😊出会いの泉😊

n=3 だけ？

一般にarctan(1/n)についての性質を調べていたら、次のような関係式が成立していくことに気付きました。
arctan(1)-arctan(1/2)=arctan(1/3)
arctan(1)-arctan(1/3)=arctan(1/3)+arctan(1/7)
arctan(1)-arctan(1/4)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)
arctan(1)-arctan(1/5)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)
arctan(1)-arctan(1/6)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)
arctan(1)-arctan(1/7)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)
arctan(1)-arctan(1/8)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)+arctan(1/57)
arctan(1)-arctan(1/9)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)+arctan(1/57)+arctan(1/73)
arctan(1)-arctan(1/10)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)+arctan(1/57)+arctan(1/73)+arctan(1/91)

解答ありがとうございます。
n=3だけな気がしますよね。しかし証明が難しいです、、、。
Σarctan(1/(k^2+k+1)) =Σarctan(1/k)-arctan(1/(k+1)) =arctan(1/1)-arctan(1/(n+1)) ですね！

あと一歩まで迫っている感じですが、直感的には自明な最後の部分をどう証明したものか……。


この複素数は、実部虚部とも整数です。
よって、準虚数であるならばこの複素数の絶対値は自然数です。
したがって、
√2 * √5 * √10 * …… * √(n^2+1)
が自然数になること、すなわち
2 * 5 * 10 * …… * (n^2+1)
が平方数になることが、必要条件となります。

ところで、k^2+1 がある素数 p の倍数になるような自然数 k は、1≦k≦p-1 の範囲に高々 2 つしかなく、2 つある場合はその和が p になります。

すなわち、積
2 * 5 * 10 * …… * (n^2+1)
の中で k^2+1 が素数である場合、これが平方数になるには少なくとも (k^2-k+1)^2+1 まで積が続いている必要があります。

さて、n≧4 の解があるかどうかを考えます。

4^2+1 = 17 は素数です。
よって、n ≧ 17-4 = 13 である必要があります。

10^2+1 = 101 は素数です。
よって、n ≧ 101-10 = 91 である必要があります。

90^2+1 = 8101 は素数です。
よって、n ≧ 8101-90 = 8011 である必要があります。

これが有限の連鎖で止まることが n≧4 である解が存在する必要条件（十分条件ではない）です。
つまり、対偶を取れば、この連鎖が無限に続くことが示されれば n≧4 に解が存在しない証明となります。
直感的には自明な感じがしますが、いざ証明しろといわれると、さてどうしたものか。

解答ありがとうございます。
なるほど！つまりn^2+1型素数が無限に存在すれば良いということになりますね。しかし、これはブニャコフスキー予想として未解決問題になっているようです、、、。難しい。

少し違いますね。
n^2+1 型素数が無限にあっても、この連鎖が無限に続くとは限りません。
例えば（実際にそんなことはないと思いますが）、
もし90^2+1 の次に素数になるのが (10000を超える数)^2+1 だった場合、連鎖が途切れている9000前後のところに解がある可能性は残ります。

また、ブニャコフスキーは一般的な多項式についての話ですが、
n^2+1に限った話であればもっと単純に解決する可能性は十分にあるでしょう。

https://oeis.org/A101686
↑こちらによると、この数列で平方数は1と100だけと証明されているそうです。
よって解はn=3のみですね。

ありがとうございます！またじっくり読んでみます！
それではこういう問題でも面白いかもしれないです。

複素数 z = (1^n + i)(2^n + i)(3^n + i)· · ·(k
^n + i) が純虚数となる正の整数の組 (k, n) を求めてください。

(1^2+1)*(2^2+1)*(3^2+1)*･････*(n^2+1)
が平方数となるのはn=3のみ
に対し
(2^2-1)*(3^2-1)*(4^2-1)*･････*(n^2-1)
が平方数となるnは？
が面白かったです。

> (2^2-1)*(3^2-1)*(4^2-1)*･････*(n^2-1) が平方数となるnは？
n=((3+2√2)^(k+1)+(3-2√2)^(k+1)-2)/4　（kは正整数）
でしょうか。

