😊出会いの泉😊

下記の JavaScript 言語によるコードが 円周率の近似値を出力します。

どうしてこんなアルゴリズムで求められるのか分かりませんけれども。 (⁠･⁠o⁠･⁠;⁠)

function spigotPi(digits) {
let len = Math.floor(digits * 10 / 3) + 1;
let array = new Array(len).fill(2);
let result = [];
let q = 0, r = 0, num = 0;

for (let i = 0; i < digits; i++) {
let carry = 0;

for (let j = len - 1; j > 0; j--) {
num = array[j] * 10 + carry;
array[j] = num % (2 * j + 1);
carry = Math.floor(num / (2 * j + 1)) * j;
}

num = array[0] * 10 + carry;
q = Math.floor(num / 10);
r = num % 10;
array[0] = r;

result.push(q);
}

result.splice(1, 0, "."); // 小数点を追加

return result.join("");
}

// 使用例: π の最初の 100 桁を求める
console.log(spigotPi(100));

[2490] の続きです。

こういうことらしいです。

πやeなどは代表的無理数でまた超越数でもあり、並んでいく数字はまさに素数のように何が次に並んでいくのか
見当もつかない全く気紛れでしかないような、ある意味乱数に使いたくなる代物なのに、例のごとくある意味規則的な
法則により無限に数字を生み出していけるものが存在できることが不思議でなりません。
JavaScript 言語でコードされていたのを
PARI/GP様にコード変更して実行させたら
gp > print(spigotPi(780));
[3].[1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 4, 10,
2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1, 0, 5, 8, 2, 0, 9, 7, 4, 9, 4, 4, 5, 9, 2, 3, 0, 7,
8, 1, 6, 4, 0, 6, 2, 8, 6, 2, 0, 8, 9, 9, 8, 6, 2, 7, 10,
3, 4, 8, 2, 5, 3, 4, 2, 1, 1, 7, 0, 6, 7, 9, 8, 2, 1, 4, 8, 0, 8, 6, 5, 1, 3, 2, 8, 2, 3, 0, 6, 6, 4,
7, 0, 9, 3, 8, 4, 4, 6, 0, 9, 5, 5, 0, 5, 8, 2, 2, 3, 1, 7, 2, 5, 3, 5, 9, 4, 0, 8, 1, 2, 8, 4, 8, 1,
1, 1, 7, 4, 5, 0, 2, 8, 4, 1, 0, 2, 6, 10,
1, 9, 3, 8, 5, 2, 1, 1, 0, 5, 5, 5, 9, 6, 4, 4, 6, 2, 2, 9, 4, 8, 9, 5, 4, 9, 3, 0, 3, 8, 1, 9, 6, 4,
4, 2, 8, 8, 1, 0, 9, 7, 5, 6, 6, 5, 9, 3, 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7, 5, 6, 4, 8, 2, 3, 3, 7, 8, 6, 7,
8, 3, 1, 6, 5, 2, 7, 1, 1, 10,
1, 9, 0, 9, 1, 4, 5, 6, 4, 8, 5, 6, 6, 9, 2, 3, 4, 6, 0, 3, 4, 8, 6, 1, 0, 4, 5, 4, 3, 2, 6, 6, 4, 8,
2, 1, 3, 3, 9, 3, 6, 0, 7, 2, 5, 10,
2, 4, 9, 1, 4, 1, 2, 7, 3, 7, 2, 4, 5, 8, 6, 10,
0, 6, 6, 0, 6, 3, 1, 5, 5, 8, 8, 1, 7, 4, 8, 8, 1, 5, 2, 0, 9, 2, 0, 9, 6, 2, 8, 2, 9, 2, 5, 4, 0, 9,
