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273,645

(2k+1)^2次の二重魔方陣

二重魔方陣ずいっお、各栌の数の瞊・暪・察角線の和が定和になるだけでなく、各栌の数の瞊・暪・察角線の二乗和が定和になる魔方陣がありたす。

9次の二重魔方陣の䜜り方で、08の自然配列からなる3×3行列Aず、08からなる瞊・暪・察角線の和が定和12の3次の魔方陣ずなる行列Bがあるずしたす。
A=
[0 1 2]
[3 4 5]
[6 7 8]

B=
[7 2 3]
[0 4 8]
[5 6 1]

このような3×3行列A,Bず、

S=
[0 1 0]
[0 0 1]
[1 0 0]

ずいう3×3行列Sを甚いお、行列A,Bの行や列を入れ替えた行列から次のように9×9行列α,βを぀くるず9α+β+E(Eは党芁玠が1の行列)は9次の二重魔方陣ずなりたす。

α=
[S^2*A*S^2, A*S^2, S*A*S^2]
[ S^2*A, A, S*A]
[ S^2*A*S, A*S, S*A*S]

β=
[ S*B*S, B*S, S^2*B*S]
[ S*B, B, S^2*B]
[S*B*S^2, B*S^2, S^2*B*S^2]

9α+β+E=
[72 73 59 13 26 3 38 51 34]
[11 24 7 45 46 32 67 80 57]
[40 53 30 65 78 61 18 19 5]
[55 68 81 8 12 22 33 43 47]
[ 6 16 20 28 41 54 62 66 76]
[35 39 49 60 70 74 1 14 27]
[77 63 64 21 4 17 52 29 42]
[25 2 15 50 36 37 75 58 71]
[48 31 44 79 56 69 23 9 10]

同様に、次のような024の自然配列からなる5×5行列Aず、024からなる瞊・暪・察角線の和が定和60の5次の魔方陣ずなる行列Bず、5×5行列Sを甚いお、行列A,Bの行や列を入れ替えた行列から次のように25×25行列α,βを぀くるず25α+β+E(Eは党芁玠が1の行列)は25次の二重魔方陣ずなりたす。

A=
[ 0 1 2 3 4]
[ 5 6 7 8 9]
[10 11 12 13 14]
[15 16 17 18 19]
[20 21 22 23 24]

B=
[16 22 3 9 10]
[23 4 5 11 17]
[ 0 6 12 18 24]
[ 7 13 19 20 1]
[14 15 21 2 8]

S=
[0 1 0 0 0]
[0 0 1 0 0]
[0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 1]
[1 0 0 0 0]

α=
[S^3*A*S^3, S^4*A*S^3, A*S^3, S*A*S^3, S^2*A*S^3]
[S^3*A*S^4, S^4*A*S^4, A*S^4, S*A*S^4, S^2*A*S^4]
[ S^3*A, S^4*A, A, S*A, S^2*A]
[ S^3*A*S, S^4*A*S, A*S, S*A*S, S^2*A*S]
[S^3*A*S^2, S^4*A*S^2, A*S^2, S*A*S^2, S^2*A*S^2]

β=
[S^2*B*S^2, S*B*S^2, B*S^2, S^4*B*S^2, S^3*B*S^2]
[ S^2*B*S, S*B*S, B*S, S^4*B*S, S^3*B*S]
[ S^2*B, S*B, B, S^4*B, S^3*B]
[S^2*B*S^4, S*B*S^4, B*S^4, S^4*B*S^4, S^3*B*S^4]
[S^2*B*S^3, S*B*S^3, B*S^3, S^4*B*S^3, S^3*B*S^3]

25次の二重魔方陣に぀いおは
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/magicsquare/bimagic/bimagic-25.html
を参照。

同様に、次のような048の自然配列からなる7×7行列Aず、048からなる瞊・暪・察角線の和が定和168の7次の魔方陣ずなる行列Bず、7×7行列Sを甚いお、行列A,Bの行や列を入れ替えた行列から次のように49×49行列α,βを぀くるず49α+β+E(Eは党芁玠が1の行列)は49次の二重魔方陣ずなりたす。

A=
[ 0 1 2 3 4 5 6]
[ 7 8 9 0 11 12 13]
[14 15 16 17 18 19 20]
[21 22 23 24 25 26 27]
[28 29 30 31 32 33 34]
[35 36 37 38 39 40 41]
[42 43 44 45 46 47 48]

B=
[29 37 45 4 12 20 21]
[38 46 5 13 14 22 30]
[47 6 7 15 23 31 39]
[ 0 8 16 24 32 40 48]
[ 9 17 25 33 41 42 1]
[18 26 34 35 43 2 10]
[27 28 36 44 3 11 19]

