😊出会いの泉😊

11での和の完全な分割は、

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,6
1,1,1,4,4
1,1,3,3,3
1,1,3,6
1,2,2,2,2,2
1,2,2,6
1,2,4,4

の8通りで、12での積の分割も、

12,2*6,6*2,3*4,4*3,2*2*3,2*3*2,3*2*2

の8通り。

23での和の完全な分割は、

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,12
1,1,1,1,1,1,1,8,8
1,1,1,1,1,6,6,6
1,1,1,1,1,6,12
1,1,1,4,4,4,4,4
1,1,1,4,4,12
1,1,1,4,8,8
1,1,3,3,3,3,3,3,3
1,1,3,3,3,12
1,1,3,6,6,6
1,1,3,6,12
1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2
1,2,2,2,2,2,12
1,2,2,2,8,8
1,2,2,6,6,6
1,2,2,6,12
1,2,4,4,4,4,4
1,2,4,4,12
1,2,4,8,8

の20通りで、24での積の分割も、

24,2*12,12*2,3*8,8*3,4*6,6*4,
2*2*6,2*6*2,6*2*2,
2*3*4,2*4*3,3*2*4,3*4*2,3*4*2,4*3*2
2*2*2*3,2*2*3*2,2*3*2*2,3*2*2*2

の20通り。

1+x+x^2+…+x^11を係数が非負整数となるように因数分解すると、
1+x+x^2+…+x^11
=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x^6)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x^4+x^8)
=(1+x+x^2)(1+x^3+x^6+x^9)
=(1+x+x^2)(1+x^3)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10)
=(1+x)(1+x^2+x^4)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8)
の8通りの形で表すことができますが、このことと関係あるのでしょうか。

なるほど
この完全分割はこの展開式と繋がれるんですね。
ですから2つとも自然数nの素因数分解形のタイプをもって一つ違いの自然数で
和の完全分割と積の分割方法が同じ数値を取っていける。

<n(型)>; <積の分割方法>;<和の完全分割方法>;
1 ; 1; 1;
2(p) ; 1; 1;
3(p) ; 1; 2;
4(p^2) ; 2; 1;
5(p) ; 1; 3;
6(p*q) ; 3; 1;
7(p) ; 1; 4;
8(p^3) ; 4; 2;
9(p^2) ; 2; 3;
10(p*q); 3; 1;
11(p) ; 1; 8;
12(p^2*q); 8; 1;
13(p) ; 1; 3;
14(p*q); 3; 3;
15(p*q); 3; 8;
16(p^4); 8; 1;
17(p) ; 1; 8;
18(p^2*q); 8; 1;
19(p) ; 1; 8;
20(p^2*q); 8; 3;
21(p*q); 3; 3;
22(p*q); 3; 1;
23(p) ; 1; 20;
24(p^3*q); 20; 2;
･････････････

以下素因数分解型と<積の分割方法>とは一対一の対応が付きそうだが
上の例にもある様に
p^2*q型とp^4型は同じ値の8を取ってしまう。
他にも
p^6*q型とp^9型は同じ値256となってしまう。
そこで今度は
そのような分解型が異なっても同じ値を取ってしまう2組をこれ以外に
探してほしい。

p^nの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置する
方法の数と等しくなるので、

1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1)=2^(n-1)

より、2^(n-1)通り。

p^n*qの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
qを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なるので、

3+5*C(n-1,1)+7*C(n-1,2)+...+(2*n+1)*C(n-1,n-1)
=3*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+2*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
=3*2^(n-1)+(n-1)*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)

より、(n+2)*2^(n-1)通り。

p^mの積の分割の数2^(m-1)とp^n*qの積の分割の数(n+2)*2^(n-1)が等しくなるのは、

(n+2)*2^(n-1)=2^(m-1)
n+2=2^(m-n)

より、n=2^k-2(k≧2)のときで、このとき、m=n+k=2^k+k-2
k=2のとき(m,n)=(4,2)、k=3のとき(m,n)=(9,6)であり、以下、
k=4のとき(m,n)=(18,14)、k=5のとき(m,n)=(35,30)、…となる。

p^n*q^2の積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
2個のqを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なり、さらに、両端と区切り上に2個配置する場合は、2個のqを分割して配置する場合と
分割せずに配置する場合があるのでので、方法の数は、

(C(4,2)+2)+(C(5,2)+3)*C(n-1,1)+(C(6,2)+4)*C(n-1,2)
+...+(C(n+3,2)+n+1)*C(n-1,n-1)
=8*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+(9/2)*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+(1/2)*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=8*2^(n-1)+(9/2)*(n-1)*2^(n-2)+(1/2)*n(n-1)*2^(n-3)
=(n^2+17*n+46)*2^(n-4)

より、(n^2+17*n+46)*2^(n-4)通り。

p^n*q*rの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
q,rを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なり、さらに、両端と区切り上にq,rを配置する場合は、q*rとして配置する場合と、
r*qとして配置する場合と、分割せずに配置する場合があるので、方法の数は、

