😊出会いの泉😊

このポストの、 URL に元ネタのページのアドレスを書いておきます。

これに類した等式を探してみました。

12^3+(sqrt(5)-9)^3=(sqrt(5)+9)^3
18^3+(5*sqrt(6)-6)^3=(5*sqrt(6)+6)^3
126^3+(43*sqrt(15)-12)^3=(43*sqrt(15)+12)^3
390^3+(127*sqrt(17)-36)^3=(127*sqrt(17)+36)^3
18^3+(sqrt(33)-12)^3=(sqrt(33)+12)^3
50^3+(11*sqrt(43)-4)^3=(11*sqrt(43)+4)^3
････････････････
などが成り立つようです。

sqrt(17)とsqrt(33)の間に
13104^3+(7295*sqrt(29)-243)^3=(7295*sqrt(29)+243)^3
というのもありますね。
成り立つ√の中身が2,5,6,15,17,29,33と飛び飛びなのは、探し切れていないのか、それとも存在しないのか？
4n+3型の素数のときは存在しないのか？と思ったら43は存在したりして、法則がわかりません。
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=4みたいにとんでもなく大きい解があるのかな？

13104^3+(7295*sqrt(29)-243)^3=(7295*sqrt(29)+243)^3
が存在するとは！
根号にかかる係数を1000までの範囲でしか調査してませんでした。
でもこの場合だけが極端に大きな値にジャンプするのは面白いですね。
私もsqrtの部分は50までで止めていたので、この先何が可能なのか
また言われるように調査する範囲がどこまで広げればいいのかなど
謎の多いものをたっぷり含んでいますね。

50までならあと43は見つかったと思いますが、多分
49164^3+(40955*sqrt(41)-288)^3=(40955*sqrt(41)+288)^3
は見つけてないでしょうね。
もっと大きなものを探し続けているのですが、今のところ見つかりません。

勿論sqrt(41)は存在しないで処理していました。
こんな大きな値で探し出せるとは！
これに要する計算量は計り知れないものがあるだろうなと感心するばかりです。

√の中身を先まで延長して探していたら、表現は少し異なりますが
12^3＝(9+sqrt(5))^3+(9-sqrt(5))^3=(3+sqrt(93))^3+(3-sqrt(93))^3
14^3=(4+sqrt(109))^3+(4-sqrt(109))^3=(1+sqrt(457))^3+(1-sqrt(457))^3
18^3=(12+sqrt(33))^3+(12-sqrt(33))^3=(3+sqrt(321))^3+(3-sqrt(321))^3
30^3=(18+sqrt(142))^3+(18-sqrt(142))^3=(9+sqrt(473))^3+(9-sqrt(473))^3
=(12+sqrt(327))^3+(12-sqrt(327))^3=(3+sqrt(1497)^3+(3-sqrt(1497)^3
と縁もゆかりも無いような2つや4つが立方を介して繋がってしまう、何とも不思議なことが起きました。
一対一対応にはならないなんてやはり不思議だ。

> "GAI"さんが書かれました:

> 30^3=(18+sqrt(142))^3+(18-sqrt(142))^3=(9+sqrt(473))^3+(9-sqrt(473))^3
> =(12+sqrt(327))^3+(12-sqrt(327))^3=(3+sqrt(1497)^3+(3-sqrt(1497)^3
> と縁もゆかりも無いような2つや4つが立方を介して繋がってしまう、何とも不思議なことが起きました。
> 一対一対応にはならないなんてやはり不思議だ。

30^3
=(6+sqrt(738))^3+(6-sqrt(738))^3
= (15+sqrt(225))^3+(15-sqrt(225))^3

がありますので
(a+sqrt(b))^3+(a-sqrt(b))^3 の形となる
aとしては
3, 6, 9, 12, 15, 18
が見つかったということになります。

もう一つ面白いと感じることは
同じルートを使ってもa,bの数字を変えることによって異なる立方数を構成できる。
例えば
(9 + sqrt(5))^3 + ((9 - sqrt(5))^3 = 12^3
(225 + 2761*sqrt(5))^3 + (225 - 2761*sqrt(5))^3 = 3720^3

(4 + 11*sqrt(43))^3 + (4 - 11*sqrt(43))^3 = 50^3
(256 + 115*sqrt(43))^3 + (256 - 115*sqrt(43))^3 = 968^3
(972 + 101*sqrt(43))^3 + (972 - 101*sqrt(43))^3 = 1638^3

(4 + sqrt(109))^3 + (4 - sqrt(109))^3 = 14^3
(343 + 11*sqrt(109))^3 + (343 - 11*sqrt(109))^3 = 476^3
(243 + 25*sqrt(109))^3 + (243 - 25*sqrt(109))^3 = 504^3

などが起こります。

そろそろ種明かしをしましょう。

aを平方因子を持たない正整数とする。このとき、sqrt(a)は無理数である。

不定方程式
　　(x+y*sqrt(a))^3+(x-y*sqrt(a))^3=z^3 ---------- (1)
を満たす整数x,y,z (ただし、x*y*z!=0, gcd(x,y,z)=1)を見つければ良い。


z!=0より、(1)の両辺をz^3で割って、x/z.y/zを改めて、x,yとすると、
不定方程式
　　(x+y*sqrt(a))^3+(x-y*sqrt(a))^3=1 ---------- (2)
つまり、
2*x^3+6*a*x*y^2-1=0 -------------- (3)
を満たす有理数x,yを見つければ良い。

(3)より、
(36*a^2*y/x)^2=(6*a/x)^3-432*a^3 ------------- (4)
となる。
ここで、
X=(6*a)/x;
Y=(36*a^2*y)/x;
とすると、(4)より、楕円曲線

E_a: Y^2=X^3-432*a^3　----------------- (5)

の有理点(X,Y)を求めれば良い。

以下では、簡単のため、0<a<=100の範囲のみ考察する。

この範囲内で、平方因子を持たない整数aは、

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97

の61個である。

これらのaについて、楕円曲線E_aのねじれ点群は全て自明な群{O}である。

■rank(E_a)=0となるaは、以下の25個である。
これらのaについては、E_aは自明でない有理点を持たないので、(1)は自明でない整数解を持たない。

1, 3, 7, 10, 13, 19, 21, 22, 30, 31, 34, 37, 39, 46, 55, 57, 61, 66, 67, 70, 73, 79, 91, 94, 97
　　
■rank(E_a)=1となるaは、以下の31個である。これらのE_aは自明でない有理点を持つので、(1)は自明でない整数解を持つ。

2, 5, 6, 11, 14, 15, 17, 23, 26, 29, 33, 35, 38, 41, 42, 47, 51, 53, 59, 62, 65, 69, 71, 74, 77, 78, 83, 86, 87, 89, 95

■rank(E_a)=2となるaは、以下の5個である。これらのE_aは自明でない有理点を持つので、(1)は自明でない整数解を持つ。
43, 58, 82, 85, 93

■rank(E_a)>=3となるaは、存在しない。
、

以下では、rank(E_a)=1となるaについて、楕円曲線E_aの有理点群の基底(rank 1なので、1個)から、(1)の自明でない整数解を小さい方から3個づつ求めた結果を示す。

各aについて、整数解[x,y,z]は、(1)を満たす。つまり、(x+y*sqrt(a))^3+(x-y*sqrt(a))^3=z^3が成立する。

[Pari?GPによる計算]

(12:43) gp > xyz2(3,[28, 136])
a=2
[18, 17, 42]
[707472, -276119, 1106700]
[341461349334, -18052510860775, 11012213970702]
(12:43) gp > xyz2(3,[40, 100])
a=5
[9, 1, 12]
[225, -2761, 3720]
[6666948, 3105301, 13610574]
(12:44) gp > xyz2(3,[108, 1080])
a=6
[6, 5, 18]
[6000, -383, 7740]
[30001266, -66234835, 168595398]
(12:44) gp > xyz2(3,[76153/361, 20361275/6859])
a=11
[246924, 168275, 789222]
[1138931117124572920500000, -28080795782186903066903, 1444495107051178825635300]
[34776355583529410480823350908258731050794711181934084, -38900751702312185496520602528826968829457242153860925, 152655385733382445364188277424245354925778332863621202]
(12:47) gp > xyz2(3,[22952332/32041, 109783945160/5735339])
a=14
[5058568998, 13722993145, 43138907994]
[104583748612146206180228752175119916622000, 33389336337255220498688501113700518026337, 229461883950790927154535310168366094255580]
[167370053540518674280826123225579585001387325990734246546779787844292595424377010118211016338, 4757167007342817993722735375804856757852561358565816683131555092948663931547832007108365985, 213231587070001022411787183063263499917815416237236089539502724806216914009832292788330406814]
(12:49) gp > xyz2(3,[945, 29025])
a=15
[12, 43, 126]
[190816800, 82800553, 508696020]
[2334218215658442372, 194402130150232219, 3219660657563420826]
(12:49) gp > xyz2(3,[1105, 36703])
a=17
[36, 127, 390]
[170491013856, 73044637633, 468293965620]
[5425035933466478142391500, 469208964870216131932351, 7612544717174402070250770]
(12:49) gp > xyz2(3,[2788991569/4791721, 145312812459055/10489077269])
a=23
[377606781684, 274693407295, 1592635446402]
[33123037297842468466697924544477619522270234044000, 1466206763733598545541724322372247344617760303217, 43534247977666330901020261855423211409168222097020]
[73474544404173312584846444382634237213282344530238828023733152932961377174567857751190431249512423995979588924, -16993016961038321183421277957430606769107041681484481553612845020825800533880440916917566740961571216256999265, 154963027662905730769083807334128338960682112868489548813189160504141366849232120481286549591046815872782282822]
(12:50) gp > xyz2(3,[13799253628/2283121, 1620973547848520/3449795831])
a=26
[10494278917902, 202621693481065, 406588108522206]
[698393859289642871794373605807328372156784382890757494000, 1684514776933223937750270715684815530046385978618633573177, 6766699499721375141098887362611239127683998396121240285860]
[804793390870540659046756325167502042025481780201938820223576069752720818197076765306359534335051538388108420858022093497307788042, 571391894556804195042721951686904764356333357301197426224359440745048593795414652077746805495148097852206088564118124630431455345, 3476921481817788553399643110442603956363981952774301650074805275882779168694125197117614325189665364679760930747491641036320394826]
(12:50) gp > xyz2(3,[84448/9, 24540380/27])
a=29
[243, 7295, 13104]
[79337435470147125, 297651091432127159, 1069708939547844960]
[72685892201991554939273023286465351424, 80603047368915214374295115559569108305, 436094841193780080006688097590522617672]

続きです。

(12:50) gp > xyz2(3,[297, 3267])
a=33
[12, 1, 18]
[11616, -9959, 61380]
[443112444, 398361935, 2415699882]
(12:50) gp > xyz2(3,[2485038341305/2964911401, 3855307198176570725/161442390695851])
a=35
[284784377187481164, 154212287927062829, 1136627710868147862]
[208883000886602081207856655786154628156145059625205136145386276102079200, 5470238655569279960414110856808677205365313166321274492267222099991433, 269347390548883507573849313407268658089917168838533732465683477278372220]
[1166876479294420108539808503080977846358939400108107620974807422074202461019696031304972410378683792020808028492747243528515019467021815963419802517921319487044, -268655488935395645478676077144143734415429399691154527820857033344521761918204170575882795564309132115010663201445214414158631223473996996411407484900142599683, 2752950393392053005144410235927391478915226330760169532492418443680297472200214596067231815803653198235194970372624699702108083791349893632083580288361554305762]
time = -9 ms.
(12:51) gp > xyz2(3,[31942771990273612/48939832481401, 5460213891648624397044632/342368435029969457101])
a=38
[2224710090824741532242298, 682526736456078049630579, 6368669335721179285647342]
[5658774884945904127519203315495365966494909225906545811255930815943024318470441337615844412884976, -197926298664473444354054227663921438425452530565589539293277031485006036880206311445467470307679, 7446739338342711449248677378487260597350604655507387074631867505074193932805069921969249692392540]
[1156190967151502585157183829377455791825290901078713506987442209463920378184459194663479054574908780361642141359062378517970272100791845937768382894369122717095784726530508679926973854501845943867097308380624993696654, -1399769201210676718553501281427506163290466507318948575200671885797195661216332011372175928733095132363652175152401609506141979931379890811426477720565845500225302367492156407772852763926650950454389403408763681518645, 8039386077419888843173754443357010772192052718034960357113551144093234822872925192961221525705425788160264172797841196263679367850510681583192360835700743674897518035750791557941228992457069038644862824036472081957562]
(12:51) gp > xyz2(3,[167977/4, 68845355/8])
a=41
[288, 40955, 49164]
[266054726723083488000, 4729250208430423535617, 11354480827730382023880]
[173918477189592387128242064436058521219912310368, 915925358940260495813014098600108963327952875515, 3298952749598970934529042115564726300111015149604]
(12:51) gp > xyz2(3,[59292/169, 7345512/2197])
a=42
[645918, 34007, 899262]
[203222756847101710992, -363617811129891874919, 1893416507618336211420]
[52683500574154261567765857946157541817358877126, 15740820024270326924311154492640281671836354865, 153005330598280438231987629184056534253777504278]
(12:51) gp > xyz2(3,[5868786598825/15834950569, 4904238088798770349/1992622674751253])
a=47
[71734416291045108, 2220116835128461, 94277936072724450]
[13872053718092158645275096547286765900977781996759689524140152628256, -86537392242334634786593671191725499094520773061293557013535681711727, 308289598990076750214144766341605432052878141686766935320435400607700]
[447499470508930198931846279678955572959612284725828613143144896160800456337659738618666094622777470330347578148457276000246828996951879322723641274562500, 52983557431121847172358179869672299204911190946377025192056401192660838724222508774428519021935014244617707377441407982242108719430935432231416275479827, 811039731049536151275307415508694567735680955501035776786959337675629829531406285307147911960149325999524212028703560324578217109174767249807420064922650]
(12:52) gp > xyz2(3,[2189889/1225, 3224363463/42875])
a=51
[514500, 413221, 3005730]
[83930606601522131188164000, 6865968081342788760116209, 133759968624821627627060340]
[908162574064314258630491973345105037681070873590346611500, -42310650524562409968431808384198138743804076426899245499, 1258979831547860908622760294109890461526254168788018596390]
(12:52) gp > xyz2(3,[23900032/14161, 116057464228/1685159])
a=53
[15166431, 10329073, 80493504]
[46948224555024014155819977627543, 3001411856527448156162624531783, 69894592548098128988713617943680]
[731665970495307298676574759177099614806069280058837629365227087642624, -49198510557242614024227701279600590926059174348078402069167051180705, 1104266792561281813014514564841511354603884859924177370445729565677472]
(12:53) gp > xyz2(3,[96473834157481129/346985793025, 29965001766745474349119117/
204393716310341375])
a=59
[7358173787172289500, 8608159082661727764757, 5779158750471360655230]
[130705813433896522198734511615705830745847248814321428612389949507766141556745093949628000, 19113715984558673780184356723802373241723859481152637270189081148072839411873308178096979881, 25664305279957989349552190891857770732364852739393182831842032570884100687999100474247707180]
[72581194636395837436990219987952730264756257471841873642474519116336178876573455840052675432808854621436917091100771489103629380802012076875028822431259613171778237212891028539254495950816997614413456500, 3144852047798751337306906560983190568509375103021849874307943377145283387580312567906132684278466141792796331410948363115884963525257853209169862520583880907650129513494147374976559340337567519831913043877, 6333975405615950032524831176528463227166311196138845208825202211272998459936354913973361206452045386228331411903279041030797461798189618799061246928157947447282000930314543405392786747396070418146550536090]
(12:53) gp > xyz2(3,[7004140/12321, 12289644712/1367631])
a=62
[24617358, 1598549, 37619010]
[773094663748176824131941349296, -413183136872202890177897356463, 3684566319546268207535463811260]
[1342556706478024499099650319872203133249430388964637187867047589750, 1137070237966940587679724000289931160342314894881766228500148523523, 8664916246873598048056412289586750486810682868801149950410691724970]
(12:54) gp > xyz2(3,[956305/1369, 755093825/50653])
a=65
[308172852, 30203753, 551979246]
[1698271429347851414799022296400800, -339236717706082424190353745337127, 4414305090189548696290741082528220]
[1202908287500474225406231039014830582367372643478694909454011679172284228, 20607457905065880527842677110065045586906314983923431867249498198106176231, 58405155577831585208563050947399263741012214650132770426598985709081522774]
(12:55) gp > xyz2(3,[2392, 116380])
a=69
[81, 55, 468]
[7129002375, 489171071, 11268508680]
[91898105600775399588, -3862552050024996955, 128459618384319886014]

