😊出会いの泉😊

半径が整数で3個の格子点だけを含む円の方程式では
(x-3/5)^2+(y-4/5)^2=17^2
で3点(-13,11),(-2,-16),(16,8)のみが格子点

(x-1/5)^2+(y-3/5)^2=29^2
で3点(-23,18),(5,-28),(29,4)のみが格子点
などもありますね。

5個の格子点のみ含む円の方程式を探しているのですが中々見つかりません。

(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^0)^2 → 1個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^1)^2 → 3個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^2)^2 → 5個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^3)^2 → 7個
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=(13^4)^2 → 9個
・・・
となるようですが、証明はわかりません。
※(13^9)^2 → 19個 まで確認しただけですので、それより大きい数でも成り立つかどうかわかっていません
※半径13^nのとき2n+1個ですが、半径13^n・17^mのとき(2n+1)(2m+1)個となりそうなこともわかっています。
※同様に、半径Πp[n]^a[n]のときΠ(2a[n]+1)個になるようです。ただしp[n]は13以上の4n+1型素数です。
※よって半径を13*17*29*37*41*53にすると3^6=729個になります。

# ちなみに、左辺の(x-1/5)^2+(y-2/5)^2を(x-3/5)^2+(y-4/5)^2や(x-1/5)^2+(y-3/5)^2などにしても、
# 円を(1/2,1/2)中心に回転またはy=xに関して対称移動するだけですので、個数は変わりません。

(追記)
上記の式では奇数個しか現れませんが、
1/5と2/5を1/13と5/13とか1/17と4/17などに変えると偶数も出てきます。
しかし偶数では13^nのような規則性は見つかりません（が、おそらく任意の偶数が現れると思います）。
（x^2+y^2=r^2でr=5^nとすると8n+4個になるらしいということだけはわかっています）
(x-分数)^2+(y-分数)^2の場合、分母は4n+1型の奇数、分子は2乗和が分母の2乗になるような組または
その回転・対称移動のバリエーションにしないとおそらく解なしになります。
(1/5,2/5)≡(4/5,3/5) → 4^2+3^2=5^2
(1/13,5/13)≡(12/13,5/13) → 12^2+5^2=13^2
(1/17,4/17) → 1^2+4^2=17^2

格子点数が奇数個となる場合の半径rはr≡1 (mod 4)を満たしているものとアタリを付けて
1000までの半径について検索し続けたら
r=13^2=169 の半径では方程式
(x-1/5)^2+(y-2/5)^2=169^2
には(-167,25),(-135,-101),(-23,-167),(86,146),(164,42)の格子点が存在
同じく円の中心を
(1/5,3/5)==>(-167,-24),(-135,102),(-23,168),(86,-145),(164,-41)の格子点
(2/5,4/5)==>(-167,24),(-101,136),(25,168),(42,-163),(146,-85)
(3/5,4/5)==>(-145,-85),(-41,-163),(-24,168),(102,136),(168,24)
とそれぞれ5個の格子点が存在でき
らすかるさんのコメントの様にこの円の中心の(x,y)座標を交換した(y,x)の円でも
格子点の座標は違ってきますがやはりどれも格子点は5タイプ存在していきます。

次に
r=17^2=289の半径でも上記の円の中心と同じものをもつタイプがありました。
r=5^2*13=325での半径では円の中心は
(1/17,4/17)
(1/17,13/17)
(4/17,16/17)
(13/17,16/17)ととればよさそうです。
r=5^2*17=425では中心は
(1/13,5/13)
(1/13,8/13)
(2/13,3/13)
(3/13/10,13)
(4/13,6/13)
(4/13,7/13)
(5/13,12,13)
(6/13,9/13)
(7/13,9/13)
(8/13,12/13)
(10/13,11/13)で
以下中心座標は省略しますが半径
r=13*53=689
r=5^2*29=725
r=29^2=841
r=5*13^2=845
r=5^2*37=925
なる円ではどれも円周上に5個の格子点が存在できました。

偶数個もありかなと思いましたがどんな偶数でもとなると？
の感想を持ちました。

中心の分数の分子の平方和は分母の倍数でもいいみたいですね。
(1/13,5/13) → 1^2+5^2=13*2
(1/13,8/13) → 1^2+8^2=13*5
(2/13,3/13) → 2^2+3^2=13
(3/13/10,13) → これは多分(2/13,10/13)と(3/13,11/13)が混ざっちゃったみたいですね。
# (2/13,10/13) → 2^2+10^2=13*8, (3/13,11/13) → 3^2+11^2=13*10
(4/13,6/13) → 4^2+6^2=13*4
(4/13,7/13) → 4^2+7^2=13*5
(5/13,12/13) → 5^2+12^2=13*13
(6/13,9/13) → 6^2+9^2=13*9
(7/13,9/13) → 7^2+9^2=13*10
(8/13,12/13) → 8^2+12^2=13*16
(10/13,11/13) → 10^2+11^2=13*17
これらの組合せは平方和が分母の倍数になる組合せと一致していますね。

