😊出会いの泉😊

長さ1の線分を[0,1]とし区間を三等分して
S1=[0,1/3],S2=(1/3,2/3),S3=[2/3,1]
に分けると
点P、QがそれぞれS1,S3の区間を自由に動けば
線分PQの中点MはS2区間を端点も含み生成できる。
このことを今度は
S1,S3に対して同様にして
S1の区間を三等分して
S11=[0,1/9],S12=(1/9,2/9),S13=[2/9,1/3]
すると
点P、QがそれぞれS11,S13の区間を自由に動けば
線分PQの中点MはS12区間を端点も含み生成できる。
S3の区間を三等分して
S31=[2/3,7/9],S32=(7/9,8/9),S33=[8/9,1]
すると
点P、QがそれぞれS31,S33の区間を自由に動けば
線分PQの中点MはS32区間を端点も含み生成できる。

この作業を無限に繰り返せば中点の軌跡は[0,1]
区間を埋め尽くし長さ1の線分全体を動ける。
何故なら中点の軌跡の合計は
S2+S12+S32+S112+S132+S312+S332+････
1/3+2/9+4/27+8/81+････
=1/3*(1+2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+････)
=1/3*(1/(1-2/3)
=1

そうあのカントールの三進集合を区間群Aとして
採用すればよい。
従って各区間群の長さの和は
S1+S3+S11+S13+S31+S33+S111+S113+S131+S133+S311+S313+S331+S333+････
=2/3+4/9+8/27+16/81+････
=2/3+(2/3)^2+(2/3)^3+(2/3)^4+････
=2/3/(1-2/3)
=2

これは中点Mが長さ1の線分を動けるためのぎりぎりの限界であり
これ以上の合計値にすれば余裕で達成される。
従って合計値Lの下限は2

もし私が問題を正しく理解できていれば
長さ1の線分を[0,1]として
区間1: [0,1/n]
区間2: [2/n,2/n]
区間3: [3/n,3/n]
・・・
区間n-2: [1-2/n,1-2/n]
区間n-1: [1-1/n,1]
のようにすれば条件を満たせるので、下限は0

GAIさん
構成法はほぼ正解です。
S11とS13を採用した場合、S1は不要になります。
つまり区間群の長さ合計は(2/3)^nになり、下限は0となりますね。

らすかるさん
そのような構成もありですね。正解です。

本家の9×9の場合
空欄５０でも、問題が作れるようですが、
ミニナンプレの場合、空欄が、
最大いくつある問題が作れるでしょうか？
９つの空欄場合はできました。

最大12個ですね。
①○○○
○○○③
○○○○
○③○②

上記の解は存在しない？

存在します。
もしかして斜めも考えていますか？
最初に書かれた例から、斜めは関係ないと判断しました。
（魔法陣ではないので）
ちなみに斜めも考慮した場合は最大13個になります。
○○○○
○○○②
○○○○
○○④③

①●○○
●●○③
○○○○
○③○②
において、●には③は入らないので、矛盾？
何か考え違いしているんですかね？

あ、これって単純に4×4だと思ってましたが
そうじゃなくて(2×2)が2×2だったんですね。
私が勘違いしていました。申し訳ありません。

(追記)
2×2の小ブロックも考慮に入れて調べ直しました。
最大12個は変わりませんでした。
○②③○
○○○○
○○○○
④○○①

らすかるさん、朝早くからありがとうございます。
○②③○
○○○○
○○○○
④○○①
については、
１②③４
３４１２
２１４３
④３２①
と、唯一解がありますね。

らすかるさん、ありがとうございます。
ナンプレ、ルール
各列、各行、各ブロックに、異なる数が入る（１～Nの一個ずつ全て）
1～N^2　の数を使って、大きなナンプレができそうですね。
１～16で、１６×１６のナンプレがつくれました。

