったとします。同じ作図をすると
j, k, h は１点で交わるそうです (共点)

No.2733Dengan kesaktian Indukmu6月14日 17:11

返信 (5)

合計2763件 (投稿482, 返信2281)