😊出会いの泉😊

それらは数列サイト（https://oeis.org/Axxxxxx）の以下の項目にありますね。
21111…111が素数: A056700
31111…111が素数: A056704
41111…111が素数: A056706
51111…111が素数: A056713
61111…111が素数: A056717
71111…111が素数: A056719
81111…111が素数: A056722
91111…111が素数: A056726
また、関連するものは以下の通りです。
13333…333が素数: A056698
23333…333が素数: A056701
43333…333が素数: A056707
53333…333が素数: A056714
73333…333が素数: A056720
83333…333が素数: A056723
17777…777が素数: A089147
27777…777が素数: A056702
37777…777が素数: A056705
47777…777が素数: A056708
57777…777が素数: A056715
67777…777が素数: A056718
87777…777が素数: A056724
97777…777が素数: A056727
19999…999が素数: A002957
29999…999が素数: A056703
49999…999が素数: A056712
59999…999が素数: A056716
79999…999が素数: A056721
89999…999が素数: A056725
ちょうど今、これらの未開拓な部分について計算しているところです。
17777…777は一つ見つけましたので、先月追加しました。

あと、Pari/GPでは4500桁ぐらいまでは決定的素数判定法で素数かどうか調べられます。
ただし、4500桁となるとメモリが12GB、時間が（最近のPCで）15時間程度必要です。
私のPCはメモリが16GBしかありませんのでこの程度が限界ですが、
さらにメモリがあれば5000桁ぐらいまではいけると思います（ただし数日～1週間ぐらいかかります）。
そんな感じなので、8111…111の474個、902個はPari/GPでは1分程度で決定的素数と判定できます。

p=2,3,5,...に対して、p(p-1)^2/2=1,6,40,...となりますが、ksさんが考えたQ_p(p=2,3,5,...)での既約な二次式というのはどのようなものでしょうか。p=2,3の場合だけでも例示していただけないでしょうか。

p進数体の二次拡大体は、2進数体Q_2については、Q_2(√2)、Q_2(√3)、Q_2(√6)、Q_2(√-1)、Q_2(√-2)、Q_2(√-3)、Q_2(√-6)の7つの二次拡大体があり、p進数体(p>2)Q_pについては、Q_p(√p)、Q_p(√n)、Q_p(√(np))の3つの二次拡大体があります。ただし、nはQ_pに平方根をもたない数です。

Q_2の二次式では、x^2-2,x^2-3,x^2-6,x^2+1,x^2+2,x^2+3,x^2+6が既約となりますが、α=2,3,6,-1,-2,-3,-6とすると、a,b∈Q_2,(x+a)^2-b^2*α=x^2+2ax+(a^2-b^2*α)も既約となります。
Q_p(p>2)の二次式では、x^2-p,x^2-n,x^2-npが既約となりますが、α=p,n,npとすると、a,b∈Q_p,(x+a)^2-b^2*α=x^2+2ax+(a^2-b^2*α)も既約となります。

Q_3では、2の平方根は存在しませんが、-2の平方根は存在し、3進法表記で
...01101021200010200211,
...21121201022212022012
が平方根となります。√-1=√2/(√-2)なので、Q_3(√-1)=Q_3(√2)となり、Q_3の3つの二次拡大体は、
Q_3(√3)、Q_3(√2)=Q_3(√-1)、Q_3(√6)=Q_3(√-3)となります。

Q_5では、2,3の平方根は存在しませんが、3/2の平方根は存在し、5進法表記で
...23333103203131132432,
...21111341241313312013
が平方根となります。√3=√2*√(3/2)なので、Q_5(√3)=Q_5(√2)となり、Q_5の3つの二次拡大体は、
Q_5(√5)、Q_5(√2)=Q_5(√3)、Q_5(√10)=Q_5(√15)となります。

Q_5には-1の平方根も存在して、5進法表記で
...40423140223032431212,
...04021304221412013233
が平方根となります。

p>2の素数として、Jacobi記号(a/p)を用いると、(a/p)=-1のときはaはpを法として平方非剰余で、(a/p)=1のときはaはpを法として平方剰余となります。

p=4n+3の素数のときは、平方剰余の第一補助法則
(-1/p)=(-1)^((p-1)/2)より(-1/p)=(-1)^(2n+1)=-1
となるので-1はpを法として平方非剰余となり、p=4n+3ときは、Q_pに-1の平方根が存在せず、3つの二次拡大体は、Q_p(√p)、Q_p(√-1)、Q_p(√-p)となります。このような素数は、p=3,7,11,19,...などがあります。
これに対して、p=4n+1(p=5,13,17,...)のときはQ_pに-1の平方根が存在します。

p=8n+3,8n+5(=8n-3)の素数のときは、平方剰余の第二補助法則
(2/p)=(-1)^((p^2-1)/8)より(2/p)=(-1)^(8n^2±6n+1)=-1
となるので2はpを法として平方非剰余となり、
p=8n+3の素数はp=4n+3の素数でもあるので、Q_pに-1の平方根が存在しませんが、p=8n+5の素数はp=4n+1の素数でもあるので、Q_pに-1の平方根が存在するかわりに2の平方根が存在せず、3つの二次拡大体は、Q_p(√p)、Q_p(√2)、Q_p(√(2p))となります。このような素数は、p=5,13,29,...などがあります。
これに対して、p=8n+1(p=17,41,...)のときはQ_pに-1と2の平方根が存在します。

