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素朴な長さの計算6

(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=1/2という計算から
3辺が5,7,8の三角形の5と8の辺で挟まれる角の角度は60°とわかる。
(既知とすれば計算不要)
図の形は3辺が5,7,8の三角形の5の辺と8の辺の外側に
それぞれ正三角形をくっつけた形なので、AB=5+8=13。

引用して返信編集・削除(未編集)

図での
AD=a,BC=b,CD=c,AB=xとおいて,この4つが整数となれる組合せ調べたら
(a,b,c)=(1,4,7)->x=9
=(2,5,7)->x=10
=(3,6,7)->x=11
=(4,7,7)->x=12
=(5,8,7)->x=13
=(6,9,7)->x=14
=(7,10,7)->x=15
    ・・・・・・・・・・・・・
一般に(a,b,c)=(n,n+3,7)->x=n+8 (n=1,2,3,・・・)

または
(a,b,c)=(1,6,7)->x=9
=(2,7,7)->x=10
=(3,8,7)->x=11
=(4,9,7)->x=12
=(5,10,7)->x=13
=(6,11,7)->x=14
=(7,12,7)->x=15
    ・・・・・・・・・・・・・
一般に(a,b,c)=(n,n+5,7)->x=n+8 (n=1,2,3,・・・)

c=7と設定しておくことがポイントになりそうです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年06月09日 16:23)

c=13 や c=19 でも可能なのでは。
おそらく 6n+1 型素因数を少なくとも 1 つ持っていることが条件じゃないでしょうか。

引用して返信編集・削除(未編集)

確かに6*n+1型の数は

7^2=3^2+8^2-3*8
=5^2+8^2-5*8

13^2=7^2+15^2-7*15 =>(a,b,c)=(n,n+8,13)->x=n+15 (n=1,2,3,・・)
=8^2+15^2-8*15 =>(a,b,c)=(n,n+7,13)->x=n+15 (n,1,2,3,・・)が構成できる。

19^2= 5^2+21^2- 5*21 =>(a,b,c)=(n,n+16,19)->x=n+21 (n=1,2,3,・・)
=16^2+21^2-16*21 =>(a,b,c)=(n,n+5,19)->x=n+21 (n=1,2,3,・・)

25^2=25^2+25^2-25*25(これは例外)

31^2=11^2+35^2-11*35=>(a,b,c)=(n,n+24,31)->x=n+35 (n=1,2,3,・・)
=24^2+35^2-24*35=>(a,b,c)=(n,n+11,31)->x=n+35 (n=1,2,3,・・)
以下同様
37^2= 7^2+40^2-7*40
=33^2+40^2-24*40

43^2=13^2+48^2-13*48
=35^2+48^2-35*48

49^2=16^2+55^2-16*55
=39^2+55^2-39*55

・・・・・・・・・・

と60°の角度を有する三角形の三辺を与えていく2組を
与えてくれますね。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年06月11日 08:36)

来客数と福袋の準備

あるデパートで正月に福袋を準備していたが、準備している福袋の数を超えて
開店前にこれを目当ての客が多数並んでしまった。
そこで後ろに並んでいる人にもチャンスが巡ってくるように、次のような案を
考えた。
並んでいる先頭から1,2,3,・・・・と連続する番号札を配っていく。

先頭にいる人には福袋を買う権利を与えるものとする。
(番号1の人は買える。この人は列から離れる。)
次は2番の人が先頭に来るので、2番の人も買える。
ここで番号が2なので先頭から2番目ずつの位置にいる人
(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,・・・)
<=4,6,8,10,12,・・・の番号札を持っている人>
は列から離れてもらう。
そこで列は
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,・・・
と並ぶことになるので、
先頭は番号が3(この人は買う権利を持つ)なので
先頭から3番目ずつの位置にいる人は同様に列から離れてもらう。
<=9,15,21,・・・の番号札の人>
すると列は
5,7,11,13,17,19,23,・・・
となり5の人は買う権利を持ち、先頭から5番ずつの位置にいる人<=19,35,・・・>
は列から離れる。
以下同様にして、列に並ぶ人がいなくなるまで続けることにする。

さて最初並んでいる人数が100,1000,10000(人)である場合
それぞれは福袋何個(s)準備しておけばよく、また
最後に買える権利を持つのは番号札が何番(w)の人になるでしょうか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年06月07日 07:48)

理論的に計算する方法はわかりませんでしたので、
プログラムを作って調べました。その結果は
人数100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000人に対して
(s,w)=(24, 97),(142, 997),(1015, 9997),(7986, 99997),
(66164, 999991),(565513, 9999985),(4944199, 99999967)
となりました。

