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40,045

数の衚珟

数の衚珟に぀いお
≡ 無限≡/2≡√など、
log3(4)、√3は、無理数、
無理数無理数√3log3(4)(底が)

3^log3(2)≡2
異なるタむプの衚珟募集。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月23日 15:16)

最近、 -1・・・ ずいう衚蚘に觊れ、䞍思議さを感じたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

衚珟ずいうのは、違和感ありたすね。ただ蚈算の途䞭みたいな、
同等になるずいうこずですか。
sin(pai/4)cos(pai/4) も同等ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

0.999 は、厳密には、極限の問題ですが、
 . ずおいお、倍しお
0. .  より
 ぀たり、が気に入っおたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ちょっずKS様の蚈算に疑問ですが、

x=aずする。
 nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
䞡蟺を(n-1)でわるず、
x=a

さお、ここで、a=0.9999・・・・,n=10を代入するず、 

 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x= 9 ✕ 0.9999・・・ なお右蟺の✕は掛け算のかけるずいう蚘号です。
䞡蟺を10-1でわるず、
x=0.999・・・・

ずなりたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月24日 08:17)

管理人さんのコメントに察しおですが、、代数孊的に、x=aは、10倍しお、匕いおも、x=aなのです。

ですから、よく説明される
 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
䞡蟺を10-1でわるず、
x=1
なんお、真っ赀な嘘です。
代数孊的結論を吊定するこの蚈算はおかしいのです。

別のはなしで説明するず、
x=1-0.1=0.9 ずする。
 10x= 9
-) x= 0.9
9x= 8.1
x=0.9

x=1-0.01=0.99ずする。
 10x= 9.9
-) x= 0.99
9x= 8.91
x=0.99

x=1-0.001=0.999ずする。
 10x= 9.99
-) x= 0.999
9x= 8.991
x=0.999

同 様にしお、x=1-10^(-n)ずするず、 x=0.9999・・・・であるが
 10x=10{1-10^(-n)}
-) x= 1-10^(-n)
9x= 9-10 10^(-n)+10^(-n)
9x= 9-9 10^(-n)
x= 1-10^(-n)

よっお、10^(-n)0であるから、{ 10^(-n)においおnは無限倧であるから、10^(-n) は無限小である。}
x<1
぀たり、
x≠1

ここで、もし、10^(-n)=0ずするず、もし、10^(-n)=0 ぀たり、無限小は0であるなら
x= 1-10^(-n)=1 ぀たり、x=1であり、x=0.9999・・・・ずはならない。

無限小を䜿っおもだめである。

私は、0.999・・・=1は、間違いだず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1/3は、0.333・・・・ずなるずいうこずをよく考えるず、1÷3はあ たりが出おきお、0.333・・・・・ず、あたり・・・・1ですね。無限にが続くずいうこずは、あたりが無限に続くずいうこずです。あたりが、な くなったら、は終わりです。ずころが、・・・・は、あたりがいらない、なくなるず蚀っおいるのです。

したがっお、1/3≠・・・です。䞡蟺を倍するにしおも、巊蟺はですが、小数蚈算は末䜍からするのが、芏則ですが、そこを無理やり、倍しおも・・・ですが、1/3✕3=1≠999・・・ずなり、1≠999・・・です。


たた、ε-Ύ法は、実数なら、䜿えるかもしれないが、進数では䜿えないのである。

数盎線で考えるず、ε-Ύ法でできたずなるが、10進数で、0.999・・・をいくら1に近づけようず9を増やしおも、0.999・・・でしかない のです。

なぜなら、0.999・・・・の9を䜿い果たしたら、桁䞊がりしお1になるのであるからです。

9を䜿い果たすずいうこずは、0.0・・・・1がなければありえないのです。したがっお、ε-Ύ法では、どこたで行っおも0.999・・・に過ぎ ないのです。

・・・の問題は進数の問題であるから、明らかに、・・・なのです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

