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10/29更新の「数列の和」の問題

こんな解き方が思いついた場合どうすればいいんでしょうね。

任意の自然数 k に対し 1+a[k]>0 なので、相加平均と相乗平均の大小関係により
Π[k=1→n] (1+a[k]) ≦ (1+s[n]/n)^n = Σ[k=0→n] nCk/n^k*s[n]^k
ここで、nCk/n^k * k! = nPk/n^k ≦ 1 なので、nCk/n^k > 1/k!
したがって、Π[k=1→n] (1+a[k]) ≧ Σ[k=0→n] 1/k!*s[n]^k

数学的帰納法を使うよりも本質を捉えた証明ではないかと思いますが、帰納法を使ってないので 0 点になるんでしょうか？
証明法の探究の場合はさておき、入試で証明方法に制限をつけるのは、ナンセンスと感じますね。

No.2300DD++2024年11月3日 00:30

すみません、証明の最後の2行、不等号が逆でした。
記事の方もお手数ですが修正お願いします……。

No.2301DD++2024年11月3日 08:23

返信 (1)

四元数要素の逆行列

「四元数要素の逆行列」について、
|𝐴|₁₁=𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁
|𝐴|₁₂=𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂
|𝐴|₂₁=𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁
|𝐴|₂₂=𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂
は、quasideterminantといわれるものですね。

Aの逆行列𝐴⁻¹は、
(𝐴⁻¹)₁₁=|𝐴|₁₁⁻¹
(𝐴⁻¹)₁₂=|𝐴|₂₁⁻¹
(𝐴⁻¹)₂₁=|𝐴|₁₂⁻¹
(𝐴⁻¹)₂₂=|𝐴|₂₂⁻¹
であり、
|𝐴|₁₁⁻¹=(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁)⁻¹=(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁/|𝑎₂₂|²)⁻¹=|𝑎₂₂|²(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)⁻¹
=|𝑎₂₂|²(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/||𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎'₂₂𝑎₂₁|²
であり、
||𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁|²/|𝑎₂₂|²=(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/|𝑎₂₂|²
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
はStudyの行列式といってSdet(A)と表されます。

同様に、
|𝐴|₁₂⁻¹=(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂)⁻¹=(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂/|𝑎₂₁|²)⁻¹
=|𝑎₂₁|²(|𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂)⁻¹=|𝑎₂₁|²(|𝑎₂₁|²𝑎̅₁₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)/||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²
|𝐴|₂₁⁻¹=(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁)⁻¹=(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁/|𝑎₁₂|²)⁻¹
=|𝑎₁₂|²(|𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁)⁻¹=|𝑎₁₂|²(|𝑎₁₂|²𝑎̅₂₁-𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂)/||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²
|𝐴|₂₂⁻¹=(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂)⁻¹=(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂/|𝑎₁₁|²)⁻¹
=|𝑎₁₁|²(|𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂)⁻¹=|𝑎₁₁|²(|𝑎₁₁|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁)/||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²
であり、

||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²/|𝑎₂₁|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂
||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²/|𝑎₁₂|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁
||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²/|𝑎₁₁|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂
𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂
=𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁=𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂=2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
なので、
||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²/|𝑎₂₁|²=||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²/|𝑎₁₂|²=||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²/|𝑎₁₁|²=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。

以上より、
(𝐴⁻¹)₁₁=(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₁₂=(|𝑎₁₂|²𝑎̅₂₁-𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₁=(|𝑎₂₁|²𝑎̅₁₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₂=(|𝑎₁₁|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。

No.2242kuiperbelt2024年10月12日 17:08

A=(a_{ij})のエルミート共役な行列𝐴*は𝐴*=(𝑎̅ _{ji})であって、Aと𝐴*との積𝐴𝐴*は
(𝐴𝐴*)₁₁=𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂
(𝐴𝐴*)₁₂=𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂
(𝐴𝐴*)₂₁=𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂
(𝐴𝐴*)₂₂=𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂
となり、𝐴𝐴*はエルミート行列となります。

エルミート行列X=(X_{ij}),𝑥̅₁₁=𝑥₁₁,𝑥̅₂₂=𝑥₂₂,𝑥̅₁₂=𝑥₂₁については
Mooreの行列式Mdet(X)を𝑀𝑑𝑒𝑡(𝑋)=𝑥₁₁𝑥₂₂-|𝑥₁₂|²と定義できて、
𝑀𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐴*)
=(𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂)(𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂)-(𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂)(𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。

No.2243kuiperbelt2024年10月12日 18:13

3×3以上の行列についてもquasideterminantを定義できて、
行列A=(a_{ij})に対して、
r_{i}^{j}:Aのi行からa_{ij}を除いた行ベクトル
c_{j}^{i}:Aのj列からa_{ij}を除いた列ベクトル
A^{ij}:Aからi行とj列を取り除いてできる行列
とすると、A=(a_{ij})の各quasideterminantは
|A|_{ij}=a_{ij}-r_{i}^{j}・A^{ij}・c_{j}^{i}
となり、行列Aの逆行列𝐴⁻¹の各成分は、
(𝐴⁻¹)_{ij}=|A|_{ij}^{-1}
となります。

3×3行列Aを
[𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃]
[𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃]
[𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃]
とすると、各quasideterminantは

|𝐴|₁₁=𝑎₁₁-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁
-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁
|𝐴|₁₂=𝑎₁₂-𝑎₁₁(𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₂₂-𝑎₁₁(𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₃₂
-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₂-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₂
|𝐴|₁₃=𝑎₁₃-𝑎₁₁(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₂₃-𝑎₁₁(𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₃₃
-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₃-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₃
|𝐴|₂₁=𝑎₂₁-𝑎₂₂(𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₂₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₃₁
-𝑎₂₃(𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₂₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₃₁
|𝐴|₂₂=𝑎₂₂-𝑎₂₁(𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₂₁(𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₃₂
-𝑎₂₃(𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₂₃(𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₃₂
|𝐴|₂₃=𝑎₂₃-𝑎₂₁(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₂₁(𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₃₃
-𝑎₂₂(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₂₂(𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₃₃
|𝐴|₃₁=𝑎₃₁-𝑎₃₂(𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₃₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₂₁
-𝑎₃₃(𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₃₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₂₁
|𝐴|₃₂=𝑎₃₂-𝑎₃₁(𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₃₁(𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₂₂
-𝑎₃₃(𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₃₃(𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₂₂
|𝐴|₃₃=𝑎₃₃-𝑎₃₁(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₃₁(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₂₃
-𝑎₃₂(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₃₂(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₂₃
となります。

Aの逆行列𝐴⁻¹については、
(𝐴⁻¹)₁₁=|𝐴|₁₁⁻¹, (𝐴⁻¹)₁₂=|𝐴|₂₁⁻¹, (𝐴⁻¹)₁₃=|𝐴|₃₁⁻¹,
(𝐴⁻¹)₂₁=|𝐴|₁₂⁻¹, (𝐴⁻¹)₂₂=|𝐴|₂₂⁻¹, (𝐴⁻¹)₂₃=|𝐴|₃₂⁻¹,
(𝐴⁻¹)₃₁=|𝐴|₁₃⁻¹, (𝐴⁻¹)₃₂=|𝐴|₂₃⁻¹, (𝐴⁻¹)₃₃=|𝐴|₃₃⁻¹,
であり、

𝑎₁₁-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁
-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁
=𝑎₁₁-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂/|𝑎₃₃|²)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂/|𝑎₂₃|²)⁻¹𝑎₃₁
-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃/|𝑎₃₂|²)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃/|𝑎₂₂|²)⁻¹𝑎₃₁
=𝑎₁₁-|𝑎₃₃|²𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁-|𝑎₂₃|²𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁
-|𝑎₃₂|²𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁-|𝑎₂₂|²𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁
=𝑎₁₁-|𝑎₃₃|²𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁/||𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂|²
-|𝑎₂₃|²𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁/||𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂|²
-|𝑎₃₂|²𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁/||𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃|²
-|𝑎₂₂|²𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁/||𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃|²
=𝑎₁₁-(𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁+𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁
+𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁+𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)
より、

(𝐴⁻¹)₁₁=
(𝑎₁₁-(𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁+𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁
+𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁+𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁))⁻¹
=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎₁₁-(𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁+𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁
+𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁+𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁))⁻¹
=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎̅₁₁-(𝑎̅₂₁(|𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)𝑎̅₁₂+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)𝑎̅₁₂
+𝑎̅₂₁(|𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)𝑎̅₁₃+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)𝑎̅₁₃))
/|𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎₁₁-(𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁+𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁
+𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁+𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁)|²
=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎̅₁₁-(𝑎̅₂₁(|𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)𝑎̅₁₂+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)𝑎̅₁₂
+𝑎̅₂₁(|𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)𝑎̅₁₃+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)𝑎̅₁₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
であり、Sdet(A)はAのStudy行列式で、

𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)=
|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₃|²+|𝑎₁₁|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₃|²
+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₁|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₁|²
-2|𝑎₁₁|²𝑅𝑒(𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₂|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₃|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₂₂)
-2|𝑎₂₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₁₂)
-2|𝑎₃₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₁₁)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)
となります。

