😊出会いの泉😊

多分もっとよい解があると思いますが、とりあえず
11=(4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!)
（分子は13重階乗）

(追記)ガウス記号を使うとたくさん
11=[4!!*log4]
11=4-[tan(4!!)]
11=[4+exp(√4)]
11=[-exp(√4)/cos(4)]
11=[(4!)^(-sin(4))]

(4!)!!!!!!!!!!!!!=24*11なので、(4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!)=11ですか！これは確かに痺れますね．．．。

２つの４で１１を作るというネタのもとは、「４つの４」の記事に含まれる下記の式から導いたものです。
１２３＝Γ（Γ（４））＋Γ（√４）＋Γ（√４）＋Γ（√４）
この式をみて下記を導いた次第です。

１１ = √(１+５！)= √(Γ(√(４))+Γ(Γ(４)))

※１３重階乗を用いたらすかるさんによる解にはビックリしました…… 以上です。

らすかるさんが「２つの４」で１１を作ったテクニックを利用すると、「２つの３」で、任意の有理数が
作れるような気がいたします。 一例をあげます。 22/7 を「２つの３」で作ってみました。

(((3!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/(((3!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
=(48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/(48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
=(48*22)/(48*7)
=22/7

らすかるさんによる手法はとても強力であると思います。

> f(x):=x*(sqrtn(x,2)*(sqrtn(x,3)*(sqrtn(x,4)*(sqrtn(x,5)*(sqrtn(x,6)*(････････))))))

これは入れ子になっているわけではないので
f(x)=x*sqrtn(x,2)*sqrtn(x,3)*…
=x^(1+1/2+1/3+…)
=0 (0≦x＜1), 1 (x=1), +∞ (x＞1)
と同じでは？
（勘違いがあったらごめんなさい）

2行目の意味がよくわからないのですが、どこかに「再投稿」されたのですか？
その下の式は変更されていませんよね？

最初投稿した形が
x*sqrtn(x,2)*sqrtn(x,3)*sqrtn(x,4)*sqrtn(x,5)*sqrtn(x,6)*･･･
だったので、これは入れ子になっていないと思い返し直ぐに訂正して
x*(sqrtn(x,2)*(sqrtn(x,3)*(sqrtn(x,4)*(sqrtn(x,5)*(sqrtn(x,6)*･･････))))))
の様にタイプし直しておりました。
これは入れ子になっていないですかね？
入れ子をどうタイプで表現したらいいのかわからないまま、ついこの表現となっていました。

一見すると入れ子っぽいですが、「*」の計算順序は変えられますので実際は入れ子とは言えないですね。
sqrtn(sqrtn(x,4),3)
のようになっていれば入れ子ですが。

t=(1+sqrt(5))/2
f(n)=floor(n*t^2)
g(n)=floor(t*floor(n*t)
h(n)=floor(t*floor(n*t^2))
で
n=1～50でf(n),g(n),h(n)を計算させると
gp > for(n=1,50,print(n";"f(n) " VS "g(n) " VS " h(n)))
1;2 VS 1 VS 3
2;5 VS 4 VS 8
3;7 VS 6 VS 11
4;10 VS 9 VS 16
5;13 VS 12 VS 21
6;15 VS 14 VS 24
7;18 VS 17 VS 29
8;20 VS 19 VS 32
9;23 VS 22 VS 37
10;26 VS 25 VS 42
11;28 VS 27 VS 45
12;31 VS 30 VS 50
13;34 VS 33 VS 55
14;36 VS 35 VS 58
15;39 VS 38 VS 63
16;41 VS 40 VS 66
17;44 VS 43 VS 71
18;47 VS 46 VS 76
19;49 VS 48 VS 79
20;52 VS 51 VS 84
21;54 VS 53 VS 87
22;57 VS 56 VS 92
23;60 VS 59 VS 97
24;62 VS 61 VS 100
25;65 VS 64 VS 105
26;68 VS 67 VS 110
27;70 VS 69 VS 113
28;73 VS 72 VS 118
29;75 VS 74 VS 121
30;78 VS 77 VS 126
31;81 VS 80 VS 131
32;83 VS 82 VS 134
33;86 VS 85 VS 139
34;89 VS 88 VS 144
35;91 VS 90 VS 147
36;94 VS 93 VS 152
37;96 VS 95 VS 155
38;99 VS 98 VS 160
39;102 VS 101 VS 165
40;104 VS 103 VS 168
41;107 VS 106 VS 173
42;109 VS 108 VS 176
43;112 VS 111 VS 181
44;115 VS 114 VS 186
45;117 VS 116 VS 189
46;120 VS 119 VS 194
47;123 VS 122 VS 199
48;125 VS 124 VS 202
49;128 VS 127 VS 207
50;130 VS 129 VS 210
の値が
それぞれが決まるので
全ての自然数は
この３グループに完全に振り分けられていきます。