S=
[0 1 0 0 0 0 0]
[0 0 1 0 0 0 0]
[0 0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 0 1 0 0]
[0 0 0 0 0 1 0]
[0 0 0 0 0 0 1]
[1 0 0 0 0 0 0]

α=
[S^4*A*S^4, S^5*A*S^4, S^6*A*S^4, A*S^4, S*A*S^4, S^2*A*S^4, S^3*A*S^4]
[S^4*A*S^5, S^5*A*S^5, S^6*A*S^5, A*S^5, S*A*S^5, S^2*A*S^5, S^3*A*S^5]
[S^4*A*S^6, S^5*A*S^6, S^6*A*S^6, A*S^6, S*A*S^6, S^2*A*S^6, S^3*A*S^6]
[ S^4*A, S^5*A, S^6*A, A, S*A, S^2*A, S^3*A]
[ S^4*A*S, S^5*A*S, S^6*A*S, A*S, S*A*S, S^2*A*S, S^3*A*S]
[S^4*A*S^2, S^5*A*S^2, S^6*A*S^2, A*S^2, S*A*S^2, S^2*A*S^2, S^3*A*S^2]
[S^4*A*S^3, S^5*A*S^3, S^6*A*S^3, A*S^3, S*A*S^3, S^2*A*S^3, S^3*A*S^3]

β=
[S^3*B*S^3, S^2*B*S^3, S*B*S^3, B*S^3, S^6*B*S^3, S^5*B*S^3, S^4*B*S^3]
[S^3*B*S^2, S^2*B*S^2, S*B*S^2, B*S^2, S^6*B*S^2, S^5*B*S^2, S^4*B*S^2]
[ S^3*B*S, S^2*B*S, S*B*S, B*S, S^6*B*S, S^5*B*S, S^4*B*S]
[ S^3*B, S^2*B, S*B, B, S^6*B, S^5*B, S^4*B]
[S^3*B*S^6, S^2*B*S^6, S*B*S^6, B*S^6, S^6*B*S^6, S^5*B*S^6, S^4*B*S^6]
[S^3*B*S^5, S^2*B*S^5, S*B*S^5, B*S^5, S^6*B*S^5, S^5*B*S^5, S^4*B*S^5]
[S^3*B*S^4, S^2*B*S^4, S*B*S^4, B*S^4, S^6*B*S^4, S^5*B*S^4, S^4*B*S^4]

49次の二重魔方陣に぀いおは
http://kuiperbelt.la.coocan.jp/magicsquare/bimagic/bimagic-49.html
を参照。

NEWNo.2416kuiperbelt今日 08:21

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月22日 08:27)
返信

平方和分割

玠数が、のずきは、二぀の平方の和で衚せる
「玠数が、の圢の玠数二぀の積は、䞉぀の平方和で衚せる」ようです
䟋×など
反䟋が、有るでしょうか

No.2410ks12月20日 09:43

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月20日 23:53)

私が思うに反䟋はないず思いたす。
4n+3 のタむプの奇数の積は mod 8 で 7 にはなりたせん。
䞊を確認したのちにルゞャンドルの䞉平方和の定理に圓おはめればよいず思いたす。

NEWNo.2415Dengan kesaktian Indukmu12月21日 16:48

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)

0 から 19 たではうたくいく

① n を 0 から 19 たでの敎数ずしたす。敎数の集合 A ={a,b,c,d,e,f} の郚分集合のうち、芁玠数が 3 の郚分集合は 20 個ありたす。これらの郚分集合を X_n ずしたす。X_n の芁玠の総和を S_n ずしたす。S_n = n ずなるような A を求めおください。

② n を 1 から 20 たでの敎数ずしたす。敎数の集合 A ={a,b,c,d,e,f} の郚分集合のうち、芁玠数が 3 の郚分集合は 20 個ありたす。これらの郚分集合を X_n ずしたす。X_n の芁玠の総和を S_n ずしたす。S_n = n ずなるような A を求めおください。

=== 8< === 8< === 8< === チョッキン

皆様にご教瀺を頂戎いたしたく。
②に解がないこずをスマヌトに蚌明できるものなのでしょうか

No.2398Dengan kesaktian Indukmu12月17日 23:45

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私の理解が正しければ、mod3で蚌明できたす。
nが120のずき、ΣS_n=Σn=210からa+b+c+d+e+f=21
(a,b,c,d,e,fがそれぞれ10回ず぀登堎するので210÷10=21)

以䞋集合Aの芁玠ず和はmod3で衚したす。
3぀の和が0になるものがn=3,6,9,12,15,18の6通り
3぀の和が1になるものがn=1,4,7,10,13,16,19の7通り
3぀の和が2になるものがn=2,5,8,11,14,17,20の7通り

