😊出会いの泉😊

まつたくの当てずっぽうです。
フィボナッチ数列と関係ありますか？
ヒントをいただきたく存じます。

お詫びと訂正
昔やっていた記憶で手順を記述していましたが、調べ直してみたら記憶に間違いがあり
改めて修正したものを、載せております。
申し訳ありませんでした。

フィボナッチ数列とは全く関係しません。
ただ赤、黒をどの様な配列にしておけば良いかを考えて下さい。
ヒントは
一見バラバラである状態
の言葉にあります。

y=x/(1-x) の全体で「直角双曲線」です。
0≦x＜1の範囲に限定した時の名前はおそらくないと思いますので、
あえて言うとしたら「直角双曲線の一部」ぐらいでしょう。

広義には、代数曲線の二次曲線。
または、円錐曲線（楕円や放物線の仲間）
ｙ＝x/(1-x)=-x/(x-1)=-x/(x-1)+1-1=-x/(x-1)+(x-1)/(x-1)-1
=-1/(x=1)-1 より
漸近線が、y=-1、ｘ＝１で、直角

これとは直線関係ありませんが、似ていて
Aを実数定数とし各A∈[0,4]に対して
区間[0,1]はF(X)=A*X*(1-X)によって[0,1]自身の中に写像される。
Aというパラメータをもつこれらの関数の族はその値の変化がカオス的性質を持ち
Aの値により、とても数学的に面白い性質が発生することで、いろいろ詳しく調べられている様です。
このときこの写像をロジスティック写像と呼んでいるみたいです。

質問を3つほど
１;通常ジョーカーは外すことが多いのですが、この場合は５３枚にしておく必要がありますか？

２;５３枚のデックのほぼ半分を取りだして表と裏とを全部反転し、 残りの半分と併せてシャッフルします。
リフルシャッフルが便利ですし、ヒンズーシャッフルでも可です。
何回かこのシャッフルを繰り返し、････
とありますが、２回目も半分全部をひっくり返してリフルシャッフルしてもいいんですか？

3；リボンスプレッドしたままの状態で、手品師は当てるのですか？
　　当然当てるカードは裏向き状態ですよね。

書き方が曖昧で申し訳ございませんでした。

その１
＞１;通常ジョーカーは外すことが多いのですが、この場合は５３枚にしておく必要がありますか？

⇒私の浅白な理解では５３枚にする必要はないことかと存じます。
（手元では客がより少ない枚数の中から２枚を抜き、スプレッドしたのちに第一のカードを客が裏向きに
伏せて再度挿入したのちに、助手が第二のカードを更に挿入した場合で、手品師が当てるケースを検討し
たものがあります。可能でした。）

　後日にはＷＥＢ上にある元ネタのページのＵＲＬをご案内する所存ですが、元ネタでは５３枚となって
います。実は、上で書いた、枚数少ないバージョンのものは、私がほぼ力業でやり方を作成したものです
が、実際の演技は（変換表を覚えるなどの負荷があり）かなり大変です。ところが元ネタでは、ちょっと
した暗算能力があればできるようになる【コツ】も併せて書いてありました。練習すればできるかもと思
わせてくれました。

その２
＞２回目も半分全部をひっくり返してリフルシャッフルしてもいいんですか？

はい。ひっくりかえしてもらいます。好きなだけ繰り返して表と裏とがどんどんと混ざっていくことを
観客たちが体感することを目的とします。

その３
＞リボンスプレッドしたままの状態で、手品師は当てるのですか？当然当てるカードは裏向き状態ですよね。

おっしゃる通りです。


他にもご質問がございましたら、お願いいたします。

カードが５３枚のケースにいきなり取り組むのは難しいかもしれませんので、今回の投稿では、カード５枚のミニチュアバージョンで、
なんとか辛うじて可能な種明かしをいたします。ただしこのままでは５３枚の場合には使えませんので、あらかじめお詫びいたします。

ジョーカーおよびにスペード、ハート、ダイヤ、クラブの各エース、計５枚に変更してでの手品のやり方です。

まずは別表をごらん頂きます。

――――――
◆別表◆

スペードのＡ
10000
00110
01001
11010
10111

ハートのＡ
01000
00101
10110
11001
01111

ダイヤのＡ
00010
10100
01101
10011
11110

クラブのＡ
00001
01100
10010
01011
11101

ジョーカー
00100
00011
11000
01110
10101
11111
――――――

5ビットの列を26列ぶん、上の別表のように用意します。
手品師およびに助手はこの別表を丸暗記します。

カードが表なら0、裏なら1と約束しておきます。客が第一のカードをリボンスプレッドに挿入した段階では、
まだ4ビットの列です。

助手は第２のカード、すなわち（適宜0/1を選択した）もう1ビットを、リボンスプレッドのなかの適切な位置に
挿入することで、手品師に、どのカードが第一のカードであったかを伝えます。

たとえば、客の第一のカードがダイヤのＡであったとしましょう。
また、第一のカードが挿入された後のリボンスプレッドの様子が次のようであったとしましょう。
0101
助手は別表のなかから
01101を選択します。
0101 のあいだの
01X01
Xであらわした位置に、
1 を挿入すれば
01101
となるからです。助手がロッカーにはいり、手品師が目隠しをはずした段階で、手品師は 01101をみて、
ダイヤのＡであったとわかるのです。

任意の第一のカードと、任意の4ビットのリボンスプレッドについて、助手が第二のカード、すなわち
適切に選んだ0または1の1ビットを適切な位置に挿入すれば、 別表に従って助手は手品師に第一の
カードの内容を伝えることができるようになっています。（そのように別表をつくってあります。）

