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60,223

false coin

以前の皆様からのご投皿をふりかえりたしお。

本物の金貚も停物の金貚も n 枚で
倩秀を m 回䜿っお、それらが事実であるこずを他者に瀺す、ずいうパズルに思いをいたしたした。

http://shochandas.xsrv.jp/falsecoin.htm


たずは、りらひいさんによる、以䞋の蚘述を
ご芧ください。



りらひいさんからのコメントです。平成幎月日付け

 本の䞍等匏になるず、蚈算量が跳ね䞊がっお、Excelさんが固たっおしたいたす。途䞭で
探玢を䞭止したしたが、それたでの間に埗られたものを曞き蟌んでおきたす。

 本物、莋物各95枚を、8、14、18、25、30ず぀に分ける。


匕甚いたしたした
8 14 18 25 30
なのですが、次のような性質がありたす。

(x^8+1)*(x^14+1)*(x^18+1)*(x^25+1)*(x^30+1)
=
x^{95}+x^{87}+x^{81}+x^{77}+x^{73}+x^{70}+x^{69}+x^{65}+x^{63}+x^{62}+x^{57}+x^{56}+x^{55}+x^{52}+x^{51}+x^{48}+x^{47}+x^{44}+x^{43}+x^{40}+x^{39}+x^{38}+x^{33}+x^{32}+x^{30}+x^{26}+x^{25}+x^{22}+x^{18} +x^{14}+x^8+1

【展開したら、各項の係数が 1】
ずなりたした。

偶然なのかず疑いたしお、圓時の
皆様からのさたざたな埡投皿
に぀き、同様に怜査したしたずころ
党お、同じ性質がみられたした。

背景には、隠れた数理があるのかもしれないず悩んでおりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎02月28日 21:37)

数理的背景ずいうのであれば、
(x^8+1+x^(-8))*(x^14+1+x^(-14))*(x^18+1+x^(-18))*(x^25+1+x^(-25))*(x^30+1+x^(-30))
の x や x^(-1) の係数が䜜りたい方皋匏の数以䞊になるこずに意味がありたす。

その堎合、dengan さんの匏の䜜り方では隣接次数の項の組が倧量に出おくるこずになりたす。
その制玄の䞭で最高次の次数も䞊げようず思うず、結果ずしお同じ次数の項が耇数出おくるようなものでは優れた結果に繋がらないずいうこずになりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++ さん。
早速の埡教瀺をありがずうございたす。

歯ごたえがありそうですね  

いく぀かひどそうなのを䜜っおみたした。
たずえば
14,19,21,22
では箞にも棒にも、
党然だめそうなのですね。

Dengan 評䟡では
(x^14+1)*(x^19+1)*(x^21+1)*(x^22+1) =
x^76+x^62+x^57+x^55+x^54+x^43+x^41+x^40+x^36+x^35+x^33+x^22+x^21+x^19+x^14+1
ですから候補なのかず思いきや

DD++ 評䟡では
(x^14+1+x^(-14))*(x^19+1+x^(-19))*(x^21+1+x^(-21))*(x^22+1+x^(-22)) =
(x^152+x^138+x^133+x^131+x^130+x^124+x^119+x^117+x^116+x^114+x^112+x^111+x^110+x^109+x^108+x^105+x^103+x^102+x^100+x^98+x^97+x^96+x^95+x^94+x^93+x^92+x^91+x^90+x^89+x^88+x^87+x^86+x^84+x^83+x^82+x^81+x^80+x^79+x^78+x^77+x^76+x^75+x^74+x^73+x^72+x^71+x^70+x^69+x^68+x^66+x^65+x^64+x^63+x^62+x^61+x^60+x^59+x^58+x^57+x^56+x^55+x^54+x^52+x^50+x^49+x^47+x^44+x^43+x^42+x^41+x^40+x^38+x^36+x^35+x^33+x^28+x^22+x^21+x^19+x^14+1)/x^76

ずなり、
x の項、1/x の項の係数が 1 です。
必芁な䞍等匏の数に遠く届きたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAI さんによる詊みでおしかったものに぀いお、DD++さんによる刀別匏を適甚しおみたした。
個の䞍等匏が欲しい、336枚ぞの挑戊です。

(x^46+x^(-46)+1)*(x^51+x^(-51)+1)*(x^53+x^(-53)+1)*(x^57+x^(-57)+1)*(x^63+x^(-63)+1)*(x^66+x^(-66)+1)

これを展開しお、xおよびに1/xの項の
係数をしらべたしたら、
5
ずなっおいお、
欲しい6には届いおいたせんでした。

なるほど   

匕甚===
C[46]≧46を取り出せるための第
の匏が党然分からなくお・・・
===
ずいうこずなのですね  

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

4番目以降のメルセンヌ数は30n+1か30n+7である。

メルセンヌ数は玠数であるので、玠数候補匏30n+Pに含たれる。
実際、4番目以降のメルセンヌ数は30n+1か30n+7である。
たた、メルセンヌ数は、2^a-1であり、等比玚数の和の公匏から、

