😊出会いの泉😊

いくらでもありそうな感じですが、実際探索するといくらでもあります。
例えば
10+16+39=12+13+40=65
10*16*39=12*13*40=6240
100+108+119=102+105+120=327
100*108*119=102*105*120=1285200

らすかるさん、いつもありがとうございます。
３＋３＋１０＝２＋５＋９＝１６
３・３・１０＝２・５・９＝９０

３＋６＋８＝４＋４＋９＝１７
３・６・８＝４・４・９＝１４４

４＋１２＋５＝８＋３＋１０＝２１
４･１２・５＝８・３・１０＝２４０
どのように、求めたらいいのか分からなくて、
三ケタ、四ケタもあるんですね。
後、素因数が、２，３，５，７、１３、１７，がありますが、
１１も興味は尽きません。全ての素因数について、それを、含む
組もありそうですね。

４個組
１＋３＋４＋４＝２＋２＋２＋６＝１２
１･３・４・４＝２・２・２・６＝４８

５個組
１＋１＋３＋４＋４＝１＋２＋２＋２＋６＝１３
１・１・３・４・４＝１・２・２・２・６＝４８

1を足していけば、何個の組でも、作れそうですね。
両組に同じ数を使わない、と条件を変えればどうなるでしょうか？
6,7,8個の組も作れますか？

個数を、4個、から増やしていくことを、考えてみて、単純な解があり、条件を変えても、３個組と３個組を繋いでいけば、６個組ができるんですね。
５個組は、どうしたら、いいでしょうか？
果てしなく、続く問題ですが、難しくなります。
そうこうして、こんな、定理に出会いました。
素数の列で、等差になっているもの
長さ６のもの、7，37，67，97，127，157　等差が30

２００６年で、長さ26が最長
にも関わらず、Green-Tao　2004
素数のみから構成される任意の長さの等差数列が存在する。

具体的には見えないけれど、存在する。数学の力凄いです。

5個組は2個+3個でいいのでは？

> "ks"さんが書かれました:
> 素数の列で、等差になっているもの
> 長さ６のもの、7，37，67，97，127，157　等差が30

が面白かったので、その先を探してみた。
7個連続
[7, 157, 307, 457, 607, 757, 907]
[47, 257, 467, 677, 887, 1097, 1307]
[53, 1103, 2153, 3203, 4253, 5303, 6353]

8個連続
[61, 9931, 19801, 29671, 39541, 49411, 59281, 69151]
[73, 5953, 11833, 17713, 23593, 29473, 35353, 41233]
[103, 4723, 9343, 13963, 18583, 23203, 27823, 32443]
[199, 9439, 18679, 27919, 37159, 46399, 55639, 64879]

9個連続
[17, 6947, 13877, 20807, 27737, 34667, 41597, 48527, 55457]
[137, 8117, 16097, 24077, 32057, 40037, 48017, 55997, 63977]

10個連続
[199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089]
[443, 32783, 65123, 97463, 129803, 162143, 194483, 226823, 259163, 291503]

11個連続
[1619, 3413489, 6825359, 10237229, 13649099, 17060969, 20472839, 23884709, 27296579, 30708449, 34120319]
[3617, 213827, 424037, 634247, 844457, 1054667, 1264877, 1475087, 1685297, 1895507, 2105717]

12個連続
[18439, 33291679, 66564919, 99838159, 133111399, 166384639, 199657879, 232931119, 266204359, 299477599, 332750839, 366024079]

13個連続
[4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 605543, 665603, 725663]

探す範囲が予想もつかないので、適当な範囲でやっていますので、見落としているものもあるとは思われます。
14個以上に挑戦していましたが、自分で設定した範囲では探し出すことは出来ませんでいた。
何方か続き及び補充をお願いします。

検索していたら
146141+54444390*k
但し、0≤k≤13
が例示されていました。

OEISによれば
今みつかっている最も長い数列は次のものです。

A261152 - OEIS

https://oeis.org/A261152

> "Dengan kesaktian Indukmu"さんが書かれました:
> 検索していたら
> 146141+54444390*k
> 但し、0≤k≤13
> が例示されていました。


