😊出会いの泉😊

>q は 任意の P(x) について
>常に 0 となりますか？

常に 0 となります。
次のファイルの67ページをご覧ください。
より一般的な結果が載っています。
https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/CRUXv32n5.pdf

上記ファイルは、
Canadian Mathematical Society の
「Crux Mathematicorum 2006年9月号」
のものです。

atさん。
誠に有難うございます。
早速勉強します。

q = 0 はわりと自明じゃないでしょうか？

方程式 P(x) = t の n 個の実数解の合計を S(t) とすると、
（ただし t はこの方程式が n 個の異なる実数解を持つ範囲を動く）
q というのは S’(0) のことなわけですが、
n≧2 であれば解と係数の関係より S(t) はそもそも定数関数です。

DD++さん、いつもいつも有難うございます。

御教示を頂きましたところの
《q というのは S’(0) 》
が理解できませんでした。

ひどく簡単なことに違いないと思いますけれども。恥ずかしながらお願いいたします。
噛み砕いて御教示を頂けないでしょうか。

宜しくお願い致します。

dengan さん

こんな感じで伝わりますでしょうか？


方程式 P(x) = 0 の解を小さい順に x = a[k] （1≦k≦n）とします。
曲線 y = P(x) と直線 y = 0 が、各 (a[k],0) に交点を作っている感じで図を思い浮かべてください。

ここから、直線 y = 0 をほんのわずかに上下にずらして y = t に移動させます。
すると、各交点 (a[k],0) も少し移動して y 座標が t になりますね。
このとき、各交点のごく近くでは曲線はほぼ傾き Q(a[k]) の直線になっており、交点は当然それをなぞるように移動します。
したがって、x 座標の変化は、y 座標の変化 t の 1/Q(a[k]) 倍となっています。

ということは、「交点の x 座標の合計 S(t) は、S(0) から qt だけ増加する」わけですが、
実はこの文だけ見れば q は微分係数 S’(0) の定義そのものです。

オオオ！！！
有難うございます、DD++さん。
私にも見えました。

(n,p)=(1,6),(2,8),(3,10),(4,12),…で成り立ちますので、pは一つに決まらず、問題が正しくないと思います。
と思いましたが、ひょっとして、一行目は「自然数nに対して」という意味で、答えがp=2n+4ということでしょうか。

GAIさま、らすかるさま、こんにちは。

らすかるさまと同じですが、
2^(2n)+2^(2n+3)+2^p=a^2とおくと、
2^(2n)+8*2^(2n)+2^p=a^2
9*2^(2n)+2^p=a^2
2^p=a^2-9*2^(2n)
2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
左辺は正だから、a-3*2^n>0

2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
より、b+3,b-3が2^c,2^dになるのは、
b+3=2^cより、b=2^c-3
b-3=2^dより、b=2^d+3
WolfRamAlphaによると、整数解はb=5,c=3,d=1の1組しかない。

よって、a=5*2^nだとしてa-3*2^n=2*2^n
だとしてa+3*2^n=8*2^n
したがって、
2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
2^p=16*(2^n)* (2^n)=16*2^(2n)=2^4*2^(2n)=2^(2n+4)
ゆえにp=2n+4

多分「素因数分解の１意性」とタイトルからして、解法は間違っているとおもいます。

2^(2*n) + 2^(2*n+3) を 9*
2^(2*n) と書いていないのが不自然なので、問題を誤記しているのでしょう。

2^(2*n) + 2^(n+3) + 2^p
が正しい式で、答えは p=4 とかですかね。

2^(2*n) + 2^(n+3) + 2^p
の場合は、pが任意のnに対する定数ならばp=4しかないですが
「任意のn」をなくして「nに依存してよい」ならばnが奇数限定でp=(3n+5)/2という解もありますね。

うんざりはちべえさん、こんにちは。

＞2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
より、b+3,b-3が2^c,2^dになるのは、
b+3=2^cより、b=2^c-3
b-3=2^dより、b=2^d+3
WolfRamAlphaによると、整数解はb=5,c=3,d=1の1組しかない。

これは手計算でもいけますね。
b+3=2^cより、b=2^c-3
b-3=2^dより、b=2^d+3
∴2^c-3＝2^d+3　∴2^c-2^d=6　∴2^(c-1)-2^(d-1)=3
右辺が奇数なので左辺も正の奇数で、d-1=0,c-1=2の場合しかない。
∴c=3,d=1　∴b=2^3-3=5
よって、整数解はb=5,c=3,d=1の1組しかない。

