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数の表現ー続き3

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

Dengan kesaktian Indukmu様の投稿で、わたしは、納得しました。

忠告に従って、私としては、終わりにしようと思います。

そういうことで、DD++様、無回答をお許しください。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年10月01日 09:20)

数の表現~続き2

うんざりはちべえさんの仰る
「0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・は、無理数である」
を直接証明していただけませんか?

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人様、おはようございます。

いつも、ご迷惑おかけします。

これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもので、私がそれを証明できる技量・ヒントは、現在持ち合わせておりません。

いずれか将来、そういうチャンスに恵まれたときまで、お待ちください。

また、投稿の余計な一文が管理人様のご機嫌を損ねたことをお許しください。

引用して返信編集・削除(未編集)

すると、すべての無限小数は、無理数になるのではないかという疑問が、生じると思います。

その疑問も答えは、
では、1/3は、無理数にならないのかというと、1/3は1÷3で、あまりが循環するから、循 環するのです。つ まり、1÷3=0.333・・・+0.00・・・・1で、0.00・・・・1は、あまりです。

つまり、演算が可能な範囲で0.333・・・が並んでいるので、無限では、演算ができないので、1÷3は、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数です。

その説明では、√2は、無理数ですが、無限に計算してゆくので、無限では、演算ができないなら、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数ですとなってしまうではないか?

それには、循環する無限小数は、有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数であるが、答えにならないでしょうか?
つまり、循環してないといけないのです。

0.999・・・は、根拠もなしにただ、9を並べ多数ですから、演算はどこにもありません。

循環小数は有理数なので、分数にできますが、0.999・・・は、分数にできません。私が、x=aとして、10倍して引いてもx=aでした。
0.333・・・という循環小数を分数にする方法では、1/3になりますが、1/3は、0.333・・・より、+0.00・・・・1で、0.00・・・・1は、あまりです。つまり、0.333・・・より大きくなっているのですから、循環小数を分数にする方法は、間違いです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月29日 13:07)

うんざりはちべえさん、論理が破綻していませんか?

引用して返信編集・削除(未編集)

論理が破綻してますか?どのへんでしょうか?それは、さておいて、多分、

>これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもの 

もともと、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が怪しいのです。

すると、すべての無限小数は、有理数になってしまいます。バーゼル問題が正しければ、すべての無限小数は、無理数になってしまいます。

>循環する無限小数は、有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数である。

からも矛盾します。

もともと、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題は、不適切な命題なんでしょうね。

引用して返信編集・削除(未編集)

これで終わりにしましょう。
長い間、ご迷惑おかけしました。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月29日 16:05)

……関係があるのかもしれないと思いまして投稿いたします。

まずは参考文献のご案内から。

■《高校生における「無理数」の概念》(大山正信・米沢光洋)
( https://core.ac.uk/download/pdf/144571306.pdf )

この参考文献の p.10 から引用します。

-----
彼のこの誤解は,彼が【1】において,「無理数とは確定した数が存在しないもの」としているところから生じていると考えられる
-----

引用部分にある生徒の誤解は、「無限回の操作を必要とするのでいつまでたっても確定した値を取れない」といった気持ちからくるものなのであろうと推察されます。

自分自身を振り返りますと、小学生くらいの頃までは同じような気持ちが強かったと思います。

私の場合には中学一年の頃に出会った関根先生の教え方が上手だったのかもしれませんけれど、なんとなくですがこうした疑問は消えてしまいました。

関根先生は 確か、
「全ての有限小数は無限小数としても書くことができる、書き方が違うだけで値は同じだ」としつこく宣言していらっしゃいました。
こうした宣言を念仏もしくは御題目のようにことあるごとにバリトンの声で繰り返していらっしゃいました。
関根先生が好きな例題は1/4でした。
黒板に書くのはいつも
0.25=0.24999999999………………………
でした。チョークで……を素早く黒板の端から端まで一気に書く必殺技をお持ちでして、一部の生徒たちも真似しようと奮闘していたことが懐かしく思い出されます。 これがなかなか難しいのですけれど。

尻切れトンボですけれども、今回の投稿は以上です。
追記:先程の参考文献で【切断】関連の問いかけを行なったときの生徒たちの反応についてのアンケート結果が出ていまして大変に興味深いものでした。

以上です。

 さて、うんざりはちべえさんは、おそらく、2人で行うグーチョキパーで行うジャンケンは(原理的には)公平であるとお考えの筈です。
 
ジャンケンぽんっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
勝ったー(負けたー)
 
という例のやつです。
 
《このジャンケンのルールは公平である》ことと
《3進法で記すときに 1/2 = 0.111111………(無限小数)の等式が成立する》
こととは同値であることを指摘しておきたく思います。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月29日 17:15)

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

ありがとうございます。

引用して返信編集・削除(未編集)

> このことから、
> 0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
> は、無理数であるとなりますね。

なるわけないじゃないですか。
私の主張を勝手に捻じ曲げないでください。

引用して返信編集・削除(未編集)

