😊出会いの泉😊

Σ[k=0～n](nCk)^4
の値(A005260参照)とその素因数分解をn=1～100まで出力して一時眺めてみました。
様々な素数が出力されており、一見無秩序な素数が並び中には巨大な素数も
出現してきて眼も眩む状態です。
大きな素数には目もくれず、例え連続している素数に着目したとしても
特にn=3,7ではその関係は途絶えていて、とても統一的な性質を持つとは
思えない風景です。
これに対し
n<p<4/3*n+1という一見何気ない条件で示されている不等式ですが
等号が入らない不等式のためnが素数であったり4/3*n+1が素数になる場合も
当然起こる(n=3,9,12,21,27,30,39,45,54,66,72,75,81,84,･･･)訳で
これで微妙に条件を満たす素数pの値がずれていきます。
プログラムで条件を満たす素数pを抜き出そうとしましたが途中頭が混乱して
結局手作業でnに対する条件を満たす素数のグループを書き出していくと
まさしくn=3,7ではpは存在できなく他の部分では正しくその条件にしっかりと
納まっている素数が各nに対し因数として鎮座しているではないか！

あの混沌とした中にこの微妙な式で示される針の穴を通すような枠の中に見事に
得体が未だ定かになっていない素数がおとなしくいるなんておったまげ～です。
気になり一気にn=100でも調査しましたが、p=101,103,107,109,113,127,131
いずれの素数は顔を揃えていました。
これってすべてのnでも成立するんですよね？
(リーマン仮説がいるのかな？）

<作業材料の参考>
gp > primes(33)
%599 =
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137]

