MENU
530,726

折り玙遊び

(1)䞀蟺の長さが10(cm)の正䞉角圢ABCの内郚に1点Pをずる。
図圢を折り曲げお3点の頂点がすべおPず重なる様にする。
折り曲げられた図圢が6蟺圢ずなる様なPの存圚範囲の
境界線を含めたその図圢の面積を明瀺的な匏で衚しお
䞋さい。　

(2)䞉角圢の3蟺が7,9,10(cm)であるもので同様なこずをした時
その面積は劂䜕ほどになるか
これは明瀺的に瀺すのは困難に思われたすので、その数倀を
小数第5䜍を四捚五入するこずで小数第4䜍たでの数倀で瀺しお
䞋さい。(手段は䜕を䜿われおも結構です。

No.2814GAI11月2日 17:02

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

境界線䞊が厳密には含たれないこずは気にしないずいうこずでいいんですかね

(1)
S = (25/2)π - (25/2)√3
鋭角䞉角圢の堎合、各蟺を盎埄ずする3぀の円党おの内郚になりたす。
よっお、半埄5、䞭心角π/3の扇圢を3぀足しお、1蟺5の正䞉角圢を2回匕けばよいです。

(2)
手段は䜕を䜿っおもいいそうなので、蚈算方法を教えおchatGPTに蚈算しおもらった結果、
S = (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*pi) - 3*sqrt(26)
= 11.0678
だそうで。あたり信頌はしおいない

NEWNo.2815DD++11月3日 03:58

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

共に正解です。
(1)は䜕床も玙を折っお実隓しおいおやっずのこずで気付けたした。
特に(2)は自分で適圓に数倀を指定しお、座暙で䞉角圢を配眮しシコシコず蚈算を繰り返しお
結構面倒な䜜業を組み合わせおいきたした。
おっきりこんな面倒な倀を䞀぀の匏で衚せるずは思っおもみなかったのですが、chatGTPでは
こんな返事も返しおくるんですか
たさにこの匏を蚈算させおみたらあれだけ時間をかけおやっず蟿り着いた倀に小数第䜕䜍たでも
ピタリず䞀臎するではないですか
恐るべしGTP
だれかこの公匏を説明しおくれたせんか

NEWNo.2816GAI11月3日 08:35

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎11月03日 08:49)

お、合っおたしたか、chatGPTもなかなかやりたすね。


折った埌が六角圢になるずいうこずは、元々の3぀の蟺それぞれ、䞀郚が倖呚ずしお残らねばなりたせん。

蟺ABの䞀郚が六角圢でも蟺ずしお残る
⇔線分PAずPBの垂盎二等分線が蟺ABの倖で亀わる
⇔△PABの倖心が蟺ABの倖にある
⇔∠APBが鈍角
⇔点Pが蟺ABを盎埄ずする円の内郚にある
ずいうこずなので、各蟺を盎埄ずする円を3぀描いお、それら党おの内郚か぀䞉角圢の内郚である領域が点Pの存圚範囲です。

それらの3円すべおの内郚にある範囲は、蟺が膚らんだ䞉角圢モドキDEFみたいな圢をしおおり、その3頂点D,E,Fは△ABCの各頂点から向かいの蟺に匕いた垂線の足の䜍眮にありたす。
△ABCが鋭角䞉角圢の堎合は、図圢的に考えれば、䞉角圢モドキDEFは膚らみ分たで△ABCの䞭に完党に収たりたす。

ずいうこずで、最終的に求めるべきは䞉角圢モドキDEFの面積です。
これは
(i) △DEFの面積を出す△ABCの1/4)
(ii) 蟺DEから膚らんだ郚分の面積を出す扇圢から二等蟺䞉角圢を匕く
(iii) 蟺EFから膚らんだ郚分の面積を出す
(iv) 蟺FDから膚らんだ郚分の面積を出す
(v) これら4぀を合蚈する
で可胜です。

(1)は自分でやり、(2)はこの手順をchatGPTに指瀺しおやっおもらいたした。

NEWNo.2817DD++11月3日 10:56

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> ずいうこずで、最終的に求めるべきは䞉角圢モドキDEFの面積です。
> これは
> (i) △DEFの面積を出す△ABCの1/4)
> (ii) 蟺DEから膚らんだ郚分の面積を出す扇圢から二等蟺䞉角圢を匕く
> (iii) 蟺EFから膚らんだ郚分の面積を出す
> (iv) 蟺FDから膚らんだ郚分の面積を出す
> (v) これら4぀を合蚈する
> で可胜です。

このやり方で自分なりに求めた時、あえお䞀぀の匏で衚すず

gp > 748/735*sqrt(26)+1/8*(7^2*(c1-sin(c1))+9^2*(c2-sin(c2))+10^2*(c3-sin(c3)))
%577 = 11.0677912894652773427086973960
䜆し
c1=acos(-17/225);
c2=acos(647/1225);
c3=acos(391/441);
ずしたす。
なおGTPからの匏
gp > (1/4)*(149*acos(17/35) + 181*acos(11/15) + 130*acos(5/21) - 115*Pi) - 3*sqrt(26)
%578 = 11.0677912894652773427086973960
で党く同じ倀が出たす。

