😊出会いの泉😊

素数の砂の中からの探し物

全て素数を対象として[p1,p2,p3],[q1,q2,q3]の2組で
p1^k+p2^k+p3^k=q1^k+q2^k+q3^k (k=1,2)
が成り立つ組合せを100までの素数の範囲で探すと
結構多くの組合わせが存在し
1;[5, 31, 41] VS [13, 17, 47]
2;[5, 41, 71] VS [7, 37, 73]
3;[5, 43, 53] VS [11, 29, 61]
4;[5, 53, 83] VS [11, 41, 89]
5;[5, 59, 79] VS [7, 53, 83]
6;[5, 59, 89] VS [13, 43, 97]
7;[7, 19, 29] VS [11, 13, 31]
8;[7, 23, 41] VS [11, 17, 43]
9;[7, 29, 31] VS [11, 19, 37]
10;[7, 29, 43] VS [13, 19, 47]
･･････････････
91;[31, 67, 73] VS [41, 47, 83]
92;[37, 53, 71] VS [41, 47, 73]
93;[37, 67, 71] VS [43, 53, 79]
94;[37, 73, 79] VS [47, 53, 89]
95;[41, 71, 83] VS [47, 59, 89]
96;[41, 79, 83] VS [43, 71, 89]
97;[43, 61, 67] VS [47, 53, 71]
98;[43, 67, 79] VS [47, 59, 83]
99;[43, 83, 89] VS [47, 71, 97]
100;[53, 71, 79] VS [59, 61, 83]
101;[53, 83, 89] VS [61, 67, 97]
が見つかった。
なおこの中で和を最小とする組合わせは
[7,19,29] VS [11,13,31]
が当てはまる。

同じく
[p1,p2,p3,p4],[q1,q2,q3,q4]の2組で
p1^k+p2^k+p3^k+p4^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k (k=1,2,3)
を100までの素数の範囲で調べたら
1;[7, 31, 59, 83] VS [11, 23, 67, 79]
2;[11, 29, 47, 73] VS [17, 19, 53, 71]
3;[11, 37, 47, 73] VS [17, 23, 61, 67]
4;[11, 41, 43, 73] VS [13, 31, 53, 71]
5;[11, 43, 47, 79] VS [19, 23, 67, 71]
6;[11, 47, 53, 89] VS [17, 29, 71, 83]
7;[13, 29, 31, 47] VS [17, 19, 41, 43]
8;[13, 29, 67, 83] VS [17, 23, 73, 79]
9;[13, 43, 59, 89] VS [19, 29, 73, 83]
10;[17, 29, 31, 43] VS [19, 23, 37, 41]
11;[17, 43, 53, 79] VS [23, 29, 67, 73]
12;[17, 43, 61, 79] VS [19, 37, 71, 73]
13;[19, 37, 53, 71] VS [23, 29, 61, 67]
14;[19, 43, 47, 71] VS [23, 31, 59, 67]
15;[23, 41, 61, 79] VS [29, 31, 71, 73]
16;[23, 59, 61, 97] VS [31, 37, 83, 89]
17;[29, 43, 47, 61] VS [31, 37, 53, 59]
18;[31, 53, 67, 89] VS [37, 41, 79, 83]
19;[37, 59, 61, 83] VS [41, 47, 73, 79]
が見つかった。
なお最小値の和を構成するのは
[13, 29, 31, 47] VS [17, 19, 41, 43]
[17, 29, 31, 43] VS [19, 23, 37, 41]
の2パターンが当てはまる。(2,3乗までを考えると下の方が最適)

そこで次はと思い
p1^k+p2^k+p3^k+p4^k+p5^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k+q5^k (k=1,2,3,4)

p1^k+p2^k+p3^k+p4^k+p5^k+p6^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k+q5^k+q6^k (k=1,2,3,4,5)

を満たせる組合せはどうなるだろうかと検索を始めたが今度は余りにも範囲が広がり過ぎて
丸一日コンピュータを走らせても一つもヒットしてこない。
なお和の最小値を与える2組のものは
[13,59,67,131,163] VS [23,31,103,109,167]
[17,37,43,83,89,109] VS [19,29,53,73,97,107]
であるとの情報はネットから入手できた。

従って検索範囲を200までの素数に限定してもこれ以外にも発見できそうと思われる。
如何せん全検索の方法で探し回っているので今のところ一つも見つけられずにいます。

何方か効率よい検索プログラムから他のパターンを探し出されたら教えて下さい。

No.2319GAI2024年11月16日 09:46

こちらのオハナシの続編ですか？

http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1164.html

No.2320Dengan kesaktian Indukmu2024年11月16日 10:14

200までの素数での全解(上にある解も含む)
5個組
[13,59,67,131,163] と [23,31,103,109,167]
[11,59,71,149,173] と [23,29,101,131,179]
[19,79,101,173,191] と [23,61,131,149,199]
[31,67,103,149,197] と [37,53,127,131,199]
6個組
[19,29,53,73,97,107] と [17,37,43,83,89,109]
[19,29,83,103,157,167] と [13,47,59,127,139,173]
[43,47,101,109,163,167] と [37,59,83,127,151,173]
[29,31,103,107,179,181] と [19,53,71,139,157,191]
[43,53,107,127,181,191] と [37,71,83,151,163,197]
ちなみに200を超えた次の解は
5個組
[61,79,151,197,227] と [67,71,157,191,229]
6個組
[19,53,89,157,193,227] と [17,67,73,173,179,229]

# 昔作ったプログラムがまだ残っていました。

No.2321らすかる2024年11月17日 04:08

過去この話題についての投稿があっていましたね。
一般にProuhet-Tarry-Escott problem と呼ばれることもあり、特に使う数を素数に限定するものが
何か特別に見えて面白いと思っていました。
と言うのも一般での整数では公式が存在できるので、幾つも組合せが発見できるが素数ではそうはいかなくなる。
ふと過去のノートを整理していたら、この素数に関する2組の解を見ていたら、他の解は有るんのか？
の疑問がわき実際にパソコンで探してみたら思ったものより多くの組合せが存在していることに驚いたのでした。
本に紹介されているのは、特にその中にある最小数での組合せとなっていることにしかないのかと認識でき
では探せるだけ探してみようと挑戦を始めてみたのが投稿の動機でした。
なにせ冪数が高まれば高まるだけ探索範囲が指数関数的に増大していき、ちょっとやそっとでは有限時間では
探し出せなくなって壁に突き当たってしまった状態になっております。

No.2322GAI2024年11月17日 05:56

らすかるさんありがとうございます。
３乗までの発見できるプログラム（一分位での計算時間では終了した。)
の延長の意味での4乗での検索では3日計算し続けても一つも発見できずにいました。
200までの素数での結果を知るまでの時間はどれほどなんですか？

結果を点検していたら
5乗までの和を等しく6個組の最小組
S1=[19,29,53,73,97,107] と
S2=[17,37,43,83,89,109]
に対し
M1=[-22,-17,-5,5,17,22]
M2=[-23,-13,-10,10,13,23]
なる対照的配列と
q=2,r=63
の定数を選べば
S1[n]=q*M1[n]+r
S2[n]=q*M2[n]+r
(n=1,2,3,4,5,6)
の関係で結ばれるようです。

また
S1=[19,53,89,157,193,227]
S2=[17,67,73,173,179,229]
なら
M1=[-52,-35,-17,17,35,52]
M2=[-53,-28,-25,25,28,53]
q=2,r=123
となるようです。

No.2323GAI2024年11月17日 06:36

時間測ってなかったので再度実行して確かめたところ、
5個組で20秒、6個組で3分半でした。

No.2324らすかる2024年11月17日 06:48

返信 (5)

問題作りの問題パート2

5桁同志の積が2桁の5つの連続する素数が並ぶ数を構成する組合せの2数を発見してください。
[例]
26837*41479=1113171923

No.2316GAI2024年11月13日 15:09

38123*45097=1719232931 ですか？

No.2317ＨＰ管理者2024年11月13日 16:11

あと
56809*76529=4347535961
78623*91243=7173798389
78443*94079=7379838997

No.2318らすかる2024年11月13日 17:05

返信 (2)

タイプ別の定積分

(1)∫[x=0->1](1-x^2)^5dx

(2)∫[x=0->1](x*(1-x))^5dx

(3)∫[x=0->1](x*(1-x))^5/(1+x^2)dx

但し明示的解で示して下さい。

No.2303GAI2024年11月6日 10:17

(1) 256/693
(2)1/2772
(3)11411/2520-2*log(2)-Pi
だと思います。

(1),(2)
は
一般に
∫[x=0,1](x*(1-x))^ndx=∫[x=0,1](1-x^2)^ndx/4^n
=Beta(n+1,n+1)
但し
Beta(s,t)=Γ(s)*Γ(t)/Γ(s+t)
(ベータ関数)
で繋がっていて
gp > bestappr(intnum(x=0,1,(1-x^2)^5))
%470 = 256/693
gp > bestappr(intnum(x=0,1,(1-x^2)^5)/4^5)
%471 = 1/2772
gp > bestappr(intnum(x=0,1,(x*(1-x))^5))
%472 = 1/2772
gp > Beta(s,t)=gamma(s)*gamma(t)/gamma(s+t);
gp > bestappr(Beta(6,6))
%475 = 1/2772

(3)は
∫[x=0,1]x^n/(1+x^2)dx=∫[t=0,Pi/4]tan(t)^ndt
の置換積分で
そこで
gp > (x*(1-x))^5
%476 = -x^10 + 5*x^9 - 10*x^8 + 10*x^7 - 5*x^6 + x^5
=(5*x^9+10*x^7+x^5)-(x^10+10*x^8+5*x^6)

ここで
I=∫[x=0,1](x*(1-x))^5/(1+x^2)dx
ここで
x=tan(t) と置くとdx=dt/cos(t)^2=dt*(1+tan(t)^2)=dt*(1+x^2)
x=0-->t=0 ; x=1-->t=Pi/4
よって
I=∫[t=0,Pi/4](5*tan(t)^9+10*tan(t)^7+tan(t)^5)dt
-∫[t=0,Pi/4](tan(x)^10+10*tan(t)^8+5*tan(t)^6)dt
=5*(1/2*log(2)-7/24)+10*(-1/2*log(2)+5/12)+(1/2*log(2)-1/4)
-(-1/4*Pi+263/315)-10*(1/4*Pi-76/105)-5*(-1/4*Pi+13/15)
=11411/2520-2*log(2)-Pi
(この計算はほとほとめんどくさい。)

gp > intnum(x=0,1,(x*(1-x))^5/(1+x^2))
%480 = 0.00028758846491931730606697697874715425500493507898685
gp > 11411/2520-2*log(2)-Pi
%481 = 0.00028758846491931730606697697874715425500493507898685

