😊出会いの泉😊

Dengan kesaktian Indukmuさん
ご返信ありがとうございます。
>P を 4 で割ったときの余りが 3 のときは大丈夫ですか？
Pを４で割った余りが１でないと、今のところ計算出来ません。

あっすみません、
勘違いして自明な質問をしてしまっていたため削除したところなのでした。
お詫びいたします。

Dengan kesaktian Indukmuさん
了解いたしました
また、ご質問等あればお待ちしております。^v^

お試しですが。

条件【※ただしaは3以上の奇数、bは(2×(aの桁数)＋1)桁以上の偶数】での、桁数の縛りについては確かめておりませんけれども、奇数^2 +偶数^2 であることを個人的には確かめた気持ちになっている以下のPをお願いします。下記のPについては素因数分解の結果を知っております。

P = 10^110 +1
桁数のオーダーが甘くてすみません。

Dengan kesaktian Indukmuさん
>P = 10^110 +1
P=(10^55)^2+1^2
= 89 × 101 × 661 × 3541 × 18041 × 27961 × 148721 × 1052788969 × 1056689261 × 1121407321 × 1395900370 916327245555441901 × 36380545029953205956377406702261
ですかね（素因数分解は他力で行いましたw）

aがn桁、bが2n+1桁以上ならば
10^(n-1)≦a＜10^n, b≧10^(2n)
となり
(b+1)^2-(b^2+a^2)=2b+1-a^2＞2・10^(2n)+1-10^(2n)=10^(2n)+1＞0
から
(b+1)^2＞a^2+b^2＞b^2
なので
b=[√P]　（[　]はガウス記号）
でbが求まりますね。
上記はa,bの偶奇と関係ありませんので、
「bが(2×(aの桁数)+1)桁以上」という条件さえあれば、
a,bの偶奇にかかわらず求められると思います。

らすかるさん
ご返信ありがとうございます
さすらすです！
（流石らすかるさんの略w）

私の場合aから求める方法を試していたので
ご指摘には目から鱗です
ありがとうございます。

[2114] で私が依拠したのは以下の定理なのでした。


合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方（冪指数が偶数）になっていることである。


素因数分解して上を確認できる大きな数を探したのです。
そうしたら自明なものになってしまっていました。申し訳ないことです。

Dengan kesaktian Indukmuさん
了解いたしました。

らすかるさんの方法を応用して
桁数差を減らす事は可能でしょうか
例えば
「bが(2×(aの桁数))桁以上」
「bが(2×(aの桁数)-1)桁以上」
等a,bの桁数差を減らす事は可能でしょうか。

なぜ十進数で桁数を？
と初見で感じました。
私も期待しています。

上に書いた方法は要は(b+1)^2-(b^2+a^2)=2b+1-a^2＞0であれば良いので
a^2＜2b+1すなわちa^2≦2bであればb=[√P]が成り立ちます。
bが2n桁でも良いようにするためには、例えばb+1をb+5に変えると
(b+5)^2-(b^2+a^2)=10b+25-a^2＞0すなわちa^2＜10b+25
→b＜√P＜b+5すなわち[√P]-5＜b≦[√P]
つまりbは[√P],[√P]-1,[√P]-2,[√P]-3,[√P]-4のどれかなので
この5個で計算してみればbが2n桁の場合も対応できるようになります。
同様に[√P]～[√P]-49の50個で計算すればbが2n-1桁でもOK、
[√P]～[√P]-499の500個で計算すればbが2n-2桁でもOKのようになりますが、
巨大数でbを(定数)桁縮めたところであまり意味はないような気がします。

らすかるさん
詳しい解説有難うございます
やはり難しい事を再確認いたしました
自分なりにまた考えてみたいと思います
ありがとうございました。

2544通りですか？

正解です。

X,Y,Z,Wの銘柄を1回ずつ飲むと100+200+300+400=1000円で、残りの500円を分配する方法は、
XW,YZ,XXZ,XYY,XXXY,XXXXXの6つの場合があり、
XYZWとXWの場合、6!/(2!*1!*1!*2!)=180通り
XYZWとYZの場合、6!/(1!*2!*2!*1!)=180通り
XYZWとXXZの場合、7!/(3!*1!*2!*1!)=420通り
XYZWとXYYの場合、7!/(2!*3!*1!*1!)=420通り
XYZWとXXXYの場合、8!/(4!*2!*1!*1!)=840通り
XYZWとXXXXXの場合、9!/(6!*1!*1!*1!)=504通り
より、合計180+180+420+420+840+504=2544通り

これを一般化して
n(円)の資金をもって
毎日単価が1,2,3,･･･,k (円) ただしk<n
の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたとき、少なくとも全銘柄のビールは飲んだことが起こる
お金の使い方の方法は総計どれだけ？
これを明示式で示せるか？
またはこれを読み取れる母関数は作れるのか？
ちなみに
k=2のとき
gf=1+1/(1-x-x^2)-1/(1-x)-1/(1-x^2)
k=3のとき
gf= x^6/(1-x-x^2-x^3)*(1/((1-x)*(1-x-x^2))+1/((1-x^2)*(1-x-x^2))+1/((1-x)*(1-x-x^3))+1/((1-x^3)*(1-x-x^3))+1/((1-x^2)*(1-x^2-x^3))+1/((1-x^3)*(1-x^2-x^3)))

k=4のときの母関数は如何に？
どなたかヒントを

>n(円)の資金をもって
>毎日単価が1,2,3,･･･,k (円) ただしk<n
>の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
>資金を使い果たしたとき、少なくとも全銘柄のビールは飲んだことが起こる
>お金の使い方の方法は総計どれだけ？
>これを明示式で示せるか？

