私の備忘録の「内接円と傍接円」で、次の問題が保留中です。
ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝ｃ の△ＡＢＣにおいて、外心をＯ、∠Ａに対する傍接円の中
心をＪとおく。また、∠Ｃの２等分線と辺ＡＢの交点をＥ、∠Ｂの２等分線と辺ＣＡの交
点をＦ とおく。
このとき、 ＯＪ⊥ＥＦ が成り立つ。
どなたか証明に挑戦しませんか？
記事にある書きかけの証明で、
AE = (bc/(a+b))AB
となっていますが、これは
AE = (b/(a+b))AB
が正しいのではないでしょうか。
AF も同様。
その上で、
OA・AB = (1/2)BA・AB = (-1/2)c^2
等を使っていけばなんとかなりませんかね？
「元の三角形の内心と外心が、傍心を結んでできる三角形の垂心と九点円中心になる」ことを活かして純粋に初等幾何学の知識で証明できたら美しいでしょうが、EF をうまく扱う方法がないとちょっと難しいかなあ。
AE,AFは私の勘違いでした。OA・AB = (1/2)BA・AB とのことですが、これは如何？
O は外心なので、OA を AB に平行な成分と垂直な成分に分けてあげることで、
OA・AB = ((1/2)BA+AB に垂直な成分)・AB = (1/2)BA・AB
となります。
高校物理でよくやる変形ですね。
なるほど！合点がいきました。DD++さん、ありがとうございます。
