😊出会いの泉😊

60°を元にするより90°を元にした方が綺麗に書けますよね。
sinθ°=(i^(θ/90)-i^(-θ/90))/(2i)
cosθ°=(i^(θ/90)+i^(-θ/90))/2
60°や45°にしてわざと複雑にしてるのかな？

境界線上が厳密には含まれないことは気にしないということでいいんですかね？

(1)
S = (25/2)π - (25/2)√3
鋭角三角形の場合、各辺を直径とする3つの円全ての内部になります。
よって、半径5、中心角π/3の扇形を3つ足して、1辺5の正三角形を2回引けばよいです。

(2)
手段は何を使ってもいいそうなので、計算方法を教えてchatGPTに計算してもらった結果、
S = (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*pi) - 3*sqrt(26)
= 11.0678
だそうで。（あまり信頼はしていない）

共に正解です。
(1)は何度も紙を折って実験していてやっとのことで気付けました。
特に(2)は自分で適当に数値を指定して、座標で三角形を配置しシコシコと計算を繰り返して
結構面倒な作業を組み合わせていきました。
てっきりこんな面倒な値を一つの式で表せるとは思ってもみなかったのですが、chatGTPでは
こんな返事も返してくるんですか？
まさにこの式を計算させてみたらあれだけ時間をかけてやっと辿り着いた値に小数第何位までも
ピタリと一致するではないですか！
恐るべしGTP
だれかこの公式を説明してくれませんか？

お、合ってましたか、chatGPTもなかなかやりますね。


折った後が六角形になるということは、元々の3つの辺それぞれ、一部が外周として残らねばなりません。

辺ABの一部が六角形でも辺として残る
⇔線分PAとPBの垂直二等分線が辺ABの外で交わる
⇔△PABの外心が辺ABの外にある
⇔∠APBが鈍角
⇔点Pが辺ABを直径とする円の内部にある
ということなので、各辺を直径とする円を3つ描いて、それら全ての内部かつ三角形の内部である領域が点Pの存在範囲です。

それらの3円すべての内部にある範囲は、辺が膨らんだ三角形モドキDEFみたいな形をしており、その3頂点D,E,Fは△ABCの各頂点から向かいの辺に引いた垂線の足の位置にあります。
△ABCが鋭角三角形の場合は、図形的に考えれば、三角形モドキDEFは膨らみ分まで△ABCの中に完全に収まります。

ということで、最終的に求めるべきは三角形モドキDEFの面積です。
これは
(i) △DEFの面積を出す（△ABCの1/4)
(ii) 辺DEから膨らんだ部分の面積を出す（扇形から二等辺三角形を引く）
(iii) 辺EFから膨らんだ部分の面積を出す
(iv) 辺FDから膨らんだ部分の面積を出す
(v) これら4つを合計する
で可能です。

(1)は自分でやり、(2)はこの手順をchatGPTに指示してやってもらいました。

> ということで、最終的に求めるべきは三角形モドキDEFの面積です。
> これは
> (i) △DEFの面積を出す（△ABCの1/4)
> (ii) 辺DEから膨らんだ部分の面積を出す（扇形から二等辺三角形を引く）
> (iii) 辺EFから膨らんだ部分の面積を出す
> (iv) 辺FDから膨らんだ部分の面積を出す
> (v) これら4つを合計する
> で可能です。

このやり方で自分なりに求めた時、あえて一つの式で表すと

gp > 748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))
%577 = 11.0677912894652773427086973960
但し
c1=acos(-17/225);
c2=acos(647/1225);
c3=acos(391/441);
とします。
なおGTPからの式
gp > (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)
%578 = 11.0677912894652773427086973960
で全く同じ値が出ます。

膨らんだ部分を出す時に角度が公式に使われている∠A,∠B,∠C
の部分だけで済まされているのが不思議でなりません。

まず、sin(c1)などは、cos(c1)がわかっているのだから求められますね。

acosの中身の違いは、1-2*(5/21)^2 = 391/441などの関係が成り立つことから、おそらく「扇形の中心角を半分にして直角三角形で求める」か「余弦定理で求める」かの違いが出ているのかなと思います。

あとは、c1+c2+c3=πになる関係を使って、chatGPTは謎の変形を最後にしたようですね。
π消すとかすればいいのに。

748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))･･･････････(*)
ただし
c1=acos(-17/225);
c2=acos(647/1225);
c3=acos(391/441);

(1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)･････(**)



