😊出会いの泉😊

成分が異なるだけでよいなら変なものも作り放題なので、
勝手に整数かつ非ゼロという条件を付けてみます。


目標の固有値が対角成分に並ぶ三角行列Aと正則行列Pを用いると、PAP^(-1)は目標の固有値を持つ。

Pの各成分が整数で行列式が+1または-1ならばP^(-1)の各成分も整数になる。

あとは適当に試して成分がすべて異なるようにすればよい。


(1)
A=[[-3,1],[0,7]], P=[[1,0],[-1,1]]
としてみると、
PAP^(-1)=[[-2,1],[9,6]]

(2)
A=[[1,3,2],[0,2,1],[0,0,3]], P=[[1,0,0],[3,1,0],[0,2,1]]
としてみると、
PAP^(-1)=[[4,-1,2],[12,-3,7],[18,-6,5]]

(3)
A=[[-4,3,2],[0,8,1],[0,0,9]], P=[[1,0,0],[1,1,0],[0,2,1]]
としてみると、
PAP^(-1)=[[-3,-1,2],[-9,5,3],[6,-6,11]]

こんな便利な方法があるのですね。
目的の固有方程式を満たすようにある意味力ずくで探していました。

そこで(3)の結果の行列S=[[-3,-1,2],[-9,5,3],[6,-6,11]]を使わせてもらって
f1(x)=1/312*x^3+3/104*x^2-29/156*x
と
f2(x)=1/312*(313*x^3--4047*x^2+1190*x+89856)
の2つの関数において、それぞれ
f1(S),f2(S)を計算させると結果は共に3次の正方行列M1,M2に集約されますが(f2の定数項では3次の単位行列を補う。)
それぞれM1,M2の固有値は何でしょうか？

とりあえず普通に計算しました。


Sの固有値λの固有ベクトルをvとする。
nを自然数とするとき、
S^nv
=S^(n-1)Sv
=S^(n-1)(λv)
=λ*S^(n-1)v
=λ*S^(n-2)Sv
=λ*S^(n-2)(λv)
=λ^2*S^(n-2)v
…
=λ^(n-1)*Sv
=λ^(n-1)*(λv)
=λ^n*v
なので、vはS^nの固有ベクトルでその固有値はλ^nである。


[1]
M1=1/312*S^3+3/104*S^2-29/156*S
に右からvを掛けると
M1v
=(1/312*S^3+3/104*S^2-29/156*S)v
=1/312*S^3v+3/104*S^2v-29/156*Sv
=1/312*λ^3*v+3/104*λ^2*v-29/156*λ*v
=(1/312*λ^3+3/104*λ^2-29/156*λ)*v
なので、vはM1の固有ベクトルであり、その固有値は
1/312*λ^3+3/104*λ^2-29/156*λ
である。
Sの固有値-4,8,9を代入するとM1の固有値は1,2,3となる。


[2]
単位行列をIとする。
M2=1/312*(313*S^3-4047*S^2+1190*S+89856*I)
に右からvを掛けると
M2v
=1/312*(313*S^3-4047*S^2+1190*S+89856*I)v
=1/312*(313*S^3v-4047*S^2v+1190*Sv+89856*v)
=1/312*(313*λ^3*v-4047*λ^2*v+1190*λ*v+89856*v)
=1/312*(313*λ^3-4047*λ^2+1190*λ+89856)*v
なので、vはM2の固有ベクトルであり、その固有値は
1/312*(313*λ^3-4047*λ^2+1190*λ+89856)
である。
Sの固有値-4,8,9を代入するとM2の固有値は1,2,5となる。

計算ありがとうございます。
[2]ではSの固有値9ではM2の固有値は3となりませんか？

たまたまフロベニウスの定理というものに出会い、本当にこんなことが起こるのか？
と思って色々固有値をもつ行列Sを使って実験をしている中で
f(x)の関数で作り上げるf(S)の行列Mの固有値をこちらが指定できるものに動かすことができる
f(x)はどんな関数として設定しておけばいいのかを探すのに
ラグランジュの補間法からのf1(x)
ファンデルモンドの行列式からのf2(x)
で験していたのがこの計算でした。
どうしてこんなことが成り立つのかは正しくりらひいさんが示されることで納得できました。

