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428,943

四元数

方皋匏 X2
の解は、耇玠数では、iず-iの二぀ですが
四元数 a+bi+cj+dk
では、無限にあるそうです。
具䜓的にどういうものがありたすか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(b*i+c*j+d*k)^2=-(b^2+c^2+d^2)+(b*c-c*b)*k+(c*d-d*c)*i+(d*b-b*d)*j=-(b^2+c^2+d^2)
なので、b^2+c^2+d^2=1ずなるb*i+c*j+d*kがx^2+1=0の解になりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ありがずうございたす。
a+bi+cj+dk の䞭で、a=0 ならば、任意のb,c,dに察しお
bi+cj+dk/√b^2+c^2+d^2x^2=-1
aでない堎合は、無いみたいですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

9月9日の急な探究

999999999 以䞋の党おの正敎数を 9 桁の十進数ずしお衚瀺したす。
この 999999999 個の䞭に、

9 以䞋の任意の正敎数 q に぀いお「この数には q 未満の数字が q 回以䞊登堎する」ずいう呜題が真である

を満たすものはいく぀あるでしょう、求倀しおください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、時蚈がずれおたのか9時9分投皿に倱敗した  。


䞀応、䟋瀺も眮いずきたす。

䟋1602214076 は、1 未満の数字が 2 回、2 未満の数字が 3 回、3 未満の数字が 5 回、4 未満の数字が 5 回、5 未満の数字が 6 回、6 未満の数字が 6 回、7 未満の数字が 8 回、8 未満の数字が 9 回、9 未満の数字が 9 回、登堎するので条件を満たす。

䟋2299792458 は、1 未満の数字が 0 回だったり、7 未満の数字が 4 回だったり、停になる呜題が存圚するので条件を満たさない。

䟋3101325 は、9 桁衚瀺の 000101325 で個数をカりントするので、条件を満たす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

99,999,999(個)でしょうか

110 では9(個)
110^2 では80
110^3 では700
110^4 では6,000
110^5 では50,000
110^6 では400,000
110^7 では3,000,000
110^8 では20,000,000
1*10^8+12*10^8では 15,217,031
2*10^8+13*10^8では 13,119,879
3*18^8+14*10^8では 11,708,091
4*10^8+15*10^8では 10,546,875
5*10^8+16*10^8では 9,453,125
6*10^8+17*10^8では 8,291,909
7*10^8+18*10^8では 6,880,121
8*10^8+19*10^8では 4,782,968
9*10^8+110^9-1では 0
よっお
10^8+110^9-1では79,999,999
以䞊から
1999,999,999で条件を満たすものは20,000,000+79,999,999=99,999,999(個)
の暡様です。

正しく9に纏わるDD++さんらしい問題でした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

正解です、お芋事
問題も正解も投皿日時もキュヌだらけの問題でした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

きっずスマヌトな解法があるのでしょうが、思い぀かないので力技です。



n ≧ m ≧ 1 ずする。
0, 1, ..., m の m+1 皮類の数を重耇を蚱しお䞀列に n 個䞊べるずき、
1 ≩ q ≩ m ずなる任意の敎数 q に぀いお q 未満の数を q 個以䞊含むような䞊べ方の数を f(m,n) ずおく。

[1] m = 1 のずき
条件を満たさないものは䞊べる数のすべおが "1" ずなる堎合の 1 通りなので、
f(1,n) = 2^n - 1
ずなる。

[2] m ≧ 2 のずき
䞊べる数のなかの "m" の個数を k 個ずしお k で堎合分けする。
k > n-m の堎合は m 未満の数が m 個未満ずなっおしたうため、条件を満たさない。
0 ≩ k ≩ n-m の堎合、数 "m" の配眮方法が nCk 通りあり、その各々に察しお残りの数の䞊べ方が f(m-1,n-k) 通りある。
よっお、
f(m,n) = Σ[k=0,...,n-m] nCk * f(m-1,n-k)
ずなる。

[1],[2]を甚いお順次蚈算しおいくず次のようになる。

f(1,1) = 1
f(1,2) = 3
f(1,3) = 7
f(1,4) = 15
f(1,5) = 31
f(1,6) = 63
f(1,7) = 127
f(1,8) = 255
f(1,9) = 511

f(2,2) = 3
f(2,3) = 16
f(2,4) = 61
f(2,5) = 206
f(2,6) = 659
f(2,7) = 2052
f(2,8) = 6297
f(2,9) = 19162

f(3,3) = 16
f(3,4) = 125
f(3,5) = 671
f(3,6) = 3130
f(3,7) = 13686
f(3,8) = 57867
f(3,9) = 240049

f(4,4) = 125
f(4,5) = 1296
f(4,6) = 9031
f(4,7) = 54062
f(4,8) = 301321
f(4,9) = 1616764

f(5,5) = 1296
f(5,6) = 16807
f(5,7) = 144495
f(5,8) = 1059261
f(5,9) = 7196785

f(6,6) = 16807
f(6,7) = 262144
f(6,8) = 2685817
f(6,9) = 23343742

f(7,7) = 262144
f(7,8) = 4782969
f(7,9) = 56953279

f(8,8) = 4782969
f(8,9) = 100000000

f(9,9) = 100000000


求めるものは、 m = 9, n = 9 の堎合の数から䞊べる数のすべおが "0" ずなる 1 通りを陀いたものなので、
f(9,9)-1 = 99999999
通りずなる。



蚈算結果を芋るず、
f(m,m) = (m+1)^(m-1)
になるみたいですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

なるほど、そういうこずもできるんですね。
結論にスパッず切り蟌む方法ずしおは、
(314159265, 425260376, 536371487, 

, 203048154)
のように数字を 1 ぀ず぀ずらした数からなる 10 個組を䜜るず、9 個の呜題のうち䜕個満たされるかが党お異なるこずを蚌明するこずでしょうか。

そうすれば 999,999,999 個のうちゟロ目を陀いた 999,999,990 個䞭 10 個に 1 個が条件を満たすこずから 99,999,999 個であるずすぐにわかりたす。

たあ、満たされる呜題数が党お異なるこずの蚌明が手間になるわけですけども。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

りらひいさんの挞化匏が面癜かったので、これでいろいろ遊んでいたら
OEISでA373086がたたたたヒットした。
ここにリンクで匵られた論文が関連するように思われるんですが、自分にはわからない郚分が
倚くお手ごわくお、りらひいさんならよく理解されるのではないかず思いたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

数遊び

 芋る知る玍埗
 ONE PLUS TWELVE 文字を入れ替えお
TWO PLUS ELEVEN

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「最倧ず最小」の9/6远蚘蚘事に぀いお

|t+1||t+2| は連続関数なので、埮分積分孊の基本定理が䜿えお、
F’(x) = |x+2||x+3| - |x+1||x+2|
がいきなり埗られ、F’(x) = 0 ならば x = -2 ずすぐにわかりそうです。
どうでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

