😊出会いの泉😊

確実に、「ｐ＝２やｐ＝５」はありますよね！ｐ＝３は、３×３７＝１１１で駄目だし、ｐ＝７は
７×３×１１×１３×３７＝１１１１１１で駄目。ｐ＝１１は、１１×１０１＝１１１１で駄目、ｐ＝１３は、
１３×７×３×１１×３７＝１１１１１１で駄目。・・・
果たして「ｐ＝２やｐ＝５」以外に存在するのかな？

条件を満たすのはp=2,5だけですね。
p=3のとき3×37=111
pが2,3,5以外のとき
1/pが純循環小数になることから、循環桁数をn、循環節1周期分の値をNとすれば1/p=N/(10^n-1)
Np=10^n-1
右辺は9で割り切れますが、pは3で割り切れませんので
Nが9で割り切れ、
(N/9)p=(10^n-1)/9
この右辺は111…11ですから、pをN/9倍すれば111…11になることがわかります。
例えば
p=7ならば1/p=0.142857142857…で142857/9=15873なので7×15873=111111
p=23ならば1/p=0.04347826086956521739130434782608695652173913…
で434782608695652173913/9=48309178743961352657なので
23×48309178743961352657=1111111111111111111111
のようになります。

＞等号が成り立つのはどのようなときか.

＝０の場合は、シムソンの定理より点Xが円周上にある場合ですね。
＝１/４の場合は、中点連結定理より点L，M，Nが各辺の中点の場合ですから点Xが外心の場合ですね。

＞0 ≦ △LMN ≦1/4
となることを示せ.

その後、つい、検索してしまいました。http://www.auemath.aichi-edu.ac.jp/teacher/iijima/gc/world/simson/12.htm

仮に平均点が80点の試験だったら、平均以上に数学ができる人の間で最大20点しか差がつかないからでしょうね。
点数を全て偏差値化して合否を決める方針だったら平均点が多少上下しても問題ないと思いますが、単純に得点を合計する以上平均点より上に十分な幅がなくてはいけません。

また、そもそも大学入試のシステムが「何点以上で合格」ではなく「何位以上が合格」である以上、難しいことだけが理由で落ちるということはほとんどないはずです。

ＤＤ＋＋さん
有難うございます。

自分の「木を見て森を見ず」の性格だと、出来なかったという
考えだけが浮かびネガティブになってしまいます。

元々、頭の良い人って、考え方がポジティブなんですよね。
「自分に出来ない問題は、みんなも出来ないのだから」
とか
「別に、全部出来る必要なんてない、自分に出来る所だけをやれば良い」
など、気持ちに余裕がありますね。

大昔、共通一次試験があった時、模擬試験問題を見たとたんに
テンションが、ぐーんと下がり、「もう駄目だー」で頭の中がいっぱいになり、
諦めモードでだらだらと解いて記憶があります。

最初から、平均点が５０点位を想定して作っている問題だと分かっていて挑む
のと、全く知らないで挑むのでは精神的なものが全然違ってきますね。

最近、大学共通テストが話題になって
過去の暗いトンネル時代を思い出してしまいました。
失礼致しました。

[19, 29, 53, 73, 97, 107]
[17, 37, 43, 83, 89, 109]
ってことですか？

あ、手段もでしたね。

数学感動秘話「複素世界の拡張」で私が半分まで提示した
[a+c, b+c, 2a+6b+c, 4a+4b+c, 5a+10b+c, 6a+9b+c]
[c, a+4b+c, 2a+b+c, 4a+9b+c, 5a+6b+c, 6a+10b+c]
で、a=12, b=2, c=17 を当てはめただけです。

これらを全て素数にしようとすれば、a は 6 の倍数、b は偶数、c は 7 以上の素数しかありえず、
6a+10b+c≦109 の範囲では (a,b) の取りうるパターンが 4 通りしかないので順に試しました。

プログラムで探索しました。
(17,37,43,83,89,109)
(19,29,53,73,97,107)
実行時間0.5秒
手段の粗筋
・5乗のみで一致するものを探し、一致したら4乗以下を計算
・使用する最大の要素を決めてそれをp1とし、以降q1,p2,q2,p3,q3,p4,q4,p5,q5,p6の順に
未使用素数をあてはめていく（最後のq6はあてはめず合計の差の5乗根を計算）
ただしp1＞p2＞p3＞p4＞p5＞p6, q1＞q2＞q3＞q4＞q5＞q6
例えば最大がp1=97のとき次のq1は89,83,79,…の順にあてはめる
ここで、例えばp1=97,q1=71となったとき、q2≦67かつ97^5＞71^5+67^5×5から
q1≦71では解がないことがわかりますので、中止します。
# 97^5＞73^5+71^5+67^5+61^5+59^5+53^5のようにきちんと判定すれば73でも解がない
# ことがわかりますが、判定を粗くして5乗の回数を減らしています。
q1～p6すべてにおいてこの判定を入れます。
# 問題から考えると最大は109と予想できましたが、念のため
# 107以下を最大とした場合に解がないことも確認しました。
# ちなみに最大を109に固定するとEnterキーを離すまでに実行が終わります。

