😊出会いの泉😊

とりあえずパッと思いつくのは
a=10010, b=1001, c=1002001
ですが、もっと小さいのがありますかね？

但し1≦a≦b≦cであるとする。
の条件に合わないので、これも含んでお願いします。
最小とコメントしていたんですが、最小に少し自信が無くなったのでa>10000
であるものを探して下さい。できれば3組ほど。

「最小」というのは、「aが最小」ですか？それとも「cが最小」ですか？

aがでおねがいします。

あ、問題を読み飛ばしちゃってました。
失礼しました。

aの小さい順だと
10010^3+17290^3=2484300^2
10054^3+13178^3=1817904^2
10065^3+23010^3=3633525^2
ですかね。

最小に自信がなくなったとコメントしたのは、bの探索範囲を広げてみたら
10016^3+2153440^3=3160088064^2
なるものが出現したので、もっと広げてやれば10010が最小とは限らないんじゃないのかな？
と疑問をもったためでした。
bの探索範囲を広げて行けば時間が掛かってしまうし･････
で３個と問い直しました。

と思っていたら
(10016,2153440,3160088064)=(626*4^2,134590*4^2,49376376*4^3)
なので既約ではありませんでした。
他のaでは
10080^3+15120^3=2116800^2( しかしこれは既約にならない。)
(10080,15120,2116800)=(70*12^2,105*12^2,1225*12^3)
10082^3+231886^3=111668232^2 (これも既約でない。）
(10082,231886,111668232)=(2*71^2,46*71^2,312*71^3)
10089^3+1169298^3=1264410081^2 (これも既約でない。）
(10089,1169298,1264410081)=(1121*3^2,129922*3^2,46830003*3^3)

ですのでaが10000を超えて既約候補の3個は上のものですね。

続きは
10122^3+149961^3=58081023^2
10129^3+1244420^3=1388195367^2
10147^3+115997^3=39519864^2
10166^3+17342^3=2503228^2
10185^3+234934^3=113877127^2
10199^3+182693^3=78094534^2
10270^3+13430^3=1872300^2
となるようですね。


ちなみに一部の解は手計算でも出せます。
例えば2つの素数11と19を使って
11^3+19^3=8190=2×3^2×5×7×13
平方要素を除くと 2×5×7×13=910
11×910=10010, 19×910=17290なので
10010^3+17290^3=(11^3+19^3)×910^3
=(2×3^2×5×7×13)×(2×5×7×13)^3
=(2^2×3×5^2×7^2×13^2)^2=2484300^2

17と29を使うと
17^3+29^3=29302=2×7^2×13×23
平方要素を除くと 2×13×23=598
17×598=10166, 29×598=17342なので
10166^3+17342^3=(17^3+29^3)×598^3
=(2×7^2×13×23)×(2×13×23)^3
=(2^2×7×13^2×23^2)^2
=2503228^2

# 最初の2数は素数である必要はありません。
# 例えば15と346から
# 10185^3+234934^3=113877127^2
# が得られます。

また、この方法を使えば単純探索では厳しいようなかなり大きい値の解の例も算出できます。
例えば271と314を使うと
271^3+314^3=50861655=3^3×5×13×73×397
平方要素を除くと 3×5×13×73×397=5651295
271×5651295=1531500945, 314×5651295=1774506630なので
1531500945^3+1774506630^3=(271^3+314^3)×5651295^3
=(3^3×5×13×73×397)×(3×5×13×73×397)^3
=(3^3×5^2×13^2×73^2×397^2)^2
=95811405531075^2

面白い構成方法ですね。（よくこんな方法を思いつけますね。）
10129^3+1244420^3=1388195367^2
は7 と860
10166^3+17342^3=2503228^2
は17と29
10270^3+13430^3=1872300^2
は13と17
から構成できますね。
でもこれで出来たり、出来なかったりすることもまた面白いです。

＜追伸＞
探索範囲を広げれば
いやいや、これで全部作れてしまいますね。
10054^3+13178^3=1817904^2は
457 と599
10065^3+23010^3=3633525^2は
671 と1534
10122^3+149961^3=58081023^2は
482 と 7141
10147^3+115997^3=39519864^2は
139 と1589
10199^3+182693^3=78094534^2は
1457 と26099

