😊出会いの泉😊

本家の9×9の場合
空欄５０でも、問題が作れるようですが、
ミニナンプレの場合、空欄が、
最大いくつある問題が作れるでしょうか？
９つの空欄場合はできました。

最大12個ですね。
①○○○
○○○③
○○○○
○③○②

上記の解は存在しない？

存在します。
もしかして斜めも考えていますか？
最初に書かれた例から、斜めは関係ないと判断しました。
（魔法陣ではないので）
ちなみに斜めも考慮した場合は最大13個になります。
○○○○
○○○②
○○○○
○○④③

①●○○
●●○③
○○○○
○③○②
において、●には③は入らないので、矛盾？
何か考え違いしているんですかね？

あ、これって単純に4×4だと思ってましたが
そうじゃなくて(2×2)が2×2だったんですね。
私が勘違いしていました。申し訳ありません。

(追記)
2×2の小ブロックも考慮に入れて調べ直しました。
最大12個は変わりませんでした。
○②③○
○○○○
○○○○
④○○①

らすかるさん、朝早くからありがとうございます。
○②③○
○○○○
○○○○
④○○①
については、
１②③４
３４１２
２１４３
④３２①
と、唯一解がありますね。

らすかるさん、ありがとうございます。
ナンプレ、ルール
各列、各行、各ブロックに、異なる数が入る（１～Nの一個ずつ全て）
1～N^2　の数を使って、大きなナンプレができそうですね。
１～16で、１６×１６のナンプレがつくれました。

ミニナンプレ、色々
3，2，4，1
4，1，3，2　対角線も、1～４
1，4，2，3
2，3，1，4

4，3，2，1
1，2，3，4　ブロック同型
2，1，4，3
3，4，1，2

1，4，3，2
3，2，1，4　中心に、点対称
4，1，2，3
2，3，4，1
個数が少ないので、易しいです。

PS
9×9ナンプレで、初期設定から、複数解に出会ったことがありますが、
残り数を１６個以下では唯一解のものはつくれないことが、証明されているみたいですね。複数解もゆるすと、全て空欄もよいことになりますので。
１２個の空欄で、複数解のものが、見つかりました。
＊　＊　＊　１
＊　＊　２　＊
＊　３　＊　＊
４　＊　＊　＊
複数解になりました。
異なる（？）初期設定から、同一の結果を得ることも可能みたい。
同一か、異なるかは、対称性を異なるとするか、同一とみなすか。
９×９の場合はわかりませんが。

> "ｋｓ"さんが書かれました:
> ミニナンプレ、色々
> 3，2，4，1
> 4，1，3，2　対角線も、1～４
> 1，4，2，3
> 2，3，1，4

> 4，3，2，1
> 1，2，3，4　ブロック同型
> 2，1，4，3
> 3，4，1，2

> 1，4，3，2
> 3，2，1，4　中心に、点対称
> 4，1，2，3
> 2，3，4，1
> 個数が少ないので、易しいです。

ブロック同型と中心に、点対称を組合すと
ブロック同型を十位、中心に、点対称を一位として用いて
41, 34, 23, 12
13, 22, 31, 44
24, 11, 42, 33
32, 43, 14, 21
が出来るので
十位1,2,3,4を♦,♣,♥,♠
一位1,2,3,4をA,J,Q,K
に対応させると
トランプカードで