No.2306GAI2024年11月8日 18:46

私もベータ関数で考えました。

(1)については、

∫[x=0→1](1-x^2)^5dx=(1/2)∫[x=-1→1]((1+x)*(1-x))^5dx
=∫[t=0→1](2t*2(1-t))^5dt=2^10*Β(6,6)=2^10*Γ(6)^2/Γ(12)
=2^10*(5!)^2/(11!)=1024/2772=256/693
となりますが、

(2)については、

∫[x=0→1](x*(1-x))^5dx=∫[x=0→1](x^5*(1-x)^5)dx
=Β(6,6)=Γ(6)^2/Γ(12)=(5!)^2/(11!)=(5*4*3*2*1)/(11*10*9*8*7*6)
=1/(11*2*3*2*7*3)=1/2772
となるのではないでしょうか。

(3)については、∫[x=0→1](x*(1-x))^n/(1+x^2)dx (n=1,2,3,4,5)を順次求めてみました。

(x(1-x))/(1+x^2)=(x-x^2)/(1+x^2)=(x+1)/(1+x^2)-1
より
∫[x=0→1](x*(1-x))/(1+x^2)dx=∫[x=0→1]((x+1)/(1+x^2)-1)dx
=ln(2)/2+π/4-1

(x(1-x))^2/(1+x^2)=((x+1)/(1+x^2)-1)*(x(1-x))
((x+1)x(1-x))/(1+x^2)=(x-x^3)/(1+x^2)=2x/(1+x^2)-x
より
∫[x=0→1](x*(1-x))^2/(1+x^2)dx=∫[x=0→1](2x/(1+x^2)-x-x(1-x))dx
=ln(2)-Β(2,1)-Β(2,2)=ln(2)-Γ(2)Γ(1)/Γ(3)-Γ(2)^2/Γ(4)
=ln(2)-(1!*0!)/2!-(1!)^2/(3!)=ln(2)-1/2-1/6=ln(2)-2/3

(x(1-x))^3/(1+x^2)=(2x/(1+x^2)-x-x(1-x))*(x(1-x))
(x^2(1-x))/(1+x^2)=(x^2-x^3)/(1+x^2)=(x-1)/(1+x^2)-(x-1)
より
∫[x=0→1](x*(1-x))^3/(1+x^2)dx
=∫[x=0→1](2(x-1)/(1+x^2)+2(1-x)-x^2(1-x)-x^2(1-x)^2)dx
=ln(2)-π/2+2Β(1,2)-Β(3,2)-Β(3,3)
=ln(2)-π/2+2Γ(1)Γ(2)/Γ(3)-Γ(3)Γ(2)/Γ(5)-Γ(3)^2/Γ(6)
=ln(2)-π/2+2*(0!1!)/2!-(2!1!)/4!-(2!)^2/5!
=ln(2)-π/2+1-1/12-1/30=ln(2)-π/2+53/60

(x(1-x))^4/(1+x^2)=(2(x-1)/(1+x^2)+2(1-x)-x^2(1-x)-x^2(1-x)^2)*(x(1-x))
-(x-1)^2*x/(1+x^2)=-x*(1-2x+x^2)/(1+x^2)=2x^2/(1+x^2)-x=-2/(1+x^2)+2-x
より
∫[x=0→1](x*(1-x))^4/(1+x^2)dx
=∫[x=0→1](-4/(1+x^2)+4-2x+2x(1-x)^2-x^3(1-x)^2-x^3(1-x)^3)dx
=-π+4Β(1,1)-2Β(2,1)+2Β(2,3)-Β(4,3)-Β(4,4)
=-π+4Γ(1)^2/Γ(2)-2Γ(2)Γ(1)/Γ(3)+2Γ(2)Γ(3)/Γ(5)-Γ(4)Γ(3)/Γ(7)-Γ(4)^2/Γ(8)
=-π+4(0!)^2/1!-2(1!0!)/2!+2(1!2!)/4!+(3!2!)/6!-(3!)^2/7!
=-π+4-1+1/6-1/60-1/140=-π+22/7

(x(1-x))^5/(1+x^2)=(-4/(1+x^2)+4-2x+2x(1-x)^2-x^3(1-x)^2-x^3(1-x)^3)*(x(1-x))
(x(1-x))/(1+x^2)=(x-x^2)/(1+x^2)=(x+1)/(1+x^2)-1
より
=∫[x=0→1](-4(x+1)/(1+x^2)+4+4x(1-x)-2x^2(1-x)+2x^2(1-x)^3-x^4(1-x)^3-x^4(1-x)^4)dx
=-2*ln(2)/2-π+4Β(1,1)+4Β(2,2)-2Β(3,2)+2Β(3,4)-Β(5,4)-Β(5,5)
=-2*ln(2)/2-π+4Γ(1)^2/Γ(2)+4Γ(2)^2/Γ(4)-2Γ(3)Γ(2)/Γ(5)+2Γ(3)Γ(4)/Γ(7)-Γ(5)Γ(4)/Γ(9)-Γ(5)^2/Γ(10)
=-2*ln(2)/2-π+4(0!)^2/1!+4(1!)^2/3!-2(2!1!)/4!+2(2!3!)/6!-(4!3!)/8!-(4!)^2/9!
=-2*ln(2)/2-π+4+2/3-1/6+1/30-1/280-1/630=-2*ln(2)-π+11411/2520

No.2307kuiperbelt2024年11月8日 20:09

> "kuiperbelt"さんが書かれました:
> 私もベータ関数で考えました。

(3)もベータ関数に繋がるんですね。
参考にn=6,7,8,9,10
でやってみました。
I6=38429/13860-4*ln(2)
I7=2*π-4*ln(2)-421691/120120
I8=4*π-188684/15015
I9=8*ln(2)+4*π-17069771/942480
I10=16*ln(2)-1290876029/116396280

No.2308GAI2024年11月9日 05:20

管理人さんの解答と数値が合わなくて悩んでましたが、やっぱり (2) は 1/2772 ですよね？

(1)と(2)はベータ関数なんて持ち出さなくても、5回部分積分すれば高校生でもすぐ答えられる問題ですね。

(1)
∫[x=0->1] (1-x^2)^5 dx
= (1/2) ∫[x=-1->1] (1+x)^5*(1-x)^5 dx
= (1/2)*(5/6) ∫[x=-1->1] (1+x)^6*(1-x)^4 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7) ∫[x=-1->1] (1+x)^7*(1-x)^3 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8) ∫[x=-1->1] (1+x)^8*(1-x)^2 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9) ∫[x=-1->1] (1+x)^9*(1-x) dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9)*(1/10) ∫[x=-1->1] (1+x)^10 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9)*(1/10)*(1/11)*2^11
= 256/693

(2) (1) と同様にして
∫[x=0->1] (x*(1-x))^5 dx
= (5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9)*(1/10)*(1/11)*1^11
= 1/2772

No.2309DD++2024年11月9日 08:38

(3)
まず、
(x*(1-x))^5 = (1+x^2)Q(x) + ax + b
とおき、x = ±i を代入すると、
-4 - 4i = b + ai
-4 + 4i = b - ai
となるので、a = b = -4

また、
∫[x=0->1] 1/(1+x^2) dx = π/4（x=tanθの置換積分による）
と
∫[x=0->1] 2x/(1+x^2) dx = log2
が成り立ちます。

よって、
∫[x=0->1] (x*(1-x))^5/(1+x^2) dx
= ∫[x=0->1] {x^5*(1-x)^5+4x+4}/(1+x^2) dx - 4 ∫[x=0->1] 1/(1+x^2) dx - 2 ∫[x=0->1] 2x/(1+x^2) dx
= Σ[n=0->∞] ∫[x=0->1] {x^(2n+5)*(1-x)^5+4*x^(2n+1)+4*x^(2n)}*(-1)^n dx - π - 2log2
= Σ[n=0->∞] {120/((2n+11)(2n+10)(2n+9)(2n+8)(2n+7)(2n+6))+4/(2n+2)+4/(2n+1)}*(-1)^n - π - 2log2
= Σ[n=0->∞] {-1/(2n+11)+5/(2n+10)-10/(2n+9)+10/(2n+8)-5/(2n+7)+1/(2n+6)+4/(2n+2)+4/(2n+1)}*(-1)^n - π - 2log2
= 4/1 + 4/2 - 4/3 - 4/4 + 4/5 + 5/6 - 9/7 + 5/8 - 1/9 - π - 2log2
= 11411/2520 - π - 2log2

最後の1行は手計算じゃ厳しい……。

No.2310DD++2024年11月9日 10:21

11411/2520の正体が
4/1 + 4/2 - 4/3 - 4/4 + 4/5 + 5/6 - 9/7 + 5/8 - 1/9
であることには驚きました。
(x*(1-x))^6,(x*(1-x))^7
に現れる分数値
38429/13860、- 421691/120120
についてDD++さんの巧みな方法を参考に探すと
2 + 4/3 - 7/4 - 3/5 + 1/7 + 14/9 + 1/11 = 38429/13860
- 6 + 7/3 + 6/5 + 8/7 - 7/8 - 20/11 + 17/12 - 1/13 = - 421691/120120
によって構成されてくることになるんですね。
なおkuperbeltさんのベータ関数利用では
2 + 2/3 + 2/15 - 1/30 + 1/140 - 1/1260 - 1/2772 = 38429/13860
- 4 + 1/3 +2/15 + 1/35 - 1/140 + 1/630 - 1/5544 - 1/12012 = - 421691/120120
の構成になるようです。
しかしそもそも
∫[x=0,1]1/(x^2+1)dx=∑[n=0,oo]((-1)^n*∫[x=0,1]x^(2*n)dx)
∫[x=0,1]x/(x^2+1)dx=∑[n=0,oo](-1)^n*∫[x=0,1](x^(2*n+1)dx)
∫[x=0,1]x^2/(x^2+1)dx=∑[n=0,oo]((-1)^n*∫[x=0,1]x^(2*n+2)dx)
∫[x=0,1]x^s*(1-x)^sdx=∑[n=0,oo]((-1)^n*∫[x=0,1]x^(2*n+s)*(1-x)^sdx)
なんて式がどこから思いつけるんですか？

