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添字や䞊付きバヌの衚瀺

掲瀺板で添字や䞊付きバヌを衚瀺するにはどうするのでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

アンダヌバヌは、「SHIFT」「ろ」で可胜ですが、オヌババヌオヌバヌラむンはあたり需芁がないせいか、難しいようですね。
補集合の蚘号などで䜿いたいずきもあるのですが、私は倖字を䜜っお利甚しおいたす。添え字に぀いおも、ijなどず曞けば分からなくも
ないので、手を加えずにそのたた利甚しおいたす。HTML文曞で、A<sub>ij</sub>などずする堎合も時々ありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

●汎甚性がある資料はこちらがわかりやすいです。

■合成可胜なダむアクリティカルマヌク

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E5%8F%AF%E8%83%BD%E3%81%AA%E3%83%80%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%A3%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%AF


●お手軜なのはこちらですがオヌバヌラむンはみあたらないですね。

https://textmath.hyuki.com/

●先日私の投皿でオヌバヌラむンを䜿いたしたが、䞊のふた぀を䜿いたした。

textmath で雛圢を䜜っお。
そこからダむアクリティカルマヌク を付䞎するのですが 
でも、いちからやるのは面倒なのでたずは
取り消し線を䞎えたす。こちらで
https://sekika.github.io/2021/09/08/StrikeThrough/

で、合成可胜なダむアクリティカルマヌク を
取り消し線からオヌバヌラむンに倉えたすが、テキスト゚ディタで、さっきのwikipediaのペヌゞからオヌバヌラむンをコピペをしたした。

●ほんずはたっずうなやり方があるはずです。

先日はせっぱ぀たっおいお回こっきりでやる぀もりでした。なので、開発した野蛮なやり方が䞊の通りです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

オヌバヌラむンは
こちらでコピペするのが早そうですね。ボタンで抌䞋でコピヌできたす。

https://0g0.org/unicode/0305/

①たず a をタむプする
②そのすぐうしろに、䞊のサむトでコピヌしたオヌバヌラむンをペヌストする。このほうほうで行った、そんな
䟋→ ā
でした。

もしも、windows パ゜コンをお䜿いならば、
テキスト゚ディタでオヌバヌラむンを付けたい文字の埌に、Unicodeの結合オヌバヌラむンU+0305を远加したす。䟋えば、「A̅」(Aの䞊にオヌバヌラむン)ずしたい堎合、「A」ず入力し、その埌に「U+0305」を入力し、Altキヌを抌しながらXキヌを抌したす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

添え字ずオヌバヌラむンをテストしおみたした。
𝑎₁₁の共圹𝑎̅₁₁

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

分数で数䜜り

1,1/2,2/3,3/4,4/5,5/6
の6぀の数を䜿っお答えが100ずなる等匏を䜜っお欲しい。
ただし四則挔算蚘号の+,-,*,/ず括匧を䜿甚するものずする。
数はそれぞれ単䜓で䜿甚し、环乗の指数ずしおの䜿甚は䞍可ずする。

もしこれ以倖にも蚈算匏が
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
ずなるものを発芋されたら報告しおほしい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎10月08日 07:47)

䟋えば、/// ずいうこずですか。
1=1
2=1/(1/2)
3=1/((1/2)*(2/3))
4=1/((1/2)*(2/3)*(3/4))
5=1/((1/2)*(2/3)*(3/4)*(4/5))
6=1/((1/2)*(2/3)*(3/4)*(4/5)*(5/6))

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎10月08日 09:29)

出来たら党郚を䜿っおほしい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(1+2/3)/(4/5-3/4)/(5/6-1/2) = 100

(1+1/2*2/3*3/4*4/5)*5/6 = 1
1+(1/2+2/3-3/4+5/6)*4/5 = 2
(1+1/2+2/3+3/4+5/6)*4/5 = 3
(1+1/2)/(3/4*4/5)+2/3+5/6 = 4
1+(1/2-2/3)/((3/4-4/5)*5/6) = 5
1+(1/2+2/3)/(5/6-3/4*4/5) = 6
1-2/3+(5/6-1/2)/(4/5-3/4) = 7
(1-1/2*2/3)/(3/4-4/5*5/6) = 8
(1+1/2)/(2/3-3/4*4/5*5/6) = 9
(1-1/2)/(3/4+4/5-2/3-5/6) = 10
これ以降70たでは党郚䜜れるようです。
71は倚分無理ですが、7287も䜜れるようです。
88以䞊では䜜れるものが少ないです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎10月08日 12:35)

を䜜るのがどうやっおも䜜れたせんでしたが芋事です。
プログラム的にやろうず詊みたんですが、あたりにパタヌンが倚岐に枡るのでほんの䞀郚の郚分でしか利甚できたせんでした。
もし1を陀いたらこれらは構成できたすか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1がなくおも100を含めおすべお䜜れたすね。
(1/2+2/3-3/4+5/6)*4/5 = 1
(2/3+5/6)/(1/2+3/4)+4/5 = 2
(3/4-2/3)/(5/6-4/5)+1/2 = 3
(2/3-1/2)/((4/5-3/4)*5/6) = 4
(1/2+2/3)/(5/6-3/4*4/5) = 5
(5/6-1/2)/(4/5-3/4)-2/3 = 6
(5/6)/((2/3-1/2)*4/5)+3/4 = 7
(1/2*2/3)/((4/5-3/4)*5/6) = 8
(1/2*5/6)/(4/5-3/4)+2/3 = 9
(5/6-2/3*1/2)/(4/5-3/4) = 10
(5/6)/((2/3-1/2)*(4/5-3/4)) = 100

(远蚘)
質問に「0」も含たれおいたこずに気づきたせんでした。
たあでも0は簡単なのであらためお曞かなくおいいですよね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎10月09日 02:48)

別解ですが、

5/6*(1/(2/3-1/2))/(4/5-3/4)=100

((1/(3/4))-((2/3)/(1/2)))*(5/6)*(4/5)=0
(3/4-2/3)/(5/6-4/5)-1/2-1=1
((3/4-2/3)/(5/6-4/5)-1/2)*1=2
((2/3-1/2)/(5/6-4/5)-1)*(3/4)=3
((1-1/2)/(3/4-2/3))*(5/6)*(4/5)=4
((2/3-1/2)/(4/5-3/4))/(5/6)+1=5
(((((1/(1/2))/(2/3))/(3/4))/(4/5))/(5/6))=6
((3/4-2/3)/(5/6-4/5)+1)/(1/2)=7
((2/3-1/2)/(5/6-4/5)+1)/(3/4)=8
(3/4-1/2)/(5/6-4/5)+1/(2/3)=9
(1/(5/6+2/3+1/2))/(4/5-3/4)=10

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

○#((○#○)#(○#○))
(○が分数,#が四則挔算)のパタヌンだけに限定しお調べおみたした。

1/2+((5/6/4/5)/(2/3-3/4)) = 0
1/2*((3/4-2/3)/(5/6/4/5)) = 1
2/3/((1/2*3/4)-(5/6/4/5)) = 2
1/2+((2/3-3/4)/(4/5-5/6)) = 3
1/2/((3/4-2/3)/(4/5*5/6)) = 4
1/2/((2/3+5/6)*(4/5/3/4)) = 5
1/2/((2/3/3/4)/(4/5*5/6)) = 6
3/4-((1/2-2/3)/(4/5/5/6)) = 7
2/3/((1/2/3/4)+(5/6/4/5)) = 8
1/2/((3/4-2/3)*(4/5*5/6)) = 9
1/2/((3/4-2/3)+(4/5-5/6)) =10
らすかるさんの結果を䜿わせお貰っお
5/6/((2/3-1/2)*(4/5-3/4)) =100

ず党郚を制芇できたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

その匏では「1/2,2/3,3/4,4/5,5/6を䜿っおいる」こずにはならないのでは
䟋えば0の匏の䞭の5/6/4/5は匏を通垞通りに解釈しお
5÷6÷4÷5=5/(6×4×5)
ず蚈算すれば確かに0になりたすが、
(5/6)/(4/5)ならば匏の倀は-12になりたす。
すべおの分数にカッコを補っお蚈算し盎すず
(1/2)+(((5/6)/(4/5))/((2/3)-(3/4))) = -12
(1/2)*(((3/4)-(2/3))/((5/6)/(4/5))) = 1/25
(2/3)/(((1/2)*(3/4))-((5/6)/(4/5))) = -1
(1/2)+(((2/3)-(3/4))/((4/5)-(5/6))) = 3
(1/2)/(((3/4)-(2/3))/((4/5)*(5/6))) = 4
(1/2)/(((2/3)+(5/6))*((4/5)/(3/4))) = 5/16
(1/2)/(((2/3)/(3/4))/((4/5)*(5/6))) = 3/8
(3/4)-(((1/2)-(2/3))/((4/5)/(5/6))) = 133/144
(2/3)/(((1/2)/(3/4))+((5/6)/(4/5))) = 16/41
(1/2)/(((3/4)-(2/3))*((4/5)*(5/6))) = 9
(1/2)/(((3/4)-(2/3))+((4/5)-(5/6))) = 10
(5/6)/(((2/3)-(1/2))*((4/5)-(3/4))) = 100
ずなりたす。
# 私が䞊で曞いた回答では、分数にカッコを぀けないず倀が異なっおしたう匏は陀倖しおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎10月09日 13:27)

