😊出会いの泉😊

2572の最小解は
271169^4 + 2572 * 56253^4 = 308817^4 + 2572 * 54121^4
でした。

Elkiesが2017年7月30日に発見したn=16329のときの自明でない整数解
　　346429732854975524407446847^4+16329*54141872796715970999006713^4=606051030994671192182211305^4+16329*33186693159559232548599185^4

よりも小さい自明でない整数解(先頭の解：最小解であるかどうかは不明)を見つけた。

655700933372^4+16329*194394472427^4=2153477294662^4+16329*105160799831^4

437464581025644405995498027645111564922860755583^4+16329*33959339400227450135648500462588483336404118001^4=471772341403250876373595796473385083450472327653^4+16329*27097787324706156060028946696933779630881803587^4

16161609772709337127791960690668236810622849095052965806078112563970299568062248610002975004411382313079832^4+16329*6413893634014646142573923642938779779091138831019712261791104737310899704325496259656328502494509199554811^4=69077147190410722019485347287968223304768397789349002117914977587176720453096113119931714170373558535723842^4+16329*4169213849525630835764753676521217519737970907839495000576268267330384472681276642329419330697926044973991^4

3999299785824298395746452294541278155684774702407877633049981790127598524485865904159168808705178281231752999898870650751285764760978078206400522420239260759975754627541524610304865721038831^4+16329*1036904751770016178781157840550825382425999572069065471268866256092205142718260001334008698371267989898272280451127873322458794138835084562420002458953602241067032698589485271267138899234171^4=6278238705024331921400509817935512097932150899442043783641917320727987082863156401840758050252975764959241750578164452708126767548235571696723121127942432928437147405569986802624861589935239^4+16329*1018602946399709884648234581944532668297385548300918812069513566078911978751544459865976673420362819339926669644279147369423712323007645418204726250682736496615547708032817011318806562960643^4

....

最小解は
2187137^4 + 16329 * 163892^4 = 2415743^4 + 16329 * 78084^4
でした。

# 探索プログラムを何度も改良し、かなり高速化できました。
# 3000000までなら（14年前の遅いPCで）数時間で終わります。
# このプログラムで「100000まで」にすると、定数によりますが十数秒で終わります。

＞らすかるさん
x^4+16329*y^4=z^4+16329*w^4の自明でない最小解を、(14年前のPCで)わずか数時間で特定するとは、驚きました。n=16329のときの最小解をらすかるさん(英語ではどう表記する？)がBrute-force-searchで特定したことをElkiesやSeiji Tomitaに報告しても良いでしょうか？(直接、自分自身で報告しますか？)

らすかるさんのこの素晴らしいBrute-force-searchプログラムの高速化・効率化のノウハウ(多重ループの構成、primitiveな整数解に制限する方法、mod pによる絞り込みを使うか、平方数・４乗数かどうかの判定方法、整数の平方根・４乗根の計算方法、演算は128bit固定長かどうか、整数の平方数・４乗数の表を使うかどうかなど)を可能な範囲で教えていだけないでしょうか？

らすかるさんのn=16329のときの最小解(先頭行)を使って、大きい整数解を計算しました。

2187137^4+16329*163892^4=2415743^4+16329*78084^4

491354218601741881832999663930146417367034571^4+16329*40652239146504168353565861842514770292760692^4=566164607296900855045109796799540398328779061^4+16329*9565408169771193199533896849798062948776796^4

27362207959873289612821603288256718930165496231118069449040647298772982990936688010140183061599487813835508727003033398899^4+16329*1738558521432562494802098742425351406211155307287554800170682914627271449561174123346305729405515693993998858054854788972^4=28458896630578874726526804761466998750712595986971770245786391099819360804018392347267138734357334509764005771591164480909^4+16329*1347068032714485019474788363299943855160381865947735915999025832019066318642619853909160205058044856103543041712397501636^4

311720480619907860336573604399912281083304226202966414379475371968878185767143324793919160323043321486084084769504312461409494429742724892065382678780941540296632870146177791393747120880602655928373051948157619013175068966491278916580393^4+16329*26746460695613543701617802144562813067915060577418955948973051919659284284646528804241267523815781493423152742264483832166807983982562903066816092557557318899575433015278545203245151791494664100714708784322353055620003484740361001536492^4=365254476380840936872179357773375058815039107701917453016194091596808343397965681870819602797182638471614096319268232671500890922964642800316742485563040877486654447457888267318785033027557657457375914956213322309825538824439384754669527^4+16329*493009111823349647059465379616036647979089980704455345821068699950246966543776002303960331727853495761521777493834511457828689065165587777401973634620994491280601596017619226132073705621975233137679218632744589968271459938201530765084^4

....

報告は構いません。ご自由に行って下さい。
これから外出しますので、探索方法については帰宅後書き込みます。
名前は数学系サイトでは本名を出していますので「T.Suzuki」でいいです。

x^4+C*y^4=z^4+C*w^4, 0＜x＜z≦N, 0＜w＜y≦N の解の探索で採用している方法は、
大きく分けると以下の2ステップです。

[1] (z^4-x^4)/Cの値の収集
[2] y^4-w^4の値を[1]で収集したデータから検索

[1]の内容
基本的な考え方は
> 1≦x＜z≦Nを満たすすべてのx,zについてz^4-x^4がCで割り切れるかどうか
> 調べて、割り切れたら(z^4-x^4)/Cの値をバッファにためる
ですが、このようにすると時間がかかり、また結果の値が多すぎて
メモリが足りなくなりますので、両方を解決します。

(高速化)
まずn=0～N-1に対してn^4をCで割った余りを計算し、その余りでnを分類します。
例えばC=16329のときは
余り0: 0
余り1: 1,5444,10885,16328
余り2: なし
余り3: なし
余り4: 557, 4886, 11443, 15772
余り5: なし
余り6: 6216, 10113
・・・
余り16325: なし
余り16326: 2067,14262
余り16327: 398,5045,11284,15931
余り16328: なし
のようになります。もちろんこの処理は一瞬で終わります。
そして余りが同じグループ内の各値についてkCを加算したものすべての
組合せの値を計算してバッファにためます。
例えばC=16329,N=3000000で余り4の行では
557, 557+16329, 557+16329*2, 557+16329*3, …, 557+16329*183,
4886, 4886+16329, 4886+16329*2, 4886+16329*3, …, 4886+16329*183,
11443, 11443+16329, 11443+16329*2, 11443+16329*3, …, 11443+16329*183,
15772, 15772+16329, 15772+16329*2, 15772+16329*3, …, 15772+16329*182
のすべてをx,z（x＜z）に当てはめて(z^4-x^4)/Cを計算します。
（必ずCで割り切れますので割り切れるかどうかの確認は不要です。）
C=16329,N=3000000の場合はこの計算回数は約9億回となります。
この工夫をせずに単純にxとzのループにすると4.5兆回ですから、
回数は大幅に減っています。