他の成分についても、
(𝐴⁻¹)₁₂=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₂𝑎̅₁₂-(𝑎̅₂₂(|𝑎₃₃|²𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₁)𝑎̅₁₁+𝑎̅₃₂(|𝑎₂₃|²𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₁)𝑎̅₁₁
+𝑎̅₂₂(|𝑎₃₁|²𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃)𝑎̅₁₃+𝑎̅₃₂(|𝑎₂₁|²𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃)𝑎̅₁₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₁₃=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₃𝑎̅₁₃-(𝑎̅₂₃(|𝑎₃₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁)𝑎̅₁₁+𝑎̅₃₃(|𝑎₂₂|²𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)𝑎̅₁₁
+𝑎̅₂₃(|𝑎₃₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂)𝑎̅₁₂+𝑎̅₃₃(|𝑎₂₁|²𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂)𝑎̅₁₂))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₁=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₂₁𝑎̅₂₁-(𝑎̅₁₁(|𝑎₃₃|²𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)𝑎̅₂₂+𝑎̅₃₁(|𝑎₁₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₁₃𝑎₁₂)𝑎̅₂₂
+𝑎̅₁₁(|𝑎₃₂|²𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)𝑎̅₂₃+𝑎̅₃₁(|𝑎₁₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₁₂𝑎₁₃)𝑎̅₂₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₂=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₂₂𝑎̅₂₂-(𝑎̅₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₁)𝑎̅₂₁+𝑎̅₃₂(|𝑎₁₃|²𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎̅₁₃𝑎₁₁)𝑎̅₂₁
+𝑎̅₁₂(|𝑎₃₁|²𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃)𝑎̅₂₃+𝑎̅₃₂(|𝑎₁₁|²𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎̅₁₁𝑎₁₃)𝑎̅₂₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₃=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₂₃𝑎̅₂₃-(𝑎̅₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁)𝑎̅₂₁+𝑎̅₃₃(|𝑎₁₂|²𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁)𝑎̅₂₁
+𝑎̅₁₃(|𝑎₃₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂)𝑎̅₂₂+𝑎̅₃₃(|𝑎₁₁|²𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂)𝑎̅₂₂))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₃₁=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₃₁𝑎̅₃₁-(𝑎̅₁₁(|𝑎₂₃|²𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)𝑎̅₃₂+𝑎̅₂₁(|𝑎₁₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₁₃𝑎₁₂)𝑎̅₃₂
+𝑎̅₁₁(|𝑎₂₂|²𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)𝑎̅₃₃+𝑎̅₂₁(|𝑎₁₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₃)𝑎̅₃₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₃₂=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₃₂𝑎̅₃₂-(𝑎̅₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₁)𝑎̅₃₁+𝑎̅₂₂(|𝑎₁₃|²𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎̅₁₃𝑎₁₁)𝑎̅₃₁
+𝑎̅₁₂(|𝑎₂₁|²𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃)𝑎̅₃₃+𝑎̅₂₂(|𝑎₁₁|²𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₃)𝑎̅₃₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₃₃=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₃₃𝑎̅₃₃-(𝑎̅₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)𝑎̅₃₁+𝑎̅₂₃(|𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁)𝑎̅₃₁
+𝑎̅₁₃(|𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂)𝑎̅₃₂+𝑎̅₂₃(|𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂)𝑎'₃₂))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。

No.2297kuiperbelt2024年10月27日 19:26

3×3のエルミート行列H
[𝑥₁₁ 𝑥₁₂ 𝑥₁₃]
[𝑥₂₁ 𝑥₂₂ 𝑥₂₃]
[𝑥₃₁ 𝑥₃₂ 𝑥₃₃]
𝑥₁₁=𝑥̅₁₁,𝑥₂₂=𝑥̅₂₂,𝑥₃₃=𝑥̅₃₃,𝑥̅₁₂=𝑥₂₁,𝑥̅₂₃=𝑥₃₂,𝑥̅₃₁=𝑥₁₃
についてMooreの行列式は、
𝑀𝑑𝑒𝑡(𝑋)
=𝑥₁₁𝑥₂₂𝑥₃₃-𝑥₁₁𝑥₂₃𝑥₃₂-𝑥₁₃𝑥₃₁𝑥₂₂-𝑥₁₂𝑥₂₁𝑥₃₃+𝑥₁₂𝑥₂₃𝑥₃₁+𝑥₁₃𝑥₃₂𝑥₂₁
=𝑥₁₁𝑥₂₂𝑥₃₃-𝑥₁₁|𝑥₂₃|²-𝑥₂₂|𝑥₃₁|²-𝑥₃₃|𝑥₁₂|²+𝑥₁₂𝑥₂₃𝑥₃₁+𝑥̅₁₃𝑥̅₂₁𝑥̅₃₂
=𝑥₁₁𝑥₂₂𝑥₃₃-𝑥₁₁|𝑥₂₃|²-𝑥₂₂|𝑥₃₁|²-𝑥₃₃|𝑥₁₂|²+2𝑅𝑒(𝑥₁₂𝑥₂₃𝑥₃₁)
と定義できて、3×3行列Aを
[𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃]
[𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃]
[𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃]
とすると、Aのエルミート行列𝐴*との積𝐴𝐴*は、
[𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂+𝑎₁₃𝑎̅₁₃ 𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₁₃𝑎̅₂₃ 𝑎₁₁𝑎̅₃₁+𝑎₁₂𝑎̅₃₂+𝑎₁₃𝑎̅₃₃]
[𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₂₃𝑎̅₁₃ 𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂+𝑎₂₃𝑎̅₂₃ 𝑎₂₁𝑎̅₃₁+𝑎₂₂𝑎̅₃₂+𝑎₂₃𝑎̅₃₃]
[𝑎₃₁𝑎̅₁₁+𝑎₃₂𝑎̅₁₂+𝑎₃₃𝑎̅₁₃ 𝑎₃₁𝑎̅₂₁+𝑎₃₂𝑎̅₂₂+𝑎₃₃𝑎̅₂₃ 𝑎₃₁𝑎̅₃₁+𝑎₃₂𝑎̅₃₂+𝑎₃₃𝑎̅₃₃]
でエルミート行列であり、Mooreの行列式は、
𝑀𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐴*)
=(|𝑎₁₁|²+|𝑎₁₂|²+|𝑎₁₃|²)(|𝑎₂₁|²+|𝑎₂₂|²+|𝑎₂₃|²)(|𝑎₃₁|²+|𝑎₃₂|²+|𝑎₃₃|²)
-(|𝑎₁₁|²+|𝑎₁₂|²+|𝑎₁₃|²)(𝑎₂₁𝑎̅₃₁+𝑎₂₂𝑎̅₃₂+𝑎₂₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₂₁+𝑎₃₂𝑎̅₂₂+𝑎₃₃𝑎̅₂₃)
-(|𝑎₂₁|²+|𝑎₂₂|²+|𝑎₂₃|²)(𝑎₁₁𝑎̅₃₁+𝑎₁₂𝑎̅₃₂+𝑎₁₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₁₁+𝑎₃₂𝑎̅₁₂+𝑎₃₃𝑎̅₁₃)
-(|𝑎₃₁|²+|𝑎₃₂|²+|𝑎₃₃|²)(𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₁₃𝑎̅₂₃)(𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₂₃𝑎̅₁₃)
+(𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₁₃𝑎̅₂₃)(𝑎₂₁𝑎̅₃₁+𝑎₂₂𝑎̅₃₂+𝑎₂₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₁₁+𝑎₃₂𝑎̅₁₂+𝑎₃₃𝑎̅₁₃)
+(𝑎₁₁𝑎̅₃₁+𝑎₁₂𝑎̅₃₂+𝑎₁₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₂₁+𝑎₃₂𝑎̅₂₂+𝑎₃₃𝑎̅₂₃)(𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₂₃𝑎̅₁₃)
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₃|²+|𝑎₁₁|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₃|²
+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₁|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₁|²
-2|𝑎₁₁|²𝑅𝑒(𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₂|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₃|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₂₂)
-2|𝑎₂₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₁₂)
-2|𝑎₃₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₁₁)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)
=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。

No.2298kuiperbelt2024年10月27日 20:08

返信 (3)

マッチ棒移動クイズ

2024-25=2696

という形に置かれている。(フォントの関係でアラビア数字で表示しています。)
そこで

(1)マッチ棒を2本動かして正しい式にして下さい。
(2)マッチ棒を3本動かして正しい式にして下さい。
(3)マッチ棒を4本動かして正しい式にして下さい。

マッチ棒で数字を表しますのでデジタル数字で作って下さい。
（但し7は4本のマッチ棒で作っておいて下さい。)

No.2291GAI2024年10月25日 08:29

解がたくさんありそうでしたので、プログラムを作って調べました。
これが正しければ、ちょっと解が多すぎですね。
# 6と9はマッチ棒6本として考えました。
(1)
2724-26=2698
2724-28=2696
(2)
2723-25=2698
2725-29=2696
2727-29=2698
3024-25=2999
3024-29=2995
(3)
2034-25=2009
2034-29=2005
2064-25=2039
2064-29=2035
2324-26=2298
2324-28=2296
2620-25=2595
2624-35=2589
2624-39=2585
2624-85=2539
2624-89=2535
2634-25=2609
2634-29=2605
2664-25=2639
2664-29=2635
2722-26=2696
2723-28=2695
2724-66=2658
2724-68=2656
2725-26=2699
2727-28=2699
2729-33=2696
2734-36=2698
2734-38=2696
2781-85=2696
2831-25=2806
2861-25=2836
2921-23=2898
2921-35=2886
2921-85=2836
3724-26=3698
3724-28=3696
8721-25=8696

No.2292らすかる2024年10月25日 19:53

お～
プログラムで探せるんだ！
ちょっと考えていたんだがやり方が難しく諦めていた。
すみませんが
9+6=7
で2本の移動で等式を作れば何通り可能ですか？
(ただし"+"も2本のマッチ棒で作られているものと考え"-"の演算も可能になるものとする。)

No.2293GAI2024年10月26日 05:49

プログラムが正しければ、
9-6=3
の1通りだけだと思います。
ちなみに3本では
0+5=5
3+0=3
5+0=5
8-5=3
の4通りになります。

No.2294らすかる2024年10月26日 07:15

> "らすかる"さんが書かれました:
> プログラムが正しければ、
> 9-6=3
> の1通りだけだと思います。

13-6=7
3+8=11
も作れませんか？

No.2295GAI2024年10月26日 08:46

桁数を増やせるかどうかはマッチ棒では不明ですので、桁数は変えない前提で調べました。
（特に「＝」の直後に桁が追加できるかどうか）

No.2296らすかる2024年10月26日 15:51

返信 (5)

規則的な素数

奇数を順序良く並べると
　ｎ　１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，…
２n+1 ３，５、７、９，１１，１３，１５、１７，１９、２１、…
オイラーの関数を、２で割ったものを並べると
e(2n+1)/2 は、
　　　１，２，３，３，５，６，４，８，９，６、…
素数のときは、増加して、合成数のときは、不規則です。

No.2288ks2024年10月22日 17:29

返信

いくつでも作れそうです。

例えば63×63で各行各列hammingweght=31
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1
1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1
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0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1
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1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1
1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0
0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1

No.2279GAI2024年10月20日 06:21

あとで秘訣をご教示下さい。

No.2281Dengan kesaktian Indukmu2024年10月20日 22:00

第1行が
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0
ですがこれは
1(1)=10
10(10)=1001
1001(1001)=10010110
10010110(10010110)=1001011001101001
1001011001101001(1001011001101001)=10010110011010010110100110010110
10010110011010010110100110010110(10010110011010010110100110010110)=
1001011001101001011010011001011001101001100101101001011001101001
となるので最後の1をカットして
63個の中に1が31個（0は32個)であるものを配置しております。
あとはこれを一個ずつ右ローテーションして構成しております。
こうして63×63の行列にしてみたら、すべての行、列のdigitsweight=31
のものが結果的に構成されました。