No.2314GAI2024年11月12日 07:15

単純に、
1/(1+x^2) がいやだなあ……
→x か 1-x だけを因数に持つものの総和で書けたらなあ……
→初項 1 で公比 -x^2 の無限等比級数に展開すれば、それできるじゃん！
というだけです。

ところで、あとから気がついたんですが、普通に x^5*(1-x)^5 を 1+x^2 で割った商を普通に積分すれば同じ内容の分数の和に帰着するっぽいですね。
式変形頑張ったの、あんまり意味なかった疑惑。

No.2315DD++2024年11月12日 08:41

返信 (7)

問題作りの問題

小学生への宿題問題
18035 * 68454
21642 * 57045
22818 * 54105
32463 * 38030
34227 * 36070
の他にもう一題5桁同志の掛け算の問題を作って下さい。

No.2311GAI2024年11月9日 17:00

19015*64926
でしょうか。

No.2313kuiperbelt2024年11月10日 14:31

返信 (1)

13個の金貨13人の技術者

13枚の金貨があり、そのうち1枚は放射性物質を含む偽物です。この偽物をガイガーカウンターを用いた一連の測定で特定する課題です。問題は以下のように構成されています：

金貨：13枚の金貨があり、1から13まで番号が振られています。ちょうど1枚が偽物です。

偽物の特性：偽の金貨は放射性物質を含んでおり、ガイガーカウンターで検出可能です。

技術者：13人の技術者が測定を行います。

測定プロセス：各技術者は13枚の金貨のうち一部を選んで測定します。技術者は選ばれた金貨をガイガーカウンターで同時に検査します。ガイガーカウンターは、選ばれた金貨の中に偽物が含まれている場合にのみ反応します。測定結果は、その技術者のみが知っています。

測定の制約：各技術者は正確に1回だけ測定を行い、合計13回の測定が行われます。

報告：各測定の後、技術者は「陽性」（放射線が検出された）または「陰性」（放射線が検出されなかった）と報告します。

信頼性の問題：技術者のうち最大2人までが、意図的な欺瞞や偶発的な誤りにより不正確な報告をする可能性があります。

目標：最大2件の不正確な報告があったとしても、偽の金貨を確実に特定することが目標です。

♦課題♦
この制約と技術者の報告における不正確さを考慮しながら、偽の金貨を確実に特定できる測定戦略と解析アルゴリズムを設計することが課題です。

No.2237Dengan kesaktian Indukmu2024年10月11日 22:39

技術者に名前A、2、3、4、5、6、7、8、9、X、J、Q、Kを割り当てます。13枚の金貨を次のように名前付けします：

C_{A, 2, 6, Q}
C_{2, 3, 7, K}
C_{3, 4, 8, A}
C_{4, 5, 9, 2}
C_{5, 6, X, 3}
C_{6, 7, J, 4}
C_{7, 8, Q, 5}
C_{8, 9, K, 6}
C_{9, X, A, 7}
C_{X, J, 2, 8}
C_{J, Q, 3, 9}
C_{Q, K, 4, X}
C_{K, A, 5, J}

特性
1. 数学の概念である集合を用いて金貨の名前をインデックス付けしています。例えば、C_{K, A, 5, J}とC_{A, 5, K, J}は同じ金貨を指します。
2. 各技術者は、インデックスに自分の名前を含む4枚の金貨を独立して測定します。
3. 各金貨はちょうど4人の技術者によって測定されます。

測定プロセス
Tを、割り当てられた金貨について陽性結果を報告した技術者の集合とします。

Tの例
T = {A, 3, 4, 8, J, K}
T = {2, 4, 9, X, K}
T = {2, 8, X, Q}
T = {6, 8, 9}
T = {J, 9}

⬛⬜⬛⬜⬛⬜
上記の計測方法でうまくいくのだと
ハミング距離という概念の説明ぬきに
集合概念を知っている小学生に教えるにはどうしたらよいでしょうか？

No.2238Dengan kesaktian Indukmu2024年10月11日 22:49

計測の結果として得られた集合 T の要素となったおのおのの技術者が計測した４枚のコインに、技術者ごとに、偽物ポイントを 1 づつ与えます。

たとえば、T の要素に 2(技術者の名)があれば、
C_{A, 2, 6, Q}
C_{2, 3, 7, K}
C_{4, 5, 9, 2}
C_{X, J, 2, 8}
の４枚に偽物ポイントを 1 づつ付与します。

13 人の技術者のうち、放射線陽性の報告をあげた技術者の全てについて上記の操作をおこなった結果として、偽物ポイントが最大のものがユニークに定まります。それが偽金貨です。

⬛⬜⬛⬜⬛⬜

これがなぜうまくいくのか？
という疑問です。
小学生にもわかる説明はありますでしょうか？

No.2239Dengan kesaktian Indukmu2024年10月11日 23:05

申し遅れました。早見表は以下の通りです。

'A23456789XJQK'
'1100010000010', //C_{A, 2, 6, Q}
'0110001000001', //C_{2, 3, 7, K}
'1011000100000', //C_{3, 4, 8, A}
'0101100010000', //C_{4, 5, 9, 2}
'0010110001000', //C_{5, 6, X, 3}
'0001011000100', //C_{6, 7, J, 4}
'0000101100010', //C_{7, 8, Q, 5}
'0000010110001', //C_{8, 9, K, 6}
'1000001011000', //C_{9, X, A, 7}
'0100000101100', //C_{X, J, 2, 8}
'0010000010110', //C_{J, Q, 3, 9}
'0001000001011', //C_{Q, K, 4, X}
'1000100000101', //C_{K, A, 5, J}

最小ハミング距離は 6 となっています。

No.2240Dengan kesaktian Indukmu2024年10月11日 23:18

ハミング距離をよく知らない私が説明にトライ。
理論はわかってないので、こうすれば説明できるんじゃないかなと思うことを書いてみる。

全部のパターンをやってみて大丈夫だねというごり押し説明なので長いです。

------

金貨の名前が長いので、上から順に "あ","い",…,"す" としましょう。
もとの金貨の名前から、今度はそれぞれの技術者が測定する金貨の名前の集合を作ります。
ちょっと大変ですが、頑張れば次のようになります。

A:{あ,う,け,す}
2:{あ,い,え,こ}
3:{い,う,お,さ}
4:{う,え,か,し}
5:{え,お,き,す}
6:{あ,お,か,く}
7:{い,か,き,け}
8:{う,き,く,こ}
9:{え,く,け,さ}
X:{お,け,こ,し}
J:{か,こ,さ,す}
Q:{あ,き,さ,し}
K:{い,く,し,す}

ここでたとえば、金貨"い"を測定する技術者を集めてみます。
2:{あ,い,え,こ}
3:{い,う,お,さ}
7:{い,か,き,け}
K:{い,く,し,す}
すると、"い"以外の12枚の金貨はどれも、この4人の技術者(2,3,7,K)のなかのだれか1人だけが
測定していることがわかります。

同様に、ほかの金貨を測定する4人の技術者を見てみても、
残り12枚の金貨を4人のなかのだれか一人だけが測定するようになっています。
気になったらあとでそれぞれの金貨で確認してみてください。
このことがこの方法でうまくいく最大の理由です。

さて、まずは技術者全員が正確な報告をした場合を考えましょう。
この場合、4人が陽性(自分が測定した4枚中に偽物あり)と報告し、
残り9人が陰性(自分が測定した4枚中に偽物なし)と報告することになります。

たとえば金貨"い"が偽物だった場合、技術者{2,3,7,K}が陽性報告、他の技術者が陰性報告となります。
このとき、金貨"い"の偽物ポイントが4になり、残りの金貨の偽物ポイントは1になります。
なぜなら、先ほど確認したように、金貨"い"を測定する4人の技術者は、
"い"以外の12枚の金貨を重複することなくだれか1人だけが測定しているからです。

別の金貨が偽物だった場合でも同様に、偽物が4ポイント、その他の金貨が1ポイントになります。
よって、技術者全員が正確な報告をした場合は偽物を見分けられることがわかりました。

次に、不正確な報告をした技術者がいた場合を考えます。
これは次のように5パターンが考えられます。
・偽物を測定した4人のうちの1人が陽性(偽物あり)ではなく陰性(偽物なし)と報告した場合。
・偽物を測定した4人のうちの2人が陽性(偽物あり)ではなく陰性(偽物なし)と報告した場合。
・偽物を測定しなかった9人のうちの1人が陰性(偽物なし)ではなく陽性(偽物あり)と報告した場合。
・偽物を測定しなかった9人のうちの2人が陰性(偽物なし)ではなく陽性(偽物あり)と報告した場合。
・偽物を測定した4人のうちの1人が陽性(偽物あり)ではなく陰性(偽物なし)と報告し、
　　かつ、偽物を測定しなかった9人のうちの1人が陰性(偽物なし)ではなく陽性(偽物あり)と報告した場合。

順番に見ていきましょう。

偽物を測定した4人のうちの1人が陽性(偽物あり)ではなく陰性(偽物なし)と報告した場合は、
不正確な報告をした人が測定していた金貨の偽物ポイントが1ポイント減るので、
偽物金貨が3ポイント、その他の金貨は1ポイントまたは0ポイントになります。
よって偽物を見分けられます。

偽物を測定した4人のうちの2人が陽性(偽物あり)ではなく陰性(偽物なし)と報告した場合は、
不正確な報告をした人が共通して測定していた偽物のポイントが2ポイント減り、
不正確な報告をした人が測定していた他の金貨のポイントは1ポイント減るので、
偽物金貨が2ポイント、その他の金貨は1ポイントまたは0ポイントになり、偽物を見分けられます。

