😊出会いの泉😊

https://mathlog.info/articles/gZIAjg3NYuY3HzADwIYS
https://mathlog.info/articles/3652

を拝見しました。

N=4(=2^2)の場合はGF(4)(=GF(2^2))上のアフィン平面について、「私の備忘録 > カークマンの組分け」の中にあった「カークマン女学生麻雀大会」（平成３０年３月９日付け）の16人の女学生の場合の(v,b,r,k,λ)=(16,20,5,4,1)のブロックデザインにおいて記載されているように、

(0,0) (1,0) (a,0) (b,0)
(0,1) (1,1) (a,1) (b,1)
(0,a) (1,a) (a,a) (b,a)
(0,b) (1,b) (a,b) (b,b)

の16個の点を含みます。ここで、a^2+a+1=0,b=a+1です。

N=4の場合の射影平面ですが、有限体GF(4)上の3次元の同次座標を(x,y,z)とすると、z≠0の場合は、射影関係により有限体GF(4)上の2次元のアフィン座標(x/z,y/z)と対応して、16個の点からなり、z=0の場合は無限遠点で、(kx,ky,0)(k=1,a,b)を同一視すると、(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,a,0),(a,1,0)の5個の点からなるので、合計すると21(=4^2+4+1)個の点から成ります。
z≠0の場合は(kx,ky,kz)(k=1,a,b)を同一視するので、(x,y,1)で代表して、以下のように1～16の番号をつけます。

1:(0,0,1) 2:(1,0,1) 3:(a,0,1) 4:(b,0,1)
5:(0,1,1) 6:(1,1,1) 7:(a,1,1) 8:(b,1,1)
9:(0,a,1) 10:(1,a,1) 11:(a,a,1) 12:(b,a,1)
13:(0,b,1) 14:(1,b,1) 15:(a,b,1) 16:(b,b,1)

そして、残りの5個の無限遠点については、1-2-3-4を結ぶ「直線」の延長上の無限遠点に17という番号をつけ、以下、1-5-9-13,1-6-11-16,1-8-10-15,1-7-12-14を結ぶ「直線」の延長上の無限遠点に順次18,19,20,21と番号をつけていきます。

1:(0,0,1)- 2:(1,0,1)- 3:(a,0,1)- 4:(b,0,1)-17:(1,0,0)
1:(0,0,1)- 5:(0,1,1)- 9:(0,a,1)-13:(0,b,1)-18:(0,1,0)
1:(0,0,1)- 6:(1,1,1)-11:(a,a,1)-16:(b,b,1)-19:(1,1,0)
1:(0,0,1)- 8:(b,1,1)-10:(1,a,1)-15:(a,b,1)-20:(1,a,0)
1:(0,0,1)- 7:(a,1,1)-12:(b,a,1)-14:(1,b,1)-21:(1,b,0)

　この射影平面上の「直線」は以下の21本となります。

1-2-3-4-17,5-6-7-8-17,9-10-11-12-17,13-14-15-16-17,
1-5-9-13-18,2-6-10-14-18,3-7-11-15-18,4-8-12-16-18,
1-6-11-16-19,2-5-12-15-19,3-9-8-14-19,4-7-10-13-19,
1-8-10-15-20,2-7-9-16-20,3-6-12-13-20,4-5-11-14-20,
1-7-12-14-21,2-8-11-13-21,3-5-10-16-21,4-6-9-15-21,
17-18-19-20-21

21本の「直線」上にはいずれも5点が乗っており、「班編成」についての平成３０年１月２９日付けでのＧＡＩさんからのコメントで、「入居者n^2-n+1名の老人ホームではn人がグループで毎日散歩へ出掛けるルールがある。但し、道案内のため昨日散歩へ参加したn人のうち必ず1人は次の散歩グループの班長として次も参加するものとする。このことをn^2-n+1日間続けたとき、どの人も計n回散歩に出掛けたことになると言い、またどの人も他のn^2-n人と一緒に散歩したことがあると言った」のn=5の場合のグループの作り方に相当します。

GF(3)上の3次元射影空間のブロックデザインについては、「私の備忘録 > カークマンの組分け」の中にあった「カークマン女学生麻雀大会」（平成３０年３月９日付け）の40人の女学生の場合の(v,b,r,k,λ)=(40,130,13,4,1)の場合に相当します。

