😊出会いの泉😊

「3以上」でよいと思います。

「素数の奇素数」の意味がよくわかりません（素数番目の奇素数とかのタイポかなあと思いますが）が、
仮に奇素数を全部使ってよい場合でさえ「3以上」だと3が反例になるのでは？

あ、奇素数だったんですね。失礼しました。

# というか、奇素数に限る必要はないと思いますけどね。

ksさんの問題の仮定に加えて、《その二つの奇素数のうち「少なくとも一つ」は「双子素数の片割れ」とすることができる。》

こちらには反例があるでしょうか。

５＝３＋３－１
７＝３＋５－１
１１＝５＋７－１
１３＝３＋１１－１
１７＝７＋１１－１
１９＝７＋１３－１
２３＝１１＋１３－１
２９＝１３＋１７－１
……
このあたりまでは双子素数の片割れないし両方が右辺に顔を出すようにできるようです。

もっと左辺が大きい場合にはどうでしょうか？

確かに、３＝２＋２－１なのですが、２は、唯一偶数の素数で、
特別この時以外は、使わないので、奇素数＋奇素数ー１の場合だけにしました。あと同時に、
姉妹編、５以上の奇素数は、奇素数＋２のべき乗数で表せる
こちらは、すぐに見つかりました。最小数は？
謎の多い素数が、簡単な式で表せるほど、甘くはないと、
単純な式では、うまく反例があるとは思いますが。

反例となる最小の奇素数は、１２７ですね！

ｋｓさんからのコメント:
《５以上の素数は、二つの奇素数の和から、１を引いて表せる。》について、これに反例があるかどうかについては
ゴールドバッハ予想について参照すれば参考になろうかと存じます。

《その二つの奇素数のうち「少なくとも一つ」は「双子素数の片割れ」とすることができる。》に反例があるかどう
かについては 、OEISの「A295424」： Number of distinct twin primes which are in Goldbach partitions of 2n
が参考になります。

引用します。
”Conjecture. Further empirical examinations lead to a hypothesis that all even numbers n ＞ 4 have at least 1 twin prime in GP(n).”

以上となります。

面白い問題ですね。

(1) 216 = 3^3 * 2^3, 162 = 3^4 * 2
(2) 592 = 2^4 * 37, 925 = 5^2 * 37
(3) 901 = 17 * 53, 910 = 2 * 5 * 7 * 13
(4)
(5) 180 = 2^2 * 3^2 * 5, 1080 = 2^3 * 3^3 *5
(6) 175 = 5^2 * 7, 1575 = 5^2 * 7 * 3^2
(7) 125 = 5^3, 512 = 2^9
(8) 625 = 5^4, 256 = 2^8
(9) 2401 = 7^4, 1024 = 2^10

(4) だけは理詰めでも当てずっぽうでも厳しそう……。


これも綺麗ですかね。
知らなきゃ難問だと思いますが。

ABC = p^2 * q^2 (p<q)
ACB = r^2
BCA = s^2

管理人様、DD++様
　ご回答ありがとうございます。正解です！

DD++様
　ＡＣ＝p^4　　ですね。
　数字の並びを知っていたら分かりますが、理詰めで解くならば素数の平方が3桁になるものを書き出して絞りそうです。

　(4) については、
　　　ＡＢＣとそのアナグラムが互いに素であれば素因数3を含まないこと、
　　　7*11*13＝1001＞999より、pは2または5であること
　　などを用いれば多少絞り込めますが、最後はしらみつぶしかなと思います。

（追記）
最終的には、
　ＡＢＣ＝p*q*r，　（ＡＢＣのアナグラム）＝s*t*u
のようなものを作りたかったのですが、私が手計算した限りでは存在しませんでした。