No.2283GAI2024年10月21日 17:00

GAI さん
秘訣をありがとうございます！！！

まさかの Thue-Morse列なのですね！！！！！

これを巡回させると！！！！！！！

No.2284Dengan kesaktian Indukmu2024年10月21日 19:04

返信 (3)

４個のサイコロ

似たようなことを４すくみで試したら
勝率が ALL 1/2 となりました。
それって非推移的じゃあないですよねえ。(苦笑)　これはこれで面白いですけれども。

A=[1,8,9,16,17,24]
B=[2,7,10,15,18,23]
C=[3,6,11,14,19,22]
D=[4,5,12,13,20,21]
の４組のサイコロで勝負すれば面白いですね。

No.2280GAI2024年10月20日 06:41

返信

すくみサイコロ

3すくみサイコロとして
A=[1,4,4,4,4,4]　;(和21）
B=[3,3,3,3,3,6]　;(和21）
C=[2,2,2,5,5,5]　;(和21）

A>B(p=25/36)
B>C(p=21/36)
C>A(p=21/36)

1～18までの数を次の3つに振り分ける。
A=[2,3,4,15,16,17] ;(和57)
B=[1,6,11,12,13,14];(和57)
C=[5,7,8,9,10,18] ;(和57）

A>B,B>C,C>A (p=21/36)

--------------------------------
4すくみサイコロで
A=[2,3,3,9,10,11]
B=[0,1,7,8,8,8]
C=[5,5,6,6,6,6]
D=[4,4,4,4,12,12]

A>B,B>C,C>D,D>A (p=24/36)

A=[1,2,3,9,10,11]
B=[0,1,7,8,8,9]
C=[5,5,6,6,7,7]
D=[3,4,4,5,11,12]

A>B,B>C,C>D,D>A (p=22/36)

A=[0,0,4,4,4,4]
B=[1,1,1,5,5,5]
C=[2,2,2,2,6,6]
D=[3,3,3,3,3,3]

A>B,B>C,C>D,D>A (p=12/36)

なども考えられるか？

No.2258GAI2024年10月15日 07:32

前回の 5 すくみよりも、
勝率が平準化されました。

A = (1, 13, 20, 24, 7)
B = (25, 9, 2, 11, 18)
C = (12, 16, 23, 10, 4)
D = (8, 5, 14, 17, 21)
E = (19, 22, 6, 3, 15)

B → A ∣ (13 : 12)
C → B ∣ (13 : 12)
D → C ∣ (13 : 12)
E → D ∣ (13 : 12)
A → E ∣ (13 : 12)
A → C ∣ (13 : 12)
B → D ∣ (13 : 12)
C → E ∣ (13 : 12)
D → A ∣ (13 : 12)
E → B ∣ (13 : 12)

似たようなことを４すくみで試したら
勝率が ALL 1/2 となりました。
それって非推移的じゃあないですよねえ。(苦笑)　これはこれで面白いですけれども。

No.2259Dengan kesaktian Indukmu2024年10月15日 19:19

なんと。７すくみサイコロが商品化されていました。以下のそれぞれは、３面ですが、残りの３面にも同じ数をあてます。

(7,10,16)
(5,13,15)
(3,9,21)
(1,12,20)
(6,8,19)
(4,11,18)
(2,14,17)

綺麗な７すくみになってまして、(対角線含め)
強いほうと弱いほうの勝率の比は全て
5:4
となっています。

丙ひとりだけが仕組みを知っていて
甲と乙に、七つのうちひとつをそれぞれ選ばせます。
丙はそのサイコロをみて、それらよりも強いサイコロを選択します。
という３人ゲームの、イカサマ？
ができるように作ったみたいです。

No.2260Dengan kesaktian Indukmu2024年10月15日 20:15

7竦みダイスまで商品化されているとはすごいですね。
3,4,5,7竦みとあると6竦みダイスもできそうですね。

No.2262kuiperbelt2024年10月15日 21:38

偶数すくみ、難しい印象があります。オリジナル(車輪の再発明？) ができたことがありません。なにかこつでもあるのでしょうか？

No.2263Dengan kesaktian Indukmu2024年10月15日 22:06

ヘカテーさんから 5 すくみの
Grime のダイスを教えてもらいました。

①:4,4,4,4,4,9
②:3,3,3,3,8,8
③:2,2,2,7,7,7
④:1,1,6,6,6,6
⑤:0,5,5,5,5,5

自作のものに比べて勝率が高いです。

1 → 2 ∣ (26 : 10)
2 → 3 ∣ (24 : 12)
3 → 4 ∣ (24 : 12)
4 → 5 ∣ (26 : 10)
5 → 1 ∣ (25 : 11)

1 → 3 ∣ (21 : 15)
3 → 5 ∣ (21 : 15)
5 → 2 ∣ (20 : 16)
2 → 4 ∣ (20 : 16)
4 → 1 ∣ (20 : 16)

No.2266Dengan kesaktian Indukmu2024年10月16日 10:45

ようやく私も偶数個ひとくみの非推移的ダイスを作れました。

A = (01, 10, 11, 12, 20, 22)
B = (02, 07, 09, 16, 19, 23)
C = (04, 06, 08, 14, 18, 24)
D = (03, 05, 13, 15, 17, 21)

※いかにも手作りっぽいですね。野蛮なことにヤマカンの積み重ねです。

性質①:非推移的な勝率。そして「ひらたい確率」です。
P(A>B) = P(B>C) = P(C>D) = P(D>A) = P(A>C) = P(B>D) = 19/36

性質②: 1 から 24 までの数が勢揃い。趣味的です。

No.2269Dengan kesaktian Indukmu2024年10月17日 20:31

6竦みダイスでとりあえず思いついたものですが、
ダイスA～Fの出目を
A:(a1,a2,a3,a4,a5,a6)
B:(b1,b2,b3,b4,b5,b6)
C:(c1,c2,c3,c4,c5,c6)
D:(d1,d2,d3,d4,d5,d6)
E:(e1,e2,e3,e4,e5,e6)
F:(f1,f2,f3,f4,f5,f6)
として、
a1<b1<c1<d1<e1<f1<f2<a2<b2<c2<d2<e2<e3<f3<a3<b3<c3<d3<
d4<e4<f4<a4<b4<c4<c5<d5<e5<f5<a5<b5<b6<c6<d6<e6<f6<a6
として、とりあえず、a1～f6に1～36を割り当てると、
A:(1,8,15,22,29,36)
B:(2,9,16,23,30,31)
C:(3,10,17,24,25,32)
D:(4,11,18,19,26,33)
E:(5,12,13,20,27,34)
F:(6,7,14,21,28,35)
で、A<B<C<D<E<F<A,A<C<E<A,B<D<F<Bで強い方の勝率が19/36で、AとD、BとE、CとFについてはヘカテさんの4竦みダイスと同じように勝率が1/2となります。

No.2271kuiperbelt2024年10月17日 22:56

カイパーベルトさん！！！
まさしくコレ！！！

これからヘカテーさんに急いでタレこみます。

No.2272Dengan kesaktian Indukmu2024年10月17日 23:17

kuiperbelt さん。
「A<B<C<D<E<F<A, A<C<E<A, B<D<F<B で強い方の勝率が19/36で」ではなかったみたいです。

B → A ∣ (20 : 16)
C → B ∣ (20 : 16)
D → C ∣ (20 : 16)
E → D ∣ (20 : 16)
F → E ∣ (20 : 16)
A → F ∣ (20 : 16)

C → A ∣ (19 : 17)
D → B ∣ (19 : 17)
E → C ∣ (19 : 17)
F → D ∣ (19 : 17)
A → E ∣ (19 : 17)
B → F ∣ (19 : 17)

A → D ∣ (18 : 18)
B → E ∣ (18 : 18)
C → F ∣ (18 : 18)

No.2276Dengan kesaktian Indukmu2024年10月18日 19:54

追伸:
kuiperbelt さんのやり方で
八面体８個の対称性の高い非推移的ダイスを簡単に作ることができました。

列を埋め終わったら横滑りするのですね。

途中図1
01,
02,
03,
04,
05,
06,
07,
08,09,

途中図2
01,10,
02,11,
03,12,
04,13,
05,14,
06,
07,
08,09,

途中図3
01,10,
02,11,
03,12,
04,13,
05,14,
06,15,
07,16,17,
08,09,

最終図
①01,10,19,28,37,46,55,64
②02,11,20,29,38,47,56,57
③03,12,21,30,39,48,49,58
④04,13,22,31,40,41,50,59
⑤05,14,23,32,33,42,51,60
⑥06,15,24,25,34,43,52,61
⑦07,16,17,26,35,44,53,62
⑧08,09,18,27,36,45,54,63

2 → 1 ∣ (35 : 29)
3 → 2 ∣ (35 : 29)
4 → 3 ∣ (35 : 29)
5 → 4 ∣ (35 : 29)
6 → 5 ∣ (35 : 29)
7 → 6 ∣ (35 : 29)
8 → 7 ∣ (35 : 29)
1 → 8 ∣ (35 : 29)

3 → 1 ∣ (34 : 30)
4 → 2 ∣ (34 : 30)
5 → 3 ∣ (34 : 30)
6 → 4 ∣ (34 : 30)
7 → 5 ∣ (34 : 30)
8 → 6 ∣ (34 : 30)
1 → 7 ∣ (34 : 30)
2 → 8 ∣ (34 : 30)

4 → 1 ∣ (33 : 31)
5 → 2 ∣ (33 : 31)
6 → 3 ∣ (33 : 31)
7 → 4 ∣ (33 : 31)
8 → 5 ∣ (33 : 31)
1 → 6 ∣ (33 : 31)
2 → 7 ∣ (33 : 31)
3 → 8 ∣ (33 : 31)

1 → 5 ∣ (32 : 32)
2 → 6 ∣ (32 : 32)
3 → 7 ∣ (32 : 32)
4 → 8 ∣ (32 : 32)

No.2277Dengan kesaktian Indukmu2024年10月18日 19:56

次は４個の４面体ダイスの出目であって出目の期待値はともに 60 。各面の数は全て素数。非推移的ダイスとなっています。

P( A < B ) = P( B < C ) = P( C < D ) = P( D < A ) = 9/16
P( A < C ) = P( B < D ) = 1/2

A = ( 007, 037, 083, 113 )
B = ( 013, 041, 089, 097 )
C = ( 017, 047, 073, 103 )
D = ( 023, 031, 079, 107 )

