😊出会いの泉😊

話題が一部かぶりそうなのでご紹介します。

正八面体ダイスが 2 個あります。
片方を A 、もう片方を B とします。
A の出目を {a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7]}
B の出目を {b[0],b[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6],b[7]}
とします。
但し
a[0]≦a[1]≦a[2]≦a[3]≦a[4]≦a[5]≦a[6]≦a[7]
b[0]≦b[1]≦b[2]≦b[3]≦b[4]≦b[5]≦b[6]≦b[7]
と約束しておきます。

【例題】
この A,B ふたつのダイスをともに振るときに
出る目の分布が 0 から 63 まで全ての非負整数となり おのおの等確率で出現するという。

0 ≦ n ≦ 7
なる非負整数 n について
b[n] = 8*a[n]
が成立するとき
a[n] を求めよ。

【例題解答】
a[n] = n
※８進数を考えればよい。


【問題】
この A,B ふたつのダイスをともに振るときに
出る目の分布が 0 から 63 まで全ての非負整数となり おのおの等確率で出現するという。

0 ≦ n ≦ 7
なる非負整数 n について
b[n] = 2*a[n]
が成立するとき
a[n] を求めよ。


《例題では８倍、この問題では２倍になっています。》

=======
この問題の元ネタの PDF には
ジッヒャーマンのダイスや母関数による分析の方法が紹介されていて面白かったです。
後日にこの PDF をご案内いたします。

2つのダイスの母関数を
f(x)=x^a[0]+x^a[1]+…+x^a[7]
g(x)=x^b[0]+x^b[1]+…+x^b[7]
とすると、
g(x)=x^(2*a[0])+x^(2*a[1])+…+x^(2*a[7])
=(x^2)^a[0]+(x^2)^a[1]+…+(x^2)^a[7]
=f(x^2)
f(x)g(x)=f(x)f(x^2)=1+x+x^2+…+x^63
で、1+x+x^2+…+x^63を因数分解すると
(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^16+1)(x^32+1)
なので、
f(x)=(x+1)(x^4+1)(x^16+1)=x^21+x^20+x^17+x^16+x^5+x^4+x+1
g(x)=(x^2+1)(x^8+1)(x^32+1)=x^42+x^40+x^34+x^32+x^10+x^8+x^2+1
より、
a[0]=0,a[1]=1,a[2]=4,a[3]=5,a[4]=16,a[5]=17,a[6]=20,a[7]=21


同じようなアイデアで構成された10面ダイスのペアが3Dプリントで作られていました。

10面体ダイスが2個あります。
片方をA、もう片方をBとします。
Aの出目を{a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8],a[9]}
Bの出目を{b[0],b[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6],b[7],b[8],b[9]}
とします。
但し
a[0]≦a[1]≦a[2]≦a[3]≦a[4]≦a[5]≦a[6]≦a[7]≦a[8]≦a[9]
b[0]≦b[1]≦b[2]≦b[3]≦b[4]≦b[5]≦b[6]≦b[7]≦b[8]≦b[9]
と約束しておきます。

このA,Bふたつのダイスをともに振るときに
出る目の分布が0から99まで全ての非負整数となり おのおの等確率で出現するという。

0 ≦n≦9
なる非負整数nについて
a[n],b[n]を求めよ。

後日にこの10面ダイスペアへのリンクをご案内いたします。

kuiperbelt さん、八面体ダイスのペアの問題は、正解です。

ご出題いただいた十面体ダイス２個の問題には暗算でもわかる自明な解が一組ありますね。
ほかの組を求めよということとなりますでしょうか。

自明な解を除くというのを忘れていました。
自明でない解でお願いします。

10面ダイスのペアの問題ですが……

OEIS A273013 によれば自明な解を含めて 7 通りもあるのですね ………
OEIS へはこの投稿の Dengan の名前をクリックで行けます。


【追伸】
雑誌「数学セミナー」2018年9月号の「エレガントな解答求む」で、7通りが載っていることを確認しました。

A=[0,1,4,5,8,9,12,13,16,17]
B=[0,2,20,22,40,42,60,62,80,82]


A=[0,1,2,3,4,25,26,27,28,29]
B=[0,5,10,15,20,50,55,60,65,70]


A=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45]
B=[0,1,2,3,4,50,51,52,53,54]


A=[0,1,20,21,40,41,60,61,80,81]
B=[0,2,4,6,8,10,12,14,16,18]

の4組は何とか発見できたが、残り2組は何が考えられるんだろうか？

A=[0,5,20,25,40,45,60,65,80,85]
B=[0,1,2,3,4,10,11,12,13,14]

A=[0,1,10,11,20,21,30,31,40,41]
B=[0,2,4,6,8,50,52,54,56,58]

の２つのようです。

10面ダイスのペアは自明なものを除くと

A=[0,1,4,5,8,9,12,13,16,17]
B=[0,2,20,22,40,42,60,62,80,82]

A=[0,1,2,3,4,25,26,27,28,29]
B=[0,5,10,15,20,50,55,60,65,70]

A=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45]
B=[0,1,2,3,4,50,51,52,53,54]

A=[0,1,20,21,40,41,60,61,80,81]
B=[0,2,4,6,8,10,12,14,16,18]

A=[0,5,20,25,40,45,60,65,80,85]
B=[0,1,2,3,4,10,11,12,13,14]

A=[0,1,10,11,20,21,30,31,40,41]
B=[0,2,4,6,8,50,52,54,56,58]

の6組です。

2つの10面ダイスの母関数の積は1+x+x^2+…+x^99で、

1+x+x^2+…+x^99
=(x+1)(x^2+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^6+x^4-x^2+1)
*(x^20-x^15+x^10-x^5+1)(x^20+x^15+x^10+x^5+1)(x^40-x^30+x^20-x^10+1)

と因数分解されるので、

a=x+1
b=x^2+1
c=x^4-x^3+x^2-x+1
d=x^4+x^3+x^2+x+1
e=x^8-x^6+x^4-x^2+1
f=x^20-x^15+x^10-x^5+1
g=x^20+x^15+x^10+x^5+1
h=x^40-x^30+x^20-x^10+1

とすると、x=1を代入すると、a,b,c,d,e,f,g,hが2,2,1,5,1,1,5,1となるので、
2つの10面ダイスの母関数は、それぞれがa*d、b*gを因数にもつ場合と、a*g、b*d
を因数にもつ場合があり、それぞれについてc,e,f,hを分配して係数が負になる
場合を除外すると、自明なものを含めて7通りの組み合わせが得られます。

下記のサイトに、
A=[0,1,20,21,40,41,60,61,80,81]
B=[0,2,4,6,8,10,12,14,16,18]
の組み合わせとなる10面ダイスペアを3Dプリントで作ったものが載っていました。
https://www.shapeways.com/product/B7VEDU96X/alternative-percentile-dice-set?optionId=59862239&li=marketplace

OEIS A273013を見ると、自明なものを含めると、8面ダイスの場合は10通り、
12面体と20面体では42通りもあるのですね…

お約束していた参考文献をば。

■Extending Sicherman Dice to 100-cell Calculation Tables
Yutaka Nishiyama, Nozomi Miyanaga
https://doi.org/10.48550/arXiv.1602.03736

※上記PDFのfig13が
b[n]=2*a[n] な問題の元ネタです。


■数学セミナー:エレガントな解答求む
https://yutaka-nishiyama.sakura.ne.jp/susemi/susemi1809.pdf

今ぼんやりと
https://oeis.org/A273013/b273013.txt
を眺めていましたら次のような予想が。

p, q を素数とする。(p < q)
A273013[p^2] = 3
A273013[p*q] = 7

コレが正しければ10面ダイスのペアのあり方が 7 通りというのは所期すべきということに？
あるいは 7 通りの見つけ方には隠れたルートがある？

n=p^rのとき、母関数は、
1+x+x^2+…+x^(p^(2r)-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…x^(p^2-p))…(1+x^(p^(2r-1))+…+x^(p^(2r)-p^(2r-1)))
と2r個の因数に分解されるので、r個ずつ取り出して2個のダイスの母関数をつくる方法は、
2項係数C(p,q)=p!/q!/(p-q)!を用いると、C(2r,r)/2通りで、

n=p^2のときC(4,2)/2=3
n=p^3のときC(6,3)/2=10
n=p^4のときC(8,4)/2=35
n=p^5のときC(10,5)/2=126
n=p^6のときC(12,6)/2=462
などとなります。

