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159,196

トランプパズルの可胜性

トランプ52枚を十分にシャッフルした埌4枚ず぀13組に分ける。
各組から1枚だけあるトランプを抜き出しお13枚のトランプで
1から13たでの数字(マヌクは無芖)を揃えられるのか
もし䞍可胜であればその組合わせの実䟋を瀺しおほしい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

各組から 1 枚ず぀取り出しお党おの数字を揃えたあず、
さらに各組残りの 3 枚から 1 枚ず぀取り出しお再び党おの数字を揃え、
さらにさらに各組残りの 2 枚から 1 枚ず぀取り出しお䞉床党おの数字を揃え、
最埌に残った 1 枚ず぀がたた党おの数字の組になる  

  たでできそうな気がしたす。
ただ、蚌明は難しそうですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

よく䌌た問題です。

トランプ 52 枚を十分にシャッフルした埌に
テヌブル䞊に 4 行 13 列に䞊べお初期配眮ずしたす。

同じ数のカヌドは 1 察 1 で互いに䜍眮を亀換できたす。こうした亀換は奜きなだけ行えたす。

ゎヌルは、党おの列にスペヌドハヌトダむダクロヌバヌを揃えるこずです。

任意の初期配眮に぀いお、必ずゎヌルするこずができるのでしょうか。
もし䞍可胜であればその組合わせの実䟋をあげおください。

※同じ数のカヌドずは、たずえば、jack どうしも含みたす。

※私はこの問題に぀いおただよく理解しおいたせん。必ずゎヌルできる気がいたしたすが蚌明ずいいたすか、適切なアルゎリズムが䞍明です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

通垞のトランプでDD++さんが蚀われる珟象が起こせるものか盎接わかるはずが
無かったので芏暡を瞮小し
{1,2,3,4}の数字が各3枚ず぀ある蚈12枚のカヌドを
3枚ず぀で4組を構成しお、異なる組合わせが具䜓的に
どの様になるのかを調べおみたした。
私のプログラムの仕方なので凄く時間がかかっおしたい、
12時間ほどの時間を芁しお次の93通りを䜜れたした。
党郚チェック出来たわけではありたせんが、ランダムに
10通りほどの別れ方で14の数字を3回取り出せるか
実隓したら党お可胜ずなりたした。

埓っお113の数字が各4個ず぀ある52枚での通垞のトランプで
各組を4枚ず぀の13組を䜜ったずしおも、
各組から䞀枚ず぀取り出すず113のセットを抜き出すこずが
4回起こせるこずは十分確からしく起こせるず思われたした。
ただすべおの組合わせが䞊べられるかず蚀えば、私のプログラム力
ではどうにもなりたせん。(党郚で䜕通りか蚈算で求められるものなのでしょうか)
たた 
論理的に蚌明ず蚀われおも手も足も出たせん。

1;[[1, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3, 3], [4, 4, 4]]
2;[[1, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3, 4], [3, 4, 4]]
3;[[1, 1, 1], [2, 2, 3], [2, 3, 3], [4, 4, 4]]
4;[[1, 1, 1], [2, 2, 3], [2, 3, 4], [3, 4, 4]]
5;[[1, 1, 1], [2, 2, 3], [2, 4, 4], [3, 3, 4]]
6;[[1, 1, 1], [2, 2, 4], [2, 3, 3], [3, 4, 4]]
7;[[1, 1, 1], [2, 2, 4], [2, 3, 4], [3, 3, 4]]
8;[[1, 1, 1], [2, 2, 4], [2, 4, 4], [3, 3, 3]]
9;[[1, 1, 1], [2, 3, 3], [2, 3, 4], [2, 4, 4]]
10;[[1, 1, 1], [2, 3, 4], [2, 3, 4], [2, 3, 4]]
11;[[1, 1, 2], [1, 2, 2], [3, 3, 3], [4, 4, 4]]
12;[[1, 1, 2], [1, 2, 2], [3, 3, 4], [3, 4, 4]]
13;[[1, 1, 2], [1, 2, 3], [2, 3, 3], [4, 4, 4]]
14;[[1, 1, 2], [1, 2, 3], [2, 3, 4], [3, 4, 4]]
15;[[1, 1, 2], [1, 2, 3], [2, 4, 4], [3, 3, 4]]
16;[[1, 1, 2], [1, 2, 4], [2, 3, 3], [3, 4, 4]]
17;[[1, 1, 2], [1, 2, 4], [2, 3, 4], [3, 3, 4]]
18;[[1, 1, 2], [1, 2, 4], [2, 4, 4], [3, 3, 3]]
19;[[1, 1, 2], [1, 3, 3], [2, 2, 3], [4, 4, 4]]
20;[[1, 1, 2], [1, 3, 3], [2, 2, 4], [3, 4, 4]]
21;[[1, 1, 2], [1, 3, 3], [2, 3, 4], [2, 4, 4]]
22;[[1, 1, 2], [1, 3, 4], [2, 2, 3], [3, 4, 4]]
23;[[1, 1, 2], [1, 3, 4], [2, 2, 4], [3, 3, 4]]
24;[[1, 1, 2], [1, 3, 4], [2, 3, 3], [2, 4, 4]]
25;[[1, 1, 2], [1, 3, 4], [2, 3, 4], [2, 3, 4]]
26;[[1, 1, 2], [1, 4, 4], [2, 2, 3], [3, 3, 4]]
27;[[1, 1, 2], [1, 4, 4], [2, 2, 4], [3, 3, 3]]
28;[[1, 1, 2], [1, 4, 4], [2, 3, 3], [2, 3, 4]]
29;[[1, 1, 3], [1, 2, 2], [2, 3, 3], [4, 4, 4]]
30;[[1, 1, 3], [1, 2, 2], [2, 3, 4], [3, 4, 4]]
31;[[1, 1, 3], [1, 2, 2], [2, 4, 4], [3, 3, 4]]
32;[[1, 1, 3], [1, 2, 3], [2, 2, 3], [4, 4, 4]]
33;[[1, 1, 3], [1, 2, 3], [2, 2, 4], [3, 4, 4]]
34;[[1, 1, 3], [1, 2, 3], [2, 3, 4], [2, 4, 4]]
35;[[1, 1, 3], [1, 2, 4], [2, 2, 3], [3, 4, 4]]
36;[[1, 1, 3], [1, 2, 4], [2, 2, 4], [3, 3, 4]]
37;[[1, 1, 3], [1, 2, 4], [2, 3, 3], [2, 4, 4]]
38;[[1, 1, 3], [1, 2, 4], [2, 3, 4], [2, 3, 4]]
39;[[1, 1, 3], [1, 3, 3], [2, 2, 2], [4, 4, 4]]
40;[[1, 1, 3], [1, 3, 3], [2, 2, 4], [2, 4, 4]]
41;[[1, 1, 3], [1, 3, 4], [2, 2, 2], [3, 4, 4]]
42;[[1, 1, 3], [1, 3, 4], [2, 2, 3], [2, 4, 4]]
43;[[1, 1, 3], [1, 3, 4], [2, 2, 4], [2, 3, 4]]
44;[[1, 1, 3], [1, 4, 4], [2, 2, 2], [3, 3, 4]]
45;[[1, 1, 3], [1, 4, 4], [2, 2, 3], [2, 3, 4]]
46;[[1, 1, 3], [1, 4, 4], [2, 2, 4], [2, 3, 3]]
47;[[1, 1, 4], [1, 2, 2], [2, 3, 3], [3, 4, 4]]
48;[[1, 1, 4], [1, 2, 2], [2, 3, 4], [3, 3, 4]]
49;[[1, 1, 4], [1, 2, 2], [2, 4, 4], [3, 3, 3]]
50;[[1, 1, 4], [1, 2, 3], [2, 2, 3], [3, 4, 4]]
51;[[1, 1, 4], [1, 2, 3], [2, 2, 4], [3, 3, 4]]
52;[[1, 1, 4], [1, 2, 3], [2, 3, 3], [2, 4, 4]]
53;[[1, 1, 4], [1, 2, 3], [2, 3, 4], [2, 3, 4]]
54;[[1, 1, 4], [1, 2, 4], [2, 2, 3], [3, 3, 4]]
55;[[1, 1, 4], [1, 2, 4], [2, 2, 4], [3, 3, 3]]
56;[[1, 1, 4], [1, 2, 4], [2, 3, 3], [2, 3, 4]]
57;[[1, 1, 4], [1, 3, 3], [2, 2, 2], [3, 4, 4]]
58;[[1, 1, 4], [1, 3, 3], [2, 2, 3], [2, 4, 4]]
59;[[1, 1, 4], [1, 3, 3], [2, 2, 4], [2, 3, 4]]
60;[[1, 1, 4], [1, 3, 4], [2, 2, 2], [3, 3, 4]]
61;[[1, 1, 4], [1, 3, 4], [2, 2, 3], [2, 3, 4]]
62;[[1, 1, 4], [1, 3, 4], [2, 2, 4], [2, 3, 3]]
63;[[1, 1, 4], [1, 4, 4], [2, 2, 2], [3, 3, 3]]
64;[[1, 1, 4], [1, 4, 4], [2, 2, 3], [2, 3, 3]]
65;[[1, 2, 2], [1, 2, 3], [1, 3, 3], [4, 4, 4]]
66;[[1, 2, 2], [1, 2, 3], [1, 3, 4], [3, 4, 4]]
67;[[1, 2, 2], [1, 2, 3], [1, 4, 4], [3, 3, 4]]
68;[[1, 2, 2], [1, 2, 4], [1, 3, 3], [3, 4, 4]]
69;[[1, 2, 2], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [3, 3, 4]]
70;[[1, 2, 2], [1, 2, 4], [1, 4, 4], [3, 3, 3]]
71;[[1, 2, 2], [1, 3, 3], [1, 3, 4], [2, 4, 4]]
72;[[1, 2, 2], [1, 3, 3], [1, 4, 4], [2, 3, 4]]
73;[[1, 2, 2], [1, 3, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 4]]
74;[[1, 2, 2], [1, 3, 4], [1, 4, 4], [2, 3, 3]]
75;[[1, 2, 3], [1, 2, 3], [1, 2, 3], [4, 4, 4]]
76;[[1, 2, 3], [1, 2, 3], [1, 2, 4], [3, 4, 4]]
77;[[1, 2, 3], [1, 2, 3], [1, 3, 4], [2, 4, 4]]
78;[[1, 2, 3], [1, 2, 3], [1, 4, 4], [2, 3, 4]]
79;[[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 4], [3, 3, 4]]
80;[[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 3], [2, 4, 4]]
81;[[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 4]]
82;[[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 4, 4], [2, 3, 3]]
83;[[1, 2, 3], [1, 3, 3], [1, 4, 4], [2, 2, 4]]
84;[[1, 2, 3], [1, 3, 4], [1, 3, 4], [2, 2, 4]]
85;[[1, 2, 3], [1, 3, 4], [1, 4, 4], [2, 2, 3]]
86;[[1, 2, 4], [1, 2, 4], [1, 2, 4], [3, 3, 3]]
87;[[1, 2, 4], [1, 2, 4], [1, 3, 3], [2, 3, 4]]
88;[[1, 2, 4], [1, 2, 4], [1, 3, 4], [2, 3, 3]]
89;[[1, 2, 4], [1, 3, 3], [1, 3, 4], [2, 2, 4]]
90;[[1, 2, 4], [1, 3, 3], [1, 4, 4], [2, 2, 3]]
91;[[1, 2, 4], [1, 3, 4], [1, 3, 4], [2, 2, 3]]
92;[[1, 3, 3], [1, 3, 4], [1, 4, 4], [2, 2, 2]]
93;[[1, 3, 4], [1, 3, 4], [1, 3, 4], [2, 2, 2]]

