้ญๆน้ฃใฎๆฌใงใใๆน้ฃใฎ็ ็ฉถใ๏ผๅนณๅฑฑ่ซฆ,้ฟ้จๆฅฝๆนใๅคง้ชๆ่ฒๅณๆธ๏ผใฎไธญใงใๅนธ็ฐ้ฒไผดใฎใๆน้ฃ็ง่ชฌใใง็ดนไปใใใฆใใใในใใซใๆฐใฎไธๆน้ฃใจใใใใฎใใใใพใใ(https://userweb.pep.ne.jp/c6v00030/r128.htmlใฎใ่ชฌๆ็ฌฌไนใใๅ็
ง)
40 39 08 34 09 25 20
03 12 47 07 45 33 28
16 42 11 22 10 48 26
31 17 15 49 13 18 32
27 41 21 04 14 44 24
35 19 37 30 46 06 02
23 05 36 29 31 01 43
ใใฎๆน้ฃใงใฏ็ธฆใปๆจชใปๅฏพ่ง็ทใฎ็ทๅใ ใใงใชใใๆญฃ่งใจ็งฐใใไธญๅฟใฎใในใง็ด่งใซๆใๆฒใใ7ใใน(ไพ:34,7,22,49,15,17,31ใใใใณใ40,12,11,49,21,19,23)ใ้ญ่งใจ็งฐใใ45ๅบฆใงๆใๆฒใใ7ใใน(ไพ:40,12,11,49,15,17,31)ใ้่งใจ็งฐใใ135ๅบฆใงๆใๆฒใใ7ใใน(ไพ:34,7,22,49,21,19,23)ใฎ็ทๅใ็ญใใใใใใซใไธญๅฟใจๅ้
ใฎ่จ5ใในใฎๅใไธญๅฟใจๅ่พบใฎไธญๅคฎใฎ่จ5ใในใฎๅใ็ญใใใชใฃใฆใใใจใใใใฎใงใใใใๆน้ฃใฎ็ ็ฉถใใงใฏไธญๅฟใฎใในใ47ใฎๅ ดๅใใคใใใใจใใงใใใใใงใใใ45ใฎๅ ดๅใฏใงใใฆใใชใใใใงใใ
ในใใซใๆฐใฎๆน้ฃใไบๆน้ฃใซใใใจใไพใใฐใ
10 04 25 09 17
05 22 07 15 16
08 24 01 21 11
23 13 12 14 03
19 02 20 06 18
ใจใใใใฎใใใใพใใใไธญๅฟใฎใในใ1ไปฅๅคใฎ3,5,7,9,11,13ใฎๅ ดๅใฏๅฏ่ฝใงใใใใใ
ใพใใในใใซใๆฐใฎๆน้ฃใไนๆน้ฃใๅไธๆน้ฃใ...ใจใใใใฎใฏๅฏ่ฝใงใใใใใ
16ๅใฎใขใซใใกใใใ
E,F,G,H,I,L,N,O,R,S,T,U,V,W,X,Z
ใๆใใฆใใใฐ0๏ฝ12ใฎ่ฑๅ่ช
ZERO
ONE
TWO
THREE
FOUR
FIVE
SIX
SEVEN
EIGHT
NINE
TEN
ELEVEN
TWELVE
ใๆงๆใงใใใ
ใใใงใใฎ16ๅใฎใขใซใใกใใใใซ้ฉๅฝใซใใๆดๆฐใๅฒใๅฝใฆใฆใใใจ
Z+E+R+O=0
O+N+E=1
T+W+O=2
T+H+R+E+E=3
๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ
E+L+E+V+E+N=11
T+W+E+L+V+E=12
ใจใใ็ญๅผใๆ็ซใใใใใซใใใซใฏ
E,F,G,H,I,L,N,O,R,S,T,U,V,W,X,Zใซใฉใใชๆดๆฐใๅฒใๅฝใฆใใฐ่ฏใใงใใใใ๏ผ
#ไปใพใงๆฐๅคใๅบ้กใใฆใใฆใใใฎใงใใใใใใฆ้ๅปใซๅบ้กใใฆใใใใ็ฅใใพใใใๆชใใใใใ
ใขใใๅพๆขใใใๅบ้กใใฆใใใพใใใ
ไธๅฎๆน็จๅผใจใชใใฎใง่งฃใฏ็กๆฐใซใใไบใซใชใฃใฆใใพใใฎใง
ๅๆดๆฐใ
-11๏ฝ11ใฎ็ฏๅฒใง็ดใพใ้จๅใงใฎ็ตๅใใงๆขใใ ใใฆใใใฆไธใใใ
ๆด็ใใใจ
e+o+r+z=0
e+n+o=1
o+t+w=2
2e+h+r+t=3
f+o+r+u=4
e+f+i+v=5
i+s+x=6
2e+n+s+v=7
e+g+h+i+t=8
e+i+2n=9
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
ใใใใใฎๆๅญใๅซใพใใๆน็จๅผใฎๆฐใๆฐใใฆๅๆฐใฎๆ้ ใซใใใจ
1ๅ: g,u,x,z
2ๅ: f,h,l,s,w
3ๅ: r
4ๅ: i,o,v
5ๅ: n,t
10ๅ: e
g,u,x,zใฏไธๅบฆใใ็ปๅ ดใใชใใฎใง
e+o+r+z=0
f+o+r+u=4
i+s+x=6
e+g+h+i+t=8
ใฎ4ใคใฏๅพๅใใงๆฎใใฏ
e+n+o=1
o+t+w=2
2e+h+r+t=3
e+f+i+v=5
2e+n+s+v=7
e+i+2n=9
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
ๆฎใฃใๆน็จๅผใงๅๅบฆๅๆฐใๆฐใใใจ
1ๅ: f,h,r,s
2ๅ: i,l,o,w
4ๅ: t,v
5ๅ: n
8ๅ: e
f,h,r,sใฏไธๅบฆใใ็ปๅ ดใใชใใฎใง
2e+h+r+t=3
e+f+i+v=5
2e+n+s+v=7
ใฎ3ใคใฏๅพๅใใงๆฎใใฏ
e+n+o=1
o+t+w=2
e+i+2n=9
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
ๆฎใฃใๆน็จๅผใงๅๅบฆๅๆฐใๆฐใใใจ
1ๅ: i
2ๅ: l,o,v,w
3ๅ: t
4ๅ: n
5ๅ: e
iใฏไธๅบฆใใ็ปๅ ดใใชใใฎใง
e+i+2n=9
ใฏๅพๅใใงๆฎใใฏ
e+n+o=1
o+t+w=2
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
ๆฎใฃใๆน็จๅผใงๅๅบฆๅๆฐใๆฐใใใจ
2ๅ: l,o,v,w
3ๅ: n,t
4ๅ: e
2ใฎๅผใใ1ใฎๅผใๅผใใฆoใๆถๅป
t+w-e-n=1
12ใฎๅผใใใใฎๅผใๅผใใฆwใๆถๅป
3e+l+n+v=11
ใใใฏ11ใฎๅผใจๅใใชใฎใงๆฎใฃใๅผใฏ
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
nใจtใๅบๅฎใใฆ
e=10-n-t
11ใฎๅผใซไปฃๅ
ฅใใฆeใๆถๅป
l+v=2n+3t-19
ๅพๅใใซใใๅผใซvใฏ็ปๅ ดใlใฏ็ปๅ ดใใชใใฎใงvใๅบๅฎใใฆ
l=2n+3t-v-19
12ใฎๅผใฎeใซe=10-n-tใจl=2n+3t-v-19ใไปฃๅ
ฅใใฆwใ็ฎๅบใใใจ
w=11-2t
2ใฎๅผใซw=11-2tใไปฃๅ
ฅใใฆoใ็ฎๅบใใใจ
o=t-9
9ใฎๅผใใ
i=t-n-1
7ใฎๅผใใ
s=2n+2t-n-v-13
5ใฎๅผใใ
f=2n-v-4
3ใฎๅผใซๆช็ฅๆฐh,rใๅๆใซ็ปๅ ดใใใฎใง็ปๅ ดๅๆฐใฎๅคใrใๅบๅฎใใฆ
h=2n-r+t-17
ๅพใฏๆๅใซๅพๅใใซใใ4ๅผใใ
z=n-r-1
u=v-2n-r-t+17
x=v-3t+20
g=r-2t+16
ไปฅไธใใ
n,r,t,vใฏๅบๅฎ
e=10-n-t
f=2n-v-4
g=r-2t+16
h=2n-r+t-17
i=t-n-1
l=2n+3t-v-19
o=t-9
s=n+2t-v-13
u=v-2n-r-t+17
w=11-2t
x=v-3t+20
z=n-r-1
ๅ
ใฎๅผใซไปฃๅ
ฅใใใจ0๏ฝ12ใๅบใฆใในใฆๆญฃใใใฎใงใๅพใฏ
ๆกไปถ(-11๏ฝ11)ใๆบใใใใใซn,r,t,vใๅฎใใใฐใใใฎใ ใใ
่งฃใฏๅคๆฐใใใใใชใฎใง้ฉๅฝใช่งฃไธใคใ ใใซใใใ
็ตถๅฏพๅคใๆๅฐใซใชใใใใซ้ฉๅฝใซๅคใๆฑบใใใจ
(e,f,g,h,i,l,n,o,r,s,t,u,v,w,x,z)=
(1,4,5,-3,0,4,4,-4,-1,1,5,5,0,1,5,4)
โปo+t=9ใชใฎใง็ตถๅฏพๅคใ4ไปฅไธใซใใใฎใฏไธๅฏ่ฝ
ใใ็ฐใชใใขใซใใกใใใใซใฏ็ฐใชใๆดๆฐ(-11๏ฝ11ใๅซใ)ใจใใๆกไปถใๅ ใใใจ
ใฉใใปใฉใฎ็ตๅใใฎๅฏ่ฝๆงใ็บ็ใใใใใงใใ๏ผ
ใใฎๅ ดๅใฏ3้ใใงใใญใ
(e,f,g,h,i,l,n,o,r,s,t,u,v,w,x,z)=
(-2,-6,0,-7,7,9,2,1,4,3,10,5,6,-9,-4,-3),
(-1,-4,5,-11,6,8,2,0,7,3,9,1,4,-7,-3,-6),
(3,9,6,1,-4,0,5,-7,-6,-1,2,8,-3,7,11,10)
-10๏ฝ10ใชใใฐ1้ใใงใใใ
16ๅใฎๅคๆฐใง13ๅใฎๆน็จๅผใใ้ๅธธใงใฏๅคๆฐใฎไธญใฎ3ใคใๅบๅฎใใฆ(ๅฎๆฐใจใฟใใ)
13ๅคๆฐใฎ้ฃ็ซๆน็จๅผใจใใฆ่งฃใใใจใใฆใใใใใใใใใ่กๅMใๅฉ็จใใฆ
ใใใจใใๆญฃใซใใฎไฟๆฐใๅบใจใใ่กๅใmatdet(M)=0 ใจใชใฃใฆใใพใใ
ใพใmatrank(M)ใ่ชฟในใใจใ12ใ่ฟใใใใฎใฏใใฎไบใ ใฃใใฎใงใใญใ
ใงใใฉใฎ2ใคใฎๅผใใใๆขๅญใฎๅผใ็ฃใฟๅบใใใฎใใใใใชใใฃใใ
ๅ
จใฆใฎๆตใใ่ฉณใใ็คบใใฆ้ ใ็ฎ็ใฎ็ตๅใใใ3ใคใ็ฅใใใฎใฏใฉใใญใผใงใใใ
่ฟฝไผธ
ใใฎๆใใใใใ่ฉฆใใฆใใใ
[ E, F, G, H, I, L, N, O, R, S, T, U, V, W, X, Z]=
1;[3/4, 15/4, 3, -11/4, 5/4, 6, 7/2, -13/4, -3/2, 11/4, 23/4, 5, -3/4, -1/2, 2, 4]
2;[9/4, 17/4, 3, -17/4, 7/4, 5, 5/2, -15/4, -5/2, 13/4, 21/4, 6, -13/4, 1/2, 1, 4]
ใชใฉใฎๅๆฐใซใใๅฏพๅฟใงใๅฏ่ฝใช็ตๅใใ็ใพใใฆใใพใใใ
ๅ
จใฆ็ด ๆฐใๅฏพ่ฑกใจใใฆ[p1,p2,p3],[q1,q2,q3]ใฎ2็ตใง
p1^k+p2^k+p3^k=q1^k+q2^k+q3^k (k=1,2)
ใๆใ็ซใค็ตๅใใ100ใพใงใฎ็ด ๆฐใฎ็ฏๅฒใงๆขใใจ
็ตๆงๅคใใฎ็ตๅใใใๅญๅจใ
1;[5, 31, 41] VS [13, 17, 47]
2;[5, 41, 71] VS [7, 37, 73]
3;[5, 43, 53] VS [11, 29, 61]
4;[5, 53, 83] VS [11, 41, 89]
5;[5, 59, 79] VS [7, 53, 83]
6;[5, 59, 89] VS [13, 43, 97]
7;[7, 19, 29] VS [11, 13, 31]
8;[7, 23, 41] VS [11, 17, 43]
9;[7, 29, 31] VS [11, 19, 37]
10;[7, 29, 43] VS [13, 19, 47]
๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ๏ฝฅ
91;[31, 67, 73] VS [41, 47, 83]
92;[37, 53, 71] VS [41, 47, 73]
93;[37, 67, 71] VS [43, 53, 79]
94;[37, 73, 79] VS [47, 53, 89]
95;[41, 71, 83] VS [47, 59, 89]
96;[41, 79, 83] VS [43, 71, 89]
97;[43, 61, 67] VS [47, 53, 71]
98;[43, 67, 79] VS [47, 59, 83]
99;[43, 83, 89] VS [47, 71, 97]
100;[53, 71, 79] VS [59, 61, 83]
101;[53, 83, 89] VS [61, 67, 97]
ใ่ฆใคใใฃใใ
ใชใใใฎไธญใงๅใๆๅฐใจใใ็ตๅใใใฏ
[7,19,29] VS [11,13,31]
ใๅฝใฆใฏใพใใ
ๅใใ
[p1,p2,p3,p4],[q1,q2,q3,q4]ใฎ2็ตใง
p1^k+p2^k+p3^k+p4^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k (k=1,2,3)
ใ100ใพใงใฎ็ด ๆฐใฎ็ฏๅฒใง่ชฟในใใ
1;[7, 31, 59, 83] VS [11, 23, 67, 79]
2;[11, 29, 47, 73] VS [17, 19, 53, 71]
3;[11, 37, 47, 73] VS [17, 23, 61, 67]
4;[11, 41, 43, 73] VS [13, 31, 53, 71]
5;[11, 43, 47, 79] VS [19, 23, 67, 71]
6;[11, 47, 53, 89] VS [17, 29, 71, 83]
7;[13, 29, 31, 47] VS [17, 19, 41, 43]
8;[13, 29, 67, 83] VS [17, 23, 73, 79]
9;[13, 43, 59, 89] VS [19, 29, 73, 83]