他にも、p,q,rを異なる素数としたとき

a(p^2*q)=42
a(p^3*q)=230
a(p*q*r)=115

という予想もあります。

> A273013[p^2] = 3
> A273013[p*q] = 7

> コレが正しければ10面ダイスのペアのあり方が 7 通りというのは所期すべきということに？
> あるいは 7 通りの見つけ方には隠れたルートがある？

ｎの因数分解型に影響されるなら
A074206でのKalmár's [Kalmar's] problem: number of ordered factorizations of n
でのプログラムを利用すればより簡単にその数字は手に入りそうです。
n=10=2*5(=p*q型)
なら3が返されるから、これを7へ変更してやればいいような････

n=p*qのとき、母関数は、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^((p*q)-1))*(1+x^(p*q)+…+x^((p*q)^2-p*q))・・・(イ)
=(1+x+…+x^(p^2-1))*(1+x^(p^2)+…+x^((p*q)^2-p^2))・・・(ロ)
=(1+x+…+x^(q^2-1))*(1+x^(q^2)+…+x^((p*q)^2-q^2))・・・(ハ)

と表され、(イ)の場合からは、

1+x+…+x^((p*q)-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p*q-p))
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(p*q-q))

1+x^(p*q)+…+x^((p*q)^2-p*q)
=(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(p-1)))*(1+x^(p^2*q)…+x^(p^2*q^2-p^2*q))
=(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(q-1)))*(1+x^(p*q^2)…+x^(p^2*q^2-p*q^2))

なので、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p*q-p))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(p-1)))*(1+x^(p^2*q)…+x^(p^2*q^2-p^2*q))
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p*q-p))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(q-1)))*(1+x^(p*q^2)…+x^(p^2*q^2-p*q^2))
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(p*q-q))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(p-1)))*(1+x^(p^2*q)…+x^(p^2*q^2-p^2*q))
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(p*q-q))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(q-1)))*(1+x^(p*q^2)…+x^(p^2*q^2-p*q^2))

より、第1項と第2項、第3項と第4項の積が自明な場合のダイスペアの母関数で、第1項と第3項、第2項と第4項の積から別の組み合わせのダイスペアの母関数が4組得られます。

(ロ)の場合は、

1+x+…+x^(p^2-1)=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p^2-p))

1+x^(p^2)+…+x^((p*q)^2-p^2)
=(1+x^(p^2)+…+x^(p^2*(q-1)))*(1+x^(p^2*q)+…+x^(p^2*q*(q-1)))

より、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p^2-p))
*(1+x^(p^2)+…+x^(p^2*(q-1)))*(1+x^(p^2*q)+…+x^(p^2*q*(q-1)))

なので、第1項と第3項、第2項と第4項の積から6組目のダイスペアの母関数が得られますが、第1項と第4項、第2項と第3項の積は、

1+x^p+…+x^(p^2*q-p)
=(1+x^p+…+x^(p^2-p))*(1+x^(p^2)+…+x^(p^2*q-p^2))
=(1+x^p+…+x^(p*q-p))*(1+x^(p*q)+…+x^(p^2*q-p*q))

なので、(イ)の場合と重複します。

(ハ)の場合は、

1+x+…+x^(q^2-1)=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(q^2-q))

1+x^(q^2)+…+x^((p*q)^2-q^2)
=(1+x^(q^2)+…+x^(q^2*(p-1)))*(1+x^(q^2*p)+…+x^(q^2*p*(p-1)))

より、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(q^2-q))
*(1+x^(q^2)+…+x^(q^2*(p-1)))*(1+x^(q^2*p)+…+x^(q^2*p*(p-1)))

なので、第1項と第3項、第2項と第4項の積から7組目のダイスペアの母関数が得られますが、第1項と第4項、第2項と第3項の積は、

1+x^q+…+x^(p*q^2-q)
=(1+x^q+…+x^(q^2-q))*(1+x^(q^2)+…+x^(p*q^2-q^2))
=(1+x^q+…+x^(p*q-q))*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q^2-p*q))

なので、(イ)の場合と重複します。

以上により、n=p*qのときのダイスペアは7組となります。

GAI さん、
kuiperbelt さん。
ありがとうございました。

N=2^2*3=12のときの積の分割は
12,2*6,6*2,3*4,4*3,2*2*3,2*3*2,3*2*2
の8通りありましたが、A273013を参照すると、正12面体の2つのダイスへの割り当て方に、

(12)*(12),
(2*6)*(12),(6*2)*(12),(3*4)*(12),(4*3)*(12),
(2*6)*(2*6),(2*6)*(6*2),(2*6)*(3*4),(2*6)*(4*3),
(6*2)*(2*6),(6*2)*(6*2),(6*2)*(3*4),(6*2)*(4*3),
(3*4)*(2*6),(3*4)*(6*2),(3*4)*(3*4),(3*4)*(4*3),
(4*3)*(2*6),(4*3)*(6*2),(4*3)*(3*4),(4*3)*(4*3),
(2*2*3)*(2*6),(2*2*3)*(6*2),(2*2*3)*(3*4),(2*2*3)*(4*3),
(2*3*2)*(2*6),(2*3*2)*(6*2),(2*3*2)*(3*4),(2*3*2)*(4*3),
(3*2*2)*(2*6),(3*2*2)*(6*2),(3*2*2)*(3*4),(3*2*2)*(4*3),
(2*2*3)*(2*2*3),(2*2*3)*(2*3*2),(2*2*3)*(3*2*2),
(2*3*2)*(2*2*3),(2*3*2)*(2*3*2),(2*3*2)*(3*2*2),
(3*2*2)*(2*2*3),(3*2*2)*(2*3*2),(3*2*2)*(3*2*2)

の1^2+1*4+4^2+4*3+3^2=42通りあって、正12面体のダイスペアの母関数は、

(1+x+…+x^11)と(1+x^12+…+x^132)

(1+x)(1+x^24…+x^120)と(1+x^2+…+x^22)
(1+x+…+x^5)(1+x^72)と(1+x^6+…+x^66)
(1+x+x^2)(1+x^36+^72+x^108)と(1+x^3+…+x^33)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^48+x^72)と(1+x^4+…+x^44)

(1+x)(1+x^4+…+x^20)と(1+x^2)(1+x^24+…+x^120)
(1+x)(1+x^12+…+x^60)と(1+x^2+…+x^10)(1+x^72)
(1+x)(1+x^6+…+x^30)と(1+x^2+x^4)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x)(1+x^8+…+x^40)と(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^48+x^96)
(1+x+…+x^5)(1+x^12)と(1+x^6)(1+x^24+…+x^120)
(1+x+…+x^5)(1+x^36)と(1+x^6+…+x^30)(1+x^72)
(1+x+…+x^5)(1+x^18)と(1+x^6+x^12)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x+…+x^5)(1+x^24)と(1+x^6+x^12+x^18)(1+x^48+x^96)
(1+x+x^2)(1+x^6+^12+x^18)と(1+x^3)(1+x^24+…+x^120)
(1+x+x^2)(1+x^18+^36+x^54)と(1+x^3+…+x^15)(1+x^72)
(1+x+x^2)(1+x^9+^18+x^27)と(1+x^3+x^6)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x+x^2)(1+x^12+^24+x^36)と(1+x^3+x^6+x^9)(1+x^48+x^96)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^8+x^16)と(1+x^4)(1+x^24+…+x^120)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^24+x^48)と(1+x^4+…+x^20)(1+x^72)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^12+x^24)と(1+x^4+x^8)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^16+x^32)と(1+x^4+x^8+x^12)(1+x^48+x^96)