(3^2+2*2)+(5^2+2*3)*C(n-1,1)+(7^2+2*4)*C(n-1,2)
+...+((2*n+1)^2+2*(n+1))*C(n-1,n-1)
=13*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+14*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+4*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=13*2^(n-1)+7*(n-1)*2^(n-1)+n(n-1)*2^(n-1)
=(n^2+6*n+6)*2^(n-1)

より、(n^2+6*n+6)*2^(n-1)通り。

p^n*q^2、p^n*q*rの場合も調べてみましたが、p^n、p^n*qの場合と等しくなる例は
みつかりませんでした。p^n*q^2とp^n*q*rの相互間でもみつかりませんでした。

ご考察ありがとうございます。
この様に式で評価していけるもんなんですね。
自分はひたすら可能な限りでp^a;p^b*q (p=2,q=3で処理）で同じ数値が現れる部分を
拾い集めて
(a,b)=(4,2),(9,6),(18,14),(35,30),(68,62)
まで何とかあつめてみました。

見ていると{a}と{ｂ｝は2,3,4,5,6の差で結ばれているし
4=2^2,9=2^3+1,18=2^4+2,35=2^5+3,68=2^6+4
が見えてきたのでn=1,2,3,･････
a(n)=2^(n+1)+n-1
b(n)=2^(n+1)-2
これを元に先を拾うと
(a,b)=(133,126),(262,254),(519,510),(1032,1022),(2057,2046),････････････
と無限に重なる部分は存在していることになる。

当初の目的は自然数nを素因数分解した時に素数には影響されずその素因数タイプ（指数部分での分類)
をある数値と一対一に当てはめたいのであるが、前々回の調査での
<積の分割方法>;<和の完全分割方法>
のどちらを使っても、上記の重複が起こってしまう。
A034776;Gozinta numbers（A074206で現れる数列をソートして並べたもの)
これに対しIndukmuさんが提示した
0~ｎ^2-1の数字をただ一通りだけn個の要素を持つ２つの集合の和でできる可能性を与える
A273013での数値を使えば
p^4→35
p^2*q→42　;A034776ではどちらも8の値をとる。

p^9→24310
p^6*q→28644　　;A034776ではどちらも256の値をとる。

p^18→4537567650
p14*q→5094808200 ;A034776ではどちらも131072の値をとる。

p^35→ 56093138908331422716
p^30*q→60433201179644187664 ;A034776ではどちらも17179869184の値をとる。

･･････････････････

以下下の式を利用して値が定まっていく。
＊これらの計算ではどんな素数p,qでも
p^a→binomial(2*a,a)/2
p^b*q→(b^2+4*b+2)*binomial(2*b.b)/2
が使える。
A273013参照

と重なる値は分かれて行き、すべての素因数分解でのタイプは
この数値で一対一の対応が出来ることになれると思われます。
なお
n=2～1000までの数字を分類したものが
nの代表 ;素因数のタイプ ;指標の値(A277013で決まる値)　　
2 ;[1]~(p) ;1　(他の素数もすべて)
4 ;[2]~(p^2) ;3　(9,25,49,･･･など)
6 ;[1, 1]~(p*q) ;7 (10,14,15,･･･など)
8 ;[3]~(p^3) ;10 (27,125,343,･･･など)
16 ;[4]~(p^4) ;35
12 ;[2, 1]~(p^2*q) ;42
30 ;[1, 1, 1]~(p*q*r);115
32 ;[5]~ 以下同様 ;126
24 ;[3, 1]~ ;230
36 ;[2, 2]~ ;393
64 ;[6]~ ;462
60 ;[2, 1, 1]~ ;1158
48 ;[4, 1]~ ;1190
128 ;[7]~ ;1716
72 ;[3, 2]~ ;3030
210 ;[1, 1, 1, 1]~ ;3451
96 ;[5, 1]~ ;5922
256 ;[8]~ ;6435
120 ;[3, 1, 1]~ ;9350
180 ;[2, 2, 1]~ ;16782
144 ;[4, 2]~ ;20790
192 ;[6, 1]~ ;28644
216 ;[3, 3]~ ;30670
420 ;[2, 1, 1, 1]~ ;52422
240 ;[4, 1, 1]~ ;66290
288 ;[5, 2]~ ;131796
384 ;[7, 1]~ ;135564
360 ;[3, 2, 1]~ ;180990
432 ;[4, 3]~ ;264740
900 ;[2, 2, 2]~ ;334833
480 ;[5, 1, 1]~ ;430794
840 ;[3, 1, 1, 1]~ ;583670
768 ;[8, 1]~ ;630630
576 ;[6, 2]~ ;788634
720 ;[4, 2, 1]~ ;1636740
864 ;[5, 3]~ ;2050020
960 ;[6, 1, 1]~ ;2628780
で分類されていく。