有限体GF(3)上の4次元の同次座標を(x,y,z,w)とすると、w≠0の場合は、射影関係により有限体GF(3)上の3次元のアフィン座標(x/w,y/w,z/w)と対応して、27個の点からなり、w=0の場合は無限遠点で、(x,y,z,0)と(2x,2y,2z,0)を同一視して13個の点からなるので、合計すると40(=3^3+3^2+3+1)個の点から成ります。

w≠0の場合は(kx,ky,kz,kw)(k=1,2)を同一視するので、(x,y,z,1)で代表して、以下のように1～27の番号をつけます。

1:(0,0,0,1) 2:(1,0,0,1) 3:(2,0,0,1)
4:(0,1,0,1) 5:(1,1,0,1) 6:(2,1,0,1)
7:(0,2,0,1) 8:(1,2,0,1) 9:(2,2,0,1)

10:(0,0,1,1) 11:(1,0,1,1) 12:(2,0,1,1)
13:(0,1,1,1) 14:(1,1,1,1) 15:(2,1,1,1)
16:(0,2,1,1) 17:(1,2,1,1) 18:(2,2,1,1)

19:(0,0,2,1) 20:(1,0,2,1) 21:(2,0,2,1)
22:(0,1,2,1) 23:(1,1,2,1) 24:(2,1,2,1)
25:(0,2,2,1) 26:(1,2,2,1) 27:(2,2,2,1)

残りの13個の無限遠点について以下のように28～40の番号をつけます。1-10-19を結ぶ直線の延長上の無限遠点に28という番号をつけ、以下、1-11-21,1-12-20,…の直線の延長上の無限遠点に順次29,30,…と番号をつけていきます。

1:(0,0,0,1)-10:(0,0,1,1)-19:(0,0,2,1)-28:(0,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-11:(1,0,1,1)-21:(2,0,2,1)-29:(1,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-12:(2,0,1,1)-20:(1,0,2,1)-30:(2,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-13:(0,1,1,1)-25:(0,2,2,1)-31:(0,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-14:(1,1,1,1)-27:(2,2,2,1)-32:(1,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-15:(2,1,1,1)-26:(1,2,2,1)-33:(2,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-16:(0,2,1,1)-22:(0,1,2,1)-34:(0,2,1,0)
1:(0,0,0,1)-17:(1,2,1,1)-24:(2,1,2,1)-35:(1,2,1,0)
1:(0,0,0,1)-18:(2,2,1,1)-23:(1,1,2,1)-36:(2,2,1,0)
1:(0,0,0,1)- 2:(1,0,0,1)- 3:(2,0,0,1)-37:(1,0,0,0)
1:(0,0,0,1)- 4:(0,1,0,1)- 7:(0,2,0,1)-38:(0,1,0,0)
1:(0,0,0,1)- 5:(1,1,0,1)- 9:(2,2,0,1)-39:(1,1,0,0)
1:(0,0,0,1)- 6:(2,1,0,1)- 8:(1,2,0,1)-40:(2,1,0,0)

無限遠点28には、直線1-10-19,2-11-20,3-12-21,4-13-22,5-14-23,6-15-24,7-16-25,8-17-26,9-18-27の9本の直線が通り、同様に無限遠点29～40についてもアフィン空間上の点から9本ずつの直線が通るので、まず、13×9＝117本の直線が含まれます。それに加えて、無限遠点を相互に結ぶ以下の13本の直線が追加されるので、合計130本の直線が含まれます。

37-38-39-40,28-29-30-37,28-31-34-38,
28-32-36-39,31-32-33-37,29-32-35-38,
34-35-36-37,30-33-36-38,28-33-35-40,
30-32-34-40,29-33-34-39,30-31-35-39,29-31-36-40

このようにしてつくった有限体GF(3)上の3次元射影空間は、40個の点と130本の直線を含んでいて、(40,4,1)-デザインとなり、任意の異なる2個の点に対し、その2個の点を全て含むブロックの元はちょうど1個であるという条件も満たすので、2-(40,4,1)-デザインとなります。

130本の直線を10本の直線からなる13組の平行類へ分類するパターンから、40人の女子学生の10卓への13日間の組み分けのパターンが得られるので、Magma Free Online Calculatorの力を借りて求めると、一例として、