10;[17, 29, 31, 43] VS [19, 23, 37, 41]
11;[17, 43, 53, 79] VS [23, 29, 67, 73]
12;[17, 43, 61, 79] VS [19, 37, 71, 73]
13;[19, 37, 53, 71] VS [23, 29, 61, 67]
14;[19, 43, 47, 71] VS [23, 31, 59, 67]
15;[23, 41, 61, 79] VS [29, 31, 71, 73]
16;[23, 59, 61, 97] VS [31, 37, 83, 89]
17;[29, 43, 47, 61] VS [31, 37, 53, 59]
18;[31, 53, 67, 89] VS [37, 41, 79, 83]
19;[37, 59, 61, 83] VS [41, 47, 73, 79]
ใ่ฆใคใใฃใใ
ใชใๆๅฐๅคใฎๅใๆงๆใใใฎใฏ
[13, 29, 31, 47] VS [17, 19, 41, 43]
[17, 29, 31, 43] VS [19, 23, 37, 41]
ใฎ2ใใฟใผใณใๅฝใฆใฏใพใใ(2,3ไนใพใงใ่ใใใจไธใฎๆนใๆ้ฉ)
ใใใงๆฌกใฏใจๆใ
p1^k+p2^k+p3^k+p4^k+p5^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k+q5^k (k=1,2,3,4)
p1^k+p2^k+p3^k+p4^k+p5^k+p6^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k+q5^k+q6^k (k=1,2,3,4,5)
ใๆบใใใ็ตๅใใฏใฉใใชใใ ใใใใจๆค็ดขใๅงใใใไปๅบฆใฏไฝใใซใ็ฏๅฒใๅบใใ้ใใฆ
ไธธไธๆฅใณใณใใฅใผใฟใ่ตฐใใใฆใไธใคใใใใใใฆใใชใใ
ใชใๅใฎๆๅฐๅคใไธใใ2็ตใฎใใฎใฏ
[13,59,67,131,163] VS [23,31,103,109,167]
[17,37,43,83,89,109] VS [19,29,53,73,97,107]
ใงใใใจใฎๆ
ๅ ฑใฏใใใใใๅ
ฅๆใงใใใ
ๅพใฃใฆๆค็ดข็ฏๅฒใ200ใพใงใฎ็ด ๆฐใซ้ๅฎใใฆใใใไปฅๅคใซใ็บ่ฆใงใใใใจๆใใใใ
ๅฆไฝใใๅ
จๆค็ดขใฎๆนๆณใงๆขใๅใฃใฆใใใฎใงไปใฎใจใใไธใคใ่ฆใคใใใใใซใใพใใ
ไฝๆนใๅน็ใใๆค็ดขใใญใฐใฉใ ใใไปใฎใใฟใผใณใๆขใๅบใใใใๆใใฆไธใใใ
ใใกใใฎใชใใใทใฎ็ถ็ทจใงใใ๏ผ
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1164.html
200ใพใงใฎ็ด ๆฐใงใฎๅ
จ่งฃ(ไธใซใใ่งฃใๅซใ)
5ๅ็ต
[13,59,67,131,163] ใจ [23,31,103,109,167]
[11,59,71,149,173] ใจ [23,29,101,131,179]
[19,79,101,173,191] ใจ [23,61,131,149,199]
[31,67,103,149,197] ใจ [37,53,127,131,199]
6ๅ็ต
[19,29,53,73,97,107] ใจ [17,37,43,83,89,109]
[19,29,83,103,157,167] ใจ [13,47,59,127,139,173]
[43,47,101,109,163,167] ใจ [37,59,83,127,151,173]
[29,31,103,107,179,181] ใจ [19,53,71,139,157,191]
[43,53,107,127,181,191] ใจ [37,71,83,151,163,197]
ใกใชใฟใซ200ใ่ถ
ใใๆฌกใฎ่งฃใฏ
5ๅ็ต
[61,79,151,197,227] ใจ [67,71,157,191,229]
6ๅ็ต
[19,53,89,157,193,227] ใจ [17,67,73,173,179,229]
# ๆไฝใฃใใใญใฐใฉใ ใใพใ ๆฎใฃใฆใใพใใใ
้ๅปใใฎ่ฉฑ้กใซใคใใฆใฎๆ็จฟใใใฃใฆใใพใใใญใ
ไธ่ฌใซProuhet-Tarry-Escott problem ใจๅผใฐใใใใจใใใใ็นใซไฝฟใๆฐใ็ด ๆฐใซ้ๅฎใใใใฎใ
ไฝใ็นๅฅใซ่ฆใใฆ้ข็ฝใใจๆใฃใฆใใพใใใ
ใจ่จใใฎใไธ่ฌใงใฎๆดๆฐใงใฏๅ
ฌๅผใๅญๅจใงใใใฎใงใๅนพใคใ็ตๅใใ็บ่ฆใงใใใ็ด ๆฐใงใฏใใใฏใใใชใใชใใ
ใตใจ้ๅปใฎใใผใใๆด็ใใฆใใใใใใฎ็ด ๆฐใซ้ขใใ2็ตใฎ่งฃใ่ฆใฆใใใใไปใฎ่งฃใฏๆใใใฎใ๏ผ
ใฎ็ๅใใใๅฎ้ใซใใฝใณใณใงๆขใใฆใฟใใๆใฃใใใฎใใๅคใใฎ็ตๅใใๅญๅจใใฆใใใใจใซ้ฉใใใฎใงใใใ
ๆฌใซ็ดนไปใใใฆใใใฎใฏใ็นใซใใฎไธญใซใใๆๅฐๆฐใงใฎ็ตๅใใจใชใฃใฆใใใใจใซใใใชใใฎใใจ่ช่ญใงใ
ใงใฏๆขใใใ ใๆขใใฆใฟใใใจๆๆฆใๅงใใฆใฟใใฎใๆ็จฟใฎๅๆฉใงใใใ
ใชใซใๅชๆฐใ้ซใพใใฐ้ซใพใใ ใๆข็ดข็ฏๅฒใๆๆฐ้ขๆฐ็ใซๅขๅคงใใฆใใใใกใใฃใจใใใฃใจใงใฏๆ้ๆ้ใงใฏ
ๆขใๅบใใชใใชใฃใฆๅฃใซ็ชใๅฝใใฃใฆใใพใฃใ็ถๆ
ใซใชใฃใฆใใใพใใ
ใใใใใใใใใใจใใใใใพใใ
๏ผไนใพใงใฎ็บ่ฆใงใใใใญใฐใฉใ ๏ผไธๅไฝใงใฎ่จ็ฎๆ้ใงใฏ็ตไบใใใ)
ใฎๅปถ้ทใฎๆๅณใงใฎ4ไนใงใฎๆค็ดขใงใฏ3ๆฅ่จ็ฎใ็ถใใฆใไธใคใ็บ่ฆใงใใใซใใพใใใ
200ใพใงใฎ็ด ๆฐใงใฎ็ตๆใ็ฅใใพใงใฎๆ้ใฏใฉใใปใฉใชใใงใใ๏ผ
็ตๆใ็นๆคใใฆใใใ
5ไนใพใงใฎๅใ็ญใใ6ๅ็ตใฎๆๅฐ็ต
S1=[19,29,53,73,97,107] ใจ
S2=[17,37,43,83,89,109]
ใซๅฏพใ
M1=[-22,-17,-5,5,17,22]
M2=[-23,-13,-10,10,13,23]
ใชใๅฏพ็
ง็้
ๅใจ
q=2,r=63
ใฎๅฎๆฐใ้ธในใฐ
S1[n]=q*M1[n]+r
S2[n]=q*M2[n]+r
(n=1,2,3,4,5,6)
ใฎ้ขไฟใง็ตใฐใใใใใงใใ
ใพใ
S1=[19,53,89,157,193,227]
S2=[17,67,73,173,179,229]
ใชใ
M1=[-52,-35,-17,17,35,52]
M2=[-53,-28,-25,25,28,53]
q=2,r=123
ใจใชใใใใงใใ
ๆ้ๆธฌใฃใฆใชใใฃใใฎใงๅๅบฆๅฎ่กใใฆ็ขบใใใใจใใใ
5ๅ็ตใง20็งใ6ๅ็ตใง3ๅๅใงใใใ
5ๆกๅๅฟใฎ็ฉใ2ๆกใฎ5ใคใฎ้ฃ็ถใใ็ด ๆฐใไธฆใถๆฐใๆงๆใใ็ตๅใใฎ2ๆฐใ็บ่ฆใใฆใใ ใใใ
[ไพ]
26837*41479=1113171923
38123*45097=1719232931 ใงใใ๏ผ
ใใจ
56809*76529=4347535961
78623*91243=7173798389
78443*94079=7379838997
(1)โซ[x=0->1](1-x^2)^5dx
(2)โซ[x=0->1](x*(1-x))^5dx
(3)โซ[x=0->1](x*(1-x))^5/(1+x^2)dx
ไฝใๆ็คบ็่งฃใง็คบใใฆไธใใใ
(1) 256/693
(2)1/2772
(3)11411/2520-2*log(2)-Pi
ใ ใจๆใใพใใ
(1),(2)
ใฏ
ไธ่ฌใซ
โซ[x=0,1](x*(1-x))^ndx=โซ[x=0,1](1-x^2)^ndx/4^n
=Beta(n+1,n+1)
ไฝใ
Beta(s,t)=ฮ(s)*ฮ(t)/ฮ(s+t)
(ใใผใฟ้ขๆฐ)
ใง็นใใฃใฆใใฆ
gp > bestappr(intnum(x=0,1,(1-x^2)^5))
%470 = 256/693
gp > bestappr(intnum(x=0,1,(1-x^2)^5)/4^5)
%471 = 1/2772
gp > bestappr(intnum(x=0,1,(x*(1-x))^5))
%472 = 1/2772
gp > Beta(s,t)=gamma(s)*gamma(t)/gamma(s+t);
gp > bestappr(Beta(6,6))
%475 = 1/2772
(3)ใฏ
โซ[x=0,1]x^n/(1+x^2)dx=โซ[t=0,Pi/4]tan(t)^ndt
ใฎ็ฝฎๆ็ฉๅใง
ใใใง
gp > (x*(1-x))^5
%476 = -x^10 + 5*x^9 - 10*x^8 + 10*x^7 - 5*x^6 + x^5
=(5*x^9+10*x^7+x^5)-(x^10+10*x^8+5*x^6)
ใใใง
I=โซ[x=0,1](x*(1-x))^5/(1+x^2)dx
ใใใง
x=tan(t) ใจ็ฝฎใใจdx=dt/cos(t)^2=dt*(1+tan(t)^2)=dt*(1+x^2)
x=0-->t=0 ; x=1-->t=Pi/4
ใใฃใฆ
I=โซ[t=0,Pi/4](5*tan(t)^9+10*tan(t)^7+tan(t)^5)dt
-โซ[t=0,Pi/4](tan(x)^10+10*tan(t)^8+5*tan(t)^6)dt
=5*(1/2*log(2)-7/24)+10*(-1/2*log(2)+5/12)+(1/2*log(2)-1/4)
-(-1/4*Pi+263/315)-10*(1/4*Pi-76/105)-5*(-1/4*Pi+13/15)
=11411/2520-2*log(2)-Pi
(ใใฎ่จ็ฎใฏใปใจใปใจใใใฉใใใใ)
gp > intnum(x=0,1,(x*(1-x))^5/(1+x^2))
%480 = 0.00028758846491931730606697697874715425500493507898685
gp > 11411/2520-2*log(2)-Pi
%481 = 0.00028758846491931730606697697874715425500493507898685
็งใใใผใฟ้ขๆฐใง่ใใพใใใ
(1)ใซใคใใฆใฏใ
โซ[x=0โ1](1-x^2)^5dx=(1/2)โซ[x=-1โ1]((1+x)*(1-x))^5dx
=โซ[t=0โ1](2t*2(1-t))^5dt=2^10*ฮ(6,6)=2^10*ฮ(6)^2/ฮ(12)
=2^10*(5!)^2/(11!)=1024/2772=256/693
ใจใชใใพใใใ
(2)ใซใคใใฆใฏใ
โซ[x=0โ1](x*(1-x))^5dx=โซ[x=0โ1](x^5*(1-x)^5)dx
=ฮ(6,6)=ฮ(6)^2/ฮ(12)=(5!)^2/(11!)=(5*4*3*2*1)/(11*10*9*8*7*6)
=1/(11*2*3*2*7*3)=1/2772
ใจใชใใฎใงใฏใชใใงใใใใใ
(3)ใซใคใใฆใฏใโซ[x=0โ1](x*(1-x))^n/(1+x^2)dx (n=1,2,3,4,5)ใ้ ๆฌกๆฑใใฆใฟใพใใใ
(x(1-x))/(1+x^2)=(x-x^2)/(1+x^2)=(x+1)/(1+x^2)-1
ใใ
โซ[x=0โ1](x*(1-x))/(1+x^2)dx=โซ[x=0โ1]((x+1)/(1+x^2)-1)dx
=ln(2)/2+ฯ/4-1
(x(1-x))^2/(1+x^2)=((x+1)/(1+x^2)-1)*(x(1-x))
((x+1)x(1-x))/(1+x^2)=(x-x^3)/(1+x^2)=2x/(1+x^2)-x
ใใ
โซ[x=0โ1](x*(1-x))^2/(1+x^2)dx=โซ[x=0โ1](2x/(1+x^2)-x-x(1-x))dx
=ln(2)-ฮ(2,1)-ฮ(2,2)=ln(2)-ฮ(2)ฮ(1)/ฮ(3)-ฮ(2)^2/ฮ(4)
=ln(2)-(1!*0!)/2!-(1!)^2/(3!)=ln(2)-1/2-1/6=ln(2)-2/3
(x(1-x))^3/(1+x^2)=(2x/(1+x^2)-x-x(1-x))*(x(1-x))
(x^2(1-x))/(1+x^2)=(x^2-x^3)/(1+x^2)=(x-1)/(1+x^2)-(x-1)
ใใ
โซ[x=0โ1](x*(1-x))^3/(1+x^2)dx
=โซ[x=0โ1](2(x-1)/(1+x^2)+2(1-x)-x^2(1-x)-x^2(1-x)^2)dx
=ln(2)-ฯ/2+2ฮ(1,2)-ฮ(3,2)-ฮ(3,3)
=ln(2)-ฯ/2+2ฮ(1)ฮ(2)/ฮ(3)-ฮ(3)ฮ(2)/ฮ(5)-ฮ(3)^2/ฮ(6)
=ln(2)-ฯ/2+2*(0!1!)/2!-(2!1!)/4!-(2!)^2/5!