確かに、そうやっおもよかったですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

この䞖は知らない事ばかり

自然数nの分割で䟋えばn=6なら
n=6
=5+1
=4+2
=4+1+1
=3+3
=3+2+1
=3+1+1+1
=2+2+2
=2+2+1+1
=2+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+1
ず11通りが考えられる。

そこでこれに条件を加えお和を構成する数が
”同じものを含たず、隣り合う数も含たない”①
ものに限定させるず
n=6
=5+1
=4+2
の3通りである。

同じくn=8なら
n=8
=7+1
=6+2
=5+3
の4通りずなる。

たたn=12では
n=12
=11+1
=10+2
=9+3
=8+4
=7+5
=8+3+1
=7+4+1
=6+4+2
の9通りある。


䞀芋党く無関係に芋える条件を今床は
”䜕床も同じ数を繰り返しおもよいが䜿える数をmod 5では1か4であるものであるこず”②
ぞ倉曎するず
n=6
=4+1+1
=1+1+1+1
の3通り

n=8(これはカりントには入らなくなる。)
=4+4
=6+1+1
=4+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+1+1+1
の4通り

n=12(これもカりントには入れない。)
=11+1
=6+6
=4+4+4
=9+1+1+1
=6+4+1+1
=4+4+1+1+1+1
=6+1+1+1+1+1+1
=4+1+1+1+1+1+1+1+1
=1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
の9通り

たった3぀の䟋だけで、たたたた同じ可胜性が発生したように感じられたすが
他のどの様な自然数nに関しおも①ず②の条件は深く関係性が朜んでいお䞀芋党く関係は無いように芋える。)
プログラムで確認する限り同じパタヌン数だけ発生しおきたす。

この関係を
ロゞャヌズ=ラマヌゞャン恒等匏の第䞀匏
ず呌ばれる匏ずしお䞖に知らしめたずある。


数孊に詳しい方は既にご存知の方も倚いずは思いたすが、たたたた芋かけた匏で確認しおみるず
良くもこんな関係匏を芋぀け出す芳察県を持おるものだず感嘆したものでした。
興味が湧いた方は第二匏も存圚しおいるようですのでお確かめください。




匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月07日 06:23)

二平方和分解に぀いお

初めたしお、inazumaず申したす
趣味で玠因数分解法を考え楜しんでいる数孊の玠人です。
その䞭で、ある数Pが䞋蚘①の性質を持぀ずき
Pのみからaずbを求める方法を思い付きたした。

①Pa^2+b^2
※ただしaは3以䞊の奇数、bは(2×(aの桁数)1)桁以䞊の偶数
 䟋えばaが10桁ならbは21桁以䞊

自分で蚈算しおいる分にはうたく算出出来おいるのですが
人で考えおいる為、なにか勘違いがあるかもしれず䞍安がありたす。
぀きたしおは、どなたか詊しに問題を出しお頂けたせんでしょうか
うたくいけば翌日たでには解答出来るず思いたす
(自宅の安いノヌトPCで蚈算しおいる為、解答出来なかったらゎメンナサむ)
Pはずりあえず1000桁以䞋で、どうぞ宜しくお願いいたしたす。

䟋
䞋蚘のPを二平方和で衚せ①の性質を持぀ものずする
P=
79300000037195311469172088857218716366006504413694
67498094008133486079015170644844470927388048966664
71364084114224459809838073427764684299991893020117
87456020152022982982334498187590674933322035197451
04138548852323106359705380406209799321075786700748
97251075824794270095130531665785303520499625246843
70719102407952977609918264565309676875315113912408
70267500957407099187560193071952151611248261841935
69337549765652585924269731770243974032307256739067
91188751144938670681822892207721337339864143140179
90528196878053630706148037821924972860860994861603
49098958042925035090429124946155124465500090226636
49467540005250471043364183315967627035324264859599
67141415803012592347134057555165265478404500762265
44199380968805924457560332031071504504197590397342
71810321003237239447831652868964102212153370316814
06796846409047670450150851793080134210157112772689
58519839847317362637053099816619843793064691538365
63139531004179897193286960125022553379570957235139
114494973770246343671593770077506746282454373742765

解答
P=a^2b^2ずしお
a=971850087035976191464617231403297972574042219987
37604269099307011774498957130732413787709812587433
59436158490894589690601193310837963651081208892631
60509147749602073918962661325153912810181096212403
04342638679979807519201662423980308668745308379247
49

b=281602556872616679494401001682286851751858783815
69338551112252743400193260172387120135518294422427
78838310590521946063454706138104382199264928161756
74092487130258413580634521135685378302594171044661
48079337014481304132621133013307367835289583866914
10360524815089534203712403396836912245502098199475
20868911981852164328164894139907121661474629654027
63051608555640043109432063403957953650490954108565
20533856524433967448235687012774426104809360200738
20583425159772741360209507101982427257315634250395
458

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmuさん
ご返信ありがずうございたす。
>P を 4 で割ったずきの䜙りが 3 のずきは倧䞈倫ですか
Pをで割った䜙りがでないず、今のずころ蚈算出来たせん。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎08月31日 23:13)

あっすみたせん、
勘違いしお自明な質問をしおしたっおいたため削陀したずころなのでした。
お詫びいたしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmuさん
了解いたしたした
たた、ご質問等あればお埅ちしおおりたす。^v^

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

お詊しですが。

条件【※ただしaは3以䞊の奇数、bは(2×(aの桁数)1)桁以䞊の偶数】での、桁数の瞛りに぀いおは確かめおおりたせんけれども、奇数^2 +偶数^2 であるこずを個人的には確かめた気持ちになっおいる以䞋のPをお願いしたす。䞋蚘のPに぀いおは玠因数分解の結果を知っおおりたす。

P = 10^110 +1
桁数のオヌダヌが甘くおすみたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmuさん
>P = 10^110 +1
P=(10^55)^2+1^2
= 89 × 101 × 661 × 3541 × 18041 × 27961 × 148721 × 1052788969 × 1056689261 × 1121407321 × 1395900370 916327245555441901 × 36380545029953205956377406702261
ですかね玠因数分解は他力で行いたしたw

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月01日 01:24)

aがn桁、bが2n+1桁以䞊ならば
10^(n-1)≩a10^n, b≧10^(2n)
ずなり
(b+1)^2-(b^2+a^2)=2b+1-a^22・10^(2n)+1-10^(2n)=10^(2n)+10
から
(b+1)^2a^2+b^2b^2
なので
b=[√P] [ ]はガりス蚘号
でbが求たりたすね。
䞊蚘はa,bの偶奇ず関係ありたせんので、
「bが(2×(aの桁数)+1)桁以䞊」ずいう条件さえあれば、
a,bの偶奇にかかわらず求められるず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん
ご返信ありがずうございたす
さすらすです
流石らすかるさんの略w

私の堎合aから求める方法を詊しおいたので
ご指摘には目から鱗です
ありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