gp > for(n=1,100,print(n"=>",n,"<",(4/3*n+1)+0.))
1=>1<2.333333333 ;2
2=>2<3.666666667 ;3
3=>3<5.000000000 ;∅
4=>4<6.333333333 ;5
5=>5<7.666666667 ;7
6=>6<9.000000000 ;7
7=>7<10.33333333 ;∅
8=>8<11.66666667 ;11
9=>9<13.00000000 ;11
10=>10<14.33333333 ;11,13
11=>11<15.66666667 ;13
12=>12<17.00000000 ;13
13=>13<18.33333333 ;17
14=>14<19.66666667 ;17,19
15=>15<21.00000000 ;17,19
16=>16<22.33333333 ;17,19
17=>17<23.66666667 ;19,23
18=>18<25.00000000 ;19,23
19=>19<26.33333333 ;23
20=>20<27.66666667 ;23
21=>21<29.00000000 ;23
22=>22<30.33333333 ;23,29
23=>23<31.66666667 ;29,31
24=>24<33.00000000 ;29,31
25=>25<34.33333333 ;29,31
26=>26<35.66666667 ;29,31
27=>27<37.00000000 ;29,31
28=>28<38.33333333 ;29,31,37
29=>29<39.66666667 ;31,37
30=>30<41.00000000 ;31;37
31=>31<42.33333333 ;37,41
32=>32<43.66666667 ;37,41,43
33=>33<45.00000000 ;37,41,43
34=>34<46.33333333 ;37,41,43
35=>35<47.66666667 ;37,41,43,47
36=>36<49.00000000 ;37,41,43,47
37=>37<50.33333333 ;41,43,47
38=>38<51.66666667 ;41,43,47
39=>39<53.00000000 ;41,43,47
40=>40<54.33333333 ;41,43,47,53
41=>41<55.66666667 ;43,47,53
42=>42<57.00000000 ;43,47,53
43=>43<58.33333333 ;47,53
44=>44<59.66666667 ;47,53,59
45=>45<61.00000000 ;47,53,59
46=>46<62.33333333 ;47,53,59,61
47=>47<63.66666667 ;53,59,61
48=>48<65.00000000 ;53,59,61
49=>49<66.33333333 ;53,59,61
50=>50<67.66666667 ;53,59,61,67
51=>51<69.00000000 ;53,59,61,67
52=>52<70.33333333 ;53,59,61,67
53=>53<71.66666667 ;59,61,67,71
54=>54<73.00000000 ;59,61,67,71
55=>55<74.33333333 ;59,61,67,71,73
56=>56<75.66666667 ;59,61,67,71,73
57=>57<77.00000000 ;59,61,67,71,73
58=>58<78.33333333 ;59,61,67,71,73
59=>59<79.66666667 ;61,67,71,73,79
60=>60<81.00000000 ;61,67,71,73,79
61=>61<82.33333333 ;67,71,73,79
62=>62<83.66666667 ;67,71,73,79,83
63=>63<85.00000000 ;67,71,73,79,83
64=>64<86.33333333 ;67,71,73,79,83
65=>65<87.66666667 ;67,71,73,79,83
66=>66<89.00000000 ;67,71,73,79,83
67=>67<90.33333333 ;71,73,79,83,89
68=>68<91.66666667 ;71,73,79,83,89
69=>69<93.00000000 ;71,73,79,83,89
70=>70<94.33333333 ;71,73,79,83,89
71=>71<95.66666667 ;73,79,83,89
72=>72<97.00000000 ;73,79,83,89
73=>73<98.33333333 ;79,83,89,97
74=>74<99.66666667 ;79,83,89,97
75=>75<101.0000000 ;79,83,89,97
76=>76<102.3333333 ;79,83,89,97,101
77=>77<103.6666667 ;79,83,89,97,101,103
78=>78<105.0000000 ;79,83,89,97,101,103
79=>79<106.3333333 ;83,89,97,101,103
80=>80<107.6666667 ;83,89,97,101,103,107
81=>81<109.0000000 ;83,89,97,101,103,107
82=>82<110.3333333 ;83,89,97,101,103,107,109
83=>83<111.6666667 ;89,97,101,103,107,109
84=>84<113.0000000 ;89,97,101,103,107,109
85=>85<114.3333333 ;89,97,101,103,107,109,113
86=>86<115.6666667 ;89,97,101,103,107,109,113
87=>87<117.0000000 ;89,97,101,103,107,109,113
88=>88<118.3333333 ;89,97,101,103,107,109,113
89=>89<119.6666667 ;97,101,103,107,109,113
90=>90<121.0000000 ;97,101,103,107,109,113
91=>91<122.3333333 ;97,101,103,107,109,113
92=>92<123.6666667 ;97,101,103,107,109,113
93=>93<125.0000000 ;97,101,103,107,109,113
94=>94<126.3333333 ;97,101,103,107,109,113
95=>95<127.6666667 ;97,101,103,107,109,113,127
96=>96<129.0000000 ;97,101,103,107,109,113,127
97=>97<130.3333333 ;101,103,107,109,113,127
98=>98<131.6666667 ;101,103,107,109,113,127,131
99=>99<133.0000000 ;101,103,107,109,113,127,131
100=>100<134.3333333 ;101,103,107,109,113,127,131

＞これってすべてのnでも成立するんですよね？

するっぽいのですが、きちんと「定理」となっているのを見たわけではなく
似たような質問をしている人がいたことから自分で数値的に調べて
成り立っている様子が観察できました。
ちなみに100程度だと大した個数にならないので「へぇ～」ぐらいの感想なのですが、
n=10000で調べて10007,10009,10037,…,13331という354個の素因数が
すべて含まれているのを確認したときは圧巻でした。
そんなに素因数が連続している数は、素数階乗のように故意に掛けない限り
今まで見たことないですからね。
（n=100000で100003～133327の2852個の素因数がすべて含まれていることまでは確認しました）
ちなみに、n＜p＜(4/3)n+1の中の最大の素数の次の素数も素因数に含まれているものは
n=5, 2816, 5466, 15067, …のようにたまにしかないみたいです。

