😊出会いの泉😊

(準備）
6個のサイコロを各面に次の3桁の数字を書きつけたものを工作する。
数字の色; 黄, 青, 赤, 橙, 緑, 紫
サイコロ1;111, 118, 127, 132, 146, 159　
サイコロ2;137, 144, 153, 158, 172, 185
サイコロ3;161, 168, 177, 182, 196, 209
サイコロ4;160, 167, 176, 181, 195, 208
サイコロ5;149, 156, 165, 170, 184, 197
サイコロ6;155, 162, 171, 176, 190, 203

(遊び方)
相手に6個のサイコロの中で1個のサイコロを選ばせる。（これを受け取る)
6色の中で一つの色を決めてもらう。

その後残りの5つのサイコロを一番上が指定された色以外の5種類が全て出揃うように
並べてもらう。

あなたは相手が作業が終わったと同時に一番上に現れた各3桁の数字の合計を
紙に書きつけ、伏せておく。

やおら相手に見えている一番上に書かれた数字の合計をしてくれと頼む。
苦労の末合計し終わったら、その合計の数字を言ってもらう。

あなたは何気に紙に書きつけたメモを見せる。


(解明)
この暗算の達人を可能ならしめる仕組みを発見してください。

n=1,2,3,･･･が
フィボナッチ数列{fn};1,1,2,3,5,8,13,21,･･･
をx^nの係数となる
F(x)=∑[n=1,∞]fn*x^n
で定義される関数F
及び
変形フィボナッチ数列{gn};1,4,5,9,14,23,37,･･･
をx^nの係数とする
G(x)=∑[n=1,∞]gn*x^n
で定義された関数Gであるとする。

この時
F(√2-1)=1
F(1/2)=2
F((√13-2)/3)=3
･････


G((√5-1)/4)=1
G(1/2)=2
G(√22-2)/6)=3
･････

などが成立するようになる。

そこで
(1)F(x)=4,5,6,7,8,9
がそれぞれ成り立つ各xに対応する値を求め、
またxが有理数でF(x)が10000以下の正の整数値を取り得るものは何個あるでしょうか？

(2)G(x)=4,5,6,7,8,9
がそれぞれ成り立つ各xに対応する値を求め、
またxが有理数でG(x)が1000000以下の正の整数値を取り得るものは何個あるでしょうか？

私の備忘録 > 射影幾何
http://shochandas.xsrv.jp/projection/projectivegeometry.htm
において、
私が令和４年１０月２７日にコメントした内容に関して
その後に考えたことを記事にしました。

