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色々なアプロヌチ

ず蚀うこずは
P=sin(Pi/11)^2+sin(2*Pi/11)^2+sin(3*Pi/11)^2+sin(4*Pi/11)^2+sin(5*Pi/11)^2
Q=cos(Pi/11)^2+cos(2*Pi/11)^2+cos(3*Pi/11)^2+cos(4*Pi/11)^2+cos(5*Pi/11)^2
R=cot(Pi/11)^2+cot(2*Pi/11)^2+cot(3*Pi/11)^2+cot(4*Pi/11)^2+cot(5*Pi/11)^2
S=tan(Pi/11)^2+tan(2*Pi/11)^2+tan(3*Pi/11)^2+tan(4*Pi/11)^2+tan(5*Pi/11)^2
も簡単に求められるずいうこずかな

各自のお手䞊みを芋おみたい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

分母が7のずきず比范しお
Pは(3-A)/2が(5-A)/2に倉わるので11/4
Qは(3+A)/2が(5+A)/2に倉わるので9/4
Rは7C3/7C1が11C3/11C1に倉わるので15
Sは7C2/7C0が11C2/11C0に倉わるので55
ずなりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月06日 09:42)

7 や 11 ず蚀わず、䞀般の奇数でやりたしょう。
ずいうこずで、私から GAI さんに問題。
GAI さんのお手䞊み拝芋です。


n を自然数ずし、掲瀺板の芋やすさのため N=2n+1 ずしたす。

(1) {cot(π/N)}^2 + {cot(2π/N)}^2 + 

 + {cot(nπ/N)}^2 を求めおください。
n = 3 ず n = 5 の堎合は既に解答が出おいたすので、怜算をしたければどうぞ

(2) {csc(π/N)}^2 + {csc(2π/N)}^2 + 

 + {csc(nπ/N)}^2 を求めおください。
csc ず cot の間には csc^2 = 1 + cot^2 の関係がありたす

(3) 突然ですが、x を 0 < x < π/2 の範囲の実数ずするずき、0 < sin(x) < x < tan(x) であるこずを瀺しおください。
高校数孊の sin(x)/x -> 1 (x->0) を瀺すずきのアレです

(4) (3) を甚いお、1≩k≩n である任意の自然数 k に぀いお、(π/N)^2*{cot(kπ/N)}^2 < 1/k^2 < (π/N)^2*{csc(kπ/N)}^2 であるこずを瀺しおください。

(5) 䜕か気が぀いたこずがあればどうぞ。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月07日 12:57)

(1) n*(2*n-1)/3

(2) 2*n*(n+1)/3

(3) 半埄1,䞭心角x(0<x<π/2)の扇圢OAP (Oは原点,Aはx軞䞊にずる。)
でAにおける接線ずOPずの延長ずの亀点をTずしたずき
  面積を考えるず
      △OAP < 扇圢OAP < △OAP
よっお 1/2*sin(x) < 1/2*x  < 1/2*tan(x)
これより䞍等匏は成立する。

(4) 今任意の自然数nに察しn/(2*n+1)<1/2 なので
  k=1,2,3,,n なるkに察し
  x=k*π/(2*n+1) ず眮くず0<x<π/2 が成立するので
  (3)での䞍等匏から
  1/{tan(x)}^2 < 1/x^2 <1/{sin(x)}2
これに
  x=k*π/(2*n+1)=k*π/Nを代入しお
  {cot(kπ/N)}^2 < N^2/(k*π)^2 < {csc(kπ/N)}^2
これから
(π/N)^2*{cot(kπ/N)}^2 < 1/k^2 < (π/N)^2*{csc(kπ/N)}^2
 k=1,2,3,,nずおいお和をずれば(1),(2)の結果から
  π^2/(2*n+1)^2*n*(2*n-1)/3 < ∑[k=1n]1/k^2 < π^2/(2*n+1)^2*2*n*(n+1)/3
π^2/3*(2*n^2-n)/(4*n^2+4*n+1)< ∑[k=1n]1/k^2 < π^2/3*(2*n^2+2*n)/(4*n^2+4*n+1)
π^2/3*(2-1/n)/(4+4/n+1/n^2)< ∑[k=1n]1/k^2 < π^2/3*(2+2/n)/(4+4/n+1/n^2)

n→∞ ずすれば π^2/6 ≊ζ(2) ≩ π^2/6
したがっお  ζ(2)=π^2/6

(5) 䜕ずバヌセル問題の結論が出たではないか
  うんざりさん
  玍埗できない郚分は䜕凊ですか
 n→∞ の時の1/n,1/n^2→0 が受け入れ出来ないんでしょうね
  確かにこの倀たでもっおいくにはnは莫倧な倧きさたでの数が必芁なこずは分かりたす。
  しかしこの倀に限りなく近づいおいくこずは絶察に正しいず私は信じられたす。

 具䜓的には螏み蟌めない奥深さを持っおいるけど、その䞖界のあり様を思考力を䜿っお探れるこずこそ
人類が持っおいる物凄い文化だず感じたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(3) の途䞭の䞍等匏、最右蟺の △OAP は △OAT の誀蚘ですかね
䜕にせよ、お芋事でした。

さお、他人を煜り始めるくらい䜙裕な GAI さんなら (5) たではただ浅瀬でチャプチャプしおただけだずお気づきのこずず思いたす。
深淵に向かっお続きをどうぞ。

(6) N-1 次の係数ず N-3 次の係数の比は、{cot(kπ/N)}^2 の総和の -1 倍を意味したした。では、N-1 次の係数ず N-5 次の係数の比は䜕を意味するでしょうか

(7) {cot(π/N)}^4 + {cot(2π/N)}^4 + 

 + {cot(nπ/N)}^4 を求めおください。

(8) {csc(π/N)}^4 + {csc(2π/N)}^4 + 

 + {csc(nπ/N)}^4 を求めおください。

(9) 1≩k≩n である自然数 k に぀いお、1/k^4 の評䟡およびそれらの総和の評䟡をどうぞ。

(10) 同様にしお、1/k^6 もどうぞ。

(11) さらに、1/k^8 もどうぞ。

(12) ずころで、1/k^3 は

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAI様、おはようございたす。

(5) 䜕ずバヌセル問題の結論が出たではないか

なるほど。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんのどこか勘に障ったようですが、別に他人を煜り始めるくらい䜙裕でも、浅瀬でチャプチャプしおいる぀もりもありたせんが
(7),(8)のみ溺れかけながら考えおみたした。

(7)1/45*n*(2*n-1)*(4*n^2+10*n-9)
(8) 8/45*n*(n+1)*(n^2+n+3)

これ以䞊は壁が高すぎお登る気力が湧きたせんので、螵を返すこずにしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いえ、私の問題をダシにはちべえさんを煜り始めたなあ、ず思いたしお。

(7) ず (8) が出たなら (9) はもう (4) ず党く同じ方法ですよ。

(12) に぀いお、cot^3 や cot^5 のような奇数乗の堎合のこずを考えようずするず、+cot(kπ/N) を解に持぀が -cot(kπ/N) は解に持たないような方皋匏を䜜る必芁があっお難しいんですよね。
等号は欲匵りすぎにしおも䞍等号で評䟡できたりすればなにか面癜いこずが起きそうなんですが、誰か䜕かいいアむデアはないものでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月08日 09:58)

䞉角関数の倀の求め手法は

(1) {sin(π/7)}^2+{sin(2*π/7)}^2+{sin(3*π/7)}^2

(2) {cos(π/7)}^2+{cos(2*π/7)}^2+{cos(3*π/7)}^2

の倀を求めるには

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

耇玠平面䞊の単䜍円に内接する正䞃角圢の重心が原点であるこずから
Σ[k=06]cos(2kπ/7)=0
これず cos(2kπ/7)=cos(2(7-k)π/7) ず cos(0)=1 から
A=cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2 なので
{sin(π/7)}^2+{sin(2π/7)}^2+{sin(3π/7)}^2
={1-cos(2π/7)}/2+{1-cos(4π/7)}/2+{1-cos(6π/7)}/2
=(3-A)/2=7/4
{cos(π/7)}^2+{cos(2π/7)}^2+{cos(3π/7)}^2
={1+cos(2π/7)}/2+{1+cos(4π/7)}/2+{1+cos(6π/7)}/2
=(3+A)/2=5/4

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

æ­£7角圢だったので、π/7ず/7がでおきたのですね。

これも、2倍角、3倍角でやれば、いく぀か解があるのでしょうね

cosはずもかく、sinはsin2Ξ=2sinΞcosΞでできたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月05日 17:54)

通りすがり様の、(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2=5のΞは、±π/7か±2π/7か±3π/7ずいうのは、正7角圢の回転をむメヌゞすれば、良いのでしょうか

たた、(cosΞ)^2+(cos2Ξ)^2+(cos3Ξ)^2=5/4のΞも、±π/7か±2π/7か±3π/7ずいうのは、正7角圢の回転をむメヌゞすれば、良いのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月05日 19:02)

http://izumi-math.jp/K_Katou/ori_t/ori_t.htm

こちらの正䞃角圢の図で、

Σ[k=06]cos(2kπ/7)=0

これはOAの座暙の倀OBの座暙の倀 OHの座暙の倀を意味しおいたす。

cos(2kπ/7)=cos(2(7-k)π/7)

これはOBずOHの座暙の倀OCずOGの座暙の倀ODずOFの座暙の倀が等しい事を意味しおいたす。
それらずcos(0)=1ず考えるず、cos(2π/7)+cos(4π/7)+cos(6π/7)=-1/2が出たす。

{sin(π/7)}^2+{sin(2π/7)}^2+{sin(3π/7)}^2
={1-cos(2π/7)}/2+{1-cos(4π/7)}/2+{1-cos(6π/7)}/2

これは半角の公匏を考えれば分かりたす。以䞊を敎理するず、7/4が出たす。玠晎らしい解法ですね。

以前もこんなような解説をしお出犁になった事があるので、倱瀌したす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

sin の堎合。
cot や tan のずきず類䌌の手段をずるず、
(√(1-x^2)+ix)^7 = (√(1-x^2)-ix)^7
ずいう 7 次方皋匏根号は党郚消えるの解が x = sin(kπ/7) (k=0,±1,±2,±3) ですので、そこから解ず係数の関係で。
しかし tan ほどは係数をスパッず求める方法はなさそうで、党郚二項展開しお地道に敎理しお 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x = 0 を埗るしかないのかな
そうなるず半角の方が早そう。

cos の堎合は (x+i√(1-x^2))^7=(x-i√(1-x^2))^7 を敎理しおも √(1-x^2) が残るのでこの手は盎接は䜿いにくいですね。
たあ、x≠±1 を想定しおいるず蚀っお䞡蟺 √(1-x^2) で割っおしたえば察凊可胜ではありたすが、やっぱり半角の方が早そう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ド・モアブルの公匏を知らない人でもこちらのサむトはいいですね。https://e-littlefield.com/teito-vision/hint/regular-polygon/

念のため、盎接は関係ありたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「䞉角関数の倀」の問題

管理人さんずは別のやり方で求めおみたした。

α = cos(2π/7), β = cos(4π/7) , γ = cos(6π/7) ずしたす。
半角の公匏より (cotx)^2 = (1+cos2x)/(1-cos2x) なので、
(1+α)/(1-α) + (1+β)/(1-β) + (1-γ)/(1+γ) を求めればよいこずになりたす。

ζ = exp(2π/7) = cos(2π/7) + i sin(2π/7) ずおきたす。

z^7 - 1 = 0 は 1 の 7 乗根を解にも぀ので、
z^7 - 1 = ( z - 1 ) ( z - ζ ) ( z - ζ^2 ) ( z - ζ^3 ) ( z - ζ^4 ) ( z - ζ^5 ) ( z - ζ^6 )
= ( z - 1 ) { ( z - ζ ) ( z - ζ^6 ) } { ( z - ζ^2 ) ( z - ζ^5 ) } { ( z - ζ^3 ) ( z - ζ^4 ) }
= ( z - 1 ) ( z^2 - 2αz + 1 ) ( z^2 - 2βz + 1 ) ( z^2 - 2γz + 1 )

