😊出会いの泉😊

3が3個並ぶ素数の最小値　3331
４が４個並ぶ素数の最小値　44449

3が3個並ぶ最小の素数は2333です。

5が5個並ぶ最小の素数　555557
6が6個並ぶ最小の素数　16666669
7が7個並ぶ最小の素数　137777777
8が8個並ぶ最小の素数　888888883
9が9個並ぶ最小の素数　1999999999
でしょうか。

さらに、

'10'が10個並ぶ最小の素数　1010101010101010101039
'11'が11個並ぶ最小の素数　11111111111111111111111

で、11111111111111111111111は1が23個並ぶレピュニット素数ですが、
11111111111111111111111の次に小さい「'11'が11個並ぶ」素数は
11111111111111111111117でした。

πで9が6個初めて並ぶのは762桁目からで、ファインマン・ポイントというそうです。
9が7，8，9個初めて並ぶ桁は、1722776桁目、36356642桁目、564665206桁目からだそうです。
2πだと7個の9が初めて並ぶのは761桁目からになります。

πで8が6個初めて並ぶのは222299桁目からで、8が7，8個初めて並ぶ桁は、4722613桁目、46663520桁目からだそうです。
https://www.angio.net/pi/bigpi.cgi

素数探しではなく正規数方面ですが。

https://glyc.dc.uba.ar/santiago/papers/absnor.pdf

1999999999 = 31×64516129
なので素数ではないですね。
10999999999
の書き間違いでしょうか。

(追記)
12～20について調べてみました。
12121212121212121212121223
1313131313131313131313131301
141414141414141414141414141497
15151515151515151515151515151501
1616161616161616161616161616161691
171717171717171717171717171717171737
118181818181818181818181818181818181881
1919191919191919191919191919191919191909
202020202020202020202020202020202020202093

ご指摘の通り9が9個続く最小の素数は1999999999はタイプミスで正しくは10999999999でした。

2進法～9進法でNがN個続く最小の素数を求めてみました。なお、11_(4)=5と11_(6)=7は1が2個続くので除きました。

10_(2)=2

10_(3)=3
122_(3)=17

13_(4)=7
221_(4)=41
1333_(4)=127

10_(5)=5
122_(5)=37
3332_(5)=467
14444_(5)=1249

15_(6)=11
225_(6)=89
23335_(6)=3371
44441_(6)=6217
155555_(6)=15551

10_(7)=7
221_(7)=113
2333_(7)=857
14444_(7)=4001
455555_(7)=81233
6666665_(7)=823541

13_(8)=11
225_(8)=149
3331_(8)=1753
244447_(8)=84263
655555_(8)=220013
16666663_(8)=3894707
67777777_(8)=14680063

12_(9)=11
122_(9)=101
3332_(9)=2459
34444_(9)=22963
255555_(9)=155003
26666661_(9)=13153159
47777777_(9)=23316973
1488888888_(9)=602654093

プログラムが正しければ、ですが
8段: 最小19、最大50
9段: 最小20、最大59
10段: 最小22、最大67
39段: 最小76、最大260
100段: 最小207、最大693
1000段: 最小2055、最大6964
10000段: 最小20334、最大69638
一段ずつ（全要素それぞれの）最小と最大を更新していくと早いです。

最初最大値,最小値の位置だけに着目すればいいのかと思ったのですが
6段から7段では
6段での最大値38だがここからは右斜め下だろうが左斜め下でも共に3が加わるしかなく
7段での合計は41である。
一方6段での和34である地点(3か所ある)の一つからは34+8,34+3という可能性があり前の41
を越えられる42が発生する。
従ってただ単に最大値がある位置から次の最大値が発生することにならない！（でも可能性は高い)
下に並ぶ数は円周率のある意味ランダムな数字の列であるので、結局その次の和がどうなるかは
トータルで見るしかない様に思われました。

