😊出会いの泉😊

拝見しました。
作者ハンドルネーム：TakusiNさん物凄いですね。
1～512のすべてを使って16*16=216個の既約分数を作るのもすごいけど、これがarctanで魔方陣だなんておったまげ～です。
なんとかこの人に連絡がとれて発見の経緯を聞きたいものですね。
コンピュータでの腕力での解決が趣味だと書かれてはいるが何かしらの法則や気付きが無ければ到底無理ですよね。
いやー世の中凄い人がいるもんだ。
ちなみに第一行の分数を通分してみても、数が莫大過ぎて何にもヒントが取れませんでした。

規約分数とarctan値がこうもバランスがとれていることに感動したので
では1～8の数字を一個ずつ使って、2行2列の1より小さい4つの既約分数で
可能な限り組合せを作ってみたら
[1/2 3/4]　

[5/6 7/8]
----------
[1/2 3/4]

[5/8 6/7]
----------
･･････････････
-----------
[7/8 5/6]

[3/4 1/2]
等の全部で432通りの行列が作れました。
ところがすべての行列で、この値に対するarctanの値を取った行列には何の美しい規則を示すものはありませんでした。
やってはいませんがたぶん3次正方行列で1～18を用いた9個の既約分数でのタイプでも何の手掛かりも得られないものと思われます。

16次まで拡張した行列でこの凄い法則が現れ出ることが益々興味を引き立てます。

＊SNS のX(旧twitter）で作者のTokusiNさんにどうやって作ったのか尋ねていたら
思い付いたのはマチン系の公式からで具体的な作成方法はガチガチのコンピューティングとのことでした。

聞くところによれば
任意の正の整数 q, r についてふたつの公式
①: π/4 = arctan(q/(q +r)) +arctan(r/(2*q +r))
②: π/4 = arctan(q/(q -r)) +arctan(r/(2*q -r))
がともに成り立つのだそうで。
arctan関数への引数はともに真分数であるところがミソです。さきのatanmagic でもそうなっていますので使えるかも？

Q[1]からQ[8]まで、R[1]からR[8]までの16個の整数をテキトーに選ぶと

8*(π/4) =
arctan(Q[1]/(Q[1] +R[1])) +arctan(R[1]/(2*Q[1] +R[1]))
+arctan(Q[2]/(Q[2] +R[2])) +arctan(R[2]/(2*Q[2] +R[2]))
+arctan(Q[3]/(Q[3] +R[3])) +arctan(R[3]/(2*Q[3] +R[3]))
+arctan(Q[4]/(Q[4] +R[4])) +arctan(R[4]/(2*Q[4] +R[4]))
+arctan(Q[5]/(Q[5] +R[5])) +arctan(R[5]/(2*Q[5] +R[5]))
+arctan(Q[6]/(Q[6] +R[6])) +arctan(R[6]/(2*Q[6] +R[6]))
+arctan(Q[7]/(Q[7] +R[7])) +arctan(R[7]/(2*Q[7] +R[7]))
+arctan(Q[8]/(Q[8] +R[8])) +arctan(R[8]/(2*Q[8] +R[8]))

となり、16個のarctan関数の値の総和が 2*π
という形を得られます。atanmagic の性質の一部によく似ています。ちょっとかすっているのかもしれません。

上記は公式①のみでつっぱっていますが、実際には公式②との混在でもよい筈です。自由度が膨れ上がりますが……(駄目：追記を参照願います)

こうした作戦で今回の魔方陣が作られたのかどうかさだかではありませんが……望み薄かもしれません。

追記。
②は真分数のみの式になっていませんでした。謹んでお詫びします。
①は次のGAIさんによる御投稿内で使われる式と実質的に同じものと思います。

私も昨日からどうやって構成していけるんだろうかとずーと考え続けています。
私が見つけたマチンの公式もどきとして、一般に1より小さい既約分数のs/t
に対するもので(tan(π/4)=1だけが唯一有理数となれるので、このパターンは作り易い。)

arctan(s/t)+arctan((t-s)/(t+s))=π/4　

の組合せで必ずπ/4が作れるので,これより

arctan(1/2)+arctan(1/3)=π/4
arctan(1/4)+arctan(3/5)=π/4
arctan(1/5)+arctan(2/3)=π/4
arctan(1/6)+arctan(5/7)=π/4
arctan(1/7)+arctan(3/4)=π/4
arctan(1/8)+arctan(7/9)=π/4
arctan(1/9)+arctan(4/5)=π/4
arctan(1/10)+arctan(9/11)=π/4

従ってこれをすべて足し合わせれば
A=[1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,3/5,4/5,1/6,1/7,5/7,1/8,1/9,7/9,1/10,9/11]
の16個の既約成分に対し、そのarctan値の和は2*πを作る。

gp > vecsum(apply(i->atan(i),A))
%=6.28318530717958647692528･･･(=2*π)

