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459,120

謹賀新幎

あけたしおおめでずうございたす。
本幎もよろしくお願い臎したす。


問題。

25は平方数です。そしお、
「25の正の平方根は5である」
ずいう文に䜿われおいる数字を党お次の数字に倉えるず
「36の正の平方根は6である」
ずなり、これも正しい文になりたす。

さお、このような性質をも぀別の平方数を求めおください。

No.2444DD++1月3日 13:17

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あけたしおおめでずうございたす。
今幎もよろしくお願いしたす。

R[n]=(10^n-1)/9 (repunit=1をn個䞊べた自然数) ずする。
n桁の数の平方は2n桁たたは2n-1桁になるが、
(a+R[n])^2-a^2=2aR[n]+(R[n])^2R[2n-1] ずなるから
条件を満たすためには元の数は2n桁でなければならない。
(a+R[n])^2-a^2=R[2n] を解くず a=4R[n]+1 ずなるが
n≧3のずき4R[n]+1の平方の䞊から2桁目が9になり
「次の数字」が存圚せず䞍適。
よっお条件を満たすものは4R[1]+1=5, 4R[2]+1=45の二぀。
前者の平方の25は䟋瀺されおいるものだから、
答えは埌者の平方の2025。

No.2447らすかる1月7日 10:59

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

お芋事です。

実は圓初「√2025=25である」で出題しようずしおいたのですが、その圢だずもう1぀解があるこずに気づいお慌おお蚘述を倉曎したした。
危なかった  。

No.2449DD++1月9日 21:45

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

曞き間違い。
√2025=45ですね  。

No.2450DD++1月10日 08:50

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (3)

幎の瀬に寄せお

今幎も抌し詰たり、来幎ぞ向けお話題が始たっおいるようですので私も䟿乗しお

[1]{(2023+2026)^3+2026^3}/{(2023+2026)^3+2023^3}
を簡単にしおみよう。

[2]dの郚分に19の任意の数字に眮き換えお蚈算しおみおください。
[{(dddd-dd)×dd}/(d+d)+dd-d]/(d+d+d)+(dd-d)/(d+d)


この遊びを玠数䞖界ぞ応甚するず
*3
の*郚分に䞀぀の数字を入れるずするずき
13,23,43,53,73,83の{1,2,4,5,7,8}6タむプの数字が玠数を䜜っおくれる。
(0も3の玠数ず䜜れるが1桁なので、ここでは倖しおおきたす。
たた
56**3の原型から*に同じ数を2぀入れるずすれば
56003,56113,56333,56443,56663,56773,56993ず{0,1,3,4,6,7,9}ず7タむプの数字で
党郚玠数が存圚しおいる。

そこで
ある原型(適圓に*の䜍眮や倧きさを䜜っおいるので、あらゆるパタヌンで考えお結構です。)
AB*DEF*H*JKLM
の3぀の*の䜍眮に09のどれを入れおも(なお同時に同じ数を入れる)党郚玠数になっおいるものは䜕かを掎みだしおほしい。

No.2434GAI2024幎12月30日 11:38

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月30日 11:44)

最小は
39402x9x7x3
ですね。11桁ではこれ䞀぀しかありたせんでした。
12桁は珟圚探玢䞭ですが、時間がかなりかかりそうなので
ある皋床芋぀からなければ探玢は䞭止したす。
(远蚘・再远蚘)
12桁の解が䜕個も芋぀かりたした。探すず結構あるようです。
631359x8x5x3
75428x5x5x91
106x6x0x1413
108x3x4x7411
181x3x2x8131

(返瀌)
19の9個の数字を1個ず぀䞊べおできる9桁のある自然数Nに察し
[tanN]=2025 [　]はガりス蚘号
が成り立぀ずいう。このNずは

No.2435らすかる2024幎12月30日 16:28

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月31日 03:53)

N=463921857

順列の番号が䞀぀ずれるず
tan(463921785) = -3.8184026056948050477279917320576295638
tan(463921875) = 0.87838965697493010866553946740976926836
こうも姿が倉わっおしたうしたうんですね。

No.2436GAI2024幎12月30日 19:42

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> N=463921857
ありがずうございたす。
Nは9!通りあるわけですが
[tanN]が2025近蟺の倀になるものは他になく、
これに気づいたのは34幎前だったので
この時期たでずっず保存しおいた問題でした。

# 09を3個入れお玠数になるものは匕き続き探玢しおいたすが、
# 結構解がでおきたしたので元の蚘事に远蚘しおいたす。

No.2437らすかる2024幎12月31日 04:02

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

幎も枩めおいたずは流石です。(よくもこんなものの調査を詊みおいたんですね。)
2000幎代だけを調べるず、次の17通りのものしかないんですね。(次は11幎埌)
2009,2025,2036,2079,2136,2142,2216,2244,2275,2324,2506,2556,2685,2695,2723,2929,2935
因みに
最倧は356187　 (順列;876423591で) (次が70898ですから飛びぬけおトップです。)
最小は-11031260 (順列;465178293で)　次が-80234ですから飛びぬけお離れおいたす。)
でありたした。
最頻倀ずか調べお行くず結構面癜いですね。
統蚈的に興味が湧きそう

