😊出会いの泉😊

うっかりしました。

log0.05=-2.9957323　∴(1/6)log0.05=-0.4992887　∴log0.05^(1/6)=-0.4992887　∴e^(-0.4992887)=0.05^(1/6)

でしたね。

ところで、うんざりはちべえさんのNo.710の投稿の「らすかる様の計算では、700年間起きない確率は1-pです。
したがって、1-pは(1-(1/1000))^700=49.6411%となりますから、p=50.3589%です。」とDD++さんのNo.711の投稿の「つまり、700 年の間に地震が起こる確率は1-0.49658530…… = 0.50341469 ……になりますね。」が一致していない理由は何故なのでしょうか。誤差かと思い込んでしまいました。

No.726 の投稿をご覧いただければスッキリするかと思います。

了解しました。

その後、よく見たら、うんざりはちべえさんのNo.707の投稿に「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です」とありましたので、起こる確率は５０．３４２％で、DD++さんのNo.711の投稿の「つまり、700 年の間に地震が起こる確率は1-0.49658530…… = 0.50341469 ……になりますね」と一致していると見て良いですね。

その No.707 の式も、1 日に 2 回起こることはない前提で計算してるので、正しいかというとそうでもないですね。
e^(-1/365000) とするべきところです。
e^(-x) ≒ 1-x の精度が x が 0 に近づいた分だけ精度がよくなってはいますが、完全に = にはなっていません。

＞e^(-1/365000) とするべきところです。

これはどういう事でしょうか。

平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。

-0.7と-1/365000ではあまりにも掛け離れていますが。間抜けな事を訊いていたらすみません。

言葉不足でしたかね。

「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)」

の中括弧の中を 1-1/(365x1000) ではなく e^(-1/(365x1000)) として

「700年連続して起きない確率は{e^(-1/(365x1000))}^(700x365)」

とするべきという話です。

了解しました。

１０００年に１回起こる事象は３６５×１０００日に事象で、１日に平均１/(３６５×１０００)回起こる事象が（１日に）１回も起こらない確率はポアソン分布より、e^(-1/(365x1000))
これが、７００年＝３６５×７００日連続起こらない確率は、{e^(-1/(365x1000))}^(700x365)という事ですね。
因みに、これは、DD++さんのNo.711の投稿の、
「平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。」
と同じですね。

また、うんざりはちべえさんのNo.707の投稿に「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です」をpythonで厳密に計算してみました。
1-(1-1/(365*1000))**(700*365)
結果：0.5034151723845666
確かに「つまり、700 年の間に地震が起こる確率は1-0.49658530…… = 0.50341469 ……」と異なりますね。

ところで、
「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

前者は「最初の 1 回でその現象は最大 1 回しか発生しない」のに対し、
後者は「最初の 1 年でその現象が複数回発生する場合がある」という違いがあります。

に関して、あまり関係ないかもしれませんが、有名な４０人のクラスに同じ誕生日の人はいるかという問題で、正解は0.891（89.1%）https://nlab.itmedia.co.jp/nl/articles/1802/20/news006.htmlですが、
１－(１－１/３６６)^780＝0.8816447（40Ｃ2＝780）が３人以上一致する事を考えていない事に似ていますね。（ずいぶん昔に自分で考えました。）

DD++さん、とても勉強になりました。ありがとうございました。

0.05の6乗根とｅ^(-0.4992887･･･) が等しくなるのは

一般にexp(log(A))=A ( また log(exp(A))=Aでもある。)が成り立つので
A=(0.05)^(1/6)を使えば
exp(log(A))=exp(log(0.05)/6)=exp(-0.4992887･･･)=A
とみれば･･･

＞その No.707 の式も、1 日に 2 回起こることはない前提で計算してるので、正しいかというとそうでもないですね。

逆のような気がするのは私の気のせいでしょうか。

＞これ、私もよくやらかすミスなのですが、

「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

前者は「最初の 1 回でその現象は最大 1 回しか発生しない」のに対し、
後者は「最初の 1 年でその現象が複数回発生する場合がある」という違いがあります。
確率の数値自体も変わってくるので、この 2 つはちゃんと区別して適切な方を使用しないといけません。

これは自分で考えられたのでしょうか。ポアソン分布の統計誤差の可能性はないのでしょうか。例えば、

「次のグラフは，λ=10のポアソン分布の確率分布を k≦30について表したものです（k>30の確率はゼロではありませんが無視できる程度です）。」
引用元：https://okumuralab.org/~okumura/stat/poisson.html

などとありますが。

> ポアソン分布の統計誤差の可能性はないのでしょうか。

ないですね。統計誤差というのは、有限個の実データに対して統計処理を行うと「本当は無限個ないと収束しないので、それに足りない分誤差が出てしまう」というものです。
ポアソン分布の公式は実データではなく理論値を取り扱う計算ですので、統計誤差が生じる余地はありません。

後半のサイトを引用してきたのは何が言いたかったのかわかりませんでしたが、その k>30 云々が書いてあるすぐ上にポアソン分布のちゃんとした導出が載ってますので、まずはそちらを読んでみてはいかがでしょう。

ええ、私も否定している訳ではありません。

しかし、DD++さんのNo.711の投稿の、
「平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。」もうんざりはちべえさんのNo.707の投稿の「700年連続して起きない確率は{1-1/(365x1000)}^(700x365)=49.658%です。ですから、700年以内に地震は起こる確率は50%ですね。」も全く起こらない確率の余事象を使っていますので、どちらも少なくとも１回起こる確率なので、片方だけ１回だけというのはおかしいのではないでしょうか。

＞「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

これは平均して確率１/１０００（1/1000回）で起こる事象が起こらない確率ですよね。

＞「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

これも同じではないでしょうか。

＞ポアソン分布のちゃんとした導出が載ってますので、まずはそちらを読んでみてはいかがでしょう。

「期待値μ＝ｎｐを一定に保って、ｎ→∞，ｐ→０としていくとポアソン分布Ｐp(ｘ)＝ｅ^-μ・(μ^x)/ｘ!（μ：定数）になる。」（「確率統計　キャンパス・ゼミ」馬場敬之著より）

個人的には、∞×０に多少のゆがみが現れるのかなと思っています。もちろん、DD++がよく言う「「自分が食い違っていると思うからだ」ではただの妄想」というのはよく判っています。

誰か他の人にも訊いてみたいですね。

再三書いていますが、
「起こる回数の期待値が 1/1000」
「起こる確率が 1/1000」
これらを混同しないでください。

見解の相違ですね。もうこの話は止めましょう。

「確率」とか「期待値」とかの定義を無視することを「見解の相違」とは言わない気がしますが……まあ、同じ話が無駄に3回くらいループしてるだけになってますし、終わりにしようということに同意します。

>さて、1000年1回だから、1年を365日として、1/(365x1000)がその日起きる確率です。

■御参考
http://shochandas.xsrv.jp/relax/time7.html

らすかるさんの解答を参考にすると、
　地震が１０００年間に１回起こるので、その確率は、１/１０００
　７００年間で地震が起こる確率を ｐ とすると、１０００年間で地震が起こらない確率は、
（１－ｐ）^(10/7)＝１－１/１０００＝９９９/１０００　から、　ｐ≒０．０００７００１１
でいいのかな？

Dengan kesaktian Indukmuさま、HP管理者さま、こんばんは。

1年に起きる確率は、1/1000=0.1%、起きない確率は、1-(1/1000)=99.9%
100年間起きない確率は、(1-(1/1000))^100=90.47921%
500年間起きない確率は、(1-(1/1000))^500=60.637984%
700年間起きない確率は、(1-(1/1000))^700=49.6411%

