😊出会いの泉😊

微分

例えば「定義域が有理数全体である関数f(x)=x^2」は微分不可能とされていると思いますが、
これはxを有理数上で動かして極限をとることで微分可能と定義しても問題ないように思います。
（一般には、有理数でなくても稠密であればよい）
なぜ微分不可能と定義されたのでしょう？

# どこかのサイトに「無理数のときに別の値を定義すると微分不可能になるから」と
# 書かれていましたが、これは「tan(π/2)=0と定義するとtanが微分不可能になる」と同じなので
# あまり理由にならないと思います。

No.116らすかる2022年6月18日 11:31

少し考えてみましたが、そもそもの問題は「有理数のみとる変数で極限を考えてよいかどうか」なのではないでしょうか。
そして、それが NO であるため、「極限が定義できない→連続性の判定ができない→連続関数でないのだから当然微分不可能」という理屈になっているのではないかと思います。

というのも、仮に有理数のみとる変数の極限を考えてよいことにすると、中間値の定理やら最大値最小値の定理やらその他諸々の定理がゴッソリ不成立になってしまうんですよね。
きちんと断った上で有理数変数の極限を導入すれば何かそういう理論体系もできそうですが、失うものの大きさのわりにメリットはほとんどなさそう。

No.118DD++2022年6月18日 14:50

回答ありがとうございます。なるほど、確かにいろいろ問題がありそうですね。
すると、もしやるとしたら別の名前で異なる理論として体系を作らなければならなそうですが、そういうものを見たことがないことから、体系を作っても使いようがない、ということなのでしょうね。

No.119らすかる2022年6月18日 19:24

返信 (2)

5乗の威力

mod 10　で
a^5≡a
を満たすaは{1,2,3,4,5,6,7,8,9}
だったので、5乗は元に戻す力が特別と感じたので
ではmod 100,mod 1000,･･･,mod 10^nではどんな数字が対応できるか
調べてみることにした。

a^5≡a(mod 100)
を満たす整数aは
{1,7,24,25,32,43,49,51,57,68,75,76,93,99}

a^5≡a(mod 1000)
を満たす整数aは
{1,57,125,193,249,251,307,375,376,432,443,499,501,557,568,624,625,693,749,751,807,875,943,999}

そこで、これを系統別に
1->51->251
･････ ->751
･->01->501

2->32->432

3->43->443
･････->943
･->93->193
･････->693

4->24->624

5->25->125
･････->625
･->75->375
･････->875

6->76->376

7->57->557
･->07->307
･････->807

8->68->568

9->49->249
･････->749
･->99->499
･････->999

という風に前に満足している整数の頭に、新たな数字を付け加えることで
繋げていけるものを探してみることにする。

次の候補は
{1,443,624,625,807,1249,1251,1693,1875,2057,2499,2501,2943, 3125,3307,3568,3749,3751, 4193,4375,4557,4999,5001,5443,5625,5807, 6249,6251,6432,6693,6875,7057,7499,7501,7943,8125,8307,8749,8751, 9193,9375,9376,9557,9999}
となるので,これにつなげていく。

こうして次々と繋がっていける列が、次のものが見つかった。
あとはこれをOEISで検索しヒットしたものの掲載分を参考につけています。

A063006(A224474)より
M1=[1, 5, 7, 8, 1, 2, 4, 7, 5, 3, 6, 1, 0, 8, 4, 7, 8, 4, 5, 1,･･･];
1,51,751,8751,18751,218751,4218751,74218751,574218751,3574218751,
つまり
[51^5≡51(mod 10^2),751^5≡751(mod 10^3),8751^5≡8751(mod 10^4),･･･が成立する。]

A120817より
M2=[2, 3, 4, 6, 8, 1, 9, 7, 8, 9, 9, 4, 3, 6, 2, 3, 0, 1, 4, 0,･･･];
2,32,432,6432,86432,186432,9186432,79186432,879186432,9879186432,

A290373より
M31=[3, 4, 9, 2, 2, 9, 7, 0, 9, 1, 8, 5, 6, 7, 4, 0, 4, 6, 3, 0,･･･];
3,43,943,2943,22943,922943,7922943,7922943,907922943,1907922943,

