MENU
348,607

極ず極線

円の極ず極線はよく知られおいたすが、
䞉角圢の極は知りたせんでした。
極線は、接戊の䞀般化ず考えおいいのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞉線極点(trilinear pole)ず䞉線極線(trilinear polar)のこずですよね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E7%B7%9A%E6%A5%B5%E7%B7%9A


これが䜕かの䞀般化なのかどうか私は知りたせんが、
円や二次曲線の極・極線ずは無関係だず思った方がいいず思いたす。

よくあるこずですが、別のものに同じような名称が䜿われおいるず玛らわしいですよね。


この図で基準䞉角圢を△ABCずするずき、点Pず盎線UVWが䞉線極点・䞉線極線の関係にありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

No.2538 の図に぀いお説明を曞いおおこうず思いたす。

以䞋では射圱平面で考えるこずずし、
ナヌクリッド平面で必芁な平行線の堎合分けを䞀切省略したす。

点から始める堎合ず盎線から始める堎合でそれぞれ説明ができたすが、
それぞれの説明は射圱幟䜕の双察の関係にありたす。


(1)[点Pから始める堎合]

基準䞉角圢を△ABCずしたす。
点Pは盎線BC,CA,AB䞊にない点ずしたす。

BCずAPの亀点をA'CAずBPの亀点をB'ABずCPの亀点をC'ずするずき、
△A'B'C'を(△ABCに関する)点Pのチェバ䞉角圢ずいいたす。

基準䞉角圢△ABCずチェバ䞉角圢△A'B'C'は点Pを䞭心ずする配景の䜍眮にあるので
デザルグの定理により配景の軞が存圚したす。
すなわち、BCずB'C'の亀点UCAずC'A'の亀点VABずA'B'の亀点Wはある盎線l䞊にあり、
この盎線lを(△ABCに関する)点Pの䞉線極線ずいいたす。

たた、A,A'に関する点Pの調和共圹点をA''B,B'に関する点Pの調和共圹点をB''
C,C'に関する点Pの調和共圹点をC''ずするずき、
△A''B''C''を(△ABCに関する)点Pの反チェバ䞉角圢ずいいたす。
4点A,U,B'',C''4点B,V,C'',A''4点C,W,A'',B''はそれぞれ䞀盎線䞊にありたす。

基準䞉角圢△ABCず反チェバ䞉角圢△A''B''C''は点Pを䞭心ずする配景の䜍眮にあるので
デザルグの定理により配景の軞が存圚したすが、それは盎線lに䞀臎したす。


(2)[盎線lから始める堎合]

基準䞉角圢を△ABCずしたす。
盎線lは点A,B,Cを通らない盎線ずし、
盎線lず盎線BC,CA,ABの亀点をそれぞれU,V,Wずしたす。

3盎線AU,BV,CWを蟺ずする䞉角圢を△A''B''C''ずしたす。
(BVずCWの亀点をA''CWずAUの亀点をB''AUずBVの亀点をC''ずしたす。)

基準䞉角圢△ABCず△A''B''C''は盎線lを軞ずする配景の䜍眮にあるので
デザルグの定理により配景の䞭心が存圚したす。
すなわち、3盎線AA'',BB'',CC''はある点Pで亀わり、
この点Pを(△ABCに関する)盎線lの䞉線極点ずいいたす。

たた、BC,AUに関する盎線lの調和共圹線をiCA,BVに関する盎線lの調和共圹線をj
AB,CWに関する盎線lの調和共圹線をkずするずき、
3盎線i,j,kを蟺ずする䞉角圢を△A'B'C'ずしたす。
(jずkの亀点をA'kずiの亀点をB'iずjの亀点をC'ずしたす。)
4盎線BC,AA'',j,k4盎線CA,BB'',k,i4盎線AB,CC'',i,jはそれぞれ䞀点で亀わりたす。

基準䞉角圢△ABCず△A'B'C'は盎線lを軞ずする配景の䜍眮にあるので
デザルグの定理により配景の䞭心が存圚したすが、それは点Pに䞀臎したす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月11日 03:52)

栌子点の自䜜問題

次のような問題を考えおみたした

【問題】
平面䞊に栌子点を頂点ずする四角圢ABCDがある。
蟺AB䞊、BC䞊には奇数個の栌子点があり、蟺CD䞊には偶数個の栌子点があるずするず、蟺DA䞊にある栌子点の個数は奇数個でなければならないか、それずも偶数個でなければならないかあるいはどちらずも蚀えるかただし、0も偶数に含めるものずする。

色々な解法があるかもしれたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

すみたせん、最埌の䞀文の0も偶数に含めるものずする、は䜙蚈でしたね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

蟺䞊の栌子点が奇数個⇔蟺の䞭点が栌子点⇔蟺の䞡端の座暙の偶奇がx,yずも同じ
蟺䞊の栌子点が偶数個⇔蟺の䞭点が非栌子点⇔蟺の䞡端の座暙の偶奇がx,yいずれかで異なる
ずなるから、問題の条件ではA,B,Cの座暙の偶奇はx,yずも同じ
そしおDずCは座暙の偶奇がx,yいずれかで異なるから
DずAも座暙の偶奇がx,yいずれかで異なるこずになり、
蟺DA䞊の栌子点の個数は必ず偶数個。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

正解です
ちょっず簡単過ぎたしたかね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

未解決な玠因数分解

呜題
n を正の敎数ずする。任意の n に぀いお
(10^{n}*1198 -1)/9
は合成数である。

本日気になっおあちこち調べたくりたしたが
どうやら未解決のようです。
2000 以䞋の n に぀いおは合成数ず刀明しおいお 2001 から 2500 たでの範囲では、䞋蚘の図に登堎しおいる n 以倖で合成数ず刀明しおいたす。䞋蚘図の n に぀いおは合成数か玠数かに぀いおわかっおいないようです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

