😊出会いの泉😊

任意のA,B,C(1≦A≦9,0≦B≦9,0≦C≦9)に対して
0≦X≦9のうちで10を作ることができるXが存在するか、
という意味でしたら、必ず存在します。

訂正後の質問に対する回答です。
たくさんありますが、わかりやすいものとしては例えば1900があります。
1+9+0×0=10
1+9+0×1=10
1+9+0×2=10
・・・
1+9+0×9=10
となりますね。

「四つの数で10を創る」とのことなので、数字の順番は問わないと考え、挑戦してみました。
4610　→　4+6+1×0＝10
4621　→　（4+6）×（2-1）＝10
4622　→　4+6+2-2＝10
4623　→　（4+6）×（3-2）＝10
4624　→　（4×6-4）÷2＝10
4625　→　（4×2-6）×5＝10
4626　→　（6-4）+2+6＝10
4627　→　6÷（4-2）＋7＝10
4628　→　4×2＋8-6＝10
4629　→　4+（9-6）×2＝10

(1)で解を見つけました。
x^3-8x^2y-2xy^2+7y^3=2023
(x+y)(x^2-9xy+7y^2)=2023
x^2-9xy+7y^2=±1,±7,±17,±119,±289,±2023
4(x^2-9xy+7y^2)=±4,±28,±68,±476,±1156,±8092
(2x-9y)^2-53y^2=±4,±28,±68,±476,±1156,±8092
元の式からx,yの偶奇は異なる
y=2mのとき
(2x-18m)^2-4・53m^2=±4,±28,±68,±476,±1156,±8092
(x-9m)^2-53m^2=±1,±7,±17,±119,±289,±2023
m=1のとき右辺の値に1,7,17,119,289,2023,-1,-7,-17,-119,-289,-2023を足すと
（ただし負になるものを除く）
54,60,70,172,242,2076,52,46,36
平方数は36のみでこのとき(x,y)=(-15,-2)とすれば
「x+yが2023の約数」「与式が正」を満たすが、このとき(与式)=289となり不適
同様にm=2のとき213,219,229,331,501,2235,211,205,195,93だが平方数がなく不適
m=3のとき478,484,494,596,766,2500,476,470,460,358,188で平方数は2500
しかし算出される(x,y)=(5,6),(49,6)はいずれもx+yが2023の約数にならず不可
m=4のとき849,855,865,967,1137,2871,847,841,831,729,559で平方数は841と729
841のときは不適だが729のとき(x,y)=(9,8)ならばx+y=17,x^2-9xy+7y^2=-119
これだと-2023になるから(x,y)=(-9,-8)とすれば2023が得られる。
m=5のとき1326,1332,1342,1444,1614,3348,1324,1318,1308,1206,1036で平方数は1444
このとき適解(x,y)=(7,10)が見つかる。
以上により(x,y)=(-9,-8),(7,10)は解。ただし他に解があるかどうか不明。

(追記)
(2)も解を見つけました。
x^4-9x^3y-9x^2y^2-4xy^3-7y^4
=(x+y)(x^3-10x^2y+xy^2-5y^3)-2y^4=2023
yが小さい値であることを期待して順に代入して調べると

y=1のとき (x+1)(x^3-10x^2+x-5)=2025=3^4×5^2
x+1は2025の約数なのでx=…,-10,-6,-4,-2,2,4,8,14,…（∵x=0は不適）
2≦x≦8のときx^3-10x^2+x-5=(x-2)(x-8)x-15(x-2)-35＜0となり不適
x≧14のとき(x+1)(x^3-10x^2+x-5)=15×{(x-10)(x^2+1)+5}≧15×(4×197+5)＞2025とな
り不適
x≦-6のとき(x+1)(x^3-10x^2+x-5)≧5×(216+360+6+5)＞2025となり不適
-4≦x≦-2のとき(x+1)(x^3-10x^2+x-5)≦3×(64+160+4+5)＜2025となり不適