実験してみて一般に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を通る3次関数は
原点を通るものと、原点を通らないものと2通り存在できることが起こるんですね。

計算ミスしていたようです。
確かに、[2]ではSの固有値9でM2の固有値が3となりました。
失礼しました。


(-4,1), (8,2), (9,3) を通る3次関数は
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
とおいて、
f(-4)=1, f(8)=2, f(9)=3 より
-64a+16b-4c+d=1, 512a+64b+8c+d=2, 729a+81b+9c+d=3
を連立して解いた答え
b=-13a+11/156, c=4a-31/156, d=288a-12/13
（WolframAlphaに解いてもらった）
を使用して
f(x)=ax^3+(-13a+11/156)x^2+(4a-31/156)x+(288a-12/13)
とすればいいです。

a=1/312 を代入すれば f1(x) が得られ、
a=313/312 を代入すれば f2(x) が得られます。

地道に計算しようと思って式を立てて計算を進めたら、結構あっさり解けました。
A=[1,1;1,9], B=[1,4;5,2] (Pari/GPの形式) ですね。

(追記)
私が解いた何の工夫もない方法を整理すると
A=[a,b;b,c], B=[d,e;f,g]とおくと、条件から
(1)ad+bf=6 (2)ae+bg=6 (3)bd+cf=46 (4)be+cg=22
(5)ad+be=5 (6)bd+ce=37 (7)af+bg=7 (8)bf+cg=23
(7)-(2)からa(f-e)=1, (8)-(4)からb(f-e)=1, (3)-(6)からc(f-e)=9
なのでa=b=1,c=9,f=e+1。(2)(4)(5)に代入して
(2)e+g=6 (4)e+9g=22 (5)d+e=5
(4)-(2)からg=2, (2)からe=4, (5)からd=1, f=e+1からf=5
∴(a,b,c,d,e,f,g)=(1,1,9,1,4,5,2)

|A||B| = -144
なので、A,Bは正則である。

B^(-1) = [[a, b], [c, d]]
とおく。

一つ目の式に右からB^(-1)を掛けると
A = [[6a+6c, 6b+6d], [46a+22c, 46b+22d]]
となり、
二つ目の式に左からB^(-1)を掛けると
A = [[5a+7b, 37a+23b], [5c+7d, 37c+23d]]
となる。

6a+6c = 5a+7b, 6b+6d = 37a+23b, 46a+22c = 5c+7d, 46b+22d = 37c+23d
を連立して解くと、p,qを任意の実数として
a = 7p-6q, b = p, c = q, d = 46p-37q
となるので、
A = [[42p-30q, 282p-222q], [322p-254q, 1058p-814q]]
と書ける。

Aが対称行列のとき、
282p-222q = 322p-254q
を解くと、rを任意の実数として
p = 4r, q = 5r
と書けるので、
A = [[18r, 18r], [18r, 162r]]
および
B^(-1) = [[-2r, 4r], [5r, -r]]
となる。よって、
B = [[1/(18r), 4/(18r)], [5/(18r), 2/(18r)]]
となる。

Aの各成分が自然数になるのはmを自然数として r = m/18 のときであり、
Bの各成分が自然数になるのはnを自然数として r = 1/(18n) のときである。
m/18 = 1/(18n) より mn = 1 なので、m,nがともに自然数になるのは m = n = 1 のときだけである。
このとき r = 1/18 であり、
A = [[1, 1], [1, 9]], B = [[1, 4], [5, 2]]
となる。



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|A||B| = -144
なので、A,Bは正則である。

A^(-1) = [[a, b], [c, d]]
とおく。

一つ目の式に左からA^(-1)を掛けると
B = [[6a+46b, 6a+22b], [6c+46d, 6c+22d]]
となり、
二つ目の式に右からA^(-1)を掛けると
B = [[5a+37c, 5b+37d], [7a+23c, 7b+23d]]
となる。

6a+46b = 5a+37c, 6a+22b = 5b+37d, 6c+46d = 7a+23c, 6c+22d = 7b+23d
を連立して解くと、p,qを任意の実数として
a = -46p+37q, b = p, c = q, d = -7p+6q
となるので、
B = [[-230p+222q, -254p+222q], [-322p+282q, -154p+138q]]
と書ける。