また、2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)から、左辺が偶数(p≠0とする)より右辺も偶数で、
aは偶数よりa=2m(mは整数)と置くと、2^p=(2m+3*2^n)(2m-3*2^n)
∴2^(p-1)=(m+3*2^(n-1))(m-3*2^(n-1))
これを繰り返す事になるので、初めにa=b*2^n（n乗じゃないと右辺は奇数になってしまう）と置くと、
2^p=(b*2^n+3*2^n)(b*2^n-3*2^n)
∴2^(p-2n)=(b+3)(b-3)
よって、b+3=2^c，b-3=2^dと置くのですね。（p-2n>0）

題意より
2^(2*n)+2^(2*n+3)+2^p=m^2 (m;整数)
とおくと
2^p=m^2-2^(2*n)*(1+2^3)
=m^2-(2^n*3)^2
=(m-3*2^n)*(m+3*2^n)
ここに素因数分解の一意性から
m-3*2^n=2^s･････①
m+3*2^n=2^t･････②
を満たす(s<t)自然数s,tが存在する。
ただしs+t=p･････③
②-①より
3*2^(n+1)=2^t-2^s=2^s*(2^(t-s)-1)
ここに2^sは偶数より2^(t-s)-1=3でなければならない。
よって
2^(t-s)=2^2からt-s=2
このときs=n+1
これよりt=s+2=n+3
③からp=2*n+4


なるものを準備していました。
問題文の表現をどの様に表せばいいかの難しさを身に染みて感じます。



　　

壊れた扉さま、こんばんは。

なるほどです。
手計算でできますね。

GAIさま、こんばんは。

なるほど。
最初はその方向で・・・・でも、むつかしそうで、諦めました。

らすかるさん
n 依存の話をするなら、n が奇数限定で p = 3n-5 もありますし、n = 7 で p = 15 のようなかなり特殊な解もあります。
まあ、なんにせよ誤記ではなかったようですけれども。

GAI さん
9*4^n という簡素な表記にせず、わざわざ 2^(2*n)+2^(2*n+3) という表記にした理由はなんだったのでしょう？

管理人さまの解法はよくできていますね。

反例があるので、そうとも言えないと思います。この場合は、たまたま 30°ですが．．．。

それは二等辺三角形でないと成り立ちません。
△ABCで∠Aの二等分線とBCの交点をPとすると、BP：PC=AB：ACになります。

> それは二等辺三角形でないと成り立ちません。
　
　その通りでした。
　大きな勘違いをしていました。

　ありがとうございました。

1-0.999・・・=zなので、2つの等しくない実数a,b（a≠b)を持ってきて｜a-b｜≧zとなります。これからも実数は連続でないですね。
また、実数は10進数ですから、0.321=3/10+2/100+1/1000=321/1000となります。いま、自然数部n桁、小数部n桁の正の実数a=Σai/(10^i) ｛ただし、aiは各桁の数、n≧i≧(-n)とする。｝とすると、aは有理数ですね。なぜなら、有理数は四則演算で閉じていますから、有理数ですね。また、z>0より、無限の有理数和ともなりませんね。したがって、実数は有理数であり、無理数は表せないのです。例えば、√2を表すことはできないのはz>0よりzより小さい数を表せないので、明らかですね。
もちろん、実数の10進数は、何進数にも変えられますが、同じことです。

今晩の「笑わない数学」は「虚数」だそうです。
2023年11月1日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。

再放送は、
一回目11月4日（土）Eテレ午後９：３０～午後10:00
二回目11月8日（水）Eテレ午前０：５５～午前1:25
だそうです。

来週は「超越数」だそうです。
2023年11月8日 NHK総合午後11:00〜11:30

編集済み

＞1-0.999・・・=zなので、2つの等しくない実数a,b（a≠b)を持ってきて｜a-b｜≧zとなります。
ｚ(>0)はいわゆる無限小です。つまり、実数は、連続でなく、等間隔で並ぶので、量子化されているのです。しかも有理数です。
進数で表されるということはそういうことです。

昔の人は、進数ということを無視した理想的実数を考えていたのかもしれませんね。

追記：0.999・・・は9の倍数なので、1-0.999・・・=z=10^(-n)ですが、nがどれだけ多くなってもz=0にはなりません。ｚ＝０では1=0.999・・・なので、１と9の倍数が等しくなるので、矛盾するので、z≠0です。

編集済み

z=10^(-n)≠0ですから、ｎは有限になってしまいます。これは、10進数には末位があるということに矛盾しません。
つまり、10進数は有限小数であるということです。

追記：ではk（kは自然数とする)進数では、z=k^(-n)≠0ですから、同じｎではkによってzが変わってきます。zが同じならば、kが大きいとnは小さくなります。k=2ではｎは非常に大きくなります。この辺の問題は未解決です。

