😊出会いの泉😊

エレベータ設置の設計

9階建てのビルがあり、ここにどこかの3ヵ所の階にしか止まらない12台のエレベータを設置する
ことをする。
各エレベータがどこの階に止まるのかを上手く組み合わせると、どの階にいても他の階に行ける
エレベータが必ずあって、各階には4つのエレベータが運行している状態になる様な設計が可能
となります。
そこでその設計に挑戦してみて下さい。
エレベータE1,E2,･････,E12が止まる階を3つそれぞれ指定してみてください。

No.1371GAI2023年8月15日 18:26

このエレベータの問題よりもさらに厳しい条件の問題が
「私の備忘録 > 拡張カークマン問題」
の中にプレカークマン問題として載っています。
プレカークマン問題の解は、より条件の緩いこのエレベータ問題の解としても適します。

No.1372りらひい2023年8月16日 01:19

エレベータ問題とカークマンの女生徒問題は連動しているんですね。
一般にエレベータの総数を(2*n+1)*(3*n+1)で各エレベータはどこかの
階の3か所で稼働するように動くとき、どの階からも他の階に行けるように
なるためのビルの高さの最大階数は6*n+3となる。
これをf((2*n+1)*(3*n+1),3)=6*n+3　で表しておく。
これよりn=1,2,3,4で当てはめると
n=1で12台のエレベータでは9Fまでのビル(出題の問題)
n=2で35台のエレベータでは15Fまでのビル(カークマンの女生徒の解を利用できる。)
n=3で70台のエレベータでは21Fまでのビル
n=4で117台のエレベータでは27Fまでのビル
に対して設計できる。

また他にも
f(s^2+s,s)=s^2のようなものも,
エレベータ総数がs^2+sでビルの高さがs^2階までの時は
各エレベータがどれもs個の階だけしか止まらない動きをすれば
どんな階からでも他の階へ行けるエレベータを運行できる。
これよりs=2,3,4,5,6,7から
f(6,2)=4
f(12,3)=9
f(20,4)=16
f(30,5)=25
f(42,6)=36
f(56,7)=49

以前私の備忘録 > 拡張カークマン問題で
りらひいさんが投稿されていた

方陣[※]
0 1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31 32 33 34
35 36 37 38 39 40 41
42 43 44 45 46 47 48

魔方陣[1]
3 34 9 40 15 46 21
28 10 41 16 47 22 4
11 35 17 48 23 5 29
36 18 42 24 6 30 12
19 43 25 0 31 13 37
44 26 1 32 7 38 20
27 2 33 8 39 14 45

魔方陣[2]
38 6 16 33 43 11 21
0 17 34 44 12 22 39
18 28 45 13 23 40 1
29 46 7 24 41 2 19
47 8 25 35 3 20 30
9 26 36 4 14 31 48
27 37 5 15 32 42 10

魔方陣[3]
17 13 2 47 36 32 21
7 3 48 37 33 22 18
4 42 38 34 23 19 8
43 39 28 24 20 9 5
40 29 25 14 10 6 44
30 26 15 11 0 45 41
27 16 12 1 46 35 31

の各方陣の各行、各列を利用させて貰うとこのf(56,7)=49
のモデルを作ることが出来ました。

追伸；
このモデルをつくっておけば
f(s^2-s+1,s)=s^2-s+1
でのs=8
即ちf(57,8)=57でのモデル
全部で57台のエレベータを57階建てのビルに設置し
各エレベータがどこかの階の8ヵ所を稼働するように上手く組み合わせておけば
どの階からも任意の階へ運行しているエレベータが存在している設計が難なく出来る。
(上のモデルの行と列を入れ替えて、残りのエレベータE50～E57に対する停止の8ヵ所の階を理詰めで決定。)

したがってりらひいさんのs:素数での
f(s^2+s,s)=s^2のモデルを構成できる汎用的構成方法を使えば
f((s+1)^2-(s+1)+1,s+1)=(s+1)^2-(s+1)+1
即ち
f(13,4)=13
f(31,6)=31
f(57,8)=57
f(133,12)=133
f(183,14)=183
f(307,18)=307
f(381,20)=381
f(553,24)=553
f(871,30)=871
f(993,32)=993
f(1407,38)=1407
f(1723,42)=1723
f(1893,44)=1893
f(2257,48)=2257
･･･････････
のモデルも順次作っていける。
（こんなものを試行錯誤で作ることは、殆んど望めない。)

No.1374GAI2023年8月16日 21:30

返信 (2)

管理人さんへお願い事

お手数をおかけしてしまって申し訳ないのですが、もし可能であるのならば、
「私の備忘録 > ２項係数の性質」に次の[あ],[い]の式を追加していただけないでしょうか。
お時間が取れるときで構いません。
私が過去に計算したものですが、どのページにあったか忘れてしまうので……。

nCk を C[n,k] と書くことにします。

[あ]
C[M+N,M]
= Σ[k=0...M] C[n+k-1,k]*C[M+N-n-k,M-k]
= Σ[k=0...N] C[m+k-1,k]*C[M+N-m-k,N-k]
= Σ[k=0...m-1] C[n+k-1,k]*C[M+N-n-k,M-k] + Σ[k=0...n-1] C[m+k-1,k]*C[M+N-m-k,N-k]
= Σ[k=m...M] C[n+k-1,k]*C[M+N-n-k,M-k] + Σ[k=n...N] C[m+k-1,k]*C[M+N-m-k,N-k]
ただし、 1≦m≦M, 1≦n≦N

[い]
(a+b)^n/a = Σ[k=0...n] C[n,k]*(a+k)^(k-1)*(b-k)^(n-k)
ただし、 a≠0

[あ]の証明は「数学感動秘話 > 確率」(mathbun1129) へのリンク、
[い]の証明は「数学感動秘話 > まち針の木」(mathbun1420) へのリンク、
を貼ってもらうだけで十分です。
[あ]に関しては文字の置き換えをして式を整理していますが、「確率」のページで私が示した関係式と考え方は同じです。

(上記の M) イコール (「確率」ページの m+m'+1)
(上記の N) イコール (「確率」ページの n+n'+1)
(上記の m) イコール (「確率」ページの m+1)
(上記の n) イコール (「確率」ページの n+1)

No.1369りらひい2023年8月14日 15:23

対応していただきありがとうございます！

No.1373りらひい2023年8月16日 12:21

返信 (1)

