😊出会いの泉😊

ユークリッド幾何学の話ですが、ギリシャの三大作図問題は、
円積問題、立方体倍積問題、角の三等分問題ですが、
立方体倍積問題、角の三等分問題は、1837年にヴァンツェルによって不可能とされた。
また、円積問題は1882年にリンデマンによって、不可能とされた。
wikipedia[ 定規とコンパスによる作図]参照。
しかし、20世紀に、はいって、折り紙の技術によって、立方体倍積問題、角の三等分問題は、
解決された。
面白いのは、1899年にモーリーの定理を見つけたフランク・モーリーである。
wikipedia[ モーリーの定理]参照。
彼は、角の三等分線の延長線の交点を結んでできる三角形が正三角形であることを証明したのである。
ところが、彼の前に、角の三等分は不可能であると証明されていたのである。
こういうところが、数学の面白いところではないだろうか？

0.999・・・は、9の倍数の性質により、0.999・・・のすべての9の和は9の倍数である。
であるから、9の倍数の性質により、0.999・・・は、9の倍数。
ところが、1は9の倍数でない。
よって、1は0.999・・・と等しくない。

というと無限和は求められないというでしょう。

ならば、よく使われる説明の
x=0.999・・・
10x-x=9.999・・・-0.999・・・ 無限演算のため計算不可能
9x=9
x=1
これは、間違いである。

さて、
a=0.999・・・
と置く。
x=a
10x-x=10a-a
9x=9a
x=a
ここでは、代数計算であり、無限演算は行われていない。したがって、真実であり、
x=0.999・・・
である。

高校数学では「1は0.999・・・である。」そうですが、フランク・モーリーでは、ありませんが、
「1は0.999・・・と等しくない。」
は、真実である。

もっとも、9をN個足したら、和は9Nなので、無限和に頼らなくても和が9の倍数になることは、当たり前である。

私の無限和は許されなくて、
＞10x-x=9.999・・・-0.999・・・ 無限演算のため計算不可能
この無限演算が許されるのなら、えこひいきである。

1は0.999・・・と等しくない。ということから、無限小は0でないことが証明された。ただし、ここでいう無限小とは四則演算可能な最小数という意味合いであって、無限大、無限小という場合の無限小ではない。
もちろん|最小数|>0であり、最小数と言っても0より絶対値は大きいことは間違いない。
したがって、例えば、
1>rの等比級数の和は、a[{1-r^(n+1)}/(1-r)]であって、a{1/(1-r)}ではないのである。

多分、無限小=0としている多くの数学が影響を受けるだろう。

編集済み

α=0.999・・・を、「1より小さいなんらかの数」であるとすると以下のように矛盾が生じます。

①：αは、記法からみて、1より小さい数の中で最大の数である。(と仮定する。)

②：αは循環小数であるがゆえに、有理数である。
既約分数として、α=n/m と書くこととする。
ここで、n<m であることは①から導かれる。

③:では、有理数であるところの、
β=(m+n)/(m+m)　を考えてみよう。

明らかに、
α<β<1
である。

このことは、①に矛盾します。

言い換えればβの十進表記ができない、ということにもなります。

まとめ：①の仮定に無理があったことになります。

Dengan kesaktian Indukmu様、お久しぶりです。

さて、②の根拠が、ありません。
９が並んだ数が循環小数であると一般的には言われている様ですが、1/3は、１割る3より、0.3333・・・とあまり０．０・・・1です。あまり１があるから、3が連続するので、循環小数ですし、3倍したら1になります。ところが、あまり０．０・・・・１をなくしたら、０．３３３・・・ですが、3倍しても０．９９９９・・・で1になりません。（なぜなら、9の倍数は1でないから）
つまり、1/3と０．３３３・・・は等しくないのです。つまり、３が並んだ数は、循環小数ではないのです。あまりがないと循環小数であり、有理数にはなれないのです。
同様に、０．９９９・・・は、あまりがないので、循環小数であり、有理数にはなれないのです。では、実際０．９９９・・を有理数にできますか？
これは、放送大学で初歩の数学で習いました。Wikipediaの循環小数および、wikipedeaの0.999の循環小数は、間違いです。
繰り返しになりますが、有理数の小数表現である循環小数はあまりが循環するから循環するのです。あまりがなければ循環できません。ただただ９が並んだ数は循環小数の根拠がありません。

