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348,851

2/65 を぀の単䜍分数の和ずしお

2/65 を぀の単䜍分数の和ずしお衚珟する方法が䜕通りあるのかに぀いお皆さんに䌺いたいず存じたす。
twitter ずいう名前の぀いた枅濁䜵せ持぀ガンゞス川に、ドンブラコず流れおきた tweet に觊発された問いです。
なんずなくですが、少なくずも 5 通り以䞊はあるかもです。間違っおいたらごめんなさい。もっずありたすかね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

恒等匏
2/(a*(2*b -a)) = 1/(a*b) +1/(b*(2*b -a))
から 
(a, b) = (1, 33) or (5, 9) or (13, 9) or (65, 33)
の 4 通り。

䞊蚘に圓おはたらないもの。
2/65 = 1/35 +1/455

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月30日 00:35)

4通りに芋えたすが、代入するず
2/65=1/33+1/2145
2/65=1/45+1/117
2/65=1/117+1/45
2/65=1/2145+1/33
ずなりたすので2通りしかないですね。
他には
2/65=1/39+1/195
ず
2/65=1/65+1/65
があっお、蚈5通りです。

(远蚘)
恒等匏の分母にcを掛けお
2/(a*(2*b-a)*c)=1/(a*b*c)+1/(b*(2*b-a)*c)
ずすれば、
(a,b,c)=(1,33,1) → 2/65=1/33+1/2145
(a,b,c)=(1,7,5) → 2/65=1/35+1/455
(a,b,c)=(1,3,13) → 2/65=1/39+1/195
(a,b,c)=(5,9,1) → 2/65=1/45+1/117
(a,b,c)=(1,1,65) → 2/65=1/65+1/65
のように党解が出おきたすね。
ちなみに項の入れ替えは
(a,b,c)=(5,3,13) → 2/65=1/195+1/39
(a,b,c)=(13,7,5) → 2/65=1/455+1/35
(a,b,c)=(13,9,1) → 2/65=1/117+1/45
(a,b,c)=(65,33,1) → 2/65=1/2145+1/33
のようになりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月30日 01:00)

おおっ
EXCELLENT

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2/65 = 1/x + 1/y
より
2xy = 65x + 65y
すなわち
(2x-65)(2y-65) = 65^2

x, y の少なくずも䞀方は 65 以䞊であるこずから巊蟺が負の数同士の積になるこずはないので、
2x-65 =「65^2 の正の玄数」
を党お解いおいけば 5 çš® 9 個の解が埗られたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さん、ずおも栌奜いいです。感服したした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ヒッパルコスによる業瞟をもずに
プトレマむオスは 1 回垰幎の長さを
365 +1/4 -1/300 (単䜍は日数)
ずしおいたずのです。
゚ゞプト匏分数の流れを汲んでいた暡様で
敎数ず単䜍分数ずで衚珟しおいるのですね。
䜆し、䞀般に゚ゞプト分数では単䜍分数の和ずしおいるのに察しお、プトレマむオスによる回垰幎の長さでは、単䜍分数を枛算する操䜜を蚱しおいるようではありたす。

以䞊を螏たえたしお今回は円呚率(の近䌌倀)を自然数ず単䜍分数ずの加枛算で衚珟しおみたす。すなわち。

π ≈ 3 +1/7 -1/791

第二項たでで打ち切りたすず有名な有理数近䌌倀
22/7
ず等しく
第䞉項たでを蚈算したすずこれもたた有名な有理数近䌌倀
355/113
ず等しくなりたす。
面癜いこずです。

文献䞊では知られおいないだけで存倖、
3 +1/7 -1/791
は、ひょっずしお叀代でもあるいは知られおいたのではなかろうかず倢想しおみたくもなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎07月01日 21:30)

πの゚ゞプト匏分数による近䌌。
枛算を蚱さなければ以䞋のようになるず OEIS が教えおくれたした。 A001466

3+1/8+1/61+1/5020+1/128541455+1/162924332716605980+1/28783052231699298507846309644849796+1/871295615653899563300996782209332544845605756266650946342214549769447+     

月に宇宙船を着陞させたアポロ蚈画でも、蚈算には 3.1416 を䜿っおいたらしいので、工孊的な実甚䞊では 
3+1/8+1/61+1/5020
でも広い範囲で充分であるこずかず。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

やはり枛算を蚱したほうが《収束は速い》ようで。分母が倧きくなる速さが  

3 +1/7 -1/791 -1/3748629 +1/151648960887729 -1/1323497544567561138595307148089 +1/41444465282455711991644958522615049159671653083333293470875123 




OEIS A001467 より。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 以䞊を螏たえたしお今回は円呚率(の近䌌倀)を自然数ず単䜍分数ずの加枛算で衚珟しおみたす。すなわち。

> π ≈ 3 +1/7 -1/791

> 第二項たでで打ち切りたすず有名な有理数近䌌倀
> 22/7
> ず等しく
> 第䞉項たでを蚈算したすずこれもたた有名な有理数近䌌倀
> 355/113
> ず等しくなりたす。
> 面癜いこずです。

そこでいっそのこず
S=[1,1,1,7,-791,-3740526,1099482930,-2202719155,6600663644,-26413901692,96840976853,-496325469560,2346251883960,-44006595799206,]
ずしお
gp > for(n=4,14,print1(sum(k=1,n,1/S[k])","))
22/7,355/113,103993/33102,104348/33215,208341/66317,312689/99532,833719/265381,1146408/364913,4272943/1360120,5419351/1725033,80143857/25510582,
ず円呚率πの近䌌分数 (A002485/A002486)が䞊んでいける。(収束スピヌドは遅いが)
A006784には収束が速そうなものが茉っおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎07月03日 09:02)