お金の使い方の総数をa(n)とすると、a(n)は次の式で計算できます。
a(n)=[x^n](∫_[z=0,∞]exp(-z)*Π[j=1～k](exp(x^j*z)-1)dz)．

例えばk=4の場合：
exp(-z)*Π[j=1～4](exp(x^j*z)-1)を展開すると、次のようになります。
exp(-z)*Π[j=1～4](exp(x^j*z)-1)
=exp(-z)*(exp(x*z)-1)*(exp(x^2*z)-1)*(exp(x^3*z)-1)*(exp(x^4*z)-1)
=exp((-1+x+x^2+x^3+x^4)*z)
-exp((-1+x+x^2+x^3)*z)-exp(-1+x+x^2+x^4)-exp(-1+x+x^3+x^4)-exp(-1x^2+x^3+x^4)
+exp((-1+x+x^2)*z)+exp((-1+x+x^3)*z)+exp((-1+x+x^4)*z)+exp((-1+x^2+x^3)*z)+exp((-1+x^2+x^4)*z)+exp((-1+x^3+x^4)*z)
-exp((-1+x)*z)-exp((-1+x^2)*z)-exp((-1+x^3)*z)-exp((-1+4)*z)
+exp((-1)*z).

この展開式をz=0～∞の範囲で積分すればxの有理関数が得られます。
その有理関数をマクローリン展開したときのx^nの係数がa(n)です。
a(n)
=[x^n](-1/(-1+x+x^2+x^3+x^4)
+1/(-1+x+x^2+x^3)+1/(-1+x+x^2+x^4)+1/(-1+x+x^3+x^4)+1/(-1+x^2+x^3+x^4)
-1/(-1+x+x^2)-1/(-1+x+x^3)-1/(-1+x+x^4)-1/(-1+x^2+x^3)-1/(-1+x^2+x^4)-1/(-1+x^3+x^4)
+1/(-1+x)+1/(-1+x^2)+1/(-1+x^3)+1/(-1+x^4)
-1/(-1)).

atさん凄いです。
仕方なくn=10から20までの数値をひとつずつ算出して（御蔭で結果的に１ヵ所計算ミスを起こしていることを発見)
k=3での母関数を真似して色々試していたんですがそのすべてが弾かれてしまい、途方に暮れていました。
最初の項だけが一致しているが後は無駄な努力でした。
積分の力で解決されるとは思ってもない道筋でした。
最終型は集合の要素の個数を求める式に類似していますね。（結構覚え易い)
ということはk=3での母関数gfはよりスッキリした
1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2)-1/(1-x-x^3)-1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x)+1/(1-x^2)+1/(1-x^3)-1
でも可能というわけですね。

世の中には物事の本質を見事に掴んでしまう人がいることに感激です。
目から鱗でこんな一般式まで分かってしまうことが驚異でうれしいです。
大変ありがとうございました。
母関数の形にしなくてもコンピュータで数値だけ求めたいなら直接積分型から
gp > F(k)=intnum(z=0,[oo,1],exp(-z)*prod(j=1,k,exp(x^j*z)-1))
で定義しておけばk=9での値は
gp > for(n=45,60,print(n";"round(polcoeff(F(9),n))))
45;362880
46;1814400
47;8467200
48;31752000
49;110255040
50;352416960
51;1073580480
52;3125969280
53;8808347520
54;24105906720
55;64431521280
56;168662148480
57;433730626560
58;1097903933280
59;2740858737120
60;6757827995520
等で一発で求まっていくのですね。（あのめんどくさい作業が夢のようです。)

毎日単価が1円か2円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲むときの場合の数の生成関数については、

1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…=1/(1-x-x^2)

で表され、少なくとも両銘柄のビールを飲んだときの場合の数の生成関数については、

(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…)-(1+x+x^2+…)-(1+x^2+x^4+…)+1
=1/(1-x-x^2)-1/(1-x)-1/(1-x^2)+1

で表されます。

(x+x^2)^m=C(m,0)x^m+C(m,1)x^(m+1)+...+C(m,j)x^(m+j)+...+C(m,m)x^(2m)

なので、n(円)の資金をもって毎日単価が1円か2円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数は、

Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k)

で表され、少なくとも両銘柄のビールを飲んだときの場合の数については、

n=2q+1のとき
Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k) - C(n,0)

n=2qのとき
Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k) - C(n,0) -C(q,q)

となります。F(n)=Σ_{k=0～floor(n/2)}C(n-k,k)とすると、
F(1)=1,F(2)=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2)
となって、F(n)はフィボナッチ数列となります。少なくとも両銘柄のビールを飲んだときの場合の数については、
n=2q+1のときF(n)-1、n=2qのときF(n)-2となります。

毎日単価が1円,2円,3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲むときの場合の数の生成関数については、

1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+…=1/(1-x-x^2-x^3)

で表され、少なくとも全銘柄のビールを飲んだときの場合の数の生成関数については、

(1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+…)
-(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…)-(1+(x+x^3)+(x+x^3)^2+…)-(1+(x^2+x^3)+(x^2+x^3)^2+…)
+(1+x+x^2+…)+(1+x^2+x^4+…)+(1+x^3+x^6+…)-1
=1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2)-1/(1-x-x^3)-1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x)+1/(1-x^2)+1/(1-x^3)-1