♠A, ♥K, ♣Q, ♦J
♦Q, ♣J, ♥A, ♠K
♣K, ♦A, ♠J, ♥Q
♥J, ♠Q, ♦K, ♣A

の二重方陣が作れますね。
これを対角線まで拡張できませんかね？

思い付くまま作ってみました。
これ以外のパターンを作られたらお知らせ下さい。

♥A ♣J ♠Q ♦K
♠K ♦Q ♥J ♣A
♦J ♠A ♣K ♥Q
♣Q ♥K ♦A ♠J


♥A ♦J ♠Q ♣K
♠K ♣Q ♥J ♦A
♣J ♠A ♦K ♥Q
♦Q ♥K ♣A ♠J


♦A ♣J ♥K ♠Q
♠K ♥Q ♣A ♦J
♣Q ♦K ♠J ♥A
♥J ♠A ♦Q ♣K


♦A ♣Q ♥K ♠J
♠K ♥J ♣A ♦Q
♣J ♦K ♠Q ♥A
♥Q ♠A ♦J ♣K

一つ目と二つ目はクラブとダイヤを入れ替えただけに見えますが、
このようなマークの入れ替えを別物とみなすなら他にもたくさん作れますね。
三つ目と四つ目がJとQの入れ替えになっているのも同様です。
上二つと下二つはパッと見で本質的に異なるようにも見えますが、
三つ目を90°右回転してJ→A,Q→J,K→Q,A→Kのように入れ替えれば
一つ目と一致しますので、やはり本質的には同じです。

(追記)
「回転・反転・マークや数字の入れ替えを同一視すると、本質的に一通りしかない」
ということが確認できました。
回転・反転・マークや数字の入れ替えをすべて区別した場合は、
まず基本パターンとして
a b c d
d c b a ※1行目と2行目が左右反転、3行目と4行目が左右反転
b a d c
c d a b
とそれを90°回転した形である
a b c d
c d a b ※1列目と2列目が上下反転、3列目と4列目が上下反転
d c b a
b a d c
の2通りがあり、どちらかをマーク、どちらかを数字に使う必要があります。
そしてマークと数字の当てはめ方はそれぞれ4!通りなので、
すべて区別した場合は2×4!×4!=1152通りとなります。

* * 1 2 、 * * * 1
* * 3 4 、 * * * 2
* * * * 、 * * * 3
* * * * 、 * * * 4
のように、四つの数字から、始めると
複数解、１２通り表われました。
初見で、不可能な場合、唯一解、複数解
を、簡明に、判別する方法が、ないかどうか、
ですが、上記の場合、４つの不可能な場合が
ありました。

4ヶ所から、初めて、完成型が、１通り、２通りのものがあります。
＊　＊　＊　１
２　＊　＊　＊
＊　３　＊　＊
＊　＊　４　＊

＊　＊　＊　１
＊　２　＊　＊
＊　＊　３　＊
４　＊　＊　＊
完成型が、３通りのものがあるでしょうか？

xyz座標で
A(0,0,0),B(1,0,0),C(1/2,sqrt(3)/2,0)
D(0,0,sqrt(2)),E(1,0,sqrt(2)),F(1/2,sqrt(3)/2,sqrt(2))
に配置すれば
s,t,uをそれぞれ0以上1以下の実数として
P(s,0,sqrt(2)*s),
Q(1-t/2,sqrt(3)/2*t,sqrt(2)+t),
R(u/2,sqrt(3)*u,(1-u)*sqrt(2))
にとれ
従ってP,Q,Rでの重心GをG(Fx(a,t,u),Fy(s,t,u),Fz(s,t,u))
a=sqrt(3);b=sqrt(2)と置くと
Fx(s,t,u)=1/6*(2*s-t+u+2)
Fy(s,t,u)=a/6*(t+u)
Fz(s,t,u)=b/3*(s+t-u+1)
で
パラメータ(s,t,u)に対して
(0,0,0)=> G1(1/3,0,1/3*b)
(0,0,1)=> G2(1/2,1/6*a,0)
(0,1,0)=> G3(1/6,1/6*a,2/3*b)
(0,1,1)=> G4(1/3,1/3*a,1/3*b)
(1,0,0)=> G5(2/3,0,2/3*b)
(1,0,1)=> G6(5/6,1/6*a,1/3*b)
(1,1,0)=> G7(1/2,1/6*a,b)
(1,1,1)=> G8(2/3,1/3*a,2/3*b)
と各点に移る。
これらを3D用アニメーションソフトで眺めるとG1,G2,G3,G4は∠G1G2G4=60°である
等辺平行四辺形(各辺は1/sqrt(3))となり
G5,G6,G7,G8はこの平行四辺形に平行となる同じ合同の等辺平行四辺形
となっている。
全体としてDは平行6面体をなす。

またG1,G2,G4を通る平面を求めると
4*x+sqrt(2)*z=2となるので
これに点G5より下した垂線の長さは
|4*2/3+sqrt(2)*2/3*sqrt(2)-2|/sqrt(4^2+2)=sqrt(2)/3

