😊出会いの泉😊

以前二平方和分解の投稿で、ある合成数Pが下記①の性質を持つならば
b=[√P]　（[　]はガウス記号）
でbが求まる事をらすかるさんに教えて頂きましたが

①P＝a^2+b^2
※ただしa,bは自然数、bは(2×(aの桁数)＋1)桁以上の数


それと似たような手法で平方差も求められる事が分かりました。

すなわち
ある合成数qが下記②の性質を持つとき
x=[√q]+1　（[　]はガウス記号）
でxが求まり、そこから平方差が求められ、
結論として素因数分解可能。

②q＝x^2-y^2
※ただしx,yは自然数であり、xは(2×(yの桁数)＋1)桁以上の数

例：次の③qを素因数分解せよ、だだし②の性質を持つものとする。

③q=975461057985063252585468007926206200262277

C=[√q]として
C=987654321098765432108
E=C+1として
E=987654321098765432109
E^2を計算して
E^2=975461057985063252585526596557677488187881
F=E^2-qとして
F=975461057985063252585526596557677488187881
-975461057985063252585468007926206200262277
=58588631471287925604
√Fを計算して
√F=7654321098
E+√Fを計算して
E+√F=987654321098765432109+7654321098
=987654321106419753207
q/(E+√F)を計算して
q/(E+√F)=975461057985063252585468007926206200262277
/987654321106419753207
=987654321091111111011（割り切れた）
よって
q=987654321106419753207×987654321091111111011

終わり

[2305]の続きです。

13人いればそのうち最大２名が嘘をついても64枚の金貨を処理できるだろう、の件です。

既にお示ししましたように、知人から解を教えてもらったもののその背景には何が有るのか解らずに彷徨っております。
普通に作ると32枚が限界。

漸くこのほど古い論文をみつけました。
An optimum nonlinear code
code
Alan W. Nordstrom ,
John P. Robinson

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0019995867908352

これに書いてあることを猿真似して
最小ハミング距離が5でありながら14ビットで128もの符号語数を実現する方法をメモしておきたく存じます。

情報ビットが7、冗長ビットが7、前者をX,後者をYとしたときに、エンコード方法は以下となります。
なお、「⊕」は排他的論理和、「 ⋅ 」は論理積です。

X₀∥X₁∥X₂∥X₃∥X₄∥X₅∥X₆
⇒
X₀∥X₁∥X₂∥X₃∥X₄∥X₅∥X₆∥Y₀∥Y₁∥Y₂∥Y₃∥Y₄∥Y₅∥Y₆

ただし、
Y₀ = X₆ ⊕ X₀ ⊕ X₁ ⊕ X₃ ⊕ ((X₀ ⊕ X₄) ⋅ (X₁ ⊕ X₂ ⊕ X₃ ⊕ X₅)) ⊕ ((X₁ ⊕ X₂) ⋅ (X₃ ⊕ X₅))

Y₁ = X₀ ⊕ X₁ ⊕ X₂ ⊕ X₄ ⊕ ((X₁ ⊕ X₅) ⋅ (X₂ ⊕ X₃ ⊕ X₄ ⊕ X₆)) ⊕ ((X₂ ⊕ X₃) ⋅ (X₄ ⊕ X₆))

Y₂ = X₁ ⊕ X₂ ⊕ X₃ ⊕ X₅ ⊕ ((X₂ ⊕ X₆) ⋅ (X₃ ⊕ X₄ ⊕ X₅ ⊕ X₀)) ⊕ ((X₃ ⊕ X₄) ⋅ (X₅ ⊕ X₀))

Y₃ = X₂ ⊕ X₃ ⊕ X₄ ⊕ X₆ ⊕ ((X₃ ⊕ X₀) ⋅ (X₄ ⊕ X₅ ⊕ X₆ ⊕ X₁)) ⊕ ((X₄ ⊕ X₅) ⋅ (X₆ ⊕ X₁))