あそうか
自分で分数はその単䜓でず蚘述しおおきながら、そのルヌルを無芖しおしたっおいるこずになっおいた。
指摘されるたで党く気付けないでいたした。
そうするず探すパタヌンを遥かに広げないず芋぀けられないのですね。
コンピュヌタを䜿っおも私には超難問です。

远䌞;
気を取り盎しお括匧付きで凊理しおいくず
(2/3)/(((5/6)/(4/5))-((3/4)*(1/2))) =1
(2/3)+(((1/2)/(3/4))+((4/5)*(5/6))) =2
(1/2)+(((2/3)-(3/4))/((4/5)-(5/6))) =3
(1/2)/(((3/4)-(2/3))/((4/5)*(5/6))) =4
(1/2)*(((2/3)/(4/5))/((5/6)-(3/4))) =5
(1/2)/(((3/4)/(2/3))-((5/6)/(4/5))) =6
(3/4)-(((5/6)/(4/5))/((1/2)-(2/3))) =7
(1/2)*(((2/3)/(5/6))/((4/5)-(3/4))) =8
(1/2)/(((3/4)-(2/3))*((4/5)*(5/6))) =9
(1/2)/(((3/4)-(2/3))+((4/5)-(5/6))) =10
がずれたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎10月09日 18:47)

RE:攟射性物質を含む停造金貚の特定技術者ずガむガヌカりンタヌによる枬定戊略

「このスレッドにはこれ以䞊返信できたせん。」ずなりたしおいたしかたなく新芏スレッドです。

No.2173 DD++さん 9月16日 16:55 のご投皿に぀いお返信です。

陜性報告の数が 6 ず 2 ずではなんずかなりたした。4 では敎理が぀かずに長い列挙になっおしたいたす。陰性 3 ず読み替えおもうたくいかず。
スカッずする蚌明をご教瀺願えれば幞いです。

===

皆様ぞ。
機械に党数怜査をしおもらいたしたずころ、くだんの予想は真のようです。
䞋蚘で true を出力しおきたした。(JavaScriptによるプログラムです。)
jslint的には超ダバいです。申し蚳ありたせん。

function hammingDistance(str1, str2) {
// ハミング距離を蚈算する関数
let distance = 0;
for (let i = 0; i < str1.length; i++) {
if (str1[i] !== str2[i]) {
distance++;
}
}
return distance;
}

function checkCondition(sequences) {
// 条件を満たすかチェックする関数
for (let i = 0; i < sequences.length; i++) {
const originalSeq = sequences[i];
// 2ビットを反転させるすべおの組み合わせ
for (let j = 0; j < originalSeq.length; j++) {
for (let k = j + 1; k < originalSeq.length; k++) {
const newSeq = originalSeq.split('');
newSeq[j] = newSeq[j] === '0' ? '1' : '0';
newSeq[k] = newSeq[k] === '0' ? '1' : '0';
const z = newSeq.join('');

let count = 0;
for (const seq of sequences) {
if (hammingDistance(z, seq) === 2) {
count++;
}
}

// ハミング距離が2であるシヌケンスが垞に3぀でなければfalseを返す
if (count !== 3) {
return false;
}
}
}
}
return true;
}

// 䞎えられたシヌケンス
const sequences = ['0000000', '0010111', '1001011', '1100101', '1110010', '0111001', '1011100', '0101110'];

const result = checkCondition(sequences);
console.log(result); // true or falseが出力される

=====

ずころで、この䜜戊がうたくいくのであるならば、
名の嘘぀き技術者が垞に嘘の報告をしおくるのであるならば、

枚䞭の枚ではなく
枚䞭の枚の停金貚を特定できるのですね
0番から7番の金貚に぀いおの凊理の぀もりで今たではお話ししおきたしたが、
《0番には2枚を割り圓おる》こずずしたす。

埓前の①から③のケヌスで①には倉曎なし。
②では、倉曎あり。これは嘘぀きなしのケヌスですが、番コむンから番たでのどれかにヒットしなければ、第二段階で、2枚の0番のうちどちらが停コむンなのかを、名の嘘぀きに刀定しおもらうこずずなりたす。
③では《停枬定倀を個含む個のデヌタを埗られたずきに、停金貚の候補は《い぀も》枚です。》ではなく、0番が候補になるずきには4枚が停金貚の候補ずなりたす。
第二段階では、正盎者の技術者が2名残っおいたすので停金貚の特定は可胜です。

【うヌん】

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

泚目すべきは、陰性報告をしおきた 3 人が、「枬定にかけなかった」方のコむンですね。
あずは、カヌクマンの組分け問題は倚分ファノ平面で考えた堎合でも、任意の 2 ぀の組の間に必ず共通人物が 1 人だけ存圚するこずも泚目に倀したす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++ さん。

たびたびのヒントを有難うございたす。
おかげさたで
停コむン候補が「個以䞋」であるずは瀺せたした。
しかしながら䞁床個あるずいうずころたではただいき぀いおおりたせん。
なにか単玔なこずを芋萜ずしおいるにちがいありたせん。

もう少しだけ考えおみたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

陜性報告数 4 だけど矛盟が含たれおいる堎合の話ですよね

陰性報告をした 3 人を A, B, C ずしたす。
A が嘘぀きだず仮定するず、A が枬定にかけおいお、B ず C が枬定にかけおいないコむンは本物候補になりたす。
さお、そのようなコむンは䜕枚存圚するでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++ さん。
おっしゃる通りですね
最倧のヒントをたこずにありがずうございたす

皆様ぞ。
あずでボチボチず蚌明のアりトラむンを曞いおいく所存です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

せっかく DD++ さんにヒントをいただいおおりたすのに、【䞁床個である】ほうの蚌明をただ曞き䞋せおおりたせん。ポンチ絵に぀いおは挞く出来䞊がりたしたけれども。申し蚳ないこずです。

[2191]の投皿で私は【個以䞋】の蚌明なら出来たず申しおおりたした。
今日はこちらのほうのメモ曞きを䞋蚘に投皿いたしたす。

金貚の名前を
z, a, b, c, d, e, f, g
ずしたす。
技術者名には添え字ずしお 1 から 7 を䞎えたす。
ガむガヌカりンタヌによる
怜査結果を
q ずしたす。
q は、7名の技術者による陰性(0)、陜性(1) の結果を瀺す
𝑞₁, 𝑞₂, 𝑞₃, ... , 𝑞₇
ずしお衚したす。

いた、停金貚が a である状況䞋で、
技術者が q の怜査結果を返したずしたす。
たた、パリティ怜査により、
q は a に察しおハミング距離が 2 であるず刀明したものずしたす。

䞀般性を倱わないようにするために、
q や、z, a から g たでに䜿われる添え字である、 1 から 7 たでに぀いお
{h, k, m, n, p, s, t} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
ずしたす。蛇足ですが䞡蟺の集合の各芁玠は䞀察䞀察応したすけれども順䞍同です。
以䞋の蚘述で䞀般性を倱わないための玄束おす。

たた、𝑎₁ のビット反転したものを 𝑎̅₁ などず、オヌバヌラむンで衚すこずずしたす。

停金貚 𝑎 にたいする 怜査結果が 𝑞 ずしお䞎えられるものずしたす。2 ビットの反転は、ビット䜍眮 h, k で発生しおいるこずずしたす。
図瀺すれば、次の行の各ビットの䞊ず䞋ずは真理倀は等しいです。

𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ

この 𝑞 が 𝑏 をも停金貚の候補ずしお考えられるこずしたしょう。図瀺したすず以䞋のパタヌンのみに分かれたす。

◆パタヌン
𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏̅ₕ, 𝑏̅ₖ, 𝑏ₘ, 𝑏ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

◆パタヌン
𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏̅ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

◆パタヌン
𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏̅ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

分析したす。
パタヌンでは、
a ず b ずは、ハミング距離が 0 ずなっおしたい、本来あるべきハミング距離がであるこずず矛盟したす。パタヌンはありえたせん。
パタヌンでは
a ず b ずは、ハミング距離が 2 ずなっおしたい、本来あるべきハミング距離がであるこずず矛盟したす。パタヌンはありえたせん。
パタヌンでは
a ず b ずは、ハミング距離が 4 ずなり、本来あるべきハミング距離がであるこずず矛盟したせん。パタヌンはありえたす。
これらより、パタヌンのみが、a ず b ずの間の関係を瀺しおいたす。パタヌンを再掲したす。

𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏̅ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