偽物を測定しなかった9人のうちの1人が陰性(偽物なし)ではなく陽性(偽物あり)と報告した場合は、
不正確な報告をした人が測定していた金貨の偽物ポイントが1ポイント足されることになります。
不正確な報告をした人が測定したのは偽物でない金貨なので、
偽物金貨は4ポイント、その他の金貨は1ポイントまたは2ポイントになります。
よって偽物を見分けられます。

偽物を測定しなかった9人のうちの2人が陰性(偽物なし)ではなく陽性(偽物あり)と報告した場合は、
不正確な報告をした人2人が共通して測定していた金貨は2ポイント追加され、
不正確な報告をした人のうちどちらか1人だけが測定していた金貨は1ポイントが追加されるので、
偽物金貨は4ポイント、その他の金貨は1ポイントまたは2ポイントまたは3ポイントになり、
偽物を見分けられます。

最後に、偽物を測定した4人のうちの1人が陽性(偽物あり)ではなく陰性(偽物なし)と報告し、
偽物を測定しなかった9人のうちの1人が陰性(偽物なし)ではなく陽性(偽物あり)と報告した場合を考えます。
陽性を陰性と報告した人が測定した金貨は1ポイント減少し、
陰性を陽性と報告した人が測定した金貨は1ポイント増加します。
これにより、偽物金貨は3ポイント、その他の金貨は1ポイントまたは0ポイントまたは2ポイントになるので
偽物を見分けられます。

以上により、不正確な報告を行った技術者が最大2人いたとしても、偽物を特定できることがわかります。

------

さて、小学生には難解すぎる説明になってしまったうえに、
これがなぜうまくいくのか？の「なぜ」の部分にちゃんと答えられていないことから、
Dengan kesaktian Indukmu さんの質問に答えたとはいえないでしょうね……。
すみません。

No.2246りらひい2024年10月13日 01:35

りらひいさんは「誰がどんなタイプの嘘をついたか事前にわかっている前提」で書いているような？
Dengan さんは、「誰がどんなタイプの嘘をついたかわかっていない前提」での話を尋ねているのではないかと思います。

No.2247DD++2024年10月13日 04:39

説明はこんな感じでしょうか？

仮に全員が正直に報告した場合、本物は偽物ポイント1、偽物は偽物ポイント4になります。

ここで、研究者の誰かが嘘をついたとします。
もし、陽性を報告するはずの研究者が誤って陰性と報告した場合、該当する4枚の偽物ポイントが誤って1下がります。
逆に、もし、陰性を報告するはずの研究者が誤って陽性と報告した場合、該当する4枚の偽物ポイントが誤って1上がります。

すなわち、研究者が1人報告を誤るごとに、2枚のコインの偽物ポイントの差が誤って1変化する可能性があります。
……が、本物と偽物の偽物ポイント差は本来3ポイントあるので、誤りが2人までならその大小関係が逆転することはありません。
したがって、どんな場合でも偽物ポイントが最大であるものが偽物で確定です。

No.2248DD++2024年10月13日 04:47

りらひいさん、DD++さん。
まことに有難うございました。おかげさまでスッキリいたしました。
容疑ポイントで逆転がおきえないことをスマートに説明することができるようになりました。

>残り12枚の金貨を4人のなかのだれか一人だけが測定するようになっています。

の視点も重要と存じます。
というのは、追加で14枚めのコインがあったとして、全技術者が必ずこのコインを計測する、その他のコインについてはここまでの従前通り、としても、
最小ハミング距離は 6 のままですので、やはり偽コインの特定は成功することとなります。
でも、この場合に今回の仕様の容疑者ポイントを使った方法では、なんだかとてもめんどくさいことになります。別の手が欲しいところですが、なかなかです。

No.2249Dengan kesaktian Indukmu2024年10月13日 10:58

考え直して、りらひいさんに誤った指摘をしてしまっていたことに気づきました。
証明はどんな嘘が混ざったかを前提にしてますが、最終的に判断する方法は「偽物ポイントが最大のもの」で共通しているので、嘘の混ざり方がわからないまま実行してOKな手順なんですねコレ。
失礼しました。

No.2250DD++2024年10月13日 15:57

DD++さん

わたしも言葉が足りていなかったと反省しています。

技術者全員が正確な報告をした場合について書き始める前に、
「不正確な報告がどのような場合であっても偽物を特定できることを示すために、
　不正確な報告を分類してすべての場合で偽物を判別できるかを個別に考える。」
みたいな一文があればよかったのでしょう。
それから、「さて、まずは…」という書き始めも誤解を生んだ可能性がありますね。
言葉の選び方が悪かった面もあると思います。

DD++さんのお言葉から判断するに、
偽物の判断基準を私の投稿内で明示しなかったこともよくなかったみたいですね。
偽物の判断基準はDengan kesaktian Indukmuさんの投稿に示されていて
共通認識になっていると思い端折ってしまいました。
すみませんでした。

---------

さて、私が投稿した説明についてもう少し反省を……。

まず、後半の場合分け自体が過剰な回答でしたね。
DD++さんの説明が簡潔でわかりやすいと思います。

そして、前半の集合の再構築も特に不要でした。
「ある1つの金貨を測定する4人の技術者を集めたとき、
　残り12枚の金貨はそれぞれこの4人のなかのだれか一人だけが測定する」
ということを示すには各技術者が測定する金貨の名前の集合を作った方がわかりやすいと思ったのですが、
もとのDengan kesaktian Indukmuが書かれた金貨の名前のリストだけで十分に確認可能でした。
その説明は次のような感じです。
***
C_{2, 3, 7, K}を測定する4人の技術者2,3,7,Kが測定するほかの金貨について考える。
C_{2, 3, 7, K}以外の金貨の名前を見てみると、どれも2,3,7,Kのなかのどれか一つだけを含むことがわかる。
これは、C_{2, 3, 7, K}以外の12枚の金貨をこの4人のなかのだれか一人だけが測定することを意味する。
ほかの金貨の場合でも同様のことが成り立つ。
***
こんな感じの説明でいけました。
金貨に名前を付けなおして集合を作るくだりはいらなかったですね。

やっぱり思いついたことをそのまま書き連ねた後に大して推敲せずすぐに投稿すると、
後々直した方がいい箇所がいろいろ見つかりますね。

No.2251りらひい2024年10月13日 19:16

小学生向けの説明ではありませんが、13枚の金貨への13人の技術者の割り当ては、以下のようにGF(3)上の射影平面の9点に9人の技術者が対応し、残りの4人がGF(3)上の射影平面の無限遠点に対応しますね。

A:(0,0,1) 2:(1,0,1) Q:(2,0,1)
5:(0,1,1) 3:(1,1,1) X:(2,1,1)
J:(0,2,1) 7:(1,2,1) 4:(2,2,1)

6:(1,0,0),K:(0,1,0),8:(1,1,0),9:(2,1,0)は、直線A-2-Q,A-5-J,A-3-4,A-7-Xの延長上の無限遠点に対応します。

GF(3)上の射影平面の直線は
A-2-Q-6,5-3-X-6,J-7-4-6,
A-5-J-K,2-3-7-K,Q-X-4-K,
A-3-4-8,2-X-J-8,Q-5-7-8,
A-7-X-9,5-2-4-9,J-3-Q-9,
6-8-K-9

の13本ですが、13本の直線がそれぞれ13枚の金貨に相当します。
13人の技術者が全て真の報告をするのであれば、偽金貨が1枚のときは4人が陽性、9人が陰性の報告をすることになります。

13人の技術者のうち、最大2人が偽の報告をする場合、偽の報告を偽陽性、偽陰性とすると、13人からの報告は

①3人が陽性、1人が偽陰性、9人が陰性
②2人が陽性、2人が偽陰性、9人が陰性
③4人が陽性、1人が偽陽性、8人が陰性
④4人が陽性、2人が偽陽性、7人が陰性
⑤3人が陽性、1人が偽陰性、1人が偽陽性、8人が陰性

となります。

①②の場合
GF(3)上の射影平面上の直線は、2点が特定されると一意に決まるので、偽金貨を特定することができます。

③④の場合
GF(3)上の射影平面上の直線には4点が含まれ、陽性の報告をした技術者は同一直線上の4点に相当し、偽陽性の報告をした技術者は、当該直線外の点に相当します。偽陽性の報告をした技術者が2人までなので、直線外の点は2個しかなく、偽金貨に相当する直線以外に4点が並ぶことがないので偽金貨を特定することができます。

⑤の場合
陽性の報告をした技術者は同一直線上の3点に相当し、偽陽性の報告をした技術者は、当該直線外の1点に相当します。偽金貨に相当する直線上の3点のうち2点と当該直線外の1点を同時に通る直線というのは存在しないので、偽陽性を報告した技術者に相当する点を結ぶ直線上には、陽性あるいは偽陽性を報告した技術者に相当する点が2点しか存在しないことになります。こうして、陽性あるいは偽陽性の報告した技術者に相当する点のうち3点が並ぶ直線に相当する金貨が偽金貨と特定されます。

No.2255kuiperbelt2024年10月14日 21:27

はい。
PG(2,3)および同じ構造ですが(2,3) Singerは以下の特徴を共有します：
点の数: 13点
直線の数: 13直線
各直線上の点の数: 4点
各点を通る直線の数: 4直線

No.2257Dengan kesaktian Indukmu2024年10月14日 23:23

もう、どこにぶら下げたらよいやら分からなくなりましたので

13個の金貨13人の技術者に投稿します。

技術者が13人いるのならば
金貨は88枚でいけるでしょ？
と教えられました。
まだ理解していません。

No.2282Dengan kesaktian Indukmu2024年10月20日 22:05

単に88×88行列で各行各列が1が13個ずつ配列できるものは構成可能ですが、これが限界という意味が私には理解できません。
(コンピュータによる出力のため2を0に読み替えて見てください。)

