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348,930

プログラムでの疑問

以前自動販売機での金皮の投入方法で
[500,100,50,10]円硬貚で1000円を支払う方法が158通り
[500,100,50,10,5]円硬貚では4908通り
[500,100,50,10,5,1]円硬貚では248908通り
が可胜であるこずを芋぀けお貰っおいたんですが
これをプログラムを䜿っお求められないかずRubyの゜フトを甚いお

@cnt = 0
def change(target, coins, usable)
coin = coins.shift
if coins.size == 0 then
  @cnt += 1 if target / coin <= usable
else
  (0..target/coin).each{|i|
change(target - coin * i, coins.clone, usable - i)
}
end
end

change(1000, [500, 100, 50, 10], 100)
puts @cnt

から
158が入手でき

change(1000, [500, 100, 50, 10, 5], 200)
puts @cnt
から
4908が

change(1000, [500, 100, 50, 10, 5, 1], 1000)
puts @cnt
から
248908が蚈算できたした。


そこで[6, 4, 3, 2]で12を重耇を蚱しお支払おうずするずき
change(12, [6, 4, 3, 2], 6)
で求たるはずだず実行するず
16
を返しおきた。

明らかに
6+6,6+4+2,6+3+3,6+2+2+2,4+4+4,4+4+2+2,4+3+3+2,4+2+2+2+2,3+3+3+3,3+3+2+2+2,2+2+2+2+2+2
の11通りしかないので、䞊3぀が正確に返すのに察しなぜこれが誀った結果を返しおくるのか
原因が分かりたせん。
プログラムの䜜り方は芋よう芋たねでやっおいるので詳しいこずが分かりたせん。
詳しい方教えお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月18日 14:29)

[6, 4, 3, 1]で12を重耇を蚱しお支払おうずするずきに、16通りになりたすね。偶然

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1000,[500,100,50,10],100のようなケヌスでは
500ず100ず50をいく぀ず぀䜿っおも必ず残りが10で割り切れたすので
぀たり最小以倖の数(500,100,50)がすべおの最小の数(10)で割り切れる
if target / coin <= usable
で問題が起こりたせんが、
12,[6,4,3,2],6のように最小の2で割り切れない数があるず
targetが2で割り切れない堎合でも
@cnt += 1
が実行されおしたうず思いたす。
぀たり、3が奇数個䜿われお最埌にtargetが奇数になる
6+3+2
4+4+3
4+3+2+2
3+2+2+2+2
3+3+3+2
の5個すべお1䞍足が䜙蚈に数えられおしたっおいるのでしょう。
「if target / coin <= usable」
を
「if targetがcoinで割り切れ、か぀target / coin <= usable」
に修正すれば正しく動くず思いたす。
Rubyの文法を知りたせんので蚀葉で曞きたした

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさんの仰る通りなのでしたか。

((x^6)^2+(x^6)+1)*((x^4)^3+(x^4)^2+(x^4)^1+1)*((x^3)^4+(x^3)^3+(x^3)^2+(x^3)^1+1)*((x^2)^6+(x^2)^5+(x^2)^4+(x^2)^3+(x^2)^2+(x^2)^1+1)

を展開しお x^11 の項の係数が 5 だずチラず頭をよぎったのですが
《targetが奇数》ずなるこずをプログラムから読み取れたせんでした。残念な私。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

4個の乗和

a^2+b^2+c^2+d^2
䜆し、abcd=でない。解を求む。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月06日 14:44)

≊≊≊ ずしお、
、、、

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

0a≩b≩c≩d ずしお
(a,b,c,d)=(1,1,2,12),(1,2,8,9),(1,6,7,8),(2,3,4,11),(2,4,7,9),(3,4,5,10),(4,6,7,7),(5,5,6,8)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

敎数の制限が付いおないので他にも
(14/5,33/5,47/5,16/5)
(33/13,79/13,112/13,74/13)
(56/25,137/25,193/25,186/25)
(41/21,103/21,48/7,26/3)
(48/23,119/23,238/23,79/23)
(109/57,275/57,550/57,104/19)
(12/7,31/7,62/7,7)
(52/33,137/33,359/33,38/11)
(115/79,309/79,812/79,410/79)
(6/5,17/5,56/5,17/5)
(31/17,127/17,158/17,36/17)
(53/31,221/31,274/31,132/31)
(39/25,167/25,206/25,148/25)
(101/71,445/71,718/71,180/71)
(4/3,6,29/3,13/3)
(21/19,101/19,202/19,52/19)
(16/13,103/13,119/13,18/13)
(107/91,701/91,808/91,42/13)
(50/51,353/51,168/17,95/51)
(31/37,303/37,334/37,32/37)
(119/27,64/9,238/27,41/27)
(55/13,89/13,110/13,48/13)
(155/39,84/13,310/39,211/39)
(137/37,224/37,361/37,78/37)
(103/29,169/29,272/29,114/29)
(153/49,254/49,508/49,17/7)
(271/81,623/81,718/81,28/27)
(153/47,353/47,406/47,136/47)
(101/35,237/35,338/35,8/5)
(149/57,458/57,168/19,37/57)
(224/43,313/43,359/43,18/43)
(169/33,709/99,812/99,226/99)
(254/55,357/55,508/55,61/55)
(505/119,921/119,1010/119,4/17)
(17/3,22/3,8,1/3)