Y₄ = X₃ ⊕ X₄ ⊕ X₅ ⊕ X₀ ⊕ ((X₄ ⊕ X₁) ⋅ (X₅ ⊕ X₆ ⊕ X₀ ⊕ X₂)) ⊕ ((X₅ ⊕ X₆) ⋅ (X₀ ⊕ X₂))

Y₅ = X₄ ⊕ X₅ ⊕ X₆ ⊕ X₁ ⊕ ((X₅ ⊕ X₂) ⋅ (X₆ ⊕ X₀ ⊕ X₁ ⊕ X₃)) ⊕ ((X₆ ⊕ X₀) ⋅ (X₁ ⊕ X₃))

Y₆ = X₅ ⊕ X₆ ⊕ X₀ ⊕ X₂ ⊕ ((X₆ ⊕ X₃) ⋅ (X₀ ⊕ X₁ ⊕ X₂ ⊕ X₄)) ⊕ ((X₀ ⊕ X₁) ⋅ (X₂ ⊕ X₄))

とします。
これをプログラムで実装して出力したところ確かに所望のものができました。
よもやよもや論理積が使われているとは……

エンコード後にX₀が0のものだけを取り出すと64件の符号語数となり、X₀はダミーと成り下がりましたのでこれを除去すれば、符号長が13、最小ハミング距離が5となります。これで私が欲しかった実物を得ることができました。
0000000000000
0000011001011
0000100010111
0000111100110
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0001101001101
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0010101110001
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0011011110111
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0101101110100
0101110111111
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0110101101111
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0111100101000
0111111011001
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1000010011110
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1001100011000
1001111010011
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1101111101010
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1110100011101
1110111010110
1111001010000
1111010111100
1111100110011
1111111100101

東北大鈴木睦元教授の魔方陣の英語版のページ
http://mathforum.com/te/exchange/hosted/suzuki/MagicSquare.html
もリンク切れになっていましたが、全部は確認していませんが、webarchiveでまだ閲覧することはできるようです。

https://web.archive.org/web/20060709213003/http://mathforum.org/te/exchange/hosted/suzuki/MagicSquare.html

ＧＡＩさんの令和３年５月２１日付けの「超円方陣」で、「新版　魔方陣の世界」（大森清美、日本評論社）の第8章「いろいろな魔方陣」のp.276に別の解が載っていました。

ご指摘のとおり転記ミスだったので訂正しておきます。

No.2339kuiperbelt2024年11月24日 15:17…

引用して返信編集・削除(未編集)

GAIさんの「超円方陣」は3つの同心円に5つの円が交差するように、かつ、5つの円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる40個の交点に、1～40の数を、2つの円の交点である2点に和が41となるように配置すると、円上の10点の総和が205の定和となるというものでした。
これを一般化して、n個の同心円に(n+2)個の円が交差するように、かつ、(n+2)個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる2(n+1)(n+2)個の交点に、1～2(n+1)(n+2)の数を、2つの円の交点である2点に和が2(n+1)(n+2)+1となるように配置すると、円上の2(n+2)点の総和が(n+2)(2(n+1)(n+2)+1)の定和となるという(2n+2)円陣を考えてみました。
n=1の場合は4円陣で、1つの円に3個の円が交差するように、かつ、3個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる12個の交点に、1～12の数を、2つの円の交点である2点に和が13となるように配置すると、円上の6点の総和が39の定和となるというもので、「魔方陣の世界(大森清美)」のp.274の右側の4円陣で円の大小関係を調整したものに相当します。
n=2の場合は6円陣で、2個の同心円に4個の円が交差するように、かつ、4個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる24個の交点に、1～24の数を、2つの円の交点である2点に和が25となるように配置すると、円上の8点の総和が100の定和となるというもので、「魔方陣の世界(大森清美)」のp.275の左側の6円陣で円の大小関係を調整したものに相当します。
n=3の場合の8円陣が、GAIさんの「超円方陣」となります。
n=4の場合は10円陣で、4個の同心円に6個の円が交差するように、かつ、6個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる60個の交点に、1～60の数を、2つの円の交点である2点に和が61となるように配置すると、円上の12点の総和が366の定和となるというものです。