■亀代玚数のように単䜍分数をかわるがわる足したり匕いたりをしお円呚率の近䌌倀を衚しおみたす。
※いくらでも項数の倚いものが䜜れるそうですがそこたでは  

π ≈ 3 +1/7 -1/784 +1/90160 -1/14155120 +1/5265704640 -1/2274784404480
= 1429289194723/454956880896 
≈ 3.14159265359

  が埗られたす。

■求め方
https://oeis.org/A061233
を参考にしたした。
PARI/gp を利甚したしたが、A061233 に曞かれおいるプログラムはよくわからなかったので以䞋のものを䜿いたした。

(PARI)? r=1/(4-Pi) ; for(n=1, 6, r=r/(r-floor(r)); print1(floor(r), ", "))

出力は
7, 112, 115, 157, 372, 432,
でした。
これから、次のようにしたす。

π ≈ 4 -1/1 +1/7 -1/(7*112) +1/(7*112*115) -1/(7*112*115*157) +1/(7*112*115*157*372) -1/(7*112*115*157*372*432)
= 3 +1/7 -1/784 +1/90160 -1/14155120 +1/5265704640 -1/2274784404480
= 1429289194723/454956880896 
≈ 3.14159265359

Android スマホ甚の PARI のアプリをみ぀けたのでお詊しに䜿いたくなり、䞊のように遊んでみたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎07月03日 15:19)

[1988] でも [1991] でも
亀代玚数の単䜍分数の䞀般項は定め難いものがありたす。

ずころが、ごく簡単な䞀般項を持ち埗るず知っお、PARI/GP で確認しおみたした。以䞋が察話です。↓↓↓

? \p 300
realprecision = 308 significant digits (300 digits displayed)

? A = 3 +sumalt(n=1,((-1)^(n+1))/(n*(n+1)*(2*n+1)))
%1 = 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127

? B = Pi - A
%2 = 0.E-307

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

このパタヌンは初めおみたした。確かに芚えやすい。
調べおみるず初めの3も含め
48*sumalt(n=0,(-1)^n/((6*n+1)*(6*n+3)*(6*n+5)))
によっおもπが構成されるみたいですね。

互い違いの力っお倧きいですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎07月04日 07:59)

GAI さん。
1/((6*n+1)*(6*n+3)*(6*n+5))
こちら、私、初芋です。
䞍思議な圢ですね  

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAI さん。
[1993] に関係したすけれども。

48*(1/(1*3*5)-1/(7*9*11)+1/(13*15*17)-1/(19*21*23)+1/(25*27*29)-1/(31*33*35)) -4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+1/13-1/15+1/17-1/19+1/21-1/23+1/25-1/27+1/29-1/31+1/33-1/35)
= 248269474984/4512611027925
≈ 0.0550168125388

項数を増やしおいくず、0 に収束する気配を感じたすが、蚌明ができないでおりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

48/((6k+1)(6k+3)(6k+5)) = { 6/(6k+1) - 6/(6k+3) + 6/(6k+5) } - 2/(2k+1)
ず倉圢すれば、これの亀代無限玚数が
6*(π/4) - 2*(π/4) = π
ず 2 組のラむプニッツ玚数で蚈算できたすね。
それぞれの玚数は絶察収束するわけではないので、取り扱いに少し泚意が必芁ですが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++ さん。
ありがずうございたした

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> "DD++"さんが曞かれたした:
> 48/((6k+1)(6k+3)(6k+5)) = { 6/(6k+1) - 6/(6k+3) + 6/(6k+5) } - 2/(2k+1)
> ず倉圢すれば、これの亀代無限玚数が
> 6*(π/4) - 2*(π/4) = π
> ず 2 組のラむプニッツ玚数で蚈算できたすね。
> それぞれの玚数は絶察収束するわけではないので、取り扱いに少し泚意が必芁ですが。


どうやっお正圓化すればよいのかわからなかったので
f(x) = 6*arctan(x) -2*arctan(x^3)
をテヌラヌ展開しお項づ぀区切るこずで
なんずかなりそうず思いたした。

f(x) = (6*x-4*x^3+(6*x^5)/5)
-((6*x^7)/7-(4*x^9)/3+(6*x^11)/11)
+((6*x^13)/13-(4*x^15)/5+(6*x^17)/17)
-((6*x^19)/19-(4*x^21)/7+(6*x^23)/23)
+


= (6*x-(12*x^3)/3+(6*x^5)/5)
-((6*x^7)/7-(12*x^9)/9+(6*x^11)/11)
+((6*x^13)/13-(12*x^15)/15+(6*x^17)/17)
-((6*x^19)/19-(12*x^21)/21+(6*x^23)/23)
+



あずは、6*k+1, 6*k+3, 6*k+5
をうたく 䜿っおやっお敎理しおおいお
最埌に x=1 ずしおやりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そこが難しいずころで、玚数が絶察収束しないので、和の順序入れ替え䞍可なのです  。

マクロヌリン展開の第 n 項たでの和を䞍等匏評䟡し、挟み撃ちする感じになりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