1日目
{1,2,3,37},{10,14,18,39},{21,23,25,40},{4,13,22,28},{8,16,27,30},{9,12,24,31},{6,17,19,33},{5,11,26,34},{7,15,20,36},{29,32,35,38}
2日目
{16,17,18,37},{19,22,25,38},{1,6,8,40},{5,14,23,28},{3,10,20,29},{7,11,24,32},{2,13,27,33},{9,15,21,34},{4,12,26,36},{30,31,35,39}
3日目
{7,8,9,37},{20,23,26,38},{10,15,17,40},{2,12,19,29},{6,14,22,30},{1,13,25,31},{5,16,21,33},{3,18,24,34},{4,11,27,35},{28,32,36,39}
4日目
{19,20,21,37},{3,4,8,39},{12,14,16,40},{6,13,23,29},{7,18,26,30},{2,15,25,32},{9,11,22,33},{1,17,24,35},{5,10,27,36},{28,31,34,38}
5日目
{12,15,18,38},{19,23,27,39},{2,4,9,40},{8,17,26,28},{1,11,21,29},{5,13,24,30},{7,10,22,31},{6,16,20,32},{3,14,25,33},{34,35,36,37}
6日目
{1,10,19,28},{5,15,22,29},{9,17,25,30},{8,11,23,31},{3,13,26,32},{4,18,20,33},{6,12,27,34},{7,14,21,35},{2,16,24,36},{37,38,39,40}
7日目
{22,23,24,37},{11,14,17,38},{2,6,7,39},{9,16,26,29},{1,12,20,30},{3,15,27,31},{5,18,19,32},{4,10,25,34},{8,13,21,36},{28,33,35,40}
8日目
{10,11,12,37},{21,22,26,39},{3,5,7,40},{6,15,24,28},{8,18,25,29},{4,16,19,31},{1,14,27,32},{2,17,23,34},{9,13,20,35},{30,33,36,38}
9日目
{2,5,8,38},{20,24,25,39},{11,13,18,40},{3,12,21,28},{7,17,27,29},{4,15,23,30},{1,16,22,34},{6,10,26,35},{9,14,19,36},{31,32,33,37}
10日目
{25,26,27,37},{10,13,16,38},{1,5,9,39},{2,11,20,28},{4,14,24,29},{6,18,21,31},{7,12,23,33},{8,15,19,35},{3,17,22,36},{30,32,34,40}
11日目
{3,6,9,38},{11,15,16,39},{20,22,27,40},{2,14,26,31},{4,17,21,32},{8,10,24,33},{7,13,19,34},{5,12,25,35},{1,18,23,36},{28,29,30,37}
12日目
{4,5,6,37},{21,24,27,38},{12,13,17,39},{7,16,25,28},{3,11,19,30},{9,10,23,32},{1,15,26,33},{8,14,20,34},{2,18,22,35},{29,31,36,40}
13日目
{13,14,15,37},{1,4,7,38},{19,24,26,40},{9,18,27,28},{2,10,21,30},{5,17,20,31},{8,12,22,32},{3,16,23,35},{6,11,25,36},{29,33,34,39}

となります。

カークマンの話で出てきたアーサー・ケイリーですが、八元数のことをケイリー数ともいって、これは、ジョン・グレイヴスとは独立に八元数を発見したアーサー・ケイリーに因んでいます。八元数には7つの虚数単位がありますが、7つの虚数単位の相互の積を記憶する方法で、ファノ平面((7,3,1)-デザイン)が用いられています。

焦点(2,0),(1,√3),(1,-√3),(-1,√3),(-1,-√3),(-2,0)で
{(x-2)^2+y^2}{(x-1)^2+(y-√3)^2}{(x-1)^2+(y+√3)^2}
×{(x+1)^2+(y-√3)^2}{(x+1)^2+(y+√3)^2}{(x+2)^2+y^2}=c^12
c=1.9,1.98,2,2.02,2.1,2.6の場合を描画してみると、
c<2のとき、各焦点の周りに卵形ができる(赤色の曲線)。
c=2のとき、原点で交わる六つ葉型(緑色の曲線)。
c>2のとき、原点での交わりが消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

焦点(2,0),((-1+√5)/2,√(10+2√5)/2),((-1+√5)/2,-√(10+2√5)/2),
((-1-√5)/2,√(10-2√5)/2),((-1-√5)/2,-√(10-2√5)/2)で
{(x-2)^2+y^2}{(x-(-1+√5)/2)^2+(y-(√(10+2√5))/2)^2}{(x-(-1+√5)/2)^2+(y+(√(10+2√5))/2)^2}
×{(x-(-1-√5)/2)^2+(y-(√(10-2√5))/2)^2}{(x-(-1-√5)/2)^2+(y+(√(10-2√5))/2)^2}=c^10
c=1.9,1.98,2,2.03,2.1,2.6の場合を描画してみると、
c<2のとき、各焦点の周りに卵形ができる(赤色の曲線)。
c=2のとき、原点で交わる五つ葉型(緑色の曲線)。
c>2のとき、原点での交わりが消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

