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ABC + DEF + GHI = 2022

「中学入試問題に挑戦!」のこの問題、以下のようにすれば試行錯誤をだいぶ減らせますかね?

両辺を 9 で割った余りを考えると、
使った 9 個の数字の合計を 9 で割った余りが 6 。
これに P を加えると 10 個の数字の合計が 45 になるわけだから、P=3 です。

そして、H=0 より 3≦B+E+H≦17 なので、百の位への繰り上がりが 1 で確定で、A+D+G=19 です。
C+F+I=22 の場合 B+E+H=1 となり不適。
よって C+F+I=12 で B+E+H=11 とわかります。

C=6 とH=0 を考慮すると、
A+D+G=19
B+E=11
F+I=6
ですが、この中で 1 を使うには F+I を 1+5 か 5+1 にするしかありません。
すると、B+E は 2+9 か 4+7 か 7+4 か 9+2 となり、
残る A+D+G は、2+8+9 か 4+7+8 の順番を入れ替えたものとなります。

よって ABC が最小になるのは
ABC=246, DEF=871, GHI=905, P=3
ABC=246, DEF=875, GHI=901, P=3
ABC=246, DEF=971, GHI=805, P=3
ABC=246, DEF=975, GHI=801, P=3
の 4 パターンで、いずれの場合も B=4, P=3 です。

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おじさんは全検索で出すしかなく

246;871;905
246;875;901
246;971;805
246;975;801

276;841;905
276;845;901
276;941;805
276;945;801

426;791;805
426;795;801
426;891;705
426;895;701

496;721;805
496;725;801
496;821;705
496;825;701

726;491;805
726;495;801
726;891;405
726;895;401

796;421;805
796;425;801
796;821;405
796;825;401

826;491;705
826;495;701
826;791;405
826;795;401

846;271;905
846;275;901
846;971;205
846;975;201

876;241;905
876;245;901
876;941;205
876;945;201

896;421;705
896;425;701
896;721;405
896;725;401

946;271;805
946;275;801
946;871;205
946;875;201

976;241;805
976;245;801
976;841;205
976;845;201

の全部で48パターンがあり
ABCの最小となるのが始めの4個ですよね。

これを小学6年生が解くのか!
数学の力は年齢には全く関係しないことを改めて感じ入ったことでした。

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角の二等分線の傾き

三角形ABCがあり、辺BCがx-y座標平面上のx軸上にあり、頂点Aはy軸の正の部分にあるものとする。
今x軸の正の部分と線分AB,ACの傾きをそれぞれm1,m2と表すとき、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとしたとき
各(m1,m2)の値に対するADの線分の傾きmがどの様な値となるか見つけてほしい。
(1)(m1,m2)=(1/7,-1)
(2)(m1,m2)=(1/2,-2)
(3)(m1,m2)=(1/3,-3)
(4)(m1,m2)=(1/4,-4)
(5)(m1,m2)=(1,-5)

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「線分AB,ACの傾きをそれぞれm1,m2と表す」ならば普通の意味でわかるのですが、
「x軸の正の部分と線分AB,ACの傾きをそれぞれm1,m2と表す」の「x軸の正の部分と」は
どういう意味を持っているのでしょうか。無視して大丈夫ですか?

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今、新幹線で帰宅しました。
mの値の可能性として、(1)3、(2)3、(3)2、(4)5/3、(5)(3+√13)/2 でしょうか?
新幹線の中から返信しようとしたら、「不正アクセス」としてはじかれてしまいました。
普段の環境では返信できるので、多分新幹線内のFreeWifiが悪さをしたものと思われます。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年04月19日 12:11)

らすかるさんへ
「x軸の正の部分と」のコメントはいらないですね。ついなす角度とごっちゃになっていました。

管理人さんへ
-1/2は?
(3-√13)/2は惜しいか。
できたら何番がどの答えかをお願いします。

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正解です。

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一般式は
{m1*m2-1-√((m1^2+1)*(m2^2+1))}/(m1+m2)
でしょうか。

