😊出会いの泉😊

図の
20→17
17→20
18→19
19→18
と入れ替えても大丈夫と思われます。

kuiperbeltさんが書かれた解は条件を満たしていない気がします。
C1の円周上: 22+38+33+28+18+19+13+8+3+23 = 205
C2の円周上: 21+39+32+29+17+18+12+9+2+22 = 201
C3の円周上: 25+40+31+30+16+17+11+10+1+21 = 202
C4の円周上: 24+36+35+26+20+16+15+6+5+25 = 208
C5の円周上: 23+37+34+27+19+20+14+7+4+24 = 209
GAIさんが書かれたように入れ替えれば全部205になりますので、
「入れ替えても大丈夫」ではなく「入れ替えないとダメ」だと思います。

ご指摘のとおり転記ミスだったので訂正しておきます。

GAIさんの「超円方陣」は3つの同心円に5つの円が交差するように、かつ、5つの円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる40個の交点に、1～40の数を、2つの円の交点である2点に和が41となるように配置すると、円上の10点の総和が205の定和となるというものでした。
これを一般化して、n個の同心円に(n+2)個の円が交差するように、かつ、(n+2)個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる2(n+1)(n+2)個の交点に、1～2(n+1)(n+2)の数を、2つの円の交点である2点に和が2(n+1)(n+2)+1となるように配置すると、円上の2(n+2)点の総和が(n+2)(2(n+1)(n+2)+1)の定和となるという(2n+2)円陣を考えてみました。
n=1の場合は4円陣で、1つの円に3個の円が交差するように、かつ、3個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる12個の交点に、1～12の数を、2つの円の交点である2点に和が13となるように配置すると、円上の6点の総和が39の定和となるというもので、「魔方陣の世界(大森清美)」のp.274の右側の4円陣で円の大小関係を調整したものに相当します。
n=2の場合は6円陣で、2個の同心円に4個の円が交差するように、かつ、4個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる24個の交点に、1～24の数を、2つの円の交点である2点に和が25となるように配置すると、円上の8点の総和が100の定和となるというもので、「魔方陣の世界(大森清美)」のp.275の左側の6円陣で円の大小関係を調整したものに相当します。
n=3の場合の8円陣が、GAIさんの「超円方陣」となります。
n=4の場合は10円陣で、4個の同心円に6個の円が交差するように、かつ、6個の円のうち隣り合う2つの円も交差するように配置したときにできる60個の交点に、1～60の数を、2つの円の交点である2点に和が61となるように配置すると、円上の12点の総和が366の定和となるというものです。

4円陣

6円陣

プログラムが正しければ
1≦x＜y≦200では
(x,y,h,w)=(70,119,30,56),(74,182,21,70),(87,105,35,63),(100,116,35,80),(119,175,40,105)
の5組 (wも5通り)
1≦x＜y≦1000では 組合せは77通り、wは53通り
ついでに
1≦x＜y≦10000では 組合せは1440通り、wは632通り
1≦x＜y≦100000では 組合せは18612通り、wは6423通り

(追記)
ちなみに形を考えてhとwの比に注目してみると
100000まででh/wが最大であるものは
(57739,87989,34713,6061) (h/w≒5.73)
100000まででw/hが最大であるものは
(10817,23999,206,10815) (w/h=52.5)
後者は梯子が10.817mとして道幅との差が2mmなので
実際には無理そうですね。
また
100000まででy/xが最大であるものは
(169,7081,118,119) (y/x≒41.9)
最小であるものは
(83259,83358,2378,83160) (y/x≒1.0012)
となっていました。

自分なりに調査して、正解はこうかな？
の状態で出題してるので、らすかるさんからの解答と同じものでやっとほっとします。
5/5=1
53/77=0.68831168831･･･
632/1440=0.43888888888･･･
6423/18612=0.34509993552･･･
で割合いが減少していくんだな。

