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カヌドマゞック

テヌブルで披露されるカヌドマゞックです。
手品垫ずその助手ず、テヌブルに集う客のなかから遞ばれた名、蚈名がマゞックの䞻圹ずなりたす。

マゞックの開始時点で手品垫は目隠しをしたす。

トランプカヌド、ゞョヌカヌを含めお枚を、客にシャッフルしおもらいたす。
シャッフルの仕方は特別のものずなりたす。
枚のデックのほが半分を取りだしお衚ず裏ずを党郚反転し、 残りの半分ず䜵せおシャッフルしたす。
リフルシャッフルが䟿利ですし、ヒンズヌシャッフルでも可です。
䜕回かこのシャッフルを繰り返し、ひずたずめにしお衚ず裏ずが混圚したデックにしたす。
客は、このデックから枚を抜き出しお、他の客ず助手に衚を芋せたす。
すなわちたずえばクラブのなどず共有知ずしたす。無論、手品垫はこれを知るこずはありたせん。
これを第䞀のカヌドずしたす。
党く同様にしお、客は第二のカヌドを抜き出したす。今床は、スプレッドされた䞭から裏になっおいるカヌドを枚抜きたす。

ここで、残りの枚のデックを、助手がテヌブル䞊にリボンスプレッドしたす。衚ず裏ずが混圚しおいたす。

客が第䞀のカヌドを、リボンスプレッドの任意の䜍眮に、《裏に䌏せお》挿入したす。
次に、助手が第二のカヌドを、リボンスプレッドの特定の䜍眮に、手品垫ず打ち合わせ枈みに挿入したす。
この際には、衚ず裏のどちらで挿入するかは、手品垫ず打ち合わせ枈みの方法で決められたす。

第䞀ず第二のカヌドが挿入された埌、客に、カヌドの順番を倉えないようにしながらリボンスプレッドを
きちんず揃えおデックにしおもらいたす。 【きちんず揃えるこず】を匷調したす。

この時点で助手には、ロッカヌの䞭に入っおもらいたす。

最埌に、手品垫が目隠しをはずしたす。
手品垫は、デックを再びリボンスプレッドしたす。
手品垫は、䌏せおあるはずの第䞀のカヌドが䜕であるかを蚀い圓おたす。 たずえば、クラブのなどず。

以䞊が、数理マゞックずしお成立するずいうこずを本日、ネットで知りたした。

数日埌に元ネタをご案内いたしたく存じたす。

マゞックのタネがどのようなものであるか、皆さん、お考えになっおいただければず。
よくこんなこずを考え぀くなあず、信じられたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

質問を3぀ほど
;通垞ゞョヌカヌは倖すこずが倚いのですが、この堎合は枚にしおおく必芁がありたすか

;枚のデックのほが半分を取りだしお衚ず裏ずを党郚反転し、 残りの半分ず䜵せおシャッフルしたす。
リフルシャッフルが䟿利ですし、ヒンズヌシャッフルでも可です。
䜕回かこのシャッフルを繰り返し、
ずありたすが、回目も半分党郚をひっくり返しおリフルシャッフルしおもいいんですか

3リボンスプレッドしたたたの状態で、手品垫は圓おるのですか
  圓然圓おるカヌドは裏向き状態ですよね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月26日 06:57)

曞き方が曖昧で申し蚳ございたせんでした。

その
;通垞ゞョヌカヌは倖すこずが倚いのですが、この堎合は枚にしおおく必芁がありたすか

⇒私の浅癜な理解では枚にする必芁はないこずかず存じたす。
手元では客がより少ない枚数の䞭から枚を抜き、スプレッドしたのちに第䞀のカヌドを客が裏向きに
䌏せお再床挿入したのちに、助手が第二のカヌドを曎に挿入した堎合で、手品垫が圓おるケヌスを怜蚎し
たものがありたす。可胜でした。

 埌日には䞊にある元ネタのペヌゞのをご案内する所存ですが、元ネタでは枚ずなっお
いたす。実は、䞊で曞いた、枚数少ないバヌゞョンのものは、私がほが力業でやり方を䜜成したものです
が、実際の挔技は倉換衚を芚えるなどの負荷がありかなり倧倉です。ずころが元ネタでは、ちょっず
した暗算胜力があればできるようになる【コツ】も䜵せお曞いおありたした。緎習すればできるかもず思
わせおくれたした。

その
回目も半分党郚をひっくり返しおリフルシャッフルしおもいいんですか

はい。ひっくりかえしおもらいたす。奜きなだけ繰り返しお衚ず裏ずがどんどんず混ざっおいくこずを
芳客たちが䜓感するこずを目的ずしたす。

その
リボンスプレッドしたたたの状態で、手品垫は圓おるのですか圓然圓おるカヌドは裏向き状態ですよね。

おっしゃる通りです。


他にもご質問がございたしたら、お願いいたしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

カヌドが枚のケヌスにいきなり取り組むのは難しいかもしれたせんので、今回の投皿では、カヌド枚のミニチュアバヌゞョンで、
なんずか蟛うじお可胜な皮明かしをいたしたす。ただしこのたたでは枚の堎合には䜿えたせんので、あらかじめお詫びいたしたす。

ゞョヌカヌおよびにスペヌド、ハヌト、ダむダ、クラブの各゚ヌス、蚈枚に倉曎しおでの手品のやり方です。

たずは別衚をごらん頂きたす。

――――――
◆別衚◆

スペヌドの
10000
00110
01001
11010
10111

ハヌトの
01000
00101
10110
11001
01111

ダむダの
00010
10100
01101
10011
11110

クラブの
00001
01100
10010
01011
11101

ゞョヌカヌ
00100
00011
11000
01110
10101
11111
――――――

5ビットの列を26列ぶん、䞊の別衚のように甚意したす。
手品垫およびに助手はこの別衚を䞞暗蚘したす。

カヌドが衚なら0、裏なら1ず玄束しおおきたす。客が第䞀のカヌドをリボンスプレッドに挿入した段階では、
ただ4ビットの列です。

助手は第のカヌド、すなわち適宜0/1を遞択したもう1ビットを、リボンスプレッドのなかの適切な䜍眮に
挿入するこずで、手品垫に、どのカヌドが第䞀のカヌドであったかを䌝えたす。

たずえば、客の第䞀のカヌドがダむダのであったずしたしょう。
たた、第䞀のカヌドが挿入された埌のリボンスプレッドの様子が次のようであったずしたしょう。
0101
助手は別衚のなかから
01101を遞択したす。
0101 のあいだの
01X01
Xであらわした䜍眮に、
1 を挿入すれば
01101
ずなるからです。助手がロッカヌにはいり、手品垫が目隠しをはずした段階で、手品垫は 01101をみお、
ダむダのであったずわかるのです。

任意の第䞀のカヌドず、任意の4ビットのリボンスプレッドに぀いお、助手が第二のカヌド、すなわち
適切に遞んだ0たたは1の1ビットを適切な䜍眮に挿入すれば、 別衚に埓っお助手は手品垫に第䞀の
カヌドの内容を䌝えるこずができるようになっおいたす。そのように別衚を぀くっおありたす。

さお、別衚暗蚘方匏はカヌド枚ではかろうじお出来るかもしれたせんけれども、ゞョヌカヌこみの
枚の堎合では事実䞊䞍可胜です。
膚倧な倧きさの別衚を暗蚘するこずなどはずおも出来そうにありたせん。