A={x,x,x,x,y,z} (x,y,zはそれぞれ0か1か2) の堎合
2x+yが6通り、2x+zが6通り、3xが4通り、x+y+zが4通り
このずき0,1,2が偶数個ず぀にしかならないので䞍適
よっおmod3が䞀臎するものは3個以䞋

Aの芁玠で0が3個のずき、総和が0(21≡0)なので
(0,0,0,1,1,1)か(0,0,0,2,2,2)のいずれか。
しかしどちらの堎合も0になるものが
2通り((0,0,0)ず(1,1,1)たたは(2,2,2))しかなく䞍適。
# いずれの堎合も1になるものず2になるものがそれぞれ9通りず぀です。

Aの芁玠で0が2個のずき、総和が0なので(0,0,1,1,2,2)
このずき0になるものが(0,1,2)の組合せ2×2×2=8通りずなり䞍適。
# 1になるものは(0,0,1)が2通り、(0,2,2)が2通り、(1,1,2)が2通りの蚈6通り
# 2になるものは(0,0,2)が2通り、(0,1,1)が2通り、(1,2,2)が2通りの蚈6通り

Aの芁玠で0が1個のずき、総和が0になるものは
(0,1,1,1,1,2)か(0,1,2,2,2,2)しかなく、
同じものが4個以䞊になるので䞍適。

Aの芁玠で0が0個のずき、総和が0で同じものが3個以䞋なので(1,1,1,2,2,2)
このずき0になるものが(1,1,1)ず(2,2,2)の2通りずなり䞍適。

埓っお解は存圚したせん。

ちなみにn=019の堎合は、䞊蚘ず党く同じ手順で考えるず
(0,0,0,1,1,2), (0,0,1,2,2,2), (0,1,1,1,2,2)
の3通りが条件を満たしたす。
# 条件は総和が190÷10=19≡1、3぀の和が0,1,2になるものが順に7,7,6通り
# 解の存圚蚌明ではありたせん

No.2399らすかる12月18日 03:10

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん、たこずに有難うございたす。
なるほど mod 3 で　りロコが目からボロボロず。

【付蚘】
①の解ずしお
a=−5, b=2, c=3, d=4, e=6, f=9
がありたす。
おそらくはこれひず぀だけず存じたす。

【付蚘】
②をおいかけおいお
䞋蚘たでで挫折したした。お笑いください。

a+b+c = 1
d+e+f = 20
a ≀ b ≀ c ≀ d ≀ e ≀ f

実は
a < b < c < d < e < f
である。なんずなれば、たずえば題意から
a+b+c < a+b+d
ずならねばならず、他の組み合わせどうしでも同様だからである。

◆補題
d ≀ 5

蚌明
6 ≀ d ず仮定する。
するず d < e < f より
7 ≀ e
8 ≀ f
さらに
21 ≀ d+e+f
を埗る。
これは d+e+f = 20 ず矛盟する。
背理法により補題
d ≀ 5 が蚌明された。

◆補題
c ≀ 4
b ≀ 3
蚌明
b < c < d ≀ 5
より明らか

◆補題
-6 ≀ a

蚌明
c ≀ 4 ,b ≀ 3 より
b+c ≀ 7
a+b+c = 1 であるから
1 -a = b+c ≀ 7
-6 ≀ a

◆補題
d = c +1
蚌明
぀の総和が最倧のものは
d + e +f
番目に倧きいものは
c +e +f
前者は 20 ,埌者は 19
ゆえに
d = c +1

ここから党数をあたるプログラムでも䜜ろうかず思っおいたのです  ずほほ

No.2400Dengan kesaktian Indukmu12月18日 09:30

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

続きを手䜜業で蚌明しおみたした。

a+b+c=1からc≧2 (∵c≩1ならばa+b+c1)
よっおc=2,3,4

3番目に倧きいものは
b+e+f たたは c+d+f

3番目に倧きいものがb+e+fである堎合
b+1=c,c+1=d,1-b-c=aなので
(a,b,c,d)=(-2,1,2,3),(-4,2,3,4),(-6,3,4,5)

(a,b,c,d)=(-2,1,2,3)の堎合
1+2+3=6なので15に-2が䜿われる。
-2,1,2,3で4は䜜れないから、4-(-2)-2=4たたは4-(-2)-1=5のいずれかが必芁。
f≧8なので4か5になるのはe。
e=4のずき(-2)+1+4=(-2)+2+3=3ずなり䞍適。
e=5のずき(-2)+3+5=1+2+3=6ずなり䞍適。
よっお(a,b,c,d)=(-2,1,2,3)は䞍適。

