😊出会いの泉😊

n種類の性質のうちの、ちょうどk種類の性質のみを保有する
オブジェクトの数を e_k とします。
また、n種類の性質のうちの、特定のk種類の性質を保有する
(このk種類以外の性質を保有していてもよい)オブジェクトの数を
n_kとし、すべての k-部分集合(これらの部分集合は全部でcomb(n,k)個ある)
に対してn_kを足し合わせたものを N_k とします。
このとき、等式
N_k = Σ[j=k～∞]comb(j,k)*(e_j) --- (★)
が成立しています。
E(x)=Σ[k≧0](e_k)*x^k，
N(x)=Σ[k≧0](N_k)*x^k
とします。そうすると、
N(x)
=Σ[k≧0](N_k)*x^k
=Σ[k≧0](Σ[j≧k]comb(j,k)*e_j)*x^k
=Σ[j≧0](e_j)Σ[k≧0]comb(j,k)*x^k
=Σ[j≧0](e_j)*(1+x)^j
=E(1+x)
となります。
よって、E(x)=N(x-1).　
このことからe_kは次のように計算できます。
e_k
=[x^k]E(x)
=[x^k]N(x-1)
=[x^k]Σ[j≧0](N_j)*(x-1)^j
=[x^k]Σ[j≧0](N_j)*Σ[r≧0](comb(j,r)*(x^r)*(-1)^(j-r))
=Σ[j≧0](N_j)*(comb(j,k)*(-1)^(j-k))
=Σ[j≧k](N_j)*(comb(j,k)*(-1)^(j-k))
=N_k-comb(k+1,k)*N_(k+1)+comb(k+2,k)*N_(k+2)- … +(-1)^(n-k)*comb(n,k)*N_n
となります。

等式(★)の厳密な証明が、下記ファイルにあります。
https://www2.math.upenn.edu/~wilf/gfology2.pdf
(ファイルの116ページ 4.2 A generatingfunctionological view of the sieve method)

また次の本にも、E(x)=N(x-1)であることの証明があります。
「 Combinatorial Enumeration 」(Dover)
Ian P.Goulden, David M.Jackson 著
46ページおよび47ページ．　(Chap.2 2.2.28.および 2.2.29)　
以下からダウンロードが可能です。
https://vdoc.pub/documents/combinatorial-enumeration-4vpn3s5kq2c0

なるほど、形式的冪級数って手がありましたか。
ありがとうございます。

読解力のない私には
後者「正七角形と引かれた全対角線の状態においての三角形」
の意味が理解できません。
前者「正七角形の7つの頂点と中に発生する交点から3点を選んで作られる三角形」
との違いを教えて下さい。
（前者のみに含まれるもの、あるいは後者のみに含まれるものの例をお願いします。）

私も日本語の使い方に不安を抱える技量不足の力しかありませんが
後者の意味は
「正七角形と引かれた全対角線の状態」
においては対角線によって中に35個の交点が発生し、中心部では
小さい正七角形が作られている図形が現れてきます。
従って考えれる三角形は今の状態において図の中に発見できるものに
限っての三角形をカウントすることになります。
ですから中心部の小さい正七角形の交点の7つから3つを選んで出来る
三角形は対象外にする。
つまり
前者は出来た交点を元に作られる三角形の総数
後者は出来た図形に含まれる三角形の形状の総数
のニュアンスです。

それならば、とりあえず元の問題文が
「正七角形の頂点と対角線の交点で作られる三角形について」
のように「点で作られる」三角形と言っていますので、
元の問題の解釈は前者ですね。
# 対象が「点」のみのため「辺」や「対角線」は関係ない、つまり
# 辺や対角線がなく42個の点が散らばっている状態から
# （一直線上にない）3点を選んで結び、
# 三角形を描くということになると思います。
もし後者の解釈ならば「点」に言及する必要がありませんので
「正七角形の辺と対角線で作られる三角形」
と表現されると思います。

後者の場合、考え違いがなければ
3点が正七角形の頂点 → 7C3個
2点が正七角形の頂点 → 7C4×4個
計175個
となる気がします。

> 2点が正七角形の頂点 → 7C4×4個

この計算式だけで処理可能な理由を解説して下さい。
できたら前者の場合の計算方法も教えて下さい。

2点が正七角形の頂点で残り1点が対角線の交点、かつその対角線が
最初の2点から出ている線ならば、それら2本の対角線の反対側は
正七角形の頂点なわけで、そうするとこれら4つの頂点と対角線の
交点から4つの三角形が構成されることがわかります。
この対応には重複はありませんので、7C4×4で計算されることになります。

