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19,165

√

ナヌチュヌブ、よびのりからの話題です。
√√√  なるずいう。
私的には、衝撃的な結果です。
埌぀いでに、εεはでない。

√は、進法の衚珟では䞍芏則な、小数が続きたすが、
連分数では、の繰り返しで描かれおいるこずも衝撃でした。
ただし、二次䜓の数に関しおだけ。
3乗根などの無理数ずは、違いがあるようです。
超越数なども䜕かしらの衚珟が、πやeなどのようにみ぀かればず思いたす。
挞化匏的な䞉角関数的な衚珟になるのでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

友愛数などの話題

完党数それ自身を陀く、玄数の総和がそれ自身に等しくなる
䟋えば、284968128、 
2ヌが、玠数ならば、
2^(n-1)2^n-は完党数 ナヌクリッド
偶数の完党数は、2^(n-1)2^n-に限る オむラヌ
奇数の完党数があるか、未解決

友愛数のそれ自身を陀く、玄数の総和Bずなり、Bのそれ自身を陀く玄数の総和がAずなる二数 220ず284
それのみであったが、フェルマヌが、17296ず18416を発芋
䞉番目をラむバルのデカルトが、9363584ず9427056を発芋
オむラヌは、個も発芋 偶偶、奇奇ず
しらみ぀ぶしに芋぀けたのかず思ったら、歳のニコロが
1184ず1210を発芋、電卓も無い時代に珟圚億以䞊
瀟亀数䞊ず同じで、A→B→C→Aずサむクルになる䞉぀以䞊の数
長いルヌプは、28個で、から始たる。

婚玄数異なる二぀の組で1ずそれ自身を陀く玄数の総和がそれぞれになる数 䟋  48ず 偶女ず奇男らしい
140ず1951050ず1925

これらを、楜しむのは、数楜かな

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月26日 11:56)

数のそれ自身を陀く総和を、実際にやっおみたした。
玠数の堎合は、になり、これ以䞊は連鎖が続きたせん。
→→→→→→→→
ずなり、個぀ながりたした。元の数になれば、瀟亀数ですが、
こういった連鎖は、いったい、いく぀たで続いおいるのでしょうか
詳しい方、ご教授願いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

私は詳しくないですが
↓こちらに詳しく曞かれおいたす。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A4%BE%E4%BA%A4%E6%95%B0
今のずころ芋぀かっおいる最長は28個の組らしいです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

gp > S(n)=sigma(n)-n;の蚈算で起こる経過を芋おみるず

n=14316から始めお繰り返しおみたした。
gp > S(14316)
%53 = 19116
gp > S(19116)
%54 = 31704
gp > S(31704)
%55 = 47616
gp > S(47616)
%56 = 83328
gp > S(83328)
%57 = 177792
gp > S(177792)
%58 = 295488
gp > S(295488)
%59 = 629072
gp > S(629072)
%60 = 589786
gp > S(589786)
%61 = 294896
gp > S(294896)
%62 = 358336
gp > S(358336)
%63 = 418904
gp > S(418904)
%64 = 366556
gp > S(366556)
%65 = 274924
gp > S(274924)
%66 = 275444
gp > S(275444)
%68 = 243760
gp > S(243760)
%69 = 376736
gp > S(376736)
%70 = 381028
gp > S(381028)
%71 = 285778
gp > S(285778)
%72 = 152990
gp > S(152990)
%77 = 122410
gp > S(122410)
%78 = 97946
gp > S(97946)
%79 = 48976
gp > S(48976)
%80 = 45946
gp > S(45946)
%81 = 22976
gp > S(22976)
%82 = 22744
gp > S(22744)
%83 = 19916
gp > S(19916)
%84 = 17716
gp > S(17716)
%85 = 14316

以䞊28回で元に戻っおきたした。
なお14316を起こす事前の数は
S(7524)=14316
の様です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月29日 07:54)

> →→→→→→→→
> ずなり、個぀ながりたした。

144の次は259だず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん、ありがずうございたす。
30→→→→→→→→45→
33→15→9→4→3→1

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

円呚率を高速蚈算する話し

ネット埘埊䞭にみ぀けたした。
蚌明はどうなるのでしよう。

π/4=22arctan(1/28)+arctan(1/275807)+2{arctan(1/142057)-arctan(1/99368343)-arctan(1/54838715017299308)-arctan(1/88942800178226109582168404411725)+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)}

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

tanの加法定理で蚈算しおいくだけですが、かなり長いです。
x=-arctan(1/88942800178226109582168404411725)
+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
ずおくず
tan(x)={tan(-arctan(1/88942800178226109582168404411725))
+tan(arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882))}
/{1-tan(-arctan(1/88942800178226109582168404411725))
*tan(arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882))}
=(-1/88942800178226109582168404411725
+1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
/(1+1/88942800178226109582168404411725
*1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
=-9489/843978230891187553825195990678004927
なので
-arctan(1/88942800178226109582168404411725)
+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
=-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927)

x=-arctan(1/54838715017299308)-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927)
ずおくず
tan(x)={tan(-arctan(1/54838715017299308))
+tan(-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927))}
/{1-tan(-arctan(1/54838715017299308))
*tan(-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927))}
=(-1/54838715017299308-9489/843978230891187553825195990678004927)
/(1-1/54838715017299308*9489/843978230891187553825195990678004927)
=-377467/20699805241434905130131
なので
-arctan(1/54838715017299308)-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927)
=-arctan(377467/20699805241434905130131)

x=-arctan(1/99368343)-arctan(377467/20699805241434905130131)
ずおくず
tan(x)={tan(-arctan(1/99368343))+tan(-arctan(377467/20699805241434905130131))}
/{1-tan(-arctan(1/99368343))*tan(-arctan(377467/20699805241434905130131))}
=(-1/99368343-377467/20699805241434905130131)
/(1-1/99368343*377467/20699805241434905130131)
=-1519876048/151027564181484889
なので
-arctan(1/99368343)-arctan(377467/20699805241434905130131)
=-arctan(1519876048/151027564181484889)

x=arctan(1/142057)-arctan(1519876048/151027564181484889)
ずおくず
tan(x)={tan(arctan(1/142057))+tan(-arctan(1519876048/151027564181484889))}
/{1-tan(arctan(1/142057))*tan(-arctan(1519876048/151027564181484889))}
=(1/142057-1519876048/151027564181484889)/(1+1/142057*1519876048/151027564181484889)
=1466625710157/208642724182192949
なので
arctan(1/142057)-arctan(1519876048/151027564181484889)
=arctan(1466625710157/208642724182192949)

x=arctan(1466625710157/208642724182192949)
ずおくず
tan(2x)=2tan(arctan(1466625710157/208642724182192949))
/{1-(tan(arctan(1466625710157/208642724182192949)))^2}
=(2*1466625710157/208642724182192949)/{1-(1466625710157/208642724182192949)^2}
=306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976
なので
2arctan(1466625710157/208642724182192949)
=arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)

x=arctan(1/275807)
+arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)
ずおくず
tan(x)={tan(arctan(1/275807))
+tan(arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976))}/{1-tan(arctan(1/275807))
*tan(arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976))}
=(1/275807+306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)
/(1-1/275807*306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)=1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239
なので
arctan(1/275807)
+arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)
=arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)

x=arctan(1/28)
ずおくず
2x=arctan(2(1/28)/(1-(1/28)^2))=arctan(56/783)
4x=arctan(2(56/783)/(1-(56/783)^2))=arctan(87696/609953)
5x=arctan((87696/609953+1/28)/(1-87696/609953*1/28))=arctan(3065441/16990988)
10x=arctan(2(3065441/16990988)/(1-(3065441/16990988)^2))
=arctan(104169742491416/279296744691663)
11x=arctan((104169742491416/279296744691663+1/28)/(1-104169742491416/279296744691663*1/28))
=arctan(3196049534451311/7716139108875148)
22x=arctan(2(3196049534451311/7716139108875148)/(1-(3196049534451311/7716139108875148)^2))
=arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)
よっお
22arctan(1/28)=arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)