極限なら、・・・はほがでしょう。
しかし、等号で、結ぶこずは、できたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

100歩譲りたしょう。

NHK のBSPでみた「コ ズミック フロント「盞察論量子論 事象の地平線ず“異次元のダンス”」から思いたした。

車いすの倩才・ホヌキング博士が提瀺した「ブラックホヌル情報パラドックス」で、ブラックホヌルは熱を出しお、瞮み消滅し、すべおの情報は倱われるずいったの に、量子力孊者たちは、情報は無くならないずいい、論争になり、䜕幎もかかっお、超匊理論で、情報は無くならないず結論が出たのです。

さ お、自然数、・・・・ず無限たでゆくずしたす。偶数は、2nで、奇 数は2n+1です。では、無限倧は、偶数ですか、奇数ですかずずわれるず、無限倧は、どちらかわからないので、偶数でも、奇数でもないずいう説明では間 違っおいるず思いたす。

無限では、バヌれル問題でも、有理数分数は、四則挔算で、有理数で閉じおいるのに、π^2/6ずいう無理数になっおいるのです。

有理数で閉じおいるものが、無限で、無理数になるずいうこずは、有理数ずいう情報が無限でなくなっおいるのです。

無限では、情報はなくなるのです。

ですから、自然数から掟生した無限倧も自然数もそういう情報なので、無限倧は、情報がなくなっお、自然数ずいうこ ずもありたせんし、 無理数かもしれないし、虚数かもしれないし、耇玠数かもしれないし、これたでの抂念を超えたものかもしれなくなるずいうこずです。そうなるず、倧小関係情報もなくなるずいうこずです。

ずいうこずにすれば、1/3=0.333・・・・ずなるのです。

でも、これには根拠がありたせん。無理数、あるいは耇玠数かもしれたせんから・・・・

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

10進数に぀いお、泚意曞きをしたす。
10進数は、10個の蚘号を぀かいたす。です。
蚘号を䜿い果たしたら、桁䞊がりしたす。぀たり、の次が必芁にならないず、桁䞊がりしたせん。

・・・ずを無限に䞊べおも、の次の蚘号が必芁にならない限り、桁䞊がりは起きず、にはなりたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

もし、超匊理論ででた結論で、無限でも情報が無くならないずするず、

√は、
√2=1.414213562373095・・・
なので、桁ごずに衚すず、次のようになりたす。
=1+4/10+1/10^2-+4/10^3-+2/10^4-+1/10^5-+3/10^6-+5/10^7-+6/10^8-+2/10^9-+・・・・
さお、右蟺は、有理数の四則挔算なので、有理数で閉じおいたすから、無限であっおも有理数のはずです。
したがっお、10進小数はすべお、有理数ずなるはずです。
぀たり、10進小数は、無理数を含たない、すなわち、10進数は、無理数を含たないずなるのではないでしょうか
圓然、2進数でも、桁ごずに衚せば、有理数の四則挔算なので、有理数で閉じおいたすから、無限であっおも有理数のはずです。したがっお、進数は、無理数を含たないずなるのではないでしょうか
同様にしお、自然数進数は、無理数を含たないずなるのではないでしょうか
同様にしお、有理数進数は、無理数を含たないずなるのではないでしょうか

結論ずしお、有理数進数は、無理数を含たないずなるのではないでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月25日 17:01)

うんざりはちべえさん、ご投皿ありがずうございたす。うんざりはちべえさんの蚈算で
10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
 9x= 9×0.9999・・・
がよく分かりたせん。9.999・・・から0.999・・・を匕いたら、9になるず思うのですが、なぜ、
「9×0.999・・・」ずいう曞き方になるのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さん、ご迷惑おかけしたす。連投したしたこずをお蚱しください。

管理人さんの質問ですが、それは、次の代数匏の蚈算に圓おはめおいるからです。
x=aずする。
 nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
䞡蟺を(n-1)でわるず、
x=a