ミニナンプレ、色々
3，2，4，1
4，1，3，2　対角線も、1～４
1，4，2，3
2，3，1，4

4，3，2，1
1，2，3，4　ブロック同型
2，1，4，3
3，4，1，2

1，4，3，2
3，2，1，4　中心に、点対称
4，1，2，3
2，3，4，1
個数が少ないので、易しいです。

PS
9×9ナンプレで、初期設定から、複数解に出会ったことがありますが、
残り数を１６個以下では唯一解のものはつくれないことが、証明されているみたいですね。複数解もゆるすと、全て空欄もよいことになりますので。
１２個の空欄で、複数解のものが、見つかりました。
＊　＊　＊　１
＊　＊　２　＊
＊　３　＊　＊
４　＊　＊　＊
複数解になりました。
異なる（？）初期設定から、同一の結果を得ることも可能みたい。
同一か、異なるかは、対称性を異なるとするか、同一とみなすか。
９×９の場合はわかりませんが。

> "ｋｓ"さんが書かれました:
> ミニナンプレ、色々
> 3，2，4，1
> 4，1，3，2　対角線も、1～４
> 1，4，2，3
> 2，3，1，4

> 4，3，2，1
> 1，2，3，4　ブロック同型
> 2，1，4，3
> 3，4，1，2

> 1，4，3，2
> 3，2，1，4　中心に、点対称
> 4，1，2，3
> 2，3，4，1
> 個数が少ないので、易しいです。

ブロック同型と中心に、点対称を組合すと
ブロック同型を十位、中心に、点対称を一位として用いて
41, 34, 23, 12
13, 22, 31, 44
24, 11, 42, 33
32, 43, 14, 21
が出来るので
十位1,2,3,4を♦,♣,♥,♠
一位1,2,3,4をA,J,Q,K
に対応させると
トランプカードで

♠A, ♥K, ♣Q, ♦J
♦Q, ♣J, ♥A, ♠K
♣K, ♦A, ♠J, ♥Q
♥J, ♠Q, ♦K, ♣A

の二重方陣が作れますね。
これを対角線まで拡張できませんかね？

思い付くまま作ってみました。
これ以外のパターンを作られたらお知らせ下さい。

♥A ♣J ♠Q ♦K
♠K ♦Q ♥J ♣A
♦J ♠A ♣K ♥Q
♣Q ♥K ♦A ♠J


♥A ♦J ♠Q ♣K
♠K ♣Q ♥J ♦A
♣J ♠A ♦K ♥Q
♦Q ♥K ♣A ♠J


♦A ♣J ♥K ♠Q
♠K ♥Q ♣A ♦J
♣Q ♦K ♠J ♥A
♥J ♠A ♦Q ♣K


♦A ♣Q ♥K ♠J
♠K ♥J ♣A ♦Q
♣J ♦K ♠Q ♥A
♥Q ♠A ♦J ♣K

一つ目と二つ目はクラブとダイヤを入れ替えただけに見えますが、
このようなマークの入れ替えを別物とみなすなら他にもたくさん作れますね。
三つ目と四つ目がJとQの入れ替えになっているのも同様です。
上二つと下二つはパッと見で本質的に異なるようにも見えますが、
三つ目を90°右回転してJ→A,Q→J,K→Q,A→Kのように入れ替えれば
一つ目と一致しますので、やはり本質的には同じです。

(追記)
「回転・反転・マークや数字の入れ替えを同一視すると、本質的に一通りしかない」
ということが確認できました。
回転・反転・マークや数字の入れ替えをすべて区別した場合は、
まず基本パターンとして
a b c d
d c b a ※1行目と2行目が左右反転、3行目と4行目が左右反転
b a d c
c d a b
とそれを90°回転した形である
a b c d
c d a b ※1列目と2列目が上下反転、3列目と4列目が上下反転
d c b a
b a d c
の2通りがあり、どちらかをマーク、どちらかを数字に使う必要があります。
そしてマークと数字の当てはめ方はそれぞれ4!通りなので、
すべて区別した場合は2×4!×4!=1152通りとなります。

* * 1 2 、 * * * 1
* * 3 4 、 * * * 2
* * * * 、 * * * 3
* * * * 、 * * * 4
のように、四つの数字から、始めると
複数解、１２通り表われました。
初見で、不可能な場合、唯一解、複数解
を、簡明に、判別する方法が、ないかどうか、
ですが、上記の場合、４つの不可能な場合が
ありました。