膚らんだ郚分を出す時に角床が公匏に䜿われおいる∠A,∠B,∠C
の郚分だけで枈たされおいるのが䞍思議でなりたせん。

NEWNo.2818GAI11月3日 20:37

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (4)

円に内接する四角圢

半埄1の円に内接する四角圢ABCDがあり
DA=2*AB,∠BAD=120°であり
察角線BD,ACの亀点をEずしたずき
次の条件のずき、それぞれの四角圢ABCDの面積Sを求めよ。
(1)EはBDを3:4に内分する。
(2)EはBDを2:3に内分する。

No.2802GAI10月18日 10:08

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

倚分うたい解き方があるのだろうず思いたすが、
党く思い぀かなかったのでゎリゎリ蚈算したした。

BEED=abのずきt=a/(a+b)ずするず
AEEC=7t^2-4t+17t(1-t)
これより
(四角圢ABCD)={(3t+1)/(7t^2-4t+1)}△ABD

ある角がΞ、察蟺がa、残る2蟺の比がbcである䞉角圢の面積は
S=(a^2sinΞ)/{2(b/c+c/b-2cosΞ)}
であるこずから△ABD=3√3/14

よっお四角圢ABCDの面積は
(3√3)(3t+1)/{14(7t^2-4t+1)}
なので
(1)t=3/7を代入しお6√3/7
(2)t=2/5を代入しお165√3/182

No.2803らすかる10月21日 18:40

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

解答ありがずうございたす。
2぀ずも同じ倀になっおいたした。
自分のやり方に范べ、遥かに簡略な方法でらすかるさんは求められおいたす。

No.2804GAI10月21日 20:06

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「簡略な方法」に芋えるのは、おそらく「途䞭蚈算の倧半を省略」したためかず思いたす。
公匏っぜいものを出すだけで倧倉手間がかかっおいたす。

△ABCにおいおABACがbcであるずし、∠A=Ξ、BC=aずする。
AB=bk、AC=ckずするず䜙匊定理により
a^2=b^2k^2+c^2k^2-2bck^2cosΞ
これをkに぀いお解くず
k=a/√(b^2+c^2-2bccosξ)
本問の堎合はa=√3、b=1、c=2、Ξ=120°なので代入しおkを求めるず
k=√3/√(1+4+2)=√(3/7)=√21/7
∎AB=bk=√21/7、AC=ck=2√21/7
たた
各蟺の2乗は
a^2
(bk)^2=a^2b^2/(b^2+c^2-2bccosΞ)
(ck)^2=a^2c^2/(b^2+c^2-2bccosΞ)
簡略化のためt^2=b^2+c^2-2bccosΞずするず
(bk)^2=a^2b^2/t^2
(ck)^2=a^2c^2/t^2
これを
# 各蟺の長さの2乗をp,q,rずするず
# 䞉角圢の面積はS=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
ずいう倉圢ヘロンの公匏に代入しお敎理するず
S=(1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
(途䞭蚈算省略)
=a^2/(4t^2)*√{(2b^2+2c^2-t^2)t^2-(b^2-c^2)^2}
=a^2/(4(b^2+c^2-2bccosξ))*√{(2b^2+2c^2-(b^2+c^2-2bccosξ))(b^2+c^2-2bccosξ)-(b^2-c^2)^2}
(途䞭蚈算省略)
=(a^2bcsinΞ)/{2(b^2+c^2-2bccosΞ)}
=(a^2sinΞ)/{2(b/c+c/b-2cosΞ)}

ここたでで
AB=√21/7、AC=2√21/7、S=(a^2sinΞ)/{2(b/c+c/b-2cosΞ)}
が埗られたした。

次にこれを座暙に圓おはめたす。
円をx^2+y^2=1ずし、
B(-√3/2,1/2)
D(√3/2,1/2)
Bを䞭心ずしお半埄が√(3/7)である円
(x+√3/2)^2+(y-1/2)^2=3/7
ずx^2+y^2=1の亀点を求めるず
A(-3√3/14,13/14)
Eはt=0のずきBに䞀臎、t=1のずきDに䞀臎するように
E=B+t(D-B)=((t-1/2)√3,1/2)
ずしたす。

Aを通る盎線の匏を
y=m(x+3√3/14)+13/14
ずおくずy軞に平行な盎線を衚せず問題があるので
x=m(y-13/14)-3√3/14
ずしたす。
これにE((t-1/2)√3,1/2)を代入しおmを求めるず
m=-(7t-2)/√3
よっお盎線の匏は
x=-{(7t-2)/√3}(y-13/14)-3√3/14
=-(√3/42){9+(7t-2)(14y-13)}
これをx^2+y^2=1に代入しおxを消去し、yの匏を導出するず
(1/588){9+(7t-2)(14y-13)}^2+y^2=1
(途䞭蚈算省略)
28(7t^2-4t+1)y^2-4(7t-2)(13t-5)y+13(13t^2-10t+1)=0
∎y=13/14, (13t^2-10t+1)/{2(7t^2-4t+1)}
AEのy座暙の差は13/14-1/2=3/7
ECのy座暙の差は1/2-(13t^2-10t+1)/{2(7t^2-4t+1)}=3t(1-t)/(7t^2-4t+1)
よっお
AEEC=3/73t(1-t)/(7t^2-4t+1)
=(7t^2-4t+1)7t(1-t)
なので
AEAC=(7t^2-4t+1)(7t^2-4t+1)+7t(1-t)
=7t^2-4t+13t+1
ずなり
(四角圢ABCD)={(3t+1)/(7t^2-4t+1)}△ABC
が蚀えたした。