133の埌に1をn個続けお玠数になる最小のnは2890ですから、それらの倀はすべお合成数ずわかっおいたす。
実際、それらの倀をPari/GPでisprime((10^2248*1198-1)/9)のように調べるず、すべお(1秒以内で)0(぀たり合成数)ず刀定されたす。
参考: https://oeis.org/A069568
↑このペヌゞのデヌタは私が2023幎にa(119)a(602)を远加するたではa(1)a(118)たでしかありたせんでした。
603の埌に1を䜕個続けるず玠数になるかは、おそらく誰もわかっおいないず思いたす。
少なくずも30䞇個たでは合成数でした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月06日 08:12)

らすかるさん、偉業ですね。

※ (11980000*(1000000^(n))-1)/9 → 実はこちらの倉皮でもがいおおりたした。(⁠゜⁠o⁠゜⁠;

a(603) が䞍明ずのこず、倧倉に心惹かれたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

癜状したすず
MAGMA で以䞋のコヌドで走らせお玠数がみ぀かっおいなかったので悲しいです。

for n in [4000] do
p := (1198 * 10^n - 1) div 9;
if IsPrime(p) then
printf "n = %o, candidate = %o\n", n, p;
end if;
end for;

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Python で䞋蚘を走らせたずころ、たしかに、
n = 2890 で玠数ずなりたした。

from sympy import isprime

# n を 2889 から 2891 の範囲で調べる
n_range = range(2889, 2892)

# 結果を栌玍する倉数
prime_results = []

for n in n_range:
P_n = (1198 * 10**n - 1) // 9 # 敎数倀を蚈算
if isprime(P_n):
prime_results.append((n, P_n)) # n ずその玠数を蚘録

prime_results # 結果を出力

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> ※ (11980000*(1000000^(n))-1)/9 → 実はこちらの倉皮でもがいおおりたした。(?゜?o?゜?;

(10^n*1198-1)/9 は
nが奇数のずき11で割り切れ、
n≡0 (mod 6)のずき7で割り切れ、
n≡2 (mod 6)のずき3で割り切れたすので、
玠数になるずしたら
n≡4 (mod 6)しかありたせん。
それを衚したのが
(11980000*(1000000^(n))-1)/9
ですね。
぀たり「倉皮」すなわちこの圢にならない(10^n*1198-1)/9は合成数なので、調べる必芁がないずいうこずです

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月06日 14:43)

n=2890の次に玠数になるのはn=17710でした。
ただし、n=17710のずきの倀は確率的玠数です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん、有難うございたす。
C蚀語で組たれおいたすか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

はい、C蚀語です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん、
埡回答をありがずうございたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

レピュニット擬き

29の埌に1が続く数で玠数になるものを調べおみたら、玠数になるのは、1が100個以䞋の堎合で
2の埌に1が2,3,12,18,23,57個
3の埌に1が1,2,5,10,11,13,34,47,52,77,88個
4の埌に1が1,3,13,25,72個
5の埌に1が5,12,15,84個
6の埌に1が1,5,7,25,31個
7の埌に1が1,7,55個
8の埌に1が2,3,26個
9の埌に1が2,5,20,41,47,92個
ずなりたした。7ず8の堎合が少ないので、7ず8に぀いお1が1000個以䞋の堎合たで調べおみるず、
7に぀いおは1が1,7,55個の他は玠数は珟れず、8に぀いおは1が110,141,474,902個の堎合も玠数になりたした。
ただし、474個の堎合ず902個の堎合は、Online MAGMA calculatorでは決定的玠数刀定法であるECPP法で蚈算が終わらなかったので、確率的玠数です。
さらに7に぀いお1が6000個以䞋の堎合たで調べたしたが、1が1,7,55個の他は玠数になりたせんでした。

レピュニット数の数字を1぀だけ別の数に眮き換えた数で、玠数ずなるものをニアレピュニット玠数(Near Repunit Prime)ずいうそうです。珟圚芋぀かっおいる最倧のニアレピュニット玠数確率的玠数は2014幎12月に発芋された(64*10^762811−1)/9=711111...111だそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

それらは数列サむトhttps://oeis.org/Axxxxxxの以䞋の項目にありたすね。
21111
111が玠数: A056700
31111
111が玠数: A056704
41111
111が玠数: A056706
51111
111が玠数: A056713
61111
111が玠数: A056717
71111
111が玠数: A056719
81111
111が玠数: A056722
91111
111が玠数: A056726
たた、関連するものは以䞋の通りです。
13333
333が玠数: A056698
23333
333が玠数: A056701
43333
333が玠数: A056707
53333
333が玠数: A056714
73333
333が玠数: A056720
83333
333が玠数: A056723
17777
777が玠数: A089147
27777
777が玠数: A056702
37777
777が玠数: A056705
47777
777が玠数: A056708
57777
777が玠数: A056715
67777
777が玠数: A056718
87777
777が玠数: A056724
97777
777が玠数: A056727
19999
999が玠数: A002957
29999
999が玠数: A056703
49999
999が玠数: A056712
59999
999が玠数: A056716
79999
999が玠数: A056721
89999
999が玠数: A056725
ちょうど今、これらの未開拓な郚分に぀いお蚈算しおいるずころです。
17777
777は䞀぀芋぀けたしたので、先月远加したした。

あず、Pari/GPでは4500桁ぐらいたでは決定的玠数刀定法で玠数かどうか調べられたす。
ただし、4500桁ずなるずメモリが12GB、時間が最近のPCで15時間皋床必芁です。
私のPCはメモリが16GBしかありたせんのでこの皋床が限界ですが、
さらにメモリがあれば5000桁ぐらいたではいけるず思いたすただし数日1週間ぐらいかかりたす。
そんな感じなので、8111
111の474個、902個はPari/GPでは1分皋床で決定的玠数ず刀定できたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

謹賀新幎面癜い幟䜕の問題

あけたしおおめでずうございたす。
面癜い問題を芋぀けたしたので、ご玹介したす。
出兞は倧昔の倧数ですが、暡範解答が茉っおおりたせんでした。
皆さたのこの問題に察するさたざたなアプロヌチを芋おみたいです。
さらに、本問に関連する数孊的事実などご存知でしたら、教えおください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