らすかるさんに刺激を受け
n=200000で200003～266663の5378個の素因数がすべて
S=Σ[k=0～200000](nCk)^4の数に含まれていることが確認できました。
P=[200003,200009,200017,･･････,266641,266647,266663]
に対し
gp > apply(i->valuation(S,i),P)
%=[1,1,1,･･･････,1,1,1](5378個の1が並びました)
実際画面いっぱいに1が並ぶ光景は壮観です。

もう信じるしかないですね。
でも何故4乗和なんでしょうかね？
OEISには
Sum_{k = 0..n} C(n,k)^m for m = 1..12:
A000079, A000984, A000172, A005260, A005261, A069865, A182421, A182422, A182446, A182447, A342294, A342295.
12乗までの和が載っていますから、別の累乗でも十分に調査済みなのでしょうね。

改めてn<p<4/3*n+1
の条件を良くも思い付いたなと(この範囲に効率よくも素数が集まってしまうのか！）感心してしまいます。

今まだ確認中ですが(現在n≦10000で確認済み)、素因数を眺めていたところ
n＜p＜(4/3)n+1 = (4n+3)/3 だけでなく
n/2＜p＜(4n+3)/7
n/3＜p＜(4n+3)/11
n/4＜p＜(4n+3)/15
n/5＜p＜(4n+3)/19
n/6＜p＜(4n+3)/23
・・・
n/k＜p＜(4n+3)/(4k-1)
（1≦k≦n）
の範囲のすべての素因数を持つらしいこともわかりました。
n=200000の場合は
200003～266663 (k=1;5378個) だけでなく
100003～114281 (k=2;1223個)
66683～72727 (k=3;548個)
50021～53327 (k=4;307個)
40009～42101 (k=5;200個)
・・・
1667～1669 (k=120;2個) ← 複数個の最後
・・・
71 (k=2817;1個)
59 (k=3390;1個)
11 (k=18182;1個)
3 (k=66667;1個)
の範囲内の素数をすべて素因数に持っていることになります。

(5月15日追記)
n≦30000で成り立っていました。

n＜p＜(4/3)n+1 = (4n+3)/3 だけでなく
n/2＜p＜(4n+3)/7
n/3＜p＜(4n+3)/11
n/4＜p＜(4n+3)/15
n/5＜p＜(4n+3)/19
n/6＜p＜(4n+3)/23
・・・
n/k＜p＜(4n+3)/(4k-1)
（1≦k≦n）
の範囲のすべての素因数を持つらしいこともわかりました。

らすかるさんすごい。
素因数を眺めていたことでこんなことに気付けるんですか？
始めの範囲に比べ存在している素数は減っては行きますが確実に素因数に含まれる素数が並んでいますね。
素数の出現と組合せ関数の目に見えぬ結びつきが見えない糸に引き寄せ合いられながら手繰り寄せられている。
n=200000での∑の莫大な数に含まれている素数を計算させていてもいくら時間をかけても一向に姿を示してくれなくて
別の手法でチェックしていただけでしたので、こんな世界が開けているとは思ってもみませんでした。
例え具体的素数が並んでいても全く気付けないと思います。
ちなみにAIに
Σ[k=0～n](nCk)^4 は
n＜p＜(4/3)n+1 を満たすすべての素数pで割り切れるは定理にできますか？
と質問してみると
主張は定理として正しく言えます（既知の結果として文献にも出てきます）。
との返事を返してきていました。

下記の URL にある PDF に証明っぽいものがあります。

https://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/pene16.pdf

私はまだ全体を読んでいません

こちらも関連するのかも？

https://artofproblemsolving.com/community/p849499

証明が長い・・・

最大は9回で、9回になるのは
0149,0589,0941,0985,1094,1490,4109,4901,
5098,5890,8509,8905,9014,9058,9410,9850
の16個です。
ただし、abcd,bcda,cdab,dabc,dcba,cbad,badc,adcbが同じ回数になりますので、
本質的には0149と0589の2個ですね。

(追記)
abcd+efgh=9999のときabcdの回数とefghの回数は同じなので、本質的には0149の1通りだけでした。(∵0149+9850=9999)