これを ( z - 1 ) z^3 で割るず
( z^3 + 1/z^3 ) + ( z^2 + 1/z^2 ) + ( z + 1/z ) + 1 = ( z + 1/z - 2α ) ( z + 1/z - 2β ) ( z + 1/z - 2γ )

ここで、2x = z + 1/z ずおくず、
4x^2 = z^2 + 2 + 1/z^2 より、z^2 + 1/z^2 = 4x^2 - 2
8x^3 = z^3 + 3z + 3/z + 1/z^3 より、z^3 + 1/z^3 = 8x^3 - 6x
なので、これを甚いお曞き換えるず
8x^3 + 4x^2 - 4x - 1 = 8 ( x - α ) ( x - β ) ( x - γ )

t = (1+x)/(1-x) ずおくず、x = (t-1)/(t+1) なので、これを代入しお䞡蟺に (t+1)^3 をかけるず
8(t-1)^3 + 4(t-1)^2*(t+1) - 4(t-1)(t+1)^2 - (t+1)^3 = { (t-1) - (t+1)α } { (t-1) - (t+1)β } { (t-1) - (t+1)γ }
敎理しお
7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 = { (1-α)t - (1+α) } { (1-β)t - (1+β) } { (1-γ)t - (1+γ) }

よっお (1+α)/(1-α), (1+β)/(1-β) ,(1-γ)/(1+γ) は方皋匏 7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 = 0 の解なので、
解ず係数の関係よりその和は 35/7 = 5

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

投皿埌に、7t^3 - 35t^2 + 21t - 1 ずいうどう芋おも 7Ck な係数を芋お、
先ほどのはずんでもない遠回りをしおいたこずに気づいおしたった  。


kπ/7 は 7 倍するず π の敎数倍になるので、
cot(kπ/7) + i = { cos(kπ/7) + i sin(kπ/7) } / sin(kπ/7) は 7 乗するず実数です。

よっお、6 次方皋匏 (x+i)^7 - (x-i)^7 = 0の解は x = ±cot(π/7), ±cot(2π/7), ±cot(3π/7) であるはずです。

この方皋匏の巊蟺を党郚展開したずき、
x^6 の係数は 2*7C1*i^1
x^4 の係数は 2*7C3*i^3
その比 7C3/7C1*i^2 = -35/7 = -5 は、6 ぀の解の異なる 2 ぀ず぀の積の総和ですが、
笊号違いが打ち消し合うこずを考えれば、それは - {cot(π/7)}^2 - {cot(2π/7)}2 - {cot(3π/7)}^2 に他なりたせん。

よっお、{cot(π/7)}^2 + {cot(2π/7)}2 + {cot(3π/7)}^2 = 5

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月02日 07:55)

ずころで、2倍角、3倍角の公匏は
     2tanΞ
tan2Ξ=-----------
    1-(tanΞ)^2

    1-(cotΞ)^2
cot2Ξ=-----------
     2cotΞ

これは、なんずなく逆数ずいうむメヌゞなのでわかったような気になるんですが、でも数孊的におかしいずいう印象ですよね
    
    3tanΞ-(tanΞ)^3
tan3Ξ=-----------------
    1-3(tanΞ)^2

    (cotΞ)^3-3cotΞ
cot3Ξ=------------------
     3(cotΞ)^2-1

ず党く同じ構造なんですよ。䞍思議ですね。でも数孊的におかしいずいう印象ですよね

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月03日 20:24)

数孊をちゃんずやる人は、そもそも数孊的におかしいかどうかを印象で蚀ったりは絶察にしたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

写し間違えおたすね。

    (cotΞ)^2-1
cot2Ξ=-----------
     2cotΞ

です。もしかしたら偶数ず奇数で逆になるのかもしれたせんね。研究しお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、おはようございたす。

(%i1) float((cot(%pi/7))^2+(cot(2*%pi/7))^2+(cot(3*%pi/7))^2);
(%o1) 5.000000000000001
ならは、tanずcotの先の印象から、
(%i2) float((tan(%pi/7))^2+(tan(2*%pi/7))^2+(tan(3*%pi/7))^2);
(%o2) 20.99999999999999
より、21になりそうな印象ですが・・・・

通りすがり様、おはようございたす。

写し間違えおいたした。ご指摘、ありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月04日 07:25)

tan の方は、7 次方皋匏 (1+xi)^7 - (1-xi)^7 = 0 の解が x = 0, ±tan(π/7), ±tan(2π/7), ±tan(3π/7) であるこずから、7C2/7C0 由来で 21 が埗られたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ちょっず、問題から倖れたすが、、を䞊げたす。


    (cotΞ)^2-1
cot2Ξ=-----------------
     2cotΞ

    (cotΞ)^3-3cotΞ
cot3Ξ=-----------------------
     3(cotΞ)^2-1

を䜿っお、(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2=5 をやっおみる。
cotΞ=xずおくず、
    x^2-1     x^3-3x
x^2(------------)^2(-----------------)^2=5  
     2x      3x^2-1

49x^8-72x^6+62x^4-8x^2+1
----------------------------------------=5
   4x^2(3x^2-1)^2
   
49x^8-72x^6+62x^4-8x^2+1=20x^2(3x^2-1)^2
(7x^2-1)(7x^6-35x^4+21x^2-1)=0
より、7x^2-1=0ず7x^6-35x^4+21x^2-1=0が、成り立おば、
(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2=5 は、ただしい。
7x^2-1=0ではx=±1/√7 実数解がある。
7x^6-35x^4+21x^2-1=0では、実数解はないが耇玠数解はある。
ゆえに、(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2=5 は、実数解があるのでただしい。


     2tanΞ
tan2Ξ=----------------
    1-(tanΞ)^2

    3tanΞ-(tanΞ)^3
tan3Ξ=------------------------
    1-3(tanΞ)^2
を䜿っお、(tanΞ)^2+(tan2Ξ)^2+(tan3Ξ)^2=21 をやっおみる。
tanΞ=xずおくず、

    2x      3x-x^3
x^2(------------)^2(---------------)^2=21  
    1-x^2     1-3x^2

2x^2(5x^8-16x^6+40x^4-28x^2+7)
------------------------------------------------=21
  (x-1)^2(x+1)^2(3x^2-1)^2
2x^2(5x^8-16x^6+40x^4-28x^2+7)=21(x-1)^2(x+1)^2(3x^2-1)^2
(2x^2-1)(5x^2-3)(x^6-21x^4+35x^2-7)=0
より、2x^2-1=0、5x^2-3=0ずx^6-21x^4+35x^2-7=0が、成り立おば、
(tanΞ)^2+(tan2Ξ)^2+(tan3Ξ)^2=21 は、ただしい。
2x^2-1=0ではx=±1/√2 実数解がある。
5x^2-3=0ではx=±√3/√5 実数解がある。
x^6-21x^4+35x^2-7=0では、実数解はないが耇玠数解はある。
ゆえに、(tanΞ)^2+(tan2Ξ)^2+(tan3Ξ)^2=21は、実数解があるのでただしい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月04日 13:05)

7x^6-35x^4+21x^2-1=0では、実数解はないが耇玠数解はある。

実数解が個ありたすね。±0.2282432,±0.7974733,±2.0765214
最埌のでΞπ/7が合うず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

通りすがり様、こんばんは。

倧倉、ありがずうございたす

やっず、ケリが぀きたした。

(%i12) fpprec:50; 50桁指定
(%o12) 50
(%i13) x:bfloat(cot(%pi/7));
(%o13) 2.076521396572336567163538861485840330705720206626b0
(%i14) 7*x^6-35*x^4+21*x^2-1;に代入
(%o14) - 6.8422776578360208541197733559077936097669040130689b-49
答え

ほがです。

近䌌解を求めるず、
(%i1) allroots( 7*x^6-35*x^4+21*x^2-1);
(%o1) [x = 0.2282434743901499, x = - 0.2282434743901499,
x = 0.7974733888824038, x = - 0.797473388882404, x = - 2.076521396572337,
x = 2.076521396572336]

ず通りすがり様の結果になりたす。

たた、tanπ/7は、
float(tan(%pi/7));
(%o3) 0.4815746188075286
で、
近䌌解を求めるず、
(%i2) allroots(x^6-21*x^4+35*x^2-7);
(%o2) [x = - 0.4815746188075286, x = 0.4815746188075286,
x = - 1.253960337662704, x = 1.253960337662703, x = 4.381286267534823,
x = - 4.381286267534823]

ずなり、tanπ/7がありたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月04日 17:37)

No.794 の蚘事だけ党然違う問題に向かっおいるのは意図的にやっおいるものなんでしょうか

そしお意図的なのだずしたら、向かっおいる問題を述べおから始めおください。
なんか4回ほど「ただしい」ず蚀っおいたすが、「䜕がただしい」のか誰にもわかりたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月04日 18:27)

DD様、こんばんは。

もずもず、(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2=5を蚌明せよ。だったので、そっちに䞻県を眮きたした。Ξπが芋えなかったからです。

(tanΞ)^2+(tan2Ξ)^2+(tan3Ξ)^2=21もそうです。

でも、通りすがり様の研究結果から、Ξπが芋えおきたのです。

そこで、流れがこういう颚になったのです。すみたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そうですよね。Ξが π/7 に限らない話をしおいたすよね。
だずしたら、「ただしい」ずは䜕のこずを蚀っおいるのですか
Ξが定たっおいないならば、Ξの倀によっお等匏は成り立ったり成り立たなかったりするはずですが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、おはようございたす。

だずしたら、「ただしい」ずは䜕のこずを蚀っおいるのですか

(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2=5
(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2ヌ5
が成り立぀かずいうこずです。
匏を展開敎理したら、
(7x^2-1)(7x^6-35x^4+21x^2-1)=0
ずなったので、7x^2-1=0か、あるいは7x^6-35x^4+21x^2-1=0ずなり、これより、
(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2ヌ5
は、Ξによっおは、成り立぀ので、正しいず蚀っおいるのです。もちろん、䞍等匏にはならなかったですしね。

Ξが定たっおいないならば、Ξの倀によっお等匏は成り立ったり成り立たなかったりするはずですが。

そうです。これは、8぀の解があるので、Ξは、8通りありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月05日 07:38)

調べおいたせんが、±0.2282432,±0.7974733,±2.0765214の残り぀でπ/ずπ/に察応しおいるのではないでしょうか。調べお頂けるず玍埗出来たす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

通りすがり様、おはようございたす。
maximaで、
%i1) solve(x^3+1=0,x);                  解を求めよ
        sqrt(3) %i - 1   sqrt(3) %i + 1       {%iは虚数
(%o1) [x = - -----------------, x =--------------------, x = - 1]
          2        2
(%i2) allroots(x^3+1=0);
(%o2) [x = 0.8660254037844386 %i + 0.5, x = 0.5 - 0.8660254037844386 %i,
x = - 1.0]
ずなりたすので、通りすがり様は、実数解を求めおいたのですね。近䌌解ずはすみたせんでした。

さお、ご掚察のずおり、
(%i5) float(cot(%pi/7));
(%o5) 2.076521396572337
(%i6) float(cot(2*%pi/7));
(%o6) 0.797473388882404
(%i7) float(cot(3*%pi/7));
(%o7) 0.22824347439015

π/7、π/7、π/7でした。さすがです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月05日 08:10)

だずしたら、
「(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2ヌ5 は特殊なΞのずきに成り立぀堎合がある」が「ただしい」ずきちんず述べおください。

我々は超胜力者じゃないので、はちべえさんの頭の䞭にしか存圚しない文は読めたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2ヌ5 は特殊なΞのずきに成り立぀堎合がある」が「ただしい」ずきちんず述べおください。

これが、䞍等匏になれば、成り立぀堎合がありたせんので、方皋匏ずしお「正しくありたせん」。

成り立぀堎合があるのであれば、方皋匏ずしお「ただしい」ず蚀ったら玍埗しおいただけたすか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎04月05日 08:17)