で表されます。

2項係数C(n,k)に倣って3項係数C(n,k1,k2)=n!/(k1!k2!(n-k1-k2)!)を用いると、

(x+x^2+x^3)^m=Σ_{k1≧0,k2≧0,k1+k2≦m}C(m,k1,k2)[x^(m-k1-k2)*x^(2*k1)*x^(3*k2)]

なので、n(円)の資金をもって毎日単価が1円,2円,3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数は、

T(n)=Σ_{i=0～floor(n/2),j=0～floor(n/3),i+j≦n}C(n-i-j,i,j)

で表され、T(1)=1,T(2)=2,T(3)=4,T(n)=T(n-1)+T(n-2)+T(n-3)というトリボナッチ数列となります。

n(円)の資金をもって毎日単価が1円か3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数については、

(x+x^3)^m=C(m,0)x^m+C(m,1)x^(m+2)+...+C(m,j)x^(m+2*j)+...+C(m,m)x^(3m)

より、

n=1のときC(1,0)
n=2のときC(2,0)
n=3のときC(3,0)+C(1,1)
n=4のときC(4,0)+C(2,1)
n=5のときC(5,0)+C(3,1)
n=6のときC(6,0)+C(4,1)+C(2,2)
n=7のときC(7,0)+C(5,1)+C(3,2)
n=8のときC(8,0)+C(6,1)+C(4,2)

となって、一般には、

Σ_{k=0～floor(n/3)}C(n-2*k,k)

で表され、Σ_{k=0～floor(n/3)}C(n-2*k,k)=G(n+1)とすると、
G(1)=1,G(2)=1,G(3)=2,G(n)=G(n-1)+G(n-3)となって、これはナラヤナ数列(Narayana sequence)といいます。

n(円)の資金をもって毎日単価が2円か3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたときのお金の使い方の方法の数については、

(x^2+x^3)^m=C(m,0)x^2m+C(m,1)x^(2m+1)+...+C(m,j)x^(1m+j)+...+C(m,m)x^(3m)

より、

n=2のときC(1,0)
n=3のときC(1,1)
n=4のときC(2,0)
n=5のときC(2,1)
n=6のときC(3,0)+C(2,2)
n=7のときC(3,1)
n=8のときC(4,0)+C(3,2)
n=9のときC(4,1)+C(3,3)
n=10のときC(5,0)+C(4,2)
n=11のときC(5,1)+C(4,3)
n=12のときC(6,0)+C(5,2)+C(4,4)

となって、一般には、

Σ_{ceil(n/3)≦k≦floor(n/2)}C(k,n-2*k)

で表され、これをH(n)とすると、H(2)=1,H(3)=1,H(4)=1,H(n)=H(n-2)+H(n-3)
となって、これはパドヴァン数列(Padovan sequence)といいます。

n(円)の資金をもって毎日単価が1円,2円,3円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲んでいき
資金を使い果たしたとき、少なくとも全銘柄のビールを飲んだときのお金の使い方の方法の数については、

T(n)-F(n)-G(n)-H(n)+r(n)
r(n)=3(n mod 6=0),1(n mod 6=1,5),2(n mod 6=2,3,4)

となります。n=1～10で、

T(n) 1,2,4,7,13,24,44,81,149,274
F(n) 1,2,3,5, 8,13,21,34, 55, 89
G(n) 1,1,2,3, 4, 6, 9,13, 19, 28
H(n) 0,1,1,1, 2, 2, 3, 4, 5, 7

となりますが、T(n)-F(n)-G(n)-H(n)+r(n)は、n=1～10で、
0,0,0,0,0,6,12,32,72,152となります。

毎日単価が1円,2円,3円,4円の各ビールの銘柄をどれか一つずつ毎日飲むときの場合の数の生成関数については、

1+(x+x^2+x^3+x^4)+(x+x^2+x^3+x^4)^2+…=1/(1-x-x^2-x^3-x^4)

で表され、少なくとも全銘柄のビールを飲んだときの場合の数の生成関数については、

(1+(x+x^2+x^3+x^4)+(x+x^2+x^3+x^4)^2+…)
-(1+(x+x^2+x^3)+(x+x^2+x^3)^2+…)-(1+(x+x^2+x^4)+(x+x^2+x^4)^2+…)
-(1+(x+x^3+x^4)+(x+x^3+x^4)^2+…)-(1+(x^2+x^3+x^4)+(x^2+x^3+x^4)^2+…)
+(1+(x+x^2)+(x+x^2)^2+…)+(1+(x+x^3)+(x+x^3)^2+…)+(1+(x^2+x^3)+(x^2+x^3)^2+…)
+(1+(x+x^4)+(x+x^4)^2+…)+(1+(x^2+x^4)+(x^2+x^4)^2+…)+(1+(x^3+x^4)+(x^3+x^4)^2+…)
-(1+x+x^2+…)-(1+x^2+x^4+…)-(1+x^3+x^6+…)-(1+x^4+x^8+…)+1
=1/(1-x-x^2-x^3-x^4)
-1/(1-x-x^2-x^3)-1/(1-x-x^2-x^4)-1/(1-x-x^3-x^4)-1/(1-x^2-x^3-x^4)
+1/(1-x-x^2)+1/(1-x-x^3)+1/(1-x^2-x^3)+1/(1-x-x^4)+1/(1-x^2-x^4)+1/(1-x^3-x^4)
-1/(1-x)-1/(1-x^2)-1/(1-x^3)-1/(1-x^4)
+1