(*)から(**)を導く
{*)式での
c1=acos(-17/225)=acos(1-2*(11/15)^2)=acos(-(2*(11/15)^2-1))=Pi-acos(2*(11/15)^2-1)･･･①
ここで△ABCでからcos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)=(10^2+9^2-7^2)/(2*10*9)=11/15
よって C=acos(11/15)
ここに2倍角の公式で
cos(2*θ)=(cos(θ))^2-1 より①は
c1=Pi-acos(cos(2*C))=Pi-2*C
また
sin(c1)=sin(Pi-2*C)=sin(2*C)
これから
c1-sin(c1)=Pi-2*C-sin(2*C)
同様にして
c2-sin(c2)=Pi-2*B-sin(2*B)
c3-sin(c3)=Pi-2*A-sin(2*A)

以上から
(*)=748/735*sqrt(26)+1/8*(49*(Pi-2*C-sin(2*C))+81*(Pi-2*B-sin(2*B))+100*(Pi-2*A-sin(2*A)))
=748/735*sqrt(26)+1/8*(230*Pi-49*(2*C+sin(2*C))-81*(2*B+sin(2*B))-100*(2*A+sin(2*A)))
=748/735*sqrt(26)+115/4*Pi-230/4*Pi+230/4*Pi+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)+115/4*Pi-230/4*Pi+460/8*Pi+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26) -115/4*Pi+460/8*(A+B+C)+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/8*((460-98)*C+(460-162)*B+(460-200)*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/8*(362*C+298*B+260*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/4*(181*C+149*B+130*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
さていよいよ最後の( )の部分は
49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A)
=98*sin(C)*cos(C)+162*sin(B)*cos(B)+200*sin(A)*cos(A)
=98*sqrt(1-(11/15)^2)*11/15+162*sqrt(1-(17/35)^2)*17/35+200*sqrt(1-(5/21)^2)*(5/21)
=98*2/15*sqrt(26)*11/15+162*6/35*sqrt(26)*17/35+200*4/21*sqrt(26)*5/21
=(98*2*11/(15*15)+162*6*17/(35*35)+200*4*5/(21*21))*sqrt(26)
=23624/735*sqrt(26)
従ってsqrt(26)の部分を整理すると
(748/735-1/8*23624/735)*sqrt(26)=-3*sqrt(26)
これを改めて整理すれば
(*)=1/4*(130*A+149*B+181*C-115*Pi)-3*sqrt(26)
=1/4*(130*acos(5/21)+149*acos(17/35)+181*acos(11/15)-115*Pi)-3*sqrt(26)=(**)

やっと理解できました。

多分うまい解き方があるのだろうと思いますが、
全く思いつかなかったのでゴリゴリ計算しました。

BE：ED=a：bのときt=a/(a+b)とすると
AE：EC=7t^2-4t+1：7t(1-t)
これより
(四角形ABCD)={(3t+1)/(7t^2-4t+1)}△ABD

ある角がθ、対辺がa、残る2辺の比がb：cである三角形の面積は
S=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}
であることから△ABD=3√3/14

よって四角形ABCDの面積は
(3√3)(3t+1)/{14(7t^2-4t+1)}
なので
(1)t=3/7を代入して6√3/7
(2)t=2/5を代入して165√3/182

解答ありがとうございます。
2つとも同じ値になっていました。
自分のやり方に較べ、遥かに簡略な方法でらすかるさんは求められています。

「簡略な方法」に見えるのは、おそらく「途中計算の大半を省略」したためかと思います。
公式っぽいものを出すだけで大変手間がかかっています。

△ABCにおいてAB：ACがb：cであるとし、∠A=θ、BC=aとする。
AB=bk、AC=ckとすると余弦定理により
a^2=b^2k^2+c^2k^2-2bck^2cosθ
これをkについて解くと
k=a/√(b^2+c^2-2bccosθ)
本問の場合はa=√3、b=1、c=2、θ=120°なので代入してkを求めると
k=√3/√(1+4+2)=√(3/7)=√21/7
∴AB=bk=√21/7、AC=ck=2√21/7
また
各辺の2乗は
a^2
(bk)^2=a^2b^2/(b^2+c^2-2bccosθ)
(ck)^2=a^2c^2/(b^2+c^2-2bccosθ)
簡略化のためt^2=b^2+c^2-2bccosθとすると
(bk)^2=a^2b^2/t^2
(ck)^2=a^2c^2/t^2
これを
# 各辺の長さの2乗をp,q,rとすると
# 三角形の面積はS=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
という変形ヘロンの公式に代入して整理すると
S=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
(途中計算省略)
=a^2/(4t^2)*√{(2b^2+2c^2-t^2)t^2-(b^2-c^2)^2}
=a^2/(4(b^2+c^2-2bccosθ))*√{(2b^2+2c^2-(b^2+c^2-2bccosθ))(b^2+c^2-2bccosθ)-(b^2-c^2)^2}
(途中計算省略)
=(a^2bcsinθ)/{2(b^2+c^2-2bccosθ)}
=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}