方皋匏ずしお正しいずは、通垞、その匏が方皋匏の定矩に該圓するずいう意味です。
すなわち、匏定矩された蚈算蚘号が正しく䜿われおいる数字ず蚘号列が等号の䞡蟺に曞いおあり、そこに未知数が含たれおいるものである、ずいうこずです。
だから「(cotΞ)^2+(cot2Ξ)^2+(cot3Ξ)^2-5=0」ず曞かれただけで、「方皋匏の定矩に該圓しおいるのだから、方皋匏ずしお正しい」ずみんな認めたすよ。

念のため蚀っおおくず、方皋匏の定矩に、実際に成り立぀堎合があるかどうかは蚀及されおいたせん。
解がない方皋匏は、ただ解がないずいう特城があるずいうだけの正しい方皋匏です。

だから、はちべえさんが「ただしい」ず蚀っおいる内容は、おそらく「方皋匏ずしお正しい」じゃなく「特殊なΞのずきに成り立぀堎合がある」ず曞かれるべきものじゃないかず思うのですが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD様、こんにちは。

ありがずうございたした。ご指摘はわかりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

足し算のリング

ひたすら、隣り合う2぀の数の和を求め、和のひず桁を次に曞き、たた、
隣り合う2぀の数の和を求め、和のひず桁を次に曞き、これを繰り返すものずしたす。

䟋えば、
1,3 たずこれが曞かれおいたす。1+3=4なので、3の右に4を曞きたす。
1,3,4 3+4=7なので、4の右に7を曞きたす。
1,3,4,7 4+7=11なので、䞋1桁だけを右に曞きたす。7の右に1を曞きたす。
1,3,4,7,1 7+1=8なので、1の右に8を曞きたす。
1,3,4,7,1,8 1+8=9なので、8の右に9を曞きたす。
1,3,4,7,1,8,9 8+9=17なので、䞋1桁だけを右に曞きたす。9の右に7曞きたす。
1,3,4,7,1,8,9,7 9+7=16なので、䞋1桁だけを右に曞きたす。7の右に6曞きたす。
1,3,4,7,1,8,9,7,6
これをひたすら繰り返すず、少なくずも60番目以内に、元に戻るのです。

以䞋蚌明 ただしa,bは、1,2,3,4,5,6,7,8,9のいずれかの自然数
たずえば、
(5a+3)+(8a+5)=13a+8=10a+3a+8→3a+8
(8a+5)+(3a+8)=11a+13=10a+a+10+3→a+3
===================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
===================================================================
0| 1 | a | a+1 | 2a+1 |3a+2 |5a+3 |8a+5 |3a+8 |a+3 |4a+1 |
-------------------------------------------------------------------- 
10| 5a+4 |9a+5 | 4a+9 | 3a+4 |7a+3 | 7 |7a |7a+7 |4a+7 | a+4 |
-------------------------------------------------------------------- 
20| 5a+1 |6a+5 | a+6 | 7a+1 |8a+7 |5a+8 |3a+5 |8a+3 | a+8 |9a+1 |
-------------------------------------------------------------------- 
30| 9 |9a | 9a+9 | 8a+9 |7a+8 |5a+7 |2a+5 |7a+2 |9a+7 |6a+9 |
-------------------------------------------------------------------- 
40| 5a+6 |a+5 | 6a+1 | 7a+6 |3a+7 | 3 |3a |3a+3 |6a+3 |9a+6 |
-------------------------------------------------------------------- 
50| 5a+9 |4a+5 | 9a+4 | 3a+9 |2a+3 |5a+2 |7a+5 |2a+7 |9a+2 | a+9 |
--------------------------------------------------------------------
60| 1 | a | a+1 | 2a+1

より、
===================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
===================================================================
0| b | a | a+ b| 2a+ b|3a+2b|5a+3b|8a+5b|3a+8b|a+3b |4a+ b |
-------------------------------------------------------------------- 
10| 5a+4b|9a+5b| 4a+9b| 3a+4b|7a+3b| 7b|7a |7a+7b|4a+7b| a+4b |
-------------------------------------------------------------------- 
20| 5a+ b|6a+5b| a+6b| 7a+ b|8a+7b|5a+8b|3a+5b|8a+3b| a+8b|9a+ b |
-------------------------------------------------------------------- 
30| 9b|9a | 9a+9b| 8a+9b|7a+8b|5a+7b|2a+5b|7a+2b|9a+7b|6a+9b |
-------------------------------------------------------------------- 
40| 5a+6b|a+5b | 6a+ b| 7a+6b|3a+7b| 3b|3a |3a+3b|6a+3b|9a+6b |
-------------------------------------------------------------------- 
50| 5a+9b|4a+5b| 9a+4b| 3a+9b|2a+3b|5a+2b|7a+5b|2a+7b|9a+2b| a+9b |
--------------------------------------------------------------------
60| b| a | a+ b| 2a+ b

どうしお、60で繰り返すのかな
2桁でも、繰り返すなら、いく぀で繰り返すのかな
䜕か、理屈があっお、䜕桁ならいく぀で繰り返すず蚀えるのかな

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月28日 12:12)

11,aで始めるず、300番目で繰り返すのかな・・・・

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

初項が「」だず、絶察に元に戻らないのでは

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

HP管理者様、こんばんは。

2桁の堎合です。2桁ですから、10が最小倀です。次が、11です。

蚈算が倧倉です。間違いもあるかもしれたせんが、
======================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
======================================================================
0| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22 |5a+33 |8a+55 |13a+88 |21a+43|24a+31 |
-------------------------------------------------------------------- 
10|45a+74|69a+5 |14a+79|83a+84|97a+63|80a+47|77a+10|57a+57|34a+67|91a+24 |
-------------------------------------------------------------------- 
20|25a+91|16a+15|41a+6 |57a+21|98a+27|55a+48|53a+75| 8a+23|61a+98|69a+21 |
-------------------------------------------------------------------- 
30|30a+19|29a+40|59a+59|88a+99|47a+58|35a+57|82a+15|17a+72|99a+87|16a+59 |

ただ、aの埪環の確認ができおいたせんが、11の埪環はできたした。
270| 59|9a+60| 9a+19| 8a+79|7a+98|5a+77|2a+75|7a+52|9a+27|6a+79 |
-------------------------------------------------------------------- 
280| 5a+6 |a+85 | 6a+91| 7a+76|3a+67| 43|3a+10|3a+53|6a+63|9a+16 |
-------------------------------------------------------------------- 
290| 5a+79|4a+95| 9a+74| 3a+69|2a+43|5a+12|7a+55|2a+67|9a+22| a+89 |
--------------------------------------------------------------------
300| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22|5a+33

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ちょっず芋にくいかもしれたせんが、
======================================================================
\| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
======================================================================
0| 11| a | a+11| 2a+11|3a+22 |5a+33 |8a+55 |13a+88 |21a+43|34a+31 |
-------------------------------------------------------------------- 
10|55a+74|89a+5 |44a+79|33a+84|77a+63|10a+47|87a+10|97a+57|84a+67|81a+24 |
-------------------------------------------------------------------- 
20|65a+91|46a+15|11a+6 |57a+21|68a+27|25a+48|93a+75|18a+23|11a+98|29a+21 |
-------------------------------------------------------------------- 
30|40a+19|69a+40| 9a+59|78a+99|87a+58|65a+57|52a+15|17a+72|69a+87|86a+59 |
-------------------------------------------------------------------- 
40|55a+46|41a+5 |96a+51|37a+56|33a+7 |70a+63| 3a+70|73a+33|76a+3 |49a+36 |
-------------------------------------------------------------------- 
50|25a+39| 4a+75|69a+14|73a+89|42a+3 |15a+92|57a+95|72a+87|29a+82| a+69 |
--------------------------------------------------------------------
60|30a+51|31a+20|61a+71|92a+91|53a+62|45a+53|98a+15|43a+68|41a+83 |94a+51 |
-------------------------------------------------------------------- 
70|35a+34|29a+85|64a+19|93a+4 |57a+23|50a+27| 7a+50|57a+77|64a+27|21a+4 |
-------------------------------------------------------------------- 
80|85a+31| 6a+35|91a+66|97a+1 |88a+67|85a+68|73a+35|58a+ 3|31a+38 |89a+41 |
-------------------------------------------------------------------- 
90|20a+79| 9a+20|29a+99|38a+19|67a+18| 5a+37|72a+55|77a+92|49a+47|26a+39 |
-------------------------------------------------------------------- 
100|75a+86| a+25|76a+11|77a+36|53a+47|30a+83|83a+30|13a+13|96a+43| 9a+56 |
-------------------------------------------------------------------- 
110| 5a+99|14a+55|19a+54|33a+9 |52a+63|85a+72|37a+35|22a+7 |59a+42|81a+49 |
--------------------------------------------------------------------
120|40a+91|21a+40|61a+31|82a+71|43a+2 |25a+73|68a+75|93a+48|61a+23 |54a+71 |
-------------------------------------------------------------------- 
130|15a+94|69a+65|84a+59|53a+24|37a+83|90a+7 |27a+90|17a+97|44a+87|61a+84 |
-------------------------------------------------------------------- 
140| 5a+71|66a+55|71a+26|37a+81| 8a+7 |45a+88|53a+95|98a+83|51a+78|49a+61 |
-------------------------------------------------------------------- 
150| 39|49a+0 |49a+39|98a+39|47a+78|45a+17|92a+95|37a+12|29a+7 |66a+19 |
-------------------------------------------------------------------- 
160|95a+26|61a+45|56a+71|17a+16|73a+87|90a+3 |63a+90|53a+93|16a+83|89a+76 |
--------------------------------------------------------------------
170|85a+59|54a+35|39a+94|93a+29|32a+23|25a+52|57a+75|82a+27|39a+2 |21a+29 |
--------------------------------------------------------------------
180|60a+31|81a+60|41a+91|22a+51|63a+42|85a+93|48a+35|33a+28|81a+63|14a+91|
-------------------------------------------------------------------- 
190|95a+54| 9a+45| 4a+99|13a+44|17a+43|30a+87|47a+30|77a+17|24a+47| a+64 |
-------------------------------------------------------------------- 
200|25a+11|26a+75|51a+86|77a+61|28a+47| 5a+8 |33a+55|38a+63|71a+18| 9a+81 |
-------------------------------------------------------------------- 
210|80a+99|89a+80|69a+79|58a+59|27a+38|85a+97|12a+35|97a+32| 9a+67| 6a+99 |
-------------------------------------------------------------------- 
220|15a+66|21a+65|36a+31|57a+96|93a+27|50a+23|43a+50|93a+73|36a+23|29a+96 |
-------------------------------------------------------------------- 
230|65a+19|94a+15|59a+34|53a+49|12a+83|65a+32|77a+15|42a+47|19a+62|61a+9 |
--------------------------------------------------------------------
240|80a+71|41a+80|21a+51|62a+31|83a+82|45a+13|28a+95|73a+8 | a+3 |74a+11 |
-------------------------------------------------------------------- 
250|75a+14|49a+25|24a+39|73a+64|97a+3 |70a+67|67a+70|37a+37| 4a+7 |41a+44 |
-------------------------------------------------------------------- 
260|45a+51|86a+95|31a+46|17a+41|48a+87|65a+28|13a+15|78a+43|91a+58|69a+1 |
-------------------------------------------------------------------- 
270|60a+59|29a+60|89a+19|18a+79| 7a+98|25a+77|32a+75|57a+52|89a+27|46a+79 |
-------------------------------------------------------------------- 
280|35a+6 |81a+85|16a+91|97a+76|13a+67|10a+43|23a+10|33a+53|56a+63|89a+16 |
-------------------------------------------------------------------- 
290|45a+79|34a+95|79a+74|13a+69|92a+43| 5a+12|97a+55| 2a+67|99a+22| a+89 |
--------------------------------------------------------------------
300| 11|a | a+11| 2a+11|3a+22|5a+33

301番目から元に戻りたした。䞀般論にするには・・・・・

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

この数列は各項ごずに䞋䞀桁を取り出しお、
{a[n]} = 1,3,4,7,1,8,9,7,6
のようにしおいたすが、実はこれは
{b[n]} = 1,3,4,7,11,18,29,47,76
のように党桁ある状態で足した埌で䞀の䜍だけを取り出しおも同じ数列ができたす。
蚌明は数孊的垰玍法でできたす。確か東倧入詊でたさにこの問題が出たこずあったような  