ありがとうございます。
次が見つからないはずだ。こんなにも初項が遠く離れているとは！
なお初項の数は偶数番目の素数を155個加えた値となることは偶然なのですかね？

gp > vector(155,i,prime(2*i))
%226 =
[3, 7, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 61, 71, 79, 89, 101, 107, 113, 131, 139,
151, 163, 173, 181, 193, 199, 223, 229, 239, 251, 263, 271, 281, 293, 311,
317, 337, 349, 359, 373, 383, 397, 409, 421, 433, 443, 457, 463, 479, 491,
503, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 619, 641, 647, 659, 673, 683,
701, 719, 733, 743, 757, 769, 787, 809, 821, 827, 839, 857, 863, 881, 887,
911, 929, 941, 953, 971, 983, 997, 1013, 1021, 1033, 1049, 1061, 1069, 1091,
1097, 1109, 1123, 1151, 1163, 1181, 1193, 1213, 1223, 1231, 1249, 1277, 1283,
1291, 1301, 1307, 1321, 1361, 1373, 1399, 1423, 1429, 1439, 1451, 1459, 1481,
1487, 1493, 1511, 1531, 1549, 1559, 1571, 1583, 1601, 1609, 1619, 1627, 1657,
1667, 1693, 1699, 1721, 1733, 1747, 1759, 1783, 1789, 1811, 1831, 1861, 1871,
1877, 1889, 1907, 1931, 1949, 1973, 1987, 1997, 2003, 2017, 2029, 2053]
gp > vecsum(%)
%227 = 146141

私も後で調べてみたら26個連続はA204189,A261140,A317163,A317164,A317255,A317259,A317914も見つかっているようですね。
また2019年4月に新たに発見され、連続27個のものがA327760に載っていました。
これって偶然範囲があえば新しき長さの等差数列素数を発見できるかも知れませんね。

お陰様で、五個の組が、見つかりました。
1＋4＋8＋9＋10＝2＋3＋5＋６＋16
1・4・8・9・10＝2・3・5・6・16
他にも、あるとは思いますが。

後半、そんなルートもあるんですね。

DP : PE = 1 : 4
DM : ME = 1 : 1
から
DP : PM : ME = 2 : 3 : 5
よって
△AMP = △AEP * (3/8) = 30

の方が模範解答にはよく使われる印象です。

「あと２つ」が97と997で正しければ、その次は999…(9が139個)…9997つまり10^140-3かな？
（もしかしたらそれより小さいものがあるかも）

この3つを探した後はもう諦めていました。
どうして第4のとんでもないものを見つけられたのか？？？

もしかして
99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか？
999･･･････････････9997(=10^990-3)もありですか？

https://stdkmd.net/nrr/9/99997.htm#primeが参考になりました。

> "らすかる"さんが書かれました:
> 「あと２つ」が97と997で正しければ、その次は999…(9が138個)…9997つまり10^140-3かな？
> （もしかしたらそれより小さいものがあるかも）

これは
999…(9が139個)…9997でいいですよね？
すみません細かいことで

> 999…(9が139個)…9997でいいですよね？
おっしゃる通りです。単純に間違えました。
これは元記事を修正しました。

> 99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか？
それはNGです。
99999999999999997 番目の素数は
4185296581467695521 であり、
これ以下の素数で
999999999999999989
がありますので
99999999999999997は最後になりません。

999…(9が139個)…9997 (140桁) の場合は、
999…(9が139個)…9997 番目の素数は
32*********************** (143桁) という数であり、
999…(9が139個)…999 7x (141桁)
999…(9が139個)…999 8x (141桁)
999…(9が139個)…999 9x (141桁)
999…(9が139個)…999 7xx (142桁)
999…(9が139個)…999 8xx (142桁)
999…(9が139個)…999 9xx (142桁)
がすべて合成数であることが確認できたため、
999…(9が139個)…9997 は最後になり、条件を満たしています。

999･･･････････････9997(=10^990-3)の場合は、
999･･･････････････9997番目の素数が
約2.29×10^993であるため、
999･･･････････････9997x
999･･･････････････9998x
999･･･････････････9999x
999･･･････････････9997xx
999･･･････････････9998xx
999･･･････････････9999xx
999･･･････････････9997xxx
999･･･････････････9998xxx
999･･･････････････9999xxx
がすべて合成数であることが確認できればOKになりますが、
対象が結構多いので素数が含まれているのではないかという気がします。

「もしかしたらより小さいのがあるかも」というのは、
999･･････････991
などで条件を満たすものがもしあれば、という意味ですが、
末尾が1であるため確率的に低いと思い、未調査です。
これだけなら調査することはできますが、
n桁の最後が
999･･････････989 とか
999･･････････983 とか
999･･････････979
のような場合など考えると大変そうなので調査はやめました。

gp > for(i=70,99,if(isprime(10^2*(10^989-1)+i)==1,print1(10^2*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=700,999,if(isprime(10^3*(10^989-1)+i)==1,print1(10^3*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=7000,9999,if(isprime(10^4*(10^989-1)+i)==1,print1(10^4*(10^989-1)+i",")))
に対し何の反応も起きなかった。
一応下の989桁のものでもちゃんと素数と判定してくれる。
gp > isprime(10^990-3)
%53 = 1
即ち
10^990-3番目に出現する素数(994桁の2が頭にある素数)
より前にある素数で10^990-3より大きな素数は一個も存在しないと判定され、結局辞書式順序の最後に並ぶ。
よって求めるkの値として
10^140-3の次に10^990-3も認められる。

