😊出会いの泉😊

注目すべきは、陰性報告をしてきた 3 人が、「測定にかけなかった」方のコインですね。
あとは、カークマンの組分け問題は（多分ファノ平面で考えた場合でも？）、任意の 2 つの組の間に必ず共通人物が 1 人だけ存在することも注目に値します。

DD++ さん。

たびたびのヒントを有難うございます。
おかげさまで
偽コイン候補が「３個以下」であるとは示せました。
しかしながら丁度３個あるというところまではまだいきついておりません。
なにか単純なことを見落としているにちがいありません。

もう少しだけ考えてみます。

陽性報告数 4 だけど矛盾が含まれている場合の話ですよね？

陰性報告をした 3 人を A, B, C とします。
A が嘘つきだと仮定すると、A が測定にかけていて、B と C が測定にかけていないコインは本物候補になります。
さて、そのようなコインは何枚存在するでしょうか？

DD++ さん。
おっしゃる通りですね！！！
最大のヒントをまことにありがとうございます！！！

皆様へ。
あとでボチボチと証明のアウトラインを書いていく所存です。

せっかく DD++ さんにヒントをいただいておりますのに、【丁度３個である】ほうの証明をまだ書き下せておりません。ポンチ絵については漸く出来上がりましたけれども。申し訳ないことです。

[2191]の投稿で私は【３個以下】の証明なら出来たと申しておりました。
今日はこちらのほうのメモ書きを下記に投稿いたします。

金貨の名前を
z, a, b, c, d, e, f, g
とします。
技術者７名には添え字として 1 から 7 を与えます。
ガイガーカウンターによる
検査結果を
q とします。
q は、7名の技術者による陰性(0)、陽性(1) の結果を示す
𝑞₁, 𝑞₂, 𝑞₃, ... , 𝑞₇
として表します。

いま、偽金貨が a である状況下で、
技術者が q の検査結果を返したとします。
また、パリティ検査により、
q は a に対してハミング距離が 2 であると判明したものとします。

一般性を失わないようにするために、
q や、z, a から g までに使われる添え字である、 1 から 7 までについて
{h, k, m, n, p, s, t} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
とします。蛇足ですが両辺の集合の各要素は一対一対応しますけれども順不同です。
以下の記述で一般性を失わないための約束てす。

また、𝑎₁ のビット反転したものを 𝑎̅₁ などと、オーバーラインで表すこととします。

偽金貨 𝑎 にたいする 検査結果が 𝑞 として与えられるものとします。2 ビットの反転は、ビット位置 h, k で発生していることとします。
図示すれば、次の２行の各ビットの上と下とは真理値は等しいです。

𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ

この 𝑞 が 𝑏 をも偽金貨の候補として考えられることしましょう。図示しますと以下の３パターンのみに分かれます。

◆パターン１
𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏̅ₕ, 𝑏̅ₖ, 𝑏ₘ, 𝑏ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

◆パターン２
𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏̅ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

◆パターン３
𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏̅ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

分析します。
パターン１では、
a と b とは、ハミング距離が 0 となってしまい、本来あるべきハミング距離が４であることと矛盾します。パターン１はありえません。
パターン２では
a と b とは、ハミング距離が 2 となってしまい、本来あるべきハミング距離が４であることと矛盾します。パターン２はありえません。
パターン３では
a と b とは、ハミング距離が 4 となり、本来あるべきハミング距離が４であることと矛盾しません。パターン３はありえます。
これらより、パターン３のみが、a と b との間の関係を示しています。パターン３を再掲します。

𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏̅ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ

さて、第三の金貨 c が偽造金貨の候補だとしましょう。
ありえるパターンは以下のみです。

𝑎̅ₕ, 𝑎̅ₖ, 𝑎ₘ, 𝑎ₙ, 𝑎ₚ, 𝑎ₛ, 𝑎ₜ
𝑞ₕ, 𝑞ₖ, 𝑞ₘ, 𝑞ₙ, 𝑞ₚ, 𝑞ₛ, 𝑞ₜ
𝑏ₕ, 𝑏ₖ, 𝑏̅ₘ, 𝑏̅ₙ, 𝑏ₚ, 𝑏ₛ, 𝑏ₜ
𝑐ₕ, 𝑐ₖ, 𝑐ₘ, 𝑐ₙ, 𝑐̅ₚ, 𝑐̅ₛ, 𝑐ₜ

a と b との関係は、a と c, b と c との関係にもそのまま通用するからです。

測定結果である q について、a, b, c が偽金貨の候補である場合には、ビット反転の関係は上に尽きることとなります。

ここで、更に、金貨 d が偽金貨の候補足り得るかと問いを立てます。

h,k,m,n,p,s 以外のふたつの位置で、d は q にたいしてビット反転していなくてはなりませんがこれは不可能です。

ここまでをまとめれば、
測定結果 q が与えられたならば、偽金貨であることがありえるのは、a,b,c, の３枚までで、4枚以上ではあり得ないことがわかりました。

なお、３枚以下であることを示しただけであって、３枚丁度を示したわけではないことを付記しておきます。

あれ？
私はわりと答えそのもののつもりで書いてたんですが……

陽性報告が 4 人だった場合、
・全員正直
・陽性報告と陰性報告それぞれで 1 人嘘つき
のいずれかですよね？
前者はハミング距離 0 で話は終わっています。
後者の場合、陰性報告者のうち 2 人が測定から外したコインが本物候補です。
そしてそれは任意の陰性報告者 2 人組の間に共通で測定しなかったコインが（誰も測らなかったやつ以外で）必ずちょうど 1 枚あり、合計で 3C2 = 3 枚存在します。

DD++ さん、たびたびお手を煩わせてしまいまして申し訳ございませんでした。有難うございます。

■問題の振り返りをします。
No.2129Dengan kesaktian Indukmu9月8日 00:09
の問題では 10 人のケースでは解あり、では9人では？ となったのがことの発端です。

９人のうち、第一段階で７人を投入、そこで偽金貨が特定できればよし、そのなかに虚偽のレポートをしてくる技術者が２人いるケースもありうるがその場合には偽金貨が特定できないものの、偽金貨の候補が【丁度】３枚になるので、第二段階として残りの正直な技術者２名が偽金貨を特定できるだろう、ゆえに技術者は9人で十分だ、という筋書きなのでした。

今回は第一段階のアルゴリズムを決定し、なおかつ【丁度３人】問題について、個人的な結論を皆さんにご報告いたします。

///////////
ご注意:ここまでの流れと陰性陽性の扱いが逆転してしまっています。申し訳ありません。
(ひとえに私の直観にあわせてしまっただけなのですが……)
///////////

■第一段階での測定について
i を 1 から 7 までの添字として使います。
j を 1 から 8 までの添字として使います。

7人いる技術者に、1 から 7 と名前をつけます。添字としてはもっぱら i を使います。

陽性集合 Pj を以下のように定義します。
P1 = {2, 3, 5}
P2 = {3, 4, 6}
P3 = {4, 5, 7}
P4 = {5, 6, 1}
P5 = {6, 7, 2}
P6 = {7, 1, 3}
P7 = {1, 2, 4}
P8 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
※余談ですが P1 から P7 は、FANO平面となっています。P8 は余計ものです。

陰性集合 Nj を以下のように定義します。
N1 = {7, 6, 4, 1}
N2 = {1, 7, 5, 2}
N3 = {2, 1, 6, 3}
N4 = {3, 2, 7, 4}
N5 = {4, 3, 1, 5}
N6 = {5, 4, 2, 6}
N7 = {6, 5, 3, 7}
N8 = {}

