😊出会いの泉😊

(b*i+c*j+d*k)^2=-(b^2+c^2+d^2)+(b*c-c*b)*k+(c*d-d*c)*i+(d*b-b*d)*j=-(b^2+c^2+d^2)
なので、b^2+c^2+d^2=1となるb*i+c*j+d*kがx^2+1=0の解になります。

ありがとうございます。
a+bi+cj+dk の中で、a=0 ならば、任意のb,c,dに対して
ｘ＝（bi+cj+dk）/√（b^2+c^2+d^2）x^2=-1
a＝０でない場合は、無いみたいですね。

あ、時計がずれてたのか9時9分投稿に失敗した……。


一応、例示も置いときます。

例1：602214076 は、1 未満の数字が 2 回、2 未満の数字が 3 回、3 未満の数字が 5 回、4 未満の数字が 5 回、5 未満の数字が 6 回、6 未満の数字が 6 回、7 未満の数字が 8 回、8 未満の数字が 9 回、9 未満の数字が 9 回、登場するので条件を満たす。

例2：299792458 は、1 未満の数字が 0 回だったり、7 未満の数字が 4 回だったり、偽になる命題が存在するので条件を満たさない。

例3：101325 は、9 桁表示の 000101325 で個数をカウントするので、条件を満たす。

99,999,999(個)でしょうか？

1～10 では9(個)
1～10^2 では80
1～10^3 では700
1～10^4 では6,000
1～10^5 では50,000
1～10^6 では400,000
1～10^7 では3,000,000
1～10^8 では20,000,000
1*10^8+1～2*10^8では 15,217,031
2*10^8+1～3*10^8では 13,119,879
3*18^8+1～4*10^8では 11,708,091
4*10^8+1～5*10^8では 10,546,875
5*10^8+1～6*10^8では 9,453,125
6*10^8+1～7*10^8では 8,291,909
7*10^8+1～8*10^8では 6,880,121
8*10^8+1～9*10^8では 4,782,968
9*10^8+1～10^9-1では 0
よって
10^8+1～10^9-1では79,999,999
以上から
1～999,999,999で条件を満たすものは20,000,000+79,999,999=99,999,999(個)
の模様です。

正しく9に纏わるDD++さんらしい問題でした。

正解です、お見事！
問題も正解も投稿日時もキューだらけの問題でした。

きっとスマートな解法があるのでしょうが、思いつかないので力技です。



n ≧ m ≧ 1 とする。
0, 1, ..., m の m+1 種類の数を重複を許して一列に n 個並べるとき、
1 ≦ q ≦ m となる任意の整数 q について q 未満の数を q 個以上含むような並べ方の数を f(m,n) とおく。

[1] m = 1 のとき
条件を満たさないものは並べる数のすべてが "1" となる場合の 1 通りなので、
f(1,n) = 2^n - 1
となる。

[2] m ≧ 2 のとき
並べる数のなかの "m" の個数を k 個として k で場合分けする。
k > n-m の場合は m 未満の数が m 個未満となってしまうため、条件を満たさない。
0 ≦ k ≦ n-m の場合、数 "m" の配置方法が nCk 通りあり、その各々に対して残りの数の並べ方が f(m-1,n-k) 通りある。
よって、
f(m,n) = Σ[k=0,...,n-m] nCk * f(m-1,n-k)
となる。

[1],[2]を用いて順次計算していくと次のようになる。

f(1,1) = 1
f(1,2) = 3
f(1,3) = 7
f(1,4) = 15
f(1,5) = 31
f(1,6) = 63
f(1,7) = 127
f(1,8) = 255
f(1,9) = 511

f(2,2) = 3
f(2,3) = 16
f(2,4) = 61
f(2,5) = 206
f(2,6) = 659
f(2,7) = 2052
f(2,8) = 6297
f(2,9) = 19162

f(3,3) = 16
f(3,4) = 125
f(3,5) = 671
f(3,6) = 3130
f(3,7) = 13686
f(3,8) = 57867
f(3,9) = 240049

f(4,4) = 125
f(4,5) = 1296
f(4,6) = 9031
f(4,7) = 54062
f(4,8) = 301321
f(4,9) = 1616764

f(5,5) = 1296
f(5,6) = 16807
f(5,7) = 144495
f(5,8) = 1059261
f(5,9) = 7196785

f(6,6) = 16807
f(6,7) = 262144
f(6,8) = 2685817
f(6,9) = 23343742

f(7,7) = 262144
f(7,8) = 4782969
f(7,9) = 56953279

f(8,8) = 4782969
f(8,9) = 100000000

f(9,9) = 100000000


求めるものは、 m = 9, n = 9 の場合の数から並べる数のすべてが "0" となる 1 通りを除いたものなので、
f(9,9)-1 = 99999999
通りとなる。



