😊出会いの泉😊

問題の解釈とプログラムが正しければ
一つ目
解釈を間違えていたので計算し直したところ96401(8個)でした
二つ目
823199通り

ブラックホール素数

96401*18839=1816098439
96401*42743=4120467943
96401*48611=4686149011
96401*58511=5640518911
96401*71993=6940197193
96401*73019=7039104619
96401*87833=8467189033
96401*92801=8946109201

96401の8個が最強でしょうか？

私が思っていた最強ブラックホール素数はこの96401でした。

二つ目がらすかるさんと大きく違ってくるのですが
具体例を10個ほど並べて貰えますか？

最初の20個(5桁素数の小さい順そして6桁素数の小さい順)でこんな感じです。
10139*998687=10125687493
10141*999769=10138657429
10151*997793=10128596743
10151*999773=10148695723
10163*999599=10158924637
10169*998423=10152963487
10223*994769=10169523487
10243*990559=10146295837
10243*992809=10169342587
10247*993827=10183745269
10247*999959=10246579873
10253*991499=10165839247
10253*998399=10236584947
10259*990593=10162493587
10259*998681=10245468379
10267*997891=10245346897
10271*987809=10145786239
10271*996881=10238964751
10271*998411=10254679381
10273*994489=10216385497
また、最後の20個はこんな感じです。
99991*841549=84147326059
99991*851549=85147236059
99991*856553=85647591023
99991*860317=86023957147
99991*864427=86434920157
99991*871993=87191452063
99991*872609=87253046519
99991*876529=87645011239
99991*894097=89401653127
99991*928141=92805746731
99991*935537=93545280167
99991*938831=93874650521
99991*942437=94235218067
99991*946327=94624183057
99991*946607=94652180537
99991*950953=95086741423
99991*963497=96341028527
99991*968831=96874380521
99991*971933=97184552603
99991*974591=97450328681

10139*998687=10125687493
は
5桁の素数のディジット[0,1,1,3,9]
が
7桁の素数7のディジット[6,7,8,8,9,9]
を吸い込むと
[0,1,1,3,6,7,8,8,9,9,9]
の数字からできる11桁の数字ができるかとなると10125687493
なので確かに0～9の数字は揃っているがブラックホール的素数
とはなっていないと考えて下さい。
（このあたりの説明が不足していたことをお詫びします。)

これに対し
26849*471503=12659384047は
5桁の素数のディジット[2,4,6,8,9]が
7桁の素数のディジット[0,1,3,4,5,7]を呑み込んで
0～9が揃っていく。
このパターンで探して下さい。

後半もブラックホール素数とは全く思っておらず、問題文だけで判断してしまっていました。
（タイトルがブラックホール素数だから気づくべきだったかも知れませんね）
で、その条件なら79通りかと思います。
# 0～9のうちダブる数字が0,3,6,9だと3の倍数になってNG
# ダブる数字が1,2,4,5,7,8ならばどれでも大丈夫そうですが
# なぜかダブる数字が必ず4なので何かプログラムに問題があるかもと思って悩んでしまいました。
# でもきちんと論理的に考えると4しかあり得ないことがわかり、「79通り」に自信が持てました。

2桁、3桁、4桁でブラックホール素数が存在するか調べてみましたが、2桁では存在しませんでした。

3桁では、167,281,317,383,443,461,563,701,953,971の10個がブラックホール素数でした。

167*701=701*167=117067
281*443=443*281=124483
317*461=461*317=146137
383*971=971*383=371893
563*953=953*563=124483

吸収するのが1個なのでマイクロ・ブラックホールといったところでしょうか。また、167と701、281と443、317と461、383と971、563と953の5組は互いに対してブラックホール素数なので、ブラックホール連星といったところでしょうか。

4桁では、7793と9923が最強ブラックホール素数で、どちらも吸収するのは3個でした。

7793*4523=35247739
7793*8609=67089937
7793*9923=77329939

9923*4373=43393279
9923*5273=52323979
9923*7793=77329939

7793と9923は互いに対してブラックホール素数なので、ブラックホール連星といったところでしょうか。

> "らすかる"さんが書かれました:

