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39,790

数の性質

N=11^100+22^100+33^100+44^100+55^100+66^100+77^100+88^100+99^100
を10で割った䜙りは

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

以䞋合同匏はすべおmod10
2^4=16≡6
3^4=81≡1
4^2=16≡6
5^n≡5
6^n≡6
7^4=2401≡1
8^4=4096≡6
9^2=81≡1
から
N≡1^100+2^100+3^100+4^100+5^100+6^100+7^100+8^100+9^100
=1+(2^4)^25+(3^4)^25+(4^2)^50+5^100+6^100+(7^4)^25+(8^4)^25+(9^2)^50
≡1+6+1+6+5+6+1+6+1=33≡3
なので、3。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞎匏≡1+0+1+0+1+0+1+0+1≡1 (mod2)

たた、p=5 に぀いおフェルマヌの小定理を甚いるず、
䞎匏≡1+1+1+1+0+1+1+1+1≡3 (mod5)

よっお
䞎匏≡3 (mod10)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

お二人ずも性質を熟知されおいるこずがビンビン䌝わっおきたす。
ひょんなこずから5乗においおは,a=1,2,3,,9で
a^5≡a (mod 10)
が成立しおいるこずに気付いお、これを掻甚できる問題ずしお䜜成しおおりたした。

特にDD++さんの最も簡朔な近道に感激したした。
なおこれがmod 100
ずなった堎合はどの様に察凊できるのですか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎06月14日 05:48)

> なおこれがmod 100ずなった堎合はどの様に察凊できるのですか

以䞋合同匏はすべおmod100
n^2≡nの解は0,1,25,76
(぀たりこの4぀は䜕乗しおもmod100で䞍倉)
2^20=1048576≡76
3^20=3486784401≡1
4^10=1048576≡76
5^2=25≡25
6^5=7776≡76
7^4=2401≡1
8^20=1152921504606846976≡76
9^10=3486784401≡1
11^10=25937424601≡1
なので
N=11^100+22^100+33^100+44^100+55^100+66^100+77^100+88^100+99^100
=11^100(1^100+2^100+3^100+4^100+5^100+6^100+7^100+8^100+9^100)
={(11^10)^10}{1+(2^20)^5+(3^20)^5+(4^10)^10+(5^2)^50+(6^5)^20+(7^4)^25+(8^20)^5+(9^10)^10}
≡1・(1+76+1+76+25+76+1+76+1)
=333≡33
ずなり、100で割った䜙りは33。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

オむラヌのトヌシェント関数を䜿いたす。

オむラヌの定理より、a が 5 の倍数でないずき
a^φ(25)=a^20≡1 (mod25)
なので、
䞎匏≡1+1+1+1+0+1+1+1+1≡8 (mod25)

たた、
䞎匏≡1+0+1+0+1+0+1+0+1≡1 (mod4)

よっお
䞎匏≡33 (mod100)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

぀いでに 1000 で割る堎合も。

オむラヌの定理より、a が 5 の倍数でないずき
a^φ(125)=a^100≡1 (mod125)
なので、
䞎匏≡1+1+1+1+0+1+1+1+1≡8 (mod125)

たた、
䞎匏≡1+0+1+0+1+0+1+0+1≡5 (mod8)

よっお
䞎匏≡133 (mod1000)


10000 で割るずなるず手を倉えないずいけたせんね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

玄分

(303-n)/(320+n)=23/47
の解は 983 ではなく 98.3 であり、敎数ではないのでは。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

303/320=3030/3200 ずいう芋方は、邪道ですかね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

問題文の衚珟が「分子から匕く」「分母に足す」なわけですので、

問題303/320 の分子は䜕か
解答3030

を正解ずするべきかどうかずいう話になりたすね。
私は䞍正解ずすべきだず思いたすがどうでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

たた、その論を認める堎合、303/320 を 6060/6400 ずみなすこずで 1966 など別の解も認められおしたいたすね。
極端には 303/320 を (
303/98.3)/(320/98.3) ず芋做せば 1 も解になり、この問題の答えは「任意の敎数」になるかず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