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

仮定が「x=aずする。」で、結論が「x=a」では、䜕も蚈算しおいないこずにならないで
しょうかうんざりはちべえさんの蚈算の真意は

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Komornik-Loreti 定数 ずいうのがありたしお、定矩や、どんな数倀になるのかに぀いおを OEISの
「A055060」で参照できたす。
今回はこの定数を q で衚すこずずしたす。
さお『1 の q進衚珟』を考えたすず、1 = 0.11010011001011010010110011010011

ずなりたしお、この数は Thue-Morse 列 ずなりたす。

Thue-Morse 列に぀きたしおは、http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1053.html
に色々な関連事項が蚘茉されおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そも管理人さんが芋たのは「  999=-1」なんですよね
これは「0.999

=1」ずは党く別の等匏なわけですが議論が明埌日の方向にすっ飛んでたせんかね。
前者は解析接続の話、埌者は極限の話

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

たた、はちべえさんの論理に察しお指摘を1぀。
はちべえさんは「有限回の蚈算では閉じおいる凊理が、無限回では閉じなくなるこずがある」ず理解しおいるわけですよね。
で最埌に9を付け足すずいう凊理を繰り返したずきに、有限回の凊理では小数点の前の数が必ず0のたた保たれるのに察しお、それを無限回やったら小数点の前の数字は0ずは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは䜕を論拠にそれが0のたたずしおいるのでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さん、私は、
 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
䞡蟺を10-1でわるず、
x=1

この蚈算の、10倍したものから匕いお、0.999・・・が消えるずいう蚈算に疑問があったのです。
0.999・・・を桁移動しおも、無限だから、小数郚が、倉わらないずいうこずを代数蚈算で、吊定したのです。

少なくずも、小数蚈算は、原則ずしお末䜍から行うもので、無限だから、末䜍はありえないので、この蚈算はできないず指摘しおいるWebもありたす。

それもあったので、代数蚈算でやっおみたら、x=aは、n倍しお匕いおも、x=aであり、aの小数蚈算が䞍芁であるこずが、瀺されたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、はじめたしお。

はちべえさんは「有限回の蚈算では閉じおいる凊理が、無限回では閉じなくなるこずがある」ず理解しおいるわけですよね。

これは、どこの話でしょうかたくさん連投したもので、すみたせん。
バヌれル問題でしょうか

で最埌に9を付け足すずいう凊理を繰り返したずきに、有限回の凊理では小数点の前の数が必ず0のたた保たれるのに察しお、それを無限回やったら小数点の前の数字は0ずは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは䜕を論拠にそれが0のたたずしおいるのでしょう

これも、どこの話でしょうかひらめきが悪くおすみたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月25日 20:17)

䞊はバヌれル問題のずころの話ですね。
単なるはちべえさんの理解の確認皋床です。

䞋はNo253の話です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1 の倀に぀いおの十進衚珟ずしお自明な 1 ず非自明な 0.99999
 ずがあるこずに぀いお話題になっおいるようですね。
実のずころ、1 の倀に぀いお 2 通りの十進衚珟を蚱容するこずが暙準的なモデルずなっおいたすのでなんら問題なしずしたいずころではありたす。

十進に限らなければ、たったの2通りでは枈たないこずもありえたす。

黄金比を q で衚すこずずしたす。
ここで『1 の q進衚珟』に぀いおさたざたな衚珟を列挙したく存じたす。

いた、衚珟の埪環郚を()で囲むこずずいたしたす。
泚:10進衚珟で()の䜿い方わ䟋瀺したすず、
1/3=0.(3)
ですし、
1/7=0.(142857)
ずしたす。
本圓は埪環郚の始めず終わりの桁の数字の䞊に「・」を曞きたいのですが、今回は諊めるこずずし、()で代甚したす。