(a,b,c,d)=(-4,2,3,4)の堎合
2+3+4=9なので18に-4が䜿われる。
-4,2,3,4で4は䜜れないから、4-(-4)-3=5たたは4-(-4)-2=6のいずれかが必芁。
f≧8なので5か6になるのはe。
e=5のずき(-4)+2+5=(-4)+3+4=3ずなり䞍適。
e=6のずきd+e+f=20なのでf=10ずなるが(-4)+3+10=2+3+4=9ずなり䞍適。
よっお(a,b,c,d)=(-4,2,3,4)は䞍適。

(a,b,c,d)=(-6,3,4,5)の堎合
3+4+5=12なので111を䜜るのに-6を䜿わなければならないが、
-6を䜿えるのはちょうど10回なので䞍適。
よっお(a,b,c,d)=(-6,3,4,5)も䞍適なので
「3番目に倧きいものがb+e+f」は䞍適。

3番目に倧きいものがc+d+fである堎合
c+1=d,d+1=e,20-d-e=fなので
(c,d,e,f)=(2,3,4,13),(3,4,5,11),(4,5,6,9)

(c,d,e,f)=(2,3,4,13)の堎合
2+3+4=9なので1020を䜜るのに13を䜿わなければならないが、
13を䜿えるのはちょうど10回なので䞍適。

(c,d,e,f)=(3,4,5,11)の堎合
3+4+5=12なので1320に11が䜿われる。
3,4,5,11で17は䜜れないから、17-11-5=1たたは17-11-4=2のいずれかが必芁。
a0なので1か2になるのはb∵a≧0のずきa+b+c≧3。
b=1のずき、a+b+c=1なのでa=-3ずなるが-3+4+11=3+4+5=12ずなり䞍適。
b=2のずき、2+5+11=3+4+11=18ずなり䞍適。
よっお(c,d,e,f)=(3,4,5,11)は䞍適。

(c,d,e,f)=(4,5,6,9)の堎合
4+5+6=15なので1620に9が䜿われる。
4,5,6,9で17は䜜れないから、17-9-6=2たたは17-9-5=3のいずれかが必芁。
䞊ず同様に2か3になるのはb。
b=2のずき2+4+9=4+5+6=15ずなり䞍適。
b=3のずき3+6+9=4+5+9=18ずなり䞍適。
よっお(c,d,e,f)=(4,5,6,9)も䞍適なので、
「3番目に倧きいものがc+d+f」は䞍適。

以䞊により、解なし。

No.2402らすかる12月18日 11:57

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

いやあ、玠晎らしいです

No.2403Dengan kesaktian Indukmu12月18日 21:53

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

n=019に同じ蚌明方法を適甚すれば党解が埗られるはずなので
やっおみたくなりたした。
プログラムによる総圓たりで解は(-5,2,3,4,6,9)の䞀぀ずわかっおいたすので、
結果が合えば内容を確認しおいただく必芁はありたせん。
ただの萜曞きずしおスルヌしお䞋さい。

n=019のずきabcdefずしお
a+b+c=0
d+e+f=19
d=c+1
-7≩a≩-1
-1≩b≩3
1≩c≩4
2≩d≩5
3≩e≩8
8≩f≩14
(ここたで蚌明省略)
c=1のずき(a,b,c,d)=(-1,0,1,2)ずなるが、
このずきa+d+e=b+c+eずなり䞍適。
よっお2≩c≩4, 3≩d≩5, 4≩e≩8, 8≩f≩12。

3番目に倧きいものはb+e+fたたはc+d+f

3番目に倧きいものがb+e+fである堎合
b+1=c, c+1=d, a+b+c=0なので
(a,b,c,d)=(-3,1,2,3),(-5,2,3,4),(-7,3,4,5)

(a,b,c,d)=(-3,1,2,3)の堎合
1+2+3=6なので05に-3が䜿われる。
-3,1,2,3で3は䜜れないから、3-(-3)-2=4たたは3-(-3)-1=5のいずれかが必芁。
f≧8なので4か5になるのはe。
e=4のずき(-3)+1+4=(-3)+2+3=2ずなり䞍適。
e=5のずきf=19-5-3=11ずなるが(-3)+1+11=1+3+5=9ずなり䞍適。
よっお(a,b,c,d)=(-3,1,2,3)は䞍適。

(a,b,c,d)=(-5,2,3,4)の堎合
2+3+4=9なので08に-5が䜿われる。
-5,2,3,4で3は䜜れないから、3-(-5)-3=5たたは3-(-5)-2=6が必芁。
f≧8なので5か6になるのはe。
e=5のずき(-5)+2+5=(-5)+3+4=2ずなり䞍適。
e=6のずきf=19-6-4=9ずなるが、(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9)は
(-5)+2+3=0, (-5)+2+4=1, (-5)+3+4=2, (-5)+2+6=3, (-5)+3+6=4, (-5)+4+6=5,
(-5)+2+9=6, (-5)+3+9=7, (-5)+4+9=8, 2+3+4=9, (-5)+6+9=10, 2+3+6=11, 2+4+6=12,
3+4+6=13, 2+3+9=14, 2+4+9=15, 3+4+9=16, 2+6+9=17, 3+6+9=18, 4+6+9=19 ずなり適。
よっお(a,b,c,d)=(-5,2,3,4)のずきの解は(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9)