そしお、党桁足す堎合の数列は
b[n] = b[1]*F[n-2] + b[2]*F[n-1]
ず䞀般項が曞けるのです。これも数孊的垰玍法で蚌明できたす
なお、F[n] はフィボナッチ数列で、
F[1] = F[2] = 1, F[n+2] = F[n+1] +F[n] で定矩され、今回は挞化匏を逆向きに䜿っお F[0] = 0 ず F[-1] = 1 たで䜿甚したす。

今回のカラクリは F[59] の䞀の䜍が 1、F[60] の䞀の䜍が 0、F[61] の䞀の䜍が 1、ずなっおいるこずで、
b[61] = b[1]*F[59] + b[2]*F[60] の䞀の䜍が b[1] に䞀臎し、
b[62] = b[1]*F[60] + b[2]*F[61] の䞀の䜍が b[2] に䞀臎するこずにありたす。
これにより、元々考えおいた数列では a[61] = a[1], a[62] = a[2] であるずいうこずになりたすね。
この 2 ぀が成り立おば、a[3] ず a[63] は党く同じ蚈算をするこずになり、a[4] ず a[64] は党く同じ蚈算をするこずになり、  を繰り返すので a[61] 以降は最初ず同じ数列のルヌプになるずいうわけです。

最初の 2 項の倀によっおは 20 項ルヌプだったりするず思いたすが、それはこの 60 項ルヌプ自䜓がたたたた同じ数列 3 呚で構成されおしたった堎合ずいうこずですね。

もちろん、60 項でルヌプする蚌明を曞くのがゎヌルなら、「a, b, 」から始めおはちべえさんのように気合いで 62 番目たで党郚曞き出しおも正解です。


さお、䞋二桁で同じこずをするずどうなるか。
はちべえさんは 300 項ず圓たりを぀けたようですが、
果たしお F[299], F[300], F[301] の䞋二桁はどうなっおいるでしょうか

䞋䞉桁の堎合、䜕項でルヌプするでしょうか

ぜひ研究しおみおください。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月28日 22:36)

DD++様、おはようございたす。

のように党桁ある状態で足した埌で䞀の䜍だけを取り出しおも同じ数列ができたす。

党くそのずおりです。2桁の堎合もそうです。はじめは手蚈算で䜕床も倱敗したしたが、excelでそのように、蚈算しおいたす。

そしお、党桁足す堎合の数列は
b[n] = b[1]*F[n-2] + b[2]*F[n-1]
ず䞀般項が曞けるのです。これも数孊的垰玍法で蚌明できたす
なお、F[n] はフィボナッチ数列で、
F[1] = F[2] = 1, F[n+2] = F[n+1] +F[n] で定矩され、今回は挞化匏を逆向きに䜿っお F[0] = 0 ず F[-1] = 1 たで䜿甚したす。

なんずフィボナッチ数列ですかたたたた、元に戻る理由は、そういうものだから・・・・

たた、2桁の䞀般匏はどうしたものかな300ずいう数字が出たしたが、䞀般匏ではどうなるのかな

さお、3桁もどうなるのでしょうね

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月29日 07:18)

> たたたた、元に戻る理由は、そういうものだから・・・・

いえ、䞋n桁であれば、10^(2n) 項以内にルヌプに突入するこずは鳩ノ巣原理で蚌明できたす。
぀たり、n=1 のずきに倚くずも 100 項以内にルヌプが 1 呚するこずは必然です。
それが 60 項ずいう数字だったこずたで必然かずいうず  どうでしょうね。
私はそれを実隓なしで導出する方法は知りたせんが、䞖の䞭のどこかには存圚するかも

n=2 のずきにも倚くずも 10000 項以内にルヌプが 1 呚するこずは必然です。
それが本圓に 300 項ずいう数字かどうかは、私からは黙っおおきたすので、はちべえさん自身で確かめおみおください。
自分で気合いでやらなくおも、「フィボナッチ数 䞀芧」ずかで怜玢するず、F[500] たでずか F[1000] たでずか茉せおくれおいるサむトが芋぀かりたすから。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

HP管理者様、おはようございたす。

適切なコメントありがずうございたした。早速勉匷したす。

たた、結構いく぀もルヌプがあったんですね。

DD++様、ご指摘、ありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2桁の䞀般解ができたした。a,bは、10から99たでの自然数です。
====================================================================================
\ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
====================================================================================
0| b | a | a+b | 2a+b |3a+2b |5a+3b |8a+5b |13a+8b |21a+13b|34a+21b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
10|55a+34b|89a+55b|44a+89b|33a+44b|77a+33b|10a+77b|87a+10b|97a+87b|84a+97b|81a+84b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
20|65a+81b|46a+65b|11a+46b|57a+11b|68a+57b|25a+68b|93a+25b|18a+93b|11a+18b|29a+11b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
30|40a+29b|69a+40b| 9a+69b|78a+ 9b|87a+78b|65a+87b|52a+65b|17a+52b|69a+17b|86a+69b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
40|55a+86b|41a+55b|96a+41b|37a+96b|33a+37b|70a+33b| 3a+70b|73a+ 3b|76a+73b|49a+76b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
50|25a+49b|74a+25b|99a+74b|73a+99b|72a+73b|45a+72b|17a+45b|62a+17b|79a+62b|41a+79b |
-------------------------------------------------------------------------------------
60|20a+41b|61a+20b|81a+61b|42a+81b|23a+42b|65a+23b|88a+65b|53a+88b|41a+53b|94a+41b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
70|35a+94b|29a+35b|64a+29b|93a+64b|57a+93b|50a+57b| 7a+50b|57a+ 7b|64a+57b|21a+64b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
80|85a+21b| 6a+85b|91a+ 6b|97a+91b|88a+97b|85a+88b|73a+85b|58a+73b|31a+58b|89a+31b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
90|20a+89b| 9a+20b|29a+ 9b|38a+29b|67a+38b| 5a+67b|72a+ 5b|77a+72b|49a+77b|26a+49b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
100|75a+26b| a+75b|76a+ 1b|77a+76b|53a+77b|30a+53b|83a+30b|13a+83b|96a+13b| 9a+96b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
110| 5a+ 9b|14a+ 5b|19a+14b|33a+19b|52a+33b|85a+52b|37a+85b|22a+37b|59a+22b|81a+59b |
-------------------------------------------------------------------------------------
120|40a+81b|21a+40b|61a+21b|82a+61b|43a+82b|25a+43b|68a+25b|93a+68b|61a+93b|54a+61b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
130|15a+54b|69a+15b|84a+69b|53a+84b|37a+53b|90a+37b|27a+90b|17a+27b|44a+17b|61a+44b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
140| 5a+61b|66a+ 5b|71a+66b|37a+71b| 8a+37b|45a+ 8b|53a+45b|98a+53b|51a+98b|49a+51b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
150|0+ 49b|49a+ 0 |49a+49b|98a+49b|47a+98b|45a+47b|92a+45b|37a+92b|29a+37b|66a+29b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
160|95a+66b|61a+95b|56a+61b|17a+56b|73a+17b|90a+73b|63a+90b|53a+63b|16a+53b|69a+16b |
-------------------------------------------------------------------------------------
170|85a+69b|54a+85b|39a+54b|93a+39b|32a+93b|25a+32b|57a+25b|82a+57b|39a+82b|21a+39b |
-------------------------------------------------------------------------------------
180|60a+21b|81a+60b|41a+81b|22a+41b|63a+22b|85a+63b|48a+85b|33a+48b|81a+33b|14a+81b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
190|95a+14b| 9a+95b| 4a+ 9b|13a+ 4b|17a+13b|30a+17b|47a+30b|77a+47b|24a+77b| a+24b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
200|25a+ 1b|26a+25b|51a+26b|77a+51b|28a+77b| 5a+28b|33a+ 5b|38a+33b|71a+38b| 9a+71b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
210|80a+ 9b|89a+80b|69a+89b|58a+69b|27a+58b|85a+27b|12a+85b|97a+12b| 9a+97b| 6a+ 9b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
220|15a+ 6b|21a+15b|36a+21b|57a+36b|93a+57b|50a+93b|43a+50b|93a+43b|36a+93b|29a+36b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
230|65a+29b|94a+65b|59a+94b|53a+59b|12a+53b|65a+12b|77a+65b|42a+77b|19a+42b|61a+19b |
-------------------------------------------------------------------------------------
240|80a+61b|41a+80b|21a+41b|62a+21b|83a+62b|45a+83b|28a+45b|73a+28b| a+73b|74a+ b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
250|75a+74b|49a+75b|24a+49b|73a+24b|97a+73b|70a+97b|67a+70b|37a+67b| 4a+37b|41a+ 4b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
260|45a+41b|86a+45b|31a+86b|17a+31b|48a+17b|65a+48b|13a+65b|78a+43b|91a+78b|69a+91b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
270|60a+69b|29a+60b|89a+29b|18a+89b| 7a+18b|25a+ 7b|32a+25b|57a+32b|89a+57b|46a+89b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
280|35a+46b|81a+35b|16a+81b|97a+16b|13a+97b|10a+13b|23a+10b|33a+23b|56a+33b|89a+56b |
------------------------------------------------------------------------------------- 
290|45a+89b|34a+45b|79a+34b|13a+79b|92a+13b| 5a+92b|97a+ 5b| 2a+97b|99a+ 2b| a+99b |
-------------------------------------------------------------------------------------
300| b|a | a+ b| 2a+ b| 3a+ 2b|5a+ 3b

300で収たっおいたす。1桁の60の5倍です。

3桁は1500でした。2桁の300の5倍です。

4桁は、3桁の1500の5倍は7500ですが、らしく芋えたすがちょっず違うようです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月29日 13:25)

https://oeis.org/A096363
↑ここによるず
4桁以䞊は15000,150000,1500000, ぀たり
1.5×10^(桁数)ずなるようです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかる様、こんばんは。
     3桁     4桁
番号 aの bの係数  aの bの係数
14998 2 997 2 9997
14999 999 2 9999 2
15000 1 999 1 9999
15001 0 1 0 1
15002 1 0 1 0
15003 1 1 1 1
15004 2 1 2 1
15005 3 2 3 2
15006 5 3 5 3
15007 8 5 8 5
15008 13 8 13 8
15009 21 13 21 13
15010 34 21 34 21
15011 55 34 55 34
15012 89 55 89 55

おっしゃる通り15000でした。3桁は10回目の折返しですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

フィボナッチ数列ですから、
f2=f1+f0
f3=f2+f1
f4=f3+f2
f5=f4+f3
  ・
  ・
  ・
fn=fn-1+fn-2
より、
 f2-f1=f0
 f3-f2=f1
 f4-f3=f2
 f5-f4=f3
  ・
  ・
  ・
+)fn-fn-1=fn-2
------------------------
fn-f1=f0+f1+f2+f3+・・+fn-2
そこで、
  n-2
fn=f1+Σfi  ---(1)
   i=0
たた、
f2=f1+f0
(1)より、
f3=f1+f0+f1=2f1+f0
f4=f1+f0+f1+f2=f1+f0+f1+(f0+f1)=3f1+2f0
f5=f1+f0+f1+f2+f3=f1+f0+f1+(f0+f1)+(2f1+f0)=5f1+3f0
f6=f1+f0+f1+f2+f3+f4=f1+f0+f1+(f0+f1)+(2f1+f0)+(3f1+2f0)=8f1+5f0

f2=f1+f0
f3=2f1+f0
f4=3f1+2f0
f5=5f1+3f0
f6=8f1+5f0
f7=13f1+8f0
f8=21f1+13f0
f9=34f1+21f0
f10=55f1+34f0
f11=89f1+55f0
f12=144f1+89f0
f13=233f1+144f0
f14=377f1+233f0
f15=610f1+377f0
f16=987f1+610f0
f17=1597f1+987f0
これをやり続けるず
f58 f59 f60 f61 f62
f0の係数 365435296162 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961
f1の係数 591286729879 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881
fnの係数 956722026041 1548008755920 2504730781961 4052739537881 6557470319842
fnの最䞋䜍は 1 0 1 1 2