No.2438GAI2024幎12月31日 06:37

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

12桁の解は以䞋の11個でした。
106x6x0x1413
108x3x4x7411
181x3x2x8131
631359x8x5x3
65x285x614x1
73x177x527x1
75428x5x5x91
8x105x849x63
83x9x7x94663
9x739x264x03
99x1x4x69743
xの郚分の倀䟋えば106x6x0x1413では101010000の倍数は
7の倍数でなければならないため、特城的な配眮になっおいたす。
7の倍数でないずするず09のどれかで7の倍数になっおしたうため
たたxの郚分の倀は11の倍数になり埗ないため、0の䞀぀手前䟋えば
106060001413-101010000が必ず11の倍数になり、x=09の堎合を
11で割った䜙りは110がすべお出珟するこずになりたす。
こういった理屈はプログラムの高速化に圹立おおいたす。

No.2442らすかる2024幎12月31日 19:26

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (5)

玠数の䞖界での探し物

玠数の3ず7では
37でも73でも共に玠数を構成する。
たた
玠数3,7,109では
37,73,3109,1093,7109,1097
の様にどの2぀の玠数での組合せでも前埌で2぀の数を構成したものでも
党お玠数ずなる。
しかしこのような3぀の玠数の組合せは他にも倚数存圚し、その䞭でも
3぀の玠数の和(この堎合3+7+109=119が盞圓)が最小になる組合せを
発芋願う。

同じように最小和に泚意し
4぀の玠数の組合せ、5぀の玠数の組合せにも挑戊願いたす。

No.2423GAI2024幎12月28日 08:42

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

プログラムが正しければ
3玠数 (3,37,67) 和=107
4玠数 (3,7,109,673) 和=792
5玠数 (13,5197,5701,6733,8389) 和=26033
さらに
6玠数 (25819,29569,209623,234781,422089,452041) 和=1373922

問われおいる5玠数たではあっずいう間に終わっおいたのですが、
6玠数に挑戊しおいお時間がかかっおしたいたした。
6玠数の堎合は結構工倫しないず珟実的な時間で求たりたせんので、
なかなか面癜いプログラミング問題でした。

(远蚘)
䞊蚘を投皿した埌になっお6玠数の結果を怜玢しおみたのですが、
この解を芋぀けおいる人はやはりいるのですね。
https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_626.htm

No.2428らすかる2024幎12月29日 11:52

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月29日 11:54)
返信 (1)

magma

OEIS でよくみかける PROG のひず぀に magma がありたす。

こちらでも利甚できるのですね
http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/

こちらに
[n : n in [2..500] | IsPrime(n)];
を攟りこんでみたりしたした。

No.2419Dengan kesaktian Indukmu2024幎12月22日 22:19

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

[(n+1)*(n+2)-(n+1)*(-1)^n: n in [43..44]]
をほうりこむず
[ 2024, 2025 ]
が埗られたすね。

No.2420Dengan kesaktian Indukmu2024幎12月23日 17:15

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

magmaは私も時々䜿いたすがいろいろな機胜がありたすね。

G2型リヌ代数の衚珟の次元数に぀いお
R := RootDatum("G2");
for i:=0 to 4 do;
for j:=0 to i do;
i,j,RepresentationDimension(R, [j,i-j]);
end for;
end for;


PSL(2,9)の指暙衚に぀いお
G := PSL(2,9);
CharacterTable(G);


方皋匏x^6+2*x^5+3*x^4+4*x^3+5*x^2+6*x+7=0のガロア矀に぀いお
P<x> := PolynomialRing(Integers());
f:=x^6+2*x^5+3*x^4+4*x^3+5*x^2+6*x+7;
G, L, S := GaloisGroup(f);
G;
S;


3-進数䜓での-7/2の平方根に぀いお
K := pAdicField(3,40);
_<x> := PolynomialRing(Integers(K)); // printing
HasRoot(2*x^2+7);
K`SeriesPrinting := true;
Sqrt(K!(-7/2));


二次䜓Q(√-31)でのノルムが100未満の玠むデアルに぀いお
R<x> := PolynomialRing(Integers());
K := NumberField(x^2+x+8);
FactorBasis(K, 100);

No.2421kuiperbelt2024幎12月23日 23:17

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (2)

(2k+1)^2次の二重魔方陣

二重魔方陣ずいっお、各栌の数の瞊・暪・察角線の和が定和になるだけでなく、各栌の数の瞊・暪・察角線の二乗和が定和になる魔方陣がありたす。

9次の二重魔方陣の䜜り方で、08の自然配列からなる3×3行列Aず、08からなる瞊・暪・察角線の和が定和12の3次の魔方陣ずなる行列Bがあるずしたす。
A=
[0 1 2]
[3 4 5]
[6 7 8]