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人さんからのコメントで
単純にくじ引きで、24人の当選者を決めてもらった方が、並ぶ人の感情としては納
得できると思うのだが...。

とありましたが、せっかく早く並んでいた1,2,3あたりの人が籤で当たらなかったら、それこそ不満が溜まりそうです。
これだと比較的早く並んだ方の人が選ばれやすい傾向を持てる気がしたので、このストーリーで表現していました。

引用して返信編集・削除(未編集)

大捜索

ここにある20桁の自然数Nがある。
「上k桁がkの倍数」(k=1~20)
を満たすものを探せるか?
あらゆる手段(検索作業も含む)を講じても可

引用して返信編集・削除(未編集)

20桁だと条件を満たすものが44個もあります。
桁数の最大は25桁で、値は
3608528850368400786036725
です。

引用して返信編集・削除(未編集)

44個の中に偶数の数だけのdigitsで構成されたものはありますか?

引用して返信編集・削除(未編集)

1つだけありました。
48000688208466084040です。

ちなみに、桁数別の個数は以下のようになります。
1桁: 9個
2桁: 45個
3桁: 150個
4桁: 375個
5桁: 750個
6桁: 1200個
7桁: 1713個
8桁: 2227個
9桁: 2492個
10桁: 2492個
11桁: 2225個
12桁: 2041個
13桁: 1575個
14桁: 1132個
15桁: 770個
16桁: 571個
17桁: 335個
18桁: 180個
19桁: 90個
20桁: 44個
21桁: 18個
22桁: 12個
23桁: 6個
24桁: 3個
25桁: 1個

この数列は↓こちらにありましたが、
http://oeis.org/A143671
こちらでは1桁の「0」も入れているようで、1桁が10個になっています。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年06月03日 16:00)

もともとこの疑問に突き当たったのが
1~9の数字を一個ずつ含む9桁の数があり
「上k桁がkの倍数」(k=1~9)
を満たすものを探すと381654729である。

という記事でした。
何とかこれをプログラムを使って探し出そうと試みて
苦心惨憺の末5分ほどの運用時間で結果が手に入った。
実行させる前に9!の全順列を準備したり、上からk桁で
切り取る作業をやらせたりと、言ってみれば全検索を
掛けた上での作業でした。

これらについて更に調べてみると、別にプログラムに頼らずとも
論理的に導けている記事もありました。

そしてそこに話題が広がり
例の偶数{0,2,4,6,8}だけを使った20桁の整数(48000688208466084040)
が紹介されていました。

はて9桁でもあんだけ候補がありながら、これが20桁ともなると
5^20 = 95367431640625
ととても全検索を掛けようにも時間がいくらあっても無理だ!

そこで例の出題になったという経緯でした。


それに対し、らすかるさんのこの結果です。
これが如何に天文学的膨大な対象を処理されているか、想像しただけでも
腰が抜けそうです。
しかも半日もかからない時間で処理済みとなっている。

コンピュータさえあれば計算はあっという間に出来るだろうと思われるかも
知れませんが、そのオーダーが25桁などの桁になれば、とてもとても時間が
かかります。

以前コンピュータが高性能なのだろうと思っていたら、らすかるさんから
普通の使用のものを使っていますとの返事を頂いているので、これは正しく
プログラム力の成せる技でしかありません。(しかし神業としか思えません。)

もしかして、論理的に出せる数値なんですか?

引用して返信編集・削除(未編集)

論理的に出すのは候補が多すぎておそらく大変だと思います。
上から1桁ずつ増やして条件に当てはまるものだけその下の桁を
処理するようにすれば、時間は大してかかりません。
1桁目は1~9の9通り
2桁目は1桁目の9通りに対して各5通りなので2桁目までで45通り
3桁目はその45通りに対して3の倍数になるものなので150通り
(最初の2桁で合計が3の倍数である
 12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96
 の15個は3桁目が0,3,6,9の4通り、残りの30個は3通りずつなので
 15×4+30×3=150通り)
4桁目は3桁目が偶数なら0,4,8の3通り、奇数なら2,6の2通り→375通り
5桁目は0か5なので4桁までの2倍の750通り
・・・
ちなみに私が作ったプログラムの実行時間は
全桁数全通りで約0.13秒です。

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかるさんの全桁数全通りで約0.13秒です。
のコメントを見て、改めてプログラムを見直してみたら
全体から選ぶんじゃなく、その条件を満たす数を小さい順に構成していけばいいんだ!
という決定的にお門違いの攻め方をしていたことに気付きました。
改めてプログラムを組んでみたら(3行程度)まさに1秒もかからない時間で
各桁の個数と具体的整数をすべて計算してくれますね。
25桁までは存在し、その後は構成できないとは初めて認識できました。

引用して返信編集・削除(未編集)

素数のリサイクル

5桁の素数の中で使われている5個の数字を並べ変えて作られるあらゆる整数の中で
最も多くの素数を産み出せる素数はなんでしょうか?(その中での最小の素数で)
またその最大出来る素数の個数は?