従って求めたい領域Dの体積は
(1/sqrt(3))^2*sin(60°)*sqrt(2)/3=sqrt(6)/18

お見事、正解です。
一辺1/√3の正四面体の6倍の体積になります。

合っていて良かった。

コメントの
一辺1/√3の正四面体の6倍の体積になります。

とは何なのかを確かめてみました。
a=sqrt(3);
b=sqrt(2);
G1=[1/3,0,1/3*b];
G2=[1/2,1/6*a,0];
G3=[1/6,1/6*a,2/3*b];
G4=[1/3,1/3*a,1/3*b];
G5=[2/3,0,2/3*b];
G6=[5/6,1/6*a,1/3*b];
G7=[1/2,1/6*a,b];
G8=[2/3,1/3*a,2/3*b];
K(P,Q)=norml2(P-Q)

各2点間の距離を調べてみました。
gp > K(G1,G2)
%83 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G3)
%84 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G1,G4)
%85 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G5)
%61 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G1,G6)
%62 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G1,G7)
%63 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G1,G8)
%64 = 0.66666666666666666666666666666666666667

gp > K(G2,G3)
%86 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G4)
%87 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G2,G5)
%65 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G6)
%66 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G2,G7)
%67 = 2.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G2,G8)
%68 = 1.0000000000000000000000000000000000000

gp > K(G3,G4)
%88 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G3,G5)
%69 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G3,G6)
%70 = 0.66666666666666666666666666666666666667
gp > K(G3,G7)
%71 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G3,G8)
%72 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G4,G5)
%73 = 0.66666666666666666666666666666666666667
gp > K(G4,G6)
%74 = 0.33333333333333333333333333333333333333
gp > K(G4,G7)
%75 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G4,G8)
%76 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G5,G6)
%77 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G5,G7)
%78 = 0.33333333333333333333333333333333333334
gp > K(G5,G8)
%79 = 0.33333333333333333333333333333333333333

gp > K(G6,G7)
%80 = 1.0000000000000000000000000000000000000
gp > K(G6,G8)
%81 = 0.33333333333333333333333333333333333334

gp > K(G7,G8)
%82 = 0.33333333333333333333333333333333333334

これから
(G1,G2,G4,G6)
(G3,G5,G7,G8)
(G1,G2,G3,G4)
(G1,G3,G5,G7)
(G2,G4,G6,G8)
(G5,G6,G7,G8)
の6組での正4面体は一辺が1/sqrt(3)の合同な立体になり
各頂点は3回ずつ登場しています。

これを計算の裏づけ無しに認識することはとても私には無理です。

平行六面体を作る3つのベクトルは、各点が動くAE、BF、CDの1/3になっています。
このAE、BF、CDは、どの2つをとっても、始点をそろえると正三角形を作ります。
このことから、平行六面体の体積は正四面体の2倍（底面を正三角形から菱形にする）の3倍（錐体の1/3を消す）であることがわかるのです。

正三角形から菱形への2と
錐体から平行六面体への3
から６が生まれるのですか！
ヘェ～
こんなことを見通して即問題を思い付くDD++さんて何者？

(1) y=log(x)(1≦x≦e)の曲線
(2) (1,0)中心に(1)を1/2倍した曲線すなわちy=log(2x-1)/2(1≦x≦(1+e)/2)
(3) (e,1)中心に(1)を1/2倍した曲線すなわちy=(log(2x-e)+1)/2((1+e)/2≦x≦e)
の3つで囲まれた領域であり
(1)とx軸とx=eで囲まれた部分の面積は∫[1～e]logxdx=1
(2)とx軸とx=(1+e)/2で囲まれた部分の面積は1/2倍に縮小したので1/4
(3)とy=1/2とx=eで囲まれた部分の面積も同じく1/4
x=(1+e)/2とx=eとx軸とy=1/2で囲まれた部分の面積は(e-1)/4
なので、求める面積は1-1/4-1/4-(e-1)/4=(3-e)/4