今晩の「笑わない数学」は「超越数」だそうです。
2023年11月8日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。リンクを貼っておきます。

再放送は、
一回目11月11日（土）Eテレ午後９：３０～午後10:00
二回目11月15日（水）Eテレ午前０：５５～午前1:25
だそうです。

来週は「ケプラー予想」だそうです。

今晩の「笑わない数学」は「ケプラー予想」だそうです。
2023年11月15日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。リンクを貼っておきます。

再放送は、
一回目11月18日（土）Eテレ午後９：３０～午後10:00
二回目11月22日（水）Eテレ午前０：５５～午前1:25
だそうです。

来週は「笑わない数学」の選の「フェルマーの最終定理」だそうです。つまり、シリーズ１の再放送だそうです。

今晩の「笑わない数学」は「フェルマーの最終定理」だそうです。
2023年11月22日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。リンクを貼っておきます。

再放送は、
一回目11月25日（土）Eテレ午後９：３０～午後10:00
二回目11月29日（水）Eテレ午前０：５５～午前1:25
だそうです。

来週は「1+2+3+4+・・・・=-1/12」だそうです。リンクを貼っておきます。

2023年11月29日 NHK総合午後11:00〜11:30

今更ですが、
＞なぜ世界中の数学者が認めていることに《根拠がない》などとおっしゃるのか

アリストテレス以来約1000年「重いものは軽いものより早く落ちる」は、多くの学者で真実でありました。
しかし、ガリレオガリレイによって、「重いものも軽いものも同時に落ちる」とされました。しかし、認められませんでした。
そこで、ガリレオガリレイは、アリストテレス学派に、
重いものと軽いものを紐で結んで落としたら、「重いものは軽いものより早く落ちる」のであれば、軽いものはゆっくり落ちようとするので、重いものを引っ張り上げるので、重いものは幾分遅く落ちるだろう。
ところが、重いものと軽いものを紐で結んであるから、紐を十分短くすれば、重いものと軽いものを足した重さになるので、重いものだけより早く落ちるはずである。よって矛盾する。
と指摘したそうですが、反論はありませんでした。

さて、１と0.999・・・はなぜ選ばれたかというと、1=a、0.999・・・=bとすれば、実数は連続なので、(a+b)/2はあるはずである。ところが、それはいくつであるか貴方は言えますか？言えないでしょう？であるから、(a+b)/2でa=bならば、(a+b)/2が存在しないことを証明できます。それで、１と0.999・・・が選ばれたのです。
しかし、なぜ、それはいくつであるか貴方は言えないかというと、10進数だからです。これを私は10進数のトリックと呼んでいます。

編集済み

誰も反論しないのは、あなたが正しいからではありません。
あなたとは会話する価値がないと全員が判断しているだけです。

数学の話であればどんな小さなことでもサイト掲載してくれるここの管理人さんですら、もうあなたの主張をサイトに掲載せず、投稿を見なかったことにしています。
気づいてましたか？

DD++さま、こんにちは。

ご苦労様です。一応読んでいただけたようで、ありがとうございました。

私は、２元論ではありませんので、私だけが正しいとは思いません。たとえば、1+2+3+4+・・・=無限大でもあり、1+2+3+4+・・・=ー1/12でもあるわけです。数学には、いろんな見方や見解が並列しているようにも見えます。また、ギリシャの三大作図問題は、角の３等分は出来ないことは１９世紀に証明されていますが、それでも、角の３等分ができるとモーリーの定理が成り立つわけです。こういうところが数学のだいごみではないでしょうか？

私は、数学の教員でもなく、普通のおじさんですが、だからかもしれませんが、教員であると間違ったことは教えてはならないということで、非常に「いいね」の数つまり、多数派はどちらかということばかりになり、保守的になってはいないでしょうか？もっと、自由に挑戦させることが大事な教育だと思うのですが、まずいですかね・・・・・？

もちろん、わたしは、必ずしも、返事は求めていません。

編集済み
再編集済み
再再編集済み

＞なぜ世界中の数学者が認めていることに《根拠がない》などとおっしゃるのか

この文言に対しての説明はあいかわらずないようですね。今回も多弁を弄していらっしゃいますが。
物理の話でお茶を濁しておいでで。

もう一つ付言しておきますけれども。
モーリーの定理は
「コンパスと定木とで任意の角を３等分できる」などとは一言も言っていません。
なのに、モーリーの定理と、いわゆる角の３等分はできない、とを矛盾、対立していると思っているのは、あなたの誤認にすぎないのです。

「平面幾何の対象となる図形は、
コンパスと定木だけを用いて作図されたものだけである」なんてことはないのです。
コンパスと定木だけですますだけが対象なら、我々は正13角形について平面幾何で取り扱ってはいけないことになりますよ？

