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386,384

平方数の逆数和

[1]
a^2+b^2=c^2
の関係匏を満たす敎数(a,b,c)はよく知られおいる組合せであるが
1/a^2+1/b^2=1/c^2
を満たす(a,b,c)を探すず
1/65^2+1/156^2=1/60^2
など存圚はするが探そうずするずなかなか苊劎する。
そこで
1/a^2+1/b^2=1/c^2
の他の実䟋をいく぀か発芋願う。

䞀方
[2]a^2+b^2+c^2=d^2
を満たす敎数組a,b,c,d)は
1^2+4^2+8^2=9^2
2^2+3^2+6^2=7^2
3^2+6^2+22^2=23^2
4^2+7^2+32^2=33^2
等の様に
(a<b<cで d=c+1
でのパタヌンを真䌌お
1/a^2+1/b^2+1/c^2=1/d^2
なら
1/7^2+1/14^2+1/21^2=1/6^2
1/9^2+1/18^2+1/72^2=1/8^2
1/13^2+1/39^2+1/52^2=1/12^2
1/19^2+1/57^2+1/342^2=1/18^2
1/31^2+1/155^2+1/186^2=1/30^2
などの様に
(ただし 0<a<b<c でd=a-1
の条件䞋での他の実䟋を探し出しおほしい。

さらに
[3]1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2=1/e^2
(ただし 0<a<b<c<d でe=a-1)
の䟋を䞀぀は芋぀けお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

p^2+q^2=r^2 が成り立぀ずき
a=pr, b=qr, c=pq ずすれば
1/a^2+1/b^2=1/c^2 が成り立ちたすね。
p^2+q^2=r^2が成り立぀p,q,rの䞀般匏は
p=m^2-n^2, q=2mn, r=m^2+n^2
ず衚せたすので、
1/a^2+1/b^2=1/c^2が成り立぀a,b,cの䞀般匏は
a=(m^2-n^2)(m^2+n^2)=m^4-n^4
b=2mn(m^2+n^2)
c=2mn(m^2-n^2)
ず衚せるこずになりたす。

同様に
p^2+q^2+r^2=s^2 が成り立぀ずき
a=pqs, b=prs, c=qrs, d=pqr ずすれば
1/a^2+1/b^2+1/c^2=1/d^2 が成り立ち、
p^2+q^2+r^2=s^2の䞀般匏は
p=|k^2+m^2-n^2|, q=2kn, r=2mn, s=k^2+m^2+n^2
ず衚せたす。
# この匏の倀を共通因数で割れば互いに玠な党解が埗られるず思っおいたすが、
# 蚌明しおいたせんので、もしかしたら党解は埗られないかも知れたせん。
よっお
1/a^2+1/b^2+1/c^2=1/d^2の䞀般匏は
a=2kn|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2)
b=2mn|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2)
c=4kmn^2(k^2+m^2+n^2)
d=4kmn^2|k^2+m^2-n^2|
を共通因数で割っお
a=k|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2)
b=m|k^2+m^2-n^2|(k^2+m^2+n^2)
c=2kmn(k^2+m^2+n^2)
d=2kmn|k^2+m^2-n^2|
ずすれば、党解かどうかはわかりたせんが解はいくらでも生成できたすね。

5項の堎合も、
(k^2+l^2+m^2-n^2)^2+(2kn)^2+(2ln)^2+(2mn)^2=(k^2+l^2+m^2-n^2)^2
を䜿えば同様にできるず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎05月20日 22:25)

䞀般匏が䜜れるずは思っおもみたせんでした。
ピタゎラス数からのアクロバティックな倉圢の劙技、感動したした。

自分なりに平方数の逆数での関係匏をいろいろ䜜っおいく䞭で特に矎しく感じたものに
1/333^2+1/444^2+1/555^2+1/740^2+1/888^2+1/999^2=1/216^2(=1/6^6)
を発芋した時は小躍りしお喜びたした。
たた今幎に因み
1/62^2+1/93^2+1/155^2+1/186^2+1/217^2+1/279^2+1/434^2+1/465^2+1/651^2+1/930^2=1/45^2(=1/2025)
も成立可胜

平方数の逆数和では様々な等匏が起こせそうです。

個の平方和の堎合を䜿おうず思っお
もし
p^2+q^2+r^2+s^2=t^2
を満たす自然数(p,q,r,s,t)
を芋぀けおおけば
a=p*q*r*t
b=q*r*s*t
c=r*s*p*t
d=s*p*q*t
ず眮けば
1/a^2+1/b^2;1/c^2+1/d^2
=(1/(p*q*r)^2+1/(q*r*s)^2+1/(r*s*p)^2+1/(s*p*q)^2)/t^2
=(s^2+p^2+q^2+r^2)/(p*q*r*s)^2/t^2
=1/(p*q*r*s)^2
なので
e=p*q*r*sず眮けば
1/a^2+1/b^2+1/c^2+1/d^2=1/e^2
が成立する。

ここに䞀般的に
(k^2+l^2+m^2-n^2)^2+(2*k*n)^2+(2*l*n)^2+(2*m*n)^2=(k^2+l^2+m^2+n^2)^2
が成立するので
p=k^2+l^2+m^2-n^2
q=2*k*n
r=2*l*n
s=2*m*n
t=k^2+l^2+m^2+n^2
ず眮いおこれらを䞊のa,b,c,d,eぞそれぞれ代入しお共通因子4*k*n^2を払うず
a(k.l.m,n)=l*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
b(k,l,m,n)=2*l*m*n*(k^2+l^2+m^2+n^2)
c(k,l,m,n)=l*m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
d(k,l,m,n)=m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
e(k,l,m,n)=2*l*m*n*(k^2+l^2+m^2-n^2)
になるず思う。

そこで
a(2,2,3,4)=66
b(2,2,3,4)=1584
c(2,2,3,4)=198
d(2,2,3,4)=99
e(2,2,3,4)=48

ずころが
1/66^2+1/1584^2+1/198^2+1/99^2=299/836352
ずなり
1/48^2=1/2304
ず䞀臎しない
これが䜕故発生するのか
たた
1/4^2=1/5^2+1/7^2+1/28^2+1/35^2
が起こるのですが、この匏は䞊の公匏で求たるのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎05月21日 11:47)

最埌の3行を陀く回答

> 共通因子4*k*n^2を払うず
c=r*s*p*tはkで割り切れないず思いたす。
よっお共通因子は4*n^2であり、正しくは
a(k,l,m,n)=l*k*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
b(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*(k^2+l^2+m^2+n^2)
c(k,l,m,n)=l*m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
d(k,l,m,n)=k*m*((k^2+l^2+m^2)^2-n^4)
e(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*(k^2+l^2+m^2-n^2)
ずなり、これによっお蚈算される
a(2,2,3,4)=132
b(2,2,3,4)=3168
c(2,2,3,4)=198
d(2,2,3,4)=198
e(2,2,3,4)=96
から
1/132^2+1/3168^2+1/198^2+1/198^2=1/96^2
が成り立぀こずがわかりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎05月21日 12:39)

最埌の3行の回答

> たた
> 1/4^2=1/5^2+1/7^2+1/28^2+1/35^2
> が起こるのですが、この匏は䞊の公匏で求たるのでしょうか

a(k,l,m,n)=l*k*|(k^2+l^2+m^2)^2-n^4|
b(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*(k^2+l^2+m^2+n^2)
c(k,l,m,n)=l*m*|(k^2+l^2+m^2)^2-n^4|
d(k,l,m,n)=k*m*|(k^2+l^2+m^2)^2-n^4|
e(k,l,m,n)=2*k*l*m*n*|k^2+l^2+m^2-n^2|
のように負にならないように絶察倀を付けおおけば、
a(2,10,14,20)=1400000
b(2,10,14,20)=7840000
c(2,10,14,20)=9800000
d(2,10,14,20)=1960000
e(2,10,14,20)=1120000
ずなり、これを最倧公玄数の280000で割れば
(a,b,c,d,e)=(5,28,35,7,4)が埗られたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ
思い蟌んでるず間違いに気付けない

修正しおこれから求たる(a,b,c,d,e)の5組を点怜しおいたら、倚くの堎合共通の数を含むこずが起こりやすく
異なる5個に限定しおいたらe=1~1000の間には僅かに20パタヌンほどしかなく。特にe=960では
1/1008^2+1/3360^2+1/10080^2+1/20160^2=1/960^2
1/1296^2+1/1728^2+1/2592^2+1/12960^2=1/960^2
1/1260^2+1/1680^2+1/4032^2+1/5040^2=1/960^2
1/1290^2+1/1548^2+1/3870^2+1/123840^2=1/960^2
1/1206^2+1/1608^2+1/9648^2+1/192960^2=1/960^2
の様に5通りも䜜り方が発生した。


もう少し少ない数では
1/23^2+1/46^2+1/92^2+1/230^2=1/20^2
1/46^2+1/92^2+1/184^2=1/460^2=1/40^2
1/62^2+1/310^2+1/465^2+1/620^2=1/60^2
1/74^2+1/148^2+1/185^2+1/222^2=1/60^2
1/148^2+1/296^2+1/370^2+1/444^2=1/120^2
1/155^2+1/248^2+1/310^2+1/930^2=1/120^2
1/185^2+1/370^2+1/740^2+1/1184^2=1/160^2
1/222^2+1/444^2+1/555^2+1/666^2=1/180^2
などが起きたした。

らすかるさんの投皿埌になったので、これらも公匏より発生可胜なのですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1/23^2+1/46^2+1/92^2+1/230^2=1/20^2 は (k,l,m,n)=(1,2,4,5)
1/46^2+1/92^2+1/184^2=1/460^2=1/40^2 は 可玄(䞊の2倍)
1/62^2+1/310^2+1/465^2+1/620^2=1/60^2 は (k,l,m,n)=(2,3,15,14)
1/74^2+1/148^2+1/185^2+1/222^2=1/60^2 は (k,l,m,n)=(2,3,6,5)
1/148^2+1/296^2+1/370^2+1/444^2=1/120^2 は 可玄(䞊の2倍)
1/155^2+1/248^2+1/310^2+1/930^2=1/120^2 は (k,l,m,n)=(1,3,6,4)
1/185^2+1/370^2+1/740^2+1/1184^2=1/160^2 は (k,l,m,n)=(1,2,4,4)
1/222^2+1/444^2+1/555^2+1/666^2=1/180^2 は 可玄(4぀䞊の3倍)
ですね。
それから1/4^2=1/5^2+1/7^2+1/28^2+1/35^2 は (k,l,m,n)=(1,5,7,10) で十分でした。
(結果を4375で割る)

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞉角圢 心を繋ぐ

䞉角圢の䞭心に぀いお、調べるず最近䞀䞇近くある蚘事をみおビックりしたす。
その前知ったずきは、くらいでしたが。確かに、有名なフェルマヌ点や、ナポレオン点などありたす。チェバの定理で、比を適圓に倉えればいくらでも䜜れそうです。䞭でも有名な、倖心O、内心I、重心G、垂心Hに぀いお、考察したした。
䟿宜䞊、鋭角䞉角圢に限定したす。内郚にあるため

先ず、簡明な、△ABCに぀いお、その蟺の䞭点をDEFずした堎合、△ABCず△DEFの重心は䞀臎したす。それで、△ABCG△DEFGず衚蚘したす。

次に、△ABCの倖心をずりたす。各蟺の䞭点で䜜る䞉角圢の垂心を考えるずOに䞀臎したす。したがっお、△ABCO△DEFH
いぜんにも、䌌た内容を投皿したしたが。
「△ABC□△☆ 䜆し、は、に由来」を考察したす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

△ABCの内心をIずする。内接円の各蟺ずの接点をDEFずするず、
Iは、△DEFの倖心になる。したがっお、
△ABCI△DEFO

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)



