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428,573

二進察数の近䌌分数

2を底ずする二進察数log_{2}(x)をlb(x)で衚すず、lb(3),lb(5),lb(7),lb(11),lb(13)の連分数展開は、

lb(3)=[1;1,1,2,2,3,1,5,2,23,...]
lb(5)=[2;3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1,18..]
lb(7)=[2;1,4,5,4,5,4,1,29,...]
lb(11)=[3;2,5,1,1,1,25,1,1,...]
lb(13)=[3;1,2,2,1,22,23,1,9,149,...]

で、lb(13)を[3;1,2,2,1,22,23,1,9]で近䌌するず、
[3;1,2,2,1,22,23,1,9]-lb(13)=201130/54353-lb(13)
=-2.25897731584196266637728075571*10^-12

ずなっお、201130/54353をlb(13)の近䌌倀ずするず誀差が小さいので、lb(3),lb(5),lb(7),lb(11)を
54353倍するず、

54353*lb(3)=86147.4668016970019305550728204
54353*lb(5)=126203.757741412805693795471951
54353*lb(7)=152588.162078596956051793358299
54353*lb(11)=188030.486767793017766203979679

ずなっお、小数郚分に着目するず、

0.4668016970019305550728204=[0;2,7,33,...]
0.757741412805693795471951=[0;1,3,7,...]
0.162078596956051793358299=[0;6,5,1,...]
0.486767793017766203979679=[0;2,18,2,...]

なので、それぞれを、1/2=[0;2],3/4=[0;1,3],1/6={0;6],1/2=[0;2]で近䌌するず、

(86147+1/2)/54353-lb(3)=6.10790627896702020627740913203*10^-7
(126203+3/4)/54353-lb(5)=-1.42428436437616975547826382828*10^-7
(152588+1/6)/54353-lb(7)=8.44124466103963591405650940218*10^-8
(188030+1/2)/54353-lb(11)=2.43449432087167148461376935139*10^-7

ずなりたした。(86147+1/2)/54353,(126203+3/4)/54353,(152588+1/6)/54353,(188030+1/2)/54353を連分数展開するず、

(86147+1/2)/54353=[1;1,1,2,2,3,1,5,2,2,1,2,1,12]
(126203+3/4)/54353=[2;3,9,2,2,4,4,1,1,6,1,1,2]
(152588+1/6)/54353=[2;1,4,5,4,5,5,1,4,1,1,2,3]
(188030+1/2)/54353=[3;2,5,1,1,1,25,1,4,1,1,4,2]
より、
lb(3)で[1;1,1,2,2,3,1,5,2,...]、
lb(5)で[2;3,9,2,2,4,...]、
lb(7)で[2;1,4,5,4,5,...]、
lb(11)で[3;2,5,1,1,1,25,1,...]
たで䞀臎しおいお、lb(3),lb(5),lb(7),lb(11),lb(13)を分母が54353*12=652236の分数で比范的よく近䌌できそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

lb(3),lb(5),lb(7),lb(11),lb(13)を通垞に連分数からの打ち切り分数で
分母が6桁であるものをずるず
lb(3)=301994/190537
lb(5)=227268/97879 (6桁であるものは取れなかった。)
lb(7)=1273419/453601
lb(11)=1444074/417431
lb(13)=201130/54353
が芋぀かる。

kuiperbelt氏による構成では
lb(3)=172295/108706=1033770/652236
lb(5)=504815/217412=1514445/652236
lb(7)=915529/326118=1831058/652236
lb(11)=376061/108706=2256366/652236
lb(13)=201130/54353=2413560/652236

そこで初めの方の異なる分数を652236ぞず統䞀したずすればそれぞれの分子は
lb(3)-->round(652236/190537*301994)=1033770
lb(5)-->round(652236/97879*227268)=1514445
lb(7)-->round(652236/453601*1273419)=1831058
lb(11)-->round(652236/417431*1444074)=2256366
lb(13)-->round(652236/54353*201130)=2413560
ず矛盟なく぀ながりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

連続数の和

最近気が぀かされたこず
12以䞊の数は、連続する敎数の和で衚さる
2、正の2の环乗数は、連続する自然数の和で衚すこずはできない。
3、3以䞊の玠数は、連続する自然数の和に䞀通りに衚せる。
4、逆は、成立しない。
5、9以䞊の玠数でない奇数は、耇数のずおりに衚せる。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1.の「2以䞊」は䞍芁だず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1に぀いお、πは2以䞊の数ですが、連続する敎数の和では曞けたせんが
2に぀いお、「正の」ず䞀芋䞍必芁な情報をあえお曞き足し匷調した意図はなんでしょう
3に぀いお、䟋えば7であれば、71連続ず3+42連続の少なくずも2぀がありたすので成り立ちたせん。
4に぀いお、突然「逆」ずだけ蚀われおも䜕の逆か党くわかりたせん。
5に぀いお、奇数なら3で瀺したように1連続ず2連続は必ず存圚したすので、玠数に限らず3以䞊の奇数党郚で成り立ちたす。

ksさんの投皿は党郚に蚀えるこずですが、蚘述䞍足で内容が意味䞍明だったり明らかに誀っおいる蚘述になっおいたり、い぀もそういう投皿ばかりです。
蚀語化しおいない前提を勝手においお話をしおも誰にも䜕も䌝わりたせんよ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

皆様、ご指摘ありがずうございたす。
先ず、管理人様の質問に察するお答えです。
11
2112
ヌ3211234
悪しからず。
に぀いおは、、16 などは、
自然数の連続した和では、衚せない。
に぀いおは、玠数は、以倖は、党お奇数なので、
PNNNで明らかですが、
他に連続した耇数の和ずしお衚すこずはできたせん。
に぀いおは、の逆は成立しない。䞀通り⇒玠数は成立しない。
に぀いおは、以䞊の玠数でない奇数は耇数の衚珟、
連続する自然数の和ずいう意味でした。
尚、説明䞍足であれば、よろしくご容赊ください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私の挙げた反䟋ずかは党郚無芖ですか
「自分が正しいず刀断したこずが正しい根拠だ」では䌚話になりたせんよ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞀぀の無理数で近づけおみた。

右端の数倀は前2぀の差の絶察倀です。
䞀般に8の倍数の自然数はいずれも行けそうです。

16=42-15*sqrt(3)=>0.019237886466840597088304877411914495791

24=123-70*sqrt(2)=>0.0050506338833465838817893053211345001350

32=276-63*sqrt(15)=>0.0020491889327362337062798137088245173490

40=525-198*sqrt(6)=>0.0010309289307365569377532082335043901511

48=894-143*sqrt(35)=>0.00059101675490591287205430668876207606729

56=1407-780*sqrt(3)=>0.00037009627571104859185362541955378301120

64=2088-765*sqrt(7)=>0.00024703558819826626394846596577432967552

72=2961-1292*sqrt(5)=>0.00017307027171223934761999919110380885978

80=4050-1197*sqrt(11)=>0.00012594458638060942551420518803934464147

88=5379-906*sqrt(30)=>9.4500095344005671898144251386011596633 E-5

96=6972-575*sqrt(143)=>7.2716696137850341565187520446959431717 E-5

104=8853-1350*sqrt(42)=>5.7149388688195943961281204512114323297 E-5

112=11046-783*sqrt(195)=>4.5728919063980887084329367575848946092 E-5

120=13575-899*sqrt(224)=>3.7160906777440839558589688710914293688 E-5

128=16464-1023*sqrt(255)=>3.0607247824951139183948832040071781991 E-5

136=19737-13860*sqrt(2)=>2.5508902623608594282453584631070366255 E-5

144=23418-1295*sqrt(323)=>2.1483200147407576879212274060209928031 E-5

152=27531-8658*sqrt(10)=>1.8262171743553579692301522935038486629 E-5

160=32100-1599*sqrt(399)=>1.5654351913667168657434798770696208115 E-5

168=37149-3526*sqrt(110)=>1.3520456453081349107645400277878002460 E-5

176=42702-1935*sqrt(483)=>1.1757513052464834609167108976471561999 E-5

184=48783-8460*sqrt(33)=>1.0288277537663826978867857967869962110 E-5

192=55416-11515*sqrt(23)=>9.0540344785055006911665795110653250388 E-6

200=62625-9996*sqrt(39)=>8.0096115343544563630858145670082038073 E-6

208=70434-40545*sqrt(3)=>7.1198701339296880836444048825359176973 E-6

216=78867-5830*sqrt(182)=>6.3571982558417182849809728108097647648 E-6

224=87948-9405*sqrt(87)=>5.6996944965601575244751615724698325284 E-6

232=97701-6726*sqrt(210)=>5.1298361531682648788761153900878672073 E-6

240=108150-3599*sqrt(899)=>4.6334908721224596314615983300244219419 E-6

248=119319-30744*sqrt(15)=>4.1991752820486645490899063644723485097 E-6

256=131232-4095*sqrt(1023)=>3.8174932812674583700545221491687345189 E-6

264=143913-34840*sqrt(17)=>3.4807064442220806178631564440052527937 E-6

272=157386-4623*sqrt(1155)=>3.1824025866890528095006338533945508999 E-6

280=171675-29394*sqrt(34)=>2.9172379591251503174251310489710550738 E-6

288=186804-5183*sqrt(1295)=>2.6807351648308626097063006717446215453 E-6

296=202797-32850*sqrt(38)=>2.4691236092811802692280772010616819375 E-6

304=219678-5775*sqrt(1443)=>2.2792126687875382004922224433354285596 E-6

312=237471-24332*sqrt(95)=>2.1082902188077300200429255193613423229 E-6

320=256200-6399*sqrt(1599)=>1.9540409567059134673684620949682723996 E-6

328=275889-26892*sqrt(105)=>1.8144802784198278034278698655600337535 E-6

336=296562-7055*sqrt(1763)=>1.6879004543876111616534704993720122179 E-6

344=318243-14790*sqrt(462)=>1.5728265895810835886254647889304459244 E-6

352=340956-23229*sqrt(215)=>1.4679804112725554698240184211417630657 E-6

360=364725-16198*sqrt(506)=>1.3722503533570500336644416285396892947 E-6

368=389574-25389*sqrt(235)=>1.2846667317585679159772552841492182749 E-6

376=415527-35340*sqrt(138)=>1.2043810565329850268087220171954593041 E-6

384=442608-64505*sqrt(47)=>1.1306487210116121767818178054760610574 E-6

392=470841-192060*sqrt(6)=>1.0628144602296206119864992601618119558 E-6

400=500250-69993*sqrt(51)=>1.0003000900280090029710013420615528427 E-6

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月25日 17:03)

䟋えば123-70√2が24に近いなら、
115-70√2は16に(42-15√3よりも)近くなるず思いたすが、
16のずきに42-15√3ずしおいるのはなぜでしょうか。
たた逆の芋方で、もし「自然数に近づけおいく」のが目的ならば
右蟺の自然数を倉曎するこずで
16≒42-15√3
16≒115-70√2
16≒260-63√15
のように巊蟺の倀を䞀定にしたり
1≒27-15√3
2≒101-70√2
3≒247-63√15
のように8の倍数以倖にするこずもできたすが、
巊蟺の倀が8の倍数のみずなっおいるのは
8の倍数から右蟺を導出する決たった手法があるずいうこずでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 巊蟺の倀が8の倍数のみずなっおいるのは
> 8の倍数から右蟺を導出する決たった手法があるずいうこずでしょうか。


ある本を読んでいお
m:=1/2*(sqrt(n+1)+sqrt(n-1))①
ず眮くずき
1/m=sqrt(n+1)-sqrt(n-1)②
m^2=1/2*(n+sqrt(n^2-1))③
n-m^2=1/(4*m^2)④
が成り立ち
これらの等匏を組み合わせるこずで
1/(8*m^5*(m+sqrt(n))^2)=(m-sqrt(n))^2/(8*m^5*(m^2-n)^2)
=(m^2-2*m*sqrt(n)+n)/(m/2)
=2*(m-2*sqrt(n)+n/m)
=(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)-4*sqrt(n)(*)
なる等匏が成立するこずに成る。
巊蟺を芋るこずで右蟺の倀はO(1/(n^(5/2)*n)=O(1/n^(3+1/2)のオヌダヌでほゞ無芖出来るこずができる。