続き2に入ってからの投稿を見ましたが、はちべえさんがやっていることは数学と呼べないように思います。

はちべえさんは、根拠があろうとなかろうと自分の予想が間違っているわけがないという前提に立っているように感じます。
そのような考え方は、良く言って宗教、悪く言えば妄想と呼ばれるべきものです。

ここは数学の場です。
証明が用意できないのならば(公理と定義を除き)どんな記述も真実かどうかわからない、という数学的立場で発言してください。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、おはようございます。

ご指摘ありがとうございます。

さて、https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...によれば、0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もあるそうです。それは、無限小を0とするかしないかの違いだそうです。

昨日は、2日も更新されず、これは、DD++様への返信が、必要であると気づいて、投稿したのですが、あの行は、DD++様の発言の回答には、不要であると気づいて、あの行を消そうと思った時に、管理人様の投稿があったのです。それで、不要な事態を招いてしまいました。

皆様、大変、ご迷惑おかけしました。

引用して返信編集・削除(未編集)

うんざりはちべえさんは、
 「0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もある」
ということを知った上で、「0.999・・・=1という体系」は誤りだという立場なんですよね?

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人様、おはようございます。

無限小を⊿とします。
0.999・・・=1の考えでは、⊿=0です。
一方0.999・・・<1の考えでは、⊿>0です。

ここで、四則演算が、無限でも適用できるとします。

1)さて、実数は連続なので、a+⊿=bとすると、a,bは隣り合うはずですね。
ところが、⊿=0なら、a=bで、同じものです。実数は、飛び飛びで、隣り合うものができない、連続でないとなりませんか?

2)有理数の稠密性で、a<bなら、a<(a+b)/2<bですね。(a+b)/2=cとおくと、
a<(a+c)/2<c<bで稠密なんですよね。

ここで、b=2⊿+aとすると、a<(a+b)/2<bは
a<(a+⊿)<a+2⊿
となりますね。⊿=0では、この不等式は成り立ちませんね。
すると、有理数の稠密性が成り立ちませんとなりませんか?

私は、普通の一般人なので、こんな初歩的な疑問です。

引用して返信編集・削除(未編集)

> さて、実数は連続なので、a+⊿=bとすると、a,bは隣り合うはずですね。

「隣り合う」とは何を意味していますか?
そして、その意味の上で「a+⊿=bとすると、a,bは隣り合う」の証明は?

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、こんにちは。

a≠bとなるb>a>0とします。c=(b-a)とすると、cの最小値は、⊿になりますよね。

aとbの距離は、最小値⊿ですから、隣り合うとなると思います。

三次元のグラフ上のa,bとなると、話が違ってきますが、数直線で考えるとということです。

cの最小値は⊿しかないわけですから。

なお、以下の話は、ないものとしておきます。

1)連続なら、a<(a+b)/2<bが存在するから最小値は⊿/2だ、(無限小は⊿なので、)とはなりませんよね。

2)微分の⊿>⊿^2>0も、ここでは、扱わないとします。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月30日 13:20)

(1) 「隣り合う」という言葉を正確に定義してください。
(2) その c=
b-a に最小値は存在しません。

引用して返信編集・削除(未編集)

「隣り合うとは」
最小目盛り幅が⊿の数直線で、目盛り上のaの隣の目盛り上をbとして、隣り合うa,bと言ってます。
すべての点は、最小目盛り幅の自然数倍にあるとします。
ただし、a,bが3目盛り離れていると、中点cは1.5目盛りなので、目盛り上からずれてしまいます。
また、点間は、無限小以上を守らないといけないので、連続するには、すべての点は、最小目盛り幅でなければならないと思います。
デジタル的だと思うかもしれませんが、無限小間隔です。目盛りは可付番で、どれ一つ同じものはありません。

つまり、⊿=0だと、すべての点が、座標で決められていれば、一点に重なります。座標とは無関係ならば、座標が1点になるので、多くの点が消えてしまいます。これは、先に、⊿>0で座標が決まっていたものを、⊿=0にするという勘違いですね。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月30日 18:57)

c が目盛り上からずれてしまうというのは、
・c=(a+b)/2 は実数とは認めない
・この点の集合は全ての実数を表していない
のどちらですか?

引用して返信編集・削除(未編集)

cは、実数です。

目盛り上で、ないといけないというのではなくて、点と点の幅が⊿以上あればよいのではないでしょうか?

最初に書いたb=a+⊿です。これを目盛り付きの数直線で、説明したほうが、隣り合うということを説明しやすかったもので・・・・

だから、連続も、点と点の幅が⊿であれば、目盛り上である必要はないと書いたつもりです。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月30日 19:22)

では、a と b の間が 3 目盛りだとして、
c=(a+b)/2 と d=(a+2b)/3 の表す点の幅はいくつですか?