２累乗和の証明

０～２＾ｋ―1の２＾ｋ個の数を、二進数表現で、各桁の数の和を偶数と奇数に分けて、
偶数のＡ０と奇数のＡ１の組に分けることができます。
Ａ０＝｛０，３、５，６、…、２＾ｋ―２｝
Ａ１＝｛１，２，４，７、…、２＾ｋ―１｝（ｋの値による）
このとき、二つの組の累乗和の総和は等しくなる。
Σa＾r = Σb＾r (r=0～ｋ－１)　2≦ｋａ∊Ａ０、ｂ∊Ａ１
証明　ｋによる数学的帰納法によって示します。
ｋ＝２のとき、Ａ０＝｛０，３｝、Ａ１＝｛１，２｝
０＋３＝１＋２　Σa=Σb　が、成り立つ。
ｋ＝ｎのとき、成り立つと仮定して、ｋ＝ｎ＋１でも成り立つことを示す。
Ａ０＝｛０，３、５，６、…、２＾ｎ―２｝
Ａ１＝｛１，２，４，７、…、２＾ｎ―１｝
２ｎ個について、それぞれの組の累乗和が成つと仮定して
０～２＾（ｎ＋１）―１は、２倍に増えるが、
基本的な分け方をすると、
B０＝｛A０の数と、２ｎにＡ１の数を足したもの｝
＝｛０，３、…、２＾ｎ―２、２＾ｎ＋１，２＾ｎ＋２、…、２＾ｎ＋２＾ｎ―１｝
B１＝｛A１の数と、２ｎにＡ０の数を足したもの｝
　　＝｛１，２、…、２＾ｎ―１、２＾ｎ＋０，２＾ｎ＋３、…、
２＾ｎ、２＾ｎ＋２＾ｎ―２｝
Ｂ０とＢ１の数の総和が等しいことが分かります。何故なら、Ａ０とＡ１が等しいので。
Σ（Ｂ０の数）＾ｒ―Σ（Ｂ１の数）＾ｒ　　
Σ｛（Ａ０）＾ｒ＋（Ｂ０からＡ１を除いた数）＾ｒ｝―Σ｛（Ａ１）＾ｒ＋（Ｂ１からＡ０を除いた数）＾ｒ｝
＝ΣＡ０＾ｒ―ΣＡ１＾ｒ＋Σ（Ｂ０からＡ１を除いた数）＾ｒ―Σ（Ｂ１からＡ０を除いた数）＾ｒ
＝ΣＡ０＾ｒ―ΣＡ１＾ｒ＋Σ（２ｎ＋i）＾ｒ―Σ（2n+i）＾ｒ
（）を展開して
＝ΣＡ０＾ｒ―ΣＡ１＾ｒ＋Σ（2n＾ｒ+―…＋i＾r）―Σ（2n＾ｒ+―…＋i＾r）
（）内の、２ｎ＾ｒ部分が相殺され、ｉ＾ｒの部分の和は、ΣＡ０＾ｒとΣＡ１＾ｒで相殺され,
残りの同じ二項係数の部分が、ｒ－１次以下になるので、仮定から等しくなります。
よって、ｒ＝１～ｎまで成り立ち、帰納法により、示された

No.1366ｋｓ2023年8月12日 10:18

一般の場合
１～A＾ｎー1についても、Ａ個の組に、Ａ進法で、
その桁数の総和をＡで割った剰余で分けると、
それぞれの組の数の累乗和が等しくなることが
同様の方法で示すことが、できます。

No.1367ks2023年8月13日 17:07

1～A^n-1
をA=3; n=4で確認したら(N=1～80で調査)

Nを3進法で表し、各桁の数の和を3で割った余りで分類
M0=[5,7,11,13,15,19,21,26,29,31,33,37,39,44,45,50,52,55,57,62,63,68,70,74,76,78]
M1=[1,3,8,9,14,16,20,22,24,27,32,34,38,40,42,46,48,53,56,58,60,64,66,71,72,77,79]
M2=[2,4,6,10,12,17,18,23,25,28,30,35,36,41,43,47,49,51,54,59,61,65,67,69,73,75,80]
となりますので
gp > for(r=1,5,print(r";"\
sum(i=1,26,M0[i]^r)" VS "sum(i=1,27,M1[i]^r)" VS "sum(i=1,27,M2[i]^r)))
で計算すると
1;1080 VS 1080 VS 1080
2;57960 VS 57960 VS 57960
3;3499200 VS 3499200 VS 3499200
4;225284400 VS 225441864 VS 225284400
5;15099631200 VS 15136372800 VS 15110128800

となりr=3乗までは3つのグループは同一の和を作りましたが
4乗以上では不成立になりました。
（ksさんの記述では4乗まで一致するように感じてしまいました。)

もし勘違いしていたら教えて下さい。
4乗まで一致させるにはどんな工夫をすればいいのだろうか？

No.1368GAI2023年8月14日 09:19

GAIさん、すいません。言葉足らずでしたので、加筆修正しました。
kに対して、ｒの範囲は、ｋ－１までです。
A＾ｋを、組み分けしたとき、ｋ－１乗和まで、成り立ちます。
従いまして、４乗の場合、３乗和まで成立します。
４乗和でも、成り立つためには、
５乗以上に個数を広げる必要がありますね。
只今、累乗和の問題に取り組んでいますが、前にも載せましたが、
同様のことが、ｎ個の場合、ｎー１乗和までしか、等しく作れない。
勿論、同じ数ではなくて。８個の累乗和まで、見つかりました。

No.1370ｋｓ2023年8月15日 10:49

返信 (3)

領域

｜ｘ｜＋｜ｙ｜≦1、ｘ＾２＋ｙ＾２≦１
で表される領域は、正方形と円になる。
このように、連立式ではなくて、一つの式で
長方形や三角形を表すことが、できるでしょうか？

No.1361ks2023年8月6日 11:42

不等号すら使わずにできます。
4頂点が(-1,1),(-1,-1),(1,-1),(1,1)である正方形（辺が軸に平行）
→ |1-x|+|1+x|+|1-y|+|1+y|=4
4頂点が(0,1),(-1,0),(0,-1),(1,0)である正方形（頂点が軸上）
→ |1-x-y|+|1-x+y|+|1+x-y|+|1+x+y|=4
半径1の円
→ x^2+y^2+|x^2+y^2-1|=1
横の長さがa、縦の長さがbの長方形
→ |a-2x|+|a+2x|+|b-2y|+|b+2y|=2(a+b)
重心が原点で一つの頂点が(0,a)である正三角形
→ |a+x√3-y|+|a-x√3-y|+|a+2y|=3a
重心が原点で一つの頂点が(0,a)である正六角形
→ |a√3-2x|+|a√3+2x|+|a√3+x+y√3|+|a√3+x-y√3|+|a√3-x+y√3|+|a√3-x-y√3|=6a√3

3頂点が(a,b)(c,d)(e,f)である三角形
→ |(ad-bc+bx-dx+cy-ay)(ad-bc+be-de+cf-af)|+|(cf-de+dx-fx+ey-cy)(cf-de+da-fa+eb-cb)|+|(eb-fa+fx-bx+ay-ey)(eb-fa+fc-bc+ad-ed)|
=(ad+cf+eb-bc-de-fa)^2

※すべて内部を含む領域です。

No.1362らすかる2023年8月6日 13:16

らすかるさん、ありがとうございます。
驚きの結果ですね。値がうまく相殺されるのですね。
円や六角形、自由な三角形も、方程式で！
絶対値は、場合分けなど、不便の記号だとばかり思って
いましたが、便利な記号なんですね。、

No.1363ks2023年8月7日 15:44

No.1364GAI2023年8月10日 06:06

No.1365らすかる2023年8月10日 09:09

返信 (4)

格子点探し

a,bが正の整数であるとき

P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+8)