この判定でいいのでしょうか？
なお危なく次の素数が出現するも、10^990-3より前に辞書式順序では位置してくれるようです。
999･･･(9が989個)･･･999199
999･･･(9が989個)･･･999329
999･･･(9が989個)･･･9993893

そうですね、10^17-3で試すとちゃんと素数が表示されますので、問題ないと思います。

AB=AC=4、∠ABC≦30°である二等辺三角形ABCを適当に描く。
∠ABC≦30°なのでBC上にAE=2、∠AEB≧90°である点Eをとることができる。
このとき△ABCの外接円を描いてその円と直線AEとの交点のうち
Aでない方をDとすると、DE=6となる。

ということと同じですから、円の半径は「4以上」としか決まらず、求めることはできません。

らすかるさん
有難うございます。

一つだけ求める方法があります。
それは、この図を正確に書いて、定規で測る。

正確に書けている自身はありませんが
約５ですね。
こんな方法も「有り」かな？
計算で求めることが出来ないのなら最後の手段。。。

ブーイングが来そう（＾＾；

らすかるさん
昨日は超勘違い・超恥ずかしいことを書いてしまいました。
この場合、半径は定まらなく無数にあるのですね。

大変、お恥ずかしい限りです。

横線の立体交差はアリでしたか？

たとえば、
①左から１本目の縦線と３本目の縦線とのあいだに横線を１個つなげる、ただし、２本目の縦線とこの横線とは立体交差にする。

②横線どうしで立体交差をする。

特に立体交差のコメントは無かったので、通常のあみだの横線の引き方で考えるものだと思います。

https://manabitimes.jp/math/1157
によると
縦線5本、横線8本でのあみだくじの行き先の確率は
P5=
[3/4 1/4 0 0 0]

[1/4 1/2 1/4 0 0]

[ 0 1/4 1/2 1/4 0]

[ 0 0 1/4 1/2 1/4]

[ 0 0 0 1/4 3/4]
から

P5^8=
[12155/32768 19449/65536 12393/65536 1581/16384 765/16384]

[19449/65536 8627/32768 3345/16384 9129/65536 1581/16384]

[12393/65536 3345/16384 6995/32768 3345/16384 12393/65536]

[ 1581/16384 9129/65536 3345/16384 8627/32768 19449/65536]

[ 765/16384 1581/16384 12393/65536 19449/65536 12155/32768]

これを小数へ直し
=
[ 0.37094116 0.29676819 0.18910217 0.096496582 0.046691895]

[ 0.29676819 0.26327515 0.20416260 0.13929749 0.096496582]

[ 0.18910217 0.20416260 0.21347046 0.20416260 0.18910217]

[0.096496582 0.13929749 0.20416260 0.26327515 0.29676819]

[0.046691895 0.096496582 0.18910217 0.29676819 0.37094116]

となるんではないかと思うんであるが・・・？

そのサイトでは横線の引き方がm^n通りと言っていますので、確率分布が違うのではないでしょうか。
例えば
│□□│□□│□□│
├──┤□□│□□│
│□□│□□├──┤
│□□├──┤□□│
│□□│□□│□□│
と
│□□│□□│□□│
│□□│□□├──┤
├──┤□□│□□│
│□□├──┤□□│
│□□│□□│□□│
を別のものと考えているのでは？

# 全部きちんと読んだわけではありませんので、
# もしとんちんかんなことを言っていたらご容赦下さい。

ツイッター検索で調べたら
チコちゃんの番組であみだくじについて解説した先生が岩手大学の理工学部の山中克久教授であるとわかりました。
OEIS のサイトでこの先生の名前で検索したらヒットしました。
https://oeis.org/A006245
A006245 の参考文献に以下があげられていました。

ひとつめ
Katsuhisa Yamanaka, Takashi Horiyama, Takeaki Uno and Kunihiro Wasa, Ladder-Lottery Realization, 30th Canadian Conference on Computational Geometry (CCCG 2018) Winnipeg.

ふたつめ
K. Yamanaka, S. Nakano, Y. Matsui, R. Uehara and K. Nakada, Efficient enumeration of all ladder lotteries and its application, Theoretical Computer Science, Vol. 411, pp. 1714-1722, 2010.