一般式で作れるんだ！
ピタリ一致しています。

> 複素数 z = (1^n + i)(2^n + i)(3^n + i)· · ·(k
> ^n + i) が純虚数となる正の整数の組 (k, n) を求めてください。

n≧2 の場合、(2^n+i) 以降の偏角の合計が π/4 に届きません。
したがって積の実部は常に正であり、純虚数にはなりません。
よって n=1 の場合のみ考えればよく、元の問題に帰着します。

5点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5)を通る広義の二次曲線(※)の方程式は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|x4^2 x4*y4 y4^2 x4 y4 1|
|x5^2 x5*y5 y5^2 x5 y5 1|

※広義の二次曲線…「非退化二次曲線(楕円・放物線・双曲線)」、「2直線」、「1点」、「1直線」


******


垂心系をなさない4点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)を通る広義の直角双曲線(※※)の方程式は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|x4^2 x4*y4 y4^2 x4 y4 1|
|1 0 1 0 0 0|

あるいは、式変形すれば、
|x^2-y^2 x*y x y 1|
|x1^2-y1^2 x1*y1 x1 y1 1|
|x2^2-y2^2 x2*y2 x2 y2 1| = 0
|x3^2-y3^2 x3*y3 x3 y3 1|
|x4^2-y4^2 x4*y4 x4 y4 1|

※※広義の直角双曲線…「狭義の直角双曲線(漸近線が直交する双曲線)」、「直交する2直線」、「1直線」


ちなみに、4点A,B,C,Dが垂心系をなす場合、上式の左辺は(x,y)に依らず恒等的に0になります。
これが意味するのは、任意の点が(4点を通る)広義の直角双曲線上にあるということです。
実際のところは、垂心系をなす4点を通る広義の直角双曲線が無数に存在し、この4点を除く任意の点はそれらのうちの1本の上にあります。



******


GAIさんが載せた円の方程式も、次のように書けば二次曲線に条件付加されたものというのがわかりやすくなります。
ただこの式は行列式の展開と基本変形により簡単にGAIさんの式になるので、メリットはあまりありませんが……。


3点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)を通る広義の円(※※※)の方程式は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|1 0 -1 0 0 0|
|0 1 0 0 0 0|

※※※広義の円…「狭義の円」、「1直線」

945
gp > sigma(945)-945
%485 = 975
他にも多くの過剰数は奇数の中に見つかると思います。
圧倒的に一位の数は5のパターンが起こりやすいのですが，他にも
81081
153153
207207
189189
などのそうでもないものも存在しているようです。

GAIさん、早速のお返事ありがとうございます。
二桁では、見つかりませんでした。
無謀にも、奇数の完全数が、ないことを背理法で示そうとしていました。
Ｎ＝Ｐ＾α…Ｑ＾βを奇素数の積として、
（１＋…＋Ｐ＾α）…（１＋…＋Ｑ＾β）＝2Ｎが、成り立つとき
右辺は、素因数２が、一つだけなので、左辺の一つが、奇数個、他は偶数個の素因数になることがわかりました。Ｐが奇数個として、
α＝４ｋ＋３のときは、４の倍数になり、矛盾
α＝４ｋ＋１のときは、Ｐ＝４h＋１と、４h＋３に場合分けをしましたが、それ以上は進めませんでした。

1,4,9,16,…の隣接項の差が3,5,7,…で正の奇数は2個以下の平方数で表せますので
「ある数」が奇数ならそのまま2個以下で、偶数なら奇数の平方数を足すか引くかして奇数にすることで
結局3個以下で表せますね。

（追記）
奇数は2平方数の差で表せますが、統一的に3平方数の加減で表す式を作りました。
任意の整数n（負の数も含む）に対して
(5[n/2]+17)^2-(10[n/2]+15-3n)^2-(4n+8-5[n/2])^2=n
が成り立ちます（[　]はガウス記号）。
ガウス記号を使わずに
{(10n+63+5(-1)^n)/4}^2-{(4n+25+5(-1)^n)/2}^2-{(6n+37-5(-1)^n)/4}^2=n
のようにも表せますが、少し長くなります。
（各{　}内は整数になります）
第2項のカッコ内はn=-5のときだけ0、第3項のカッコ内はn=-7のときだけ0であり、
6^2-5^2-4^2=-5, 1^2-2^2-2^2=-7が成り立つことから、
「任意の整数は(自然数)^2-(自然数)^2-(自然数)^2の形で表せる」
ことが言えます。
※符号を反転することで(自然数)^2+(自然数)^2-(自然数)^2の形でも表せることになります。