A290375より
M32=[3, 9, 1, 4, 0, 7, 3, 3, 3, 8, 1, 4, 6, 9, 9, 2, 5, 1, 8, 8,･･･];
3,93,193,4193,4193,704193,3704193,33704193,333704193,8333704193,

A091664(A216092)より
M4=[4, 2, 6, 0, 9, 8, 2, 1, 2, 8, 1, 9, 9, 5, 2, 6, 5, 2, 2, 9,･･･];
4,24,624,624,90624,890624,2890624,12890624,212890624,8212890624,

A091663(A216093)より
M51=[5, 7, 3, 9, 0, 1, 7, 8, 7, 1, 8, 0, 0, 4, 7, 3, 4, 7, 7, 0,･･･];
5,75,375,9375,9375,109375,7109375,87109375,787109375,1787109375,

A018247(A007185)より
M52=[5, 2, 6, 0, 9, 8, 2, 1, 2, 8, 1, 9, 9, 5, 2, 6, 5, 2, 2, 9,･･･];
5,25,625,625,90625,890625,2890625,12890625,212890625,8212890625,
（ただしこれは5乗に限らず、何乗でも成立していく。）

A018248(A016090)より
M6=[6, 7, 3, 9, 0, 1, 7, 8, 7, 1, 8, 0, 0, 4, 7, 3, 4, 7, 7, 0,･･･];
6,76,376,9376,9376,109376,7109376,87109376,787109376,1787109376,
（ただしこれは5乗に限らず、何乗でも成立していく。）

A290372より
M71=[7, 0, 8, 5, 9, 2, 6, 6, 6, 1, 8, 5, 3, 0, 0, 7, 4, 8, 1, 1,･･･];
7,7,807,5807,95807,295807,6295807,66295807,666295807,1666295807,

A290374より
M72=[7, 5, 0, 7, 7, 0, 2, 9, 0, 8, 1, 4, 3, 2, 5, 9, 5, 3, 6, 9,･･･];
7,57,57,7057,77057,77057,2077057,92077057,92077057,8092077057,

A120818より
M8=[8, 6, 5, 3, 1, 8, 0, 2, 1, 0, 0, 5, 6, 3, 7, 6, 9, 8, 5, 9,･･･];
8,68,568,3568,13568,813568,813568,20813568,120813568,120813568,

A091661(A224473)より
M9=[9, 4, 2, 1, 8, 7, 5, 2, 4, 6, 3, 8, 9, 1, 5, 2, 1, 5, 4, 8,･･･];
9,49,249,1249,81249,781249,5781249,25781249,425781249,6425781249,

確かに5乗はmod 10 に限らず他のmod 10^n での世界でも元の数に引き戻すことが
出来る役割を担い続けることが出来そうです。(各1～9に続く系統が存在する。)

No.110GAI2022年6月16日 05:34

返信

数の性質

N=11^100+22^100+33^100+44^100+55^100+66^100+77^100+88^100+99^100
を10で割った余りは？

No.103GAI2022年6月13日 10:20

以下合同式はすべてmod10
2^4=16≡6
3^4=81≡1
4^2=16≡6
5^n≡5
6^n≡6
7^4=2401≡1
8^4=4096≡6
9^2=81≡1
から
N≡1^100+2^100+3^100+4^100+5^100+6^100+7^100+8^100+9^100
=1+(2^4)^25+(3^4)^25+(4^2)^50+5^100+6^100+(7^4)^25+(8^4)^25+(9^2)^50
≡1+6+1+6+5+6+1+6+1=33≡3
なので、3。

No.104らすかる2022年6月13日 22:18

与式≡1+0+1+0+1+0+1+0+1≡1 (mod2)

また、p=5 についてフェルマーの小定理を用いると、
与式≡1+1+1+1+0+1+1+1+1≡3 (mod5)

よって
与式≡3 (mod10)