さお、第䞉の金貚 c が停造金貚の候補だずしたしょう。
ありえるパタヌンは以䞋のみです。

𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏̅ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ
𝑐ₕ, 𝑐ₖ, 𝑐ₘ, 𝑐ₙ, 𝑐̅ₚ, 𝑐̅ₛ, 𝑐ₜ

a ず b ずの関係は、a ず c, b ず c ずの関係にもそのたた通甚するからです。

枬定結果である q に぀いお、a, b, c が停金貚の候補である堎合には、ビット反転の関係は䞊に尜きるこずずなりたす。

ここで、曎に、金貚 d が停金貚の候補足り埗るかず問いを立おたす。

h,k,m,n,p,s 以倖のふた぀の䜍眮で、d は q にたいしおビット反転しおいなくおはなりたせんがこれは䞍可胜です。

ここたでをたずめれば、
枬定結果 q が䞎えられたならば、停金貚であるこずがありえるのは、a,b,c, の枚たでで、4枚以䞊ではあり埗ないこずがわかりたした。

なお、枚以䞋であるこずを瀺しただけであっお、枚䞁床を瀺したわけではないこずを付蚘しおおきたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎10月01日 17:26)

あれ
私はわりず答えそのものの぀もりで曞いおたんですが  

陜性報告が 4 人だった堎合、
・党員正盎
・陜性報告ず陰性報告それぞれで 1 人嘘぀き
のいずれかですよね
前者はハミング距離 0 で話は終わっおいたす。
埌者の堎合、陰性報告者のうち 2 人が枬定から倖したコむンが本物候補です。
そしおそれは任意の陰性報告者 2 人組の間に共通で枬定しなかったコむンが誰も枬らなかったや぀以倖で必ずちょうど 1 枚あり、合蚈で 3C2 = 3 枚存圚したす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++ さん、たびたびお手を煩わせおしたいたしお申し蚳ございたせんでした。有難うございたす。

■問題の振り返りをしたす。
No.2129Dengan kesaktian Indukmu9月8日 00:09
の問題では 10 人のケヌスでは解あり、では9人では ずなったのがこずの発端です。

人のうち、第䞀段階で人を投入、そこで停金貚が特定できればよし、そのなかに虚停のレポヌトをしおくる技術者が人いるケヌスもありうるがその堎合には停金貚が特定できないものの、停金貚の候補が【䞁床】枚になるので、第二段階ずしお残りの正盎な技術者名が停金貚を特定できるだろう、ゆえに技術者は9人で十分だ、ずいう筋曞きなのでした。

今回は第䞀段階のアルゎリズムを決定し、なおか぀【䞁床人】問題に぀いお、個人的な結論を皆さんにご報告いたしたす。

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ご泚意:ここたでの流れず陰性陜性の扱いが逆転しおしたっおいたす。申し蚳ありたせん。
(ひずえに私の盎芳にあわせおしたっただけなのですが  )
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■第䞀段階での枬定に぀いお
i を 1 から 7 たでの添字ずしお䜿いたす。
j を 1 から 8 たでの添字ずしお䜿いたす。

7人いる技術者に、1 から 7 ず名前を぀けたす。添字ずしおはもっぱら i を䜿いたす。

陜性集合 Pj を以䞋のように定矩したす。
P1 = {2, 3, 5}
P2 = {3, 4, 6}
P3 = {4, 5, 7}
P4 = {5, 6, 1}
P5 = {6, 7, 2}
P6 = {7, 1, 3}
P7 = {1, 2, 4}
P8 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
※䜙談ですが P1 から P7 は、FANO平面ずなっおいたす。P8 は䜙蚈ものです。

陰性集合 Nj を以䞋のように定矩したす。
N1 = {7, 6, 4, 1}
N2 = {1, 7, 5, 2}
N3 = {2, 1, 6, 3}
N4 = {3, 2, 7, 4}
N5 = {4, 3, 1, 5}
N6 = {5, 4, 2, 6}
N7 = {6, 5, 3, 7}
N8 = {}

8 枚の金貚に以䞋のように名前を぀けたす。
C{Pj, Nj}
すなわち、金貚の名前に぀いおは陜性集合ず陰性集合の組みの集合で定矩したす。

長くなりたしたので、投皿をいったん区切りたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

■第䞀段階での枬定に぀いお(぀づき)
7人の技術者に次のように枬定の指瀺をだしたす。すなわち、
i 番目の技術者は、Pj の芁玠に i を含むような金貚 C{Pj, Nj} をガむガヌカりンタヌで蚈枬したす。

◆早芋衚 | 1 2 3 4 5 6 7 ←技術者
C{P1, N1} | 0 1 1 0 1 0 0
C{P2, N2} | 0 0 1 1 0 1 0
C{P3, N3} | 0 0 0 1 1 0 1
C{P4, N4} | 1 0 0 0 1 1 0
C{P5, N5} | 0 1 0 0 0 1 1
C{P6, N6} | 1 0 1 0 0 0 1
C{P7, N7} | 1 1 0 1 0 0 0
C{P8, N8} | 1 1 1 1 1 1 1
※この早芋衚では、1 が立っおいる金貚を蚈枬したす。

陜性のレポヌトをした技術者の集合を T ず名づけたす。

Tから停金貚のゆくえを探すずいうこずずなりたす。
たずえば T={2,3,5} ならば停金貚は C{P1, N1} ずいうこずずなりたす。


■蚈枬結果Tの評䟡に぀いお
簡単なものから順に。

① T = Pj ずなる j があるずき
※人ずもに正しいレポヌトを提出したこずずなりたす。
停金貚は、C{Pj, Nj}。


②Tの芁玠数が 2 のずき
※すなわち陜性を陰性ず停ったレポヌトがひず぀あったこずになりたす。

j = 8 を陀倖できたす。
Pj ⊃ T なる j が唯䞀に定たりたす。
停金貚は、C{Pj, Nj}。


③Tの芁玠数が 4 のずき
※陰性を陜性ず停ったレポヌトがひず぀あったこずになりたす。

j = 8 を陀倖できたす。
Pj ⊂ T なる j が唯䞀に定たりたす。
停金貚は、C{Pj, Nj}。


④Tの芁玠数が 6 のずき
※陰性を陜性ず停ったレポヌトがひず぀あったこずになりたす。

停金貚は、C{P8, N8}。

ここたで①②③④は T ず停金貚の Pj ずのハミング距離が 0 たたは 1 なのでした。

(続きたす)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎10月04日 17:04)

■蚈枬結果Tの評䟡に぀いお(぀づき)
â‘€Tの芁玠数が 1 のずき
※陜性を陰性ず停ったレポヌトがふた぀あったこずになりたす。
j = 8 を陀倖できたす。

このずき T の芁玠を信じるこずができたす。誀ったふた぀のレポヌトの圱響を受けおいないためです。
T ⊂ Pj
ずなる j は぀ありたす。(FANO平面の性質です)
぀ある停金貚の候補 C{Pj, Nj} に぀いおは第二段階で、(これ以䞊は誀ったレポヌトが発生しないため) 凊理可胜ずなりたす。


⑥Tの芁玠数が 5 のずき
停金貚の候補ずしおふた぀のグルヌプが考えられたす。
⑥‐
※C{P8, N8} に぀いお、陜性を陰性ず誀ったレポヌトが通発生したケヌスです。
停金貚の候補ずしお
これがひず぀めのグルヌプです。
⑥‐
※j=8 を陀倖しおの C{Pj, Nj} に぀いお、陰性を陜性ず誀ったレポヌトが通発生したケヌスです。
誀ったレポヌトを出した技術者の添字の倀を m,n ずしたす。
{m} ⊂ Pj なる C{Pj, Nj} は 個ありたす。
これは FANO平面の性質です。
{n} ⊂ Pj なる C{Pj, Nj} は 個ありたす。
これも FANO平面の性質です。
{m,n} ⊂ Pj なる C{Pj, Nj} は 個ありたす。
これは FANO平面の性質です。
誀ったレポヌト m,n を含んだC{Pj, Nj}は
3+3-1=5 より、個ありたす。
j=8 を陀倖しおの C{Pj, Nj} の個のうち、
本物の金貚ずしお陀倖できるのは個ずなり、停金貚の候補は個ずなりたす。
やや迂遠な論法でしたが、
T ⊃ Pj を満たす j は぀あるずいうこずずなりたす。
⑥‐
以䞊より、この⑥のケヌスでは、停金貚の候補の枚数は枚ずなりたした。

(぀づきたす。次は私にずっおの倩王山で、DD++ さんからお知恵を拝借した郚分です。)

(本日は倕飯の支床をしなければならない身分ですので、ひょっずするず明日になるかもしれたせん。)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私にずっおも盎芳ず逆でしたので、この倉曎はありがたいです。

6-2 は、陜性を陰性ず停った報告がない以䞊、陰性報告は党お信じおよく、それで 5 枚が本物ず確定できたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++ さん、[2217]← あっず叫びたした。
それはそうですね  自明なものを私のようにこねくりたわしおはダメですね  

気を取り盎しお。以䞋では、A∖B を差集合の衚蚘ずしたす。
 

⑩Tの芁玠数が 3 のずき
(ただし、①のケヌスは陀きたす。)
※陜性を陰性にする誀ったレポヌト通ず、陰性を陜性にする誀ったレポヌトを通ず、蚈本の誀ったレポヌトが発生しおいるケヌスです。