同じものを含むものからの組合せ

2*n個のAず2*n個のBず2*n個のCから3*n個の文字を遞ぶ遞び方は䜕通り

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

個数制限なしで3皮類の文字から3*n個遞ぶ遞び方は、
3H[3*n]
=[3*n+2]C2
=(3*n+2)*(3*n+1)/2
通り。

その䞭で䞍適なものはどれか1皮類の文字が2n+1個以䞊になった堎合であり、
このずき残り2皮類の文字が2*n個を超えるこずはないので、
䞍適ずなる遞び方の数は、
3*{Σ[k=2n+13*n]2H[3*n-k]}
=3*{Σ[k=2n+13*n][3*n-k+1]C1}
=3*{Σ[k=2n+13*n](3*n-k+1)}
=3*{Σ[m=1n](n-m+1)}
=3*{Σ[m=1n](n+1) - Σ[m=1n]m}
=3*{(n+1)*n - n*(n+1)/2}
=3*n*(n+1)/2
通り。

よっお、2*n個のAず2*n個のBず2*n個のCから3*n個の文字を遞ぶ遞び方は、
(3*n+2)*(3*n+1)/2 - 3*n*(n+1)/2
=3*n^2+3*n+1
通り。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

A の個数で堎合分けしお、
(n+1) + (n+2) + (n+3) + 

 + 2n + (2n+1) + 2n + 

 + (n+2) + (n+1)
= (1/2)*n*(3n+1)*2 + (2n+1)
= 3n^2 + 3n + 1 通り

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2色で同様のこずをするず 2n+1 通りになるずいうこずは、
これを (n+1)^3 - n^3 ずいう匏から導きたいずいう䞻旚でしたかね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

4色の堎合 (16/3)n^3 + 8n^2 + (14/3)n + 1 通りっぜいので、
3 色たで (n+1)^k - n^k に䞀臎したのはただの偶然だったようです  ちょっず残念。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

4色の堎合 (16/3)n^3 + 8n^2 + (14/3)n + 1 通り
n=1なら19ですよね。
A,A,B,B,C,C,D,D
から3぀を遞ぶ方法は
[A,A,B],[A,A,C].[A,A,D]
同様に[B,B,*],[C,C,*],[D,D,*]型で12通り
埌は4C3=4通りで
蚈16通りしか䜜れないんではないかず思われるんですが埌3通りは䜕ですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

4色の堎合は
(23/6)n^3+7n^2+(25/6)n+1
でしょうか。

(远蚘)
䞀般にk色のずき
(k)H(3n)-(k)H(n-1)×k
=(3n+k-1)C(k-1)-(n+k-2)C(k-1)×k
ずなり、
2色: n+1
3色: 3n^2+3n+1
4色: (23/6)n^3+7n^2+(25/6)n+1
5色: (19/6)n^4+10n^3+(65/6)n^2+5n+1
・・・
のようになるず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎07月15日 00:37)

元の問題の「6n個から3n個取る」を「ちょうど半分取る」ず解釈しお、
4色の堎合は「8n個から4n個取る」で考えおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

皆さんが発芋された結果を䜿っお、次の事が成立するこずを6色たで確認できたした。
確認はしおいたせんが以䞋同様な蚀い換えで探せるものず思われたす。
3色では
-n≩a,b,c≩nで a+b+c==0 を満たす(a,b,c)の個数を求めるこずに同じ。

4色では
-n≩a,b,c,d≩nで a+b+c+d==n を満たす(a,b,c,d)の個数を求めるこずに同じ。

5色では
-n≩a,b,c,d,e≩nで a+b+c+d+e==2*n を満たす(a,b,c,d,e)の個数を求めるこずに同じ。

6色では
-n≩a,b,c,d,e,f≩nで a+b+c+d+e+f==3*n を満たす(a,b,c,d,e,f)の個数を求めるこずに同じ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> "DD++"さんが曞かれたした:
> 元の問題の「6n個から3n個取る」を「ちょうど半分取る」ず解釈しお、
> 4色の堎合は「8n個から4n個取る」で考えおいたす。

なるほどこの解釈でいくず
4色ではn=1,2,3,で
19,85,231,489,,(2*n+1)*(8*n^2+8*n+3)/3

5色では
51,381,1451,3951,,1 + 5*n*(n+1)*(23*n^2 + 23*n + 14)/12
ずなるわけですね。

この堎合だず
4色では
-n≩a,b,c,d≩n で a+b+c+d==0 を満たす(a,b,c,d)の組の個数

5色では
-n≩a,b,c,d,e≩n で a+b+c+d+e==0 を満たす(a,b,c,d,e)の組の個数
ず同等ずなる暡様です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(続)五面サむコロ

スレッド1055にあった五面サむコロですが、五面サむコロでは、䞋蚘のサむトには、正䞉角柱型のものず、双正五角錐反柱を曲面化したものがありたした。

https://oreore.red/polyhedron-dice-1-100

たた、䞋蚘のサむトには、正䞉角柱の察称性をもったものず、䞡端を削った正五角柱の鉛筆のような圢のものもありたした。

https://www.mathartfun.com/d357.html

それから、五面サむコロではありたせんが、正二十面䜓の各面に15が4面ず぀あるサむコロずか、十面ダむスの各面に15が2面ず぀あるサむコロずいうのもありたした。

https://item.rakuten.co.jp/headwear/50921/
https://item.rakuten.co.jp/headwear/51094/

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

自然数の埌に1か3か7か9をn個続けた玠数の話

1幎以䞊前の話ですが、ようやく1,3,7,9党郚もうこれ以䞊は無理ずいうずころたで調べ終わり、OEISに登録されたした。
m
1 A112386, A069568, A083747
3 A372056, A372262, A090584
7 A113076, A363922, A090464
9 A373859, A373201, A090465
䞀぀目は自然数Nの埌にmをn個n0続けた最小玠数
二぀目はそのnの倀
䞉぀目はn≧0の堎合のnの倀
いずれも決しお玠数にならないものは-1ずなっおいたす。
以䞊、報告たで。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

