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364,049

4個の乗和

a^2+b^2+c^2+d^2
䜆し、abcd=でない。解を求む。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月06日 14:44)

≊≊≊ ずしお、
、、、

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

0a≩b≩c≩d ずしお
(a,b,c,d)=(1,1,2,12),(1,2,8,9),(1,6,7,8),(2,3,4,11),(2,4,7,9),(3,4,5,10),(4,6,7,7),(5,5,6,8)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

敎数の制限が付いおないので他にも
(14/5,33/5,47/5,16/5)
(33/13,79/13,112/13,74/13)
(56/25,137/25,193/25,186/25)
(41/21,103/21,48/7,26/3)
(48/23,119/23,238/23,79/23)
(109/57,275/57,550/57,104/19)
(12/7,31/7,62/7,7)
(52/33,137/33,359/33,38/11)
(115/79,309/79,812/79,410/79)
(6/5,17/5,56/5,17/5)
(31/17,127/17,158/17,36/17)
(53/31,221/31,274/31,132/31)
(39/25,167/25,206/25,148/25)
(101/71,445/71,718/71,180/71)
(4/3,6,29/3,13/3)
(21/19,101/19,202/19,52/19)
(16/13,103/13,119/13,18/13)
(107/91,701/91,808/91,42/13)
(50/51,353/51,168/17,95/51)
(31/37,303/37,334/37,32/37)
(119/27,64/9,238/27,41/27)
(55/13,89/13,110/13,48/13)
(155/39,84/13,310/39,211/39)
(137/37,224/37,361/37,78/37)
(103/29,169/29,272/29,114/29)
(153/49,254/49,508/49,17/7)
(271/81,623/81,718/81,28/27)
(153/47,353/47,406/47,136/47)
(101/35,237/35,338/35,8/5)
(149/57,458/57,168/19,37/57)
(224/43,313/43,359/43,18/43)
(169/33,709/99,812/99,226/99)
(254/55,357/55,508/55,61/55)
(505/119,921/119,1010/119,4/17)
(17/3,22/3,8,1/3)

他に
(3,5,11,131)
(3,5,29,113)
(3,5,41,101)
(3,5,53,89)
(3,5,59,83)

(11,19,47,73)
(11,19,53,67)
(11,19,59,61)
(11,23,37,79)
(11,23,43,73)

(19,29,31,71)
(19,29,41,61)
(19,29,43,59)
(19,31,41,59)
(19,31,47,53)
(19,37,41,53)
(19,41,43,47)
(23,29,31,67)
(23,29,37,61)
(23,31,37,59)
(23,31,43,53)
(23,37,43,47)
(29,31,37,53)
(29,31,43,47)
(29,37,41,43)

ただし数倀に√蚘号を付けお䞋さい。
曎にiを虚数単䜍ずし
(-10+i,-9+5*i,-5+7*i,10+9*i)
(-10+3*i,-9+4*i,2+5*i,8+7*i)
(-10+6*i,-8+7*i,-6+10*i,16+11*i)
(-9+2*i,-8+4*i,-5+6*i,10+8*i)
(-8+i,-6+2*i,-4+3*i,8+4*i)
(-8+3*i,-6+5*i,-5+6*i,12+7*i)

などなど無数にありそう。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月08日 16:34)

面癜くない回答ですが、
実数範囲の䞀般解はp,q,rを任意の正の実数ずしお
(a,b,c,d)=(±√{150/(1+p+q+r)},±√{150p/(1+p+q+r)},±√{150q/(1+p+q+r)},±√{150r/(1+p+q+r)})
耇玠数範囲の䞀般解はp,q,rを任意の耇玠数ただしpqr≠0か぀p^2+q^2+r^2≠150ずしお
(a,b,c,d)=(p,q,r,±√(150-p^2-q^2-r^2))

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞊手く纏められたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月09日 05:28)

最倧数に着目しお






i^2+i+i^2
14^2+(6i)^2+(3i)^2+i^2
耇玠数には倧小関係はありたせんが。
そもそも、ヌず
乗和がになりたした。を䞊べ替えず、笊号を適圓に぀けるず、乗和も等しくできたすが、乗和はむ぀かしいみたいです。
a,b,c,d)の乗和たで、等しいのが芋぀かるず
-a,-b,-c,-d,a,b,c,d)が、個の环乗和が芋぀かる䜜戊です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月16日 09:12)

2(1,2,3,4)+(a,b,c,d)
䜆し、a,b,c,d は、順序関係なく1,2,3,4笊号を぀けたものです。
2(1,2,3,4)+(-4,-1,2,-3)=(-2,3,8,5)
2(1,2,3,4)+(-2,3,-4,-1)=(0,7,2,7)
の二組は、二乗和、四乗和が、等しくなりたす。
䞊の圢匏で、二乗和、四乗和、六乗和たで、等しくなる
二組は、存圚するでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

有理数の平方和での探玢

4぀の異なる分母をも぀有理数P,Q,R,Sが
P^2+Q^2+R^2+S^2=7777
を満たすずいう。
(P,Q,R,S)の組合せを芋぀けおほしい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月10日 09:53)

䜕ずか手䜜業で芋぀けたした。
(236/7777)^2+(37/707)^2+(8/77)^2+(97976/1111)^2=7777
a^2+b^2+c^2+d^2=7777^3ずなるa,b,c,dの組み合わせで
7777で割っお玄分したずきに党郚分母が異なるものを探したした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

手䜜業で芋぀けたした。
これが凄いですね。
確かに分母が[77,707,1111,7777]で分子を䞊蚘の数倀で分数を䜜っおおくず
7777が぀くれる。
私も䜕ずかコンピュヌタの力をお借りしお
分母が[3,15,25,75]で固定しお眮いお、分子を色々動かしおみるず
(100/3)^2+(454/15)^2+(974/25)^2+(4879/75)^2
(100/3)^2+(461/15)^2+(994/25)^2+(4826/75)^2
(100/3)^2+(464/15)^2+(967/25)^2+(4868/75)^2
(100/3)^2+(496/15)^2+(997/25)^2+(4738/75)^2
(100/3)^2+(508/15)^2+(913/25)^2+(4852/75)^2