8 枚の金貨に以下のように名前をつけます。
C{Pj, Nj}
すなわち、金貨の名前については陽性集合と陰性集合の組みの集合で定義します。

長くなりましたので、投稿をいったん区切ります。

■第一段階での測定について(つづき)
7人の技術者に次のように測定の指示をだします。すなわち、
i 番目の技術者は、Pj の要素に i を含むような金貨 C{Pj, Nj} をガイガーカウンターで計測します。

◆早見表 | 1 2 3 4 5 6 7 ←技術者
C{P1, N1} | 0 1 1 0 1 0 0
C{P2, N2} | 0 0 1 1 0 1 0
C{P3, N3} | 0 0 0 1 1 0 1
C{P4, N4} | 1 0 0 0 1 1 0
C{P5, N5} | 0 1 0 0 0 1 1
C{P6, N6} | 1 0 1 0 0 0 1
C{P7, N7} | 1 1 0 1 0 0 0
C{P8, N8} | 1 1 1 1 1 1 1
※この早見表では、1 が立っている金貨を計測します。

陽性のレポートをした技術者の集合を T と名づけます。

Tから偽金貨のゆくえを探すということとなります。
たとえば T={2,3,5} ならば偽金貨は C{P1, N1} ということとなります。


■計測結果Tの評価について
簡単なものから順に。

① T = Pj となる j があるとき
※７人ともに正しいレポートを提出したこととなります。
偽金貨は、C{Pj, Nj}。


②Tの要素数が 2 のとき
※すなわち陽性を陰性と偽ったレポートがひとつあったことになります。

j = 8 を除外できます。
Pj ⊃ T なる j が唯一に定まります。
偽金貨は、C{Pj, Nj}。


③Tの要素数が 4 のとき
※陰性を陽性と偽ったレポートがひとつあったことになります。

j = 8 を除外できます。
Pj ⊂ T なる j が唯一に定まります。
偽金貨は、C{Pj, Nj}。


④Tの要素数が 6 のとき
※陰性を陽性と偽ったレポートがひとつあったことになります。

偽金貨は、C{P8, N8}。

ここまで①②③④は T と偽金貨の Pj とのハミング距離が 0 または 1 なのでした。

(続きます)

■計測結果Tの評価について(つづき)
⑤Tの要素数が 1 のとき
※陽性を陰性と偽ったレポートがふたつあったことになります。
j = 8 を除外できます。

このとき T の要素を信じることができます。誤ったふたつのレポートの影響を受けていないためです。
T ⊂ Pj
となる j は３つあります。(FANO平面の性質です)
３つある偽金貨の候補 C{Pj, Nj} については第二段階で、(これ以上は誤ったレポートが発生しないため) 処理可能となります。


⑥Tの要素数が 5 のとき
偽金貨の候補としてふたつのグループが考えられます。
⑥‐１
※C{P8, N8} について、陽性を陰性と誤ったレポートが２通発生したケースです。
偽金貨の候補として
これがひとつめのグループです。
⑥‐２
※j=8 を除外しての C{Pj, Nj} について、陰性を陽性と誤ったレポートが２通発生したケースです。
誤ったレポートを出した技術者の添字の値を m,n とします。
{m} ⊂ Pj なる C{Pj, Nj} は ３個あります。
これは FANO平面の性質です。
{n} ⊂ Pj なる C{Pj, Nj} は ３個あります。
これも FANO平面の性質です。
{m,n} ⊂ Pj なる C{Pj, Nj} は １個あります。
これは FANO平面の性質です。
誤ったレポート m,n を含んだC{Pj, Nj}は
3+3-1=5 より、５個あります。
j=8 を除外しての C{Pj, Nj} の７個のうち、
本物の金貨として除外できるのは５個となり、偽金貨の候補は２個となります。
やや迂遠な論法でしたが、
T ⊃ Pj を満たす j は２つあるということとなります。
⑥‐３
以上より、この⑥のケースでは、偽金貨の候補の枚数は３枚となりました。

(つづきます。次は私にとっての天王山で、DD++ さんからお知恵を拝借した部分です。)

(本日は夕飯の支度をしなければならない身分ですので、ひょっとすると明日になるかもしれません。)

私にとっても直観と逆でしたので、この変更はありがたいです。

6-2 は、陽性を陰性と偽った報告がない以上、陰性報告は全て信じてよく、それで 5 枚が本物と確定できますね。

DD++ さん、[2217]← あっと叫びました。
それはそうですね……自明なものを私のようにこねくりまわしてはダメですね……

気を取り直して。以下では、A∖B を差集合の表記とします。
　

⑦Tの要素数が 3 のとき
(ただし、①のケースは除きます。)
※陽性を陰性にする誤ったレポート１通と、陰性を陽性にする誤ったレポートを１通と、計２本の誤ったレポートが発生しているケースです。

話の都合上、T に基づいてUを作ります。Uが全体集合でなくてすみません。
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}∖T
そして、偽金貨のC{Pj, Nj}について
Pj = {x, y, z}
Nj = {p, q, r, s}
とします。
T = {p, y, z,}
U = {x, q, r, s}
が測定の結果として得られていることとなります。

Tの３つの要素のうち、偽レポートがひとつあるので、その可能性は丁度３通りあります。
偽物を大文字で書くと
Pj = {X, y, z}
Pj = {x, Y, z}
Pj = {x, y, Z}
のどれかが実現していることとなります。
Tに含まれる３つの要素のうち２つを選ぶと、それぞれに対応して金貨がひとつ定まるということとなります。

以上より、この⑦のケースでは、偽金貨の候補の枚数は３枚となりました。


さて、結論です。
以上をまとめますと、第一段階で７人中に２人分の偽レポートが発生したときには、偽金貨候補は常に３個であることがわかります。
誤りレポートの数が 0 ないし 1 であるときには、偽金貨は確定します。


《感想》
もうちょっと簡単に書ければ良いのですが。

先に提示させていただいた早見表で
再び、0 と 1 とをビットフリップした上で、下記に再掲させていただきます。

C{P1, N1} | 1 0 0 1 0 1 1 //C4
C{P2, N2} | 1 1 0 0 1 0 1 //C6
C{P3, N3} | 1 1 1 0 0 1 0 //C7
C{P4, N4} | 0 1 1 1 0 0 1 //C3
C{P5, N5} | 1 0 1 1 1 0 0 //C5
C{P6, N6} | 0 1 0 1 1 1 0 //C2
C{P7, N7} | 0 0 1 0 1 1 1 //C1
C{P8, N8} | 0 0 0 0 0 0 0 //C0

なお、各行の右端は、これから始める説明の都合上、各金貨に新しく名前づけしたものです。

ビット列の排他的論理和の記号として「⊕」を使うこととします。
たとえば、 0110 ⊕ 1010 = 1100 です。

1 ≤ n ≤7 について
C0 ⊕ Cn = Cn
は、自明ですね。

ビックリしたのが、以下のようになっていることです。

C3 = C2 ⊕ C1
C5 = C4 ⊕ C1
C6 = C4 ⊕ C2
C7 = C4 ⊕ C2 ⊕ C1

つまり、C1,C2,C4 さえ知っていれば、
他については、２進数の仕掛けによって割り出せるということになります。

これは私にとっては非自明なことですので
皆様にもご報告する次第です。

OEIS の
A075931
List of codewords in binary lexicode with Hamming distance 5 written as decimal numbers.
から、
0,31,227,252,805,826,966,985,1354,1365,1449,1462,1647,1648,1676,1683
までを利用して
符号長 11 、最小ハミング距離 5 の符号のビット列を以下のように作成しました。
"12 0 3 00 4 0000"←↓見出し
"00 0 0 00 0 0000",//0
"00 0 0 00 1 1111",//1
"00 0 1 11 0 0011",//2
"00 0 1 11 1 1100",//
"01 1 0 01 0 0101",//4
"01 1 0 01 1 1010",
"01 1 1 10 0 0110",
"01 1 1 10 1 1001",
"10 1 0 10 0 1010",//8
"10 1 0 10 1 0101",
"10 1 1 01 0 1001",
"10 1 1 01 1 0110",
"11 0 0 11 0 1111",
"11 0 0 11 1 0000",
"11 0 1 00 0 1100",
"11 0 1 00 1 0011",