(結果の絞り込みによるメモリ消費量と[2]の計算時間の削減)
「(z^4-x^4)/Cが4乗数の差に絶対にならないことが明らかなもの」を無視します。
具体的には、0≦m,n＜1360に対してm^4-n^4を1360で割った非負の余り(0～1359)
を求め、1360で割った余りが出現するかどうかをあらかじめ計算しておきます。
そして(z^4-x^4)/Cを1360で割った余りが出現しない値のとき、その値を無視します。
C=16329,N=3000000の場合はこれにより残る数は約2.54億個となり、元の個数
9億個の27.7%に削減できています。
※1360という数字は、いろいろな値で実験して「これ以上大きくても
意味がなさそう」と判断して決めた値です。
※(z^4-x^4)/Cの値は128ビット変数で保持しますので、
C=16329,N=3000000の場合は約4GB使用します。N^2に比例しますので
N=10000000とかは単純には処理できません。

上記の処理により、[1]の実行時間はC=16329,N=3000000で
(私の古いPCで)約80秒でした。

[2]の内容
y^4-w^4の値は比較的単純に全パターン発生させています。
ただし、y=2～Nに対してwはN-1から減らしていき、
y^4-w^4＞N^4/Cとなったところでwのループから抜けます。
これにより、C=16329,N=3000000のケースではy=2～26万までは
徐々に遅くなっていきますが、それ以降は計算量が減っていきますので
加速します。例えばy=3000000のときwは2999999～2999954で終わりです。
「＞N^4/C」でなく「＞[1]の最大値」の方が正しいですが、値的に
誤差なのと、定数より変数の方が遅い可能性を考えて「＞N^4/C」のように
定数との比較にしています。

さて、発生はこれでよいのですが、それぞれの値を[1]で生成された
膨大なテーブルから検索するのは、単純検索では時間がかかりすぎて
現実的ではありません。
「ソートしておいて二分探索」も考えましたが、もう少し早くするため
「9999991で割った余りで分類(ソート)してインデックスを作っておき、
探す値を9999991で割った余りにより狭い範囲を探索することにしました。
メモリの遠い場所を飛び飛びでアクセスするより連続したメモリを
アクセスした方が速いと思いますので、おそらく二分探索より速いのでは
ないかと思います（これは予想であり実験はしていません）。
9999991という値は、インデックスが余りにも大きくなりすぎないように
適当に決めた素数ですが、Nが大きいときはもう少し大きくした方が
良いかも知れません。

もし、他に簡単に高速化できそうな箇所があれば教えて下さい。

>らすかるさん

とても、参考になりました。
短時間で、これらの高速化・効率化を全て実装したプログラミング技術はもはや芸術(Art)です。
ありがとうございます。

先頭の整数解を使って、別の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)を計算した。

12243588775413302136143663^4+20012*3626402239183894949300168^4=15864613605662345293067729^4+20012*3615647421314191364547964^4

590675390502251355795512857691549386957051290449999878191116083081672010693508058942855648325632132813725034978688180423563127582694294483685336153513554023467921246989041629427703358568512021^4+20012*274512210720138248686643649551329803112526987358475963001967693827327150477407421984230441233264330577031739808853410023562787543077748980326473005118105022178628858960376856177030074793198676^4=1393015869286377590684655070825892225435043431485326044548909414015945273605423206655930063697884373279268784337155514194651726881989644226346831275781704561233667859886578049570079182896942827^4+20012*272284767402269969651347345708966960586045947806152608377674342130551567497790810786026547431426615292829871484618069327805009761632668582641695282243420382400714927350836866845105109811828792^4

1244808367341544652373051426385381317109609503439542933737423150696957011940631373290876358208180497476477359259742461605348012732464294260725555650843394499490691183804247383005489674974602562372938470658130054538621513778434367374885438205825912676213017925094941579698159413226014169450508852968948008682127650088614417485417610507504818230905662541576686310199099094516697790021070840176959452399210708373915331218960170074339846303039655396639898937497583959714830888257415421718803371838765621418290046948390076846467827^4+20012*1567318752447419334586728462166918827872305439527784610328199801292774962659913403666255726768487017878990967317157087297382162001223749935626358130170563505155883000678263086099013639273242698954320079429880981283437994204322241732633052387994344788623548579429407954660615958039382213465964648889601944919135234618311751511099976856394480090029656948716270062489130638085197692896482078263794905605451336958811969138525571239531512363045012550321998429608509469604839594508988236013018139961772160286159207390710219316708152^4=8535366880310349068894978660314167073887609093787681845151362247597436818215209882527987865182536698650633515198159638113409745627658968172428272107100302981400592444147543570845316621586311797554897302964217161905532515077909596267182684757120904980137892002339438010369699166736408885900319685631648547977510900488977650046795324553586552736452809158317932042953203074315711436755487566889468870726008619265365844160668439878291021493796499918611212987359605267276576327404446346797783654850924252700808977868534387123189261^4+20012*1549814156097782822994001286895385454807553685706112612191228380535184851001384088511175044299114244210131799137730830864788137285087304275942791935899651215993885232807489538246782777444183312158745236920820966347144056556174283084888765732591704062587176748876526442035369813794852953142686845435183657970763547991278831678773408667163905322015546662713848458940346906895164898039922246075818088866057411545831526310020159044647255763154286765432009078794962069422544530212436476860358492999117412840564360364506533289587636^4

....