Aが対称行列のとき、A^(-1)も対称行列になるので、rを任意の実数として p = q = r と書けて
B = [[-8r, -32r], [-40r, -16r]]
および
A^(-1) = [[-9r, r], [r, -r]]
となる。よって、
A = [[-1/(8r), -1/(8r)], [-1/(8r), -9/(8r)]]
となる。

Aの各成分が自然数になるのはmを自然数として r = -1/(8m) のときであり、
Bの各成分が自然数になるのはnを自然数として r = -n/8 のときである。
-1/(8m) = -n/8 より mn = 1 なので、m,nがともに自然数になるのは m = n = 1 のときだけである。
このとき r = -1/8 であり、
A = [[1, 1], [1, 9]], B = [[1, 4], [5, 2]]
となる。

k=t-3とおいて地道に計算したら3(t^2+5)になったので
多分3(k^2+6k+14)になるのだとは思いますが、
こういう綺麗な結果になるということは
うまい計算方法があるのでしょうね。

y=x^2 と y=kx+1 の交点を (a,a^2), (b,b^2) (a<b) とします。
y=x^2 と y=(k+6)x+1 の交点を (c,c^2), (d,d^2) (c<d) とします。

すると、明らかに a<c<b<d なので、1/6公式と外積を用いると、求める面積は
S = (1/6)(c-a)^3 + (1/2){a(c^2-1)-c(a^2-1)} + (1/2){b(d^2-1)-d(b^2-1)} + (1/6)(d-b)^3
= (1/6)(c^3+d^3) + (1/2)(c+d) - (1/6)(a^3+b^3) - (1/2)(a+b)
= (1/6)(c+d)^3 + (1/2)(c+d)(1-cd) - (1/6)(a+b)^3 -(1/2)(a+b)(1-ab)
= (1/6)(k+6)^3 + (k+6) - (1/6)k^3 - k
= 3k^2 + 18k + 42

y=x^2と
y=mx+1
の交点をP(p,mp+1),Q(q,mq+1) (p>q)
E(0,1)とおく。
mを極僅かだけ変化させた微小量⊿mに対し
y=x^2,y=mx+1,y=(m+⊿m)x+1
とで囲まれる微小面積⊿Sを△EPM+△EQNで近似する。
ただし
M(p,(m+⊿m)p+1),N(q,(m+⊿m)q+1)とする。

⊿S=1/2*p*⊿m*p+1/2*(-q)*(-⊿m*q)=1/2*(p^2+q^2)*⊿m
ここにp,qは
x^2-mx-1=0の2根より
p^2+q^2=m^2+2
即ち
dS/dm=1/2*(m^2+2)
求める面積S(k)がF(m)=1/6*m^3+mとして
S(k)=1/2*∫[k,k+6](m^2+2)dm=F(k+6)-F(k)
=1/6*((k+6)^3-k^3)+((k+6)-k)
=3*k^2+18*k+42
=3*(k^2+6*k+14)

あのめんどくさい曲線部分を含む
y=kx+1,y=x^2の交点をA(a,ka+1),B(b,kb+1)　(a<b)
y=(k+6)x+1,y=x^2の交点をC(c,(k+6)c+1),D(d,(k+6)d+1) (c<d)
E(0,1)とし
p=k^2+4,q=(k+6)^2+4とすると求める部分の面積は
EAC+EBD
=AC曲線部+△EAC+BD曲線部+△EBD
=AC曲線部+BD曲線部+△EAC+△EBD
=1/6*((c-a)^3+(d-b)^3)+3*(a*c+b*d)
これより
S(k)=1/6*(((6-(sqrt(q)-sqrt(p))/2)^3+((6+(sqrt(q)-sqrt(p))/2)^3)+
3*((k-sqrt(p))/2*(k+6-sqrt(q))/2+(k+sqrt(p))/2*(k+6+sqrt(q))/2)
r=sqrt(q)-sqrt(q)と置くことで
=1/4*(36+3*r^2)+3/4*(2*k*(k+6)+2*sqrt(p*q))
=1/4*(36+3*(p+q-2*sqrt(p*q)))+3/2*(k*(k+6)+sqrt(p*q))
=9+3/4*(p+q)+3/2*k*(k+6)
=9+3/4*(k^2+4+(k+6)^2+4)+3/2*k*(k+6)
=3*(k^2+6*k+14)