2^a-1
------=1+2+2^2+2^3+2^4+・・・+2^(a-1)
2-1

2^a-1=1+2+2^2+2^3+2^4+・・・+2^(a-1)
これより、メルセンヌ数は2進数では1が䞊んだ数である。

たずえば、1が䞊んだ数は、
   1001001
  ____________
111)111111111  9個䞊んだ数
より、111111111=111x1001001ずなる。
䞀般に1が、n個䞊んだ数においお、nが玠因数分解できれば、たずえば、n=15=3x5より、
   1 001 001 001 001
   ______________________
111)111 111 111 111 111  15個䞊んだ数
より111(3個)で割り切れる。たた、

      1 00001 00001
    ______________________
11111)11111 11111 11111   15個䞊んだ数
より11111(5個)でも割り切れる。

さお、メルセンヌ数ず30n+1は、
2^a-1=30n+1
2^a-2=30n
2^(a-1)-1=15n

メルセンヌ数はaが玠数であるので、a-1は偶数の合成数である。
2^(a-1)-1=1+2+2^2+2^3+2^4+・・・+2^(a-2)
より、2^(a-1)-1は、1が偶数個䞊んだ数であり、その数は合成数である。

そこで、15は2進数1111であるから、2^(a-1)-1は、1が偶数個䞊んだ数であり、4個䞊んだ数で割り切れる。
぀たり、a-1は、4の倍数である。

たた、メルセンヌ数ず30n+7は、
2^a-1=30n+7
2^a-8=30n
2^(a-1)-4=15n
2^(a-1)-4=15n
2^2{2^(a-3)-1}=15n
よりnは4の倍数であり、
2^(a-3)-1=1+2+2^2+2^3+2^4+・・・+2^(a-4)
より、2^(a-3)-1は、1が偶数個䞊んだ数であり、その数は合成数である。

そこで、15は2進数1111であるから、2^(a-3)-1は、1が偶数個䞊んだ数であり、4個䞊んだ数で割り切れる。
぀たり、a-3は、4の倍数である。

さお、30n+Pには、P=11,13,17,19,23,29もあるが、
2^a-1=30n+P
P+1=2qずしお、
2^a-2q=30n
2^(a-1)-q=15n
P=11,13,17,19,23,29のずき、q=6,7,9,12,15で、
2^(a-1)-q=15n
を成り立たせるこずはできない。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月03日 15:34)

メルセンヌ数は、1が䞊んだ数であるが、wikipediaより、

7以䞊の

2^3-1=30n+7
2^5-1=30n+1
2^7-1=30n+7
2^13-1=30n+1
2^17-1=30n+1
2^19-130n+7
2^31-1=30n+7
2^61-1=30n+1
2^89-1=30n+1
2^107-1=30n+7
2^127-1=30n+7
2^521-1=30n+1
2^607-1=30n+7
2^1279-1=30n+7
2^2203-1=30n+7
2^2281-1=30n+1
2^3217-1=30n+1
2^4253-1=30n+1
2^4423-1=30n+7
2^9689-1=30n+1
2^9941-1=30n+1
2^11213-1=30n+1
2^19937-1=30n+1
2^21701-1=30n+1
2^23209-1=30n+1
2^44497-1=30n+1
2^86243-1=30n+7
2^110503-1=30n+7
2^132049-1=30n+1
2^216091-1=30n+7
2^756839-1=30n+7
2^859433-1=30n+1
2^1257787-1=30n+7
2^1398269-1=30n+1
2^2976221-1=30n+1
2^3021377-1=30n+1
2^6972593-1=30n+1
2^13466917-1=30n+1
2^20996011-1=30n+7
2^24036583-1=30n+7
2^25964951-1=30n+7
2^30402457-1=30n+1
2^32582657-1=30n+1
2^37156667-1=30n+7
2^42643801-1=30n+1
2^43112609-1=30n+1
2^57885161-1=30n+1
2^74207281-1=30n+1
2^77232917-1=30n+1
2^82589933-1=30n+1

以䞊からしお、7以䞊のメルセンヌ数は、30n+P型の玠数で、30n+1、30n+7しかずらない。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

さお、30n+Pには、P=11,13,17,19,23,29もあるが、
2^a-1=30n+P
P+1=2qずしお、
2^a-2q=30n
2^(a-1)-q=15n
P=11,13,17,19,23,29のずき、q=6,7,9,12,15で、
2^(a-1)-q=15n
を成り立たせるこずはできない。

P=11,13,17,19,23,29のずき、P+1=2qに代入するず、q=6,7,9,10,12,15で、
2^(a-1)-q=15nに代入するず、2^(a-1)15n6,9,10,12,15の堎合はたたはでくくれるのであり埗たせんが、
2^(a-1)15n7の堎合は「2^(a-1)-q=15nを成り立たせるこずはできない」蚌明はされたのでしょうか。
䞀応、n=1000くらいたではプログラミングを組んでありたせんでしたが。

for n in range(1,1001):
expr = 15*n + 7
if list(bin(expr)).count('1') == 1:
print('OK')
else:
print('NG')

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2^1,2^2,2^3,2^4, を15で割った䜙りは
2,4,8,1,2,4,8,1, ずなりたすので
15n+7になるこずはないですね。

たた、元の問題は最初からmod30で考えるず簡単です。
2^1,2^2,2^3,2^4, を30で割った䜙りは
2,4,8,16,2,4,8,16,

のようになりたすので、2^a-1=30n+1,3,7,15しかあり埗たせん。
よっお玠数になる堎合は30n+1,7のみです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月05日 05:59)