前者の計算は
対角線の交点が2頂点を通る直線上にある場合も含めると、
全部で7C2×35個
このうち対角線の交点が2頂点を通る直線上にあるものは
交点1つにつき2回数えられているので、
1頂点が対角線の交点であるものは 7C2×35-35×2=665個
すべて正七角形の頂点であるものは7C3=35個なので、
求める個数は665+35=700個

√3はb/aと(3a+b)/(a+b)の間にあると思います。
より一般に
√nはb/aと(na+b)/(a+b)の間にあると思います。

a,b は正の数で a√n ≠ b であるとき、
p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。

よって、次のようにいろいろ作れそうですね。

√3 は b/a と 3(2a+b)/(3a+2b) の間にある。
√3 は b/a と (9a+5b)/(5a+3b) の間にある。
√3 は b/a と 3(7a+4b)/(12a+7b) の間にある。

連分数展開と関係しているのかもしれませんね

p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
(n*p*a+q*b)/(q*a+p*b)
の分数がどの様な形を成すのかを調べて行くと
（但しn=3として調査したもの)

[p,q]=[2,3]=>(6*a+3*b)/(3*a+2*b)

[3,4]=>(9*a+4*b)/(4*a+3*b)
[3,5]=>(9*a+5*b)/(5*a+3*b)

[4,5]
[4,6]

[5,6]
[5,7]
[5,8]

[6,7]
[6,8]
[6,9]
[6,10]

[7,8]
･･････


の様に各pに対して分数を構成可能なqの最大値を追っていくと
3,5,6,8,10,12,13,15,17,19,20,22,24,25,･････
この数列がちょうどA022838;Beatty sequence for　sqrt(3)
に対応する数列と繋がっていました。
sqrt(3)繋がりでちょっと面白く感じました。

a,b は正の数で a√n ≠ b であるとき、
p√n > q を満たす正の数 p,q に対して、
√n は b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にある。


証明を書いておきましょう。
簡単なので。


Y
= (√n - b/a) * (√n - (npa+qb)/(qa+pb))
= (√n - b/a) * (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - b/a) * (√n - q/p)
= (-1) * pa/(qa+pb) * (√n - q/p) * (√n - b/a)^2
とおく。
ここで、
pa/(qa+pb) > 0,
√n - q/p > 0,
(√n - b/a)^2 > 0
なので、
Y < 0
となり、
「√n > b/a かつ √n < (npa+qb)/(qa+pb)」
あるいは
「√n < b/a かつ √n > (npa+qb)/(qa+pb)」
のいずれかが成り立ち、
√n が b/a と (npa+qb)/(qa+pb) の間にあることがわかる。

b/aと(2a+b)/(a+b)に間に√２があり、
(2a+b)/(a+b)に近いことを、踏まえて、これを繰り返して
a=b=1で、具体的に、分数の近似を計算しました。
1/1,3/2,7/5,17/12,41/29,99/70.239/169,577/408
1393/985, 3363/2378, 8119/5741, 19601/13860
47321/33461=１.４１４２１３５６２…

b/aと(ma+b)/(a+b)に間に√mがあり、
(ma+b)/(a+b)が極限値をαをもつならば、これを繰り返して
x(n)=b(n)/a(n)→α と置くと、
x(n+1)=(m+x(n))/(1+x(n)) から
α＝（ｍ＋α）/(1＋α）
α^2=m となりα＝√ｍを得る。

3乗根の場合は、どうなりますか？
例えば、２の３乗根

2^(1/3)は b/a と (2a^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) の間にあります。
n^(1/3)は b/a と (na^2+ab+b^2)/(a^2+ab+b^2) の間です。

似たような式ですが、
（2a^2+a*b）/(a^2+b^2)も、２の三乗根に収束すると思いますが、
効率的でなくて、直ぐに、オーバーフローします。
素数のウィルソンの公式みたいに、効率的でないこともありますね。

効率がよいとは言えない、ごく一般的な解き方ですが
h(x)=f(x)-g(x)=(x+2)(x^2-21x+105)=x^3-19x^2+63x+210
とおくとh(x)=0の解はx=-2,(21±√21)/2≒(21±4.6)/2={8.2,12.8}
また
i(n)=Σ[x=1～n]h(x)=(n(n+1)/2)^2-19n(n+1)(2n+1)/6+63n(n+1)/2+210n
=(3n^3-70n^2+267n+2860)n/12
よって囲まれた内部の格子点の数は
Σ[x=-1～12](|h(x)|-1)
=Σ[x=-1～8](h(x)-1)+Σ[x=9～12](-h(x)-1)
=(h(-1)-1)+(h(0)-1)+Σ[x=1～8](h(x)-1)+Σ[x=1～12](-h(x)-1)-Σ[x=1～8](-h(x)-1)
=(-1-19-63+210-1)+(210-1)+Σ[x=1～8](2h(x))-Σ[x=1～12](h(x)+1)
=126+209+2Σ[x=1～8]h(x)-Σ[x=1～12]h(x)-12
=323+2Σ[x=1～8]h(x)-Σ[x=1～12]h(x)
=323+2i(8)-i(12)
=323+16(1536-4480+2136+2860)/12-(5184-10080+3204+2860)
=323+4(2052)/3-(1168)
=323+2736-1168
=1891