なる計算をパスできることに感激しました。(途中タイプミスがあるかも知れません。)
ニュートン様様です。

共通部分の形を考えずに断面だけを考えて・・・
※立体Kのy軸上の頂点はy＞0にあるものとしました
立体Kをy=t(-√3/6＜t＜√3/3)で切るとz軸方向にのびる幅(2/3)(1-t√3)の帯
立体Lをy=t(-1/2＜t＜1/2)で切るとx軸方向にのびる幅(√3/2)(1-2|t|)の帯
よって共通部分をy=t(yの共通部分は-√3/6＜t＜1/2)で切ると
2辺が(2/3)(1-t√3)と(√3/2)(1-2|t|)の長方形
面積は(2/3)(1-t√3)×(√3/2)(1-2|t|)
=(1-t√3)(1-2|t|)/√3
なので、求める体積は
∫[-√3/6～1/2](1-t√3)(1-2|t|)/√3 dt
=1/6+5/(36√3)≒0.2468542

自分も挑戦していたが値が同じになっていたので安心しました。
らすかるさんは核心の部分しか記述されていませんが、この結果を
得るまでは結構ややこしい手続きと積分での面倒な計算を経過せねば
なりませんでした。

ではこの共通部分の形状は？
といくら頭の中で像を結ぼうと努力しても人の脳（私の脳みそだけかも)
は上手く対応できない。
2つの直円柱どうしのあの形状も皆さん見えてきますか？
さらに3つの互いに直交する直円柱の共通部分など全く想像できません。
しかしこの幾何学的には認識し難いものでも、
代数的手法でその実態を認識できる手段を人類が手に入れることが可能
ならしめたデカルトのアイデアとニュートンやライプニッツなどの寄与
には全く称賛の感謝しかありません。
人が理解するという営みやそのアプローチの手段などは哲学的問題も含め
大いに興味あるテーマに感じます。

実行してない思いつきですが……

i行目の削除を「単位行列からi行目を消した行列S[i]を左から掛ける演算」として書き、j列目の削除も同様に、というのがとりあえず自然な発想に見えますよね。
adjの中に正方でない行列の積が入っちゃうからこの先が難しいかな？

n=3 の場合をごり押しで計算しました。
https://mathlog.info/articles/0kO5cJBKcTqurCc5NyzK

私はこの予想のきっかけとなった別の計算に戻りたいので、
この問題について多分これ以上考えないと思います。

この予想のきっかけとなった別の計算をやり直していたところ、新たな発見がありました。
どうやら次式が成り立ちそうな感じです。（いくつかの数値の計算からの予想です。）

det(M)*R(x,M,y) = (x adj(M)y)adj(M) - adj(M)yx adj(M)

この式を示すことができれば、(Mが正則の場合に限りますが)最初の予想が証明できますね。
ただ、この式も簡単にはいかなそうです。

また、この式が成り立てば、
xR(x,M,y) = (行ベクトルの)0
と
R(x,M,y)y = (列ベクトルの)0
も簡単に示せます。

△ABCの垂心をHとする。各辺の垂心の足をDEFとすると、
Hは、△DEFの内心になる。したがって、
△ABC（H）＝△DEF（I）

△ABCの内心をIとする。内接円の各辺との接点をDEFとすると、
Iは、△DEFの外心になる。したがって、
△ABC（I）＝△DEF（O）

これで、H→I→O→Hとなりましたが、
逆の、I→H→O→Iの場合、見つけていただけないでしょうか？

管理人様へ　前の記事、追加編集してます。
△ABCの、外心をO、
ベクトル　OA＝a,　OB=b,　OC=c　とするとき、
重心　OG＝（a+b+c）/3
垂心　OH＝a+b+c なので
　　　OH＝３OG　（オイラー線）