GAI様へ ^^

早速にありがとうございます。
問題文
＞いずれかの2グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数から
を
「いずれかの2グループから、それぞれ1つずつ数を選ぶ。それらの数の和から」

のつもりでした... ^^;

その場合ではどうなのでしょう？

> 思いついたのは...
> (2進法で1が偶数桁だけ),(2進法で1が奇数桁だけの奇数),(それ以外の数)
>
> ですが...合ってますかしらん？

これは例えば
2進法で1が偶数桁だけ: 10100010(2)
2進法で1が奇数桁だけの奇数: 1000001(2)
それ以外の数: 2進法で1が奇数桁だけの偶数と偶数桁奇数桁の両方に1がある数
という意味でしょうか？
もしそうだとしたら
1001(2)=9(10)という和があったときに
第1グループと第2グループの和: 1000(2)+1(2)=1001(2)
第1グループと第3グループの和: 10(2)+111(2)=1001(2)
のどちらなのか区別がつかないと思います。
解釈が違っていたらごめんなさい。

らすかる様へ

考えてくださってありがとうございます Orz
偶数桁だけが1の数：10, 1010,101010,...
奇数桁だけが1の数：1,101,10101,1010101,...
のつもりでした ^^;...

ちなみに、
ある方から、{1,n,その他の数}
の3グループに分けても可能と教えていただきました...

なるほど。
そうだとしても
1111(2)=15(10)という和があったときに
第1グループと第2グループの和: 1010(2)+101(2)=1111(2)
第2グループと第3グループの和: 1(2)+1110(2)=1111(2)
のどちらなのか区別がつかないと思います。

らすかる様へ

そっか...!!
浅はかでした ^^;
ありがとうございました Orz〜☆

1,2,3をどのグループに入れるかを場合分けして細かく調べることにより、
条件を満たす分け方は
「mod3で分ける」
「1とnとその他に分ける」
の2通りしかないことが証明できました。
証明は長くなりますのでとりあえず省略します。

らすかる様へ
面白いですね ^^

どのように証明できるのか分かりませんが ^^;

一般に、mod (m: 3以上の奇数) でグループ分け(mグループ)すれば、すべてのグループからの和は mod mで0になるので、
mグループに分けて、m-1グループから取り出した和≡r (mod m) なら、取り出さなかったグループはm-rのグループとわかり、
mod(m: 4以上の偶数)でグループ分けすれば、全てのグループからの和は mod mで m/2 のなるので、取り出さなかったグループはm/2-rのグループとわかるので、一般化できますね。

また、1,n,その他も...
k,n,その他でも、全部の和がn(n+1)/2 なので、2グループの和を引いたものがk or n以外なら、その他とわかるので可能ですね。
同様に、mグループの時も...
例えば...
1,2,...,(m-2),n,その他
に分けていれば、全体の和が一定なので同じことが言えるので、一般化できますね。