さて、別表暗記方式はカード５枚ではかろうじて出来るかもしれませんけれども、ジョーカーこみの
５３枚の場合では事実上不可能です。
膨大な大きさの別表を暗記することなどはとても出来そうにありません。

さて、どうしたらよいのでしょうか……

今回の別表に内在している仕掛けに気がつければ、５３枚でもできそうなトリックになるかもしれません。

次回の投稿では、このカードマジックの出典ＵＲＬをご案内いたします。

時間があれば、タネ探しを試みているのですが
カードの情報としては表向き(0)か裏向き(1)なのでこれでカードを当てるためには
マーク（４タイプ）で2ビット、数字(1～13）で4ビット計6ビットの識別が必要なんだが、客が行うランダムシャッフル
のために並ぶカードは千差万別なる配列となり、しかも助手が挿入したカードがどれになるのか分からなくなりそうで、
通常ではとても不可能に近い条件に見えます。
これでカードを当てるためには、表向きのカードは対象から外せるのだから、通常約半数の裏向きカードの中に隠れた
（極端な話シャッフルの結果全部のカードが表向きや裏向きになる事って起こり得ませんかね？、それでも当てられる？）
客のカードのマークと数字を、助手が差し込んがカードの位置と、表か裏かの情報から得るしか手は無いと思われる。
当てる人は助手がどこにカードを差し込んでいるのかをどのようにして判断できるのか全くわかりません。
表裏が連続する部分は一括して一枚と解釈しておけば、上から5つ分は例として示してある配列のどれかに当てはまりそうですが
5枚に対してはその解決方法がありそうなので（まだ詳しくは確認してませんが・・・）、その手を使って助手がカードを差し込めば
何とかなるんではと思っています。でも数字の値はどうするのだろう？
なにか排他的論理和と関係あるような気もしますがいまいち構造がわかりません。

そろそろ解説のほどお願いします。

https://mathlog.info/articles/1342

こちらに詳細な解説があります。

全49枚で3回ほど試しましたがいずれも成功しました。そろばん4級なわたしでも、4枚減らせばジユウブンニ実行可能でした。

Dengan kesaktian Indukmu さん、掲示板に書き込みができるようになったんですね!
おめでとうございます。今後ともよろしくお願いいたします。

管理人さん、ありがとうございます。
新掲示板になつてからこれまで、代理で投稿をしていただきましたこと、本当にありがとうございました。

いまだネット環境の再構築中です。
ブルートゥースのキーボードがうまくつながらず、入力もままなりません。
全角半角の切り替えもできずしんでいます。

ブックマークが全部とんだので、残念です。

これからも、お邪魔いたします、宜しくお願いいたします。

VT符号の定義が
数の分割法を与えるもの
自然数nを負でない整数(x1,x2,x3,･･･,xn)で
ｘ1+2*x2+3*x3+･･･+n*xn==ｎ
の方法が何個あるかを対応させるものに似ていて
また異なった構造が発生してくるのが面白いです。

紹介されたリンクで完全には理解していないと思いますが
例えば11枚の表裏が入り混じったカードの配列がどうあれ(2048通りもある)
これにもう一枚のカードを表にするか、裏にするかは自由に選択でき
始めの配列に対して適切な場所にカードを差し込めば(計12枚)、示し合わせた
第三者に必ずカードの配列で1から13の数字のどれかを伝えることができる。
但し何処にカードを表向きか裏向きかを即座に判断し差し込むのは手早い計算と経験を
必要としそうです。

したがって元々の52枚の正規のトランプで表裏が入れ混じったランダムなカードの場合、
客が選んだカードの数字は助手Aがジョーカーをもう一枚追加させ、特にリボンスプレッド
された始めの11枚の表裏の構造をみて、適切な位置に差し込めば助手Bに伝えるはできますが
そのマークまでは伝えられないのではないかと思われます。
マークまで当てるためには正に52枚の配列状況を全部使わないといけなくなり、とても暗算に
頼ることは困難になりそうですが･･･(解決の方向性が違っているかも知れませんが)


マークまで当てられる方法を
１～６までの数字を持つ
マークがD,C,H,S(ダイヤ,クラブ,ハート,スペード)を持つ計24枚の場合について
次の場面での解説をお願いします。

①24枚のカードが表裏ばらばらで配列されている。
②客はこの中の任意のカードを選んで、再びカードを裏向きで返す。
(客にここでシャッフルさせても構わない。もしこれが可能なら入れて下さい。）
③リボンスプレッドされた24枚にもう一枚のジョーカー(ジョーカーには拘らなくても
　通常のカードでもよいと思う。）を助手Aがもち、
　適切な位置に入れる。カードの順番が狂わぬように揃える。
④助手B(②,③の時はその場にいない。)が現れ、25枚のカードの束を
テーブルにリボンスプレッドする。
その配列状況を見て客が選んだカードのマークと数字を当てる。

（追伸）
あれこれ実験してみてやっと理解できました。
この例を行うには24枚のカードを裏表を取り混ぜてまず勝手にシャッフルさせて
リボンスプレッドしてみる。
客にカードを一枚選ばせる。
それをどこでもいいので裏向きで戻させるとそれを更に勝手にシャッフルさせて構わない。
（本人もどこにあるのかわからなくなる。しかし助手Aはカードの名前は知っている。）
再びカードをリボンスプレッドした時、裏向きカードは1、表向きのカードは0で読み
24個の0,1で作られる配列ができる。
例としてこれを
gp > M=vector(24,i,random(2))
%231 = [1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
でランダムに構成して置く。
Mの先頭に1を挿入して
gp > Ma=concat([1],M)
%232 = [1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
gp > sum(i=1,25,i*Ma[i])%26
%233 = １４
と
Mの最後尾に0を挿入して
gp > Mb=concat(M,[0])
%234 = [1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0]
gp > sum(i=1,25,i*Mb[i])%26
%235 = ２
を計算して置く。