No.105DD++2022年6月13日 22:29

お二人とも性質を熟知されていることがビンビン伝わってきます。
ひょんなことから5乗においては,a=1,2,3,･･･,9で
a^5≡a (mod 10)
が成立していることに気付いて、これを活用できる問題として作成しておりました。

特にDD++さんの最も簡潔な近道に感激しました。
なおこれがmod 100
となった場合はどの様に対処できるのですか？

No.106GAI2022年6月14日 05:36

> なおこれがmod 100となった場合はどの様に対処できるのですか？

以下合同式はすべてmod100
n^2≡nの解は0,1,25,76
(つまりこの4つは何乗してもmod100で不変)
2^20=1048576≡76
3^20=3486784401≡1
4^10=1048576≡76
5^2=25≡25
6^5=7776≡76
7^4=2401≡1
8^20=1152921504606846976≡76
9^10=3486784401≡1
11^10=25937424601≡1
なので
N=11^100+22^100+33^100+44^100+55^100+66^100+77^100+88^100+99^100
=11^100(1^100+2^100+3^100+4^100+5^100+6^100+7^100+8^100+9^100)
={(11^10)^10}{1+(2^20)^5+(3^20)^5+(4^10)^10+(5^2)^50+(6^5)^20+(7^4)^25+(8^20)^5+(9^10)^10}
≡1・(1+76+1+76+25+76+1+76+1)
=333≡33
となり、100で割った余りは33。

No.107らすかる2022年6月14日 09:58

オイラーのトーシェント関数を使います。

オイラーの定理より、a が 5 の倍数でないとき
a^φ(25)=a^20≡1 (mod25)
なので、
与式≡1+1+1+1+0+1+1+1+1≡8 (mod25)

また、
与式≡1+0+1+0+1+0+1+0+1≡1 (mod4)

よって
与式≡33 (mod100)

No.108DD++2022年6月14日 11:16

ついでに 1000 で割る場合も。

オイラーの定理より、a が 5 の倍数でないとき
a^φ(125)=a^100≡1 (mod125)
なので、
与式≡1+1+1+1+0+1+1+1+1≡8 (mod125)

また、
与式≡1+0+1+0+1+0+1+0+1≡5 (mod8)

よって
与式≡133 (mod1000)

10000 で割るとなると手を変えないといけませんね。

No.109DD++2022年6月14日 11:21

返信 (6)

約分

(303-n)/(320+n)=23/47
の解は 983 ではなく 98.3 であり、整数ではないのでは。

No.99DD++2022年6月11日 12:52

303/320=3030/3200　という見方は、邪道ですかね？

No.100HP管理者2022年6月11日 17:56

問題文の表現が「分子から引く」「分母に足す」なわけですので、

問題：303/320 の分子は何か
解答：3030

を正解とするべきかどうかという話になりますね。
私は不正解とすべきだと思いますがどうでしょう？

No.101DD++2022年6月11日 19:37

また、その論を認める場合、303/320 を 6060/6400 とみなすことで 1966 など別の解も認められてしまいますね。
極端には 303/320 を (
303/98.3)/(320/98.3) と見做せば 1 も解になり、この問題の答えは「任意の整数」になるかと思います。

No.102DD++2022年6月12日 01:00

返信 (3)

素朴な長さの計算６

(5^2+8^2-7^2)/(2*5*8)=1/2という計算から
3辺が5,7,8の三角形の5と8の辺で挟まれる角の角度は60°とわかる。
(既知とすれば計算不要)
図の形は3辺が5,7,8の三角形の5の辺と8の辺の外側に
それぞれ正三角形をくっつけた形なので、AB=5+8=13。

No.93らすかる2022年6月9日 13:04

図での
AD=a,BC=b,CD=c,AB=xとおいて,この4つが整数となれる組合せ調べたら
(a,b,c)=(1,4,7)->x=9
=(2,5,7)->x=10
=(3,6,7)->x=11
=(4,7,7)->x=12
=(5,8,7)->x=13
=(6,9,7)->x=14
=(7,10,7)->x=15
　　　　･････････････
一般に(a,b,c)=(n,n+3,7)->x=n+8 (n=1,2,3,･･･)

