😊出会いの泉😊

全部-2!

13桁の全域検索は工夫してもなかなか難しいと思いますが、
max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦150000で見つかりました。
134542^4+20015*6671^4 = 137662^4+20015*4495^4
というわけで、8527633537859は最小解ではないですね。
プログラムにバグがなければ、上記のmax{|x|,|y|,|z|,|w|}=137662が最小（非自明）解になります。
他に、以下の式も見つかっています。
74257^4+20015*20319^4 = 174332^4+20015*18834^4
274633^4+20015*18215^4 = 297796^4+20015*6082^4

らすかるさん

max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦150000の範囲なら、プログラムも作成も含めて１時間程度で調査可能とは、驚きました。
効率化のために、20015=5*4003で、素因数4003は3(mod 4)である、つまり、-1はmod 4003で非平方剰余であることを利用しているのでしょうか？

いいえ、利用していません。
せっかくプログラムを作ったので、他の数の式も探してみました。
20018の最小解は（プログラムにバグがなければ）
133577^4+20018*11323^4 = 152033^4+20018*8671^4
他に
129271^4+20018*16993^4 = 198353^4+20018*11893^4

16329の方は、max{|x|,|y|,|z|,|w|}≦500000の範囲に解はないようでした。

らすかるさんが発見したn=20015のときの3個の小さい整数解を利用すると、それぞれ、以下のような大きい整数解が計算できます。

274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4

471758617428595540183682732692^4+20015*33182522896603830112768752986^4=521203098982384930174044459691^4+20015*3082513578621978511673974235^4

2199272109945132967972909023668^4+20015*109548338612842553693160745006^4=2220191273261141016985252983839^4+20015*99726299306351580407551940495^4

718048235051933219389981953017155027634684^4+20015*40423307367901487662858930520585466426122^4=744602517074194011483461584484628985243907^4+20015*27758051563396253122891688453165418356045^4

278549539658427682321244650577537246177792978297114687237757158092^4+20015*16270563247776413311098351615671169461312062323926289153888919114^4=291501330513495627855817332066512623013352024087931567328536168141^4+20015*10028888060190831787837430117596182398452837771072914010451483875^4

23944497258055168906961645361781089759110176351368515607238038965249^4+20015*1657524976897418745718003299720624586587297113445894012164914585745^4=26316054299516218429719084886604065410348366555854552236844740964588^4+20015*311882778374863013968781043903803645198834156352163573657530231854^4

11226548377970413612500519995949116633701930425007048073115589409227121984880731009688505118142089719637^4+20015*675811405125919905302364027449764948460078509098278082840233198718505430719945036966803399830103429925^4=11841011597470942314446697064279610277280650201227616765564904040970998156842498404558665424966876353444^4+20015*376274088860053485284474603392669868916313499895518443671782485386072508752165400429416657904368051898^4

220691579014143434870860902987823131213434317436079148830095556032333333996300054482011362013540998140004^4+20015*14020312409902709813353163276367829056767211452673040276584243552922638099347359445572976136007636224182^4=236267409981538966178380432038203365904443363683624960027612953968957460140057080695215322556446354851517^4+20015*6190566552175095066466503558660081317826048344771244522901592823380671657047231910047203860560197429005^4

4533743530278234323387623920946257431255566181565584295669026713530297999124459783134347721262222512356481756584444^4+20015*320204056914242384090002947066258466120255595446757619115138877291843339965229719638210853035827513736386006891398^4=5015742736699272257221713352156871990615411963319438190768839140826340878214277946616285434733934864301393770201387^4+20015*13931748598498058845403778267463545182515660427956498316439927127020629885648002905777726823221318915201059338075^4

...


74257^4+20015*20319^4=174332^4+20015*18834^4

19655572359060351077593^4+20015*4079877272410703532009^4=33069708345313027901668^4+20015*3872005446360268636194^4
54749572634601332711939827883^4+20015*22251538392300879935341812699^4=198369397650205811786399796908^4+20015*20252636445662343677908713894^4

92350921449882593361472831526901086188^4+20015*28213087019802844224348462736519556514^4=245523037020157522484975674222137479287^4+20015*25981239077479481120210209812108928359^4

2238651227846415103114758229111969950046265200252^4+20015*1080328614816281732194024756479248043893335924134^4=9716224811343949739735328935003237860780880319173^4+20015*978869361488537922120605282356441084286828987499^4