ここまでで
AB=√21/7、AC=2√21/7、S=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}
が得られました。

次にこれを座標に当てはめます。
円をx^2+y^2=1とし、
B(-√3/2,1/2)
D(√3/2,1/2)
Bを中心として半径が√(3/7)である円
(x+√3/2)^2+(y-1/2)^2=3/7
とx^2+y^2=1の交点を求めると
A(-3√3/14,13/14)
Eはt=0のときBに一致、t=1のときDに一致するように
E=B+t(D-B)=((t-1/2)√3,1/2)
とします。

Aを通る直線の式を
y=m(x+3√3/14)+13/14
とおくとy軸に平行な直線を表せず問題があるので
x=m(y-13/14)-3√3/14
とします。
これにE((t-1/2)√3,1/2)を代入してmを求めると
m=-(7t-2)/√3
よって直線の式は
x=-{(7t-2)/√3}(y-13/14)-3√3/14
=-(√3/42){9+(7t-2)(14y-13)}
これをx^2+y^2=1に代入してxを消去し、yの式を導出すると
(1/588){9+(7t-2)(14y-13)}^2+y^2=1
(途中計算省略)
28(7t^2-4t+1)y^2-4(7t-2)(13t-5)y+13(13t^2-10t+1)=0
∴y=13/14, (13t^2-10t+1)/{2(7t^2-4t+1)}
AEのy座標の差は13/14-1/2=3/7
ECのy座標の差は1/2-(13t^2-10t+1)/{2(7t^2-4t+1)}=3t(1-t)/(7t^2-4t+1)
よって
AE：EC=3/7：3t(1-t)/(7t^2-4t+1)
=(7t^2-4t+1)：7t(1-t)
なので
AE：AC=(7t^2-4t+1)：(7t^2-4t+1)+7t(1-t)
=7t^2-4t+1：3t+1
となり
(四角形ABCD)={(3t+1)/(7t^2-4t+1)}△ABC
が言えました。

これ、そんなにややこしいですかね？

円に内接する四角形ABCDとその対角線の交点Eについて、
AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
が成り立ちます。
（証明は三角形の相似で一瞬）

BC*BA/BE = DA*DC/DE
の部分を使います。

事前に正弦定理で BD = √3 は出しておきます。

(1)
AB = x とすると、AD = 2x
CB = 3y とすると、CD = 2y
△ABDと△CBDに注目して、
余弦定理より 7x^2 = 7y^2 = 3
よって求める面積は S = (x^2 + 3y^2) * √3/2 = 6√3/7

(2)
AB = x とすると、AD = 2x
CB = 4y とすると、CD = 3y
△ABDと△CBDに注目して、
余弦定理より 7x^2 = 13y^2 = 3
よって求める面積は S = (x^2 + 6y^2) * √3/2 = 165√3/182

やはり簡単な解き方があったのですね。
全く思いつきませんでした。

> 円に内接する四角形ABCDとその対角線の交点Eについて、
> AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
> が成り立ちます。
> （証明は三角形の相似で一瞬）

が面白く、この値が一体どんな値を取るのかを
(1)EはBDを3:4に内分する。
(2)EはBDを2:3に内分する。
の場合について調べると
(1)なら√3
(2)なら10*√(3/91)
が対応した。

そこでこの円に内接する四角形での設定を一般化して
半径Rの円に内接する四角形ABCDで
AD=k*AB,　∠BAD=θ
対角線AC,BDの交点をEとするとき
BE:ED=1:t
である時の
AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
はどんな値を取るのかを求めることをしてみた。
その結果
2*k*(t+1)*R*sin(θ)/√(k^2+t^2+2*k*t*cos(θ))*(k^2-2*k*cos(θ)+1))
が上記の各比が一定の値となるものとなるようだ。

円に内接する四角形にトレミーの定理や、DD++氏が指摘した4つの各組での比の相等
などある意味美しい関係にバランスが保たれている姿が見れました。

「1連続」は除外します。
(1)
2833は素数なので1以外の奇数の約数は2833のみ
2833÷2833=1, 中心が1で2833項となる連続整数列は-1415～1417
-1415～1415は相殺されて1416～1417
∴1416+1417=2833