見出しについて説明します。
"12 0 3 00 4 0000"
で、1,2,3,4 は、データビット(4ビット)として使えるビット位置です。上位から昇順にしています。
"12 0 3 00 4 0000"
"01 1 0 01 1 1010",
上の例では、0101 を意味しており、10進では 5 です。これが、確かに 0 オリジンで 5 番目のビット列であることに留意して頂ければ幸いです。
上の一覧表は、4ビットのデータビットの符号語を、11ビットにエンコードしたものとなっています。

前回の投稿、No.2220 で発生していた摩訶不思議な現象が、上でもおきているのかについてプログラムで検証しましたところ、オーケーとなりました。
"00 0 0 00 1 1111",//1
"00 0 1 11 0 0011",//2
"01 1 0 01 0 0101",//4
"10 1 0 10 0 1010",//8
を知っていれば、
他の11個の符号語は、排他的論理和でもって計算できるのです。
いや、これ自明だろうとお感じになられるかたもいらっしゃるかもしれません。

しかしながらですね、
この A075931 の数列は、0 から順に 1 づつ　カウントアップしていき、テーブル上にためてある(先行する)全ての数とハミング距離が5以上となる数をみつけてはテーブルに追加して溜め込んでいるだけで、作っているんです。貪欲アルゴリズムでもってグリーディに。有る意味では汚い作り方。

なのに、[2220]の投稿で触れた法則がある、そもそも、A075931 で、私が勝手に設定した【見出し】が、符号語の値を直に示しているなんて、不思議で不思議でならないのです。

たとえば、最小ハミング距離が 6 で、符号長が 13 、符号語数も 13 の、次の符号には、今話題にしている[法則]を私はみつけられません。

"0011101111101",
"1001110111110",
"0100111011111",
"1010011101111",
"1101001110111",
"1110100111011",
"1111010011101",
"1111101001110",
"0111110100111",
"1011111010011",
"1101111101001",
"1110111110100",
"0111011111010",

データビットがどこなのかも曖昧ですしね。
サイクリックですから。

綺麗な仕掛けで作った割には、
グリーディに作ったものに、有る意味、負けているのです。

この謎、面白くてしょうがないです。

2221 で私は無手勝流にデータビットの位置を決めていたのですが、(つまりチェックビットの位置を決めていたのですが)

とっくの昔にコンウェイさんが決めて？ました。どうやったんやろ？　
このテーブルが大きくなるとこれらの位置はさかわるとのこと。まあ。

lb(3),lb(5),lb(7),lb(11),lb(13)を通常に連分数からの打ち切り分数で
分母が6桁であるものをとると
lb(3)=301994/190537
lb(5)=227268/97879　(6桁であるものは取れなかった。)
lb(7)=1273419/453601
lb(11)=1444074/417431
lb(13)=201130/54353
が見つかる。

kuiperbelt氏による構成では
lb(3)=172295/108706=1033770/652236
lb(5)=504815/217412=1514445/652236
lb(7)=915529/326118=1831058/652236
lb(11)=376061/108706=2256366/652236
lb(13)=201130/54353=2413560/652236

そこで初めの方の異なる分数を652236へと統一したとすればそれぞれの分子は
lb(3)-->round(652236/190537*301994)=1033770
lb(5)-->round(652236/97879*227268)=1514445
lb(7)-->round(652236/453601*1273419)=1831058
lb(11)-->round(652236/417431*1444074)=2256366
lb(13)-->round(652236/54353*201130)=2413560
と矛盾なくつながりました。

1.の「2以上」は不要だと思います。

1について、πは2以上の数ですが、連続する整数の和では書けませんが？
2について、「正の」と一見不必要な情報をあえて書き足し強調した意図はなんでしょう？
3について、例えば7であれば、7（1連続）と3+4（2連続）の少なくとも2つがありますので成り立ちません。
4について、突然「逆」とだけ言われても何の逆か全くわかりません。
5について、奇数なら3で示したように1連続と2連続は必ず存在しますので、素数に限らず3以上の奇数全部で成り立ちます。

ksさんの投稿は全部に言えることですが、記述不足で内容が意味不明だったり明らかに誤っている記述になっていたり、いつもそういう投稿ばかりです。
言語化していない前提を勝手において話をしても誰にも何も伝わりませんよ。

皆様、ご指摘ありがとうございます。
先ず、管理人様の質問に対するお答えです。
1＝０＋1
2＝－1＋０＋1＋2
４＝ー3＋（－2）＋（－1）＋０＋1＋2＋3＋4
悪しからず。
２については、２，４，８、16…などは、
自然数の連続した和では、表せない。
３については、素数は、２以外は、全て奇数なので、
P＝２N＋１＝N＋（N＋１）で明らかですが、
他に連続した複数の和として表すことはできません。
４については、３の逆は成立しない。一通り⇒素数は成立しない。
５については、９以上の素数でない奇数は複数の表現、
連続する自然数の和という意味でした。
尚、説明不足であれば、よろしくご容赦ください。

私の挙げた反例とかは全部無視ですか？
「自分が正しいと判断したことが正しい根拠だ」では会話になりませんよ。

例えば123-70√2が24に近いなら、
115-70√2は16に(42-15√3よりも)近くなると思いますが、
16のときに42-15√3としているのはなぜでしょうか。
また逆の見方で、もし「自然数に近づけていく」のが目的ならば
右辺の自然数を変更することで
16≒42-15√3
16≒115-70√2
16≒260-63√15
のように左辺の値を一定にしたり
1≒27-15√3
2≒101-70√2
3≒247-63√15
のように8の倍数以外にすることもできますが、
左辺の値が8の倍数のみとなっているのは
8の倍数から右辺を導出する決まった手法があるということでしょうか。

> 左辺の値が8の倍数のみとなっているのは
> 8の倍数から右辺を導出する決まった手法があるということでしょうか。


ある本を読んでいて
m:=1/2*(sqrt(n+1)+sqrt(n-1))･････････①
と置くとき
1/m=sqrt(n+1)-sqrt(n-1)･･････････････②
m^2=1/2*(n+sqrt(n^2-1))･･･････････････③
n-m^2=1/(4*m^2)･･････････････････････④
が成り立ち
これらの等式を組み合わせることで
1/(8*m^5*(m+sqrt(n))^2)=(m-sqrt(n))^2/(8*m^5*(m^2-n)^2)
=(m^2-2*m*sqrt(n)+n)/(m/2)
=2*(m-2*sqrt(n)+n/m)
=(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)-4*sqrt(n)･･････････････(*)
なる等式が成立することに成る。
左辺を見ることで右辺の値はO(1/(n^(5/2)*n)=O(1/n^(3+1/2)のオーダーでほゞ無視出来ることができる。

この巧みな式を見てn+1,n-1,nがそれぞれ平方根√が外れる各nに対応して
(2*n+1)*sqrt(n+1)≒(2*n-1)*sqrt(n-1)+4*sqrt(n)
(2*n-1)*sqrt(n-1)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-4*sqrt(n)
4*sqrt(n)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)
という風に左辺の自然数を右辺の2つの無理数で構成出来るなと思って先程の等式もどきを作っていきました。