△ABCの、外心（O）垂心（H）内心（I）重心（G）
の4個のうち、いずれかの二つが、一致するとき、
△ABCが正三角形であるための
必要十分条件になります。

△ABCの垂心をHとする。Hの各辺による、対称点をDEFとする。△DEFの内心が、Hに一致するので、△ABC（H）＝△DEF（I）

△ABCの内心をＩとする。Ｉのそれぞれの辺対称な点をＤＥＦとする。
△ＤＥＦの外心は、Ｉに一致するので、
△ＡＢＣ（Ｉ）＝△ＤＥＦ（Ｏ）

△ABCの外心をOとする。各辺による、点Oの対称点をDEFとすると、
△DEFの垂心は、Oに一致する。
△ABC（O）＝△DEF（H）
H→I→O→H　逆順の例はないでしょうか？

△ABCの垂心をHとする。Hから各辺への垂線の足の延長した線が、外接円と交わる点をDEFとすると、△DEFの内心は、Hに一致する。
したがって、△ABC（H）＝△DEF（I）

逆に、△ABCの内心をIとするとき、頂点と内心を通る直線が、外接円との交点を
それぞれDEFとすると、△DEFの垂心は、Iと一致するので、
△ABC（I）＝△DEF（H）

また、△ABCの外接円をOとするとき、円周上のどの三点DEFをとっても
△ABC（O）＝△DEF（O）
証明は、簡単ですが、…

三角形ABCの内心をI。傍心を、D、E、Fとし、三角形DEFの垂心をHとする。
IとHは、一致する。
△ABC（I）＝△DEF（H）

以前計算したものが、精度が悪いものから良いものまで各種ありますので
223/71より大きいものと小さいものを内分して作ればとりあえず作れます。
そのように作ったもので比較的綺麗そうなのは
F(x)=(13+484x^4)(1-x)^8/(1988(1+x^2))

以前計算したものが、精度が悪いものから良いものまで各種あります
このコメントに驚愕です。
(13+484x^4)(1-x)^8/(1988(1+x^2))
を確認しましたら確かにπ-223/71にピタリ一致しました。
自分が見つけたと思ったF(x)は
F(x)=x^4*(1-x)^4*(19+90*x^2)/(71*(1+x^2))
でした。
ちなみに
355/113-π=∫[0,1]x^8*(1-x)^8*(25+816*x^2)/((3164*(1+x^2))dx
で可能なんですが、これ以外に作ることはできますか？
さらに精度が高まった
104348/33215-π
を積分で計算できる関数を何度挑戦していても未だ見つけられません。
もしらすかるさんの手法で可能なら教えて下さい。

メモしてあるものは
∫[0～1]f(x)/(1+x^2)dx
として
π-○になるものは
f(x)=4x^4: π-8/3 (2.666…)
f(x)=4x^8: π-304/105 (2.895…)
f(x)=4x^12: π-10312/3465 (2.976…)
f(x)=2x(1-x)^2: π-3
f(x)=4x^16: π-135904/45045 (3.017…)
f(x)=(1-x)^8/4: π-109/35 (3.114…)
f(x)=x^2(1-x)^4: π-47/15 (3.133…)
f(x)=x(1-x)^10/8: π-15829/5040 (3.140674…)
f(x)=(1-x)^16/64: π-226355/72072 (3.140678…)
f(x)=x^4(1-x)^8/4: π-2419/770 (3.141558…)
f(x)=x^8(1-x)^8/4: π-47171/15015 (3.1415917…)
f(x)=x^4(1-x)^16/64: π-5735995/1825824 (3.14159250…)
f(x)=x^12(1-x)^8/4: π-36566969/11639628 (3.14159258…)
f(x)=x^16(1-x)^8/4: π-1051300379/334639305 (3.141592644…)
f(x)=x^8(1-x)^16/64: π-989459183/314954640 (3.1415926528…)
f(x)=x^12(1-x)^16/64: π-29683775497/9448639200 (3.141592653574…)
f(x)=x^16(1-x)^16/64: π-741269838109/235953517800 (3.14159265358916…)
○-πになるものは
f(x)=(1-x)^4: 10/3-π (3.333…)
f(x)=2x^3(1-x)^2: 19/6-π (3.166…)
f(x)=x(1-x)^6/2: 63/20-π (3.15)
f(x)=(1-x)^12/16: 87217/27720-π (3.14635…)
f(x)=x^4(1-x)^4: 22/7-π (3.14285…)
f(x)=x^8(1-x)^4: 10886/3465-π (3.14170…)
f(x)=x^12(1-x)^4: 141514/45045-π (3.14161…)
f(x)=x^16(1-x)^4: 45708802/14549535-π (3.1415988…)
f(x)=x^4(1-x)^12/16: 17417/5544-π (3.1415945…)
f(x)=x^8(1-x)^12/16: 56256877/17907120-π (3.141592673…)
f(x)=x^12(1-x)^12/16: 431302721/137287920-π (3.1415926543…)
f(x)=x^16(1-x)^12/16: 25231209173/8031343320-π (3.14159265364…)