何なら分度器なり何なり使えばモーリーの定理の説明図は作れるんです。

この定理の説明図をごらんになって
あなたは
《やや！角が３等分されてるじゃないか！！》
などと数学の矛盾について大発見をしたような気になっていらっしゃるようですし、その旨を本掲示板でも複数回にわたり述べられていらっしゃる。

ただ単に、あなたの誤認、理解不足がこうした陳述の原因に過ぎないのです。

「1+2+3+4+・・・=ー1/12でもあるわけ」
というのも、あなたの勉強不足から、
「1+2+3+4+・・・=無限大」と対立している、矛盾している、あるいは両論がある、
などと感じているだけなんですよ。

見かけは似ていても、定式化がまるで異なるのですよ？
他人のそら似をもって、このひとたちは双子だ、などと述べていらっしゃる、そういうことなんです。

とにもかくにもはちべえさんは、
数学の概念を捻じ曲げて理解してらっしゃる。
頭のサキッチョでわかったつもりでも、
なにもかも腹に落ちていらっしゃらない。

ご自身の浅薄な理解が届かないと、
世界が間違っているせいだと思い込む。
自信過剰に過ぎます。

＞なぜ世界中の数学者が認めていることに《根拠がない》などとおっしゃるのか

二度と《根拠がない》と仰っしゃらないようにお願いしますよ。

はちべえさんこそ、以前に、根拠もないのに
DD++さんに間違っていると言い放ち
どこが？と聞かれても
まともに回答なさいませんでした。
不誠実さには呆れ果てるばかりです。

Dengan kesaktian Indukmuさま、おはようございます。

たくさんのご指摘ありがとうございました。

＞私は、２元論ではありませんので、私だけが正しいとは思いません。
なのです。

さて、１＋２＋３＋４＋・・・は、例えが悪かったかもしれませんが、アインシュタインの相対性理論により、私達の空間は、曲がっているので、非ユークリッド幾何学で暮らしています。GPSもそれで、アインシュタインの相対性理論により、ずれるので、補正しているそうです。

ですから、数学には、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学が同時にあります。

＞なぜ世界中の数学者が認めていることに《根拠がない》などとおっしゃるのか
は、多数派が真実であるという教員としての数学者の陥りやすい例を示すために、ガリレオガリレイを持ち出したのです。
私としては、Dengan kesaktian Indukmuさまを批難しているわけではありません。
また、新しい発見がないと数学は進歩できないのではないでしょうか？

また、１＋２＋３＋４＋・・・＝-1/12は、量子力学で、役に立っているようです。

現代数学の父と呼ばれるヒルベルトが、数学の無矛盾性の証明(完全な数学の確立)を目指してプロジェクトを立ち上げたそうですが、その一員であったクルトゲーデルの不完全性定理の発見で、ヒルベルトの野望は崩れ去るのだそうです。

ユークリッド幾何学と
非ユークリッド幾何学と。

数学的真理がふたつあると思っているんですか？
それは誤認です。

公理系をかくかくしかじかに定めよう、これを公理系Aとする。演繹をする。
すると、数学の体系αがひとつ出てくる。

公理系をかくかくしかじかと定めよう、これを公理系Bとする。演繹をする。
すると、数学の体系βがひとつ出てくる。

両者まとめてひとつの真理なのです。数学的な真理がふたつあるわけではありません。

はちべえさんがおっしゃるような、
二つの数学のなかから一つの数学を真理とみとめることを多数決で決められるとか、そんなことは数学の世界ではおきていません。
あなたは少数派で、多数派から弾圧されている、【それでも私は正しい、世界の数学者が間違っている】などというのは、はちべえさんの個人的な幻想です。

どうしてはちべえさんが、このような誤認に至ったのか、私には想像もつきません。

なぜ世界中の数学者が認めていることに、はちべえさんは《根拠がない》などとおっしゃるのか、私には想像もつきません。
あるいは単にはちべえさん発の幻想に囚われているのでは？自縄自縛ですよ。

あとひとつ。
ゲーデルについて語るのはあなたには早すぎます。
おおかたテレビやネットなどからエエカゲンな評論を読み込んで自分勝手な解釈をしているのでしょうけれども。
命題「ＡならばＢ」の否定。
これについてはちべえさんは間違って理解しておいでであることは既に過去の掲示板記事で露呈しています。
中学生でもわかる論理の基本を理解していないのに、【論理について論理する】《数学について数学する》、メタ数学がわかるはすがありません。
世間では、ゲーデルにより数学は無力化された、との妄想が流布されていますし、はちべえさんもそうしたデマに毒されています。
「笑わない数学」という番組が放送されたときに、ツイッター界隈の数学の研究者たちのつぶやきは強烈でしたよ。《わからないなら番組作るな》という趣旨で。

