😊出会いの泉😊

10000000以下では554455と9343439の2個でしたが、
「10000000以下」を
「100000000000000以下」にしても1個しか増えませんでした。
9^2+10^2+…+118^2 = 554455
331^2+332^2+…+335^2 = 554455
102^2+103^2+…+307^2 = 9343439
657^2+658^2+…+677^2 = 9343439
2967^2+2968^2+…+14087^2 = 923222222329
42462^2+42463^2+…+42967^2 = 923222222329

(追記)
答えが↓ここにありました。
https://oeis.org/A267600

昨年からProject Eulerの問題をproblem1 から順番にプログラムの練習にと解いていて
https://projecteuler.net/about
problem=125にPalindromic Sumsのテーマの問題に（https://projecteuler.net/problem=125）
当たっていた。
いろいろ苦労しながら3日位かけやっと
the sum of all the numbers less than 10^8
that are both palindromic and can be written as the sum of consecutive squares.
の値を算出し答え合わせをすると間違っているとの結果をもらう。
いくら見直してもどこが間違っているかがどうしても分からず、何時間も悩みエクセルに見つけた
その回文的数を貼り付け(168個存在)どこに見落としがあるのか悩んでいた。
ふと重複しているかもの疑問を持ち重複する値があるのかをコマンドの機能を利用すると
なんと2か所で印が付くではないか！
それは同じ値が2つの作り方が存在していることを示していることに相当し、その重複した値を
それぞれ削除し、もう一度合計数を求めその値で尋ねたらやっとのことで正解の返事をもらった。
(168個もあったので重複していることが全く見えていなかった。)

この経験を元に問題を作り尋ねたことでした。
これ以上の重複があるとは思えたが、今までかかった時間を考えると先に進む勇気が出なかった。
OEISのA267600にそれが載っているとは世の中誰かが調べているものですね。
a(4) > 10^18, if it exists
のメモを見るだけでもう腰が引けてしまいます。

これを短時間で見出すらすかるさんの手腕に敬服です。

九九の表に現れない数字を小さい順に並べたものと考えると、答えは「２３」かな？

管理人様

大当たりぃ～でござりまする。。。

大変、遅くなりましたが、
本年もよろしくお願いいたします。

１１　１３　１７　１９　２２
といきなり素数以外の22が入り込んで来るので、戸惑ってしまいました。
そこで
1,2,3,5,7,11,13,17,19,22,23,25,26,29,
と続いていく数列の次の10個の数は何でしょう？

31、33、34、37、38、41、43、46、47、51 ですか？

大正解です。
必ず素数は入っているが、それ以外にも合成数が時々入り込めるところが面白い。
ベルトランの仮説がここから発生しているらしく、よくもこんな性質に着目できるものだと感心します。
またこれを証明したチェビシェフの能力にも脱帽です。

三線極点(trilinear pole)と三線極線(trilinear polar)のことですよね？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E7%B7%9A%E6%A5%B5%E7%B7%9A


これが何かの一般化なのかどうか私は知りませんが、
円や二次曲線の極・極線とは無関係だと思った方がいいと思います。

よくあることですが、別のものに同じような名称が使われていると紛らわしいですよね。


この図で基準三角形を△ABCとするとき、点Pと直線UVWが三線極点・三線極線の関係にあります。

No.2538 の図について説明を書いておこうと思います。

以下では射影平面で考えることとし、
ユークリッド平面で必要な平行線の場合分けを一切省略します。

点から始める場合と直線から始める場合でそれぞれ説明ができますが、
それぞれの説明は射影幾何の双対の関係にあります。


(1)[点Pから始める場合]

基準三角形を△ABCとします。
点Pは直線BC,CA,AB上にない点とします。

BCとAPの交点をA'，CAとBPの交点をB'，ABとCPの交点をC'とするとき、
△A'B'C'を(△ABCに関する)点Pのチェバ三角形といいます。

基準三角形△ABCとチェバ三角形△A'B'C'は点Pを中心とする配景の位置にあるので
デザルグの定理により配景の軸が存在します。
すなわち、BCとB'C'の交点U，CAとC'A'の交点V，ABとA'B'の交点Wはある直線l上にあり、
この直線lを(△ABCに関する)点Pの三線極線といいます。

また、A,A'に関する点Pの調和共役点をA''，B,B'に関する点Pの調和共役点をB''，
C,C'に関する点Pの調和共役点をC''とするとき、
△A''B''C''を(△ABCに関する)点Pの反チェバ三角形といいます。
4点A,U,B'',C''，4点B,V,C'',A''，4点C,W,A'',B''はそれぞれ一直線上にあります。

基準三角形△ABCと反チェバ三角形△A''B''C''は点Pを中心とする配景の位置にあるので
デザルグの定理により配景の軸が存在しますが、それは直線lに一致します。