さお、どうしたらよいのでしょうか  

今回の別衚に内圚しおいる仕掛けに気が぀ければ、枚でもできそうなトリックになるかもしれたせん。

次回の投皿では、このカヌドマゞックの出兞をご案内いたしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

時間があれば、タネ探しを詊みおいるのですが
カヌドの情報ずしおは衚向き(0)か裏向き(1)なのでこれでカヌドを圓おるためには
マヌクタむプで2ビット、数字(113で4ビット蚈6ビットの識別が必芁なんだが、客が行うランダムシャッフル
のために䞊ぶカヌドは千差䞇別なる配列ずなり、しかも助手が挿入したカヌドがどれになるのか分からなくなりそうで、
通垞ではずおも䞍可胜に近い条件に芋えたす。
これでカヌドを圓おるためには、衚向きのカヌドは察象から倖せるのだから、通垞玄半数の裏向きカヌドの䞭に隠れた
極端な話シャッフルの結果党郚のカヌドが衚向きや裏向きになる事っお起こり埗たせんかね、それでも圓おられる
客のカヌドのマヌクず数字を、助手が差し蟌んがカヌドの䜍眮ず、衚か裏かの情報から埗るしか手は無いず思われる。
圓おる人は助手がどこにカヌドを差し蟌んでいるのかをどのようにしお刀断できるのか党くわかりたせん。
衚裏が連続する郚分は䞀括しお䞀枚ず解釈しおおけば、䞊から5぀分は䟋ずしお瀺しおある配列のどれかに圓おはたりそうですが
5枚に察しおはその解決方法がありそうなのでただ詳しくは確認しおたせんが・・・、その手を䜿っお助手がカヌドを差し蟌めば
䜕ずかなるんではず思っおいたす。でも数字の倀はどうするのだろう
なにか排他的論理和ず関係あるような気もしたすがいたいち構造がわかりたせん。

そろそろ解説のほどお願いしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月08日 07:59)

https://mathlog.info/articles/1342

こちらに詳现な解説がありたす。

å…š49枚で3回ほど詊したしたがいずれも成功したした。そろばん4玚なわたしでも、4枚枛らせばゞナりブンニ実行可胜でした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmu さん、掲瀺板に曞き蟌みができるようになったんですね!
おめでずうございたす。今埌ずもよろしくお願いいたしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さん、ありがずうございたす。
新掲瀺板にな぀おからこれたで、代理で投皿をしおいただきたしたこず、本圓にありがずうございたした。

いただネット環境の再構築䞭です。
ブルヌトゥヌスのキヌボヌドがうたく぀ながらず、入力もたたなりたせん。
党角半角の切り替えもできずしんでいたす。

ブックマヌクが党郚ずんだので、残念です。

これからも、お邪魔いたしたす、宜しくお願いいたしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

VT笊号の定矩が
数の分割法を䞎えるもの
自然数nを負でない敎数(x1,x2,x3,,xn)で
1+2*x2+3*x3++n*xn==
の方法が䜕個あるかを察応させるものに䌌おいお
たた異なった構造が発生しおくるのが面癜いです。

玹介されたリンクで完党には理解しおいないず思いたすが
䟋えば11枚の衚裏が入り混じったカヌドの配列がどうあれ(2048通りもある)
これにもう䞀枚のカヌドを衚にするか、裏にするかは自由に遞択でき
始めの配列に察しお適切な堎所にカヌドを差し蟌めば(蚈12枚)、瀺し合わせた
第䞉者に必ずカヌドの配列で1から13の数字のどれかを䌝えるこずができる。
䜆し䜕凊にカヌドを衚向きか裏向きかを即座に刀断し差し蟌むのは手早い蚈算ず経隓を
必芁ずしそうです。

したがっお元々の52枚の正芏のトランプで衚裏が入れ混じったランダムなカヌドの堎合、
客が遞んだカヌドの数字は助手Aがゞョヌカヌをもう䞀枚远加させ、特にリボンスプレッド
された始めの11枚の衚裏の構造をみお、適切な䜍眮に差し蟌めば助手Bに䌝えるはできたすが
そのマヌクたでは䌝えられないのではないかず思われたす。
マヌクたで圓おるためには正に52枚の配列状況を党郚䜿わないずいけなくなり、ずおも暗算に
頌るこずは困難になりそうですが(解決の方向性が違っおいるかも知れたせんが)


マヌクたで圓おられる方法を
たでの数字を持぀
マヌクがD,C,H,S(ダむダ,クラブ,ハヌト,スペヌド)を持぀蚈24枚の堎合に぀いお
次の堎面での解説をお願いしたす。

①24枚のカヌドが衚裏ばらばらで配列されおいる。
②客はこの䞭の任意のカヌドを遞んで、再びカヌドを裏向きで返す。
(客にここでシャッフルさせおも構わない。もしこれが可胜なら入れお䞋さい。
③リボンスプレッドされた24枚にもう䞀枚のゞョヌカヌ(ゞョヌカヌには拘らなくおも
 通垞のカヌドでもよいず思う。を助手Aがもち、
 適切な䜍眮に入れる。カヌドの順番が狂わぬように揃える。
④助手B(②,③の時はその堎にいない。)が珟れ、25枚のカヌドの束を
テヌブルにリボンスプレッドする。
その配列状況を芋お客が遞んだカヌドのマヌクず数字を圓おる。

远䌞
あれこれ実隓しおみおやっず理解できたした。
この䟋を行うには24枚のカヌドを裏衚を取り混ぜおたず勝手にシャッフルさせお
リボンスプレッドしおみる。
客にカヌドを䞀枚遞ばせる。
それをどこでもいいので裏向きで戻させるずそれを曎に勝手にシャッフルさせお構わない。
本人もどこにあるのかわからなくなる。しかし助手Aはカヌドの名前は知っおいる。
再びカヌドをリボンスプレッドした時、裏向きカヌドは1、衚向きのカヌドは0で読み
24個の0,1で䜜られる配列ができる。
䟋ずしおこれを
gp > M=vector(24,i,random(2))
%231 = [1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
でランダムに構成しお眮く。
Mの先頭に1を挿入しお
gp > Ma=concat([1],M)
%232 = [1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
gp > sum(i=1,25,i*Ma[i])%26
%233 = 
ず
Mの最埌尟に0を挿入しお
gp > Mb=concat(M,[0])
%234 = [1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0]
gp > sum(i=1,25,i*Mb[i])%26
%235 = 
を蚈算しお眮く。

そしお2人の助手A,Bは数字ずカヌドの名前を
D;1,2,3,4,5,6を
C;1,2,3,4,5,6を
H:1,2,3,4,5,6を
S:1,2,3,4,5,6を
ず察応させおおく。
もし客のカヌドがD6ならこのカヌドのコヌドはなので䞊の぀の数ずではがより近いので
はじめの配列Mに察し0の数字を右端から入れお行くずき、異なる配列ができるものを考えるず
M[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1] に察し
M2[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0]
M3[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1]
M4=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1]
M5[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M6=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
ず䜜られおいき、このM6が
gp > sum(i=1,25,i*M6[i])%26
%237 = 6
ず確かにコヌド倀を䜜れる。
即ち助手Aはもう䞀枚のカヌドを衚向きにMの配列の埌ろから9ず10番目の間に挿入する䜜業をすればよい。

次に客のカヌドがH5ならコヌド数はであるのでに近くなる。
そこで1の数字をMの配列で巊端から右偎ぞ入れお行くこずをやっおいくず数字が䞀぀ず぀増加する。
M=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M14=[1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M15=[1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M16=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M17=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
これでsum(i=1,25,i*M17[i])%26
%239 = 
が埩元される。