[2114] で私が䟝拠したのは以䞋の定理なのでした。


合成数が高々二個の平方数の和で衚されるための必芁十分条件は、4を法ずしお3に合同な玠因数が党お平方冪指数が偶数になっおいるこずである。


玠因数分解しお䞊を確認できる倧きな数を探したのです。
そうしたら自明なものになっおしたっおいたした。申し蚳ないこずです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmuさん
了解いたしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさんの方法を応甚しお
桁数差を枛らす事は可胜でしょうか
䟋えば
「bが(2×(aの桁数))桁以䞊」
「bが(2×(aの桁数)-1)桁以䞊」
等a,bの桁数差を枛らす事は可胜でしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

なぜ十進数で桁数を
ず初芋で感じたした。
私も期埅しおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞊に曞いた方法は芁は(b+1)^2-(b^2+a^2)=2b+1-a^20であれば良いので
a^22b+1すなわちa^2≩2bであればb=[√P]が成り立ちたす。
bが2n桁でも良いようにするためには、䟋えばb+1をb+5に倉えるず
(b+5)^2-(b^2+a^2)=10b+25-a^20すなわちa^210b+25
→b√Pb+5すなわち[√P]-5b≩[√P]
぀たりbは[√P],[√P]-1,[√P]-2,[√P]-3,[√P]-4のどれかなので
この5個で蚈算しおみればbが2n桁の堎合も察応できるようになりたす。
同様に[√P][√P]-49の50個で蚈算すればbが2n-1桁でもOK、
[√P][√P]-499の500個で蚈算すればbが2n-2桁でもOKのようになりたすが、
巚倧数でbを(定数)桁瞮めたずころであたり意味はないような気がしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん
詳しい解説有難うございたす
やはり難しい事を再確認いたしたした
自分なりにたた考えおみたいず思いたす
ありがずうございたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月02日 19:24)

垰りに䞀杯

A氏は毎日仕事終わりに酒堎に立ち寄り
ビヌルの銘柄X,Y,Z,Wの䜕れか䞀぀を遞んで飲むこずに決めおいる。
各銘柄の代金は100,200,300,400(円)であるずする。
A氏のお小遣いは1500(円)ずしたずき
お小遣いを䜿い切ったずき、少なくずも党郚の銘柄を飲み終えるためには
A氏のお金の䜿い方は䜕通り考えられるか(日によっお支払う金額が異なれば違う方法ずカりントしお䞋さい。)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2544通りですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

正解です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

X,Y,Z,Wの銘柄を1回ず぀飲むず100+200+300+400=1000円で、残りの500円を分配する方法は、
XW,YZ,XXZ,XYY,XXXY,XXXXXの6぀の堎合があり、
XYZWずXWの堎合、6!/(2!*1!*1!*2!)=180通り
XYZWずYZの堎合、6!/(1!*2!*2!*1!)=180通り
XYZWずXXZの堎合、7!/(3!*1!*2!*1!)=420通り
XYZWずXYYの堎合、7!/(2!*3!*1!*1!)=420通り
XYZWずXXXYの堎合、8!/(4!*2!*1!*1!)=840通り
XYZWずXXXXXの堎合、9!/(6!*1!*1!*1!)=504通り
より、合蚈180+180+420+420+840+504=2544通り

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎08月26日 22:00)

これを䞀般化しお
n(円)の資金をもっお
毎日単䟡が1,2,3,,k (円) ただしk<n
の各ビヌルの銘柄をどれか䞀぀ず぀毎日飲んでいき
資金を䜿い果たしたずき、少なくずも党銘柄のビヌルは飲んだこずが起こる
お金の䜿い方の方法は総蚈どれだけ
これを明瀺匏で瀺せるか
たたはこれを読み取れる母関数は䜜れるのか
ちなみに
k=2のずき
gf=1+1/(1-x-x^2)-1/(1-x)-1/(1-x^2)
k=3のずき
gf= x^6/(1-x-x^2-x^3)*(1/((1-x)*(1-x-x^2))+1/((1-x^2)*(1-x-x^2))+1/((1-x)*(1-x-x^3))+1/((1-x^3)*(1-x-x^3))+1/((1-x^2)*(1-x^2-x^3))+1/((1-x^3)*(1-x^2-x^3)))

k=4のずきの母関数は劂䜕に
どなたかヒントを

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

>n(円)の資金をもっお
>毎日単䟡が1,2,3,,k (円) ただしk<n
>の各ビヌルの銘柄をどれか䞀぀ず぀毎日飲んでいき
>資金を䜿い果たしたずき、少なくずも党銘柄のビヌルは飲んだこずが起こる
>お金の䜿い方の方法は総蚈どれだけ
>これを明瀺匏で瀺せるか

お金の䜿い方の総数をa(n)ずするず、a(n)は次の匏で蚈算できたす。
a(n)=[x^n](∫_[z=0,∞]exp(-z)*Π[j=1k](exp(x^j*z)-1)dz)

䟋えばk=4の堎合
exp(-z)*Π[j=14](exp(x^j*z)-1)を展開するず、次のようになりたす。
exp(-z)*Π[j=14](exp(x^j*z)-1)
=exp(-z)*(exp(x*z)-1)*(exp(x^2*z)-1)*(exp(x^3*z)-1)*(exp(x^4*z)-1)
=exp((-1+x+x^2+x^3+x^4)*z)
-exp((-1+x+x^2+x^3)*z)-exp(-1+x+x^2+x^4)-exp(-1+x+x^3+x^4)-exp(-1x^2+x^3+x^4)
+exp((-1+x+x^2)*z)+exp((-1+x+x^3)*z)+exp((-1+x+x^4)*z)+exp((-1+x^2+x^3)*z)+exp((-1+x^2+x^4)*z)+exp((-1+x^3+x^4)*z)
-exp((-1+x)*z)-exp((-1+x^2)*z)-exp((-1+x^3)*z)-exp((-1+4)*z)
+exp((-1)*z).

この展開匏をz=0∞の範囲で積分すればxの有理関数が埗られたす。
その有理関数をマクロヌリン展開したずきのx^nの係数がa(n)です。
a(n)
=[x^n](-1/(-1+x+x^2+x^3+x^4)
+1/(-1+x+x^2+x^3)+1/(-1+x+x^2+x^4)+1/(-1+x+x^3+x^4)+1/(-1+x^2+x^3+x^4)
-1/(-1+x+x^2)-1/(-1+x+x^3)-1/(-1+x+x^4)-1/(-1+x^2+x^3)-1/(-1+x^2+x^4)-1/(-1+x^3+x^4)
+1/(-1+x)+1/(-1+x^2)+1/(-1+x^3)+1/(-1+x^4)
-1/(-1)).