焦点(2,0),(0,0),(-2,0)で
{x^2+y^2}{(x-2)^2+y^2}{(x+2)^2+y^2}=c^6
c=1.3,1.4,(256/27)^(1/6)=1.4548…,1.5,1.6,1.7の場合を描画してみると、
c<(256/27)^(1/6)のとき、各焦点の周りに卵形ができる(赤色の曲線)。
c=(256/27)^(1/6)のとき、(√(4/3),0),(-√(4/3),0)で交差する閉曲線(緑色の曲線)。
c>(256/27)^(1/6)のとき、交差が消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

焦点(3,0),(1,0),(-1,0),(-3,0)で
{(x-1)^2+y^2}{(x+1)^2+y^2}{(x-3)^2+y^2}{(x+3)^2+y^2}=c^8
c=1.6,√3=1.732…,1.9,2,2.1,2.2,2.3の場合を描画してみると、
c<√3のとき、各焦点の周りに卵形ができる(紫色の曲線)。
c=√3のとき、原点で交差する8の字型の両側に卵形(赤色の曲線)。
√3<c<2のとき、原点での交差が消失し、中央の2つの卵形が融合(橙色の曲線)。
c=2のとき、(√5,0),(-√5,0)で交差する閉曲線(緑色の曲線)。
c>2のとき、交差が消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

適当にプログラムを作って数えただけですが、20と9792でしょうか。

正解です。

この計算方法が面白く
M=[3C2,3C3,3C5,3C7]
```[5C2,5C3,5C5,5C7]
```[7C2,7C3,7C5,7C7]
```[9C2,9C3,9C5,9C7]

`` =[ 3, 1, 0, 0]
``` [10, 10, 1, 0]
``` [21, 35, 21, 1]
``` [36, 84, 126, 36]

の4×4の行列を使い,その行列式
matdet(M)より
=9792
で算出可能！

普通に数値計算すればよいだけなら、a^x+b^x=c^xの解は適当な初期値から
x←x-(a^x+b^x-c^x)/{(loga)a^x+(logb)b^x-(logc)c^x}
という漸化式で求めればよく、近似値(小数第61位を四捨五入)は
(1) 1.507126591638653133986883360838631164373994094485656896675364
(2) 2.487939173118174667543358494964101710715178304214349713989600
(3) 1.186814390280981717544988040147644615298932643889332006235330
(4) 1.672720934462332544585431252419794866784109546317415204907841

(3),(4)には明示的表示が可能となると思うんですが(1),(2)では無理ですかね？

あ、(3)(4)は解けるんですね。
(a^2)^x+(ab)^x=(b^2)^x
1+(b/a)^x=((b/a)^x)^2
(b/a)^x=(√5+1)/2
∴x=log((√5+1)/2)/log(b/a)
により
(3)はlog((√5+1)/2)/log(3/2)
(4)はlog((√5+1)/2)/log(4/3)
しかし(1)(2)は解ける方程式の形にならないので無理な気がします。
s(a^2)^x+t(ab)^x=u(b^2)^x
のように係数が掛かっていても解けますが、この形にもならないですよね。

hXXp://kuiperbelt.la.coocan.jp/n-gon/n-gon.html
拝読いたしました。

正11角形が作図できないこと、意外に思いました。

角の三等分器を利用すれば開立ができるのは正しいとして、
逆に角の三等分器を利用して新たにできるようになることは開立だけなんでしょうか？

なるほど、角の３等分が許されるとき m, n を非負整数として p が
p = (2^m)*(3^n) +1
と書けるならば
正 p 角形の作図が原理的には可能と。
p は 11 にはなり得ない。

興味深いことです。

[2017] で私が述べたことはちょっと甘すぎで認識誤り、
正しくは「ピアポント素数」(WIKIpedia) の項に書かれています。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%A2%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%83%88%E7%B4%A0%E6%95%B0

m, n を非負整数としてp=(2^m)*(3^n)+1という形の素数をピアポント素数というのですね。
k個の素数p1,p2,p3,...,pk(p1<p2<p3<...<pk)に対して、(p1^n1)*(p2^n2)*(p3^n3)*...*(pk^nk)+1の形の素数を一般化ピアポント素数というそうです。ネウシス作図では、一般の角の三等分と、pがピアポント素数のときの正p角形の作図ができて、他に正11角形の作図もできるそうですが、p=(2^n1)*(3^n2)*(5^n3)+1の一般化ピアポント素数のときの正p角形の作図が可能かどうかは未解決問題なのだそうです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ネウシス作図

