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351,721

凞倚面䜓

正倚面䜓は、五぀あるこずが、知られおいたす。
条件① すべおの面が合同 ② 党おの頂点の次数が同じ
条件を、緩めるず、他にもありたすね。
䞉角圢六枚で、六面䜓、①〇②×
サッカヌボヌルの圢フラヌレン①×②×
準正倚面䜓、正倚面䜓から切断で生たれるもの
䞉角圢だず、いく぀でも、倧きく぀くれるのでしょうか
無限にあるのでしょうかご教授ください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

すいたせん。
錘ず柱は、いく぀でも増やせたすね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

2nCnず2nCn/4^nずの繋がり

2nCnず2nCn/4^nの分子郚分がずおも面癜い関係性が成立しおいるこずがわかりたした。
それが
2nCnの敎数を玠因数分解で2^r0*p1^r1*p2^r2*p3^r3(p1,p2,p3,は2以倖の奇玠数)
ずなっおいるずき
2nCn/4^nの分子郚分はp1^r1*p2^r2*p3^r3ずすっかり䞊の玠因数2^r0の郚分が抜け萜ちた
ものが珟れるこずになる。

しかも2での指数r0はを2進法で衚した時の1の䜿甚回数(=hammingweight(n))が察応しおいる。

(確認)
{2nCn/4^n}の数列の様子
gp > for(n=1,20,print1(binomial(2*n,n)/4^n","))
1/2,3/8,5/16,35/128,63/256,231/1024,429/2048,6435/32768,12155/65536,46189/262144,
88179/524288,676039/4194304,1300075/8388608,5014575/33554432,9694845/67108864,
300540195/2147483648,583401555/4294967296,2268783825/17179869184,
4418157975/34359738368,34461632205/274877906944,

したがっおその分子郚分は
1,3,5,35,63,231,429,6435,12155,46189,
88179,676039,1300075,5014575,9694845,
300540195,583401555,2268783825,
4418157975,34461632205,

そこで2nCnの倀から2^r0=2^hammingweight(n)を取り陀く操䜜で
2nCnの倀(バむナリヌ衚瀺を右にhammingweight(n)だけシフトさせる)
gp > for(n=1,20,print1(binomial(2*n,n)>>hammingweight(n)","))
1,3,5,35,63,231,429,6435,12155,46189,
88179,676039,1300075,5014575,9694845,
300540195,583401555,2268783825,
4418157975,34461632205,
こずで䞀臎させられるこずになる。

曎に驚いたこずは、この数字が1/√(1-x)でのテむラヌ展開匏
gp > taylor(1/sqrt(1-x),x)
%84 = 1 + 1/2*x + 3/8*x^2 + 5/16*x^3 + 35/128*x^4 + 63/256*x^5
+ 231/1024*x^6 + 429/2048*x^7 + 6435/32768*x^8 + 12155/65536*x^9 + 46189/262144*x^10 + 88179/524288*x^11 + 676039/4194304*x^12 + 1300075/8388608*x^13 + 5014575/33554432*x^14 + 9694845/67108864*x^15 + 300540195/2147483648*x^16 + 583401555/4294967296*x^17 + 2268783825/17179869184*x^18 + 4418157975/34359738368*x^19 + 34461632205/274877906944*x^20 +
O(x^21)
での各係数の分子に出珟しおしたうずいう思っおもいない繋がりを持぀こずでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

二項係数の䞭倮倀ず円呚率の関係

二項係数の䞭倮倀である
Central binomial coefficients: binomial(2*n,n) = (2*n)!/(n!)^2 (;A000984)
がずおも円呚率πず密接な関係を保持しおいるこずが起こっおいるこずに
なっおいる暡様です。
次の無限玚数和が起こりそうです。
2^2/(1*2C1)+2^3/(2*4C2)+2^4/(3*6C3)++2^(n+1)/(n*2nCn)+=π
これを具䜓的な数倀で瀺すず
2+2/3+4/15+4/35+16/315+16/693+32/3003+32/6435+256/109395+256/230945+=π
が蚈算䞊成立するようです。

たた少し圢を倉えお
2^4/(1*2C1^2), 2^8/(2*4C2^2), 2^12/(3*6C3^2),, 2^(4n)/(n*2nCn^2),
の䞀般項はn->ooでは
lim[n->oo]2^(4n)/(n*2nCn^2)=π
で成立の暡様。

普通πずは
1-1/3+1/5-1/7+1/9-=π/4
1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+=π^2/6
等で顏を衚すこずでしか芪しんでいなかったので、新鮮な感芚に包たれたした。

曎に定積分ずも繋がれお

π*2nCn=∫[x=-1->1](2*x)^(2n)/√(1-x^2)dx

も起こりそうです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月13日 06:39)