が正の整数となる(a,b)のすべての組合せを探すとき
コンピュータでの検索無しでどこまで迫れるものなのか挑戦願う。

No.1345GAI2023年8月1日 08:41

P(7,1) = 14
P(21,1) = 63
P(42,1) = 144
P(91,1) = 338
P(189,1) = 729
P(n,2) = n
P(2n,2n) = 2n^2

a>b>2 のとき以外は上記で全部なことは確認しました。

a>b>2 の場合が難しい……。

No.1353DD++2023年8月2日 19:31

b=1のとき
4a^2/(a+7)=4a-28+196/(a+7)
a+7は8以上の196の約数なので
a+7=14,28,49,98,196
∴a=7,21,42,91,189
（4a^2/(a+7)からaが正なら負になることはない）
→(a,b)=(7,1),(21,1),(42,1),(91,1),(189,1)

b=2のとき
4a^2/4a=a
→(a,b)=(n,2)

b=3のとき
4a^2/(9a-19)={4(9a+19)+1444/(9a-19)}/81
9a-19は1444の約数なので
9a-19=1,2,4,19,38,76,361,722,1444
しかし9a-19は9で割って8余る数なので、すべて不適。

b=4のとき
4a^2/(16a-56)=a^2/(4a-14)={(2a+7)+49/(2a-7)}/8
2a-7は49の約数なので
2a-7=1,7,49
∴a=4,7,28
このうちa=7は与式が正整数にならず不適なので
a=4,28が適解。
→(a,b)=(4,4),(28,4)

b=5のとき
4a^2/(25a-117)={4(25a+117)+54756/(25a-117)}/625
25a-117は54756の約数であり、54756の約数のうち
117足して25の倍数になるものは25a-117=108のみ。
このときa=9で、a=9のとき与式は正整数になるのでa=9は適解。
→(a,b)=(9,5)

b=6のとき
4a^2/(36a-208)=a^2/(9a-52)={(9a+52)+2704/(9a-52)}/81
9a-52は2704の約数であり、2704の約数のうち
52足して9の倍数になるものは2と1352のみ。
このとき順にa=6,156でいずれも与式は正整数になり適解。
→(a,b)=(6,6),(156,6)

b=7のとき
4a^2/(49a-335)={4(49a+335)+448900/(49a-335)}/2401
49a-335は448900の約数だが、448900の約数のうち
335足して49の倍数になるものは存在しないので、解なし。

b=8のとき
4a^2/(64a-504)=a^2/(16a-126)={(8a+63)+3969/(8a-63)}/128
8a-63は3969の約数であり、3969の約数のうち
63足して8の倍数になるものは1,9,49,81,441,3969
このとき順にa=8,9,14,18,63,504だが、与式に代入して
正整数になるものはa=8,14,18,504の4個
→(a,b)=(8,8),(14,8),(18,8),(504,8)

b=9のとき
4a^2/(81a-721)={4(81a+721)+2079364/(81a-721)}/6561
81a-721は2079364の約数だが、2079364の約数うち
721足して81の倍数になるものは存在しないので、解なし。

b=10のとき
4a^2/(100a-992)=a^2/(25a-248)={(25a+248)+61504/(25a-248)}/625
25a-248は61504の約数であり、61504の約数のうち
248足して25の倍数になるものは2と30752のみ。
このとき順にa=10,1240でいずれも与式は正整数になり適解。
→(a,b)=(10,10),(1240,10)

b=11のとき
4a^2/(121a-1323)={4(121a+1323)+7001316/(121a-1323)}/14641
121a-1323は7001316の約数であり、7001316の約数のうち
1323足して121の倍数になるものは存在しないので、解なし。

b=12のとき
4a^2/(144a-1720)=a^2/(36a-430)={(18a+215)+46225/(18a-215)}/648
18a-215は46225の約数であり、46225の約数のうち
215足して18の倍数になるものは1と46225のみ。
このとき順にa=12,2580でいずれも与式は正整数になり適解。
→(a,b)=(12,12),(2580,12)

b=13のとき
4a^2/(169a-2189)={4(169a+2189)+19166884/(169a-2189)}/28561
169a-2189は19166884の約数であり、19166884の約数のうち
2189足して169の倍数になるものは存在しないので、解なし。

b=14のとき
4a^2/(196a-2736)=a^2/(49a-684)={4(49a+684)+1871424/(49a-684)}/9604
49a-684は1871424の約数であり、1871424の約数のうち
684足して49の倍数になるものは2,32832,233928
このとき順にa=14,684,4788だが、a=684は与式が正整数にならず不適なので
a=14,4788が適解。
→(a,b)=(14,14),(4788,14)

b=15のとき
4a^2/(225a-3367)={4(225a+3367)+45346756/(225a-3367)}/50625
225a-3367は45346756の約数であり、45346756の約数のうち
3367足して225の倍数になるものは存在しないので、解なし。

b=16のとき
4a^2/(256a-4088)=a^2/(64a-1022)={(32a+511)+261121/(32a-511)}/2048
32a-511は261121の約数であり、261121の約数のうち
511足して32の倍数になるものは1と261121のみ。
このとき順にa=16,8176でいずれも与式は正整数になり適解。
→(a,b)=(16,16),(8176,16)

b=17のとき
4a^2/(289a-4905)={4(289a+4905)+96236100/(289a-4905)}/83521
289a-4905は96236100の約数であり、96236100の約数のうち
4905足して289の倍数になるものは8100のみ。
このときa=45となり、与式は正整数になるので適解。
→(a,b)=(45,17)

ここまでをまとめると、b≦17のときの解は
(a,b)=
(7,1),(21,1),(42,1),(91,1),(189,1),
(n,2),
(4,4),(28,4),
(9,5),
(6,6),(156,6),
(8,8),(14,8),(18,8),(504,8),
(10,10),(1240,10),
(12,12),(2580,12),
(14,14),(4788,14),
(16,16),(8176,16),
(45,17)
眺めてみて
(2n,2n)が解になりそうなのでa=b=2nとすると与式=2n^2となり成り立つ。
また
(4,4)と(28,4)、(6,6)と(156,6)、(8,8)と(504,8)、(10,10)と(1240,10)、
(12,12)と(2580,12)、(14,14)と(4788,14)、(16,16)と(8176,16)は
いずれも与式の値が同じなので、このことから後者の一般解を導出すると
(a,b)=(2n(n^3-1),2n)

まとめ
一般式で表される解で見つかっているものは
(a,b)=(n,2),(2n,2n),(2n(n^3-1),2n)
（ただし前二つはn≧1、最後の一つはn≧2）
それ以外でわかっている解はb≦17のとき
(7,1),(21,1),(42,1),(91,1),(189,1),
(9,5),(14,8),(18,8),(45,17)
孤立解でb＞17であるものは未発見なので、存在するかどうかは不明。
(a,b)=(9,5)のときの与式の値が3、
(a,b)=(14,8),(18,8)のときの与式の値が2、
(a,b)=(45,17)のときの与式の値が1となるため、
ひょっとするとb＞17の孤立解は存在しないかも？

# 最初b=12までで投稿しましたが、その後プログラムで探索したところ
# (a,b)=(45,17)という解があることがわかりましたので、b=17までに
# 拡張しました。

No.1354らすかる2023年8月2日 22:31

元々P(a,b)=a^2/(2*a*b^2-b^3+1)
での格子点探しの問題に挑戦していて、分数型での形が面白かったので
もっと他の形で調べたらどうなるだろうかと
P(a,b)=3*a/(4*a^2*b^3-b^5+1)
P(a,b)=4*a/(a*b^2-b^3+8)
などと調査して
P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+8)
を調べていた時、結構色々なパターンが同時に含まれてきて、果てこれを手作業
だけで見つけ出すことは可能なのだろうかと疑問に持った。

b=1の場合の攻め方
b=2の場合の特別さ
及び
a=b=2*nでの思い掛けなさ
ところがコンピュータによる検索では
P(9,5)=3,P(45,17)=1
などの思いもよらぬものの出現
更に
a=b=2*nでP(2*n,2*n)=2*n^2 と整理されたであろう部分から
a=2*n*(n^3-1),b=2*nの組み合わせも顔をのぞかせる意外さ
(この式で表されることに気付けたときはビックリしました。）
実はらすかるさんの解答を拝見して
P(14,8)=P(18,8)=2
が存在できることをすっかり見落としておったことに気付かされました。