計算結果を見ると、
f(m,m) = (m+1)^(m-1)
になるみたいですね。

なるほど、そういうこともできるんですね。
結論にスパッと切り込む方法としては、
(314159265, 425260376, 536371487, ……, 203048154)
のように数字を 1 つずつずらした数からなる 10 個組を作ると、9 個の命題のうち何個満たされるかが全て異なることを証明することでしょうか。

そうすれば 999,999,999 個のうちゾロ目を除いた 999,999,990 個中 10 個に 1 個が条件を満たすことから 99,999,999 個であるとすぐにわかります。

まあ、満たされる命題数が全て異なることの証明が手間になるわけですけども。

りらひいさんの漸化式が面白かったので、これでいろいろ遊んでいたら
OEISでA373086がたまたまヒットした。
ここにリンクで張られた論文が関連するように思われるんですが、自分にはわからない部分が
多くて手ごわくて、りらひいさんならよく理解されるのではないかと思いました。

確かに、そうやってもよかったですね。

Dengan kesaktian Indukmuさん
ご返信ありがとうございます。
>P を 4 で割ったときの余りが 3 のときは大丈夫ですか？
Pを４で割った余りが１でないと、今のところ計算出来ません。

あっすみません、
勘違いして自明な質問をしてしまっていたため削除したところなのでした。
お詫びいたします。

Dengan kesaktian Indukmuさん
了解いたしました
また、ご質問等あればお待ちしております。^v^

お試しですが。

条件【※ただしaは3以上の奇数、bは(2×(aの桁数)＋1)桁以上の偶数】での、桁数の縛りについては確かめておりませんけれども、奇数^2 +偶数^2 であることを個人的には確かめた気持ちになっている以下のPをお願いします。下記のPについては素因数分解の結果を知っております。

P = 10^110 +1
桁数のオーダーが甘くてすみません。

Dengan kesaktian Indukmuさん
>P = 10^110 +1
P=(10^55)^2+1^2
= 89 × 101 × 661 × 3541 × 18041 × 27961 × 148721 × 1052788969 × 1056689261 × 1121407321 × 1395900370 916327245555441901 × 36380545029953205956377406702261
ですかね（素因数分解は他力で行いましたw）

aがn桁、bが2n+1桁以上ならば
10^(n-1)≦a＜10^n, b≧10^(2n)
となり
(b+1)^2-(b^2+a^2)=2b+1-a^2＞2・10^(2n)+1-10^(2n)=10^(2n)+1＞0
から
(b+1)^2＞a^2+b^2＞b^2
なので
b=[√P]　（[　]はガウス記号）
でbが求まりますね。
上記はa,bの偶奇と関係ありませんので、
「bが(2×(aの桁数)+1)桁以上」という条件さえあれば、
a,bの偶奇にかかわらず求められると思います。

らすかるさん
ご返信ありがとうございます
さすらすです！
（流石らすかるさんの略w）

私の場合aから求める方法を試していたので
ご指摘には目から鱗です
ありがとうございます。

[2114] で私が依拠したのは以下の定理なのでした。


合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方（冪指数が偶数）になっていることである。


素因数分解して上を確認できる大きな数を探したのです。
そうしたら自明なものになってしまっていました。申し訳ないことです。

Dengan kesaktian Indukmuさん
了解いたしました。

らすかるさんの方法を応用して
桁数差を減らす事は可能でしょうか
例えば
「bが(2×(aの桁数))桁以上」
「bが(2×(aの桁数)-1)桁以上」
等a,bの桁数差を減らす事は可能でしょうか。

なぜ十進数で桁数を？
と初見で感じました。
私も期待しています。

上に書いた方法は要は(b+1)^2-(b^2+a^2)=2b+1-a^2＞0であれば良いので
a^2＜2b+1すなわちa^2≦2bであればb=[√P]が成り立ちます。
bが2n桁でも良いようにするためには、例えばb+1をb+5に変えると
(b+5)^2-(b^2+a^2)=10b+25-a^2＞0すなわちa^2＜10b+25
→b＜√P＜b+5すなわち[√P]-5＜b≦[√P]
つまりbは[√P],[√P]-1,[√P]-2,[√P]-3,[√P]-4のどれかなので
この5個で計算してみればbが2n桁の場合も対応できるようになります。
同様に[√P]～[√P]-49の50個で計算すればbが2n-1桁でもOK、
[√P]～[√P]-499の500個で計算すればbが2n-2桁でもOKのようになりますが、
巨大数でbを(定数)桁縮めたところであまり意味はないような気がします。