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個別に出していたので、こんな式で表せるとは思ってもいませんでした。
これはAB とACが直角なら(m1*m2=-1)
m=(1+m1)/(1-m1)
の式に還元できるので、
m1=1 ==>m=∞
m1=1/2 ==>m=3
m1=2 ==>m=-3
m1=1/3 ==>m=2
・・・・・・・・
と対応していくから、BCを直径とする円を利用してm1での値を使って
作図することで各Aでの二等分線が引けることができたり、他にも応用が出来そうですね。

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テレビ番組を観て

2022年4月10日でのNHK特集21時よりの放映で
望月新一氏のABC予想の証明についての番組を見ていたのですが
解説を望月氏にお願いしても、一般の方に解説することは高度な内容を
含みとても不可能と判断するとのことで、解説を辞退しますとのコメントが
あったのが面白かった。

この番組の中で整数a,b,c(=a+b)に対し
c/rad(c)<rad(a*b)
という関係式が出ていたのですが、
(rad(n);nの異なる素因数の積)
実験してみると
単純に常にこの関係式が成立するかと言えば、そうではなく例えば
a;b =>c/rad(c) VS rad(a*b)
2;126=>64 VS 42
2;160=>27 VS 10
3;125=>64 VS 15
3;144=>7 VS 6
3;189=>32 VS 21
4;108=>8 VS 6
4;121=>25 VS 22
4;124=>64 VS 62
4;192=>14 VS 6
4;196=>20 VS 14
・・・・・・・・・・
の様に反するパターンも出てきた。(しかし圧倒的には成立していく)
何らかの条件付きがあるのであろう。
また次の様なパターンは一致していく。
4;128=>2 VS 2
18;162=>6 VS 6
25;125=>5 VS 5
36;144=>6 VS 6
72;108=>6 VS 6
100;200=>10 VS 10

掛け算は足し算より簡単という表現をされていたのも(足し算は遺伝子を破壊する)
興味を引いた。

またこの証明をするために、トポロジーの発想が異なるものを同一視するものに対し
同じものを異なるものに分解し、これとは全く逆の発想で(宇宙際タイヒミュラー理論)
新しい数学理論を構築していったという経緯の解説もされていた。

もしこの理論が正しいならあのフェルマーの大定理
a^n+b^n=c^n (n>2)
には整数解が存在しない。

も数行で証明可能とのコメントがされていた。
確かにABC予想とはこのn=1
に相当する考察なので、そんなのも有かな程度しか感じられませんでしたが・・・

いずれにせよ、人間の考える力とそれに関わっている人の途方もない
発想力にただただ驚くばかりでした。

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投稿テスト

新掲示板開設おめでとうございます。

投稿のテストです。

[1]
三角形ABCの各辺(延長線を含む)上にない点Oをとると、
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB) = 1
が成り立つことを証明してください。

[2]
三角形ABCの各頂点を通らずかつ各辺と平行でない直線lをとり、
直線lと直線BC, 直線lと直線CA, 直線lと直線ABの交点をそれぞれP, Q, Rとすると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
が成り立つことを証明してください。

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りらひいさん、ご投稿ありがとうございます。
この新掲示板は画像も投稿できるみたいです。ただし、1枚だけ!

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年04月08日 07:09)

管理人さん

解いてくださりありがとうございます。
私が用意していた解答よりシンプル明快でとても参考になりました。(特に[2]のほう)

私の解答例はこちら

[1]

例①
点Oから三角形ABCの頂点A,B,Cへおろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする。
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((OF/OB) / (OD/OB)) * ((OD/OC) / (OE/OC)) * ((OE/OA) / (OF/OA))
= 1

例②
正弦定理を使うと、
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((AO/AB*sin∠AOB) / (OC/BC*sin∠BOC)) * ((BO/BC*sin∠BOC) / (OA/CA*sin∠COA)) * ((CO/CA*sin∠COA) / (OB/AB*sin∠AOB))
= 1

例③
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((1/2*AB*BO*sin∠ABO) / (1/2*OB*BC*sin∠OBC)) * ((1/2*BC*CO*sin∠BCO) / (1/2*OC*CA*sin∠OCA)) * ((1/2*CA*AO*sin∠CAO) / (1/2*OA*AB*sin∠OAB))
= (△ABO / △OBC) * (△BCO / △OCA) * (△CAO / △OAB)
= 1


[2]