GAIさんによる御投稿「自然数の分割数を勉強してみて」に関連する話題について記載しているサイトをみつけましたので御報告いたします。
■分割数をグランドカノニカル分布で求める(http://zakii.la.coocan.jp/physics/75_partition_number.htm)です。

リーマン積分では被積分関数の連続性が要請されますが、ガウス記号含む関数の【定積分】については
ルベーグ積分でやるんですかね？

ガウス記号も何とかなると思います。
例えば[x]の不定積分は(2x-[x]-1)[x]/2+Cと書けます。

高校生のときに、以下の計算をした覚えがあります。
Abs(ｘ)＊ｘ＝±ｘ^2　なので、両辺を微分すると、（Abs(ｘ)＊ｘ)’＝±２ｘ＝２Abs(ｘ)　と書ける。
よって、２Abs(ｘ)の不定積分は、Abs(ｘ)＊ｘとなる。
絶対値のついた不定積分の問題はほとんど出題されないと思いますが、上記の計算をなぜか不思議な
感覚になったことを覚えています。

解答
∫|6x^2-18x+12|dx
=(2x^3-9x^2+12x)-|x-1|(2x^2-7x+5)+|x-2|(2x^2-5x+2)+C
となります。

この問題については最近考えたのですが、一般の絶対値付き多項式の不定積分は以下のようになります。
n次多項式f(x)に対する∫|f(x)|dxの解は
F(x)=
∫f(x)dx　（n次の係数が正の場合）
-∫f(x)dx　（n次の係数が負の場合）
（積分定数は何でも可）
G(x,α)は{F(x)-F(α)}÷(x-α)の商
# G(x,α)={F(x)-F(α)}/(x-α)とするとx=αで定義されないのでNGで、
# G(x,α)はF(x)-F(α)を(x-α)で割った商とする必要があります。
そしてf(x)=0の実数解のうちx軸を横切る解
（つまりf(x)=0,f(x+ε)f(x-ε)＜0であるx）を小さい順に
a[1],a[2],…,a[m]とすると
mが偶数のとき
∫|f(x)|dx = F(x)+Σ[k=1～m](-1)^k・|x-a[k]|・G(x,a[k])
mが奇数のとき
∫|f(x)|dx = Σ[k=1～m](-1)^(k-1)・|x-a[k]|・G(x,a[k])
（いずれも積分定数省略）
となります。
（m=0のときは∫|f(x)|dx=F(x)+Cです。）

∫|6x^2-18x+12|dx＝|x^2-3x+2|(2ｘ-3)+2|x-1|+|x-2|+C
でどうでしょうか？

f(x)=|x^2-3x+2|(2x-3)+2|x-1|+|x-2|とおくと
f(3/4)=41/32
f(1)=1
となって減少していますので、ちょっと違うようです。