偶数は、例えば中心を(1/17,4/17)とすれば
r=13: 2個
r=650: 4個
r=1625: 6個
r=2665: 8個
r=21125: 10個
r=9425: 12個
r=17225: 14個
r=47125: 16個
r=86125: 18個
r=122525: 20個
r=99905: 22個
r=397085: 24個
r=1665625: 26個
r=612625: 28個
r=1119625: 30個
r=2911025: 32個
r=348725: 34個
r=499525: 36個
r=1298765: 38個
r=1533025: 40個
r=2566525: 42個
r=269187425: 44個
r=46191925: 46個
r=1743625: 48個
r=3531125: 50個
のようにありますので、（44個のようになかなか見つからないものもありますが）
任意の偶数個になり得る気がします。

とりあえず奇数だけ。
偶数は根底から発想を転換する必要がありそうですね。


「円周上の格子点の個数が 2k+1 個である、半径が整数の円が存在する」

自然数 n に対して、それを2つの整数の平方和で表す方法の数を f(n) と書くことにします。

r を整数とし、原点中心の半径 5r の円の上の格子点を考えます。
全部で f(25r^2) 個ある格子点のうち、x座標とy座標がともに5の倍数であるものは f(r^2) 個あります。
x座標が0のもの、y座標が0のもの、x座標とy座標の絶対値が等しいものは、すべてこの f(r^2) 個の中に含まれます。
よって、残りの f(25r^2)-f(r^2) 個は、x座標の符号反転、y座標の符号反転、x座標とy座標の交換による、8個1セットになっています。

さて、この8個1セットですが、5の倍数でない平方数を5で割った余りは1か4しかあり得ないので、x^2 と y^2 の片方は余りが1でもう片方は4です。
つまり、これら8個は5を法として (±1,±2), (±2,±1) と合同なものが1つずつです。

したがって、原点中心の半径5rの円の上の格子点に、(x,y)≡(-1,-2) (mod5)であるものは {f(25r^2)-f(r^2)}/8 個あります。
これをx軸方向に1、y軸方向に2並行移動してから、原点中心で 1/5 に縮小すると、半径 r で格子点が {f(25r^2)-f(r^2)}/8 個ある円になります。

あとは、{f(25r^2)-f(r^2)}/8 が任意の奇数 2k+1 を取れることを証明すればよいです。
r=13^k とすると、ヤコビの二平方定理より f(25r^2) = 12(2k+1), f(r^2) = 4(2k+1) なので、{f(25r^2)-f(r^2)}/8 = 2k+1 となります。

以上により示されました。

> "らすかる"さんが書かれました:

> (3/13/10,13) → これは多分(2/13,10/13)と(3/13,11/13)が混ざっちゃったみたいですね。

あ～見直したら(3/13,11/13)とタイプするべきを(3/13,10/13)と打ってしまっていました。

6個の格子点を持つものが中々見つけられずにいたので途方に暮れていたら
らすかるさんからの情報でやっと手に入りました。
(これだけ半径を大きくしないといけなかったんですね。44個では途方もない大きさなんだ！)
格子点の座標とその方程式が以下のものでした。

Points: [[-1472, -688], [-847, 1387], [-211, -1611], [521, -1539], [714, 1460], [1578, -388]]
Equation: (x - 1/17)^2 + (y - 4/17)^2 = 2640625(=1625^2)
--------------------------------------------------

Points: [[-1472, 689], [-847, -1386], [-211, 1612], [521, 1540], [714, -1459], [1578, 389]]
Equation: (x - 1/17)^2 + (y - 13/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1406, 815], [-1094, -1201], [-69, 1624], [425, -1568], [1073, -1220], [1606, 249]]
Equation: (x - 2/17)^2 + (y - 8/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1406, -814], [-1094, 1202], [-69, -1623], [425, 1569], [1073, 1221], [1606, -248]]
Equation: (x - 2/17)^2 + (y - 9/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1611, 212], [-1539, -520], [-688, 1473], [-388, -1577], [1387, 848], [1460, -713]]
Equation: (x - 4/17)^2 + (y - 16/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1568, -424], [-1220, -1072], [-1201, 1095], [249, -1605], [815, 1407], [1624, 70]]
Equation: (x - 8/17)^2 + (y - 15/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

Points: [[-1623, 70], [-814, 1407], [-248, -1605], [1202, 1095], [1221, -1072], [1569, -424]]
Equation: (x - 9/17)^2 + (y - 15/17)^2 = 2640625

(x-3/17)^2+(y-5/17)^2=2640625 もあるかと思ったんですが、これはないんですね。
--------------------------------------------------

Points: [[-1459, -713], [-1386, 848], [389, -1577], [689, 1473], [1540, -520], [1612, 212]]
Equation: (x - 13/17)^2 + (y - 16/17)^2 = 2640625
--------------------------------------------------

> (x-3/17)^2+(y-5/17)^2=2640625 もあるかと思ったんですが、これはないんですね。

6個はないですが、
(-1596,305),(-636,-1495),(-601,1510),(919,-1340),(1434,765)
の5点が解になっていますね。

いくつか証明につながりそうな法則を見つけました。
(x-1/17)^2+(y-4/17)^2=r^2でrに対する通過格子点個数は
(1) r=5^k (k=0～13)のとき 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7
(2) r=13*5^k (k=0～11)のとき 2,3,5,6,8,9,11,12,14,15,17,18
(3) r=29*5^k (k=0～11)のとき 1,3,4,6,7,9,10,12,13,15,16,18
(4) r=41*5^k (k=0～11)のとき 1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17
よって
(1)または(1)の半分(kが偶数・奇数のどちらか)が証明できれば
任意の自然数に対して成り立つことになります。
また(2)は0,2(mod3)、(3)は0,1(mod3)、(4)は1,2(mod3)をカバー
しているように見えますので、(2)(3)(4)のうち二つ示すのでもOKですね。