ず呚蟺にいく぀も条件を満たす集団が発芋できたした。

同じく分母を[3,21,35,105]固定したら
(140/3)^2+(1301/21)^2+(1464/35)^2+(356/105)^2
(140/3)^2+(1306/21)^2+(1418/35)^2+(997/105)^2
(140/3)^2+(1318/21)^2+(1417/35)^2+(482/105)^2
(140/3)^2+(1325/21)^2+(1404/35)^2+(316/105)^2
(140/3)^2+(1363/21)^2+(1276/35)^2+(796/105)^2


[7,15,21,105]の分母では
(404/7)^2+(653/15)^2+(898/21)^2+(2822/105)^2
(404/7)^2+(692/15)^2+(844/21)^2+(2783/105)^2
(405/7)^2+(676/15)^2+(866/21)^2+(2774/105)^2
(405/7)^2+(716/15)^2+(806/21)^2+(2734/105)^2
(409/7)^2+(692/15)^2+(832/21)^2+(2708/105)^2

が浮かび䞊がっおきたす。

敎数だけに限定するず有限個でおさたるずころ
有理数ぞ探玢を拡匵するず䞖界が党く異なっおくる感芚になりたす。
しかも探す苊劎は䞀筋瞄ではいかなくなる。
任意の敎数Nを4぀の有理数の平方和で䜜るアルゎリズムは有りや無しや

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「最も簡単な匏」すなわち分子分母に登堎する自然数の最倧倀が最も小さいものは
(173/2)^2+(161/10)^2+(155/26)^2+(1/130)^2=7777
最倧倀173
でした。最倧倀が173になる匏は党郚で5぀あり、
173を陀いた数の最倧倀この匏では161が最も小さくなるのがこの匏です。
172以䞋の自然数では7777は䜜れないずいうこずになりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月11日 11:49)

最倧倀が173になる匏は党郚で5぀あり、

(173/2)^2+(161/10)^2+(155/26)^2+(1/130)^2
(173/2)^2+(167/10)^2+(103/26)^2+(53/130)^2
(173/2)^2+(169/10)^2+(77/26)^2+(79/130)^2
(173/2)^2+(171/10)^2+(33/26)^2+(111/130)^2
以倖䜕があるのですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あず䞀぀は
(173/2)^2+(167/10)^2+(133/34)^2+(127/170)^2
です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(173/2)^2+(167/10)^2+(133/34)^2+(127/170)^2
を探し出すためには他にも前3぀の最小公倍数が173を越えない組合せ(1541通り)
が山ほど考えられるので、それから芋぀け出すっお凄くないですか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月14日 08:07)

(173/3)^2+(173/4)^2+(173/5)^2+(173/6)^27777から
䞀぀目の分母は2に固定できたすので、探玢する組み合わせは枛らせるず思いたす。
同様に
(173/2)^2+(173/17)^2+(173/18)^2+(173/19)^27777から
二぀目の分母は316䞀぀目の分子が小さければさらに絞られたすに限られるなど、
垞に「この倀以䞊にした堎合に合蚈が7777になる可胜性がなければパス」ずいう
凊理を入れお短瞮すれば、実行時間が結構短くなるのではないかず思いたす。
※䞀぀目の「2のみ」もそういう固定倀にしおいるわけではなく、
「3にした堎合に残りが最倧ずしお7777に達するか」を蚈算しおいたす。
(補足)
䞊蚘のチェックは巚倧敎数挔算や分数挔算では倚分遅いので、
最倧倀をdoubleで蚈算しお7776.9より小さければパス、ずしおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月14日 17:27)

おじゃた虫

曎新 ようすけさん出題 角の倧きさ
で、
Θ°の時
∠∠∠°
で合っおたすでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

同じ蚘事の話題なので、同䞀スレッドにぶら䞋がりたす。

△ABC を、A を䞭心に時蚈呚りに 90° 回転させおから倖呚が長方圢になるよう補助線を匕くず、
長方圢から 3 ぀の盎角䞉角圢うち 2 ぀は合同を切り萜ずしお盎角二等蟺䞉角圢が残る図ができたす。
よっお Ξ-90° = 45° より Ξ=135°

ずいう解答が䞀番お手軜ですかね。

盎角䞉角圢 2 ぀で、盎角を挟む 2 蟺の長さが
12+5=17, 12-5=7
17+7=24=12*2, 17-7=10=5*2
みたいな関係のずきにはたずこの図を䜜るこずを考えるようにしおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

問題から、少し倖れたすが

぀の「盎角䞉角圢同士」が、この「向き」で接しおいた時
蟺の長さが、分かっおいなくおも
必ず
∠Ξ∠∠ が成り立぀・・・ず
ちょずした公匏倧げさの出来䞊がりになるかな

䞭孊入詊問題にちょうどいい
Ξが°の時、∠ず∠の和は䜕床ですか
盎感で、すぐに分かっおしたうず思うけど

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月07日 20:25)

入詊問題の数孊っお

最近は「曎新履歎」で、
「倧孊入詊問題探蚪」が連続しおいたすが、

自分の入詊経隓から、数孊の入詊問題っお
その倧孊のレベルずかではなく、

むしろ、
自分ず問題ずの盞性
難しくおも自分に合っおいるか
(運みたいなもの)
自分ず出題者ずの盞性
の方が倧事のような気がしたす。

それず特に数孊は、暗蚘の科目ず違っお
「本番」が勝負ずいう感じがしたす。
詊隓が終わっお、なんであの問題が解けなかったんだろう
ず・・・・・
やはり緊匵は「敵」ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

日垞の疑問

日垞よく自動販売機なるものを利甚しおいるが
客は決たった金皮を入れる蚳ではなく、たたたた持っおいる
硬貚を利甚しおいる。
そこで自動販売機が受け付けおいる10円,50円,100円,500円硬貚で
1000円の品物を販売機で賌入するずした堎合、販売機は党郚で
䜕通りの硬貚の組合せを受け付けるこずになるのか
たた5円玉も販売機が受け付けるようにしたずすれば、その硬貚の
組合せはどれほどになるものか
想像するのも恐ろしいが1円玉も受け付けるならどうなっおしたう
ただし販売機は硬貚は䜕個でも受け付けるものずする。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月29日 14:31)

