😊出会いの泉😊

三すくみが構成される組み合わせは入れ替えを除いて24通り
そのうちすべて勝敗確率が同じになるものは
A=(1,2,5,6,7,9), B=(1,3,4,5,8,9), C=(2,3,4,6,7,8)
A=(1,2,4,6,8,9), B=(1,3,5,6,7,8), C=(2,3,4,5,7,9)
の2通りのみ（いずれも17-16）

お見事です。
それも2通りのパターンを見つけられたことも凄いです。

そこでこの三すくみのサイコロをそれどれ3人が手にして出た数が最も大きい数を出した人を勝者とするとき、
もし同数で最高の数を出せば、その2人で再びそのサイコロをふって争うものとします。
そのようなゲームをするとすればケース１とケース2ではどのサイコロが有利になるか判定してほしい。

手計算で地道に計算した結果、勝利確率の比は
ケース1は A：B：C = 19：19：16
ケース2は A：B：C = 20：17：17
のようになると思います。

L1とL4がABの延長上で交わる場合は x=(180°-θ1-θ2)/2
L1とL4がBAの延長上で交わる場合は x=(180°+θ1-θ2)/2
となる気がします。

xが鋭角である時のみしか調べてなかったので、らすかるさんのを見て
鈍角もあり得ると調べ直したら正にらすかるさんの結論に辿り着きました。
一見自明でない事柄でも、既成事実を重ねるとその結論を認めざるを得ない状況が
発生してくる過程は、ミステリー小説や、探偵物語、検事と弁護士の法廷でのやり取り等
とも関連していて犯人を断定出来たときの驚きと喜びは共通しています。
私はもっぱら事件の報告係を務めてきたような気がしていて、どなたか未解決の事件を
報告してください。

場合分けはもっとたくさんあります。

左図のような場合は x=(θ1-θ2)/2 となると思います。

また、θ1 を ∠AP1D ではなく (L1,L4のなす角;ただし鋭角) の方で決める場合、右図の場合も別に考える必要がありますね。

さらに、"直線L2を上方にむけて引く"とありますが、L2は半直線ではなく直線となっているので、点P2を点Aよりも下方にとった場合も考えないといけないでしょう。
点P2を点Cよりも上方にとった場合でも、点や直線の位置関係によってほかの場合分けがありそうな気がします。

有向角を使って考えたことを書きます。
（有向角に関して知りたい場合は denta_geometry さんのMathlog記事 https://mathlog.info/articles/2956 を見るとよいです。）

有向角は、直線を反時計回りに回転させて別の直線に重ねたときの回転角で考えます。
時計回りに角度α回転させて重なる場合は反時計回りに角度 180°-α 回転させても重なるので、反時計回りの回転角[180°-α]を使います。
（もしくは、時計回りの回転角αにマイナス符号をつけて[-α]にして使っても大丈夫です。）


有向角を使うと、GAIさんの問題で図形がどんな形になっても次の関係が成り立ちます。
直線L2を下方にむけて引いたり、直線L2上の点P2を円内にとったりしても成り立ちます。



角度(有向角)y,φ1,φ2を、
y : 点Aを中心に直線L1を反時計回りに回転させてL2に重なるようにしたときの回転角，
φ1 : 点P1を中心に直線L4を反時計回りに回転させてL1に重なるようにしたときの回転角，
φ2 : 点P2を中心に直線L2を反時計回りに回転させてL3に重なるようにしたときの回転角，
とするとき、
2y≡-(φ1+φ2) mod 180°
が成り立つ。

[証明]
t : 点Dを中心に直線L3を反時計回りに回転させてL4に重なるようにしたときの回転角，
とする。
直線を反時計回りにL1→L2→L3→L4→L1と回転させると元の直線に戻ることから、
y+φ2+t+φ1≡0° mod 180°
が成り立つ。
また、円周角の定理により、
y≡t mod 180°
が成り立つ。
法が同じ合同式は代入や移項ができるので、
2y≡-(φ1+φ2) mod 180°
となる。
[証明終]