(x-1/17)^2+(y-4/17)^2=r^2について見つけた法則(未証明)をまとめます。
上に書いたようにr=5^kのときすべての自然数が表れるため、これが正しければ
「任意の自然数が出現するか」という話については終わっているわけですが、
「あるnに対して実際にrを作って確認する」という話になると
r=5^kでは値が大きくなりすぎて現実的ではありません。
たとえばしばらく見つけられなかったn=44では5^87≒6*10^60という巨大な
値となり、単純な探索では実際に44個になっているか調べられません。
上の(2)～(4)ではn≡0,1,2(mod3)について計算できるため、こちら使うと
(2)から13*5^28≒5*10^20でよいことがわかります。(1)を使った場合より
かなり小さくなりましたが、まだ大きいです。
(1)は5^k型、(2)～(4)はp*5^k型ですが、さらに5以外の素数を増やします。
p*q*5^k型の場合
r=29*41*5^kのとき 2,7,11,16,20,25,29,34,38,43,…
r=13*29*5^kのとき 3,7,12,16,21,25,30,34,39,43,…
r=13*41*5^kのとき 3,8,12,17,21,26,30,35,39,44,…
r=13*89*5^kのとき 4,9,13,18,22,27,31,36,40,45,…
r=13*53*5^kのとき 5,9,14,18,23,27,32,36,41,45,…
いずれもk=0のときの値から+4,+5,+4,+5または+5,+4,+5,+4していった値になり
n≡0,2,3,4,5,7,8(mod9)は全て含まれています。
しかしn≡1,6(mod9)は含まれておらず、素数の範囲を拡大して調べましたが
上記の5パターン以外はどうも出現しないようです。
（そういう理由で「なかなか見つからないものがある」のだと思います）
n=44は含まれていて、13*41*5^9=1041015625で44個になることがわかります。
実際に数えると、1041015625で確かに44個になります。
しかし5以外の素数を増やすともう少し小さくなります。
以下長くなりますので詳細は省略しますが、
p^4*5^k → n≡0,2,4,7 (mod9)
p^5*5^k → n≡0,3,6,9 (mod11)
p^2*q*5^k → n≡0,4,5,7,8,11,12,13 (mod15)
p^3*q*5^k → n≡0,5,6,7,11,16,17 (mod21)
p^2*q^2*5^k → n≡0,6,7,12,19,20 (mod25)
p*q*r*5^k → n≡0,7,8,9,13,14,20,21,22,23 (mod27)
p^3*q^2*5^k → n≡0,10,11,18,28 (mod35)
p^2*q*r*5^k → n≡12,13,14,15,35,36,38 (mod45)
p^2*q^2*r*5^k → n≡20,22,23,57,58,60 (mod75)
p*q*r*s*5^k → n≡0,21,22,23,27,41,61,63,67 (mod81)
p^2*q*r*s*5^k → n≡35,37,45,103,105,112 (mod135)
ただし、上の方は広く探索して他の値が出そうにないことを確認していますが、
下半分ぐらいは(組合せが多すぎて)途中でやめていて、
たまたま出てきた値のみ書いていますので、全部の値を網羅していません。
特に上半分でn≡0が必ず含まれていることから、下半分もさらに調べれば
n≡0は含まれているものと思われます(経験的予想です)。
上記の中でn=44が含まれるものは
p^5*5^k の n≡0 (mod11) と
p^2*q^2*5^k の n≡19 (mod25)
であり
p^5*5^k型の最小は 13^5*5^7=29007265625
p^2*q^2*5^k型の最小は 29^2*37^2*5^3=143916125
となりますが、この143916125が以前見つけた値に該当しています。
つまりこれらのパターンを調べていれば、もっと早く発見できていました。

この時点でまだ発見できていなかったもの(偶数のみ)は
n=64,78,86,92,96,100,…
なので、もう少し計算してみました。
n=64はp^2*q*5^k型のn≡4 (mod15)から算出できて
最小29^2*37*5^8=12155078125となり、これは確かに64通りになっていました。
n=78はp*5^k型のn≡0 (mod3)しか該当するものがなく、値が大きくなりすぎます。
そこで「各パターンで≡0は存在するだろう」という予想のもとに
「mod39のパターンはどうすれば作れるか」を考えました。
素数の掛け方とmod値を眺めると、すべて
「(5以外の素数の指数)×2+1」の積
がmod値になっていることがわかります。
ということは、
p^6*q*5^k型にすれば(6×2+1)×(1×2+1)=39でmod39になるはずなので
これで考えてみると、13^6*53*5^(2k+1)で≡0(mod39)となることから
最小13^6*53*5^3=31977609625でn=78となることがわかります。
実際、r=31977609625で確かに78個になっていました。
（最初mod13で検討しましたが、値が235684033203125で大きすぎました）
次はn=86ですが、これはさすがに値が大きくなりすぎて(1683642578125)
計算上は出ても確認が無理でした(確認できる方法が他にあるかも知れません)。