> で、その条件なら79通りかと思います。
> # 0～9のうちダブる数字が0,3,6,9だと3の倍数になってNG
> # ダブる数字が1,2,4,5,7,8ならばどれでも大丈夫そうですが
> # なぜかダブる数字が必ず4なので何かプログラムに問題があるかもと思って悩んでしまいた。

私も79通りを並べたとき、すべてが4が重複しているパターンなので
なんでこうなるのだろうかと不思議でなりませんでした。
今でも謎は解けていません。

> # でもきちんと論理的に考えると4しかあり得ないことがわかり、「79通り」に自信が持てましました。

これは証明出来るもんですか？

はい、証明できます。
二つの素数が3n+1と3m+1の場合、桁の数字の和は3k+2となります。
一方、積は(3n+1)(3m+1)=3l+1なので桁の数字の和と合わず不適です。
二つの素数が3n+1と3m+2の場合、桁の数字の和が3の倍数となりますが
(3n+1)(3m+2)は3の倍数になりませんので不適です。
従って条件が成り立つためには二つの素数は両方とも3n+2型でなければなりません。
3n+2を9n+2,5,8の3つに分けて桁の数字の和と素数の積を考えると
9n+2と9m+2→桁の数字の和は9k+4、積は9l+4なので一致
9n+2と9m+5→桁の数字の和は9k+7、積は9l+1なので不一致
9n+2と9m+8→桁の数字の和は9k+1、積は9l+7なので不一致
9n+5と9m+5→桁の数字の和は9k+1、積は9l+7なので不一致
9n+5と9m+8→桁の数字の和は9k+4、積は9l+4なので一致
9n+8と9m+8→桁の数字の和は9k+7、積は9l+1なので不一致
のようになり、条件が成り立つとき桁の数字の和は必ず9k+4ですから、
重複する数字は4しかあり得ないことになります。
最初からこのことがわかっていれば、ブラックホール素数は必ず3n+2型なので
調べる素数を半分に減らせますね。

[1]
条件の解釈が正しければ
2 3 4 7 6 5 (素数4種類)
※5種類以上出来ないことは明らか
※これが正しいとしたら100までである必要はないような…

[2]
9と12と20でしょうか。

(追記)
もし「10連続自然数で条件を満たすのが不可能である最小のn1は9」で正しければ
n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647
のようになると思います。

n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647
のようになると思います。

とても自分での調査方法ではこんなn連続に対する状況は夢のまた夢の中にあります。
さすがにOEISには未登録にありますね。
でも素数の出現位置がほんとにランダムであることを示す一つの指標にある様に思われます。
なお[1]は
{2,3,4,5,6,7}→[2,3,4,7,6,5] ; 構成素数<5,7,11,13>
{5,6,7,8,9,10}→[5,6,7,10,9,8] ; 構成素数<11,13,17,19>
{50,51,52,53,54,55}→[50, 51, 52, 55, 54, 53] ; 構成素数<101,103,107,109>
{95,96,97,98,99,100}→[95, 96, 97, 100, 99, 98] ; 構成素数<191,193,197,199>
の4タイプの積りでしたが、それぞれ同じ配列タイプで可能なんですね。

また
[1,2,3,4,7,6,5,8,9,10]での配列では構成素数<3,5,7,11,13,17,19>
の7種類が発生するので、これをどこまで増やせるのか疑問に感じました。

> [1,2,3,4,7,6,5,8,9,10]での配列では構成素数<3,5,7,11,13,17,19>
> の7種類が発生するので、これをどこまで増やせるのか

増やせないと思います。
先頭をn、末尾をn+9とすると
最小の和は2n+1、最大の和は2n+17であり、奇数は
2n+1,2n+3,2n+5,2n+7,2n+9,2n+11,2n+13,2n+15,2n+17
の9個になります。
しかしこの中に必ず3の倍数が3個入ってしまいますので、
そのうち1個が3である場合が7種類で最大です。

> n連続自然数の場合、n=2,4,6,…30に対して最小のn1は
> 4,2,8,4,9,35,36,48,92,91,90,230,246,251,647

この先が気になったので今まで計算していました。
n=32,34,36,38,40に対して最小のn1は
646,645,644,643,1062
でした。
きちんと考えれば無駄な探索を大幅に減らすことができそうな
気はしますが、この数列自体それほど興味深いものでは
ないようなので、ここまでで終わりにしようと思います。

https://mathlog.info/articles/gZIAjg3NYuY3HzADwIYS
https://mathlog.info/articles/3652