または
(a,b,c)=(1,6,7)->x=9
=(2,7,7)->x=10
=(3,8,7)->x=11
=(4,9,7)->x=12
=(5,10,7)->x=13
=(6,11,7)->x=14
=(7,12,7)->x=15
　　　　･････････････
一般に(a,b,c)=(n,n+5,7)->x=n+8 (n=1,2,3,･･･)

c=7と設定しておくことがポイントになりそうです。

No.94GAI2022年6月9日 16:21

c=13 や c=19 でも可能なのでは。
おそらく 6n+1 型素因数を少なくとも 1 つ持っていることが条件じゃないでしょうか。

No.95DD++2022年6月10日 11:41

確かに6*n+1型の数は

7^2=3^2+8^2-3*8
=5^2+8^2-5*8

13^2=7^2+15^2-7*15 =>(a,b,c)=(n,n+8,13)->x=n+15 (n=1,2,3,･･)
=8^2+15^2-8*15 =>(a,b,c)=(n,n+7,13)->x=n+15 (n,1,2,3,･･)が構成できる。

19^2= 5^2+21^2- 5*21 =>(a,b,c)=(n,n+16,19)->x=n+21 (n=1,2,3,･･)
=16^2+21^2-16*21 =>(a,b,c)=(n,n+5,19)->x=n+21 (n=1,2,3,･･)

25^2=25^2+25^2-25*25(これは例外）

31^2=11^2+35^2-11*35=>(a,b,c)=(n,n+24,31)->x=n+35 (n=1,2,3,･･)
=24^2+35^2-24*35=>(a,b,c)=(n,n+11,31)->x=n+35 (n=1,2,3,･･)
以下同様
37^2= 7^2+40^2-7*40
=33^2+40^2-24*40

43^2=13^2+48^2-13*48
=35^2+48^2-35*48

49^2=16^2+55^2-16*55
=39^2+55^2-39*55

･･････････

と60°の角度を有する三角形の三辺を与えていく２組を
与えてくれますね。

No.96GAI2022年6月11日 07:47

返信 (3)

来客数と福袋の準備

あるデパートで正月に福袋を準備していたが、準備している福袋の数を超えて
開店前にこれを目当ての客が多数並んでしまった。
そこで後ろに並んでいる人にもチャンスが巡ってくるように、次のような案を
考えた。
並んでいる先頭から1,2,3,････と連続する番号札を配っていく。

先頭にいる人には福袋を買う権利を与えるものとする。
(番号1の人は買える。この人は列から離れる。)
次は2番の人が先頭に来るので、2番の人も買える。
ここで番号が2なので先頭から2番目ずつの位置にいる人
(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,･･･)
<=4,6,8,10,12,･･･の番号札を持っている人>
は列から離れてもらう。
そこで列は
3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,･･･
と並ぶことになるので、
先頭は番号が3(この人は買う権利を持つ）なので
先頭から3番目ずつの位置にいる人は同様に列から離れてもらう。
<=9,15,21,･･･の番号札の人>
すると列は
5,7,11,13,17,19,23,･･･
となり5の人は買う権利を持ち、先頭から5番ずつの位置にいる人<=19,35,･･･>
は列から離れる。
以下同様にして、列に並ぶ人がいなくなるまで続けることにする。

さて最初並んでいる人数が100,1000,10000(人)である場合
それぞれは福袋何個(s)準備しておけばよく、また
最後に買える権利を持つのは番号札が何番(w)の人になるでしょうか？

No.90GAI2022年6月7日 07:35

理論的に計算する方法はわかりませんでしたので、
プログラムを作って調べました。その結果は
人数100,1000,10000,100000,1000000,10000000,100000000人に対して
(s,w)=(24, 97),(142, 997),(1015, 9997),(7986, 99997),
(66164, 999991),(565513, 9999985),(4944199, 99999967)
となりました。