=ln(2)-ฯ/2+1-1/12-1/30=ln(2)-ฯ/2+53/60
(x(1-x))^4/(1+x^2)=(2(x-1)/(1+x^2)+2(1-x)-x^2(1-x)-x^2(1-x)^2)*(x(1-x))
-(x-1)^2*x/(1+x^2)=-x*(1-2x+x^2)/(1+x^2)=2x^2/(1+x^2)-x=-2/(1+x^2)+2-x
ใใ
โซ[x=0โ1](x*(1-x))^4/(1+x^2)dx
=โซ[x=0โ1](-4/(1+x^2)+4-2x+2x(1-x)^2-x^3(1-x)^2-x^3(1-x)^3)dx
=-ฯ+4ฮ(1,1)-2ฮ(2,1)+2ฮ(2,3)-ฮ(4,3)-ฮ(4,4)
=-ฯ+4ฮ(1)^2/ฮ(2)-2ฮ(2)ฮ(1)/ฮ(3)+2ฮ(2)ฮ(3)/ฮ(5)-ฮ(4)ฮ(3)/ฮ(7)-ฮ(4)^2/ฮ(8)
=-ฯ+4(0!)^2/1!-2(1!0!)/2!+2(1!2!)/4!+(3!2!)/6!-(3!)^2/7!
=-ฯ+4-1+1/6-1/60-1/140=-ฯ+22/7
(x(1-x))^5/(1+x^2)=(-4/(1+x^2)+4-2x+2x(1-x)^2-x^3(1-x)^2-x^3(1-x)^3)*(x(1-x))
(x(1-x))/(1+x^2)=(x-x^2)/(1+x^2)=(x+1)/(1+x^2)-1
ใใ
=โซ[x=0โ1](-4(x+1)/(1+x^2)+4+4x(1-x)-2x^2(1-x)+2x^2(1-x)^3-x^4(1-x)^3-x^4(1-x)^4)dx
=-2*ln(2)/2-ฯ+4ฮ(1,1)+4ฮ(2,2)-2ฮ(3,2)+2ฮ(3,4)-ฮ(5,4)-ฮ(5,5)
=-2*ln(2)/2-ฯ+4ฮ(1)^2/ฮ(2)+4ฮ(2)^2/ฮ(4)-2ฮ(3)ฮ(2)/ฮ(5)+2ฮ(3)ฮ(4)/ฮ(7)-ฮ(5)ฮ(4)/ฮ(9)-ฮ(5)^2/ฮ(10)
=-2*ln(2)/2-ฯ+4(0!)^2/1!+4(1!)^2/3!-2(2!1!)/4!+2(2!3!)/6!-(4!3!)/8!-(4!)^2/9!
=-2*ln(2)/2-ฯ+4+2/3-1/6+1/30-1/280-1/630=-2*ln(2)-ฯ+11411/2520
> "kuiperbelt"ใใใๆธใใใพใใ:
> ็งใใใผใฟ้ขๆฐใง่ใใพใใใ
(3)ใใใผใฟ้ขๆฐใซ็นใใใใงใใญใ
ๅ่ใซn=6,7,8,9,10
ใงใใฃใฆใฟใพใใใ
I6=38429/13860-4*ln(2)
I7=2*ฯ-4*ln(2)-421691/120120
I8=4*ฯ-188684/15015
I9=8*ln(2)+4*ฯ-17069771/942480
I10=16*ln(2)-1290876029/116396280
็ฎก็ไบบใใใฎ่งฃ็ญใจๆฐๅคใๅใใชใใฆๆฉใใงใพใใใใใใฃใฑใ (2) ใฏ 1/2772 ใงใใใญ๏ผ
(1)ใจ(2)ใฏใใผใฟ้ขๆฐใชใใฆๆใกๅบใใชใใฆใใ5ๅ้จๅ็ฉๅใใใฐ้ซๆ ก็ใงใใใ็ญใใใใๅ้กใงใใญใ
(1)
โซ[x=0->1] (1-x^2)^5 dx
= (1/2) โซ[x=-1->1] (1+x)^5*(1-x)^5 dx
= (1/2)*(5/6) โซ[x=-1->1] (1+x)^6*(1-x)^4 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7) โซ[x=-1->1] (1+x)^7*(1-x)^3 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8) โซ[x=-1->1] (1+x)^8*(1-x)^2 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9) โซ[x=-1->1] (1+x)^9*(1-x) dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9)*(1/10) โซ[x=-1->1] (1+x)^10 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9)*(1/10)*(1/11)*2^11
= 256/693
(2) (1) ใจๅๆงใซใใฆ
โซ[x=0->1] (x*(1-x))^5 dx
= (5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9)*(1/10)*(1/11)*1^11
= 1/2772
(3)
ใพใใ
(x*(1-x))^5 = (1+x^2)Q(x) + ax + b
ใจใใใx = ยฑi ใไปฃๅ
ฅใใใจใ
-4 - 4i = b + ai
-4 + 4i = b - ai
ใจใชใใฎใงใa = b = -4
ใพใใ
โซ[x=0->1] 1/(1+x^2) dx = ฯ/4๏ผx=tanฮธใฎ็ฝฎๆ็ฉๅใซใใ๏ผ
ใจ
โซ[x=0->1] 2x/(1+x^2) dx = log2
ใๆใ็ซใกใพใใ
ใใฃใฆใ
โซ[x=0->1] (x*(1-x))^5/(1+x^2) dx
= โซ[x=0->1] {x^5*(1-x)^5+4x+4}/(1+x^2) dx - 4 โซ[x=0->1] 1/(1+x^2) dx - 2 โซ[x=0->1] 2x/(1+x^2) dx
= ฮฃ[n=0->โ] โซ[x=0->1] {x^(2n+5)*(1-x)^5+4*x^(2n+1)+4*x^(2n)}*(-1)^n dx - ฯ - 2log2
= ฮฃ[n=0->โ] {120/((2n+11)(2n+10)(2n+9)(2n+8)(2n+7)(2n+6))+4/(2n+2)+4/(2n+1)}*(-1)^n - ฯ - 2log2
= ฮฃ[n=0->โ] {-1/(2n+11)+5/(2n+10)-10/(2n+9)+10/(2n+8)-5/(2n+7)+1/(2n+6)+4/(2n+2)+4/(2n+1)}*(-1)^n - ฯ - 2log2
= 4/1 + 4/2 - 4/3 - 4/4 + 4/5 + 5/6 - 9/7 + 5/8 - 1/9 - ฯ - 2log2
= 11411/2520 - ฯ - 2log2
ๆๅพใฎ1่กใฏๆ่จ็ฎใใๅณใใโฆโฆใ
11411/2520ใฎๆญฃไฝใ
4/1 + 4/2 - 4/3 - 4/4 + 4/5 + 5/6 - 9/7 + 5/8 - 1/9
ใงใใใใจใซใฏ้ฉใใพใใใ
(x*(1-x))^6,(x*(1-x))^7
ใซ็พใใๅๆฐๅค
38429/13860ใ- 421691/120120
ใซใคใใฆDD++ใใใฎๅทงใฟใชๆนๆณใๅ่ใซๆขใใจ
2 + 4/3 - 7/4 - 3/5 + 1/7 + 14/9 + 1/11 = 38429/13860
- 6 + 7/3 + 6/5 + 8/7 - 7/8 - 20/11 + 17/12 - 1/13 = - 421691/120120
ใซใใฃใฆๆงๆใใใฆใใใใจใซใชใใใงใใญใ
ใชใkuperbeltใใใฎใใผใฟ้ขๆฐๅฉ็จใงใฏ
2 + 2/3 + 2/15 - 1/30 + 1/140 - 1/1260 - 1/2772 = 38429/13860
- 4 + 1/3 +2/15 + 1/35 - 1/140 + 1/630 - 1/5544 - 1/12012 = - 421691/120120
ใฎๆงๆใซใชใใใใงใใ
ใใใใใใใ
โซ[x=0,1]1/(x^2+1)dx=โ[n=0,oo]((-1)^n*โซ[x=0,1]x^(2*n)dx)
โซ[x=0,1]x/(x^2+1)dx=โ[n=0,oo](-1)^n*โซ[x=0,1](x^(2*n+1)dx)
โซ[x=0,1]x^2/(x^2+1)dx=โ[n=0,oo]((-1)^n*โซ[x=0,1]x^(2*n+2)dx)
โซ[x=0,1]x^s*(1-x)^sdx=โ[n=0,oo]((-1)^n*โซ[x=0,1]x^(2*n+s)*(1-x)^sdx)
ใชใใฆๅผใใฉใใใๆใใคใใใใงใใ๏ผ
ๅ็ดใซใ
1/(1+x^2) ใใใใ ใชใโฆโฆ
โx ใ 1-x ใ ใใๅ ๆฐใซๆใคใใฎใฎ็ทๅใงๆธใใใใชใโฆโฆ
โๅ้
1 ใงๅ
ฌๆฏ -x^2 ใฎ็ก้็ญๆฏ็ดๆฐใซๅฑ้ใใใฐใใใใงใใใใใ๏ผ
ใจใใใ ใใงใใ
ใจใใใงใใใจใใๆฐใใคใใใใงใใใๆฎ้ใซ x^5*(1-x)^5 ใ 1+x^2 ใงๅฒใฃใๅใๆฎ้ใซ็ฉๅใใใฐๅใๅ
ๅฎนใฎๅๆฐใฎๅใซๅธฐ็ใใใฃใฝใใงใใญใ
ๅผๅคๅฝข้ ๅผตใฃใใฎใใใใพใๆๅณใชใใฃใ็ๆใ
ๅฐๅญฆ็ใธใฎๅฎฟ้กๅ้ก
18035 * 68454
21642 * 57045
22818 * 54105
32463 * 38030
34227 * 36070
ใฎไปใซใใไธ้ก5ๆกๅๅฟใฎๆใ็ฎใฎๅ้กใไฝใฃใฆไธใใใ
19015*64926
ใงใใใใใ
13ๆใฎ้่ฒจใใใใใใฎใใก1ๆใฏๆพๅฐๆง็ฉ่ณชใๅซใๅฝ็ฉใงใใใใฎๅฝ็ฉใใฌใคใฌใผใซใฆใณใฟใผใ็จใใไธ้ฃใฎๆธฌๅฎใง็นๅฎใใ่ชฒ้กใงใใๅ้กใฏไปฅไธใฎใใใซๆงๆใใใฆใใพใ๏ผ
้่ฒจ๏ผ13ๆใฎ้่ฒจใใใใ1ใใ13ใพใง็ชๅทใๆฏใใใฆใใพใใใกใใใฉ1ๆใๅฝ็ฉใงใใ
ๅฝ็ฉใฎ็นๆง๏ผๅฝใฎ้่ฒจใฏๆพๅฐๆง็ฉ่ณชใๅซใใงใใใใฌใคใฌใผใซใฆใณใฟใผใงๆคๅบๅฏ่ฝใงใใ
ๆ่ก่
๏ผ13ไบบใฎๆ่ก่
ใๆธฌๅฎใ่กใใพใใ
ๆธฌๅฎใใญใปใน๏ผๅๆ่ก่
ใฏ13ๆใฎ้่ฒจใฎใใกไธ้จใ้ธใใงๆธฌๅฎใใพใใๆ่ก่
ใฏ้ธใฐใใ้่ฒจใใฌใคใฌใผใซใฆใณใฟใผใงๅๆใซๆคๆปใใพใใใฌใคใฌใผใซใฆใณใฟใผใฏใ้ธใฐใใ้่ฒจใฎไธญใซๅฝ็ฉใๅซใพใใฆใใๅ ดๅใซใฎใฟๅๅฟใใพใใๆธฌๅฎ็ตๆใฏใใใฎๆ่ก่
ใฎใฟใ็ฅใฃใฆใใพใใ
ๆธฌๅฎใฎๅถ็ด๏ผๅๆ่ก่
ใฏๆญฃ็ขบใซ1ๅใ ใๆธฌๅฎใ่กใใๅ่จ13ๅใฎๆธฌๅฎใ่กใใใพใใ
ๅ ฑๅ๏ผๅๆธฌๅฎใฎๅพใๆ่ก่
ใฏใ้ฝๆงใ๏ผๆพๅฐ็ทใๆคๅบใใใ๏ผใพใใฏใ้ฐๆงใ๏ผๆพๅฐ็ทใๆคๅบใใใชใใฃใ๏ผใจๅ ฑๅใใพใใ
ไฟก้ ผๆงใฎๅ้ก๏ผๆ่ก่
ใฎใใกๆๅคง2ไบบใพใงใใๆๅณ็ใชๆฌบ็ใๅถ็บ็ใช่ชคใใซใใไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใๅฏ่ฝๆงใใใใพใใ
็ฎๆจ๏ผๆๅคง2ไปถใฎไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใฃใใจใใฆใใๅฝใฎ้่ฒจใ็ขบๅฎใซ็นๅฎใใใใจใ็ฎๆจใงใใ
โฆ่ชฒ้กโฆ
ใใฎๅถ็ดใจๆ่ก่
ใฎๅ ฑๅใซใใใไธๆญฃ็ขบใใ่ๆ
ฎใใชใใใๅฝใฎ้่ฒจใ็ขบๅฎใซ็นๅฎใงใใๆธฌๅฎๆฆ็ฅใจ่งฃๆใขใซใดใชใบใ ใ่จญ่จใใใใจใ่ชฒ้กใงใใ
ๆ่ก่
ใซๅๅAใ2ใ3ใ4ใ5ใ6ใ7ใ8ใ9ใXใJใQใKใๅฒใๅฝใฆใพใใ13ๆใฎ้่ฒจใๆฌกใฎใใใซๅๅไปใใใพใ๏ผ
C_{A, 2, 6, Q}
C_{2, 3, 7, K}
C_{3, 4, 8, A}
C_{4, 5, 9, 2}
C_{5, 6, X, 3}
C_{6, 7, J, 4}
C_{7, 8, Q, 5}
C_{8, 9, K, 6}
C_{9, X, A, 7}
C_{X, J, 2, 8}
C_{J, Q, 3, 9}
C_{Q, K, 4, X}
C_{K, A, 5, J}
็นๆง
1. ๆฐๅญฆใฎๆฆๅฟตใงใใ้ๅใ็จใใฆ้่ฒจใฎๅๅใใคใณใใใฏในไปใใใฆใใพใใไพใใฐใC_{K, A, 5, J}ใจC_{A, 5, K, J}ใฏๅใ้่ฒจใๆใใพใใ
2. ๅๆ่ก่
ใฏใใคใณใใใฏในใซ่ชๅใฎๅๅใๅซใ4ๆใฎ้่ฒจใ็ฌ็ซใใฆๆธฌๅฎใใพใใ
3. ๅ้่ฒจใฏใกใใใฉ4ไบบใฎๆ่ก่
ใซใใฃใฆๆธฌๅฎใใใพใใ
ๆธฌๅฎใใญใปใน
Tใใๅฒใๅฝใฆใใใ้่ฒจใซใคใใฆ้ฝๆง็ตๆใๅ ฑๅใใๆ่ก่
ใฎ้ๅใจใใพใใ
Tใฎไพ
T = {A, 3, 4, 8, J, K}
T = {2, 4, 9, X, K}
T = {2, 8, X, Q}
T = {6, 8, 9}
T = {J, 9}
โฌโฌโฌโฌโฌโฌ
ไธ่จใฎ่จๆธฌๆนๆณใงใใพใใใใฎใ ใจ
ใใใณใฐ่ท้ขใจใใๆฆๅฟตใฎ่ชฌๆใฌใใซ
้ๅๆฆๅฟตใ็ฅใฃใฆใใๅฐๅญฆ็ใซๆใใใซใฏใฉใใใใใใใงใใใใ๏ผ
่จๆธฌใฎ็ตๆใจใใฆๅพใใใ้ๅ T ใฎ่ฆ็ด ใจใชใฃใใใฎใใฎใฎๆ่ก่
ใ่จๆธฌใใ๏ผๆใฎใณใคใณใซใๆ่ก่
ใใจใซใๅฝ็ฉใใคใณใใ 1 ใฅใคไธใใพใใ
ใใจใใฐใT ใฎ่ฆ็ด ใซ 2(ๆ่ก่
ใฎๅ)ใใใใฐใ
C_{A, 2, 6, Q}
C_{2, 3, 7, K}
C_{4, 5, 9, 2}
C_{X, J, 2, 8}
ใฎ๏ผๆใซๅฝ็ฉใใคใณใใ 1 ใฅใคไปไธใใพใใ
13 ไบบใฎๆ่ก่
ใฎใใกใๆพๅฐ็ท้ฝๆงใฎๅ ฑๅใใใใๆ่ก่
ใฎๅ
จใฆใซใคใใฆไธ่จใฎๆไฝใใใใชใฃใ็ตๆใจใใฆใๅฝ็ฉใใคใณใใๆๅคงใฎใใฎใใฆใใผใฏใซๅฎใพใใพใใใใใๅฝ้่ฒจใงใใ
โฌโฌโฌโฌโฌโฌ
ใใใใชใใใพใใใใฎใ๏ผ
ใจใใ็ๅใงใใ
ๅฐๅญฆ็ใซใใใใ่ชฌๆใฏใใใพใใงใใใใ๏ผ
็ณใ้
ใใพใใใๆฉ่ฆ่กจใฏไปฅไธใฎ้ใใงใใ
'A23456789XJQK'
'1100010000010', //C_{A, 2, 6, Q}
'0110001000001', //C_{2, 3, 7, K}
'1011000100000', //C_{3, 4, 8, A}
'0101100010000', //C_{4, 5, 9, 2}
'0010110001000', //C_{5, 6, X, 3}
'0001011000100', //C_{6, 7, J, 4}
'0000101100010', //C_{7, 8, Q, 5}
'0000010110001', //C_{8, 9, K, 6}
'1000001011000', //C_{9, X, A, 7}
'0100000101100', //C_{X, J, 2, 8}
'0010000010110', //C_{J, Q, 3, 9}
'0001000001011', //C_{Q, K, 4, X}
'1000100000101', //C_{K, A, 5, J}
ๆๅฐใใใณใฐ่ท้ขใฏ 6 ใจใชใฃใฆใใพใใ