メネラウスの定理とチェバの定理の一般化 | Mathlog
https://mathlog.info/articles/TdvnRiSb0n8XacFyN5ba

素数の出現順番と素数を繋いでみました。（掲載の都合で100番で止めてますが、この先どこまででも可能です。)
1*2 = 2 | 2*5 = 10 | :
2*15 = 30 | 3*7 = 21 | :
3*17 = 51 | 5*6 = 30 | :
4*18 = 72 | 7*6 = 42 | 7*2 = 14
5*22 = 110 | 11*5 = 55 | 11*5 = 55
6*22 = 132 | 13*5 = 65 | 13*2 = 26
7*25 = 175 | 17*42 = 714 | 17*1 = 17
8*24 = 192 | 19*43 = 817 | 19*2 = 38
9*26 = 234 | 23*4 = 92 | 23*3 = 69
10*29 = 290 | 29*35 = 1015 | 29*90 = 2610
11*29 = 319 | 31*36 = 1116 | 31*81 = 2511
12*31 = 372 | 37*33 = 1221 | 37*76 = 2812
13*32 = 416 | 41*32 = 1312 | 41*93 = 3813
14*31 = 434 | 43*33 = 1419 | 43*98 = 4214
15*314 = 4710 | 47*32 = 1504 | 47*45 = 2115
16*332 = 5312 | 53*31 = 1643 | 53*72 = 3816
17*35 = 595 | 59*3 = 177 | 59*63 = 3717
18*34 = 612 | 61*3 = 183 | 61*38 = 2318
19*353 = 6707 | 67*29 = 1943 | 67*57 = 3819
20*355 = 7100 | 71*29 = 2059 | 71*20 = 1420
21*35 = 735 | 73*3 = 219 | 73*77 = 5621
22*36 = 792 | 79*28 = 2212 | 79*18 = 1422
23*361 = 8303 | 83*28 = 2324 | 83*81 = 6723
24*371 = 8904 | 89*27 = 2403 | 89*16 = 1424
25*39 = 975 | 97*26 = 2522 | 97*25 = 2425
26*39 = 1014 | 101*26 = 2626 | 101*26 = 2626
27*382 = 10314 | 103*27 = 2781 | 103*9 = 927
28*383 = 10724 | 107*27 = 2889 | 107*4 = 428
29*376 = 10904 | 109*27 = 2943 | 109*81 = 8829
30*377 = 11310 | 113*27 = 3051 | 113*10 = 1130
31*41 = 1271 | 127*25 = 3175 | 127*53 = 6731
32*41 = 1312 | 131*25 = 3275 | 131*72 = 9432
33*416 = 13728 | 137*241 = 33017 | 137*9 = 1233
34*41 = 1394 | 139*25 = 3475 | 139*6 = 834
35*426 = 14910 | 149*24 = 3576 | 149*15 = 2235
36*42 = 1512 | 151*24 = 3624 | 151*36 = 5436
37*425 = 15725 | 157*24 = 3768 | 157*41 = 6437
38*43 = 1634 | 163*234 = 38142 | 163*26 = 4238
39*43 = 1677 | 167*234 = 39078 | 167*17 = 2839
40*433 = 17320 | 173*232 = 40136 | 173*80 = 13840
41*437 = 17917 | 179*23 = 4117 | 179*79 = 14141
42*431 = 18102 | 181*233 = 42173 | 181*82 = 14842
43*445 = 19135 | 191*23 = 4393 | 191*73 = 13943
44*44 = 1936 | 193*23 = 4439 | 193*8 = 1544
45*438 = 19710 | 197*23 = 4531 | 197*85 = 16745
46*433 = 19918 | 199*232 = 46168 | 199*54 = 10746
47*45 = 2115 | 211*223 = 47053 | 211*77 = 16247
48*465 = 22320 | 223*216 = 48168 | 223*76 = 16948
49*464 = 22736 | 227*22 = 4994 | 227*87 = 19749
50*458 = 22900 | 229*22 = 5038 | 229*50 = 11450
51*457 = 23307 | 233*22 = 5126 | 233*47 = 10951
52*46 = 2392 | 239*22 = 5258 | 239*68 = 16252
53*455 = 24115 | 241*22 = 5302 | 241*33 = 7953
54*465 = 25110 | 251*216 = 54216 | 251*54 = 13554
55*468 = 25740 | 257*215 = 55255 | 257*15 = 3855
56*47 = 2632 | 263*213 = 56019 | 263*12 = 3156
57*472 = 26904 | 269*212 = 57028 | 269*53 = 14257
58*468 = 27144 | 271*215 = 58265 | 271*98 = 26558
59*47 = 2773 | 277*213 = 59001 | 277*67 = 18559
60*469 = 28140 | 281*214 = 60134 | 281*60 = 16860
61*464 = 28304 | 283*216 = 61128 | 283*67 = 18961
62*473 = 29326 | 293*212 = 62116 | 293*34 = 9962
63*488 = 30744 | 307*206 = 63242 | 307*9 = 2763
64*486 = 31104 | 311*206 = 64066 | 311*24 = 7464
65*482 = 31330 | 313*21 = 6573 | 313*5 = 1565
66*481 = 31746 | 317*21 = 6657 | 317*98 = 31066
67*495 = 33165 | 331*203 = 67193 | 331*57 = 18867
68*496 = 33728 | 337*202 = 68074 | 337*64 = 21568
69*503 = 34707 | 347*2 = 694 | 347*27 = 9369
70*499 = 34930 | 349*201 = 70149 | 349*30 = 10470
71*498 = 35358 | 353*202 = 71306 | 353*7 = 2471
72*499 = 35928 | 359*201 = 72159 | 359*8 = 2872
73*503 = 36719 | 367*2 = 734 | 367*19 = 6973
74*505 = 37370 | 373*2 = 746 | 373*38 = 14174
75*506 = 37950 | 379*2 = 758 | 379*25 = 9475
76*504 = 38304 | 383*2 = 766 | 383*72 = 27576
77*506 = 38962 | 389*2 = 778 | 389*93 = 36177
78*51 = 3978 | 397*197 = 78209 | 397*74 = 29378
79*508 = 40132 | 401*198 = 79398 | 401*79 = 31679
80*512 = 40960 | 409*196 = 80164 | 409*20 = 8180
81*518 = 41958 | 419*194 = 81286 | 419*99 = 41481
82*514 = 42148 | 421*195 = 82095 | 421*42 = 17682
83*52 = 4316 | 431*193 = 83183 | 431*93 = 40083
84*516 = 43344 | 433*194 = 84002 | 433*48 = 20784
85*517 = 43945 | 439*194 = 85166 | 439*15 = 6585
86*516 = 44376 | 443*195 = 86385 | 443*2 = 886
87*517 = 44979 | 449*194 = 87106 | 449*63 = 28287
88*52 = 4576 | 457*193 = 88201 | 457*84 = 38388
89*518 = 46102 | 461*194 = 89434 | 461*49 = 22589
90*515 = 46350 | 463*195 = 90285 | 463*30 = 13890
91*514 = 46774 | 467*195 = 91065 | 467*73 = 34091
92*521 = 47932 | 479*193 = 92447 | 479*48 = 22992
93*524 = 48732 | 487*191 = 93017 | 487*39 = 18993
94*523 = 49162 | 491*192 = 94272 | 491*34 = 16694
95*526 = 49970 | 499*191 = 95309 | 499*5 = 2495
96*524 = 50304 | 503*191 = 96073 | 503*32 = 16096
97*525 = 50925 | 509*191 = 97219 | 509*33 = 16797
98*532 = 52136 | 521*19 = 9899 | 521*38 = 19798
99*529 = 52371 | 523*19 = 9937 | 523*13 = 6799
100*541 = 54100 | 541*185 = 100085 | 541*100 = 54100