二組の和ず積

自明でない、二組の数に぀いお、
䟋 ず
、2××××
が成り立぀。
他に和ず積が成り立぀組、二桁、䞉桁もありたすか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いくらでもありそうな感じですが、実際探玢するずいくらでもありたす。
䟋えば
10+16+39=12+13+40=65
10*16*39=12*13*40=6240
100+108+119=102+105+120=327
100*108*119=102*105*120=1285200

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん、い぀もありがずうございたす。

・・・・


・・・・


・・・
どのように、求めたらいいのか分からなくお、
䞉ケタ、四ケタもあるんですね。
埌、玠因数が、、、がありたすが、
も興味は尜きたせん。党おの玠因数に぀いお、それを、含む
組もありそうですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

個組

・・・・・

個組

・・・・・・・・

1を足しおいけば、䜕個の組でも、䜜れそうですね。
䞡組に同じ数を䜿わない、ず条件を倉えればどうなるでしょうか
6,7,8個の組も䜜れたすか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月05日 15:57)

個数を、4個、から増やしおいくこずを、考えおみお、単玔な解があり、条件を倉えおも、個組ず個組を繋いでいけば、個組ができるんですね。
個組は、どうしたら、いいでしょうか
果おしなく、続く問題ですが、難しくなりたす。
そうこうしお、こんな、定理に出䌚いたした。
玠数の列で、等差になっおいるもの
長さのもの、7376797127157 等差が30

幎で、長さ26が最長
にも関わらず、Green-Tao 2004
玠数のみから構成される任意の長さの等差数列が存圚する。

具䜓的には芋えないけれど、存圚する。数孊の力凄いです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

5個組は2個+3個でいいのでは

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> "ks"さんが曞かれたした:
> 玠数の列で、等差になっおいるもの
> 長さのもの、7376797127157 等差が30

が面癜かったので、その先を探しおみた。
7個連続
[7, 157, 307, 457, 607, 757, 907]
[47, 257, 467, 677, 887, 1097, 1307]
[53, 1103, 2153, 3203, 4253, 5303, 6353]

8個連続
[61, 9931, 19801, 29671, 39541, 49411, 59281, 69151]
[73, 5953, 11833, 17713, 23593, 29473, 35353, 41233]
[103, 4723, 9343, 13963, 18583, 23203, 27823, 32443]
[199, 9439, 18679, 27919, 37159, 46399, 55639, 64879]

9個連続
[17, 6947, 13877, 20807, 27737, 34667, 41597, 48527, 55457]
[137, 8117, 16097, 24077, 32057, 40037, 48017, 55997, 63977]

10個連続
[199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089]
[443, 32783, 65123, 97463, 129803, 162143, 194483, 226823, 259163, 291503]

11個連続
[1619, 3413489, 6825359, 10237229, 13649099, 17060969, 20472839, 23884709, 27296579, 30708449, 34120319]
[3617, 213827, 424037, 634247, 844457, 1054667, 1264877, 1475087, 1685297, 1895507, 2105717]

12個連続
[18439, 33291679, 66564919, 99838159, 133111399, 166384639, 199657879, 232931119, 266204359, 299477599, 332750839, 366024079]

13個連続
[4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 605543, 665603, 725663]

探す範囲が予想も぀かないので、適圓な範囲でやっおいたすので、芋萜ずしおいるものもあるずは思われたす。
14個以䞊に挑戊しおいたしたが、自分で蚭定した範囲では探し出すこずは出来たせんでいた。
䜕方か続き及び補充をお願いしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

怜玢しおいたら
146141+54444390*k
䜆し、0≀k≀13
が䟋瀺されおいたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

OEISによれば
今み぀かっおいる最も長い数列は次のものです。

A261152 - OEIS

https://oeis.org/A261152

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> "Dengan kesaktian Indukmu"さんが曞かれたした:
> 怜玢しおいたら
> 146141+54444390*k
> 䜆し、0≀k≀13
> が䟋瀺されおいたした。


ありがずうございたす。
次が芋぀からないはずだ。こんなにも初項が遠く離れおいるずは
なお初項の数は偶数番目の玠数を155個加えた倀ずなるこずは偶然なのですかね

gp > vector(155,i,prime(2*i))
%226 =
[3, 7, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 61, 71, 79, 89, 101, 107, 113, 131, 139,
151, 163, 173, 181, 193, 199, 223, 229, 239, 251, 263, 271, 281, 293, 311,
317, 337, 349, 359, 373, 383, 397, 409, 421, 433, 443, 457, 463, 479, 491,
503, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 619, 641, 647, 659, 673, 683,
701, 719, 733, 743, 757, 769, 787, 809, 821, 827, 839, 857, 863, 881, 887,
911, 929, 941, 953, 971, 983, 997, 1013, 1021, 1033, 1049, 1061, 1069, 1091,
1097, 1109, 1123, 1151, 1163, 1181, 1193, 1213, 1223, 1231, 1249, 1277, 1283,
1291, 1301, 1307, 1321, 1361, 1373, 1399, 1423, 1429, 1439, 1451, 1459, 1481,
1487, 1493, 1511, 1531, 1549, 1559, 1571, 1583, 1601, 1609, 1619, 1627, 1657,
1667, 1693, 1699, 1721, 1733, 1747, 1759, 1783, 1789, 1811, 1831, 1861, 1871,
1877, 1889, 1907, 1931, 1949, 1973, 1987, 1997, 2003, 2017, 2029, 2053]
gp > vecsum(%)
%227 = 146141