720495255487133241692624386147010178903076029345105411019595931578132^4+20015*161980410950708467286282696104289836252281791509361581068647483250114^4=1340138448690895535989308953747360684143583624760362054424475956248743^4+20015*152490863685518823439602295474288698009075998718778065341093657328489^4

1069513273984141839995839010597639207916186205114270055112699835475479867573750067^4+20015*180265471548940127880547723898825110990484672757903801394476463273234589353603869^4=1349865065297277460880456301170251643534422104711394368331328168291715433886015092^4+20015*175813578807881602515994408693009771118768545298679469849551483388975339879144374^4

6684689781028901608736255576669176077363335240965445937255550512700912139845245181018809029387^4+20015*5355306156912991275607045975686593845525345880842793405387026423629282694218422459751288977349^4=48813990810182834790572342875066939414742123568150096229385788775440876368277041931469655829012^4+20015*4818173727833952735534899287538252135884381744534615959137423933051350602388512525922097484774^4

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274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4

718048235051933219389981953017155027634684^4+20015*40423307367901487662858930520585466426122^4=744602517074194011483461584484628985243907^4+20015*27758051563396253122891688453165418356045^4

4533743530278234323387623920946257431255566181565584295669026713530297999124459783134347721262222512356481756584444^4+20015*320204056914242384090002947066258466120255595446757619115138877291843339965229719638210853035827513736386006891398^4=5015742736699272257221713352156871990615411963319438190768839140826340878214277946616285434733934864301393770201387^4+20015*13931748598498058845403778267463545182515660427956498316439927127020629885648002905777726823221318915201059338075^4

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らすかるさんが発見したn=20018のときの2個の小さい整数解を利用すると、それぞれ、以下のような大きい整数解が計算できます。


129271^4+20018*16993^4=198353^4+20018*11893^4

3945822257173661521287463881015941^4+20018*1371688971357445874707494319939057^4=16248945516451885959717618836052163^4+20018*514103868444835962913491612208093^4

332445795971231006616412889705987203305308268591672815069192432931402210536446726936308437^4+20018*6123932587512844327082360406845207982153933961123604241839483053236415085498072260471915237^4=72719249007600485117487408839541485538860409659611643297602566850005331042294288846840883741^4+20018*1755814119357340772174336509395323175167403908892716598442986579137033671338519847668341113^4

4549843963195303335734880288374590697820480654685362673684507763909976419408643068494498700489969291638331036323666549642203632803141978787958689426860669730383929810425576884807^4+20018*1506737865623043706822575226614041509939553725140853999391071205201422132531250696629586873765535468974916132597944559294246549350813586270470752108033661028537984936305793462637^4=17844317615941737604856541602460161312266563977153561216827410015829618178900872049233009899368532345124389955510921872875488589558881449708411960517263680764234398292067746779151^4+20018*576538494365339648734454839725793401227674863159404271454504997631584839332915234027177445920123319357780030515792998234874119067411663486954513538049310571915799031592595320537^4

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133577^4+20018*11323^4=152033^4+20018*8671^4

934945174325070597605177886702911^4+20018*98410553546482920979970509403053^4=1259130138764499271410386237373991^4+20018*50295992219705241028571999694089^4

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18405707671794765723170561358027854654135730984163^4+20018*2395340595648443979586315541305662059092276777781^4=29640589127079872802657815697987308125205418439547^4+20018*554771646912921247537875130698213662726902513753^4

11140366911857942673272914476009189361853985981723101629810283222283408529108871434538434579^4+20018*1041988185614519557962796863250090393345109221831844758308991487271426097440326176213232357^4=13659788431090345348533675612916202680868298573989060989847000597969029808954015405113038251^4+20018*676181755164883178105970910260538942190776756781948365260422917572087393690858720658421641^4

...

n=20015のときの自明でない整数解(ただし、0<x<z,0<w<y,gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか見つけた。

274633^4+20015*18215^4=297796^4+20015*6082^4

718044947021967^4+20015*78261955103425^4=966404558198196^4+20015*51831174560314^4

53661297554440034490629^4+20015*7022617914569341986469^4=77837095906925935346147^4+20015*5640895508161367985469^4

2210771248165316517968534^4+20015*195629937543592760401730^4=2697589233093260339346431^4+20015*59369959323425431748597^4

173917385923125737962928516666^4+20015*35814033446160642194813342014^4=306149164462246564543519051037^4+20015*33450231502902647918829318847^4