、が、玠数の時
は、玠数になりやすいですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

それはpずqが小さいずきだけでは
以䞋でp以䞊q以䞋の玠数はすべお8個なのでpずqの異なる組み合わせは28通りです。
2≩pq≩19 のずき 28個䞭 17個が玠数
11≩pq≩37 のずき 28個䞭 11個が玠数
101≩pq≩137 のずき 28個䞭 4個が玠数
1009≩pq≩1049 のずき 28個䞭 2個が玠数
10007≩pq≩10079 のずき 28個䞭 4個が玠数
100003≩pq≩100109 のずき 28個䞭 1個が玠数
1000003≩pq≩1000121 のずき 28個䞭 4個が玠数
10000019≩pq≩10000189 のずき 28個䞭 2個が玠数
100000007≩pq≩100000127 のずき 28個䞭 0個が玠数
1000000007≩pq≩1000000103 のずき 28個䞭 4個が玠数
10000000019≩pq≩10000000141 のずき 28個䞭 0個が玠数
2≩pq≩n で n→∞ のずき 玠数確率→0 になりそうです。

# 倚分名前ずタむトルが逆ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倱瀌したした。パスワヌドの関係で治せたせん。
管理人さた蚂正お願いしたす。
でも、同じ結果でしょうか
をやの环乗に眮き換えたものも、小さい数の時だけでしょうか
オむラヌの二次匏
でが玠数のずき、玠数になりやすく、特にのずきは特別の様にもかんじられたすが、∞においおは、みたいな

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

p*q+p+qならば
2≩pq≩19 のずき 28個䞭 19個が玠数
11≩pq≩37 のずき 28個䞭 13個が玠数
101≩pq≩137 のずき 28個䞭 6個が玠数
1009≩pq≩1049 のずき 28個䞭 7個が玠数
10007≩pq≩10079 のずき 28個䞭 5個が玠数
100003≩pq≩100109 のずき 28個䞭 5個が玠数
1000003≩pq≩1000121 のずき 28個䞭 0個が玠数
10000019≩pq≩10000189 のずき 28個䞭 0個が玠数
100000007≩pq≩100000127 のずき 28個䞭 4個が玠数
1000000007≩pq≩1000000103 のずき 28個䞭 0個が玠数
10000000019≩pq≩10000000141 のずき 28個䞭 2個が玠数
ずなりたす。倀は違いたすが、傟向は䞀緒ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

投皿の近倧数孊コンテストの問題の蚌明

投皿
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun561.html
の近倧数孊コンテストの問題の蚌明を知ったので参考に共有したす
https://mathlog.info/articles/UTZiGs2BePRWRKzhADWm

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

空舟さん、情報提䟛ありがずうございたす。幎ぶりに心が晎れたした

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

集合列の収束にずもなう厳密な包含関係の逆転

恥ずかしながら最近になっお知っお驚いたのです。以䞋に。

集合 A を 区間 [0, 1] ずしたす。(閉区間)
集合 B を 区間 [0, 1) ずしたす。(半開区間)

集合列の極限をハりスドルフ距離で考えたす。
n を非負敎数ずしたす。
An = [0, 1−1/(n+2)]
の堎合、n→∞ のずき、
1−1/(n+2) → 1
なので、
An は A に収束したす。

任意の n に぀いお
An ⊊ B
である䞀方、
A ⊋ B
ずなりたす。

【䞊に蚘した蚘号に぀いおの補蚘】
An ⊊ B は
An ⊂ B and An ≠ B
を意図しおいたす。真郚分集合ですね。


※気持ちの䞊では厳密な意味での包含関係が逆転しおいたす。こんなこずがあるんだなあず驚きたした。集合列の収束を別な定矩にすれば、䞊のような逆転がおきなくなるこずも圓然ありたす。

【EDIT】れロ陀算などの䞍郜合の発生を芋萜ずしおいたしたので線集したした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎05月14日 18:31)

謹賀新幎面癜い幟䜕の問題

あけたしおおめでずうございたす。
面癜い問題を芋぀けたしたので、ご玹介したす。
出兞は倧昔の倧数ですが、暡範解答が茉っおおりたせんでした。
皆さたのこの問題に察するさたざたなアプロヌチを芋おみたいです。
さらに、本問に関連する数孊的事実などご存知でしたら、教えおください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

単䜍円呚䞊のn点を、z_1,z_2, 
 ,z_n ずし、
倚項匏
P(w)=(w-z_1)*(w-z_2)*
*(w-z_n)
を考える。
|P(w)|≧2 か぀ 1≧|w| なる w の存圚が次のようにしお瀺せる。

(z_1)*(z_2)*
*(z_n)=(-1)^n ずなるように座暙を蚭定できる。
k=1,2,
,nに察しお、w_k=exp(i*2*π*k/n) ずするず、
P(w_1)+P(w_2)+
+P(w_n)=2*n
であるこずがわかる。よっお、
|P(w_1)|+|P(w_2)|+
+|P(w_n)|≧2*n.
よっお、|P(w_1)||P(w_2)| |P(w_n)|のうち、
少なくずも1぀は2以䞊。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

特殊な堎合ではこうなっおいるようです。

単䜍円に内接する正 n+1 角圢の頂点のうち n 個をずりたす。それらたでの n 個の距離の積が 2 以䞊になる点が、円呚䞊ないしは円の内郚に存圚するこずを瀺せ。

↓↓↓
æ­£ n+1 角圢の頂点のうち n 個をずったずきにあぶれた頂点を P ずしたす。
P から あらかじめずられおいた n 個の頂点に匕いた線分の長さの積 N は n+1 に等しい。

䞍思議  

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「たたは円の内郚」がわざわざ぀いおいるのが気になっおいるんですが、
この積が最倧倀をずる点は必ず円呚䞊にあるわけでもないんですかね
感芚的には必ず円呚䞊ず蚀えそうな気がしおいたすが、さりずお蚌明もできず。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

双察倚角圢を利甚すべきず盎感的に思ったのですが今日たで錠䞀匹捕れたせんでした。
(円の内郚にもあるずしたら  )

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

1の原始(n+1)乗根をzずするず、z^(n+1)=1で、z^i(i=0,1,2,...,n)は耇玠数平面䞊で正(n+1)角圢ずなりたす。
zの耇玠共圹z^*はz^*=z^-1なので、実軞䞊の点(x,0)ずz^i(i=1,2,...,n)ずの距離の積の2乗は、
(x-z)*(x-z^-1)*(x-z^2)*(x-z^-2)*...*(x-z^n)*(x-z^-n)
=(x-z)*(x-z^n)*(x-z^2)*(x-z^(n-1))*...*(x-z^n)*(x-z)
=((x-z)*(x-z^2)*...(x-z^n))^2
ずなりたす。

(x-1)*(x-z)*(x-z^2)*..(x-z^n)=x^(n+1)-1=(x-1)*(x^n+...x^2+x+1)
なので、
(x-z)*(x-z^2)*...(x-z^n)=x^n+...x^2+x+1
ず衚すこずができお、実軞䞊の点(x,0)ずz^i(i=1,2,...,n)ずの距離の積は
|x^n+...x^2+x+1|
ずなりたす。

x=1のずきは、
x^n+...x^2+x+1=n+1
ずなっお、距離の積はn+1ずなりたす。
x=0のずきは、(0,0)ずz^i(i=1,2,...,n)ずの距離は1なので、それらの積も明らかに1ですが、
((-z)*(-z^2)*...*(z^n))^2=(-z)^(n(n+1)/2*2)=(-z)^(n(n+1))
=(-1)^(n(n+1))*z^(n(n+1))=1*1=1
ずなるので、距離の積は1ずなりたす。

実軞䞊の点(x,0)ずz^i(i=1,2,...,n)ずの距離の積|x^n+...x^2+x+1|はxに぀いお連続な実数倀関数なので、
䞭間倀の定理から、距離の積が2ずなる点は(0,0)ず(1,0)の間にあるこずになりたす。

--------------------------------------------------------------

1の原始(2k+1)乗根をzずするず、z^(2k+1)=1で、z^i(i=0,1,...,2k)は耇玠数平面䞊で正(2k+1)角圢ずなりたす。
実軞䞊の点(x,0)ずz^i(i=0,1,...,2k)ずの距離の積の2乗は、
(x-1)^2*(x-z)*(x-z^-1)*(x-z^2)*(x-z^-2)*...*(x-z^2k)*(x-z^-2k)
=((x-1)*(x-z)*(x-z^2)*...(x-z^2k))^2
=(x^(2k+1)-1)^2
ずなりたす。

x=-1のずき、
(x^(2k+1)-1)^2=(-2)^2=4
ずなるので、(-1,0)ずz^i(i=0,1,...,2k)ずの距離の積は2ずなりたす。

--------------------------------------------------------------

1の原始2k乗根をz、原始4k乗根をwずするず、n=2k,w^2=z,w^4k=z^2k=1で、w^i(i=0,1,...,4k-1)は耇玠数平面䞊で正4k角圢ずなり、w^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)は耇玠数平面䞊で正2k角圢ずなりたす。
実軞䞊の点(x,0)ずw^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)ずの距離の積の2乗は、
(x-w)*(x-w^-1)*(x-w^3)*(x-w^-3)*...*(x-w^(4k-1))*(x-w^-(4k-1))
=(x-w)*(x-w^(4k-1))*(x-w^3)*(x-w^(4k-3))*...*(x-w^(4k-1))*(x-w)
=((x-w)*(x-w^3)*...*(x-w^(4k-1)))^2
ずなりたす。

(x-w)*(x-w^3)*(x^w^5)*...*(x-w^(4k-1))
=(x-w)*(x-w*z)*(x-w*z^2)*...*(x-w*z^(2k-1))
=x^2k-w^2k=x^2k+1
なのでx^2k-1=0の根ず係数の関係を応甚、x=±1のずき、
x^2k+1=2
ずなるので、(±1,0)ずw^(2i+1)(i=0,1,...,2k-1)ずの距離の積は2ずなりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

[2448] の DD++ さんによる問いかけに぀いお
がんやりず想起したのが以䞋です。

耇玠関数論における最倧倀の原理たたは最倧倀の定理
《正則関数f(z)を、円の䞭心からある䞀定の距離たでの範囲で定矩されおいお、この範囲で倀がなめらかに倉化する関数ずしたす。このずき、f(z)の倧きさを衚す|f(z)|の最倧倀は、その範囲の端っこの郚分、぀たり円呚䞊で必ず芋぀かりたす。》

このような f がみ぀かるず嬉しいなず。

※でも、倧数の蚘事䞭の問題に耇玠関数論䜿うのかず。近道があるのですかね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎01月23日 11:02)

返信遅くなりたした。
私が䜜った解法も、耇玠平面によるものでした。
なぜ「円の内郚」ずわざわざ蚘述されおいるかに぀いおの考察、興味深く拝芋いたしたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ツむッタヌで玹介されおいたサむトに以䞋のペヌゞがありたした。(画像はその䞀郚をトリミングしたものです)

https://jkoizumi144.com/puzzles.html

文面が on the circle であり、in the circle ではないこずから、求める点は円呚䞊にあるず意識されおいるこずず存じたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

単䜍円呚䞊のn個の点に぀いお、円呚䞊、又は円の内郚の任意の点ず
それらたでのn個のキョリの積が2以䞋になるずき、これらn個の点は
æ­£n角圢の頂点であるこずを瀺せ。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あみだくじ 曎に続き

「あみだくじ」の話題の続きです。
先ずDD++さん。返信ありがずうございたす。

返信は20個たでなんですね。ここたでで理解した内容をpdf にたずめたものず, Julia のプログラムをJupyter Notebook にしたものを https://amaryllis4u.wordpress.com に眮きたした。
あずは, この「ちゃんず数えたあみだくじ」で「無䜜為に1぀遞ぶ」ずいうこずができるかっおずころです。
Claude には蚊いおみたのですが, 怪しいプログラムが返っおきたずころで, 無料枠を䜿い切っおしたったので続きは埌日です。
m筋n暪線の堎合に(m-1)^nずいう杜撰な数え方をしおいれば, 「無䜜為に1぀あみだくじを遞ぶ」のも実に簡単なのですが... それは䞀寞蚱せないので䜕ずかしたい。できそうな気はするのですけど...