解を眺めると、最小解の定数倍のものが多く本質的に異なる解ではないので
gcd(x,y,h,w)=1の解に限ると
200まで: 組合せ5通り、道幅5通り
1000まで: 組合せ28通り、道幅23通り
10000まで: 組合せ263通り、道幅221通り
100000まで: 組合せ1613通り、道幅1283通り
のようになっていました。
1000までの組合せは以下の通りです。
(x,y,h,w)=(87,105,35,63),(100,116,35,80),(70,119,30,56),(119,175,40,105),(74,182,21,70),
(182,210,45,168),(156,219,44,144),(113,238,14,112),(175,273,90,105),(104,296,35,96),
(175,364,80,140),(58,401,38,40),(273,420,80,252),(187,429,72,165),(425,442,70,408),
(375,500,144,300),(195,533,120,117),(286,561,90,264),(533,650,90,520),(87,663,55,63),
(663,689,168,585),(365,715,176,275),(625,750,126,600),(275,814,70,264),(583,825,210,495),
(845,870,306,600),(429,915,275,165),(697,986,126,680)

確かに最小解の定数倍のものもカウントされてしまっていますね。

gp > 23/28.
%210 = 0.82142857142857142857142857142857142857142857142857
gp > 221/263.
%211 = 0.84030418250950570342205323193916349809885931558935
gp > 1283/1613.
%212 = 0.79541227526348419094854308741475511469311841289523
で逆に同じwに対する2通りのパターン数の比率は余り変わらないのかも。

1000までの範囲では
w=63には(x,y,h)=(87,105,35),(87,663,55)
w=105には(x,y,h)=(119,175,40),(175,273,90)
w=165には(x,y,h)=(187,429,72),(429,915,275)
w=264には(x,y,h)=(275,814,70),(286,561,90)
w=600には(x,y,h)=(625,750,126),(845,870,306)
がそれぞれ2通りのパターンが起こるんですね。
w=63の2パターンは87も共通で興味深いです。

両極に次の2つの数字を配置しておけば、他の6組の和を=>での値（自然数)にする残りの数字がちょうど2度ずつ出現するような
6組の6個ずつの数字の組合せは山ほど構成可能となると思います。
1;1,2=>69
2;1,5=>68
3;1,8=>67
4;1,11=>66
5;1,14=>65
6;1,17=>64
7;1,20=>63
8;2,4=>68
9;2,7=>67
10;2,10=>66
11;2,13=>65
12;2,16=>64
13;2,19=>63
14;3,6=>67
15;3,9=>66
16;3,12=>65
17;3,15=>64
18;3,18=>63
19;4,5=>67
20;4,8=>66 (例の図のパターン)
21;4,11=>65
22;4,14=>64
23;4,17=>63
24;4,20=>62
25;5,7=>66
26;5,10=>65
27;5,13=>64
28;5,16=>63
29;5,19=>62
30;6,9=>65
31;6,12=>64
32;6,15=>63
33;6,18=>62
34;7,8=>65
35;7,11=>64
36;7,14=>63
37;7,17=>62
38;7,20=>61
39;8,10=>64
40;8,13=>63
41;8,16=>62
42;8,19=>61
43;9,12=>63
44;9,15=>62
45;9,18=>61
46;10,11=>63
47;10,14=>62
48;10,17=>61
49;10,20=>60
50;11,13=>62
51;11,16=>61
52;11,19=>60
53;12,15=>61
54;12,18=>60
55;13,14=>61
56;13,17=>60
57;13,20=>59
58;14,16=>60
59;14,19=>59
60;15,18=>59
61;16,17=>59
62;16,20=>58
63;17,19=>58
64;19,20=>57

1～９にこだわってみました。

(15768/3942)×(12345/9876)=13485/2697

(18534/9267)×(17469/5823)=34182/5697

(17469/5823)×(31689/4527)×(65934/1782)=748251/963=615384/792


なお昔ここに投稿されていた記事をメモしていたノートを見直していたら
たぶん2017年ごろ
DD++氏が
e≈(1+.2^(3^84))^(5^(9^(6*7)))
を投稿されていたと思います。
またこれを
(1+9^(-4^(6*7)))^(3^(2^85))
(1+2^(-76))^(4^38+.5)
等にもでき、円周率πも
π≈2^5^.4-.6-(.3^9/7)^.8^.1
(((2^7+8)/(90-1))^5.4+.6)*.3 (りらひい氏発見）
(8-(1+.6/(.2*.5+9))/(.3+7))*.4 (らすかる氏発見）
などの常連さんの驚くべき技が紹介されていました。