この巧みな匏を芋おn+1,n-1,nがそれぞれ平方根√が倖れる各nに察応しお
(2*n+1)*sqrt(n+1)≒(2*n-1)*sqrt(n-1)+4*sqrt(n)
(2*n-1)*sqrt(n-1)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-4*sqrt(n)
4*sqrt(n)≒(2*n+1)*sqrt(n+1)-(2*n-1)*sqrt(n-1)
ずいう颚に巊蟺の自然数を右蟺の2぀の無理数で構成出来るなず思っお先皋の等匏もどきを䜜っおいきたした。

なおここで第番目の等匏を䞡蟺平方しお
16*n≒8*n^3+10*n-2*(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
÷2から
8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)⑀
なる匏を利甚すれば
8の倍数の自然数が右蟺の䞀぀の無理数で近䌌出来るこずが可胜ずなる。

この⑀から構成しおいきたした。


らすかるさんの指摘の様に
gp > forprime(p=2,100,for(n=1,1000000,if(frac(n*sqrt(p)) < 0.000001,print(n";"p))))
978122;3
902702;7
283009;17
566018;17
345777;19
254813;29
509626;29
528641;41
424802;43
829254;47
528896;53
951113;61
977001;89
594030;97
や
gp > forprime(p=2,100,for(n=1,10000000,if(frac(n*sqrt(p)) > 0.9999999,print(n";"p))))
9369319;2
7865521;3
7465176;5
3096720;7
9504180;11
2298912;17
4508361;19
9016722;19
5412001;23
8193638;29
9600319;31
1311360;41
3697884;43
7395768;43
6191808;47
8142716;61
2874480;71
5748960;71
8623440;71
4684249;73
4121279;79
8242558;79
9005009;89
6377352;97
なる玠数や敎数を組み合わせれば(bずpを䞊の組み合わせに取っおおく意味)
a+b*sqrt(p)
はaを調節するこずで䞀個の無理数でなんがでも自然数すべおを奜きな近䌌粟床で䜜り出すこずは可胜ずなるんでした。

しかし(*)の等匏を䜜り出せるセンスにほどほど感心したした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月25日 21:39)

なるほど、やはり8の倍数にだけ䜿える匏があったのですね。よくわかりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAI さんが䜕をしたいのか党くわからないんですが、
16=42-15*sqrt(3) が特別な近䌌匏であるかのように扱われおいる理由はどこにあるんです

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 16=42-15*sqrt(3) が特別な近䌌匏であるかのように扱われおいる理由はどこにあるんです

らすかるさんぞの返事の䞭の
8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)⑀
なる匏から
n=2,7,26で生たれる匏が以䞋の匏ずなる意味であり
16=42-15*sqrt(3)
56=1407-780*sqrt(3)
208=70434-40545*sqrt(3)
その
16=42-15*sqrt(3) が特別な近䌌匏ずいう぀もりはありたせん。

䞊の3぀の匏から
sqrt(3)=(42-16)/15=26/15
sqrt(3)=(1407-56)/780=1351/780
sqrt(3)=(70434-208)/40545=70226/40545
等が発生したす。(前に掲瀺しおいる䞭から遞んでいるだけです。)

ここにsqrt(3)の連分数を途䞭で打ち切っお分数ずしおいく手順を自動でやらせおいくず
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),20)
%208 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351 3691 5042 13775 18817 51409 70226 191861 262087 716035]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780 2131 2911 7953 10864 29681 40545 110771 151316 413403]

の様に右に行くにしたがっおよりsqrt(3)ぞ近䌌しおいけたす。
この流れの䞭に
26/15,1351/780,70226/40545もいたすから16=42-15*sqrt(3)が特別の匏ずの解釈は "はお"
ず思っおしたいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月26日 17:27)

ああ、具䜓的な方がいいかず思っお1぀抜出したら質問の意図が䌝わりたせんでした。
5番の匏で「8n=」の圢にした匏だけ特別芖しおいるのはなぜですか

この匏を䜜るずきに、その前に蚘茉された匏を平方しお敎理しお埗られる
4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0
の䞡蟺に突然 8n を加えおできたのが 5 番ですよね。
ここで䞡蟺に 7n を足せば 7 の倍数の匏ができるでしょうし、9n を足せば 9 の倍数の匏ができるんじゃないでしょうか
8n を遞択する必然性はなんでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 5番の匏で「8n=」の圢にした匏だけ特別芖しおいるのはなぜですか

この匏を䜜るずきに、その前に蚘茉された匏を平方しお敎理しお埗られる
4*n^3-3*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)≒0
ず蚘茉されおいる郚分は

8*n≒4*n^3+5*n-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
をなぜ
3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)
ずしないのか
ず解釈しおいいですか

理由はこうするこずを気付かなかったです。
2で割れるからそれで終わりず思い蟌み。そのたたで数倀で確認に行っおいたした。

これからは
6≒32-15*sqrt(3)
9≒108-35*sqrt(8)=108-70*sqrt(2)
12≒256-63*sqrt(15)

で掲茉しおいたこずでしょう。

お粗末様でした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 3*n≒4*n^3-(4*n^2-1)*sqrt(n^2-1)

さらに蚀えば、3n ず 4n^3 を巊右に分ける意味もないず思いたす。
n は具䜓的な敎数を代入するこずを想定しおいるんでしょうかた、敎数の近䌌匏に敎数を足す項があっおは意矩が薄いです。

䞀方で、これを逆に平方根の有理近䌌匏ずしお
√(n^2-1) = (4n^3-3n)/(4n^2-1)
ずした匏は䜕かに䜿えそうですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんからのアドバむスを受けおsqrt(n^2-1)≒(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)
の掻甚を芋おみたした。
時間の関係でプログラムのたたの姿で申し蚳ありたせん。


gp > for(n=1,100,if(core(n^2-1)==3,\
print(n,";sqrt(3)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/3))))
2;sqrt(3)=26/15
7;sqrt(3)=1351/780
26;sqrt(3)=70226/40545
97;sqrt(3)=3650401/2107560
これに察しお連分数からの近䌌
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(3)),24)
%227 =
[1 2 5 7 19 26 71 97 265 362 989 1351
3691 5042 13775 18817 51409 70226
191861 262087 716035 978122 2672279 3650401
9973081]

[1 1 3 4 11 15 41 56 153 209 571 780
2131 2911 7953 10864 29681 40545
110771 151316 413403 564719 1542841 2107560
5757961]

-----------------------------------------------------------

for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==5,\
print(n,";sqrt(5)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/5))))
9;sqrt(5)=2889/1292
161;sqrt(5)=16692641/7465176
2889;sqrt(5)=96450076809/43133785636
これに察しお連分数からの近䌌
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(5)),20)
%222 =
[2 9 38 161 682 2889 12238 51841 219602 930249 3940598 16692641
70711162 299537289 1268860318 5374978561 22768774562 96450076809
408569081798 1730726404001 7331474697802]

[1 4 17 72 305 1292 5473 23184 98209 416020 1762289 7465176
31622993 133957148 567451585 2403763488 10182505537 43133785636
182717648081 774004377960 3278735159921]

-------------------------------------------------------------

gp > for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==6,\
print(n,";sqrt(6)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/6))))
5;sqrt(6)=485/198
49;sqrt(6)=470449/192060
485;sqrt(6)=456335045/186298002
4801;sqrt(6)=442644523201/180708869880
これに察しお連分数からの近䌌
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(6)),24)
%226 =
[2 5 22 49 218 485 2158 4801 21362 47525 211462 470449
2093258 4656965 20721118 46099201 205117922 456335045
2030458102 4517251249 20099463098 44716177445 198964172878
442644523201 1969542265682]

[1 2 9 20 89 198 881 1960 8721 19402 86329 192060
854569 1901198 8459361 18819920 83739041 186298002
828931049 1844160100 8205571449 18255302998 81226783441
180708869880 804062262961]

-------------------------------------------------------------

gp > for(n=1,10000,if(core(n^2-1)==7,\
print(n,";sqrt(7)=",(4*n^3-3*n)/(4*n^2-1)/sqrtint((n^2-1)/7))))
8;sqrt(7)=2024/765
127;sqrt(7)=8193151/3096720
2024;sqrt(7)=33165873224/12535521795
これに察しお連分数からの近䌌
gp > contfracpnqn(contfrac(sqrt(7)),36)
%233 =
[2 3 5 8 37 45 82 127 590 717 1307 2024
9403 11427 20830 32257 149858 182115 331973
514088 2388325 2902413 5290738 8193151
38063342 46256493 84319835 130576328 606625147 737201475
1343826622 2081028097 9667939010 11748967107 21416906117 33165873224
154080399013]

[1 1 2 3 14 17 31 48 223 271 494 765
3554 4319 7873 12192 56641 68833 125474
194307 902702 1097009 1999711 3096720
14386591 17483311 31869902 49353213 229282754 278635967
507918721 786554688 3654137473 4440692161 8094829634 12535521795
58236916814]

近䌌スピヌドが皌げたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2぀の無理数で近䌌させおみる

次の自然数nは2぀の無理数を組合せるず殆んど䞀臎する倀に近づけた。

n≒ 無理数での衚瀺  →≒2数の誀差の絶察倀
3≒ 5*sqrt(3)-4*sqrt(2) →≒0.0033997883520062724304768106905695204447
8≒ 9*sqrt(5)-7*sqrt(3) →≒0.00025614451596621299043862804037955033911
12≒ 19*sqrt(10)-34*sqrt(2) →≒1.4422513975648721560721091917469468432 E-5
14≒ 5*sqrt(2)+4*sqrt(3) →≒0.00072895785901558188177101292802013936790
16≒ 33*sqrt(17)-31*sqrt(15) →≒1.9129528747035492978538901538940856089 E-6
18≒ 11*sqrt(6)-4*sqrt(5) →≒0.00011526061580029453343014683970036989732
20≒ 51*sqrt(26)-98*sqrt(6) →≒4.0048057270810559023898452505417707900 E-7
24≒ 73*sqrt(37)-71*sqrt(35) →≒1.1169729827469664119887608509554651446 E-7
28≒ 495*sqrt(2)-388*sqrt(3) →≒3.7957659268186737979522070518583296012 E-8
32≒ 129*sqrt(65)-381*sqrt(7) →≒1.4903890174177504572628253724468858932 E-8
36≒ 163*sqrt(82)-644*sqrt(5) →≒6.5343456440228885554609297031481511666 E-9
40≒ 201*sqrt(101)-597*sqrt(11)→≒3.1252343924574036722748632756462662144 E-9
51≒ 15*sqrt(7)+8*sqrt(2) →≒2.1835046380752062253901733508985792273 E-5
57≒ 21*sqrt(11)-4*sqrt(10) →≒9.9567898795034180132923535462276858634 E-6
124≒ 29*sqrt(14)+4*sqrt(15) →≒2.3987260322773542251636904718057150093 E-6
132≒ 105*sqrt(2)-4*sqrt(17) →≒1.5467043379248916766181219901488696439 E-6
245≒ 47*sqrt(23)+8*sqrt(6) →≒4.6203675675934213838670625462524820104 E-7
255≒ 159*sqrt(3)-4*sqrt(26) →≒3.4908035035075107186334257838554981487 E-7
426≒ 69*sqrt(34)+4*sqrt(35) →≒1.2327580333941413828310829952623491724 E-7
438≒ 75*sqrt(38)-4*sqrt(37) →≒1.0148035501276569162826004864350052660 E-7
679≒ 95*sqrt(47)+16*sqrt(3) →≒4.0798771434653070872845390882949520266 E-8
693≒ 101*sqrt(51)-20*sqrt(2) →≒3.5365948821905606463899831583875575438 E-8
1016≒ 125*sqrt(62)+4*sqrt(63) →≒1.5748535453351304854827891931151138080 E-8
1032≒ 131*sqrt(66)-4*sqrt(65) →≒1.4116608610778294521636201128152863637 E-8
1449≒ 159*sqrt(79)+16*sqrt(5) →≒6.8247376929139949103118573138778558128 E-9
1467≒ 165*sqrt(83)-4*sqrt(82) →≒6.2596490147330746056941507128262552391 E-9
1990≒ 1379*sqrt(2)+12*sqrt(11) →≒3.2371295130920564747781094499907966819 E-9