(追々記)
5桁で試したら、「1回以下で終わるもの」と「無限に終わらないもの」しかないようでした。
7桁も同じです。奇数桁では自明な解を除き0にならないのかも知れません。
6桁は最大4回(例:014523)、8桁は最大22回(例:00012448)、10桁は最大4回(例:0143014523)でした。

(さらに追記)
よく考えたら奇数桁では2回以上の解はないですね。
例えば5桁でもし2回以上の解があったとすると
最後が00000→その前はaaaaa (a=1～9)
その前がbcdefとすると
c=b±a, d=c±a, e=d±a, f=e±a, b=f±aなので
b=b±a±a±a±a±a
±a±a±a±a±a=0
∴±1±1±1±1±1=0
これはあり得ませんので奇数桁では2回以上の解はなく、
よって無限回を除外すると1回(全桁同じ数字から開始)が最大となります。

出所は、記憶が定かではありませんが、25年くらい前の、数学セミナーだと思います。
設問は、「４つの数（桁数関係なく）からはじめて、差をとると0になり、その操作の回数を10回以上にしてください。」
　0を除く一桁の数で、10回以上可能だったような。二桁かも。記憶は誤りでしたか？
　選択の数の桁数を増やせば、いくらでも回数を増やすことができる？

小学生に、出題する予定でした。

「四角形の数」数学の部屋
サイトがありました。

上限が9より大きくてよければ、10回以上は可能です。
「その操作の回数を10回以上」とのことなので最初の状態はカウントしません。
(0,2,6,13)
→(2,4,7,13)
→(2,3,6,11)
→(1,3,5,9)
→(2,2,4,8)
→(0,2,4,6)
→(2,2,2,6)
→(0,0,4,4)
→(0,4,0,4)
→(4,4,4,4)
→(0,0,0,0)
最小数と最大数の差が12以下のとき10回未満となります。
2桁の最大は13回(例:0,7,20,44)
3桁の最大は19回(例:0,81,230,504)
4桁の最大は25回(例:0,927,2632,5768)
でした。

数字を、大きくしても、なかなか、10回以上は、見つかりにくいです。
A〈B〈C〈D　かつ　A+B+C＝Dが、良い条件のようです。
他に、見つける、条件、ありませんか？

紹介して頂いた貴重な論文を拝見させて頂きました。
目が回る様な論理の展開で一つの式で表現するためには
大変な考察が必要なことが実感できました。

一般にO(0,0),P(n,m)の2点を結ぶ直線の下方(直線上を含む)の領域
だけを通過する格子路でOからPまでの最短路の総数G(n,m)を求める
プログラムをらすかるさんのアイデアをお借りして以前作成していた
のを思い出しました。
以下がそのプログラム(PARI/GPでのコード)と結果になります。
なお\記号は複数行に渡る記述のための繋ぎのためのものです。

gp > G(n,m)={M=matrix(n+1,m+1,i,j,if(j==1,1,i==1 && j>1,0))};\
for(x=2,n+1,for(y=2,m+1,if(m*(x-1)<n*(y-1),next,\
M[x,y]=M[x-1,y]+M[x,y-1])));M[n+1,m+1]

gp > for(n=2,9,print1(n"=>");for(m=1,30,print1(G(n,m)","));print)
2=>1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,
3=>1,2,5,5,7,12,12,15,22,22,26,35,35,40,51,51,57,70,70,77,92,92,100,117,117,
126,145,145,155,176,
4=>1,3,5,14,14,23,30,55,55,76,91,140,140,178,204,285,285,345,385,506,506,593,
650,819,819,938,1015,1240,1240,1396,
5=>1,3,7,14,42,42,66,99,143,273,273,364,476,612,969,969,1197,1463,1771,2530,
2530,2990,3510,4095,5481,5481,6293,7192,8184,10472,
6=>1,4,12,23,42,132,132,227,377,525,728,1428,1428,2010,2803,3504,4389,7084,
7084,9097,11654,13793,16380,23751,23751,28931,35246,40356,46376,62832,
7=>1,4,12,30,66,132,429,429,715,1144,1768,2652,3876,7752,7752,10659,14421,
19228,25300,32890,53820,53820,67860,84825,105183,129456,158224,231880,231880,
278256,
8=>1,5,15,55,99,227,429,1430,1430,2529,3978,7229,9690,14985,21318,43263,43263,
61600,82225,121637,148005,199238,254475,420732,420732,543806,672452,900239,
1043460,1307742,
9=>1,5,22,55,143,377,715,1430,4862,4862,8398,15090,22610,35530,58040,81719,
120175,246675,246675,345345,500449,650325,876525,1220135,1542684,2017356,
3362260,3362260,4289780,5630306,