上のπ-223/71は223/71を上下から挟むもので形（次数）が似ているものを選び
f(x)=(1-x)^8/4: π-109/35 (3.114…)
f(x)=x^4(1-x)^8/4: π-2419/770 (3.141558…)
を使って
(223/71)-(109/35)：(2419/770)-(223/71) = 484：13
から
{{(1-x)^8/4}×13+{x^4(1-x)^8/4}×484}÷(484+13)
=(13+484x^4)(1-x)^8/1988
なので
F(x)=f(x)/(1+x^2)=(13+484x^4)(1-x)^8/(1988(1+x^2))
のように算出したものです。
（形が大きく異なるものを選ぶと汚い結果になります。）

よって同様に355/113-πを考えるならば
f(x)=x^4(1-x)^12/16: 17417/5544-π (3.1415945…)
f(x)=x^8(1-x)^12/16: 56256877/17907120-π (3.141592673…)
を使って
(355/113)-(56256877/17907120)：(17417/5544)-(355/113)=499：3230
から
{{x^4(1-x)^12/16}×499+{x^8(1-x)^12/16}×3230}÷(3230+499)
=x^4(499+3230x^4)(1-x)^12/59664
なので
F(x)=x^4(499+3230x^4)(1-x)^12/(59664(1+x^2))
とすれば355/113-πになります。

104348/33215-πも同様に
f(x)=x^12(1-x)^12/16: 431302721/137287920-π (3.1415926543…)
f(x)=x^16(1-x)^12/16: 25231209173/8031343320-π (3.14159265364…)
を使って
(104348/33215)-(25231209173/8031343320)：(431302721/137287920)-(104348/33215)
=326：477
から
{{x^12(1-x)^12/16}×326+{x^16(1-x)^12/16}×477}÷(326+477)
=x^12(326+477x^4)(1-x)^12/12848
なので
F(x)=x^12(326+477x^4)(1-x)^12/(12848(1+x^2))
とすれば104348/33215-πになります。

最初計算が合わなくてとまっどていて、そうだrealprecisionが足らないんだとやっと気が付いて
やり直したらピタリ一致していきました。
２つの候補の内分点として求まることが出来るんですね。
そのためには色々なパターンでの積分計算結果を前もって準備しておかねばならないんですね。
何時頃こんな計算結果をしておこうとされ、そのきっかけは何だったんですか？
らすかるさんが構成されていた
π-223/71=∫[0,1](1-8)^8*(13+484*x^4)/(1988*(1+x^2))dx
355/113-π=∫[0,1]x^4*(1-x)^12*(499+3230*x^4)/((59664*(1+x^2))dx
では左右にある分母の数で
1988/71=28
59664/113=528
と綺麗に整数倍となっているのに
104348/33215-π=∫[0,1]x^12*(1-x)^12*(326+477*x^4)/((12848*(1+x^2))dx
では
33215/12848=455/176
で異なってしまうのですね。

この式を運にまかせて見つけていたのが運の尽きでした。

＞何時頃こんな計算結果をしておこうとされ、そのきっかけは何だったんですか？
相当昔ですが、多分最初に22/7-πになる積分を知った時だと思います。
（もちろん自分では思いついていません。）
これを見ると、「次数を上げたり式を少し変えたりすれば精度が良くなるのでは？」と思いますよね。
それでたくさん計算しておきました。
でも役に立ったのは今回が初めてです。