91382926075908996323182819344504781500148^4+20015*7357516714221248317705929420074550580766^4=106446142832758148128897281307415487718627^4+20015*532739682223545485287360179545343152723^4

17753945561219653689207463767557480607662401^4+20015*4662439650793608865270507348205451147560224^4=35197163477699600280915544448702850037351507^4+20015*4474484019743506016100392056204028077515022^4

1556008196965207586428676000978744879378280264516162018434031^4+20015*143814030993870640647637362932622228603941448564095465059940^4=1941151978777845425306692581312758189183341735126991047314429^4+20015*57927949955606322574180845813765695579662178898719740544078^4

15512357344047023896703334483513248076982958910662081087341373793^4+20015*818116268760682998608831084923363576267057496064876760836680021^4=15914319697211505818964159026785008257549993974546495425389356626^4+20015*607564559960240086948399181304822529303372462601612107573450918^4

66270773149048535278511546179645938528960772452801967922633145713^4+20015*137708851975275665439309993350015337753733136269396401647573023103^4=590947660037820310945951009677922521978125572594700550736048730612^4+20015*137121898299795264672205916101462872624400806662074284588025616606^4

172415563676386539187729581259703243156638114834882362026609286634139^4+20015*66317828523206603772691753588054939412205928585163578845076582549958^4=423003221219539406466320386867639681495943848365848314258201345018073^4+20015*64942373047016326706570096968483194956001836597723348514328781365436^4

4342963477992932294709394389285273737998536750769028695082359781924207826081^4+20015*2921784842453041692935152404110589419397042777756472777451352860320376339477^4=15444016987694819121640679826068912049737130960976361154148921671264993414042^4+20015*2893052710247946644981235205633221124846982760923558510631131938858130397074^4

....