考察
・たまたま上記パターンに合致すればrは小さな値になる
・合致するパターンのmod値が大きいほどrは小さい値になる傾向がある
・奇数の素因数が小さければ(2u+1)(2v+1)…という積に細かく
分解できるので、小さな値になりやすい
・素因数2の指数が大きい場合は、たまたまパターン中にあれば
rは小さく済むが、そうでない場合はrは大きくなる。特に2の累乗数は
1以外に奇数の約数がないためパターンに合致しにくい。例えばn=128は
p^2*q*r*5^k型のn≡38(mod45)に合致するので13^2*29*53*5^5=811728125で
済むが、n=64はよりmod値の小さいmod15にしか該当しないので
12155078125という大きな値になっている
・つまり「パターンに合致しない」「素因数2の指数が大きい」「大きい
素数を素因数に持つ」がrが大きくなる要因
・パターン中のp,q,r,…に使える有用な素数は、5より大きい4n+1型の素数
ただし17を除く（円の中心の分母が17であることと関係あると思います）
つまり13,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,137,…
そしてこの素数中、13,53,89,101,…を使うかどうか(いくつ使うか)により
値が大きく変わる傾向があるが、これらの素数の特徴は不明

まったく見当違いかも知れませんが
シンツェルの定理(Schinzel's thenorem)というものがあるらしく

ユークリッド平面において、任意の正整数nに対し
ちょうどn個の格子点を通る様な円が存在する。
(半径が整数であることは問うていない。)

n=2*kの時
(x-1/2)^2+y^2=5^(k-1)/4
n=2*k+1の時
(x-1･3)^2+y^2=5^(2*k)/9

これはこの問題にヒントを与えたり、利用したりは出来ない物だろうか？
半径を整数に指定することで全く異なる問題となってしまうのか？

紹介して頂いた貴重な論文を拝見させて頂きました。
目が回る様な論理の展開で一つの式で表現するためには
大変な考察が必要なことが実感できました。

一般にO(0,0),P(n,m)の2点を結ぶ直線の下方(直線上を含む)の領域
だけを通過する格子路でOからPまでの最短路の総数G(n,m)を求める
プログラムをらすかるさんのアイデアをお借りして以前作成していた
のを思い出しました。
以下がそのプログラム(PARI/GPでのコード)と結果になります。
なお\記号は複数行に渡る記述のための繋ぎのためのものです。

gp > G(n,m)={M=matrix(n+1,m+1,i,j,if(j==1,1,i==1 && j>1,0))};\
for(x=2,n+1,for(y=2,m+1,if(m*(x-1)<n*(y-1),next,\
M[x,y]=M[x-1,y]+M[x,y-1])));M[n+1,m+1]

gp > for(n=2,9,print1(n"=>");for(m=1,30,print1(G(n,m)","));print)
2=>1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8,9,9,10,10,11,11,12,12,13,13,14,14,15,15,16,
3=>1,2,5,5,7,12,12,15,22,22,26,35,35,40,51,51,57,70,70,77,92,92,100,117,117,
126,145,145,155,176,
4=>1,3,5,14,14,23,30,55,55,76,91,140,140,178,204,285,285,345,385,506,506,593,
650,819,819,938,1015,1240,1240,1396,
5=>1,3,7,14,42,42,66,99,143,273,273,364,476,612,969,969,1197,1463,1771,2530,
2530,2990,3510,4095,5481,5481,6293,7192,8184,10472,
6=>1,4,12,23,42,132,132,227,377,525,728,1428,1428,2010,2803,3504,4389,7084,
7084,9097,11654,13793,16380,23751,23751,28931,35246,40356,46376,62832,
7=>1,4,12,30,66,132,429,429,715,1144,1768,2652,3876,7752,7752,10659,14421,
19228,25300,32890,53820,53820,67860,84825,105183,129456,158224,231880,231880,
278256,
8=>1,5,15,55,99,227,429,1430,1430,2529,3978,7229,9690,14985,21318,43263,43263,
61600,82225,121637,148005,199238,254475,420732,420732,543806,672452,900239,
1043460,1307742,
9=>1,5,22,55,143,377,715,1430,4862,4862,8398,15090,22610,35530,58040,81719,
120175,246675,246675,345345,500449,650325,876525,1220135,1542684,2017356,
3362260,3362260,4289780,5630306,

6=>の場合がat氏の出力と一致すると思います。

一般の長方形の格子路でカタラン路のような数を求める時には一辺が
多くの約数を含むようなものについては一個の式で表すのにはどうしても複雑な場合分けでの式が重なってします。
私も一辺が6のものについてatさんとは異なる式となりましたが何とか式にしてみました。

G6(m)={k=m\6;L=6*k+1;S=(6+m)!/(m!*6!);}\
if(m%6==0,S/L,\
m%6==1,S/(L+6),\
m%6==2,(S-k*(k+1)*(3*k+2)*(6*k+7)*(9*k+7)/40)/(L+6),\
m%6==3,(S-k*(k+1)*(6*k+7)*(28*k^2+61*k+31)/30)/(L+6),\
m%6==4,(S-(k+1)*(3*k+4)*(6*k+7)*(57*k^2+133*k+70)/40)/(L+6),\
m%6==5,S/(L+10))