(2)[直線lから始める場合]

基準三角形を△ABCとします。
直線lは点A,B,Cを通らない直線とし、
直線lと直線BC,CA,ABの交点をそれぞれU,V,Wとします。

3直線AU,BV,CWを辺とする三角形を△A''B''C''とします。
(BVとCWの交点をA''，CWとAUの交点をB''，AUとBVの交点をC''とします。)

基準三角形△ABCと△A''B''C''は直線lを軸とする配景の位置にあるので
デザルグの定理により配景の中心が存在します。
すなわち、3直線AA'',BB'',CC''はある点Pで交わり、
この点Pを(△ABCに関する)直線lの三線極点といいます。

また、BC,AUに関する直線lの調和共役線をi，CA,BVに関する直線lの調和共役線をj，
AB,CWに関する直線lの調和共役線をkとするとき、
3直線i,j,kを辺とする三角形を△A'B'C'とします。
(jとkの交点をA'，kとiの交点をB'，iとjの交点をC'とします。)
4直線BC,AA'',j,k，4直線CA,BB'',k,i，4直線AB,CC'',i,jはそれぞれ一点で交わります。

基準三角形△ABCと△A'B'C'は直線lを軸とする配景の位置にあるので
デザルグの定理により配景の中心が存在しますが、それは点Pに一致します。

すみません、最後の一文の0も偶数に含めるものとする、は余計でしたね！

辺上の格子点が奇数個⇔辺の中点が格子点⇔辺の両端の座標の偶奇がx,yとも同じ
辺上の格子点が偶数個⇔辺の中点が非格子点⇔辺の両端の座標の偶奇がx,yいずれかで異なる
となるから、問題の条件ではA,B,Cの座標の偶奇はx,yとも同じ
そしてDとCは座標の偶奇がx,yいずれかで異なるから
DとAも座標の偶奇がx,yいずれかで異なることになり、
辺DA上の格子点の個数は必ず偶数個。

正解です！
ちょっと簡単過ぎましたかね。

133の後に1をn個続けて素数になる最小のnは2890ですから、それらの値はすべて合成数とわかっています。
実際、それらの値をPari/GPでisprime((10^2248*1198-1)/9)のように調べると、すべて(1秒以内で)0(つまり合成数)と判定されます。
参考: https://oeis.org/A069568
↑このページのデータは私が2023年にa(119)～a(602)を追加するまではa(1)～a(118)までしかありませんでした。
603の後に1を何個続けると素数になるかは、おそらく誰もわかっていないと思います。
（少なくとも30万個までは合成数でした。）

らすかるさん、偉業ですね。

※ (11980000*(1000000^(n))-1)/9 → 実はこちらの変種でもがいておりました。(⁠゜⁠o⁠゜⁠;

a(603) が不明とのこと、大変に心惹かれます。

白状しますと
MAGMA で以下のコードで走らせて素数がみつかっていなかったので悲しいです。

for n in [4000] do
p := (1198 * 10^n - 1) div 9;
if IsPrime(p) then
printf "n = %o, candidate = %o\n", n, p;
end if;
end for;

Python で下記を走らせたところ、たしかに、
n = 2890 で素数となりました。

from sympy import isprime

# n を 2889 から 2891 の範囲で調べる
n_range = range(2889, 2892)

# 結果を格納する変数
prime_results = []

for n in n_range:
P_n = (1198 * 10**n - 1) // 9 # 整数値を計算
if isprime(P_n):
prime_results.append((n, P_n)) # n とその素数を記録

prime_results # 結果を出力

> ※ (11980000*(1000000^(n))-1)/9 → 実はこちらの変種でもがいておりました。(?゜?o?゜?;

(10^n*1198-1)/9 は
nが奇数のとき11で割り切れ、
n≡0 (mod 6)のとき7で割り切れ、
n≡2 (mod 6)のとき3で割り切れますので、
素数になるとしたら
n≡4 (mod 6)しかありません。
それを表したのが
(11980000*(1000000^(n))-1)/9
ですね。
（つまり「変種」すなわちこの形にならない(10^n*1198-1)/9は合成数なので、調べる必要がないということです）

n=2890の次に素数になるのはn=17710でした。
ただし、n=17710のときの値は確率的素数です。

らすかるさん、有難うございます。
C言語で組まれていますか？

はい、C言語です。

らすかるさん、
御回答をありがとうございました。

それらは数列サイト（https://oeis.org/Axxxxxx）の以下の項目にありますね。
21111…111が素数: A056700
31111…111が素数: A056704
41111…111が素数: A056706
51111…111が素数: A056713
61111…111が素数: A056717
71111…111が素数: A056719
81111…111が素数: A056722
91111…111が素数: A056726
また、関連するものは以下の通りです。
13333…333が素数: A056698
23333…333が素数: A056701
43333…333が素数: A056707
53333…333が素数: A056714
73333…333が素数: A056720
83333…333が素数: A056723
17777…777が素数: A089147
27777…777が素数: A056702
37777…777が素数: A056705
47777…777が素数: A056708
57777…777が素数: A056715
67777…777が素数: A056718
87777…777が素数: A056724
97777…777が素数: A056727
19999…999が素数: A002957
29999…999が素数: A056703
49999…999が素数: A056712
59999…999が素数: A056716
79999…999が素数: A056721
89999…999が素数: A056725
ちょうど今、これらの未開拓な部分について計算しているところです。
17777…777は一つ見つけましたので、先月追加しました。