そして2人の助手A,Bは数字とカードの名前を
D;1,2,3,4,5,6を１，２，３，４，５，６
C;1,2,3,4,5,6を７，８，９，１０，１１，１２
H:1,2,3,4,5,6を１３，１４，１５，１６，１７，１８
S:1,2,3,4,5,6を１９，２０，２１，２２，２３，２４
と対応させておく。
もし客のカードがD6ならこのカードのコードは６なので上の２つの数１４と２では２がより近いので
はじめの配列Mに対し0の数字を右端から入れて行くとき、異なる配列ができるものを考えると
M＝[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1] に対し
M2＝[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0]
M3＝[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1]
M4=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1]
M5＝[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M6=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
と作られていき、このM6が
gp > sum(i=1,25,i*M6[i])%26
%237 = 6
と確かにコード値６を作れる。
即ち助手Aはもう一枚のカードを表向きにMの配列の後ろから9と10番目の間に挿入する作業をすればよい。

次に客のカードがH5ならコード数は１７であるので１４に近くなる。
そこで1の数字をMの配列で左端から右側へ入れて行くことをやっていくと数字が一つずつ増加する。
M=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M14=[1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M15=[1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M16=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M17=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
これでsum(i=1,25,i*M17[i])%26
%239 = １７
が復元される。

注意点で0や1の数字をずらしながら構成していくときそれから構成するVT(23)の符号がトランプのコード値
を越えてしまうこともある。（２５，２６≡0 (mod 26))
この値が当てはまる配列は飛ばすことになるので、カード挿入時それを考慮しておくこと。

この原理はトランプ数が正規の52枚でも通用するので、表裏混在のカードで、客のカードを1～52の数字に対応させておき
この配列に対し助手Aはジョーカーを使い適切な位置に表向き(0)か裏向き(1)の状態でカードを挿入すれば
このカードの配列Maから
sum(i=1,53,i*Ma[i])%54で1～52の数字を必ず作り出すことが、どんな初期配列からでも可能となる。
暗算でこれらの仕組みを処理するには練習、練習ですね。

https://mathlog.info/articles/1342
上の参考資料とはほんの少々味付けが違いますが。

重みベクトルとの内積をここではＬ値と呼ぶこととします。

助手と手品師はともに１回だけ内積の計算をすることとなります。

ミニマムな５枚のトイモデルで例示します。

助手がみた符号が
1010
だとしましょう。

L値は 4 です。

味付けが異なりますが。
カウントアップ系とカウントダウン系とを
私なら用意します。mod 6 で。

◆カウントアップ系
1010
の右端に 0 をつける。
L値は変わらず 4 のまま。

記法を変えます。
所与の4枚については、0または1の代りに、oとiとを使います。５枚目のカードについては
0と1とを使います。挿入位置の変化とL値の変化が視認しやすいようにです。

またL値とビット列とを並べて書くことにします。

4:ioio の右端に0を追加。
4:ioio0

この0を右から左にスライドしていき、
iをまたぎこす都度に、L値をカウントアップします。L値の定義がうまいことになっていますのでこれが可能です。

4:ioio
------
4:ioio0
5:io0io
0:0ioio
これ以上またぎこせません。

◆カウントダウン系
oioiの右端に 1 を追加すると、L値はひとつ減ります。以後 1 を左にスライドしていきoをまたぎこす都度に、L値をカウントダウンします。

4:ioio
------
3:ioio1
2:io1io
1:1ioio
これ以上またぎこせません。

参考資料ではカウントアップのみを使っていますが。

トランプ一式でのマジックをコンピュータ上で再現してみました。
コードはPARI/GPです。

M=vector(52,i,random(2));表裏混在のシャッフル後の設定です。
VT=sum(i=1,52,i*M[i])%54
end=if(VT>52,end=VT-54,VT)
top=(end+vecsum(M)+1)%54
onemax=vecsum(M)
zeromax=52-vecsum(M)
L=List(M)

（実行部）
M=vector(52,i,random(2))
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]

gp > VT=sum(i=1,52,i*M[i])%54
%425 = 3
gp > end=if(VT>52,end=VT-54,VT)
%426 = 3 ----------->Mの配列の最後尾に0を追加した符号長53のVT符号は剰余3を構成する。
gp > top=(end+vecsum(M)+1)%54
%427 = 28 ------------>Mの配列の最前列に1を追加した符号長53のVT符号は剰余28を構成する。
gp > onemax=vecsum(M)
%428 = 24　 ------------>Mに含まれる1の個数。
gp > zeromax=52-vecsum(M)
%429 = 28 ------------>Mに含まれる0の個数。
gp > L=List(M);　1,0数字の挿入や削除がやり易いのでリスト形式にしました。

Search0(k)={t=0;}for(i=1,#L,if(L[i]==0,t++;\
if(t==k && t<=52-vecsum(M),print((top+t)%54";"i+1))));リスト中の0の存在位置の調査です。(裏向きカードの挿入位置も)
＊-->右の数字:Mの配列の何処にジョーカーカードを裏向きに挿入したらよいか。
左の数字:差し込んだ後の符号長53のVT符号での剰余の値（=客の選んだトランプのコード値）
gp > for(k=0,zeromax,Search0(k)
29;2
30;3
31;4
32;6
33;9
34;10
35;12
36;13
37;14
38;15
39;16
40;18
41;21
42;23
43;24
44;25
45;28
46;31
47;34 *
48;36
49;37
50;39
51;40
52;42
53;46
0;49
1;51
2;53 *