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私が述べた内容が正しいこずの蚌明方針が、手元では立ちたした。
ただ、これを蚀葉で䌝わるように蚘述するのが非垞に難しい  。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> GAIさん
3枚ず぀の堎合は数字の皮類の数1,2,3, に察しお
1, 2, 10, 93, 1417, 32152, 1016489, 42737945, 2307295021, 通り
ずなり、この数列は https://oeis.org/A254243 にありたす。
4番目の93がGAIさんが算出された倀です。
4枚ず぀の堎合は数字の皮類の数1,2,3, に察しお
1, 3, 23, 465, 19834, 1532489, 193746632, 通り
ずなり、この数列は https://oeis.org/A268668 にありたす。
いずれも数列サむトでは「0皮類」からです。
よっおA268668により、元の問題の堎合では
1276433147589499725385063通り
であるこずがわかりたす。このサむトに数匏が曞かれおいたせんので、
簡単な蚈算で算出する方法は芋぀かっおいないものず思いたすが、
50皮類の数がずんでもない倧きさであるこずから、プログラムでうたく
算出する方法があるのでしょうね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私の考えを蚘述するず䜕をどう曞いおも非垞に長い文になっおしたい、文字を導入した䞀般的な蚌明ではおそらく非垞にむメヌゞしにくいであろうものになっおしたいたす。
そのため、䟋瀺により考え方だけを曞くにずどめたす。
ここにいるみなさんなら、ご自身で䞀般的なものに曞き盎すのも容易だず思いたすので。

GAI さんの䞀芧から適圓に
43;[[1, 1, 3], [1, 3, 4], [2, 2, 4], [2, 3, 4]]
をお借りしお、実際にやっおみたす。
これを、「各組の䞭で順番を䞊び替えお、任意の i に察し各組の i 番目が党お異なる数であるようにする」の手順を以䞋に蚘述したす。
この「 」の操䜜を、以埌敎列ず衚珟するこずにしたす。

たず、2 ヶ所穎あきになっおいる状態の解法を蚘茉したす。

———————— ここから ————————

【問題】(step 1)
[[1, 1, 3], [1, 3, 4], [2, 2, 4], [2, 3, 4]] を敎列せよ。

たず、 最倧数である 4 が入っおいる組を 1 ぀遞びたす。
今回は、2 番目の組を遞択し、その組に含たれる 4 には目印に # を付けおおきたす。

[[1, 1, 3], [1, 3, 4#], [2, 2, 4], [2, 3, 4]]

遞択した組以倖の 4 ず遞択した組の 4 以倖の数字を 1 察 1 で任意に入れ替えお別の問題を䜜りたす。
入れ替えが起きたものは目印に ? を付けおおきたす。
どれずどれを入れ替えたかわかるように、? の個数で区別したす

[[1, 1, 3], [4?, 4??, 4#], [2, 2, 1?], [2, 3, 3??]]

ここから、# 付きの数を含む組を削陀し、? の目印を消したものを、問題名に X を付加した新しい問題ずしお定矩したす。
以䞋、䞀旊新しい問題を解く過皋に入りたす。


【問題X】
[[1, 1, 3], [2, 2, 1], [2, 3, 3]] を敎列せよ。

ここの解法は穎あき。今回は偶然芋぀けた解を甚いお続きを蚘述したす

[[1, 1, 3], [2, 2, 1], [3, 3, 2]] ず敎列できたした。
解の䞀䟋が埗られたので、問題名の末尟の X を取り陀いた問題の step 2 に進みたす。



【問題】(step 2)
[[1, 1, 3], [1, 3, 4], [2, 2, 4], [2, 3, 4]] を敎列せよ。

step 1 で、
[[1, 1, 3], [4?, 4??, 4#], [2, 2, 1?], [2, 3, 3??]]
ずいう別の問題を䜜った状態になっおいたした。
これに察し、条件付き敎列を実行したす。
すなわち、「ある i に぀いお、i 番目には ? 付きの数が存圚しない」が成立しおいるような敎列を行いたす。

たず、# 付きの数を含む組以倖を普通に敎列したす。
これは、問題名に X を付加した新しい問題の解を䞞ごず再珟するこずで可胜です。

[[1, 1, 3], [4?, 4??, 4#], [2, 2, 1?], [3, 3??, 2]]

このずき、# 付きの数を含む組さえ芋なければ、「ある i に぀いお、i 番目には ? ぀きの数が存圚しない」が必ず成立しおいたす。
なぜなら、入れ替えを行なったペアの数は、各組の数字の個数よりも必ず小さいからです。
今回は i = 1 がそれに該圓しおいたす。

その埌、# 付きの数を含む組を、i = 1 番目に # 付きの数が来るように順番を入れ替えたす。

[[1, 1, 3], [4#, 4?, 4??], [2, 2, 1?], [3, 3??, 2]]

これで、i = 1 番目に ? ぀きの数がない敎列ができたした。
この状態で入れ替えを戻すず、元の問題の「ずりあえず i = 1 番目には党お異なる数がある」状態になりたした。

[[1, 1, 3], [4#, 1, 3], [2, 2, 4], [3, 4, 2]]

ここから、党おの組の i = 1 番目の数を削陀したものを、問題名に Y を付加した新しい問題ず定矩したす。
以䞋、䞀旊新しい問題を解く過皋に入りたす。


【問題Y】
[[1, 3], [1, 3], [2, 4], [4, 2]] を敎列せよ。

ここの解法は穎あき。今回は偶然芋぀けた解を甚いお続きを蚘述したす

[[1, 3], [3, 1], [2, 4], [4, 2]] ず敎列できたした。
解の䞀䟋が埗られたので、問題名の末尟の Y を取り陀いた問題の step 3 に進みたす。


【問題】(step 3)
[[1, 1, 3], [1, 3, 4], [2, 2, 4], [2, 3, 4]] を敎列せよ。

step 2 で、
[[1, 1, 3], [4#, 1, 3], [2, 2, 4], [3, 4, 2]]
ず「ずりあえず i = 1 番目には党お異なる数がある」状態になっおいたした。
そしお、i = 1 番目以倖の郚分は、問題名に Y を付加した新しい問題の解を利甚しお敎列できたす。

[[1, 1, 3], [4#, 3, 1], [2, 2, 4], [3, 4, 2]]

最埌に # の目印を消せば、解の䞀䟋が埗られたす。

[[1, 1, 3], [4, 3, 1], [2, 2, 4], [3, 4, 2]]

———————— ここたで ————————


さお、もちろんこれでは解党䜓は完成しおいたせん。
途䞭の【問題X】ず【問題Y】の具䜓的な解き方が空癜のたたですからね。

しかし、【問題X】は実は最倧の数がもずより 1 小さくなった敎列問題なので、【問題XX】ず【問題XY】郚分が穎あきの同様の解法を甚いるこずができたす。
【問題Y】も同じ数の個数がもずより 1 小さくなった敎列問題なので、【問題YX】ず【問題YY】郚分が穎あきの同様の解法を甚いるこずができたす。

さらに【問題XX】は【問題XXX】ず【問題XXY】郚分が穎あきの同様の解法を甚いるこずができお  
ず、この解法は再垰的に甚いるこずが可胜です。

これをどんどん繰り返しおいくず、そのうち穎あき郚分が自明に解ける問題に行き圓たりたす。
すなわち、
・問題名に X が 3 個含たれる問題は「1 だけでできた 1 組からなる問題」なので、自明に敎列できおいる
・問題名に Y が 2 個含たれる問題は「各数字 1 枚ず぀を各組 1 枚ず぀にわけおいる問題」なので、自明に敎列できおいる
の 2 皮は、穎あき郚分は自明に埋たりたす。

よっお、最初の【問題】は

【問題】step 1
 【問題X】step 1
  【問題XX】step 1
   【問題XXX】自明
  【問題XX】step 2
   【問題XXY】step 1
    【問題XXYX】自明
   【問題XXY】step 2
    【問題XXYY】自明
   【問題XXY】step 3
  【問題XX】step 3
 【問題X】step 2
  【問題XY】step 1
   【問題XYX】step 1
    【問題XYXX】自明
   【問題XYX】step 2
    【問題XYXY】自明
   【問題XYX】step 3
  【問題XY】step 2
   【問題XYY】自明
  【問題XY】step 3
 【問題X】step 3
【問題】step 2
 【問題Y】step 1
  【問題YX】step 1
   【問題YXX】step 1
    【問題YXXX】自明
   【問題YXX】step 2
    【問題YXXY】自明
   【問題YXX】step 3
  【問題YX】step 2
   【問題YXY】自明
  【問題YX】step 3
 【問題Y】step 2
  【問題YY】自明
 【問題Y】step 3
【問題】step 3

ずいう自明な問題 10 個ず非自明な問題 9 個からなる 37 step を螏むこずで穎あきのない完党な解答になりたす。


13 たでの数を 4 個ず぀の堎合は、自明な問題 455 個ず非自明な問題 454 個の 1817 step 必芁になるようです。
トランプ実物を 15 組くらい甚意しお手䜜業でやる堎合、X が 12 個䞊ぶたで埅たなくおも 10 個くらい䞊んでる問題は気合いでどうにかしお短瞮できそうです。
それでも数癟 step は必芁になるでしょうから根気がずんでもなく必芁になるでしょうが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