この構成方法に気づきましたので、10100より大きい解はこの方法のプログラムを作って調べました。
2数をs,t（s≦t）としたとき、tは+1ずつですが、sは例えばaの範囲が10000～10300とするならば
s=4000やs=6000などを調べる必要がない（整数倍して10000～10300の範囲にならない）ので
結構高速化できました。
（具体的には、sを+1ずつして[10000/s]=[10299/s]になったらs/[10000/s]まで飛ばしてよい）

s;tを変化させて一気に構成してみました。
1;2=>1^3 + 2^3 = 3^2
1;3=>7^3 + 21^3 = 98^2
1;4=>65^3 + 260^3 = 4225^2
1;5=>14^3 + 70^3 = 588^2
1;6=>217^3 + 1302^3 = 47089^2
1;7=>86^3 + 602^3 = 14792^2
1;8=>57^3 + 456^3 = 9747^2
1;9=>730^3 + 6570^3 = 532900^2
1;10=>1001^3 + 10010^3 = 1002001^2
1;11=>37^3 + 407^3 = 8214^2
1;12=>1729^3 + 20748^3 = 2989441^2
1;13=>2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
1;14=>305^3 + 4270^3 = 279075^2
1;15=>211^3 + 3165^3 = 178084^2
1;16=>4097^3 + 65552^3 = 16785409^2
1;17=>546^3 + 9282^3 = 894348^2
1;18=>5833^3 + 104994^3 = 34023889^2
1;19=>35^3 + 665^3 = 17150^2
1;20=>889^3 + 17780^3 = 2370963^2
1;21=>9262^3 + 194502^3 = 85784644^2
1;22=>10649^3 + 234278^3 = 113401201^2
1;23=>2^3 + 46^3 = 312^2
1;24=>553^3 + 13272^3 = 1529045^2
1;25=>15626^3 + 390650^3 = 244171876^2
1;26=>217^3 + 5642^3 = 423801^2
1;27=>4921^3 + 132867^3 = 48432482^2
1;28=>21953^3 + 614684^3 = 481934209^2
1;29=>2710^3 + 78590^3 = 22032300^2
1;30=>27001^3 + 810030^3 = 729054001^2
2;3=>70^3 + 105^3 = 1225^2
2;4=>4^3 + 8^3 = 24^2
2;5=>266^3 + 665^3 = 17689^2
2;6=>28^3 + 84^3 = 784^2
2;7=>78^3 + 273^3 = 4563^2
2;8=>260^3 + 1040^3 = 33800^2
2;9=>1474^3 + 6633^3 = 543169^2
2;10=>14^3 + 70^3 = 588^2
2;11=>2678^3 + 14729^3 = 1792921^2
2;12=>868^3 + 5208^3 = 376712^2
2;13=>10^3 + 65^3 = 525^2
2;14=>86^3 + 602^3 = 14792^2
2;15=>6766^3 + 50745^3 = 11444689^2
2;16=>228^3 + 1824^3 = 77976^2
2;17=>9842^3 + 83657^3 = 24216241^2
2;18=>730^3 + 6570^3 = 532900^2
2;19=>1526^3 + 14497^3 = 1746507^2
2;20=>4004^3 + 40040^3 = 8016008^2
2;21=>18538^3 + 194649^3 = 85914361^2
2;22=>148^3 + 1628^3 = 65712^2
2;23=>974^3 + 11201^3 = 1185845^2
2;24=>6916^3 + 82992^3 = 23915528^2
2;25=>386^3 + 4825^3 = 335241^2
2;26=>2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
2;27=>39382^3 + 531657^3 = 387735481^2
2;28=>1220^3 + 17080^3 = 2232600^2
2;29=>48794^3 + 707513^3 = 595213609^2
2;30=>844^3 + 12660^3 = 1424672^2
3;4=>273^3 + 364^3 = 8281^2
3;5=>114^3 + 190^3 = 2888^2
3;6=>9^3 + 18^3 = 81^2
3;7=>1110^3 + 2590^3 = 136900^2
3;8=>33^3 + 88^3 = 847^2
3;9=>63^3 + 189^3 = 2646^2
3;10=>3081^3 + 10270^3 = 1054729^2
3;11=>4074^3 + 14938^3 = 1844164^2
3;12=>585^3 + 2340^3 = 114075^2
3;13=>417^3 + 1807^3 = 77284^2
3;14=>8313^3 + 38794^3 = 7678441^2
3;15=>126^3 + 630^3 = 15876^2
3;16=>12369^3 + 65968^3 = 16999129^2
3;17=>3705^3 + 20995^3 = 3050450^2
3;18=>1953^3 + 11718^3 = 1271403^2
3;19=>20658^3 + 130834^3 = 47416996^2
3;20=>24081^3 + 160540^3 = 64432729^2
3;21=>774^3 + 5418^3 = 399384^2
3;22=>1281^3 + 9394^3 = 911645^2
3;23=>36582^3 + 280462^3 = 148693636^2
3;24=>57^3 + 456^3 = 9747^2
3;25=>11739^3 + 97825^3 = 30623138^2
3;26=>52809^3 + 457678^3 = 309865609^2
3;27=>6570^3 + 59130^3 = 14388300^2
3;28=>65937^3 + 615412^3 = 483076441^2
3;29=>4578^3 + 44254^3 = 9314704^2
3;30=>9009^3 + 90090^3 = 27054027^2
･･･････････････