B=
[7 2 3]
[0 4 8]
[5 6 1]

このような3×3行列A,Bず、

S=
[0 1 0]
[0 0 1]
[1 0 0]

ずいう3×3行列Sを甚いお、行列A,Bの行や列を入れ替えた行列から次のように9×9行列α,βを぀くるず9α+β+E(Eは党芁玠が1の行列)は9次の二重魔方陣ずなりたす。

α=
[S^2*A*S^2, A*S^2, S*A*S^2]
[ S^2*A, A, S*A]
[ S^2*A*S, A*S, S*A*S]

β=
[ S*B*S, B*S, S^2*B*S]
[ S*B, B, S^2*B]
[S*B*S^2, B*S^2, S^2*B*S^2]

9α+β+E=
[72 73 59 13 26 3 38 51 34]
[11 24 7 45 46 32 67 80 57]
[40 53 30 65 78 61 18 19 5]
[55 68 81 8 12 22 33 43 47]
[ 6 16 20 28 41 54 62 66 76]
[35 39 49 60 70 74 1 14 27]
[77 63 64 21 4 17 52 29 42]
[25 2 15 50 36 37 75 58 71]
[48 31 44 79 56 69 23 9 10]

同様に、次のような024の自然配列からなる5×5行列Aず、024からなる瞊・暪・察角線の和が定和60の5次の魔方陣ずなる行列Bず、5×5行列Sを甚いお、行列A,Bの行や列を入れ替えた行列から次のように25×25行列α,βを぀くるず25α+β+E(Eは党芁玠が1の行列)は25次の二重魔方陣ずなりたす。

A=
[ 0 1 2 3 4]
[ 5 6 7 8 9]
[10 11 12 13 14]
[15 16 17 18 19]
[20 21 22 23 24]

B=
[16 22 3 9 10]
[23 4 5 11 17]
[ 0 6 12 18 24]
[ 7 13 19 20 1]
[14 15 21 2 8]

S=
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 0]
[0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 1]
[1 0 0 0 0]

α=
[S^3*A*S^3, S^4*A*S^3, A*S^3, S*A*S^3, S^2*A*S^3]
[S^3*A*S^4, S^4*A*S^4, A*S^4, S*A*S^4, S^2*A*S^4]
[ S^3*A, S^4*A, A, S*A, S^2*A]
[ S^3*A*S, S^4*A*S, A*S, S*A*S, S^2*A*S]
[S^3*A*S^2, S^4*A*S^2, A*S^2, S*A*S^2, S^2*A*S^2]

β=
[S^2*B*S^2, S*B*S^2, B*S^2, S^4*B*S^2, S^3*B*S^2]
[ S^2*B*S, S*B*S, B*S, S^4*B*S, S^3*B*S]
[ S^2*B, S*B, B, S^4*B, S^3*B]
[S^2*B*S^4, S*B*S^4, B*S^4, S^4*B*S^4, S^3*B*S^4]
[S^2*B*S^3, S*B*S^3, B*S^3, S^4*B*S^3, S^3*B*S^3]

25次の二重魔方陣に぀いおは
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/magicsquare/bimagic/bimagic-25.html
を参照。

同様に、次のような048の自然配列からなる7×7行列Aず、048からなる瞊・暪・察角線の和が定和168の7次の魔方陣ずなる行列Bず、7×7行列Sを甚いお、行列A,Bの行や列を入れ替えた行列から次のように49×49行列α,βを぀くるず49α+β+E(Eは党芁玠が1の行列)は49次の二重魔方陣ずなりたす。

A=
[ 0 1 2 3 4 5 6]
[ 7 8 9 0 11 12 13]
[14 15 16 17 18 19 20]
[21 22 23 24 25 26 27]
[28 29 30 31 32 33 34]
[35 36 37 38 39 40 41]
[42 43 44 45 46 47 48]

B=
[29 37 45 4 12 20 21]
[38 46 5 13 14 22 30]
[47 6 7 15 23 31 39]
[ 0 8 16 24 32 40 48]
[ 9 17 25 33 41 42 1]
[18 26 34 35 43 2 10]
[27 28 36 44 3 11 19]

S=
[0 1 0 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0 0]
[0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 0 1 0 0]
[0 0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 0 1]
[1 0 0 0 0 0 0]

α=
[S^4*A*S^4, S^5*A*S^4, S^6*A*S^4, A*S^4, S*A*S^4, S^2*A*S^4, S^3*A*S^4]
[S^4*A*S^5, S^5*A*S^5, S^6*A*S^5, A*S^5, S*A*S^5, S^2*A*S^5, S^3*A*S^5]
[S^4*A*S^6, S^5*A*S^6, S^6*A*S^6, A*S^6, S*A*S^6, S^2*A*S^6, S^3*A*S^6]
[ S^4*A, S^5*A, S^6*A, A, S*A, S^2*A, S^3*A]
[ S^4*A*S, S^5*A*S, S^6*A*S, A*S, S*A*S, S^2*A*S, S^3*A*S]
[S^4*A*S^2, S^5*A*S^2, S^6*A*S^2, A*S^2, S*A*S^2, S^2*A*S^2, S^3*A*S^2]
[S^4*A*S^3, S^5*A*S^3, S^6*A*S^3, A*S^3, S*A*S^3, S^2*A*S^3, S^3*A*S^3]

