以下の話はどこかで既出かもしれませんが……
概要のみ書きます。
三角形ABCの形に切った紙を用意して直線PS,PQ,SRで紙を折り返すことで、
3つの三角形APS,PBQ,CSRの面積の合計と長方形PQRSの面積を比較する。
折った後の紙の先端A,B,Cの位置をA',B',C'とする。
(あ) A'が長方形PQRSの内部にあるとき。
折った後の3つの三角形は、長方形全体を覆っていて、かつ
長方形の内側で紙が二重になっているところがある（A',B',C'を結んだ内側の領域）。
また、B'近辺やC'近辺が長方形の外部に出る場合もある。
よって、3つの三角形の面積の合計は長方形の面積より大きい。
すなわち、長方形PQRSの面積は元の三角形ABCの面積の半分より小さい。
(い) A'が線分QR上にあるとき。
A',B',C'は同じ点となり、
折った後の3つの三角形を合わせるとちょうど長方形と一致する。
よって、3つの三角形の面積の合計は長方形の面積と等しい。
すなわち、長方形PQRSの面積は元の三角形ABCの面積の半分である。
(う) A'が長方形PQRSの外部にあるとき。
折った後の3つの三角形は、長方形全体と
長方形外部にできる三角形A'B'C'を合わせたものである。
よって、3つの三角形の面積の合計は長方形の面積より大きい。
すなわち、長方形PQRSの面積は元の三角形ABCの面積の半分より小さい。
(あ),(い),(う)より、長方形の面積が最大になるのは(い)の場合で、
このときの長方形PQRSの面積は三角形ABCの面積の1/2である。
あとは何らかの方法で三角形ABCの面積がわかればよい。
きちんとした解答にするためには、
・折り紙ではなく、線対称な点として議論する。
・点Pにおける角度の議論から3点P,A',B'が一直線上にあることを示す。3点S,A',C'も同様。
・面積の不等式を作るために、図形をちゃんと分割する。
などが必要で、結構面倒くさいです。
なお、この方法は∠B,∠Cが鋭角ならばどんな三角形でも使えます。
[再々訂正]
数列{c(n)}は
c(0)=1,c(1)=1,c(n)=10*c(n-1)-c(n-2)+4
でした。
何度も申し訳ありませんです。
数列{a(n)},{b(n)}を
a(0)=0,a(1)=1,a(n)=6*a(n-1)-a(n-2)+2
b(0)=0,b(1)=1,b(n)=6*b(n-1)-b(n-2)
で定義するとn=1,2,3,･･･
に対し
{a(n)};1,8,49,288,1681,･･･
{b(n)};1,6,35,204,1189,･･･
が並んでいく。
この2つの数は次の関係でつながっている。
1+2+3+･･･+a(n)=b(n)^2
即ち
1=1^2
1+2+3+･･･+8=6^2
1+2+3+･････+49=35^2
1+2+3+･･･････+288=204^2
1+2+3+･････････+1681=1189^2
･･･････････
同じく
数列{c(n)},{d(n)}を
c(0)=1,c(1)=1,c(n)=10*c(n-1)-c(n-2)+4 (n=1,2,3,･･･)
d(0)=1,d(1)=11,d(n)=10*d(n-1)-d(n-2) (n=0,1,2,3,･･･)
で定義すると
{c(n)};1,13,133,1321,13081,･･･
{d(n)};1,11,109,1079,10681,･･･
が並んでいく。
この2つの数は次の関係でつながっている。
1^5+2^5+3^5+･･･+c(n)^5=平方数
かつ
c(n)^2+(c(n)+1)^2=(d(n)-1)^2+d(n)^2+(d(n)+1)^2
即ち
1^5=1^2
かつ
1^2+2^2=0^2+1^2+2^2
1^5+2^5+3^5+･･･+13^5=1001^2
かつ
13^2+14^2=10^2+11^2+12^2
1^5+2^5+3^5+･････+133^5=971299^2
かつ
133^2+134^2=108^2+109^2+110^2
1^5+2^5+3^5+･･･････+1321^5=942162299^2
かつ
1321^2+1322^2=1078^2+1079^2+1080^2
1^5+2^5+3^5+･････････+13081^5=913896491101^2
かつ
13081^2+13082^2=10680^2+10681^2+10682^2
･････････････････････････････
と思ってもない関係でつながっている。
http://shochandas.xsrv.jp/angle3/angle4.htm
での記事から
△ABCで各Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとし
AB=a,AC=b とするとき
AD=2*a*b*cos(A/2)/(a+b)
なる公式を示してあるが、これはa,bに対する調和平均dが
1/d=1/2*(1/a+1/b)
即ち
d=2*a*b/(a+b)