※素数にしたのは完全に虚仮威しですけれども、定和にするにはどうしたらよいのか不明でした。期待値を等しくしたかった……

No.2278Dengan kesaktian Indukmu2024年10月18日 22:11

返信 (11)

15個の金貨15人の技術者の場合

13個の金貨13人の技術者の場合はGF(3)上の射影平面を応用していましたが、15個の金貨15人の技術者の場合は、GF(2)上の3次元射影空間を応用して、15人の技術者に1～9,A～Fの名前をつけて、15個の金貨に、「あ」～「そ」の名前をつけて、それぞれの金貨を以下のように7人の技術者が測定することにします。

あ：1,2,3,4,9,A,B
い：1,2,5,6,9,C,D
う：1,3,5,7,A,C,E
え：5,6,7,8,9,A,B
お：3,4,7,8,9,C,D
か：2,4,6,8,A,C,E
き：1,3,6,8,A,D,F
く：1,2,7,8,9,E,F
け：1,4,5,8,B,C,F
こ：9,A,B,C,D,E,F
さ：1,4,6,7,B,D,E
し：3,4,5,6,9,E,F
す：2,4,5,7,A,D,F
せ：2,3,6,7,B,C,F
そ：2,3,5,8,B,D,E

1～9,A～Fの技術者にGF(2)上の3次元射影空間内の点を以下のように対応させると、「あ」～「そ」の金貨はGF(2)上の3次元射影空間内の平面に対応します。

1:(0,0,0,1) 2:(1,0,0,1) 3:(0,1,0,1) 4:(1,1,0,1)
5:(0,0,1,1) 6:(1,0,1,1) 7:(0,1,1,1) 8:(1,1,1,1)
9:(1,0,0,0) A:(0,1,0,0) B:(1,1,0,0)
C:(0,0,1,0) D:(1,0,1,0) E:(0,1,1,0) F:(1,1,1,0)

全員が真の報告をした場合、偽金貨の偽物ポイントは7で本物の金貨の偽物ポイントは3となります。
陽性を報告するはずの技術者が陰性と報告した場合、該当する7枚の偽物ポイントが1下がります。
陰性を報告するはずの技術者が陽性と報告した場合、該当する7枚の偽物ポイントが1上がります。
したがって、技術者が1人報告を偽るごとに、偽物ポイントの差が1だけ減少します。
しかし、本物と偽物の偽物ポイントの差は本来4ポイントあるので、偽りの報告が3人までならその大小関係が逆転することはありません。

対応する15ビット符号の最小ハミング距離は8になるので、偽りの報告が3人までなら偽金貨を特定することができますが、偽りの報告が4人になると報告に偽りがあることはわかっても、偽金貨を特定することはできなくなります。

No.2261kuiperbelt2024年10月15日 21:33

なるほど、これは勉強になりました。
サイクリックに翻訳できましたのでお礼に。

[
"0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1",
"1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1",
"1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0",
"0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0",
"0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0,1",
"1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1,0",
"0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0,1",
"1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0,0",
"0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0,0",
"0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,0",
"0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0",
"0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1",
"1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,1",
"1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1",
"1,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0",
];

No.2265Dengan kesaktian Indukmu2024年10月15日 22:58

Dengan kesaktian Indukmu さんの投稿行列をみて、例えば次のような31×31のものが構成できれば
31個の金貨と31人の検査官で15個ずつの硬貨を調査していき、問題の硬貨を発見できるということなんでしょうか？
内容をまだよく理解できてなくて頓珍漢な質問になると思いますが･･･

[0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0]
[0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0]
[0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1]
[1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0]
[0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1]
[1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1]
[1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0]
[0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0]
[0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1]
[1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1]
[1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0]
[0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1]
[1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0]
[0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0]
[0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1]
[1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0]
[0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1]
[1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1]
[1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0]
[0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1]
[1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0]
[0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0]
[0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1]
[1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1]
[1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0]
[0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0]
[0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1]
[1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0]
[0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1]
[1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1]
[1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0]

No.2267GAI2024年10月17日 17:32

GAI さん、今拝見しました。驚きました。お時間ください。

No.2268Dengan kesaktian Indukmu2024年10月17日 20:21

GAI さん。
ちょっと見では、
この計測ですと
嘘つきの検査官が最大５人までいても偽金貨を特定できるようですね。1/3 が嘘ついても大丈夫ってすごいことです。

とりあえず速報まで。

P.S. 1/3 が嘘をついても、、というのは私の間違いでした。申し訳ありません

No.2270Dengan kesaktian Indukmu2024年10月17日 21:53

31人の技術者に1～9,A～H,J～N,P～Xの名前をつけて、31個の金貨に、「あ」～「ま」の名前をつけて、それぞれを以下のようにGF(2)上の4次元射影空間内の31個の点と31枚の超平面に対応させます。各超平面内の15個の点が、該当する金貨を測定する15人の技術者に相当します。

1:(0,0,0,0,1) 2:(1,0,0,0,1) 3:(0,1,0,0,1) 4:(1,1,0,0,1)
5:(0,0,1,0,1) 6:(1,0,1,0,1) 7:(0,1,1,0,1) 8:(1,1,1,0,1)
9:(0,0,0,1,1) A:(1,0,0,1,1) B:(0,1,0,1,1) C:(1,1,0,1,1)
D:(0,0,1,1,1) E:(1,0,1,1,1) F:(0,1,1,1,1) G:(1,1,1,1,1)
H:(1,0,0,0,0) J:(0,1,0,0,0) K:(1,1,0,0,0)
L:(0,0,1,0,0) M:(1,0,1,0,0) N:(0,1,1,0,0) P:(1,1,1,0,0)
Q:(0,0,0,1,0) R:(1,0,0,1,0) S:(0,1,0,1,0) T:(1,1,0,1,0)
U:(0,0,1,1,0) V:(1,0,1,1,0) W:(0,1,1,1,0) X:(1,1,1,1,0)

あ：1,2,3,4,5,6,7,8,H,J,K,L,M,N,P
い：1,2,3,4,9,A,B,C,H,J,K,Q,R,S,T
う：1,2,5,6,9,A,D,E,H,L,M,Q,R,U,V
え：1,3,5,7,9,B,D,F,J,L,N,Q,S,U,W
お：9,A,B,C,D,E,F,G,H,J,K,L,M,N,P
か：5,6,7,8,D,E,F,G,H,J,K,Q,R,S,T
き：3,4,7,8,B,C,F,G,H,L,M,Q,R,S,T
く：2,4,6,8,A,C,E,G,J,L,N,Q,S,U,W
け：1,4,5,8,9,C,D,G,K,L,P,Q,T,U,X
こ：1,3,6,8,9,B,E,G,J,M,P,Q,S,V,X
さ：1,2,7,8,9,A,F,G,H,N,P,Q,R,W,X
し：1,3,5,7,A,C,E,G,J,L,N,R,T,V,X
す：1,2,5,6,B,C,F,G,H,L,M,S,T,W,X
せ：1,2,3,4,D,E,F,G,H,J,K,U,V,W,X
そ：2,3,6,7,A,B,E,F,K,L,P,Q,T,U,X
た：2,4,5,7,A,C,D,F,J,M,P,Q,S,V,X
ち：3,4,5,6,B,C,D,E,H,N,P,Q,R,W,X
つ：2,4,6,8,9,B,D,F,J,L,N,R,T,V,X
て：3,4,7,8,9,A,D,E,H,L,M,S,T,W,X
と：5,6,7,8,9,A,B,C,H,J,K,U,V,W,X
な：1,4,6,7,9,C,E,F,K,M,N,Q,T,V,W
に：1,4,5,8,A,B,E,F,K,L,P,R,S,V,W
ぬ：1,3,6,8,A,C,D,F,J,M,P,R,T,U,W
ね：1,2,7,8,B,C,D,E,H,N,P,S,T,U,V
の：2,3,5,8,A,B,D,G,K,M,N,Q,T,V,W
は：2,3,6,7,9,C,D,G,K,L,P,R,S,V,W
ひ：2,4,5,7,9,B,E,G,J,M,P,R,T,U,W
ふ：3,4,5,6,9,A,F,G,H,N,P,S,T,U,V
へ：1,4,6,7,A,B,D,G,K,M,N,R,S,U,X
ほ：2,3,5,8,9,C,E,F,K,M,N,R,S,U,X
ま：H,J,K,L,M,N,P,Q,R,S,T,U,V,W,X

対応する31ビット符号は以下のようになりますが、最小ハミング距離は16で、最大7人までが偽りの報告をしても偽金貨を特定できます。
[1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0],
[1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0],
[1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0],
[1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0],
[0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0],
[0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0],
[0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0],
[1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1],
[1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1],
[1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1],
[1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1],
[1,1,0,0,1,1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1],
[1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1],
[0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1],
[0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1],
[0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1],
[0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1],
[0,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1],
[0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1],
[1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0],
[1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0],
[1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0],
[1,1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0],
[0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0],
[0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0],
[0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,0,1,0,1,1,0,1,0],
[0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0],
[1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1],
[0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1,1,0,0,0,1,0,1,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]

No.2273kuiperbelt2024年10月18日 10:48

31人の技術者に1～9,A～H,J～N,P～Xの名前をつけて、31個の金貨に、「あ」～「ま」の名前をつけて、それぞれを以下のようにGF(5)上の射影平面内の31個の点と31本の直線に対応させた場合も考えてみました。各直線内の6個の点が、該当する金貨を測定する6人の技術者に相当します。

1:(0,0,1) 2:(1,0,1) 3:(2,0,1) 4:(3,0,1) 5:(4,0,1)
6:(0,1,1) 7:(1,1,1) 8:(2,1,1) 9:(3,1,1) A:(4,1,1)
B:(0,2,1) C:(1,2,1) D:(2,2,1) E:(3,2,1) F:(4,2,1)
G:(0,3,1) H:(1,3,1) J:(2,3,1) K:(3,3,1) L:(4,3,1)
M:(0,4,1) N:(1,4,1) P:(2,4,1) Q:(3,4,1) R:(4,4,1)
S:(1,0,0) T:(4,1,0) U:(3,1,0) V:(2,1,0) W:(1,1,0) X:(0,1,0)