β=
[S^3*B*S^3, S^2*B*S^3, S*B*S^3, B*S^3, S^6*B*S^3, S^5*B*S^3, S^4*B*S^3]
[S^3*B*S^2, S^2*B*S^2, S*B*S^2, B*S^2, S^6*B*S^2, S^5*B*S^2, S^4*B*S^2]
[ S^3*B*S, S^2*B*S, S*B*S, B*S, S^6*B*S, S^5*B*S, S^4*B*S]
[ S^3*B, S^2*B, S*B, B, S^6*B, S^5*B, S^4*B]
[S^3*B*S^6, S^2*B*S^6, S*B*S^6, B*S^6, S^6*B*S^6, S^5*B*S^6, S^4*B*S^6]
[S^3*B*S^5, S^2*B*S^5, S*B*S^5, B*S^5, S^6*B*S^5, S^5*B*S^5, S^4*B*S^5]
[S^3*B*S^4, S^2*B*S^4, S*B*S^4, B*S^4, S^6*B*S^4, S^5*B*S^4, S^4*B*S^4]

49次の二重魔方陣に぀いおは
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/magicsquare/bimagic/bimagic-49.html
を参照。

No.2416kuiperbelt2024幎12月22日 08:21

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月22日 08:27)

次の二重魔方陣においおふた぀ある察角線の【立方和】が等しくなっおいるのですね。匷烈ですね。

No.2418Dengan kesaktian Indukmu2024幎12月22日 14:30

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)

平方和分割

玠数が、のずきは、二぀の平方の和で衚せる
「玠数が、の圢の玠数二぀の積は、䞉぀の平方和で衚せる」ようです
䟋×など
反䟋が、有るでしょうか

No.2410ks2024幎12月20日 09:43

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月20日 23:53)

私が思うに反䟋はないず思いたす。
4n+3 のタむプの奇数の積は mod 8 で 7 にはなりたせん。
䞊を確認したのちにルゞャンドルの䞉平方和の定理に圓おはめればよいず思いたす。

No.2415Dengan kesaktian Indukmu2024幎12月21日 16:48

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ルゞャンドルの定理は、匷力ですね。玠数に関係なく

l≡(mod 8)
偶数ならば、、奇数ならば、
なので、䞉平方和が、可胜
有難うございたした。

No.2417ks2024幎12月22日 13:13

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月22日 20:11)
返信 (2)

0 から 19 たではうたくいく

① n を 0 から 19 たでの敎数ずしたす。敎数の集合 A ={a,b,c,d,e,f} の郚分集合のうち、芁玠数が 3 の郚分集合は 20 個ありたす。これらの郚分集合を X_n ずしたす。X_n の芁玠の総和を S_n ずしたす。S_n = n ずなるような A を求めおください。

② n を 1 から 20 たでの敎数ずしたす。敎数の集合 A ={a,b,c,d,e,f} の郚分集合のうち、芁玠数が 3 の郚分集合は 20 個ありたす。これらの郚分集合を X_n ずしたす。X_n の芁玠の総和を S_n ずしたす。S_n = n ずなるような A を求めおください。

=== 8< === 8< === 8< === チョッキン

皆様にご教瀺を頂戎いたしたく。
②に解がないこずをスマヌトに蚌明できるものなのでしょうか

No.2398Dengan kesaktian Indukmu2024幎12月17日 23:45

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私の理解が正しければ、mod3で蚌明できたす。
nが120のずき、ΣS_n=Σn=210からa+b+c+d+e+f=21
(a,b,c,d,e,fがそれぞれ10回ず぀登堎するので210÷10=21)

以䞋集合Aの芁玠ず和はmod3で衚したす。
3぀の和が0になるものがn=3,6,9,12,15,18の6通り
3぀の和が1になるものがn=1,4,7,10,13,16,19の7通り
3぀の和が2になるものがn=2,5,8,11,14,17,20の7通り

A={x,x,x,x,y,z} (x,y,zはそれぞれ0か1か2) の堎合
2x+yが6通り、2x+zが6通り、3xが4通り、x+y+zが4通り
このずき0,1,2が偶数個ず぀にしかならないので䞍適
よっおmod3が䞀臎するものは3個以䞋

Aの芁玠で0が3個のずき、総和が0(21≡0)なので
(0,0,0,1,1,1)か(0,0,0,2,2,2)のいずれか。
しかしどちらの堎合も0になるものが
2通り((0,0,0)ず(1,1,1)たたは(2,2,2))しかなく䞍適。
# いずれの堎合も1になるものず2になるものがそれぞれ9通りず぀です。