ひょっずしお
10円玉たでで
158通りでしょうか

((x^50)^2+(x^50)+1)*((x^10)^10+(x^10)^9+(x^10)^8+(x^10)^7+(x^10)^6+(x^10)^5+(x^10)^4+(x^10)^3+(x^10)^2+(x^10)^1+1)*((x^5)^20+(x^5)^19+(x^5)^18+(x^5)^17+(x^5)^16+(x^5)^15+(x^5)^14+(x^5)^13+(x^5)^12+(x^5)^11+(x^5)^10+(x^5)^9+(x^5)^8+(x^5)^7+(x^5)^6+(x^5)^5+(x^5)^4+(x^5)^3+(x^5)^2+(x^5)^1+1)*((x)^100+(x)^95+(x)^90+(x)^85+(x)^80+(x)^75+(x)^70+(x)^65+(x)^60+(x)^55+(x)^50+(x)^45+(x)^40+(x)^35+(x)^30+(x)^25+(x)^20+(x)^15+(x)^10+(x)^5+1)

を展開しおx^100 の項の係数をみたした。

本圓は次の匏を展開したかったのですが、オンラむン展開サヌビスが受け付けおくれたせんでした。

((A*x^50)^2+(A*x^50)+1)*((B*x^10)^10+(B*x^10)^9+(B*x^10)^8+(B*x^10)^7+(B*x^10)^6+(B*x^10)^5+(B*x^10)^4+(B*x^10)^3+(B*x^10)^2+(B*x^10)^1+1)*((C*x^5)^20+(C*x^5)^19+(C*x^5)^18+(C*x^5)^17+(C*x^5)^16+(C*x^5)^15+(C*x^5)^14+(C*x^5)^13+(C*x^5)^12+(C*x^5)^11+(C*x^5)^10+(C*x^5)^9+(C*x^5)^8+(C*x^5)^7+(C*x^5)^6+(C*x^5)^5+(C*x^5)^4+(C*x^5)^3+(C*x^5)^2+(C*x^5)^1+1)*((D*x)^100+(D*x)^95+(D*x)^90+(D*x)^85+(D*x)^80+(D*x)^75+(D*x)^70+(D*x)^65+(D*x)^60+(D*x)^55+(D*x)^50+(D*x)^45+(D*x)^40+(D*x)^35+(D*x)^30+(D*x)^25+(D*x)^20+(D*x)^15+(D*x)^10+(D*x)^5+1)

10円1ギルドずしお
100ギルドの商品を
1ギルド、5ギルド、10ギルド、50ギルドの硬貚で支払いたいず考えたす。

このずき、1ギルド硬貚の枚数は明らかに5の倍数なのでそうした瞛りを぀けたす。
(D*x) は1ギルド硬貚のシンボルです。この項の肩にのっかる指数は、1ギルド硬貚で支払う䟡栌を衚したす。䞊の匏では0ギルドから100ギルドたで5ギルド単䜍の党おの可胜性を列挙しおいたす。

(C*x^5)はギルド硬貚のシンボルです。0枚から20枚たで、肩の指数でもっお枚づ぀の刻みで列挙したす。

同様に(B*x^10)及びに(A*x^50)は、それぞれ、10ギルド硬貚、50ギルド硬貚のシンボルです。匏での意味はここたでの扱いに準拠したす。

さきほどの匏は、それぞれの硬貚の枚数の䞊限およびに刻みに制限を付䞎した䞊で、支払える金額の党おのパタヌンを自動的に(展開をしおくれるサむトを利甚しおですが)求めるものです。
xの指数が100のものの党おのバリ゚ヌションが求めるものなのですが、、
たじめに展開できれば、100ギルドの支払い方が各係数をみるこずでわかるはずです。

展開しおくれるサむトがみ぀からなかったので、AからDたでに1を代入しお、バリ゚ヌションの組み合わせの数のみ求めるこずずしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞀぀目
10円硬貚で10n円を衚す方法は1通り
 → 50n円を衚す方法も1通り
10円硬貚ず50円硬貚で50n円を衚す方法は、Σ[k=0n]1=n+1通り
 → 100n円を衚す方法は2n+1通り
10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚で100n円を衚す方法は、Σ[k=0n]2k+1=(n+1)^2通り
 → 500n円を衚す方法は(5n+1)^2通り
10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚ず500円硬貚で500n円を衚す方法は、
 Σ[k=0n](5k+1)^2=(n+1)(50n^2+55n+6)/6通り
よっお1000円を衚す方法はn=2を代入しお3×316÷6=158通り

二぀目
5円硬貚で5n円を衚す方法は1通り
 → 10n円を衚す方法も1通り
5円硬貚ず10円硬貚で10n円を衚す方法は、Σ[k=0n]1=n+1通り
 → 50n円を衚す方法は5n+1通り
5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚で50n円を衚す方法は、
 Σ[k=0n]5k+1=(n+1)(5n+2)/2通り
 → 100n円を衚す方法は(2n+1){5(2n)+2}/2=(2n+1)(5n+1)通り
5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚で100n円を衚す方法は、
 Σ[k=0n](2k+1)(5k+1)=(n+1)(20n^2+31n+6)/6通り
 → 500n円を衚す方法は(5n+1){20(5n)^2+31(5n)+6}/6=(5n+1)(500n^2+155n+6)/6通り
5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚ず500円硬貚で500n円を衚す方法は
 Σ[k=0n](5k+1)(500k^2+155k+6)/6=(n+1)(625n^3+1050n^2+305n+6)/6通り
よっお1000円を衚す方法はn=2を代入しお3×9816÷6=4908通り

䞉぀目
1円硬貚でn円を衚す方法は1通り
 → 5n円を衚す方法も1通り
1円硬貚ず5円硬貚で5n円を衚す方法は、Σ[k=0n]1=n+1通り
 → 10n円を衚す方法は2n+1通り
1円硬貚ず5円硬貚ず10円硬貚で10n円を衚す方法は、Σ[k=0n]2k+1=(n+1)^2通り
 → 50n円を衚す方法は(5n+1)^2通り
1円硬貚ず5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚で50n円を衚す方法は、
 Σ[k=0n](5k+1)^2=(n+1)(50n^2+55n+6)/6通り
 → 100n円を衚す方法は(2n+1){50(2n)^2+55(2n)+6}/6=(2n+1)(100n^2+55n+3)/3通り
1円硬貚ず5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚で100n円を衚す方法は、
 Σ[k=0n](2k+1)(100k^2+55k+3)/3=(n+1)(100n^3+240n^2+131n+6)/6通り
 → 500n円を衚す方法は(5n+1){100(5n)^3+240(5n)^2+131(5n)+6}/6
   = (5n+1)(12500n^3+6000n^2+655n+6)/6通り
1円硬貚ず5円硬貚ず10円硬貚ず50円硬貚ず100円硬貚ず500円硬貚で500n円を衚す方法は
 Σ[k=0n](5k+1)(12500k^3+6000k^2+655k+6)/6
  = (n+1)(12500n^4+29375n^3+15800n^2-195n+6)/6通り
よっお1000円を衚す方法はn=2を代入しお3×497816÷6=248908通り

