😊出会いの泉😊

yahooで、幾何学なら、WolframAlpfa　幾何学　と検索すれば見つかります。

高等学校　数学　です。

> a^n+b^n=c^nとすると、{ただしa<b<cとする}

> a^n-1+b^n-1=c^n-1

左辺で 2 回 -1 したなら、右辺も 2 回 -1 する必要があるのでは。

二項定理より、{http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfより}
　　　n
a^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}----(a)
i=1

　　　n
b^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}----(b)
i=1

　　　n
c^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}----(c)
i=1

a^n+b^n=c^nとすると、{ただしa<b<cとする}

a^n-1+b^n-1+1=c^n-1
(a^n-1)+(b^n-1)+1=(c^n-1)
(a^n-1)+1=(c^n-1)-(b^n-1)
式(a),(b),(c)より、
n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}＋１
i=1

　n
＝Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
　i=1

　n
ーΣ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}
　i=1

　　　　n
a^n-1+1＝Σ nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
　　　　i=1

そこで、(a^n-1)+1=(c^n-1)-(b^n-1)が成り立つには、

１）i=nのとき、a^n-1のnCn項は、
nCn{1^0+2^0+3^0+・・・+(a-1)^0)}+1=nCn{a-1}+1=a----(d)
一方(c^n-1)-(b^n-1)のnCn項は、
nCn{b^0+(b+1^0+(b+2)^0・・・+(c-1)^0}=nCn{(c-1)-(b-1)}=c-b---(e)

式(d),(e)が等号で結ばれるのは、
c-b=a---(i)
のときだけである。

２）i=n-1のとき、a^n-1のnC(n-1)項は、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}=nC(n-1){(a-1)a/2}----(f)
一方(c^n-1)-(b^n-1)のnC(n-1)項は、
nC(n-1){b+(b+1)+(b+2)・・・+(c-1)}=n{(c-1)c/2-(b-1)b/2}---(g)

式(f),(g)が等号で結ばれるのは、
(c-1)c/2-(b-1)b/2=(a-1)a/2
のときだけである。
(c-1)c-(b-1)b=(a-1)a
c^2-c-b^2+b=(a-1)a
c^2-b^2-(c-b)=(a-1)a
(c-b)(c+b-1)=(a-1)a
式(d),(e)が等しいとき式(f),(g)も等しくないといけないから、式(i)より、
c+b-1=a-1　左辺を(c-b)で割って、右辺をaで割って｛なぜなら式(i)より｝
c+b=a=c-b　式(i)より
c+b=c-b
c+b-(c-b)=0
c+b-c+b=0
2b=0
b=0
これは、c>b>aに矛盾する。
したがって、
(d)≠(e)、(f)≠(g)
つまり、
(a^n-1)≠(c^n-1)-(b^n-1)
a^n≠c^n-b^n
a^n+b^n≠c^n

よって、フェルマーの最終定理は初等的に証明された。

(d) と (e) が等しいといえる根拠はなんですか？

(a^n-1)+1=(c^n-1)-(b^n-1)が成り立つためです。
つまり、
　　　　n
a^n-1+1＝Σ nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
　　　　i=1
ということで、右辺はすべて正の数なの和なのです。
また、a^n-1+1は
n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}＋１
i=1
もすべて、正の数の和ですから、
nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}
の右左辺のnCiどおし等しくなければなりません。
式(d),(e)は、nCnの項なので、
a^n-1+1はi=nの
nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}＋１
ですが、この項だけ、＋１が余分にあり、(c^n-1)-(b^n-1)は、i=nの
nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
ですから、お互いに等しくなければなりません。だから式(d),(e)は、等しくなければなりません。

二項定理で、同じべき乗なら、
(a+b)^nの各項は、nCi a^(n-i) b^iで、(a+b)^n=(c+d)^nなら、 a^(n-i) b^i= c^(n-i) d^iということです。
つまり、nCiの係数項はa^(n-i) b^i= c^(n-i) d^iのように等しくならなければならないということです。

＞２）i=n-1のとき、a^n-1のnC(n-1)項は、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}=nC(n-1){(a-1)a/2}----(f)

２）i=n-1のとき、a^n-1のnC(n-1)項は、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}+1=nC(n-1){(a-1)a/2}----(f)
じゃないでしょうか。

> (a+b)^n=(c+d)^nなら、 a^(n-i) b^i= c^(n-i) d^iということです。

a=1, b=-1, c=0, d=0 で考えると、
「(1-1)^n = (0+0)^n なら、1^(n-i) (-1)^i = 0^(n-i) 0^i ということ」って意味になりますけど、あってます？

KY様、おはようございます。

nC(n-1)=n!/(n-(n-1)!(n-1)!)=n!/(n-1)!=n
なので、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}=nC(n-1){(a-1)a/2}=n{(a-1)a/2}----(f)
また、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}+1=nC(n-1){(a-1)a/2}---(f)
＋１は、nCnの項だけに作用しますので、nC(n-1)には、関係しません。
ですから、
nC(n-1){1+2+3+4+5+・・・+(a-1)}=nC(n-1){(a-1)a/2}=n{(a-1)a/2}----(f)
でいいはずです。

DD++様、おはようございます。

そういうふうにすれば、そうなりますね。

投稿制限がかかっているので、ここに書きます。

＞なるほど、つまり、はちべえさんは (-1)^i = 0^n が正しいと出張しているわけですね？

今回の場合、a,b,c,dともに、自然数ですから、そうはならないと思います。

ご指摘の、
＞「(1-1)^n = (0+0)^n なら、1^(n-i) (-1)^i = 0^(n-i) 0^i ということ」
ですから、(1-1)^n=0、(0+0)^n=0で、全体で見れば、等号が成り立ちますが、1^(n-i) (-1)^i = 0^(n-i) 0^iとは、言えないですね。

ちなみに、(1-1)^nは、
(1-1)^n=nC0 1^n (-1)^0+nC1 1^(n-1) (-1)^1+nC2 1^(n-2) (-1)^2+nC3 1^(n-3) (-)1^3+・・・・+nC(n-1) 1^(n-(n-1)) (-1)^(n-1)+nCn 1^(n-n) (-1)^n
において、

nが偶数なら、たとえばn=10なら、
0=10C0-10C1+10C2-10C3+10C4-10C5+10C6-10C7+10C8-10C9+10C10
マイナスの項を左辺に移項すると、
10C1+10C3+10C5+10C7+10C9=10C0+10C2+10C4+10C6+10C8+10C10
よって、
nC1+nC3+nC5・・・+nC(n-1)=nC0+nC2+nC4+・・・・+nCn
左右で項数が違うのに不思議に思うかもしれませんが、こうなのです。

nが奇数なら、たとえばn=11なら、
0=11C0-11C1+11C2-11C3+11C4-11C5+11C6-11C7+11C8-11C9+11C10-11C11
マイナスの項を左辺に移項すると、
11C1+11C3+11C5+11C7+11C9+11C11=11C0+11C2+11C4+11C6+11C8+11C10
よって、
nC1+nC3+nC5・・・+nCn=nC0+nC2+nC4+・・・・+nC(n-1)

パスカルの三角形を思い出してください。
　　　　　　　　　1　-2　1
　　　　　　　　1　-3　3　-1
　　　　　　　1　-4　6　-4　　1
　　　　　　1　-5　10　-10　5　-1
　　　　　1　-6　15　-20　15　-6　1
となります。

なるほど、つまり、はちべえさんは (-1)^i = 0^n が正しいと主張しているわけですね？

更新記事を見て、掲示板にないはずの謎の返信が来ていると思ったら……。

返事は必ず新しいメッセージで書いてください。
過去の投稿に加筆して返事をされても気づきません。


なるほど、自然数限定だからとおっしゃるならこうしましょう。

a = 1, b = 3, c = 2, d = 2 で考えます。
文句なく自然数ですね？

で、(1+3)^n = (2+2)^n は成り立ちます。これも問題ないですね？

ということは、はちべえさんは 1^(n-i) 3^i = 2^(n-i) 2^i である、と、
つまり 3^i = 2^n は正しい式であると主張するわけですね？

はちべえさんがこの式を誤りだと断ずるなら、まったく同じ論理で作った (d) = (e) も誤りということです。

DD++様、おはようございます。

そのとおりですね。

このフェルマーの最終定理の証明は、間違いですね。

伝わったようで、よかったです。

二項定理より、{http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfより}
　　　n
a^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}----(a)
i=1

　　　n
b^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}----(b)
i=1

　　　n
c^n-1=Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}----(c)
i=1

a^n+b^n=c^nとすると、{ただしa<b<cとする}

a^n-1+b^n-1+1=c^n-1
(a^n-1)+(b^n-1)+1=(c^n-1)
(a^n-1)+1=(c^n-1)-(b^n-1)
式(a),(b),(c)より、
n
Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(a-1)^(n-i)}＋１
i=1

　n
＝Σ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
　i=1

　n
ーΣ nCi{1^(n-i)+2^(n-i)+3^(n-i)+・・・+(b-1)^(n-i)}
　i=1

　　　　n
a^n-1+1＝Σ nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}
　　　　i=1

n
Σ nCi{b^(n-i)+(b+1)^(n-i)+(b+2)^(n-i)+・・・+(c-1)^(n-i)}-(a)式-1----(d)
i=1

とすると、(d)式の
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)
の大小関係を調べればよい。
公式、
x^n-y^n=(x-y){x^(n-1)+x^(n-2)y+x^(n-3)y^2+・・・+xy^(n-2)+y^(n-1)}
より、
x,yが自然数なら、{}の中は、正の自然数。したがって、(x-y)が正か負でx^nとy^nの大小関係がわかる。
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)
において、c>b>aより、c-1>a-1より、
(c-1)^(n-i)-(a-1)^(n-i)>0
となる。よって(d)式は>0
ただ、c-bの項数とaの項数が問題となる。
したがって、条件はc-b≧aがつく。