6=>の場合がat氏の出力と一致すると思います。

一般の長方形の格子路でカタラン路のような数を求める時には一辺が
多くの約数を含むようなものについては一個の式で表すのにはどうしても複雑な場合分けでの式が重なってします。
私も一辺が6のものについてatさんとは異なる式となりましたが何とか式にしてみました。

G6(m)={k=m\6;L=6*k+1;S=(6+m)!/(m!*6!);}\
if(m%6==0,S/L,\
m%6==1,S/(L+6),\
m%6==2,(S-k*(k+1)*(3*k+2)*(6*k+7)*(9*k+7)/40)/(L+6),\
m%6==3,(S-k*(k+1)*(6*k+7)*(28*k^2+61*k+31)/30)/(L+6),\
m%6==4,(S-(k+1)*(3*k+4)*(6*k+7)*(57*k^2+133*k+70)/40)/(L+6),\
m%6==5,S/(L+10))

で100までを出力してみると
gp > for(m=1,100,print1(G6(m)",");if(m%10==0,print))
1,4,12,23,42,132,132,227,377,525,
728,1428,1428,2010,2803,3504,4389,7084,7084,9097,
11654,13793,16380,23751,23751,28931,35246,40356,46376,62832,
62832,73950,87143,97584,109668,141778,141778,162883,187453,206591,
228459,285384,285384,322046,364124,396510,433160,527085,527085,586638,
654240,705789,763686,910252,910252,1002037,1105317,1183487,1270752,1489488,
1489488,1625096,1776599,1890570,2017169,2331924,2331924,2525439,2740354,2901207,
3079140,3518515,3518515,3786757,4083170,4304066,4547556,5145336,5145336,5508104,
5907251,6203610,6529292,7324878,7324878,7805193,8331713,8721393,9148503,10187344,
10187344,10811692,11493880,11997356,12547920,13881945,13881945,14680520,15550580,16191123,

場合分けを一つの式にしてみましたが、あまり綺麗になりませんでした。
G6(m)={k=m\6;}((6+m)!/(m!*6!)-\
((m+1)%6\3)*((m%6+1)*k+(m%6\4)*(13*k+24))*\
((54*k^2+78*k+28)+((m%3+2)%4)*(k^2+11*k+8)+(2-m%6%4%3)*(11*k+9))*\
(k+1)*(6*k+7)/240)/(m+163036%(m%6+9))

管理人様
【更新履歴】にコメント有難うございます。

ここで、全く役に立たない定理を考えてみました。

『頂角が２０度の全ての二等辺三角形において、
「底辺と同じ長さの線分」を、頂点を始点として置くと、
終点と、その対角を結んだ線分との、なす角は１５０度となる』


知っていても役に立たないが、テストの時だけ速攻で使えるかな？
ヒントに「正三角形を作る」が無いとテスト時間内に解くには
時間が足りなくなると思う。
私なら「捨て問」です。

角の大きさ（４８）の問題、随分昔にここの掲示板に同じ問題が出されて、解いた覚えがあるんですよね。
なのでここのサイトのどこかに残っているのではないかと思って探し回ったのですが、
見つけられませんでした。
もし過去の掲示板のログが残っていたら、どこかにあるかも知れません。