%01 = 2121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122
%02 = 2212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212
%03 = 2221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221
%04 = 1222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222
%05 = 2122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222
%06 = 2212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222
%07 = 2221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222
%08 = 2222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222
%09 = 2222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222
%10 = 2222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222
%11 = 2222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222
%12 = 2222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222
%13 = 2222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122
%14 = 2222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212
%15 = 2222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221
%16 = 1222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222
%17 = 2122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222
%18 = 2212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222
%19 = 2221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222
%20 = 2222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222
%21 = 2222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222
%22 = 2222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222
%23 = 2222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222
%24 = 2222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122
%25 = 2222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212
%26 = 2222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221
%27 = 1222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222
%28 = 2122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222222
%29 = 2212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222222
%30 = 2221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222222
%31 = 2222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122222
%32 = 2222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212222
%33 = 2222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221222
%34 = 2222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222122
%35 = 2222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222212
%36 = 2222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222221
%37 = 1222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222222
%38 = 2122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222222
%39 = 2212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222222
%40 = 2221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122222
%41 = 2222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212222
%42 = 2222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221222
%43 = 2222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222122
%44 = 2222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221222222212
%45 = 2222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222221
%46 = 1222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222222122222212222222
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%48 = 2212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222122222
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%53 = 2222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222221
%54 = 1222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212222221222222
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%56 = 2212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222212222
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%62 = 2122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122222
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%64 = 2221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221222
%65 = 2222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222122
%66 = 2222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222212
%67 = 2222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222221
%68 = 1222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122222
%69 = 2122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212222
%70 = 2212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221222
%71 = 2221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222122
%72 = 2222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222212
%73 = 2222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122221
%74 = 1222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212222
%75 = 2122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221222
%76 = 2212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222122
%77 = 2221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122212
%78 = 2222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212221
%79 = 1222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221222
%80 = 2122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122122
%81 = 2212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212212
%82 = 2221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121221
%83 = 1222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212122
%84 = 2122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221212
%85 = 2212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222121
%86 = 1221222122221222221222222122222212222222122222222122222222212222222222122222222222122212
%87 = 2122122212222122222122222212222221222222212222222212222222221222222222212222222222212221
%88 = 1212212221222212222212222221222222122222221222222221222222222122222222221222222222221222

No.2285GAI2024年10月22日 13:21

GAI さん。ありがとうございます。

小さなモデルでは次のようになります。
ガイガーカウンター管で 11 回計測する。(技術者ひとりにつき１回、技術者の総数は 11 、うち０人~２人は嘘の報告をする)
このとき、22 枚の金貨のうち 1 枚の放射性物質を含む偽金貨を特定できる。
計測の準備には2通りの方法がある。
①少しづつ金貨を計測していき、その計測結果をもとにして次の計測の段取りをつける
②実際の計測の前に11人の技術者が計測する金貨を決定してしまう。

おとついみつけてたまげたのですが、下記のように計測すれば②で22枚中1枚を特定できます。

10111000100,
01011100010,
00101110001,
10010111000,
01001011100,
00100101110,
00010010111,
10001001011,
11000100101,
11100010010,
01110001001,
01000111011,
10100011101,
11010001110,
01101000111,
10110100011,
11011010001,
11101101000,
01110110100,
00111011010,
00011101101,
10001110110,

たまげた理由。
②のやりかたのシバリでは、kuiperbelt さんも、私も、最大 16 枚の金貨中から偽金貨1枚をみつける方法を過去に投稿して来ました。
符号長11で最小ハミング距離が 5 以上の系では、符号の最大総数は 16 だろうという雰囲気で。ところが上ではそれを6枚ぶん上回りました。
もっというと、all 0 と all 1 を勘定にいれれば 24 枚となるところに驚いております。

で、今回の 88 枚の件ですが、
技術者を13人とし、計測の方法は ① とする、ということとなります。嘘つきの数は変えません。少しづつ、計測しながら、その結果をみながら、次に測定する金貨を定めていく、しかも、いつ嘘をつかれるか不定である、そのような状況下で、88 枚も処理できるなんて！？？

この 88 は先ほどの 22 の 4 倍になっています。なにか関係があるかどうか探っています。

No.2286Dengan kesaktian Indukmu2024年10月22日 14:59

wikipedia のプロトキン限界の項目では
符号長 11 最小ハミング距離が 5 の二元コードの符号語数が最大 24 となり、
やった！！！
みつけたぞ！！！
と大喜びしておりましたが、
これの限界の公式は、どうやら間違いのようで。ぐはっ

No.2287Dengan kesaktian Indukmu2024年10月22日 15:56

方法①ならこんな感じでどうしょう。
行き当たりばったりで組んだので汚いですが……。

金貨を4つのグループA,B,C,Dに振り分けながら測定を行っていく。

・グループA：偽金貨だった場合に現在までの全員が正しく報告をしている金貨の集合（偽金貨である可能性がある）
・グループB：偽金貨だった場合に現在までの一人が誤った報告をしている金貨の集合（偽金貨である可能性がある）
・グループC：偽金貨だった場合に現在までの二人が誤った報告をしている金貨の集合（偽金貨である可能性がある）
・グループD：偽金貨だった場合に現在までの三人が誤った報告をしている金貨の集合（偽金貨である可能性はない）

グループA,B,C,Dは、最上位:A→B→C→D:最下位となるように順位付けしておく。

各技術者の測定結果に応じて次のように金貨のグループを変更する。
陽性⇒測定した金貨は今のグループに残す。測定しなかった金貨を一つ下位のグループに移す(グループDの金貨を除く)。
陰性⇒測定した金貨を一つ下位のグループに移す。測定しなかった金貨は今のグループに残す。

最初は88枚すべてグループAである。
測定を繰り返してグループDが87枚になったら、残った1枚が偽金貨である。

測定方法は以下の通り(あくまでも一例である)。

丸数字は測定方法の場合分けであり、前の人までの測定結果によりどれかを選択していく。
丸数字のあとのA,B,C,Dの数字は測定前の各グループの金貨の枚数。
各グループからそれぞれ決められた枚数を選んでまとめて測定する。
グループ内でどの金貨を選ぶかは自由。

[1人目]
① A:88, B:0, C:0, D:0 ⇒ Aから44枚測定
　・陽性/陰性 → 2人目①へ

[2人目]
① A:44, B:44, C:0, D:0 ⇒ Aから22枚、Bから22枚測定
　・陽性/陰性 → 3人目①へ

[3人目]
① A:22, B:44, C:22, D:0 ⇒ Aから11枚、Bから22枚、Cから11枚測定
　・陽性/陰性 → 4人目①へ

[4人目]
① A:11, B:33, C:33, D:11 ⇒ Aから6枚、Bから15枚、Cから12枚測定
　・陽性 → 5人目①へ
　・陰性 → 5人目②へ

[5人目]
① A:6, B:20, C:30, D:32 ⇒ Aから3枚、Bから10枚、Cから15枚測定
　・陽性/陰性 → 6人目①へ

② A:5, B:24, C:36, D:23 ⇒ Aから3枚、Bから11枚、Cから12枚測定
　・陽性 → 6人目①へ
　・陰性 → 6人目②へ

[6人目]
① A:3, B:13, C:25, D:47 ⇒ Aから2枚、Bから5枚、Cから12枚測定
　・陽性 → 7人目①へ
　・陰性 → 7人目②へ

② A:2, B:16, C:35, D:35 ⇒ Aから1枚、Bから9枚、Cから11枚測定
　・陽性 → 7人目②へ
　・陰性 → 7人目③へ

[7人目]
① A:2, B:6, C:20, D:60 ⇒ Aから1枚、Bから3枚、Cから10枚測定
　・陽性/陰性 → 8人目①へ

② A:1, B:10, C:18, D:59 ⇒ Aから1枚、Bから4枚、Cから7枚測定
　・陽性 → 8人目①へ
　・陰性 → 8人目②へ

③ A:1, B:8, C:33, D:46 ⇒ Aから1枚、Bから4枚、Cから9枚測定
　・陽性 → 8人目①へ
　・陰性 → 8人目③へ

[8人目]
① A:1, B:4, C:13, D:70 ⇒ Aから1枚、Bから1枚、Cから6枚測定
　・陽性 → 9人目①へ
　・陰性 → 9人目②へ

② A:0, B:7, C:15, D:66 ⇒ Bから4枚、Cから5枚測定
　・陽性 → 9人目②へ
　・陰性 → 9人目③へ

③ A:0, B:5, C:28, D:55 ⇒ Bから3枚、Cから12枚測定
　・陽性 → 9人目③へ
　・陰性 → 9人目④へ

[9人目]
① A:1, B:1, C:9, D:77 ⇒ Aから1枚、Bから0枚、Cから3枚測定
　・陽性 → 10人目①へ
　・陰性 → 10人目②へ

② A:0, B:4, C:8, D:76 ⇒ Bから2枚、Cから4枚測定
　・陽性/陰性 → 10人目②へ

③ A:0, B:3, C:14, D:71 ⇒ Bから2枚、Cから5枚測定
　・陽性 → 10人目②へ
　・陰性 → 10人目③へ

④ A:0, B:2, C:19, D:67 ⇒ Bから1枚、Cから10枚測定
　・陽性 → 10人③目へ
　・陰性 → 10人④目へ

[10人目]
① A:1, B:0, C:4, D:83 ⇒ Aから1枚測定
　・陽性 → 結論①へ
　・陰性 → 11人目①へ

② A:0, B:2, C:6, D:80 ⇒ Bから1枚、Cから3枚測定
　・陽性/陰性 → 11人目①へ

③ A:0, B:1, C:11, D:76 ⇒ Bから1枚、Cから4枚測定
　・陽性 → 11人目①へ
　・陰性 → 11人目③へ

④ A:0, B:1, C:10, D:77 ⇒ Bから1枚、Cから3枚測定
　・陽性 → 11人目②へ
　・陰性 → 11人目③へ

[11人目]
① A:0, B:1, C:4, D:83 ⇒ Bから1枚、Cから1枚測定
　・陽性 → 12人目①へ
　・陰性 → 12人目②へ

② A:0, B:1, C:3, D:84 ⇒ Bから1枚、Cから1枚測定
　・陽性 → 12人目①へ
　・陰性 → 12人目③へ

③ A0:, B:0, C:8, D:80 ⇒ Cから4枚測定
　・陽性/陰性 → 12人目②へ

[12人目]
① A:0, B:1, C:1, D:86 ⇒ Bから1枚測定
　・陽性 → 結論②へ
　・陰性 → 13人目①へ

② A:0, B:0, C:4, D:84 ⇒ Cから2枚測定
　・陽性/陰性 → 13人目①へ

③ A:0, B:0, C:3, D:85 ⇒ Cから2枚測定
　・陽性 → 13人目①へ
　・陰性 → 結論③へ

[13人目]
① A:0, B:0, C:2, D:86 ⇒ Cから1枚測定
　・陽性/陰性 → 結論③へ

[結論]
① A:1, B:0, C:0, D:87 ⇒ Aの1枚が偽金貨確定

② A:0, B:1, C:0, D:87 ⇒ Bの1枚が偽金貨確定

③ A:0, B:0, C:1, D:87 ⇒ Cの1枚が偽金貨確定

※12人目までに偽金貨が確定した場合、残りの技術者に偽金貨だけを測定させれば嘘つきを特定することもできる。

各測定の枚数は条件を満たすものをとりあえずで決めただけなので、ほかにも測定方法はいろいろありそうです。

No.2289りらひい2024年10月23日 18:05

りらひいさん！

これ、大変に興味深いです。！！！
ありがとうございます。
勉強させてください。
今日は病院待合が立て込んでおりまして
ボチボチとトレースしたいとぞんじます。

皆様への追伸:
皆様には当然のことですけれども一応。

■上界と上限の違い
上界 (Upper Bound): 集合 A の上界とは、集合のすべての要素がその数以下であるような数のことです。上界は複数存在する可能性があります。
上限 (Supremum): 上限は、上界の中で最小のものを指します。つまり、上限より小さい数は上界ではなくなります。上限は一意に定まります。