(2)
2834=2×13×109なので1以外の奇数の約数は13,109,1417
2834÷13=218, 中心が218で13項となる連続整数列は212～224
∴212+213+214+…+224=2834
2834÷109=26, 中心が26で109項となる連続整数列は-28～80
-28～28は相殺されて29～80
∴29+30+31+…+80=2834
2834÷1417=2, 中心が2で1417項となる連続整数列は-706～710
-706～706は相殺されて707～710
∴707+708+709+710=2834

(3)
2835=3^4×5×7なので1以外の奇数の約数は
3,5,7,9,15,21,27,35,45,63,81,105,135,189,315,405,567,945,2835
2835÷3=945, 945-(3-1)/2～945+(3-1)/2 → 944～946
2835÷5=567, 567-(5-1)/2～567+(5-1)/2 → 565～569
2835÷7=405, 405-(7-1)/2～405+(7-1)/2 → 402～408
2835÷9=315, 315-(9-1)/2～315+(9-1)/2 → 311～319
2835÷15=189, 189-(15-1)/2～189+(15-1)/2 → 182～196
2835÷21=135, 135-(21-1)/2～135+(21-1)/2 → 125～145
2835÷27=105, 105-(27-1)/2～105+(27-1)/2 → 92～118
2835÷35=81, 81-(35-1)/2～81+(35-1)/2 → 64～98
2835÷45=63, 63-(45-1)/2～63+(45-1)/2 → 41～85
2835÷63=45, 45-(63-1)/2～45+(63-1)/2 → 14～76
2835÷81=35, 35-(81-1)/2～35+(81-1)/2 → -5～75 → 6～75
2835÷105=27, 27-(105-1)/2～27+(105-1)/2 → -25～79 → 26～79
2835÷135=21, 21-(135-1)/2～21+(135-1)/2 → -46～88 → 47～88
2835÷189=15, 15-(189-1)/2～15+(189-1)/2 → -79～109 → 80～109
2835÷315=9, 9-(315-1)/2～9+(315-1)/2 → -148～166 → 149～166
2835÷405=7, 7-(405-1)/2～7+(405-1)/2 → -195～209 → 196～209
2835÷567=5, 5-(567-1)/2～5+(567-1)/2 → -278～288 → 279～288
2835÷945=3, 3-(945-1)/2～3+(945-1)/2 → -469～475 → 470～475
2835÷2835=1, 1-(2835-1)/2～1+(2835-1)/2 → -1416～1418 → 1417～1418
∴
944+945+946
=565+566+567+…+569
=402+403+404+…+408
=311+312+313+…+319
=182+183+184+…+196
=125+126+127+…+145
=92+93+94+…+118
=64+65+66+…+98
=41+42+43+…+85
=14+15+16+…+76
=6+7+8+…+75
=26+27+28+…+79
=47+48+49+…+88
=80+81+82+…+109
=149+150+151+…+166
=196+197+198+…+209
=279+280+281+…+288
=470+471+472+…+475
=1417+1418
=2835

「どのようなもの」とは、例を書けば良いのでしょうか。もしそうなら例えば
n=6: (1,6)(2,5)(3,4)
n=12: (1,2,11,12)(3,4,9,10)(5,6,7,8)
n=18: (1,2,3,16,17,18)(4,5,6,13,14,15)(7,8,9,10,11,12)
n=24: (1,2,3,4,21,22,23,24)(5,6,7,8,17,18,19,20)(9,10,11,12,13,14,15,16)
・・・
n=6m:
(1,2,…,m-1,m,5m+1,5m+2,…,6m)
(m+1,m+2,…,2m-1,2m,4m+1,4m+2,…,5m)
(2m+1,2m+2,…,3m-1,3m,3m+1,3m+2,…,4m)

(追記)
n=6m+0,2,3,5のそれぞれの場合についての分け方の一般形の例が作れましたのでまとめます。
n=6m+0の場合(m≧1): それぞれの合計は m(6m+1)
(1～m, 5m+1～6m) と (m+1～2m, 4m+1～5m) と (2m+1～4m)
n=6m+2の場合(m≧1): それぞれの合計は (2m+1)(3m+1)
(1～m,4m+1～4m+2,5m+3～6m+1) と (m+1～2m+1,4m+3～5m+2) と (2m+2～4m,6m+2)
n=6m+3の場合(m≧1): それぞれの合計は (2m+1)(3m+2)
(1～m+1, 2m+1, 5m+4～6m+3) と (m+2～2m, 4m+3～5m+3) と (2m+2～4m+2)
n=6m+5の場合(m≧0): それぞれの合計は (m+1)(6m+5)
(1～m,5m+5～6m+5) と (m+1～2m+1,4m+4～5m+4) と (2m+2～4m+3)
※mに具体値を代入してa～a-1のように終値が始値より1小さくなる場合、その範囲は削除(n=5,8,9の場合に発生)
※n=6m+1,4の場合は総計が3の倍数ではないので3分割できません。