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

atさん凄いです。
仕方なくn=10から20たでの数倀をひず぀ず぀算出しお埡蔭で結果的にヵ所蚈算ミスを起こしおいるこずを発芋)
k=3での母関数を真䌌しお色々詊しおいたんですがそのすべおが匟かれおしたい、途方に暮れおいたした。
最初の項だけが䞀臎しおいるが埌は無駄な努力でした。
積分の力で解決されるずは思っおもない道筋でした。
最終型は集合の芁玠の個数を求める匏に類䌌しおいたすね。結構芚え易い)
ずいうこずはk=3での母関数gfはよりスッキリした
1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2)-1/(1-x-x^3)-1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x)+1/(1-x^2)+1/(1-x^3)-1
でも可胜ずいうわけですね。

䞖の䞭には物事の本質を芋事に掎んでしたう人がいるこずに感激です。
目から鱗でこんな䞀般匏たで分かっおしたうこずが驚異でうれしいです。
倧倉ありがずうございたした。
母関数の圢にしなくおもコンピュヌタで数倀だけ求めたいなら盎接積分型から
gp > F(k)=intnum(z=0,[oo,1],exp(-z)*prod(j=1,k,exp(x^j*z)-1))
で定矩しおおけばk=9での倀は
gp > for(n=45,60,print(n";"round(polcoeff(F(9),n))))
45;362880
46;1814400
47;8467200
48;31752000
49;110255040
50;352416960
51;1073580480
52;3125969280
53;8808347520
54;24105906720
55;64431521280
56;168662148480
57;433730626560
58;1097903933280
59;2740858737120
60;6757827995520
等で䞀発で求たっおいくのですね。あのめんどくさい䜜業が倢のようです。)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎08月29日 05:44)

毎日単䟡が1円か2円の各ビヌルの銘柄をどれか䞀぀ず぀毎日飲むずきの堎合の数の生成関数に぀いおは、

1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+
=1/(1-x-x^2)

で衚され、少なくずも䞡銘柄のビヌルを飲んだずきの堎合の数の生成関数に぀いおは、

(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+
)-(1+x+x^2+
)-(1+x^2+x^4+
)+1
=1/(1-x-x^2)-1/(1-x)-1/(1-x^2)+1

で衚されたす。

(x+x^2)^m=C(m,0)x^m+C(m,1)x^(m+1)+...+C(m,j)x^(m+j)+...+C(m,m)x^(2m)

なので、n(円)の資金をもっお毎日単䟡が1円か2円の各ビヌルの銘柄をどれか䞀぀ず぀毎日飲んでいき
資金を䜿い果たしたずきのお金の䜿い方の方法の数は、

Σ_{k=0floor(n/2)}C(n-k,k)

で衚され、少なくずも䞡銘柄のビヌルを飲んだずきの堎合の数に぀いおは、

n=2q+1のずき
Σ_{k=0floor(n/2)}C(n-k,k) - C(n,0)

n=2qのずき
Σ_{k=0floor(n/2)}C(n-k,k) - C(n,0) -C(q,q)

ずなりたす。F(n)=Σ_{k=0floor(n/2)}C(n-k,k)ずするず、
F(1)=1,F(2)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
ずなっお、F(n)はフィボナッチ数列ずなりたす。少なくずも䞡銘柄のビヌルを飲んだずきの堎合の数に぀いおは、
n=2q+1のずきF(n)-1、n=2qのずきF(n)-2ずなりたす。

毎日単䟡が1円,2円,3円の各ビヌルの銘柄をどれか䞀぀ず぀毎日飲むずきの堎合の数の生成関数に぀いおは、

1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+
=1/(1-x-x^2-x^3)

で衚され、少なくずも党銘柄のビヌルを飲んだずきの堎合の数の生成関数に぀いおは、

(1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+
)
-(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+
)-(1+(x+x^3)+(x+x^3)^2+
)-(1+(x^2+x^3)+(x^2+x^3)^2+
)
+(1+x+x^2+
)+(1+x^2+x^4+
)+(1+x^3+x^6+
)-1
=1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2)-1/(1-x-x^3)-1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x)+1/(1-x^2)+1/(1-x^3)-1

で衚されたす。

2項係数C(n,k)に倣っお3項係数C(n,k1,k2)=n!/(k1!k2!(n-k1-k2)!)を甚いるず、

(x+x^2+x^3)^m=Σ_{k1≧0,k2≧0,k1+k2≩m}C(m,k1,k2)[x^(m-k1-k2)*x^(2*k1)*x^(3*k2)]

なので、n(円)の資金をもっお毎日単䟡が1円,2円,3円の各ビヌルの銘柄をどれか䞀぀ず぀毎日飲んでいき
資金を䜿い果たしたずきのお金の䜿い方の方法の数は、

T(n)=Σ_{i=0floor(n/2),j=0floor(n/3),i+j≩n}C(n-i-j,i,j)

で衚され、T(1)=1,T(2)=2,T(3)=4,T(n)=T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)ずいうトリボナッチ数列ずなりたす。

n(円)の資金をもっお毎日単䟡が1円か3円の各ビヌルの銘柄をどれか䞀぀ず぀毎日飲んでいき
資金を䜿い果たしたずきのお金の䜿い方の方法の数に぀いおは、

(x+x^3)^m=C(m,0)x^m+C(m,1)x^(m+2)+...+C(m,j)x^(m+2*j)+...+C(m,m)x^(3m)

より、

n=1のずきC(1,0)
n=2のずきC(2,0)
n=3のずきC(3,0)+C(1,1)
n=4のずきC(4,0)+C(2,1)
n=5のずきC(5,0)+C(3,1)
n=6のずきC(6,0)+C(4,1)+C(2,2)
n=7のずきC(7,0)+C(5,1)+C(3,2)
n=8のずきC(8,0)+C(6,1)+C(4,2)

ずなっお、䞀般には、

Σ_{k=0floor(n/3)}C(n-2*k,k)

で衚され、Σ_{k=0floor(n/3)}C(n-2*k,k)=G(n+1)ずするず、
G(1)=1,G(2)=1,G(3)=2,G(n)=G(n-1)+G(n-3)ずなっお、これはナラダナ数列(Narayana sequence)ずいいたす。

n(円)の資金をもっお毎日単䟡が2円か3円の各ビヌルの銘柄をどれか䞀぀ず぀毎日飲んでいき
資金を䜿い果たしたずきのお金の䜿い方の方法の数に぀いおは、

(x^2+x^3)^m=C(m,0)x^2m+C(m,1)x^(2m+1)+...+C(m,j)x^(1m+j)+...+C(m,m)x^(3m)

より、

n=2のずきC(1,0)
n=3のずきC(1,1)
n=4のずきC(2,0)
n=5のずきC(2,1)
n=6のずきC(3,0)+C(2,2)
n=7のずきC(3,1)
n=8のずきC(4,0)+C(3,2)
n=9のずきC(4,1)+C(3,3)
n=10のずきC(5,0)+C(4,2)
n=11のずきC(5,1)+C(4,3)
n=12のずきC(6,0)+C(5,2)+C(4,4)

ずなっお、䞀般には、

Σ_{ceil(n/3)≩k≩floor(n/2)}C(k,n-2*k)

で衚され、これをH(n)ずするず、H(2)=1,H(3)=1,H(4)=1,H(n)=H(n-2)+H(n-3)
ずなっお、これはパドノァン数列(Padovan sequence)ずいいたす。

n(円)の資金をもっお毎日単䟡が1円,2円,3円の各ビヌルの銘柄をどれか䞀぀ず぀毎日飲んでいき
資金を䜿い果たしたずき、少なくずも党銘柄のビヌルを飲んだずきのお金の䜿い方の方法の数に぀いおは、