(1+x)(1+x^4)(1+x^48+x^96)と(1+x^2)(1+x^8+…+x^40)
(1+x)(1+x^12)(1+x^48+x^96)と(1+x^2+…+x^10)(1+x^24)
(1+x)(1+x^6)(1+x^48+x^96)と(1+x^2+x^4)(1+x^12+x^24+x^36)
(1+x)(1+x^8)(1+x^48+x^96)と(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^16+x^32)
(1+x)(1+x^4+x^8)(1+x^72)と(1+x^2)(1+x^12+…+x^60)
(1+x)(1+x^12+x^24)(1+x^72)と(1+x^2+…+x^10)(1+x^36)
(1+x)(1+x^6+x^12)(1+x^72)と(1+x^2+x^4)(1+x^18+x^36+x^54)
(1+x)(1+x^8+x^16)(1+x^72)と(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^24+x^48)
(1+x+x^2)(1+x^6)(1+x^72)と(1+x^3)(1+x^12+…+x^60)
(1+x+x^2)(1+x^18)(1+x^72)と(1+x^3+…+x^15)(1+x^36)
(1+x+x^2)(1+x^9)(1+x^72)と(1+x^3+x^6)(1+x^18+x^36+x^54)
(1+x+x^2)(1+x^12)(1+x^72)と(1+x^3+x^6+x^9)(1+x^24+x^48)

(1+x)(1+x^4)(1+x^16+x^32)と(1+x^2)(1+x^8)(1+x^48+x^96)
(1+x)(1+x^4)(1+x^24+x^48)と(1+x^2)(1+x^8+x^16)(1+x^72)
(1+x)(1+x^6)(1+x^24+x^48)と(1+x^2+x^4)(1+x^12)(1+x^72)
(1+x)(1+x^4+x^8)(1+x^24)と(1+x^2)(1+x^12)(1+x^48+x^96)
(1+x)(1+x^4+x^8)(1+x^36)と(1+x^2)(1+x^12+x^24)(1+x^72)
(1+x)(1+x^6+x^12)(1+x^36)と(1+x^2+x^4)(1+x^18)(1+x^72)
(1+x+x^2)(1+x^6)(1+x^24)と(1+x^3)(1+x^12)(1+x^48+x^96)
(1+x+x^2)(1+x^6)(1+x^36)と(1+x^3)(1+x^12+x^24)(1+x^72)
(1+x+x^2)(1+x^9)(1+x^36)と(1+x^3+x^6)(1+x^18)(1+x^72)

となって、ダイスペアの出目は、

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11};{0,12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132},

{0,1,24,25,48,49,72,73,96,97,120,121};{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22},
{0,1,2,3,4,5,72,73,74,75,76,77};{0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66},
{0,1,2,36,37,38,72,73,74,108,109,110};{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33},
{0,1,2,3,48,49,50,51,72,73,74,75};{0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44},

{0,1,4,5,8,9,12,13,16,17,20,21};{0,2,24,26,48,50,72,74,96,98,120,122},
{0,1,12,13,24,25,36,37,48,49,60,61};{0,2,4,6,8,10,72,74,76,78,80,82},
{0,1,6,7,12,13,18,19,24,25,30,31};{0,2,4,36,38,40,72,74,76,108,110,112},
{0,1,8,9,16,17,24,25,32,33,40,41};{0,2,4,6,48,50,52,54,96,98,100,102},
{0,1,2,3,4,5,12,13,14,15,16,17};{0,6,24,30,48,54,72,78,96,102,120,126},
{0,1,2,3,4,5,36,37,38,39,40,41};{0,6,12,18,24,30,72,78,84,90,96,102},
{0,1,2,3,4,5,18,19,20,21,22,23};{0,6,12,36,42,48,72,78,84,108,114,120},
{0,1,2,3,4,5,24,25,26,27,28,29};{0,6,12,18,48,54,60,66,96,102,108,114},
{0,1,2,6,7,8,12,13,14,18,19,20};{0,3,24,27,48,51,72,75,96,99,120,123},
{0,1,2,18,19,20,36,37,38,54,55,56};{0,3,6,9,12,15,72,75,78,81,84,87},
{0,1,2,9,10,11,18,19,20,27,28,29};{0,3,6,36,39,42,72,75,78,108,111,114},
{0,1,2,12,13,14,24,25,26,36,37,38};{0,3,6,9,48,51,54,57,96,99,102,105},
{0,1,2,3,8,9,10,11,16,17,18,19};{0,4,24,28,48,52,72,76,96,100,120,124},
{0,1,2,3,24,25,26,27,48,49,50,51};{0,4,8,12,16,20,72,76,80,84,88,92},
{0,1,2,3,12,13,14,15,24,25,26,27};{0,4,8,36,40,44,72,76,80,108,112,116},
{0,1,2,3,16,17,18,19,32,33,34,35};{0,4,8,12,48,52,56,60,96,100,104,108},

{0,1,4,5,48,49,52,53,96,97,100,101}と{0,2,8,10,16,18,24,26,32,34,40,42},
{0,1,12,13,48,49,60,61,96,97,108,109}と{0,2,2,6,8,10,24,26,28,30,32,34},
{0,1,6,7,48,49,54,55,96,97,102,103}と{0,2,4,12,14,16,24,26,28,36,38,40},
{0,1,8,9,48,49,56,57,96,98,104,105}と{0,2,4,6,16,18,20,22,32,34,36,38},
{0,1,4,5,8,9,72,73,76,77,80,81}と{0,2,12,14,24,26,36,38,48,50,60,62},
{0,1,12,13,24,25,72,73,84,85,96,97}と{0,2,4,6,8,10,36,38,40,42,44,46},
{0,1,6,7,12,13,72,73,78,79,84,85}と{0,2,4,18,20,22,36,38,50,54,56,58},
{0,1,8,9,16,17,72,73,80,81,88,89}と{0,2,4,6,24,26,28,30,48,50,52,54},
{0,1,2,6,7,8,72,73,74,78,79,80}と{0,3,12,15,24,27,36,39,48,51,60,63},
{0,1,2,18,19,20,72,73,74,90,91,92}と{0,3,6,9,12,15,36,39,42,45,48,51},
{0,1,2,9,10,11,72,73,74,81,82,83}と{0,3,6,18,21,24,36,39,42,54,57,60},
{0,1,2,12,13,14,72,73,74,84,85,86}と{0,3,6,9,24,27,30,33,48,51,54,57},

{0,1,4,5,16,17,20,21,32,33,36,37}と{0,2,8,10,48,50,56,58,96,98,104,106},
{0,1,4,5,24,25,28,29,48,49,52,53}と{0,2,8,10,16,18,72,74,80,82,88,90},
{0,1,6,7,24,25,30,31,48,49,54,55}と{0,2,4,12,14,16,72,74,76,84,86,88},
{0,1,4,5,8,9,24,25,28,29,32,33}と{0,2,12,14,48,50,60,62,96,98,108,110},
{0,1,4,5,8,9,36,37,40,41,44,45}と{0,2,12,14,24,26,72,74,84,86,96,98},
{0,1,6,7,12,13,36,37,42,43,48,49}と{0,2,4,18,20,22,72,74,76,90,92,94},
{0,1,2,6,7,8,24,25,26,30,31,32}と{0,3,12,15,48,51,60,63,96,99,108,111},
{0,1,2,6,7,8,36,37,38,42,43,44}と{0,3,12,15,24,27,72,75,84,87,96,99},
{0,1,2,9,10,11,36,37,38,45,46,47}と{0,3,6,18,21,24,72,75,78,90,93,96}

の42通りとなります。

twitter にて、ヘカテーさん( @HKTmine ) が次のような四つ組の六面体ダイスを発表されました。４竦みとなっています。

A=(0,4,4,4,7,7)
B=(3,3,3,3,8,8)
C=(1,1,6,6,6,6)
D=(2,2,5,5,5,9)

AがBに勝つ確率は5/9で、
BがCに勝つ確率は5/9で、
CがDに勝つ確率は5/9で、
DがAに勝つ確率は5/9で、かつ、
AがCに勝つ確率が1/2で、
BがDに勝つ確率が1/2になっています。

ふと思いついたアイデアをもとに手で作成してみたら対称性の高い《非推移的ダイス》になっていました。

五つ組の、五面体ダイス (20面体で同一数を四つ✕五つの数で実現) です。

A: (0,8,11,19,22)
B: (3,6,14,17,20)
C: (1,9,12,15,23)
D: (4,7,10,18,21)
E: (2,5,13,16,24)