で表されます。

比べてみたらとても興味深かったです。↓↓↓

https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/108/108-7.pdf

11での和の完全な分割は、

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,6
1,1,1,4,4
1,1,3,3,3
1,1,3,6
1,2,2,2,2,2
1,2,2,6
1,2,4,4

の8通りで、12での積の分割も、

12,2*6,6*2,3*4,4*3,2*2*3,2*3*2,3*2*2

の8通り。

23での和の完全な分割は、

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,12
1,1,1,1,1,1,1,8,8
1,1,1,1,1,6,6,6
1,1,1,1,1,6,12
1,1,1,4,4,4,4,4
1,1,1,4,4,12
1,1,1,4,8,8
1,1,3,3,3,3,3,3,3
1,1,3,3,3,12
1,1,3,6,6,6
1,1,3,6,12
1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2
1,2,2,2,2,2,12
1,2,2,2,8,8
1,2,2,6,6,6
1,2,2,6,12
1,2,4,4,4,4,4
1,2,4,4,12
1,2,4,8,8

の20通りで、24での積の分割も、

24,2*12,12*2,3*8,8*3,4*6,6*4,
2*2*6,2*6*2,6*2*2,
2*3*4,2*4*3,3*2*4,3*4*2,3*4*2,4*3*2
2*2*2*3,2*2*3*2,2*3*2*2,3*2*2*2

の20通り。

1+x+x^2+…+x^11を係数が非負整数となるように因数分解すると、
1+x+x^2+…+x^11
=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x^6)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x^4+x^8)
=(1+x+x^2)(1+x^3+x^6+x^9)
=(1+x+x^2)(1+x^3)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10)
=(1+x)(1+x^2+x^4)(1+x^6)
=(1+x)(1+x^2)(1+x^4+x^8)
の8通りの形で表すことができますが、このことと関係あるのでしょうか。

なるほど
この完全分割はこの展開式と繋がれるんですね。
ですから2つとも自然数nの素因数分解形のタイプをもって一つ違いの自然数で
和の完全分割と積の分割方法が同じ数値を取っていける。

<n(型)>; <積の分割方法>;<和の完全分割方法>;
1 ; 1; 1;
2(p) ; 1; 1;
3(p) ; 1; 2;
4(p^2) ; 2; 1;
5(p) ; 1; 3;
6(p*q) ; 3; 1;
7(p) ; 1; 4;
8(p^3) ; 4; 2;
9(p^2) ; 2; 3;
10(p*q); 3; 1;
11(p) ; 1; 8;
12(p^2*q); 8; 1;
13(p) ; 1; 3;
14(p*q); 3; 3;
15(p*q); 3; 8;
16(p^4); 8; 1;
17(p) ; 1; 8;
18(p^2*q); 8; 1;
19(p) ; 1; 8;
20(p^2*q); 8; 3;
21(p*q); 3; 3;
22(p*q); 3; 1;
23(p) ; 1; 20;
24(p^3*q); 20; 2;
･････････････

以下素因数分解型と<積の分割方法>とは一対一の対応が付きそうだが
上の例にもある様に
p^2*q型とp^4型は同じ値の8を取ってしまう。
他にも
p^6*q型とp^9型は同じ値256となってしまう。
そこで今度は
そのような分解型が異なっても同じ値を取ってしまう2組をこれ以外に
探してほしい。

p^nの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置する
方法の数と等しくなるので、

1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1)=2^(n-1)

より、2^(n-1)通り。

p^n*qの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
qを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なるので、

3+5*C(n-1,1)+7*C(n-1,2)+...+(2*n+1)*C(n-1,n-1)
=3*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+2*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
=3*2^(n-1)+(n-1)*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)

より、(n+2)*2^(n-1)通り。

p^mの積の分割の数2^(m-1)とp^n*qの積の分割の数(n+2)*2^(n-1)が等しくなるのは、

(n+2)*2^(n-1)=2^(m-1)
n+2=2^(m-n)

より、n=2^k-2(k≧2)のときで、このとき、m=n+k=2^k+k-2
k=2のとき(m,n)=(4,2)、k=3のとき(m,n)=(9,6)であり、以下、
k=4のとき(m,n)=(18,14)、k=5のとき(m,n)=(35,30)、…となる。

p^n*q^2の積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
2個のqを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なり、さらに、両端と区切り上に2個配置する場合は、2個のqを分割して配置する場合と
分割せずに配置する場合があるのでので、方法の数は、

(C(4,2)+2)+(C(5,2)+3)*C(n-1,1)+(C(6,2)+4)*C(n-1,2)
+...+(C(n+3,2)+n+1)*C(n-1,n-1)
=8*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+(9/2)*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+(1/2)*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=8*2^(n-1)+(9/2)*(n-1)*2^(n-2)+(1/2)*n(n-1)*2^(n-3)
=(n^2+17*n+46)*2^(n-4)

より、(n^2+17*n+46)*2^(n-4)通り。

p^n*q*rの積の分割の数は、n個のpを並べたときに、(n-1)個の隙間に区切りを配置し、
さらに、k個の区切りを配置して、n個のpを(k+1)個のグループに分割したときに、
q,rを両端か、(k+1)個のグループ内か、k個の区切り上に配置する方法の数と等しく
なり、さらに、両端と区切り上にq,rを配置する場合は、q*rとして配置する場合と、
r*qとして配置する場合と、分割せずに配置する場合があるので、方法の数は、

