😊出会いの泉😊

(1) y=log(x)(1≦x≦e)の曲線
(2) (1,0)中心に(1)を1/2倍した曲線すなわちy=log(2x-1)/2(1≦x≦(1+e)/2)
(3) (e,1)中心に(1)を1/2倍した曲線すなわちy=(log(2x-e)+1)/2((1+e)/2≦x≦e)
の3つで囲まれた領域であり
(1)とx軸とx=eで囲まれた部分の面積は∫[1～e]logxdx=1
(2)とx軸とx=(1+e)/2で囲まれた部分の面積は1/2倍に縮小したので1/4
(3)とy=1/2とx=eで囲まれた部分の面積も同じく1/4
x=(1+e)/2とx=eとx軸とy=1/2で囲まれた部分の面積は(e-1)/4
なので、求める面積は1-1/4-1/4-(e-1)/4=(3-e)/4

どれを探してもたちどころに跳ね返されてしまう。
しかも最短のコースでゴールに向かっている。
身近にテーマが無くなってしまったのでしばらくお暇を頂きます。

「C1(C2)上を動き回る」範囲はC1(C2)の円周上と判断して
(2,0)と(-4,0)の中点は(-1,0)なので
半径1/2の円の中心が(-1,0)を中心とする半径1の円の周上を動く
ドーナツ型になる。つまり半径3/2の円の面積から半径1/2の円の面積を
引けばよいので、π((3/2)^2-(1/2)^2)=2π。
もしC1(C2)上が内部を含むなら中の穴がなくなるのでπ(3/2)^2=9π/4。

ドーナツ型になる
このことは計算していたらわかることなのか、
それとも計算する前から何となく感じれるものなのですか？
頭の中で点を動かしていると中点があちこち動き回り映像がぼけてしまい
結局何が何だかわからなくなっていきます。
更に旅にでます。

(PQ・PR)=|PQ||PR|cos∠QPR
最大値は明らかに|PQ|=|PR|=2r,∠QPR=0（すなわちPQが直径でQ=R）のときで4r^2

また最小値は∠QPRが鈍角のとき
Q,Rを固定したとき、∠QPRが一定になるので
|PQ||PR|cos∠QPRが最小
⇔|PQ||PR|が最大（∵cos∠QPRが負で一定）
⇔鈍角三角形PQRの面積が最大（∵△PQR=|PQ||PR|sin∠QPR/2でsin∠QPRが一定）
⇔Pが劣弧QR上で直線QRから最も遠い（∵QRを底辺としたときの高さ最大）
⇔|PQ|=|PR|
よって
P(r,0),Q(rcosθ,rsinθ),R(rcosθ,-rsinθ),π/4＜θ＜π/2
とおいて最小値を調べればよい。
|PQ||PR|cos∠QPR
=((rcosθ-r)^2+(rsinθ)^2)cos(π-θ)
=2r^2(cosθ-1)cosθ
=2r^2{(cosθ-1/2)^2-1/4}
従ってcosθ=1/2⇔θ=π/3⇔∠QPR=2π/3のとき最小値-r^2/2
結果をまとめると
M=4r^2 (PQが直径でQ=Rのとき)
m=-r^2/2 (△PQRが∠QPR=120°、PQ=PRの二等辺三角形のとき)

完璧な解答
すぐに攻略されないものを探さなきゃ～
忙し忙し

ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ　とおくと、条件より、
ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５
と定まり、|５ａ＋２ｂ|^２は、定数１７３/３５となってしまうのですが．．．。
私の計算間違いでしょうか？

> ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ　とおくと、条件より、
> ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５

iは虚数単位のことですか？
上記の値の導き方を教えて下さい。

ｉを虚数単位として、ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ　とおくと、条件より、
ｘ^２＋ｙ^２＋９（ｕ^２＋ｖ^２）＋６（ｘｕ＋ｙｖ）＝１
９（ｘ^２＋ｙ^２）＋（ｕ^２＋ｖ^２）－６（ｘｕ＋ｙｖ）＝１
を解いて、ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５
となったのですが．．．。