どれを探してもたちどころに跳ね返されてしまう。
しかも最短のコースでゴールに向かっている。
身近にテーマが無くなってしまったのでしばらくお暇を頂きます。

「C1(C2)上を動き回る」範囲はC1(C2)の円周上と判断して
(2,0)と(-4,0)の中点は(-1,0)なので
半径1/2の円の中心が(-1,0)を中心とする半径1の円の周上を動く
ドーナツ型になる。つまり半径3/2の円の面積から半径1/2の円の面積を
引けばよいので、π((3/2)^2-(1/2)^2)=2π。
もしC1(C2)上が内部を含むなら中の穴がなくなるのでπ(3/2)^2=9π/4。

ドーナツ型になる
このことは計算していたらわかることなのか、
それとも計算する前から何となく感じれるものなのですか？
頭の中で点を動かしていると中点があちこち動き回り映像がぼけてしまい
結局何が何だかわからなくなっていきます。
更に旅にでます。

(PQ・PR)=|PQ||PR|cos∠QPR
最大値は明らかに|PQ|=|PR|=2r,∠QPR=0（すなわちPQが直径でQ=R）のときで4r^2

また最小値は∠QPRが鈍角のとき
Q,Rを固定したとき、∠QPRが一定になるので
|PQ||PR|cos∠QPRが最小
⇔|PQ||PR|が最大（∵cos∠QPRが負で一定）
⇔鈍角三角形PQRの面積が最大（∵△PQR=|PQ||PR|sin∠QPR/2でsin∠QPRが一定）
⇔Pが劣弧QR上で直線QRから最も遠い（∵QRを底辺としたときの高さ最大）
⇔|PQ|=|PR|
よって
P(r,0),Q(rcosθ,rsinθ),R(rcosθ,-rsinθ),π/4＜θ＜π/2
とおいて最小値を調べればよい。
|PQ||PR|cos∠QPR
=((rcosθ-r)^2+(rsinθ)^2)cos(π-θ)
=2r^2(cosθ-1)cosθ
=2r^2{(cosθ-1/2)^2-1/4}
従ってcosθ=1/2⇔θ=π/3⇔∠QPR=2π/3のとき最小値-r^2/2
結果をまとめると
M=4r^2 (PQが直径でQ=Rのとき)
m=-r^2/2 (△PQRが∠QPR=120°、PQ=PRの二等辺三角形のとき)

完璧な解答
すぐに攻略されないものを探さなきゃ～
忙し忙し

ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ　とおくと、条件より、
ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５
と定まり、|５ａ＋２ｂ|^２は、定数１７３/３５となってしまうのですが．．．。
私の計算間違いでしょうか？

> ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ　とおくと、条件より、
> ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５

iは虚数単位のことですか？
上記の値の導き方を教えて下さい。

ｉを虚数単位として、ａ＝ｘ＋ｉ・ｙ、ｂ＝ｕ＋ｉ・ｖ　とおくと、条件より、
ｘ^２＋ｙ^２＋９（ｕ^２＋ｖ^２）＋６（ｘｕ＋ｙｖ）＝１
９（ｘ^２＋ｙ^２）＋（ｕ^２＋ｖ^２）－６（ｘｕ＋ｙｖ）＝１
を解いて、ｘ＾2＋ｙ＾2＝１/７、ｕ＾2＋ｖ＾2＝２/３５、ｘｕ＋ｙｖ＝２/３５
となったのですが．．．。

A=ｘ^２＋ｙ^２
B=ｕ^２＋ｖ^２
C=ｘｕ＋ｙｖ
としてみれば
A+9B=1-6C
9A+B=1+6C
なのでA,B,Cは独立に決められず
A,Bの連立とみて
A=1/20(15C+2)
B=1/20(-15C+2)
C=C
としか出来ないと思いますが・・・

基底変換して以下でシンプルに解けませんか？

a+3b = c, 3a-b = d とおくと、10a = c+3d, 10b = 3c-d
よって 5a+2b = (11/10)c+(13/10)d
|c| = |d| = 1 なので、|5a+2b|の最大値は12/5、最小値は1/5。

DD++さん正解です。
方法も最もベストな近道！
始めそのままの形から攻めていたのでかなり遠回りになってしまいました。

ｎ＝１９２とｎ＝２１９が見つかりました。これ以外はないような雰囲気！

まだありますよ。

手作業で考えて192,219,273,327の4つになりました。
267はちょっと惜しいですね。
「一の位の3個の組合せ((1,2,3)(2,4,6)など)」「百の位の3個の組合せ」「残り」
の順で考えました。