らすかる様の計算では、700年間起きない確率は1-pです。
したがって、1-pは(1-(1/1000))^700=49.6411%となりますから、p=50.3589%です。

700年間で起きる確率がpで1000年間で起きる確率は1より、残り300年間で起きる確率は1-pです。

また、700年間起きない確率は1-pで1000年間で起きない確率は０なので、残り300年間で起きない確率は0-(1-p)=p-1より、p-1となります。

となるはずでは、ないでしょうか？

dengan さんが持ってきた記事は、関連はあるものの似て非なる問題なような。

平均して 1000 年に 1 回起こることは平均して 700 年に 0.7 回起こるので、
ポアソン分布の λ=0.7, k=0 を計算して、700 年間地震が起こらない確率は
0.7^0*e^(-0.7)/0! = 0.49658530……
つまり、700 年の間に地震が起こる確率は
1-0.49658530…… = 0.50341469 ……
になりますね。

尤も、ある瞬間の地震の発生率と別の瞬間の地震の発生率が独立であると仮定して計算していますが、実際にはその独立性は怪しいような気がします。
実際には地震は前震とか余震とかで立て続けに起こるものですし。

なお、
1 年以内に起こる確率は 1-0.001^0*e^(-0.001)/0! = 0.0009995001666……
1000 年以内に起こる確率は
1-1^0*e^(-1)/0! = 0.6321205588……
です。

DD++様、おはようございます。

＞1000 年以内に起こる確率は
1-1^0*e^(-1)/0! = 0.6321205588……
です。

おや、1,000年に一度じゃないんですね。

データ達の特徴から得られた1000年に一度という結果と予測から得られた結果が食い違うんですね。

タグチメソッド（品質工学）https://takuminotie.com/blog/quality/%E3%82%BF%E3%82%B0%E3%83%81%E3%83%A1%E3%82%BD%E3%83%83%E3%83%89/
も統計学者たちと田口博士の討論会で、統計学ではないとされています。

教員もタグチメソッドの考えを取り入れて、ばらつきの少ないことを目標にすれば、あとは、中心値を少しずらすだけで、すみますね。

タグチメソッドは、実験計画法でもある・・・・

> おや、1,000年に一度じゃないんですね。

どういう意味でしょう。

1000 年間に k 回発生する確率を P[k] として、
1000 年間の発生回数の期待値が
1*P[1] + 2*P[2] + 3*P[3] + …… = 1
で、1000 年間の発生確率は
P[1] + P[2] + P[3] + …… = 1/e

何もおかしいところはないと思いますが。

＞おや、1,000年に一度じゃないんですね。
データ達の特徴から得られた1000年に一度という結果と予測から得られた結果が食い違うんですね。

タグチメソッドもそういう結果あがり、予想と統計とは、違うのだそうです。機械学習もベイズ統計を使って、事前確率から事後確率という「予想」を導き出しているそうです。

統計はデータ達の特徴であり、予想にはならないそうです。

例えば、バレンタインデーにチョコレートをもらったのだけど、これは本命チョコのか、義理チョコなのかは、統計では、バレンタインデーが終わったあとに、調査結果として、確率何％が決まるのです。

でも、ベイズ統計では、確率何％で本命であると、過去の調査結果を利用して、もらった時に計算できるのです。でもそれは予想にしかすぎませんけどね。BSフジのガリレオXの「運」でそう言っていたと思います。

いや、だから「何と何に食い違いが発生しているのか」と聞いています。
具体的に答えてください。
「自分が食い違っていると思うからだ」ではただの妄想です。

DD++様、おはようございます。
700年起きない確率は
%i1) float((1-(1/1000))^700);
(%o1) 0.4964114134310993
800年起きない確率は
(%i2) float((1-(1/1000))^800);
(%o2) 0.4491491486100754
900年起きない確率は
(%i3) float((1-(1/1000))^900);
(%o3) 0.4063866225452045
1000年起きない確率は
(%i4) float((1-(1/1000))^1000);
(%o4) 0.367695424770964
2000年起きない確率は
(%i7) float((1-(1/1000))^2000);
(%o7) 0.1351999253974996
3000年起きない確率は
(%i8) float((1-(1/1000))^3000);
(%o8) 0.0497123939980363
となって、データたちの特徴から得られた結果と予測が合わないと言うことです。
まあ、頻度と指数関数では収束は当然違いますね。

無限ではないような気もします。http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/mathyomi/probability.html

それら8個の数値（若干間違ってますが）が何と矛盾するんです？

DD++様、こんにちは。

データ達の特徴から得られた1000年に一度は起きるという結果と1000年経っても起きる確率は63.23%（36.77%は起こらない）という予測と矛盾しませんか？

予測の根拠は1000年に一度は起きるという前提から出発したのです。

とおりすがり様、こんにちは。

700年起きない確率は、
(%i1) float((1-(1/1000))^700);
(%o1) 0.4964114134310993
3000年起きない確率は、
(%i2) float((1-(1/1000))^3000);
(%o2) 0.0497123939980363
10000年起きない確率は、
(%i3) float((1-(1/1000))^10000);
(%o3) 4.517334597704865E-5
50000年起きない確率は、
(%i4) float((1-(1/1000))^50000);
(%o4) 1.88109746912366E-22

どんどん小さくなりみたいですよ。

> 1000年に一度は起きる

「平均して 1000 年に一度起こる」は、1000 年あったら絶対に起こるわけじゃありませんよ？

もっとわかりやすくコインで話しましょう。
コインは「平均して 2 回に 1 回表が出る」ようになっています。
でも、「2 回投げたら絶対に 1 回表が出る」わけではありません。
2 回投げて両方裏ということは十分にあり得て、その確率は (1-1/2)^2 = 0.25 です。
つまり、「2 回投げる間に表が出る確率」は 1-0.25 = 0.75 です。

では、これが「平均して 2 回に 1 回表が出る」と矛盾するか？　という話をしましょう。
2 回投げる間に k 回表が出る確率を P(k) と書くと、
P(0) = 0.25, P(1) = 0.5, P(2) = 0.25
となります。
「2 回投げる間に表が出る確率」は、表が 1 回だろうと 2 回だろうと区別なく「表が出た」と考えるので
P(1) + P(2) = 0.75
という計算になります。
「2 回投げる間に表が出る平均回数」は、表が 2 回出たら当然 2 倍数えるので、
1*P(1) + 2*P(2) = 1
となります。
考えているものがそもそも違うので、異なる数値が出てくるのは当然の話です。
だから、「平均して 2 回に 1 回起こる」ことが 2 回の間に起こる確率が 1 にならなくても何も矛盾はしていないのですよ。

地震の話の場合もこれと同じです。
1000 年間に複数回発生した場合をどう考えるかに差があるので、「平均して 1000 年に 1 回起こる」ことが 1000 年の間に起こる確率が 1 にならなくても何も矛盾はしていないのですよ。
はちべえさんはおそらくこの 2 つの数値の区別をつけられていないのではないかと思うのですがどうでしょう。

ついでに。
これ、私もよくやらかすミスなのですが、

「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

前者は「最初の 1 回でその現象は最大 1 回しか発生しない」のに対し、
後者は「最初の 1 年でその現象が複数回発生する場合がある」という違いがあります。
確率の数値自体も変わってくるので、この 2 つはちゃんと区別して適切な方を使用しないといけません。
今回の地震の話は後者です。