3の証明
時計の１２時の位置に点を選び、円周をＮ等分し、その点を選ぶ。
１２時の点から始め、一定の間隔ｄで対角線を結ぶと、
Ｎ回目に元の１２時の位置に戻ることができる。
Ｎｄ≡０(mod N) N'<Nでは、元に戻らない。
一区間の中心角は、２π/Nで、円周角は、π/Ｎである。
一方、その円周角は、区間（Ｎ－２ｄ）の円周角であり、Ｎ個ある。
星形図形の内角の総和＝
（π/Ｎ）＊（Ｎ－２ｄ）＊Ｎ＝（Ｎ－２ｄ）π
N>2dの条件は、同じ形の逆順を避けるためです。

４の証明
d=d'のとき、つまり、ｄがＮの約数、N=de
このとき、頂点がe個の多角形がｄ個できるので、
内角の総和＝ｄ＊（e-2）π＝（de-2d）π＝（Ｎ－２ｄ）π。

4の証明　ｄ＞ｄ’のとき
N/d',　d/d'は、ともに整数で、
頂点の数N/d'個、足跡の長さd/d'　の角は(N/d'-2d/d')πとなり、
同じ図形が、ｄ’個できるので、
出来る図形の内角の総和＝d’（N/d'-２d/d'）π
＝（N-２d）π。

5の証明
頂点表示：σ1,…σn,(o～n-1の置換)
足跡表示：d1,…dn、ｄ(i)=σ(i+1)-σ(i)、σ(n+1)=σ(1)
Σd(i)=Σ(σ(i+1)-σ(i))=0　（Σは、１～Ｎまで）
但し、σ(i)>σ(i+1)のとき、マイナスになるが、左回りで数えるので、
ｄ(i)をN+ｄ(i)に置き換えると、Σd(i)は、Nの倍数となる。
つまり、Σd(i)＝Nｄ（ｄは、平均値）
頂点角表示：e(i)=π/N(N-(d(i)+d(i+1)))
N-(d(i)+d(i+1)>0　(正の角、左回りの角なので,
同じ理由で、N/2>d(i+1),N/2>d(i))から)
円周角の総和＝Σe(i)=π/NΣ(N-(d(i)+d(i+1)))
　　　　　　＝π/N(N^2-Σ（d(i)+d(i+1)）)
　　　　　　＝π/N(N^2-2Nd)=(N-2d)π。
二か所修正しました。

6の証明
N＝n1＋…nk,nk>３のとき
各nkは、サイクルの図形なので、５の証明と同じ。
説明不足があれば、よろしくお願いします。

自分自身になるもの: 1,2,145,40585 の4つ
2個ループ: 871→45361→871 と 872→45362→872 の2つ
3個ループ: 169→363601→1454→169 の1つ
任意の自然数から始めて、1,2,145,169,871,872,40585 のいずれかに到達します。
ただし1になるものは1だけ（0を含めると0と1）です。大半は169になるようです。

ループするものはたくさんあるのかと思ったらかなり少ないんですね。
（途中からループするものを除く）
2個でループ
12→100→12
4個でループ
756822→2600820→1965783→6230170→756822
26個でループ
5242→35460→187201→2419311→3634680→2123281→1815410
→1849711→6053070→786963→6351120→182271→2419400→3638982
→7410330→611292→3780200→2420013→5952→3689370→6200641
→307542→640891→5599451→7353370→1242001→5242
39個でループ
5861→1995850→9132491→7263470→1366651→484580→3669121
→3932030→3631052→182981→7257710→1844741→2434340→16651
→332660→303931→3630971→4386251→2001700→604904→3790082
→6048812→3785141→2455220→65791→4415050→70572→1239931
→7259150→4294181→5453390→3695761→4566970→4571281→2454590
→3699451→7444810→2434331→12340→5861

(追記)
どの数から開始しても、すべて必ず上記のどれかに突入するようです。
つまり、どの数から開始しても必ず12,5242,5861,756822のいずれかに到達するということです。
ループは4種類しか存在しないということになりますね。