を拝見しました。

N=4(=2^2)の場合はGF(4)(=GF(2^2))上のアフィン平面について、「私の備忘録 > カークマンの組分け」の中にあった「カークマン女学生麻雀大会」（平成３０年３月９日付け）の16人の女学生の場合の(v,b,r,k,λ)=(16,20,5,4,1)のブロックデザインにおいて記載されているように、

(0,0) (1,0) (a,0) (b,0)
(0,1) (1,1) (a,1) (b,1)
(0,a) (1,a) (a,a) (b,a)
(0,b) (1,b) (a,b) (b,b)

の16個の点を含みます。ここで、a^2+a+1=0,b=a+1です。

N=4の場合の射影平面ですが、有限体GF(4)上の3次元の同次座標を(x,y,z)とすると、z≠0の場合は、射影関係により有限体GF(4)上の2次元のアフィン座標(x/z,y/z)と対応して、16個の点からなり、z=0の場合は無限遠点で、(kx,ky,0)(k=1,a,b)を同一視すると、(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,a,0),(a,1,0)の5個の点からなるので、合計すると21(=4^2+4+1)個の点から成ります。
z≠0の場合は(kx,ky,kz)(k=1,a,b)を同一視するので、(x,y,1)で代表して、以下のように1～16の番号をつけます。

1:(0,0,1) 2:(1,0,1) 3:(a,0,1) 4:(b,0,1)
5:(0,1,1) 6:(1,1,1) 7:(a,1,1) 8:(b,1,1)
9:(0,a,1) 10:(1,a,1) 11:(a,a,1) 12:(b,a,1)
13:(0,b,1) 14:(1,b,1) 15:(a,b,1) 16:(b,b,1)

そして、残りの5個の無限遠点については、1-2-3-4を結ぶ「直線」の延長上の無限遠点に17という番号をつけ、以下、1-5-9-13,1-6-11-16,1-8-10-15,1-7-12-14を結ぶ「直線」の延長上の無限遠点に順次18,19,20,21と番号をつけていきます。

1:(0,0,1)- 2:(1,0,1)- 3:(a,0,1)- 4:(b,0,1)-17:(1,0,0)
1:(0,0,1)- 5:(0,1,1)- 9:(0,a,1)-13:(0,b,1)-18:(0,1,0)
1:(0,0,1)- 6:(1,1,1)-11:(a,a,1)-16:(b,b,1)-19:(1,1,0)
1:(0,0,1)- 8:(b,1,1)-10:(1,a,1)-15:(a,b,1)-20:(1,a,0)
1:(0,0,1)- 7:(a,1,1)-12:(b,a,1)-14:(1,b,1)-21:(1,b,0)

　この射影平面上の「直線」は以下の21本となります。

1-2-3-4-17,5-6-7-8-17,9-10-11-12-17,13-14-15-16-17,
1-5-9-13-18,2-6-10-14-18,3-7-11-15-18,4-8-12-16-18,
1-6-11-16-19,2-5-12-15-19,3-9-8-14-19,4-7-10-13-19,
1-8-10-15-20,2-7-9-16-20,3-6-12-13-20,4-5-11-14-20,
1-7-12-14-21,2-8-11-13-21,3-5-10-16-21,4-6-9-15-21,
17-18-19-20-21

21本の「直線」上にはいずれも5点が乗っており、「班編成」についての平成３０年１月２９日付けでのＧＡＩさんからのコメントで、「入居者n^2-n+1名の老人ホームではn人がグループで毎日散歩へ出掛けるルールがある。但し、道案内のため昨日散歩へ参加したn人のうち必ず1人は次の散歩グループの班長として次も参加するものとする。このことをn^2-n+1日間続けたとき、どの人も計n回散歩に出掛けたことになると言い、またどの人も他のn^2-n人と一緒に散歩したことがあると言った」のn=5の場合のグループの作り方に相当します。