例①
∠ABQ=∠RBQ または ∠ABQ+∠RBQ=π のいずれかが成り立つことと正弦定理より
sin∠ABQ = sin∠RBQ = QR/BQ*sin∠BRQ
が成り立つ。同様にして、
sin∠QBC = sin∠QBP = PQ/BQ*sin∠BPQ
sin∠BCR = sin∠PCR = RP/CR*sin∠CPR
sin∠RCA = sin∠RCQ = QR/CR*sin∠CQR
sin∠CAP = sin∠QAP = PQ/AP*sin∠AQP
sin∠PAB = sin∠PAR = RP/AP*sin∠ARP
が成り立つ。
また、∠BPQ=∠CPR または ∠BPQ+∠CPR=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠CQR = sin∠AQP
sin∠ARP = sin∠BRQ
もわかる。よって、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB)
= (sin∠RBQ / sin∠QBP) * (sin∠PCR / sin∠RCQ) * (sin∠QAP / sin∠PAR)
= ((QR/BQ*sin∠BRQ) / (PQ/BQ*sin∠BPQ)) * ((RP/CR*sin∠CPR) / (QR/CR*sin∠CQR)) * ((PQ/AP*sin∠AQP) / (RP/AP*sin∠ARP))
= (sin∠BRQ * sin∠CPR * sin∠AQP) / (sin∠BPQ * sin∠CQR * sin∠ARP)
= 1

例②
[1]より、
(sin∠ABQ / sin∠QBP) * (sin∠BPQ / sin∠QPA) * (sin∠PAQ / sin∠QAB) = 1 …[あ]
(sin∠ACR / sin∠RCP) * (sin∠CPR / sin∠RPA) * (sin∠PAR / sin∠RAC) = 1 …[い]
が成り立つ。
また、∠QBC=∠QBP または ∠QBC+∠QBP=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠QBC = sin∠QBP
sin∠BCR = sin∠RCP
sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠QPA = sin∠RPA
sin∠CAP = sin∠PAQ
sin∠PAB = sin∠PAR
sin∠QAB = sin∠RAC
が成り立ち、これらを[あ],[い]に代入して[あ]÷[い]を計算すると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
を得る。

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素数覆面算

(4) ■×■×■■+■■-■■■

     2*3*19+89-103

(5) ■-■■-■■■+■■■

     3-11-103+211

(10) ■-■×■■■+■■■■

    2-3*307+1019

他山ほどのパターンが作れますね。

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問題の条件が、「1から9までの数字を1個づつ」となっているので、
何れも解にはならないですね!

引用して返信編集・削除(未編集)

あれ~この条件をすっ飛ばしていた!

再チャレンジ
(4) ■×■×■■+■■-■■■

     2*7*41+89-563

(5) ■-■■-■■■+■■■

     3-29-461+587

(10) ■-■×■■■+■■■■

    7-2*683+1459

引用して返信編集・削除(未編集)

素数魔方陣

では2桁までの素数を使い3×3の正方行列に9個の異なる素数を埋めて
縦、横、斜めの合計が全て同じ合計となるもの(合計値を最も小さくしたもの)を構成してください。

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訂正です。
では3桁までの素数を使い3×3の正方行列に9個の異なる素数を埋めて
縦、横、斜めの合計が全て同じ合計となるもの(合計値を最も小さくしたもの)を構成してください。

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「2049」の素数魔方陣、死ぬ前に、これだけは作りたかったというGAI さんのコメント(令和元年5月21日付け)
から、条件を満たすものは次の場合しかないですね。
+----+----+----+
| 479| 797| 773|
+----+----+----+
| 977| 683| 389|
+----+----+----+
| 593| 569| 887|
+----+----+----+

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3桁までですので、1桁や2桁の素数も使用可能と理解願います。

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素数の循環節の長さでの偶・奇

ksさんから素数の循環節として
pを素数として、1/pの循環小数について、p-1の約数が循環節の長さになる。
一つ一つの素数については、気紛れですが、全体として見たとき、循環節の長さが、偶数に
なるときと、奇数になるときの割合が、2/3と1/3となる。

の記述を読んで計算させてみた。

最初から25個(2,3,5,7,・・・,97)の素数での循環節での長さでの
偶数対奇数=>15 VS 10
同様に最初から
100個の素数では=>67 VS 33
1000個では=>675 VS 325
10000個では=>6655 VS 3345
100000個では=>66647 VS 33353
1000000個では=>666488 VS 333512
これ以上は時間が掛かり過ぎて断念
確かに2/3,1/3に近づいていますね。

でもどうして?

