😊出会いの泉😊

とりあえず10億まで。
合ってますかね？

f(20) = 200817664
f(30) = 5863630848
f(40) = 6115894272
f(50) = 1568960512
f(60) = 2776964096
f(70) = 8984531968
f(80) = 6728081408
f(90) = 4469978112
f(100) = 5210916864

f(200) = 389737472
f(300) = 8808170496
f(400) = 5032491008
f(500) = 5547812864
f(600) = 3891178496
f(700) = 2517264384
f(800) = 8969450496
f(900) = 2530962432
f(1000) = 27753472

f(2000) = 807339008
f(3000) = 4872042496
f(4000) = 5802602496
f(5000) = 937833472
f(6000) = 8127287296
f(7000) = 993752064
f(8000) = 4026732544
f(9000) = 9915703296
f(10000) = 8001579008

f(100000) = 4957162496
f(1000000) = 5058412544
f(10000000) = 2574194688
f(100000000) = 2840754176
f(1000000000) = 933638144

ここから先の戦略も頭の中にはありますが、ここまでを確認した後にしたいので。

完全に同じになっています。
よかったら参考にしたいのでコードを掲載しておいてくれませんか？

よかったです。
コードよりもアルゴリズムを日本語で書いといた方がいいと思いますので、そっち置いときますね。

16≦n≦数億の場合を想定します。
整数nが素因数に5をm個もつとして、g(n) = n*(4882813/5)^mとします。

階乗の代わりにg(1)からg(n)までのすべての積をとって5^10で割った余りを求めると、f(n)を5^10で割った余りが得られます。
これは、積を計算するたびに余りを求めることで限られた桁数内でで計算できます。
（実際は4882813の累乗も後からまとめて計算しています）

求めた値に1787109376を掛けて10^10で割った余りを取ると、f(n)の値がわかります。
（n≧16だとf(n)が必ず2^10の倍数であることを利用しているので、n≦15では誤った値が出ます）

DD++氏のアイデアをプログラムしてみた。

gp > f(n)={r1=4882813;r2=1787109376;}lift(Mod(lift(Mod(prod(i=1,n,i*(r1/5)^valuation(i,5)),5^10))*r2,10^10))
gp > for(n=1,9,print("10^"n";"f(10^n)))
10^1;625036288
10^2;5210916864
10^3;27753472
10^4;8001579008
10^5;4957162496
10^6;5058412544
これから先はとても時間が必要となっていきました。

確かに正確に0をトリムされた後の下10個の数が並ぶことができますね。
ところで不思議なのはr1,r2の値は何処から現れるのでしょうか？
r1,r2以外にもこのような性質を有する(r1,r2)の組は取れるのでしょうか？

C++だと10^9でもちょっと一服くらいの時間で出てきましたが、言語による速度差って意外と大きいのですね。
あるいは、(r1/5)の累乗のところでmod5^10の結果だけわかればいいのに律儀に累乗の結果を出してからmod取ってるせいで一部数値で桁数が爆発している影響かな？


r1とr2は、
r1 = (5^10+1)/2
r2 = 183*5^10+1 = 1745224*2^10
です。

つまり、
mod5^10においてr1を掛ける行為は実質2で割る操作に相当します。

また、r2は
x≡k (mod5^10)
x≡0 (mod2^10)
を連立した結果が
x≡r2*k (mod10^10)
であることに由来します。

あまり自信がありませんが、
F(10^100)=3738735616
ですか？

凄い！
ピッタリ同じ値です。
どれほどの時間がかかりましたか？
プログラムの概要を解説お願いします。

約2分です。→後に高速化して約16秒になりました
(10^100)!から素因数2と5を除いたものをmod10^10で計算し、
2^(75*10^98-87)をmod10^10で計算して掛け合わせた下位10桁です。
後者は簡単ですね。
前者は
1～10^100を2^m×5^n×N（Nは2でも5でも割り切れない数）の
m,nで24002通りに分類し、それぞれをmod10^10で計算してmod10^10で掛けます。
とりあえず10^10までを計算したら
1×3×7×9×11×13×…×9999999999≡1 (mod10^10)
ということがわかりましたので、例えば
1×3×7×9×…×3141592653589793238462643383279 (mod10^10)
を計算したいときは終値は下位10桁だけとって
1×3×7×9×…×2643383279 (mod10^10)
を計算すれば十分です。これを使って
(m,n)=(0,0): 1×3×7×9×…×(10^100-1) ≡ 1×3×7×9×…×9999999999 ≡ 1
(m,n)=(1,0): 1×3×7×9×…×(10^50-1) ≡ 同様に1
・・・
(m,n)=(191,44): 終値(10^100/2^191/5^44余り切り捨て)の下位10桁をとって 1×3×…×519385729 ≡ 9917681069
↑これは単なる例です
・・・
そしてこれら24002個の数をmod10^10で掛け合わせると5385817123で、
2^(75*10^98-87)≡6813576192を掛けて3738735616を算出しました。
1×3×7×9×…×9999999999 のmod10^10での計算が2分弱で、
24002通りの計算を高速化するために途中計算で得られた
1×3×7×9×…×9999
1×3×7×9×…×19999
1×3×7×9×…×29999
・・・
1×3×7×9×…×9999999999
（全てmod10^10）を要素数1000000の配列に保持し、
24002通りそれぞれを最大約4000回の乗算で済むようにした結果、
1×3×7×9×…×9999999999の計算以外は誤差程度の時間になりました。

(22:28追記)
1×3×7×9×11×…(mod 10^10)の計算で10^10未満の数の積を求めるのに
64ビットでは足りず128ビット演算していたのですが、
128ビットのmod演算がやたら遅かったのでmod 2^10とmod 5^10を別々に求めて
n≡a (mod 2^10), n≡b (mod 5^10) のとき
n≡8212890625a+1787109376b (mod 10^10)
で求めるようにしたところ、実行時間は約2分→約16秒になりました。

高速化により、O(n)だったのをO(logn)に改善。
10^18に対してpaiza.io環境で0.08sで求まるようになりました。
（結果自体はらすかるさんに劣るものですが、今後の自分のデバッグ用も兼ねて）

f(10^2) = 5210916864
f(10^3) = 27753472
f(10^4) = 8001579008
f(10^5) = 4957162496
f(10^6) = 5058412544
f(10^7) = 2574194688
f(10^8) = 2840754176
f(10^9) = 933638144
f(10^10) = 6441946112
f(10^11) = 1378167808
f(10^12) = 283416576
f(10^13) = 9067109376
f(10^14) = 4534834176
f(10^15) = 2576510976
f(10^16) = 9755143168
f(10^17) = 3894653952
f(10^18) = 5407435776