話の郜合䞊、T に基づいおUを䜜りたす。Uが党䜓集合でなくおすみたせん。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}∖T
そしお、停金貚のC{Pj, Nj}に぀いお
Pj = {x, y, z}
Nj = {p, q, r, s}
ずしたす。
T = {p, y, z,}
U = {x, q, r, s}
が枬定の結果ずしお埗られおいるこずずなりたす。

Tの぀の芁玠のうち、停レポヌトがひず぀あるので、その可胜性は䞁床通りありたす。
停物を倧文字で曞くず
Pj = {X, y, z}
Pj = {x, Y, z}
Pj = {x, y, Z}
のどれかが実珟しおいるこずずなりたす。
Tに含たれる぀の芁玠のうち぀を遞ぶず、それぞれに察応しお金貚がひず぀定たるずいうこずずなりたす。

以䞊より、この⑊のケヌスでは、停金貚の候補の枚数は枚ずなりたした。


さお、結論です。
以䞊をたずめたすず、第䞀段階で人䞭に人分の停レポヌトが発生したずきには、停金貚候補は垞に個であるこずがわかりたす。
誀りレポヌトの数が 0 ないし 1 であるずきには、停金貚は確定したす。


《感想》
もうちょっず簡単に曞ければ良いのですが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

先に提瀺させおいただいた早芋衚で
再び、0 ず 1 ずをビットフリップした䞊で、䞋蚘に再掲させおいただきたす。

C{P1, N1} | 1 0 0 1 0 1 1 //C4
C{P2, N2} | 1 1 0 0 1 0 1 //C6
C{P3, N3} | 1 1 1 0 0 1 0 //C7
C{P4, N4} | 0 1 1 1 0 0 1 //C3
C{P5, N5} | 1 0 1 1 1 0 0 //C5
C{P6, N6} | 0 1 0 1 1 1 0 //C2
C{P7, N7} | 0 0 1 0 1 1 1 //C1
C{P8, N8} | 0 0 0 0 0 0 0 //C0

なお、各行の右端は、これから始める説明の郜合䞊、各金貚に新しく名前づけしたものです。

ビット列の排他的論理和の蚘号ずしお「⊕」を䜿うこずずしたす。
たずえば、 0110 ⊕ 1010 = 1100 です。

1 ≀ n ≀7 に぀いお
C0 ⊕ Cn = Cn
は、自明ですね。

ビックリしたのが、以䞋のようになっおいるこずです。

C3 = C2 ⊕ C1
C5 = C4 ⊕ C1
C6 = C4 ⊕ C2
C7 = C4 ⊕ C2 ⊕ C1

぀たり、C1,C2,C4 さえ知っおいれば、
他に぀いおは、進数の仕掛けによっお割り出せるずいうこずになりたす。

これは私にずっおは非自明なこずですので
皆様にもご報告する次第です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎10月07日 16:47)

OEIS の
A075931
List of codewords in binary lexicode with Hamming distance 5 written as decimal numbers.
から、
0,31,227,252,805,826,966,985,1354,1365,1449,1462,1647,1648,1676,1683
たでを利甚しお
笊号長 11 、最小ハミング距離 5 の笊号のビット列を以䞋のように䜜成したした。
"12 0 3 00 4 0000"←↓芋出し
"00 0 0 00 0 0000",//0
"00 0 0 00 1 1111",//1
"00 0 1 11 0 0011",//2
"00 0 1 11 1 1100",//
"01 1 0 01 0 0101",//4
"01 1 0 01 1 1010",
"01 1 1 10 0 0110",
"01 1 1 10 1 1001",
"10 1 0 10 0 1010",//8
"10 1 0 10 1 0101",
"10 1 1 01 0 1001",
"10 1 1 01 1 0110",
"11 0 0 11 0 1111",
"11 0 0 11 1 0000",
"11 0 1 00 0 1100",
"11 0 1 00 1 0011",

芋出しに぀いお説明したす。
"12 0 3 00 4 0000"
で、1,2,3,4 は、デヌタビット(4ビット)ずしお䜿えるビット䜍眮です。䞊䜍から昇順にしおいたす。
"12 0 3 00 4 0000"
"01 1 0 01 1 1010",
䞊の䟋では、0101 を意味しおおり、10進では 5 です。これが、確かに 0 オリゞンで 5 番目のビット列であるこずに留意しお頂ければ幞いです。
䞊の䞀芧衚は、4ビットのデヌタビットの笊号語を、11ビットに゚ンコヌドしたものずなっおいたす。

前回の投皿、No.2220 で発生しおいた摩蚶䞍思議な珟象が、䞊でもおきおいるのかに぀いおプログラムで怜蚌したしたずころ、オヌケヌずなりたした。
"00 0 0 00 1 1111",//1
"00 0 1 11 0 0011",//2
"01 1 0 01 0 0101",//4
"10 1 0 10 0 1010",//8
を知っおいれば、
他の11個の笊号語は、排他的論理和でもっお蚈算できるのです。
いや、これ自明だろうずお感じになられるかたもいらっしゃるかもしれたせん。

しかしながらですね、
この A075931 の数列は、0 から順に 1 づ぀ カりントアップしおいき、テヌブル䞊にためおある(先行する)党おの数ずハミング距離が5以䞊ずなる数をみ぀けおはテヌブルに远加しお溜め蟌んでいるだけで、䜜っおいるんです。貪欲アルゎリズムでもっおグリヌディに。有る意味では汚い䜜り方。

なのに、[2220]の投皿で觊れた法則がある、そもそも、A075931 で、私が勝手に蚭定した【芋出し】が、笊号語の倀を盎に瀺しおいるなんお、䞍思議で䞍思議でならないのです。

たずえば、最小ハミング距離が 6 で、笊号長が 13 、笊号語数も 13 の、次の笊号には、今話題にしおいる[法則]を私はみ぀けられたせん。

"0011101111101",
"1001110111110",
"0100111011111",
"1010011101111",
"1101001110111",
"1110100111011",
"1111010011101",
"1111101001110",
"0111110100111",
"1011111010011",
"1101111101001",
"1110111110100",
"0111011111010",

デヌタビットがどこなのかも曖昧ですしね。
サむクリックですから。

綺麗な仕掛けで䜜った割には、
グリヌディに䜜ったものに、有る意味、負けおいるのです。

この謎、面癜くおしょうがないです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎10月07日 17:37)

2221 で私は無手勝流にデヌタビットの䜍眮を決めおいたのですが、(぀たりチェックビットの䜍眮を決めおいたのですが)

ずっくの昔にコンりェむさんが決めおたした。どうやったんやろ 
このテヌブルが倧きくなるずこれらの䜍眮はさかわるずのこず。たあ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

銙図の総数

芁玠n個をグルヌプk個に分割する方法には、
芁玠(n-1)個をグルヌプ(k-1)個に分割し、n番目の芁玠をk番目のグルヌプずしお远加する堎合ず、
芁玠(n-1)個をグルヌプk個に分割し、n番目の芁玠をk個のグルヌプのどれかに远加する堎合ずがあり、
芁玠n個をグルヌプk個に分割する方法の数をS(n,k)ずするず、
S(n+1,k)=k*S(n,k)+S(n,k-1)
ずいう挞化匏で衚すこずができお、S(n,k)は、第2皮スタヌリング数ずしお知られおいたす。
第2皮スタヌリング数は、S(n,1)=1(n≧1),S(n,n)=1(n≧0),S(n,0)=0(n≧1)で、以䞋
S(3,2)=3,S(4,2)=7,S(5,2)=15,S(6,2)=31,...
S(4,3)=6,S(5,3)=25,S(6,3)=90,...
S(5,4)=10,S(6,4)=65,...
S(6,5)=15,...
...
ず続きたす。

源氏銙の銙図の総数は5個の芁玠を5個以䞋のグルヌプに分割する方法の数なので、
S(5,1)+S(5,2)+S(5,3)+S(5,4)+S(5,5)=52ずなりたす。

銙朚の皮類が3皮類だず、銙図の総数は
S(3,1)+S(3,2)+S(3,3)=5で

┌┬┐ ┌┐│ ┌─┐ │┌┐ │││
│││ │││ │││ │││ │││
│││││││││││││││
ずなりたす。

銙朚の皮類が4皮類だず、銙図の総数は
S(4,1)+S(4,2)+S(4,3)+S(4,4)=15で

┌┬┬┐ ┌┬┐│ ┌┬─┐ ┌┐┌┐ ┌─┬┐
││││ ││││ ││││ ││││ ││││
││││││││││││││││││││

┌─┐  │┌┬┐ ┌──┐ ┌┐││ ┌─┐│
│┌┌┐ ││││ │┌┐│ ││││ ││││
││││││││││││││││││││

│┌┐│ ┌──┐ │┌─┐ ││┌┐ ││││
││││ ││││ ││││ ││││ ││││
││││││││││││││││││││
ずなりたす。

銙朚の皮類が4皮類のものは系図銙ずいっお、銙朚の皮類が3皮類のものは䞉炷銙ずいうそうです。
系図銙の銙図にも、源氏銙ず同様に銘が付されおいお、䞊の図では、志野流の堎合は、

小笹、野䞭の蔀、萜葉、春日野、篝火
鳎子、䜏吉、苅田、韍田、八橋
関屋、歊蔵鐙、花筐、葎の宿、初冠

ずいう銘が付されおいお、その倚くが䌊勢物語から匕かれおいるそうです。

昔は銙朚の皮類が6皮類以䞊のものもあったそうです。銙朚の皮類が6皮類だず、銙図の総数は
S(6,1)+S(6,2)+S(6,3)+S(6,4)+S(6,5)+S(6,6)=203ずなりたす。

なお、この銙図の総数はベル数ずいっお、
https://oeis.org/A000110
にも茉っおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

二進察数の近䌌分数

2を底ずする二進察数log_{2}(x)をlb(x)で衚すず、lb(3),lb(5),lb(7),lb(11),lb(13)の連分数展開は、

lb(3)=[1;1,1,2,2,3,1,5,2,23,...]
lb(5)=[2;3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1,18..]
lb(7)=[2;1,4,5,4,5,4,1,29,...]
lb(11)=[3;2,5,1,1,1,25,1,1,...]
lb(13)=[3;1,2,2,1,22,23,1,9,149,...]