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

挢字衚蚘

昔の数孊曞には、
関数は、「凜数」
接線は、「切線」が芋られたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

挢字衚蚘で思い出したしたが
倧きな数での単䜍で
億、兆、京、垓 の次の単䜍じょの挢字がなかなか出おこなく、登録
されおいないんじゃないかず思えるくらい姿が芋぀からないのですが、
皆さんのお手元ではどうなっおいたすでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「𥝱」ですよね。
他の単䜍をいく぀か打っお怜玢したら、この挢字を䜿っおいるサむトがありたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

挢字倉換に困るや぀ですね。

以䞋が参考になりたしょうか
https://tom2rd.sakura.ne.jp/wp/2022/04/11/post-12585/

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

スマホ(Android) 付属の日本語入力゜フトGboardで手曞き入力を詊したしたが、出たせんね。𥝱。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

𥝱

iPhoneだず普通に出たすね。
「じょ」ず読む普通の挢字ず「じょ」で始たる予枬倉換の先なので、探すのが少し手間ではありたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

チョットの違いは倧きな違い

1から7たでの数字を䞀床だけ䜿うこずを条件に
(1)4桁の敎数abcdず3桁の敎数efgを足すず玠数ができるずいう
組合せ(a,b,c,d,e,f,g)は䜕通りでその出来る玠数の皮類は䜕通りあるか

(2)a×b×c×d + e×f×g が玠数ができるずき
その組合せ(a,b,c,d,e,f,g)は䜕通りでその出来る玠数の皮類は䜕通りあるか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(2)は暗算で求たりたすが、぀いでなのでプログラムでも数えたした。
(3)以降はおたけです。
(1)abcd+efg → 組合せ1000通り、玠数91通り
(2)a×b×c×d+e×f×g → 組合せ144通り、玠数1通り(179のみ)
(3)abcd+e×f×g → 組合せ954通り、玠数144通り
(4)a×b×c×d+efg → 組合せ744通り、玠数27通り
(5)abcd-efg → 組合せ727通り、玠数371通り
(6)a×b×c×d-e×f×g → 組合せ288通り、玠数2通り(2ず109のみ)
(7)abcd-e×f×g → 組合せ1176通り、玠数175通り
(8)a×b×c×d-efg → 組合せ264通り、玠数11通り
※倉数の連続は乗算ではなく桁の連結
※結果の正圓性はほが確認しおいたせんので、正しくないかも知れたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(1)がちょうど1000個あるのが面癜く
(2)が暗算で求められるのがその察比で面癜く感じたので出題しおいたした。
ずいうこずで
はお9の数字を䞀床ず぀䜿うこずで
a×b×c×d×e×f+g×h×i
が玠数ずなる組合せは有るや、無しや?
がパズルで問えそう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

蚈算結果の信憑性を確認したい。

どなたか
数字の1から18たでを䞀぀ず぀䜿っお
9個の1より小さい既玄分数を䜜るこずが
出来る組合せが䜕通り出来るか調べおくれたせんか
蚈算で求たるのか
コンピュヌタでプログラム的に凊理できるのか
どちらでも構いたせんのでお願いしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

https://oeis.org/A009679
↑これで正しければ
59616通りだず思いたす。
蚈算で出すのは難しいず思いたす。
# n=2,4,6,
,18に察する組合せ数をプログラムで調べ、結果の数列を怜玢したら䞀臎するものがありたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月14日 11:40)

䞖界䞭では誰なっず調べ䞊げおいるものですね。
私は䞀週間ぐらい詊行錯誀を繰り返し、プログラムを色々曞き盎しやっず党郚で58320通りを求めたず思っおいたんですが
どこかに芋萜ずしがあるのかな。
自分でも䜕床も芋盎したんですがそれが分からないのです。

考え方
党郚が芏玄な分数であるため、分子ず分母は奇数、偶数での組合わせずなるので
A=[2,4,6,8,10,12,14,16,18]
B=[1,3,5,7,9,11,13,15,17]
の2組に分け
AずBを組合わせおできる1より小さい既玄分数は次の69個で
M=[1/2, 2/3, 2/5, 2/7, 2/9, 2/11, 2/13, 2/15, 2/17,
1/4, 3/4, 4/5, 4/7, 4/9, 4/11, 4/13, 4/15, 4/17,
1/6, 5/6, 6/7, 6/11, 6/13, 6/17,
1/8, 3/8, 5/8, 7/8, 8/9, 8/11, 8/13, 8/15, 8/17,
1/10, 3/10, 7/10, 9/10, 10/11, 10/13, 10/17,
1/12, 5/12, 7/12, 11/12, 12/13, 12/17,
1/14, 3/14, 5/14, 9/14, 11/14, 13/14, 14/15, 14/17,
1/16, 3/16, 5/16, 7/16, 9/16, 11/16, 13/16, 15/16, 16/17,
1/18, 5/18, 7/18, 11/18, 13/18, 17/18]
これから組合わせお調べるのは察象が倚すぎるので手分けしおいく。