sとtが互いに素でない場合は「既約な組」になりませんので、互いに素でないものは除いた方が良いかも知れません。

チェバの定理とメネラウスの定理は射影幾何の定理ではありませんし、双対の関係ではないと思います。

私が今年の4月に投稿した問題
（
https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/36
または
お茶の時間　＞　パズル＆クイズ　＞　三角形のある等式
）
は、厳密には双対ではないのでしょうけれど、それぞれの定理の双対を意識して作った問題です。
[1]がメネラウスの定理に対応し、[2]がチェバの定理に対応しています。

折り紙を使うと角の３等分はおろか５等分もできるらしいですね。

定木とコンパスとでは出来ない正１１角形の作図もできるとか。
↓
https://core.ac.uk/download/pdf/59041733.pdf

平面に３点A,B,Cをとり、今角∠ABCを３等分することを試みる。
但し定規に２つの傷、もしくは目印としてP,Qの２点をマジックで印を付けておく。
①；直線AB上に点BからPQの距離と同じ長さとなるように、そこに点Oをとる。
② ; 点Oを通り直線BCに平行な線ODを引く。
③ ; 点Oを中心として半径OB(=PQ)である円を描く。
④ ; 定規を点Bを通る様にして、点Pが円と点Qが直線ODと重なる様に調整したら定規に線BEを引く。
　　(説明のために円と直線(=OD)との交点をそれぞれP,Qと名付ける。)

以上の作業から
△OPQ,△OBPは二等辺三角形より
∠POQ=∠PQO=θ　なら
∠OPB=∠OBQ=2θ　で
また平行から
∠OQB=∠CBQ=θ
これから
∠ABC=3θ

したがって角∠ABCの３等分線の一つは直線BEであり
後は角∠ABE=2θを従来のやり方でこれを２等分すればよい。

＊定規の目的を直線をただ引くという役目に、ちょっと手を加えるだけで全てが変化する
　ことが面白いです。

> 後は角∠ABE=2θを従来のやり方でこれを２等分すればよい。

せっかくいろいろ補助線がありますので、これを利用して
Qを中心としてPを通る円を描いて、円OとのPでない交点をFとすれば
BFがもう一つの三等分線になりますね。

> ④ ; 定規を点Bを通る様にして、点Pが円と点Qが直線ODと重なる様に調整したら定規に線BEを引く。

この条件を満たす定規の角度は全部で 6 つあります。
2 つは点 Q を点 O におき、定規を直線 AB に重ねて置く方法、
1 つは点 P を点 B に重ね、点 Q は点 O と異なるところに置く方法。
この 3 つは明らかに目的の線ではないので除外するとして、
残り 3 つのうちどの線を使って作図すればよいのでしょうか？

鋭角の場合は内角に 1 つと外角に 2 つなので内角にあるやつを選択すればいいとしても、鈍角の場合は内角に 2 つあります。

鈍角の場合は鋭角である外角を三等分したのちに三等分線から外側に60°の角度をとれば
鈍角の三等分線ができますので、鋭角だけ三等分できれば十分とも言えますね。

x[1]=2-√3
x[2]=(√3-1)/2
x[3]=(3-√3)/3
x[4]=√3/3
x[5]=(3-√3)/2
x[6]=√3-1

y[1]=(3-√2)/7
y[2]=(4-√2)/7
y[3]=(3+√2)/7
y[4]=(4+√2)/7
でしょうか。

またもや全問正解です。

２次無理数を有理数へ写像するアイデアをよく思いつくものですね。
というわけで

[0,1]区間で
?(x)=x
を満たすxは0,1/2,1以外にも存在していますが、その値は？
理屈的にはこの値は２次無理数のはずですよね。

0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
という値になりますが、これは2次無理数ではないですね。
（もしxが2次無理数なら?(x)は有理数なので?(x)=xにはなりません）

そうか！
例の不動点の小数第37位までを作る２次無理数で
gp > (sqrt(3219756132232550086641835218537)-1054710584836911)/(2*879764482467118)
%67 = 0.42037233942322307564099300664622187395
が作れたのでてっきり可能だろうと思ってしまった。
?(x)関数は連続ではないんですね。Pi/4や∛2などの点では繋がらない。
数ってどんだけあるんだってことですね。

ちなみに
1-0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
=0.57962766057677692435900699335377812605･･･
も不動点となりますね。

> ?(x)関数は連続ではないんですね。

連続関数と書かれています。
Pi/4などの数でも、上と下から有理数で押さえれば?(x)もいくらでも近い値になりますので、
その有理数の極限として表されるPi/4もその間の値として定義され、連続になりますね。