ใใใณใฐ่ท้ขใใใ็ฅใใชใ็งใ่ชฌๆใซใใฉใคใ
็่ซใฏใใใฃใฆใชใใฎใงใใใใใใฐ่ชฌๆใงใใใใใใชใใใชใจๆใใใจใๆธใใฆใฟใใ
ๅ
จ้จใฎใใฟใผใณใใใฃใฆใฟใฆๅคงไธๅคซใ ใญใจใใใใๆผใ่ชฌๆใชใฎใง้ทใใงใใ
------
้่ฒจใฎๅๅใ้ทใใฎใงใไธใใ้ ใซ "ใ","ใ",โฆ,"ใ" ใจใใพใใใใ
ใใจใฎ้่ฒจใฎๅๅใใใไปๅบฆใฏใใใใใฎๆ่ก่
ใๆธฌๅฎใใ้่ฒจใฎๅๅใฎ้ๅใไฝใใพใใ
ใกใใฃใจๅคงๅคใงใใใ้ ๅผตใใฐๆฌกใฎใใใซใชใใพใใ
A:{ใ,ใ,ใ,ใ}
2:{ใ,ใ,ใ,ใ}
3:{ใ,ใ,ใ,ใ}
4:{ใ,ใ,ใ,ใ}
5:{ใ,ใ,ใ,ใ}
6:{ใ,ใ,ใ,ใ}
7:{ใ,ใ,ใ,ใ}
8:{ใ,ใ,ใ,ใ}
9:{ใ,ใ,ใ,ใ}
X:{ใ,ใ,ใ,ใ}
J:{ใ,ใ,ใ,ใ}
Q:{ใ,ใ,ใ,ใ}
K:{ใ,ใ,ใ,ใ}
ใใใงใใจใใฐใ้่ฒจ"ใ"ใๆธฌๅฎใใๆ่ก่
ใ้ใใฆใฟใพใใ
2:{ใ,ใ,ใ,ใ}
3:{ใ,ใ,ใ,ใ}
7:{ใ,ใ,ใ,ใ}
K:{ใ,ใ,ใ,ใ}
ใใใจใ"ใ"ไปฅๅคใฎ12ๆใฎ้่ฒจใฏใฉใใใใใฎ4ไบบใฎๆ่ก่
(2,3,7,K)ใฎใชใใฎใ ใใ1ไบบใ ใใ
ๆธฌๅฎใใฆใใใใจใใใใใพใใ
ๅๆงใซใใปใใฎ้่ฒจใๆธฌๅฎใใ4ไบบใฎๆ่ก่
ใ่ฆใฆใฟใฆใใ
ๆฎใ12ๆใฎ้่ฒจใ4ไบบใฎใชใใฎใ ใใไธไบบใ ใใๆธฌๅฎใใใใใซใชใฃใฆใใพใใ
ๆฐใซใชใฃใใใใจใงใใใใใฎ้่ฒจใง็ขบ่ชใใฆใฟใฆใใ ใใใ
ใใฎใใจใใใฎๆนๆณใงใใพใใใๆๅคงใฎ็็ฑใงใใ
ใใฆใใพใใฏๆ่ก่
ๅ
จๅกใๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใๅ ดๅใ่ใใพใใใใ
ใใฎๅ ดๅใ4ไบบใ้ฝๆง(่ชๅใๆธฌๅฎใใ4ๆไธญใซๅฝ็ฉใใ)ใจๅ ฑๅใใ
ๆฎใ9ไบบใ้ฐๆง(่ชๅใๆธฌๅฎใใ4ๆไธญใซๅฝ็ฉใชใ)ใจๅ ฑๅใใใใจใซใชใใพใใ
ใใจใใฐ้่ฒจ"ใ"ใๅฝ็ฉใ ใฃใๅ ดๅใๆ่ก่
{2,3,7,K}ใ้ฝๆงๅ ฑๅใไปใฎๆ่ก่
ใ้ฐๆงๅ ฑๅใจใชใใพใใ
ใใฎใจใใ้่ฒจ"ใ"ใฎๅฝ็ฉใใคใณใใ4ใซใชใใๆฎใใฎ้่ฒจใฎๅฝ็ฉใใคใณใใฏ1ใซใชใใพใใ
ใชใใชใใๅ
ใปใฉ็ขบ่ชใใใใใซใ้่ฒจ"ใ"ใๆธฌๅฎใใ4ไบบใฎๆ่ก่
ใฏใ
"ใ"ไปฅๅคใฎ12ๆใฎ้่ฒจใ้่คใใใใจใชใใ ใใ1ไบบใ ใใๆธฌๅฎใใฆใใใใใงใใ
ๅฅใฎ้่ฒจใๅฝ็ฉใ ใฃใๅ ดๅใงใๅๆงใซใๅฝ็ฉใ4ใใคใณใใใใฎไปใฎ้่ฒจใ1ใใคใณใใซใชใใพใใ
ใใฃใฆใๆ่ก่
ๅ
จๅกใๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใๅ ดๅใฏๅฝ็ฉใ่ฆๅใใใใใใจใใใใใพใใใ
ๆฌกใซใไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใๆ่ก่
ใใใๅ ดๅใ่ใใพใใ
ใใใฏๆฌกใฎใใใซ5ใใฟใผใณใ่ใใใใพใใ
ใปๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใ4ไบบใฎใใกใฎ1ไบบใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใงใฏใชใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใ
ใปๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใ4ไบบใฎใใกใฎ2ไบบใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใงใฏใชใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใ
ใปๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใชใใฃใ9ไบบใฎใใกใฎ1ไบบใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใงใฏใชใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใ
ใปๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใชใใฃใ9ไบบใฎใใกใฎ2ไบบใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใงใฏใชใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใ
ใปๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใ4ไบบใฎใใกใฎ1ไบบใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใงใฏใชใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใจๅ ฑๅใใ
ใใใใคใๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใชใใฃใ9ไบบใฎใใกใฎ1ไบบใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใงใฏใชใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใ
้ ็ชใซ่ฆใฆใใใพใใใใ
ๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใ4ไบบใฎใใกใฎ1ไบบใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใงใฏใชใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใฏใ
ไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใไบบใๆธฌๅฎใใฆใใ้่ฒจใฎๅฝ็ฉใใคใณใใ1ใใคใณใๆธใใฎใงใ
ๅฝ็ฉ้่ฒจใ3ใใคใณใใใใฎไปใฎ้่ฒจใฏ1ใใคใณใใพใใฏ0ใใคใณใใซใชใใพใใ
ใใฃใฆๅฝ็ฉใ่ฆๅใใใใพใใ
ๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใ4ไบบใฎใใกใฎ2ไบบใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใงใฏใชใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใฏใ
ไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใไบบใๅ
ฑ้ใใฆๆธฌๅฎใใฆใใๅฝ็ฉใฎใใคใณใใ2ใใคใณใๆธใใ
ไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใไบบใๆธฌๅฎใใฆใใไปใฎ้่ฒจใฎใใคใณใใฏ1ใใคใณใๆธใใฎใงใ
ๅฝ็ฉ้่ฒจใ2ใใคใณใใใใฎไปใฎ้่ฒจใฏ1ใใคใณใใพใใฏ0ใใคใณใใซใชใใๅฝ็ฉใ่ฆๅใใใใพใใ
ๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใชใใฃใ9ไบบใฎใใกใฎ1ไบบใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใงใฏใชใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใฏใ
ไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใไบบใๆธฌๅฎใใฆใใ้่ฒจใฎๅฝ็ฉใใคใณใใ1ใใคใณใ่ถณใใใใใจใซใชใใพใใ
ไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใไบบใๆธฌๅฎใใใฎใฏๅฝ็ฉใงใชใ้่ฒจใชใฎใงใ
ๅฝ็ฉ้่ฒจใฏ4ใใคใณใใใใฎไปใฎ้่ฒจใฏ1ใใคใณใใพใใฏ2ใใคใณใใซใชใใพใใ
ใใฃใฆๅฝ็ฉใ่ฆๅใใใใพใใ
ๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใชใใฃใ9ไบบใฎใใกใฎ2ไบบใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใงใฏใชใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใฏใ
ไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใไบบ2ไบบใๅ
ฑ้ใใฆๆธฌๅฎใใฆใใ้่ฒจใฏ2ใใคใณใ่ฟฝๅ ใใใ
ไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใไบบใฎใใกใฉใกใใ1ไบบใ ใใๆธฌๅฎใใฆใใ้่ฒจใฏ1ใใคใณใใ่ฟฝๅ ใใใใฎใงใ
ๅฝ็ฉ้่ฒจใฏ4ใใคใณใใใใฎไปใฎ้่ฒจใฏ1ใใคใณใใพใใฏ2ใใคใณใใพใใฏ3ใใคใณใใซใชใใ
ๅฝ็ฉใ่ฆๅใใใใพใใ
ๆๅพใซใๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใ4ไบบใฎใใกใฎ1ไบบใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใงใฏใชใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใจๅ ฑๅใใ
ๅฝ็ฉใๆธฌๅฎใใชใใฃใ9ไบบใฎใใกใฎ1ไบบใ้ฐๆง(ๅฝ็ฉใชใ)ใงใฏใชใ้ฝๆง(ๅฝ็ฉใใ)ใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใ่ใใพใใ
้ฝๆงใ้ฐๆงใจๅ ฑๅใใไบบใๆธฌๅฎใใ้่ฒจใฏ1ใใคใณใๆธๅฐใใ
้ฐๆงใ้ฝๆงใจๅ ฑๅใใไบบใๆธฌๅฎใใ้่ฒจใฏ1ใใคใณใๅขๅ ใใพใใ
ใใใซใใใๅฝ็ฉ้่ฒจใฏ3ใใคใณใใใใฎไปใฎ้่ฒจใฏ1ใใคใณใใพใใฏ0ใใคใณใใพใใฏ2ใใคใณใใซใชใใฎใง
ๅฝ็ฉใ่ฆๅใใใใพใใ
ไปฅไธใซใใใไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใ่กใฃใๆ่ก่
ใๆๅคง2ไบบใใใจใใฆใใๅฝ็ฉใ็นๅฎใงใใใใจใใใใใพใใ
------
ใใฆใๅฐๅญฆ็ใซใฏ้ฃ่งฃใใใ่ชฌๆใซใชใฃใฆใใพใฃใใใใซใ
ใใใใชใใใพใใใใฎใ๏ผใฎใใชใใใฎ้จๅใซใกใใใจ็ญใใใใฆใใชใใใจใใใ
Dengan kesaktian Indukmu ใใใฎ่ณชๅใซ็ญใใใจใฏใใใชใใงใใใใญโฆโฆใ
ใใฟใพใใใ
ใใใฒใใใใฏใ่ชฐใใฉใใชใฟใคใใฎๅใใคใใใไบๅใซใใใฃใฆใใๅๆใใงๆธใใฆใใใใใช๏ผ
Dengan ใใใฏใใ่ชฐใใฉใใชใฟใคใใฎๅใใคใใใใใใฃใฆใใชใๅๆใใงใฎ่ฉฑใๅฐใญใฆใใใฎใงใฏใชใใใจๆใใพใใ
่ชฌๆใฏใใใชๆใใงใใใใ๏ผ
ไปฎใซๅ
จๅกใๆญฃ็ดใซๅ ฑๅใใๅ ดๅใๆฌ็ฉใฏๅฝ็ฉใใคใณใ1ใๅฝ็ฉใฏๅฝ็ฉใใคใณใ4ใซใชใใพใใ
ใใใงใ็ ็ฉถ่
ใฎ่ชฐใใๅใใคใใใจใใพใใ
ใใใ้ฝๆงใๅ ฑๅใใใฏใใฎ็ ็ฉถ่
ใ่ชคใฃใฆ้ฐๆงใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใ่ฉฒๅฝใใ4ๆใฎๅฝ็ฉใใคใณใใ่ชคใฃใฆ1ไธใใใพใใ
้ใซใใใใ้ฐๆงใๅ ฑๅใใใฏใใฎ็ ็ฉถ่
ใ่ชคใฃใฆ้ฝๆงใจๅ ฑๅใใๅ ดๅใ่ฉฒๅฝใใ4ๆใฎๅฝ็ฉใใคใณใใ่ชคใฃใฆ1ไธใใใพใใ
ใใชใใกใ็ ็ฉถ่
ใ1ไบบๅ ฑๅใ่ชคใใใจใซใ2ๆใฎใณใคใณใฎๅฝ็ฉใใคใณใใฎๅทฎใ่ชคใฃใฆ1ๅคๅใใๅฏ่ฝๆงใใใใพใใ
โฆโฆใใๆฌ็ฉใจๅฝ็ฉใฎๅฝ็ฉใใคใณใๅทฎใฏๆฌๆฅ3ใใคใณใใใใฎใงใ่ชคใใ2ไบบใพใงใชใใใฎๅคงๅฐ้ขไฟใ้่ปขใใใใจใฏใใใพใใใ
ใใใใฃใฆใใฉใใชๅ ดๅใงใๅฝ็ฉใใคใณใใๆๅคงใงใใใใฎใๅฝ็ฉใง็ขบๅฎใงใใ
ใใใฒใใใใDD++ใใใ
ใพใใจใซๆ้ฃใใใใใพใใใใใใใใพใงในใใญใชใใใใพใใใ
ๅฎน็ใใคใณใใง้่ปขใใใใใชใใใจใในใใผใใซ่ชฌๆใใใใจใใงใใใใใซใชใใพใใใ
>ๆฎใ12ๆใฎ้่ฒจใ4ไบบใฎใชใใฎใ ใใไธไบบใ ใใๆธฌๅฎใใใใใซใชใฃใฆใใพใใ
ใฎ่ฆ็นใ้่ฆใจๅญใใพใใ
ใจใใใฎใฏใ่ฟฝๅ ใง14ๆใใฎใณใคใณใใใฃใใจใใฆใๅ
จๆ่ก่
ใๅฟ
ใใใฎใณใคใณใ่จๆธฌใใใใใฎไปใฎใณใคใณใซใคใใฆใฏใใใพใงใฎๅพๅ้ใใใจใใฆใใ
ๆๅฐใใใณใฐ่ท้ขใฏ 6 ใฎใพใพใงใใฎใงใใใฏใๅฝใณใคใณใฎ็นๅฎใฏๆๅใใใใจใจใชใใพใใ
ใงใใใใฎๅ ดๅใซไปๅใฎไปๆงใฎๅฎน็่
ใใคใณใใไฝฟใฃใๆนๆณใงใฏใใชใใ ใใจใฆใใใใฉใใใใใจใซใชใใพใใๅฅใฎๆใๆฌฒใใใจใใใงใใใใชใใชใใงใใ
่ใ็ดใใฆใใใใฒใใใใซ่ชคใฃใๆๆใใใฆใใพใฃใฆใใใใจใซๆฐใฅใใพใใใ
่จผๆใฏใฉใใชๅใๆททใใฃใใใๅๆใซใใฆใพใใใๆ็ต็ใซๅคๆญใใๆนๆณใฏใๅฝ็ฉใใคใณใใๆๅคงใฎใใฎใใงๅ
ฑ้ใใฆใใใฎใงใๅใฎๆททใใๆนใใใใใชใใพใพๅฎ่กใใฆOKใชๆ้ ใชใใงใใญใณใฌใ
ๅคฑ็คผใใพใใใ
DD++ใใ
ใใใใ่จ่ใ่ถณใใฆใใชใใฃใใจๅ็ใใฆใใพใใ