で100までを出力してみると
gp > for(m=1,100,print1(G6(m)",");if(m%10==0,print))
1,4,12,23,42,132,132,227,377,525,
728,1428,1428,2010,2803,3504,4389,7084,7084,9097,
11654,13793,16380,23751,23751,28931,35246,40356,46376,62832,
62832,73950,87143,97584,109668,141778,141778,162883,187453,206591,
228459,285384,285384,322046,364124,396510,433160,527085,527085,586638,
654240,705789,763686,910252,910252,1002037,1105317,1183487,1270752,1489488,
1489488,1625096,1776599,1890570,2017169,2331924,2331924,2525439,2740354,2901207,
3079140,3518515,3518515,3786757,4083170,4304066,4547556,5145336,5145336,5508104,
5907251,6203610,6529292,7324878,7324878,7805193,8331713,8721393,9148503,10187344,
10187344,10811692,11493880,11997356,12547920,13881945,13881945,14680520,15550580,16191123,

場合分けを一つの式にしてみましたが、あまり綺麗になりませんでした。
G6(m)={k=m\6;}((6+m)!/(m!*6!)-\
((m+1)%6\3)*((m%6+1)*k+(m%6\4)*(13*k+24))*\
((54*k^2+78*k+28)+((m%3+2)%4)*(k^2+11*k+8)+(2-m%6%4%3)*(11*k+9))*\
(k+1)*(6*k+7)/240)/(m+163036%(m%6+9))

管理人様
【更新履歴】にコメント有難うございます。

ここで、全く役に立たない定理を考えてみました。

『頂角が２０度の全ての二等辺三角形において、
「底辺と同じ長さの線分」を、頂点を始点として置くと、
終点と、その対角を結んだ線分との、なす角は１５０度となる』


知っていても役に立たないが、テストの時だけ速攻で使えるかな？
ヒントに「正三角形を作る」が無いとテスト時間内に解くには
時間が足りなくなると思う。
私なら「捨て問」です。

角の大きさ（４８）の問題、随分昔にここの掲示板に同じ問題が出されて、解いた覚えがあるんですよね。
なのでここのサイトのどこかに残っているのではないかと思って探し回ったのですが、
見つけられませんでした。
もし過去の掲示板のログが残っていたら、どこかにあるかも知れません。

らすかるさん
有難うございます。

あれれ？？
ホーム画面の【更新履歴】を見ると、
初回の投稿が、令和８年　４／２４になっているので・・・・・


私の大きな勘違いでしたら申し訳ありません　ｍ（＿）ｍ

すみません
４／２５の間違えでした。

らすかるさん
申し訳ありませんでした。

更新履歴の管理人様のコメントを見て、
掲示板の全ての投稿が履歴に
載っている訳ではなかったのですね。

このサイトを、よく理解していなくてスミマセンｍ（＿）ｍ

最大は9回で、9回になるのは
0149,0589,0941,0985,1094,1490,4109,4901,
5098,5890,8509,8905,9014,9058,9410,9850
の16個です。
ただし、abcd,bcda,cdab,dabc,dcba,cbad,badc,adcbが同じ回数になりますので、
本質的には0149と0589の2個ですね。

(追記)
abcd+efgh=9999のときabcdの回数とefghの回数は同じなので、本質的には0149の1通りだけでした。(∵0149+9850=9999)

(追々記)
5桁で試したら、「1回以下で終わるもの」と「無限に終わらないもの」しかないようでした。
7桁も同じです。奇数桁では自明な解を除き0にならないのかも知れません。
6桁は最大4回(例:014523)、8桁は最大22回(例:00012448)、10桁は最大4回(例:0143014523)でした。

(さらに追記)
よく考えたら奇数桁では2回以上の解はないですね。
例えば5桁でもし2回以上の解があったとすると
最後が00000→その前はaaaaa (a=1～9)
その前がbcdefとすると
c=b±a, d=c±a, e=d±a, f=e±a, b=f±aなので
b=b±a±a±a±a±a
±a±a±a±a±a=0
∴±1±1±1±1±1=0
これはあり得ませんので奇数桁では2回以上の解はなく、
よって無限回を除外すると1回(全桁同じ数字から開始)が最大となります。

出所は、記憶が定かではありませんが、25年くらい前の、数学セミナーだと思います。
設問は、「４つの数（桁数関係なく）からはじめて、差をとると0になり、その操作の回数を10回以上にしてください。」
　0を除く一桁の数で、10回以上可能だったような。二桁かも。記憶は誤りでしたか？
　選択の数の桁数を増やせば、いくらでも回数を増やすことができる？

小学生に、出題する予定でした。

「四角形の数」数学の部屋
サイトがありました。

上限が9より大きくてよければ、10回以上は可能です。
「その操作の回数を10回以上」とのことなので最初の状態はカウントしません。
(0,2,6,13)
→(2,4,7,13)
→(2,3,6,11)
→(1,3,5,9)
→(2,2,4,8)
→(0,2,4,6)
→(2,2,2,6)
→(0,0,4,4)
→(0,4,0,4)
→(4,4,4,4)
→(0,0,0,0)
最小数と最大数の差が12以下のとき10回未満となります。
2桁の最大は13回(例:0,7,20,44)
3桁の最大は19回(例:0,81,230,504)
4桁の最大は25回(例:0,927,2632,5768)
でした。

ちゃちゃっとプログラムを作って（最下段左端＜最下段右端という条件を付けて）調べたところ
（例示されたものも含めて）以下の4通りになりました。

___3
__4,7
_5,9,2
6,1,10,8

___3
__5,2
_4,9,7
6,10,1,8

___4
__2,6
_5,7,1
8,3,10,9

___4
__5,1
_2,7,6
8,10,3,9

ならば
___0
__2,8
_7,5,3
1,6,9,4
の様に
下の隣り合う2数の和の下桁の数が上の段にあり、積み上げ終わると
0～9の数が一通り揃う。
ということになる配列は他にあるか？