なお
ladder lotteries とはアミダクジのことです。

9841通りの計算は
Σ[i=0～8]Σ[j=0～8-i](i+j)Cj×9C(i+j+1)=9841
という式で出せました。
iは2本目の縦線と3本目の縦線の間に描く横線の数、
jは3本目の縦線と4本目の縦線の間に描く横線の数、
(i+j)Cjは「2本目の縦線と3本目の縦線の間の横線」と
「3本目の縦線と4本目の縦線の間の横線」の位置関係の場合の数、
9C(i+j+1)は残りの8-i-j本の横線を「1本目の縦線と2本目の縦線の間」と
「4本目の縦線と5本目の縦線の間」に配置する場合の数です。

らすかるさん。凄いです。

この数値をはじき出す数式を見つけるなんてビックリです。
分析させて頂きました。
[i,j] [binomial(i+j,j)"*"binomial(9,8-(i+j))] [2つの積]
0,0 1*9 9
0,1 1*36 36
0,2 1*84 84
0,3 1*126 126
0,4 1*126 126
0,5 1*84 84
0,6 1*36 36
0,7 1*9 9
0,8 1*1 1
1,0 1*36 36
1,1 2*84 168
1,2 3*126 378
1,3 4*126 504
1,4 5*84 420
1,5 6*36 216
1,6 7*9 63
1,7 8*1 8
2,0 1*84 84
2,1 3*126 378
2,2 6*126 756
2,3 10*84 840
2,4 15*36 540
2,5 21*9 189
2,6 28*1 28
3,0 1*126 126
3,1 4*126 504
3,2 10*84 840
3,3 20*36 720
3,4 35*9 315
3,5 56*1 56
4,0 1*126 126
4,1 5*84 420
4,2 15*36 540
4,3 35*9 315
4,4 70*1 70
5,0 1*84 84
5,1 6*36 216
5,2 21*9 189
5,3 56*1 56
6,0 1*36 36
6,1 7*9 63
6,2 28*1 28
7,0 1*9 9
7,1 8*1 8
8,0 1*1 1

合計 9841

そこで
i,j=0,2 で　1*84=84
の解釈が
縦線2,3番目には0本,3,4番目には2本引かれているので
1,2と4,5間には合計6本の縦線がある。
そこで
1,2番間　;4,5番間
6 ;0
5 ;1
4 ;2
3 ;3
2 ;4
1 ;5
0 ;6
本の線がある場合に別れる。
ところで2,3番間にはi=0より上記の左の本数は何の制限もなく引くことが出来る。
一方j=2より既に3,4番間には2本の横棒が引かれている。
そこで上記の右の本数の横棒を引く位置はそれぞれ重複組合せから
3H0=1
3H1=3
3H2=6
3H3=10
3H4=15
3H5=21
3H6=28
これの合計が84となる。
なんとこれが一発で9C6=9C3=9*8*7/(3*2*1)=3*4*7=84なわけですね。

同じく
i,j=0,3 で1*126=126は
1,2番間　;4,5番間
5 ;0
4 ;1
3 ;2
2 ;3
1 ;4
0 ;5
上記の右の本数の横棒を引く位置はそれぞれ重複組合せから
4H0=1
4H1=4
4H2=10
4H3=20
4H4=35
4H5=56
この合計が126
同じく一発で9C5=9C4=9*8*7*6/(4*3*2*1)=126

こんな仕組みで計算されているんですね～

5本の縦線にn本の横線を引く場合、(3^(n+1)-1)/2 通りですか？

＞５本の縦線にn本の横線を引く場合、(3^(n+1)-1)/2 通りですか？

こんな明快な式になるとは？

ひょっとして最も左の縦線と最も右の縦線とを同一視して合計４本の縦線とみなすことによって全ての縦線について対称とするテクニックを使うということなのでしょうか？

((4-1)^(n+1)-1)/2

-1　のファクターの意味が取れませんが…… orz

(3^(n+1)-1)/2 通りの場合
n=3なら40となるが
別で調査すれば確かに40通りとなりますね。
例の
(i,j)=
(0,0)-->4
(0,1)-->6
(0,2)-->4
(0,3)-->1
(1,0)-->6
(1,1)-->8
(1,2)-->3
(2,0)-->4
(2,1)-->3
(3,0)-->1
で計40通り

何か縦線m本,横線n本のあみだくじでの一般式が作れそうですね。

一般式を作ろうと思っているが、縦線が奇数と偶数では構造が変わる様に
感じたので縦線が4本で横線がn本である場合のあみだくじの種類を調べてみたら、
n=1-->3
n=2-->8
n=3-->21
n=4-->55
n=5-->144
n=6-->377
ここまで調べて、この数字はなんか見たことあるぞ！
で検索するとフィボナッチ数列fibo(n)での
fibo(2*n+2)の部分が対応している。

