😊出会いの泉😊

cotと同じで、π/2から引いた値ですね。

とりあえず
P = 2a^2/(1+(√2)sin(θ+π/4))
　＝2a^2/(1+(√2)cos(θ-π/4))
で合ってますかね？

# 何か記憶にあるな～と思ったのですが、ちょっと前に計算したのは正三角形の場合で、
# 一辺がaの正三角形のときは (√3/2)a^2/(1+2sin(θ+π/6)) ＝(√3/2)a^2/(1+2cos(θ-π/3))でした。
# 式が似てるので「正n角形」でもいけそうですね。
(追記)
# 2式から推測すると、正n角形の場合は
# (一辺がaの正n角形の面積)×2÷(1+cos(θ-π/n)/cos(π/n))
# （ただし0≦θ≦2π/n）
# ぐらいになるのかな？

ピタリ一致します。
最初座標に載せてがむしゃら結構複雑な計算を進めて手に入れたのが
P=a^2*(sinθ+cosθ-1)/(sinθ*cosθ)
でした。
この分子、分母にsinθ+cosθ+1を掛けて変形していくと
P1=2*a^2/(sinθ+cosθ+1)
の形となり、分母を合成することでらすかるさんの式となります。

なおsin,cosに使う角度をθに拘れば
P2=2*a^2*(sinθ-2*sin^2(θ/2))/sin(2*θ)
P3=a^2/cosθ*(1-sqrt((1-cosθ)/(1+cosθ)))
またtanだけを使って
P4=a^2*(1+tan^2(θ/2))/(1+tan(θ/2))
なども同じ数値を与えてくれました。

これから正n角形の場合を考察できるとは思ってもいませんでした。
ただこれを確認する手段が私には無理です。

正n角形の場合は上の式で正しかったようです。
sshmathgeom.private.coocan.jp/volume/volume27.html
↑こちらのページ(の例題3の下の方)に一辺が1の正n角形の場合の式が
n(sin(α/2))^2/(sinθ+sin(α+θ)+sinα)
（ただしαは内角すなわちπ-2π/n）
であると書かれており、これを変形すると
(n/2)cot(π/n)/(1+cos(θ-π/n)/cos(π/n))
となります。一方私の書いた式の「一辺がaの正n角形の面積」は
a=1とすると(n/4)cot(π/n)となりますので、ピタリ一致しました。

ちなみに私が正方形の場合の式を出した方法は
正方形の一辺を2として重なる部分の八角形の1/8の三角形の形を図形的に考察すると、
これはxy平面において
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=0 と y=x で作られる三角形
と同じであることがわかり、
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=0 との交点は (1/cos(θ/2),0)
→ 原点からの距離は 1/cos(θ/2)
xcos(θ/2)+ysin(θ/2)=1 と y=x との交点は (1/(cos(θ/2)+sin(θ/2)),1/(cos(θ/2)+sin(θ/2)))
→ 原点からの距離は √2/(cos(θ/2)+sin(θ/2))=1/cos(θ/2-π/4)
よって求める面積は
8・1/cos(θ/2)・1/cos(θ/2-π/4)・sin(π/4)・(1/2)
=2√2/(cos(θ/2)cos(θ/2-π/4))
これは正方形の一辺が2の場合なので、一辺がaならば
a^2/√2・1/(cos(θ/2)cos(θ/2-π/4))
=a^2/√2・1/(cos(θ-π/4)+cos(π/4))
=2a^2/(1+(√2)cos(θ-π/4))
のように導出しました。

60°を元にするより90°を元にした方が綺麗に書けますよね。
sinθ°=(i^(θ/90)-i^(-θ/90))/(2i)
cosθ°=(i^(θ/90)+i^(-θ/90))/2
60°や45°にしてわざと複雑にしてるのかな？

実行してない思いつきですが……

i行目の削除を「単位行列からi行目を消した行列S[i]を左から掛ける演算」として書き、j列目の削除も同様に、というのがとりあえず自然な発想に見えますよね。
adjの中に正方でない行列の積が入っちゃうからこの先が難しいかな？

n=3 の場合をごり押しで計算しました。
https://mathlog.info/articles/0kO5cJBKcTqurCc5NyzK

私はこの予想のきっかけとなった別の計算に戻りたいので、
この問題について多分これ以上考えないと思います。

境界線上が厳密には含まれないことは気にしないということでいいんですかね？

(1)
S = (25/2)π - (25/2)√3
鋭角三角形の場合、各辺を直径とする3つの円全ての内部になります。
よって、半径5、中心角π/3の扇形を3つ足して、1辺5の正三角形を2回引けばよいです。