有向角は、回転方向を決めているところと、180°を法とする合同関係で考えるところがみそです。



ちなみに、この式は合同式なので両辺を2で割ることはできません。
次のようになるからです。

…
2y=-(φ1+φ2)-360° ならば y=-(φ1+φ2)/2-180° ，
2y=-(φ1+φ2)-180° ならば y=-(φ1+φ2)/2-90° ，
2y=-(φ1+φ2) 　 ならば y=-(φ1+φ2)/2 ，
2y=-(φ1+φ2)+180° ならば y=-(φ1+φ2)/2+90° ，
2y=-(φ1+φ2)+360° ならば y=-(φ1+φ2)/2+180° ，
2y=-(φ1+φ2)+540° ならば y=-(φ1+φ2)/2+270° ，
…

これらの式から、0°＜y≦90°なのか 90°＜y＜180°なのかが確定できれば、
y=-(φ1+φ2)/2+n×90°が条件を満たすn∈Zが一つだけ決まり、φ1,φ2からyの計算ができることがわかります。




GAIさんの問題文のx,θ1,θ2とここで定義したy,φ1,φ2を比較してみます。


[yについて]
問題文では "Aを通る直線L1を水平に引き" および "L1とはxの角度で伸びる点Aを通る直線L2を上方にむけて引く" となっていますが、
xがL1の右方向との角度なのかL1の左方向との角度なのか、
あるいはL1の点Bがある方向との角度なのかL1の点Bがない方向との角度なのかが明示されていません。
一般的に使われる角度の測り方で考え、点Aが左・点Bが右にあってxは点BがあるL1右方向との角度(半直線ABとの角度)としてよいのであれば、
yはxと一致するといってよいでしょう。


[φ1について]
φ1については、GAIさんの問題文におけるθ1を
"∠AP1D" (0°～180°) と捉えるか、"L1,L4のなす角;ただし鋭角" と捉えるか
によって、θ1とφ1の関係が変わってきます。

θ1が"∠AP1D"(0°～180°)の場合、φ1は次のように場合分けされます。
φ1=θ1 (三角形AP1Dにおいて点A,P1,Dがこの順に反時計回りに並ぶとき),
φ1=180°-θ1 (三角形AP1Dにおいて点A,P1,Dがこの順に時計回りに並ぶとき).

θ1が"L1,L4のなす角;ただし鋭角"(0°～90°)の場合、φ1は次のように場合分けされます。
φ1=θ1 (点P1を中心に直線L4を反時計回りに回転させたとき、回転角90°未満でL1に重なるとき),
φ1=180°-θ1 (点P1を中心に直線L4を反時計回りに回転させたとき、回転角90°以上180°未満でL1に重なるとき).


[φ2について]
φ2については、GAIさんの問題文におけるθ2を
"∠AP2D" (0°～180°) と捉えるか、"L2,L3のなす角;ただし鋭角" と捉えるか
によって、θ2とφ2の関係が変わってきます。

θ2が"∠AP2D"(0°～180°)の場合、φ2は次のように場合分けされます。
φ2=θ2 (三角形AP2Dにおいて点A,P2,Dがこの順に反時計回りに並ぶとき),
φ2=180°-θ2 (三角形AP2Dにおいて点A,P2,Dがこの順に時計回りに並ぶとき).

θ2が"L2,L3のなす角;ただし鋭角"(0°～90°)の場合、φ2は次のように場合分けされます。
φ2=θ2 (点P2を中心に直線L2を反時計回りに回転させたとき、回転角90°未満でL3に重なるとき),
φ2=180°-θ2 (点P2を中心に直線L2を反時計回りに回転させたとき、回転角90°以上180°未満でL3に重なるとき).



θ1,θ2に関してどちらの解釈を採用するにしても(θ1:2通り)×(θ2:2通り)の場合分けが必要(全部が実際に存在するか不明)で、かつ、
y=-(φ1+φ2)/2+n×90°のn∈Zがいくつになるかも考えないといけません。

それぞれの場合でどんな点や直線の位置関係になるかを考える、
あるいは逆に、点や直線の配置からどれに当てはまるかを考えていく、
……どちらも大変そうですね。

ここまで書いておいてなんですが、この有向角からのアプローチは手間かもしれないです。

結局、場合分けの上手な方法や何通りの場合分けが必要なのかといったことが私はわかっていません。

言葉で図形を説明すると、こちらが意図するものが正確には伝わらないことが起こり得る
（認識している以外にも見落としてしまう形状が入り込む)ことが痛いほどわかります。
らすかるさんやりらひいさんからの投稿で全くこちらが想像もしてなかった形状が入り込める
事実が発生してしまう。
法廷で争われる罪の決定にも、言葉中心でのやり取りを元に(誰もその現場に立ち会っていない)
争われている印象がありますが、基本的にはこんな例と構造的には似ているのではないかと思えます。
死刑を受けた人が長年の時を要して無罪となる冤罪で苦しむのも言葉による世界を作ろうとするとき
正確には真実を構築できないもどかしさが関係しているのかも知れないとふと思ってしまいました。