https://jkoizumi144.com/puzzles.html
の冒頭に次のようなパズルがあります。

引用開始

1. Fake coins and a magic bag

There are 7 gold coins and 9 silver coins. Among them, there is one fake gold coin and one fake silver coin. You want to identify these fake coins using a magic bag. When you put coins into the magic bag and cast a spell, it emits a suspicious glow only if both fake coins are inside the bag. How many times do you need to cast the spell to determine both fake coins?

引用終わり

①:5 回の呪文の詠唱では無理だという考察をします。
バッグが光る・光らないの1ビットの情報を５つ集めても、最大で 2^5 = 32 通りの分別ができるにすぎません。
一方において
金銀の偽コインのありうるケースを数えあげると
7✕9=63
です。
32 < 63
ですから、
5 回の呪文の詠唱では無理そうと判断できます。

②:７回の詠唱で偽コインをつきとめる方法はあります。(省略)

③: 6回の詠唱ですますクレバーな方法があるのかどうか気になります。
63 < 2^6 = 64
ですから、《コレだけでは良い方法が無いとは断言できない》という…パズルとしては良い線を突いている感じがします。
実際、金が8枚、銀が8枚だと、６回の詠唱ですます方法はありますので、こちらが元のパズルの姿で、それをひねって金７枚銀９枚に直してあるような……
このヒネリにどんな意図があるのか頭を傾げています。

皆様のお知恵をお貸しください。

せっかくですので
金３枚銀５枚のケースで
呪文詠唱４回のやり方をひとつご案内させていただきます。

金をG1, G2,G3
銀をS1,S2,S3,S4,S5
とします。偽コインのありうるケースは15通りです。添付の図をご覧ください。

１回目の計測では①をカバーするように袋にいれて呪文を唱えます。袋が光れば、残り３回の呪文で①のなかにある偽コインペアを確定させる課題はイージーです。
１回目の計測で光らない場合には次のステップに行きます。