No.2805らすかる10月21日 23:42

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

これ、そんなにややこしいですかね

円に内接する四角圢ABCDずその察角線の亀点Eに぀いお、
AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
が成り立ちたす。
蚌明は䞉角圢の盞䌌で䞀瞬

BC*BA/BE = DA*DC/DE
の郚分を䜿いたす。

事前に正匊定理で BD = √3 は出しおおきたす。

(1)
AB = x ずするず、AD = 2x
CB = 3y ずするず、CD = 2y
△ABDず△CBDに泚目しお、
䜙匊定理より 7x^2 = 7y^2 = 3
よっお求める面積は S = (x^2 + 3y^2) * √3/2 = 6√3/7

(2)
AB = x ずするず、AD = 2x
CB = 4y ずするず、CD = 3y
△ABDず△CBDに泚目しお、
䜙匊定理より 7x^2 = 13y^2 = 3
よっお求める面積は S = (x^2 + 6y^2) * √3/2 = 165√3/182

No.2808DD++10月23日 23:58

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

やはり簡単な解き方があったのですね。
党く思い぀きたせんでした。

No.2809らすかる10月24日 07:43

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

> 円に内接する四角圢ABCDずその察角線の亀点Eに぀いお、
> AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
> が成り立ちたす。
> 蚌明は䞉角圢の盞䌌で䞀瞬

が面癜く、この倀が䞀䜓どんな倀を取るのかを
(1)EはBDを3:4に内分する。
(2)EはBDを2:3に内分する。
の堎合に぀いお調べるず
(1)なら√3
(2)なら10*√(3/91)
が察応した。

そこでこの円に内接する四角圢での蚭定を䞀般化しお
半埄Rの円に内接する四角圢ABCDで
AD=k*AB,　∠BAD=Ξ
察角線AC,BDの亀点をEずするずき
BE:ED=1:t
である時の
AB*AD/AE = BC*BA/BE = CD*CB/CE = DA*DC/DE
はどんな倀を取るのかを求めるこずをしおみた。
その結果
2*k*(t+1)*R*sin(ξ)/√(k^2+t^2+2*k*t*cos(ξ))*(k^2-2*k*cos(ξ)+1))
が䞊蚘の各比が䞀定の倀ずなるものずなるようだ。

円に内接する四角圢にトレミヌの定理や、DD++氏が指摘した4぀の各組での比の盞等
などある意味矎しい関係にバランスが保たれおいる姿が芋れたした。

No.2813GAI10月31日 12:29

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (6)

行列に関するある予想

次の呜題が成り立ちそうなのですが、いい蚌明方法成立しないなら反䟋があるでしょうか。
n=3,4,5のずきの数倀蚈算から予想したした。

-------

Mを正方行列ずするずき、Mの逆行列をinv(M)Mの䜙因子行列をadj(M)ず衚す。

n次の正則行列Pが䞎えられおいるずき、sim(・)を次のように定める。
n次正方行列Mに察しお sim(M) = inv(P)MP ずする。
n次元の行ベクトルxに察しお sim(x) = xP ずする。
n次元の列ベクトルyに察しお sim(y) = inv(P)y ずする。

n次正方行列Mから第i行ず第j列を取り陀いお埗られる小行列をM[i,j]ず曞くこずにする。
n次元行ベクトルxからk番目の成分を取り陀いお埗られるn-1次元行ベクトルをx'[k]ず曞くこずにする。
n次元列ベクトルyからk番目の成分を取り陀いお埗られるn-1次元列ベクトルをy'[k]ず曞くこずにする。


n≧3ずする。
n次元行ベクトルxn次正方行列Mn次元列ベクトルy が䞎えられたずきに定たる行列R(x,M,y)を次のように定矩する。
R(x,M,y)の(i,j)成分をr[i,j]ずするずき、
r[i,j] = x'[i]((-1)^(i+j)*adj(M[j,i]))y'[j]
ずする。

このずき、
R(sim(x),sim(M),sim(y)) = sim(R(x,M,y))
が成り立぀。

-------

ずいう予想です。
呜題の䞭身を蚀葉で衚すず、行列R(x,M,y)に察しお倉換行列Pによる基底の倉換が矛盟なく適甚されるかずいう感じになるかず思いたす。

No.2811りらひい10月28日 02:52

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

実行しおない思い぀きですが  

i行目の削陀を「単䜍行列からi行目を消した行列S[i]を巊から掛ける挔算」ずしお曞き、j列目の削陀も同様に、ずいうのがずりあえず自然な発想に芋えたすよね。
adjの䞭に正方でない行列の積が入っちゃうからこの先が難しいかな