続きです。

(12:55) gp > xyz2(3,[834859903691283793/1553265071082256, 49670583077240772965485145/61216481496717195027904])
a=71
[2203793333881819021004544, 9853319396397693506345, 2780540935484837082868632]
[85020808715971937027593968750275289907302044884146397258791684484226009669903053663950779136000, -70963575192056169101519239234790965561190729326498229834879726328040351675649906201115644747222063, 56711169424634103241688867034635501809243875241726101155108354794473462526883553698276425787851440]
[11035069064762691138874102253777871968750982686465287703620583922255589960006774473615632126119113724203144126885552564707246365541658206383868200433246072649161327311044672632400487210100254248180169106339536286266657536, 149140997653437606913699887797423619272043713993597320797400998518614194262255096010467832822050812567859171671718938178235610077725554466137462028086039746014165272406621692386270263938549960352669660015641932481135415, 14081337022175228847111952939876048464500764866603901813100786300881912477996811130386083104312260979695501552574011039107860447124005844547361966794004786899706214654041317964431878903108478861340603861233245428662321208]
(12:55) gp > xyz2(3,[5113573478508038908/3778756008298569, 11147531066976198856348302920/232286128715898206259003])
a=74
[5723994783817163598634351926, 1393441383372024857043537865, 17445840971557474688254138278]
[123895442009173189906437495250169228657499309942938427120310741658774992323714137396551963052788001322311742000, -1976154896166813485428476043202994478693885098055376370428133959004938020046325608277022118902605437328541703, 158983566673303140575214097724236430642630962761621402626514612388815106087733457673540609192157085928812684180]
[1087407621566893632554743166772551202209726358642081658566557057546123668612862036137684863738270744842888983295688660879507310397208826336988959311397302325489373961250552502829246137695821908763374202103724131955650643350890930979292765674468866, -618694975419781711207592041910023746643608886483720969145222388089840508203944433937241994140025370730584423135076867856944829849423105121299804319465322735479427683435810285526184498473975604221777505033515566407700628319670043543311195741239855, 5722379661946051690237125921778832762053524413330104691658449897816508200054917389432977558865196142636173084419156342994225079609172558365629433370947173956637983419678551519413426851794351015975442706979019427757441771435735404073970004058825698]
(12:55) gp > xyz2(3,[26750152/45369, 26907279652/9663597])
a=77
[4261646277, 55593553, 5438792268]
[88600477514374208140141296905208909, -2590332252903916096479448552599700393, 6500255008875136963145959695720332040]
[3391072951303939811817762943264064452140823203497695550375084504157634996020764772, 142357773833547114823539732303654930141963561556714182884606850077180802307115605, 4787645893328497907545211201515020280193504847215147462228916532982380067539776366]
(12:56) gp > xyz2(3,[1800652/841, 2390898808/24389])
a=78
[667722042, 298862351, 3054806118]
[142593367461700590168691454944505136, 4816504221664542454760973513027841, 194401409782544429415275047478350140]
[961012215430639289467095983063483424697480361680171436313855109770379672398606, -90383909082419437780815948665464051318232783721492273337164366915533154958105, 1759725557721120851313609665899888496763334799597011824612795318011644003453218]
(12:56) gp > xyz2(3,[6629768873755790868817/1994472500391107136, 538000011593146180954351921729447/2816709632766884159771088384])
a=83
[101401546779607829751759181824, 78095516271323295246676139023, 676839307868352923167913503536]
[2661760968315465980820864604220991277342764117347306691911007484065083618923479647267695327819016571569681274390912516096, 224700976520069131170867796761554974131045850148914627509574457265694166144434501772591984724118826868690383959164495529, 4712372306515598547764789179648088360198695062274340112350770666371483109496401813899314229307417665577757704672256722080]
[170185710369455150277232537489369455581109738309348551541104156457255744644842142354147994426446958124397592488020680895101478994163869258133678594248208660286926739776320807038082981678463322150299492942731420439513427723688863496429675103317629766152071268293580818432, -2949083469063216338524569205270686831479343042093867017202989004331345762747055134485181227850926689013986400692403432053738810985209861040041481318302488130218799407345285211826309530016796272721522798873642948007512598632856696940605943617690942497363905524681279105, 219636711918965189022615704860687523501025314460246327177006001202429337183261795568269271741082161113567171788564324504127311792148138679634051011136720781473247175440889559998464541527349423305665209569449377857980474717545153402509187679484777027797204612666643927696]
(12:56) gp > xyz2(3,[22345036/7225, 105134480216/614125])
a=86
[11054250, 7107523, 66255630]
[58709854170274108824872772822000, 3911051855000629173874000366009, 95395179006593158364660520251580]
[6157358335335770949308563519817791635021871600512704707543176167394750, -196539397657208493814115577751450074311764147781438108054390070391637, 8385389056179483677445558057934413931614326902847401856711540665188090]
(13:09) gp > xyz2(3,[33085897/40804, 129969272827/8242408])
a=87
[2670540192, 154541347, 4148286948]
[66316131063821916099255714494110357248, -26353472988930420080869949786071945319, 290932418768054743463662530734704291800]
[511952477942615036429369370674604872077873241533877622213800305919286069411997353504, 462211455005529612827870114381263223062520360742276881180803802340060046674409232525, 3856612898887483787123405327514444829964359397139842521630368990120007562844462184212]
(13:10) gp > xyz2(3,[89000089/25, 839625580187/125])
a=89
[4500, 105999947, 30000030]
[339624849058216974976418830188000, 1000005999879999614999245499871000001, 566041981172830335849104150879716980]
[121501457998177438156471569863865466556996151544809375274685165991616500121500, 106001218848948681823504923492774336458980306800371924430350863837416078174999947, 90001170062910584641201587177935871387671818943787323295810239188110057060000090]
(13:10) gp > xyz2(3,[13523548743790613950914408385/9680860142895990924793801, 1461926314929831631825291152235126891420825/30121106318441398666544950801364300549])
a=95
[391453897714464417070418180614530449934804, 58477052597193265273011646089405075656833, 959361952537069426840091254971839469793122]
[15655503585724895813296213825059086242756567834225978580679113653850531094643021021107050088766890135504287891605711724609830760848012754774842741566511500880006749600, -730170025472760999504098236251277241394688550128486212866825915485318815890035090572965163054961132293306270734021804143440817733852157056223167870884314664416286343, 23165651225831274723845235694389831021082433442010767659903678677453830216264026830180850294478723293276978850568227678437038752845101110734935459740585569274626731620]
[154123514596563119568343732675064592691822820109880550812493761429952708982324575491621471328004487182240594199521190625700272783979720612081496445238607537856979248721945793164467498121327314866871392107437636409776034811687638364777588001781188433548896632046032748507709996812479760843339978366459869488301543961703523157943566815248361477387578002309197685292873780124, -547162011560389446654508791811907663356963939772916201147869195447617720749525216827119935782587480349127134877150112433285738890124132285860787332943767693279908886034207100370702612640765781789476109833257935437478014596357159142308053905156440501582103205660783687977212584787406552456786336981425198796093148321021915254289414650060401011447798344789465150698177525391, 2974168076135153378076302446178409760611582933598804315512407528428302223478209155907594823463434086810515760625662142699560506528751947970075493517892521866853175037052414495119034467520848605804970005890185303767442761512149261996688485305626553695489788333151043639428865793733571320467617280286845045111711838216742544792368378034190533704918216735928307113542190437062]


これで、rank 0(25個)またはrank 1(31個)のaについては、解決できた。
rank 2(5個)のa=43, 58, 82, 85, 93については、宿題とする。

なぜかみなさん共役な無理数を前提に議論していますけど、

19^3 + (18+15√6)^3 = (31+10√6)^3

14^3 + (6-2√93)^3 = (17-√93)^3

みたいな形の式の存在が無視されているのはなぜなんでしょう？

共有しておきます。思った以上に特殊ケースっぽい？

# Search with |a|,|c| <= 1500, |b|,|d| <= 50
14370 : 271^3 + (1229+10√14370)^3 = (1350+9√14370)^3
35805 : 338^3 + (1176+8√35805)^3 = (1367+7√35805)^3
3010 : 471^3 + (901+14√3010)^3 = (1078+11√3010)^3
3606 : 217^3 + (864+18√3606)^3 = (985+16√3606)^3
2629 : 546^3 + (785+11√2629)^3 = (968+8√2629)^3
10941 : 254^3 + (775+7√10941)^3 = (882+6√10941)^3
6490 : 399^3 + (650+13√6490)^3 = (899+10√6490)^3
1290 : 169^3 + (599+16√1290)^3 = (672+14√1290)^3
2554 : 1115^3 + (594+33√2554)^3 = (1439+18√2554)^3
3297 : 436^3 + (593+7√3297)^3 = (735+5√3297)^3
18705 : 436^3 + (525+7√18705)^3 = (811+5√18705)^3
8533 : 438^3 + (490+10√8533)^3 = (781+7√8533)^3
11085 : 182^3 + (450+6√11085)^3 = (557+5√11085)^3
802 : 273^3 + (352+22√802)^3 = (529+16√802)^3
310 : 219^3 + (281+10√310)^3 = (350+7√310)^3
8665 : 804^3 + (275+11√8665)^3 = (929+5√8665)^3
3945 : 1267^3 + (264+22√3945)^3 = (1363+8√3945)^3
1965 : 122^3 + (253+5√1965)^3 = (300+4√1965)^3
142 : 91^3 + (233+18√142)^3 = (270+15√142)^3
2139 : 665^3 + (216+18√2139)^3 = (761+8√2139)^3
2021 : 970^3 + (216+24√2021)^3 = (1051+9√2021)^3
3205 : 258^3 + (200+8√3205)^3 = (383+5√3205)^3
1345 : 632^3 + (189+21√1345)^3 = (713+9√1345)^3
473 : 196^3 + (135+15√473)^3 = (277+9√473)^3
327 : 61^3 + (120+10√327)^3 = (157+8√327)^3
229 : 74^3 + (108+12√229)^3 = (155+9√229)^3
727 : 711^3 + (104+26√727)^3 = (743+8√727)^3
33 : 37^3 + (59+8√33)^3 = (72+6√33)^3
109 : 93^3 + (56+14√109)^3 = (125+8√109)^3
4362 : 721^3 + (54+9√4362)^3 = (733+2√4362)^3
5 : 38^3 + (43+9√5)^3 = (54+6√5)^3
2046 : 335^3 + (42+7√2046)^3 = (347+2√2046)^3
8745 : 1456^3 + (27+9√8745)^3 = (1459+1√8745)^3
6141 : 1022^3 + (24+8√6141)^3 = (1025+1√6141)^3
886 : 441^3 + (22+11√886)^3 = (445+2√886)^3
2589 : 430^3 + (18+6√2589)^3 = (433+1√2589)^3
6 : 19^3 + (18+15√6)^3 = (31+10√6)^3
1497 : 248^3 + (15+5√1497)^3 = (251+1√1497)^3
2929 : 1464^3 + (13+13√2929)^3 = (1465+1√2929)^3
82 : 39^3 + (10+5√82)^3 = (43+2√82)^3
1333 : 666^3 + (10+10√1333)^3 = (667+1√1333)^3
321 : 52^3 + (9+3√321)^3 = (55+1√321)^3
457 : 228^3 + (7+7√457)^3 = (229+1√457)^3
93 : 14^3 + (6+2√93)^3 = (17+1√93)^3
85 : 42^3 + (4+4√85)^3 = (43+1√85)^3
# Elapsed: 148.685 s

全項ルート付きにした
2: (8√2-1)^3+(21√2+42)^3 =(26√2+35)^3
5: (2+4√5)^3+(7+5√5)^3=(6+6√5)^3
6: (4+3√6)^3+(18+6√6)^3=(16+7√6)^3
33: (1+3√33)^3+(23+5√33)^3=(18+6√33)^3
82: (20+5√82)^3+(37+√82)^3=(45+3√82)^3
85: (12+4√85)^3+(41+√85)^3=(44+2√85)^3
93: (11+√93)^3+(18+2√93)^3=(20+2√93)^3
なんてのもできますが、どうも見た感じ
共役で作れる√n以外は出てこないっぽいですね。
こういうふうに変えて√3とか出てきたら有用だったのですが。

共役複素数を用いて1つを有理化できるので、無限に計算できるなら出てくる答えは2つだけ無理数のときと実質変わらないと思います。
計算量が限られているときにどちらが有利かはわかりませんが。

もしかして全部同値？
たとえば私が書いた
6: (4+3√6)^3+(18+6√6)^3=(16+7√6)^3
の両辺に(3√6-4)^3を掛けて整理するとDD++さんが書かれた
6: 19^3+(18-15√6)^3=(31+10√6)^3
になり、この両辺に(5√6-6)^3を掛けて整理するとGAIさんが書かれた
6: 18^3+(5√6-6)^3=(5√6+6)^3
になります。
共役だけ考えれば十分だったのかも？

３つが同値だなんて驚きでした。
一見全く別物としか見えなかった。
他の√でもそうなるのですかね？

5: (2+4√5)^3+(7+5√5)^3=(6+6√5)^3 に (4√5-2)^3 を掛けて整理すると
5: 38^3+(43+9√5)^3=(54+6√5)^3 となりDD++さんが書かれた式と同じ
これに(9-√5)^3を掛けて整理すると
5: (9-√5)^3+(9+√5)^3=12^3 となり、これはGAIさんが書かれた
5: 12^3+(√5-9)^3=(√5+9)^3 と同じ

33: (1+3√33)^3+(23+5√33)^3=(18+6√33)^3 に (3√33-1)^3 を掛けて整理すると
33: 37^3+(59+8√33)^3=(72+6√33)^3 となりDD++さんが書かれた式と同じ
これに(12-√33)^3を掛けて整理すると
33: (12-√33)^3+(12+√33)^3=18^3 となり、これはGAIさんが書かれた
33: 18^3+(√33-12)^3=(√33+12)^3 と同じ

あと
2: (8√2-1)^3+(21√2+42)^3=(26√2+35)^3 に (8√2+1)^3 を掛けて整理すると
2: 127^3+(357√2+378)^3=(306√2+451)^3 ※これは√2の係数が大きいので記載なし
これに(17√2-18)^3を掛けて整理すると
2: (17√2-18)^3+42^3=(17√2+18)^3 となり、これは冒頭の
2: 42^3+(17√2-18)^3=(17√2+18)^3 と同じ