しかしサイトにある16×16次の正方行列の第1行は
M1=[5/168 ,259/498 ,216/337 ,129/478 ,381/436 ,266/303 ,6/127 ,78/179
,31/480 ,144/307 ,210/341 ,43/474 ,174/443 ,172/379 ,271/348 ,41/88]
であるので、この既約分数とセットを組んでπ/4 を産み出していくものは
それぞれ
5/168 VS 163/173
259/498 VS 239/757
216/337 VS 121/553
129/478 VS 349/607
381/436 VS 55/817
266/303 VS 37/569
6/127 VS 121/133
78/179 VS 101/257
31/480 VS 449/511
144/307 VS 163/451
210/341 VS 131/551
43/474 VS 431/517
174/443 VS 269/617
172/379 VS 207/551
271/348 VS 77/619
41/88 VS 47/129
が対応していくこととなる。
ところが右に現れる16個の既約分数は何処にも使われていなく、しかも163などの数は重複して
出現することが起こる。しかも512よりも大きな数字が使われることになる。

この方針がここでストップすることになった。

そこで今複素数での偏角の様子に切り替え
口で解説していくのが大変なので、今検索を掛けているプログラムで
読み取って下さい。
例え存在していても膨大な時間が要する必要がありそうなんですが･････

{t=0;}for(a1=2,512,for(a2=1,a1-1,for(a3=3,512,for(a4=2,a3-1,\
for(a5=4,512,for(a6=3,a5-1,for(a7=5,512,for(a8=4,a7-1,\
for(a9=6,512,for(a10=5,a9-1,for(a11=7,512,for(a12=6,a11-1,\
for(a13=8,512,for(a14=7,a13-1,for(a15=9,512,for(a16=8,a15-1,\
for(a17=10,512,for(a18=7,a17-1,for(a19=11,512,for(a20=10,a19-1,\
for(a21=12,512,for(a22=9,a21-1,for(a23=13,512,for(a24=12,a23-1,\
for(a25=14,512,for(a26=11,a25-1,for(a27=15,512,for(a28=14,a27-1,\
for(a29=16,512,for(a30=13,a29-1,for(a31=17,512,for(a32=16,a31-1,\
if(gcd(a1,a2)==1 && gcd(a3,a4)==1 && gcd(a5,a6)==1 && gcd(a7,a8)==1 && \
gcd(a9,a10)==1 && gcd(a11,a12)==1 && gcd(a13,a14)==1 && gcd(a15,a16)==1 &&\
gcd(a17,a18)==1 && gcd(a19,a20)==1 && gcd(a21,a22)==1 && gcd(a23,a24)==1 && \
gcd(a25,a26)==1 && gcd(a27,a28)==1 && gcd(a29,a30)==1 && gcd(a31,a32)==1 && \
imag((a1+a2*I)*(a3+a4*I)*(a5+a6*I)*(a7+a8*I)*(a9+a10*I)*(a11+a12*I)*(a13+a14*I)*(a15+a16*I)*\
(a17+a18*I)*(a19+a20*I)*(a21+a22*I)*(a23+a24*I)*(a25+a26*I)*(a27+a28*I)*(a29+a30*I)*(a31+a32*I))==0 , \
print(t++";"a2/a1","a4/a3","a6/a5","a8/a7","a10/a9","a12/a11","a14/a13","a16/a15","\
a18/a17","a20/a19","a22/a21","a24/a23","a26/a25","a28/a27","a30/a29","a32/a31)) \
))))))))))))))))))))))))))))))))

上記のやり方ではとてもじゃないがいくら時間をかけても無理と判定
そこで1～512を一度ずつ用いる条件を除けば、次のような16次の行列ではarctanでの各行、各列、2つの対角線での和は2*πの
魔方陣とはなりそうです。
逆に言えば如何に1～512を一度ずつ使うということが凄いことがわかります。

[163/173 239/757 121/553 349/607 55/817 37/569 121/133 101/257 449/511 163/451 131/551 431/517 269/617 207/551 77/619 47/129]

[299/623 107/531 199/773 191/339 353/467 159/529 93/263 315/457 139/513 5/857 19/331 183/239 357/587 235/263 91/463 323/541]

[133/379 179/627 137/571 301/593 263/431 223/327 151/247 371/641 33/901 157/347 247/255 267/529 33/277 87/773 245/337 151/807]

[269/397 133/869 203/521 297/679 143/599 191/577 173/293 141/449 161/325 197/769 91/367 461/527 107/553 287/723 311/369 173/389]

[ 79/203 361/543 59/763 245/419 279/347 91/313 401/607 359/625 77/207 287/359 47/883 49/739 355/489 199/617 143/353 91/503]