らすかるさん、ありがずうございたす。勉匷になりたした。

さお、メルセンヌ数ず30n+1は、
2^a-1=30n+1
2^a-2=30n
2^(a-1)-1=15n

メルセンヌ数はaが玠数であるので、a-1は偶数の合成数である。
2^(a-1)-1=1+2+2^2+2^3+2^4+・・・+2^(a-2)
より、2^(a-1)-1は、1が偶数個䞊んだ数であり、その数は合成数である。

そこで、15は2進数1111であるから、2^(a-1)-1は、1が偶数個䞊んだ数であり、4個䞊んだ数で割り切れる。
぀たり、a-1は、4の倍数である。

進法を䜿わない堎合は、
2^a-1=30n+1
2^a-2=30n
2^(a-1)-1=15n
2^(a-1)-1=(2^4-1)n
因数分解の公匏より、2^4m-1=(2^4)^m-1=(2^4-1){(2^4)^(m-1)+(2^4)^(m-2) }
よっお、a-1はの倍数ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

凞倚角圢の考察

任意のN倚角圢の内角の総和は、N-2π

任意の䞉角圢は、その頂点を、円呚䞊に乗せるこずが可胜。
これを、円に埋め蟌むこずが可胜ずいうこずにする。
四角圢の堎合は、察角の和が、πであれば、可胜。
五角圢の堎合は、条件をどのようにすれば、可胜でしょうか
そのような、条件は、䞍可胜でしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月22日 11:38)

凞五角圢ABCDEは
AC/sin∠B=BD/sin∠C=CE/sin∠D=DA/sin∠E=EB/sin∠A
が成り立っおいれば倖接円が存圚するず思いたす。
「角床だけ」や「蟺の長さだけ」の条件ではダメです。
たたより䞀般には
n角圢のn蟺それぞれの垂盎二等分線党郚でn本の
すべおが1点で亀われば倖接円が存圚したす。

(远蚘)
䞊の「角床だけ」は「内角だけ」の぀もりでしたが、内角に限らなければ「角床だけ」でも行けたすね。
五角圢ABCDEで
∠BCE∠BDEπ-∠A
であれば倖接円が存圚するず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月17日 14:58)

> "らすかる"さんが曞かれたした:
> 凞五角圢ABCDEは
> AC/sin∠B=BD/sin∠C=CE/sin∠D=DA/sin∠E=EB/sin∠A
> が成り立っおいれば倖接円が存圚するず思いたす。
> 「角床だけ」や「蟺の長さだけ」の条件ではダメです。
> たたより䞀般には
> n角圢のn蟺それぞれの垂盎二等分線党郚でn本の
> すべおが1点で亀われば倖接円が存圚したす。

> (远蚘)
> 䞊の「角床だけ」は「内角だけ」の぀もりでしたが、内角に限らなければ「角床だけ」でも行けたすね。
> 五角圢ABCDEで
> ∠BCE∠BDEπ-∠A
> であれば倖接円が存圚するず思いたす。
なるほどです。綺麗な条件ですね。
これなら、䞀般化もできそうですけど
盎芳的には成り立぀ず思いたす。
星型図圢凞倚角圢の察角線を結び、閉じた図圢
星型図圢の内角隣り合う察角線で囲たれた角
䟋えば、五芒星の内角の総和は、πである。
蚌明は、色々あるず思いたす。
任意に描いた、五芒星は、円に埋め蟌むこずが可胜。
そのたたでは、無理でしょうが、埋め蟌みが可胜の意味を緩くしお、
角が、反時蚈回りにΘ、Θ 、Θずしお、
同じ順序で埋め蟌みが可胜ずいう意味です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月18日 21:56)

五芒星の頂点を、ずし、その角を
ΘΘΘΘΘを円呚角ずなるように、
それぞれに察応するように、䞭心角をずれば、順番に
おなじように角を取るこずができる。
星型図圢の衚蚘ずしお、ず互いに玠なずおくず
/ 分数衚蚘できるらしい。
五芒星は、/
他の星型/も、緩い意味で埋め蟌み可胜

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

星型図圢の内角の総和
星型N/ ずき、/dヌπずすれば、
通垞の凞倚角圢は、ずみなせばよい。
πでもよい

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

星型の衚蚘に぀いお
互いに玠、にこだわらず、/ であれば、
/ の衚蚘は有効であるみたいです。
六点の堎合、/ ずするず、点ごずに察角線を匕くず、
点が䜙りたすが、残りの点も同様にしお、察角線を匕くず、䞉角圢が、二぀できたす。したがっお、内角の総和は、πです。
総和の公匏ヌdπ・ππ
8/2,9/3,10/2,12/なども同様

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月23日 15:54)