ๆ่ก่
ๅ
จๅกใๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใๅ ดๅใซใคใใฆๆธใๅงใใๅใซใ
ใไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใฉใฎใใใชๅ ดๅใงใใฃใฆใๅฝ็ฉใ็นๅฎใงใใใใจใ็คบใใใใซใ
ใไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใๅ้กใใฆใในใฆใฎๅ ดๅใงๅฝ็ฉใๅคๅฅใงใใใใๅๅฅใซ่ใใใใ
ใฟใใใชไธๆใใใใฐใใใฃใใฎใงใใใใ
ใใใใใใใใฆใใพใใฏโฆใใจใใๆธใๅงใใ่ชค่งฃใ็ใใ ๅฏ่ฝๆงใใใใพใใญใ
่จ่ใฎ้ธใณๆนใๆชใใฃใ้ขใใใใจๆใใพใใ
DD++ใใใฎใ่จ่ใใๅคๆญใใใซใ
ๅฝ็ฉใฎๅคๆญๅบๆบใ็งใฎๆ็จฟๅ
ใงๆ็คบใใชใใฃใใใจใใใใชใใฃใใฟใใใงใใญใ
ๅฝ็ฉใฎๅคๆญๅบๆบใฏDengan kesaktian Indukmuใใใฎๆ็จฟใซ็คบใใใฆใใฆ
ๅ
ฑ้่ช่ญใซใชใฃใฆใใใจๆใ็ซฏๆใฃใฆใใพใใพใใใ
ใใฟใพใใใงใใใ
---------
ใใฆใ็งใๆ็จฟใใ่ชฌๆใซใคใใฆใใๅฐใๅ็ใโฆโฆใ
ใพใใๅพๅใฎๅ ดๅๅใ่ชไฝใ้ๅฐใชๅ็ญใงใใใญใ
DD++ใใใฎ่ชฌๆใ็ฐกๆฝใงใใใใใใใจๆใใพใใ
ใใใฆใๅๅใฎ้ๅใฎๅๆง็ฏใ็นใซไธ่ฆใงใใใ
ใใใ1ใคใฎ้่ฒจใๆธฌๅฎใใ4ไบบใฎๆ่ก่
ใ้ใใใจใใ
ใๆฎใ12ๆใฎ้่ฒจใฏใใใใใใฎ4ไบบใฎใชใใฎใ ใใไธไบบใ ใใๆธฌๅฎใใใ
ใจใใใใจใ็คบใใซใฏๅๆ่ก่
ใๆธฌๅฎใใ้่ฒจใฎๅๅใฎ้ๅใไฝใฃใๆนใใใใใใใใจๆใฃใใฎใงใใใ
ใใจใฎDengan kesaktian Indukmuใๆธใใใ้่ฒจใฎๅๅใฎใชในใใ ใใงๅๅใซ็ขบ่ชๅฏ่ฝใงใใใ
ใใฎ่ชฌๆใฏๆฌกใฎใใใชๆใใงใใ
***
C_{2, 3, 7, K}ใๆธฌๅฎใใ4ไบบใฎๆ่ก่
2,3,7,Kใๆธฌๅฎใใใปใใฎ้่ฒจใซใคใใฆ่ใใใ
C_{2, 3, 7, K}ไปฅๅคใฎ้่ฒจใฎๅๅใ่ฆใฆใฟใใจใใฉใใ2,3,7,Kใฎใชใใฎใฉใใไธใคใ ใใๅซใใใจใใใใใ
ใใใฏใC_{2, 3, 7, K}ไปฅๅคใฎ12ๆใฎ้่ฒจใใใฎ4ไบบใฎใชใใฎใ ใใไธไบบใ ใใๆธฌๅฎใใใใจใๆๅณใใใ
ใปใใฎ้่ฒจใฎๅ ดๅใงใๅๆงใฎใใจใๆใ็ซใคใ
***
ใใใชๆใใฎ่ชฌๆใงใใใพใใใ
้่ฒจใซๅๅใไปใใชใใใฆ้ๅใไฝใใใ ใใฏใใใชใใฃใใงใใญใ
ใใฃใฑใๆใใคใใใใจใใใฎใพใพๆธใ้ฃใญใๅพใซๅคงใใฆๆจๆฒใใใใใซๆ็จฟใใใจใ
ๅพใ
็ดใใๆนใใใ็ฎๆใใใใใ่ฆใคใใใพใใญใ
ๅฐๅญฆ็ๅใใฎ่ชฌๆใงใฏใใใพใใใใ13ๆใฎ้่ฒจใธใฎ13ไบบใฎๆ่ก่
ใฎๅฒใๅฝใฆใฏใไปฅไธใฎใใใซGF(3)ไธใฎๅฐๅฝฑๅนณ้ขใฎ9็นใซ9ไบบใฎๆ่ก่
ใๅฏพๅฟใใๆฎใใฎ4ไบบใGF(3)ไธใฎๅฐๅฝฑๅนณ้ขใฎ็ก้้ ็นใซๅฏพๅฟใใพใใญใ
A:(0,0,1) 2:(1,0,1) Q:(2,0,1)
5:(0,1,1) 3:(1,1,1) X:(2,1,1)
J:(0,2,1) 7:(1,2,1) 4:(2,2,1)
6:(1,0,0),K:(0,1,0),8:(1,1,0),9:(2,1,0)ใฏใ็ด็ทA-2-Q,A-5-J,A-3-4,A-7-Xใฎๅปถ้ทไธใฎ็ก้้ ็นใซๅฏพๅฟใใพใใ
GF(3)ไธใฎๅฐๅฝฑๅนณ้ขใฎ็ด็ทใฏ
A-2-Q-6,5-3-X-6,J-7-4-6,
A-5-J-K,2-3-7-K,Q-X-4-K,
A-3-4-8,2-X-J-8,Q-5-7-8,
A-7-X-9,5-2-4-9,J-3-Q-9,
6-8-K-9
ใฎ13ๆฌใงใใใ13ๆฌใฎ็ด็ทใใใใใ13ๆใฎ้่ฒจใซ็ธๅฝใใพใใ
13ไบบใฎๆ่ก่
ใๅ
จใฆ็ใฎๅ ฑๅใใใใฎใงใใใฐใๅฝ้่ฒจใ1ๆใฎใจใใฏ4ไบบใ้ฝๆงใ9ไบบใ้ฐๆงใฎๅ ฑๅใใใใใจใซใชใใพใใ
13ไบบใฎๆ่ก่
ใฎใใกใๆๅคง2ไบบใๅฝใฎๅ ฑๅใใใๅ ดๅใๅฝใฎๅ ฑๅใๅฝ้ฝๆงใๅฝ้ฐๆงใจใใใจใ13ไบบใใใฎๅ ฑๅใฏ
โ 3ไบบใ้ฝๆงใ1ไบบใๅฝ้ฐๆงใ9ไบบใ้ฐๆง
โก2ไบบใ้ฝๆงใ2ไบบใๅฝ้ฐๆงใ9ไบบใ้ฐๆง
โข4ไบบใ้ฝๆงใ1ไบบใๅฝ้ฝๆงใ8ไบบใ้ฐๆง
โฃ4ไบบใ้ฝๆงใ2ไบบใๅฝ้ฝๆงใ7ไบบใ้ฐๆง
โค3ไบบใ้ฝๆงใ1ไบบใๅฝ้ฐๆงใ1ไบบใๅฝ้ฝๆงใ8ไบบใ้ฐๆง
ใจใชใใพใใ
โ โกใฎๅ ดๅ
GF(3)ไธใฎๅฐๅฝฑๅนณ้ขไธใฎ็ด็ทใฏใ2็นใ็นๅฎใใใใจไธๆใซๆฑบใพใใฎใงใๅฝ้่ฒจใ็นๅฎใใใใจใใงใใพใใ
โขโฃใฎๅ ดๅ
GF(3)ไธใฎๅฐๅฝฑๅนณ้ขไธใฎ็ด็ทใซใฏ4็นใๅซใพใใ้ฝๆงใฎๅ ฑๅใใใๆ่ก่
ใฏๅไธ็ด็ทไธใฎ4็นใซ็ธๅฝใใๅฝ้ฝๆงใฎๅ ฑๅใใใๆ่ก่
ใฏใๅฝ่ฉฒ็ด็ทๅคใฎ็นใซ็ธๅฝใใพใใๅฝ้ฝๆงใฎๅ ฑๅใใใๆ่ก่
ใ2ไบบใพใงใชใฎใงใ็ด็ทๅคใฎ็นใฏ2ๅใใใชใใๅฝ้่ฒจใซ็ธๅฝใใ็ด็ทไปฅๅคใซ4็นใไธฆใถใใจใใชใใฎใงๅฝ้่ฒจใ็นๅฎใใใใจใใงใใพใใ
โคใฎๅ ดๅ
้ฝๆงใฎๅ ฑๅใใใๆ่ก่
ใฏๅไธ็ด็ทไธใฎ3็นใซ็ธๅฝใใๅฝ้ฝๆงใฎๅ ฑๅใใใๆ่ก่
ใฏใๅฝ่ฉฒ็ด็ทๅคใฎ1็นใซ็ธๅฝใใพใใๅฝ้่ฒจใซ็ธๅฝใใ็ด็ทไธใฎ3็นใฎใใก2็นใจๅฝ่ฉฒ็ด็ทๅคใฎ1็นใๅๆใซ้ใ็ด็ทใจใใใฎใฏๅญๅจใใชใใฎใงใๅฝ้ฝๆงใๅ ฑๅใใๆ่ก่
ใซ็ธๅฝใใ็นใ็ตใถ็ด็ทไธใซใฏใ้ฝๆงใใใใฏๅฝ้ฝๆงใๅ ฑๅใใๆ่ก่
ใซ็ธๅฝใใ็นใ2็นใใๅญๅจใใชใใใจใซใชใใพใใใใใใฆใ้ฝๆงใใใใฏๅฝ้ฝๆงใฎๅ ฑๅใใๆ่ก่
ใซ็ธๅฝใใ็นใฎใใก3็นใไธฆใถ็ด็ทใซ็ธๅฝใใ้่ฒจใๅฝ้่ฒจใจ็นๅฎใใใพใใ
ใฏใใ
PG(2,3)ใใใณๅใๆง้ ใงใใ(2,3) Singerใฏไปฅไธใฎ็นๅพดใๅ
ฑๆใใพใ๏ผ
็นใฎๆฐ: 13็น
็ด็ทใฎๆฐ: 13็ด็ท
ๅ็ด็ทไธใฎ็นใฎๆฐ: 4็น
ๅ็นใ้ใ็ด็ทใฎๆฐ: 4็ด็ท
ใใใใฉใใซใถใไธใใใใใใใๅใใใชใใชใใพใใใฎใง
13ๅใฎ้่ฒจ13ไบบใฎๆ่ก่
ใซๆ็จฟใใพใใ
ๆ่ก่
ใ13ไบบใใใฎใชใใฐ
้่ฒจใฏ88ๆใงใใใใงใใ๏ผ
ใจๆใใใใพใใใ
ใพใ ็่งฃใใฆใใพใใใ
ๅใซ88ร88่กๅใงๅ่กๅๅใ1ใ13ๅใใค้
ๅใงใใใใฎใฏๆงๆๅฏ่ฝใงใใใใใใ้็ใจใใๆๅณใ็งใซใฏ็่งฃใงใใพใใใ
(ใณใณใใฅใผใฟใซใใๅบๅใฎใใ2ใ0ใซ่ชญใฟๆฟใใฆ่ฆใฆใใ ใใใ)
%01 = 2121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122
%02 = 2212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212
%03 = 2221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221
%04 = 1222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222
%05 = 2122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222
%06 = 2212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222
%07 = 2221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222
%08 = 2222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222
%09 = 2222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222
%10 = 2222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222
%11 = 2222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222
%12 = 2222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222
%13 = 2222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122
%14 = 2222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212
%15 = 2222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221
%16 = 1222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222
%17 = 2122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222
%18 = 2212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222
%19 = 2221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222
%20 = 2222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222
%21 = 2222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222
%22 = 2222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222
%23 = 2222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222
%24 = 2222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122
%25 = 2222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212
%26 = 2222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221
%27 = 1222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222
%28 = 2122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222
%29 = 2212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222
%30 = 2221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222
%31 = 2222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222
%32 = 2222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222
%33 = 2222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222
%34 = 2222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122
%35 = 2222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212
%36 = 2222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221
%37 = 1222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222
%38 = 2122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222
%39 = 2212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222
%40 = 2221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222
%41 = 2222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222
%42 = 2222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222
%43 = 2222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122
%44 = 2222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212
%45 = 2222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221
%46 = 1222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222
%47 = 2122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222
%48 = 2212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222
%49 = 2221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222
%50 = 2222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222