[337/361 23/449 289/373 47/259 409/503 445/561 61/187 31/983 263/457 275/459 249/347 1/829 109/823 191/683 141/367 221/419]

[ 97/141 105/499 131/359 1/557 121/843 201/607 323/503 127/491 199/787 331/583 401/491 261/521 391/577 377/523 37/813 295/383]

[ 31/411 421/557 341/529 249/421 61/383 273/293 237/575 295/503 439/471 31/599 139/885 31/209 163/647 119/729 251/455 377/543]

[ 49/559 213/323 329/431 11/427 113/587 209/609 53/779 199/269 213/757 59/137 311/547 61/329 421/475 239/473 277/607 469/549]

[ 89/817 199/241 175/639 359/519 185/553 203/663 181/395 89/543 73/783 333/557 215/779 139/759 343/607 473/507 275/311 239/701]

[ 97/575 177/703 415/559 237/493 163/317 43/883 353/379 185/303 133/233 49/113 143/745 241/537 113/877 331/469 261/755 255/707]

[157/443 337/413 53/429 99/923 401/507 197/557 125/467 227/553 269/569 349/651 193/805 253/503 113/789 357/589 301/451 289/587]

[ 17/563 223/253 193/199 337/411 213/641 217/419 89/613 467/471 139/653 139/797 199/251 49/457 25/967 167/367 135/181 61/631]

[159/379 283/301 227/727 119/529 61/863 327/341 137/653 201/515 191/331 403/515 187/617 423/581 337/683 25/553 31/815 289/481]

[101/141 53/467 143/691 145/497 175/447 223/517 17/667 127/755 173/189 113/221 191/193 259/281 367/427 101/497 217/557 21/311]

[317/469 49/793 251/373 439/477 283/333 137/415 263/665 29/349 79/639 189/577 351/631 71/203 293/341 145/499 83/387 163/491]

正数 a,b,s,t,x,y について
a ＜ b, s ＜ t, x ＜ y
を要請しておいて
arctan(a/b) +arctan(s/t)
＝ arctan((a*y +b*x)/(b*y -a*x)) +arctan((s*y -t*x)/(t*y +s*x))
とできます。

x ＝ 0 ならば右辺と左辺は等しくなることは自明です。
左辺の２個の有理数をちょっとずらしてみたいと考えたのですが右辺のarctanに喰わせる値が真分数になりにくくて苦戦しております。また、ずらしたあとに約分が発生するかもしれません。

なかなかうまくいかないです。

比較的作り易い(arctanとタイプする所を省略でatanで書いています。)
atan(1/4)+atan(3/5)(=π/4) (a=1,b=4,s=3,t=5に対応)
からDengan kesaktian Indukmuさんのずらしテクニックを用いて
元々の16行列の第1行の成分を作り出していくと(第2項目に相当)
(x,y)=(479,855)->atan(163/173)+atan(5/168)　　　:ok
(x,y)=(38,2041)->atan(349/607)+atan(129/478) :no　
(x,y)=(351,653)->atan(121/133)+atan(6/127) :ok
(x,y)=(133,794)->atan(101/257)+atan(78/179) :ok
(x,y)=(1258,2493)->atan(449/511)+atan(31/480) :ok
(x,y)=(201,1967)->atan(163/451)+atan(144/307) :ok
(x,y)=(71,147)->atan(431/517)+atan(43/474) :no
(x,y)=(27,161)->atan(269/617)+atan(174/443) :no
(x,y)=(277,2411)->(atan(207/551)+atan(172/379) :no
(x,y)=(59,563)->atan(47/129)+atan(41/88) :ok
なる式に作り変えられる。
なお
atan(259/498)
atan(216/337)
atan(381/436)
atan(266/303)
atan(210/341)
atan(271,348)
には(x,y)が見つからない。

ただし分母が512をこえるものは採用しないことにする。(:no)
第1項目の分母が512以下なら採用して(:ok)そこで使われている部分の
元の行列からその数を含む分数は消していく。

これを今度は元の16行列の第2行の分数消し残ったものに対して作っていく。
これを繰り返して行けば自ずと1～512だけで作られていく分数が残っていかないだろうか？

なお魔方陣の作り方について何度か尋ねてみたらTokusiNさんから
8次から順に検討した結果、現実的な時間で作ることが可能な最小次数が16だったのです。
マチン系の円周率公式の生成手法を理解すると、この魔法陣に使われている分数がどのように選ばれたかわかると思います。

atan魔方陣をどうやって作ったかもきちんとまとめた方が良い気がしたけどもう詳細を覚えてないなぁ。
結構細かいステップに分けて少しずつ計算していったことは覚えてるけどそのステップの分解はもう忘却の彼方
の返事がありました。

n=3 だけ？

一般にarctan(1/n)についての性質を調べていたら、次のような関係式が成立していくことに気付きました。
arctan(1)-arctan(1/2)=arctan(1/3)
arctan(1)-arctan(1/3)=arctan(1/3)+arctan(1/7)
arctan(1)-arctan(1/4)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)
arctan(1)-arctan(1/5)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)
arctan(1)-arctan(1/6)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)
arctan(1)-arctan(1/7)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)
arctan(1)-arctan(1/8)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)+arctan(1/57)
arctan(1)-arctan(1/9)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)+arctan(1/57)+arctan(1/73)
arctan(1)-arctan(1/10)=arctan(1/3)+arctan(1/7)+arctan(1/13)+arctan(1/21)+arctan(1/31)+arctan(1/43)+arctan(1/57)+arctan(1/73)+arctan(1/91)