Dengan kesaktian Indukmuさま、たくさんのご指摘ありがとうございます。

＞世間では、ゲーデルにより数学は無力化された

ヒルベルトは、不完全性定理も含めて、現代数学を組み上げたのではないでしょうか？
ヒルベルトが、数学は無矛盾であるかという命題を解くために、ヒルベルトプログラムを立ち上げたのですから、その成果は、後世の人は、ヒルベルトの業績の一部であると思うと思います。
また、ゲーデルは「ヒルベルトプログラムを拡張すればよい」と提案していたそうですし、条件付きで数学は無矛盾であるという成果もあるそうです。
ゲーデルによって、ヒルベルトプログラムは否定されたわけでもなく、現在も続けられているそうです。
Wikipediaのリンクを貼っておきます。

＞数学は無力化された　とは思いません。
第一物理学では数学を基本としてますし、ケプラー予想も多次元に拡張され、1+2+3+4・・・=-1/12が役に立ったように、物理学にも寄与しているのでしょう。

編集済み　11/28

話がズレていますね。
会話を打ち切るしかありません。

Dengan kesaktian Indukmuさま、こんにちは。

＞話がズレていますね。
会話を打ち切るしかありません。

すみません。

なお、折り紙の技術を使えば、任意の角の3等分ができるそうです。これは、割と最近の発見なので、モーリーがモーリーの定理を発見したときは、任意の角の3等分はできないと証明されたころです。

編集済み
再編集済み
再再編集済み
再再再編集済み 11/28

「モーリーの定理の説明図を書くときに、
コンパスと定木だけで描く必要はない。」
というのが議論の本線です。八兵衛さんの誤解はここにあるからです。

例示として私は、【例えば】分度器が使える場合もあるでしょう？　と示唆しました。

分度器を使うのがいやならば
例えば、ある種の都合の良い角度ならば
ネウシス作図を使えばよろしいですし、
折り紙で角の３等分をする方法も明らかになっていますし
それでもいやならば、
下記のページに素敵な方法が書いてあります。

http://shochandas.xsrv.jp/angle.htm

はちべえさんがおっしゃっている
「分度器では任意の角度を３等分できないでは無いか！！」
というのは、《実は》
今回のこの投稿の冒頭に掲げた
議論の本筋から、大きく外れたものなのです。
私にしてみれば【だからなに？】
と放置してもよかったのですがね。

議論の筋がわからないで頓珍漢な応答を返していらっしゃるから、私は嫌なんですよ、あなたと問答をするのが。

わざと議論の筋をどんどんはずすのは、
世にいうトンデモさんの遣り口なんですよ、その自覚がありますか？
単に言い負かしたいだけなのでは？屁理屈でもなんでも、最後に一言言った者が勝ちだと思ってる？

話にならないんですよ、本当に。

モーリーの定理について
はちべえさんが誤解をしていたことを認めてくださいね。

数学的な真理がふたつあり
世界は多数派だが、
八兵衛さんは少数派、
少数派だって正しい！！！
むしろ多数派が間違っている！！！！
多数派はまともな根拠を示していない！！！

というのは全部ダウトです。

Dengan kesaktian Indukmuさま、こんばんは。

たくさんのご指摘ありがとうございました。

DD++さん、ご指摘ありがとうございます。当初、∠Aを３等分して、30°、30°、30°を想定して作問しましたが、
最後に、自明な問題に見えてきて、∠QAC＝40°に変更してしまいました。∠APB＝90°を避けるためだったのですが、
正弦定理の呪縛から逃れることは出来ませんでしたね。問題は、早速修正したいと思います。

DD++さん、ご指摘ありがとうございます。２個以下の場合は全く想定外でした！

a[1]=1,a[2]=4,a[3]=49,a[n+3]=15*a[n+2]-15*a[n+1]+a[n]

みたいなことですかね？
作るだけならわりと簡単な気もしますけれども。

4項間での漸化式でも構成可能と示してもらったので、これを手掛かりに挑戦してみました。
分析していくと、とってもチェビシェフ多項式と深い関係を結べる構造が見えてきました。
a(1)=1,a(2)=4,a(3)=9
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=9
で
a(n)=3*(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)


a(1)=1,a(2)=4,a(3)=49
または
a(1)=1,a(2)=16,a(3)=225
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=9
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=25
で
a(n)=15*(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)


a(1)=1,a(2)=9,a(3)=289
または
a(1)=1,a(2)=36,a(3)=1225
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=25
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=49
で
a(n)=35*(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)


a(1)=1,a(2)=16,a(3)=961
または
a(1)=1,a(2)=64,a(3)=3969
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=49
または
a(1)=1,a(2)=1,a(3)=81
で
a(n)=63*(a(n-1)-a(n-2))+a(n-3)