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

無䜜為に遞ぶ、ずいうのはあみだ1人分じゃなく、党員分の察応関係を同時に取りたいっおこずですか
それだずたた根本的に別のコヌドが必芁そうですが。

あず、確率ずいう意味では、むしろ(n-1)^mでやる方が正確さは䞊じゃないかなあずいう気がしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

PDFを拝芋したした。
蚀われおみれば確かにAIの蚀う「局」ずいう衚珟が謎ですね。

このiは、あみだくじで最埌に匕いた線は巊から䜕本目の右に匕かれおいるか、です。
i=3なら、最埌番号付け的な意味での線が巊から3番目ず4番目の間に匕かれおいるものを意味したす。
酔歩モデルなら、最埌の右䞋移動は、巊䞋から数えお3本目を通った堎合ずいう意味に察応するかな

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

moonlightさんぞ質問ですが

10人で各䞀本ず぀奜きな堎所に暪線を入れ暪線の総数が10本である堎合
第䞀行が巊端(くじ棒1を遞んだ時党郚で4292145通りのあみだくじのパタヌンのうち
この10人がどのパタヌンを䜜っおいるかは知る由もないが(そのどれかにはなっおいるはず。くじの行き先が
巊から最終的にくじの1,2,3,,10番ぞず至る総数を知らせる。
第行が遞んだくじが2番である堎合の最終の到達堎所になっおいたす。
以䞋同様

暪線総数10;
2797793, 895375, 368825, 152326, 55475, 16989, 4315, 889, 142, 16
895375, 1886974, 858064, 400591, 167993, 59769, 17877, 4456, 904, 142
368825, 858064, 1553894, 840565, 413847, 172825, 60764, 18016, 4456, 889
152326, 400591, 840565, 1388969, 834802, 418154, 173782, 60764, 17877, 4315
55475, 167993, 413847, 834802, 1318601, 833690, 418154, 172825, 59769, 16989
16989, 59769, 172825, 418154, 833690, 1318601, 834802, 413847, 167993, 55475
4315, 17877, 60764, 173782, 418154, 834802, 1388969, 840565, 400591, 152326
889, 4456, 18016, 60764, 172825, 413847, 840565, 1553894, 858064, 368825
142, 904, 4456, 17877, 59769, 167993, 400591, 858064, 1886974, 895375
16, 142, 889, 4315, 16989, 55475, 152326, 368825, 895375, 2797793
total: 4292145(通り)

暪線総数20;(各自2本ず぀勝手に暪線を曞き入れた堎合)
1206969885175, 444626687408, 223944116341, 123985414511, 68419073997, 35219432968, 16356793415, 6802760919, 2521009672, 809262504
444626687408, 736976131952, 404974329652, 244129892658, 146778115239, 82292337422, 41427338639, 18559662466, 7368931802, 2521009672
223944116341, 404974329652, 552089840963, 377497635883, 254748110156, 159277066729, 88500743423, 43260170378, 18559662466, 6802760919
123985414511, 244129892658, 377497635883, 454051817726, 360453569477, 259933003640, 163318227538, 88500743423, 41427338639, 16356793415
68419073997, 146778115239, 254748110156, 360453569477, 407940958106, 354592769176, 259933003640, 159277066729, 82292337422, 35219432968
35219432968, 82292337422, 159277066729, 259933003640, 354592769176, 407940958106, 360453569477, 254748110156, 146778115239, 68419073997
16356793415, 41427338639, 88500743423, 163318227538, 259933003640, 360453569477, 454051817726, 377497635883, 244129892658, 123985414511
6802760919, 18559662466, 43260170378, 88500743423, 159277066729, 254748110156, 377497635883, 552089840963, 404974329652, 223944116341
2521009672, 7368931802, 18559662466, 41427338639, 82292337422, 146778115239, 244129892658, 404974329652, 736976131952, 444626687408
809262504, 2521009672, 6802760919, 16356793415, 35219432968, 68419073997, 123985414511, 223944116341, 444626687408, 1206969885175
total: 2129654436910(通り)


暪線総数30;;(各自3本ず぀曞き入れた堎合)
496647560097440001, 200445588666012991, 111899880246277899, 69792696535021405, 44738672491416379, 27922874500844965, 16258458172179943, 8597168046702841, 4054782107743644, 1643303416611824
200445588666012991, 282712254410516606, 174876883331777285, 118941996483630956, 82376641820193608, 55272922570250507, 34417898391400316, 19315501555853237, 9586514942872742, 4054782107743644
111899880246277899, 174876883331777285, 203125589064861508, 157132397723195171, 120882336138695072, 89132275101361093, 60473442328480160, 36565510743047626, 19315501555853237, 8597168046702841
69792696535021405, 118941996483630956, 157132397723195171, 166300290157052329, 146258783232882355, 121111693187082065, 91313328069327192, 60473442328480160, 34417898391400316, 16258458172179943
44738672491416379, 82376641820193608, 120882336138695072, 146258783232882355, 151780229152448736, 142524556085077112, 121111693187082065, 89132275101361093, 55272922570250507, 27922874500844965
27922874500844965, 55272922570250507, 89132275101361093, 121111693187082065, 142524556085077112, 151780229152448736, 146258783232882355, 120882336138695072, 82376641820193608, 44738672491416379
16258458172179943, 34417898391400316, 60473442328480160, 91313328069327192, 121111693187082065, 146258783232882355, 166300290157052329, 157132397723195171, 118941996483630956, 69792696535021405
8597168046702841, 19315501555853237, 36565510743047626, 60473442328480160, 89132275101361093, 120882336138695072, 157132397723195171, 203125589064861508, 174876883331777285, 111899880246277899
4054782107743644, 9586514942872742, 19315501555853237, 34417898391400316, 55272922570250507, 82376641820193608, 118941996483630956, 174876883331777285, 282712254410516606, 200445588666012991
1643303416611824, 4054782107743644, 8597168046702841, 16258458172179943, 27922874500844965, 44738672491416379, 69792696535021405, 111899880246277899, 200445588666012991, 496647560097440001
total: 982000984280251892(通り)

もし圓たりがどのくじの元に蚭定されおいるかが事前に刀明しおおれば、党䜓的にどんなあみだくじ状態になっおいるかはわからなくおも、確率的にはその圓たりのくじの番号に盞圓する籀を遞ぶのが圓たりを匕ける戊略だ。
ずいうこずは可胜性の総数の比范より論理的に蚀えるのですよね。圓然党䜓的くじの構造によっおはハズレも十分にあり埗たすが・・・)
の解釈はいいんでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月30日 17:15)

DD++さんぞ。芋お頂いおありがずうさんです。「間違ったこず」は曞いおないでしょうか
iの受け取り方を間違えおいたのでしょうかたぁ「どの方向操䜜から芋るか」で衚珟は倉わりそうだずは思いたしたが...

GAIさんぞ。もちろんm^{n-1}でザックリ数えおも凡その結果ずいうか傟向は分かるので勿論それでも「良い」のかも知れたせんが, 私的には「嘘」を䌝えおいるようでずおも「気持ち悪い」です。たぁ統蚈自䜓が「嘘八癟」ばかり珟実問題に察応するには臎し方ない郚分があるずはいえなのでどうしようもないのかも知れないし, webの蚘事や埡本ずか芋おも鈍感さに慣れっこになっおいるのかも知れたせんけど... 数えられるずきは「数えられるけどこちらの抂算で倧䜓わかるから「ちゃんずしたこず」は別途調べおこれは杜撰な数え方での集蚈だけど倧䜓は掎めるから正しくはないけどコレで話を進めたす」みたいなこずはちゃんず曞いおおいお欲しいなぁず。このあみだくじの話の堎合は, 杜撰な数え方を根拠にした抜出をしおるから䜙蚈に救い難い... 

で, こういう『有難い堎所』で「きちんず数えるずいうこずはどういうこずか」が議論されそこそこ纏められおいれば, 気になる人は調べられるだろうから良いかなぁず。そんなこずを思っおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

これは杜撰な数え方での集蚈だけど・・・
ず曞かれおいたしたがこれはDD++さんが぀くられたプログラムをPARIのコヌドに読みかえお実行するず
䟋えば瞊数5本、暪数3本では
25, 10, 4, 1, 0
10, 15, 10, 4, 1
4, 10, 12, 10, 4
1, 4, 10, 15, 10
0, 1, 4, 10, 25
total: 40
結果が返されたす。

これは勿論異なるあみだ数が40通り存圚するこずを教えるず同時に
䞊の5×5行列に珟れおいる各数の意味は
5本のくじを巊から1,2,3,4,5番ず呌ぶずき
ç±€1番を遞ぶず結果的に1に戻っおくるものが40パタヌン䞭25個
2ぞ蟿り着くのが10個、3には4個,4には1個,5は存圚しない。
ç±€2番を遞ぶず結果的に1には10個,2は15個,3は10個,4は4個,5は1個
以䞋籀3,4,5が遞ばれた時の行き先の床数が同時に刀明しおいたす。

これは実際40通りにあみだを䜜っおみお
それがどの様な結果が起きお、40パタヌンの総蚈ずしお結果を敎理するず
正しくここに掲げられた衚ず䞀臎するのです。
ここにプログラムが掲茉される前にその䜜業をしおいたので、このプログラムが
その結果ず䞀臎しおいるのをみおこのプログラムのありがたみを痛感したした。

moonlightさんも
「m筋n暪棒のあみだくじでi筋目を遞んだ堎合にj筋目に至るものは幟぀あるか」は「どうすれば蚈算できるか」は解決しおいたせん。
ずそんな数倀を枇望されおいたではありたせんか
正確なシミュレヌションをあれほど望んであったのでは

したがっおこのプログラムを掻甚すれば正確に䟋の結果が求たるのです。
けっしお杜撰な数え方での集蚈ではないのです。

だからこれに私的には「嘘」を䌝えおいるようでずおも「気持ち悪い」です。
ずの発蚀をされおいるこずに、䞀䜓どんなこずを求められおいるのだろうずの疑問が湧きたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私も、あみだくじの総数ずしおはmoonlightさんの数え方を支持したすが、確率ずしお求めるなら逆にmoonlightさんの䞻匵の方が杜撰だず思いたす。

䟋えば、巊からi本目ずi+1本目の間に匕かれる暪線の本数の期埅倀を考えおみたす。
䟋えば4筋2暪線の堎合、moonlightさんの考えるやり方では
1本目ず2本目の間5/16本
2本目ず3本目の間3/8本
3本目ず4本目の間5/16本
ずなり、真ん䞭に偏っお暪線が匕かれたす。
これは本圓にランダムにあみだくじを䜜っおいるず蚀えるのでしょうか


あ、AIによる解釈は倚少衚珟方法に「ん」ず思うずころがある局ずか以倖は間違っおないず思いたす。
最埌の蚈算でi=2のずきがおかしいずころはmoonlightさんが正しくやり盎しおいたすし。
あずは、n≧4の堎合はn=3の堎合にはない事象i=1に察しおの蚈算でi=3の分を足さないが発生するので、その䟋も出しおもらうずいいかもしれたせんね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAIさんぞ
「杜撰な数え方」ずいうのはここで皆さんが提瀺しお䞋さった, 「同じ」ものは省いお数えたものDD++さんのも勿論ではなく,
隣同士の眮換で枈たせるm筋n暪線なら(m-1)^nずしおしたう方です。読み難くお申し蚳ない。どこで誀解されたかもただ特定しおたせん... 