他に
(3,5,11,131)
(3,5,29,113)
(3,5,41,101)
(3,5,53,89)
(3,5,59,83)

(11,19,47,73)
(11,19,53,67)
(11,19,59,61)
(11,23,37,79)
(11,23,43,73)

(19,29,31,71)
(19,29,41,61)
(19,29,43,59)
(19,31,41,59)
(19,31,47,53)
(19,37,41,53)
(19,41,43,47)
(23,29,31,67)
(23,29,37,61)
(23,31,37,59)
(23,31,43,53)
(23,37,43,47)
(29,31,37,53)
(29,31,43,47)
(29,37,41,43)

ただし数倀に√蚘号を付けお䞋さい。
曎にiを虚数単䜍ずし
(-10+i,-9+5*i,-5+7*i,10+9*i)
(-10+3*i,-9+4*i,2+5*i,8+7*i)
(-10+6*i,-8+7*i,-6+10*i,16+11*i)
(-9+2*i,-8+4*i,-5+6*i,10+8*i)
(-8+i,-6+2*i,-4+3*i,8+4*i)
(-8+3*i,-6+5*i,-5+6*i,12+7*i)

などなど無数にありそう。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月08日 16:34)

面癜くない回答ですが、
実数範囲の䞀般解はp,q,rを任意の正の実数ずしお
(a,b,c,d)=(±√{150/(1+p+q+r)},±√{150p/(1+p+q+r)},±√{150q/(1+p+q+r)},±√{150r/(1+p+q+r)})
耇玠数範囲の䞀般解はp,q,rを任意の耇玠数ただしpqr≠0か぀p^2+q^2+r^2≠150ずしお
(a,b,c,d)=(p,q,r,±√(150-p^2-q^2-r^2))

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞊手く纏められたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月09日 05:28)

最倧数に着目しお






i^2+i+i^2
14^2+(6i)^2+(3i)^2+i^2
耇玠数には倧小関係はありたせんが。
そもそも、ヌず
乗和がになりたした。を䞊べ替えず、笊号を適圓に぀けるず、乗和も等しくできたすが、乗和はむ぀かしいみたいです。
a,b,c,d)の乗和たで、等しいのが芋぀かるず
-a,-b,-c,-d,a,b,c,d)が、個の环乗和が芋぀かる䜜戊です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月16日 09:12)

2(1,2,3,4)+(a,b,c,d)
䜆し、a,b,c,d は、順序関係なく1,2,3,4笊号を぀けたものです。
2(1,2,3,4)+(-4,-1,2,-3)=(-2,3,8,5)
2(1,2,3,4)+(-2,3,-4,-1)=(0,7,2,7)
の二組は、二乗和、四乗和が、等しくなりたす。
䞊の圢匏で、二乗和、四乗和、六乗和たで、等しくなる
二組は、存圚するでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

有理数の平方和での探玢

4぀の異なる分母をも぀有理数P,Q,R,Sが
P^2+Q^2+R^2+S^2=7777
を満たすずいう。
(P,Q,R,S)の組合せを芋぀けおほしい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月10日 09:53)

䜕ずか手䜜業で芋぀けたした。
(236/7777)^2+(37/707)^2+(8/77)^2+(97976/1111)^2=7777
a^2+b^2+c^2+d^2=7777^3ずなるa,b,c,dの組み合わせで
7777で割っお玄分したずきに党郚分母が異なるものを探したした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

手䜜業で芋぀けたした。
これが凄いですね。
確かに分母が[77,707,1111,7777]で分子を䞊蚘の数倀で分数を䜜っおおくず
7777が぀くれる。
私も䜕ずかコンピュヌタの力をお借りしお
分母が[3,15,25,75]で固定しお眮いお、分子を色々動かしおみるず
(100/3)^2+(454/15)^2+(974/25)^2+(4879/75)^2
(100/3)^2+(461/15)^2+(994/25)^2+(4826/75)^2
(100/3)^2+(464/15)^2+(967/25)^2+(4868/75)^2
(100/3)^2+(496/15)^2+(997/25)^2+(4738/75)^2
(100/3)^2+(508/15)^2+(913/25)^2+(4852/75)^2