引用して返信編集・削除(未編集)

うんざりはちべえさんがΔを持ち出していらしたので、横入りですけれどもひとことを。

うんざりはちべえさんが現在展開なさろうとしている無限小についてのお話しの筋立てには未来がありません。早晩、矛盾があちこちから吹き出して行き詰まります。やめておいたほうがいいです。

うんざりはちべえさんが、オリジナルな方法で、真剣に無限小を実数に組み込もうと思っていらっしゃるのであれば、
数学基礎論をひととおり勉強し、なかでもモデル理論について自信が持てるほどにしっかりと身につけ、
そうした武器を駆使した上でオリジナルの超実数について体系を構成していくべきです。
私たちは、通常、標準的なモデルの上で数学について語り合っています。
いま、うんざりはちべえさんは、標準的なモデルの上で、Δを持ち出していらっしゃいますが、これは不毛です。標準的なモデルにはおっしゃるような概念のつけいる隙はありません。

ですので、「私はこのように無限小を捉えたい」というのであれば、
全く新しい非標準的なモデルの上での数の体系を創造しなければなりません。
これは、素人には無理な話です。
テキトーにやろうとすると失敗するので、厳密なやり方をまずは学ぶ必要があるのです。たぶん、大学院レベル。

なお、新しいモデルの上で無限小を定式化し実数の体系を補完し新しい数の体系を生み出した事例は既に *複数* 、存在していますが、
そうしたなかには、1=0.999…を是とした体系も、1>0.999…を是とした体系も、ともにあるのだそうですよ。
どれが正解だ、という問いは存在せず、「かくかくしかじかの手法で数の体系を構築したら、こうなった、おもろい。」でしかないのです。
重ねて申し上げますが、標準的なモデルでの上での実数体を前提としている、大概の数学掲示板では、1=0.999……が真です。
これが偽だといいはじめると、おそらく会話がうまくいきません。

「だったら新しい体系を建設してもってきてね、数学基礎論の言葉で各種の述語を定義して、公理・定理の連鎖でもって、実数体の拡張をしてみてくださいね」としか、反応できませんよね。

※たしか、ロビンソン流の超準解析でも、1=0.999……だった気がしますが、不勉強の私ですから眉唾ですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

調査での不一致

円周率π(3.141592・・・)
に現れる数字0~9が何個出現するのかを調査していて(先頭の3も含む。)
全部で10^n個中の特に"6"の数字についての調査結果で
n=1->1
n=2->9
n=3->94
n=4->1021
n=5->10028
n=6->99548
n=7->999337
・・・・・・・・・・・・・・
n=12->99999807503

までの結果がOEISのA099297に載せてある。
他にも数字"0","1",・・・,"9"
などのデータも他の項目で載っているのだが、この"6"のn=5での数字だけが
自分の調査では10028は10029となってしまいこれと一致しなかった。
(他の数字はピタリなのでやり方は間違っていないと思うのですが
何方か、この数字を確認して頂けませんでしょうか?)

引用して返信編集・削除(未編集)

GAIさんによる御指摘の真偽を判定するには至りませんでしたけれども、少なくとも OEIS に誤植があろうことは確実と思われます。

実際に検算いたしますと、
A099291[5]+A099292[5]+A099293[5]+A099294[5]+A099295[5]+A099296[5]+A099297[5]+A099298[5]+A099299[5]+A099300[5]=
9999 +10137 +9908 +10025 +9971 +10026 +10028 +10025 +9978 +9902
=99999
となりまして
OEISが無矛盾であるときに期待される値である100000に1足りません。
GAIさんによる御提起に状況証拠となるやもしれません。

引用して返信編集・削除(未編集)

↓こちらで解決済みだと思います。
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1309.html

引用して返信編集・削除(未編集)

あら!
近ごろ記憶障害が起き出しているのかも。
随分前に記録していたノートのメモを読み返していたら、この部分についての ”どうして違うのだろう?”
というコメントを残して居ったので、つい以前投稿していたことを全く忘れており再び投稿してしまった次第です。
お恥ずかしい。(先頭の3はカウントに入れるの間違いも犯していました。3は入れないが正しいです。)
ノートに投稿済みとメモを追加しておきました。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月30日 06:49)

数の表現ー続き

スレッドに追加できないと表示されましたので、新規にしました。

DD++様、おはようございます。

>はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。

私としましては、自然数の2乗の逆数の和を求めるバーゼル問題は、有理数の四則演算なので、有理数で閉じているから、無限であっても、有理数のはずです。オイラーが、π^2/6と求めたのが、間違いであろうと思います。
ですから、当然、オイラー積も有理数で閉じていますから間違いで、リーマンのζ関数も間違いです。
と、私は思っています。

>で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう?

0.999・・・のあとに、どれだけ9をつけたしても、小数点は、移動しません。また、末位で、9の次の記号が必要になったら、桁上がりの連鎖がおきて、1になります。小数点は、移動しません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月26日 07:37)

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。
はじめまして。

おしゃっていることが、レベルが高すぎて、理解できません。

引用して返信編集・削除(未編集)

No.254の有理数進数では、無理数を表せないと修正します。

引用して返信編集・削除(未編集)

> 有理数の四則演算なので、有理数で閉じているから、無限であっても、有理数のはずです。

なるほど、ではその証明をどうぞ。
四則演算一般でなく和の場合のみ、すなわち「有理数の総和は有理数である」という命題だけで構いません。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、遅れてすみません。24時間に20投稿という制限がありました。うっかりです。

これで、どうでしょう?