p^n*qをk個の約数に順序を区別して分割する方法の数をb_1,b_2,b_3,…,b_n,b_(n+1)とすると、
不分割の場合はいうまでもなくb_1=1で、
2分割の場合は、n個のpを2グループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpが不分割で両端のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_2=2*C(n-1,1)+2=2*C(n,1)
3分割の場合は、n個のpを3グループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを2グループに分割して両端と間の1個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_3=3*C(n-1,2)+3*C(n-1,1)=3*C(n,2)
…
k分割の場合は、n個のpをkグループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを(k-1)グループに分割して両端と間の(k-2)個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_k=k*C(n-1,k-1)+k*C(n-1,k-2)=k*C(n,k-1)
…
n分割の場合は、n個のpをnグループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを(n-1)グループに分割して両端と間の(n-2)個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_n=n*C(n-1,n-1)+n*C(n-1,n-2)=n*C(n,n-1)
(n+1)分割の場合は、n個のpをnグループに分割して両端と間の(n-1)個の隙間のいずれかにqを配置する場合のみなので、
b_(n+1)=(n+1)*C(n-1,n-1)=(n+1)*C(n,n)
となります。
p^n*qをk個の約数に順序を区別して分割する方法の数はb_1+b_2+b_3+…+b_n+b_(n+1)なので、
b_1+b_2+b_3+…+b_n+b_(n+1)
=1+2*C(n,1)+3*C(n,2)+…+k*C(n,k-1)+…+n*C(n,n-1)+(n+1)*C(n,n)
=(1+C(n,1)+…+C(n,n))+(C(n,1)+2*C(n,2)+…+n*C(n,n))
=2^n+n*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)
となります。

0～N^2-1の数字をただ一通りだけN個の要素を持つ2つの集合の和でできる可能性を与えるA273013での数値は、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)なので、
N=p^n*qの場合、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[b_1^2+(b_1+b_2)^2+(b_2+b_3)^2+…+(b_n+b_(n+1))^2+b_(n+1)^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+1)^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+…+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2+…+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+C(n,0))^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+…+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2
+…+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
ですが、
k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2)
=k*n!/(n-k+1)!/(k-1)!+(k-1)*n!/(n-k+2)!/(k-2)!
=k*(n-k+2)*n!/(n-k+2)!(k-1)!+(k-1)^2*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1)
より、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[1^2+((2*n+1)^2+…+((n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!)^2+…+(n^2+n+1)^2+(n+1)^2)]
=(1/2)*[(n+1)/(n+1)*C(n+1,0)^2+((n*2+1)/(n+1)*C(n+1,1))^2+…+((n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1))^2
+((n*(k+1)+1)/(n+1)*C(n+1,k))^2+…+((n^2+n+1)/(n+1)*C(n+1,n))^2+((n^2+2n+1)/(n+1)*C(n+1,n+1))^2]
となります。

(1+x)^m*(1+x)^(n-m)=(1+x)^nのx^kの係数を比較すると、
C(m,0)*C(n-m,k)+…+C(m,k)*C(n-m,0)=C(n,k)で、n=2m,k=mとすると、
C(m,0)*C(m,m)+…+C(m,m)*C(m,0)=C(m,0)^2+…+C(m,m)^2=C(2m,m)

(d/dx)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(1+x)^(m-1)*(1+x)^(n-m)=m*(1+x)^(n-1)のx^kの係数を比較すると、
C(m,1)*C(n-m,k)+2*C(m,2)*C(n-m,k-1)+…+k*C(m,k)*C(n-m,1)+(k+1)*C(m,k+1)*C(n-m,0)=m*C(n-1,k)で、n=2m,k=mとすると、
C(m,1)*C(m,m-1)+2*C(m,2)*C(m,m-2)+…+(m-1)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*C(m,m)*C(m,0)
=C(m,1)^2+…+m*C(m,m)^2=m*C(2*m-1,m-1)=m*C(2m-1,m)=m*(2m-1)!/m!/(m-1)!=(m/2)*C(2m,m)

(d^2/dx^2)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(m-1)(1+x)^(m-2)*(1+x)^(n-m)=m(m-1)*(1+x)^(n-2)のx^kの係数を比較すると、
2*C(m,2)*C(n-m,k)+3*2*C(m,3)*C(n-m,k-1)+…+(k+1)*k*C(m,k+1)*C(n-m,1)+(k+2)*(k+1)*C(m,k+2)*C(n-m,0)=m(m-1)*C(n-2,k)で、n=2m,k=mとすると、
2*C(m,2)*C(m,m-2)+3*2*C(m,3)*C(m,m-3)+…+(m-1)*(m-2)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*(m-1)*C(m,m)*C(m,0)
2*C(m,2)^2+3*2*C(m,3)^2+…+m*(m-1)*C(m,m)^2
=m(m-1)*C(2m-2,m-2)=m*(m-1)*C(2m-2,m)=m*(m-1)*(2m-2)!/m!/(m-2)!=(m-1)*(2m-2)!/(m-1)!/(m-2)!
=(m-1)^2*C(2*m-2,m-1)

これらを用いると、

(n*(k+1)+1)^2=n^2*k^2+2*n*k+1=n^2*k(k-1)+n(3*n+2)*k+(n+1)^2
より

Σ_(k=0)^(n+1)[1/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n(3n+2)*k/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n^2*k(k-1)/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n^4/(n+1)^2*C(2n,n)
なので、

b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)[C(2n+2,n+1)+n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)+n^4/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)[((2n+2)(2n+1)+n(3n+2)(2n+1)+n^4)/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)*(n^4+6n^3+11n^2+8n+2)/(n+1)^2*C(2n,n)
=(1/2)*(n^2+4n+2)*C(2n,n)
となります。