S1 = π/(2√3)
S2 = π/√6
S3 = π/3
S4 = log(2+√3)/√3
かな？

全て正解です。
(4)はasinh(√3)/√3　(asinh(x)はハイパボリックアークサイン)の式でも可です。

調和数列が、発散することから、
等差数列の逆数和も発散する。
公差がいくつでも、間が空いても、発散する。

等差数列の逆数和も発散する。
だが符号を交互にした交代級数にすると収束できます。
初項を1、公差をdにすると
d=1; S1=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+･････=log(2)
d=2; S2=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+･････=π/4
d=3; S3=1-1/4+1/7-1/10+1/13-1/16+･････=(π+√3*log(2))/(3*√3)
d=4; S4=1-1/5+1/9-1/13+1/17-1/21+･････=√2/8*(π+2*log(1+√2))
d=5; S5=1-1/6+1/11-1/16+1/21-1/26+･････=(2*log(2)+√(2+2/√5)*π+√5*log((3+√5)/2))/10
d=6; S6=1-1/7+1/13+1/19-1/25+1/31-1/37+･････=0.9037717737487720468･････
d=7; S7=0.91547952683･････
d=8; S8=0.92465170577･････
d=9; S9= 0.93203042415･････

S6とS8は
S6=(π+(√3)log(2+√3))/6
S8=(√(4+2√2)π+√(2-√2)log(7-4√2+2√(20-14√2))+√(2+√2)log(7+4√2+2√(20+14√2)))/16
と書けますね。

どうしてS7を飛ばしてS8（これも結構複雑）を出されたのだろうと
何気にS7へ挑戦していたら、たっぷりと時間をとられて

S7=1/7*(log(2)-2*sin(π/14)*log(2*sin(3*π/14))-2*cos(π/7)*log(2*sin(π/14))+2*sin(3*π/14)*log(2*cos(π/7)))+π/28*tan(π/14)+1/tan(π/14))

なる決して美しくはない式でした。

なるべく統一して
t=sin(π/14)と置いて
S7=1/7*(log(2)-2*t*log(2*(3*t-4*t^3))-2*(1-2*t^2)*log(2*t)+2*(3*t-4*t^3)*log(2*(1-2*t^2)))+π/(28*t*sqrt(1-t^2))

で少しはショートに

S7の式をこねくり回して何とかきれいな形にしたところ、
S3,S5,S7,S9は同じ形で書けることがわかりました。

S3=(2/3){π/(4sin(π/3))
-cos(π/3)log(sin(π/6))}

S5=(2/5){π/(4sin(π/5))
-cos(π/5)log(sin(π/10))
-cos(3π/5)log(sin(3π/10))}

S7=(2/7){π/(4sin(π/7))
-cos(π/7)log(sin(π/14))
-cos(3π/7)log(sin(3π/14))
-cos(5π/7)log(sin(5π/14))}

S9=(2/9){π/(4sin(π/9))
-cos(π/9)log(sin(π/18))
-cos(3π/9)log(sin(3π/18))
-cos(5π/9)log(sin(5π/18))
-cos(7π/9)log(sin(7π/18))}

n=2m+1（m≧1）のとき
Sn=(2/n){π/(4sin(π/n))-Σ[k=1～m]cos((2k-1)π/n)log(sin((2k-1)π/(2n)))}
が成り立ちそうですね。

(追記)
偶数も

S2=(2/2){π/(4sin(π/2))
-cos(π/2)log(sin(π/4))}

S4=(2/4){π/(4sin(π/4))
-cos(π/4)log(sin(π/8))
-cos(3π/4)log(sin(3π/8))}

S6=(2/6){π/(4sin(π/6))
-cos(π/6)log(sin(π/12))
-cos(3π/6)log(sin(3π/12))
-cos(5π/6)log(sin(5π/12))}

S8=(2/8){π/(4sin(π/8))
-cos(π/8)log(sin(π/16))
-cos(3π/8)log(sin(3π/16))
-cos(5π/8)log(sin(5π/16))
-cos(7π/8)log(sin(7π/16))}

のように書けるようです。
偶奇合わせて
Sn=(2/n){π/(4sin(π/n))-Σ[k=1～[n/2]]cos((2k-1)π/n)log(sin((2k-1)π/(2n)))}
でOKでした。
（奇数の式のΣの終値のmを[n/2]に変えただけです）

昔この極限値はガンマ関数（gamma(x))を真数にとった対数(log(gamma(x)))の
導関数をとったd(log(gamma(x))/dxをpsi(x)関数と表示し
psi(x)=gamma'(x)/gamma(x)
の性質を利用することで、この公差d（初項は1)の等差数列の逆数での交代級数の
極限和T(d)が