本日の日付(西暦2024年3月20日) にあわせて。平方数マイナス平方数マイナス平方数で表記。

50600817^2 -40480655^2 -30360488^2

= 20240320

なるほど強い………

らすかるさん凄い

なるほど凄い。

投稿後に、ふと思いましたが。

50600817^2 -40480655^2 -30360488^2 = 20240320

これ、
5^2 -4^2 -3^2 = 0
のピタゴラスの三平方の定理を満たす、5,4,3
の組みをちょっとずらしている感じがしました。

> 5,4,3の組みをちょっとずらしている感じがしました。
式の作り方からして結果的にそうなります。
着想は
(am+b)^2-(cm+d)^2-(em+f)^2=2m or 2m+1
から
a^2-c^2-e^2=0
ab-cd-ef=1
b^2-d^2-f^2=0 or 1
という方程式を解くことです。
プログラムを作って探索すると
(5m+3)^2-(4m+2)^2-(3m+2)^2=2m+1
(5m+9)^2-(4m+8)^2-(3m+4)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+12)^2-(3m+12)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+15)^2-(3m+8)^2=2m
(5m+29)^2-(4m+21)^2-(3m+20)^2=2m
(5m+35)^2-(4m+30)^2-(3m+18)^2=2m+1
(13m+9)^2-(12m+8)^2-(5m+4)^2=2m+1
(13m+17)^2-(12m+15)^2-(5m+8)^2=2m
(13m+19)^2-(12m+18)^2-(5m+6)^2=2m+1
(13m+37)^2-(12m+35)^2-(5m+12)^2=2m
(17m+5)^2-(15m+4)^2-(8m+3)^2=2m
(17m+9)^2-(15m+8)^2-(8m+4)^2=2m+1
(17m+13)^2-(15m+12)^2-(8m+5)^2=2m
(17m+35)^2-(15m+30)^2-(8m+18)^2=2m+1
(25m+19)^2-(24m+18)^2-(7m+6)^2=2m+1
(25m+33)^2-(24m+32)^2-(7m+8)^2=2m+1
(25m+37)^2-(24m+35)^2-(7m+12)^2=2m
(29m+5)^2-(21m+4)^2-(20m+3)^2=2m
(29m+17)^2-(21m+12)^2-(20m+12)^2=2m+1
(37m+13)^2-(35m+12)^2-(12m+5)^2=2m
(37m+19)^2-(35m+18)^2-(12m+6)^2=2m+1
(37m+25)^2-(35m+24)^2-(12m+7)^2=2m
(41m+33)^2-(40m+32)^2-(9m+8)^2=2m+1
のようにたくさん見つかりますが、上に書いた式は最も簡単な
(5m+17)^2-(4m+12)^2-(3m+12)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+15)^2-(3m+8)^2=2m
の二つをnの偶奇どちらでも成り立つように
(5m+17)^2-(4m+27/2+(3/2)(-1)^n)-(3m+10-2(-1)^n)=n
のようにまとめ、mを[n/2]に、(-1)^nを4[n/2]-2n+1に置き換えて
整理したものなので、値は5：4：3に近くなります。
(13m+17)^2-(12m+15)^2-(5m+8)^2=2m
(13m+19)^2-(12m+18)^2-(5m+6)^2=2m+1
の二つをまとめて
(13m+18-(-1)^n)^2-(12m+33/2-(3/2)(-1)^n)^2-(5m+7+(-1)^n)^2=n
として整理した場合は
(9[n/2]+17+2n)^2-(6[n/2]+15+3n)^2-(9[n/2]+8-2n)^2=n
という式になり、これにn=20240320を代入すると
131562097^2-121441935^2-50600808^2=20240320
となって13：12：5に近くなります。