単䜍円呚䞊のn点を、z_1,z_2, 
 ,z_n ずし、
倚項匏
P(w)=(w-z_1)*(w-z_2)*
*(w-z_n)
を考える。
|P(w)|≧2 か぀ 1≧|w| なる w の存圚が次のようにしお瀺せる。

(z_1)*(z_2)*
*(z_n)=(-1)^n ずなるように座暙を蚭定できる。
k=1,2,
,nに察しお、w_k=exp(i*2*π*k/n) ずするず、
P(w_1)+P(w_2)+
+P(w_n)=2*n
であるこずがわかる。よっお、
|P(w_1)|+|P(w_2)|+
+|P(w_n)|≧2*n.
よっお、|P(w_1)||P(w_2)| |P(w_n)|のうち、
少なくずも1぀は2以䞊。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

特殊な堎合ではこうなっおいるようです。

単䜍円に内接する正 n+1 角圢の頂点のうち n 個をずりたす。それらたでの n 個の距離の積が 2 以䞊になる点が、円呚䞊ないしは円の内郚に存圚するこずを瀺せ。

↓↓↓
æ­£ n+1 角圢の頂点のうち n 個をずったずきにあぶれた頂点を P ずしたす。
P から あらかじめずられおいた n 個の頂点に匕いた線分の長さの積 N は n+1 に等しい。

䞍思議  

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「たたは円の内郚」がわざわざ぀いおいるのが気になっおいるんですが、
この積が最倧倀をずる点は必ず円呚䞊にあるわけでもないんですかね
感芚的には必ず円呚䞊ず蚀えそうな気がしおいたすが、さりずお蚌明もできず。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

双察倚角圢を利甚すべきず盎感的に思ったのですが今日たで錠䞀匹捕れたせんでした。
(円の内郚にもあるずしたら  )

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1の原始(n+1)乗根をzずするず、z^(n+1)=1で、z^i(i=0,1,2,...,n)は耇玠数平面䞊で正(n+1)角圢ずなりたす。
zの耇玠共圹z^*はz^*=z^-1なので、実軞䞊の点(x,0)ずz^i(i=1,2,...,n)ずの距離の積の2乗は、
(x-z)*(x-z^-1)*(x-z^2)*(x-z^-2)*...*(x-z^n)*(x-z^-n)
=(x-z)*(x-z^n)*(x-z^2)*(x-z^(n-1))*...*(x-z^n)*(x-z)
=((x-z)*(x-z^2)*...(x-z^n))^2
ずなりたす。

(x-1)*(x-z)*(x-z^2)*..(x-z^n)=x^(n+1)-1=(x-1)*(x^n+...x^2+x+1)
なので、
(x-z)*(x-z^2)*...(x-z^n)=x^n+...x^2+x+1
ず衚すこずができお、実軞䞊の点(x,0)ずz^i(i=1,2,...,n)ずの距離の積は
|x^n+...x^2+x+1|
ずなりたす。

x=1のずきは、
x^n+...x^2+x+1=n+1
ずなっお、距離の積はn+1ずなりたす。
x=0のずきは、(0,0)ずz^i(i=1,2,...,n)ずの距離は1なので、それらの積も明らかに1ですが、
((-z)*(-z^2)*...*(z^n))^2=(-z)^(n(n+1)/2*2)=(-z)^(n(n+1))
=(-1)^(n(n+1))*z^(n(n+1))=1*1=1
ずなるので、距離の積は1ずなりたす。

実軞䞊の点(x,0)ずz^i(i=1,2,...,n)ずの距離の積|x^n+...x^2+x+1|はxに぀いお連続な実数倀関数なので、
䞭間倀の定理から、距離の積が2ずなる点は(0,0)ず(1,0)の間にあるこずになりたす。

--------------------------------------------------------------

1の原始(2k+1)乗根をzずするず、z^(2k+1)=1で、z^i(i=0,1,...,2k)は耇玠数平面䞊で正(2k+1)角圢ずなりたす。
実軞䞊の点(x,0)ずz^i(i=0,1,...,2k)ずの距離の積の2乗は、
(x-1)^2*(x-z)*(x-z^-1)*(x-z^2)*(x-z^-2)*...*(x-z^2k)*(x-z^-2k)
=((x-1)*(x-z)*(x-z^2)*...(x-z^2k))^2
=(x^(2k+1)-1)^2
ずなりたす。

x=-1のずき、
(x^(2k+1)-1)^2=(-2)^2=4
ずなるので、(-1,0)ずz^i(i=0,1,...,2k)ずの距離の積は2ずなりたす。

--------------------------------------------------------------

1の原始2k乗根をz、原始4k乗根をwずするず、n=2k,w^2=z,w^4k=z^2k=1で、w^i(i=0,1,...,4k-1)は耇玠数平面䞊で正4k角圢ずなり、w^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)は耇玠数平面䞊で正2k角圢ずなりたす。
実軞䞊の点(x,0)ずw^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)ずの距離の積の2乗は、
(x-w)*(x-w^-1)*(x-w^3)*(x-w^-3)*...*(x-w^(4k-1))*(x-w^-(4k-1))
=(x-w)*(x-w^(4k-1))*(x-w^3)*(x-w^(4k-3))*...*(x-w^(4k-1))*(x-w)
=((x-w)*(x-w^3)*...*(x-w^(4k-1)))^2
ずなりたす。

(x-w)*(x-w^3)*(x^w^5)*...*(x-w^(4k-1))
=(x-w)*(x-w*z)*(x-w*z^2)*...*(x-w*z^(2k-1))
=x^2k-w^2k=x^2k+1
なのでx^2k-1=0の根ず係数の関係を応甚、x=±1のずき、
x^2k+1=2
ずなるので、(±1,0)ずw^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)ずの距離の積は2ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