T(d)=(psi((d+1)/(2*d))-psi(1/(2*d)))/(2*d)

で算出できるところから、数値を算出していました。

今回らすかるさんの式

S(n)=(2/n)*(Pi/(4*sin(Pi/n))-sum(k=1,floor(n/2),
cos((2*k-1)*Pi/n)*log(sin((2*k-1)*Pi/(2*n)))))

で2つの数量を見較べましたらピタリ２つは一致しました。(n=1は除外）


また以前こんな計算をしていて不思議に思ったことに
zeta(3) =1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3+･･･
3/4*zeta(3)=1-1/2^3+1/3^3-1/4^3+1/5^3-･･･
には円周率が現れないのに(zeta(5)にも)
1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+1/9^3-1/11^3+･･･＝π^3/32
上の応用で(psi''(3/4)-psi''(1/4))/128 より計算可能('記号は微分を示す。)

1-1/3^5+1/5^5-1/7^5+1/9^5-1/11^5+･･･＝5*π^5/1536
(psi''''(3/4)-psi''''(1/4))/24576　より計算可能

と公差2で交代級数をとれば円周率が姿を現す。（他の公差dでは現れない。）

ディリクレ指標[1,-1,0]のL関数でも
1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+1/7^3-1/8^3+1/10^3-1/11^3+･･･=4*π^3/(81*sqrt(3))
1-1/2^5+1/4^5-1/5^5+1/7^5-1/8^5+1/10^5-1/11^5+･･･=4*π^5/(729*sqrt(3))
やはり円周率が顔をのぞかせる。

たとえ交代級数的でもなく,＋符号だけの等差数列数のものでも
1/3^3+1/7^3+1/11^3+1/15^3+･･･+1/(4*n-1)^3+･･･=7/16*zeta(3)-π^3/64
やはり円周率が顔をのぞかせる。

ほんんとに無限は不思議です。

無限級数で、Σ１/N(数字の０の表示された数を除く)
が、収束することが知られていますが、
収束値が、２０くらいだったようですが、御存知の方よろしくお願いします。他の数字を除いた場合も調べています。

0を除く oeis.org/A082839 23.103447909420541616034054043325598138302800005282141886723094772…
1を除く oeis.org/A082830 16.176969528123444266579603880364009305567219790763133864516906490…
2を除く oeis.org/A082831 19.257356532808072224532776770194454115526053831154870149868362949…
3を除く oeis.org/A082832 20.569877950961230371075217419053111414153869674730783489508528500…
4を除く oeis.org/A082833 21.327465799590036686639401486939512843750951703270021817251189541…
5を除く oeis.org/A082834 21.834600812296918163407235040609182717846567515013918291679359184…
6を除く oeis.org/A082835 22.205598159556091884167380480007527105193856106668463270276938233…
7を除く oeis.org/A082836 22.493475311705945398176226915339775974005915541672512361791460444…
8を除く oeis.org/A082837 22.726365402679370602833644156742557889210702616360219843536376162…
9を除く oeis.org/A082838 22.920676619264150348163657094375931914944762436998481568541998356…
参考
http://shochandas.xsrv.jp/series/harmonicseries.htm

らすかるさん、いつも、ありがとうございます。
以前にも、同様の内容がありましたが、
０の数字を除いた極限値が一番大きくて、
１の数字を除いた極限値が一番小さい。
極限値の比較は、容易に示せたりしますか？
曖昧な質問ですが、知りたいです。
今、数字１のみで表される（１，１１，１１１，…）の逆数和をSとして、数字２のみで表される（２，２２，２２２，…）の極限値は２S。
多分、収束するとしてですが、調査中です。

1+1/11+1/111+…の極限値は
↓こちらにあります。
http://oeis.org/A065444
これが収束することは
1+1/11+1/111+…＜1+1/10+1/100+…=10/9から言えますね。
1/2+1/22+1/222+…の極限値は上記の半分です。

早速、ありがとうございます。
１/9=1/10+1/100＋…
　　　＜1/(10-1)+1/(100-1)+…
＝1/9+1/99+1/999+
=1/9(1+1/11+1/111+…)＝ｓ/9
1<s=
まで

s=1+1/11+1/111+…なのでs＞1は自明ですが、No.334の意図は何でしょうか？
ところで
1,1/11,1/111,…を1/9した1/9,1/99,1/999,…の小数を並べて書くと
0.11111111111111111111…
0.01010101010101010101…
0.00100100100100100100…
0.00010001000100010001…
0.00001000010000100001…
これを縦に足すと
小数第1位は 1の(正の)約数の個数
小数第2位は 2の約数の個数
小数第3位は 3の約数の個数
小数第4位は 4の約数の個数
小数第5位は 5の約数の個数
小数第6位は 6の約数の個数
・・・
のようになり、1,2,3,…の約数の個数は
1,2,2,4,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6,…
ですから、
0.12242424342624452626…
を9倍すれば1+1/11+1/111+…の収束値になりますね。
（ただし約数の個数が10以上のときは上の桁に繰り上げる）