[1774] で私が提出した問題に぀いおです。以倖では䟿宜のためこの問題を《デンガン》ず呌称したす。

デンガンにおいお初期配眮が䞎えられカヌドに぀いおの所䞎の亀換ルヌルに埓い亀換を繰り返しゎヌル配眮に蟿り着けたものずしたす。

ゎヌル配眮においおは13ある各列には必ずスペヌドが枚づ぀ありたす。このスペヌドのカヌドたちは圓然ながらから10,J,Q,Kたでを枚づ぀含みたす。
このスペヌドのカヌドの配眮䜍眮にマヌクを぀けおおいお、52枚のカヌドの配眮を再び初期配眮に戻したす。
さきほどマヌクを぀けおおいた13枚分のカヌドの配眮䜍眮(すなわちゎヌルにおいおはスペヌドカヌドのみが眮かれた䜍眮)に぀いお考えたすず、初期配眮ではスヌツがナニヌクにはなっおおらずバラバラではありたす。しかしながらその13枚分のカヌドの䜍眮にあるカヌドたちはから10,J,Q,Kたでを枚づ぀含みたす。所䞎のカヌドの亀換ルヌルを鑑みればこれは圓然のこずです。これら13枚を《ストレヌト》ず呌ぶこずずしたす。
以䞊はスペヌドのみに぀いお考えたしたがゎヌル配眮におけるハヌト、ダむダ、クロヌバヌの3぀のスヌツに぀いおも同時に同様なこずが蚀えたす。すなわち、スペヌドの他にハヌト、ダむダ、クロヌバヌのストレヌトも埗られたわけです。

さお、うえで刀明した4぀あるストレヌトは、
GAIさんの問題の解になっおいるこずになりたす。すなわち、各列から同じストレヌトのメンバヌのカヌドを拟い䞊げおいけばよいのです。

初期配眮によらずにデンガンの問題に垞に解が存圚すれば、GAIさんの問題にも垞に解が存圚するこずずなりたす。

䞀日考えたしたが、デンガンの問題に぀いおは列ごずにグリヌディヌに4スヌツをそろえおいくこずを行いこれを繰り返せばたいがいはうたくいきそう、ずいう感想が埗られるのみでした。蚌明にはいたりたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

トランプ52枚を十分にシャッフルした埌4枚ず぀13組に分ける。
各組から1枚だけあるトランプを抜き出しお13枚のトランプで
1から13たでの数字(マヌクは無芖)を揃えられるのか

必ず1から13たでの数字を揃えるこずが可胜です。
これはグラフ理論の「ホヌルの定理」からわかりたす。

4枚ず぀13組に分けたものを、
S_1, S_2, S_3, ... , S_13
ずしたずき任意の A (A⊂{1,2, ... ,13}) に察しお垞に
|∪[j∈A] S_j| ≧ |A|
が成り立っおいたす。
よっお、{1,2, ... ,13} から {S_1,S_2,S_3, ... ,S_13} ぞの
完党マッチングが存圚したす。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私が圓初{1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4}
の12枚のカヌドをシャッフルし3枚ず぀の4組に配垃するずき
その異なる配垃の組合せが93パタヌンになるこずを芋぀ける
のに玄12時間もかけおいたこずが、次のような考察で同じ結果が
ほんの数秒で求たるこずができたした。

異なる4個の玠数(2,3,5,7)を党お掛けた倀の3乗の倀
(2*3*5*7)^3=9261000
でのすべおの玄数の䞭で、3個の玠数で構成されおいる玄数(bigomega(玄数)==3のタむプ)
だけを集め(党郚で20個ある。)、この集合で重耇を蚱し4個を取り出した時(党郚で20H3=22C3=1540通り)
の䞭からその取り出す4個の積がピタリ9261000ず䞀臎できるものが䜕個あるのか調査する。
このチェックに合栌できる数が求める倀ず䞀臎できるずいう。


gp > S=select(x->bigomega(x)==3,divisors((2*3*5*7)^3));①
gp > S
%21 = [8, 12, 18, 20, 27, 28, 30, 42, 45, 50, 63, 70,
   75, 98, 105, 125, 147, 175, 245, 343]
gp > #S
%22 = 20
gp > {M=[];}forvec(X=[[1,#S],[1,#S],[1,#S],[1,#S]],\
M=concat(M,[vecextract(S,X)]),1);②
gp > #select(i->vecprod(i)==(2*3*5*7)^3,M)③
%24 = 93

䞊の実質①,②,③を組合わせれば枈む。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私が圓初{1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4}
の12枚のカヌドをシャッフルし3枚ず぀の4組に配垃するずき
その異なる配垃の組合せが93パタヌンになるこずを芋぀ける
のに

20個の x の単項匏
x^111,x^1011,x^1101,x^1110,
x^21,x^12,x^201,x^102,x^210,x^120,x^2001,x^1002,
x^2010,x^1020,x^2100,x^1200,
x^3,x^30,x^300,x^3000
の䞭から、重耇を蚱しお4個を、それらの積が x^3333
ずなるように遞び出すような堎合の数を数え䞊げおも
よいですね。
この蚈算を Risa/Asir で実行した結果が以䞋です。

[0] F=(1+x^10111+x^20222+x^30333)*(1+x^11011+x^22022+x^33033)*(1+x^11101+x^22202+x^33303)*(1+x^11110+x^22220+x^33330)*(1+x^10021)*(1+x^10012)*(1+x^10201)*(1+x^10102)*(1+x^10210)*(1+x^10120)*(1+x^12001)*(1+x^11002)*(1+x^12010)*(1+x^11020)*(1+x^12100)*(1+x^11200)*(1+x^10003)*(1+x^10030)*(1+x^10300)*(1+x^13000)$coef(F,43333,x);
[1] 93

かなり匷匕な倚項匏の展開ですが、䞀瞬で結果を衚瀺しおくれたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䟋のやり方で通垞のトランプの数字だけに着目した
{1,1,1,1,2,2,2,2,,13,13,13,13}
の集合で4枚ず぀13組に分配した時の異なる数字の組の個数を求めるこずに
応甚しようず詊みおいたんですが
原理的には13個の異なる玠数の積(2*3*5*11*13*17*19*23*29*31*37*41)^4
が持぀bigomega==4のすべおの玄数を取り出し、その集合での重耇を蚱しお
13個取り出すものの積が䞊蚘の玠数の積を満たす堎合の総数を調べればいいこずになる。
䜆しすべおの玄数を䞊べようずするず倧倉なので,逆にbigomega==4になるものを䜜るこずを
すれば
gp > P=primes(13);
%136 = [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41]
gp > M1=apply(i->i^4,P)
gp > #M1=13 (pi^4型)
gp > M2={M2=[];}for(i=1,13,for(j=1,13,if(i!=j,M2=concat(M2,[P[i]^3*P[j]]))));M2
gp > #M2
%86 = 156(pi^3*pj型);13*12=156)
gp > M3={M3=[];}for(i=1,13,for(j=1,13,if(i!=j,M3=concat(M3,[P[i]^2*P[j]^2]))));M3=Set(M3)
gp > #M3
%91 = 78 (pi^2*pj^2型;binomial(13,2)=78)
gp > M4={M4=[];}forsubset([13,4],i,M4=concat(M4,[vecprod(vecextract(P,i))]));M4
gp > #M4
%139 = 715 (pi*pj*pk*pl型;binomial(13,4)=715)
gp > M5={M5=[];}for(i=1,13,for(j=1,13,for(k=1,13,if(i!=j && j>k && k!=i,\
M5=concat(M5,[P[i]^2*P[j]*P[k]]))))) ;M5=Set(M5)
gp > #M5
%141 = 858 (pi^2*pj*pk型;13*binomial(12,2)=13*66=858)

の5タむプに分かれ、これを合䜓しお
MM1∪M2∪M3∪M4∪M5
#M=1820
埓っおこの1820個もある集合から重耇を蚱しお13個取り出すわけですから
1820H13=1832C13=4,0291,9125,1047,1060,9784,1375,0687,2800
4柗291溝9125ç©°1047じょ1060垓9784京1375億687侇2千8癟
ずいう物凄い堎合があり、この䞭で条件を満たせるものがA268668では
1,2764,3314,7589,4997,2538,5063
ずいうわけですから、玄2憶5千䞇の調査で1個芋぀かるかどうかぐらいにしかヒットしない。
これではいくら時間をかけおも総数を掎むこずは䞍可胜に思えた。

探す䜍眮を絞っおやっず次の3぀は発芋できたした。
1;[16, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, 130321, 279841, 707281, 923521, 1874161, 2825761]
2;[16, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, 130321, 279841, 707281, 923521, 2076773, 2550077]
3;[16, 81, 625, 2401, 14641, 28561, 83521, 130321, 279841, 707281, 923521, 2301289, 2301289]

atさんの方法はただ理解しおいたせんが、もしこれに挑戊したらどうなるんのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Hallの定理には解の存圚定理のような印象を受けたした。このたたですず数え䞊げは難しいような

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

亀通枋滞

4 ぀の垂 A, B, C, D があり、これらの間には以䞋のような移動手段がありたす。

A-B 間、B-C 間、C-D 間には、それぞれ移動手段 X1, X2, X3 がありたす。
各 X は、利甚者が毎分 50 人以䞋であれば人数に関わらず 30 分で到着し、利甚者が毎分 50 人を超える堎合は 1 人超えるごずに所芁時間が 1 分増加したす。

A-C 間、B-D 間には、それぞれ移動手段 Y1, Y2 がありたす。
各 Y は、利甚者が毎分 30 人以䞋であれば人数に関わらず 110 分で到着し、利甚者が毎分 30 人を超える堎合は 1 人超えるごずに所芁時間が 1 分増加したす。

これに぀いお、以䞋の 2 ぀を考えおください。

(1) ある日、A 垂から D 垂たで、毎分 70 人が移動しようずしたした。
各々自分の所芁時間が最短になるよう経路を遞択する堎合、移動に合蚈䜕分かかるでしょうか

(2) 実際にはその日の早朝に B-C 間の X2 にトラブルが発生し、終日利甚䞍可になっおしたいたした。
しかしそれでも、A 垂から D 垂たで、毎分 70 人が移動しようずしたした。
各々自分の所芁時間が最短になるよう経路を遞択する堎合、移動に合蚈䜕分かかるでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(1)8300(分)
________(20人)________
|<--------------------->|
A--(50人)--B--(30人)--C--(50人)--D
^^^^^^^^^ |_______(20人)________|


(2)10150(分)
_______(35人)________
|<------------------->|
A--(35人)--B--(0人)--C--(35人)--D
^^^^^^^^^ |_______(35人)________|

スペヌスキヌが無芖されるので、䞊蚘のような衚珟になっおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎02月14日 06:50)

総蚈じゃなくお、各個人の所芁時間でお願いしたす。

(2) は 10150/70 = 145 分で正解です。

(1) は  これどういう蚈算になったんでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、わかりたした、合蚈っおいうのが誀解を招いたんですね。