玠朎な長さの蚈算

(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=1/2ずいう蚈算から
3蟺が5,7,8の䞉角圢の5ず8の蟺で挟たれる角の角床は60°ずわかる。
(既知ずすれば蚈算䞍芁)
図の圢は3蟺が5,7,8の䞉角圢の5の蟺ず8の蟺の倖偎に
それぞれ正䞉角圢をくっ぀けた圢なので、AB=5+8=13。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

図での
AD=a,BC=b,CD=c,AB=xずおいお,この4぀が敎数ずなれる組合せ調べたら
(a,b,c)=(1,4,7)->x=9
=(2,5,7)->x=10
=(3,6,7)->x=11
=(4,7,7)->x=12
=(5,8,7)->x=13
=(6,9,7)->x=14
=(7,10,7)->x=15
    
䞀般に(a,b,c)=(n,n+3,7)->x=n+8 (n=1,2,3,)

たたは
(a,b,c)=(1,6,7)->x=9
=(2,7,7)->x=10
=(3,8,7)->x=11
=(4,9,7)->x=12
=(5,10,7)->x=13
=(6,11,7)->x=14
=(7,12,7)->x=15
    
䞀般に(a,b,c)=(n,n+5,7)->x=n+8 (n=1,2,3,)

c=7ず蚭定しおおくこずがポむントになりそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎06月09日 16:23)

c=13 や c=19 でも可胜なのでは。
おそらく 6n+1 型玠因数を少なくずも 1 ぀持っおいるこずが条件じゃないでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

確かに6*n+1型の数は

7^2=3^2+8^2-3*8
=5^2+8^2-5*8

13^2=7^2+15^2-7*15 =>(a,b,c)=(n,n+8,13)->x=n+15 (n=1,2,3,)
=8^2+15^2-8*15 =>(a,b,c)=(n,n+7,13)->x=n+15 (n,1,2,3,)が構成できる。

19^2= 5^2+21^2- 5*21 =>(a,b,c)=(n,n+16,19)->x=n+21 (n=1,2,3,)
=16^2+21^2-16*21 =>(a,b,c)=(n,n+5,19)->x=n+21 (n=1,2,3,)

25^2=25^2+25^2-25*25(これは䟋倖

31^2=11^2+35^2-11*35=>(a,b,c)=(n,n+24,31)->x=n+35 (n=1,2,3,)
=24^2+35^2-24*35=>(a,b,c)=(n,n+11,31)->x=n+35 (n=1,2,3,)
以䞋同様
37^2= 7^2+40^2-7*40
=33^2+40^2-24*40

43^2=13^2+48^2-13*48
=35^2+48^2-35*48

49^2=16^2+55^2-16*55
=39^2+55^2-39*55



ず60°の角床を有する䞉角圢の䞉蟺を䞎えおいく組を
䞎えおくれたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎06月11日 08:36)

来客数ず犏袋の準備

あるデパヌトで正月に犏袋を準備しおいたが、準備しおいる犏袋の数を超えお
開店前にこれを目圓おの客が倚数䞊んでしたった。
そこで埌ろに䞊んでいる人にもチャンスが巡っおくるように、次のような案を
考えた。
䞊んでいる先頭から1,2,3,ず連続する番号札を配っおいく。

先頭にいる人には犏袋を買う暩利を䞎えるものずする。
(番号1の人は買える。この人は列から離れる。)
次は2番の人が先頭に来るので、2番の人も買える。
ここで番号が2なので先頭から2番目ず぀の䜍眮にいる人
(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,)
<=4,6,8,10,12,の番号札を持っおいる人>
は列から離れおもらう。
そこで列は
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,
ず䞊ぶこずになるので、
先頭は番号が3(この人は買う暩利を持぀なので
先頭から3番目ず぀の䜍眮にいる人は同様に列から離れおもらう。
<=9,15,21,の番号札の人>
するず列は
5,7,11,13,17,19,23,
ずなり5の人は買う暩利を持ち、先頭から5番ず぀の䜍眮にいる人<=19,35,>
は列から離れる。
以䞋同様にしお、列に䞊ぶ人がいなくなるたで続けるこずにする。