有理数と有理数の和が有理数であることを証明する。
数学的帰納法を使う。

a0/b0を初項とする。有理数である。
これに、a1/b1をたすと、
a0/b0+a1/b1=(b1a0+b0a1)/(b1b0)
であり、右辺は有理数である。

a0/b0からan/bnまでを足しても有理数cn/dnだったとする。
さて、これに、a(n+1)/b(n+1)を加えると、
cn/dn + a(n+1)/b(n+1) = {b(n+1) cn+dn a(n+1)}/{dn b(n+1)}
右辺は有理数である。

よって、数学的帰納法によって、証明された。

ちょっと、雑ですが、お許しください。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月26日 16:36)

数学的帰納法は、任意の自然数nについてある条件が成立することを示す証明法です。
つまり、はちべえさんがここで証明した命題は正しくは「任意の自然数nについて任意のn個の有理数の総和は有理数となる」という命題です。

確かにこれで、個数が100個であろうが1万個であろうが、有理数のみからなる総和は有理数であることが保証されました。
しかし、数学的帰納法を用いた以上、そこには【その個数が自然数として表現できる限りは】という制約がついてきます。

無限は残念ながら自然数ではありませんね。
したがってこの証明では有理数のみからなる無限和が有理数になるかどうかは実は不明なままなんです。
無限和でも有理数だと主張したいのであれば、個数が自然数でなくても適用できる証明をしなくてはなりませんが、さて、どうでしょう?

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、おはようございます。

>無限和でも有理数だと主張したいのであれば、個数が自然数でなくても適用できる証明をしなくてはなりませんが、さて、どうでしょう?

困りました。

そこで、世間では、どうしているのだろうと、みると、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
の「収束することの証明」では、無邪気に無限までなんの説明もなく、やっています。

まあ、参考にはなりませんね。困りました。いい案ないですかね?

ところで、放送大学の「初歩からの数学」で、有理数には、循環する無限小数はふくまれ、循環しない無限小数は無理数だと習いました。循環する無限小数は、例えば、1÷7ですが、あまりが循環するので、循環する無限小数となるのです。ところが、0.999・・・は、無限小数ですが、あまりはありません。つまり、あまりが循環する循環小数では、ないのです。したがって、無理数です。1は有理数で、0.999・・・は、無理数で、等号で結べませんと思います。

引用して返信編集・削除(未編集)

世間一般では、「0.999・・・」は循環小数だと思うのですが、うんざりはちべえさんはそう考えないわけですね?

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人さん、おはようございます。

いつもご迷惑おかけします。

さて、0.999・・・は、ただ9を並べただけで、9が連続する(循環する)理由がないですよね。見かけは、循環しているように見えますが、ちがいますよね。
1÷7は、あまりが循環するから、循環小数になり、無限小数になります。

循環する根拠(理由)は、いりませんか?

引用して返信編集・削除(未編集)

1÷1を計算すれば、9が連続しませんか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 14:19)

1÷1=1で、長さ0の有限小数です。あまり、0です。

もしかして、
0.9999
1)1
  10
   9
  --------
    10
    9
   ------
    10
     9
    -------
     10
     9
を言ってます?あまり1で循環させることもできます・・・
昔の同僚が、学校の数学の先生から1=0.999・・・の証明として、説明されたと言ってました。

これで、1=0.999・・・は、終わりにしますか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 11:33)

> 困りました。いい案ないですかね?

ありません。なぜなら、実際には無限和の場合この命題は偽だからです。反例の1つがまさにバーゼル問題です。

同様に、交換法則、結合法則等も無限和においては成立せず、それどころか同じ内容の式であれば何回計算しても常に同じ答えになることすら保証されません。

もちろん、9を付け足していくという操作に関しても、有限回であれば当たり前のことが無限回で成り立つかどうかは逐一証明が必要です。
9を付け足しているだけでは繰り上がりが起こらない……本当に無限回でもそうですか?
というのが最初に私が指摘した内容です。

引用して返信編集・削除(未編集)

「あまり1で循環させることもできます・・・」とのことですが、どうするのでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

宇宙人との接触に成功し懸命に文化・学問の交流を試みはじめていました。
この宇宙人とのあいだで、地球の数学概念・数学記号について対話しています。
宇宙人側は万能翻訳機に近いものを持ってはいたのですが……
対話のなかで
不等号についてはすぐに宇宙人にご理解いただけました。
ところが等号についてはなかなかご理解いただけていません。

宇宙人側にとって、
1=0.999999……
がどうやら難関のようです。

十進の有限小数の範囲までなら等号の意味を理解はしてもらってはいるのですけれども。

そんなある日のこと、地球側の小さな子ども(ジョン)が、宇宙人の子ども(名前不明)と話はじめました。

ジョン
「あのねえ
A=B
について説明するよ。
もひとつなんでもいいから十進の有限小数となるCをもってくる。
A<C 
B<C 
がともになりたつか
A>C 
B>C 
がともになりたつかの、
どちらかがどんなCについても必ずいえるとき
A=B
というんだよ。 」

名無し(宇宙人の子)
「なあんだ、地球の等号って、そういうことなのか、悩んで損したなあ」

子どもたちの会話を聞いていた大人たちは喜びました。
地球の十進無限小数の概念が伝わった瞬間でした。

※あとでわかったことですが宇宙人の数学での数の表現は連分数展開を基調とするものだったのでした。


―――

という例えばなしはいかがでしょうか?