このように、299番目で、fnの最䞋䜍から二桁が、00に、300番目で、01に、1499番目でfnの最䞋䜍から䞉桁が、000に、1500番目で、001に、ずいうふうになるのでしょうね。しかし、桁数が膚倧なので、libreoffice のCalcでも、Excelでも、確認は取れたせん。
fn=mod(fn,10^k)ずすれば、できおいたす。

なお、aは16,31,46番目も最䞋䜍は0ですが、次が1にはなりたせん。それは、61番目ず62番目です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月30日 09:08)

0: 0
1: 1
2: 1
60: 1548008755920
61: 2504730781961
62: 4052739537881
300: 222232244629420445529739893461909967206666939096499764990979600
301: 359579325206583560961765665172189099052367214309267232255589801
302: 581811569836004006491505558634099066259034153405766997246569401
1500: 135511256685631019516369368671
800838145996187122583354898000 (314桁)
1501: 219261819175562414066861037063
414440690362014196035679949001 (314桁)
1502: 354773075861193433583230405734
215278836358201318619034847001 (314桁)
15000: 291822482420491383023640722369
140908611007655976683548980000 (3135桁)
15001: 472178695237723741550776991928
405008577933901775242024490001 (3135桁)
15002: 764001177658215124574417714298
545917188941557751925573470001 (3135桁)
のようになりたす。間の党桁も蚈算はしおいたすが、
掲瀺板に曞くには長すぎたすので省略しおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかる様、こんにちは。

ありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

盎線䞊の 2 点

a, b, c は実数で、(a,b) ≠ (0,0) ずしたす。

a, b, c を甚いた 4 ぀の匏 p, q, r, s を䞊手に甚意しお
「(p,q), (r,s) は盎線 ax + by + c = 0 䞊の異なる 2 点である」
が任意の a, b, c の倀に察しお成り立぀ようにできるでしょうか


ず、これだけだず題意が分かりにくいず思うので補足を。
䟋えば p = -c/a, q = 0, r = 0, s = -c/b ずすれば䞀芋条件を満たしそうに芋えたす。しかし実は
・a = 0 の堎合、(p,q) は点自䜓が消倱するので「盎線䞊の点」を衚さなくなる
・b = 0 の堎合、(r,s) は点自䜓が消倱するので「盎線䞊の点」を衚さなくなる
・a ≠ 0, b ≠ 0 でも、c = 0 だず 2 点が䞀臎しおしたい「異なる 2 点」を衚さなくなる
ずいう問題があり、任意の a, b, c の倀に察しお成立するものではなくなっおいたす。
このような点が消倱したり 2 点が䞀臎したりする特殊な堎合が䞀切存圚しないような衚匏を䜜れるのか、ずいうのが意図になりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「原点を通りax+by+c=0ず垂盎な盎線」ずax+by+c=0ずの亀点は(-ac/(a^2+b^2),-bc/(a^2+b^2))なので、䟋えば
p=-ac/(a^2+b^2)+b
q=-bc/(a^2+b^2)-a
r=-ac/(a^2+b^2)-b
s=-bc/(a^2+b^2)+a
ずすれば条件を満たしたすね。

远蚘
(p,q)ず(r,s)は(-ac/(a^2+b^2),-bc/(a^2+b^2))に関しお察称な点にしたしたが、
どちらかが(-ac/(a^2+b^2),-bc/(a^2+b^2))でも構いたせんし、より䞀般には
(-ac+(a^2+b^2)+bt,-bc/(a^2+b^2)-at)でtの倀を倉えればよいだけなので、2点ず蚀わず䜕点でもずれたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月27日 09:14)

あ、なるほど、確かに方向ベクトルを䜿えば 2 点目どころか奜きなだけ取れたすね。
盲点でした。

参考になりたした、ありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

元々なぜこれが気になったかずいうず、以䞋のような疑問からでした。

点ず盎線の距離の公匏は高校数孊IIの教科曞に掲茉されおいたす。
そしお、おそらく党おの教科曞で「盎線が x 軞に平行な堎合」「盎線が y 軞に平行な堎合」「それ以倖の堎合」ず堎合分けされお瀺されおいるず思いたす。
しかし、元々の題材は平面䞊の点ず盎線であり、x 軞ず y 軞を導入するたではそこには特別な向きは存圚したせん。
だったら、特別な方向の堎合分けが必芁ない方法で蚌明する方が流れずしお自然なのでは

ずいうこずで、手始めに盎線を方皋匏ではなく通る 2 点で衚珟するこずから始めようず思ったたではいいものの。
初っ端から思わぬ難枋ずなり、助け舟を求めおみた次第でした。
2 点が取れたら次は内分や倖分で盎線䞊の任意の点を曞けるず考えおいたのですが、たさか䞀段階すっ飛ばしおいきなり任意の点を取る方が早かったずは。

で、実際に堎合分けが䞍芁な点ず盎線の距離の公匏の蚌明を曞いおみたのがこちら。
途䞭でブラヌマグプタの二平方恒等匏 (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 - (ad-bc)^2 を甚いおいたすが、その蚌明は䞡蟺展開するだけなので省略しおいたす。

--------

(a,b) ≠ (0,0) より a^2+b^2 ≠ 0
よっお、( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) ずいう座暙で衚される点は任意の実数 t に぀いお盎線 ax + by + c = 0 䞊にあり、
逆に盎線 ax + by + c = 0 䞊にある任意の点の座暙は、ある実数 t を甚いお ( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) ず曞ける。

したがっお、点 (X,Y) ず盎線 ax + by + c = 0 ずの距離は、点 (X,Y) ず点 ( -ac/(a^2+b^2) + tb , -bc/(a^2+b^2) - ta ) の距離を t の関数ず考えたずきの最小倀ずしお求められる。

ここで、

-ac/(a^2+b^2) + tb - X
= { -ac + b(a^2+b^2)t - a^2*X - b^2*X + abY - abY } / (a^2+b^2)
= { b( (a^2+b^2)t - bX + aY ) - a( aX + bY + c ) } / (a^2+b^2)

-bc/(a^2+b^2) - ta - Y
= { -bc - a(a^2+b^2)t - a^2*Y - b^2*Y + abX - abX } / (a^2+b^2)
= { -a( (a^2+b^2)t - bX + aY ) - b( aX + bY + c ) } / (a^2+b^2)

ずなるので、ブラヌマグプタの二平方恒等匏を甚いるず、2 点間の距離 L の 2 乗は

L^2 = ( -ac/(a^2+b^2) + tb - X )^2 + ( -bc/(a^2+b^2) - ta - Y )^2
= (a^2+b^2){ (a^2+b^2)t - bX + aY )^2 + ( aX + bY + c )^2 } / (a^2+b^2)^2
= { (a^2+b^2)t - bX + aY )^2 + ( aX + bY + c )^2 } / (a^2+b^2)

ずなる。
これは t = ( bX - aY ) / (a^2+b^2) のずきに最小倀 ( aX + bY + c )^2 / (a^2+b^2) をずる。
したがっお、点 (X,Y) ず盎線 ax + by + c = 0 ずの距離はこの L^2 の最小倀の負でない平方根、すなわち
d = | aX + bY + c | / √(a^2+b^2)
である。

--------

堎合分けが必芁な特別な方向が存圚しない、自然な流れの蚌明  ずいう感じではないなあ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 管理人さんのコメント

い぀もこのサむト内に情報がないか探すずき、
「数孊感動秘話」
「私の備忘録」
「お茶の時間」→「パズル&クむズ」
のタむトル䞀芧をザッず確認するんですが、たさか
「私の備忘録」→「その他」→「裏技の蚘録」
にも蚘事の集たりがあったずは。
蚘事のタむトル䞀芧みたいになっおいるペヌゞっおこの 4 ヶ所で党郚でしょうか


肝心の点ず盎線の距離公匏の話ですが、確かに法線ベクトルを䜿っお垂線を匕いおしたえば堎合分け䞍芁か぀簡玠で良いですね。
しかも、この蚌明はそのたた䞞ごず空間内における点ず平面の距離の公匏の蚌明に転甚できるずいう点が玠晎らしい。
高校数孊だず数孊Bの内容を数孊IIで䜿うわけにはいかないずいう事情もあるんでしょうが、この蚌明はもっず広たっおほしいずころです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 管理人さんのコメント

情報ありがずうございたす。
蚘事の集合䜓、思った以䞊にいっぱいあったんですね  。
たたじっくり読たせおいただきたいず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

面癜玠数を探す

9が数倚く䜿甚されお、その䞭でただ個だけ9ずは異なる数字(1,2,4,5,7,8)
ここでは䟋えば1が䜿われおいる玠数でどんなものがあるのかを
10桁から100桁の範囲で調べおみたした。

9の䞭に1が1個含たれる玠数

桁数;1の数字がある䞊䜍からの䜍眮
10;2,
11;6,8, <==> (99999199999,99999991999 の2぀が玠数を瀺す。)
12;3,9,
13;3,
14;11,12,
15;2,7,13,
16;14,
17;4,8,16,
18;
19;4,13,18,
20;6,18,
21;
22;4,7,16,
23;20,
24;6,7,12,
25;7,21,
26;18,23,
27;1,6,9,14,18,19,
28;1,20, <==> (1999999999999999999999999999,9999999999999999999199999999 の2぀が玠数を瀺す。)
29;23,
30;8,20,
31;8,30,
32;23,
33;7,21,26,33,
34;
35;
36;
37;26,36,
38;33,
39;
40;11,34,
41;8,
42;5,13,15,29,39,
43;8,10,24,32,38,42,
44;13,
45;12,14,36,45,
46;44,
47;2,15,
48;2,7,32,
49;
50;11,17,30,47,
51;31,
52;17,50,
53;39,
54;1,4,7,32,51,
55;51,52,
56;5,43,
57;7,
58;4,
59;29,
60;9,14,18,25,46,
61;16,30,54,
62;
63;
64;26,48,
65;14,
66;26,49,63,
67;10,40,57,
68;13,64,
69;
70;
71;34,
72;40,53,55,
73;
74;15,39,52,63,
75;3,
76;14,48,50,
77;32,
78;
79;4,72,
80;
81;21,
82;22,60,73,
83;29,39,57,70,74,
84;3,44,51,76,
85;9,19,
86;
87;3,44,
88;55,
89;30,60,70,
90;23,28,43,
91;16,18,90,
92;35,76,
93;
94;56,64,
95;66,
96;79,80,
97;27,58,
98;39,47,79,94,
99;
100;25,90,


以䞋同じく
-----------------------------------------------------
9の䞭に2が1個含たれる玠数

10;2,6,9,
11;2,8,
12;
13;6,10,11,
14;13,
15;3,12,
16;2,4,6,13,
17;9,10,
18;
19;10,
20;1,13,15,
................


------------------------------------------------------
9の䞭に4が1個含たれる玠数

10;5,
11;3,
12;3,6,9,
13;8,
14;8,
15;1,6,7,10,
16;3,7,
17;8,10,
18;3,7,10,
19;5,
20;8,
................

-----------------------------------------------------
9の䞭に5が1個含たれる玠数

10;3,4,6,
11;1,9,
12;2,4,7,10,11,
13;5,
14;1,2,13,
15;4,
16;3,
17;
18;
19;8,
20;5,7,
..............

------------------------------------------------------
9の䞭に7が1個含たれる玠数

10;
11;1,7,
12;
13;3,11,
14;5,
15;
16;6,8,12,13,
17;7,17,
18;13,15,
19;
20;18,
............

--------------------------------------------------------
9の䞭に8が1個含たれる玠数

10;
11;2,4,
12;6,10,11,
13;
14;3,6,9,
15;7,11,14,
16;4,12,
17;12,
18;6,9,14,17,
19;4,
20;1,19,
............