話を戻したす。1の黄金比進衚珟をいく぀か䞊べたす。

1
1.(0) →無限小数
0.(10) →無限小数
0.11
0.1011
0.101011

この他にも倚数ありたす。(䞊の䟋では可算無限個の衚珟がありたすね

以䞊、十進に限らなければ、たったの2通りでは枈たないこずもありえる、ずいうお話をしたした。

なお、前回に投皿した Komornik-Loreti 定数を基数ずした衚珟を取りたすず、1 の倀の衚珟ずしお非自明なものは、投皿枈みのあの衚珟のたったの個しかないそうです。

もっず驚くべきは、 基数を䞊手に遞べば、1の倀の衚珟が【非】可算無限個存圚するこずもある、ずいう  

以䞊は
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
を参考にしおおりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

耇玠数の底力

「円円Oに内接する四角圢ABCDでAC⊥BDのずき、察角線の亀点を通る線分がず垂盎のずき、ずずの亀点はの䞭点である。」
ブラマグプタの定理ず円に内接しおなくおも䌌た定理が成り立぀。
「PAPD,PBPCのずき、四角圢ABCDでAC⊥BDのずき、察角線の亀点を通る線分がず垂盎のずき、ずずの亀点はの䞭点である。」
Pを原点ずし、Aα、Bβずおくず、PA,PBを回転し、
Cβi、D-αi、Mαβ/2ず眮くこずができる。
CD方向は、βαiなので、PMは、CDの垂盎である。
この結果を、䜿っお、ABCDが円に内接する堎合は、
PA,PBの盎線䞊に、PA’PD,PB’PCずなるようにA’、B’をずれば、
A’、B’の䞭点M’ずすれば、PM’は、CDず垂盎になる。
䞀方、△PAB∜△PDCなので、PAPDPBPC
PA/PA’PB/PB’である。
△PAB∜△PA’B’ ぀たり、ABずA’B’平行であるので、
盎線PM’は、ABの䞭点Mを通る。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

玠数の問題

ありがずうございたす。
玠数の和の問題は、反䟋が、ただ、芋぀かりたせん。
うたい探玢法が、芋぀かれば、いいですけど。
他に、「玠数PずPの間にある、玠数の個数は、増加関数である。」
は盎ぐに芋぀かりたした。
「Pの玠因数の皮類は、を陀くず、たかだか、皮類以䞋である」
これも、今、芋぀かりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月22日 11:12)

玠数の問題

以䞊の玠数は、二぀の玠数の奇玠数の和から、を匕いお衚せる。
䟋えば、、など
反䟋がみ぀かりたすか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月17日 17:09)

「3以䞊」でよいず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「玠数の奇玠数」の意味がよくわかりたせん玠数番目の奇玠数ずかのタむポかなあず思いたすがが、
仮に奇玠数を党郚䜿っおよい堎合でさえ「3以䞊」だず3が反䟋になるのでは

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、奇玠数だったんですね。倱瀌したした。

# ずいうか、奇玠数に限る必芁はないず思いたすけどね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ksさんの問題の仮定に加えお、《その二぀の奇玠数のうち「少なくずも䞀぀」は「双子玠数の片割れ」ずするこずができる。》

こちらには反䟋があるでしょうか。












このあたりたでは双子玠数の片割れないし䞡方が右蟺に顔を出すようにできるようです。

もっず巊蟺が倧きい堎合にはどうでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

確かに、なのですが、は、唯䞀偶数の玠数で、
特別この時以倖は、䜿わないので、奇玠数奇玠数ヌの堎合だけにしたした。あず同時に、
姉効線、以䞊の奇玠数は、奇玠数のべき乗数で衚せる
こちらは、すぐに芋぀かりたした。最小数は
謎の倚い玠数が、簡単な匏で衚せるほど、甘くはないず、
単玔な匏では、うたく反䟋があるずは思いたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月19日 10:00)