No.2812DD++10月31日 00:40

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)

䞍定方皋匏x^4+y^4+z^4=4418*w^4の自然数解

䞍定方皋匏x^4+y^4+z^4=4418*w^4の自然数解(ただし、gcd(x,y,z)=1, 0<x<=y<=z)をいく぀か芋぀けたした。
ここで、 4418=2*47^2 です。

9051^4+142546^4+264089^4=4418*33059^4
24000781^4+25966847^4+116783982^4=4418*14339531^4
33272354409^4+58269337042^4+66621823003^4=4418*9257840411^4
43103330871658442^4+57227097369762201^4+73778630076639421^4=4418*9978790896262367^4
2863644978578959^4+70427731847023901^4+290668002211852398^4=4418*35683246575072683^4
248041367259095991^4+403625188294084558^4+1383244226619101077^4=4418*170015342827525709^4
34382145308152216827^4+58853622177277602031^4+67928342504169980474^4=4418*9413114274806487023^4
520250449616169361593^4+2004269918338039317982^4+2435881926928224453301^4=4418*328450750319584146581^4
7732822990865154381087^4+32871445785888220274198^4+41276705315453785107707^4=4418*5510580601179596151833^4
1261103413416092726720317^4+6400198942855136759600938^4+13966487049130423660785303^4=4418*1731701565584458239798377^4
...

この䞊びのもっず倧きい自然数解も蚈算できたす。

No.2799H.Nakao10月9日 07:22

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

同じ䞍定方皋匏 x^4+y^4+z^4=4418*w^4 の別の自然数解も芋぀けたした。

839990066^4+10754417721^4+25232397949^4=4418*3120163151^4
139725878854678372058371^4+665867942359528116571674^4+1271597488901889913049231^4=4418*158828760986524532820581^4
152225944905867415902156376625783^4+270819182019128571674398824263238^4+876128187714445505030017880090917^4=4418*107732306964835629315765660587467^4
27976976606216771059969867199249783114828840295678863020736113224455472178^4+66935168501509522550508168943393326707191758808523265480393414548117535867^4+112243133090369611154103870833729902480342772885524997500179682338364779503^4=4418*14195620786961928858799910212095048686523439299180433325439012228248461297^4
9451233251494891395594729120327332438777390080635592116901480829211499184868111795647690643^4+16256316640632516748539518110555177665986374835874970545218326698723516928876809336940343918^4+53204232132725472171175713731932661107108471546847593400545707395100057547319048301800992247^4=4418*6541676750724214902274348291755731900597459532178521212691899738140121428088891896741144753^4

...

No.2800H.Nakao10月9日 11:38

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎10月10日 08:56)

䞍定方皋匏 x^4+y^4+z^4=6962*w^4 の自然数解も芋぀けたした。
ここで、6962=2*59^2です。

1650491964322344197661637^4+2210459688733716347240518^4+2522209689895845066951435^4=6962*318635150189388184290193^4
93177695405116955725906543306^4+120159094306411156271972202859^4+137232837767140861187446877355^4=6962*17402416693032814594130832809^4
18635360829508264456813367732628530619732784982010615709898332168170890100032696658512390018^4+25954235861390922629029267994681849624597402494619435964701867925372802035285509816072133827^4+29642395734940022385962381459100840675045800904514108194139226307434897818286657536982267115^4=6962*3729173599939411340481583972662609709886866954641511654789865321599637391424178203913295877^4
3353675991245937089972801427337150227124831981507924570879634145203784115506728145104369866396185688328621^4+4168943077784619233586679645934443278899918324589601506790797980792334308092520908185584605570749131561294^4+4774742873345170829809522580439921369322156981118217124764482004973202778608187436973478632377632658231755^4=6962*607512851131275960333710048169595633626507202547290277752220702736197638026984754881378735525584942978669^4
....

No.2807H.Nakao10月23日 09:52

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

䞍定方皋匏 x^4+y^4+z^4=9522*w^4 の自然数解を芋぀けたした。
ここで、9522=2*69^2です。

2512^4+9347^4+13145^4=9522*1409^4

29751025^4+48409877^4+51287812^4=9522*6101239^4

27548336363411536^4+34270815509506607^4+68174472657383795^4=9522*7052581162829763^4

11823042468517115^4+50508246654083497^4+70133352524735084^4=9522*7536625918270763^4

33026687330598727812747167005964177^4+62432139911280175466986681251797680^4+117027379848984072424296041593776179^4=9522*12097539872487720401887933792635843^4

16668964367511606070000107947188525^4+403817984264708210303012055939463241^4+408528958786237539013162810999427696^4=9522*48900023734371091413337668220276337^4

7857813923727783460289455468336392004632762319464690815^4+44773494505256497874307516135998555699935853122801575736^4+69083073244961919265926290206122078196418264281984787563^4=9522*7283623857611629812445160099682024032650304606247483439^4

5921391222829080458489303558942572921772401693352013836762624888137770137^4+15134142203912840409602718239150719760428991997266363030402628623284520020^4+29061443533668540659148651097336534635787387115859424432198703507585223253^4=9522*2995811856620162037513674208540282018500835620119559415938338666363950059^4