「小町算で無理数近似」の記事ですかね。

> "DD++"さんが書かれました:
> 「小町算で無理数近似」の記事ですかね。

この部分を読み返していたら
ネイピア数と小数点以下8368澗4289溝8906穣8425秭9438垓1759京0916兆4450億0188万7164桁まで一致する近似値
の精度がどうやって導けたのかの謎が
マクローリン展開が
1/e*(1+x)^(1/x)=1-1/2*x+11/24*x^2-7/16*x^3+2447/5760*x^4-959/2304*x^5+O(x^6)
これから
e-(1+x)^1/x≒1/2*e*x
これにx=.2^(3^84)=(1/5)^(3^84) なる微小な値を取ることで
両辺のlog[10]をとると右辺が
gp > log(exp(1)/2)/log(10)-3^84*log(5)/log(10)
%139 = -8368428989068425943817590916445001887164.5053429251
正にeとの誤差が
1/10^(8368428989068425943817590916445001887164)
つまり
8368澗4289溝8906穣8425秭9438垓1759京0916兆4450億0188万7164桁まで一致ということを示す。
という計算なのですね。

整理すると
e+o+r+z=0
e+n+o=1
o+t+w=2
2e+h+r+t=3
f+o+r+u=4
e+f+i+v=5
i+s+x=6
2e+n+s+v=7
e+g+h+i+t=8
e+i+2n=9
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
それぞれの文字が含まれる方程式の数を数えて個数の昇順にすると
1個: g,u,x,z
2個: f,h,l,s,w
3個: r
4個: i,o,v
5個: n,t
10個: e
g,u,x,zは一度しか登場しないので
e+o+r+z=0
f+o+r+u=4
i+s+x=6
e+g+h+i+t=8
の4つは後回しで残りは
e+n+o=1
o+t+w=2
2e+h+r+t=3
e+f+i+v=5
2e+n+s+v=7
e+i+2n=9
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
残った方程式で再度個数を数えると
1個: f,h,r,s
2個: i,l,o,w
4個: t,v
5個: n
8個: e
f,h,r,sは一度しか登場しないので
2e+h+r+t=3
e+f+i+v=5
2e+n+s+v=7
の3つは後回しで残りは
e+n+o=1
o+t+w=2
e+i+2n=9
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
残った方程式で再度個数を数えると
1個: i
2個: l,o,v,w
3個: t
4個: n
5個: e
iは一度しか登場しないので
e+i+2n=9
は後回しで残りは
e+n+o=1
o+t+w=2
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
2e+l+t+v+w=12
残った方程式で再度個数を数えると
2個: l,o,v,w
3個: n,t
4個: e
2の式から1の式を引いてoを消去
t+w-e-n=1
12の式からこの式を引いてwを消去
3e+l+n+v=11
これは11の式と同じなので残った式は
e+n+t=10
3e+l+n+v=11
nとtを固定して
e=10-n-t
11の式に代入してeを消去
l+v=2n+3t-19
後回しにした式にvは登場しlは登場しないのでvを固定して
l=2n+3t-v-19
12の式のeにe=10-n-tとl=2n+3t-v-19を代入してwを算出すると
w=11-2t
2の式にw=11-2tを代入してoを算出すると
o=t-9
9の式から
i=t-n-1
7の式から
s=2n+2t-n-v-13
5の式から
f=2n-v-4
3の式に未知数h,rが同時に登場するので登場回数の多いrを固定して
h=2n-r+t-17
後は最初に後回しにした4式から
z=n-r-1
u=v-2n-r-t+17
x=v-3t+20
g=r-2t+16
以上から
n,r,t,vは固定
e=10-n-t
f=2n-v-4
g=r-2t+16
h=2n-r+t-17
i=t-n-1
l=2n+3t-v-19
o=t-9
s=n+2t-v-13
u=v-2n-r-t+17
w=11-2t
x=v-3t+20
z=n-r-1
元の式に代入すると0～12が出てすべて正しいので、後は
条件(-11～11)を満たすようにn,r,t,vを定めればよいのだが、
解は多数ありそうなので適当な解一つだけにする。
絶対値が最小になるように適当に値を決めると
(e,f,g,h,i,l,n,o,r,s,t,u,v,w,x,z)=
(1,4,5,-3,0,4,4,-4,-1,1,5,5,0,1,5,4)
※o+t=9なので絶対値を4以下にするのは不可能

もし異なるアルファベットには異なる整数(-11～11も含む)という条件が加わると
どれほどの組合せの可能性が発生するもんですか？

その場合は3通りですね。
(e,f,g,h,i,l,n,o,r,s,t,u,v,w,x,z)=
(-2,-6,0,-7,7,9,2,1,4,3,10,5,6,-9,-4,-3),
(-1,-4,5,-11,6,8,2,0,7,3,9,1,4,-7,-3,-6),
(3,9,6,1,-4,0,5,-7,-6,-1,2,8,-3,7,11,10)
-10～10ならば1通りでした。

