😊出会いの泉😊

全部で79個、そのうち中央も素数であるものは16個でしょうか。
周りに6個揃ってないものはどうするのかと思ったのですが、
6個揃ってないもので素数が3個あるものはないんですね。

酔狂界のラスボスらすらるさん正解をたちどころに掴めるとは流石です。

始めやり方が全く掴めず、本当にこのモデルを全部作ってみようかと思う位
頭の中が混乱していきました。
とにかく素数を3個発生させるものを手作業で見つけていくと1,2,8,19,20
までは何とか探し出せたんですが、次がなかなかいない。
仕方なく5周取り囲むまでの大きさに拡大してみるとやっと61が見つかった。
それまでは連続的に21,22,23,･･･,60を中心として調べて来ていたので
61で3個になったのは本当に久しぶりな事だったので感激した。
ここまで手作業で探しはしたもののこの先これを続ける気力が出ませんでした。

でも他にどんな手があるのか？
あるピースを取り囲んでいる6個のピースにはどんな繋がりが数式で表現できるのか？
もうこれを作ってみたら今までの手作業が全て自動化できるぞと何時間もその式
造りに悩み続けた。
これが全く手掛かりが出来ない。どんなピースを選んでも周りの6個のピースに書かれて
いる数字は本当に気まぐれで並んでくるし（本当は規則的にやってきてはいるが
これを式で表現しようと思うと頭が混乱してくる。)
もうお手上げ状態でした。

ふと見つかった番号を赤く塗ってぼんやり眺めていると、なんか巨大なハチの巣の
いたる所というよりは何か真上に一直線、もしくはその右横にも一直線に並ぶんでは?
(それまではただ見つかった数字だけの意味しかなく、その場所には無頓着だった。)

つまり探すべき場所はあらゆるところを満遍なく探すのではなく、この部分を集中的に
調べれば何とかなると・・・
冷静に考えてみれば数字の置き方が12時の位置からスタートさせて、その後は連続的に
数字が取り囲んでいき取り囲み終わったら次の数をまた12時の位置へなので言ってみれば
ここで連続という構造が一旦破れることが発生する場でもある。
つまり連続同志が隣り合うほとんどの場所では素数が3個も発生する構造は起きず
その歪を持つ12時方向とその右横での一直線上では逆にその歪のお陰で素数を3個
発生させる可能性があるのだと思えた。

さてここからが再び戦いが始まりました。
12時方向に並ぶ数は式で作れました。
従ってその一つの周りを取り囲む6ピースの式をどの様にしたらいいのだろうか？
いやーあれこれの試行錯誤後にn周目の12時方向にいるピースを取り囲む
6ピースの数字をｎの関数で何とか表すことに成功しました。

これとはまた別に上記の中心の右下にくっ付いているピースが今度は中心となる
回りの6ピースも候補であるのでこれも周りに来る6個の数字をやはりnの関数で
表現し、これで何とか手作業でやっていたものを自動化できそうな見通しが付きました。

プログラムをこれらの材料も元につなぎ合わせ走らせてみたら61の次は何と128
次は217ととても手作業では届かない範囲のものが次々と見つかってきました。

改めてこの問題を六角形で仕込んで考えさせている意味がとても面白く現れる
素数が3個の状態が歪の2方向に集中してしまう対応が興味を引きました。

数の連結がNGならば、0000は一つ変えても不可能です。
言い換えれば、3文字で「000」のとき何を追加しても不可能です。
連結がOKならば必ず作れると思います。

答えは
456通り、cの合計18407904
で合ってますか？
もし合っているなら、c＜1000000では
1268通り、cの合計390980551
になるかと思います。
# c＜120000で5秒、c＜1000000で6分半なので、c＜10000000までは（やる気があれば）いけそうです。

(追記)
検索して答えを見つけました。合っているようですね。

5秒ですか！
これはOEISには載ってないですよね。
10^7の結果は10830240243と出たのですが、合っているのか確かめようがないです。

載っていないみたいですね。
これから外出で今すぐは無理ですが、今日の夜にでも計算してみます。

遅くなりましたが、確かにc＜10^7となるcの合計は10830240243となりました。
3499通りはOEISに載っている値と一致していますので、これで正しいと思います。

凸四角形の場合、四角形ABCDとして、
辺ABの中点をE,BCの中点をF,CDの中点をG,DAの中点をHと置きます。
点Eと点Gをを結んだ線分上に、Fから垂線の足をP、点Hからの垂線の足をQとします。
すると、裁断して、四角形AEQHをEを中心に、四角形HQGDを中心に回転し
長方形ができ、
四角形ABCDの面積S＝２EG・HQ＝２EG・FP＝EG（HQ＋FP）
を知り、感動しました。
裁断により、正三角形を正方形にすることも、すごいですね!