なお2024≒64778373-1536210*sqrt(1778)(≒2024.0000000077188666499249599539865432)
1825346970≒1881803*sqrt(940902)-4*sqrt(940901)(≒1825346970.0000000000000000000000386764)
なる無理数でかなり近づく。(䞋の数は09の数字が䞀床顔を出すタむプの数)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月24日 17:55)

思っおもない結果に困惑

あるプログラムをPARI/GPで走らせおいたずころ、どうしおもプログラムが特定の倀では
結果をいくら埅っおも終了せず、その原因を䞀぀ず぀朰しおいたずころなんず思っおもいない
次のような蚈算が行われおいたこずが刀明したした。
この様なこずになっおしたうのは、私が䜿っおいる゜フトに限るのでしょうか
皆さんが䜿われおいる゜フトでは劂䜕なる結果を返しおくるかを教えお欲しい。

gp > for(n=1,20,print(n";"floor(log(10^n)/log(10))))
1;1
2;2
3;2
4;4
5;5
6;5
7;7
8;8
9;9
10;10
11;10
12;11
13;12
14;14
15;14
16;16
17;16
18;18
19;19
20;20

3,6,11,12,13,15,17でこちらの思惑が裏切られおしたいたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

手元では同様ですね。
PARI は、ひずたび小数を扱うこずになるず進数で内郚衚珟するのかな ず思いたしたが、ざっずみ、それだけではうたく説明できないような

? for(n=1,20,print(n";"floor(log(10^n)/log(10))))
1;1
2;2
3;2
4;4
5;5
6;5
7;7
8;8
9;9
10;10
11;10
12;11
13;12
14;14
15;14
16;16
17;16
18;18
19;19
20;20

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

JavaScript では以䞋の通りです。

for (let n = 1; n <= 20; n++) {
console.log(n + ";" + Math.floor(Math.log(Math.pow(10, n)) / Math.log(10)));
}

䞊を RUN するず
"1;1"
"2;2"
"3;2"
"4;4"
"5;5"
"6;5"
"7;7"
"8;8"
"9;8"
"10;10"
"11;11"
"12;11"
"13;12"
"14;14"
"15;14"
"16;16"
"17;17"
"18;17"
"19;19"
"20;20"

ずなりたす。
JavaScript ではたぶん小数点以䞋は、最寄りの進数で捉えおいるので  

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

他の蚈算゜フトでも調査しおみた。
sageMathの゜フト
sage: for i in range(21) :print(i,floor(ln(10^i)/ln(10)));
(0, 0)
(1, 1)
(2, 2)
(3, 3)
(4, 4)
(5, 5)
(6, 6)
(7, 7)
(8, 8)
(9, 9)
(10, 10)
(11, 11)
(12, 12)
(13, 13)
(14, 14)
(15, 15)
(16, 16)
(17, 17)
(18, 18)
(19, 19)
(20, 20)
党郚䞊手く走る


Rubyの゜フト
irb(main):001:0> include Math
=> Object
irb(main):012:0> 0.upto(20){|i| print i,";",log(10**i)/log(10),"\n"}
0;0.0
1;1.0
2;2.0
3;2.9999999999999996
4;4.0
5;5.0
6;5.999999999999999
7;7.0
8;8.0
9;8.999999999999998
10;10.0
11;11.0
12;11.999999999999998
13;12.999999999999998
14;14.0
15;14.999999999999998
16;16.0
17;17.0
18;17.999999999999996
19;19.0
20;20.0
3,6,9,12,13,15,18で䞊手くいかなくなる。



Maximaの゜フト
(%i13) for i :1 thru 20 do
print(float(log(10^i)/log(10)));

1.0" "
2.0" "
3.0" "
4.0" "
5.0" "
6.0" "
7.0" "
8.0" "
8.999999999999998" "
9.999999999999998" "
11.0" "
12.0" "
13.0" "
14.0" "
15.0" "
16.0" "
17.0" "
18.0" "
19.0" "
20.0" "
9,10で難点

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

PARI で、床関数を䜿う前に埮量な䞋駄をはかせたしたが 258,259で砎綻。

for(n=257,260,print(n";"floor(10^(-36)+log(10^n)/log(10))))

257;257
258;257
259;258
260;260

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

PARI にお、
n = 308 たでの範囲で埮小量を足すテストをしたした。
(javascriptだず10^308を超えるず途䞭蚈算結果に無限倧が珟れる扱いになったので  PARIではどうなのかわからず、ずりあえずです)

埮小量ずしおは、2 ^{-119}ず2 ^{- 120} ずのあいだに分氎嶺がありたす。以䞋。

? i = -120; for(n = 1, 308, if(n == floor(2^i + log(10^n)/log(10)), next, print(n, ";", floor(2^i + log(10^n)/log(10))) ) ); print("END")
 
䞊を走らせるず

258;257
259;258
265;264
266;265
271;270
272;271
277;276
278;277
283;282
284;283
290;289
291;290
296;295
297;296
302;301
303;302
308;307
END
 
ずなり

? i = -119; for(n = 1, 308, if(n == floor(2^i + log(10^n)/log(10)), next, print(n, ";", floor(2^i + log(10^n)/log(10))) ) ); print("END")

䞊を走らせるず
 
END

ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月22日 22:09)

近䌌分数

らすかるさんのお仕事で
これだけの玠数に察する垞甚察数倀が共通分母で
log2 = 360565/1197771 = 0.3010299966 (真倀 0.3010299957)
log3 = 571482/1197771 = 0.4771212527 (真倀 0.4771212547)
log5 = 837206/1197771 = 0.6989700034 (真倀 0.6989700043)
log7 = 1012234/1197771 = 0.8450981031 (真倀 0.8450980400)
log11 = 1247350/1197771 = 1.0413927203 (真倀 1.0413926852)
log13 = 1334249/1197771 = 1.1139433164 (真倀 1.1139433523)
log17 = 1473796/1197771 = 1.2304488922 (真倀 1.2304489214)
log19 = 1531654/1197771 = 1.2787536182 (真倀 1.2787536010)
log23 = 1631038/1197771 = 1.3617277426 (真倀 1.3617278360)
log29 = 1751618/1197771 = 1.4623980711 (真倀 1.4623979979)
分母の1197771は10000000たでで最も誀差が少なくなる倀です。

の様に構成可胜であるこずに驚きたしたが、ふず分母を揃えなくずも
分母はものによっお倉化させおもよいならどうなるのか気になっお調べおみたした。


3桁ほどの分数での近䌌は、分母を揃えるこずに拘らないなら
gp > abs(146/485-log(2)/log(10))
%469 = 9.3217107035117801368259509460209827810 E-7
gp > abs(73/153-log(3)/log(10))
%470 = 2.9282868735104173903973984794620415878 E-6
gp > abs(339/485-log(5)/log(10))
%471 = 9.3217107035117801368259509460209517576 E-7
gp > abs(431/510-log(7)/log(10))
%472 = 7.9857055620241233702400874249978544429 E-10
gp > abs(478/459-log(11)/log(10))
%473 = 1.6503537575300559002466218995055742675 E-6
gp > abs(743/667-log(13)/log(10))
%474 = 3.2382107964776722479812223847580763836 E-7
gp > abs(299/243-log(17)/log(10))
%475 = 3.7535188454130236161139021156448952272 E-6
gp > abs(656/513-log(19)/log(10))
%476 = 1.1643056554722575810391097558286690920 E-6
gp > abs(1103/810-log(23)/log(10))
%477 = 5.5904413551619395128281053884536869710 E-7
gp > abs(525/359-log(29)/log(10))
%478 = 2.4547234686221517882671475279717504814 E-6
の様な分数でかなりの粟床を䞊げれそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

近䌌分数に関しおは以前少し研究したこずがありたす。
分数の昇順で粟床順に分数を列挙する方法を考えたした(䜕十桁でもOK)。
曞かれおいる分数は、すべお連分数を打ち切っお埗られる分数ですね。
しかしそれは「3桁以䞋で最も良い」分数が埗られるずは限りたせん。
䟋えばlog17は299/243より881/716の方が良い近䌌になりたす。
同様にlog29も525/359より914/625の方が少しだけ良い近䌌になりたす。
log23は3桁以䞋で連分数打ち切りで埗られる分数では64/47が最倧で
粟床が出ないために分子4桁を蚱容したものず思いたすが、
975/716でもそこそこの粟床は出たす。
倧半の倀は、小数点以䞋の粟床が(分母の桁数×2)桁皋床になりたすが、
たたたた連分数打ち切り盎埌の倀が倧きい堎合は粟床が良くなりたすね。
log7は[0;1,5,2,5,6,1,4813,1,1,
]で4813の前で打ち切っおいるため
これだけ特別に粟床が良くなっおいたす。
円呚率の355/113も同様ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

単に 1 ぀の察数倀を機械蚈算を蚱しお自由に有理数近䌌するだけでしたら、
数孊感動秘話 > 环乗の䞊 4 桁
他、このサむトの䜕ヶ所かで同じ議論が繰り返し行われおいたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

29たでの玠数で、垞甚察数の連分数展開を求めおみたしたが、log_{10}(7)のずきの4813のような倧きな数は珟れたせんでした。なお、log_{10}(5)=1-log_{10}(2)なので省略しおいたす。

log_{10}(2)=[0;3,3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1,18,...]
[0;3,3,9,2,2,4,6,2,1,1,3,1]=97879/325147
=0.301029995663499893894146339963

log_{10}(3)=[0,2,10,2,2,1,13,1,7,18,...]
[0,2,10,2,2,1,13,1,7]=34367/33001
=0.477121254550546065527863343601

log_{10}(11)=[1;24,6,3,2,1,1,3,1,1,1,9,...]
[1;24,6,3,2,1,1,3,1,1,1]=22014/21139
=1.04139268507014938941244204721

log_{10}(13)=[1;1,8,1,3,2,7,1,6,16,...]
[1;1,8,1,3,2,7,1,6]=5113/4590
=1.11394335511982570806100217865

log_{10}(17)=[1,4,2,1,17,1,13,1,1,3,3,26,...]
[1;4,2,1,17,1,13,1,1,3,3]=99797/81106
=1.23045150790323773826843883313

log_{10}(19)=[1;3,1,1,2,2,1,3,2,2,1,4,1,1,1,6,1,3,1,3,1,47,...]
[1;3,1,1,2,2,1,3,2,2,1,4,1,1,1,6,1,3,1,3,1]=6497723/5081294
=1.27875360095282815755199364571

log_{10}(23)=[1;2,1,3,4,17,2,1,2,66,...]
[1;2,1,3,4,17,2,1,2]=9016/6621
=1.36172783567436943059960731007

log_{10}(29)=[[1;2,6,6,1,2,1,2,2,2,1,1,1,1,1,5,1,2,3,37,...]
[1;2,6,6,1,2,1,2,2,2,1,1,1,1,1,5,1,2,3]=5243915/3585833
=1.46239799789895402267757589380

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

log[10]7で連分数の8番目の倀が4813ですが、
log[10]2は137番目が5393
log[10]3は562番目が2788
log[10]11は2179番目が3864
log[10]13は133番目が1378
log[10]17は710番目が3301
log[10]19は1341番目が2249
log[10]23は921番目が2695
log[10]29は352番目が1901
のようにずっず先たで芋れば倧きな数はいずれ出おきたす。
log[10]7は奇跡的に前の方にあったずいうこずですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

玠朎な長さの蚈算14

∠ABC=Ξずしお、
AH=x=6tanΞ=4tan(3π/4-Ξ)
tanΞ=x/6、tan(3π/4-Ξ)=x/4なので、
tan(3π/4-Ξ)=(tan(3π/4)-tanΞ)/(1+tan(3π/4)tanΞ)より、
x/4=(-1-(x/6))/(1-x/6)
であり、これより、
x/4-x^2/24=-1-x/6
x^2-10x-24=0 すなわち、 
(x+2)(x-12)=0
よっお、x=-2,12
x>0なのでAH=x=12

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

同じ問題に぀いおなので、間借りしたす。

平面幟䜕的解法です。

この䞉角圢の倖心を O ずするず、△OBC は OB = OC である盎角二等蟺䞉角圢なので、
あずは OH を察角線ずする長方圢を曞いおなんやかんやすれば
AH = 5 + √{ (5√2)^2 - 1 } = 12
ず求たりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