(4) 874 = 2 * 19 * 23, 847 = 11^2 * 7

s が　2 桁になるのは想定してなかった……。

(4)の解はもう一つありますね。

DD++様
　ありがとうございます。私の想定解でした。

らすかる様
　ありがとうございます。
　唯一解と思っていましたが、確かに s が２桁の解がもう１つありましたね。

管理人さんの解答である 174 と 147 は、素因数の 3 が重複してるので
「p、q、r、…… は、相異なる
素数とする。」
に反していますね。

DD++さん、ご指摘ありがとうございます。確かに、条件に反していましたね！

ひょっとして、以下の式でしょうか。

1^k+19^k+20^k+51^k+57^k+80^k+82^k ＝ 2^k+12^k+31^k+40^k+69^k+71^k+85^k
( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

※上の式は本日、Google徘徊をしていて偶さかにみつけました。

⇒ Chen Shuwen's Equal Sums of Like Powers Page http://euler.free.fr/eslp/

またもやオイラープロジェクトです。

このドキュメントには「12個の累乗和」も例示されていました……

以前出会った等式の中にa,b,cを任意の自然数とし

(6*a-3*b-8*c)^k+(5*a-9*c)^k+(4*a-4*b-3*c)^k+(2*a+2*b-5*c)^k+(a-2*b+c)^k+b^k
=(6*a-2*b-9*c)^k+(5*a-4*b-5*c)^k+(4*a+b-8*c)^k+(2*a-3*b)^k+(a+2*b-3*c)^k+c^k

(但しk=0,1,2,3,4,5)

というものがありました。
こんなにも自由度がありながら成立できるなんてと思っていろいろa,b,cのパラメータを変化させてみて確かめたんですが
確かに等号が成立していきます。
中にはa,b,cの取り方によってはk=6,7,8,9,10,･･･でも等号OKというものもでてきます。

こんな式をよく思いつきますよね～

貴重な、スペシャルな解を、見つけてくださって、ありがとうございます。
私の、探索の中では、二けた以内の自然数解はありませんでした。
見つけたのは、二組。
（1，19，28，59，65，90，102）
≡（2，14，39，45，76，85，103）
（1，16，26，62，75，105，107）
≡（5，7、37，50，86，96，111）

最初の式が、間違えてました。
ABCD＋ADBC＞＝ACBD　でした
トレミーの不等式でした。
等式の部分が不足してます。

等号が成り立つ⇔（α－β）（γーδ）＝ｋ（αーδ）（βーγ）
⇔（α－β）（γーδ）/（αーδ）（γーβ）=ーk（実数）
⇔偏角を取ると、０ではなく、１８０°の場合になる
⇔ＡＲＧ（（α－β）（γーδ）/（αーδ）（γーβ））＝π
⇔ＡＲＧ（α－β/αーδ）＋ＡＲＧ（γーδ/γーβ）＝π
⇔∠ＤＡＢ＋∠ＤＣＢ＝π　対角の和がπ
⇔Ａ、Ｂ、C、Dは同一円周上の点

もし「存在できないことが証明されている」としたら
↓こちらの第5項に「0」が入れられるはずなので、
https://oeis.org/A264764
少なくとも非存在の証明はされていないと思います。

7項の6乗数の総和が6乗数となる式は
GAIさんから御提示頂いた式の他にも、たとえば
1645^6 = 1560^6 + 1299^6 + 864^6 + 702^6 + 618^6 + 430^6 + 150^6
など、幾つかが見つけられているようですね。

こうした式をデータベース化しているサイトがありまして、上記はそこから引きました。
一方
・6項の6乗数の総和が6乗数となる式
・5項の6乗数の総和が6乗数となる式
は、このデータベースには登録されていないようです。

■御参考データベース
Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
http://euler.free.fr/database.txt

このサイトでの情報は物凄いですね。
色々な人が世界各地で膨大な時間を費やして、ふとした疑問に真剣に取り組んでいる有様は佐渡金山や石見銀山に見るような地下に張り巡らされている
鉱脈を掘って突き進む鉱山師の姿を彷彿と思い起こされます。
現代においては個人で掘り進むというより、どれだけ他人が掘った特色や系統を総合的に観察、分類していけるかが重要なんじゃないかと感じてしまう。こんな情報を集めれるリテラシーを鍛えねばと思います。