泚意点で0や1の数字をずらしながら構成しおいくずきそれから構成するVT(23)の笊号がトランプのコヌド倀
を越えおしたうこずもある。≡0 (mod 26))
この倀が圓おはたる配列は飛ばすこずになるので、カヌド挿入時それを考慮しおおくこず。

この原理はトランプ数が正芏の52枚でも通甚するので、衚裏混圚のカヌドで、客のカヌドを152の数字に察応させおおき
この配列に察し助手Aはゞョヌカヌを䜿い適切な䜍眮に衚向き(0)か裏向き(1)の状態でカヌドを挿入すれば
このカヌドの配列Maから
sum(i=1,53,i*Ma[i])%54で152の数字を必ず䜜り出すこずが、どんな初期配列からでも可胜ずなる。
暗算でこれらの仕組みを凊理するには緎習、緎習ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月13日 20:52)

https://mathlog.info/articles/1342
䞊の参考資料ずはほんの少々味付けが違いたすが。

重みベクトルずの内積をここでは倀ず呌ぶこずずしたす。

助手ず手品垫はずもに回だけ内積の蚈算をするこずずなりたす。

ミニマムな枚のトむモデルで䟋瀺したす。

助手がみた笊号が
1010
だずしたしょう。

L倀は 4 です。

味付けが異なりたすが。
カりントアップ系ずカりントダりン系ずを
私なら甚意したす。mod 6 で。

◆カりントアップ系
1010
の右端に 0 を぀ける。
L倀は倉わらず 4 のたた。

蚘法を倉えたす。
所䞎の4枚に぀いおは、0たたは1の代りに、oずiずを䜿いたす。枚目のカヌドに぀いおは
0ず1ずを䜿いたす。挿入䜍眮の倉化ずL倀の倉化が芖認しやすいようにです。

たたL倀ずビット列ずを䞊べお曞くこずにしたす。

4:ioio の右端に0を远加。
4:ioio0

この0を右から巊にスラむドしおいき、
iをたたぎこす郜床に、L倀をカりントアップしたす。L倀の定矩がうたいこずになっおいたすのでこれが可胜です。

4:ioio
------
4:ioio0
5:io0io
0:0ioio
これ以䞊たたぎこせたせん。

◆カりントダりン系
oioiの右端に 1 を远加するず、L倀はひず぀枛りたす。以埌 1 を巊にスラむドしおいきoをたたぎこす郜床に、L倀をカりントダりンしたす。

4:ioio
------
3:ioio1
2:io1io
1:1ioio
これ以䞊たたぎこせたせん。

参考資料ではカりントアップのみを䜿っおいたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

トランプ䞀匏でのマゞックをコンピュヌタ䞊で再珟しおみたした。
コヌドはPARI/GPです。

M=vector(52,i,random(2));衚裏混圚のシャッフル埌の蚭定です。
VT=sum(i=1,52,i*M[i])%54
end=if(VT>52,end=VT-54,VT)
top=(end+vecsum(M)+1)%54
onemax=vecsum(M)
zeromax=52-vecsum(M)
L=List(M)

実行郚
M=vector(52,i,random(2))
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]

gp > VT=sum(i=1,52,i*M[i])%54
%425 = 3
gp > end=if(VT>52,end=VT-54,VT)
%426 = 3 ----------->Mの配列の最埌尟に0を远加した笊号長53のVT笊号は剰䜙3を構成する。
gp > top=(end+vecsum(M)+1)%54
%427 = 28 ------------>Mの配列の最前列に1を远加した笊号長53のVT笊号は剰䜙28を構成する。
gp > onemax=vecsum(M)
%428 = 24  ------------>Mに含たれる1の個数。
gp > zeromax=52-vecsum(M)
%429 = 28 ------------>Mに含たれる0の個数。
gp > L=List(M); 1,0数字の挿入や削陀がやり易いのでリスト圢匏にしたした。

Search0(k)={t=0;}for(i=1,#L,if(L[i]==0,t++;\
if(t==k && t<=52-vecsum(M),print((top+t)%54";"i+1))));リスト䞭の0の存圚䜍眮の調査です。(裏向きカヌドの挿入䜍眮も)
-->右の数字:Mの配列の䜕凊にゞョヌカヌカヌドを裏向きに挿入したらよいか。
巊の数字:差し蟌んだ埌の笊号長53のVT笊号での剰䜙の倀=客の遞んだトランプのコヌド倀
gp > for(k=0,zeromax,Search0(k)
29;2
30;3
31;4
32;6
33;9
34;10
35;12
36;13
37;14
38;15
39;16
40;18
41;21
42;23
43;24
44;25
45;28
46;31
47;34 *
48;36
49;37
50;39
51;40
52;42
53;46
0;49
1;51
2;53 *

*印の確認
gp > listinsert(L,1,34);Vec(L) -->1の数字をLの34の䜍眮に挿入したす。
%487 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%488 = 47
必ず初期状態に戻しおおくこず。
listpop(L,34); -->34の䜍眮にある芁玠を削陀したす。

その埌次の䜜業
gp > listinsert(L,1,53);Vec(L)
%509 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%510 = 2
listpop(L,53);

-------------------------------------------------------------------------

Search1(k)={t=0;}forstep(i=52,1,-1,if(L[i]==1,t++;\
if(t==k && t<=onemax,print((end+t)%54";"i)))) ;リスト䞭の1の䜍眮を調査したす。(衚向きカヌドの挿入䜍眮も
-->右の数字:Mの配列の䜕凊にゞョヌカヌカヌドを衚向きに挿入したらよいか。
巊の数字:差し蟌んだ埌の笊号長53のVT笊号での剰䜙の倀
gp > for(k=0,onemax,Search1(k))
4;51
5;49
6;47
7;46
8;44
9;43
10;42
11;40
12;37
13;34
14;32
15;31
16;29
17;28
18;26
19;25
20;21 *
21;19
22;18
23;16
24;10
25;7
26;6 *
27;4

*印郚分の確認
gp > listinsert(L,0,21);Vec(L)
%493 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%494 = 20
listpop(L,21);L

gp > listinsert(L,0,6);Vec(L)
%519 =
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%520 = 26
listpop(L,6);L

蚈算䞊トランプにない数字53,54(≡0 ;mod (54))が出おくる時が起こるので、それを陀倖しながら考えなければ
ならないずころが面倒でした。
これでたぶん、あらゆる初期条件でも䜕凊にカヌドを衚か裏かを刀断しお挿入するかが分かっおくるず思いたす。

#考えられないような珟象を起こせるもんですね 感激したした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月15日 06:02)

䞉角圢の話題

私は今幎の8月頃から䞉角圢のあれこれにハマっおいたす。
ちょこちょこず怜玢したり蚈算したりGeoGebraで遊んだりしおいるのですが、今日出䌚ったものを曞いおみようず思いたす。

「鈍角䞉角圢ABCに関しお、倖心からシュタむナヌの内接楕円ぞ匕いた接線の盎極点は倖接円ず九点円の亀点である。」

䞉角圢は知れば知るほど豊かな䞖界の広がりに感動したすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GeoGebraなどでシュタむナヌの内接楕円ずシュタむナヌ楕円を描く方法を茉せおおきたす。


★䞉角圢ABCのシュタむナヌの内接楕円
① 蟺BC,CA,ABの䞭点をそれぞれD,E,Fずする。
② 点Fを通り盎線ADに平行な盎線ず盎線BEが亀わる点をG、
  点Eを通り盎線ADに平行な盎線ず盎線CFが亀わる点をHずする。
③ 5点D,E,F,G,Hを通る二次曲線を描く。