aを正の数とするとき
∫[-a,a]|x^2+x-2|dx
を計算せよ。

これに対して、この不定積分公式で処理すればどの様になるのですか？

f(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)なのでf(x)=0の解はx=-2,1
（つまりm=2,a[1]=-2,a[2]=1）
F(x)=∫f(x)dx=x^3/3+x^2/2-2x　※定数項は0とする
G(x,-2)={F(x)-F(-2)}/(x+2)
={(x^3/3+x^2/2-2x)-(-8/3+2+4)}/(x+2)
=(2x^3+3x^2-12x-20)/(x+2)=(2x^2-x-10)/6
G(x,1)={F(x)-F(1)}/(x-1)
={(x^3/3+x^2/2-2x)-(1/3+1/2-2)}/(x-1)
=(2x^3+3x^2-12x+7)/{6(x-1)}=(2x^2+5x-7)/6
mは偶数なので
∫|f(x)|dx=F(x)+Σ[k=1～m](-1)^k・|x-a[k]|・G(x,a[k])+C
=(x^3/3+x^2/2-2x)-|x+2|(2x^2-x-10)/6+|x-1|(2x^2+5x-7)/6+C
={2x^3+3x^2-12x-|x+2|(2x^2-x-10)+|x-1|(2x^2+5x-7)}/6+C
よって
∫[-a,a]|x^2+x-2|dx
={2a^3+3a^2-12a-|a+2|(2a^2-a-10)+|a-1|(2a^2+5a-7)}/6
　-{-2a^3+3a^2+12a-|-a+2|(2a^2+a-10)+|-a-1|(2a^2-5a-7)}/6
={4a^3-24a-|a+2|(2a^2-a-10)-|a+1|(2a^2-5a-7)+|a-1|(2a^2+5a-7)+|a-2|(2a^2+a-10)}/6
={4a^3-24a-(a+2)(2a^2-a-10)-(a+1)(2a^2-5a-7)+|a-1|(2a^2+5a-7)+|a-2|(2a^2+a-10)}/6　（∵a＞0）
={27+|a-1|(2a^2+5a-7)+|a-2|(2a^2+a-10)}/6

今まではグラフ等を利用し
aによって場合分けをして
0<a≦1なら-2/3*a^3+4*a
1≦a≦2ならa^2+7/3
2≦aなら2/3*a^3-4*a+9
と個別に答えていたと思います。

この公式により３つの場合に分けて記述していたものが
{27+|a-1|*(2*a^2+5*a-7)+|a-2|*(2*a^2+a-10)}/6
の一つの式だけで済ませれるのか！
(上記の3つの式から、この式を思いつくのは至難の技だが、
下の絶対値を含む式から上記の3つの式を導くのは容易い。）

2年前の投稿だったので忘れていました。
ちなみに10乗までの式を置いておきます。

F(n+8)^7=21*(F(n+7))^7+273*(F(n+6))^7-1092*(F(n+5))^7-1820*(F(n+4))^7 +1092*(F(n+3))^7+273*(F(n+2))^7-21*(F(n+1))^7-(F(n))^7

F(n+9)^8=34*(F(n+8))^8+714*(F(n+7))^8-4641*(F(n+6))^8-12376*(F(n+5))^8 +12376*(F(n+4))^8+4641*(F(n+3))^8-714*(F(n+2))^8-34*F(n+1))^8+(F(n))^8

F(n+10)^9=55*(F(n+9))^9+1870*(F(n+8))^9-19635*(F(n+7))^9-85085*(F(n+6))^9+136136*(F(n+5))^9+85085*(F(n+4))^9-19635*(F(n+3))^9-1870*(F(n+2))^9+55*(F(n+1))^9+(F(n))^9

F(n+11)^10=89*(F(n+10))^10+4895*(F(n+9))^10-83215*(F(n+8))^10-582505*(F(n+7))^10+1514513*(F(n+6))^10+1514513*(F(n+5))^10
-582505*(F(n+4))^10-83215*(F(n+3))^10+4895*(F(n+2))^10 +89*(F(n+1))^10-(F(n))^10

なお10乗の式を構成するには、プログラム的に
gp > A(n)=matrix(n,n,i,j,binomial(i-1,n-j));
gp > charpoly(A(11),x)
%150 =
x^11 - 89*x^10 - 4895*x^9 + 83215*x^8 + 582505*x^7 - 1514513*x^6
- 1514513*x^5 + 582505*x^4 + 83215*x^3 - 4895*x^2 - 89*x + 1
なお
gp > A(11)
%151 =
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1]

[0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1]

[0 0 0 0 0 0 0 1 3 3 1]

[0 0 0 0 0 0 1 4 6 4 1]

[0 0 0 0 0 1 5 10 10 5 1]

[0 0 0 0 1 6 15 20 15 6 1]

[0 0 0 1 7 21 35 35 21 7 1]

[0 0 1 8 28 56 70 56 28 8 1]

[0 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1]

[1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1]