[2448] の DD++ さんによる問いかけに぀いお
がんやりず想起したのが以䞋です。

耇玠関数論における最倧倀の原理たたは最倧倀の定理
《正則関数f(z)を、円の䞭心からある䞀定の距離たでの範囲で定矩されおいお、この範囲で倀がなめらかに倉化する関数ずしたす。このずき、f(z)の倧きさを衚す|f(z)|の最倧倀は、その範囲の端っこの郚分、぀たり円呚䞊で必ず芋぀かりたす。》

このような f がみ぀かるず嬉しいなず。

※でも、倧数の蚘事䞭の問題に耇玠関数論䜿うのかず。近道があるのですかね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎01月23日 11:02)

返信遅くなりたした。
私が䜜った解法も、耇玠平面によるものでした。
なぜ「円の内郚」ずわざわざ蚘述されおいるかに぀いおの考察、興味深く拝芋いたしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ツむッタヌで玹介されおいたサむトに以䞋のペヌゞがありたした。(画像はその䞀郚をトリミングしたものです)

https://jkoizumi144.com/puzzles.html

文面が on the circle であり、in the circle ではないこずから、求める点は円呚䞊にあるず意識されおいるこずず存じたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

3-adica

グレッグ・むヌガン(Greg Egan)の未翻蚳の短線SFで"3-adica"ずいう短線がありたす。"3-adica"は「ビットプレむダヌ」の続線で、「ビットプレむダヌ」の䞻人公が、距離が非アルキメデス付倀である3-進付倀で枬られる䞖界を衚珟した仮想珟実䞖界に迷い蟌んだ話のようです。以前はオンラむンで読むこずができたしたが、今はWebarchiveでしか読めたせん。
https://web.archive.org/web/20190210180159/https://www.asimovs.com/assets/1/6/3-adica_Egan.pdf

3-進数䜓に぀いおはむヌガン氏が解説しおいたブログがありたしたが、こちらも、今はWebarchiveでしか読めたせん。
https://web.archive.org/web/20190711055910/https://fromearthtothestars.com/2018/09/05/inside-3-adica/

3進法で衚すず4,13,40,121,...は、
4=11
13=111
40=1111
121=11111
...
で、3-進数䜓では、0ず1の距離は1ですが、1ず4の距離が1/3、4ず13の距離が1/9、13ず40の距離が1/27、40ず121の距離が1/81...ずなりたす。
実数の䞖界では䟋えば10進法衚蚘で1/3が
1/3=0.33333...
ず衚されるように小数点以䞋に無限に数が続く無限小数が存圚したすが、3-進数䜓では無限に桁数の倧きい数が存圚しお、
...11111
ずいう数も存圚したす。この数をxずするず、
2x=...22222
2x+1=...00000=0
なので、x=-1/2ずなりたす。0,1,4,13,40,121,...ずいう数列は-1/2に近づいおいくこずになりたす。
3-進数䜓の分数で1/3は0.1ず衚されたすが、-1/6は-1/2=...11111を甚いお
-1/6=...11111.1
ず小数を甚いお衚されたす。
3-進数䜓の敎数は
......0, ......1, ......2
のいずれかの圢で衚されたすが、これらを2乗したものは、
......0, ......1
のいずれかになっお2ずなるこずはなく、3-進数䜓の小数は2乗しおも実数の䞖界ず同様に小数なので、2の平方根は存圚したせん。
3-進数䜓では、
-1=...22222
-2=...22221
なので、-1の平方根も存圚したせんが、-2の平方根は存圚しお、
...1200010200211
...1022212022012
ず衚されたす。実数の䞖界で平方根に正負の2皮類があるように、3-進数䜓でも平方根は2皮類ありたす。
3-進数䜓では、2の平方根は存圚したせんが、7の平方根は存圚しお、むヌガン氏のブログにあるように
...222021120020111
ず衚されるものず、
...000201102202112
ず衚されるものがありたす。
p-進数䜓で7の平方根が存圚しお2の平方根が存圚しない䜓は、p=3の次はp=19の19-進数䜓がありたす。
19-進数䜓では7の平方根は、10進法衚蚘の1018をAIで衚すず、19進法衚蚘で
...B6HE12AD718
...7C14HG85BHB
ず衚されたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

P進数䜓

P
玠数進数䜓の二次匏に぀いお、
P䞊既玄な匏を考えおみたした。
その個数を、䞎える匏が、
1^2/2
で䞎えられるようです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

p=2,3,5,...に察しお、p(p-1)^2/2=1,6,40,...ずなりたすが、ksさんが考えたQ_p(p=2,3,5,...)での既玄な二次匏ずいうのはどのようなものでしょうか。p=2,3の堎合だけでも䟋瀺しおいただけないでしょうか。

p進数䜓の二次拡倧䜓は、2進数䜓Q_2に぀いおは、Q_2(√2)、Q_2(√3)、Q_2(√6)、Q_2(√-1)、Q_2(√-2)、Q_2(√-3)、Q_2(√-6)の7぀の二次拡倧䜓があり、p進数䜓(p>2)Q_pに぀いおは、Q_p(√p)、Q_p(√n)、Q_p(√(np))の3぀の二次拡倧䜓がありたす。ただし、nはQ_pに平方根をもたない数です。

Q_2の二次匏では、x^2-2,x^2-3,x^2-6,x^2+1,x^2+2,x^2+3,x^2+6が既玄ずなりたすが、α=2,3,6,-1,-2,-3,-6ずするず、a,b∈Q_2,(x+a)^2-b^2*α=x^2+2ax+(a^2-b^2*α)も既玄ずなりたす。
Q_p(p>2)の二次匏では、x^2-p,x^2-n,x^2-npが既玄ずなりたすが、α=p,n,npずするず、a,b∈Q_p,(x+a)^2-b^2*α=x^2+2ax+(a^2-b^2*α)も既玄ずなりたす。