らすかるさん
有難うございます。

あれれ？？
ホーム画面の【更新履歴】を見ると、
初回の投稿が、令和８年　４／２４になっているので・・・・・


私の大きな勘違いでしたら申し訳ありません　ｍ（＿）ｍ

すみません
４／２５の間違えでした。

らすかるさん
申し訳ありませんでした。

更新履歴の管理人様のコメントを見て、
掲示板の全ての投稿が履歴に
載っている訳ではなかったのですね。

このサイトを、よく理解していなくてスミマセンｍ（＿）ｍ

ちゃちゃっとプログラムを作って（最下段左端＜最下段右端という条件を付けて）調べたところ
（例示されたものも含めて）以下の4通りになりました。

___3
__4,7
_5,9,2
6,1,10,8

___3
__5,2
_4,9,7
6,10,1,8

___4
__2,6
_5,7,1
8,3,10,9

___4
__5,1
_2,7,6
8,10,3,9

ならば
___0
__2,8
_7,5,3
1,6,9,4
の様に
下の隣り合う2数の和の下桁の数が上の段にあり、積み上げ終わると
0～9の数が一通り揃う。
ということになる配列は他にあるか？

全部で以下の4通りだと思います。

___0
__2,8
_7,5,3
1,6,9,4

___0
__4,6
_9,5,1
2,7,8,3

___0
__2,8
_7,5,3
6,1,4,9

___0
__4,6
_9,5,1
7,2,3,8

では、最初の差分の方式で
1段(1のみ): 1通り
2段(1～3): 2通り
3段(1～6): 4通り
4段(1～10): 4通り
となりますが、5段(1～15)では何通りでしょう？

一通りのみでは。
_____5
____4,9
___7,11,2
__8,1,12,10
6,14,15,3,13

では6段には存在するか？
存在しないならその証明は？

5段の1通りは正解です。
証明はわかりませんが、6段・7段・8段では解はありませんでした。
「6段以上では解はない」という可能性もありますが、
さすがに6・7・8だけでは何とも言えないですね。
ちなみに8段の全探索には半日かかりました。

6段での証明が気になったので色々調べてみたら
Shichermanというこのパズルを提出した人らしい人物が
mod 2
では|a-b|≡a+b (mod 2)
から,
6個の異なる整数
a,b,c,d,e,fから
a+b,b+c,c+d,d+e,e+f
a+2*b+c,b+2*c+d,c+2*d+e,d+2*e+f
a+3*b+3*c+d,b+3*c+3*d+e,c+3*d+3*e+f
a+4*b+6*c+4*d+e,b+4*c+6*d+4*e+f
a+5*b+10*c+10*d+5*e+f
と和を作っていき、それまでのすべて現れる総和が
6*a+20*b+34*c+34*d+20*e+6*f
なのでその数字は偶数であることになる。
一方1~21(6段では全部の数は1+2+･･･+6=21)
の数の総和は21*22/2=231
で奇数である。
mod2では奇数、偶数は一致するはずなのでこれは矛盾し
如何なる6個の数でも構成は不可能となる。

で示していた。
そこで7段ではと思い
a,b,c,d,e,f,g
で生まれてくる2数の和による（mod 2での考察)構成での総和をみると
7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡1 (mod 2)
一方
28*29/2=406≡0 (mod 2)
より7段でも矛盾
8段では
a,b,c,d,e,f,g,h
からは総数
8*a+35*b+83*c+125*d+125*e+83*f+35*g+8*h≡0 (mod 2)
36*37/2=666≡0 (mod 2)
従って8段はこの手では証明ができないことになる。

さらに気になったのでAIを利用して尋ねると
n>5では一切存在できないことがHerbert Taylorにより証明が与えられており
かなりテクニカルなもので単純なパリティ計算だけではすまず、より精巧な
不変量や構造解析を行うとある。