らすかるさん
詳しい解説有難うございます
やはり難しい事を再確認いたしました
自分なりにまた考えてみたいと思います
ありがとうございました。

2544通りですか？

正解です。

X,Y,Z,Wの銘柄を1回ずつ飲むと100+200+300+400=1000円で、残りの500円を分配する方法は、
XW,YZ,XXZ,XYY,XXXY,XXXXXの6つの場合があり、
XYZWとXWの場合、6!/(2!*1!*1!*2!)=180通り
XYZWとYZの場合、6!/(1!*2!*2!*1!)=180通り
XYZWとXXZの場合、7!/(3!*1!*2!*1!)=420通り
XYZWとXYYの場合、7!/(2!*3!*1!*1!)=420通り
XYZWとXXXYの場合、8!/(4!*2!*1!*1!)=840通り
XYZWとXXXXXの場合、9!/(6!*1!*1!*1!)=504通り
より、合計180+180+420+420+840+504=2544通り

これを一般化して
n(円)の資金をもって
毎日単価が1,2,3,･･･,k (円) ただしk<n
の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたとき、少なくとも全銘柄のビールは飲んだことが起こる
お金の使い方の方法は総計どれだけ？
これを明示式で示せるか？
またはこれを読み取れる母関数は作れるのか？
ちなみに
k=2のとき
gf=1+1/(1-x-x^2)-1/(1-x)-1/(1-x^2)
k=3のとき
gf= x^6/(1-x-x^2-x^3)*(1/((1-x)*(1-x-x^2))+1/((1-x^2)*(1-x-x^2))+1/((1-x)*(1-x-x^3))+1/((1-x^3)*(1-x-x^3))+1/((1-x^2)*(1-x^2-x^3))+1/((1-x^3)*(1-x^2-x^3)))

k=4のときの母関数は如何に？
どなたかヒントを

>n(円)の資金をもって
>毎日単価が1,2,3,･･･,k (円) ただしk<n
>の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
>資金を使い果たしたとき、少なくとも全銘柄のビールは飲んだことが起こる
>お金の使い方の方法は総計どれだけ？
>これを明示式で示せるか？

お金の使い方の総数をa(n)とすると、a(n)は次の式で計算できます。
a(n)=[x^n](∫_[z=0,∞]exp(-z)*Π[j=1～k](exp(x^j*z)-1)dz)．

例えばk=4の場合：
exp(-z)*Π[j=1～4](exp(x^j*z)-1)を展開すると、次のようになります。
exp(-z)*Π[j=1～4](exp(x^j*z)-1)
=exp(-z)*(exp(x*z)-1)*(exp(x^2*z)-1)*(exp(x^3*z)-1)*(exp(x^4*z)-1)
=exp((-1+x+x^2+x^3+x^4)*z)
-exp((-1+x+x^2+x^3)*z)-exp(-1+x+x^2+x^4)-exp(-1+x+x^3+x^4)-exp(-1x^2+x^3+x^4)
+exp((-1+x+x^2)*z)+exp((-1+x+x^3)*z)+exp((-1+x+x^4)*z)+exp((-1+x^2+x^3)*z)+exp((-1+x^2+x^4)*z)+exp((-1+x^3+x^4)*z)
-exp((-1+x)*z)-exp((-1+x^2)*z)-exp((-1+x^3)*z)-exp((-1+4)*z)
+exp((-1)*z).

この展開式をz=0～∞の範囲で積分すればxの有理関数が得られます。
その有理関数をマクローリン展開したときのx^nの係数がa(n)です。
a(n)
=[x^n](-1/(-1+x+x^2+x^3+x^4)
+1/(-1+x+x^2+x^3)+1/(-1+x+x^2+x^4)+1/(-1+x+x^3+x^4)+1/(-1+x^2+x^3+x^4)
-1/(-1+x+x^2)-1/(-1+x+x^3)-1/(-1+x+x^4)-1/(-1+x^2+x^3)-1/(-1+x^2+x^4)-1/(-1+x^3+x^4)
+1/(-1+x)+1/(-1+x^2)+1/(-1+x^3)+1/(-1+x^4)
-1/(-1)).

atさん凄いです。
仕方なくn=10から20までの数値をひとつずつ算出して（御蔭で結果的に１ヵ所計算ミスを起こしていることを発見)
k=3での母関数を真似して色々試していたんですがそのすべてが弾かれてしまい、途方に暮れていました。
最初の項だけが一致しているが後は無駄な努力でした。
積分の力で解決されるとは思ってもない道筋でした。
最終型は集合の要素の個数を求める式に類似していますね。（結構覚え易い)
ということはk=3での母関数gfはよりスッキリした
1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2)-1/(1-x-x^3)-1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x)+1/(1-x^2)+1/(1-x^3)-1
でも可能というわけですね。