あとは多倍長整数を使えば10^100でも一瞬だと思いますが、
それじゃ美しくないので2^63以内の計算だけでなんとかならないか試行錯誤中。

せっかくプログラムを作ったので大きい方も。
F(10^100) = 3738735616
F(10^200) = 6923037696
F(10^300) = 9519908864
F(10^400) = 2065393664
F(10^500) = 6678018048
F(10^600) = 9989215232
F(10^700) = 6221698048
F(10^800) = 3924201472
F(10^900) = 1886432256
F(10^1000) = 1896479744
F(10^2000) = 4883249152
F(10^3000) = 6688616448
F(10^4000) = 8291796992
でも合っているかどうかはわかりません。
(10^4000)!とか、巨大すぎて想像しにくいですね。
(10^100)!でも十分大きいですが。

どうやら一致してそうです。

f(10^10) = 6441946112
f(10^20) = 8474436608
f(10^30) = 6117305344
f(10^40) = 6605049856
f(10^50) = 5791409152
f(10^60) = 1279752192
f(10^70) = 8388129792
f(10^80) = 2060969984
f(10^90) = 6590068736

f(10^100) = 3738735616
f(10^200) = 6923037696
f(10^300) = 9519908864
f(10^400) = 2065393664
f(10^500) = 6678018048
f(10^600) = 9989215232
f(10^700) = 6221698048
f(10^800) = 3924201472
f(10^900) = 1886432256

f(10^1000) = 1896479744
f(10^2000) = 4883249152
f(10^3000) = 6688616448
f(10^4000) = 8291796992
f(10^5000) = 5123908608
f(10^6000) = 2555037696
f(10^7000) = 5540568064
f(10^8000) = 9098052608
f(10^9000) = 4882372608

f(10^10000) = 4592166912
f(10^20000) = 310350848
f(10^30000) = 8320806912
f(10^40000) = 1363283968
f(10^50000) = 7217645568
f(10^60000) = 5054093312
f(10^70000) = 7207071744
f(10^80000) = 6996748288
f(10^90000) = 3016684544

f(10^100000) = 9734950912 (0.46sec)
f(10^150000) = 4346172416 (0.83sec)
f(10^200000) = 9418829824 (1.32sec)
f(10^250000) = 7569364992 (1.94sec)
この辺がpaiza.io環境（実行時間2秒制限）での限界でした。

以下、自前環境
f(10^300000) = 5518877696
f(10^400000) = 6031537152
f(10^500000) = 7823699968
f(10^600000) = 4702614528
f(10^700000) = 5214944256
f(10^800000) = 6104402944
f(10^900000) = 7742903296
f(10^1000000) = 8226093056

10^nに対して、主要部分の計算はO(n)で済んでるのに、
前計算の「2^nを五進数で求める」という部分でO(n^2)かかってる残念さ。

巨大な累乗数の基数変換をO(n*logn)くらいでやる実装が簡単なアルゴリズムないですかね？
カラツバ法を使えばO(n^1.59)くらいまでは改善するけど書くのが面倒……。

f(10^100) = 3738735616
と同じ値3738735616
を取る他の
f(s) ｓ<10^100の値は存在するのですか?

コード書いてる途中で気づいたんですが、
f(4*5^20*n) = f(4*5^19*n)
が成り立つので、
2*10^99や4*10^98、以下2^81*10^19までの81個は同じ値になりますね。
2^82*10^18が一致するかどうかは……9*10^18以上は10の累乗特化のやつしか手元にないのでわかりません。

f(s)=3738735616 となるsは
16257603, 19004367, 20867632, 21217365, 33069263,
42564599, 42631627, 45460609, 52492698, 53300341, …
のようにたくさんあるようです。
最小のsは 16257603 です。

f(n)　10≦n≦10000
の中で同じ値へ至る組合せを探してみたら
[484,8121]==>395157504
[600,3734]==>3891178496
[724,3900]==>8483543424
[1091,7460]==>608149504
[1260,5976]==>3417107456
[1899,2110]==>4827099136
[1928,2625]==>9962140672
[4152,7094]==>9036347392
[4177,9681]==>7609266176
[5051,5145]==>8307800064
[5763,8822]==>5245555712
[6674,9771]==>6639161344

の12組がいました。
[99,100],[999,1000],[9999,10000]は除いています。

何か法則が見えてこないかな～
前もって
f(10^100)=f(16257603)
を判断できればもっと短時間で手に入るのに･･･

なおこの疑問はEuler Projectでのproblem 160から発生していて
そこでは10桁ではなく5桁での問題であり(5桁の数字を探す関数をf5としています。）
解決の一つの方法として
if n%2500==0なら任意の正整数xに対し
f5(n)=f5(n*5^x)が成立することを利用し
f5(10^12)=f5(256000*5^8)
で256000%2500==0を満たすので
　　　　=f5(256000)
を調査することで
　　　　=16576
で解決できるやり方があるという。（随分桁数を節約できる)

この方法は5桁に限って成立するようで10桁ではズレてしまいます。
これに代わる方法（法則）は無いものか？

まさに私が言った
f(4*5^20*n) = f(4*5^19*n)じゃないですかね。

5桁だと
f(4*5^5*n) = f(4*5^4*n)
で成立するんですね。

ということは、10桁だと
f(4*5^10*n) = f(4*5^9*n)
で成り立つのかな？

あと、Project Eulerは問題101以降は解法言及禁止なので、
少なくとも表向きは「Project Eulerとは無関係に思いついた問題です」にしとかないとまずい気が。

f(4*5^20*n) = f(4*5^19*n)の等式は
f(4*5^19*n) = f(4*5^18*n) = f(4*5^17*n)=･･･= f(4*5^9*n)
まで伸ばせませんかね？(上方へは5^xの部分はどこまでもOK)
従って
f(10^100)=f(4*5^100*2^98)=f(4*2^98*5^9)=f(2^100*5^9)=f(2475880078570760549798248448000000000)
まで桁を下げて調査でき(101桁を37桁に縮小化)
これを計算させて
%=3738735616
が手に入る。

さあ、どうなんでしょうね。
思いつくことはありますが、Project Eulerの101以降の問題であると名言されてしまった以上、解法につながることが迂闊に言えなくなってしまいましたので。

Project Eulerの101以降の問題であると名言されてしまった以上、解法につながることが迂闊に言えなく・・・

こんな規則があったとは思ってもいませんでした。
でもOEISでは
A347105などでは
Project Euler, Digital root sums of factorisations, Problem 159.
の様にリンクと共に解決に直接結びつく結果がいろいろなコードでのプログラムとともに
数値が並び公開されています。
この様に解決するのに大いに参考になる情報はいろいろな所にアクセス可能の状態にあります。
またこのごろはAI（ChatGTPやGemminiやCopilotなどなど)にプログラムを好きなコードで作ってもらうように
頼めば難なく示していきます。
ただこれが余り頼りにはなりませんが・・・
でも考える方向性などは窺い知ることはできます。
DD++さんがためらわれているのはこの解決に参考になることは一切表には出してはいけないものだという
お考えをお持ちだからなのですか？