GF(3)上の3次元射影空間のブロックデザインについては、「私の備忘録 > カークマンの組分け」の中にあった「カークマン女学生麻雀大会」（平成３０年３月９日付け）の40人の女学生の場合の(v,b,r,k,λ)=(40,130,13,4,1)の場合に相当します。

有限体GF(3)上の4次元の同次座標を(x,y,z,w)とすると、w≠0の場合は、射影関係により有限体GF(3)上の3次元のアフィン座標(x/w,y/w,z/w)と対応して、27個の点からなり、w=0の場合は無限遠点で、(x,y,z,0)と(2x,2y,2z,0)を同一視して13個の点からなるので、合計すると40(=3^3+3^2+3+1)個の点から成ります。

w≠0の場合は(kx,ky,kz,kw)(k=1,2)を同一視するので、(x,y,z,1)で代表して、以下のように1～27の番号をつけます。

1:(0,0,0,1) 2:(1,0,0,1) 3:(2,0,0,1)
4:(0,1,0,1) 5:(1,1,0,1) 6:(2,1,0,1)
7:(0,2,0,1) 8:(1,2,0,1) 9:(2,2,0,1)

10:(0,0,1,1) 11:(1,0,1,1) 12:(2,0,1,1)
13:(0,1,1,1) 14:(1,1,1,1) 15:(2,1,1,1)
16:(0,2,1,1) 17:(1,2,1,1) 18:(2,2,1,1)

19:(0,0,2,1) 20:(1,0,2,1) 21:(2,0,2,1)
22:(0,1,2,1) 23:(1,1,2,1) 24:(2,1,2,1)
25:(0,2,2,1) 26:(1,2,2,1) 27:(2,2,2,1)

残りの13個の無限遠点について以下のように28～40の番号をつけます。1-10-19を結ぶ直線の延長上の無限遠点に28という番号をつけ、以下、1-11-21,1-12-20,…の直線の延長上の無限遠点に順次29,30,…と番号をつけていきます。

1:(0,0,0,1)-10:(0,0,1,1)-19:(0,0,2,1)-28:(0,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-11:(1,0,1,1)-21:(2,0,2,1)-29:(1,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-12:(2,0,1,1)-20:(1,0,2,1)-30:(2,0,1,0)
1:(0,0,0,1)-13:(0,1,1,1)-25:(0,2,2,1)-31:(0,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-14:(1,1,1,1)-27:(2,2,2,1)-32:(1,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-15:(2,1,1,1)-26:(1,2,2,1)-33:(2,1,1,0)
1:(0,0,0,1)-16:(0,2,1,1)-22:(0,1,2,1)-34:(0,2,1,0)
1:(0,0,0,1)-17:(1,2,1,1)-24:(2,1,2,1)-35:(1,2,1,0)
1:(0,0,0,1)-18:(2,2,1,1)-23:(1,1,2,1)-36:(2,2,1,0)
1:(0,0,0,1)- 2:(1,0,0,1)- 3:(2,0,0,1)-37:(1,0,0,0)
1:(0,0,0,1)- 4:(0,1,0,1)- 7:(0,2,0,1)-38:(0,1,0,0)
1:(0,0,0,1)- 5:(1,1,0,1)- 9:(2,2,0,1)-39:(1,1,0,0)
1:(0,0,0,1)- 6:(2,1,0,1)- 8:(1,2,0,1)-40:(2,1,0,0)

無限遠点28には、直線1-10-19,2-11-20,3-12-21,4-13-22,5-14-23,6-15-24,7-16-25,8-17-26,9-18-27の9本の直線が通り、同様に無限遠点29～40についてもアフィン空間上の点から9本ずつの直線が通るので、まず、13×9＝117本の直線が含まれます。それに加えて、無限遠点を相互に結ぶ以下の13本の直線が追加されるので、合計130本の直線が含まれます。

37-38-39-40,28-29-30-37,28-31-34-38,
28-32-36-39,31-32-33-37,29-32-35-38,
34-35-36-37,30-33-36-38,28-33-35-40,
30-32-34-40,29-33-34-39,30-31-35-39,29-31-36-40

このようにしてつくった有限体GF(3)上の3次元射影空間は、40個の点と130本の直線を含んでいて、(40,4,1)-デザインとなり、任意の異なる2個の点に対し、その2個の点を全て含むブロックの元はちょうど1個であるという条件も満たすので、2-(40,4,1)-デザインとなります。