世の中には物事の本質を見事に掴んでしまう人がいることに感激です。
目から鱗でこんな一般式まで分かってしまうことが驚異でうれしいです。
大変ありがとうございました。
母関数の形にしなくてもコンピュータで数値だけ求めたいなら直接積分型から
gp > F(k)=intnum(z=0,[oo,1],exp(-z)*prod(j=1,k,exp(x^j*z)-1))
で定義しておけばk=9での値は
gp > for(n=45,60,print(n";"round(polcoeff(F(9),n))))
45;362880
46;1814400
47;8467200
48;31752000
49;110255040
50;352416960
51;1073580480
52;3125969280
53;8808347520
54;24105906720
55;64431521280
56;168662148480
57;433730626560
58;1097903933280
59;2740858737120
60;6757827995520
等で一発で求まっていくのですね。（あのめんどくさい作業が夢のようです。)

毎日単価が1円か2円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲むときの場合の数の生成関数については、

1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…=1/(1-x-x^2)

で表され、少なくとも両銘柄のビールを飲んだときの場合の数の生成関数については、

(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…)-(1+x+x^2+…)-(1+x^2+x^4+…)+1
=1/(1-x-x^2)-1/(1-x)-1/(1-x^2)+1

で表されます。

(x+x^2)^m=C(m,0)x^m+C(m,1)x^(m+1)+...+C(m,j)x^(m+j)+...+C(m,m)x^(2m)

なので、n(円)の資金をもって毎日単価が1円か2円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数は、

Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k)

で表され、少なくとも両銘柄のビールを飲んだときの場合の数については、

n=2q+1のとき
Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k) - C(n,0)

n=2qのとき
Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k) - C(n,0) -C(q,q)

となります。F(n)=Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k)とすると、
F(1)=1,F(2)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
となって、F(n)はフィボナッチ数列となります。少なくとも両銘柄のビールを飲んだときの場合の数については、
n=2q+1のときF(n)-1、n=2qのときF(n)-2となります。

毎日単価が1円,2円,3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲むときの場合の数の生成関数については、

1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+…=1/(1-x-x^2-x^3)

で表され、少なくとも全銘柄のビールを飲んだときの場合の数の生成関数については、

(1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+…)
-(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…)-(1+(x+x^3)+(x+x^3)^2+…)-(1+(x^2+x^3)+(x^2+x^3)^2+…)
+(1+x+x^2+…)+(1+x^2+x^4+…)+(1+x^3+x^6+…)-1
=1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2)-1/(1-x-x^3)-1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x)+1/(1-x^2)+1/(1-x^3)-1

で表されます。

2項係数C(n,k)に倣って3項係数C(n,k1,k2)=n!/(k1!k2!(n-k1-k2)!)を用いると、

(x+x^2+x^3)^m=Σ_{k1≧0,k2≧0,k1+k2≦m}C(m,k1,k2)[x^(m-k1-k2)*x^(2*k1)*x^(3*k2)]

なので、n(円)の資金をもって毎日単価が1円,2円,3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数は、

T(n)=Σ_{i=0～floor(n/2),j=0～floor(n/3),i+j≦n}C(n-i-j,i,j)

で表され、T(1)=1,T(2)=2,T(3)=4,T(n)=T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)というトリボナッチ数列となります。

n(円)の資金をもって毎日単価が1円か3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数については、

(x+x^3)^m=C(m,0)x^m+C(m,1)x^(m+2)+...+C(m,j)x^(m+2*j)+...+C(m,m)x^(3m)

より、

n=1のときC(1,0)
n=2のときC(2,0)
n=3のときC(3,0)+C(1,1)
n=4のときC(4,0)+C(2,1)
n=5のときC(5,0)+C(3,1)
n=6のときC(6,0)+C(4,1)+C(2,2)
n=7のときC(7,0)+C(5,1)+C(3,2)
n=8のときC(8,0)+C(6,1)+C(4,2)

となって、一般には、

Σ_{k=0～floor(n/3)}C(n-2*k,k)

で表され、Σ_{k=0～floor(n/3)}C(n-2*k,k)=G(n+1)とすると、
G(1)=1,G(2)=1,G(3)=2,G(n)=G(n-1)+G(n-3)となって、これはナラヤナ数列(Narayana sequence)といいます。

n(円)の資金をもって毎日単価が2円か3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数については、

(x^2+x^3)^m=C(m,0)x^2m+C(m,1)x^(2m+1)+...+C(m,j)x^(1m+j)+...+C(m,m)x^(3m)