(1)
式を変形して (ap-10)(bp-10)=100
p=1のときの解の例は (a,b)=(20,20)
p=2のときの解の例は (a,b)=(10,10)
p=3のときの解の例は (a,b)=(5,10)
p=4のときの解の例は (a,b)=(5,5)
p=5のときの解の例は (a,b)=(4,4)
p=6のときの解の例は (a,b)=(2,10)
p=7のときの解の例は (a,b)=(2,5)
p=8のとき(4a-5)(4b-5)=25となり
(4a-5)≡(4b-5)≡3 (mod 4)だが
25は3 (mod 4)の積に分解できないので、答えはp=8

(2)
式を変形して (ap-100)(bp-100)=10000
p=1～7は(1)の(a,b)を10倍すればよい。
p=8のときの解の例は (a,b)=(25,25)
p=9のときの解の例は (a,b)=(20,25)
p=10のときの解の例は (a,b)=(20,20)
p=11のときの解の例は (a,b)=(10,100)
p=12のときの解の例は (a,b)=(10,50)
p=13のときの解の例は (a,b)=(8,200)
p=14のときの解の例は (a,b)=(10,25)
p=15のときの解の例は (a,b)=(12,15)
p=16のとき(4a-25)(4b-25)=625となり
(4a-25)≡(4b-25)≡3 (mod 4)だが
625は3 (mod 4)の積に分解できないので、答えはp=16

(3)
式を変形して (ap-1000)(bp-1000)=1000000
p=1～7は(1)の(a,b)を100倍、p=8～15は(2)の(a,b)を10倍すればよい。
p=16のときの解の例は (a,b)=(125,125)
p=17のときの解の例は (a,b)=(60,3000)
p=18のときの解の例は (a,b)=(100,125)
p=19のときの解の例は (a,b)=(56,875)
p=20のときの解の例は (a,b)=(100,100)
p=21のときの解の例は (a,b)=(50,1000)
p=22のときの解の例は (a,b)=(50,500)
p=23のとき(23a-1000)(23b-1000)=1000000となり
(23a-1000)≡(23b-1000)≡12 (mod 23)だが
1000000は12 (mod 23)の積に分解できないので、答えはp=23

# 手計算なので間違いがあるかも知れません

全て正解です。
手計算でいけるんですか！
では
1/a+1/b=p/10^9
を満たす異なる解は何通りあるかはbrute force ではとても時間がかかり無理と思われますが・・・

もし右辺の分母が10^9のとき23058通りで正しければ、
10^1: 20通り
10^2: 102通り
10^3: 356通り
10^4: 958通り
10^5: 2192通り
10^6: 4456通り
10^7: 8260通り
10^8: 14088通り
10^9: 23058通り
10^10: 35896通り
10^11: 53932通り
10^12: 79174通り
10^13: 112824通り
10^14: 156434通り
10^15: 215984通り
10^16: 290394通り
10^17: 384320通り
10^18: 502942通り
10^19: 646852通り
10^20: 820292通り
のようになるかと思います。

上記を求めるのに計算方法の工夫を重ね、最終的には
(Pari/GP形式で)
f(n)=sum(k=0,n+n,sum(m=0,floor(log(10^n/2^k)/log(5)),numdiv(gcd(2^k*5^m+10^n,2^(n+n-k)*5^(n+n-m)+10^n))))
という式で求められることがわかりました。

らすかるさんの素因数分解式を参考に、自分流でプログラムを組んでみました。
f(n)={Div=divisors(10^(2*n));X=select(i->i<=10^n,Div);Y=apply(i->10^(2*n)/i,X);
A=apply(i->i+10^n,X);B=apply(i->i+10^n,Y);}
M=[];for(n=1,#A,M=concat(M,[gcd(A[n],B[n])]));vecsum(apply(i->#divisors(i),M))

n;
20;820292(通り)
21;1038320
22;1292462
23;1590916
24;1946888
25;2359396
26;2830798
27;3393902
28;4039842
29;4775820
30;5636084
････････････
と一瞬で求まっていくのですね。（快適！）

△ABCの垂心をHとする。各辺の垂心の足をDEFとすると、
Hは、△DEFの内心になる。したがって、
△ABC（H）＝△DEF（I）

△ABCの内心をIとする。内接円の各辺との接点をDEFとすると、
Iは、△DEFの外心になる。したがって、
△ABC（I）＝△DEF（O）

これで、H→I→O→Hとなりましたが、
逆の、I→H→O→Iの場合、見つけていただけないでしょうか？

管理人様へ　前の記事、追加編集してます。
△ABCの、外心をO、
ベクトル　OA＝a,　OB=b,　OC=c　とするとき、
重心　OG＝（a+b+c）/3
垂心　OH＝a+b+c なので
　　　OH＝３OG　（オイラー線）

△ABCの、外心（O）垂心（H）内心（I）重心（G）
の4個のうち、いずれかの二つが、一致するとき、
△ABCが正三角形であるための
必要十分条件になります。

△ABCの垂心をHとする。Hの各辺による、対称点をDEFとする。△DEFの内心が、Hに一致するので、△ABC（H）＝△DEF（I）

△ABCの内心をＩとする。Ｉのそれぞれの辺対称な点をＤＥＦとする。
△ＤＥＦの外心は、Ｉに一致するので、
△ＡＢＣ（Ｉ）＝△ＤＥＦ（Ｏ）

△ABCの外心をOとする。各辺による、点Oの対称点をDEFとすると、
△DEFの垂心は、Oに一致する。
△ABC（O）＝△DEF（H）
H→I→O→H　逆順の例はないでしょうか？

△ABCの垂心をHとする。Hから各辺への垂線の足の延長した線が、外接円と交わる点をDEFとすると、△DEFの内心は、Hに一致する。
したがって、△ABC（H）＝△DEF（I）

逆に、△ABCの内心をIとするとき、頂点と内心を通る直線が、外接円との交点を
それぞれDEFとすると、△DEFの垂心は、Iと一致するので、
△ABC（I）＝△DEF（H）