ちょっと試した感じでは同じになってますね。2,5,6,33だけ見て他も全部同じとは言えませんが。
でも、非共役2無理数で得られる√nの値に新規の値がなさそうなので、
「全部同じ」（すべて共役2無理数からの派生）の可能性はあると思います。

DD++さんが書かれた式について確認しました。
式の形を
n: m^3+(a+b√n)^3=(c+d√n)^3
として、全45式のうち
14370, 3010, 2629, 10941, 1290, 3297, 310, 1965, 142, 33, 5
の11式が
(a+b√n)(c-d√n)=m(c+d√n), (a+b√n)(a-b√n)=m^2, (c+d√n)(c-d√n)=mk
残りの34式が
(c+d√n)(a-b√n)=-m(a+b√n), (a+b√n)(a-b√n)=-mk, (c+d√n)(c-d√n)=m^2
を満たしています。
よって前者は各項の3乗の中身を(c-d√n)/m倍すれば
n: (c-d√n)^3+(c+d√n)^3=k^3 すなわち k^3+(d√n-c)^3=(d√n+c)^3
となり、後者は各項の3乗の中身を(a-b√n)/m倍すれば
n: (a-b√n)^3-k^3=-(a+b√n)^3 すなわち k^3+(b√n-a)^3=(b√n+a)^3
となり、いずれも共役2無理数の形に変形できました。
よって「共役2無理数からの派生の形しかない」という可能性が高そうです。

検証ありがとうございます。

共役形の派生しかない……経験的には真っぽいことはわかったとして、証明できるんでしょうかね？

同じ不定方程式 x^4+y^4+z^4=4418*w^4 の別の自然数解も見つけました。

839990066^4+10754417721^4+25232397949^4=4418*3120163151^4
139725878854678372058371^4+665867942359528116571674^4+1271597488901889913049231^4=4418*158828760986524532820581^4
152225944905867415902156376625783^4+270819182019128571674398824263238^4+876128187714445505030017880090917^4=4418*107732306964835629315765660587467^4
27976976606216771059969867199249783114828840295678863020736113224455472178^4+66935168501509522550508168943393326707191758808523265480393414548117535867^4+112243133090369611154103870833729902480342772885524997500179682338364779503^4=4418*14195620786961928858799910212095048686523439299180433325439012228248461297^4
9451233251494891395594729120327332438777390080635592116901480829211499184868111795647690643^4+16256316640632516748539518110555177665986374835874970545218326698723516928876809336940343918^4+53204232132725472171175713731932661107108471546847593400545707395100057547319048301800992247^4=4418*6541676750724214902274348291755731900597459532178521212691899738140121428088891896741144753^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=6962*w^4 の自然数解も見つけました。
ここで、6962=2*59^2です。

1650491964322344197661637^4+2210459688733716347240518^4+2522209689895845066951435^4=6962*318635150189388184290193^4
93177695405116955725906543306^4+120159094306411156271972202859^4+137232837767140861187446877355^4=6962*17402416693032814594130832809^4
18635360829508264456813367732628530619732784982010615709898332168170890100032696658512390018^4+25954235861390922629029267994681849624597402494619435964701867925372802035285509816072133827^4+29642395734940022385962381459100840675045800904514108194139226307434897818286657536982267115^4=6962*3729173599939411340481583972662609709886866954641511654789865321599637391424178203913295877^4
3353675991245937089972801427337150227124831981507924570879634145203784115506728145104369866396185688328621^4+4168943077784619233586679645934443278899918324589601506790797980792334308092520908185584605570749131561294^4+4774742873345170829809522580439921369322156981118217124764482004973202778608187436973478632377632658231755^4=6962*607512851131275960333710048169595633626507202547290277752220702736197638026984754881378735525584942978669^4
....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=9522*w^4 の自然数解を見つけました。
ここで、9522=2*69^2です。

2512^4+9347^4+13145^4=9522*1409^4

29751025^4+48409877^4+51287812^4=9522*6101239^4

27548336363411536^4+34270815509506607^4+68174472657383795^4=9522*7052581162829763^4

11823042468517115^4+50508246654083497^4+70133352524735084^4=9522*7536625918270763^4

33026687330598727812747167005964177^4+62432139911280175466986681251797680^4+117027379848984072424296041593776179^4=9522*12097539872487720401887933792635843^4

16668964367511606070000107947188525^4+403817984264708210303012055939463241^4+408528958786237539013162810999427696^4=9522*48900023734371091413337668220276337^4

7857813923727783460289455468336392004632762319464690815^4+44773494505256497874307516135998555699935853122801575736^4+69083073244961919265926290206122078196418264281984787563^4=9522*7283623857611629812445160099682024032650304606247483439^4

5921391222829080458489303558942572921772401693352013836762624888137770137^4+15134142203912840409602718239150719760428991997266363030402628623284520020^4+29061443533668540659148651097336534635787387115859424432198703507585223253^4=9522*2995811856620162037513674208540282018500835620119559415938338666363950059^4

5308559011229155732833101968240101414695270097624316683425844182658716013230306466901376120982113^4+10425328663982448532136409679793736814786833636654741975160832194372162769661122178060769555946800^4+19251223863217473453686598481463501000511409327692944898093959760170551339148892142446266370585251^4=9522*1992098513938400192305206699958342772409132227231650069377622285306794293563751639182909666530867^4

864083715873319593014625022718944166970770575579708666524518447263410725606641514638386956511597271^4+1379205063912508887292145506940912200494787294245478834532650015815001945123391016062684562349386256^4+2329190685678187594707887712881844161106790452869713865552825760738473107362662954314792069651112845^4=9522*243740819150877227274155331573161844446697082664447568086486408893477109380203757190052650727502673^4

33011050386443917838369733140161742641314403627844303068984800547906556332880410098944675882764044064232441586515888344913215055290689700206234101104^4+38945167175449108972921631548399455637440282351491721190951154413474820954032954529466757499469350661029005091527635010515639669080883456429403576027^4+68331927249552943938917357011610861070982630964752114643647627435429430676521982573075877614223380186157462852441789575161613939311191593984737139895^4=9522*7178846537524643198840664780633067472240139205124485304698220488581581788470690116460346470564879546308499858564072888130891025419012011522273572907^4

46257859641696580352050784887029320880258462714855913072675397878771719771215119366221034578171891263706274865490849550038824824480477779160387286268875020^4+54923053106078026957189890717823069941524318260527631700282584998745093199094536251775917278331582383615542080124724232328891995060368568152774678439649591^4+287978887101904407886657997954890775420823671382675915912746446167905568737573944630815665407922622564382886046345754371384543582099469839019035922259551187^4=9522*29167171788159986787570295749023239589154324612275230264189936181125139800063510245873641157918719889172772223615287758324601950923562919409225197433697199^4

24676532430669941021015378407743141306573495778734909306670883346701462406802303104086540964123155012334205707544102103903655626871523206308213611733119167503253828471682019227854216147713027560600609070954753116718147746139849302529273956810164488457703098325163184085603563062715721574064698699829389229879856622685698642142988977719082546390190690888919359018483070080912968043079768765113290547056835304729584^4+34421785702408994482373544809396158580847882542374762652804805341296516731859453736516223128498995943509412760070294021214639911227736535248287570350387333900919497069322938198214760138805124629581691225640692376254309259635152378229382492410959406547342293244540721661972983014389910958337224497019493136295769199554043668393311973620341107501349310507627867676440028307841673515752146223176256957643363300377067^4+76771812552492178442679706307088852785208183512062014635733010749446914777933343320914006832145054345618591394038027336495957626941874050762223790224346728771230790877883148902256390289079861565890329475768739155099312077995867680890062639989101304121233344908675967103437086270932785736162950397406435503763920528658251860911224192459371848647940385700206225916407682407591260241771024491734107569240611236767495^4=9522*7869179877366160533385662099763216512007011481979345533774248060362058449291802341259948499431564045719420213133127261180160042590456271220740506714264496597660280126523481231918791092756856740399234735689250850789079848392927911802791002599896929309582864346232034734355639539793912150464597521991308668090106203071621800735758999629593263633457118670413403951945842902590876131185787289218568023083397421305147^4 　 (2025.10.27訂正済)

1559233963354001182400342451899992753594387694070851598157670660086651893010695727747892455446615057978676169719458083416012882145017900881725874305869320745359900702237281048939538910065191298944232280870996682600169647874314709033747405750187976800169689174163644446317835273815025323661378080553765230594155810830235136495741329544461459782878437383779271687743760612496337570806167035619739468807556243528569536943234505545875203^4+1865629648969519944576380703168728634661030449711571830266051058633181634532214779867475998753476009348981196612610362112233500044433919372195142753129508688709878539129567708235968651219341009182077903280435712246186518289047201046538247727968354786659374610118277980040719057996099206691591804927219512525245888806552051769453378428847808157882973794600168281355518141145843638083808917917579929011126569522470086562616487267716740^4+2412302102768116576465244648500379288561378518801531963690940395093932080971571524665062532267197186962407047591687636381644743727192492378659647416319666386488722471912624721415762802121758183711040613298641892574975667693735433776092817385290040341859709148089173197249228858793940263926068671851623642283445499188853395948140672342780931263155015433337506040945085183519276954365127918591643125859560517770233649606593775204854519^4=9522*271697276883781307028487216768647708328386470328246579904792459590276423739729480345969976606048555616365769377707947372962866624432939621901706553780034788340018757555215802285700065257841390418462929905074214229961495853706961540921012083895442761567678534601798835027791557171758576247471768810013533635517664125853176207258508073160932437730253245321488408778396311090462928647776732979652174914066954866202161256044705859118311^4　　(2025.10.27訂正済)

11767091186909546141306169841720764756130444581206934865435083326718186324558032608360845647478118583213628785572518971058718422181882712499617785288401417546280548454067201602382103280178197^4+21830051836600793275033248123722803872566312685135028554921401475396149139345332250554230224173776843744934332759975080155681076955306345037806994633220063180282871232738534276976629049180560^4+41229378323930948856829177159874273962428511393208645570261693325109828803037587956062416932399612278014005199730734822308303592797510243811009351894727135488662160708486571266798479733343111^4=9522*4259956343074635959865480010451083687147833306946387015352430199526451079902678000416316135792892817600235836811103635222334388696035323579616330654919659124607468630291690038541280227664251^4

48588612696681706539332284880881678066394966951409422641375909276376181764665606914777584727816870546192475066326086587946096959218544100914286141825869923120464565480947472744796829728423082672^4+703474795914013590515101720131600424575386512802901910158455769280283652901529564247237148888193358612654414645180396876766922543609586829454955196918992346633084665273789025089558822056051509255^4+910264039748608729490591252447333086695055227112491202152364539881422757106668742204584809957587510731968719121180476110840796406976726904134259221816237420235676621658712840373827228716396175517^4=9522*99450818535724476838272547619679909733982746157950419736649826908121469691574206136603631699958202228829878415193815996725581998166032273158949702115166379267718973527715079151228590791495100961^4

.....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=6962*w^4 の別の自然数解も見つけました。
ここで、6962=2*59^2です。

228599^4+398665^4+545334^4=6962*63949^4

2100025742028550565317034540707738058045456505545843^4+45421086823208472056892867402399364963564512694486330^4+86814184869655136511659601486250622020198579283437163^4=6962*9677261339139326855835271964461652181768811191847443^4

249298444659946216580102823233061001362855903557953088233344226765750315904321202782503678245420711109072619072504886026525839122137544129754288169^4+426731012331015557050156264319686969010691327978193190239981400598734951250398782346270386307026178732207757240763857868410222584908435162639864929^4+549744075897987365966780251715142723959110464825326685272977437616813792819203052065304918264721987845990443381772406556770932668513763173959270590^4=6962*65527397430050936899944588671541300142348971721754922717799825151542525706306491654476066089155900185262315918276450284734653838306746804941639569^4

......

不定方程式 x^4+y^4+z^4=13778*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、
いくつか見つけました。ここで、13778=2*83^2 です。

119495384902^4+710769404341^4+1863324838933^4=13778*172889470611^4

10858539351671^4+18812592313607^4+43672407082658^4=13778*4068988742601^4

899845672612156501940358798814179175950237961^4+2848880022885609948243685649965165968885824642^4+7290073773006129542485909078008929822010591911^4=13778*676804286491662129399515488528046774580078393^4

631687913623090903089667595831516784423047195476678^4+804951234902616487477212258124739811143472775708273^4+1497481886471447136650176791050619619045018374649561^4=13778*142036082302511592325069503522034652734943191396869^4

2971337102647465424269573409708455481200899933261669359728768414874498419129249^4+4011199880783500963728708761603033071641575266616442977129661802609886773279346^4+8062733767433340968458452582531736015678372203642659814371975481500150833535567^4=13778*758598401363612632870759533310638407976843212900858728190950967627188033395057^4

873786834988008868696443175663211964259325858586525240931193489221266456502947193898^4+1060251999075905785372738302168971788742701144576846921286946060025427258289657464977^4+1648268022632209611192655312063266625599226865666229850181180387231230372202488348969^4=13778*160869996358558772208960121115545311703448325466783526581638187496320626966808499901^4

10979889977766935135998839677842650807330424708721917905534431330218084038922964691047146255548660436731662762^4+23508014031133890210387772586643270786054308663705336895601160513214009567615666021443377005879456785991744301^4+57501462330226830569777675723990800075709414853451977617014446661815884709526834664326277935799796214930780429^4=13778*5345816976019897114409380834901803972621947594164467640976217199806559574936094073912813226027746344457608347^4

12762978579416288948274047213686540612997077401703678289451355774814761349841028157650347333657023250742894568883002^4+19175127697903284298076633715737574428421107634051190570370162526371895207870830664205476558828620990370607562677561^4+41822697629138236879060751579889390282947759417663120149153521418412600184123411841997535426354955519332755846815249^4=13778*3910283479791508203608477079309482797217831638150421678415464528487157371588166912035724119460105716568095594869637^4

2695115167384878828303663796900058486602503956102894967783118815259275332062603521871141141315187737405432338183339819705719^4+3277511096465092385810862801759487319005076619237301576777153384435283948666371402128020126565570075326631417122156284302314^4+4670344358249726444524300809484758872660870005076317838837215785542577959037452860367213019256241096391284583726907336227263^4=13778*464955769924017994358119574740254579722891889992674597404775296440430496399124080420252408014189525077221863018404685832773^4

20433281997143442191584049013355057316919740878176726771779692380633668348505702232916748150853116933579516139638387001099681^4+25928741445418524253105516849566255255722052178012940042845474243433772912963701503906756338803169070307959280862452988311303^4+30528943902617961780990340250697877775287935434920319657136842862064685469226991000647696949485862687521636748250225939808442^4=13778*3227461749111690709343271426402367727740600381899203951992767632876728710050214473774126355749037881744106784821110349543789^4

169406191608333654643982459483321319581782030620476715388016250136784315193192954552784578137078013988631131005218857534074948144156770706104210198405554225817021837019739681^4+14192690607254497183623183266587279411399304691389160460910975754005331394770933967840252889603465782266630060518175897568736597145477863656774164188286332374225989973252454447^4+37543167959902925567032213884742769528805583022464576843907565248618959011289398328828648770986229673710157476734866111670516127405172943362576883319436732923082052985154550546^4=13778*3482807811034607672642738382540045994053704136995258408477512742530117263675974852805157218150706646018605670627960140533690753486744325423121511025221126477247529222744366913^4