この4つで正解です。
何か共通性とはと考えたが
和が12となるものか!
と思うも
138*2=276,138*3=414 (1,4ダブり)
また
(1,2,9),(2,3,7)での組合せか!
と思うも
129*2=258 (2ダブり)
237*2=474 (4,7ダブり)
何とも法則がありそうでない。

共通性は・・・
・27で割って3余る。
・奇数桁の和が10。
# だから何？って感じですが

これら3つの数の和は明らかに9の倍数になるわけですが、それは最上段の数の6倍でもあります。
つまり、最上段の数は3の倍数で、したがって最下段は9の倍数です。

(1) 左上に5がある場合
3倍が4桁になるので不適。

(2) 上に5がある場合
中央が1しかありえず、すると左上は2しかありえない。
しかしこのとき左が5になって重複するため不適。

(3) 右上に5がある場合
右下も5になるため不適。

(4) 左に5がある場合
左上は2しかありえず、上は6以上。
上と左下がダブらない候補は、261、264、267、273、276、279、291、294、297、の9個。

(5) 中央に5がある場合
上は2か7しかありえず、右上は6以上。
上段が329以下と考えると、候補は、126、129、276、279、327、の5個。

(6) 右に5がある場合
ここは偶数しかありえないので、5であることはない。

(7) 左下に5がある場合
左上は1しかありえず、左は3しかありえない。
上段が170以上198以下と考えると、候補は、174、186、189、192、198、の5個。

(8) 下に5がある場合
左下が、1と2は明らかに不適、4と7は上が5になるため不適。
下段は9の倍数なので、下段候補は351、657、954。
つまり上段候補は、219と318の2個。

(9) 右下に5がある場合
左上も5になるため不適。

以上のうち複数のパターンで候補になっているのは5が複数回出てくるため不適と考えると、残る候補は、
126、129、174、186、189、192、198、219、261、264、267、273、291、294、297、318、327の17個。
17個くらいならそんなに根性もいらないので、全部調べて答えを得ます。

③③③③③③⑤⑤⑤⑤⑤
③③③③③③⑤⑤⑤⑤⑤
③③③③③③⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②④④④④⑤⑤⑤⑤⑤
②②①①①①①①①①①

ABCDEの方が見やすかったかも

必要条件として各長方形の面積和は11^2=121にならねばならないので
これを考慮すれば次の14通りに絞れます。(全部で945通りもある。)
これから実際作図可能なのは3;（例に挙げたもの）と
らすかるさん指摘の12;
だけですよね。
他の場合で詰め込もうと試していてもどうも無理っぽい。
何方か成功されたら是非知らせて下さい。

1;[1, 6] | [2, 9] | [3, 10] | [4, 8] | [5, 7]
2;[1, 6] | [2, 10] | [3, 8] | [4, 9] | [5, 7]
3;[1, 6] | [2, 10] | [3, 9] | [4, 7] | [5, 8]
4;[1, 7] | [2, 10] | [3, 6] | [4, 9] | [5, 8]
5;[1, 8] | [2, 6] | [3, 10] | [4, 9] | [5, 7]
6;[1, 8] | [2, 7] | [3, 10] | [4, 6] | [5, 9]
7;[1, 8] | [2, 9] | [3, 7] | [4, 6] | [5, 10]
8;[1, 8] | [2, 10] | [3, 5] | [4, 9] | [6, 7]
9;[1, 9] | [2, 7] | [3, 6] | [4, 10] | [5, 8]
10;[1, 9] | [2, 7] | [3, 8] | [4, 6] | [5, 10]
11;[1, 9] | [2, 7] | [3, 10] | [4, 5] | [6, 8]
12;[1, 9] | [2, 8] | [3, 6] | [4, 7] | [5, 10]
13;[1, 10] | [2, 5] | [3, 9] | [4, 8] | [6, 7]
14;[1, 10] | [2, 8] | [3, 7] | [4, 5] | [6, 9]