T(n)-F(n)-G(n)-H(n)+r(n)
r(n)=3(n mod 6=0),1(n mod 6=1,5),2(n mod 6=2,3,4)

ずなりたす。n=110で、

T(n) 1,2,4,7,13,24,44,81,149,274
F(n) 1,2,3,5, 8,13,21,34, 55, 89
G(n) 1,1,2,3, 4, 6, 9,13, 19, 28
H(n) 0,1,1,1, 2, 2, 3, 4, 5, 7

ずなりたすが、T(n)-F(n)-G(n)-H(n)+r(n)は、n=110で、
0,0,0,0,0,6,12,32,72,152ずなりたす。

毎日単䟡が1円,2円,3円,4円の各ビヌルの銘柄をどれか䞀぀ず぀毎日飲むずきの堎合の数の生成関数に぀いおは、

1+(x+x^2+x^3+x^4)+(x+x^2+x^3+x^4)^2+
=1/(1-x-x^2-x^3-x^4)

で衚され、少なくずも党銘柄のビヌルを飲んだずきの堎合の数の生成関数に぀いおは、

(1+(x+x^2+x^3+x^4)+(x+x^2+x^3+x^4)^2+
)
-(1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+
)-(1+(x+x^2+x^4)+(x+x^2+x^4)^2+
)
-(1+(x+x^3+x^4)+(x+x^3+x^4)^2+
)-(1+(x^2+x^3+x^4)+(x^2+x^3+x^4)^2+
)
+(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+
)+(1+(x+x^3)+(x+x^3)^2+
)+(1+(x^2+x^3)+(x^2+x^3)^2+
)
+(1+(x+x^4)+(x+x^4)^2+
)+(1+(x^2+x^4)+(x^2+x^4)^2+
)+(1+(x^3+x^4)+(x^3+x^4)^2+
)
-(1+x+x^2+
)-(1+x^2+x^4+
)-(1+x^3+x^6+
)-(1+x^4+x^8+
)+1
=1/(1-x-x^2-x^3-x^4)
-1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2-x^4)-1/(1-x-x^3-x^4)-1/(1-x^2-x^3-x^4)
+1/(1-x-x^2)+1/(1-x-x^3)+1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x-x^4)+1/(1-x^2-x^4)+1/(1-x^3-x^4)
-1/(1-x)-1/(1-x^2)-1/(1-x^3)-1/(1-x^4)
+1

で衚されたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

数列の和

Σ_{k=1n}k=n(n+1)/2=C(n+1,2)
Σ_{k=1n}k(k+1)=n(n+1)(n+2)/3=2C(n+2,3)
Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)=(1/4)Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)(k+3)-(k-1)k(k+1)(k+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)/4=3!C(n+3,4)
Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
=(1/5)Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1)k(k+1)(k+2)(k+3)
=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5=4!C(n+4,5)
...
Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)...(k+m-1)=(m-1)!C(n+m-1,m)

ず、

C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)
C(n-1,k-1)=C(n,k)-C(n-1,k)
C(n,k)=C(n+1,k+1)-C(n,k+1)
=C(n+2,k+2)-2C(n+1,k+2)+C(n,k+2)
=C(n+3,k+3)-3C(n+2,k+3)+3C(n+1,k+3)-C(n,k+3)
=Σ_{j=0m}(-1)^j*C(m,j)*C(n+m-j,k+m)

より、

Σ_{k=1n}k^2=Σ_{k=1n}k(k+1)-Σ_{k=1n}k
=2C(n+2,3)-C(n+1,2)=2C(n+2,3)-(C(n+2,3)-C(n+1,3))=C(n+2,3)+C(n+1,3)

Σ_{k=1n}k^3=Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)-3Σ_{k=1n}k(k+1)+Σ_{k=1n}k
=3!C(n+3,4)-3*2C(n+2,3)+C(n+1,2)
=6C(n+3,4)-6C(n+2,3)+C(n+1,2)
=6C(n+3,4)-6(C(n+3,4)-C(n+2,4))+C(n+3,4)-2C(n+2,4)+C(n+1,4)
=C(n+3,4)+4C(n+2,4)+C(n+1,4)

Σ_{k=1n}k^4
=Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)(k+3)-6Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)
+7Σ_{k=1n}k(k+1)-Σ_{k=1n}k
=4!C(n+4,5)-6*3!C(n+3,4)+7*2C(n+2,3)-C(n+1,2)
=24C(n+4,5)-36C(n+3,4)+14C(n+2,3)-C(n+1,2)
=24C(n+4,5)-36(C(n+4,5)-C(n+3,5))+14(C(n+4,5)-2C(n+3,5)+C(n+2,5))-(C(n+4,5)-3C(n+3,5)+3C(n+2,5)-C(n+1,5))
=C(n+4,5)+11C(n+3,5)+11C(n+2,5)+C(n+1,5)

Σ_{k=1n}k^5
=Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-10Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)(k+3)
+25Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)-15Σ_{k=1n}k(k+1)+Σ_{k=1n}k
=5!C(n+5,6)-10*4!C(n+4,5)+25*3!C(n+3,4)-15*2C(n+2,3)+C(n+1,2)
=120C(n+5,6)-240C(n+4,5)+150C(n+3,4)-30C(n+2,3)+C(n+1,2)
=120C(n+5,6)-240(C(n+5,6)-C(n+4,6))+150(C(n+5,6)-2C(n+4,6)+C(n+3,6))
-30(C(n+5,6)-3C(n+4,6)+3C(n+3,6)-C(n+2,6))+(C(n+5,6)-4C(n+4,6)+6C(n+3,6)-4C(n+2,6)+C(n+1,6))
=C(n+5,6)+26C(n+4,6)+66C(n+3,6)+26C(n+2,6)+C(n+1,6)

Σ_{k=1n}k^6
=Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)-15Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
+65Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)(k+3)-90*Σ_{k=1n}k(k+1)(k+2)
+31*Σ_{k=1n}k(k+1)-Σ_{k=1n}k
=6!C(n+6,7)-15*5!C(n+5,6)+65*4!C(n+4,5)-90*3!C(n+3,4)+31*2C(n+2,3)-C(n+1,2)
=720C(n+6,7)-1800C(n+5,6)+1560C(n+4,5)-540C(n+3,4)+62C(n+2,3)-C(n+1,2)
=C(n+6,7)+57C(n+5,7)+302C(n+4,7)+302C(n+3,7)+57C(n+2,7)+C(n+1,7)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

比べおみたらずおも興味深かったです。↓↓↓

https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/108/108-7.pdf

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎08月27日 00:25)

和ず積の分割方法の法則

n の完党な分割ずは、繰り返される郚分が区別できないず芋なされるずきに、
n より小さいすべおの数の分割が 1 ぀だけ含たれる分割です。
したがっお、1^n はすべおの n に察しお完党な分割です。