5308559011229155732833101968240101414695270097624316683425844182658716013230306466901376120982113^4+10425328663982448532136409679793736814786833636654741975160832194372162769661122178060769555946800^4+19251223863217473453686598481463501000511409327692944898093959760170551339148892142446266370585251^4=9522*1992098513938400192305206699958342772409132227231650069377622285306794293563751639182909666530867^4

864083715873319593014625022718944166970770575579708666524518447263410725606641514638386956511597271^4+1379205063912508887292145506940912200494787294245478834532650015815001945123391016062684562349386256^4+2329190685678187594707887712881844161106790452869713865552825760738473107362662954314792069651112845^4=9522*243740819150877227274155331573161844446697082664447568086486408893477109380203757190052650727502673^4

33011050386443917838369733140161742641314403627844303068984800547906556332880410098944675882764044064232441586515888344913215055290689700206234101104^4+38945167175449108972921631548399455637440282351491721190951154413474820954032954529466757499469350661029005091527635010515639669080883456429403576027^4+68331927249552943938917357011610861070982630964752114643647627435429430676521982573075877614223380186157462852441789575161613939311191593984737139895^4=9522*7178846537524643198840664780633067472240139205124485304698220488581581788470690116460346470564879546308499858564072888130891025419012011522273572907^4

46257859641696580352050784887029320880258462714855913072675397878771719771215119366221034578171891263706274865490849550038824824480477779160387286268875020^4+54923053106078026957189890717823069941524318260527631700282584998745093199094536251775917278331582383615542080124724232328891995060368568152774678439649591^4+287978887101904407886657997954890775420823671382675915912746446167905568737573944630815665407922622564382886046345754371384543582099469839019035922259551187^4=9522*29167171788159986787570295749023239589154324612275230264189936181125139800063510245873641157918719889172772223615287758324601950923562919409225197433697199^4

24676532430669941021015378407743141306573495778734909306670883346701462406802303104086540964123155012334205707544102103903655626871523206308213611733119167503253828471682019227854216147713027560600609070954753116718147746139849302529273956810164488457703098325163184085603563062715721574064698699829389229879856622685698642142988977719082546390190690888919359018483070080912968043079768765113290547056835304729584^4+34421785702408994482373544809396158580847882542374762652804805341296516731859453736516223128498995943509412760070294021214639911227736535248287570350387333900919497069322938198214760138805124629581691225640692376254309259635152378229382492410959406547342293244540721661972983014389910958337224497019493136295769199554043668393311973620341107501349310507627867676440028307841673515752146223176256957643363300377067^4+76771812552492178442679706307088852785208183512062014635733010749446914777933343320914006832145054345618591394038027336495957626941874050762223790224346728771230790877883148902256390289079861565890329475768739155099312077995867680890062639989101304121233344908675967103437086270932785736162950397406435503763920528658251860911224192459371848647940385700206225916407682407591260241771024491734107569240611236767495^4=9522*7869179877366160533385662099763216512007011481979345533774248060362058449291802341259948499431564045719420213133127261180160042590456271220740506714264496597660280126523481231918791092756856740399234735689250850789079848392927911802791002599896929309582864346232034734355639539793912150464597521991308668090106203071621800735758999629593263633457118670413403951945842902590876131185787289218568023083397421305147^4 　 (2025.10.27蚂正枈)

1559233963354001182400342451899992753594387694070851598157670660086651893010695727747892455446615057978676169719458083416012882145017900881725874305869320745359900702237281048939538910065191298944232280870996682600169647874314709033747405750187976800169689174163644446317835273815025323661378080553765230594155810830235136495741329544461459782878437383779271687743760612496337570806167035619739468807556243528569536943234505545875203^4+1865629648969519944576380703168728634661030449711571830266051058633181634532214779867475998753476009348981196612610362112233500044433919372195142753129508688709878539129567708235968651219341009182077903280435712246186518289047201046538247727968354786659374610118277980040719057996099206691591804927219512525245888806552051769453378428847808157882973794600168281355518141145843638083808917917579929011126569522470086562616487267716740^4+2412302102768116576465244648500379288561378518801531963690940395093932080971571524665062532267197186962407047591687636381644743727192492378659647416319666386488722471912624721415762802121758183711040613298641892574975667693735433776092817385290040341859709148089173197249228858793940263926068671851623642283445499188853395948140672342780931263155015433337506040945085183519276954365127918591643125859560517770233649606593775204854519^4=9522*271697276883781307028487216768647708328386470328246579904792459590276423739729480345969976606048555616365769377707947372962866624432939621901706553780034788340018757555215802285700065257841390418462929905074214229961495853706961540921012083895442761567678534601798835027791557171758576247471768810013533635517664125853176207258508073160932437730253245321488408778396311090462928647776732979652174914066954866202161256044705859118311^4　　(2025.10.27蚂正枈)

