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x^4+20043*y^4=z^4+20043*w^4の自明でない整数解(0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか求めた。

2621169957906627569727127344868295239429912946603356183^4+20043*159962114751783403385627527338735104967235051928081009^4=2786943516161909375025791202752159312644982054868946349^4+20043*5811443503498401913036330545128968247834056337509157^4

254207793009846632239996028865752867336363539414255359087172425866553353662309520900171867339119924940632194105685900123157965254475420766103765572719351614082411259782072168557006834992266572150574729527229913964971857^4+20043*19927285714079438922245350087502626484505895020230901601535036405053851280986005350251593305189294999671848437170653716787438184694953403627830005280354740143092989288887776787530292567662753455241023415931260972763487^4=287010441222465888966320572327591254978733687254590920383782423883865724931441935966547514233862703137744993386382199075533056659536965926177695321139976995987957169287791715556435064860462048761164922844456190276359623^4+20043*12875362498539817804079193374335761157864252820104659695074961612258519988146409716124053589553483197440950843525645235587653220366591756446099743140270641762452920216831770211897937300532723155349169901295015338624279^4

816660240872723477802475951133068737723119626935326624837136886207184947586858525570019146280053976202491895552315580953744733817295552802461209686555832159248569475638762642608201461306618976426573005508295202424936581981131143675549441367295699357010780115892427929286241313544144725697685772689105798969388547449143017840793675146490320306966985241553119530125651855161817808953904508710564351390028199032603976414787950908046057431795660420268496857548703688449176473082479376239779869^4+20043*109540392954423175665673471212321292700574416458115524867129930980603212889509128521643817454901706834327808711778290616361363769208340078568783543419250598441874096134267731787840094316555569161308557431431887496112863827876315173454864095411873494123391072919501345634509964120501862628986567850730270463834265047904979097216391185785651754942776391490696990533095952038415273545372057459240476572517454376307379272850747488592002369615528751596606009800077097198855787255280920755654411^4=1028682397492589595795055449119070978075070166160495166546570369735912283480571842628166820046954469015110785236346919792957660289623359155118276635291835161449418856951548612238395418226266414564741889773873131926300099665319673726608593295852365400433088024344975262737918537476017427091681252743287799069487695934364111465347755461462906235164910128416238434780419977040876592733698471171029030271644512475525055286545993416146932939909568603422802679026964449854163715809882678455987447^4+20043*102481763665442942326906026773680947651376122767053016842303552548124123004204188536503856311998785978291080972253048222851562703119466274088283405316752403758975285178518237842353862603091868976860326834146042005250653856312214877604287833144792549298916835533045987817167259811370838765008912203451729636264883437316114527337689129186934173255148495372421914121672169840643510234421905001224202309098859066613699598907295019508873138498379431557699811678183664206131455472122381460553167^4
....

先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。

不定方程式 x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4 の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか計算した。
ここで、整数解(x,y,z,w)が自明であるとは、x=±z, y=±wを満たすことである。

1751644480712358022764610996849836207083^4+20018*2836129120602314244716197776197608652748^4=33243366941390782106221945784520622608077^4+20018*1386041370951376207830363394185229070526^4

15367057244614666558224860350174017451909172271746086680747743919490773596016910615730695495321308476791755354060638799636675911262278590232548181847377358057976078498217178358084373597254560536633502625152006659852526638677208412953662569616533076832082559887788107489251842179548490179324688246061022874018808491202447431369405898383881361998765375673351^4+20018*8180387748026547334342747144445783184821381371747939300439203724914617559465887366679925048688706793581247347412408059940943869630926512511157712079283704492399425509890751757779073211333030244973795310724523350841748837924220032265231699904336460892350164492608798541359228199768319967091748858259460526981570897914961042241566691435350240855292940457332^4=95625704196203883611468729137271898431950887288333762384063303458106961414202426405367541849325718819511342577899070245920031423161460490873504235658753424714996713958462697072546913478399575600534617246014236909284915479272330693668319267277277329550093807108698915915806649372706613296077750562477747896346043181989668812167029118554140809895002982116079^4+20018*4174822027338205680611658780660614508762615041108055951052489544846882104122863606709135299101235596913986835494685106590059258716609268127986266979511489031365014235260835013630042867655881037325354287706455721121383958391513209731642569483396646170966162385807527966245143892726332751230894280832994969880614652590031696024707004273650690516227570582986^4

...

先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。また、max{|x|,|y|,|z|,|w|}<=100000を満たす自明でない整数解(x,y,z,w)は存在しない。

ゲーベル数列は色々な部分によって異なる定義で示されていますね。

A003504　では
a(0)=a(1)=1; thereafter a(n+1) = (1/n)*Sum_{k=0..n} a(k)^2 (a(n) is not always integral!).