かなり地道ですが3;と12;以外が不可能であることの証明です。

13;
[1,10]を置くと端に幅1の隙間ができるが、これを埋める方法がないので不可能。

14;
13;と同じ理由で不可能。

1;
[2,9]を置くと端に幅2の隙間が1つまたは幅1の隙間が2つできるが、
これを埋める方法がないので不可能。

7;
1;と同じ理由で不可能。

8;
[2,10]を置くと端に幅1の隙間ができるので、[1,8]は「壁沿い」に置くしかない。
しかも幅1の隙間は作れないので「角詰め」で置かなければならない。
すると1の端に幅3の隙間ができるので、そこには[3,5]を入れるしかない。
そうすると[1,8][2,10][3,5]は以下のような位置関係に置くしかない。
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○◎◎○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○③③③
②②○○○○○○③③③
②②○○○○○○③③③
②②○○○○○○③③③
①①①①①①①①③③③
※[2,10]を右に移動すると②の左側にできる長さ10の空間を(1ピースで)埋められない。
そして上図に[4,9]と[6,7]を入れようとすると、どちらも◎◎の場所を
占有することになるので不可能。

4;
8;と同様の考え方で[1,7]は「角詰め」でなければならず、端にできる
幅4の隙間に[4,9]を入れなければならないので
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
②②○○○○○④④④④
①①①①①①①④④④④
ここまで決まり、すると④の上の幅2の隙間を埋める方法がないので不可能。

2;
4;と同様の考え方で
②②○○○○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○◎◎○○○○○○
②②○○○○○○○○○
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
②②○○○○⑤⑤⑤⑤⑤
①①①①①①⑤⑤⑤⑤⑤
ここまで決まるが、[3,8]と[4,9]はどちらも◎◎の場所を占有するので不可能。

11;
[3,10]を置くと幅1の隙間ができるので、[1,9]は「角詰め」でなければならず、
それによってできる幅2の隙間は[2,7]でしか埋められないので
③③③○○○○○○○○
③③③○○○○○○○○
③③③○○○○○○○○
③③③○○○○○○○○
③③③○○○○○○②②
③③③○○○○○○②②
③③③○○○○○○②②
③③③○○○○○○②②
③③③○○○○○○②②
③③③○○○○○○②②
①①①①①①①①①②②
※8;の[2,10]と同じ理由で[3,10]は「壁沿い」でなければならない。
ここまで決まる。すると[4,5]は右上の幅4の隙間を埋めるように
右上角を含むように置くしかなく、残る部分が6×8にならず不可能。

5;
11;と同じ理由で[1,8]は「壁沿い」に置かなければならないが、
端の隙間を0+3,1+2のどちらにしても(3と1は)埋めるものがなく、不可能。

6;
5;と同じ。

9;
今までと同じ考え方で[4,10]と[1,9]と[2,7]の配置は
④④④④○○○○○○○
④④④④○○○○○○○
④④④④○○○○○○○
④④④④○○○○○○○
④④④④○○○○○②②
④④④④○○○○○②②
④④④④○○○○○②②
④④④④○○○○○②②
④④④④○○○○○②②
④④④④○○○○○②②
①①①①①①①①①②②
このように決まるが、[5,8]をどこに置いても幅1または幅2の
隙間ができるので不可能。

10;
9;と同様に[5,10],[1,9],[2,7]の配置が
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○○○
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○○○
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○○○
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○○○
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
⑤⑤⑤⑤⑤○○○○②②
①①①①①①①①①②②
このように決まるが、[3,8]を置くと必ず幅1の隙間ができるので不可能。

遊びで今度は面積を12^2=144とする組合せを見つけたら

1;[1, 3] | [2, 9] | [4, 10] | [5, 7] | [6, 8]
2;[1, 3] | [2, 10] | [4, 7] | [5, 9] | [6, 8]
3;[1, 3] | [2, 10] | [4, 8] | [5, 7] | [6, 9]
4;[1, 5] | [2, 6] | [3, 8] | [4, 10] | [7, 9]
5;[1, 7] | [2, 4] | [3, 8] | [5, 9] | [6, 10]
6;[1, 7] | [2, 9] | [3, 5] | [4, 6] | [8, 10]
7;[1, 9] | [2, 5] | [3, 7] | [4, 6] | [8, 10]
8;[1, 9] | [2, 6] | [3, 5] | [4, 7] | [8, 10]
9;[1, 10] | [2, 4] | [3, 5] | [6, 8] | [7, 9]