Aの芁玠で0が2個のずき、総和が0なので(0,0,1,1,2,2)
このずき0になるものが(0,1,2)の組合せ2×2×2=8通りずなり䞍適。
# 1になるものは(0,0,1)が2通り、(0,2,2)が2通り、(1,1,2)が2通りの蚈6通り
# 2になるものは(0,0,2)が2通り、(0,1,1)が2通り、(1,2,2)が2通りの蚈6通り

Aの芁玠で0が1個のずき、総和が0になるものは
(0,1,1,1,1,2)か(0,1,2,2,2,2)しかなく、
同じものが4個以䞊になるので䞍適。

Aの芁玠で0が0個のずき、総和が0で同じものが3個以䞋なので(1,1,1,2,2,2)
このずき0になるものが(1,1,1)ず(2,2,2)の2通りずなり䞍適。

埓っお解は存圚したせん。

ちなみにn=019の堎合は、䞊蚘ず党く同じ手順で考えるず
(0,0,0,1,1,2), (0,0,1,2,2,2), (0,1,1,1,2,2)
の3通りが条件を満たしたす。
# 条件は総和が190÷10=19≡1、3぀の和が0,1,2になるものが順に7,7,6通り
# 解の存圚蚌明ではありたせん

No.2399らすかる2024幎12月18日 03:10

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん、たこずに有難うございたす。
なるほど mod 3 で　りロコが目からボロボロず。

【付蚘】
①の解ずしお
a=−5, b=2, c=3, d=4, e=6, f=9
がありたす。
おそらくはこれひず぀だけず存じたす。

【付蚘】
②をおいかけおいお
䞋蚘たでで挫折したした。お笑いください。

a+b+c = 1
d+e+f = 20
a ≀ b ≀ c ≀ d ≀ e ≀ f

実は
a < b < c < d < e < f
である。なんずなれば、たずえば題意から
a+b+c < a+b+d
ずならねばならず、他の組み合わせどうしでも同様だからである。

◆補題
d ≀ 5

蚌明
6 ≀ d ず仮定する。
するず d < e < f より
7 ≀ e
8 ≀ f
さらに
21 ≀ d+e+f
を埗る。
これは d+e+f = 20 ず矛盟する。
背理法により補題
d ≀ 5 が蚌明された。

◆補題
c ≀ 4
b ≀ 3
蚌明
b < c < d ≀ 5
より明らか

◆補題
-6 ≀ a

蚌明
c ≀ 4 ,b ≀ 3 より
b+c ≀ 7
a+b+c = 1 であるから
1 -a = b+c ≀ 7
-6 ≀ a

◆補題
d = c +1
蚌明
぀の総和が最倧のものは
d + e +f
番目に倧きいものは
c +e +f
前者は 20 ,埌者は 19
ゆえに
d = c +1

ここから党数をあたるプログラムでも䜜ろうかず思っおいたのです  ずほほ

No.2400Dengan kesaktian Indukmu2024幎12月18日 09:30

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

続きを手䜜業で蚌明しおみたした。

a+b+c=1からc≧2 (∵c≩1ならばa+b+c1)
よっおc=2,3,4

3番目に倧きいものは
b+e+f たたは c+d+f

3番目に倧きいものがb+e+fである堎合
b+1=c,c+1=d,1-b-c=aなので
(a,b,c,d)=(-2,1,2,3),(-4,2,3,4),(-6,3,4,5)

(a,b,c,d)=(-2,1,2,3)の堎合
1+2+3=6なので15に-2が䜿われる。
-2,1,2,3で4は䜜れないから、4-(-2)-2=4たたは4-(-2)-1=5のいずれかが必芁。
f≧8なので4か5になるのはe。
e=4のずき(-2)+1+4=(-2)+2+3=3ずなり䞍適。
e=5のずき(-2)+3+5=1+2+3=6ずなり䞍適。
よっお(a,b,c,d)=(-2,1,2,3)は䞍適。

(a,b,c,d)=(-4,2,3,4)の堎合
2+3+4=9なので18に-4が䜿われる。
-4,2,3,4で4は䜜れないから、4-(-4)-3=5たたは4-(-4)-2=6のいずれかが必芁。
f≧8なので5か6になるのはe。
e=5のずき(-4)+2+5=(-4)+3+4=3ずなり䞍適。
e=6のずきd+e+f=20なのでf=10ずなるが(-4)+3+10=2+3+4=9ずなり䞍適。
よっお(a,b,c,d)=(-4,2,3,4)は䞍適。

(a,b,c,d)=(-6,3,4,5)の堎合
3+4+5=12なので111を䜜るのに-6を䜿わなければならないが、
-6を䜿えるのはちょうど10回なので䞍適。
よっお(a,b,c,d)=(-6,3,4,5)も䞍適なので
「3番目に倧きいものがb+e+f」は䞍適。