AはBに13/25 の確率で勝ち
BはCに13/25 の確率で勝ち
CはDに13/25 の確率で勝ち
DはEに13/25 の確率で勝ち
EはAに13/25 の確率で勝ち
かつ
AはDに14/25 の確率で勝ち
BはEに14/25 の確率で勝ち
CはAに14/25 の確率で勝ち
DはBに14/25 の確率で勝ち
EはCに14/25 の確率で勝つ。

5竦みダイスもあるのですね。

4竦みダイスでは、エフロンのダイス(Efron’s Dice)が知られていますが、
a＝(0,0,4,4,4,4)
b =(3,3,3,3,3,3)
c =(2,2,2,2,6,6)
d =(1,1,1,5,5,5)
というダイスで、
aがbに勝つ確率は2/3で、
bがcに勝つ確率は2/3で、
cがdに勝つ確率は2/3で、
dがaに勝つ確率は2/3ですが、
aがcに勝つ確率が4/9で、
bがdに勝つ確率が1/2になっていて、ヘカテーさんのダイスと違ってa,b,c,dは完全に対等とはなっていないようです。

3竦みダイスは2面ダイスでは作れませんが、3面ダイスでは
A=(1,6,8)
B=(2,4,9)
C=(3,5,7)
というダイスで、
AがBに勝つ確率は5/9で、
BがCに勝つ確率は5/9で、
CがAに勝つ確率は5/9となっていて、それぞれの数字が2面ずつあれば6面ダイスでも作ることができます。

三竦みダイスに面白いのがありまして。

一組め。
A:６１８
B:７５３
C:２９４
上は [2254]でkuiperbeltさんが提示なさったものですね。

二組め。
D:２７６
E:９５１
F:４３８
これは一組めに直交していますね。オレオレ用語ですけれども。勝率の三竦みは、ひとくみめと同じです。

３組め。
上の二組の平均？を取ります。
G:４４７ //ADの平均
H:８５２//BEの平均
Ｉ:３６６//CFの平均

この３組目が面白いんです。
三竦みは
強→弱　と→を使うことにして、
A → B→ C→ A
D → E → F → D
であるにもかかわらず
平均をとると矢印の向きが逆になります。すなわち
G ← H ← I ← G

先ほどの５竦みダイスにも「直交」するダイスの組がありますが、まだ、同じことが起きるかどうか確認していません。

普通に質問したら4回とか答えてきたので、ありゃあと。

アンダーバーは、「SHIFT」＋「ろ」で可能ですが、オーババー（オーバーライン）はあまり需要がないせいか、難しいようですね。
補集合の記号などで使いたいときもあるのですが、私は外字を作って利用しています。添え字についても、Ａijなどと書けば分からなくも
ないので、手を加えずにそのまま利用しています。HTML文書で、A_ijなどとする場合も時々あります。

●汎用性がある資料はこちらがわかりやすいです。

■合成可能なダイアクリティカルマーク

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E5%90%88%E6%88%90%E5%8F%AF%E8%83%BD%E3%81%AA%E3%83%80%E3%82%A4%E3%82%A2%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%A3%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%82%AF


●お手軽なのはこちらですがオーバーラインはみあたらないですね。

https://textmath.hyuki.com/

●先日私の投稿でオーバーラインを使いましたが、上のふたつを使いました。

textmath で雛形を作って。
そこからダイアクリティカルマーク を付与するのですが…
でも、いちからやるのは面倒なのでまずは
取り消し線を与えます。こちらで
https://sekika.github.io/2021/09/08/StrikeThrough/

で、合成可能なダイアクリティカルマーク を
取り消し線からオーバーラインに変えますが、テキストエディタで、さっきのwikipediaのページからオーバーラインをコピペをしました。

●ほんとはまっとうなやり方があるはずです。

先日はせっぱつまっていて１回こっきりでやるつもりでした。なので、開発した野蛮なやり方が上の通りです。

オーバーラインは
こちらでコピペするのが早そうですね。ボタンで押下でコピーできます。

https://0g0.org/unicode/0305/

①まず a をタイプする
②そのすぐうしろに、上のサイトでコピーしたオーバーラインをペーストする。このほうほうで行った、そんな
例→ ā
でした。

もしも、windows パソコンをお使いならば、
テキストエディタでオーバーラインを付けたい文字の後に、Unicodeの結合オーバーライン（U+0305）を追加します。例えば、「A̅」(Aの上にオーバーライン)としたい場合、「A」と入力し、その後に「U+0305」を入力し、Altキーを押しながらXキーを押します。

添え字とオーバーラインをテストしてみました。
𝑎₁₁の共役𝑎̅₁₁

例えば、０＝１＋１/２－２/３－５/６　ということですか．．．。
1=1
2=1/(1/2)
3=1/((1/2)*(2/3))
4=1/((1/2)*(2/3)*(3/4))
5=1/((1/2)*(2/3)*(3/4)*(4/5))
6=1/((1/2)*(2/3)*(3/4)*(4/5)*(5/6))

出来たら全部を使ってほしい。

(1+2/3)/(4/5-3/4)/(5/6-1/2) = 100

(1+1/2*2/3*3/4*4/5)*5/6 = 1
1+(1/2+2/3-3/4+5/6)*4/5 = 2
(1+1/2+2/3+3/4+5/6)*4/5 = 3
(1+1/2)/(3/4*4/5)+2/3+5/6 = 4
1+(1/2-2/3)/((3/4-4/5)*5/6) = 5
1+(1/2+2/3)/(5/6-3/4*4/5) = 6
1-2/3+(5/6-1/2)/(4/5-3/4) = 7
(1-1/2*2/3)/(3/4-4/5*5/6) = 8
(1+1/2)/(2/3-3/4*4/5*5/6) = 9
(1-1/2)/(3/4+4/5-2/3-5/6) = 10
これ以降70までは全部作れるようです。
71は多分無理ですが、72～87も作れるようです。
88以上では作れるものが少ないです。

７を作るのがどうやっても作れませんでしたが見事です。
プログラム的にやろうと試みたんですが、あまりにパターンが多岐に渡るのでほんの一部の部分でしか利用できませんでした。
もし1を除いたらこれらは構成できますか？

1がなくても100を含めてすべて作れますね。
(1/2+2/3-3/4+5/6)*4/5 = 1
(2/3+5/6)/(1/2+3/4)+4/5 = 2
(3/4-2/3)/(5/6-4/5)+1/2 = 3
(2/3-1/2)/((4/5-3/4)*5/6) = 4
(1/2+2/3)/(5/6-3/4*4/5) = 5
(5/6-1/2)/(4/5-3/4)-2/3 = 6
(5/6)/((2/3-1/2)*4/5)+3/4 = 7
(1/2*2/3)/((4/5-3/4)*5/6) = 8
(1/2*5/6)/(4/5-3/4)+2/3 = 9
(5/6-2/3*1/2)/(4/5-3/4) = 10
(5/6)/((2/3-1/2)*(4/5-3/4)) = 100

(追記)
質問に「0」も含まれていたことに気づきませんでした。
まあでも0は簡単なのであらためて書かなくていいですよね。

別解ですが、

5/6*(1/(2/3-1/2))/(4/5-3/4)=100

((1/(3/4))-((2/3)/(1/2)))*(5/6)*(4/5)=0
(3/4-2/3)/(5/6-4/5)-1/2-1=1
((3/4-2/3)/(5/6-4/5)-1/2)*1=2
((2/3-1/2)/(5/6-4/5)-1)*(3/4)=3
((1-1/2)/(3/4-2/3))*(5/6)*(4/5)=4
((2/3-1/2)/(4/5-3/4))/(5/6)+1=5
(((((1/(1/2))/(2/3))/(3/4))/(4/5))/(5/6))=6
((3/4-2/3)/(5/6-4/5)+1)/(1/2)=7
((2/3-1/2)/(5/6-4/5)+1)/(3/4)=8
(3/4-1/2)/(5/6-4/5)+1/(2/3)=9
(1/(5/6+2/3+1/2))/(4/5-3/4)=10