1,1,2,3,5,10,28,154,･･･
が並んでいき,a(43)まで整数でa(44)で有理数


より一般化(2乗をk乗にしてk-Gobel sequence)したもの
A108394 では
Least k for which f(k) = (1 + f(0)^n + f(1)^n + ... + f(k-1)^n)/k, f(0) = 1

n=2-->1,2,3,5,10,28,154,･･･
が並びf(42)までが整数でf(43)で有理数
n=3-->1,2,5,45,22815,2375152056927,･･･
が並びf(88)までが整数でf(89)で有理数
n=4-->1,2,9,2193,5782218987645,･･･
が並びf(96)までが整数でf(97)で有理数
n=5-->1,2,17,473297,5937570334133678310135701537,･･･
が並びf(213)までが整数でf(214)で有理数

これらは共通してf(1)=2となるタイプとして並ぶことになるので
さらのここをf(1)>=2 (即ちf(1)=3,4,5,6,･･･と変化させたことも含め)

A097398では
Matrix T(m,x(1)), m>=1, x(1)>=2, read by antidiagonals,
where T(m,x(1)) gives the position of the first noninteger term in the sequence
defined by x(n)=(x(n-1)*(x(n-1)^m+n-1))/n for n>=2
with exponent m and the given starting value x(1)
として
m\x1:--,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11
1;--,43 ,7 ,17 ,34 ,17 ,17 ,51 ,17 ,7 ,34
2;--,89 ,89 ,89 ,89 ,31 ,151 ,79 ,89 ,79 ,601
3;--,97 ,17 ,23 ,97 ,149 ,13 ,13 ,83 ,23 ,13
4;--,214 ,43 ,139 ,107 ,269 ,107 ,214 ,139 ,251 ,107
5;--,19 ,83 ,13 ,19 ,13 ,37 ,13 ,37 ,347 ,19
6;--,239 ,191 ,359 ,419 ,127 ,127 ,239 ,191 ,239 ,461
7;--,37 ,7 ,23 ,37 ,23 ,37 ,17 ,23 ,7 ,37
8;--,79 ,127 ,158 ,79 ,103 ,103 ,163 ,103 ,163 ,79
9;--,83 ,31 ,41 ,83 ,71 ,83 ,71 ,23 ,41 ,31
10;--,239 ,389 ,169 ,137 ,239 ,239 ,239 ,239 ,239 ,389

の表が作られている。
確認のため
gp > gobel_kl(k, l, N) =
{
my(v = vector(N));
v[1] = l;
for(n = 1, N-1,
v[n+1] = v[n] * (n + v[n]^(k-1)) / (n+1);
);
return(v);
}

とプログラムを組み
上記表で最も少ない数で(m,x1)=(1,3),(1,10)での7を確認してみると
gp > gobel_kl(2, 3, 7)
%21 = [3, 6, 16, 76, 1216, 247456, 61235956672/7]
gp > gobel_kl(2, 10, 7)
%22 = [10, 55, 1045, 273790, 14992411852, 37462068869158688194, 1403406603957588515490448060329867110800/7]
となり確かに第7項目が初めて有理数となってしまう。

これ位の大きさなら十分通常のコンピュータの計算で確認は取れるが
上記の
n=5-->1,2,17,473297,5937570334133678310135701537,･･･
が並びf(213)までが整数でf(214)で有理数
などの様子など望むべくもありません。

一体どの様にして調べたのか教えてほしい。

「角の大きさ（５１）」

中心角が何度であっても、折り重ねれば
「３辺がｒの正三角形」
になるので、
そして
折り重ねているので、半分の３０度になる。

備忘録で付けていたノートを見返していて
以前DD++さんがlog[10]2,log[10]3,log[10]5,log[10]7 (常用対数)
の近似値を行列Mを使って
M=
[5 -2 -2 1]

[5 1 2 -4]

[1 7 -4 -1]

[1 0 1 0]

に対し
M^(-1)*[0;0;0;1]
から
log[10]2≒72/239,log[10]3≒114/239,log[10]5≒167/239,log[10]7≒202/239
(小数第3位ほどまで一致する)

の方法がとても面白かったので、log[10]11
まで拡張できないか挑戦していたら
M=
[-1 4 0 -2 2]

[ 1 7 -4 -1 0]

[ 4 3 -2 1 -2]

[-3 -1 0 4 0]

[ 2 3 1 -2 -1]

に対し
M^(-1)*[2;0;0;2;0]
から
log[10]2≒72/239,log[10]3≒114/239,log[10]5≒167/239,log[10]7≒202/239,log[10]11≒249/239
までの値が一気に算出出来ることができました。