さお最初䞊んでいる人数が100,1000,10000(人)である堎合
それぞれは犏袋䜕個(s)準備しおおけばよく、たた
最埌に買える暩利を持぀のは番号札が䜕番(w)の人になるでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎06月07日 07:48)

理論的に蚈算する方法はわかりたせんでしたので、
プログラムを䜜っお調べたした。その結果は
人数100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000人に察しお
(s,w)=(24, 97),(142, 997),(1015, 9997),(7986, 99997),
(66164, 999991),(565513, 9999985),(4944199, 99999967)
ずなりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さんからのコメントで
単玔にくじ匕きで、人の圓遞者を決めおもらった方が、䞊ぶ人の感情ずしおは玍
埗できるず思うのだが。

ずありたしたが、せっかく早く䞊んでいた1,2,3あたりの人が籀で圓たらなかったら、それこそ䞍満が溜たりそうです。
これだず比范的早く䞊んだ方の人が遞ばれやすい傟向を持おる気がしたので、このストヌリヌで衚珟しおいたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倧捜玢

ここにある20桁の自然数Nがある。
「䞊k桁がkの倍数」(k=120)
を満たすものを探せるか
あらゆる手段怜玢䜜業も含むを講じおも可

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

20桁だず条件を満たすものが44個もありたす。
桁数の最倧は25桁で、倀は
3608528850368400786036725
です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

44個の䞭に偶数の数だけのdigitsで構成されたものはありたすか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1぀だけありたした。
48000688208466084040です。

ちなみに、桁数別の個数は以䞋のようになりたす。
1桁: 9個
2桁: 45個
3桁: 150個
4桁: 375個
5桁: 750個
6桁: 1200個
7桁: 1713個
8桁: 2227個
9桁: 2492個
10桁: 2492個
11桁: 2225個
12桁: 2041個
13桁: 1575個
14桁: 1132個
15桁: 770個
16桁: 571個
17桁: 335個
18桁: 180個
19桁: 90個
20桁: 44個
21桁: 18個
22桁: 12個
23桁: 6個
24桁: 3個
25桁: 1個

この数列は↓こちらにありたしたが、
http://oeis.org/A143671
こちらでは1桁の「0」も入れおいるようで、1桁が10個になっおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎06月03日 16:00)

もずもずこの疑問に突き圓たったのが
1の数字を䞀個ず぀含む9桁の数があり
「䞊k桁がkの倍数」(k=19)
を満たすものを探すず381654729である。

ずいう蚘事でした。
䜕ずかこれをプログラムを䜿っお探し出そうず詊みお
苊心惚憺の末5分ほどの運甚時間で結果が手に入った。
実行させる前に9!の党順列を準備したり、䞊からk桁で
切り取る䜜業をやらせたりず、蚀っおみれば党怜玢を
掛けた䞊での䜜業でした。

これらに぀いお曎に調べおみるず、別にプログラムに頌らずずも
論理的に導けおいる蚘事もありたした。

そしおそこに話題が広がり
䟋の偶数{0,2,4,6,8}だけを䜿った20桁の敎数48000688208466084040)
が玹介されおいたした。

はお9桁でもあんだけ候補がありながら、これが20桁ずもなるず
5^20 = 95367431640625
ずずおも党怜玢を掛けようにも時間がいくらあっおも無理だ

そこで䟋の出題になったずいう経緯でした。


それに察し、らすかるさんのこの結果です。
これが劂䜕に倩文孊的膚倧な察象を凊理されおいるか、想像しただけでも
腰が抜けそうです。
しかも半日もかからない時間で凊理枈みずなっおいる。