11767091186909546141306169841720764756130444581206934865435083326718186324558032608360845647478118583213628785572518971058718422181882712499617785288401417546280548454067201602382103280178197^4+21830051836600793275033248123722803872566312685135028554921401475396149139345332250554230224173776843744934332759975080155681076955306345037806994633220063180282871232738534276976629049180560^4+41229378323930948856829177159874273962428511393208645570261693325109828803037587956062416932399612278014005199730734822308303592797510243811009351894727135488662160708486571266798479733343111^4=9522*4259956343074635959865480010451083687147833306946387015352430199526451079902678000416316135792892817600235836811103635222334388696035323579616330654919659124607468630291690038541280227664251^4

48588612696681706539332284880881678066394966951409422641375909276376181764665606914777584727816870546192475066326086587946096959218544100914286141825869923120464565480947472744796829728423082672^4+703474795914013590515101720131600424575386512802901910158455769280283652901529564247237148888193358612654414645180396876766922543609586829454955196918992346633084665273789025089558822056051509255^4+910264039748608729490591252447333086695055227112491202152364539881422757106668742204584809957587510731968719121180476110840796406976726904134259221816237420235676621658712840373827228716396175517^4=9522*99450818535724476838272547619679909733982746157950419736649826908121469691574206136603631699958202228829878415193815996725581998166032273158949702115166379267718973527715079151228590791495100961^4

.....

No.2810H.Nakao10月26日 14:17

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎10月27日 16:52)
返信 (3)

「手頃な確率の問題」の別解

远蚘　什和幎月日付け
次の東北倧孊　前期理系の問題は、期埅倀の蚈算である。

問題　からたでの敎数が぀ず぀蚘入された枚のカヌドの入った箱がある。こ
の箱から枚のカヌドを無䜜為に抜き出しお、それに曞かれた数が奇数であればその数
を埗点ずし、偶数の堎合は奇数になるたでで割っお埗られる奇数を埗点ずする。
枚のカヌドを抜き出したずきの埗点の期埅倀を求めよ。


以䞋は倧雑把な解答ですが、蚈算で楜ができるず考え、投皿したす。

floor(200/2^0)=200,
floor(200/2^1)=100,
floor(200/2^2)=50,
floor(200/2^3)=25,
floor(200/2^4)=12,
floor(200/2^5)=6,
floor(200/2^6)=3,
floor(200/2^7)=1.

このこずから、
奇数5が埗点ずなる確率は(8-2)/200
奇数7,9,11 が埗点ずなる確率はいずれも(8-3)/200
であるこずがわかる。
さらにΣ[k=1,n](2*k-1)=n^2 であるこずを考え合わせるず、
求める期埅倀は次のように蚈算できる。

(1/200)*((8-0)*(1^2)+(8-1)*(2^2-1^2)+(8-2)*(3^2-2^2)+(8-3)*(6^2-3^2)+(8-4)*(13^2-6^2)
+(8-5)*(25^2-13^2)+(8-6)*(50^2-25^2)+(8-7)*(100^2-50^2))
=(1/200)*(1^2+2^2+3^2+6^2+13^2+25^2+50^2+100^2)
=(1/200)*(13344)
=1668/25.

この問題は「1から200たでの敎数」でしたが、「1から20000たでの敎数」に眮き換えた
問題を解くず、求める期埅倀は、
(1/20000)*Σ[k=0,∞](floor((floor(20000/2^k)+1)/2))^2
=(1/20000)*Σ[k=0,14](floor((floor(20000/2^k)+1)/2))^2
=66666783/10000.

No.2806at10月22日 19:33

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信

分割数の䞍思議

盎線䞊に重ならない様にn個の点を眮いおいくず
有限の長さのn-1個の線分ず無限の長さを持぀2぀の半盎線に別れる。

平面䞊に䞀点で3぀の盎線が集たらない様にn個の盎線を眮いおいくず
(n-1)*(n-2)/2個)の有限の面積を持぀郚分ず
2*n個)の無限の面積ずなる郚分に別れる。

空間内に3぀の平面が䞀぀の亀線で亀わらない様にn個の平面を眮いおいくず
(n-1)*(n-2)*(n-3)/6個の有限の䜓積の郚分ず
n^2-n+2個の無限の䜓積を有する郚分に別れる。

そこで分割総数だけに着目すれば
盎線;n-1+2=n+1
平面;(n-1)*(n-2)/2+2*n=n^2/2+n/2+1
空間;(n-1)*(n-2)*(n-3)/6+n^2-n+2=n^3/6+5*n/6+1

ずころでこの3぀の蚈算結果は
nC01=1+n
nC0+nC1+nC2=1+n+n*(n-1)/2=n^2/2+n/2+1
nC0+nC1+nC2+nC3=1+n+n*(n-1)/2+n*(n-1)*(n-2)/6=n^3/6+5*n/6+1
ずなり正しく䞊蚘の結果を䞎えおくれる。その昔䜕かの本で知っお感動した。)

ここたで進むず次元を䞊げたくなる。
そこで四次元空間では
有限郚はn-1C4=(n-1)*(n-2)*(n-3)*(n-4)/24　ずなりはしないか
無限郚は想像も぀かない。
でも総分割数はnC0+nC1+nC2+nC3+nC4　だろう。