*印の確認
gp > listinsert(L,1,34);Vec(L)　-->1の数字をLの34の位置に挿入します。
%487 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%488 = 47
＊必ず初期状態に戻しておくこと。！！
listpop(L,34);　-->34の位置にある要素を削除します。

その後次の作業
gp > listinsert(L,1,53);Vec(L)
%509 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%510 = 2
listpop(L,53);

-------------------------------------------------------------------------

Search1(k)={t=0;}forstep(i=52,1,-1,if(L[i]==1,t++;\
if(t==k && t<=onemax,print((end+t)%54";"i))))　;リスト中の1の位置を調査します。(表向きカードの挿入位置も）
＊-->右の数字:Mの配列の何処にジョーカーカードを表向きに挿入したらよいか。
左の数字:差し込んだ後の符号長53のVT符号での剰余の値
gp > for(k=0,onemax,Search1(k))
4;51
5;49
6;47
7;46
8;44
9;43
10;42
11;40
12;37
13;34
14;32
15;31
16;29
17;28
18;26
19;25
20;21 *
21;19
22;18
23;16
24;10
25;7
26;6 *
27;4

*印部分の確認
gp > listinsert(L,0,21);Vec(L)
%493 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%494 = 20
listpop(L,21);L

gp > listinsert(L,0,6);Vec(L)
%519 =
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%520 = 26
listpop(L,6);L

計算上トランプにない数字53,54(≡0 ;mod (54))が出てくる時が起こるので、それを除外しながら考えなければ
ならないところが面倒でした。
これでたぶん、あらゆる初期条件でも何処にカードを表か裏かを判断して挿入するかが分かってくると思います。

#考えられないような現象を起こせるもんですね！　感激しました。

GeoGebraなどでシュタイナーの内接楕円とシュタイナー楕円を描く方法を載せておきます。


★三角形ABCのシュタイナーの内接楕円
① 辺BC,CA,ABの中点をそれぞれD,E,Fとする。
② 点Fを通り直線ADに平行な直線と直線BEが交わる点をG、
　 点Eを通り直線ADに平行な直線と直線CFが交わる点をHとする。
③ 5点D,E,F,G,Hを通る二次曲線を描く。


★三角形ABCのシュタイナー楕円
① 辺AB,ACの中点をそれぞれD,Eとする。
② 直線BEとCDの交点をFとする。
③ 頂点Aを通り辺BCに平行な直線と点Fを通り辺ABに平行な直線が交わる点をG、
　 頂点Aを通り辺BCに平行な直線と点Fを通り辺ACに平行な直線が交わる点をHとする。
③ 点Gを通り辺ACに平行な直線と直線BEが交わる点をI、
　 点Hを通り辺ABに平行な直線と直線CDが交わる点をJとする。
④ 5点A,B,C,I,Jを通る二次曲線を描く。


頂点をドラッグして図形が変形するのを見るだけでも楽しいです。
補助点や補助線は非表示にすれば見た目シンプルにできます。

高木貞治 著「初等整数論講義」によれば、
「ax+by＋cz=k が解を持つ　⇔　kが、d=(a,ｂ, c)で割り切れる」
が成り立ち、変数の数は任意とのことです。

ax+by+cz=dにおいて
dがa,b,cの最大公約数で割り切れないときは明らかに解を持ちません。
（左辺はa,b,cの最大公約数の倍数にしかならないため）
dがa,b,cの最大公約数で割り切れる場合は、最大公約数で割ったものを
あらためてa,b,c,dとすればax+by+cz=d, (a,b,c)=1です。
このとき
b=Bg,c=Cg,(B,C)=1とすれば(a,b,c)=1から(a,g)=1であり
ax+Bgy+Cgz=d
ax+g(By+Cz)=d
これはBy+Cz=wとおけばax+gw=d,(a,g)=1なので解を持ちます。
この解のwに対してBy+Cz=wは(B,C)=1から解を持ちますので、
元の式も解を持つことになります。

5x+11y=Aとおくと31A+55z=1
31×2=62≡7(mod55), 7×8=56=1(mod55)なので31×16≡1(mod55)とわかり、
(31×16-1)÷55=9なので(A,z)=(16,-9)が解の一つ
|z|＜100の範囲で(55,-31)を足し引きしていくと
(126,-71),(71,-40),(16,-9),(-39,22),(-94,53),(-149,84)となるので
|z|が素数という条件を満たすものは(A,z)=(126,-71),(-94,53)の二つ
A=126のとき5x+11y=126
(x,y)=(1,11)が解の一つなので|x|,|y|＜100の範囲で(11,-5)を足し引きすると
(-98,56),(-87,51),(-76,46),(-65,41),(-54,36),(-43,31),(-32,26),(-21,21),(-10,16),
(1,11),(12,6),(23,1),(34,-4),(45,-9),(56,-14),(67,-19),(78,-24),(89,-29)となるので
|x|,|y|が素数という条件を満たすものは(x,y)=(-43,31),(67,-19),(89,-29)
よって解は(x,y,z)=(-43,31,-71),(67,-19,-71),(89,-29,-71)
A=-94のとき5x+11y=-94
(x,y)=(1,-9)が解の一つなので|x|,|y|＜100の範囲で(11,-5)を足し引きすると
(-98,36),(-87,31),(-76,26),(-65,21),(-54,16),(-43,11),(-32,6),(-21,1),(-10,-4),
(1,-9),(12,-14),(23,-19),(34,-24),(45,-29),(56,-34),(67,-39),(78,-44),(89,-49)
|x|,|y|が素数という条件を満たすものは(x,y)=(-43,11),(23,-19)
よって解は(x,y,z)=(-43,11,53),(23,-19,53)
従ってまとめると、条件を満たす解は
(x,y,z)=(-43,11,53),(-43,31,-71),(23,-19,53),(67,-19,-71),(89,-29,-71)の5組。