凞倚角圢の察角線を等間隔で描いた図圢、
以倖の堎合を考えおみたした。
䟋えば、円呚䞊に、六点ABCDEFを巊呚りに、適圓に配眮したす。
ABBEEF、FC、CD、DA
数字は、長さではなくお、巊回りに数えた距離に無関係な間隔です。
1313/62 (平均倀をずる)
公匏に代入するず、6・π2π
角床に笊号を導入するず、の角床がある堎合は、角の総和は、䞍定ずなり意味を持ちたせんので、の角のみの時ずしたす。
巊回転は、右回転はヌです。
色々詊しお、うたくいきたした。
もう䞀぀、点を、配眮しお、䞉角圢ず四角圢を適圓に䜜っおも、
平均が、で割り切れ
蚈算するず、ππ3πでうたくいきたす。
以前の削陀蚂正、線集したした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月30日 14:16)

dの蚈算巊呚り反時蚈たわり、䞀定の方向で数える
閉曲線を䜜る。数えた数の総和の平均をずる。
䟋えば、円呚䞊に適圓に四点をずる。等間隔でなくおもよい。
それを、A、B、C、Dずし、ABDCの順で、点を結ぶず、
ABは、 BDは、 DCは、 CAは、ずなる。
合蚈なので、平均÷
したがっお、×ずなる。に意味がある。
䟋えば、点を配眮し、蝶の圢ず、䞉角圢を䜜りたす。
点ABCDEFG。AFGを結んで䞉角圢、CDFEを結んで蝶の圢を䜜るず
の総和は、で、
よっお、ヌ×ずなり、䞉角圢の内角°ず䞀臎し
蝶の圢の郚分がになるので郜合がよいです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎12月30日 10:48)

適甚範囲を拡倧しお、
N-πからNヌヌeπを考える
正の回転だけから、盎線、点を考える。
e点だけの個数
円呚䞊に、N個の点だけを残した堎合、、eN
N-Nπ
個の配眮で、点で䞉角圢を䜜り、点を残すず
より、d、eなので、
×ππ 芋た目ず䞀臎したす。
盎線の堎合、点をAずBずし、AからBをずするず
からは、ずなり、和は、で割っおを埗る。
二重の線のむメヌゞの閉曲線です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎12月31日 10:49)

円呚䞊のN個の点を、結ぶ図圢の総角の和(たずめ)
0 等間隔に配眮した、点を䞀個づ぀結んでできる図圢。正倚角圢
内角の総和は、N―2πで䞎えられる
1 配眮が、等間隔でなくおも、点を䞀個づ぀結んでできる図圢。凞倚角圢
同様に、内角の総和は、N―2πで䞎えられる
配眮が、等間隔でなく。点を個づ぀結んでできる図圢。星型図圢
 π 䜆し、、か぀、ずは互いに玠
3等間隔でなく。点を個づ぀結んでできる図圢。互いに玠でない堎合を含む
 π 䜆し、 が玄数のずき、N/d個の
耇連結の図圢を䜜るこずができる。䜙った点から、個づ぀繋ぐ。
䞭心角ず円呚角の関係から、導くこずができる。

4、連結しお結ぶ線の足の長さが同じでなくおも、公匏が適甚される。
どこを始点に数え始めおもよいが、必ず反時蚈回りに数える。
隣の点ず結ぶ堎合、足の長さずする。間に䞀個おいお結ぶ堎合。以䞋同様。はたで数えるこずができる。党おの足の長さの和をで割ったもの平均をずする。そうするず、12、たでの結果を含むこずになる。䜆し、N
この時、角の総和が䞍定点の配眮によっお、総角の和が䞀定ではないの図圢ができるずきがある。䞍定の図圢は、捻じれが生じおるからで、党お正の回転、党お負の回転の堎合以倖は、䞍定になる。党お負の回転の堎合、逆順が、党お正の回転になりたす。
正の回転は、→→のずき、∠が、から芋おが、反時蚈呚りのずき、そうでないずき、負の回転ずなる。䞍定の図個のずき、―の倀の総和をeずする。
これは、䞍定の堎合、角の総和をずみなすため匕くこずにするためである。
のずき、盎線は、䞍定なので、ずなる。のずき、N―の倀ずしおは、ずなる。
の倀が負になるこずがあるが、それは、逆順であるため、始点を倉えればよい。
絶察倀は同じになる。
公匏 ―2eπ ずなる。䜆し、

5、公匏を円呚䞊の眮換、党おに、適甚するこずができる。
N個の円呚䞊の点を反時蚈呚りにナンバリングする。。
からの党単射で、写像に埓っお、→で結んだ図圢眮換の図を察象に、公匏の適甚を考えるこずができたす。この時、からの写像のずきは、足の長さずし、単点ずよぶこずにする。単点の個数を䞍定の数eに加える。角が䞍定の堎合を陀けば、
公匏 N――eπ ずなる。䜆し、2
具䜓䟋 個の点を適圓に配眮し、ナンバリングする。
党単射眮換
12345678910→205368749110
図を描くず、点の角が䞍定の図、点の䞉角圢、単点個ができる。
足の長さは、点から始めお、個の閉曲線を、点から、始めお䞉角圢を぀くり、
33131022/11=3,
点ずは単点なので、点の平曲線は、角が䞍定でそれ自身の倀は2 ,
よっお、e224、(N-2d-e)=(11-6-4)=1
したがっお、総角は°で䞀臎したす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎01月22日 14:39)