%51 = 2222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122
%52 = 2222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212
%53 = 2222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221
%54 = 1222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222
%55 = 2122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222
%56 = 2212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222
%57 = 2221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222
%58 = 2222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122
%59 = 2222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212
%60 = 2222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221
%61 = 1222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222
%62 = 2122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222
%63 = 2212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222
%64 = 2221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222
%65 = 2222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122
%66 = 2222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212
%67 = 2222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221
%68 = 1222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222
%69 = 2122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222
%70 = 2212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222
%71 = 2221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122
%72 = 2222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212
%73 = 2222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221
%74 = 1222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222
%75 = 2122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222
%76 = 2212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122
%77 = 2221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212
%78 = 2222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221
%79 = 1222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222
%80 = 2122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122
%81 = 2212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212
%82 = 2221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221
%83 = 1222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122
%84 = 2122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212
%85 = 2212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121
%86 = 1221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212
%87 = 2122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221
%88 = 1212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222
GAI ใใใใใใใจใใใใใพใใ
ๅฐใใชใขใใซใงใฏๆฌกใฎใใใซใชใใพใใ
ใฌใคใฌใผใซใฆใณใฟใผ็ฎก ใง 11 ๅ่จๆธฌใใใ(ๆ่ก่
ใฒใจใใซใคใ๏ผๅใๆ่ก่
ใฎ็ทๆฐใฏ 11 ใใใก๏ผไบบ~๏ผไบบใฏๅใฎๅ ฑๅใใใ)
ใใฎใจใใ22 ๆใฎ้่ฒจใฎใใก 1 ๆใฎๆพๅฐๆง็ฉ่ณชใๅซใๅฝ้่ฒจใ็นๅฎใงใใใ
่จๆธฌใฎๆบๅใซใฏ2้ใใฎๆนๆณใใใใ
โ ๅฐใใฅใค้่ฒจใ่จๆธฌใใฆใใใใใฎ่จๆธฌ็ตๆใใใจใซใใฆๆฌกใฎ่จๆธฌใฎๆฎตๅใใใคใใ
โกๅฎ้ใฎ่จๆธฌใฎๅใซ11ไบบใฎๆ่ก่
ใ่จๆธฌใใ้่ฒจใๆฑบๅฎใใฆใใพใใ
ใใจใคใใฟใคใใฆใใพใใใฎใงใใใไธ่จใฎใใใซ่จๆธฌใใใฐโกใง22ๆไธญ1ๆใ็นๅฎใงใใพใใ
10111000100,
01011100010,
00101110001,
10010111000,
01001011100,
00100101110,
00010010111,
10001001011,
11000100101,
11100010010,
01110001001,
01000111011,
10100011101,
11010001110,
01101000111,
10110100011,
11011010001,
11101101000,
01110110100,
00111011010,
00011101101,
10001110110,
ใใพใใ็็ฑใ
โกใฎใใใใใฎใทใใชใงใฏใkuiperbelt ใใใใ็งใใๆๅคง 16 ๆใฎ้่ฒจไธญใใๅฝ้่ฒจ1ๆใใฟใคใใๆนๆณใ้ๅปใซๆ็จฟใใฆๆฅใพใใใ
็ฌฆๅท้ท11ใงๆๅฐใใใณใฐ่ท้ขใ 5 ไปฅไธใฎ็ณปใงใฏใ็ฌฆๅทใฎๆๅคง็ทๆฐใฏ 16 ใ ใใใจใใ้ฐๅฒๆฐใงใใจใใใไธใงใฏใใใ6ๆใถใไธๅใใพใใใ
ใใฃใจใใใจใall 0 ใจ all 1 ใๅๅฎใซใใใใฐ 24 ๆใจใชใใจใใใซ้ฉใใฆใใใพใใ
ใงใไปๅใฎ 88 ๆใฎไปถใงใใใ
ๆ่ก่
ใ13ไบบใจใใ่จๆธฌใฎๆนๆณใฏ โ ใจใใใใจใใใใจใจใชใใพใใๅใคใใฎๆฐใฏๅคใใพใใใๅฐใใฅใคใ่จๆธฌใใชใใใใใฎ็ตๆใใฟใชใใใๆฌกใซๆธฌๅฎใใ้่ฒจใๅฎใใฆใใใใใใใใใคๅใใคใใใใไธๅฎใงใใใใใฎใใใช็ถๆณไธใงใ88 ๆใๅฆ็ใงใใใชใใฆ๏ผ๏ผ๏ผ
ใใฎ 88 ใฏ ๅ
ใปใฉใฎ 22 ใฎ 4 ๅใซใชใฃใฆใใพใใใชใซใ้ขไฟใใใใใฉใใๆขใฃใฆใใพใใ
wikipedia ใฎ ใใญใใญใณ้็ ใฎ้
็ฎใงใฏ
็ฌฆๅท้ท 11 ๆๅฐใใใณใฐ่ท้ขใ 5 ใฎไบๅ
ใณใผใใฎ็ฌฆๅท่ชๆฐใ ๆๅคง 24 ใจใชใใ
ใใฃใ๏ผ๏ผ๏ผ
ใฟใคใใใ๏ผ๏ผ๏ผ
ใจๅคงๅใณใใฆใใใพใใใใ
ใใใฎ้็ใฎๅ
ฌๅผใฏใใฉใใใ้้ใใฎใใใงใใใฏใฃ
ๆนๆณโ ใชใใใใชๆใใงใฉใใใใใ
่กใๅฝใใใฐใฃใใใง็ตใใ ใฎใงๆฑใใงใใโฆโฆใ
้่ฒจใ4ใคใฎใฐใซใผใA,B,C,Dใซๆฏใๅใใชใใๆธฌๅฎใ่กใฃใฆใใใ
ใปใฐใซใผใA๏ผๅฝ้่ฒจใ ใฃใๅ ดๅใซ็พๅจใพใงใฎๅ
จๅกใๆญฃใใๅ ฑๅใใใฆใใ้่ฒจใฎ้ๅ๏ผๅฝ้่ฒจใงใใๅฏ่ฝๆงใใใ๏ผ
ใปใฐใซใผใB๏ผๅฝ้่ฒจใ ใฃใๅ ดๅใซ็พๅจใพใงใฎไธไบบใ่ชคใฃใๅ ฑๅใใใฆใใ้่ฒจใฎ้ๅ๏ผๅฝ้่ฒจใงใใๅฏ่ฝๆงใใใ๏ผ
ใปใฐใซใผใC๏ผๅฝ้่ฒจใ ใฃใๅ ดๅใซ็พๅจใพใงใฎไบไบบใ่ชคใฃใๅ ฑๅใใใฆใใ้่ฒจใฎ้ๅ๏ผๅฝ้่ฒจใงใใๅฏ่ฝๆงใใใ๏ผ
ใปใฐใซใผใD๏ผๅฝ้่ฒจใ ใฃใๅ ดๅใซ็พๅจใพใงใฎไธไบบใ่ชคใฃใๅ ฑๅใใใฆใใ้่ฒจใฎ้ๅ๏ผๅฝ้่ฒจใงใใๅฏ่ฝๆงใฏใชใ๏ผ
ใฐใซใผใA,B,C,Dใฏใๆไธไฝ:AโBโCโD:ๆไธไฝใจใชใใใใซ้ ไฝไปใใใฆใใใ
ๅๆ่ก่
ใฎๆธฌๅฎ็ตๆใซๅฟใใฆๆฌกใฎใใใซ้่ฒจใฎใฐใซใผใใๅคๆดใใใ
้ฝๆงโๆธฌๅฎใใ้่ฒจใฏไปใฎใฐใซใผใใซๆฎใใๆธฌๅฎใใชใใฃใ้่ฒจใไธใคไธไฝใฎใฐใซใผใใซ็งปใ(ใฐใซใผใDใฎ้่ฒจใ้คใ)ใ
้ฐๆงโๆธฌๅฎใใ้่ฒจใไธใคไธไฝใฎใฐใซใผใใซ็งปใใๆธฌๅฎใใชใใฃใ้่ฒจใฏไปใฎใฐใซใผใใซๆฎใใ
ๆๅใฏ88ๆใในใฆใฐใซใผใAใงใใใ
ๆธฌๅฎใ็นฐใ่ฟใใฆใฐใซใผใDใ87ๆใซใชใฃใใใๆฎใฃใ1ๆใๅฝ้่ฒจใงใใใ
ๆธฌๅฎๆนๆณใฏไปฅไธใฎ้ใ(ใใใพใงใไธไพใงใใ)ใ
ไธธๆฐๅญใฏๆธฌๅฎๆนๆณใฎๅ ดๅๅใใงใใใๅใฎไบบใพใงใฎๆธฌๅฎ็ตๆใซใใใฉใใใ้ธๆใใฆใใใ
ไธธๆฐๅญใฎใใจใฎA,B,C,Dใฎๆฐๅญใฏๆธฌๅฎๅใฎๅใฐใซใผใใฎ้่ฒจใฎๆๆฐใ
ๅใฐใซใผใใใใใใใๆฑบใใใใๆๆฐใ้ธใใงใพใจใใฆๆธฌๅฎใใใ
ใฐใซใผใๅ
ใงใฉใฎ้่ฒจใ้ธใถใใฏ่ช็ฑใ
[1ไบบ็ฎ]
โ A:88, B:0, C:0, D:0 โ Aใใ44ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง/้ฐๆง โ 2ไบบ็ฎโ ใธ
[2ไบบ็ฎ]
โ A:44, B:44, C:0, D:0 โ Aใใ22ๆใBใใ22ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง/้ฐๆง โ 3ไบบ็ฎโ ใธ
[3ไบบ็ฎ]
โ A:22, B:44, C:22, D:0 โ Aใใ11ๆใBใใ22ๆใCใใ11ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง/้ฐๆง โ 4ไบบ็ฎโ ใธ
[4ไบบ็ฎ]
โ A:11, B:33, C:33, D:11 โ Aใใ6ๆใBใใ15ๆใCใใ12ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 5ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 5ไบบ็ฎโกใธ
[5ไบบ็ฎ]
โ A:6, B:20, C:30, D:32 โ Aใใ3ๆใBใใ10ๆใCใใ15ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง/้ฐๆง โ 6ไบบ็ฎโ ใธ
โก A:5, B:24, C:36, D:23 โ Aใใ3ๆใBใใ11ๆใCใใ12ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 6ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 6ไบบ็ฎโกใธ
[6ไบบ็ฎ]
โ A:3, B:13, C:25, D:47 โ Aใใ2ๆใBใใ5ๆใCใใ12ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 7ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 7ไบบ็ฎโกใธ
โก A:2, B:16, C:35, D:35 โ Aใใ1ๆใBใใ9ๆใCใใ11ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 7ไบบ็ฎโกใธ
ใใป้ฐๆง โ 7ไบบ็ฎโขใธ
[7ไบบ็ฎ]
โ A:2, B:6, C:20, D:60 โ Aใใ1ๆใBใใ3ๆใCใใ10ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง/้ฐๆง โ 8ไบบ็ฎโ ใธ
โก A:1, B:10, C:18, D:59 โ Aใใ1ๆใBใใ4ๆใCใใ7ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 8ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 8ไบบ็ฎโกใธ
โข A:1, B:8, C:33, D:46 โ Aใใ1ๆใBใใ4ๆใCใใ9ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 8ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 8ไบบ็ฎโขใธ
[8ไบบ็ฎ]
โ A:1, B:4, C:13, D:70 โ Aใใ1ๆใBใใ1ๆใCใใ6ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 9ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 9ไบบ็ฎโกใธ