4ヶ所から、初めて、完成型が、１通り、２通りのものがあります。
＊　＊　＊　１
２　＊　＊　＊
＊　３　＊　＊
＊　＊　４　＊

＊　＊　＊　１
＊　２　＊　＊
＊　＊　３　＊
４　＊　＊　＊
完成型が、３通りのものがあるでしょうか？

2通りのもの
＊　＊　1　＊
＊　＊　＊　2
3　＊　＊　＊
＊　4　＊　＊
３通り、4通りのものも見つかりました。

3通りパターン
3　＊　＊　1
＊　＊　2　＊
＊　＊　＊　＊
＊　＊　＊　4

4通りのパターン
1　2　＊　＊
＊　＊　＊　＊
＊　＊　＊　＊
＊　＊　3　4
有限なのにやって見ないと分からない！

ここのホームページで
数学感動秘話中
正方形から正三角形
をクリックしたら解説されています。

https://jp.pinterest.com/pin/609815605826764777/
が参考になるかな？

ありがとうございました。

ChatGPT (free ユーザ)に聞いてみました。
割合は 1 だそうで。

Gemini(pro)に聞いたら
割合は 8/9 だそうで。

どちらのAIもミンコフスキー和を使っていますが拘束条件について意見の対立がありました。

そして、私には、どちらも、なんか痒いところに手が届かないのでして(論理の飛躍があるのか私が論理を追えないのか……後者かも)

chatGPT5.2proの最初の解答は8/9でした。
これは、正方形の内部まで動けるという場合には正解になります。
しかし、正方形の外周しか動けない場合はそのうち一部は実現不可能な領域となり、正解は8/9より小さい値となります。

ひょっとしてちょうど1/2でしょうか？
3/2×1/3=1/2　の様なイメージ

流石にそこまで小さくはないですね。

一辺が2の立方体に内接する正八面体の中心を原点と
して、以下の3つの正方形を考える：
𝑆𝑥𝑦：𝑥𝑦 平面上  
頂点：(1,0,0),(0,1,0),(−1,0,0),(0,−1,0)
𝑆𝑦𝑧：𝑦𝑧 平面上
頂点：(0,1,0),(0,0,1),(0,−1,0),(0,0,−1)
𝑆𝑧𝑥：𝑧𝑥 平面上
頂点：(0,0,1),(1,0,0),(0,0,−1),(−1,0,0)
各正方形の周上を点 P,Q,R が動く。

各正方形の周上は、4辺の直線の集合。たとえば
𝑆𝑥𝑦 の周上は：
辺1：(1−𝑠,1), 0≤𝑠≤2
辺2：(−1,1−𝑠),0≤𝑠≤2
辺3：(−1+𝑠,−1),0≤𝑠≤2
辺4：(1,−1+𝑠),0≤𝑠≤2

同様に、他の2つの正方形もそれぞれの平面上で同じ構造を持っている。
つまり、各正方形の周上の点は、対応する2軸の成分が
[−1,1] の範囲で動き、残りの軸は0。

各点は次のように動く：
P∈𝑆𝑥𝑦：(𝑥1,𝑦1,0)
Q∈𝑆𝑦𝑧：(0,𝑦2,𝑧2)
R∈𝑆𝑧𝑥：(𝑥3,0,𝑧3)

したがって、重心G の座標は：
G=1/3(𝑥1+𝑥3,𝑦1+𝑦2,𝑧2+z3)
つまり：
𝑥=1/3(𝑥1+𝑥3)
𝑦=1/3(𝑦1+𝑦2)
𝑧=1/3(z2+𝑧3)

ここで、
𝑥1,𝑦1 は𝑆𝑥𝑦 の周上の点から、
𝑦2,𝑧2 は𝑆𝑦𝑧 の周上の点から、
𝑥3,𝑧3 はs𝑧𝑥 の周上の点から取られる。

この構造からわかるのは：
x1,𝑥3∈[−1,1] → 𝑥∈[−2/3,2/3]
𝑦1,𝑦2∈[−1,1] → 𝑦∈[−2/3,2/3]
𝑧2,𝑧3∈[−1,1] → 𝑧∈[−2/3,2/3]

ただし、これらの範囲すべてを独立に取れるわけではなく、
各点が正方形の周上にあるという制約がある。
でも、3つの正方形が互いに直交していて、
各点が独立に動けるので、重心Gの動く範囲は原点中心・辺長
4/3
の立方体に内接する正八面体になる。