大円の上半分だけで考えて
2/3*π*R^3-π∫[R/2,R](R^2-x^2)dx=11/24*π*R^3
これより比率は
(11/24)/(2/3)
=11/16

ではないですね。
仮に半球の内部まで動けるとしてももう少し小さいですし、この問題は半球の表面だけなのでさらに小さいです。

そうか！
表面しか動けないのか。
xy平面で半径1の円x^2+y^2=1上の動点P(cost,sint) (0<t<π)
と点S(-1,0)の中点M(x,y)を考えると
x=(cost-1)/2,y=sint/2から
(2*x+1)^2+(2*y)^2=1
(x+1/2)^2+y^2=(1/2)^2
従ってMは中心(-1/2,0)半径1/2の円周上にある。
対称性を考慮してMが動ける領域は円盤(半径1/2)がy軸の周りを一回転してできるトーラス内になる。
このトーラスの体積は(1/2)^2*π*(2*1/2*π)=π^2/4
よって体積比は
(π^2/4)/(4/3*π)
=3*π/16 かな?

正解！

Geogebraのソフトで球面の2か所（２つに分けた各半球上で動かしてみる。)
での中点の軌跡を見ていたらどうもトーラスの形状とは程遠い形状になる様なんです。
点を一点に固定したまま考えていたので、2つが独立に自由に動き回る条件はカバーしきれていないかもしれません。
すべての部分を動かした中点の軌跡を全部残像で残すことがいまのところソフトでやる方法がわからないので、今のところ
上部の円周上と下部の円周上でいろいろと高さを変えながらの観察の様子からの判断です。
以外に複雑な様子になりそう。

余りにも図形が入り組んでいてこのMの領域を積分等で出す方法が全く見えてこない。
どなたかモンテカルロ法を使った確率幾何学的な方法で近似値でもいいので試みてくれませんか？

AIに質問すると
1.𝑃,𝑄 を球面上から一様にランダムに選ぶ。
2.𝑃･𝑄<0（反対の半球）という条件を満たすペアだけを使う。
3.その中点𝑀 を大量に生成して、点群として分布を記録。
4.得られた点群の凸包（convex hull）をとって、その体積を数値的に評価。

この方法で得られる体積が、球全体の体積の5/16 に非常に近づくことが確認されているんだ！
と厳密な解析積分は非常に複雑で、ヤコビアンの計算や高次元の変数変換が必要
などとの返事をよこす。

P・Q<0って、本当に逆の半球上にいる条件になっていますかね？
仮に実際はちゃんとしていたとして、答えの領域は穴の半径が0になっているトーラスであり、凸包にはなっていません。
だからこの計算だと過大評価になる……はずなんですが、なんで真の値より小さいんだろう？

実際の形の確認は、大円を赤道に見立てるとして、北緯と南緯をあまり変化させないようにするとイメージしやすいかも？

円柱座標を使って

V = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^1 r dr ∫_{-√[r(1-r)]}^{√[r(1-r)]} dz

となりますか？(自信なし)

V = ∫_0^{2π} dθ ∫_0^1 r dr ∫_{-√[r(1-r)]}^{√[r(1-r)]} dz
これってπ^2/2
の値を与えるのですか？
これは何の値を示すのですか？

体積比
(π^2/4)/(4/3*π)
の分子を求めるつもりでおりました。

Denganさん
それであっています。
実際にはz方向に積分した方が簡単で、パップスギュルダンの定理ならさらに簡単です。

すみません。
∫_0^1 r dr
の所のrを1と見てしまい計算していました。

これでトーラスの体積量が計算できるんですね。
ちなみに
π^2/4は例のπ^2/6
に近づけるために
もし半径を1/2から1/sqrtn(12,3)(≒0.436790) (1/(12の3乗根))
へ変更して軸の周りを回転させるとその体積はπ^2/6(=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+･･･････)
または
そのまま
π^2/4=2*(1+1/3^2+1/5^2+1/7^2+･････+1/(2*n-1)^2+･･･)
で鑑賞すると面白い。