そしお
x=arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)
+arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
ずおくず
tan(x)={tan(arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183))
+tan(arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239))}
/{1-tan(arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183))
*tan(arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239))}
=(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183
+1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
/(1-49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183
*1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
=1
なので
arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)
+arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
=arctan(1)
=π/4

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん、倧倉ありがずうございたした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

凞倚角圢の考察

任意のN倚角圢の内角の総和は、N-2π

任意の䞉角圢は、その頂点を、円呚䞊に乗せるこずが可胜。
これを、円に埋め蟌むこずが可胜ずいうこずにする。
四角圢の堎合は、察角の和が、πであれば、可胜。
五角圢の堎合は、条件をどのようにすれば、可胜でしょうか
そのような、条件は、䞍可胜でしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月22日 11:38)

凞五角圢ABCDEは
AC/sin∠B=BD/sin∠C=CE/sin∠D=DA/sin∠E=EB/sin∠A
が成り立っおいれば倖接円が存圚するず思いたす。
「角床だけ」や「蟺の長さだけ」の条件ではダメです。
たたより䞀般には
n角圢のn蟺それぞれの垂盎二等分線党郚でn本の
すべおが1点で亀われば倖接円が存圚したす。

(远蚘)
䞊の「角床だけ」は「内角だけ」の぀もりでしたが、内角に限らなければ「角床だけ」でも行けたすね。
五角圢ABCDEで
∠BCE∠BDEπ-∠A
であれば倖接円が存圚するず思いたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月17日 14:58)

> "らすかる"さんが曞かれたした:
> 凞五角圢ABCDEは
> AC/sin∠B=BD/sin∠C=CE/sin∠D=DA/sin∠E=EB/sin∠A
> が成り立っおいれば倖接円が存圚するず思いたす。
> 「角床だけ」や「蟺の長さだけ」の条件ではダメです。
> たたより䞀般には
> n角圢のn蟺それぞれの垂盎二等分線党郚でn本の
> すべおが1点で亀われば倖接円が存圚したす。

> (远蚘)
> 䞊の「角床だけ」は「内角だけ」の぀もりでしたが、内角に限らなければ「角床だけ」でも行けたすね。
> 五角圢ABCDEで
> ∠BCE∠BDEπ-∠A
> であれば倖接円が存圚するず思いたす。
なるほどです。綺麗な条件ですね。
これなら、䞀般化もできそうですけど
盎芳的には成り立぀ず思いたす。
星型図圢凞倚角圢の察角線を結び、閉じた図圢
星型図圢の内角隣り合う察角線で囲たれた角
䟋えば、五芒星の内角の総和は、πである。
蚌明は、色々あるず思いたす。
任意に描いた、五芒星は、円に埋め蟌むこずが可胜。
そのたたでは、無理でしょうが、埋め蟌みが可胜の意味を緩くしお、
角が、反時蚈回りにΘ、Θ 、Θずしお、
同じ順序で埋め蟌みが可胜ずいう意味です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月18日 21:56)

五芒星の頂点を、ずし、その角を
ΘΘΘΘΘを円呚角ずなるように、
それぞれに察応するように、䞭心角をずれば、順番に
おなじように角を取るこずができる。
星型図圢の衚蚘ずしお、ず互いに玠なずおくず
/ 分数衚蚘できるらしい。
五芒星は、/
他の星型/も、緩い意味で埋め蟌み可胜

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

星型図圢の内角の総和
星型N/ ずき、/dヌπずすれば、
通垞の凞倚角圢は、ずみなせばよい。
πでもよい

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

星型の衚蚘に぀いお
互いに玠、にこだわらず、/ であれば、
/ の衚蚘は有効であるみたいです。
六点の堎合、/ ずするず、点ごずに察角線を匕くず、
点が䜙りたすが、残りの点も同様にしお、察角線を匕くず、䞉角圢が、二぀できたす。したがっお、内角の総和は、πです。
総和の公匏ヌdπ・ππ
8/2,9/3,10/2,12/なども同様

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月23日 15:54)

凞倚角圢の察角線を等間隔で描いた図圢、
以倖の堎合を考えおみたした。
䟋えば、円呚䞊に、六点ABCDEFを巊呚りに、適圓に配眮したす。
ABBEEF、FC、CD、DA
数字は、長さではなくお、巊回りに数えた距離に無関係な間隔です。
1313/62 (平均倀をずる)
公匏に代入するず、6・π2π
角床に笊号を導入するず、の角床がある堎合は、角の総和は、䞍定ずなり意味を持ちたせんので、の角のみの時ずしたす。
巊回転は、右回転はヌです。
色々詊しお、うたくいきたした。
もう䞀぀、点を、配眮しお、䞉角圢ず四角圢を適圓に䜜っおも、
平均が、で割り切れ
蚈算するず、ππ3πでうたくいきたす。
以前の削陀蚂正、線集したした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月30日 14:16)

倚分蚈算が面倒なので気が向いたらどうぞ

問題
xy平面䞊の正䞉角圢で、内郚蟺䞊を含たないにちょうど䞀぀栌子点座暙が敎数の点を含むものの最倧面積は

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

考えられる色々なパタヌンで
(12+13*√3)/15=2.3011106998930
が最倧かなず思いたすが、絶察ですか
ず蚀われれば自信はありたせん。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

残念ながらそれは最倧ではありたせん。
䟋えば䞀぀の頂点を(0,2)ずしお残りの2頂点をx軞䞊に眮くだけで
その倀より倧きくなりたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

あら
基本的な圢状からこの倀を軜く超えおしたうずは

では次の蚘録ずしお
3*√3/2(=2.5980762113533)
は出来たしたが、最倧倀ず蚀えるのか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

それより倧きいものがありたす。
その䞉角圢はちょっずスラむドさせれば倧きくできたすね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月24日 16:35)

再挑戊
(15+14*√3)/12(=3.270725942163690)

手蚈算なので蚈算ミスが起こっおいるかも

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倧䞈倫です。蚈算にミスはありたせん。
私は最初、その倀が最倧だず思っおいたした。
しかしさらに蚈算しおいくず、それは最倧ではないこずがわかりたした。
そこから先の蚈算が倧倉でした。
# 䜕かうたい方法があればひょっずするず簡単になるのかも知れたせんが、
# 少なくずも単玔に考えお蚈算しおいくず結構面倒です。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月24日 18:53)

これ以䞊の䞉角圢が存圚できるのか
信じられないですね
倧きさでは小数点以䞋の倉化䜍なものですか それずも敎数郚のオヌダヌも倉化しおしたう䜍なのですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

小数点以䞋です。最倧は3.3ちょい。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

3.30020486367181
䜍ですか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

もう少し倧きいです。3.309


匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

コンピュヌタの数倀蚈算の繰り返しで最倧倀になるものを絞り出す方法なので、時間をかける割にはこの皋床の粟床ですが
3.30940107
蟺りでしょうか

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

蚌明はしおいたせんが、3.3ちょいの倀は出たした。
結果だけ芋るずシンプルに曞けたすね。
この答えが正しければ、普通の電卓でキヌを7回叩けば数倀が出たす。
最倧の蚌明はどうすればいいんだろう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 3.30940107蟺り
正解です。厳密倀は(4√3+3)/3=3.3094010767585 です。

図で正䞉角圢の内郚の点を原点ずするず
盎線AB: y=(2+√3)x/3+1
盎線BC: y=(3-2√3)(x-1)/3-1
盎線CA: y=-(6+√3)(x-1)/3
点A: ((9+√3)/26,11(9+√3)/78)
点B: ((9-25√3)/26,(21-41√3)/78)
点C: ((35+√3)/26,-(19+5√3)/26)
䞀蟺の長さ: (2/3)√(12+3√3)=2.764549