が存在し
箱に入れる実験をしたらやっと6;番の組合せで

ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZYYYY
ZZZZZZZZPPPP
ZZZZZZZZPXXX
ZZZZZZZZPXXX
ZZZZZZZZPXXX
AAAAAAAAAXXX
AAAAAAAAAXXX

なる(1×7のPのみL字仕様になりますが・・・)
ものがベストか？

144だとそのくらいしかなさそうですが、169ならちゃんとできますね（しかも2通り）。

169ならちゃんとできますね（しかも2通り）。

探してみました。
No1;
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDEEEEEEEE
DDDDDAACCCCCC
BBBBBBBCCCCCC
BBBBBBBCCCCCC
BBBBBBBCCCCCC

No2;
EEEEEEEEECCCC
EEEEEEEEECCCC
EEEEEEEEECCCC
EEEEEEEEECCCC
EEEEEEEEECCCC
EEEEEEEEEABBB
EEEEEEEEEABBB
LLLLLLLLLLBBB
LLLLLLLLLLBBB
LLLLLLLLLLBBB
LLLLLLLLLLBBB
LLLLLLLLLLBBB
LLLLLLLLLLBBB

赤を３枚追加して、黒２枚、赤５枚のとき、Ｐ1=１１/２１　となりますね！

> 黒,赤を適当な枚数で調整しておけば(引くカードはその内の2枚とする)
> P1,P2の確率を全く同じに出来るようなそれぞれの枚数はあるか？

任意の自然数kに対して
一つの色がk(k+1)/2枚、もう一つの色が(k+1)(k+2)/2枚

でしょうか。

お二人とも正解です。

これをn枚のトランプ(黒色a枚;赤色b枚)として
具体的に表示していくと(意外と一方を多めにセットしておく必要があるのですね。)
n=>a;b
4=>1;3
9=>3;6
16=>6;10
25=>10;15
36=>15;21
49=>21;28
64=>28;36
81=>36;45
100=>45;55
121=>55;66
144=>66;78
169=>78;91
･････････
正に条件を満たすセットは隣り合う三角数の集団で
あり、2つの合計はピタリ平方数となる。
これを認識するための幾何的様子が
1+3=4=2^2
○○　　
●○

3+6=9=3^2
○○○
●○○
●●○

6+10=16=4^2
○○○○
●○○○
●●○○
●●●○

10+15=25=5^2
○○○○○
●○○○○
●●○○○
●●●○○
●●●●○

････････････････････････

この結果の計算をするまで三角数と平方数が
こんな関係で繋がれるとは気付きませんでした。

またこの関係は
binomial(a,1)*binomial(b,1)=binomial(a,2)+binomial(b,2)
でもあるので
a*b=a*(a-1)/2+b*(b-1)/2
(a-b)^2=a+b
の関係ももたらす。

ここに
binomial(a,1)*binomial(b,1)=binomial(a,2)+binomial(b,2)
を記述すれば
1*3=0+3
3*6=3+15
6*10=15+45
10*15=45+105
15*21=105+210
21*28=210+378
28*36=378+630
36*45=630+990
45*55=990+1485
･･･････････
であり
これを一気に書き表せばn>=2で
binomial(n,2)"*"binomial(n+1,2)"="binomial(binomial(n,2),2)"+"binomial(binomial(n+1,2),2)
となりすべてが三角数へ帰着できました。

探し方が悪いのか、一つしか見つけられませんでした。
(a, b, c) = (444/35, 35/2, 1513/70)

合同数問題を力ずくで解こうとしても歯が立たない。
問題自身は昔からテーマとなっていたようですが、
その三角形の3辺を具体に求める方法は長らく未解決と
なっていた模様です。
どんな数が合同数かは現在でも完全には解決されていないらしい。
これを求めるのに楕円曲線が大変強力な道具になると多くの人の
研究に心血が注がれており、またそれらの研究で楕円曲線論自身の
発展をもたらした。