1, 7, 1, 5, 3, 6, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 2, 5, 8, 10,
3, 5, 9, 10,
1, 1, 3, 3, 0, 5, 3, 0, 5, 4, 8, 8, 2, 0, 4, 6, 6, 5, 2, 1, 3, 8, 4, 1, 4, 6, 9, 5, 1, 9, 4, 1, 5, 1,
1, 6, 0, 9, 4, 3, 3, 0, 5, 7, 2, 6, 10,
3, 6, 5, 7, 5, 9, 5, 9, 1, 9, 5, 3, 0, 9, 2, 1, 8, 6, 1, 1, 7, 3, 8, 1, 9, 3, 2, 6, 1, 1, 7, 9, 3, 1,
0, 5, 1, 1, 8, 5, 4, 8, 0, 7, 4, 4, 6, 2, 3, 7, 9, 9, 6, 2, 7, 4, 9, 5, 6, 7, 3, 5, 1, 8, 8, 5, 7, 5,
2, 7, 2, 4, 8, 9, 1, 2, 2, 7, 9, 3, 8, 1, 8, 2, 10,
1, 1, 9, 4, 9, 1, 2, 9, 8, 3, 3, 6, 7, 3, 3, 6, 2, 4, 4, 0, 6, 5, 6, 6, 4, 3, 0, 8, 5, 10,
2, 1, 3, 9, 4, 9, 4, 6, 3, 9, 5, 2, 2, 4, 7, 3, 7, 1, 9, 0, 6, 10,
2, 1, 7, 9, 8, 6, 0, 9, 4, 3, 7, 0, 2, 7, 7, 0, 5, 3, 9, 2, 1, 7, 1, 7, 6, 2, 9, 3, 1, 7, 6, 7, 5, 2,
3, 8, 4, 6, 7, 4, 8, 1, 8, 4, 6, 7, 6, 6, 9, 4, 0, 5, 1, 3, 1, 9, 10,
0, 5, 6, 8, 1, 2, 7, 1, 4, 5, 2, 6, 3, 5, 6, 0, 8, 2, 7, 7, 8, 5, 7, 7, 1, 3, 4, 2, 7, 5, 7, 7, 8, 9,
6, 0, 9, 1, 7, 3, 6, 3, 7, 1, 7, 8, 7, 2, 1, 4, 6, 8, 4, 4, 0, 8, 10,
1, 2, 2, 4, 9, 5, 3, 4, 2, 10,
1, 4, 6, 5, 4, 9, 5, 8, 5, 3, 7, 1, 0, 5, 0, 7, 9, 2, 2, 7, 9, 6, 8, 9, 2, 5, 8, 9, 2, 3, 5, 4, 1, 10,
1, 9, 9, 5, 6, 1, 1, 2, 1, 2, 9, 0, 2, 1, 9, 6, 0, 8, 6, 3, 10,
3, 4, 4, 1, 8, 1, 5, 9, 8, 1, 3, 6, 2, 9, 7, 7, 4, 7, 7, 1, 3, 0, 9, 9, 6, 0, 5, 1, 8, 7, 0, 7, 2, 1,
1, 3, 4, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 3, 7, 2, 9, 7, 8, 0, 4, 9, 9, 5]
と予想に反して10の数字を含んで並ぶんですが
(コード上どこを変更したらいいのか今のところわからないのでそのままです。)
ただし2,10と並んでいれば-->3,0；1,9,10と並んでいたら-->2,0,0
として見て行けば,小数点以下762桁から9が6個並ぶファインマンポイントまでπの正確な数値を
見て行くことが出来るようになっています。
ほんとに不思議ですね、πは言われた通りに動いているだけです。
しかし並んでいく数字は全くランダムに発生
この規則性と不規則性の共存が起こることが驚異です。

sucは1増やす関数でしょうか。それならば
suc(n) = exp(cot(atan(log(sqrt(exp(cot(atan(log(sec(atan(sqrt(n))))))))))))
でOKです（nは正整数）。

らふかるさん。ありがとうございます！！！

それにしても物凄い絵面です……ビビりまくりです。

なっ……なるほど。
sec(arctan(sqrt( n ))))
を二乗するのに手間がかかっているのでしたか。

このサイトで63を64にする問題という形で出題され、私も参加していた記憶があるのですが、記事を探しても見当たらない……。
どこにあるんだろう？
人力検索に立ちはだかる、24年間の記事数という壁。