また、△ABCの外接円をOとするとき、円周上のどの三点DEFをとっても
△ABC（O）＝△DEF（O）
証明は、簡単ですが、…

パスカルの三角形を3進付値で表したものをnCrのn=26までを9つごと(実線)と3つごと(破線)に区切ったものも描いてみました。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/p-adic/3adic-pascal_page-0001.jpg

p^2+q^2=r^2 が成り立つとき
a=pr, b=qr, c=pq とすれば
1/a^2+1/b^2=1/c^2 が成り立ちますね。
p^2+q^2=r^2が成り立つp,q,rの一般式は
p=m^2-n^2, q=2mn, r=m^2+n^2
と表せますので、
1/a^2+1/b^2=1/c^2が成り立つa,b,cの一般式は
a=(m^2-n^2)(m^2+n^2)=m^4-n^4
b=2mn(m^2+n^2)
c=2mn(m^2-n^2)
と表せることになります。

同様に
p^2+q^2+r^2=s^2 が成り立つとき
a=pqs, b=prs, c=qrs, d=pqr とすれば
1/a^2+1/b^2+1/c^2=1/d^2 が成り立ち、
p^2+q^2+r^2=s^2の一般式は
p=|k^2+m^2-n^2|, q=2kn, r=2mn, s=k^2+m^2+n^2
と表せます。
# この式の値を共通因数で割れば互いに素な全解が得られると思っていますが、
# 証明していませんので、もしかしたら全解は得られないかも知れません。
よって
1/a^2+1/b^2+1/c^2=1/d^2の一般式は
a=2kn|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2)
b=2mn|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2)
c=4kmn^2(k^2+m^2+n^2)
d=4kmn^2|k^2+m^2-n^2|
を共通因数で割って
a=k|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2)
b=m|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2)
c=2kmn(k^2+m^2+n^2)
d=2kmn|k^2+m^2-n^2|
とすれば、（全解かどうかはわかりませんが）解はいくらでも生成できますね。

5項の場合も、
(k^2+l^2+m^2-n^2)^2+(2kn)^2+(2ln)^2+(2mn)^2=(k^2+l^2+m^2-n^2)^2
を使えば同様にできると思います。

一般式が作れるとは思ってもみませんでした。
ピタゴラス数からのアクロバティックな変形の妙技、感動しました。

自分なりに平方数の逆数での関係式をいろいろ作っていく中で特に美しく感じたものに
1/333^2+1/444^2+1/555^2+1/740^2+1/888^2+1/999^2=1/216^2(=1/6^6)
を発見した時は小躍りして喜びました。
また今年に因み
1/62^2+1/93^2+1/155^2+1/186^2+1/217^2+1/279^2+1/434^2+1/465^2+1/651^2+1/930^2=1/45^2(=1/2025)
も成立可能

平方数の逆数和では様々な等式が起こせそうです。

４個の平方和の場合を使おうと思って
もし
p^2+q^2+r^2+s^2=t^2
を満たす自然数(p,q,r,s,t)
を見つけておけば
a=p*q*r*t
b=q*r*s*t
c=r*s*p*t
d=s*p*q*t
と置けば
1/a^2+1/b^2;1/c^2+1/d^2
=(1/(p*q*r)^2+1/(q*r*s)^2+1/(r*s*p)^2+1/(s*p*q)^2)/t^2
=(s^2+p^2+q^2+r^2)/(p*q*r*s)^2/t^2
=1/(p*q*r*s)^2
なので
e=p*q*r*sと置けば
1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2=1/e^2
が成立する。

ここに一般的に
(k^2+l^2+m^2-n^2)^2+(2*k*n)^2+(2*l*n)^2+(2*m*n)^2=(k^2+l^2+m^2+n^2)^2
が成立するので
p=k^2+l^2+m^2-n^2
q=2*k*n
r=2*l*n
s=2*m*n
t=k^2+l^2+m^2+n^2
と置いてこれらを上のa,b,c,d,eへそれぞれ代入して共通因子4*k*n^2を払うと
a(k.l.m,n)=l*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
b(k,l,m,n)=2*l*m*n*(k^2+l^2+m^2+n^2)
c(k,l,m,n)=l*m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
d(k,l,m,n)=m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
e(k,l,m,n)=2*l*m*n*(k^2+l^2+m^2-n^2)
になると思う。

そこで
a(2,2,3,4)=66
b(2,2,3,4)=1584
c(2,2,3,4)=198
d(2,2,3,4)=99
e(2,2,3,4)=48

ところが
1/66^2+1/1584^2+1/198^2+1/99^2=299/836352
となり
1/48^2=1/2304
と一致しない？
これが何故発生するのか？
また
1/4^2=1/5^2+1/7^2+1/28^2+1/35^2
が起こるのですが、この式は上の公式で求まるのでしょうか？

最後の3行を除く回答

> 共通因子4*k*n^2を払うと
c=r*s*p*tはkで割り切れないと思います。
よって共通因子は4*n^2であり、正しくは
a(k,l,m,n)=l*k*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
b(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*(k^2+l^2+m^2+n^2)
c(k,l,m,n)=l*m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
d(k,l,m,n)=k*m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
e(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*(k^2+l^2+m^2-n^2)
となり、これによって計算される
a(2,2,3,4)=132
b(2,2,3,4)=3168
c(2,2,3,4)=198
d(2,2,3,4)=198
e(2,2,3,4)=96
から
1/132^2+1/3168^2+1/198^2+1/198^2=1/96^2
が成り立つことがわかります。

最後の3行の回答

> また
> 1/4^2=1/5^2+1/7^2+1/28^2+1/35^2
> が起こるのですが、この式は上の公式で求まるのでしょうか？

a(k,l,m,n)=l*k*|(k^2+l^2+m^2)^2-n^4|
b(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*(k^2+l^2+m^2+n^2)
c(k,l,m,n)=l*m*|(k^2+l^2+m^2)^2-n^4|
d(k,l,m,n)=k*m*|(k^2+l^2+m^2)^2-n^4|
e(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*|k^2+l^2+m^2-n^2|
のように負にならないように絶対値を付けておけば、
a(2,10,14,20)=1400000
b(2,10,14,20)=7840000
c(2,10,14,20)=9800000
d(2,10,14,20)=1960000
e(2,10,14,20)=1120000
となり、これを最大公約数の280000で割れば
(a,b,c,d,e)=(5,28,35,7,4)が得られますね。

あ～～～
思い込んでると間違いに気付けない！

修正してこれから求まる(a,b,c,d,e)の5組を点検していたら、多くの場合共通の数を含むことが起こりやすく
異なる5個に限定していたらe=1~1000の間には僅かに20パターンほどしかなく。特にe=960では
1/1008^2+1/3360^2+1/10080^2+1/20160^2=1/960^2
1/1296^2+1/1728^2+1/2592^2+1/12960^2=1/960^2
1/1260^2+1/1680^2+1/4032^2+1/5040^2=1/960^2
1/1290^2+1/1548^2+1/3870^2+1/123840^2=1/960^2
1/1206^2+1/1608^2+1/9648^2+1/192960^2=1/960^2
の様に5通りも作り方が発生した。