No.91らすかる2022年6月7日 13:05

管理人さんからのコメントで
単純にくじ引きで、２４人の当選者を決めてもらった方が、並ぶ人の感情としては納
得できると思うのだが．．．。

とありましたが、せっかく早く並んでいた1,2,3あたりの人が籤で当たらなかったら、それこそ不満が溜まりそうです。
これだと比較的早く並んだ方の人が選ばれやすい傾向を持てる気がしたので、このストーリーで表現していました。

No.92GAI2022年6月8日 09:00

返信 (2)

大捜索

ここにある20桁の自然数Nがある。
「上k桁がkの倍数」(k=1～20)
を満たすものを探せるか？
あらゆる手段（検索作業も含む）を講じても可

No.83GAI2022年6月3日 08:08

20桁だと条件を満たすものが44個もあります。
桁数の最大は25桁で、値は
3608528850368400786036725
です。

No.84らすかる2022年6月3日 10:45

44個の中に偶数の数だけのdigitsで構成されたものはありますか？

No.85GAI2022年6月3日 11:17

1つだけありました。
48000688208466084040です。

ちなみに、桁数別の個数は以下のようになります。
1桁: 9個
2桁: 45個
3桁: 150個
4桁: 375個
5桁: 750個
6桁: 1200個
7桁: 1713個
8桁: 2227個
9桁: 2492個
10桁: 2492個
11桁: 2225個
12桁: 2041個
13桁: 1575個
14桁: 1132個
15桁: 770個
16桁: 571個
17桁: 335個
18桁: 180個
19桁: 90個
20桁: 44個
21桁: 18個
22桁: 12個
23桁: 6個
24桁: 3個
25桁: 1個

この数列は↓こちらにありましたが、
http://oeis.org/A143671
こちらでは1桁の「0」も入れているようで、1桁が10個になっています。

No.86らすかる2022年6月3日 13:30

もともとこの疑問に突き当たったのが
1～９の数字を一個ずつ含む9桁の数があり
「上k桁がkの倍数」(k=1～9)
を満たすものを探すと381654729である。

という記事でした。
何とかこれをプログラムを使って探し出そうと試みて
苦心惨憺の末5分ほどの運用時間で結果が手に入った。
実行させる前に9!の全順列を準備したり、上からk桁で
切り取る作業をやらせたりと、言ってみれば全検索を
掛けた上での作業でした。

これらについて更に調べてみると、別にプログラムに頼らずとも
論理的に導けている記事もありました。

そしてそこに話題が広がり
例の偶数{0,2,4,6,8}だけを使った20桁の整数（48000688208466084040)
が紹介されていました。

はて9桁でもあんだけ候補がありながら、これが20桁ともなると
5^20 = 95367431640625
ととても全検索を掛けようにも時間がいくらあっても無理だ！

そこで例の出題になったという経緯でした。

それに対し、らすかるさんのこの結果です。
これが如何に天文学的膨大な対象を処理されているか、想像しただけでも
腰が抜けそうです。
しかも半日もかからない時間で処理済みとなっている。

コンピュータさえあれば計算はあっという間に出来るだろうと思われるかも
知れませんが、そのオーダーが25桁などの桁になれば、とてもとても時間が
かかります。

以前コンピュータが高性能なのだろうと思っていたら、らすかるさんから
普通の使用のものを使っていますとの返事を頂いているので、これは正しく
プログラム力の成せる技でしかありません。（しかし神業としか思えません。）

もしかして、論理的に出せる数値なんですか？

No.87GAI2022年6月3日 19:14

論理的に出すのは候補が多すぎておそらく大変だと思います。
上から1桁ずつ増やして条件に当てはまるものだけその下の桁を
処理するようにすれば、時間は大してかかりません。
1桁目は1～9の9通り
2桁目は1桁目の9通りに対して各5通りなので2桁目までで45通り
3桁目はその45通りに対して3の倍数になるものなので150通り
（最初の2桁で合計が3の倍数である
　12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96
　の15個は3桁目が0,3,6,9の4通り、残りの30個は3通りずつなので
　15×4+30×3=150通り）
4桁目は3桁目が偶数なら0,4,8の3通り、奇数なら2,6の2通り→375通り
5桁目は0か5なので4桁までの2倍の750通り
・・・
ちなみに私が作ったプログラムの実行時間は
全桁数全通りで約0.13秒です。