y=2のとき (x+2)(x^3-20x^2+4x-40)=2055=3×5×137
x+2は2055の約数なのでx=-139,-17,-7,-5,-3,-1,1,3,13,135,…
1≦x≦13のときx^3-20x^2+4x-40=(x-1)(x-19)x-15(x-1)-55＜0となり不適
x≧135のとき(x+2)(x^3-20x^2+4x-40)=137×{(x-135)(x^2+4)+115x^2+500}＞2055となり不適
x≦-7のとき(x+2)(x^3-20x^2+4x-40)≧5×(343+980+28+40)＞2055となり不適
x=-5のとき(x+2)(x^3-20x^2+4x-40)≧3×(125+500+20+40)=2055となり
(x,y)=(-5,2)は解の一つ
x,yの符号を反転したものも解となるので
(x,y)=(5,-2)も解
以上により(x,y)=(-5,2),(5,-2)は解。ただし他に解があるかどうか不明。

3次以上の斉次多項式となっているので、PARIのコマンドにThue 方程式の解を求めるコマンドに
P(x,y)=x^3+a*x^2*y+b*x*y^2+c*y^3=t
を満たす整数(x,y)が
th=thueinit(x^3+a*x^2+b*x+c);
と準備して
thue(th,t)
で尋ねれば、その(x,y)を返してくれる。

そこで遊びでt=2023に因んで多くの解を持ち得る3次関数をa,b,cのパラメータを変えながら
調査したら(a,b,c)=(-8,-2,7)で　6通りの解が存在していた。
こんなものを手作業で発見できるんものかと訝りながら出題した次第でした。
このうちの２組を見事手作業で出してあり、驚きの一言です。
ペル方程式なら解は無限個なのに対し、３次以上の斉次方程式は有限個に限られるのも面白いものです。

(2)の方は後2組（ただし符号の入れ替えによるものです。）<数値は10以内>

４色で、１７x１７のマス目だと、
以下のような塗り分けがあります。
https://www.nemokennislink.nl/publicaties/17-x-17-probleem-opgelost/

まず特定の1色で条件を満たす配置を作り
●●●○○○○○○
●○○●●○○○○
●○○○○●●○○
●○○○○○○●●
○●○●○○●○○
○●○○●○○●○
○●○○○●○○●
○○●●○○○○●
○○●○●●○○○
○○●○○○●●○
○○○●○●○●○
○○○○●○●○●
位置がかぶらないように適当に行を並び替えて
○○○●○●○●○
○●○○○●○○●
○○●●○○○○●
○●○●○○●○○
○○●○●●○○○
●○○○○●●○○
○○●○○○●●○
○●○○●○○●○
●○○○○○○●●
●○○●●○○○○
○○○○●○●○●
●●●○○○○○○
残りの位置も最初のパターンから行を並び替えたものになることを確認し
○○○○●○●○●
○○●○○○●●○
○●○○●○○●○
○○●○●●○○○
●○○○○○○●●
○○●●○○○○●
●○○●●○○○○
●○○○○●●○○
○●○●○○●○○
○●○○○●○○●
●●●○○○○○○
○○○●○●○●○
重ね合わせれば
●●●※○※○※○
●※○●●※○○※
●○※※○●●○※
●※○※○○※●●
○●※●※※●○○
※●○○●※※●○
○●※○○●※※●
○※●●※○○※●
※○●○●●○※※
※○●※※○●●○
○○○●※●※●※
※※※○●○●○●
完成！
※漢字だととても見にくいので、3種類の記号にしました。