平方剰余の相互法則
(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)/2*(q-1)/2)
より、q=3とすると、
(p/3)(3/p)=(-1)^((p-1)/2)
で、p=8n+1のときは(p/3)(3/p)=1ですが、p=3m+2のときは(p/3)=-1なので、(3/p)=-1で3はpを法として平方非剰余となります。p=8n+1かつp=3m+2となるのはp mod 24=17のとき(p=17,41,89,...)で、この場合は、3つの二次拡大体は、Q_p(√p)、Q_p(√3)、Q_p(√(3p))となります。
これに対して、(p/3)=1となるp=3m+1のときは、p=8n+1かつp=3m+1であってp mod 24=1(p=73,97,...)であり、このときはQ_pに-1と2と3の平方根が存在します。

Q_17では、-1と2の平方根が存在して、A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15,G=16とした17進法表記を用いると、
-1の平方根は、
...5E81F0160E3D8CGC5A24,
...B28F1GFAG2D38404B6ED
2の平方根は
...2A2E9AB511E922CB822B,
...E6E2765BFF27EE458EE6
とそれぞれ表されます。

有難うございます。
P=2のときの、既約な二次式
x^2+x+1
P=3のときの、既約な二次式
x^2+1,2x^2+2,…など

ksさんの考えでは、p=2でx^2+1とかx^2-2は既約にならないのでしょうか。
p=3で2x^2+2=2(x^2+1)ですが・・・p=3の他の4種類(5種類?)の既約二次多項式はどのようなものでしょうか？

P=3のときの、残りの４個は
x^2+x+2,2x^2+2x+1,x^2+2x+2,2x^2+x+1
素数P進法の二次式の個数は（ｐ－1）ｐ＾２で
そのうち、可約な個数は、ｐ（ｐ＋1）（ｐ－1）／2
既約な個数　ｐ（ｐ－1）＾2／2

有限体GF(p)上でx^2の係数が1の既約多項式は、
p=2で
x^2+x+1の1個
p=3で
x^2+1,x^2+x+2,x^2+2x+2の3個
p=5で
x^2+2,x^2+3,x^2+x+1,x^2+x+2,x^2+2x+3,^2+2x+4,x^2+3x+3,x^2+3x+4,x^2+4x+1,x^2+4x+2
の10個なので、有限体GF(p)上での既約多項式の総数は、p=2,3,5でたしかに1,6,40となりますね。
ksさんが言っていたP進数体というのは有限体のことだったのですね。

あらら……。
6300日を超える連続更新が……。

何処までも続いて欲しかったのですが、残念です。

22日に発生したシステム障害は基地局の機器の不具合によるものでした。27日に解消したようですが、今度は我が家のネットワーク機器の不具合で、インターネットに接続できないでいます。接続業者から明日代替の機器が届く予定です。更新再開までもうしばらくお待ちください。

本日朝９時頃、宅配便が届き、急ぎ機器の設置を行い、９時半ごろ無事機器の動作確認を終了しました。
８日ぶりの更新となります。また末永くご愛顧のほどお願い申し上げます。

このサイトに入るとまず更新記録が続いているか確認し、
来場者数が昨日よりが100増えてるのを確認してから掲示板に移動するのが
ルーティンでしたので更新再開はうれしいかぎりです。

連続更新が途切れたのは残念でしたが、無事に再開できてよかったです。
これからもよろしくお願いします。

今回のネットワーク障害のおかげで、だいぶ勉強になりました！接続業者のサポートセンターへの電話は、午前中よりも午後の方がつながりやすいこと。今回の不運は、障害が起こったのが土曜日で、次の日が日曜、またその次の日が祝日であったこと。サポートセンターは平日しか電話を受け付けないようなので、サポートを受けるまで３日間待たされました。２５日（火）に不具合の電話を入れたところ、回線の状態を調べてみるとのことで、その結果、２６日（水）にエリアの基地局に機器の不具合が発生していたことが分かったようです。２７日（木）に基地局の機器の不具合が解消しましたが、今度は我が家のルーターが故障したようです。２７日の午前中に、一瞬インターネットがつながったのですが、すぐに切れてしまいました。多分そのときにルーターが壊れたのでしょうね。２７日の午後にサポートセンターに電話を入れたところ、ルーターの交換を提案されて、無事に３月２日（日）に回線が復旧しました。家の中ではwi-fiを使っているのですが、テレビやスマホのwi-fiの再設定が必要でした。さらに、プリンタも。スマホからプリンタに出力するのに、wi-fiを経由してつながっていることに気づかされました。意外でした。