A=ｘ^２＋ｙ^２
B=ｕ^２＋ｖ^２
C=ｘｕ＋ｙｖ
としてみれば
A+9B=1-6C
9A+B=1+6C
なのでA,B,Cは独立に決められず
A,Bの連立とみて
A=1/20(15C+2)
B=1/20(-15C+2)
C=C
としか出来ないと思いますが・・・

基底変換して以下でシンプルに解けませんか？

a+3b = c, 3a-b = d とおくと、10a = c+3d, 10b = 3c-d
よって 5a+2b = (11/10)c+(13/10)d
|c| = |d| = 1 なので、|5a+2b|の最大値は12/5、最小値は1/5。

DD++さん正解です。
方法も最もベストな近道！
始めそのままの形から攻めていたのでかなり遠回りになってしまいました。

ｎ＝１９２とｎ＝２１９が見つかりました。これ以外はないような雰囲気！

まだありますよ。

手作業で考えて192,219,273,327の4つになりました。
267はちょっと惜しいですね。
「一の位の3個の組合せ((1,2,3)(2,4,6)など)」「百の位の3個の組合せ」「残り」
の順で考えました。

この4つで正解です。
何か共通性とはと考えたが
和が12となるものか!
と思うも
138*2=276,138*3=414 (1,4ダブり)
また
(1,2,9),(2,3,7)での組合せか!
と思うも
129*2=258 (2ダブり)
237*2=474 (4,7ダブり)
何とも法則がありそうでない。

共通性は・・・
・27で割って3余る。
・奇数桁の和が10。
# だから何？って感じですが

これら3つの数の和は明らかに9の倍数になるわけですが、それは最上段の数の6倍でもあります。
つまり、最上段の数は3の倍数で、したがって最下段は9の倍数です。

(1) 左上に5がある場合
3倍が4桁になるので不適。

(2) 上に5がある場合
中央が1しかありえず、すると左上は2しかありえない。
しかしこのとき左が5になって重複するため不適。

(3) 右上に5がある場合
右下も5になるため不適。

(4) 左に5がある場合
左上は2しかありえず、上は6以上。
上と左下がダブらない候補は、261、264、267、273、276、279、291、294、297、の9個。

(5) 中央に5がある場合
上は2か7しかありえず、右上は6以上。
上段が329以下と考えると、候補は、126、129、276、279、327、の5個。

(6) 右に5がある場合
ここは偶数しかありえないので、5であることはない。

(7) 左下に5がある場合
左上は1しかありえず、左は3しかありえない。
上段が170以上198以下と考えると、候補は、174、186、189、192、198、の5個。

(8) 下に5がある場合
左下が、1と2は明らかに不適、4と7は上が5になるため不適。
下段は9の倍数なので、下段候補は351、657、954。
つまり上段候補は、219と318の2個。

(9) 右下に5がある場合
左上も5になるため不適。

以上のうち複数のパターンで候補になっているのは5が複数回出てくるため不適と考えると、残る候補は、
126、129、174、186、189、192、198、219、261、264、267、273、291、294、297、318、327の17個。
17個くらいならそんなに根性もいらないので、全部調べて答えを得ます。

③③③③③③⑤⑤⑤⑤⑤
③③③③③③⑤⑤⑤⑤⑤
③③③③③③⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②①①①①①①①①①

ABCDEの方が見やすかったかも

必要条件として各長方形の面積和は11^2=121にならねばならないので
これを考慮すれば次の14通りに絞れます。(全部で945通りもある。)
これから実際作図可能なのは3;（例に挙げたもの）と
らすかるさん指摘の12;
だけですよね。
他の場合で詰め込もうと試していてもどうも無理っぽい。
何方か成功されたら是非知らせて下さい。