16個の変数で13個の方程式から通常では変数の中の3つを固定して(定数とみる。)
13変数の連立方程式として解こうとしていきたいが、これを行列Mを利用して
いくとき、正にその係数を基とする行列がmatdet(M)=0 となってしまい、
またmatrank(M)を調べたとき12を返されたのはこの事だったのですね。
でもどの2つの式から、既存の式が産み出せるのかわからなかった。
全ての流れを詳しく示して頂き目的の組合わせが3つも知れたのはラッキーでした。

追伸
この技をいろいろ試していたら
[ E, F, G, H, I, L, N, O, R, S, T, U, V, W, X, Z]=
1;[3/4, 15/4, 3, -11/4, 5/4, 6, 7/2, -13/4, -3/2, 11/4, 23/4, 5, -3/4, -1/2, 2, 4]
2;[9/4, 17/4, 3, -17/4, 7/4, 5, 5/2, -15/4, -5/2, 13/4, 21/4, 6, -13/4, 1/2, 1, 4]
などの分数による対応でも可能な組合せも生まれてきました。

こちらのオハナシの続編ですか？

http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1164.html

200までの素数での全解(上にある解も含む)
5個組
[13,59,67,131,163] と [23,31,103,109,167]
[11,59,71,149,173] と [23,29,101,131,179]
[19,79,101,173,191] と [23,61,131,149,199]
[31,67,103,149,197] と [37,53,127,131,199]
6個組
[19,29,53,73,97,107] と [17,37,43,83,89,109]
[19,29,83,103,157,167] と [13,47,59,127,139,173]
[43,47,101,109,163,167] と [37,59,83,127,151,173]
[29,31,103,107,179,181] と [19,53,71,139,157,191]
[43,53,107,127,181,191] と [37,71,83,151,163,197]
ちなみに200を超えた次の解は
5個組
[61,79,151,197,227] と [67,71,157,191,229]
6個組
[19,53,89,157,193,227] と [17,67,73,173,179,229]

# 昔作ったプログラムがまだ残っていました。

過去この話題についての投稿があっていましたね。
一般にProuhet-Tarry-Escott problem と呼ばれることもあり、特に使う数を素数に限定するものが
何か特別に見えて面白いと思っていました。
と言うのも一般での整数では公式が存在できるので、幾つも組合せが発見できるが素数ではそうはいかなくなる。
ふと過去のノートを整理していたら、この素数に関する2組の解を見ていたら、他の解は有るんのか？
の疑問がわき実際にパソコンで探してみたら思ったものより多くの組合せが存在していることに驚いたのでした。
本に紹介されているのは、特にその中にある最小数での組合せとなっていることにしかないのかと認識でき
では探せるだけ探してみようと挑戦を始めてみたのが投稿の動機でした。
なにせ冪数が高まれば高まるだけ探索範囲が指数関数的に増大していき、ちょっとやそっとでは有限時間では
探し出せなくなって壁に突き当たってしまった状態になっております。

らすかるさんありがとうございます。
３乗までの発見できるプログラム（一分位での計算時間では終了した。)
の延長の意味での4乗での検索では3日計算し続けても一つも発見できずにいました。
200までの素数での結果を知るまでの時間はどれほどなんですか？

結果を点検していたら
5乗までの和を等しく6個組の最小組
S1=[19,29,53,73,97,107] と
S2=[17,37,43,83,89,109]
に対し
M1=[-22,-17,-5,5,17,22]
M2=[-23,-13,-10,10,13,23]
なる対照的配列と
q=2,r=63
の定数を選べば
S1[n]=q*M1[n]+r
S2[n]=q*M2[n]+r
(n=1,2,3,4,5,6)
の関係で結ばれるようです。

また
S1=[19,53,89,157,193,227]
S2=[17,67,73,173,179,229]
なら
M1=[-52,-35,-17,17,35,52]
M2=[-53,-28,-25,25,28,53]
q=2,r=123
となるようです。