に縮小率cos(A/2)を掛けたものと解釈される。
ここに調和平均の幾何的解釈として
x-y平面でx軸上の点A(a,0)
y軸上にP(0,d)をとり、これからx軸に平行に距離bだけ離れた点B(b,d)
を取ると、4点O(原点),A(a,0),B(b,d),P(0,d)
を囲む台形は半径d/2の円が内接できる。
即ち
2つの平行な長さa,bの間隔を調和平均で出すdで離してやっておけば
この中にピタリ半径d/2の内接円が収まり、その間隔ｄを最後に∠BACの二等分角度
A/2に対するcos量のcos(A/2)で縮小してやればADの距離が与えられると解釈される。
http://shochandas.xsrv.jp/urawaza/angle.htm
を元にいろいろ計算をしていたら
三角形ABCで各Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとするとき
ADの長さはBD=m,CD=nであるなら
AD=2*m*n*cos(A/2)/(m*cos(B)+n*cos(C))
=2*m*n*sin((B+C)/2)/((m*cos(B)+n*cos(C))
で求められる。
というものに出会っていったのですが
これって妥当性を持ちますかね？
(理由)
AB=a,AC=bとし
DよりAB,ACへ下した垂線の足をE,Fとすると
AD^2=a*b-m*n
であるので
これが成立することから
△BDE+△CDF=1/2*m*n*sin(A) (∵△ABC=2*△AED+△BDE+△CDF)
一方
△BDE=1/2*BD*DE*sin(Pi/2-B)=1/2*m*AD*sin(A/2)*cos(B)
△CDF=1/2*CD*DF*sin(Pi/2-C)=1/2*n*AD*sin(A/2)*cos(C)
この２つを上式へ代入して整理すれば
1/2*AD*sin(A/2)*(m*cos(B)+n*cos(C))=1/2*m*n*sin(A)
よって
AD=2*m*n*cos(A/2)/(m*cos(B)+n*cos(C))
=2*m*n*sin((B+C)/2)/((m*cos(B)+n*cos(C))
が導けた。
「中学入試問題に挑戦！」のこの問題、以下のようにすれば試行錯誤をだいぶ減らせますかね？
両辺を 9 で割った余りを考えると、
使った 9 個の数字の合計を 9 で割った余りが 6 。
これに P を加えると 10 個の数字の合計が 45 になるわけだから、P=3 です。
そして、H=0 より 3≦B+E+H≦17 なので、百の位への繰り上がりが 1 で確定で、A+D+G=19 です。
C+F+I=22 の場合 B+E+H=1 となり不適。
よって C+F+I=12 で B+E+H=11 とわかります。
C=6 とH=0 を考慮すると、
A+D+G=19
B+E=11
F+I=6
ですが、この中で 1 を使うには F+I を 1+5 か 5+1 にするしかありません。
すると、B+E は 2+9 か 4+7 か 7+4 か 9+2 となり、
残る A+D+G は、2+8+9 か 4+7+8 の順番を入れ替えたものとなります。
よって ABC が最小になるのは
ABC=246, DEF=871, GHI=905, P=3
ABC=246, DEF=875, GHI=901, P=3
ABC=246, DEF=971, GHI=805, P=3
ABC=246, DEF=975, GHI=801, P=3
の 4 パターンで、いずれの場合も B=4, P=3 です。
おじさんは全検索で出すしかなく
246;871;905
246;875;901
246;971;805
246;975;801
276;841;905
276;845;901
276;941;805
276;945;801
426;791;805
426;795;801
426;891;705
426;895;701
496;721;805
496;725;801
496;821;705
496;825;701
726;491;805
726;495;801
726;891;405
726;895;401
796;421;805
796;425;801
796;821;405
796;825;401
826;491;705
826;495;701
826;791;405
826;795;401
846;271;905
846;275;901
846;971;205
846;975;201
876;241;905
876;245;901
876;941;205
876;945;201
896;421;705
896;425;701
896;721;405
896;725;401
946;271;805
946;275;801
946;871;205
946;875;201
976;241;805
976;245;801
976;841;205
976;845;201
の全部で48パターンがあり
ABCの最小となるのが始めの4個ですよね。