(3^2+2*2)+(5^2+2*3)*C(n-1,1)+(7^2+2*4)*C(n-1,2)
+...+((2*n+1)^2+2*(n+1))*C(n-1,n-1)
=13*(1+C(n-1,1)+C(n-1,2)+...+C(n-1,n-1))
+14*(C(n-1,1)+2*C(n-1,2)+...+(n-1)*C(n-1,n-1))
+4*(C(n-1,1)+2^2*C(n-1,2)+...+(n-1)^2*C(n-1,n-1))
=13*2^(n-1)+7*(n-1)*2^(n-1)+n(n-1)*2^(n-1)
=(n^2+6*n+6)*2^(n-1)

より、(n^2+6*n+6)*2^(n-1)通り。

p^n*q^2、p^n*q*rの場合も調べてみましたが、p^n、p^n*qの場合と等しくなる例は
みつかりませんでした。p^n*q^2とp^n*q*rの相互間でもみつかりませんでした。

ご考察ありがとうございます。
この様に式で評価していけるもんなんですね。
自分はひたすら可能な限りでp^a;p^b*q (p=2,q=3で処理）で同じ数値が現れる部分を
拾い集めて
(a,b)=(4,2),(9,6),(18,14),(35,30),(68,62)
まで何とかあつめてみました。

見ていると{a}と{ｂ｝は2,3,4,5,6の差で結ばれているし
4=2^2,9=2^3+1,18=2^4+2,35=2^5+3,68=2^6+4
が見えてきたのでn=1,2,3,･････
a(n)=2^(n+1)+n-1
b(n)=2^(n+1)-2
これを元に先を拾うと
(a,b)=(133,126),(262,254),(519,510),(1032,1022),(2057,2046),････････････
と無限に重なる部分は存在していることになる。

当初の目的は自然数nを素因数分解した時に素数には影響されずその素因数タイプ（指数部分での分類)
をある数値と一対一に当てはめたいのであるが、前々回の調査での
<積の分割方法>;<和の完全分割方法>
のどちらを使っても、上記の重複が起こってしまう。
A034776;Gozinta numbers（A074206で現れる数列をソートして並べたもの)
これに対しIndukmuさんが提示した
0~ｎ^2-1の数字をただ一通りだけn個の要素を持つ２つの集合の和でできる可能性を与える
A273013での数値を使えば
p^4→35
p^2*q→42　;A034776ではどちらも8の値をとる。

p^9→24310
p^6*q→28644　　;A034776ではどちらも256の値をとる。

p^18→4537567650
p14*q→5094808200 ;A034776ではどちらも131072の値をとる。

p^35→ 56093138908331422716
p^30*q→60433201179644187664 ;A034776ではどちらも17179869184の値をとる。

･･････････････････

以下下の式を利用して値が定まっていく。
＊これらの計算ではどんな素数p,qでも
p^a→binomial(2*a,a)/2
p^b*q→(b^2+4*b+2)*binomial(2*b.b)/2
が使える。
A273013参照

と重なる値は分かれて行き、すべての素因数分解でのタイプは
この数値で一対一の対応が出来ることになれると思われます。
なお
n=2～1000までの数字を分類したものが
nの代表 ;素因数のタイプ ;指標の値(A277013で決まる値)　　
2 ;[1]~(p) ;1　(他の素数もすべて)
4 ;[2]~(p^2) ;3　(9,25,49,･･･など)
6 ;[1, 1]~(p*q) ;7 (10,14,15,･･･など)
8 ;[3]~(p^3) ;10 (27,125,343,･･･など)
16 ;[4]~(p^4) ;35
12 ;[2, 1]~(p^2*q) ;42
30 ;[1, 1, 1]~(p*q*r);115
32 ;[5]~ 以下同様 ;126
24 ;[3, 1]~ ;230
36 ;[2, 2]~ ;393
64 ;[6]~ ;462
60 ;[2, 1, 1]~ ;1158
48 ;[4, 1]~ ;1190
128 ;[7]~ ;1716
72 ;[3, 2]~ ;3030
210 ;[1, 1, 1, 1]~ ;3451
96 ;[5, 1]~ ;5922
256 ;[8]~ ;6435
120 ;[3, 1, 1]~ ;9350
180 ;[2, 2, 1]~ ;16782
144 ;[4, 2]~ ;20790
192 ;[6, 1]~ ;28644
216 ;[3, 3]~ ;30670
420 ;[2, 1, 1, 1]~ ;52422
240 ;[4, 1, 1]~ ;66290
288 ;[5, 2]~ ;131796
384 ;[7, 1]~ ;135564
360 ;[3, 2, 1]~ ;180990
432 ;[4, 3]~ ;264740
900 ;[2, 2, 2]~ ;334833
480 ;[5, 1, 1]~ ;430794
840 ;[3, 1, 1, 1]~ ;583670
768 ;[8, 1]~ ;630630
576 ;[6, 2]~ ;788634
720 ;[4, 2, 1]~ ;1636740
864 ;[5, 3]~ ;2050020
960 ;[6, 1, 1]~ ;2628780
で分類されていく。