そこで
a(n)=floor(Pi*10^(n-1))-10*floor(Pi*10^(n-2)) //円周率の小数点以下第n位に現れる数字
f(k)=k*(k-1)/2+1
g(k)=k*(k+1)/2
を先に定義しておき

gp > L=List([3]);
gp > for(k=2,25,　//ｋは俵積みの段を示す。
for(n=1,#L,listinsert(L,L[2*n-1],2*n-1)); //Lの配列を同じ数字を二度繰り返して並べる。
A=[];for(n=1,2^(k-1),A=concat(A,[hammingweight(2*n-1)]));　//今いる位置からどちらのコースへ行くかの選択可能な並び。
V=[];for(n=f(k),g(k),V=concat(V,[a(n)]));　//次の段に降りたときの具体的数（πの小数点以下の数の並び。)
V=vecextract(V,A);　//コースの方向に対応するπの小数部分の数字に置き換える。
L=List(Vec(L)+V);　//各2つのコースを辿ったときに元からの数字とのの和状態を並べたもの。次のステップでの和での配列となる。
print(k";"vecmin(Vec(L))" VS "vecmax(Vec(L))))　//並んだすべての和の候補での最小、最大を見つける。
2;4 VS 7
3;5 VS 16
4;7 VS 21
5;12 VS 30
6;14 VS 38
7;17 VS 42
8;19 VS 50
9;20 VS 59
10;22 VS 67
11;26 VS 76
12;26 VS 84
13;28 VS 88
14;28 VS 97
15;30 VS 102
16;30 VS 111
17;34 VS 115
18;35 VS 119
19;39 VS 128
20;43 VS 137
21;45 VS 143
22;46 VS 148
23;49 VS 154
24;50 VS 160
25;50 VS 166
････････････
が並ぶが（ここまで3時間程度経過する。)
一段ごとに掛かる時間は倍々に膨れて行く。
益々この先の段での結果を得るまでには、莫大な時間が掛かる様子になってくる。
例え一段ごとの算出時間が一瞬でも指数関数的に増大していく見積もりで
39段、１00段、10000段などとんでもないことが予想できる。
これを
らすかるさんは一体どんな手を使えば、こんな膨大な時間を要する問題に対処されているのか？

なお別の行列を利用した個別のやり方では（行列への入力が自動化できなく手間がかかる)
20段；24秒程度
21段；53秒程度
22段；1分50秒程度
23段；4分４秒程度
24段；9分13秒程度
25段 ; 20分11秒程度
の経過なので、前のプログラムよりスピードアップしても、この先倍々となるとこれも本筋とは思えない。

1段目(3)
最小3、最大3

2段目(1,4)
端は単に足すしかないので
1番目は最小=最大=3+1=4
2番目は最小=最大=3+4=7

3段目(1,5,9)
1番目は最小=最大=4+1=5
2番目は
上の段の左側の最小は4、右側の最小は7で4の方が小さいので最小4+5=9
上の段の左側の最大は4、右側の最大は7で7の方が大きいので最大7+5=12
3番目は最小=最大=7+9=16

3段目までで
最小5,9,16
最大5,12,16

4段目(2,6,5,3)
1番目は最小=最大=5+2=7
2番目は
上の段の最小の5と9では5の方が小さいので最小は5+6=11
上の段の最大の5と12では12の方が大きいので最大は12+6=18
3番目は
上の段の最小の9と16では9の方が小さいので最小は9+5=14
上の段の最大の12と16では16の方が大きいので最大は16+5=21
4番目は最小=最大=16+3=19

4段目までで
最小7,11,14,19
最大7,18,21,19

同様に5段目は(5,8,9,7,9)なので最小と最大を更新して
最小12,15,20,21,28
最大12,26,30,28,28

6段目は(3,2,3,8,4,6)なので最小と最大を更新して
最小15,14,18,28,25,34
最大15,28,33,38,32,34

7段目は(2,6,4,3,3,8,3)なので最小と最大を更新して
最小17,20,18,21,28,33,37
最大17,34,37,41,41,42,37

8段目は(2,7,9,5,0,2,8,8)なので最小と最大を更新して
最小19,24,27,23,21,30,41,45
最大19,41,46,46,41,44,50,45
従って8段目までの最小と最大はそれぞれの中での最小、最大を調べることにより
最小は19、最大は50とわかります。

つまり一段処理するたびに「その要素までの経路の最小値と最大値」を
一段の要素数分覚えておいて更新していけば、
100段でも1000段でもあっという間に終わりますね。