No.2350kuiperbelt2024年12月1日 16:34…

引用して返信編集・削除(編集済: 2024年12月07日 21:16)

4円陣

No.2351kuiperbelt2024年12月1日 16:37…

引用して返信編集・削除(未編集)

6円陣

No.2352kuiperbelt2024年12月1日 16:39…

引用して返信編集・削除(未編集)

1/(k*(k+1)*(k+2))=(1/2)*(1/(k*(k+1))-1/((k+1)*(k+2)))
1/(k*(k+1)*(k+2)*(k+3))=(1/3)*(1/(k*(k+1)*(k+2))-1/((k+1)*(k+2)*(k+3)))
...
1/(k*(k+1)*(k+2)*...*(k+m))=(1/m)*(1/(k*(k+1)*...*(k+m-1))-1/((k+1)*(k+2)*...*(k+m)))

なので、

1/(1*2*3)+1/(2*3*4)+...+1/(n*(n+1)*(n+2))=(1/2)*(1/(1*2)-1/((n+1)*(n+2)))
1/(1*2*3*4)+1/(2*3*4*5)+...+1/(n*(n+1)*(n+2)*(n+3))=(1/3)*(1/(1*2*3)-1/((n+1)*(n+2)*(n+3)))
...
1/(1*2*3*...*(m+1))+...+1/(n*(n+1)*(n+2)*...*(n+m))=(1/m)*(1/m!-n!/(n+m)!)

というのもいえますね。

一定の道幅を持つ道路の両隣には２つの垂直な壁が立ちはだかり
今両壁に二本の梯子（長さをx,yとする。)が交差する形で立てかけられて
いるものとし、その交差している場所の道路からの高さをhとしたとき
これらから道路の幅wを算出するものとする。(梯子は道の両端からそれぞれ反対側の壁に掛けられているとする。)
1≦<x<y≦200であるx,yとhが全て整数である時、道幅ｗも整数で決定できる整数
(x,y,h)の組合せを探し出してほしい。
一例
(x,y,h)=(70,119,30)の時w=56で求まる。

更に
1≦x<y≦1000の条件x,yの整数で
そしてhの値も整数である時、道幅wが整数となれる異なるwの値は何通り可能か？

魔円陣といって、同心円と直径を同じ数だけ書いて、その交点2n^2+1個に数字を置くものがありますが、直径上の2n+1個の数字の和（径和）と、円周上の2n個の数と中心数の2n+1個の数の和(周和)を全て等しくしたもので、「楊輝算法」には、中心の数を9として、4つの同心円上に{7,22,10,24,25,18,2,30},{19,13,23,3,11,26,29,14},{31,1,16,15,5,17,32,21},{12,33,20,27,28,8,6,4}を配し、4本の直径上に{12,31,19,7,9,25,11,5,28},{33,1,13,22,9,18,26,17,8},{20,16,23,10,9,2,29,32,6},{27,15,3,24,9,30,14,21,4}とした「攅九図」という図が載っています(「攅九」は9に集まるという意味。)。
それを応用して、図のように北極と南極で交差する3つの大円と、赤道、北緯45度、南緯45度の3つの緯線の円の交点となる20個の点に、1～20の数字をおき、3つの大円上の数の和と、3つの緯線の円上の数と両極の数の和を図のように等しくした「魔球陣」を考えてみました。1～20の数字の配置で、図の両極が4と8の場合の他に、両極の数字がどのようなものがあるでしょうか。

「棋士デビュー70年の加藤一二三九段(84)が詰め将棋出題65年間継続でギネス記録、って全数字綺麗に出てるなぁ」という大発見がShiromaruさんによってX(旧ツイッター)で報告され話題となりました。URLは以下。
x.com/siromaru460/status/1859445122246816091?t=ZZ_dzmTIWt4uTDqThlkKCA&s=19