633320975134102469452597696493275514532931455144844539761187913193686870497808396541739566362863104598803434532770657578110802307502423995747639418045292014124352875804065195123969262578279421205953962^4+816570097106661905155512256442524336737296939077375400304130457602190382302062845420999378153870281246197469380652718601324181923527550534276817806229383289864189488211818682789241635196185258692668757^4+919647796632978213899685401402326870790353819515638199806920089686635828973120524293857143365515225116859169321843234975299884044918272413993002092314277054535207489008614929233389101533415908605908709^4=13778*98948898976804196126388391453143455602517737524423806995366322253576205489046088144520245560017734025833179730452017706453167666465599818665368876243840344183869709080541952532431676181704454187642939^4

....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=2178*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、2178=2*33^2 です。

528988010581^4+673826751736^4+822834434251^4=2178*135897934731^4

49844029091^4+228952579861^4+1483468981664^4=2178*217182947871^4

32000460716164506351472809244649584^4+47670989989820702500353956628214259^4+248746349899636462497589048073689931^4=2178*36426571922982851947285034444085879^4

219507746553061630073271959990039029^4+345799864919744525022431412950223784^4+383012923799155444962051137895497861^4=2178*64689472522977490497944967135575859^4

4247886730314556740559893326524060211336868814818638384626485985765650696187476424^4+10276555182927856478355052939728893360596697277975658519978982451476784714475954661^4+11670167990098221359860153445747647406368220274887453239745226775105907256291873589^4=2178*1926920096314721144089794707945575272003854088607782609121105457889769940074085859^4

5858372351350412823673613297285142518340249300692964162714681467684315231755113424^4+14262474492421509278535085470527587418637596237419314316151868872102242430440306861^4+54925930702219486645766400849682227997502008388224615170311743961352200421225868811^4=2178*8049510025988136395443832599296811923735586716748306680901984507964215704941577159^4

92523331016124834130983179128468220533345013638229617283672079900912630324404776905949^4+107415245590344077376373651500955307943432343200277172373640004965192143323512211297416^4+745834333180667881833496221561802310937841467955581781234539473812937895131771826249299^4=2178*109194384044826231478679211916895729083271158503438215979597599114906534283557270434731^4

832427785185544741813593446827186459117169965399347964141424998644371511005574282804781^4+862367075819385373310904061759463110080590260291258079049719577752932557771914735704576^4+1163818864297235231518227302727154265527700171153252102382494775886894044265251042684629^4=2178*190490522024141222541614293067769538748705899187170720734526921786328580765163638372951^4

32343646465540020374405054055012194446924556801456454499655399676892132780074396996875979153316607130011137264^4+67184580239958680530404754236190055978477199388350134531875907050458060068646175994811638370491284398555776539^4+69113812343097840881117209010485969598404902804572272496438545006364398625303692167704049531455388192033827149^4=2178*11941280630785677256212008642389605437278007519638491706228928068860632759703064522895297873091747316950194559^4

99086885102907091061133518464840897386417249726456863897498001514314009657822751461773575114680391673548598221^4+145178142518767170057600202998310929638564021753689799020991512191226466544956322490393648081071332820174645709^4+982336358486864965126579910723286009745544979377303211068120433389363544898914219624517002077686214467880968616^4=2178*143816516790840064839285863215486629714430455475808440193875885910190257215178679747243718586950696742653140099^4

7402828404243984605569799596857761083188684616198899318755520325606359325625917142527732833764716150443457464061005069398106543690098472786747725675221^4+109055448219187496167163626666386467122013443971397273156203172334131052157913533533454936408548813157838175427666029864912728911866765220155464114624189^4+258439059976348300495211273805152256067481791706429947947366101179547901609399253574500670190605862845281786989373703299413968571717051166152257178704384^4=2178*38127019987677768106569877907114822365419575293625935664896704268769769922561670479105948209163293163966484983200774207663565968040885077734973580176591^4

355657056903591370904998529196634010697455729211248036984778872809470194701195670163566260518941637617270289629376806990375843499773311149045671575225816^4+1033173151718523130300340072786928835269370800071190810291035789170693076317388211734916205885127282991327309587254570286630363786911745778491872247106091^4+1299605409373936588177403406063494969633460167811906230670001713642013242776853383999384856884364984983069401868806509342735642070321417894879285572904981^4=2178*207118807767775390906579420896511429963360403449209655479902292677845852164520611490200519698442822932393637083514781634913813656388527691304965245386971^4

不定方程式 x^4+y^4+z^4=578*w^4およびx^4+y^4+z^4=2*n^2*w^4の自然数解


不定方程式

x^4+y^4+z^4=578*w^4 --------(*)

の自然数解(ただし、gcd(x,y,z)=1)で、既知でないもの(大きい解)を見つける方法を紹介する。

ここで、578=2*17^2である。


6個の小さい自然数解(x,y,z,w)は、簡単なプログラムにより、比較的、簡単に見つかる。

( 257, 336, 527, 113 ),
( 201, 521, 748, 161 ),
( 223, 404, 1513, 309 ),
( 2617, 3689, 6768, 1417 ),
( 169, 1919, 7548, 1541 ),
( 2959, 7223, 15572, 3213 )

一般化するため、n=17として、

x^4+y^4+z^4=2*n^2*w^4 --------(1)

を考察する。

(1)を解くためには、(1)の両辺をz^4で割って、x/z,y/z,w/zを改めてx,y,tとすると、
x^4+y^4+1=2*n^2*t^4 --------(2)
の有理数解(x,y,t)を求めれば、十分である。


ここで、ある有理数uに対して、
(u^2-2)*y^2=(-u^2+4*u-2)*x^2-2*(u^2-2*u+2)*x+(-u^2+4*u-2) ----------(3a)
±n*(u^2-2)*t^2=(u^2-2*u+2)*x^2+(-u^2+4*u-2)*x+(u^2-2*u+2) ----------(3b±)
の両方を満たす有理数の組(x,y,t)が存在すれば、(2)が成立するので、
適当な整数を掛けることにより、(1)の自然数解を得ることができる。

今回は、n=17に対する最小の自然数解( 257, 336, 527, 113 )から計算した有理数
u=42/5, 1818/397, 4242/1945
の1つである
u=42/5
を使って、より大きい自然数解(x,y,z,w)を無数に得ることができた。

n=17, u=43/5のとき、(3a)は、以下のようになる、

(857*y)^2=-417359*x^2 + 1194658*x - 417359 ----------- (4a)

(22/9,1/9)は、2次曲線(4a)の有理点の1つである。
(22/9,1/9)を通る傾きkの直線
y=k*(x-22/9)+1/9 --------------------- (5)
と2次曲線(4a)の交点(高々2個)のx座標は、22/9と
xk(k)=(-18854*k^2 + 1714*k - 1832)/(-7713*k^2 - 4383) ------ (6)
である。
(6)を(3b±)のxに代入すると、(u=42/5に注意)
±t^2=(-254853803*k^4 + 45052490*k^3 - 58573092*k^2 + 838574*k - 13790777)/(-1011336273*k^4 - 1149406686*k^2 - 326581713)
つまり、

±(3*(857*k^2 + 487)*t)^2=4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209 -------------------- (7±)

±□=4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209 -------------------- (8±)
となる。


よって、楕円曲線
E+: y^2=4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209
または
E-: y^2=-(4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209)
の有理点を求めれば良い。

MAGMAで計算すると、E-は4-descentに失敗する[計算結果1]ので、有理点を持たない。

MAGMAで計算すると、E+は4-descentに成功して、有理点を求めることができた[計算結果2]。

E+のroot noは-1なので、rank E+は奇数である。
楕円曲線 y^2 + x*y = x^3 - 2609225715971*x - 1143507824283861960 の有理点で一次独立なものは、
P1=[-210928092371/204304, 61985243766606785/92345408]
P2=[-3314741716184/2785561, 2446782281228982520/4649101309]
P3=[-27132923883491/32126224, 123273126454748335363/182091437632]
の3個である。よって、E+をsyzygyで変換した楕円曲線 y^2=x^3 - 354982278072666952368*x - 1814602859398845682809197438592 の有理点で一次独立なものは、
Q1=[-153766566926991/12769, 1219117269390998072337/1442897]
Q2=[-38663144670004884/2785561, 3078756446230973138552064/4649101309]
Q3=[-19779899559396831/2007889, 2424871429504987817947527/2845178713]
の3個である。syzygyにより、楕円曲線E+の有理点のx座標をいくつか求めると。
1, -3/11, -52/53, 257/191, 284/857, -659/883, -773/1021, 467/1157, 1213/1195, -373/2571, -2549/4285, 1123/4285, -2549/4285, -893/4285, 2885/7067, 8867/11141, -7885/22613, -7193/35137, 30443/61949, -32537/117559, -71960/122551, 52328/264779, -134731/283667, 97333/297379, 776627/106997, 1138909/1449187, 2286655/1130383, -2528399/237025, 2045795/3178613, -328385/3875329, -6335275/6348323, -6739867/2263379, -10925201/1229257, -23341669/2292613, -45479135/3614599, 61957519/45165817, 7448561/67942103, 8305675/72825877, 2699/95097005, -177861821/129253597, 255287533/98166779, 14464696/262703923, 54749693/322057115, -1642709/382566763, 23063195/454707917, -85438423/603347711, -773428580/274731061, -57077759/976968343, -1144187749/1185939725, 1484183104/225255475, -667450009/1757352641, 915021392/1841673521, -168931109/1917633421, 623391085/2413191163, -1149618439/2628486703, -904616264/2628794215, 1933785709/3039131965, 3572162513/557810159, 3742652407/2834781361, 202219351/3743061481, 236149021/4045879003, 2526439303/4783332289, -3351021161/9484704169, -1803142273/12137342201, 3341489149/16609992187, -19464137383/6823737191, 17130342527/26312129057, -27148117817/16368502033, 15908779613/32730387299, -37675467433/27979947041, -128146003/39276525107, 16154164141/40480477885, 55846600333/28386132475, 12475278532/71465353411, -1121207891/147807031867, 89847489356/168249611633, 23753490359/202299430049, 159638212799/267197161145, 115988670719/436305364889, 612696603979/246797683339, -480250421407/652719474599, -335529248005/872164892741, 535665669475/906667684387, -26475050089/1020376747143, -65393920157/1041488724445, -321152161853/1195172351581, 1084350164384/1345201603217, -658977544913/1370134048831, -1392943937519/515414827495, 276920885204/1662849519539, 237258368071/1740850971481, 205174626317/1815804446621, -1184647511119/2525673234863, -122805276167/4199129250319, -521812196137/4556626929623, -5351430342561/3335616257857, 6807406959995/6908757154301, -420418353529/7629665580473, -12219630158744/3923639454883, 12771966364111/2173024393753,
.....
のようになる。kをこれらの有理数の1つとすると、(7+),(6),(5)により、(2)を満たす有理数t,x,yが順に求まる。
よって、(1)を満たす自然数解を求めることができて、数式で表現すると、以下のようになる。


257^4+336^4+527^4=578*113^4
2617^4+3689^4+6768^4=578*1417^4
4304^4+5599^4+7497^4=578*1669^4
360368^4+472107^4+747341^4=578*159967^4
31616483^4+41179627^4+54609368^4=578*12191319^4
65381968^4+88720433^4+99969847^4=578*23626701^4
32193074203^4+55137925928^4+115838763997^4=578*23956381071^4
137719266224^4+518327846617^4+1240115318079^4=578*254835621149^4
37748011899184^4+53594235797981^4+99149554742299^4=578*20738861139087^4
911962469072^4+47697882831047^4+117088521489553^4=578*24042624900021^4
132040660931^4+50981397800904^4+125164601220757^4=578*25700857668551^4
183172606825601^4+641724245129489^4+1528921737849616^4=578*314226890651457^4
3992834180231888^4+7947888557831901^4+17553209227881707^4=578*3619290521182967^4
424026664488682768^4+590367110261952177^4+623604801055104311^4=578*151567028070931213^4
426782348370995248^4+597519030989210843^4+1087059872673685869^4=578*227821281673890983^4
511871981592360784^4+863111044562217231^4+1800903433700001673^4=578*372616286771678861^4
1650021572438995681^4+2247043212746366664^4+2507220270902205367^4=578*594958299500558309^4
1612453217410171421^4+5743271933345698939^4+13697534912126403912^4=578*2815046894250490591^4
7936594276895418859^4+10732374603788513592^4+12212467136669907859^4=578*2874813599676665071^4
622958770626821931152^4+2074655592165152706017^4+4926169783694173430391^4=578*1012552004365558762373^4
1962917948926610413363^4+3796383477507785726544^4+8319462310438050509213^4=578*1716105413379319233203^4
5384567221639123662971^4+6997214332605763269997^4+9459926037921191604024^4=578*2100247549156328095031^4
14979387953953074356329^4+20946524056435695442864^4+21909160248870089122631^4=578*5349267423129536330697^4
144091019256093688591481^4+379718005409783626524001^4+882017123297849127717048^4=578*181441554542368090763581^4
431181146058955199121584^4+562696779778915419572749^4+874427646138745348611131^4=578*187832554359228114323463^4
312434022614016528013847^4+636432985842491242386672^4+1413721289183998561918361^4=578*291407432306288627926393^4
676667754188561721721808^4+1721774108602917055112737^4+3981501314758365708216503^4=578*819189754610213423150469^4

[MAGMA program RP4()]

function RP4(fd,M)
T0:=Realtime();
for J:=1 to #fd do
FD:=fd[J];
printf "J="; J;
pts:=PointsQI(FD,M);
F,m:=AssociatedEllipticCurve(FD); F;
printf "rootno="; RootNumber(F);
for K:=1 to #pts do
P:=m(pts[K]); P; printf "height "; Height(P);
IsPoint(F,P[1]);
end for; //K
end for; //J
T1:=Realtime(T0);
printf "realtime="; T1;
return #fd;
end function;

SetClassGroupBounds("GRH");
P<x> := PolynomialRing(Rationals());

function FD(p)
C := HyperellipticCurve((p));
fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
#fd;
return fd;
end function;



[計算結果1]
> SetClassGroupBounds("GRH");
> P<x> := PolynomialRing(Rationals());
> C := HyperellipticCurve(-(4332514651*x^4 - 765892330*x^3 + 995742564*x^2 - 14255758*x + 234443209));
> fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
> #fd;
0
>

[計算結果2]
> SetClassGroupBounds("GRH");
> P<k> := PolynomialRing(Rationals());
> C := HyperellipticCurve((4332514651*k^4 - 765892330*k^3 + 995742564*k^2 - 14255758*k + 234443209));
> fd := FourDescent(C : RemoveTorsion);
>
> #fd;
4
> RP4(fd,10^8);
J=1
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 - 2609225715971*x - 1143507824283861960 over Rational Field
rootno=-1
(-687086638337334779045842115/1020281233811497079184 : 18103831760074552611829394499506339519185/3258966138237103174658\
0487634752 : 1)
height 51.4128814258091804198557312981
true (-687086638337334779045842115/1020281233811497079184 : 18103831760074552611829394499506339519185/32589661382371031\
746580487634752 : 1)
(-40637304303752392152614297840987955910345164038228571569315/79933440530789674858170567405117976705700848776979344 :
5139118464428488166133859096171055664264351136063113292474700355023705635813140102239425/225991840811874984342996246241\
91742285136157289233708804627094575247359543147328 : 1)
height 124.817988080703879880727284149
true (-40637304303752392152614297840987955910345164038228571569315/7993344053078967485817056740511797670570084877697934\
4 : 5139118464428488166133859096171055664264351136063113292474700355023705635813140102239425/22599184081187498434299624\
624191742285136157289233708804627094575247359543147328 : 1)
J=2
...省略...
J=4
Elliptic Curve defined by y^2 + x*y = x^3 - 2609225715971*x - 1143507824283861960 over Rational Field
rootno=-1
(-27132923883491/32126224 : 123273126454748335363/182091437632 : 1)
height 18.8919679210704994202720646483
true (-27132923883491/32126224 : 123273126454748335363/182091437632 : 1)
...省略...
(-66996741059455025828624583526036284283332075909035/50870510158497617558758424228679897856899216 :
-33225075956333521771598929318378893719039539417616286028133995342322288215/3628266170517752686090606297680923266273325\
17791450461902368044736 : 1)
height 103.793113698916990650060057862
true (-66996741059455025828624583526036284283332075909035/50870510158497617558758424228679897856899216 :
33702920602207105488671174531601698730150323030925233820529762361855818075/36282661705177526860906062976809232662733251\
7791450461902368044736 : 1)
realtime=151.878
4
>