時間測ってなかったので再度実行して確かめたところ、
5個組で20秒、6個組で3分半でした。

38123*45097=1719232931 ですか？

あと
56809*76529=4347535961
78623*91243=7173798389
78443*94079=7379838997

(1) 256/693
(2)1/2772
(3)11411/2520-2*log(2)-Pi
だと思います。

(1),(2)
は
一般に
∫[x=0,1](x*(1-x))^ndx=∫[x=0,1](1-x^2)^ndx/4^n
=Beta(n+1,n+1)
但し
Beta(s,t)=Γ(s)*Γ(t)/Γ(s+t)
(ベータ関数)
で繋がっていて
gp > bestappr(intnum(x=0,1,(1-x^2)^5))
%470 = 256/693
gp > bestappr(intnum(x=0,1,(1-x^2)^5)/4^5)
%471 = 1/2772
gp > bestappr(intnum(x=0,1,(x*(1-x))^5))
%472 = 1/2772
gp > Beta(s,t)=gamma(s)*gamma(t)/gamma(s+t);
gp > bestappr(Beta(6,6))
%475 = 1/2772


(3)は
∫[x=0,1]x^n/(1+x^2)dx=∫[t=0,Pi/4]tan(t)^ndt
の置換積分で
そこで
gp > (x*(1-x))^5
%476 = -x^10 + 5*x^9 - 10*x^8 + 10*x^7 - 5*x^6 + x^5
=(5*x^9+10*x^7+x^5)-(x^10+10*x^8+5*x^6)

ここで
I=∫[x=0,1](x*(1-x))^5/(1+x^2)dx
ここで
x=tan(t) と置くとdx=dt/cos(t)^2=dt*(1+tan(t)^2)=dt*(1+x^2)
x=0-->t=0 ; x=1-->t=Pi/4
よって
I=∫[t=0,Pi/4](5*tan(t)^9+10*tan(t)^7+tan(t)^5)dt
-∫[t=0,Pi/4](tan(x)^10+10*tan(t)^8+5*tan(t)^6)dt
=5*(1/2*log(2)-7/24)+10*(-1/2*log(2)+5/12)+(1/2*log(2)-1/4)
-(-1/4*Pi+263/315)-10*(1/4*Pi-76/105)-5*(-1/4*Pi+13/15)
=11411/2520-2*log(2)-Pi
(この計算はほとほとめんどくさい。)

gp > intnum(x=0,1,(x*(1-x))^5/(1+x^2))
%480 = 0.00028758846491931730606697697874715425500493507898685
gp > 11411/2520-2*log(2)-Pi
%481 = 0.00028758846491931730606697697874715425500493507898685

私もベータ関数で考えました。

(1)については、

∫[x=0→1](1-x^2)^5dx=(1/2)∫[x=-1→1]((1+x)*(1-x))^5dx
=∫[t=0→1](2t*2(1-t))^5dt=2^10*Β(6,6)=2^10*Γ(6)^2/Γ(12)
=2^10*(5!)^2/(11!)=1024/2772=256/693
となりますが、

(2)については、

∫[x=0→1](x*(1-x))^5dx=∫[x=0→1](x^5*(1-x)^5)dx
=Β(6,6)=Γ(6)^2/Γ(12)=(5!)^2/(11!)=(5*4*3*2*1)/(11*10*9*8*7*6)
=1/(11*2*3*2*7*3)=1/2772
となるのではないでしょうか。

(3)については、∫[x=0→1](x*(1-x))^n/(1+x^2)dx (n=1,2,3,4,5)を順次求めてみました。

(x(1-x))/(1+x^2)=(x-x^2)/(1+x^2)=(x+1)/(1+x^2)-1
より
∫[x=0→1](x*(1-x))/(1+x^2)dx=∫[x=0→1]((x+1)/(1+x^2)-1)dx
=ln(2)/2+π/4-1

(x(1-x))^2/(1+x^2)=((x+1)/(1+x^2)-1)*(x(1-x))
((x+1)x(1-x))/(1+x^2)=(x-x^3)/(1+x^2)=2x/(1+x^2)-x
より
∫[x=0→1](x*(1-x))^2/(1+x^2)dx=∫[x=0→1](2x/(1+x^2)-x-x(1-x))dx
=ln(2)-Β(2,1)-Β(2,2)=ln(2)-Γ(2)Γ(1)/Γ(3)-Γ(2)^2/Γ(4)
=ln(2)-(1!*0!)/2!-(1!)^2/(3!)=ln(2)-1/2-1/6=ln(2)-2/3