他に思い掛けなく存在できる格子点が存在しているのではないかという一抹の不安はあります。

なお
P(a,b)=4*a^2/(a*b^2-b^3+7)
に対して調査していたら
P(2,1)=2
P(3,1)=4
P(6,1)=12
P(10,1)=25
P(12,1)=32
P(18,1)=54
P(30,1)=100
P(42,1)=147
P(66,1)=242
P(138,1)=529
とやたらと多くのパターンが発生可能
P(7*n,7*n)=P(7*n*(n*(7*n)^2-1),7*n)=28*n^2
とやはり2通りの形式で作れます。
他に
P(4,3)=P(5,3)=4
P(20,3)=10
P(180,3)=81
となるようです。

No.1355GAI2023年8月3日 05:07

この P(a,b) ですが、実は
P((ab^3-8a)/(ab^2-b^3+8),b) = P(a,b)
という恒等式が成立します。

P(2n(n^3-1),2n) = P(2n,2n) も P(14,8) = P(18,8) も、この恒等式の一部ですね。
尤も、b が偶数または P が 4 の倍数のときでないと、左辺が整数解にはなりませんけども。

No.1360DD++2023年8月3日 19:35

返信 (4)

交通整理　その2

前回の問題とは関係ありませんが、相談なのですが、

N(N-1)なら、N=2kなら2の倍数であり、N=2k+1でも2の倍数である。
N(N-1)(N-2)なら、N=3kなら3の倍数であり、N=3k+1でも3の倍数であり、N=3k+2でも3の倍数である。
N(N-1)(N-2)(N-3)なら、N=4kなら4の倍数であり、N=4k+1でも4の倍数であり、N=4k+2でも4の倍数であり、N=4k+3でも4の倍数である。
同様に、N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)なら、5の倍数である。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)なら、6の倍数である。
したがって、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}なら、Sの倍数である。

さて、計算によると
N(N-1)=N^2-N　より2の倍数である。
N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)これは3の倍数である。
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)これは4の倍数でなく2の倍数。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)これは5の倍数。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)これは倍数を持たない。
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)=(N^7-N)-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)これは7の倍数
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)これは、8の倍数でなく、2の倍数

理屈では、Sが素数なら、左辺と右辺は計算と一致するが、合成数では左辺と右辺は一致しない。
しかし、計算上は左辺＝右辺は成立する。左辺を展開し計算すると右辺になる。

Sが素数なら、（素数でなくても）
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
が上の結果から成り立つはずである。
うまい証明はないだろうか？
まあ、
1x2x3x4x・・・・x(S-1)N+N-a1N+a2N-a3N・・・・-a(s-2)N+a(s-1)N=0
1x2x3x4x・・・・x(S-1)+1-a1+a2-a3・・・・-a(s-2)+a(s-1)=0
を証明することであるのですが。

詳細計算は、リンクにあります。

再度修正済み

No.1336うんざりはちべえ2023年7月30日 13:43

うんざりはちべえさん、こんにちは。

＞理屈では、Sが素数なら、左辺と右辺は計算と一致するが、合成数では左辺と右辺は一致しない。
しかし、計算上は左辺＝右辺は成立する。左辺を展開し計算すると右辺になる。

合成数の場合でも他の変形をすれば、一致しますよね。むしろ、素数の場合はこの変形で係数が全て素数倍になる事が見事ですね。
また、係数の符号が±で交替になっている事も面白いですね。数学的帰納法でちょっとやってみましたが、無理っぽいので止めました。
因みに、

N(N-1)=N^2-N（追加しました。）
N(N-1)(N-2)=(N^3-N)-3(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)=(N^7-N)-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)

これらの右辺の係数を各段それぞれ足すと、左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になるのも面白いですね。（証明は全然考えていません。）

うっかりしました。証明は簡単ですね。左辺のNの項の係数はｋ段目は(-1)^k・ｋ!で、右辺のNの係数は括弧の係数の和×(-1)ですから、「左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」のは当然でした。

No.1337壊れた扉2023年7月30日 17:37

壊れた扉様、こんばんは。

＞左辺のNの項の係数はｋ段目は(-1)^k・ｋ!で、右辺のNの係数は括弧の係数の和×(-1)ですから、「左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」のは当然でした。

もう少しわかりやすく説明してもらえないでしょうか？

No.1338うんざりはちべえ2023年7月30日 20:53

うんざりはちべえさん、こんばんは。

私も書いた後に中途半端で変だなと思っていました。

左辺のNの項の係数は、N(N-1)(N-2)だったらNを外した(N-1)(N-2)の定数項と等しいですよね。N(N-1)(N-2)(N-3)だったら(N-1)(N-2)(N-3)の定数項と等しいという事です。（ここで、ｋ段目は(-1)^k・ｋ!なんて必要ありませんでした。）

また、右辺のNの項の係数は、(N^3-N)-3(N^2-N)だったら（　）の係数１と－３を足して－Nをかけるので、{１＋(－３)}×(－１)で最後の×(－１)で符号が逆になるので、「右辺の係数を各段それぞれ足すと、左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」のは当然でしたという事です。（また、ちょっと分かり難いかもしれません。）

結局、うんざりはちべえさんが見い出した、N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)が成り立つ事がキーという事です。

No.1339壊れた扉2023年7月30日 21:54

N(N-a)=N^2-Na=(N^2-N)-Na+N=(N^2-N)+(1-a)N

N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+Nab+N-(a+b)N
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+{ab+1-(a+b)}N
(%i3) factor(a*b+1-(a+b));因数分解せよ
(%o3) (a - 1) (b - 1)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N={-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
(%i5) factor(-a*b*c+1-(a+b+c)+(a*b+b*c+a*c));因数分解せよ
(%o5) - (a - 1) (b - 1) (c - 1)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
+abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N+(abc+abd+acd+bcd)N
(%i8) factor(a*b*c*d+1-(a+b+c+d)+(a*b+b*c+c*d+a*c+a*d+b*d)-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d));因数分解せよ
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)

ここで、a=1ですから0ですね。
この関係から
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)は、
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)
になるのでしょうね。

No.1340うんざりはちべえ2023年7月31日 08:59

壊れた扉様、こんにちは。

(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)とN(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)は、ほぼ同じだから、当たり前だというのがわかりました。

No.1341うんざりはちべえ2023年7月31日 11:19

うんざりはちべえさん、こんにちは。

今朝は何故か投稿できませんでした。

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)N
(%i8) factor(a*b*c*d+1-(a+b+c+d)+(a*b+b*c+c*d+a*c+a*d+b*d)-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d));因数分解せよ
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)

よって、N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)+(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)
と変形出来て、ａ＝１から、N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)と出来るのですね。

＞N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
が上の結果から成り立つはずである。
うまい証明はないだろうか？

見事に自分で解決されましたね。
因みに、何次でも-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)Nの部分はNの項になり、解と係数の関係と同じで±が交互になり、必ず ±(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)…と因数分解でき、ａ＝１より、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)の形に出来るのですね。

No.1342壊れた扉2023年7月31日 11:36

等式は成り立つので、左辺の倍数と右辺の倍数は等しいのです。
ところが、合成数のとき、左辺と右辺が一致しないという理屈がおかしいのです。
つまりN^s-Nでｓが合成数ならsの倍数にならないということです。
たとえば、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
は左辺は4の倍数ですが、右辺の係数は6,11で共通の倍数を持ちません。N^4-Nが4の倍数とすると、ですから成り立ちません。
N^3-Nは３の倍数、N^2-Nは2の倍数ですから、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)=4a-6x3b+11x2c=4a-18b+22cで4の倍数にはなりません。
N^4-Nがいくつの倍数たとえば、ｘでも、xa-18b+22cはa,b,cに関わらず4の倍数にはなりません。
だから、合成数はなにか不思議な力が作用しているのです。

