もんだい
５台の機械で製品を作ると
５分間で
５個の製品が出来る。
では
１００台の機械を使って
１００個の製品を作るには何分かかるか？
こたえ ５分間
一瞬、仕事算かな と思わせる問題を
中学受験に出したら面白いかも。。。
正多面体は、五つあることが、知られています。
条件① すべての面が合同 ② 全ての頂点の次数が同じ
条件を、緩めると、他にもありますね。
三角形六枚で、六面体、①〇②×
サッカーボールの形（フラーレン）①×②×
準正多面体、正多面体から切断で生まれるもの
三角形だと、いくつでも、大きくつくれるのでしょうか？
無限にあるのでしょうか？ご教授ください。
すいません。
錘と柱は、いくつでも増やせますね！
2nCnと2nCn/4^nの分子部分がとても面白い関係性が成立していることがわかりました。
それが
2nCnの整数を素因数分解で2^r0*p1^r1*p2^r2*p3^r3･･･(p1,p2,p3,･･･は2以外の奇素数)
となっているとき
2nCn/4^nの分子部分はp1^r1*p2^r2*p3^r3･･･とすっかり上の素因数2^r0の部分が抜け落ちた
ものが現れることになる。
しかも2での指数r0はｎを2進法で表した時の1の使用回数(=hammingweight(n))が対応している。
(確認)
{2nCn/4^n}の数列の様子
gp > for(n=1,20,print1(binomial(2*n,n)/4^n","))
1/2,3/8,5/16,35/128,63/256,231/1024,429/2048,6435/32768,12155/65536,46189/262144,
88179/524288,676039/4194304,1300075/8388608,5014575/33554432,9694845/67108864,
300540195/2147483648,583401555/4294967296,2268783825/17179869184,
4418157975/34359738368,34461632205/274877906944,
したがってその分子部分は
1,3,5,35,63,231,429,6435,12155,46189,
88179,676039,1300075,5014575,9694845,
300540195,583401555,2268783825,
4418157975,34461632205,
そこで2nCnの値から2^r0=2^hammingweight(n)を取り除く操作で
2nCnの値(バイナリー表示を右にhammingweight(n)だけシフトさせる)
gp > for(n=1,20,print1(binomial(2*n,n)>>hammingweight(n)","))
1,3,5,35,63,231,429,6435,12155,46189,
88179,676039,1300075,5014575,9694845,
300540195,583401555,2268783825,
4418157975,34461632205,
ことで一致させられることになる。
更に驚いたことは、この数字が1/√(1-x)でのテイラー展開式
gp > taylor(1/sqrt(1-x),x)
%84 = 1 + 1/2*x + 3/8*x^2 + 5/16*x^3 + 35/128*x^4 + 63/256*x^5
+ 231/1024*x^6 + 429/2048*x^7 + 6435/32768*x^8 + 12155/65536*x^9 + 46189/262144*x^10 + 88179/524288*x^11 + 676039/4194304*x^12 + 1300075/8388608*x^13 + 5014575/33554432*x^14 + 9694845/67108864*x^15 + 300540195/2147483648*x^16 + 583401555/4294967296*x^17 + 2268783825/17179869184*x^18 + 4418157975/34359738368*x^19 + 34461632205/274877906944*x^20 +
O(x^21)
での各係数の分子に出現してしまうという思ってもいない繋がりを持つことでした。
二項係数の中央値である
Central binomial coefficients: binomial(2*n,n) = (2*n)!/(n!)^2 (;A000984)
がとても円周率πと密接な関係を保持していることが起こっていることに
なっている模様です。
次の無限級数和が起こりそうです。
2^2/(1*2C1)+2^3/(2*4C2)+2^4/(3*6C3)+･･･+2^(n+1)/(n*2nCn)+･･･=π
これを具体的な数値で示すと
2+2/3+4/15+4/35+16/315+16/693+32/3003+32/6435+256/109395+256/230945+･･･=π