(x(1-x))^3/(1+x^2)=(2x/(1+x^2)-x-x(1-x))*(x(1-x))
(x^2(1-x))/(1+x^2)=(x^2-x^3)/(1+x^2)=(x-1)/(1+x^2)-(x-1)
より
∫[x=0→1](x*(1-x))^3/(1+x^2)dx
=∫[x=0→1](2(x-1)/(1+x^2)+2(1-x)-x^2(1-x)-x^2(1-x)^2)dx
=ln(2)-π/2+2Β(1,2)-Β(3,2)-Β(3,3)
=ln(2)-π/2+2Γ(1)Γ(2)/Γ(3)-Γ(3)Γ(2)/Γ(5)-Γ(3)^2/Γ(6)
=ln(2)-π/2+2*(0!1!)/2!-(2!1!)/4!-(2!)^2/5!
=ln(2)-π/2+1-1/12-1/30=ln(2)-π/2+53/60

(x(1-x))^4/(1+x^2)=(2(x-1)/(1+x^2)+2(1-x)-x^2(1-x)-x^2(1-x)^2)*(x(1-x))
-(x-1)^2*x/(1+x^2)=-x*(1-2x+x^2)/(1+x^2)=2x^2/(1+x^2)-x=-2/(1+x^2)+2-x
より
∫[x=0→1](x*(1-x))^4/(1+x^2)dx
=∫[x=0→1](-4/(1+x^2)+4-2x+2x(1-x)^2-x^3(1-x)^2-x^3(1-x)^3)dx
=-π+4Β(1,1)-2Β(2,1)+2Β(2,3)-Β(4,3)-Β(4,4)
=-π+4Γ(1)^2/Γ(2)-2Γ(2)Γ(1)/Γ(3)+2Γ(2)Γ(3)/Γ(5)-Γ(4)Γ(3)/Γ(7)-Γ(4)^2/Γ(8)
=-π+4(0!)^2/1!-2(1!0!)/2!+2(1!2!)/4!+(3!2!)/6!-(3!)^2/7!
=-π+4-1+1/6-1/60-1/140=-π+22/7

(x(1-x))^5/(1+x^2)=(-4/(1+x^2)+4-2x+2x(1-x)^2-x^3(1-x)^2-x^3(1-x)^3)*(x(1-x))
(x(1-x))/(1+x^2)=(x-x^2)/(1+x^2)=(x+1)/(1+x^2)-1
より
=∫[x=0→1](-4(x+1)/(1+x^2)+4+4x(1-x)-2x^2(1-x)+2x^2(1-x)^3-x^4(1-x)^3-x^4(1-x)^4)dx
=-2*ln(2)/2-π+4Β(1,1)+4Β(2,2)-2Β(3,2)+2Β(3,4)-Β(5,4)-Β(5,5)
=-2*ln(2)/2-π+4Γ(1)^2/Γ(2)+4Γ(2)^2/Γ(4)-2Γ(3)Γ(2)/Γ(5)+2Γ(3)Γ(4)/Γ(7)-Γ(5)Γ(4)/Γ(9)-Γ(5)^2/Γ(10)
=-2*ln(2)/2-π+4(0!)^2/1!+4(1!)^2/3!-2(2!1!)/4!+2(2!3!)/6!-(4!3!)/8!-(4!)^2/9!
=-2*ln(2)/2-π+4+2/3-1/6+1/30-1/280-1/630=-2*ln(2)-π+11411/2520

> "kuiperbelt"さんが書かれました:
> 私もベータ関数で考えました。

(3)もベータ関数に繋がるんですね。
参考にn=6,7,8,9,10
でやってみました。
I6=38429/13860-4*ln(2)
I7=2*π-4*ln(2)-421691/120120
I8=4*π-188684/15015
I9=8*ln(2)+4*π-17069771/942480
I10=16*ln(2)-1290876029/116396280

管理人さんの解答と数値が合わなくて悩んでましたが、やっぱり (2) は 1/2772 ですよね？

(1)と(2)はベータ関数なんて持ち出さなくても、5回部分積分すれば高校生でもすぐ答えられる問題ですね。

(1)
∫[x=0->1] (1-x^2)^5 dx
= (1/2) ∫[x=-1->1] (1+x)^5*(1-x)^5 dx
= (1/2)*(5/6) ∫[x=-1->1] (1+x)^6*(1-x)^4 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7) ∫[x=-1->1] (1+x)^7*(1-x)^3 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8) ∫[x=-1->1] (1+x)^8*(1-x)^2 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9) ∫[x=-1->1] (1+x)^9*(1-x) dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9)*(1/10) ∫[x=-1->1] (1+x)^10 dx
= (1/2)*(5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9)*(1/10)*(1/11)*2^11
= 256/693