何でもいいから1つ作れというだけならさほど難しくないですね。
カラクリが見やすいようにスペースを入れておきます。

赤　赤黄黄青赤青青黄
赤　黄赤黄黄青赤青青
赤　青黄赤黄黄青赤青
赤　青青黄赤黄黄青赤

黄　黄青青赤黄赤赤青
黄　青黄青青赤黄赤赤
黄　赤青黄青青赤黄赤
黄　赤赤青黄青青赤黄

青　青赤赤黄青黄黄赤
青　赤青赤赤黄青黄黄
青　黄赤青赤赤黄青黄
青　黄黄赤青赤赤黄青

明けましておめでとうございます。

らすかるさん、DD++ さん、素晴らしいです！！！

知人から教わったなかに、
以下のようなものがあり、

※○●○●●○※※

目を丸くしております。

◎●○ ●○◎ ○◎●
●○◎ ○◎● ◎●○
○◎● ◎●○ ●○◎

●◎○ ○●◎ ◎○●
◎○● ●◎○ ○●◎
○●◎ ◎○● ●◎○

◎○● ◎○● ◎○●
○●◎ ○●◎ ○●◎
●◎○ ●◎○ ●◎○

○○○ ◎◎◎ ●●●
◎◎◎ ●●● ◎◎◎
●●● ○○○ ○○○

いったいぜんたいどのようにして
こんな形にいたったのか、
皆目見当がつきません。

追伸。
管理人さんにより、らすかるさんの解への色付をしていただきましたが、
左手上のほうで塗り間違いがあります。

>>497
すこしだけ納得できる理屈をもって改造しました。

赤黄青のサイクリックを……

こういうのはありですか？
(.5)^(-5.5-5.5)-5×5

あー、そういえば .5 で 0.5 を表すルールを採用する場合もありましたね。

別解での正解とした上で、小数点を 5.5 としてのみ使用する想定解もぜひ探してみてください。

ならば想定解はおそらく
2023 = (5-5/5)^5.5-5×5
だと思います。

はい、その通りです。
非整数乗をまともに使えるのはおそらく各元号5年のみ、しかもそれが短く式を作るのに有効というのは非常に珍しいはず。

2023^6=1902^6+1548^6+1320^6+1136^6+345^6+240^6+30^6
が見つかりました(2023^6の全解探索時間45秒)。
(追記)
2024,2025,2026,…についても同様の分解があるのかと思って探したら、
2023はたまたま存在するだけで普通は存在しないのですね。
後になって検索して↓このページを見つけました。
https://sites.google.com/site/sevensixthpowers/

あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いいたします。

右辺の数字が1,2,3,4,5,6,7,8,9の順になっている式です。
2023 = (1-2+3+4+5+6)×7×(8+9)
2024 = 1+(2+3×(4-5+6))×7×(8+9)
2025 = 1+2-3+(4+5+6)×(7+8)×9
2026 = 1+2+(3+4×5-6)×7×(8+9)
2027 = 1-2+3+(4+5+6)×(7+8)×9
2028 = 1+2+(3+4+5×6×7+8)×9
2029 = (1+2+3+4)×(5×6×7-8)+9
2030 = 1×2+3+(4+5+6)×(7+8)×9
2031 = 1+2+3+(4+5+6)×(7+8)×9
2032 = 1+2×3+(4+5+6)×(7+8)×9
2033 = (1+2×(3+4)×(5+6+7))×8+9

やはり、条件不足のようです。
a<bとして、ｂで正三角形をつくり、その頂点からへの重心の長さをa
とすると、ぺちゃんこになってしまう。
やはり、立体はむずかしい

> 点で記した場合、１，４，５は上下左右対称ですが、
> ２，３，６の場合辺に平行なものが二通りあり、
> ３０×２×２×２＝１８０通りできる。

30×2×2×2=240です。

> 数字で表した場合、１以外は、対称ではないので、
> ３０×４＾５通りできる。大丈夫かなと？

1以外の向きは4通りですが1の向きも（単なる棒として）2通りありますので
30×2×4^5通りですね。

正四面体の場合
一色で塗る　１通り
二色で塗る　（１，３）（３，１）（２，２）の3通り
三色で塗る　（1，3）3通り
四色で塗る　1通り　
空間的で間違いがあるかも知れません
六面体に挑戦中

二色が3通り、三色が3通りということは色順を区別しているということですから
四色の場合は2通りになります。例えば色をa,b,c,dとしたときaの面を下にして
上からみたとき時計回りにb,c,dになるかd,c,bになるかの2通りです。

(x,y,z)=(0,0,0)
の解がありますので、1個ですね。

x^3+y^3=z^3には(0,t,t)という解がありますので無限個です。
他には
x^2+y^2=5^2, 0＜x＜y : 整数解1個
x^2+y^2=(5^2)^2, 0＜x＜y : 整数解2個
x^2+y^2=(5^3)^2, 0＜x＜y : 整数解3個
x^2+y^2=(5^4)^2, 0＜x＜y : 整数解4個
x^2+y^2=(5^5)^2, 0＜x＜y : 整数解5個
・・・
x^2+y^2=(5^n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
・・・

x^2+y^2=(5^n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
は
x^2+y^2=(5*n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
ではないでしょうか？