例として、集合 (0,1) の場合、1が上限ですが、2や3も上界です。

さて。
[2286]の拙投稿にて
バイナリコードにおける、符号長 11 、最小ハミング距離が 5 であって、符号語の数が 24 であるものの具体的な構成例をお示しいたしました。

昨夜にみつけたのですけれども、
バイナリコードにおける、符号長 11 、最小ハミング距離が 5 という条件のもとで、
符号語の数のひとつの上界として 24 が既に証明されているようです。
→　
Table of general binary codes
https://aeb.win.tue.nl/codes/binary-1.html

このページに記載の上界の一覧表では
符号長 n . 最小ハミング距離 d のもとで、符号語数 A₂(n,d) がまとめられています。ただし、d が偶数のときのみです。
d が奇数の時には以下の公式を使います。
A₂(n-1,2e-1) = A₂(n,2e)

そこで、n=12, e=3 とすると、
A₂(11,5) = A₂(12,6)
となります。
A₂(11,5)の値を知りたかったので一覧表からA₂(12,6)を引きます。
A₂(12,6) = 24
が得られました。すなわち
A₂(11,5) = 24
となります。
バイナリコードにおける、符号長 11 、最小ハミング距離が 5 という条件のもとで、
符号語の数のひとつの上界として 24 が判明したということとなります。

あらためまして先日みつけた符号を下記に再掲いたします。

00000000000,
10111000100,
01011100010,
00101110001,
10010111000,
01001011100,
00100101110,
00010010111,
10001001011,
11000100101,
11100010010,
01110001001,
01000111011,
10100011101,
11010001110,
01101000111,
10110100011,
11011010001,
11101101000,
01110110100,
00111011010,
00011101101,
10001110110,
11111111111,

24 という上界は上限でもあったと判明したこととなります(個人的に嬉しくてイキっております、ご寛恕を願います)

No.2290Dengan kesaktian Indukmu2024年10月24日 08:53

以下の問題に解があるとのお知らせをもらいました。このスレッドの冒頭に比べて金貨が51枚も増えています。

64 枚の金貨があり、そのうち1枚は放射性物質を含む偽物です。この偽物をガイガーカウンターを用いた一連の測定で特定する課題です。問題は以下のように構成されています：

金貨：64 枚の金貨があり、1 から 64 まで番号が振られています。ちょうど 1 枚が偽物です。

偽物の特性：偽の金貨は放射性物質を含んでおり、ガイガーカウンターで検出可能です。

技術者：13人の技術者が測定を行います。

測定プロセス：各技術者は 64 枚の金貨のうち一部を選んで測定します。技術者は選ばれた金貨をガイガーカウンターで同時に検査します。ガイガーカウンターは、選ばれた金貨の中に偽物が含まれている場合にのみ反応します。測定結果は、その技術者のみが知っています。

測定の制約：各技術者は正確に 1 回だけ測定を行い、合計 13 回の測定が行われます。

報告：各測定の後、技術者は「陽性」（放射線が検出された）または「陰性」（放射線が検出されなかった）と報告します。

信頼性の問題：技術者のうち最大 2 人までが、意図的な欺瞞や偶発的な誤りにより不正確な報告をする可能性があります。

目標：最大 2 件の不正確な報告があったとしても、偽の金貨を確実に特定することが目標です。

- - -

割とまじめに計算機を使いましたがせいぜいで 40 枚くらいまでで………
64 枚解を求めるためには本格的なバックトラッキングをしなくては解けない気がしてきまして慄いています。

No.2299Dengan kesaktian Indukmu2024年11月1日 23:05

[2299]の答です。
符号語数が64で符号長が13、最小ハミング距離が5となっています。

0000000000000
0000000011111
0000011100011
0000101101100
0000110110101
0000111011010
0001001110110
0001110001001
0010010101110
0010101010001
0011001001011
0011010010010
0011011111101
0011100100111
0011100111000
0011111000100
0100010111000
0100101000111
0101000101101
0101011001110
0101011010001
0101100010100
0101101111011
0101110100010
0110000110011
0110001011100
0110010000101
0110100001010
0110111101001
0110111110110
0111001100000
0111110011111
1000011010100
1000100101011
1001000110001
1001010000111
1001011101000
1001101000010
1001101011101
1001110111110
1010001100101
1010001111010
1010010011001
1010100010110
1010110100000
1010111001111
1011000001100
1011111110011
1100000100110
1100001001001
1100011111111
1100101110000
1100110001100
1100110010011
1101000011010
1101111100101
1110011000010
1110100111101
1111001010111
1111010101011
1111010110100
1111100000001
1111101101110
1111111011000

どうやっても私には独力では作れませんでした。ガックシ…… 符号語数が32までならスグに作れるのに。

No.2304Dengan kesaktian Indukmu2024年11月6日 16:52

ご参考。

OEIS の A005865
https://oeis.org/A005865
にてわかることとして
A005865(13, 5) = A005865(14, 6) = 64
となります。
嘘報告が最大2(すなわち5/2の整数部分)あっても13回測れば
64枚から1枚の偽金貨を特定できるということなので
その具体的な方法は？
というストーリーなのでした。

No.2305Dengan kesaktian Indukmu2024年11月6日 23:10

返信 (20)

角の大きさ（４０）

∠ＡＯＣ＝１８°なので、∠ＡＢＣ＝３６°である。
は
∠ＡＢＣ＝9°ではないでしょうか？
従って求める∠ＣＰＦ=162°(=9/10*πラジアン)

No.2302GAI2024年11月5日 16:28

返信

10/29更新の「数列の和」の問題

こんな解き方が思いついた場合どうすればいいんでしょうね。

任意の自然数 k に対し 1+a[k]>0 なので、相加平均と相乗平均の大小関係により
Π[k=1→n] (1+a[k]) ≦ (1+s[n]/n)^n = Σ[k=0→n] nCk/n^k*s[n]^k
ここで、nCk/n^k * k! = nPk/n^k ≦ 1 なので、nCk/n^k > 1/k!
したがって、Π[k=1→n] (1+a[k]) ≧ Σ[k=0→n] 1/k!*s[n]^k

数学的帰納法を使うよりも本質を捉えた証明ではないかと思いますが、帰納法を使ってないので 0 点になるんでしょうか？
証明法の探究の場合はさておき、入試で証明方法に制限をつけるのは、ナンセンスと感じますね。

No.2300DD++2024年11月3日 00:30

すみません、証明の最後の2行、不等号が逆でした。
記事の方もお手数ですが修正お願いします……。

No.2301DD++2024年11月3日 08:23

返信 (1)

四元数要素の逆行列

「四元数要素の逆行列」について、
|𝐴|₁₁=𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁
|𝐴|₁₂=𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂
|𝐴|₂₁=𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁
|𝐴|₂₂=𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂
は、quasideterminantといわれるものですね。

Aの逆行列𝐴⁻¹は、
(𝐴⁻¹)₁₁=|𝐴|₁₁⁻¹
(𝐴⁻¹)₁₂=|𝐴|₂₁⁻¹
(𝐴⁻¹)₂₁=|𝐴|₁₂⁻¹
(𝐴⁻¹)₂₂=|𝐴|₂₂⁻¹
であり、
|𝐴|₁₁⁻¹=(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁)⁻¹=(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁/|𝑎₂₂|²)⁻¹=|𝑎₂₂|²(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)⁻¹
=|𝑎₂₂|²(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/||𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎'₂₂𝑎₂₁|²
であり、
||𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁|²/|𝑎₂₂|²=(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/|𝑎₂₂|²
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
はStudyの行列式といってSdet(A)と表されます。

同様に、
|𝐴|₁₂⁻¹=(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂)⁻¹=(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂/|𝑎₂₁|²)⁻¹
=|𝑎₂₁|²(|𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂)⁻¹=|𝑎₂₁|²(|𝑎₂₁|²𝑎̅₁₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)/||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²
|𝐴|₂₁⁻¹=(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁)⁻¹=(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁/|𝑎₁₂|²)⁻¹
=|𝑎₁₂|²(|𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁)⁻¹=|𝑎₁₂|²(|𝑎₁₂|²𝑎̅₂₁-𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂)/||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²
|𝐴|₂₂⁻¹=(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂)⁻¹=(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂/|𝑎₁₁|²)⁻¹
=|𝑎₁₁|²(|𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂)⁻¹=|𝑎₁₁|²(|𝑎₁₁|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁)/||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²
であり、

||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²/|𝑎₂₁|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂
||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²/|𝑎₁₂|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁
||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²/|𝑎₁₁|²=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂
𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂
=𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁=𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂=2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
なので、
||𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂|²/|𝑎₂₁|²=||𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁|²/|𝑎₁₂|²=||𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂|²/|𝑎₁₁|²=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。

以上より、
(𝐴⁻¹)₁₁=(|𝑎₂₂|²𝑎̅₁₁-𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₁₂=(|𝑎₁₂|²𝑎̅₂₁-𝑎̅₁₁𝑎₁₂𝑎̅₂₂)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₁=(|𝑎₂₁|²𝑎̅₁₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₂=(|𝑎₁₁|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₁₂𝑎₁₁𝑎̅₂₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。