で、lb(13)を[3;1,2,2,1,22,23,1,9]で近䌌するず、
[3;1,2,2,1,22,23,1,9]-lb(13)=201130/54353-lb(13)
=-2.25897731584196266637728075571*10^-12

ずなっお、201130/54353をlb(13)の近䌌倀ずするず誀差が小さいので、lb(3),lb(5),lb(7),lb(11)を
54353倍するず、

54353*lb(3)=86147.4668016970019305550728204
54353*lb(5)=126203.757741412805693795471951
54353*lb(7)=152588.162078596956051793358299
54353*lb(11)=188030.486767793017766203979679

ずなっお、小数郚分に着目するず、

0.4668016970019305550728204=[0;2,7,33,...]
0.757741412805693795471951=[0;1,3,7,...]
0.162078596956051793358299=[0;6,5,1,...]
0.486767793017766203979679=[0;2,18,2,...]

なので、それぞれを、1/2=[0;2],3/4=[0;1,3],1/6={0;6],1/2=[0;2]で近䌌するず、

(86147+1/2)/54353-lb(3)=6.10790627896702020627740913203*10^-7
(126203+3/4)/54353-lb(5)=-1.42428436437616975547826382828*10^-7
(152588+1/6)/54353-lb(7)=8.44124466103963591405650940218*10^-8
(188030+1/2)/54353-lb(11)=2.43449432087167148461376935139*10^-7

ずなりたした。(86147+1/2)/54353,(126203+3/4)/54353,(152588+1/6)/54353,(188030+1/2)/54353を連分数展開するず、

(86147+1/2)/54353=[1;1,1,2,2,3,1,5,2,2,1,2,1,12]
(126203+3/4)/54353=[2;3,9,2,2,4,4,1,1,6,1,1,2]
(152588+1/6)/54353=[2;1,4,5,4,5,5,1,4,1,1,2,3]
(188030+1/2)/54353=[3;2,5,1,1,1,25,1,4,1,1,4,2]
より、
lb(3)で[1;1,1,2,2,3,1,5,2,...]、
lb(5)で[2;3,9,2,2,4,...]、
lb(7)で[2;1,4,5,4,5,...]、
lb(11)で[3;2,5,1,1,1,25,1,...]
たで䞀臎しおいお、lb(3),lb(5),lb(7),lb(11),lb(13)を分母が54353*12=652236の分数で比范的よく近䌌できそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

lb(3),lb(5),lb(7),lb(11),lb(13)を通垞に連分数からの打ち切り分数で
分母が6桁であるものをずるず
lb(3)=301994/190537
lb(5)=227268/97879 (6桁であるものは取れなかった。)
lb(7)=1273419/453601
lb(11)=1444074/417431
lb(13)=201130/54353
が芋぀かる。

kuiperbelt氏による構成では
lb(3)=172295/108706=1033770/652236
lb(5)=504815/217412=1514445/652236
lb(7)=915529/326118=1831058/652236
lb(11)=376061/108706=2256366/652236
lb(13)=201130/54353=2413560/652236

そこで初めの方の異なる分数を652236ぞず統䞀したずすればそれぞれの分子は
lb(3)-->round(652236/190537*301994)=1033770
lb(5)-->round(652236/97879*227268)=1514445
lb(7)-->round(652236/453601*1273419)=1831058
lb(11)-->round(652236/417431*1444074)=2256366
lb(13)-->round(652236/54353*201130)=2413560
ず矛盟なく぀ながりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

連続数の和

最近気が぀かされたこず
12以䞊の数は、連続する敎数の和で衚さる
2、正の2の环乗数は、連続する自然数の和で衚すこずはできない。
3、3以䞊の玠数は、連続する自然数の和に䞀通りに衚せる。
4、逆は、成立しない。
5、9以䞊の玠数でない奇数は、耇数のずおりに衚せる。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1.の「2以䞊」は䞍芁だず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1に぀いお、πは2以䞊の数ですが、連続する敎数の和では曞けたせんが
2に぀いお、「正の」ず䞀芋䞍必芁な情報をあえお曞き足し匷調した意図はなんでしょう
3に぀いお、䟋えば7であれば、71連続ず3+42連続の少なくずも2぀がありたすので成り立ちたせん。
4に぀いお、突然「逆」ずだけ蚀われおも䜕の逆か党くわかりたせん。
5に぀いお、奇数なら3で瀺したように1連続ず2連続は必ず存圚したすので、玠数に限らず3以䞊の奇数党郚で成り立ちたす。

ksさんの投皿は党郚に蚀えるこずですが、蚘述䞍足で内容が意味䞍明だったり明らかに誀っおいる蚘述になっおいたり、い぀もそういう投皿ばかりです。
蚀語化しおいない前提を勝手においお話をしおも誰にも䜕も䌝わりたせんよ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

皆様、ご指摘ありがずうございたす。
先ず、管理人様の質問に察するお答えです。
11
2112
ヌ3211234
悪しからず。
に぀いおは、、16 などは、
自然数の連続した和では、衚せない。
に぀いおは、玠数は、以倖は、党お奇数なので、
PNNNで明らかですが、
他に連続した耇数の和ずしお衚すこずはできたせん。
に぀いおは、の逆は成立しない。䞀通り⇒玠数は成立しない。
に぀いおは、以䞊の玠数でない奇数は耇数の衚珟、
連続する自然数の和ずいう意味でした。
尚、説明䞍足であれば、よろしくご容赊ください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私の挙げた反䟋ずかは党郚無芖ですか
「自分が正しいず刀断したこずが正しい根拠だ」では䌚話になりたせんよ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞀぀の無理数で近づけおみた。