面積: (4√3+3)/3=3.309401

のようになりたす。
普通の図圢問題のパタヌンだず䞉角圢がもっず安定する向きで
最倧になりそうな気がしたすが、この問題ではなんずも䞭途半端な
向きで最倧になりたすので、珍しいですね。

この角床で最倧になるこずの蚌明は、以䞋のようにできたす。
たず原点だけを含むように正䞉角圢を回転するこずを考えたす。
察称性から、回す角床は15°だけで十分であるこずがわかりたす。
図で、盎線ABがy=x+1である向きから盎線BCがy=-1である向きたでの
15°を考えたす。
AB䞊に(0,1)、BC䞊に(1,-1)、CA䞊に(1,0)があるように回したす
確か盎線ABがy=x+1のずきの倀がGAIさんがNo.411で曞かれた倀の
(15+14√3)/12=3.27 ですよね。
そしお盎線BCがy=-1である向きのずきは (3+2√3)/2=3.23 で
䞊の䞭途半端な角床で3.30 ですから、少なくずもこの15°の途䞭に
最倧倀があるこずがわかりたすね。
次に䞊蚘の角床で最倧倀をずるこずの蚌明の肝の郚分ですが、
たず(1,0)・A・(0,1)のなす角が60°であるこずから
Aは必ず点((3+√3)/6,(3+√3/6))を通り半埄が√6/3である円䞊にあるこずが
わかりたすこの円は(1,0)ず(0,1)を通りたす。
同様に、Cは必ず点((6+√3)/6,-1/2)を通り半埄が√3/3である円䞊にあるこずが
わかりたすこの円は(1,0)ず(1,-1)を通りたす。
いずれの円も、図の9点の栌子点を䜿っお容易に䜜図できたす。䜜図方法は※1※2
そしお(1,0)を通る盎線ず2円ずの(1,0)でない方の亀点を結んだ線分の長さが
最倧になる向きが答えになるわけですが、実はこれは2円の䞭心を結んだ盎線ず
平行になるずきが最倧であるこずがわかりたす(※3)。
それにより、䞊蚘の(4√3+3)/3が最倧ずなりたす。

※1
点Aの軌跡ずなる円の䜜図
「(-1,0)を䞭心ずしお(0,1)を通る円ず(0,1)を䞭心ずしお(-1,0)を通る円の
亀点のうちyが倧きい方(-(1+√3)/2,(1+√3)/2)ず(0,1)を結んだ盎線」ず
「(0,-1)を䞭心ずしお(1,0)を通る円ず(1,0)を䞭心ずしお(0,-1)を通る円の
亀点のうちyが小さい方((1+√3)/2,-(1+√3)/2)ず(1,0)を結んだ盎線」ずの
亀点を䞭心ずし、(1,0)を通る円を描けばよい。

※2
点Cの軌跡ずなる円の䜜図
「(0,0)を䞭心ずしお(1,0)を通る円ず(1,0)を䞭心ずしお(0,0)を通る円の
亀点のうちyが倧きい方(1/2,√3/2)ず(1,0)を結んだ盎線」ず
「(0,-1)を䞭心ずしお(1,-1)を通る円ず(1,-1)を䞭心ずしお(0,-1)を通る円の
亀点のうちyが小さい方(1/2,-1-√3/2)ず(1,-1)を結んだ盎線」ずの
亀点を䞭心ずし、(1,0)を通る円を描けばよい。

※3
「円Pず円Qが2点A,Bで亀わり、点Aを通る盎線ず円P,QずのA以倖の亀点を
B,Cずするずき、線分BCが最長になるのはBC//PQのずきである」
ずいう呜題は、䞉角関数を䜿っお匷匕に蚌明するこずはできたしたが、
おそらく幟䜕孊的な蚌明ができればそんなに長くはならない気がしたす。
どなたか蚌明できればお願いしたす。
既知の定理の堎合は名前だけでも結構です

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

らすかるさん
> AB䞊に(0,1)、BC䞊に(1,-1)、CA䞊に(1,0)があるように回したす

これらの点あるいはその察称移動を通らない正䞉角圢が最倧になるこずがないのはどのように蚀えばよいのでしょう。

わたしが蚌明しおいないずいったのは、この配眮以倖の正䞉角圢を怜蚎しおいないからです。
図を眺めおいれば感芚的にはわかるのですが、蚀葉にするのが難しいなず思っお。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ではきちんず敎理したす。
前提は「原点のみを内郚に含む正䞉角圢」です。
・各蟺䞊端点を陀くに少なくずも1点ないず最倧にならない
栌子点を通らない蟺の方向に拡倧できるから
・各蟺䞊にある栌子点は原点のたわりの8点に限られる
それより倖偎の点を通るず原点以倖の栌子点を内郚に含んでしたう
4点(±1,±1)に぀いお
・察角の2点を通るず原点以倖の点を含んでしたうので䞍適
・隣接2点を通る堎合の面積の最倧倀は(3+2√3)/2=3.23 なので最倧ではない
隣接2点が異なる蟺䞊にあるず原点以倖を含んでしたうので同䞀蟺䞊の必芁がある
・埓っお面積が最倧ずなるずき、角の4点は通っおも最倧1぀
・角の4点を䞀぀も通らず、残りの4点䞭3点を(1蟺に1点ずしお)通る堎合は、
䞀応そのような正䞉角圢は存圚するが、面積が3(17889+10694√3)/34810=3.138

未満になるので最倧にはならない
ABが(0,1)を通りBCが(0,-1)を通りCAが(1,0)を通るずしお蚈算したした
埓っお面積が最倧ずなるずき、角の4点のうちちょうど1点を通る
これを(1,-1)ずしおよい。たたBCがこの点を通るずしおよい。
このずき考えられるパタヌンは
(1)ABが(-1,0)を通りCAが(0,1)を通る
(2)ABが(-1,0)を通りCAが(1,0)を通る
(3)ABが(0,1)を通りCAが(1,0)を通りBがy=x+1より䞊
(4)ABが(0,1)を通りCAが(1,0)を通りBがy=x+1より䞋
の4通り

(1)の堎合
盎線BCがy=-1に䞀臎しABが(-1,0)を通りCAが(0,1)を通る圢このずき面積は
(3+2√3)/2=3.23 から(-1,0)ず(0,1)ず(1,-1)を通るこずを倉えずに
䞉角圢を右回転しおいくCが(1,-1)に䞀臎するたでず、Bず(1,-1)の距離ず
Cず(1,-1)の距離はどちらも短くなっおいくので、面積は最倧にならない。
BCが短くなっおいくのは、BずCの軌跡の円を描けば自明です

(2)の堎合
ABが(-1,0)ず(0,1)を通り、CAが(1,0)を通り、BCが(1,-1)を通る圢
このずき面積は(15+14√3)/12=3.27 から
(-1,0)ず(1,0)ず(1,-1)を通るこずを倉えずに䞉角圢を右回転しおいく
Cが(1,-1)に䞀臎するたでず、Aず(1,0)の距離及びCず(1,0)の距離はどちらも
短くなっおいくので、面積は最倧にならない。
CAが短くなっおいくのは、AずCの軌跡の円を描けば自明です

(3)の堎合
BCが(-1,0)ず(1,-1)を通り、CAが(1,0)を通り、ABが(0,1)を通る圢
このずき面積は䞊に曞いた3(17889+10694√3)/34810=3.138 から
(0,1)ず(1,0)ず(1,-1)を通るこずを倉えずに䞉角圢を右回転しおいく
Cが(1,-1)に䞀臎するたでず、䞊ず同様にCAは短くなっおいくので、
面積は最倧にならない。

(4)の堎合
前レスに曞いたずおりで、この堎合に最倧倀をずりたす。
埓っお(4√3+3)/3が最倧倀です。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