䟋えば (2) の堎合、
Y1→X3 のルヌトを通った人は、Y1 で 110+5 分、X3 で 30 分、合蚈 145 分
X1→Y2 のルヌトを通った人は、X1 で 30 分、Y2 で 110+5 分、合蚈 145 分
いずれの堎合も所芁時間の合蚈は 145 分。

ず、合蚈ずいうのはこういう意味の぀もりでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

はい。
合蚈っお䜕をもっおの合蚈だろうずずっず思っおいたんですが、
各々自分の所芁時間の衚珟があったので、党員の所芁時間の合蚈で比范しおしたいたした。
埌はプログラムで70人の分岐の仕方を分類し
(1)では党郚で2556通りに分類でき、かかる党員のタむムの合蚈での集蚈での最小倀探しを
(2)では䞊蚘のB-C間の通行が0人のパタヌン(党郚で71通り)を集め、この䞭での最小倀を探したした。
所芁時間は䜕人が同じルヌトを遞択しおいるかによっお異なっおくるので、䞀個人だけで最短時間のコヌスは
遞べないからどうしおも統蚈的凊理になっおしたいたした。
(1)は(50+30+50)(人)*30(分)+(20+20)(人)*110(分)=8300(分)です。
たた第2䜍は
A-B:50|B-C:31|C-D:51|A-C:20|B-D:19(人)
で(50+31)*30+51*31+(20+19)*110=8301(分)
たたは
A-B:51|B-C:31|C-D:50|A-C:19|B-D:20(人)
で51*31+(31+50)*30+(19+20)*110=8301(分)
の移動で起こる。
ちなみに(1)の正解は䜕ですか
140(分)ずいうこずなんでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎02月14日 07:00)

(1) はその人数にはなりたせんね。
ずいうのは、Y1→X3 の経路を通ろうずする人は 110+30 = 140 分かかるこずになりたすが、
X1→X2→X3 に倉曎すれば (30+1)+30+30 = 91 分で枈み、こちらに䜿甚経路を倉曎するはずだからです。


プログラムで考えるなら、こう考えおみおください。

手順 170 人それぞれに番号を぀け、ランダムな経路を遞択する
手順 21 番の人から順に、「もし自分が他の経路に倉曎したら自分の所芁時間が短くなる堎合、そっちに倉曎する」を 70 番の人たで実行
手順 3手順 2 で誰か 1 人でも倉曎があった堎合、誰も倉曎しなくなるたでさらに手順 2 を繰り返す
手順 4 各々の移動時間が䜕分になったかを出力

もし可胜であれば、X2 が完党に運䌑するのではなく、
・遅延で +5 分かかる堎合
・遅延で +10 分かかる堎合
・遅延で +15 分かかる堎合



・遅延で + 70 分かかる堎合
も出しおみおください。
面癜いこずになりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんの説明を十分理解しおいないかも知れたせんが誘導に埓っお考えおみるず
1人目は圓然各駅を通るコヌスで
30+30+30=90分で行く。
2人目も
30+30+30=90
以䞋
50人目も90
51人目は条件より
31+31+31=93
52人目は
32+32+32=96

66人目は
46+46+46=138
ここで
67人目はこのコヌスだず
47+47+47=141
だが
A-CコヌスC-Dコヌスを遞択すれば
110+30=140
なので、こちらが短時間ずなりコヌスを倉曎しお進むこずになる。
この倉曎を行っおもそれ以前の人はなんらコヌスを倉曎する必芁は感じない。
以䞋68,69,70人目も圓然このコヌスでいくこずを遞択する。(各自の所芁時間は同じく140分)

だから70人が移動するのに140分が最小時間ず考えおしたうのですが、どこの䜕がおかしいのでしょう
なお70人の所芁時間は皆同じでなくおもバラバラでも構わないのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAI さんが誀解されおいるポむントは 2 ぀です。

1 ぀め、
> 51人目は条件より
> 31+31+31=93
ですが、枋滞による遅延は自分が䜕人目かではなく䞀気に䜕人通ろうずしおいるかで決たりたす。
通る人数を「70 人」ではなく「毎分 70 人」ずしおいるのはこのため
぀たり、51 人が X1-X2-X3 を遞択するのは、51 人目が 93 分かかるのではなく、51 人党員が 93 分かかるこずを意味したす。

2 ぀め、
> 67人目はこのコヌスだず
> 47+47+47=141
> だが
> A-CコヌスC-Dコヌスを遞択> すれば
> 110+30=140
ですが、X3 は枋滞が発生しおいるので 埌者は 110+47 = 157 分になりたすね。
これも、移動が「毎分 70 人」であるこずに泚意しおください

> なお70人の所芁時間は皆同じでなくおもバラバラでも構わないのでしょうか
構いたせんが、しかしその堎合は遅いルヌトから早いルヌトに倉曎したがる人がどこかにいるず思いたす。
だから、毎分人数が非敎数でもよいずすれば、結果的には党員同じ所芁時間に収束するはずです。
敎数人数限定で考える堎合は、1 分の差は残るかもしれたせんね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

考えれば考えるだけ混乱しおくるんですが
66人の集団で各垂を巡れば(Xの手段のみ)かかる時間は各自共通で46*3=138分ですよね。
もしYの移動手段を䜿えばAからD垂に䞀人でも最䜎110+30=140分の時間での非効率の行き方なので
70人が䞀斉に移動する手段はYの手段を取り入れないのがよく、単玔にXだけの移動手段で
70人が共通に50*3=150分を䜿えば、これが最短の所芁時間になるんではないのかな

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そうです。(1) は 150 分で正解です。
党員が X を利甚した堎合でも 50 分なので、どんな堎合でも Y を 1 回利甚するより X を 2 回する方が短く枈みたす。
よっお党員が X のみを利甚するこずになり、所芁時間は 50*3 = 150 分です。

䞀方で、改めお (2) の堎合、145 分が正解です。
X2 が運䌑しおいるので経路が完党に分離した 2 ぀しかなく、枋滞がなければどちらの経路同じ時間です。
ずいうこずは党員枋滞の圱響が少ない方ぞ行こうずするので、各経路を 35 人ず぀が利甚しお、所芁時間は 115+30 = 145 分です。

ずいうこずで。
A-D 間の亀通のみを考えるなら、X2 は存圚する方が亀通の䟿が悪くなる奇劙な経路なのでした。
これがゲヌム䞖界の話で本圓に A-D 間の移動しか行われないなら、X2 は即刻撀廃すべきずいうこずになりたす。
珟実では B åž‚ã‚„ C 垂の䜏人もいるでしょうから X2 撀廃ずは行かないでしょうけど。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

参考ずしお。
X2 に枋滞ずは別原因で遅延が発生し、所芁時間が 30 分からふえた堎合を 5 分刻みで蚈算したものがこちらです。
毎分の人数なので、経路利甚者数は非敎数もアリずしおいたす

BC 間  合蚈時間毎分の X1-X2-X3 経路利甚者数
30 分 

 150 分50 人
35 分 

 155 分50 人
40 分 

 160 分50 人
45 分 

 158 分 20 秒145/3 人
50 分 

 156 分 40 秒140/3 人
55 分 

 155 分45 人
60 分 

 153 分 20 秒130/3 人
65 分 

 151 分 40 秒125/3 人
70 分 

 150 分40 人
75 分 

 145 分35 人
80 分 

 140 分0 〜 30 人
85 分 

 145 分0 人
90 分 

 145 分0 人
95 分 

 145 分0 人
以䞋ずっず145分0 人

あたりに盎感的でない結果なんですが、なんでこんな珟象が起こるんでしょうね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

筑波倧孊附属駒堎䞭孊の入詊の [1]

(3) も、(2) の管理人さんの改良埌の解法ず同様にすれば、こんな堎合分けしなくおも枈むのではないかず思いたす。


D が C ず等しくなる C の範囲は 0≩C≩6
C はもずもず 0≩C≩16 だから、D が C ず異なるような範囲は 7≩C≩16

C が B ず等しくなる B の範囲は 0≩B≩16
B はもずもず 0≩B≩36 だから、D が C ず異なるような範囲は 17≩B≩36
そのうち、7≩C≩16 ずなる範囲は 24≩B≩33

以䞋、管理人さんの解答ず同じ

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

今曎ながらの幎越しネタです

幎越しネタですけれども䞀皮の感動を芚えたしたのでご玹介いたしたす。

(1349^3+675^3)/(1349^3+674^3) =
(1349+675)/(1349+674) =
2024/2023

こんなこずができるのはどんな幎でしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

来幎なら
(4049^3+2026^3)/(4049^3+2023^3) = (4049+2026)/(4049+2023) = 2025/2024
みたいなこずですよね

任意の幎でできるような

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

n∈Z, n≡1(mod 3)のずき
  [a,b,c]=[(2*n+1)/3,(n+2)/3,(n-1)/3]
は、
  a,b,c∈Z,
  (a^3+b^3)/(a^3+c^3)=(a+b)/(a+c)=(n+1)/n,
(a+b)=(a+c)+1
を満たす。

たた、n∈Z-{0}に察しお、
  (a^3+b^3)/(a^3+c^3)=(a+b)/(a+c)=(n+1)/n,
(a+b)=(a+c)+1
が敎数解[a,b,c]を持぀ならば、n≡1 (mod 3)である。

以䞊より、最終行の分母nが「n≡1 (mod 3)」を満たすずきであり、そのずきに限り可胜。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

恒等匏
((x+y)^3+y^3)/(x^3+(x+y)^3) = ((x+y)+y)/(x+(x+y))
から出発したした。

x+2y=2024
2x+y=2023
を芁請しお
x=675
y=674
を埗たした。

このやり方では
3x+3y=2023+2024
で右蟺が3の倍数ずなりうたくいきたす。
H.Nakao さんからはこちらのルヌトを厳密に瀺しおいただきたした。

䞀方においお DD++ さんによるご教瀺には
私はずおも驚きたした。なるほど
玄分  がうたく働いおいたす。

詳しい解説をお願い申し䞊げたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎02月07日 10:29)

じゃあ、Dengan さんに乗っかる圢で。

2 番目の蟺が芏玄分数である必芁はないので、
x+2y=2024k
2x+y=2023k
であればよく、
3x+3y=(2023+2024)k
ずなったずきに括匧内が 3 の倍数でなくおも k が 3 の倍数であれば䜕も問題ないずいうだけの話です。

ずころで、
(7^3+7^3)/(8^3+5^3) = (7+7)/(8+5) = 14/13
みたいなパタヌンっおこの問題においおアリですかね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

4 数バラバラもありだずいう前提で。
(3N+2)/(3N+1) 型以倖も䜜れはするものの、この圢の方がいろんな匏で䜜れるこずが倚いようですね。

(1025^3+999^3)/(1034^3+989^3) = (1025+999)/(1034+989) = 2024/2023

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(1025^3+999^3)/(1034^3+989^3) = (1025+999)/(1034+989) = 2024/2023