私も埌で調べおみたら26個連続はA204189,A261140,A317163,A317164,A317255,A317259,A317914も芋぀かっおいるようですね。
たた2019幎4月に新たに発芋され、連続27個のものがA327760に茉っおいたした。
これっお偶然範囲があえば新しき長さの等差数列玠数を発芋できるかも知れたせんね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月07日 10:15)

お陰様で、五個の組が、芋぀かりたした。
14891023516
1・4・8・9・102・3・5・6・16
他にも、あるずは思いたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月10日 12:26)

面積蚈算31

この問題では正方圢になっおいたすが、実は長方圢ずいう条件でも解くこずができたす。
ポむントは AB ず DM を巊䞋方向に延長しお亀点を䜜るこず。

愛知県公立高校入詊はなぜか図圢問題がやたら難しく、この長方圢の倖にはみ出す補助線の匕き方がかなりの頻床で出題されたす。
他の郜道府県ではどうなんでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

埌半、そんなルヌトもあるんですね。

DP : PE = 1 : 4
DM : ME = 1 : 1
から
DP : PM : ME = 2 : 3 : 5
よっお
△AMP = △AEP * (3/8) = 30

の方が暡範解答にはよく䜿われる印象です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

蟞曞匏順序

2,3,5,7,11,13,17の7個の玠数を蟞曞匏に䞊べ盎すず
11,13,17,2,3,5,7
ずなるのでこれを改めお
p1=11,p2=13,p3=17,p4=2,p5=3,p6=5,p7=7
ず番号を振り付けるず
党郚で7個の玠数ではp7=7
なる珟象が発生する。

そこで
玠数2から始め玠数を党郚でk個集め
それを蟞曞匏順序にしお番号を振り付け
p1,p2,,pk
ずした時
pk=kなるこずが起こるをあず぀ほど発芋しおほしい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「あず぀」が97ず997で正しければ、その次は999
(9が139個)
9997぀たり10^140-3かな
もしかしたらそれより小さいものがあるかも

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月02日 11:11)

この3぀を探した埌はもう諊めおいたした。
どうしお第4のずんでもないものを芋぀けられたのか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

もしかしお
99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか
9999997(=10^990-3)もありですか

https://stdkmd.net/nrr/9/99997.htm#primeが参考になりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月02日 07:54)

> "らすかる"さんが曞かれたした:
> 「あず぀」が97ず997で正しければ、その次は999
(9が138個)
9997぀たり10^140-3かな
> もしかしたらそれより小さいものがあるかも

これは
999
(9が139個)
9997でいいですよね
すみたせん现かいこずで

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 999
(9が139個)
9997でいいですよね
おっしゃる通りです。単玔に間違えたした。
これは元蚘事を修正したした。

> 99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか
それはNGです。
99999999999999997 番目の玠数は
4185296581467695521 であり、
これ以䞋の玠数で
999999999999999989
がありたすので
99999999999999997は最埌になりたせん。

999
(9が139個)
9997 (140桁) の堎合は、
999
(9が139個)
9997 番目の玠数は
32*********************** (143桁) ずいう数であり、
999
(9が139個)
999 7x (141桁)
999
(9が139個)
999 8x (141桁)
999
(9が139個)
999 9x (141桁)
999
(9が139個)
999 7xx (142桁)
999
(9が139個)
999 8xx (142桁)
999
(9が139個)
999 9xx (142桁)
がすべお合成数であるこずが確認できたため、
999
(9が139個)
9997 は最埌になり、条件を満たしおいたす。

9999997(=10^990-3)の堎合は、
9999997番目の玠数が
箄2.29×10^993であるため、
9999997x
9999998x
9999999x
9999997xx
9999998xx
9999999xx
9999997xxx
9999998xxx
9999999xxx
がすべお合成数であるこずが確認できればOKになりたすが、
察象が結構倚いので玠数が含たれおいるのではないかずいう気がしたす。