十進の有限小数の全体の集合をデデキントっぽく切断して十進の無限小数(循環小数または無理数)に拡大するというお伽噺です。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、こんにちは。

無限では、情報はなくなるという理解でいいのでしょうか?

管理人様、こんにちは。

>「あまり1で循環させることもできます・・・」とのことですが、どうするのでしょうか?

管理人様の1÷1のことです。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんにちは。

難しいお話ですが、お手数をおかけして、申しわけございません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 12:23)

具体的にどう計算するのかを知りたいのですが…。

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人様、No.275です。
 --------
1)1
で、あまり1として、
  0.9
 --------
1)10
   9
  -----
   1
とあまり1にするのです。
  0.99
 --------
1)10
   9
  -----
   10
    9
   ------
    1
とあまり1にするのです。
もう説明不要でしょう?

もちろん、
  1
 -------
1)1
  1
  ----
  0
ですけどね。だから、1=0.999・・・となります。

もちろん、これは、方便に過ぎないと思いますが、あまり1で循環する無限小数となります。有理数になります。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 14:04)

1÷1で、あまり1が続く計算から、0.999…が循環小数であることを示されたわけですが、
このことは今まで言われていたことに矛盾しませんか?

引用して返信編集・削除(未編集)

0.999・・・は、無理数です。循環小数とする根拠がありませんからね。

この1÷1は、あくまで、方便です。0.999・・・を作るのに、インチキしてますからね。

1=0.999・・・を終わらせる方便です。管理人様の発案を利用しただけです。

この議論は、終わりにしないと、管理人様にもいつまでも迷惑をおかけし、他の人にも迷惑だと思いました。

本当は、これから、0.999・・・は、循環小数かという議論が、したかったのですが・・・。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0
には、0.999・・・は、循環小数と書かれています。

勝手な行動ばかりで、管理人様には、本当にすみません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 15:46)

「情報が失われる」という数学的用語は私が知る限り存在しませんが、それを「演算について閉じなくなる」と同じ意味で用いているのであれば、そうです、無限の場合にはそうなることがあります。
また、そうならない場合でも、無限の場合でも適用可能な証明をするまでは断言することはできません。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、おはようございます。

>なぜなら、実際には無限和の場合この命題は偽だからです。反例の1つがまさにバーゼル問題です。

このことから、
0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
は、無理数であるとなりますね。

DD++様の
>「情報が失われる」という数学的用語は私が知る限り存在しませんが、それを「演算について閉じなくなる」と同じ意味で用いているのであれば、そうです、無限の場合にはそうなることがあります。

は、理解できました。

>また、そうならない場合でも、無限の場合でも適用可能な証明をするまでは断言することはできません。

は、注意しておきます。

ありがとうございます。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月29日 10:49)

勘違いなのかな?

https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue
内の記事で

Dirichlet's theorem says there are an infinite number of primes of this form. 2521 is the smallest,
and indeed 1^2 ≡ 1, 1046^2 ≡ 2, 123^2 ≡ 3, 2^2 ≡ 4, 643^2 ≡ 5, 87^2 ≡ 6, 668^2 ≡ 7, 429^2 ≡ 8, 3^2 ≡ 9, and 529^2 ≡ 10 (mod 2521).

の内容を見る。

そこでこれを確かめていたら
素数2351に置いて(mod 2351)では
1^2 ≡ 1
480^2 ≡ 2
84^2 ≡ 3
2^2 ≡ 4
97^2 ≡ 5
353^2 ≡ 6
684^2 ≡ 7
960^2 ≡ 8
3^2 ≡ 9
460^2 ≡ 10
898^2 ≡ 11
168^2 ≡ 12
13は存在しない。
820^2 ≡ 14
1095^2 ≡ 15
4^2 ≡ 16
17は存在しない。

また10までの連続と限定しても素数2399では
(mod 2399)では
1^2 ≡ 1
49^2 ≡ 2
541^2 ≡ 3
2^2 ≡ 4
427^2 ≡ 5
120^2 ≡ 6
1157^2 ≡ 7
98^2 ≡ 8
3^2 ≡ 9
668^2 ≡ 10
11は存在しない。
1082^2 ≡ 12

が存在するのでsmallest 2521 は相応しくないのでは?
解釈が間違っていたらご指摘下さい。

引用して返信編集・削除(未編集)

「p≡1 (mod 8), (mod 12), (mod 5), (mod 28)のとき・・・であるが、それを満たす最小の素数は2521」
と言っているのでは?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月27日 19:31)

数の表現

数の表現について
2≡1,9999…(無限)≡4/2≡√4など、
log3(4)、√3は、無理数、
無理数^無理数=√3^log3(4)(底が3)

=3^log3(2)≡2
異なるタイプの表現募集。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月23日 15:16)