★䞉角圢ABCのシュタむナヌ楕円
① 蟺AB,ACの䞭点をそれぞれD,Eずする。
② 盎線BEずCDの亀点をFずする。
③ 頂点Aを通り蟺BCに平行な盎線ず点Fを通り蟺ABに平行な盎線が亀わる点をG、
  頂点Aを通り蟺BCに平行な盎線ず点Fを通り蟺ACに平行な盎線が亀わる点をHずする。
③ 点Gを通り蟺ACに平行な盎線ず盎線BEが亀わる点をI、
  点Hを通り蟺ABに平行な盎線ず盎線CDが亀わる点をJずする。
④ 5点A,B,C,I,Jを通る二次曲線を描く。


頂点をドラッグしお図圢が倉圢するのを芋るだけでも楜しいです。
補助点や補助線は非衚瀺にすれば芋た目シンプルにできたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月12日 23:00)

䞀次䞍定方皋匏

敎数解を求める䞀次䞍定方皋匏
「ax+by=c が解を持぀⇔が、a,の公玄数で割れる」
未知数が、䞉぀以䞊でも、蚀えたすか
必芁性は、分かりたすが。
ご教授ください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

高朚貞治 著「初等敎数論講矩」によれば、
「ax+bycz=k が解を持぀ ⇔ kが、d=(a,, c)で割り切れる」
が成り立ち、倉数の数は任意ずのこずです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ax+by+cz=dにおいお
dがa,b,cの最倧公玄数で割り切れないずきは明らかに解を持ちたせん。
巊蟺はa,b,cの最倧公玄数の倍数にしかならないため
dがa,b,cの最倧公玄数で割り切れる堎合は、最倧公玄数で割ったものを
あらためおa,b,c,dずすればax+by+cz=d, (a,b,c)=1です。
このずき
b=Bg,c=Cg,(B,C)=1ずすれば(a,b,c)=1から(a,g)=1であり
ax+Bgy+Cgz=d
ax+g(By+Cz)=d
これはBy+Cz=wずおけばax+gw=d,(a,g)=1なので解を持ちたす。
この解のwに察しおBy+Cz=wは(B,C)=1から解を持ちたすので、
元の匏も解を持぀こずになりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

玠数にこだわっお

5*31*x+11*31*y+5*11*z=1
を満たす敎数(x,y,z)は倚数存圚するが、いずれも -100<x,y,z<100
で玠数ずなっおいる組(x,y,z)は劂䜕なるものがあるか(マむナスの笊号をずれば玠数の意)
コンピュヌタによる怜玢ではなく、あくたで理詰めの䜜業により远い぀めお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

5x+11y=Aずおくず31A+55z=1
31×2=62≡7(mod55), 7×8=56=1(mod55)なので31×16≡1(mod55)ずわかり、
(31×16-1)÷55=9なので(A,z)=(16,-9)が解の䞀぀
|z|100の範囲で(55,-31)を足し匕きしおいくず
(126,-71),(71,-40),(16,-9),(-39,22),(-94,53),(-149,84)ずなるので
|z|が玠数ずいう条件を満たすものは(A,z)=(126,-71),(-94,53)の二぀
A=126のずき5x+11y=126
(x,y)=(1,11)が解の䞀぀なので|x|,|y|100の範囲で(11,-5)を足し匕きするず
(-98,56),(-87,51),(-76,46),(-65,41),(-54,36),(-43,31),(-32,26),(-21,21),(-10,16),
(1,11),(12,6),(23,1),(34,-4),(45,-9),(56,-14),(67,-19),(78,-24),(89,-29)ずなるので
|x|,|y|が玠数ずいう条件を満たすものは(x,y)=(-43,31),(67,-19),(89,-29)
よっお解は(x,y,z)=(-43,31,-71),(67,-19,-71),(89,-29,-71)
A=-94のずき5x+11y=-94
(x,y)=(1,-9)が解の䞀぀なので|x|,|y|100の範囲で(11,-5)を足し匕きするず
(-98,36),(-87,31),(-76,26),(-65,21),(-54,16),(-43,11),(-32,6),(-21,1),(-10,-4),
(1,-9),(12,-14),(23,-19),(34,-24),(45,-29),(56,-34),(67,-39),(78,-44),(89,-49)
|x|,|y|が玠数ずいう条件を満たすものは(x,y)=(-43,11),(23,-19)
よっお解は(x,y,z)=(-43,11,53),(23,-19,53)
埓っおたずめるず、条件を満たす解は
(x,y,z)=(-43,11,53),(-43,31,-71),(23,-19,53),(67,-19,-71),(89,-29,-71)の5組。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

gcd,lcm連立方皋匏

(1)
自然数A.B(A<B)があり
gcd(A,B)=84
lcm(A,B)=3528
である時A,Bは

(2)
自然数A,B,CA<B<C)があり
gcd([A,B,C])=12
lcm([A,B,C])=144
である時A,B,Cは

(3)
自然数A,B,CA<B<C)があり
gcd([A,B,C])=12
lcm([A,B,C])=720
である時A,B,Cは

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月31日 10:31)

(1)は、843528、1681764、2521176、504588
(2)は、C
(3)は、C、、 ですね

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月02日 02:44)

解は意倖ず倚くお
(2)
1;(12,24,144)
2;(12,36,48)
3;(12,36,144)
4;(12,48,72)
5;(12,48,144)
6;(12,72,144)
7;(24,36,48)
8;(24,36,144)
9;(36,48,72)
10;(36,48,144)


(3)
1;(12,24,720)
2;(12,36,240)
3;(12,36,720)
4;(12,48,180)
5;(12,48,360)
6;(12,48,720)
7;(12,60,144)
8;(12,60,720)
9;(12,72,240)
10;(12,72,720)
11;(12,120,144)
12;(12,120,720)
13;(12,144,180)
14;(12,144,240)
15;(12,144,360)
16;(12,144,720)
17;(12,180,240)
18;(12,180,720)
19;(12,240,360)
20;(12,240,720)
21;(12,360,720)
22;(24,36,240)
23;(24,36,720)
24;(24,48,180)
25;(24,60,144)
26;(24,60,720)
27;(24,144,180)
28;(24,180,240)
29;(24,180,720)
30;(36,48,60)
31;(36,48,120)
32;(36,48,180)
33;(36,48,240)
34;(36,48,360)
35;(36,48,720)
36;(36,60,144)
37;(36,60,240)
38;(36,60,720)
39;(36,72,240)
40;(36,120,144)
41;(36,120,240)
42;(36,120,720)
43;(36,144,240)
44;(36,180,240)
45;(36,240,360)
46;(36,240,720)
47;(48,60,72)
48;(48,60,144)
49;(48,60,180)
50;(48,60,360)
51;(48,60,720)
52;(48,72,180)
53;(48,120,180)
54;(48,144,180)
55;(48,180,240)
56;(48,180,360)
57;(48,180,720)
58;(60,72,144)
59;(60,72,240)
60;(60,72,720)
61;(60,120,144)
62;(60,144,180)
63;(60,144,240)
64;(60,144,360)
65;(60,144,720)
66;(72,180,240)
67;(120,144,180)
68;(144,180,240)
だけ存圚できたす。

この解の個数は
gcd(A,B,C)=G,lcm(A,B,C)=L
A=a*G;B=b*G;C=c*G ((a,b,c)は互いに玠ずするずき
gcd([a,b,c])==1か぀lcm([a,b,c])==L/G
を満たす(a,b,c)の組合せが存圚する数ず察応しおいたす。
(2)なら144/12=12,(3)なら720/12=60ですので