「もしかしたらより小さいのがあるかも」ずいうのは、
999991
などで条件を満たすものがもしあれば、ずいう意味ですが、
末尟が1であるため確率的に䜎いず思い、未調査です。
これだけなら調査するこずはできたすが、
n桁の最埌が
999989 ずか
999983 ずか
999979
のような堎合など考えるず倧倉そうなので調査はやめたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月02日 11:13)

gp > for(i=70,99,if(isprime(10^2*(10^989-1)+i)==1,print1(10^2*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=700,999,if(isprime(10^3*(10^989-1)+i)==1,print1(10^3*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=7000,9999,if(isprime(10^4*(10^989-1)+i)==1,print1(10^4*(10^989-1)+i",")))
に察し䜕の反応も起きなかった。
䞀応䞋の989桁のものでもちゃんず玠数ず刀定しおくれる。
gp > isprime(10^990-3)
%53 = 1
即ち
10^990-3番目に出珟する玠数(994桁の2が頭にある玠数)
より前にある玠数で10^990-3より倧きな玠数は䞀個も存圚しないず刀定され、結局蟞曞匏順序の最埌に䞊ぶ。
よっお求めるkの倀ずしお
10^140-3の次に10^990-3も認められる。

この刀定でいいのでしょうか
なお危なく次の玠数が出珟するも、10^990-3より前に蟞曞匏順序では䜍眮しおくれるようです。
999(9が989個)999199
999(9が989個)999329
999(9が989個)9993893

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月03日 07:40)

そうですね、10^17-3で詊すずちゃんず玠数が衚瀺されたすので、問題ないず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

たたたた、おじゃた虫

曎新 「玠朎な長さの蚈算」

ず決たったずころで、
この円の半埄を求めるこずは可胜でしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

AB=AC=4、∠ABC≩30°である二等蟺䞉角圢ABCを適圓に描く。
∠ABC≩30°なのでBC䞊にAE=2、∠AEB≧90°である点Eをずるこずができる。
このずき△ABCの倖接円を描いおその円ず盎線AEずの亀点のうち
Aでない方をDずするず、DE=6ずなる。

ずいうこずず同じですから、円の半埄は「4以䞊」ずしか決たらず、求めるこずはできたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん
有難うございたす。

䞀぀だけ求める方法がありたす。
それは、この図を正確に曞いお、定芏で枬る。

正確に曞けおいる自身はありたせんが
玄ですね。
こんな方法も「有り」かな
蚈算で求めるこずが出来ないのなら最埌の手段。。。

ブヌむングが来そう

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎06月02日 14:40)

らすかるさん
昚日は超勘違い・超恥ずかしいこずを曞いおしたいたした。
この堎合、半埄は定たらなく無数にあるのですね。

倧倉、お恥ずかしい限りです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

超球䜓

次元 衚面積       䜓積
次元 π       π^2
次元 π^     4π^/3
次元 2π^^   π^^/2
次元 8π^^/3    π^^/15
次元 π^^5     π^^6/6
次元 π^^/15 π^^/105

重積分で、求めおみたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月31日 13:12)

あみだくじず酔っ払い

A005021が瞊線が6本の時、暪線を合蚈n本匕いた時のあみだくじのパタヌン数ずしお
このサむトに繋がっお、そこではRandom Walksの解説ずなっおいたこずに興味を持ち
どんな内容なのか読んでみるず
P_6ず呌ばれる道盎線䞊6点A,B,C,D,E,Fが䞊んでいる。
をAから出発し2*n+5(æ­©)におFの地点に到着する酔歩のコヌスが䜕通りできるか
ずいうこずらしい。
n=1なら党郚で7歩なので、次の5コヌスがあるずいう。
1;[A, B, A, B, C, D, E, F]
2;[A, B, C, B, C, D, E, F]
3;[A, B, C, D, C, D, E, F]
4;[A, B, C, D, E, D, E, F]
5;[A, B, C, D, E, F, E, F]

そこでn=2なら党郚で9歩なので、党コヌスを構成しおみた。
1;[A, B, A, B, A, B, C, D, E, F]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D, E, F]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D, E, F]
4;[A, B, A, B, C, D, E, D, E, F]
5;[A, B, A, B, C, D, E, F, E, F]
6;[A, B, C, B, A, B, C, D, E, F]
7;[A, B, C, B, C, B, C, D, E, F]
8;[A, B, C, B, C, D, C, D, E, F]
9;[A, B, C, B, C, D, E, D, E, F]
10;[A, B, C, B, C, D, E, F, E, F]
11;[A, B, C, D, C, B, C, D, E, F]
12;[A, B, C, D, C, D, C, D, E, F]
13;[A, B, C, D, C, D, E, D, E, F]
14;[A, B, C, D, C, D, E, F, E, F]
15;[A, B, C, D, E, D, C, D, E, F]
16;[A, B, C, D, E, D, E, D, E, F]
17;[A, B, C, D, E, D, E, F, E, F]
18;[A, B, C, D, E, F, E, D, E, F]
19;[A, B, C, D, E, F, E, F, E, F]

この様に぀ぎはn=3での11歩でのコヌスづくりをやれば党郚で66コヌス
同じくn=4での13歩での221コヌス
n=5での15歩での728コヌス

ずここに茉せられおいる数のコヌスが次々ず刀明するずいうこずになっおいる様だ。

たさか、あみだくじが酔っ払いの歩き方ず繋がっおいるずは倢にも思わなかった。(䌌おなくもないか)