全部で以下の4通りだと思います。

___0
__2,8
_7,5,3
1,6,9,4

___0
__4,6
_9,5,1
2,7,8,3

___0
__2,8
_7,5,3
6,1,4,9

___0
__4,6
_9,5,1
7,2,3,8

では、最初の差分の方式で
1段(1のみ): 1通り
2段(1～3): 2通り
3段(1～6): 4通り
4段(1～10): 4通り
となりますが、5段(1～15)では何通りでしょう？

一通りのみでは。
_____5
____4,9
___7,11,2
__8,1,12,10
6,14,15,3,13

では6段には存在するか？
存在しないならその証明は？

5段の1通りは正解です。
証明はわかりませんが、6段・7段・8段では解はありませんでした。
「6段以上では解はない」という可能性もありますが、
さすがに6・7・8だけでは何とも言えないですね。
ちなみに8段の全探索には半日かかりました。

6段での証明が気になったので色々調べてみたら
Shichermanというこのパズルを提出した人らしい人物が
mod 2
では|a-b|≡a+b (mod 2)
から,
6個の異なる整数
a,b,c,d,e,fから
a+b,b+c,c+d,d+e,e+f
a+2*b+c,b+2*c+d,c+2*d+e,d+2*e+f
a+3*b+3*c+d,b+3*c+3*d+e,c+3*d+3*e+f
a+4*b+6*c+4*d+e,b+4*c+6*d+4*e+f
a+5*b+10*c+10*d+5*e+f
と和を作っていき、それまでのすべて現れる総和が
6*a+20*b+34*c+34*d+20*e+6*f
なのでその数字は偶数であることになる。
一方1~21(6段では全部の数は1+2+･･･+6=21)
の数の総和は21*22/2=231
で奇数である。
mod2では奇数、偶数は一致するはずなのでこれは矛盾し
如何なる6個の数でも構成は不可能となる。

で示していた。
そこで7段ではと思い
a,b,c,d,e,f,g
で生まれてくる2数の和による（mod 2での考察)構成での総和をみると
7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡1 (mod 2)
一方
28*29/2=406≡0 (mod 2)
より7段でも矛盾
8段では
a,b,c,d,e,f,g,h
からは総数
8*a+35*b+83*c+125*d+125*e+83*f+35*g+8*h≡0 (mod 2)
36*37/2=666≡0 (mod 2)
従って8段はこの手では証明ができないことになる。

さらに気になったのでAIを利用して尋ねると
n>5では一切存在できないことがHerbert Taylorにより証明が与えられており
かなりテクニカルなもので単純なパリティ計算だけではすまず、より精巧な
不変量や構造解析を行うとある。

なおこれが2018段においては不可能であることの証明を問う問題が
数学オリンピックに出題さているという。

やはり6段以上では解はなかったのですね。
2018段の問題をいきなり出されても解けないだろうなぁ・・・

今さらですが、7段の証明がちょっと違うような気がします。
（私の勘違いでしたらご容赦下さい）
> 7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡1 (mod 2)
これはa,b,c,d,e,f,gのうち奇数が奇数個なら成り立ちますが、
奇数が偶数個の場合は
7*a+27*b+55*c+69*d+55*e+27*f+7*g≡0 (mod 2)
となるのではないでしょうか。

a,b,c,･･･,gの奇遇によって変化してしまいますね。
単に奇数の係数が奇数個であったので1と判断してしまっておりました。
らすかるさんの指摘どうりですね。

Shichermanというと、ジッヒャーマンダイスのShichermanでしょうか。

左からでも右からでも同じ並びの数は「回文数」といいます。
5回を超えるものは山ほどありますが、以下は例です。

6回で終わるもの
1069, 1079, 1159, 1169, 1249, 1259, 1339, 1349, 1429, 1439,
1519, 1529, 1609, 1619, 1699, 1709, 1789, 1799, 1879, 1889,
(以下略)

7回で終わるもの
1394, 1484, 1574, 1664, 1754, 1844, 1898, 1934, 1988, 1992,
1994, 1999, 2393, 2483, 2573, 2663, 2753, 2843, 2897, 2933,
(以下略)

8回で終わるもの
1993, 1995, 2992, 2994, 3991, 3993, 4990, 4992, 5991, 6990,
8059, 8149, 8239, 8329, 8419, 8509, 8599, 8689, 8779, 8869,
(以下略)

9回で終わるもの
1397, 1487, 1577, 1667, 1757, 1847, 1937, 2396, 2486, 2576,
2666, 2756, 2846, 2936, 2999, 3395, 3485, 3575, 3665, 3755,
(以下略)

10回で終わるもの
9059, 9149, 9239, 9329, 9419, 9509, 9599, 9689, 9779, 9869, 9959

11回で終わるもの
7069, 7159, 7249, 7339, 7429, 7519, 7609, 7699, 7789, 7879,
7969, 8068, 8158, 8248, 8338, 8428, 8518, 8608, 8698, 8788,
(以下略)

12回で終わるもの
2069, 2159, 2249, 2339, 2429, 2519, 2609, 2699, 2789, 2879,
2969, 3068, 3158, 3248, 3338, 3428, 3518, 3608, 3698, 3788,
(以下略)