これを小学6年生が解くのか！
数学の力は年齢には全く関係しないことを改めて感じ入ったことでした。
三角形ABCがあり、辺BCがx-y座標平面上のx軸上にあり、頂点Aはy軸の正の部分にあるものとする。
今x軸の正の部分と線分AB,ACの傾きをそれぞれm1,m2と表すとき、角Aの二等分線が辺BCと交わる点をDとしたとき
各(m1,m2)の値に対するADの線分の傾きmがどの様な値となるか見つけてほしい。
(1)(m1,m2)=(1/7,-1)
(2)(m1,m2)=(1/2,-2)
(3)(m1,m2)=(1/3,-3)
(4)(m1,m2)=(1/4,-4)
(5)(m1,m2)=(1,-5)
「線分AB,ACの傾きをそれぞれm1,m2と表す」ならば普通の意味でわかるのですが、
「x軸の正の部分と線分AB,ACの傾きをそれぞれm1,m2と表す」の「x軸の正の部分と」は
どういう意味を持っているのでしょうか。無視して大丈夫ですか？
今、新幹線で帰宅しました。
ｍの値の可能性として、(1)３、(2)３、(3)２、(4)5/3、(5)（３+√１３）/２ でしょうか？
新幹線の中から返信しようとしたら、「不正アクセス」としてはじかれてしまいました。
普段の環境では返信できるので、多分新幹線内のFreeWifiが悪さをしたものと思われます。
らすかるさんへ
「x軸の正の部分と」のコメントはいらないですね。ついなす角度とごっちゃになっていました。
管理人さんへ
-1/2は？
（３-√１３）/２は惜しいか。
できたら何番がどの答えかをお願いします。
正解です。
一般式は
{m1*m2-1-√((m1^2+1)*(m2^2+1))}/(m1+m2)
でしょうか。
個別に出していたので、こんな式で表せるとは思ってもいませんでした。
これはAB とACが直角なら(m1*m2=-1)
m=(1+m1)/(1-m1)
の式に還元できるので、
m1=1 ==>m=∞
m1=1/2 ==>m=3
m1=2 ==>m=-3
m1=1/3 ==>m=2
････････
と対応していくから、BCを直径とする円を利用してm1での値を使って
作図することで各Aでの二等分線が引けることができたり、他にも応用が出来そうですね。
2022年4月10日でのNHK特集21時よりの放映で
望月新一氏のABC予想の証明についての番組を見ていたのですが
解説を望月氏にお願いしても、一般の方に解説することは高度な内容を
含みとても不可能と判断するとのことで、解説を辞退しますとのコメントが
あったのが面白かった。
この番組の中で整数a,b,c(=a+b)に対し
c/rad(c)<rad(a*b)
という関係式が出ていたのですが、
（rad(n);ｎの異なる素因数の積）
実験してみると
単純に常にこの関係式が成立するかと言えば、そうではなく例えば
a;b =>c/rad(c) VS rad(a*b)
2;126=>64 VS 42
2;160=>27 VS 10
3;125=>64 VS 15
3;144=>7 VS 6
3;189=>32 VS 21
4;108=>8 VS 6
4;121=>25 VS 22
4;124=>64 VS 62
4;192=>14 VS 6
4;196=>20 VS 14
･･････････
の様に反するパターンも出てきた。（しかし圧倒的には成立していく）
何らかの条件付きがあるのであろう。
また次の様なパターンは一致していく。
4;128=>2 VS 2
18;162=>6 VS 6
25;125=>5 VS 5
36;144=>6 VS 6
72;108=>6 VS 6
100;200=>10 VS 10
掛け算は足し算より簡単という表現をされていたのも（足し算は遺伝子を破壊する）
興味を引いた。
またこの証明をするために、トポロジーの発想が異なるものを同一視するものに対し
同じものを異なるものに分解し、これとは全く逆の発想で（宇宙際タイヒミュラー理論）
新しい数学理論を構築していったという経緯の解説もされていた。
もしこの理論が正しいならあのフェルマーの大定理
a^n+b^n=c^n (n>2)
には整数解が存在しない。
も数行で証明可能とのコメントがされていた。
確かにABC予想とはこのn=1
に相当する考察なので、そんなのも有かな程度しか感じられませんでしたが･･･
いずれにせよ、人間の考える力とそれに関わっている人の途方もない
発想力にただただ驚くばかりでした。
新掲示板開設おめでとうございます。
投稿のテストです。
[1]
三角形ABCの各辺(延長線を含む)上にない点Oをとると、
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB) = 1
が成り立つことを証明してください。
[2]
三角形ABCの各頂点を通らずかつ各辺と平行でない直線lをとり、
直線lと直線BC, 直線lと直線CA, 直線lと直線ABの交点をそれぞれP, Q, Rとすると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