いろいろな人の解説書を参考に求める手順を記しておく。
合同数とは辺の長さがすべて有理数である直角三角形の面積となるような自然数のことである。
従って合同数をgとすれば
a^2+b^2=c^2
かつ
a*b/2=g
を満たす有理数(a,b,c)が求まることになる。
この時
上の2つの関係式を組合わせることで
E;y^2=x^3-g^2*x
なる方程式に変換される。(詳しいことは書物に譲る。)
E上にある生成元Pを見つけ、それから発生してくる加法群の
様子を見たのが下のデータです。

gp > P=ellgenerators(E)
%479 = [[-36, 630]]
gp > for(n=2,4,print(n";"ellpow(E,P,n)))
2;[2289169/19600, 1077378553/2744000]
3;[-702970242579396/8968641363361, -18689563840388114124990/26859009127111258609]
4;[99471302068384505638854721/91002372442806906625600,
-986951449961032281250161407557918511519/27452321215759546489234611411904000]

この座標をもろに利用して
gp > a(g,x,y)=abs((x^2-g^2)/y);
gp > b(g,x,y)=abs(2*g*x/y);
gp > c(g,x,y)=abs((x^2+g^2)/y);
gp > F(g,x,y)=print(a(g,x,y)" ; "b(g,x,y)" ; "c(g,x,y));
なる変換をして3辺の長さが判明していく。
--------------------------------------------------------
gp > F(111,-36, 630)
35/2 ; 444/35 ; 1513/70
a<b<cから
a=444/35,b=35/2,c=1513/70

(確認)
gp > (35/2)^2+(444/35)^2
%500 = 2289169/4900
gp > (1513/70)^2
%501 = 2289169/4900
gp > 1/2*35/2*444/35
%502 = 111

--------------------------------------------------------
gp > F(111,2289169/19600, 1077378553/2744000)
712081/211820 ; 47024040/712081 ; 9973530070561/150832997420
a=712081/211820,b=47024040/712081,c=9973530070561/15083299742

(確認)
gp > (712081/211820)^2+(47024040/712081)^2
%491 = 99471302068384505638854721/22750593110701726656400
gp > (9973530070561/150832997420)^2
%492 = 99471302068384505638854721/22750593110701726656400
gp > 1/2*712081/211820*47024040/712081
%493 = 111

--------------------------------------------------------
gp > F(111,-702970242579396/8968641363361, -18689563840388114124990/26859009127111258609)
234968389921405/26467355143878 ;
5875752841940916/234968389921405 ;
165025069140509609227269112873/6218991823635030238886908590

(確認)
gp > (234968389921405/26467355143878)^2+(5875752841940916/234968389921405)^2
%494 = 27233273444829976935529194352071095900775442980080414314129/
38675859302439359055394105690217683330770495687015788100
gp > (165025069140509609227269112873/6218991823635030238886908590)^2
%495 = 27233273444829976935529194352071095900775442980080414314129/
38675859302439359055394105690217683330770495687015788100
gp > 1/2*234968389921405/26467355143878* 5875752841940916/234968389921405
%496 = 111

----------------------------------------------------------
gp > F(111,99471302068384505638854721/91002372442806906625600,
-986951449961032281250161407557918511519/27452321215759546489234611411904000)
98957083698401819456825279/3008674870802439461905240 ;
667925821318141560542963280/98957083698401819456825279 ;
9996575456267088141000515248201787420008791554547841/
297729691011275282356684619921534182697031134561960

(確認)
gp > (98957083698401819456825279/3008674870802439461905240)^2+
(667925821318141560542963280/98957083698401819456825279)^2
%497 = 99931520852841541445900172102118583630747636172081443161
872245439042761782179209495351807663769957761281/
886429689096694536641140593396045963972294022746899350694112261
49266026306507876382173188441079041600
gp > (9996575456267088141000515248201787420008791554547841/
297729691011275282356684619921534182697031134561960)^2
%498 = 99931520852841541445900172102118583630747636172081443161
872245439042761782179209495351807663769957761281/
886429689096694536641140593396045963972294022746899350694112261
49266026306507876382173188441079041600
gp > 1/2*98957083698401819456825279/3008674870802439461905240*
667925821318141560542963280/98957083698401819456825279
%499 = 111

-------------------------------------------------------------

こんなものを力ずくで求められるはずがない。
逆にこんな道具を編み出した先人の知恵に感謝です。