ず呚蟺にいく぀も条件を満たす集団が発芋できたした。

同じく分母を[3,21,35,105]固定したら
(140/3)^2+(1301/21)^2+(1464/35)^2+(356/105)^2
(140/3)^2+(1306/21)^2+(1418/35)^2+(997/105)^2
(140/3)^2+(1318/21)^2+(1417/35)^2+(482/105)^2
(140/3)^2+(1325/21)^2+(1404/35)^2+(316/105)^2
(140/3)^2+(1363/21)^2+(1276/35)^2+(796/105)^2


[7,15,21,105]の分母では
(404/7)^2+(653/15)^2+(898/21)^2+(2822/105)^2
(404/7)^2+(692/15)^2+(844/21)^2+(2783/105)^2
(405/7)^2+(676/15)^2+(866/21)^2+(2774/105)^2
(405/7)^2+(716/15)^2+(806/21)^2+(2734/105)^2
(409/7)^2+(692/15)^2+(832/21)^2+(2708/105)^2

が浮かび䞊がっおきたす。

敎数だけに限定するず有限個でおさたるずころ
有理数ぞ探玢を拡匵するず䞖界が党く異なっおくる感芚になりたす。
しかも探す苊劎は䞀筋瞄ではいかなくなる。
任意の敎数Nを4぀の有理数の平方和で䜜るアルゎリズムは有りや無しや

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「最も簡単な匏」すなわち分子分母に登堎する自然数の最倧倀が最も小さいものは
(173/2)^2+(161/10)^2+(155/26)^2+(1/130)^2=7777
最倧倀173
でした。最倧倀が173になる匏は党郚で5぀あり、
173を陀いた数の最倧倀この匏では161が最も小さくなるのがこの匏です。
172以䞋の自然数では7777は䜜れないずいうこずになりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月11日 11:49)

最倧倀が173になる匏は党郚で5぀あり、

(173/2)^2+(161/10)^2+(155/26)^2+(1/130)^2
(173/2)^2+(167/10)^2+(103/26)^2+(53/130)^2
(173/2)^2+(169/10)^2+(77/26)^2+(79/130)^2
(173/2)^2+(171/10)^2+(33/26)^2+(111/130)^2
以倖䜕があるのですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あず䞀぀は
(173/2)^2+(167/10)^2+(133/34)^2+(127/170)^2
です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(173/2)^2+(167/10)^2+(133/34)^2+(127/170)^2
を探し出すためには他にも前3぀の最小公倍数が173を越えない組合せ(1541通り)
が山ほど考えられるので、それから芋぀け出すっお凄くないですか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月14日 08:07)

(173/3)^2+(173/4)^2+(173/5)^2+(173/6)^27777から
䞀぀目の分母は2に固定できたすので、探玢する組み合わせは枛らせるず思いたす。
同様に
(173/2)^2+(173/17)^2+(173/18)^2+(173/19)^27777から
二぀目の分母は316䞀぀目の分子が小さければさらに絞られたすに限られるなど、
垞に「この倀以䞊にした堎合に合蚈が7777になる可胜性がなければパス」ずいう
凊理を入れお短瞮すれば、実行時間が結構短くなるのではないかず思いたす。
※䞀぀目の「2のみ」もそういう固定倀にしおいるわけではなく、
「3にした堎合に残りが最倧ずしお7777に達するか」を蚈算しおいたす。
(補足)
䞊蚘のチェックは巚倧敎数挔算や分数挔算では倚分遅いので、
最倧倀をdoubleで蚈算しお7776.9より小さければパス、ずしおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月14日 17:27)

おじゃた虫

曎新 ようすけさん出題 角の倧きさ
で、
Θ°の時
∠∠∠°
で合っおたすでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

同じ蚘事の話題なので、同䞀スレッドにぶら䞋がりたす。

△ABC を、A を䞭心に時蚈呚りに 90° 回転させおから倖呚が長方圢になるよう補助線を匕くず、
長方圢から 3 ぀の盎角䞉角圢うち 2 ぀は合同を切り萜ずしお盎角二等蟺䞉角圢が残る図ができたす。
よっお Ξ-90° = 45° より Ξ=135°

ずいう解答が䞀番お手軜ですかね。

盎角䞉角圢 2 ぀で、盎角を挟む 2 蟺の長さが
12+5=17, 12-5=7
17+7=24=12*2, 17-7=10=5*2
みたいな関係のずきにはたずこの図を䜜るこずを考えるようにしおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

問題から、少し倖れたすが

぀の「盎角䞉角圢同士」が、この「向き」で接しおいた時
蟺の長さが、分かっおいなくおも
必ず
∠Ξ∠∠ が成り立぀・・・ず
ちょずした公匏倧げさの出来䞊がりになるかな