組合せ関数Cでの等匏

組合せ関数で成立する代衚的なものずしお
nC0+nC1+nC2++nCn=2^n
がある。
このサむトでも他のいろいろな等匏が成立するコヌナヌが確かあったような
印象があり探すも膚倧な内容を含んでいるので䜕凊だったか芋぀けられずなので
そこに玹介されおいるかも知れたせんが、色々ず䟋を䞊げおみたすので挑戊しお
芋お䞋さい。
nCkが含たれるず、私は盎感ではなかなか気が付けたせん。

(1)nが偶数のずき
nC0+nC2+nC4++nCn

(2)nが奇数のずき
nC0+nC2+nC4++nC[n-1]

(3)kの方を固定する
nCk+[n+1]Ck+[n+2]Ck++[n+m]Ck

(4)n,kを同時に倉化させる
nCk+[n-1]C[k-1]+[n-2]C[k-2]++[n-k]C0

(5)n,k,笊号を同時に倉化させる
2nC0-[2n-1]C1+[2n-2]C2-[2n-3]C3++(-1)^n*nCn

(6)2぀のC関数の積を組合わす
nC0*mCk+nC1*mC[k-1]+nC2*mC[k-2]++nCk*mC0

(7)2぀のC関数の積を笊号を亀互に組合わす
nC0*nCk-nC1*[n-1]S[k-1]+nC2*[n-2]C[k-2]-+(-1)^k*nCk*[n-k]C0

(8)Cに係数を付随させる
2nCn+2*[2n-1]Cn+2^2*[2n-2]Cn++2^n*nCn

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

http://shochandas.xsrv.jp/number/binomialcoefficient.htm
↑このペヌゞですね。
そしお
(1)ず(2)は䞊蚘ペヌゞの(6)
(3)は䞊蚘ペヌゞの(11)
(6)は䞊蚘ペヌゞの(16)
に盞圓したすね。
(4)(5)(7)(8)はなさそうでしたが、探し方が悪いだけかも知れたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

http://shochandas.xsrv.jp/number/binomialcoefficient.htm
のペヌゞを芋おきたした。

(5)は䞊蚘ペヌゞの(12)
(8)は䞊蚘ペヌゞの(13)
に盞圓したすね。


(4)は、䞊蚘ペヌゞの(11)の説明文のなかの
【(11)で、k=nのずきは、  「総和の公匏」ずも蚀われる。】
の郚分に曞かれおいる匏においおnにn-kを代入しおmにkを代入したものなので、答えは[n+1]Ck


(7)は、䞊蚘ペヌゞの(27)においお䞡蟺に(-1)^kをかけおnにn-kを代入しおmにnを代入したものなので、答えは(-1)^k*[k-1]Ck=0

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あら党郚既にアップされおいるんだ。

ここにないものを䜜っおみたした。
(1)aCb*cC0+[a+1]Cb*cC1+[a+2]Cb*cC2+[a+3]Cb*cC3++[a+k]Cb*cCk++[a+c]Cb*cCc
(ただしa≧b≧c≧0)

(2) aC0*sCa - aC1*[s-t]Ca + aC2*[s-2*t]Ca - aC3*[s-3*t]Ca + +(-1)^k*aCk*[s-k*t]Ca++(-1)^a*aCa*[s-a*t]Ca
(ただしa,s,t>0の敎数)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2/65を受けお

2/65=1/33+1/2145
=1/35+1/455
=1/39+1/195
=1/45+1/117
=1/65+1/65

ず2/65の分数が5通りも分解可胜であるこずから
䞀般にa,nを自然数ずしお
a/n=1/x+1/y (なおgcd(a,n)==1;x≩y;3≩n<100;2≩a≩n-1)ずなる自然数x,yが存圚する。
である分数a/nが最も倚くのパタヌンを持぀分数a/nは䜕か
たた
100≩n<1000の範囲なら䜕の分数か
を問う。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎07月02日 08:34)

倉圢するず
(ax-n)(ay-n)=n^2
ずなりaは小さいほうが良い解が倚くなるず思われたすのでa=2ずしたす。
するずnは奇数限定ですから、「玄数の倚い奇数」が良さそうです。
100未満で玄数が倚い奇数は45,63,75,99いずれもn^2の玄数は15個なので
おそらく2/45,2/63,2/75,2/99が解が倚い(解は(15+1)/2=8個)ず予想されたす。
同様に考えるず100以䞊1000未満では
3^3*5*7=945の玄数の個数が63で最倚
なので2/945が最倚解は(63+1)/2=32個ずなるこずが予想されたす。
その埌プログラムを䜜っお確認したずころ、確かにこれらが最倚でした。
さらに10000未満にするず
3^2*5*7*11=3465, 3^2*5*7*13=4095, 3^2*5*7*17=5355, 3^2*5*7*19=5985,
3^2*5*7*23=7245, 3^2*5*7*29=9135, 3^2*5*7*31=9765, 3^2*5*11*13=6435,
3^2*5*11*17=8415, 3^2*5*11*19=9405, 3^2*5*13*17=9945, 3^2*7*11*13=9009,
3*5^2*7*11=5775, 3*5^2*7*13=6825, 3*5^2*7*17=8925, 3*5^2*7*19=9975,
3*5*7^2*11=8085, 3*5*7^2*13=9555
(4+1)(2+1)^3=135
(135+1)/2=68
から
2/3465,2/4095,2/5355,2/5775,2/5985,2/6435,2/6825,2/7245,2/8085,
2/8415,2/8925,2/9009,2/9135,2/9405,2/9555,2/9765,2/9945,2/9975
の18通りで解が68個ずなるのが最倚、100000未満では
3^2*5*7*11*13=45045, 3^2*5*7*11*17=58905, 3^2*5*7*11*19=65835,
3^2*5*7*11*23=79695, 3^2*5*7*13*17=69615, 3^2*5*7*13*19=77805,
3^2*5*7*13*23=94185, 3*5^2*7*11*13=75075, 3*5^2*7*11*17=98175,
(4+1)(2+1)^4=405
(405+1)/2=203
から
2/45045,2/58905,2/65835,2/69615,2/75075,2/77805,2/79695,2/94185,2/98175
の9通りで解が203個ずなるのが最倚いずれも確認枈みですね。
(远蚘)
1000000未満では
3^2*5*7*11*13*17=765765, 3^2*5*7*11*13*19=855855
(4+1)(2+1)^5=1215
(1215+1)/2=608
から
2/765765,2/855855の2通りで解が608個ずなるのが最倚
ずなりそうですが、これは未確認です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎07月02日 15:44)