例えば3桁の素数で179なら
{1,7,9}から作られる整数は
179
197
719
791
917
971
と6種類であり、その中には179,197,719,971の4つが素数となれる。

引用して返信編集・削除(未編集)

1桁: 最大1個 (2,3,5,7)
2桁: 最大2個 (13,17,37,79)
3桁: 最大4個 (149,179,379)
4桁: 最大11個 (1237,1279)
5桁: 最大39個 (13789)
6桁: 最大148個 (123479)
7桁: 最大731個 (1235789)
8桁: 最大4333個 (12345769)
9桁: 最大26519個 (102345697)
10桁: 最大152526個 (1123465789)
OEISにはこんな数列も載っているのですね。
↓
http://oeis.org/A065851
ここによると11桁は最大1251724個だそうですが、
11桁以上は時間がかかりそうなのでパス。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年06月02日 08:40)

親戚みんなも素数

3桁の素数の中で、使われている数字をサイクリックにずらしてできる3タイプが
全て素数になることができるものがある。
例えば素数113は、サイクリックに数字をずらし
131,311
としても、どれも素数となる。
他には何があるでしょう?
また4、5桁での素数では何があるでしょうか?(サイクルの中の最小の素数でお願いします。)

引用して返信編集・削除(未編集)

1桁: 2, 3, 5, 7
2桁: 11, 13, 17, 37, 79
3桁: 113, 197, 199, 337
4桁: 1193, 3779
5桁: 11939, 19937
6桁: 193939, 199933
7桁~18桁: なし
19桁: 1111111111111111111
20桁~22桁: なし
23桁: 11111111111111111111111

引用して返信編集・削除(未編集)

「さいころの真実」を読んで

黒丸の「2と3と6の向き」は、前から気になっていた。
決まりがあったのですね。

立体の状態で
どこから見ても、
2と3が、まるで両手で1を包み込むよーな向きに。
(1つの輪になるよーな向きに)

そして、
6と4が辺で繋がった時、
だんご3兄弟が、だんご5兄弟に変身する。

(だんご3兄弟の歌、覚えてますか?
    串に刺さったダンゴ・ダンゴ ♪)


また、
この気になる2・3・6達は、一つの頂点に集まる。
爽やかな1・4・5達も、一つの頂点に集まる。
やはり、「類は友を呼ぶ」のですね。

また、サイを、コロがした時、
どの面の重さも同じになるよーにと、
1の穴は、大きく深く
6の穴は、小さく浅く 削って・・・
彫り出した木屑の重さが全て同じになるよーに。

いんちきサイコロは、中身に仕掛けがしてあって、
一つの面を重く作り、その面が出やすくしてあるそーな。。。

「カルピス模様(水玉模様)の四角い箱」には、いろいろな話が
詰まっていますね。。。

そー言えば、最近は、さいころキャラメルが売られていない。
これも、諸行無常ですね。。。

私は暇人なのか・・・?

引用して返信編集・削除(未編集)

倍分という用語

今日、NHKEテレビのNHK高校講座 数学I「有理数」(10:30~10:50)を何とはなしに見ていたら
「倍分」という用語が使われていた。分子・分母に同じ数を掛けることが「倍分」らしいのだが、
生まれてこのかた「倍分」という用語を習ったこともないし、使ったこともないし、人に教えたこ
ともない。この「倍分」という用語は、最近流行りなんですかね?

引用して返信編集・削除(未編集)

関連深い2数列の関係

A1,A2,A3,A4,A5,・・・と
a1,a2,a3,a4,a5,・・・の不思議な関係で

A1=a1^2-a2^2
A2=2*a1*a2
とすれば
A1^2+A2^2=(a1^2-a2^2)^2+(2*a1*a2)^2
=a1^4-2*a1^2*a2^2+a2^4+4*a1^2*a2^2
=a1^4+2*a1^2*a2^2+a2^4
=(a1^2+a2^2)^2