お返事が遅れてしまい申し訳ありません。

DD++さん、GAIさん、ご教示を、ありがとうございます。

下限が0なのは自明として、最大値をゴリゴリ計算したら
ものすごーく変な値になって自信がないのですが、
最大値はひょっとして
(29√1443-78√74)/1196≒0.36
ですか？

もっと大きくとれると思います。
下限が0の意味が掴みかねるんですが、最小値もある値で決まります。

＊平面の切り方は三角柱の底面の一角を通る様に切断しても、切断面は
すべて側面の部分を通って切り離せるので適当な角度をつけて切断すれば
直角三角形の切り口は結構広く作れます。

下限が0にならないということは、私が何か勘違いしている？
と思って問題を読み直したら、とても大きな勘違いに気づきました。
「三角柱」を「三角錐」と思い込んでいました・・・
三角柱なら下限が0になるわけないですね。
もう一度考え直します。
（もし気が向いたら「三角錐」の場合を考えてみて下さい）

(追記)
計算し直しました。最小3/4、最大√17/4でしょうか。 (← 最初4で割り忘れていて後で修正しました)
合っていれば私の計算方法を書きます。

正解です。

私も三角錐にてGeogebraを利用して角度が90°になる瞬間に近い部分で三角形の面積を同時に表示しながら
眺めてみました。90°の角度を作れる場所は本当に特殊な位置にP,Qがいる時に起こるしか無く、勝手にとれば
ほとんど鋭角の状態のままの時がほとんどでした。
この時の面積を計算させたものを読んだら0.35~0.36辺りの数値が表示されていました。
らすかるさんがあの複雑怪奇な式がどのように算出されるのかは全く分かりませんが、実験的にP,Qを連続的に
動かして直角の条件を通過するときの面積表示を見ていれば確かに0.36以上の値は起こりませんでした。

以下のように計算しました。
3点の高さを低い順に0(点A)、a(点B)、b(点C) (0≦a≦b≦2, a≧b/2)とすると
AB^2=a^2+1, BC^2=(b-a)^2+1, CA^2=b^2+1
∠Bしか直角になり得ないのでAB^2+BC^2=CA^2に代入して整理すると
2a^2-2ab+1=0
a=(b±√(b^2-2))/2
これと条件から √2≦b≦2
b=√2のときa=√2/2、b=2のときa=(2+√2)/2
2a^2-2ab+1=0から b=(2a^2+1)/(2a) … (1)
ヘロンの公式から、各辺の長さの2乗をp,q,rとすると
16S^2=2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)
p=AB^2,q=BC^2,r=CA^2と(1)を代入して整理すると
16S^2=(a^2+1)(4a^2+1)/a^2
これにa=√2/2とa=(2+√2)/2を代入して計算すると
S=3/4、√17/4を得る。

# 三角錐のときも、AB^2,BC^2,CA^2の式が長くなって計算が面倒になる以外は同じです。
# ちなみに三角錐の場合は
# AB^2=(49-14a√3+52a^2)/49
# BC^2=(49-14(a+b)√3+52a^2+52b^2-92ab)/49
# CA^2=(49-14b√3+52b^2)/49
# AB^2+BC^2=CA^2に代入して整理すると104a^2-2(14√3+46b)a+49=0
# b=(104a^2-28a√3+49)/(92a)
# b=7(√26-√3)/23のとき最大
# となります。
# (追記)三角錐の場合のa,bは、純粋な高さではなく側面の二等辺三角形上の高さです。

## 手作業で書き写したので細かい間違いがあるかも知れません。

3点の高さを低い順に0(点A)、a(点B)、b(点C)　(0≦a≦b≦2)で
a=(2-√2)/2,b=2の場合も△ABCの面積は√17/4になりませんか？

もちろん私が書いた解と合同ですからそうなります。
しかし複数の合同な解は書くのが手間がかかりそうなので、
最初にa≧b/2という条件を付けて一方に絞っています。
結果的には(2+√2)/2を(2±√2)/2と書くだけなので手間ではありませんでしたが。

数字の組合せが異なっていたのでてっきり別物かと今の今まで思っていました。
天地をひっくり返したら同じだ！
失礼いたしました。