反䟋ずなる最小の奇玠数は、ですね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

さんからのコメント:
《以䞊の玠数は、二぀の奇玠数の和から、を匕いお衚せる。》に぀いお、これに反䟋があるかどうかに぀いおは
ゎヌルドバッハ予想に぀いお参照すれば参考になろうかず存じたす。

《その二぀の奇玠数のうち「少なくずも䞀぀」は「双子玠数の片割れ」ずするこずができる。》に反䟋があるかどう
かに぀いおは 、OEISの「A295424」 Number of distinct twin primes which are in Goldbach partitions of 2n
が参考になりたす。

匕甚したす。
”Conjecture. Further empirical examinations lead to a hypothesis that all even numbers n  4 have at least 1 twin prime in GP(n).”

以䞊ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月22日 05:37)

理想数

æ•Žæ•°Zでは、䞀意的に玠数の積に分解されたす。
拡倧した、Z√ヌω√ヌ5ずおく。
×ωω二通りの分解になる。
諊めないで、PP’、QQ’ず玠むデアルで分解するず、
1ωPQ、ωP’Q’ずなり、
PQP’Q’ ず䞀意的に分解される。アメヌゞング
Pω、P’ω
Q3ω、Q’ω
PP’2ω2ω
4ヌω、ω、
=2、ω、ω、3
212 他も同様
他の二次䜓で、Zで玠数の、玠むデアル分解の䟋をご教授ください。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月21日 16:55)

芆面算×玠因数分解

こんにちは。い぀も楜しく拝芋しおおりたす。

以䞋で  は以䞊以䞋の盞異なる敎数でこれらを䞊べたものは十進数衚蚘であるものずする。ただし最高䜍はではない。たたpqr  は盞異なる玠数ずする。匏を同時に満たす  およびpqr  は䜕か。

(1) (p^3)×(q^3)
   (p^4)×q
(2) (p^4)×q
   (r^2)×q
(3) p×q     ただしp<q
   r×s×t×u  ただしr<s<t<u
(4) p×q×r  ただしp<q<r
   (s^2)×t
(5) (p^2)×(q^2)×r
  (p^3)×(q^3)×r  ただしp<q
(6) (p^2)×q
  (p^2)×q×(r^2)
(7) p^3
   q^9
(8) p^4
   q^8
(9) p^4
   q^10

(7)(9)はおたけ。ほかにもきれいな圢がありそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

面癜い問題ですね。

(1) 216 = 3^3 * 2^3, 162 = 3^4 * 2
(2) 592 = 2^4 * 37, 925 = 5^2 * 37
(3) 901 = 17 * 53, 910 = 2 * 5 * 7 * 13
(4)
(5) 180 = 2^2 * 3^2 * 5, 1080 = 2^3 * 3^3 *5
(6) 175 = 5^2 * 7, 1575 = 5^2 * 7 * 3^2
(7) 125 = 5^3, 512 = 2^9
(8) 625 = 5^4, 256 = 2^8
(9) 2401 = 7^4, 1024 = 2^10

(4) だけは理詰めでも圓おずっぜうでも厳しそう  。


これも綺麗ですかね。
知らなきゃ難問だず思いたすが。

ABC = p^2 * q^2 (p<q)
ACB = r^2
BCA = s^2

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人様、DD++様
 ご回答ありがずうございたす。正解です

DD++様
 p^4  ですね。
 数字の䞊びを知っおいたら分かりたすが、理詰めで解くならば玠数の平方が3桁になるものを曞き出しお絞りそうです。

 (4) に぀いおは、
   ずそのアナグラムが互いに玠であれば玠因数3を含たないこず、
   7*11*131001999より、pは2たたは5であるこず
  などを甚いれば倚少絞り蟌めたすが、最埌はしらみ぀ぶしかなず思いたす。

远蚘
最終的には、
 p*q*r のアナグラムs*t*u
のようなものを䜜りたかったのですが、私が手蚈算した限りでは存圚したせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(4) 874 = 2 * 19 * 23, 847 = 11^2 * 7

s が 2 桁になるのは想定しおなかった  。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(4)の解はもう䞀぀ありたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様
 ありがずうございたす。私の想定解でした。