数学感動秘話の"合成関数の合成" (3列並びの左端を見て行くと、中行辺りにあります。)

あれ？
63から64を作るの、違う問題だったかな……！

初等関数のうち代数関数でないものを初等超越関数ということとします。
いくつかの１変数の初等超越関数から合成関数 f を構成して次のような性質をもつようにすることはできますか？
f(1) = 3

※ 【代数関数 sqrt(・) を使わないで任意の正整数を表すことができそうだ】ゲームです。

ガウス記号は使っていいですか？
[exp(tan(sin(1)))]=3

ガウス記号は無しの方向性でお願いいたします。
ペコリ。🙇

では
cot(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))))=3
でどうでしょう。

らすかるさん、チョベリグ(死語)ですね。

私が用意していたのは以下です。
①
sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(1))))))))))))))))
②
cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(1))))))))))))))))

最初に気づいたのはsec(atan(x))の方だったのですが、少しでも見慣れている関数の方が良いかと思ってsin(atan(x))の方を採用しました。

No.2466に書いた解は最後に「cot(atan(○))」で逆数にしているわけですが、
よく考えたら最後のsinをcosecに変えるだけで逆数になりますので
cot(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))))=3
は
cosec(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))=3
とした方が良かったですね。

らすかるさんの 2470 こちらは良い感じですねえ。

ところで古典の４つの４問題にかこつけますと。

0 = acos(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 )))))))))))))))))))))))))))))))

1 = tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))

2 =
tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))

3 = tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))

4 = sec(atan(tan(asec( 4 ))))
【だめじゃん】

5 = sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan( 4 ))))))))))))))))))

6 以上はよきにはからえ……
というあたりで許してもらえますかね？

※任意の正の有理数も 1 つの 4 でとか可能なものなのでしょうか？
試す気力はありませんけれども。

任意の有理数も作れますね。
例えば3/5を作る場合、最初に2乗して
2乗 → 9/25
逆数 → 25/9
1引く → 16/9
1引く → 7/9
逆数 → 9/7
1引く → 2/7
逆数 → 7/2
1引く → 5/2
1引く → 3/2
1引く → 1/2
逆数 → 2
のようになりますので、簡単のため1から始めるとして
cos atan 1 → √(1/2)
sec atan √(1/2) → √(3/2)
sec atan √(3/2) → √(5/2)
cos atan √(5/2) → √(2/7)
cos atan √(2/7) → √(7/9)
sec atan √(7/9) → √(16/9)
cos atan √(16/9) → √(9/25) = 3/5
の順に作ればよく、一気に書くと
cos atan sec atan cos atan cos atan sec atan sec atan cos atan 1 = 3/5
のようになります。
なお、負の有理数は
log cot atan exp x = -x
を使えば作れますね。

らすかるさん、凄い！！

P.S.

真似をしてみました。

22/7 = sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(atan(cos(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

sec(x)=1/cos(x)
asec(x)=1/acos(x)
としてPARI/GPのソフトで下記の計算をさせたら
sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(atan(cos(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
%63 = 3.1439957705696095373721028193842780037 + 0.00093791769925741310431658346259798553071*I
と22/7とはならなかったのですが、どうしてなんでしょうね？

sec(x) は sec(x)=1/cos(x) でOKですが
asec(x) は asec(x)=1/acos(x) ではなく asec(x)=acos(1/x) です。

追記(そうなることの説明)
x=sec(y) (0≦y≦π,y≠π/2)とおくと
asec(x)
=asec(sec(y))
=y
x=sec(y)=1/cos(y)なので
cos(y)=1/x
y=acos(1/x)
∴asec(x)=acos(1/x)