(1)は、（Ａ，Ｂ）＝（84，3528）、（168，1764）、（252，1176）、（504，588）
(2)は、（Ａ，Ｂ，C）＝（１２，３６，４８）
(3)は、（Ａ，Ｂ，C）＝（１２，３６，２４０）、（１２，４８，１８０）、（１２，６０，１４４） ですね！

解は意外と多くて
(2)
1;(12,24,144)
2;(12,36,48)
3;(12,36,144)
4;(12,48,72)
5;(12,48,144)
6;(12,72,144)
7;(24,36,48)
8;(24,36,144)
9;(36,48,72)
10;(36,48,144)


(3)
1;(12,24,720)
2;(12,36,240)
3;(12,36,720)
4;(12,48,180)
5;(12,48,360)
6;(12,48,720)
7;(12,60,144)
8;(12,60,720)
9;(12,72,240)
10;(12,72,720)
11;(12,120,144)
12;(12,120,720)
13;(12,144,180)
14;(12,144,240)
15;(12,144,360)
16;(12,144,720)
17;(12,180,240)
18;(12,180,720)
19;(12,240,360)
20;(12,240,720)
21;(12,360,720)
22;(24,36,240)
23;(24,36,720)
24;(24,48,180)
25;(24,60,144)
26;(24,60,720)
27;(24,144,180)
28;(24,180,240)
29;(24,180,720)
30;(36,48,60)
31;(36,48,120)
32;(36,48,180)
33;(36,48,240)
34;(36,48,360)
35;(36,48,720)
36;(36,60,144)
37;(36,60,240)
38;(36,60,720)
39;(36,72,240)
40;(36,120,144)
41;(36,120,240)
42;(36,120,720)
43;(36,144,240)
44;(36,180,240)
45;(36,240,360)
46;(36,240,720)
47;(48,60,72)
48;(48,60,144)
49;(48,60,180)
50;(48,60,360)
51;(48,60,720)
52;(48,72,180)
53;(48,120,180)
54;(48,144,180)
55;(48,180,240)
56;(48,180,360)
57;(48,180,720)
58;(60,72,144)
59;(60,72,240)
60;(60,72,720)
61;(60,120,144)
62;(60,144,180)
63;(60,144,240)
64;(60,144,360)
65;(60,144,720)
66;(72,180,240)
67;(120,144,180)
68;(144,180,240)
だけ存在できます。

この解の個数は
gcd(A,B,C)=G,lcm(A,B,C)=L
A=a*G;B=b*G;C=c*G ((a,b,c)は互いに素）とするとき
gcd([a,b,c])==1かつlcm([a,b,c])==L/G
を満たす(a,b,c)の組合せが存在する数と対応しています。
(2)なら144/12=12,(3)なら720/12=60ですので

(2)gcd([a,b,c])==1かつlcm([a,b,c])=12
(3)gcd([a,b,c])==1かつlcm([a,b,c])==60
でその組合せが決まり、それぞれから10通り,68通りが生じてきます。

A,Bの２つでの場合しか経験してなかったので、3つの場合を調べていて
こんなにも多く存在することに驚いてしまいました。

このことからL/Gの値が解の個数の決め手になっていることが面白く感じたので
s=L/Gの値で解の個数が如何ほどか調査してみたら100までのもので
s;　解の個数
1; 0 21; 4 41; 0 61; 0 81; 3
2; 0 22; 4 42; 32 62; 4 82; 4
3; 0 23; 0 43; 0 63; 10 83; 0
4; 1 24; 16 44; 10 64; 5 84; 68
5; 0 25; 1 45; 10 65; 4 85; 4
6; 4 26; 4 46; 4 66; 32 86; 4
7; 0 27; 2 47; 0 67; 0 87; 4
8; 2 28; 10 48; 22 68; 10 88; 16
9; 1 29; 0 49; 1 69; 4 89; 0
10; 4 30; 32 50; 10 70; 32 90; 68
11; 0 31; 0 51; 4 71; 0 91; 4
12; 10 32; 4 52; 10 72; 34 92; 10
13; 0 33; 4 53; 0 73; 0 93; 4
14; 4 34; 4 54; 16 74; 4 94; 4
15; 4 35; 4 55; 4 75; 10 95; 4
16; 3 36; 22 56; 16 76; 10 96; 28
17; 0 37; 0 57; 4 77; 4 97; 0
18; 10 38; 4 58; 4 78; 32 98; 10
19; 0 39; 4 59; 0 79; 0 99; 10
20; 10 40; 16 60; 68 80; 22 100; 22

100倍まではs=60,84,90
で最も多く68通り

このことはgcd(A.B,C)=Gの値が何であれ、例えば
gcd(A.B,C)=8
lcm(A,B,C)=8*60=480

gcd(A.B,C)=10
lcm(A,B,C)=10*60=600

gcd(A.B,C)=11
lcm(A,B,C)=11*84=924

gcd(A.B,C)=16
lcm(A,B,C)=16*90=1440

それぞれを満たす解の個数はすべて68通り存在することができます。
この同じ68の値を発生させるsの特徴は
60=2^2*3*5
84=2^2*3*7
90=2*3^2*5
で一般に素数p,q,rでp^2*q*r型で示されます。