･････････････････
と必ず平方数しか産み出さない漸化式が構成できますね。

導出方法はわからないのですが、
プログラムを作って数値的に確認したところ
{2・(n!)^2・Σ[k=0～[n/2]]{{(n-k)C(k)}^2・n/(n-k)}} / (2n)!
と表せるようです。

具体値は
n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
に対して
1, 1, 7/10, 3/7, 2/7, 29/154, 211/1716, 173/2145, 257/4862, 123/3553, …
のようになります。

導出なしにその式の形を得られるとは思えないので、らすかるさんは何か意図があって秘匿したのかもしれませんが……


2n 個の玉を置く場所に 1 番から 2n 番まで順に採番します。
3 連続がないかどうかと 1 番がどちらの色であるかは明らかに独立なので、
1 番に赤が来た場合の条件付き確率を考えれば十分です。

まず、1 番が赤であるような全ての並べ方は、残り n-1 個の赤玉を 2n-1 ヶ所のどこに置くかを考えればよく、
[2n-1]C[n-1] = (2n-1)! / {(n-1)!*n!} = (2n)! / {2*(n!)^2} 通り。

そのうち条件を満たすものがいくつあるかを 2n 番目の色で分けて考えます。

[1] 2n 番が白である場合
円形に並べていることが無関係になります。
赤 2 連続の箇所が k ヶ所ある場合、白 2 連続も同じ k ヶ所になるので、
「n-2k 個の 1 と k 個の 2 を並べた順列」を 2 セット作ると考えればよく、条件を満たす並べ方は
Σ[k=0→[n/2]] {[n-k]C[k]}^2 通り

[2] 2n 番が赤である場合
2 番および 2n-1 番は白でなくてはならず、同様に考えると、
赤は「n-2k 個の 1 と k-1 個の 2 を 2 つの 1 の間に並べた順列」
白は「n-2k 個の 1 と k 個の 2 を並べた順列」
を作ると考えればよく、条件を満たす並べ方は
Σ[k=1→[n/2]] [n-k]C[k]*[n-k-1]C[k-1] 通り
これは、[n-k-1]C[k-1] = [n-k]C[k]*(k/(n-k)) と変形すれば Σ の範囲を k=0 からに変更できます。

よって、条件を満たす並べ方は合わせて
Σ[k=0→[n/2]] {[n-k]C[k]}^2*{1+k/(n-k)} = Σ[k=0→[n/2]] {[n-k]C[k]}^2*{n/(n-k)} 通りなので、
あとは確率の定義通りに割り算すればらすかるさんの提示した式までは得られます。


問題はこれが綺麗にまとまるのかどうかですが。

実際、式は導出しておらず、OEISで検索して出したものです。
プログラムで数えればn≦15程度はあっという間に求まります。
結果の分数だと式がわからないと思いましたので、約分前の
2/2,6/6,14/20,30/70,72/252,174/924,422/3432,1038/12870,…
を使うと
分母は2,6,20,70,252,924,3432,…
これをOEISで検索するとA000984=(2n)!/(n!)^2がヒットします。
分子は2,6,14,30,72,174,422,…
これはOEISで検索しても見つからないのですが、
全部偶数なので半分にした1,3,7,15,36,87,211,…を検索したら
A167539=Σ[k=0～[n/2]]C(n-k,k)^2*n/(n-k)がヒットしました。
よって私が書いた式が得られます。
もちろん頭の方の項だけなので確実ではありませんが、
少なくともn=19（27074090/35345263800=2707409/3534526380）までは
プログラムで数えた結果と一致することを確認しました。
結果的に合っていたので安心しました。
# 今まで、15項以上一致して異なる数列だった経験はありません。
# ものによりますが、10項以下の一致では異なる可能性もあります。
A167539にこれ以上簡単な式が書かれていませんので、
おそらく綺麗にまとめることは出来ないのだろうと思います。

DD ++さん返信ありがとうございます！
今返信を読んでいる途中なのですが
「2n 番が白である場合
円形に並べていることが無関係になります」
というのがいまいち理解できません。
例えばn＝3の時
赤玉を1,3,4の位置に配置する時場合と赤玉を1,5,4の位置に配置する場合は円形だということを考慮するとダブりになりませんか？？

らすかるさん

なるほど、有理数列でも分母分子を分けて探せば OEIS で見つかることがあるんですね。
尤も、「約分する前の姿が想像できれば」という条件をクリアできる場合に限りそうですけども。