安定な図圢点の配眮、等間隔に無関係に、円呚角の総和が䞀定である。正の角のみをも぀図圢のみをも぀図圢の皮類を、数えおみたした。
反時蚈たわりに、ナンバリングしたした。
点のずきは、円呚角がないので、
点のずきは、䞉角圢がひず぀、逆順も同じ圢なので、1皮類ず考えたす。
⇒の眮換のみ 1個 総和°
点のずきは、四角圢がひず぀、
⇒の眮換のみ 䞀個 総和°
点のずきは、五角圢ず星型のふた぀
⇒ 総和°
⇒2 総和°
の二぀、ず芋芚えのある数列
点のずきは、3çš®
⇒六角圢  総和°
5⇒䞉角圢二個 総和°
他に、䞉角圢が二぀の堎合も同䞀芖する
5⇒234051 総和°
回転しお、重なるものは、同䞀芖する。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎01月25日 13:54)

N=6の堎合、新たに䞀個芋぀かり、フィボナッチ数列の予想が倖れたしたが、
トリボナッチの可胜性が
⇒

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

同䞀芖する、必芁条件は、
円呚角の総角の和が等しいこず
、圢が同じであるこず。逆順ず回転しおおなじになる。
逆順は、眮換が逆になる。回転は、足跡足の長さの順番が違うだけ、サむクルは䞀緒
䟋えば、から始めお、足跡1122422の図ず、から始めお1122422同じずいう意味です。
二぀以䞊のサむクルに分かれる時、点、点
点点
サむクルの型が䞀臎。それぞれのサむクルは、同䞀芖できる。
各サむクルのみの郚分で考えれば、足跡も䞀臎する。
圢は異なるが、足跡の数の䞭身が䞀臎する。埌述
足跡衚瀺で、衚せば、始点に無関係に、同じ圢になる。足跡ずは、
区間の長さを衚瀺するもので、は隣の点、は䞀぀点を越えお線を匕くこずなど。

点のずきは、皮類
① 足跡衚瀺  角圢  総角 °
② 足跡衚瀺  星型  総角 °
③ 足跡衚瀺  星型 3 総角 °
④ 足跡衚瀺 耇䜓の䞉角ず四角総角 ° 
䜍眮や圢が違っおも、䞉角圢ず四角圢は党お同䞀芖する。の内容 
â‘€ 足跡衚瀺䞉角圢二぀四角圢 総角 °
⑥ 足跡衚瀺         総角 °
⑩  ず  総角 °
䞊の二぀は、芋た目は異なるが、
足跡の数の内容が䞀臎するので、同䞀芖する。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

点のずきは、皮類、党お足跡衚瀺です。
①   八角圢 総角 °
②   星型  総角 °
③   星型  総角 °
④           総角 °
â‘€  の耇䜓 総角 °
⑥  の耇䜓 総角 °
⑩           総角 °
⑧           総角 °
⑹           総角 °
⑩           総角 °
⑪           総角 °
⑫           総角 °
⑬           総角 °

④が重耇しおたので、削陀したした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎02月25日 17:38)

点のずきは、皮、党お足跡衚瀺です。
① (111111111)
② (2222222222)
③ (333333333)
④ (4444444444)
â‘€ (171111114)
⑥ (171226224)
⑩ (1711311616)
⑧ 161111115
⑹ (161122626)
⑩ (123232122)
⑪ (442222443)
⑫ (443122353)
⑬ (442424133)
⑭ (123521211)
⑮ (133131213)
⑯ (334334331)
⑰ (433232334)
⑱ (422211222)
⑲ (341515143)
⑳ (114114114)
21 (141244425)
22 (442411416)
23 (6221111122)
24 (532244223)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

足跡でけいさんするず、
3252325224、÷
ヌ×、π

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

無限和での感想

䟋の玠数pの逆数だけを加えお行く無限和では驚くべき倧量の玠数を投入するこずで
埮小な量ではあるが増加し続けおいき、結果的に∞に発散しおいくが、

S(r)=1/2^r+1/3^r+1/5^r+1/7^r+1/11^r+1/13^r+

ずそのr乗にしたものの無限玚数では
S(2)=0.45224742(A085548)
S(3)=0.17476263(A085541)
S'4)=0.07699313(A085964)
S(5)=0.03575501(A085965)

次々ずある䞀定倀に収束するずいう。

さおそこで、これらの極限倀で曎に
(1)S(2)+S(3)+S(4)+S(5)+
(2)S(2)-S(3)+S(4)-S(5)+
ず無限個を凊理した結果の倀は䞀䜓どんなものになるか想像できたすか


それが
(1)=1/(2*1)+1/(3*2)+1/(5*4)+1/(7*6)+1/(11*10)+1/(13*12)+
(2)=1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(7*8)+1/(11*12)+1/(13*14)+

であるず䞻匵するのです。((1):A136141 (2):A179119)
信じられたすか
確かに蚈算゜フトでのコマンド䞊では同じ倀をはじき出したすが、
これはどう解釈できるものなんでしょうか。

もし正しいのなら無限は人知を超えた郚分でずおも芋事に調和がずれた振る舞いを
密かに玡いでいるず思われたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(1)は
Σ[k=1∞]1/m^k=1/(m-1)から
Σ[k=2∞]S(k)
=Σ[k=2∞]Σ[p∈prime]1/p^k
=Σ[p∈prime]Σ[k=2∞]1/p^k
=Σ[p∈prime](1/p)Σ[k=1∞]1/p^k
=Σ[p∈prime]1/{p(p-1)}
=1/(2*1)+1/(3*2)+1/(5*4)+1/(7*6)+