なおこのデータをソートして観察していたら
taxi cab 的造りで(6,3,3)のパターンが1934年Subba Rao氏が見つけたという
3^6+19^6+22^6=10^6+15^6+23^6
だけしか登録されていなかったので、少し範囲を広げて検索してみたら
36^6+37^6+67^6=15^6+52^6+65^6
33^6+47^6+74^6=23^6+54^6+73^6
32^6+43^6+81^6=3^6+55^6+80^6
37^6+50^6+81^6=11^6+65^6+78^6
などが比較的簡単に探すことができました。

そういえば
Degan さんのペンネームは「モスラの歌」からきているのですか？

六個の場合、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=x^6-y^6=g^6
となるgは存在しない。

また、五個の場合、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6-y^6=f^6
となるfは存在しない。

というのは、どうでしょう？

7個でも、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=x^6-y^6=h^6
となるhは存在しない。

となってしまうな。

だめでした。

a^3+b^3+y^3=x^3
a^3+b^3=x^3-y^3
a^3+b^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に、
a^3+b^3=C^3
となるcは存在しない。

という具合に、フェルマーの最終定理もできてしまうなあ？

そうか、x^6-y^6となる必要はないんだ。x^3-y^3もおなじ。

7個の場合、合計数の素因数分解がu^6 v^6 z^6・・・であれば良く、 6個でも、5個でも、おなじ。

フェルマーの最終定理もおなじで、a^3+b^3+y^3=x^3でなくて、a^3+b~3=c^3であればいいんだな。

うっかりでした。

GAIさん、御明察です。ペンネームは「モスラの歌」からです。
この曲のカバーはいくつも出ていますが、やはり御初代様によるものが一番の好みです。

さて。話題を戻しますけれども。

GAI さんが探しておられた (6,1,5)の他、 (6,2,4)も、《探索すべし》というニーズがあった模様でして、
そこで一挙両得の探索として(6,2,5)を組織的に試みるプロジェクトがあったようです。
（変数のひとつが 0 であればという）

そして(6, 2, 5)は多量にみつかりましたが、(6,1,5)も (6,2,4)も見つからなかったようです。
今回は以下を見て投稿しております。

arXiv:1108.0462v1[math.NT]2Aug2011

All solutions of the Diophantine equation
a^6 + b^6 = c^6 + d^6 + e^6 + f^6 + g^6　for a, b, c, d, e, f, g < 250000
found with a distributed Boinc project
Robert Gerbicz
Jean-Charles Meyrignac
Uwe Beckert
August, 2011

※未来から見たら小さいレンジでの探索なのでしょうけれども…
(6,1,5)や (6,2,4)がひとつやふたつ見つかったしても〔仮定法過去〕私には不思議とは思えません。

以上です。

最小値っぽい数値は確かにすぐに出ますが、本当に最小値かと言われると証明は難しいですね。
まずその値を取る曲線の書き方が無数に存在しますし……。

もしもその「最小値っぽい数値」が6でしたら、それは最小値ではありません。
6ならば無数に存在しますけどね。

なんと。
ハニカム構造が最強だろうと思ったらもっと効率いい引き方があるんですか。
それは意外。

私もしばらく6の壁を越えられなかったのですが、2~3日考えてようやく思いつくことができました。
ちなみにその値は約5.885です。
案を思いついても、正確な長さの計算はかなり面倒でした。約5.885という値は三重根号を含んでいます。

2√3+6√2-6 ≒ 5.949
という解はできたのですが、ここもらすかるさんが通った道でしょうか。
だとすれば、もうちょっと短くなる可能性があって、かつ三乗根がでてきてもおかしくない図形のアイデアが浮かぶのですが、ちょっとこれを計算する気力を絞り出すのは大変……。