これを満足すれば、フェルマーの最終定理は証明できる。

なお、(a)式+1の部分は、b^0-1-1>0はa,b,cは自然数であり、c>b>a>0とa=1では、b>3であるから問題ない。
たとえば、a=1のとき、1^3+b^3=c^3のときb=2でも3ではない。

a,b,cにおいて、
a^n+b^n=c^n
が成り立つとき、
(a^n+b^n)^2=(c^n)^2
ここで、
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-5-4.pdf（緑色のうんざりはちべえをクリックすれば開きます。）
の補題より、
(a^n+b^n)^2>(a+b)^n
であるから、
(a^n+b^n)^2=(c^n)^2
(a+b)^n<(c^2)^n
a,b,cは自然数より、
(a+b)<c^2
a<c^2-b

おしいなあ。c^2-b>aなら、制限がなくなったのになあ。

＞おしいなあ。c^2-b>aなら、制限がなくなったのになあ。

これはどういう事を意味しているのでしょうか。制限を付けて行ってあり得ない証明をするのが筋なのではないでしょうか。

因みに、ａ＜ｃ，ｂ＜ｃからａ＋ｂ＜２ｃですが、ｃ≧３でａ＋ｂ＜ｃ^2よりａ，ｂに制限を付けられますね。

補題の証明は見事ですね。

KY様、こんにちは。

今私は、24時間で20件の投稿制限で、何か消さないと投稿できないのです。無理やり1つ消しました。

＞因みに、ａ＜ｃ，ｂ＜ｃからａ＋ｂ＜２ｃですが、ｃ≧３でａ＋ｂ＜ｃ^2よりａ，ｂに制限を付けられますね。

なるほど。あとちょっとで・・・・・

制限なしになれば、フェルマーの最終定理の初等的証明になったんですけどね。

残念。

> 補題の証明

a≧2, b≧2 のとこ、論点先取で一発退場では。
入試とかだと一行読んだだけで 0 点にされるやつです。

そうか、c-b<aのとき、(d)式は<0です。
要するに、(d)式が=0でなければ、フェルマーの最終定理の初等的証明はできるんだ。

なんとか、先が見えてきました。

DD++様の指摘の
＞で、(1+3)^n = (2+2)^n は成り立ちます。これも問題ないですね？
ということは、はちべえさんは 1^(n-i) 3^i = 2^(n-i) 2^i である、と、
つまり 3^i = 2^n は正しい式であると主張するわけですね？

これも、実にありがたい指摘で、a^n-1+1=c^n-1-(b^n-1)が、成り立つ条件はないというある意味いいヒントなるかもしれない・・・・・

＞a≧2, b≧2 のとこ、論点先取で一発退場では。

いいえ、論点先取ではありません。まず、本題の証明の方でａ＝１，ｂ＝１の場合を述べていて、次に補題の所でａ＝１，ｂ＝２（ａ＝２，ｂ＝１）の場合を述べていて、残りはａ≧２，ｂ≧２の場合しかないからです。
因みに、具体例は、

「それは論点先取だ」と言えるのは、1つの三段論法の中で「循環論法」が使われている場合である。すなわち、推論過程に証明すべき事柄を前提とする命題を含んでいる場合である。本質的に、命題がそれ自身の証明に使われるような戦術はその基本的形式において説得力がない。例えば、ポールが本当のことを言っていると証明したいとする。

ポールは嘘を言っていないと仮定する。
ポールは何かを話している。
したがって、ポールは本当のことを言っている。
この文章は論理的だが、話者の真実性を納得させることはできない。問題は、ポールの真実性を証明するためにポールが本当のことを言っていると仮定することを聴衆に頼んでいるため、これは実際には「ポールが嘘をついていないなら、ポールは真実を言っている」ということを証明しているに過ぎない。

このような論証は論理的には妥当である。すなわち、結論は実際に前提から導き出されている。ただし、何らかの意味でその結論は前提と同一である。自己循環論法は全て、このような証明すべき命題が論証のある時点で仮定されるという性質を持つ。
引用元：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AB%96%E7%82%B9%E5%85%88%E5%8F%96#%E5%85%B7%E4%BD%93%E4%BE%8B

当てはまっていないと思いますが。

例として 1 つの三段論法を挙げているだけで、複数の場合でも論点先取は論点先取でしょう。

あるいは循環論法と言った方がよかったですか？
今回の場合ならどっちにも該当する（というか両者に明確な区分があるわけでもない）と思っているので。

DD++様、おはようございます。

b≠0とする。a/b・・・

は、どうなるんだろう？

まず、素数 p およびそれと互いに素な自然数 a を決めてください。
p=7　a=5　とします。

　1, 1+p, 1+2p, ……, 1+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
1+2p=15

　2, 2+p, 2+2p, ……, 2+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
2+3p=23

　3, 3+p, 3+2p, ……, 3+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
3+3p=24

　4, 4+p, 4+2p, ……, 4+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
4+4p=32

　5, 5+p, 5+2p, ……, 5+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
5+p=12

　6, 6+p, 6+2p, ……, 6+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
6+p=13

これによって、a*p 以下の自然数を p-1 個選び出しましたね。
では、それらを小さい順に並べて一つの組としてください。
{12,13,15,23,24,32}

小さい順に並んでいる p-1 個の数の組に、以下のような 3 つの手順からなる操作 R をします。

まず、末尾に a*p を付け加え、一時的に p 個組とします。
{12,13,15,23,24,32,35}

先頭の数をしっかり覚えた上で切り落として、p-1 個組に戻します。
{13,15,23,24,32,35}

p-1 個の数それぞれからさっき切り落とした数を引き算します。
{1,3,11,12,20,23}

さて、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の作り方の条件に当てはまっていますね？
すなわち、
・a*p 以下の自然数 p-1 個が小さい順に並んでいる
・p で割った余りは 1 から p-1 まで 1 個ずつ
になっていますね？
{1,3,11,12,20,23}≡{1,3,4,5,6,2}(mod p=7)

(2) ということは、新しくできた組に対して操作 R をもう一度行うことができます。
そしてできた組にまたもう一度、さらにもう一度。
操作 R を p 回繰り返したとき、何かが起こると思いますが、それは何でしょう。
(1)
{1,3,11,12,20,23}

{1,3,11,12,20,23,35}

{3,11,12,20,23,35}

{2,10,11,19,22,34}

(2)
{2,10,11,19,22,34}

{2,10,11,19,22,34,35}

{10,11,19,22,34,35}

{8,9,17,20,32,33}

(3)
{8,9,17,20,32,33}

{8,9,17,20,32,33,35}

{9,17,20,32,33,35}

{1,9,12,24,25,27}

(4)
{1,9,12,24,25,27}

{1,9,12,24,25,27,35}

{9,12,24,25,27,35}

{8,11,23,24,26,34}

(5)
{8,11,23,24,26,34}

{8,11,23,24,26,34,35}

{11,23,24,26,34,35}

{3,15,16,18,26,27}

(6)
{3,15,16,18,26,27}

{3,15,16,18,26,27,35}

{15,16,18,26,27,35}

{12,13,15,23,24,32}

答え
{12,13,15,23,24,32}

そうです。それで合ってます。

DD++様、こんばんは。

今私は、24時間で20件の投稿制限で、何か消さないと投稿できないのです。無理やり1つ消しました。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
まず、素数 p およびそれと互いに素な自然数 a を決めてください。
p=7　a=5　とします。

　1, 1+p, 1+2p, ……, 1+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
1+p=8

　2, 2+p, 2+2p, ……, 2+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
2+2p=16

　3, 3+p, 3+2p, ……, 3+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
3+3p=24

　4, 4+p, 4+2p, ……, 4+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
4+4p=32

　5, 5+p, 5+2p, ……, 5+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
5+3p=26

　6, 6+p, 6+2p, ……, 6+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
6+p=13

これによって、a*p 以下の自然数を p-1 個選び出しましたね。
では、それらを小さい順に並べて一つの組としてください。
{8,13,16,24,26,32}

小さい順に並んでいる p-1 個の数の組に、以下のような 3 つの手順からなる操作 R をします。

まず、末尾に a*p を付け加え、一時的に p 個組とします。
{8,13,16,24,26,32,35}

先頭の数をしっかり覚えた上で切り落として、p-1 個組に戻します。
{13,16,24,26,32,35}

p-1 個の数それぞれからさっき切り落とした数を引き算します。
{5,8,16,18,24,27}

さて、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の作り方の条件に当てはまっていますね？
すなわち、
・a*p 以下の自然数 p-1 個が小さい順に並んでいる
・p で割った余りは 1 から p-1 まで 1 個ずつ
になっていますね？
{5,8,16,18,24,27}≡{5,1,2,4,3,6}(mod p=7)

(2) ということは、新しくできた組に対して操作 R をもう一度行うことができます。
そしてできた組にまたもう一度、さらにもう一度。
操作 R を p 回繰り返したとき、何かが起こると思いますが、それは何でしょう。
(1)
{5,8,16,18,24,27}

{5,8,16,18,24,27,35}

{8,16,18,24,27,35}

{3,11,13,19,22,30}

(2)
{3,11,13,19,22,30}

{3,11,13,19,22,30,35}

{11,13,19,22,30,35}

{8,10,16,19,27,32}

(3)
{8,10,16,19,27,32}

{8,10,16,19,27,32,35}

{10,16,19,27,32,35}

{2,8,11,19,24,27}

(4)
{2,8,11,19,24,27}

{2,8,11,19,24,27,35}

{8,11,19,24,27,35}

{6,9,17,22,25,33}

(5)
{6,9,17,22,25,33}

{6,9,17,22,25,33,35}

{9,17,22,25,33,35}

{3,11,16,19,27,29}

(6)
{3,11,16,19,27,29}

{3,11,16,19,27,29,35}

{11,16,19,27,29,35}

{8,13,16,24,26,32}

答え
{8,13,16,24,26,32}

DD++様、おはようございます。

ニュートンのプリンキピアは、文章ばかりで、数式はなかったそうです。それを現代私達が習う物理学が数式中心ですが、それはオイラーの業績の1つだそうです。

さて、DD++様も文章ばかりでなく、数式をちらばせて、書いてくださるともっとわかりやすくなるんじゃないかな？と思います。

なんとかならないものでしょうか？

この話題、数式は引き算と掛け算と剰余しか出てきません。

掛け算 a*p は書いてます。
剰余 k+np も全部書いてます。
引き算は、文章中に 1 回しか登場しませんが、これもいちいち書いたほうがいいですか？

これら以外、書きたくても計算が存在しません。

こうなりました。どこで、間違えたのでしょう？
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
まず、素数 p およびそれと互いに素な自然数 a を決めてください。
手計算でやるなら p は 3 か 5 か 7 、a は 2 以上で a*p が 100 を超えないくらいがいいと思います。
コンピュータでやる場合は好きな大きさの数でご自由にどうぞ。