らすかるさん、素晴しい解説を有難うございます。

(1)
1+t+t^2=(t^3-1)/(t-1)でt=[3]√2とおくと
1+[3]√2+[3]√4=1/([3]√2-1)
また
1-t+t^2=(t^3+1)/(t+1)でt=[3]√2とおくと
1-[3]√2+[3]√4=3/([3]√2+1)
よって
{1-[3]√2+[3]√4}^3={3/([3]√2+1)}^3=27/(2+3[3]√4+3[3]√2+1)
=9/(1+[3]√2+[3]√4)=9([3]√2-1)
なので
[3]√(1/9)-[3]√(2/9)+[3]√(4/9)=[3]√([3]√2-1)

(2)
a=[3]√2, b=[3]√5とおくと
[3]√2+[3]√20-[3]√25=a+a^2b-b^2
(a+a^2b-b^2)^2
=a^2+a^4b^2+b^4+2a^3b-2ab^2-2a^2b^3
=a^2+2ab^2+5b+4b-2ab^2-10a^2
=9b-9a^2
=9([3]√5-[3]√4)
なので
([3]√2+[3]√20-[3]√25)/3=√([3]√5-[3]√4)

( A*x^2 + B*x*y + C*y^2 )^3 の A, B, C を適当に決めたものを用意します。
例として、( x^2 - x*y + y^2 )^3 でやります。

まず、展開します。
x^6 - 3*x^5*y + 6*x^4*y^2 - 7*x^3*y^3 + 6*x^2*y^4 - 3*x*y^5 + y^6

指数を 3 で割ったあまりが等しいものをまとめます。
( x^6 - 7*x^3*y^3 + y^6 ) + x^2*y*( - 3*x^3 + 6*y^3 ) + x*y^2*( 6*x^3 - 3*y^3 )

どこかの ( ) 内が 0 になるように x^3 と y^3 の値を決め、全ての ( ) 内に代入します。
例として、x^2*y*( - 3*x^3 + 6*y^3 ) が 0 になるように、x^3 = 2, y^3 = 1 とします。
- 9 + 9*x*y^2

これで、
( x^2 - x*y + y^2 )^3 = - 9 + 9*x*y^2
ができましたので、
x^2 - x*y + y^2 = ( - 9 + 9*x*y^2 )^(1/3)
が得られました。

残った x, y にも三乗根の形で代入し、両辺 9^(1/3) で割れば、
[3]√([3]√2 - 1) = [3]√(1/9) - [3]√(2/9) + [3]√(4/9)
が得られます。


似たような方法で同様の式がいくらでも作れますね。

DD++さんのアドバイスにより
(x^2-2*x*y+y^2)^3の展開式から
[3]√(25/9) - [3]√(80/9) + [3]√(4/9) = [3]√(7*[3]√(20) - 19)　の等式が発生

gp > sqrtn(25/9,3)-sqrtn(80/9,3)+sqrtn(4/9,3)
%45 = 0.097375599902564072029769441954982002773
gp > sqrtn(7*sqrtn(20,3)-19,3)
%47 = 0.097375599902564072029769441954982004339

------------------------------------------------
(x^2-3*x*y+y^2)^3の展開式から
- [3]√(100) + [3]√(810) - [3]√(9) = [3]√(1241 - 273*[3]√(90)) の等式が発生

gp > -sqrtn(100,3)+sqrtn(810,3)-sqrtn(9,3)
%52 = 2.6000248611968935936928541072898271257
gp > sqrtn(1241-273*sqrtn(90,3),3)
%53 = 2.6000248611968935936928541072898271256

-----------------------------------------------
(x^2-4*x*y+y^2)^3の展開式から
- [3]√(289/9) + 4*[3]√(68/9) - [3]√(16/9) = [3]√(631 - 91*[3]√(272)) の等式が発生

gp > -sqrtn(289/9,3)+4*sqrtn(68/9,3)-sqrtn(16/9,3)
%56 = 3.4591342953019819946599609819643520211
gp > sqrtn(631-91*sqrtn(272,3),3)
%55 = 3.4591342953019819946599609819643520211