が計算上成立するようです。
また少し形を変えて
2^4/(1*2C1^2), 2^8/(2*4C2^2), 2^12/(3*6C3^2),･･･, 2^(4n)/(n*2nCn^2),･･･
の一般項はn->ooでは
lim[n->oo]2^(4n)/(n*2nCn^2)=π
で成立の模様。
普通πとは
1-1/3+1/5-1/7+1/9-･･･=π/4
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+･･･=π^2/6
等で顏を表すことでしか親しんでいなかったので、新鮮な感覚に包まれました。
更に定積分とも繋がれて
π*2nCn=∫[x=-1->1](2*x)^(2n)/√(1-x^2)dx
も起こりそうです。
自明でない、二組の数について、
例 （２，２，９）と（１，６，６）
２＋２＋９＝１＋６＋６、2×２×９＝１×６×６
が成り立つ。
他に和と積が成り立つ組、二桁、三桁もありますか？
いくらでもありそうな感じですが、実際探索するといくらでもあります。
例えば
10+16+39=12+13+40=65
10*16*39=12*13*40=6240
100+108+119=102+105+120=327
100*108*119=102*105*120=1285200
らすかるさん、いつもありがとうございます。
３＋３＋１０＝２＋５＋９＝１６
３・３・１０＝２・５・９＝９０
３＋６＋８＝４＋４＋９＝１７
３・６・８＝４・４・９＝１４４
４＋１２＋５＝８＋３＋１０＝２１
４･１２・５＝８・３・１０＝２４０
どのように、求めたらいいのか分からなくて、
三ケタ、四ケタもあるんですね。
後、素因数が、２，３，５，７、１３、１７，がありますが、
１１も興味は尽きません。全ての素因数について、それを、含む
組もありそうですね。
４個組
１＋３＋４＋４＝２＋２＋２＋６＝１２
１･３・４・４＝２・２・２・６＝４８
５個組
１＋１＋３＋４＋４＝１＋２＋２＋２＋６＝１３
１・１・３・４・４＝１・２・２・２・６＝４８
1を足していけば、何個の組でも、作れそうですね。
両組に同じ数を使わない、と条件を変えればどうなるでしょうか？
6,7,8個の組も作れますか？
個数を、4個、から増やしていくことを、考えてみて、単純な解があり、条件を変えても、３個組と３個組を繋いでいけば、６個組ができるんですね。
５個組は、どうしたら、いいでしょうか？
果てしなく、続く問題ですが、難しくなります。
そうこうして、こんな、定理に出会いました。
素数の列で、等差になっているもの
長さ６のもの、7，37，67，97，127，157 等差が30
２００６年で、長さ26が最長
にも関わらず、Green-Tao 2004
素数のみから構成される任意の長さの等差数列が存在する。
具体的には見えないけれど、存在する。数学の力凄いです。
5個組は2個+3個でいいのでは？
> "ks"さんが書かれました:
> 素数の列で、等差になっているもの
> 長さ６のもの、7，37，67，97，127，157 等差が30
が面白かったので、その先を探してみた。
7個連続
[7, 157, 307, 457, 607, 757, 907]
[47, 257, 467, 677, 887, 1097, 1307]
[53, 1103, 2153, 3203, 4253, 5303, 6353]
8個連続
[61, 9931, 19801, 29671, 39541, 49411, 59281, 69151]
[73, 5953, 11833, 17713, 23593, 29473, 35353, 41233]
[103, 4723, 9343, 13963, 18583, 23203, 27823, 32443]
[199, 9439, 18679, 27919, 37159, 46399, 55639, 64879]
9個連続
[17, 6947, 13877, 20807, 27737, 34667, 41597, 48527, 55457]
[137, 8117, 16097, 24077, 32057, 40037, 48017, 55997, 63977]
10個連続
[199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089]
[443, 32783, 65123, 97463, 129803, 162143, 194483, 226823, 259163, 291503]
11個連続
[1619, 3413489, 6825359, 10237229, 13649099, 17060969, 20472839, 23884709, 27296579, 30708449, 34120319]
[3617, 213827, 424037, 634247, 844457, 1054667, 1264877, 1475087, 1685297, 1895507, 2105717]