GAI様、こんばんは。

はじめまして。

この構造は、バーゼル問題と同じですね。

有理数の無限和が、無理数になる。

うんざりはちべえさんは、バーゼル問題について誤解していませんか？

有理数の無限和が有理数になる場合もあるのでは？

例えば、　１/（１・２）＋１/（２・３）＋１/（３・４）＋・・・＝１　ですよね．．．。

管理人様、こんばんは。

ああ、そうなんですか？

オイラーがどうやったかは、詳しくなると、
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1583-12.pdf
に書いてありますが、よく理解できてません。

管理人様、

＞有理数の無限和が有理数になる場合もあるのでは？
＞例えば、　１/（１・２）＋１/（２・３）＋１/（３・４）＋・・・＝１　ですよね．．．。

管理人様のおかげで、有理数は四則演算で有理数で閉じていることと無限和が無理数になるという矛盾の手がかりが見えて来ました。

ありがとうございます。

これで、数学に対する不信感が幾分和らいだのです。

調和級数
Σ（ｎ＾ｓの逆数）＜ｓ/(s-1)…　＊
s＞１のとき、収束し、ｓ＝１のとき、発散することがよく知られています。
ところが、素数の逆数和が発散するのには、びっくりです。
流石に、双子素数の逆数和では、収束する。
収束と発散の境目は、難しいですね。

管理人様、おはようございます。

いつも、ご迷惑おかけします。

これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもので、私がそれを証明できる技量・ヒントは、現在持ち合わせておりません。

いずれか将来、そういうチャンスに恵まれたときまで、お待ちください。

また、投稿の余計な一文が管理人様のご機嫌を損ねたことをお許しください。

すると、すべての無限小数は、無理数になるのではないかという疑問が、生じると思います。

その疑問も答えは、
では、1/3は、無理数にならないのかというと、1/3は1÷3で、あまりが循環するから、循 環するのです。つ まり、１÷3=0.333・・・＋０．００・・・・１で、０．００・・・・１は、あまりです。

つまり、演算が可能な範囲で0.333・・・が並んでいるので、無限では、演算ができないので、1÷３は、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数です。

その説明では、√２は、無理数ですが、無限に計算してゆくので、無限では、演算ができないなら、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数ですとなってしまうではないか？

それには、循環する無限小数は、有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数であるが、答えにならないでしょうか？
つまり、循環してないといけないのです。

０．９９９・・・は、根拠もなしにただ、９を並べ多数ですから、演算はどこにもありません。

循環小数は有理数なので、分数にできますが、０．９９９・・・は、分数にできません。私が、x=aとして、１０倍して引いてもx=aでした。
0.333・・・という循環小数を分数にする方法では、1/3になりますが、1/3は、０．３３３・・・より、＋０．００・・・・１で、０．００・・・・１は、あまりです。つまり、０．３３３・・・より大きくなっているのですから、循環小数を分数にする方法は、間違いです。

うんざりはちべえさん、論理が破綻していませんか？

論理が破綻してますか？どのへんでしょうか？それは、さておいて、多分、

＞これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもの　

もともと、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が怪しいのです。

すると、すべての無限小数は、有理数になってしまいます。バーゼル問題が正しければ、すべての無限小数は、無理数になってしまいます。

＞循環する無限小数は、有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数である。

からも矛盾します。

もともと、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題は、不適切な命題なんでしょうね。

これで終わりにしましょう。
長い間、ご迷惑おかけしました。

……関係があるのかもしれないと思いまして投稿いたします。

まずは参考文献のご案内から。

■《高校生における「無理数」の概念》（大山正信・米沢光洋）
( https://core.ac.uk/download/pdf/144571306.pdf )

この参考文献の p.10 から引用します。

-----
彼のこの誤解は,彼が【1】において,「無理数とは確定した数が存在しないもの」としているところから生じていると考えられる
-----

引用部分にある生徒の誤解は、「無限回の操作を必要とするのでいつまでたっても確定した値を取れない」といった気持ちからくるものなのであろうと推察されます。

自分自身を振り返りますと、小学生くらいの頃までは同じような気持ちが強かったと思います。

私の場合には中学一年の頃に出会った関根先生の教え方が上手だったのかもしれませんけれど、なんとなくですがこうした疑問は消えてしまいました。

関根先生は 確か、
「全ての有限小数は無限小数としても書くことができる、書き方が違うだけで値は同じだ」としつこく宣言していらっしゃいました。
こうした宣言を念仏もしくは御題目のようにことあるごとにバリトンの声で繰り返していらっしゃいました。
関根先生が好きな例題は１/４でした。
黒板に書くのはいつも
０.２５＝０.２４９９９９９９９９９………………………
でした。チョークで……を素早く黒板の端から端まで一気に書く必殺技をお持ちでして、一部の生徒たちも真似しようと奮闘していたことが懐かしく思い出されます。 これがなかなか難しいのですけれど。