p^n*qをk個の約数に順序を区別して分割する方法の数をb_1,b_2,b_3,…,b_n,b_(n+1)とすると、
不分割の場合はいうまでもなくb_1=1で、
2分割の場合は、n個のpを2グループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpが不分割で両端のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_2=2*C(n-1,1)+2=2*C(n,1)
3分割の場合は、n個のpを3グループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを2グループに分割して両端と間の1個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_3=3*C(n-1,2)+3*C(n-1,1)=3*C(n,2)
…
k分割の場合は、n個のpをkグループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを(k-1)グループに分割して両端と間の(k-2)個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_k=k*C(n-1,k-1)+k*C(n-1,k-2)=k*C(n,k-1)
…
n分割の場合は、n個のpをnグループに分割してqをいずれかのグループに配置する場合と、
n個のpを(n-1)グループに分割して両端と間の(n-2)個の隙間のいずれかにqを配置する場合があるので、
b_n=n*C(n-1,n-1)+n*C(n-1,n-2)=n*C(n,n-1)
(n+1)分割の場合は、n個のpをnグループに分割して両端と間の(n-1)個の隙間のいずれかにqを配置する場合のみなので、
b_(n+1)=(n+1)*C(n-1,n-1)=(n+1)*C(n,n)
となります。
p^n*qをk個の約数に順序を区別して分割する方法の数はb_1+b_2+b_3+…+b_n+b_(n+1)なので、
b_1+b_2+b_3+…+b_n+b_(n+1)
=1+2*C(n,1)+3*C(n,2)+…+k*C(n,k-1)+…+n*C(n,n-1)+(n+1)*C(n,n)
=(1+C(n,1)+…+C(n,n))+(C(n,1)+2*C(n,2)+…+n*C(n,n))
=2^n+n*2^(n-1)=(n+2)*2^(n-1)
となります。

0～N^2-1の数字をただ一通りだけN個の要素を持つ2つの集合の和でできる可能性を与えるA273013での数値は、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)なので、
N=p^n*qの場合、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[b_1^2+(b_1+b_2)^2+(b_2+b_3)^2+…+(b_n+b_(n+1))^2+b_(n+1)^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+1)^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+…+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2+…+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
=(1/2)*[1^2+(2*C(n,1)+C(n,0))^2+(3*C(n,2)+2*C(n,1))^2
+…+(k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2))^2
+…+(n*C(n,n-1)+(n-1)*C(n,n-2))^2
+((n+1)*C(n,n)+n*C(n,n-1))^2+((n+1)*C(n,n))^2]
ですが、
k*C(n,k-1)+(k-1)*C(n,k-2)
=k*n!/(n-k+1)!/(k-1)!+(k-1)*n!/(n-k+2)!/(k-2)!
=k*(n-k+2)*n!/(n-k+2)!(k-1)!+(k-1)^2*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!
=(n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1)
より、
b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)*[1^2+((2*n+1)^2+…+((n*k+1)*n!/(n-k+2)!/(k-1)!)^2+…+(n^2+n+1)^2+(n+1)^2)]
=(1/2)*[(n+1)/(n+1)*C(n+1,0)^2+((n*2+1)/(n+1)*C(n+1,1))^2+…+((n*k+1)/(n+1)*C(n+1,k-1))^2
+((n*(k+1)+1)/(n+1)*C(n+1,k))^2+…+((n^2+n+1)/(n+1)*C(n+1,n))^2+((n^2+2n+1)/(n+1)*C(n+1,n+1))^2]
となります。

(1+x)^m*(1+x)^(n-m)=(1+x)^nのx^kの係数を比較すると、
C(m,0)*C(n-m,k)+…+C(m,k)*C(n-m,0)=C(n,k)で、n=2m,k=mとすると、
C(m,0)*C(m,m)+…+C(m,m)*C(m,0)=C(m,0)^2+…+C(m,m)^2=C(2m,m)

(d/dx)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(1+x)^(m-1)*(1+x)^(n-m)=m*(1+x)^(n-1)のx^kの係数を比較すると、
C(m,1)*C(n-m,k)+2*C(m,2)*C(n-m,k-1)+…+k*C(m,k)*C(n-m,1)+(k+1)*C(m,k+1)*C(n-m,0)=m*C(n-1,k)で、n=2m,k=mとすると、
C(m,1)*C(m,m-1)+2*C(m,2)*C(m,m-2)+…+(m-1)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*C(m,m)*C(m,0)
=C(m,1)^2+…+m*C(m,m)^2=m*C(2*m-1,m-1)=m*C(2m-1,m)=m*(2m-1)!/m!/(m-1)!=(m/2)*C(2m,m)

(d^2/dx^2)[(1+x)^m]*(1+x)^(n-m)=m(m-1)(1+x)^(m-2)*(1+x)^(n-m)=m(m-1)*(1+x)^(n-2)のx^kの係数を比較すると、
2*C(m,2)*C(n-m,k)+3*2*C(m,3)*C(n-m,k-1)+…+(k+1)*k*C(m,k+1)*C(n-m,1)+(k+2)*(k+1)*C(m,k+2)*C(n-m,0)=m(m-1)*C(n-2,k)で、n=2m,k=mとすると、
2*C(m,2)*C(m,m-2)+3*2*C(m,3)*C(m,m-3)+…+(m-1)*(m-2)*C(m,m-1)*C(m,1)+m*(m-1)*C(m,m)*C(m,0)
2*C(m,2)^2+3*2*C(m,3)^2+…+m*(m-1)*C(m,m)^2
=m(m-1)*C(2m-2,m-2)=m*(m-1)*C(2m-2,m)=m*(m-1)*(2m-2)!/m!/(m-2)!=(m-1)*(2m-2)!/(m-1)!/(m-2)!
=(m-1)^2*C(2*m-2,m-1)