なおここで第３番目の等式を両辺平方して
16*n≒8*n^3+10*n-2*(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
÷2から
8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)･･⑤
なる式を利用すれば
8の倍数の自然数が右辺の一つの無理数で近似出来ることが可能となる。

この⑤から構成していきました。


らすかるさんの指摘の様に
gp > forprime(p=2,100,for(n=1,1000000,if(frac(n*sqrt(p)) < 0.000001,print(n";"p))))
978122;3
902702;7
283009;17
566018;17
345777;19
254813;29
509626;29
528641;41
424802;43
829254;47
528896;53
951113;61
977001;89
594030;97
や
gp > forprime(p=2,100,for(n=1,10000000,if(frac(n*sqrt(p)) > 0.9999999,print(n";"p))))
9369319;2
7865521;3
7465176;5
3096720;7
9504180;11
2298912;17
4508361;19
9016722;19
5412001;23
8193638;29
9600319;31
1311360;41
3697884;43
7395768;43
6191808;47
8142716;61
2874480;71
5748960;71
8623440;71
4684249;73
4121279;79
8242558;79
9005009;89
6377352;97
なる素数や整数を組み合わせれば(bとpを上の組み合わせに取っておく意味)
a+b*sqrt(p)
はaを調節することで一個の無理数でなんぼでも自然数すべてを好きな近似精度で作り出すことは可能となるんでした。

しかし(*)の等式を作り出せるセンスにほどほど感心しました。

なるほど、やはり8の倍数にだけ使える式があったのですね。よくわかりました。

GAI さんが何をしたいのか全くわからないんですが、
16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式であるかのように扱われている理由はどこにあるんです？

> 16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式であるかのように扱われている理由はどこにあるんです？

らすかるさんへの返事の中の
8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)･･⑤
なる式から
n=2,7,26で生まれる式が以下の式となる意味であり
16=42-15*sqrt(3)
56=1407-780*sqrt(3)
208=70434-40545*sqrt(3)
その
16=42-15*sqrt(3) が特別な近似式というつもりはありません。

上の3つの式から
sqrt(3)=(42-16)/15=26/15
sqrt(3)=(1407-56)/780=1351/780
sqrt(3)=(70434-208)/40545=70226/40545
等が発生します。(前に掲示している中から選んでいるだけです。)

ここにsqrt(3)の連分数を途中で打ち切って分数としていく手順を自動でやらせていくと
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),20)
%208 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351 3691 5042 13775 18817 51409 70226 191861 262087 716035]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780 2131 2911 7953 10864 29681 40545 110771 151316 413403]

の様に右に行くにしたがってよりsqrt(3)へ近似していけます。
この流れの中に
26/15,1351/780,70226/40545もいますから16=42-15*sqrt(3)が特別の式との解釈は "はて？"
と思ってしまいます。

ああ、具体的な方がいいかと思って1つ抽出したら質問の意図が伝わりませんでした。
5番の式で「8n=」の形にした式だけ特別視しているのはなぜですか？

この式を作るときに、その前に記載された式を平方して整理して得られる
4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0
の両辺に突然 8n を加えてできたのが 5 番ですよね。
ここで両辺に 7n を足せば 7 の倍数の式ができるでしょうし、9n を足せば 9 の倍数の式ができるんじゃないでしょうか？
8n を選択する必然性はなんでしょう？

> 5番の式で「8n=」の形にした式だけ特別視しているのはなぜですか？

この式を作るときに、その前に記載された式を平方して整理して得られる
4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0
と記載されている部分は

8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
をなぜ
3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
としないのか？
と解釈していいですか？

理由はこうすることを気付かなかったです。
2で割れるからそれで終わりと思い込み。そのままで数値で確認に行っていました。

これからは
6≒32-15*sqrt(3)
9≒108-35*sqrt(8)=108-70*sqrt(2)
12≒256-63*sqrt(15)
････････････
で掲載していたことでしょう。

お粗末様でした。

> 3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)

さらに言えば、3n と 4n^3 を左右に分ける意味もないと思います。
n は具体的な整数を代入することを想定しているんでしょうかた、整数の近似式に整数を足す項があっては意義が薄いです。

一方で、これを逆に平方根の有理近似式として
√(n^2-1) = (4n^3-3n)/(4n^2-1)
とした式は何かに使えそうですね。

DD++さんからのアドバイスを受けてsqrt(n^2-1)≒(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)
の活用を見てみました。
時間の関係でプログラムのままの姿で申し訳ありません。


gp > for(n=1,100,if(core(n^2-1)==3,\
print(n,";sqrt(3)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/3))))
2;sqrt(3)=26/15
7;sqrt(3)=1351/780
26;sqrt(3)=70226/40545
97;sqrt(3)=3650401/2107560
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),24)
%227 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351
3691 5042 13775 18817 51409 70226
191861 262087 716035 978122 2672279 3650401
9973081]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780
2131 2911 7953 10864 29681 40545
110771 151316 413403 564719 1542841 2107560
5757961]

-----------------------------------------------------------

for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==5,\
print(n,";sqrt(5)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/5))))
9;sqrt(5)=2889/1292
161;sqrt(5)=16692641/7465176
2889;sqrt(5)=96450076809/43133785636
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(5)),20)
%222 =
[2 9 38 161 682 2889 12238 51841 219602 930249 3940598 16692641
70711162 299537289 1268860318 5374978561 22768774562 96450076809
408569081798 1730726404001 7331474697802]

[1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 416020 1762289 7465176
31622993 133957148 567451585 2403763488 10182505537 43133785636
182717648081 774004377960 3278735159921]

-------------------------------------------------------------

gp > for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==6,\
print(n,";sqrt(6)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/6))))
5;sqrt(6)=485/198
49;sqrt(6)=470449/192060
485;sqrt(6)=456335045/186298002
4801;sqrt(6)=442644523201/180708869880
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(6)),24)
%226 =
[2 5 22 49 218 485 2158 4801 21362 47525 211462 470449
2093258 4656965 20721118 46099201 205117922 456335045
2030458102 4517251249 20099463098 44716177445 198964172878
442644523201 1969542265682]

[1 2 9 20 89 198 881 1960 8721 19402 86329 192060
854569 1901198 8459361 18819920 83739041 186298002
828931049 1844160100 8205571449 18255302998 81226783441
180708869880 804062262961]

-------------------------------------------------------------

gp > for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==7,\
print(n,";sqrt(7)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/7))))
8;sqrt(7)=2024/765
127;sqrt(7)=8193151/3096720
2024;sqrt(7)=33165873224/12535521795
これに対して連分数からの近似
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(7)),36)
%233 =
[2 3 5 8 37 45 82 127 590 717 1307 2024
9403 11427 20830 32257 149858 182115 331973
514088 2388325 2902413 5290738 8193151
38063342 46256493 84319835 130576328 606625147 737201475
1343826622 2081028097 9667939010 11748967107 21416906117 33165873224
154080399013]

[1 1 2 3 14 17 31 48 223 271 494 765
3554 4319 7873 12192 56641 68833 125474
194307 902702 1097009 1999711 3096720
14386591 17483311 31869902 49353213 229282754 278635967
507918721 786554688 3654137473 4440692161 8094829634 12535521795
58236916814]

近似スピードが稼げます。

手元では同様ですね。
PARI は、ひとたび小数を扱うことになると２進数で内部表現するのかな？　と思いましたが、ざっとみ、それだけではうまく説明できないような？

? for(n=1,20,print(n";"floor(log(10^n)/log(10))))
1;1
2;2
3;2
4;4
5;5
6;5
7;7
8;8
9;9
10;10
11;10
12;11
13;12
14;14
15;14
16;16
17;16
18;18
19;19
20;20