あと、Pari/GPでは4500桁ぐらいまでは決定的素数判定法で素数かどうか調べられます。
ただし、4500桁となるとメモリが12GB、時間が（最近のPCで）15時間程度必要です。
私のPCはメモリが16GBしかありませんのでこの程度が限界ですが、
さらにメモリがあれば5000桁ぐらいまではいけると思います（ただし数日～1週間ぐらいかかります）。
そんな感じなので、8111…111の474個、902個はPari/GPでは1分程度で決定的素数と判定できます。

p=2,3,5,...に対して、p(p-1)^2/2=1,6,40,...となりますが、ksさんが考えたQ_p(p=2,3,5,...)での既約な二次式というのはどのようなものでしょうか。p=2,3の場合だけでも例示していただけないでしょうか。

p進数体の二次拡大体は、2進数体Q_2については、Q_2(√2)、Q_2(√3)、Q_2(√6)、Q_2(√-1)、Q_2(√-2)、Q_2(√-3)、Q_2(√-6)の7つの二次拡大体があり、p進数体(p>2)Q_pについては、Q_p(√p)、Q_p(√n)、Q_p(√(np))の3つの二次拡大体があります。ただし、nはQ_pに平方根をもたない数です。

Q_2の二次式では、x^2-2,x^2-3,x^2-6,x^2+1,x^2+2,x^2+3,x^2+6が既約となりますが、α=2,3,6,-1,-2,-3,-6とすると、a,b∈Q_2,(x+a)^2-b^2*α=x^2+2ax+(a^2-b^2*α)も既約となります。
Q_p(p>2)の二次式では、x^2-p,x^2-n,x^2-npが既約となりますが、α=p,n,npとすると、a,b∈Q_p,(x+a)^2-b^2*α=x^2+2ax+(a^2-b^2*α)も既約となります。

Q_3では、2の平方根は存在しませんが、-2の平方根は存在し、3進法表記で
...01101021200010200211,
...21121201022212022012
が平方根となります。√-1=√2/(√-2)なので、Q_3(√-1)=Q_3(√2)となり、Q_3の3つの二次拡大体は、
Q_3(√3)、Q_3(√2)=Q_3(√-1)、Q_3(√6)=Q_3(√-3)となります。

Q_5では、2,3の平方根は存在しませんが、3/2の平方根は存在し、5進法表記で
...23333103203131132432,
...21111341241313312013
が平方根となります。√3=√2*√(3/2)なので、Q_5(√3)=Q_5(√2)となり、Q_5の3つの二次拡大体は、
Q_5(√5)、Q_5(√2)=Q_5(√3)、Q_5(√10)=Q_5(√15)となります。

Q_5には-1の平方根も存在して、5進法表記で
...40423140223032431212,
...04021304221412013233
が平方根となります。

p>2の素数として、Jacobi記号(a/p)を用いると、(a/p)=-1のときはaはpを法として平方非剰余で、(a/p)=1のときはaはpを法として平方剰余となります。

p=4n+3の素数のときは、平方剰余の第一補助法則
(-1/p)=(-1)^((p-1)/2)より(-1/p)=(-1)^(2n+1)=-1
となるので-1はpを法として平方非剰余となり、p=4n+3ときは、Q_pに-1の平方根が存在せず、3つの二次拡大体は、Q_p(√p)、Q_p(√-1)、Q_p(√-p)となります。このような素数は、p=3,7,11,19,...などがあります。
これに対して、p=4n+1(p=5,13,17,...)のときはQ_pに-1の平方根が存在します。

p=8n+3,8n+5(=8n-3)の素数のときは、平方剰余の第二補助法則
(2/p)=(-1)^((p^2-1)/8)より(2/p)=(-1)^(8n^2±6n+1)=-1
となるので2はpを法として平方非剰余となり、
p=8n+3の素数はp=4n+3の素数でもあるので、Q_pに-1の平方根が存在しませんが、p=8n+5の素数はp=4n+1の素数でもあるので、Q_pに-1の平方根が存在するかわりに2の平方根が存在せず、3つの二次拡大体は、Q_p(√p)、Q_p(√2)、Q_p(√(2p))となります。このような素数は、p=5,13,29,...などがあります。
これに対して、p=8n+1(p=17,41,...)のときはQ_pに-1と2の平方根が存在します。