โก A:0, B:7, C:15, D:66 โ Bใใ4ๆใCใใ5ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 9ไบบ็ฎโกใธ
ใใป้ฐๆง โ 9ไบบ็ฎโขใธ
โข A:0, B:5, C:28, D:55 โ Bใใ3ๆใCใใ12ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 9ไบบ็ฎโขใธ
ใใป้ฐๆง โ 9ไบบ็ฎโฃใธ
[9ไบบ็ฎ]
โ A:1, B:1, C:9, D:77 โ Aใใ1ๆใBใใ0ๆใCใใ3ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 10ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 10ไบบ็ฎโกใธ
โก A:0, B:4, C:8, D:76 โ Bใใ2ๆใCใใ4ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง/้ฐๆง โ 10ไบบ็ฎโกใธ
โข A:0, B:3, C:14, D:71 โ Bใใ2ๆใCใใ5ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 10ไบบ็ฎโกใธ
ใใป้ฐๆง โ 10ไบบ็ฎโขใธ
โฃ A:0, B:2, C:19, D:67 โ Bใใ1ๆใCใใ10ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 10ไบบโข็ฎใธ
ใใป้ฐๆง โ 10ไบบโฃ็ฎใธ
[10ไบบ็ฎ]
โ A:1, B:0, C:4, D:83 โ Aใใ1ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ ็ต่ซโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 11ไบบ็ฎโ ใธ
โก A:0, B:2, C:6, D:80 โ Bใใ1ๆใCใใ3ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง/้ฐๆง โ 11ไบบ็ฎโ ใธ
โข A:0, B:1, C:11, D:76 โ Bใใ1ๆใCใใ4ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 11ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 11ไบบ็ฎโขใธ
โฃ A:0, B:1, C:10, D:77 โ Bใใ1ๆใCใใ3ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 11ไบบ็ฎโกใธ
ใใป้ฐๆง โ 11ไบบ็ฎโขใธ
[11ไบบ็ฎ]
โ A:0, B:1, C:4, D:83 โ Bใใ1ๆใCใใ1ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 12ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 12ไบบ็ฎโกใธ
โก A:0, B:1, C:3, D:84 โ Bใใ1ๆใCใใ1ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 12ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ 12ไบบ็ฎโขใธ
โข A0:, B:0, C:8, D:80 โ Cใใ4ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง/้ฐๆง โ 12ไบบ็ฎโกใธ
[12ไบบ็ฎ]
โ A:0, B:1, C:1, D:86 โ Bใใ1ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ ็ต่ซโกใธ
ใใป้ฐๆง โ 13ไบบ็ฎโ ใธ
โก A:0, B:0, C:4, D:84 โ Cใใ2ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง/้ฐๆง โ 13ไบบ็ฎโ ใธ
โข A:0, B:0, C:3, D:85 โ Cใใ2ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง โ 13ไบบ็ฎโ ใธ
ใใป้ฐๆง โ ็ต่ซโขใธ
[13ไบบ็ฎ]
โ A:0, B:0, C:2, D:86 โ Cใใ1ๆ ๆธฌๅฎ
ใใป้ฝๆง/้ฐๆง โ ็ต่ซโขใธ
[็ต่ซ]
โ A:1, B:0, C:0, D:87 โ Aใฎ1ๆใๅฝ้่ฒจ็ขบๅฎ
โก A:0, B:1, C:0, D:87 โ Bใฎ1ๆใๅฝ้่ฒจ็ขบๅฎ
โข A:0, B:0, C:1, D:87 โ Cใฎ1ๆใๅฝ้่ฒจ็ขบๅฎ
โป12ไบบ็ฎใพใงใซๅฝ้่ฒจใ็ขบๅฎใใๅ ดๅใๆฎใใฎๆ่ก่
ใซๅฝ้่ฒจใ ใใๆธฌๅฎใใใใฐๅใคใใ็นๅฎใใใใจใใงใใใ
ๅๆธฌๅฎใฎๆๆฐใฏๆกไปถใๆบใใใใฎใใจใใใใใงๆฑบใใใ ใใชใฎใงใใปใใซใๆธฌๅฎๆนๆณใฏใใใใใใใใใงใใ
ใใใฒใใใ๏ผ
ใใใๅคงๅคใซ่ๅณๆทฑใใงใใ๏ผ๏ผ๏ผ
ใใใใจใใใใใพใใ
ๅๅผทใใใฆใใ ใใใ
ไปๆฅใฏ็
้ขๅพ
ๅใ็ซใฆ่พผใใงใใใพใใฆ
ใใใใใจใใฌใผในใใใใจใใใใพใใ
็ๆงใธใฎ่ฟฝไผธ:
็ๆงใซใฏๅฝ็ถใฎใใจใงใใใใฉใไธๅฟใ
โ ไธ็ใจไธ้ใฎ้ใ
ไธ็ (Upper Bound): ้ๅ A ใฎไธ็ใจใฏใ้ๅใฎใในใฆใฎ่ฆ็ด ใใใฎๆฐไปฅไธใงใใใใใชๆฐใฎใใจใงใใไธ็ใฏ่คๆฐๅญๅจใใๅฏ่ฝๆงใใใใพใใ
ไธ้ (Supremum): ไธ้ใฏใไธ็ใฎไธญใงๆๅฐใฎใใฎใๆใใพใใใคใพใใไธ้ใใๅฐใใๆฐใฏไธ็ใงใฏใชใใชใใพใใไธ้ใฏไธๆใซๅฎใพใใพใใ
ไพใจใใฆใ้ๅ (0,1) ใฎๅ ดๅใ1ใไธ้ใงใใใ2ใ3ใไธ็ใงใใ
ใใฆใ
[2286]ใฎๆๆ็จฟใซใฆ
ใใคใใชใณใผใใซใใใใ็ฌฆๅท้ท 11 ใๆๅฐใใใณใฐ่ท้ขใ 5 ใงใใฃใฆใ็ฌฆๅท่ชใฎๆฐใ 24 ใงใใใใฎใฎๅ
ทไฝ็ใชๆงๆไพใใ็คบใใใใใพใใใ
ๆจๅคใซใฟใคใใใฎใงใใใใฉใใ
ใใคใใชใณใผใใซใใใใ็ฌฆๅท้ท 11 ใๆๅฐใใใณใฐ่ท้ขใ 5 ใจใใๆกไปถใฎใใจใงใ
็ฌฆๅท่ชใฎๆฐใฎใฒใจใคใฎไธ็ใจใใฆ 24 ใๆขใซ่จผๆใใใฆใใใใใงใใ
โใ
Table of general binary codes
https://aeb.win.tue.nl/codes/binary-1.html
ใใฎใใผใธใซ่จ่ผใฎไธ็ใฎไธ่ฆง่กจใงใฏ
็ฌฆๅท้ท n . ๆๅฐใใใณใฐ่ท้ข d ใฎใใจใงใ็ฌฆๅท่ชๆฐ Aโ(n,d) ใใพใจใใใใฆใใพใใใใ ใใd ใๅถๆฐใฎใจใใฎใฟใงใใ
d ใๅฅๆฐใฎๆใซใฏไปฅไธใฎๅ
ฌๅผใไฝฟใใพใใ
Aโ(n-1,2e-1) = Aโ(n,2e)
ใใใงใn=12, e=3 ใจใใใจใ
Aโ(11,5) = Aโ(12,6)
ใจใชใใพใใ
Aโ(11,5)ใฎๅคใ็ฅใใใใฃใใฎใงไธ่ฆง่กจใใAโ(12,6)ใๅผใใพใใ
Aโ(12,6) = 24
ใๅพใใใพใใใใใชใใก
Aโ(11,5) = 24
ใจใชใใพใใ
ใใคใใชใณใผใใซใใใใ็ฌฆๅท้ท 11 ใๆๅฐใใใณใฐ่ท้ขใ 5 ใจใใๆกไปถใฎใใจใงใ
็ฌฆๅท่ชใฎๆฐใฎใฒใจใคใฎไธ็ใจใใฆ 24 ใๅคๆใใใจใใใใจใจใชใใพใใ
ใใใใใพใใฆๅ
ๆฅใฟใคใใ็ฌฆๅทใไธ่จใซๅๆฒใใใใพใใ
00000000000,
10111000100,
01011100010,
00101110001,
10010111000,
01001011100,
00100101110,
00010010111,
10001001011,
11000100101,
11100010010,
01110001001,
01000111011,
10100011101,
11010001110,
01101000111,
10110100011,
11011010001,
11101101000,
01110110100,
00111011010,
00011101101,
10001110110,
11111111111,
24 ใจใใไธ็ใฏไธ้ใงใใใฃใใจๅคๆใใใใจใจใชใใพใ(ๅไบบ็ใซๅฌใใใฆใคใญใฃใฆใใใพใใใๅฏๆใ้กใใพใ)
ไปฅไธใฎๅ้กใซ่งฃใใใใจใฎใ็ฅใใใใใใใพใใใใใฎในใฌใใใฎๅ้ ญใซๆฏในใฆ้่ฒจใ51ๆใๅขใใฆใใพใใ
64 ๆใฎ้่ฒจใใใใใใฎใใก1ๆใฏๆพๅฐๆง็ฉ่ณชใๅซใๅฝ็ฉใงใใใใฎๅฝ็ฉใใฌใคใฌใผใซใฆใณใฟใผใ็จใใไธ้ฃใฎๆธฌๅฎใง็นๅฎใใ่ชฒ้กใงใใๅ้กใฏไปฅไธใฎใใใซๆงๆใใใฆใใพใ๏ผ
้่ฒจ๏ผ64 ๆใฎ้่ฒจใใใใ1 ใใ 64 ใพใง็ชๅทใๆฏใใใฆใใพใใใกใใใฉ 1 ๆใๅฝ็ฉใงใใ
ๅฝ็ฉใฎ็นๆง๏ผๅฝใฎ้่ฒจใฏๆพๅฐๆง็ฉ่ณชใๅซใใงใใใใฌใคใฌใผใซใฆใณใฟใผใงๆคๅบๅฏ่ฝใงใใ
ๆ่ก่
๏ผ13ไบบใฎๆ่ก่
ใๆธฌๅฎใ่กใใพใใ
ๆธฌๅฎใใญใปใน๏ผๅๆ่ก่
ใฏ 64 ๆใฎ้่ฒจใฎใใกไธ้จใ้ธใใงๆธฌๅฎใใพใใๆ่ก่
ใฏ้ธใฐใใ้่ฒจใใฌใคใฌใผใซใฆใณใฟใผใงๅๆใซๆคๆปใใพใใใฌใคใฌใผใซใฆใณใฟใผใฏใ้ธใฐใใ้่ฒจใฎไธญใซๅฝ็ฉใๅซใพใใฆใใๅ ดๅใซใฎใฟๅๅฟใใพใใๆธฌๅฎ็ตๆใฏใใใฎๆ่ก่
ใฎใฟใ็ฅใฃใฆใใพใใ
ๆธฌๅฎใฎๅถ็ด๏ผๅๆ่ก่
ใฏๆญฃ็ขบใซ 1 ๅใ ใๆธฌๅฎใ่กใใๅ่จ 13 ๅใฎๆธฌๅฎใ่กใใใพใใ
ๅ ฑๅ๏ผๅๆธฌๅฎใฎๅพใๆ่ก่
ใฏใ้ฝๆงใ๏ผๆพๅฐ็ทใๆคๅบใใใ๏ผใพใใฏใ้ฐๆงใ๏ผๆพๅฐ็ทใๆคๅบใใใชใใฃใ๏ผใจๅ ฑๅใใพใใ
ไฟก้ ผๆงใฎๅ้ก๏ผๆ่ก่
ใฎใใกๆๅคง 2 ไบบใพใงใใๆๅณ็ใชๆฌบ็ใๅถ็บ็ใช่ชคใใซใใไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใๅฏ่ฝๆงใใใใพใใ
็ฎๆจ๏ผๆๅคง 2 ไปถใฎไธๆญฃ็ขบใชๅ ฑๅใใใฃใใจใใฆใใๅฝใฎ้่ฒจใ็ขบๅฎใซ็นๅฎใใใใจใ็ฎๆจใงใใ
- - -
ๅฒใจใพใใใซ่จ็ฎๆฉใไฝฟใใพใใใใใใใใง 40 ๆใใใใพใงใงโฆโฆโฆ
64 ๆ่งฃใๆฑใใใใใซใฏๆฌๆ ผ็ใชใใใฏใใฉใใญใณใฐใใใชใใฆใฏ่งฃใใชใๆฐใใใฆใใพใใฆๆ
ใใฆใใพใใ
[2299]ใฎ็ญใงใใ
็ฌฆๅท่ชๆฐใ64ใง็ฌฆๅท้ทใ13ใๆๅฐใใใณใฐ่ท้ขใ5ใจใชใฃใฆใใพใใ
0000000000000
0000000011111
0000011100011
0000101101100
0000110110101
0000111011010
0001001110110
0001110001001
0010010101110
0010101010001
0011001001011
0011010010010
0011011111101
0011100100111
0011100111000
0011111000100
0100010111000
0100101000111
0101000101101
0101011001110
0101011010001
0101100010100
0101101111011
0101110100010
0110000110011
0110001011100
0110010000101
0110100001010
0110111101001
0110111110110
0111001100000
0111110011111
1000011010100
1000100101011
1001000110001
1001010000111
1001011101000
1001101000010
1001101011101
1001110111110
1010001100101
1010001111010
1010010011001
1010100010110
1010110100000
1010111001111
1011000001100
1011111110011
1100000100110
1100001001001
1100011111111
1100101110000
1100110001100
1100110010011
1101000011010
1101111100101
1110011000010
1110100111101
1111001010111
1111010101011
1111010110100
1111100000001
1111101101110
1111111011000
ใฉใใใฃใฆใ็งใซใฏ็ฌๅใงใฏไฝใใพใใใงใใใใฌใใฏใทโฆโฆ ็ฌฆๅท่ชๆฐใ32ใพใงใชใในใฐใซไฝใใใฎใซใ
ใๅ่ใ
OEIS ใฎ A005865
https://oeis.org/A005865
ใซใฆใใใใใจใจใใฆ
A005865(13, 5) = A005865(14, 6) = 64
ใจใชใใพใใ
ๅๅ ฑๅใๆๅคง2(ใใชใใก5/2ใฎๆดๆฐ้จๅ)ใใฃใฆใ13ๅๆธฌใใฐ
64ๆใใ1ๆใฎๅฝ้่ฒจใ็นๅฎใงใใใจใใใใจใชใฎใง
ใใฎๅ
ทไฝ็ใชๆนๆณใฏ๏ผ
ใจใใในใใผใชใผใชใฎใงใใใ
โ ๏ผก๏ผฏ๏ผฃ๏ผ๏ผ๏ผยฐใชใฎใงใโ ๏ผก๏ผข๏ผฃ๏ผ๏ผ๏ผยฐใงใใใ
ใฏ
โ ๏ผก๏ผข๏ผฃ๏ผ9ยฐใงใฏใชใใงใใใใ๏ผ
ๅพใฃใฆๆฑใใโ ๏ผฃ๏ผฐ๏ผฆ=162ยฐ(=9/10*ฯใฉใธใขใณ)
ใใใช่งฃใๆนใๆใใคใใๅ ดๅใฉใใใใฐใใใใงใใใใญใ
ไปปๆใฎ่ช็ถๆฐ k ใซๅฏพใ 1+a[k]>0 ใชใฎใงใ็ธๅ ๅนณๅใจ็ธไนๅนณๅใฎๅคงๅฐ้ขไฟใซใใ
ฮ [k=1โn] (1+a[k]) โฆ (1+s[n]/n)^n = ฮฃ[k=0โn] nCk/n^k*s[n]^k
ใใใงใnCk/n^k * k! = nPk/n^k โฆ 1 ใชใฎใงใnCk/n^k > 1/k!