編集済み。

今日NHK総合午後11:00〜11:30で「笑わない数学」の「 非ユークリッド幾何学」が放送されます。
再放送は、
一回目10月7日（土）Eテレ午後９：３０～午後10:00
二回目10月１１日（水）Eテレ午前０：５５～午前1:25
だそうです。

深夜なので私は、いつも録画して、翌日見ています。

来週は
コラッツ予想
初回放送日: 2023年10月11日 NHK総合午後11:00〜11:30
だそうです。

リンクを貼っておきます。

はちべえさん。

「根拠がありません」とのおっしゃりように
(ああ、どうしてこの方はこれほどまでに自説に自信をお持ちなのだろうか、なぜ世界中の数学者が認めていることに《根拠がない》などとおっしゃるのか) と頭を抱えました。

私のような者にはあなたの妄説に反駁し、かつ納得させる、そのような自信など皆無に等しいと覚悟を決めました。

今後は、実数論に関する限りにおいて、あなたがどのようなボケをかましても、私は絶対にツッコミをいれないことを、神に誓います。

さて。以下は最後の足掻きです。はちべえさんからの応答は不要です。むしろないことを願います。

命題１。「任意の、1 より大きい正の実数 x について、それよりも大きい自然数 n が存在すること」

これをはちべえさんにお認め頂きたく存じます。
実際、例えば x の整数部に プラス１した自然数を n とすればよいですね。
これ、反論してはいけない命題と存じます。

命題２。
「任意の、1 より小さい正の実数 y について、ある自然数 n が存在して、
y ＞ 1/n
となる。」

この命題2の証明は簡単で、
命題１の x に 1/y を代入してのち、
両辺の逆数をとれば良いです。

ここまで、はちべえさんには是非とも
お認め頂きたく存じます。
異議があるようでしたならば
それははちべえさんには
数について勘違い
があることの証左となります。

さて命題２のオキモチとしては、
《任意の、1 より小さい正の実数 y について、それよりも小さい正数が存在する》
ということ、
ここが、ポイントとなります。

さて、ここで、
z = 1 -0.99999………
について、私はこれを0としますが
はちべえさんは
z ＞ 0
とするのですね。

はちべえさんの z に命題２を
適用しましょう。

z について ある自然数 n が存在して
z ＞ 1/n
が成り立つのですね。
つまり、
1 -0.99999…… ＞ 1/n
整理すると
1 ＞ 0.99999…… +1/n
1 -1/n ＞ 0.99999……
この最後の不等式をみてムムムと
思っていただければと存じます。
《0.999999……は1より小さい数のなかでも最大な数のはず。》に反しますね。

《この矛盾ははちべえさんのz》の存在に無理があることを証明しています。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

zは、四則演算できる最小数なのです。
10進数ですから、０から９までの記号を使います。そして、９を超えるときは桁上りが発生します。
さて、０．９９９９・・・・は、全部９を使っているので、もう記号はありませんから、１と０．９９９・・・の間で10進数で表せる数はありません。１０進数ですから、存在できないのです。
ですから、
＞z について ある自然数 n が存在して
＞z ＞ 1/n
という1/ｎは存在できないのです。

さて、非ユークリッド幾何学の番組を見ましたか？番組のまとめのリンクを貼っておきます。
線と離れた点を通る平行な線は1本しかないというのユークリッド幾何学でしたが、非ユークリッド幾何学では、何本もあったり、1本もないというものでも、ユークリッド幾何学が成り立てば、非ユークリッド幾何学も成り立つのでしたね。
常識が根底から崩れたのです。１＋１＝２は正しいのか？これも番組でやるそうです。