垞甚察数倀の手蚈算

先日、私はふず 4374 ず 4375 がどちらも 1 桁の玠因数しか持たないこずに気づきたした。
そしお、224 ず 225、2400 ず 2401 も同様の性質を持぀ず知っおいた私は、以䞋のような蚈算を埗たした。
log は党お垞甚察数です。

224 ≒ 225 より
5 log 2 + log 7 ≒ 2 log 3 + 2 log 5

2400 ≒ 2401 より
5 log 2 + log 3 + 2 log 5 ≒ 4 log 7

4374 ≒ 4375 より
log 2 + 7 log 3 ≒ 4 log 5 + log 7

そしお、
log 2 + log 5 = 1

これらを連立しお 4 元 1 次方皋匏ず思っお解くず、小数第6䜍四捚五入で
log 2 ≒ 72/239 ≒ 0.30126 真倀 0.30103
log 3 ≒ 114/239 ≒ 0.47699 真倀 0.47712
log 5 ≒ 167/239 ≒ 0.69874 真倀 0.69897
log 7 ≒ 202/239 ≒ 0.84519 真倀 0.84510

こうしお比范的簡単によい近䌌倀が埗られるようです。


これを芋お疑問がいく぀か。

(1)
分母 239 ずいうのはどのくらいの優秀さなんでしょうか
すなわち、4 ぀の察数を分母が共通な有理数で近䌌する堎合、分母<1000 くらいで䜕番目くらいに優秀な近䌌倀を埗られる分母なんでしょうか
絶察誀差の和で評䟡するか盞察誀差の和で評䟡するかでも倉わるず思いたすが

(2)
4 桁で差が 1 であるものよりも、7桁以䞊で差が 11 や 13 あるいはそれらを含む 2 桁くらいの合成数であるものを甚いた方が粟床がよくなりそうな気がしたす  本圓でしょうか
本圓だずしお、具䜓的にどのくらい粟床を䞊げられるでしょう
差も 1 桁の玠因数しか持たないものは、ABC予想の蚌明を信じるなら 44100 より先には存圚しないはず

(3)
≒ ではなく、䞍等号での評䟡は同様の方法で可胜でしょうか

(4)
䜿う玠数に 11 を含めお 5 元 1 次にする、䜿う玠数に 13 たで含めお 6 元 1 次にする、などで粟床の向䞊は可胜でしょうか

特に (1) (2) (4) は手䜜業では無謀にもほどがあるので、コンピュヌタ系の揎軍をお願いしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ずりあえず(1)だけ
> 分母 239 ずいうのはどのくらいの優秀さなんでしょうか

分母1000では(盞察誀差の合蚈で)70番目に優秀でした。
239で盞察誀差の合蚈は0.001457 です。
1䜍は568で、盞察誀差の合蚈は0.0001758 です。
2䜍以䞋は897,960,807,794, ず続きたすが、分母が倧きければ盞察誀差が小さいのは圓然で、
そういう意味では69番目たでに分母が239未満のものはありたせんので、239は結構優秀ず蚀えるず思いたす。
分母の倧きさも考慮しお「盞察誀差の合蚈×分母」でランキングを䜜るず、
1䜍の568、2䜍の897は倉わりたせんが、3䜍が329、そしお4䜍が239ずなりたす。
盞察誀差の合蚈×分母の具䜓倀(5䜍たで)は
568 0.099882607730
897 0.222871229356
329 0.285662258393
239 0.348293385746
103 0.383956736568
のようになっおいお、これを芋おも568だけ突出しおいる感じです。
ちなみに分母が568の堎合の察数の近䌌倀は
log2 ≒ 171/568 ≒ 0.30106
log3 ≒ 271/568 ≒ 0.47711
log5 ≒ 397/568 ≒ 0.69894
log7 ≒ 480/568 ≒ 0.84507
なのでかなり良い近䌌になっおいたすね。
分母が568になるような組合せを適圓に探しおみるず、
(2400,2401),(4374,4375),(250000,250047)
から匏を立おれば䞊蚘の倀になるようです。
(怜算しおいたせん。)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

おおヌ、568 優秀ですね。
しかし 250047 は人力じゃ流石にちょっず出おこない  。

やっぱり桁数が倚いず 2 数の差が少しあっおも気にならなくなっおいくので粟床䞊がるっぜいですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(3)に぀いお
5log2 + log7 ≒ 2log3 + 2log5
5log2 + log3 + 2log5 ≒ 4log7
log2 + 7log3 ≒ 4log5 + log7
を
5log2 + log7 + a = 2log3 + 2log5
5log2 + log3 + 2log5 + b = 4log7
log2 + 7log3 + c = 4log5 + log7
a,b,c0
ずしお蚈算するず
log2 = (72 - 27a - 5b - 7c) / 239
log3 = (114 + 17a + 12b - 31c) / 239
log5 = (167 + 27a + 5b + 7c) / 239
log7 = (202 - 16a + 59b - 13c) / 239
ずなりたす。この匏から
log2  72/239
log5  167/239
はただちにわかりたすが、log3 ず 114/239 の倧小関係は
17a + 12b - 31c の笊号を調べないずわかりたせん。
しかし 17a + 12b - 31c の笊号を調べるために蚈算するず
17a + 12b - 31c = 239log3 - 114log10
ずなっお 3^239 ず 10^114 の倧小関係を調べるこずになり、本末転倒です。
よっお同様の方法で䞍等匏で䞊䞋からおさえるためには
近䌌匏を倚数甚意しおたたたた倧小関係がわかるこずに期埅するぐらいしか
思い぀きたせんが、远加の近䌌匏を甚意しようずするず桁数が増えお
手蚈算に䞍向きになっおきたすので、ずりあえず
「この方法での䞍等号での評䟡は難しい」
ず蚀っおよいかず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 17a + 12b - 31c の笊号を調べないずわかりたせん。

なるほど、差分を定数化しおしたえばよかったのですね。
連立方皋匏を解く手間はけっこう増えおしたいたすけれども。
手でやるなら逆行列甚意しお解くのが䞀番早いかな

{1/n - 1/(2*n^2)} log e < log{1+(1/n)} < {1/n} log e
を䜿えば、log e は括り出しお攟眮でいいので、a, b, c の線型結合の正負評䟡はなんずかなるケヌスが倚そうに思いたす。
(224, 225), (2400, 2401), (4374, 4375) のケヌスは実際それでなんずかなるみたいです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

長文です。
(2)に぀いお
玠数2,3,5,7、10桁以䞋で(2400,2401)より誀差率が小さいものは
以䞋の6個しかありたせんでした。巊端は誀差率(倧きい方の倀÷小さい方の倀1)です。
0.000040616 78121827 78125000
0.000066758 645657712 645700815
0.000107377 3954653486 3955078125
0.000188000 250000 250047
0.000228624 4374 4375
0.000295397 184473632 184528125
0.000416667 2400 2401

78121827 = 3^13 * 7^2, 78125000 = 2^3 * 5^10, å·® = 3173 = 19 * 167
645657712 = 2^4 * 7^9, 645700815 = 3^17 * 5, å·® = 43103 (玠数)
3954653486 = 2 * 7^11, 3955078125 = 3^4 * 5^11, å·® = 424639 (玠数)
これを䜿っお
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
4log2 + 9log7 = 17log3 + log5 (645657712, 645700815)
log2 + 11log7 = 4log3 + 11log5 (3954653486, 3955078125)
log2 + log5 = 1
を解くず䞀次埓属で解けたせんでした。
あらためお
78121827 = 3^13 * 7^2, 78125000 = 2^3 * 5^10, å·® = 3173 = 19 * 167
645657712 = 2^4 * 7^9, 645700815 = 3^17 * 5, å·® = 43103 (玠数)
250000 = 2^4 * 5^6, 250047 = 3^6 * 7^3, å·® = 47 (玠数)
これを䜿っお
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
4log2 + 9log7 = 17log3 + log5 (645657712, 645700815)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + log5 = 1
を解くず
log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
これは芋芚えがありたすね。
しかしこの倀は(2400,2401),(4374,4375),(250000,250047)
からも埗られるのではないかず思っお䞊で「怜算しおいたせん」ず曞いたのを
あらためお怜算しおみるず、なんず
5log2 + log3 + 2log5 = 4log7 (2400, 2401)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + log5 = 1
は䞀次埓属で解けたせんでした。結構解けない堎合が出おくるのですね。
それではいろいろ組合せを倉えお詊すこずにしたす。
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
log2 + 11log7 = 4log3 + 11log5 (3954653486, 3955078125)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + log5 = 1
→ log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
4log2 + 9log7 = 17log3 + log5 (645657712, 645700815)
log2 + 11log7 = 4log3 + 11log5 (3954653486, 3955078125)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + log5 = 1
→ log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
4log2 + 9log7 = 17log3 + log5 (645657712, 645700815)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
log2 + log5 = 1
→ log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
log2 + 11log7 = 4log3 + 11log5 (3954653486, 3955078125)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
log2 + log5 = 1
→ log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
log2 + log5 = 1
→ 䞀次埓属
4log2 + 9log7 = 17log3 + log5 (645657712, 645700815)
4log2 + 6log5 = 6log3 + 3log7 (250000, 250047)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
log2 + log5 = 1
→ log2 = 171/568, log3 = 271/568, log5 = 397/568, log7 = 480/568
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
5log2 + log3 + 2log5 = 4log7 (2400, 2401)
log2 + log5 = 1
→ 䞀次埓属
解が埗られおも同じものばかりでした。ちょっず粟床が良いぐらいだず
あたり倉わらないようです。

ではさらに粟床が良いものを芋぀けお詊したす。
しかし「10桁以䞋」を11桁以䞋、12桁以䞋、・・・ず増やしおもなかなか芋぀かりたせん。
「15桁以䞋」たで増やしお、やっず
0.000026141 205885750000000 205891132094649
0.000033563 281474976710656 281484423828125
の二぀が芋぀かりたしたので、これず(78121827, 78125000)で詊したす。
205885750000000 = 2^7 * 5^9 * 7^7, 205891132094649 = 3^30,
å·® = 5382094649 = 3673 * 1465313
281474976710656 = 2^48, 281484423828125 = 5^11 * 7^8,
å·® = 9447117469 (玠数)
7log2 + 9log5 + 7log7 = 30log3 (205885750000000, 205891132094649)
48log2 = 11log5 + 8log7 (281474976710656, 281484423828125)
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 3125/10381 = 0.30103073 (真倀 0.30103000)
log3 = 4953/10381 = 0.47712166 (真倀 0.47712125)
log5 = 7256/10381 = 0.69896927 (真倀 0.69897000)
log7 = 8773/10381 = 0.84510163 (真倀 0.84509804)
ようやく少し粟床が䞊がりたした。

ちなみにもう䞀桁䞊の
0.000007053 2251783932057135 2251799813685248
2251783932057135 = 3^13 * 5 * 7^10, 2251799813685248 = 2^51,
å·® = 15881628113 = 13 * 71 * 17206531
を䜿っお
13log3 + log5 + 10log7 = 51log2 (2251783932057135, 2251799813685248)
7log2 + 9log5 + 7log7 = 30log3 (205885750000000, 205891132094649)
48log2 = 11log5 + 8log7 (281474976710656, 281484423828125)
log2 + log5 = 1
ずしおも䞊ず同じ分母10381の倀になりたした。
ずいうわけで、
䜿う数字の桁数をかなり増やしおも結果の粟床もあたり䞊がらないらしい
ずいうこずがわかりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月16日 09:12)

䜿う桁数が䞊がっおも、2, 3, 5, 7 で䜜れる合成数の割合が枛るこずで打ち消されおしたい、誀差率がなかなか小さくならないんですね。
そうなるず、11や13の䜿甚を怜蚎する方が粟床䞊げには重芁なのかな

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

たた長文です。これで圓初の課題はずりあえず完結。
(4)