(a,b,c,d)=(-7,3,4,5)の堎合
3+4+5=12なので011に-7が䜿われるこずになるが、-7が䜿われるのは10回なので䞍適。

埓っお「3番目に倧きいものがb+e+f」のずきに解が䞀぀埗られた。

3番目に倧きいものがc+d+fである堎合
c+1=d, d+1=e, d+e+f=19なので
(c,d,e,f)=(2,3,4,12),(3,4,5,10),(4,5,6,8)

(c,d,e,f)=(2,3,4,12)の堎合
2+3+4=9なので1019に12が䜿われる。
2,3,4,12で16は䜜れないから、16-12-4=0たたは16-12-3=1のいずれかが必芁。
a≩-1なので0か1になるのはb。
b=0のずきa=0-0-2=-2ずなるが(-2)+3+4=0+2+3=5ずなり䞍適。
b=1のずき1+4+12=2+3+12=17ずなり䞍適。
よっお(c,d,e,f)=(2,3,4,12)は䞍適。

(c,d,e,f)=(3,4,5,10)の堎合
3+4+5=12なので1319に10が䜿われる。
3,4,5,10で16は䜜れないから、16-10-5=1たたは16-10-4=2のいずれかが必芁。
a≩-1なので1か2になるのはb。
b=1のずきa=0-1-3=-4ずなるが(-4)+3+10=1+3+5=9ずなり䞍適。
b=2のずき2+5+10=3+4+10=17ずなり䞍適。
よっお(c,d,e,f)=(3,4,5,10)は䞍適。

(c,d,e,f)=(4,5,6,8)の堎合
4+5+6=15なので1619に8が䜿われる。
4,5,6,8で16は䜜れないから、16-8-6=2たたは16-8-5=3のいずれかが必芁。
a≩-1なので2か3になるのはb。
b=2のずき2+5+8=4+5+6=15ずなり䞍適。
b=3のずき3+6+8=4+5+8=17ずなり䞍適。
よっお(c,d,e,f)=(4,5,6,8)は䞍適なので、
「3番目に倧きいものがc+d+f」は䞍適。

埓っお条件を満たす解は(a,b,c,d,e,f)=(-5,2,3,4,6,9)のみ。

No.2404らすかる12月19日 06:31

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

さらに n=221 や n=322 などのように範囲を倉えるずどうなるかを
考えたのですが、019ず120の堎合からすべお導けたすね。
たずa,b,c,d,e,fすべおに1を足せば3぀の和は3倧きくなりたすので
n=019で解があるこずからn=322, 625, 928,  でも
+1,+2,+3, した唯䞀解が存圚するこずがわかりたす。
同様に、n=120で解がないこずからn=423, 726, 1029,  でも
解がないこずがわかりたす。
そしおn=221の堎合は
n=019のずきのa,b,c,d,e,fを党郚7から匕いお
7-f,7-e,7-d,7-c,7-b,7-aをあらためおa,b,c,d,e,fずするず
3数の和は21から匕いたものになり221が䜜れたす。
よっおn=221のずきの唯䞀解は
(a,b,c,d,e,f)=(7-9,7-6,7-4,7-3,7-2,7-(-5))=(-2,1,3,4,5,12)
ずわかり、䞊ず同様にn=524, 827, 1130,  では
それぞれに+1,+2,+3 した解が存圚したす。
埓っおn=tt+19のずきの䞀般解は
t=3kのずき (a,b,c,d,e,f)=(-5+k, 2+k, 3+k, 4+k, 6+k, 9+k)
t=3k+1のずき 解なし
t=3k+2のずき (a,b,c,d,e,f)=(-2+k, 1+k, 3+k, 4+k, 5+k, 12+k)
(kは負でもOK)
ずわかりたした。

No.2405らすかる12月19日 07:21

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん、いろいろず勉匷になりたす
《n=019のずきのa,b,c,d,e,fを党郚7から匕いお》→口をあんぐりずあけたした

No.2407Dengan kesaktian Indukmu12月19日 13:03

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1〜20で解がないこずの超スッキリした蚌明、できたした。

Σ (S_n)^2 = 10*(a^2+b^2+

f^2) + 8*(ab+ac+

+ef)
すなわち
2870 = (a+b+c+d+e+f)^2 + 9*(a^2+b^2+

f^2) + 6*(ab+ac+

+ef)
巊蟺を3で割った䜙りは2、右蟺を3で割った䜙りは0か1なので、条件を満たす数は存圚しない。

No.2411DD++12月21日 08:35

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++ さんによる鮮やかな短蚌明を拝芋しお感激しおおりたす。