最近、 -1=・・・999 という表記に触れ、不思議さを感じました。

引用して返信編集・削除(未編集)

表現というのは、違和感ありますね。まだ計算の途中みたいな、
同等になるということですか。
4sin(pai/4)cos(pai/4) も同等ですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

0.999…=1は、厳密には、極限の問題ですが、
x =0.9999…とおいて、10倍して
10x=9.999…=9+0.999…=9+x より
9x=9 つまり、x=1が気に入ってます。

引用して返信編集・削除(未編集)

ちょっとKS様の計算に疑問ですが、

x=aとする。
 nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、
x=a

さて、ここで、a=0.9999・・・・,n=10を代入すると、 

 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x= 9 ✕ 0.9999・・・ なお右辺の✕は掛け算のかけるという記号です。
両辺を10-1でわると、
x=0.999・・・・

となりませんか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月24日 08:17)

管理人さんのコメントに対してですが、、代数学的に、x=aは、10倍して、引いても、x=aなのです。

ですから、よく説明される
 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
両辺を10-1でわると、
x=1
なんて、真っ赤な嘘です。
代数学的結論を否定するこの計算はおかしいのです。

別のはなしで説明すると、
x=1-0.1=0.9 とする。
 10x= 9
-) x= 0.9
9x= 8.1
x=0.9

x=1-0.01=0.99とする。
 10x= 9.9
-) x= 0.99
9x= 8.91
x=0.99

x=1-0.001=0.999とする。
 10x= 9.99
-) x= 0.999
9x= 8.991
x=0.999

同 様にして、x=1-10^(-n)とすると、{ x=0.9999・・・・であるが}
 10x=10{1-10^(-n)}
-) x= 1-10^(-n)
9x= 9-10 10^(-n)+10^(-n)
9x= 9-9 10^(-n)
x= 1-10^(-n)

よって、10^(-n)>0であるから、{ 10^(-n)においてnは無限大であるから、10^(-n) は無限小である。}
x<1
つまり、
x≠1

ここで、もし、10^(-n)=0とすると、{もし、10^(-n)=0 つまり、無限小は0であるなら}
x= 1-10^(-n)=1 つまり、x=1であり、x=0.9999・・・・とはならない。

無限小を使ってもだめである。

私は、0.999・・・=1は、間違いだと思います。

引用して返信編集・削除(未編集)

1/3は、0.333・・・・となるということをよく考えると、1÷3はあ まりが出てきて、0.333・・・・・と、あまり0.0・・・・1ですね。無限に3が続くということは、あまりが無限に続くということです。あまりが、な くなったら、3は終わりです。ところが、0.333・・・・は、あまりがいらない、なくなると言っているのです。

したがって、1/3≠0.333・・・です。両辺を3倍するにしても、左辺は1ですが、小数計算は末位からするのが、規則ですが、そこを無理やり、3倍しても0.999・・・ですが、1/3✕3=1≠0.999・・・となり、1≠0.999・・・です。


また、ε-δ法は、実数なら、使えるかもしれないが、10進数では使えないのである。

数直線で考えると、ε-δ法でできたとなるが、10進数で、0.999・・・をいくら1に近づけようと9を増やしても、0.999・・・でしかない のです。

なぜなら、0.999・・・・の9を使い果たしたら、桁上がりして1になるのであるからです。

9を使い果たすということは、0.0・・・・1がなければありえないのです。したがって、ε-δ法では、どこまで行っても0.999・・・に過ぎ ないのです。

0.999・・・=1の問題は10進数の問題であるから、明らかに、0.999・・・<1なのです。

引用して返信編集・削除(未編集)

極限なら、0.999・・・はほぼ1でしょう。
しかし、等号で、結ぶことは、できません。

引用して返信編集・削除(未編集)

100歩譲りましょう。

NHK のBSPでみた「コ ズミック フロント「相対論vs.量子論 事象の地平線と“異次元のダンス”」から思いました。

車いすの天才・ホーキング博士が提示した「ブラックホール情報パラドックス」で、ブラックホールは熱を出して、縮み消滅し、すべての情報は失われるといったの に、量子力学者たちは、情報は無くならないといい、論争になり、何年もかかって、超弦理論で、情報は無くならないと結論が出たのです。

さ て、自然数、1,2,3,・・・・と無限までゆくとします。偶数は、2nで、奇 数は2n+1です。では、無限大は、偶数ですか、奇数ですか?ととわれると、無限大は、どちらかわからないので、偶数でも、奇数でもないという説明では間 違っていると思います。

無限では、バーゼル問題でも、有理数(分数)は、四則演算で、有理数で閉じているのに、π^2/6という無理数になっているのです。

有理数で閉じているものが、無限で、無理数になるということは、有理数という情報が無限でなくなっているのです。

無限では、情報はなくなるのです。

ですから、自然数から派生した無限大も自然数もそういう情報なので、無限大は、情報がなくなって、自然数というこ ともありませんし、 無理数かもしれないし、虚数かもしれないし、複素数かもしれないし、これまでの概念を超えたものかもしれなくなるということです。そうなると、大小関係(情報)もなくなるということです。