(2) (1) と同様にして
∫[x=0->1] (x*(1-x))^5 dx
= (5/6)*(4/7)*(3/8)*(2/9)*(1/10)*(1/11)*1^11
= 1/2772

(3)
まず、
(x*(1-x))^5 = (1+x^2)Q(x) + ax + b
とおき、x = ±i を代入すると、
-4 - 4i = b + ai
-4 + 4i = b - ai
となるので、a = b = -4

また、
∫[x=0->1] 1/(1+x^2) dx = π/4（x=tanθの置換積分による）
と
∫[x=0->1] 2x/(1+x^2) dx = log2
が成り立ちます。

よって、
∫[x=0->1] (x*(1-x))^5/(1+x^2) dx
= ∫[x=0->1] {x^5*(1-x)^5+4x+4}/(1+x^2) dx - 4 ∫[x=0->1] 1/(1+x^2) dx - 2 ∫[x=0->1] 2x/(1+x^2) dx
= Σ[n=0->∞] ∫[x=0->1] {x^(2n+5)*(1-x)^5+4*x^(2n+1)+4*x^(2n)}*(-1)^n dx - π - 2log2
= Σ[n=0->∞] {120/((2n+11)(2n+10)(2n+9)(2n+8)(2n+7)(2n+6))+4/(2n+2)+4/(2n+1)}*(-1)^n - π - 2log2
= Σ[n=0->∞] {-1/(2n+11)+5/(2n+10)-10/(2n+9)+10/(2n+8)-5/(2n+7)+1/(2n+6)+4/(2n+2)+4/(2n+1)}*(-1)^n - π - 2log2
= 4/1 + 4/2 - 4/3 - 4/4 + 4/5 + 5/6 - 9/7 + 5/8 - 1/9 - π - 2log2
= 11411/2520 - π - 2log2

最後の1行は手計算じゃ厳しい……。

11411/2520の正体が
4/1 + 4/2 - 4/3 - 4/4 + 4/5 + 5/6 - 9/7 + 5/8 - 1/9
であることには驚きました。
(x*(1-x))^6,(x*(1-x))^7
に現れる分数値
38429/13860、- 421691/120120
についてDD++さんの巧みな方法を参考に探すと
2 + 4/3 - 7/4 - 3/5 + 1/7 + 14/9 + 1/11 = 38429/13860
- 6 + 7/3 + 6/5 + 8/7 - 7/8 - 20/11 + 17/12 - 1/13 = - 421691/120120
によって構成されてくることになるんですね。
なおkuperbeltさんのベータ関数利用では
2 + 2/3 + 2/15 - 1/30 + 1/140 - 1/1260 - 1/2772 = 38429/13860
- 4 + 1/3 +2/15 + 1/35 - 1/140 + 1/630 - 1/5544 - 1/12012 = - 421691/120120
の構成になるようです。
しかしそもそも
∫[x=0,1]1/(x^2+1)dx=∑[n=0,oo]((-1)^n*∫[x=0,1]x^(2*n)dx)
∫[x=0,1]x/(x^2+1)dx=∑[n=0,oo](-1)^n*∫[x=0,1](x^(2*n+1)dx)
∫[x=0,1]x^2/(x^2+1)dx=∑[n=0,oo]((-1)^n*∫[x=0,1]x^(2*n+2)dx)
∫[x=0,1]x^s*(1-x)^sdx=∑[n=0,oo]((-1)^n*∫[x=0,1]x^(2*n+s)*(1-x)^sdx)
なんて式がどこから思いつけるんですか？

単純に、
1/(1+x^2) がいやだなあ……
→x か 1-x だけを因数に持つものの総和で書けたらなあ……
→初項 1 で公比 -x^2 の無限等比級数に展開すれば、それできるじゃん！
というだけです。

ところで、あとから気がついたんですが、普通に x^5*(1-x)^5 を 1+x^2 で割った商を普通に積分すれば同じ内容の分数の和に帰着するっぽいですね。
式変形頑張ったの、あんまり意味なかった疑惑。