その理由がわかりません。

No.1343うんざりはちべえ2023年8月1日 07:17

うんざりはちべえさん、おはようございます。

＞等式は成り立つので、左辺の倍数と右辺の倍数は等しいのです。
ところが、合成数のとき、左辺と右辺が一致しないという理屈がおかしいのです。

この右辺が×だけでつながった式ならおかしいですが、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)は和と差でつながっているのでおかしくありません。確か、NHKの番組でも掛け算は簡単ですが足し算は難しいというような話をやっていましたよね。それと同じ事です。

No.1344壊れた扉2023年8月1日 07:27

・素数は、
２：N(N-1)=N^2-N
３：N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)
５：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
７：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6) =N^7-N-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
注：175=5^2x7 735=3x5x7^2 1624=2^3x7x29 1764=2^2x3^2x7^2
すべて、係数が素数の倍数。
検算　右辺の因数分解の結果
(%i1) factor((N^3-N)-3*(N^2-N));
(%o1) (N - 2) (N - 1) N
(%i2) factor((N^5-N)-10*(N^4-N)+35*(N^3-N)-50*(N^2-N));
(%o2) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i3) factor(N^7-N-21*(N^6-N)+175*(N^5-N)-735*(N^4-N)+1624*(N^3-N)-1764*(N^2-N))
;
(%o3) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
あっている。

・合成数は、
４：N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
６：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
８：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)

検算　右辺の因数分解の結果
(%i16) factor((N^4-N)-6*(N^3-N)+11*(N^2-N));
(%o16) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i17) factor((N^6-N)-15*(N^5-N)+85*(N^4-N)-225*(N^3-N)+274*(N^2-N));
(%o17) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i18) factor((N^8-N)-28*(N^7-N)+322*(N^6-N)-1960*(N^5-N)+6769*(N^4-N)-13132*(N^3-N)+13068*(N^2-N));
(%o18) (N - 7) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
あっている。

さて、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
は、4の倍数であるが係数6=2x3,11は4の倍数でない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
は、6の倍数であるが係数15=3x5,85=5x17,225=3^2x5^2,274=2x137は6の倍数でない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
は、8の倍数であるが係数28=2^2x7,322=2x7x23,1960=2^3x5x7^2,6769=7x967,13132=2^2x7^2x67,13068=2^2x3^3x11^2は8の倍数でない。

なぜこのような違いが出るのだろう？不思議です。

No.1346うんざりはちべえ2023年8月1日 12:07

うんざりはちべえさん、こんにちは。

＞なぜこのような違いが出るのだろう？不思議です。

例えば、

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N={-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
(%i5) factor(-a*b*c+1-(a+b+c)+(a*b+b*c+a*c));因数分解せよ
(%o5) - (a - 1) (b - 1) (c - 1)

右辺の係数は(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)よりa+b+cとab+bc+acですが、これは前段階のN^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcNの係数と同じです。つまり、ａ＋ｂ＋ｃは１＋２＋３でこれは左辺の積が素数個の場合ではありませんが、
素数個の場合は、ｃ＝ｐ－１となり、１＋２＋３＋･･･＋(ｐ－１)となり、＝ｐ(ｐ－１)/２でｐは素数よりｐの倍数になるという訳です。
ただし、(ab+bc+ac)以下の場合は証明出来ていません。（昨日やって諦めました。）

No.1347壊れた扉2023年8月1日 13:33

壊れた扉様、こんにちは。

N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)
=N^6-(a+b+c+d+e)N^5+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)N^4-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)N^3+(abcd+abce+abde+acde+bcde)N^2-Nabcde
=(N^6-N)-(a+b+c+d+e)(N^5-N)+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)(N^4-N)-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)(N^3-N)+(abcd+abce+abde+acde+bcde)(N^2-N)

Sのとき、
=N^S-N-(1+2+3+・・・+S-1){N^(s-1)-N}・・・・
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
ここで、Sが素数ならS-1は偶数。よって{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で偶数なら、(s-1)は奇数で、s/2は2で割れて、sの倍数にならない。
ｓが合成数で奇数なら、(s-1)は偶数で2で割れて、{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で奇数なら、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}は、ｓの倍数になる。
すこし、進歩。

さて、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}+{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}{N^(s-2)-N}・・・
そこで、
{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}
より、
2x1+3x(1+2)+4x(1+2+3)+5x(1+2+3+4)・・・・+(s-1)(1+2+3+4+・・・・+(s-2))}
どうしたものか？

＞素数個の場合は、ｃ＝ｐ－１となり、１＋２＋３＋･･･＋(ｐ－１)となり、＝ｐ(ｐ－１)/２でｐは素数よりｐの倍数になるという訳です。

同じ結論になりました。ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。

No.1348うんざりはちべえ2023年8月1日 14:15

＞ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。

鋭い所に気付かれましたね。一応、奇数の合成数の場合も調べてみました。

N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*(N-4)*(N-5)*(N-6)*(N-7)*(N-8)*(N-9)*(N-10)*(N-11)*(N-12)*(N-13)*(N-14)を展開すると、

𝑁^15−105𝑁^14+5005𝑁^13−143325𝑁^12+2749747𝑁^11−37312275𝑁^10+368411615𝑁^9−2681453775𝑁^8+14409322928𝑁^7−56663366760𝑁^6+159721605680𝑁^5−310989260400𝑁^4+392156797824𝑁^3−283465647360𝑁^2+87178291200𝑁

やはり、素数じゃないと成り立たないみたいですね。

No.1349壊れた扉2023年8月1日 16:25

壊れた扉様、こんばんは。

105/15=7で15の倍数ですが、
5005=5x7x11x13は、15の倍数でないですね。
143325=3^2x5^2x7^2x13は、15の倍数ですね。
2749747=7x11x13x41x67は、15の倍数でないですね。
まあ、このへんでやめておきます。

15は係数がすべて15の倍数でないですね。つまり、15の倍数になれませんね。

No.1350うんざりはちべえ2023年8月1日 20:23

もう少し式を整理させました。

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)=N^7-(f+e+d+c+b+a)N^6
+ {(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab} N^5
- [{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f+{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d+abc] N^4
+ [{{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d +abc)}f+{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd] N^3
- [{{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd}f+abcde] N^2
+ abcdef N

規則正しくなってますが、これから得るものは、・・・・・？

No.1351うんざりはちべえ2023年8月2日 13:12

さすがうんざりはちべえさん、諦めませんね。

＞N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)=N^7-(f+e+d+c+b+a)N^6
+ {(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab} N^5
- [{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f+{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d+abc] N^4
+ [{{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d +abc)}f+{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd] N^3
- [{{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd}f+abcde] N^2
+ abcdef N

N^5の係数は解決しました。(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+abは、a=1,b=2,…,f=p-1（ｐは素数）で、それぞれの括弧の右の数字は括弧の最後の数字の次の数字になっているので、ｆをｎ番目とすると、
Σ(n=1~p-1){n(n-1)/2}nで求められます。
∴Σ(n=1~p-1){n(n-1)/2}n=Σ(n=1~p-1){n^2(n-1)/2}=(1/2)Σ(n=1~p-1)(n^3-n^2)=(1/2)Σ(n=1~p-1)n^3－(1/2)Σ(n=1~p-1)n^2
=(1/2){p(p-1)/2}^2－(1/2){p(p-1)(2p-1)/6}=p^2(p-1)^2/8－p(p-1)(2p-1)/12=3p^2(p-1)^2/24－2p(p-1)(2p-1)/24
=p(p-1){3p(p-1)-2(2p-1)}/24=p(p-1)(3p^2-7p+2)/24=p(p-1)(p-2)(3p-1)/24
よって、係数はp(p-1)(p-2)(3p-1)/24でｐは素数よりｐの倍数になる。