遅くしていたのは円周率の配列をいちいち元のPiから計算で集めていたことと、
出来上がる和の方に着眼点が向かい過ぎていて、どうしても調査範囲が2倍、２倍と広がっていったと気付かされました。
次の段の円周率の数に対するそれぞれの最小、最大の可能性の方に視点を向けることでその段の個数分のデータだけで済むわけですね。
そこで円周率の小数点以下6000桁までをDでdigits化させて(1+2+3+･･･+100=5050まで小数点が伸びるので)
gp > P(n)=D[n*(n-1)/2..n*(n+1)/2-1]
の拾い取りで定義させると
gp > S1=[5,9,16]
gp > S2=[5,12,16]
gp > for(r=4,100,S11=vector(r,i,0);S11[1]=P(r)[1]+S1[1];\
for(k=2,r-1,S11[k]=min(S1[k-1],S1[k])+P(r)[k]);\
S11[r]=P(r)[r]+S1[r-1];\
S22=vector(r,i,0);S22[1]=P(r)[1]+S2[1];
for(k=2,r-1,S22[k]=max(S2[k-1],S2[k])+P(r)[k]);\
S22[r]=P(r)[r]+S2[r-1];\
print(r";"vecmin(S11) " VS "vecmax(S22));S1=S11;S2=S22)
2;4 VS 7
3;5 VS 16
-----------
4;7 VS 21
5;12 VS 30
6;14 VS 38
7;17 VS 42
8;19 VS 50
9;20 VS 59
10;22 VS 67
11;26 VS 76
12;26 VS 84
13;28 VS 88
14;28 VS 97
15;30 VS 102
16;30 VS 111
17;34 VS 115
18;35 VS 119
19;39 VS 128
20;43 VS 137
21;45 VS 143
22;46 VS 148
23;49 VS 154
24;50 VS 160
25;50 VS 166
26;52 VS 175
27;52 VS 176
28;53 VS 185
29;53 VS 190
30;53 VS 198
31;61 VS 205
32;61 VS 211
33;61 VS 220
34;63 VS 227
35;65 VS 234
36;70 VS 241
37;72 VS 245
38;72 VS 253
39;76 VS 260
40;77 VS 268
41;77 VS 276
42;80 VS 283
43;81 VS 291
44;83 VS 300
45;83 VS 303
46;83 VS 310
47;88 VS 315
48;89 VS 321
49;91 VS 328
50;94 VS 337
51;97 VS 342
52;98 VS 349
53;101 VS 358
54;105 VS 366
55;109 VS 372
56;111 VS 379
57;112 VS 383
58;116 VS 392
59;118 VS 400
60;120 VS 406
61;123 VS 413
62;126 VS 422
63;128 VS 428
64;128 VS 436
65;131 VS 444
66;135 VS 453
67;137 VS 460
68;139 VS 467
69;142 VS 473
70;146 VS 481
71;146 VS 486
72;150 VS 495
73;154 VS 501
74;157 VS 508
75;157 VS 516
76;157 VS 525
77;158 VS 534
78;159 VS 541
79;162 VS 550
80;166 VS 559
81;171 VS 565
82;172 VS 574
83;174 VS 579
84;176 VS 586
85;181 VS 592
86;183 VS 597
87;185 VS 605
88;186 VS 613
89;186 VS 619
90;190 VS 625
91;190 VS 634
92;194 VS 638
93;194 VS 645
94;198 VS 654
95;199 VS 658
96;199 VS 665
97;202 VS 674
98;204 VS 678
99;207 VS 687
100;207 VS 693
time = 47 ms.

ほんとにアッと言う間でした。

答えが一致して安心しました。

数学感動秘話 > 緊急の因数分解
あたりの話ですかね？
比が1に近い2数の積から元の2数を求める話。

DD++さん
コメントありがとうございます
緊急の因数分解読ませていただきました。
"比が1に近い2数の積から元の2数を求める"
方法ではあるのですけれども、私としては
その比を少しでも１より遠ざける手法を
模索している所です、また何か進展があれば
投稿させていただきたいと思います。

図の
20→17
17→20
18→19
19→18
と入れ替えても大丈夫と思われます。

kuiperbeltさんが書かれた解は条件を満たしていない気がします。
C1の円周上: 22+38+33+28+18+19+13+8+3+23 = 205
C2の円周上: 21+39+32+29+17+18+12+9+2+22 = 201
C3の円周上: 25+40+31+30+16+17+11+10+1+21 = 202
C4の円周上: 24+36+35+26+20+16+15+6+5+25 = 208
C5の円周上: 23+37+34+27+19+20+14+7+4+24 = 209
GAIさんが書かれたように入れ替えれば全部205になりますので、
「入れ替えても大丈夫」ではなく「入れ替えないとダメ」だと思います。