(2)gcd([a,b,c])==1か぀lcm([a,b,c])=12
(3)gcd([a,b,c])==1か぀lcm([a,b,c])==60
でその組合せが決たり、それぞれから10通り,68通りが生じおきたす。

A,Bの぀での堎合しか経隓しおなかったので、3぀の堎合を調べおいお
こんなにも倚く存圚するこずに驚いおしたいたした。

このこずからL/Gの倀が解の個数の決め手になっおいるこずが面癜く感じたので
s=L/Gの倀で解の個数が劂䜕ほどか調査しおみたら100たでのもので
s; 解の個数
1; 0 21; 4 41; 0 61; 0 81; 3
2; 0 22; 4 42; 32 62; 4 82; 4
3; 0 23; 0 43; 0 63; 10 83; 0
4; 1 24; 16 44; 10 64; 5 84; 68
5; 0 25; 1 45; 10 65; 4 85; 4
6; 4 26; 4 46; 4 66; 32 86; 4
7; 0 27; 2 47; 0 67; 0 87; 4
8; 2 28; 10 48; 22 68; 10 88; 16
9; 1 29; 0 49; 1 69; 4 89; 0
10; 4 30; 32 50; 10 70; 32 90; 68
11; 0 31; 0 51; 4 71; 0 91; 4
12; 10 32; 4 52; 10 72; 34 92; 10
13; 0 33; 4 53; 0 73; 0 93; 4
14; 4 34; 4 54; 16 74; 4 94; 4
15; 4 35; 4 55; 4 75; 10 95; 4
16; 3 36; 22 56; 16 76; 10 96; 28
17; 0 37; 0 57; 4 77; 4 97; 0
18; 10 38; 4 58; 4 78; 32 98; 10
19; 0 39; 4 59; 0 79; 0 99; 10
20; 10 40; 16 60; 68 80; 22 100; 22

100倍たではs=60,84,90
で最も倚く68通り

このこずはgcd(A.B,C)=Gの倀が䜕であれ、䟋えば
gcd(A.B,C)=8
lcm(A,B,C)=8*60=480

gcd(A.B,C)=10
lcm(A,B,C)=10*60=600

gcd(A.B,C)=11
lcm(A,B,C)=11*84=924

gcd(A.B,C)=16
lcm(A,B,C)=16*90=1440

それぞれを満たす解の個数はすべお68通り存圚するこずができたす。
この同じ68の倀を発生させるsの特城は
60=2^2*3*5
84=2^2*3*7
90=2*3^2*5
で䞀般に玠数p,q,rでp^2*q*r型で瀺されたす。

このこずからsの数字の特城がsの玠因数構造で分類できるこずが起こせたす。
sを1000たで延長させお分類するず(以䞋p,q,r,sは玠数です。倧小を問いたせん。)
s=p^(k+1) ->k(k=0,1,2,)
s=p*q ->4
s=p^2*q ->10
s=p^3*q ->16
s=p^4*q(たたはq^2*q^2) ->22
s=p^5*q ->28
s=p^6*q ->34
s=p^7*q ->40
s=p^4*q^2(たたはp^8*q) ->46
s=p^5*q^2 ->58
s=p^4*q^3(たたはp^6*q^2) ->70
s=p^5*q^3 ->88
s=p*q*r ->32
s=p^2*q*r ->68
s=p^3*q*r ->104
s=q^4*q*r(たたはp^2*q^2*r) ->140
s=p^5*q*r ->176
s=p^3*q^2*r ->212
s=p^4*q^2*r ->284
s=p*q*r*s ->208
s=p^2*q*r*s ->424
s=p^3*q*r*s ->640

の様な察応が぀けられたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

法則を芋぀けただけで蚌明はしおいたせんが、䞊の蚈算は
n=(玠数の皮類の数)、m=(各玠因数の指数の積)ずするず
6^(n-1)×m - 2^(n-1)
ず衚されたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月02日 20:46)

お
こんな匏で統䞀できるんだ。
途䞭でp^4*qずp^2*q^2、p^6*qずp^3*q^2、p^4*q^3ずp^6*q^2などが同じ数字が察応しおきおいたので䞍思議に感じおいたした。
こんな背景があったのですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

党くの勘であっお確認しおいたせんが、
3数A,B,C で 6^(n-1)×m - 2^(n-1) = 3!^(n-1)×m - 2!^(n-1) ならば
4数A,B,C,Dの堎合は 4!^(n-1)×m - 3!^(n-1) = 24^(n-1)×m - 6^(n-1) かも

(远蚘)
その理屈だず2数の堎合に2!^(n-1)×m-1!^(n-1)=2^(n-1)×m-1ずなりたすが、
(84,3528)のずきに合わないので違いたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月03日 23:02)

4数A,B,C,Dの堎合
p^n->1/2*(n-1)*(n-2) (n≧3)
p*q->1
p^2*q->13
p^3*q->39
p*q*r->64
p^2*q^2->70
p^4*q->79
p^5*q->133
p^3*q^2->177
p^6*q->201
p^7*q->283
p^2*q*r->304
p^4*q^2->334
p^8*q->379
p^3*q^3->425
p^5*q^2->541
p^3*q*r->740
p^4*q^3->783
p^6*q^2->798
p^2*q^2*r->1246
p^5*q^3->1251
p*q*r*s->1284
p^4*q*r->1372
p^5*q*r->2200
p^3*q^2*r->2888
p^6*q*r->3224
p^2*q^2*r^2->4780
p^2*q*r*s->5076
p^4*q^2*r->5230
p^3*q*r*s->11612

なる察応になるず思いたすが
その他のパタヌンは0が察応しおいたす。
重耇郚分は解消されたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月04日 09:58)

4数になるずずいぶんず耇雑になるのですね。「党くの勘」は完党にはずれでした。
玠因数2皮類、3皮類の䞀般匏は
p^m*q^n → 6(mn)^2+m^2+n^2-9mn+2
p^l*q^m*r^n → 70(lmn)^2+14{(lm)^2+(mn)^2+(nl)^2}-54(lm+mn+nl-l-m-n)-48
あたりでしょうか。
l,m,n1の堎合は䟋が䞀぀しかなかったのでl=m=n=2以倖では正しくないかも知れたせん

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月04日 12:22)

远加デヌタ
p^3*q^2*r->2888
p^3*q^2*r^2->10814
p^4*q^2*r->5230
p^4*q^2*r^2->19348
p^4*q^3*r->11804
p^4*q^3*r^2->43166
p^4*q^3*r^3->95868
p^5*q^2*r->8272
p^5*q^2*r^2->30382
p^5*q^3*r->18572
p^5*q^3*r^2->67592
p^5*q^3*r^3->149832
p^5*q^4*r->33100
p^5*q^4*r^2->119902
p^5*q^4*r^3->265292
p^5*q^4*r^4->469270
p^5*q^5*r->51856
p^5*q^5*r^2->187312
p^5*q^5*r^3->413972
p^5*q^5*r^4->731836

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月04日 14:40)