もう少し少ない数では
1/23^2+1/46^2+1/92^2+1/230^2=1/20^2
1/46^2+1/92^2+1/184^2=1/460^2=1/40^2
1/62^2+1/310^2+1/465^2+1/620^2=1/60^2
1/74^2+1/148^2+1/185^2+1/222^2=1/60^2
1/148^2+1/296^2+1/370^2+1/444^2=1/120^2
1/155^2+1/248^2+1/310^2+1/930^2=1/120^2
1/185^2+1/370^2+1/740^2+1/1184^2=1/160^2
1/222^2+1/444^2+1/555^2+1/666^2=1/180^2
などが起きました。

らすかるさんの投稿後になったので、これらも公式より発生可能なのですね。

1/23^2+1/46^2+1/92^2+1/230^2=1/20^2 は (k,l,m,n)=(1,2,4,5)
1/46^2+1/92^2+1/184^2=1/460^2=1/40^2 は 可約(上の2倍)
1/62^2+1/310^2+1/465^2+1/620^2=1/60^2 は (k,l,m,n)=(2,3,15,14)
1/74^2+1/148^2+1/185^2+1/222^2=1/60^2 は (k,l,m,n)=(2,3,6,5)
1/148^2+1/296^2+1/370^2+1/444^2=1/120^2 は 可約(上の2倍)
1/155^2+1/248^2+1/310^2+1/930^2=1/120^2 は (k,l,m,n)=(1,3,6,4)
1/185^2+1/370^2+1/740^2+1/1184^2=1/160^2 は (k,l,m,n)=(1,2,4,4)
1/222^2+1/444^2+1/555^2+1/666^2=1/180^2 は 可約(4つ上の3倍)
ですね。
それから1/4^2=1/5^2+1/7^2+1/28^2+1/35^2 は (k,l,m,n)=(1,5,7,10) で十分でした。
(結果を4375で割る)

それはpとqが小さいときだけでは？
以下でp以上q以下の素数はすべて8個なのでpとqの異なる組み合わせは28通りです。
2≦p＜q≦19 のとき 28個中 17個が素数
11≦p＜q≦37 のとき 28個中 11個が素数
101≦p＜q≦137 のとき 28個中 4個が素数
1009≦p＜q≦1049 のとき 28個中 2個が素数
10007≦p＜q≦10079 のとき 28個中 4個が素数
100003≦p＜q≦100109 のとき 28個中 1個が素数
1000003≦p＜q≦1000121 のとき 28個中 4個が素数
10000019≦p＜q≦10000189 のとき 28個中 2個が素数
100000007≦p＜q≦100000127 のとき 28個中 0個が素数
1000000007≦p＜q≦1000000103 のとき 28個中 4個が素数
10000000019≦p＜q≦10000000141 のとき 28個中 0個が素数
2≦p＜q≦n で n→∞ のとき 素数確率→0 になりそうです。

# 多分名前とタイトルが逆ですね。

失礼しました。パスワードの関係で治せません。
管理人さま訂正お願いします。
ｐ＊ｑ＋ｐ＋ｑでも、同じ結果でしょうか？
ｐを２や３の累乗に置き換えたものも、小さい数の時だけでしょうか？
オイラーの二次式ｘ＾２＋ｘ＋ｑ
でｑが素数のとき、素数になりやすく、特に４１のときは特別の様にもかんじられますが、？∞においては、０みたいな？

p*q+p+qならば
2≦p＜q≦19 のとき 28個中 19個が素数
11≦p＜q≦37 のとき 28個中 13個が素数
101≦p＜q≦137 のとき 28個中 6個が素数
1009≦p＜q≦1049 のとき 28個中 7個が素数
10007≦p＜q≦10079 のとき 28個中 5個が素数
100003≦p＜q≦100109 のとき 28個中 5個が素数
1000003≦p＜q≦1000121 のとき 28個中 0個が素数
10000019≦p＜q≦10000189 のとき 28個中 0個が素数
100000007≦p＜q≦100000127 のとき 28個中 4個が素数
1000000007≦p＜q≦1000000103 のとき 28個中 0個が素数
10000000019≦p＜q≦10000000141 のとき 28個中 2個が素数
となります。値は違いますが、傾向は一緒ですね。

空舟さん、情報提供ありがとうございます。１０年ぶりに心が晴れました！

単位円周上のn点を、z_1,z_2, … ,z_n とし、
多項式
P(w)=(w-z_1)*(w-z_2)*…*(w-z_n)
を考える。
|P(w)|≧2 かつ 1≧|w| なる w の存在が次のようにして示せる。

(z_1)*(z_2)*…*(z_n)=(-1)^n となるように座標を設定できる。
k=1,2,…,nに対して、w_k=exp(i*2*π*k/n) とすると、
P(w_1)+P(w_2)+…+P(w_n)=2*n
であることがわかる。よって、
|P(w_1)|+|P(w_2)|+…+|P(w_n)|≧2*n.
よって、|P(w_1)|，|P(w_2)|，…，|P(w_n)|のうち、
少なくとも1つは2以上。

特殊な場合ではこうなっているようです。

単位円に内接する正 n+1 角形の頂点のうち n 個をとります。それらまでの n 個の距離の積が 2 以上になる点が、円周上ないしは円の内部に存在することを示せ。

↓↓↓
正 n+1 角形の頂点のうち n 個をとったときにあぶれた頂点を P とします。
P から あらかじめとられていた n 個の頂点に引いた線分の長さの積 N は n+1 に等しい。

不思議……

「または円の内部」がわざわざついているのが気になっているんですが、
この積が最大値をとる点は必ず円周上にあるわけでもないんですかね？
感覚的には必ず円周上と言えそうな気がしていますが、さりとて証明もできず。

双対多角形を利用すべきと直感的に思ったのですが今日まで鼠一匹捕れませんでした。
(円の内部にもあるとしたら……)

1の原始(n+1)乗根をzとすると、z^(n+1)=1で、z^i(i=0,1,2,...,n)は複素数平面上で正(n+1)角形となります。
zの複素共役z^*はz^*=z^-1なので、実軸上の点(x,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離の積の2乗は、
(x-z)*(x-z^-1)*(x-z^2)*(x-z^-2)*...*(x-z^n)*(x-z^-n)
=(x-z)*(x-z^n)*(x-z^2)*(x-z^(n-1))*...*(x-z^n)*(x-z)
=((x-z)*(x-z^2)*...(x-z^n))^2
となります。