より、

n=2のときC(1,0)
n=3のときC(1,1)
n=4のときC(2,0)
n=5のときC(2,1)
n=6のときC(3,0)+C(2,2)
n=7のときC(3,1)
n=8のときC(4,0)+C(3,2)
n=9のときC(4,1)+C(3,3)
n=10のときC(5,0)+C(4,2)
n=11のときC(5,1)+C(4,3)
n=12のときC(6,0)+C(5,2)+C(4,4)

となって、一般には、

Σ_{ceil(n/3)≦k≦floor(n/2)}C(k,n-2*k)

で表され、これをH(n)とすると、H(2)=1,H(3)=1,H(4)=1,H(n)=H(n-2)+H(n-3)
となって、これはパドヴァン数列(Padovan sequence)といいます。

n(円)の資金をもって毎日単価が1円,2円,3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたとき、少なくとも全銘柄のビールを飲んだときのお金の使い方の方法の数については、

T(n)-F(n)-G(n)-H(n)+r(n)
r(n)=3(n mod 6=0),1(n mod 6=1,5),2(n mod 6=2,3,4)

となります。n=1～10で、

T(n) 1,2,4,7,13,24,44,81,149,274
F(n) 1,2,3,5, 8,13,21,34, 55, 89
G(n) 1,1,2,3, 4, 6, 9,13, 19, 28
H(n) 0,1,1,1, 2, 2, 3, 4, 5, 7

となりますが、T(n)-F(n)-G(n)-H(n)+r(n)は、n=1～10で、
0,0,0,0,0,6,12,32,72,152となります。

毎日単価が1円,2円,3円,4円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲むときの場合の数の生成関数については、

1+(x+x^2+x^3+x^4)+(x+x^2+x^3+x^4)^2+…=1/(1-x-x^2-x^3-x^4)

で表され、少なくとも全銘柄のビールを飲んだときの場合の数の生成関数については、

(1+(x+x^2+x^3+x^4)+(x+x^2+x^3+x^4)^2+…)
-(1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+…)-(1+(x+x^2+x^4)+(x+x^2+x^4)^2+…)
-(1+(x+x^3+x^4)+(x+x^3+x^4)^2+…)-(1+(x^2+x^3+x^4)+(x^2+x^3+x^4)^2+…)
+(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…)+(1+(x+x^3)+(x+x^3)^2+…)+(1+(x^2+x^3)+(x^2+x^3)^2+…)
+(1+(x+x^4)+(x+x^4)^2+…)+(1+(x^2+x^4)+(x^2+x^4)^2+…)+(1+(x^3+x^4)+(x^3+x^4)^2+…)
-(1+x+x^2+…)-(1+x^2+x^4+…)-(1+x^3+x^6+…)-(1+x^4+x^8+…)+1
=1/(1-x-x^2-x^3-x^4)
-1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2-x^4)-1/(1-x-x^3-x^4)-1/(1-x^2-x^3-x^4)
+1/(1-x-x^2)+1/(1-x-x^3)+1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x-x^4)+1/(1-x^2-x^4)+1/(1-x^3-x^4)
-1/(1-x)-1/(1-x^2)-1/(1-x^3)-1/(1-x^4)
+1

で表されます。

比べてみたらとても興味深かったです。↓↓↓

https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/108/108-7.pdf

11での和の完全な分割は、

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,6
1,1,1,4,4
1,1,3,3,3
1,1,3,6
1,2,2,2,2,2
1,2,2,6
1,2,4,4

の8通りで、12での積の分割も、

12,2*6,6*2,3*4,4*3,2*2*3,2*3*2,3*2*2

の8通り。

23での和の完全な分割は、

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,12
1,1,1,1,1,1,1,8,8
1,1,1,1,1,6,6,6
1,1,1,1,1,6,12
1,1,1,4,4,4,4,4
1,1,1,4,4,12
1,1,1,4,8,8
1,1,3,3,3,3,3,3,3
1,1,3,3,3,12
1,1,3,6,6,6
1,1,3,6,12
1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2
1,2,2,2,2,2,12
1,2,2,2,8,8
1,2,2,6,6,6
1,2,2,6,12
1,2,4,4,4,4,4
1,2,4,4,12
1,2,4,8,8

の20通りで、24での積の分割も、

24,2*12,12*2,3*8,8*3,4*6,6*4,
2*2*6,2*6*2,6*2*2,
2*3*4,2*4*3,3*2*4,3*4*2,3*4*2,4*3*2
2*2*2*3,2*2*3*2,2*3*2*2,3*2*2*2

の20通り。

1+x+x^2+…+x^11を係数が非負整数となるように因数分解すると、
1+x+x^2+…+x^11
=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x^6)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x^4+x^8)
=(1+x+x^2)(1+x^3+x^6+x^9)
=(1+x+x^2)(1+x^3)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10)
=(1+x)(1+x^2+x^4)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8)
の8通りの形で表すことができますが、このことと関係あるのでしょうか。