別の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)を見つけた。

12500880837778884299589949163792404496371516637882603386004347336281712374339034884912211000147661834302597^4+20012*487854734138522160071750026658311210657147536040815446826837670749195480077592510554286467832363554740087^4=12643457285015438473115551426882778716871548424746350951586160658435920604645277942468917658673005089732779^4+20012*60125392428859639494943237387188549157052175449572750081397704286570789158863337884166492256333788449541^4

57843915553479790876759465758364940203933579304195649599711898559307598824059276033286594017754259845316475568435195467788289145175137882153422620393494241322464071110158021438717754739311012157121038079129051675415127796181063642889803968804896785526909318990173445411493945369900000295953794889946482268390232138532480545025365630824754999373505292706716441656640051696864030646420019789217926686979286252180419985183510875417^4+20012*3543603413501596289684109922415015905040358165557054977846249960068224587585784758239628028995313364524686678132447378875003229790695399019535244931044149224201350109087924663158489321442437308319892403403910971338438923707589887229137599725705726053326766252579671841130572333992641017502069302613945545958290407377213127358230314631399221913504326570785063761910535118060466239613320412055584437053578026619623248393061500761^4=59989151877009492324976368185950684528612783162525606965994435161184338247334979724937180392423591827651203312674229810043183819932156413792759100185332939247825827944762898698177069558899887379221064431446932908284923272247219640790638485706580503987664711338410376379210118360950231220638001559122834332181411590413554662203735479308711615825936293273058701488624861158961525344898146310591305848047868061810367124801023736711^4+20012*2892105557087508054966597360342217068997253409432817121001359845561993682241326316712131095012682582479496554584655647889680794480360195898474194444471944551883920394726707115219455137324188357980186653549732727270947504490878106473365950979345429328939410792131121062017946639158051756550550704915110645415247948266009224176879230820470627443788675128241715734043893268232017855821059152064553046152167402270218170459477083121^4

19205561033395013328382119957835414688291086473178118673199545626759349111720934410023972973013934355970488850186970067107845507691484707394034467434657640045557931443748847216668351437182425529376996377523331881306391640361416383525295126597505269216669126728273644199424401207253056858679524449896736561947482271355202097250101483948114987970196949428092731348925222260267729947022330430943142724505842175211237855247367298873078572744298092378418066179584676684227338820288009277875132486278004856178857667010199611804584197973114105656998364586192541290954718914500118052784574796586543942152912147365142111420991606195572187511767389299108740481527185034621842533164301607243894970475518829952533173491946716369260910574433257699840312705608541142221320829042157491141129309644755761165923482752131522497927146086293446072784159998222066050056620390156212271766496510498194284958124134690929407421203599413323352036660989128694179536287641299080331266363^4+20012*1091044112715155458467120958370904222426712140769159511203657636634319450355769985354897002451522519985775174537804779614555194309321010408127821617642530776988412520411873843674368706138385236189089055455219266767370741048791154667876584982904393810486234938550562904134003507290489357939011601602422974832552042298352510426904249786802266142926717054218563537359659357827482082551644016624954817863228918179731044544207541350714372505101999350774044872967018203428980737950196807215247395868345967498353142546942434914613198765942259628942867892747586401070017974787365289754973570018167094297218782141600927165967706887810347911386076452591223993009195817937069141718836988380513087592616987694095822133656702795809285188167644750047026247914212345415505751296632681394561734105610213604172959564933160275296760242885833909165768247074339310772035618566817377657409235522207496390656959056742759210820704601773611127068853759118568511652597370447429624221^4=19844637109111177396572291265600602184014886445912236522906280729478074796288723279904729675202667465893197424536879502084693051210323446978831642039553951326628647958525118837078493332884736909697292136381075847356045986707753751084870692336617225764297915589536272198615846875295785350535416045499455391974136798229607193550059661007237098254410297119689376270209488357903178695572481724416558949200643414271305794360598280619745986504249683097458286522771426194355522030081141891075326629305517527767262422444108498897267760304777108919175895614565107505182359280131729679980678454518767928345866425717731233635803209358707355719126095224124184013365571419309183591450407961548200701505533608353277770688621592708533418621804026674970997208397359752421787216413669542948766236990300513453877341021876234699788484360753337698828302566577997146028084844115851504444997289554058373718485957553825022839148625924202887995918391470726398607935735482902748164149^4+20012*826184114433336746103392964924658264744687777433194037916547671521857603347596624287373104114676809782350548511923525315987436247195208346263702197046403066223737023916941017556056980968548904771798221118012631381592297990220948010850112234431475832400131645237321093440333496837696117628663185205733515247411538324862778472970281390564064709713326020571371226493138935078864163098809863795293856221174799000472772795485403889287868774752772806346616156593230326955568891429201032385335033214192047266861123754784226363437488229046750157589725192370112241612903122107469591833337403778504864281644052916166439478467102601595156710690041322455106602505963336124954033139482074532404105497427347508137969456367926222008238953944662175345027260452243485185893410817903474028349047931024043259688615244300976330287254580493840968966659457993453977142357743312100320378093101645384769890428509531944087043014374930864996750703353266978088703291685181019821069137^4

....

別の自明でない整数解(ただし、0<x<z, 0<w<y, gcd(x,y,z,w)=1)を見つけた。

152053114400806952980634017499157^4+20012*24088266530928067263883599110186^4=274633752551904503164766120639739^4+20012*16771946186104449464160435270008^4

4579483401427148467409550832047213988982244260560519712455239421415457720572983794332844547500306834146368361258989148247095076141^4+20012*332435987245830833194119287934905531732190307101207025073324255158071563349889157928946898911279358160520753844958488942028801419^4=5087866355387362389414310039484038438933791580762928528837193439719409107748365224260740203019241588731695562506587362865455042339^4+20012*162975002592426192525866218789297381748341200367070752946006249056754434291428681286315013738301106632078353429092417402575479353^4

63703839420477947109849597932472852478907073281232713063763756992624983991854414042207979643862623555195475160723720365309809749772368635196027272552381671301664537222337263513002779230097170073031136273729433605428022423170175652235853181824837951089108592001962042639011579625083170433563^4+20012*7370432584739346308387673095736605181643760346156810156281642728550140113977075962654151473004947112517375104278835277572572406144437962176513137144746372030997178471749515950563778367973836894266334336538115930992601102841095210768710302173840391235549219498198041172654754899131972277978^4=93017013336755816226329886986426294386323018247024111403556349905875879017645689621493425523208842655177881552850775475065337822882128086383661840221159702626235874772940416837909383235477404588016160168311265988151305949945543641925095424530653012454504548823486145629599732278954010185429^4+20012*2400625387353276730439089922247875454161554642440322623649221575866824894620015897107663820110459254143427026430183092345936951558815188219365052078179638410526600711784868491071756300486241277395340294989161529915160072750694119127703778728097962552916099442309993157541295985491640972644^4

....