なお
この各合計数は次の組合せ関数nCr(=binomial(n,r))を使うと
gp > T(n,k)=binomial(n+k,2*k-1);
gp > for(n=1,10,S=[];for(k=1,n+1,S=concat(S,[T(n,k)]));print(n"=>"S";"vecsum(S)))
1=>[2, 1];3
2=>[3, 4, 1];8
3=>[4, 10, 6, 1];21
4=>[5, 20, 21, 8, 1];55
5=>[6, 35, 56, 36, 10, 1];144
6=>[7, 56, 126, 120, 55, 12, 1];377
7=>[8, 84, 252, 330, 220, 78, 14, 1];987
8=>[9, 120, 462, 792, 715, 364, 105, 16, 1];2584
9=>[10, 165, 792, 1716, 2002, 1365, 560, 136, 18, 1];6765
10=>[11, 220, 1287, 3432, 5005, 4368, 2380, 816, 171, 20, 1];17711
で求めていることになっている。
しかし縦線が6本の場合は未調査なのでまだ何とも言えないですが･･･

縦線が m 本である場合、
「1 から m-1 までの数を重複を許して n 個並べる、ただし直前の数より 2 つ以上小さくなってはいけない」
の並べ方の総数と一致します。
なので、

縦線3本
[1,1] * [[1,1],[1,1]]^(n-1) * t[1,1] = 2^n


縦線4本
[1,1,1] * [[1,1,0],[1,1,1],[1,1,1]]^(n-1) * t[1,1,1] = 1/√5 * ( ((3+√5)/2)^(n+1) - ((3-√5)/2)^(n+1) )

縦線5本
[1,1,1,1] * [[1,1,0,0],[1,1,1,0],[1,1,1,1],[1,1,1,1]]^(n-1) * t [1,1,1,1] = (3^(n+1)-1)/2

と出せます。
縦線6本は固有値が綺麗に出ないので難しそう。

６本の縦線がある場合について横線がn本の場合の構成数について調べてみました。
n=1-->5
n=2-->11
n=3-->40
n=4-->145
n=5-->525
n=6-->1900
n=7-->6875
n=8-->24875

ここまででOEISのお世話になるとn=1を除いてA136775がヒットした。そこには
Number of multiplex juggling sequences of length n, base state <1,1> and hand capacity 2.
という分けがわからい説明が付けられていた。

ただしこの数値はらすかるさんが構成されているプログラムを参考にさせてもらい
F(n)=for(i=0,n,for(j=0,n-i,for(k=0,n-i-j,\
print(i","j","k"=>"binomial(i+j,j)"*"binomial(j+k,k)"*"binomial(n-1,n-(i+j+k))"=>"\
binomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)*binomial(n-1,n-(i+j+k))))))
で
2,3番目の間にある横線の数をi
3,4番目の間にある横線の数をj
4,5番目の間にある横線の数をk本
として
その横線の取り方がbinomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)で起こせて
残りの本数n-(i+j+k)を1,2番目と5,6番目の間に取れる場合の可能性がbinomial(n-1,n-(i+j+k))と
してやることで上手く働くことを観察してみた。
これをすべて掛け合わせることで、(i,j,k)に対するパターン数が求まっていくので、すべての総和から
n>=2での数値を求めて行きました。
n=6で1900となる経過が下の表です。(F(6)からの表示)
(i,j,k)
0,0,0= 1*1*0= 0
0,0,1= 1*1*1= 1
0,0,2= 1*1*5= 5
0,0,3= 1*1*10= 10
0,0,4= 1*1*10= 10
0,0,5= 1*1*5= 5
0,0,6= 1*1*1= 1
0,1,0= 1*1*1= 1
0,1,1= 1*2*5= 10
0,1,2= 1*3*10= 30
0,1,3= 1*4*10= 40
0,1,4= 1*5*5= 25
0,1,5= 1*6*1= 6
0,2,0= 1*1*5= 5
0,2,1= 1*3*10= 30
0,2,2= 1*6*10= 60
0,2,3= 1*10*5= 50
0,2,4= 1*15*1= 15
0,3,0= 1*1*10= 10
0,3,1= 1*4*10= 40
0,3,2= 1*10*5= 50
0,3,3= 1*20*1= 20
0,4,0= 1*1*10= 10
0,4,1= 1*5*5= 25
0,4,2= 1*15*1= 15
0,5,0= 1*1*5= 5
0,5,1= 1*6*1= 6
0,6,0= 1*1*1= 1
1,0,0= 1*1*1= 1
1,0,1= 1*1*5= 5
1,0,2= 1*1*10= 10
1,0,3= 1*1*10= 10
1,0,4= 1*1*5= 5
1,0,5= 1*1*1= 1
1,1,0= 2*1*5= 10
1,1,1= 2*2*10= 40
1,1,2= 2*3*10= 60
1,1,3= 2*4*5= 40
1,1,4= 2*5*1= 10
1,2,0= 3*1*10= 30
1,2,1= 3*3*10= 90
1,2,2= 3*6*5= 90
1,2,3= 3*10*1= 30
1,3,0= 4*1*10= 40
1,3,1= 4*4*5= 80
1,3,2= 4*10*1= 40
1,4,0= 5*1*5= 25
1,4,1= 5*5*1= 25
1,5,0= 6*1*1= 6
2,0,0= 1*1*5= 5
2,0,1= 1*1*10= 10
2,0,2= 1*1*10= 10
2,0,3= 1*1*5= 5
2,0,4= 1*1*1= 1
2,1,0= 3*1*10= 30
2,1,1= 3*2*10= 60
2,1,2= 3*3*5= 45
2,1,3= 3*4*1= 12
2,2,0= 6*1*10= 60
2,2,1= 6*3*5= 90
2,2,2= 6*6*1= 36
2,3,0= 10*1*5= 50
2,3,1= 10*4*1= 40
2,4,0= 15*1*1= 15
3,0,0= 1*1*10= 10
3,0,1= 1*1*10= 10
3,0,2= 1*1*5= 5
3,0,3= 1*1*1= 1
3,1,0= 4*1*10= 40
3,1,1= 4*2*5= 40
3,1,2= 4*3*1= 12
3,2,0= 10*1*5= 50
3,2,1= 10*3*1= 30
3,3,0= 20*1*1= 20
4,0,0= 1*1*10= 10
4,0,1= 1*1*5= 5
4,0,2= 1*1*1= 1
4,1,0= 5*1*5= 25
4,1,1= 5*2*1= 10
4,2,0= 15*1*1= 15
5,0,0= 1*1*5= 5
5,0,1= 1*1*1= 1
5,1,0= 6*1*1= 6
6,0,0= 1*1*1= 1