解は26通りありました。
おそらく想定されていないであろう解を一つ書きます。
最初の4個は 3g,5g,6g,7g
最初に追加した1個は 14g
次に追加した1個は 15g

らすかるさん
ありがとうございます。

おっしゃる組は確かに私の頭からは湧いてきませんでした。

26通りもあるとのこと、
これから個人的に確かめてみます。

ちなみに問題文から
「最初の4個の重さはすべて異なる」
「追加する2個はそれぞれ以前の分銅と同じ重さでも良い」
という条件で探索していますので、例えば
「最初の4個は3,5,6,7で追加1個目は7、2個目は8」
のような解も26通りに含んでいます。
もし「6個すべてが異なる重さでなければならない」としたら、
20通りです。

(1)天秤皿の片側に分銅を全部入れる(合計50g)。
(2)その分銅と釣り合うように反対側に塩を入れる。
(3)分銅を取り除き、代わりに塩を入れて釣り合わせる。
これで(3)で入れた塩が50gなので、2回繰り返せば100gが計れます。

# 「計るたびに左右が釣り合ったときの重さの差が異なる」ような場合は
# 上記の方法では無理ですが、そういう場合は正確に計るのは無理な気がします。

天秤計測を３回で。
①天秤の左の皿に６個の分銅(計50g)を乗せます。
②天秤の右側の皿に塩をαg乗せて釣り合わせます。
③天秤の右の皿の塩入αgはそのままに左の皿から分銅を全て取り去りかわりに塩を乗せて釣り合わせます。(このとき左の皿の塩は50gとなります。)
④天秤の右の皿の塩αgはそのままに左の皿から塩を全て取り去り壺に入れます。左の皿にはかわりにあらたな塩を乗せて釣り合わせます。釣り合わせたらその塩を壺に入れます。
壺の中には100gの塩が入っています。

※投稿したら、らすかるさんに先着されていました。おお。

問題の解釈とプログラムが正しければ
一つ目
解釈を間違えていたので計算し直したところ96401(8個)でした
二つ目
823199通り

ブラックホール素数

96401*18839=1816098439
96401*42743=4120467943
96401*48611=4686149011
96401*58511=5640518911
96401*71993=6940197193
96401*73019=7039104619
96401*87833=8467189033
96401*92801=8946109201

96401の8個が最強でしょうか？

私が思っていた最強ブラックホール素数はこの96401でした。

二つ目がらすかるさんと大きく違ってくるのですが
具体例を10個ほど並べて貰えますか？

最初の20個(5桁素数の小さい順そして6桁素数の小さい順)でこんな感じです。
10139*998687=10125687493
10141*999769=10138657429
10151*997793=10128596743
10151*999773=10148695723
10163*999599=10158924637
10169*998423=10152963487
10223*994769=10169523487
10243*990559=10146295837
10243*992809=10169342587
10247*993827=10183745269
10247*999959=10246579873
10253*991499=10165839247
10253*998399=10236584947
10259*990593=10162493587
10259*998681=10245468379
10267*997891=10245346897
10271*987809=10145786239
10271*996881=10238964751
10271*998411=10254679381
10273*994489=10216385497
また、最後の20個はこんな感じです。
99991*841549=84147326059
99991*851549=85147236059
99991*856553=85647591023
99991*860317=86023957147
99991*864427=86434920157
99991*871993=87191452063
99991*872609=87253046519
99991*876529=87645011239
99991*894097=89401653127
99991*928141=92805746731
99991*935537=93545280167
99991*938831=93874650521
99991*942437=94235218067
99991*946327=94624183057
99991*946607=94652180537
99991*950953=95086741423
99991*963497=96341028527
99991*968831=96874380521
99991*971933=97184552603
99991*974591=97450328681

10139*998687=10125687493
は
5桁の素数のディジット[0,1,1,3,9]
が
7桁の素数7のディジット[6,7,8,8,9,9]
を吸い込むと
[0,1,1,3,6,7,8,8,9,9,9]
の数字からできる11桁の数字ができるかとなると10125687493
なので確かに0～9の数字は揃っているがブラックホール的素数
とはなっていないと考えて下さい。
（このあたりの説明が不足していたことをお詫びします。)

これに対し
26849*471503=12659384047は
5桁の素数のディジット[2,4,6,8,9]が
7桁の素数のディジット[0,1,3,4,5,7]を呑み込んで
0～9が揃っていく。
このパターンで探して下さい。

後半もブラックホール素数とは全く思っておらず、問題文だけで判断してしまっていました。
（タイトルがブラックホール素数だから気づくべきだったかも知れませんね）
で、その条件なら79通りかと思います。
# 0～9のうちダブる数字が0,3,6,9だと3の倍数になってNG
# ダブる数字が1,2,4,5,7,8ならばどれでも大丈夫そうですが
# なぜかダブる数字が必ず4なので何かプログラムに問題があるかもと思って悩んでしまいました。
# でもきちんと論理的に考えると4しかあり得ないことがわかり、「79通り」に自信が持てました。