母関数まで書かれているのに式の整理結果がないってことは、綺麗な式になる可能性は確かに望み薄ですね。
うーん残念。

kg さん

私の計算は、玉を置く場所に採番をすることで、回転して一致するものも別の並びとして数えています。
少し乱暴な言い方をすれば、普通に一列に並べる順列として考えていると言ってもいいです。
ただしその際、「赤赤白白赤白白赤」のように一列に書くと一見 3 つ並んでいるように見えなくなる特殊パターンが存在することに注意が必要になります。

しかし、1 番が赤で 2n 番が白だった場合、この特殊パターンには絶対になりようがありません。
だから普通に同じ色が 3 連続しないように「一直線に」並べることを考えれば十分ということになります。
それが「円形に並べていることが無関係」の意味するところです。


kg さんの理解の助けになるように、以下に n=4 での具体例を置いておきます。


1 番から 8 番までに赤白 4 個ずつ置く方法のうち、1 番に赤が来るのは 7C3 = 35 通りあります。
それらは 1 番が赤という条件のもとで同様に確からしいと考えられます。

そのうち条件を満たすものの個数を、グループ分けして数えます。


[1] 8 番が白である場合

普通に一列に並べ、同色 3 連続がないようにします。
「赤 2 連続の箇所が k ヶ所」で分けていきます。

k=0 : (4C0)^2 = 1 通り
赤白赤白赤白赤白

k=1 : (3C1)^2 = 9 通り
赤赤白白赤白赤白
赤赤白赤白白赤白
赤赤白赤白赤白白

赤白白赤赤白赤白
赤白赤赤白白赤白
赤白赤赤白赤白白

赤白白赤白赤赤白
赤白赤白白赤赤白
赤白赤白赤赤白白

k=2 : (2C2)^2 = 1 通り
赤赤白白赤赤白白


[2] 8 番が赤である場合

1 番と 8 番で実は既に赤の連続が発生していることに注意しながら同様に数えます。

k=0 : ありません。0 通り = (4C0)^2*(0/4)

k=1 : 3C1*2C0 = 3 通り = (3C1)^2*(1/3)
赤白白赤白赤白赤
赤白赤白白赤白赤
赤白赤白赤白白赤

k=2 : 2C2*1C1 = 1 通り = (2C2)^2*(2/2)
赤白白赤赤白白赤

よって、条件を満たす全ての並べ方は
(4C0)^2*(4/4) + (3C1)^2*(4/3) + (2C2)^2*(4/2) = 15 通りで、
そうなる確率は 15/35 = 3/7 となります。

DD ++さんへ
例まで示してくださりありがとうございます。大変分かりやすく勉強になりました！采番した時の確率は大変よく分かったのですが、やはり回転して同じになるものを１つと見た時の確率を求めるのは厳しいですかね…

回転して一致するものを１つとした時を自分でも考えてみたんですが、場合分けが複雑で…
あとらすかるさんの機械が出した式が、采番した時の確率だったのはなぜなんでしょうか。

> 回転して同じになるものを１つと見た時の確率を求めるのは厳しいですかね…
回転して同じになるものを一つとみるとパターンごとの確率が同じになりませんので、
その考え方では確率は求まりません。
もちろんパターンごとの発生確率まで考慮して計算すれば求まらなくはないですが、
パターンごとの発生確率を考えるためには回転して一致するパターンが何通りあるかを
調べてそれを掛けることになるため、結局場合分けが必要になって余計な手間がかかるだけです。

> らすかるさんの機械が出した式が、采番した時の確率だったのはなぜなんでしょうか。
回転して一致するものも別パターンと考えて全パターンを発生し、条件を満たすものを
数えるというプログラムで値を出したからです。

> 回転して同じになるものを１つと見た時の確率を求めるのは厳しいですかね…

厳しい厳しくない以前に、意味を成しません。


例えば、以下のような問題を考えます。
「赤玉 9 個と白玉 1 個が入っている箱から無作為に 1 つの玉を取り出す。白玉が取り出される確率は？」
答えはもちろん 1/10 です。

そこに、ある人がこんなことを言ったとします。
「赤玉は同じ見た目だからまとめて 1 つと考えた場合の確率を求めるのは厳しいですか？」
どう思います？

a(n,n) はカタラン数になり、それを例の経路問題で意味づけをすると、
a(m,n) は途中も含めた各交差点への経路数ってことですね。
綺麗な一般項で書けるのかな？

ところで、a(1,1)=1 っていう条件は存在する意味がない気がするんですがどうなんでしょ。

a(m,n)=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!)
となります。

次のサイトに、カタラン数を求める興味深い方法があります。
https://mathlog.info/articles/2633

ここに示されている方法からa(m,n)は x の多項式
(-1+x)*(1+x)^(n+m) を展開したときの x^(n+1) の係数
となることがわかります。
a(m,n)
=C[n+m,n]-C[n+m,n+1]
=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!).