12個連続
[18439, 33291679, 66564919, 99838159, 133111399, 166384639, 199657879, 232931119, 266204359, 299477599, 332750839, 366024079]
13個連続
[4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 605543, 665603, 725663]
探す範囲が予想もつかないので、適当な範囲でやっていますので、見落としているものもあるとは思われます。
14個以上に挑戦していましたが、自分で設定した範囲では探し出すことは出来ませんでいた。
何方か続き及び補充をお願いします。
検索していたら
146141+54444390*k
但し、0≤k≤13
が例示されていました。
OEISによれば
今みつかっている最も長い数列は次のものです。
A261152 - OEIS
https://oeis.org/A261152
> "Dengan kesaktian Indukmu"さんが書かれました:
> 検索していたら
> 146141+54444390*k
> 但し、0≤k≤13
> が例示されていました。
ありがとうございます。
次が見つからないはずだ。こんなにも初項が遠く離れているとは！
なお初項の数は偶数番目の素数を155個加えた値となることは偶然なのですかね？
gp > vector(155,i,prime(2*i))
%226 =
[3, 7, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 61, 71, 79, 89, 101, 107, 113, 131, 139,
151, 163, 173, 181, 193, 199, 223, 229, 239, 251, 263, 271, 281, 293, 311,
317, 337, 349, 359, 373, 383, 397, 409, 421, 433, 443, 457, 463, 479, 491,
503, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 619, 641, 647, 659, 673, 683,
701, 719, 733, 743, 757, 769, 787, 809, 821, 827, 839, 857, 863, 881, 887,
911, 929, 941, 953, 971, 983, 997, 1013, 1021, 1033, 1049, 1061, 1069, 1091,
1097, 1109, 1123, 1151, 1163, 1181, 1193, 1213, 1223, 1231, 1249, 1277, 1283,
1291, 1301, 1307, 1321, 1361, 1373, 1399, 1423, 1429, 1439, 1451, 1459, 1481,
1487, 1493, 1511, 1531, 1549, 1559, 1571, 1583, 1601, 1609, 1619, 1627, 1657,
1667, 1693, 1699, 1721, 1733, 1747, 1759, 1783, 1789, 1811, 1831, 1861, 1871,
1877, 1889, 1907, 1931, 1949, 1973, 1987, 1997, 2003, 2017, 2029, 2053]
gp > vecsum(%)
%227 = 146141
私も後で調べてみたら26個連続はA204189,A261140,A317163,A317164,A317255,A317259,A317914も見つかっているようですね。
また2019年4月に新たに発見され、連続27個のものがA327760に載っていました。
これって偶然範囲があえば新しき長さの等差数列素数を発見できるかも知れませんね。
お陰様で、五個の組が、見つかりました。
1＋4＋8＋9＋10＝2＋3＋5＋６＋16
1・4・8・9・10＝2・3・5・6・16
他にも、あるとは思いますが。
この問題では正方形になっていますが、実は長方形という条件でも解くことができます。
ポイントは AB と DM を左下方向に延長して交点を作ること。
愛知県公立高校入試はなぜか図形問題がやたら難しく、この長方形の外にはみ出す補助線の引き方がかなりの頻度で出題されます。
他の都道府県ではどうなんでしょう？
後半、そんなルートもあるんですね。
DP : PE = 1 : 4
DM : ME = 1 : 1
から
DP : PM : ME = 2 : 3 : 5
よって
△AMP = △AEP * (3/8) = 30
の方が模範解答にはよく使われる印象です。
2,3,5,7,11,13,17の7個の素数を辞書式に並べ直すと
11,13,17,2,3,5,7
となるのでこれを改めて