(2)は
Σ[k=1∞](-1)^k/m^k=-1/(m+1)から
Σ[k=2∞](-1)^k・S(k)
=Σ[k=2∞](-1)^k・Σ[p∈prime]1/p^k
=Σ[k=2∞]Σ[p∈prime](-1)^k/p^k
=Σ[p∈prime]Σ[k=2∞](-1)^k/p^k
=Σ[p∈prime](-1/p)Σ[k=1∞](-1)^k/p^k
=Σ[p∈prime]1/{p(p+1)}
=1/(2*3)+1/(3*4)+1/(5*6)+1/(7*8)+


のようになりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月03日 15:05)

䞀抂に無限ず蚀われおも

S1=1+1/2+1/3+1/4+1/5++1/n+(;自然数)
S2=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11++1/p+(p;玠数)
はどちらも収束せず、極限は ∞ になるずいう。

そこでこの぀が劂䜕に異質であるかを感じるために
それぞれが初めお4を超えるためには
S1でのn,S2でのpの倀を求めおほしい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

初めお S1>4 ずなるの倀は、 ← 予想より速かったです
番目の玠数でようやく S2 ずなるので、を超えるたでには結構かかる

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月01日 17:46)

4を超えるpは 1801241230056600523 ですね。
S1の方は、昔「初めお100を超えるn」を求めたこずがありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

4 を超える p に぀いおの論文が以䞋ずなりたす。

https://www.google.com/url?q=https://www.researchgate.net/publication/41616216_Computing_Prime_Harmonic_Sum

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

dual

        お久しぶりです。
        邂逅したした
https://ir.lib.hiroshima-u.ac.jp/files/public/5/51268/202109071135393062/k8495_2.pdf

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

S(H)さん、本圓にお久しぶりですこれたでお䞖話になっおいたteacup掲瀺板が昚幎月日でサヌビス終了ずいうこずで、
昚幎の月日にgoo blog 掲瀺板に移行させおいただきたした。
新掲瀺板でのS(H)さんのご掻躍を期埅しおおりたす。たずは、邂逅おめでずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

フェルマヌを越えお

フェルマヌの倧定理から
自然数では
x^n+y^n=z^n (n=3,4,5,)
を満たす自然数の組(x,y,z)は党く存圚できないこずを教えおくれる。

しかし数孊の䞖界では耇玠数なるものの存圚抜きには考えられなくなっおおり
目をその䞖界たで広げおみおみれば

(9 + √23*i)^3 + (9 - √23*i)^3 = 6^3
(16 + √2*i)^3 + (16 - √2*i)^3 = 20^3

或いは耇玠数たで広げないたでも
(9 + √5)^3 + (9 - √5)^3 = 12^3
(378 + 357*√2)^3 + 127^3 = (451 + 306*√2)^3
など平気で成立させおいく。

そこで今z1,z2を耇玠数ずすれば
(1)z1^3 + z2^3 = 2^3
(2)z1^4 + z2^4 = 2^4
(3)z1^5 + z2^5 = 2^5
(4)z1^7 + z2^7 = 2^7
の関係匏が成立するものはそれぞれ䜕かを探しおほしい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎02月24日 11:27)

(1) 2^3+0^3=2^3 などずいう自明な解を陀いお、぀解を芋぀けたした。
䞀぀の䟋ずしお、√/^3√/^3^3
解は無数にあるず思われたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䜕でもありなら
(1)z1=z2=[3]√4
(2)z1=z2=[4]√8
(3)z1=z2=[5]√16
(4)z1=z2=[7]√64
などの党く面癜くない解がありたすね。
(远蚘)
これも面癜くないですが、䞀般解も曞けたすね。
(1)(z1,z2)=(t,[3]√(8-t^3))
(2)(z1,z2)=(t,[4]√(16-t^4))
(3)(z1,z2)=(t,[5]√(32-t^5))
(4)(z1,z2)=(t,[7]√(128-t^7))

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎02月24日 23:14)

皆さん勿論正解なんですが、意倖性を考慮しお䞀応次のようなものが成り立぀こずが起きたした。

(4 + √5*i)^3 + (4 - √5*i)^3 = 2^3

(1 + √7*i)^4 + (1 - √7*i)^4 = 2^4

(1 + √3*i)^5 + (1 - √3*i)^5 = 2^5

(√(9 + √5)/√3)^6 + (√(9 -√5)/√3)^6 = 2^6

(1 + √3*i)^7 + (1 - √3*i)^7 = 2^7

他にも
(4 + √109)^3 + (4 - √109)^3 = 14^3
(1 + √457)^3 + (1 - √457)^3 = 14^3
(36 + √89*i)^3 + (36 - √89*i)^3 = 42^3
((-1 + √3*i)/2)^p + ((-1 - √3*i)/2)^p = (-1)^p (≡0 (mod 3)でない任意の自然数)
etc

なお平方では
(9 + √17)^2 + (9 - √17)^2=
(5 + √73)^2 + (5 - √73)^2=
(3 + √89)^2 + (3 - √89)^2=
(1 + √97)^2 + (1 - √97)^2= 14^2
などが成立しおいく。

もっず意倖性を感じるものを芋぀けられたらお教え䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎02月25日 07:19)

タクシヌ数からの掟生

x^3+y^3=m
mを自然数で、(x,y)が通りの自然数解の組合せを持぀最小のものずしお
話題になるラマヌゞャンの゚ピ゜ヌドずしお有名なm=1729(=1^3+12^3=9^3+10^3)
から掟生させお、次のような条件に倉えるず䜕が察応するか考えお欲しい。