この方法により、n=17の他にも、小さい自然数解が知られていない場合(例えば、n=33,41,47,51,59,77,83)についても、
x^4+y^4+z^4=2*n^2*w^4 ----------------- (1)
の自然数解を求めることができた。

詳細は、公開Webページ
(n=41のとき)
http://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de46-41.html
(n=83のとき)
http://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de46-83.html
などを参照ください。

不定方程式 x^4+y^4+z^4=15842*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、15842=2*89^2 です。

126215805930147^4+485935830351899^4+2973546615480140^4=15842*265094067731333^4

236158429530448531692009863365098768151663151306576841341335723161415719322908976909991812733873357804925231937889826578804525145469101^4+283293964486964464224516447743899035752285897905685403979835833551666003081655906734176753972087965135564876383588161764282993650626435^4+1852381311834935750237261357803228034624125438244795658444100893385105070692805640862236353930093123995101725029863982842093106693337828^4=15842*165145190641921456766957238595760956513692563001125795696726264084587742066655585830135564897579894923526426130066675581025906991381169^4

94823813032644294721428142735054976174667569817339773629143976228070377333187258536302661538030391671503457646043591508300786904833534234084228686248527446510366425940299229284526972156382258200399538998018901718438574700901791635618277814147221510613493606615096627561110986694661701093871685803157481094816818576979953144623652532567128865860074301749474128517219199941075^4+153097756625465939556045833403960274117140702350818003444472732149494028689897864324963641003768624086993202932538448345490226852356797360744796764813668391470909344672028521198482456990332131598787404805009496460519727718604757380034106376914745018264797612462891528649838718454792285821491382320896630811947623109923578957561420092628872710381072695315972510963716392652211^4+718774163774293278320456835430159440537292109613301528548042843598855373971446023656684641402486766293572077506927471633729920002051962120213825401103196150319341095297419546730906733765481455935020334928399154362932200907846984156498665296169281088511281140356014254755100079056535262673973591112237138234797223896961226104828202913884475791043039076487530102866845098333332^4=15842*64105606897885694763667337375598445903952289837320872231122540950405608831207927732278818236816903710313823211845200258817794047025782946231184497166645061741607711982926663347042464546703710215352691763812940004206993207773742292506039243573577669006540212995381804932233093161684724288023946221917816631541122665914223389898411643839275939682518894539274200532613165843801^4

...



1741159879^4+278196472772^4+415156380825^4=15842*38743789163^4

264969655489272996898855304594180249126633464732806856821540706873750633897448848867267578935283437044^4+361682073306942838435651958694629042177131586063663165825648437842499979589004431802393339855767906825^4+382994674028578746783341775177187661309563054315698368742944007344090996679206639224538606230584240367^4=15842*40720638661305420612722155615314259167296330704627036040345118311584880879301979511492594531167168799^4

262014099938308381985789711386138418198678777871559642020065434070405615735419134217152068281282415848356685461599383924471427299226050862542567058468103262504795844378504683226359535077671648183429966726200141073800758306787816313444126128840862422420816974606141439555437054007324^4+328465036966340813444499799979927465247255104253577852843816460473958624961113059281817890897236245271737317614083469267807388755595453313473741611091354057450119015130599518974361280968600308432342395397926910030690516752842339357250374670398355684802431892446877901436996794907625^4+350566271860209455275895848718172790449574392001648100566117681567842628749040153735811210525021293959674122370848037958619931032133328212347310594573005081565834785985813173229258895829077214656716739804805315993133666363674375961662857148634323523913304805934163267150428218510657^4=15842*37538406057560437332189763255167425808113387106512247265130392580828833334849199096712423953705956545213214458284721377474304490277283334005693833168750335160943021905127461921764174005124623446959427994919247509003527954342019842018909189262752726808882087133071092614889919574071^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=77618*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、77618=2*197^2 です。

4860673528^4+24006575631^4+38338524973^4=77618*2380651549^4

24829196449573^4+1125998409188616^4+2120615229563201^4=77618*129501786045767^4

1097790804037280567687738576400844184126589713250556259136^4+1173620728779527005833214303945431237181941396875789192879^4+1533397617848974155982614788999322095159116561720164784427^4=77618*103416731029441083350006266645433640553151312838113448377^4

...

3023^4+87563^4+113196^4=77618*7321^4

852131016296158031966426452892590082858366047^4+4697961519207353930555942026558841547355688388^4+11958860975905697097872020068000815141065119157^4=77618*720704898034267382193870892542804787729061743^4

12851783456714179158619727941207619911877209537008760902973809833207490271793826603328361512418257347531045334590929829704049901^4+47735022789602108430152186001743860399641736998355926337136056451872196869592492439012972758155794724557841577486910190675230348^4+48455971139095208951302757743424201266155076850699178533926254768535774330860087438508158231185657011282838771174677524800650327^4=77618*3429132166229808853245343365423534100060752970626190637329664469676686886570620754062288072516073873012221171642363257308035871^4

...

35154403561^4+146558018957^4+417622337384^4=77618*25114981617^4

1076470079426759602595256484156492870585772110712680355495853147798682525345725958055928459337085851^4+2825086203938083017227497848126582029049770397786190385531807873280956192656416316261914831261786529^4+5259489172286407810339592707800613135015971798149403929514527986966499103510209008884929712637115144^4=77618*321595721937016086765094864121584161435701497679197114463279076497094173980458103460410716307385481^4

377122426518836459144264160966815679417961992784375214365475080862993836410260361408388504281631976586545417903769521352505741330880117140576494013083556468570189006635608066895364623026725282116591532105300473464339127456743097907582498507844496526698149817400504284392203823^4+500702678602101419258083286407725871501336203060486609647231419557031501648202924038180961682259176222086002207510080401767355195939920995040074781237206144940394222255026624029002077837314905021046366151992856669548415043892047971448106669189058498338574499002574201093397461^4+840420759019377793064590447757336616611112988912435477257320160174882548375830941497662203204070820376617234413416695476523723190804246818794313369708498824492800625688140155818504183350973946094054955041367861688595747035877222764596967726410109843204519101743110649070675144^4=77618*523275681500538214753369893527484570906141564052941484818847105743934992316507377711095384001385290055990023416785219136969852611028304266872482302473866865923728550079512614898321067027759417386652416027430647285737511490888809965910094907110891419454255336850346165897514

...

24399746886559617659768249731254457^4+36192317331430645913378165231706891^4+39989299859618333617045727348964464^4=77618*2778727179597458396268768861002581^4

13137945213194224349900915151933507529064451676064484342725203200724064006597379387672168183903424094069850090868516331945409581234537519283487921045660745045042271131307036485189146409915178008659444246305599007884752606541606432275968041855935857444455790405862861979593363731149343310840720177937498463187969833^4+17381645336693369570978245043342837090873050706980885408802027465514768469370396707248333538740440834808302787123446421140866423633079669409253167664980604127432066418823289743709698863130993074348162311807018258727303417761427473020371302173541216012908649339284778513870269887026469510079474367866566419523214792^4+40947547119039688085714962287038412315923225426753460764392754616840110422812864771686433330583032129396739211900377139454443218272791631027315520571292873699964561797943882310030701370947670570440066522791198927395629447107075289473014220610534540459266212051832527424486641479472784527451108990051324827719953571^4=77618*2479220382006238209098614722375269019851660892905174587152029908925407065145141499020762353060828719691971143925594076707066272231864958244464039208159679744407312562159267077327229482509273196753257945096500865629967714653532928063037166827457094552719808580139515253082414634030535823511962860899329460567379513^4

...

119522180733957213038997^4+182950362081371688453601^4+186303932449286322802264^4=77618*13435407886702380004159^4

6571617430754375803694417^4+86682826729908619184872376^4+257157492294074959777832581^4=77618*15456151287272505939431151^4

35417305917314159649133293189979012855498045827351^4+91112947443061534660598394400956722315555334413576^4+135187120101279497120825502560714592897003831522587^4=77618*8496403643993648400685395639938832059048097209861^4

43928220929113849481784158348472486252453767813031653549^4+14464356266689502717825747915453503555468016771381660673032^4+51614891884303944603786735521679303742713328372002836257497^4=77618*3097076705213009193024538576631890711767604511444889456103^4

2505513424190567916237619407025657688377596015938626320209332609007073557834971795393596704991264452710504^4+3005503608350806966402446610297810118057879594161800102935399633202334056147496436635006409567203387238669^4+56411397349062020545253581099925566868977475487746139746484007036363299802296342899070408731946115517622287^4=77618*3379695262748419996995385524716573046370732095966746467880038076505678959168726250279467680077462497086989^4

2518300794775259843228825832121895891161611739444642054802326310952739564301653380032747696208525138440019128940536192043^4+4259350946501526688334366445783510074283196342290022596358785689922046856516895074466110127030079269167514377560628643256^4+4502728830365662773041693535490022166886244521416078173559352903137932675498612913903281650974852848068377588477517136359^4=77618*316657903244139193852997049159405054712297313671203125649542999175835541430716921534357944398373680268225723331158978229^4

...

50704^4+298617^4+3012059^4=77618*180461^4

4228639227871331419998005135169518542809789613340399558477381^4+8949540730362524474919930925110422225944889540497380314591576^4+59698729612254485501606048750122783279688948829180484357055449^4=77618*3577107826659936355129770368627268051240397515484019546150163^4

1062958918505961660985643853103538440628465119898997018105262019443513740443579557568284920503300281718946430995829811262427285839489227391639325680471804288407179155443464^4+1195993185974240773937755629972333061755878640300532567260543103085825746180899366215720974593941833433511624582367499657884994301032142988026551514694574045727958511542737^4+7817621246001328643781605992866550282708814159877632388875065607672453741050307899480361252142478344318700321316182585837342355503471075694428923942672924909576505709989243^4=77618*468468675268231839500311929098641901445415124061360875166755983454015876841992969562442637245486597788715671212724906860184186989295959585856490065896426878758516652449617^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=69938*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、66938=2*187^2 です。

17122^4+69383^4+120513^4=69938*7607^4

2711220453295925570526675638446069564598822^4+3293453271810958654031762892184673672315713^4+4739804872579084282084095696581006247113697^4=69938*313597131124813092507065857179838684344683^4

1352269174692743975391667770518410195476296250777320459940410763961909367159900111778602881602442559071109477783103313^4+2744450865202797375238045432112948179299943916702667659080309273628479053875942526716052023801852355476588675595198538^4+7958413782859965906819246641341219832726939905191766247067398215498270165449238069255980334415605709584253129181034017^4=69938*491204264930186091492639119031791885589528665519561481961603808282522463709775955593869934423087087934764152137671363^4

...

6086^4+9507^4+10861^4=69938*761^4

5923394966698561728962^4+15301293989247251073953^4+50176446083987978811471^4=69938*3092269961057201636083^4

1325365115393947891569013908422151^4+12585605149268636076631952580962753^4+21134041854104996350824134809098118^4=69938*1338652538719170937776437333686423^4

655528569063873331031607033961701815529^4+2443573905863403083943222897796025776943^4+3241475154389533379306077606059941463866^4=69938*213839131809240429256676332212942364759^4

894795953692228385413635330688177515303004939^4+5424408360320508127914350119119513703249651323^4+29378451022357335512811612436251701254644699178^4=69938*1807077588658221727476125087568492499927139057^4

836690988154992453050439422943340568412108612807908885648662961122545926476726258^4+2002688896898489898367259660418498655855727777528688897206678516840880880087869739^4+2144387915910739749699452019165279827597185095648086228863427411345684724200506557^4=69938*152394444609010519247517787322284022597074847745036842623981696733612154617960357^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=3362*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか紹介します。ここで、3362=2*41^2 です。

35401855^4+40865628^4+53562031^4=3362*7822733^4

76298339723306940^4+144376098024837517^4+392097054273222611^4=3362*51745745604910607^4
22630934278564908444565^4+218426009168410193424516^4+383430470008039234123883^4=3362*51630869931062938919159^4

66362246478987836342552992091201664685210465639474020^4+96903091845971137820040019904874448516482466179139001^4+124994312898188111523490811243725150204657332635449303^4=3362*17983883123274685049847136904533151182677188556511541^4

...

9377628687576699475323058281586350049259392^4+13430014704589910030158850979173000596100895^4+20303281756471950430958532134416354382384369^4=3362*2811934334922047505814776216556178874202477^4

5498135392732925109261162626045794617464152080091839387103372305851152229903666639962520936113509171281354765231778434745070259238059683768731206138031530833430136633925114995915223961102596877147376745966204204393468930202122747736838826795539763595584143874361361918275093434836947859640605106999487054002327254341284083440808532495298591842672676909064094063402418024635052955468672^4+24940513535189389030529566509801237470961153265354221374125724292068210237872087111415747394055853371796373901462298894705072441701443235131181627539301057011369486001465021207875378258215874668104815593850647795888114700596531565017047458328356294852306717689220855441617939832252220615603203138780890612485850655377124323954887308124631495932327816617068905914838628592700471154950595^4+55078638415850795899791350264428770560603317816461041979796025199706616886061875163156519121879430323910757142397112981516611073906775731715740511089434102035560246710297818449737406235328023593010904184717260190291214363551839446059380839597129056175228033047106427126917267493934677467894570269153046217671517296321259962963025924990501738376541285165575666706403561924260809276963181^4=3362*7308284986627379579332022122964838807852389744222258183890331294454494351767728339596233117673559020755632036947105480383615556324880207135376912478464743751208921623736441407850526373128938074179401998211489486692630547381704037265320444787522683601666046213511820331024349760134708931327048643606620152517441352648239564650685560952851953865025201871646188150396688426655978867400567^4

...

54318237397623078704946633764115090845241645585865885^4+93113187549013491119042852742115837188648985970151568^4+242144728952257624811403672033502422839232202982146629^4=3362*31992092958798009058793665158911374511571697229115187^4

98577770990587235223653260849164159651172019106954910560839418012517279790559028482384371535733501237842258389891386455546311054594579174380642001413759937448028213273003143965919783396850952231422232335120446383420297625631698655619100490212944972039540463552890972426900069697475266069472882522599378940182038521272478745571955874589610721203331994998186941872571497060332988146203600429698151096742026196946993556487895701857596968465884246081139594034438287380502886862377378440^4+968941274762430694626075922597708879481183011323272512946494226262714560459063119174775825349497329043762452477363370797270678696473468593130079369120777366813448095269441596575781423146721111731864911344303569095428477981040045742693869264415229658799788487898333331246283420570890044720452999144112525741052912694091105593700511785491895165958016204512593107505828307397431115703336186843528414499940848223050124125047412495856013826235812311106350190958982304741436754386455633389^4+1827653372173316845773220027298461416343441991116904414990714669086573285886310115151550444718356723420148260638593979102225989103852894850331535801047263347149773438007465401311292746495831951318093238857536641364115556478248254436642452714226363883877364148961574538017121809206994744864448325012414682489801692132784049290559436984301577306917237139079521645186097247872553959121728206212668610397154632515751013771746338709367329357051836922124358285011997394443184156230812307213^4=3362*244624745627503330700155973275890959948090836256307986964320485130760851705477885557269221288235552166709882508797452649303439671627415170623749464136884711896796481167107006252861309281880484941767257672021346242437895579539511813234100620025465151542211914035699118029551237417868174195708464516801717178849006074131584748167384698829818521622787058655745436865992537546996602784461659729903788640405160556665775832679695543981768504485009247218137828420669597213535043445042633231^4

...