ご指摘のとおり転記ミスだったので訂正しておきます。

GAIさんの「超円方陣」は3つの同心円に5つの円が交差するように、かつ、5つの円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる40個の交点に、1～40の数を、2つの円の交点である2点に和が41となるように配置すると、円上の10点の総和が205の定和となるというものでした。
これを一般化して、n個の同心円に(n+2)個の円が交差するように、かつ、(n+2)個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる2(n+1)(n+2)個の交点に、1～2(n+1)(n+2)の数を、2つの円の交点である2点に和が2(n+1)(n+2)+1となるように配置すると、円上の2(n+2)点の総和が(n+2)(2(n+1)(n+2)+1)の定和となるという(2n+2)円陣を考えてみました。
n=1の場合は4円陣で、1つの円に3個の円が交差するように、かつ、3個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる12個の交点に、1～12の数を、2つの円の交点である2点に和が13となるように配置すると、円上の6点の総和が39の定和となるというもので、「魔方陣の世界(大森清美)」のp.274の右側の4円陣で円の大小関係を調整したものに相当します。
n=2の場合は6円陣で、2個の同心円に4個の円が交差するように、かつ、4個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる24個の交点に、1～24の数を、2つの円の交点である2点に和が25となるように配置すると、円上の8点の総和が100の定和となるというもので、「魔方陣の世界(大森清美)」のp.275の左側の6円陣で円の大小関係を調整したものに相当します。
n=3の場合の8円陣が、GAIさんの「超円方陣」となります。
n=4の場合は10円陣で、4個の同心円に6個の円が交差するように、かつ、6個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる60個の交点に、1～60の数を、2つの円の交点である2点に和が61となるように配置すると、円上の12点の総和が366の定和となるというものです。

4円陣

6円陣

プログラムが正しければ
1≦x＜y≦200では
(x,y,h,w)=(70,119,30,56),(74,182,21,70),(87,105,35,63),(100,116,35,80),(119,175,40,105)
の5組 (wも5通り)
1≦x＜y≦1000では 組合せは77通り、wは53通り
ついでに
1≦x＜y≦10000では 組合せは1440通り、wは632通り
1≦x＜y≦100000では 組合せは18612通り、wは6423通り

(追記)
ちなみに形を考えてhとwの比に注目してみると
100000まででh/wが最大であるものは
(57739,87989,34713,6061) (h/w≒5.73)
100000まででw/hが最大であるものは
(10817,23999,206,10815) (w/h=52.5)
後者は梯子が10.817mとして道幅との差が2mmなので
実際には無理そうですね。
また
100000まででy/xが最大であるものは
(169,7081,118,119) (y/x≒41.9)
最小であるものは
(83259,83358,2378,83160) (y/x≒1.0012)
となっていました。

自分なりに調査して、正解はこうかな？
の状態で出題してるので、らすかるさんからの解答と同じものでやっとほっとします。
5/5=1
53/77=0.68831168831･･･
632/1440=0.43888888888･･･
6423/18612=0.34509993552･･･
で割合いが減少していくんだな。

解を眺めると、最小解の定数倍のものが多く本質的に異なる解ではないので
gcd(x,y,h,w)=1の解に限ると
200まで: 組合せ5通り、道幅5通り
1000まで: 組合せ28通り、道幅23通り
10000まで: 組合せ263通り、道幅221通り
100000まで: 組合せ1613通り、道幅1283通り
のようになっていました。
1000までの組合せは以下の通りです。
(x,y,h,w)=(87,105,35,63),(100,116,35,80),(70,119,30,56),(119,175,40,105),(74,182,21,70),
(182,210,45,168),(156,219,44,144),(113,238,14,112),(175,273,90,105),(104,296,35,96),
(175,364,80,140),(58,401,38,40),(273,420,80,252),(187,429,72,165),(425,442,70,408),
(375,500,144,300),(195,533,120,117),(286,561,90,264),(533,650,90,520),(87,663,55,63),
(663,689,168,585),(365,715,176,275),(625,750,126,600),(275,814,70,264),(583,825,210,495),
(845,870,306,600),(429,915,275,165),(697,986,126,680)

確かに最小解の定数倍のものもカウントされてしまっていますね。

gp > 23/28.
%210 = 0.82142857142857142857142857142857142857142857142857
gp > 221/263.
%211 = 0.84030418250950570342205323193916349809885931558935
gp > 1283/1613.
%212 = 0.79541227526348419094854308741475511469311841289523
で逆に同じwに対する2通りのパターン数の比率は余り変わらないのかも。