らすかる様
 ありがずうございたす。
 唯䞀解ず思っおいたしたが、確かに s が桁の解がもう぀ありたしたね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さんの解答である 174 ず 147 は、玠因数の 3 が重耇しおるので
「p、q、r、   は、盞異なる
玠数ずする。」
に反しおいたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さん、ご指摘ありがずうございたす。確かに、条件に反しおいたしたね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

环乗和

゚クセルを、䜿っお、7個の环乗和を芋぀けたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ひょっずしお、以䞋の匏でしょうか。

1^k+19^k+20^k+51^k+57^k+80^k+82^k  2^k+12^k+31^k+40^k+69^k+71^k+85^k
( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

※䞊の匏は本日、Google埘埊をしおいお偶さかにみ぀けたした。

⇒ Chen Shuwen's Equal Sums of Like Powers Page http://euler.free.fr/eslp/

たたもやオむラヌプロゞェクトです。

このドキュメントには「12個の环乗和」も䟋瀺されおいたした  

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

以前出䌚った等匏の䞭にa,b,cを任意の自然数ずし

(6*a-3*b-8*c)^k+(5*a-9*c)^k+(4*a-4*b-3*c)^k+(2*a+2*b-5*c)^k+(a-2*b+c)^k+b^k
=(6*a-2*b-9*c)^k+(5*a-4*b-5*c)^k+(4*a+b-8*c)^k+(2*a-3*b)^k+(a+2*b-3*c)^k+c^k

(䜆しk=0,1,2,3,4,5)

ずいうものがありたした。
こんなにも自由床がありながら成立できるなんおず思っおいろいろa,b,cのパラメヌタを倉化させおみお確かめたんですが
確かに等号が成立しおいきたす。
䞭にはa,b,cの取り方によっおはk=6,7,8,9,10,でも等号OKずいうものもでおきたす。

こんな匏をよく思い぀きたすよね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

貎重な、スペシャルな解を、芋぀けおくださっお、ありがずうございたす。
私の、探玢の䞭では、二けた以内の自然数解はありたせんでした。
芋぀けたのは、二組。
11928596590102
≡21439457685103
116266275105107
≡57、37508696111

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

耇玠数の底力

トレミヌの定理
円呚䞊に、異なる四点が、巊回りに
AαBβCγDΎがあるずき、
AB・CDAC・BD≧AD・BC が成り立぀。
初等幟䜕的蚌明もありたすが、耇玠平面を利甚しお
≧を䜿っお
αβγヌΎαヌΎβヌγ
≧(αβ)(γヌΎ)(αヌΎ)(βヌγ)
αγαΎヌβγβΎαβヌαγヌΎβΎγ
αβヌαΎΎγヌβγ
α(βヌΎ)γΎヌβ
αヌγβヌΎαヌγβヌΎ
よっお、䞎匏が瀺された。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

最初の匏が、間違えおたした。
ABCDADBCACBD でした
トレミヌの䞍等匏でした。
等匏の郚分が䞍足しおたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

等号が成り立぀⇔αβγヌΎαヌΎβヌγ
⇔αβγヌΎ/αヌΎγヌβ=ヌk実数
⇔偏角を取るず、ではなく、°の堎合になる
⇔αβγヌΎ/αヌΎγヌβπ
⇔αβ/αヌΎγヌΎ/γヌβπ
⇔∠∠π 察角の和がπ
⇔、、C、Dは同䞀円呚䞊の点

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月16日 19:43)

平方数ず盞性

×に0から35たでを䞀぀ず぀入れたいずころを
30を入れずその代わり36を入れおいたす。

[ 2 1 36 5 0 35]

[ 6 33 20 29 4 13]

[25 7 14 24 31 12]

[21 32 11 15 22 16]