正八面体の体積は、辺長a=sqrt(2) のとき：
𝑉=sqrt(2)/3*𝑎^3=sqrt(2)/3*(sqrt(2))^3=4/3
重心Gの動く範囲は、各軸方向に
2/3
に縮小された正八面体なので、体積は：
(2/3)^3*4/3=8/27*4/3=32/81
⋅
よって、割合は：
32/81÷4/3
=8/27

と更に小さくなってしまいましたが、どこに論理的ミスが発生するのか教えて下さい。

> 𝑆𝑥𝑦 の周上は：

のところですね。
これでは立方体を真っ二つにした断面です。
Sxyは、その正方形の中点を順に結んだ、45°傾いた正方形ですよ。

また、各座標の絶対値が2/3以下であればよいかというとそうでもなく、(0,0,1/2)などはGの動ける領域外になります。

全くお門違いの設定をしておりました。
3つの正方形の辺を動かすことを改めて考えていたら、全くでたらめなことを設定していました。
改めて調査してみると重心Gの座標での取り得る値が±を含め
2√2/3,√2/3,1,1/3,2/3,0
がたびたび出現します。
今数値だけ眺めているのでどんな領域が形成されるのかな？
三次元でのイメージが中々作り難い。

7/9(=77.7778%)でしょうか？

正解です、お見事！

領域はどんな形になるでしょうか？

元の正八面体の1/3サイズ(体積では1/27)
のものが６か所の各頂点から抜け落ちたような
正八面体版メンガーのスポンジの様なイメージ
(コンピュータを使った大量の計算結果をもとに、手書きによる
見取り図の地道な手作業の末、やっと浮かび上がった姿であり、決して
直感や霊感は伴っていないことを本人が保証します。)

1-6*(1/3)^3=1-2/9=7/9

で求めました。

その通りです。
3Dの見取り図を手作業で書けるの、すごい。

3Dの中でこの立体を回転させて見てみたく、Geogebraのソフトを利用して例の情報の数値を入れて立体を回して見てみると
立体と言うよりも、平べったい紙を貼り合わせた様な不思議な構造物となり、見る方向から色々な形に千変万化していく
立体万華鏡とも言いたくなる不思議なものです。（特に6か所に窪んでいる部分を色分けして見ていたのでその変化はまるで
夜空に打ちあがる花火の様でした。)
求めていた比は体積比と言うよりは体積　vs 　面積
と見えてしまうような感覚をもつ構造物となっていました。
さらに線を引くことを増やしていくと、中に元の正八面体の1/3の大きさの正八面体が潜んでいるようだ。
しかしこれでも体積比が7:9という結果が見た目ではどうしても理解できない。
目で見たこの構造物は全く不思議な形状をしています。

そうか！
今骨組みだけで見ているので理解できないんだ。
各4点で作れる平面の部分を作ることを追加していけば全体の姿が見えるはずだ。
しかしこの作業は手間が大いにかかりそう！

やっと見たかった立体の形状を完成出来ました。
頭の中では一つの頂点でのイメージはできるんですが、これが6つの頂点で同時に
起きた時の全体の形状およびこれらが回転したり、上から下から見たときの様子は
とても頭の中では構築できません。
見てみたら正六角形と正方形の表面で囲まれた球状のものとなっており、
正方形の部分は穴が開いていて覗くと底が四角錐状に窪んでいる。

最初ソフトを利用していくとき、頂点の座標や2点を繋いでいく辺の様子や小正八面体
が折り返される部分座標等をやり終えた時点で、すべての頂点が同時に凹んでいると
こんな奇妙な立体となるんだと勘違いしてしまっていた。(でも構造上この形状は面白い)
後に
これは折り畳み傘の骨組みだとやっと気づいて結構多数に渡る面貼り作業をやっと済ます
ことが出来ました。(途中失敗することもあるので、削除という機能を使ってやり直すのですが
マウスのボタンを押す位置がちょっと違っていたりすると、今まで積み上げてきた壊さなく
でもいい部分までもが全部消えてしまう場面も何度か起きました。アンドゥ機能を付けて
おいて欲しい。)