【11を远加した堎合】

(1䞇たで)
0.000102041 9800 9801
0.000228624 4374 4375
0.000330688 3024 3025
0.000416667 2400 2401
0.001244444 5625 5632
9800 = 2^3 * 5^2 * 7^2, 9801 = 3^4 * 11^2
4374 = 2 * 3^7, 4375 = 5^4 * 7
3024 = 2^4 * 3^3 * 7, 3025 = 5^2 * 11^2
2400 = 2^5 * 3 * 5^2, 2401 = 7^4
3log2 + 2log5 + 2log7 = 4log3 + 2log11 (9800, 9801)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
4log2 + 3log3 + log7 = 2log5 + 2log11 (3024, 3025)
5log2 + log3 + 2log5 = 4log7 (2400, 2401)
log2 + log5 = 1
→ 䞀次埓属
5625 = 3^2 * 5^4, 5632 = 2^9 * 11, å·® = 7
3log2 + 2log5 + 2log7 = 4log3 + 2log11 (9800, 9801)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
5log2 + log3 + 2log5 = 4log7 (2400, 2401)
2log3 + 4log5 = 9log2 + log11 (5625, 5632)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 270/897 = 0.301003 (真倀 0.301030)
log3 = 428/897 = 0.477146 (真倀 0.477121)
log5 = 627/897 = 0.698997 (真倀 0.698970)
log7 = 758/897 = 0.845039 (真倀 0.845098)
log11 = 934/897 = 1.041249 (真倀 1.041393)
897は䞊の方で568に次いで粟床の良い分母です。

(1億たで)
0.000016089 3294172 3294225
0.000022158 67108864 67110351
0.000040616 78121827 78125000
0.000050668 14348180 14348907
3294172 = 2^2 * 7^7, 3294225 = 3^2 * 5^2 * 11^4, å·® = 53 (玠数)
67108864 = 2^26, 67110351 = 3 * 7^5 * 11^3, å·® = 1487 (玠数)
78121827 = 3^13 * 7^2, 78125000 = 2^3 * 5^10, å·® = 3173 = 19 * 167
14348180 = 2^2 * 5 * 7^2 * 11^4, 14348907 = 3^15, å·® = 727 (玠数)
2log2 + 7log7 = 2log3 + 2log5 + 4log11 (3294172, 3294225)
26log2 = log3 + 5log7 + 3log11 (67108864, 67110351)
13log3 + 2log7 = 3log2 + 10log5 (78121827, 78125000)
2log2 + log5 + 2log7 + 4log11 = 15log3 (14348180, 14348907)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 6421/21330 = 0.3010314 (真倀 0.3010300)
log3 = 10177/21330 = 0.4771214 (真倀 0.4771213)
log5 = 14909/21330 = 0.6989686 (真倀 0.6989700)
log7 = 18026/21330 = 0.8451008 (真倀 0.8450980)
log11 = 22213/21330 = 1,0413971 (真倀 1.0413927)
結構粟床が䞊がりたした。

【13も远加した堎合】

(1䞇たで)
0.000102041 9800 9801
0.000150263 6655 6656
0.000228624 4374 4375
0.000236742 4224 4225
0.000244200 4095 4096
0.000330688 3024 3025
0.000416667 2400 2401
9800 = 2^3 * 5^2 * 7^2, 9801 = 3^4 * 11^2
6655 = 5 * 11^3, 6656 = 2^9 * 13
4374 = 2 * 3^7, 4375 = 5^4 * 7
4224 = 2^7 * 3 * 11, 4225 = 5^2 * 13^2
4095 = 3^2 * 5 * 7 * 13, 4096 = 2^12
3024 = 2^4 * 3^3 * 7, 3025 = 5^2 * 11^2
2400 = 2^5 * 3 * 5^2, 2401 = 7^4
3log2 + 2log5 + 2log7 = 4log3 + 2log11 (9800, 9801)
log5 + 3log11 = 9log2 + log13 (6655, 6656)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
7log2 + log3 + log11 = 2log5 + 2log13 (4224, 4225)
2log3 + log5 + log7 + log13 = 12log2 (4095, 4096)
log2 + log5 = 1
→ 䞀次埓属
3log2 + 2log5 + 2log7 = 4log3 + 2log11 (9800, 9801)
log5 + 3log11 = 9log2 + log13 (6655, 6656)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
7log2 + log3 + log11 = 2log5 + 2log13 (4224, 4225)
2log3 + log5 + log7 + log13 = 12log2 (4095, 4096)
4log2 + 3log3 + log7 = 2log5 + 2log11 (3024, 3025)
log2 + log5 = 1
→ 䞀次埓属 (匏が䞀぀倚くおもなお䞀次埓属なので他の匏が必芁)
3log2 + 2log5 + 2log7 = 4log3 + 2log11 (9800, 9801)
log5 + 3log11 = 9log2 + log13 (6655, 6656)
log2 + 7log3 = 4log5 + log7 (4374, 4375)
7log2 + log3 + log11 = 2log5 + 2log13 (4224, 4225)
5log2 + log3 + 2log5 = 4log7 (2400, 2401)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 270/897 = 0.301003 (真倀 0.301030)
log3 = 428/897 = 0.477146 (真倀 0.477121)
log5 = 627/897 = 0.698997 (真倀 0.698970)
log7 = 758/897 = 0.845039 (真倀 0.845098)
log11 = 934/897 = 1.041249 (真倀 1.041393)
log13 = 999/897 = 1.113712 (真倀 1.113943)
11だけ远加したずきず同じ粟床です。

(1億たで)
0.000007456 5767125 5767168
0.000008117 123200 123201
0.000013783 72772425 72773428
0.000015573 1990625 1990656
0.000016089 3294172 3294225
0.000018861 19140264 19140625
0.000022158 67108864 67110351
5767125 = 3 * 5^3 * 7 * 13^3, 5767168 = 2^19 * 11, å·® = 43 (玠数)
123200 = 2^6 * 5^2 * 7 * 11, 123201 = 3^6 * 13^2
72772425 = 3^7 * 5^2 * 11^3, 72773428 = 2^2 * 7^2 * 13^5, å·® = 1003 = 17 * 59
1990625 = 5^5 * 7^2 * 13, 1990656 = 2^13 * 3^5, å·® = 31 (玠数)
3294172 = 2^2 * 7^7, 3294225 = 3^2 * 5^2 * 11^4, å·® = 53 (玠数)
19140264 = 2^3 * 3^2 * 11^2 * 13^3, 19140625 = 5^8 * 7^2, å·® = 361 = 19^2
67108864 = 2^26, 67110351 = 3 * 7^5 * 11^3, å·® = 1487 (玠数)
log3 + 3log5 + log7 + 3log13 = 19log2 + log11 (5767125, 5767168)
6log2 + 2log5 + log7 + log11 = 6log3 + 2log13 (123200, 123201)
7log3 + 2log5 + 3log11 = 2log2 + 2log7 + 5log13 (72772425, 72773428)
5log5 + 2log7 + log13 = 13log2 + 5log3 (1990625, 1990656)
2log2 + 7log7 = 2log3 + 2log5 + 4log11 (3294172, 3294225)
log2 + log5 = 1
→ 䞀次埓属
log3 + 3log5 + log7 + 3log13 = 19log2 + log11 (5767125, 5767168)
6log2 + 2log5 + log7 + log11 = 6log3 + 2log13 (123200, 123201)
7log3 + 2log5 + 3log11 = 2log2 + 2log7 + 5log13 (72772425, 72773428)
2log2 + 7log7 = 2log3 + 2log5 + 4log11 (3294172, 3294225)
3log2 + 2log3 + 2log11 + 3log13 = 8log5 + 2log7 (19140264, 19140625)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 6079/20194 = 0.3010300089 (真倀 0.3010299957)
log3 = 9635/20194 = 0.4771219174 (真倀 0.4771212547)
log5 = 14115/20194 = 0.6989699911 (真倀 0.6989700043)
log7 = 17066/20194 = 0.8451025057 (真倀 0.8450980400)
log11 = 21030/20194 = 1.0413984352 (真倀 1.0413926852)
log13 = 22495/20194 = 1.1139447361 (真倀 1.1139433523)
粟床は11だけ远加のずきず同皋床です。
log2ずlog5は粟床がいいですが、他はそこたで良くありたせん

【29たで远加した堎合玠数10個】
(1億たで)
0.000000010 96059600 96059601
0.000000055 18085704 18085705
0.000000075 26578123 26578125
0.000000084 11859210 11859211
0.000000095 10556000 10556001
0.000000121 8268799 8268800
0.000000155 12901779 12901781
0.000000169 5909760 5909761
0.000000194 5142500 5142501
0.000000244 4096575 4096576
0.000000244 4090624 4090625
0.000000250 4004000 4004001
0.000000315 22194425 22194432
0.000000365 13697019 13697024
0.000000365 90312467 90312500
0.000000371 2697695 2697696
0.000000485 8254125 8254129
0.000000489 88012332 88012375
0.000000494 2023424 2023425
0.000000520 90312453 90312500
0.000000540 1852200 1852201
0.000000560 67874587 67874625
0.000000569 75557027 75557070
0.000000587 46000759 46000786
96059600 = 2^4 * 5^2 * 7^2 * 13^2 * 29, 96059601 = 3^8 * 11^4
18085704 = 2^3 * 3 * 7^3 * 13^3, 18085705 = 5 * 11 * 17 * 23 * 29^2
26578123 = 11 * 13^2 * 17 * 29^2, 26578125 = 3^5 * 5^6 * 7
11859210 = 2 * 3^4 * 5 * 11^4, 11859211 = 7 * 13 * 19^4
10556000 = 2^5 * 5^3 * 7 * 13 * 29, 10556001 = 3^4 * 19^4
8268799 = 7^2 * 11 * 23^2 * 29, 8268800 = 2^10 * 5^2 * 17 * 19
12901779 = 3^2 * 11 * 19^4, 12901781 = 23^2 * 29^3
5909760 = 2^8 * 3^5 * 5 * 19, 5909761 = 11^2 * 13^2 * 17^2
5142500 = 2^2 * 5^4 * 11^2 * 17, 5142501 = 3^3 * 7^2 * 13^2 * 23
4096575 = 3^4 * 5^2 * 7 * 17^2, 4096576 = 2^6 * 11^2 * 23^2
4090624 = 2^8 * 19 * 29^2, 4090625 = 5^5 * 7 * 11 * 17
4004000 = 2^5 * 5^3 * 7 * 11 * 13, 4004001 = 3^2 * 23^2 * 29^2
22194425 = 5^2 * 11^3 * 23 * 29, 22194432 = 2^8 * 3^3 * 13^2 * 19
13697019 = 3^4 * 7^3 * 17 * 29, 13697024 = 2^16 * 11 * 19
90312467 = 7 * 23^2 * 29^3, 90312500 = 2^2 * 5^7 * 17^2
2697695 = 5 * 7^3 * 11^2 * 13, 2697696 = 2^5 * 3^2 * 17 * 19 * 29
8254125 = 3^2 * 5^3 * 11 * 23 * 29, 8254129 = 13^4 * 17^2
88012332 = 2^2 * 3^4 * 17 * 19 * 29^2, 88012375 = 5^3 * 11^3 * 23^2
2023424 = 2^13 * 13 * 19, 2023425 = 3^2 * 5^2 * 17 * 23^2
90312453 = 3^2 * 7 * 11 * 19^4, 90312500 = 2^2 * 5^7 * 17^2
1852200 = 2^3 * 3^3 * 5^2 * 7^3, 1852201 = 13 * 17^3 * 29
67874587 = 11^2 * 23 * 29^3, 67874625 = 3^3 * 5^3 * 7 * 13^2 * 17
75557027 = 7 * 13^3 * 17^3, 75557070 = 2 * 3^3 * 5 * 23^4
46000759 = 7^6 * 17 * 23, 46000786 = 2 * 13^3 * 19^2 * 29
4log2 + 2log5 + 2log7 + 2log13 + log29 = 8log3 + 4log11 (96059600, 96059601)
3log2 + log3 + 3log7 + 3log13 = log5 + log11 + log17 + log23 + 2log29 (18085704, 18085705)
log11 + 2log13 + log17 + 2log29 = 5log3 + 6log5 + log7 (26578123, 26578125)
log2 + 4log3 + log5 + 4log11 = log7 + log13 + 4log19 (11859210, 11859211)
2log7 + log11 + 2log23 + log29 = 10log2 + 2log5 + log17 + log19 (8268799, 8268800)
2log3 + log11 + 4log19 = 2log23 + 3log29 (12901779, 12901781)
8log2 + 5log3 + log5 + log19 = 2log11 + 2log13 + 2log17 (5909760, 5909761)
4log3 + 2log5 + log7 + 2log17 = 6log2 + 2log11 + 2log23 (4096575, 4096576)
6log7 + log17 + log23 = log2 + 3log13 + 2log19 + log29 (46000759, 46000786)
log2 + log5 = 1
↓
log2 = 360565/1197771 = 0.3010299966 (真倀 0.3010299957)
log3 = 571482/1197771 = 0.4771212527 (真倀 0.4771212547)
log5 = 837206/1197771 = 0.6989700034 (真倀 0.6989700043)
log7 = 1012234/1197771 = 0.8450981031 (真倀 0.8450980400)
log11 = 1247350/1197771 = 1.0413927203 (真倀 1.0413926852)
log13 = 1334249/1197771 = 1.1139433164 (真倀 1.1139433523)
log17 = 1473796/1197771 = 1.2304488922 (真倀 1.2304489214)
log19 = 1531654/1197771 = 1.2787536182 (真倀 1.2787536010)
log23 = 1631038/1197771 = 1.3617277426 (真倀 1.3617278360)
log29 = 1751618/1197771 = 1.4623980711 (真倀 1.4623979979)
分母の1197771は10000000たでで最も誀差が少なくなる倀です。
# 誀差の少ない順に9個+(log2+log5=1)だず䞀次埓属になりたす。
# そこから1個ず぀远加しおいっおもしばらく䞀次埓属のたたで、
# 24個目の(46000759,46000786)の匏を远加しおようやく䞀次独立になりたす。
# そしおそこから逆順に消せる行を消しおいっお10行に枛らしたのが
# 䞊に曞いた匏です。
結論ずしお、玠数を2,3,5,7に限定しおしたうず巚倧な数にしおも
あたり粟床が向䞊したせんが、玠数の個数を増やしおいけば
珟実的な倀ずいっおも手蚈算は無理で粟床を䞊げられるこずが
わかりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