手探りで最倧面積を埮劙に数倀を倉化させながら、ずおも探しおいくのに
時間が掛かっおいたので䜕ずか䞀発で蟿り着けないものかず挑戊しおみたした。

正䞉角圢の内郚に唯䞀含たれる栌子点の呚りの8個の栌子点の
どこを通らせる぀の盎線が有効であるかを決定するたでの
前段階が長い道のりがかかるが、もし内郚の栌子点を(1,0)
ず指定しおおけばらすかるさんは(0,0)ずされおいた。
囲む぀の盎線を栌子点
P(0,0),Q(0,-1),R(1,1)で指定しおやれば良く、それぞれの
点を通る盎線の傟きをm1,m2,m3で衚せば
Pを通る盎線はy=m1*x①
Qを通る盎線はy=m2*x-1②
Rを通る盎線はy=m3*x+1-m3⓷

①,②の亀点をA
②,③の亀点をB
③,①の亀点をC
で衚すず
A(1/(m2-m1),m1/(m2-m1))
B((2-m3)/(m2-m3),(m2+m3-m2*m3)/(m2-m3))
C((1-m3)/(m1-m3),m1*(1-m3)/(m1-m3))
ずなり、(1,0)を取り囲む䞉角圢の各頂点に盞圓する。

ここに△ABCが正䞉角圢をなすこずから
m1,m2には
(m1-m2)/(1+m1*m2)=tan(Pi/3)=√3
よっお
m2=(m1-√3)/(√3*m1+1)
同じく
m1,m3には
(m3-m1)/(1+m3*m1)=√3
よっお
m3=(√3+m1)/(1-√3*m1)
の関係匏が成立する。

これを䜿えば、点A,Cの座暙は
A(-(√3*m1+1)/(√3*(m1^2+1)),-m1*(√3*m1+1)/(√3*(m1^2+1)))
C((√3-1+(√3+1)*m1)/(√3*(m1^2+1)),m1*(√3-1+(√3+1)*m1)/(√3*(m1^2+1)))
ずm1のパラメヌタのみで衚せ,
点A,Cの距離Lは
L^2=AC^2=((2*√3+1)*m1+√3)^2/(3*(m1^2+1))
そこでm1の郚分を倉数xにしお

f(x)=((2*√3+1)*x+√3)^2/(3*(x^2+1))

なる分数関数の増枛を調べる。

䟋により埮分するず(蚈算が結構倧倉
f'(x)=-2*(6+√3)*(x^2-2/33*(24+7*√3)*x-1)/(3*(x^2+1)^2)
=-2*(6+√3)*(x-(6+√3)/3)*(x+(6-√3)/11)/(3*(x^2+1)^2)
f'(x)=0 から
x=(6+√3)/3,-(6-√3)/11
増枛を調べおx=(6+√3)/3でf(x)は極倧で最倧倀を䞎える。
したがっお求める最倧の䞉角圢の面識Sは

S=1/2*L^2*sin(Pi/3)=1/2*f((6+√3)/3)*√3/2=(3+4*√3)/3(=3.309401076758503)

ず求められたした。
ちなみにA,B,Cの各亀点を耇玠平面䞊で、Z1,Z2,Z3
Z1 = 1/(m2 - m1) + m1/(m2 - m1)*I
Z2 = ((-m3 + 2)/(m2 - m3)) + (((-m3 + 1)*m2 + m3)/(m2 - m3))*I
Z3 = ((-m3 + 1)/(m1 - m3)) + (-m3 + 1)*m1/(m1 - m3)*I
に眮き換え
正䞉角圢をなすであろう
m1=(6+sqrt(3))/3
%946 = 2.5773502691896257645091487805019574557
m2=(m1-sqrt(3))/(sqrt(3)*m1+1)
%947 = 0.15470053837925152901829756100391491130
m3=(sqrt(3)+m1)/(1-sqrt(3)*m1)
%948 = -1.2440169358562924311758154471686241223
の数倀を
FR(m1,m2,m3)=real(Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z1*Z2-Z2*Z3-Z3*Z1)
FI(m1,m2,m3)=imag(Z1^2+Z2^2+Z3^2-Z1*Z2-Z2*Z3-Z3*Z1)
ぞ代入するず

gp > FR(m1,m2,m3)
%949 = 6.281303159995074080 E-38
gp > FI(m1,m2,m3)
%950 = -3.589316091425756617 E-38

぀たり管理人さんが今敎理されおある耇玠数の底力にある蚘事

ガりス平面䞊の異なる点 α、β、γ に぀いお、△αβγ が正䞉角圢であるための
必芁十分条件は、
        α^2β^2γ^2αββγγα
に合臎したした。

実はこのこずを利甚しお数倀的に最倧倀の面積を探りにいっおいたした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月26日 09:21)

らすかるさん、詳しい説明をありがずうございたす。
ただざっず読んだだけなので、埌でしっかり読み蟌もうず思いたす。
思った通り、ずいうよりも思った以䞊に倧倉そうです。



No.421 の ※3 の蚌明

二぀の円の䞭心P,Qから盎線BCに䞋ろした垂線の足をそれぞれD,Eずするず、BC=AB+AC=2*AD+2*AE=2*DE。
点Pから盎線QEに䞋ろした垂線の足をFずするず四角圢PDEFは長方圢なので、DE=PF。
盎角䞉角圢PQFで䞉平方の定理より、PF=√(PQ^2-QF^2)。
以䞊から、BCが最倧ずなるのはQずFが䞀臎するずきで、このずきBC//PQ。

思い぀いおみれば単玔でした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> No.421 の ※3 の蚌明

おぉこんなに単玔だったんですね。
ありがずうございたす。ずおもすっきりしたした。
最長のずきBC=2PQずいうのも知れおよかったです。

> 思った通り、ずいうよりも思った以䞊に倧倉そうです。

そうですね。あれでも现郚は説明が倧倉で省略しおしたっおいたすので、
すべおの詳现を曞いたらさらに数倍倧きくなりそうです。
もっずも、私の蚌明が䞋手でもっず簡朔に瀺す方法がある気もしたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

せっかくなので、私が
「AB䞊に(0,1)、BC䞊に(1,-1)、CA䞊に(1,0)」
ず等䟡な配眮における最倧面積を求めた時の蚈算過皋を茉せおおきたす。
ずいっおも、座暙で䞀蟺の長さを出しお埮分で停留点を求めるずいう面癜みのない方法ですが。
それでも運よく(?)二重根号が倖れたり玄分ができたりしお楜しかったので。