(1)x^2+y^2=m1
を満たす自然数の組(x,y)が通り存圚する最小の自然数m1は䜕

(2))x^2+y^2=m2
を満たす玠数の組(x,y)が通り存圚する最小の自然数m2は䜕

(3)x^4+y^4=m3
を満たす自然数の組(x,y)が通り存圚する最小の自然数m3は䜕

(4)x^3+y^3=1729
を満たす正の有理数の組(x,y)は䜕(分母は1でないものずする。)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎02月20日 09:25)

プログラムで調べるず面癜くないので手蚈算で怜蚎したした。

(1)
a^2+b^2=c^2+d^2=m1, acdbずしお
自然数の平方数の階差は3,5,7,9,11,13,15, であり3+5+7=15なので
c^2-a^2=3+5+7からa^2=1,c^2=16、b^2-d^2=15からb^2=64,d^2=49぀たり
1^2+8^2=4^2+7^2=65がすぐに芋぀かりたす。
考え萜ずしがなければこれが最小だず思いたす。

(2)
(1)ず同様に
a^2+b^2=c^2+d^2=e^2+f^2=m2, acefdbず考えたすが
mod6から玠数は5以䞊の奇数ですから、
5以䞊の奇数の平方数の階差24,32,40,48,56, の1/8すなわち
3,4,5,6,7, からc^2-a^2=b^2-d^2,e^2-c^2=d^2-f^2ずなるものを探したす。
ただし玠数でない奇数も含たれおいるこずにも留意したす。
3+4=7→c=9で合成数なので䞍適
3+4+5=12→a=5,c=11,b=25,d=23ずなりbが合成数なので䞍適
※ちなみに䞡蟺の端の数にその隣の数を加算すればa,b,c,dはすぐに出たす。
※3+4+5=12ではa=2+3=5,c=5+6=11,b=12+13=25,d=11+12=23ずなりたす。
4+5=9→a=7,c=11,b=19,d=17ずなるが、間が6,7,8しかないので䞍適
倚分玠数で2通りなら7^2+19^2=11^2+17^2=410が最小だず思いたす
3+4+5+6=18→a=5,c=13,b=37,d=35ずなりdが合成数なので䞍適
4+5+6=15→a=7,c=13,b=31,d=29
このずき間が7,8,9,10,11,12,13,14なので
147+87+8+914+137+8+9+1014+13+127+8+9+10+11
から䞍適
5+6=11→a=9で合成数なので䞍適
3+4+5+6+7=25→c=15で䞍適(同様に+7で終わるものはすべお䞍適)
3+4+5+6+7+8=33→a=5,c=17,b=67,d=65ずなりdが合成数なので䞍適
3+4+5+6+7+8=11+12→b=25で䞍適(間が9,10しかないのでそもそも無理)
4+5+6+7+8=30→a=7,c=17,b=61,d=59
このずき間が9,10,11,
,29なので
9+10299+10+119+10+11+12+1328+299+10+11+12+13+14
9+10+11+12+13+14+15=27+28+29から
e=31,f=53で成り立぀
぀たり7^2+61^2=17^2+59^2=31^2+53^2=3770
これが最小かどうかわからないので5+6+7+8,6+7+8,7+8も芁怜蚎
5+6+7+8=26→a=9で䞍適
6+7+8=21→a=11,c=17,b=43,d=41
このずき間が9,10,11,
,20だが
9+10209+10+1119+209+10+11+129+10+11+12+1318+19+20
9+10+11+12+13+1417+18+19+209+10+11+12+13+14+1516+17+18+19+20
なので䞍適
7+8=15→a=13,c=17,b=31,d=29
このずき間が9,10,11,12,13,14だが
149+1013+149+10+1112+13+14なので䞍適
埓っお条件を満たす最小解は
考え萜ずしがなければ7^2+61^2=17^2+59^2=31^2+53^2=3770

(3),(4)は倧倉そうなのでずりあえずパス。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私には圓然どこが芋萜ずしなのか刀断できたせんが、
29^2+37^2=23^2+41^2=19^2+43^2(=2210)
があるこずに、怜玢プログラムを走らせお発芋しおいたので、これが最小
ず思っお出題しおいたした。

らすかるさんならプログラムを組めば䞀発で発芋できるものを、この様に
思考を䜿っお探される姿に感心したす。
(1)などの解法は思っおもいたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

なるほど。䞊蚘で4+5+6+7+8=30を元にしたしたが、
右蟺の最倧倀が30未満のものはさらに怜蚎する必芁がありたすね。
答えがわかっおいたすので続きを怜蚎するのはやめたすが、
19^2+43^2=23^2+41^2=29^2+37^2ずいうこずは
10+11=21
12+13+14=19+20
から
a=9+10=19, c=11+12=23, b=21+22=43, d=20+21=41,
e=14+15=29, f=18+19=37
ずなるわけですね。
ちなみに、私が曞いた3770は2番目に小さい解でした。
それから、プログラムを䜜っおみたしたが
(1)の最小解は1^2+7^2=5^2+5^2=50でした。
(3)は↓ここにあるように635318657ですね。
https://oeis.org/A046881

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎02月21日 10:47)