私はその解は通過していないですね。
なので、どんな図形なのかわからないので知りたいです。
私は6からいきなり5.885に行きました。
とはいっても、6より小さくする案を思いついてから最小にするためにはどうこう・・・と
よく考えて図形を決めてから計算しましたが。
「計算する気力を絞り出すのは大変」の案が5.885かも知れませんね。

O(0,0), A((√3-√2+1)/2,0), B(√3/2,(√6-√3)/2), C(√3/2,-(√6-√3)/2)
として、OA, AB, AC をそれぞれ線分で結びます。
そうしてできた Y 字型を、O を中心に 90 度ずつ回して複製した図形です。

外側の隙間で長さ 1 が確保できないように 45 度ずつ 8 点取る発想で作りましたが、7 点だと cos(2π/7) とか登場して 3 乗根になるよなー、と。

なるほど、面白い方法ですね。私の案とは方針が違いました。
ではそろそろ私が思いついた案を書きます。
O(0,0),A(1,0)として円周上を6等分するようにB,C,D,E,Fをとります。
B(1/2,√3/2),C(-1/2,√3/2),D(-1,0),E(-1/2,-√3/2),F(1/2,-√3/2)です。
Eを中心とする半径1の劣弧FOに接し直線OFと平行な直線と、
Cを中心とする半径1の劣弧OBの交点をIとします。
また劣弧FOと直線の接点をGとします。FG=GOとなります。
座標は
G((√3-1)/2,-(√3-1)/2),
I((√(4√3-3)+2√3-5)/4,(2+√3-√(12√3-9))/4)
となります。
y軸に関してIと対称な点をJ、Gと対称な点をHとします。
H(-(√3-1)/2,-(√3-1)/2),
J(-(√(4√3-3)+2√3-5)/4,(2+√3-√(12√3-9))/4)
です。
そして
OI,IA,IB,OJ,JC,JD,OH,HE,OG,GFの各線分を描きます。
すると長さの合計は
√(30-16√3+2√(120√3-207))+√(22-4√3-6√(4√3-3))+2(√6-√2)≒5.885
となります。

半直線IG（劣弧FOの接線）と単位円の交点をKとすると、
四角形OFKIは平行四辺形なのでIK=1となります。
この線分IKを、Gを通りながらI側の端を線分IOに沿ってO方向に、
K側の端を弧FAにそってA方向に移動すると、I側の端がOに到達した時に
長さが1となりますが、その移動途中では1よりわずかに短くなります。

三重根号を三乗根と読み間違えていた……。

なるほど、上側で六方向への放射線を一部共有すれば、下方向に皺寄せが来てもお釣りが出る、ということですね。
私の案での中心部分の 90 度クロスに同じアイデア使ったらもっと短くなるかな？

多分もっとよい解があると思いますが、とりあえず
11=(4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!)
（分子は13重階乗）

(追記)ガウス記号を使うとたくさん
11=[4!!*log4]
11=4-[tan(4!!)]
11=[4+exp(√4)]
11=[-exp(√4)/cos(4)]
11=[(4!)^(-sin(4))]

(4!)!!!!!!!!!!!!!=24*11なので、(4!)!!!!!!!!!!!!!/(4!)=11ですか！これは確かに痺れますね．．．。

２つの４で１１を作るというネタのもとは、「４つの４」の記事に含まれる下記の式から導いたものです。
１２３＝Γ（Γ（４））＋Γ（√４）＋Γ（√４）＋Γ（√４）
この式をみて下記を導いた次第です。

１１ = √(１+５！)= √(Γ(√(４))+Γ(Γ(４)))

※１３重階乗を用いたらすかるさんによる解にはビックリしました…… 以上です。

らすかるさんが「２つの４」で１１を作ったテクニックを利用すると、「２つの３」で、任意の有理数が
作れるような気がいたします。 一例をあげます。 22/7 を「２つの３」で作ってみました。

(((3!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/(((3!)!!)!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
=(48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)/(48!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!)
=(48*22)/(48*7)
=22/7

らすかるさんによる手法はとても強力であると思います。