２回目の計測では②をカバーするように袋にいれて呪文を唱えます。袋が光れば、残り２回の呪文で②のなかにある偽コインペアを確定させる課題はイージーです。
２回目の計測で光らない場合には次のステップに行きます。

３回目の計測では③をカバーするように袋にいれて呪文を唱えます。袋が光れば偽コインペアは確定です。(G1:S5)
３回目の計測で光らない場合には次のステップに行きます。

４回目の計測では④をカバーするように袋にいれて呪文を唱えます。袋が光れば偽コインペアは確定です。(G2:S5)
４回目の計測で光らない場合には偽コインペアは確定です。(G3:S5)


なお、上記のやり方は容易に拡張できて
金7枚銀9枚のケースで呪文６回で済ませる方法があることがわかります。

No.2542Dengan kesaktian Indukmu3月13日 17:27…

引用して返信編集・削除(未編集)

金7枚銀9枚のケースの図解も作りました。
偽コインのペアが
⑤に含まれていれば残り５回の詠唱で確定。
さもなければ
④に含まれていれば残り４回の詠唱で確定。
さもなければ
③に含まれていれば残り３回の詠唱で確定。
さもなければ
②に含まれていれば残り２回の詠唱で確定。
さもなければ
①に含まれていれば残り１回の詠唱で確定。
さもなければ
※で確定
ということになります。

No.2552Dengan kesaktian Indukmu3月15日 14:20…

引用して返信編集・削除(未編集)

申し遅れました。
決定木を求めてほしかったんです。
下記の図のような。
分割統治戦略で二分木を作りそれぞれの枝において分析に必要な情報ビットが過度に大きくならないように。

No.2599Dengan kesaktian Indukmu4月10日 22:20…

引用して返信編集・削除(未編集)

十進法で表記された数
N＝a10^n+b10^n-1++c10+d≡０(mod p) pは、7より大きな素数のとき、
a10^(n-1)＋+b10^(n-2)+…+cーXd≡０(mod p)となるように、
ｐ進体で、Xを選ぶことができる。
10を、両辺にかけても、
a10^n+b10^n-1++c10-10Xd≡０(mod p)
-10X≡1となるように、Ｘを選べばよい。
そうすると、元の式に戻ります。ｘの値は、Ｐによって異なり,以下
P X
7 2
11 1
13 9
17 5
19 17
23 16
29 26
31 3
37 11
41 4
43 30
47 14
53 37

73 51
縦書きで失礼します。
足すか、引くかどちらでも
７３＝５１＋22なので、２２≡ー51（mod73)
桁数を一個ずつ下げていくので、計算回数が増えます。

大きな数の場合、四ケタずつ区切り、四つ数の、奇数番目の和と偶数番目の和を
引いて73で、割れる時、７３で、割り切れ、
同じく引いた結果が、１３７で、割り切れる時、１３７で割り切れることが、
分かりました。
１000１＝１３７×７３
７，１１，１３のときは、３ケタずつですが。
指摘を受けて、修正しました。

素数5以上の素数p1ならその数を末尾に持つものの中で次の素数p2で割り切るものが必ず存在する。
p1=5なら
15,25,35,45,･･･,105,・・・,175,･････
などが候補で、この中で次の素数ｐ２＝７で割り切れるのは
35,105,175,245,315,･･･等が見つかる。
そこでこの中の最小値の35に注目する。

p1=7ならp2=11で割り切れるものとして
77,187,297,407,･････なので77を選ぶ。

こうして各素数p1に対する末尾にp1を持ち、しかも次の素数p2で割り切れる最小の整数が取れて行く。
こうして見つかる最小の整数の和が
5≦p1≦100000
の範囲で何になるかを求めて下さい。