これらを用いると、

(n*(k+1)+1)^2=n^2*k^2+2*n*k+1=n^2*k(k-1)+n(3*n+2)*k+(n+1)^2
より

Σ_(k=0)^(n+1)[1/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n(3n+2)*k/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)
Σ_(k=0)^(n+1)[n^2*k(k-1)/(n+1)^2*C(n+1,k)^2]=n^4/(n+1)^2*C(2n,n)
なので、

b_1^2+b_2^2+…+b_n^2+b_(n+1)^2+b_1*b_2+b_2*b_3+…+b_(n-1)*b_n+b_n*b_(n+1)
=(1/2)[C(2n+2,n+1)+n(3n+2)/(n+1)/2*C(2n+2,n+1)+n^4/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)[((2n+2)(2n+1)+n(3n+2)(2n+1)+n^4)/(n+1)^2*C(2n,n)]
=(1/2)*(n^4+6n^3+11n^2+8n+2)/(n+1)^2*C(2n,n)
=(1/2)*(n^2+4n+2)*C(2n,n)
となります。

解は26通りありました。
おそらく想定されていないであろう解を一つ書きます。
最初の4個は 3g,5g,6g,7g
最初に追加した1個は 14g
次に追加した1個は 15g

らすかるさん
ありがとうございます。

おっしゃる組は確かに私の頭からは湧いてきませんでした。

26通りもあるとのこと、
これから個人的に確かめてみます。

ちなみに問題文から
「最初の4個の重さはすべて異なる」
「追加する2個はそれぞれ以前の分銅と同じ重さでも良い」
という条件で探索していますので、例えば
「最初の4個は3,5,6,7で追加1個目は7、2個目は8」
のような解も26通りに含んでいます。
もし「6個すべてが異なる重さでなければならない」としたら、
20通りです。

(1)天秤皿の片側に分銅を全部入れる(合計50g)。
(2)その分銅と釣り合うように反対側に塩を入れる。
(3)分銅を取り除き、代わりに塩を入れて釣り合わせる。
これで(3)で入れた塩が50gなので、2回繰り返せば100gが計れます。

# 「計るたびに左右が釣り合ったときの重さの差が異なる」ような場合は
# 上記の方法では無理ですが、そういう場合は正確に計るのは無理な気がします。

天秤計測を３回で。
①天秤の左の皿に６個の分銅(計50g)を乗せます。
②天秤の右側の皿に塩をαg乗せて釣り合わせます。
③天秤の右の皿の塩入αgはそのままに左の皿から分銅を全て取り去りかわりに塩を乗せて釣り合わせます。(このとき左の皿の塩は50gとなります。)
④天秤の右の皿の塩αgはそのままに左の皿から塩を全て取り去り壺に入れます。左の皿にはかわりにあらたな塩を乗せて釣り合わせます。釣り合わせたらその塩を壺に入れます。
壺の中には100gの塩が入っています。

※投稿したら、らすかるさんに先着されていました。おお。

問題の解釈とプログラムが正しければ
一つ目
解釈を間違えていたので計算し直したところ96401(8個)でした
二つ目
823199通り

ブラックホール素数

96401*18839=1816098439
96401*42743=4120467943
96401*48611=4686149011
96401*58511=5640518911
96401*71993=6940197193
96401*73019=7039104619
96401*87833=8467189033
96401*92801=8946109201

96401の8個が最強でしょうか？

私が思っていた最強ブラックホール素数はこの96401でした。

二つ目がらすかるさんと大きく違ってくるのですが
具体例を10個ほど並べて貰えますか？

最初の20個(5桁素数の小さい順そして6桁素数の小さい順)でこんな感じです。
10139*998687=10125687493
10141*999769=10138657429
10151*997793=10128596743
10151*999773=10148695723
10163*999599=10158924637
10169*998423=10152963487
10223*994769=10169523487
10243*990559=10146295837
10243*992809=10169342587
10247*993827=10183745269
10247*999959=10246579873
10253*991499=10165839247
10253*998399=10236584947
10259*990593=10162493587
10259*998681=10245468379
10267*997891=10245346897
10271*987809=10145786239
10271*996881=10238964751
10271*998411=10254679381
10273*994489=10216385497
また、最後の20個はこんな感じです。
99991*841549=84147326059
99991*851549=85147236059
99991*856553=85647591023
99991*860317=86023957147
99991*864427=86434920157
99991*871993=87191452063
99991*872609=87253046519
99991*876529=87645011239
99991*894097=89401653127
99991*928141=92805746731
99991*935537=93545280167
99991*938831=93874650521
99991*942437=94235218067
99991*946327=94624183057
99991*946607=94652180537
99991*950953=95086741423
99991*963497=96341028527
99991*968831=96874380521
99991*971933=97184552603
99991*974591=97450328681

10139*998687=10125687493
は
5桁の素数のディジット[0,1,1,3,9]
が
7桁の素数7のディジット[6,7,8,8,9,9]
を吸い込むと
[0,1,1,3,6,7,8,8,9,9,9]
の数字からできる11桁の数字ができるかとなると10125687493
なので確かに0～9の数字は揃っているがブラックホール的素数
とはなっていないと考えて下さい。
（このあたりの説明が不足していたことをお詫びします。)

これに対し
26849*471503=12659384047は
5桁の素数のディジット[2,4,6,8,9]が
7桁の素数のディジット[0,1,3,4,5,7]を呑み込んで
0～9が揃っていく。
このパターンで探して下さい。