1, 1+p, 1+2p, ……, 1+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
つまり「p で割ると 1 余る数を a*p 以下の自然数で 1 つ選んでください」ということです。

1+r1p (mod p)≡1

p > 2 であれば、
2, 2+p, 2+2p, ……, 2+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
さっきのやつの余り 2 バージョンです。

2+r2p (mod p)≡2

p > 3 であれば、
3, 3+p, 3+2p, ……, 3+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
余り 3 バージョンです。

3+r3p (mod p)≡3

以下余りを 1 ずつ増やしながら繰り返して、余り (p-1) バージョンまで実行してください。

(p-1)+r(p-1)p (mod p)≡p-1

これによって、a*p 以下の自然数を p-1 個選び出しましたね。
では、それらを小さい順に並べて一つの組としてください。

{r1,r2,r3,r4,r5,r6,・・・,r(p-1)}

小さい順に並んでいる p-1 個の数の組に、以下のような 3 つの手順からなる操作 R をします。

まず、末尾に a*p を付け加え、一時的に p 個組とします。
{r1,r2,r3,r4,r5,r6,・・・,r(p-1),a*p}

先頭の数をしっかり覚えた上で切り落として、p-1 個組に戻します。
{r2,r3,r4,r5,r6,・・・,r(p-1),a*p}

p-1 個の数それぞれからさっき切り落とした数を引き算します。
{r2-r1,r3-r1,r4-r1,r5-r1,r6-r1,・・・,r(p-1)-r1,a*p-r1}

さて、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の作り方の条件に当てはまっていますね？
すなわち、
・a*p 以下の自然数 p-1 個が小さい順に並んでいる
・p で割った余りは 1 から p-1 まで 1 個ずつ
になっていますね？

----あれ、ちがうなあ。

「それらを小さい順に並べて一つの組としてください」

のところですね。
選んだ数は rk じゃなくて、k+rk*p の方です。
具体的な数でやらないと、ここの「小さい順」を並べるのは難しいと思いますよ。

これによって、a*p 以下の自然数を p-1 個選び出しましたね。
では、それらを小さい順に並べて一つの組としてください。

{1+r1p,2+r2p,3+r3p,4+r4p,5+r5p,6+r6p,・・・,(p-1)+r(p-1)}

小さい順に並んでいる p-1 個の数の組に、以下のような 3 つの手順からなる操作 R をします。

まず、末尾に a*p を付け加え、一時的に p 個組とします。
{1+r1p,2+r2p,3+r3p,4+r4p,5+r5p,6+r6p,・・・,(p-1)+r(p-1),a*p}


先頭の数をしっかり覚えた上で切り落として、p-1 個組に戻します。
{2+r2p,3+r3p,4+r4p,5+r5p,6+r6p,・・・,(p-1)+r(p-1),a*p}

p-1 個の数それぞれからさっき切り落とした数を引き算します。
{2+r2p-(1+r1p),3+r3p-(1+r1p),4+r4P-(1+r1p),5+r5p-(1+r1p),6+r6p-(1+r1p),・・・,(p-1)+r(p-1)p-(1+r1p),a*p-(1+r1p)}

さて、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の作り方の条件に当てはまっていますね？
すなわち、
・a*p 以下の自然数 p-1 個が小さい順に並んでいる
・p で割った余りは 1 から p-1 まで 1 個ずつ
になっていますね？

---はい。これで、指示の手順は、あってますね。

ここから、実際の数で、問題を進めるわけですね？

いえ、選んで並べるところから具体的な数でどうぞ。

はちべえさんは 1+r1*p を最小値としていますが、実際は r1 と r2 の大小によっては
2+r2*p < 1+r1*p
となる場合もあり、必ずしも 1+r1*p が先頭にいるわけじゃないので。

はちべえさんがおっしゃるに
>ニュートンのプリンキピアは、文章ばかりで、数式はなかったそうです。それを現代私達が習う物理学が数式中心ですが、それはオイラーの業績の1つだそうです。

まあこのあたり、多くの高名な学者さんが関わっていますので……

御参考までに。


有賀 暢迪, 科学史入門 18世紀ヨーロッパの力学研究 : 学者たちの交流と論争, 科学史研究, 2014-2015, 53 巻, 272 号, p. 473-, 公開日 2020/12/14, Online ISSN 2435-0524, Print ISSN 2188-7535, https://doi.org/10.34336/jhsj.53.272_473
, https://www.jstage.jst.go.jp/article/jhsj/53/272/53_473/_article/-char/ja

途中まで作業していたらしいはちべえさんがその後どうなったのかわかりませんが、数日経ちましたので結局これが何だったのかというネタバラシを。
まあ、タイトルで最初からほとんど書いていたようなものですが。

実はこれ、フェルマーの小定理を、「個数」を使うことで式変形なしに直接証明できないかと試みたものです。

最初に提示した数の選び方は全部で a^(p-1) 通りあります。
このうち、全ての選択で a の倍数を選んだ { a, 2a, 3a, ……, (p-1)a } という組は唯一操作 R で自分自身になります。
（a と p が互いに素のとき、この選び方が必ず可能）

そして残りの a^(p-1) - 1 個の組は、同じ条件を満たす別の組を順に巡って「2 以上の p の約数」回後に自分自身に帰ってきます。
しかし、p は素数なので、「2 以上の p の約数」は p 以外にありません。
つまり、この操作 R でぐるぐると繋がる関係 p 個 1 グループに a^(p-1) - 1 個のものがもれなくダブりなく分けられます。

よって、a が p と互いに素であれば、a^(p-1) - 1 は p の倍数であることが示され……た、というほどきちんと書いてはいませんが、なるほど確かに成り立ちそうだと言えるくらいのオモチャができました。


……ということなのでした。
みなさんも「何か a^(p-1) 個のものを用意して、そこから 1 つを取り除くと、残りが漏れなく p 個ずつのグループにわけられる」ようなものを思いついたら是非教えてください。
実際にやってみると、簡単に作れそうに見えてめちゃくちゃ難しいです。

DD++様、こんばんは。

昨日、1回目まで、やりました。（２）の問題までかなり先がありそうです。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
まず、素数 p およびそれと互いに素な自然数 a を決めてください。
p=7　a=5　とします。

　1, 1+p, 1+2p, ……, 1+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
1+3p=22

　2, 2+p, 2+2p, ……, 2+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
2+2p=16

　3, 3+p, 3+2p, ……, 3+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
3+2p=17

　4, 4+p, 4+2p, ……, 4+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
4+3p=25

　5, 5+p, 5+2p, ……, 5+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
5+2p=19

　6, 6+p, 6+2p, ……, 6+(a-1)p の中から自由に 1 つ選んでください。
6+2p=20

これによって、a*p 以下の自然数を p-1 個選び出しましたね。
では、それらを小さい順に並べて一つの組としてください。
{16,17,19,20,22,25}

小さい順に並んでいる p-1 個の数の組に、以下のような 3 つの手順からなる操作 R をします。

まず、末尾に a*p を付け加え、一時的に p 個組とします。
{16,17,19,20,22,25,35}

先頭の数をしっかり覚えた上で切り落として、p-1 個組に戻します。
{17,19,20,22,25,35}

p-1 個の数それぞれからさっき切り落とした数を引き算します。
{1,3,4,6,9,19}

さて、では。

(1) 新しくできた p-1 個の数の組ですが、実は最初の組の作り方の条件に当てはまっていますね？
すなわち、
・a*p 以下の自然数 p-1 個が小さい順に並んでいる
・p で割った余りは 1 から p-1 まで 1 個ずつ
になっていますね？
{1,3,4,6,9,19}≡{1,3,4,6,2,5}(mod p=7)

(2) ということは、新しくできた組に対して操作 R をもう一度行うことができます。
そしてできた組にまたもう一度、さらにもう一度。
操作 R を p 回繰り返したとき、何かが起こると思いますが、それは何でしょう。
(1)
{1,3,4,6,9,19,35}

{3,4,6,9,19,35}

{2,3,5,8,18,34}

{2,3,5,8,18,34}≡{2,3,5,1,4,6}(mod p=7)

(2)

{2,3,5,1,4,6}
{1,2,3,4,5,6}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)

(3)
{1,2,3,4,5,6,35}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)

(4)
{1,2,3,4,5,6}

{1,2,3,4,5,6}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)

(5)
{1,2,3,4,5,6}

{1,2,3,4,5,6}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)
(6)
{1,2,3,4,5,6}

{1,2,3,4,5,6}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)
(7)
{1,2,3,4,5,6}

{1,2,3,4,5,6}

{2,3,4,5,6,35}

{1,2,3,4,5,34}}≡{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)

答え
{1,2,3,4,5,6}(mod p=7)
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
まちがってます？

「1 回目の結果」は {2,3,5,8,18,34} ですよ。

あ、(2) の 1 回目、つまり全体の 2 回目の結果のことです。

＞(2) ということは、新しくできた組に対して操作 R をもう一度行うことができます。
そしてできた組にまたもう一度、さらにもう一度。
操作 R を p 回繰り返したとき、何かが起こると思いますが、それは何でしょう。

これをやったつもりでしたが・・・・

間違ってましたか？

＞(3) 最初の組を新たに作り直し、再び操作 R を p 回繰り返してみてください。
あるいは、3 つめ、4 つめの組を作って、それらでも。
ほとんど全ての組で同じ現象が起こることを確認してください。

で、これはどうなるんだろうと止まったのです。

{1,3,4,6,9,19,35} <- 最後に 35 をつけた（操作 R の 1 つめ）

{3,4,6,9,19,35} <- 1 を切り落として（操作 R の 2 つめ）

{2,3,5,8,18,34} <- 全部から 1 を引いたら完成（操作 R の 3 つめ）

{2,3,5,8,18,34}≡{2,3,5,1,4,6}(mod p=7) <- 余りがバラバラか確認しただけ

さて、操作 R の完成品はどれでしょう？
本当に {2,3,5,1,4,6} ですか？

もう 1 回操作 R の定義をきちんと読んでください。

＞小さい順に並んでいる p-1 個の数の組に、以下のような 3 つの手順からなる操作 R をします。
まず、末尾に a*p を付け加え、一時的に p 個組とします。
先頭の数をしっかり覚えた上で切り落として、p-1 個組に戻します。
p-1 個の数それぞれからさっき切り落とした数を引き算します。