あ：1,2,3,4,5,S
い：6,7,8,9,A,S
う：B,C,D,E,F,S
え：G,H,J,K,L,S
お：M,N,P,Q,R,S
か：1,A,E,J,N,T
き：2,6,F,K,P,T
く：3,7,B,L,Q,T
け：4,8,C,M,R,T
こ：5,9,D,H,M,T
さ：1,9,C,L,P,U
し：2,A,D,G,Q,U
す：3,6,E,H,R,U
せ：4,7,F,J,M,U
そ：5,8,B,K,N,U
た：1,8,F,H,Q,V
ち：2,9,B,J,R,V
つ：3,A,C,K,M,V
て：4,6,D,L,N,V
と：5,7,E,G,P,V
な：1,7,D,K,R,W
に：2,8,E,L,M,W
ぬ：3,9,F,G,N,W
ね：4,A,B,H,P,W
の：5,6,C,J,Q,W
は：1,6,B,G,M,X
ひ：2,7,C,H,N,X
ふ：3,8,D,J,P,X
へ：4,9,E,K,Q,X
ほ：5,A,F,L,R,X
ま：S,T,U,V,W,X

1直線上には6点が存在し、どの2直線も1点を共有するので、1点を共有する2直線には互いに異なる5点があることになります。対応する31ビット符号は以下のようになりますが、最小ハミング距離は10で、最大4人までが偽りの報告をしても偽金貨を特定できます。
[1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0],
[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1,0,0,0,0,0],
[1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0],
[0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0],
[0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0],
[0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0],
[0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0],
[1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0],
[0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0],
[0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0],
[0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0],
[0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0],
[1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0],
[0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0],
[0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0],
[0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0],
[0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0],
[1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0],
[0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0],
[0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0],
[0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0],
[0,0,0,0,1,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1,0],
[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1],
[0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1],
[0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1],
[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,1,1,1,1,1]

No.2274kuiperbelt2024年10月18日 10:50

流速が増大していて
なかなか追いつけませんが。

[2267]の GAI さんの31の解、
不思議でなりません。
ブロックデザインとしてどのような位置づけなのか？
巡回していますよね。
この手の解のデータベースをあたったのですが登録されていませんでした。
新発見？

No.2275Dengan kesaktian Indukmu2024年10月18日 13:54

返信 (7)

ジッヒャーマンのサイコロ

「私の備忘録 > 目の和」の｛1,2,2,3,3,4}の目と｛1,3,4,5,6,8}の目をもったサイコロ（平成２６年９月１日付け）は、ジッヒャーマンのサイコロ(Sicherman dice)といわれるものですね。Sichermanはシチャーマン、ジッヘルマンともいわれます。

{1,2,2,3}と{1,3,3,5,5,5,7,7,9}、{1,4,4,7}と{1,2,2,3,3,3,4,4,5}、{1,2,4,5}と{1,2,3,3,4,5,5,6,7}の組み合わせは、4面ダイスと9面ダイスの組み合わせで実現できますが、{1,2,4,5}と{1,2,3,3,4,5,5,6,7}の組み合わせの4面ダイスと9面ダイスを3Dプリントでつくったものがありました。

https://www.shapeways.com/product/G2KUH846M/d9-d4-recast-2d6?optionId=347165649&li=marketplace

1～10の出目がある10面ダイスの母関数は、
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10で表され、
x(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)と因数分解されます。
a=x+1,b=x^4-x^3+x^2-x+1,c=x^4+x^3+x^2+x+1とすると、もとの10面ダイスの母関数は、x*a*b*cで、10面ダイス2個の場合は(x*a*b*c)^2なので、それぞれの出目が1以上となるように2つの10面ダイスに分配すると、係数が負となる組み合わせを除外すると、
x*a*c=x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+x
x*a*b^2*c=x^14+x^12+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^3+x
なので、{1,2,2,3,3,4,4,5,5,6}と{1,3,5,6,7,8,9,10,12,14}の組み合わせが1～10の出目がある10面ダイスを2個ふったときの出目の和と同じ確率分布を与える10面ダイスのペアとなります。

1～8の出目がある正8面体ダイスの母関数は、
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8で表され、
x(x+1)(x^2+1)(x^4+1)と因数分解されます。
a=x+1,b=x^2+1,c=x^4+1とすると、もとの正8面体ダイスの母関数は、x*a*b*cで、正8面体ダイス2個の場合は(x*a*b*c)^2なので、それぞれの出目が1以上となるように2つの正8面体ダイスに分配すると、

x*b*c^2=x^11+x^9+2x^7+2x^5+x^3+x
x*a^2*b=x^5+2x^4+2x^3+2x^2+x

x*a*c^2=x^10+x^9+2x^6+2x^5+x^2+x
x*a*b^2=x^6+x^5+2x^4+2x^3+x^2+x

x*b^2*c=x^9+2x^7+2x^5+2x^3+x
x*a^2*c=x^7+2x^6+x^5+x^3+2x^2+x

の3つの組み合わせが、2つの正8面体ダイスとなる組み合わせで、1～8の出目がある正8面体ダイスを2個ふったときの出目の和と同じ確率分布を与える正8面体ダイスのペアは出目がそれぞれ、

{1,2,2,3,3,4,4,5}と{1,3,5,5,7,7,9,11}
{1,2,3,3,4,4,5,6}と{1,2,5,5,6,6,9,10}
{1,2,2,3,5,6,6,7}と{1,3,3,5,5,7,7,9}

となります。

1～12の出目がある正12面体ダイスの母関数は、
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12で表され、
x(x+1)(x^2+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^4+x^2+1)と因数分解されます。
a=x+1,b=x^2+1,c=x^2-x+1,d=x^2+x+1,e=x^4-x^2+1とすると、もとの正12面体ダイスの母関数は、x*a*b*c*d*eで、正12面体ダイス2個の場合は(x*a*b*c*d*e)^2なので、それぞれの出目が1以上となるように2つの正12面体ダイスに分配すると、

x*b^2*c*d*e^2=x^17+x^15+x^13+2x^11+2x^9+2x^7+x^5+x^3+x
x*a^2*c*d=x^7+2x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+x

x*b^2*c*d*e=x^13+2x^11+2x^9+2x^7+2x^5+2x^3+x
x*a^2*c*d*e=x^11+2x^10+x^9+x^7+2x^6+x^5+x^3+2x^2+x

x*b^2*d*e^2=x^15+x^14+x^13+2x^9+2x^8+2x^7+x^3+x^2+x
x*a^2*c^2*d=x^9+x^8+x^7+2x^6+2x^5+2x^4+x^3+x^2+x

x*a^2*c^2*d*e=x^13+x^12+x^10+2x^9+x^8+x^6+2x^5+x^4+x^2+x
x*b^2*d*e=x^11+x^10+2x^9+x^8+x^7+x^5+x^4+2x^3+x^2+x

x*a*b*c*d*e^2=x^16+x^15+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^2+x
x*a*b*c*d=x^8+x^7+2x^6+2x^5+2x^4+2x^3+x^2+x

x*a*b*c^2*d*e=x^14+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x
x*a*b*d*e=x^10+2x^9+2x^8+x^7+x^4+2x^3+2x^2+x

x*a*b*c^2*d*e^2=x^18+x^15+x^14+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^5+x^4+x
x*a*b*d=x^6+2x^5+3x^4+3x^3+2x^2+x

の7つの組み合わせが、2つの正12面体ダイスとなる組み合わせで、1～12の出目がある正12面体ダイスを2個ふったときの出目の和と同じ確率分布を与える正12面体ダイスのペアは出目がそれぞれ、

{1,3,5,7,7,9,9,11,11,13,15,17}と{1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7}
{1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13}と{1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11}
{1,2,3,7,7,8,8,9,9,13,14,15}と{1,2,3,4,4,5,5,6,6,7,8,9}
{1,2,4,5,5,6,8,9,9,10,12,13}と{1,2,3,3,4,5,7,8,9,9,10,11}
{1,2,5,6,7,8,9,10,11,12,15,16}と{1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,8}
{1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14}と{1,2,2,3,3,4,7,8,8,9,9,10}
{1,4,5,7,8,9,10,11,12,14,15,18}と{1,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,6}

となります。こちらについても3Dプリントでつくったものがありました。
https://www.shapeways.com/product/XQKD5HJ27/sicherman-2d12-alpha?optionId=347410953&li=shops

1～20の出目がある正20面体ダイスの母関数は、
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^10+x^11+x^12+x^13+x^14+x^15+x^16+x^17+x^18+x^19+x^20で表され、
x(x+1)(x^2+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^6+x^4-x^2+1)と因数分解されます。
a=x+1,b=x^2+1,c=x^4-x^3+x^2-x+1,d=x^4+x^3+x^2+x+1,e=x^8-x^6+x^4-x^2+1とすると、もとの正20面体ダイスの母関数は、x*a*b*c*d*eで、正20面体ダイス2個の場合は(x*a*b*c*d*e)^2なので、それぞれの出目が1以上となるように2つの正20面体ダイスに分配すると、

x*b^2*c*d*e^2=x^29+x^27+x^25+x^23+x^21+2x^19+2x^17+2x^15+2x^13+2x^11+x^9+x^7+x^5+x^3+x
x*a^2*c*d=x^11+2x^10+2x^9+2x^8+2x^7+2x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+x

x*b^2*c*d*e=x^21+2x^19+2x^17+2x^15+2x^13+2x^11+2x^9+2x^7+2x^5+2x^3+x
x*a^2*c*d*e=x^19+2x^18+x^17+x^15+2x^14+x^13+x^11+2x^10+x^9+x^7+2x^6+x^5+x^3+2x^2+x

x*b^2*d*e=x^25+x^24+x^23+x^22+x^21+2x^15+2x^14+2x^13+2x^12+2x^11+x^5+x^4+x^3+x^2+x
x*a^2*c^2*d=x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+2x^10+2x^9+2x^8+2x^7+2x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x

x*a^2*c^2*d*e=x^23+x^22+x^19+2x^18+x^17+x^15+2x^14+x^13+x^11+2x^10+x^9+x^7+2x^6+x^5+x^2+x
x*b^2*d*e=x^17+x^16+2x^15+2x^14+2x^13+x^12+x^11+x^7+x^6+2x^5+2x^4+2x^3+x^2+x

x*a*b*c*d*e^2=x^28+x^27+x^24+x^23+x^20+x^19+x^18+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^6+x^5+x^2+x
x*a*b*c*d=x^12+x^11+2x^10+2x^9+2x^8+2x^7+2x^6+2x^5+2x^4+2x^3+x^2+x

x*a*b*c^2*d*e=x^24+x^22+x^20+x^19+x^18+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^12+x^11+x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^3+x
x*a*b*d*e=x^16+2x^15+2x^14+2x^13+2x^12+x^11+x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+x

x*a*b*c^2*d*e^2=x^32+x^28+x^27+x^24+x^23+x^22+x^20+x^19+x^18+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^11+x^10+x^9+x^6+x^5+x
x*a*b*d=x^8+2x^7+3x^6+4x^5+4x^4+3x^3+2x^2+x