DD++様、こんばんは。

非常にわかりやすい説明でした。

私の間違いがわかりました。

ありがとうございます。

ポアソン分布で誤差が出ないか裏を取ってみました。

■御参考
http://shochandas.xsrv.jp/relax/time7.html

こちらの、

問題
ある道路では、１時間以内に車が通る確率は、９５％であるという。では、１０分以内に車が通る確率は？

解答
１０分以内に車が通る確率を ｐ とすると、１時間以内で車が全く通らない確率は、
（１－ｐ）^6＝１－０．９５＝０．０５　から、ｐ≒０．３９３

を厳密に計算すると、ｐ＝０．３９３０３７７

一方、ポアソン分布で求めると、

ポアソン分布
Ｐp(ｘ)＝ｅ^(-μ)・(μ^x/ｘ!)（ｘ＝０,１,２,…）

１時間以内に車が１台も通らない確率はｘ＝０（０台だから）として、
Ｐp(ｘ)＝ｅ^(-μ)・(μ^0/０!)＝ｅ^(-μ)＝０．０５
∴ｅ^(-μ)＝０．０５（μは１時間以内に通る平均台数）
この両辺の自然対数を取ると、
－μ＝log0.05＝－2.9957323
∴μ＝2.9957323　
よって、10分以内に通る平均台数はμ/６＝0.4992887
これとｘ＝０をポアソン分布の式に代入すると、
Ｐp(０)＝ｅ^(-0.4992887)・(0.4992887^0/０!)＝ｅ^(-0.4992887)＝0.6069622
これは10分以内に車が1台も通らない確率より、１０分以内に車が通る確率は、1－0.6069622＝0.3930378

最後の１桁は８桁の電卓なので仕方がありません。よって、全く誤差がないのでOKですね。

というのは、例えば、コインを６０回投げて表が丁度３０回出る確率は、60Ｃ30(１/２)^30(１/２)^30＝０．１０２６・・・ですが、正規分布で近似すると、０．１０３４・・・と誤差が出るからです。もっとも、この場合は、29.5～30.5でやるから誤差が出るのかもしれませんが。

通りすがり様、こんばんは。

わかりやすく、ご解説ありがとうございました。

http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/saji/mathyomi/probability.html

も、
10回連続して外れる場合、
(%i1) float((1-(1/10))^10);
(%o1) 0.3486784401
100回連続して外れる場合、
(%i2) float((1-(1/10))^100);
(%o2) 2.656139888758747E-5
1000回連続して外れる場合、
(%i3) float((1-(1/10))^1000);
(%o3) 1.747871251722651E-46
で、100,1000回も連続して外れることはないということですね。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
さて、コインを投げて、表を1裏を0とすると、何回かをやった結果を横に並べると、2進数ですね。

10回やれば、10桁の2進数で、表が、5回連続するということは、10桁の2進数で1が連続して5個並ぶので、
1111100000
0111110000
0011111000
0001111100
0000111110
0000011111
の6通りですね。
10桁の2進数は2^10=1024個ありますから
確率6/1024=0.005859375
という計算は、どこで間違っているのでしょう？

ああ、そうか、xは０か１
111110xxxx　　16通り
0111110xxx　　8通り
x0111110xx　　8通り
xx0111110x　　8通り
xxx0111110　　8通り
xxxx011111　　16通り

合計　64通り

ところで10C5=252

まだ、どこかおかしい・・・・

コインを 10 回投げて、連続で表が出る最大回数がぴったり 5 回になる確率なら、64/1024 であっているような。

通りすがりさん

二項分布を正規分布に近似する場合、事象が発生した回数（本来は整数しか取らない）を実数として連続値を取るとみなして連続的な確率分布にしています。
だからその過程で誤差が生じるわけですね。

ポアソン分布は試行回数（本来は整数しか取らない）を試行期間という連続値にする極限をとっていますが、事象が発生した回数の方はちゃんと整数値であることを保ったまま離散的な確率分布を出しています。
だから実は近似は行われていないので厳密に正しい……はず。だと思います。

DD++さん、返信ありがとうございます。

＞二項分布を正規分布に近似する場合、事象が発生した回数（本来は整数しか取らない）を実数として連続値を取るとみなして連続的な確率分布にしています。
だからその過程で誤差が生じるわけですね。

ポアソン分布は試行回数（本来は整数しか取らない）を試行期間という連続値にする極限をとっていますが、事象が発生した回数の方はちゃんと整数値であることを保ったまま離散的な確率分布を出しています。
だから実は近似は行われていないので厳密に正しい

ええ、私も「確率統計　キャンパス・ゼミ」馬場敬之著で導き方から確認しました。

＞「平均して 1000 回に 1 回起こることが最初の 1 回で発生しない確率」
1 - (1/1000) = 0.999

「平均して 1000 年に 1 回起こることが最初の 1 年で発生しない確率」
e^(-1/1000) = 0.9990004998333……

前者は「最初の 1 回でその現象は最大 1 回しか発生しない」のに対し、
後者は「最初の 1 年でその現象が複数回発生する場合がある」という違いがあります。

これは大変勉強になりました。関係ありませんが、0.05の6乗根とｅ^(-0.4992887)が一致するのはちょっと不思議ですね。（勿論、他の例も同様ですね。）

GAI様、おはようございます。

大発見ですね！

x^2+y^2≦r^2 を満たす自然数の組 (x,y) の個数を N とするとき、lim[r→∞] N/r^2 を求めよ。
……みたいな問題を解いたことがあるんですが、あれはどこかの大学入試だったか、それとも別の何かだったか。
格子点と原点中心の円を考えれば答えの予測はすぐ立ちますが、論証が非常に面倒くさいという。

ということで結果は知っていたしπが出てくるのも意外とも思わなかったのですが、私には別の点に驚きがありました。
上記の問題を解いた当時から「きっと 10^n までやったら π をだいたい n 桁まで出せるんだろうな」と予想していたのですが、そうでもないんですねこれ。
どういう収束速度なんだろう。

＞格子点と原点中心の円を考えれば答えの予測はすぐ立ちますが、論証が非常に面倒くさいという。

ああ、思い出したモンテカルロ法で円周率を求めるのがありましたね。極めて、収束性の悪いプログラムであったような記憶があります。

違います？https://manabitimes.jp/math/1182

GAI様のは、全然違うような・・・？

モンテカルロ法は正の実数 (x,y) を無作為に決めるやつですね。
私が言っているのは正の整数 (x,y) を順番に全部数え上げるやつです。
そして GAI さんのは正負問わず整数 (x,y) を全部数え上げるやつ。

私と GAI さんのは符号の違いの有無で約 4 倍差が出ますが、ほぼほぼ同じ問題です。
モンテカルロ法はまた違う話です。

調べてみたら、GAI さんや私の方法は「システマティック法」と呼ばれるみたいですが、あんまり情報が出てきませんね。

モンテカルロ法で n 個点を打って求めた円周率を α(n)、
システマティック法で x^2+y^2 ≦ n/4 の整数解の個数から求めた円周率を β(n)
システマティック法で x^2+y^2 ≦ n の自然数解の個数から求めた円周率を γ(n)
とするとき、
n→∞ 最も早く収束するのはどれなんでしょうね。
多分 β(n) と γ(n) は変わらなさそうですが。