なるほど
この完全分割はこの展開式と繋がれるんですね。
ですから2つとも自然数nの素因数分解形のタイプをもって一つ違いの自然数で
和の完全分割と積の分割方法が同じ数値を取っていける。

<n(型)>; <積の分割方法>;<和の完全分割方法>;
1 ; 1; 1;
2(p) ; 1; 1;
3(p) ; 1; 2;
4(p^2) ; 2; 1;
5(p) ; 1; 3;
6(p*q) ; 3; 1;
7(p) ; 1; 4;
8(p^3) ; 4; 2;
9(p^2) ; 2; 3;
10(p*q); 3; 1;
11(p) ; 1; 8;
12(p^2*q); 8; 1;
13(p) ; 1; 3;
14(p*q); 3; 3;
15(p*q); 3; 8;
16(p^4); 8; 1;
17(p) ; 1; 8;
18(p^2*q); 8; 1;
19(p) ; 1; 8;
20(p^2*q); 8; 3;
21(p*q); 3; 3;
22(p*q); 3; 1;
23(p) ; 1; 20;
24(p^3*q); 20; 2;
･････････････

以下素因数分解型と<積の分割方法>とは一対一の対応が付きそうだが
上の例にもある様に
p^2*q型とp^4型は同じ値の8を取ってしまう。
他にも
p^6*q型とp^9型は同じ値256となってしまう。
そこで今度は
そのような分解型が異なっても同じ値を取ってしまう2組をこれ以外に
探してほしい。

p^nの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置する
方法の数と等しくなるので、

1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1)=2^(n-1)

より、2^(n-1)通り。

p^n*qの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
qを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なるので、

3+5*C(n-1,1)+7*C(n-1,2)+...+(2*n+1)*C(n-1,n-1)
=3*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+2*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
=3*2^(n-1)+(n-1)*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)

より、(n+2)*2^(n-1)通り。

p^mの積の分割の数2^(m-1)とp^n*qの積の分割の数(n+2)*2^(n-1)が等しくなるのは、

(n+2)*2^(n-1)=2^(m-1)
n+2=2^(m-n)

より、n=2^k-2(k≧2)のときで、このとき、m=n+k=2^k+k-2
k=2のとき(m,n)=(4,2)、k=3のとき(m,n)=(9,6)であり、以下、
k=4のとき(m,n)=(18,14)、k=5のとき(m,n)=(35,30)、…となる。

p^n*q^2の積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
2個のqを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なり、さらに、両端と区切り上に2個配置する場合は、2個のqを分割して配置する場合と
分割せずに配置する場合があるのでので、方法の数は、

(C(4,2)+2)+(C(5,2)+3)*C(n-1,1)+(C(6,2)+4)*C(n-1,2)
+...+(C(n+3,2)+n+1)*C(n-1,n-1)
=8*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+(9/2)*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+(1/2)*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=8*2^(n-1)+(9/2)*(n-1)*2^(n-2)+(1/2)*n(n-1)*2^(n-3)
=(n^2+17*n+46)*2^(n-4)

より、(n^2+17*n+46)*2^(n-4)通り。

p^n*q*rの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
q,rを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なり、さらに、両端と区切り上にq,rを配置する場合は、q*rとして配置する場合と、
r*qとして配置する場合と、分割せずに配置する場合があるので、方法の数は、

(3^2+2*2)+(5^2+2*3)*C(n-1,1)+(7^2+2*4)*C(n-1,2)
+...+((2*n+1)^2+2*(n+1))*C(n-1,n-1)
=13*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+14*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+4*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=13*2^(n-1)+7*(n-1)*2^(n-1)+n(n-1)*2^(n-1)
=(n^2+6*n+6)*2^(n-1)

より、(n^2+6*n+6)*2^(n-1)通り。

p^n*q^2、p^n*q*rの場合も調べてみましたが、p^n、p^n*qの場合と等しくなる例は
みつかりませんでした。p^n*q^2とp^n*q*rの相互間でもみつかりませんでした。

ご考察ありがとうございます。
この様に式で評価していけるもんなんですね。
自分はひたすら可能な限りでp^a;p^b*q (p=2,q=3で処理）で同じ数値が現れる部分を
拾い集めて
(a,b)=(4,2),(9,6),(18,14),(35,30),(68,62)
まで何とかあつめてみました。