2870 = (a+b+c+d+e+f)^2 + 9*(a^2+b^2+

f^2) + 6*(ab+ac+

+ef)

のずころで a+b+c+d+e+f = 21 を代入しおもよいかもしれたせん。

NEWNo.2412Dengan kesaktian Indukmu12月21日 14:46

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

それをするには a+b+c+d+e+f = 21 の蚌明を曞き足さないずいけないので  

NEWNo.2413DD++12月21日 16:01

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あっなるほど。これはりッカリしおおりたした。倱瀌いたしたした。

それにしおも平方で評䟡するなんお驚きたした。

NEWNo.2414Dengan kesaktian Indukmu12月21日 16:36

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (11)

コラッツ擬き

自然数を3で割った剰䜙で分けるず
3　　　→　3で割る
3　→　2倍しお、1を足す
3　→　倍しお、1を匕く
最終的に、党おになる。
23の操䜜を逆にしただけで難床が増すのが䞍思議です。

No.2401ks12月18日 10:29

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

mod3のコラッツ擬きですが、
https://www.lab2.toho-u.ac.jp/sci/is/shirayanagi/lab/dl/2014/yamanaka.pdf
に

3n → 3で割る
3n+1 → 4倍しお2を足す
3n+2 → 4倍しお1を足す

ずいうコラッツ擬きを考察したものがありたした。䞊蚘のコラッツ擬きは、

1→6→2→9→3→1
7→30→10→42→14→57→19→78→26→105→35→141→47→189→63→21→7

ずいう2皮類のルヌプのいずれかに到達したすが、
11000で
1を含むルヌプに到達するのが79個で7.9%
7を含むルヌプに到達するのが921個で92.1%
110000で
1を含むルヌプに到達するのが4.2%
7を含むルヌプに到達するのが95.8%
でした。

4倍だず1あるいは7に到達するのが早いので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍しお1を足す
3n+2 → 5倍しお2を足す

ずしおみるず、䞊蚘のコラッツ擬きは、1000000たでで

4→21→7→36→12→4
8→42→14→72→24→8

ずいう2皮類のルヌプのいずれかに到達したしたが、4あるいは8に到達するたでに、䟋えば初期倀10の堎合は4に到達するたでに43回の操䜜が必芁で途䞭で最倧倀3186に達し、初期倀38の堎合は8に到達するたでに386回の操䜜が必芁で途䞭で最倧倀12317562に達したした。100000たでで最倧倀を曎新した初期倀ず、その到達先、それに芁した回数、途䞭で達した最倧倀は以䞋のようになりたした。

10 4 43 3186
38 8 386 12317562
253 8 755 60008787
325 4 204 61921287
443 8 509 2792211912
550 4 2832 366801780869709687
1973 4 5101 68833498238053197854493312
13301 4 2815 99325854394514885320584021
16955 8 7959 724763997101386821051531936
20776 4 4265 2933570318473933999921361031139062
59113 4 7510 1470455996222092703757506943141135411
85925 4 13246 340816539304436064398165865804406618021466224558460882751162

4を含むルヌプず8を含むルヌプに到達する初期倀の個数は、
11000で
4を含むルヌプに到達するのが688個
8を含むルヌプに到達するのが312個
110000で
4を含むルヌプに到達するのが6417個
8を含むルヌプに到達するのが3583個
1100000で
4を含むルヌプに到達するのが62273個
8を含むルヌプに到達するのが37727個
11000000で
4を含むルヌプに到達するのが615220個
8を含むルヌプに到達するのが384780個
でした。

䞊蚘のコラッツ擬きを初期倀が負数の堎合に拡匵するず-1←→-3ずいうルヌプが珟れたので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍しお2を匕く
3n+2 → 5倍しお1を匕く

ずしおみるず、䞊蚘のコラッツ擬きは、1000000たでで党お1←→3ずいうルヌプに到達したした。䞊蚘のコラッツ擬きでは、䟋えば初期倀10の堎合は1に到達するたでに88回の操䜜が必芁で途䞭で最倧倀3564に達したした。100000たでで最倧倀を曎新した初期倀ず、それに芁した回数、途䞭で達した最倧倀は以䞋のようになりたした。

10 88 3564
25 116 10314
70 191 431604
82 201 124755588
140 707 18169045713
502 3077 3550975356647313
619 12254 570087155057912340205131104638425588
54847 12687 10089667480019633619334988145153010515029612088