もっと、驚くことを言いましょう。０．９９９・・・は、10進数の定義により、末位が9から次の記号が必要になって、桁上りが発生するのですが、つまり、０になり、桁上りが連続的に起きて１.０００・・・・・つまり、１になるのです。つまり、10進数は末位があるのです。つまり、量子的というかデジタル的というか、末位があるので、９が無限に並ぶことなどというものはないのです。だから、０．９９９・・・は正確に言うと、末位があるので、０．９９９・・・９なのです。末位より後ろには何もあってはならないのです。

再再編集済み。
2023-10-9　21:4４再編集済み。

今晩の「笑わない数学」は「コラッツ予想」です。
初回放送日: 2023年10月11日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。

再放送は、
一回目10月14日（土）Eテレ午後９：３０～午後10:00
二回目10月18日（水）Eテレ午前０：５５～午前1:25
だそうです。

編集済み

次回は、「１＋１＝２」だそうです。
初回放送日: 2023年10月18日 NHK総合午後11:00〜11:30
リンクを張っておきます。

コラッツ予想のまとめのリンクを張っておきます。

なお、1億2000万円の賞金には、期限があって、２０２１年 7 月 7 日から２０３１年 7 月 6 日までだそうです。

コラッツ予想　証明で、こんなものを見つけました。
リンクを貼っておきます。

この人は、完成して、英文の論文をPDFにして公開しています。
リンクを貼っておきます。

ミレニアム懸賞問題（リンクを貼っておきます）は、賞金100万ドルですが、円安で、今ならおおよそ1億5000万円くらいになります。

コラッツ予想の賞金の詳細をリンクに貼っておきます。

今晩の「笑わない数学」は、「１＋１＝２」だそうです。
初回放送日: 2023年10月18日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。

再放送は、
一回目10月21日（土）Eテレ午後９：３０～午後10:00
二回目10月25日（水）Eテレ午前０：５５～午前1:25
だそうです。

来週は、「結び目理論」だそうです。
初回放送日: 2023年10月25日 NHK総合午後11:00〜11:30
リンクを貼っておきます。

>10進数ですから、０から９までの記号を使います。そして、９を超えるときは桁上りが発生します。
さて、０．９９９９・・・・は、全部９を使っているので、もう記号はありませんから、１と０．９９９・・・の間で10進数で表せる数はありません。１０進数ですから、存在できないのです。

０．９９９・・・=aとして1=bとすると、実数は連続するから、(a+b)/2が存在するはずです。しかし、１と０．９９９・・・の間で10進数で表せる数はありませんから(a+b)/2は存在しません。つまり、10進数は実数ですが、連続しません。たとえ何進数であろうと、同じですから、実数は連続してないのです。

思うに、昔の人は、我々が使う実数は10進数であることを失念していたのでしょう。

編集済み14:08

不可能ですね。比較的簡単に証明できます。
・3つ組の中に「aとbを含むもの」は3個なので、1周の中に同じ隣接ペアが複数個あってはいけない
・連続4つの中に同じ数字を二つ含めることはできない
ということがわかっていれば
最初の4つは何を置いても同じなので1,2,3,4とする
1,2,3,4,a,b,c,d,e,f
aは1か5、fは4か5しかない
1,2,3,4,1,b,c,d,e,4 は1と4の隣接が2組となり不適
1,2,3,4,1,b,c,d,e,5 とするとbに置けるものがなく不適
（b=2だと1と2の隣接が2組、b=5だと1と5の隣接が2組になってしまう）
1,2,3,4,5,b,c,d,e,4 とするとeに置けるものがなく不適
（e=3だと3と4の隣接が2組、e=5だと4と5の隣接が2組になってしまう）
1,2,3,4,5,b,c,d,e,5 とするとb=2,e=3と決まるが145が作れず不適

勘違いしているかも知れないがn=6と計算上なるようですが・・・・

管理人さんのコメントに対してです。

例えば A が 2 点の場合、b は 3 点「以上」であればよく、3 点ちょうどである必要はありません。
18回を超えると 3 点ちょうどである確率が下がるのは、4 点以上になることが多くなるからです。
3点「以上」である確率はちゃんと単調増加していき、1 に収束しますよ。