JavaScript では以下の通りです。

for (let n = 1; n <= 20; n++) {
console.log(n + ";" + Math.floor(Math.log(Math.pow(10, n)) / Math.log(10)));
}

上を RUN すると
"1;1"
"2;2"
"3;2"
"4;4"
"5;5"
"6;5"
"7;7"
"8;8"
"9;8"
"10;10"
"11;11"
"12;11"
"13;12"
"14;14"
"15;14"
"16;16"
"17;17"
"18;17"
"19;19"
"20;20"

となります。
JavaScript ではたぶん小数点以下は、最寄りの２進数で捉えているので……

他の計算ソフトでも調査してみた。
＊sageMathのソフト
sage: for i in range(21) :print(i,floor(ln(10^i)/ln(10)));
(0, 0)
(1, 1)
(2, 2)
(3, 3)
(4, 4)
(5, 5)
(6, 6)
(7, 7)
(8, 8)
(9, 9)
(10, 10)
(11, 11)
(12, 12)
(13, 13)
(14, 14)
(15, 15)
(16, 16)
(17, 17)
(18, 18)
(19, 19)
(20, 20)
全部上手く走る


＊Rubyのソフト
irb(main):001:0> include Math
=> Object
irb(main):012:0> 0.upto(20){|i| print i,";",log(10**i)/log(10),"\n"}
0;0.0
1;1.0
2;2.0
3;2.9999999999999996
4;4.0
5;5.0
6;5.999999999999999
7;7.0
8;8.0
9;8.999999999999998
10;10.0
11;11.0
12;11.999999999999998
13;12.999999999999998
14;14.0
15;14.999999999999998
16;16.0
17;17.0
18;17.999999999999996
19;19.0
20;20.0
3,6,9,12,13,15,18で上手くいかなくなる。



＊Maximaのソフト
(%i13) for i :1 thru 20 do
print(float(log(10^i)/log(10)));

1.0" "
2.0" "
3.0" "
4.0" "
5.0" "
6.0" "
7.0" "
8.0" "
8.999999999999998" "
9.999999999999998" "
11.0" "
12.0" "
13.0" "
14.0" "
15.0" "
16.0" "
17.0" "
18.0" "
19.0" "
20.0" "
9,10で難点

PARI で、床関数を使う前に微量な下駄をはかせましたが 258,259で破綻。

for(n=257,260,print(n";"floor(10^(-36)+log(10^n)/log(10))))

257;257
258;257
259;258
260;260

PARI にて、
n = 308 までの範囲で微小量を足すテストをしました。
(javascriptだと10^308を超えると途中計算結果に無限大が現れる扱いになったので……PARIではどうなのかわからず、とりあえずです)

微小量としては、2 ^{-119}と2 ^{- 120} とのあいだに分水嶺があります。以下。

? i = -120; for(n = 1, 308, if(n == floor(2^i + log(10^n)/log(10)), next, print(n, ";", floor(2^i + log(10^n)/log(10))) ) ); print("END")
　
上を走らせると

258;257
259;258
265;264
266;265
271;270
272;271
277;276
278;277
283;282
284;283
290;289
291;290
296;295
297;296
302;301
303;302
308;307
END
　
となり

? i = -119; for(n = 1, 308, if(n == floor(2^i + log(10^n)/log(10)), next, print(n, ";", floor(2^i + log(10^n)/log(10))) ) ); print("END")

上を走らせると
　
END

となります。

近似分数に関しては以前少し研究したことがあります。
（分数の昇順で精度順に分数を列挙する方法を考えました(何十桁でもOK)。）
書かれている分数は、すべて連分数を打ち切って得られる分数ですね。
しかしそれは「3桁以下で最も良い」分数が得られるとは限りません。
例えばlog17は299/243より881/716の方が良い近似になります。
同様にlog29も525/359より914/625の方が少しだけ良い近似になります。
log23は3桁以下で連分数打ち切りで得られる分数では64/47が最大で
精度が出ないために分子4桁を許容したものと思いますが、
975/716でもそこそこの精度は出ます。
大半の値は、小数点以下の精度が(分母の桁数×2)桁程度になりますが、
たまたま連分数打ち切り直後の値が大きい場合は精度が良くなりますね。
log7は[0;1,5,2,5,6,1,4813,1,1,…]で4813の前で打ち切っているため
これだけ特別に精度が良くなっています。
円周率の355/113も同様ですね。

単に 1 つの対数値を機械計算を許して自由に有理数近似するだけでしたら、
数学感動秘話 > 累乗の上 4 桁
他、このサイトの何ヶ所かで同じ議論が繰り返し行われていますね。

29までの素数で、常用対数の連分数展開を求めてみましたが、log_{10}(7)のときの4813のような大きな数は現れませんでした。なお、log_{10}(5)=1-log_{10}(2)なので省略しています。

log_{10}(2)=[0;3,3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1,18,...]
[0;3,3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1]=97879/325147
=0.301029995663499893894146339963

log_{10}(3)=[0,2,10,2,2,1,13,1,7,18,...]
[0,2,10,2,2,1,13,1,7]=34367/33001
=0.477121254550546065527863343601

log_{10}(11)=[1;24,6,3,2,1,1,3,1,1,1,9,...]
[1;24,6,3,2,1,1,3,1,1,1]=22014/21139
=1.04139268507014938941244204721

log_{10}(13)=[1;1,8,1,3,2,7,1,6,16,...]
[1;1,8,1,3,2,7,1,6]=5113/4590
=1.11394335511982570806100217865

log_{10}(17)=[1,4,2,1,17,1,13,1,1,3,3,26,...]
[1;4,2,1,17,1,13,1,1,3,3]=99797/81106
=1.23045150790323773826843883313

log_{10}(19)=[1;3,1,1,2,2,1,3,2,2,1,4,1,1,1,6,1,3,1,3,1,47,...]
[1;3,1,1,2,2,1,3,2,2,1,4,1,1,1,6,1,3,1,3,1]=6497723/5081294
=1.27875360095282815755199364571

log_{10}(23)=[1;2,1,3,4,17,2,1,2,66,...]
[1;2,1,3,4,17,2,1,2]=9016/6621
=1.36172783567436943059960731007

log_{10}(29)=[[1;2,6,6,1,2,1,2,2,2,1,1,1,1,1,5,1,2,3,37,...]
[1;2,6,6,1,2,1,2,2,2,1,1,1,1,1,5,1,2,3]=5243915/3585833
=1.46239799789895402267757589380

log[10]7で連分数の8番目の値が4813ですが、
log[10]2は137番目が5393
log[10]3は562番目が2788
log[10]11は2179番目が3864
log[10]13は133番目が1378
log[10]17は710番目が3301
log[10]19は1341番目が2249
log[10]23は921番目が2695
log[10]29は352番目が1901
のようにずっと先まで見れば大きな数はいずれ出てきます。
log[10]7は奇跡的に前の方にあったということですね。

同じ問題についてなので、間借りします。

平面幾何的解法です。

この三角形の外心を O とすると、△OBC は OB = OC である直角二等辺三角形なので、
あとは OH を対角線とする長方形を書いてなんやかんやすれば
AH = 5 + √{ (5√2)^2 - 1 } = 12
と求まりますね。