非垞に深く調査しおくださり、ありがずうございたした。
だんだんず方皋匏が䞀時埓属になっおしたう問題が匷敵になっおいくのは思いもよりたせんでした。
手蚈算でやる倧倉さず埗られるもののバランス的には、最初のや぀が思った以䞊に優秀だったんですねえ  。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「攟射性物質を含む停造金貚の特定技術者ずガむガヌカりンタヌによる枬定戊略」

ク゜暑い倏䌑みに英語の補習を受講しに登校しおいたこずを思い出したした。

たたには英文で。

There are eight gold coins, one of which is a forgery containing radioactive material. The task is to identify this forgery using a series of measurements conducted by technicians with Geiger counters. The problem is structured as follows:

1. Coins: There are 8 gold coins, numbered 1 through 8. Exactly one coin is a forgery.

2. Forgery Characteristics: The forged coin contains radioactive material, detectable by a Geiger counter.

3. Technicians: There are 10 technicians available to perform measurements.

4. Measurement Process:
Each technician selects a subset of the 8 coins for measurement.
The technician uses a Geiger counter to test the selected coins simultaneously.
The Geiger counter reacts if and only if the forgery is among the selected coins.
Only the technician operating the device knows the result of the measurement.

5. Measurement Constraints:
Each technician performs exactly one measurement.
A total of 10 measurements are conducted.

6. Reporting:
After each measurement, the technician reports either "positive" (radioactivity detected) or "negative" (no radioactivity detected).

7. Reliability Issue: Up to two technicians may provide unreliable reports, either due to intentional deception or unintentional error.

8. Objective: Identify the forged coin with certainty, despite the possibility of up to two unreliable reports.

Challenge

The challenge is to design a measurement strategy and analysis algorithm that can definitively identify the forged coin, given these constraints and potential inaccuracies in the technicians' reports.

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月08日 00:22)

10人いたら簡単だずしお、9人解ができそうでできない  
必芁な最少人数っお䜕人なんでしょうね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんにずっおは 10人は簡単   うお。

9人解の探玢をしようず思い、ファノ平面は䜿えないかず思い぀きたしお。

"000 000 000 ", 0,0,0,
"110 011 101 ", 6,3,5,
"111 110 001 ", 7,6,1,
"010 100 110 ", 2,4,6,
"011 001 010 ", 3,1,2,
"100 111 011 ", 4,7,3,
"001 101 100 ", 1,5,4,
"101 010 111 ", 5,2,7

これ、䜿えたせんし、ここになにか1ビットを远加しおもどうにもならないのでした。
たずえば
"010 100 110 ", 2,4,6,
"011 001 010 ", 3,1,2,
"001 101 100 ", 1,5,4,
の郚分だけでも、1ビットを増やしたくらいでは、2人の嘘぀きを確定できたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

はい、10人なら簡単です。
9人の堎合も嘘぀きが「確定2人」なら可胜なんですけどねえ  

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「確定人」ずいうお蚀葉に驚きたした。
探したのですが、芋぀からず、です。

副産物ずしお、以䞋の通りの倉なものを芋぀けたした。

3 ビットの 7 ぀の数を数珠぀なぎにしたす。
" 100 111 010 110 001 011 101 "
数珠ですので、最埌尟の 101 の次には 先頭の 100 に぀ながるこずずしたす。

この数珠の、䞉連続する数の組みは 䞃通りあるわけですが、それぞれの組のなかの3぀の数を XOR 挔算するず、被らずに 001 から 111 たでが挏れなく勢揃いしたす。(䞋蚘に䞀芧したす)

onst codes = [
"100 111 010 ", // XOR結果 001
"111 010 110 ", // XOR結果 011
"010 110 001 ", // XOR結果 101
"110 001 011 ", // XOR結果 100
"001 011 101 ", // XOR結果 111
"011 101 100 ", // XOR結果 010
"101 100 111 ", // XOR結果 110
];

この結果は、よくわかりたせんが、いわゆる魔円陣のバリ゚ヌションですね。

さお、䞊の䞀芧を、「攟射胜怜査のために9人それぞれに割り圓おる金貚の䞀芧(䜆し、0をガむガヌカりンタヌではかる印ずし、䞀芧にはないが党員がはかる金貚も枚ある)」ず芋立おるず  
ほんずに惜しいんです。
残りのひずりの10番目の技術者が怜査すれば停造金貚は芋぀かるのですけれど。

うヌん残念。あずひずりをどうしおも省力化したいのですが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

9人で嘘぀きが確定2人の堎合の手順は、以䞋です。

たず、
1人目ず2人目1,2,3,4
3人目ず4人目1,2,5,6
5人目ず6人目1,3,5,7
ず枬定したす。

うち1回でも2人から䞍䞀臎な報告された堎合は、7人目ず8人目にそれのうちの1぀ず同じ枬定しおもらいたす。
䞍䞀臎な報告が䞀床でもあったなら、2人が䞀臎した報告は党お信頌できるので、これで
・䞊蚘3パタヌンの信頌できる結果が出揃っおいる
・䞊蚘3パタヌンのうち2パタヌンの信頌できる結果があり、9人目が正盎者確定
のいずれかになっおいたす。
前者はすでに停物確定、埌者は結果が埗られおいないものを9人目に頌めばいいです。

3組党おで䞀臎する結果が報告された堎合、䟋えば党お攟射線怜出されたず報告された堎合は以䞋の4぀の可胜性がありたす。他のパタヌンも番号が倉わるだけで論理は同じ実質同じ
・1が停物で、残り3人に「確定で2人」嘘぀きがいる
・2が停物で、残り3人に嘘぀きはいない
・3が停物で、残り3人に嘘぀きはいない
・5が停物で、残り3人に嘘぀きはいない
この堎合、残り3人に、2ず3ず5をそれぞれ単䜓で調べおもらいたす。
1人だけが攟射線怜出を報告した堎合、その人の調べたコむンが停物です。※
2人が攟射線怜出を報告した堎合、その2人が嘘぀きで、1が停物です。


嘘぀きが「最倧で2人」の堎合、※のずころで1が停物で嘘぀きが1人しかいなかった可胜性が消し切れたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++ さん、
すごいですね

おっきりパリティビットが䜕らかの理由で䞍芁になっおしたった 9 ビットの笊号なのかず予想しおおりたした。党笊号の、笊号党䜓のパリティが同䞀ならば、その 1 ビットは䞍芁ずなりたすので、それで皌いだのかず  

たさかの、頭の固い私には無理な発想です。
ご教瀺をありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

数珠぀なぎの件、䞭途半端な蚘述でしたので
粟いっぱいきちんず投皿させおいただきたく
文を緎りたした。以䞋です。

3 ビットのビット列が 7 ぀あり、それぞれを a, b, c, d, e, f, g ず名付けたす。この他に、3ビットのビット列が 1 ぀あり、これを z ずしたす。
z = 000
ずしたす。たた、
a = 100
b = 111
c = 010
d = 110
e = 001
f = 011
g = 101
ずしたす。

このずき以䞋の性質がありたす。(ここでは⊕を排他的論理和ずしたす。)
e = a⊕b⊕c
f = b⊕c⊕d
g = c⊕d⊕e
a = d⊕e⊕f
b = e⊕f⊕g
c = f⊕g⊕a
d = g⊕a⊕b
《※サむクリックずなっおいたす。》

3ビットのビット列 x のパリティをここでは p(x) ず曞くこずずしたす。
ビット列の結合を∥で衚したす。たずえば
x = 011, y = 101 のずき
x∥y = 011101 ずなりたす。

e, f, g, a, b, c, d, z を゚ンコヌドしお 10 ビットにしたものをそれぞれ、E, F, G, A, B, C, D, Z ず名付けたす。

さきほどのサむクリックな衚をみながら、

E = a∥b∥c∥p(c)
F = b∥c∥d∥p(d)
G = c∥d∥e∥p(e)
A = d∥e∥f∥p(f)
B = e∥f∥g∥p(g)
C = f∥g∥a∥p(a)
D = g∥a∥b∥p(b)
Z = z∥z∥z∥p(z)
ずしたす。

具䜓的には

E=100∥111∥010∥1 ←e=001
F=111∥010∥110∥0 ←f=011
G=010∥110∥001∥1 ←g=101
A=110∥001∥011∥0 ←a=100
B=001∥011∥101∥0 ←b=111
C=011∥101∥100∥1 ←c=010
D=101∥100∥111∥1 ←d=110
Z=000∥000∥000∥0 ←z=000
ずなりたす。

このようにサむクリックに䜜成した笊号は、
最小ハミング距離が 5 ずなっおいたす。

これで、䞍正確なガむガヌカりンタヌ報告の数が 0 から 2 たでの間ならば、その誀りビットを蚂正可胜です。

他にも色々な䜜り方をしおはみたのですが、䞀番䞍思議な螊りを螊っおいるのが䞊蚘のものです。なぜうたくいくのかわからないので。タマタマなのかも しれたせん。

他の䜜り方のものも、近々、ご玹介させおください。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月14日 14:41)

情報ビットが3ビットでコヌド長が10ビットのコヌドで、最小ハミング距離が5のコヌドであれば、2ビットたでの誀りを怜出しお蚂正するこずができたすが、そのようなコヌドずしお、

0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
1,0,0,1,1,0,0,1,1,1
0,1,0,1,0,1,0,1,1,0
1,1,0,0,1,1,0,0,0,1
0,0,1,1,0,0,1,1,0,1
1,0,1,0,1,0,1,0,1,0
0,1,1,0,0,1,1,0,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1,0,0

ずいうコヌドが考えられたす。10人の技術者をAJずしお、
技術者AずEは、1,3,5,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者BずFは、2,3,6,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者CずGは、4,5,6,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者DずHは、1,2,4,7番の金貚を怜出しお枬定、
技術者Iは1,2,5,6番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Jは1,3,4,6番の金貚を遞択しお枬定するこずにしお、
各技術者の陜性の報告を「1」、陰性の報告を「0」で衚すず、
すべおの報告が正しかったずするず、以䞋の8通りの組み合わせ
があっお、それぞれが18番のいずれかが停造品である堎合
ず察応したす。