時間がかかりたしたが、ようやく玠因数3皮類の䞀般匏が出せたした。
p^l*q^m*r^n → (1/3){(6l^2+1)(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-54lmn
ずいう比范的綺麗な匏になりたした。
これにならうず、玠因数2皮類の䞀般匏は
p^m*q^n → (1/6){(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-9mn
ずなり䌌たような圢になりたす。
䞡方ずも「11」ずいう定数が含たれおいるのが面癜いですね。
この圢から玠因数4皮類の䞀般匏を数少ないデヌタを䜿っお予想するず
p^k*q^l*r^m*s^n → (2/3){(6k^2+1)(6l^2+1)(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-324klmn
それにより完党な䞀般匏は玠因数n皮類で指数がa[1],a[2],
,a[n]のずき
(1/24){(2^n)(Π{6(a[k])^2+1}+11)-(6^(n+1))Πa[k]}
ずなりそうで、これは玠因数が1皮類の堎合も正解ず䞀臎しおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月04日 16:42)

自分も䞀般匏が構成出来ないものかず、らすかるさんが芋぀けられた様匏を参考にあれこれ挑戊しおいたんですが、係数が分数になったり
玠数の指数ず䞊手く連動しなかったりず、ほずんど絶望状態でした。
ほんの䞀郚でi=1,2,3,で
p^i*q^i->(2*i^2-1)*(3*i^2-2)
p^i*q*r->98*i^2-54*i+20
p^i*q->7*i^2-9*i+3
p^m*q^2->25*m^2-18*m+6 (m=2,3,4,)
p^n*q^3->55*n^2-27*n+11 (n=3,4,5,)
などの個別の匏でした。

これを䞀気に蚘述できる䞀般匏に到達出来るこずが物凄いです。
論理的に攻めお行けるものなのですか
それずも䜕ずなくこんな匏なのかず盎感的に予枬しおいくのですか
自分なりにあれこれ挑戊した感芚ずしおこんな匏のあり様がどこから考えおこれるのかずおも䞍思議です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

匏の圢は無数にありたすので、「䜕ずなくこんな匏なのかず盎感的に予枬」はほずんど無理ですね。
特別な堎合の匏を立お、それを統合する匏を考えおいっおすべお論理的に攻めおたす。
今回の堎合は、「l,m,nに関しお察称」ずいうこずがかなり䜿えたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

さおその先は

正の敎数で
a^2+b^2=c^2
を満たす(a,b,c)は倚数の組が存圚し
䞀方
a^3+b^3=c^3
では党く存圚しない。
そこで
a^3+b^3=c^2
ではどの様な組が可胜かを考えおみる。
䜆し1≩a≩b≩cであるずする。
簡単な調査で
(a,b,c)=(1,2,3)
(2,2,4)
(4,8,24)
(8,8,32)
(9,18,81)
(7,21,98)
(18,18,108)

などが芋぀かるが䞀般にを満たす䞀組を
(a.,b,c)=(A,B,C)ずすればnを自然数ずしお(A*n^2,B*n^2,C*n^3)
の組も自動的にが満たされおくる。
䜕故なら
(A*n^2)^3+(B*n^2)^3=(A^3+B^3)*n^6=C^2*n^6=(C*n^3)^2
なので、䟋えば䞊蚘の
(1,2,3),(4,8,24),(9,18,81)は同じ系列ずしお
(1,2,3)=(1*1^2,2*1^2,3*1^3)
(4,8,24)=(1*2^2,2*2^2,3*2^3)
(9,18,81)=(1*3^2,2*3^2,3*3^3)

で蚘述される。
同じく
(2,2,4),(8,8,32),(18,18,108)も
(2,2,4)=(2*1^2,2*1^2,4*1^3)
(8,8,32)=(2*2^2,2*2^2,4*2^3)
(18,18,108)=(2*3^2,2*3^2,4*3^3)

ず同じ系列をなす。

そこで(1,2,3)や(2,2,4)を芏玄な組ず呌ぶこずにする。

さお以䞊を螏たえおaが10000を越えるもので、最小な芏玄の組
(a,b,c)は䜕になるかを考えお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ずりあえずパッず思い぀くのは
a=10010, b=1001, c=1002001
ですが、もっず小さいのがありたすかね

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䜆し1≩a≩b≩cであるずする。
の条件に合わないので、これも含んでお願いしたす。
最小ずコメントしおいたんですが、最小に少し自信が無くなったのでa>10000
であるものを探しお䞋さい。できれば3組ほど。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「最小」ずいうのは、「aが最小」ですかそれずも「cが最小」ですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

aがでおねがいしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、問題を読み飛ばしちゃっおたした。
倱瀌したした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

aの小さい順だず
10010^3+17290^3=2484300^2
10054^3+13178^3=1817904^2
10065^3+23010^3=3633525^2
ですかね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

最小に自信がなくなったずコメントしたのは、bの探玢範囲を広げおみたら
10016^3+2153440^3=3160088064^2
なるものが出珟したので、もっず広げおやれば10010が最小ずは限らないんじゃないのかな
ず疑問をもったためでした。
bの探玢範囲を広げお行けば時間が掛かっおしたうし
で個ず問い盎したした。

ず思っおいたら
(10016,2153440,3160088064)=(626*4^2,134590*4^2,49376376*4^3)
なので既玄ではありたせんでした。
他のaでは
10080^3+15120^3=2116800^2( しかしこれは既玄にならない。)
(10080,15120,2116800)=(70*12^2,105*12^2,1225*12^3)
10082^3+231886^3=111668232^2 (これも既玄でない。
(10082,231886,111668232)=(2*71^2,46*71^2,312*71^3)
10089^3+1169298^3=1264410081^2 (これも既玄でない。
(10089,1169298,1264410081)=(1121*3^2,129922*3^2,46830003*3^3)

ですのでaが10000を超えお既玄候補の3個は䞊のものですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

続きは
10122^3+149961^3=58081023^2
10129^3+1244420^3=1388195367^2
10147^3+115997^3=39519864^2
10166^3+17342^3=2503228^2
10185^3+234934^3=113877127^2
10199^3+182693^3=78094534^2
10270^3+13430^3=1872300^2
ずなるようですね。


ちなみに䞀郚の解は手蚈算でも出せたす。
䟋えば2぀の玠数11ず19を䜿っお
11^3+19^3=8190=2×3^2×5×7×13
平方芁玠を陀くず 2×5×7×13=910
11×910=10010, 19×910=17290なので
10010^3+17290^3=(11^3+19^3)×910^3
=(2×3^2×5×7×13)×(2×5×7×13)^3
=(2^2×3×5^2×7^2×13^2)^2=2484300^2

17ず29を䜿うず
17^3+29^3=29302=2×7^2×13×23
平方芁玠を陀くず 2×13×23=598
17×598=10166, 29×598=17342なので
10166^3+17342^3=(17^3+29^3)×598^3
=(2×7^2×13×23)×(2×13×23)^3
=(2^2×7×13^2×23^2)^2
=2503228^2

# 最初の2数は玠数である必芁はありたせん。
# 䟋えば15ず346から
# 10185^3+234934^3=113877127^2
# が埗られたす。

たた、この方法を䜿えば単玔探玢では厳しいようなかなり倧きい倀の解の䟋も算出できたす。
䟋えば271ず314を䜿うず
271^3+314^3=50861655=3^3×5×13×73×397
平方芁玠を陀くず 3×5×13×73×397=5651295
271×5651295=1531500945, 314×5651295=1774506630なので
1531500945^3+1774506630^3=(271^3+314^3)×5651295^3
=(3^3×5×13×73×397)×(3×5×13×73×397)^3
=(3^3×5^2×13^2×73^2×397^2)^2
=95811405531075^2

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月29日 09:14)

面癜い構成方法ですね。よくこんな方法を思い぀けたすね。
10129^3+1244420^3=1388195367^2
は7 ず860
10166^3+17342^3=2503228^2
は17ず29
10270^3+13430^3=1872300^2
は13ず17
から構成できたすね。
でもこれで出来たり、出来なかったりするこずもたた面癜いです。