今度は 355/113 を３個の正の有理数の立方和として計算してみました。

355/113 = (506940/346921)^3+(14114/199671)^3+(32483809/117606219)^3

参考文献の構成方法で
a=355/113
r=1/6
t=1065/113
としたものです。

(r と t の選び方にはある程度自由度があります。)

周期5と10の場合については、
Sl_3(π/5)=√(3-φ)/2+√(φ+2)/2/2^3+√(φ+2)/2/3^3+√(3-φ)/2/4^3
-√(3-φ)/2/6^3-√(φ+2)/2/7^3-√(φ+2)/2/8^3-√(3-φ)/2/9^2+...
Sl_3(2*π/5)=√(φ+2)/2+√(3-φ)/2/2^3-√(3-φ)/2/3^3-√(φ+2)/2/4^3+...
Sl_3(3*π/5)=√(φ+2)/2-√(3-φ)/2/2^3-√(3-φ)/2/3^3+√(φ+2)/2/4^3
-√(φ+2)/2/6^3+√(3-φ)/2/7^3+√(3-φ)/2/8^3-√(φ+2)/2/9^3+...
Sl_3(4*π/5)=√(3-φ)/2-√(φ+2)/2/2^3+√(φ+2)/2/3^3-√(3-φ)/2/4^3+...
φ=(1+√5)/2
Sl_3(π/5)=(2/3)*π^3*B_3(1/10)=3/125*π^3
Sl_3(2π/5)=(2/3)*π^3*B_3(1/5)=4/125*π^3
Sl_3(3π/5)=(2/3)*π^3*B_3(3/10)=7/250*π^3
Sl_3(4π/5)=(2/3)*π^3*B_3(2/5)=2/125*π^3
より、

√(φ+2)Sl_3(2π/5)+√(3-φ)Sl_3(4π/5)
=5/2-5/2/4^3+5/2/6^3-5/2/9^3+...
=(√(φ+2)*4/125+√(3-φ)*2/125)*π^3
なので、
1-1/4^3+1/6^3-1/9^3+...=(√(φ+2)*8/625+√(3-φ)*4/625)π^3
となります。

√(3-φ)Sl_3(2π/5)-√(φ+2)Sl_3(4π/5)
=5/2*(1/2^3-1/3^3+1/7^3-1/8^3+...)
=(√(3-φ)*4/125-√(φ+2)*2/125)*π^3
なので、
1/2^3-1/3^3+1/7^3-1/8^3+...=(√(3-φ)*8/625-√(φ+2)*4/625)*π^3
となります。

√(3-φ)Sl_3(π/5)+√(φ+2)Sl_3(3π/5)
=5/2+5/2/4^3-5/2/6^3-5/2/9^3+...
=(√(3-φ)*3/125+√(φ+2)*7/250)*π^3
なので、
1+1/4^3-1/6^3-1/9^3+...=(√(3-φ)*6/625+√(φ+2)*7/625)*π^3
となります。

√(φ+2)Sl_3(π/5)-√(3-φ)Sl_3(3π/5)
=5/2/2^3+5/2/3^3-5/2/7^3-5/2/8^3+...
=(√(φ+2)*3/125-√(3-φ)*7/250)*π^3
なので、
1/2^3+1/3^3-1/7^3-1/8^3+...=(√(3-φ)*6/625-√(φ+2)*7/625)*π^3
となります。

周期7の場合については、
Sl_3(2π/7)=sin(2*π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(4π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(6π/7)*(1/3^3-1/4^3+...)
Sl_3(4π/7)=sin(4*π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(8π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(12π/7)*(1/3^3-1/4^3+...)
Sl_3(6π/7)=sin(6*π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(12π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(18π/7)*(1/3^3-1/4^3+...)
Sl_3(2π/7)=(2/3)π^3*B_3(1/7)=10/343*π^3
Sl_3(4π/7)=(2/3)π^3*B_3(2/7)=10/343*π^3
Sl_3(6π/7)=(2/3)π^3*B_3(3/7)=4/343*π^3
より、

sin(2π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(4π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(8π/7)*(-1/3^3+1/4^3+...)=10/343*π^3
sin(4π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(8π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(2π/7)*(-1/3^3+1/4^3+...)=10/343*π^3
sin(8π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(2π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(4π/7)*(-1/3^3+1/4^3+...)=-4/343*π^3
と書き換えて、zを1の原始7乗根とすると、
sin(2π/7)=(z-z^-1)/2i,sin(4π/7)=(z^2-z^-2)/2i,sin(8π/7)=(z^4-z^-4)/2i
であり、

1-1/6^3+1/8^3-1/13^3+...=(2i/2401)*(10*z^6+10*z^5+4*z^4-4*z^3-10*z^2-10*z)
1/2^3-1/5^3+1/9^3-1/12^3+...=(2i/2401)*(-4*z^6+10*z^5-10*z^4+10*z^3-10*z^2+4*z)
-1/3^3+1/4^3-1/10^3+1/11^3-...=(2i/2401)*(10*z^6-4*z^5-10*z^4+10*z^3+4*z^2-10*z)
より、