平方剰余の相互法則
(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)/2*(q-1)/2)
より、q=3とすると、
(p/3)(3/p)=(-1)^((p-1)/2)
で、p=8n+1のときは(p/3)(3/p)=1ですが、p=3m+2のときは(p/3)=-1なので、(3/p)=-1で3はpを法として平方非剰余となります。p=8n+1かつp=3m+2となるのはp mod 24=17のとき(p=17,41,89,...)で、この場合は、3つの二次拡大体は、Q_p(√p)、Q_p(√3)、Q_p(√(3p))となります。
これに対して、(p/3)=1となるp=3m+1のときは、p=8n+1かつp=3m+1であってp mod 24=1(p=73,97,...)であり、このときはQ_pに-1と2と3の平方根が存在します。

Q_17では、-1と2の平方根が存在して、A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15,G=16とした17進法表記を用いると、
-1の平方根は、
...5E81F0160E3D8CGC5A24,
...B28F1GFAG2D38404B6ED
2の平方根は
...2A2E9AB511E922CB822B,
...E6E2765BFF27EE458EE6
とそれぞれ表されます。

有難うございます。
P=2のときの、既約な二次式
x^2+x+1
P=3のときの、既約な二次式
x^2+1,2x^2+2,…など

ksさんの考えでは、p=2でx^2+1とかx^2-2は既約にならないのでしょうか。
p=3で2x^2+2=2(x^2+1)ですが・・・p=3の他の4種類(5種類?)の既約二次多項式はどのようなものでしょうか？

P=3のときの、残りの４個は
x^2+x+2,2x^2+2x+1,x^2+2x+2,2x^2+x+1
素数P進法の二次式の個数は（ｐ－1）ｐ＾２で
そのうち、可約な個数は、ｐ（ｐ＋1）（ｐ－1）／2
既約な個数　ｐ（ｐ－1）＾2／2

有限体GF(p)上でx^2の係数が1の既約多項式は、
p=2で
x^2+x+1の1個
p=3で
x^2+1,x^2+x+2,x^2+2x+2の3個
p=5で
x^2+2,x^2+3,x^2+x+1,x^2+x+2,x^2+2x+3,^2+2x+4,x^2+3x+3,x^2+3x+4,x^2+4x+1,x^2+4x+2
の10個なので、有限体GF(p)上での既約多項式の総数は、p=2,3,5でたしかに1,6,40となりますね。
ksさんが言っていたP進数体というのは有限体のことだったのですね。

あらら……。
6300日を超える連続更新が……。

何処までも続いて欲しかったのですが、残念です。

22日に発生したシステム障害は基地局の機器の不具合によるものでした。27日に解消したようですが、今度は我が家のネットワーク機器の不具合で、インターネットに接続できないでいます。接続業者から明日代替の機器が届く予定です。更新再開までもうしばらくお待ちください。

本日朝９時頃、宅配便が届き、急ぎ機器の設置を行い、９時半ごろ無事機器の動作確認を終了しました。
８日ぶりの更新となります。また末永くご愛顧のほどお願い申し上げます。

このサイトに入るとまず更新記録が続いているか確認し、
来場者数が昨日よりが100増えてるのを確認してから掲示板に移動するのが
ルーティンでしたので更新再開はうれしいかぎりです。

連続更新が途切れたのは残念でしたが、無事に再開できてよかったです。
これからもよろしくお願いします。

今回のネットワーク障害のおかげで、だいぶ勉強になりました！接続業者のサポートセンターへの電話は、午前中よりも午後の方がつながりやすいこと。今回の不運は、障害が起こったのが土曜日で、次の日が日曜、またその次の日が祝日であったこと。サポートセンターは平日しか電話を受け付けないようなので、サポートを受けるまで３日間待たされました。２５日（火）に不具合の電話を入れたところ、回線の状態を調べてみるとのことで、その結果、２６日（水）にエリアの基地局に機器の不具合が発生していたことが分かったようです。２７日（木）に基地局の機器の不具合が解消しましたが、今度は我が家のルーターが故障したようです。２７日の午前中に、一瞬インターネットがつながったのですが、すぐに切れてしまいました。多分そのときにルーターが壊れたのでしょうね。２７日の午後にサポートセンターに電話を入れたところ、ルーターの交換を提案されて、無事に３月２日（日）に回線が復旧しました。家の中ではwi-fiを使っているのですが、テレビやスマホのwi-fiの再設定が必要でした。さらに、プリンタも。スマホからプリンタに出力するのに、wi-fiを経由してつながっていることに気づかされました。意外でした。