また、そもそも A が 2 点取るのも実はかなり運がいい方の結果です。
A がいきなり裏を出す場合なども考えると、実は勝率 50% には一桁回数で足ります。

GAI さん

計算してみたところ、n=6 だと、B の勝率は 40.67% くらいのようです。
A が確率 1/2 で 0 点になりますが、一方 B が 6 回振っても一度も 1 が出ず引き分けというオチになる場合が少なからずあり、勝率 50% にはちょっと届かない……
という感じですかね。

BがAに勝つ確率は 1-(11/12)^n となるようですね。

Aの得点がちょうど k となる確率は (1/2)^(k+1).

Bの得点が k+1 以上となる確率は
n!*[x^n]( (exp(x/6))^5*Σ[j=k+1～∞](x/6)^j/j! )
=n!*[x^n]( exp(5*x/6)*(exp(x/6)-Σ[j=0～k](x/6)^j/j! )
=n!*[x^n]exp(x) - n!*[x^n]( exp(5*x/6)*Σ[j=0～k](x/6)^j/j! )
=1-n!*[x^n]( exp(5*x/6)*Σ[j=0～k](x/6)^j/j! ).

よって、BがAに勝つ確率は、
Σ[k=0～∞]((1/2)^(k+1))*(1 - n!*[x^n](exp(5*x/6)*(Σ[j=0～k](x/6)^j/j!))
=1-n!*[x^n]([k=0～∞]((1/2)^(k+1))*exp(5*x/6)*Σ[j=0～k](x/6)^j/j!)
=1-n!*[x^n]( exp(5*x/6)*Σ[j=0～∞]((x/6)^j/j!)*[k=j～∞](1/2)^(k+1) )
=1-n!*[x^n]( exp(5*x/6)*Σ[j=0～∞]((x/6)^j/j!)*(1/2)^j
=1-n!*[x^n]( exp(5*x/6)*exp(x/12) )
=1-n!*[x^n]( exp(11x/12) )
=1-(11/12)^n.

なるほど、exp(x) の係数としても書けるんですね。
本質的には変わりませんが、私は以下の計算手順を想定していました。


A の得点がちょうど a 点になる確率は (1/2)^(a+1) です。
B の得点がちょうど b 点になる確率は反復試行の確率なので nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b) です。

よって、B が勝つ確率は、
Σ[b=1→n] Σ[a=0→b-1] (1/2)^(a+1)*nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b)
と表されます。
これを整理すると

Σ[b=1→n] Σ[a=0→b-1] (1/2)^(a+1)* nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b)
= Σ[b=1→n] {1-(1/2)^b}*nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b)
= Σ[b=0→n] {1-(1/2)^b}*nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b)
= Σ[b=0→n] { nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b) - nCb*(1/12)^b*(5/6)^(n-b) }
= (1/6+5/6)^n - (1/12+5/6)^n
= 1-(11/12)^n

なので、1-(11/12)^n ≧ 1/2 から n ≧ log(1/2)/log(11/12) = 0.7966……
つまり、n の最小値は 8 でした。


最初に反復試行の式から現れる nCb*(1/6)^b*(5/6)^(n-b) という形は、いかにも後で二項定理に使ってくださいという式です。
が、いざ実行するときには nCb*(1/12)^b*(5/6)^(n-b) と中身が変わっているという。
二項展開されたものを元に戻す計算はよくある計算ですが、こういうパターンは珍しいように思い、出題しました。

なお、実はこの問題、もっとあっさりした計算で答えを出す道もあります。

このゲームは A が先にプレイしようが B が先にプレイしようが、はたまた同時にプレイしようが結果には影響しません。
そこで、「とりあえず B がプレイしていって、k 回目に 1 の目が出たときに A が k 回目のコインを投げる」という方法でプレイすることにします。

すると、B が m 回投げた段階でまだ勝敗がわからない条件のもとで、m+1 回目で B の勝利が確定する条件付き確率は常に 1/12 です。
よって、n 回サイコロを投げて B が勝利できない確率は (11/12)^n となり、B の勝率は 1-(11/12)^n となります。