はてlog[10]13まで広げられるのか？

三すくみサイコロ
A=(1,1,3,5,5,6)
B=(2,3,3,4,4,5)
C=(1,2,2,4,6,6)
の目を持つ3つのサイコロでは出た目が大きい方が勝つとすれば
A VS B ==> 17-15でAが勝つ
B VS C ==> 17-15でBが勝つ
C VS A ==> 17-15でCが勝つ
で正しく3つのサイコロはじゃんけんでのグー、チョキ、パー
の役割を果たす。

しかし一つのサイコロの中に同じ数字が含まれているのが傷といえば傷
そこで使用できる数字を1～9までに拡張できる代わりに同じ数字は使えない
として何とか三すくみサイコロを構成してほしい。

現代計算能力を手助けするコンピュータの出現で数に特徴を付加し、その性質を探ることも
面白さを与えるが、計算ではなく明らかに成立していける事項を組合せ積み上げていく過程
を楽しむユークリッド幾何学ほど数学の楽しさを与える題材は無い。
そこで以下の図形であれこれ挑戦願う。

ある大きさの円がある。
その円周上に任意の点A(説明上左下あたりに)をとる。
Aを通る直線L1を水平に引き再び円周と交わ点をBとする。
またL1とはxの角度で伸びる点Aを通る直線L2を上方にむけて引く。
L2が再び円周と交わる点をCとする。
次に
L2上に円外の点P2をとってP2とBを結ぶ直線L3を引き,L3が円周と交わる点をDとする。
最後に点CとDを結ぶ直線L4を引きL1と交わる点をP1とおく。
(図形を作って張り付ける技術が無いので説明が長くなりすみません。)

さてこうして出来た図に置いて
∠AP1D=θ1 (L1,L4のなす角;ただし鋭角)
∠AP2D=θ2 (L2,L3のなす角;ただし鋭角)
であるときL1とL2がなしていた角xをθ1,θ2を用いて求めて下さい。

場合分けはもっとたくさんあります。

左図のような場合は x=(θ1-θ2)/2 となると思います。

また、θ1 を ∠AP1D ではなく (L1,L4のなす角;ただし鋭角) の方で決める場合、右図の場合も別に考える必要がありますね。

さらに、"直線L2を上方にむけて引く"とありますが、L2は半直線ではなく直線となっているので、点P2を点Aよりも下方にとった場合も考えないといけないでしょう。
点P2を点Cよりも上方にとった場合でも、点や直線の位置関係によってほかの場合分けがありそうな気がします。

No.3215りらひい8月14日 18:07…

引用して返信編集・削除(未編集)

10進数で表記された自然数が表記の各digits和によって割り切れるとき
そのnをHarshad number(ハルシャド数)と呼ぶことにする。
例
n=12->12/(1+2)=12/3=4 より12はハルシャド数
n=13->13/(1+3)=13/4 なので違う
n=99->99/(9+9)=99/18=11/2 なので違う
n=1729->1729/(1+7+2+9)=1729/19=91 より1729はハルシャド数
etc

そこで
(1)ある自然数nから始めて連続した4個の自然数がすべてハルシャド数であるようなことが
起きる最小のnは何か？

(2)同じく連続した5個の自然数がすべてハルシャド数となる最小のnは何か？

次に
(3)どんな2桁の自然数から始めても、それに連続して並ぶk個の2桁の自然数が引き続いて並んでいるとき
「そのk個の中には少なくとも1個のハルシャド数が存在する」
ためにはkはいくつにしておけば良いか？

(4)同じく3桁の自然数である場合ではkを何にしておけば良いか？(k個の数はすべて3桁の数とする。)

前のLucky numbersと異なるが似たようなニュアンスでHappy numbers(幸福数)なる名で呼ばれる数があり
nの数字を構成する各digitsを平方してすべて加えた数へ変更し
この手順を繰り返し続けていく。
<例>n=123==>1^2+2^2+3^2=1+4+9=14
さらに続けて14==>1^2+4^2=17
17==>1^2+7^2=50
5^2+0^2=25
25==>2^2+5^2=29
以下
85,69,145,42,20,4,16,37,58,89,145,42,20,4,･･･････
以下(4,16,37,58,89,145,42,20,4のサイクルが繰り返される)
つまりいくら続けても終わらず同じサイクルを回り続けてしまう。

nからの変化の様子をF(n)で少し観察すると
gp > F(2)
1;4
2;16
3;37
4;58
5;89
6;145
7;42
8;20
9;4

gp > F(3)
1;9
2;81
3;65
4;61
5;37
6;58
7;89
8;145
9;42
10;20
11;4
12;16
13;37
14;58
15;89
16;145
17;42
18;20
19;4