13回で終わるもの
1797, 1887, 1894, 1977, 1984, 2796, 2886, 2893, 2976, 2983,
3795, 3885, 3892, 3975, 3982, 4794, 4884, 4891, 4974, 4981,
(以下略)

14回で終わるもの
1991, 2990

15回で終わるもの
1998, 2997, 3996, 4995, 5994, 6079, 6169, 6259, 6349, 6439,
6529, 6619, 6709, 6799, 6889, 6979, 6993, 7078, 7168, 7258,
(以下略)

16回で終わるもの
1496, 1586, 1676, 1766, 1856, 1897, 1946, 1987, 2495, 2585,
2675, 2765, 2855, 2896, 2945, 2986, 3494, 3584, 3674, 3764,
(以下略)

17回で終わるもの
1792, 1882, 1972, 2791, 2881, 2971, 3790, 3880, 3970

18回で終わるもの
1798, 1888, 1978, 2797, 2887, 2977, 3796, 3886, 3976, 4795,
4885, 4975, 5794, 5884, 5974, 6793, 6883, 6973, 7792, 7882,
(以下略)

20回で終わるもの
6999, 7998, 8039, 8129, 8219, 8309, 8399, 8489, 8579, 8669,
8759, 8849, 8939, 8997, 9038, 9128, 9218, 9308, 9398, 9488,
(以下略)

21回で終わるもの
1297, 1387, 1477, 1567, 1657, 1747, 1837, 1927, 2296, 2386,
2476, 2566, 2656, 2746, 2836, 2926, 3295, 3385, 3475, 3565,
(以下略)

10000回でも終わらないもの
1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857,
1945, 1947, 1997, 2494, 2496, 2584, 2586, 2674, 2676, 2764,
(以下略)
4桁で10000回でも終わらないものは、数回で
52514,83127,96558,97768,109989
のいずれかになる数です。

ピラミッド数（仮称）
121＝11×11
12321＝111×111
1234321＝1111×1111
123454321＝11111×11111
掛け算でつくれますが、
上の数を、操作１，２，３で作ることを考えてみました。
任意の数で、できるかは不明です。

10進法なら
111111111×111111111＝12345678987654321
までですが、例えば11進法にすると、
1111111111×1111111111＝123456789A987654321
となりますね。

操作1，2，3で
121＝56＋65
24300＋342＝24642（偶数なので）
12321＝24642÷2
2464000＋4642＝2468642
1234321＝2468642÷2
5の時は、繰り上がるので、難しいが、可能。

196問題
196＋691＝887
887＋788＝1675
1675＋5761＝7436
7436÷2＝3718
3718＋8173＝11891
11891＋19811＝31702
31702÷2＝15851

123454321=(246850000+58642)/2
12345654321=(24685650000+5658642)/2
1234567654321=(2468567650000+567658642)/2
123456787654321=(246856787650000+56787658642)/2
12345678987654321=(24685678987650000+5678987658642)/2

二桁の10からは、不思議なことが起こりました。

12345678910987654321を作るために
パターンに従がって、２倍した
24685678910987650000と逆転数5678901987658642を足して２で割れば、出来なくて
逆転数の代わりに、5678910987658642だとうまくいきます。

（246851250000＋51258642）÷2＝123451254321　？！

三ケ桁の数（100～999）について調べました。
A＝｛数字が、回文数｝
B＝｛逆転数との和が、回文数｝
C＝｛逆転数との和が偶数で、２で割ると、回文数｝
A（90）＋B（210）＋C（284）＝584　重複は避けました。

三桁の数の場合、逆転数との和が、偶数ならば、2で割った数は、回文数になるようです。どうでしょうか？4桁以上は、どうでしょうか？
操作３を使えば、４桁も、回文数になる回数が、大分減少します。

四ケタの数　ABCDで、A＋D,B＋Cが、共に偶数であれば、
2で割って、回文数
五ケタの数　ABCDEで、A＋E,B＋Dが、共に偶数であれば、
2で割って、回文数

試して頂いて有難うございます。
前提条件を、端折ってしまいました。
元の数ABCDの逆転数DCBAを、足して2で割った結果が、回文数に、なります。
５ケタも同様です。

誤差はほぼe/(2*5^(3^84))なので
小数点以下約8368428989068425943817590916445001887164桁(≒8.37×10^39桁)正しい
ということになるかと思います。

「小町算で無理数近似」の記事の話ですかね？

(1+0.2^(9^(7*6)))^5(^(3^84))

これは

(1+0.2^(9^(7*6)))^(5^(3^84))

ということですか？

はい。

ご教示をありがとうございました。

(1+1/N)^N
の形になっているのだとようやく気が付きました。
頭ワルすぎ‼️

三角形ABCの、外接円の半径をR、内接円の半径をｒとするとき、
　　Ｒ≧2ｒ　が成り立つ。等号は、正三角形のとき

三角形ＡＢＣの内部の点をＰ、フェルマー点をＦとするとき、
　　ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ≧ＡＦ＋ＢＦ＋ＣＦ　
　　　　が成り立つ。　

△ABCの外接円のAにおける接線とBCの延長との交点（交わるとき）
をDとすると
BD：CD＝AB＾２：AC＾２　が成り立つ。

△ABCの外接円のB,Cにおける接線の交点をPとし、
直線APとBCの交点をDとすると
BD：CD＝AB＾２：AC＾２　が成り立つ。

△BCDに対して、∠BCD＝∠BADとなる、平行四辺形をとる。
△BCDの外接円の頂点Cにおける接線が直線AB、ADと交わる点をP、Qとすると
PC：CQ＝AP＾２；AQ＾２,
BP：DQ＝AP＾３：AQ＾３
が成り立つ。3乗が珍しい（私見）