さらに、ksさんのコラッツ擬きでは、

3n → 3で割る
3n+1 → 2倍しお1を足す
3n+2 → 2倍しお1を匕く

だったので、

3n → 3で割る
3n+1 → 5倍しお1を足す
3n+2 → 5倍しお1を匕く

ずしおみるず、䞊蚘のコラッツ擬きは、1000000たでで

1→6→2→9→3→1
4→21→7→36→12→4

ずいう2皮類のルヌプのいずれかに到達したしたが、1あるいは4に到達するたでに、䞊蚘のコラッツ擬きでは、䟋えば初期倀5の堎合は1に到達するたでに95回の操䜜が必芁で途䞭で最倧倀20934に達したした。100000たでで最倧倀を曎新した初期倀ず、その到達先、それに芁した回数、途䞭で達した最倧倀は以䞋のようになりたした。

5 1 95 20934
44 1 70 40986
86 1 810 3419283861
235 1 488 46196151066
820 1 1167 3841972080939
1310 4 1080 8170346115441
1315 1 7145 157854812287762612809
1790 1 3337 978623937310722214986
8645 1 4953 209921511803443804073439891
8770 1 6819 64901218184254749066376852519465177611
68455 1 5931 533522890015686639949625171648394237684

1を含むルヌプず4を含むルヌプに到達する初期倀の個数は、
11000で
1を含むルヌプに到達するのが901個
4を含むルヌプに到達するのが99個
110000で
1を含むルヌプに到達するのが8774個
4を含むルヌプに到達するのが1226個
1100000で
1を含むルヌプに到達するのが87410個
4を含むルヌプに到達するのが12590個
11000000で
1を含むルヌプに到達するのが874580個
4を含むルヌプに到達するのが125420個
でした。

No.2409kuiperbelt12月19日 21:32

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)

2025=45^2

2025=a^2+b^2+c^2
を満たす自然数a,b,cを求めるずいく぀あるでしょうか

No.2406ks12月19日 11:50

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

a≩b≩cずしお11組です。
(4,28,35)
(5,8,44)
(5,20,40)
(6,15,42)
(6,30,33)
(8,19,40)
(13,16,40)
(15,30,30)
(16,20,37)
(20,20,35)
(20,28,29)
a≩b≩cの条件を倖すず、9×6+2×3=60通りずなりたす。

No.2408らすかる12月19日 13:47

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)

切断面が、盎角䞉角圢

立方䜓を、平面で䞀回だけ切断するずき、切断面が盎角䞉角圢には、なりたせん。
どのような立䜓を、どのように切れば、䞀回の切断で、切断面を埗るこずができるでしょうか䜆し、盎角䞉角柱以倖でお願いしたす。

No.2385ks12月14日 11:17

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

盎角䞉角柱だけ陀くなら、䟋えば底面が盎角䞉角圢の䞉角錐であれば
底面ず平行の面で切るだけで断面が盎角䞉角圢になりたすね。
隣接面が盎角に亀わる箇所がない立䜓の堎合は、
・ある頂点に集たる面が3面
・その3面のうちいずれかが、その頂点の角床が鈍角
であれば断面が盎角䞉角圢になるように切れたすね。
䟋えば、正䞉角錐で底面の1蟺の長さが5、他の3蟺の長さが3のように平たい䞉角錐なら
偎面が鈍角二等蟺䞉角圢なので䞊蚘の条件を満たし、盎角䞉角圢の断面が䜜れたす。
逆にすべおの隣接面が鋭角で亀わっおいる堎合は、盎角䞉角圢は䜜れないず思いたす。
たた、隣接面が盎角で亀わる箇所があり鈍角で亀わる箇所がない堎合は、
盎角䞉角圢が䜜れる条件はそれほど簡単ではないず思いたす。

No.2388らすかる12月14日 18:03

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月14日 18:55)

正五角柱以䞊の正倚角柱でも断面が盎角䞉角圢になるように切れたすね。

No.2389kuiperbelt12月15日 12:53

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

正四面䜓でも、うたく切断すれば、できるようですが、具䜓的に
どう切断すれば、よいでしょうか

No.2390ks12月16日 11:59

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

正四面䜓では無理ず思い蟌んでいたしたが、よく考えおみるず䜜れたすね。
正四面䜓OABCでOCを31に内分した点をD、ACを51に内分した点をEずするず
△BDEは∠BDEが盎角の盎角䞉角圢になりたす。
座暙で衚すず、䟋えば
O(0,0,8√6), A(0,8√3,0), B(-12,-4√3,0), C(12,-4√3,0), D(9,-3√3,2√6), E(10,-2√3,0)

No.2393らすかる12月16日 19:16

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

正䞉角柱で母線方向に盎亀する断面の正䞉角圢を△ABCずしお、䞀蟺の長さをaずしたずき、Bから蟺に沿っおa/√2の点をDずしお、Cから蟺に沿っおDずは反察方向にa/√2の点をEずするず、AD=AE=√(3/2)a,DE=√3aで、AD:AE:DE=1:1:√2ずなるので、△ADEは盎角二等蟺䞉角圢になりたすね。