解答ありがとうございます。
n=3だけな気がしますよね。しかし証明が難しいです、、、。
Σarctan(1/(k^2+k+1)) =Σarctan(1/k)-arctan(1/(k+1)) =arctan(1/1)-arctan(1/(n+1)) ですね！

あと一歩まで迫っている感じですが、直感的には自明な最後の部分をどう証明したものか……。


この複素数は、実部虚部とも整数です。
よって、準虚数であるならばこの複素数の絶対値は自然数です。
したがって、
√2 * √5 * √10 * …… * √(n^2+1)
が自然数になること、すなわち
2 * 5 * 10 * …… * (n^2+1)
が平方数になることが、必要条件となります。

ところで、k^2+1 がある素数 p の倍数になるような自然数 k は、1≦k≦p-1 の範囲に高々 2 つしかなく、2 つある場合はその和が p になります。

すなわち、積
2 * 5 * 10 * …… * (n^2+1)
の中で k^2+1 が素数である場合、これが平方数になるには少なくとも (k^2-k+1)^2+1 まで積が続いている必要があります。

さて、n≧4 の解があるかどうかを考えます。

4^2+1 = 17 は素数です。
よって、n ≧ 17-4 = 13 である必要があります。

10^2+1 = 101 は素数です。
よって、n ≧ 101-10 = 91 である必要があります。

90^2+1 = 8101 は素数です。
よって、n ≧ 8101-90 = 8011 である必要があります。

これが有限の連鎖で止まることが n≧4 である解が存在する必要条件（十分条件ではない）です。
つまり、対偶を取れば、この連鎖が無限に続くことが示されれば n≧4 に解が存在しない証明となります。
直感的には自明な感じがしますが、いざ証明しろといわれると、さてどうしたものか。

解答ありがとうございます。
なるほど！つまりn^2+1型素数が無限に存在すれば良いということになりますね。しかし、これはブニャコフスキー予想として未解決問題になっているようです、、、。難しい。

少し違いますね。
n^2+1 型素数が無限にあっても、この連鎖が無限に続くとは限りません。
例えば（実際にそんなことはないと思いますが）、
もし90^2+1 の次に素数になるのが (10000を超える数)^2+1 だった場合、連鎖が途切れている9000前後のところに解がある可能性は残ります。

また、ブニャコフスキーは一般的な多項式についての話ですが、
n^2+1に限った話であればもっと単純に解決する可能性は十分にあるでしょう。

https://oeis.org/A101686
↑こちらによると、この数列で平方数は1と100だけと証明されているそうです。
よって解はn=3のみですね。

ありがとうございます！またじっくり読んでみます！
それではこういう問題でも面白いかもしれないです。

複素数 z = (1^n + i)(2^n + i)(3^n + i)· · ·(k
^n + i) が純虚数となる正の整数の組 (k, n) を求めてください。

(1^2+1)*(2^2+1)*(3^2+1)*･････*(n^2+1)
が平方数となるのはn=3のみ
に対し
(2^2-1)*(3^2-1)*(4^2-1)*･････*(n^2-1)
が平方数となるnは？
が面白かったです。

> (2^2-1)*(3^2-1)*(4^2-1)*･････*(n^2-1) が平方数となるnは？
n=((3+2√2)^(k+1)+(3-2√2)^(k+1)-2)/4　（kは正整数）
でしょうか。

一般式で作れるんだ！
ピタリ一致しています。

> 複素数 z = (1^n + i)(2^n + i)(3^n + i)· · ·(k
> ^n + i) が純虚数となる正の整数の組 (k, n) を求めてください。

n≧2 の場合、(2^n+i) 以降の偏角の合計が π/4 に届きません。
したがって積の実部は常に正であり、純虚数にはなりません。
よって n=1 の場合のみ考えればよく、元の問題に帰着します。

5点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5)を通る広義の二次曲線(※)の方程式は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|x4^2 x4*y4 y4^2 x4 y4 1|
|x5^2 x5*y5 y5^2 x5 y5 1|