2/765765=1/x+1/y (x≩y)
を満たす[x,y]を調べおみたした。

M=[[765765], [382883, 293198400495], [382884, 97733055420], [382885, 58639986405], [382886, 41885813970], [382887, 32577940395], [382888, 26654748120], [382889, 22554076545], [382890, 19546917390], [382891, 17247325095], [382893, 13962193245], [382895, 11728303587], [382896, 10859568720], [382899, 8885171295], [382900, 8377469100], [382902, 7518280770], [382905, 6515894385], [382907, 5984015895], [382908, 5749363620], [382910, 5331255930], [382914, 4654319670], [382915, 4511121615], [382920, 3909689784], [382921, 3808149345], [382923, 3620111495], [382925, 3449771325], [382928, 3222339120], [382932, 2961979020], [382935, 2792744955], [382941, 2506348845], [382942, 2464231770], [382943, 2423506995], [382950, 2172220050], [382954, 2050718670], [382956, 1994927220], [382959, 1916709795],
[424710, 3887730], [425425, 3828825], [425799, 3798795], [425880, 3792360], [427245, 3687453], [427350, 3679650], [427635, 3658655],

[626535, 984555], [630630, 974610], [634270, 966042], [634865, 964665], [636480, 960960], [638495, 956403], [645150, 941850], [645645, 940797], [647955, 935935], [651508, 928620], [654381, 922845], [656370, 918918], [658944, 913920], [659022, 913770], [661045, 909909], [663663, 904995], [664020, 904332], [666666, 899470], [668745, 895713], [675495, 883883], [675675, 883575], [680680, 875160], [683298, 870870], [692835, 855855], [693420, 854964], [696150, 850850], [701415, 843115], [701505, 842985], [706095, 836451], [706860, 835380], [711620, 828828], [714714, 824670], [717145, 821457], [718263, 819995], [720720, 816816], [726495, 809523], [729729, 805545], [734825, 799425], [737919, 795795], [740520, 792792], [740740, 792540], [743886, 788970], [749190, 783090], [750057, 782145], [753984, 777920], [759330, 772310]]

#M=608
党郚をアップしようずしたら、10000字を越えたしたのでアップを䞭止したすの譊告が出たので途䞭ずいぶんの郚分を省略したした。

2/855855も確認したした。
総圓たりで怜玢しおいたのでこんな範囲たで考えが及びたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

その埌1000000未満では2/765765,2/855855の608個が最倚であるこずは確認できたした。
そしお぀いでに10000000未満も調べたした。10000000未満では
3*5*7*11*13*17*19=4849845, 3*5*7*11*13*17*23=5870865, 3*5*7*11*13*17*29=7402395,
3*5*7*11*13*17*31=7912905, 3*5*7*11*13*17*37=9444435, 3*5*7*11*13*19*23=6561555,
3*5*7*11*13*19*29=8273265, 3*5*7*11*13*19*31=8843835, 3*5*7*11*17*19*23=8580495
(2+1)^7=2187
(2187+1)/2=1094
3^4*5*7*11*13*17=6891885, 3^4*5*7*11*13*19=7702695, 3^4*5*7*11*13*23=9324315
(8+1)(2+1)^5=2187
(2187+1)/2=1094
から
2/4849845,2/5870865,2/6561555,2/6891885,2/7402395,2/7702695,
2/7912905,2/8273265,2/8580495,2/8843835,2/9324315,2/9444435
の12通りで解が1094個ずなるのが最倚確認枈みです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

頭をどう敎理すればいいのか

6月26日付けで投皿されおいた開成䞭孊の入詊問題の䞭に
 ぀のさいころを投げる。目の積がの倍数ずなる目の出方は䜕通りか。

を小孊生が挑戊する問題に感心しながら解答を読んで
同じ蚭定で、では目の積が6の倍数ずなる目の出方は䜕通りあるのかず
解答のやり方を参考にしながらあれこれ自分なりの匏を捏ね䞊げお
蚈算させおみたら正解ずずれおいるではないか。
正解ず思われる数はプログラムに頌っお出したものになりたす。

こんなのを小孊生が挑戊できるずいう違いがたず驚きです。
䜕方か最も効率よい手蚈算による求め方をご教授䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䜙事象が䜕通りなのかに぀いお包陀原理を䜿っお 321 通り。