n=20017のときの自明でない整数解(ただし、0<x<z,0<w<y,gcd(x,y,z,w)=1)をいくつか求めた。

3637^4+20017*1816^4=5801^4+20017*1814^4
32309^4+20017*8542^4=74936^4+20017*7853^4
91513^4+20017*7128^4=104994^4+20017*1943^4
103183^4+20017*10778^4=139726^4+20017*3277^4
216656^4+20017*17701^4=254057^4+20017*3316^4
1562768^4+20017*116227^4=1758431^4+20017*40972^4
2864003^4+20017*188372^4=3080401^4+20017*105142^4
8388161^4+20017*588152^4=9226258^4+20017*265807^4
30357046^4+20017*7041445^4=65115497^4+20017*6327190^4
17148713^4+20017*10556960^4=71304412^4+20017*10272155^4
124853168^4+20017*13438337^4=172456087^4+20017*4870478^4
147020254^4+20017*66784973^4=487826083^4+20017*64294192^4
360358287^4+20017*44469931^4=542459219^4+20017*25568889^4
2118911843^4+20017*365377794^4=3844445016^4+20017*298288811^4
1523150894^4+20017*467885365^4=3879057083^4+20017*438232400^4
21137288458^4+20017*2496093879^4=30980857596^4+20017*1289894251^4
30557963017^4+20017*4093262125^4=48240118469^4+20017*2707566895^4
22875596706^4+20017*7065463577^4=58461461293^4+20017*6621407418^4
191419398574^4+20017*26983872857^4=310959893596^4+20017*18993240613^4
512491372228^4+20017*51966890613^4=680508836739^4+20017*12655211122^4
692223093563^4+20017*59039670932^4=829210563442^4+20017*6352182517^4
389733088947^4+20017*144476162816^4=1122867656788^4+20017*137498670969^4
186047890318^4+20017*601574336281^4=2931012458903^4+20017*597295028804^4
4450824219446^4+20017*572700961741^4=6866414139644^4+20017*356372084489^4
5998244316418^4+20017*1125085002113^4=11400022845877^4+20017*952522124602^4
8006765037289^4+20017*913438252925^4=11484658080277^4+20017*424212917455^4
5515287108897^4+20017*3722025132569^4=13816797078337^4+20017*3713391862521^4
70569138183451^4+20017*4309047380777^4=74140968885553^4+20017*2935266341507^4
46389158041111^4+20017*9749635239626^4=93992782700104^4+20017*8559451167679^4
119581338384779^4+20017*8401475792533^4=131626235383901^4+20017*3768823100563^4
100511314151594^4+20017*11146959360239^4=141577380765868^4+20017*4647681645251^4
288829447409319^4+20017*319284786985292^4=1367942781030568^4+20017*317935300876203^4
9740707268999991^4+20017*763554202555972^4=11207008775466554^4+20017*199592084684217^4
12023315194098268^4+20017*789021661381319^4=12922084037404147^4+20017*443341337032904^4
9052909306520992^4+20017*1075503879393275^4=13318031876670706^4+20017*564927878356615^4
13895150317459039^4+20017*1193144923301144^4=16703328350919358^4+20017*113076448893329^4
42990650636306049^4+20017*2440998742043308^4=44242257463978523^4+20017*1959611500630818^4
15154970423607767^4+20017*17115351170038040^4=73653362887504531^4+20017*17041700103466690^4
59334769713809237^4+20017*7274214563653477^4=88968639136846493^4+20017*4123427522130083^4
61006168510017488^4+20017*7806379262049187^4=93813364934041874^4+20017*4811773208729423^4
58586368586982769^4+20017*21156682134088092^4=165847324844579352^4+20017*20097531811141363^4
255722718301670356^4+20017*18883775578064525^4=286916611484262769^4+20017*6886124353990520^4
377626885587411164^4+20017*43368720013104247^4=543944856058284593^4+20017*20599730168000918^4
480529756091075983^4+20017*51670535292993083^4=663315730485604579^4+20017*18631762551056377^4
500686737710607711^4+20017*59552244161492266^4=737105816299553054^4+20017*31378170680409789^4
535718858694743886^4+20017*102016874160138313^4=1026779050402110557^4+20017*86852430342695022^4
997660018797526219^4+20017*98547130507630946^4=1302275855442196198^4+20017*18612806663395969^4
2965014447017081569^4+20017*1466419586286592436^4=4656316113563339128^4+20017*1464861398552030909^4
5495724100123505431^4+20017*2643859951260414778^4=8245817891851908107^4+20017*2641348507191667352^4
7501875753924731264^4+20017*1071667944079634231^4=12276944044864824826^4+20017*764896783205017139^4
2163069960287039282^4+20017*2079231340604235397^4=12873096656581118891^4+20017*2040009696431949068^4
7145954553808430071^4+20017*1880700069724007524^4=16528144458192456008^4+20017*1727834508885233221^4
7704523695773439782^4+20017*5406285342982123325^4=20373349878458457907^4+20017*5392896800953221940^4
18099743091339893897^4+20017*1541696825351174242^4=21666909937214184686^4+20017*169709576937985477^4
23363551210682361459^4+20017*2290801313078742662^4=30352179937798323658^4+20017*397132812735088953^4
11443829820914847991^4+20017*4159750786971219530^4=32537967757552981384^4+20017*3953379188658831775^4
29984422454143577776^4+20017*2849352432568250885^4=38191838445664086643^4+20017*307346025708867910^4
27199065853569230666^4+20017*4356045294534276115^4=47393188806236735663^4+20017*3410925071876302730^4
95434070073640033776^4+20017*9713727345953240587^4=127037571147738371069^4+20017*2441465374853812218^4
90042223471883435824^4+20017*10283320570333383819^4=129241603578967688061^4+20017*4793364086237482426^4
62588455936779230657^4+20017*44517450858669227469^4=168609351629376198069^4+20017*44404782820621322041^4
145991230816802248111^4+20017*16142374187951283578^4=205239730449509233582^4+20017*6645510286166787757^4
543576881996522824147^4+20017*28104321539872725041^4=546236088174412750201^4+20017*27081549932991984251^4
381061959055259833627^4+20017*56773633484992437830^4=638235980235371736364^4+20017*42139451584281370915^4
366157140009949456543^4+20017*75936217713375219302^4=736291032646405890964^4+20017*66422971762184947783^4
795636337084980900359^4+20017*73222502632541924152^4=993981921333305394158^4+20017*3064260539890573463^4
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4129531111742275206141^4+20017*841891900712346861470^4=8223786505325558203912^4+20017*732821712204300445365^4
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5839859112785336813194^4+20017*1327972994120196567797^4=12382118760927093564601^4+20017*1188280716703556028898^4
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4775411232941558961082^4+20017*2243565725655099797129^4=16232815745577486816871^4+20017*2163128317666410916636^4
5018925053056779734119^4+20017*3383753688128995792484^4=22396115311156229518216^4+20017*3299781026524638739861^4
21333372045122847778783^4+20017*2891737712899115126663^4=33904410993887346312751^4+20017*1943277267394922771017^4
66837410429877190119586^4+20017*15745304479584793781673^4=144675482851485399311613^4+20017*14192415682572209753722^4
141165124336137671164583^4+20017*8705982355237842892825^4=148755595550346877100417^4+20017*5786570349772763686735^4
122082381965579069251296^4+20017*11613184929703041624031^4=155598372163174592090219^4+20017*1277580530910621006324^4
94360574665094392184752^4+20017*15146023141019821627827^4=164619884435323893053778^4+20017*11876788309068447937183^4
54349196428043639410447^4+20017*69127452942808482019794^4=304265927338630937628387^4+20017*68801440813604816841296^4
28350015358572403049677^4+20017*74062336924513417179116^4=411148312532390035670008^4+20017*73167777373108749213319^4
21139352917405670843983^4+20017*110582256795941964035335^4=551638414585142657370719^4+20017*109716884551192008354935^4
554476236848743678298279^4+20017*63525926667064057785271^4=797469247788146475585311^4+20017*29932923694244710402049^4
573775389283303410579338^4+20017*80743547052354954677477^4=931198036790624150489449^4+20017*56726701988922252980258^4
941680452986813954642939^4+20017*105095984693001950349426^4=1331851939257863461471926^4+20017*44969971565094013815569^4
845156286330182284249227^4+20017*126163661901945194086379^4=1417056830828189518161331^4+20017*93798085981903742033661^4
1565778478881541932629977^4+20017*211037300986197828861081^4=2480463381945354587969841^4+20017*140764584807576269346559^4
2637082473950954133792781^4+20017*195087396787102730916636^4=2960908108720218930551007^4+20017*70539075722000886009626^4
2443828355442931078040896^4+20017*301966500287287363486883^4=3681581196790797107936293^4+20017*174092284846507263395962^4
5776628847372163121451317^4+20017*293689727032990076898939^4=5781873720546957658804659^4+20017*291672468119607562532269^4
8962380099608185436754964^4+20017*969549900810604775428349^4=12420839119244190346778683^4+20017*360626645203243266888466^4
13740094657822508841649537^4+20017*763449744192002808547262^4=14058750359958263616237139^4+20017*640889858755174049090492^4
7989055638299695279048321^4+20017*2054384182808241303706160^4=18220246497954544637628172^4+20017*1880689224751316141901475^4
14448774080476506885527569^4+20017*2185004089326448665891094^4=24398650151883690769592168^4+20017*1641871322753237443364521^4
22291920028214730504587516^4+20017*2136985868718093010750627^4=28548844973664885110263679^4+20017*269523725685812606817128^4
12780362660771753062445642^4+20017*8514715145308246972263737^4=31445953459791956910526711^4+20017*8495406439523949171187168^4
21420981053880849487100581^4+20017*3220360488908120608348733^4=36055609688228423944958197^4+20017*2408342831994792644673427^4
....