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月29日 08:04)

あみだくじの数理

私もチコちゃんに叱られるの番組を芋おいお
瞊線が5本、暪線が8本からなるあみだくじの党パタヌン数が9841通りあり
䞊の線 1 | 2 | 3 | 4 | 5
䞋の線(1の䞋がa,,5の䞋がe)
a; 43.92 | 24.61 |16.53 |10.25 | 4.68
b; 24.61 |25.46 |22.06 |17.61 |10.25
c; 16.53 |22.06 |22.81 |22.06 |16.53
d; 10.25 |17.61 |22.06 |25.46 |24.61
e; 4.68 |10.25 |16.53 |24.61 |43.92
の衚が映像に出た。静止画面にしおメモした。
確かに真䞋に圓たりがあればそこからスタヌトすれば確率が高い。
この確率をどうしたら出せるのか色々挑戊しおいるのだが、なかなかこの倀を持たせられない。
たた9841はどこからどうしお算出するものなのか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月27日 06:46)

暪線の立䜓亀差はアリでしたか

たずえば、
①巊から本目の瞊線ず本目の瞊線ずのあいだに暪線を個぀なげる、ただし、本目の瞊線ずこの暪線ずは立䜓亀差にする。

②暪線どうしで立䜓亀差をする。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

特に立䜓亀差のコメントは無かったので、通垞のあみだの暪線の匕き方で考えるものだず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

https://manabitimes.jp/math/1157
によるず
瞊線5本、暪線8本でのあみだくじの行き先の確率は
P5=
[3/4 1/4 0 0 0]

[1/4 1/2 1/4 0 0]

[ 0 1/4 1/2 1/4 0]

[ 0 0 1/4 1/2 1/4]

[ 0 0 0 1/4 3/4]
から

P5^8=
[12155/32768 19449/65536 12393/65536 1581/16384 765/16384]

[19449/65536 8627/32768 3345/16384 9129/65536 1581/16384]

[12393/65536 3345/16384 6995/32768 3345/16384 12393/65536]

[ 1581/16384 9129/65536 3345/16384 8627/32768 19449/65536]

[ 765/16384 1581/16384 12393/65536 19449/65536 12155/32768]

これを小数ぞ盎し
=
[ 0.37094116 0.29676819 0.18910217 0.096496582 0.046691895]

[ 0.29676819 0.26327515 0.20416260 0.13929749 0.096496582]

[ 0.18910217 0.20416260 0.21347046 0.20416260 0.18910217]

[0.096496582 0.13929749 0.20416260 0.26327515 0.29676819]

[0.046691895 0.096496582 0.18910217 0.29676819 0.37094116]

ずなるんではないかず思うんであるが・・・

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そのサむトでは暪線の匕き方がm^n通りず蚀っおいたすので、確率分垃が違うのではないでしょうか。
䟋えば
│□□│□□│□□│
├───□□│□□│
│□□│□□├───
│□□├───□□│
│□□│□□│□□│
ず
│□□│□□│□□│
│□□│□□├───
├───□□│□□│
│□□├───□□│
│□□│□□│□□│
を別のものず考えおいるのでは

# 党郚きちんず読んだわけではありたせんので、
# もしずんちんかんなこずを蚀っおいたらご容赊䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ツむッタヌ怜玢で調べたら
チコちゃんの番組であみだくじに぀いお解説した先生が岩手倧孊の理工孊郚の山䞭克久教授であるずわかりたした。
OEIS のサむトでこの先生の名前で怜玢したらヒットしたした。
https://oeis.org/A006245
A006245 の参考文献に以䞋があげられおいたした。

ひず぀め
Katsuhisa Yamanaka, Takashi Horiyama, Takeaki Uno and Kunihiro Wasa, Ladder-Lottery Realization, 30th Canadian Conference on Computational Geometry (CCCG 2018) Winnipeg.

ふた぀め
K. Yamanaka, S. Nakano, Y. Matsui, R. Uehara and K. Nakada, Efficient enumeration of all ladder lotteries and its application, Theoretical Computer Science, Vol. 411, pp. 1714-1722, 2010.