力ずくで見つけた最小解
685243^4 + 20012 * 110194^4 = 765627^4 + 20012 * 109026^4

らすかるさんが発見した最小解(先頭行)を使って、大きな整数解を計算しました。

685243^4+20012*110194^4=765627^4+20012*109026^4

45735236596724065557825308530374395907^4+20012*8535429464695158282251719211807063346^4=64147107816514285513420795969264698883^4+20012*8271145056626041314303148073592475394^4

225599478094072331833586656892836235692148623619470495620736893002553440667630276407890943822308979923^4+20012*50643395814944646766166397266725856098389832830159097603267395872907285124356329114643729294635269154^4=404475987361447740227003151898128456266839315913524697623368940675229822954292836760383951182015817427^4+20012*48138477760362796215710123926392579696282614876074638999791562544992734593390373872550444280854324946^4

80957739046788402501510576127556945165996055530800925303113531327179091720456515641245999232621517749793794851632427838781935365205506284334942698298455222629284174610585017542265635669811788861867^4+20012*23007191484235307536424935903678412846777410972018461468842581577861707092008612719432275505872283353304721577130134673680060472687641108492852835891731764895301843176919810065915955831501637658306^4=192405748281837389686072986862158739632936440918947217239218674666283925825673757008535199669665303456037596116862233538576476244834651115675255588010551822304082917013934871338846089407597050185643^4+20012*21504522201990253874713022164316430311261715682335102218631812114703344934233156498161392960987143262333585274459688982740273029434469552250370988301080768193437877642676269194810514515622059596754^4

....

全部-2!

13桁の全域検索は工夫してもなかなか難しいと思いますが、
max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦150000で見つかりました。
134542^4+20015*6671^4 = 137662^4+20015*4495^4
というわけで、8527633537859は最小解ではないですね。
プログラムにバグがなければ、上記のmax{|x|,|y|,|z|,|w|}=137662が最小（非自明）解になります。
他に、以下の式も見つかっています。
74257^4+20015*20319^4 = 174332^4+20015*18834^4
274633^4+20015*18215^4 = 297796^4+20015*6082^4

らすかるさん

max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦150000の範囲なら、プログラムも作成も含めて１時間程度で調査可能とは、驚きました。
効率化のために、20015=5*4003で、素因数4003は3(mod 4)である、つまり、-1はmod 4003で非平方剰余であることを利用しているのでしょうか？

いいえ、利用していません。
せっかくプログラムを作ったので、他の数の式も探してみました。
20018の最小解は（プログラムにバグがなければ）
133577^4+20018*11323^4 = 152033^4+20018*8671^4
他に
129271^4+20018*16993^4 = 198353^4+20018*11893^4

16329の方は、max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦500000の範囲に解はないようでした。

らすかるさんが発見したn=20015のときの3個の小さい整数解を利用すると、それぞれ、以下のような大きい整数解が計算できます。

274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4

471758617428595540183682732692^4+20015*33182522896603830112768752986^4=521203098982384930174044459691^4+20015*3082513578621978511673974235^4

2199272109945132967972909023668^4+20015*109548338612842553693160745006^4=2220191273261141016985252983839^4+20015*99726299306351580407551940495^4

718048235051933219389981953017155027634684^4+20015*40423307367901487662858930520585466426122^4=744602517074194011483461584484628985243907^4+20015*27758051563396253122891688453165418356045^4

278549539658427682321244650577537246177792978297114687237757158092^4+20015*16270563247776413311098351615671169461312062323926289153888919114^4=291501330513495627855817332066512623013352024087931567328536168141^4+20015*10028888060190831787837430117596182398452837771072914010451483875^4

23944497258055168906961645361781089759110176351368515607238038965249^4+20015*1657524976897418745718003299720624586587297113445894012164914585745^4=26316054299516218429719084886604065410348366555854552236844740964588^4+20015*311882778374863013968781043903803645198834156352163573657530231854^4

11226548377970413612500519995949116633701930425007048073115589409227121984880731009688505118142089719637^4+20015*675811405125919905302364027449764948460078509098278082840233198718505430719945036966803399830103429925^4=11841011597470942314446697064279610277280650201227616765564904040970998156842498404558665424966876353444^4+20015*376274088860053485284474603392669868916313499895518443671782485386072508752165400429416657904368051898^4

220691579014143434870860902987823131213434317436079148830095556032333333996300054482011362013540998140004^4+20015*14020312409902709813353163276367829056767211452673040276584243552922638099347359445572976136007636224182^4=236267409981538966178380432038203365904443363683624960027612953968957460140057080695215322556446354851517^4+20015*6190566552175095066466503558660081317826048344771244522901592823380671657047231910047203860560197429005^4

4533743530278234323387623920946257431255566181565584295669026713530297999124459783134347721262222512356481756584444^4+20015*320204056914242384090002947066258466120255595446757619115138877291843339965229719638210853035827513736386006891398^4=5015742736699272257221713352156871990615411963319438190768839140826340878214277946616285434733934864301393770201387^4+20015*13931748598498058845403778267463545182515660427956498316439927127020629885648002905777726823221318915201059338075^4

...


74257^4+20015*20319^4=174332^4+20015*18834^4

19655572359060351077593^4+20015*4079877272410703532009^4=33069708345313027901668^4+20015*3872005446360268636194^4
54749572634601332711939827883^4+20015*22251538392300879935341812699^4=198369397650205811786399796908^4+20015*20252636445662343677908713894^4

92350921449882593361472831526901086188^4+20015*28213087019802844224348462736519556514^4=245523037020157522484975674222137479287^4+20015*25981239077479481120210209812108928359^4

2238651227846415103114758229111969950046265200252^4+20015*1080328614816281732194024756479248043893335924134^4=9716224811343949739735328935003237860780880319173^4+20015*978869361488537922120605282356441084286828987499^4

720495255487133241692624386147010178903076029345105411019595931578132^4+20015*161980410950708467286282696104289836252281791509361581068647483250114^4=1340138448690895535989308953747360684143583624760362054424475956248743^4+20015*152490863685518823439602295474288698009075998718778065341093657328489^4

1069513273984141839995839010597639207916186205114270055112699835475479867573750067^4+20015*180265471548940127880547723898825110990484672757903801394476463273234589353603869^4=1349865065297277460880456301170251643534422104711394368331328168291715433886015092^4+20015*175813578807881602515994408693009771118768545298679469849551483388975339879144374^4

6684689781028901608736255576669176077363335240965445937255550512700912139845245181018809029387^4+20015*5355306156912991275607045975686593845525345880842793405387026423629282694218422459751288977349^4=48813990810182834790572342875066939414742123568150096229385788775440876368277041931469655829012^4+20015*4818173727833952735534899287538252135884381744534615959137423933051350602388512525922097484774^4

...