(x-1)*(x-z)*(x-z^2)*..(x-z^n)=x^(n+1)-1=(x-1)*(x^n+...x^2+x+1)
なので、
(x-z)*(x-z^2)*...(x-z^n)=x^n+...x^2+x+1
と表すことができて、実軸上の点(x,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離の積は
|x^n+...x^2+x+1|
となります。

x=1のときは、
x^n+...x^2+x+1=n+1
となって、距離の積はn+1となります。
x=0のときは、(0,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離は1なので、それらの積も明らかに1ですが、
((-z)*(-z^2)*...*(z^n))^2=(-z)^(n(n+1)/2*2)=(-z)^(n(n+1))
=(-1)^(n(n+1))*z^(n(n+1))=1*1=1
となるので、距離の積は1となります。

実軸上の点(x,0)とz^i(i=1,2,...,n)との距離の積|x^n+...x^2+x+1|はxについて連続な実数値関数なので、
中間値の定理から、距離の積が2となる点は(0,0)と(1,0)の間にあることになります。

--------------------------------------------------------------

1の原始(2k+1)乗根をzとすると、z^(2k+1)=1で、z^i(i=0,1,...,2k)は複素数平面上で正(2k+1)角形となります。
実軸上の点(x,0)とz^i(i=0,1,...,2k)との距離の積の2乗は、
(x-1)^2*(x-z)*(x-z^-1)*(x-z^2)*(x-z^-2)*...*(x-z^2k)*(x-z^-2k)
=((x-1)*(x-z)*(x-z^2)*...(x-z^2k))^2
=(x^(2k+1)-1)^2
となります。

x=-1のとき、
(x^(2k+1)-1)^2=(-2)^2=4
となるので、(-1,0)とz^i(i=0,1,...,2k)との距離の積は2となります。

--------------------------------------------------------------

1の原始2k乗根をz、原始4k乗根をwとすると、n=2k,w^2=z,w^4k=z^2k=1で、w^i(i=0,1,...,4k-1)は複素数平面上で正4k角形となり、w^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)は複素数平面上で正2k角形となります。
実軸上の点(x,0)とw^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)との距離の積の2乗は、
(x-w)*(x-w^-1)*(x-w^3)*(x-w^-3)*...*(x-w^(4k-1))*(x-w^-(4k-1))
=(x-w)*(x-w^(4k-1))*(x-w^3)*(x-w^(4k-3))*...*(x-w^(4k-1))*(x-w)
=((x-w)*(x-w^3)*...*(x-w^(4k-1)))^2
となります。

(x-w)*(x-w^3)*(x^w^5)*...*(x-w^(4k-1))
=(x-w)*(x-w*z)*(x-w*z^2)*...*(x-w*z^(2k-1))
=x^2k-w^2k=x^2k+1
なので（x^2k-1=0の根と係数の関係を応用）、x=±1のとき、
x^2k+1=2
となるので、(±1,0)とw^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)との距離の積は2となります。

[2448] の DD++ さんによる問いかけについて
ぼんやりと想起したのが以下です。

複素関数論における最大値の原理（または最大値の定理）
《正則関数f(z)を、円の中心からある一定の距離までの範囲で定義されていて、この範囲で値がなめらかに変化する関数とします。このとき、f(z)の大きさを表す|f(z)|の最大値は、その範囲の端っこの部分、つまり円周上で必ず見つかります。》

このような f がみつかると嬉しいなと。

※でも、大数の記事中の問題に複素関数論使うのかと。近道があるのですかね。

返信遅くなりました。
私が作った解法も、複素平面によるものでした。
なぜ「円の内部」とわざわざ記述されているかについての考察、興味深く拝見いたしました。

ツイッターで紹介されていたサイトに以下のページがありました。(画像はその一部をトリミングしたものです)

https://jkoizumi144.com/puzzles.html

文面が on the circle であり、in the circle ではないことから、求める点は円周上にあると意識されていることと存じます。

単位円周上のn個の点について、円周上、又は円の内部の任意の点と
それらまでのn個のキョリの積が2以下になるとき、これらn個の点は
正n角形の頂点であることを示せ。

無作為に選ぶ、というのはあみだ1人分じゃなく、全員分の対応関係を同時に取りたいってことですか？
それだとまた根本的に別のコードが必要そうですが。

あと、確率という意味では、むしろ(n-1)^mでやる方が正確さは上じゃないかなあという気がします。

PDFを拝見しました。
言われてみれば確かにAIの言う「層」という表現が謎ですね。

このiは、あみだくじで最後に引いた線は左から何本目の右に引かれているか、です。
i=3なら、最後（番号付け的な意味で）の線が左から3番目と4番目の間に引かれているものを意味します。
酔歩モデルなら、最後の右下移動は、左下から数えて3本目を通った場合という意味に対応するかな？

moonlightさんへ質問ですが

10人で各一本ずつ好きな場所に横線を入れ横線の総数が10本である場合
第一行が左端(くじ棒1を選んだ時全部で4292145通りのあみだくじのパターンのうち
この10人がどのパターンを作っているかは知る由もないが(そのどれかにはなっているはず。）くじの行き先が
左から最終的にくじの1,2,3,･･･,10番へと至る総数を知らせる。
第２行が選んだくじが2番である場合の最終の到達場所になっています。
以下同様

横線総数10;
2797793, 895375, 368825, 152326, 55475, 16989, 4315, 889, 142, 16
895375, 1886974, 858064, 400591, 167993, 59769, 17877, 4456, 904, 142
368825, 858064, 1553894, 840565, 413847, 172825, 60764, 18016, 4456, 889
152326, 400591, 840565, 1388969, 834802, 418154, 173782, 60764, 17877, 4315
55475, 167993, 413847, 834802, 1318601, 833690, 418154, 172825, 59769, 16989
16989, 59769, 172825, 418154, 833690, 1318601, 834802, 413847, 167993, 55475
4315, 17877, 60764, 173782, 418154, 834802, 1388969, 840565, 400591, 152326
889, 4456, 18016, 60764, 172825, 413847, 840565, 1553894, 858064, 368825
142, 904, 4456, 17877, 59769, 167993, 400591, 858064, 1886974, 895375
16, 142, 889, 4315, 16989, 55475, 152326, 368825, 895375, 2797793
total: 4292145(通り)