なお
ladder lotteries ずはアミダクゞのこずです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

9841通りの蚈算は
Σ[i=08]Σ[j=08-i](i+j)Cj×9C(i+j+1)=9841
ずいう匏で出せたした。
iは2本目の瞊線ず3本目の瞊線の間に描く暪線の数、
jは3本目の瞊線ず4本目の瞊線の間に描く暪線の数、
(i+j)Cjは「2本目の瞊線ず3本目の瞊線の間の暪線」ず
「3本目の瞊線ず4本目の瞊線の間の暪線」の䜍眮関係の堎合の数、
9C(i+j+1)は残りの8-i-j本の暪線を「1本目の瞊線ず2本目の瞊線の間」ず
「4本目の瞊線ず5本目の瞊線の間」に配眮する堎合の数です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん。凄いです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

この数倀をはじき出す数匏を芋぀けるなんおビックリです。
分析させお頂きたした。
[i,j] [binomial(i+j,j)"*"binomial(9,8-(i+j))] [2぀の積]
0,0 1*9 9
0,1 1*36 36
0,2 1*84 84
0,3 1*126 126
0,4 1*126 126
0,5 1*84 84
0,6 1*36 36
0,7 1*9 9
0,8 1*1 1
1,0 1*36 36
1,1 2*84 168
1,2 3*126 378
1,3 4*126 504
1,4 5*84 420
1,5 6*36 216
1,6 7*9 63
1,7 8*1 8
2,0 1*84 84
2,1 3*126 378
2,2 6*126 756
2,3 10*84 840
2,4 15*36 540
2,5 21*9 189
2,6 28*1 28
3,0 1*126 126
3,1 4*126 504
3,2 10*84 840
3,3 20*36 720
3,4 35*9 315
3,5 56*1 56
4,0 1*126 126
4,1 5*84 420
4,2 15*36 540
4,3 35*9 315
4,4 70*1 70
5,0 1*84 84
5,1 6*36 216
5,2 21*9 189
5,3 56*1 56
6,0 1*36 36
6,1 7*9 63
6,2 28*1 28
7,0 1*9 9
7,1 8*1 8
8,0 1*1 1

合蚈 9841

そこで
i,j=0,2 で 1*84=84
の解釈が
瞊線2,3番目には0本,3,4番目には2本匕かれおいるので
1,2ず4,5間には合蚈6本の瞊線がある。
そこで
1,2番間 ;4,5番間
6 ;0
5 ;1
4 ;2
3 ;3
2 ;4
1 ;5
0 ;6
本の線がある堎合に別れる。
ずころで2,3番間にはi=0より䞊蚘の巊の本数は䜕の制限もなく匕くこずが出来る。
䞀方j=2より既に3,4番間には2本の暪棒が匕かれおいる。
そこで䞊蚘の右の本数の暪棒を匕く䜍眮はそれぞれ重耇組合せから
3H0=1
3H1=3
3H2=6
3H3=10
3H4=15
3H5=21
3H6=28
これの合蚈が84ずなる。
なんずこれが䞀発で9C6=9C3=9*8*7/(3*2*1)=3*4*7=84なわけですね。

同じく
i,j=0,3 で1*126=126は
1,2番間 ;4,5番間
5 ;0
4 ;1
3 ;2
2 ;3
1 ;4
0 ;5
䞊蚘の右の本数の暪棒を匕く䜍眮はそれぞれ重耇組合せから
4H0=1
4H1=4
4H2=10
4H3=20
4H4=35
4H5=56
この合蚈が126
同じく䞀発で9C5=9C4=9*8*7*6/(4*3*2*1)=126

こんな仕組みで蚈算されおいるんですね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

5本の瞊線にn本の暪線を匕く堎合、(3^(n+1)-1)/2 通りですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

本の瞊線にn本の暪線を匕く堎合、(3^(n+1)-1)/2 通りですか

こんな明快な匏になるずは

ひょっずしお最も巊の瞊線ず最も右の瞊線ずを同䞀芖しお合蚈本の瞊線ずみなすこずによっお党おの瞊線に぀いお察称ずするテクニックを䜿うずいうこずなのでしょうか

((4-1)^(n+1)-1)/2

-1 のファクタヌの意味が取れたせんが   orz

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

(3^(n+1)-1)/2 通りの堎合
n=3なら40ずなるが
別で調査すれば確かに40通りずなりたすね。
䟋の
(i,j)=
(0,0)-->4
(0,1)-->6
(0,2)-->4
(0,3)-->1
(1,0)-->6
(1,1)-->8
(1,2)-->3
(2,0)-->4
(2,1)-->3
(3,0)-->1
で蚈40通り

䜕か瞊線m本,暪線n本のあみだくじでの䞀般匏が䜜れそうですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月28日 11:08)

䞀般匏を䜜ろうず思っおいるが、瞊線が奇数ず偶数では構造が倉わる様に
感じたので瞊線が4本で暪線がn本である堎合のあみだくじの皮類を調べおみたら、
n=1-->3
n=2-->8
n=3-->21
n=4-->55
n=5-->144
n=6-->377
ここたで調べお、この数字はなんか芋たこずあるぞ
で怜玢するずフィボナッチ数列fibo(n)での
fibo(2*n+2)の郚分が察応しおいる。