このことからsの数字の特徴がsの素因数構造で分類できることが起こせます。
sを1000まで延長させて分類すると(以下p,q,r,sは素数です。大小を問いません。)
s=p^(k+1) ->k(k=0,1,2,･･･)
s=p*q ->4
s=p^2*q　->10
s=p^3*q ->16
s=p^4*q(またはq^2*q^2) ->22
s=p^5*q ->28
s=p^6*q ->34
s=p^7*q ->40
s=p^4*q^2(またはp^8*q) ->46
s=p^5*q^2 ->58
s=p^4*q^3(またはp^6*q^2) ->70
s=p^5*q^3 ->88
s=p*q*r ->32
s=p^2*q*r ->68
s=p^3*q*r ->104
s=q^4*q*r(またはp^2*q^2*r) ->140
s=p^5*q*r ->176
s=p^3*q^2*r ->212
s=p^4*q^2*r ->284
s=p*q*r*s ->208
s=p^2*q*r*s ->424
s=p^3*q*r*s ->640

の様な対応がつけられました。

法則を見つけただけで証明はしていませんが、上の計算は
n=(素数の種類の数)、m=(各素因数の指数の積)とすると
6^(n-1)×m - 2^(n-1)
と表されますね。

お～～！！
こんな式で統一できるんだ。
途中でp^4*qとp^2*q^2、p^6*qとp^3*q^2、p^4*q^3とp^6*q^2などが同じ数字が対応してきていたので不思議に感じていました。
こんな背景があったのですね。

全くの勘であって確認していませんが、
3数A,B,C で 6^(n-1)×m - 2^(n-1) = 3!^(n-1)×m - 2!^(n-1) ならば
4数A,B,C,Dの場合は 4!^(n-1)×m - 3!^(n-1) = 24^(n-1)×m - 6^(n-1) かも？

(追記)
その理屈だと2数の場合に2!^(n-1)×m-1!^(n-1)=2^(n-1)×m-1となりますが、
(84,3528)のときに合わないので違いますね。

4数A,B,C,Dの場合
p^n->1/2*(n-1)*(n-2) (n≧3)
p*q->1
p^2*q->13
p^3*q->39
p*q*r->64
p^2*q^2->70
p^4*q->79
p^5*q->133
p^3*q^2->177
p^6*q->201
p^7*q->283
p^2*q*r->304
p^4*q^2->334
p^8*q->379
p^3*q^3->425
p^5*q^2->541
p^3*q*r->740
p^4*q^3->783
p^6*q^2->798
p^2*q^2*r->1246
p^5*q^3->1251
p*q*r*s->1284
p^4*q*r->1372
p^5*q*r->2200
p^3*q^2*r->2888
p^6*q*r->3224
p^2*q^2*r^2->4780
p^2*q*r*s->5076
p^4*q^2*r->5230
p^3*q*r*s->11612

なる対応になると思いますが･･･
その他のパターンは0が対応しています。
（重複部分は解消されます。）

4数になるとずいぶんと複雑になるのですね。「全くの勘」は完全にはずれでした。
素因数2種類、3種類の一般式は
p^m*q^n → 6(mn)^2+m^2+n^2-9mn+2
p^l*q^m*r^n → 70(lmn)^2+14{(lm)^2+(mn)^2+(nl)^2}-54(lm+mn+nl-l-m-n)-48
あたりでしょうか。
（l,m,n＞1の場合は例が一つしかなかったのでl=m=n=2以外では正しくないかも知れません）

追加データ
p^3*q^2*r->2888
p^3*q^2*r^2->10814
p^4*q^2*r->5230
p^4*q^2*r^2->19348
p^4*q^3*r->11804
p^4*q^3*r^2->43166
p^4*q^3*r^3->95868
p^5*q^2*r->8272
p^5*q^2*r^2->30382
p^5*q^3*r->18572
p^5*q^3*r^2->67592
p^5*q^3*r^3->149832
p^5*q^4*r->33100
p^5*q^4*r^2->119902
p^5*q^4*r^3->265292
p^5*q^4*r^4->469270
p^5*q^5*r->51856
p^5*q^5*r^2->187312
p^5*q^5*r^3->413972
p^5*q^5*r^4->731836

時間がかかりましたが、ようやく素因数3種類の一般式が出せました。
p^l*q^m*r^n → (1/3){(6l^2+1)(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-54lmn
という比較的綺麗な式になりました。
これにならうと、素因数2種類の一般式は
p^m*q^n → (1/6){(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-9mn
となり似たような形になります。
両方とも「11」という定数が含まれているのが面白いですね。
この形から素因数4種類の一般式を数少ないデータを使って予想すると
p^k*q^l*r^m*s^n → (2/3){(6k^2+1)(6l^2+1)(6m^2+1)(6n^2+1)+11}-324klmn
それにより完全な一般式は素因数n種類で指数がa[1],a[2],…,a[n]のとき
(1/24){(2^n)(Π{6(a[k])^2+1}+11)-(6^(n+1))Πa[k]}
となりそうで、これは素因数が1種類の場合も正解と一致しています。