とりあえず(1)だけ
> 分母 239 というのはどのくらいの優秀さなんでしょうか？

分母＜1000では(相対誤差の合計で)70番目に優秀でした。
239で相対誤差の合計は0.001457…です。
1位は568で、相対誤差の合計は0.0001758…です。
2位以下は897,960,807,794,…と続きますが、分母が大きければ相対誤差が小さいのは当然で、
そういう意味では69番目までに分母が239未満のものはありませんので、239は結構優秀と言えると思います。
分母の大きさも考慮して「相対誤差の合計×分母」でランキングを作ると、
1位の568、2位の897は変わりませんが、3位が329、そして4位が239となります。
相対誤差の合計×分母の具体値(5位まで)は
568 0.099882607730
897 0.222871229356
329 0.285662258393
239 0.348293385746
103 0.383956736568
のようになっていて、これを見ても568だけ突出している感じです。
ちなみに分母が568の場合の対数の近似値は
log2 ≒ 171/568 ≒ 0.30106
log3 ≒ 271/568 ≒ 0.47711
log5 ≒ 397/568 ≒ 0.69894
log7 ≒ 480/568 ≒ 0.84507
なのでかなり良い近似になっていますね。
分母が568になるような組合せを適当に探してみると、
(2400,2401),(4374,4375),(250000,250047)
から式を立てれば上記の値になるようです。
(検算していません。)

おおー、568 優秀ですね。
しかし 250047 は人力じゃ流石にちょっと出てこない……。

やっぱり桁数が多いと 2 数の差が少しあっても気にならなくなっていくので精度上がるっぽいですね。

(3)について
5log2 + log7 ≒ 2log3 + 2log5
5log2 + log3 + 2log5 ≒ 4log7
log2 + 7log3 ≒ 4log5 + log7
を
5log2 + log7 + a = 2log3 + 2log5
5log2 + log3 + 2log5 + b = 4log7
log2 + 7log3 + c = 4log5 + log7
（a,b,c＞0）
として計算すると
log2 = (72 - 27a - 5b - 7c) / 239
log3 = (114 + 17a + 12b - 31c) / 239
log5 = (167 + 27a + 5b + 7c) / 239
log7 = (202 - 16a + 59b - 13c) / 239
となります。この式から
log2 ＜ 72/239
log5 ＞ 167/239
はただちにわかりますが、log3 と 114/239 の大小関係は
17a + 12b - 31c の符号を調べないとわかりません。
しかし 17a + 12b - 31c の符号を調べるために計算すると
17a + 12b - 31c = 239log3 - 114log10
となって 3^239 と 10^114 の大小関係を調べることになり、本末転倒です。
よって同様の方法で不等式で上下からおさえるためには
近似式を多数用意してたまたま大小関係がわかることに期待するぐらいしか
思いつきませんが、追加の近似式を用意しようとすると桁数が増えて
手計算に不向きになってきますので、とりあえず
「この方法での不等号での評価は難しい」
と言ってよいかと思います。

> 17a + 12b - 31c の符号を調べないとわかりません。

なるほど、差分を定数化してしまえばよかったのですね。
連立方程式を解く手間はけっこう増えてしまいますけれども。
手でやるなら逆行列用意して解くのが一番早いかな？

{1/n - 1/(2*n^2)} log e < log{1+(1/n)} < {1/n} log e
を使えば、log e は括り出して放置でいいので、a, b, c の線型結合の正負評価はなんとかなるケースが多そうに思います。
(224, 225), (2400, 2401), (4374, 4375) のケースは実際それでなんとかなるみたいです。

長文です。
(2)について
素数2,3,5,7、10桁以下で(2400,2401)より誤差率が小さいものは
以下の6個しかありませんでした。左端は誤差率(大きい方の値÷小さい方の値－1)です。
0.000040616 78121827 78125000
0.000066758 645657712 645700815
0.000107377 3954653486 3955078125
0.000188000 250000 250047
0.000228624 4374 4375
0.000295397 184473632 184528125
0.000416667 2400 2401

78121827 = 3^13 * 7^2, 78125000 = 2^3 * 5^10, 差 = 3173 = 19 * 167
645657712 = 2^4 * 7^9, 645700815 = 3^17 * 5, 差 = 43103 (素数)
3954653486 = 2 * 7^11, 3955078125 = 3^4 * 5^11, 差 = 424639 (素数)
これを使って
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
4log2 + 9log7 = 17log3 + log5 (645657712, 645700815)
log2 + 11log7 = 4log3 + 11log5 (3954653486, 3955078125)
log2 + log5 = 1
を解くと一次従属で解けませんでした。
あらためて
78121827 = 3^13 * 7^2, 78125000 = 2^3 * 5^10, 差 = 3173 = 19 * 167
645657712 = 2^4 * 7^9, 645700815 = 3^17 * 5, 差 = 43103 (素数)
250000 = 2^4 * 5^6, 250047 = 3^6 * 7^3, 差 = 47 (素数)
これを使って
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
4log2 + 9log7 = 17log3 + log5 (645657712, 645700815)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + log5 = 1
を解くと
log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
これは見覚えがありますね。
しかしこの値は(2400,2401),(4374,4375),(250000,250047)
からも得られるのではないかと思って上で「検算していません」と書いたのを
あらためて検算してみると、なんと
5log2 + log3 + 2log5 = 4log7 (2400, 2401)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + log5 = 1
は一次従属で解けませんでした。結構解けない場合が出てくるのですね。
それではいろいろ組合せを変えて試すことにします。
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
log2 + 11log7 = 4log3 + 11log5 (3954653486, 3955078125)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + log5 = 1
→ log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
4log2 + 9log7 = 17log3 + log5 (645657712, 645700815)
log2 + 11log7 = 4log3 + 11log5 (3954653486, 3955078125)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + log5 = 1
→ log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
4log2 + 9log7 = 17log3 + log5 (645657712, 645700815)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
log2 + log5 = 1
→ log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
log2 + 11log7 = 4log3 + 11log5 (3954653486, 3955078125)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
log2 + log5 = 1
→ log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
log2 + log5 = 1
→ 一次従属
4log2 + 9log7 = 17log3 + log5 (645657712, 645700815)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
log2 + log5 = 1
→ log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
5log2 + log3 + 2log5 = 4log7 (2400, 2401)
log2 + log5 = 1
→ 一次従属
解が得られても同じものばかりでした。ちょっと精度が良いぐらいだと
あまり変わらないようです。

ではさらに精度が良いものを見つけて試します。
しかし「10桁以下」を11桁以下、12桁以下、・・・と増やしてもなかなか見つかりません。
「15桁以下」まで増やして、やっと
0.000026141 205885750000000 205891132094649
0.000033563 281474976710656 281484423828125
の二つが見つかりましたので、これと(78121827, 78125000)で試します。
205885750000000 = 2^7 * 5^9 * 7^7, 205891132094649 = 3^30,
差 = 5382094649 = 3673 * 1465313
281474976710656 = 2^48, 281484423828125 = 5^11 * 7^8,
差 = 9447117469 (素数)
7log2 + 9log5 + 7log7 = 30log3 (205885750000000, 205891132094649)
48log2 = 11log5 + 8log7 (281474976710656, 281484423828125)
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 3125/10381 = 0.30103073 (真値 0.30103000)
log3 = 4953/10381 = 0.47712166 (真値 0.47712125)
log5 = 7256/10381 = 0.69896927 (真値 0.69897000)
log7 = 8773/10381 = 0.84510163 (真値 0.84509804)
ようやく少し精度が上がりました。