なおこれが2018段においては不可能であることの証明を問う問題が
数学オリンピックに出題さているという。

やはり6段以上では解はなかったのですね。
2018段の問題をいきなり出されても解けないだろうなぁ・・・

今さらですが、7段の証明がちょっと違うような気がします。
（私の勘違いでしたらご容赦下さい）
> 7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡1 (mod 2)
これはa,b,c,d,e,f,gのうち奇数が奇数個なら成り立ちますが、
奇数が偶数個の場合は
7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡0 (mod 2)
となるのではないでしょうか。

a,b,c,･･･,gの奇遇によって変化してしまいますね。
単に奇数の係数が奇数個であったので1と判断してしまっておりました。
らすかるさんの指摘どうりですね。

Shichermanというと、ジッヒャーマンダイスのShichermanでしょうか。

左からでも右からでも同じ並びの数は「回文数」といいます。
5回を超えるものは山ほどありますが、以下は例です。

6回で終わるもの
1069, 1079, 1159, 1169, 1249, 1259, 1339, 1349, 1429, 1439,
1519, 1529, 1609, 1619, 1699, 1709, 1789, 1799, 1879, 1889,
(以下略)

7回で終わるもの
1394, 1484, 1574, 1664, 1754, 1844, 1898, 1934, 1988, 1992,
1994, 1999, 2393, 2483, 2573, 2663, 2753, 2843, 2897, 2933,
(以下略)

8回で終わるもの
1993, 1995, 2992, 2994, 3991, 3993, 4990, 4992, 5991, 6990,
8059, 8149, 8239, 8329, 8419, 8509, 8599, 8689, 8779, 8869,
(以下略)

9回で終わるもの
1397, 1487, 1577, 1667, 1757, 1847, 1937, 2396, 2486, 2576,
2666, 2756, 2846, 2936, 2999, 3395, 3485, 3575, 3665, 3755,
(以下略)

10回で終わるもの
9059, 9149, 9239, 9329, 9419, 9509, 9599, 9689, 9779, 9869, 9959

11回で終わるもの
7069, 7159, 7249, 7339, 7429, 7519, 7609, 7699, 7789, 7879,
7969, 8068, 8158, 8248, 8338, 8428, 8518, 8608, 8698, 8788,
(以下略)

12回で終わるもの
2069, 2159, 2249, 2339, 2429, 2519, 2609, 2699, 2789, 2879,
2969, 3068, 3158, 3248, 3338, 3428, 3518, 3608, 3698, 3788,
(以下略)

13回で終わるもの
1797, 1887, 1894, 1977, 1984, 2796, 2886, 2893, 2976, 2983,
3795, 3885, 3892, 3975, 3982, 4794, 4884, 4891, 4974, 4981,
(以下略)

14回で終わるもの
1991, 2990

15回で終わるもの
1998, 2997, 3996, 4995, 5994, 6079, 6169, 6259, 6349, 6439,
6529, 6619, 6709, 6799, 6889, 6979, 6993, 7078, 7168, 7258,
(以下略)

16回で終わるもの
1496, 1586, 1676, 1766, 1856, 1897, 1946, 1987, 2495, 2585,
2675, 2765, 2855, 2896, 2945, 2986, 3494, 3584, 3674, 3764,
(以下略)

17回で終わるもの
1792, 1882, 1972, 2791, 2881, 2971, 3790, 3880, 3970

18回で終わるもの
1798, 1888, 1978, 2797, 2887, 2977, 3796, 3886, 3976, 4795,
4885, 4975, 5794, 5884, 5974, 6793, 6883, 6973, 7792, 7882,
(以下略)

20回で終わるもの
6999, 7998, 8039, 8129, 8219, 8309, 8399, 8489, 8579, 8669,
8759, 8849, 8939, 8997, 9038, 9128, 9218, 9308, 9398, 9488,
(以下略)

21回で終わるもの
1297, 1387, 1477, 1567, 1657, 1747, 1837, 1927, 2296, 2386,
2476, 2566, 2656, 2746, 2836, 2926, 3295, 3385, 3475, 3565,
(以下略)

10000回でも終わらないもの
1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857,
1945, 1947, 1997, 2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764,
(以下略)
4桁で10000回でも終わらないものは、数回で
52514,83127,96558,97768,109989
のいずれかになる数です。