274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4

718048235051933219389981953017155027634684^4+20015*40423307367901487662858930520585466426122^4=744602517074194011483461584484628985243907^4+20015*27758051563396253122891688453165418356045^4

4533743530278234323387623920946257431255566181565584295669026713530297999124459783134347721262222512356481756584444^4+20015*320204056914242384090002947066258466120255595446757619115138877291843339965229719638210853035827513736386006891398^4=5015742736699272257221713352156871990615411963319438190768839140826340878214277946616285434733934864301393770201387^4+20015*13931748598498058845403778267463545182515660427956498316439927127020629885648002905777726823221318915201059338075^4

...

らすかるさんが発見したn=20018のときの2個の小さい整数解を利用すると、それぞれ、以下のような大きい整数解が計算できます。


129271^4+20018*16993^4=198353^4+20018*11893^4

3945822257173661521287463881015941^4+20018*1371688971357445874707494319939057^4=16248945516451885959717618836052163^4+20018*514103868444835962913491612208093^4

332445795971231006616412889705987203305308268591672815069192432931402210536446726936308437^4+20018*6123932587512844327082360406845207982153933961123604241839483053236415085498072260471915237^4=72719249007600485117487408839541485538860409659611643297602566850005331042294288846840883741^4+20018*1755814119357340772174336509395323175167403908892716598442986579137033671338519847668341113^4

4549843963195303335734880288374590697820480654685362673684507763909976419408643068494498700489969291638331036323666549642203632803141978787958689426860669730383929810425576884807^4+20018*1506737865623043706822575226614041509939553725140853999391071205201422132531250696629586873765535468974916132597944559294246549350813586270470752108033661028537984936305793462637^4=17844317615941737604856541602460161312266563977153561216827410015829618178900872049233009899368532345124389955510921872875488589558881449708411960517263680764234398292067746779151^4+20018*576538494365339648734454839725793401227674863159404271454504997631584839332915234027177445920123319357780030515792998234874119067411663486954513538049310571915799031592595320537^4

...


133577^4+20018*11323^4=152033^4+20018*8671^4

934945174325070597605177886702911^4+20018*98410553546482920979970509403053^4=1259130138764499271410386237373991^4+20018*50295992219705241028571999694089^4

206151792569683936775023065646470197^4+20018*23417526206340820333508086725722563^4=295634697660889225698452060600807837^4+20018*9834150822116281507630970232030751^4

85682396628860657130160550211739545528029249527^4+20018*6524033985749496793204434180526027990707656537^4=90299624071640500681441761444694894122331799567^4+20018*5864251825226738213733507345186822067034945149^4

18405707671794765723170561358027854654135730984163^4+20018*2395340595648443979586315541305662059092276777781^4=29640589127079872802657815697987308125205418439547^4+20018*554771646912921247537875130698213662726902513753^4

11140366911857942673272914476009189361853985981723101629810283222283408529108871434538434579^4+20018*1041988185614519557962796863250090393345109221831844758308991487271426097440326176213232357^4=13659788431090345348533675612916202680868298573989060989847000597969029808954015405113038251^4+20018*676181755164883178105970910260538942190776756781948365260422917572087393690858720658421641^4

...

n=20015のときの自明でない整数解(ただし、0<x<z,0<w<y,gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか見つけた。

274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4

718044947021967^4+20015*78261955103425^4=966404558198196^4+20015*51831174560314^4

53661297554440034490629^4+20015*7022617914569341986469^4=77837095906925935346147^4+20015*5640895508161367985469^4

2210771248165316517968534^4+20015*195629937543592760401730^4=2697589233093260339346431^4+20015*59369959323425431748597^4

173917385923125737962928516666^4+20015*35814033446160642194813342014^4=306149164462246564543519051037^4+20015*33450231502902647918829318847^4

91382926075908996323182819344504781500148^4+20015*7357516714221248317705929420074550580766^4=106446142832758148128897281307415487718627^4+20015*532739682223545485287360179545343152723^4

17753945561219653689207463767557480607662401^4+20015*4662439650793608865270507348205451147560224^4=35197163477699600280915544448702850037351507^4+20015*4474484019743506016100392056204028077515022^4

1556008196965207586428676000978744879378280264516162018434031^4+20015*143814030993870640647637362932622228603941448564095465059940^4=1941151978777845425306692581312758189183341735126991047314429^4+20015*57927949955606322574180845813765695579662178898719740544078^4

15512357344047023896703334483513248076982958910662081087341373793^4+20015*818116268760682998608831084923363576267057496064876760836680021^4=15914319697211505818964159026785008257549993974546495425389356626^4+20015*607564559960240086948399181304822529303372462601612107573450918^4

66270773149048535278511546179645938528960772452801967922633145713^4+20015*137708851975275665439309993350015337753733136269396401647573023103^4=590947660037820310945951009677922521978125572594700550736048730612^4+20015*137121898299795264672205916101462872624400806662074284588025616606^4

172415563676386539187729581259703243156638114834882362026609286634139^4+20015*66317828523206603772691753588054939412205928585163578845076582549958^4=423003221219539406466320386867639681495943848365848314258201345018073^4+20015*64942373047016326706570096968483194956001836597723348514328781365436^4

4342963477992932294709394389285273737998536750769028695082359781924207826081^4+20015*2921784842453041692935152404110589419397042777756472777451352860320376339477^4=15444016987694819121640679826068912049737130960976361154148921671264993414042^4+20015*2893052710247946644981235205633221124846982760923558510631131938858130397074^4

....

n=20017のときの自明でない整数解(ただし、0<x<z,0<w<y,gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか求めた。