あ～なるほど！
意味を考えずに形式に溺れていた。
定義し直して計算させたら、ピタリ22/7(=3.142757142757･･･)
となれました。

[2474] のらすかるさんによる投稿へのコメントです。

【任意の正の有理数は、有限項の正則連分数展開の形で表記できる】ということなのだといまさらながらに気が付きました。

#往年の蛍光灯のように点くのが遅い私です。

管理人さんのコメントに対してです。

7番を避ける受験生が多いと思うので、5番はかなり選んだ人が多いんじゃないかと思います。

7番は
・共通テストに変わってからの過去問がなく、対策のハードルが高い
・文系だとそもそも複素数平面の授業をしていない場合がある
・二次試験で「数Cの範囲はベクトルのみ」を指定する大学がちらほらあるので、複素数平面の対策優先順位が下がりがち
・数学が苦手な子は、数Cを両方解くより数Bを両方解く方がまだ希望があると内容も見ずに判断して67どっちか投げ捨てそう
と、受験生に避けられる理由がてんこ盛りですからねえ。

mod3のコラッツ擬きですが、
https://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/shirayanagi/lab/dl/2014/yamanaka.pdf
に

3n → 3で割る
3n+1 → 4倍して2を足す
3n+2 → 4倍して1を足す

というコラッツ擬きを考察したものがありました。上記のコラッツ擬きは、

1→6→2→9→3→1
7→30→10→42→14→57→19→78→26→105→35→141→47→189→63→21→7

という2種類のループのいずれかに到達しますが、
1～1000で
1を含むループに到達するのが79個で7.9%
7を含むループに到達するのが921個で92.1%
1～10000で
1を含むループに到達するのが4.2%
7を含むループに到達するのが95.8%
でした。

4倍だと1あるいは7に到達するのが早いので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して1を足す
3n+2 → 5倍して2を足す

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで

4→21→7→36→12→4
8→42→14→72→24→8

という2種類のループのいずれかに到達しましたが、4あるいは8に到達するまでに、例えば初期値10の場合は4に到達するまでに43回の操作が必要で途中で最大値3186に達し、初期値38の場合は8に到達するまでに386回の操作が必要で途中で最大値12317562に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、その到達先、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

10 4 43 3186
38 8 386 12317562
253 8 755 60008787
325 4 204 61921287
443 8 509 2792211912
550 4 2832 366801780869709687
1973 4 5101 68833498238053197854493312
13301 4 2815 99325854394514885320584021
16955 8 7959 724763997101386821051531936
20776 4 4265 2933570318473933999921361031139062
59113 4 7510 1470455996222092703757506943141135411
85925 4 13246 340816539304436064398165865804406618021466224558460882751162

4を含むループと8を含むループに到達する初期値の個数は、
1～1000で
4を含むループに到達するのが688個
8を含むループに到達するのが312個
1～10000で
4を含むループに到達するのが6417個
8を含むループに到達するのが3583個
1～100000で
4を含むループに到達するのが62273個
8を含むループに到達するのが37727個
1～1000000で
4を含むループに到達するのが615220個
8を含むループに到達するのが384780個
でした。

上記のコラッツ擬きを初期値が負数の場合に拡張すると-1←→-3というループが現れたので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して2を引く
3n+2 → 5倍して1を引く

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで全て1←→3というループに到達しました。上記のコラッツ擬きでは、例えば初期値10の場合は1に到達するまでに88回の操作が必要で途中で最大値3564に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

10 88 3564
25 116 10314
70 191 431604
82 201 124755588
140 707 18169045713
502 3077 3550975356647313
619 12254 570087155057912340205131104638425588
54847 12687 10089667480019633619334988145153010515029612088

さらに、ksさんのコラッツ擬きでは、

3n → 3で割る
3n+1 → 2倍して1を足す
3n+2 → 2倍して1を引く

だったので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して1を足す
3n+2 → 5倍して1を引く

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで

1→6→2→9→3→1
4→21→7→36→12→4

という2種類のループのいずれかに到達しましたが、1あるいは4に到達するまでに、上記のコラッツ擬きでは、例えば初期値5の場合は1に到達するまでに95回の操作が必要で途中で最大値20934に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、その到達先、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