ということにすれば、1/3=0.333・・・・となるのです。

(でも、これには根拠がありません。無理数、あるいは複素数かもしれませんから・・・・)

引用して返信編集・削除(未編集)

10進数について、注意書きをします。
10進数は、10個の記号をつかいます。0,1,2,3,4,5,6,7,8,9です。
記号を使い果たしたら、桁上がりします。つまり、9の次が必要にならないと、桁上がりしません。

0.999・・・と9を無限に並べても、9の次の記号が必要にならない限り、桁上がりは起きず、1にはなりません。

引用して返信編集・削除(未編集)

もし、超弦理論ででた結論で、無限でも情報が無くならないとすると、

√2は、
√2=1.414213562373095・・・
なので、桁ごとに表すと、次のようになります。
=1+4/10+1/10^2-+4/10^3-+2/10^4-+1/10^5-+3/10^6-+5/10^7-+6/10^8-+2/10^9-+・・・・
さて、右辺は、有理数の四則演算なので、有理数で閉じていますから、無限であっても有理数のはずです。
したがって、10進小数はすべて、有理数となるはずです。
つまり、10進小数は、無理数を含まない、すなわち、10進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか?
当然、2進数でも、桁ごとに表せば、有理数の四則演算なので、有理数で閉じていますから、無限であっても有理数のはずです。したがって、2進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか?
同様にして、自然数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか?
同様にして、有理数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか?

結論として、有理数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月25日 17:01)

うんざりはちべえさん、ご投稿ありがとうございます。うんざりはちべえさんの計算で
10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
 9x= 9×0.9999・・・
がよく分かりません。9.999・・・から0.999・・・を引いたら、9になると思うのですが、なぜ、
「9×0.999・・・」という書き方になるのでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人さん、ご迷惑おかけします。連投しましたことをお許しください。

管理人さんの質問ですが、それは、次の代数式の計算に当てはめているからです。
x=aとする。
 nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、
x=a

引用して返信編集・削除(未編集)

仮定が「x=aとする。」で、結論が「x=a」では、何も計算していないことにならないで
しょうか?うんざりはちべえさんの計算の真意は?

引用して返信編集・削除(未編集)

Komornik-Loreti 定数 というのがありまして、定義や、どんな数値になるのかについてを OEISの
「A055060」で参照できます。
今回はこの定数を q で表すこととします。
さて『1 の q進表現』を考えますと、1 = 0.11010011001011010010110011010011…
となりまして、この数は Thue-Morse 列 となります。

Thue-Morse 列につきましては、http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1053.html
に色々な関連事項が記載されています。

引用して返信編集・削除(未編集)

そも管理人さんが見たのは「……999=-1」なんですよね?
これは「0.999……=1」とは全く別の等式なわけですが議論が明後日の方向にすっ飛んでませんかね。
(前者は解析接続の話、後者は極限の話)

引用して返信編集・削除(未編集)

また、はちべえさんの論理に対して指摘を1つ。
はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。
で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう?

引用して返信編集・削除(未編集)

管理人さん、私は、
 10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
両辺を10-1でわると、
x=1

この計算の、10倍したものから引いて、0.999・・・が消えるという計算に疑問があったのです。
0.999・・・を桁移動しても、無限だから、小数部が、変わらないということを代数計算で、否定したのです。

少なくとも、小数計算は、原則として末位から行うもので、無限だから、末位はありえないので、この計算はできないと指摘しているWebもあります。

それもあったので、代数計算でやってみたら、x=aは、n倍して引いても、x=aであり、aの小数計算が不要であることが、示されました。

引用して返信編集・削除(未編集)

DD++様、はじめまして。

>はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。

これは、どこの話でしょうか?たくさん連投したもので、すみません。
バーゼル問題でしょうか?

>で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう?

これも、どこの話でしょうか?ひらめきが悪くてすみません。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月25日 20:17)

上はバーゼル問題のところの話ですね。
単なるはちべえさんの理解の確認程度です。

下はNo253の話です。

引用して返信編集・削除(未編集)

1 の値についての十進表現として自明な 1 と非自明な 0.99999… とがあることについて話題になっているようですね。
実のところ、1 の値について 2 通りの十進表現を許容することが標準的なモデルとなっていますのでなんら問題なしとしたいところではあります。

十進に限らなければ、たったの2通りでは済まないこともありえます。

黄金比を q で表すこととします。
ここで『1 の q進表現』についてさまざまな表現を列挙したく存じます。

いま、表現の循環部を()で囲むことといたします。
注:10進表現で()の使い方わ例示しますと、
1/3=0.(3)
ですし、
1/7=0.(142857)
とします。
本当は循環部の始めと終わりの桁の数字の上に「・」を書きたいのですが、今回は諦めることとし、()で代用します。

話を戻します。1の黄金比進表現をいくつか並べます。

1
1.(0) →無限小数
0.(10) →無限小数
0.11
0.1011
0.101011

この他にも多数あります。(上の例では可算無限個の表現がありますね)

以上、十進に限らなければ、たったの2通りでは済まないこともありえる、というお話をしました。

なお、前回に投稿した Komornik-Loreti 定数を基数とした表現を取りますと、1 の値の表現として非自明なものは、投稿済みのあの表現のたったの1個しかないそうです。