3637^4+20017*1816^4=5801^4+20017*1814^4
32309^4+20017*8542^4=74936^4+20017*7853^4
91513^4+20017*7128^4=104994^4+20017*1943^4
103183^4+20017*10778^4=139726^4+20017*3277^4
216656^4+20017*17701^4=254057^4+20017*3316^4
1562768^4+20017*116227^4=1758431^4+20017*40972^4
2864003^4+20017*188372^4=3080401^4+20017*105142^4
8388161^4+20017*588152^4=9226258^4+20017*265807^4
30357046^4+20017*7041445^4=65115497^4+20017*6327190^4
17148713^4+20017*10556960^4=71304412^4+20017*10272155^4
124853168^4+20017*13438337^4=172456087^4+20017*4870478^4
147020254^4+20017*66784973^4=487826083^4+20017*64294192^4
360358287^4+20017*44469931^4=542459219^4+20017*25568889^4
2118911843^4+20017*365377794^4=3844445016^4+20017*298288811^4
1523150894^4+20017*467885365^4=3879057083^4+20017*438232400^4
21137288458^4+20017*2496093879^4=30980857596^4+20017*1289894251^4
30557963017^4+20017*4093262125^4=48240118469^4+20017*2707566895^4
22875596706^4+20017*7065463577^4=58461461293^4+20017*6621407418^4
191419398574^4+20017*26983872857^4=310959893596^4+20017*18993240613^4
512491372228^4+20017*51966890613^4=680508836739^4+20017*12655211122^4
692223093563^4+20017*59039670932^4=829210563442^4+20017*6352182517^4
389733088947^4+20017*144476162816^4=1122867656788^4+20017*137498670969^4
186047890318^4+20017*601574336281^4=2931012458903^4+20017*597295028804^4
4450824219446^4+20017*572700961741^4=6866414139644^4+20017*356372084489^4
5998244316418^4+20017*1125085002113^4=11400022845877^4+20017*952522124602^4
8006765037289^4+20017*913438252925^4=11484658080277^4+20017*424212917455^4
5515287108897^4+20017*3722025132569^4=13816797078337^4+20017*3713391862521^4
70569138183451^4+20017*4309047380777^4=74140968885553^4+20017*2935266341507^4
46389158041111^4+20017*9749635239626^4=93992782700104^4+20017*8559451167679^4
119581338384779^4+20017*8401475792533^4=131626235383901^4+20017*3768823100563^4
100511314151594^4+20017*11146959360239^4=141577380765868^4+20017*4647681645251^4
288829447409319^4+20017*319284786985292^4=1367942781030568^4+20017*317935300876203^4
9740707268999991^4+20017*763554202555972^4=11207008775466554^4+20017*199592084684217^4
12023315194098268^4+20017*789021661381319^4=12922084037404147^4+20017*443341337032904^4
9052909306520992^4+20017*1075503879393275^4=13318031876670706^4+20017*564927878356615^4
13895150317459039^4+20017*1193144923301144^4=16703328350919358^4+20017*113076448893329^4
42990650636306049^4+20017*2440998742043308^4=44242257463978523^4+20017*1959611500630818^4
15154970423607767^4+20017*17115351170038040^4=73653362887504531^4+20017*17041700103466690^4
59334769713809237^4+20017*7274214563653477^4=88968639136846493^4+20017*4123427522130083^4
61006168510017488^4+20017*7806379262049187^4=93813364934041874^4+20017*4811773208729423^4
58586368586982769^4+20017*21156682134088092^4=165847324844579352^4+20017*20097531811141363^4
255722718301670356^4+20017*18883775578064525^4=286916611484262769^4+20017*6886124353990520^4
377626885587411164^4+20017*43368720013104247^4=543944856058284593^4+20017*20599730168000918^4
480529756091075983^4+20017*51670535292993083^4=663315730485604579^4+20017*18631762551056377^4
500686737710607711^4+20017*59552244161492266^4=737105816299553054^4+20017*31378170680409789^4
535718858694743886^4+20017*102016874160138313^4=1026779050402110557^4+20017*86852430342695022^4
997660018797526219^4+20017*98547130507630946^4=1302275855442196198^4+20017*18612806663395969^4
2965014447017081569^4+20017*1466419586286592436^4=4656316113563339128^4+20017*1464861398552030909^4
5495724100123505431^4+20017*2643859951260414778^4=8245817891851908107^4+20017*2641348507191667352^4
7501875753924731264^4+20017*1071667944079634231^4=12276944044864824826^4+20017*764896783205017139^4
2163069960287039282^4+20017*2079231340604235397^4=12873096656581118891^4+20017*2040009696431949068^4
7145954553808430071^4+20017*1880700069724007524^4=16528144458192456008^4+20017*1727834508885233221^4
7704523695773439782^4+20017*5406285342982123325^4=20373349878458457907^4+20017*5392896800953221940^4
18099743091339893897^4+20017*1541696825351174242^4=21666909937214184686^4+20017*169709576937985477^4
23363551210682361459^4+20017*2290801313078742662^4=30352179937798323658^4+20017*397132812735088953^4
11443829820914847991^4+20017*4159750786971219530^4=32537967757552981384^4+20017*3953379188658831775^4
29984422454143577776^4+20017*2849352432568250885^4=38191838445664086643^4+20017*307346025708867910^4
27199065853569230666^4+20017*4356045294534276115^4=47393188806236735663^4+20017*3410925071876302730^4
95434070073640033776^4+20017*9713727345953240587^4=127037571147738371069^4+20017*2441465374853812218^4
90042223471883435824^4+20017*10283320570333383819^4=129241603578967688061^4+20017*4793364086237482426^4
62588455936779230657^4+20017*44517450858669227469^4=168609351629376198069^4+20017*44404782820621322041^4
145991230816802248111^4+20017*16142374187951283578^4=205239730449509233582^4+20017*6645510286166787757^4
543576881996522824147^4+20017*28104321539872725041^4=546236088174412750201^4+20017*27081549932991984251^4
381061959055259833627^4+20017*56773633484992437830^4=638235980235371736364^4+20017*42139451584281370915^4
366157140009949456543^4+20017*75936217713375219302^4=736291032646405890964^4+20017*66422971762184947783^4
795636337084980900359^4+20017*73222502632541924152^4=993981921333305394158^4+20017*3064260539890573463^4
1562761598739949122527^4+20017*173490464696474368798^4=2202712205192501167346^4+20017*72644383939122571517^4
2531177714589537726716^4+20017*242401255521172785827^4=3239570143991538308773^4+20017*30057371171904361118^4
4165638685548406282304^4+20017*371693934523718375781^4=5112503548828797992361^4+20017*7515140954336948836^4
399489521002720695913^4+20017*1405656921567958964920^4=7667800948949912164916^4+20017*1389847473796345446235^4
4076322836672730518563^4+20017*841932741023330234134^4=8177937217633058955404^4+20017*735611251653719164651^4
4129531111742275206141^4+20017*841891900712346861470^4=8223786505325558203912^4+20017*732821712204300445365^4
8219682045278248726764^4+20017*676591402619230959359^4=9673257427668171648907^4+20017*117523947853875989304^4
5839859112785336813194^4+20017*1327972994120196567797^4=12382118760927093564601^4+20017*1188280716703556028898^4
12779552262462692337052^4+20017*1131944672673127262797^4=15620421888887795176619^4+20017*39302508663472324502^4
4775411232941558961082^4+20017*2243565725655099797129^4=16232815745577486816871^4+20017*2163128317666410916636^4
5018925053056779734119^4+20017*3383753688128995792484^4=22396115311156229518216^4+20017*3299781026524638739861^4
21333372045122847778783^4+20017*2891737712899115126663^4=33904410993887346312751^4+20017*1943277267394922771017^4
66837410429877190119586^4+20017*15745304479584793781673^4=144675482851485399311613^4+20017*14192415682572209753722^4
141165124336137671164583^4+20017*8705982355237842892825^4=148755595550346877100417^4+20017*5786570349772763686735^4
122082381965579069251296^4+20017*11613184929703041624031^4=155598372163174592090219^4+20017*1277580530910621006324^4
94360574665094392184752^4+20017*15146023141019821627827^4=164619884435323893053778^4+20017*11876788309068447937183^4
54349196428043639410447^4+20017*69127452942808482019794^4=304265927338630937628387^4+20017*68801440813604816841296^4
28350015358572403049677^4+20017*74062336924513417179116^4=411148312532390035670008^4+20017*73167777373108749213319^4
21139352917405670843983^4+20017*110582256795941964035335^4=551638414585142657370719^4+20017*109716884551192008354935^4
554476236848743678298279^4+20017*63525926667064057785271^4=797469247788146475585311^4+20017*29932923694244710402049^4
573775389283303410579338^4+20017*80743547052354954677477^4=931198036790624150489449^4+20017*56726701988922252980258^4
941680452986813954642939^4+20017*105095984693001950349426^4=1331851939257863461471926^4+20017*44969971565094013815569^4
845156286330182284249227^4+20017*126163661901945194086379^4=1417056830828189518161331^4+20017*93798085981903742033661^4
1565778478881541932629977^4+20017*211037300986197828861081^4=2480463381945354587969841^4+20017*140764584807576269346559^4
2637082473950954133792781^4+20017*195087396787102730916636^4=2960908108720218930551007^4+20017*70539075722000886009626^4
2443828355442931078040896^4+20017*301966500287287363486883^4=3681581196790797107936293^4+20017*174092284846507263395962^4
5776628847372163121451317^4+20017*293689727032990076898939^4=5781873720546957658804659^4+20017*291672468119607562532269^4
8962380099608185436754964^4+20017*969549900810604775428349^4=12420839119244190346778683^4+20017*360626645203243266888466^4
13740094657822508841649537^4+20017*763449744192002808547262^4=14058750359958263616237139^4+20017*640889858755174049090492^4
7989055638299695279048321^4+20017*2054384182808241303706160^4=18220246497954544637628172^4+20017*1880689224751316141901475^4
14448774080476506885527569^4+20017*2185004089326448665891094^4=24398650151883690769592168^4+20017*1641871322753237443364521^4
22291920028214730504587516^4+20017*2136985868718093010750627^4=28548844973664885110263679^4+20017*269523725685812606817128^4
12780362660771753062445642^4+20017*8514715145308246972263737^4=31445953459791956910526711^4+20017*8495406439523949171187168^4
21420981053880849487100581^4+20017*3220360488908120608348733^4=36055609688228423944958197^4+20017*2408342831994792644673427^4
....