※広義の二次曲線…「非退化二次曲線(楕円・放物線・双曲線)」、「2直線」、「1点」、「1直線」


******


垂心系をなさない4点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)を通る広義の直角双曲線(※※)の方程式は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|x4^2 x4*y4 y4^2 x4 y4 1|
|1 0 1 0 0 0|

あるいは、式変形すれば、
|x^2-y^2 x*y x y 1|
|x1^2-y1^2 x1*y1 x1 y1 1|
|x2^2-y2^2 x2*y2 x2 y2 1| = 0
|x3^2-y3^2 x3*y3 x3 y3 1|
|x4^2-y4^2 x4*y4 x4 y4 1|

※※広義の直角双曲線…「狭義の直角双曲線(漸近線が直交する双曲線)」、「直交する2直線」、「1直線」


ちなみに、4点A,B,C,Dが垂心系をなす場合、上式の左辺は(x,y)に依らず恒等的に0になります。
これが意味するのは、任意の点が(4点を通る)広義の直角双曲線上にあるということです。
実際のところは、垂心系をなす4点を通る広義の直角双曲線が無数に存在し、この4点を除く任意の点はそれらのうちの1本の上にあります。



******


GAIさんが載せた円の方程式も、次のように書けば二次曲線に条件付加されたものというのがわかりやすくなります。
ただこの式は行列式の展開と基本変形により簡単にGAIさんの式になるので、メリットはあまりありませんが……。


3点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)を通る広義の円(※※※)の方程式は
|x^2 x*y y^2 x y 1|
|x1^2 x1*y1 y1^2 x1 y1 1|
|x2^2 x2*y2 y2^2 x2 y2 1| = 0
|x3^2 x3*y3 y3^2 x3 y3 1|
|1 0 -1 0 0 0|
|0 1 0 0 0 0|

※※※広義の円…「狭義の円」、「1直線」

945
gp > sigma(945)-945
%485 = 975
他にも多くの過剰数は奇数の中に見つかると思います。
圧倒的に一位の数は5のパターンが起こりやすいのですが，他にも
81081
153153
207207
189189
などのそうでもないものも存在しているようです。

GAIさん、早速のお返事ありがとうございます。
二桁では、見つかりませんでした。
無謀にも、奇数の完全数が、ないことを背理法で示そうとしていました。
Ｎ＝Ｐ＾α…Ｑ＾βを奇素数の積として、
（１＋…＋Ｐ＾α）…（１＋…＋Ｑ＾β）＝2Ｎが、成り立つとき
右辺は、素因数２が、一つだけなので、左辺の一つが、奇数個、他は偶数個の素因数になることがわかりました。Ｐが奇数個として、
α＝４ｋ＋３のときは、４の倍数になり、矛盾
α＝４ｋ＋１のときは、Ｐ＝４h＋１と、４h＋３に場合分けをしましたが、それ以上は進めませんでした。

1,4,9,16,…の隣接項の差が3,5,7,…で正の奇数は2個以下の平方数で表せますので
「ある数」が奇数ならそのまま2個以下で、偶数なら奇数の平方数を足すか引くかして奇数にすることで
結局3個以下で表せますね。

（追記）
奇数は2平方数の差で表せますが、統一的に3平方数の加減で表す式を作りました。
任意の整数n（負の数も含む）に対して
(5[n/2]+17)^2-(10[n/2]+15-3n)^2-(4n+8-5[n/2])^2=n
が成り立ちます（[　]はガウス記号）。
ガウス記号を使わずに
{(10n+63+5(-1)^n)/4}^2-{(4n+25+5(-1)^n)/2}^2-{(6n+37-5(-1)^n)/4}^2=n
のようにも表せますが、少し長くなります。
（各{　}内は整数になります）
第2項のカッコ内はn=-5のときだけ0、第3項のカッコ内はn=-7のときだけ0であり、
6^2-5^2-4^2=-5, 1^2-2^2-2^2=-7が成り立つことから、
「任意の整数は(自然数)^2-(自然数)^2-(自然数)^2の形で表せる」
ことが言えます。
※符号を反転することで(自然数)^2+(自然数)^2-(自然数)^2の形でも表せることになります。