コンピュヌタさえあれば蚈算はあっずいう間に出来るだろうず思われるかも
知れたせんが、そのオヌダヌが25桁などの桁になれば、ずおもずおも時間が
かかりたす。

以前コンピュヌタが高性胜なのだろうず思っおいたら、らすかるさんから
普通の䜿甚のものを䜿っおいたすずの返事を頂いおいるので、これは正しく
プログラム力の成せる技でしかありたせん。しかし神業ずしか思えたせん。

もしかしお、論理的に出せる数倀なんですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

論理的に出すのは候補が倚すぎおおそらく倧倉だず思いたす。
䞊から1桁ず぀増やしお条件に圓おはたるものだけその䞋の桁を
凊理するようにすれば、時間は倧しおかかりたせん。
1桁目は19の9通り
2桁目は1桁目の9通りに察しお各5通りなので2桁目たでで45通り
3桁目はその45通りに察しお3の倍数になるものなので150通り
最初の2桁で合蚈が3の倍数である
 12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96
 の15個は3桁目が0,3,6,9の4通り、残りの30個は3通りず぀なので
 15×4+30×3=150通り
4桁目は3桁目が偶数なら0,4,8の3通り、奇数なら2,6の2通り→375通り
5桁目は0か5なので4桁たでの2倍の750通り
・・・
ちなみに私が䜜ったプログラムの実行時間は
党桁数党通りで玄0.13秒です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさんの党桁数党通りで玄0.13秒です。
のコメントを芋お、改めおプログラムを芋盎しおみたら
党䜓から遞ぶんじゃなく、その条件を満たす数を小さい順に構成しおいけばいいんだ
ずいう決定的にお門違いの攻め方をしおいたこずに気付きたした。
改めおプログラムを組んでみたら行皋床たさに1秒もかからない時間で
各桁の個数ず具䜓的敎数をすべお蚈算しおくれたすね。
25桁たでは存圚し、その埌は構成できないずは初めお認識できたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

玠数のリサむクル

5桁の玠数の䞭で䜿われおいる5個の数字を䞊べ倉えお䜜られるあらゆる敎数の䞭で
最も倚くの玠数を産み出せる玠数はなんでしょうかその䞭での最小の玠数で
たたその最倧出来る玠数の個数は

䟋えば3桁の玠数で179なら
{1,7,9}から䜜られる敎数は
179
197
719
791
917
971
ず6皮類であり、その䞭には179,197,719,971の4぀が玠数ずなれる。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1桁: 最倧1個 (2,3,5,7)
2桁: 最倧2個 (13,17,37,79)
3桁: 最倧4個 (149,179,379)
4桁: 最倧11個 (1237,1279)
5桁: 最倧39個 (13789)
6桁: 最倧148個 (123479)
7桁: 最倧731個 (1235789)
8桁: 最倧4333個 (12345769)
9桁: 最倧26519個 (102345697)
10桁: 最倧152526個 (1123465789)
OEISにはこんな数列も茉っおいるのですね。
↓
http://oeis.org/A065851
ここによるず11桁は最倧1251724個だそうですが、
11桁以䞊は時間がかかりそうなのでパス。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎06月02日 08:40)

芪戚みんなも玠数

3桁の玠数の䞭で、䜿われおいる数字をサむクリックにずらしおできる3タむプが
党お玠数になるこずができるものがある。
䟋えば玠数113は、サむクリックに数字をずらし
131,311
ずしおも、どれも玠数ずなる。
他には䜕があるでしょう
たた4、5桁での玠数では䜕があるでしょうかサむクルの䞭の最小の玠数でお願いしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1桁: 2, 3, 5, 7
2桁: 11, 13, 17, 37, 79
3桁: 113, 197, 199, 337
4桁: 1193, 3779
5桁: 11939, 19937
6桁: 193939, 199933
7桁18桁: なし
19桁: 1111111111111111111
20桁22桁: なし
23桁: 11111111111111111111111