天才になれたような感覚になりました。

√(n+3√n) - √(n-√n)→2

(n!)^(1/n) - (n-1)!^(1/(n-1))→1/e

などが起こりそうですが

ちょっと話題がずれますが
∞ - ∞
のテーマとして、朝永振一郎先生ほかがノーベル賞をもらった「くりこみ理論」というのを思い出しました。

御参考: http://catbirdtt.web.fc2.com/kurikomirironntohananika.html

Dengan kesaktian Indukmuさんが紹介されたリンクを読んでみて、そこに出てきた137という素数に
魅せられた人物にファインマンとパウリを思い出します。
時にパウリは若くして(58歳)膵臓癌で亡くなったというが、その時に入院していた部屋の番号が正に
興味を抱き続けていた数値にピタリ一致した137号室であったことに、自分の運命を察知したという
逸話が伝えられているという。
数学者もそうですが、物理学者もほんとに些細なことに細心の注意を払い背後に潜む関係性や法則を
ものの見事に掴む力が半端ないですね。
ボーと生きてんじゃねーよとチコちゃんに叱られそうです。

(Σ１/k)^2－Σ１/ｌｍ（ｌとｍは異なる）＝Σ１/n^2
これを、無限に計算すると、どうでしょうか？

√（n^2+2n）ー　n 　→　１

「０以外の４つの数が異なるときは、必ず１０を創ることが可能」

演算を四則演算に限って括弧の使用をゆるし、4つの数は一桁の数で、互いに相異なる、との意味ですね。

おめでとうございます。
今、頭にあるのは、
２と５を作ること。
A＋B＝１０となること
当たり前の、結果だけです。
二つ、三つ同じときのパターンんで定式化できるものを考え中です。

たとえばこういうことでしょうか？

◆を乗除算、□を加減算とし、
(a◆(b□(c÷d)))
のパターンで【のみ】メイクテンが可能なのは
以下の４通りです。

1158 (8÷(1-(1÷5)))=10
1199 (9×(1+(1÷9)))=10
1337 (3×(1+(7÷3)))=10
3478 (8×(3-(7÷4)))=10

> Dengan kesaktian Indukmuさん
1555 (5×(1＋(5÷5)))=10
1566 (5×(1＋(6÷6)))=10
1599 (5×(1＋(9÷9)))=10
2289 (2×(9－(8÷2)))=10
2477 (2×(4＋(7÷7)))=(7×(2－(4÷7)))=10
2666 (2×(6－(6÷6)))=10
3577 (5×(3－(7÷7)))=10
3588 (5×(3－(8÷8)))=10
もあるのでは？
# 「c÷dが整数になるものを除く」ということでしょうか。

らすかるさん。

(a◆(b□(c÷d)))
のパターンで【のみ】

のつもりでした。

1555 では、
(1+5÷5)*5
もありますので、【のみ】には該当しませんでした。

そういう考え方ならば、
1199は(1+1÷9)×9=10
1337は(1+7÷3)×3=10
3478は(3-7÷4)×8=10
とも書けますので、該当するのは1158だけですね。
# ◆に乗算を使うものと□に加算を使うものはすべて除外されますので、
# 条件を満たすのは(a÷(b－(c÷d)))というパターンのみになりますね。

らすかるさん。

参りました。(⁠ノ⁠^⁠_⁠^⁠)⁠ノ


#新年早々に思い込み発動でした。お恥ずかしいことです。

別件ですが、
９，９，９，９に対して、
（９×９＋９）÷９＝(９＋９×９)÷９＝１０
和と積は、交換可能であるので、１通りと数えると、
他に、１通りの数、２通り、３通り、…、□
を求む。

> 和と積は、交換可能であるので、１通りと数えると、
例えば
5÷(9÷(9+9))＝10
と
5÷9×(9+9)＝10
は１通りと数えないのでしょうか。
どこまでを１通りと考えるかがあまり簡単ではない気がします。