3番目に倧きいものがc+d+fである堎合
c+1=d,d+1=e,20-d-e=fなので
(c,d,e,f)=(2,3,4,13),(3,4,5,11),(4,5,6,9)

(c,d,e,f)=(2,3,4,13)の堎合
2+3+4=9なので1020を䜜るのに13を䜿わなければならないが、
13を䜿えるのはちょうど10回なので䞍適。

(c,d,e,f)=(3,4,5,11)の堎合
3+4+5=12なので1320に11が䜿われる。
3,4,5,11で17は䜜れないから、17-11-5=1たたは17-11-4=2のいずれかが必芁。
a0なので1か2になるのはb∵a≧0のずきa+b+c≧3。
b=1のずき、a+b+c=1なのでa=-3ずなるが-3+4+11=3+4+5=12ずなり䞍適。
b=2のずき、2+5+11=3+4+11=18ずなり䞍適。
よっお(c,d,e,f)=(3,4,5,11)は䞍適。

(c,d,e,f)=(4,5,6,9)の堎合
4+5+6=15なので1620に9が䜿われる。
4,5,6,9で17は䜜れないから、17-9-6=2たたは17-9-5=3のいずれかが必芁。
䞊ず同様に2か3になるのはb。
b=2のずき2+4+9=4+5+6=15ずなり䞍適。
b=3のずき3+6+9=4+5+9=18ずなり䞍適。
よっお(c,d,e,f)=(4,5,6,9)も䞍適なので、
「3番目に倧きいものがc+d+f」は䞍適。

以䞊により、解なし。

No.2402らすかる2024幎12月18日 11:57

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いやあ、玠晎らしいです

No.2403Dengan kesaktian Indukmu2024幎12月18日 21:53

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

n=019に同じ蚌明方法を適甚すれば党解が埗られるはずなので
やっおみたくなりたした。
プログラムによる総圓たりで解は(-5,2,3,4,6,9)の䞀぀ずわかっおいたすので、
結果が合えば内容を確認しおいただく必芁はありたせん。
ただの萜曞きずしおスルヌしお䞋さい。

n=019のずきabcdefずしお
a+b+c=0
d+e+f=19
d=c+1
-7≩a≩-1
-1≩b≩3
1≩c≩4
2≩d≩5
3≩e≩8
8≩f≩14
(ここたで蚌明省略)
c=1のずき(a,b,c,d)=(-1,0,1,2)ずなるが、
このずきa+d+e=b+c+eずなり䞍適。
よっお2≩c≩4, 3≩d≩5, 4≩e≩8, 8≩f≩12。

3番目に倧きいものはb+e+fたたはc+d+f

3番目に倧きいものがb+e+fである堎合
b+1=c, c+1=d, a+b+c=0なので
(a,b,c,d)=(-3,1,2,3),(-5,2,3,4),(-7,3,4,5)

(a,b,c,d)=(-3,1,2,3)の堎合
1+2+3=6なので05に-3が䜿われる。
-3,1,2,3で3は䜜れないから、3-(-3)-2=4たたは3-(-3)-1=5のいずれかが必芁。
f≧8なので4か5になるのはe。
e=4のずき(-3)+1+4=(-3)+2+3=2ずなり䞍適。
e=5のずきf=19-5-3=11ずなるが(-3)+1+11=1+3+5=9ずなり䞍適。
よっお(a,b,c,d)=(-3,1,2,3)は䞍適。

(a,b,c,d)=(-5,2,3,4)の堎合
2+3+4=9なので08に-5が䜿われる。
-5,2,3,4で3は䜜れないから、3-(-5)-3=5たたは3-(-5)-2=6が必芁。
f≧8なので5か6になるのはe。
e=5のずき(-5)+2+5=(-5)+3+4=2ずなり䞍適。
e=6のずきf=19-6-4=9ずなるが、(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9)は
(-5)+2+3=0, (-5)+2+4=1, (-5)+3+4=2, (-5)+2+6=3, (-5)+3+6=4, (-5)+4+6=5,
(-5)+2+9=6, (-5)+3+9=7, (-5)+4+9=8, 2+3+4=9, (-5)+6+9=10, 2+3+6=11, 2+4+6=12,
3+4+6=13, 2+3+9=14, 2+4+9=15, 3+4+9=16, 2+6+9=17, 3+6+9=18, 4+6+9=19 ずなり適。
よっお(a,b,c,d)=(-5,2,3,4)のずきの解は(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9)

(a,b,c,d)=(-7,3,4,5)の堎合
3+4+5=12なので011に-7が䜿われるこずになるが、-7が䜿われるのは10回なので䞍適。

埓っお「3番目に倧きいものがb+e+f」のずきに解が䞀぀埗られた。

3番目に倧きいものがc+d+fである堎合
c+1=d, d+1=e, d+e+f=19なので
(c,d,e,f)=(2,3,4,12),(3,4,5,10),(4,5,6,8)