92988^4+185585^4+200711^4=3362*30433^4

314623956181553354273249972099755645960593522094013^4+33830232913875010523309417936289725557988600411726621^4+58958393745878311529280931462685062088878588503601020^4=3362*7944572692937605931217541696712135904520977308433727^4

...

5441389686377966197^4+59528816491569463381^4+73706071122362481980^4=3362*10576637809123172967^4

12788129289418538656583110859149342881081725946497676756279218591709343976318805050940242573876825536847176353211152286161397952348043234634370145364853638919678696544346514963^4+716559558924251455353208701782266074138668537291926748688641765143833461766976011371621765035027140446476487381115016123661811272479490282286041624293752313484017174970984228044^4+1888460599208585942858244659257474151615773818815166388418263655807142597873999078220643520127170317005797831162288172419830594435085255482824279282505267049770629540028433324565^4=3362*249279238905356521011479619948062442521716553688857364548923932635274950240004172952467410899781043121209143798189531692147938521021977510914437859306150336204908736606071329091^4

45784551598875767948014045363298492662625521122697343237303640454839831644865770733258109073031142594020166622627438491576184294267452650859334358633349508479850492994309473493490605474657420482585395445126644159471554188420510898411396685649956209879188695042281856955058280527357977813348228151358920361614388009966831440549513405972668822633451024547585967938578022978325397786398319738151878575324425298257085037209855318625120377437672011487328547620352760787906699255235688309487793685^4+403505872454441123030324276417955609072203785009046841074530574488275795920298332679891220901257137202195520998761832370449482982435759372433010465464302425432054927571631896321680680283496790769154426300319759418946123390971576657080215020475081321139057501437176102001025085675910206076425902644120614617366371553995622772595326374115297339961237641746732341489036604108170910786221146258352058011075731191378672479767502418508370387395532149561479089778251264412204399930458004770895093027^4+487029457994476951863844520632748626963468422120187906449645750643892033310061107797282427302392744057159636914240203479438638017786419674598437295773580082915731775928959718313080668855571117580380519880103051978305267213396001429669013749337063737049554927476071755480154279983383573960627973989208379677501643126976790435010242307981333412535224436541498616015191960006360377522618392145341845848615446186463001325928275350766537217298566480100150926634460050679413786020885639847640786724^4=3362*70441298464498829141374205601882646198599818295917781823406966397581677067689906746358020491662403374555435846358579025004461397087565979577738061693469903299859857066866037749213488868751482117520637192769918294340994693368711938633474959556500683710880161684319786313604482006801728776356414730468404648157569409707079488727414620745879905694014011304447186952537637097362610458126033644865594496578772393585950274805375037774111262562455100476315432586195698205688502302458418696304053739^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=64082*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、64082=2*179^2 です。

4458803169104689069822434682090^4+7945715715665061208795528967507^4+14738000323174715042781369545851^4=64082*947100144500472880024381059063^4

351869068579950834307334925313357891879640123595139994913673828140456944342444710470875483520521483570472311630769518067976624264214803626940155553821702047458076169526899738444748066119247075836638274716431018372873930584708840824246189870178964526718708696917510973361467675899^4+369400766366717565446086070971314191652746938296872287657240098209191401918789342460178856144433515150829453003862340725304428462882714610249488945283058196159479458422268121200943655801200514610636286513263448207380344997504189586739352690197478188956599491354044438900754585357^4+678357662825149801983019767710800708343752899183210606651191323866802339161572612517256069220681834556956681298927928184012981097545477662535501953107242205470652568457028371069837741538048572795422020102290466095706471160736540977605444116065394472507524542641734886357797858230^4=64082*44250654377956654086321493748474258114877474272732789403204895389162349821908323043787851979618079537475382975931567129282797602694774131561214144790474867652096371365091070203377506238675714547053390796969965982389021171040595715731633043894045861661547594457015087626312444487^4

...

14903569185521164040330^4+126910697431999536321289^4+176061730686227662152879^4=64082*11747207496659243430019^4

27110221542712944435736429835971346065798331754796090279514198348618884736364091152442123163463048503204405652585314938824719997234553211850401598926692103381284480128472535063208544713973598496718638287330^4+94082244561760669429529280352996612983245239322948523916860315785808877132907995647023837301106012052008875472900812131180473948693923430661990168261145523154997789967661613884354258259477941112227007145099^4+116012408772720935566784184259726455321229171621380282425593550459918505469460128140195357694646912683506651954346226154968343179315826655403250779017855941945488080476954853888539497176978940579211134234109^4=64082*7981267909942974444498023896136708188643733856814450636605077215562142191442453620185582048966240261789561826052587021359272885484155684700800925403885029694630950532755092647593555228514798626714844222089^4

...

204435412070026^4+818976253406815^4+2621584723264119^4=64082*165163107938533^4

17537137653148550^4+89277051858664349^4+296019323791884621^4=64082*18643692946777843^4

59097058255223912105^4+115934795785905848678^4+323171332455293862417^4=64082*20401011204988180909^4

164954939599125192598361045^4+698454134784823341383038762^4+3132369151768440596011468347^4=64082*196996189934761375649599579^4

9924236845528436469390218629^4+10501141431616917207669841750^4+29710313111576864086011060309^4=64082*1880301422461315862177017147^4

63117562170109887278374083067^4+134263362118001111420777859850^4+380259050946934772090468309643^4=64082*23996680004860712174344042219^4

...

586876415^4+2789777249^4+4823616902^4=64082*311333271^4

29092425519825072553393^4+30531669588515263454575^4+44316257411869674667046^4=64082*3035723354029701765543^4

407370734864891145587177101754663144183^4+2963785246024699774186933541348160596585^4+5397962991288404098964161689416273459894^4=64082*346731533724132664586987195625049482447^4

181266693233202519435250972494120385014015914875993887523587949526203345653881^4+2407493961254366669342364811320768019991823253375522447424087288190250408391015^4+4587168243500093565210063992416297582336417990175083160387155554302664584238998^4=64082*293630431161562205164371671131209136460396012854686523514538683658399939130239^4

180084348089356398418225537407451471711788504977339606392373194230425178455583053^4+13146449590023293987890009280532441527846158036909560733337165840807962167872521965^4+26727942363759226644333709292354737318887521739773563855349213698753766279741559154^4=64082*1703951432426190437276402223278047757496075949676941382073928311874714130891315573^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=59858*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、59858=2*173^2 です。

63816^4+94031^4+110677^4=59858*7997^4

5388144438504674231249554973448058468584^4+8275683459256952944445220225869364435037^4+13273842809256076095402271223494810419623^4=59858*884146721749939486316554097823243964709^4

...


2905988407102387755099198750089142477^4+3333579448763531432754324740276781752^4+3586561478163250690110642498743867161^4=59858*278533855217532121314514770260741347^4

51053818208180849747292421467253024367483419429257863839223928463460806952815455437394082345858133280347596142018929295090886277021773453599718940036914034561871784226141635040319180181289823851300438548592962974643646686546899239053354780304800068641164744673544107840942913639549384617183130031272969127412253073307127645836377429^4+51330327024125768209488159570288715046628273362459358637955316688126907540573760039947244851826315514798804354449791338734853566969673212121177946322100126903464930756510188404170576128997481332901328349578228481024277552308315565527551831867513646963696977604477681904473951776265037302265092370096000734629562778533751426519658729^4+64331155164994845357082183963602821838613788874306719232292744439446228660902434347507670792123368953391834249744566812893990509982173679075111763065335028044359461119877185524176449288413325302878539065182289361485906404269612446127064852605033417281600415672606251822645707871877651230443711006998796330758152698055498482312650816^4=59858*4765182143181237626968985786787809130736424153949208564410608268690573859313000966528962846566913685941228558330439049276322311101304057283480899452734698200536388922120572016264679453885492997492456599604437013932124927567421094981336901775794042985037536592559913636305262722222672446989818970239919589442302995541164556441467647^4

...


34027731244176857693424923689^4+49679350265336908412421547867^4+93664253000779810569232111096^4=59858*6127757850984675358794326967^4

13449919765191686834049551750298655606589212219984169492562345585059909425328509432224546133064709932169274263386737948928879241557726381945355544539299358389603136414211546171730274127349703082791121853808433572160965030652284903632974849597453328720243136034439^4+17609688093782665980913649103562878084911179150398468931353733436224354012937984077531726564932020151712776552196036252540345772213492818644372902317972995544575672397794893472842142993861531865338197731860869444788849864914838517429822879276368836817710632375008^4+26980676005332347633704981858700263228740510968468302753057667456965737118354385089045492645840108432033357999985302103546261473758235376950777510536974845814055738585204160168068362896470062410335651210745896182024351282243177766682238681820343276898148194586307^4=59858*1821416664865557996823786892986863786025324690579989703506117894611440050605006640501117892245512820182267049621555247554519904157160966979729278915358729911679580133588043168573056431703585326894331083403468784145827039424896414963066312109654940961905604674459^4

...


679791440013^4+2128975834321^4+3996861353648^4=59858*260572739551^4

8298254366067887527151625680512601429944071967978369270659534926654636419571825890985028752187144998867894434977^4+12550205084903691318311628065348028423423620286391758464662201589157360805908670516171172841237374160230411491957^4+20499075555037986305743626465214896649897048705369024753753329472209530201586107846221645930003282603603096008272^4=59858*1362241383795746802067203423248066909360791257709250553451798174346021464190506490637500936884158662588125803397^4

51449340302885958111501799391069587098702986464589855890520800432290043952527546741065232831122784109977227658229130193708664707611787628240015207798346211755451756202617841780393442834052631379049527663118316098223602665142099136956008066023702347624201453804875496265845007593152777602078040007592709465414279^4+199188241224050372688619835920686069838962515951376892017900777539078151220486118104938752851986804269230099088506382241685419979709738565569448226357836294610865893539814566024948809006571041327691971130313871983912957459940864175288081317756956118653117639685641334100954435309128159353025096322062236141385773^4+559256496754052494377371241800407984761534238163040816600805209870126832065304388899283317408585748345289307594341800406081859919992238204580649928259271742822425964499992740292592894118436497282015529881369354703255520461664487506498871476190797784592293937177084711105012388341498526185909856956275152042865232^4=59858*35898094889039419381595403389556989655965810462502354260204688026554116987543451734935579178291679615771947621090432101967971804026069303427291250943832946208182978042481445040975493448404429106343273374753326982654883485630254811086111362201015677401201578695652428547563404532880063525811306027160050371716029^4

...

不定方程式 x^4+y^4+z^4=51842*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、51842=2*161^2 です。

18012285839^4+160993697295^4+304142156648^4=51842*20540619617^4

3196120809491994199987^4+10144284254198726496565^4+18184981538985852348816^4=51842*1233593881662660701911^4

950327580098864897110513805183573^4+2044196037777235605022373204865229^4+3328961491779438726210096954139200^4=51842*228403089705836140439106452999239^4

....

262692^4+641495^4+842767^4=51842*60149^4

331913320561044^4+928880285751419^4+1311823766263315^4=51842*92025390542207^4

9019433662370909748^4+20557474549673188723^4+24891537678758974955^4=51842*1820237411441634919^4

17653727348589111547927870214379521052274348164^4+62644383152379178883632204528590112934485579615^4+93890652156849113944474873186907838387919307639^4=51842*6511705885652024469708520376876117888422865533^4

1694423352205575416652605860837988376636338008476^4+8952535554683911287690609036667926517467822991295^4+13990854273557889327846557445522236283540683879911^4=51842*963878078592829086523288005424811167520200812757^4

....

84031440653299^4+124447038425085^4+126853114541444^4=51842*10142715081589^4

35109894616790255534395050078209830921838852618280854650895713503428480151397389415274799630275277117992584671997366704155196849^4+139471698235049135073133296263696314264980436561286682270103937282131410710389701201145206263566491131354002604291426089821015745^4+262589887630574334929138785130726278899101701667886416533486798717315177890937270682246480428943217822051509417612167313032345324^4=51842*17740012816288593663549554202808625028894695745362436051535201190634158422668382183435106012032821195541556098943131081527358871^4

....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=50562*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、いくつか見つけました。ここで、50562=2*159^2 です。

337729^4+353654^4+622355^4=50562*43357^4

884233^4+3485981^4+5140450^4=50562*359711^4

742883648726397991398166^4+2554706198909780236288117^4+3888936361307686532836615^4=50562*270731288091866226576787^4

8298920035372733220732143875^4+21729517221296406810377784674^4+42762233083493591872602324521^4=50562*2899055786920506712544808737^4

670248981135495348225359291132702^4+3080472062301966002002857654179429^4+4401274900955935807654043848022495^4=50562*309757778707973926894400733091679^4

....

63895100339895903870866433885496460698291^4+102870669902682539257387337490126679190305^4+147228542780410834428276085196632401082462^4=50562*10430676141012993029431337812742259084579^4

8244006691931109436400780116261839972022798891697287912177196207549789033340844933749160128307112812898006504582137481142354684753001074050185093168306184651425021269088364358947908230595596324822307097166824410023918202045660026677506699716700187521810330075643662806479811632150793883938148253801675778452073160950347344341063655709639904008585039417992520667937152185^4+9742930957001129045109946902565280973630083612778013125076304380723263867170345290190808654732416605492769870761446947164089480905598233571562736219598435180830995493264620159354931409654724954403443027619977717214614082433545729696230706358444342634389530788646803790877426785417489501521926103769046693160201909786576356791581764685631342384126361242246437902435702349^4+15144984310464909487315025163572812282713514198868797031863337388703218502508665009848375110999049058576754852331350608477720581126353217558714855263022060534024476886044592312615769273906828147438947858962789497754727286084464988398971888821552602394103199874436346266803366907118419354069204068740458160713191822697683760099587514863117560942510661408674943090824447418^4=50562*1069855226456883519861762988494199232084885727444854357398099372105122433784586132120366274087741318772278595209915884527653489356948399186878464953805440447213014965094492489697293393154364414656212725716857248716541828822581655855116180372025191464753207174875896109758224335166057123591469628734636102371156497567204183688810576851092128901425718376444796325447441519^4

....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=50562*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を、追加しました。ここで、50562=2*159^2 です。

2385615476550139572205^4+3415396128861355429097^4+4888027499437979748478^4=50562*347738676504223369799^4

13234717789541574542377558675^4+22807097970157185063684442369^4+41979121241903358238053558086^4=50562*2865031763270811629442013507^4

62610144760349822288835851715292537^4+89430449649480847896241835619008245^4+113515839565595274082508343338975318^4=50562*8346457817609721376364594806721299^4

4255283010752268434251317343878483004526514014087^4+6400945698213367254946693332055422206615595094310^4+6734221408674815406384098437181270416675924712677^4=50562*532427841629591899407834490470947614048497829819^4

854576324304827855123794323691013755547601888773619291333725^4+2173583958178677880089014183427012584847519431299266965933366^4+4514447066435586059983545263157796726382698787899026240628129^4=50562*305115285022743656639747411113703394175272641979224481990427^4

842906762494942907136308199837814404218551608761591060348564476445467306039806755^4+1310829288159954837791683356289736361692577438042263472930127466306784379763999758^4+2224481718040996820806252263704097691632677060917207638208479369324144673146490217^4=50562*153324893459914590417691689843572530083742571568451727350978314519159874029919439^4

.....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=39762*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)をいくつか見つけました。
ここで、39762=2*141^2 です。

72211175^4+446853184^4+1030134149^4=39762*73587999^4

8842158386037864122319620658546205434933990271408084979757477247876853566459400^4+8901619358130470608508648418145719501200148260191258168953765662573282911360201^4+17318992466002364461824880872658404307249202890392381239452741696297611407033261^4=39762*1266675905080352468597449601499867601124720722619707815213652232359957500617739^4

........