自分も一般式が構成出来ないものかと、らすかるさんが見つけられた様式を参考にあれこれ挑戦していたんですが、係数が分数になったり
素数の指数と上手く連動しなかったりと、ほとんど絶望状態でした。
ほんの一部でi=1,2,3,･･･で
p^i*q^i->(2*i^2-1)*(3*i^2-2)
p^i*q*r->98*i^2-54*i+20
p^i*q->7*i^2-9*i+3
p^m*q^2->25*m^2-18*m+6 (m=2,3,4,･･･)
p^n*q^3->55*n^2-27*n+11 (n=3,4,5,･･･)
などの個別の式でした。

これを一気に記述できる一般式に到達出来ることが物凄いです。
論理的に攻めて行けるものなのですか？
それとも何となくこんな式なのかと直感的に予測していくのですか？
自分なりにあれこれ挑戦した感覚としてこんな式のあり様がどこから考えてこれるのかとても不思議です。

式の形は無数にありますので、「何となくこんな式なのかと直感的に予測」はほとんど無理ですね。
特別な場合の式を立て、それを統合する式を考えていってすべて論理的に攻めてます。
今回の場合は、「l,m,nに関して対称」ということがかなり使えました。

とりあえずパッと思いつくのは
a=10010, b=1001, c=1002001
ですが、もっと小さいのがありますかね？

但し1≦a≦b≦cであるとする。
の条件に合わないので、これも含んでお願いします。
最小とコメントしていたんですが、最小に少し自信が無くなったのでa>10000
であるものを探して下さい。できれば3組ほど。

「最小」というのは、「aが最小」ですか？それとも「cが最小」ですか？

aがでおねがいします。

あ、問題を読み飛ばしちゃってました。
失礼しました。

aの小さい順だと
10010^3+17290^3=2484300^2
10054^3+13178^3=1817904^2
10065^3+23010^3=3633525^2
ですかね。

最小に自信がなくなったとコメントしたのは、bの探索範囲を広げてみたら
10016^3+2153440^3=3160088064^2
なるものが出現したので、もっと広げてやれば10010が最小とは限らないんじゃないのかな？
と疑問をもったためでした。
bの探索範囲を広げて行けば時間が掛かってしまうし･････
で３個と問い直しました。

と思っていたら
(10016,2153440,3160088064)=(626*4^2,134590*4^2,49376376*4^3)
なので既約ではありませんでした。
他のaでは
10080^3+15120^3=2116800^2( しかしこれは既約にならない。)
(10080,15120,2116800)=(70*12^2,105*12^2,1225*12^3)
10082^3+231886^3=111668232^2 (これも既約でない。）
(10082,231886,111668232)=(2*71^2,46*71^2,312*71^3)
10089^3+1169298^3=1264410081^2 (これも既約でない。）
(10089,1169298,1264410081)=(1121*3^2,129922*3^2,46830003*3^3)

ですのでaが10000を超えて既約候補の3個は上のものですね。

続きは
10122^3+149961^3=58081023^2
10129^3+1244420^3=1388195367^2
10147^3+115997^3=39519864^2
10166^3+17342^3=2503228^2
10185^3+234934^3=113877127^2
10199^3+182693^3=78094534^2
10270^3+13430^3=1872300^2
となるようですね。


ちなみに一部の解は手計算でも出せます。
例えば2つの素数11と19を使って
11^3+19^3=8190=2×3^2×5×7×13
平方要素を除くと 2×5×7×13=910
11×910=10010, 19×910=17290なので
10010^3+17290^3=(11^3+19^3)×910^3
=(2×3^2×5×7×13)×(2×5×7×13)^3
=(2^2×3×5^2×7^2×13^2)^2=2484300^2

17と29を使うと
17^3+29^3=29302=2×7^2×13×23
平方要素を除くと 2×13×23=598
17×598=10166, 29×598=17342なので
10166^3+17342^3=(17^3+29^3)×598^3
=(2×7^2×13×23)×(2×13×23)^3
=(2^2×7×13^2×23^2)^2
=2503228^2

# 最初の2数は素数である必要はありません。
# 例えば15と346から
# 10185^3+234934^3=113877127^2
# が得られます。

また、この方法を使えば単純探索では厳しいようなかなり大きい値の解の例も算出できます。
例えば271と314を使うと
271^3+314^3=50861655=3^3×5×13×73×397
平方要素を除くと 3×5×13×73×397=5651295
271×5651295=1531500945, 314×5651295=1774506630なので
1531500945^3+1774506630^3=(271^3+314^3)×5651295^3
=(3^3×5×13×73×397)×(3×5×13×73×397)^3
=(3^3×5^2×13^2×73^2×397^2)^2
=95811405531075^2

面白い構成方法ですね。（よくこんな方法を思いつけますね。）
10129^3+1244420^3=1388195367^2
は7 と860
10166^3+17342^3=2503228^2
は17と29
10270^3+13430^3=1872300^2
は13と17
から構成できますね。
でもこれで出来たり、出来なかったりすることもまた面白いです。

＜追伸＞
探索範囲を広げれば
いやいや、これで全部作れてしまいますね。
10054^3+13178^3=1817904^2は
457 と599
10065^3+23010^3=3633525^2は
671 と1534
10122^3+149961^3=58081023^2は
482 と 7141
10147^3+115997^3=39519864^2は
139 と1589
10199^3+182693^3=78094534^2は
1457 と26099