䟋えばn=5の堎合
分割方法は
1;[5]
2;[1, 4]
3;[2, 3]
4;[1, 1, 3]
5;[1, 2, 2]
6;[1, 1, 1, 2]
7;[1, 1, 1, 1, 1]
が考えられるが
[1, 1, 3]
では
1=1
2=1+1
3=3
4=3+1
5=3+1+1
ず15がこの材料でただ䞀通りず぀で構成できる。
同じく
[1, 2, 2]も
1=1
2=2
3=2+1
4=2+2
5=2+2+1
で15がこの材料でただ䞀通りず぀で構成できる。
たた明らかに
[1, 1, 1, 1, 1]
もそれが可胜
この3通りを完党な分割ず呌がう。

䞀方n=5の次の数6では、これを積で衚す方法が
6, 2*3, 3*2 (堎所が違えば異なるものずカりントする。)
の3通りずn=5での完党な分割数ず同じ数が察応しおいる。


たた、n=7の堎合は
1;[7]
2;[1, 6]
3;[2, 5]
4;[3, 4]
5;[1, 1, 5](1,2,5,6,7)しか䜜れない。
6;[1, 2, 4](1,2,3,4,5,6,7) OK!
7;[1, 3, 3](1,3,4,6,7)しか䜜れない。
8;[2, 2, 3]
9;[1, 1, 1, 4](1,2,3,4,5,6,7) OK!
10;[1, 1, 2, 3](1,2,3,4,5,6,7)しかし2=1+1,3=1+2,4=1+1+2=1+3ず重耇で存圚
11;[1, 2, 2, 2](1,2,3,4,5,6,7) OK!
12;[1, 1, 1, 1, 3](1,2,3,4,5,6,7)しかし4=1+1+1+1=1+3ず2぀存圚
13;[1, 1, 1, 2, 2](1,2,3,4,5,6,7)しかし4=1+1+2=2+2ず2぀存圚
14;[1, 1, 1, 1, 1, 2]しかし2=1+1,3=1+2=1+1+1ず重耇で存圚
15;[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1](1,2,3,4,5,6,7) OK!
より完党な分割は
[1, 2, 4], [1, 1, 1, 4], [1, 2, 2, 2], [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
の4通り存圚する。

䞀方8での積の分割では
8, 2*4, 4*2, 2*2*2
の党郚で4通り存圚できる。


本圓にこの関係は垞に成立するものか
n=11での和の完党な分割ず12での積の分割
n=23での和の完党な分割ず24での積の分割
を具䜓的に瀺しおみお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎08月16日 18:43)

11での和の完党な分割は、

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,6
1,1,1,4,4
1,1,3,3,3
1,1,3,6
1,2,2,2,2,2
1,2,2,6
1,2,4,4

の8通りで、12での積の分割も、

12,2*6,6*2,3*4,4*3,2*2*3,2*3*2,3*2*2

の8通り。

23での和の完党な分割は、

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,12
1,1,1,1,1,1,1,8,8
1,1,1,1,1,6,6,6
1,1,1,1,1,6,12
1,1,1,4,4,4,4,4
1,1,1,4,4,12
1,1,1,4,8,8
1,1,3,3,3,3,3,3,3
1,1,3,3,3,12
1,1,3,6,6,6
1,1,3,6,12
1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2
1,2,2,2,2,2,12
1,2,2,2,8,8
1,2,2,6,6,6
1,2,2,6,12
1,2,4,4,4,4,4
1,2,4,4,12
1,2,4,8,8

の20通りで、24での積の分割も、

24,2*12,12*2,3*8,8*3,4*6,6*4,
2*2*6,2*6*2,6*2*2,
2*3*4,2*4*3,3*2*4,3*4*2,3*4*2,4*3*2
2*2*2*3,2*2*3*2,2*3*2*2,3*2*2*2

の20通り。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1+x+x^2+
+x^11を係数が非負敎数ずなるように因数分解するず、
1+x+x^2+
+x^11
=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x^6)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x^4+x^8)
=(1+x+x^2)(1+x^3+x^6+x^9)
=(1+x+x^2)(1+x^3)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10)
=(1+x)(1+x^2+x^4)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8)
の8通りの圢で衚すこずができたすが、このこずず関係あるのでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

なるほど
この完党分割はこの展開匏ず繋がれるんですね。
ですから2぀ずも自然数nの玠因数分解圢のタむプをもっお䞀぀違いの自然数で
和の完党分割ず積の分割方法が同じ数倀を取っおいける。

<n(型)>; <積の分割方法>;<和の完党分割方法>;
1 ; 1; 1;
2(p) ; 1; 1;
3(p) ; 1; 2;
4(p^2) ; 2; 1;
5(p) ; 1; 3;
6(p*q) ; 3; 1;
7(p) ; 1; 4;
8(p^3) ; 4; 2;
9(p^2) ; 2; 3;
10(p*q); 3; 1;
11(p) ; 1; 8;
12(p^2*q); 8; 1;
13(p) ; 1; 3;
14(p*q); 3; 3;
15(p*q); 3; 8;
16(p^4); 8; 1;
17(p) ; 1; 8;
18(p^2*q); 8; 1;
19(p) ; 1; 8;
20(p^2*q); 8; 3;
21(p*q); 3; 3;
22(p*q); 3; 1;
23(p) ; 1; 20;
24(p^3*q); 20; 2;


以䞋玠因数分解型ず<積の分割方法>ずは䞀察䞀の察応が付きそうだが
䞊の䟋にもある様に
p^2*q型ずp^4型は同じ倀の8を取っおしたう。
他にも
p^6*q型ずp^9型は同じ倀256ずなっおしたう。
そこで今床は
そのような分解型が異なっおも同じ倀を取っおしたう2組をこれ以倖に
探しおほしい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎08月19日 06:09)

p^nの積の分割の数は、n個のpを䞊べたずきに、(n-1)個の隙間に区切りを配眮する
方法の数ず等しくなるので、

1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1)=2^(n-1)

より、2^(n-1)通り。

p^n*qの積の分割の数は、n個のpを䞊べたずきに、(n-1)個の隙間に区切りを配眮し、
さらに、k個の区切りを配眮しお、n個のpを(k+1)個のグルヌプに分割したずきに、
qを䞡端か、(k+1)個のグルヌプ内か、k個の区切り䞊に配眮する方法の数ず等しく
なるので、

3+5*C(n-1,1)+7*C(n-1,2)+...+(2*n+1)*C(n-1,n-1)
=3*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+2*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
=3*2^(n-1)+(n-1)*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)

より、(n+2)*2^(n-1)通り。

p^mの積の分割の数2^(m-1)ずp^n*qの積の分割の数(n+2)*2^(n-1)が等しくなるのは、

(n+2)*2^(n-1)=2^(m-1)
n+2=2^(m-n)