普通の解き方ですが

(1) x+y+z+xyz=xy+yz+zx+25
整理して (x-1)(y-1)(z-1)=24
∴(x,y,z)=(2,2,25),(2,3,13),(2,4,9),(2,5,7),(3,3,7),(3,4,5)

(2) x+y+z+xy+yz+zx=xyz+7
x≧4とすると
x+y+z+xy+yz+zx≦z+z+z+yz+yz+yz
=3z+3yz＜yz+3yz=4yz≦xyz＜xyz+7
となり式が成り立たないのでx≦3
x=1のとき
1+y+z+y+yz+z=yz+7
y+z=3
∴y=1,z=2なので(x,y,z)=(1,1,2)
x=2のとき
2+y+z+2y+yz+2z=2yz+7
(y-3)(z-3)=4
∴(y,z)=(4,7),(5,5)なので(x,y,z)=(2,4,7),(2,5,5)
x=3のとき
3+y+z+3y+yz+3z=3yz+7
(y-2)(z-2)=2
∴(y,z)=(3,4)なので(x,y,z)=(3,3,4)
従って答えは
(x,y,z)=(1,1,2),(2,4,7),(2,5,5),(3,3,4)

(3) xy+yz+zx+xyz=x+y+z+77
x(y-1)+y(z-1)+z(x-1)+xyz=77
xyz≦77
∴x≦4
x=1のとき
y+yz+z+yz=1+y+z+77
yz=39
∴(y,z)=(1,39),(3,13)なので(x,y,z)=(1,1,39),(1,3,13)
x=2のとき
2y+yz+2z+2yz=2+y+z+77
(3y+1)(3z+1)=238=2×7×17
∴(y,z)=(2,11)なので(x,y,z)=(2,2,11)
x=3のとき
3y+yz+3z+3yz=3+y+z+77
(2y+1)(2z+1)=81
∴(y,z)=(4,4)なので(x,y,z)=(3,4,4)
x=4のとき
4y+yz+4z+4yz=4+y+z+77
5yz+3y+3z=81
25yz+15y+15z=405
(5y+3)(5z+3)=414
4≦y≦zから(左辺)≧23^2=529なので解なし
従って答えは
(x,y,z)=(1,1,39),(1,3,13),(2,2,11),(3,4,4)

鮮やかな解答ありがとうございました。

> (1) x+y+z+xyz=xy+yz+zx+25
> 整理して (x-1)(y-1)(z-1)=24

解と係数と何か結びつけられないものか？
とあれこれ思案して30分ほどしてやっとこの式に辿り着けました。

> (2) x+y+z+xy+yz+zx=xyz+7
> x≧4とすると
> x+y+z+xy+yz+zx≦z+z+z+yz+yz+yz
> =3z+3yz＜yz+3yz=4yz≦xyz＜xyz+7
> となり式が成り立たないのでx≦3

このxの評価をこの様に鮮やかに思いつけるのが私には驚きです。

> (3) xy+yz+zx+xyz=x+y+z+77
> x(y-1)+y(z-1)+z(x-1)+xyz=77
> xyz≦77
> ∴x≦4

これもxの評価の仕方が目から鱗です。

なおこれらに使っている定数25,7,77
はx≦y≦z≦100
の範囲でプログラム的に全解を調査した後
出題として解が多様に散らばるものを選んで設定しておりました。

自分だけで回答する手段とこうして他人の方法を比較することで
如何に改善の余地を秘めているのかを痛切に感じられてとても参考になります。

あまり意味のない式ですが、例えば
X(X-79)+1601
はX=0～79の80個で素数になります。

(追記)
一次式であれば、いくらでも長い連続があることは証明されています。
（ただし、具体値は最長で27連続ぐらいまでしか見つかっていません。）

ありがとうございます。
らすかるさんの式は、４０横へ平行移動して得ることができました。
元の式は、連続でなくても、他の数でも、素数になりますね。
やはり、特別感が、あります。
二次の項の係数を変えて、AX^2＋BX＋C　の形では
何か新しい結果、ないでしょうか？