尻切れトンボですけれども、今回の投稿は以上です。
追記：先程の参考文献で【切断】関連の問いかけを行なったときの生徒たちの反応についてのアンケート結果が出ていまして大変に興味深いものでした。

以上です。

　さて、うんざりはちべえさんは、おそらく、２人で行うグーチョキパーで行うジャンケンは（原理的には）公平であるとお考えの筈です。
　
ジャンケンぽんっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
勝ったー（負けたー）
　
という例のやつです。
　
《このジャンケンのルールは公平である》ことと
《３進法で記すときに １/２ ＝ ０.１１１１１１………（無限小数）の等式が成立する》
こととは同値であることを指摘しておきたく思います。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

ありがとうございます。

> このことから、
> 0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
> は、無理数であるとなりますね。

なるわけないじゃないですか。
私の主張を勝手に捻じ曲げないでください。

続き2に入ってからの投稿を見ましたが、はちべえさんがやっていることは数学と呼べないように思います。

はちべえさんは、根拠があろうとなかろうと自分の予想が間違っているわけがないという前提に立っているように感じます。
そのような考え方は、良く言って宗教、悪く言えば妄想と呼ばれるべきものです。

ここは数学の場です。
証明が用意できないのならば（公理と定義を除き）どんな記述も真実かどうかわからない、という数学的立場で発言してください。

DD++様、おはようございます。

ご指摘ありがとうございます。

さて、https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...によれば、0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もあるそうです。それは、無限小を0とするかしないかの違いだそうです。

昨日は、2日も更新されず、これは、DD++様への返信が、必要であると気づいて、投稿したのですが、あの行は、DD++様の発言の回答には、不要であると気づいて、あの行を消そうと思った時に、管理人様の投稿があったのです。それで、不要な事態を招いてしまいました。

皆様、大変、ご迷惑おかけしました。

うんざりはちべえさんは、
　「0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もある」
ということを知った上で、「0.999・・・=1という体系」は誤りだという立場なんですよね？

管理人様、おはようございます。

無限小を⊿とします。
０．９９９・・・=1の考えでは、⊿＝０です。
一方０．９９９・・・＜1の考えでは、⊿＞０です。

ここで、四則演算が、無限でも適用できるとします。

１）さて、実数は連続なので、a＋⊿=bとすると、a,bは隣り合うはずですね。
ところが、⊿=0なら、a=bで、同じものです。実数は、飛び飛びで、隣り合うものができない、連続でないとなりませんか？

２）有理数の稠密性で、a<bなら、a<(a+b)/2<bですね。(a+b)/2=cとおくと、
a<(a+c)/2<c<bで稠密なんですよね。

ここで、ｂ＝２⊿+aとすると、a<(a+b)/2<bは
a<(a+⊿)<a+2⊿
となりますね。⊿=0では、この不等式は成り立ちませんね。
すると、有理数の稠密性が成り立ちませんとなりませんか？

私は、普通の一般人なので、こんな初歩的な疑問です。

> さて、実数は連続なので、a＋⊿=bとすると、a,bは隣り合うはずですね。

「隣り合う」とは何を意味していますか？
そして、その意味の上で「a＋⊿=bとすると、a,bは隣り合う」の証明は？

DD++様、こんにちは。

a≠bとなるb>a>0とします。c=(b-a)とすると、cの最小値は、⊿になりますよね。

aとbの距離は、最小値⊿ですから、隣り合うとなると思います。

三次元のグラフ上のa,bとなると、話が違ってきますが、数直線で考えるとということです。

cの最小値は⊿しかないわけですから。

なお、以下の話は、ないものとしておきます。

１）連続なら、a<(a+b)/2<bが存在するから最小値は⊿/2だ、（無限小は⊿なので、）とはなりませんよね。

２）微分の⊿＞⊿^2>0も、ここでは、扱わないとします。

(1) 「隣り合う」という言葉を正確に定義してください。
(2) その c=
b-a に最小値は存在しません。

「隣り合うとは」
最小目盛り幅が⊿の数直線で、目盛り上のaの隣の目盛り上をbとして、隣り合うa,bと言ってます。
すべての点は、最小目盛り幅の自然数倍にあるとします。
ただし、a,bが3目盛り離れていると、中点cは1．5目盛りなので、目盛り上からずれてしまいます。
また、点間は、無限小以上を守らないといけないので、連続するには、すべての点は、最小目盛り幅でなければならないと思います。
デジタル的だと思うかもしれませんが、無限小間隔です。目盛りは可付番で、どれ一つ同じものはありません。