DD++さん、返信ありがとうございます。
様々な解法があるのですね。
勉強になります。

想定した規則性と若干異なりましたが正解です。条件に不備があったので、問題を改題しました。

遅くなりましたが、

私が考えた規則性は
「小さい桁から、逆に並べて足す」でした。

改題後の
次の条件が加わると、私には分かりません。
８２５⊕９２＝５５４

give upです。
規則性を教えてください。

それと
１０／３　「規則の発見３」で内容補充が空白のままでーす。。。

「１０／３　「規則の発見３」で内容補充が空白のまま」とは、どういうことでしょうか？
見え方をお教えください。

あれ？
管理人様

Ｎｏ　１４４７　に投稿
「サイコロの反対面の数を掛け合わせたもの」
と投稿したのですが・・・・・

既にアップさせていただいております。ご安心ください。カルピスさんの閲覧しているページが古いままの可能性があります。
「ページの更新」で解決すると思います。

管理人様
お返事有難うございます。

本日、見ましたが
また何故か
１０／３　「規則の発見３」で内容補充
本日１０／９　「規則の発見５」で内容補充
２つとも変化なし(補充された内容が見れない)でした。

その他は、補充された内容が全て見れます。
「ページの更新」は、どのようにやれば良いのですか？

今まで何もしないでも　きちんと見れていたのですが・・・

あっ、今さっき、本日更新の「規則の発見５」が見えました。
でも、まだ
「規則の発見３」がダメです。。。

私の古いパソコンが、ついに　いかれたかな・・・

「ページの更新」の件ですが、「更新履歴」のページを呼び出して、ブラウザの任意の場所で、右クリックを行うと、そのメニューの中に
「フレームの更新」が下段の方にあると思いますので、それをクリックするだけです。
ブラウザの読み込みの高速化のために、パソコンはキャッシュから読み込みますが、そのキャッシュが更新されないと古いままの情報が残
るようです。

カルピス様、HP管理者様、こんにちは。
さいころの問題は、(プログラミング的思考）テキシコーの＃３に似たような問題があります。ロジック・マジックです。
Scene3　ロジックマジック「サイコロの目」
テキシコーの＃３のリンクを張っておきます。

管理人様

「フレームの更新」で見ることができました。
お陰様でパソコンの勉強になりました。
有難うございました。

(皆様には見えていて、私にだけ見えていなかった・・・
こんな事ってあるんですね。
お利口さんにしか見えない・・・まるで「裸の王様」の物語みたい)

マッチ棒で考える件は私には　give up　して正解でした。


うんざりはちべえ様

「テキシコー」面白かったです。
こーいうの大好きです。
他にも、「ピタゴラスイッチ」とか「アルゴリズム体操」も大好きです。

カルピス様、おはようございます。

＞他にも、「ピタゴラスイッチ」とか「アルゴリズム体操」も大好きです。
わたしも大好きです。

さて、テキシコー＃７の　ロジックマジックの２はどうなっているのでしょう？
リンクを貼っておきます。

規則の発見3の問題.1
＋〇を関数とすると、f(x,y)である。よって、
f(1,2)=3,f(2,3)=8,f(3,4)=15のときf(4,5)をもとめよ。

1.3つの式が与えられているので、f(x,y)=ax^2+bx+cyとおくと、
f(1,2)= a+ b+2c-----(1)
f(2,3)=4a+2b+3c-----(2)
f(3,4)=9a+3b+4c-----(3)
(1)(2)(3)より、
a=1,b=2,c=0
よって
f(x,y)=x^2+2x
ゆえに
f(4,5)=24

2.3つの式が与えられているので、f(x,y)=ax+by^2+cyとおくと、
f(1,2)= a+4b+2c-----(4)
f(2,3)=2a+9b+3c-----(5)
f(3,4)=3a+16b+4c----(6)
(4)(5)(6)より、
a=1,b=1,c=-1
よって
f(x,y)=x+y^2-y
ゆえに
f(4,5)=24