A=arctan(√3/a)
B=arctan(√3/b)
と置くと
A+B=π/6
よって
tan(A+B)=tan(π/6)から

(tan(A)+tan(B))/(1-tan(A)*tan(B))=1/√3

(√3/a+√3/b)/(1-3/(a*b))=1/√3
3*(1/a+1/b)=1-3/(a*b)
3/(a*b)+3*(1/a+1/b)=1
3+3*(a+b)=a*b
12=(a-3)*(b-3)
0<a<bより
a-3＝1, 2, 3
b-3=12, 6, 4
これより求める(a,b)は
(a,b)=(4,15),(5,9),(6,7)
の3組

「5個の相異なる素数の積」という条件で検索すると
提示されたNはあっという間に見つかるのですが、
この条件では他にはなさそうでした。
（この条件を満たすものは他にあっても有限個だと思います）
「4個」以下ではおそらく存在せず、「6個」「7個」を
しばらく検索してみたのですが、見つかりませんでした。
（7個以上は「すべて検索」は時間的に無理）
p^3×q^2×r×s×tなど、指数が2以上のものも含めれば
見つかるのかも知れませんが、
組合せが多すぎるのとそれぞれの計算式を作るのも
大変そうなので、諦めます。

(追記)
p^2で割り切れるとき、gcdの合計がpで割り切れるようなので
条件は満たさないですね。
よって「相異なる素数の積」の素数の個数を多くして探すしかない、ということになると思います。