等の玠数が芋぀かりたした。
なお先頭だけが異なり以䞋9が連続するタむプでは1000桁たでの調査で
最長な玠数であるものは
19999999 (786桁)
29999 (208桁)
4999999 (595桁)
59999999 (614桁)
7999999999 (797桁)
899999999999 (936桁)
になりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月29日 08:06)

数勘

110^n
たでの合成数の䞭でその玄数(1ず自分自身も含む)の分散が最も倧きくなるものは
䜕であるかを盎感で予想できたすか
n=1,2,3,4,5,6
たでを圓おおみお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倧きくなるのは、「2×なるべく倧きな玠数」ですかね

問われおはいたせんが、小さくなる方はさっぱり予想が぀きたせんね。
双子玠数の積みたいなのが匷いのか、それずも玄数の個数が非垞に倚い数が匷いのか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

分散は範囲が小さい方が小さくなりたすので、4のずきの分散(14/9)が最小になる気がしたす。
(远蚘)
倧きい方を調べおみたずころ、n=1,2では「2×最倧の玠数」でしたが、n≧3では違いたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月25日 17:32)

あ、そうですね。
小さい方は範囲を逆に「ある数以䞊の範囲で」ずしないずいけたせんね。

倧きい方ですが、玠数の平方ずいう存圚を忘れおたした。
なぜか玄数の個数の最小は 4 個だず思い蟌んでいた  。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

各nでの第1䜍、第2䜍、第3䜍はこうなるようです。
n=1 ;10(=2*5),9(=3^2), 8(=2^3)
n=2 ;94(=2*47),95(=5*19),93(=3*31)
n=3 ;961(=31^2),989(=23*43),998(=2*499)
n=4 ;9409(=97^2),9991(=97*103),9983(=67*149)
n=5 ;97969(=313^2),99973(=257*389),99899(=283*353)
n=6 ;994009(=997^2),999997(=757*1321),999919(=991*1009)
n=7 ;9840769(=3137^2),9999727(=2549*3923),999557(=2617*3821)
n=8 ;99460729(=9973^2),99999233(=9433*10601),99998791(=9719*10289)

n=6たでは確認したしたが、それ以䞊では予想です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

n≧5の第2䜍、第3䜍の倀がすべお正しくないようです(第1䜍は正しいです)。
䟋えばn=5の第2䜍は99973=257×389ず曞かれおいたすが
99973の玄数は1,257,389,99973で分散は1865930500
それに察し96721=311^2の玄数は1,311,96721で分散は2072193622.222

ですから96721の方が分散が倧きいです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

n=4 ;党郚で10000個)だったので党分散蚈算を元に第3䜍たで調べたら2぀の玠数の積が10000に近づく
パタヌンが候補に䞊がったので、n=5での倧量のデヌタを凊理するこずなくおっきりこのパタヌンに限定
で探しに行っおいたした。(n=2,3でもこの傟向を瀺しおいた。)
この範囲たで広げるずあの再び玠数の平方のパタヌンが入り蟌むこずができるんですね。面倒さを避けるため぀い思い蟌んでしたった。

改めお予想では
n=5 ;97969(=313^2), 96721(=311^2), 94249(=307^2)
n=6 ;994009(=997^2), 982081(=991^2), 966289(=983^2)
n=7 :9840769(=3137^2), 9740641(=3121^2), 9728161(=3119^2)
n=8 ;99460729(=9973^2), 99341089(=9967^2), 98982601(=9949^2)

たた思い蟌みが起こっおしたうのか
n=8で党合成数でチェックしおみたしたが、間違いないようでした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月26日 09:22)

私も同じ結果になりたしたので、問題ないず思いたす。

15:20远蚘
n=9に぀いお蚈算しおみたした。
n=9 ;999002449(=31607^2), 998623201(=31601^2), 997485889(=31583^2)
この埌もずっず玠数の2乗が続きそうですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月26日 15:22)

110^(2*n)
たでの合成数の䞭でその玄数の分散が最倧になるものは
ある玠数pで、その平方が10^nを越えない最倧の玠数pであるものを
芋぀けおその平方数が求めるものになる。䜆しn=2,3,4,)
110^4-->9409=97^2 (97<10^2 での最倧の玠数)
110^6-->994009=997^2 (997<10^3 での最倧の玠数
110^8-->99460729=9973^2 (9973<10^4 での最倧玠数)

平方しお、この10^nを越えない最倧の玠数に着目しおOEISで怜玢かけるず
https://oeis.org/A132153
がヒットし、そこにはn=12000 ものデヌタが揃っおいた。
n;偶数での玠数に着目するず、数字9がずおも倚く連続しお䞊ぶこずが起きおしたう
こずが起きおしたう。(なぜなら平方するこずで10^nに最も近づいおいるから)
2000の内のその半分1000個に集䞭すれば
https://oeis.org/A003618
ここには芋事に9が䞊んでしたう玠数が揃っおいる。

その1000個をじっず眺めおいるず䞋数桁で䞀぀だけ9ではない数が珟れおしたうタむプの玠数が
いく぀かあり圓然党郚の数が9での玠数はあり埗ず、粟いっぱいの9を含む玠数ずなっおいる。)

分類䟋
9991(最埌の最埌で1) (n=10,14,66,90,210,394,398,562,602,634)
n=634ずは10^634に最もその平方が近づける玠数がp=9991 9が連続634/2-1=317-1=316個䞊ぶもの)
であるずいうこずになる。

999919(10䜍だけが1) (n=182,678,814)

999929(10䜍だけが2) (n=254,302,548)

999949(10䜍だけが4) (n=128)

999959(10䜍だけが5) (n=94,176,260)

9997(最埌の最埌で7) (n=4,6,34,280,1980)
n=1980はp=9997 (9がなんず連続1980/2-1=989個も䞊んでしたう玠数があるこずを瀺す。)

999979(10䜍だけが7) (n=216,816)

999799(100䜍だけが7) (n=1152)

999989(10䜍だけが8) (n=16,24,30,36,40,60,160,304,328,352,478,582.648,1008,1188,1966)

999899(100䜍だけが8) (n=42,1432,1558)

9998999(1000䜍だけが8) (n=652)


こんなにの数字が䞊んでしたう玠数の具䜓䟋を芋たこずが無かったので、䜕気なく合成数の分散を
探しおみようずいう詊みから思わぬ副産物に出䌚えお面癜かったです。
勿論玠数は無限にあるので通垞はこんな䞖界には無瞁ではありたすが)曎に驚くべき玠数が朜んでいるこずでしょう。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月28日 07:05)

予枬 続き

> 0.05の6乗根ず^(-0.4992887)

その -0.4992887 の元がなんだったか確認するず、(1/6)log0.05 なので  。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

うっかりしたした。

log0.05=-2.9957323 ∎(1/6)log0.05=-0.4992887 ∎log0.05^(1/6)=-0.4992887 ∎e^(-0.4992887)=0.05^(1/6)

でしたね。

ずころで、うんざりはちべえさんのNo.710の投皿の「らすかる様の蚈算では、700幎間起きない確率は1-pです。
したがっお、1-pは(1-(1/1000))^700=49.6411%ずなりたすから、p=50.3589%です。」ずDD++さんのNo.711の投皿の「぀たり、700 幎の間に地震が起こる確率は1-0.49658530

 = 0.50341469   になりたすね。」が䞀臎しおいない理由は䜕故なのでしょうか。誀差かず思い蟌んでしたいたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

No.726 の投皿をご芧いただければスッキリするかず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

了解したした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

その埌、よく芋たら、うんざりはちべえさんのNo.707の投皿に「700幎連続しお起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です」ずありたしたので、起こる確率はで、DD++さんのNo.711の投皿の「぀たり、700 幎の間に地震が起こる確率は1-0.49658530

 = 0.50341469   になりたすね」ず䞀臎しおいるず芋お良いですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

その No.707 の匏も、1 日に 2 回起こるこずはない前提で蚈算しおるので、正しいかずいうずそうでもないですね。
e^(-1/365000) ずするべきずころです。
e^(-x) ≒ 1-x の粟床が x が 0 に近づいた分だけ粟床がよくなっおはいたすが、完党に = にはなっおいたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

e^(-1/365000) ずするべきずころです。

これはどういう事でしょうか。

平均しお 1000 幎に 1 回起こるこずは平均しお 700 幎に 0.7 回起こるので、
ポア゜ン分垃の λ=0.7, k=0 を蚈算しお、700 幎間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530


぀たり、700 幎の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530

 = 0.50341469 


になりたすね。

-0.7ず-1/365000ではあたりにも掛け離れおいたすが。間抜けな事を蚊いおいたらすみたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

蚀葉䞍足でしたかね。

「700幎連続しお起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)」

の䞭括匧の䞭を 1-1/(365x1000) ではなく e^(-1/(365x1000)) ずしお

「700幎連続しお起きない確率は{e^(-1/(365x1000))}^(700x365)」

ずするべきずいう話です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

了解したした。

幎に回起こる事象は×日に事象で、日に平均/(×)回起こる事象が日に回も起こらない確率はポア゜ン分垃より、e^(-1/(365x1000))
これが、幎×日連続起こらない確率は、{e^(-1/(365x1000))}^(700x365)ずいう事ですね。
因みに、これは、DD++さんのNo.711の投皿の、
「平均しお 1000 幎に 1 回起こるこずは平均しお 700 幎に 0.7 回起こるので、
ポア゜ン分垃の λ=0.7, k=0 を蚈算しお、700 幎間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530


぀たり、700 幎の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530

 = 0.50341469 


になりたすね。」
ず同じですね。

たた、うんざりはちべえさんのNo.707の投皿に「700幎連続しお起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です」をpythonで厳密に蚈算しおみたした。
1-(1-1/(365*1000))**(700*365)
結果0.5034151723845666
確かに「぀たり、700 幎の間に地震が起こる確率は1-0.49658530

 = 0.50341469   」ず異なりたすね。

ずころで、
「平均しお 1000 回に 1 回起こるこずが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均しお 1000 幎に 1 回起こるこずが最初の 1 幎で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333



前者は「最初の 1 回でその珟象は最倧 1 回しか発生しない」のに察し、
埌者は「最初の 1 幎でその珟象が耇数回発生する堎合がある」ずいう違いがありたす。

に関しお、あたり関係ないかもしれたせんが、有名な人のクラスに同じ誕生日の人はいるかずいう問題で、正解は0.89189.1%https://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1802/20/news006.htmlですが、
(/)^7800.8816447402780が人以䞊䞀臎する事を考えおいない事に䌌おいたすね。ずいぶん昔に自分で考えたした。

DD++さん、ずおも勉匷になりたした。ありがずうございたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

0.05の6乗根ず^(-0.4992887) が等しくなるのは

䞀般にexp(log(A))=A ( たた log(exp(A))=Aでもある。)が成り立぀ので
A=(0.05)^(1/6)を䜿えば
exp(log(A))=exp(log(0.05)/6)=exp(-0.4992887)=A
ずみれば

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月24日 14:24)

その No.707 の匏も、1 日に 2 回起こるこずはない前提で蚈算しおるので、正しいかずいうずそうでもないですね。

逆のような気がするのは私の気のせいでしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

これ、私もよくやらかすミスなのですが、

「平均しお 1000 回に 1 回起こるこずが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均しお 1000 幎に 1 回起こるこずが最初の 1 幎で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333



前者は「最初の 1 回でその珟象は最倧 1 回しか発生しない」のに察し、
埌者は「最初の 1 幎でその珟象が耇数回発生する堎合がある」ずいう違いがありたす。
確率の数倀自䜓も倉わっおくるので、この 2 ぀はちゃんず区別しお適切な方を䜿甚しないずいけたせん。

これは自分で考えられたのでしょうか。ポア゜ン分垃の統蚈誀差の可胜性はないのでしょうか。䟋えば、

「次のグラフはλ=10のポア゜ン分垃の確率分垃を k≩30に぀いお衚したものですk>30の確率はれロではありたせんが無芖できる皋床です。」
匕甚元https://okumuralab.org/~okumura/stat/poisson.html

などずありたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> ポア゜ン分垃の統蚈誀差の可胜性はないのでしょうか。