本日の日付(西暦2024年3月20日) にあわせて。平方数マイナス平方数マイナス平方数で表記。

50600817^2 -40480655^2 -30360488^2

= 20240320

なるほど強い………

らすかるさん凄い

なるほど凄い。

投稿後に、ふと思いましたが。

50600817^2 -40480655^2 -30360488^2 = 20240320

これ、
5^2 -4^2 -3^2 = 0
のピタゴラスの三平方の定理を満たす、5,4,3
の組みをちょっとずらしている感じがしました。

> 5,4,3の組みをちょっとずらしている感じがしました。
式の作り方からして結果的にそうなります。
着想は
(am+b)^2-(cm+d)^2-(em+f)^2=2m or 2m+1
から
a^2-c^2-e^2=0
ab-cd-ef=1
b^2-d^2-f^2=0 or 1
という方程式を解くことです。
プログラムを作って探索すると
(5m+3)^2-(4m+2)^2-(3m+2)^2=2m+1
(5m+9)^2-(4m+8)^2-(3m+4)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+12)^2-(3m+12)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+15)^2-(3m+8)^2=2m
(5m+29)^2-(4m+21)^2-(3m+20)^2=2m
(5m+35)^2-(4m+30)^2-(3m+18)^2=2m+1
(13m+9)^2-(12m+8)^2-(5m+4)^2=2m+1
(13m+17)^2-(12m+15)^2-(5m+8)^2=2m
(13m+19)^2-(12m+18)^2-(5m+6)^2=2m+1
(13m+37)^2-(12m+35)^2-(5m+12)^2=2m
(17m+5)^2-(15m+4)^2-(8m+3)^2=2m
(17m+9)^2-(15m+8)^2-(8m+4)^2=2m+1
(17m+13)^2-(15m+12)^2-(8m+5)^2=2m
(17m+35)^2-(15m+30)^2-(8m+18)^2=2m+1
(25m+19)^2-(24m+18)^2-(7m+6)^2=2m+1
(25m+33)^2-(24m+32)^2-(7m+8)^2=2m+1
(25m+37)^2-(24m+35)^2-(7m+12)^2=2m
(29m+5)^2-(21m+4)^2-(20m+3)^2=2m
(29m+17)^2-(21m+12)^2-(20m+12)^2=2m+1
(37m+13)^2-(35m+12)^2-(12m+5)^2=2m
(37m+19)^2-(35m+18)^2-(12m+6)^2=2m+1
(37m+25)^2-(35m+24)^2-(12m+7)^2=2m
(41m+33)^2-(40m+32)^2-(9m+8)^2=2m+1
のようにたくさん見つかりますが、上に書いた式は最も簡単な
(5m+17)^2-(4m+12)^2-(3m+12)^2=2m+1
(5m+17)^2-(4m+15)^2-(3m+8)^2=2m
の二つをnの偶奇どちらでも成り立つように
(5m+17)^2-(4m+27/2+(3/2)(-1)^n)-(3m+10-2(-1)^n)=n
のようにまとめ、mを[n/2]に、(-1)^nを4[n/2]-2n+1に置き換えて
整理したものなので、値は5：4：3に近くなります。
(13m+17)^2-(12m+15)^2-(5m+8)^2=2m
(13m+19)^2-(12m+18)^2-(5m+6)^2=2m+1
の二つをまとめて
(13m+18-(-1)^n)^2-(12m+33/2-(3/2)(-1)^n)^2-(5m+7+(-1)^n)^2=n
として整理した場合は
(9[n/2]+17+2n)^2-(6[n/2]+15+3n)^2-(9[n/2]+8-2n)^2=n
という式になり、これにn=20240320を代入すると
131562097^2-121441935^2-50600808^2=20240320
となって13：12：5に近くなります。

らすかるさん、素晴しい解説を有難うございます。

(1)
1+t+t^2=(t^3-1)/(t-1)でt=[3]√2とおくと
1+[3]√2+[3]√4=1/([3]√2-1)
また
1-t+t^2=(t^3+1)/(t+1)でt=[3]√2とおくと
1-[3]√2+[3]√4=3/([3]√2+1)
よって
{1-[3]√2+[3]√4}^3={3/([3]√2+1)}^3=27/(2+3[3]√4+3[3]√2+1)
=9/(1+[3]√2+[3]√4)=9([3]√2-1)
なので
[3]√(1/9)-[3]√(2/9)+[3]√(4/9)=[3]√([3]√2-1)

(2)
a=[3]√2, b=[3]√5とおくと
[3]√2+[3]√20-[3]√25=a+a^2b-b^2
(a+a^2b-b^2)^2
=a^2+a^4b^2+b^4+2a^3b-2ab^2-2a^2b^3
=a^2+2ab^2+5b+4b-2ab^2-10a^2
=9b-9a^2
=9([3]√5-[3]√4)
なので
([3]√2+[3]√20-[3]√25)/3=√([3]√5-[3]√4)

( A*x^2 + B*x*y + C*y^2 )^3 の A, B, C を適当に決めたものを用意します。
例として、( x^2 - x*y + y^2 )^3 でやります。

まず、展開します。
x^6 - 3*x^5*y + 6*x^4*y^2 - 7*x^3*y^3 + 6*x^2*y^4 - 3*x*y^5 + y^6

指数を 3 で割ったあまりが等しいものをまとめます。
( x^6 - 7*x^3*y^3 + y^6 ) + x^2*y*( - 3*x^3 + 6*y^3 ) + x*y^2*( 6*x^3 - 3*y^3 )