なお
この各合蚈数は次の組合せ関数nCr(=binomial(n,r))を䜿うず
gp > T(n,k)=binomial(n+k,2*k-1);
gp > for(n=1,10,S=[];for(k=1,n+1,S=concat(S,[T(n,k)]));print(n"=>"S";"vecsum(S)))
1=>[2, 1];3
2=>[3, 4, 1];8
3=>[4, 10, 6, 1];21
4=>[5, 20, 21, 8, 1];55
5=>[6, 35, 56, 36, 10, 1];144
6=>[7, 56, 126, 120, 55, 12, 1];377
7=>[8, 84, 252, 330, 220, 78, 14, 1];987
8=>[9, 120, 462, 792, 715, 364, 105, 16, 1];2584
9=>[10, 165, 792, 1716, 2002, 1365, 560, 136, 18, 1];6765
10=>[11, 220, 1287, 3432, 5005, 4368, 2380, 816, 171, 20, 1];17711
で求めおいるこずになっおいる。
しかし瞊線が6本の堎合は未調査なのでただ䜕ずも蚀えないですが

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月28日 16:23)

瞊線が m 本である堎合、
「1 から m-1 たでの数を重耇を蚱しお n 個䞊べる、ただし盎前の数より 2 ぀以䞊小さくなっおはいけない」
の䞊べ方の総数ず䞀臎したす。
なので、

瞊線3本
[1,1] * [[1,1],[1,1]]^(n-1) * t[1,1] = 2^n


瞊線4本
[1,1,1] * [[1,1,0],[1,1,1],[1,1,1]]^(n-1) * t[1,1,1] = 1/√5 * ( ((3+√5)/2)^(n+1) - ((3-√5)/2)^(n+1) )

瞊線5本
[1,1,1,1] * [[1,1,0,0],[1,1,1,0],[1,1,1,1],[1,1,1,1]]^(n-1) * t [1,1,1,1] = (3^(n+1)-1)/2

ず出せたす。
瞊線6本は固有倀が綺麗に出ないので難しそう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

本の瞊線がある堎合に぀いお暪線がn本の堎合の構成数に぀いお調べおみたした。
n=1-->5
n=2-->11
n=3-->40
n=4-->145
n=5-->525
n=6-->1900
n=7-->6875
n=8-->24875

ここたででOEISのお䞖話になるずn=1を陀いおA136775がヒットした。そこには
Number of multiplex juggling sequences of length n, base state <1,1> and hand capacity 2.
ずいう分けがわからい説明が付けられおいた。

ただしこの数倀はらすかるさんが構成されおいるプログラムを参考にさせおもらい
F(n)=for(i=0,n,for(j=0,n-i,for(k=0,n-i-j,\
print(i","j","k"=>"binomial(i+j,j)"*"binomial(j+k,k)"*"binomial(n-1,n-(i+j+k))"=>"\
binomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)*binomial(n-1,n-(i+j+k))))))
で
2,3番目の間にある暪線の数をi
3,4番目の間にある暪線の数をj
4,5番目の間にある暪線の数をk本
ずしお
その暪線の取り方がbinomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)で起こせお
残りの本数n-(i+j+k)を1,2番目ず5,6番目の間に取れる堎合の可胜性がbinomial(n-1,n-(i+j+k))ず
しおやるこずで䞊手く働くこずを芳察しおみた。
これをすべお掛け合わせるこずで、(i,j,k)に察するパタヌン数が求たっおいくので、すべおの総和から
n>=2での数倀を求めお行きたした。
n=6で1900ずなる経過が䞋の衚です。(F(6)からの衚瀺)
(i,j,k)
0,0,0= 1*1*0= 0
0,0,1= 1*1*1= 1
0,0,2= 1*1*5= 5
0,0,3= 1*1*10= 10
0,0,4= 1*1*10= 10
0,0,5= 1*1*5= 5
0,0,6= 1*1*1= 1
0,1,0= 1*1*1= 1
0,1,1= 1*2*5= 10
0,1,2= 1*3*10= 30
0,1,3= 1*4*10= 40
0,1,4= 1*5*5= 25
0,1,5= 1*6*1= 6
0,2,0= 1*1*5= 5
0,2,1= 1*3*10= 30
0,2,2= 1*6*10= 60
0,2,3= 1*10*5= 50
0,2,4= 1*15*1= 15
0,3,0= 1*1*10= 10
0,3,1= 1*4*10= 40
0,3,2= 1*10*5= 50
0,3,3= 1*20*1= 20
0,4,0= 1*1*10= 10
0,4,1= 1*5*5= 25
0,4,2= 1*15*1= 15
0,5,0= 1*1*5= 5
0,5,1= 1*6*1= 6
0,6,0= 1*1*1= 1
1,0,0= 1*1*1= 1
1,0,1= 1*1*5= 5
1,0,2= 1*1*10= 10
1,0,3= 1*1*10= 10
1,0,4= 1*1*5= 5
1,0,5= 1*1*1= 1
1,1,0= 2*1*5= 10
1,1,1= 2*2*10= 40
1,1,2= 2*3*10= 60
1,1,3= 2*4*5= 40
1,1,4= 2*5*1= 10
1,2,0= 3*1*10= 30
1,2,1= 3*3*10= 90
1,2,2= 3*6*5= 90
1,2,3= 3*10*1= 30
1,3,0= 4*1*10= 40
1,3,1= 4*4*5= 80
1,3,2= 4*10*1= 40
1,4,0= 5*1*5= 25
1,4,1= 5*5*1= 25
1,5,0= 6*1*1= 6
2,0,0= 1*1*5= 5
2,0,1= 1*1*10= 10
2,0,2= 1*1*10= 10
2,0,3= 1*1*5= 5
2,0,4= 1*1*1= 1
2,1,0= 3*1*10= 30
2,1,1= 3*2*10= 60
2,1,2= 3*3*5= 45
2,1,3= 3*4*1= 12
2,2,0= 6*1*10= 60
2,2,1= 6*3*5= 90
2,2,2= 6*6*1= 36
2,3,0= 10*1*5= 50
2,3,1= 10*4*1= 40
2,4,0= 15*1*1= 15
3,0,0= 1*1*10= 10
3,0,1= 1*1*10= 10
3,0,2= 1*1*5= 5
3,0,3= 1*1*1= 1
3,1,0= 4*1*10= 40
3,1,1= 4*2*5= 40
3,1,2= 4*3*1= 12
3,2,0= 10*1*5= 50
3,2,1= 10*3*1= 30
3,3,0= 20*1*1= 20
4,0,0= 1*1*10= 10
4,0,1= 1*1*5= 5
4,0,2= 1*1*1= 1
4,1,0= 5*1*5= 25
4,1,1= 5*2*1= 10
4,2,0= 15*1*1= 15
5,0,0= 1*1*5= 5
5,0,1= 1*1*1= 1
5,1,0= 6*1*1= 6
6,0,0= 1*1*1= 1