No.2242kuiperbelt2024年10月12日 17:08

A=(a_{ij})のエルミート共役な行列𝐴*は𝐴*=(𝑎̅ _{ji})であって、Aと𝐴*との積𝐴𝐴*は
(𝐴𝐴*)₁₁=𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂
(𝐴𝐴*)₁₂=𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂
(𝐴𝐴*)₂₁=𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂
(𝐴𝐴*)₂₂=𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂
となり、𝐴𝐴*はエルミート行列となります。

エルミート行列X=(X_{ij}),𝑥̅₁₁=𝑥₁₁,𝑥̅₂₂=𝑥₂₂,𝑥̅₁₂=𝑥₂₁については
Mooreの行列式Mdet(X)を𝑀𝑑𝑒𝑡(𝑋)=𝑥₁₁𝑥₂₂-|𝑥₁₂|²と定義できて、
𝑀𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐴*)
=(𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂)(𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂)-(𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂)(𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。

No.2243kuiperbelt2024年10月12日 18:13

3×3以上の行列についてもquasideterminantを定義できて、
行列A=(a_{ij})に対して、
r_{i}^{j}:Aのi行からa_{ij}を除いた行ベクトル
c_{j}^{i}:Aのj列からa_{ij}を除いた列ベクトル
A^{ij}:Aからi行とj列を取り除いてできる行列
とすると、A=(a_{ij})の各quasideterminantは
|A|_{ij}=a_{ij}-r_{i}^{j}・A^{ij}・c_{j}^{i}
となり、行列Aの逆行列𝐴⁻¹の各成分は、
(𝐴⁻¹)_{ij}=|A|_{ij}^{-1}
となります。

3×3行列Aを
[𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃]
[𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃]
[𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃]
とすると、各quasideterminantは

|𝐴|₁₁=𝑎₁₁-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁
-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁
|𝐴|₁₂=𝑎₁₂-𝑎₁₁(𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₂₂-𝑎₁₁(𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₃₂
-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₂-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₂
|𝐴|₁₃=𝑎₁₃-𝑎₁₁(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₂₃-𝑎₁₁(𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₃₃
-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₃-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₃
|𝐴|₂₁=𝑎₂₁-𝑎₂₂(𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₂₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₃₁
-𝑎₂₃(𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₂₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₃₁
|𝐴|₂₂=𝑎₂₂-𝑎₂₁(𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₂₁(𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₃₂
-𝑎₂₃(𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₂₃(𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₃₂
|𝐴|₂₃=𝑎₂₃-𝑎₂₁(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₁)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₂₁(𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₃₃
-𝑎₂₂(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₃₁⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₂₂(𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₃₃
|𝐴|₃₁=𝑎₃₁-𝑎₃₂(𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₃₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₂₁
-𝑎₃₃(𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₁₁-𝑎₃₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₂₁
|𝐴|₃₂=𝑎₃₂-𝑎₃₁(𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₃₁(𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎₁₃⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₂₂
-𝑎₃₃(𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₁₂-𝑎₃₃(𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₃)⁻¹𝑎₂₂
|𝐴|₃₃=𝑎₃₃-𝑎₃₁(𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₁)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₃₁(𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎₁₂⁻¹𝑎₁₁)⁻¹𝑎₂₃
-𝑎₃₂(𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎₂₁⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₁₃-𝑎₃₂(𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎₁₁⁻¹𝑎₁₂)⁻¹𝑎₂₃
となります。

Aの逆行列𝐴⁻¹については、
(𝐴⁻¹)₁₁=|𝐴|₁₁⁻¹, (𝐴⁻¹)₁₂=|𝐴|₂₁⁻¹, (𝐴⁻¹)₁₃=|𝐴|₃₁⁻¹,
(𝐴⁻¹)₂₁=|𝐴|₁₂⁻¹, (𝐴⁻¹)₂₂=|𝐴|₂₂⁻¹, (𝐴⁻¹)₂₃=|𝐴|₃₂⁻¹,
(𝐴⁻¹)₃₁=|𝐴|₁₃⁻¹, (𝐴⁻¹)₃₂=|𝐴|₂₃⁻¹, (𝐴⁻¹)₃₃=|𝐴|₃₃⁻¹,
であり、

𝑎₁₁-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁
-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁
=𝑎₁₁-𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂/|𝑎₃₃|²)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂/|𝑎₂₃|²)⁻¹𝑎₃₁
-𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃/|𝑎₃₂|²)⁻¹𝑎₂₁-𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃/|𝑎₂₂|²)⁻¹𝑎₃₁
=𝑎₁₁-|𝑎₃₃|²𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁-|𝑎₂₃|²𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁
-|𝑎₃₂|²𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁-|𝑎₂₂|²𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁
=𝑎₁₁-|𝑎₃₃|²𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁/||𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂|²
-|𝑎₂₃|²𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁/||𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂|²
-|𝑎₃₂|²𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁/||𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃|²
-|𝑎₂₂|²𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁/||𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃|²
=𝑎₁₁-(𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁+𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁
+𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁+𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)
より、

(𝐴⁻¹)₁₁=
(𝑎₁₁-(𝑎₁₂(𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎₃₃⁻¹𝑎₃₂)⁻¹𝑎₂₁+𝑎₁₂(𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎₂₃⁻¹𝑎₂₂)⁻¹𝑎₃₁
+𝑎₁₃(𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎₃₂⁻¹𝑎₃₃)⁻¹𝑎₂₁+𝑎₁₃(𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎₂₂⁻¹𝑎₂₃)⁻¹𝑎₃₁)/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁))⁻¹
=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎₁₁-(𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁+𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁
+𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁+𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁))⁻¹
=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎̅₁₁-(𝑎̅₂₁(|𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)𝑎̅₁₂+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)𝑎̅₁₂
+𝑎̅₂₁(|𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)𝑎̅₁₃+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)𝑎̅₁₃))
/|𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎₁₁-(𝑎₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎̅₂₂-𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)𝑎₂₁+𝑎₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎̅₃₂-𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₃₃)𝑎₃₁
+𝑎₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎̅₂₃-𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂)𝑎₂₁+𝑎₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎̅₃₃-𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂)𝑎₃₁)|²
=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₁)𝑎̅₁₁-(𝑎̅₂₁(|𝑎₃₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)𝑎̅₁₂+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)𝑎̅₁₂
+𝑎̅₂₁(|𝑎₃₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)𝑎̅₁₃+𝑎̅₃₁(|𝑎₂₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)𝑎̅₁₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
であり、Sdet(A)はAのStudy行列式で、

𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)=
|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₃|²+|𝑎₁₁|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₃|²
+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₁|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₁|²
-2|𝑎₁₁|²𝑅𝑒(𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₂|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₃|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₂₂)
-2|𝑎₂₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₁₂)
-2|𝑎₃₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₁₁)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)
となります。

他の成分についても、
(𝐴⁻¹)₁₂=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₂𝑎̅₁₂-(𝑎̅₂₂(|𝑎₃₃|²𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₁)𝑎̅₁₁+𝑎̅₃₂(|𝑎₂₃|²𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₁)𝑎̅₁₁
+𝑎̅₂₂(|𝑎₃₁|²𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃)𝑎̅₁₃+𝑎̅₃₂(|𝑎₂₁|²𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃)𝑎̅₁₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₁₃=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₁₃𝑎̅₁₃-(𝑎̅₂₃(|𝑎₃₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁)𝑎̅₁₁+𝑎̅₃₃(|𝑎₂₂|²𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)𝑎̅₁₁
+𝑎̅₂₃(|𝑎₃₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂)𝑎̅₁₂+𝑎̅₃₃(|𝑎₂₁|²𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂)𝑎̅₁₂))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₁=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₂₁𝑎̅₂₁-(𝑎̅₁₁(|𝑎₃₃|²𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂)𝑎̅₂₂+𝑎̅₃₁(|𝑎₁₃|²𝑎₃₂-𝑎₃₃𝑎̅₁₃𝑎₁₂)𝑎̅₂₂
+𝑎̅₁₁(|𝑎₃₂|²𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃)𝑎̅₂₃+𝑎̅₃₁(|𝑎₁₂|²𝑎₃₃-𝑎₃₂𝑎̅₁₂𝑎₁₃)𝑎̅₂₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₂=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₂₂𝑎̅₂₂-(𝑎̅₁₂(|𝑎₃₃|²𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₁)𝑎̅₂₁+𝑎̅₃₂(|𝑎₁₃|²𝑎₃₁-𝑎₃₃𝑎̅₁₃𝑎₁₁)𝑎̅₂₁
+𝑎̅₁₂(|𝑎₃₁|²𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃)𝑎̅₂₃+𝑎̅₃₂(|𝑎₁₁|²𝑎₃₃-𝑎₃₁𝑎̅₁₁𝑎₁₃)𝑎̅₂₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₂₃=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₂₃𝑎̅₂₃-(𝑎̅₁₃(|𝑎₃₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁)𝑎̅₂₁+𝑎̅₃₃(|𝑎₁₂|²𝑎₃₁-𝑎₃₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁)𝑎̅₂₁
+𝑎̅₁₃(|𝑎₃₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂)𝑎̅₂₂+𝑎̅₃₃(|𝑎₁₁|²𝑎₃₂-𝑎₃₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂)𝑎̅₂₂))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₃₁=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₃₁𝑎̅₃₁-(𝑎̅₁₁(|𝑎₂₃|²𝑎₁₂-𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂)𝑎̅₃₂+𝑎̅₂₁(|𝑎₁₃|²𝑎₂₂-𝑎₂₃𝑎̅₁₃𝑎₁₂)𝑎̅₃₂
+𝑎̅₁₁(|𝑎₂₂|²𝑎₁₃-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃)𝑎̅₃₃+𝑎̅₂₁(|𝑎₁₂|²𝑎₂₃-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₃)𝑎̅₃₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₃₂=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₃₂𝑎̅₃₂-(𝑎̅₁₂(|𝑎₂₃|²𝑎₁₁-𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₁)𝑎̅₃₁+𝑎̅₂₂(|𝑎₁₃|²𝑎₂₁-𝑎₂₃𝑎̅₁₃𝑎₁₁)𝑎̅₃₁
+𝑎̅₁₂(|𝑎₂₁|²𝑎₁₃-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃)𝑎̅₃₃+𝑎̅₂₂(|𝑎₁₁|²𝑎₂₃-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₃)𝑎̅₃₃))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
(𝐴⁻¹)₃₃=(𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴₃₃𝑎̅₃₃-(𝑎̅₁₃(|𝑎₂₂|²𝑎₁₁-𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁)𝑎̅₃₁+𝑎̅₂₃(|𝑎₁₂|²𝑎₂₁-𝑎₂₂𝑎̅₁₂𝑎₁₁)𝑎̅₃₁
+𝑎̅₁₃(|𝑎₂₁|²𝑎₁₂-𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂)𝑎̅₃₂+𝑎̅₂₃(|𝑎₁₁|²𝑎₂₂-𝑎₂₁𝑎̅₁₁𝑎₁₂)𝑎'₃₂))/𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。