2桁、3桁、4桁でブラックホール素数が存在するか調べてみましたが、2桁では存在しませんでした。

3桁では、167,281,317,383,443,461,563,701,953,971の10個がブラックホール素数でした。

167*701=701*167=117067
281*443=443*281=124483
317*461=461*317=146137
383*971=971*383=371893
563*953=953*563=124483

吸収するのが1個なのでマイクロ・ブラックホールといったところでしょうか。また、167と701、281と443、317と461、383と971、563と953の5組は互いに対してブラックホール素数なので、ブラックホール連星といったところでしょうか。

4桁では、7793と9923が最強ブラックホール素数で、どちらも吸収するのは3個でした。

7793*4523=35247739
7793*8609=67089937
7793*9923=77329939

9923*4373=43393279
9923*5273=52323979
9923*7793=77329939

7793と9923は互いに対してブラックホール素数なので、ブラックホール連星といったところでしょうか。

> "らすかる"さんが書かれました:

> で、その条件なら79通りかと思います。
> # 0～9のうちダブる数字が0,3,6,9だと3の倍数になってNG
> # ダブる数字が1,2,4,5,7,8ならばどれでも大丈夫そうですが
> # なぜかダブる数字が必ず4なので何かプログラムに問題があるかもと思って悩んでしまいた。

私も79通りを並べたとき、すべてが4が重複しているパターンなので
なんでこうなるのだろうかと不思議でなりませんでした。
今でも謎は解けていません。

> # でもきちんと論理的に考えると4しかあり得ないことがわかり、「79通り」に自信が持てましました。

これは証明出来るもんですか？

はい、証明できます。
二つの素数が3n+1と3m+1の場合、桁の数字の和は3k+2となります。
一方、積は(3n+1)(3m+1)=3l+1なので桁の数字の和と合わず不適です。
二つの素数が3n+1と3m+2の場合、桁の数字の和が3の倍数となりますが
(3n+1)(3m+2)は3の倍数になりませんので不適です。
従って条件が成り立つためには二つの素数は両方とも3n+2型でなければなりません。
3n+2を9n+2,5,8の3つに分けて桁の数字の和と素数の積を考えると
9n+2と9m+2→桁の数字の和は9k+4、積は9l+4なので一致
9n+2と9m+5→桁の数字の和は9k+7、積は9l+1なので不一致
9n+2と9m+8→桁の数字の和は9k+1、積は9l+7なので不一致
9n+5と9m+5→桁の数字の和は9k+1、積は9l+7なので不一致
9n+5と9m+8→桁の数字の和は9k+4、積は9l+4なので一致
9n+8と9m+8→桁の数字の和は9k+7、積は9l+1なので不一致
のようになり、条件が成り立つとき桁の数字の和は必ず9k+4ですから、
重複する数字は4しかあり得ないことになります。
最初からこのことがわかっていれば、ブラックホール素数は必ず3n+2型なので
調べる素数を半分に減らせますね。

[1]
条件の解釈が正しければ
2 3 4 7 6 5 (素数4種類)
※5種類以上出来ないことは明らか
※これが正しいとしたら100までである必要はないような…

[2]
9と12と20でしょうか。

(追記)
もし「10連続自然数で条件を満たすのが不可能である最小のn1は9」で正しければ
n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647
のようになると思います。

n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647
のようになると思います。

とても自分での調査方法ではこんなn連続に対する状況は夢のまた夢の中にあります。
さすがにOEISには未登録にありますね。
でも素数の出現位置がほんとにランダムであることを示す一つの指標にある様に思われます。
なお[1]は
{2,3,4,5,6,7}→[2,3,4,7,6,5] ; 構成素数<5,7,11,13>
{5,6,7,8,9,10}→[5,6,7,10,9,8] ; 構成素数<11,13,17,19>
{50,51,52,53,54,55}→[50, 51, 52, 55, 54, 53] ; 構成素数<101,103,107,109>
{95,96,97,98,99,100}→[95, 96, 97, 100, 99, 98] ; 構成素数<191,193,197,199>
の4タイプの積りでしたが、それぞれ同じ配列タイプで可能なんですね。

また
[1,2,3,4,7,6,5,8,9,10]での配列では構成素数<3,5,7,11,13,17,19>
の7種類が発生するので、これをどこまで増やせるのか疑問に感じました。

> [1,2,3,4,7,6,5,8,9,10]での配列では構成素数<3,5,7,11,13,17,19>
> の7種類が発生するので、これをどこまで増やせるのか

増やせないと思います。
先頭をn、末尾をn+9とすると
最小の和は2n+1、最大の和は2n+17であり、奇数は
2n+1,2n+3,2n+5,2n+7,2n+9,2n+11,2n+13,2n+15,2n+17
の9個になります。
しかしこの中に必ず3の倍数が3個入ってしまいますので、
そのうち1個が3である場合が7種類で最大です。

> n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
> 4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647

この先が気になったので今まで計算していました。
n=32,34,36,38,40に対して最小のn1は
646,645,644,643,1062
でした。
きちんと考えれば無駄な探索を大幅に減らすことができそうな
気はしますが、この数列自体それほど興味深いものでは
ないようなので、ここまでで終わりにしようと思います。

https://mathlog.info/articles/gZIAjg3NYuY3HzADwIYS
https://mathlog.info/articles/3652