ใใใใฃใฆใฮ [k=1โn] (1+a[k]) โง ฮฃ[k=0โn] 1/k!*s[n]^k
ๆฐๅญฆ็ๅธฐ็ดๆณใไฝฟใใใใๆฌ่ณชใๆใใ่จผๆใงใฏใชใใใจๆใใพใใใๅธฐ็ดๆณใไฝฟใฃใฆใชใใฎใง 0 ็นใซใชใใใงใใใใ๏ผ
่จผๆๆณใฎๆข็ฉถใฎๅ ดๅใฏใใฆใใใๅ
ฅ่ฉฆใง่จผๆๆนๆณใซๅถ้ใใคใใใฎใฏใใใณใปใณในใจๆใใพใใญใ
ใใฟใพใใใ่จผๆใฎๆๅพใฎ2่กใไธ็ญๅทใ้ใงใใใ
่จไบใฎๆนใใๆๆฐใงใใไฟฎๆญฃใ้กใใใพใโฆโฆใ
ใๅๅ
ๆฐ่ฆ็ด ใฎ้่กๅใใซใคใใฆใ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ
ใฏใquasideterminantใจใใใใใใฎใงใใญใ
Aใฎ้่กๅ๐ดโปยนใฏใ
(๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน
(๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน
(๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน
(๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน
ใงใใใ
|๐ด|โโโปยน=(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน=(๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ/|๐โโ|ยฒ)โปยน=|๐โโ|ยฒ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)โปยน
=|๐โโ|ยฒ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)/||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐'โโ๐โโ|ยฒ
ใงใใใ
||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ/|๐โโ|ยฒ=(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)/|๐โโ|ยฒ
=|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ=|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ-2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
ใฏStudyใฎ่กๅๅผใจใใฃใฆSdet(A)ใจ่กจใใใพใใ
ๅๆงใซใ
|๐ด|โโโปยน=(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน=(๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ/|๐โโ|ยฒ)โปยน
=|๐โโ|ยฒ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)โปยน=|๐โโ|ยฒ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)/||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ
|๐ด|โโโปยน=(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน=(๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ/|๐โโ|ยฒ)โปยน
=|๐โโ|ยฒ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)โปยน=|๐โโ|ยฒ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)/||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ
|๐ด|โโโปยน=(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน=(๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ/|๐โโ|ยฒ)โปยน
=|๐โโ|ยฒ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)โปยน=|๐โโ|ยฒ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)/||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ
ใงใใใ
||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ/|๐โโ|ยฒ=|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ
||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ/|๐โโ|ยฒ=|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ
||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ/|๐โโ|ยฒ=|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ
๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ=๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ
=๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ=๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ=2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
ใชใฎใงใ
||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ/|๐โโ|ยฒ=||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ/|๐โโ|ยฒ=||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ/|๐โโ|ยฒ=๐๐๐๐ก(๐ด)
ใจใชใใพใใ
ไปฅไธใใใ
(๐ดโปยน)โโ=(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)/๐๐๐๐ก(๐ด)
(๐ดโปยน)โโ=(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)/๐๐๐๐ก(๐ด)
(๐ดโปยน)โโ=(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)/๐๐๐๐ก(๐ด)
(๐ดโปยน)โโ=(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)/๐๐๐๐ก(๐ด)
ใจใชใใพใใ
A=(a_{ij})ใฎใจใซใใผใๅ
ฑๅฝนใช่กๅ๐ด*ใฏ๐ด*=(๐ฬ
_{ji})ใงใใฃใฆใAใจ๐ด*ใจใฎ็ฉ๐ด๐ด*ใฏ
(๐ด๐ด*)โโ=๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ
(๐ด๐ด*)โโ=๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ
(๐ด๐ด*)โโ=๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ
(๐ด๐ด*)โโ=๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ
ใจใชใใ๐ด๐ด*ใฏใจใซใใผใ่กๅใจใชใใพใใ
ใจใซใใผใ่กๅX=(X_{ij}),๐ฅฬ
โโ=๐ฅโโ,๐ฅฬ
โโ=๐ฅโโ,๐ฅฬ
โโ=๐ฅโโใซใคใใฆใฏ
Mooreใฎ่กๅๅผMdet(X)ใ๐๐๐๐ก(๐)=๐ฅโโ๐ฅโโ-|๐ฅโโ|ยฒใจๅฎ็พฉใงใใฆใ
๐๐๐๐ก(๐ด๐ด*)
=(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)-(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)
=|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ=๐๐๐๐ก(๐ด)
ใจใชใใพใใ
3ร3ไปฅไธใฎ่กๅใซใคใใฆใquasideterminantใๅฎ็พฉใงใใฆใ
่กๅA=(a_{ij})ใซๅฏพใใฆใ
r_{i}^{j}:Aใฎi่กใใa_{ij}ใ้คใใ่กใใฏใใซ
c_{j}^{i}:Aใฎjๅใใa_{ij}ใ้คใใๅใใฏใใซ
A^{ij}:Aใใi่กใจjๅใๅใ้คใใฆใงใใ่กๅ
ใจใใใจใA=(a_{ij})ใฎๅquasideterminantใฏ
|A|_{ij}=a_{ij}-r_{i}^{j}ใปA^{ij}ใปc_{j}^{i}
ใจใชใใ่กๅAใฎ้่กๅ๐ดโปยนใฎๅๆๅใฏใ
(๐ดโปยน)_{ij}=|A|_{ij}^{-1}
ใจใชใใพใใ
3ร3่กๅAใ
[๐โโ ๐โโ ๐โโ]
[๐โโ ๐โโ ๐โโ]
[๐โโ ๐โโ ๐โโ]
ใจใใใจใๅquasideterminantใฏ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
|๐ด|โโ=๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
ใจใชใใพใใ
Aใฎ้่กๅ๐ดโปยนใซใคใใฆใฏใ
(๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน, (๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน, (๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน,
(๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน, (๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน, (๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน,
(๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน, (๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน, (๐ดโปยน)โโ=|๐ด|โโโปยน,
ใงใใใ
๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
=๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ/|๐โโ|ยฒ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ/|๐โโ|ยฒ)โปยน๐โโ
-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ/|๐โโ|ยฒ)โปยน๐โโ-๐โโ(๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ/|๐โโ|ยฒ)โปยน๐โโ
=๐โโ-|๐โโ|ยฒ๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)โปยน๐โโ-|๐โโ|ยฒ๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)โปยน๐โโ
-|๐โโ|ยฒ๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)โปยน๐โโ-|๐โโ|ยฒ๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)โปยน๐โโ
=๐โโ-|๐โโ|ยฒ๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ/||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ
-|๐โโ|ยฒ๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ/||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ
-|๐โโ|ยฒ๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ/||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ
-|๐โโ|ยฒ๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ/||๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ|ยฒ
=๐โโ-(๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ+๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ
+๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ+๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ)/๐๐๐๐ก(๐ดโโ)
ใใใ
(๐ดโปยน)โโ=
(๐โโ-(๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ+๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ
+๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ+๐โโ(๐โโ-๐โโ๐โโโปยน๐โโ)โปยน๐โโ)/๐๐๐๐ก(๐ดโโ))โปยน
=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ)(๐๐๐๐ก(๐ดโโ)๐โโ-(๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ+๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ
+๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ+๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ))โปยน
=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ)(๐๐๐๐ก(๐ดโโ)๐ฬ
โโ-(๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ
+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ))
/|๐๐๐๐ก(๐ดโโ)๐โโ-(๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ+๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ
+๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ+๐โโ(|๐โโ|ยฒ๐ฬ
โโ-๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)๐โโ)|ยฒ
=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ)๐ฬ
โโ-(๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ
+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ))/๐๐๐๐ก(๐ด)
ใงใใใSdet(A)ใฏAใฎStudy่กๅๅผใงใ
๐๐๐๐ก(๐ด)=
|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ
+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ
-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
ใจใชใใพใใ
ไปใฎๆๅใซใคใใฆใใ
(๐ดโปยน)โโ=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ๐ฬ
โโ-(๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ
+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ))/๐๐๐๐ก(๐ด)
(๐ดโปยน)โโ=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ๐ฬ
โโ-(๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ
+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ))/๐๐๐๐ก(๐ด)
(๐ดโปยน)โโ=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ๐ฬ
โโ-(๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ
+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ))/๐๐๐๐ก(๐ด)
(๐ดโปยน)โโ=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ๐ฬ
โโ-(๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ
+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ))/๐๐๐๐ก(๐ด)
(๐ดโปยน)โโ=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ๐ฬ
โโ-(๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ
+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ))/๐๐๐๐ก(๐ด)
(๐ดโปยน)โโ=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ๐ฬ
โโ-(๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ
+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ))/๐๐๐๐ก(๐ด)
(๐ดโปยน)โโ=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ๐ฬ
โโ-(๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ
+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ))/๐๐๐๐ก(๐ด)
(๐ดโปยน)โโ=(๐๐๐๐ก(๐ดโโ๐ฬ
โโ-(๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ
+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐ฬ
โโ+๐ฬ
โโ(|๐โโ|ยฒ๐โโ-๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ)๐'โโ))/๐๐๐๐ก(๐ด)
ใจใชใใพใใ
3ร3ใฎใจใซใใผใ่กๅH
[๐ฅโโ ๐ฅโโ ๐ฅโโ]
[๐ฅโโ ๐ฅโโ ๐ฅโโ]
[๐ฅโโ ๐ฅโโ ๐ฅโโ]
๐ฅโโ=๐ฅฬ
โโ,๐ฅโโ=๐ฅฬ
โโ,๐ฅโโ=๐ฅฬ
โโ,๐ฅฬ
โโ=๐ฅโโ,๐ฅฬ
โโ=๐ฅโโ,๐ฅฬ
โโ=๐ฅโโ
ใซใคใใฆMooreใฎ่กๅๅผใฏใ
๐๐๐๐ก(๐)
=๐ฅโโ๐ฅโโ๐ฅโโ-๐ฅโโ๐ฅโโ๐ฅโโ-๐ฅโโ๐ฅโโ๐ฅโโ-๐ฅโโ๐ฅโโ๐ฅโโ+๐ฅโโ๐ฅโโ๐ฅโโ+๐ฅโโ๐ฅโโ๐ฅโโ
=๐ฅโโ๐ฅโโ๐ฅโโ-๐ฅโโ|๐ฅโโ|ยฒ-๐ฅโโ|๐ฅโโ|ยฒ-๐ฅโโ|๐ฅโโ|ยฒ+๐ฅโโ๐ฅโโ๐ฅโโ+๐ฅฬ
โโ๐ฅฬ
โโ๐ฅฬ
โโ
=๐ฅโโ๐ฅโโ๐ฅโโ-๐ฅโโ|๐ฅโโ|ยฒ-๐ฅโโ|๐ฅโโ|ยฒ-๐ฅโโ|๐ฅโโ|ยฒ+2๐
๐(๐ฅโโ๐ฅโโ๐ฅโโ)
ใจๅฎ็พฉใงใใฆใ3ร3่กๅAใ
[๐โโ ๐โโ ๐โโ]
[๐โโ ๐โโ ๐โโ]
[๐โโ ๐โโ ๐โโ]
ใจใใใจใAใฎใจใซใใผใ่กๅ๐ด*ใจใฎ็ฉ๐ด๐ด*ใฏใ
[๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ ๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ ๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ]
[๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ ๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ ๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ]
[๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ ๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ ๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ]
ใงใจใซใใผใ่กๅใงใใใMooreใฎ่กๅๅผใฏใ
๐๐๐๐ก(๐ด๐ด*)
=(|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ)(|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ)(|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ)
-(|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)
-(|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)
-(|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)
+(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)
+(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)(๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ+๐โโ๐ฬ
โโ)
=|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ
+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ+|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ|๐โโ|ยฒ
-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)-2|๐โโ|ยฒ๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)+2๐
๐(๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ๐โโ๐ฬ
โโ)
=๐๐๐๐ก(๐ด)
ใจใชใใพใใ