　合計 1900

はてこれは一つの式で作れるのか？

> 残りの本数n-(i+j+k)を1,2番目と5,6番目の間に取れる場合の可能性がbinomial(n-1,n-(i+j+k))
これは
binomial(n+1-j,n-(i+j+k))
にしないといけないと思います(中央に使ったj本は残り本数に影響しますが配置に影響しません)。
よってn=1,2,3,…に対する構成数は
5,19,66,221,728,2380,7753,25213,81927,…
のようになります。
（n=2を手作業で数えてみると、19で正しいことがわかると思います。）
そしてこの数列はA005021にあり、漸化式が
a[1]=5, a[2]=19, a[3]=66, a[n+3]=5a[n+2]-6a[n+1]+a[n]
と書かれていますので、これを解いて一般項は
a[n]=up^n+vq^n+wr^n
ただし
u={-(4√91)sin(arcsin(127√91/2366)/3)+7}/21
v={-(4√91)cos(arccos(-127√91/2366)/3)+7}/21
w={(4√91)cos(arccos(127√91/2366)/3)+7}/21
p={-(2√7)cos(arccos(-√7/14)/3)+5}/3
q={-(2√7)sin(arcsin(√7/14)/3)+5}/3
r={(2√7)cos(arccos(√7/14)/3)+5}/3
とわかります。
# u,v,wは49x^3-49x^2-105x+1=0の3解、p,q,rはx^3-5x^2+6x-1=0の3解です。

らすかるさんからの指摘を受けて改めて(数個のパターンでいいと勝手に思ってしまう悪い癖)
６本の縦線がある場合について横線がn本の場合の構成数について調べてみました。
n=1-->5
n=2-->19
n=3-->66
n=4-->221
n=5-->728
n=6-->2380
n=7-->7753
n=8-->25213

ここまででOEISのお世話になるとA005021がヒットした。

らすかるさんとn=3で違ったので
(i,j,k)
0,0,0= 1*1*4= 4
0,0,1= 1*1*6= 6
0,0,2= 1*1*4= 4
0,0,3= 1*1*1= 1
0,1,0= 1*1*3= 3
0,1,1= 1*2*3= 6
0,1,2= 1*3*1= 3
0,2,0= 1*1*2= 2
0,2,1= 1*3*1= 3
0,3,0= 1*1*1= 1
1,0,0= 1*1*6= 6
1,0,1= 1*1*4= 4
1,0,2= 1*1*1= 1
1,1,0= 2*1*3= 6
1,1,1= 2*2*1= 4
1,2,0= 3*1*1= 3
2,0,0= 1*1*4= 4
2,0,1= 1*1*1= 1
2,1,0= 3*1*1= 3
3,0,0= 1*1*1= 1