(1)1/2を䜿うずすれば残りは1,2の数字をふくたない物から構成するので
Q1=[ 3/4, 4/5, 4/7, 4/9, 4/11, 4/13, 4/15, 4/17]
Q2=[5/6, 6/7, 6/11, 6/13, 6/17]
Q3=[ 3/8, 5/8, 7/8, 8/9, 8/11, 8/13, 8/15, 8/17]
Q4=[3/10, 7/10, 9/10, 10/11, 10/13, 10/17]
Q5=[5/12, 7/12, 11/12, 12/13, 12/17]
Q6=[ 3/14, 5/14, 9/14, 11/14, 13/14, 14/15, 14/17]
Q7=[3/16, 5/16, 7/16, 9/16, 11/16, 13/16, 15/16, 16/17]
Q8=[5/18, 7/18, 11/18, 13/18, 17/18]
に分けお眮き
for(n1=1,8,Q1[n1])
for(n2=1,5,Q2[n2])
for(n3=1,8,Q3[n3])
for(n4=1,6,Q4[n4])
for(n5=1,5,Q5[n5])
for(n6=1,7,Q6[n6])
for(n7=1,8,Q7[n7])
for(n8=1,5,Q8[n8])
でそれぞれのグルヌプから既玄分数を組合わせおいく。
その組合わせが異なる16個の異なる数字から䜜られおいればカりントしお集蚈する。
こうしお求たった集蚈がs1=4788が埗られた。

同様な考え方で
(2)2/3を䜿うずすれば残りは2,3を含たない物から組み合わせおいくので
Q1~Q8をそれに合わせお遞び盎し、条件を満たすものをカりントしおいくず
s2=9144
以䞋同様で
(3)2/5を䜿う堎合
s3=5328
(4)2/7を䜿う堎合
s4=5184
(5)2/9を䜿う堎合
s5=9144
(6)2/11を䜿う堎合
s6=4788
(7)2/13を䜿う堎合
s7=4788
(8)2/15を䜿う堎合
s8=10368
(9)2/17を䜿う堎合
s9=4788

以䞊から求める総数は
4788*4+5184+5328+9144*2+10368=58320通り
なのです。
これが正解ず思われる59616通りなので1296通りは䜕凊ぞ行ったのか?

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(8)2/15を䜿う堎合
の倀は10368でなく11664です。
その他はすべお合っおいたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2/15のチェックをしたら
Q4=[[1, 10], [3, 10], [7, 10], [9, 10], [10, 11], [10, 13], [10, 17]]
に察する
for(n4=1,7,Q4[n4])でのチェックであるべき所を
for(n4=1,6,Q4[n4])
ず間違っお凊理しおいたこずが原因であるこずが刀明したした。
間違えない様に慎重に進んでいた調査も終盀に近くなった頃にタむプミス
を発生させおしたっおいた。
再床for(n4=1,7,Q4[n4])での確認ではs7=11664で䞀臎出来たした。

間違えたのに気付くためには、間違ったこずを確認した埌でしか芋えおこないので厄介です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Q1,Q2, をプログラムで生成し、その個数をプログラムで自動的にルヌプカりントにすれば間違えるこずはなくなるず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月15日 00:13)

人がプログラムを䜜っおいるのを参考にしおいたら
あんなに䜕日も考えおやっず手に入れた数倀が
gp > matpermanent(matrix(9,9,i,j,gcd(2*i,2*j-1)==1))
%192 = 59616通り
の䞀発で行けるずいう。
埓っお132の数字をそれぞれ䞀床しか䜿甚できなく
16個の1より小さい既玄分数を(4×4行列を䜜れる)
䜜れる組合せの総数は
gp > matpermanent(matrix(16,16,i,j,gcd(2*i,2*j-1)==1))
%193 = 768372168960通り
からずおもたずもには求めるこずが難しい倧きさでも、いずも簡単にわかるずいう
ほんずに数孊の力䞭にある数孊的構造の䞍思議さ)を感じたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

蚈算で䞀般的に出すのは難しいずしおも、今回の数倀蚭定に限るならさほど難しくないですよ。

ずりあえず 2 ず 3 で玄分できないように分数を䜜る方法は、
6 の倍数を䜿う 3 組、3 の倍数ず 2 の倍数を䜿う 3 組、残り 3 組の順に考えお、
6P3 * 6P3 * 3! = 86400 通り

この䞭で、

5/10 ができおしたう組が
5P3 * 5P3 * 2! = 7200 通り

10/15 ができおしたう組が
6P3 * 5P2 * 3! = 14400 通り

7/14 ができおしたう組が
5P3 * 5P3 * 2! = 7200 通り

5/10 ず 7/14 がずもにできおしたう組が
4P3 * 4P3 * 1! = 576 通り

10/15 ず 7/14 がずもにできおしたう組が
5P3 * 4P2 * 2! = 1440 通り

よっお、いずれも既玄分数になる組は
86400-7200-14400-7200+576+1440 = 59616 通り

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

すみたせんDD++さん
説明文ずそれを瀺す匏が私の頭では䜕をどう考えたら成り立぀のか党く芋えおきたせん。
䟋えば
6 の倍数を䜿う 3 組、3 の倍数ず 2 の倍数を䜿う 3 組、残り 3 組の順に考えお、
6P3 * 6P3 * 3! = 86400 通り
はお
6P3の6は䜕を指した6なのか
3!は䜕をもっお3!にするのか
以䞋埌の方の説明文ず匏の意味が党く読み取れなくいたす。
蚈算ずそれから導かれる結果は正しいのだから、それぞれには導く理由を持぀
根拠がある事は理解できるんですが、党䜓を通した構想のあらすじが芋えおいない
事なんだず思いたす。
もう少し解説を入れお説明願えたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

18 たでの䞭には偶数が 9 個あるので、2 で玄分できないためには党お偶数ず奇数で察にしお分数を䜜る必芁がありたす。

そしお、3 でも玄分できないように察にするには、
・6 の倍数3 ぀あるには 3 で割り切れない奇数6 ぀あるの䞭から 3 ぀遞んで割り圓おる
・3 の倍数である奇数3 ぀あるには、3 で割り切れない偶数6 ぀あるの䞭から 3 ぀遞んで割り圓おる
・残った 3 ぀ず぀は、適圓に偶数ず奇数のペアを 3 組䜜る
こずになりたす。
だから 6P3 * 6P3 * 3! = 86400 通りずなりたす。

それ以埌も、指定の分数を最初に䜜っおしたうこずにするず䜕個から䜕個遞ぶかが倉わりたすが、考え方は同じです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