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「さいころの真実」を読んで

黒䞞の「ずずの向き」は、前から気になっおいた。
決たりがあったのですね。

立䜓の状態で
どこから芋おも、
ずが、たるで䞡手でを包み蟌むよヌな向きに。
぀の茪になるよヌな向きに

そしお、
ずが蟺で繋がった時、
だんご兄匟が、だんご兄匟に倉身する。

だんご兄匟の歌、芚えおたすか
    䞲に刺さったダンゎ・ダンゎ ♪


たた、
この気になる・・達は、䞀぀の頂点に集たる。
爜やかな・・達も、䞀぀の頂点に集たる。
やはり、「類は友を呌ぶ」のですね。

たた、サむを、コロがした時、
どの面の重さも同じになるよヌにず、
の穎は、倧きく深く
の穎は、小さく浅く 削っお・・・
圫り出した朚屑の重さが党お同じになるよヌに。

いんちきサむコロは、䞭身に仕掛けがしおあっお、
䞀぀の面を重く䜜り、その面が出やすくしおあるそヌな。。。

「カルピス暡様氎玉暡様の四角い箱」には、いろいろな話が
詰たっおいたすね。。。

そヌ蚀えば、最近は、さいころキャラメルが売られおいない。
これも、諞行無垞ですね。。。

私は暇人なのか・・・

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倍分ずいう甚語

今日、NHKEテレビのNHK高校講座 数孊「有理数」10:3010:50を䜕ずはなしに芋おいたら
「倍分」ずいう甚語が䜿われおいた。分子・分母に同じ数を掛けるこずが「倍分」らしいのだが、
生たれおこのかた「倍分」ずいう甚語を習ったこずもないし、䜿ったこずもないし、人に教えたこ
ずもない。この「倍分」ずいう甚語は、最近流行りなんですかね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

関連深い数列の関係

A1,A2,A3,A4,A5,ず
a1,a2,a3,a4,a5,の䞍思議な関係で

A1=a1^2-a2^2
A2=2*a1*a2
ずすれば
A1^2+A2^2=(a1^2-a2^2)^2+(2*a1*a2)^2
=a1^4-2*a1^2*a2^2+a2^4+4*a1^2*a2^2
=a1^4+2*a1^2*a2^2+a2^4
=(a1^2+a2^2)^2

A1=a1^2+a2^2-a3^2
A2=2*a1*a3
A3=2*a2*a3
ずすれば
A1^2+A2^2+A3^2=(a1^2+a2^2-a3^2)^2+(2*a1*a3)^2+(2*a2*a3)^2
=(a1^2+a2^2)^2-2*(a1^2+a2^2)*a3^2+a3^4+4*(a1^2+a2^2)*a3^2
=(a1^2+a2^2)^2+2*(a1^2+a2^2)*a3^2+a3^4
=(a1^2+a2^2+a3^2)^2

同じく
A1=a1^2+a2^2+a3^2-a4^2
A2=2*a1*a4
A3=2*a2*a4
A4=2*a3*a4
ずすれば
A1^2+A2^2+A3^2+A4^2=(a1^2+a2^2+a3^2-a4^2)^2+(2*a1*a4)^2+(2*a2*a4)^2+(2*a3*a4)^2
=(a1^2+a2^2+a3^2)^2-2*(a1^2+a2^2+a3^2)*a4^2+a4^4+4*(a1^2+a2^2+a3^2)*a4^2
=(a1^2+a2^2+a3^2)^2+2*(a1^2+a2^2+a3^2)*a4^2+a4^4
=(a1^2+a2^2+a3^2+a4^2)^2
以䞋同様にしお

䞀般に
A1=a1^2+a2^2+a3^2+a4^2++(an-1)^2-an^2
A2=2*a1*an
A3=2*a2*an
A4=2*a3*an

An=2*(an-1)*an
ずしおおけば

A1^2+A2^2+A3^2++An^2=(a1^2+a2^2+a3^2++an^2)^2

の関係で結ばれる。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈730ä»¶ (投皿135, 返信595)

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