ちなみにもう一桁上の
0.000007053 2251783932057135 2251799813685248
2251783932057135 = 3^13 * 5 * 7^10, 2251799813685248 = 2^51,
差 = 15881628113 = 13 * 71 * 17206531
を使って
13log3 + log5 + 10log7 = 51log2 (2251783932057135, 2251799813685248)
7log2 + 9log5 + 7log7 = 30log3 (205885750000000, 205891132094649)
48log2 = 11log5 + 8log7 (281474976710656, 281484423828125)
log2 + log5 = 1
としても上と同じ分母10381の値になりました。
というわけで、
使う数字の桁数をかなり増やしても結果の精度もあまり上がらないらしい
ということがわかりました。

使う桁数が上がっても、2, 3, 5, 7 で作れる合成数の割合が減ることで打ち消されてしまい、誤差率がなかなか小さくならないんですね。
そうなると、11や13の使用を検討する方が精度上げには重要なのかな？

また長文です。これで当初の課題はとりあえず完結。
(4)

【11を追加した場合】

(1万まで)
0.000102041 9800 9801
0.000228624 4374 4375
0.000330688 3024 3025
0.000416667 2400 2401
0.001244444 5625 5632
9800 = 2^3 * 5^2 * 7^2, 9801 = 3^4 * 11^2
4374 = 2 * 3^7, 4375 = 5^4 * 7
3024 = 2^4 * 3^3 * 7, 3025 = 5^2 * 11^2
2400 = 2^5 * 3 * 5^2, 2401 = 7^4
3log2 + 2log5 + 2log7 = 4log3 + 2log11 (9800, 9801)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
4log2 + 3log3 + log7 = 2log5 + 2log11 (3024, 3025)
5log2 + log3 + 2log5 = 4log7 (2400, 2401)
log2 + log5 = 1
→ 一次従属
5625 = 3^2 * 5^4, 5632 = 2^9 * 11, 差 = 7
3log2 + 2log5 + 2log7 = 4log3 + 2log11 (9800, 9801)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
5log2 + log3 + 2log5 = 4log7 (2400, 2401)
2log3 + 4log5 = 9log2 + log11 (5625, 5632)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 270/897 = 0.301003 (真値 0.301030)
log3 = 428/897 = 0.477146 (真値 0.477121)
log5 = 627/897 = 0.698997 (真値 0.698970)
log7 = 758/897 = 0.845039 (真値 0.845098)
log11 = 934/897 = 1.041249 (真値 1.041393)
897は上の方で568に次いで精度の良い分母です。

(1億まで)
0.000016089 3294172 3294225
0.000022158 67108864 67110351
0.000040616 78121827 78125000
0.000050668 14348180 14348907
3294172 = 2^2 * 7^7, 3294225 = 3^2 * 5^2 * 11^4, 差 = 53 (素数)
67108864 = 2^26, 67110351 = 3 * 7^5 * 11^3, 差 = 1487 (素数)
78121827 = 3^13 * 7^2, 78125000 = 2^3 * 5^10, 差 = 3173 = 19 * 167
14348180 = 2^2 * 5 * 7^2 * 11^4, 14348907 = 3^15, 差 = 727 (素数)
2log2 + 7log7 = 2log3 + 2log5 + 4log11 (3294172, 3294225)
26log2 = log3 + 5log7 + 3log11 (67108864, 67110351)
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
2log2 + log5 + 2log7 + 4log11 = 15log3 (14348180, 14348907)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 6421/21330 = 0.3010314 (真値 0.3010300)
log3 = 10177/21330 = 0.4771214 (真値 0.4771213)
log5 = 14909/21330 = 0.6989686 (真値 0.6989700)
log7 = 18026/21330 = 0.8451008 (真値 0.8450980)
log11 = 22213/21330 = 1,0413971 (真値 1.0413927)
結構精度が上がりました。

【13も追加した場合】

(1万まで)
0.000102041 9800 9801
0.000150263 6655 6656
0.000228624 4374 4375
0.000236742 4224 4225
0.000244200 4095 4096
0.000330688 3024 3025
0.000416667 2400 2401
9800 = 2^3 * 5^2 * 7^2, 9801 = 3^4 * 11^2
6655 = 5 * 11^3, 6656 = 2^9 * 13
4374 = 2 * 3^7, 4375 = 5^4 * 7
4224 = 2^7 * 3 * 11, 4225 = 5^2 * 13^2
4095 = 3^2 * 5 * 7 * 13, 4096 = 2^12
3024 = 2^4 * 3^3 * 7, 3025 = 5^2 * 11^2
2400 = 2^5 * 3 * 5^2, 2401 = 7^4
3log2 + 2log5 + 2log7 = 4log3 + 2log11 (9800, 9801)
log5 + 3log11 = 9log2 + log13 (6655, 6656)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
7log2 + log3 + log11 = 2log5 + 2log13 (4224, 4225)
2log3 + log5 + log7 + log13 = 12log2 (4095, 4096)
log2 + log5 = 1
→ 一次従属
3log2 + 2log5 + 2log7 = 4log3 + 2log11 (9800, 9801)
log5 + 3log11 = 9log2 + log13 (6655, 6656)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
7log2 + log3 + log11 = 2log5 + 2log13 (4224, 4225)
2log3 + log5 + log7 + log13 = 12log2 (4095, 4096)
4log2 + 3log3 + log7 = 2log5 + 2log11 (3024, 3025)
log2 + log5 = 1
→ 一次従属 (式が一つ多くてもなお一次従属なので他の式が必要)
3log2 + 2log5 + 2log7 = 4log3 + 2log11 (9800, 9801)
log5 + 3log11 = 9log2 + log13 (6655, 6656)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
7log2 + log3 + log11 = 2log5 + 2log13 (4224, 4225)
5log2 + log3 + 2log5 = 4log7 (2400, 2401)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 270/897 = 0.301003 (真値 0.301030)
log3 = 428/897 = 0.477146 (真値 0.477121)
log5 = 627/897 = 0.698997 (真値 0.698970)
log7 = 758/897 = 0.845039 (真値 0.845098)
log11 = 934/897 = 1.041249 (真値 1.041393)
log13 = 999/897 = 1.113712 (真値 1.113943)
11だけ追加したときと同じ精度です。

(1億まで)
0.000007456 5767125 5767168
0.000008117 123200 123201
0.000013783 72772425 72773428
0.000015573 1990625 1990656
0.000016089 3294172 3294225
0.000018861 19140264 19140625
0.000022158 67108864 67110351
5767125 = 3 * 5^3 * 7 * 13^3, 5767168 = 2^19 * 11, 差 = 43 (素数)
123200 = 2^6 * 5^2 * 7 * 11, 123201 = 3^6 * 13^2
72772425 = 3^7 * 5^2 * 11^3, 72773428 = 2^2 * 7^2 * 13^5, 差 = 1003 = 17 * 59
1990625 = 5^5 * 7^2 * 13, 1990656 = 2^13 * 3^5, 差 = 31 (素数)
3294172 = 2^2 * 7^7, 3294225 = 3^2 * 5^2 * 11^4, 差 = 53 (素数)
19140264 = 2^3 * 3^2 * 11^2 * 13^3, 19140625 = 5^8 * 7^2, 差 = 361 = 19^2
67108864 = 2^26, 67110351 = 3 * 7^5 * 11^3, 差 = 1487 (素数)
log3 + 3log5 + log7 + 3log13 = 19log2 + log11 (5767125, 5767168)
6log2 + 2log5 + log7 + log11 = 6log3 + 2log13 (123200, 123201)
7log3 + 2log5 + 3log11 = 2log2 + 2log7 + 5log13 (72772425, 72773428)
5log5 + 2log7 + log13 = 13log2 + 5log3 (1990625, 1990656)
2log2 + 7log7 = 2log3 + 2log5 + 4log11 (3294172, 3294225)
log2 + log5 = 1
→ 一次従属
log3 + 3log5 + log7 + 3log13 = 19log2 + log11 (5767125, 5767168)
6log2 + 2log5 + log7 + log11 = 6log3 + 2log13 (123200, 123201)
7log3 + 2log5 + 3log11 = 2log2 + 2log7 + 5log13 (72772425, 72773428)
2log2 + 7log7 = 2log3 + 2log5 + 4log11 (3294172, 3294225)
3log2 + 2log3 + 2log11 + 3log13 = 8log5 + 2log7 (19140264, 19140625)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 6079/20194 = 0.3010300089 (真値 0.3010299957)
log3 = 9635/20194 = 0.4771219174 (真値 0.4771212547)
log5 = 14115/20194 = 0.6989699911 (真値 0.6989700043)
log7 = 17066/20194 = 0.8451025057 (真値 0.8450980400)
log11 = 21030/20194 = 1.0413984352 (真値 1.0413926852)
log13 = 22495/20194 = 1.1139447361 (真値 1.1139433523)
精度は11だけ追加のときと同程度です。
（log2とlog5は精度がいいですが、他はそこまで良くありません）