問題の解釈とプログラムが合っていれば
(1) 510
(2) 131052
連続6個、連続7個は 10000095
連続8個、連続9個は 124324220
(3) 10
(4) 18
4桁は36、5桁は54、6桁は88、7桁は99、8桁は126、9桁は150、10桁は258、11桁は276

拡大した範囲での調査ありがとうございます。
(2)でちょうど6連続、ちょうど8連続で探せば何ですか？
(4)で更に桁を上げると何だろうな？と思っていたがプログラムの組み方が出来ず未解決のところ
こんな結果になるのですね。

ちょうど6連続、ちょうど8連続に関しては記録を残していませんでしたので、
あとは↓こちらで。
https://oeis.org/A060159
20連続までしかないみたいですね。

# 「○連続以上」と考えた場合、10連続まで全部答えが「1」となってしまいますので、
# 1桁は除外して考えました。

数列サイトの番号で
(1) A007770
(2) A091432
(3) A055629

らすかるさんの調査にピッタリです。
特にA055629には面白い数列が並んでおり、こんな値をどうやって探すんだろうという謎が強力に残ります。
またLucky numbersでの数列の出方が素数を見つけ出す手段で使うエラトステネスの櫛の手法に類似にていることから
素数でのゴールドバッハ予想としての“4以上の偶数は二つの素数の和で作れる"
がそのまま"4以上の偶数は二つのLucky numberの和で作れる”という予想に現れ、しかも真であると強力に感じられるも
その証明はなされていないことになっている。
ふと疑問に思ってしまうことは世界中の誰かが既にちゃんと調査してしまっていることにOEISを使うたびに痛切に感じてしまう。

数列サイトの番号で
A000959 と A031157

111111111÷9=12345679は既知
(12345679-17)÷2=6172831 ← 111111111になる初項
これ以降は222222222÷18=12345679を順次足せばよいので
6172831+12345679=18518510 ← 333333333になる初項
18518510+12345679=30864189 ← 555555555になる初項
30864189+12345679=43209868 ← 777777777になる初項
43209868+12345679=55555547 ← 999999999になる初項

(追記)
最後の値が55555555に近いことから逆に考えると、以下の手順の方が
計算が簡単かも知れません。
18個の和が999999999になる自然数列を2個ずつ足して9個にすると
公差4の奇数列になる。
999999999÷9=111111111なので
999999999=111111095+111111099+111111103+111111107+111111111
+111111115+111111119+111111123+111111127
それぞれの奇数を隣接自然数の和にすると
55555555×2=111111110であることから
111111111=55555555+55555556、よって
111111107=55555553+55555554
111111103=55555551+55555552
111111099=55555549+55555550
111111095=55555547+55555548
111111115=55555557+55555558
111111119=55555559+55555560
111111123=55555561+55555562
111111127=55555563+55555564
のようになり、
999999999=55555547+55555548+55555549+…+55555564
となることがわかる。
他の数は222222222÷18=12345679を順次引けば求まる。

そこで今度は等差数列にある連続する18個の整数を並べてその合計を
222222222, 444444444, 666666666, 888888888
となるようにしたい。
なるだけ小さい整数の公差で目的を遂げるにはそれぞれの初項と公差を何に設定しておけばよいか？

更に
初項を最も小さい正の整数で設定する場合、18個の整数でそれぞれの等式を成り立たせる各公差(整数とする。)との組合せはどの様なものになるか？

222222222:
222222222÷18=12345679だから中心(9個目と10個目の平均)を12345679にする必要がある。
ということは最小公差は2で初項は12345679-17=12345662
また最小初項は12345679-17[(12345679-1)÷17]=7、公差2[(12345679-1)÷17]=1452432

他も中心が整数だから最小公差はどれも2で、そのときの初項は
444444444: 12345679×2-17=24691341
666666666: 12345679×3-17=37037020
888888888: 12345679×4-17=49382699
最小初項とそのときの公差は
444444444: (12345679×2)-17[(12345679×2-1)÷17]=14、2[(12345679×2-1)÷17]=2904864
666666666: (12345679×3)-17[(12345679×3-1)÷17]=4、2[(12345679×3-1)÷17]=4357298
888888888: (12345679×4)-17[(12345679×4-1)÷17]=11、2[(12345679×4-1)÷17]=5809730