1+1/2^3-1/3^3+1/4^3-1/5^3-1/6^3+...=(32i/2401)*π^3*(z^6+z^5-z^4+z^3-z^2-z)
であり、
z^6+z^5-z^4+z^3-z^2-z=-i√7
なので、

1+1/2^3-1/3^3+1/4^3-1/5^3-1/6^3+...=32/(343√7)*π^3
となります。


周期11の場合については、
Sl_3(2π/11)=sin(2π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(4π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(6π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(8π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(10π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(4π/11)=sin(4π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(8π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(12π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(16π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(20π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(6π/11)=sin(6π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(12π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(18π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(24π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(30π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(8π/11)=sin(8π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(16π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(24π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(32π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(40π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(10π/11)=sin(10π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(20π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(30π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(40π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(50π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(2π/11)=(2/3)*π^3*B_3(1/11)=30/1331*π^3
Sl_3(4π/11)=(2/3)*π^3*B_3(2/11)=42/1331*π^3
Sl_3(6π/11)=(2/3)*π^3*B_3(3/11)=40/1331*π^3
Sl_3(8π/11)=(2/3)*π^3*B_3(4/11)=28/1331*π^3
Sl_3(10π/11)=(2/3)*π^3*B_3(5/11)=10/1331*π^3
より、

Sl_3(2π/11)=sin(2π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(6π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(18π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(10π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(8π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
Sl_3(6π/11)=sin(6π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(18π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(10π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(8π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(2π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
-Sl_3(4π/11)=sin(18π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(10π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(8π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(2π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(6π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
Sl_3(10π/11)=sin(10π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(8π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(2π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(6π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(18π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
Sl_3(8π/11)=sin(8π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(2π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(6π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(18π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(10π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
と書き換えて、

sin(2π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(6π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(18π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(10π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(8π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=30/1331*π^3
sin(6π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(18π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(10π/1*1)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(8π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(2π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=40/1331π^3
sin(18π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(10π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(8π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(2π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(6π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=-42/1331*π^3
sin(10π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(8π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(2π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(6π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(18π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=10/1331*π^3
sin(8π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(2π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(6π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(18π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(10π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=28/1331*π^3
であり、zを1の原始11乗根とすると、
sin(2π/11)=(z-z^-1)/2i,sin(6π/11)=(z^3-z^-3)/2i,sin(8π/11)=(z^4-z^-4)/2i,
sin(10π/11)=(z^5-z^-5)/2i,sin(18π/11)=(z^9-z^-9)/2i
なので、

1-1/10^3+...=(2i/11^4)*π^3*(30*z^10+42*z^9+40*z^8+28*z^7+10*z^6-10*z^5-28*z^4-40*z^3-42*z^2-30*z)
1/3^3-1/8^3+...=(2i/11^4)*π^3*(28*z^10-40*z^9+30*z^8+10*z^7-42*z^6+42*z^5-10*z^4-30*z^3+40*z^2-28*z)
-1/2^3+1/9^3+...=(2i/11^4)*π^3*(10*z^10-30*z^9+28*z^8-42*z^7+40*z^6-40*z^5+42*z^4-28*z^3+30*z^2-10*z)
1/5^3-1/6^3+...=(2i/11^4)*π^3*(-42*z^10-28*z^9+10*z^8+40*z^7+30*z^6-30*z^5-40*z^4-10*z^3+28*z^2+42*z)
1/4^3-1/7^3+...=(2i/11^4)*π^3*(40*z^10-10*z^9-42*z^8+30*z^7+28*z^6-28*z^5-30*z^4+42*z^3+10*z^2-40*z)
より、

1-1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3-1/6^3-1/7^3-1/8^3+1/9^3-1/10^3+...
=(2i/11^3)*π^3*(-12*z^9- 12*z^5-12*z^4-12*z^3-12*z-6)
=(12i/11^3)*π^3*(z^10-z^9+z^8+z^7+z^6-z^5-z^4-z^3+z^2-z)
なので、

z^10-z^9+z^8+z^7+z^6-z^5-z^4-z^3+z^2-z=-i√11
から、

1-1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3-1/6^3-1/7^3-1/8^3+1/9^3-1/10^3+...=12/(121√11)*π^3
となります。

紹介してもらって初めて知ることに成りましたこのクラウゼン関数
何とベルヌーイ多項式と組み合わさることでディリクレのベータ関数や
ディリクレL関数を引き起こす働きができるんですね。
もう何年も前に計算上偶然見つけていた等式がこんなにも理路騒然と
他の概念から導き出せるものなのだと感動しています。
ディリクレはドイツ(1805～1859)
クラウゼンはデンマーク(1801～1885）
でほぼ同じ世代をお互い刺激し合いながら生きていたんでしょうね。
世の中色々な人で満ち溢れていますね。
改めてこの人を読んでこんなにも立派な発見をやっておきながら、余り
名を知られていないのは不公平に感じる。
私だけが知らないだけなのか？
kuiperbeltさんは何時この繋がりを御知りになったのですか？