A1=a1^2+a2^2-a3^2
A2=2*a1*a3
A3=2*a2*a3
とすれば
A1^2+A2^2+A3^2=(a1^2+a2^2-a3^2)^2+(2*a1*a3)^2+(2*a2*a3)^2
=(a1^2+a2^2)^2-2*(a1^2+a2^2)*a3^2+a3^4+4*(a1^2+a2^2)*a3^2
=(a1^2+a2^2)^2+2*(a1^2+a2^2)*a3^2+a3^4
=(a1^2+a2^2+a3^2)^2

同じく
A1=a1^2+a2^2+a3^2-a4^2
A2=2*a1*a4
A3=2*a2*a4
A4=2*a3*a4
とすれば
A1^2+A2^2+A3^2+A4^2=(a1^2+a2^2+a3^2-a4^2)^2+(2*a1*a4)^2+(2*a2*a4)^2+(2*a3*a4)^2
=(a1^2+a2^2+a3^2)^2-2*(a1^2+a2^2+a3^2)*a4^2+a4^4+4*(a1^2+a2^2+a3^2)*a4^2
=(a1^2+a2^2+a3^2)^2+2*(a1^2+a2^2+a3^2)*a4^2+a4^4
=(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2)^2
以下同様にして

一般に
A1=a1^2+a2^2+a3^2+a4^2+・・・+(an-1)^2-an^2
A2=2*a1*an
A3=2*a2*an
A4=2*a3*an
・・・・・・・・
An=2*(an-1)*an
としておけば

A1^2+A2^2+A3^2+・・・・+An^2=(a1^2+a2^2+a3^2+・・・・+an^2)^2

の関係で結ばれる。

引用して返信編集・削除(未編集)

天秤パズル(自作)

数学とはちょっと違いますけど、
天秤パズルをひとつ作りました。
よかったらどうぞ。
わたしは全問できているわけではないので、
一部しか解答がわかりません。


m 枚のコインがあります。
このうち m-2 枚が本物で 2 枚が偽物です。
偽物は本物よりも軽いことがわかっていますが、
偽物同士が同じ重さかどうかはわかりません。
天秤を最大 n 回使って偽物 2 枚を特定してください。
偽物同士の重さの関係を特定する必要はありません。

m, n が以下のとき、特定が可能か不可能かを示してください。

(1) m = 6, n = 3 のとき
(2) m = 7, n = 3 のとき
(3) m = 10, n = 4 のとき
(4) m = 11, n = 4 のとき
(5) m = 12, n = 4 のとき




↓↓ 以下、ネタバレ注意 ↓↓





わたしが今までに得ている結果は、
(1),(3) は可能、
(2),(5) は不可能、
(4) は未解決です。

引用して返信編集・削除(未編集)

(4) は、最初に2個ずつ以下では釣り合ったときが不可能、4個ずつ以上だと傾いたときに不可能ということは簡単にわかりますが、3個ずつの場合がなかなか際どいですね。

そして、(3) が意外と難しい。

引用して返信編集・削除(未編集)

(3) の手順を再確認していた中で次のことがわかりました。

(6) m ≦ 3^t + 1 , n = 2 * t のとき、偽物2枚を特定可能

引用して返信編集・削除(未編集)

八角形の問題

この八角形には、どのような特徴があるでしょうか。
(「対辺が平行」などの自明な特徴は除く)

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年05月12日 18:03)

外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が全て自然数になっているもの。
……のうち最小のもの?(自信なし)

引用して返信編集・削除(未編集)

設問を読んだ瞬間に
「きっと対角線の長さがすべて整数なんだろうな」
と思って確認したらその通りでした。
見事ですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

私の予定回答はりらひいさんの通りですが、
DD++さんが書かれたことも気になって調べました。
その結果、
「外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が全て自然数になっているもの。
……のうち最小のもの」
は「外接円の半径8、辺の長さ9,9,8,8,8,2,2,2の八角形(辺は順不同)」
でした。
# これは半径が最小のもののうち、最長辺が最小であるものです。
# 半径8の解は3つあり、半径が最小のもののうち、面積が最小ならば別の解になると思います。

ただし、「外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が自然数で、
対辺がそれぞれ平行であるもののうち最小のもの」であれば
最初に書いた半径65の八角形になります。

引用して返信編集・削除(未編集)

なるほど、「平行八角形」なら正解でしたか……。

ところで、辺の長さが 33,25,16 ではなく全て2倍してあるのはどういう意図だったのでしょう?
私はそこに違和感を覚えて、奇数の長さになっている線分すなわち半径が整数となっていることが何か重要なんだろうなと思っていたのですが……単にそういう八角形を探す方法上での都合でしたか?