どこかの ( ) 内が 0 になるように x^3 と y^3 の値を決め、全ての ( ) 内に代入します。
例として、x^2*y*( - 3*x^3 + 6*y^3 ) が 0 になるように、x^3 = 2, y^3 = 1 とします。
- 9 + 9*x*y^2

これで、
( x^2 - x*y + y^2 )^3 = - 9 + 9*x*y^2
ができましたので、
x^2 - x*y + y^2 = ( - 9 + 9*x*y^2 )^(1/3)
が得られました。

残った x, y にも三乗根の形で代入し、両辺 9^(1/3) で割れば、
[3]√([3]√2 - 1) = [3]√(1/9) - [3]√(2/9) + [3]√(4/9)
が得られます。


似たような方法で同様の式がいくらでも作れますね。

DD++さんのアドバイスにより
(x^2-2*x*y+y^2)^3の展開式から
[3]√(25/9) - [3]√(80/9) + [3]√(4/9) = [3]√(7*[3]√(20) - 19)　の等式が発生

gp > sqrtn(25/9,3)-sqrtn(80/9,3)+sqrtn(4/9,3)
%45 = 0.097375599902564072029769441954982002773
gp > sqrtn(7*sqrtn(20,3)-19,3)
%47 = 0.097375599902564072029769441954982004339

------------------------------------------------
(x^2-3*x*y+y^2)^3の展開式から
- [3]√(100) + [3]√(810) - [3]√(9) = [3]√(1241 - 273*[3]√(90)) の等式が発生

gp > -sqrtn(100,3)+sqrtn(810,3)-sqrtn(9,3)
%52 = 2.6000248611968935936928541072898271257
gp > sqrtn(1241-273*sqrtn(90,3),3)
%53 = 2.6000248611968935936928541072898271256

-----------------------------------------------
(x^2-4*x*y+y^2)^3の展開式から
- [3]√(289/9) + 4*[3]√(68/9) - [3]√(16/9) = [3]√(631 - 91*[3]√(272)) の等式が発生

gp > -sqrtn(289/9,3)+4*sqrtn(68/9,3)-sqrtn(16/9,3)
%56 = 3.4591342953019819946599609819643520211
gp > sqrtn(631-91*sqrtn(272,3),3)
%55 = 3.4591342953019819946599609819643520211

天才になれたような感覚になりました。

√(n+3√n) - √(n-√n)→2

(n!)^(1/n) - (n-1)!^(1/(n-1))→1/e

などが起こりそうですが

ちょっと話題がずれますが
∞ - ∞
のテーマとして、朝永振一郎先生ほかがノーベル賞をもらった「くりこみ理論」というのを思い出しました。

御参考: http://catbirdtt.web.fc2.com/kurikomirironntohananika.html

Dengan kesaktian Indukmuさんが紹介されたリンクを読んでみて、そこに出てきた137という素数に
魅せられた人物にファインマンとパウリを思い出します。
時にパウリは若くして(58歳)膵臓癌で亡くなったというが、その時に入院していた部屋の番号が正に
興味を抱き続けていた数値にピタリ一致した137号室であったことに、自分の運命を察知したという
逸話が伝えられているという。
数学者もそうですが、物理学者もほんとに些細なことに細心の注意を払い背後に潜む関係性や法則を
ものの見事に掴む力が半端ないですね。
ボーと生きてんじゃねーよとチコちゃんに叱られそうです。

(Σ１/k)^2－Σ１/ｌｍ（ｌとｍは異なる）＝Σ１/n^2
これを、無限に計算すると、どうでしょうか？

√（n^2+2n）ー　n 　→　１

「０以外の４つの数が異なるときは、必ず１０を創ることが可能」

演算を四則演算に限って括弧の使用をゆるし、4つの数は一桁の数で、互いに相異なる、との意味ですね。

おめでとうございます。
今、頭にあるのは、
２と５を作ること。
A＋B＝１０となること
当たり前の、結果だけです。
二つ、三つ同じときのパターンんで定式化できるものを考え中です。

たとえばこういうことでしょうか？

◆を乗除算、□を加減算とし、
(a◆(b□(c÷d)))
のパターンで【のみ】メイクテンが可能なのは
以下の４通りです。

1158 (8÷(1-(1÷5)))=10
1199 (9×(1+(1÷9)))=10
1337 (3×(1+(7÷3)))=10
3478 (8×(3-(7÷4)))=10

> Dengan kesaktian Indukmuさん
1555 (5×(1＋(5÷5)))=10
1566 (5×(1＋(6÷6)))=10
1599 (5×(1＋(9÷9)))=10
2289 (2×(9－(8÷2)))=10
2477 (2×(4＋(7÷7)))=(7×(2－(4÷7)))=10
2666 (2×(6－(6÷6)))=10
3577 (5×(3－(7÷7)))=10
3588 (5×(3－(8÷8)))=10
もあるのでは？
# 「c÷dが整数になるものを除く」ということでしょうか。