このツイートをうけてサイエンスライター兼 vtuber の彩恵りり氏(@Science_Release)氏が紹介したネイピア数の、0から9までをかぶらずにヒトモジづつ使った近似方法がとてつもなかったので皆様にご紹介します。

引用

e≈(1+0.2^(9^(7×6)))^(5^(3^(84)))

ネイピア数と小数点以下8368澗4289溝8906穣8425秭9438垓1759京0916兆4450億0188万7164桁まで一致する近似値
(Daniel Bamberger (2024) による)
引用終わり


引用は x.com/Science_Release/status/1859877878701424740?t=O15lpwQYZYWpwwlEeZCTYw&s=19 より。

Daniel Bambergerによるオリジナルはこの投稿のDenganの名前のURLジャンプの先のページで確認できますが、こちらはよりディープかつ趣味的なデータベースになっています。

※ 0.2=1/5だから、
言い換えると
N=5^(3^84)に対して
e≒(1+1/N)^N
ですね。
との解説が @hironino さんによりツイッター上で披露されました。

魔方陣の本で、「方陣の研究」（平山諦,阿部楽方、大阪教育図書）の中で、幸田露伴の「方陣秘説」で紹介されていた、スナルト氏の七方陣というものがあります。(https://userweb.pep.ne.jp/c6v00030/r128.htmlの「説明第九」を参照)

40 39 08 34 09 25 20
03 12 47 07 45 33 28
16 42 11 22 10 48 26
31 17 15 49 13 18 32
27 41 21 04 14 44 24
35 19 37 30 46 06 02
23 05 36 29 31 01 43

この方陣では縦・横・対角線の総和だけでなく、正角と称する中心のマスで直角に折れ曲がる7マス(例:34,7,22,49,15,17,31、および、40,12,11,49,21,19,23)、鋭角と称する45度で折れ曲がる7マス(例:40,12,11,49,15,17,31)、鈍角と称する135度で折れ曲がる7マス(例:34,7,22,49,21,19,23)の総和も等しく、さらに、中心と四隅の計5マスの和、中心と四辺の中央の計5マスの和が等しくなっているというものでした。「方陣の研究」では中心のマスが47の場合もつくることができたそうですが、45の場合はできていないそうです。

スナルト氏の方陣を五方陣にすると、例えば、

10 04 25 09 17
05 22 07 15 16
08 24 01 21 11
23 13 12 14 03
19 02 20 06 18

というものがありますが、中心のマスが1以外の3,5,7,9,11,13の場合は可能でしょうか。

また、スナルト氏の方陣を九方陣、十一方陣、...としたものは可能でしょうか。

16個のアルファベット
E,F,G,H,I,L,N,O,R,S,T,U,V,W,X,Z
を揃えておけば0～12の英単語
ZERO
ONE
TWO
THREE
FOUR
FIVE
SIX
SEVEN
EIGHT
NINE
TEN
ELEVEN
TWELVE
が構成できる。

そこでこの16個のアルファベットに適当にある整数を割り当てておくと
Z+E+R+O=0
O+N+E=1
T+W+O=2
T+H+R+E+E=3
･････････
E+L+E+V+E+N=11
T+W+E+L+V+E=12
という等式が成立するようにするには
E,F,G,H,I,L,N,O,R,S,T,U,V,W,X,Zにどんな整数を割り当てれば良いでしょうか？