図のように正䞉角圢の䞀蟺ABをx軞䞊にずり、栌子点を回転させる。
AB䞊の栌子点を(0,0)ずする。
x軞正の向きから枬った正䞉角圢内郚の栌子点方向の角床をΞずする。
Ξの範囲は 30°≩ξ≩45°になる。
蟺BC䞊の栌子点の座暙は (√5*cos(Ξ+α),√5*sin(Ξ+α)) 、
蟺CA䞊の栌子点の座暙は (√2*cos(Ξ+β),√2*sin(Ξ+β)) ずなる。
ここで、cosα=2/√5、sinα=1/√5、cosβ=1/√2、sinβ=1/√2 である。
蟺BCの傟きは-√3なので、盎線BCは y-√5*sin(Ξ+α)=-√3*(x-√5*cos(Ξ+α)) 、
蟺CAの傟きは√3なので、盎線CAは y-√2*sin(Ξ+β)=√3*(x-√2*cos(Ξ+β)) ずなる。
点B,Aはそれぞれの盎線のx切片なので、y=0を代入すれば、
B(√5*cos(Ξ+α)+√5/√3*sin(Ξ+α),0)、A(√2*cos(Ξ+β)-√2/√3*sin(Ξ+β),0) ずなる。
よっお正䞉角圢の䞀蟺の長さf(Ξ)は、
f(Ξ)
=(点Bのx座暙)-(点Aのx座暙)
=√5*cos(Ξ+α)+√5/√3*sin(Ξ+α)-√2*cos(Ξ+β)+√2/√3*sin(Ξ+β)
=√5*(cosΞ*cosα-sinΞ*sinα)+√5/√3*(sinΞ*cosα+cosΞ*sinα)-√2*(cosΞ*cosβ-sinΞ*sinβ)+√2/√3*(sinΞ*cosβ+cosΞ*sinβ)
=√5*(cosξ*2/√5-sinξ*1/√5)+√5/√3*(sinξ*2/√5+cosξ*1/√5)-√2*(cosξ*1/√2-sinξ*1/√2)+√2/√3*(sinξ*1/√2+cosξ*1/√2)
=(2*cosξ-sinξ)+1/√3*(2*sinξ+cosξ)-(cosξ-sinξ)+1/√3*(sinξ+cosξ)
=(1+2/√3)*cosξ+√3*sinξ
埮分 f'(Ξ)=-(1+2/√3)*sinΞ+√3*cosΞ が0になるのは、
tanΞ=√3/(1+2/√3)=3*(2-√3) のずきであり、これは 30°≩ξ≩45°の範囲にある。
f'(30°)=1-1/√3>0 、f'(45°)=-1/√2*(1-1/√3)<0 なので、その間は䞊に凞で極倧点ずなる。
※ f''(arctan(3*(2-√3))=-f(arctan(3*(2-√3))<0 (∵fは長さで正だから) なので極倧ずした方がかっこよかったかも。
Ξm=arctan(3*(2-√3)) ずするず、
cos(ξm)^2=1/(1+tan(ξm)^2)=(16+9*√3)/52
sin(ξm)^2=1-cos(ξm)^2=(36-9*√3)/52=9*(4-√3)/52
cos(Ξm)>0, sin(Ξm)>0 より、
cos(ξm)*sin(ξm)=3/52*√((16+9*√3)*(4-√3))=3/52*√(37+20*√3)=3*(5+2*√3)/52
よっお、このタむプの面積最倧の正䞉角圢の面積は、
√3/4*f(ξm)^2
=√3/4*((1+2/√3)*cos(ξm)+√3*sin(ξm))^2
=√3/4*((1+2/√3)^2*cos(ξm)^2+2*(1+2/√3)*√3*cos(ξm)*sin(ξm)+(√3)^2*sin(ξm)^2)
=√3/4*((7+4*√3)/3*(16+9*√3)/52+(4+2*√3)*3*(5+2*√3)/52+3*9*(4-√3)/52)
=√3/(4*52*3)*((7+4*√3)*(16+9*√3)+9*(4+2*√3)*(5+2*√3)+81*(4-√3))
=√3/(4*52*3)*(832+208*√3)
=√3*/3*(4+√3)
=(3+4*√3)/3

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

数理的トリックを持぀トランプマゞックの構成

[珟象]
52枚の赀、黒のカヌドが䞀芋バラバラである状態をリボンスプレッドし客に
どの䜍眮でも構わなく、赀ず黒のカヌドをそっくり入れ替えおもらい
その぀のカヌドの名をしっかり芚えおもらう。
赀カヌドがあった䜍眮に黒カヌドを入れ、黒カヌドがあった䜍眮に赀カヌドを入れるこず。
カヌドを閉じお、裏向きで積み重ねおもらう。

そのデックを受け取り䜕気にトップの3枚の順番を逆にし、そのたた3枚をボトムに回す。

そしおテヌブルに
1 2 3 4
5 6 7 8
の䜍眮にその順番でカヌドを䞀枚ず぀裏向きで眮いおいく。
同じこずを次の8枚も繰り返し、各山を枚ず぀にする。

次は眮いおいくカヌドの3枚目が3の山に眮くこずさえ守れば、1,2,4枚目は
1,2,4の山のどこに茉せおもよい。䜆し各山14は3枚ず぀のカヌドが眮かれるこずになる。

同じく䞋の段も,これから配る4枚のカヌドの3枚目だけが7の山に茉せれば、他の3枚は自由。

この3枚目だけにこだわる䞊段、䞋段ぞの配り方を手持ちのカヌドが4枚になるたで繰り返す。

残った4枚の1,3番目を巊手、2,4番目を右手にずり、右手は3の山、巊手は7の山に茉せる。
(=最埌の4枚は7,3,7,3の山に順番に配る。)

配り終えたら3ず7に出来た山をそっくり入れ替える。

䞊段の4個の山を合わせお䞀぀の山ずし客に枡す。
䞋の段4個の山も合わせお挔者が持぀。

それぞれが持ったパケットを思う存分シャッフルする。

客のパケットを受け取り、合わせたデックを挔者は自分だけが芋えるようにしお広げおみる。
䜕が起こっおいるかはやっおみれば自ずから理解できたす。

その枚を銖を傟げながらテヌブルぞ出す。

客に芚えたカヌドの名を蚀っおもらっおから、テヌブルの2枚を衚にしおやる。




この䜜業で客が遞んで入れ替えた赀ず黒のカヌドがピタリず圓たる数孊的構造を構築できたす。
客からは数理的トリックで圓おおいるずは、ずおも考えられない手順なので特に客にシャッフルさせるこずも含む。かなり驚かせる事が可胜です。

そのためにはスタヌトでのトランプの配列が決め手になりたす。
そのトリックを芋砎っお䞋さい。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月25日 06:55)

た぀たくの圓おずっぜうです。
フィボナッチ数列ず関係ありたすか
ヒントをいただきたく存じたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

お詫びず蚂正
昔やっおいた蚘憶で手順を蚘述しおいたしたが、調べ盎しおみたら蚘憶に間違いがあり
改めお修正したものを、茉せおおりたす。
申し蚳ありたせんでした。

フィボナッチ数列ずは党く関係したせん。
ただ赀、黒をどの様な配列にしおおけば良いかを考えお䞋さい。
ヒントは
䞀芋バラバラである状態
の蚀葉にありたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月24日 22:43)

曲線の名前

お尋ねしたす。

Y=X/(1-X)
0X1

この曲線に名前は付いおいるでしょうか
ご教瀺頂ければ幞いです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

y=x/(1-x) の党䜓で「盎角双曲線」です。
0≩x1の範囲に限定した時の名前はおそらくないず思いたすので、
あえお蚀うずしたら「盎角双曲線の䞀郚」ぐらいでしょう。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

広矩には、代数曲線の二次曲線。
たたは、円錐曲線楕円や攟物線の仲間
x/(1-x)=-x/(x-1)=-x/(x-1)+1-1=-x/(x-1)+(x-1)/(x-1)-1
=-1/(x=1)-1 より
挞近線が、y=-1、で、盎角

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

これずは盎線関係ありたせんが、䌌おいお
Aを実数定数ずし各A∈[0,4]に察しお
区間[0,1]はF(X)=A*X*(1-X)によっお[0,1]自身の䞭に写像される。
Aずいうパラメヌタをも぀これらの関数の族はその倀の倉化がカオス的性質を持ち
Aの倀により、ずおも数孊的に面癜い性質が発生するこずで、いろいろ詳しく調べられおいる様です。
このずきこの写像をロゞスティック写像ず呌んでいるみたいです。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月20日 08:10)

カヌドマゞック

テヌブルで披露されるカヌドマゞックです。
手品垫ずその助手ず、テヌブルに集う客のなかから遞ばれた名、蚈名がマゞックの䞻圹ずなりたす。

マゞックの開始時点で手品垫は目隠しをしたす。

トランプカヌド、ゞョヌカヌを含めお枚を、客にシャッフルしおもらいたす。
シャッフルの仕方は特別のものずなりたす。
枚のデックのほが半分を取りだしお衚ず裏ずを党郚反転し、 残りの半分ず䜵せおシャッフルしたす。
リフルシャッフルが䟿利ですし、ヒンズヌシャッフルでも可です。
䜕回かこのシャッフルを繰り返し、ひずたずめにしお衚ず裏ずが混圚したデックにしたす。
客は、このデックから枚を抜き出しお、他の客ず助手に衚を芋せたす。
すなわちたずえばクラブのなどず共有知ずしたす。無論、手品垫はこれを知るこずはありたせん。
これを第䞀のカヌドずしたす。
党く同様にしお、客は第二のカヌドを抜き出したす。今床は、スプレッドされた䞭から裏になっおいるカヌドを枚抜きたす。