-|A,B,C,D,E,F,G,H,I,J
0|0,0,0,0,0,0,0,0,0,0 →8番が停造品
1|1,0,0,1,1,0,0,1,1,1 →1番が停造品
2|0,1,0,1,0,1,0,1,1,0 →2番が停造品
3|1,1,0,0,1,1,0,0,0,1 →3番が停造品
4|0,0,1,1,0,0,1,1,0,1 →4番が停造品
5|1,0,1,0,1,0,1,0,1,0 →5番が停造品
6|0,1,1,0,0,1,1,0,1,1 →6番が停造品
7|1,1,1,1,1,1,1,1,0,0 →7番が停造品

10人の技術者の報告のうち2人の報告が誀りである堎合は、
10ビットのうち2ビットが誀りである堎合に盞圓したすが、
䞊蚘の8状態は最小ハミング距離が5なのでいずれも5ビット
以䞊の差があり、2ビットの誀り、すなわち、2人の報告が
誀りである堎合たでは蚂正するこずができたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月10日 23:28)

技術者が 10 → 21 人に増員されたずきに、最倧 5人 たでの範囲で誀った報告をしおきおも停金貚を突き止めるこずができるず刀明したした。

"100 111 010 110 001 011 101",
"111 010 110 001 011 101 100",
"010 110 001 011 101 100 111",
"110 001 011 101 100 111 010",
"001 011 101 100 111 010 110",
"011 101 100 111 010 110 001",
"101 100 111 010 110 001 011",
"000 000 000 000 000 000 000",

Minimum Hamming Distance: 12

なお、䞊蚘では 21 䞭に、誀らない技術者が1人報告をロストしおも倧䞈倫です。
1人ロストか぀人誀り報告でも。
察称性が高いので。

別の蚀い方をすれば
技術者が 10 → 20 人に増員されたずきに、最倧 5人 たでの範囲で誀った報告をしおきおも停金貚を突き止めるこずができたす。
Minimum Hamming Distance: 11
ずなりたすので。

元の問題からみるず、
技術者が2倍に増えお
蚱容できる誀り報告数が2.5倍です。

こんなのをみるずやはり
9人の技術者(うち最倧2名は嘘぀き)
でもできるのではず倉な予想をたおおしたいたくなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

情報ビットが3ビット、最小ハミング距離が7のコヌドで、最短なのはコヌド長が13ビットのコヌドで、以䞋のようなものでした。

A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M
-------------------------
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
1,0,0,1,1,0,1,0,0,1,1,0,1
0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,1
1,1,0,0,1,1,1,1,0,0,1,1,0
0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,1,1
1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,0
0,1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0
1,1,1,0,0,0,1,1,1,0,0,0,1

13人の技術者をAMずしお、
技術者AずGは、1,3,5,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者BずHは、2,3,6,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者CずIは、4,5,6,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者DずJは、1,2,5,6番の金貚を遞択しお枬定、
技術者EずKは、1,3,4,6番の金貚を遞択しお枬定、
技術者FずLは、2,3,4,5番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Mは、1,2,4,7番の金貚を怜出しお枬定するこずにすれば、
最倧で3人たでが誀りの報告をしおも8枚の金貚から1枚の停造品を特定できたす。

たた、情報ビットが3ビット、最小ハミング距離が9のコヌドで、最短なのはコヌド長が17ビットのコヌドで、以䞋のようなものでした。

A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,N,O,P,Q
---------------------------------
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0
0,1,0,0,1,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,0,1
1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,1,1,0,0,1,1
0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0,1,1,1,0,1,1
1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1
0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,1,1,0
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,0,0,1,0,0,0

17人の技術者をAQずしお、
技術者AずDずGは、1,3,5,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者BずEずHは、2,3,6,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者CずFずIは、4,5,6,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者JずNは、1,2,4,7番の金貚を怜出しお枬定、
技術者KずOは、1,2,5,6番の金貚を遞択しお枬定、
技術者LずPは、1,3,4,6番の金貚を遞択しお枬定、
技術者MずQは、2,3,4,5番の金貚を遞択しお枬定するこずにすれば、
最倧で4人たでが誀りの報告をしおも8枚の金貚から1枚の停造品を特定できたす。

なお、情報ビットが3ビット、最小ハミング距離が3のコヌドで、最短なのはコヌド長が6ビットのコヌドで、以䞋のようなものでした。

A,B,C,D,E,F
-----------
0,0,0,0,0,0
1,0,0,1,1,0
0,1,0,1,0,1
1,1,0,0,1,1
0,0,1,0,1,1
1,0,1,1,0,1
0,1,1,1,1,0
1,1,1,0,0,0

6人の技術者をAFずしお、
技術者Aは、1,3,5,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Bは、2,3,6,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Cは、4,5,6,7番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Dは、1,2,5,6番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Eは、1,3,4,6番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Fは、2,3,4,5番の金貚を遞択しお枬定するこずにすれば、
1人たでが誀りの報告をしおも8枚の金貚から1枚の停造品を特定できたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月13日 00:39)

DD++ さんがおっしゃっおいた、
《10人ではなく9 人、うち2名は《必ず》嘘を぀く》堎合に解があるこずを私も確認したした。別解ですね。

9人の技術者を前半組6人、埌半組3人にわけたす。
前半では①ず②ず③ずのどれかが発生したす。どれが発生したかは我々にはわかりたす。
埌半では、①②③ごずに、察凊策がありたす。

・前半郚
8枚の金貚を枚づ぀ペアにしお蚈4ペアずしたす。(A,a), (B,b),(C ,c ),(D,d)ず名付けたす。あるいは(X,x)のようにたずめお曞くこずもありたす。

名の技術者に以䞋のように枬定の指瀺を出したす。1 のマヌクが぀いた金貚を枬りたす。

[
"0 0 0 0 0 0" ,//(A,a)
"0 0 1 1 1 1" ,//(B,b)
"1 1 0 0 1 1" ,//(C,c)
"1 1 1 1 0 0" ,//(D,d)
]

䞊はハミング距離が 4 なので
以䞋の3぀のケヌスが結果ずしお刀明したす。


①
陜性刀定は偶数個である。
が、そのものズバリの刀定結果が埗られない。
すなわち、前半6人組に人嘘぀きがいる。
停物の入った(X,x)はこの時点ではたったく䞍明。

②
陜性刀定は偶数個である、か぀、
䞊の4ケヌスそれぞれのうちどれかひず぀が
そのものズバリの結果ずなる。

このずき前半6人組に嘘぀きがいない。
停物の入った(X,x)が確定する。

③
陜性刀定は奇数個である。
が、そのものズバリの刀定結果が埗られない。
すなわち、前半6人組に人の嘘぀きがいる。
この堎合には嘘぀きが特定できお、
停物の入った(X,x)が確定する。

以䞊が前半郚です。

次は埌半郚での察凊。

①:
埌半郚3名の技術者が正盎者なので、
枚の金貚から枚の停金貚を芋付けるには
二分朚で捜玢すればよい。
《目的終了》

②
停物の入った(X,x)が確定しおいる。
残りの名の技術者のうち名が嘘぀きである。
名にXが停造か調べさせ、埗られた結果を察で倚数決をずり、その結果の刀定を反転させたものが真の枬定結果ずなる。
《目的終了》

③
停物の入った(X,x)が確定しおいる。
残りの名の技術者のうち名が嘘぀きである。
名にXが停造か調べさせ、埗られた結果を察で倚数決をずり、その結果が真の枬定結果ずなる。
《目的終了》

※以䞊が別解です.
埌半郚の倚数決が効いおくるためにも、嘘぀き名は必ず嘘を぀くこずが必芁ずなりたす。

=====

なお、揃っお嘘を぀くずは限らない堎合に
9名で足りるかずいうお話しに぀いおは、
私は、かなり吊定的に捉えるようになりたした。
個人的には探玢はおわりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

技術者を1人増やしお11人にするず、停造品1枚を含む16枚の金貚から、最倧2人の誀りを含む報告を甚いお特定するこずができたす。

情報ビットが4ビット、最小ハミング距離が5のコヌドで、最短なのはコヌド長が11ビットの以䞋のコヌドで、これを甚いるず、

-|A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K
-----------------------
0|0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0→16番が停造品
1|1,0,0,0,1,1,1,0,0,1,0→1番が停造品
2|0,1,0,0,1,1,0,1,1,0,1→2番が停造品
3|1,1,0,0,0,0,1,1,1,1,1→3番が停造品
4|0,0,1,0,1,0,1,1,1,0,0→4番が停造品
5|1,0,1,0,0,1,0,1,1,1,0→5番が停造品
6|0,1,1,0,0,1,1,0,0,0,1→6番が停造品
7|1,1,1,0,1,0,0,0,0,1,1→7番が停造品
8|0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1→8番が停造品
9|1,0,0,1,1,0,0,0,1,0,1→9番が停造品
a|0,1,0,1,1,0,1,1,0,1,0→10番が停造品
b|1,1,0,1,0,1,0,1,0,0,0→11番が停造品
c|0,0,1,1,1,1,0,1,0,1,1→12番が停造品
d|1,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1→13番が停造品
e|0,1,1,1,0,0,0,0,1,1,0→14番が停造品
f|1,1,1,1,1,1,1,0,1,0,0→15番が停造品

11人の技術者をAKずしお、
技術者Aは、1,3,5,7,9,11,13,15番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Bは、2,3,6,7,10,11,14,15番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Cは、4,5,6,7,12,13,14,15番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Dは、8,9,10,11,12,13,14,15番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Eは、1,2,4,7,9,10,12,15番の金貚を怜出しお枬定、
技術者Fは、1,2,5,6,8,11,12,15番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Gは、1,3,4,6,8,10,13,15番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Hは、2,3,4,5,10,11,12,13番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Iは、2,3,4,5,8,9,14,15番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Jは、1,3,5,7,8,10,12,14番の金貚を遞択しお枬定、
技術者Kは、2,3,6,7,8,9,12,13番の金貚を怜出しお枬定するこずにすれば、
最倧で2人たでが誀りの報告をしおも16枚の金貚から1枚の停造品を特定できたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

kuiperbeltさんによる[2151]のご投皿ぞのコメントです。
8 番から 15 番たでは本物、ずいう情報があらかじめ䞎えられおいれば
技術者Dによる蚈枬は䞍芁ずなり、技術者の総人数は 10 人でよいこずずなりたす。

すなわち
0番(=16番)から7番たでの8枚の金貚から技術者10名で枚の停造金貚をみ぀ける方法にもなっおいたす。(最倧2人たで嘘を぀くこずずしお)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私の[2140]の投皿の続きです。
別解でしお、恐ろしく圢が憶えやすいものです。

情報ビットは 3 ビットずしたす。これを w ず蚘したす。
w に぀いお党おのビットを反転したものを W ずしたす。
3 ビット分のデヌタのパリティ(1ビット)を求める関数を p(・)ず曞きたす。
ビット列 x ずビット列 y ずを結合する蚘号を∥ずしたす。

w を゚ンコヌドしお 10 ビットのビット列を次のように䜜りたす。

w∥w∥p(w)∥w   ただしp(w)=0 のずき。
w∥w∥p(w)∥W   ただしp(w)=1 のずき。

これが目的を果たしたす。
み぀けたずきには物凄くビックリしたした。
なぜコレでうたくいくかずいうずゎニョゎニョです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> なぜコレでうたくいくかずいうずゎニョゎニョです。

3ビットの w をビットづ぀に分解するず
w=w1∥w2∥w3
さきの゚ンコヌドは
w1∥w2∥w3∥w1∥w2∥w3∥w1+w2+w3∥w2+w3∥w1+w3∥w2+w3
トなっおいたす。

※ただし加算蚘号は ビット毎の排他的論理和にお。。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月14日 08:14)

このスレッドの趣旚からは脱線䞭です。

本日考えた[2154]ぞの個人的な気づきです。

「コレ」でうたく行く ずいう芳察から実隓数孊的にあれこれやっおおりたした。

笊号語の数が 16 で情報ビットが 4 、怜査ビットが 3 、笊号長が 7 、最小ハミング距離が 3 ゆえにビット反転誀りを 1 ビットたで蚂正可胜な、(7,4,3)ハミング笊号は、よく知られおいお䞖の䞭に実際に応甚されおいる枯れた技術のようです。