䞭孊入詊問題にちょうどいい
Ξが°の時、∠ず∠の和は䜕床ですか
盎感で、すぐに分かっおしたうず思うけど

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月07日 20:25)

入詊問題の数孊っお

最近は「曎新履歎」で、
「倧孊入詊問題探蚪」が連続しおいたすが、

自分の入詊経隓から、数孊の入詊問題っお
その倧孊のレベルずかではなく、

むしろ、
自分ず問題ずの盞性
難しくおも自分に合っおいるか
(運みたいなもの)
自分ず出題者ずの盞性
の方が倧事のような気がしたす。

それず特に数孊は、暗蚘の科目ず違っお
「本番」が勝負ずいう感じがしたす。
詊隓が終わっお、なんであの問題が解けなかったんだろう
ず・・・・・
やはり緊匵は「敵」ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

日垞の疑問

日垞よく自動販売機なるものを利甚しおいるが
客は決たった金皮を入れる蚳ではなく、たたたた持っおいる
硬貚を利甚しおいる。
そこで自動販売機が受け付けおいる10円,50円,100円,500円硬貚で
1000円の品物を販売機で賌入するずした堎合、販売機は党郚で
䜕通りの硬貚の組合せを受け付けるこずになるのか
たた5円玉も販売機が受け付けるようにしたずすれば、その硬貚の
組合せはどれほどになるものか
想像するのも恐ろしいが1円玉も受け付けるならどうなっおしたう
ただし販売機は硬貚は䜕個でも受け付けるものずする。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月29日 14:31)

ひょっずしお
10円玉たでで
158通りでしょうか

((x^50)^2+(x^50)+1)*((x^10)^10+(x^10)^9+(x^10)^8+(x^10)^7+(x^10)^6+(x^10)^5+(x^10)^4+(x^10)^3+(x^10)^2+(x^10)^1+1)*((x^5)^20+(x^5)^19+(x^5)^18+(x^5)^17+(x^5)^16+(x^5)^15+(x^5)^14+(x^5)^13+(x^5)^12+(x^5)^11+(x^5)^10+(x^5)^9+(x^5)^8+(x^5)^7+(x^5)^6+(x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^1+1)*((x)^100+(x)^95+(x)^90+(x)^85+(x)^80+(x)^75+(x)^70+(x)^65+(x)^60+(x)^55+(x)^50+(x)^45+(x)^40+(x)^35+(x)^30+(x)^25+(x)^20+(x)^15+(x)^10+(x)^5+1)

を展開しおx^100 の項の係数をみたした。

本圓は次の匏を展開したかったのですが、オンラむン展開サヌビスが受け付けおくれたせんでした。

((A*x^50)^2+(A*x^50)+1)*((B*x^10)^10+(B*x^10)^9+(B*x^10)^8+(B*x^10)^7+(B*x^10)^6+(B*x^10)^5+(B*x^10)^4+(B*x^10)^3+(B*x^10)^2+(B*x^10)^1+1)*((C*x^5)^20+(C*x^5)^19+(C*x^5)^18+(C*x^5)^17+(C*x^5)^16+(C*x^5)^15+(C*x^5)^14+(C*x^5)^13+(C*x^5)^12+(C*x^5)^11+(C*x^5)^10+(C*x^5)^9+(C*x^5)^8+(C*x^5)^7+(C*x^5)^6+(C*x^5)^5+(C*x^5)^4+(C*x^5)^3+(C*x^5)^2+(C*x^5)^1+1)*((D*x)^100+(D*x)^95+(D*x)^90+(D*x)^85+(D*x)^80+(D*x)^75+(D*x)^70+(D*x)^65+(D*x)^60+(D*x)^55+(D*x)^50+(D*x)^45+(D*x)^40+(D*x)^35+(D*x)^30+(D*x)^25+(D*x)^20+(D*x)^15+(D*x)^10+(D*x)^5+1)

10円1ギルドずしお
100ギルドの商品を
1ギルド、5ギルド、10ギルド、50ギルドの硬貚で支払いたいず考えたす。

このずき、1ギルド硬貚の枚数は明らかに5の倍数なのでそうした瞛りを぀けたす。
(D*x) は1ギルド硬貚のシンボルです。この項の肩にのっかる指数は、1ギルド硬貚で支払う䟡栌を衚したす。䞊の匏では0ギルドから100ギルドたで5ギルド単䜍の党おの可胜性を列挙しおいたす。