後半もブラックホール素数とは全く思っておらず、問題文だけで判断してしまっていました。
（タイトルがブラックホール素数だから気づくべきだったかも知れませんね）
で、その条件なら79通りかと思います。
# 0～9のうちダブる数字が0,3,6,9だと3の倍数になってNG
# ダブる数字が1,2,4,5,7,8ならばどれでも大丈夫そうですが
# なぜかダブる数字が必ず4なので何かプログラムに問題があるかもと思って悩んでしまいました。
# でもきちんと論理的に考えると4しかあり得ないことがわかり、「79通り」に自信が持てました。

2桁、3桁、4桁でブラックホール素数が存在するか調べてみましたが、2桁では存在しませんでした。

3桁では、167,281,317,383,443,461,563,701,953,971の10個がブラックホール素数でした。

167*701=701*167=117067
281*443=443*281=124483
317*461=461*317=146137
383*971=971*383=371893
563*953=953*563=124483

吸収するのが1個なのでマイクロ・ブラックホールといったところでしょうか。また、167と701、281と443、317と461、383と971、563と953の5組は互いに対してブラックホール素数なので、ブラックホール連星といったところでしょうか。

4桁では、7793と9923が最強ブラックホール素数で、どちらも吸収するのは3個でした。

7793*4523=35247739
7793*8609=67089937
7793*9923=77329939

9923*4373=43393279
9923*5273=52323979
9923*7793=77329939

7793と9923は互いに対してブラックホール素数なので、ブラックホール連星といったところでしょうか。

> "らすかる"さんが書かれました:

> で、その条件なら79通りかと思います。
> # 0～9のうちダブる数字が0,3,6,9だと3の倍数になってNG
> # ダブる数字が1,2,4,5,7,8ならばどれでも大丈夫そうですが
> # なぜかダブる数字が必ず4なので何かプログラムに問題があるかもと思って悩んでしまいた。

私も79通りを並べたとき、すべてが4が重複しているパターンなので
なんでこうなるのだろうかと不思議でなりませんでした。
今でも謎は解けていません。

> # でもきちんと論理的に考えると4しかあり得ないことがわかり、「79通り」に自信が持てましました。

これは証明出来るもんですか？

はい、証明できます。
二つの素数が3n+1と3m+1の場合、桁の数字の和は3k+2となります。
一方、積は(3n+1)(3m+1)=3l+1なので桁の数字の和と合わず不適です。
二つの素数が3n+1と3m+2の場合、桁の数字の和が3の倍数となりますが
(3n+1)(3m+2)は3の倍数になりませんので不適です。
従って条件が成り立つためには二つの素数は両方とも3n+2型でなければなりません。
3n+2を9n+2,5,8の3つに分けて桁の数字の和と素数の積を考えると
9n+2と9m+2→桁の数字の和は9k+4、積は9l+4なので一致
9n+2と9m+5→桁の数字の和は9k+7、積は9l+1なので不一致
9n+2と9m+8→桁の数字の和は9k+1、積は9l+7なので不一致
9n+5と9m+5→桁の数字の和は9k+1、積は9l+7なので不一致
9n+5と9m+8→桁の数字の和は9k+4、積は9l+4なので一致
9n+8と9m+8→桁の数字の和は9k+7、積は9l+1なので不一致
のようになり、条件が成り立つとき桁の数字の和は必ず9k+4ですから、
重複する数字は4しかあり得ないことになります。
最初からこのことがわかっていれば、ブラックホール素数は必ず3n+2型なので
調べる素数を半分に減らせますね。

[1]
条件の解釈が正しければ
2 3 4 7 6 5 (素数4種類)
※5種類以上出来ないことは明らか
※これが正しいとしたら100までである必要はないような…

[2]
9と12と20でしょうか。

(追記)
もし「10連続自然数で条件を満たすのが不可能である最小のn1は9」で正しければ
n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647
のようになると思います。

n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647
のようになると思います。

とても自分での調査方法ではこんなn連続に対する状況は夢のまた夢の中にあります。
さすがにOEISには未登録にありますね。
でも素数の出現位置がほんとにランダムであることを示す一つの指標にある様に思われます。
なお[1]は
{2,3,4,5,6,7}→[2,3,4,7,6,5] ; 構成素数<5,7,11,13>
{5,6,7,8,9,10}→[5,6,7,10,9,8] ; 構成素数<11,13,17,19>
{50,51,52,53,54,55}→[50, 51, 52, 55, 54, 53] ; 構成素数<101,103,107,109>
{95,96,97,98,99,100}→[95, 96, 97, 100, 99, 98] ; 構成素数<191,193,197,199>
の4タイプの積りでしたが、それぞれ同じ配列タイプで可能なんですね。

また
[1,2,3,4,7,6,5,8,9,10]での配列では構成素数<3,5,7,11,13,17,19>
の7種類が発生するので、これをどこまで増やせるのか疑問に感じました。

> [1,2,3,4,7,6,5,8,9,10]での配列では構成素数<3,5,7,11,13,17,19>
> の7種類が発生するので、これをどこまで増やせるのか

増やせないと思います。
先頭をn、末尾をn+9とすると
最小の和は2n+1、最大の和は2n+17であり、奇数は
2n+1,2n+3,2n+5,2n+7,2n+9,2n+11,2n+13,2n+15,2n+17
の9個になります。
しかしこの中に必ず3の倍数が3個入ってしまいますので、
そのうち1個が3である場合が7種類で最大です。

> n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
> 4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647

この先が気になったので今まで計算していました。
n=32,34,36,38,40に対して最小のn1は
646,645,644,643,1062
でした。
きちんと考えれば無駄な探索を大幅に減らすことができそうな
気はしますが、この数列自体それほど興味深いものでは
ないようなので、ここまでで終わりにしようと思います。