私もクラウゼン関数を知ったのはつい最近のことでした。

1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+1/9^3-1/11^3+･･･
1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+1/7^3-1/8^3+1/10^3-1/11^3+1/13^3-1/14^3+･･･
を見て、多重対数関数を用いて
Li_3(i)=i-1/2^3-i/3^3+1/4^3+i/5^3-1/6^3-i/7^3+1/8^3+･･･
Li_3(ω)=ω+ω^2/2^3+1/3^3+ω/4^3+ω^2/5^3+1/6^3+･･･
の虚部で表せるのではないかと考え、英語版の多重対数関数のWikipedeia(https://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm)に

The polylogarithm with pure imaginary μ may be expressed in terms of the Clausen functions Ci_s(θ) and Si_s(θ), and vice versa (Lewin 1958, Ch. VII § 1.4; Abramowitz & Stegun 1972, § 27.8):

Li_s(e^±iθ)=Ci_s(θ)±iSi_s(θ)

という記載を見つけてクラウゼン関数にたどりついたのでした。

下記の JavaScript 言語によるコードが 円周率の近似値を出力します。

どうしてこんなアルゴリズムで求められるのか分かりませんけれども。 (⁠･⁠o⁠･⁠;⁠)

function spigotPi(digits) {
let len = Math.floor(digits * 10 / 3) + 1;
let array = new Array(len).fill(2);
let result = [];
let q = 0, r = 0, num = 0;

for (let i = 0; i < digits; i++) {
let carry = 0;

for (let j = len - 1; j > 0; j--) {
num = array[j] * 10 + carry;
array[j] = num % (2 * j + 1);
carry = Math.floor(num / (2 * j + 1)) * j;
}

num = array[0] * 10 + carry;
q = Math.floor(num / 10);
r = num % 10;
array[0] = r;

result.push(q);
}

result.splice(1, 0, "."); // 小数点を追加

return result.join("");
}

// 使用例: π の最初の 100 桁を求める
console.log(spigotPi(100));