因みに、N^4の一番左の{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}fを同じ方法でやると、
(p-1)Σ(n=1~p-1){(n-2)(n-1)/2}(n-1)でこれを計算すると、
={(p-1)/2}[{p(p-1)/2}^2－４{p(p-1)(2p-1)/6}＋5p(p-1)/2－2(p-1)}で初めの３項は問題ありませんが、最後の項は(p-1)^2で素数になりません。つまり、この分解方法ではダメみたいです。
念のため、この計算結果が正しい事はｐ＝７とすると５１０となり、また、{(4+3+2+1)5+(3+2+1)4+(2+1)3+1・2}6=510となる事から確認済みです。

No.1352壊れた扉2023年8月2日 16:06

壊れた扉様、おはようございます。

＞よって、係数はp(p-1)(p-2)(3p-1)/24でｐは素数よりｐの倍数になる。

pが合成数で24と素である場合、pの倍数になりませんかね？
ただし、(p-1)((3p-1)は24の倍数。

pが合成数で24と素である場合、pは２と３の倍数でないということで、たとえば、最小は25ですが、
(p-1)((3p-1)が(25-1)(75-1)で24の倍数ですよね。
すると、N^24とN^23を突破します。N^22は、どうでしょう？
順番に積み上げるしかありませんね。

でも、２４以下では、正しいことが証明されました。前進です。

No.1356うんざりはちべえ2023年8月3日 07:14

うんざりはちべえさん、おはようございます。

＞pが合成数で24と素である場合、pの倍数になりませんかね？

以前の「ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。」の時も思ったのですが、この証明しようとしている法則は多分素数の場合しか成り立たないですよね。だから、素数以外の合成数の場合は全く考える必要がありません。（多分、うんざりはちべえさんとは見る角度が違っていて誤解されていると思います。）
念のため、左辺の積の数が素数個の場合のみを考えて（証明しようとして）いるという事です。
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)は７個の積。（元に戻すとN(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)）

No.1357壊れた扉2023年8月3日 10:07

壊れた扉様、こんにちは。

もうスレッドも終わりですから、
＞素数の場合しか成り立たない
として終わりにしますか？

No.1358うんざりはちべえ2023年8月3日 12:07

うんざりはちべえさん、こんにちは。

ええ、そうしましょう。今回は色々と収穫がありましたね。

うんざりはちべえと壊れた扉の定理１
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}は必ず(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-3)(N^3-N)+a(s-2)(N^2-N)の形に変形出来、右辺の係数の符号は±交互になり、その総和は(-1)^S・(S-1)!になる。（修正しました。）

うんざりはちべえと壊れた扉の定理２
１～ｐ－１までのｐ－１個の自然数の全ての２個の組み合わせの積の総和はｐの倍数になる。ただし、ｐ≧５
例えば、ｐ＝５の場合、1・2＋1・3＋1・4＋2・3＋2・4＋3・4＝３５で５の倍数。
ｐ＝７の場合、1・2＋1・3＋1・4＋1・5＋1・6＋2・3＋2・4＋2・5＋2・6＋3・4＋3・5＋3・6＋4・5＋4・6＋5・6＝１７５＝２５・７で７の倍数。

うんざりはちべえと壊れた扉の予想
１～ｐ－１までのｐ－１個の自然数の全ての２～ｐ－２個の組み合わせの積の総和はｐの倍数になる。
例えば、ｐ＝７の場合のｐ－２個の場合、1・2・3・4・5＋1・2・3・4・6＋1・2・3・5・6＋1・2・4・5・6＋1・3・4・5・6＋2・3・4・5・6＝１２０＋１４４＋１８０＋２４０＋３６０＋７２０＝１７６４＝２５２・７で７の倍数。よって、ｐの倍数になる。

No.1359壊れた扉2023年8月3日 14:00

返信 (19)

拡大魔方陣

魔方陣は、
①１～N＾２までの数字を使って、
②縦、横、斜めの和が等しい。
①の条件を無しにして、全て０，全て１も魔方陣と呼ぶのが、
拡大魔方陣の意味です。そうすると、どの数でも、拡大魔陣方陣に陣に普通の行列の和と、スカラー倍により、線形空間が作れます。
その時、３×３の場合は、３文字で作れるので、３次元。
M＋A　　、M＋A＋B、M＋B
MーA＋B、　M　　　、M＋A-B
M-B　　　、MーA－B、MーA
４×４の拡大魔方陣の次元は、いくつでしょうか？

No.1334ｋｓ2023年7月29日 16:27

「まほうじん」の字が違いますよ。
魔方陣と書きます。

それはともかくとして。

n≧3のとき、n(n-2)次元になると思います。
なので、4×4のときは8次元です。

一例：
[
[M+A+K, M+P, M-A-B-P, M+B-K ],
[M+Q, M+C-K, M+D+K, M-C-D-Q ],
[M-A+B-Q, M-D+K, M-C-K, M+A-B+C+D+Q ],
[M-B-K, M-C+D-P, M+A+B+C-D+P, M-A+K ],
]

No.1335りらひい2023年7月30日 07:53

返信 (1)

de Brujin sequence について

「あそびをせんとや」というホームページは大変興味深くよく眺めているのですが,
先日そこにこのような問題が紹介されていました。

例えば4文字A,B,C,Dを並べた文字列で, その部分文字列が, AA,AB,AC,AD,...,DDの
16個の2文字の連鎖パターンをすべて含むようにしたい。17文字で可能か？

2文字A,BであればAABBAだとAA,AB,BB,BAが全て含まれていて, 5文字だから最短という例も紹介されてました。

後日気になって調べていると, k文字を並べた文字列にn文字の連鎖パターンのすべてが部分文字列として含まれているような「循環文字列」という「de Bruijn sequence」という話に検索していて行き当たりました。
そこではk文字を並べた文字列にn文字の連鎖パターンのすべてが部分文字列として含まれているような「循環文字列」をB(k,n)のように表記するとあります。

グラフ理論を用いるなどして, 任意のk,nについてB(k,n)が「可能である」ことは納得できたのですが,
このB(k,n)な循環文字列が(k!)^(k^(n-1))/k^n通りあると書いてあり, その数え方が分かりませんでした。

一番簡単そうなB(2,2), つまりA,Bの2文字で2文字の連鎖パターンをすべて含むAABBのような循環文字列だと,
(2!)^(2^1)/2^2=2^2/2^2=1通りで, なるほど確かにそうだとなるわけです。

B(3,2), つまりA,B,Cの3文字で2文字連鎖... なAABBCCACBのような循環文字列だと,
(3!)^(2^1)/3^2=3^2*2^2/3^2=2^2=4通りな筈ですが, ... これでも一寸どう数えてるのか見当がつきません。

どなたかお知恵を貸してください。

No.1328moonlight2023年7月24日 14:15

職場でこの質問を投げたと思うてたのですがどうもネット環境か制限に引っ掛かっていたようで投稿できていませんでした。「あそびをせんとや」さんでは少し解説がされましたが矢張り数え方については言及がありませんでした。どうかよろしくお願いします。