の行列を意味する。(パスカルの三角形を右詰めで作る。)
この行列の特性方程式を導くのがcharpolyコマンドです。

この式から%150=0と置いて
一気に
x^11=89*x^10 + 4895*x^9 - 83215*x^8 - 582505*x^7 + 1514513*x^6
+ 1514513*x^5 - 582505*x^4 - 83215*x^3 + 4895*x^2 + 89*x - 1

の表示が入手でき、これを元に組み立てられる。

7777
=1+3+21+987+6765 (Zeckendorf)
=1+3+8+13+987+6765
=1+3+21+377+610+6765
=1+3+8+13+377+610+6765
=1+3+21+144+233+610+6765
=1+3+8+13+144+233+610+6765
=1+3+21+55+89+233+610+6765
=1+3+8+13+55+89+233+610+6765
=1+3+8+13+21+34+89+233+610+6765
=1+3+21+987+2584+4181
=1+3+8+13+987+2584+4181
=1+3+21+377+610+2584+4181
=1+3+8+13+377+610+2584+4181
=1+3+21+144+233+610+2584+4181
=1+3+8+13+144+233+610+2584+4181
=1+3+21+55+89+233+610+2584+4181
=1+3+8+13+55+89+233+610+2584+4181
=1+3+8+13+21+34+89+233+610+2584+4181
=1+3+21+377+610+987+1597+4181
=1+3+8+13+377+610+987+1597+4181
=1+3+21+144+233+610+987+1597+4181
=1+3+8+13+144+233+610+987+1597+4181
=1+3+21+55+89+233+610+987+1597+4181
=1+3+8+13+55+89+233+610+987+1597+4181
=1+3+8+13+21+34+89+233+610+987+1597+4181
計25個
実行時間:約0.01秒

Zeckendorfの表現を利用すると、その他の表し方を含む総数の個数を求める計算方法は色々な資料を読む中で分かって計算上直ぐに
求められる手段はわかりました。
ところがその実例はとなると、何とかゼッケンドルフのフィボナッチ数が使われる部分を1、使っていないものは0で表示していくとき
（7777=>[1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1]となる。）
本での説明ではこの列での1,0,0の部分を0,1,1へ変更すれば良いとの説明を読むが、桁がもっと短いものなら何とかそれで求まると
体験は出来るんですが、これを自動でプログラムしようとすると例えばこの例のように1,0,0 の部分が何通りもある場合、1か所だけ変更
や2か所同時に変更するなど、いろいろな枝分かれが起こっていってしまい、どの様に組んで行っていいのか分からなくなりました。
従って、フィボナッチ数の個数19から5,6,7,8,9,10,11,12個取り出す各組合せを和が7777になるものをチェックするという手法しかやれず
その計算時間は何と半日以上という,0.01秒が夢のまた夢の状態でした。

そこをらすかるさんはプログラム的にどのような経路で出力できたるのか粗筋的でも良いので教えて下さい。

大きい順にフィボナッチ数を使うかどうかで分岐します。
7777以下の最大のフィボナッチ数は6765
6765を使う場合と使わない場合で分岐
　6765を使う場合はあと1012
　1012以下の最大のフィボナッチ数は987
　987を使う場合と使わない場合で分岐
　　987を使う場合はあと25
　　　25以下の最大のフィボナッチ数は21
　　　21を使う場合と使わない場合で分岐
　　　　21を使う場合はあと4
　　　　　4以下の最大のフィボナッチ数は3
　　　　　3を使う場合と使わない場合で分岐
　　　　　　3を使う場合はあと1→1+3+21+987+6765
　　　　　　3を使わない場合はそれ未満のフィボナッチ数の和が4未満なので不適
　　　　21を使わない場合は次のフィボナッチ数は13
　　　　（このとき残りのフィボナッチ数の和が25以上かどうかチェックするが、32なのでOK）
　　　　13を使う場合と使わない場合で分岐
　　　　　13を使う場合はあと12
　　　　　　12以下の最大のフィボナッチ数は8
　　　　　　8を使う場合と使わない場合で分岐
　　　　　　　8を使う場合はあと4 → 上と同じ処理なので省略
　　　　　　　8を使わない場合はそれ未満のフィボナッチ数の和が12未満なので不適
　　　　　13を使わない場合はそれ未満のフィボナッチ数の和が25未満なので不適
　　987を使わない場合は次のフィボナッチ数は610
・・・・
実際には再帰で処理しており、また「分岐」と書いているのは実際に分岐しているわけではなく
「どのフィボナッチ数を使うか」という19ビットのフラグに1を立てるかどうかです。
また「それ未満のフィボナッチ数の和」がただちに得られるように、
Σ[k=1～n]F(k)のテーブルを最初に作っています。