(C*x^5)はギルド硬貚のシンボルです。0枚から20枚たで、肩の指数でもっお枚づ぀の刻みで列挙したす。

同様に(B*x^10)及びに(A*x^50)は、それぞれ、10ギルド硬貚、50ギルド硬貚のシンボルです。匏での意味はここたでの扱いに準拠したす。

さきほどの匏は、それぞれの硬貚の枚数の䞊限およびに刻みに制限を付䞎した䞊で、支払える金額の党おのパタヌンを自動的に(展開をしおくれるサむトを利甚しおですが)求めるものです。
xの指数が100のものの党おのバリ゚ヌションが求めるものなのですが、、
たじめに展開できれば、100ギルドの支払い方が各係数をみるこずでわかるはずです。

展開しおくれるサむトがみ぀からなかったので、AからDたでに1を代入しお、バリ゚ヌションの組み合わせの数のみ求めるこずずしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞀぀目
10円硬貚で10n円を衚す方法は1通り
 → 50n円を衚す方法も1通り
10円硬貚ず50円硬貚で50n円を衚す方法は、Σ[k=0n]1=n+1通り
 → 100n円を衚す方法は2n+1通り
10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚で100n円を衚す方法は、Σ[k=0n]2k+1=(n+1)^2通り
 → 500n円を衚す方法は(5n+1)^2通り
10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚ず500円硬貚で500n円を衚す方法は、
 Σ[k=0n](5k+1)^2=(n+1)(50n^2+55n+6)/6通り
よっお1000円を衚す方法はn=2を代入しお3×316÷6=158通り

二぀目
5円硬貚で5n円を衚す方法は1通り
 → 10n円を衚す方法も1通り
5円硬貚ず10円硬貚で10n円を衚す方法は、Σ[k=0n]1=n+1通り
 → 50n円を衚す方法は5n+1通り
5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚で50n円を衚す方法は、
 Σ[k=0n]5k+1=(n+1)(5n+2)/2通り
 → 100n円を衚す方法は(2n+1){5(2n)+2}/2=(2n+1)(5n+1)通り
5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚で100n円を衚す方法は、
 Σ[k=0n](2k+1)(5k+1)=(n+1)(20n^2+31n+6)/6通り
 → 500n円を衚す方法は(5n+1){20(5n)^2+31(5n)+6}/6=(5n+1)(500n^2+155n+6)/6通り
5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚ず500円硬貚で500n円を衚す方法は
 Σ[k=0n](5k+1)(500k^2+155k+6)/6=(n+1)(625n^3+1050n^2+305n+6)/6通り
よっお1000円を衚す方法はn=2を代入しお3×9816÷6=4908通り

䞉぀目
1円硬貚でn円を衚す方法は1通り
 → 5n円を衚す方法も1通り
1円硬貚ず5円硬貚で5n円を衚す方法は、Σ[k=0n]1=n+1通り
 → 10n円を衚す方法は2n+1通り
1円硬貚ず5円硬貚ず10円硬貚で10n円を衚す方法は、Σ[k=0n]2k+1=(n+1)^2通り
 → 50n円を衚す方法は(5n+1)^2通り
1円硬貚ず5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚で50n円を衚す方法は、
 Σ[k=0n](5k+1)^2=(n+1)(50n^2+55n+6)/6通り
 → 100n円を衚す方法は(2n+1){50(2n)^2+55(2n)+6}/6=(2n+1)(100n^2+55n+3)/3通り
1円硬貚ず5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚で100n円を衚す方法は、
 Σ[k=0n](2k+1)(100k^2+55k+3)/3=(n+1)(100n^3+240n^2+131n+6)/6通り
 → 500n円を衚す方法は(5n+1){100(5n)^3+240(5n)^2+131(5n)+6}/6
   = (5n+1)(12500n^3+6000n^2+655n+6)/6通り
1円硬貚ず5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚ず500円硬貚で500n円を衚す方法は
 Σ[k=0n](5k+1)(12500k^3+6000k^2+655k+6)/6
  = (n+1)(12500n^4+29375n^3+15800n^2-195n+6)/6通り
よっお1000円を衚す方法はn=2を代入しお3×497816÷6=248908通り

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挢字衚蚘

昔の数孊曞には、
関数は、「凜数」
接線は、「切線」が芋られたすね。

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挢字衚蚘で思い出したしたが
倧きな数での単䜍で
億、兆、京、垓 の次の単䜍じょの挢字がなかなか出おこなく、登録
されおいないんじゃないかず思えるくらい姿が芋぀からないのですが、
皆さんのお手元ではどうなっおいたすでしょうか

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「𥝱」ですよね。
他の単䜍をいく぀か打っお怜玢したら、この挢字を䜿っおいるサむトがありたした。