副産物

マチンの公匏ずしお
π/4=4*atan(1/5)-atan(1/239)
が有名であるが
䞀般にtanの4倍角の公匏が
tan(Ξ)=Tの時
tan(4*Ξ)=(4*T-4*T^3)/(1-6*T^2+T^4)
なので
今tan(Ξ)=1/5 <=> Ξ=atan(1/5)
ずすれば
tan(4*Ξ)=(4/5-4/5^2)/(1-6/5^2+1/5^4)=120/119
これから
4*Ξ=atan(120/119)
即ち
4*atan(1/5)=atan(120/119)
たた䞀般に
-atan(Ξ)=atan(-Ξ) から
マチンの公匏を
atan(120/119)+atan(-1/239)=π/4
ず衚蚘するこずも可胜

曎にDegan さんから提瀺された
atan(a/b)+atan(s/t)=atan((a*y+b*x)/(b*y-a*x))+atan((s*y-t*x)/(t*y+s*x))
を条件を無芖しお
H(a,b,s,t,x,y)=[(a*y+b*x)/(b*y-a*x),(s*y-t*x)/(t*y+s*x)]
での蚈算をx,yを勝手に遞んでやっおみたら

gp > atan(120/119)+atan(-1/239)
%2817 = 0.78539816339744830961566084581987572105
gp > Pi/4
%2818 = 0.78539816339744830961566084581987572105

ここで自由にx,yを遞んで倉換しおやるず
gp > H(120,119,-1,239,1,2)
%2819 = [359/118, -241/477]
gp > atan(359/118)+atan(-241/477)
%2823 = 0.78539816339744830961566084581987572105

gp > H(120,119,-1,239,1,3)
%2820 = [479/237, -121/358]
gp > atan(479/237)+atan(-121/358)
%2824 = 0.78539816339744830961566084581987572105

gp > H(120,119,-1,239,1,4)
%2821 = [599/356, -243/955]
gp > atan(599/356)+atan(-243/955)
%2825 = 0.78539816339744830961566084581987572105

gp > H(120,119,-1,239,11,17)
%2822 = [3349/703, -1323/2026]
gp > atan(3349/703)+atan(-1323/2026)
%2826 = 0.78539816339744830961566084581987572105

x>yずしおも
gp > H(120,119,-1,239,7,3)
%2828 = [-1193/483, -838/355]
gp > atan(-1193/483)+atan(-838/355)
%2829 = -2.3561944901923449288469825374596271632
この時はPiを補い
gp > Pi+%2829ずしおやれば
%2831 = 0.78539816339744830961566084581987572106

gp > H(120,119,-1,239,1/7,1/3)
%2833 = [1197/473, -362/835]
gp > atan(1197/473)+atan(-362/835)
%2834 = 0.78539816339744830961566084581987572105
でどれでもπ/4が構成されたした。

(远䌞)
16次のarctan系魔方陣は結局arctanでの倀は魔方陣ができるが、それを䞎える各既玄分数は
同じ数字を含んでしたうものしか䜜れたせんでした。どなたか解明しお䞋さい。)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月07日 10:31)

arctan系魔方陣

凄いものをみかけたしたのでご玹介いたしたす。

次のペヌゞには、256個の有理数が
1616 の方陣ずしお提䟛されおいたす。

https://github.com/TokusiN/AtanMagic/blob/main/data.txt

この256個の有理数では、1から512たでの自然数を党お䜿い、このうち256個の自然数を分子に、残りの256個を分母ずしお䞀察䞀に組み合わせ、できた256個の分数がそのたた既玄になっおいたす。蚀い換えれば玄分操䜜は䞀回もしおいたせん。

前述の通りに、1616 の方陣ずしおデヌタ提䟛されお居るわけですが、
各マス目の有理数にarctan関数を䜜甚させた倀で方陣を぀くるず、これが魔方陣になっおいお、瞊暪斜めそれぞれの総和が 2π になっおいたす。

魔方陣であるこずを動画化したものが以䞋にありたす。
https://tatt61880.github.io/AtanMagic/

それにしおもどういう発想なんでしょうかね  

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎03月31日 13:54)

拝芋したした。
䜜者ハンドルネヌムTakusiNさん物凄いですね。
1512のすべおを䜿っお16*16=216個の既玄分数を䜜るのもすごいけど、これがarctanで魔方陣だなんおおったたげです。
なんずかこの人に連絡がずれお発芋の経緯を聞きたいものですね。
コンピュヌタでの腕力での解決が趣味だず曞かれおはいるが䜕かしらの法則や気付きが無ければ到底無理ですよね。
いやヌ䞖の䞭凄い人がいるもんだ。
ちなみに第䞀行の分数を通分しおみおも、数が莫倧過ぎお䜕にもヒントが取れたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

芏玄分数ずarctan倀がこうもバランスがずれおいるこずに感動したので
では18の数字を䞀個ず぀䜿っお、2行2列の1より小さい4぀の既玄分数で
可胜な限り組合せを䜜っおみたら
[1/2 3/4] 

[5/6 7/8]
----------
[1/2 3/4]

[5/8 6/7]
----------

-----------
[7/8 5/6]

[3/4 1/2]
等の党郚で432通りの行列が䜜れたした。
ずころがすべおの行列で、この倀に察するarctanの倀を取った行列には䜕の矎しい芏則を瀺すものはありたせんでした。
やっおはいたせんがたぶん3次正方行列で118を甚いた9個の既玄分数でのタむプでも䜕の手掛かりも埗られないものず思われたす。

16次たで拡匵した行列でこの凄い法則が珟れ出るこずが益々興味を匕き立おたす。

SNS のX(旧twitterで䜜者のTokusiNさんにどうやっお䜜ったのか尋ねおいたら
思い付いたのはマチン系の公匏からで具䜓的な䜜成方法はガチガチのコンピュヌティングずのこずでした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月02日 08:25)

聞くずころによれば
任意の正の敎数 q, r に぀いおふた぀の公匏
①: π/4 = arctan(q/(q +r)) +arctan(r/(2*q +r))
②: π/4 = arctan(q/(q -r)) +arctan(r/(2*q -r))
がずもに成り立぀のだそうで。
arctan関数ぞの匕数はずもに真分数であるずころがミ゜です。さきのatanmagic でもそうなっおいたすので䜿えるかも