説明してもらったプログラムの分岐を再現しようとやっていたんですが
やはり難しく、もう単純に7777のZeckendorf表示
7777=[1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1]
をレバースさせた
[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1]
において
[0,0,1]の部分があれば、そこを[1,1,0]へ変更させる作業をその都度
行い、新たにそれらを集めた集合を作っていくことを繰り返してみました。
2か所以上あっても、同時に変化させることはしなくてそれぞれの変化を
集めることにしました。
ですから、1回目の操作では次がその集合になります。

[[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1],
[ 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1],
[ 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1],
[ 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0]]

2回目はこの集合に対し同様な操作をそれぞれに行っていき、これの集合に
新たに追加していきました。
但し同じものが重なった場合はそれはその重なりを解消する操作を入れておきます。

これを数回繰り返しておけば、集まってくる集合の個数が一定の数に収斂していき
それ以上は増えも減りもしなくなりました。

これを見つけたら、その集合に対しフィボナッチ数を割り振って構成できました。
但し最後の成分が0があるものは、その0を取り除く作業をしておきます。

ここまでを自動でやらせるプログラムを準備したら、あっと言う間に全フィボナッチ数の
分解表現を並ばせることができました。

ちなみにn=123456でZeckendorf表示は、
[1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,
1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393]
までが使われるフィボナッチ数なので、最大なフィボナッチ数を採用していくと(貪欲法)
gp > 123456-121393　(25番目を使う)
%176 = 2063
gp > 2063-1597 (16番目を使う)
%177 = 466
gp > 466-377 (13番目を使う)
%178 = 89 (10番目を使う)
を使えばよいことになるので後は使われるフィボナッチ数を位取りで示せばよいので
123456=[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

これにプログラムを適応したら
1; 89 + 377 + 1597 + 121393
2; 89 + 377 + 1597 + 46368 + 75025
3; 89 + 377 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
4; 89 + 377 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
5; 89 + 377 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
6; 89 + 377 + 610 + 987 + 121393
7; 89 + 377 + 610 + 987 + 46368 + 75025
8; 89 + 377 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
9; 89 + 377 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
10; 89 + 377 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
11; 89 + 144 + 233 + 1597 + 121393
12; 89 + 144 + 233 + 1597 + 46368 + 75025
13; 89 + 144 + 233 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
14; 89 + 144 + 233 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
15; 89 + 144 + 233 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
16; 89 + 144 + 233 + 610 + 987 + 121393
17; 89 + 144 + 233 + 610 + 987 + 46368 + 75025
18; 89 + 144 + 233 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
19; 89 + 144 + 233 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
20; 89 + 144 + 233 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
21; 34 + 55 + 377 + 1597 + 121393
22; 34 + 55 + 377 + 1597 + 46368 + 75025
23; 34 + 55 + 377 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
24; 34 + 55 + 377 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
25; 34 + 55 + 377 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
26; 34 + 55 + 377 + 610 + 987 + 121393
27; 34 + 55 + 377 + 610 + 987 + 46368 + 75025
28; 34 + 55 + 377 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
29; 34 + 55 + 377 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
30; 34 + 55 + 377 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
31; 34 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 121393
32; 34 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 46368 + 75025
33; 34 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
34; 34 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
35; 34 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
36; 34 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 121393
37; 34 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 46368 + 75025
38; 34 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
39; 34 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
40; 34 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
41; 13 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 121393
42; 13 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 46368 + 75025
43; 13 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
44; 13 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
45; 13 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
46; 13 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 121393
47; 13 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 46368 + 75025
48; 13 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
49; 13 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
50; 13 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
51; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 121393
52; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 46368 + 75025
53; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
54; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
55; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
56; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 121393
57; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 46368 + 75025
58; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
59; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
60; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
61; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 121393
62; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 46368 + 75025
63; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
64; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
65; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
66; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 121393
67; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 46368 + 75025
68; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
69; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
70; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
71; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 121393
72; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 46368 + 75025
73; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
74; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
75; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
76; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 121393
77; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 46368 + 75025
78; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
79; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
80; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
81; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 121393
82; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 46368 + 75025
83; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
84; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
85; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
86; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 121393
87; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 46368 + 75025
88; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
89; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
90; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
91; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 121393
92; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 46368 + 75025
93; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
94; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
95; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
96; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 121393
97; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 46368 + 75025
98; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
99; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
100; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
と一気に全部のフィボナッチ数での和に分解してくれました。
（従来の方法では3日は計算に要する時間がかかりそうです。）