∵
すべお奇数3^4 = 81
すべお3の倍数でない4^4 = 256
䞡方の条件を満たす1ず5のみ2^4 = 16
包陀原理により
䜙事象6の倍数にならない事象)の堎合の数は 321 通り。

党事象が 1296 通りなので求める事象(の倍数になる)の堎合の数は
975通り
  ず蚈算しおみたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

4の倍数バヌゞョンでの、管理人さんによる暡範解答ずは別の方法で。もしも私が小孊生に教えるならこうしたす。

䜙事象を考えるず
党郚奇数か
個が奇数で残りが2たたは6の目で。

6*6*6*6-(3*3*3*3+2*3*3*3+3*2*3*3+3*3*2*3+3*3*3*2) = 999

結局のずころ䜙事象を蚈算するほうが早いケヌスもある ず教えるず思うのですよね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月28日 10:12)

管理人さんの方法を参考にするなら次のような感じでしょうか。



◎぀のさいころを投げる。目の積がの倍数ずなる目の出方は䜕通りか。


少なくずも1個が"6"ならば、目の積は6の倍数なので、6^4-5^4=671通り

"3"が1個以䞊か぀("2"たたは"4")が1個以䞊ならば、目の積は6の倍数ずなる。
"6"がなく、"3"が1個、("2"たたは"4")が1個 
 4!/(1!1!2!)*1*2*2^2=96通り
"6"がなく、"3"が1個、("2"たたは"4")が2個 
 4!/(1!2!1!)*1*2^2*2=96通り
"6"がなく、"3"が1個、("2"たたは"4")が3個 
 4!/(1!3!)*1*2^3=32通り
"6"がなく、"3"が2個、("2"たたは"4")が1個 
 4!/(2!1!1!)*1^2*2*2=48通り
"6"がなく、"3"が2個、("2"たたは"4")が2個 
 4!/(2!2!)*1^2*2^2=24通り
"6"がなく、"3"が3個、("2"たたは"4")が1個 
 4!/(3!1!)*1^3*2=8通り

以䞊から、671+96+96+32+48+24+8=975通り


******


真ん䞭の蚈算量をもう少し枛らすず次のようになりたす。



◎぀のさいころを投げる。目の積がの倍数ずなる目の出方は䜕通りか。


少なくずも1個が"6"ならば、目の積は6の倍数なので、6^4-5^4=671通り

"3"が1個以䞊か぀("2"たたは"4")が1個以䞊ならば、目の積は6の倍数ずなる。
これは、"6"が1個も含たれない堎合のうち、
4個ずも"3"でない堎合ず4個ずも("2"たたは"4")でない堎合を陀倖し、
重耇しお陀倖しおいる4個ずも("1"たたは"5")である堎合を足しなおせばよいので、
5^4-4^4-3^4+2^4=304通り

以䞊から、671+304=975通り


\\\\\\



しかし、次の方法のがわかりやすいず思いたす。



◎぀のさいころを投げる。目の積がの倍数ずなる目の出方は䜕通りか。


目の積がの倍数ずならない目の出方を考える。
「4぀ずも奇数の堎合の数①」ず「4぀ずも3の倍数でない堎合の数②」の和から
「4぀ずも奇数でも3の倍数でもない堎合の数③」を匕けばよい。
①4぀ずも奇数であるずき 
 3^4=81通り
②4぀ずも3の倍数でないずき 
 4^4=256通り
③4぀ずも"1"たたは"5"になるずき 
 2^4=16通り
よっお、目の積がの倍数ずならない目の出方は、81+256-16=321通り

すべおの目の出方は 6^4=1296通り なので、
目の積がの倍数ずなる目の出方は
1296-321=975通り


------



もずの問題もこちらの方がわかりやすいかもしれたせん。



◎぀のさいころを投げる。目の積がの倍数ずなる目の出方は䜕通りか。


目の積がの倍数ずならない目の出方を考える。
①4぀ずも奇数になるずき 
 3^4=81通り
②3぀が奇数で残り1぀が"2"たたは"6"のずき 
 (4C1)*3^3*2=216通り

すべおの目の出方は 6^4=1296通り なので、
目の積がの倍数ずなる目の出方は
1296-81-216=999通り



++++++


ずここたで曞いた埌で、GAIさんの問いかけが、

> 䜕方か最も効率よい手蚈算による求め方をご教授䞋さい。

ずいうものであるこずに気づいた。

効率の悪い解答を曞いおしたったよ  。

でも、せっかく曞いたので党郚投皿しおおきたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

すべお奇数3^4 = 81
すべお3の倍数でない4^4 = 256
䞡方の条件を満たす1ず5のみ2^4 = 16
包陀原理により
䜙事象6の倍数にならない事象)の堎合の数は 321 通り

目の積がの倍数ずならない目の出方を考える。
「4぀ずも奇数の堎合の数①」ず「4぀ずも3の倍数でない堎合の数②」の和から
「4぀ずも奇数でも3の倍数でもない堎合の数③」を匕けばよい。
①4぀ずも奇数であるずき 
 3^4=81通り
②4぀ずも3の倍数でないずき 
 4^4=256通り
③4぀ずも"1"たたは"5"になるずき 
 2^4=16通り
よっお、目の積がの倍数ずならない目の出方は、81+256-16=321通り

お二人ずもよくこの効率良いアむデアにたどり぀けたすね
最初りらひいさんの様に盎接求めようずしお堎合いが結構沢山に分かれお行っおしたい、
頭の䞭がごちゃごちゃず混乱しお行きたした。
しかし䜙事象にあたる6の倍数になれないパタヌン数を䜜り出す蚈算匏が
こんなにもスッキリず捗るなんお思っおもいたせんでした。
みなさんのセンスを芋習っお粟進粟進。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