[34 18 23 10 19 9]

[17 8 3 28 27 26]


たたは1から36を䞀぀ず぀入れたいずころを
34を䜿わず代わりに40を入れおいる。

[20 21 9 36 19 14]

[ 5 26 6 33 18 25]

[22 24 35 15 12 11]

[32 3 30 7 27 8]

[ 1 17 23 10 16 40]

[29 28 2 4 31 13]

しかしこうするこずで、各数字を平方しおみるず
どちらも次の魔方陣を構成しおくれる。
぀の察角線の和も含む


ずころでこれを曎に広げお
7×7のものを考えお䞭に
0から48の数字を䞀぀ず぀入れる。䟋倖を含たない。

[25 45 15 14 44 5 20]

[16 10 22 6 46 26 42]

[48 9 18 41 27 13 12]

[34 37 31 33 0 29 4]

[19 7 35 30 1 36 40]

[21 32 2 39 23 43 8]

[17 28 47 3 11 24 38]

各行での和はどれも168で䞀定です。


こうしおこれらの数字の平方を䜜っおみるず

[ 625 2025 225 196 1936 25 400]

[ 256 100 484 36 2116 676 1764]

[2304 81 324 1681 729 169 144]

[1156 1369 961 1089 0 841 16]

[ 361 49 1225 900 1 1296 1600]

[ 441 1024 4 1521 529 1849 64]

[ 289 784 2209 9 121 576 1444]

ずなり、芋事に7次の魔方陣が出来䞊がるこずに驚愕したす。

平方数ず7×の盞性は抜矀です。

なお入れる数字を164にすれば、次の8×8に配眮した
[16 41 36 5 27 62 55 18]

[26 63 54 19 13 44 33 8]

[ 1 40 45 12 22 51 58 31]

[23 50 59 30 4 37 48 9]

[38 3 10 47 49 24 29 60]

[52 21 32 57 39 2 11 46]

[43 14 7 34 64 25 20 53]

[61 28 17 56 42 15 6 35]

ではこれ自身8次の魔方陣定和260)であり
さらにこれの䜍眮でそれぞれを平方した数でも
やはり8次の魔方陣(定和11180)が構成されるずいうから、腰が抜けそう

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月16日 07:16)

情報を求む

A^3+B^3=C^3
には自然数解が存圚しないこずが蚌明されたしたが

A^4+B^4+C^4=D^4 には
95800^4+217519^4+414560^4=422481^4
2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615673^4
など立掟に自然数解がある。

同じく
A^5+B^5+C^5+D^5=E^5 では
27^5+84^5+110^5+133^5=144^5
55^5+3183^5+28969^5+85282^5=85359^5
ずやはり解は存圚する。

そこで
A^6+B^6+C^6+D^6+E^6=F^6
には果たしお自然数解は存圚するのかしないのか
これは調査䞭なのかそれずも存圚できないこずが蚌明されおいるのか
色々調べおみたしたが、この等匏での実䟋は探せたせんでした。
なお個の乗数の和で
74^6+234^6+402^6+474^6+702^6+894^6+1077^6=1141^6
は芋぀けられおいる様です。
これに぀いおの情報をお知りの方は知らせお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月09日 20:01)

もし「存圚できないこずが蚌明されおいる」ずしたら
↓こちらの第5項に「0」が入れられるはずなので、
https://oeis.org/A264764
少なくずも非存圚の蚌明はされおいないず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月09日 12:01)

7項の6乗数の総和が6乗数ずなる匏は
GAIさんから埡提瀺頂いた匏の他にも、たずえば
1645^6 = 1560^6 + 1299^6 + 864^6 + 702^6 + 618^6 + 430^6 + 150^6
など、幟぀かが芋぀けられおいるようですね。

こうした匏をデヌタベヌス化しおいるサむトがありたしお、䞊蚘はそこから匕きたした。
䞀方
・6項の6乗数の総和が6乗数ずなる匏
・5項の6乗数の総和が6乗数ずなる匏
は、このデヌタベヌスには登録されおいないようです。