の7つの組み合わせが、2つの正20面体ダイスとなる組み合わせで、1～20の出目がある正20面体ダイスを2個ふったときの出目の和と同じ確率分布を与える正20面体ダイスのペアは出目がそれぞれ、

{1,3,5,7,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,21,23,25,27,29}と{1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11}
{1,3,3,5,5,7,7,9,9,11,11,13,13,15,15,17,17,19,19,21}と{1,2,2,3,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19}
{1,2,3,4,5,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,21,22,23,24,25}と{1,2,3,4,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12,13,14,15}
{1,2,5,6,6,7,9,10,10,11,13,14,14,15,17,18,18,19,22,23}と{1,2,3,3,4,4,5,5,6,7,11,12,13,13,14,14,15,15,16,17}
{1,2,5,6,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,23,24,27,28}と{1,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,12}
{1,3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,22,24}と{1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16}
{1,5,6,9,10,11,13,14,15,16,17,18,19,20,22,23,24,27,28,32}と{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,7,7,8}

となります。

9面ダイスが出てきたついでに、1～9の出目がある9面ダイスの母関数は、
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9で表され、
x(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)と因数分解されます。
a=x^2+x+1,b=x^6+x^3+1とすると、もとの9面ダイスの母関数は、x*a*bで、9面ダイス2個の場合は(x*a*b)^2なので、それぞれの出目が1以上となるように2つの9面ダイスに分配すると、
x*b^2=x^13+2x^10+3x^7+2x^4+x
x*a^2=x^5+2x^4+3x^3+2x^2+x
なので、{1,2,2,3,3,3,4,4,5}と{1,4,4,7,7,7,10,10,13}の組み合わせが1～9の出目がある9面ダイスを2個ふったときの出目の和と同じ確率分布を与える9面ダイスのペアとなります。

No.2059kuiperbelt2024年8月11日 00:20

話題が一部かぶりそうなのでご紹介します。

正八面体ダイスが 2 個あります。
片方を A 、もう片方を B とします。
A の出目を {a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7]}
B の出目を {b[0],b[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6],b[7]}
とします。
但し
a[0]≦a[1]≦a[2]≦a[3]≦a[4]≦a[5]≦a[6]≦a[7]
b[0]≦b[1]≦b[2]≦b[3]≦b[4]≦b[5]≦b[6]≦b[7]
と約束しておきます。

【例題】
この A,B ふたつのダイスをともに振るときに
出る目の分布が 0 から 63 まで全ての非負整数となりおのおの等確率で出現するという。

0 ≦ n ≦ 7
なる非負整数 n について
b[n] = 8*a[n]
が成立するとき
a[n] を求めよ。

【例題解答】
a[n] = n
※８進数を考えればよい。

【問題】
この A,B ふたつのダイスをともに振るときに
出る目の分布が 0 から 63 まで全ての非負整数となりおのおの等確率で出現するという。

0 ≦ n ≦ 7
なる非負整数 n について
b[n] = 2*a[n]
が成立するとき
a[n] を求めよ。

《例題では８倍、この問題では２倍になっています。》

=======
この問題の元ネタの PDF には
ジッヒャーマンのダイスや母関数による分析の方法が紹介されていて面白かったです。
後日にこの PDF をご案内いたします。

No.2065Dengan kesaktian Indukmu2024年8月11日 14:04

2つのダイスの母関数を
f(x)=x^a[0]+x^a[1]+…+x^a[7]
g(x)=x^b[0]+x^b[1]+…+x^b[7]
とすると、
g(x)=x^(2*a[0])+x^(2*a[1])+…+x^(2*a[7])
=(x^2)^a[0]+(x^2)^a[1]+…+(x^2)^a[7]
=f(x^2)
f(x)g(x)=f(x)f(x^2)=1+x+x^2+…+x^63
で、1+x+x^2+…+x^63を因数分解すると
(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)(x^16+1)(x^32+1)
なので、
f(x)=(x+1)(x^4+1)(x^16+1)=x^21+x^20+x^17+x^16+x^5+x^4+x+1
g(x)=(x^2+1)(x^8+1)(x^32+1)=x^42+x^40+x^34+x^32+x^10+x^8+x^2+1
より、
a[0]=0,a[1]=1,a[2]=4,a[3]=5,a[4]=16,a[5]=17,a[6]=20,a[7]=21

同じようなアイデアで構成された10面ダイスのペアが3Dプリントで作られていました。

10面体ダイスが2個あります。
片方をA、もう片方をBとします。
Aの出目を{a[0],a[1],a[2],a[3],a[4],a[5],a[6],a[7],a[8],a[9]}
Bの出目を{b[0],b[1],b[2],b[3],b[4],b[5],b[6],b[7],b[8],b[9]}
とします。
但し
a[0]≦a[1]≦a[2]≦a[3]≦a[4]≦a[5]≦a[6]≦a[7]≦a[8]≦a[9]
b[0]≦b[1]≦b[2]≦b[3]≦b[4]≦b[5]≦b[6]≦b[7]≦b[8]≦b[9]
と約束しておきます。

このA,Bふたつのダイスをともに振るときに
出る目の分布が0から99まで全ての非負整数となりおのおの等確率で出現するという。

0 ≦n≦9
なる非負整数nについて
a[n],b[n]を求めよ。

後日にこの10面ダイスペアへのリンクをご案内いたします。

No.2067kuiperbelt2024年8月11日 18:59

kuiperbelt さん、八面体ダイスのペアの問題は、正解です。

ご出題いただいた十面体ダイス２個の問題には暗算でもわかる自明な解が一組ありますね。
ほかの組を求めよということとなりますでしょうか。

No.2068Dengan kesaktian Indukmu2024年8月11日 19:34

自明な解を除くというのを忘れていました。
自明でない解でお願いします。

No.2069kuiperbelt2024年8月11日 19:39

10面ダイスのペアの問題ですが……

OEIS A273013 によれば自明な解を含めて 7 通りもあるのですね ………
OEIS へはこの投稿の Dengan の名前をクリックで行けます。

【追伸】
雑誌「数学セミナー」2018年9月号の「エレガントな解答求む」で、7通りが載っていることを確認しました。

No.2071Dengan kesaktian Indukmu2024年8月11日 21:55

A=[0,1,4,5,8,9,12,13,16,17]
B=[0,2,20,22,40,42,60,62,80,82]

A=[0,1,2,3,4,25,26,27,28,29]
B=[0,5,10,15,20,50,55,60,65,70]

A=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45]
B=[0,1,2,3,4,50,51,52,53,54]

A=[0,1,20,21,40,41,60,61,80,81]
B=[0,2,4,6,8,10,12,14,16,18]

の4組は何とか発見できたが、残り2組は何が考えられるんだろうか？

No.2072GAI2024年8月12日 08:40

A=[0,5,20,25,40,45,60,65,80,85]
B=[0,1,2,3,4,10,11,12,13,14]

A=[0,1,10,11,20,21,30,31,40,41]
B=[0,2,4,6,8,50,52,54,56,58]

の２つのようです。

No.2073ＨＰ管理者2024年8月12日 09:31

10面ダイスのペアは自明なものを除くと

A=[0,1,4,5,8,9,12,13,16,17]
B=[0,2,20,22,40,42,60,62,80,82]

A=[0,1,2,3,4,25,26,27,28,29]
B=[0,5,10,15,20,50,55,60,65,70]

A=[0,5,10,15,20,25,30,35,40,45]
B=[0,1,2,3,4,50,51,52,53,54]

A=[0,1,20,21,40,41,60,61,80,81]
B=[0,2,4,6,8,10,12,14,16,18]

A=[0,5,20,25,40,45,60,65,80,85]
B=[0,1,2,3,4,10,11,12,13,14]

A=[0,1,10,11,20,21,30,31,40,41]
B=[0,2,4,6,8,50,52,54,56,58]

の6組です。

2つの10面ダイスの母関数の積は1+x+x^2+…+x^99で、

1+x+x^2+…+x^99
=(x+1)(x^2+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^8-x^6+x^4-x^2+1)
*(x^20-x^15+x^10-x^5+1)(x^20+x^15+x^10+x^5+1)(x^40-x^30+x^20-x^10+1)

と因数分解されるので、

a=x+1
b=x^2+1
c=x^4-x^3+x^2-x+1
d=x^4+x^3+x^2+x+1
e=x^8-x^6+x^4-x^2+1
f=x^20-x^15+x^10-x^5+1
g=x^20+x^15+x^10+x^5+1
h=x^40-x^30+x^20-x^10+1

とすると、x=1を代入すると、a,b,c,d,e,f,g,hが2,2,1,5,1,1,5,1となるので、
2つの10面ダイスの母関数は、それぞれがa*d、b*gを因数にもつ場合と、a*g、b*d
を因数にもつ場合があり、それぞれについてc,e,f,hを分配して係数が負になる
場合を除外すると、自明なものを含めて7通りの組み合わせが得られます。

下記のサイトに、
A=[0,1,20,21,40,41,60,61,80,81]
B=[0,2,4,6,8,10,12,14,16,18]
の組み合わせとなる10面ダイスペアを3Dプリントで作ったものが載っていました。
https://www.shapeways.com/product/B7VEDU96X/alternative-percentile-dice-set?optionId=59862239&li=marketplace

OEIS A273013を見ると、自明なものを含めると、8面ダイスの場合は10通り、
12面体と20面体では42通りもあるのですね…

No.2074kuiperbelt2024年8月12日 15:50

お約束していた参考文献をば。

■Extending Sicherman Dice to 100-cell Calculation Tables
Yutaka Nishiyama, Nozomi Miyanaga
https://doi.org/10.48550/arXiv.1602.03736