1;[1, 6] | [2, 9] | [3, 10] | [4, 8] | [5, 7]
2;[1, 6] | [2, 10] | [3, 8] | [4, 9] | [5, 7]
3;[1, 6] | [2, 10] | [3, 9] | [4, 7] | [5, 8]
4;[1, 7] | [2, 10] | [3, 6] | [4, 9] | [5, 8]
5;[1, 8] | [2, 6] | [3, 10] | [4, 9] | [5, 7]
6;[1, 8] | [2, 7] | [3, 10] | [4, 6] | [5, 9]
7;[1, 8] | [2, 9] | [3, 7] | [4, 6] | [5, 10]
8;[1, 8] | [2, 10] | [3, 5] | [4, 9] | [6, 7]
9;[1, 9] | [2, 7] | [3, 6] | [4, 10] | [5, 8]
10;[1, 9] | [2, 7] | [3, 8] | [4, 6] | [5, 10]
11;[1, 9] | [2, 7] | [3, 10] | [4, 5] | [6, 8]
12;[1, 9] | [2, 8] | [3, 6] | [4, 7] | [5, 10]
13;[1, 10] | [2, 5] | [3, 9] | [4, 8] | [6, 7]
14;[1, 10] | [2, 8] | [3, 7] | [4, 5] | [6, 9]

かなり地道ですが3;と12;以外が不可能であることの証明です。

13;
[1,10]を置くと端に幅1の隙間ができるが、これを埋める方法がないので不可能。

14;
13;と同じ理由で不可能。

1;
[2,9]を置くと端に幅2の隙間が1つまたは幅1の隙間が2つできるが、
これを埋める方法がないので不可能。

7;
1;と同じ理由で不可能。

8;
[2,10]を置くと端に幅1の隙間ができるので、[1,8]は「壁沿い」に置くしかない。
しかも幅1の隙間は作れないので「角詰め」で置かなければならない。
すると1の端に幅3の隙間ができるので、そこには[3,5]を入れるしかない。
そうすると[1,8][2,10][3,5]は以下のような位置関係に置くしかない。
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○◎◎○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○③③③
②②○○○○○○③③③
②②○○○○○○③③③
②②○○○○○○③③③
①①①①①①①①③③③
※[2,10]を右に移動すると②の左側にできる長さ10の空間を(1ピースで)埋められない。
そして上図に[4,9]と[6,7]を入れようとすると、どちらも◎◎の場所を
占有することになるので不可能。

4;
8;と同様の考え方で[1,7]は「角詰め」でなければならず、端にできる
幅4の隙間に[4,9]を入れなければならないので
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
①①①①①①①④④④④
ここまで決まり、すると④の上の幅2の隙間を埋める方法がないので不可能。

2;
4;と同様の考え方で
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○◎◎○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
①①①①①①⑤⑤⑤⑤⑤
ここまで決まるが、[3,8]と[4,9]はどちらも◎◎の場所を占有するので不可能。

11;
[3,10]を置くと幅1の隙間ができるので、[1,9]は「角詰め」でなければならず、
それによってできる幅2の隙間は[2,7]でしか埋められないので
③③③○○○○○○○○
③③③○○○○○○○○
③③③○○○○○○○○
③③③○○○○○○○○
③③③○○○○○○②②
③③③○○○○○○②②
③③③○○○○○○②②
③③③○○○○○○②②
③③③○○○○○○②②
③③③○○○○○○②②
①①①①①①①①①②②
※8;の[2,10]と同じ理由で[3,10]は「壁沿い」でなければならない。
ここまで決まる。すると[4,5]は右上の幅4の隙間を埋めるように
右上角を含むように置くしかなく、残る部分が6×8にならず不可能。

5;
11;と同じ理由で[1,8]は「壁沿い」に置かなければならないが、
端の隙間を0+3,1+2のどちらにしても(3と1は)埋めるものがなく、不可能。

6;
5;と同じ。

9;
今までと同じ考え方で[4,10]と[1,9]と[2,7]の配置は
④④④④○○○○○○○
④④④④○○○○○○○
④④④④○○○○○○○
④④④④○○○○○○○
④④④④○○○○○②②
④④④④○○○○○②②
④④④④○○○○○②②
④④④④○○○○○②②
④④④④○○○○○②②
④④④④○○○○○②②
①①①①①①①①①②②
このように決まるが、[5,8]をどこに置いても幅1または幅2の
隙間ができるので不可能。