相異なる素数の積しかない、とわかったところで
もう少しプログラムを改良して変数値範囲も広げ、
6素数の積について探してみたら、一つ見つかりました。
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293 = 8193613126657808805087106
のとき
a(N) = (2*2-1)(2*13-1)(2*151-1)(2*34649-1)(2*64783-1)(2*929765438293-1)
= 376906203826259205034006875
で
a(N)+1 = 376906203826259205034006876 = 46*8193613126657808805087106
なので
a(N)+1≡0 (mod N) かつ Nが合成数
となります。

# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。

らすかるさん凄い！
A018804に是非登録してください。

もし存在するならどういう条件かを確定させて探られていることに感心します。
たとえ相異なる素数の積という条件でも6個の素数の組合せなんてとんでもない数に
なると思うし、果たしてどこまでの素数を使用するかによってその数は全く異なって
きます。
結果を見る限り、素数の大きさが12桁まで広がっているので、この素数になるまで
gp > primepi(929765438293)
%417 = 35062717755(個)の素数がありますから
gp > binomial(35062717755,6)
%418 = 2580720418848458496825306224464616005861484887789012966085250(通り)
なる天文学的組合せになります。
こんな可能性から、例の
N = 2*13*151*34649*64783*929765438293
を探し出すなんて麦わらの山から一本の黄金の針を探し出す行為に例えられます。
どれほどの探索時間を要したのですか？

なおメモに
# 8193613126657808805087106で検索すると、既に他の人が見つけていたということもわかりました。
がありましたが私もいろいろこの数字で検索かけましたが、全く関係しないものしか現れなくて
これを拾い出すのはどんな手法なのかが知りたいです。
例のAIに尋ねても分かりませんでした。

探索時間は、1秒ぐらいです。
たまたま「先頭の方」にあって、かつ小さい5個の素数が
32ビット以内だったため運よく見つかっただけです。
「先頭の方」になければ延々と見つからなかったと思います。
現に、条件を絞って「6素因数の2個目」を探していますが、終わりが見えません。
探索方法は、「小さい順に決めていく」方法です。
a＜b＜c＜d＜e＜fとして、まずaは2,3,5,…ですがたまたまa=2の解がありました。
bは単純に考えると3,5,7,11,13,…ですが、
(2a-1)(2b-1)(2c-1)(2d-1)(2e-1)(2f-1)+1 が abcdef で割り切れなければならないため
b=3は不適です。（2a-1=3なので分子は3で割り切れず、分母に3があってはならないためです））
よってbは5から開始することになります。
この処理は他の変数を決めるときにも行います。例えばb=7のとき2b-1=13なのでcやdを
13にすることはできません。
あと、いくつかの変数を決めた段階でそのときの(Σgcd+1)/Nの最小値・最大値が決まりますが、
その範囲に整数が存在しないことが多々あります。（例えば最小値26.2、最大値26.9など）
そのときに探索をやめて変数の値を次の値にすると、かなり速くなります。
そして未定の変数が残り二つになったとき（つまりa,b,c,dを決めたとき）に
残りの二つは (Ae+B)(Af+B)=kC という方程式を立て、kを(Σgcd+1)/Nの最小値～最大値の
範囲、eをd＜e＜(√(kC)-B)/Aの範囲で変化させてfが素数になるものを探しています。

8193613126657808805087106 については、こちらの環境でググると
↓このサイトが見つかります。
math.stackexchange.com/questions/5074339/pillais-sum-of-gcd-arithmetical-function-and-primality
こちらでは1年前に同じ値が発見されていますので、私がA018804に登録するのはちょっと…

その後、小さい整数解を３個見つけた。これらが、おそらく最小解である。

11633^4+20043*2391^4=28453^4+20043*973^4

12578^4+20043*1809^4=17032^4+20043*1669^4

34141^4+20043*1208^4=34403^4+20043*396^4

x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない整数解を求める方法については、以下のURLにまとめているので、もし興味があれば、参考にしてください。

https://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/de50-20018.html
[2026.08.21]A^4+20018*B^4=C^4+20018*D^4の整点

Nakaoさんは以前から途轍もない大きな数を相手にいろいろ計算をされている様子ですが、
私は日頃数の世界から見ればほんの一部、海で言えば海岸に打ち寄せる浅瀬の水に対する
物だけを相手に遊んでいる程度です。
ですからこんな想像を超えてくる数字をみると恐怖さえ感じる感覚なのです。
ですからこれらが正しいのやら、どうなのかの余裕は全く湧いてこないのです。