A=arctan(√3/a)
B=arctan(√3/b)
と置くと
A+B=π/6
よって
tan(A+B)=tan(π/6)から

(tan(A)+tan(B))/(1-tan(A)*tan(B))=1/√3

(√3/a+√3/b)/(1-3/(a*b))=1/√3
3*(1/a+1/b)=1-3/(a*b)
3/(a*b)+3*(1/a+1/b)=1
3+3*(a+b)=a*b
12=(a-3)*(b-3)
0<a<bより
a-3＝1, 2, 3
b-3=12, 6, 4
これより求める(a,b)は
(a,b)=(4,15),(5,9),(6,7)
の3組

「5個の相異なる素数の積」という条件で検索すると
提示されたNはあっという間に見つかるのですが、
この条件では他にはなさそうでした。
（この条件を満たすものは他にあっても有限個だと思います）
「4個」以下ではおそらく存在せず、「6個」「7個」を
しばらく検索してみたのですが、見つかりませんでした。
（7個以上は「すべて検索」は時間的に無理）
p^3×q^2×r×s×tなど、指数が2以上のものも含めれば
見つかるのかも知れませんが、
組合せが多すぎるのとそれぞれの計算式を作るのも
大変そうなので、諦めます。

(追記)
p^2で割り切れるとき、gcdの合計がpで割り切れるようなので
条件は満たさないですね。
よって「相異なる素数の積」の素数の個数を多くして探すしかない、ということになると思います。

相異なる素数の積しかない、とわかったところで
もう少しプログラムを改良して変数値範囲も広げ、
6素数の積について探してみたら、一つ見つかりました。
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293 = 8193613126657808805087106
のとき
a(N) = (2*2-1)(2*13-1)(2*151-1)(2*34649-1)(2*64783-1)(2*929765438293-1)
= 376906203826259205034006875
で
a(N)+1 = 376906203826259205034006876 = 46*8193613126657808805087106
なので
a(N)+1≡0 (mod N) かつ Nが合成数
となります。

# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。

らすかるさん凄い！
A018804に是非登録してください。

もし存在するならどういう条件かを確定させて探られていることに感心します。
たとえ相異なる素数の積という条件でも6個の素数の組合せなんてとんでもない数に
なると思うし、果たしてどこまでの素数を使用するかによってその数は全く異なって
きます。
結果を見る限り、素数の大きさが12桁まで広がっているので、この素数になるまで
gp > primepi(929765438293)
%417 = 35062717755(個)の素数がありますから
gp > binomial(35062717755,6)
%418 = 2580720418848458496825306224464616005861484887789012966085250(通り)
なる天文学的組合せになります。
こんな可能性から、例の
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293
を探し出すなんて麦わらの山から一本の黄金の針を探し出す行為に例えられます。
どれほどの探索時間を要したのですか？

なおメモに
# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。
がありましたが私もいろいろこの数字で検索かけましたが、全く関係しないものしか現れなくて
これを拾い出すのはどんな手法なのかが知りたいです。
例のAIに尋ねても分かりませんでした。