10;
9;と同様に[5,10],[1,9],[2,7]の配置が
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○○○
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○○○
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○○○
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○○○
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
①①①①①①①①①②②
このように決まるが、[3,8]を置くと必ず幅1の隙間ができるので不可能。

遊びで今度は面積を12^2=144とする組合せを見つけたら

1;[1, 3] | [2, 9] | [4, 10] | [5, 7] | [6, 8]
2;[1, 3] | [2, 10] | [4, 7] | [5, 9] | [6, 8]
3;[1, 3] | [2, 10] | [4, 8] | [5, 7] | [6, 9]
4;[1, 5] | [2, 6] | [3, 8] | [4, 10] | [7, 9]
5;[1, 7] | [2, 4] | [3, 8] | [5, 9] | [6, 10]
6;[1, 7] | [2, 9] | [3, 5] | [4, 6] | [8, 10]
7;[1, 9] | [2, 5] | [3, 7] | [4, 6] | [8, 10]
8;[1, 9] | [2, 6] | [3, 5] | [4, 7] | [8, 10]
9;[1, 10] | [2, 4] | [3, 5] | [6, 8] | [7, 9]

が存在し
箱に入れる実験をしたらやっと6;番の組合せで

ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZPPPP
ZZZZZZZZPXXX
ZZZZZZZZPXXX
ZZZZZZZZPXXX
AAAAAAAAAXXX
AAAAAAAAAXXX

なる(1×7のPのみL字仕様になりますが・・・)
ものがベストか？

144だとそのくらいしかなさそうですが、169ならちゃんとできますね（しかも2通り）。

169ならちゃんとできますね（しかも2通り）。

探してみました。
No1;
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDAACCCCCC
BBBBBBBCCCCCC
BBBBBBBCCCCCC
BBBBBBBCCCCCC

No2;
EEEEEEEEECCCC
EEEEEEEEECCCC
EEEEEEEEECCCC
EEEEEEEEECCCC
EEEEEEEEECCCC
EEEEEEEEEABBB
EEEEEEEEEABBB
LLLLLLLLLLBBB
LLLLLLLLLLBBB
LLLLLLLLLLBBB
LLLLLLLLLLBBB
LLLLLLLLLLBBB
LLLLLLLLLLBBB

赤を３枚追加して、黒２枚、赤５枚のとき、Ｐ1=１１/２１　となりますね！

> 黒,赤を適当な枚数で調整しておけば(引くカードはその内の2枚とする)
> P1,P2の確率を全く同じに出来るようなそれぞれの枚数はあるか？

任意の自然数kに対して
一つの色がk(k+1)/2枚、もう一つの色が(k+1)(k+2)/2枚

でしょうか。

お二人とも正解です。

これをn枚のトランプ(黒色a枚;赤色b枚)として
具体的に表示していくと(意外と一方を多めにセットしておく必要があるのですね。)
n=>a;b
4=>1;3
9=>3;6
16=>6;10
25=>10;15
36=>15;21
49=>21;28
64=>28;36
81=>36;45
100=>45;55
121=>55;66
144=>66;78
169=>78;91
･････････
正に条件を満たすセットは隣り合う三角数の集団で
あり、2つの合計はピタリ平方数となる。
これを認識するための幾何的様子が
1+3=4=2^2
○○　　
●○

3+6=9=3^2
○○○
●○○
●●○

6+10=16=4^2
○○○○
●○○○
●●○○
●●●○

10+15=25=5^2
○○○○○
●○○○○
●●○○○
●●●○○
●●●●○

････････････････････････

この結果の計算をするまで三角数と平方数が
こんな関係で繋がれるとは気付きませんでした。

またこの関係は
binomial(a,1)*binomial(b,1)=binomial(a,2)+binomial(b,2)
でもあるので
a*b=a*(a-1)/2+b*(b-1)/2
(a-b)^2=a+b
の関係ももたらす。

ここに
binomial(a,1)*binomial(b,1)=binomial(a,2)+binomial(b,2)
を記述すれば
1*3=0+3
3*6=3+15
6*10=15+45
10*15=45+105
15*21=105+210
21*28=210+378
28*36=378+630
36*45=630+990
45*55=990+1485
･･･････････
であり
これを一気に書き表せばn>=2で
binomial(n,2)"*"binomial(n+1,2)"="binomial(binomial(n,2),2)"+"binomial(binomial(n+1,2),2)
となりすべてが三角数へ帰着できました。