らすかるさん。

(a◆(b□(c÷d)))
のパターンで【のみ】

のつもりでした。

1555 では、
(1+5÷5)*5
もありますので、【のみ】には該当しませんでした。

そういう考え方ならば、
1199は(1+1÷9)×9=10
1337は(1+7÷3)×3=10
3478は(3-7÷4)×8=10
とも書けますので、該当するのは1158だけですね。
# ◆に乗算を使うものと□に加算を使うものはすべて除外されますので、
# 条件を満たすのは(a÷(b－(c÷d)))というパターンのみになりますね。

らすかるさん。

参りました。(⁠ノ⁠^⁠_⁠^⁠)⁠ノ


#新年早々に思い込み発動でした。お恥ずかしいことです。

別件ですが、
９，９，９，９に対して、
（９×９＋９）÷９＝(９＋９×９)÷９＝１０
和と積は、交換可能であるので、１通りと数えると、
他に、１通りの数、２通り、３通り、…、□
を求む。

> 和と積は、交換可能であるので、１通りと数えると、
例えば
5÷(9÷(9+9))＝10
と
5÷9×(9+9)＝10
は１通りと数えないのでしょうか。
どこまでを１通りと考えるかがあまり簡単ではない気がします。

定義は、難しいですね。
４－２と4÷２は、記号が、異なるので別だというのは、
どうでしょうか？　
()の個数とか。
２を×か、１/２で÷かですよね。微妙

5555
5+5+5-5=10
(5+5)÷５×５＝１０
５÷５×５＋５＝１０
５×５÷５＋５＝１０
とりあえず、４通り以上？

5＋5＋5－5=10
5＋5－5＋5=10
5－5＋5＋5=10
5＋5－(5－5)=10
5－(5－5)＋5=10
5－(5－5－5)=10
5－(5－(5＋5))=10
5＋5×5÷5=10
5×5÷5＋5=10
5＋5÷5×5=10
5÷5×5＋5=10
5÷5×(5＋5)=10
5×(5＋5)÷5=10
5÷(5÷5)＋5=10
5＋5÷(5÷5)=10
5÷(5÷(5＋5))=10
(5＋5)×5÷5=10
(5＋5)÷5×5=10
(5＋5)÷(5÷5)=10
これだけある中でどれとどれを同一視するか、ということになりますね。

二通候補
２２２２
２×２×２＋２＝１０
（2＋２）×２＋２＝１０

55xy の形の4ケタの整数は、
１つの例外を除いて、１０を創ることができそうです。

5548と5584の二つ？

脱線ですが
5548 で 30 を作るの、ちょっとだけ面白いです。

1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27 (%)
で全部ですかね。

水の量を w (g) 、食塩の量を s (g) 、食塩水濃度を x% (0<x<28.20) とすると、
s/(w+s) = x/100
つまり
w = (100-x)s/x
となります。

w≦50 であれば w と s をどちらも 2 倍にした解が存在します。
そして、100-x と x が互いに素でない場合、右辺が整数になる最小の s をとれば、w≦49 の解が存在します。
よってこの場合は唯一解になりません。
したがって、100-x と x が互いに素、つまり x と 100 が互いに素な場合のみ考えれば十分です。

この場合、s は x の倍数です。
そして、s=x の解は必ず存在するので、条件を満たすには s=2x の解が存在しないことが必要十分条件になります。
すなわち 100-x>50 である必要がありますが、そもそも食塩水濃度は 0<x<28.20 しか存在し得ないので、意味のない心配でした。
よって、x は 100 と互いに素な 28.20 未満の整数が答えということで、答えは冒頭の 10 個になります。

（27%食塩水は室温じゃ存在しませんが、熱水を使った食塩水もまあ食塩水には変わりないので濃度上限を 28.20% とすることで解答に含めました）

食塩水濃度を x% (0<x<28.20) とすると
の理由がどうしてつくのかが、私は理解できないでいます。
この部分の説明をお願いします。

水１００ｇに溶ける食塩の量は、０度では３５．６ｇ（２６．３％）、２０度では３５．８ｇ（２６．４％）、
４０度では３６．３ｇ（２６．６％）、・・・、１００度では３９．３ｇ（２８．２％）であることが知られています。
従って、食塩水の濃度は、２８．２％が限界となります。食塩水の中に食塩の沈殿物があってもかまわないという観点
では、もちろんこの限りではありませんが、食塩水の問題で沈殿物を想定することは今まで経験がありません。飽和水
溶液という観点で、算数の問題は作成されていると思います。

飽和食塩水という観念が全く抜け落ちてしまっていた。
食塩水の問題を作るとき、うっかり30%の食塩水がとかの表現をしたら失笑ものになりますね。
くわばら、くわばら