2016年に論文になったものが
DD++ さんによってとっくに一般化されていたことにビックリです。

http://eslpower.org/TarryPrb.htm#Ideal%20prime
で、
[19, 29, 53, 73, 97, 107]
[17, 37, 43, 83, 89, 109]
を探してください。

「10個の素数を5個ずつに分けて1～4乗で一致するようにする」にすると109まででは無理みたいですね。

数学感動秘話「複素世界の拡張」
を見て、こんなことを昔やっていたことを懐かしく思い出しました。
５年も経つとすっかり忘れてしまうものです。
改めて、こんな問題に深く関わるものなんだと認識を新たにします。
DD++さんが考えられていた5乗冪までのパラメータ解なら一発なんですね。
過去のノートのメモをふり返っていたら、DD++さんの他にパラメータ解として
S(a,b,c)=[6*a-3*b-8*c, 5*a-9*c, 4*a-4*b-3*c, 2*a+2*b-5*c, a-2*b+c, b]
T(a,b,c)=[6*a-2*b-9*c, 5*a-4*b-5*c, 4*a+b-8*c, 2*a-3*b, a+2*b-3*c, c]
を使うと
S(52,17,19)
%136 = [109, 89, 83, 43, 37, 17]
T(52,17,19)
%139 = [107, 97, 73, 53, 29, 19]
また
S(74,43,29)
%137= [83, 109, 37, 89, 17, 43]
T(74,43,29)
%140 = [97, 53, 107, 19, 73, 29]
など一発で求まることが出来ました。

らすかるさんのプログラムの組み方を読んで、こんな工夫をしない事には時間がいくらあっても求めることが不可能
であることが認識されました。
しかしリターンキーを離す瞬間に答えが求められるとは恐れ入ります。

様々なリンクをたどって情報を集めてみると
4乗冪までの素数組は
A=[401,521,641,881,911]
B=[431,461,701,821,941]
(2016年発表)
の様です。

さらに驚くべきは
A=[32058169621, 32367046651, 32732083141, 33883352071,
　 34585345321, 35680454791, 36915962911, 38011072381,
38713065631, 39864334561, 40229371051, 40538248081]
B=[32142408811, 32198568271, 32900561521, 33658714231,
34978461541, 35315418301, 37280999401, 37617956161,
38937703471, 39695856181, 40397849431, 40454008891]
の２組での12個ずつの素数では何と11乗冪までの等式が成立するという。
(2023,4,8発表)
ということで、つい最近の発見だそうです。
人間の探す執念は物凄いものですね。

4乗冪までの素数組は、もっと小さいものがあります。
A=[23,31,103,109,167]
B=[13,59,67,131,163]
自分のプログラムで見つけた結果で、これが最小解です。
GAIさんが書かれた解は和が1342になるペアが5個となっている「対称な」解ですね。

ところで、5年前の私はパラメータ解を見つけた方法自体を伏せたみたいですね。
GAI さんの楽しみを奪わないためだったのか、それとも、いろんな探し方のアイデアが出ていたので他の方に変な先入観を与えないためだったのか……。

今回は開示した方が GAI さんが楽しめるんじゃないかということで、以下に意味深なことを記載しておきます。

f1(x) = x^17*(1-x^2)
f2(x) = 1-x^12
f3(x) = 1-x^14
f4(x) = 1-x^16
f5(x) = 1-x^18
f6(x) = 1-x^30

これらは全て、fn(1) = 0 となる多項式です。
さて、これら 6 つの式を掛け合わせて展開すると何が起こるでしょうか。

無茶苦茶凄いことが起こるではないですか！
よくこんな母関数的式を思いつけますね？
DD++さんの頭の中はなんか違う。

らすかるさんが求めていた
4乗冪までの素数組は、もっと小さいものがあります。
A=[23,31,103,109,167]
B=[13,59,67,131,163]
というものを
DD++さんの手法で構成してみようと挑戦してみたら
P=x^78 - x^74 + x^68 + x^66 - x^62 + x^58 + x^56 + x^54 - x^52 + x^48 + x^46 + x^44 + 2*x^36 + x^34 + x^26 + x^24 + x^22 + x^14 + x^12 + 1
なるちょっと不細工な式を導入することにはなりましたが
x^13*(x^22-1)*(x^18-1)*(x^14-1)*(x^12-1)*(x^10-1)*P
で行けそうです。