倧倉に興味深いです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

a*b = c*d を芋たす 4 数 a, b, c, d に察し、
p = a+b-c, q = a+b-d, r = c+d-a, s = c+d-b ずするず、
(p^3+q^3)/(r^3+s^3) = (p+q)/(r+s) が成り立ちたす。

※ p, q, r, s が敎数であれば、a, b, c, d が敎数である必芁はありたせん。
※ a = (2x+y)/3, b = 2(x+2y)/3, c = (x+2y)/3, d = 2(2x+y)/3 ずすれば、Dengan さんが甚いた匏になりたす。

(a+b)-(c+d) = k であるずき、(p+q)-(r+s) = 3k になるので、
k = 1/3 になるようにするか、p+q が 3 の倍数になるようにしながら k = 1 にするかで、
今回の目的のように分子が分母より 1 だけ倧きい分数が埗られたす。

たた、(a+b)-(c+d) = k を芁請する堎合、
p = a+b-c = d+k, q = a+b-d = c+k, r = c+d-a = b-k, s = c+d-b = a-k ずなり、敎数にする調敎が倚少楜になりたす。

䟋1
(a+b)-(c+d) = 1/3 ず a*b = c*d = 400/9 を芁請しお、
a = 16/3, b = 25/3, c = 20/3, d = 20/3 ずするず、
p = 7, q = 7, r = 8, s = 5 が埗られ、14/13 が䜜れたす。

䟋2
(a+b)-(c+d) = 1/3 ず a*b = c*d = 1120/9 を芁請しお、
a = 28/3, b = 40/3, c = 32/3, d = 35/3 ずするず、
p = 12, q = 11, r = 13, s = 9 が埗られ、23/22 が䜜れたす。

䟋3
(a+b)-(c+d) = 1 ず a*b = c*d = 2*2024*2025 を芁請しお、
a = 2024, b = 4050, c = 2025, d = 4048 ずするず、
p = 4049, q = 2026, r = 4049, s = 2023 が埗られ、6075/6072 = 2025/2024 が埗られたす。

䟋4
(a+b)-(c+d) = 1/3 ず a*b = c*d = 2*2023*2024/9 を芁請しお、
a = 2023/3, b = 4048/3, c = 2024/3, d = 4046/3 ずするず、
p = 1349, q = 675, r = 1349, s = 674 が埗られ、2024/2023 が埗られたす。

䟋5
(a+b)-(c+d) = 1/3 ず a*b = c*d = 28*29*106*107/9 を芁請しお、
a = 2968/3, b = 3103/3, c = 2996/3, d = 3074/3 ずするず、
p = 1025, q = 999, r = 1034, s = 989 が埗られ、2024/2023 が埗られたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倧魔導士の呪文を聞いおいるようで
ビビリたした。ボ⁠(⁠*⁠⁠*⁠)⁠

理解に努めようず思いたす。
拘束条件぀きの恒等匏っお玠敵ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

√13 の远究

共通テストの問題、からの管理人さんの远究、からのさらに先を。


(5√13)^2 - 18^2 = 1 ず右蟺が 1 たたは -1になるものを埗た時点で、
あずは (5√13-18) (5√13+18) = 1 の䞡蟺を n 乗するだけで簡単に粟床を高められたす。

・2 乗の堎合
(649-180√13) (649+180√13) = 1 ず 1298 < 649+180√13 < 1299 より、
(649-1/1299)/180 < √13 < (649-1/1298)/180
すなわち
3.60555127546

 < √13 < 3.60555127876


で小数点以䞋 8 桁

・3 乗の堎合
(6485√13-23382) (6485√13+23382) = 1 ず 46764 < 6485√13+23382 < 46765 より、
(23382+1/46765)/6485 < √13 < (23382+1/46764)/6485
すなわち
3.6055512754639187

 < √13 < 3.6055512754639892
で小数点以䞋 13 桁

√13 = 3.6055512754639892931

 ず比范すればわかるように、偶数乗では䞋限が、奇数乗では䞊限がかなり粟床のいい近䌌になりたす。
1乗の時も実は䞊限偎はかなり粟床がよい

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

連分数の打ち切りずの関係
√13=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,
]
[3;1,1,1,1]=18/5
[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1]=649/180=(18+1/36)/5
[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1]=23382/6485
[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1]=842401/233640=(649-1/1298)/180
[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1]=30349818/8417525
[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1]
=1093435849/303264540=(23382+1/46764)/6485
なお、䞊ず重耇したすが
(649-1/1298)/180=3.60555127546

=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1]
(649-1/1299)/180=3.60555127876

=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,3]
(23382+1/46765)/6485=3.60555127546391878

=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,2,2,3,3,3]
(23382+1/46764)/6485=3.60555127546398929

=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1]
ずここたで曞いお気付きたしたが
(649-1/1299)/180 < √13 < (649-1/1298)/180
は
(649-1/1298)/180 < √13 < (649-1/1299)/180
の誀りですね。
それから、䞊の流れを芋るず
18/5=3.6
(18+1/(18*2))/5=649/180=3.60555

(649-1/(649*2))/180=842401/233640=3.60555127546

(842401-1/(842401*2))/233640=1419278889601/393637139280
=3.60555127546398929311922

(1419278889601-1/(1419278889601*2))/393637139280
=4028705132934095091878401/1117361763886065161254560
=3.605551275463989293119221267470495946251296573845

小数は√13ず䞀臎する桁のみ
のように蚈算するこずで粟床を倍々にするこずができたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、1298 ず 1299 逆だった  管理人さん、蚘事化の時に修正なりなんなりをお願いしたす。

ペル方皋匏の解の構成から着想を埗おいるので、連分数展開ず関係があるのはたさにその通りです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさんの方法で疑問なんですが、倍粟床で䞀臎しおいく保蚌はどこから取るのでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんの「2乗の堎合」の蚈算から蚀えおいるような気がしたすが、違いたすかね
(a-b√13)(a+b√13) = 1のずき
(a-b√13)^2 = a^2+13b^2-2ab√13 = 2a^2-1-2ab√13
(2a^2-1)/(2ab) = (a-1/(2a))/b
ずなり、これはa/bず比范しお粟床が2倍

ちょっず雑だったかも知れたせんので補足したす。
(a-b√13)(a+b√13)=1 のずき
a-b√13=1/(a+b√13)
a/b-√13=1/{b(a+b√13)}
最初の匏を2乗するず
(a-b√13)^2(a+b√13)^2=1
2a^2-1-2ab√13=1/(a+b√13)^2
(2a^2-1)/2ab-√13=1/{2ab(a+b√13)^2}1/{b(a+b√13)}^2=(a/b-√13)^2
∎(a-1/(2a))/b-√13(a/b-√13)^2

もう䞀぀補足
(a-b√13)(a+b√13) = -1 の堎合5√13-18=1のような堎合は
13b^2=a^2-1 でなく 13b^2=a^2+1 ずなりたすので
(a-b√13)^2 = a^2+13b^2-2ab√13 = 2a^2+1-2ab√13
(2a^2+1)/(2ab) = (a+1/(2a))/b
のように1箇所笊号が倉わりたすが、他は同じです。
䞀床2乗した埌は a-b√13=1 の圢になりたすので、
(a+1/(2a))/b のようにプラスになる可胜性があるのは初回だけです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎02月02日 04:46)

私のは
3.60555127546

 < √13 < 3.60555127876


ず䞊䞋から挟んでたすので、
・3.60555127 たでは確定
・続きも 546 くらいたであっおそう予想
ずいうように蚌明ず予想を区別しお出しおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんが曞かれおいる評䟡ずしおはその通りですね。
しかし蚈算は2乗しおいるこずから、蚀い方が雑ですが√13ずの誀差が2乗されおいお
粟床が2倍になっおいるこずが芋おずれたすね。私が曞いた䞊の蚈算を芋るず、実際には
2乗よりさらに小さくなっおいる2乗の玄0.14倍こずもわかりたす。
実際、1742で曞いた蚈算でも正しい小数点以䞋の桁数が
2桁、5桁、11桁、23桁、48桁のように2倍以䞊になっおいたすね。
この蚈算方法は√13以倖にも䜿えお、実際にいく぀か蚈算しおみたしたが
√2は7/5=1.4から始めお5回の蚈算で72桁
√3は7/4=1.75から始めお5回の蚈算で71桁
√5は9/4=2.25から始めお5回の蚈算で78桁
√6は5/2=2.5から始めお5回の蚈算で62桁
いずれも桁数は真倀ず䞀臎しおいる小数点以䞋の桁数
のようになっおいたした。

せっかく蚈算したので実際の蚈算を曞いおおきたしょう。

・√2
7^2-(5√2)^2=-1差が±1であるこずは重芁
7/5=1.4
(7+1/(7*2))/5=99/70 7-5√20なのでここだけ「」
(99-1/(99*2))/70=19601/13860
(19601-1/(19601*2))/13860=768398401/543339720
(768398401-1/(768398401*2))/543339720=1180872205318713601/835002744095575440
(1180872205318713601-1/(1180872205318713601*2))/835002744095575440
=2788918330588564181308597538924774401/1972063063734639263984455073299118880
=1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478


・√3
7^2-(4√3)^2=1
7/4=1.75
(7-1/(7*2))/4=97/56 7-4√30なのでこれは「」、以䞋√5ず√6も同じ
(97-1/(97*2))/56=18817/10864
(18817-1/(18817*2))/10864=708158977/408855776
(708158977-1/(708158977*2))/408855776=1002978273411373057/579069776145402304
(1002978273411373057-1/(1002978273411373057*2))/579069776145402304
=2011930833870518011412817828051050497/1161588808526051807570761628582646656
=1.73205080756887729352744634150587236694280525381038062805580697945193301


・√5
9^2-(4√5)^2=1
9/4=2.25
(9-1/(9*2))/4=161/72
(161-1/(161*2))/72=51841/23184
(51841-1/(51841*2))/23184=5374978561/2403763488
(5374978561-1/(5374978561*2))/2403763488=57780789062419261441/25840354427429161536
(57780789062419261441-1/(57780789062419261441*2))/25840354427429161536
=6677239169351578707225356193679818792961/2986152136938872067784669198846010266752
=2.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925637804


・√6
5^2-(2√6)^2=1
5/2=2.5
(5-1/(5*2))/2=49/20
(49-1/(49*2))/20=4801/1960
(4801-1/(4801*2))/1960=46099201/18819920
(46099201-1/(46099201*2))/18819920=4250272665676801/1735166549767840
(4250272665676801-1/(4250272665676801*2))/1735166549767840
=36129635465198759610694779187201/14749861913749949808286047759680
=2.44948974278317809819728407470589139196594748065667012843269256


匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎02月02日 11:18)

いえ、あの、元の共通テストの問題はご芧になっおたすかね
この問題はどれだけ近い有理数を䜜れるかではなく、真倀がわからない状態で䞊から n 桁を確定したいずいう意図の問題です。
なので、「実際の真倀を芋るず䞊から n 桁合っおいる」だけなのはそれほど䟡倀はないのですよ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いいえ、拝芋しおいたせん。
最初から、「このように蚈算するず粟床の高い倀を埗るこずが出来たすね」ずいう、元の問題ずは関係なく私の興味がある蚈算を曞いただけの぀もりです。
元の問題から話がそれおはいけなかったのでしたら、ごめんなさい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

逞れおいけないこずはないですが、別の話だず断りを入れおから始めないずただ無意味に堎を混乱させるだけかず思いたす。

そしお、近い有理数を埗たいだけなのであれば、
(5√13-18)^16 = 4028705132934095091878401 - 1117361763886065161254560√13
より略
で、わざわざ倍々蚈算を蟿らなくおも 1 行の匏で 48 桁合わせられたすよ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

特殊コむンでのコむントス確率

公平さの代名詞でもあるコむントスでのコむンに
゚レクトロニクスの最先端の技術を甚いお、過去に出した
衚、裏の回数を蚘憶させおいく機胜を内蔵し、次に出る衚
裏がその過去の回数に比䟋する頻床でひっくり返る構造を
巧みに組み蟌たれたコむンを開発した。
䟋えば
1回目のトスでは衚が
2回目のトスでは裏が出たこの特殊コむンは
3回目が衚がでる確率は過去2回の内で衚は1回出おいるので1/2の確率で起こり
同じく
1回目のトスでは衚が
2回目のトスでは裏で
3回目が裏がでる確率は過去2回の内で裏は1回出おいるので1/2の確率で起こる。

たた
1回目;衚が
2回目;裏が
3回目;衚がでたコむンは
4回目が衚になる確率は2/3(過去の3回䞭2回が衚になっおいるから)
たた13回たでが同じ状態のずき
4回目が裏になる確率は1/3(過去の3回䞭1回が裏になっおいるから)
でコむンがひっくり返るずする。

さおこの特殊コむンを䜿い
1回目;衚が
2回目;裏が
でたずき
3回目以降コむントスを10回やったものずする。
このずき3回以降のコむンの衚、裏が出たそれぞれの回数合蚈が
(1)(è¡š,裏)=(4,6)である確率P1
(2)(è¡š,裏)=(7,3)である確率P2
をそれぞれ求めおほしい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎01月31日 04:34)

このコむンは 1 回目に衚が出たら以埌衚しか出たせんし、1 回目が裏なら以埌裏しか出たせん。
よっお、「1 回目が衚、2 回目が裏ずいうこずがそもそも起こり埗ない」が答えですかね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1回目だけを考えるずそういうこずになりたすね。
これでは党く面癜くもないので、1,2回目を初期条件ずしおもらい
3回目以降がこの特殊コむンが䜿われるものず考えおもらいたいのですが・・・

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

これたでに衚が m 回、裏が n 回出おいる堎合、衚ず裏が (m+1):(n+1) の確率で出るコむンを䜕の前提もなしに 10 回投げる

ず思えばいいですか
それなら、任意の 0≩k≩10 に察し、衚が k 回出る確率は 1/11 です。
以前同様の問題をここの掲瀺板teacup だった時代にポリアの壺の関連問題ずしお解いたこずがあったはずですが  どの蚘事だったかな

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

芋圓たらないので、以前ず同じような内容になりたすが、考え方を曞いおおきたす。

“0” から “10” たでの数字を曞いた 11 枚カヌドを甚意し、最初に “0” だけをデッキずしお手に持ちたす。
x 回目にコむンを投げたずき、コむンが衚であれば “0” のカヌドより䞊、コむンが裏であれば “0” のカヌドより䞋のどこかから無䜜為に 1 箇所を遞んで、“x” のカヌドをデッキに远加したす。

これは結局 x 回目に “x” のカヌドをデッキの x+1 箇所から無䜜為に 1 箇所遞んで远加する行為を二床手間でやっおいるだけなので、
最終的にできる 11 枚のデッキの䞊び順はありえる 11! 通りの䞊び順が同様に確からしくなっおいたす。

さお、コむンの結果で衚が k 回出る確率は、最終的にデッキで “0” が䞊から k+1 枚目にある確率です。
よっお、その確率は k の倀に関わらず 1/11 です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんが探しおいるペヌゞは、「確率」mathbun/mathbun1129ですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、それですね。
たあ圓時自分の䞭でも敎理しきれないたた解答を曞いたんで、わかりやすく曞き盎したずいう意味では今回たた曞いた䟡倀はあったかなず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

以前に知人から教わったこずを迷いたしたがこのタむミングでここにぶらさげたく思いたす。

【ポリアの壺】
壺に濃いグレヌの色の玉が a 個薄いグレヌの球が b 個入っおいる。m = a+b ずする。その䞭から玉を 1 ぀無䜜為に取り出し遞んだ玉を壺に戻した䞊で遞んだ玉ず同じ色の玉を 1 ぀壺に加える。

この詊行を n 回繰り返す。n 回目に濃いグレヌの色の玉が遞ばれる確率 Pn は n に䟝存せず
Pn = a/m
で求められる。



8<

8<

8<

8<



䞊蚘を盎感的に理解するために以䞋の補題を考える。

【補題】
壺に m 個の玉が入っおいる。玉の色は互いにあい異なる。(すなわち m 色の玉が壺にある)
1 ≩ k ≩ m なる敎数 k を考えおおく。
k 番目の玉の色を C[k] ずする。
壺の䞭から玉を 1 ぀無䜜為に取り出し遞んだ玉を壺に戻した䞊で遞んだ玉ず同じ色の玉を 1 ぀壺に加える。

この詊行を n 回繰り返す。n 回目に C[k] の色の玉が遞ばれる確率 Pn[k] は n や k に䟝存せず
Pn[k] = 1/m
で求められる。

蚌明
明らか。
∵ m 色の玉があるが、それらの色に぀いお察称な問題蚭定なので  いわゆる、同様に確からしいず。)



8<

8<

8<

8<



補題から、今回の投皿の冒頭にあげたポリアの壺の問題に぀いお考える。

宇宙人がやっおきた。圌らは光の䞉原色を認識せず、癜色、黒色、およびに癜から黒たでのグラデヌションで各皮の灰色を認識する。
補題においお、
C[1] から C[a] の色の a 個の玉の色を宇宙人は濃いグレヌの色ず認識し、C[a+1] から C[a+b] の色の b 個の玉の色を薄いグレヌの色ず認識する。

壺の䞭から玉を 1 ぀無䜜為に取り出し遞んだ玉を壺に戻した䞊で遞んだ玉ず同じ色の玉を 1 ぀壺に加える。

この詊行を n 回繰り返す。n 回目に 濃いグレヌの色の玉が遞ばれる確率 Pn は n に䟝存せず
Pn = a/m
で求められる。

蚌明。
Pn = Pn[1]+Pn[2]+ 

 +Pn[a] = a*(1/m) = a/m
(補題を䜿った。)



8<

8<

8<

8<



確率に぀いおの挞化匏や数孊的垰玍法を
回避しおいるので、ほが蚈算なしに結論が埗られたす。
䞊手に説明すれば小孊生にもわかるかも

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

図圢問題 part2

1぀のスレッドの返信数が䞊限に達したため、続き甚のスレッドを䜜りたす。


な぀さん

ありがずうございたす。
盎角二等蟺䞉角圢を䜜る解答の方も面癜い解答にできたず思いたすが、
おそらくな぀さんの意図しおいた解答は No.1717 に曞いたものではないか思っおいたす。
いかがでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

スレッド䜜成ありがずうございたす

すみたせん、芋事に芋萜ずしおおりたした、想定解答を新しいスレッドに曞いおいたら先に䜜っおいただいたので、こちらで続けたす。

実は想定解答ずは違いたしたが、うたく求められる図圢に倉圢しおいくいい解き方ですねじ぀はこの最初の△ACDを反転する方法でも二等蟺䞉角圢に持っおいく方法はいく぀かありそうでした。
簡略な玹介ずなりたすが、䟋えば図のように倉圢しおも解けそうです。本質は䞀緒でした

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎01月26日 23:00)

想定解法はこのようなものでした。ご玹介させおいただきたすm(_ _)m

【問題】
等脚台圢ABCDがあり、AD//BCである
∠ABC∠DCB45°
∠ACB15°
∠ACD30°
AD10cm
四角圢ABCDの面積は

【想定解法】少し省略しお曞きたす
四角圢ABCDに倖接する円の䞭心をOず眮く円がおけるこずの議論は割愛
䞭心角の定理より、∠AOB15°×230°、同様に∠DOC30°、∠AOD30°×260°。
よっお、△AOBず△DOCは30°を頂角ずする二等蟺䞉角圢、△AODは正䞉角圢。
ここで、△AODず△BOCをそれぞれ真ん䞭の瞊線で半分にするず、それぞれ同じ倧きさの30°、60°、90°の盎角䞉角圢ができるため、△AODず△BOCの面積は等しい。厳密な議論は省略
それにより、四角圢ABCDの面積は△AOBず△DOCの面積の合蚈ず等しくなる。五角圢ABOCDの面積から△AODの面積を匕いたものず五角圢ABOCDの面積から△BOCの面積を匕いたものが等しいため
△AOBず△DOCはおなじみの面積が求められる二等蟺䞉角圢30°、75°、75°であるため、10cm×5cm÷2×250cm^2答え

雑に䜜った図も茉せおおきたす汗

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎01月27日 01:56)

DD++さんのこの解法は、いたの暡範解答を思い぀くたでは暡範解答ずしおおりたした。䜜問時にはここから問題を䜜ったので、私ずしおは意図を組んでくださったず倧倉うれしく思っおおりたす。
その他の皆様も、様々に解いおくださりありがずうございたした

> "な぀"さんが曞かれたした:
> スレッド䜜成ありがずうございたす

> すみたせん、芋事に芋萜ずしおおりたした、想定解答を新しいスレッドに曞いおいたら先に䜜っおいただいたので、こちらで続けたす。

> 実は想定解答ずは違いたしたが、うたく求められる図圢に倉圢しおいくいい解き方ですねじ぀はこの最初の△ACDを反転する方法でも二等蟺䞉角圢に持っおいく方法はいく぀かありそうでした。
> 簡略な玹介ずなりたすが、䟋えば図のように倉圢しおも解けそうです。本質は䞀緒でした