※上記PDFのfig13が
b[n]=2*a[n] な問題の元ネタです。

■数学セミナー:エレガントな解答求む
https://yutaka-nishiyama.sakura.ne.jp/susemi/susemi1809.pdf

No.2075Dengan kesaktian Indukmu2024年8月12日 20:13

今ぼんやりと
https://oeis.org/A273013/b273013.txt
を眺めていましたら次のような予想が。

p, q を素数とする。(p < q)
A273013[p^2] = 3
A273013[p*q] = 7

コレが正しければ10面ダイスのペアのあり方が 7 通りというのは所期すべきということに？
あるいは 7 通りの見つけ方には隠れたルートがある？

No.2076Dengan kesaktian Indukmu2024年8月12日 21:50

n=p^rのとき、母関数は、
1+x+x^2+…+x^(p^(2r)-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…x^(p^2-p))…(1+x^(p^(2r-1))+…+x^(p^(2r)-p^(2r-1)))
と2r個の因数に分解されるので、r個ずつ取り出して2個のダイスの母関数をつくる方法は、
2項係数C(p,q)=p!/q!/(p-q)!を用いると、C(2r,r)/2通りで、

n=p^2のときC(4,2)/2=3
n=p^3のときC(6,3)/2=10
n=p^4のときC(8,4)/2=35
n=p^5のときC(10,5)/2=126
n=p^6のときC(12,6)/2=462
などとなります。

他にも、p,q,rを異なる素数としたとき

a(p^2*q)=42
a(p^3*q)=230
a(p*q*r)=115

という予想もあります。

No.2077kuiperbelt2024年8月13日 01:52

> A273013[p^2] = 3
> A273013[p*q] = 7

> コレが正しければ10面ダイスのペアのあり方が 7 通りというのは所期すべきということに？
> あるいは 7 通りの見つけ方には隠れたルートがある？

ｎの因数分解型に影響されるなら
A074206でのKalmár's [Kalmar's] problem: number of ordered factorizations of n
でのプログラムを利用すればより簡単にその数字は手に入りそうです。
n=10=2*5(=p*q型)
なら3が返されるから、これを7へ変更してやればいいような････

No.2078GAI2024年8月13日 12:30

n=p*qのとき、母関数は、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^((p*q)-1))*(1+x^(p*q)+…+x^((p*q)^2-p*q))・・・(イ)
=(1+x+…+x^(p^2-1))*(1+x^(p^2)+…+x^((p*q)^2-p^2))・・・(ロ)
=(1+x+…+x^(q^2-1))*(1+x^(q^2)+…+x^((p*q)^2-q^2))・・・(ハ)

と表され、(イ)の場合からは、

1+x+…+x^((p*q)-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p*q-p))
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(p*q-q))

1+x^(p*q)+…+x^((p*q)^2-p*q)
=(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(p-1)))*(1+x^(p^2*q)…+x^(p^2*q^2-p^2*q))
=(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(q-1)))*(1+x^(p*q^2)…+x^(p^2*q^2-p*q^2))

なので、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p*q-p))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(p-1)))*(1+x^(p^2*q)…+x^(p^2*q^2-p^2*q))
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p*q-p))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(q-1)))*(1+x^(p*q^2)…+x^(p^2*q^2-p*q^2))
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(p*q-q))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(p-1)))*(1+x^(p^2*q)…+x^(p^2*q^2-p^2*q))
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(p*q-q))
*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q*(q-1)))*(1+x^(p*q^2)…+x^(p^2*q^2-p*q^2))

より、第1項と第2項、第3項と第4項の積が自明な場合のダイスペアの母関数で、第1項と第3項、第2項と第4項の積から別の組み合わせのダイスペアの母関数が4組得られます。

(ロ)の場合は、

1+x+…+x^(p^2-1)=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p^2-p))

1+x^(p^2)+…+x^((p*q)^2-p^2)
=(1+x^(p^2)+…+x^(p^2*(q-1)))*(1+x^(p^2*q)+…+x^(p^2*q*(q-1)))

より、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^(p-1))*(1+x^p+…+x^(p^2-p))
*(1+x^(p^2)+…+x^(p^2*(q-1)))*(1+x^(p^2*q)+…+x^(p^2*q*(q-1)))

なので、第1項と第3項、第2項と第4項の積から6組目のダイスペアの母関数が得られますが、第1項と第4項、第2項と第3項の積は、

1+x^p+…+x^(p^2*q-p)
=(1+x^p+…+x^(p^2-p))*(1+x^(p^2)+…+x^(p^2*q-p^2))
=(1+x^p+…+x^(p*q-p))*(1+x^(p*q)+…+x^(p^2*q-p*q))

なので、(イ)の場合と重複します。

(ハ)の場合は、

1+x+…+x^(q^2-1)=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(q^2-q))

1+x^(q^2)+…+x^((p*q)^2-q^2)
=(1+x^(q^2)+…+x^(q^2*(p-1)))*(1+x^(q^2*p)+…+x^(q^2*p*(p-1)))

より、

1+x+x^2+…+x^((p*q)^2-1)
=(1+x+…+x^(q-1))*(1+x^q+…+x^(q^2-q))
*(1+x^(q^2)+…+x^(q^2*(p-1)))*(1+x^(q^2*p)+…+x^(q^2*p*(p-1)))

なので、第1項と第3項、第2項と第4項の積から7組目のダイスペアの母関数が得られますが、第1項と第4項、第2項と第3項の積は、

1+x^q+…+x^(p*q^2-q)
=(1+x^q+…+x^(q^2-q))*(1+x^(q^2)+…+x^(p*q^2-q^2))
=(1+x^q+…+x^(p*q-q))*(1+x^(p*q)+…+x^(p*q^2-p*q))

なので、(イ)の場合と重複します。

以上により、n=p*qのときのダイスペアは7組となります。

No.2079kuiperbelt2024年8月14日 21:29

GAI さん、
kuiperbelt さん。
ありがとうございました。

No.2080Dengan kesaktian Indukmu2024年8月15日 19:48

N=2^2*3=12のときの積の分割は
12,2*6,6*2,3*4,4*3,2*2*3,2*3*2,3*2*2
の8通りありましたが、A273013を参照すると、正12面体の2つのダイスへの割り当て方に、

(12)*(12),
(2*6)*(12),(6*2)*(12),(3*4)*(12),(4*3)*(12),
(2*6)*(2*6),(2*6)*(6*2),(2*6)*(3*4),(2*6)*(4*3),
(6*2)*(2*6),(6*2)*(6*2),(6*2)*(3*4),(6*2)*(4*3),
(3*4)*(2*6),(3*4)*(6*2),(3*4)*(3*4),(3*4)*(4*3),
(4*3)*(2*6),(4*3)*(6*2),(4*3)*(3*4),(4*3)*(4*3),
(2*2*3)*(2*6),(2*2*3)*(6*2),(2*2*3)*(3*4),(2*2*3)*(4*3),
(2*3*2)*(2*6),(2*3*2)*(6*2),(2*3*2)*(3*4),(2*3*2)*(4*3),
(3*2*2)*(2*6),(3*2*2)*(6*2),(3*2*2)*(3*4),(3*2*2)*(4*3),
(2*2*3)*(2*2*3),(2*2*3)*(2*3*2),(2*2*3)*(3*2*2),
(2*3*2)*(2*2*3),(2*3*2)*(2*3*2),(2*3*2)*(3*2*2),
(3*2*2)*(2*2*3),(3*2*2)*(2*3*2),(3*2*2)*(3*2*2)

の1^2+1*4+4^2+4*3+3^2=42通りあって、正12面体のダイスペアの母関数は、

(1+x+…+x^11)と(1+x^12+…+x^132)

(1+x)(1+x^24…+x^120)と(1+x^2+…+x^22)
(1+x+…+x^5)(1+x^72)と(1+x^6+…+x^66)
(1+x+x^2)(1+x^36+^72+x^108)と(1+x^3+…+x^33)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^48+x^72)と(1+x^4+…+x^44)

(1+x)(1+x^4+…+x^20)と(1+x^2)(1+x^24+…+x^120)
(1+x)(1+x^12+…+x^60)と(1+x^2+…+x^10)(1+x^72)
(1+x)(1+x^6+…+x^30)と(1+x^2+x^4)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x)(1+x^8+…+x^40)と(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^48+x^96)
(1+x+…+x^5)(1+x^12)と(1+x^6)(1+x^24+…+x^120)
(1+x+…+x^5)(1+x^36)と(1+x^6+…+x^30)(1+x^72)
(1+x+…+x^5)(1+x^18)と(1+x^6+x^12)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x+…+x^5)(1+x^24)と(1+x^6+x^12+x^18)(1+x^48+x^96)
(1+x+x^2)(1+x^6+^12+x^18)と(1+x^3)(1+x^24+…+x^120)
(1+x+x^2)(1+x^18+^36+x^54)と(1+x^3+…+x^15)(1+x^72)
(1+x+x^2)(1+x^9+^18+x^27)と(1+x^3+x^6)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x+x^2)(1+x^12+^24+x^36)と(1+x^3+x^6+x^9)(1+x^48+x^96)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^8+x^16)と(1+x^4)(1+x^24+…+x^120)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^24+x^48)と(1+x^4+…+x^20)(1+x^72)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^12+x^24)と(1+x^4+x^8)(1+x^36+x^72+x^108)
(1+x+x^2+x^3)(1+x^16+x^32)と(1+x^4+x^8+x^12)(1+x^48+x^96)

(1+x)(1+x^4)(1+x^48+x^96)と(1+x^2)(1+x^8+…+x^40)
(1+x)(1+x^12)(1+x^48+x^96)と(1+x^2+…+x^10)(1+x^24)
(1+x)(1+x^6)(1+x^48+x^96)と(1+x^2+x^4)(1+x^12+x^24+x^36)
(1+x)(1+x^8)(1+x^48+x^96)と(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^16+x^32)
(1+x)(1+x^4+x^8)(1+x^72)と(1+x^2)(1+x^12+…+x^60)
(1+x)(1+x^12+x^24)(1+x^72)と(1+x^2+…+x^10)(1+x^36)
(1+x)(1+x^6+x^12)(1+x^72)と(1+x^2+x^4)(1+x^18+x^36+x^54)
(1+x)(1+x^8+x^16)(1+x^72)と(1+x^2+x^4+x^6)(1+x^24+x^48)
(1+x+x^2)(1+x^6)(1+x^72)と(1+x^3)(1+x^12+…+x^60)
(1+x+x^2)(1+x^18)(1+x^72)と(1+x^3+…+x^15)(1+x^36)
(1+x+x^2)(1+x^9)(1+x^72)と(1+x^3+x^6)(1+x^18+x^36+x^54)
(1+x+x^2)(1+x^12)(1+x^72)と(1+x^3+x^6+x^9)(1+x^24+x^48)