【29まで追加した場合（素数10個）】
(1億まで)
0.000000010 96059600 96059601
0.000000055 18085704 18085705
0.000000075 26578123 26578125
0.000000084 11859210 11859211
0.000000095 10556000 10556001
0.000000121 8268799 8268800
0.000000155 12901779 12901781
0.000000169 5909760 5909761
0.000000194 5142500 5142501
0.000000244 4096575 4096576
0.000000244 4090624 4090625
0.000000250 4004000 4004001
0.000000315 22194425 22194432
0.000000365 13697019 13697024
0.000000365 90312467 90312500
0.000000371 2697695 2697696
0.000000485 8254125 8254129
0.000000489 88012332 88012375
0.000000494 2023424 2023425
0.000000520 90312453 90312500
0.000000540 1852200 1852201
0.000000560 67874587 67874625
0.000000569 75557027 75557070
0.000000587 46000759 46000786
96059600 = 2^4 * 5^2 * 7^2 * 13^2 * 29, 96059601 = 3^8 * 11^4
18085704 = 2^3 * 3 * 7^3 * 13^3, 18085705 = 5 * 11 * 17 * 23 * 29^2
26578123 = 11 * 13^2 * 17 * 29^2, 26578125 = 3^5 * 5^6 * 7
11859210 = 2 * 3^4 * 5 * 11^4, 11859211 = 7 * 13 * 19^4
10556000 = 2^5 * 5^3 * 7 * 13 * 29, 10556001 = 3^4 * 19^4
8268799 = 7^2 * 11 * 23^2 * 29, 8268800 = 2^10 * 5^2 * 17 * 19
12901779 = 3^2 * 11 * 19^4, 12901781 = 23^2 * 29^3
5909760 = 2^8 * 3^5 * 5 * 19, 5909761 = 11^2 * 13^2 * 17^2
5142500 = 2^2 * 5^4 * 11^2 * 17, 5142501 = 3^3 * 7^2 * 13^2 * 23
4096575 = 3^4 * 5^2 * 7 * 17^2, 4096576 = 2^6 * 11^2 * 23^2
4090624 = 2^8 * 19 * 29^2, 4090625 = 5^5 * 7 * 11 * 17
4004000 = 2^5 * 5^3 * 7 * 11 * 13, 4004001 = 3^2 * 23^2 * 29^2
22194425 = 5^2 * 11^3 * 23 * 29, 22194432 = 2^8 * 3^3 * 13^2 * 19
13697019 = 3^4 * 7^3 * 17 * 29, 13697024 = 2^16 * 11 * 19
90312467 = 7 * 23^2 * 29^3, 90312500 = 2^2 * 5^7 * 17^2
2697695 = 5 * 7^3 * 11^2 * 13, 2697696 = 2^5 * 3^2 * 17 * 19 * 29
8254125 = 3^2 * 5^3 * 11 * 23 * 29, 8254129 = 13^4 * 17^2
88012332 = 2^2 * 3^4 * 17 * 19 * 29^2, 88012375 = 5^3 * 11^3 * 23^2
2023424 = 2^13 * 13 * 19, 2023425 = 3^2 * 5^2 * 17 * 23^2
90312453 = 3^2 * 7 * 11 * 19^4, 90312500 = 2^2 * 5^7 * 17^2
1852200 = 2^3 * 3^3 * 5^2 * 7^3, 1852201 = 13 * 17^3 * 29
67874587 = 11^2 * 23 * 29^3, 67874625 = 3^3 * 5^3 * 7 * 13^2 * 17
75557027 = 7 * 13^3 * 17^3, 75557070 = 2 * 3^3 * 5 * 23^4
46000759 = 7^6 * 17 * 23, 46000786 = 2 * 13^3 * 19^2 * 29
4log2 + 2log5 + 2log7 + 2log13 + log29 = 8log3 + 4log11 (96059600, 96059601)
3log2 + log3 + 3log7 + 3log13 = log5 + log11 + log17 + log23 + 2log29 (18085704, 18085705)
log11 + 2log13 + log17 + 2log29 = 5log3 + 6log5 + log7 (26578123, 26578125)
log2 + 4log3 + log5 + 4log11 = log7 + log13 + 4log19 (11859210, 11859211)
2log7 + log11 + 2log23 + log29 = 10log2 + 2log5 + log17 + log19 (8268799, 8268800)
2log3 + log11 + 4log19 = 2log23 + 3log29 (12901779, 12901781)
8log2 + 5log3 + log5 + log19 = 2log11 + 2log13 + 2log17 (5909760, 5909761)
4log3 + 2log5 + log7 + 2log17 = 6log2 + 2log11 + 2log23 (4096575, 4096576)
6log7 + log17 + log23 = log2 + 3log13 + 2log19 + log29 (46000759, 46000786)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 360565/1197771 = 0.3010299966 (真値 0.3010299957)
log3 = 571482/1197771 = 0.4771212527 (真値 0.4771212547)
log5 = 837206/1197771 = 0.6989700034 (真値 0.6989700043)
log7 = 1012234/1197771 = 0.8450981031 (真値 0.8450980400)
log11 = 1247350/1197771 = 1.0413927203 (真値 1.0413926852)
log13 = 1334249/1197771 = 1.1139433164 (真値 1.1139433523)
log17 = 1473796/1197771 = 1.2304488922 (真値 1.2304489214)
log19 = 1531654/1197771 = 1.2787536182 (真値 1.2787536010)
log23 = 1631038/1197771 = 1.3617277426 (真値 1.3617278360)
log29 = 1751618/1197771 = 1.4623980711 (真値 1.4623979979)
分母の1197771は10000000までで最も誤差が少なくなる値です。
# 誤差の少ない順に9個+(log2+log5=1)だと一次従属になります。
# そこから1個ずつ追加していってもしばらく一次従属のままで、
# 24個目の(46000759,46000786)の式を追加してようやく一次独立になります。
# そしてそこから逆順に消せる行を消していって10行に減らしたのが
# 上に書いた式です。
結論として、素数を2,3,5,7に限定してしまうと巨大な数にしても
あまり精度が向上しませんが、素数の個数を増やしていけば
現実的な値（といっても手計算は無理）で精度を上げられることが
わかりました。

非常に深く調査してくださり、ありがとうございました。
だんだんと方程式が一時従属になってしまう問題が強敵になっていくのは思いもよりませんでした。
手計算でやる大変さと得られるもののバランス的には、最初のやつが思った以上に優秀だったんですねえ……。