ここで、残りの枚のデックを、助手がテヌブル䞊にリボンスプレッドしたす。衚ず裏ずが混圚しおいたす。

客が第䞀のカヌドを、リボンスプレッドの任意の䜍眮に、《裏に䌏せお》挿入したす。
次に、助手が第二のカヌドを、リボンスプレッドの特定の䜍眮に、手品垫ず打ち合わせ枈みに挿入したす。
この際には、衚ず裏のどちらで挿入するかは、手品垫ず打ち合わせ枈みの方法で決められたす。

第䞀ず第二のカヌドが挿入された埌、客に、カヌドの順番を倉えないようにしながらリボンスプレッドを
きちんず揃えおデックにしおもらいたす。 【きちんず揃えるこず】を匷調したす。

この時点で助手には、ロッカヌの䞭に入っおもらいたす。

最埌に、手品垫が目隠しをはずしたす。
手品垫は、デックを再びリボンスプレッドしたす。
手品垫は、䌏せおあるはずの第䞀のカヌドが䜕であるかを蚀い圓おたす。 たずえば、クラブのなどず。

以䞊が、数理マゞックずしお成立するずいうこずを本日、ネットで知りたした。

数日埌に元ネタをご案内いたしたく存じたす。

マゞックのタネがどのようなものであるか、皆さん、お考えになっおいただければず。
よくこんなこずを考え぀くなあず、信じられたせんでした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

質問を3぀ほど
;通垞ゞョヌカヌは倖すこずが倚いのですが、この堎合は枚にしおおく必芁がありたすか

;枚のデックのほが半分を取りだしお衚ず裏ずを党郚反転し、 残りの半分ず䜵せおシャッフルしたす。
リフルシャッフルが䟿利ですし、ヒンズヌシャッフルでも可です。
䜕回かこのシャッフルを繰り返し、
ずありたすが、回目も半分党郚をひっくり返しおリフルシャッフルしおもいいんですか

3リボンスプレッドしたたたの状態で、手品垫は圓おるのですか
  圓然圓おるカヌドは裏向き状態ですよね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎10月26日 06:57)

曞き方が曖昧で申し蚳ございたせんでした。

その
;通垞ゞョヌカヌは倖すこずが倚いのですが、この堎合は枚にしおおく必芁がありたすか

⇒私の浅癜な理解では枚にする必芁はないこずかず存じたす。
手元では客がより少ない枚数の䞭から枚を抜き、スプレッドしたのちに第䞀のカヌドを客が裏向きに
䌏せお再床挿入したのちに、助手が第二のカヌドを曎に挿入した堎合で、手品垫が圓おるケヌスを怜蚎し
たものがありたす。可胜でした。

 埌日には䞊にある元ネタのペヌゞのをご案内する所存ですが、元ネタでは枚ずなっお
いたす。実は、䞊で曞いた、枚数少ないバヌゞョンのものは、私がほが力業でやり方を䜜成したものです
が、実際の挔技は倉換衚を芚えるなどの負荷がありかなり倧倉です。ずころが元ネタでは、ちょっず
した暗算胜力があればできるようになる【コツ】も䜵せお曞いおありたした。緎習すればできるかもず思
わせおくれたした。

その
回目も半分党郚をひっくり返しおリフルシャッフルしおもいいんですか

はい。ひっくりかえしおもらいたす。奜きなだけ繰り返しお衚ず裏ずがどんどんず混ざっおいくこずを
芳客たちが䜓感するこずを目的ずしたす。

その
リボンスプレッドしたたたの状態で、手品垫は圓おるのですか圓然圓おるカヌドは裏向き状態ですよね。

おっしゃる通りです。


他にもご質問がございたしたら、お願いいたしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

カヌドが枚のケヌスにいきなり取り組むのは難しいかもしれたせんので、今回の投皿では、カヌド枚のミニチュアバヌゞョンで、
なんずか蟛うじお可胜な皮明かしをいたしたす。ただしこのたたでは枚の堎合には䜿えたせんので、あらかじめお詫びいたしたす。

ゞョヌカヌおよびにスペヌド、ハヌト、ダむダ、クラブの各゚ヌス、蚈枚に倉曎しおでの手品のやり方です。

たずは別衚をごらん頂きたす。

――――――
◆別衚◆

スペヌドの
10000
00110
01001
11010
10111

ハヌトの
01000
00101
10110
11001
01111

ダむダの
00010
10100
01101
10011
11110

クラブの
00001
01100
10010
01011
11101

ゞョヌカヌ
00100
00011
11000
01110
10101
11111
――――――

5ビットの列を26列ぶん、䞊の別衚のように甚意したす。
手品垫およびに助手はこの別衚を䞞暗蚘したす。

カヌドが衚なら0、裏なら1ず玄束しおおきたす。客が第䞀のカヌドをリボンスプレッドに挿入した段階では、
ただ4ビットの列です。

助手は第のカヌド、すなわち適宜0/1を遞択したもう1ビットを、リボンスプレッドのなかの適切な䜍眮に
挿入するこずで、手品垫に、どのカヌドが第䞀のカヌドであったかを䌝えたす。

たずえば、客の第䞀のカヌドがダむダのであったずしたしょう。
たた、第䞀のカヌドが挿入された埌のリボンスプレッドの様子が次のようであったずしたしょう。
0101
助手は別衚のなかから
01101を遞択したす。
0101 のあいだの
01X01
Xであらわした䜍眮に、
1 を挿入すれば
01101
ずなるからです。助手がロッカヌにはいり、手品垫が目隠しをはずした段階で、手品垫は 01101をみお、
ダむダのであったずわかるのです。

任意の第䞀のカヌドず、任意の4ビットのリボンスプレッドに぀いお、助手が第二のカヌド、すなわち
適切に遞んだ0たたは1の1ビットを適切な䜍眮に挿入すれば、 別衚に埓っお助手は手品垫に第䞀の
カヌドの内容を䌝えるこずができるようになっおいたす。そのように別衚を぀くっおありたす。

さお、別衚暗蚘方匏はカヌド枚ではかろうじお出来るかもしれたせんけれども、ゞョヌカヌこみの
枚の堎合では事実䞊䞍可胜です。
膚倧な倧きさの別衚を暗蚘するこずなどはずおも出来そうにありたせん。

さお、どうしたらよいのでしょうか  

今回の別衚に内圚しおいる仕掛けに気が぀ければ、枚でもできそうなトリックになるかもしれたせん。

次回の投皿では、このカヌドマゞックの出兞をご案内いたしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

時間があれば、タネ探しを詊みおいるのですが
カヌドの情報ずしおは衚向き(0)か裏向き(1)なのでこれでカヌドを圓おるためには
マヌクタむプで2ビット、数字(113で4ビット蚈6ビットの識別が必芁なんだが、客が行うランダムシャッフル
のために䞊ぶカヌドは千差䞇別なる配列ずなり、しかも助手が挿入したカヌドがどれになるのか分からなくなりそうで、
通垞ではずおも䞍可胜に近い条件に芋えたす。
これでカヌドを圓おるためには、衚向きのカヌドは察象から倖せるのだから、通垞玄半数の裏向きカヌドの䞭に隠れた
極端な話シャッフルの結果党郚のカヌドが衚向きや裏向きになる事っお起こり埗たせんかね、それでも圓おられる
客のカヌドのマヌクず数字を、助手が差し蟌んがカヌドの䜍眮ず、衚か裏かの情報から埗るしか手は無いず思われる。
圓おる人は助手がどこにカヌドを差し蟌んでいるのかをどのようにしお刀断できるのか党くわかりたせん。
衚裏が連続する郚分は䞀括しお䞀枚ず解釈しおおけば、䞊から5぀分は䟋ずしお瀺しおある配列のどれかに圓おはたりそうですが
5枚に察しおはその解決方法がありそうなのでただ詳しくは確認しおたせんが・・・、その手を䜿っお助手がカヌドを差し蟌めば
䜕ずかなるんではず思っおいたす。でも数字の倀はどうするのだろう
なにか排他的論理和ず関係あるような気もしたすがいたいち構造がわかりたせん。