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検索したら↓こちらで言及されていましたが、
https://www.math.kindai.ac.jp/laboratory/chinen/junkan_f/junkan.html
2:1になるのは証明できるものの
「証明はかなり難しく, 大学院レベルの数学が必要」
だそうです。
(もしかしたら初等的な証明があるかも知れませんが。)

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確率的予測としては奇数が 1/3 になる理由は簡単ですね。
厳密な証明をしようとすると算術級数定理とかそっち方面になるのかな?


以下、p>5 として進めます。(有限個取り除いてもほとんど影響はないため)

1/p の循環節が n 桁になるというのは、10^n-1 が p の倍数であり、かつ n の倍数でないいかなる自然数 m についても 10^m-1 が p の倍数にならないということです。
ところで、フェルマーの小定理より 10^(p-1)-1 は p の倍数です。
よって、n は p-1 の約数になります。

p-1 = 2^r*d とおきます。(r は自然数、d は奇数)
r がそれぞれの値を取る確率は1/2^r と考えられます。

また r がそれぞれの値をとったときに n が奇数となる条件付き確率は 1/2^r と考えられます。
というのは、n が奇数となることは n が d の約数であることと同値で、それは 10^d-1 が p の倍数になることと同値ですが、
10^(2^r*d)-1 が p の倍数だということから出発して、
10^(2^(r-1)*d)-1 と 10^(2^(r-1)*d)+1 のどちらが p の倍数かは確率 1/2 ずつ、
前者が p の倍数だとして、10^(2^(r-2)*d)-1 と 10^(2^(r-2)*d)+1 のどちらが p の倍数かは確率 1/2 ずつ、
というのを r 回繰り返すことになるからです。

つまり、n が奇数となる確率は Σ[r=1->∞] 1/2^r * 1/2^r = 1/3 となります。
確率的には。

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新掲示板初の出題

各桁の合計が奇数の合成数となる最小の素数はいくつか。
(コンピュータ不可)

引用して返信編集・削除(未編集)

997ですか?
9+9+7=25(奇数)で、25=5×5で合成数

引用して返信編集・削除(未編集)

はい、その通りです。

引用して返信編集・削除(未編集)

新開設のお祝い

朝起きてここの新設を知りました。早速訪れてみました。
今までの膨大な投稿内容が途切れてしまうことに残念でならなかったのですが
このように新しく開設してもらうと、とても助かります。
また再びここに集う人々と交流できることを楽しみにしています。

まずは開設有難く、そしておめでとうございます。(管理人さんご苦労でしょうがこれからもよろしくお願いいたします。)

引用して返信編集・削除(未編集)

GAI様、ご訪問ありがとうございます。これからもいろいろな話題を提供していただき
大いに刺激を受けたいと思います。
旧掲示板での投稿内容については、HP本文の方に取り込み済みなので、特段問題はない
だろうと判断しています。
ただ、GAI様の計算結果等、一部teacup.様の掲示板からのリンク付けをした部分が
あって、その部分についてはリンク切れになるものと思われます。その点、ご了解いた
だければと思います。
実のところ、teacup.様の掲示板からのエクスポート・インポートを試みましたが、出来
ませんでした。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年03月29日 20:53)

新掲示板開設おめでとうございます。
ところで、この掲示板は文字が巨大(そのため1画面上の情報量が少ない)なのですが(私だけ?)、これを小さくする方法はないのでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかるさんの文字が大きすぎるということを伺って、文字サイズを小さめ(16ポイント)に変更しました。
その他いろいろカスタマイズしていきますので、不具合等があったらご教示ください。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年03月29日 20:52)

dengan kesaktian indukmu さんからも旧掲示板の方に書き込みをいただいた。
Web環境の影響で閲覧は可能なんだが返信や新規投稿ができないとのことであ
る。メールなど利用して話題に参加することは可能でしょうか?
メールはHPのトップページのPOSTをクリックすると、メールソフトが起動
します。
メールをいただければ私の方でアップしたいと思います。
どうぞ、よろしくお願いします。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年03月29日 20:52)

文字の大きさが普通になりました。ありがとうございます。

引用して返信編集・削除(未編集)

引き続きこちらで皆様方のお話がうかがえますことに喜びも一入です♪
少ししか理解できないことが多いですが、ずっとここの愛読者です。
これからもよろしくお願いいたします。

引用して返信編集・削除(未編集)

新掲示板の開設、おめでとうございます。
今のところ背景色が桃色じゃない違和感がすごいですが、じきに慣れていくのかな?