引用して返信編集・削除(未編集)

単なる探す時の都合です。
x^2+y^2=65^2上の点として
(63,16),(33,56),(-33,56),(-63,16),(-63,-16),(-33,-56),(33,-56),(63,-16)
の8点をとり、それぞれの点間の距離を計算していたので
結果的に偶数になりました。
半径を除けば、対角線の長さも含めてすべて偶数だったので
1/2にすることもできるな、と後で思いましたが、
1/2にしてしまうと座標で書くときとか外接円の方程式とかで
少し不便になりますので、そのままにしました。

「どの3点も一直線上にないn点があり、どの2点間の距離も整数」のnに上限があるか?
というのを考えている途中経過なのですが、こういう八角形があることを考えると
上限はなさそうな気がしています。
(ただし点が増えると爆発的に長さの値が大きくなる気はしますが…)

引用して返信編集・削除(未編集)

なるほど、そういう研究の過程でしたか。
半径に制限をつけなければそのような点を同一円周上に無限に取れると思います。
任意の隣り合う頂点の間の中心角が「その半角の sin も cos も有理数になるような角度」になるように点をとっておけば、どの頂点間の中心角も「その半角の sin も cos も有理数になる角度」なわけですから、単位円周上で任意の2点間の距離が有理数になるような点を好きなだけ取れます。
ぐるっと回って戻ってきた最後の1個の中心角も条件を満たすのか、という点に関しても、全ての中心角の合計が 2π であることから問題なし。

引用して返信編集・削除(未編集)

理論的な裏付けをありがとうございます。
とりあえず、半径243061325の円に内接する192角形で
すべての辺と対角線が整数になる具体値(192個の座標)までは出しました。
裏が取れたことでこれ以上進めても無意味なので、終了することにします。

引用して返信編集・削除(未編集)

> 「外接円が存在する八角形で、各辺の長さ及び円の半径が全て自然数になっているもの。
> ……のうち最小のもの」
> は「外接円の半径8、辺の長さ9,9,8,8,8,2,2,2の八角形(辺は順不同)」
> でした。
> # これは半径が最小のもののうち、最長辺が最小であるものです。
> # 半径8の解は3つあり、半径が最小のもののうち、面積が最小ならば別の解になると思います。

八角形にこだわらなければ
半径をいろいろ変化させると、それに内接するものがいろいろ作れていくのが面白いですね。(対角線の長さは無視です。)
例えば半径を8としたら
8が等しい2辺に対し残る一辺の長さが4,11,14の二等辺三角形をそれぞれ1,1,2個で埋めると8の円に内接する四角形が納まる。
また残る一辺の長さが4,8,14の二等辺三角形なら2,3,1個で内接する六角形が納まる。(8を6個使えばこれも内接しているが・・・)

半径を9とするとこれに内接する六角形を
残る一辺長(2,9,12)->(1,3,2)個
(3,9,17)->(2,3,1)個
(6,9,14)->(2,3,1)個
当然   (9) ->6個

以下同様
円の半径=>残り一辺:個数
12=> 6;12;21 :2;3;1 (内接六角形)
13=> 1;22;23 :1;2;1 (内接四角形)
13=> 10;13;24 :1;3;1 (内接五角形)
13=> 1;13;22 :2;2;2
14=> 4;22;26 :1;2;1
14=> 14;22;26 :2;1;1
16=> 8;22;28 :1;1;2
16=> 4;24;31 :1;2;1
16=> 17;22;28 :1;2;1
16=> 7;16;20 :1;3;2
16=> 4;16;31 :2;3;1
16=> 8;16;28 :2;3;1
16=> 12;16;23 :2;3;1
16=> 4;16;18 :3;3;2
16=> 4;18;31 :5;2;1
17=> 16;17;30 :1;3;1
18=> 4;18;24 :1;3;2
18=> 6;18;34 :2;3;1
18=> 12;18;28 :2;3;1
19=> 11;26;37 :1;2;1
19=> 11;19;26 :1;4;1
19=> 19;26;37 :2;1;1
19=> 11;19;26 :2;2;2
20=> 10;20;35 :2;3;1
・・・・・・・・・・・・・・・・・
3タイプの二等辺三角形に限っての調査しかしなかったので、もっとタイプを増やして
いけばまた違った埋め方が出てくるのでしょうね。

なお半径10,11では適当なものが見つからなかったのですが,見落としですかね?






      

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年05月13日 16:09)

10=> 10;12;16 :3;1;1
13=> 1;13;22 :1;4;1
13=> 13;22;23 :2;1;1
14=> 4;14;22 :2;2;2
15=> 15;18;24 :3;1;1
15=> 3;14;25 :2;2;2
15=> 14;19;25 :1;1;2
とかあるのでは?

# 11は3タイプには分けられないようです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年05月13日 18:10)
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