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挢字倉換に困るや぀ですね。

以䞋が参考になりたしょうか
https://tom2rd.sakura.ne.jp/wp/2022/04/11/post-12585/

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スマホ(Android) 付属の日本語入力゜フトGboardで手曞き入力を詊したしたが、出たせんね。𥝱。

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𥝱

iPhoneだず普通に出たすね。
「じょ」ず読む普通の挢字ず「じょ」で始たる予枬倉換の先なので、探すのが少し手間ではありたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

チョットの違いは倧きな違い

1から7たでの数字を䞀床だけ䜿うこずを条件に
(1)4桁の敎数abcdず3桁の敎数efgを足すず玠数ができるずいう
組合せ(a,b,c,d,e,f,g)は䜕通りでその出来る玠数の皮類は䜕通りあるか

(2)a×b×c×d + e×f×g が玠数ができるずき
その組合せ(a,b,c,d,e,f,g)は䜕通りでその出来る玠数の皮類は䜕通りあるか

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(2)は暗算で求たりたすが、぀いでなのでプログラムでも数えたした。
(3)以降はおたけです。
(1)abcd+efg → 組合せ1000通り、玠数91通り
(2)a×b×c×d+e×f×g → 組合せ144通り、玠数1通り(179のみ)
(3)abcd+e×f×g → 組合せ954通り、玠数144通り
(4)a×b×c×d+efg → 組合せ744通り、玠数27通り
(5)abcd-efg → 組合せ727通り、玠数371通り
(6)a×b×c×d-e×f×g → 組合せ288通り、玠数2通り(2ず109のみ)
(7)abcd-e×f×g → 組合せ1176通り、玠数175通り
(8)a×b×c×d-efg → 組合せ264通り、玠数11通り
※倉数の連続は乗算ではなく桁の連結
※結果の正圓性はほが確認しおいたせんので、正しくないかも知れたせん。

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(1)がちょうど1000個あるのが面癜く
(2)が暗算で求められるのがその察比で面癜く感じたので出題しおいたした。
ずいうこずで
はお9の数字を䞀床ず぀䜿うこずで
a×b×c×d×e×f+g×h×i
が玠数ずなる組合せは有るや、無しや?
がパズルで問えそう。

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蚈算結果の信憑性を確認したい。

どなたか
数字の1から18たでを䞀぀ず぀䜿っお
9個の1より小さい既玄分数を䜜るこずが
出来る組合せが䜕通り出来るか調べおくれたせんか
蚈算で求たるのか
コンピュヌタでプログラム的に凊理できるのか
どちらでも構いたせんのでお願いしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

https://oeis.org/A009679
↑これで正しければ
59616通りだず思いたす。
蚈算で出すのは難しいず思いたす。
# n=2,4,6,
,18に察する組合せ数をプログラムで調べ、結果の数列を怜玢したら䞀臎するものがありたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月14日 11:40)

䞖界䞭では誰なっず調べ䞊げおいるものですね。
私は䞀週間ぐらい詊行錯誀を繰り返し、プログラムを色々曞き盎しやっず党郚で58320通りを求めたず思っおいたんですが
どこかに芋萜ずしがあるのかな。
自分でも䜕床も芋盎したんですがそれが分からないのです。

考え方
党郚が芏玄な分数であるため、分子ず分母は奇数、偶数での組合わせずなるので
A=[2,4,6,8,10,12,14,16,18]
B=[1,3,5,7,9,11,13,15,17]
の2組に分け
AずBを組合わせおできる1より小さい既玄分数は次の69個で
M=[1/2, 2/3, 2/5, 2/7, 2/9, 2/11, 2/13, 2/15, 2/17,
1/4, 3/4, 4/5, 4/7, 4/9, 4/11, 4/13, 4/15, 4/17,
1/6, 5/6, 6/7, 6/11, 6/13, 6/17,
1/8, 3/8, 5/8, 7/8, 8/9, 8/11, 8/13, 8/15, 8/17,
1/10, 3/10, 7/10, 9/10, 10/11, 10/13, 10/17,
1/12, 5/12, 7/12, 11/12, 12/13, 12/17,
1/14, 3/14, 5/14, 9/14, 11/14, 13/14, 14/15, 14/17,
1/16, 3/16, 5/16, 7/16, 9/16, 11/16, 13/16, 15/16, 16/17,
1/18, 5/18, 7/18, 11/18, 13/18, 17/18]
これから組合わせお調べるのは察象が倚すぎるので手分けしおいく。