合計; 66
でチェックしてみたのですが、どうしても67にはなれないのですが・・・?
（あら！修正されたんですね。安心しました。）
A005021のコメントはRandom walksとなっているのでとても驚いています。

文章読解力に乏しい私にはちょっと理解できないのですが、
とりあえず「全然」は何かの変換ミスですか？

文章力が無い文章で混乱させまして申し訳ありません。
9を幾つかずつのグループに分ける方法は
[9],[8,1],[7,2],[6,3],[5,4],[7,1,1],･･･････,[1,1,1,1,1,1,1,1,1]
など全部で30通りのパターンが存在し、このグループに9人を振り分けるには
それぞれに対する振り分け方が計算される。(合計数はベル数Bell(9)=21147通りとなる。)

この時、同じ数が起こる6組のグループの分け方が存在している。
(10人でも同数となる組合せも勿論発生はするのですが、多くて4組でしたので、
比較的少ない人数で重なる組合せが6個も発生する9人を問題に選びました。
なお16人なら8組が重なるがパターンが多すぎる。)

適当に候補を考えたら見つかりました。
[4,3,2]=[3,2,2,2]を見つければ終わりですね。
同じ数がないもの一つだけをバラしても場合の数が変わりませんので、
[4,3,2]=[1,1,1,1,3,2]=[4,1,1,1,2]=[4,3,1,1]
[3,2,2,2]=[1,1,1,2,2,2]
で6通りです。

(追記)
16人の場合は上記の[4,3,2]=[3,2,2,2]に7人グループを付け加えるだけでいいですね。
[4,3,2]=[3,2,2,2]から[7,4,3,2]=[7,3,2,2,2]が成り立つことは明らかで
[7,4,3,2]=[1,1,1,1,1,1,1,4,3,2]=[7,1,1,1,1,3,2]=[7,4,1,1,1,2]=[7,4,3,1,1]
[7,3,2,2,2]=[1,1,1,1,1,1,1,3,2,2,2]=[7,1,1,1,2,2,2]
なので8通りになります。

理解されるとたちまち解決されますね。
それもこちらが思ってない発想で、コンピュータに頼ることなく
あっけなく正解が出てきます。
私は何とかn人の分割方法とその組み割り数を対応させれるプログラムを作ろうと
約2時間もかけて（プロからみたら笑われると思います。)やっと完成でき
これで色々実験していた時、同数になるものが結構発生してくるものだと感じた。
中でも9人の分割方法では多数の同数を持つ分割方法が存在していることが面白かった。
これより多いものを探していくとやっと１６人の分割方法（全部で231通りもある。)
で結果をエクセルに貼り付けソートする作業を通してやっと8組が存在していることを
認識できました。
こんな手間をかけないらすかるさんの思考方法には只々頭は使いようだ！と感心するばかりです。

「n=9で最大6組、n=16で最大8組」について
他のnではどうなるのか気になったのでプログラムを作って調べてみました。
n=1～34に対する最大組数の数列は
1,2,2,2,3,4,4,3,6,4,7,6,6,9,11,8,11,9,11,14,14,19,21,18,23,24,27,30,29,31,33,34,36,40
となりましたが、さすがにこんな変な数列はOEISに載っていませんね。
新規に載せようと思っても説明が複雑になりますので、英語が苦手な私には残念ながら不可能です。
結果を見てみると、n=9とn=16だから手作業で求められましたが、n=15やn=17では厳しそうです。
# n=34でやめたのは、n≧35ではn!が符号なし128ビット変数に収まらなくなって
# プログラムの変更が必要になるためであり、実行時間的な問題ではありません。

結構15人が多くの組合わせが一致したんですね。
改めて探したら6306300で皆一致しました。
[2, 3, 4, 6]
[3, 3, 4, 5]
[1, 1, 3, 4, 6]
[2, 2, 2, 3, 6]
[1, 1, 1, 2, 4, 6]
[1, 1, 1, 1, 2, 3, 6]
[1, 1, 1, 1, 3, 3, 5]
[1, 1, 1, 2, 2, 2, 6]
[1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 4]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3]