１．２．よりf(4,5)=24

計算ミスがなければの話ですが、

規則の発見3の問題2
ⓧを関数として、f(x,y)とおく。
f(1,6)=6,f(2,4)=15,F(3,5)=8,f(4,6)=3のときf(3,6)を求めよ。

3つの式が与えられているので、
1.f(x,y)=ax^2+bx+cy^2+dy、
2.f(x,y)=ax^3+bx^2+cx+dy、
3.f(x,y)=ax+by^3+cy^2+dy、
4.f(x,y)=ax^2+bx+cy+d、
5.f(x,y)=ax+by^2+cy+d、
が考えられる。

1.f(x,y)=ax^2+bx+cy^2+dy、
f(1,6)= a+ b+36c+6d-----(1)
f(2,4)=4a+2b+16c+4d-----(2)
f(3,5)=9a+3b+25c+5d-----(3)
f(4,6)=16a+4b+36c+6d----(4)
(1)(2)(3)(4)より、
a=61/14,b=-319/14,c=-47/14,d=339/14
より、f(3,6)=- 33/7

2.f(x,y)=ax^3+bx^2+cx+dy、
f(1,6)= a+ b+ c+6d------(5)
f(2,4)=8a+4b+2c+4d------(6)
f(3,5)=27a+9b+3c+5d-----(7)
f(4,6)=64a+16b+4c+6d----(8)
(5)(6)(7)(8)より、
a=47/14,b=-395/7,c=-240/7,d=-37/14
より、f(3,6)=-7503/14

3.f(x,y)=ax+by^3+cy^2+dy、
f(1,6)= a+216b+36c+6d----(9)
f(2,4)=2a+64b+16c+4d-----(10)
f(3,5)3a+125b+25c+5d-----(11)
f(4,6)=4a+216b+36c+6d----(12)
(9)(10)(11)(12)より、
a=-1,b=61/120,c=-53/8,d=1357/60
より、f(3,6)=4←唯一正解

4.f(x,y)=ax^2+bx+cy+d、
f(1,6)= a+ b+6c+ d------(13)
f(2,4)=4a+2b+4c+ d-------(14)
f(3,5)=9a+3b+5c+ d------(15)
f(4,6)16a+4b+6c+ d------(16)
(13)(14)(15)(16)より、
a=1,b=-6,c=-6,d=47
より、f(3,6)=2

5.f(x,y)=ax+by^2+cy+d、
f(1,6)= a+36b+6c+ d------(17)
f(2,4)=2a+16b+4c+ d------(18)
f(3,5)=3a+25b+2c+ d------(19)
f(4,6)=4a+36b+6c+ d------(20)
(17)(18)(19)(20)より、
a=-1,b=-1,c=-15,d=61
より、f(3,6)=-68

うんざりはちべえ様

> さて、テキシコー＃７の　ロジックマジックの２はどうなっているのでしょう？

２の紙の裏面を少しだけ重くしているのではないでしょうか？

カルピス様、おはようございます。

＞２の紙の裏面を少しだけ重くしているのではないでしょうか？
なるほど。そうもありなんですね。

私は、ありきたりで、たぶん両面に２が書いてあると思いました。

うんざりはちべえ様

おはようございます。

> 私は、ありきたりで、たぶん両面に２が書いてあると思いました。
頭いいー！！
その通りだと思います。
(もう一度、動画を見直してみました)

ありがとうございます。

固有ベクトル b は正規化されていると思っていいんですよね？
好きなものを採用していいとなると、虚数倍したものを持ってこれちゃいますし。

多分これでできてると思いますが、大丈夫かな？


(1) A が対角行列で a[3,3] = 0 の場合

A = diag( λ[1], λ[2], 0 ) とします。
A はランク2で正定値なので、λ[1] と λ[2] は正の数です。

このとき仮定は λ[1]*p[1,1] + λ[2]*p[2,2] = 0 となり、変形すると、
2*λ[1]*λ[2]*p[1,1]*p[2,2] = - (λ[1]*p[1,1])^2 - (λ[2]*p[2,2])^2 ≦ 0
2*λ[1]*λ[2] は正なので、p[1,1]*p[2,2] ≦ 0 となります。