1000までの範囲では
w=63には(x,y,h)=(87,105,35),(87,663,55)
w=105には(x,y,h)=(119,175,40),(175,273,90)
w=165には(x,y,h)=(187,429,72),(429,915,275)
w=264には(x,y,h)=(275,814,70),(286,561,90)
w=600には(x,y,h)=(625,750,126),(845,870,306)
がそれぞれ2通りのパターンが起こるんですね。
w=63の2パターンは87も共通で興味深いです。

両極に次の2つの数字を配置しておけば、他の6組の和を=>での値（自然数)にする残りの数字がちょうど2度ずつ出現するような
6組の6個ずつの数字の組合せは山ほど構成可能となると思います。
1;1,2=>69
2;1,5=>68
3;1,8=>67
4;1,11=>66
5;1,14=>65
6;1,17=>64
7;1,20=>63
8;2,4=>68
9;2,7=>67
10;2,10=>66
11;2,13=>65
12;2,16=>64
13;2,19=>63
14;3,6=>67
15;3,9=>66
16;3,12=>65
17;3,15=>64
18;3,18=>63
19;4,5=>67
20;4,8=>66 (例の図のパターン)
21;4,11=>65
22;4,14=>64
23;4,17=>63
24;4,20=>62
25;5,7=>66
26;5,10=>65
27;5,13=>64
28;5,16=>63
29;5,19=>62
30;6,9=>65
31;6,12=>64
32;6,15=>63
33;6,18=>62
34;7,8=>65
35;7,11=>64
36;7,14=>63
37;7,17=>62
38;7,20=>61
39;8,10=>64
40;8,13=>63
41;8,16=>62
42;8,19=>61
43;9,12=>63
44;9,15=>62
45;9,18=>61
46;10,11=>63
47;10,14=>62
48;10,17=>61
49;10,20=>60
50;11,13=>62
51;11,16=>61
52;11,19=>60
53;12,15=>61
54;12,18=>60
55;13,14=>61
56;13,17=>60
57;13,20=>59
58;14,16=>60
59;14,19=>59
60;15,18=>59
61;16,17=>59
62;16,20=>58
63;17,19=>58
64;19,20=>57

1～９にこだわってみました。

(15768/3942)×(12345/9876)=13485/2697

(18534/9267)×(17469/5823)=34182/5697

(17469/5823)×(31689/4527)×(65934/1782)=748251/963=615384/792


なお昔ここに投稿されていた記事をメモしていたノートを見直していたら
たぶん2017年ごろ
DD++氏が
e≈(1+.2^(3^84))^(5^(9^(6*7)))
を投稿されていたと思います。
またこれを
(1+9^(-4^(6*7)))^(3^(2^85))
(1+2^(-76))^(4^38+.5)
等にもでき、円周率πも
π≈2^5^.4-.6-(.3^9/7)^.8^.1
(((2^7+8)/(90-1))^5.4+.6)*.3 (りらひい氏発見）
(8-(1+.6/(.2*.5+9))/(.3+7))*.4 (らすかる氏発見）
などの常連さんの驚くべき技が紹介されていました。

「小町算で無理数近似」の記事ですかね。

> "DD++"さんが書かれました:
> 「小町算で無理数近似」の記事ですかね。

この部分を読み返していたら
ネイピア数と小数点以下8368澗4289溝8906穣8425秭9438垓1759京0916兆4450億0188万7164桁まで一致する近似値
の精度がどうやって導けたのかの謎が
マクローリン展開が
1/e*(1+x)^(1/x)=1-1/2*x+11/24*x^2-7/16*x^3+2447/5760*x^4-959/2304*x^5+O(x^6)
これから
e-(1+x)^1/x≒1/2*e*x
これにx=.2^(3^84)=(1/5)^(3^84) なる微小な値を取ることで
両辺のlog[10]をとると右辺が
gp > log(exp(1)/2)/log(10)-3^84*log(5)/log(10)
%139 = -8368428989068425943817590916445001887164.5053429251
正にeとの誤差が
1/10^(8368428989068425943817590916445001887164)
つまり
8368澗4289溝8906穣8425秭9438垓1759京0916兆4450億0188万7164桁まで一致ということを示す。
という計算なのですね。