5 1 95 20934
44 1 70 40986
86 1 810 3419283861
235 1 488 46196151066
820 1 1167 3841972080939
1310 4 1080 8170346115441
1315 1 7145 157854812287762612809
1790 1 3337 978623937310722214986
8645 1 4953 209921511803443804073439891
8770 1 6819 64901218184254749066376852519465177611
68455 1 5931 533522890015686639949625171648394237684

1を含むループと4を含むループに到達する初期値の個数は、
1～1000で
1を含むループに到達するのが901個
4を含むループに到達するのが99個
1～10000で
1を含むループに到達するのが8774個
4を含むループに到達するのが1226個
1～100000で
1を含むループに到達するのが87410個
4を含むループに到達するのが12590個
1～1000000で
1を含むループに到達するのが874580個
4を含むループに到達するのが125420個
でした。

コラッツ予想の操作を

2n　　→　2で割る
2n+1　→　3倍して、1を足し、2で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/2)cos^2(πz/2)+((3z+1)/2)sin^2(πz/2)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合をプロットしたものがWikipediaに載っています。

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CollatzFractal.png

コラッツ擬き

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、2を引く
3n+2　→　5倍して、1を引く

についても、同様に

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、2を引き、3で割る
3n+2　→　5倍して、1を引き、3で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/3)g_0(z)+((5z-2)/3)g_1(z)+((5z-1)/3)g_2(z)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合について考えてみました。
ただし、g_0(z)、g_1(z)、g_2(z)については、

g_0(z)=(1/2)cos(2πz/3)+(1/6)cos(4πz/3)+(1/3)
g_1(z)=g_0(z-1),g_2(z)=g_0(z-2)
こちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#g

としました。ジュリア集合をプロットした結果はこちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#julia

　コラッツ擬き

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、1を足す
3n+2　→　5倍して、1を引く

についても、同様に

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、1を足す、3で割る
3n+2　→　5倍して、1を引き、3で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/3)g_0(z)+((5z+1)/3)g_1(z)+((5z-1)/3)g_2(z)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合について考えてみました。

ジュリア集合をプロットした結果はこちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#pm

1が作れないのは (1,4,7,8),(1,4,8,9),(1,5,7,8),(1,6,7,9),(1,6,8,9)の5通り
5が作れないのは (1,5,6,9),(4,5,7,9),(4,5,8,9)の3通り
6が作れないのは (6,7,8,9)のみ
7が作れないのは (1,3,7,8),(3,4,5,7),(4,6,7,8),(4,7,8,9)の4通り
8が作れないのは (1,3,7,8),(1,3,8,9),(1,5,8,9),(3,5,6,8),(5,6,7,8),(5,7,8,9)の6通り
9が作れないのは (1,3,8,9),(1,5,8,9),(3,4,5,9),(4,5,6,9),(4,7,8,9),(6,7,8,9)の6通り
作れないものが10通り以下のものは
0通り: 2,3,4,10
1通り: 6,12 (12は(1,5,7,8)のみ不可)
2通り: 24 (24は(1,6,7,8)と(3,4,6,7)が不可)
3通り: 5
4通り: 7,16
5通り: 1
6通り: 8,9,11,15,18,20
8通り: 14
10通り: 13,19,21,28
(1,2,5,8)は1～51が作れて最長

では、126通りすべてで作れない最小の自然数は？

298でしょうか？(次は299）

正解です（次の299も）。

(1)
296352=2^5×3^3×7^3
84=2^2×3×7
なので2^5を2^2と2^3、3^3を3と3^2、7^3を7と7^2に分けて
組み合わせればよい。よって解は4通りとなる。
2^2×3×7 と 2^3×3^2×7^2 → 84 と 3528
2^2×3×7^2 と 2^3×3^2×7 → 588 と 504
2^2×3^2×7 と 2^3×3×7^2 → 252 と 1176
2^2×3^2×7^2 と 2^3×3×7 → 1764 と 168
並べ替えて、2数の組合せは
(84,3528),(168,1764),(252,1176),(504,588)