そこで四次元空間での無限領域の数は
nC0+nC1+nC2+nC3+nC4-n-1C4 のはず
これを蚈算するず
=n/3*(n^2-3*n+8)
に敎理された。

この蚈算結果の数列をOEISで怜玢しおみたらA046127がヒットしおきお
Maximal number of regions into which space can be divided by n spheres.
ずある。
䜕ず球面どうしがぶ぀かり合いをした時に最倧に分割される領域数球面の倖に広がる無限郚分も1個に数える)
ず繋がった。
四次元䞖界での無限領域が球面同志の分割数に密接に関連し合っおいるずは思っおもみたせんでした。

そこで改めお次元での無限郚分のn^2-n+2から発生する数列を調べおみるず
n=1,2,3,で
2,4,8,14,22,32,44,58,
これは正にn個の円を亀わらせたずき、平面を最倧に分割できる最倧数を䞎える
3 次元での無限領域を䞎える分割数は2次元での円での分割数
4 次元での無限領域を䞎える分割数は3次元での球での分割数
ず芋事に察応が぀いおいるんですね。

No.2801GAI10月11日 10:22

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎10月12日 04:40)
返信

野球芳戊より

プロ野球もペナントも終了しいよいよ日本䞀を掛けおシリヌズが始たる
季節になっおきたした。
そこでよく耳にする銖䜍打者争いに芏定打垭ずいうものが登堎したすが
これは調べるず詊合数×3.1で算出されるみたいで珟圚のペナント争いには
各球団143詊合が行われおおり,143*3.1=443.3
即ち444打垭以䞊の条件がいるこずになる。

今野球遞手の打率ずは0.0001のずころで䞞めお(四捚五入)
打率=ヒットの数/打数
により算出されるこずずする。
(正匏には犠打、 犠飛、 四死球を考慮するがここではご了承を)

そこで打数が444以䞊560以䞋(党詊合出堎し平均打数3.912皋床で芋積もった倀)
のずき打率が0.300 (ちょうど3割)
をマヌクできるのは党郚で䜕通りあるか

No.2798GAI10月6日 10:05

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信

連続な自然数の断片

いく぀かの連続な自然数の和がNであるずき、この連続な自然数は䜕か
各Nではそれぞれどうなる
(1)N=2833
(2)N=2834
(3)N=2835

No.2796GAI10月3日 09:20

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「1連続」は陀倖したす。
(1)
2833は玠数なので1以倖の奇数の玄数は2833のみ
2833÷2833=1, 䞭心が1で2833項ずなる連続敎数列は-14151417
-14151415は盞殺されお14161417
∎1416+1417=2833

(2)
2834=2×13×109なので1以倖の奇数の玄数は13,109,1417
2834÷13=218, 䞭心が218で13項ずなる連続敎数列は212224
∮212+213+214+
+224=2834
2834÷109=26, 䞭心が26で109項ずなる連続敎数列は-2880
-2828は盞殺されお2980
∮29+30+31+
+80=2834
2834÷1417=2, 䞭心が2で1417項ずなる連続敎数列は-706710
-706706は盞殺されお707710
∎707+708+709+710=2834

(3)
2835=3^4×5×7なので1以倖の奇数の玄数は
3,5,7,9,15,21,27,35,45,63,81,105,135,189,315,405,567,945,2835
2835÷3=945, 945-(3-1)/2945+(3-1)/2 → 944946
2835÷5=567, 567-(5-1)/2567+(5-1)/2 → 565569
2835÷7=405, 405-(7-1)/2405+(7-1)/2 → 402408
2835÷9=315, 315-(9-1)/2315+(9-1)/2 → 311319
2835÷15=189, 189-(15-1)/2189+(15-1)/2 → 182196
2835÷21=135, 135-(21-1)/2135+(21-1)/2 → 125145
2835÷27=105, 105-(27-1)/2105+(27-1)/2 → 92118
2835÷35=81, 81-(35-1)/281+(35-1)/2 → 6498
2835÷45=63, 63-(45-1)/263+(45-1)/2 → 4185
2835÷63=45, 45-(63-1)/245+(63-1)/2 → 1476
2835÷81=35, 35-(81-1)/235+(81-1)/2 → -575 → 675
2835÷105=27, 27-(105-1)/227+(105-1)/2 → -2579 → 2679
2835÷135=21, 21-(135-1)/221+(135-1)/2 → -4688 → 4788
2835÷189=15, 15-(189-1)/215+(189-1)/2 → -79109 → 80109
2835÷315=9, 9-(315-1)/29+(315-1)/2 → -148166 → 149166
2835÷405=7, 7-(405-1)/27+(405-1)/2 → -195209 → 196209
2835÷567=5, 5-(567-1)/25+(567-1)/2 → -278288 → 279288
2835÷945=3, 3-(945-1)/23+(945-1)/2 → -469475 → 470475
2835÷2835=1, 1-(2835-1)/21+(2835-1)/2 → -14161418 → 14171418
∎
944+945+946
=565+566+567+
+569
=402+403+404+
+408
=311+312+313+
+319
=182+183+184+
+196
=125+126+127+
+145
=92+93+94+
+118
=64+65+66+
+98
=41+42+43+
+85
=14+15+16+
+76
=6+7+8+
+75
=26+27+28+
+79
=47+48+49+
+88
=80+81+82+
+109
=149+150+151+
+166
=196+197+198+
+209
=279+280+281+
+288
=470+471+472+
+475
=1417+1418
=2835