<追伸>
最後の面倒なPを省略し、x^13を単にxで
x*(x^22-1)*(x^18-1)*(x^14-1)*(x^12-1)*(x^10-1)
を展開すると
A=[77, 53, 51, 49, 47, 45, 45, 43, 19, 15, 13, 11]
B=[67, 65, 63, 59, 35, 33, 33, 31, 29, 27, 25, 1]
のグループ分けが可能で
この12個ずつでの4乗冪までの等式が成立できることが起こせました。

そうなんですよ。
この手法、展開後の項数が少ないことが、必ずしも展開前のパーツの項数が少ないことを意味しないのが難しい点です。
結局のところ、出てきた項がどのくらい効率よく消えてくれるか勝負なので……。

鮮やかですね！D、Eの設定が神がかっています。良いものを見させていただきました。

ちなみに、頂角を 20° ではなく 2θ にとると、
2sin(3θ)+2cos(3θ)tan(90°-2θ)=1/sinθ
という一般化された式になります。

何かを考えたくてこの図を作った記憶があるんですが、一体何のためだったのか思い出せない悲しみ。

同感です。
数学＝海、山、宇宙のイメージ
「ｒ１ゲーム」思考型は、どうでしょう。

この
#10乗まで一致する
A=[1, 5, 11, 21, 36, 42, 48, 52, 54, 58, 79, 83, 94, 95]
B=[2, 3, 14, 18, 39, 43, 45, 49, 55, 61, 76, 86, 92, 96]

は面白い形をしていますね。
A=[1, 5, 11, 21, 36, 42, 48, 52, 54, 58, 79, 83, 94, 95]
B=[97-1, 97-5, 97-11, 97-21, 97-36, 97-42, 97-48, 97-52, 97-54, 97-58, 97-79, 97-83, 97-94, 97-95]
となっていますので。

12個の累乗和
(0, 11, 24, 65, 90, 129, 173, 212, 237, 278, 291, 302) と
(3, 5, 30, 57, 104, 116, 186, 198, 245, 272, 297, 299)
なら0～11乗和まで成立すると思います。

0乗和を考える上で、0は問題があると思います。

いろいろなプログラム言語で0^0(または0**0)を尋ねると
Mathematica では不定
Wolfram Alpha では未定義
Microfoft Excel では#NUM!
Python, Ruby, SageMath, PARI-GP, VBA, GAP, GRAPS 等多くのソフトでは1
を返すようですね。
PARIのソフトで計算確認していたものですから、つい0乗も含めて記述していました。
なおウィキペディアの「0の０乗」での記事に
計算機科学者のドナルド・クヌースは、0^0 は 1 でなければならないと強く主張している
という文章を載せていた。

たしかクヌースには、そうすると計算機科学で使われる各種公式が綺麗になるという理由があったと思います。
蓋し、あまり深い理由ではありません。

※たとえば nC0 は 1 と考えたい。
すなわち、公式を素直に拡張すると
nC0=n!/(0!*(n-0)!) =1
としたい。
此れがキマるためには
0!=0^0=1
が要請される………など。

未確認ですが、Excelの表計算とExcelのvbaとで0^0の扱いが違う時期があったと記憶しています。今はどうなのでしょうか。

（2, 2, 2, 2）, （4, 4, 4, 4）, （8, 8, 8, 8）, ・・・
という自明な解もありますが、互いに素な異なる4数に限定すると
（26, 22, 7, 4）, （33, 27, 17, 3）, （46, 44, 13, 2）, （58, 17, 8, 2）,
（74, 52, 22, 19）, （75, 45, 35, 27）, （87, 82, 36, 6）, （118, 92, 31, 26）, ・・・

らすかるさん、ありがとうございます。
因みに、４つの数は、
３乗して和を取ると、平方数になります。

（4, 4, 4, 4）は何乗和でも平方数になります。

１０の約数の、約数の個数
１，2，2，4　をそれぞれ何乗しても、平方数になりました。
よく見ると、１＋A＋A＋A^2＝（１＋A）＾２
元々、平方数でした。無数。悪しからず

（Ｆ，Ｇ）＝（（１/４）ｘ^4，２√ｘ）　など無数に存在するような．．．？出題の意図がよく分からない。

(f,g)=(x+a,4x^2-a),(4(x-a)^2,x+a),((2x/a)^2,ax)
など（aは0でない実数定数）。

限定しても、解が無数にあるようですね。
恐ろしい。勉強になりました。
ｆ＝２ｘ＾２ー4ｘ＋2、ｇ＝√２ｘ＋1