また全部で100個の方法があることは、次の計算方法で求まるそうです。
123456=[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
のZeckendorf表示から、これを0が続く数を10の指数に採用して
10^8*10^2*10^2*10^9
と表し
一般に10^dを次の2×2行列M(d)=[1 1]
[floor(d/2) ceil(d/2)] (floor;床関数、ceil;天井関数)

これにより上記の数は
M(8)*M(2)*M(2)*M(9)
= [1 1]*[1 1]^2*[1 1]
[4 4] [1 1] [4 5]

=[20 24]
[80 96]

最後にこの行列を[1 1],[1 0]~で挟み
[1 1]*[20 24]*[1]=[100]
[80 96] [0]
なる行列計算で処理できるという。（よくこんな方法を編み出すな～）

私の方法は何も考えずに和が目的の数になる組合せを探すだけなので、
おそらくZeckendorf表示から分解するGAIさんの方法の方が速いでしょうね。

一つ目は
660400884^2=436129327587981456
二つ目は
3284591706^2=10788542675123990436
と
3946751820^2=15576849928673312400
ですね。

さすがにらすかるさん
仕事が早いですね。
なお偶数だけのdigitsでの例で
4044044202^2=16354293507729816804
はたまたま検索に引っかかったのですが、すべてについては未調査です。
他に存在しますか？

あと一つだけありますね。
6604008840^2=43612932758798145600
最初の解の10倍です。

では類題です。
2乗すると0～9がそれぞれ3個ずつ登場する30桁の数になるような15桁の数で、
「数字が2種類のみ」かつ「回文（桁を逆順に並べても同じ）」となっている数は？

寝掛けに投稿に気付いて、寝床でいろいろ方法を考えていた。
なかなか寝付けず、3時半ごろ起き上がりあれこれプログラムをどう組み上げていけばいいか
悪戦苦闘を繰り返す。
（例の15桁構成をくみ上げて行く手順に苦戦しました。中央部が２通りに分かれる可能性を持つ。）
何とか5時半ごろ、下のものにヒットしました。

677777767777776^2 = 459382702493824850617319506176

他のパターン(全部で8000通り近くある。)も調べましたが、これただ一例だけですよね。

はい、正解です。
2種類の数字で構成される15桁の自然数で2乗すると0～9が3個ずつになるものは
（プログラムにバグがなければ）全部で23通りで、そのうちこの一つが
面白い形だったので出題しました。
888988889888889 や 822288882228888 も比較的面白い形ですね。
565656565656555 は惜しい。