つまり、⊿=0だと、すべての点が、座標で決められていれば、一点に重なります。座標とは無関係ならば、座標が１点になるので、多くの点が消えてしまいます。これは、先に、⊿＞０で座標が決まっていたものを、⊿＝０にするという勘違いですね。

c が目盛り上からずれてしまうというのは、
・c=(a+b)/2 は実数とは認めない
・この点の集合は全ての実数を表していない
のどちらですか？

ｃは、実数です。

目盛り上で、ないといけないというのではなくて、点と点の幅が⊿以上あればよいのではないでしょうか？

最初に書いたb=a+⊿です。これを目盛り付きの数直線で、説明したほうが、隣り合うということを説明しやすかったもので・・・・

だから、連続も、点と点の幅が⊿であれば、目盛り上である必要はないと書いたつもりです。

では、a と b の間が 3 目盛りだとして、
c=(a+b)/2 と d=(a+2b)/3 の表す点の幅はいくつですか？

うんざりはちべえさんがΔを持ち出していらしたので、横入りですけれどもひとことを。

うんざりはちべえさんが現在展開なさろうとしている無限小についてのお話しの筋立てには未来がありません。早晩、矛盾があちこちから吹き出して行き詰まります。やめておいたほうがいいです。

うんざりはちべえさんが、オリジナルな方法で、真剣に無限小を実数に組み込もうと思っていらっしゃるのであれば、
数学基礎論をひととおり勉強し、なかでもモデル理論について自信が持てるほどにしっかりと身につけ、
そうした武器を駆使した上でオリジナルの超実数について体系を構成していくべきです。
私たちは、通常、標準的なモデルの上で数学について語り合っています。
いま、うんざりはちべえさんは、標準的なモデルの上で、Δを持ち出していらっしゃいますが、これは不毛です。標準的なモデルにはおっしゃるような概念のつけいる隙はありません。

ですので、「私はこのように無限小を捉えたい」というのであれば、
全く新しい非標準的なモデルの上での数の体系を創造しなければなりません。
これは、素人には無理な話です。
テキトーにやろうとすると失敗するので、厳密なやり方をまずは学ぶ必要があるのです。たぶん、大学院レベル。

なお、新しいモデルの上で無限小を定式化し実数の体系を補完し新しい数の体系を生み出した事例は既に　*複数*　、存在していますが、
そうしたなかには、1＝０.９９９…を是とした体系も、1＞０.９９９…を是とした体系も、ともにあるのだそうですよ。
どれが正解だ、という問いは存在せず、「かくかくしかじかの手法で数の体系を構築したら、こうなった、おもろい。」でしかないのです。
重ねて申し上げますが、標準的なモデルでの上での実数体を前提としている、大概の数学掲示板では、１＝０.９９９……が真です。
これが偽だといいはじめると、おそらく会話がうまくいきません。

「だったら新しい体系を建設してもってきてね、数学基礎論の言葉で各種の述語を定義して、公理・定理の連鎖でもって、実数体の拡張をしてみてくださいね」としか、反応できませんよね。

※たしか、ロビンソン流の超準解析でも、１＝０.９９９……だった気がしますが、不勉強の私ですから眉唾ですね。

GAIさんによる御指摘の真偽を判定するには至りませんでしたけれども、少なくとも OEIS に誤植があろうことは確実と思われます。

実際に検算いたしますと、
A099291[5]+A099292[5]+A099293[5]+A099294[5]+A099295[5]+A099296[5]+A099297[5]+A099298[5]+A099299[5]+A099300[5]=
9999 +10137 +9908 +10025 +9971 +10026 +10028 +10025 +9978 +9902
=99999
となりまして
OEISが無矛盾であるときに期待される値である100000に1足りません。
GAIさんによる御提起に状況証拠となるやもしれません。

↓こちらで解決済みだと思います。
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1309.html

あら！
近ごろ記憶障害が起き出しているのかも。
随分前に記録していたノートのメモを読み返していたら、この部分についての　”どうして違うのだろう？”
というコメントを残して居ったので、つい以前投稿していたことを全く忘れており再び投稿してしまった次第です。
お恥ずかしい。(先頭の3はカウントに入れるの間違いも犯していました。3は入れないが正しいです。）
ノートに投稿済みとメモを追加しておきました。