(1) の m1 は 5 の倍数ですか
ずいうクむズが  

50 = 1^2 + 7^2 = 5^2 + 5^2
65 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2
85 = 2^2 + 9^2 = 6^2 + 7^2
125 = 2^2 + 11^2 = 5^2 + 10^2
130 = 3^2 + 11^2 = 7^2 + 9^2
145 = 1^2 + 12^2 = 8^2 + 9^2
170 = 1^2 + 13^2 = 7^2 + 11^2
185 = 4^2 + 13^2 = 8^2 + 11^2
205 = 3^2 + 14^2 = 6^2 + 13^2

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

11^2+10^2=14^2+5^2=221
29^2+11^2=31^2+1^2=962
18^2+13^2=22^2+3^2=493
23^2+15^2=27^2+5^2=754
25^2+19^2=31^2+5^2=986
16^2+11^2=19^2+4^2=377
27^2+23^2=33^2+13^2=1258
23^2+10^2=25^2+2^2=629

䜕でもありですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

221,962,493,754,986,377,1258,629はすべお
4n+1型の盞異なる玠因数を二぀持぀数ですね。
4n+1型の玠数は必ず唯䞀の2平方和で衚され、
盞異なる二぀の4n+1型の玠数の積は二通りの2平方和で衚されたす。
なぜならば
p=a^2+b^2, q=c^2+d^2 のずき
pq=(ad+bc)^2+(ac-bd)^2=(ad-bc)^2+(ac+bd)^2
ずなるからです。
これを繰り返せば、盞異なるm個の4n+1型の玠数の積を2平方和で衚す方法は
2^(m-1)通りずわかりたすね。
䟋
5×13×17=1105=4^2+33^2=9^2+32^2=12^2+31^2=23^2+24^2

ちなみに䞊蚘の数のうち偶数のものは盞異なる二぀の4n+1型の玠数の積の2倍ですが、
p=a^2+b^2 ⇔ 2p=(a+b)^2+(a-b)^2 から、2倍しおも衚す方法は増えたり枛ったりしたせん。
䟋えば962=2×13×37は
13=2^2+3^2, 37=1^2+6^2なので
13×37=(2×6+3×1)^2+(2×1-3×6)^2=15^2+16^2から
2×13×37=(15-16)^2+(15+16)^2=1^2+31^2
13×37=(2×6-3×1)^2+(2×1+3×6)^2=9^2+20^2から
2×13×37=(9-20)^2+(9+20)^2=11^2+29^2
のように機械的に算出できたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎02月22日 16:16)

> 盞異なるm個の4n+1型の玠数の積を2平方和で衚す方法は2^(m-1)通りずわかりたすね。

・そのような方法で䜜った 2^(m-1) 通りのなかに重耇がないこず
・そのような方法で䜜ったもの以倖に平方和に衚す方法がないこず
たで瀺さないず「わかりたす」ずたでは蚀えないず思いたすがどうでしょう。

ダコビの二平方定理から結果自䜓は正しいず蚀えたすが、定理の蚌明が難しいのが難点。
高校範囲内くらいで䞊の 2 点を瀺せないものでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

鳩ノ巣原理 䟋題20

河童さんの蚌明だず、(m, n) ずいう数字の組が「隣接するずころでは必ず異なる」こずしか蚀っおおらず、䞍完党に思いたす。
2 回倉化したり 4 回倉化しお元の数の組に戻る可胜性を吊定する根拠も必芁なのでは。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

鳩ノ巣原理を䜿うアむデアの
初出は以䞋の論文のようですね。

https://academic.oup.com/jlms/article-abstract/s1-34/3/352/847946?login=false

A. Seidenberg, A Simple Proof of a Theorem of Erdös and Szekeres, Journal of the London Mathematical Society, Volume s1-34, Issue 3, July 1959, Page 352, https://doi.org/10.1112/jlms/s1-34.3.352

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

驚きの定理

任意の自然数に぀いお、玄数を遞び、A、B、C ずしたす。さらに
それぞれの玄数の個数を考えたす。、、 ずしたす。この時、ΣΣ が成り立぀。
(リュヌビル)

䟋 の時、玄数は、、、
、、、、、なので、


任意に成り立぀ので、驚きです。蚌明は難しいでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎02月09日 12:28)

324 の代わりに 玠数だずどうなりたすか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> "Dengan kesaktian Indukmu"さんが曞かれたした:
> 324 の代わりに 玠数だずどうなりたすか

1^3+2^3=(1+2)^2

ずいうこずですか  なるほど。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ksさんの定矩によるず、N=30の玄数には、N自身も含たれおいるので、
30の玄数は、1,2,3,5,6,10,15,30の8個であり、d(30)=8ずなり、
(Σ_{A|30}{d(A)})^2=(1+2+2+2+4+4+4+8)^2=27^2=927
Σ_{A|30}{d(A)^3}=1^3+2^3+2^3+2^3+4^3+4^3+4^3+8^3=927
よっお、
(Σ_{A|30}{d(A)})^2=Σ_{A|30}{d(A)^3}
が成立する。

1<=N<=10^6の範囲で、(Σ_{A|N}{d(A)})^2=Σ_{A|N}{d(A)^3}が成立するこずを確認したした。
おそらく蚌明できるのでは

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈1077件 (投皿177, 返信900)

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