より、n=2^k-2(k≧2)のずきで、このずき、m=n+k=2^k+k-2
k=2のずき(m,n)=(4,2)、k=3のずき(m,n)=(9,6)であり、以䞋、
k=4のずき(m,n)=(18,14)、k=5のずき(m,n)=(35,30)、 ずなる。

p^n*q^2の積の分割の数は、n個のpを䞊べたずきに、(n-1)個の隙間に区切りを配眮し、
さらに、k個の区切りを配眮しお、n個のpを(k+1)個のグルヌプに分割したずきに、
2個のqを䞡端か、(k+1)個のグルヌプ内か、k個の区切り䞊に配眮する方法の数ず等しく
なり、さらに、䞡端ず区切り䞊に2個配眮する堎合は、2個のqを分割しお配眮する堎合ず
分割せずに配眮する堎合があるのでので、方法の数は、

(C(4,2)+2)+(C(5,2)+3)*C(n-1,1)+(C(6,2)+4)*C(n-1,2)
+...+(C(n+3,2)+n+1)*C(n-1,n-1)
=8*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+(9/2)*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+(1/2)*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=8*2^(n-1)+(9/2)*(n-1)*2^(n-2)+(1/2)*n(n-1)*2^(n-3)
=(n^2+17*n+46)*2^(n-4)

より、(n^2+17*n+46)*2^(n-4)通り。

p^n*q*rの積の分割の数は、n個のpを䞊べたずきに、(n-1)個の隙間に区切りを配眮し、
さらに、k個の区切りを配眮しお、n個のpを(k+1)個のグルヌプに分割したずきに、
q,rを䞡端か、(k+1)個のグルヌプ内か、k個の区切り䞊に配眮する方法の数ず等しく
なり、さらに、䞡端ず区切り䞊にq,rを配眮する堎合は、q*rずしお配眮する堎合ず、
r*qずしお配眮する堎合ず、分割せずに配眮する堎合があるので、方法の数は、

(3^2+2*2)+(5^2+2*3)*C(n-1,1)+(7^2+2*4)*C(n-1,2)
+...+((2*n+1)^2+2*(n+1))*C(n-1,n-1)
=13*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+14*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+4*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=13*2^(n-1)+7*(n-1)*2^(n-1)+n(n-1)*2^(n-1)
=(n^2+6*n+6)*2^(n-1)

より、(n^2+6*n+6)*2^(n-1)通り。

p^n*q^2、p^n*q*rの堎合も調べおみたしたが、p^n、p^n*qの堎合ず等しくなる䟋は
み぀かりたせんでした。p^n*q^2ずp^n*q*rの盞互間でもみ぀かりたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎08月23日 08:43)

ご考察ありがずうございたす。
この様に匏で評䟡しおいけるもんなんですね。
自分はひたすら可胜な限りでp^a;p^b*q (p=2,q=3で凊理で同じ数倀が珟れる郚分を
拟い集めお
(a,b)=(4,2),(9,6),(18,14),(35,30),(68,62)
たで䜕ずかあ぀めおみたした。

芋おいるず{a}ず{は2,3,4,5,6の差で結ばれおいるし
4=2^2,9=2^3+1,18=2^4+2,35=2^5+3,68=2^6+4
が芋えおきたのでn=1,2,3,
a(n)=2^(n+1)+n-1
b(n)=2^(n+1)-2
これを元に先を拟うず
(a,b)=(133,126),(262,254),(519,510),(1032,1022),(2057,2046),
ず無限に重なる郚分は存圚しおいるこずになる。

圓初の目的は自然数nを玠因数分解した時に玠数には圱響されずその玠因数タむプ指数郚分での分類)
をある数倀ず䞀察䞀に圓おはめたいのであるが、前々回の調査での
<積の分割方法>;<和の完党分割方法>
のどちらを䜿っおも、䞊蚘の重耇が起こっおしたう。
A034776;Gozinta numbersA074206で珟れる数列を゜ヌトしお䞊べたもの)
これに察しIndukmuさんが提瀺した
0~^2-1の数字をただ䞀通りだけn個の芁玠を持぀぀の集合の和でできる可胜性を䞎える
A273013での数倀を䜿えば
p^4→35
p^2*q→42 ;A034776ではどちらも8の倀をずる。

p^9→24310
p^6*q→28644  ;A034776ではどちらも256の倀をずる。

p^18→4537567650
p14*q→5094808200 ;A034776ではどちらも131072の倀をずる。

p^35→ 56093138908331422716
p^30*q→60433201179644187664 ;A034776ではどちらも17179869184の倀をずる。



以䞋䞋の匏を利甚しお倀が定たっおいく。
これらの蚈算ではどんな玠数p,qでも
p^a→binomial(2*a,a)/2
p^b*q→(b^2+4*b+2)*binomial(2*b.b)/2
が䜿える。
A273013参照

ず重なる倀は分かれお行き、すべおの玠因数分解でのタむプは
この数倀で䞀察䞀の察応が出来るこずになれるず思われたす。
なお
n=21000たでの数字を分類したものが
nの代衚 ;玠因数のタむプ ;指暙の倀(A277013で決たる倀)  
2 ;[1]~(p) ;1 (他の玠数もすべお)
4 ;[2]~(p^2) ;3 (9,25,49,など)
6 ;[1, 1]~(p*q) ;7 (10,14,15,など)
8 ;[3]~(p^3) ;10 (27,125,343,など)
16 ;[4]~(p^4) ;35
12 ;[2, 1]~(p^2*q) ;42
30 ;[1, 1, 1]~(p*q*r);115
32 ;[5]~ 以䞋同様 ;126
24 ;[3, 1]~ ;230
36 ;[2, 2]~ ;393
64 ;[6]~ ;462
60 ;[2, 1, 1]~ ;1158
48 ;[4, 1]~ ;1190
128 ;[7]~ ;1716
72 ;[3, 2]~ ;3030
210 ;[1, 1, 1, 1]~ ;3451
96 ;[5, 1]~ ;5922
256 ;[8]~ ;6435
120 ;[3, 1, 1]~ ;9350
180 ;[2, 2, 1]~ ;16782
144 ;[4, 2]~ ;20790
192 ;[6, 1]~ ;28644
216 ;[3, 3]~ ;30670
420 ;[2, 1, 1, 1]~ ;52422
240 ;[4, 1, 1]~ ;66290
288 ;[5, 2]~ ;131796
384 ;[7, 1]~ ;135564
360 ;[3, 2, 1]~ ;180990
432 ;[4, 3]~ ;264740
900 ;[2, 2, 2]~ ;334833
480 ;[5, 1, 1]~ ;430794
840 ;[3, 1, 1, 1]~ ;583670
768 ;[8, 1]~ ;630630
576 ;[6, 2]~ ;788634
720 ;[4, 2, 1]~ ;1636740
864 ;[5, 3]~ ;2050020
960 ;[6, 1, 1]~ ;2628780
で分類されおいく。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎08月20日 08:10)

p^n*qをk個の玄数に順序を区別しお分割する方法の数をb_1,b_2,b_3,
,b_n,b_(n+1)ずするず、
䞍分割の堎合はいうたでもなくb_1=1で、
2分割の堎合は、n個のpを2グルヌプに分割しおqをいずれかのグルヌプに配眮する堎合ず、
n個のpが䞍分割で䞡端のいずれかにqを配眮する堎合があるので、
b_2=2*C(n-1,1)+2=2*C(n,1)
3分割の堎合は、n個のpを3グルヌプに分割しおqをいずれかのグルヌプに配眮する堎合ず、
n個のpを2グルヌプに分割しお䞡端ず間の1個の隙間のいずれかにqを配眮する堎合があるので、
b_3=3*C(n-1,2)+3*C(n-1,1)=3*C(n,2)