一般の等差数列、項数＝ｎ、初項＝a、公差=d　置くとき
a,a+d,…、a+(n-1)d　折り返して、和を取ると全て等しくなるので、
項数が６の倍数であれば、３分割して、和を等しくすることが可能です。
（n,a,d）=(6k,a,ｄ)

１，２，３，４，５は、分割して和を等しくすることが可能ですが、
a倍して、a,２a，３a，４a，５a も可能です。(5,a,a)

分割可能であれば、公差a の等差数列、初項a　を自由に作ることが可能。

１，２，３，４，５，６，７，８，９　の場合
｛９，１，５｝、｛８，３，４｝、｛７，２，６｝と
｛１，２，３，９｝、｛７，８｝、｛４，５，６｝複数解もあることが分かりました。

6m+5 5,11,17,23,…
6m+3 9,15,21,27,…
6m+2 8,14,20,26,…
については、5,9,8は、分割可能なので、残り6の倍数を足した数については、6の倍数が、3つの組に等分割可能なので、振り分けて、全体が、分割可能になります。

6m,6m+2,6m+3,6m+5
のとき、3分割可能でしたが、
3k-1,3ｋとまとめることができます。但しｋは、2以上

一般ｋ分割の場合
n=2k-１または、2kのとき、ｋ分割可能
但し、３分割のときは、6ｍ、6ｍ－１以外もありますので、全てではない。

経路中で2頂点を通るものは6通り
ちょうど1頂点を通るものは6×(10C5-2)=1500通り
頂点を通らないものは6×(15C5-3-2×(10C5-2))=15000通り
よって全部で16506通り

n種類の性質のうちの、ちょうどk種類の性質のみを保有する
オブジェクトの数を e_k とします。
また、n種類の性質のうちの、特定のk種類の性質を保有する
(このk種類以外の性質を保有していてもよい)オブジェクトの数を
n_kとし、すべての k-部分集合(これらの部分集合は全部でcomb(n,k)個ある)
に対してn_kを足し合わせたものを N_k とします。
このとき、等式
N_k = Σ[j=k～∞]comb(j,k)*(e_j) --- (★)
が成立しています。
E(x)=Σ[k≧0](e_k)*x^k，
N(x)=Σ[k≧0](N_k)*x^k
とします。そうすると、
N(x)
=Σ[k≧0](N_k)*x^k
=Σ[k≧0](Σ[j≧k]comb(j,k)*e_j)*x^k
=Σ[j≧0](e_j)Σ[k≧0]comb(j,k)*x^k
=Σ[j≧0](e_j)*(1+x)^j
=E(1+x)
となります。
よって、E(x)=N(x-1).　
このことからe_kは次のように計算できます。
e_k
=[x^k]E(x)
=[x^k]N(x-1)
=[x^k]Σ[j≧0](N_j)*(x-1)^j
=[x^k]Σ[j≧0](N_j)*Σ[r≧0](comb(j,r)*(x^r)*(-1)^(j-r))
=Σ[j≧0](N_j)*(comb(j,k)*(-1)^(j-k))
=Σ[j≧k](N_j)*(comb(j,k)*(-1)^(j-k))
=N_k-comb(k+1,k)*N_(k+1)+comb(k+2,k)*N_(k+2)- … +(-1)^(n-k)*comb(n,k)*N_n
となります。

等式(★)の厳密な証明が、下記ファイルにあります。
https://www2.math.upenn.edu/~wilf/gfology2.pdf
(ファイルの116ページ 4.2 A generatingfunctionological view of the sieve method)

また次の本にも、E(x)=N(x-1)であることの証明があります。
「 Combinatorial Enumeration 」(Dover)
Ian P.Goulden, David M.Jackson 著
46ページおよび47ページ．　(Chap.2 2.2.28.および 2.2.29)　
以下からダウンロードが可能です。
https://vdoc.pub/documents/combinatorial-enumeration-4vpn3s5kq2c0

なるほど、形式的冪級数って手がありましたか。
ありがとうございます。