小さい数については探索してみましたが、
40個も連続するものは他に見つかりませんでした。
他で見つかった最大は2x^2+29の29連続(x=0～28)です。

邪道ですが次の様な二次式では途中マイナスの符号は取るが、値としては素数を
堅持するものも何とか認めてやると連続45とか43とかはいるようです。

gp > f1(x)=36*x^2-810*x+2753
gp > for(x=0,45,print(x";"f1(x)" ; "isprime(f1(x))))
0;2753 ; 1
1;1979 ; 1
2;1277 ; 1
3;647 ; 1
4;89 ; 1
5;-397 ; 0　(マイナスを除くと素数となる)
6;-811 ; 0
7;-1153 ; 0
8;-1423 ; 0
9;-1621 ; 0
10;-1747 ; 0
11;-1801 ; 0
12;-1783 ; 0
13;-1693 ; 0
14;-1531 ; 0
15;-1297 ; 0
16;-991 ; 0
17;-613 ; 0
18;-163 ; 0
19;359 ; 1
20;953 ; 1
21;1619 ; 1
22;2357 ; 1
23;3167 ; 1
24;4049 ; 1
25;5003 ; 1
26;6029 ; 1
27;7127 ; 1
28;8297 ; 1
29;9539 ; 1
30;10853 ; 1
31;12239 ; 1
32;13697 ; 1
33;15227 ; 1
34;16829 ; 1
35;18503 ; 1
36;20249 ; 1
37;22067 ; 1
38;23957 ; 1
39;25919 ; 1
40;27953 ; 1
41;30059 ; 1
42;32237 ; 1
43;34487 ; 1
44;36809 ; 1
45;39203 ; 0

gp > f2(x)=47*x^2-1701*x+10181
gp > for(x=0,45,print(x";"f2(x)" ; "isprime(f2(x))))
0;10181 ; 1
1;8527 ; 1
2;6967 ; 1
3;5501 ; 1
4;4129 ; 1
5;2851 ; 1
6;1667 ; 1
7;577 ; 1
8;-419 ; 0　　(マイナスを除くと素数となる)
9;-1321 ; 0
10;-2129 ; 0
11;-2843 ; 0
12;-3463 ; 0
13;-3989 ; 0
14;-4421 ; 0
15;-4759 ; 0
16;-5003 ; 0
17;-5153 ; 0
18;-5209 ; 0
19;-5171 ; 0
20;-5039 ; 0
21;-4813 ; 0
22;-4493 ; 0
23;-4079 ; 0
24;-3571 ; 0
25;-2969 ; 0
26;-2273 ; 0
27;-1483 ; 0
28;-599 ; 0
29;379 ; 1
30;1451 ; 1
31;2617 ; 1
32;3877 ; 1
33;5231 ; 1
34;6679 ; 1
35;8221 ; 1
36;9857 ; 1
37;11587 ; 1
38;13411 ; 1
39;15329 ; 1
40;17341 ; 1
41;19447 ; 1
42;21647 ; 1
43;23941 ; 0

m+1進数において、位取り記法では、定義によって、0.mmm・・・・＜１　（ただし、位取り記法の各桁の値がmのとき、0.mmm・・・・の次は桁上がりして１であるから）
さて、もし仮に、１と0.mmm・・・・の間に0.mmm・・・pという小数があるとすると、
0.mmm・・・・＜0.mmm・・・p＜１
ところである桁のpはm+1進数なので定義によって0〜mでなければならない。
しかし、0.mmm・・・・はすべての桁がmなので、ある桁のpはm+1でなければならないが、それはｍ＋１進数の定義によって不可能である。
したがって、0.mmm・・・pは存在しない。
また、0.mmm・・・・＜１より、1ー0.mmm・・・・＝β>0
ゆえに、m+1進数において、小数は量子化されている。

何通りでもできますね！
555+555+555+555=2220
222+444+666+888=2220
111+333+777+999=2220

自分の計算機では280になってしまう！
gp > floor(sqrt(sqrt(exp(exp(2)))))!/floor(log(sqrt(exp(exp(2)))))+floor(sqrt(exp(exp(2))))
%193 = 280

（内わけ）
gp > floor(sqrt(sqrt(exp(exp(2)))))!
%194 = 720
gp > floor(log(sqrt(exp(exp(2)))))
%195 = 3
gp > floor(sqrt(exp(exp(2))))
%196 = 40

最後のexp 2についているカッコは[　]です。つまり
floor(sqrt(exp(exp(2)))) = 40
ではなく
floor(sqrt(exp(floor(exp(2))))) = 33
です。

お遊びで2を5個も使ってみました。

gp > round(exp(2+2)/(log(2)-sin(2)-cos(2)))
%253 = 273