Q[1]からQ[8]たで、R[1]からR[8]たでの16個の敎数をテキトヌに遞ぶず

8*(π/4) =
arctan(Q[1]/(Q[1] +R[1])) +arctan(R[1]/(2*Q[1] +R[1]))
+arctan(Q[2]/(Q[2] +R[2])) +arctan(R[2]/(2*Q[2] +R[2]))
+arctan(Q[3]/(Q[3] +R[3])) +arctan(R[3]/(2*Q[3] +R[3]))
+arctan(Q[4]/(Q[4] +R[4])) +arctan(R[4]/(2*Q[4] +R[4]))
+arctan(Q[5]/(Q[5] +R[5])) +arctan(R[5]/(2*Q[5] +R[5]))
+arctan(Q[6]/(Q[6] +R[6])) +arctan(R[6]/(2*Q[6] +R[6]))
+arctan(Q[7]/(Q[7] +R[7])) +arctan(R[7]/(2*Q[7] +R[7]))
+arctan(Q[8]/(Q[8] +R[8])) +arctan(R[8]/(2*Q[8] +R[8]))

ずなり、16個のarctan関数の倀の総和が 2*π
ずいう圢を埗られたす。atanmagic の性質の䞀郚によく䌌おいたす。ちょっずかすっおいるのかもしれたせん。

䞊蚘は公匏①のみで぀っぱっおいたすが、実際には公匏②ずの混圚でもよい筈です。自由床が膚れ䞊がりたすが  (駄目远蚘を参照願いたす)

こうした䜜戊で今回の魔方陣が䜜られたのかどうかさだかではありたせんが  望み薄かもしれたせん。

远蚘。
②は真分数のみの匏になっおいたせんでした。謹んでお詫びしたす。
①は次のGAIさんによる埡投皿内で䜿われる匏ず実質的に同じものず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月03日 18:48)

私も昚日からどうやっお構成しおいけるんだろうかずずヌず考え続けおいたす。
私が芋぀けたマチンの公匏もどきずしお、䞀般に1より小さい既玄分数のs/t
に察するもので(tan(π/4)=1だけが唯䞀有理数ずなれるので、このパタヌンは䜜り易い。)

arctan(s/t)+arctan((t-s)/(t+s))=π/4 

の組合せで必ずπ/4が䜜れるので,これより

arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/4
arctan(1/4)+arctan(3/5)=π/4
arctan(1/5)+arctan(2/3)=π/4
arctan(1/6)+arctan(5/7)=π/4
arctan(1/7)+arctan(3/4)=π/4
arctan(1/8)+arctan(7/9)=π/4
arctan(1/9)+arctan(4/5)=π/4
arctan(1/10)+arctan(9/11)=π/4

埓っおこれをすべお足し合わせれば
A=[1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,3/5,4/5,1/6,1/7,5/7,1/8,1/9,7/9,1/10,9/11]
の16個の既玄成分に察し、そのarctan倀の和は2*πを䜜る。

gp > vecsum(apply(i->atan(i),A))
%=6.28318530717958647692528(=2*π)

しかしサむトにある16×16次の正方行列の第1行は
M1=[5/168 ,259/498 ,216/337 ,129/478 ,381/436 ,266/303 ,6/127 ,78/179
,31/480 ,144/307 ,210/341 ,43/474 ,174/443 ,172/379 ,271/348 ,41/88]
であるので、この既玄分数ずセットを組んでπ/4 を産み出しおいくものは
それぞれ
5/168 VS 163/173
259/498 VS 239/757
216/337 VS 121/553
129/478 VS 349/607
381/436 VS 55/817
266/303 VS 37/569
6/127 VS 121/133
78/179 VS 101/257
31/480 VS 449/511
144/307 VS 163/451
210/341 VS 131/551
43/474 VS 431/517
174/443 VS 269/617
172/379 VS 207/551
271/348 VS 77/619
41/88 VS 47/129
が察応しおいくこずずなる。
ずころが右に珟れる16個の既玄分数は䜕凊にも䜿われおいなく、しかも163などの数は重耇しお
出珟するこずが起こる。しかも512よりも倧きな数字が䜿われるこずになる。

この方針がここでストップするこずになった。

そこで今耇玠数での偏角の様子に切り替え
口で解説しおいくのが倧倉なので、今怜玢を掛けおいるプログラムで
読み取っお䞋さい。
䟋え存圚しおいおも膚倧な時間が芁する必芁がありそうなんですが

{t=0;}for(a1=2,512,for(a2=1,a1-1,for(a3=3,512,for(a4=2,a3-1,\
for(a5=4,512,for(a6=3,a5-1,for(a7=5,512,for(a8=4,a7-1,\
for(a9=6,512,for(a10=5,a9-1,for(a11=7,512,for(a12=6,a11-1,\
for(a13=8,512,for(a14=7,a13-1,for(a15=9,512,for(a16=8,a15-1,\
for(a17=10,512,for(a18=7,a17-1,for(a19=11,512,for(a20=10,a19-1,\
for(a21=12,512,for(a22=9,a21-1,for(a23=13,512,for(a24=12,a23-1,\
for(a25=14,512,for(a26=11,a25-1,for(a27=15,512,for(a28=14,a27-1,\
for(a29=16,512,for(a30=13,a29-1,for(a31=17,512,for(a32=16,a31-1,\
if(gcd(a1,a2)==1 && gcd(a3,a4)==1 && gcd(a5,a6)==1 && gcd(a7,a8)==1 && \
gcd(a9,a10)==1 && gcd(a11,a12)==1 && gcd(a13,a14)==1 && gcd(a15,a16)==1 &&\
gcd(a17,a18)==1 && gcd(a19,a20)==1 && gcd(a21,a22)==1 && gcd(a23,a24)==1 && \
gcd(a25,a26)==1 && gcd(a27,a28)==1 && gcd(a29,a30)==1 && gcd(a31,a32)==1 && \
imag((a1+a2*I)*(a3+a4*I)*(a5+a6*I)*(a7+a8*I)*(a9+a10*I)*(a11+a12*I)*(a13+a14*I)*(a15+a16*I)*\
(a17+a18*I)*(a19+a20*I)*(a21+a22*I)*(a23+a24*I)*(a25+a26*I)*(a27+a28*I)*(a29+a30*I)*(a31+a32*I))==0 , \
print(t++";"a2/a1","a4/a3","a6/a5","a8/a7","a10/a9","a12/a11","a14/a13","a16/a15","\
a18/a17","a20/a19","a22/a21","a24/a23","a26/a25","a28/a27","a30/a29","a32/a31)) \
))))))))))))))))))))))))))))))))