2328049398867^4+291184239876041^4+489955827284800^4=39762*35738052954763^4

3975344168057762730641673660022153^4+6847542807301913144693534544533419^4+9894323059504607540624837744117200^4=39762*741685359160800331690351444620767^4

76216698325480706665870275394710930971323463^4+158494710174351223517328161850733983632996549^4+237905203227913929848690551246448177376295600^4=39762*17660816359585032575565829700972865239172143^4

159766789481118064795670354313301447590473838188608163306849286479465087522298155318820561197013610477^4+1115747228437171908563122121132815573897735405060366040538510747851500363320607499198241920764827806071^4+2068746330355871634046993941135989264036616982039549115511231373430680067953652770544055036463218858400^4=39762*149507298237612998471074599668357463034087116206688664954747341072789547415959445281296630557199383947^4

......

113673592703906266918011232020168859681057910791277561^4+113842233207094792857984665377573390700903783012025320^4+143221987283507308136629917020039329960318682039634917^4=39762*11741400243796499604922280011733785396199267990932801^4

36823782484613405006265461172991189073409260207504240981370273138840295421613635380757856206260768995388226513952527526818423152810515571186332465114612070983590641624705130409141971122593453907953478052404459643766735998833227583035068654378074267238502142435286842248400900983506528020130157697100869552336046293619243193152431861221514240867994611019709750787092379072224047460940958208316472991523232248896538372789482897298887363655330863801933252731365568284146809567312615485^4+95126312840246611240643908886900516670762254178629413783764146357915103406169746335963294391770508787619788625042789034072460281992194383039372524383509240865031834476244308730561228301543202450370725407637455790520701852037984051295583895272505105729274591325888137529951712664981031063303371873915117098102632910192170365125366733325494019789048548157101853356472408392826447165298787267333346620094416445607623870258112102476411880118588684136550408178176325253011870976080797193^4+97006207777271411437474349049154988601406246461078314606548614518361071150196433754898386040820165949918829278267730374825241273125970239919286821843280538373380036459158325548460722744323008313453805822842723428003623510620107923510659503275093658779069198898238424327336166613559664564227082255663588202924851253267399836775643961690123791854161383970846689686447314033983320856373508833583304464478722307352557846626165265199905505389111511714547729792589380055469724745478716624^4=39762*8113135358596441649851917312737307401827730587670106740853491835668602057988144425634292160526265720871974701113302740957816747929708052700924407464213198865460816858222256134227981262235632536900341464876631844886361903593957352456342828123304978974943549745113234382735040657204687108806639059306745884791664152466622051090979333624566545789888394885296724130136678230600916062400500955823616067436572461477765754464615904355640252838040981781119061120725742020338069350746739517^4

.....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=37538*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)をいくつか見つけました。
ここで、37538=2*137^2 です。

164444374569971344406292106449935808463372^4+475377112744243964990389412963639753038281^4+677153071527663765007275254274194356171007^4=37538*51402051056599198007942797619191236019297^4

490185228070910282109947674776617078341319060592011965899632275877555974638679710786613590136431806043712361065932106817752665641459734247727480295151452268529910208315063772639848278714427300957993402871339438031206551460439355275660228569278726113354626088458551854243460843031311351258562711695681515229890951211674511348754993412669081424156954673811993180213412239237^4+1573317180318449630763437647168606421435203873783000672560478723348895865047651452285391580218339366602445623538606626205764430229389677244666863255347690256233575003947650549041816333111999407917988383983193960518546485882731482702048201665371154756226715274124973876476285643434447875819347773881037463428485624628231093326057490855188099408717354050627813659881425383373^4+2031737329528086705785609514581357268386976097369151200052030875883489440888620570941837222932109249120880387301281936667261643351122049889797716483924002190158653496233290269454216190150721531041679565468603623683388807112166730263452718507372025182844944737351829682090479938533932218736019315205650169961482082209808642457036431418678294338930322032157109304859717133244^4=37538*157714334584132968685787838809319288705809703724890754681167482512644300147771444049626127492934196316826583330292716998067541942213148457269630238690025519800159644128051961374353827248384155911882224303653908564604041242739992118019068637488109053759088998109631329368719989428014406174696239789015339222157010944963341718051515699000198995362530371381334957298046738283^4

......

1123270679144424415996^4+1528445191364715505027^4+2799149624896279654029^4=37538*206638165380989045353^4

5631721011427849865418376751890698510366056684629736005338877204069966680108537835299148624185609038068820690409650081839618775931268638124420830082862697718132183580819934637940645869601378333311^4+7582449373140461056461011401491519510047758577092734633880156958453686366006106537809239582733346126167920696141257867848747472179529603964442105266388260849536168931039145425956253554218907646007^4+20053963735742800190909554976129528488378261866204506403373172915721195389026024803405946890354427924614562465876069475916120130645669982241952474273099865945886310088330830023562910430806223744764^4=37538*1450236545735923188446278813216280829229932294560185810011678115155369860012618191723049689130464792394431255863577959914305855591551565998531479862863953580674386151421411471591395170591876696927^4

.....

4509987820795628791555255439713595176819867261^4+61976473837433508762371227532237075266849569248^4+76871433573473488796123223709414632018122842093^4=37538*6031324799152672475681069913573089471817031239^4

920352471521144535906668548932627696377891840601616039098815861679893985159344274309521841755198609222863756626121485916971723008373473686464584073808505391150179757543763419520672577234829546228759490378141810588825472609612108900724048407581637795800071089273136460564789888091707172277868562581679406527412012119827149316702196696069411112371047219484067506033538301397425578192470095197525675818384642296378208672^4+51286818626355533999376515972228527435810092812003166884868032684885013632252027852792830708694043289689187537871864114407367902251915219380398336631485801276532896135700095848857673337884281321821810999451649771510285815983856927405884824144512411620859314721581289295704395372027670212295103982069760980239124576749844979193544445784803076338746283567282682342138713605076364270745075766914932713125132409437906749763^4+129521255695547941463925135249432699600484653466740517063136148813374668168183172458784873421872902669957663662654944884631820502404314240990601736040415014788202361854622121410692303256985964448581276126874991459004226472358962343471139263764894846346269932537532903416229187600886858546798412076509352309720501617602100827034614314095494949156197231601243064445071227045217975148887384532758643991245800773116570681677^4=37538*9361818007107173163515862307617796301540174628527747042273508602275500445127609389198613304541312654853777574833800111708988245350371755495110111638836047697999472411873281190581915593152302555096591135939365653200851139149554258450973863755035482840420571903982575113765971196360403528486258082236736304300873327989289930398151032669277881977613253049518065799115364716813023203578796590798518350444272898160102627127^4

......

528903084862928115653^4+1010317414714122438096^4+1266400825285096394317^4=37538*99587523371200821077^4

28066281938332252682188^4+32597622717519441580641^4+53527512781059919895257^4=37538*4035857137120697863367^4

5371606741315248178110899674881931^4+22417010055090650474169992359330029^4+29675685234730029304739689130613308^4=37538*2288102210431468363388279032643581^4

15115444574211979080856797867812184921^4+26784563966888809397558107191092097544^4+44511947472544487012167724351531905417^4=37538*3307530802198529606282344486915974619^4

......

28988^4+107079^4+369559^4=37538*26597^4

41285033^4+8319771844^4+12991748217^4=37538*970347493^4

1535540011732034535932951^4+6855942259983631903864252^4+8073067735258568291148921^4=37538*644146479169979225640581^4

152347837108622102938727953920188^4+153300841072000930155158895472391^4+618124854742573559658193940442759^4=37538*44490452812040172771187294934861^4

......

149889^4+882044^4+1072631^4=37538*84673^4

932771561031487113882527980074654878878406328929642196^4+14352727777750669019983778626697758391896425352436541731^4+44854312662632736763905062401935013331106834537553707691^4=37538*3230864826258182163608168017415510407011825249106376507^4

.....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=37538*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)を追加しました。
ここで、37538=2*137^2 です。

320762821264902967606018336856584424178349^4+366434686652852590433874156232909522349467^4+493061733231379399354157067716099987948752^4=37538*39098000568305059658490815053459012764501^4

68371899969141135970894356654860751962840683745421264611200532899890916489057720253111891549590431361457456052900449720590606211778737473274293891587415049132690162035287540582049958574270095846206797996746048355993177255291427941082666810829221361919673811962010401236340201231537034703613158187538292102370483125719039025309294092703247787550690069156843252911591000906923^4+105683468357317675885601838633357216974731491173305344526583867104491377020147989945153577176634917258531838723500646762054092338596683303506980168391249751720445468017677817727202527509810870861249559679775968484565875216989467574955379744095943066288433292785721451920458839188838571295163699730152881031036433960516191760604490113552029420836547164962287122671052400425117^4+140237203302058743687517039198561190449879370995838004826508070418906778981673075340540837696135259176595371094778947029412044924169671261918903572113506830373221315310593319636224286560360376959746039563294915514260525001091721356408027745113285450516503120048065339801505239078884684376097236726536424877173561440630246119630129988279105270909847751001423987223812781001104^4=37538*10917904296783832188189530325629991285270094994919439502492515148266510520467128868230685314099022833646387391924186674003732350228295805866823228069849202653247996808455064300459036905777667909887991672934149950949809770066044165729436636107790917511526964541120230643526564961967535163779128556962758077017271166511895636025375119686814325429995829733034782292036971067141^4

......


179575340272352935286791443376808237^4+693374228497742807146599186733506816^4+1432007864134215199985174254412224867^4=37538*104270779175513165867177769821189591^4

4635411172154003734990864535109754518952902278791803892485184781156429627119663086735797227565113008987260913764286426140949977903062708204252962328977367908242116034131671118287869431454973027724451765616807200967964843447849923057730557869057009548319116853842242231729294549405756257459126204226197471315040811907762872097^4+5827034346665795839290869006156417767683721720713745059085782093894105339525976257688135980952997331781861657518261173317318622760908456411234800000297442269781406753954781366743669273057666685780062612000403723288012867928685031343468019236262056331245869983761300558970437558991498545330482296890417563935413194105772013288^4+10128058006853387146382538803591053659743697689551927482991964093418747978534046220945591622941204535468458610708856489549410844185981951361716346399300613275780895823440327591306799681502034251912051868550338321120721814137509521697107989377944111962415176799239187781071430236829211279819698068644205769773887692624112167017^4=37538*754063245278356319007759442713093535165388666795701419311367435643584907194333052013278183673716616152830699100898303061639474749101105776722969480319112154488964334884089389271027651148357343376703419831715526505445415988547424961082513184921684158195068391220862765895892835256036730938273530013787535025194453872362773793^4

......


1789593826857255365614174677935284171989209^4+2343693210096538533301328445173189339231361^4+12023829549911322916600523038119315221710948^4=37538*864240945034066821733693498274385569012041^4

7660538928170464188278620846898636778356479620428346375936392333882401704263154622876795348444763238677434917827952272227644932527048113866036957366613660727665580143122985118800431853977404089247779039743386704949641313184312694368365665125771084180928687845557627025070341762705417980678935416913343016906087696727654933868602325621197190234911295710322462914394250173918665826847402379^4+18111310079799810221656677593530106998471454638765562575217491368015788283254849268542266815327084029044580793326153485506875528458747053615800432347387552133952905862302744402529580485749762273952826478686560668043493760327312459223738641141877778578072511159523383664560835616756087196724355733951204306367607330301946796783117587127613918542924526128741629590395186089939441767618369331^4+75890836575965510027311777465883095698603847220919703044356579135689515654223493802486938862863245411738880981349187250515654097118695600278701238149765845599773474339643708833256920565721993363311947223778538974440774917112488987044323464305915299815501803628738039063113741378300519099330693336721395476606723956960805069657390633576952124612099553923012367854795744086783880850772363852^4=37538*5456754361919664918880607356176556717746179659255487388667780478473586828219820458214977844142098651739074348792065437441392473483162893799554584828885132650911188982479191122745771456590548772485740832111870634817662093393569158812758427276463724736868164965182919320210848480998237294417396987798893442822702108039558110184135294267655307890691078686977651988752066306374476902802234259^4

.....

不定方程式 x^4+y^4+z^4=30258*w^4 の整数解(ただし、gcd(x,y,z)=1、0＜x≦y≦z)をいくつか見つけました。
ここで、30258=2*123^2 です。

10778^4+13981^4+20717^4=30258*1671^4

9742680586^4+12683627389^4+16880236157^4=30258*1399528143^4

1039857913303266278554^4+4600820832720421233461^4+11089025673381008621269^4=30258*846958331380835688231^4

24698410966454058207485428805402^4+32715440881862419757787970447733^4+53793844823443612789541485881109^4=30258*4252131104635281343248436554471^4

.......

1769734229756854046587^4+3486915123989859025021^4+3603245131844079955822^4=30258*322228288985434432803^4

1605232846552988693663083^4+15310099221323106323333974^4+26726559230962098999185413^4=30258*2078920906714410479312607^4

79848424159776664747305759781589760754746722721471497803^4+5008581479731175332917802883835649887195449695981723668181^4+8803116035547007818359983907880602705191369785297718457446^4=30258*684299385855124125120353909011075955521931307255897630951^4

......

ab≦|ab|
2ab≦2|ab|
a^2+b^2+2ab≦a^2+b^2+2|ab|
a^2+b^2+2ab≦|a|^2+|b|^2+2|a||b|
(a+b)^2≦(|a|+|b|)^2
|a+b|≦||a|+|b||
∴|a+b|≦|a|+|b|
でどうでしょうか。

xy平面でy≧|x|で表される集合は凸集合である。
したがってその境界y=f(x)=|x|は凸関数である。
凸不等式からf((a+b)/2)≦(f(a)+f(b))/2
|(a+b)/2|≦(|a|+|b|)/2
∴|a+b|≦|a|+|b|

・・・ネタ的な証明？

cotと同じで、π/2から引いた値ですね。

とりあえず
P = 2a^2/(1+(√2)sin(θ+π/4))
　＝2a^2/(1+(√2)cos(θ-π/4))
で合ってますかね？

# 何か記憶にあるな～と思ったのですが、ちょっと前に計算したのは正三角形の場合で、
# 一辺がaの正三角形のときは (√3/2)a^2/(1+2sin(θ+π/6)) ＝(√3/2)a^2/(1+2cos(θ-π/3))でした。
# 式が似てるので「正n角形」でもいけそうですね。
(追記)
# 2式から推測すると、正n角形の場合は
# (一辺がaの正n角形の面積)×2÷(1+cos(θ-π/n)/cos(π/n))
# （ただし0≦θ≦2π/n）
# ぐらいになるのかな？

ピタリ一致します。
最初座標に載せてがむしゃら結構複雑な計算を進めて手に入れたのが
P=a^2*(sinθ+cosθ-1)/(sinθ*cosθ)
でした。
この分子、分母にsinθ+cosθ+1を掛けて変形していくと
P1=2*a^2/(sinθ+cosθ+1)
の形となり、分母を合成することでらすかるさんの式となります。