DD++さんの「moonlightさんの䞻匵の方が杜撰」ずいうのは...
䟋えば, ここで玹介しお貰った, 「m-1以䞋の自然数を階差が-1以䞊であるようにn個䞊べる数の列」で蚀えば,
その䞭から「無䜜為に遞ぶ」堎合に,
m=4,n=3だず
1-1-1, 1-1-2, 1-1-3, 1-2-1, 1-2-2, 1-2-3, 1-3-2, 1-3-3, <==無条件なものから 1-3-1が陀かれおいる
2-1-1, 2-1-2, 2-1-3, 2-2-1, 2-2-2, 2-2-3, 2-3-2, 2-3-3, <==無条件なものから 2-3-1が陀かれおいる
3-2-1, 3-2-2, 3-2-3, 3-3-2, 3-3-3 <==無条件なものから 3-1-1, 3-1-2, 3-1-3, 3-3-1 が陀かれおいる
の21通りから遞ぶ事になりたす。でも数の列を芋おいれば,
1,2,3が各桁に入る分垃は均等ではなく
どの数↓ 1 2 3 ←䜕番目
1 | 8 6 5  || 19
2 | 8 9 8  || 25 ←2だけ倚い...
3 | 5 6 8  || 19
蚈 | 21 21 21←こちらが党郚同じなのはたあ圓然ずしお
ずなる(2が倚めに入っおいる)のだから「杜撰」だずいうそういう事でしょうか
でもちゃんず数えおいるし, コレらは重耇しないし, この䞭から遞ぶのですから「同じように遞ばれる」ずしおおかしくないですよね。
そしおこれは, m筋n暪本のあみだくじず察応しおいるわけですから... どう「杜撰」なのかが
気持ち的には「わからないでもない」のですけど, 分かりたせん。

あず, 少し前の投皿の
「無䜜為に遞ぶ、ずいうのはあみだ1人分じゃなく、党員分の察応関係を同時に取りたいっおこずですか」
ですが... ちょっず䞊手く読み取れたせんでしたが,
「あみだくじが無䜜為に遞ばれお, 党員が筋を遞ぶ, ずいうこずをした堎合に,
そのあみだくじによる結果ずいうのか党員の察応も同時に分かる分かりたい」ずいうこずです。
で, それを統蚈的に凊理するっおいうこずをしないず... ずなるのだろうかなぁ... )
無䜜為に遞ぶのは「1回だけ」です。コレで良いでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎05月01日 17:49)

確率を考える堎合、重耇するものを別個で考えた方がいい堎合がありたす。

䟋えば、区別の぀かないサむコロを2぀同時に振る堎合。
目の出方は21通りです。
しかし根元事象はサむコロの区別ができない堎合でも36通りずすべきなのは明らかです。

あみだくじの堎合、䟋えば4筋2暪線で巊の2本ず右の2本の間に1぀ず぀暪線があるパタヌンはどう扱うべきでしょう。
パタヌン数ずしおは合わせお1でいいず思いたすが、根元事象ずしおは2぀ず数えるべきだず思いたす。


党員分の察応を同時に取りたいのかずいうのは、䟋えば1本目を遞んだ人が1本目にたどり着く結果を埗るずきに、同時に他の人がどういう結果だったのかでさらに现かく分類する必芁があるのかどうかずいうこずです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんぞ
「根元事象ずしおは2぀... 」のずころが党く分かりたせん... どう考えればそうなるのでしょう。
あみだくじを知っおいる人に, 䜕皮類ありたすかず聞けば倚くの人は「重耇しない数え方」を取るのではず。
同じですから。あみだくじの区別をそのあみだくじで蟿る経路, 1>2>3>2>3>4のようなどの筋を順に蟿るか, の蟿り方の集合ずしお区別すれば... ずいう事になるのかなぁ... 
サむコロの堎合はよく問題にあるように, 倧小2぀のサむコロなどず「区別」をすれば明らかに36通りずなりたすが...
あみだくじの堎合はどう芋れば「根元事象ずしおは2぀... 」ずなるのでしょう...

「党員分の察応を同時に取りたいのか」に぀いおは... 分かりたしたが分かりたせん... 「あみだくじには偏りがあるこずを知っおいるのは統蚈リテラシヌ」系の蚘事では圓然「圓たりの筋を知っお」いれば「その筋に近い筋を遞ぶこず」が埗策ずありたすが, その説明に必芁なデヌタが欲しいわけですから... そういう意味では, あみだくじの党おの堎合で, 「その筋に近い筋を遞ぶこず」が埗策っお本圓かを怜蚌するためのデヌタが必芁だずいう話です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

どう考えればも䜕も、普通にm^(n-1)通りで数えた方が同様に確からしい事象になるず考えるからですが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

話はずいぶん遡りたすが
単玔な行列の环乗で分垃が逐次蚈算できる事が分かりたした。
無理だなんお適圓な発蚀をしお申し蚳ない。
状態遷移行列、或いはグラフ理論だず隣接行列の环乗で蚈算できるのですねぇ。
やっずそこたで远い付きたした。
隣接行列は正方行列で䞊でも䞋でも䞉角成分を党お1ずしおその反察偎の察角成分から1぀暪にある成分も1ずしお残りは党お0ずいう綺麗な圢の行列です。
ただその环乗の各成分を衚す匏が...
3次の堎合はフィボナッチ数列そのもので、4次の堎合は3の环乗で簡単に衚珟できるのですが... 5次だずもうお手䞊げです。確かにプログラム任せで必芁な分だけ蚈算させる方が実甚的なのかもずも。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

はい。
このサむトでは1幎前に既にそこたで議論枈なのでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

そうだったのですね。流し読みではさっぱり分かりたせんでした。
そうなるず矢匵り5次以䞊は隣接行列の环乗を簡単に蚈算するのは無理そうだずいう結論ですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

5次「以䞊」かどうかはわかりたせん。
5次は無理そうですが、もっず倧きいずころでたたたたできるずころはあるかもしれたせんし。

たた、「簡単に蚈算する」ずいう意味にもよりたすね。
各成分をnを甚いた衚蚘にするのは難しいでしょうが、機械蚈算で求めるのはある皋床容易いでしょうし。

さらに蚀えば、察応関係たで取りたい堎合は3筋や4筋でも行列のサむズは倧きくなるでしょうし。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あみだくじ 続き

コメント数䞊限になったので新芏スレッドに。

モダるずはどういう意味で仰っおいたすか
䞍満点を具䜓的にしおいただかなければ䜕ずもしようがありたせんが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

既に曞いた通り, ある意味問題は解決しおいるわけです。
で, 総圓たりではない数え方をずいう意味では,
DD++さんのご教授は倧倉参考になるのではず思い぀぀も
あたりに煩雑で, 本来の意味での「総圓たり」ではないにせよ,
各局では「総圓たり」しおいる感が匷い... ずいうずころがモダるずころなのかず自己分析しおいたす。

できうればもう少し簡朔にならないかなぁず。
各局での「堎合わけ」の定型化など... 難しいずいうよりは衚珟が倧倉そうですけど...

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

煩雑な原因の倧郚分は、任意のスタヌトから任意のゎヌルぞ行くパタヌン数をn^2個党郚出せずいう問題蚭定にありたす。
凊理方法を倉えたずころでそのn^2個ずいう個数が枛るわけではないので、その点はこちらではどうしようもないです。

別衚珟をずいうなら行列の环乗ずしお衚珟もできるず思いたすよ。
ただし、固有倀はnの倀ごずに個別に求めるしかなくなるので、䞀般化からは遠ざかる方向になりたすけど。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

単玔な行列の环乗では無理だず思いたすけど...
それは兎も角, ネットの方には
https://github.com/shimizudan/20250427amida/blob/main/20250427AmidaCount.ipynb
で曎に高速化されたプログラムを茉せお䞋さっおる方がいおずおも「早い」です。
どうなっおるのか䞀寞詳しくは分かりたせんが...
8筋20暪棒でも䞀瞬で結果が出おきたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

コレならもう「蚈算匏」芁らんやんず思っおしたいそうですけど
矢匵りもっず芏暡が倧きいず無理でしょう䟋えば30人のあみだくじで䞀人2本ず぀暪棒入れるずかから
できれば䞀般的な蚈算匏が構成できれば欲しいなぁず... 盎接でなくお挞化匏的なものでも... 

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あみだくじの瞊線の数がいくら倚くなっおも挞化匏でその時の暪線数kを指定しおやれば、あみだの総数を算出できる方法なら
ある手段で割ずスムヌズに構成できたす。
あみだの瞊線が
偶数本の時(nをもっず倧きくずっおも可胜です,polchebyshev(2*n+2,2)は第チェビシェフ倚項匏
for(n=1,9,print(2*n+2";"subst(polchebyshev(2*n+2,2),x,t/2)))
4;t^4 - 3*t^2 + 1
6;t^6 - 5*t^4 + 6*t^2 - 1
8;t^8 - 7*t^6 + 15*t^4 - 10*t^2 + 1
10;t^10 - 9*t^8 + 28*t^6 - 35*t^4 + 15*t^2 - 1
12;t^12 - 11*t^10 + 45*t^8 - 84*t^6 + 70*t^4 - 21*t^2 + 1
14;t^14 - 13*t^12 + 66*t^10 - 165*t^8 + 210*t^6 - 126*t^4 + 28*t^2 - 1
16;t^16 - 15*t^14 + 91*t^12 - 286*t^10 + 495*t^8 - 462*t^6 + 210*t^4 - 36*t^2 + 1
18;t^18 - 17*t^16 + 120*t^14 - 455*t^12 + 1001*t^10 - 1287*t^8 + 924*t^6 - 330*t^4 + 45*t^2 - 1
20;t^20 - 19*t^18 + 153*t^16 - 680*t^14 + 1820*t^12 - 3003*t^10 + 3003*t^8 - 1716*t^6 + 495*t^4 - 55*t^2 + 1

これで瞊線が4本の時は
t^4-3*t^2+1=X^2-3*X+1
ずみお=0から
X^2=3*X-1 の匏ずしお、この時暪線がk本である堎合の求める総数をT4(k)で衚しこの匏から
T4(k)=3*T4(k-1)-T4(k-2)
の挞化匏を生み出す。
䜿うためにはT4(1)=3,T4(2)=8を䞎えれば良い。

もし瞊線が20本なら
T20(k)=19*T20(k-1)-153*T20(k-2)+680*T20(k-3)-1820*T20(k-4)+3003*T20(k-5)+1716*T20(k-6)-495*T20(k-7)+55*T20(k-8)-T20(k-9)
の挞化匏ず
T20(1)=19,T20(2)=208,T20(3)=1725,T20(4)=12051,T20(5)=74907,T20(6)=427924,T20(7)=2294248,T20(8)=11709940,T20(9)=57483052,T20(10)=273438880
を䞎えれば良い。

たた瞊線が
奇数本の時は
gp > for(n=1,9,print(2*n+3";"subst(polchebyshev(2*n+3,2),x,t/2)/t))より
5;t^4 - 4*t^2 + 3
7;t^6 - 6*t^4 + 10*t^2 - 4
9;t^8 - 8*t^6 + 21*t^4 - 20*t^2 + 5
11;t^10 - 10*t^8 + 36*t^6 - 56*t^4 + 35*t^2 - 6
13;t^12 - 12*t^10 + 55*t^8 - 120*t^6 + 126*t^4 - 56*t^2 + 7
15;t^14 - 14*t^12 + 78*t^10 - 220*t^8 + 330*t^6 - 252*t^4 + 84*t^2 - 8
17;t^16 - 16*t^14 + 105*t^12 - 364*t^10 + 715*t^8 - 792*t^6 + 462*t^4 - 120*t^2 + 9
19;t^18 - 18*t^16 + 136*t^14 - 560*t^12 + 1365*t^10 - 2002*t^8 + 1716*t^6 - 792*t^4 + 165*t^2 - 10
21;t^20 - 20*t^18 + 171*t^16 - 816*t^14 + 2380*t^12 - 4368*t^10 + 5005*t^8 - 3432*t^6 + 1287*t^4 - 220*t^2 + 11

これから䟋えば瞊線が17本なら
T17(k)=16*T17(k-1)-105*T17(k-2)+364*T17k-3)-715*T17(k-4)+792*T17(k-5)-462*T17(k-6)+120*T17(k-7)-9*T17(k-8) ず
T17(1)=16,T17(2)=151,T17(3)=1100,T17(4)=6854,T17(5)=38480,T17(6)=200655,T17(7)=990756,T17(8)=4692780
から暪線数kをいろいろ倉えお(初期倀の求め方はDD++さんの方法で)
1;16
2;151
3;1100
4;6854
5;38480
6;200655
7;990756
8;4692780
9;21518464
10;96160636
11;420866416
12;1810911128
13;7683058880
14;32215438277
15;133749903324
16;550649378199
17;2250829575120
18;9143995148926
19;36950585233432
20;148629592843159
等が刀明しおくる。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月28日 11:42)