No.88らすかる2022年6月3日 21:33

らすかるさんの全桁数全通りで約0.13秒です。
のコメントを見て、改めてプログラムを見直してみたら
全体から選ぶんじゃなく、その条件を満たす数を小さい順に構成していけばいいんだ！
という決定的にお門違いの攻め方をしていたことに気付きました。
改めてプログラムを組んでみたら（３行程度）まさに1秒もかからない時間で
各桁の個数と具体的整数をすべて計算してくれますね。
25桁までは存在し、その後は構成できないとは初めて認識できました。

No.89GAI2022年6月4日 22:46

返信 (6)

素数のリサイクル

5桁の素数の中で使われている5個の数字を並べ変えて作られるあらゆる整数の中で
最も多くの素数を産み出せる素数はなんでしょうか？（その中での最小の素数で）
またその最大出来る素数の個数は？

例えば3桁の素数で179なら
{1,7,9}から作られる整数は
179
197
719
791
917
971
と6種類であり、その中には179,197,719,971の4つが素数となれる。

No.81GAI2022年6月2日 06:41

1桁: 最大1個 (2,3,5,7)
2桁: 最大2個 (13,17,37,79)
3桁: 最大4個 (149,179,379)
4桁: 最大11個 (1237,1279)
5桁: 最大39個 (13789)
6桁: 最大148個 (123479)
7桁: 最大731個 (1235789)
8桁: 最大4333個 (12345769)
9桁: 最大26519個 (102345697)
10桁: 最大152526個 (1123465789)
OEISにはこんな数列も載っているのですね。
↓
http://oeis.org/A065851
ここによると11桁は最大1251724個だそうですが、
11桁以上は時間がかかりそうなのでパス。

No.82らすかる2022年6月2日 08:35

返信 (1)

親戚みんなも素数

3桁の素数の中で、使われている数字をサイクリックにずらしてできる3タイプが
全て素数になることができるものがある。
例えば素数113は、サイクリックに数字をずらし
131,311
としても、どれも素数となる。
他には何があるでしょう？
また4、5桁での素数では何があるでしょうか？（サイクルの中の最小の素数でお願いします。）

No.79GAI2022年5月31日 17:57

1桁: 2, 3, 5, 7
2桁: 11, 13, 17, 37, 79
3桁: 113, 197, 199, 337
4桁: 1193, 3779
5桁: 11939, 19937
6桁: 193939, 199933
7桁～18桁: なし
19桁: 1111111111111111111
20桁～22桁: なし
23桁: 11111111111111111111111

No.80らすかる2022年5月31日 18:44

返信 (1)

「さいころの真実」を読んで

黒丸の「２と３と６の向き」は、前から気になっていた。
決まりがあったのですね。

立体の状態で
どこから見ても、
２と３が、まるで両手で１を包み込むよーな向きに。
（１つの輪になるよーな向きに）

そして、
６と４が辺で繋がった時、
だんご３兄弟が、だんご５兄弟に変身する。

（だんご３兄弟の歌、覚えてますか？
　　　　串に刺さったダンゴ・ダンゴ　♪）

また、
この気になる２・３・６達は、一つの頂点に集まる。
爽やかな１・４・５達も、一つの頂点に集まる。
やはり、「類は友を呼ぶ」のですね。

また、サイを、コロがした時、
どの面の重さも同じになるよーにと、
１の穴は、大きく深く
６の穴は、小さく浅く　削って・・・
彫り出した木屑の重さが全て同じになるよーに。

いんちきサイコロは、中身に仕掛けがしてあって、
一つの面を重く作り、その面が出やすくしてあるそーな。。。

「カルピス模様（水玉模様）の四角い箱」には、いろいろな話が
詰まっていますね。。。

そー言えば、最近は、さいころキャラメルが売られていない。
これも、諸行無常ですね。。。

私は暇人なのか・・・？

No.78カルピス2022年5月25日 19:40

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