一般化されたグラスマン数について、英語版のWikipedia(https://en.wikipedia.org/wiki/Grassmann_number)のGeneralisationsの項で記載があります。
グラスマン数には、反可換性といって、2つのグラスマン数θ1,θ2についてθ1θ2+θ2θ1=0が成り立ち、特にグラスマン数にはθ^2＝0という冪零性があります。n個のグラスマン数から成るグラスマン代数では2^n個の基底が含まれ、2^n×2^n行列で表現されます。
一般化されたグラスマン数は、θ^N＝0(N>2)で、θ_{i1},θ_{i2},...,θ_{iN}の積の全ての順列の総和についてθ_{i1}θ_{i2}...θ_{iN}＋θ_{iN}θ_{i1}θ_{i2}＋...＝0が成り立ちます。
Wikipediaでは特にθ^3＝0の場合が取り上げられていて、θ1,θ2の2つの一般化グラスマン数を含む代数は10×10行列で表現されるそうですが、θi^3＝0(i=1,2)の場合は、Wikipediaにあるθ1θ2^2+θ2θ1θ2+θ2^2θ1＝0という条件、および、θ2θ1^2+θ1θ2θ1+θ1^2θ2＝0という条件を課すだけでは基底が無限個になってしまい、(θ1θ2)^3＝(θ2θ1)^3＝0という条件をさらに課しても基底は23個となります。基底が10個となるには、Wikipediaにあるθ1θ2^2＝-(1/2)θ2θ1θ2＝θ2^2θ1という条件、および、θ2θ1^2＝-(1/2)θ1θ2θ1＝θ1^2θ2という条件をさらに課す必要があり、このとき、10個の基底は1,θ1,θ2,θ1^2,θ1θ2,θ2θ1,θ2^2,θ1^2θ2,θ2^2θ1,θ1^2θ2^2で表されます。
θ1θ2^2＝-(1/2)θ2θ1θ2＝θ2^2θ1という条件、および、θ2θ1^2＝-(1/2)θ1θ2θ1＝θ1^2θ2という条件はどのように導き出されたのでしょうか。
θi^3＝0(i=1,2)の場合の一般化グラスマン代数は10個の基底をもちますが、θi^3＝0(i=1,2,3)の場合、および、θi^4＝0(i=1,2)の場合は何個の基底があるのでしょうか。

同じ大きさの正六角形の板を100万個作っておく。
各板の中央に1から順番に100万までの数字が
書かれているものとする。
そのピースを次の様に並べて行くものとする。
1と書かれたピースをまず中央に置く。（上下に平行線がある様にしておく)
時計の12の位置から反時計周りに外側に2,3,4,5,6,7と書かれたピースを
辺に合わせて置いていく。
次に、また12時の位置から（2の番号のピースの上になる）同様に2周目と
なるように数字の8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19のピースを1週目
の各ピースの各辺に揃えて反時計周りに置いていく。
これを繰り返し100万個のピースがハチの巣状に置かれた巨大なものが
出来上がる。(想像だけにして下さい。実際作らないよう・・・)

これで各ピースはどれも周りを6つのピースが取り囲んだ状態（一番外側は例外となります。)
なので次に中央の数字とそれを取り囲んでいる6個のピースの数字の関係に着目する。
例
中央の数字が１
ならその周りには2,3,4,5,6,7がいる。
そこで各周りと中央の数字の差をみると
1,2,3,4,5,6なのでこの中には2,3,5の3個の素数が発生する。
次に中央の数字が2
ならその周りには
8,9,3,1,7,19がいることになるので、その差は(絶対値で処理)
6,7,1,1,5,17よりやはり7,5,17の3個の素数がとれる。
中央の数字が3
なら周りは
9,10,11,4,1,2の数字なので差は
6,7,8,1,2,1より今度は素数は2個となる。
いろいろ試しておれば現れる素数の数は最大が3個までで、それ以上は発生しない。

なお中央が8なら周りは
20,21,9,2,19,37の数字のピースなので差は
12,13,1,6,11,29でこれも3個の素数が発生している。


さてここで問題です。
中央のピースと回りの6個のピースとの差が3個の素数を発生させるものはこの巨大な
配列に何個存在しているでしょうか？
またその中で中央の数字も素数であるものはいくつあるでしょうか？
（上記の様に8は3個の素数は発生させるが8自体は素数でないのでカウントされません。)