Q_3では、2の平方根は存圚したせんが、-2の平方根は存圚し、3進法衚蚘で
...01101021200010200211,
...21121201022212022012
が平方根ずなりたす。√-1=√2/(√-2)なので、Q_3(√-1)=Q_3(√2)ずなり、Q_3の3぀の二次拡倧䜓は、
Q_3(√3)、Q_3(√2)=Q_3(√-1)、Q_3(√6)=Q_3(√-3)ずなりたす。

Q_5では、2,3の平方根は存圚したせんが、3/2の平方根は存圚し、5進法衚蚘で
...23333103203131132432,
...21111341241313312013
が平方根ずなりたす。√3=√2*√(3/2)なので、Q_5(√3)=Q_5(√2)ずなり、Q_5の3぀の二次拡倧䜓は、
Q_5(√5)、Q_5(√2)=Q_5(√3)、Q_5(√10)=Q_5(√15)ずなりたす。

Q_5には-1の平方根も存圚しお、5進法衚蚘で
...40423140223032431212,
...04021304221412013233
が平方根ずなりたす。

p>2の玠数ずしお、Jacobi蚘号(a/p)を甚いるず、(a/p)=-1のずきはaはpを法ずしお平方非剰䜙で、(a/p)=1のずきはaはpを法ずしお平方剰䜙ずなりたす。

p=4n+3の玠数のずきは、平方剰䜙の第䞀補助法則
(-1/p)=(-1)^((p-1)/2)より(-1/p)=(-1)^(2n+1)=-1
ずなるので-1はpを法ずしお平方非剰䜙ずなり、p=4n+3ずきは、Q_pに-1の平方根が存圚せず、3぀の二次拡倧䜓は、Q_p(√p)、Q_p(√-1)、Q_p(√-p)ずなりたす。このような玠数は、p=3,7,11,19,...などがありたす。
これに察しお、p=4n+1(p=5,13,17,...)のずきはQ_pに-1の平方根が存圚したす。

p=8n+3,8n+5(=8n-3)の玠数のずきは、平方剰䜙の第二補助法則
(2/p)=(-1)^((p^2-1)/8)より(2/p)=(-1)^(8n^2±6n+1)=-1
ずなるので2はpを法ずしお平方非剰䜙ずなり、
p=8n+3の玠数はp=4n+3の玠数でもあるので、Q_pに-1の平方根が存圚したせんが、p=8n+5の玠数はp=4n+1の玠数でもあるので、Q_pに-1の平方根が存圚するかわりに2の平方根が存圚せず、3぀の二次拡倧䜓は、Q_p(√p)、Q_p(√2)、Q_p(√(2p))ずなりたす。このような玠数は、p=5,13,29,...などがありたす。
これに察しお、p=8n+1(p=17,41,...)のずきはQ_pに-1ず2の平方根が存圚したす。

平方剰䜙の盞互法則
(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)/2*(q-1)/2)
より、q=3ずするず、
(p/3)(3/p)=(-1)^((p-1)/2)
で、p=8n+1のずきは(p/3)(3/p)=1ですが、p=3m+2のずきは(p/3)=-1なので、(3/p)=-1で3はpを法ずしお平方非剰䜙ずなりたす。p=8n+1か぀p=3m+2ずなるのはp mod 24=17のずき(p=17,41,89,...)で、この堎合は、3぀の二次拡倧䜓は、Q_p(√p)、Q_p(√3)、Q_p(√(3p))ずなりたす。
これに察しお、(p/3)=1ずなるp=3m+1のずきは、p=8n+1か぀p=3m+1であっおp mod 24=1(p=73,97,...)であり、このずきはQ_pに-1ず2ず3の平方根が存圚したす。

Q_17では、-1ず2の平方根が存圚しお、A=10,B=11,C=12,D=13,E=14,F=15,G=16ずした17進法衚蚘を甚いるず、
-1の平方根は、
...5E81F0160E3D8CGC5A24,
...B28F1GFAG2D38404B6ED
2の平方根は
...2A2E9AB511E922CB822B,
...E6E2765BFF27EE458EE6
ずそれぞれ衚されたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

有難うございたす。
P=2のずきの、既玄な二次匏
x^2+x+1
P=3のずきの、既玄な二次匏
x^2+1,2x^2+2, など

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎02月28日 13:40)

ksさんの考えでは、p=2でx^2+1ずかx^2-2は既玄にならないのでしょうか。
p=3で2x^2+2=2(x^2+1)ですが・・・p=3の他の4皮類(5皮類?)の既玄二次倚項匏はどのようなものでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

P=3のずきの、残りの個は
x^2+x+2,2x^2+2x+1,x^2+2x+2,2x^2+x+1
玠数P進法の二次匏の個数は1で
そのうち、可玄な個数は、112
既玄な個数 122

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

有限䜓GF(p)䞊でx^2の係数が1の既玄倚項匏は、
p=2で
x^2+x+1の1個
p=3で
x^2+1,x^2+x+2,x^2+2x+2の3個
p=5で
x^2+2,x^2+3,x^2+x+1,x^2+x+2,x^2+2x+3,^2+2x+4,x^2+3x+3,x^2+3x+4,x^2+4x+1,x^2+4x+2
の10個なので、有限䜓GF(p)䞊での既玄倚項匏の総数は、p=2,3,5でたしかに1,6,40ずなりたすね。
ksさんが蚀っおいたP進数䜓ずいうのは有限䜓のこずだったのですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

曎新を再開したした❗

日にネットワヌク障害が発生したした。昚日の倕方に䜿おうず思ったずころ、ルヌタヌのARAMが赀く点灯しおいたした。光信号がきおいないのか、ルヌタヌそのものの故障なのか今のずころ原因䞍明でしたが、月日の午前䞭に埩旧したした

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎03月05日 03:26)

あらら  。
6300日を超える連続曎新が  。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䜕凊たでも続いお欲しかったのですが、残念です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

22日に発生したシステム障害は基地局の機噚の䞍具合によるものでした。27日に解消したようですが、今床は我が家のネットワヌク機噚の䞍具合で、むンタヌネットに接続できないでいたす。接続業者から明日代替の機噚が届く予定です。曎新再開たでもうしばらくお埅ちください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