(2)
手段は何を使ってもいいそうなので、計算方法を教えてchatGPTに計算してもらった結果、
S = (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*pi) - 3*sqrt(26)
= 11.0678
だそうで。（あまり信頼はしていない）

共に正解です。
(1)は何度も紙を折って実験していてやっとのことで気付けました。
特に(2)は自分で適当に数値を指定して、座標で三角形を配置しシコシコと計算を繰り返して
結構面倒な作業を組み合わせていきました。
てっきりこんな面倒な値を一つの式で表せるとは思ってもみなかったのですが、chatGTPでは
こんな返事も返してくるんですか？
まさにこの式を計算させてみたらあれだけ時間をかけてやっと辿り着いた値に小数第何位までも
ピタリと一致するではないですか！
恐るべしGTP
だれかこの公式を説明してくれませんか？

お、合ってましたか、chatGPTもなかなかやりますね。


折った後が六角形になるということは、元々の3つの辺それぞれ、一部が外周として残らねばなりません。

辺ABの一部が六角形でも辺として残る
⇔線分PAとPBの垂直二等分線が辺ABの外で交わる
⇔△PABの外心が辺ABの外にある
⇔∠APBが鈍角
⇔点Pが辺ABを直径とする円の内部にある
ということなので、各辺を直径とする円を3つ描いて、それら全ての内部かつ三角形の内部である領域が点Pの存在範囲です。

それらの3円すべての内部にある範囲は、辺が膨らんだ三角形モドキDEFみたいな形をしており、その3頂点D,E,Fは△ABCの各頂点から向かいの辺に引いた垂線の足の位置にあります。
△ABCが鋭角三角形の場合は、図形的に考えれば、三角形モドキDEFは膨らみ分まで△ABCの中に完全に収まります。

ということで、最終的に求めるべきは三角形モドキDEFの面積です。
これは
(i) △DEFの面積を出す（△ABCの1/4)
(ii) 辺DEから膨らんだ部分の面積を出す（扇形から二等辺三角形を引く）
(iii) 辺EFから膨らんだ部分の面積を出す
(iv) 辺FDから膨らんだ部分の面積を出す
(v) これら4つを合計する
で可能です。

(1)は自分でやり、(2)はこの手順をchatGPTに指示してやってもらいました。

> ということで、最終的に求めるべきは三角形モドキDEFの面積です。
> これは
> (i) △DEFの面積を出す（△ABCの1/4)
> (ii) 辺DEから膨らんだ部分の面積を出す（扇形から二等辺三角形を引く）
> (iii) 辺EFから膨らんだ部分の面積を出す
> (iv) 辺FDから膨らんだ部分の面積を出す
> (v) これら4つを合計する
> で可能です。

このやり方で自分なりに求めた時、あえて一つの式で表すと

gp > 748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))
%577 = 11.0677912894652773427086973960
但し
c1=acos(-17/225);
c2=acos(647/1225);
c3=acos(391/441);
とします。
なおGTPからの式
gp > (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)
%578 = 11.0677912894652773427086973960
で全く同じ値が出ます。

膨らんだ部分を出す時に角度が公式に使われている∠A,∠B,∠C
の部分だけで済まされているのが不思議でなりません。

まず、sin(c1)などは、cos(c1)がわかっているのだから求められますね。

acosの中身の違いは、1-2*(5/21)^2 = 391/441などの関係が成り立つことから、おそらく「扇形の中心角を半分にして直角三角形で求める」か「余弦定理で求める」かの違いが出ているのかなと思います。

あとは、c1+c2+c3=πになる関係を使って、chatGPTは謎の変形を最後にしたようですね。
π消すとかすればいいのに。

748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))･･･････････(*)
ただし
c1=acos(-17/225);
c2=acos(647/1225);
c3=acos(391/441);

(1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)･････(**)