でしたね。

とすると、
＞{2,3,5,8,18,34} <- 全部から 1 を引いたら完成（操作 R の 3 つめ）
でしょうか？

はい、それが操作 R の結果です。
ですから、次は {2,3,5,8,18,34} から出発になります。

(1)
{1,3,4,6,9,19,35}

{3,4,6,9,19,35}

{2,3,5,8,18,34}

(2)
{2,3,5,8,18,34}

{3,5,8,18,34,35}

{1,3,6,16,32,33}

(3)
{1,3,6,16,32,33}

{3,6,16,32,33,35}

{2,5,15,31,32,34}

(4)
{2,5,15,31,32,34}

{5,15,31,32,34,35}

{3,13,29,30,32,33}

(5)
{3,13,29,30,32,33}

{13,29,30,32,33,35}

{10,26,27,29,30,32}

(6)
{10,26,27,29,30,32}

{26,27,29,30,32,35}

{16,17,19,20,22,25}
(7)
{16,17,19,20,22,25}

{17,19,20,22,25,35}

{1,3,4,6,9,19}

答え
{1,3,4,6,9,19}
これで、あってますよね？

はい、各回でやっていることはあっています。

ただ、{16,17,19,20,22,25} から {1,3,4,6,9,19} を作ったのが 1 回目ですから、

> (6)
> {10,26,27,29,30,32}
> {26,27,29,30,32,35}
> {16,17,19,20,22,25}

が 7 回目で、ここでストップです。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

google翻訳しました。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
騒動のもう 1 つの理由は、これらの若い先駆者が提案した証明が、確立された数人の数学者に彼らの言葉を食い物にするかもしれないということです。

これは、彼らの証明が三角法を使用しているためです。

では、なぜそれがそんなに大きな問題なのですか？ さて、私たちの三角恒等式と法則の多くはピタゴラスの定理に依存しているため、多くの数学者は、三角法を使用した定理の証明は循環論理であると示唆しています。 別の言い方をすれば、三角法を使用してピタゴラスを証明することは、基本的に A を使用して B を証明することであり、A が既に B に依存している場合に、彼らは主張します。 -定理の三角法による証明、および三角法の証明は不可能であることを明示的に述べています。

しかし、この観点はここ数十年でますます疑問視されてきており、それ以来、ピタゴラスのいくつかの三角法による証明が行われてきました. ジョンソンとジャクソンの証明がピタゴラスの最初の三角法による証明であるというメディアの主張は誇張されていますが、彼らの証明は、これまでに見た中で最も美しく、最も単純な三角法の証明である可能性が十分にあり、明らかに若くて鋭い知性の作品であり、 多くの経験豊富な数学者の仕事を特徴付ける深い研究の年。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
新しい手法なんだけど、要するに、

別の言い方をすれば、三角法を使用してピタゴラスを証明することは、基本的に A を使用して B を証明することであり、A が既に B に依存している場合に、彼らは主張します。 -定理の三角法による証明、および三角法の証明は不可能であることを明示的に述べています。

ということが、問題点でもあるということですね。

はい。

ですので今回はそうした循環論法を避けている、という理解でよろしいことかと。

いえ、よーーーく読むと循環論法の完全な回避は微妙に失敗してます。

In this case we have an isoceles right-angled triangle and, our angles ⍺ = β = π/4 radians. So our hypotenuse is a/sin(π/4) = √2a, which satisfies the Pythagorean Theorem.

その sin(π/4) の値はどこから？
通常は三平方の定理で導出するものでしょうから、循環論法を避けることに成功したと主張するにはこれを別の方法で導出して見せる必要があったでしょう。
まあ、相似な図形の面積比を使うとか回避方法はいくらでもあるので加筆修正は容易でしょうけど。

おおっ。
a=b の特殊なケースでは
AやCの分母が 0 になってしまい
今回の証明が通用しない、
そういう話の流れなのですね！！

そのケースでの短証明に
sin(π/4)
を使うのは確かに反則ですね。

寄せられていたコメントを追いかけたところ
a = b のケースでは、次のように改善する案があげられていました。

By the way, that case is trivial: the triangle is a one-fourth of a square whose side length is $c$. The area of this square is c^2, while the triangle’s area is (ab)/2 = a^2/2. Therefore c^2=4 times a^2/2 = 2a^2 = a^2+b^2, as desired.

google翻訳しました
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
この新しい証拠は何ですか？

わかりましたので、これが私が考える方法です。 この図を見て、この証明を通してずっと参照してください。
図のように、辺 a、b、c (斜辺) を持つ左上の単純な直角三角形から始めましょう。 ここでは、a ≠ b と仮定しましょう — この記事の最後の注で、a = b の自明な特殊なケースを扱います。 長さ b と c の辺の間の角度を ⍺ とし、長さ a と c の辺の間の角度を β とします。 次に、この元の直角三角形から 3 つの幾何学的なステップを作成します。

長さ b の辺に反映して、右上の等価三角形を形成します。
元の三角形の長さ c の辺に垂直な直線を延長します。
反射した三角形の斜辺から連続線を延長します。

ステップ 2 と 3 から延長した線が交わると、図のように、斜辺の長さが C、辺が A と c の新しい大きな直角三角形が形成されます。

この大きな直角三角形内に、図のように一連の小さくて小さい類似の直角三角形を描画し、サイズが減少する類似の三角形の無限のシーケンスを形成します。

この無限の相似三角形のシーケンスを使用して、長さ A と C を導出する方法を調べます。

小さい三角形の辺の長さを導き出す

辺の長さ A の左上から 1 番目の直角三角形を見ると、この三角形の辺の長さは 2a であり、したがって斜辺の長さは 2a/sinβ です。 しかし、元の三角形から、sinβ = b/c であることがわかっているので、この斜辺は長さ (2ac)/b であると結論付けることができます。 これにより、この三角形の 3 番目の辺は 2a²/b になります。

すぐに右側の三角形に移動すると、短辺の 1 つが長さ 2a²/b であることがわかります。したがって、この三角形の斜辺 (辺の長さ C のセグメント) は 2a²/(bsinβ) = (2a²c) /b² です。

このプロセスを続けることができますが、小さな相似三角形のそれぞれが a²/b² の係数で減少することが明らかになります。 これは、長さ A が最初の項 (2ac)/b と公比 a²/b² を持つ等比級数であることを意味します。 同様に、長さ C は c で始まり、最初の項 (2a²c)/b² と公比 a²/b² の等比級数になります。

長さ A と C の計算

これで、等比級数の和の式を使用して、長さ A と C を計算できます。初項 k と公比 r の等比級数の和の式は、k/(1-r) です。 この合計は、r の絶対値が 1 未満の場合に収束します。この場合、r は a²/b² であるため、常に収束することを確認できます (a>b の場合は、それらを交換するだけです)。

それでは、長さ A を計算してみましょう。この場合、k = (2ac)/b および r = a²/b² となるので、
A=2ac/b(1-a^2/b^2)=2abc/b^2-a^2
k = (2a²c)/b² で同様のアプローチを使用し、最初に c を追加する必要があることを思い出してください。
C=c+2a^2c/b^2(1-a^2/b^2)=c(b^2+a^2)/(b^2-a^2)
それでは、長さ A を計算してみましょう。この場合、k = (2ac)/b および r = a²/b² となるので、
k = (2a²c)/b² で同様のアプローチを使用し、最初に c を追加する必要があることを思い出してください。

この美しい証明を締めくくる

A と C の比を取るとどうなるか見てみましょう。
A/C=2ab/(a^2+b^2)
しかし、元の図から、これは sin(2⍺) であることがわかります。

ここで、元の直角三角形を反映して形成された上の二等辺三角形の正弦規則を見てみましょう。 正弦定理は直角三角形に依存しないことに注意してください。 サイン ルールは、どの三角形でも、辺とその反対側の角度のサインとの比率は常に同じであると述べています。

したがって：
sin 2α/2a=sinβ/c
したがって、現在わかっていることを次の式に変換します。
b/(a^2+b^2)=b/c^2
この状況では、a、b、c のいずれもゼロではないことに注意し、分子が同一であることに注意すると、分母が同一であるという結論に至ります。 これでピタゴラスの定理が証明されました。

[注: a = b という特殊なケースでは、三角形に長さ a の 2 つの短い辺と斜辺がある場合、証明は自明です。 この場合、直角二等辺三角形があり、角度 ⍺ = β = π/4 ラジアンです。 したがって、斜辺は a/sin(π/4) = √2a であり、ピタゴラスの定理を満たします。 ミディアムユーザーに感謝
ウォットシット
この特別なケースに対処する必要性を指摘してくれて.]
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
図がここにはありませんが、原文にはあります。

拾いものです。

𝑐𝑜𝑠 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − (𝑥 − 𝑦))
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑦)
= 𝑐𝑜𝑠 𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 + 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦) + 𝑠𝑖𝑛 𝑥(𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑦)
= (𝑐𝑜𝑠² 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛² 𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑦.
cos y が0でなければ、両辺をこれで割る。

以上は、ピタゴラスの定理を陽には使わずに
cos^2x と sin^2x との和を 1 と示すものです。

加法定理は一体どこから湧いて出たのでしょうか。

sin や cos を微分で定義している場合は加法定理もマクローリン展開と二項定理で示すことになるでしょうし、その場合はこれで大丈夫という話なのかな？

と思いましたが、少し考えてみたら
s’(x) = c(x)
c’(x) = -s(x)
s(0) = 0
c(0) = 1
の解を s(x) = sin x, c(x) = cos x とする定義の場合、