ランダムのモンテカルロ法とは、違うのですね。

全部数え上げる方法なのですね。

＞＞有理数体は（無限回の）四則演算について閉じている、という概念が真ならば
任意の無理数が有理数になってしまいます。

10進数の小数は、
∞
Σ　　ai/10^i　　ただし０≦ai≦9の整数
i=1
です。したがって、全部有理数なのです。つまり、私に言わせれば、10進数の小数は無理数はあつかえないのです。

循環小数は、余りが循環するから循環小数で無限小数で有理数です。10進数の小数で表せるものです。
でも、無限小数で循環する根拠がないつまり、余りが循環するということがないものは、無理数であると定義されています。つまり、これは、10進数の小数で扱えないものであるとすればいいのではないでしょうか？

たとえば、√2は、10進数の小数で扱えないものでありますよね。

はちべえさんが言ってることって、「この内容は自分が気に入らないから数学の世界から排除すべきだ！」ということですよね。
少なくとも私にはそうとしか捉えられません。

数学の世界は開かれているべきです。
気に入らないというだけの非論理的な理由で何かを排除する人は数学の世界に来るべきではありません。

DD++様、おはようございます。

＞はちべえさんが言ってることって、「この内容は自分が気に入らないから数学の世界から排除すべきだ！」ということですよね。
少なくとも私にはそうとしか捉えられません。

数学の世界は開かれているべきです。
気に入らないというだけの非論理的な理由で何かを排除する人は数学の世界に来るべきではありません。

そんなことは、言ってません。おかしいのではないですか？と言っているだけです。感情論ではありません。

背理法については、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/hairihou.pdf
にまとめてあります。

{奇数の完全数はない}は、{奇数である}、{完全数である}、{存在する}の3つの論理積という配慮が抜けています。

私のバーゼル問題の研究の途中からですが、

http://y-daisan.private.coocan.jp/html/20230313_BMP/2023-3-18-001.png
にしめすように、有理数の無限和が、有理数である例はいくつでもあります。

下から2番めの式と、一番下の式から無限和の一部を切り出しても有限和で、有理数で閉じています。

一番下の式では、kをどんどん大きくしてゆくと、有理数で「閉じている」ことになります。

はい、有理数の無限和は有理数に収束する場合ももちろんありますよ。
しかし、それは有理数で閉じていることの根拠には全くなりません。

DD++様、こんばんは。

まだ、研究中なので、また新しい何かを発見したら、結論にたどり着けるかもしれません。

有理数体は有限回の四則演算について閉じていますが、有理数の無限和は有理数に収束する場合もありますし、無理数に収束する場合もあります。

既に一例をお示しいたしました。

閉じていることについての
はちべえさんの誤解は
修正されるべきです。

この誤解が解けるまでは、
はちべえさんは、呪いにかかっているようなものです。 人生の無駄遣いです。

はちべえさんは、いちど、妄執を捨てて
大学初年度の教科書をきちんと学ぶべきです。呪いを解くために。

稠密と完備との違いがわかれば、
素敵で面白い世界が目の前にあることに
感動することでしょう。

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

ご指摘、ご指導ありがとうございます。

さて、こんな生意気なことを考えました。ご立腹されたら、お許しください。_(_._)_
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
教員とは、それができるまでの歴史や経緯を無視して、わかりやすいように、筋道立てて教えます。したがって、生徒に対しては、筋道のステップを踏んでいるかの審査官になります。
ところで、生徒のオイラー君が1/n^2の和が、収束が極めて悪いのに、これは多分、π^2/6というのです。
審査官の貴方は、常識的に、「おいおい自然数からどこからπなんか出てくるんだ？」と思うでしょう？
当然却下ですよね。

導電性プラスチックでノーベル賞をもらった白川博士は、研究室の韓国人学生が、プラスチックを作る実験で、配合をとんでもなく違えて、とんでもないプラスチックを作るのです。そこから、博士のノーベル賞につながるのです。そのおかげで、我々の多くの生活に利用されて、高性能なものができているのです。

だから、私のとんでもない間違いから、普通では有りないことが起きているかもしれません。そこから、発見すれば、大博士だし、常識的にありえないとすれば、ただの教員です。

審査官は、ふつうのコトしか期待しません。異常があってはならないですからね。

研究者と審査官の違いです。

> これは多分、π^2/6というのです。
> 当然却下ですよね。

「多分こうです」なら却下ですね。
はちべえさんはこの掲示板で「多分こうです」しか言わないのでこの掲示板での意見はほとんど誰にも聞いてもらえていませんね。

「こうであることが証明できました」で証明が正しかったなら当然受け入れます。
オイラーなどの数学者は正しい証明を残しているので結果が受け入れられてます。

意味を取り違えていなければ
LCM(1,2,3,…,100)
=2^6・3^4・5^2・7^2・11・13・17・19・23・29・31・37・41・43・47・53・59・61・67・71・73・79・83・89・97
=69720375229712477164533808935312303556800

はい！
これをお待ちしてました。
ちなみに約数の個数は全部で660602880個もあり、多けりゃいいてもんじゃありませんね。
過ぎたりは及ばざるごとし

360がちょうどいい。

GAI様、らすかる様、こんにちは。

定規とコンパスで、角の三等分ができるかという問題がありますが、

この数列を組み合わせて、角の三等分が出来るのでしょうか？

ちょっと興味があります。

角の三等分は幾何学の問題であり、数列は使えません。

まあ実際に角の三等分の不可能性を証明するとあんまり幾何学じゃなくなりますけど、結局やることは
「長さ1の線分と長さcosθの線分が与えられたときにcos(θ/3)の線分は作図できるか」
なので、角度にどのような表現を採用するかは何も関係がないですね。

らすかる様、こんばんは。

幾何学も、微積分で解けますからね。

この数列も・・・・と、ちょっと興味が湧いたのです。

GAI様、おはようございます。

無限って、ある意味都合のいい話でしょね、

私は、オイラーのバーゼル問題は、有理数が四則演算で閉じているのに、無理数になっていることがおかしいと思います。

そこで、無限和について、調べているのですが、
１）０の無限和は０である。
２）であるから、有限和の先が、０の無限和であると、有限和に等しい。
ということで、バーゼル問題も、lim1/n^2→0（世間では=0と書いています）ですから、途中から0の無限和になるはずですから、有限和であると思っています。つまり、有理数であるということです。無理数なんかにはならないのでは？

無限の研究は、NHKの「笑わない数学」で無限の話で、カントールの話を聞きました。
多くの場合、可付番無限で、実数は超無限というような感じです。

GAI様の無限は、可付番無限ですから、番号をつけて数えられる無限ですね。つまり、自然数の範囲だと思うのです。

そうであれば、数学的帰納法の範囲じゃないかなと思ったりします。

おかしいですかね？

無限って、ある意味都合のいい話でしょね

という感想を見て、はちべえさんは目に見えるものだけは信じれるが、目に見えないものは信じられないと
堅く信じられているように感じられます。
クロネッカーがカントールに対してとった態度に似てなくもない。

というより無限は深遠で豊饒な世界を包み込んでいると思われてはどうでしょう？

BBCが、日本の金継ぎを放送したそうです。YOUTUBEでみました。

壊れた茶碗を漆と金粉で、つなぎ合わせて、元より、芸術的なっている。わび・さびなんだそうです。

日本では、このように、壊れたものも再生する。まるで、傷ついた人間でも、前よりも美しく復活できるという哲学であり、人間もいずれ傷つき、金継ぎで遥かに豊かな人間として復活される。