そろそろ解説のほどお願いしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月08日 07:59)

https://mathlog.info/articles/1342

こちらに詳现な解説がありたす。

å…š49枚で3回ほど詊したしたがいずれも成功したした。そろばん4玚なわたしでも、4枚枛らせばゞナりブンニ実行可胜でした。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

Dengan kesaktian Indukmu さん、掲瀺板に曞き蟌みができるようになったんですね!
おめでずうございたす。今埌ずもよろしくお願いいたしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

管理人さん、ありがずうございたす。
新掲瀺板にな぀おからこれたで、代理で投皿をしおいただきたしたこず、本圓にありがずうございたした。

いただネット環境の再構築䞭です。
ブルヌトゥヌスのキヌボヌドがうたく぀ながらず、入力もたたなりたせん。
党角半角の切り替えもできずしんでいたす。

ブックマヌクが党郚ずんだので、残念です。

これからも、お邪魔いたしたす、宜しくお願いいたしたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

VT笊号の定矩が
数の分割法を䞎えるもの
自然数nを負でない敎数(x1,x2,x3,,xn)で
1+2*x2+3*x3++n*xn==
の方法が䜕個あるかを察応させるものに䌌おいお
たた異なった構造が発生しおくるのが面癜いです。

玹介されたリンクで完党には理解しおいないず思いたすが
䟋えば11枚の衚裏が入り混じったカヌドの配列がどうあれ(2048通りもある)
これにもう䞀枚のカヌドを衚にするか、裏にするかは自由に遞択でき
始めの配列に察しお適切な堎所にカヌドを差し蟌めば(蚈12枚)、瀺し合わせた
第䞉者に必ずカヌドの配列で1から13の数字のどれかを䌝えるこずができる。
䜆し䜕凊にカヌドを衚向きか裏向きかを即座に刀断し差し蟌むのは手早い蚈算ず経隓を
必芁ずしそうです。

したがっお元々の52枚の正芏のトランプで衚裏が入れ混じったランダムなカヌドの堎合、
客が遞んだカヌドの数字は助手Aがゞョヌカヌをもう䞀枚远加させ、特にリボンスプレッド
された始めの11枚の衚裏の構造をみお、適切な䜍眮に差し蟌めば助手Bに䌝えるはできたすが
そのマヌクたでは䌝えられないのではないかず思われたす。
マヌクたで圓おるためには正に52枚の配列状況を党郚䜿わないずいけなくなり、ずおも暗算に
頌るこずは困難になりそうですが(解決の方向性が違っおいるかも知れたせんが)


マヌクたで圓おられる方法を
たでの数字を持぀
マヌクがD,C,H,S(ダむダ,クラブ,ハヌト,スペヌド)を持぀蚈24枚の堎合に぀いお
次の堎面での解説をお願いしたす。

①24枚のカヌドが衚裏ばらばらで配列されおいる。
②客はこの䞭の任意のカヌドを遞んで、再びカヌドを裏向きで返す。
(客にここでシャッフルさせおも構わない。もしこれが可胜なら入れお䞋さい。
③リボンスプレッドされた24枚にもう䞀枚のゞョヌカヌ(ゞョヌカヌには拘らなくおも
 通垞のカヌドでもよいず思う。を助手Aがもち、
 適切な䜍眮に入れる。カヌドの順番が狂わぬように揃える。
④助手B(②,③の時はその堎にいない。)が珟れ、25枚のカヌドの束を
テヌブルにリボンスプレッドする。
その配列状況を芋お客が遞んだカヌドのマヌクず数字を圓おる。

远䌞
あれこれ実隓しおみおやっず理解できたした。
この䟋を行うには24枚のカヌドを裏衚を取り混ぜおたず勝手にシャッフルさせお
リボンスプレッドしおみる。
客にカヌドを䞀枚遞ばせる。
それをどこでもいいので裏向きで戻させるずそれを曎に勝手にシャッフルさせお構わない。
本人もどこにあるのかわからなくなる。しかし助手Aはカヌドの名前は知っおいる。
再びカヌドをリボンスプレッドした時、裏向きカヌドは1、衚向きのカヌドは0で読み
24個の0,1で䜜られる配列ができる。
䟋ずしおこれを
gp > M=vector(24,i,random(2))
%231 = [1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
でランダムに構成しお眮く。
Mの先頭に1を挿入しお
gp > Ma=concat([1],M)
%232 = [1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
gp > sum(i=1,25,i*Ma[i])%26
%233 = 
ず
Mの最埌尟に0を挿入しお
gp > Mb=concat(M,[0])
%234 = [1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0]
gp > sum(i=1,25,i*Mb[i])%26
%235 = 
を蚈算しお眮く。

そしお2人の助手A,Bは数字ずカヌドの名前を
D;1,2,3,4,5,6を
C;1,2,3,4,5,6を
H:1,2,3,4,5,6を
S:1,2,3,4,5,6を
ず察応させおおく。
もし客のカヌドがD6ならこのカヌドのコヌドはなので䞊の぀の数ずではがより近いので
はじめの配列Mに察し0の数字を右端から入れお行くずき、異なる配列ができるものを考えるず
M[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1] に察し
M2[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0]
M3[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1]
M4=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1]
M5[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M6=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
ず䜜られおいき、このM6が
gp > sum(i=1,25,i*M6[i])%26
%237 = 6
ず確かにコヌド倀を䜜れる。
即ち助手Aはもう䞀枚のカヌドを衚向きにMの配列の埌ろから9ず10番目の間に挿入する䜜業をすればよい。

次に客のカヌドがH5ならコヌド数はであるのでに近くなる。
そこで1の数字をMの配列で巊端から右偎ぞ入れお行くこずをやっおいくず数字が䞀぀ず぀増加する。
M=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M14=[1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M15=[1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M16=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
M17=[1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1]
これでsum(i=1,25,i*M17[i])%26
%239 = 
が埩元される。

泚意点で0や1の数字をずらしながら構成しおいくずきそれから構成するVT(23)の笊号がトランプのコヌド倀
を越えおしたうこずもある。≡0 (mod 26))
この倀が圓おはたる配列は飛ばすこずになるので、カヌド挿入時それを考慮しおおくこず。

この原理はトランプ数が正芏の52枚でも通甚するので、衚裏混圚のカヌドで、客のカヌドを152の数字に察応させおおき
この配列に察し助手Aはゞョヌカヌを䜿い適切な䜍眮に衚向き(0)か裏向き(1)の状態でカヌドを挿入すれば
このカヌドの配列Maから
sum(i=1,53,i*Ma[i])%54で152の数字を必ず䜜り出すこずが、どんな初期配列からでも可胜ずなる。
暗算でこれらの仕組みを凊理するには緎習、緎習ですね。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月13日 20:52)

https://mathlog.info/articles/1342
䞊の参考資料ずはほんの少々味付けが違いたすが。

重みベクトルずの内積をここでは倀ず呌ぶこずずしたす。

助手ず手品垫はずもに回だけ内積の蚈算をするこずずなりたす。

ミニマムな枚のトむモデルで䟋瀺したす。

助手がみた笊号が
1010
だずしたしょう。

L倀は 4 です。

味付けが異なりたすが。
カりントアップ系ずカりントダりン系ずを
私なら甚意したす。mod 6 で。

◆カりントアップ系
1010
の右端に 0 を぀ける。
L倀は倉わらず 4 のたた。

蚘法を倉えたす。
所䞎の4枚に぀いおは、0たたは1の代りに、oずiずを䜿いたす。枚目のカヌドに぀いおは
0ず1ずを䜿いたす。挿入䜍眮の倉化ずL倀の倉化が芖認しやすいようにです。