また、b = t( 0, 0, ±1 ) より、t(b)*adj(P)*b は単純に adj(P) の [3,3] 成分を意味するので、
t(b)*adj(P)*b = p[1,1]*p[2,2] - p[1,2]^2 ≦ 0
となります。
等号成立は p[1,1] = p[2,2] = p[1,2] = 0 のときに限ります。
b と垂直な平面が P によって b と平行な直線または点に変換されること、と言え変えられますね。


(2) A がそれ以外の場合

A は実対称行列なので直交行列 M で対角化でき、
D = t(M)*A*M となります。
ただし、D は対角行列であり、d[3,3] = 0 となるように対角化することします。
A が 3 次の半正定値ランク 2 なので D も 3 次の半正定値ランク 2 で、また D は対角行列ですから明らかに対称行列です。
またこのとき、t(M)*b は D の固有値 0 に対応する固有ベクトルです。

ここで、Q = t(M)*P*M とおくと、これは 3 次実対称行列です。
変形すると、P = M*Q*t(M) です。

このとき、
tr(t(D)*Q) = tr(D*Q) = tr(t(M)*A*P*M) = tr(A*P) = tr(t(A)*P)
また
t(b)*adj(P)*b
= t(b)*adj(M*Q*t(M))*b
= t(b)*adj(t(M))*adj(Q)*adj(M)*b
= t(b)*M*adj(Q)*t(M)*b
= t(t(M)*b)*adj(Q)*t(M)*b
となるので、D を A と、Q を P と、t(M)*b を b と読み替えることで (1) に帰着します。

等号成立条件は、t(M)*b と垂直な平面が Q = t(M)*P*M によって t(M)*b と平行な直線または点に変換されること、
つまり、結局、b と垂直な平面が P によって b と平行な直線または点に変換されること、です。


もとの幾何の問題が何かはわかりませんけど、何か意味のありそうな条件に見えますね。

DD++さん、ありがとうございます。
とても参考になりました。

前回投稿した後に再考している中で
「対角化したら１パターンのみ考えるだけでいいのでは？」
と思っていたところだったので、実際その通りに証明できることがわかってよかったです。
私が行った証明は場合分けしたうえでの成分計算ごり押しみたいな感じなので、
もっと本質を突いた証明がありそうだと思って書き込んだのでした。



> 固有ベクトル b は正規化されていると思っていいんですよね？
> 好きなものを採用していいとなると、虚数倍したものを持ってこれちゃいますし。

もともと私はすべて実数範囲で計算していたので、「固有ベクトルbは実ベクトル」とする条件を明示し忘れました。
申し訳ありません。
実数で正規化されている場合が示されれば b を実数倍しても成り立つことは明らかなので、これで大丈夫です。



> tr(t(D)*Q) = tr(D*Q) = tr(t(M)*A*P*M) = tr(A*P) = tr(t(A)*P)

Σ[i=1..3]Σ[j=1..3]a[i,j]p[i,j] が tr(t(A)P) と書けることには気づきませんでした。
じつは前回書き込んだ後で、Σ[i=1..3]Σ[j=1..3]a[i,j]p[i,j] よりも Σ[i=1..3]Σ[j=1..3]a[i,j]p[j,i] の方が
(座標計算上)本質に近い計算だと感じていたのですが、この式を見てその感覚が正しかったとはっきりとわかりました。



> もとの幾何の問題が何かはわかりませんけど、何か意味のありそうな条件に見えますね。

もともとこの命題が幾何の問題だったというわけではないです。

詳細はこのスレッドの本題から外れるので省きます。（以下、削除しました。2023/10/8 りらひい）

斉次座標系には明るくないので頓珍漢なことを言ってたらすみませんが、

> 直線 t(l)x=0 と直線 t(m)x=0 が直交する ⇔ t(l)Am=0

これって、座標系を空間的に捉えれば、まさに
「b と垂直な平面が P によって b と平行な直線または点に変換されること」
この例の文字割り当てで言えば
「m と垂直な平面が A によって m と平行な直線または点に変換されること」
という話ではないんですか？