○#((○#○)#(○#○))
(○が分数,#が四則演算)のパターンだけに限定して調べてみました。

1/2+((5/6/4/5)/(2/3-3/4)) = 0
1/2*((3/4-2/3)/(5/6/4/5)) = 1
2/3/((1/2*3/4)-(5/6/4/5)) = 2
1/2+((2/3-3/4)/(4/5-5/6)) = 3
1/2/((3/4-2/3)/(4/5*5/6)) = 4
1/2/((2/3+5/6)*(4/5/3/4)) = 5
1/2/((2/3/3/4)/(4/5*5/6)) = 6
3/4-((1/2-2/3)/(4/5/5/6)) = 7
2/3/((1/2/3/4)+(5/6/4/5)) = 8
1/2/((3/4-2/3)*(4/5*5/6)) = 9
1/2/((3/4-2/3)+(4/5-5/6)) =10
らすかるさんの結果を使わせて貰って
5/6/((2/3-1/2)*(4/5-3/4)) =100

と全部を制覇できました。

その式では「1/2,2/3,3/4,4/5,5/6を使っている」ことにはならないのでは？
例えば0の式の中の5/6/4/5は式を通常通りに解釈して
5÷6÷4÷5=5/(6×4×5)
と計算すれば確かに0になりますが、
(5/6)/(4/5)ならば式の値は-12になります。
すべての分数にカッコを補って計算し直すと
(1/2)+(((5/6)/(4/5))/((2/3)-(3/4))) = -12
(1/2)*(((3/4)-(2/3))/((5/6)/(4/5))) = 1/25
(2/3)/(((1/2)*(3/4))-((5/6)/(4/5))) = -1
(1/2)+(((2/3)-(3/4))/((4/5)-(5/6))) = 3
(1/2)/(((3/4)-(2/3))/((4/5)*(5/6))) = 4
(1/2)/(((2/3)+(5/6))*((4/5)/(3/4))) = 5/16
(1/2)/(((2/3)/(3/4))/((4/5)*(5/6))) = 3/8
(3/4)-(((1/2)-(2/3))/((4/5)/(5/6))) = 133/144
(2/3)/(((1/2)/(3/4))+((5/6)/(4/5))) = 16/41
(1/2)/(((3/4)-(2/3))*((4/5)*(5/6))) = 9
(1/2)/(((3/4)-(2/3))+((4/5)-(5/6))) = 10
(5/6)/(((2/3)-(1/2))*((4/5)-(3/4))) = 100
となります。
# 私が上で書いた回答では、分数にカッコをつけないと値が異なってしまう式は除外しています。

あ～そうか！
自分で分数はその単体でと記述しておきながら、そのルールを無視してしまっていることになっていた。
指摘されるまで全く気付けないでいました。
そうすると探すパターンを遥かに広げないと見つけられないのですね。
コンピュータを使っても私には超難問です。

追伸;
気を取り直して括弧付きで処理していくと
(2/3)/(((5/6)/(4/5))-((3/4)*(1/2)))　=1
(2/3)+(((1/2)/(3/4))+((4/5)*(5/6))) =2
(1/2)+(((2/3)-(3/4))/((4/5)-(5/6))) =3
(1/2)/(((3/4)-(2/3))/((4/5)*(5/6))) =4
(1/2)*(((2/3)/(4/5))/((5/6)-(3/4))) =5
(1/2)/(((3/4)/(2/3))-((5/6)/(4/5))) =6
(3/4)-(((5/6)/(4/5))/((1/2)-(2/3))) =7
(1/2)*(((2/3)/(5/6))/((4/5)-(3/4))) =8
(1/2)/(((3/4)-(2/3))*((4/5)*(5/6))) =9
(1/2)/(((3/4)-(2/3))+((4/5)-(5/6))) =10
がとれました。

注目すべきは、陰性報告をしてきた 3 人が、「測定にかけなかった」方のコインですね。
あとは、カークマンの組分け問題は（多分ファノ平面で考えた場合でも？）、任意の 2 つの組の間に必ず共通人物が 1 人だけ存在することも注目に値します。

DD++ さん。

たびたびのヒントを有難うございます。
おかげさまで
偽コイン候補が「３個以下」であるとは示せました。
しかしながら丁度３個あるというところまではまだいきついておりません。
なにか単純なことを見落としているにちがいありません。

もう少しだけ考えてみます。

陽性報告数 4 だけど矛盾が含まれている場合の話ですよね？

陰性報告をした 3 人を A, B, C とします。
A が嘘つきだと仮定すると、A が測定にかけていて、B と C が測定にかけていないコインは本物候補になります。
さて、そのようなコインは何枚存在するでしょうか？

DD++ さん。
おっしゃる通りですね！！！
最大のヒントをまことにありがとうございます！！！

皆様へ。
あとでボチボチと証明のアウトラインを書いていく所存です。

せっかく DD++ さんにヒントをいただいておりますのに、【丁度３個である】ほうの証明をまだ書き下せておりません。ポンチ絵については漸く出来上がりましたけれども。申し訳ないことです。

[2191]の投稿で私は【３個以下】の証明なら出来たと申しておりました。
今日はこちらのほうのメモ書きを下記に投稿いたします。

金貨の名前を
z, a, b, c, d, e, f, g
とします。
技術者７名には添え字として 1 から 7 を与えます。
ガイガーカウンターによる
検査結果を
q とします。
q は、7名の技術者による陰性(0)、陽性(1) の結果を示す
𝑞₁, 𝑞₂, 𝑞₃, ... , 𝑞₇
として表します。

いま、偽金貨が a である状況下で、
技術者が q の検査結果を返したとします。
また、パリティ検査により、
q は a に対してハミング距離が 2 であると判明したものとします。

一般性を失わないようにするために、
q や、z, a から g までに使われる添え字である、 1 から 7 までについて
{h, k, m, n, p, s, t} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
とします。蛇足ですが両辺の集合の各要素は一対一対応しますけれども順不同です。
以下の記述で一般性を失わないための約束てす。

また、𝑎₁ のビット反転したものを 𝑎̅₁ などと、オーバーラインで表すこととします。

偽金貨 𝑎 にたいする 検査結果が 𝑞 として与えられるものとします。2 ビットの反転は、ビット位置 h, k で発生していることとします。
図示すれば、次の２行の各ビットの上と下とは真理値は等しいです。

𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ

この 𝑞 が 𝑏 をも偽金貨の候補として考えられることしましょう。図示しますと以下の３パターンのみに分かれます。

◆パターン１
𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏̅ₕ, 𝑏̅ₖ, 𝑏ₘ, 𝑏ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

◆パターン２
𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏̅ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

◆パターン３
𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏̅ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

分析します。
パターン１では、
a と b とは、ハミング距離が 0 となってしまい、本来あるべきハミング距離が４であることと矛盾します。パターン１はありえません。
パターン２では
a と b とは、ハミング距離が 2 となってしまい、本来あるべきハミング距離が４であることと矛盾します。パターン２はありえません。
パターン３では
a と b とは、ハミング距離が 4 となり、本来あるべきハミング距離が４であることと矛盾しません。パターン３はありえます。
これらより、パターン３のみが、a と b との間の関係を示しています。パターン３を再掲します。

𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏̅ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

さて、第三の金貨 c が偽造金貨の候補だとしましょう。
ありえるパターンは以下のみです。

𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏̅ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ
𝑐ₕ, 𝑐ₖ, 𝑐ₘ, 𝑐ₙ, 𝑐̅ₚ, 𝑐̅ₛ, 𝑐ₜ

a と b との関係は、a と c, b と c との関係にもそのまま通用するからです。

測定結果である q について、a, b, c が偽金貨の候補である場合には、ビット反転の関係は上に尽きることとなります。

ここで、更に、金貨 d が偽金貨の候補足り得るかと問いを立てます。

h,k,m,n,p,s 以外のふたつの位置で、d は q にたいしてビット反転していなくてはなりませんがこれは不可能です。

ここまでをまとめれば、
測定結果 q が与えられたならば、偽金貨であることがありえるのは、a,b,c, の３枚までで、4枚以上ではあり得ないことがわかりました。

なお、３枚以下であることを示しただけであって、３枚丁度を示したわけではないことを付記しておきます。

あれ？
私はわりと答えそのもののつもりで書いてたんですが……

陽性報告が 4 人だった場合、
・全員正直
・陽性報告と陰性報告それぞれで 1 人嘘つき
のいずれかですよね？
前者はハミング距離 0 で話は終わっています。
後者の場合、陰性報告者のうち 2 人が測定から外したコインが本物候補です。
そしてそれは任意の陰性報告者 2 人組の間に共通で測定しなかったコインが（誰も測らなかったやつ以外で）必ずちょうど 1 枚あり、合計で 3C2 = 3 枚存在します。