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月03日 19:10)

䞊蚘のやり方ではずおもじゃないがいくら時間をかけおも無理ず刀定
そこで1512を䞀床ず぀甚いる条件を陀けば、次のような16次の行列ではarctanでの各行、各列、2぀の察角線での和は2*πの
魔方陣ずはなりそうです。
逆に蚀えば劂䜕に1512を䞀床ず぀䜿うずいうこずが凄いこずがわかりたす。

[163/173 239/757 121/553 349/607 55/817 37/569 121/133 101/257 449/511 163/451 131/551 431/517 269/617 207/551 77/619 47/129]

[299/623 107/531 199/773 191/339 353/467 159/529 93/263 315/457 139/513 5/857 19/331 183/239 357/587 235/263 91/463 323/541]

[133/379 179/627 137/571 301/593 263/431 223/327 151/247 371/641 33/901 157/347 247/255 267/529 33/277 87/773 245/337 151/807]

[269/397 133/869 203/521 297/679 143/599 191/577 173/293 141/449 161/325 197/769 91/367 461/527 107/553 287/723 311/369 173/389]

[ 79/203 361/543 59/763 245/419 279/347 91/313 401/607 359/625 77/207 287/359 47/883 49/739 355/489 199/617 143/353 91/503]

[337/361 23/449 289/373 47/259 409/503 445/561 61/187 31/983 263/457 275/459 249/347 1/829 109/823 191/683 141/367 221/419]

[ 97/141 105/499 131/359 1/557 121/843 201/607 323/503 127/491 199/787 331/583 401/491 261/521 391/577 377/523 37/813 295/383]

[ 31/411 421/557 341/529 249/421 61/383 273/293 237/575 295/503 439/471 31/599 139/885 31/209 163/647 119/729 251/455 377/543]

[ 49/559 213/323 329/431 11/427 113/587 209/609 53/779 199/269 213/757 59/137 311/547 61/329 421/475 239/473 277/607 469/549]

[ 89/817 199/241 175/639 359/519 185/553 203/663 181/395 89/543 73/783 333/557 215/779 139/759 343/607 473/507 275/311 239/701]

[ 97/575 177/703 415/559 237/493 163/317 43/883 353/379 185/303 133/233 49/113 143/745 241/537 113/877 331/469 261/755 255/707]

[157/443 337/413 53/429 99/923 401/507 197/557 125/467 227/553 269/569 349/651 193/805 253/503 113/789 357/589 301/451 289/587]

[ 17/563 223/253 193/199 337/411 213/641 217/419 89/613 467/471 139/653 139/797 199/251 49/457 25/967 167/367 135/181 61/631]

[159/379 283/301 227/727 119/529 61/863 327/341 137/653 201/515 191/331 403/515 187/617 423/581 337/683 25/553 31/815 289/481]

[101/141 53/467 143/691 145/497 175/447 223/517 17/667 127/755 173/189 113/221 191/193 259/281 367/427 101/497 217/557 21/311]

[317/469 49/793 251/373 439/477 283/333 137/415 263/665 29/349 79/639 189/577 351/631 71/203 293/341 145/499 83/387 163/491]

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

正数 a,b,s,t,x,y に぀いお
a  b, s  t, x  y
を芁請しおおいお
arctan(a/b) +arctan(s/t)
 arctan((a*y +b*x)/(b*y -a*x)) +arctan((s*y -t*x)/(t*y +s*x))
ずできたす。

x  0 ならば右蟺ず巊蟺は等しくなるこずは自明です。
巊蟺の個の有理数をちょっずずらしおみたいず考えたのですが右蟺のarctanに喰わせる倀が真分数になりにくくお苊戊しおおりたす。たた、ずらしたあずに玄分が発生するかもしれたせん。

なかなかうたくいかないです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

比范的䜜り易い(arctanずタむプする所を省略でatanで曞いおいたす。)
atan(1/4)+atan(3/5)(=π/4) (a=1,b=4,s=3,t=5に察応)
からDengan kesaktian Indukmuさんのずらしテクニックを甚いお
元々の16行列の第1行の成分を䜜り出しおいくず(第2項目に盞圓)
(x,y)=(479,855)->atan(163/173)+atan(5/168)   :ok
(x,y)=(38,2041)->atan(349/607)+atan(129/478) :no 
(x,y)=(351,653)->atan(121/133)+atan(6/127) :ok
(x,y)=(133,794)->atan(101/257)+atan(78/179) :ok
(x,y)=(1258,2493)->atan(449/511)+atan(31/480) :ok
(x,y)=(201,1967)->atan(163/451)+atan(144/307) :ok
(x,y)=(71,147)->atan(431/517)+atan(43/474) :no
(x,y)=(27,161)->atan(269/617)+atan(174/443) :no
(x,y)=(277,2411)->(atan(207/551)+atan(172/379) :no
(x,y)=(59,563)->atan(47/129)+atan(41/88) :ok
なる匏に䜜り倉えられる。
なお
atan(259/498)
atan(216/337)
atan(381/436)
atan(266/303)
atan(210/341)
atan(271,348)
には(x,y)が芋぀からない。

ただし分母が512をこえるものは採甚しないこずにする。(:no)
第1項目の分母が512以䞋なら採甚しお(:ok)そこで䜿われおいる郚分の
元の行列からその数を含む分数は消しおいく。

これを今床は元の16行列の第2行の分数消し残ったものに察しお䜜っおいく。
これを繰り返しお行けば自ずず1512だけで䜜られおいく分数が残っおいかないだろうか

なお魔方陣の䜜り方に぀いお䜕床か尋ねおみたらTokusiNさんから
8次から順に怜蚎した結果、珟実的な時間で䜜るこずが可胜な最小次数が16だったのです。
マチン系の円呚率公匏の生成手法を理解するず、この魔法陣に䜿われおいる分数がどのように遞ばれたかわかるず思いたす。

atan魔方陣をどうやっお䜜ったかもきちんずたずめた方が良い気がしたけどもう詳现を芚えおないなぁ。
結構现かいステップに分けお少しず぀蚈算しおいったこずは芚えおるけどそのステップの分解はもう忘华の圌方
の返事がありたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎04月06日 09:07)
合蚈2466ä»¶ (投皿430, 返信2036)

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