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

な぀さんの方法では、面積は求たらない答えが、√ずなるのでは

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> "管理者"さんが曞かれたした:
> な぀さんの方法では、面積は求たらない答えが、√ずなるのでは

メッセヌゞありがずうございたす。倧倉申し蚳ございたせん、「△AOBず△DOC」ず衚蚘すべき郚分が2か所「△AODず△BOC」ず誀怍しおいたようです、そのためでしょうか・・・元の投皿は修正したした

【元】
それにより、四角圢ABCDの面積は△AODず△BOCの面積の合蚈ず等しくなる。五角圢ABOCDの面積から△AODの面積を匕いたものず五角圢ABOCDの面積から△BOCの面積を匕いたものが等しいため
△AODず△BOCはおなじみの面積が求められる二等蟺䞉角圢であるため、10cm×5cm÷2×250cm^2答え
【修正埌】
それにより、四角圢ABCDの面積は△AOBず△DOCの面積の合蚈ず等しくなる。五角圢ABOCDの面積から△AODの面積を匕いたものず五角圢ABOCDの面積から△BOCの面積を匕いたものが等しいため
△AOBず△DOCはおなじみの面積が求められる二等蟺䞉角圢30°、75°、75°であるため、10cm×5cm÷2×250cm^2答え

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎01月27日 01:56)

私は逆に倖接円を䜿う方を先に思い぀きたした。
ただ、「流石に䞭心角の定理は算数倖か」ず思っお华䞋しちゃったんですよね。
どうやら䞭心角もアリみたいなので、それを私の第䞉の解答ずしお投皿したす。


四角圢 ABCD の倖接円を曞き、䞭心を O ずしたす。
䞭心角の定理より ∠AOD = 60° なので △AOD は正䞉角圢で、この倖接円の半埄は 10 cm です。
たた、䞭心角の定理より、∠AOC = 90°, ∠COD = 30° です。

さお、ここで △CAB を、点 O を䞭心に 90° 回転移動しお点 C を点 A に重ね、△AEF ずしたす。
台圢の面積は △ACD + △AEF で求たりたす。
そしおこれを等積倉圢※しお △OCD + △OEF ずしたす。
これら 2 ぀は合同な二等蟺䞉角圢で、もはや蚀うたでもない方法で 1 ぀ 25 cm^2 ず出るので、元の台圢の面積は倍の 50 cm^2 です。


※ 2 ぀の䞉角圢に぀いお、底蟺同士が平行で長さが等しく、頂点が同䞀点か぀それが底蟺を延長した平行線の間にある堎合、その共通頂点を平行線の間のどこぞ移動しおも 2 ぀の䞉角圢の面積の和は䞀定

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

>流石に䞭心角の定理は算数倖か

DD++さん、ご指摘ありがずうございたす。たしかに䞭心角の定理は算数倖みたいですね、うっかり説明なしに䜿っおしたっおおりたした申し蚳ございたせん。。。
円を䜿わずにやるずどうしおも逆説的な手法になっおしたいそうですね。
高さの合蚈がちょうど二等蟺䞉角圢2぀分になる発想は思い぀きたせんでした、面癜い解法をありがずうございたす

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

図圢問題

ものすごく久しぶりに来おみたした。
矎しい図圢問題を玹介するのでよかったら解いおみおください。
算数ずしお解けたす。

等脚台圢ABCDがあり、AD//BCである
∠ABC∠DCB45°
∠ACB15°
∠ACD30°
AD10cm
四角圢ABCDの面積は

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

面積 ですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倚分、暡範解答じゃないず思いたすが。

等脚台圢を぀䜿っおを蟺ずした正方圢ずを蟺ずした正方圢を䜜りたす。
倖偎の正方圢を反時蚈回りに内偎の正方圢を反時蚈回りにずしたしょう。
ここで、からに垂線を䞋ろしその足をずするず、△は盎角二等蟺䞉角圢より蟺の倖偎に移動させ、
点の行き先をずするず、四角圢は長方圢になりたす。
たた、の延長ずずの亀点をの延長ずずの亀点をずするず、四角圢四角圢四角圢は皆、長方圢ず合同な長方圢になり、察称性から四角圢は正方圢になりたす。
ずころで、の延長ずの延長ずの亀点をずするず、は正方圢の䞭心で∠°
よっお、∠°∠°より△は°°°の盎角䞉角定芏型。
よっお、 よっお、□ず眮くず、×□
たた、より、×□
ずころで、求めたいのは、台圢長方圢△×より、
(正方圢正方圢)÷×———☆ を求めれば良い。
よっお、{(×□)×(×□)×}÷×(×□×□)÷———①
たた、△□×□÷△×÷^2より、□×□^2———②
②を①に代入するず、答えは、(×)÷^2

暡範解答ぱレガントなのでしょうね。暡範解答に期埅しおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

皆さんありがずうございたす、答えは50cm^2で合っおおりたす。
壊れた扉さんの解法は算数で求たる郚分ず求たらない郚分を寄り分けおいくような感じなので、ある意味で本質的な解き方ですね・・・

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

算数的解法はいく぀か思い぀きたしたが、今のずころその䞭で䞀番綺麗なのを投皿したす。
手応え的にはもっず綺麗な解法も眠っおそうな感じがしたすが。


蟺 BC 䞊に ∠DAE = 30° ずなるように点 E をずるず、EC = AE = 2*台圢の高さ であるこずから、点 E は実は BE = 10 cm ずなる点になっおいたす。
よっお、△ABE ず△ADC の面積は等しいこずがわかりたす。

したがっお、台圢 ABCD の面積は「△ABE 2 ぀ず△AEC の面積の合蚈」を出せばいいこずになりたす。
ずころで、これら 3 ぀の䞉角圢を䞊べ替えれば底蟺ず高さがずもに 10 cm の盎角二等蟺䞉角圢になりたす。
぀たり、その面積の合蚈は 10*10*(1/2) = 50 cm^2 です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんの解法玠晎らしいですね。䞀応、解説させお䞋さい。

蟺 BC 䞊に ∠DAE = 30° ずなるように点 E をずるず、EC = AE = 2*台圢の高さ であるこずから、点 E は実は BE = 10 cm ずなる点になっおいたす。

∠°°°∠°より△は底角が°の二等蟺䞉角圢。よっお、
たた、からに垂線を䞋ろしその足をからに垂線を䞋ろしその足をずするず、△は°°°の盎角䞉角定芏型より、 よっお、 よっお、∠°⊥より△は盎角二等蟺䞉角圢である。厳密には、△が盎角二等蟺䞉角圢よりでより たた、∠°より△も盎角二等蟺䞉角圢だから。
よっお、∠°∠°より// たた、//より四角圢は平行四蟺圢である。
よっお、

よっお、△ABE ず△ADC の面積は等しいこずがわかりたす。
したがっお、台圢 ABCD の面積は「△ABE 2 ぀ず△AEC の面積の合蚈」を出せばいいこずになりたす。
ずころで、これら 3 ぀の䞉角圢を䞊べ替えれば底蟺ず高さがずもに 10 cm の盎角二等蟺䞉角圢になりたす。

からに察しお垂線を立お、の延長ずの亀点をずするず△は盎角二等蟺䞉角圢で、䞊にずなる点を取るず、△ず△は合同。たた、錯角より∠∠°∠°より、∠°°°よっお、察称性より△は頂角が°の二等蟺䞉角圢になる。ここで、△は底角が°の二等蟺䞉角圢より半分に切っお組み盎すず、△の所にぎったりずはたる。よっお、台圢を△△ず△に分けお等積倉圢するず△ず等積になり、△は等蟺がの盎角二等蟺䞉角圢より、×÷^2
よっお、答えは、^2

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

埌半、なんか謎の迷走を始めおたすが倧䞈倫でしょうか

「これら 3 ぀の䞉角圢を䞊べ替えれば底蟺ず高さがずもに 10 cm の盎角二等蟺䞉角圢になりたす。」
は文字通りの操䜜でしかなく、謎の等積倉圢だのさらなる切断だのは䞍芁ですよ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

因みに、「蟺 BC 䞊に ∠DAE = 30° ずなるように点 E をずる」代わりに、DからABず平行な盎線を匕いお点Eを定めおも出来たすが、かなり面倒臭いですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

本圓にできたすか
AB//DE から ∠DAE = 30° を導くこずはおそらく䞍可胜だろうず私は思っおいたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ええ、平行四蟺圢を䜜った埌にを蟺ずした正䞉角圢を頂点がに関しお点偎に䜜り、ずの亀点をずしおを結ぶず工倫次第で∠°ず求たるので、∠∠°ず求たりたす。
ただし、䞊にも曞きたしたが、ちょっず面倒臭いので実戊向きではありたせん。

算数的解法はいく぀か思い぀きたしたが、今のずころその䞭で䞀番綺麗なのを投皿したす。
手応え的にはもっず綺麗な解法も眠っおそうな感じがしたすが。

凄いですよね。

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> AB//DE から ∠DAE = 30° を導く
「∠ABD=15°、∠DBC=30°、∠BCA=90°、∠ACD=45°である四角圢ABCDにおいお∠ADBを求める」
ずいうラングレヌの問題になりたすので、䜕らかのうたい解法はあるず思いたす。
算数の範囲で解けるかどうかはわかりたせんが
うたくない倩䞋り的解法でよけれぱ、以䞋のようにはできたす。
䞭心がOの円に内接する正十二角圢ABCDEFGHIJKLにおいお盎線BFず盎線LHの距離は円の半埄に等しいので、
OAの垂盎二等分線ずBF,LHの亀点を順にM,Nずするず四角圢AMONは正方圢。
そしお䞉角圢ACOは正䞉角圢なので、
四角圢BCMAは䞊蚘のラングレヌの問題の四角圢ABCDの図ず等しく、答えは15°。

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らすかるさん、ありがずうございたす。
四角圢BCMAが本題の図の四角圢ECDAに圓たり、∠EACが°らすかるさんの図では∠BACになるずいう蚳ですね。
うっかり、私の方も算数ずいう事を忘れおいたので、算数に修正したした。

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なるほど、頑匵ればできなくはないのですね。
ずはいえ、最初から ∠DAE = 30° で匕けば補助線は AE だけか、䞁寧にやるにしおも䞋底ぞの垂線 AH ずあわせお 2 本だけで枈むわけで、平行線からスタヌトする方は結局無意味にややこしさを増しおるだけな印象です。

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ええ、その埌、

因みに、「蟺 BC 䞊に ∠DAE = 30° ずなるように点 E をずる」代わりに、DからABず平行な盎線を匕いお点Eを定めおも出来たすが、かなり面倒臭いですね。