若干の訂正。
「b は正規化されていると思って」という前振りを入れましたが、
冷静に考えると正規化されていても実数とは限りませんね。
「実数で正規化されている」だったことにしてください。

実数限定で話をしたいという同じ内容を偶然にもお互い記述し忘れた形なので、あまり問題はないはずですが、記事の正確性のために訂正しておきます。

No.1461でDD++さんが言いたいことがどんなことなのかをずっと考えているのですが、
どうしても意味がつかめません。すみません。

もともとの命題の等号成立条件
「b と垂直な平面が P によって b と平行な直線または点に変換されること」
に関しては理解できます。
等号成立条件は任意の実ベクトルcを用いて
P = (b*t(c)+c*t(b))/2
と表されることといえるため、bと垂直なベクトルをnとすると
P*n = (b*t(c)*n+c*t(b)*n)/2 = {(t(c)*n)/2}*b
となることからわかります。

残りの内容がどんな意味合いなのかわかりませんでした。



そもそも私が余計な内容を書き込んだことがよくなかったと反省しています。
No.1460の後半、「もともとこの命題が……」以降はこのスレッドでの本題から大きく外れすぎているので削除したいと思います。
申し訳ございません。

DD++さんの証明を参考にすることで、真偽がわからず保留となっていた次の命題も対角化を利用して証明できました。
ありがとうございます。

Aをランク2の半正定値3次実対称行列とする。
Pは3次実対称行列とする。
このとき、Σ[i=1..3]Σ[j=1..3]a[i,j]p[j,i]=0 ならば
Pは不定値行列(半正定値でも半負定値でもない行列)またはランクが1以下の行列である。

私も書いていてなんか違和感あったんですが、間違いにやっと気付きました。

「b と垂直な平面が P によって b と平行な直線または点に変換されること」
は、私は式としては
「b と垂直な任意のベクトル l, m に対して t(l)*P*m=0 」
をイメージしていました。

ならば、この例の文字割り当てで言うならば、m ではなく、l とも m とも垂直な第三のベクトル n に対して成り立つと記述するべきでした。
すみません。

まあ、記述を修正したとしても元々ただの無根拠な思いつきで書いたものでしかなく、変に掘ってみても何の価値もない可能性が高いです。


> DD++さんの証明を参考にすることで、真偽がわからず保留となっていた次の命題も対角化を利用して証明できました。

思わぬ副産物があったようで、お役に立てて嬉しく思います。

カルピス様、こんにちは。
すみませんが、ここに、つなぎます。お許しください。

x=4,5で7あるからax^2+bx+c=dとおく。
x=4を代入して、
16a+4b+c=7----(1)
x=5を代入して、
25a+5b+c=7----(2)
x=6を代入して、
36a+6b+c=9----(3)
よって、(1),(2),(3)より、
a=1,b=-9,c=27
ゆえに、
x^2-9x+27
これにx=7を代入して、
x^2-9x+27=13

うんざりはちべえ様

流石、数学の出来る人はちがう！！

こちらこそ、良い「テレビ放送の情報」が
トップに表示されなくなり目立たなくなってしまって
申し訳ありません。
（少し気にはしていたのですが・・・）ｍ（＿）ｍ

カルピス様、おはようございます。

いえいえ、発想力には、カルピス様には及びません。

同じく出来の悪い数学で無理やり6番目をやってみると、カルピス様と一致しませんでした。

問題より、＋〇記号は関数としてf(x,y)=cとおく。
したがって、f(5,3)=8,f(8,5)=1の時f(9,6)を求めよとなる。
与えられている式は2つしかないので、
f(x,y)=ax+by=cとおく。
f(5,3)=5a+3b=8----(1)
f(8,5)=8a+5b=1----(2)
(1),(2)より、a=37,B=-59
よって、
37x-59b=c
ゆえにf(9,6)=-21