Geogebraをこんなに長時間使うことは今までに無かったので慣れてくると中々機能が充実
しておりhttps://www.geogebra.org/3d?lang=ja
にアクセスすればクラウド上で無料で結構複雑な形状でも組み立てていけて、さらに自由な
角度から見たり回転させたりしながら色も部分的に変えていけたりできる。
遊びに面白いのでお勧めです。(よくこんなソフトが作れるな～)

ちなみに
P,Q,Rが正方形の内部で動くときの体積比が8/9は
1-6*(1/2*(1/3)^2)=1-1/9=8/9
で求めることになるのですか？

はい。
ヘコみのない切頂八面体になります。

xyz座標で
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1/2,sqrt(3)/2,0)
D(0,0,sqrt(2)),E(1,0,sqrt(2)),F(1/2,sqrt(3)/2,sqrt(2))
に配置すれば
s,t,uをそれぞれ0以上1以下の実数として
P(s,0,sqrt(2)*s),
Q(1-t/2,sqrt(3)/2*t,sqrt(2)+t),
R(u/2,sqrt(3)*u,(1-u)*sqrt(2))
にとれ
従ってP,Q,Rでの重心GをG(Fx(a,t,u),Fy(s,t,u),Fz(s,t,u))
a=sqrt(3);b=sqrt(2)と置くと
Fx(s,t,u)=1/6*(2*s-t+u+2)
Fy(s,t,u)=a/6*(t+u)
Fz(s,t,u)=b/3*(s+t-u+1)
で
パラメータ(s,t,u)に対して
(0,0,0)=> G1(1/3,0,1/3*b)
(0,0,1)=> G2(1/2,1/6*a,0)
(0,1,0)=> G3(1/6,1/6*a,2/3*b)
(0,1,1)=> G4(1/3,1/3*a,1/3*b)
(1,0,0)=> G5(2/3,0,2/3*b)
(1,0,1)=> G6(5/6,1/6*a,1/3*b)
(1,1,0)=> G7(1/2,1/6*a,b)
(1,1,1)=> G8(2/3,1/3*a,2/3*b)
と各点に移る。
これらを3D用アニメーションソフトで眺めるとG1,G2,G3,G4は∠G1G2G4=60°である
等辺平行四辺形(各辺は1/sqrt(3))となり
G5,G6,G7,G8はこの平行四辺形に平行となる同じ合同の等辺平行四辺形
となっている。
全体としてDは平行6面体をなす。

またG1,G2,G4を通る平面を求めると
4*x+sqrt(2)*z=2となるので
これに点G5より下した垂線の長さは
|4*2/3+sqrt(2)*2/3*sqrt(2)-2|/sqrt(4^2+2)=sqrt(2)/3

従って求めたい領域Dの体積は
(1/sqrt(3))^2*sin(60°)*sqrt(2)/3=sqrt(6)/18

お見事、正解です。
一辺1/√3の正四面体の6倍の体積になります。

合っていて良かった。

コメントの
一辺1/√3の正四面体の6倍の体積になります。

とは何なのかを確かめてみました。
a=sqrt(3);
b=sqrt(2);
G1=[1/3,0,1/3*b];
G2=[1/2,1/6*a,0];
G3=[1/6,1/6*a,2/3*b];
G4=[1/3,1/3*a,1/3*b];
G5=[2/3,0,2/3*b];
G6=[5/6,1/6*a,1/3*b];
G7=[1/2,1/6*a,b];
G8=[2/3,1/3*a,2/3*b];
K(P,Q)=norml2(P-Q)

各2点間の距離を調べてみました。
gp > K(G1,G2)
%83 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G3)
%84 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G1,G4)
%85 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G5)
%61 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G1,G6)
%62 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G7)
%63 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G1,G8)
%64 = 0.66666666666666666666666666666666666667

gp > K(G2,G3)
%86 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G4)
%87 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G2,G5)
%65 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G6)
%66 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G2,G7)
%67 = 2.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G8)
%68 = 1.0000000000000000000000000000000000000

gp > K(G3,G4)
%88 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G3,G5)
%69 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G3,G6)
%70 = 0.66666666666666666666666666666666666667
gp > K(G3,G7)
%71 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G3,G8)
%72 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G4,G5)
%73 = 0.66666666666666666666666666666666666667
gp > K(G4,G6)
%74 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G4,G7)
%75 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G4,G8)
%76 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G5,G6)
%77 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G5,G7)
%78 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G5,G8)
%79 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G6,G7)
%80 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G6,G8)
%81 = 0.33333333333333333333333333333333333334