远䌞
探玢範囲を広げれば
いやいや、これで党郚䜜れおしたいたすね。
10054^3+13178^3=1817904^2は
457 ず599
10065^3+23010^3=3633525^2は
671 ず1534
10122^3+149961^3=58081023^2は
482 ず 7141
10147^3+115997^3=39519864^2は
139 ず1589
10199^3+182693^3=78094534^2は
1457 ず26099

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月29日 16:03)

この構成方法に気づきたしたので、10100より倧きい解はこの方法のプログラムを䜜っお調べたした。
2数をs,ts≩tずしたずき、tは+1ず぀ですが、sは䟋えばaの範囲が1000010300ずするならば
s=4000やs=6000などを調べる必芁がない敎数倍しお1000010300の範囲にならないので
結構高速化できたした。
具䜓的には、sを+1ず぀しお[10000/s]=[10299/s]になったらs/[10000/s]たで飛ばしおよい

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

s;tを倉化させお䞀気に構成しおみたした。
1;2=>1^3 + 2^3 = 3^2
1;3=>7^3 + 21^3 = 98^2
1;4=>65^3 + 260^3 = 4225^2
1;5=>14^3 + 70^3 = 588^2
1;6=>217^3 + 1302^3 = 47089^2
1;7=>86^3 + 602^3 = 14792^2
1;8=>57^3 + 456^3 = 9747^2
1;9=>730^3 + 6570^3 = 532900^2
1;10=>1001^3 + 10010^3 = 1002001^2
1;11=>37^3 + 407^3 = 8214^2
1;12=>1729^3 + 20748^3 = 2989441^2
1;13=>2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
1;14=>305^3 + 4270^3 = 279075^2
1;15=>211^3 + 3165^3 = 178084^2
1;16=>4097^3 + 65552^3 = 16785409^2
1;17=>546^3 + 9282^3 = 894348^2
1;18=>5833^3 + 104994^3 = 34023889^2
1;19=>35^3 + 665^3 = 17150^2
1;20=>889^3 + 17780^3 = 2370963^2
1;21=>9262^3 + 194502^3 = 85784644^2
1;22=>10649^3 + 234278^3 = 113401201^2
1;23=>2^3 + 46^3 = 312^2
1;24=>553^3 + 13272^3 = 1529045^2
1;25=>15626^3 + 390650^3 = 244171876^2
1;26=>217^3 + 5642^3 = 423801^2
1;27=>4921^3 + 132867^3 = 48432482^2
1;28=>21953^3 + 614684^3 = 481934209^2
1;29=>2710^3 + 78590^3 = 22032300^2
1;30=>27001^3 + 810030^3 = 729054001^2
2;3=>70^3 + 105^3 = 1225^2
2;4=>4^3 + 8^3 = 24^2
2;5=>266^3 + 665^3 = 17689^2
2;6=>28^3 + 84^3 = 784^2
2;7=>78^3 + 273^3 = 4563^2
2;8=>260^3 + 1040^3 = 33800^2
2;9=>1474^3 + 6633^3 = 543169^2
2;10=>14^3 + 70^3 = 588^2
2;11=>2678^3 + 14729^3 = 1792921^2
2;12=>868^3 + 5208^3 = 376712^2
2;13=>10^3 + 65^3 = 525^2
2;14=>86^3 + 602^3 = 14792^2
2;15=>6766^3 + 50745^3 = 11444689^2
2;16=>228^3 + 1824^3 = 77976^2
2;17=>9842^3 + 83657^3 = 24216241^2
2;18=>730^3 + 6570^3 = 532900^2
2;19=>1526^3 + 14497^3 = 1746507^2
2;20=>4004^3 + 40040^3 = 8016008^2
2;21=>18538^3 + 194649^3 = 85914361^2
2;22=>148^3 + 1628^3 = 65712^2
2;23=>974^3 + 11201^3 = 1185845^2
2;24=>6916^3 + 82992^3 = 23915528^2
2;25=>386^3 + 4825^3 = 335241^2
2;26=>2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
2;27=>39382^3 + 531657^3 = 387735481^2
2;28=>1220^3 + 17080^3 = 2232600^2
2;29=>48794^3 + 707513^3 = 595213609^2
2;30=>844^3 + 12660^3 = 1424672^2
3;4=>273^3 + 364^3 = 8281^2
3;5=>114^3 + 190^3 = 2888^2
3;6=>9^3 + 18^3 = 81^2
3;7=>1110^3 + 2590^3 = 136900^2
3;8=>33^3 + 88^3 = 847^2
3;9=>63^3 + 189^3 = 2646^2
3;10=>3081^3 + 10270^3 = 1054729^2
3;11=>4074^3 + 14938^3 = 1844164^2
3;12=>585^3 + 2340^3 = 114075^2
3;13=>417^3 + 1807^3 = 77284^2
3;14=>8313^3 + 38794^3 = 7678441^2
3;15=>126^3 + 630^3 = 15876^2
3;16=>12369^3 + 65968^3 = 16999129^2
3;17=>3705^3 + 20995^3 = 3050450^2
3;18=>1953^3 + 11718^3 = 1271403^2
3;19=>20658^3 + 130834^3 = 47416996^2
3;20=>24081^3 + 160540^3 = 64432729^2
3;21=>774^3 + 5418^3 = 399384^2
3;22=>1281^3 + 9394^3 = 911645^2
3;23=>36582^3 + 280462^3 = 148693636^2
3;24=>57^3 + 456^3 = 9747^2
3;25=>11739^3 + 97825^3 = 30623138^2
3;26=>52809^3 + 457678^3 = 309865609^2
3;27=>6570^3 + 59130^3 = 14388300^2
3;28=>65937^3 + 615412^3 = 483076441^2
3;29=>4578^3 + 44254^3 = 9314704^2
3;30=>9009^3 + 90090^3 = 27054027^2


匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

sずtが互いに玠でない堎合は「既玄な組」になりたせんので、互いに玠でないものは陀いた方が良いかも知れたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

a^3+b^3=c^2の発展圢

これに類する問題を探しおいたら
A^4+B^3=C^2
を満たす敎数(A,B,C)を問う問題に遭遇したした。

普通に正の敎数に限定しお探すず
(A,B,C)=(1,2,3),(5,6,29),(6,9,45),(7,15,76),(9,27,162),
ずぞろぞろず出おきたす。
ずころで䞀般にs,tを任意の実数ずし
A(s,t)=6*s*t*(4*s^4+3*t^4)
B(s,t)=16*s^8-168*s^4*t^4+9*t^8
C(s,t)=64*s^12+1584*s^8*t^4-1188*s^4*t^8-27*t^12
にしおおけば、

A(s,t)^4+B(s,t)^3=C(s,t)^2

が恒等的に成立するずいう。
勿論s,tを敎数で指定やれば䞊蚘の解をはじき出しおくれる。
ただし(1,2,3)などはs,tをどうずればいいのかは分からないが

䞀䜓どの様な考え方でこんな匏を探し出せるのだろうか
こんな匏が
A^3+B^3=C^2
ぞ適応できる匏を導き出せないものかず思う。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

射圱幟䜕

点ず線の双察原理
「異なる二点を通る、ただ䞀぀の盎線が、存圚する。」
「異なるに盎線を通る、ただ䞀぀の点が、存圚する。」
パスカルの定理ずブリアンションの定理
チェバの定理ずメネラりスの定理
デザルグの定理は、それ自身ず双察の関係
珟実の物理䞖界は、どんな空間でしょうか
有限だそうですが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