{ (sin x)^2 + (cos x)^2 }’ = 0 が一瞬で示せるので、加法定理を使うまでもなかった……。

級数で定義した場合もこの微分の関係式をすぐ作れますし、何を目的とした式変形だったんでしょうねコレ。

失礼しました。
拾った場所を記し漏らしました。

https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf

です。

あ、鋭角限定なんですね。
それなら確かに加法定理に三平方は不要ですね。

でも、鋭角限定でもやっぱり加法定理使うまでもないような気もしますね。

∠B = θ, ∠C = π/2, AB = 1 の三角比の定義に使ういつもの直角三角形 ABC に対し、
辺 DE が点 C を通るように長方形 ABDE を書けば相似な直角三角形が 3 つできて、
BC = cosθ で DC = (cosθ)^2
AC = sinθ で EC = (sinθ)^2
(cosθ)^2 + (sinθ)^2 = DC + EC = AB = 1

で終わる話なような。

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

＞ですので今回はそうした循環論法を避けている、という理解でよろしいことかと。

しかし、sinα、sinβという三角関数の概念を使っていますよね。

＞辺の長さ A の左上から 1 番目の直角三角形を見ると、この三角形の辺の長さは 2a であり、したがって斜辺の長さは 2a/sinβ です。 しかし、元の三角形から、sinβ = b/c であることがわかっているので、この斜辺は長さ (2ac)/b であると結論付けることができます。 これにより、この三角形の 3 番目の辺は 2a²/b になります。

より、明らかですね。sinβ = b/c は、

＞すぐに右側の三角形に移動すると、短辺の 1 つが長さ 2a²/b であることがわかります。したがって、この三角形の斜辺 (辺の長さ C のセグメント) は 2a²/(bsinβ) = (2a²c) /b² です。

でも使われています。b/cをsinβということなしに、論理はくみたてられないと思います。

＞A と C の比を取るとどうなるか見てみましょう。
A/C=2ab/(a^2+b^2)
しかし、元の図から、これは sin(2⍺) であることがわかります。

ここでも、sin(2⍺)という三角関数の概念が使われています。

＞循環論法を避けている

とは言えないのではないでしょうか？
でなければ、文章の前半は、いらなかったはずです。「循環論法なるけど、」という前置きがあるから、この文書があるのではないでしょうか？

三角関数の定義自体を使うだけなら循環論法にはなりませんよ。

お手元の数学の教科書を見てください。
(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1 という重要な式の証明に三平方の定理が関わっていますね。
だから、そのページより後に書いてあることは、三平方の定理の証明に使ってはなりません。
言い方を変えれば、そのページより前に書いてあることは別に使っても何も問題はないんです。
だから「三角関数（の三平方の定理を使う前の部分）できちんと三平方の定理を証明することに成功した」という話題なのですよ。

はちべえさんはどうも数式しか見ていないようですが、言語と合わせて読むようにした方がよろしいかと。

(sinθ)^2 + (cosθ)^2 = 1
これを前提とせずに
正弦定理ってなりたつんだっけ？

くらいを念のために確認はいたしました。
循環論法になっていないことを確認するためです。

あ、そういえば正弦定理使ってましたか。

では、2 つ上のコメントを訂正。
「三角関数（の三平方の定理を使う前の部分と、教科書の掲載順的には後ろだけど三平方を使うものに依存せず証明が構成されているもの）できちんと三平方の定理を証明することに成功した」
ですね。

鋭角の三角比の定義
tan = sin / cos
鋭角の正弦定理
第一余弦定理（高校で習うやつは第二余弦定理で、そっちはダメ）
鋭角の加法定理……くらいですか。

なんか昔ここで似たようなことやったような、と思って調べてみたらありました。

「中線定理」
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun658.html

三平方の定理を使わずに中線定理を示せるか、という話題です。

名前クリックからも飛べるようにしておきます。

管理人さんから疑義があがっていることに
気が付きました。概ね、下記のごとくと存じます。

「正弦定理は(第２)余弦定理から導かれる。この余弦定理からは直接に三平方の定理が導かれる。ジョンソンとジャクソンによる今回の新証明が正弦定理に依拠するのはまずいのではないか？」

私も少々考え込みました。
調べたところ、以下もわかりました。すなわち
三角関数の加法定理のもとでは
正弦定理と第１余弦定理と第２余弦定理とは
同値である。
ですから
加法定理に依拠しつつ
ジョンソンとジャクソンとの新証明を理解すること、これはまずかろう。循環論法の謗りを免れない。

じゃあどうすればいいのか？

正弦定理の各種の証明を調べてくださっているテキストをみつけました。

http://izumi-math.jp/K_Satou/seigen/seigen.htm

上記のなかから適切なものを見いだせればよいと思いました。

ジョンソンとジャクソンは
面積による証明を回避し
辺の長さの相似を利用していますから
その志向とも整合したほうが良いですね。

　さきの文書の「普通の証明（２）」
が解りやすいかと思いました。

あるいは、
「９　幾何学的証明　ﾖｯﾛｰﾊﾟにおける三角法の基礎をつくったﾚｷﾞｵﾓﾝﾀﾇｽ(1436-1376)の証明」
も素敵です。


それにしても、DD++さんによる
No.858
はクールですね。

手元に高校数学の教科書がないので記憶頼りですが、日本の高校教育では正弦定理は同じ円周角をもつ直角三角形を使って証明していたと思います。

そこで使っているのは
・円周角の定理
・タレスの定理
・三角比の定義
・直径と半径の定義
くらいだったはずで、三平方の定理は全く使ってないですね。

余弦定理を使う方法は、私は今回調べて初めて存在を知りました。
海外だとどの方法での証明がメジャーなんだろう。

law of sines で検索して英語ページをいろいろ見てみました。

日本とは違って、=2R がついていない形で紹介されていることがほとんどのようです。
そのため、証明も以下で終わりというのが普通のよう。

A も B も鋭角の場合、頂点 C から辺 AB に下ろした垂線の長さを考えると
b*sinA = a*sinB
両辺を sinA および sinB で割って得られる。
どちらかが鈍角の場合は内角と外角の sin の値は等しいことを考えれば同じことが言える。

問題は三平方の定理を使っているかどうか。
直角や鈍角の場合はそもそも三平方の定理を使って定義するのでダメですが、鋭角の場合に限定すれば使ってないですね。
そして件の証明では、2αもβも鋭角です。
よって、海外で主流っぽい正弦定理の証明方法を前提とした場合、循環論法にはなっていないと言ってよさそうです。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんにちは。

ありがとうございます。

２）α^n=nB+αの導出
(4)式より、
　　(1+1)^n=1^n +nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
　　(2+1)^n=2^n +nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
　　(3+1)^n=3^n +nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
　　(4+1)^n=4^n +nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
　　(5+1)^n=5^n +nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　(r+1)^n=r^n +nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
+)　(a+1)^n=a^n +nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
は、
　　(1+1)^n-1^n= nC1 1^(n-1) +nC2 1^(n-2)+nC3 1^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 1+1
　　(2+1)^n-2^n= nC1 2^(n-1) +nC2 2^(n-2)+nC3 2^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 2+1
　　(3+1)^n-3^n= nC1 3^(n-1) +nC2 3^(n-2)+nC3 3^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 3+1
　　(4+1)^n-4^n= nC1 4^(n-1) +nC2 4^(n-2)+nC3 4^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 4+1
　　(5+1)^n-5^n= nC1 5^(n-1) +nC2 5^(n-2)+nC3 5^(n-3)+・・・・+nC(n-1) 5+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
　　(r+1)^n-r^n= nC1 r^(n-1) +nC2 r^(n-2)+nC3 r^(n-3)+・・・・+nC(n-1) r+1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・
+)　(a+1)^n-a^n= nC1 a^(n-1) +nC2 a^(n-2)+nC3 a^(n-3)+・・・・+nC(n-1) a+1
---------------------------------------------------------------------------------
　　(a+1)^n-1^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a
　　(a+1)^n=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}+a+1
ところで、nが奇素数ならばnCsはnの倍数であるから
(a+1)^n=nB+a+1---(6)
ただし、nB=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}

さて、(6)式で、α=a+1とおくと、
α^n=nB+α----(7)
α^n-α=nB
α{α^(n-1)-1}=nB
より、nBは、n,αの倍数でもある。
したがって、
α{α^(n-1)-1}=nC1{・・①・・}+nC2{・・②・・}+nC3{・・③・・}+・・・・+nC(n-1){・・(n-1)・・}
なお、
①=1^(n-1)+2^(n-1)+3^(n-1)+・・・・・+(a-1)^(n-1)+a^(n-1)
②=1^(n-2)+2^(n-2)+3^(n-2)+・・・・・+(a-1)^(n-2)+a^(n-2)
③=1^(n-3)+2^(n-3)+3^(n-3)+・・・・・+(a-1)^(n-3)+a^(n-3)
④=1^(n-4)+2^(n-4)+3^(n-4)+・・・・・+(a-1)^(n-4)+a^(n-4)
　　　　　　　　　　　　　・
n-2番目=1^2+2^2+3^2+・・・・・+(a-1)^2+a^2
n-1番目=1+2+3+・・・・・+(a-1)+a

３）フェルマーの最終定理

a,b,cが互いに素な自然数であり、nが奇素数であるならば、
a^n+b^n=c^nとすると、(7)式より、
nX+a+nY+b=nZ+c
n(X+Y-Z)=c-a-b
X+Y-Z=c/n-a/n-b/n
ここで、a,b,cが互いに素な自然数であるから、a,b,cは同時にnの倍数でない。
したがって、左辺は自然数なのに、右辺は自然数でない。
しかし、c=kn+j、a=ln+j、b=mnとすると、c/n=k+j/n,a/n=l+j/n,b/n=mで右辺は自然数になるかもしれない。
そこで、a,b,cが互いに素な自然数であり、nは奇素数から、
c (mod n)≠b (mod n)
c (mod n)≠a (mod n)
a (mod n)≠b (mod n)
よりありえない。
ゆえに、フェルマーの最終定理が証明された。

以前とは打って変わってちゃんと論理を書いてくださるようになり、ちゃんと数学的議論をするに値する記述になっていますね。

> nは奇素数から、
> c (mod n)≠b (mod n)
> c (mod n)≠a (mod n)
> a (mod n)≠b (mod n)
> よりありえない。

これは「右辺が自然数になることが」ありえないの意味だと解釈しましたが、ここに 2 つツッコミどころがありますね。

まず 1 つ、4≡11 (mod7) のように、互いに素でも奇素数を法として合同になる場合はあり得ます。
もう 1 つ、そもそも別に a, b, c が合同でなくても 10/7 - 2/7 - 1/7 = 1 のように 3 つの分数の和や差が整数になることはあり得ます。