これに察抗しお

笊号語の数が 16 で情報ビットが 4 、怜査ビットが 10 、笊号長が 14 、最小ハミング距離が 7 ゆえにビット反転誀りを 3 ビットたで蚂正可胜な、そのような笊号をたった今み぀けたした。(車茪の再発明かも)

情報ビットをそのたたに、笊号長が 7 から 14 ず2倍になるのを生莄にしお、
ビット反転誀りぞの蚂正胜力を 1 ビットから 3 ビットぞず、 3 倍にできるずいう。

通信路の状況が悪いずきにはかなり有効なのでは ず。

"0000 000000 0000",
"0001 001011 0111",
"0011 011110 1100",
"0010 010101 1011",
"0110 110011 0110",
"0111 111000 0001",
"0101 101101 1010",
"0100 100110 1101",
"1100 011110 0011",
"1101 010101 0100",
"1111 000000 1111",
"1110 001011 1000",
"1010 101101 0101",
"1011 100110 0010",
"1001 110011 1001",
"1000 111000 1110",

 16ビットめぞの远加、末尟に党䜓ぞのパリティを぀けるのも乙なものですが。

ずにかく各ビットを怠けさせない、他のビットず盞関させる、そんな䜜戊が良いのかもしれたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月15日 00:57)

DD++ さんが提起なさった
《技術者が 9 人でも倧䞈倫》ずいう問い
に぀いお䜕床も諊めようず努めたのですが
なかなか頭を離れず、もう思い切っおずこずん考えおみようず詊みたした。

結果ずしお、もしもひず぀の【予想】が正しければ、 9 人の技術者(うち、嘘぀きは 0 人から 2 人の可胜性がある)でも、8枚䞭枚の停金貚を突き止められそうず考え぀きたした。

停金貚を぀きずめる段階ずしお、第䞀段階ず第二段階ずに分けたす。
第二段階では第䞀段階たでの䞭間結果をみおから枬定方法を郜床考えるこずにしたす。
(なお二段階にわけずに䞀発でやろうずするならば技術者は10人必芁だろうこずはほが間違いないずいう感觊を埗おいたす。)

第䞀段階では、人の技術者を䜿い
第二段階では、人の技術者を䜿いたす。

第䞀段階終了時点で既に停造金貚が確定枈みならば第二段階は実行したせん。この堎合の発生条件は、人䞭嘘぀きが人以䞋であるこずです。(必芁十分条件)

第䞀段階終了時点で名䞭嘘぀きが名いたず確定できれば、か぀、8枚䞭少なくずも4枚が本物であるず確定できれば、残りの枚に぀いお第二段階で正盎者のみで構成された名の技術者がうち枚の停金貚を確定できるこずでしょう。

第䞀段階のアルゎリズムになにが必芁かをたずめなおしたす。
以䞋のパタヌンのどれかが必ず発生するものずしたす。

①嘘぀きがちょうど人発生したこずの怜知確定ず、同時に䞀枚の停金貚の確定。
[第二段階䞍芁]

②嘘぀きがちょうど人であるこずの怜知確定ず、同時に䞀枚の停金貚の確定。
[第二段階䞍芁]

③嘘぀きがちょうど人であるこずの怜知確定ず、同時に、本物の金貚(少なくずも)枚の確定。停金貚は残りもののなかにあるず絞れる。
[第二段階では人の正盎者が残りものから停金貚を぀きずめるこずになりたすがそれは十分に可胜であるこずでしょう。]

䞊のようなアルゎリズムがみ぀かれば、10人ならず9人でも停金貚を確定できるこずずなりたす。

①〜③たでで、もっずも難解なのが③が発生するケヌスです。

私は次のようなものをずりあえず考えおみたした。

(長くなったので次に投皿したす。)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

第䞀段階の蚭蚈に぀いお。

枚の硬貚にたいしお名の技術者が以䞋のリストにあるように枬定したす。
(1 )はガむガヌカりンタヌで枬りたす。

"0 0 0 0 0 0 0",
"0 0 1 0 1 1 1",
"1 0 0 1 0 1 1",
"1 1 0 0 1 0 1",
"1 1 1 0 0 1 0",
"0 1 1 1 0 0 1",
"1 0 1 1 1 0 0",
"0 1 0 1 1 1 0",

ケヌス①
぀の枬定結果が埗られた時
陜性(1)が、奇数個、埗られたケヌスです。
このずき、名䞭に嘘぀きは必ず名です。
䞊のテヌブルでは最小ハミング距離がなので嘘぀きも確定し停金貚も確定したす。
第二段階は䞍芁です。

ケヌス②
぀の枬定結果が埗られた時 
陜性(1)が、偶数個、埗られ、か぀、
䞊のテヌブルず䞀臎したケヌスです。
このずき、名䞭に嘘぀きはいたせん。
停金貚も確定したす。
第二段階は䞍芁です。

ケヌス③
぀の枬定結果が埗られた時 
陜性(1)が、偶数個、埗られ、か぀、
䞊のテヌブルず【䞀臎しない】ケヌスです。
このずき、名䞭の嘘぀きは必ず名です。

停金貚は確定したせん。
名の正盎者が埅っおいる第二段階が必芁です。

=====

ここで実隓的にかなりやり蟌んでみたのですが (手動)
停枬定倀を個含む個のデヌタを埗られたずきに、
停金貚の候補は《い぀も》枚なのです。
ずいうこずは第二段階で停金貚が確定できるこずずなりたす。

以䞋が私の【予想】です。

停枬定倀を個含む個のデヌタを埗られたずきに、
停金貚の候補は《い぀も》枚です。

============

䞊蚘の予想に反䟋があったり、蚌明があるようでしたならば、是非ずも、ご教瀺をください。

気になっお気になっお仕方がありたせん。
ぜん぀くな私のこずですから
ボヌンヘッドがあるかも(恥ずかしい)ですけれども。

皆様、䜕卒ご教瀺を賜りたく、宜しくお願い申し䞊げたす。

※蚌明の芋通しがよくなるかどうかわかりたせんが䞊蚘のテヌブルは巡回的に䜜っおありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月16日 17:36)

なるほど、カヌクマンの組分け問題の解を利甚すれば確かにいけたすね。

蚌明は、陜性報告の人数ごずに堎合分けをすれば容易かず思いたす。

いかがでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++ さん。
早速のコメントおよびヒントを有難うございたす。

陜性報告の人数で堎合分け  ですか  
やっおみたす。

ご指摘どおりカヌクマンでしたね  
自分ずしおはファノ平面を䜿った぀もりでした。(0のポゞション)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

千里の道も䞀歩から

A(3,2),B(10,1),C(11,6)である△ABCの内心をIずするずき
その座暙Iをコンピュヌタを甚いれば数倀的にはあっずいう間で
答えおくれたすが、この数倀を明瀺匏で衚したい時にはこの手が
䜿えない。
そこで手蚈算を駆䜿しお、我慢匷くコツコツず進めるこずでこの
Iの座暙を明瀺匏で芋぀けおみお欲しい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

AI ず BC の亀点を D ずするず、
BD : CD = BA : AC = √50 : √80 = √5 : 2√2 = (-5+2√10) : (8-2√10)

よっお、
D ( (38-2√10)/3, (43-10√10)/3 )
より
AI : ID = AB : BD = √50 : (-5+8√10)√26/3

あずはこれを内分点の公匏に぀っこんで敎理すればいいはず  ですが、数字が倧きくなりすぎるのでギブアップ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

A(a,b),B(c,d),C(e,f)ずするず
盎線ABは (d-b)x-(c-a)y-(ad-bc)=0
盎線BCは (f-d)x-(e-c)y-(cf-de)=0
盎線CAは (b-f)x-(a-e)y-(eb-fa)=0
盎線ABからk離れた盎線は (d-b)x-(c-a)y-(ad-bc)-k√{(d-b)^2+(c-a)^2}=0 
 (1)
盎線BCからk離れた盎線は (f-d)x-(e-c)y-(cf-de)-k√{(f-d)^2+(e-c)^2}=0 
 (2)
盎線CAからk離れた盎線は (b-f)x-(a-e)y-(eb-fa)-k√{(b-f)^2+(a-e)^2}=0 
 (3)
(1)(2)からkを消去しお
{(f-d)√{(d-b)^2+(c-a)^2}-(d-b)√{(f-d)^2+(e-c)^2}}x
-{(e-c)√{(d-b)^2+(c-a)^2}-(c-a)√{(f-d)^2+(e-c)^2}}y
=(cf-de)√{(d-b)^2+(c-a)^2}-(ad-bc)√{(f-d)^2+(e-c)^2} 
 (4)
(2)(3)からkを消去しお
{(b-f)√{(f-d)^2+(e-c)^2}-(f-d)√{(b-f)^2+(a-e)^2}}x
-{(a-e)√{(f-d)^2+(e-c)^2}-(e-c)√{(b-f)^2+(a-e)^2}}y
=(eb-fa)√{(f-d)^2+(e-c)^2}-(cf-de)√{(b-f)^2+(a-e)^2} 
 (5)
(4)(5)からyを消去しお敎理するず
x={a√{(f-d)^2+(e-c)^2}+c√{(b-f)^2+(a-e)^2}+e√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
/{√{(f-d)^2+(e-c)^2}+√{(b-f)^2+(a-e)^2}+√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
(4)(5)からxを消去しお敎理するず
y={b√{(f-d)^2+(e-c)^2}+d√{(b-f)^2+(a-e)^2}+f√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
/{√{(f-d)^2+(e-c)^2}+√{(b-f)^2+(a-e)^2}+√{(d-b)^2+(c-a)^2}}}
よっおA(a,b),B(c,d),C(e,f)を頂点ずする内心の座暙は
(
{a√{(f-d)^2+(e-c)^2}+c√{(b-f)^2+(a-e)^2}+e√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
/{√{(f-d)^2+(e-c)^2}+√{(b-f)^2+(a-e)^2}+√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
,
{b√{(f-d)^2+(e-c)^2}+d√{(b-f)^2+(a-e)^2}+f√{(d-b)^2+(c-a)^2}}
/{√{(f-d)^2+(e-c)^2}+√{(b-f)^2+(a-e)^2}+√{(d-b)^2+(c-a)^2}}}
)
芋やすいように
√{(f-d)^2+(e-c)^2}=BC, √{(b-f)^2+(a-e)^2}=CA, √{(d-b)^2+(c-a)^2}=AB
ず曞けば、内心の座暙は
((aBC+cCA+eAB)/(BC+CA+AB),(bBC+dCA+fAB)/(BC+CA+AB))

A(3,2),B(10,1),C(11,6)の堎合は
BC=√{(6-1)^2+(11-10)^2}=√26
CA=√{(2-6)^2+(3-11)^2}=4√5
AB=√{(1-2)^2+(10-3)^2}=5√2
なので、内心の座暙は
((3√26+40√5+55√2)/(√26+4√5+5√2),(2√26+4√5+30√2)/(√26+4√5+5√2))
=
((124+25√10-10√13-√130)/18,(76-5√10+20√13-7√130)/18)
※有理化にはWolframAlphaを䜿いたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

D ( (38-2√10)/3, (43-10√10)/3 )
は
D( (25+2√10)/3.(10√10-22)/3 )
に
AI : ID = AB : BD = √50 : (-5+8√10)√26/3
は
AI : ID = AB : BD = √50 : (-5+2√10)√26/3
ずなりたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> ((124+25√10-10√13-√130)/18,(76-5√10+20√13-7√130)/18)
> ※有理化にはWolframAlphaを䜿いたした。

方法は異なりたすが最終結果は同じになっおいたす。
(コンピュヌタで数倀だけ求めたい時はこの匏を利甚しおいたした。)
有理化もコツコツ進めお行きたした。すごく面倒でした。)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎09月16日 08:01)

> D( (25+2√10)/3.(10√10-22)/3 )
> AI : ID = AB : BD = √50 : (-5+2√10)√26/3
> ずなりたせんか

そうかもしれたせん。
内分比をうっかり逆にしおたかも
なんにせよ、この蚈算は暗算でやるもんじゃないですね  。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈2587ä»¶ (投皿447, 返信2140)

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