所でこの頃想像を超える数の話でゲーベル数列というものをたまたま知ることになったのですが
a(0)=a(1)=1;
a(n)=1/n*sum(k=0,n-1,a(k)^2)
の漸化式で{a(n)}を作り出していくのですが
1,1,2,3,5,10,28,154,3520,1551880,･･･････(A003504参照)
と定義式がnで割るようにはなっているのですが、それにも拘わらずこの様に整数が並んでいきます。
この先どうなるかと言えばたとえ計算機を使ったとしても、急激に数が巨大化していき、ものの15番目ぐらいでは
恐ろしく大きな値がしかしちゃんと整数できまってきます。
ついどこまでも巨大になっていくが整数であろうと勝手に想像してしまいます。
しかし現実a(43)までは整数だが、a(44)ではＮ/43 (Nは何と178485291570桁のある整数)
つまり分母に43が残る有理数となるという。
もちろんこれを具体的に計算の王様コンピュータで見ることは私たちには出来ないと思われます。
面に見えぬ大きさの数まで視野がとれれば、
日常では考えられぬ思わぬ出来事が起こってもおかしくない世界観起こるのでしょうが・・・
ところでいつも大きな数を相手にされているNakaoさんにぜひこのa(43)までは整数でa(44)は有理数にしかならないよ！
ということをPARIコード(楕円曲線の技を使いこなしてあるので多分熟知と思い)で作って貰えませんか？

> a(0)=a(1)=1;
> a(n)=1/n*sum(k=0,n-1,a(k)^2)
この式だとa(3)=1/3*(1+1+4)=2になってしまいます。
（計算が合わないのでA003504を見たのですが）A003504では
a(n+1)=1/n*sum(k=0,n,a(k)^2) なので、a(n)=にするなら
a(n)=1/(n-1)*sum(k=0,n-1,a(k)^2) ですね。

x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の整数解が、本当に正しいのか、あるいは、間違っているのかは、Pari/GPやGoogle AIモードを使えば、一瞬で分かるはずだ。
あえて、間違った数式をここに投稿する意味は無いだろう。

異なる方法で、x^4+20018*y^4=z^4+20018*w^4の自明でない(前回よりも小さい)整数解を求めた。

6024952034408244154677^4+20018*327901407351075242811^4=6272822028564689110027^4+20018*80031413194630287461^4

10715394633278845240166368299565623244683015152919602007935845671946915231352945064632481^4+20018*1221663305617509907342313057092900917274609429661104216378283154779464720512768231800319^4=13033368220045982546914929580674735403270983881336482128830631976385072961835340081450719^4+20018*1096310281149627399406248224016211241313359298755775904516503149658693009969626785017919^4

10105261490479126602185601826179263253592237573573096758520683843784768255097945985429679200055679560867795210829208505117160374975688954975195215770744844532831070658076832076933547577464757971147^4+20018*752292917296716478558237276241338986336740738222910458649406524355247625213321491339587360666114354800397210248924778567176914074385826394678689818580932296840911051910463055852624518882749992421^4=11281036167985289372629809177393625710003414925192367504282644050644655973177662958724292304671469783810739309099616027092215213533801010019784411766322192902572242473309529351629313524222050830197^4+20018*423481760209446291885970074973023470074436613396360287112553682504640092866395481955025743949675868142546888021482743407877924483726228649910506176996416072900260763322234218843141427874542866629^4

36225977896786674500224548953130803378443628128489179105782154257291013748255098808802092707461760498969272970244723305181452335621749545861737278686423690290975810044386629727739973233572594130925226743317876675997665018517257875867707969386697255575260581757115745235997380331391893054946518270343097445110662605469581755289135136185966308930970879^4+20018*2485381893564519406940192354167000776954451552957534150343717899617963488390447695531677302807162966772279327884554675151796386238509235422930110633104468086411720647206698265719347158982889387969629860830749237162996626875060552298920871483008328968892727045960922930746470580534502906082222264037269002752716992970117914445725652792684232217859521^4=39646520897906515152364590674369165531504629330168116233864512156808345437663338398649585024927668569774671600477671583901929498824810933781780577738887830186694020634892386699957223446216949852421085655566104653575857042654157252353884692017805062741080301558918398683134808292233337701231425841336543221601098661385356873813492785216603709040286721^4+20018*935161107555321245199849367071361376106549648721402977738639999899368201017791894315815014658745104033119302348393603568680776964552152497113188419359671809306489943299058706497903053661466333526229051417478740415195397261838824187255851148099478196926992755841730516390957380306941740202685306956176773737719062945657204078631996237953167891456321^4
....