初項を最小にした場合の[初項,公差]は
111111111 ; [12,726215]
222222222 ; [7,1452432]
333333333 ; [2,2178649]
444444444 ; [14,2904864]
555555555 ; [9,3631081]
666666666 ; [4,4357298]
777777777 ; [16,5083513]
888888888 ; [11,5809730]
999999999 ; [6,6535947]
となり初項は全部相異なることになりました。
この初項の並びに何か法則性は無いのか探っていたら
17-5=12
17-(5+5)=7
17-(5+5*2)=2
17-3=14
17-(3+5)=9
17-(3+5*2)=4
17-1=16
17-(1+5)=11
17-(1+5*2)=6
(苦しい)
他に何か規則はあるのか？

111111111を17で割った余りは 12
222222222を17で割った余りは 7
333333333を17で割った余りは 2
444444444を17で割った余りは 14
555555555を17で割った余りは 9
666666666を17で割った余りは 4
777777777を17で割った余りは 16
888888888を17で割った余りは 11
999999999を17で割った余りは 6
のようになっていますので
n=11111111,222222222,333333333,…として
f(n)=n-17[n/17]
とか
f(n)=17arctan(tan((n+9)π/17))/π+8
などのようには表せますが、そういうことでしょうか。

111111111を17で割った余りは 12
222222222を17で割った余りは 7
333333333を17で割った余りは 2
444444444を17で割った余りは 14
555555555を17で割った余りは 9
666666666を17で割った余りは 4
777777777を17で割った余りは 16
888888888を17で割った余りは 11
999999999を17で割った余りは 6

何か17が関係しているなと思っていたんですが、は～これなんだ！
疑問は誰かに聞いてみるもんだ。
18個の整数は等間隔で17個開いているんですものね。

問題をよく読んでなくて実数全体で解いてしまいましたが、負の解を出すのに苦労しましたのでそのまま書きます。
x+√(x(x+2))+√(x(x+3))+√((x+2)(x+3))=6
この式からx≦-3またはx≧0
√(x(x+2))+√(x(x+3))=6-x-√((x+2)(x+3))
x(x+2)+x(x+3)+2√(x^2(x+2)(x+3))=(x-6)^2+(x+2)(x+3)+2(x-6)√((x+2)(x+3))
12x-42=2(x-6)√((x+2)(x+3))-2√(x^2(x+2)(x+3))
6x-21=(x-6)√((x+2)(x+3))-√(x^2(x+2)(x+3))
36x^2-252x+441=(x-6)^2(x+2)(x+3)+x^2(x+2)(x+3)-2(x-6)√((x(x+2)(x+3))^2)
2x^4-2x^3-48x^2+360x-225=2(x-6)|x(x+2)(x+3)|
x≦-3の場合
2x^4-2x^3-48x^2+360x-225=-2(x-6)x(x+2)(x+3)
4x^4-4x^3-96x^2+288x-225=0
適解は
x={1-√(65+(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6))-
√(130-(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6)+
2√(4017-(8√76414)cos((1/3)arctan(159846337√6343/4366032789)+π/6)))}/4
(=-5.7113523237167609662912199429866925479…)
x≧0の場合
2x^4-2x^3-48x^2+360x-225=2(x-6)x(x+2)(x+3)
48x-25=0
∴x=25/48
従って解は
x=25/48,
{1-√(65+(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6))-
√(130-(8√13)sin((1/3)arctan(3√6343/289)+π/6)+
2√(4017-(8√76414)cos((1/3)arctan(159846337√6343/4366032789)+π/6)))}/4
の二つ

解く前に様子を見るためにグラフソフトで与式を見てみると
正、負に一個ずつ実数解を持つことは見えたのですが
これが何かを求めようにもあまりに根号が邪魔をして、途中
変形をし続ける気力を失っていました。
正の解だけを求められていたのですが、仕方なくsolveコマンド
に頼って
gp > solve(x=0,1,x+sqrt(x*(x+2))+sqrt(x*(x+3))+sqrt((x+2)*(x+3))-6)
%42 = 0.52083333333333333333333333333333333334
gp > bestappr(%42)
%43 = 25/48
gp > solve(x=-6,-5,x+sqrt(x*(x+2))+sqrt(x*(x+3))+sqrt((x+2)*(x+3))-6)
%44 = -5.7113523237167609662912199429866925479
gp > algdep(%44,4)
%45 = 4*x^4 - 4*x^3 - 96*x^2 + 288*x - 225
でこの4次関数は既約でとてもじゃないが解を求める手段はフェラーリの公式
以外になく、求められたとしても想像を絶する式となるだろうと思っていました。
なんとらすかるさんはこれを正確に求めているのですね。