西洋では、一神教なので、完全か不完全かしかなく、不完全は捨てられる。

例えば、電車で寝るような、不注意な人間は、財布をすられても当然であるということです。

無限もそういう意味では、わび・さびなのかもしれませんね。

でも、数学は、一神教なのでは、ないのですか？

＞私は、オイラーのバーゼル問題は、有理数が四則演算で閉じているのに、無理数になっていることがおかしいと思います。

「閉じている」の定義について勘違いを
なさっておいでです。

定義に戻れば、
二項演算を１回行ったときに
その結果が台、ここでは有理数体に
含まれることとなります。

※有限回の二項演算の組み合わせの
結果もまた、有理数になることを含意しています。

しかるにはちべいさんは
閉じていることの定義をふみはずして
無限回の四則演算の結果もまた
必ずいつも有理数であるはずだと、
思い込んでいらっしゃる。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

無限とひとくくりにするから、間違ってしまうのです。

(((((a+b)+c)+d)+e)+f)+・・・

とすれば、無限に２項演算です。計算は、小学校で、そう習いました。

はちべえさんの、無限に二項演算、
この操作については、「閉じている」ことの定義からはずれています。

有限でのハナシが
無限相手でも通用する、
そういう気分は捨てて頂きたく
存じます。

今日のBSフジ　ガリレオXはアレルギーの話でした。

これまでは、食品からアレルギー物質を除去する治療だったそうですが、今では、微量のアレルギー物質を残し、だんだん慣らして、アレルギー反応をなくす方向に進んでいるそうです。

無限もアレルギー反応ではないでしょうか。

＞はちべえさんの、無限に二項演算、
この操作については、「閉じている」ことの定義からはずれています。

どうしてなのでしょう。私は、()つけて演算に制限かけています。()は優先順位があります。無限に２項演算ではありません。

前の２項演算の結果は単項ですから、各演算は、２項演算に違いありません。

２項演算で、閉じていることがなされているのですから、どこに無理があるのでしょう？

無限という言葉に、アレルギーがあるのではないですか。

計算は、小学校で、前の演算の結果と２項演算すると習いました。

どこが、おかしいのでしょうか？

また、
＞私は、オイラーのバーゼル問題は、有理数が四則演算で閉じているのに、無理数になっていることがおかしいと思います。
そこで、無限和について、調べているのですが、
１）０の無限和は０である。
２）であるから、有限和の先が、０の無限和であると、有限和に等しい。
ということで、バーゼル問題も、lim1/n^2→0（世間では=0と書いています）ですから、途中から0の無限和になるはずですから、有限和であると思っています。つまり、有理数であるということです。無理数なんかにはならないのでは？

有限和としています。無限和ではありません。ちゃんと読んでから、おねがいします。

もうしわけありませんが、
はちべえさんの「論理？」
は全く理解できません。

思い込みを羅列しているだけなのでは？

そのでんでいけば
ネイピア数 e も有理数になりますね。

ある
単調増加有理数列 a_n
単調減少有理数列 b_n
が存在して、任意の正の自然数 n について
a_n < e < b_n
となり、かつ
n → ∞ のときに
b_n - a_n → 0
とすることができるからです。

超越数 e ですら有理数でなければならぬとする
そのようなはちべえさんの思い込みを
世界が納得するとはとても思えません。

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

＞もうしわけありませんが、
はちべえさんの「論理？」
は全く理解できません。

＞そのでんでいけば
ネイピア数 e も有理数になりますね。

ネイピア数は、lim（１＋1/n)^nです。n→無限大ですから、途中から0の無限和にできません。したがって、有限和にできず、有理数になる根拠がありません。

オイラーは、これを微分で証明しています。
また、バーゼル問題も計算で、π^/6と確信し、最終的に微分で論理つけをしています。
両方とも、無理数です。

＞ある
単調増加有理数列 a_n
単調減少有理数列 b_n
が存在して、任意の正の自然数 n について
a_n < e < b_n
となり、かつ
n → ∞ のときに
b_n - a_n → 0
とすることができるからです。

これをもう少し詳しく教えてもらえないでしょうか？

dengan さんがしているのは、
e = Σ[k=0..∞] 1/(k!)
の話でしょう。
これも「0に収束する有理数の無限和」です。

＞dengan さんがしているのは、
e = Σ[k=0..∞] 1/(k!)
の話でしょう。

それは、微分積分学の基本的な関数を使った定義ですよね。

私は、微積分学を使わないオイラーのバーゼル問題について言っています。

オイラーは、微積分学を使って、マクローリン展開で、x^3の項を比較してπ^2/6=Σ[k=0..∞] 1/(k^2)を理論づけていますが、同じ式から、x^5,x^7の項は求めることはできません、私が計算してできませんでした。

そこで、オイラーは、Σ[k=0..∞] 1/(k^4)からx^5の項を求めているはずです。

オイラーの微積分学を使って、x^3の項を比較してπ^2/6=Σ[k=0..∞] 1/(k^2)を理論づけは、その場しのぎと思っています。

まあ、こんなことを書くと異常人になるでしょうね・・・・

もともと、いかれた親父ですから・・・・

1πから7πまでの掛け算を計算してみました。
((1-x^2/(1π)^2) (1-x^2/(2π)^2) (1-x^2/(3π)^2) (1-x^2/(4π)^2) (1-x^2/(5π)^2) (1-x^2/(6π)^2) (1-x^2/(7π)^2))
=x^14の項、・・・x^8の項、
x^6の項
- x^2/(4π)^2 x^2/(6π)^2 x^2/(7π)^2 - x^2/(5π)^2 x^2/(6π)^2 x^2/(7π)^2
- x^2/(4π)^2 x^2/(5π)^2 x^2/(7π)^2 - x^2/(3π)^2 x^2/(5π)^2 x^2/(7π)^2
- x^2/(3π)^2 x^2/(4π)^2 x^2/(7π)^2 - x^2/(4π)^2 x^2/(5π)^2 x^2/(6π)^2
- x^2/(3π)^2 x^2/(6π)^2 x^2/(7π)^2 - x^2/(2π)^2 x^2/(6π)^2 x^2/(7π)^2
- x^2/(1π)^2 x^2/(6π)^2 x^2/(7π)^2 - x^2/(2π)^2 x^2/(5π)^2 x^2/(7π)^2
- x^2/(1π)^2 x^2/(5π)^2 x^2/(7π)^2 - x^2/(3π)^2 x^2/(5π)^2 x^2/(6π)^2
- x^2/(2π)^2 x^2/(4π)^2 x^2/(7π)^2 - x^2/(1π)^2 x^2/(4π)^2 x^2/(7π)^2
- x^2/(2π)^2 x^2/(3π)^2 x^2/(7π)^2 - x^2/(1π)^2 x^2/(3π)^2 x^2/(7π)^2
- x^2/(1π)^2 x^2/(2π)^2 x^2/(7π)^2 - x^2/(2π)^2 x^2/(3π)^2 x^2/(6π)^2
- x^2/(2π)^2 x^2/(5π)^2 x^2/(6π)^2 - x^2/(1π)^2 x^2/(5π)^2 x^2/(6π)^2
- x^2/(3π)^2 x^2/(4π)^2 x^2/(6π)^2 - x^2/(2π)^2 x^2/(4π)^2 x^2/(6π)^2
- x^2/(1π)^2 x^2/(4π)^2 x^2/(6π)^2 - x^2/(1π)^2 x^2/(3π)^2 x^2/(6π)^2
- x^2/(1π)^2 x^2/(2π)^2 x^2/(6π)^2 - x^2/(3π)^2 x^2/(4π)^2 x^2/(5π)^2
- x^2/(2π)^2 x^2/(4π)^2 x^2/(5π)^2 - x^2/(1π)^2 x^2/(4π)^2 x^2/(5π)^2
- x^2/(2π)^2 x^2/(3π)^2 x^2/(5π)^2 - x^2/(1π)^2 x^2/(3π)^2 x^2/(5π)^2
- x^2/(1π)^2 x^2/(2π)^2 x^2/(5π)^2 - x^2/(2π)^2 x^2/(3π)^2 x^2/(4π)^2
- x^2/(1π)^2 x^2/(3π)^2 x^2/(4π)^2 - x^2/(1π)^2 x^2/(2π)^2 x^2/(4π)^2
- x^2/(1π)^2 x^2/(2π)^2 x^2/(3π)^2
x^4の項
+ x^2/(6π)^2 x^2/(7π)^2 + x^2/(5π)^2 x^2/(7π)^2 + x^2/(4π)^2 x^2/(7π)^2
+ x^2/(3π)^2 x^2/(7π)^2 + x^2/(2π)^2 x^2/(7π)^2 + x^2/(1π)^2 x^2/(7π)^2
+ x^2/(5π)^2 x^2/(6π)^2 + x^2/(4π)^2 x^2/(6π)^2 + x^2/(3π)^2 x^2/(6π)^2
+ x^2/(2π)^2 x^2/(6π)^2 + x^2/(1π)^2 x^2/(6π)^2 + x^2/(4π)^2 x^2/(5π)^2
+ x^2/(3π)^2 x^2/(5π)^2 + x^2/(2π)^2 x^2/(5π)^2 + x^2/(1π)^2 x^2/(5π)^2
+ x^2/(3π)^2 x^2/(4π)^2 + x^2/(2π)^2 x^2/(4π)^2 + x^2/(1π)^2 x^2/(4π)^2
+ x^2/(2π)^2 x^2/(3π)^2 + x^2/(1π)^2 x^2/(3π)^2 + x^2/(1π)^2 x^2/(2π)^2
x^2の項
- x^2/(7π)^2 - x^2/(6π)^2 - x^2/(5π)^2 - x^2/(4π)^2 - x^2/(3π)^2 - x^2/(2π)^2 - x^2/(1π)^2
定数項
+ 1