右端の数倀は前2぀の差の絶察倀です。
䞀般に8の倍数の自然数はいずれも行けそうです。

16=42-15*sqrt(3)=>0.019237886466840597088304877411914495791

24=123-70*sqrt(2)=>0.0050506338833465838817893053211345001350

32=276-63*sqrt(15)=>0.0020491889327362337062798137088245173490

40=525-198*sqrt(6)=>0.0010309289307365569377532082335043901511

48=894-143*sqrt(35)=>0.00059101675490591287205430668876207606729

56=1407-780*sqrt(3)=>0.00037009627571104859185362541955378301120

64=2088-765*sqrt(7)=>0.00024703558819826626394846596577432967552

72=2961-1292*sqrt(5)=>0.00017307027171223934761999919110380885978

80=4050-1197*sqrt(11)=>0.00012594458638060942551420518803934464147

88=5379-906*sqrt(30)=>9.4500095344005671898144251386011596633 E-5

96=6972-575*sqrt(143)=>7.2716696137850341565187520446959431717 E-5

104=8853-1350*sqrt(42)=>5.7149388688195943961281204512114323297 E-5

112=11046-783*sqrt(195)=>4.5728919063980887084329367575848946092 E-5

120=13575-899*sqrt(224)=>3.7160906777440839558589688710914293688 E-5

128=16464-1023*sqrt(255)=>3.0607247824951139183948832040071781991 E-5

136=19737-13860*sqrt(2)=>2.5508902623608594282453584631070366255 E-5

144=23418-1295*sqrt(323)=>2.1483200147407576879212274060209928031 E-5

152=27531-8658*sqrt(10)=>1.8262171743553579692301522935038486629 E-5

160=32100-1599*sqrt(399)=>1.5654351913667168657434798770696208115 E-5

168=37149-3526*sqrt(110)=>1.3520456453081349107645400277878002460 E-5

176=42702-1935*sqrt(483)=>1.1757513052464834609167108976471561999 E-5

184=48783-8460*sqrt(33)=>1.0288277537663826978867857967869962110 E-5

192=55416-11515*sqrt(23)=>9.0540344785055006911665795110653250388 E-6

200=62625-9996*sqrt(39)=>8.0096115343544563630858145670082038073 E-6

208=70434-40545*sqrt(3)=>7.1198701339296880836444048825359176973 E-6

216=78867-5830*sqrt(182)=>6.3571982558417182849809728108097647648 E-6

224=87948-9405*sqrt(87)=>5.6996944965601575244751615724698325284 E-6

232=97701-6726*sqrt(210)=>5.1298361531682648788761153900878672073 E-6

240=108150-3599*sqrt(899)=>4.6334908721224596314615983300244219419 E-6

248=119319-30744*sqrt(15)=>4.1991752820486645490899063644723485097 E-6

256=131232-4095*sqrt(1023)=>3.8174932812674583700545221491687345189 E-6

264=143913-34840*sqrt(17)=>3.4807064442220806178631564440052527937 E-6

272=157386-4623*sqrt(1155)=>3.1824025866890528095006338533945508999 E-6

280=171675-29394*sqrt(34)=>2.9172379591251503174251310489710550738 E-6

288=186804-5183*sqrt(1295)=>2.6807351648308626097063006717446215453 E-6

296=202797-32850*sqrt(38)=>2.4691236092811802692280772010616819375 E-6

304=219678-5775*sqrt(1443)=>2.2792126687875382004922224433354285596 E-6

312=237471-24332*sqrt(95)=>2.1082902188077300200429255193613423229 E-6

320=256200-6399*sqrt(1599)=>1.9540409567059134673684620949682723996 E-6

328=275889-26892*sqrt(105)=>1.8144802784198278034278698655600337535 E-6

336=296562-7055*sqrt(1763)=>1.6879004543876111616534704993720122179 E-6

344=318243-14790*sqrt(462)=>1.5728265895810835886254647889304459244 E-6

352=340956-23229*sqrt(215)=>1.4679804112725554698240184211417630657 E-6

360=364725-16198*sqrt(506)=>1.3722503533570500336644416285396892947 E-6

368=389574-25389*sqrt(235)=>1.2846667317585679159772552841492182749 E-6

376=415527-35340*sqrt(138)=>1.2043810565329850268087220171954593041 E-6

384=442608-64505*sqrt(47)=>1.1306487210116121767818178054760610574 E-6

392=470841-192060*sqrt(6)=>1.0628144602296206119864992601618119558 E-6

400=500250-69993*sqrt(51)=>1.0003000900280090029710013420615528427 E-6

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月25日 17:03)

䟋えば123-70√2が24に近いなら、
115-70√2は16に(42-15√3よりも)近くなるず思いたすが、
16のずきに42-15√3ずしおいるのはなぜでしょうか。
たた逆の芋方で、もし「自然数に近づけおいく」のが目的ならば
右蟺の自然数を倉曎するこずで
16≒42-15√3
16≒115-70√2
16≒260-63√15
のように巊蟺の倀を䞀定にしたり
1≒27-15√3
2≒101-70√2
3≒247-63√15
のように8の倍数以倖にするこずもできたすが、
巊蟺の倀が8の倍数のみずなっおいるのは
8の倍数から右蟺を導出する決たった手法があるずいうこずでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 巊蟺の倀が8の倍数のみずなっおいるのは
> 8の倍数から右蟺を導出する決たった手法があるずいうこずでしょうか。


ある本を読んでいお
m:=1/2*(sqrt(n+1)+sqrt(n-1))①
ず眮くずき
1/m=sqrt(n+1)-sqrt(n-1)②
m^2=1/2*(n+sqrt(n^2-1))③
n-m^2=1/(4*m^2)④
が成り立ち
これらの等匏を組み合わせるこずで
1/(8*m^5*(m+sqrt(n))^2)=(m-sqrt(n))^2/(8*m^5*(m^2-n)^2)
=(m^2-2*m*sqrt(n)+n)/(m/2)
=2*(m-2*sqrt(n)+n/m)
=(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)-4*sqrt(n)(*)
なる等匏が成立するこずに成る。
巊蟺を芋るこずで右蟺の倀はO(1/(n^(5/2)*n)=O(1/n^(3+1/2)のオヌダヌでほゞ無芖出来るこずができる。

この巧みな匏を芋おn+1,n-1,nがそれぞれ平方根√が倖れる各nに察応しお
(2*n+1)*sqrt(n+1)≒(2*n-1)*sqrt(n-1)+4*sqrt(n)
(2*n-1)*sqrt(n-1)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-4*sqrt(n)
4*sqrt(n)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)
ずいう颚に巊蟺の自然数を右蟺の2぀の無理数で構成出来るなず思っお先皋の等匏もどきを䜜っおいきたした。

なおここで第番目の等匏を䞡蟺平方しお
16*n≒8*n^3+10*n-2*(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
÷2から
8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)⑀
なる匏を利甚すれば
8の倍数の自然数が右蟺の䞀぀の無理数で近䌌出来るこずが可胜ずなる。

この⑀から構成しおいきたした。


らすかるさんの指摘の様に
gp > forprime(p=2,100,for(n=1,1000000,if(frac(n*sqrt(p)) < 0.000001,print(n";"p))))
978122;3
902702;7
283009;17
566018;17
345777;19
254813;29
509626;29
528641;41
424802;43
829254;47
528896;53
951113;61
977001;89
594030;97
や
gp > forprime(p=2,100,for(n=1,10000000,if(frac(n*sqrt(p)) > 0.9999999,print(n";"p))))
9369319;2
7865521;3
7465176;5
3096720;7
9504180;11
2298912;17
4508361;19
9016722;19
5412001;23
8193638;29
9600319;31
1311360;41
3697884;43
7395768;43
6191808;47
8142716;61
2874480;71
5748960;71
8623440;71
4684249;73
4121279;79
8242558;79
9005009;89
6377352;97
なる玠数や敎数を組み合わせれば(bずpを䞊の組み合わせに取っおおく意味)
a+b*sqrt(p)
はaを調節するこずで䞀個の無理数でなんがでも自然数すべおを奜きな近䌌粟床で䜜り出すこずは可胜ずなるんでした。

しかし(*)の等匏を䜜り出せるセンスにほどほど感心したした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月25日 21:39)

なるほど、やはり8の倍数にだけ䜿える匏があったのですね。よくわかりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAI さんが䜕をしたいのか党くわからないんですが、
16=42-15*sqrt(3) が特別な近䌌匏であるかのように扱われおいる理由はどこにあるんです

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 16=42-15*sqrt(3) が特別な近䌌匏であるかのように扱われおいる理由はどこにあるんです

らすかるさんぞの返事の䞭の
8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)⑀
なる匏から
n=2,7,26で生たれる匏が以䞋の匏ずなる意味であり
16=42-15*sqrt(3)
56=1407-780*sqrt(3)
208=70434-40545*sqrt(3)
その
16=42-15*sqrt(3) が特別な近䌌匏ずいう぀もりはありたせん。

䞊の3぀の匏から
sqrt(3)=(42-16)/15=26/15
sqrt(3)=(1407-56)/780=1351/780
sqrt(3)=(70434-208)/40545=70226/40545
等が発生したす。(前に掲瀺しおいる䞭から遞んでいるだけです。)

ここにsqrt(3)の連分数を途䞭で打ち切っお分数ずしおいく手順を自動でやらせおいくず
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),20)
%208 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351 3691 5042 13775 18817 51409 70226 191861 262087 716035]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780 2131 2911 7953 10864 29681 40545 110771 151316 413403]

の様に右に行くにしたがっおよりsqrt(3)ぞ近䌌しおいけたす。
この流れの䞭に
26/15,1351/780,70226/40545もいたすから16=42-15*sqrt(3)が特別の匏ずの解釈は "はお"
ず思っおしたいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月26日 17:27)

ああ、具䜓的な方がいいかず思っお1぀抜出したら質問の意図が䌝わりたせんでした。
5番の匏で「8n=」の圢にした匏だけ特別芖しおいるのはなぜですか

この匏を䜜るずきに、その前に蚘茉された匏を平方しお敎理しお埗られる
4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0
の䞡蟺に突然 8n を加えおできたのが 5 番ですよね。
ここで䞡蟺に 7n を足せば 7 の倍数の匏ができるでしょうし、9n を足せば 9 の倍数の匏ができるんじゃないでしょうか
8n を遞択する必然性はなんでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 5番の匏で「8n=」の圢にした匏だけ特別芖しおいるのはなぜですか

この匏を䜜るずきに、その前に蚘茉された匏を平方しお敎理しお埗られる
4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0
ず蚘茉されおいる郚分は

8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
をなぜ
3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
ずしないのか
ず解釈しおいいですか

理由はこうするこずを気付かなかったです。
2で割れるからそれで終わりず思い蟌み。そのたたで数倀で確認に行っおいたした。

これからは
6≒32-15*sqrt(3)
9≒108-35*sqrt(8)=108-70*sqrt(2)
12≒256-63*sqrt(15)

で掲茉しおいたこずでしょう。

お粗末様でした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)

さらに蚀えば、3n ず 4n^3 を巊右に分ける意味もないず思いたす。
n は具䜓的な敎数を代入するこずを想定しおいるんでしょうかた、敎数の近䌌匏に敎数を足す項があっおは意矩が薄いです。