(*)から(**)を導く
{*)式での
c1=acos(-17/225)=acos(1-2*(11/15)^2)=acos(-(2*(11/15)^2-1))=Pi-acos(2*(11/15)^2-1)･･･①
ここで△ABCでからcos(C)=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)=(10^2+9^2-7^2)/(2*10*9)=11/15
よって C=acos(11/15)
ここに2倍角の公式で
cos(2*θ)=(cos(θ))^2-1 より①は
c1=Pi-acos(cos(2*C))=Pi-2*C
また
sin(c1)=sin(Pi-2*C)=sin(2*C)
これから
c1-sin(c1)=Pi-2*C-sin(2*C)
同様にして
c2-sin(c2)=Pi-2*B-sin(2*B)
c3-sin(c3)=Pi-2*A-sin(2*A)

以上から
(*)=748/735*sqrt(26)+1/8*(49*(Pi-2*C-sin(2*C))+81*(Pi-2*B-sin(2*B))+100*(Pi-2*A-sin(2*A)))
=748/735*sqrt(26)+1/8*(230*Pi-49*(2*C+sin(2*C))-81*(2*B+sin(2*B))-100*(2*A+sin(2*A)))
=748/735*sqrt(26)+115/4*Pi-230/4*Pi+230/4*Pi+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)+115/4*Pi-230/4*Pi+460/8*Pi+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26) -115/4*Pi+460/8*(A+B+C)+1/8*(-98*C-162*B-200*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/8*((460-98)*C+(460-162)*B+(460-200)*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/8*(362*C+298*B+260*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
=748/735*sqrt(26)-115/4*Pi+1/4*(181*C+149*B+130*A)-1/8*(49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A))
さていよいよ最後の( )の部分は
49*sin(2*C)+81*sin(2*B)+100*sin(2*A)
=98*sin(C)*cos(C)+162*sin(B)*cos(B)+200*sin(A)*cos(A)
=98*sqrt(1-(11/15)^2)*11/15+162*sqrt(1-(17/35)^2)*17/35+200*sqrt(1-(5/21)^2)*(5/21)
=98*2/15*sqrt(26)*11/15+162*6/35*sqrt(26)*17/35+200*4/21*sqrt(26)*5/21
=(98*2*11/(15*15)+162*6*17/(35*35)+200*4*5/(21*21))*sqrt(26)
=23624/735*sqrt(26)
従ってsqrt(26)の部分を整理すると
(748/735-1/8*23624/735)*sqrt(26)=-3*sqrt(26)
これを改めて整理すれば
(*)=1/4*(130*A+149*B+181*C-115*Pi)-3*sqrt(26)
=1/4*(130*acos(5/21)+149*acos(17/35)+181*acos(11/15)-115*Pi)-3*sqrt(26)=(**)

やっと理解できました。

多分うまい解き方があるのだろうと思いますが、
全く思いつかなかったのでゴリゴリ計算しました。

BE：ED=a：bのときt=a/(a+b)とすると
AE：EC=7t^2-4t+1：7t(1-t)
これより
(四角形ABCD)={(3t+1)/(7t^2-4t+1)}△ABD

ある角がθ、対辺がa、残る2辺の比がb：cである三角形の面積は
S=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}
であることから△ABD=3√3/14

よって四角形ABCDの面積は
(3√3)(3t+1)/{14(7t^2-4t+1)}
なので
(1)t=3/7を代入して6√3/7
(2)t=2/5を代入して165√3/182

解答ありがとうございます。
2つとも同じ値になっていました。
自分のやり方に較べ、遥かに簡略な方法でらすかるさんは求められています。

「簡略な方法」に見えるのは、おそらく「途中計算の大半を省略」したためかと思います。
公式っぽいものを出すだけで大変手間がかかっています。

△ABCにおいてAB：ACがb：cであるとし、∠A=θ、BC=aとする。
AB=bk、AC=ckとすると余弦定理により
a^2=b^2k^2+c^2k^2-2bck^2cosθ
これをkについて解くと
k=a/√(b^2+c^2-2bccosθ)
本問の場合はa=√3、b=1、c=2、θ=120°なので代入してkを求めると
k=√3/√(1+4+2)=√(3/7)=√21/7
∴AB=bk=√21/7、AC=ck=2√21/7
また
各辺の2乗は
a^2
(bk)^2=a^2b^2/(b^2+c^2-2bccosθ)
(ck)^2=a^2c^2/(b^2+c^2-2bccosθ)
簡略化のためt^2=b^2+c^2-2bccosθとすると
(bk)^2=a^2b^2/t^2
(ck)^2=a^2c^2/t^2
これを
# 各辺の長さの2乗をp,q,rとすると
# 三角形の面積はS=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
という変形ヘロンの公式に代入して整理すると
S=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
(途中計算省略)
=a^2/(4t^2)*√{(2b^2+2c^2-t^2)t^2-(b^2-c^2)^2}
=a^2/(4(b^2+c^2-2bccosθ))*√{(2b^2+2c^2-(b^2+c^2-2bccosθ))(b^2+c^2-2bccosθ)-(b^2-c^2)^2}
(途中計算省略)
=(a^2bcsinθ)/{2(b^2+c^2-2bccosθ)}
=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}