探し方が悪いのか、一つしか見つけられませんでした。
(a, b, c) = (444/35, 35/2, 1513/70)

合同数問題を力ずくで解こうとしても歯が立たない。
問題自身は昔からテーマとなっていたようですが、
その三角形の3辺を具体に求める方法は長らく未解決と
なっていた模様です。
どんな数が合同数かは現在でも完全には解決されていないらしい。
これを求めるのに楕円曲線が大変強力な道具になると多くの人の
研究に心血が注がれており、またそれらの研究で楕円曲線論自身の
発展をもたらした。

いろいろな人の解説書を参考に求める手順を記しておく。
合同数とは辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積となるような自然数のことである。
従って合同数をgとすれば
a^2+b^2=c^2
かつ
a*b/2=g
を満たす有理数(a,b,c)が求まることになる。
この時
上の2つの関係式を組合わせることで
E;y^2=x^3-g^2*x
なる方程式に変換される。(詳しいことは書物に譲る。)
E上にある生成元Pを見つけ、それから発生してくる加法群の
様子を見たのが下のデータです。

gp > P=ellgenerators(E)
%479 = [[-36, 630]]
gp > for(n=2,4,print(n";"ellpow(E,P,n)))
2;[2289169/19600, 1077378553/2744000]
3;[-702970242579396/8968641363361, -18689563840388114124990/26859009127111258609]
4;[99471302068384505638854721/91002372442806906625600,
-986951449961032281250161407557918511519/27452321215759546489234611411904000]

この座標をもろに利用して
gp > a(g,x,y)=abs((x^2-g^2)/y);
gp > b(g,x,y)=abs(2*g*x/y);
gp > c(g,x,y)=abs((x^2+g^2)/y);
gp > F(g,x,y)=print(a(g,x,y)" ; "b(g,x,y)" ; "c(g,x,y));
なる変換をして3辺の長さが判明していく。
--------------------------------------------------------
gp > F(111,-36, 630)
35/2 ; 444/35 ; 1513/70
a<b<cから
a=444/35,b=35/2,c=1513/70

(確認)
gp > (35/2)^2+(444/35)^2
%500 = 2289169/4900
gp > (1513/70)^2
%501 = 2289169/4900
gp > 1/2*35/2*444/35
%502 = 111

--------------------------------------------------------
gp > F(111,2289169/19600, 1077378553/2744000)
712081/211820 ; 47024040/712081 ; 9973530070561/150832997420
a=712081/211820,b=47024040/712081,c=9973530070561/15083299742

(確認)
gp > (712081/211820)^2+(47024040/712081)^2
%491 = 99471302068384505638854721/22750593110701726656400
gp > (9973530070561/150832997420)^2
%492 = 99471302068384505638854721/22750593110701726656400
gp > 1/2*712081/211820*47024040/712081
%493 = 111

--------------------------------------------------------
gp > F(111,-702970242579396/8968641363361, -18689563840388114124990/26859009127111258609)
234968389921405/26467355143878 ;
5875752841940916/234968389921405 ;
165025069140509609227269112873/6218991823635030238886908590

(確認)
gp > (234968389921405/26467355143878)^2+(5875752841940916/234968389921405)^2
%494 = 27233273444829976935529194352071095900775442980080414314129/
38675859302439359055394105690217683330770495687015788100
gp > (165025069140509609227269112873/6218991823635030238886908590)^2
%495 = 27233273444829976935529194352071095900775442980080414314129/
38675859302439359055394105690217683330770495687015788100
gp > 1/2*234968389921405/26467355143878* 5875752841940916/234968389921405
%496 = 111

----------------------------------------------------------
gp > F(111,99471302068384505638854721/91002372442806906625600,
-986951449961032281250161407557918511519/27452321215759546489234611411904000)
98957083698401819456825279/3008674870802439461905240 ;
667925821318141560542963280/98957083698401819456825279 ;
9996575456267088141000515248201787420008791554547841/
297729691011275282356684619921534182697031134561960