より一般には、次のことが知られています。

1,2,…,m と書かれたカードがそれぞれ a[1],a[2],…,a[m] 枚ある。
これらのカードを左から右に1列に並べるとき、左から順に見ていって、常に、
(1の枚数)≧(2の枚数)≧…≧(mの枚数)
を満たしているような並べ方の総数を f(a[1],a[2],…,a[m]) で表す。

a[1]≧a[2]≧…≧a[m] のとき、
f(a[1],a[2],…,a[m])
=((a[1]+a[2]+…+a[m])!/((a[1]+m-1)!*(a[2]+m-2)!*…*(a[m])!))*Π[i<j](a[i]+m-i-(a[j]+m-j))
が成立する。

a(m,n)=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!)　に、m=1、n=4 を代入すると、a(1,4)=4 で
例示の a(1,4)=5 にはなりませんが．．．？

・a(0,k)=a(1,1)=1　および
・a(m,n)＝a(m,n-1)+a(m-1,n)　とから、
a(1,2)=a(1,1)+a(0,2)=1+1=2.
a(1,3)=a(1,2)+a(0,3)=2+1=3.
a(1,4)=a(1,3)+a(0,4)=3+1=4.
となると思います。

例示の a(1,4)=5 はおそらく質問者さんの
計算ミスではないでしょうか。

確かに、a(1,4)=5 は、arcさんの記載ミスで、a(1,4)=4 が正しいのでしょう。
atさんの与えられた a(m,n)=(n+1-m)*(n+m)!/((n+1)!*m!) は、条件２を満たすことを確認しました。
a(n-1,n)=a(n,n) ならば、a(1,4)=a(0,4) で、条件１より、a(0,4)=1 なので、a(1,4)=1 となるはずですが、
先に示した a(1,4)=4 と矛盾し、よく分かりません。

＞a(n-1,n)=a(n,n) ならば、a(1,4)=a(0,4) で、

ここがおかしいのではないでしょうか？
a(n-1,n)=a(n,n)という条件式から、
a(1,4)=a(0,4)を導くことはできますか？

例えば、a(3,4)=a(4,4), a(4,5)=a(5,5)は導けます。

勘違いしていました！確かに、a(4,4)には適用出来て、a(3,4)ですが、a(1,4)には適用出来ないんでした！

あっているかはわかりませんが、たぶんこうかなぁと思うものを書きます。
違っていたらごめんなさい。


正六面体と正八面体は双対の関係なので、隣り合う面の中心同士を結ぶと相手の立体になります。
このとき、面が頂点に置き換わり、辺が辺に置き換わり、頂点が面に置き換わります。

図を見てください。
左が正六面体の展開図で、右がそれに対応する正八面体の展開図です。

この図における対応関係の例を挙げると、
正六面体の面ABCD　⇔　正八面体の頂点P
正六面体の辺AB　⇔　正八面体の辺PQ
正六面体の頂点A　⇔　正八面体の面PQR
などになります。
(辺は交差しているものが対応していると考えればよいです。)

この図を見てみると、次のようなことがわかります。
正六面体展開図で面が切り離されている辺と正八面体展開図で面がつなげられている辺が対応しており(例えばABとPQ)、
正六面体展開図で面がつなげられている辺と正八面体展開図で面が切り離されている辺が対応している(例えばAEとQR)。

図はこの法則を利用して作りました。
一方の展開図を書いておいて、もう一方はこの法則に従って面をつなげていけば出来上がります。


ほかの展開図でも同じ法則で対応する展開図が描けるかは未確認です。
もし間違っていたらこの投稿はスルーしてください。

今日は１日、「展開図」におけるりらひいさんのコメントを検討しておりました。検討の結果を明日付で本文の方にアップの予定です。

ようやくｋｓさんの質問に回答できました。明日付でアップの予定です。

管理人さん、ありがとうございます。
わたしは簡易的な確認しかできていなかったので、
全パターンきちんと確認していただき助かりました。

わたしは思い付きを試しただけだったので、なぜこれで対応付けできるのかはわかりません。

ksさんの質問の
> 簡単な、説明、証明が知りたいです。
のうち、説明部分はこれでいいとして、証明は別口で考えないといけないですね。

「展開図　双対」で検索するといろいろと出てくるので、その中に証明もありそうです。
わたしはちょっと今は調べたり考えたりする時間がないです、すみません。

管理人さん、りらひいさん、感謝です。
展開図の順序について、考えていました。
番号を付け替えれば、対応がうまくいくかなと？