8筋20暪棒どころか、30筋500暪棒でも、私のアルゎリズムで1秒以内ですよ。
ただ、C++で2^63を超える数を扱うのはいろいろ面倒ですし、そんなデカい数を䜕千個も䞀芧出力する需芁はないず思ったのでオヌバヌフロヌぞの察応をサボっおるだけで。
求めるものが抂数でよければ、コヌド䞭の「long long」ず曞かれおいる8箇所を党郚「double」に曞き換えれば、10^308くらいたではすぐ察応できたすが、そっちの方がよかったですか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月28日 13:40)

䞀応、doubleぞの曞き換えをした䞊での、30筋500暪棒察応の出力の、最初3行。
党郚芋たい方は以前投皿したコヌドの「long long」8か所を党郚「double」に曞き換えお、paiza.ioででも実行しおください。
暙準入力に「30 500」ず入れお実行すれば、䞀瞬で党郚出しおくれたす。

30 500
1.91318e+304 7.03258e+303 3.68362e+303 2.25787e+303 1.51266e+303 1.07205e+303 7.89158e+302 5.9652e+302 4.59462e+302 3.58607e+302 2.82409e+302 2.23627e+302 1.77531e+302 1.40923e+302 1.11579e+302 8.79137e+301 6.87716e+301 5.32915e+301 4.08166e+301 3.08311e+301 2.29171e+301 1.67253e+301 1.19554e+301 8.34624e+300 5.66958e+300 3.72827e+300 2.35477e+300 1.40994e+300 7.81054e+299 3.79149e+299
7.03258e+303 1.09241e+304 5.87978e+303 3.69338e+303 2.52801e+303 1.82552e+303 1.36614e+303 1.04793e+303 8.17924e+302 6.46161e+302 5.14587e+302 4.11754e+302 3.30103e+302 2.64478e+302 2.11264e+302 1.67864e+302 1.32374e+302 1.03367e+302 7.97502e+301 6.06579e+301 4.53826e+301 3.33238e+301 2.39561e+301 1.68122e+301 1.14757e+301 7.57952e+300 4.80621e+300 2.88793e+300 1.60476e+300 7.81054e+299
3.68362e+303 5.87978e+303 7.71461e+303 5.02038e+303 3.53913e+303 2.61979e+303 2.00249e+303 1.56466e+303 1.24139e+303 9.95288e+302 8.03405e+302 6.5095e+302 5.28011e+302 4.27738e+302 3.45271e+302 2.7709e+302 2.20594e+302 1.73824e+302 1.35269e+302 1.03729e+302 7.82063e+301 5.78407e+301 4.18604e+301 2.95596e+301 2.02917e+301 1.34718e+301 8.58238e+300 5.17835e+300 2.88793e+300 1.40994e+300
以䞋略。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

珟圚プログラムを参考にするべき蚘事にはPython やC#,C++の蚀語で蚘述されおいるものを倚く芋たす。
自分もこの蚀語が䜿えたらいいなず思いながらも未だに手に付かずにいたす。
昔からPARIは我流で利甚しおいたすが、ただ知らない䜿い方も倚く他の蚀語たで手を䌞ばす䜙裕がありたせん。
DD++さんは殆んど頭を利甚する蚘事ばかりが倚かったのでコンピュヌタは䜿われないのかず思っおいたしたら
勉匷䞭ずは蚀いながら応ち䜿いこなされおいるこずに驚きたした。さすがです。

ずころでmoonlightさんが䜕気に30人がそれぞれ2本ず぀暪線を入れあみだを䜜ったら
の蚘事をみおこれは瞊線30本、暪線60本のあみだに盞圓ず思い。自分流に䜕通り䜜れるか挑戊しおみたした。
初期倀を求める郚分もある皋床自動で求めれる様にプログラムしおやっおみたら䜕ずその総数が

1117825327533934259640813539245597025957167431905980796627579879763114363719697371598通り

ずなっおしたいたした。
果たしおこの数字は劥圓でしょうか
よかったらDD++さんm=30,n=60で確認しおもらえたせんか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月28日 17:18)

30筋60本の総数ずか30筋500暪棒でも1秒以内ずか玠晎らしいのですけど...
筋の察応衚はどうでしょうか
この話の発端は「あみだくじの偏りを正確に数え䞊げる」ずころにあるので,
その蟺りの「数孊的に明快な芁領」を「玍埗したい」ずころです。
たぁプログラムのアルゎリズムの芁領でも良いのですけど。
あず, C++を走らせる技量がないずいうよりは䜿う気がない... ので, 困惑しおいたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

もしこの数字が正しいずしおの話なのですが
30人がランダムに2本ず぀暪線を匕く時点で、構造的に同型であるものが十分に発生するので
どの線を匕いた人がどの堎所に萜ち着くかはその時その時で党郚異なる結果を生むず思われたす。
ですから党員が同型ずはならない様に匕いたずしお偶然では決しお起こらない。もこんな莫倧な
パタヌンが起こせるので、これを党郚調べる気が起こらない。

䟋えば瞊に3本暪に2本なら異なるくじは4通り出来お
[1,2,3]->[1,2,3];2通り
[1,2,3]->[2,3,1];通り
[1,2,3]->[3,1,2];1通り
の結果が生じる。

瞊に4本暪に2本なら異なるくじは8通り出来お
[1,2,3,4]->[1,2,3,4];3通り
[1,2,3,4]->[1,2,4,3];1通り
[1,2,3,4]->[1,3,4,2];1通り
[1,2,3,4]->[1,4,2,3];1通り
[1,2,3,4]->[2,3,1,4];1通り
[1,2,3,4]->[3,1,2,4];1通り

瞊に5本暪に3本なら異なるくじは40通り出来お[1,2,3,4,5]が
12435; 6通り
13245; 6
12354; 5
21345; 5
12543; 2
14325; 2
32145; 2
13452; 1
13524; 1
14253; 1
15234; 1
21453; 1
21534; 1
23154; 1
23415; 1
24135; 1
31254; 1
31425; 1
41235; 1
この様に調べおみるず1の䞋の1ぞ蟿り着くパタヌンが圧倒的に倚い感じがする。

この様な分垃が知りたいのですね。
私はここたでは手で䞀぀䞀぀手で曞いおいっお調べおいたす。
これを30人2぀ず぀の暪線で構成される党パタヌンでの分垃など私の手に負えるものではありたせん。
たたそれを正確に出したずしおも、私には1のくじの真䞋に蟿り着くこずが最も起こり易いが感じられれば
十分な気がしたす。
手で調べた経緯を自動化するにはずは思いたすがどうやればよいのかは党くわからないです。
moonlightさんず同じあみだくじでの興味に違いがあるのですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月30日 09:15)

> GAIさん

たあ、どう蚈算すれば䜜業量が枛るか考える郚分は、普通の数孊ずなんも倉わりたせんからね。
自分がやろうずしおる蚈算手順を蚀語化するだけで行ける範囲はわりずすぐでした。

30 1 で 29
30 2 で 463
30 3 で 5390
30 4 で 51171
30 5 で 420394
30 10 で 4.55989e+09
30 20 で 4.03578e+16
30 30 で 1.06671e+23
30 40 で 1.76862e+29
30 50 で 2.34175e+35
30 60 で 2.74243e+41 ←ご芁望の
30 70 で 2.98696e+47
30 80 で 3.10927e+53
30 90 で 3.14275e+59
30 100 で 3.11465e+65

60の堎合、GAIさんの1.117825e+84ずはだいぶ盞違がありたすね。
もちろん、私の方が間違っおる可胜性もありたす。
GAIさんの方では他の暪線本数ではどんな結果ですか


> moonlightさん
筋の察応衚ずは䜕を指しおおっしゃっおたす
moonlightさんが2622番で曞いおいる圢匏ずほが同じもの合蚈を先に出すか埌に出すかず、括匧などの装食が違うだけを私も出しおいるのですけれど。
これが筋の察応衚ではないずおっしゃるなら、たず筋の察応衚ずやらの実䟋を提瀺しおください。

挞化匏の䜜り方も2627で説明しおいたすし、筋の察応を求める方法ぞの倉曎も2631で説明しおいたす。
「この投皿のこの文章がわからないからもっず詳しく」ずかなら察応のしようもありたすが、説明を投皿枈のものに察しお「いいから説明を曞け」ずだけ蚀い続けるのは、ただあなたに話を聞く気がないだけずしか思えたせん。

私はあなたの先生でもないですし、あなたがどの皋床の孊力かも知りたせん。
具䜓的な䞍明点も蚀わずにただ喚くだけの人に、寄り添う努力をする矩理もなければ、その手段も持っおいたせん。
C++を走らせる気がないずいうのは、私が提瀺した「paiza.ioを開いおそこにコヌドを投げる」ずいう誰でも30秒でできるこずすらやる぀もりがないずいうこずですか
「PythonがいいならAIに蚳しおもらえばいい」ず蚀ったのも、やるのが面倒だから無芖っおこずですよね。
本人にそれらの手間すらかける気がないのであれば、きっずあなたには誰が䜕をどれだけ説明をしおも無駄なんでしょうね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

暪線数60たでの可胜数䞀芧
1;29
2;463
3;5390
4;51171
5;420394
6;3098862
7;20993804
8;132939015
9;796625654
10;4559889334
11;25112905580
12;133834729210
13;693377073900
14;3505338139380
15;17345898649800
16;892033314203139
17;27733773552429223
18;1118409311622637368
19;40443070417349370483
20;1527210370835118559332
21;56673976478816860747774
22;2117897601581472517771066
23;78923421248818203600565427
24;2944399943419196373497114774
25;109797106537775911758807162778
26;4095095417290316282939442547680
27;152723339720122501108555011840342
28;5695863174154192679028192753380340
29;212426436445814460576060868565141484
30;7922452345203935157114149652287687884
31;295467611549841015492082915284979621511
32;11019463714682126522890048157626008654473
33;410970741180874710387820391271814117039458
34;15327149785690207118885870323300255918993423
35;571625873548142874360678229042613943062115466
36;21318780749923986727127209867571593246051772792
37;795083690343313989839224384718429436112629600108
38;29652637460436628119426525781824034780378617858107
39;1105894785552205786432302749539159553666515145287222
40;41244333795790621245739946592147320794065883565680290
41;1538206972425500348947263126645174656249917797251481336
42;57367412016658739514161229915304087943069732860319297800
43;2139516996330777959490116551283833358117060754594797276832
44;79793262703232759273815095962367380584502386825047441842582
45;2975888849544976589836518005290872762652116689120004217680428
46;110985741713586389931309449649350862931122663738438389421170269
47;4139212009073395230798901086511848165112620340965868742219499787
48;154371866075172177263089105463100114315014887200826345809003180000
49;5757297037042150504612687946059868808701941641867529313983174674031
50;214718329288028117388183596542053732242317398732806011411150816078034
51;8007917714790557941233055393258000318873880099217751017200538624008158
52;298655202559982290915864096247122825932213134993383861881469194843760686
53;11138342474648737567533867624306069773630827219825309621513293889500901823
54;415404359338583563240822830410726177624082300119922772035644260066074468818
55;15492500984796742751657733290329634715839880609542698284110815714988820803522
56;577792652792786427263779283761230091891336037456469059968177339997587731768310
57;21548770592232778950593226336183306224619421016130072191215241776265825517607246
58;803661160785313324174825880131482661709940319330388414827929681984410805278529046
59;29972534098423254020758850854144560768881344890674163772909010594416675059756419112
60;1117825327533934259640813539245597025957167431905980796627579879763114363719697371598
の䞊びずなりたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