もっと驚くべきは、 基数を上手に選べば、1の値の表現が【非】可算無限個存在することもある、という……

以上は
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
を参考にしております。

引用して返信編集・削除(未編集)

複素数の底力

「円円Oに内接する四角形ABCDでAC⊥BDのとき、対角線の交点Pを通る線分LがCDと垂直のとき、LとABとの交点MはABの中点である。」
ブラマグプタの定理と円に内接してなくても似た定理が成り立つ。
「PA=PD,PB=PCのとき、四角形ABCDでAC⊥BDのとき、対角線の交点Pを通る線分LがCDと垂直のとき、LとABとの交点MはABの中点である。」
Pを原点とし、A(α)、B(β)とおくと、PA,PBを回転し、
C(βi)、D(-αi)、M((α+β)/2)と置くことができる。
CD方向は、(β+α)iなので、PMは、CDの垂直である。
この結果を、使って、ABCDが円に内接する場合は、
PA,PBの直線上に、PA’=PD,PB’=PCとなるようにA’、B’をとれば、
A’、B’の中点M’とすれば、PM’は、CDと垂直になる。
一方、△PAB∽△PDCなので、PA/PD=PB/PC
PA/PA’=PB/PB’である。
△PAB∽△PA’B’ つまり、ABとA’B’平行であるので、
直線PM’は、ABの中点Mを通る。

引用して返信編集・削除(未編集)

素数の問題

ありがとうございます。
素数の和の問題は、反例が、まだ、見つかりません。
うまい探索法が、見つかれば、いいですけど。
他に、「素数Pと2Pの間にある、素数の個数は、増加関数である。」
は直ぐに見つかりました。
「P+1の素因数の種類は、2を除くと、たかだか、3種類以下である」
これも、今、見つかりました。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月22日 11:12)

素数の問題

5以上の素数は、二つの素数の奇素数の和から、1を引いて表せる。
例えば、5=3+3-1、7=3+5-1など
反例がみつかりますか?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月17日 17:09)

「3以上」でよいと思います。

引用して返信編集・削除(未編集)

「素数の奇素数」の意味がよくわかりません(素数番目の奇素数とかのタイポかなあと思いますが)が、
仮に奇素数を全部使ってよい場合でさえ「3以上」だと3が反例になるのでは?

引用して返信編集・削除(未編集)

あ、奇素数だったんですね。失礼しました。

# というか、奇素数に限る必要はないと思いますけどね。

引用して返信編集・削除(未編集)

ksさんの問題の仮定に加えて、《その二つの奇素数のうち「少なくとも一つ」は「双子素数の片割れ」とすることができる。》

こちらには反例があるでしょうか。

5=3+3-1
7=3+5-1
11=5+7-1
13=3+11-1
17=7+11-1
19=7+13-1
23=11+13-1
29=13+17-1
……
このあたりまでは双子素数の片割れないし両方が右辺に顔を出すようにできるようです。

もっと左辺が大きい場合にはどうでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

確かに、3=2+2-1なのですが、2は、唯一偶数の素数で、
特別この時以外は、使わないので、奇素数+奇素数ー1の場合だけにしました。あと同時に、
姉妹編、5以上の奇素数は、奇素数+2のべき乗数で表せる
こちらは、すぐに見つかりました。最小数は?
謎の多い素数が、簡単な式で表せるほど、甘くはないと、
単純な式では、うまく反例があるとは思いますが。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月19日 10:00)

反例となる最小の奇素数は、127ですね!

引用して返信編集・削除(未編集)

ksさんからのコメント:
《5以上の素数は、二つの奇素数の和から、1を引いて表せる。》について、これに反例があるかどうかについては
ゴールドバッハ予想について参照すれば参考になろうかと存じます。

《その二つの奇素数のうち「少なくとも一つ」は「双子素数の片割れ」とすることができる。》に反例があるかどう
かについては 、OEISの「A295424」: Number of distinct twin primes which are in Goldbach partitions of 2n
が参考になります。

引用します。
”Conjecture. Further empirical examinations lead to a hypothesis that all even numbers n > 4 have at least 1 twin prime in GP(n).”

以上となります。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月22日 05:37)

理想数

整数Zでは、一意的に素数の積に分解されます。
拡大した、Z(√ー5)ω=√ー5とおく。
6=2×3=(1+ω)(1-ω)二通りの分解になる。
諦めないで、2=PP’、3=QQ’と素イデアルで分解すると、
(1+ω)=PQ、(1-ω)=P’Q’となり、
6=PQP’Q’ と一意的に分解される。アメージング!
P=(2,1+ω)、P’=(2,1-ω)
Q=(3,1+ω)、Q’=(3,1-ω)
PP’=(2,1+ω)(2,1-ω)
=(4,2ー2ω、2+2ω、6)
=(2)(2、1-ω、1+ω、3)
=(2)(1)=(2) 他も同様
他の二次体で、Zで素数の、素イデアル分解の例をご教授ください。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年09月21日 16:55)
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