k分割の堎合は、n個のpをkグルヌプに分割しおqをいずれかのグルヌプに配眮する堎合ず、
n個のpを(k-1)グルヌプに分割しお䞡端ず間の(k-2)個の隙間のいずれかにqを配眮する堎合があるので、
b_k=k*C(n-1,k-1)+k*C(n-1,k-2)=k*C(n,k-1)


n分割の堎合は、n個のpをnグルヌプに分割しおqをいずれかのグルヌプに配眮する堎合ず、
n個のpを(n-1)グルヌプに分割しお䞡端ず間の(n-2)個の隙間のいずれかにqを配眮する堎合があるので、
b_n=n*C(n-1,n-1)+n*C(n-1,n-2)=n*C(n,n-1)
(n+1)分割の堎合は、n個のpをnグルヌプに分割しお䞡端ず間の(n-1)個の隙間のいずれかにqを配眮する堎合のみなので、
b_(n+1)=(n+1)*C(n-1,n-1)=(n+1)*C(n,n)
ずなりたす。
p^n*qをk個の玄数に順序を区別しお分割する方法の数はb_1+b_2+b_3+
+b_n+b_(n+1)なので、
b_1+b_2+b_3+
+b_n+b_(n+1)
=1+2*C(n,1)+3*C(n,2)+
+k*C(n,k-1)+
+n*C(n,n-1)+(n+1)*C(n,n)
=(1+C(n,1)+
+C(n,n))+(C(n,1)+2*C(n,2)+
+n*C(n,n))
=2^n+n*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)
ずなりたす。

0N^2-1の数字をただ䞀通りだけN個の芁玠を持぀2぀の集合の和でできる可胜性を䞎えるA273013での数倀は、
b_1^2+b_2^2+
+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+
+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)なので、
N=p^n*qの堎合、
b_1^2+b_2^2+
+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+
+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[b_1^2+(b_1+b_2)^2+(b_2+b_3)^2+
+(b_n+b_(n+1))^2+b_(n+1)^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+1)^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+
+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2+
+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+C(n,0))^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+
+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2
+
+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
ですが、
k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2)
=k*n!/(n-k+1)!/(k-1)!+(k-1)*n!/(n-k+2)!/(k-2)!
=k*(n-k+2)*n!/(n-k+2)!(k-1)!+(k-1)^2*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1)
より、
b_1^2+b_2^2+
+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+
+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[1^2+((2*n+1)^2+
+((n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!)^2+
+(n^2+n+1)^2+(n+1)^2)]
=(1/2)*[(n+1)/(n+1)*C(n+1,0)^2+((n*2+1)/(n+1)*C(n+1,1))^2+
+((n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1))^2
+((n*(k+1)+1)/(n+1)*C(n+1,k))^2+
+((n^2+n+1)/(n+1)*C(n+1,n))^2+((n^2+2n+1)/(n+1)*C(n+1,n+1))^2]
ずなりたす。

(1+x)^m*(1+x)^(n-m)=(1+x)^nのx^kの係数を比范するず、
C(m,0)*C(n-m,k)+
+C(m,k)*C(n-m,0)=C(n,k)で、n=2m,k=mずするず、
C(m,0)*C(m,m)+
+C(m,m)*C(m,0)=C(m,0)^2+
+C(m,m)^2=C(2m,m)

(d/dx)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(1+x)^(m-1)*(1+x)^(n-m)=m*(1+x)^(n-1)のx^kの係数を比范するず、
C(m,1)*C(n-m,k)+2*C(m,2)*C(n-m,k-1)+
+k*C(m,k)*C(n-m,1)+(k+1)*C(m,k+1)*C(n-m,0)=m*C(n-1,k)で、n=2m,k=mずするず、
C(m,1)*C(m,m-1)+2*C(m,2)*C(m,m-2)+
+(m-1)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*C(m,m)*C(m,0)
=C(m,1)^2+
+m*C(m,m)^2=m*C(2*m-1,m-1)=m*C(2m-1,m)=m*(2m-1)!/m!/(m-1)!=(m/2)*C(2m,m)

(d^2/dx^2)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(m-1)(1+x)^(m-2)*(1+x)^(n-m)=m(m-1)*(1+x)^(n-2)のx^kの係数を比范するず、
2*C(m,2)*C(n-m,k)+3*2*C(m,3)*C(n-m,k-1)+
+(k+1)*k*C(m,k+1)*C(n-m,1)+(k+2)*(k+1)*C(m,k+2)*C(n-m,0)=m(m-1)*C(n-2,k)で、n=2m,k=mずするず、
2*C(m,2)*C(m,m-2)+3*2*C(m,3)*C(m,m-3)+
+(m-1)*(m-2)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*(m-1)*C(m,m)*C(m,0)
2*C(m,2)^2+3*2*C(m,3)^2+
+m*(m-1)*C(m,m)^2
=m(m-1)*C(2m-2,m-2)=m*(m-1)*C(2m-2,m)=m*(m-1)*(2m-2)!/m!/(m-2)!=(m-1)*(2m-2)!/(m-1)!/(m-2)!
=(m-1)^2*C(2*m-2,m-1)

これらを甚いるず、

(n*(k+1)+1)^2=n^2*k^2+2*n*k+1=n^2*k(k-1)+n(3*n+2)*k+(n+1)^2
より

Σ_(k=0)^(n+1)[1/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n(3n+2)*k/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n^2*k(k-1)/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n^4/(n+1)^2*C(2n,n)
なので、

b_1^2+b_2^2+
+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+
+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)[C(2n+2,n+1)+n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)+n^4/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)[((2n+2)(2n+1)+n(3n+2)(2n+1)+n^4)/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)*(n^4+6n^3+11n^2+8n+2)/(n+1)^2*C(2n,n)
=(1/2)*(n^2+4n+2)*C(2n,n)
ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

玠朎な長さの蚈算13

私の解き方が管理人さんず党然違ったので、せっかくなので投皿。

AB : AC = AD : AE = √2 : 1 で、∠BAD = ∠CAE なので、△ABD ∜ △ACE
したがっお ∠ACE = 45° ずなり、錯角が等しいので AB // EG

点 C における線分 EG の垂線を匕き、線分 AB ずの亀点を H ずするず、四角圢 CGFH は長方圢、H は AB の䞭点になりたす。
よっお、EG = FG = HC = HB = (1/2)AB = 6

台圢 EGBA の面積は (6+12)*6/2 = 54 なので、△BDG の面積は 4 です。

したがっお、FD = x ずすれば、FB = x ず DG = 6-x から x(6-x)/2 = 4 より x = 2, 4
x > 6-x を満たす方を採甚しお、FD = 4

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈2587ä»¶ (投皿447, 返信2140)

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