[2490] の続きです。

こういうことらしいです。

πやeなどは代表的無理数でまた超越数でもあり、並んでいく数字はまさに素数のように何が次に並んでいくのか
見当もつかない全く気紛れでしかないような、ある意味乱数に使いたくなる代物なのに、例のごとくある意味規則的な
法則により無限に数字を生み出していけるものが存在できることが不思議でなりません。
JavaScript 言語でコードされていたのを
PARI/GP様にコード変更して実行させたら
gp > print(spigotPi(780));
[3].[1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 4, 10,
2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5, 1, 0, 5, 8, 2, 0, 9, 7, 4, 9, 4, 4, 5, 9, 2, 3, 0, 7,
8, 1, 6, 4, 0, 6, 2, 8, 6, 2, 0, 8, 9, 9, 8, 6, 2, 7, 10,
3, 4, 8, 2, 5, 3, 4, 2, 1, 1, 7, 0, 6, 7, 9, 8, 2, 1, 4, 8, 0, 8, 6, 5, 1, 3, 2, 8, 2, 3, 0, 6, 6, 4,
7, 0, 9, 3, 8, 4, 4, 6, 0, 9, 5, 5, 0, 5, 8, 2, 2, 3, 1, 7, 2, 5, 3, 5, 9, 4, 0, 8, 1, 2, 8, 4, 8, 1,
1, 1, 7, 4, 5, 0, 2, 8, 4, 1, 0, 2, 6, 10,
1, 9, 3, 8, 5, 2, 1, 1, 0, 5, 5, 5, 9, 6, 4, 4, 6, 2, 2, 9, 4, 8, 9, 5, 4, 9, 3, 0, 3, 8, 1, 9, 6, 4,
4, 2, 8, 8, 1, 0, 9, 7, 5, 6, 6, 5, 9, 3, 3, 4, 4, 6, 1, 2, 8, 4, 7, 5, 6, 4, 8, 2, 3, 3, 7, 8, 6, 7,
8, 3, 1, 6, 5, 2, 7, 1, 1, 10,
1, 9, 0, 9, 1, 4, 5, 6, 4, 8, 5, 6, 6, 9, 2, 3, 4, 6, 0, 3, 4, 8, 6, 1, 0, 4, 5, 4, 3, 2, 6, 6, 4, 8,
2, 1, 3, 3, 9, 3, 6, 0, 7, 2, 5, 10,
2, 4, 9, 1, 4, 1, 2, 7, 3, 7, 2, 4, 5, 8, 6, 10,
0, 6, 6, 0, 6, 3, 1, 5, 5, 8, 8, 1, 7, 4, 8, 8, 1, 5, 2, 0, 9, 2, 0, 9, 6, 2, 8, 2, 9, 2, 5, 4, 0, 9,
1, 7, 1, 5, 3, 6, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 2, 5, 8, 10,
3, 5, 9, 10,
1, 1, 3, 3, 0, 5, 3, 0, 5, 4, 8, 8, 2, 0, 4, 6, 6, 5, 2, 1, 3, 8, 4, 1, 4, 6, 9, 5, 1, 9, 4, 1, 5, 1,
1, 6, 0, 9, 4, 3, 3, 0, 5, 7, 2, 6, 10,
3, 6, 5, 7, 5, 9, 5, 9, 1, 9, 5, 3, 0, 9, 2, 1, 8, 6, 1, 1, 7, 3, 8, 1, 9, 3, 2, 6, 1, 1, 7, 9, 3, 1,
0, 5, 1, 1, 8, 5, 4, 8, 0, 7, 4, 4, 6, 2, 3, 7, 9, 9, 6, 2, 7, 4, 9, 5, 6, 7, 3, 5, 1, 8, 8, 5, 7, 5,
2, 7, 2, 4, 8, 9, 1, 2, 2, 7, 9, 3, 8, 1, 8, 2, 10,
1, 1, 9, 4, 9, 1, 2, 9, 8, 3, 3, 6, 7, 3, 3, 6, 2, 4, 4, 0, 6, 5, 6, 6, 4, 3, 0, 8, 5, 10,
2, 1, 3, 9, 4, 9, 4, 6, 3, 9, 5, 2, 2, 4, 7, 3, 7, 1, 9, 0, 6, 10,
2, 1, 7, 9, 8, 6, 0, 9, 4, 3, 7, 0, 2, 7, 7, 0, 5, 3, 9, 2, 1, 7, 1, 7, 6, 2, 9, 3, 1, 7, 6, 7, 5, 2,
3, 8, 4, 6, 7, 4, 8, 1, 8, 4, 6, 7, 6, 6, 9, 4, 0, 5, 1, 3, 1, 9, 10,
0, 5, 6, 8, 1, 2, 7, 1, 4, 5, 2, 6, 3, 5, 6, 0, 8, 2, 7, 7, 8, 5, 7, 7, 1, 3, 4, 2, 7, 5, 7, 7, 8, 9,
6, 0, 9, 1, 7, 3, 6, 3, 7, 1, 7, 8, 7, 2, 1, 4, 6, 8, 4, 4, 0, 8, 10,
1, 2, 2, 4, 9, 5, 3, 4, 2, 10,
1, 4, 6, 5, 4, 9, 5, 8, 5, 3, 7, 1, 0, 5, 0, 7, 9, 2, 2, 7, 9, 6, 8, 9, 2, 5, 8, 9, 2, 3, 5, 4, 1, 10,
1, 9, 9, 5, 6, 1, 1, 2, 1, 2, 9, 0, 2, 1, 9, 6, 0, 8, 6, 3, 10,
3, 4, 4, 1, 8, 1, 5, 9, 8, 1, 3, 6, 2, 9, 7, 7, 4, 7, 7, 1, 3, 0, 9, 9, 6, 0, 5, 1, 8, 7, 0, 7, 2, 1,
1, 3, 4, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 8, 3, 7, 2, 9, 7, 8, 0, 4, 9, 9, 5]
と予想に反して10の数字を含んで並ぶんですが
(コード上どこを変更したらいいのか今のところわからないのでそのままです。)
ただし2,10と並んでいれば-->3,0；1,9,10と並んでいたら-->2,0,0
として見て行けば,小数点以下762桁から9が6個並ぶファインマンポイントまでπの正確な数値を
見て行くことが出来るようになっています。
ほんとに不思議ですね、πは言われた通りに動いているだけです。
しかし並んでいく数字は全くランダムに発生
この規則性と不規則性の共存が起こることが驚異です。

sucは1増やす関数でしょうか。それならば
suc(n) = exp(cot(atan(log(sqrt(exp(cot(atan(log(sec(atan(sqrt(n))))))))))))
でOKです（nは正整数）。

らふかるさん。ありがとうございます！！！

それにしても物凄い絵面です……ビビりまくりです。

なっ……なるほど。
sec(arctan(sqrt( n ))))
を二乗するのに手間がかかっているのでしたか。

このサイトで63を64にする問題という形で出題され、私も参加していた記憶があるのですが、記事を探しても見当たらない……。
どこにあるんだろう？
人力検索に立ちはだかる、24年間の記事数という壁。

数学感動秘話の"合成関数の合成" (3列並びの左端を見て行くと、中行辺りにあります。)

あれ？
63から64を作るの、違う問題だったかな……！

初等関数のうち代数関数でないものを初等超越関数ということとします。
いくつかの１変数の初等超越関数から合成関数 f を構成して次のような性質をもつようにすることはできますか？
f(1) = 3