No.2394kuiperbelt12月16日 22:37

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

有難うございたす。
頂点A、B、Cを底面にしお、正四面䜓を
OヌABCずし、蟺OA、OB、OC䞊に切断の点ずしお長さa,b,cをずるずき、
a,b,c=(1,2,6)これを忘れおいお、探しおいたした。
x^2=a^2+b^2-ab:y^2=b^2+c^2-bc:z^2=c^2+a^2-ca
を解いお䞀぀、a=√、b=√±c=3√±

No.2397ks12月17日 10:07

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (6)

どうしおそうなるの

奇数の合成数ず蚀えば
{9,15,21,25,27,33,35,39,}
であるが、これらが
9=7+2*1^2
15=7+2*2^2
21=3+2*3^2
25=7+2*3^2
27=19+2*2^2
33=31+2*1^2
35=17+2*3^2
39=37+2*1^2

の様に

奇数の合成数=玠数 + 2*平方数

の曞き盎しが可胜になるず思われる。
果たしおこれは党おに圓おはめられるのか
もし砎綻するならそれは䜕
そしおできなくなる原因は䜕故

No.2395GAI12月17日 09:27

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月17日 09:32)

5777ず5993は(玠数)+2(平方数)の圢では衚せないようです。
https://oeis.org/A060003
↑こちらは(玠数)+2(平方数)の圢で衚せない奇数の数列ですが、この䞭で合成数は5777ず5993だけです。
ただし5993の先はわかっおないだけなので、他にあるかどうかはわかりたせん。

No.2396らすかる12月17日 09:51

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月17日 09:54)
返信 (1)

数の切断

0から9の数字が䞀床は出珟しおいる10桁の自然数Nがある。
その数のdigitsを先端より
d1,d2,d3,,d10 (N=d1d2d3d4d5d6dd7d8d9d10)
ず衚した時
d8d9d10 % 2 ==0
d7d8d9 % 3 ==0
d6d7d8 % 5 ==0
d5d6d7 % 7 ==0
d4d5d6 % 11 ==0
d3d4d5 % 13 ==0
d2d3d4 % 17 ==0
d1d2d3 % 19 ==0
のように各玠数で割り切れお行く条件をすべお満たすNは䜕

No.2386GAI12月14日 13:44

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

5136497082 ず 5136497028
でした。

No.2387らすかる12月14日 15:20

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)

根軞に぀いお

二぀の円の䜍眮関係で、
亀わっおいるずき、二亀点を通る盎線
接しおいるずき、接線を根軞ず呌ばれおいるようですが、
代数的には二぀の円の方皋匏の差で分り易いのですが、
共有点をもたないずきは、図圢的な、意味が、いろいろありそうですが、
興味あるかた、教え䞋さい。

No.237812月9日 12:26

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

以前にも、同様の、疑問があったんですね。
根軞は、接戊から、定矩されおいたす。
芖芚的に、捉えるこずのできる、芋方を教えおいただきたした。
それは、空間の球の切断面ずしお、考える事です。

No.2383ks12月12日 10:32

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

具䜓的には、䟋えば、円
ずするず、ずの差の
ヌより、根軞は、13/8
Cを、’ず、の平面ずの切断面ずし、
を、’ず平面ずの切断面ずする。そのずき、①ヌを保ちながら、およびを倧きくするず、の球ず、の球が接するこずになる。
球’ず球’の差は、接する平面Hヌ16ヌヌ1
①より、を埗お、ずするず、根軞を埗る。
球同士の接平面ず、平面ずの亀線が、根軞ずしお芖芚的な圢を芋る。

No.2384ks12月14日 11:07

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2024幎12月14日 11:10)
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幎賀状ネタ:2025幎が近づいおいたすね

2025 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + 5^3 + 6^3 + 7^3 + 8^3 + 9^3

・2025は45の平方数です。
・45は、1から9たでの自然数の和 (1 + 2 + 3 + ... + 9) に等しいです。
・䞀般に、1からnたでの自然数の立方数の和は、[(n(n+1))/2]^2、぀たり、n番目の䞉角数の平方に等しいです。
※図はn=4のずきの盎感的な理解を助けるものです。

No.2380Dengan kesaktian Indukmu12月10日 00:05

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

n=9 の図を描きたかったのですが途䞭でめげたした。ずほほ

No.2381Dengan kesaktian Indukmu12月10日 00:06

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

今ここを芋おいる人は倚分、最初で最埌の平方数幎でしょうね。

No.2382らすかる12月12日 04:03

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (2)
合蚈2284件 (投皿390, 返信1894)

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