長方形は出来ない？

管理人様

お恥ずかしいぃ～。。。

私は九九の表を斜めに、約、真っ二つにしただけでした。
正確には３６個でしたね（＾＾；

今更ながら・・・・・

私の表現の仕方が悪かったです。
【九九の重複】の意味は
下記のような、答えの重複ではなく
１ｘ６＝６
２ｘ３＝６

「式の重複」を意図としていました。
３ｘ４＝１２
４ｘ３＝１２
これらを1通りと考えると４５個になり、
九九の答えに無い数字の個数４５個と同じになる。

GAI さん風の出題を志向しております。

a[1]=3, a[2]=7, a[n+2]=2a[n+1]+a[n] という漸化式により
3, 7, 17, 41, 99, 239, 577, 1393, 3363, … (A001333)
という数列が生成されますが、このとき
(a[2n-1]^2-1)(a[2n+1]^2-1)=(a[2n]^2-1)^2
が成り立ちます。
# これは (a[2n])^2=a[2n-1]a[2n+1]-2 と a[n+2]=2a[n+1]+a[n] から示せます。
従って解は無数にあります。
なお、上記に含まれない
(4^2-1)(31^2-1)=(11^2-1)^2
(2^2-1)(97^2-1)=(13^2-1)^2
など存在しますので、上記は全解ではありません。

らすかるさん　瞬殺、お見事です。

こいつら、興味深いですが難物そうですね。
(4^2-1)(31^2-1)=(11^2-1)^2
(2^2-1)(97^2-1)=(13^2-1)^2

10000000以下では554455と9343439の2個でしたが、
「10000000以下」を
「100000000000000以下」にしても1個しか増えませんでした。
9^2+10^2+…+118^2 = 554455
331^2+332^2+…+335^2 = 554455
102^2+103^2+…+307^2 = 9343439
657^2+658^2+…+677^2 = 9343439
2967^2+2968^2+…+14087^2 = 923222222329
42462^2+42463^2+…+42967^2 = 923222222329

(追記)
答えが↓ここにありました。
https://oeis.org/A267600

昨年からProject Eulerの問題をproblem1 から順番にプログラムの練習にと解いていて
https://projecteuler.net/about
problem=125にPalindromic Sumsのテーマの問題に（https://projecteuler.net/problem=125）
当たっていた。
いろいろ苦労しながら3日位かけやっと
the sum of all the numbers less than 10^8
that are both palindromic and can be written as the sum of consecutive squares.
の値を算出し答え合わせをすると間違っているとの結果をもらう。
いくら見直してもどこが間違っているかがどうしても分からず、何時間も悩みエクセルに見つけた
その回文的数を貼り付け(168個存在)どこに見落としがあるのか悩んでいた。
ふと重複しているかもの疑問を持ち重複する値があるのかをコマンドの機能を利用すると
なんと2か所で印が付くではないか！
それは同じ値が2つの作り方が存在していることを示していることに相当し、その重複した値を
それぞれ削除し、もう一度合計数を求めその値で尋ねたらやっとのことで正解の返事をもらった。
(168個もあったので重複していることが全く見えていなかった。)

この経験を元に問題を作り尋ねたことでした。
これ以上の重複があるとは思えたが、今までかかった時間を考えると先に進む勇気が出なかった。
OEISのA267600にそれが載っているとは世の中誰かが調べているものですね。
a(4) > 10^18, if it exists
のメモを見るだけでもう腰が引けてしまいます。

これを短時間で見出すらすかるさんの手腕に敬服です。

金７枚銀９枚のケースでは
６回の呪文詠唱で確実に偽コインを特定できると判明いたしました。
難しく考えていたためにどツボに嵌っていたようです。

お騒がせいたしました。

せっかくですので
金３枚銀５枚のケースで
呪文詠唱４回のやり方をひとつご案内させていただきます。

金をG1, G2,G3
銀をS1,S2,S3,S4,S5
とします。偽コインのありうるケースは15通りです。添付の図をご覧ください。

１回目の計測では①をカバーするように袋にいれて呪文を唱えます。袋が光れば、残り３回の呪文で①のなかにある偽コインペアを確定させる課題はイージーです。
１回目の計測で光らない場合には次のステップに行きます。

２回目の計測では②をカバーするように袋にいれて呪文を唱えます。袋が光れば、残り２回の呪文で②のなかにある偽コインペアを確定させる課題はイージーです。
２回目の計測で光らない場合には次のステップに行きます。

３回目の計測では③をカバーするように袋にいれて呪文を唱えます。袋が光れば偽コインペアは確定です。(G1:S5)
３回目の計測で光らない場合には次のステップに行きます。

４回目の計測では④をカバーするように袋にいれて呪文を唱えます。袋が光れば偽コインペアは確定です。(G2:S5)
４回目の計測で光らない場合には偽コインペアは確定です。(G3:S5)


なお、上記のやり方は容易に拡張できて
金7枚銀9枚のケースで呪文６回で済ませる方法があることがわかります。

金7枚銀9枚のケースの図解も作りました。
偽コインのペアが
⑤に含まれていれば残り５回の詠唱で確定。
さもなければ
④に含まれていれば残り４回の詠唱で確定。
さもなければ
③に含まれていれば残り３回の詠唱で確定。
さもなければ
②に含まれていれば残り２回の詠唱で確定。
さもなければ
①に含まれていれば残り１回の詠唱で確定。
さもなければ
※で確定
ということになります。

九九の表に現れない数字を小さい順に並べたものと考えると、答えは「２３」かな？

管理人様

大当たりぃ～でござりまする。。。

大変、遅くなりましたが、
本年もよろしくお願いいたします。

１１　１３　１７　１９　２２
といきなり素数以外の22が入り込んで来るので、戸惑ってしまいました。
そこで
1,2,3,5,7,11,13,17,19,22,23,25,26,29,
と続いていく数列の次の10個の数は何でしょう？

31、33、34、37、38、41、43、46、47、51 ですか？

大正解です。
必ず素数は入っているが、それ以外にも合成数が時々入り込めるところが面白い。
ベルトランの仮説がここから発生しているらしく、よくもこんな性質に着目できるものだと感心します。
またこれを証明したチェビシェフの能力にも脱帽です。