No.2297kuiperbelt2024年10月27日 19:26

3×3のエルミート行列H
[𝑥₁₁ 𝑥₁₂ 𝑥₁₃]
[𝑥₂₁ 𝑥₂₂ 𝑥₂₃]
[𝑥₃₁ 𝑥₃₂ 𝑥₃₃]
𝑥₁₁=𝑥̅₁₁,𝑥₂₂=𝑥̅₂₂,𝑥₃₃=𝑥̅₃₃,𝑥̅₁₂=𝑥₂₁,𝑥̅₂₃=𝑥₃₂,𝑥̅₃₁=𝑥₁₃
についてMooreの行列式は、
𝑀𝑑𝑒𝑡(𝑋)
=𝑥₁₁𝑥₂₂𝑥₃₃-𝑥₁₁𝑥₂₃𝑥₃₂-𝑥₁₃𝑥₃₁𝑥₂₂-𝑥₁₂𝑥₂₁𝑥₃₃+𝑥₁₂𝑥₂₃𝑥₃₁+𝑥₁₃𝑥₃₂𝑥₂₁
=𝑥₁₁𝑥₂₂𝑥₃₃-𝑥₁₁|𝑥₂₃|²-𝑥₂₂|𝑥₃₁|²-𝑥₃₃|𝑥₁₂|²+𝑥₁₂𝑥₂₃𝑥₃₁+𝑥̅₁₃𝑥̅₂₁𝑥̅₃₂
=𝑥₁₁𝑥₂₂𝑥₃₃-𝑥₁₁|𝑥₂₃|²-𝑥₂₂|𝑥₃₁|²-𝑥₃₃|𝑥₁₂|²+2𝑅𝑒(𝑥₁₂𝑥₂₃𝑥₃₁)
と定義できて、3×3行列Aを
[𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃]
[𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃]
[𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃]
とすると、Aのエルミート行列𝐴*との積𝐴𝐴*は、
[𝑎₁₁𝑎̅₁₁+𝑎₁₂𝑎̅₁₂+𝑎₁₃𝑎̅₁₃ 𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₁₃𝑎̅₂₃ 𝑎₁₁𝑎̅₃₁+𝑎₁₂𝑎̅₃₂+𝑎₁₃𝑎̅₃₃]
[𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₂₃𝑎̅₁₃ 𝑎₂₁𝑎̅₂₁+𝑎₂₂𝑎̅₂₂+𝑎₂₃𝑎̅₂₃ 𝑎₂₁𝑎̅₃₁+𝑎₂₂𝑎̅₃₂+𝑎₂₃𝑎̅₃₃]
[𝑎₃₁𝑎̅₁₁+𝑎₃₂𝑎̅₁₂+𝑎₃₃𝑎̅₁₃ 𝑎₃₁𝑎̅₂₁+𝑎₃₂𝑎̅₂₂+𝑎₃₃𝑎̅₂₃ 𝑎₃₁𝑎̅₃₁+𝑎₃₂𝑎̅₃₂+𝑎₃₃𝑎̅₃₃]
でエルミート行列であり、Mooreの行列式は、
𝑀𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐴*)
=(|𝑎₁₁|²+|𝑎₁₂|²+|𝑎₁₃|²)(|𝑎₂₁|²+|𝑎₂₂|²+|𝑎₂₃|²)(|𝑎₃₁|²+|𝑎₃₂|²+|𝑎₃₃|²)
-(|𝑎₁₁|²+|𝑎₁₂|²+|𝑎₁₃|²)(𝑎₂₁𝑎̅₃₁+𝑎₂₂𝑎̅₃₂+𝑎₂₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₂₁+𝑎₃₂𝑎̅₂₂+𝑎₃₃𝑎̅₂₃)
-(|𝑎₂₁|²+|𝑎₂₂|²+|𝑎₂₃|²)(𝑎₁₁𝑎̅₃₁+𝑎₁₂𝑎̅₃₂+𝑎₁₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₁₁+𝑎₃₂𝑎̅₁₂+𝑎₃₃𝑎̅₁₃)
-(|𝑎₃₁|²+|𝑎₃₂|²+|𝑎₃₃|²)(𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₁₃𝑎̅₂₃)(𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₂₃𝑎̅₁₃)
+(𝑎₁₁𝑎̅₂₁+𝑎₁₂𝑎̅₂₂+𝑎₁₃𝑎̅₂₃)(𝑎₂₁𝑎̅₃₁+𝑎₂₂𝑎̅₃₂+𝑎₂₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₁₁+𝑎₃₂𝑎̅₁₂+𝑎₃₃𝑎̅₁₃)
+(𝑎₁₁𝑎̅₃₁+𝑎₁₂𝑎̅₃₂+𝑎₁₃𝑎̅₃₃)(𝑎₃₁𝑎̅₂₁+𝑎₃₂𝑎̅₂₂+𝑎₃₃𝑎̅₂₃)(𝑎₂₁𝑎̅₁₁+𝑎₂₂𝑎̅₁₂+𝑎₂₃𝑎̅₁₃)
=|𝑎₁₁|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₃|²+|𝑎₁₁|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₃|²
+|𝑎₁₂|²|𝑎₂₃|²|𝑎₃₁|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₁|²|𝑎₃₂|²+|𝑎₁₃|²|𝑎₂₂|²|𝑎₃₁|²
-2|𝑎₁₁|²𝑅𝑒(𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₂|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃)-2|𝑎₁₃|²𝑅𝑒(𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₂₂)
-2|𝑎₂₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₂₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₂𝑎̅₁₂)
-2|𝑎₃₁|²𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₂|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)-2|𝑎₃₃|²𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₂𝑎̅₁₂)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₁₁)
+2𝑅𝑒(𝑎₁₁𝑎̅₃₁𝑎₃₃𝑎̅₂₃𝑎₂₂𝑎̅₁₂)+2𝑅𝑒(𝑎₁₂𝑎̅₃₂𝑎₃₁𝑎̅₂₁𝑎₂₃𝑎̅₁₃)+2𝑅𝑒(𝑎₁₃𝑎̅₃₃𝑎₃₂𝑎̅₂₂𝑎₂₁𝑎̅₁₁)
=𝑆𝑑𝑒𝑡(𝐴)
となります。

No.2298kuiperbelt2024年10月27日 20:08

返信 (3)

マッチ棒移動クイズ

2024-25=2696

という形に置かれている。(フォントの関係でアラビア数字で表示しています。)
そこで

(1)マッチ棒を2本動かして正しい式にして下さい。
(2)マッチ棒を3本動かして正しい式にして下さい。
(3)マッチ棒を4本動かして正しい式にして下さい。

マッチ棒で数字を表しますのでデジタル数字で作って下さい。
（但し7は4本のマッチ棒で作っておいて下さい。)

No.2291GAI2024年10月25日 08:29

解がたくさんありそうでしたので、プログラムを作って調べました。
これが正しければ、ちょっと解が多すぎですね。
# 6と9はマッチ棒6本として考えました。
(1)
2724-26=2698
2724-28=2696
(2)
2723-25=2698
2725-29=2696
2727-29=2698
3024-25=2999
3024-29=2995
(3)
2034-25=2009
2034-29=2005
2064-25=2039
2064-29=2035
2324-26=2298
2324-28=2296
2620-25=2595
2624-35=2589
2624-39=2585
2624-85=2539
2624-89=2535
2634-25=2609
2634-29=2605
2664-25=2639
2664-29=2635
2722-26=2696
2723-28=2695
2724-66=2658
2724-68=2656
2725-26=2699
2727-28=2699
2729-33=2696
2734-36=2698
2734-38=2696
2781-85=2696
2831-25=2806
2861-25=2836
2921-23=2898
2921-35=2886
2921-85=2836
3724-26=3698
3724-28=3696
8721-25=8696

No.2292らすかる2024年10月25日 19:53

お～
プログラムで探せるんだ！
ちょっと考えていたんだがやり方が難しく諦めていた。
すみませんが
9+6=7
で2本の移動で等式を作れば何通り可能ですか？
(ただし"+"も2本のマッチ棒で作られているものと考え"-"の演算も可能になるものとする。)

No.2293GAI2024年10月26日 05:49

プログラムが正しければ、
9-6=3
の1通りだけだと思います。
ちなみに3本では
0+5=5
3+0=3
5+0=5
8-5=3
の4通りになります。

No.2294らすかる2024年10月26日 07:15

> "らすかる"さんが書かれました:
> プログラムが正しければ、
> 9-6=3
> の1通りだけだと思います。

13-6=7
3+8=11
も作れませんか？

No.2295GAI2024年10月26日 08:46

桁数を増やせるかどうかはマッチ棒では不明ですので、桁数は変えない前提で調べました。
（特に「＝」の直後に桁が追加できるかどうか）

No.2296らすかる2024年10月26日 15:51

返信 (5)

規則的な素数

奇数を順序良く並べると
　ｎ　１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０，…
２n+1 ３，５、７、９，１１，１３，１５、１７，１９、２１、…
オイラーの関数を、２で割ったものを並べると
e(2n+1)/2 は、
　　　１，２，３，３，５，６，４，８，９，６、…
素数のときは、増加して、合成数のときは、不規則です。

No.2288ks2024年10月22日 17:29

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