この構成方法に気づきましたので、10100より大きい解はこの方法のプログラムを作って調べました。
2数をs,t（s≦t）としたとき、tは+1ずつですが、sは例えばaの範囲が10000～10300とするならば
s=4000やs=6000などを調べる必要がない（整数倍して10000～10300の範囲にならない）ので
結構高速化できました。
（具体的には、sを+1ずつして[10000/s]=[10299/s]になったらs/[10000/s]まで飛ばしてよい）

s;tを変化させて一気に構成してみました。
1;2=>1^3 + 2^3 = 3^2
1;3=>7^3 + 21^3 = 98^2
1;4=>65^3 + 260^3 = 4225^2
1;5=>14^3 + 70^3 = 588^2
1;6=>217^3 + 1302^3 = 47089^2
1;7=>86^3 + 602^3 = 14792^2
1;8=>57^3 + 456^3 = 9747^2
1;9=>730^3 + 6570^3 = 532900^2
1;10=>1001^3 + 10010^3 = 1002001^2
1;11=>37^3 + 407^3 = 8214^2
1;12=>1729^3 + 20748^3 = 2989441^2
1;13=>2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
1;14=>305^3 + 4270^3 = 279075^2
1;15=>211^3 + 3165^3 = 178084^2
1;16=>4097^3 + 65552^3 = 16785409^2
1;17=>546^3 + 9282^3 = 894348^2
1;18=>5833^3 + 104994^3 = 34023889^2
1;19=>35^3 + 665^3 = 17150^2
1;20=>889^3 + 17780^3 = 2370963^2
1;21=>9262^3 + 194502^3 = 85784644^2
1;22=>10649^3 + 234278^3 = 113401201^2
1;23=>2^3 + 46^3 = 312^2
1;24=>553^3 + 13272^3 = 1529045^2
1;25=>15626^3 + 390650^3 = 244171876^2
1;26=>217^3 + 5642^3 = 423801^2
1;27=>4921^3 + 132867^3 = 48432482^2
1;28=>21953^3 + 614684^3 = 481934209^2
1;29=>2710^3 + 78590^3 = 22032300^2
1;30=>27001^3 + 810030^3 = 729054001^2
2;3=>70^3 + 105^3 = 1225^2
2;4=>4^3 + 8^3 = 24^2
2;5=>266^3 + 665^3 = 17689^2
2;6=>28^3 + 84^3 = 784^2
2;7=>78^3 + 273^3 = 4563^2
2;8=>260^3 + 1040^3 = 33800^2
2;9=>1474^3 + 6633^3 = 543169^2
2;10=>14^3 + 70^3 = 588^2
2;11=>2678^3 + 14729^3 = 1792921^2
2;12=>868^3 + 5208^3 = 376712^2
2;13=>10^3 + 65^3 = 525^2
2;14=>86^3 + 602^3 = 14792^2
2;15=>6766^3 + 50745^3 = 11444689^2
2;16=>228^3 + 1824^3 = 77976^2
2;17=>9842^3 + 83657^3 = 24216241^2
2;18=>730^3 + 6570^3 = 532900^2
2;19=>1526^3 + 14497^3 = 1746507^2
2;20=>4004^3 + 40040^3 = 8016008^2
2;21=>18538^3 + 194649^3 = 85914361^2
2;22=>148^3 + 1628^3 = 65712^2
2;23=>974^3 + 11201^3 = 1185845^2
2;24=>6916^3 + 82992^3 = 23915528^2
2;25=>386^3 + 4825^3 = 335241^2
2;26=>2198^3 + 28574^3 = 4831204^2
2;27=>39382^3 + 531657^3 = 387735481^2
2;28=>1220^3 + 17080^3 = 2232600^2
2;29=>48794^3 + 707513^3 = 595213609^2
2;30=>844^3 + 12660^3 = 1424672^2
3;4=>273^3 + 364^3 = 8281^2
3;5=>114^3 + 190^3 = 2888^2
3;6=>9^3 + 18^3 = 81^2
3;7=>1110^3 + 2590^3 = 136900^2
3;8=>33^3 + 88^3 = 847^2
3;9=>63^3 + 189^3 = 2646^2
3;10=>3081^3 + 10270^3 = 1054729^2
3;11=>4074^3 + 14938^3 = 1844164^2
3;12=>585^3 + 2340^3 = 114075^2
3;13=>417^3 + 1807^3 = 77284^2
3;14=>8313^3 + 38794^3 = 7678441^2
3;15=>126^3 + 630^3 = 15876^2
3;16=>12369^3 + 65968^3 = 16999129^2
3;17=>3705^3 + 20995^3 = 3050450^2
3;18=>1953^3 + 11718^3 = 1271403^2
3;19=>20658^3 + 130834^3 = 47416996^2
3;20=>24081^3 + 160540^3 = 64432729^2
3;21=>774^3 + 5418^3 = 399384^2
3;22=>1281^3 + 9394^3 = 911645^2
3;23=>36582^3 + 280462^3 = 148693636^2
3;24=>57^3 + 456^3 = 9747^2
3;25=>11739^3 + 97825^3 = 30623138^2
3;26=>52809^3 + 457678^3 = 309865609^2
3;27=>6570^3 + 59130^3 = 14388300^2
3;28=>65937^3 + 615412^3 = 483076441^2
3;29=>4578^3 + 44254^3 = 9314704^2
3;30=>9009^3 + 90090^3 = 27054027^2
･･･････････････

sとtが互いに素でない場合は「既約な組」になりませんので、互いに素でないものは除いた方が良いかも知れません。

チェバの定理とメネラウスの定理は射影幾何の定理ではありませんし、双対の関係ではないと思います。

私が今年の4月に投稿した問題
（
https://bbs1.rocketbbs.com/shochandas/posts/36
または
お茶の時間　＞　パズル＆クイズ　＞　三角形のある等式
）
は、厳密には双対ではないのでしょうけれど、それぞれの定理の双対を意識して作った問題です。
[1]がメネラウスの定理に対応し、[2]がチェバの定理に対応しています。