15たでは私ず䞀臎しおいたす。
30 16 で 84235251439605
から䞀臎したせんね。
なんでこんな半端なずこから
暪線の本数が瞊線の本数の半分を超えるず䜕かあるんでしょうか

瞊線8本の堎合、
8 1 で 7
8 2 で 34
8 3 で 143
8 4 で 560
8 5 で 2108 ←ここからが食い違う
8 6 で 7752
っおなるんでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

折角興味深い算出法が... ず思うお察しお努力はしおたせんが疑問を投げおいるだけなのですが...
䞀寞気が利いおなかったようで申し蚳ありたせん。
明らかにあみだくじの筋の遞びようによる結果の分垃には偏りがある事は明らかだずいうのも別段吊定したりはしたせん。その通りですから。
ただ、数え方が怪しかったり数えられるにも関わらずサボっお恐らくは間違ったシミュレヌションで語られるのは拙いなぁず。沢山あるあみだくじの話の倧半はあみだの総数を(筋の数-1)^(暪線の数)通りずしおいお、倚分その根拠ずしおいる構成法を䜿っおシミュレヌションしおいるでしょうから。
だなら正確にシミュレヌションしようずすれば先ずは遞ばれるあみだくじ党䜓の構成法がきちんずないずね。ずいう話です。そういう意味では「行き぀戻り぀」を攫う事できちんず構成できるずいう話はずおも有難い「教え」でした。
ずはいえ別段皆さんを「先生」だず思うおるわけではありたせん。
お知恵を拝借しお助けお貰おう。あわよくば曎に新しい知芋を芋出せれば♬ずいう思惑です。
そもそも最近の先生は「きちんず教える」事ができないようで、「やり方」を仕蟌む事を仕事だずか教育だず心底思うおる人が倧半らしいですからそういう「先生」呌ばわりするなんおずおも倱瀌だずも思うおたす。

ずころで、議論する䞭身ずしおは小さな芏暡のあみだくじめ十分だず思うので、䜕故蚈算が食い違うのかも含めお、アルゎリズムの確認ができないものでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䜕床も蚀っおいたすが、私はアルゎリズムの党容を既に党郚曞いおたす。
「確認ができないでしょうか」も䜕も、あずはあなたが読んで確認するだけです。

䞍明点を具䜓的に挙げおもらえば協力はできたすが、そうではなくただ駄々をこねるだけの人にしおあげられるこずはありたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

再挑戊
これずはどうでしょうか
1;29
2;463
3;5390
4;51171
5;420394
6;3098862
7;20993804
8;132939015
9;796625654
10;4559889334
11;25112905580
12;133834729210
13;693377073900
14;3505338139380
15;17345898649800
16;84235251439605
17;402316301124360
18;1893310678517700
19;8793147391736136
20;40357786347273252
21;183266905331524344
22;824255034747971688
23;3674950883378678800
24;16255421882564830140
25;71384840041723959608
26;311418663604915014072
27;1350375077353954614384
28;5823041821257562590120
29;24981782165889424128048
30;106671345686835109102032
31;453501538615221120120097
32;1920247373753821060916773
33;8100476665368181748160571
34;34052954042136508229919042
35;142690568445704254905970971
36;596112426258621587933361150
37;2483369892192881694636148630
38;10318473866094099974679219796
39;42768516724584960514403750335
40;176862366945026630666520869874
41;729813126230735455341470281926
42;3005456846790981942293708712036
43;12353359966837224339431413442178
44;50685607079444329323255005077044
45;207613079229358124452968845335380
46;849058280539586545208387260201240
47;3467146895324531934103815498948841
48;14138241146010198255730566783356800
49;57575916461409965986900847410036600
50;234174867066415421926684291204186160
51;951312375045376858090381562585181640
52;3860263877836478670013758164200228880
53;15647593976660949236650911300126253200
54;63363471704000869756678505803691947360
55;256338444794052835483998138135784555640
56;1036079462632519082207654384813062022800
57;4184049118051380918526064679844187838320
58;16882762634340248602038470164697874805280
59;68069225361124124594166026380622389476240
60;274242739789885194337625897729987657084960

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

それであれば私の結果ず䞀臎しおいるず思いたす。
党郚を粟査したわけではないですが

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんの仰る通りに Claude におねがしおみたした。

䜕も䜙分なこずを蚊かずにDD++さんのプログラムを投げたずころ,
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
このプログラムは2぀の敎数 n ず m を読み蟌み、(n-1)×n×nサむズの3次元配列を䜜成しお、それに察しお m 回の倉換操䜜を行いたす。
初期状態では、最初の局の察角芁玠がすべお1に蚭定されおいたす。
各倉換操䜜は䞻に2぀のステップで構成されおいたす

环積フェヌズ珟圚の状態から倀を合蚈しお次の状態を構築したす
亀換フェヌズ各局で隣接する芁玠を亀換したす

すべおの反埩が終わった埌、プログラムは各䜍眮の合蚈倀を蚈算しお出力し、最終的な合蚈も衚瀺したす。
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ずプログラムを解析しおくれたしたが, 现かい点の解説はただ蚊けおたせん。
で, Juliaで曞き換えおもらいたした。30筋60暪棒の堎合に負の数が珟れた敎数型のオヌバヌフロヌのでそれも曞き盎しお貰いたした。

プログラムを動かしおみたずころ, 既に結果が刀っおいるものず合臎しおいたす。そしお早い。これなら十分実甚範囲内です。
あずは, ここで数えた「あみだくじ」から無䜜為に遞び出しお「詊す」こずができれば, あちこちにある杜撰そうなシミュレヌションではなく、正確なシミュレヌションが実行できるずいうわけですね。ありがずうございたす。

アルゎリズムずいうかプログラムの本質はコレから読んで「分かるずいうよりは解説できる」努力をしおみたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

claudeにプログラムの解説をお願いしおみたした。
Juliaに曞き換えたものを解説しお貰っおいたすがアルゎリズム的には同じ事でしょう。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
あみだくじを数えるプログラムのアルゎリズムに぀いお、関数ごずに解説したす。
このプログラムは、あみだくじの可胜な組み合わせ数たたは経路数を蚈算するものです。各関数の圹割ず背埌にあるアルゎリズムを説明したす
count_amidakuji(n, m) 関数
この関数は党䜓の凊理を管理しおおり、以䞋のようなステップで動䜜したす

初期化:

n本の瞊線ず、それらを暪線で぀なぐ構造を考えたす
3次元配列 a[i, j, k] を䜜成したす

i: 暪線の局を衚したす1からn-1たで
j: 出発点を衚したす1からnたで
k: 到達点を衚したす1からnたで

最初は、a[1, j, j] = 1 ずしお、出発点jから同じ䜍眮jに到達する経路が1぀あるこずを衚したす

反埩操䜜m回:

各反埩は、暪線あみだくじの「暪棒」を1本远加する可胜性をシミュレヌションしたす
倧きく分けお「环積フェヌズ」ず「亀換フェヌズ」がありたす

a. 环積フェヌズ:
next[1, j, k] は、最初の局ず2番目の局の倀を合蚈したす
䞭間局の next[i, j, k] は、前の局からの环積倀ず次の局の珟圚倀を合蚈したす
これにより、経路数が䞋から䞊ぞず环積されおいきたす

b. 亀換フェヌズ:
各局iにおいお、䜍眮(j,i)ず(j,i+1)の倀を亀換したす
これは、暪線が匕かれたずきに経路がどのように倉化するかを衚珟しおいたす

最終蚈算:
すべおの反埩が終わったら、各出発点jから各到達点kぞの経路数の合蚈を蚈算したす
特に最埌の列k=nぞの経路の総数が「total」ずしお蚈算されたす

main() 関数
この関数は単にナヌザヌむンタヌフェヌスを提䟛したす

ナヌザヌから入力倀n瞊線の本数ずm暪線の远加回数を受け取りたす
倧きな蚈算になる堎合の譊告を衚瀺したす
count_amidakuji(n, m) を呌び出しお蚈算を実行したす

アルゎリズムの数孊的解釈
このアルゎリズムは、あみだくじの組み合わせを盎接生成するのではなく、動的蚈画法を䜿甚しお経路数を効率的に蚈算しおいたす

配列 a[i, j, k] は、i局目で出発点jから到達点kぞの経路数を衚したす
暪線が匕かれるず、隣接する経路が亀換されたす亀換フェヌズ
局が远加されるごずに、経路数は环積されたす环積フェヌズ
m回の反埩埌、最終的な経路数が蚈算されたす

特にこのアルゎリズムは、あみだくじを「排他的な暪線の組み合わせ」ずしお効率的にカりントしおいたす。すべおの可胜な組み合わせを列挙するのではなく、数孊的に経路数を蚈算するので、倧きな入力倀に察しおも比范的効率的に動䜜したす。
ただし、時間蚈算量はO(m×n³)なので、非垞に倧きな倀に察しおは蚈算時間が長くなる堎合がありたす。それに察応するため、BigInt型を䜿甚しお数倀のオヌバヌフロヌを防いでいたす。
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
䜕ずなく「挞化匏的」ず衚珟しおいたしたが, 「動的蚈画法」ず呌ぶのですね。
説明は抜象的ですが倚少は分かり易いので確認しおみたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 倧きな蚈算になる堎合の譊告を衚瀺したす

ここはAIが䜕か足したのでなければn>2 でなかった堎合の譊告のこずですかね
これは倧きな蚈算になるからではなく、n=2 だず途䞭でクラッシュするので入れおいたす。
n=2 の堎合は明らかに1通りしかないので、特別察応する䟡倀もありたせんし。

それ以倖はAIの解釈であっおいたす。

方針は、挞化匏であっおたすよ。
DP動的蚈画法⊃挞化匏 なので、DPず呌んでもいいだけです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「倧小比范」の東北倧1992埌期の問題

数孊的垰玍法でこねくり回さなくおも、以䞋で終わる気がしたすが、どうでしょう

-----

n = 1 の堎合は明らかに成り立぀。
以䞋では n ≧ 2 の堎合に぀いお蚌明する。

p≧q か぀ r≧s のずき、
pr + qs - ps - qr = (p-q)(r-s) ≧ 0
より、pr + qs ≧ ps + qr

よっお、
巊蟺= (Σ[i=1->n] a[i])*(Σ[i=1->n] b[i])
= Σ[i=1->n] a[i]*b[i] + Σ[i=2->n] Σ[j=1->i-1] (a[i]*b[j] + a[j]*b[i])
≩ Σ[i=1->n] a[i]*b[i] + Σ[i=2->n] Σ[j=1->i-1] (a[i]*b[i] + a[j]*b[j])
= n*Σ[i=1->n] a[i]*b[i]

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

以前あみだくじのパタヌンを数えるような蚘事があった気がしたすが...

最近たた「統蚈」絡みで「あみだくじ」のどこを遞ぶかは偏りがある系の話が沞いおいたす。
気になる蚘事があったので「確かめよう」ずしたしたが, そもそも「あみだくじ」の数え䞊げが刀らないこずに気が぀きたした。
仕方がないので数えおみようずしたのですが...
䟋えば, 瞊の筋が4本で, 暪棒が3本の堎合に20通りかずなったのですが, どうにも自信が持おたせん。
ただ, 暪棒が3本の堎合で, 瞊の筋の本数を増やしおいけば, 䌌た蚈算で挞化匏的に数えられそうだず...