探索時間は、1秒ぐらいです。
たまたま「先頭の方」にあって、かつ小さい5個の素数が
32ビット以内だったため運よく見つかっただけです。
「先頭の方」になければ延々と見つからなかったと思います。
現に、条件を絞って「6素因数の2個目」を探していますが、終わりが見えません。
探索方法は、「小さい順に決めていく」方法です。
a＜b＜c＜d＜e＜fとして、まずaは2,3,5,…ですがたまたまa=2の解がありました。
bは単純に考えると3,5,7,11,13,…ですが、
(2a-1)(2b-1)(2c-1)(2d-1)(2e-1)(2f-1)+1 が abcdef で割り切れなければならないため
b=3は不適です。（2a-1=3なので分子は3で割り切れず、分母に3があってはならないためです））
よってbは5から開始することになります。
この処理は他の変数を決めるときにも行います。例えばb=7のとき2b-1=13なのでcやdを
13にすることはできません。
あと、いくつかの変数を決めた段階でそのときの(Σgcd+1)/Nの最小値・最大値が決まりますが、
その範囲に整数が存在しないことが多々あります。（例えば最小値26.2、最大値26.9など）
そのときに探索をやめて変数の値を次の値にすると、かなり速くなります。
そして未定の変数が残り二つになったとき（つまりa,b,c,dを決めたとき）に
残りの二つは (Ae+B)(Af+B)=kC という方程式を立て、kを(Σgcd+1)/Nの最小値～最大値の
範囲、eをd＜e＜(√(kC)-B)/Aの範囲で変化させてfが素数になるものを探しています。

8193613126657808805087106 については、こちらの環境でググると
↓このサイトが見つかります。
math.stackexchange.com/questions/5074339/pillais-sum-of-gcd-arithmetical-function-and-primality
こちらでは1年前に同じ値が発見されていますので、私がA018804に登録するのはちょっと…

その後、小さい整数解を３個見つけた。これらが、おそらく最小解である。

11633^4+20043*2391^4=28453^4+20043*973^4

12578^4+20043*1809^4=17032^4+20043*1669^4

34141^4+20043*1208^4=34403^4+20043*396^4

x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない整数解を求める方法については、以下のURLにまとめているので、もし興味があれば、参考にしてください。

https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de50-20018.html
[2026.08.21]A^4+20018*B^4=C^4+20018*D^4の整点

Nakaoさんは以前から途轍もない大きな数を相手にいろいろ計算をされている様子ですが、
私は日頃数の世界から見ればほんの一部、海で言えば海岸に打ち寄せる浅瀬の水に対する
物だけを相手に遊んでいる程度です。
ですからこんな想像を超えてくる数字をみると恐怖さえ感じる感覚なのです。
ですからこれらが正しいのやら、どうなのかの余裕は全く湧いてこないのです。

所でこの頃想像を超える数の話でゲーベル数列というものをたまたま知ることになったのですが
a(0)=a(1)=1;
a(n)=1/n*sum(k=0,n-1,a(k)^2)
の漸化式で{a(n)}を作り出していくのですが
1,1,2,3,5,10,28,154,3520,1551880,･･･････(A003504参照)
と定義式がnで割るようにはなっているのですが、それにも拘わらずこの様に整数が並んでいきます。
この先どうなるかと言えばたとえ計算機を使ったとしても、急激に数が巨大化していき、ものの15番目ぐらいでは
恐ろしく大きな値がしかしちゃんと整数できまってきます。
ついどこまでも巨大になっていくが整数であろうと勝手に想像してしまいます。
しかし現実a(43)までは整数だが、a(44)ではＮ/43 (Nは何と178485291570桁のある整数)
つまり分母に43が残る有理数となるという。
もちろんこれを具体的に計算の王様コンピュータで見ることは私たちには出来ないと思われます。
面に見えぬ大きさの数まで視野がとれれば、
日常では考えられぬ思わぬ出来事が起こってもおかしくない世界観起こるのでしょうが・・・
ところでいつも大きな数を相手にされているNakaoさんにぜひこのa(43)までは整数でa(44)は有理数にしかならないよ！
ということをPARIコード(楕円曲線の技を使いこなしてあるので多分熟知と思い)で作って貰えませんか？

> a(0)=a(1)=1;
> a(n)=1/n*sum(k=0,n-1,a(k)^2)
この式だとa(3)=1/3*(1+1+4)=2になってしまいます。
（計算が合わないのでA003504を見たのですが）A003504では
a(n+1)=1/n*sum(k=0,n,a(k)^2) なので、a(n)=にするなら
a(n)=1/(n-1)*sum(k=0,n-1,a(k)^2) ですね。

x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の整数解が、本当に正しいのか、あるいは、間違っているのかは、Pari/GPやGoogle AIモードを使えば、一瞬で分かるはずだ。
あえて、間違った数式をここに投稿する意味は無いだろう。

異なる方法で、x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない(前回よりも小さい)整数解を求めた。

6024952034408244154677^4+20018*327901407351075242811^4=6272822028564689110027^4+20018*80031413194630287461^4

10715394633278845240166368299565623244683015152919602007935845671946915231352945064632481^4+20018*1221663305617509907342313057092900917274609429661104216378283154779464720512768231800319^4=13033368220045982546914929580674735403270983881336482128830631976385072961835340081450719^4+20018*1096310281149627399406248224016211241313359298755775904516503149658693009969626785017919^4

10105261490479126602185601826179263253592237573573096758520683843784768255097945985429679200055679560867795210829208505117160374975688954975195215770744844532831070658076832076933547577464757971147^4+20018*752292917296716478558237276241338986336740738222910458649406524355247625213321491339587360666114354800397210248924778567176914074385826394678689818580932296840911051910463055852624518882749992421^4=11281036167985289372629809177393625710003414925192367504282644050644655973177662958724292304671469783810739309099616027092215213533801010019784411766322192902572242473309529351629313524222050830197^4+20018*423481760209446291885970074973023470074436613396360287112553682504640092866395481955025743949675868142546888021482743407877924483726228649910506176996416072900260763322234218843141427874542866629^4

36225977896786674500224548953130803378443628128489179105782154257291013748255098808802092707461760498969272970244723305181452335621749545861737278686423690290975810044386629727739973233572594130925226743317876675997665018517257875867707969386697255575260581757115745235997380331391893054946518270343097445110662605469581755289135136185966308930970879^4+20018*2485381893564519406940192354167000776954451552957534150343717899617963488390447695531677302807162966772279327884554675151796386238509235422930110633104468086411720647206698265719347158982889387969629860830749237162996626875060552298920871483008328968892727045960922930746470580534502906082222264037269002752716992970117914445725652792684232217859521^4=39646520897906515152364590674369165531504629330168116233864512156808345437663338398649585024927668569774671600477671583901929498824810933781780577738887830186694020634892386699957223446216949852421085655566104653575857042654157252353884692017805062741080301558918398683134808292233337701231425841336543221601098661385356873813492785216603709040286721^4+20018*935161107555321245199849367071361376106549648721402977738639999899368201017791894315815014658745104033119302348393603568680776964552152497113188419359671809306489943299058706497903053661466333526229051417478740415195397261838824187255851148099478196926992755841730516390957380306941740202685306956176773737719062945657204078631996237953167891456321^4
....

先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。