DD++様、こんにちは。

３）フェルマーの最終定理
は、
２）α^n=nB+αの導出
の応用例として、作ったものですが、詰めが甘かったようですね。

互いに素な自然数a,b,c
というのをやめて、
c (mod n)≠b (mod n)
c (mod n)≠a (mod n)
a (mod n)≠b (mod n)
とするとしたら、良かったかな？

でも、
a=jn+gとしてa (mod n)≡g
b=kn+hとしてb(mod n)≡h
c=ln+iとして c(mod n)≡i
としてもc/n-a/n-b/nで、i-g-h=0はありえますね。

フェルマーの最終定理は「どんな a, b, c でも」その等式が成立しないというものです。
自分で勝手に条件を足した a, b, c で議論を始めてしまったらそれはもう最終定理とは別の話になってしまいます。

＞ところで、nが奇素数ならばnCsはnの倍数であるから
＞α^n=nB+α----(7)

α^n－α＝nB　この右辺がｎで割り切れるので左辺もｎで割り切れる。
∴α^n－α≡０（mod ｎ）ここで、αとｎを互いに素とすると、両辺をαで割れる。
∴α^(n-1)－１≡０（mod ｎ）
∴α^(n-1)≡１（mod ｎ）ただし、ｎは素数でαとｎは互いに素
https://manabitimes.jp/math/680

KY様、こんばんは。

なるほど、フェルマーの小定理ですね。気づきませんでした。

フェルマーの小定理といえば、ソフィー・ジェルマンのフェルマーの最終定理への業績ですよね。違ったかな？

私と壊れた扉さんも同じような手法でフェルマーの最終定理を証明しています。
フェルマーの最終定理の制限（ a + b － c が 素数である）付きの一般の n の場合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-1.pdf

さらにすすめて、
フェルマーの最終定理の制限（ a + b － c が n の倍数でない）付きの一般の n の場合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-2.pdf

とやりました。

＞フェルマーの小定理といえば、ソフィー・ジェルマンのフェルマーの最終定理への業績ですよね。違ったかな？

天才フェルマー
「フェルマーはいくつかの実験的な観察から一般的に成り立つ命題を見つける天才で、大小様々な命題を残しました。例えば、自然数の２乗から１を引きます。すると、
２^2－１＝３＝３×１，(３^2－１＝８），４^2－１＝１５＝３×５，
５^2－１＝２４＝３×８，（６^2－１＝３５），７^2－１＝４８＝３×１６，
８^2－１＝６３＝３×２１，（９^2－１＝８０）
などとなります。元の定数ａが３の倍数ならば、その２乗から１を引けば３の倍数でなくなるのは当たり前ですので、（　）内に入れました。そうでないときには、ａ^2－１は３の倍数になっているようですね。自然数を４乗して１を引くとどうなるでしょう。
２^4－１＝１５＝５×３，３^4－１＝８０＝５×１６，
４^4－１＝２５５＝５×５１，（５^4－１＝６２４），
６^4－１＝１２９５＝５×２５９，７^4－１＝２４００＝５×４８０，
８^4－１＝４０９５＝５×８１９，９^4－１＝６５６０＝５×１３１２
となって、元の数ａが５の倍数でなければ、ａ^4－１は５の倍数になっているようです。フェルマーにとっては、これは次のように一般化するのはたやすい仕事でした：

　ａが素数ｐと互いに素ならば、ａ^(p-1)－１はｐで割り切れる

これが数論における最も基本的な定理、フェルマーの小定理です。記号ではａ^(p-1)≡１（mod ｐ）と書きます。とても美しい定理ですね。」
「数学の花束」中村滋著より

因みに、証明をしたのはライプニッツだそうです。ウィキペディアには３通りの証明法が載っていますが、作り出したのは初めて見ました。是非、ＰＤＦファイルにでもして残して下さい。

KY様、おはようございます。

ありがとうございます。

早速、PDFにしました。

フェルマーの小定理の証明
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf

以前もそうだったのですが、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf　で検索しても辿り着きませんでした。（多分、私のパソコンがおかしいと思うのですが。）

因みに、グーグル検索では、

https://www.google.com/search?q=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&hl=ja&ei=phkyZP7OAdu02roPrfCbsAg&ved=0ahUKEwj-ufa-15v-AhVbmlYBHS34BoYQ4dUDCA8&oq=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&gs_lcp=Cgxnd3Mtd2l6LXNlcnAQDEoECEEYAFAAWABgAGgAcAB4AIABAIgBAJIBAJgBAA&sclient=gws-wiz-serp

ヤフー検索では、

https://search.yahoo.co.jp/search?p=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=32910&aq=-1&oq=&at=&ai=8ca69f0b-b347-4657-b8ca-050b0f50e8b7

という画面です。私には見られませんが、大切に保管して下さい。

KY さんはなぜ URL を検索しようと思ったんだろう……。

URL が何なのかわかってないのかとも思いましたが、その割には Google 検索の結果画面を自分で URL 書いてますし。
うーん？？

で、PDF 読ませていただきました。
きちんと証明できていると思います。
Wikipedia の証明 (2) と同様のものですが、あちらはかなり省略した書き方をしているのに対して、はちべえさんはかなり丁寧に進めていらっしゃいますね。

細かい点ですが、改善点を 1 つ。
2 ページ目後半から 3 ページ目前半にかけて a = 6 での例示をしているあたり、
1^(n-1) + 2^(n-1) + 3^(n-1) + 4^(n-1) + …… + 5^(n-1)
みたいになっていますが、4 の次が 5 なので、この「……」は不要かなと思います。

DD++さん、こんにちは。私は以前「通りすがり」というハンドルネームを使っていたものですが。

＞KY さんはなぜ URL を検索しようと思ったんだろう……。

もしかして、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf　をクリック出来るようになっているのでしょうか。

私のパソコンではクリック出来ないので、コピペして検索したのですが、辿り着きませんでした。

＞Wikipedia の証明 (2) と同様のものですが、あちらはかなり省略した書き方をしているのに対して、はちべえさんはかなり丁寧に進めていらっしゃいますね。

言われて見直してみましたら、確かに理論的には同じですね。

ああ、なるほど、何で詰まってるかわかりました。

そもそも web ブラウザって「URL を指定して web サイトを閲覧するツール」です。
リンクをクリックしたりブックマークで移動したりするのは、 単に URL を指定する手間を省いてくれるだけで、「本来通り自分で直接 URL を指定してもサイトを閲覧できる」んですよ。
手入力が面倒なら最初や最後の文字が欠落したり余計な文字が入ったりしないように注意しながらコピーペーストで大丈夫です。

…… ってことで当たってますか？

メッセージ中の URL を自動でリンクにする機能が無効になっているのは、おそらくスパムとかの対策ですかね。
普通のユーザーが自動でリンクしてほしいと思ったときは、メッセージ欄じゃなく URL 欄にその URL を書けばいいわけですし。
（はちべえさんがなぜそうしなかったのかは、私にはわかりませんが）

KY様、こんにちは。

＞ヤフー検索では、

https://search.yahoo.co.jp/search?p=http%3A%2F%2Fy-daisan.private.coocan.jp%2Fhtml%2Ffelmer-7-2.pdf&fr=top_ga1_sa&ei=UTF-8&ts=32910&aq=-1&oq=&at=&ai=8ca69f0b-b347-4657-b8ca-050b0f50e8b7

となりますが、このhttps://・・・・・と表示されているところに、
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdf
を張り付けるのです。つまり、コピーペーストするのです。

今この画面を見ているときは、
(http://)shochandas.xsrv.jp(/）　(　)で囲まれている部分は表示されません。
と表示されている行です。ここに、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfをコピーペーストします。

その画面から戻ってくるには、「←（左矢印）」をクリックするとこの画面に戻れます。

パソコン素人な者ですみません。

＞手入力が面倒なら最初や最後の文字が欠落したり余計な文字が入ったりしないように注意しながらコピーペーストで大丈夫です。

http://y-daisan.private.coocan.jp/html/felmer-7-2.pdfをそのままコピーペーストしてグーグル検索してもヤフー検索してもこのURLに行けないんです。普通は、いつも一番上に出るのですが、うんざりはちべえさんの例えば、

フェルマーの最終定理の制限（ a + b － c が 素数である）付きの一般の n の場合
http://y-daisan.private.coocan.jp/html/pdf/felmer-8-1.pdf

で（グーグル）検索すると一番上に「奇数の完全数はない」が出ます。これです。http://y-daisan.private.coocan.jp/html/kanzensu.pdf

＞メッセージ中の URL を自動でリンクにする機能が無効になっているのは、おそらくスパムとかの対策ですかね。
普通のユーザーが自動でリンクしてほしいと思ったときは、メッセージ欄じゃなく URL 欄にその URL を書けばいいわけですし。
（はちべえさんがなぜそうしなかったのかは、私にはわかりませんが）

これをして頂ければ辿り着けると思いますが。

URLを記入しました。これでどうでしょう？

緑色の「うんざりはちべえ」をクリックしてください。

そういう機能を使ってなかったもんで。てっきり、自分のホームページを貼るもんだと思っていました。

ただ、気になることがあります。TexでPDFをつくると、フォントが埋め込まれないので、Windowsでは、日本語の文字が変な文字に割り振られることがあります。

アクロバットリーダーをインストールしておけば、問題ないのですが。

もちろん、アクロバットリーダーは、無料です。

うんざりはちべえさん、ありがとうございます。無事、辿り着きました。

DD++さんの指摘の、

＞細かい点ですが、改善点を 1 つ。
2 ページ目後半から 3 ページ目前半にかけて a = 6 での例示をしているあたり、
1^(n-1) + 2^(n-1) + 3^(n-1) + 4^(n-1) + …… + 5^(n-1)
みたいになっていますが、4 の次が 5 なので、この「……」は不要かなと思います。