成分が異なるだけでよいなら変なものも作り放題なので、
勝手に整数かつ非ゼロという条件を付けてみます。


目標の固有値が対角成分に並ぶ三角行列Aと正則行列Pを用いると、PAP^(-1)は目標の固有値を持つ。

Pの各成分が整数で行列式が+1または-1ならばP^(-1)の各成分も整数になる。

あとは適当に試して成分がすべて異なるようにすればよい。


(1)
A=[[-3,1],[0,7]], P=[[1,0],[-1,1]]
としてみると、
PAP^(-1)=[[-2,1],[9,6]]

(2)
A=[[1,3,2],[0,2,1],[0,0,3]], P=[[1,0,0],[3,1,0],[0,2,1]]
としてみると、
PAP^(-1)=[[4,-1,2],[12,-3,7],[18,-6,5]]

(3)
A=[[-4,3,2],[0,8,1],[0,0,9]], P=[[1,0,0],[1,1,0],[0,2,1]]
としてみると、
PAP^(-1)=[[-3,-1,2],[-9,5,3],[6,-6,11]]

こんな便利な方法があるのですね。
目的の固有方程式を満たすようにある意味力ずくで探していました。

そこで(3)の結果の行列S=[[-3,-1,2],[-9,5,3],[6,-6,11]]を使わせてもらって
f1(x)=1/312*x^3+3/104*x^2-29/156*x
と
f2(x)=1/312*(313*x^3--4047*x^2+1190*x+89856)
の2つの関数において、それぞれ
f1(S),f2(S)を計算させると結果は共に3次の正方行列M1,M2に集約されますが(f2の定数項では3次の単位行列を補う。)
それぞれM1,M2の固有値は何でしょうか？

とりあえず普通に計算しました。


Sの固有値λの固有ベクトルをvとする。
nを自然数とするとき、
S^nv
=S^(n-1)Sv
=S^(n-1)(λv)
=λ*S^(n-1)v
=λ*S^(n-2)Sv
=λ*S^(n-2)(λv)
=λ^2*S^(n-2)v
…
=λ^(n-1)*Sv
=λ^(n-1)*(λv)
=λ^n*v
なので、vはS^nの固有ベクトルでその固有値はλ^nである。


[1]
M1=1/312*S^3+3/104*S^2-29/156*S
に右からvを掛けると
M1v
=(1/312*S^3+3/104*S^2-29/156*S)v
=1/312*S^3v+3/104*S^2v-29/156*Sv
=1/312*λ^3*v+3/104*λ^2*v-29/156*λ*v
=(1/312*λ^3+3/104*λ^2-29/156*λ)*v
なので、vはM1の固有ベクトルであり、その固有値は
1/312*λ^3+3/104*λ^2-29/156*λ
である。
Sの固有値-4,8,9を代入するとM1の固有値は1,2,3となる。


[2]
単位行列をIとする。
M2=1/312*(313*S^3-4047*S^2+1190*S+89856*I)
に右からvを掛けると
M2v
=1/312*(313*S^3-4047*S^2+1190*S+89856*I)v
=1/312*(313*S^3v-4047*S^2v+1190*Sv+89856*v)
=1/312*(313*λ^3*v-4047*λ^2*v+1190*λ*v+89856*v)
=1/312*(313*λ^3-4047*λ^2+1190*λ+89856)*v
なので、vはM2の固有ベクトルであり、その固有値は
1/312*(313*λ^3-4047*λ^2+1190*λ+89856)
である。
Sの固有値-4,8,9を代入するとM2の固有値は1,2,5となる。

計算ありがとうございます。
[2]ではSの固有値9ではM2の固有値は3となりませんか？

たまたまフロベニウスの定理というものに出会い、本当にこんなことが起こるのか？
と思って色々固有値をもつ行列Sを使って実験をしている中で
f(x)の関数で作り上げるf(S)の行列Mの固有値をこちらが指定できるものに動かすことができる
f(x)はどんな関数として設定しておけばいいのかを探すのに
ラグランジュの補間法からのf1(x)
ファンデルモンドの行列式からのf2(x)
で験していたのがこの計算でした。
どうしてこんなことが成り立つのかは正しくりらひいさんが示されることで納得できました。

実験してみて一般に(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を通る3次関数は
原点を通るものと、原点を通らないものと2通り存在できることが起こるんですね。

計算ミスしていたようです。
確かに、[2]ではSの固有値9でM2の固有値が3となりました。
失礼しました。


(-4,1), (8,2), (9,3) を通る3次関数は
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
とおいて、
f(-4)=1, f(8)=2, f(9)=3 より
-64a+16b-4c+d=1, 512a+64b+8c+d=2, 729a+81b+9c+d=3
を連立して解いた答え
b=-13a+11/156, c=4a-31/156, d=288a-12/13
（WolframAlphaに解いてもらった）
を使用して
f(x)=ax^3+(-13a+11/156)x^2+(4a-31/156)x+(288a-12/13)
とすればいいです。

a=1/312 を代入すれば f1(x) が得られ、
a=313/312 を代入すれば f2(x) が得られます。