No.1329moonlight2023年7月24日 14:19

B(3,2), つまりA,B,Cの3文字で2文字連鎖... なAABBCCACBのような循環文字列だと,
(3!)^(2^1)/3^2=3^2*2^2/3^2=2^2=4通りな筈ですが, ... これでも一寸どう数えてるのか見当がつきません。
と計算されていますが、
これは
B(3,2)=3!^(3^1)/3^2=6^3/9=216/9=24通りになりませんか？
M=[1,1,1,2,2,2,3,3,3]
からなる異なる3つの文字(ここでは1,2,3としておく。)をランダムに並べたとき(9!/(3!^3)=1680(通り))に
前から2つずつを区切って2語からなる単語を作っていくとき(最後の文字に最初の文字をくっつけたものも含む。）
、全て異なるものが構成出来る配列は次の216通りが可能であるが、各配列は9個をサイクリックにずらしていくと
各配列が同じものが9通りずつ次の216(通り)の中に現れる。(例えば1,27,91,57,187,115,133,193,145が同じ配列)
したがって216/9=24(通り)が実質的に異なる配列方法を持つことになる。

1;[1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 3]
2;[1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 3]
3;[1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 3]
4;[1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 3]
5;[1, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 2]
6;[1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 3, 3]
7;[1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 2]
8;[1, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 3]
9;[1, 1, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 2]
10;[1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 3]
11;[1, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 2]
12;[1, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 3]
13;[1, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 2]
14;[1, 1, 3, 1, 2, 3, 3, 2, 2]
15;[1, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 3]
16;[1, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3]
17;[1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 2]
18;[1, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 2]
19;[1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 2]
20;[1, 1, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 2]
21;[1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 2, 3]
22;[1, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3]
23;[1, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 2]
24;[1, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 2, 2]
25;[1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3]
26;[1, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 3]
27;[1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1]
28;[1, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1]
29;[1, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 3]
30;[1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 3]
31;[1, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 3, 1]
32;[1, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 3, 1]
33;[1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2]
34;[1, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 1]
35;[1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 3]
36;[1, 2, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 1]
37;[1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2]
38;[1, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 1]
39;[1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 3]
40;[1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 3, 1]
41;[1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 2]
42;[1, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 2, 1]
43;[1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 3]
44;[1, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 1]
45;[1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 2]
46;[1, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 2, 1]
47;[1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 3]
48;[1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 1]
49;[1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 2]
50;[1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 2]
51;[1, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1]
52;[1, 3, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1]
53;[1, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3]
54;[1, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 1]
55;[1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3]
56;[1, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 1]
57;[1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2]
58;[1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 1]
59;[1, 3, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2]
60;[1, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1]
61;[1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 2]
62;[1, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 2]
63;[1, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 1]
64;[1, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 1]
65;[1, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3]
66;[1, 3, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 1]
67;[1, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3]
68;[1, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 1]
69;[1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 2]
70;[1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 1]
71;[1, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 2]
72;[1, 3, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 1]
73;[2, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 3]
74;[2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 3]
75;[2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 3, 2]
76;[2, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 2]
77;[2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 3]
78;[2, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 3, 2]
79;[2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1]
80;[2, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 2]
81;[2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 3]
82;[2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3, 2]
83;[2, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1]
84;[2, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 2]
85;[2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 3]
86;[2, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 3]
87;[2, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2]
88;[2, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2]
89;[2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3]
90;[2, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 2]
91;[2, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 1]
92;[2, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 1, 2]
93;[2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3]
94;[2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 2]
95;[2, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 1]
96;[2, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2]
97;[2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 3]
98;[2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 3]
99;[2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 3]
100;[2, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 1]
101;[2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3]
102;[2, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 1]
103;[2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3]
104;[2, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3]
105;[2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3]
106;[2, 2, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 1]
107;[2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 3]
108;[2, 2, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 1]
109;[2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 3]
110;[2, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 1]
111;[2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 3]
112;[2, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 1]
113;[2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 1]
114;[2, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 1, 1]
115;[2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 3]
116;[2, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 1]
117;[2, 2, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 3]
118;[2, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 1, 1]
119;[2, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 1]
120;[2, 2, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 1]
121;[2, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2]
122;[2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3]
123;[2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2]
124;[2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 1]
125;[2, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 2]
126;[2, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3]
127;[2, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 2]
128;[2, 3, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 1]
129;[2, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2]
130;[2, 3, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2]
131;[2, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1]
132;[2, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1]
133;[2, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 2]
134;[2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3]
135;[2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 2]
136;[2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 1]
137;[2, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 2]
138;[2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3]
139;[2, 3, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 2]
140;[2, 3, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 1]
141;[2, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 2]
142;[2, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 2]
143;[2, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 1]
144;[2, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1]
145;[3, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3]
146;[3, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 2]
147;[3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 3]
148;[3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 2]
149;[3, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 3]
150;[3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1]
151;[3, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 3]
152;[3, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1]
153;[3, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 3]
154;[3, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 3]
155;[3, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 2]
156;[3, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 2]
157;[3, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3]
158;[3, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 2]
159;[3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 3]
160;[3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 2]
161;[3, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3]
162;[3, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 1]
163;[3, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 3]
164;[3, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 1]
165;[3, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3]
166;[3, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3]
167;[3, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 2]
168;[3, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 2]
169;[3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 3]
170;[3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1]
171;[3, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 3]
172;[3, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2]
173;[3, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3]
174;[3, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 1]
175;[3, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3]
176;[3, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2]
177;[3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3]
178;[3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 1]
179;[3, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 3]
180;[3, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2]
181;[3, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 3]
182;[3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 1]
183;[3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 3]
184;[3, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2]
185;[3, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 3]
186;[3, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 3]
187;[3, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 1]
188;[3, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 1, 1]
189;[3, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3]
190;[3, 2, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3]
191;[3, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 1]
192;[3, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 1]
193;[3, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2]
194;[3, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2]
195;[3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1]
196;[3, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1]
197;[3, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 2]
198;[3, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 2]
199;[3, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2]
200;[3, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 2]
201;[3, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1]
202;[3, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1]
203;[3, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 2]
204;[3, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 2]
205;[3, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 1]
206;[3, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2]
207;[3, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1]
208;[3, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2]
209;[3, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1]
210;[3, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2]
211;[3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1]
212;[3, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2]
213;[3, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1]
214;[3, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1]
215;[3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1]
216;[3, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 1, 1]

と解釈すればよいと思います。

No.1331GAI2023年7月24日 18:58

暑い中での投稿で計算間違いや思い違いがあったかもしれません。
どう考えればあの計算式が得られるのかが知りたいのです。（適当な例を挙げたのが間違いだったかもしれません。）

No.1332moonlight2023年7月24日 22:01

「数学感動秘話」>「目指せ！最長不倒」
の話ですかね？

No.1333DD++2023年7月26日 10:44

返信 (4)

次元による違い

a,b,c,dを実数とするとき
(1)a^2+b^2=1 を満たす時　P=(a-b)*(b-a)の最小値とそれを満たす(a.b)は?
(2)a^2+b^2+c^2=1 を満たす時　Q=(a-b)*(b-c)*(c-a)の最小値とそれを満たす(a,b,c)は?
(3)a^2+b^2+c^2+d^2=1 を満たす時　R=(a-b)*(b-c)*(c-d)*(d-a)の最小値とそれを満たす(a,b,c,d)は?