130本の直線を10本の直線からなる13組の平行類へ分類するパターンから、40人の女子学生の10卓への13日間の組み分けのパターンが得られるので、Magma Free Online Calculatorの力を借りて求めると、一例として、

1日目
{1,2,3,37},{10,14,18,39},{21,23,25,40},{4,13,22,28},{8,16,27,30},{9,12,24,31},{6,17,19,33},{5,11,26,34},{7,15,20,36},{29,32,35,38}
2日目
{16,17,18,37},{19,22,25,38},{1,6,8,40},{5,14,23,28},{3,10,20,29},{7,11,24,32},{2,13,27,33},{9,15,21,34},{4,12,26,36},{30,31,35,39}
3日目
{7,8,9,37},{20,23,26,38},{10,15,17,40},{2,12,19,29},{6,14,22,30},{1,13,25,31},{5,16,21,33},{3,18,24,34},{4,11,27,35},{28,32,36,39}
4日目
{19,20,21,37},{3,4,8,39},{12,14,16,40},{6,13,23,29},{7,18,26,30},{2,15,25,32},{9,11,22,33},{1,17,24,35},{5,10,27,36},{28,31,34,38}
5日目
{12,15,18,38},{19,23,27,39},{2,4,9,40},{8,17,26,28},{1,11,21,29},{5,13,24,30},{7,10,22,31},{6,16,20,32},{3,14,25,33},{34,35,36,37}
6日目
{1,10,19,28},{5,15,22,29},{9,17,25,30},{8,11,23,31},{3,13,26,32},{4,18,20,33},{6,12,27,34},{7,14,21,35},{2,16,24,36},{37,38,39,40}
7日目
{22,23,24,37},{11,14,17,38},{2,6,7,39},{9,16,26,29},{1,12,20,30},{3,15,27,31},{5,18,19,32},{4,10,25,34},{8,13,21,36},{28,33,35,40}
8日目
{10,11,12,37},{21,22,26,39},{3,5,7,40},{6,15,24,28},{8,18,25,29},{4,16,19,31},{1,14,27,32},{2,17,23,34},{9,13,20,35},{30,33,36,38}
9日目
{2,5,8,38},{20,24,25,39},{11,13,18,40},{3,12,21,28},{7,17,27,29},{4,15,23,30},{1,16,22,34},{6,10,26,35},{9,14,19,36},{31,32,33,37}
10日目
{25,26,27,37},{10,13,16,38},{1,5,9,39},{2,11,20,28},{4,14,24,29},{6,18,21,31},{7,12,23,33},{8,15,19,35},{3,17,22,36},{30,32,34,40}
11日目
{3,6,9,38},{11,15,16,39},{20,22,27,40},{2,14,26,31},{4,17,21,32},{8,10,24,33},{7,13,19,34},{5,12,25,35},{1,18,23,36},{28,29,30,37}
12日目
{4,5,6,37},{21,24,27,38},{12,13,17,39},{7,16,25,28},{3,11,19,30},{9,10,23,32},{1,15,26,33},{8,14,20,34},{2,18,22,35},{29,31,36,40}
13日目
{13,14,15,37},{1,4,7,38},{19,24,26,40},{9,18,27,28},{2,10,21,30},{5,17,20,31},{8,12,22,32},{3,16,23,35},{6,11,25,36},{29,33,34,39}

となります。

カークマンの話で出てきたアーサー・ケイリーですが、八元数のことをケイリー数ともいって、これは、ジョン・グレイヴスとは独立に八元数を発見したアーサー・ケイリーに因んでいます。八元数には7つの虚数単位がありますが、7つの虚数単位の相互の積を記憶する方法で、ファノ平面((7,3,1)-デザイン)が用いられています。

焦点(2,0),(1,√3),(1,-√3),(-1,√3),(-1,-√3),(-2,0)で
{(x-2)^2+y^2}{(x-1)^2+(y-√3)^2}{(x-1)^2+(y+√3)^2}
×{(x+1)^2+(y-√3)^2}{(x+1)^2+(y+√3)^2}{(x+2)^2+y^2}=c^12
c=1.9,1.98,2,2.02,2.1,2.6の場合を描画してみると、
c<2のとき、各焦点の周りに卵形ができる(赤色の曲線)。
c=2のとき、原点で交わる六つ葉型(緑色の曲線)。
c>2のとき、原点での交わりが消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