が成り立つことを証明してください。
管理人さん
解いてくださりありがとうございます。
私が用意していた解答よりシンプル明快でとても参考になりました。（特に[2]のほう）
私の解答例はこちら
[1]
例①
点Oから三角形ABCの頂点A,B,Cへおろした垂線の足をそれぞれD,E,Fとする。
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((OF/OB) / (OD/OB)) * ((OD/OC) / (OE/OC)) * ((OE/OA) / (OF/OA))
= 1
例②
正弦定理を使うと、
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((AO/AB*sin∠AOB) / (OC/BC*sin∠BOC)) * ((BO/BC*sin∠BOC) / (OA/CA*sin∠COA)) * ((CO/CA*sin∠COA) / (OB/AB*sin∠AOB))
= 1
例③
(sin∠ABO / sin∠OBC) * (sin∠BCO / sin∠OCA) * (sin∠CAO / sin∠OAB)
= ((1/2*AB*BO*sin∠ABO) / (1/2*OB*BC*sin∠OBC)) * ((1/2*BC*CO*sin∠BCO) / (1/2*OC*CA*sin∠OCA)) * ((1/2*CA*AO*sin∠CAO) / (1/2*OA*AB*sin∠OAB))
= (△ABO / △OBC) * (△BCO / △OCA) * (△CAO / △OAB)
= 1
[2]
例①
∠ABQ=∠RBQ または ∠ABQ+∠RBQ=π のいずれかが成り立つことと正弦定理より
sin∠ABQ = sin∠RBQ = QR/BQ*sin∠BRQ
が成り立つ。同様にして、
sin∠QBC = sin∠QBP = PQ/BQ*sin∠BPQ
sin∠BCR = sin∠PCR = RP/CR*sin∠CPR
sin∠RCA = sin∠RCQ = QR/CR*sin∠CQR
sin∠CAP = sin∠QAP = PQ/AP*sin∠AQP
sin∠PAB = sin∠PAR = RP/AP*sin∠ARP
が成り立つ。
また、∠BPQ=∠CPR または ∠BPQ+∠CPR=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠CQR = sin∠AQP
sin∠ARP = sin∠BRQ
もわかる。よって、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB)
= (sin∠RBQ / sin∠QBP) * (sin∠PCR / sin∠RCQ) * (sin∠QAP / sin∠PAR)
= ((QR/BQ*sin∠BRQ) / (PQ/BQ*sin∠BPQ)) * ((RP/CR*sin∠CPR) / (QR/CR*sin∠CQR)) * ((PQ/AP*sin∠AQP) / (RP/AP*sin∠ARP))
= (sin∠BRQ * sin∠CPR * sin∠AQP) / (sin∠BPQ * sin∠CQR * sin∠ARP)
= 1
例②
[1]より、
(sin∠ABQ / sin∠QBP) * (sin∠BPQ / sin∠QPA) * (sin∠PAQ / sin∠QAB) = 1 …[あ]
(sin∠ACR / sin∠RCP) * (sin∠CPR / sin∠RPA) * (sin∠PAR / sin∠RAC) = 1 …[い]
が成り立つ。
また、∠QBC=∠QBP または ∠QBC+∠QBP=π のいずれかが成り立つことなどから、
sin∠QBC = sin∠QBP
sin∠BCR = sin∠RCP
sin∠BPQ = sin∠CPR
sin∠QPA = sin∠RPA
sin∠CAP = sin∠PAQ
sin∠PAB = sin∠PAR
sin∠QAB = sin∠RAC
が成り立ち、これらを[あ],[い]に代入して[あ]÷[い]を計算すると、
(sin∠ABQ / sin∠QBC) * (sin∠BCR / sin∠RCA) * (sin∠CAP / sin∠PAB) = 1
を得る。
（４） ■×■×■■＋■■－■■■
2*3*19+89-103
（５） ■－■■－■■■＋■■■
3-11-103+211
（１０） ■－■×■■■＋■■■■
2-3*307+1019
他山ほどのパターンが作れますね。
問題の条件が、「１から９までの数字を１個づつ」となっているので、
何れも解にはならないですね！
あれ～この条件をすっ飛ばしていた！
再チャレンジ
（４） ■×■×■■＋■■－■■■
2*7*41+89-563
（５） ■－■■－■■■＋■■■
3-29-461+587
（１０） ■－■×■■■＋■■■■
7-2*683+1459