を拝見しました。

N=4(=2^2)の場合はGF(4)(=GF(2^2))上のアフィン平面について、「私の備忘録 > カークマンの組分け」の中にあった「カークマン女学生麻雀大会」（平成３０年３月９日付け）の16人の女学生の場合の(v,b,r,k,λ)=(16,20,5,4,1)のブロックデザインにおいて記載されているように、

(0,0) (1,0) (a,0) (b,0)
(0,1) (1,1) (a,1) (b,1)
(0,a) (1,a) (a,a) (b,a)
(0,b) (1,b) (a,b) (b,b)

の16個の点を含みます。ここで、a^2+a+1=0,b=a+1です。

N=4の場合の射影平面ですが、有限体GF(4)上の3次元の同次座標を(x,y,z)とすると、z≠0の場合は、射影関係により有限体GF(4)上の2次元のアフィン座標(x/z,y/z)と対応して、16個の点からなり、z=0の場合は無限遠点で、(kx,ky,0)(k=1,a,b)を同一視すると、(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,a,0),(a,1,0)の5個の点からなるので、合計すると21(=4^2+4+1)個の点から成ります。
z≠0の場合は(kx,ky,kz)(k=1,a,b)を同一視するので、(x,y,1)で代表して、以下のように1～16の番号をつけます。

1:(0,0,1) 2:(1,0,1) 3:(a,0,1) 4:(b,0,1)
5:(0,1,1) 6:(1,1,1) 7:(a,1,1) 8:(b,1,1)
9:(0,a,1) 10:(1,a,1) 11:(a,a,1) 12:(b,a,1)
13:(0,b,1) 14:(1,b,1) 15:(a,b,1) 16:(b,b,1)

そして、残りの5個の無限遠点については、1-2-3-4を結ぶ「直線」の延長上の無限遠点に17という番号をつけ、以下、1-5-9-13,1-6-11-16,1-8-10-15,1-7-12-14を結ぶ「直線」の延長上の無限遠点に順次18,19,20,21と番号をつけていきます。

1:(0,0,1)- 2:(1,0,1)- 3:(a,0,1)- 4:(b,0,1)-17:(1,0,0)
1:(0,0,1)- 5:(0,1,1)- 9:(0,a,1)-13:(0,b,1)-18:(0,1,0)
1:(0,0,1)- 6:(1,1,1)-11:(a,a,1)-16:(b,b,1)-19:(1,1,0)
1:(0,0,1)- 8:(b,1,1)-10:(1,a,1)-15:(a,b,1)-20:(1,a,0)
1:(0,0,1)- 7:(a,1,1)-12:(b,a,1)-14:(1,b,1)-21:(1,b,0)

　この射影平面上の「直線」は以下の21本となります。

1-2-3-4-17,5-6-7-8-17,9-10-11-12-17,13-14-15-16-17,
1-5-9-13-18,2-6-10-14-18,3-7-11-15-18,4-8-12-16-18,
1-6-11-16-19,2-5-12-15-19,3-9-8-14-19,4-7-10-13-19,
1-8-10-15-20,2-7-9-16-20,3-6-12-13-20,4-5-11-14-20,
1-7-12-14-21,2-8-11-13-21,3-5-10-16-21,4-6-9-15-21,
17-18-19-20-21

21本の「直線」上にはいずれも5点が乗っており、「班編成」についての平成３０年１月２９日付けでのＧＡＩさんからのコメントで、「入居者n^2-n+1名の老人ホームではn人がグループで毎日散歩へ出掛けるルールがある。但し、道案内のため昨日散歩へ参加したn人のうち必ず1人は次の散歩グループの班長として次も参加するものとする。このことをn^2-n+1日間続けたとき、どの人も計n回散歩に出掛けたことになると言い、またどの人も他のn^2-n人と一緒に散歩したことがあると言った」のn=5の場合のグループの作り方に相当します。

GF(3)上の3次元射影空間のブロックデザインについては、「私の備忘録 > カークマンの組分け」の中にあった「カークマン女学生麻雀大会」（平成３０年３月９日付け）の40人の女学生の場合の(v,b,r,k,λ)=(40,130,13,4,1)の場合に相当します。

有限体GF(3)上の4次元の同次座標を(x,y,z,w)とすると、w≠0の場合は、射影関係により有限体GF(3)上の3次元のアフィン座標(x/w,y/w,z/w)と対応して、27個の点からなり、w=0の場合は無限遠点で、(x,y,z,0)と(2x,2y,2z,0)を同一視して13個の点からなるので、合計すると40(=3^3+3^2+3+1)個の点から成ります。

w≠0の場合は(kx,ky,kz,kw)(k=1,2)を同一視するので、(x,y,z,1)で代表して、以下のように1～27の番号をつけます。

1:(0,0,0,1) 2:(1,0,0,1) 3:(2,0,0,1)
4:(0,1,0,1) 5:(1,1,0,1) 6:(2,1,0,1)
7:(0,2,0,1) 8:(1,2,0,1) 9:(2,2,0,1)