DD++ さん、たびたびお手を煩わせてしまいまして申し訳ございませんでした。有難うございます。

■問題の振り返りをします。
No.2129Dengan kesaktian Indukmu9月8日 00:09
の問題では 10 人のケースでは解あり、では9人では？ となったのがことの発端です。

９人のうち、第一段階で７人を投入、そこで偽金貨が特定できればよし、そのなかに虚偽のレポートをしてくる技術者が２人いるケースもありうるがその場合には偽金貨が特定できないものの、偽金貨の候補が【丁度】３枚になるので、第二段階として残りの正直な技術者２名が偽金貨を特定できるだろう、ゆえに技術者は9人で十分だ、という筋書きなのでした。

今回は第一段階のアルゴリズムを決定し、なおかつ【丁度３人】問題について、個人的な結論を皆さんにご報告いたします。

///////////
ご注意:ここまでの流れと陰性陽性の扱いが逆転してしまっています。申し訳ありません。
(ひとえに私の直観にあわせてしまっただけなのですが……)
///////////

■第一段階での測定について
i を 1 から 7 までの添字として使います。
j を 1 から 8 までの添字として使います。

7人いる技術者に、1 から 7 と名前をつけます。添字としてはもっぱら i を使います。

陽性集合 Pj を以下のように定義します。
P1 = {2, 3, 5}
P2 = {3, 4, 6}
P3 = {4, 5, 7}
P4 = {5, 6, 1}
P5 = {6, 7, 2}
P6 = {7, 1, 3}
P7 = {1, 2, 4}
P8 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
※余談ですが P1 から P7 は、FANO平面となっています。P8 は余計ものです。

陰性集合 Nj を以下のように定義します。
N1 = {7, 6, 4, 1}
N2 = {1, 7, 5, 2}
N3 = {2, 1, 6, 3}
N4 = {3, 2, 7, 4}
N5 = {4, 3, 1, 5}
N6 = {5, 4, 2, 6}
N7 = {6, 5, 3, 7}
N8 = {}

8 枚の金貨に以下のように名前をつけます。
C{Pj, Nj}
すなわち、金貨の名前については陽性集合と陰性集合の組みの集合で定義します。

長くなりましたので、投稿をいったん区切ります。

■第一段階での測定について(つづき)
7人の技術者に次のように測定の指示をだします。すなわち、
i 番目の技術者は、Pj の要素に i を含むような金貨 C{Pj, Nj} をガイガーカウンターで計測します。

◆早見表 | 1 2 3 4 5 6 7 ←技術者
C{P1, N1} | 0 1 1 0 1 0 0
C{P2, N2} | 0 0 1 1 0 1 0
C{P3, N3} | 0 0 0 1 1 0 1
C{P4, N4} | 1 0 0 0 1 1 0
C{P5, N5} | 0 1 0 0 0 1 1
C{P6, N6} | 1 0 1 0 0 0 1
C{P7, N7} | 1 1 0 1 0 0 0
C{P8, N8} | 1 1 1 1 1 1 1
※この早見表では、1 が立っている金貨を計測します。

陽性のレポートをした技術者の集合を T と名づけます。

Tから偽金貨のゆくえを探すということとなります。
たとえば T={2,3,5} ならば偽金貨は C{P1, N1} ということとなります。


■計測結果Tの評価について
簡単なものから順に。

① T = Pj となる j があるとき
※７人ともに正しいレポートを提出したこととなります。
偽金貨は、C{Pj, Nj}。


②Tの要素数が 2 のとき
※すなわち陽性を陰性と偽ったレポートがひとつあったことになります。

j = 8 を除外できます。
Pj ⊃ T なる j が唯一に定まります。
偽金貨は、C{Pj, Nj}。


③Tの要素数が 4 のとき
※陰性を陽性と偽ったレポートがひとつあったことになります。

j = 8 を除外できます。
Pj ⊂ T なる j が唯一に定まります。
偽金貨は、C{Pj, Nj}。


④Tの要素数が 6 のとき
※陰性を陽性と偽ったレポートがひとつあったことになります。

偽金貨は、C{P8, N8}。

ここまで①②③④は T と偽金貨の Pj とのハミング距離が 0 または 1 なのでした。

(続きます)

■計測結果Tの評価について(つづき)
⑤Tの要素数が 1 のとき
※陽性を陰性と偽ったレポートがふたつあったことになります。
j = 8 を除外できます。

このとき T の要素を信じることができます。誤ったふたつのレポートの影響を受けていないためです。
T ⊂ Pj
となる j は３つあります。(FANO平面の性質です)
３つある偽金貨の候補 C{Pj, Nj} については第二段階で、(これ以上は誤ったレポートが発生しないため) 処理可能となります。


⑥Tの要素数が 5 のとき
偽金貨の候補としてふたつのグループが考えられます。
⑥‐１
※C{P8, N8} について、陽性を陰性と誤ったレポートが２通発生したケースです。
偽金貨の候補として
これがひとつめのグループです。
⑥‐２
※j=8 を除外しての C{Pj, Nj} について、陰性を陽性と誤ったレポートが２通発生したケースです。
誤ったレポートを出した技術者の添字の値を m,n とします。
{m} ⊂ Pj なる C{Pj, Nj} は ３個あります。
これは FANO平面の性質です。
{n} ⊂ Pj なる C{Pj, Nj} は ３個あります。
これも FANO平面の性質です。
{m,n} ⊂ Pj なる C{Pj, Nj} は １個あります。
これは FANO平面の性質です。
誤ったレポート m,n を含んだC{Pj, Nj}は
3+3-1=5 より、５個あります。
j=8 を除外しての C{Pj, Nj} の７個のうち、
本物の金貨として除外できるのは５個となり、偽金貨の候補は２個となります。
やや迂遠な論法でしたが、
T ⊃ Pj を満たす j は２つあるということとなります。
⑥‐３
以上より、この⑥のケースでは、偽金貨の候補の枚数は３枚となりました。

(つづきます。次は私にとっての天王山で、DD++ さんからお知恵を拝借した部分です。)

(本日は夕飯の支度をしなければならない身分ですので、ひょっとすると明日になるかもしれません。)

私にとっても直観と逆でしたので、この変更はありがたいです。

6-2 は、陽性を陰性と偽った報告がない以上、陰性報告は全て信じてよく、それで 5 枚が本物と確定できますね。

DD++ さん、[2217]← あっと叫びました。
それはそうですね……自明なものを私のようにこねくりまわしてはダメですね……

気を取り直して。以下では、A∖B を差集合の表記とします。
　

⑦Tの要素数が 3 のとき
(ただし、①のケースは除きます。)
※陽性を陰性にする誤ったレポート１通と、陰性を陽性にする誤ったレポートを１通と、計２本の誤ったレポートが発生しているケースです。

話の都合上、T に基づいてUを作ります。Uが全体集合でなくてすみません。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}∖T
そして、偽金貨のC{Pj, Nj}について
Pj = {x, y, z}
Nj = {p, q, r, s}
とします。
T = {p, y, z,}
U = {x, q, r, s}
が測定の結果として得られていることとなります。

Tの３つの要素のうち、偽レポートがひとつあるので、その可能性は丁度３通りあります。
偽物を大文字で書くと
Pj = {X, y, z}
Pj = {x, Y, z}
Pj = {x, y, Z}
のどれかが実現していることとなります。
Tに含まれる３つの要素のうち２つを選ぶと、それぞれに対応して金貨がひとつ定まるということとなります。

以上より、この⑦のケースでは、偽金貨の候補の枚数は３枚となりました。


さて、結論です。
以上をまとめますと、第一段階で７人中に２人分の偽レポートが発生したときには、偽金貨候補は常に３個であることがわかります。
誤りレポートの数が 0 ないし 1 であるときには、偽金貨は確定します。