(確認)
gp > (98957083698401819456825279/3008674870802439461905240)^2+
(667925821318141560542963280/98957083698401819456825279)^2
%497 = 99931520852841541445900172102118583630747636172081443161
872245439042761782179209495351807663769957761281/
886429689096694536641140593396045963972294022746899350694112261
49266026306507876382173188441079041600
gp > (9996575456267088141000515248201787420008791554547841/
297729691011275282356684619921534182697031134561960)^2
%498 = 99931520852841541445900172102118583630747636172081443161
872245439042761782179209495351807663769957761281/
886429689096694536641140593396045963972294022746899350694112261
49266026306507876382173188441079041600
gp > 1/2*98957083698401819456825279/3008674870802439461905240*
667925821318141560542963280/98957083698401819456825279
%499 = 111

-------------------------------------------------------------

こんなものを力ずくで求められるはずがない。
逆にこんな道具を編み出した先人の知恵に感謝です。

a=45, b=1, kが偶数という形の解はあるとして、それ以外があるのかないのかが難しいんですよね……

ほとんど一致しています。
自分が用意していたのは
x^2-2026*y^2=1･･･････････････①
のペル方程式の解(x0,y0)を探し出したとすると
x0-sqrt(2026)*y0=sqrt(x0^2)-sqrt(2026*y0^2)
=sqrt(2026*y0^2+1)-sqrt(2026*y0^2)
よってm=2026*y0^2+1と置けば
　　　　　　　　=sqrt(m)-sqrt(m-1)
と出来る。

①を満たすxを求めるのに
for(x=1,10000,if(x^2==ceil(x*sqrt(2026)*floor(x/sqrt(2026))),print(x)))
で走らせれば
%=4051
これから
y^2=(4051^2-1)/2026=8100
よって
(x0,y0)=(4051,90)を探し出せる。

これから
(4051,90)==>[k,m]=[1,16410601]
_________==>[k,m]=[2,1077231235082401]
_________==>[k,m]=[3,70712045780235420335401]
--------------------------------------------------
etc.

<確認>
4051-90*sqrt(2026)=sqrt(4051^2)-sqrt(90^2*2026)
__________________=sqrt(16410601)-sqrt(16410600)
ここに
(a,b)=(4051,90)
16410601=4051^2
---------------------------------------------------
(4051-90*sqrt(2026))^2=32821201-729180*sqrt(2026)
______________________=sqrt(32821201^2)-sqrt(729180^2*2026)
______________________=sqrt(1077231235082401)-sqrt(1077231235082400)
ここに
(a,b)=(32821201,729180)とすればk=1
1077231235082401=7^2*4688743^2
--------------------------------------------------
(4051-90*sqrt(2026))^3=265917366451-5907816270*sqrt(2026)
______________________=sqrt(70712045780235420335401)-sqrt(70712045780235420335400)
ここに
(a,b)=(265917366451,5907816270)とすればk=1でよい。
70712045780235420335401=11^2*673^2*4051^2*8867^2

以下同様任意のkに対してmが決められる。

ああ、kの約数を選んで、その分累乗を実行してしまう解はありますね。
で、ペル型以外の解がない証明はどうするのでしょう？

へーそんな解もあり得る可能性を持つのですか？
まったく気にも留めませんでした。
どなたか見つけて貰えないものか？
ただ実2次体Q(sqrt(2026))での単位元はe=45+sqrt(2026)しか無いから
他の数値の可能性はあり得ないのでは？

ないと思いますよ。
でも、この世の全員がないと思っていても、証明がなければないと断定できないのが数学です。
a,b,m,kを求めよという問題に対する解答には、列挙した解以外存在しない証明が含まれるべきだと思います。

９番目ですか？

あれ？
令和8年にかけて8番目のつもりだったんですけど、1つ見落としましたかね？

2、26、82、226、442、626、842、2026

３６２＝１９＾２＋１　が漏れています。

362は百の位が奇数なので不適です。

あっ、失礼しました！８番目が正解ですね。