角の倧きさ37

これ、AB が盎埄ずいう条件も必芁なく、
・円に内接する六角圢の内角を 1 ぀おきに足すず 360°
・円に内接する六角圢の倖角を 1 ぀おきに足すず 180°
が成り立぀のではないかず思いたす。

有名な四角圢バヌゞョンずあわせお考えるず
・円に内接する 2n 角圢の内角を 1 ぀おきに足すず (n-1)*180°
・円に内接する 2n 角圢の倖角を 1 ぀おきに足すず 180°
ずなりそうですが  簡明な蚌明はあるでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

盎接関係は無いかもしれたせんが以前から気になっおいるこずがあり
曲率がどこも正である閉じた曲線C䞊で(曲率の倀は䞀定でなくおも構わない。)
任意の5点をずり
ある点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくず、䞭にダビデの星状の図圢が構成される。
その星圢の内郚を塗り朰すず、5個の頂点を持぀図圢ができる。
この時5぀の頂点の内角をすべお足すず180°ずなる。
同じく
C䞊に任意の6点をずり
ある点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくず、閉じた3角圢ができる。
続いお隣の点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくず、閉じた3角圢が再びできる。
そこで䞊の様に䞭を塗り朰せば今床は6぀の角をも぀星状の図圢ができる。
この時6぀の頂点の内角をすべお足すず360°ずなる。
以䞋同様に
C䞊に
任意の7点をずり
ある点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくず、7個の頂点を持぀星型図圢ができる。
この時7぀の頂点の内角をすべお足すず540°ずなる。
なお、2぀飛ばしで結んでいくず、その星圢図圢では7぀の頂点の内角をすべお足すず180°ずなる。
C䞊に
任意の8点をずり
ある点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくずを2床繰り返すず、8個の頂点を持぀星型図圢ができる。
この時8぀の頂点の内角をすべお足すず720°ずなる。

この様に䞀般に1぀飛ばしに結んでいくn角を持぀星状図圢で、そのすべおの内角の和をずれば
180*(n-4)°ずなる。(n>=5)

は成立するず思われるんですがどうでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月08日 09:10)

これ、本圓ですか

六角圢の内角をAからFずしお
A = 0.5 * (arc BF)
E = 0.5 * (arc FD)
C = 0.5 * (arc DB)
A + C + E = 0.5*(720°)
A+ C + E = 360°

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 六角圢の内角をAからFずしお
> A = 0.5 * (arc BF)
> E = 0.5 * (arc FD)
> C = 0.5 * (arc DB)
> A + C + E = 0.5*(720°)
> A+ C + E = 360°

B,D,Fも結んでください。
Aの内角は∠CAEの郚分ずなりたす。

䞉角圢ACEからA+C+E=180°
同じく
䞉角圢BDFからB+D+F=180°
よっお
A+B+C+D+E+F=360°
の意味ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月08日 09:22)

たじめに曞いおみたす。

『ある匧に察する䞭心角は、同䞀の匧の円呚角の2倍である』
ずいう定理においお、䞭心角が180°を超えおいおも成り立぀、ずしたす。これ本圓ですか

たず六角圢 ABCDEF に぀いおこれが円に内接するこずを芁請しおおきたす。この円の䞭心をOずしたす。
∠FAB を、匧BFの円呚角ずみなしたす。このずき匧は長い方、すなわち、C,D,E,を通過するほうの匧ずしたす。
∠FOB を、匧BFの䞭心角ずしたす。匧の定矩は先皋ず同じです。䞭心角は 180 °を超えるこずもありたす。
同様にしお ∠BCD, ∠DEF を円呚角ずみなしたす。たた、∠BOD, ∠DOF を䞭心角ずみなしたす。

぀の䞭心角の総和、∠FOB+∠BOD+∠DOF は、円を呚しおいるので720° ずなりたす。『ある匧に察する䞭心角は、同䞀の匧の円呚角の2倍である』ので察応する円呚角の総和である∠FAB+∠BCD+∠DEFは、720°の半分、すなわち360°ずなりたす。

《円に内接する六角圢の内角を 1 ぀おきに足すず 360°》ず蚀えるこずになるのではず。

2n角圢に぀いおも同様ではないかず

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞭心角を䜿えばそうなんですけど、「10 角圢のずきには 4 呚したすよね」ずいわれおも、䞀瞬「うヌんどうなんですかね」っおなりたせん
もっず盎感的にそりゃそうだわっおなる蚌明がないものかなあ、ず。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

こっちのほうが盎接的ですかね。

2n角圢が、円に内接しおいるので、各頂点ず円の䞭心ずの間に線分を補助線ずしお匕いおあげるず2n個の二等蟺䞉角圢があるこずになりたす。二等蟺䞉角圢ではふた぀の底角が等しいこずに泚意し、2n個ある頂角の角床の和は360°であるこずにも留意したす。もちろん各二等蟺䞉角圢の内角の和は180°です。

䞊からダむレクトに求める公匏が埗られるず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

むメヌゞが぀きやすいず思うので六角圢のケヌスを。

先の投皿に埓い6぀の二等蟺䞉角圢を䜜図したす。すなわち。
頂角がA,底角がaの二等蟺䞉角圢。
頂角がB,底角がbの二等蟺䞉角圢。
頂角がC,底角がcの二等蟺䞉角圢。
頂角がE,底角がdの二等蟺䞉角圢。
頂角がE,底角がeの二等蟺䞉角圢。
頂角がF,底角がfの二等蟺䞉角圢。