10:(0,0,1,1) 11:(1,0,1,1) 12:(2,0,1,1)
13:(0,1,1,1) 14:(1,1,1,1) 15:(2,1,1,1)
16:(0,2,1,1) 17:(1,2,1,1) 18:(2,2,1,1)

19:(0,0,2,1) 20:(1,0,2,1) 21:(2,0,2,1)
22:(0,1,2,1) 23:(1,1,2,1) 24:(2,1,2,1)
25:(0,2,2,1) 26:(1,2,2,1) 27:(2,2,2,1)

残りの13個の無限遠点について以下のように28～40の番号をつけます。1-10-19を結ぶ直線の延長上の無限遠点に28という番号をつけ、以下、1-11-21,1-12-20,…の直線の延長上の無限遠点に順次29,30,…と番号をつけていきます。

1:(0,0,0,1)-10:(0,0,1,1)-19:(0,0,2,1)-28:(0,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-11:(1,0,1,1)-21:(2,0,2,1)-29:(1,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-12:(2,0,1,1)-20:(1,0,2,1)-30:(2,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-13:(0,1,1,1)-25:(0,2,2,1)-31:(0,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-14:(1,1,1,1)-27:(2,2,2,1)-32:(1,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-15:(2,1,1,1)-26:(1,2,2,1)-33:(2,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-16:(0,2,1,1)-22:(0,1,2,1)-34:(0,2,1,0)
1:(0,0,0,1)-17:(1,2,1,1)-24:(2,1,2,1)-35:(1,2,1,0)
1:(0,0,0,1)-18:(2,2,1,1)-23:(1,1,2,1)-36:(2,2,1,0)
1:(0,0,0,1)- 2:(1,0,0,1)- 3:(2,0,0,1)-37:(1,0,0,0)
1:(0,0,0,1)- 4:(0,1,0,1)- 7:(0,2,0,1)-38:(0,1,0,0)
1:(0,0,0,1)- 5:(1,1,0,1)- 9:(2,2,0,1)-39:(1,1,0,0)
1:(0,0,0,1)- 6:(2,1,0,1)- 8:(1,2,0,1)-40:(2,1,0,0)

無限遠点28には、直線1-10-19,2-11-20,3-12-21,4-13-22,5-14-23,6-15-24,7-16-25,8-17-26,9-18-27の9本の直線が通り、同様に無限遠点29～40についてもアフィン空間上の点から9本ずつの直線が通るので、まず、13×9＝117本の直線が含まれます。それに加えて、無限遠点を相互に結ぶ以下の13本の直線が追加されるので、合計130本の直線が含まれます。

37-38-39-40,28-29-30-37,28-31-34-38,
28-32-36-39,31-32-33-37,29-32-35-38,
34-35-36-37,30-33-36-38,28-33-35-40,
30-32-34-40,29-33-34-39,30-31-35-39,29-31-36-40

このようにしてつくった有限体GF(3)上の3次元射影空間は、40個の点と130本の直線を含んでいて、(40,4,1)-デザインとなり、任意の異なる2個の点に対し、その2個の点を全て含むブロックの元はちょうど1個であるという条件も満たすので、2-(40,4,1)-デザインとなります。

130本の直線を10本の直線からなる13組の平行類へ分類するパターンから、40人の女子学生の10卓への13日間の組み分けのパターンが得られるので、Magma Free Online Calculatorの力を借りて求めると、一例として、

1日目
{1,2,3,37},{10,14,18,39},{21,23,25,40},{4,13,22,28},{8,16,27,30},{9,12,24,31},{6,17,19,33},{5,11,26,34},{7,15,20,36},{29,32,35,38}
2日目
{16,17,18,37},{19,22,25,38},{1,6,8,40},{5,14,23,28},{3,10,20,29},{7,11,24,32},{2,13,27,33},{9,15,21,34},{4,12,26,36},{30,31,35,39}
3日目
{7,8,9,37},{20,23,26,38},{10,15,17,40},{2,12,19,29},{6,14,22,30},{1,13,25,31},{5,16,21,33},{3,18,24,34},{4,11,27,35},{28,32,36,39}
4日目
{19,20,21,37},{3,4,8,39},{12,14,16,40},{6,13,23,29},{7,18,26,30},{2,15,25,32},{9,11,22,33},{1,17,24,35},{5,10,27,36},{28,31,34,38}
5日目
{12,15,18,38},{19,23,27,39},{2,4,9,40},{8,17,26,28},{1,11,21,29},{5,13,24,30},{7,10,22,31},{6,16,20,32},{3,14,25,33},{34,35,36,37}
6日目
{1,10,19,28},{5,15,22,29},{9,17,25,30},{8,11,23,31},{3,13,26,32},{4,18,20,33},{6,12,27,34},{7,14,21,35},{2,16,24,36},{37,38,39,40}
7日目
{22,23,24,37},{11,14,17,38},{2,6,7,39},{9,16,26,29},{1,12,20,30},{3,15,27,31},{5,18,19,32},{4,10,25,34},{8,13,21,36},{28,33,35,40}
8日目
{10,11,12,37},{21,22,26,39},{3,5,7,40},{6,15,24,28},{8,18,25,29},{4,16,19,31},{1,14,27,32},{2,17,23,34},{9,13,20,35},{30,33,36,38}
9日目
{2,5,8,38},{20,24,25,39},{11,13,18,40},{3,12,21,28},{7,17,27,29},{4,15,23,30},{1,16,22,34},{6,10,26,35},{9,14,19,36},{31,32,33,37}
10日目
{25,26,27,37},{10,13,16,38},{1,5,9,39},{2,11,20,28},{4,14,24,29},{6,18,21,31},{7,12,23,33},{8,15,19,35},{3,17,22,36},{30,32,34,40}
11日目
{3,6,9,38},{11,15,16,39},{20,22,27,40},{2,14,26,31},{4,17,21,32},{8,10,24,33},{7,13,19,34},{5,12,25,35},{1,18,23,36},{28,29,30,37}
12日目
{4,5,6,37},{21,24,27,38},{12,13,17,39},{7,16,25,28},{3,11,19,30},{9,10,23,32},{1,15,26,33},{8,14,20,34},{2,18,22,35},{29,31,36,40}
13日目
{13,14,15,37},{1,4,7,38},{19,24,26,40},{9,18,27,28},{2,10,21,30},{5,17,20,31},{8,12,22,32},{3,16,23,35},{6,11,25,36},{29,33,34,39}