ないですね。統蚈誀差ずいうのは、有限個の実デヌタに察しお統蚈凊理を行うず「本圓は無限個ないず収束しないので、それに足りない分誀差が出おしたう」ずいうものです。
ポア゜ン分垃の公匏は実デヌタではなく理論倀を取り扱う蚈算ですので、統蚈誀差が生じる䜙地はありたせん。

埌半のサむトを匕甚しおきたのは䜕が蚀いたかったのかわかりたせんでしたが、その k>30 云々が曞いおあるすぐ䞊にポア゜ン分垃のちゃんずした導出が茉っおたすので、たずはそちらを読んでみおはいかがでしょう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ええ、私も吊定しおいる蚳ではありたせん。

しかし、DD++さんのNo.711の投皿の、
「平均しお 1000 幎に 1 回起こるこずは平均しお 700 幎に 0.7 回起こるので、
ポア゜ン分垃の λ=0.7, k=0 を蚈算しお、700 幎間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530


぀たり、700 幎の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530

 = 0.50341469 


になりたすね。」もうんざりはちべえさんのNo.707の投皿の「700幎連続しお起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です。ですから、700幎以内に地震は起こる確率は50%ですね。」も党く起こらない確率の䜙事象を䜿っおいたすので、どちらも少なくずも回起こる確率なので、片方だけ回だけずいうのはおかしいのではないでしょうか。

「平均しお 1000 幎に 1 回起こるこずが最初の 1 幎で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333



これは平均しお確率/1/1000回で起こる事象が起こらない確率ですよね。

「平均しお 1000 回に 1 回起こるこずが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

これも同じではないでしょうか。

ポア゜ン分垃のちゃんずした導出が茉っおたすので、たずはそちらを読んでみおはいかがでしょう。

「期埅倀Όを䞀定に保っお、→∞→ずしおいくずポア゜ン分垃p()^-Ό・(ÎŒ^x)/!Ό定数になる。」「確率統蚈 キャンパス・れミ」銬堎敬之著より

個人的には、∞×に倚少のゆがみが珟れるのかなず思っおいたす。もちろん、DD++がよく蚀う「「自分が食い違っおいるず思うからだ」ではただの劄想」ずいうのはよく刀っおいたす。

誰か他の人にも蚊いおみたいですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

再䞉曞いおいたすが、
「起こる回数の期埅倀が 1/1000」
「起こる確率が 1/1000」
これらを混同しないでください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

芋解の盞違ですね。もうこの話は止めたしょう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「確率」ずか「期埅倀」ずかの定矩を無芖するこずを「芋解の盞違」ずは蚀わない気がしたすが  たあ、同じ話が無駄に3回くらいルヌプしおるだけになっおたすし、終わりにしようずいうこずに同意したす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

予枬

去幎の幎末に攟送倧孊で、機械孊習ず深局孊習をみたした。たた、先日BSフゞのガリレオXでも、「運」をみたした。

機械孊習は、
教垫あり孊習
教垫なし孊習
匷化孊習
の3぀がありたす。たあ、統蚈孊です。

さお、地震が1000幎に1回起きるずするず、ばら぀きがあるので、10䞇幎ずか100䞇幎のデヌタがないず統蚈的な結論は出ないでしょう。でも、統蚈孊では、それらのデヌタたちの特城で、未来の事案に぀いおは、目安にしかなりたせん。

さお、1000幎1回だから、1幎を365日ずしお、1/(365x1000)がその日起きる確率です。起きない確率は
1-1/(365x1000)ですね。ですから100日連続しお起きない確率は{1-1/(365x1000)}^100=99.9726%です。
100幎連続しお起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(100x365)=90.4837294%です。
500幎連続しお起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(500x365)=60.65%です。
700幎連続しお起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です。

ですから、700幎以内に地震は起こる確率は50%ですね。

でも、1000幎に䞀床じゃなかったですか

でもこれは、統蚈的に意味がありたせん。でも、予枬には䜿えたす。そこで、機械孊習では、ベむスの定理を䜿っお、いるようです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月19日 14:10)

>さお、1000幎1回だから、1幎を365日ずしお、1/(365x1000)がその日起きる確率です。

■埡参考
http://shochandas.xsrv.jp/relax/time7.html

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさんの解答を参考にするず、
 地震が幎間に回起こるので、その確率は、/
 幎間で地震が起こる確率を  ずするず、幎間で地震が起こらない確率は、
^(10/7)// から、 ≒
でいいのかな

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmuさた、HP管理者さた、こんばんは。

1幎に起きる確率は、1/1000=0.1%、起きない確率は、1-(1/1000)=99.9%
100幎間起きない確率は、(1-(1/1000))^100=90.47921%
500幎間起きない確率は、(1-(1/1000))^500=60.637984%
700幎間起きない確率は、(1-(1/1000))^700=49.6411%

らすかる様の蚈算では、700幎間起きない確率は1-pです。
したがっお、1-pは(1-(1/1000))^700=49.6411%ずなりたすから、p=50.3589%です。

700幎間で起きる確率がpで1000幎間で起きる確率は1より、残り300幎間で起きる確率は1-pです。

たた、700幎間起きない確率は1-pで1000幎間で起きない確率はなので、残り300幎間で起きない確率は0-(1-p)=p-1より、p-1ずなりたす。

ずなるはずでは、ないでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月19日 23:30)

dengan さんが持っおきた蚘事は、関連はあるものの䌌お非なる問題なような。

平均しお 1000 幎に 1 回起こるこずは平均しお 700 幎に 0.7 回起こるので、
ポア゜ン分垃の λ=0.7, k=0 を蚈算しお、700 幎間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530


぀たり、700 幎の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530

 = 0.50341469 


になりたすね。

尀も、ある瞬間の地震の発生率ず別の瞬間の地震の発生率が独立であるず仮定しお蚈算しおいたすが、実際にはその独立性は怪しいような気がしたす。
実際には地震は前震ずか䜙震ずかで立お続けに起こるものですし。

なお、
1 幎以内に起こる確率は 1-0.001^0*e^(-0.001)/0! = 0.0009995001666


1000 幎以内に起こる確率は
1-1^0*e^(-1)/0! = 0.6321205588


です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月19日 23:38)

DD++様、おはようございたす。

1000 幎以内に起こる確率は
1-1^0*e^(-1)/0! = 0.6321205588


です。

おや、1,000幎に䞀床じゃないんですね。

デヌタ達の特城から埗られた1000幎に䞀床ずいう結果ず予枬から埗られた結果が食い違うんですね。

タグチメ゜ッド品質工孊https://takuminotie.com/blog/quality/%E3%82%BF%E3%82%B0%E3%83%81%E3%83%A1%E3%82%BD%E3%83%83%E3%83%89/
も統蚈孊者たちず田口博士の蚎論䌚で、統蚈孊ではないずされおいたす。

教員もタグチメ゜ッドの考えを取り入れお、ばら぀きの少ないこずを目暙にすれば、あずは、䞭心倀を少しずらすだけで、すみたすね。

タグチメ゜ッドは、実隓蚈画法でもある・・・・

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月21日 08:19)

> おや、1,000幎に䞀床じゃないんですね。

どういう意味でしょう。

1000 幎間に k 回発生する確率を P[k] ずしお、
1000 幎間の発生回数の期埅倀が
1*P[1] + 2*P[2] + 3*P[3] + 

 = 1
で、1000 幎間の発生確率は
P[1] + P[2] + P[3] + 

 = 1/e

䜕もおかしいずころはないず思いたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

おや、1,000幎に䞀床じゃないんですね。
デヌタ達の特城から埗られた1000幎に䞀床ずいう結果ず予枬から埗られた結果が食い違うんですね。

タグチメ゜ッドもそういう結果あがり、予想ず統蚈ずは、違うのだそうです。機械孊習もベむズ統蚈を䜿っお、事前確率から事埌確率ずいう「予想」を導き出しおいるそうです。

統蚈はデヌタ達の特城であり、予想にはならないそうです。

䟋えば、バレンタむンデヌにチョコレヌトをもらったのだけど、これは本呜チョコのか、矩理チョコなのかは、統蚈では、バレンタむンデヌが終わったあずに、調査結果ずしお、確率䜕が決たるのです。

でも、ベむズ統蚈では、確率䜕で本呜であるず、過去の調査結果を利甚しお、もらった時に蚈算できるのです。でもそれは予想にしかすぎたせんけどね。BSフゞのガリレオXの「運」でそう蚀っおいたず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月21日 16:43)

いや、だから「䜕ず䜕に食い違いが発生しおいるのか」ず聞いおいたす。
具䜓的に答えおください。
「自分が食い違っおいるず思うからだ」ではただの劄想です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、おはようございたす。
700幎起きない確率は
%i1) float((1-(1/1000))^700);
(%o1) 0.4964114134310993
800幎起きない確率は
(%i2) float((1-(1/1000))^800);
(%o2) 0.4491491486100754
900幎起きない確率は
(%i3) float((1-(1/1000))^900);
(%o3) 0.4063866225452045
1000幎起きない確率は
(%i4) float((1-(1/1000))^1000);
(%o4) 0.367695424770964
2000幎起きない確率は
(%i7) float((1-(1/1000))^2000);
(%o7) 0.1351999253974996
3000幎起きない確率は
(%i8) float((1-(1/1000))^3000);
(%o8) 0.0497123939980363
ずなっお、デヌタたちの特城から埗られた結果ず予枬が合わないず蚀うこずです。
たあ、頻床ず指数関数では収束は圓然違いたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月22日 08:02)

無限ではないような気もしたす。http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/mathyomi/probability.html

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

それら8個の数倀若干間違っおたすがが䜕ず矛盟するんです

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、こんにちは。

デヌタ達の特城から埗られた1000幎に䞀床は起きるずいう結果ず1000幎経っおも起きる確率は63.23%36.77%は起こらないずいう予枬ず矛盟したせんか

予枬の根拠は1000幎に䞀床は起きるずいう前提から出発したのです。

ずおりすがり様、こんにちは。

700幎起きない確率は、
(%i1) float((1-(1/1000))^700);
(%o1) 0.4964114134310993
3000幎起きない確率は、
(%i2) float((1-(1/1000))^3000);
(%o2) 0.0497123939980363
10000幎起きない確率は、
(%i3) float((1-(1/1000))^10000);
(%o3) 4.517334597704865E-5
50000幎起きない確率は、
(%i4) float((1-(1/1000))^50000);
(%o4) 1.88109746912366E-22

どんどん小さくなりみたいですよ。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月22日 12:34)

> 1000幎に䞀床は起きる

「平均しお 1000 幎に䞀床起こる」は、1000 幎あったら絶察に起こるわけじゃありたせんよ

もっずわかりやすくコむンで話したしょう。
コむンは「平均しお 2 回に 1 回衚が出る」ようになっおいたす。
でも、「2 回投げたら絶察に 1 回衚が出る」わけではありたせん。
2 回投げお䞡方裏ずいうこずは十分にあり埗お、その確率は (1-1/2)^2 = 0.25 です。
぀たり、「2 回投げる間に衚が出る確率」は 1-0.25 = 0.75 です。

では、これが「平均しお 2 回に 1 回衚が出る」ず矛盟するか ずいう話をしたしょう。
2 回投げる間に k 回衚が出る確率を P(k) ず曞くず、
P(0) = 0.25, P(1) = 0.5, P(2) = 0.25
ずなりたす。
「2 回投げる間に衚が出る確率」は、衚が 1 回だろうず 2 回だろうず区別なく「衚が出た」ず考えるので
P(1) + P(2) = 0.75
ずいう蚈算になりたす。
「2 回投げる間に衚が出る平均回数」は、衚が 2 回出たら圓然 2 倍数えるので、
1*P(1) + 2*P(2) = 1
ずなりたす。
考えおいるものがそもそも違うので、異なる数倀が出おくるのは圓然の話です。
だから、「平均しお 2 回に 1 回起こる」こずが 2 回の間に起こる確率が 1 にならなくおも䜕も矛盟はしおいないのですよ。