No.1324GAI2023年7月23日 06:33

とりあえず(1)と(2)だけ

(1)
u=a+b, v=a-bとおくとu^2+v^2=2a^2+2b^2=2
P=-v^2が最小のとき|v|が最大なのでu=0,v=±√2
このときa=(u+v)/2=±1/√2,b=(u-v)/2=干1/√2（複号同順）
よってPは(a,b)=(1/√2,-1/√2),(-1/√2,1/√2)のとき
最小値P=-v^2=-2をとる。

(2)
Qが最小値をとるためにはa＞b＞cまたはb＞c＞aまたはc＞a＞b
（∵このときQ＜0、これ以外のときQ≧0）
なので対称性よりa＞b＞cとして考えればよい。
u=a+b+c, v=a-b, w=b-cとおくとv＞0,w＞0であり
a=(u+2v+w)/3
b=(u-v+w)/3
c=(u-v-2w)/3
a^2+b^2+c^2={(u+2v+w)/3}^2+{(u-v+w)/3}^2+{(u-v-2w)/3}^2
=(u^2+v^2+w^2+(v+w)^2)/3=1 … (a)
Q=(a-b)(b-c)(c-a)=-vw(v+w)
v＞0,w＞0なので、Qが最小⇔vw(v+w)が最大
(a)から|u|＞0のときvw(v+w)は最大ではない
（∵|u|＞0ならばu=0としてその分v,wを少し大きくできる）
∴u=0
このとき(a)から
v^2+w^2+(v+w)^2=3
vw={2(v+w)^2-3}/2
vw(v+w)={2(v+w)^2-3}(v+w)/2
となりvw(v+w)はv+wが最大のときに最大
また
v^2+w^2+(v+w)^2=3
2v^2+2w^2+2vw=3
4v^2+4w^2+4vw=6
3(v+w)^2+(v-w)^2=6
となりv+wの最大値はv=wのときで√2
v=w,v+w=√2,u=0からv=w=1/√2,(a,b,c)=(1/√2,0,-1/√2),vw(v+w)=1/√2
よってQは(a,b,c)=(1/√2,0,-1/√2),(0,-1/√2,1/√2),(-1/√2,1/√2,0)のとき
最小値Q=-1/√2をとる。

（追記）
(3)の予想
(a,b,c,d)=((√3+1)/4,(√3-1)/4,-(√3-1)/4,-(√3+1)/4)（の巡回も）のとき最小値R=-1/8

(再追記)
(3)も解決しました。
あるa,b,c,dでRが最小値をとるとき、
a→b→c→d→aまたはd←a←b←c←dのように巡回するように値を入れ替えても
条件を満たして同じ最小値をとるので、「a,b,c,dのうちaが最大」としてよい。
このとき、a＞b＞c＞dまたはa＞d＞c＞b。
（∵大小関係がこのどちらかのときR＜0、それ以外のときR≧0）
a＞d＞c＞bのとき、a,b,c,dすべての符号を反転しても条件を満たして
Rは同じ値をとる。このときb＞c＞d＞aとなるが、このb,c,d,aの値を順に
a,b,c,dとしてもやはり条件を満たしてRの値は変わらない。
従ってRが最小値をとるときa＞b＞c＞dのようにすることができるので、
a＞b＞c＞dという条件を追加しても最小値は変わらない。
よってこの条件を追加して考える。
u=a+b+c+d, v=a-b, w=b-c, x=c-dとおくとv＞0,w＞0,x＞0であり
a=(u+3v+2w+x)/4
b=(u-v+2w+x)/4
c=(u-v-2w+x)/4
d=(u-v-2w-3x)/4
a^2+b^2+c^2+d^2=(u^2+2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2)/4 … (b)
R=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=-vwx(v+w+x)
v＞0,w＞0,x＞0なので、Rが最小⇔vwx(v+w+x)が最大
(b)から|u|＞0のときvwx(v+w+x)は最大ではない
（∵|u|＞0ならばu=0としてその分v,w,xを少し大きくできる）
∴u=0
このとき(b)から
2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2=4
xv={2(v+x)^2+(v+2w+x)^2-4}/4
vwx(v+w+x)=w{2(v+x)^2+(v+2w+x)^2-4}(v+w+x)/4
となりvwx(v+w+x)は（wを固定したとき）v+xが最大のときに最大
また
2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2=4
(v+x)^2+(v-x)^2+(v+2w+x)^2=4 … (c)
となるのでv+xが最大となるのはv=xのとき
(c)でv=xとすると
v^2+(v+w)^2=1
w＞0に注意してこれをwについて解くと
w=√(1-v^2)-v
v=sinθ（0＜θ＜π/2）とおくとcosθ=√(1-v^2)なので
w=cosθ-sinθ
vwx(v+w+x)=(sinθ)^2(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)
=(sinθ)^2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}
=(sinθ)^2{1-2(sinθ)^2}
=(1/8){1-(4(sinθ)^2-1)^2}
よって4(sinθ)^2-1=0すなわちsinθ=1/2すなわちv=1/2,w=(√3-1)/2のときに
vwx(v+w+x)は最大値1/8をとる。
従ってu=0,v=x=1/2,w=(√3-1)/2から
a=(√3+1)/4, b=(√3-1)/4, c=-(√3-1)/4, d=-(√3+1)/4なので、Rは
(a,b,c,d)=((√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4),
((√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4, (√3+1)/4),
(-(√3-1)/4, -(√3+1)/4, (√3+1)/4, (√3-1)/4),
(-(√3+1)/4, (√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4)
のときに最小値-1/8をとる。

# 問題がシンプルなので、もっと簡潔な解き方がありそうな気がします。

No.1325らすかる2023年7月23日 20:33

手計算でここまで探し出せる手腕に圧倒されます。
実は(3)は2022年度アジア太平洋数学ｵﾘﾝﾋﾟｯｸの第5問として問われている問題であり、
次元を変えるとどんなになるんだろうと調べたら面白かったので出題しておりました。
勿論手計算では私は歯が立ちませんのでWolfram Alphaさんの力をお借りして調査していました。

なお(3)での最小値を与える(a,b,c,d)の組合せではらすかるさんが示された4つの他に
(a,b,c,d)=(-(√3+1)/4, -(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4),
((√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4),
((√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4, -(√3-1)/4),
(-(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4)
もある様な調査結果を得ていたのですが、検討お願いします。

(3)での最大値を調査したら
(a,b,c,d)=(1/2,-1/2,1/2,-1/2)または(-1/2,1/2,-1/2,1/2)の時１
でもあるようでした。

No.1326GAI2023年7月24日 08:08

> (a,b,c,d)=(-(√3+1)/4, -(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4),
> ((√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4),
> ((√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4, -(√3-1)/4),
> (-(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4)

あ、そうですね。
a＞d＞c＞bを排除するために自分の回答の先頭の方では言及していたのに、
長い回答を書いているうちに逆まわりも回答になることを忘れていました。

No.1327らすかる2023年7月24日 08:26

返信 (3)

有限数列

たまに、見かけるのですが、
１，２，３、□、…
四角□に入る数字は、何でしょう？
普通、４と答えるわけですが、
どんな数でも、正当になるのではないでしょうか？
唯一になるには、条件をどんな条件を付ければいいでしょうか？

No.1322ks2023年7月21日 09:13

既に、同じ思いで記事を、投稿されていたのですね。
どんな数列でも、有限個の結果から、例えば、多項式で、
一般項を求めたとして、f(n)すると、
k(n-1)(n-2)(n-3)＋…+f(n)とすれば、
一意的に定まらないのではないか？という意味です。

No.1323ks2023年7月22日 18:00

返信 (1)

合計1745件 (投稿285, 返信1460)