我慢できなく解法を見てみると何と正の解を出すための超絶技巧として
次の手段を示されていました。

a=√x,b=√(x+2),c=√(x+3)と置くと
与式=a^2+a*b+a*c+b*c=6
a^2+a*(b+c)+b*c=6
(a+b)*(a+c)=6･････････①

与式の両辺に2を足して
x+2+a*b+a*c+b*c=8
b^2+b*(a+c)+a*c=8
(b+a)*(b+c)=8･････････②

与式の両辺に3を足して
x+3+a*b+a*c+b*c=9
c^2+c*(a+b)+a*b=9
(c+a)*(c+b)=9･････････③

①②③を辺々かけて
((a+b)*(b+c)*(c+a))^2=6*8*9=2^4*3^3
これより
(a+b)*(b+c)*(c+a)=2^2*3*√3=12√3････④
④/①から
b+c=2√3･････････････④
④/②から
a+c=3√3/2･･･････････⑤
④/③から
a+b=4√3/3･･･････････⑥

④+⑤+⑥から
2*(a+b+c)=29√3/6
これより
a+b+c=29√3/12･･･････⑦

⑦-④から
a=29√3/12-2√3=5√3/12

従って求めるx=a^2=25/48
（あ～こんな発想思い付くわけないぞ!!）

私の解釈が正しいかどうかの確認のために聞きたいのですが、
n=6のときの最大の長方形の面積は8ですか？

n=6では4通り配置が可能ですが位相的にはどれも同型となり中に取れる長方形の面積
は2*4=8の大きさを持ちます。

合っているかどうかわかりませんが、こんな値になりました。
n=6: 2*4=8
n=7: 2*5=10
n=8: 4*4=16
n=9: 4*5=20
n=10: 4*6=24
n=11: 5*6=30
n=12: 5*7=35
n=13: 6*7=42
n=14: 6*8=48
n=15: 7*8=56

手作業ではとても手に負えなかったので、Copilot(人工知能)と何度もやり取りを繰り返し
PARI/GPで走らせるプログラムをやっとの思いで完成させ調査してみました。
(位相的に同じものを探し出す手続きがとても面倒でした。でもこれをしないと対象のものが
莫大な数に膨れて調べる気力を奪われてしまいます。)
n=6,7,8,9,10での結果が以下の様になるようです。

なお
S:異なる配置総数、S0:位相的異なる配置総数とし
配置した中に生まれる公園(長方形)を最も広くできる配置図が以下のもので可能となります。
(最大面積は位相的に異なるパターンをすべて出力し、目で見て探しているのでひょっとして
見落としているものがあるかもしれませんが、一応何度も点検した積りです。)

6X6board (S=4;S0=1); 最大8
Solution
･ ･ ･ Q ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ Q ･ ･ ･


7X7board (S=40;S0=6); 最大10
Solution
･ ･ Q ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ Q ･ ･ ･


8X8board (S=92;S0=12); 最大16(正方形となる)
Solution
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･


9X9board (S=352;S0=46); 最大20(２パターン存在)
Solution 1
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･

Solution 2
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･


10X10board (S=724;S0=92); 最大20(５パターン存在)
Solution 1
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･

Solution 2
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･

Solution 3
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･

Solution 4
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･

Solution 5
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･

n=10での24の配置図はどの様なものなのですか？

パターンはいろいろあるみたいですが、例えば
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･

(追記)
パターンは全部で4パターンのようです。
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　
最後のパターンは点対称できれいですね。

でもこれらは斜めが重複しませんか？

「すべての石について、縦横斜めの8方向に他の石が存在しない」
が成り立てば良いものと思っていましたが、違いますか？
もしこれが正しければ重複していないつもりですが、
重複しているようでしたら具体的にどのパターンのどの石とどの石が
重複しているかを教えて頂ければと思います。
また、私の解釈が間違いでしたら正しい解釈を教えて頂ければと思います。

# 上の書き込みでn=10のパターン数を「5」と書いてしまいましたが、「4」の間違いですので訂正しました。

すみませんでした。
投稿してすぐに間違いであることに気付いて削除しようと操作するもサイトの状態が固まった状態がしばらく続いて
いたので訂正できずにいました。
92パターンを再び画面を拡大して眺めていたら
92個を一覧にするため、出力されていたのをエクセルに並べて
(一文字が小さくなっていた)印刷してたので眺めていたので
. Q . . . . . . . . が
.Q.........