チェバの定理ずメネラりスの定理は射圱幟䜕の定理ではありたせんし、双察の関係ではないず思いたす。

私が今幎の4月に投皿した問題

https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/36
たたは
お茶の時間  パズルクむズ  䞉角圢のある等匏

は、厳密には双察ではないのでしょうけれど、それぞれの定理の双察を意識しお䜜った問題です。
[1]がメネラりスの定理に察応し、[2]がチェバの定理に察応しおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䜜図䞍可胜

「任意の角の䞉等分を぀くるこずは、定芏ずコンパスだけではできない」
ず蚀われおいたすが、折り玙では、できるみたいですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

折り玙を䜿うず角の等分はおろか等分もできるらしいですね。

定朚ずコンパスずでは出来ない正角圢の䜜図もできるずか。
↓
https://core.ac.uk/download/pdf/59041733.pdf

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月19日 06:56)

平面に点A,B,Cをずり、今角∠ABCを等分するこずを詊みる。
䜆し定芏に぀の傷、もしくは目印ずしおP,Qの点をマゞックで印を付けおおく。
①盎線AB䞊に点BからPQの距離ず同じ長さずなるように、そこに点Oをずる。
② ; 点Oを通り盎線BCに平行な線ODを匕く。
③ ; 点Oを䞭心ずしお半埄OB(=PQ)である円を描く。
④ ; 定芏を点Bを通る様にしお、点Pが円ず点Qが盎線ODず重なる様に調敎したら定芏に線BEを匕く。
  (説明のために円ず盎線(=OD)ずの亀点をそれぞれP,Qず名付ける。)

以䞊の䜜業から
△OPQ,△OBPは二等蟺䞉角圢より
∠POQ=∠PQO=Ξ なら
∠OPB=∠OBQ=2Ξ で
たた平行から
∠OQB=∠CBQ=Ξ
これから
∠ABC=3Ξ

したがっお角∠ABCの等分線の䞀぀は盎線BEであり
埌は角∠ABE=2Ξを埓来のやり方でこれを等分すればよい。

定芏の目的を盎線をただ匕くずいう圹目に、ちょっず手を加えるだけで党おが倉化する
 こずが面癜いです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月19日 07:12)

> 埌は角∠ABE=2Ξを埓来のやり方でこれを等分すればよい。

せっかくいろいろ補助線がありたすので、これを利甚しお
Qを䞭心ずしおPを通る円を描いお、円OずのPでない亀点をFずすれば
BFがもう䞀぀の䞉等分線になりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> ④ ; 定芏を点Bを通る様にしお、点Pが円ず点Qが盎線ODず重なる様に調敎したら定芏に線BEを匕く。

この条件を満たす定芏の角床は党郚で 6 ぀ありたす。
2 ぀は点 Q を点 O におき、定芏を盎線 AB に重ねお眮く方法、
1 ぀は点 P を点 B に重ね、点 Q は点 O ず異なるずころに眮く方法。
この 3 ぀は明らかに目的の線ではないので陀倖するずしお、
残り 3 ぀のうちどの線を䜿っお䜜図すればよいのでしょうか

鋭角の堎合は内角に 1 ぀ず倖角に 2 ぀なので内角にあるや぀を遞択すればいいずしおも、鈍角の堎合は内角に 2 ぀ありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

鈍角の堎合は鋭角である倖角を䞉等分したのちに䞉等分線から倖偎に60°の角床をずれば
鈍角の䞉等分線ができたすので、鋭角だけ䞉等分できれば十分ずも蚀えたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

有理数ず次無理数の違い

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%96%91%E5%95%8F%E7%AC%A6%E9%96%A2%E6%95%B0

にミンコフスキヌの疑問笊関数(?(x))ずいうものが考えられおいる。

話を限定するために今考えるの範囲を[0,1]区間の有理数及び次無理数(a+b*sqrt(p))
(a,b;有理数,p;平方因子を含たぬ敎数)ずすれば
xが有理数なら連分数衚瀺は有限で、次無理数ならある郚分からサむクルが繰り返される。
こうしおxの連分数衚瀺を2の指数郚ぞ甚いるこずで、ここに定矩された?(x)関数は区間[0,1]
からそれ自身ぞの党射察応の単調増加な連続関数を䞎える。

この関数を利甚しお蚈算しおみるず
?(1/2)=1/2
?(2/3)=3/4
?(3/5)=5/8
?(5/8)=11/16

?(10/19)=513/1024

等々xが有理数なら蚈算結果は必ず分母は偶数(しかも2の冪に限る。)

そこで、蚈算結果に着目し
1/2=?(1/2)

1/4=?(1/3)
3/4=?(2/3)

1/8=?(1/4)
3/8=?(2/5)
5/8=?(3/5)
7/8=?(3/4)

1/16=?(1/5)
3/16=?(2/7)
5/16=?(3/8)
7/16=?(3/7)
9/16=?(4/7)
11/16=?(5/8)
13/16=?(5/7)
15/16=?(4/5)



するず分母がの冪ではない他の偶数、および奇数のものは2次無理数を䜿うこずの結果ずしお
発生する。
䟋えば
2/3=?((sqrt(5)-1)/2)
1/5=?((2-sqrt(2))/2)
1/6=?((5-sqrt(5))/10)


そこで
a[i]/7=?(x[i])
ここにa[i]=i (i=1,2,3,,6)
の結果を䞎える[0,1]区間にある2次無理数x[i] i=1,2,3,,6)
の具䜓的明瀺匏を求めおほしい。

できれば
1/10,3/10,7/10,9/10を䞎えるやはり2次無理数y[j] (j=1,2,3,4)も

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

x[1]=2-√3
x[2]=(√3-1)/2
x[3]=(3-√3)/3
x[4]=√3/3
x[5]=(3-√3)/2
x[6]=√3-1

y[1]=(3-√2)/7
y[2]=(4-√2)/7
y[3]=(3+√2)/7
y[4]=(4+√2)/7
でしょうか。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

たたもや党問正解です。

次無理数を有理数ぞ写像するアむデアをよく思い぀くものですね。
ずいうわけで

[0,1]区間で
?(x)=x
を満たすxは0,1/2,1以倖にも存圚しおいたすが、その倀は
理屈的にはこの倀は次無理数のはずですよね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月17日 16:00)

0.42037233942322307564099300664622187394918986660061

ずいう倀になりたすが、これは2次無理数ではないですね。
もしxが2次無理数なら?(x)は有理数なので?(x)=xにはなりたせん

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そうか
䟋の䞍動点の小数第37䜍たでを䜜る次無理数で
gp > (sqrt(3219756132232550086641835218537)-1054710584836911)/(2*879764482467118)
%67 = 0.42037233942322307564099300664622187395
が䜜れたのでおっきり可胜だろうず思っおしたった。
?(x)関数は連続ではないんですね。Pi/4や∛2などの点では繋がらない。
数っおどんだけあるんだっおこずですね。

ちなみに
1-0.42037233942322307564099300664622187394918986660061

=0.57962766057677692435900699335377812605
も䞍動点ずなりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月17日 18:38)

> ?(x)関数は連続ではないんですね。

連続関数ず曞かれおいたす。
Pi/4などの数でも、䞊ず䞋から有理数で抌さえれば?(x)もいくらでも近い倀になりたすので、
その有理数の極限ずしお衚されるPi/4もその間の倀ずしお定矩され、連続になりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈2579ä»¶ (投皿443, 返信2136)

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