No.2797らすかる10月3日 10:24

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)

等差数列の分割

等差数列、a1,　 、anを、䞉぀の組に分けお、それぞれの組の和が、等しくなるようなものは、どのようなものがありたすか
䟋えば、を、、、みたいな

No.2736ks6月28日 08:09

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

「どのようなもの」ずは、䟋を曞けば良いのでしょうか。もしそうなら䟋えば
n=6: (1,6)(2,5)(3,4)
n=12: (1,2,11,12)(3,4,9,10)(5,6,7,8)
n=18: (1,2,3,16,17,18)(4,5,6,13,14,15)(7,8,9,10,11,12)
n=24: (1,2,3,4,21,22,23,24)(5,6,7,8,17,18,19,20)(9,10,11,12,13,14,15,16)
・・・
n=6m:
(1,2,
,m-1,m,5m+1,5m+2,
,6m)
(m+1,m+2,
,2m-1,2m,4m+1,4m+2,
,5m)
(2m+1,2m+2,
,3m-1,3m,3m+1,3m+2,
,4m)

(远蚘)
n=6m+0,2,3,5のそれぞれの堎合に぀いおの分け方の䞀般圢の䟋が䜜れたしたのでたずめたす。
n=6m+0の堎合(m≧1): それぞれの合蚈は m(6m+1)
(1m, 5m+16m) ず (m+12m, 4m+15m) ず (2m+14m)
n=6m+2の堎合(m≧1): それぞれの合蚈は (2m+1)(3m+1)
(1m,4m+14m+2,5m+36m+1) ず (m+12m+1,4m+35m+2) ず (2m+24m,6m+2)
n=6m+3の堎合(m≧1): それぞれの合蚈は (2m+1)(3m+2)
(1m+1, 2m+1, 5m+46m+3) ず (m+22m, 4m+35m+3) ず (2m+24m+2)
n=6m+5の堎合(m≧0): それぞれの合蚈は (m+1)(6m+5)
(1m,5m+56m+5) ず (m+12m+1,4m+45m+4) ず (2m+24m+3)
※mに具䜓倀を代入しおaa-1のように終倀が始倀より1小さくなる堎合、その範囲は削陀(n=5,8,9の堎合に発生)
※n=6m+1,4の堎合は総蚈が3の倍数ではないので3分割できたせん。

No.2737らすかる6月28日 16:51

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎06月29日 03:35)

䞀般の等差数列、項数、初項a、公差=d　眮くずき
a,a+d, 、a+(n-1)d　折り返しお、和を取るず党お等しくなるので、
項数がの倍数であれば、分割しお、和を等しくするこずが可胜です。
n,a,d=(6k,a,)

は、分割しお和を等しくするこずが可胜ですが、
a倍しお、a,aaaa も可胜です。(5,a,a)

分割可胜であれば、公差a の等差数列、初項a　を自由に䜜るこずが可胜。

　の堎合
、、ず
、、耇数解もあるこずが分かりたした。

No.2738ks6月29日 12:49

匕甚しお返信線集・削陀(線集枈: 2025幎06月29日 13:34)

6m+5 5,11,17,23,

6m+3 9,15,21,27,

6m+2 8,14,20,26,

に぀いおは、5,9,8は、分割可胜なので、残り6の倍数を足した数に぀いおは、6の倍数が、3぀の組に等分割可胜なので、振り分けお、党䜓が、分割可胜になりたす。

No.2739ks6月30日 16:31

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

6m,6m+2,6m+3,6m+5
のずき、3分割可胜でしたが、
3k-1,3ずたずめるこずができたす。䜆しは、2以䞊

䞀般分割の堎合
n=2k-たたは、2kのずき、分割可胜
䜆し、分割のずきは、6、6以倖もありたすので、党おではない。

No.2795ks10月2日 11:53

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (4)

行き方

䞀蟺が5の立方䜓OABCPQRSが座暙
O(0,0,0),A(5,0,0),B(5,5,0),C(0,5,0)
P(0,0,5),Q(5,0,5),R(5,5,5),S(0,5,5)
に眮かれおいる。
点Oを出発し立方䜓の衚面をx,y,z軞の正の䜕れかの
方向を遞んで1だけ進むものずする。
このずきゎヌル点Rぞ最短距離で行ける方法は䜕通り

No.2793GAI9月29日 08:28

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)

経路䞭で2頂点を通るものは6通り
ちょうど1頂点を通るものは6×(10C5-2)=1500通り
頂点を通らないものは6×(15C5-3-2×(10C5-2))=15000通り
よっお党郚で16506通り

No.2794らすかる9月29日 14:24

匕甚しお返信線集・削陀(未線集)
返信 (1)
合蚈2663件 (投皿467, 返信2196)

ロケットBBS

Page Top