(2)
3528=2^3×3^2×7^2
なので2数のどちらかに2^3、3^2、7^2が含まれている必要がある。
1092は2,3,7で割り切れ、2^2でも割り切れ、2^3,3^2,7^2では割り切れないので
他方の指数は自動的に2^2、3、7と決まる。
すなわち組合せは(1)と同じ4通りになるので、
(1)の中で2数の和が1092となる(504,588)が答え。

(1)
296352=2^5*3^3*7^3
で、2数をN,N'として、N=2^n1*3^n2*7^n3とすると、
N'=2^(5-n1)*3^(3-n2)*7^(3-n3)で、
NとN'の最大公約数が84=2^2*3*7なので、
min{n1,5-n1}=2,min{n2,3-n2}=1,min{n3,3-n3}=1
より、
n1=2,3
n2=1,2
n3=1,2
なので、2数N,N'の組み合わせは、
84と3528、588と504、252と1176、1764と168


(2)
3528=2^3*3^2*7^2
で、2数をM,Nとして、M=2^m1*3^m2*7^m3,N=2^n1*3^n2*7^n3とすると、
max{m1,n1}=3,max{m2,n2}=2,max{m3,n3}=2で、
1092 mod 4=0, 1092 mod 8≠0
1092 mod 3=0, 1092 mod 9≠0
1092 mod 7=0, 1092 mod 49≠0
なので、
m1,n1≧2,min{m1,n1}=2
m2,n2≧1,min{m2,n2}=1
m3,n3≧1,min{m3,n3}=1
より、
m1=2,n1=3とすると、
(m2,m3,n2,n3)=(1,1,2,2),(1,2,2,1),(2,1,1,2),(2,1,2,1)
また、M,N<1092より、M/4=3^m2*7^m3,N/8=3^n2*7^n3<273/2
なので、
M/4=63,147、すなわち(m2,m3)=(2,1),(1,2)
N/8=63、すなわち(n2,n3)=(2,1)
より、
(m2,m3,n2,n3)=(1,2,2,1)なので、(M,N)=(588,504),M+N=1092

私の解釈が正しければ
(1,3,3), (2,2,3), (1,2,4), (2,6,6), (3,5,6), (4,4,6), (1,5,8),
(2,4,8), (3,3,8), (7,8,8), (3,9,9), (4,8,9), (5,7,9), (6,6,9)
の14通りだと思います。ちなみにこれで正しいならば、最大辺が
100までなら2060通り、1000までなら281334通り、10000までなら36553574通り、
100000までなら4487105091通り、1000000までなら532281148674通り、
10000000までなら61589103127262通り、100000000までなら6995157501115431通り、
1000000000までなら783139679297467648通り

私も初めはらすかるさんが出された数値でOKだと思ていたんですが、
展開図を書いて確認していた中で(2,9,10)の組み合わせも可能なはずだよな？
(底面２×9;高さ10とか)
これが何故取ってこれないのかを考え直し、改めてプログラムをし直して
(1,6,7),(2,5,10),(2,9,10),(3,5,9),(4,5,8),(5,5,7),(5,6,6),(5,8,10),(6,8,9)
の9個も考えられなくもないと思い直しました。
あとは人工知能を搭載してない私は、展開図を書きながら最短距離が整数となるかを
見て行くと(5,6,6)の組合せだけ最短距離が√157で整数となるコースどりでは13とは
なれるも最短ではないことになってしまう!
他の8個は最短を確認できました。
以上から異なる直方体の種類は14+8=22でないかと思っているところです。