本日朝時頃、宅配䟿が届き、急ぎ機噚の蚭眮を行い、時半ごろ無事機噚の動䜜確認を終了したした。
日ぶりの曎新ずなりたす。たた末氞くご愛顧のほどお願い申し䞊げたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

このサむトに入るずたず曎新蚘録が続いおいるか確認し、
来堎者数が昚日よりが100増えおるのを確認しおから掲瀺板に移動するのが
ルヌティンでしたので曎新再開はうれしいかぎりです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

連続曎新が途切れたのは残念でしたが、無事に再開できおよかったです。
これからもよろしくお願いしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

今回のネットワヌク障害のおかげで、だいぶ勉匷になりたした接続業者のサポヌトセンタヌぞの電話は、午前䞭よりも午埌の方が぀ながりやすいこず。今回の䞍運は、障害が起こったのが土曜日で、次の日が日曜、たたその次の日が祝日であったこず。サポヌトセンタヌは平日しか電話を受け付けないようなので、サポヌトを受けるたで日間埅たされたした。日火に䞍具合の電話を入れたずころ、回線の状態を調べおみるずのこずで、その結果、日氎に゚リアの基地局に機噚の䞍具合が発生しおいたこずが分かったようです。日朚に基地局の機噚の䞍具合が解消したしたが、今床は我が家のルヌタヌが故障したようです。日の午前䞭に、䞀瞬むンタヌネットが぀ながったのですが、すぐに切れおしたいたした。倚分そのずきにルヌタヌが壊れたのでしょうね。日の午埌にサポヌトセンタヌに電話を入れたずころ、ルヌタヌの亀換を提案されお、無事に月日日に回線が埩旧したした。家の䞭ではwi-fiを䜿っおいるのですが、テレビやスマホのwi-fiの再蚭定が必芁でした。さらに、プリンタも。スマホからプリンタに出力するのに、wi-fiを経由しお぀ながっおいるこずに気づかされたした。意倖でした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

぀の有理数の立方和で

「任意の《正の》有理数は3぀の《正の》有理数の立方の和で衚される」
ずいう呜題の構成的な蚌明を twitter で芋かけたした。

ためしに思い぀いた 22/7 で構成しおみたずころ以䞋を埗たした。

x = 660/3721
y = 7367/5124
z = 171541/312564
22/7 = x^3+y^3+z^3 (怜算枈み)


埡参考:
https://x.com/monoxxxx/status/1894588430539264256?t=lBzhRm4C2u5GdbrrzOmcHw&s=19

↓↓↓ 名前欄に䞊ぞのリンクがありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

今床は 355/113 を個の正の有理数の立方和ずしお蚈算しおみたした。

355/113 = (506940/346921)^3+(14114/199671)^3+(32483809/117606219)^3

参考文献の構成方法で
a=355/113
r=1/6
t=1065/113
ずしたものです。

(r ず t の遞び方にはある皋床自由床がありたす。)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

πずの関連性

さんの「πずの関連性」で、
 
1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+1/9^3-1/11^3+=π^3/32
1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+1/7^3-1/8^3+1/10^3-1/11^3+1/13^3-1/14^3+=4*π^3/(81*√3)

などの関係匏がありたすが、これらはクラりれン関数ずベルヌヌむ倚項匏を甚いお導くこずができたす。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%A6%E3%82%BC%E3%83%B3%E9%96%A2%E6%95%B0
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%A4%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F

ベルヌヌむ倚項匏はベルヌヌむ数b_kず二項係数C(n,k)を甚いお、
B_n(x)=Σ_{k=1}^{∞}C(n,k)b_{n-k}x^k
ず衚されたす。
クラりれン関数のうち、Sl_zずいう関数は
Sl_z(Ξ)=Σ_{k=1}^{∞}(sin(kΞ)/k^z)
ず衚されたす。Sl_zずB_nの間には、
Sl_{2m-1}(Ξ)=(-1)^m(2π)^(2m-1)/2/(2m-1)!*B_{2m-1}(Ξ/(2π))
ずいう関係匏がありたす。3乗の堎合は、
Sl_3(Ξ)=Σ_{k=1}^{∞}(sin(kΞ)/k^3)
B_3(x)=x^3-(3/2)*x^2+1/2*x
Sl_3(Ξ)=(-1)^2*(2π)^3/2/3!*B_3(Ξ/(2π))=(2/3)*π^3*B_3(Ξ/(2π))
を甚いたす。

呚期4の堎合は、
Sl_3(π/2)=1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+...=(2/3)*π^3*B_3(1/4)
B_3(1/4)=(1/4)^3-(3/2)*(1/4)^2+(1/2)*(1/4)=3/64
より、
1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+...=1/32*π^3
ずなりたす。

呚期3の堎合は、
Sl_3(2π/3)=(√3/2)*(1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+...)=(2/3)*π^3*B_3(1/3)
B_3(1/3)=(1/3)^3-(3/2)*(1/3)^2+(1/2)*(1/3)=1/27
より、
1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+...=4/(81√3)*π^3
ずなりたす。

呚期6の堎合は、
Sl_3(π/3)=(√3/2)*(1+1/2^3-1/4^3-1/5^3+...)=(2/3)*π^3*B_3(1/6)
B_3(1/3)=(1/6)^3-(3/2)*(1/6)^2+(1/2)*(1/6)=5/108
より、

1+1/2^3-1/4^3-1/5^3+...=5/(81√3)*π^3
なので、
1-1/5^3+1/7^3-1/11^3+...=1/(18√3)*π^3
ずなりたす。

呚期8の堎合は、
Sl_3(π/4)=1/√2+1/2^3+1/√2/3^3-1/√2/5^3-1/6^3-1/√2/7^3+...=(2/3)*π^3*B_3(1/8)
Sl_3(3π/4)=1/√2-1/2^3+1/√2/3^3-1/√2/5^3+1/6^3-1/√2/7^3+...=(2/3)*π^3*B_3(3/8)
B_3(1/8)=21/512,B_3(3/8)=15/512
より、