見ていると{a}と{ｂ｝は2,3,4,5,6の差で結ばれているし
4=2^2,9=2^3+1,18=2^4+2,35=2^5+3,68=2^6+4
が見えてきたのでn=1,2,3,･････
a(n)=2^(n+1)+n-1
b(n)=2^(n+1)-2
これを元に先を拾うと
(a,b)=(133,126),(262,254),(519,510),(1032,1022),(2057,2046),････････････
と無限に重なる部分は存在していることになる。

当初の目的は自然数nを素因数分解した時に素数には影響されずその素因数タイプ（指数部分での分類)
をある数値と一対一に当てはめたいのであるが、前々回の調査での
<積の分割方法>;<和の完全分割方法>
のどちらを使っても、上記の重複が起こってしまう。
A034776;Gozinta numbers（A074206で現れる数列をソートして並べたもの)
これに対しIndukmuさんが提示した
0~ｎ^2-1の数字をただ一通りだけn個の要素を持つ２つの集合の和でできる可能性を与える
A273013での数値を使えば
p^4→35
p^2*q→42　;A034776ではどちらも8の値をとる。

p^9→24310
p^6*q→28644　　;A034776ではどちらも256の値をとる。

p^18→4537567650
p14*q→5094808200 ;A034776ではどちらも131072の値をとる。

p^35→ 56093138908331422716
p^30*q→60433201179644187664 ;A034776ではどちらも17179869184の値をとる。

･･････････････････

以下下の式を利用して値が定まっていく。
＊これらの計算ではどんな素数p,qでも
p^a→binomial(2*a,a)/2
p^b*q→(b^2+4*b+2)*binomial(2*b.b)/2
が使える。
A273013参照

と重なる値は分かれて行き、すべての素因数分解でのタイプは
この数値で一対一の対応が出来ることになれると思われます。
なお
n=2～1000までの数字を分類したものが
nの代表 ;素因数のタイプ ;指標の値(A277013で決まる値)　　
2 ;[1]~(p) ;1　(他の素数もすべて)
4 ;[2]~(p^2) ;3　(9,25,49,･･･など)
6 ;[1, 1]~(p*q) ;7 (10,14,15,･･･など)
8 ;[3]~(p^3) ;10 (27,125,343,･･･など)
16 ;[4]~(p^4) ;35
12 ;[2, 1]~(p^2*q) ;42
30 ;[1, 1, 1]~(p*q*r);115
32 ;[5]~ 以下同様 ;126
24 ;[3, 1]~ ;230
36 ;[2, 2]~ ;393
64 ;[6]~ ;462
60 ;[2, 1, 1]~ ;1158
48 ;[4, 1]~ ;1190
128 ;[7]~ ;1716
72 ;[3, 2]~ ;3030
210 ;[1, 1, 1, 1]~ ;3451
96 ;[5, 1]~ ;5922
256 ;[8]~ ;6435
120 ;[3, 1, 1]~ ;9350
180 ;[2, 2, 1]~ ;16782
144 ;[4, 2]~ ;20790
192 ;[6, 1]~ ;28644
216 ;[3, 3]~ ;30670
420 ;[2, 1, 1, 1]~ ;52422
240 ;[4, 1, 1]~ ;66290
288 ;[5, 2]~ ;131796
384 ;[7, 1]~ ;135564
360 ;[3, 2, 1]~ ;180990
432 ;[4, 3]~ ;264740
900 ;[2, 2, 2]~ ;334833
480 ;[5, 1, 1]~ ;430794
840 ;[3, 1, 1, 1]~ ;583670
768 ;[8, 1]~ ;630630
576 ;[6, 2]~ ;788634
720 ;[4, 2, 1]~ ;1636740
864 ;[5, 3]~ ;2050020
960 ;[6, 1, 1]~ ;2628780
で分類されていく。

p^n*qをk個の約数に順序を区別して分割する方法の数をb_1,b_2,b_3,…,b_n,b_(n+1)とすると、
不分割の場合はいうまでもなくb_1=1で、
2分割の場合は、n個のpを2グループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpが不分割で両端のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_2=2*C(n-1,1)+2=2*C(n,1)
3分割の場合は、n個のpを3グループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを2グループに分割して両端と間の1個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_3=3*C(n-1,2)+3*C(n-1,1)=3*C(n,2)
…
k分割の場合は、n個のpをkグループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを(k-1)グループに分割して両端と間の(k-2)個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_k=k*C(n-1,k-1)+k*C(n-1,k-2)=k*C(n,k-1)
…
n分割の場合は、n個のpをnグループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを(n-1)グループに分割して両端と間の(n-2)個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_n=n*C(n-1,n-1)+n*C(n-1,n-2)=n*C(n,n-1)
(n+1)分割の場合は、n個のpをnグループに分割して両端と間の(n-1)個の隙間のいずれかにqを配置する場合のみなので、
b_(n+1)=(n+1)*C(n-1,n-1)=(n+1)*C(n,n)
となります。
p^n*qをk個の約数に順序を区別して分割する方法の数はb_1+b_2+b_3+…+b_n+b_(n+1)なので、
b_1+b_2+b_3+…+b_n+b_(n+1)
=1+2*C(n,1)+3*C(n,2)+…+k*C(n,k-1)+…+n*C(n,n-1)+(n+1)*C(n,n)
=(1+C(n,1)+…+C(n,n))+(C(n,1)+2*C(n,2)+…+n*C(n,n))
=2^n+n*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)
となります。