※ 【代数関数 sqrt(・) を使わないで任意の正整数を表すことができそうだ】ゲームです。

ガウス記号は使っていいですか？
[exp(tan(sin(1)))]=3

ガウス記号は無しの方向性でお願いいたします。
ペコリ。🙇

では
cot(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))))=3
でどうでしょう。

らすかるさん、チョベリグ(死語)ですね。

私が用意していたのは以下です。
①
sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(1))))))))))))))))
②
cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(cosh(asinh(1))))))))))))))))

最初に気づいたのはsec(atan(x))の方だったのですが、少しでも見慣れている関数の方が良いかと思ってsin(atan(x))の方を採用しました。

No.2466に書いた解は最後に「cot(atan(○))」で逆数にしているわけですが、
よく考えたら最後のsinをcosecに変えるだけで逆数になりますので
cot(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))))=3
は
cosec(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(sin(atan(1))))))))))))))))=3
とした方が良かったですね。

らすかるさんの 2470 こちらは良い感じですねえ。

ところで古典の４つの４問題にかこつけますと。

0 = acos(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 )))))))))))))))))))))))))))))))

1 = tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))

2 =
tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))

3 = tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))

4 = sec(atan(tan(asec( 4 ))))
【だめじゃん】

5 = sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan( 4 ))))))))))))))))))

6 以上はよきにはからえ……
というあたりで許してもらえますかね？

※任意の正の有理数も 1 つの 4 でとか可能なものなのでしょうか？
試す気力はありませんけれども。

任意の有理数も作れますね。
例えば3/5を作る場合、最初に2乗して
2乗 → 9/25
逆数 → 25/9
1引く → 16/9
1引く → 7/9
逆数 → 9/7
1引く → 2/7
逆数 → 7/2
1引く → 5/2
1引く → 3/2
1引く → 1/2
逆数 → 2
のようになりますので、簡単のため1から始めるとして
cos atan 1 → √(1/2)
sec atan √(1/2) → √(3/2)
sec atan √(3/2) → √(5/2)
cos atan √(5/2) → √(2/7)
cos atan √(2/7) → √(7/9)
sec atan √(7/9) → √(16/9)
cos atan √(16/9) → √(9/25) = 3/5
の順に作ればよく、一気に書くと
cos atan sec atan cos atan cos atan sec atan sec atan cos atan 1 = 3/5
のようになります。
なお、負の有理数は
log cot atan exp x = -x
を使えば作れますね。

らすかるさん、凄い！！

P.S.

真似をしてみました。

22/7 = sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(atan(cos(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))

sec(x)=1/cos(x)
asec(x)=1/acos(x)
としてPARI/GPのソフトで下記の計算をさせたら
sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(atan(cos(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(sec(atan(cos(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec(tan(asec( 4 ))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
%63 = 3.1439957705696095373721028193842780037 + 0.00093791769925741310431658346259798553071*I
と22/7とはならなかったのですが、どうしてなんでしょうね？

sec(x) は sec(x)=1/cos(x) でOKですが
asec(x) は asec(x)=1/acos(x) ではなく asec(x)=acos(1/x) です。

追記(そうなることの説明)
x=sec(y) (0≦y≦π,y≠π/2)とおくと
asec(x)
=asec(sec(y))
=y
x=sec(y)=1/cos(y)なので
cos(y)=1/x
y=acos(1/x)
∴asec(x)=acos(1/x)

あ～なるほど！
意味を考えずに形式に溺れていた。
定義し直して計算させたら、ピタリ22/7(=3.142757142757･･･)
となれました。

[2474] のらすかるさんによる投稿へのコメントです。

【任意の正の有理数は、有限項の正則連分数展開の形で表記できる】ということなのだといまさらながらに気が付きました。

#往年の蛍光灯のように点くのが遅い私です。

管理人さんのコメントに対してです。

7番を避ける受験生が多いと思うので、5番はかなり選んだ人が多いんじゃないかと思います。

7番は
・共通テストに変わってからの過去問がなく、対策のハードルが高い
・文系だとそもそも複素数平面の授業をしていない場合がある
・二次試験で「数Cの範囲はベクトルのみ」を指定する大学がちらほらあるので、複素数平面の対策優先順位が下がりがち
・数学が苦手な子は、数Cを両方解くより数Bを両方解く方がまだ希望があると内容も見ずに判断して67どっちか投げ捨てそう
と、受験生に避けられる理由がてんこ盛りですからねえ。

mod3のコラッツ擬きですが、
https://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/shirayanagi/lab/dl/2014/yamanaka.pdf
に

3n → 3で割る
3n+1 → 4倍して2を足す
3n+2 → 4倍して1を足す

というコラッツ擬きを考察したものがありました。上記のコラッツ擬きは、

1→6→2→9→3→1
7→30→10→42→14→57→19→78→26→105→35→141→47→189→63→21→7

という2種類のループのいずれかに到達しますが、
1～1000で
1を含むループに到達するのが79個で7.9%
7を含むループに到達するのが921個で92.1%
1～10000で
1を含むループに到達するのが4.2%
7を含むループに到達するのが95.8%
でした。