#今まで数多く出題してきているので、もしかして過去に出題していたかも知れませんが悪しからず。
アップ後探したら出題しておりました。

不定方程式となるので解は無数にある事になってしまうので
各整数が
-11～11の範囲で納まる部分での組合せで探しだしておいて下さい。

全て素数を対象として[p1,p2,p3],[q1,q2,q3]の2組で
p1^k+p2^k+p3^k=q1^k+q2^k+q3^k (k=1,2)
が成り立つ組合せを100までの素数の範囲で探すと
結構多くの組合わせが存在し
1;[5, 31, 41] VS [13, 17, 47]
2;[5, 41, 71] VS [7, 37, 73]
3;[5, 43, 53] VS [11, 29, 61]
4;[5, 53, 83] VS [11, 41, 89]
5;[5, 59, 79] VS [7, 53, 83]
6;[5, 59, 89] VS [13, 43, 97]
7;[7, 19, 29] VS [11, 13, 31]
8;[7, 23, 41] VS [11, 17, 43]
9;[7, 29, 31] VS [11, 19, 37]
10;[7, 29, 43] VS [13, 19, 47]
･･････････････
91;[31, 67, 73] VS [41, 47, 83]
92;[37, 53, 71] VS [41, 47, 73]
93;[37, 67, 71] VS [43, 53, 79]
94;[37, 73, 79] VS [47, 53, 89]
95;[41, 71, 83] VS [47, 59, 89]
96;[41, 79, 83] VS [43, 71, 89]
97;[43, 61, 67] VS [47, 53, 71]
98;[43, 67, 79] VS [47, 59, 83]
99;[43, 83, 89] VS [47, 71, 97]
100;[53, 71, 79] VS [59, 61, 83]
101;[53, 83, 89] VS [61, 67, 97]
が見つかった。
なおこの中で和を最小とする組合わせは
[7,19,29] VS [11,13,31]
が当てはまる。

同じく
[p1,p2,p3,p4],[q1,q2,q3,q4]の2組で
p1^k+p2^k+p3^k+p4^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k (k=1,2,3)
を100までの素数の範囲で調べたら
1;[7, 31, 59, 83] VS [11, 23, 67, 79]
2;[11, 29, 47, 73] VS [17, 19, 53, 71]
3;[11, 37, 47, 73] VS [17, 23, 61, 67]
4;[11, 41, 43, 73] VS [13, 31, 53, 71]
5;[11, 43, 47, 79] VS [19, 23, 67, 71]
6;[11, 47, 53, 89] VS [17, 29, 71, 83]
7;[13, 29, 31, 47] VS [17, 19, 41, 43]
8;[13, 29, 67, 83] VS [17, 23, 73, 79]
9;[13, 43, 59, 89] VS [19, 29, 73, 83]
10;[17, 29, 31, 43] VS [19, 23, 37, 41]
11;[17, 43, 53, 79] VS [23, 29, 67, 73]
12;[17, 43, 61, 79] VS [19, 37, 71, 73]
13;[19, 37, 53, 71] VS [23, 29, 61, 67]
14;[19, 43, 47, 71] VS [23, 31, 59, 67]
15;[23, 41, 61, 79] VS [29, 31, 71, 73]
16;[23, 59, 61, 97] VS [31, 37, 83, 89]
17;[29, 43, 47, 61] VS [31, 37, 53, 59]
18;[31, 53, 67, 89] VS [37, 41, 79, 83]
19;[37, 59, 61, 83] VS [41, 47, 73, 79]
が見つかった。
なお最小値の和を構成するのは
[13, 29, 31, 47] VS [17, 19, 41, 43]
[17, 29, 31, 43] VS [19, 23, 37, 41]
の2パターンが当てはまる。(2,3乗までを考えると下の方が最適)

そこで次はと思い
p1^k+p2^k+p3^k+p4^k+p5^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k+q5^k (k=1,2,3,4)

p1^k+p2^k+p3^k+p4^k+p5^k+p6^k=q1^k+q2^k+q3^k+q4^k+q5^k+q6^k (k=1,2,3,4,5)

を満たせる組合せはどうなるだろうかと検索を始めたが今度は余りにも範囲が広がり過ぎて
丸一日コンピュータを走らせても一つもヒットしてこない。
なお和の最小値を与える2組のものは
[13,59,67,131,163] VS [23,31,103,109,167]
[17,37,43,83,89,109] VS [19,29,53,73,97,107]
であるとの情報はネットから入手できた。

従って検索範囲を200までの素数に限定してもこれ以外にも発見できそうと思われる。
如何せん全検索の方法で探し回っているので今のところ一つも見つけられずにいます。

何方か効率よい検索プログラムから他のパターンを探し出されたら教えて下さい。