p1=11,p2=13,p3=17,p4=2,p5=3,p6=5,p7=7
と番号を振り付けると
全部で7個の素数ではp7=7
なる現象が発生する。
そこで
素数2から始め素数を全部でk個集め
それを辞書式順序にして番号を振り付け
p1,p2,･････,pk
とした時
pk=kなることが起こるｋをあと２つほど発見してほしい。
「あと２つ」が97と997で正しければ、その次は999…(9が139個)…9997つまり10^140-3かな？
（もしかしたらそれより小さいものがあるかも）
この3つを探した後はもう諦めていました。
どうして第4のとんでもないものを見つけられたのか？？？
もしかして
99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか？
999･･･････････････9997(=10^990-3)もありですか？
https://stdkmd.net/nrr/9/99997.htm#primeが参考になりました。
> "らすかる"さんが書かれました:
> 「あと２つ」が97と997で正しければ、その次は999…(9が138個)…9997つまり10^140-3かな？
> （もしかしたらそれより小さいものがあるかも）
これは
999…(9が139個)…9997でいいですよね？
すみません細かいことで
> 999…(9が139個)…9997でいいですよね？
おっしゃる通りです。単純に間違えました。
これは元記事を修正しました。
> 99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか？
それはNGです。
99999999999999997 番目の素数は
4185296581467695521 であり、
これ以下の素数で
999999999999999989
がありますので
99999999999999997は最後になりません。
999…(9が139個)…9997 (140桁) の場合は、
999…(9が139個)…9997 番目の素数は
32*********************** (143桁) という数であり、
999…(9が139個)…999 7x (141桁)
999…(9が139個)…999 8x (141桁)
999…(9が139個)…999 9x (141桁)
999…(9が139個)…999 7xx (142桁)
999…(9が139個)…999 8xx (142桁)
999…(9が139個)…999 9xx (142桁)
がすべて合成数であることが確認できたため、
999…(9が139個)…9997 は最後になり、条件を満たしています。
999･･･････････････9997(=10^990-3)の場合は、
999･･･････････････9997番目の素数が
約2.29×10^993であるため、
999･･･････････････9997x
999･･･････････････9998x
999･･･････････････9999x
999･･･････････････9997xx
999･･･････････････9998xx
999･･･････････････9999xx
999･･･････････････9997xxx
999･･･････････････9998xxx
999･･･････････････9999xxx
がすべて合成数であることが確認できればOKになりますが、
対象が結構多いので素数が含まれているのではないかという気がします。
「もしかしたらより小さいのがあるかも」というのは、
999･･････････991
などで条件を満たすものがもしあれば、という意味ですが、
末尾が1であるため確率的に低いと思い、未調査です。
これだけなら調査することはできますが、
n桁の最後が
999･･････････989 とか
999･･････････983 とか
999･･････････979
のような場合など考えると大変そうなので調査はやめました。
gp > for(i=70,99,if(isprime(10^2*(10^989-1)+i)==1,print1(10^2*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=700,999,if(isprime(10^3*(10^989-1)+i)==1,print1(10^3*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=7000,9999,if(isprime(10^4*(10^989-1)+i)==1,print1(10^4*(10^989-1)+i",")))
に対し何の反応も起きなかった。
一応下の989桁のものでもちゃんと素数と判定してくれる。
gp > isprime(10^990-3)
%53 = 1
即ち
10^990-3番目に出現する素数(994桁の2が頭にある素数)