となります。

カークマンの話で出てきたアーサー・ケイリーですが、八元数のことをケイリー数ともいって、これは、ジョン・グレイヴスとは独立に八元数を発見したアーサー・ケイリーに因んでいます。八元数には7つの虚数単位がありますが、7つの虚数単位の相互の積を記憶する方法で、ファノ平面((7,3,1)-デザイン)が用いられています。

焦点(2,0),(1,√3),(1,-√3),(-1,√3),(-1,-√3),(-2,0)で
{(x-2)^2+y^2}{(x-1)^2+(y-√3)^2}{(x-1)^2+(y+√3)^2}
×{(x+1)^2+(y-√3)^2}{(x+1)^2+(y+√3)^2}{(x+2)^2+y^2}=c^12
c=1.9,1.98,2,2.02,2.1,2.6の場合を描画してみると、
c<2のとき、各焦点の周りに卵形ができる(赤色の曲線)。
c=2のとき、原点で交わる六つ葉型(緑色の曲線)。
c>2のとき、原点での交わりが消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

焦点(2,0),((-1+√5)/2,√(10+2√5)/2),((-1+√5)/2,-√(10+2√5)/2),
((-1-√5)/2,√(10-2√5)/2),((-1-√5)/2,-√(10-2√5)/2)で
{(x-2)^2+y^2}{(x-(-1+√5)/2)^2+(y-(√(10+2√5))/2)^2}{(x-(-1+√5)/2)^2+(y+(√(10+2√5))/2)^2}
×{(x-(-1-√5)/2)^2+(y-(√(10-2√5))/2)^2}{(x-(-1-√5)/2)^2+(y+(√(10-2√5))/2)^2}=c^10
c=1.9,1.98,2,2.03,2.1,2.6の場合を描画してみると、
c<2のとき、各焦点の周りに卵形ができる(赤色の曲線)。
c=2のとき、原点で交わる五つ葉型(緑色の曲線)。
c>2のとき、原点での交わりが消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

焦点(2,0),(0,0),(-2,0)で
{x^2+y^2}{(x-2)^2+y^2}{(x+2)^2+y^2}=c^6
c=1.3,1.4,(256/27)^(1/6)=1.4548…,1.5,1.6,1.7の場合を描画してみると、
c<(256/27)^(1/6)のとき、各焦点の周りに卵形ができる(赤色の曲線)。
c=(256/27)^(1/6)のとき、(√(4/3),0),(-√(4/3),0)で交差する閉曲線(緑色の曲線)。
c>(256/27)^(1/6)のとき、交差が消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

焦点(3,0),(1,0),(-1,0),(-3,0)で
{(x-1)^2+y^2}{(x+1)^2+y^2}{(x-3)^2+y^2}{(x+3)^2+y^2}=c^8
c=1.6,√3=1.732…,1.9,2,2.1,2.2,2.3の場合を描画してみると、
c<√3のとき、各焦点の周りに卵形ができる(紫色の曲線)。
c=√3のとき、原点で交差する8の字型の両側に卵形(赤色の曲線)。
√3<c<2のとき、原点での交差が消失し、中央の2つの卵形が融合(橙色の曲線)。
c=2のとき、(√5,0),(-√5,0)で交差する閉曲線(緑色の曲線)。
c>2のとき、交差が消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

適当にプログラムを作って数えただけですが、20と9792でしょうか。

正解です。

この計算方法が面白く
M=[3C2,3C3,3C5,3C7]
```[5C2,5C3,5C5,5C7]
```[7C2,7C3,7C5,7C7]
```[9C2,9C3,9C5,9C7]

`` =[ 3, 1, 0, 0]
``` [10, 10, 1, 0]
``` [21, 35, 21, 1]
``` [36, 84, 126, 36]

の4×4の行列を使い,その行列式
matdet(M)より
=9792
で算出可能！