x^2(実際はx^3)の項から
(x^2/π^2){1/1^2+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+1/6^2+1/7^2}=(x^2/π^2) Σ1/n^2はできますが、
x=4,6(実際はx^5,7)の項からできませんね。ちなみに、x^4（実際はx^5)の項は、オイラーによるとπ^4/90だそうです。

つまり、同じ式から求められません。

そこで、オイラーは、Σ[k=0..∞] 1/(k^4)からx^5の項を求めているはずです。

はちべえさんへ。

a_n = (1 +1/n)^n
b_n = (1 +1/n)^(n +1)

とりいそぎ。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんにちは。

a_n = (1 +1/n)^n
b_n = (1 +1/n)^(n +1)

で、n→∞となると、a_n=eになりますね。

a_nのグラフは、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/20230313_BMP/2023-3-13-010.png
b_nのグラフは、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/20230313_BMP/2023-3-13-011.png
b_n-a_nのグラフは、http://y-daisan.private.coocan.jp/html/20230313_BMP/2023-3-13-012.pngとhttp://y-daisan.private.coocan.jp/html/20230313_BMP/2023-3-13-013.png
です。

b_n-a_n=(1+1/n)^(n+1)-(1+1/n)^n={(1+1/n)-1}(1+1/n)^n=(1/n)(1+1/n)^n
で、n→∞となると、(1/n)(1+1/n)^n=(1/n)eとなって、無理数ですね。
(1/n)がかかっているので、lim(1/n)e→0ですね。

グラフから見ると、a_nは、割と早くeに収束しますね。つまり、無理数に近づくということですね。

b_n=(1+1/n)a_nですから

a_n<e<b_n 　は　a_n<e<(1+1/n)a_n　
a_n<e<　(1+1/n)　a_n=b_n
b_n-a_n　は、
0<e-a_n<　(1+1/n)　a_n-a_n=b_n-a_n
0<e-a_n<　(1/n)　a_n
さて、nをかけて、
0<n(e-a_n)<　a_n
ne-n a_n<　a_n
na_nを足して、
ne< a_n +n a_n
e<(1+1/n)a_n=b_n

なんか行き詰まったなあ。

a_nもb_nもeに近似するから、無理数と言えるんじゃないかなあ。

Dengan kesaktian Indukmu様、すみません。

> x=4,6(実際はx^5,7)の項からできませんね。

できますよ。
というか、かつてここの（旧）掲示板で実際にやったことがあるので、サイトの方の膨大な記事のどこかに残っているはずです。
どれだったかな。

＞できますよ。

そうなんですか！

でも、できるはずがないと思います。

はちべえさんがおっしゃるに。
＞a_nもb_nもeに近似するから、無理数と言えるんじゃないかなあ。

はちべえさんは
はちべえさんなりの
「閉じていること」に身を捧げなくてはいけないのではないでしょうか？

a_nもb_nも有理数に無限回、
四則演算を適用したものですから
はちべえさんによる「閉じている」定義によれば
ネイピア数 e もまた有理数であるはずです。

しかるに無理数であるとおっしゃる。
自己矛盾。

原因は、閉じていることについての
理解不足があるのです。

Dengan kesaktian Indukmuさま、おはようございます。

まあ、バーゼル問題は、また進展がみられたらご報告します。

はちべえさんが考えるところの
有理数体は（無限回の）四則演算について閉じている、
については、既にネイピア数を例に上げて
誤りであるとお示しさせて頂きました。

実は、値のわかっている、あるいは値を計算可能な任意の無理数 c について
次のことがいえます。すなわち。

ある
単調増加有理数列 a_n
単調減少有理数列 b_n
が存在して、任意の正の自然数 n について
a_n < c < b_n
となり、かつ
n → ∞ のときに
b_n - a_n → 0
となる。

a_n も b_n も、無論、c に収束します。

無理数 c が与えられれば、上のような、有理数列 a_n や b_n を
高校数学の範囲でも四則演算を使って構成可能なのです。

重ねて強調しておきますが、
はちべえさんが考えるところの
有理数体は（無限回の）四則演算について閉じている、という概念が真ならば
任意の無理数が有理数になってしまいます。

バーゼル問題どころの騒ぎではないのです。

無限回の操作では、有限回の操作までの感覚が通用しないことがたくさんあります。
このあたりをきちんと教科書で学ばないと
人生の貴重な時間が無駄になります。

はちべえさんにご理解頂きたいことをもうひとつ。

実数、a、b、ただし、b > a について以下がいえます。

任意の正数 𝜀 について
𝑏 - 𝑎 < 𝜀
であるならば
𝑏 - 𝑎 = 0
である。きちんと書けば

∀𝜀 >0; 𝑏 - 𝑎 < 𝜀 ⇒ 𝑏 - 𝑎 = 0

これを疑っても益がありません。
事実上、公理だと思って下さい。

はちべえさんが反例を見出すことは不可能です。もしもただしい反例があれば
中間値の定理やロールの定理、平均値の定理、テーラー展開にまつわる定理、リーマン積分にまつわる定理など、
もろもろ全て、真理値が疑、になります。