焦点(2,0),((-1+√5)/2,√(10+2√5)/2),((-1+√5)/2,-√(10+2√5)/2),
((-1-√5)/2,√(10-2√5)/2),((-1-√5)/2,-√(10-2√5)/2)で
{(x-2)^2+y^2}{(x-(-1+√5)/2)^2+(y-(√(10+2√5))/2)^2}{(x-(-1+√5)/2)^2+(y+(√(10+2√5))/2)^2}
×{(x-(-1-√5)/2)^2+(y-(√(10-2√5))/2)^2}{(x-(-1-√5)/2)^2+(y+(√(10-2√5))/2)^2}=c^10
c=1.9,1.98,2,2.03,2.1,2.6の場合を描画してみると、
c<2のとき、各焦点の周りに卵形ができる(赤色の曲線)。
c=2のとき、原点で交わる五つ葉型(緑色の曲線)。
c>2のとき、原点での交わりが消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

焦点(2,0),(0,0),(-2,0)で
{x^2+y^2}{(x-2)^2+y^2}{(x+2)^2+y^2}=c^6
c=1.3,1.4,(256/27)^(1/6)=1.4548…,1.5,1.6,1.7の場合を描画してみると、
c<(256/27)^(1/6)のとき、各焦点の周りに卵形ができる(赤色の曲線)。
c=(256/27)^(1/6)のとき、(√(4/3),0),(-√(4/3),0)で交差する閉曲線(緑色の曲線)。
c>(256/27)^(1/6)のとき、交差が消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

焦点(3,0),(1,0),(-1,0),(-3,0)で
{(x-1)^2+y^2}{(x+1)^2+y^2}{(x-3)^2+y^2}{(x+3)^2+y^2}=c^8
c=1.6,√3=1.732…,1.9,2,2.1,2.2,2.3の場合を描画してみると、
c<√3のとき、各焦点の周りに卵形ができる(紫色の曲線)。
c=√3のとき、原点で交差する8の字型の両側に卵形(赤色の曲線)。
√3<c<2のとき、原点での交差が消失し、中央の2つの卵形が融合(橙色の曲線)。
c=2のとき、(√5,0),(-√5,0)で交差する閉曲線(緑色の曲線)。
c>2のとき、交差が消失し、cが大きくなると凹みが少なくなる(青色の曲線)。

適当にプログラムを作って数えただけですが、20と9792でしょうか。

正解です。

この計算方法が面白く
M=[3C2,3C3,3C5,3C7]
```[5C2,5C3,5C5,5C7]
```[7C2,7C3,7C5,7C7]
```[9C2,9C3,9C5,9C7]

`` =[ 3, 1, 0, 0]
``` [10, 10, 1, 0]
``` [21, 35, 21, 1]
``` [36, 84, 126, 36]

の4×4の行列を使い,その行列式
matdet(M)より
=9792
で算出可能！

普通に数値計算すればよいだけなら、a^x+b^x=c^xの解は適当な初期値から
x←x-(a^x+b^x-c^x)/{(loga)a^x+(logb)b^x-(logc)c^x}
という漸化式で求めればよく、近似値(小数第61位を四捨五入)は
(1) 1.507126591638653133986883360838631164373994094485656896675364
(2) 2.487939173118174667543358494964101710715178304214349713989600
(3) 1.186814390280981717544988040147644615298932643889332006235330
(4) 1.672720934462332544585431252419794866784109546317415204907841