これは直されたのでしょうか。大丈夫みたいですが。

＞Wikipedia の証明 (2) と同様のものですが、あちらはかなり省略した書き方をしているのに対して、はちべえさんはかなり丁寧に進めていらっしゃいますね。

ａ^p＝[１＋(ａ－１)]^p
　　≡１^p＋[１＋(ａ－２)]^p
　　≡１＋１^p＋[１＋(ａ－３)]^p
　　≡ａ（mod ｐ）

こちらの方こそ・・・を入れた方が良いと思います。

因みに、これを見てうんざりはちべえさんの解法を作れる人はいませんね。

いや、だからなぜ検索欄に打ち込むのか……。
検索欄は「これに関係する情報がある場所を教えてください」です。
「この場所に連れて行ってください」ではありませんし、そんな機能は Google にも Yahoo にもありません。

ようやく意味が分かりました。直接上の鍵印の所にコピペすれば良かったのですね。

お騒がせしました。

分母が7のときと比較して
Pは(3-A)/2が(5-A)/2に変わるので11/4
Qは(3+A)/2が(5+A)/2に変わるので9/4
Rは7C3/7C1が11C3/11C1に変わるので15
Sは7C2/7C0が11C2/11C0に変わるので55
となりますね。

7 や 11 と言わず、一般の奇数でやりましょう。
ということで、私から GAI さんに問題。
GAI さんのお手並み拝見です。


n を自然数とし、掲示板の見やすさのため N=2n+1 とします。

(1) {cot(π/N)}^2 + {cot(2π/N)}^2 + …… + {cot(nπ/N)}^2 を求めてください。
（n = 3 と n = 5 の場合は既に解答が出ていますので、検算をしたければどうぞ）

(2) {csc(π/N)}^2 + {csc(2π/N)}^2 + …… + {csc(nπ/N)}^2 を求めてください。
（csc と cot の間には csc^2 = 1 + cot^2 の関係があります）

(3) 突然ですが、x を 0 < x < π/2 の範囲の実数とするとき、0 < sin(x) < x < tan(x) であることを示してください。
（高校数学の sin(x)/x -> 1 (x->0) を示すときのアレです）

(4) (3) を用いて、1≦k≦n である任意の自然数 k について、(π/N)^2*{cot(kπ/N)}^2 < 1/k^2 < (π/N)^2*{csc(kπ/N)}^2 であることを示してください。

(5) 何か気がついたことがあればどうぞ。

(1) n*(2*n-1)/3

(2) 2*n*(n+1)/3

(3) 半径1,中心角x(0<x<π/2)の扇形OAP (Oは原点,Aはx軸上にとる。)
でAにおける接線とOPとの延長との交点をTとしたとき
　　面積を考えると
　　　　　　△OAP < 扇形OAP < △OAP
よって 1/2*sin(x) < 1/2*x 　< 1/2*tan(x)
これより不等式は成立する。

(4) 今任意の自然数nに対しn/(2*n+1)<1/2 なので
　　k=1,2,3,･･･,n なるkに対し
　　x=k*π/(2*n+1) と置くと0<x<π/2 が成立するので
　　(3)での不等式から
　　1/{tan(x)}^2 < 1/x^2 <1/{sin(x)}2
これに
　 x=k*π/(2*n+1)=k*π/Nを代入して
　　{cot(kπ/N)}^2 < N^2/(k*π)^2 < {csc(kπ/N)}^2
これから
(π/N)^2*{cot(kπ/N)}^2 < 1/k^2 < (π/N)^2*{csc(kπ/N)}^2
　k=1,2,3,･･･,nとおいて和をとれば(1),(2)の結果から
　　π^2/(2*n+1)^2*n*(2*n-1)/3 < ∑[k=1～n]1/k^2 < π^2/(2*n+1)^2*2*n*(n+1)/3
π^2/3*(2*n^2-n)/(4*n^2+4*n+1)< ∑[k=1～n]1/k^2 < π^2/3*(2*n^2+2*n)/(4*n^2+4*n+1)
π^2/3*(2-1/n)/(4+4/n+1/n^2)< ∑[k=1～n]1/k^2 < π^2/3*(2+2/n)/(4+4/n+1/n^2)

n→∞ とすれば　π^2/6 ≦ζ(2) ≦ π^2/6
したがって　 ζ(2)=π^2/6

(5) 何とバーセル問題の結論が出たではないか！
　　うんざりさん
　　納得できない部分は何処ですか？
　n→∞ の時の1/n,1/n^2→0　が受け入れ出来ないんでしょうね～
　　確かにこの値までもっていくにはnは莫大な大きさまでの数が必要なことは分かります。
　　しかしこの値に限りなく近づいていくことは絶対に正しいと私は信じられます。

　具体的には踏み込めない奥深さを持っているけど、その世界のあり様を思考力を使って探れることこそ
人類が持っている物凄い文化だと感じます。

(3) の途中の不等式、最右辺の △OAP は △OAT の誤記ですかね？
何にせよ、お見事でした。

さて、他人を煽り始めるくらい余裕な GAI さんなら (5) まではまだ浅瀬でチャプチャプしてただけだとお気づきのことと思います。
深淵に向かって続きをどうぞ。

(6) N-1 次の係数と N-3 次の係数の比は、{cot(kπ/N)}^2 の総和の -1 倍を意味しました。では、N-1 次の係数と N-5 次の係数の比は何を意味するでしょうか？

(7) {cot(π/N)}^4 + {cot(2π/N)}^4 + …… + {cot(nπ/N)}^4 を求めてください。

(8) {csc(π/N)}^4 + {csc(2π/N)}^4 + …… + {csc(nπ/N)}^4 を求めてください。

(9) 1≦k≦n である自然数 k について、1/k^4 の評価およびそれらの総和の評価をどうぞ。

(10) 同様にして、1/k^6 もどうぞ。

(11) さらに、1/k^8 もどうぞ。

(12) ところで、1/k^3 は？

GAI様、おはようございます。

＞(5) 何とバーセル問題の結論が出たではないか！

なるほど。

DD++さんのどこか勘に障ったようですが、別に他人を煽り始めるくらい余裕でも、浅瀬でチャプチャプしているつもりもありませんが
(7),(8)のみ溺れかけながら考えてみました。

(7)1/45*n*(2*n-1)*(4*n^2+10*n-9)
(8) 8/45*n*(n+1)*(n^2+n+3)

これ以上は壁が高すぎて登る気力が湧きませんので、踵を返すことにします。

いえ、私の問題をダシにはちべえさんを煽り始めたなあ、と思いまして。

(7) と (8) が出たなら (9) はもう (4) と全く同じ方法ですよ。

(12) について、cot^3 や cot^5 のような奇数乗の場合のことを考えようとすると、+cot(kπ/N) を解に持つが -cot(kπ/N) は解に持たないような方程式を作る必要があって難しいんですよね。
等号は欲張りすぎにしても不等号で評価できたりすればなにか面白いことが起きそうなんですが、誰か何かいいアイデアはないものでしょうか。

複素平面上の単位円に内接する正七角形の重心が原点であることから
Σ[k=0～6]cos(2kπ/7)=0
これと cos(2kπ/7)=cos(2(7-k)π/7) と cos(0)=1 から
A=cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2 なので
{sin(π/7)}^2+{sin(2π/7)}^2+{sin(3π/7)}^2
={1-cos(2π/7)}/2+{1-cos(4π/7)}/2+{1-cos(6π/7)}/2
=(3-A)/2=7/4
{cos(π/7)}^2+{cos(2π/7)}^2+{cos(3π/7)}^2
={1+cos(2π/7)}/2+{1+cos(4π/7)}/2+{1+cos(6π/7)}/2
=(3+A)/2=5/4

正7角形だったので、π/7と/7がでてきたのですね。

これも、2倍角、3倍角でやれば、いくつか解があるのでしょうね？

cosはともかく、sinはsin2θ=2sinθcosθでできませんでした。

通りすがり様の、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5のθは、±π/7か±2π/7か±3π/7というのは、正7角形の回転をイメージすれば、良いのでしょうか？

また、(cosθ)^2+(cos2θ)^2+(cos3θ)^2=5/4のθも、±π/7か±2π/7か±3π/7というのは、正7角形の回転をイメージすれば、良いのでしょうか？

http://izumi-math.jp/K_Katou/ori_t/ori_t.htm

こちらの正七角形の図で、

＞Σ[k=0～6]cos(2kπ/7)=0

これはOAのｘ座標の値＋OBのｘ座標の値＋…＋OHのｘ座標の値＝０を意味しています。

＞cos(2kπ/7)=cos(2(7-k)π/7)

これはOBとOHのｘ座標の値，OCとOGのｘ座標の値，ODとOFのｘ座標の値が等しい事を意味しています。
それらとcos(0)=1と考えると、cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2が出ます。

＞{sin(π/7)}^2+{sin(2π/7)}^2+{sin(3π/7)}^2
={1-cos(2π/7)}/2+{1-cos(4π/7)}/2+{1-cos(6π/7)}/2

これは半角の公式を考えれば分かります。以上を整理すると、7/4が出ます。（素晴らしい解法ですね。）

以前もこんなような解説をして出禁になった事があるので、失礼します。

sin の場合。
cot や tan のときと類似の手段をとると、
(√(1-x^2)+ix)^7 = (√(1-x^2)-ix)^7
という 7 次方程式（根号は全部消える！）の解が x = sin(kπ/7) (k=0,±1,±2,±3) ですので、そこから解と係数の関係で。
しかし tan ほどは係数をスパッと求める方法はなさそうで、全部二項展開して地道に整理して 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x = 0 を得るしかないのかな？
そうなると半角の方が早そう。

cos の場合は (x+i√(1-x^2))^7=(x-i√(1-x^2))^7 を整理しても √(1-x^2) が残るのでこの手は直接は使いにくいですね。
まあ、x≠±1 を想定していると言って両辺 √(1-x^2) で割ってしまえば対処可能ではありますが、やっぱり半角の方が早そう。

ド・モアブルの公式を知らない人でもこちらのサイトはいいですね。https://e-littlefield.com/teito-vision/hint/regular-polygon/

念のため、直接は関係ありません。

投稿後に、7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 というどう見ても 7Ck な係数を見て、
先ほどのはとんでもない遠回りをしていたことに気づいてしまった……。


kπ/7 は 7 倍すると π の整数倍になるので、
cot(kπ/7) + i = { cos(kπ/7) + i sin(kπ/7) } / sin(kπ/7) は 7 乗すると実数です。

よって、6 次方程式 (x+i)^7 - (x-i)^7 = 0の解は x = ±cot(π/7), ±cot(2π/7), ±cot(3π/7) であるはずです。