でもさっぱり芁領を埗ないので, 䟋えば「瞊の筋が5本で暪棒が6本入ったあみだくじ」の総数はどう蚈算すれば良いか教えお䞋さいな。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「20通り」の数えあげで、「巊に1本、䞭に0本、右に2本」が数えられおいない気がしたす。
私の勘違いでしたらご容赊䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月23日 22:00)

自分もあみだくじに぀いおいく぀かの投皿をしおいたのを蚘憶しおいたので調べおみたら
私の備忘録䞭の
数孊・・・その他(数孊に぀いおの雑孊を・・・)
思い通りのあみだくじを䜜る方法 (右列䞊から2番目)
に関連蚘事がたずめられおいたす。

懐かしかったので自分でも、もう䞀床敎理しおみたした。
瞊線が4本で暪線がn本では(A088305)
gp > a(n)=(((3+sqrt(5))/2)^(n+1)-((3-sqrt(5))/2)^(n+1))/sqrt(5)
gp > for(n=1,10,print(n";"round(a(n))))
1;3
2;8
3;21
4;55
5;144
6;377
7;987
8;2584
9;6765
10;17711


瞊線が5本で暪線がn本では(A261547)
gp > b(n)=(3^(n+1)-1)/2
gp > for(n=1,10,print(n";"b(n)))
1;4
2;13
3;40
4;121
5;364
6;1093
7;3280
8;9841
9;29524
10;88573


瞊線が6本で暪線がn本では(A005021)
c(n)={S=[];}for(i=0,n,for(j=0,n-i,for(k=0,n-i-j,\
S=concat(S,[binomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)*binomial(n+1-j,n-(i+j+k))]))));vecsum(S)
gp > for(n=1,10,print(n";"c(n)))
1;5
2;19
3;66
4;221
5;728
6;2380
7;7753
8;25213
9;81927
10;266110

なお瞊棒が6本での暪軞n本でのあみだくじの本数がA005021での解説では
P_6ず呌ばれる道盎線䞊点A、B、C、D、E、F が䞊んでいる。を、Aから出発し、
2*n+5(æ­©)におFの地点に到着する酔歩のコヌスが䜕通りできるか   に同じずある。
よっお暪棒2本では2*2+5=9歩で進む実䟋を構成するず
1;[A, B, A, B, A, B, C, D, E, F]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D, E, F]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D, E, F]
4;[A, B, A, B, C, D, E, D, E, F]
5;[A, B, A, B, C, D, E, F, E, F]
6;[A, B, C, B, A, B, C, D, E, F]
7;[A, B, C, B, C, B, C, D, E, F]
8;[A, B, C, B, C, D, C, D, E, F]
9;[A, B, C, B, C, D, E, D, E, F]
10;[A, B, C, B, C, D, E, F, E, F]
11;[A, B, C, D, C, B, C, D, E, F]
12;[A, B, C, D, C, D, C, D, E, F]
13;[A, B, C, D, C, D, E, D, E, F]
14;[A, B, C, D, C, D, E, F, E, F]
15;[A, B, C, D, E, D, C, D, E, F]
16;[A, B, C, D, E, D, E, D, E, F]
17;[A, B, C, D, E, D, E, F, E, F]
18;[A, B, C, D, E, F, E, D, E, F]
19;[A, B, C, D, E, F, E, F, E, F]

ず蚈算の通り19パタヌン構成可胜なので
瞊棒が5本である時は
P_5ず呌ばれる道盎線䞊5点A、B、C、D、E が䞊んでいる。を、Aから出発し、
2*n+4(æ­©)におEの地点に到着する酔歩のコヌスが䜕通りできるか
ず䞊のパタヌンを参考に
今床は2*2+4=8歩で進み
1;[A, B, A, B, A, B, C, D, E]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D, E]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D, E]
4;[A, B, A, B, C, D, E, D, E]
5;[A, B, C, B, A, B, C, D, E]
6;[A, B, C, B, C, B, C, D, E]
7;[A, B, C, B, C, D, C, D, E]
8;[A, B, C, B, C, D, E, D, E]
9;[A, B, C, D, C, B, C, D, E]
10;[A, B, C, D, C, D, C, D, E]
11;[A, B, C, D, C, D, E, D, E]
12;[A, B, C, D, E, D, C, D, E]
13;[A, B, C, D, E, D, E, D, E]
の13通り蚈算䞊䞀臎)
がすぐに探すこずができたす。

だから瞊棒4本のずきは
P_4ず呌ばれる道盎線䞊4点A、B、C、D が䞊んでいる。を、Aから出発し、
2*n+3(æ­©)におDの地点に到着する酔歩のコヌスが䜕通りできるか
で凊理され、暪棒2本では7歩で進み
1;[A, B, A, B, A, B, C, D]
2;[A, B, A, B, C, B, C, D]
3;[A, B, A, B, C, D, C, D]
4;[A, B, C, B, A, B, C, D]
5;[A, B, C, B, C, B, C, D]
6;[A, B, C, B, C, D, C, D]
7;[A, B, C, D, C, B, C, D]
8;[A, B, C, D, C, D, C, D]
が芋぀かる。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月24日 08:25)

ありがずうございたす。
うっかり数え萜ずしをしおいた事が確認できたした。
行き぀戻り぀の順路数で数えられる理路はちゃんず確認できおたせんが、Pythonでプログラムしおみお確かに曞かれおいる堎合な数が埗られる事は分かりたした。
次は蚘事にあった、瞊棒8本暪棒12本の堎合に、あみだくじの行き先を堎合わけしお数える事が必芁になりたす。
「行き぀戻り぀」を1ず-1のリストで数え䞊げる事はできたので、あずはそのリストからあみだくじを埩元しお行き先を確認すれば良いのですが... あみだくじの「埩元」はどのようにすれば良いでしょう

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

瞊8本で暪棒n本のずきの異なるあみだくじの匕き方は
次の蚈算で䞎えられそうです。

gp > F(n)={S=[];}for(i=0,n,for(j=0,n-i,for(k=0,n-i-j,for(l=0,n-i-j-k,for(m=0,n-i-j-k-l,
W=binomial(i+j,j)*binomial(j+k,k)*binomial(k+l,l)*binomial(l+m,m)*binomial(n+1-(j+k+l),n-(i+j+k+l+m));
S=concat(S,[W]))))));vecsum(S)

gp > for(n=1,12,print(n";"F(n)))
1;7
2;34
3;143
4;560
5;2108
6;7752
7;28101
8;100947
9;360526
10;1282735
11;4552624
12;16131656

OEISで怜玢するずA005023がヒットしたした。
埓っお求めるべき倀は16131656(通り)では

私も酔歩ずあみだくじを察応させようず詊みたのですが総数で䞀臎しか蚀えないです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

察応の仕方はこうじゃないかずいうものに思い至りたした。劂䜕でしょう。
あずは仕方ないので, Pythonで䞀぀䞀぀数えるしか...

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

以䞋の考えはどうでしょうか

n本の瞊線にm本の暪線を匕く堎合、
・項数m
・各項の倀は1以䞊n-1以䞋
・任意の連続する2項に぀いお、a[i+1] > a[i]-2
ずいう条件を満たす数列ず䞀察䞀に察応するず思いたす。
そしお、そのような数列の個数は、最埌の項が䜕なのかで分類しお挞化匏が䜜れるず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あみだくじで瞊線がn本(n≧3)で暪線がk本での䜜り方Tn(k)を挞化匏で構成するず
T3(k)=if(k==1,2,2*memorize(T3,k-1))
T4(k)=if(k==1,3,k==2,8,3*memorize(T4,k-1)-binomial(2,2)*memorize(T4,k-2))
T5(k)=if(k==1,4,k==2,13,4*memorize(T5,k-1)-binomial(3,2)*memorize(T5,k-2))
T6(k)=if(k==1,5,k==2,19,k==3,66,5*memorize(T6,k-1)-binomial(4,2)*memorize(T6,k-2)+binomial(3,3)*memorize(T6,k-3))
T7(k)=if(k==1,6,k==2,26,k==3,100,6*memorize(T7,k-1)-binomial(5,2)*memorize(T7,k-2)+binomial(4,3)*memorize(T7,k-3))
T8(k)=if(k==1,7,k==2,34,k==3,143,k==4,560,7*memorize(T8,k-1)-binomial(6,2)*memorize(T8,k-2)+binomial(5,3)*memorize(T8,k-3)-binomial(4,4)*memorize(T8,k-4))
T9(k)=if(k==1,8,k==2,43,k==3,196,k==4,820,8*memorize(T9,k-1)-binomial(7,2)*memorize(T9,k-2)+binomial(6,3)*memorize(T9,k-3)-binomial(5,4)*memorize(T9,k-4))
T10(k)=if(k==1,9,k==2,53,k==3,260,k==4,1156,k==5,4845,9*memorize(T10,k-1)-binomial(8,2)*memorize(T10,k-2)+binomial(7,3)*memorize(T10,k-3)-binomial(6,4)*memorize(T10,k-4)+binomial(5,5)*memorize(T10,k-5))
T11(k)=if(k==1,10,k==2,64,k==3,336,k==4,1581,k==5,6954,10*memorize(T11,k-1)-binomial(9,2)*memorize(T11,k-2)+binomial(8,3)*memorize(T11,k-3)-binomial(7,4)*memorize(T11,k-4)+binomial(6,5)*memorize(T11,k-5))

*スピヌドアップを蚈るためメモ化しお凊理しおいたす。
瞊の本数が倚くなるず初期倀をいく぀か集めないずいけないのでこの蟺が面倒か

瞊の本数
-3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11(本)
暪の本数;で芋お䞋さい。
1;2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10
2;4 | 8 | 13 | 19 | 26 | 34 | 43 | 53 | 64
3;8 | 21 | 40 | 66 | 100 | 143 | 196 | 260 | 336
4;16 | 55 | 121 | 221 | 364 | 560 | 820 | 1156 | 1581
5;32 | 144 | 364 | 728 | 1288 | 2108 | 3264 | 4845 | 6954
6;64 | 377 | 1093 | 2380 | 4488 | 7752 | 12597 | 19551 | 29260
7;128 | 987 | 3280 | 7753 | 15504 | 28101 | 47652 | 76912 | 119416
8;256 | 2584 | 9841 | 25213 | 53296 | 100947 | 177859 | 297275 | 476905
9;512 | 6765 | 29524 | 81927 | 182688 | 360526 | 657800 | 1134705 | 1874730
10;1024 | 17711 | 88573 | 266110 | 625184 | 1282735 | 2417416 | 4292145 | 7283640
11;2048 | 46368 | 265720 | 864201 | 2137408 | 4552624 | 8844448 | 16128061 | 28048800
12;4096 | 121393 | 797161 | 2806272 | 7303360 | 16131656 | 32256553 | 60304951 | 107286661
13;8192 | 317811 | 2391484 | 9112264 | 24946816 | 57099056 | 117378336 | 224660626 | 408239530
14;16384 | 832040 | 7174453 | 29587889 | 85196928 | 201962057 | 426440955 | 834641671 | 1547129284
15;32768 | 2178309 | 21523360 | 96072133 | 290926848 | 714012495 | 1547491404 | 3094322026 | 5844716616
16;65536 | 5702887 | 64570081 | 311945595 | 993379072 | 2523515514 | 5610955132 | 11453607152 | 22025185281
17;131072 | 14930352 | 193710244 | 1012883066 | 3391793664 | 8916942687 | 20332248992 | 42344301686 | 82836630954
18;262144 | 39088169 | 581130733 | 3288813893 | 11580678656 | 31504028992 | 73645557469 | 156404021389 | 311063682160
19;524288 | 102334155 | 1743392200 | 10678716664 | 39539651584 | 111295205284 | 266668876540 | 577291806894 | 1166646177136
20;1048576 | 267914296 | 5230176601 | 34673583028 | 134998297600 | 393151913464 | 965384509651 | 2129654436910 | 4371207361885

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ただ䜕の怜蚌もしたせんが... Python でプログラムしお数えた分垃がこうなりたした。
1282735は総数の筈ですが皆さんの数倀ず合っおないような気がしたす...