横線総数20;(各自2本ずつ勝手に横線を書き入れた場合)
1206969885175, 444626687408, 223944116341, 123985414511, 68419073997, 35219432968, 16356793415, 6802760919, 2521009672, 809262504
444626687408, 736976131952, 404974329652, 244129892658, 146778115239, 82292337422, 41427338639, 18559662466, 7368931802, 2521009672
223944116341, 404974329652, 552089840963, 377497635883, 254748110156, 159277066729, 88500743423, 43260170378, 18559662466, 6802760919
123985414511, 244129892658, 377497635883, 454051817726, 360453569477, 259933003640, 163318227538, 88500743423, 41427338639, 16356793415
68419073997, 146778115239, 254748110156, 360453569477, 407940958106, 354592769176, 259933003640, 159277066729, 82292337422, 35219432968
35219432968, 82292337422, 159277066729, 259933003640, 354592769176, 407940958106, 360453569477, 254748110156, 146778115239, 68419073997
16356793415, 41427338639, 88500743423, 163318227538, 259933003640, 360453569477, 454051817726, 377497635883, 244129892658, 123985414511
6802760919, 18559662466, 43260170378, 88500743423, 159277066729, 254748110156, 377497635883, 552089840963, 404974329652, 223944116341
2521009672, 7368931802, 18559662466, 41427338639, 82292337422, 146778115239, 244129892658, 404974329652, 736976131952, 444626687408
809262504, 2521009672, 6802760919, 16356793415, 35219432968, 68419073997, 123985414511, 223944116341, 444626687408, 1206969885175
total: 2129654436910(通り)


横線総数30;;(各自3本ずつ書き入れた場合)
496647560097440001, 200445588666012991, 111899880246277899, 69792696535021405, 44738672491416379, 27922874500844965, 16258458172179943, 8597168046702841, 4054782107743644, 1643303416611824
200445588666012991, 282712254410516606, 174876883331777285, 118941996483630956, 82376641820193608, 55272922570250507, 34417898391400316, 19315501555853237, 9586514942872742, 4054782107743644
111899880246277899, 174876883331777285, 203125589064861508, 157132397723195171, 120882336138695072, 89132275101361093, 60473442328480160, 36565510743047626, 19315501555853237, 8597168046702841
69792696535021405, 118941996483630956, 157132397723195171, 166300290157052329, 146258783232882355, 121111693187082065, 91313328069327192, 60473442328480160, 34417898391400316, 16258458172179943
44738672491416379, 82376641820193608, 120882336138695072, 146258783232882355, 151780229152448736, 142524556085077112, 121111693187082065, 89132275101361093, 55272922570250507, 27922874500844965
27922874500844965, 55272922570250507, 89132275101361093, 121111693187082065, 142524556085077112, 151780229152448736, 146258783232882355, 120882336138695072, 82376641820193608, 44738672491416379
16258458172179943, 34417898391400316, 60473442328480160, 91313328069327192, 121111693187082065, 146258783232882355, 166300290157052329, 157132397723195171, 118941996483630956, 69792696535021405
8597168046702841, 19315501555853237, 36565510743047626, 60473442328480160, 89132275101361093, 120882336138695072, 157132397723195171, 203125589064861508, 174876883331777285, 111899880246277899
4054782107743644, 9586514942872742, 19315501555853237, 34417898391400316, 55272922570250507, 82376641820193608, 118941996483630956, 174876883331777285, 282712254410516606, 200445588666012991
1643303416611824, 4054782107743644, 8597168046702841, 16258458172179943, 27922874500844965, 44738672491416379, 69792696535021405, 111899880246277899, 200445588666012991, 496647560097440001
total: 982000984280251892(通り)

もし当たりがどのくじの元に設定されているかが事前に判明しておれば、全体的にどんなあみだくじ状態になっているかはわからなくても、確率的にはその当たりのくじの番号に相当する籤を選ぶのが当たりを引ける戦略だ。
ということは可能性の総数の比較より論理的に言えるのですよね。（当然全体的くじの構造によってはハズレも十分にあり得ますが・・・)
の解釈はいいんでしょうか？

DD++さんへ。見て頂いてありがとうさんです。「間違ったこと」は書いてないでしょうか？
iの受け取り方を間違えていたのでしょうか？まぁ「どの方向？操作？から見るか」で表現は変わりそうだとは思いましたが...

GAIさんへ。もちろんm^{n-1}でザックリ数えても凡その結果というか傾向は分かるので勿論それでも「良い」のかも知れませんが, 私的には「嘘」を伝えているようでとても「気持ち悪い」です。まぁ統計自体が「嘘八百」ばかり（現実問題に対応するには致し方ない部分があるとはいえ）なのでどうしようもないのかも知れないし, webの記事や御本とか見ても鈍感さに慣れっこになっているのかも知れませんけど... 数えられるときは「数えられるけどこちらの概算で大体わかるから「ちゃんとしたこと」は別途調べて／これは杜撰な数え方での集計だけど大体は掴めるから正しくはないけどコレで話を進めます」みたいなことはちゃんと書いておいて欲しいなぁと。（このあみだくじの話の場合は, 杜撰な数え方を根拠にした抽出をしてるから余計に救い難い... ）

で, こういう『有難い場所』で「きちんと数えるということはどういうことか」が議論されそこそこ纏められていれば, 気になる人は調べられるだろうから良いかなぁと。そんなことを思っています。

これは杜撰な数え方での集計だけど・・・
と書かれていましたがこれはDD++さんがつくられたプログラムをPARIのコードに読みかえて実行すると
例えば縦数5本、横数3本では
25, 10, 4, 1, 0
10, 15, 10, 4, 1
4, 10, 12, 10, 4
1, 4, 10, 15, 10
0, 1, 4, 10, 25
total: 40
結果が返されます。

これは勿論異なるあみだ数が40通り存在することを教えると同時に
上の5×5行列に現れている各数の意味は
5本のくじを左から1,2,3,4,5番と呼ぶとき
籤1番を選ぶと結果的に1に戻ってくるものが40パターン中25個
2へ辿り着くのが10個、3には4個,4には1個,5は存在しない。
籤2番を選ぶと結果的に1には10個,2は15個,3は10個,4は4個,5は1個
以下籤3,4,5が選ばれた時の行き先の度数が同時に判明しています。

これは実際40通りにあみだを作ってみて
それがどの様な結果が起きて、40パターンの総計として結果を整理すると
正しくここに掲げられた表と一致するのです。
ここにプログラムが掲載される前にその作業をしていたので、このプログラムが
その結果と一致しているのをみてこのプログラムのありがたみを痛感しました。

moonlightさんも
「m筋n横棒のあみだくじでi筋目を選んだ場合にj筋目に至るものは幾つあるか」は「どうすれば計算できるか」は解決していません。
とそんな数値を渇望されていたではありませんか？
正確なシミュレーションをあれほど望んであったのでは？

したがってこのプログラムを活用すれば正確に例の結果が求まるのです。
けっして杜撰な数え方での集計ではないのです。

だからこれに私的には「嘘」を伝えているようでとても「気持ち悪い」です。
との発言をされていることに、一体どんなことを求められているのだろうとの疑問が湧きます。

私も、あみだくじの総数としてはmoonlightさんの数え方を支持しますが、確率として求めるなら逆にmoonlightさんの主張の方が杜撰だと思います。

例えば、左からi本目とi+1本目の間に引かれる横線の本数の期待値を考えてみます。
例えば4筋2横線の場合、moonlightさんの考えるやり方では
1本目と2本目の間：5/16本
2本目と3本目の間：3/8本
3本目と4本目の間：5/16本
となり、真ん中に偏って横線が引かれます。
これは本当にランダムにあみだくじを作っていると言えるのでしょうか？