4倍だと1あるいは7に到達するのが早いので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して1を足す
3n+2 → 5倍して2を足す

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで

4→21→7→36→12→4
8→42→14→72→24→8

という2種類のループのいずれかに到達しましたが、4あるいは8に到達するまでに、例えば初期値10の場合は4に到達するまでに43回の操作が必要で途中で最大値3186に達し、初期値38の場合は8に到達するまでに386回の操作が必要で途中で最大値12317562に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、その到達先、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

10 4 43 3186
38 8 386 12317562
253 8 755 60008787
325 4 204 61921287
443 8 509 2792211912
550 4 2832 366801780869709687
1973 4 5101 68833498238053197854493312
13301 4 2815 99325854394514885320584021
16955 8 7959 724763997101386821051531936
20776 4 4265 2933570318473933999921361031139062
59113 4 7510 1470455996222092703757506943141135411
85925 4 13246 340816539304436064398165865804406618021466224558460882751162

4を含むループと8を含むループに到達する初期値の個数は、
1～1000で
4を含むループに到達するのが688個
8を含むループに到達するのが312個
1～10000で
4を含むループに到達するのが6417個
8を含むループに到達するのが3583個
1～100000で
4を含むループに到達するのが62273個
8を含むループに到達するのが37727個
1～1000000で
4を含むループに到達するのが615220個
8を含むループに到達するのが384780個
でした。

上記のコラッツ擬きを初期値が負数の場合に拡張すると-1←→-3というループが現れたので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して2を引く
3n+2 → 5倍して1を引く

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで全て1←→3というループに到達しました。上記のコラッツ擬きでは、例えば初期値10の場合は1に到達するまでに88回の操作が必要で途中で最大値3564に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

10 88 3564
25 116 10314
70 191 431604
82 201 124755588
140 707 18169045713
502 3077 3550975356647313
619 12254 570087155057912340205131104638425588
54847 12687 10089667480019633619334988145153010515029612088

さらに、ksさんのコラッツ擬きでは、

3n → 3で割る
3n+1 → 2倍して1を足す
3n+2 → 2倍して1を引く

だったので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍して1を足す
3n+2 → 5倍して1を引く

としてみると、上記のコラッツ擬きは、1000000までで

1→6→2→9→3→1
4→21→7→36→12→4

という2種類のループのいずれかに到達しましたが、1あるいは4に到達するまでに、上記のコラッツ擬きでは、例えば初期値5の場合は1に到達するまでに95回の操作が必要で途中で最大値20934に達しました。100000までで最大値を更新した初期値と、その到達先、それに要した回数、途中で達した最大値は以下のようになりました。

5 1 95 20934
44 1 70 40986
86 1 810 3419283861
235 1 488 46196151066
820 1 1167 3841972080939
1310 4 1080 8170346115441
1315 1 7145 157854812287762612809
1790 1 3337 978623937310722214986
8645 1 4953 209921511803443804073439891
8770 1 6819 64901218184254749066376852519465177611
68455 1 5931 533522890015686639949625171648394237684

1を含むループと4を含むループに到達する初期値の個数は、
1～1000で
1を含むループに到達するのが901個
4を含むループに到達するのが99個
1～10000で
1を含むループに到達するのが8774個
4を含むループに到達するのが1226個
1～100000で
1を含むループに到達するのが87410個
4を含むループに到達するのが12590個
1～1000000で
1を含むループに到達するのが874580個
4を含むループに到達するのが125420個
でした。

コラッツ予想の操作を

2n　　→　2で割る
2n+1　→　3倍して、1を足し、2で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/2)cos^2(πz/2)+((3z+1)/2)sin^2(πz/2)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合をプロットしたものがWikipediaに載っています。

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:CollatzFractal.png

コラッツ擬き

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、2を引く
3n+2　→　5倍して、1を引く

についても、同様に

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、2を引き、3で割る
3n+2　→　5倍して、1を引き、3で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/3)g_0(z)+((5z-2)/3)g_1(z)+((5z-1)/3)g_2(z)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合について考えてみました。
ただし、g_0(z)、g_1(z)、g_2(z)については、

g_0(z)=(1/2)cos(2πz/3)+(1/6)cos(4πz/3)+(1/3)
g_1(z)=g_0(z-1),g_2(z)=g_0(z-2)
こちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#g

としました。ジュリア集合をプロットした結果はこちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#julia

　コラッツ擬き

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、1を足す
3n+2　→　5倍して、1を引く

についても、同様に

3n　　→　3で割る
3n+1　→　5倍して、1を足す、3で割る
3n+2　→　5倍して、1を引き、3で割る

というショートカットした操作に変形し、さらに、

f(z)=(z/3)g_0(z)+((5z+1)/3)g_1(z)+((5z-1)/3)g_2(z)

と複素数に拡張した場合のコラッツ写像のジュリア集合について考えてみました。

ジュリア集合をプロットした結果はこちらを参照。
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/collatz/mod3-collatz.html#pm