この方程式の左辺を全部展開したとき、
x^6 の係数は 2*7C1*i^1
x^4 の係数は 2*7C3*i^3
その比 7C3/7C1*i^2 = -35/7 = -5 は、6 つの解の異なる 2 つずつの積の総和ですが、
符号違いが打ち消し合うことを考えれば、それは - {cot(π/7)}^2 - {cot(2π/7)}2 - {cot(3π/7)}^2 に他なりません。

よって、{cot(π/7)}^2 + {cot(2π/7)}2 + {cot(3π/7)}^2 = 5

ところで、2倍角、3倍角の公式は
　　　　　2tanθ
tan2θ=-----------
　　　　1-(tanθ)^2

　　　　1-(cotθ)^2
cot2θ=-----------
　　　　　2cotθ

これは、なんとなく逆数というイメージなのでわかったような気になるんですが、（でも数学的におかしいという印象ですよね？）
　　　　
　　　　3tanθ-(tanθ)^3
tan3θ=-----------------
　　　　1-3(tanθ)^2

　　　　(cotθ)^3-3cotθ
cot3θ=------------------
　　　　　3(cotθ)^2-1

と全く同じ構造なんですよ。不思議ですね。（でも数学的におかしいという印象ですよね？）

数学をちゃんとやる人は、そもそも数学的におかしいかどうかを印象で言ったりは絶対にしません。

写し間違えてますね。

　　　　(cotθ)^2-1
cot2θ=-----------
　　　　　2cotθ

です。もしかしたら偶数と奇数で逆になるのかもしれませんね。（研究して下さい。）

DD++様、おはようございます。

(%i1) float((cot(%pi/7))^2+(cot(2*%pi/7))^2+(cot(3*%pi/7))^2);
(%o1) 5.000000000000001
ならは、tanとcotの先の印象から、
(%i2) float((tan(%pi/7))^2+(tan(2*%pi/7))^2+(tan(3*%pi/7))^2);
(%o2) 20.99999999999999
より、21になりそうな印象ですが・・・・

通りすがり様、おはようございます。

写し間違えていました。ご指摘、ありがとうございます。

tan の方は、7 次方程式 (1+xi)^7 - (1-xi)^7 = 0 の解が x = 0, ±tan(π/7), ±tan(2π/7), ±tan(3π/7) であることから、7C2/7C0 由来で 21 が得られますね。

ちょっと、問題から外れますが、１）、２）を上げます。

１）
　　　　(cotθ)^2-1
cot2θ=-----------------
　　　　　2cotθ

　　　　(cotθ)^3-3cotθ
cot3θ=-----------------------
　　　　　3(cotθ)^2-1

を使って、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5　をやってみる。
cotθ=xとおくと、
　　　　x^2-1　　　　　x^3-3x
x^2＋(------------)^2＋(-----------------)^2=5　　
　　　　　2x　　　　　　3x^2-1

49x^8-72x^6+62x^4-8x^2+1
----------------------------------------=5
　　　4x^2(3x^2-1)^2
　　　
49x^8-72x^6+62x^4-8x^2+1=20x^2(3x^2-1)^2
(7x^2-1)(7x^6-35x^4+21x^2-1)=0
より、7x^2-1=0と7x^6-35x^4+21x^2-1=0が、成り立てば、
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5　は、ただしい。
7x^2-1=0ではx=±1/√7　実数解がある。
7x^6-35x^4+21x^2-1=0では、実数解はないが複素数解はある。
ゆえに、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5　は、実数解があるのでただしい。

２）
　　　　　2tanθ
tan2θ=----------------
　　　　1-(tanθ)^2

　　　　3tanθ-(tanθ)^3
tan3θ=------------------------
　　　　1-3(tanθ)^2
を使って、(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21　をやってみる。
tanθ=xとおくと、

　　　　2x　　　　　　3x-x^3
x^2＋(------------)^2＋(---------------)^2=21　　
　　　　1-x^2　　　　　1-3x^2

2x^2(5x^8-16x^6+40x^4-28x^2+7)
------------------------------------------------=21
　　(x-1)^2(x+1)^2(3x^2-1)^2
2x^2(5x^8-16x^6+40x^4-28x^2+7)=21(x-1)^2(x+1)^2(3x^2-1)^2
(2x^2-1)(5x^2-3)(x^6-21x^4+35x^2-7)=0
より、2x^2-1=0、5x^2-3=0とx^6-21x^4+35x^2-7=0が、成り立てば、
(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21　は、ただしい。
2x^2-1=0ではx=±1/√2　実数解がある。
5x^2-3=0ではx=±√3/√5　実数解がある。
x^6-21x^4+35x^2-7=0では、実数解はないが複素数解はある。
ゆえに、(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21は、実数解があるのでただしい。

＞7x^6-35x^4+21x^2-1=0では、実数解はないが複素数解はある。

実数解が６個ありますね。ｘ＝±0.2282432,±0.7974733,±2.0765214
最後のでθ＝π/7が合うと思います。

通りすがり様、こんばんは。

大変、ありがとうございます！

やっと、ケリがつきました。

(%i12) fpprec:50; 50桁指定
(%o12) 50
(%i13) x:bfloat(cot(%pi/7));
(%o13) 2.076521396572336567163538861485840330705720206626b0
(%i14) 7*x^6-35*x^4+21*x^2-1;に代入
(%o14) - 6.8422776578360208541197733559077936097669040130689b-49
答え

ほぼ０です。

近似解を求めると、
(%i1) allroots( 7*x^6-35*x^4+21*x^2-1);
(%o1) [x = 0.2282434743901499, x = - 0.2282434743901499,
x = 0.7974733888824038, x = - 0.797473388882404, x = - 2.076521396572337,
x = 2.076521396572336]

と通りすがり様の結果になります。

また、tan（π/7）は、
float(tan(%pi/7));
(%o3) 0.4815746188075286
で、
近似解を求めると、
(%i2) allroots(x^6-21*x^4+35*x^2-7);
(%o2) [x = - 0.4815746188075286, x = 0.4815746188075286,
x = - 1.253960337662704, x = 1.253960337662703, x = 4.381286267534823,
x = - 4.381286267534823]

となり、tan（π/7）がありました。

No.794 の記事だけ全然違う問題に向かっているのは意図的にやっているものなんでしょうか？

そして意図的なのだとしたら、向かっている問題を述べてから始めてください。
なんか4回ほど「ただしい」と言っていますが、「何がただしい」のか誰にもわかりません。

DD＋＋様、こんばんは。

もともと、(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5を証明せよ。だったので、そっちに主眼を置きました。θ＝π／７が見えなかったからです。

(tanθ)^2+(tan2θ)^2+(tan3θ)^2=21もそうです。

でも、通りすがり様の研究結果から、θ＝π／７が見えてきたのです。

そこで、流れがこういう風になったのです。すみません。

そうですよね。θが π/7 に限らない話をしていますよね。
だとしたら、「ただしい」とは何のことを言っているのですか？
θが定まっていないならば、θの値によって等式は成り立ったり成り立たなかったりするはずですが。

DD++様、おはようございます。

＞だとしたら、「ただしい」とは何のことを言っているのですか？

(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2=5
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０
が成り立つかということです。
式を展開整理したら、
(7x^2-1)(7x^6-35x^4+21x^2-1)=0
となったので、7x^2-1=0か、あるいは7x^6-35x^4+21x^2-1=0となり、これより、
(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０
は、θによっては、成り立つので、正しいと言っているのです。もちろん、不等式にはならなかったですしね。

＞θが定まっていないならば、θの値によって等式は成り立ったり成り立たなかったりするはずですが。

そうです。これは、8つの解があるので、θは、8通りあります。

調べていませんが、ｘ＝±0.2282432,±0.7974733,±2.0765214の残り２つで２π/７と３π/７に対応しているのではないでしょうか。（調べて頂けると納得出来ます。）

通りすがり様、おはようございます。
maximaで、
%i1) solve(x^3+1=0,x);　　　　　　　　　　　　　　　　　　｛解を求めよ｝
　　　　　　　　sqrt(3) %i - 1　　 sqrt(3) %i + 1　　　　　　　{%iは虚数｝
(%o1) [x = - -----------------, x =--------------------, x = - 1]
　　　　　　　　　　2　　　　　　　　2
(%i2) allroots(x^3+1=0);
(%o2) [x = 0.8660254037844386 %i + 0.5, x = 0.5 - 0.8660254037844386 %i,
x = - 1.0]
となりますので、通りすがり様は、実数解を求めていたのですね。近似解とはすみませんでした。

さて、ご推察のとおり、
(%i5) float(cot(%pi/7));
(%o5) 2.076521396572337
(%i6) float(cot(2*%pi/7));
(%o6) 0.797473388882404
(%i7) float(cot(3*%pi/7));
(%o7) 0.22824347439015

π/7、２π/7、３π/7でした。さすがです。

だとしたら、
「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０ は特殊なθのときに成り立つ場合がある」が「ただしい」ときちんと述べてください。

我々は超能力者じゃないので、はちべえさんの頭の中にしか存在しない文は読めません。

＞「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2ー5＝０ は特殊なθのときに成り立つ場合がある」が「ただしい」ときちんと述べてください。

これが、不等式になれば、成り立つ場合がありませんので、方程式として「正しくありません」。

成り立つ場合があるのであれば、方程式として「ただしい」と言ったら納得していただけますか？

方程式として正しいとは、通常、その式が方程式の定義に該当するという意味です。
すなわち、式（定義された計算記号が正しく使われている数字と記号列）が等号の両辺に書いてあり、そこに未知数が含まれているものである、ということです。
だから「(cotθ)^2+(cot2θ)^2+(cot3θ)^2-5=0」と書かれただけで、「方程式の定義に該当しているのだから、方程式として正しい」とみんな認めますよ。

念のため言っておくと、方程式の定義に、実際に成り立つ場合があるかどうかは言及されていません。
解がない方程式は、ただ解がないという特徴があるというだけの正しい方程式です。

だから、はちべえさんが「ただしい」と言っている内容は、おそらく「方程式として正しい」じゃなく「特殊なθのときに成り立つ場合がある」と書かれるべきものじゃないかと思うのですが。

DD＋＋様、こんにちは。

ありがとうございました。ご指摘はわかりました。