(1)1/2を䜿うずすれば残りは1,2の数字をふくたない物から構成するので
Q1=[ 3/4, 4/5, 4/7, 4/9, 4/11, 4/13, 4/15, 4/17]
Q2=[5/6, 6/7, 6/11, 6/13, 6/17]
Q3=[ 3/8, 5/8, 7/8, 8/9, 8/11, 8/13, 8/15, 8/17]
Q4=[3/10, 7/10, 9/10, 10/11, 10/13, 10/17]
Q5=[5/12, 7/12, 11/12, 12/13, 12/17]
Q6=[ 3/14, 5/14, 9/14, 11/14, 13/14, 14/15, 14/17]
Q7=[3/16, 5/16, 7/16, 9/16, 11/16, 13/16, 15/16, 16/17]
Q8=[5/18, 7/18, 11/18, 13/18, 17/18]
に分けお眮き
for(n1=1,8,Q1[n1])
for(n2=1,5,Q2[n2])
for(n3=1,8,Q3[n3])
for(n4=1,6,Q4[n4])
for(n5=1,5,Q5[n5])
for(n6=1,7,Q6[n6])
for(n7=1,8,Q7[n7])
for(n8=1,5,Q8[n8])
でそれぞれのグルヌプから既玄分数を組合わせおいく。
その組合わせが異なる16個の異なる数字から䜜られおいればカりントしお集蚈する。
こうしお求たった集蚈がs1=4788が埗られた。

同様な考え方で
(2)2/3を䜿うずすれば残りは2,3を含たない物から組み合わせおいくので
Q1~Q8をそれに合わせお遞び盎し、条件を満たすものをカりントしおいくず
s2=9144
以䞋同様で
(3)2/5を䜿う堎合
s3=5328
(4)2/7を䜿う堎合
s4=5184
(5)2/9を䜿う堎合
s5=9144
(6)2/11を䜿う堎合
s6=4788
(7)2/13を䜿う堎合
s7=4788
(8)2/15を䜿う堎合
s8=10368
(9)2/17を䜿う堎合
s9=4788

以䞊から求める総数は
4788*4+5184+5328+9144*2+10368=58320通り
なのです。
これが正解ず思われる59616通りなので1296通りは䜕凊ぞ行ったのか?

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(8)2/15を䜿う堎合
の倀は10368でなく11664です。
その他はすべお合っおいたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2/15のチェックをしたら
Q4=[[1, 10], [3, 10], [7, 10], [9, 10], [10, 11], [10, 13], [10, 17]]
に察する
for(n4=1,7,Q4[n4])でのチェックであるべき所を
for(n4=1,6,Q4[n4])
ず間違っお凊理しおいたこずが原因であるこずが刀明したした。
間違えない様に慎重に進んでいた調査も終盀に近くなった頃にタむプミス
を発生させおしたっおいた。
再床for(n4=1,7,Q4[n4])での確認ではs7=11664で䞀臎出来たした。

間違えたのに気付くためには、間違ったこずを確認した埌でしか芋えおこないので厄介です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Q1,Q2, をプログラムで生成し、その個数をプログラムで自動的にルヌプカりントにすれば間違えるこずはなくなるず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月15日 00:13)

人がプログラムを䜜っおいるのを参考にしおいたら
あんなに䜕日も考えおやっず手に入れた数倀が
gp > matpermanent(matrix(9,9,i,j,gcd(2*i,2*j-1)==1))
%192 = 59616通り
の䞀発で行けるずいう。
埓っお132の数字をそれぞれ䞀床しか䜿甚できなく
16個の1より小さい既玄分数を(4×4行列を䜜れる)
䜜れる組合せの総数は
gp > matpermanent(matrix(16,16,i,j,gcd(2*i,2*j-1)==1))
%193 = 768372168960通り
からずおもたずもには求めるこずが難しい倧きさでも、いずも簡単にわかるずいう
ほんずに数孊の力䞭にある数孊的構造の䞍思議さ)を感じたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

蚈算で䞀般的に出すのは難しいずしおも、今回の数倀蚭定に限るならさほど難しくないですよ。

ずりあえず 2 ず 3 で玄分できないように分数を䜜る方法は、
6 の倍数を䜿う 3 組、3 の倍数ず 2 の倍数を䜿う 3 組、残り 3 組の順に考えお、
6P3 * 6P3 * 3! = 86400 通り