ここまでで
AB=√21/7、AC=2√21/7、S=(a^2sinθ)/{2(b/c+c/b-2cosθ)}
が得られました。

次にこれを座標に当てはめます。
円をx^2+y^2=1とし、
B(-√3/2,1/2)
D(√3/2,1/2)
Bを中心として半径が√(3/7)である円
(x+√3/2)^2+(y-1/2)^2=3/7
とx^2+y^2=1の交点を求めると
A(-3√3/14,13/14)
Eはt=0のときBに一致、t=1のときDに一致するように
E=B+t(D-B)=((t-1/2)√3,1/2)
とします。

Aを通る直線の式を
y=m(x+3√3/14)+13/14
とおくとy軸に平行な直線を表せず問題があるので
x=m(y-13/14)-3√3/14
とします。
これにE((t-1/2)√3,1/2)を代入してmを求めると
m=-(7t-2)/√3
よって直線の式は
x=-{(7t-2)/√3}(y-13/14)-3√3/14
=-(√3/42){9+(7t-2)(14y-13)}
これをx^2+y^2=1に代入してxを消去し、yの式を導出すると
(1/588){9+(7t-2)(14y-13)}^2+y^2=1
(途中計算省略)
28(7t^2-4t+1)y^2-4(7t-2)(13t-5)y+13(13t^2-10t+1)=0
∴y=13/14, (13t^2-10t+1)/{2(7t^2-4t+1)}
AEのy座標の差は13/14-1/2=3/7
ECのy座標の差は1/2-(13t^2-10t+1)/{2(7t^2-4t+1)}=3t(1-t)/(7t^2-4t+1)
よって
AE：EC=3/7：3t(1-t)/(7t^2-4t+1)
=(7t^2-4t+1)：7t(1-t)
なので
AE：AC=(7t^2-4t+1)：(7t^2-4t+1)+7t(1-t)
=7t^2-4t+1：3t+1
となり
(四角形ABCD)={(3t+1)/(7t^2-4t+1)}△ABC
が言えました。

これ、そんなにややこしいですかね？

円に内接する四角形ABCDとその対角線の交点Eについて、
AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
が成り立ちます。
（証明は三角形の相似で一瞬）

BC*BA/BE = DA*DC/DE
の部分を使います。

事前に正弦定理で BD = √3 は出しておきます。

(1)
AB = x とすると、AD = 2x
CB = 3y とすると、CD = 2y
△ABDと△CBDに注目して、
余弦定理より 7x^2 = 7y^2 = 3
よって求める面積は S = (x^2 + 3y^2) * √3/2 = 6√3/7

(2)
AB = x とすると、AD = 2x
CB = 4y とすると、CD = 3y
△ABDと△CBDに注目して、
余弦定理より 7x^2 = 13y^2 = 3
よって求める面積は S = (x^2 + 6y^2) * √3/2 = 165√3/182

やはり簡単な解き方があったのですね。
全く思いつきませんでした。

> 円に内接する四角形ABCDとその対角線の交点Eについて、
> AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
> が成り立ちます。
> （証明は三角形の相似で一瞬）

が面白く、この値が一体どんな値を取るのかを
(1)EはBDを3:4に内分する。
(2)EはBDを2:3に内分する。
の場合について調べると
(1)なら√3
(2)なら10*√(3/91)
が対応した。

そこでこの円に内接する四角形での設定を一般化して
半径Rの円に内接する四角形ABCDで
AD=k*AB,　∠BAD=θ
対角線AC,BDの交点をEとするとき
BE:ED=1:t
である時の
AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
はどんな値を取るのかを求めることをしてみた。
その結果
2*k*(t+1)*R*sin(θ)/√(k^2+t^2+2*k*t*cos(θ))*(k^2-2*k*cos(θ)+1))
が上記の各比が一定の値となるものとなるようだ。

円に内接する四角形にトレミーの定理や、DD++氏が指摘した4つの各組での比の相等
などある意味美しい関係にバランスが保たれている姿が見れました。