gp > K(G7,G8)
%82 = 0.33333333333333333333333333333333333334

これから
(G1,G2,G4,G6)
(G3,G5,G7,G8)
(G1,G2,G3,G4)
(G1,G3,G5,G7)
(G2,G4,G6,G8)
(G5,G6,G7,G8)
の6組での正4面体は一辺が1/sqrt(3)の合同な立体になり
各頂点は3回ずつ登場しています。

これを計算の裏づけ無しに認識することはとても私には無理です。

平行六面体を作る3つのベクトルは、各点が動くAE、BF、CDの1/3になっています。
このAE、BF、CDは、どの2つをとっても、始点をそろえると正三角形を作ります。
このことから、平行六面体の体積は正四面体の2倍（底面を正三角形から菱形にする）の3倍（錐体の1/3を消す）であることがわかるのです。

正三角形から菱形への2と
錐体から平行六面体への3
から６が生まれるのですか！
ヘェ～
こんなことを見通して即問題を思い付くDD++さんて何者？

(1) y=log(x)(1≦x≦e)の曲線
(2) (1,0)中心に(1)を1/2倍した曲線すなわちy=log(2x-1)/2(1≦x≦(1+e)/2)
(3) (e,1)中心に(1)を1/2倍した曲線すなわちy=(log(2x-e)+1)/2((1+e)/2≦x≦e)
の3つで囲まれた領域であり
(1)とx軸とx=eで囲まれた部分の面積は∫[1～e]logxdx=1
(2)とx軸とx=(1+e)/2で囲まれた部分の面積は1/2倍に縮小したので1/4
(3)とy=1/2とx=eで囲まれた部分の面積も同じく1/4
x=(1+e)/2とx=eとx軸とy=1/2で囲まれた部分の面積は(e-1)/4
なので、求める面積は1-1/4-1/4-(e-1)/4=(3-e)/4

どれを探してもたちどころに跳ね返されてしまう。
しかも最短のコースでゴールに向かっている。
身近にテーマが無くなってしまったのでしばらくお暇を頂きます。

「C1(C2)上を動き回る」範囲はC1(C2)の円周上と判断して
(2,0)と(-4,0)の中点は(-1,0)なので
半径1/2の円の中心が(-1,0)を中心とする半径1の円の周上を動く
ドーナツ型になる。つまり半径3/2の円の面積から半径1/2の円の面積を
引けばよいので、π((3/2)^2-(1/2)^2)=2π。
もしC1(C2)上が内部を含むなら中の穴がなくなるのでπ(3/2)^2=9π/4。

ドーナツ型になる
このことは計算していたらわかることなのか、
それとも計算する前から何となく感じれるものなのですか？
頭の中で点を動かしていると中点があちこち動き回り映像がぼけてしまい
結局何が何だかわからなくなっていきます。
更に旅にでます。

(PQ・PR)=|PQ||PR|cos∠QPR
最大値は明らかに|PQ|=|PR|=2r,∠QPR=0（すなわちPQが直径でQ=R）のときで4r^2

また最小値は∠QPRが鈍角のとき
Q,Rを固定したとき、∠QPRが一定になるので
|PQ||PR|cos∠QPRが最小
⇔|PQ||PR|が最大（∵cos∠QPRが負で一定）
⇔鈍角三角形PQRの面積が最大（∵△PQR=|PQ||PR|sin∠QPR/2でsin∠QPRが一定）
⇔Pが劣弧QR上で直線QRから最も遠い（∵QRを底辺としたときの高さ最大）
⇔|PQ|=|PR|
よって
P(r,0),Q(rcosθ,rsinθ),R(rcosθ,-rsinθ),π/4＜θ＜π/2
とおいて最小値を調べればよい。
|PQ||PR|cos∠QPR
=((rcosθ-r)^2+(rsinθ)^2)cos(π-θ)
=2r^2(cosθ-1)cosθ
=2r^2{(cosθ-1/2)^2-1/4}
従ってcosθ=1/2⇔θ=π/3⇔∠QPR=2π/3のとき最小値-r^2/2
結果をまとめると
M=4r^2 (PQが直径でQ=Rのとき)
m=-r^2/2 (△PQRが∠QPR=120°、PQ=PRの二等辺三角形のとき)