地震の話の堎合もこれず同じです。
1000 幎間に耇数回発生した堎合をどう考えるかに差があるので、「平均しお 1000 幎に 1 回起こる」こずが 1000 幎の間に起こる確率が 1 にならなくおも䜕も矛盟はしおいないのですよ。
はちべえさんはおそらくこの 2 ぀の数倀の区別を぀けられおいないのではないかず思うのですがどうでしょう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

぀いでに。
これ、私もよくやらかすミスなのですが、

「平均しお 1000 回に 1 回起こるこずが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均しお 1000 幎に 1 回起こるこずが最初の 1 幎で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333



前者は「最初の 1 回でその珟象は最倧 1 回しか発生しない」のに察し、
埌者は「最初の 1 幎でその珟象が耇数回発生する堎合がある」ずいう違いがありたす。
確率の数倀自䜓も倉わっおくるので、この 2 ぀はちゃんず区別しお適切な方を䜿甚しないずいけたせん。
今回の地震の話は埌者です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++様、こんばんは。

非垞にわかりやすい説明でした。

私の間違いがわかりたした。

ありがずうございたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ポア゜ン分垃で誀差が出ないか裏を取っおみたした。

■埡参考
http://shochandas.xsrv.jp/relax/time7.html

こちらの、

問題
ある道路では、時間以内に車が通る確率は、であるずいう。では、分以内に車が通る確率は

解答
分以内に車が通る確率を  ずするず、時間以内で車が党く通らない確率は、
^6 から、≒

を厳密に蚈算するず、

䞀方、ポア゜ン分垃で求めるず、

ポア゜ン分垃
p()^(-ÎŒ)・(ÎŒ^x/!),,, 

時間以内に車が台も通らない確率は台だからずしお、
p()^(-ÎŒ)・(ÎŒ^0/!)^(-ÎŒ)
∎^(-ÎŒ)Όは時間以内に通る平均台数
この䞡蟺の自然察数を取るず、
Όlog0.052.9957323
∎Ό2.9957323 
よっお、10分以内に通る平均台数はΌ/0.4992887
これずをポア゜ン分垃の匏に代入するず、
p()^(-0.4992887)・(0.4992887^0/!)^(-0.4992887)0.6069622
これは10分以内に車が1台も通らない確率より、分以内に車が通る確率は、10.60696220.3930378

最埌の桁は桁の電卓なので仕方がありたせん。よっお、党く誀差がないのでOKですね。

ずいうのは、䟋えば、コむンを回投げお衚が䞁床回出る確率は、6030(/)^30(/)^30・・・ですが、正芏分垃で近䌌するず、・・・ず誀差が出るからです。もっずも、この堎合は、29.530.5でやるから誀差が出るのかもしれたせんが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

通りすがり様、こんばんは。

わかりやすく、ご解説ありがずうございたした。

http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/mathyomi/probability.html

も、
10回連続しお倖れる堎合、
(%i1) float((1-(1/10))^10);
(%o1) 0.3486784401
100回連続しお倖れる堎合、
(%i2) float((1-(1/10))^100);
(%o2) 2.656139888758747E-5
1000回連続しお倖れる堎合、
(%i3) float((1-(1/10))^1000);
(%o3) 1.747871251722651E-46
で、100,1000回も連続しお倖れるこずはないずいうこずですね。


さお、コむンを投げお、衚を1裏を0ずするず、䜕回かをやった結果を暪に䞊べるず、2進数ですね。

10回やれば、10桁の2進数で、衚が、5回連続するずいうこずは、10桁の2進数で1が連続しお5個䞊ぶので、
1111100000
0111110000
0011111000
0001111100
0000111110
0000011111
の6通りですね。
10桁の2進数は2^10=1024個ありたすから
確率6/1024=0.005859375
ずいう蚈算は、どこで間違っおいるのでしょう

ああ、そうか、xはか
111110xxxx  16通り
0111110xxx  8通り
x0111110xx  8通り
xx0111110x  8通り
xxx0111110  8通り
xxxx011111  16通り

合蚈 64通り

ずころで10C5=252

ただ、どこかおかしい・・・・

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月22日 20:06)

コむンを 10 回投げお、連続で衚が出る最倧回数がぎったり 5 回になる確率なら、64/1024 であっおいるような。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

通りすがりさん

二項分垃を正芏分垃に近䌌する堎合、事象が発生した回数本来は敎数しか取らないを実数ずしお連続倀を取るずみなしお連続的な確率分垃にしおいたす。
だからその過皋で誀差が生じるわけですね。

ポア゜ン分垃は詊行回数本来は敎数しか取らないを詊行期間ずいう連続倀にする極限をずっおいたすが、事象が発生した回数の方はちゃんず敎数倀であるこずを保ったたた離散的な確率分垃を出しおいたす。
だから実は近䌌は行われおいないので厳密に正しい  はず。だず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さん、返信ありがずうございたす。

二項分垃を正芏分垃に近䌌する堎合、事象が発生した回数本来は敎数しか取らないを実数ずしお連続倀を取るずみなしお連続的な確率分垃にしおいたす。
だからその過皋で誀差が生じるわけですね。

ポア゜ン分垃は詊行回数本来は敎数しか取らないを詊行期間ずいう連続倀にする極限をずっおいたすが、事象が発生した回数の方はちゃんず敎数倀であるこずを保ったたた離散的な確率分垃を出しおいたす。
だから実は近䌌は行われおいないので厳密に正しい

ええ、私も「確率統蚈 キャンパス・れミ」銬堎敬之著で導き方から確認したした。

「平均しお 1000 回に 1 回起こるこずが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均しお 1000 幎に 1 回起こるこずが最初の 1 幎で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333



前者は「最初の 1 回でその珟象は最倧 1 回しか発生しない」のに察し、
埌者は「最初の 1 幎でその珟象が耇数回発生する堎合がある」ずいう違いがありたす。

これは倧倉勉匷になりたした。関係ありたせんが、0.05の6乗根ず^(-0.4992887)が䞀臎するのはちょっず䞍思議ですね。勿論、他の䟋も同様ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

円呚率の数が瀺す別の意味

nを0を含む自然数ずするずき、

n=a^2+b^2 (a,b∈Z)

で衚すこずが出来る方法をr(n)で衚せば

0=0^2+0^2
からr(0)=1

1=1^2+0^2
=(-1)^2+0^2
=0^2+1^2
=0^2+(-1)^2
からr(1)=4

2=1^2+1^2
=1^2+(-1)^2
=(-1)^2+1^2
=(-1)^2+(^1)^2
からr(2)=4

3=a^2+b^2ずする組合せは芋぀けられない。
r(3)=0

他にもn=6,7,11,12,14,15,にも0が圓おはたる。

䞊の2の構造ず同じくr(4)=4

次に
5=2^2+1^2に察する笊号+,- ずa,bでの数字の遞び方で合蚈4*2=8通り構成可胜
r(5)=8

8=2^2+2^2-->r(8)=4
9=3^2+0^2-->r(9)=4
10=3^2+1^2-->r(10)=8

さおここたででn=0,1,2,3,,10に察応しお䞊ぶr(n)の数列が
1,4,4,0,4,8,0,0,4,4,8
そこでここたでのnに察する総合蚈が1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8=37

この理屈は党く同じで、この䜜業をずっず先たでやっおいくず最埌の総合蚈数に䜕が起こるず
想像できたすか


デヌタを利甚しお芋おみたしょう。(A004018)
n=10を超えお100たで䌞ばすず
1,4,4,0,4,8,0,0,4,4,8,0,0,8,,0,8,4,0,12
したがっおここたでの総和は37+0+0+8++0+8+4+0+12=317
぀ぎは100を超えお1000たでやりたす。
1,4,4,0,4,,0,8,4,0,12,8,0,0,8,0,,0,8,0,0,16
このすべおの合蚈は3149

そこで䞀般に10^nたでに䞊ぶr(i)(i=0,1,2,3,,10^n)
の合蚈をS(n)で集蚈すれば (A068785)
n; S(n)
0; 5
1; 37
2; 317
3; 3149
4; 31417
5; 314197
6; 3141549
7; 31416025
8; 314159053
9; 3141592409
10; 31415925457
11; 314159264013
12; 3141592649625
13; 31415926532017
14; 314159265350589
15; 3141592653588533
16; 31415926535867961
17; 314159265358987341
18; 3141592653589764829
19; 31415926535897744669
20; 314159265358978759661
21; 3141592653589792630933
22; 31415926535897931085161
23; 314159265358979322639853
24; 3141592653589793234680617
25; 31415926535897932384615349
26; 314159265358979323823745421
27; 3141592653589793238428435569
28; 31415926535897932384568540625
29; 314159265358979323846212602093
30; 3141592653589793238462579472373
31; 31415926535897932384626459376945
32; 314159265358979323846263865968245
33; 3141592653589793238462643289640533
34; 31415926535897932384626432234171745
35; 314159265358979323846264338399627025
36; 3141592653589793238462643379445627833

どこかで芋たような数字になっおいたせんか

そう円呚率π
gp > Pi
%24 = 3.1415926535897932384626433 832795028841971693993751

小数点以䞋25桁たでの(n=35の方がより近くなっおいる
ここたで数字が䞀臎するこずはずおも䞍思議です。

䞀方は敎数䞖界での堎合の総数であり
もう䞀方は円呚ず盎埄の比率であり
この䌌おも䌌぀かぬもの同士がかくも同じ数字の配列を持぀こず自䜓が驚き
桃ノ朚、山怒の朚、ブリキに狞に蓄音機です。

100個や1000個の調査ぐらいでは掎めない法則が
10^36個にも及ぶものを眺めおみれば䞀目瞭然です。

ご存知だった人は特に驚かれないでしょうが、円呚率は小孊校以来知っおはいたしたが
それ以䞊のものではなく、人生も終わりに近づく頃になっお初めお別の意味でその立ち姿
をたじたじず芋぀め盎す感芚です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAI様、おはようございたす。

倧発芋ですね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

x^2+y^2≩r^2 を満たす自然数の組 (x,y) の個数を N ずするずき、lim[r→∞] N/r^2 を求めよ。
  みたいな問題を解いたこずがあるんですが、あれはどこかの倧孊入詊だったか、それずも別の䜕かだったか。
栌子点ず原点䞭心の円を考えれば答えの予枬はすぐ立ちたすが、論蚌が非垞に面倒くさいずいう。

ずいうこずで結果は知っおいたしπが出おくるのも意倖ずも思わなかったのですが、私には別の点に驚きがありたした。
䞊蚘の問題を解いた圓時から「きっず 10^n たでやったら π をだいたい n 桁たで出せるんだろうな」ず予想しおいたのですが、そうでもないんですねこれ。
どういう収束速床なんだろう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

栌子点ず原点䞭心の円を考えれば答えの予枬はすぐ立ちたすが、論蚌が非垞に面倒くさいずいう。

ああ、思い出したモンテカルロ法で円呚率を求めるのがありたしたね。極めお、収束性の悪いプログラムであったような蚘憶がありたす。

違いたすhttps://manabitimes.jp/math/1182

GAI様のは、党然違うような・・・

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2023幎03月22日 12:52)

モンテカルロ法は正の実数 (x,y) を無䜜為に決めるや぀ですね。
私が蚀っおいるのは正の敎数 (x,y) を順番に党郚数え䞊げるや぀です。
そしお GAI さんのは正負問わず敎数 (x,y) を党郚数え䞊げるや぀。

私ず GAI さんのは笊号の違いの有無で玄 4 倍差が出たすが、ほがほが同じ問題です。
モンテカルロ法はたた違う話です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

調べおみたら、GAI さんや私の方法は「システマティック法」ず呌ばれるみたいですが、あんたり情報が出おきたせんね。

モンテカルロ法で n 個点を打っお求めた円呚率を α(n)、
システマティック法で x^2+y^2 ≩ n/4 の敎数解の個数から求めた円呚率を β(n)
システマティック法で x^2+y^2 ≩ n の自然数解の個数から求めた円呚率を γ(n)
ずするずき、
n→∞ 最も早く収束するのはどれなんでしょうね。
倚分 β(n) ず γ(n) は倉わらなさそうですが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ランダムのモンテカルロ法ずは、違うのですね。

党郚数え䞊げる方法なのですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈1711件 (投皿280, 返信1431)

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