 合蚈 1900

はおこれは䞀぀の匏で䜜れるのか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 残りの本数n-(i+j+k)を1,2番目ず5,6番目の間に取れる堎合の可胜性がbinomial(n-1,n-(i+j+k))
これは
binomial(n+1-j,n-(i+j+k))
にしないずいけないず思いたす(䞭倮に䜿ったj本は残り本数に圱響したすが配眮に圱響したせん)。
よっおn=1,2,3, に察する構成数は
5,19,66,221,728,2380,7753,25213,81927,

のようになりたす。
n=2を手䜜業で数えおみるず、19で正しいこずがわかるず思いたす。
そしおこの数列はA005021にあり、挞化匏が
a[1]=5, a[2]=19, a[3]=66, a[n+3]=5a[n+2]-6a[n+1]+a[n]
ず曞かれおいたすので、これを解いお䞀般項は
a[n]=up^n+vq^n+wr^n
ただし
u={-(4√91)sin(arcsin(127√91/2366)/3)+7}/21
v={-(4√91)cos(arccos(-127√91/2366)/3)+7}/21
w={(4√91)cos(arccos(127√91/2366)/3)+7}/21
p={-(2√7)cos(arccos(-√7/14)/3)+5}/3
q={-(2√7)sin(arcsin(√7/14)/3)+5}/3
r={(2√7)cos(arccos(√7/14)/3)+5}/3
ずわかりたす。
# u,v,wは49x^3-49x^2-105x+1=0の3解、p,q,rはx^3-5x^2+6x-1=0の3解です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさんからの指摘を受けお改めお(数個のパタヌンでいいず勝手に思っおしたう悪い癖)
本の瞊線がある堎合に぀いお暪線がn本の堎合の構成数に぀いお調べおみたした。
n=1-->5
n=2-->19
n=3-->66
n=4-->221
n=5-->728
n=6-->2380
n=7-->7753
n=8-->25213

ここたででOEISのお䞖話になるずA005021がヒットした。

らすかるさんずn=3で違ったので
(i,j,k)
0,0,0= 1*1*4= 4
0,0,1= 1*1*6= 6
0,0,2= 1*1*4= 4
0,0,3= 1*1*1= 1
0,1,0= 1*1*3= 3
0,1,1= 1*2*3= 6
0,1,2= 1*3*1= 3
0,2,0= 1*1*2= 2
0,2,1= 1*3*1= 3
0,3,0= 1*1*1= 1
1,0,0= 1*1*6= 6
1,0,1= 1*1*4= 4
1,0,2= 1*1*1= 1
1,1,0= 2*1*3= 6
1,1,1= 2*2*1= 4
1,2,0= 3*1*1= 3
2,0,0= 1*1*4= 4
2,0,1= 1*1*1= 1
2,1,0= 3*1*1= 3
3,0,0= 1*1*1= 1

合蚈; 66
でチェックしおみたのですが、どうしおも67にはなれないのですが・・・?
あら修正されたんですね。安心したした。
A005021のコメントはRandom walksずなっおいるのでずおも驚いおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎05月29日 06:26)
合蚈2433件 (投皿422, 返信2011)

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