先頭の整数解が最小解であるかどうかは不明である。

f(213)を214で割った余りがわかればよい
→f(212)を213*214で割った余りがわかればよい
→f(211)を212*213*214で割った余りがわかればよい
→・・・
ということですので、例えば

gobel_kl(k,l,N)=
{
x=l;
for(n=1,N-1,
x=x%(N!/(n-1)!);
x=x*(n+x^(k-1))/(n+1);
);
return(x);
}
for(i=3,300,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))

のようにするとf(214)が非整数であることがわかりますね。

# 理由がよくわからないのですが、非整数が出てくると
# 次のx=x%(N!/(n-1)!)でエラーになりますので、
# 最初の非整数まで表示してエラー終了します。
# （非整数が出現したら終了というロジックを省略できて便利ではあります）

このプログラムでどこで有理数となる場所が判明できるのですね。
そこでこのプログラムを使って
A288641に並んでいる整数を算出していたら
forprime(i=3,900,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))で
･･･････････････
193 132351082600315838701
197 3340985130460343217
199 841924060846945
211 11068272793562666699
*** at top-level: ...rime(i=3,900,print(i," ",gobel_kl(5,2,i)))
*** ^-----------------
*** in function gobel_kl: x=l;for(n=1,N-1,x=x%(N!/(n-1)!);x=x*(n+x^(k-1)
*** ^---------------------------
*** _%_: impossible inverse in Fl_inv: Mod(0, 107).
の返しが起こりA288641でのn=5での値251にひっからないのです。
n＝2~20まではn=5以外ではちゃんと正解の値を与えてくれます。

この部分の謎は何なのでしょうか？

原因の予想はつきますが、対策はどうすればよいかわかりません。
n=5のとき最初に非整数になるのが214であり、214が素数でないから
という理由だと思いますが、非整数になってしまうとmod演算が
できなくなって今の方式では不都合です。
n=2～20はn=5を除きすべてたまたま素数項で非整数になりますが、
少し先を計算するとn=22のときも素数でない94で非整数になってしまい
179が得られません。
非整数を5乗とか22乗とかするとあっという間に分子分母が
巨大になってしまうのでうまくないですね。
さて、どうしましょう？

(追記)
上のプログラムで求まる43, 89, 97, 214, 19,・・・という数列はA108394ですね。

これを使うとてっきりA288641も見つかると思ってやっていました。

p=17まで拡張して調べていたら
M17=
[ 1 3 0 1 0 1 -3]

[ 1 1 0 3 -2 0 -1]

[-4 -2 0 1 2 0 1]

[ 3 6 0 -3 0 0 -1]

[-1 7 0 0 -1 -2 1]

[ 2 -1 -1 -1 -1 0 2]

[ 3 -2 -3 1 -1 1 1]

gp > matdet(M17)
%153 = -239
gp > M17^(-1)*[0;0;2;0;1;0;0]より
%154 =
[ 72/239]

[114/239]

[167/239]

[202/239]

[249/239]

[266/239]

[294/239]

で再び239の共通分母でp=2,3,5,7,11,13,17の常用対数の近似値を
上記の分数で示す結果が入手できた。
(p=13までは行列M13の行列式は-897で239は出現できなかったのだが、
ひょっとして他の組合せからは可能だったかも知れないが未確認)

そこでp=19を239の分母での常用対数を指定して近似分数を構成してみると
306/239が対応してくるが、そこまでの絶対誤差と相対誤差を数値化すると

素数p;絶対誤差;相対誤差
2;+0.000225;+0.0748%
3;-0.000134;-0.0280%
5;-0.000225;-0.0322%
7;+0.000090;+0.0107%
11;+0.000448;+0.0430%
13;-0.000973;-0.0873%
17;-0.000323;-0.0263%
19;+0.001581;+0.1236%
となりp=17までは共通分母239でかなりの精度で表示できることが判明出来た。
p=19ではそれまでの精度は一気に落ちてしまった。

結論：
p=17までの常用対数値の近似分数式では239の分母が大変有効な値であることがわかった。
ここまで広範囲で使えるとは全く予想できなかった。
(勿論もっといい精度の近似分数を考えれば、各素数で全て異なる分母系を用いることになるが･･･)