違います。
x^2+y^2=5^2, 0＜x＜y：整数解1個 (3,4)のみ
x^2+y^2=10^2, 0＜x＜y：整数解1個 (6,8)のみ
x^2+y^2=15^2, 0＜x＜y：整数解1個 (9,12)のみ
x^2+y^2=20^2, 0＜x＜y：整数解1個 (12,16)のみ
x^2+y^2=25^2, 0＜x＜y：整数解2個 (7,24)と(15,20)
x^2+y^2=30^2, 0＜x＜y：整数解1個 (18,24)のみ
のようになりますので明らかに「(5*n)^2」では合いません。「(5^n)^2」ならば
x^2+y^2=5^2, 0＜x＜y：整数解1個 (3,4)のみ
x^2+y^2=25^2, 0＜x＜y：整数解2個 (7,24)と(15,20)
x^2+y^2=125^2, 0＜x＜y：整数解3個 (35,120)と(44,117)と(75,100)
x^2+y^2=625^2, 0＜x＜y：整数解4個 (175,600)と(220,585)と(336,527)と(375,500)
のように確かに合います。

あ～そうだ！
完全に勘違いしていた。
でもよくこんな例を思いつきますね。

条件を入れると、より難しくなる印象でしたが、
一律に、求めて、すごいですね。
フェルマーの元来の問題は、自然数解は存在しないでした。
うっかりしてました。
整数解の条件だと、奇数の場合、（ｔ、－ｔ、０）もあり
無限個ありますね。
整数解のない式は、２＊ｘ＾２＋２＊ｙ＝１　面白くない式ですが。
ｘ＾２＋ｙ＾２＝０　（０，０）一個のみ
ｙ＾３＝ｘ＾２＋２（５，３）（ー５，３）二個のみｘ、ｙの順
ｙ＾２＝ｘ＾３　（８，４）（ー８，４）でしょうか？
ｙ＾３＝ｘ＾２＋１　は無し
ｙ＾２＝ｘ＾３＋１（2、３）（２，ー３）
一般に、解の個数は確定するのが、難しいそうなので、
知られている限りでどうでしょうか？

y^2=x^3 の解は (x,y)=(t^2,±t^3) で無限個
y^3=x^2+1 の解は (x,y)=(0,1)
y^2=x^3+1 の解は (x,y)=(-1,0),(0,±1),(2,±3)

ちなみに
x^2+y^2=(5^n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
の「5」は4n+1型の素数(5,13,17,29,37,…)なら何でもOKだと思います。

らすかるさん、いつも、ありがとうございます。
解4個の場合　ｘ＾２＋ｙ＾2＝１　（±1，0）（0，±１）
解８個の場合　ｘ＾２＋ｙ＾２＝２５　（±３，±４）（±４、±３）

ｘの一文字だけで、
（ｘ－１）（ｘ－２）…（ｘ－ｎ）＝０

整数解　3個　の場合
ｙ＾2＝ｘ＾3－ｘ　（ー1，0）（0，0）（1，0）
整数解　６個　場合
ｙ（ｙ－1）＝ｘ＾３ーｘ
（ー1，0）（0，0）（1，0）
（ー1，1）（0，1）（1，1）

y(y-1)=x^3-xの解は他にもありますので6個ではありません。
(x,y)=(2,3),(2,-2),(6,15),(6,-14)

右辺の値が、６になる場合、直ぐに気づかれたみたいですね。
これだと、１０個の解ということになりますが？
６，７，９個に挑戦します。

> これだと、１０個の解ということになりますが？
そうですね。でもその10個以外に解がないかどうかはわかりません。

６個の整数解を持つ方程式
（ｙ（ｙ－１））＾２＝ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）
（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）
（ー1，0）（ー1，1）

x^2+y^2=(5^n)^2,0＜x＜yの整数解はn個ですが、
変数の大小関係の条件がない2変数の方程式で
整数解が任意の個数になるものを考えると、
(4x+1)^2+y^2=25^n の整数解は 2n+1個（n≧0）
4x^2+y^2=5^n の整数解は 2n+2個（n≧0）
のような例があり、任意の自然数nに対して
整数解がn個である2変数方程式が存在することがわかります。