より前にある素数で10^990-3より大きな素数は一個も存在しないと判定され、結局辞書式順序の最後に並ぶ。
よって求めるkの値として
10^140-3の次に10^990-3も認められる。
この判定でいいのでしょうか？
なお危なく次の素数が出現するも、10^990-3より前に辞書式順序では位置してくれるようです。
999･･･(9が989個)･･･999199
999･･･(9が989個)･･･999329
999･･･(9が989個)･･･9993893
そうですね、10^17-3で試すとちゃんと素数が表示されますので、問題ないと思います。
６／２更新 「素朴な長さの計算９」
ＡＢ＝４と決まったところで、
この円の半径を求めることは可能でしょうか。
AB=AC=4、∠ABC≦30°である二等辺三角形ABCを適当に描く。
∠ABC≦30°なのでBC上にAE=2、∠AEB≧90°である点Eをとることができる。
このとき△ABCの外接円を描いてその円と直線AEとの交点のうち
Aでない方をDとすると、DE=6となる。
ということと同じですから、円の半径は「4以上」としか決まらず、求めることはできません。
らすかるさん
有難うございます。
一つだけ求める方法があります。
それは、この図を正確に書いて、定規で測る。
正確に書けている自身はありませんが
約５ですね。
こんな方法も「有り」かな？
計算で求めることが出来ないのなら最後の手段。。。
ブーイングが来そう（＾＾；
らすかるさん
昨日は超勘違い・超恥ずかしいことを書いてしまいました。
この場合、半径は定まらなく無数にあるのですね。
大変、お恥ずかしい限りです。
次元 表面積 体積？
２次元 ２πｒ πｒ^2
３次元 ４πｒ^２ 4πｒ^３/3
４次元 2π^２ｒ^３ π^２ｒ^４/2
５次元 8π^２ｒ^４/3 ８π^２ｒ^５/15
６次元 π^３ｒ^5 π^３ｒ^6/6
７次元 １６π^３ｒ^６/15 １６π^３ｒ^７/105
重積分で、求めてみました。
A005021が縦線が6本の時、横線を合計n本引いた時のあみだくじのパターン数として
このサイトに繋がって、そこではRandom Walksの解説となっていたことに興味を持ち
どんな内容なのか読んでみると
P_6と呼ばれる道（直線上6点A,B,C,D,E,Fが並んでいる。）
をAから出発し2*n+5(歩)にてFの地点に到着する酔歩のコースが何通りできるか？
ということらしい。
n=1なら全部で7歩なので、次の5コースがあるという。
1;[A, B, A, B, C, D, E, F]
2;[A, B, C, B, C, D, E, F]
3;[A, B, C, D, C, D, E, F]
4;[A, B, C, D, E, D, E, F]
5;[A, B, C, D, E, F, E, F]
そこでn=2なら全部で9歩なので、全コースを構成してみた。
1;[A, B, A, B, A, B, C, D, E, F]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D, E, F]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D, E, F]
4;[A, B, A, B, C, D, E, D, E, F]
5;[A, B, A, B, C, D, E, F, E, F]
6;[A, B, C, B, A, B, C, D, E, F]
7;[A, B, C, B, C, B, C, D, E, F]
8;[A, B, C, B, C, D, C, D, E, F]
9;[A, B, C, B, C, D, E, D, E, F]
10;[A, B, C, B, C, D, E, F, E, F]
11;[A, B, C, D, C, B, C, D, E, F]
12;[A, B, C, D, C, D, C, D, E, F]
13;[A, B, C, D, C, D, E, D, E, F]
14;[A, B, C, D, C, D, E, F, E, F]
15;[A, B, C, D, E, D, C, D, E, F]
16;[A, B, C, D, E, D, E, D, E, F]
17;[A, B, C, D, E, D, E, F, E, F]
18;[A, B, C, D, E, F, E, D, E, F]
19;[A, B, C, D, E, F, E, F, E, F]
この様につぎはn=3での11歩でのコースづくりをやれば全部で66コース
同じくn=4での13歩での221コース
n=5での15歩での728コース
････････････
とここに載せられている数のコースが次々と判明するということになっている様だ。
まさか、あみだくじが酔っ払いの歩き方と繋がっているとは夢にも思わなかった。(似てなくもないか？)
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