ところで、1つ返信がつくたびにスレッドごと上に上がる仕様なんですかねコレ。
1つのスレッドが長くなると、新規投稿された2番目のスレッドが遥か下にいて見落とすこととかありそう。
気をつけないといけませんね。

引用して返信編集・削除(未編集)

背景をこれまでのものに設定しました。DD++さんが違和感を感じられたということで修正しました。
またコメントに対する返信の順番ですが、今のようにコメントに対して下へ下へとつながっていく設定と、
コメントの下に返信が逆順で表示される設定があるのですが、皆さんはどちらがお好みですか?

それから旧掲示板では、HTMLタグが使えていたのですが、この掲示板では使えません。有料にすれば
使えるらしいのですが、そこまでいいかな?という感じで、このままでいきたいと思います。
URLを記述いただければ閲覧は可能だと思います。ただし、閲覧は自己責任です。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年03月29日 17:39)

私は「今のようにコメントに対して下へ下へとつながっていく設定」が好きです。
ところでこの掲示板はクッキーはないんですかね?
返信のたびに名前と編集キーを入れなければならないのは若干面倒です。
機能がなければ仕方ないですが。

引用して返信編集・削除(未編集)

同じく、順番は下へ下への方が好みです。
長いスレッドになると新着確認が大変というデメリットは確かにありますが、いくつかのレスを続けて読むときに楽な方が嬉しいです。

引用して返信編集・削除(未編集)

あ、そうそう、背景変更ありがとうございます。
やっぱりこの背景だとちゃんと出会いの泉に来た気分になれますね。

引用して返信編集・削除(未編集)

私のパソコンの設定かもしれませんが、入力欄をダブルクリックすると、以前入力したものが選択肢に出るので、
そこから選択して入力しています。

引用して返信編集・削除(未編集)

 よおすけさんやDengan kesaktian Indukmu さんから新規投稿や返信が出来ない旨の話を伺っている。
このロケットbbs掲示板Type-Nは、2021年リリースの最新式の掲示板で、ウェブサイト全体が常時
SSLで暗号化され、全ての通信が保護されるという特徴があり、非常にセキュリティが強いものである
ようだ。普通のアクセスまで不正アクセスと認知される場合もあるそうだ。もしかしたら、新規投稿や返
信ができない場合は、通信環境でセキュリティレベルを見直すとよいのかもしれない。また、Errorが出て
も投稿フォームのリロードで解決する場合があるらしい。
 なお、この新掲示板は、タブレットやスマホからもアクセス可能となっているので、是非試してみてく
ださい。
 私自身、PCからの投稿・閲覧以外にスマホからも投稿・閲覧が可能にしている。PCでの見映えと
スマホでの見映えが若干違うことに驚きながら、デザイン的にはスマホの方の見映えが気に入っている
かな?

引用して返信編集・削除(未編集)

666の不思議

他に
666=1^6-2^6+3^6
=(6+6+6)+(6^3+6^3+6^3)
=(6+6+6)-(6^3+6^3+6^3)+(6^4-6^4+6^4)
=5^3+6^3+7^3-(6+6+6)
=2^1*3^2+2^3*3^4
=100*(1+2+3)+10*(1*2*3)+sqrt(1^3+2^3+3^3)

また
sin(666°)=-φ/2
φ:黄金比(=(1+sqrt(5))/2)

eulerphi(666)=6*6*6=216
eulerphi(n):n以下でnと互いに素であるものの個数

円周率の小数点以下144位までに出現する数字の総和が666となる。
(最初の3は除く)

引用して返信編集・削除(未編集)
合計318件 (投稿73, 返信245)

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