gp > F(4)
1;16
2;37
3;58
4;89
5;145
6;42
7;20
8;4
9;16
10;37
11;58
12;89
13;145
14;42
15;20
16;4

gp > F(5)
1;25
2;29
3;85
4;89
5;145
6;42
7;20
8;4
9;16
10;37
11;58
12;89
13;145
14;42
15;20
16;4

gp > F(6)
1;36
2;45
3;41
4;17
5;50
6;25
7;29
8;85
9;89
10;145
11;42
12;20
13;4
14;16
15;37
16;58
17;89
18;145
19;42
20;20
21;4

gp > F(7)
1;49
2;97
3;130
4;10
5;1

gp > F(8)
1;64
2;52
3;29
4;85
5;89
6;145
7;42
8;20
9;4
10;16
11;37
12;58
13;89
14;145
15;42
16;20
17;4

gp > F(9)
1;81
2;65
3;61
4;37
5;58
6;89
7;145
8;42
9;20
10;4
11;16
12;37
13;58
14;89
15;145
16;42
17;20
18;4

nが一桁なら1(明らか),７だけが１に落ち着く。(逆に4が現れれば無限地獄)
数字の「７」が西洋において、一般的に幸運な数字として認識されていることから、
７がこの定義に合致して、7 分の１の確率でハッピー数が存在する、
(確かに10^7位までの存在確率は1/7に非常に近い。)という事実から、
ある意味で自然なネーミングといえるのかもしれない。
(でもLucky 7 とは言うがHappy 7　とは言わないな～)
そこで

(1)さてnが100までにはこのHappy numbersとなれるものは何？

(2)1000までの素数pで前のLucky numbersでもあり、このHappy numbersでもある
そんな素数pって何?

(3)実験してもらうと分かるがHappy numberとなれるnは飛び飛びに出現するが
　たまに連続するnで出現してくる場所もある。
　<例>
n=31==>10==>1
n=32==>13==>10==>1
そこでこの様に連続するnでHappy number の出現が見られる最小のnを
連続数3,4,5,6,7（上の例は連続数2のもの)
の各nを探してほしい。
　

人はものを自分との関係性につなげて好き嫌いを決めたり、名前を付けたりして
世界を理解したり、繋がったりする性癖があるのか
動物はただ生きているにも関わらず、犬は飼い主に忠実だとか猫は気ままでツンデレで
たまらなくそこが好きとか言って自分の子供より遥かに多くの愛情を注ぐ現象をよく目にする。
これは生き物だけではなく、単なる記号（数字を含む）のような実体のないものに対しても
人は相手を擬人化し、何か個性を持つかのように取り扱う。

ここにLucky numbers(幸運数)と名付けられた数たちがある。
何故幸運かというと、この数は次の様な手続きで発生してくる。
1;自然数を並べて置く
1,2,3,4,5,6,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,･･･
(1は幸運数に確定しておく)

2;この列から2n番目の数（偶数)を取り除いていく
1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47,49,51,53,55,57,59,61･･･　　
(3が残ってしまうので3は幸運数に確定)

3;さらにこの列から1の隣が3だから、3n番目の数(5,11,17,23,29,35,41,47,53,59,･･･）を取り除いていくと
1,3,7,9,13,15,19,21,25,27,31,33,37,39,43,45,49,51,55,57,61,･･･
(7が残ってしまうので7は幸運数に確定)

4;3の隣が7なので上の列から7n番目の数(19,39,61,･･)を取り除いていくと
1,3,7,9,13,15,21,25,27.31.33.37.43.45.49.51,55,57,63,･･･
(9が残ってしまうので9は幸運数に確定)

5;7の隣が9だから上の列から9n番目の数(27,57,･･)を取り除いていくと
1,3,7,9,13,15,21,25,31.33.37.43.45.49.51,55,63,･･･
(13が残ってしまうので13は幸運数に確定)

6;9の隣が13だから上の列から13n番目の数(45,･･)を取り除いていくと
1,3,7,9,13,15,21,25,31.33.37.43.49.51,55,63,･･･
(15が残ってしまうので15は幸運数に確定)

･･････････

以下同様

何かエラトステネスの篩を思い出すよう様な操作を繰り返して行くとき、
この列に最後まで残り続けられる数列がLucky numbersと呼ばれる。
(取り除かれず残っていくことに由来するのか。)

さて1～100までに幸運数になり得る数は何か？
また1～1000までで素数の中でこの幸運数でもあるのはどんな素数か？