求めたい《ひず぀おきの内角の和》は
f+a+b+c+d+e
です。

すぐにわかるこずを䞊べるず
A+a+a=180°
B+b+b=180°
C+c+c=180°
D+d+d=180°
E+e+e=180°
F+f+f=180°
A+B+C+

+F=360°

䞊を敎理すれば
f+a+b+c+d+e=360°
が埗られたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月08日 14:11)

ああ、なるほど、二等蟺䞉角圢を䜜る方法がありたしたか。
これは確かに簡明。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

二等蟺䞉角圢を䜜った埌、「だから党内角の総和のピッタリ半分」ずいう方向に行けばもっずストレヌトですかね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1946にお。

> "GAI"さんが曞かれたした:
> 盎接関係は無いかもしれたせんが以前から気になっおいるこずがあり
> 曲率がどこも正である閉じた曲線C䞊で(曲率の倀は䞀定でなくおも構わない。)
> 任意の5点をずり
> ある点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくず、䞭にダビデの星状の図圢が構成される。
> その星圢の内郚を塗り朰すず、5個の頂点を持぀図圢ができる。
> この時5぀の頂点の内角をすべお足すず180°ずなる。
> 同じく
> C䞊に任意の6点をずり
> ある点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくず、閉じた3角圢ができる。
> 続いお隣の点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくず、閉じた3角圢が再びできる。
> そこで䞊の様に䞭を塗り朰せば今床は6぀の角をも぀星状の図圢ができる。
> この時6぀の頂点の内角をすべお足すず360°ずなる。
> 以䞋同様に
> C䞊に
> 任意の7点をずり
> ある点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくず、7個の頂点を持぀星型図圢ができる。
> この時7぀の頂点の内角をすべお足すず540°ずなる。
> なお、2぀飛ばしで結んでいくず、その星圢図圢では7぀の頂点の内角をすべお足すず180°ずなる。
> C䞊に
> 任意の8点をずり
> ある点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくずを2床繰り返すず、8個の頂点を持぀星型図圢ができる。
> この時8぀の頂点の内角をすべお足すず720°ずなる。

> この様に䞀般に1぀飛ばしに結んでいくn角を持぀星状図圢で、そのすべおの内角の和をずれば
> 180*(n-4)°ずなる。(n>=5)

> は成立するず思われるんですがどうでしょうか


↓↓↓↓
以䞋では n が奇数のずきのみを考えたす。(n>=5)
䞀぀おきに点を結ぶ䜜図により星型 n 角圢が生たれたものずしたす。すなわち、この星型 n 角圢の内郚に凞 n 角圢が䜜図されたものずしたす。(必ず凞になるかどうか わたしにはわかりたせんでした。倚分倧䞈倫)
このずきのみに぀いお以䞋のように考えたす。
・䞭にある凞 n 角圢の倖角の和は n によらず 360° です。
・凞 n 角圢の各蟺に䞉角圢が n 個ぶん䜜図されおいたす。これらの䞉角圢の内角の総和は n*180° です。
・求めたい角の総和は埌者から前者の倍を匕いたものです。
すなわち、 n*180 -720
よっお GAI さんによる予想
180*(n-4)° (n>=5)
は䞊蚘のように私が蚭定した匷い条件のもずでは正しそうです。
内郚に凞 n 角圢ができない堎合は私にはずおもずおも手が぀けられたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月12日 14:55)

n が偶数でも同じ理屈でしょっ、ず知人に即座に蚀われお愕然ずしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月12日 23:28)

倖角を䜿わない別解を教えおもらいたした。

n角圢の内角の和をS(n) ずしたす。
S(n) = 180°*(n-2)
(n>=5) のずきに求める星型の頂角の角床の和 T(n) は
T(n) = 2*S(n) -n*S(3) = 180°*(2*n -4) -n*180° = 180°*(n -4)

なるほど  

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAI さんがおっしゃるに。
> C䞊に 任意の7点をずりある点から1぀飛ばしに盎線を匕いおいくず、7個の頂点を持぀星型図圢ができる。
> その星圢図圢では7぀の頂点の内角をすべお足すず180°ずなる。


䞀般的に蚌明するにはどうしたらよいのか怜蚎が぀きたせん。内郚に7角圢ができおいればラッキヌなのですけれどもそうずも限りたせん。

なお、添付した参考図はいい加枛なので  ご了承ください。䞀点で3盎線が亀わるず嫌だなあずいう意味でしかありたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月24日 10:31)

蚌明らしきものを明日付でアップ予定です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

コヌヒヌブレむク

もんだい

台の機械で補品を䜜るず
分間で
個の補品が出来る。

では
台の機械を䜿っお
個の補品を䜜るには䜕分かかるか



こたえ 分間

䞀瞬、仕事算かな ず思わせる問題を
䞭孊受隓に出したら面癜いかも。。。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

凞倚面䜓

正倚面䜓は、五぀あるこずが、知られおいたす。
条件① すべおの面が合同 ② 党おの頂点の次数が同じ
条件を、緩めるず、他にもありたすね。
䞉角圢六枚で、六面䜓、①〇②×
サッカヌボヌルの圢フラヌレン①×②×
準正倚面䜓、正倚面䜓から切断で生たれるもの
䞉角圢だず、いく぀でも、倧きく぀くれるのでしょうか
無限にあるのでしょうかご教授ください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

すいたせん。
錘ず柱は、いく぀でも増やせたすね

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合蚈2432件 (投皿421, 返信2011)

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