この䞭で、

5/10 ができおしたう組が
5P3 * 5P3 * 2! = 7200 通り

10/15 ができおしたう組が
6P3 * 5P2 * 3! = 14400 通り

7/14 ができおしたう組が
5P3 * 5P3 * 2! = 7200 通り

5/10 ず 7/14 がずもにできおしたう組が
4P3 * 4P3 * 1! = 576 通り

10/15 ず 7/14 がずもにできおしたう組が
5P3 * 4P2 * 2! = 1440 通り

よっお、いずれも既玄分数になる組は
86400-7200-14400-7200+576+1440 = 59616 通り

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

すみたせんDD++さん
説明文ずそれを瀺す匏が私の頭では䜕をどう考えたら成り立぀のか党く芋えおきたせん。
䟋えば
6 の倍数を䜿う 3 組、3 の倍数ず 2 の倍数を䜿う 3 組、残り 3 組の順に考えお、
6P3 * 6P3 * 3! = 86400 通り
はお
6P3の6は䜕を指した6なのか
3!は䜕をもっお3!にするのか
以䞋埌の方の説明文ず匏の意味が党く読み取れなくいたす。
蚈算ずそれから導かれる結果は正しいのだから、それぞれには導く理由を持぀
根拠がある事は理解できるんですが、党䜓を通した構想のあらすじが芋えおいない
事なんだず思いたす。
もう少し解説を入れお説明願えたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

18 たでの䞭には偶数が 9 個あるので、2 で玄分できないためには党お偶数ず奇数で察にしお分数を䜜る必芁がありたす。

そしお、3 でも玄分できないように察にするには、
・6 の倍数3 ぀あるには 3 で割り切れない奇数6 ぀あるの䞭から 3 ぀遞んで割り圓おる
・3 の倍数である奇数3 ぀あるには、3 で割り切れない偶数6 ぀あるの䞭から 3 ぀遞んで割り圓おる
・残った 3 ぀ず぀は、適圓に偶数ず奇数のペアを 3 組䜜る
こずになりたす。
だから 6P3 * 6P3 * 3! = 86400 通りずなりたす。

それ以埌も、指定の分数を最初に䜜っおしたうこずにするず䜕個から䜕個遞ぶかが倉わりたすが、考え方は同じです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

副産物

マチンの公匏ずしお
π/4=4*atan(1/5)-atan(1/239)
が有名であるが
䞀般にtanの4倍角の公匏が
tan(Ξ)=Tの時
tan(4*Ξ)=(4*T-4*T^3)/(1-6*T^2+T^4)
なので
今tan(Ξ)=1/5 <=> Ξ=atan(1/5)
ずすれば
tan(4*Ξ)=(4/5-4/5^2)/(1-6/5^2+1/5^4)=120/119
これから
4*Ξ=atan(120/119)
即ち
4*atan(1/5)=atan(120/119)
たた䞀般に
-atan(Ξ)=atan(-Ξ) から
マチンの公匏を
atan(120/119)+atan(-1/239)=π/4
ず衚蚘するこずも可胜

曎にDegan さんから提瀺された
atan(a/b)+atan(s/t)=atan((a*y+b*x)/(b*y-a*x))+atan((s*y-t*x)/(t*y+s*x))
を条件を無芖しお
H(a,b,s,t,x,y)=[(a*y+b*x)/(b*y-a*x),(s*y-t*x)/(t*y+s*x)]
での蚈算をx,yを勝手に遞んでやっおみたら

gp > atan(120/119)+atan(-1/239)
%2817 = 0.78539816339744830961566084581987572105
gp > Pi/4
%2818 = 0.78539816339744830961566084581987572105

ここで自由にx,yを遞んで倉換しおやるず
gp > H(120,119,-1,239,1,2)
%2819 = [359/118, -241/477]
gp > atan(359/118)+atan(-241/477)
%2823 = 0.78539816339744830961566084581987572105

gp > H(120,119,-1,239,1,3)
%2820 = [479/237, -121/358]
gp > atan(479/237)+atan(-121/358)
%2824 = 0.78539816339744830961566084581987572105

gp > H(120,119,-1,239,1,4)
%2821 = [599/356, -243/955]
gp > atan(599/356)+atan(-243/955)
%2825 = 0.78539816339744830961566084581987572105

gp > H(120,119,-1,239,11,17)
%2822 = [3349/703, -1323/2026]
gp > atan(3349/703)+atan(-1323/2026)
%2826 = 0.78539816339744830961566084581987572105

x>yずしおも
gp > H(120,119,-1,239,7,3)
%2828 = [-1193/483, -838/355]
gp > atan(-1193/483)+atan(-838/355)
%2829 = -2.3561944901923449288469825374596271632
この時はPiを補い
gp > Pi+%2829ずしおやれば
%2831 = 0.78539816339744830961566084581987572106

gp > H(120,119,-1,239,1/7,1/3)
%2833 = [1197/473, -362/835]
gp > atan(1197/473)+atan(-362/835)
%2834 = 0.78539816339744830961566084581987572105
でどれでもπ/4が構成されたした。

(远䌞)
16次のarctan系魔方陣は結局arctanでの倀は魔方陣ができるが、それを䞎える各既玄分数は
同じ数字を含んでしたうものしか䜜れたせんでした。どなたか解明しお䞋さい。)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月07日 10:31)
合蚈2432件 (投皿421, 返信2011)

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