Sl_3(π/4)+Sl_3(3π/4)=√2+√2/3^3-√2/5^3-√2/7^3+...=3/64*π^3
なので、
1+1/3^3-1/5^3-1/7^3+...=3/(64√2)*π^3
ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

呚期5ず10の堎合に぀いおは、
Sl_3(π/5)=√(3-φ)/2+√(φ+2)/2/2^3+√(φ+2)/2/3^3+√(3-φ)/2/4^3
-√(3-φ)/2/6^3-√(φ+2)/2/7^3-√(φ+2)/2/8^3-√(3-φ)/2/9^2+...
Sl_3(2*π/5)=√(φ+2)/2+√(3-φ)/2/2^3-√(3-φ)/2/3^3-√(φ+2)/2/4^3+...
Sl_3(3*π/5)=√(φ+2)/2-√(3-φ)/2/2^3-√(3-φ)/2/3^3+√(φ+2)/2/4^3
-√(φ+2)/2/6^3+√(3-φ)/2/7^3+√(3-φ)/2/8^3-√(φ+2)/2/9^3+...
Sl_3(4*π/5)=√(3-φ)/2-√(φ+2)/2/2^3+√(φ+2)/2/3^3-√(3-φ)/2/4^3+...
φ=(1+√5)/2
Sl_3(π/5)=(2/3)*π^3*B_3(1/10)=3/125*π^3
Sl_3(2π/5)=(2/3)*π^3*B_3(1/5)=4/125*π^3
Sl_3(3π/5)=(2/3)*π^3*B_3(3/10)=7/250*π^3
Sl_3(4π/5)=(2/3)*π^3*B_3(2/5)=2/125*π^3
より、

√(φ+2)Sl_3(2π/5)+√(3-φ)Sl_3(4π/5)
=5/2-5/2/4^3+5/2/6^3-5/2/9^3+...
=(√(φ+2)*4/125+√(3-φ)*2/125)*π^3
なので、
1-1/4^3+1/6^3-1/9^3+...=(√(φ+2)*8/625+√(3-φ)*4/625)π^3
ずなりたす。

√(3-φ)Sl_3(2π/5)-√(φ+2)Sl_3(4π/5)
=5/2*(1/2^3-1/3^3+1/7^3-1/8^3+...)
=(√(3-φ)*4/125-√(φ+2)*2/125)*π^3
なので、
1/2^3-1/3^3+1/7^3-1/8^3+...=(√(3-φ)*8/625-√(φ+2)*4/625)*π^3
ずなりたす。

√(3-φ)Sl_3(π/5)+√(φ+2)Sl_3(3π/5)
=5/2+5/2/4^3-5/2/6^3-5/2/9^3+...
=(√(3-φ)*3/125+√(φ+2)*7/250)*π^3
なので、
1+1/4^3-1/6^3-1/9^3+...=(√(3-φ)*6/625+√(φ+2)*7/625)*π^3
ずなりたす。

√(φ+2)Sl_3(π/5)-√(3-φ)Sl_3(3π/5)
=5/2/2^3+5/2/3^3-5/2/7^3-5/2/8^3+...
=(√(φ+2)*3/125-√(3-φ)*7/250)*π^3
なので、
1/2^3+1/3^3-1/7^3-1/8^3+...=(√(3-φ)*6/625-√(φ+2)*7/625)*π^3
ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

呚期7の堎合に぀いおは、
Sl_3(2π/7)=sin(2*π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(4π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(6π/7)*(1/3^3-1/4^3+...)
Sl_3(4π/7)=sin(4*π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(8π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(12π/7)*(1/3^3-1/4^3+...)
Sl_3(6π/7)=sin(6*π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(12π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(18π/7)*(1/3^3-1/4^3+...)
Sl_3(2π/7)=(2/3)π^3*B_3(1/7)=10/343*π^3
Sl_3(4π/7)=(2/3)π^3*B_3(2/7)=10/343*π^3
Sl_3(6π/7)=(2/3)π^3*B_3(3/7)=4/343*π^3
より、

sin(2π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(4π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(8π/7)*(-1/3^3+1/4^3+...)=10/343*π^3
sin(4π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(8π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(2π/7)*(-1/3^3+1/4^3+...)=10/343*π^3
sin(8π/7)*(1-1/6^3+...)+sin(2π/7)*(1/2^3-1/5^3+...)+sin(4π/7)*(-1/3^3+1/4^3+...)=-4/343*π^3
ず曞き換えお、zを1の原始7乗根ずするず、
sin(2π/7)=(z-z^-1)/2i,sin(4π/7)=(z^2-z^-2)/2i,sin(8π/7)=(z^4-z^-4)/2i
であり、

1-1/6^3+1/8^3-1/13^3+...=(2i/2401)*(10*z^6+10*z^5+4*z^4-4*z^3-10*z^2-10*z)
1/2^3-1/5^3+1/9^3-1/12^3+...=(2i/2401)*(-4*z^6+10*z^5-10*z^4+10*z^3-10*z^2+4*z)
-1/3^3+1/4^3-1/10^3+1/11^3-...=(2i/2401)*(10*z^6-4*z^5-10*z^4+10*z^3+4*z^2-10*z)
より、

1+1/2^3-1/3^3+1/4^3-1/5^3-1/6^3+...=(32i/2401)*π^3*(z^6+z^5-z^4+z^3-z^2-z)
であり、
z^6+z^5-z^4+z^3-z^2-z=-i√7
なので、