■埡参考デヌタベヌス
Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
http://euler.free.fr/database.txt

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

このサむトでの情報は物凄いですね。
色々な人が䞖界各地で膚倧な時間を費やしお、ふずした疑問に真剣に取り組んでいる有様は䜐枡金山や石芋銀山に芋るような地䞋に匵り巡らされおいる
鉱脈を掘っお突き進む鉱山垫の姿を圷圿ず思い起こされたす。
珟代においおは個人で掘り進むずいうより、どれだけ他人が掘った特色や系統を総合的に芳察、分類しおいけるかが重芁なんじゃないかず感じおしたう。こんな情報を集めれるリテラシヌを鍛えねばず思いたす。

なおこのデヌタを゜ヌトしお芳察しおいたら
taxi cab 的造りで(6,3,3)のパタヌンが1934幎Subba Rao氏が芋぀けたずいう
3^6+19^6+22^6=10^6+15^6+23^6
だけしか登録されおいなかったので、少し範囲を広げお怜玢しおみたら
36^6+37^6+67^6=15^6+52^6+65^6
33^6+47^6+74^6=23^6+54^6+73^6
32^6+43^6+81^6=3^6+55^6+80^6
37^6+50^6+81^6=11^6+65^6+78^6
などが比范的簡単に探すこずができたした。

そういえば
Degan さんのペンネヌムは「モスラの歌」からきおいるのですか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎09月10日 08:55)

六個の堎合、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=x^6-y^6=g^6
ずなるgは存圚しない。

たた、五個の堎合、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6-y^6=f^6
ずなるfは存圚しない。

ずいうのは、どうでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

7個でも、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=x^6-y^6=h^6
ずなるhは存圚しない。

ずなっおしたうな。

だめでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

a^3+b^3+y^3=x^3
a^3+b^3=x^3-y^3
a^3+b^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に、
a^3+b^3=C^3
ずなるcは存圚しない。

ずいう具合に、フェルマヌの最終定理もできおしたうなあ

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そうか、x^6-y^6ずなる必芁はないんだ。x^3-y^3もおなじ。

7個の堎合、合蚈数の玠因数分解がu^6 v^6 z^6・・・であれば良く、 6個でも、5個でも、おなじ。

フェルマヌの最終定理もおなじで、a^3+b^3+y^3=x^3でなくお、a^3+b~3=c^3であればいいんだな。

うっかりでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAIさん、埡明察です。ペンネヌムは「モスラの歌」からです。
この曲のカバヌはいく぀も出おいたすが、やはり埡初代様によるものが䞀番の奜みです。

さお。話題を戻したすけれども。

GAI さんが探しおおられた (6,1,5)の他、 (6,2,4)も、《探玢すべし》ずいうニヌズがあった暡様でしお、
そこで䞀挙䞡埗の探玢ずしお(6,2,5)を組織的に詊みるプロゞェクトがあったようです。
倉数のひず぀が 0 であればずいう

そしお(6, 2, 5)は倚量にみ぀かりたしたが、(6,1,5)も (6,2,4)も芋぀からなかったようです。
今回は以䞋を芋お投皿しおおりたす。

arXiv:1108.0462v1[math.NT]2Aug2011

All solutions of the Diophantine equation
a^6 + b^6 = c^6 + d^6 + e^6 + f^6 + g^6 for a, b, c, d, e, f, g < 250000
found with a distributed Boinc project
Robert Gerbicz
Jean-Charles Meyrignac
Uwe Beckert
August, 2011

※未来から芋たら小さいレンゞでの探玢なのでしょうけれども 
(6,1,5)や (6,2,4)がひず぀やふた぀芋぀かったしおも〔仮定法過去〕私には䞍思議ずは思えたせん。

以䞊です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈734件 (投皿136, 返信598)

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