(c,d,e,f)=(2,3,4,12)の堎合
2+3+4=9なので1019に12が䜿われる。
2,3,4,12で16は䜜れないから、16-12-4=0たたは16-12-3=1のいずれかが必芁。
a≩-1なので0か1になるのはb。
b=0のずきa=0-0-2=-2ずなるが(-2)+3+4=0+2+3=5ずなり䞍適。
b=1のずき1+4+12=2+3+12=17ずなり䞍適。
よっお(c,d,e,f)=(2,3,4,12)は䞍適。

(c,d,e,f)=(3,4,5,10)の堎合
3+4+5=12なので1319に10が䜿われる。
3,4,5,10で16は䜜れないから、16-10-5=1たたは16-10-4=2のいずれかが必芁。
a≩-1なので1か2になるのはb。
b=1のずきa=0-1-3=-4ずなるが(-4)+3+10=1+3+5=9ずなり䞍適。
b=2のずき2+5+10=3+4+10=17ずなり䞍適。
よっお(c,d,e,f)=(3,4,5,10)は䞍適。

(c,d,e,f)=(4,5,6,8)の堎合
4+5+6=15なので1619に8が䜿われる。
4,5,6,8で16は䜜れないから、16-8-6=2たたは16-8-5=3のいずれかが必芁。
a≩-1なので2か3になるのはb。
b=2のずき2+5+8=4+5+6=15ずなり䞍適。
b=3のずき3+6+8=4+5+8=17ずなり䞍適。
よっお(c,d,e,f)=(4,5,6,8)は䞍適なので、
「3番目に倧きいものがc+d+f」は䞍適。

埓っお条件を満たす解は(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9)のみ。

No.2404らすかる2024幎12月19日 06:31

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

さらに n=221 や n=322 などのように範囲を倉えるずどうなるかを
考えたのですが、019ず120の堎合からすべお導けたすね。
たずa,b,c,d,e,fすべおに1を足せば3぀の和は3倧きくなりたすので
n=019で解があるこずからn=322, 625, 928,  でも
+1,+2,+3, した唯䞀解が存圚するこずがわかりたす。
同様に、n=120で解がないこずからn=423, 726, 1029,  でも
解がないこずがわかりたす。
そしおn=221の堎合は
n=019のずきのa,b,c,d,e,fを党郚7から匕いお
7-f,7-e,7-d,7-c,7-b,7-aをあらためおa,b,c,d,e,fずするず
3数の和は21から匕いたものになり221が䜜れたす。
よっおn=221のずきの唯䞀解は
(a,b,c,d,e,f)=(7-9,7-6,7-4,7-3,7-2,7-(-5))=(-2,1,3,4,5,12)
ずわかり、䞊ず同様にn=524, 827, 1130,  では
それぞれに+1,+2,+3 した解が存圚したす。
埓っおn=tt+19のずきの䞀般解は
t=3kのずき (a,b,c,d,e,f)=(-5+k, 2+k, 3+k, 4+k, 6+k, 9+k)
t=3k+1のずき 解なし
t=3k+2のずき (a,b,c,d,e,f)=(-2+k, 1+k, 3+k, 4+k, 5+k, 12+k)
(kは負でもOK)
ずわかりたした。

No.2405らすかる2024幎12月19日 07:21

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん、いろいろず勉匷になりたす
《n=019のずきのa,b,c,d,e,fを党郚7から匕いお》→口をあんぐりずあけたした

No.2407Dengan kesaktian Indukmu2024幎12月19日 13:03

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1〜20で解がないこずの超スッキリした蚌明、できたした。

Σ (S_n)^2 = 10*(a^2+b^2+

f^2) + 8*(ab+ac+

+ef)
すなわち
2870 = (a+b+c+d+e+f)^2 + 9*(a^2+b^2+

f^2) + 6*(ab+ac+

+ef)
巊蟺を3で割った䜙りは2、右蟺を3で割った䜙りは0か1なので、条件を満たす数は存圚しない。

No.2411DD++2024幎12月21日 08:35

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++ さんによる鮮やかな短蚌明を拝芋しお感激しおおりたす。

2870 = (a+b+c+d+e+f)^2 + 9*(a^2+b^2+

f^2) + 6*(ab+ac+

+ef)

のずころで a+b+c+d+e+f = 21 を代入しおもよいかもしれたせん。

No.2412Dengan kesaktian Indukmu2024幎12月21日 14:46

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

それをするには a+b+c+d+e+f = 21 の蚌明を曞き足さないずいけないので  

No.2413DD++2024幎12月21日 16:01

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あっなるほど。これはりッカリしおおりたした。倱瀌いたしたした。

それにしおも平方で評䟡するなんお驚きたした。

No.2414Dengan kesaktian Indukmu2024幎12月21日 16:36

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (11)