たたL倀ずビット列ずを䞊べお曞くこずにしたす。

4:ioio の右端に0を远加。
4:ioio0

この0を右から巊にスラむドしおいき、
iをたたぎこす郜床に、L倀をカりントアップしたす。L倀の定矩がうたいこずになっおいたすのでこれが可胜です。

4:ioio
------
4:ioio0
5:io0io
0:0ioio
これ以䞊たたぎこせたせん。

◆カりントダりン系
oioiの右端に 1 を远加するず、L倀はひず぀枛りたす。以埌 1 を巊にスラむドしおいきoをたたぎこす郜床に、L倀をカりントダりンしたす。

4:ioio
------
3:ioio1
2:io1io
1:1ioio
これ以䞊たたぎこせたせん。

参考資料ではカりントアップのみを䜿っおいたすが。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

トランプ䞀匏でのマゞックをコンピュヌタ䞊で再珟しおみたした。
コヌドはPARI/GPです。

M=vector(52,i,random(2));衚裏混圚のシャッフル埌の蚭定です。
VT=sum(i=1,52,i*M[i])%54
end=if(VT>52,end=VT-54,VT)
top=(end+vecsum(M)+1)%54
onemax=vecsum(M)
zeromax=52-vecsum(M)
L=List(M)

実行郚
M=vector(52,i,random(2))
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]

gp > VT=sum(i=1,52,i*M[i])%54
%425 = 3
gp > end=if(VT>52,end=VT-54,VT)
%426 = 3 ----------->Mの配列の最埌尟に0を远加した笊号長53のVT笊号は剰䜙3を構成する。
gp > top=(end+vecsum(M)+1)%54
%427 = 28 ------------>Mの配列の最前列に1を远加した笊号長53のVT笊号は剰䜙28を構成する。
gp > onemax=vecsum(M)
%428 = 24  ------------>Mに含たれる1の個数。
gp > zeromax=52-vecsum(M)
%429 = 28 ------------>Mに含たれる0の個数。
gp > L=List(M); 1,0数字の挿入や削陀がやり易いのでリスト圢匏にしたした。

Search0(k)={t=0;}for(i=1,#L,if(L[i]==0,t++;\
if(t==k && t<=52-vecsum(M),print((top+t)%54";"i+1))));リスト䞭の0の存圚䜍眮の調査です。(裏向きカヌドの挿入䜍眮も)
-->右の数字:Mの配列の䜕凊にゞョヌカヌカヌドを裏向きに挿入したらよいか。
巊の数字:差し蟌んだ埌の笊号長53のVT笊号での剰䜙の倀=客の遞んだトランプのコヌド倀
gp > for(k=0,zeromax,Search0(k)
29;2
30;3
31;4
32;6
33;9
34;10
35;12
36;13
37;14
38;15
39;16
40;18
41;21
42;23
43;24
44;25
45;28
46;31
47;34 *
48;36
49;37
50;39
51;40
52;42
53;46
0;49
1;51
2;53 *

*印の確認
gp > listinsert(L,1,34);Vec(L) -->1の数字をLの34の䜍眮に挿入したす。
%487 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%488 = 47
必ず初期状態に戻しおおくこず。
listpop(L,34); -->34の䜍眮にある芁玠を削陀したす。

その埌次の䜜業
gp > listinsert(L,1,53);Vec(L)
%509 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1,
0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%510 = 2
listpop(L,53);

-------------------------------------------------------------------------

Search1(k)={t=0;}forstep(i=52,1,-1,if(L[i]==1,t++;\
if(t==k && t<=onemax,print((end+t)%54";"i)))) ;リスト䞭の1の䜍眮を調査したす。(衚向きカヌドの挿入䜍眮も
-->右の数字:Mの配列の䜕凊にゞョヌカヌカヌドを衚向きに挿入したらよいか。
巊の数字:差し蟌んだ埌の笊号長53のVT笊号での剰䜙の倀
gp > for(k=0,onemax,Search1(k))
4;51
5;49
6;47
7;46
8;44
9;43
10;42
11;40
12;37
13;34
14;32
15;31
16;29
17;28
18;26
19;25
20;21 *
21;19
22;18
23;16
24;10
25;7
26;6 *
27;4

*印郚分の確認
gp > listinsert(L,0,21);Vec(L)
%493 =
[0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%494 = 20
listpop(L,21);L

gp > listinsert(L,0,6);Vec(L)
%519 =
[0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1,
1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]
gp > sum(i=1,53,i*L[i])%54
%520 = 26
listpop(L,6);L

蚈算䞊トランプにない数字53,54(≡0 ;mod (54))が出おくる時が起こるので、それを陀倖しながら考えなければ
ならないずころが面倒でした。
これでたぶん、あらゆる初期条件でも䜕凊にカヌドを衚か裏かを刀断しお挿入するかが分かっおくるず思いたす。

#考えられないような珟象を起こせるもんですね 感激したした。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月15日 06:02)

䞉角圢の話題

私は今幎の8月頃から䞉角圢のあれこれにハマっおいたす。
ちょこちょこず怜玢したり蚈算したりGeoGebraで遊んだりしおいるのですが、今日出䌚ったものを曞いおみようず思いたす。

「鈍角䞉角圢ABCに関しお、倖心からシュタむナヌの内接楕円ぞ匕いた接線の盎極点は倖接円ず九点円の亀点である。」

䞉角圢は知れば知るほど豊かな䞖界の広がりに感動したすね。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

GeoGebraなどでシュタむナヌの内接楕円ずシュタむナヌ楕円を描く方法を茉せおおきたす。


★䞉角圢ABCのシュタむナヌの内接楕円
① 蟺BC,CA,ABの䞭点をそれぞれD,E,Fずする。
② 点Fを通り盎線ADに平行な盎線ず盎線BEが亀わる点をG、
  点Eを通り盎線ADに平行な盎線ず盎線CFが亀わる点をHずする。
③ 5点D,E,F,G,Hを通る二次曲線を描く。


★䞉角圢ABCのシュタむナヌ楕円
① 蟺AB,ACの䞭点をそれぞれD,Eずする。
② 盎線BEずCDの亀点をFずする。
③ 頂点Aを通り蟺BCに平行な盎線ず点Fを通り蟺ABに平行な盎線が亀わる点をG、
  頂点Aを通り蟺BCに平行な盎線ず点Fを通り蟺ACに平行な盎線が亀わる点をHずする。
③ 点Gを通り蟺ACに平行な盎線ず盎線BEが亀わる点をI、
  点Hを通り蟺ABに平行な盎線ず盎線CDが亀わる点をJずする。
④ 5点A,B,C,I,Jを通る二次曲線を描く。


頂点をドラッグしお図圢が倉圢するのを芋るだけでも楜しいです。
補助点や補助線は非衚瀺にすれば芋た目シンプルにできたす。

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2022幎11月12日 23:00)

䞀次䞍定方皋匏

敎数解を求める䞀次䞍定方皋匏
「ax+by=c が解を持぀⇔が、a,の公玄数で割れる」
未知数が、䞉぀以䞊でも、蚀えたすか
必芁性は、分かりたすが。
ご教授ください。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

高朚貞治 著「初等敎数論講矩」によれば、
「ax+bycz=k が解を持぀ ⇔ kが、d=(a,, c)で割り切れる」
が成り立ち、倉数の数は任意ずのこずです。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

ax+by+cz=dにおいお
dがa,b,cの最倧公玄数で割り切れないずきは明らかに解を持ちたせん。
巊蟺はa,b,cの最倧公玄数の倍数にしかならないため
dがa,b,cの最倧公玄数で割り切れる堎合は、最倧公玄数で割ったものを
あらためおa,b,c,dずすればax+by+cz=d, (a,b,c)=1です。
このずき
b=Bg,c=Cg,(B,C)=1ずすれば(a,b,c)=1から(a,g)=1であり
ax+Bgy+Cgz=d
ax+g(By+Cz)=d
これはBy+Cz=wずおけばax+gw=d,(a,g)=1なので解を持ちたす。
この解のwに察しおBy+Cz=wは(B,C)=1から解を持ちたすので、
元の匏も解を持぀こずになりたす。

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
合蚈422件 (投皿90, 返信332)

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