私も初めに作っていたプログラムでは100まででは2060通りとなっていました。
でも今は確かめようもなくどうだろう？と思っているところです。

(2,9,10)の場合
√((2+9)^2+10^2)=√221
√((2+10)^2+9^2)=15
√((9+10)^2+2^2)=√365
√221＜15＜√365
となり最短の√221は整数ではないので不適では？

あと、もし「3方向のうち最短であるものが整数」でなく
「3方向のうちどれかが整数」でよいならば、
(5,6,6)も√((6+6)^2+5^2)=13で整数なので
(5,6,6)も含めて23通りにしないとおかしいと思います。
（つまり22通りとなる考え方はあり得ないのでは、という意味です）

そうか！
直方体の向かい合う角に向かうルートは3通り出来るので、そのうちの最短が整数とならなければいけないのが
条件でしたから追加しようとした9個は全くこの条件を満たしませんね。
ついつい自分が書いた展開図のみに従って判断していました。

問題の解釈とプログラムが正しければ
πは
進み方: 右下下下右右下下右下右下右右下下右右
合計: 3+1+8+2+5+0+2+3+2+0+3+0+6+2+0+4+0+6+7=54
eは
進み方: 下右下右下右下下右下右右右下下右下右
合計: 2+4+5+0+2+6+2+0+7+4+7+2+4+0+4+2+1+2+7=61
のようになると思います。
しかし、せっかく「上下左右どの方向へも進める」という条件なのに
右と下しか出てきませんね。
100×100=10000桁にすると、「上」や「左」が出てきます。
（特に、πの場合は最小値となるために上も左も必要です。eは右と下だけでも最小値が得られます。）
また、10×10の場合は最小となる進み方は1通りずつしかありませんが、
100×100の場合は複数通りになります。
では、100×100の場合、π・eそれぞれについて、最小値はいくつで
最小となる経路の数はそれぞれいくつあるでしょうか？

πでの最小値430
e での最小値455
でしょうか？(先人のやり方を大いに参考にしてやってみましたが･･･自信はありません。)
なお何通りの行き方があるのかやコースがどの様に辿っているか知るためのプログラムは
今は手も足もでません。
よかったらπのコースでなるだけ上や左へのコースを辿るものがあれば教えて下さい。

430と455は正解です。πの経路は4608通り、eの経路は48通りです。
100×100のπはすべて「上」を2個含み、「左」は2個(768通り)・
3個(2304通り)・4個(1536通り)のいずれかです。
「左」を4個含むものは、例えば
右右右下右右右下右下右下下下下右下下下右右右下右右下右下右右
右上右右右右右右下下右右右下下右右右右右右右右右下下右下下左
下下右右右下下下下右下右右下右右下下下右右右右右下右右右右右
上右右右右下下下下下右右右下右下下右右右右右右下右右下右下下
右右右右下右右右下下右下右右右下下下下右下下下下右右下下下下
右下下右右右下右下下下下右下下左左下下右下下右右下右右下下下
左下下下下下右右右下下右下下右下右下下下下下下下下下下下下下

(追記)
図を作ってみましたが、ここでは粗くてよく見えませんので
精細な画像はこちらでどうぞ → http://www10.plala.or.jp/rascalhp/image/pi10000.gif

私もエクセルに数値を貼り付け、教えてもらったコースを塗り潰してコースを眺めていました。
ふと思ったのですが、このコースを見つける方法は最小値を求めるために利用していたπの数値と
対応させていた100×100行列のデータを逆から辿っていけば見つけられるかも？
(10×10の時はそうやってコースを手作業で見つけていた。)
でもプログラムの構成方法はまだ分かりませんが･･･
全部で4608通りのコースが存在できるとはおったまげ～です。

ちなみにもし進路を右と下だけに限定させて進めるとしたら最小値は442である。
は合っていますか？

> ふと思ったのですが、このコースを見つける方法は最小値を求めるために利用していたπの数値と
> 対応させていた100×100行列のデータを逆から辿っていけば見つけられるかも？