を蟺ずした正䞉角圢を描いおも出来る事が刀明したしたが、それも面倒臭いだけですね。たぁ、それが面癜いんですが。笑

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ようやく問題の䜜為解答っぜいものを芋぀けたした。
ただの台圢ではなく等脚台圢ずわざわざ曞いおあるこずにもっず泚目するべきでした。


この四角圢を AC で切断し、△ADC を裏返しお、再び AC に逆向きに接合したす。
するず、AB = AE, ∠ABC = 45°, ∠BAE = 150°, ∠AEC = 135°, ∠BCE = 30° の四角圢 ABCE ができたす。

これを今床は BE で切断するず 2 ぀の二等蟺䞉角圢ができたす。
さらにそれらをそれぞれ察称に真っ二぀にするず、結局この図圢は
・斜蟺が 10 cm、高さが 5 cm、底角 30° の盎角䞉角圢
・高さが 5 cm、底角 75° の盎角䞉角圢
が 2 枚ず぀になりたす。

ずころで、これら 1 枚ず぀を高さ同士が背合わせになるように貌り合わせるず、
底蟺 10 cm、高さ 5 cm の二等蟺䞉角圢になるので、その面積は 10*5*(1/2) = 25 cm^2
よっお元の台圢の面積はその倍で 50 cm^2

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さすが、DD++さん芋事ですね。
で切っお組み換えるのはたたに芋る手法ですが、最埌の所の぀の䞉角圢を぀の二等蟺䞉角圢にする所は脱垜です。

前回の解答も今回ぐらい分かり易ければわざわざ解説しなかったんですけどね。

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前回のも、ほずんどが私はやっおない蚈算を勝手に壊れた扉さんが付け足したくっおややこしくしただけですよ

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問題
等脚台圢ABCDがあり、AD//BCである
∠ABC∠DCB45°
∠ACB15°
∠ACD30°
AD10cm
四角圢ABCDの面積は

算数の解法
の延長ずの延長ずの亀点をずするず、△ず△は盞䌌で共に盎角二等蟺䞉角圢になり、∠°
たた、∠°
よっお、△は°°°の盎角䞉角定芏型で、からに垂線を䞋ろしその足をずするず、△ず△も°°°の盎角䞉角定芏型になる。
よっお、①ずするず、②④より、④①③ よっお、
よっお、△△ よっお、△△で△ず△は盞䌌より、
××
ずころで、△ず△も盞䌌で、△△××
たた、△は斜蟺がの盎角二等蟺䞉角圢より、△×÷^2
よっお、△×^2 よっお、台圢^2

皆さんありがずうございたす、答えは50cm^2で合っおおりたす。
壊れた扉さんの解法は算数で求たる郚分ず求たらない郚分を寄り分けおいくような感じなので、ある意味で本質的な解き方ですね・・・

返信が遅れおすみたせんでした。ありがずうございたす。

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なんか私の以前の解答に勝手に嘘解説぀けた䞊で難癖぀けおくる人がいるので、他の人が隙されないよう、もう䞀回ちゃんず曞いおおきたす。

以䞋が前回の解答の蚈算党郚です。
No.1701 の自称「解説」はおんで的倖れな蚈算を勝手に付け足し、それがさも重芁であるかのように嘯いおいるだけです。
ご泚意ください。


蟺 BC 䞊に ∠DAE = 30° ずなるように点 E をずりたす。
平行線の錯角が等しいこずから ∠DAC = 15° なので、∠EAC = 30° - 15° = 15° です。
したがっお、△EAC は二等蟺䞉角圢であり、EC = EA であるこずがわかりたす。

たた、点 A から返 BC に垂線 AH を䞋ろしたす。
∠EAH は 90° から ∠DAC を匕いた残りなので、∠EAH = 90° - 30° = 60°
よっお、△EAH は内角が 90°, 60°, 30° の盎角䞉角圢であるこずがわかり、AE は AH の倍の長さであるこずがわかりたす。
したがっお、EC は台圢の高さ 2 ぀分の長さであるこずがわかりたす。

この台圢は底角 45° の等脚台圢なので䞋底は䞊底よりも台圢の高さ 2 ぀分長く、BE はその䞋底よりも EC すなわち台圢の高さ 2 ぀分短いので、
BE は䞊底の長さず等しい 10 cm であるこずがわかりたす。

ここで、△ABE ず △ADC に泚目するず、どちらも底蟺 10 cm で、高さは台圢ず共通です。
すなわち、この 2 ぀の䞉角圢は等しい面積です。
よっお、
台圢の面積 = △ABE + △EAC + △ADC = △ABE*2 + △EAC
を求めればいいこずになりたす。

ずころで、△ABE 2 ぀を AB 同士匵り合わせおブヌメラン型にするず、
凹んでいる郚分は頂角 150° で等蟺が AE である二等蟺䞉角圢すなわち △EAC の圢になりたす。

よっお、△ABE*2 + △EAC は等蟺 10 cm の盎角二等蟺䞉角圢の面積に等しく、10*10*(1/2) = 50 cm^2 です。
したがっお、元々の台圢の面積も 50 cm^2 です。


## 今回は省略もしおいたせんので、勝手に倉な蚈算を足さないでください。

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ようやく意図が分かりたした。
念のため、邪魔をしおいる蚳ではありたせん。

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ご返信が遅くなりたした。
DD++さんの解き方は面癜いですね最埌にうたく盎角二等蟺䞉角圢を䜜るのが矎しいですね・・・

少し脇道にそれたすが、途䞭で出おきた「∠ABD=15°、∠DBC=30°、∠BCA=90°、∠ACD=45°である四角圢ABCDにおいお∠ADBを求める」ずいう問題は、1995幎算数オリンピックトラむアルで蚭定されおいる角床の堎所は違いたすが同じ図圢で問題が出おいたす。
簡単に解くならこんな感じですかね・・・
蟺ACを1蟺ずする正䞉角圢を点Bの反察偎に䜜り、頂点をEず眮く。
∠BDC∠DCE=15°なので、BD//CE。 ①
たた、BCACECであるこずから、△BCEは二等蟺䞉角圢で、∠CEB15°
よっお、∠DBE30°ヌ15°15°
∠DBE∠BDC15°であるこずず①より、四角圢BCEDは等脚台圢なので、∠BCE∠DEC105°、BCDE。
もろもろ蚈算するず△AEDが盎角二等蟺䞉角圢であるこずがわかり、ABADずなっお党郚の角床が求たりたす。

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因数分解できない倚項匏

pを玠数ずしお, p=a_0+a_1×10+・・・+a_n×10^nを10進数衚瀺ずしたす。
このずき,f(X)=a_0+a_1X+・・・a_nX^nは敎数係数の範囲で因数分解できたすか

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次数が 1 以䞊の敎数係数の倚項匏ずしお
P(x), Q(x),R(x) が䞎えられおいお
P(x) = Q(x)*R(x)
を満たしおいるものずしたす。
たた、P(x) の党おの係数は 0 から 9 たでの敎数ずしたす。

P(10) が玠数ずなるこずはありたすか

ずいう課題を意図されおいるのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎01月21日 13:31)

P(X) = a_n*X^n +・・・+a_1*X^1 +a_0
Q(X) = b_k*X^k +・・・+b_1*X^1 +b_0
R(X) = c_m*X^m +・・・+c_1*X^1 +c_0
n = k +m
k > 0 ,m > 0
P(X) = Q(X)*R(X)
ずしたす。
たた、P(X), Q(X), R(X) の党おの係数は敎数ずしたす。か぀、P(X) の党おの係数は 0 から 9 たでの敎数ずしたす。 ただし、a_n, b_k, c_m は 0 にはならず、党お正ずしたす。

p = P(10) が玠数ずなるかどうかに぀いお怜蚎したす。

準備①
Q(X), R(X) の党おの係数に぀いお、その絶察倀は 9 以䞋です。
なんずなればこれらの係数のうちひず぀でも 10 以䞊であれば、P(X)の係数のうち少なくずもひず぀に぀いお、その絶察倀が 10 を超えおしたうからです。これは条件にあいたせん。

以䞋、背理法を䜿いたす。
すなわち、p が玠数ず仮定するず矛盟するこずを瀺したいず思いたす。

さお p が玠数なので
P(10) = Q(10)*R(10) は玠数です。
䞀般性を倱うこずなく、R(10)を 1 ずできたす。すなわち
r(X) を倚項匏ずしお
r(10) = 0
R(X) = r(X) +1
ず定矩するこずずなりたす。

P(X) = Q(X)*R(X) = Q(X)*(r(X) +1)
ずなりたすが、
P(10) = Q(10)
ずも蚀えたす。

ずころであらかじめ準備しおおいたように
Q(X) の党おの係数に぀いお、その絶察倀は 9 以䞋です。
しかも、P(X) の次数よりも、Q(X) の次数のほうが小さいこずは定矩より明らかです。
これらのこずから
P(10) の桁数はQ(10)の桁数よりも倧であるはずです。
しかしながらさきにみたように䞀方においお
P(10) = Q(10)
なので、矛盟したす。

背理法により、
仮定しおいたずころの
「p = P(10) が玠数である」は
停であるずわかりたした。

==

以䞊、なんだか気持ち悪くスゞワルなのですが
間違っおいる点あるいはこうしたほうがもっずスッキリするずいった埡批正を頂きたく存じたす。よろしくお願いいたしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> Q(X), R(X) の党おの係数に぀いお、その絶察倀は 9 以䞋です。
> なんずなればこれらの係数のうちひず぀でも 10 以䞊であれば、P(X)の係数のうち少なくずもひず぀に぀いお、その絶察倀が 10 を超えおしたうからです。これは条件にあいたせん。

これは蚀えないのでは
䟋えば
(x^2-x+1)(2x^2+10x+9)=2x^4+8x^3+x^2+x+9
のような䟋がありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん。
ご指摘を有難うございたす。
ううむ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

自力で蚌明するこずはあきらめたした。

Cohn's irreducibility criterion の特殊なばあいなのですね。Arthur Cohn の既玄刀定法

OEIS に関連するかもしれない数列がありたす。
https://oeis.org/A253280

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ずりあえずp≩10億の玠数に぀いお調べたしたが、すべお既玄でした。
よっお成り立ちそうではありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

https://mast.queensu.ca/~murty/murty.pdf

こちらに詳しい蚘茉があるようです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

実数解の個数

(1) 方皋匏 x^3 - 3 + 2-a = 0が異なる2぀の実数解をも぀ずき、 定数aの倀を求めよ.

(2) 方皋匏 x^4 + (a − 5)x^3 + bx^2 − 4ax + a = 0 が 重解含めお4 ぀の正の実数解をも぀ずき、 定数a、bの倀を求めよ.

(1)はわかったのですが、(2)がわかりたせん、、、。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈1711件 (投皿280, 返信1431)

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