なおsin,cosに使う角度をθに拘れば
P2=2*a^2*(sinθ-2*sin^2(θ/2))/sin(2*θ)
P3=a^2/cosθ*(1-sqrt((1-cosθ)/(1+cosθ)))
またtanだけを使って
P4=a^2*(1+tan^2(θ/2))/(1+tan(θ/2))
なども同じ数値を与えてくれました。

これから正n角形の場合を考察できるとは思ってもいませんでした。
ただこれを確認する手段が私には無理です。

正n角形の場合は上の式で正しかったようです。
sshmathgeom.private.coocan.jp/volume/volume27.html
↑こちらのページ(の例題3の下の方)に一辺が1の正n角形の場合の式が
n(sin(α/2))^2/(sinθ+sin(α+θ)+sinα)
（ただしαは内角すなわちπ-2π/n）
であると書かれており、これを変形すると
(n/2)cot(π/n)/(1+cos(θ-π/n)/cos(π/n))
となります。一方私の書いた式の「一辺がaの正n角形の面積」は
a=1とすると(n/4)cot(π/n)となりますので、ピタリ一致しました。

ちなみに私が正方形の場合の式を出した方法は
正方形の一辺を2として重なる部分の八角形の1/8の三角形の形を図形的に考察すると、
これはxy平面において
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=0 と y=x で作られる三角形
と同じであることがわかり、
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=0 との交点は (1/cos(θ/2),0)
→ 原点からの距離は 1/cos(θ/2)
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=x との交点は (1/(cos(θ/2)+sin(θ/2)),1/(cos(θ/2)+sin(θ/2)))
→ 原点からの距離は √2/(cos(θ/2)+sin(θ/2))=1/cos(θ/2-π/4)
よって求める面積は
8・1/cos(θ/2)・1/cos(θ/2-π/4)・sin(π/4)・(1/2)
=2√2/(cos(θ/2)cos(θ/2-π/4))
これは正方形の一辺が2の場合なので、一辺がaならば
a^2/√2・1/(cos(θ/2)cos(θ/2-π/4))
=a^2/√2・1/(cos(θ-π/4)+cos(π/4))
=2a^2/(1+(√2)cos(θ-π/4))
のように導出しました。

60°を元にするより90°を元にした方が綺麗に書けますよね。
sinθ°=(i^(θ/90)-i^(-θ/90))/(2i)
cosθ°=(i^(θ/90)+i^(-θ/90))/2
60°や45°にしてわざと複雑にしてるのかな？

実行してない思いつきですが……

i行目の削除を「単位行列からi行目を消した行列S[i]を左から掛ける演算」として書き、j列目の削除も同様に、というのがとりあえず自然な発想に見えますよね。
adjの中に正方でない行列の積が入っちゃうからこの先が難しいかな？

n=3 の場合をごり押しで計算しました。
https://mathlog.info/articles/0kO5cJBKcTqurCc5NyzK

私はこの予想のきっかけとなった別の計算に戻りたいので、
この問題について多分これ以上考えないと思います。

境界線上が厳密には含まれないことは気にしないということでいいんですかね？

(1)
S = (25/2)π - (25/2)√3
鋭角三角形の場合、各辺を直径とする3つの円全ての内部になります。
よって、半径5、中心角π/3の扇形を3つ足して、1辺5の正三角形を2回引けばよいです。

(2)
手段は何を使ってもいいそうなので、計算方法を教えてchatGPTに計算してもらった結果、
S = (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*pi) - 3*sqrt(26)
= 11.0678
だそうで。（あまり信頼はしていない）

共に正解です。
(1)は何度も紙を折って実験していてやっとのことで気付けました。
特に(2)は自分で適当に数値を指定して、座標で三角形を配置しシコシコと計算を繰り返して
結構面倒な作業を組み合わせていきました。
てっきりこんな面倒な値を一つの式で表せるとは思ってもみなかったのですが、chatGTPでは
こんな返事も返してくるんですか？
まさにこの式を計算させてみたらあれだけ時間をかけてやっと辿り着いた値に小数第何位までも
ピタリと一致するではないですか！
恐るべしGTP
だれかこの公式を説明してくれませんか？

お、合ってましたか、chatGPTもなかなかやりますね。


折った後が六角形になるということは、元々の3つの辺それぞれ、一部が外周として残らねばなりません。

辺ABの一部が六角形でも辺として残る
⇔線分PAとPBの垂直二等分線が辺ABの外で交わる
⇔△PABの外心が辺ABの外にある
⇔∠APBが鈍角
⇔点Pが辺ABを直径とする円の内部にある
ということなので、各辺を直径とする円を3つ描いて、それら全ての内部かつ三角形の内部である領域が点Pの存在範囲です。

それらの3円すべての内部にある範囲は、辺が膨らんだ三角形モドキDEFみたいな形をしており、その3頂点D,E,Fは△ABCの各頂点から向かいの辺に引いた垂線の足の位置にあります。
△ABCが鋭角三角形の場合は、図形的に考えれば、三角形モドキDEFは膨らみ分まで△ABCの中に完全に収まります。

ということで、最終的に求めるべきは三角形モドキDEFの面積です。
これは
(i) △DEFの面積を出す（△ABCの1/4)
(ii) 辺DEから膨らんだ部分の面積を出す（扇形から二等辺三角形を引く）
(iii) 辺EFから膨らんだ部分の面積を出す
(iv) 辺FDから膨らんだ部分の面積を出す
(v) これら4つを合計する
で可能です。

(1)は自分でやり、(2)はこの手順をchatGPTに指示してやってもらいました。

> ということで、最終的に求めるべきは三角形モドキDEFの面積です。
> これは
> (i) △DEFの面積を出す（△ABCの1/4)
> (ii) 辺DEから膨らんだ部分の面積を出す（扇形から二等辺三角形を引く）
> (iii) 辺EFから膨らんだ部分の面積を出す
> (iv) 辺FDから膨らんだ部分の面積を出す
> (v) これら4つを合計する
> で可能です。

このやり方で自分なりに求めた時、あえて一つの式で表すと

gp > 748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))
%577 = 11.0677912894652773427086973960
但し
c1=acos(-17/225);
c2=acos(647/1225);
c3=acos(391/441);
とします。
なおGTPからの式
gp > (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)
%578 = 11.0677912894652773427086973960
で全く同じ値が出ます。

膨らんだ部分を出す時に角度が公式に使われている∠A,∠B,∠C
の部分だけで済まされているのが不思議でなりません。

まず、sin(c1)などは、cos(c1)がわかっているのだから求められますね。

acosの中身の違いは、1-2*(5/21)^2 = 391/441などの関係が成り立つことから、おそらく「扇形の中心角を半分にして直角三角形で求める」か「余弦定理で求める」かの違いが出ているのかなと思います。

あとは、c1+c2+c3=πになる関係を使って、chatGPTは謎の変形を最後にしたようですね。
π消すとかすればいいのに。

748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))･･･････････(*)
ただし
c1=acos(-17/225);
c2=acos(647/1225);
c3=acos(391/441);

(1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)･････(**)



(*)から(**)を導く
{*)式での
c1=acos(-17/225)=acos(1-2*(11/15)^2)=acos(-(2*(11/15)^2-1))=Pi-acos(2*(11/15)^2-1)･･･①
ここで△ABCでからcos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)=(10^2+9^2-7^2)/(2*10*9)=11/15
よって C=acos(11/15)
ここに2倍角の公式で
cos(2*θ)=(cos(θ))^2-1 より①は
c1=Pi-acos(cos(2*C))=Pi-2*C
また
sin(c1)=sin(Pi-2*C)=sin(2*C)
これから
c1-sin(c1)=Pi-2*C-sin(2*C)
同様にして
c2-sin(c2)=Pi-2*B-sin(2*B)
c3-sin(c3)=Pi-2*A-sin(2*A)

以上から
(*)=748/735*sqrt(26)+1/8*(49*(Pi-2*C-sin(2*C))+81*(Pi-2*B-sin(2*B))+100*(Pi-2*A-sin(2*A)))
=748/735*sqrt(26)+1/8*(230*Pi-49*(2*C+sin(2*C))-81*(2*B+sin(2*B))-100*(2*A+sin(2*A)))
=748/735*sqrt(26)+115/4*Pi-230/4*Pi+230/4*Pi+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)+115/4*Pi-230/4*Pi+460/8*Pi+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26) -115/4*Pi+460/8*(A+B+C)+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/8*((460-98)*C+(460-162)*B+(460-200)*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/8*(362*C+298*B+260*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/4*(181*C+149*B+130*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
さていよいよ最後の( )の部分は
49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A)
=98*sin(C)*cos(C)+162*sin(B)*cos(B)+200*sin(A)*cos(A)
=98*sqrt(1-(11/15)^2)*11/15+162*sqrt(1-(17/35)^2)*17/35+200*sqrt(1-(5/21)^2)*(5/21)
=98*2/15*sqrt(26)*11/15+162*6/35*sqrt(26)*17/35+200*4/21*sqrt(26)*5/21
=(98*2*11/(15*15)+162*6*17/(35*35)+200*4*5/(21*21))*sqrt(26)
=23624/735*sqrt(26)
従ってsqrt(26)の部分を整理すると
(748/735-1/8*23624/735)*sqrt(26)=-3*sqrt(26)
これを改めて整理すれば
(*)=1/4*(130*A+149*B+181*C-115*Pi)-3*sqrt(26)
=1/4*(130*acos(5/21)+149*acos(17/35)+181*acos(11/15)-115*Pi)-3*sqrt(26)=(**)

やっと理解できました。

多分うまい解き方があるのだろうと思いますが、
全く思いつかなかったのでゴリゴリ計算しました。

BE：ED=a：bのときt=a/(a+b)とすると
AE：EC=7t^2-4t+1：7t(1-t)
これより
(四角形ABCD)={(3t+1)/(7t^2-4t+1)}△ABD

ある角がθ、対辺がa、残る2辺の比がb：cである三角形の面積は
S=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}
であることから△ABD=3√3/14

よって四角形ABCDの面積は
(3√3)(3t+1)/{14(7t^2-4t+1)}
なので
(1)t=3/7を代入して6√3/7
(2)t=2/5を代入して165√3/182

解答ありがとうございます。
2つとも同じ値になっていました。
自分のやり方に較べ、遥かに簡略な方法でらすかるさんは求められています。

「簡略な方法」に見えるのは、おそらく「途中計算の大半を省略」したためかと思います。
公式っぽいものを出すだけで大変手間がかかっています。

△ABCにおいてAB：ACがb：cであるとし、∠A=θ、BC=aとする。
AB=bk、AC=ckとすると余弦定理により
a^2=b^2k^2+c^2k^2-2bck^2cosθ
これをkについて解くと
k=a/√(b^2+c^2-2bccosθ)
本問の場合はa=√3、b=1、c=2、θ=120°なので代入してkを求めると
k=√3/√(1+4+2)=√(3/7)=√21/7
∴AB=bk=√21/7、AC=ck=2√21/7
また
各辺の2乗は
a^2
(bk)^2=a^2b^2/(b^2+c^2-2bccosθ)
(ck)^2=a^2c^2/(b^2+c^2-2bccosθ)
簡略化のためt^2=b^2+c^2-2bccosθとすると
(bk)^2=a^2b^2/t^2
(ck)^2=a^2c^2/t^2
これを
# 各辺の長さの2乗をp,q,rとすると
# 三角形の面積はS=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
という変形ヘロンの公式に代入して整理すると
S=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
(途中計算省略)
=a^2/(4t^2)*√{(2b^2+2c^2-t^2)t^2-(b^2-c^2)^2}
=a^2/(4(b^2+c^2-2bccosθ))*√{(2b^2+2c^2-(b^2+c^2-2bccosθ))(b^2+c^2-2bccosθ)-(b^2-c^2)^2}
(途中計算省略)
=(a^2bcsinθ)/{2(b^2+c^2-2bccosθ)}
=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}

ここまでで
AB=√21/7、AC=2√21/7、S=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}
が得られました。

次にこれを座標に当てはめます。
円をx^2+y^2=1とし、
B(-√3/2,1/2)
D(√3/2,1/2)
Bを中心として半径が√(3/7)である円
(x+√3/2)^2+(y-1/2)^2=3/7
とx^2+y^2=1の交点を求めると
A(-3√3/14,13/14)
Eはt=0のときBに一致、t=1のときDに一致するように
E=B+t(D-B)=((t-1/2)√3,1/2)
とします。

Aを通る直線の式を
y=m(x+3√3/14)+13/14
とおくとy軸に平行な直線を表せず問題があるので
x=m(y-13/14)-3√3/14
とします。
これにE((t-1/2)√3,1/2)を代入してmを求めると
m=-(7t-2)/√3
よって直線の式は
x=-{(7t-2)/√3}(y-13/14)-3√3/14
=-(√3/42){9+(7t-2)(14y-13)}
これをx^2+y^2=1に代入してxを消去し、yの式を導出すると
(1/588){9+(7t-2)(14y-13)}^2+y^2=1
(途中計算省略)
28(7t^2-4t+1)y^2-4(7t-2)(13t-5)y+13(13t^2-10t+1)=0
∴y=13/14, (13t^2-10t+1)/{2(7t^2-4t+1)}
AEのy座標の差は13/14-1/2=3/7
ECのy座標の差は1/2-(13t^2-10t+1)/{2(7t^2-4t+1)}=3t(1-t)/(7t^2-4t+1)
よって
AE：EC=3/7：3t(1-t)/(7t^2-4t+1)
=(7t^2-4t+1)：7t(1-t)
なので
AE：AC=(7t^2-4t+1)：(7t^2-4t+1)+7t(1-t)
=7t^2-4t+1：3t+1
となり
(四角形ABCD)={(3t+1)/(7t^2-4t+1)}△ABC
が言えました。

これ、そんなにややこしいですかね？

円に内接する四角形ABCDとその対角線の交点Eについて、
AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
が成り立ちます。
（証明は三角形の相似で一瞬）

BC*BA/BE = DA*DC/DE
の部分を使います。

事前に正弦定理で BD = √3 は出しておきます。

(1)
AB = x とすると、AD = 2x
CB = 3y とすると、CD = 2y
△ABDと△CBDに注目して、
余弦定理より 7x^2 = 7y^2 = 3
よって求める面積は S = (x^2 + 3y^2) * √3/2 = 6√3/7

(2)
AB = x とすると、AD = 2x
CB = 4y とすると、CD = 3y
△ABDと△CBDに注目して、
余弦定理より 7x^2 = 13y^2 = 3
よって求める面積は S = (x^2 + 6y^2) * √3/2 = 165√3/182

やはり簡単な解き方があったのですね。
全く思いつきませんでした。

> 円に内接する四角形ABCDとその対角線の交点Eについて、
> AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
> が成り立ちます。
> （証明は三角形の相似で一瞬）

が面白く、この値が一体どんな値を取るのかを
(1)EはBDを3:4に内分する。
(2)EはBDを2:3に内分する。
の場合について調べると
(1)なら√3
(2)なら10*√(3/91)
が対応した。

そこでこの円に内接する四角形での設定を一般化して
半径Rの円に内接する四角形ABCDで
AD=k*AB,　∠BAD=θ
対角線AC,BDの交点をEとするとき
BE:ED=1:t
である時の
AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
はどんな値を取るのかを求めることをしてみた。
その結果
2*k*(t+1)*R*sin(θ)/√(k^2+t^2+2*k*t*cos(θ))*(k^2-2*k*cos(θ)+1))
が上記の各比が一定の値となるものとなるようだ。

円に内接する四角形にトレミーの定理や、DD++氏が指摘した4つの各組での比の相等
などある意味美しい関係にバランスが保たれている姿が見れました。