最近の、はちべえさんによる数の体系についての
一連の疑義、訴えは、全て

∀𝜀 >0; 𝑏 - 𝑎 < 𝜀 ⇒ 𝑏 - 𝑎 = 0

への異議申し立てになっているのです。

失礼いたしました。

実数、a、b、ただし、b > a について以下がいえます。

ではなく

実数、a、b、ただし、b ≧ a について以下がいえます。

にしてください

> 右辺が自然数

これを証明してください。
私が知る限りでは、自然数の無限積が自然数になるという証明は存在しませんので、今のところこれははちべえさんが「正しくあってほしいこと」でしかありません。

追加証明が必要な点は他にもあると思いますが、最大の問題点はまずここです。

DD++様、おはようございます。

まず、無限積について、素数は素数定理より数が求められますが、無限でした。
カントールに言わせれば、この無限は付加番無限なんでしょうね。つまり、数えられる程度の無限ですね。

数学的帰納法は、自然数範囲で成り立つものなら、自然数はカントールの可付番無限であり、数えられるものですね。すると、可付番無限であるから、自然数範囲なので、可付番無限程度なら、数学的帰納法は、使えるんじゃないかなと思ったりしますが、どうなんでしょうね。

余談ですが、有理数も、可付番無限であります。

「数学的帰納法はなぜそれで証明されたことになるのか？」を考えたことはあるでしょうか。
また、「無限とは何であるか？」を考えたことは。

これらについて、一般的にどのように考えられているかをきちんと理解すれば、加算無限で数学的帰納法を使えるわけがないということが納得できると思います。
ですからまずはその辺りを調べてみてはどうでしょう。

加算無限は、可算無限ですか？

集合論らしいですね。

カントールの可付番無限（番号をつけて数えられる無限）とどう違うのですか？

集合の要素に番号をつけて、数えられる無限だそうです。

おなじようですね。

ああ、変換ミスしてましたね。
失礼しました、「可算無限」です。

オイラー積が、認められ、リーマンのゼータ関数が認められている以上、無限の問題はないと言えます。
リーマンのゼータ関数でも、各分数は
kは素数なので、
(k^s-1)／k^s=(k-1){k^(n-1)+k^(n-2)+k^n-3)+・・・+k^2+k+1}/k^s
kが2を除いて、奇数の素数は(k-1)が偶数なので、本質的に違いはありません。

したがって、リーマンのゼータ関数も間違っています。

ζ(s)が、どうであれ、等式として、左辺と右辺の2のべき乗数が違うので、成り立ちません。

ζ(s)が、2のべき乗であることはないので、問題ありません。

とはいえ、まあ、私は、どこかに論文を発表するわけでもないし、そういう目的もないのですから。

今の話題は「数学的帰納法は無限でも有効か」ですよね。
オイラー積やゼータ関数のどこで数学的帰納法が用いられているのですか？

> 私は、どこかに論文を発表するわけでもないし、そういう目的もないのですから。

論文という形でなくても、ここへの投稿は十分「発表」に該当するでしょう。
発表である以上、可能な限り正しくあろうとする心構えは必要です。

DD++様、おはようございます。

＞今の話題は「数学的帰納法は無限でも有効か」ですよね。

そうなっていますね。私としては、ただ無限という漠然ではなく、たとえば、可付番無限に絞った場合、オイラー積もリーマンのゼータ関数も自然数の範囲なのでしょうか、わかりませんが、無限ということを気にすることなく成立しているのは事実です。

ですから、無限の種類について、検討する必要があるでしょう。

＞オイラー積やゼータ関数のどこで数学的帰納法が用いられているのですか？

つかわれていません。

＞論文という形でなくても、ここへの投稿は十分「発表」に該当するでしょう。
発表である以上、可能な限り正しくあろうとする心構えは必要です。

ご指摘、理解できました。

> 無限ということを気にすることなく成立しているのは事実です。

違います。
無限ということを気にした上で、非常に慎重に論理を確認した上で成立しています。

無限ということをある程度軽く扱ってわかりやすく「説明」や「解説」をすることはありますが、それらは「証明」ではないのです。

DD++様、おはようございます。

＞無限ということを気にした上で、非常に慎重に論理を確認した上で成立しています。

それは、オイラーもリーマンもどのようにして、裏付けられたのですか？

＞無限ということをある程度軽く扱ってわかりやすく「説明」や「解説」をすることはありますが、それらは「証明」ではないのです。

確かに、改めてそれを証明されていませんね。

> オイラーもリーマンもどのようにして、裏付けられたのですか？

掲示板のレス程度に収まる話じゃないので、「無限数列の絶対収束」「複素関数の解析接続」にきちんと触れながら証明している書籍等を探してみてください。

> 改めてそれを証明されていませんね。

証明はされています。
はちべえさんが読んだことないだけです。

昔、どこかで聞いたような問題ですね！
(1)　n=3　のとき、　３桁の数は、３の倍数なので、各位の数の和は、３の倍数
　可能性は、　３、６、９、１２、１５、１８、２１、２４、２７　の何れか。
　上2桁が2で割れるので、上2桁目は、　０、２、４、６、８　の何れか。
　使える数字は、１，２，３で、各位の数が全て相異なることに注意して、
　上2桁目が　２　のとき、３桁の数の可能性は、
　１２３、３２１
　以上から、３桁の整数の中で、最小値は、１２３　で、最大値は、３２１　である。
(2)　n=4　のとき、使える数字は、１、２、３、４で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
4桁が4で割れる。
という条件から、まず、4桁が4で割れるためには、下2桁が4の倍数であればよいので、
その可能性は、　○○１２、○○２４、○○３２　の３通り
○○１が、３の倍数となることはない。
○○２が、３の倍数となるのは、　１３２、３１２
○○３が、３の倍数となることはない。
　以上から、　１３２４、３１２４　で、この中に、上2桁が2で割れるものはない。
　よって、n=4　のとき、解なし
(3)　n=5　のとき、使える数字は、１、２、３、４、５で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
5桁が5で割れる。
という条件から、一の位は5と確定し、n=4　のときと同様に、解なしとなる。
(4)　n=6　のとき、使える数字は、１、２、３、４、５、６で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
上5桁が5で割れる。
6桁が6で割れる。
という条件から、十の位は5と確定し、（千の位，百の位）も可能性は、
　（１，２）、（１，６）、（２，４）、（３，２）、（３，６）、（６，４）
　また、万の位の可能性は、２、４、６　なので、以上を組み合わせると、可能性は、
　○４１２５○、○６１２５○、○２１６５○、○４１６５○、○６２４５○、○４３２５○、
　○６３２５○、○２３６５○、○４３６５○、○２６４５○
　残りの数字を書き加えて、条件を満たすものを探すと、
　３２１６５４　、１２３６５４
の２通り存在する。
(5)　n=7　のとき、使える数字は、１、２、３、４、５、６、７で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
上5桁が5で割れる。
上6桁が6で割れる。
7桁が7で割れる。
という条件から、十の位は5と確定し、n=6　のときと同様に考えて、可能性は、
　○４１２５○○、○６１２５○○、○２１６５○○、○４１６５○○、○６２４５○○、○４３２５○○、
　○６３２５○○、○２３６５○○、○４３６５○○、○２６４５○○、○４７２５○○、○６７２５○○、
　○２７６５○○、○４７６５○○
　残りの数字を書き加えて、条件を満たすものはないので、解なしとなる。
(6)　n=8　のとき、使える数字は、１、２、３、４、５、６、７、８で、各位の数が全て相異なり、
上2桁が2で割れる。
上3桁が3で割れる。
上4桁が4で割れる。
上5桁が5で割れる。
上6桁が6で割れる。
上7桁が7で割れる。
8桁が8で割れる。
という条件から、十の位は5と確定し、n=7　のときと同様に考えて、可能性は、
　○４１２５○○○、○６１２５○○○、○８１２５○○○、○２１６５○○○、○４１６５○○○、
　○８１６５○○○、○６２４５○○○、○８２４５○○○、○４２８５○○○、○６２８５○○○、
　○４３２５○○○、○６３２５○○○、○８３２５○○○、○２３６５○○○、○４３６５○○○、
　○８３６５○○○、○２４８５○○○、○６４８５○○○、○２６４５○○○、○８６４５○○○、
　○２６８５○○○、○４６８５○○○、○４７２５○○○、○６７２５○○○、○８７２５○○○、
　○２７６５○○○、○４７６５○○○、○８７６５○○○、○２８４５○○○、○６８４５○○○
　残りの数字を書き加えて、条件を満たすものを探すと、　３８１６５４７２　の１通り存在する。