あ、AIによる解釈は多少表現方法に「ん？」と思うところがある（層とか）以外は間違ってないと思います。
最後の計算でi=2のときがおかしいところはmoonlightさんが正しくやり直していますし。
あとは、n≧4の場合はn=3の場合にはない事象（i=1に対しての計算でi=3の分を足さない）が発生するので、その例も出してもらうといいかもしれませんね。

GAIさんへ
「杜撰な数え方」というのはここで皆さんが提示して下さった, 「同じ」ものは省いて数えたもの（DD++さんのも勿論）ではなく,
隣同士の置換で済ませるm筋n横線なら(m-1)^nとしてしまう方です。読み難くて申し訳ない。（どこで誤解されたかもまだ特定してません... ）

DD++さんの「moonlightさんの主張の方が杜撰」というのは...
例えば, ここで紹介して貰った, 「m-1以下の自然数を階差が-1以上であるようにn個並べる数の列」で言えば,
その中から「無作為に選ぶ」場合に,
m=4,n=3だと
1-1-1, 1-1-2, 1-1-3, 1-2-1, 1-2-2, 1-2-3, 1-3-2, 1-3-3, <==無条件なものから 1-3-1が除かれている
2-1-1, 2-1-2, 2-1-3, 2-2-1, 2-2-2, 2-2-3, 2-3-2, 2-3-3, <==無条件なものから 2-3-1が除かれている
3-2-1, 3-2-2, 3-2-3, 3-3-2, 3-3-3 <==無条件なものから 3-1-1, 3-1-2, 3-1-3, 3-3-1 が除かれている
の21通りから選ぶ事になります。でも数の列を見ていれば,
1,2,3が各桁に入る分布は均等ではなく
どの数↓ 1 2 3 ←何番目
1 | 8 6 5　　|| 19
2 | 8 9 8　　|| 25 ←2だけ多い...
3 | 5 6 8　　|| 19
計 | 21 21 21←こちらが全部同じなのはまあ当然として
となる(2が多めに入っている)のだから「杜撰」だというそういう事でしょうか？
でもちゃんと数えているし, コレらは重複しないし, この中から選ぶのですから「同じように選ばれる」としておかしくないですよね。
そしてこれは, m筋n横本のあみだくじと対応しているわけですから... どう「杜撰」なのかが
気持ち的には「わからないでもない」のですけど, 分かりません。

あと, 少し前の投稿の
「無作為に選ぶ、というのはあみだ1人分じゃなく、全員分の対応関係を同時に取りたいってことですか？」
ですが... ちょっと上手く読み取れませんでしたが,
「あみだくじが無作為に選ばれて, 全員が筋を選ぶ, ということをした場合に,
そのあみだくじによる結果というのか全員の対応も同時に分かる／分かりたい」ということです。
（で, それを統計的に処理するっていうことをしないと... となるのだろうかなぁ... )
無作為に選ぶのは「1回だけ」です。コレで良いでしょうか？

確率を考える場合、重複するものを別個で考えた方がいい場合があります。

例えば、区別のつかないサイコロを2つ同時に振る場合。
目の出方は21通りです。
しかし根元事象はサイコロの区別ができない場合でも36通りとすべきなのは明らかです。

あみだくじの場合、例えば4筋2横線で左の2本と右の2本の間に1つずつ横線があるパターンはどう扱うべきでしょう。
パターン数としては合わせて1でいいと思いますが、根元事象としては2つと数えるべきだと思います。


全員分の対応を同時に取りたいのかというのは、例えば1本目を選んだ人が1本目にたどり着く結果を得るときに、同時に他の人がどういう結果だったのかでさらに細かく分類する必要があるのかどうかということです。

DD++さんへ
「根元事象としては2つ... 」のところが全く分かりません... どう考えればそうなるのでしょう。
あみだくじを知っている人に, 何種類ありますかと聞けば多くの人は「重複しない数え方」を取るのではと。
同じですから。（あみだくじの区別をそのあみだくじで辿る経路, 1>2>3>2>3>4のようなどの筋を順に辿るか, の辿り方の集合として区別すれば... という事になるのかなぁ... ）
サイコロの場合はよく問題にあるように, 大小2つのサイコロなどと「区別」をすれば明らかに36通りとなりますが...
あみだくじの場合はどう見れば？「根元事象としては2つ... 」となるのでしょう...

「全員分の対応を同時に取りたいのか」については... 分かりましたが分かりません... 「あみだくじには偏りがあることを知っているのは統計リテラシー」系の記事では当然「当たりの筋を知って」いれば「その筋に近い筋を選ぶこと」が得策とありますが, その説明に必要なデータが欲しいわけですから... そういう意味では, あみだくじの全ての場合で, 「その筋に近い筋を選ぶこと」が得策って本当か？を検証するためのデータが必要だという話です。

どう考えればも何も、普通にm^(n-1)通りで数えた方が同様に確からしい事象になると考えるからですが。

話はずいぶん遡りますが
単純な行列の累乗で分布が逐次計算できる事が分かりました。
無理だなんて適当な発言をして申し訳ない。
状態遷移行列、或いはグラフ理論だと隣接行列の累乗で計算できるのですねぇ。
やっとそこまで追い付きました。
隣接行列は正方行列で上でも下でも三角成分を全て1としてその反対側の対角成分から1つ横にある成分も1として残りは全て0という綺麗な形の行列です。
ただその累乗の各成分を表す式が...
3次の場合はフィボナッチ数列そのもので、4次の場合は3の累乗で簡単に表現できるのですが... 5次だともうお手上げです。確かにプログラム任せで必要な分だけ計算させる方が実用的なのかもとも。

はい。
このサイトでは1年前に既にそこまで議論済なのでした。

そうだったのですね。流し読みではさっぱり分かりませんでした。
そうなると矢張り5次以上は隣接行列の累乗を簡単に計算するのは無理そうだという結論ですか？

5次「以上」かどうかはわかりません。
5次は無理そうですが、もっと大きいところでたまたまできるところはあるかもしれませんし。

また、「簡単に計算する」という意味にもよりますね。
各成分をnを用いた表記にするのは難しいでしょうが、機械計算で求めるのはある程度容易いでしょうし。

さらに言えば、対応関係まで取りたい場合は3筋や4筋でも行列のサイズは大きくなるでしょうし。