《感想》
もうちょっと簡単に書ければ良いのですが。

先に提示させていただいた早見表で
再び、0 と 1 とをビットフリップした上で、下記に再掲させていただきます。

C{P1, N1} | 1 0 0 1 0 1 1 //C4
C{P2, N2} | 1 1 0 0 1 0 1 //C6
C{P3, N3} | 1 1 1 0 0 1 0 //C7
C{P4, N4} | 0 1 1 1 0 0 1 //C3
C{P5, N5} | 1 0 1 1 1 0 0 //C5
C{P6, N6} | 0 1 0 1 1 1 0 //C2
C{P7, N7} | 0 0 1 0 1 1 1 //C1
C{P8, N8} | 0 0 0 0 0 0 0 //C0

なお、各行の右端は、これから始める説明の都合上、各金貨に新しく名前づけしたものです。

ビット列の排他的論理和の記号として「⊕」を使うこととします。
たとえば、 0110 ⊕ 1010 = 1100 です。

1 ≤ n ≤7 について
C0 ⊕ Cn = Cn
は、自明ですね。

ビックリしたのが、以下のようになっていることです。

C3 = C2 ⊕ C1
C5 = C4 ⊕ C1
C6 = C4 ⊕ C2
C7 = C4 ⊕ C2 ⊕ C1

つまり、C1,C2,C4 さえ知っていれば、
他については、２進数の仕掛けによって割り出せるということになります。

これは私にとっては非自明なことですので
皆様にもご報告する次第です。

OEIS の
A075931
List of codewords in binary lexicode with Hamming distance 5 written as decimal numbers.
から、
0,31,227,252,805,826,966,985,1354,1365,1449,1462,1647,1648,1676,1683
までを利用して
符号長 11 、最小ハミング距離 5 の符号のビット列を以下のように作成しました。
"12 0 3 00 4 0000"←↓見出し
"00 0 0 00 0 0000",//0
"00 0 0 00 1 1111",//1
"00 0 1 11 0 0011",//2
"00 0 1 11 1 1100",//
"01 1 0 01 0 0101",//4
"01 1 0 01 1 1010",
"01 1 1 10 0 0110",
"01 1 1 10 1 1001",
"10 1 0 10 0 1010",//8
"10 1 0 10 1 0101",
"10 1 1 01 0 1001",
"10 1 1 01 1 0110",
"11 0 0 11 0 1111",
"11 0 0 11 1 0000",
"11 0 1 00 0 1100",
"11 0 1 00 1 0011",

見出しについて説明します。
"12 0 3 00 4 0000"
で、1,2,3,4 は、データビット(4ビット)として使えるビット位置です。上位から昇順にしています。
"12 0 3 00 4 0000"
"01 1 0 01 1 1010",
上の例では、0101 を意味しており、10進では 5 です。これが、確かに 0 オリジンで 5 番目のビット列であることに留意して頂ければ幸いです。
上の一覧表は、4ビットのデータビットの符号語を、11ビットにエンコードしたものとなっています。

前回の投稿、No.2220 で発生していた摩訶不思議な現象が、上でもおきているのかについてプログラムで検証しましたところ、オーケーとなりました。
"00 0 0 00 1 1111",//1
"00 0 1 11 0 0011",//2
"01 1 0 01 0 0101",//4
"10 1 0 10 0 1010",//8
を知っていれば、
他の11個の符号語は、排他的論理和でもって計算できるのです。
いや、これ自明だろうとお感じになられるかたもいらっしゃるかもしれません。

しかしながらですね、
この A075931 の数列は、0 から順に 1 づつ　カウントアップしていき、テーブル上にためてある(先行する)全ての数とハミング距離が5以上となる数をみつけてはテーブルに追加して溜め込んでいるだけで、作っているんです。貪欲アルゴリズムでもってグリーディに。有る意味では汚い作り方。

なのに、[2220]の投稿で触れた法則がある、そもそも、A075931 で、私が勝手に設定した【見出し】が、符号語の値を直に示しているなんて、不思議で不思議でならないのです。

たとえば、最小ハミング距離が 6 で、符号長が 13 、符号語数も 13 の、次の符号には、今話題にしている[法則]を私はみつけられません。

"0011101111101",
"1001110111110",
"0100111011111",
"1010011101111",
"1101001110111",
"1110100111011",
"1111010011101",
"1111101001110",
"0111110100111",
"1011111010011",
"1101111101001",
"1110111110100",
"0111011111010",

データビットがどこなのかも曖昧ですしね。
サイクリックですから。

綺麗な仕掛けで作った割には、
グリーディに作ったものに、有る意味、負けているのです。

この謎、面白くてしょうがないです。

2221 で私は無手勝流にデータビットの位置を決めていたのですが、(つまりチェックビットの位置を決めていたのですが)

とっくの昔にコンウェイさんが決めて？ました。どうやったんやろ？　
このテーブルが大きくなるとこれらの位置はさかわるとのこと。まあ。

lb(3),lb(5),lb(7),lb(11),lb(13)を通常に連分数からの打ち切り分数で
分母が6桁であるものをとると
lb(3)=301994/190537
lb(5)=227268/97879　(6桁であるものは取れなかった。)
lb(7)=1273419/453601
lb(11)=1444074/417431
lb(13)=201130/54353
が見つかる。

kuiperbelt氏による構成では
lb(3)=172295/108706=1033770/652236
lb(5)=504815/217412=1514445/652236
lb(7)=915529/326118=1831058/652236
lb(11)=376061/108706=2256366/652236
lb(13)=201130/54353=2413560/652236

そこで初めの方の異なる分数を652236へと統一したとすればそれぞれの分子は
lb(3)-->round(652236/190537*301994)=1033770
lb(5)-->round(652236/97879*227268)=1514445
lb(7)-->round(652236/453601*1273419)=1831058
lb(11)-->round(652236/417431*1444074)=2256366
lb(13)-->round(652236/54353*201130)=2413560
と矛盾なくつながりました。

1.の「2以上」は不要だと思います。

1について、πは2以上の数ですが、連続する整数の和では書けませんが？
2について、「正の」と一見不必要な情報をあえて書き足し強調した意図はなんでしょう？
3について、例えば7であれば、7（1連続）と3+4（2連続）の少なくとも2つがありますので成り立ちません。
4について、突然「逆」とだけ言われても何の逆か全くわかりません。
5について、奇数なら3で示したように1連続と2連続は必ず存在しますので、素数に限らず3以上の奇数全部で成り立ちます。

ksさんの投稿は全部に言えることですが、記述不足で内容が意味不明だったり明らかに誤っている記述になっていたり、いつもそういう投稿ばかりです。
言語化していない前提を勝手において話をしても誰にも何も伝わりませんよ。

皆様、ご指摘ありがとうございます。
先ず、管理人様の質問に対するお答えです。
1＝０＋1
2＝－1＋０＋1＋2
４＝ー3＋（－2）＋（－1）＋０＋1＋2＋3＋4
悪しからず。
２については、２，４，８、16…などは、
自然数の連続した和では、表せない。
３については、素数は、２以外は、全て奇数なので、
P＝２N＋１＝N＋（N＋１）で明らかですが、
他に連続した複数の和として表すことはできません。
４については、３の逆は成立しない。一通り⇒素数は成立しない。
５については、９以上の素数でない奇数は複数の表現、
連続する自然数の和という意味でした。
尚、説明不足であれば、よろしくご容赦ください。

私の挙げた反例とかは全部無視ですか？
「自分が正しいと判断したことが正しい根拠だ」では会話になりませんよ。

例えば123-70√2が24に近いなら、
115-70√2は16に(42-15√3よりも)近くなると思いますが、
16のときに42-15√3としているのはなぜでしょうか。
また逆の見方で、もし「自然数に近づけていく」のが目的ならば
右辺の自然数を変更することで
16≒42-15√3
16≒115-70√2
16≒260-63√15
のように左辺の値を一定にしたり
1≒27-15√3
2≒101-70√2
3≒247-63√15
のように8の倍数以外にすることもできますが、
左辺の値が8の倍数のみとなっているのは
8の倍数から右辺を導出する決まった手法があるということでしょうか。