(1+x)(1+x^4)(1+x^16+x^32)と(1+x^2)(1+x^8)(1+x^48+x^96)
(1+x)(1+x^4)(1+x^24+x^48)と(1+x^2)(1+x^8+x^16)(1+x^72)
(1+x)(1+x^6)(1+x^24+x^48)と(1+x^2+x^4)(1+x^12)(1+x^72)
(1+x)(1+x^4+x^8)(1+x^24)と(1+x^2)(1+x^12)(1+x^48+x^96)
(1+x)(1+x^4+x^8)(1+x^36)と(1+x^2)(1+x^12+x^24)(1+x^72)
(1+x)(1+x^6+x^12)(1+x^36)と(1+x^2+x^4)(1+x^18)(1+x^72)
(1+x+x^2)(1+x^6)(1+x^24)と(1+x^3)(1+x^12)(1+x^48+x^96)
(1+x+x^2)(1+x^6)(1+x^36)と(1+x^3)(1+x^12+x^24)(1+x^72)
(1+x+x^2)(1+x^9)(1+x^36)と(1+x^3+x^6)(1+x^18)(1+x^72)

となって、ダイスペアの出目は、

{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11};{0,12,24,36,48,60,72,84,96,108,120,132},

{0,1,24,25,48,49,72,73,96,97,120,121};{0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22},
{0,1,2,3,4,5,72,73,74,75,76,77};{0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66},
{0,1,2,36,37,38,72,73,74,108,109,110};{0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33},
{0,1,2,3,48,49,50,51,72,73,74,75};{0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44},

{0,1,4,5,8,9,12,13,16,17,20,21};{0,2,24,26,48,50,72,74,96,98,120,122},
{0,1,12,13,24,25,36,37,48,49,60,61};{0,2,4,6,8,10,72,74,76,78,80,82},
{0,1,6,7,12,13,18,19,24,25,30,31};{0,2,4,36,38,40,72,74,76,108,110,112},
{0,1,8,9,16,17,24,25,32,33,40,41};{0,2,4,6,48,50,52,54,96,98,100,102},
{0,1,2,3,4,5,12,13,14,15,16,17};{0,6,24,30,48,54,72,78,96,102,120,126},
{0,1,2,3,4,5,36,37,38,39,40,41};{0,6,12,18,24,30,72,78,84,90,96,102},
{0,1,2,3,4,5,18,19,20,21,22,23};{0,6,12,36,42,48,72,78,84,108,114,120},
{0,1,2,3,4,5,24,25,26,27,28,29};{0,6,12,18,48,54,60,66,96,102,108,114},
{0,1,2,6,7,8,12,13,14,18,19,20};{0,3,24,27,48,51,72,75,96,99,120,123},
{0,1,2,18,19,20,36,37,38,54,55,56};{0,3,6,9,12,15,72,75,78,81,84,87},
{0,1,2,9,10,11,18,19,20,27,28,29};{0,3,6,36,39,42,72,75,78,108,111,114},
{0,1,2,12,13,14,24,25,26,36,37,38};{0,3,6,9,48,51,54,57,96,99,102,105},
{0,1,2,3,8,9,10,11,16,17,18,19};{0,4,24,28,48,52,72,76,96,100,120,124},
{0,1,2,3,24,25,26,27,48,49,50,51};{0,4,8,12,16,20,72,76,80,84,88,92},
{0,1,2,3,12,13,14,15,24,25,26,27};{0,4,8,36,40,44,72,76,80,108,112,116},
{0,1,2,3,16,17,18,19,32,33,34,35};{0,4,8,12,48,52,56,60,96,100,104,108},

{0,1,4,5,48,49,52,53,96,97,100,101}と{0,2,8,10,16,18,24,26,32,34,40,42},
{0,1,12,13,48,49,60,61,96,97,108,109}と{0,2,2,6,8,10,24,26,28,30,32,34},
{0,1,6,7,48,49,54,55,96,97,102,103}と{0,2,4,12,14,16,24,26,28,36,38,40},
{0,1,8,9,48,49,56,57,96,98,104,105}と{0,2,4,6,16,18,20,22,32,34,36,38},
{0,1,4,5,8,9,72,73,76,77,80,81}と{0,2,12,14,24,26,36,38,48,50,60,62},
{0,1,12,13,24,25,72,73,84,85,96,97}と{0,2,4,6,8,10,36,38,40,42,44,46},
{0,1,6,7,12,13,72,73,78,79,84,85}と{0,2,4,18,20,22,36,38,50,54,56,58},
{0,1,8,9,16,17,72,73,80,81,88,89}と{0,2,4,6,24,26,28,30,48,50,52,54},
{0,1,2,6,7,8,72,73,74,78,79,80}と{0,3,12,15,24,27,36,39,48,51,60,63},
{0,1,2,18,19,20,72,73,74,90,91,92}と{0,3,6,9,12,15,36,39,42,45,48,51},
{0,1,2,9,10,11,72,73,74,81,82,83}と{0,3,6,18,21,24,36,39,42,54,57,60},
{0,1,2,12,13,14,72,73,74,84,85,86}と{0,3,6,9,24,27,30,33,48,51,54,57},

{0,1,4,5,16,17,20,21,32,33,36,37}と{0,2,8,10,48,50,56,58,96,98,104,106},
{0,1,4,5,24,25,28,29,48,49,52,53}と{0,2,8,10,16,18,72,74,80,82,88,90},
{0,1,6,7,24,25,30,31,48,49,54,55}と{0,2,4,12,14,16,72,74,76,84,86,88},
{0,1,4,5,8,9,24,25,28,29,32,33}と{0,2,12,14,48,50,60,62,96,98,108,110},
{0,1,4,5,8,9,36,37,40,41,44,45}と{0,2,12,14,24,26,72,74,84,86,96,98},
{0,1,6,7,12,13,36,37,42,43,48,49}と{0,2,4,18,20,22,72,74,76,90,92,94},
{0,1,2,6,7,8,24,25,26,30,31,32}と{0,3,12,15,48,51,60,63,96,99,108,111},
{0,1,2,6,7,8,36,37,38,42,43,44}と{0,3,12,15,24,27,72,75,84,87,96,99},
{0,1,2,9,10,11,36,37,38,45,46,47}と{0,3,6,18,21,24,72,75,78,90,93,96}

の42通りとなります。

No.2096kuiperbelt2024年8月23日 19:38

twitter にて、ヘカテーさん( @HKTmine ) が次のような四つ組の六面体ダイスを発表されました。４竦みとなっています。

A=(0,4,4,4,7,7)
B=(3,3,3,3,8,8)
C=(1,1,6,6,6,6)
D=(2,2,5,5,5,9)

AがBに勝つ確率は5/9で、
BがCに勝つ確率は5/9で、
CがDに勝つ確率は5/9で、
DがAに勝つ確率は5/9で、かつ、
AがCに勝つ確率が1/2で、
BがDに勝つ確率が1/2になっています。

No.2252Dengan kesaktian Indukmu2024年10月13日 23:37

ふと思いついたアイデアをもとに手で作成してみたら対称性の高い《非推移的ダイス》になっていました。

五つ組の、五面体ダイス (20面体で同一数を四つ✕五つの数で実現) です。

A: (0,8,11,19,22)
B: (3,6,14,17,20)
C: (1,9,12,15,23)
D: (4,7,10,18,21)
E: (2,5,13,16,24)

AはBに13/25 の確率で勝ち
BはCに13/25 の確率で勝ち
CはDに13/25 の確率で勝ち
DはEに13/25 の確率で勝ち
EはAに13/25 の確率で勝ち
かつ
AはDに14/25 の確率で勝ち
BはEに14/25 の確率で勝ち
CはAに14/25 の確率で勝ち
DはBに14/25 の確率で勝ち
EはCに14/25 の確率で勝つ。

No.2253Dengan kesaktian Indukmu2024年10月14日 15:22

5竦みダイスもあるのですね。

4竦みダイスでは、エフロンのダイス(Efron’s Dice)が知られていますが、
a＝(0,0,4,4,4,4)
b =(3,3,3,3,3,3)
c =(2,2,2,2,6,6)
d =(1,1,1,5,5,5)
というダイスで、
aがbに勝つ確率は2/3で、
bがcに勝つ確率は2/3で、
cがdに勝つ確率は2/3で、
dがaに勝つ確率は2/3ですが、
aがcに勝つ確率が4/9で、
bがdに勝つ確率が1/2になっていて、ヘカテーさんのダイスと違ってa,b,c,dは完全に対等とはなっていないようです。

3竦みダイスは2面ダイスでは作れませんが、3面ダイスでは
A=(1,6,8)
B=(2,4,9)
C=(3,5,7)
というダイスで、
AがBに勝つ確率は5/9で、
BがCに勝つ確率は5/9で、
CがAに勝つ確率は5/9となっていて、それぞれの数字が2面ずつあれば6面ダイスでも作ることができます。

No.2254kuiperbelt2024年10月14日 21:11

三竦みダイスに面白いのがありまして。

一組め。
A:６１８
B:７５３
C:２９４
上は [2254]でkuiperbeltさんが提示なさったものですね。

二組め。
D:２７６
E:９５１
F:４３８
これは一組めに直交していますね。オレオレ用語ですけれども。勝率の三竦みは、ひとくみめと同じです。

３組め。
上の二組の平均？を取ります。
G:４４７ //ADの平均
H:８５２//BEの平均
Ｉ:３６６//CFの平均

この３組目が面白いんです。
三竦みは
強→弱　と→を使うことにして、
A → B→ C→ A
D → E → F → D
であるにもかかわらず
平均をとると矢印の向きが逆になります。すなわち
G ← H ← I ← G

先ほどの５竦みダイスにも「直交」するダイスの組がありますが、まだ、同じことが起きるかどうか確認していません。

No.2256Dengan kesaktian Indukmu2024年10月14日 22:52

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RE:お茶の時間　クイズ＆パズル「天秤パズル３」

http://shochandas.xsrv.jp/relax/balance4.html
への応答です。

天秤パズルについて生成AIは苦手としていることが知られています。特殊なテクニックで問いただす方法をとると少しはマシになるようです。
生成がJSON様式で複数の回答をよこしますがそこはまあご勘弁を。

以下に、(まもなく消えるであろう)リンクを書きます。このたびはperplexityですが、Catgpt でも同様です。

https://www.perplexity.ai/search/you-are-an-ai-assistant-that-e-jX1xZdgxT.6N2.KHLtfB1g

No.2244Dengan kesaktian Indukmu2024年10月13日 01:10

普通に質問したら4回とか答えてきたので、ありゃあと。

No.2245Dengan kesaktian Indukmu2024年10月13日 01:13

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