完璧な解答
すぐに攻略されないものを探さなきゃ～
忙し忙し

ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ　とおくと、条件より、
ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５
と定まり、|５ａ＋２ｂ|^２は、定数１７３/３５となってしまうのですが．．．。
私の計算間違いでしょうか？

> ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ　とおくと、条件より、
> ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５

iは虚数単位のことですか？
上記の値の導き方を教えて下さい。

ｉを虚数単位として、ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ　とおくと、条件より、
ｘ^２＋ｙ^２＋９（ｕ^２＋ｖ^２）＋６（ｘｕ＋ｙｖ）＝１
９（ｘ^２＋ｙ^２）＋（ｕ^２＋ｖ^２）－６（ｘｕ＋ｙｖ）＝１
を解いて、ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５
となったのですが．．．。

A=ｘ^２＋ｙ^２
B=ｕ^２＋ｖ^２
C=ｘｕ＋ｙｖ
としてみれば
A+9B=1-6C
9A+B=1+6C
なのでA,B,Cは独立に決められず
A,Bの連立とみて
A=1/20(15C+2)
B=1/20(-15C+2)
C=C
としか出来ないと思いますが・・・

基底変換して以下でシンプルに解けませんか？

a+3b = c, 3a-b = d とおくと、10a = c+3d, 10b = 3c-d
よって 5a+2b = (11/10)c+(13/10)d
|c| = |d| = 1 なので、|5a+2b|の最大値は12/5、最小値は1/5。

DD++さん正解です。
方法も最もベストな近道！
始めそのままの形から攻めていたのでかなり遠回りになってしまいました。

ｎ＝１９２とｎ＝２１９が見つかりました。これ以外はないような雰囲気！

まだありますよ。

手作業で考えて192,219,273,327の4つになりました。
267はちょっと惜しいですね。
「一の位の3個の組合せ((1,2,3)(2,4,6)など)」「百の位の3個の組合せ」「残り」
の順で考えました。

この4つで正解です。
何か共通性とはと考えたが
和が12となるものか!
と思うも
138*2=276,138*3=414 (1,4ダブり)
また
(1,2,9),(2,3,7)での組合せか!
と思うも
129*2=258 (2ダブり)
237*2=474 (4,7ダブり)
何とも法則がありそうでない。

共通性は・・・
・27で割って3余る。
・奇数桁の和が10。
# だから何？って感じですが

これら3つの数の和は明らかに9の倍数になるわけですが、それは最上段の数の6倍でもあります。
つまり、最上段の数は3の倍数で、したがって最下段は9の倍数です。

(1) 左上に5がある場合
3倍が4桁になるので不適。

(2) 上に5がある場合
中央が1しかありえず、すると左上は2しかありえない。
しかしこのとき左が5になって重複するため不適。

(3) 右上に5がある場合
右下も5になるため不適。

(4) 左に5がある場合
左上は2しかありえず、上は6以上。
上と左下がダブらない候補は、261、264、267、273、276、279、291、294、297、の9個。

(5) 中央に5がある場合
上は2か7しかありえず、右上は6以上。
上段が329以下と考えると、候補は、126、129、276、279、327、の5個。

(6) 右に5がある場合
ここは偶数しかありえないので、5であることはない。

(7) 左下に5がある場合
左上は1しかありえず、左は3しかありえない。
上段が170以上198以下と考えると、候補は、174、186、189、192、198、の5個。

(8) 下に5がある場合
左下が、1と2は明らかに不適、4と7は上が5になるため不適。
下段は9の倍数なので、下段候補は351、657、954。
つまり上段候補は、219と318の2個。

(9) 右下に5がある場合
左上も5になるため不適。

以上のうち複数のパターンで候補になっているのは5が複数回出てくるため不適と考えると、残る候補は、
126、129、174、186、189、192、198、219、261、264、267、273、291、294、297、318、327の17個。
17個くらいならそんなに根性もいらないので、全部調べて答えを得ます。