条件aについて
(1)～(7)共通
条件から、偶数桁目は偶数でなければならない。…(a)
条件から、上から3桁ごとの合計は3の倍数でなければならない。…(b)
(3)～(7)共通
条件から、5桁目は5でなければならない。…(c)

(1)
(a)から123,321しかあり得ないが、これはどちらも条件を満たす。

(2)
(a)から4桁目は2か4だが、上3桁が3で割り切れるためには4桁目は4でなければならない。
しかし3桁目が奇数で4桁目が4である数は4で割り切れないので解なし。

(3)
(c)から5桁目は5なので上4桁は(2)を満たさなければならない。よって解なし。

(4)
使える偶数は2,4,6なので、(a)(b)(c)から、下3桁は456または654でなけれぱならない。
3桁目が奇数で4桁目が4だと上4桁が4で割り切れないので、下3桁は654と決まる。
すると上3桁は1,2,3となり(1)を満たす必要があるので、上3桁は123か321。
従って条件を満たす解は123654と321654。

(5)
使える偶数は(4)と同じなので、4桁目～6桁目は654。
残る1,2,3,7は足して3で割ると1余るので、7桁目は1か7。
(a)により、7桁目が1の場合は先頭3桁は327か723、7桁目が7の場合は先頭3桁は123か321と決まるが、
3276541,7236541,1236547,3216547はいずれも7で割り切れず、解なし。

(6)
使える偶数は2,4,6,8であり、3桁目が奇数で上4桁が4で割り切れなければならないことから
4桁目は2か6なので、(a)(b)(c)から4桁目～6桁目は258か654。
258のとき残る数は1,3,4,6,7だが、7桁目が奇数で上8桁が8で割り切れるためには、
少なくとも8桁目は4で割り切れない偶数すなわち6でなければならず、
(a)(b)から14725836,74125836
654のとき残る数は1,2,3,7,8だが、7桁目が奇数で上8桁が8で割り切れるためには、
少なくとも8桁目は4で割り切れない偶数すなわち2でなければならず、
(a)(b)から18365472,38165472,38765412,78365412
このうち「上7桁が7で割り切れ上8桁が8で割り切れる」を満たすものは38165472のみ。

(7)
(6)と同様に xxx258xxx, xxx654xxx
7桁目が奇数で上8桁が8で割り切れるためには xxx258x6x, xxx654x2x
残りの偶数を2桁目に入れて x4x258x6x, x8x654x2x
前者は1桁目と3桁目に1,7を入れなければならないが、
(6)から上8桁が14725836,74125836は条件を満たさないので、可能性があるのは
147258963,741258963
しかしいずれも「上7桁が7で割り切れる」という条件を満たさない。
後者は1桁目と3桁目に(1または7)(3または9)を入れなければならないので、可能性があるのは
183654729,183654927,189654327,189654723,381654729,381654927,387654129,387654921,
783654129,783654921,789654123,789654321,981654327,981654723,987654123,987654321
このうち上7桁が7で割り切れるものは381654729と783654921だが、後者は上8桁が8で割り切れないので
条件を満たす解は381654729のみ。

(条件aのまとめ)
(1) 123,321
(4) 123654,321654
(6) 38165472
(7) 381654729
(2)(3)(5)は解なし。

条件bについて
「下2桁が2で割れる」と「下9桁が9で割れる」は無視してよい。
「下4桁が4で割れる」から
xx12,xx32,xx52,xx72,xx24,xx64,xx84,xx16,xx36,xx56,xx76,xx28,xx48,xx68
「下3桁が3で割れる」の条件を加えて
x312,x612,x912,x132,x432,x732,x852,x372,x672,x972,x324,x624,
x924,x264,x564,x864,x384,x684,x984,x216,x516,x816,x936,x156,
x456,x756,x276,x576,x876,x528,x348,x648,x948,x168,x468,x768
このうち「下8桁が8で割れる」ものはちょうど半数で
x312,x912,x432,x672,x624,x264,x864,x384,x984,x216,x816,x936,
x456,x576,x528,x648,x168,x768
残る条件は「下6桁が6で割れる」「下7桁が7で割れる」だが、
手作業で全通り計算するのは非常に大変なので最小値と最大値だけを考えることにする。
「下6桁が6で割れる」という条件から上3桁の合計は3の倍数でなければならないので、上3桁は
小さい順に123,126,129,132,135,138,…
大きい順に987,984,981,978,975,972,…
上3桁が123の場合、下3桁は上記のうち1,2,3を含まないものなので
864,984,456,576,648,768
上から4桁目が4だとすると下3桁は576か768なので
123489576,123498576,123459768,123495768
しかしこれらはいずれも下7桁が7で割り切れない。
上から4桁目が5だとすると下3桁は864,984,648,768なので候補は
123579864,123597864,123567984,123576984,123579648,123597648,123549768,123594768
このうち123567984だけ下7桁が7で割り切れて条件bを満たすので、これが最小値。
上3桁が987の場合、下3桁は上記のうち9,8,7を含まないものなので
312,432,624,264,216,456
上から4桁目が6だとすると、下3桁は312か432なので
987654312,987645312,987651432,987615432
しかしこれらはいずれも下7桁が7で割り切れない。
上から4桁目が5だとすると、下3桁は312,432,624,264,216なので候補は
987564312,987546312,987561432,987516432,987531624,
987513624,987531264,987513264,987543216,987534216
このうち下7桁が7で割り切れるものは987564312と987516432の二つであり、
987564312の方が大きいのでこれが最大値。

(条件bの答え)
最小値は 123567984 、最大値は 987564312

S1 = 10 - π^2　、S2 = (21 - 2π^2)/32　ですか？

1/(n^3(n+1)^3)=(6n^2-3n+1)/n^3-(6(n+1)^2+3(n+1)+1)/(n+1)^3
なので
S1=Σ[n=1～∞]1/(n^3(n+1)^3)
=Σ[n=1～∞](6n^2-3n+1)/n^3-(6(n+1)^2+3(n+1)+1)/(n+1)^3
=(6*1^2+3*1+1)/1^3-6ζ(2)
=10-π^2

1/(n^3(n+2)^3)=(1/16){(3n^2-3n+2)/n^3-(3(n+2)^2+3(n+2)+2)/(n+2)^3}
なので
S2=Σ[n=1～∞]1/(n^3(n+2)^3)
=(1/16)Σ[n=1～∞]{(3n^2-3n+2)/n^3-(3(n+2)^2+3(n+2)+2)/(n+2)^3}
=(1/16){(3*1^2+3*1+2)/1^3+(3*2^2+3*2+2)/2^3-6ζ(2)}
=(21-2π^2)/32