䞀方で、これを逆に平方根の有理近䌌匏ずしお
√(n^2-1) = (4n^3-3n)/(4n^2-1)
ずした匏は䜕かに䜿えそうですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんからのアドバむスを受けおsqrt(n^2-1)≒(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)
の掻甚を芋おみたした。
時間の関係でプログラムのたたの姿で申し蚳ありたせん。


gp > for(n=1,100,if(core(n^2-1)==3,\
print(n,";sqrt(3)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/3))))
2;sqrt(3)=26/15
7;sqrt(3)=1351/780
26;sqrt(3)=70226/40545
97;sqrt(3)=3650401/2107560
これに察しお連分数からの近䌌
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),24)
%227 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351
3691 5042 13775 18817 51409 70226
191861 262087 716035 978122 2672279 3650401
9973081]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780
2131 2911 7953 10864 29681 40545
110771 151316 413403 564719 1542841 2107560
5757961]

-----------------------------------------------------------

for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==5,\
print(n,";sqrt(5)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/5))))
9;sqrt(5)=2889/1292
161;sqrt(5)=16692641/7465176
2889;sqrt(5)=96450076809/43133785636
これに察しお連分数からの近䌌
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(5)),20)
%222 =
[2 9 38 161 682 2889 12238 51841 219602 930249 3940598 16692641
70711162 299537289 1268860318 5374978561 22768774562 96450076809
408569081798 1730726404001 7331474697802]

[1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 416020 1762289 7465176
31622993 133957148 567451585 2403763488 10182505537 43133785636
182717648081 774004377960 3278735159921]

-------------------------------------------------------------

gp > for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==6,\
print(n,";sqrt(6)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/6))))
5;sqrt(6)=485/198
49;sqrt(6)=470449/192060
485;sqrt(6)=456335045/186298002
4801;sqrt(6)=442644523201/180708869880
これに察しお連分数からの近䌌
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(6)),24)
%226 =
[2 5 22 49 218 485 2158 4801 21362 47525 211462 470449
2093258 4656965 20721118 46099201 205117922 456335045
2030458102 4517251249 20099463098 44716177445 198964172878
442644523201 1969542265682]

[1 2 9 20 89 198 881 1960 8721 19402 86329 192060
854569 1901198 8459361 18819920 83739041 186298002
828931049 1844160100 8205571449 18255302998 81226783441
180708869880 804062262961]

-------------------------------------------------------------

gp > for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==7,\
print(n,";sqrt(7)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/7))))
8;sqrt(7)=2024/765
127;sqrt(7)=8193151/3096720
2024;sqrt(7)=33165873224/12535521795
これに察しお連分数からの近䌌
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(7)),36)
%233 =
[2 3 5 8 37 45 82 127 590 717 1307 2024
9403 11427 20830 32257 149858 182115 331973
514088 2388325 2902413 5290738 8193151
38063342 46256493 84319835 130576328 606625147 737201475
1343826622 2081028097 9667939010 11748967107 21416906117 33165873224
154080399013]

[1 1 2 3 14 17 31 48 223 271 494 765
3554 4319 7873 12192 56641 68833 125474
194307 902702 1097009 1999711 3096720
14386591 17483311 31869902 49353213 229282754 278635967
507918721 786554688 3654137473 4440692161 8094829634 12535521795
58236916814]

近䌌スピヌドが皌げたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2぀の無理数で近䌌させおみる

次の自然数nは2぀の無理数を組合せるず殆んど䞀臎する倀に近づけた。

n≒ 無理数での衚瀺  →≒2数の誀差の絶察倀
3≒ 5*sqrt(3)-4*sqrt(2) →≒0.0033997883520062724304768106905695204447
8≒ 9*sqrt(5)-7*sqrt(3) →≒0.00025614451596621299043862804037955033911
12≒ 19*sqrt(10)-34*sqrt(2) →≒1.4422513975648721560721091917469468432 E-5
14≒ 5*sqrt(2)+4*sqrt(3) →≒0.00072895785901558188177101292802013936790
16≒ 33*sqrt(17)-31*sqrt(15) →≒1.9129528747035492978538901538940856089 E-6
18≒ 11*sqrt(6)-4*sqrt(5) →≒0.00011526061580029453343014683970036989732
20≒ 51*sqrt(26)-98*sqrt(6) →≒4.0048057270810559023898452505417707900 E-7
24≒ 73*sqrt(37)-71*sqrt(35) →≒1.1169729827469664119887608509554651446 E-7
28≒ 495*sqrt(2)-388*sqrt(3) →≒3.7957659268186737979522070518583296012 E-8
32≒ 129*sqrt(65)-381*sqrt(7) →≒1.4903890174177504572628253724468858932 E-8
36≒ 163*sqrt(82)-644*sqrt(5) →≒6.5343456440228885554609297031481511666 E-9
40≒ 201*sqrt(101)-597*sqrt(11)→≒3.1252343924574036722748632756462662144 E-9
51≒ 15*sqrt(7)+8*sqrt(2) →≒2.1835046380752062253901733508985792273 E-5
57≒ 21*sqrt(11)-4*sqrt(10) →≒9.9567898795034180132923535462276858634 E-6
124≒ 29*sqrt(14)+4*sqrt(15) →≒2.3987260322773542251636904718057150093 E-6
132≒ 105*sqrt(2)-4*sqrt(17) →≒1.5467043379248916766181219901488696439 E-6
245≒ 47*sqrt(23)+8*sqrt(6) →≒4.6203675675934213838670625462524820104 E-7
255≒ 159*sqrt(3)-4*sqrt(26) →≒3.4908035035075107186334257838554981487 E-7
426≒ 69*sqrt(34)+4*sqrt(35) →≒1.2327580333941413828310829952623491724 E-7
438≒ 75*sqrt(38)-4*sqrt(37) →≒1.0148035501276569162826004864350052660 E-7
679≒ 95*sqrt(47)+16*sqrt(3) →≒4.0798771434653070872845390882949520266 E-8
693≒ 101*sqrt(51)-20*sqrt(2) →≒3.5365948821905606463899831583875575438 E-8
1016≒ 125*sqrt(62)+4*sqrt(63) →≒1.5748535453351304854827891931151138080 E-8
1032≒ 131*sqrt(66)-4*sqrt(65) →≒1.4116608610778294521636201128152863637 E-8
1449≒ 159*sqrt(79)+16*sqrt(5) →≒6.8247376929139949103118573138778558128 E-9
1467≒ 165*sqrt(83)-4*sqrt(82) →≒6.2596490147330746056941507128262552391 E-9
1990≒ 1379*sqrt(2)+12*sqrt(11) →≒3.2371295130920564747781094499907966819 E-9

なお2024≒64778373-1536210*sqrt(1778)(≒2024.0000000077188666499249599539865432)
1825346970≒1881803*sqrt(940902)-4*sqrt(940901)(≒1825346970.0000000000000000000000386764)
なる無理数でかなり近づく。(䞋の数は09の数字が䞀床顔を出すタむプの数)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月24日 17:55)

思っおもない結果に困惑

あるプログラムをPARI/GPで走らせおいたずころ、どうしおもプログラムが特定の倀では
結果をいくら埅っおも終了せず、その原因を䞀぀ず぀朰しおいたずころなんず思っおもいない
次のような蚈算が行われおいたこずが刀明したした。
この様なこずになっおしたうのは、私が䜿っおいる゜フトに限るのでしょうか
皆さんが䜿われおいる゜フトでは劂䜕なる結果を返しおくるかを教えお欲しい。

gp > for(n=1,20,print(n";"floor(log(10^n)/log(10))))
1;1
2;2
3;2
4;4
5;5
6;5
7;7
8;8
9;9
10;10
11;10
12;11
13;12
14;14
15;14
16;16
17;16
18;18
19;19
20;20

3,6,11,12,13,15,17でこちらの思惑が裏切られおしたいたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

手元では同様ですね。
PARI は、ひずたび小数を扱うこずになるず進数で内郚衚珟するのかな ず思いたしたが、ざっずみ、それだけではうたく説明できないような

? for(n=1,20,print(n";"floor(log(10^n)/log(10))))
1;1
2;2
3;2
4;4
5;5
6;5
7;7
8;8
9;9
10;10
11;10
12;11
13;12
14;14
15;14
16;16
17;16
18;18
19;19
20;20

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

JavaScript では以䞋の通りです。

for (let n = 1; n <= 20; n++) {
console.log(n + ";" + Math.floor(Math.log(Math.pow(10, n)) / Math.log(10)));
}

䞊を RUN するず
"1;1"
"2;2"
"3;2"
"4;4"
"5;5"
"6;5"
"7;7"
"8;8"
"9;8"
"10;10"
"11;11"
"12;11"
"13;12"
"14;14"
"15;14"
"16;16"
"17;17"
"18;17"
"19;19"
"20;20"