0～N^2-1の数字をただ一通りだけN個の要素を持つ2つの集合の和でできる可能性を与えるA273013での数値は、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)なので、
N=p^n*qの場合、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[b_1^2+(b_1+b_2)^2+(b_2+b_3)^2+…+(b_n+b_(n+1))^2+b_(n+1)^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+1)^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+…+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2+…+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+C(n,0))^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+…+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2
+…+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
ですが、
k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2)
=k*n!/(n-k+1)!/(k-1)!+(k-1)*n!/(n-k+2)!/(k-2)!
=k*(n-k+2)*n!/(n-k+2)!(k-1)!+(k-1)^2*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1)
より、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[1^2+((2*n+1)^2+…+((n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!)^2+…+(n^2+n+1)^2+(n+1)^2)]
=(1/2)*[(n+1)/(n+1)*C(n+1,0)^2+((n*2+1)/(n+1)*C(n+1,1))^2+…+((n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1))^2
+((n*(k+1)+1)/(n+1)*C(n+1,k))^2+…+((n^2+n+1)/(n+1)*C(n+1,n))^2+((n^2+2n+1)/(n+1)*C(n+1,n+1))^2]
となります。

(1+x)^m*(1+x)^(n-m)=(1+x)^nのx^kの係数を比較すると、
C(m,0)*C(n-m,k)+…+C(m,k)*C(n-m,0)=C(n,k)で、n=2m,k=mとすると、
C(m,0)*C(m,m)+…+C(m,m)*C(m,0)=C(m,0)^2+…+C(m,m)^2=C(2m,m)

(d/dx)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(1+x)^(m-1)*(1+x)^(n-m)=m*(1+x)^(n-1)のx^kの係数を比較すると、
C(m,1)*C(n-m,k)+2*C(m,2)*C(n-m,k-1)+…+k*C(m,k)*C(n-m,1)+(k+1)*C(m,k+1)*C(n-m,0)=m*C(n-1,k)で、n=2m,k=mとすると、
C(m,1)*C(m,m-1)+2*C(m,2)*C(m,m-2)+…+(m-1)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*C(m,m)*C(m,0)
=C(m,1)^2+…+m*C(m,m)^2=m*C(2*m-1,m-1)=m*C(2m-1,m)=m*(2m-1)!/m!/(m-1)!=(m/2)*C(2m,m)

(d^2/dx^2)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(m-1)(1+x)^(m-2)*(1+x)^(n-m)=m(m-1)*(1+x)^(n-2)のx^kの係数を比較すると、
2*C(m,2)*C(n-m,k)+3*2*C(m,3)*C(n-m,k-1)+…+(k+1)*k*C(m,k+1)*C(n-m,1)+(k+2)*(k+1)*C(m,k+2)*C(n-m,0)=m(m-1)*C(n-2,k)で、n=2m,k=mとすると、
2*C(m,2)*C(m,m-2)+3*2*C(m,3)*C(m,m-3)+…+(m-1)*(m-2)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*(m-1)*C(m,m)*C(m,0)
2*C(m,2)^2+3*2*C(m,3)^2+…+m*(m-1)*C(m,m)^2
=m(m-1)*C(2m-2,m-2)=m*(m-1)*C(2m-2,m)=m*(m-1)*(2m-2)!/m!/(m-2)!=(m-1)*(2m-2)!/(m-1)!/(m-2)!
=(m-1)^2*C(2*m-2,m-1)

これらを用いると、

(n*(k+1)+1)^2=n^2*k^2+2*n*k+1=n^2*k(k-1)+n(3*n+2)*k+(n+1)^2
より

Σ_(k=0)^(n+1)[1/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n(3n+2)*k/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n^2*k(k-1)/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n^4/(n+1)^2*C(2n,n)
なので、

b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)[C(2n+2,n+1)+n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)+n^4/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)[((2n+2)(2n+1)+n(3n+2)(2n+1)+n^4)/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)*(n^4+6n^3+11n^2+8n+2)/(n+1)^2*C(2n,n)
=(1/2)*(n^2+4n+2)*C(2n,n)
となります。