(3),(4)には明示的表示が可能となると思うんですが(1),(2)では無理ですかね？

あ、(3)(4)は解けるんですね。
(a^2)^x+(ab)^x=(b^2)^x
1+(b/a)^x=((b/a)^x)^2
(b/a)^x=(√5+1)/2
∴x=log((√5+1)/2)/log(b/a)
により
(3)はlog((√5+1)/2)/log(3/2)
(4)はlog((√5+1)/2)/log(4/3)
しかし(1)(2)は解ける方程式の形にならないので無理な気がします。
s(a^2)^x+t(ab)^x=u(b^2)^x
のように係数が掛かっていても解けますが、この形にもならないですよね。

hXXp://kuiperbelt.la.coocan.jp/n-gon/n-gon.html
拝読いたしました。

正11角形が作図できないこと、意外に思いました。

角の三等分器を利用すれば開立ができるのは正しいとして、
逆に角の三等分器を利用して新たにできるようになることは開立だけなんでしょうか？

なるほど、角の３等分が許されるとき m, n を非負整数として p が
p = (2^m)*(3^n) +1
と書けるならば
正 p 角形の作図が原理的には可能と。
p は 11 にはなり得ない。

興味深いことです。

[2017] で私が述べたことはちょっと甘すぎで認識誤り、
正しくは「ピアポント素数」(WIKIpedia) の項に書かれています。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%A2%E3%83%9D%E3%83%B3%E3%83%88%E7%B4%A0%E6%95%B0

m, n を非負整数としてp=(2^m)*(3^n)+1という形の素数をピアポント素数というのですね。
k個の素数p1,p2,p3,...,pk(p1<p2<p3<...<pk)に対して、(p1^n1)*(p2^n2)*(p3^n3)*...*(pk^nk)+1の形の素数を一般化ピアポント素数というそうです。ネウシス作図では、一般の角の三等分と、pがピアポント素数のときの正p角形の作図ができて、他に正11角形の作図もできるそうですが、p=(2^n1)*(3^n2)*(5^n3)+1の一般化ピアポント素数のときの正p角形の作図が可能かどうかは未解決問題なのだそうです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ネウシス作図

3の証明
時計の１２時の位置に点を選び、円周をＮ等分し、その点を選ぶ。
１２時の点から始め、一定の間隔ｄで対角線を結ぶと、
Ｎ回目に元の１２時の位置に戻ることができる。
Ｎｄ≡０(mod N) N'<Nでは、元に戻らない。
一区間の中心角は、２π/Nで、円周角は、π/Ｎである。
一方、その円周角は、区間（Ｎ－２ｄ）の円周角であり、Ｎ個ある。
星形図形の内角の総和＝
（π/Ｎ）＊（Ｎ－２ｄ）＊Ｎ＝（Ｎ－２ｄ）π
N>2dの条件は、同じ形の逆順を避けるためです。

４の証明
d=d'のとき、つまり、ｄがＮの約数、N=de
このとき、頂点がe個の多角形がｄ個できるので、
内角の総和＝ｄ＊（e-2）π＝（de-2d）π＝（Ｎ－２ｄ）π。

4の証明　ｄ＞ｄ’のとき
N/d',　d/d'は、ともに整数で、
頂点の数N/d'個、足跡の長さd/d'　の角は(N/d'-2d/d')πとなり、
同じ図形が、ｄ’個できるので、
出来る図形の内角の総和＝d’（N/d'-２d/d'）π
＝（N-２d）π。

5の証明
頂点表示：σ1,…σn,(o～n-1の置換)
足跡表示：d1,…dn、ｄ(i)=σ(i+1)-σ(i)、σ(n+1)=σ(1)
Σd(i)=Σ(σ(i+1)-σ(i))=0　（Σは、１～Ｎまで）
但し、σ(i)>σ(i+1)のとき、マイナスになるが、左回りで数えるので、
ｄ(i)をN+ｄ(i)に置き換えると、Σd(i)は、Nの倍数となる。
つまり、Σd(i)＝Nｄ（ｄは、平均値）
頂点角表示：e(i)=π/N(N-(d(i)+d(i+1)))
N-(d(i)+d(i+1)>0　(正の角、左回りの角なので,
同じ理由で、N/2>d(i+1),N/2>d(i))から)
円周角の総和＝Σe(i)=π/NΣ(N-(d(i)+d(i+1)))
　　　　　　＝π/N(N^2-Σ（d(i)+d(i+1)）)
　　　　　　＝π/N(N^2-2Nd)=(N-2d)π。
二か所修正しました。

6の証明
N＝n1＋…nk,nk>３のとき
各nkは、サイクルの図形なので、５の証明と同じ。
説明不足があれば、よろしくお願いします。