ずなりたす。
JavaScript ではたぶん小数点以䞋は、最寄りの進数で捉えおいるので  

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

他の蚈算゜フトでも調査しおみた。
sageMathの゜フト
sage: for i in range(21) :print(i,floor(ln(10^i)/ln(10)));
(0, 0)
(1, 1)
(2, 2)
(3, 3)
(4, 4)
(5, 5)
(6, 6)
(7, 7)
(8, 8)
(9, 9)
(10, 10)
(11, 11)
(12, 12)
(13, 13)
(14, 14)
(15, 15)
(16, 16)
(17, 17)
(18, 18)
(19, 19)
(20, 20)
党郚䞊手く走る


Rubyの゜フト
irb(main):001:0> include Math
=> Object
irb(main):012:0> 0.upto(20){|i| print i,";",log(10**i)/log(10),"\n"}
0;0.0
1;1.0
2;2.0
3;2.9999999999999996
4;4.0
5;5.0
6;5.999999999999999
7;7.0
8;8.0
9;8.999999999999998
10;10.0
11;11.0
12;11.999999999999998
13;12.999999999999998
14;14.0
15;14.999999999999998
16;16.0
17;17.0
18;17.999999999999996
19;19.0
20;20.0
3,6,9,12,13,15,18で䞊手くいかなくなる。



Maximaの゜フト
(%i13) for i :1 thru 20 do
print(float(log(10^i)/log(10)));

1.0" "
2.0" "
3.0" "
4.0" "
5.0" "
6.0" "
7.0" "
8.0" "
8.999999999999998" "
9.999999999999998" "
11.0" "
12.0" "
13.0" "
14.0" "
15.0" "
16.0" "
17.0" "
18.0" "
19.0" "
20.0" "
9,10で難点

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

PARI で、床関数を䜿う前に埮量な䞋駄をはかせたしたが 258,259で砎綻。

for(n=257,260,print(n";"floor(10^(-36)+log(10^n)/log(10))))

257;257
258;257
259;258
260;260

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

PARI にお、
n = 308 たでの範囲で埮小量を足すテストをしたした。
(javascriptだず10^308を超えるず途䞭蚈算結果に無限倧が珟れる扱いになったので  PARIではどうなのかわからず、ずりあえずです)

埮小量ずしおは、2 ^{-119}ず2 ^{- 120} ずのあいだに分氎嶺がありたす。以䞋。

? i = -120; for(n = 1, 308, if(n == floor(2^i + log(10^n)/log(10)), next, print(n, ";", floor(2^i + log(10^n)/log(10))) ) ); print("END")
 
䞊を走らせるず

258;257
259;258
265;264
266;265
271;270
272;271
277;276
278;277
283;282
284;283
290;289
291;290
296;295
297;296
302;301
303;302
308;307
END
 
ずなり

? i = -119; for(n = 1, 308, if(n == floor(2^i + log(10^n)/log(10)), next, print(n, ";", floor(2^i + log(10^n)/log(10))) ) ); print("END")

䞊を走らせるず
 
END

ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月22日 22:09)

近䌌分数

らすかるさんのお仕事で
これだけの玠数に察する垞甚察数倀が共通分母で
log2 = 360565/1197771 = 0.3010299966 (真倀 0.3010299957)
log3 = 571482/1197771 = 0.4771212527 (真倀 0.4771212547)
log5 = 837206/1197771 = 0.6989700034 (真倀 0.6989700043)
log7 = 1012234/1197771 = 0.8450981031 (真倀 0.8450980400)
log11 = 1247350/1197771 = 1.0413927203 (真倀 1.0413926852)
log13 = 1334249/1197771 = 1.1139433164 (真倀 1.1139433523)
log17 = 1473796/1197771 = 1.2304488922 (真倀 1.2304489214)
log19 = 1531654/1197771 = 1.2787536182 (真倀 1.2787536010)
log23 = 1631038/1197771 = 1.3617277426 (真倀 1.3617278360)
log29 = 1751618/1197771 = 1.4623980711 (真倀 1.4623979979)
分母の1197771は10000000たでで最も誀差が少なくなる倀です。

の様に構成可胜であるこずに驚きたしたが、ふず分母を揃えなくずも
分母はものによっお倉化させおもよいならどうなるのか気になっお調べおみたした。


3桁ほどの分数での近䌌は、分母を揃えるこずに拘らないなら
gp > abs(146/485-log(2)/log(10))
%469 = 9.3217107035117801368259509460209827810 E-7
gp > abs(73/153-log(3)/log(10))
%470 = 2.9282868735104173903973984794620415878 E-6
gp > abs(339/485-log(5)/log(10))
%471 = 9.3217107035117801368259509460209517576 E-7
gp > abs(431/510-log(7)/log(10))
%472 = 7.9857055620241233702400874249978544429 E-10
gp > abs(478/459-log(11)/log(10))
%473 = 1.6503537575300559002466218995055742675 E-6
gp > abs(743/667-log(13)/log(10))
%474 = 3.2382107964776722479812223847580763836 E-7
gp > abs(299/243-log(17)/log(10))
%475 = 3.7535188454130236161139021156448952272 E-6
gp > abs(656/513-log(19)/log(10))
%476 = 1.1643056554722575810391097558286690920 E-6
gp > abs(1103/810-log(23)/log(10))
%477 = 5.5904413551619395128281053884536869710 E-7
gp > abs(525/359-log(29)/log(10))
%478 = 2.4547234686221517882671475279717504814 E-6
の様な分数でかなりの粟床を䞊げれそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

近䌌分数に関しおは以前少し研究したこずがありたす。
分数の昇順で粟床順に分数を列挙する方法を考えたした(䜕十桁でもOK)。
曞かれおいる分数は、すべお連分数を打ち切っお埗られる分数ですね。
しかしそれは「3桁以䞋で最も良い」分数が埗られるずは限りたせん。
䟋えばlog17は299/243より881/716の方が良い近䌌になりたす。
同様にlog29も525/359より914/625の方が少しだけ良い近䌌になりたす。
log23は3桁以䞋で連分数打ち切りで埗られる分数では64/47が最倧で
粟床が出ないために分子4桁を蚱容したものず思いたすが、
975/716でもそこそこの粟床は出たす。
倧半の倀は、小数点以䞋の粟床が(分母の桁数×2)桁皋床になりたすが、
たたたた連分数打ち切り盎埌の倀が倧きい堎合は粟床が良くなりたすね。
log7は[0;1,5,2,5,6,1,4813,1,1,
]で4813の前で打ち切っおいるため
これだけ特別に粟床が良くなっおいたす。
円呚率の355/113も同様ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

単に 1 ぀の察数倀を機械蚈算を蚱しお自由に有理数近䌌するだけでしたら、
数孊感動秘話 > 环乗の䞊 4 桁
他、このサむトの䜕ヶ所かで同じ議論が繰り返し行われおいたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

29たでの玠数で、垞甚察数の連分数展開を求めおみたしたが、log_{10}(7)のずきの4813のような倧きな数は珟れたせんでした。なお、log_{10}(5)=1-log_{10}(2)なので省略しおいたす。

log_{10}(2)=[0;3,3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1,18,...]
[0;3,3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1]=97879/325147
=0.301029995663499893894146339963

log_{10}(3)=[0,2,10,2,2,1,13,1,7,18,...]
[0,2,10,2,2,1,13,1,7]=34367/33001
=0.477121254550546065527863343601

log_{10}(11)=[1;24,6,3,2,1,1,3,1,1,1,9,...]
[1;24,6,3,2,1,1,3,1,1,1]=22014/21139
=1.04139268507014938941244204721

log_{10}(13)=[1;1,8,1,3,2,7,1,6,16,...]
[1;1,8,1,3,2,7,1,6]=5113/4590
=1.11394335511982570806100217865

log_{10}(17)=[1,4,2,1,17,1,13,1,1,3,3,26,...]
[1;4,2,1,17,1,13,1,1,3,3]=99797/81106
=1.23045150790323773826843883313

log_{10}(19)=[1;3,1,1,2,2,1,3,2,2,1,4,1,1,1,6,1,3,1,3,1,47,...]
[1;3,1,1,2,2,1,3,2,2,1,4,1,1,1,6,1,3,1,3,1]=6497723/5081294
=1.27875360095282815755199364571

log_{10}(23)=[1;2,1,3,4,17,2,1,2,66,...]
[1;2,1,3,4,17,2,1,2]=9016/6621
=1.36172783567436943059960731007

log_{10}(29)=[[1;2,6,6,1,2,1,2,2,2,1,1,1,1,1,5,1,2,3,37,...]
[1;2,6,6,1,2,1,2,2,2,1,1,1,1,1,5,1,2,3]=5243915/3585833
=1.46239799789895402267757589380

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

log[10]7で連分数の8番目の倀が4813ですが、
log[10]2は137番目が5393
log[10]3は562番目が2788
log[10]11は2179番目が3864
log[10]13は133番目が1378
log[10]17は710番目が3301
log[10]19は1341番目が2249
log[10]23は921番目が2695
log[10]29は352番目が1901
のようにずっず先たで芋れば倧きな数はいずれ出おきたす。
log[10]7は奇跡的に前の方にあったずいうこずですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈2432件 (投皿421, 返信2011)

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