解の具体値
解1個: (4x+1)^2+y^2=25^0
(0,0)
解2個: 4x^2+y^2=5^0
(0,±1)
解3個: (4x+1)^2+y^2=25^1
(-1,±4),(1,0)
解4個: 4x^2+y^2=5^1
(±1,±1)
解5個: (4x+1)^2+y^2=25^2
(-4,±20),(-2,±24),(6,0)
解6個: 4x^2+y^2=5^2
(0,±5),(±2,±3)
解7個: (4x+1)^2+y^2=25^3
(-19,±100),(-9,±120),(29,±44),(31,0)
解8個: 4x^2+y^2=5^3
(±1,±11),(±5,±5)
解9個: (4x+1)^2+y^2=25^4
(-132,±336),(-94,±500),(-44,±600),(146,±220),(156,0)
解10個: 4x^2+y^2=5^4
(0,±25),(±10,±15),(±12,±7)
解11個: (4x+1)^2+y^2=25^5
(-659,±1680),(-469,±2500),(-219,±3000),(59,±3116),(731,±1100),(781,0)
解12個: 4x^2+y^2=5^5
(±5,±55),(±19,±41),(±25,±25)
解13個: (4x+1)^2+y^2=25^6
(-3294,±8400),(-2344,±12500),(-1094,±15000),(296,±15580),(2938,±10296),(3656,±5500),(3906,0)
解14個: 4x^2+y^2=5^6
(0,±125),(±22,±117),(±50,±75),(±60,±35)
解15個: (4x+1)^2+y^2=25^7
(-19111,±16124),(-16469,±42000),(-11719,±62500),(-5469,±75000),(1481,±77900),
(14691,±51480),(18281,±27500),(19531,0)
解16個: 4x^2+y^2=5^7
(±25,±275),(±95,±205),(±125,±125),(±139,±29)
解17個: (4x+1)^2+y^2=25^8
(-95554,±80620),(-82344,±210000),(-58594,±312500),(-27344,±375000),(7406,±389500),
(41208,±354144),(73456,±257400),(91406,±137500),(97656,0)
解18個: 4x^2+y^2=5^8
(0,±625),(±110,±585),(±168,±527),(±250,±375),(±300,±175)
解19個: (4x+1)^2+y^2=25^9
(-477769,±403100),(-411719,±1050000),(-292969,±1562500),(-136719,±1875000),(37031,±1947500),
(206041,±1770720),(230519,±1721764),(367281,±1287000),(457031,±687500),(488281,0)
解20個: 4x^2+y^2=5^9
(±125,±1375),(±359,±1199),(±475,±1025),(±625,±625),(±695,±145)

圧倒的な計算力ですね。
ｙ＾２＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）…（ｘ＋ｎ）
（ー1，0）（ー2，0）…（ーｎ、0）
右辺に、一つでも、素数があれば、その最大値をPとし、
２P＜N、ではない。なぜなら、P＜２Pの間に、新たな素数が
必ず存在し、最大に反するからです。そうするとPについて、
平方でなくなり、右辺が平方数になるときは、０のときです。
素数がないとき、例えば
N!＋２，…N!＋N　のときは、分かりません。
ので、他に、解があるかも知れませんが。

> N!＋２，…N!＋N　のときは、分かりません。
> ので、他に、解があるかも知れませんが。

エルデシュ・セルフリッジの定理により
「連続する2つ以上の自然数の積は累乗数にならない」
とのことですので、0以外の解はないようです。

らすかるさんありがとうございます。
先人の肩に乗せて貰いました。難儀するところでした。
ｙは、平方、累乗でもいいんですね！

追伸、そういえば
自然数の連続数の和も、２の巾乗で表せないこと、
興味深い⁉️

逆に、２のべき乗でなければ、連続数の和で、表すことが可能。
一意的では、ないのが、残念ですが。素数は、一意的なのかな？