とQ.が重なった状態でしか見えなくてつい見落としていました。
(年とともに小さい字が見えずらい!）

･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q　　　
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･　　　･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･　　　
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･　　　

これらは
Solution 73
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･

Solution 76
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･

Solution 87
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･

Solution 92
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･
として実際に出力していた。

24の広さが取れることを確認できました。

高速化のアルゴリズムを考えていて気付いた点など書きます。

(1) 長方形は最大でも縦横2辺の合計がn
n≧6では最大の長方形の縦横2辺の合計がn未満になることはなさそうです。
n=2mの場合の最大面積は高々m^2、n=2m+1の場合の最大面積は高々m(m+1)となります。
nが大きい場合は自由度が増すためm^2またはm(m+1)となりそう(15≦n≦50で確認済み)ですが、
nが小さい(n=6,7,10,12,14)場合は制約が多くなり、それより小さい値になることがあります。

(2) 最大がm^2(n=2m)またはm(m+1)(n=2m+1)となる場合、石は長方形の上下左右にしか置けない
長方形の辺を延長して井の形にしたとき、角の4区画には置けません。
これは上辺の上と下辺の下を合わせてちょうど上下辺の長さ分の個数、
左辺の左と右辺の右を合わせてちょうど左右辺の長さ分の個数になる必要が
あることから言えます。

(3) 上記を踏まえて考えると、「条件を満たすパターンを生成して内部の最大長方形を調べる」よりも
「長方形の大きさと位置を先に固定し、石は置ける範囲だけ試す」の方が高速に探索できます。
（もちろん長方形の位置は全通り試す必要があります）
このように高速化すると、「条件に合うパターンを一つ見つける」だけならばn=50程度まで可能となります。
「パターンが何通りあるか」の場合はn=25程度までです。

(4) パターン数は、n=18程度まではあまり多くないですが、それを超えると爆発的に増えます。
n=6: 2*4=8 (1通り)
n=7: 2*5=10 (1通り)
n=8: 4*4=16 (1通り)
n=9: 4*5=20 (2通り)
n=10: 4*6=24 (4通り)
n=11: 5*6=30 (2通り)
n=12: 5*7=35 (2通り)
n=13: 6*7=42 (4通り)
n=14: 6*8=48 (26通り)
n=15: 7*8=56 (16通り)
n=16: 8*8=64 (44通り)
n=17: 8*9=72 (23通り)
n=18: 9*9=81 (77通り)
n=19: 9*10=90 (333通り)
n=20: 10*10=100 (1027通り)
n=21: 10*11=110 (1705通り)
n=22: 11*11=121 (2337通り)
n=23: 11*12=132 (18464通り)
n=24: 12*12=144 (27553通り)
n=25: 12*13=156 (188172通り)
n=26: 13*13=169 (247527通り)
n=27: 13*14=182 (2069383通り)

n=11で位相的に異なる341通りの配置方法から
最大面積が30となる配置図が2通りということだったので
その配置方法を何とか探しだすことを試みてみました。
(長方形を任意の位置に設定し空席のカウントを自動で行うプログラムなんて
とても組めるものではないので、探す方法は目が頼りです。)

Solution 237
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･

Solution 312
･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･
･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･
Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･
･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･
･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･ ･ ･ ･
･ ･ ･ ･ ･ ･ Q ･ ･ ･ ･

牛乳を入れると側面中央がそれぞれ約2mm膨らむそうです(AIの回答)。
この曲線を円弧として計算すると、断面積が49→52.7となり、
19.5を掛けると1000を超えます。

はい牛乳を入れると側面が僅かに膨らみ、ピッタリ1ℓを注ぐことになるそうです。
工業デザインとはよく考えられているものですね。
そういえば缶コーヒーのプルトップも引っ張って切れやすいように非対称的な円形構造をしていますね。