1+1/2^3-1/3^3+1/4^3-1/5^3-1/6^3+...=32/(343√7)*π^3
ずなりたす。


呚期11の堎合に぀いおは、
Sl_3(2π/11)=sin(2π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(4π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(6π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(8π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(10π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(4π/11)=sin(4π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(8π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(12π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(16π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(20π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(6π/11)=sin(6π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(12π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(18π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(24π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(30π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(8π/11)=sin(8π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(16π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(24π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(32π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(40π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(10π/11)=sin(10π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(20π/11)*(1/2^3-1/9^3+...)+sin(30π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)
+sin(40π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)+sin(50π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)
Sl_3(2π/11)=(2/3)*π^3*B_3(1/11)=30/1331*π^3
Sl_3(4π/11)=(2/3)*π^3*B_3(2/11)=42/1331*π^3
Sl_3(6π/11)=(2/3)*π^3*B_3(3/11)=40/1331*π^3
Sl_3(8π/11)=(2/3)*π^3*B_3(4/11)=28/1331*π^3
Sl_3(10π/11)=(2/3)*π^3*B_3(5/11)=10/1331*π^3
より、

Sl_3(2π/11)=sin(2π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(6π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(18π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(10π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(8π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
Sl_3(6π/11)=sin(6π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(18π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(10π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(8π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(2π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
-Sl_3(4π/11)=sin(18π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(10π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(8π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(2π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(6π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
Sl_3(10π/11)=sin(10π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(8π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(2π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(6π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(18π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
Sl_3(8π/11)=sin(8π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(2π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(6π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(18π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(10π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)
ず曞き換えお、

sin(2π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(6π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(18π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(10π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(8π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=30/1331*π^3
sin(6π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(18π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(10π/1*1)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(8π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(2π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=40/1331π^3
sin(18π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(10π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(8π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(2π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(6π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=-42/1331*π^3
sin(10π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(8π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(2π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(6π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(18π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=10/1331*π^3
sin(8π/11)*(1-1/10^3+...)+sin(2π/11)*(1/3^3-1/8^3+...)+sin(6π/11)*(-1/2^3+1/9^3+...)
+sin(18π/11)*(1/5^3-1/6^3+...)+sin(10π/11)*(1/4^3-1/7^3+...)=28/1331*π^3
であり、zを1の原始11乗根ずするず、
sin(2π/11)=(z-z^-1)/2i,sin(6π/11)=(z^3-z^-3)/2i,sin(8π/11)=(z^4-z^-4)/2i,
sin(10π/11)=(z^5-z^-5)/2i,sin(18π/11)=(z^9-z^-9)/2i
なので、

1-1/10^3+...=(2i/11^4)*π^3*(30*z^10+42*z^9+40*z^8+28*z^7+10*z^6-10*z^5-28*z^4-40*z^3-42*z^2-30*z)
1/3^3-1/8^3+...=(2i/11^4)*π^3*(28*z^10-40*z^9+30*z^8+10*z^7-42*z^6+42*z^5-10*z^4-30*z^3+40*z^2-28*z)
-1/2^3+1/9^3+...=(2i/11^4)*π^3*(10*z^10-30*z^9+28*z^8-42*z^7+40*z^6-40*z^5+42*z^4-28*z^3+30*z^2-10*z)
1/5^3-1/6^3+...=(2i/11^4)*π^3*(-42*z^10-28*z^9+10*z^8+40*z^7+30*z^6-30*z^5-40*z^4-10*z^3+28*z^2+42*z)
1/4^3-1/7^3+...=(2i/11^4)*π^3*(40*z^10-10*z^9-42*z^8+30*z^7+28*z^6-28*z^5-30*z^4+42*z^3+10*z^2-40*z)
より、

1-1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3-1/6^3-1/7^3-1/8^3+1/9^3-1/10^3+...
=(2i/11^3)*π^3*(-12*z^9- 12*z^5-12*z^4-12*z^3-12*z-6)
=(12i/11^3)*π^3*(z^10-z^9+z^8+z^7+z^6-z^5-z^4-z^3+z^2-z)
なので、

z^10-z^9+z^8+z^7+z^6-z^5-z^4-z^3+z^2-z=-i√11
から、

1-1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3-1/6^3-1/7^3-1/8^3+1/9^3-1/10^3+...=12/(121√11)*π^3
ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎02月08日 20:38)

玹介しおもらっお初めお知るこずに成りたしたこのクラりれン関数
䜕ずベルヌヌむ倚項匏ず組み合わさるこずでディリクレのベヌタ関数や
ディリクレL関数を匕き起こす働きができるんですね。
もう䜕幎も前に蚈算䞊偶然芋぀けおいた等匏がこんなにも理路隒然ず
他の抂念から導き出せるものなのだず感動しおいたす。
ディリクレはドむツ(18051859)
クラりれンはデンマヌク(18011885
でほが同じ䞖代をお互い刺激し合いながら生きおいたんでしょうね。
䞖の䞭色々な人で満ち溢れおいたすね。
改めおこの人を読んでこんなにも立掟な発芋をやっおおきながら、䜙り
名を知られおいないのは䞍公平に感じる。
私だけが知らないだけなのか
kuiperbeltさんは䜕時この繋がりを埡知りになったのですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私もクラりれン関数を知ったのは぀い最近のこずでした。

1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+1/9^3-1/11^3+
1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+1/7^3-1/8^3+1/10^3-1/11^3+1/13^3-1/14^3+
を芋お、倚重察数関数を甚いお
Li_3(i)=i-1/2^3-i/3^3+1/4^3+i/5^3-1/6^3-i/7^3+1/8^3+
Li_3(ω)=ω+ω^2/2^3+1/3^3+ω/4^3+ω^2/5^3+1/6^3+
の虚郚で衚せるのではないかず考え、英語版の倚重察数関数のWikipedeia(https://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm)に

The polylogarithm with pure imaginary Ό may be expressed in terms of the Clausen functions Ci_s(Ξ) and Si_s(Ξ), and vice versa (Lewin 1958, Ch. VII § 1.4; Abramowitz & Stegun 1972, § 27.8):

Li_s(e^±iΞ)=Ci_s(Ξ)±iSi_s(Ξ)

ずいう蚘茉を芋぀けおクラりれン関数にたどり぀いたのでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈2432件 (投皿421, 返信2011)

ロケットBBS

Page Top