定義は、難しいですね。
４－２と4÷２は、記号が、異なるので別だというのは、
どうでしょうか？　
()の個数とか。
２を×か、１/２で÷かですよね。微妙

5555
5+5+5-5=10
(5+5)÷５×５＝１０
５÷５×５＋５＝１０
５×５÷５＋５＝１０
とりあえず、４通り以上？

5＋5＋5－5=10
5＋5－5＋5=10
5－5＋5＋5=10
5＋5－(5－5)=10
5－(5－5)＋5=10
5－(5－5－5)=10
5－(5－(5＋5))=10
5＋5×5÷5=10
5×5÷5＋5=10
5＋5÷5×5=10
5÷5×5＋5=10
5÷5×(5＋5)=10
5×(5＋5)÷5=10
5÷(5÷5)＋5=10
5＋5÷(5÷5)=10
5÷(5÷(5＋5))=10
(5＋5)×5÷5=10
(5＋5)÷5×5=10
(5＋5)÷(5÷5)=10
これだけある中でどれとどれを同一視するか、ということになりますね。

二通候補
２２２２
２×２×２＋２＝１０
（2＋２）×２＋２＝１０

55xy の形の4ケタの整数は、
１つの例外を除いて、１０を創ることができそうです。

5548と5584の二つ？

脱線ですが
5548 で 30 を作るの、ちょっとだけ面白いです。

1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27 (%)
で全部ですかね。

水の量を w (g) 、食塩の量を s (g) 、食塩水濃度を x% (0<x<28.20) とすると、
s/(w+s) = x/100
つまり
w = (100-x)s/x
となります。

w≦50 であれば w と s をどちらも 2 倍にした解が存在します。
そして、100-x と x が互いに素でない場合、右辺が整数になる最小の s をとれば、w≦49 の解が存在します。
よってこの場合は唯一解になりません。
したがって、100-x と x が互いに素、つまり x と 100 が互いに素な場合のみ考えれば十分です。

この場合、s は x の倍数です。
そして、s=x の解は必ず存在するので、条件を満たすには s=2x の解が存在しないことが必要十分条件になります。
すなわち 100-x>50 である必要がありますが、そもそも食塩水濃度は 0<x<28.20 しか存在し得ないので、意味のない心配でした。
よって、x は 100 と互いに素な 28.20 未満の整数が答えということで、答えは冒頭の 10 個になります。

（27%食塩水は室温じゃ存在しませんが、熱水を使った食塩水もまあ食塩水には変わりないので濃度上限を 28.20% とすることで解答に含めました）

食塩水濃度を x% (0<x<28.20) とすると
の理由がどうしてつくのかが、私は理解できないでいます。
この部分の説明をお願いします。

水１００ｇに溶ける食塩の量は、０度では３５．６ｇ（２６．３％）、２０度では３５．８ｇ（２６．４％）、
４０度では３６．３ｇ（２６．６％）、・・・、１００度では３９．３ｇ（２８．２％）であることが知られています。
従って、食塩水の濃度は、２８．２％が限界となります。食塩水の中に食塩の沈殿物があってもかまわないという観点
では、もちろんこの限りではありませんが、食塩水の問題で沈殿物を想定することは今まで経験がありません。飽和水
溶液という観点で、算数の問題は作成されていると思います。

飽和食塩水という観念が全く抜け落ちてしまっていた。
食塩水の問題を作るとき、うっかり30%の食塩水がとかの表現をしたら失笑ものになりますね。
くわばら、くわばら

管理人さんの追加の解答って、筋は通ってるんでしょうか？
片方は 9 分で片方は 10 分だと、バスの進んだ距離が変わってくるんですが……。

バスが１０分で到達した距離を速さを増した自転車が９分で到達したと考えたのですが．．．。
速度は、相対速度　バスの速度＋自転車の速度　で計算しています。

1日考えてやっと理解しました。

バス（と自転車）が１０分で到達した距離（の合計）を（バスと）速さを増した自転車が９分で到達した（ので、それぞれの相対速度を表すことで方程式を立てた）

で理解あってますか？

合っていると思います。それにしても、「バスに２０分ごとに追い越されました」という条件を使わずに解けてしまうのは何なのでしょうね？
バスの速さを分速ｕ(ｍ)、自転車の速さをｖ(ｍ)とし、ｕ、ｖ を別個に求めるには、「バスに２０分ごとに追い越されました」の条件が必要ですが、
バスの間隔 Ｌ(ｍ)を求めるだけだったら、相対速度 ｕ＋ｖ が分かれば十分で、このことは、もしかしたら灘中学の出題者の方も気がつかなかった
のかもしれないですね！