ピラミッド数（仮称）
121＝11×11
12321＝111×111
1234321＝1111×1111
123454321＝11111×11111
掛け算でつくれますが、
上の数を、操作１，２，３で作ることを考えてみました。
任意の数で、できるかは不明です。

10進法なら
111111111×111111111＝12345678987654321
までですが、例えば11進法にすると、
1111111111×1111111111＝123456789A987654321
となりますね。

操作1，2，3で
121＝56＋65
24300＋342＝24642（偶数なので）
12321＝24642÷2
2464000＋4642＝2468642
1234321＝2468642÷2
5の時は、繰り上がるので、難しいが、可能。

196問題
196＋691＝887
887＋788＝1675
1675＋5761＝7436
7436÷2＝3718
3718＋8173＝11891
11891＋19811＝31702
31702÷2＝15851

123454321=(246850000+58642)/2
12345654321=(24685650000+5658642)/2
1234567654321=(2468567650000+567658642)/2
123456787654321=(246856787650000+56787658642)/2
12345678987654321=(24685678987650000+5678987658642)/2

二桁の10からは、不思議なことが起こりました。

12345678910987654321を作るために
パターンに従がって、２倍した
24685678910987650000と逆転数5678901987658642を足して２で割れば、出来なくて
逆転数の代わりに、5678910987658642だとうまくいきます。

（246851250000＋51258642）÷2＝123451254321　？！

三ケ桁の数（100～999）について調べました。
A＝｛数字が、回文数｝
B＝｛逆転数との和が、回文数｝
C＝｛逆転数との和が偶数で、２で割ると、回文数｝
A（90）＋B（210）＋C（284）＝584　重複は避けました。

三桁の数の場合、逆転数との和が、偶数ならば、2で割った数は、回文数になるようです。どうでしょうか？4桁以上は、どうでしょうか？
操作３を使えば、４桁も、回文数になる回数が、大分減少します。

四ケタの数　ABCDで、A＋D,B＋Cが、共に偶数であれば、
2で割って、回文数
五ケタの数　ABCDEで、A＋E,B＋Dが、共に偶数であれば、
2で割って、回文数

試して頂いて有難うございます。
前提条件を、端折ってしまいました。
元の数ABCDの逆転数DCBAを、足して2で割った結果が、回文数に、なります。
５ケタも同様です。

誤差はほぼe/(2*5^(3^84))なので
小数点以下約8368428989068425943817590916445001887164桁(≒8.37×10^39桁)正しい
ということになるかと思います。

「小町算で無理数近似」の記事の話ですかね？

(1+0.2^(9^(7*6)))^5(^(3^84))

これは

(1+0.2^(9^(7*6)))^(5^(3^84))

ということですか？

はい。

ご教示をありがとうございました。

(1+1/N)^N
の形になっているのだとようやく気が付きました。
頭ワルすぎ‼️

三角形ABCの、外接円の半径をR、内接円の半径をｒとするとき、
　　Ｒ≧2ｒ　が成り立つ。等号は、正三角形のとき

三角形ＡＢＣの内部の点をＰ、フェルマー点をＦとするとき、
　　ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧ＡＦ＋ＢＦ＋ＣＦ　
　　　　が成り立つ。　

△ABCの外接円のAにおける接線とBCの延長との交点（交わるとき）
をDとすると
BD：CD＝AB＾２：AC＾２　が成り立つ。

△ABCの外接円のB,Cにおける接線の交点をPとし、
直線APとBCの交点をDとすると
BD：CD＝AB＾２：AC＾２　が成り立つ。

△BCDに対して、∠BCD＝∠BADとなる、平行四辺形をとる。
△BCDの外接円の頂点Cにおける接線が直線AB、ADと交わる点をP、Qとすると
PC：CQ＝AP＾２；AQ＾２,
BP：DQ＝AP＾３：AQ＾３
が成り立つ。3乗が珍しい（私見）