調査された中で2番目に多かったn=33人での分割での36通りが皆一斉に揃うものが見たかったので挑戦してみました。
すべて30051520145226019440000のパターン数で一致しました。
目だけで点検しているので他の部分を見落としているかも・・・
1; [3, 3, 4, 4, 5, 6, 8]
2; [1, 2, 2, 4, 4, 5, 6, 9]
3; [2, 2, 2, 3, 4, 6, 6, 8]
4; [2, 2, 2, 4, 4, 6, 6, 7]
5; [2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 10]
6; [1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 10]
7; [1, 2, 2, 2, 2, 4, 5, 6, 9]
8; [2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 10]
9; [2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 9]
10; [1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 6, 8]
11; [1, 1, 1, 1, 2, 4, 4, 6, 6, 7]
12; [1, 1, 1, 1, 4, 4, 4, 5, 5, 7]
13; [1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 6, 6, 8]
14; [1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 6, 10]
15; [2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 9]
16; [1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 6, 8]
17; [1, 1, 1, 1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 8]
18; [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 6, 6, 8]
19; [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 5, 5, 9]
20; [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 10]
21; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 6, 8]
22; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 8]
23; [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 5, 9]
24; [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 10]
25; [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 10]
26; [1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 5, 9]
27; [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 10]
28; [1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 5, 9]
29; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 4, 4, 5, 6]
30; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 4, 6, 6]
31; [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 9]
32; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 6, 6]
33; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5]
34; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5]
35; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5]
36; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5]

なおn=34人の最高値が40なんですがどう探してもこの39しか見つからなくて・・・
1; [1, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7]
2; [2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 8]
3; [3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7]
4; [1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 9]
5; [1, 1, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 8]
6; [1, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 9]
7; [1, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 8]
8; [2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 8]
9; [2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 8]
10; [1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 9]
11; [1, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 9]
12; [1, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8]
13; [1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 6, 9]
14; [1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 10]
15; [1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 9]
16; [1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 8]
17; [1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 6, 8]
18; [2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 8]
19; [1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 8]
20; [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 10]
21; [1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 9]
22; [1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 9]
23; [2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 6, 7]
24; [1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 6, 8]
25; [1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5, 8]
26; [2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 7]
27; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 8]
28; [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 6, 8]
29; [1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 8]
30; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5]
31; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 8]
32; [1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 8]
33; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6]
34; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 6]
35; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 5]
36; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 7]
37; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 5]
38; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 6]
39; [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3]

1362335579916912881280000通りになるものは39個しかありません。
40個あるのは 14596452641966923728000通りになるものです。

先を計算してもあまり意味はないのですが、n=34までというのはどうも
中途半端で気になったので、n=100まで計算しました。
n=1～10: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 3, 6, 4
n=11～20: 7, 6, 6, 9, 11, 8, 11, 9, 11, 14
n=21～30: 14, 19, 21, 18, 23, 24, 27, 30, 29, 31
n=31～40: 33, 34, 36, 40, 49, 51, 58, 54, 56, 75
n=41～50: 73, 78, 79, 105, 108, 97, 115, 134, 155, 158
n=51～60: 162, 173, 197, 209, 214, 224, 247, 306, 331, 339
n=61～70: 330, 408, 434, 452, 490, 501, 564, 562, 618, 643
n=71～80: 670, 734, 816, 816, 888, 951, 1060, 1130, 1178, 1195
n=81～90: 1360, 1353, 1464, 1549, 1780, 1885, 1955, 2096, 2257, 2338
n=91～100: 2512, 2751, 3062, 3146, 3301, 3733, 3744, 4250, 4428, 4996
n=100の計算は2時間近くかかっています。

[6, 4, 3, 1]で12を重複を許して支払おうとするときに、16通りになりますね。偶然？

1000,[500,100,50,10],100のようなケースでは
500と100と50をいくつずつ使っても必ず残りが10で割り切れますので
（つまり最小以外の数(500,100,50)がすべての最小の数(10)で割り切れる）
if target / coin <= usable
で問題が起こりませんが、
12,[6,4,3,2],6のように最小の2で割り切れない数があると
targetが2で割り切れない場合でも
@cnt += 1
が実行されてしまうと思います。
つまり、3が奇数個使われて最後にtargetが奇数になる
6+3+2
4+4+3
4+3+2+2
3+2+2+2+2
3+3+3+2
の5個（すべて1不足）が余計に数えられてしまっているのでしょう。
「if target / coin <= usable」
を
「if targetがcoinで割り切れ、かつtarget / coin <= usable」
に修正すれば正しく動くと思います。
（Rubyの文法を知りませんので言葉で書きました）

らすかるさんの仰る通りなのでしたか。

((x^6)^2+(x^6)+1)*((x^4)^3+(x^4)^2+(x^4)^1+1)*((x^3)^4+(x^3)^3+(x^3)^2+(x^3)^1+1)*((x^2)^6+(x^2)^5+(x^2)^4+(x^2)^3+(x^2)^2+(x^2)^1+1)

を展開して x^11 の項の係数が 5 だとチラと頭をよぎったのですが
《targetが奇数》となることをプログラムから読み取れませんでした。残念な私。