1282735
[764877, 279584, 133631, 64604, 27257, 9481, 2693, 608]
[279584, 478114, 262307, 147260, 72988, 29809, 9980, 2693]
[133631, 262307, 365985, 252938, 153368, 75216, 29809, 9481]
[64604, 147260, 252938, 314118, 250202, 153368, 72988, 27257]
[27257, 72988, 153368, 250202, 314118, 252938, 147260, 64604]
[9481, 29809, 75216, 153368, 252938, 365985, 262307, 133631]
[2693, 9980, 29809, 72988, 147260, 262307, 478114, 279584]
[608, 2693, 9481, 27257, 64604, 133631, 279584, 764877]

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

お隒がせしたした。線集のパスワヌドを間違っお入れたようで蚂正できないので重ねおの投皿ずなり申し蚳ありたせん

Pythonで組んだものはなかなか凊理が終わらないので
Claudiにお願いしおJuliaに曞き盎しお貰っお実行するずそこそこの時間で結果が出たした。
--start---------------------------------------
8 12
--Ans-------------------------------------------
16131656
[9188341, 3508269, 1778834, 939616, 451633, 184261, 63000, 17702]
[3508269, 5568480, 3238722, 1961381, 1086206, 507952, 197646, 63000]
[1778834, 3238722, 4168532, 3074842, 2048283, 1130230, 507952, 184261]
[939616, 1961381, 3074842, 3550353, 3019342, 2048283, 1086206, 451633]
[451633, 1086206, 2048283, 3019342, 3550353, 3074842, 1961381, 939616]
[184261, 507952, 1130230, 2048283, 3074842, 4168532, 3238722, 1778834]
[63000, 197646, 507952, 1086206, 1961381, 3238722, 5568480, 3508269]
[17702, 63000, 184261, 451633, 939616, 1778834, 3508269, 9188341]
--end-------------------------------------------
この結果を䜿うず,
「統蚈リテラシヌのない者がカモられる時代がやっおきた」ずいうダむアモンド・オンラむンの蚘事
https://diamond.jp/articles/-/363654
にあるあみだくじの話の分垃の郚分を確認できたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GAI さんぞ
「if(k==1,2,2*memorize(T3,k-1))」
の読み方が分かりたせん。これはもしかしお
if k=1 then 2 else 2*T3(k-1) endif
ずいうこずでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月26日 16:54)

そうです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

教えおいただいた「行き぀戻り぀」の行皋があみだくじに察応するずいう知恵を䜿っおPythonで組んだけど遅すぎたのでClaudeにお願いしおJuliaに曞き換えたもので無事に8筋12暪棒のあみだくじでは, 䜕筋目を遞んだ堎合䜕筋目に至るかずいう数え䞊げはできたしたが, 「m筋n暪棒のあみだくじでi筋目を遞んだ堎合にj筋目に至るものは幟぀あるか」は「どうすれば蚈算できるか」は解決しおいたせん。
䜕ずか蚈算で枈たせるこずはできないものでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

皆さんの助けを借りお少し取り組んだこずをたずめたpdfをここに眮いおおきたす。
ただ解決しおいたせんのでもう少し助けお䞋さい。

https://amaryllis4u.wordpress.com/2025/04/26/暙準的な「あみだくじ」である筋を遞んだずきに/

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

8筋12暪棒のものを数列に察応付けたす。

䟋えば
┣┫┃┣┫┃┃┃
┃┣┫┃┣┫┣┫
┣┫┃┣┫┃┃┃
┣┫┣┫┃┣┫┃
┃┃┃┣┫┃┣┫
ずいう圢のもので考えたす。

これの暪線に番号を
・基本的に巊にあるものから右にあるものぞ、同じ列内では䞊にあるものから䞋にあるものぞ、順に番号を振る
・ただし、自分の䞊流に未採番のものがあれば、それが採番されるたで保留する
ずいうルヌルで振っおいきたす。

・最巊列の䞀番䞊のが1
・最巊列真ん䞭は䞊流に未採番のものがあるので保留
・最巊列䞋段は䞊流に未採番のものがあるので保留
・巊から2列目のが2
・最巊列真ん䞭は䞊流が採番されたのでこれが3
・最巊列䞋段は䞊流が採番されたのでこれが4
以䞋略

各番号が巊から䜕列目にあるかを芋るず、
1,2,1,1,4,5,4,3,4,7,6,7
ずいう数列になりたす。

この察応付けで、8筋12暪棒のあみだくじず、1から7たでの数を「どの項も前項-1以䞊」ずいう条件で12項䞊べる数列が䞀察䞀に察応したす。
よっお、あみだくじの個数の代わりに埌者を数えるこずにしたす。

1項䞊べる堎合、
末尟が1のものが1個
末尟が2のものが1個
末尟が3のものが1個
末尟が4のものが1個
末尟が5のものが1個
末尟が6のものが1個
末尟が7のものが1個
合蚈7個

2項䞊べる堎合、
末尟が1のものが1+1=2個
末尟が2のものが1+1+1=3個
末尟が3のものが1+1+1+1=4個
末尟が4のものが1+1+1+1+1=5個
末尟が5のものが1+1+1+1+1+1=6個
末尟が6のものが1+1+1+1+1+1+1=7個
末尟が7のものが1+1+1+1+1+1+1=7個
合蚈34個

3項䞊べる堎合、
末尟が1のものが2+3=5個
末尟が2のものが2+3+4=9個
末尟が3のものが2+3+4+5=14個
末尟が4のものが2+3+4+5+6=20個
末尟が5のものが2+3+4+5+6+7=27個
末尟が6のものが2+3+4+5+6+7+7=34個
末尟が7のものが2+3+4+5+6+7+7=34個
合蚈143個

4項䞊べる堎合、
末尟が1のものが5+9=14個
末尟が2のものが5+9+14=28個
末尟が3のものが5+9+14+20=48個
末尟が4のものが5+9+14+20+27=75個
末尟が5のものが5+9+14+20+27+34=109個
末尟が6のものが5+9+14+20+27+34+34=143個
末尟が7のものが5+9+14+20+27+34+34=143個
合蚈560個

あず8回分略

手蚈算でも数分で終わるレベルなので、いくらPythonが遅い蚀語ずいっおも䞀瞬だず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あ、察応関係もでしたか。
たあ、最埌の番号ごずに「到着地点がどこになるものが䜕個」をわけお蚈䞊しおいけばどうずでもなるず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さんぞ
现かい解説をありがずうございたす。
「行き぀戻り぀」でも仰る「項数m・各項の倀は1以䞊n-1以䞋・任意の連続する2項に぀いお、a[i+1] > a[i]-2」ずなる有限数列を数える手法でも党郚で䜕通りあるかを数えるこずはできお, コレたた仰る通り「党郚で䜕通り」だけならいくら遅いPythonでも十分我慢できる時間で結果を教えおくれたす。そしお倚分Juliaならもっずプログラムも曞き易くお早い
そのレベルの話は面癜いですけどたぁある意味解決枈みです。

そうではなくお, 8筋12暪棒のあみだくじで, 4筋目を遞んだずきに至る筋が3筋目になるようなあみだくじは䜕通りあるか? を数えたいのです。
でないず, 蚘事にあるような「分垃」はシミュレヌションでしか確認できたせんから。
「ちゃんず数えおみたい」できれば「数匏で䟋え挞化匏レベルでも蚈算したい」ずいう話です。

䜕ずかならないでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

DD++さん
仰る通りで、「どうずでもなった」結果は埗られおいるのですが... あたりにも機械頌りな数え䞊げなので...

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ゎヌル䜍眮も考えたい堎合の蚈算䟋

3本目スタヌトの堎合

1項䞊べる堎合、
末尟が1のものが1個3ゎヌルが1個
末尟が2のものが1個2ゎヌルが1個
末尟が3のものが1個4ゎヌルが1個
末尟が4のものが1個3ゎヌルが1個
末尟が5のものが1個3ゎヌルが1個
末尟が6のものが1個3ゎヌルが1個
末尟が7のものが1個3ゎヌルが1個
合蚈7個2ゎヌルが1個、3ゎヌルが5個、4ゎヌルが1個

2項䞊べる堎合、
末尟が1のものが1+1=2個1ゎヌルが1個、3ゎヌルが1個
末尟が2のものが1+1+1=3個2ゎヌルが1個、3ゎヌルが1個、4ゎヌルが1個
末尟が3のものが1+1+1+1=4個2ゎヌルが1個、3ゎヌルが1個、4ゎヌルが2個
末尟が4のものが1+1+1+1+1=5個2ゎヌルが1個、3ゎヌルが3個、5ゎヌルが1個
末尟が5のものが1+1+1+1+1+1=6個2ゎヌルが1個、3ゎヌルが4個、4ゎヌルが1個
末尟が6のものが1+1+1+1+1+1+1=7個2ゎヌルが1個、3ゎヌルが5個、4ゎヌルが1個
末尟が7のものが1+1+1+1+1+1+1=7個2ゎヌルが1個、3ゎヌルが5個、4ゎヌルが1個
合蚈34個1ゎヌルが1個、2ゎヌルが6個、3ゎヌルが20個、4ゎヌルが6個、5ゎヌルが1個

䟋えば末尟が4のものの堎合、1぀暪線が少ないや぀の末尟5以䞋を党郚合蚈しおから、ゎヌル4のものずゎヌル5のものの個数を入れ替えるずいう感じですね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

最近C++によるプログラミングの勉匷を始めたので、ご芁望のものを䞀瞬で出力するコヌドを曞いおみたした。
  掲瀺板にコヌド䞞ごず茉せちゃっお倧䞈倫かな
暙準入力からnずmを入力しおください。
n≧3のみ察応、たた結果が2^63を超えるずオヌバヌフロヌするこずには察凊を攟棄しおいたす。
Pythonで実行したければAIにでも翻蚳しおもらっおください。

-----
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main () {

int n, m;
cin >> n >> m;
assert(n>2);

vector<vector<vector<long long>>> a(n-1,vector<vector<long long>>(n,vector<long long>(n,0)));
for (int j=0; j<n; j++) {
a.at(0).at(j).at(j) = 1;
}

for (int loop=0; loop<m; loop++) {
vector<vector<vector<long long>>> next(n-1,vector<vector<long long>>(n,vector<long long>(n,0)));
for (int j=0; j<n; j++) {
for (int k=0; k<n; k++) {
next.at(0).at(j).at(k) = a.at(0).at(j).at(k) + a.at(1).at(j).at(k);
for (int i=1; i<n-2; i++) {
next.at(i).at(j).at(k) = next.at(i-1).at(j).at(k) + a.at(i+1).at(j).at(k);
}
next.at(n-2).at(j).at(k) = next.at(n-3).at(j).at(k);
}
}
for (int i=0; i<n-1; i++) {
for (int j=0; j<n; j++) {
swap (next.at(i).at(j).at(i),next.at(i).at(j).at(i+1));
}
}
swap (a,next);
}

long long total = 0LL;
for (int j=0; j<n; j++) {
for (int k=0; k<n; k++) {
long long sum = 0LL;
for (int i=0; i<n-1; i++) {
sum += a.at(i).at(j).at(k);
}
cout << sum;
if (k==n-1) {
total += sum;
cout << endl;
} else {
cout << " ";
}
}
}
cout << "total:" << total << endl;

return 0;
}
-----

出力サンプル

8 12
9188341 3508269 1778834 939616 451633 184261 63000 17702
3508269 5568480 3238722 1961381 1086206 507952 197646 63000
1778834 3238722 4168532 3074842 2048283 1130230 507952 184261
939616 1961381 3074842 3550353 3019342 2048283 1086206 451633
451633 1086206 2048283 3019342 3550353 3074842 1961381 939616
184261 507952 1130230 2048283 3074842 4168532 3238722 1778834
63000 197646 507952 1086206 1961381 3238722 5568480 3508269
17702 63000 184261 451633 939616 1778834 3508269 9188341
total:16131656

5 30
69706010502882 64476946102498 61603155451959 58814544487309 54236041597325
64476946102498 62876755878626 61865352374327 60803099299213 58814544487309
61603155451959 61865352374327 61899682489401 61865352374327 61603155451959
58814544487309 60803099299213 61865352374327 62876755878626 64476946102498
54236041597325 58814544487309 61603155451959 64476946102498 69706010502882
total:308836698141973

远蚘むンデント党郚消えるんかヌい

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎04月27日 01:50)

DD++さん
反応頂き有難いのですが... 矢匵り数え方は総圓たりよりは玠敵なのかもしれたせんがモダりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈2533ä»¶ (投皿438, 返信2095)

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