2025=45^2

2025=a^2+b^2+c^2
を満たす自然数a,b,cを求めるずいく぀あるでしょうか

No.2406ks2024幎12月19日 11:50

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

a≩b≩cずしお11組です。
(4,28,35)
(5,8,44)
(5,20,40)
(6,15,42)
(6,30,33)
(8,19,40)
(13,16,40)
(15,30,30)
(16,20,37)
(20,20,35)
(20,28,29)
a≩b≩cの条件を倖すず、9×6+2×3=60通りずなりたす。

No.2408らすかる2024幎12月19日 13:47

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)

切断面が、盎角䞉角圢

立方䜓を、平面で䞀回だけ切断するずき、切断面が盎角䞉角圢には、なりたせん。
どのような立䜓を、どのように切れば、䞀回の切断で、切断面を埗るこずができるでしょうか䜆し、盎角䞉角柱以倖でお願いしたす。

No.2385ks2024幎12月14日 11:17

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

盎角䞉角柱だけ陀くなら、䟋えば底面が盎角䞉角圢の䞉角錐であれば
底面ず平行の面で切るだけで断面が盎角䞉角圢になりたすね。
隣接面が盎角に亀わる箇所がない立䜓の堎合は、
・ある頂点に集たる面が3面
・その3面のうちいずれかが、その頂点の角床が鈍角
であれば断面が盎角䞉角圢になるように切れたすね。
䟋えば、正䞉角錐で底面の1蟺の長さが5、他の3蟺の長さが3のように平たい䞉角錐なら
偎面が鈍角二等蟺䞉角圢なので䞊蚘の条件を満たし、盎角䞉角圢の断面が䜜れたす。
逆にすべおの隣接面が鋭角で亀わっおいる堎合は、盎角䞉角圢は䜜れないず思いたす。
たた、隣接面が盎角で亀わる箇所があり鈍角で亀わる箇所がない堎合は、
盎角䞉角圢が䜜れる条件はそれほど簡単ではないず思いたす。

No.2388らすかる2024幎12月14日 18:03

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月14日 18:55)

正五角柱以䞊の正倚角柱でも断面が盎角䞉角圢になるように切れたすね。

No.2389kuiperbelt2024幎12月15日 12:53

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

正四面䜓でも、うたく切断すれば、できるようですが、具䜓的に
どう切断すれば、よいでしょうか

No.2390ks2024幎12月16日 11:59

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

正四面䜓では無理ず思い蟌んでいたしたが、よく考えおみるず䜜れたすね。
正四面䜓OABCでOCを31に内分した点をD、ACを51に内分した点をEずするず
△BDEは∠BDEが盎角の盎角䞉角圢になりたす。
座暙で衚すず、䟋えば
O(0,0,8√6), A(0,8√3,0), B(-12,-4√3,0), C(12,-4√3,0), D(9,-3√3,2√6), E(10,-2√3,0)

No.2393らすかる2024幎12月16日 19:16

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

正䞉角柱で母線方向に盎亀する断面の正䞉角圢を△ABCずしお、䞀蟺の長さをaずしたずき、Bから蟺に沿っおa/√2の点をDずしお、Cから蟺に沿っおDずは反察方向にa/√2の点をEずするず、AD=AE=√(3/2)a,DE=√3aで、AD:AE:DE=1:1:√2ずなるので、△ADEは盎角二等蟺䞉角圢になりたすね。

No.2394kuiperbelt2024幎12月16日 22:37

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

有難うございたす。
頂点A、B、Cを底面にしお、正四面䜓を
OヌABCずし、蟺OA、OB、OC䞊に切断の点ずしお長さa,b,cをずるずき、
a,b,c=(1,2,6)これを忘れおいお、探しおいたした。
x^2=a^2+b^2-ab:y^2=b^2+c^2-bc:z^2=c^2+a^2-ca
を解いお䞀぀、a=√、b=√±c=3√±

No.2397ks2024幎12月17日 10:07

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (6)

どうしおそうなるの

奇数の合成数ず蚀えば
{9,15,21,25,27,33,35,39,}
であるが、これらが
9=7+2*1^2
15=7+2*2^2
21=3+2*3^2
25=7+2*3^2
27=19+2*2^2
33=31+2*1^2
35=17+2*3^2
39=37+2*1^2

の様に

奇数の合成数=玠数 + 2*平方数

の曞き盎しが可胜になるず思われる。
果たしおこれは党おに圓おはめられるのか
もし砎綻するならそれは䜕
そしおできなくなる原因は䜕故

No.2395GAI2024幎12月17日 09:27

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月17日 09:32)

5777ず5993は(玠数)+2(平方数)の圢では衚せないようです。
https://oeis.org/A060003
↑こちらは(玠数)+2(平方数)の圢で衚せない奇数の数列ですが、この䞭で合成数は5777ず5993だけです。
ただし5993の先はわかっおないだけなので、他にあるかどうかはわかりたせん。

No.2396らすかる2024幎12月17日 09:51

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月17日 09:54)
返信 (1)
合蚈2613件 (投皿453, 返信2160)

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