> 左辺の値が8の倍数のみとなっているのは
> 8の倍数から右辺を導出する決まった手法があるということでしょうか。


ある本を読んでいて
m:=1/2*(sqrt(n+1)+sqrt(n-1))･････････①
と置くとき
1/m=sqrt(n+1)-sqrt(n-1)･･････････････②
m^2=1/2*(n+sqrt(n^2-1))･･･････････････③
n-m^2=1/(4*m^2)･･････････････････････④
が成り立ち
これらの等式を組み合わせることで
1/(8*m^5*(m+sqrt(n))^2)=(m-sqrt(n))^2/(8*m^5*(m^2-n)^2)
=(m^2-2*m*sqrt(n)+n)/(m/2)
=2*(m-2*sqrt(n)+n/m)
=(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)-4*sqrt(n)･･････････････(*)
なる等式が成立することに成る。
左辺を見ることで右辺の値はO(1/(n^(5/2)*n)=O(1/n^(3+1/2)のオーダーでほゞ無視出来ることができる。

この巧みな式を見てn+1,n-1,nがそれぞれ平方根√が外れる各nに対応して
(2*n+1)*sqrt(n+1)≒(2*n-1)*sqrt(n-1)+4*sqrt(n)
(2*n-1)*sqrt(n-1)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-4*sqrt(n)
4*sqrt(n)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)
という風に左辺の自然数を右辺の2つの無理数で構成出来るなと思って先程の等式もどきを作っていきました。

なおここで第３番目の等式を両辺平方して
16*n≒8*n^3+10*n-2*(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
÷2から
8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)･･⑤
なる式を利用すれば
8の倍数の自然数が右辺の一つの無理数で近似出来ることが可能となる。

この⑤から構成していきました。


らすかるさんの指摘の様に
gp > forprime(p=2,100,for(n=1,1000000,if(frac(n*sqrt(p)) < 0.000001,print(n";"p))))
978122;3
902702;7
283009;17
566018;17
345777;19
254813;29
509626;29
528641;41
424802;43
829254;47
528896;53
951113;61
977001;89
594030;97
や
gp > forprime(p=2,100,for(n=1,10000000,if(frac(n*sqrt(p)) > 0.9999999,print(n";"p))))
9369319;2
7865521;3
7465176;5
3096720;7
9504180;11
2298912;17
4508361;19
9016722;19
5412001;23
8193638;29
9600319;31
1311360;41
3697884;43
7395768;43
6191808;47
8142716;61
2874480;71
5748960;71
8623440;71
4684249;73
4121279;79
8242558;79
9005009;89
6377352;97
なる素数や整数を組み合わせれば(bとpを上の組み合わせに取っておく意味)
a+b*sqrt(p)
はaを調節することで一個の無理数でなんぼでも自然数すべてを好きな近似精度で作り出すことは可能となるんでした。

しかし(*)の等式を作り出せるセンスにほどほど感心しました。

なるほど、やはり8の倍数にだけ使える式があったのですね。よくわかりました。

GAI さんが何をしたいのか全くわからないんですが、
16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式であるかのように扱われている理由はどこにあるんです？

> 16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式であるかのように扱われている理由はどこにあるんです？

らすかるさんへの返事の中の
8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)･･⑤
なる式から
n=2,7,26で生まれる式が以下の式となる意味であり
16=42-15*sqrt(3)
56=1407-780*sqrt(3)
208=70434-40545*sqrt(3)
その
16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式というつもりはありません。

上の3つの式から
sqrt(3)=(42-16)/15=26/15
sqrt(3)=(1407-56)/780=1351/780
sqrt(3)=(70434-208)/40545=70226/40545
等が発生します。(前に掲示している中から選んでいるだけです。)

ここにsqrt(3)の連分数を途中で打ち切って分数としていく手順を自動でやらせていくと
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),20)
%208 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351 3691 5042 13775 18817 51409 70226 191861 262087 716035]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780 2131 2911 7953 10864 29681 40545 110771 151316 413403]

の様に右に行くにしたがってよりsqrt(3)へ近似していけます。
この流れの中に
26/15,1351/780,70226/40545もいますから16=42-15*sqrt(3)が特別の式との解釈は "はて？"
と思ってしまいます。

ああ、具体的な方がいいかと思って1つ抽出したら質問の意図が伝わりませんでした。
5番の式で「8n=」の形にした式だけ特別視しているのはなぜですか？

この式を作るときに、その前に記載された式を平方して整理して得られる
4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0
の両辺に突然 8n を加えてできたのが 5 番ですよね。
ここで両辺に 7n を足せば 7 の倍数の式ができるでしょうし、9n を足せば 9 の倍数の式ができるんじゃないでしょうか？
8n を選択する必然性はなんでしょう？

> 5番の式で「8n=」の形にした式だけ特別視しているのはなぜですか？

この式を作るときに、その前に記載された式を平方して整理して得られる
4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0
と記載されている部分は

8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
をなぜ
3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
としないのか？
と解釈していいですか？

理由はこうすることを気付かなかったです。
2で割れるからそれで終わりと思い込み。そのままで数値で確認に行っていました。

これからは
6≒32-15*sqrt(3)
9≒108-35*sqrt(8)=108-70*sqrt(2)
12≒256-63*sqrt(15)
････････････
で掲載していたことでしょう。

お粗末様でした。

> 3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)

さらに言えば、3n と 4n^3 を左右に分ける意味もないと思います。
n は具体的な整数を代入することを想定しているんでしょうかた、整数の近似式に整数を足す項があっては意義が薄いです。

一方で、これを逆に平方根の有理近似式として
√(n^2-1) = (4n^3-3n)/(4n^2-1)
とした式は何かに使えそうですね。

DD++さんからのアドバイスを受けてsqrt(n^2-1)≒(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)
の活用を見てみました。
時間の関係でプログラムのままの姿で申し訳ありません。


gp > for(n=1,100,if(core(n^2-1)==3,\
print(n,";sqrt(3)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/3))))
2;sqrt(3)=26/15
7;sqrt(3)=1351/780
26;sqrt(3)=70226/40545
97;sqrt(3)=3650401/2107560
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),24)
%227 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351
3691 5042 13775 18817 51409 70226
191861 262087 716035 978122 2672279 3650401
9973081]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780
2131 2911 7953 10864 29681 40545
110771 151316 413403 564719 1542841 2107560
5757961]

-----------------------------------------------------------

for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==5,\
print(n,";sqrt(5)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/5))))
9;sqrt(5)=2889/1292
161;sqrt(5)=16692641/7465176
2889;sqrt(5)=96450076809/43133785636
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(5)),20)
%222 =
[2 9 38 161 682 2889 12238 51841 219602 930249 3940598 16692641
70711162 299537289 1268860318 5374978561 22768774562 96450076809
408569081798 1730726404001 7331474697802]

[1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 416020 1762289 7465176
31622993 133957148 567451585 2403763488 10182505537 43133785636
182717648081 774004377960 3278735159921]

-------------------------------------------------------------

gp > for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==6,\
print(n,";sqrt(6)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/6))))
5;sqrt(6)=485/198
49;sqrt(6)=470449/192060
485;sqrt(6)=456335045/186298002
4801;sqrt(6)=442644523201/180708869880
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(6)),24)
%226 =
[2 5 22 49 218 485 2158 4801 21362 47525 211462 470449
2093258 4656965 20721118 46099201 205117922 456335045
2030458102 4517251249 20099463098 44716177445 198964172878
442644523201 1969542265682]

[1 2 9 20 89 198 881 1960 8721 19402 86329 192060
854569 1901198 8459361 18819920 83739041 186298002
828931049 1844160100 8205571449 18255302998 81226783441
180708869880 804062262961]

-------------------------------------------------------------

gp > for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==7,\
print(n,";sqrt(7)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/7))))
8;sqrt(7)=2024/765
127;sqrt(7)=8193151/3096720
2024;sqrt(7)=33165873224/12535521795
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(7)),36)
%233 =
[2 3 5 8 37 45 82 127 590 717 1307 2024
9403 11427 20830 32257 149858 182115 331973
514088 2388325 2902413 5290738 8193151
38063342 46256493 84319835 130576328 606625147 737201475
1343826622 2081028097 9667939010 11748967107 21416906117 33165873224
154080399013]

[1 1 2 3 14 17 31 48 223 271 494 765
3554 4319 7873 12192 56641 68833 125474
194307 902702 1097009 1999711 3096720
14386591 17483311 31869902 49353213 229282754 278635967
507918721 786554688 3654137473 4440692161 8094829634 12535521795
58236916814]

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