はい、そうですね。私のプログラムではそのようにしてコースを調べています。
やり方は人間が手作業でやるのと同じで、「このマスにはどこから来たか」を
4方向調べ、値が一致する方向に進んでそれを繰り返す、というのを再帰的に
処理すれば、自動的に何通りかもわかります。
既に通過した場所に再度行かないように、マップの大きさ分の「通過済みフラグ」も
必要です（それがないと0が二つ隣り合っているところで無限ループします）。

> もし進路を右と下だけに限定させて進めるとしたら最小値は442である。
> は合っていますか？

はい、確かに442でした。その場合の経路数は3456通りです。

あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします。

R[n]=(10^n-1)/9 (repunit=1をn個並べた自然数) とする。
n桁の数の平方は2n桁または2n-1桁になるが、
(a+R[n])^2-a^2=2aR[n]+(R[n])^2＞R[2n-1] となるから
条件を満たすためには元の数は2n桁でなければならない。
(a+R[n])^2-a^2=R[2n] を解くと a=4R[n]+1 となるが
n≧3のとき4R[n]+1の平方の上から2桁目が9になり
「次の数字」が存在せず不適。
よって条件を満たすものは4R[1]+1=5, 4R[2]+1=45の二つ。
前者の平方の25は例示されているものだから、
答えは後者の平方の2025。

お見事です。

実は当初「√2025=25である」で出題しようとしていたのですが、その形だともう1つ解があることに気づいて慌てて記述を変更しました。
危なかった……。

書き間違い。
√2025=45ですね……。

最小は
39402x9x7x3
ですね。11桁ではこれ一つしかありませんでした。
12桁は現在探索中ですが、時間がかなりかかりそうなので
ある程度見つからなければ探索は中止します。
(追記・再追記)
12桁の解が何個も見つかりました。探すと結構あるようです。
631359x8x5x3
75428x5x5x91
106x6x0x1413
108x3x4x7411
181x3x2x8131

(返礼)
1～9の9個の数字を1個ずつ並べてできる9桁のある自然数Nに対し
[tanN]=2025 （[　]はガウス記号）
が成り立つという。このNとは？

N=463921857

順列の番号が一つずれると
tan(463921785) = -3.8184026056948050477279917320576295638
tan(463921875) = 0.87838965697493010866553946740976926836
こうも姿が変わってしまうしまうんですね。

> N=463921857
ありがとうございます。
Nは9!通りあるわけですが
[tanN]が2025近辺の値になるものは他になく、
これに気づいたのは3～4年前だったので
この時期までずっと保存していた問題でした。

# 0～9を3個入れて素数になるものは引き続き探索していますが、
# 結構解がでてきましたので元の記事に追記しています。

３～４年も温めていたとは流石です。(よくもこんなものの調査を試みていたんですね。)
2000年代だけを調べると、次の17通りのものしかないんですね。(次は11年後)
2009,2025,2036,2079,2136,2142,2216,2244,2275,2324,2506,2556,2685,2695,2723,2929,2935
因みに
最大は356187　 (順列;876423591で) (次が70898ですから飛びぬけてトップです。)
最小は-11031260 (順列;465178293で)　（次が-80234ですから飛びぬけて離れています。)
でありました。
最頻値とか調べて行くと結構面白いですね。
統計的に興味が湧きそう！

12桁の解は以下の11個でした。
106x6x0x1413
108x3x4x7411
181x3x2x8131
631359x8x5x3
65x285x614x1
73x177x527x1
75428x5x5x91
8x105x849x63
83x9x7x94663
9x739x264x03
99x1x4x69743
xの部分の値（例えば106x6x0x1413では101010000の倍数）は
7の倍数でなければならないため、特徴的な配置になっています。
（7の倍数でないとすると0～9のどれかで7の倍数になってしまうため）
またxの部分の値は11の倍数になり得ないため、0の一つ手前（例えば
106060001413-101010000）が必ず11の倍数になり、x=0～9の場合を
11で割った余りは1～10がすべて出現することになります。
こういった理屈はプログラムの高速化に役立てています。