😊出会いの泉😊

（Ｆ，Ｇ）＝（（１/４）ｘ^4，２√ｘ）　など無数に存在するような．．．？出題の意図がよく分からない。

(f,g)=(x+a,4x^2-a),(4(x-a)^2,x+a),((2x/a)^2,ax)
など（aは0でない実数定数）。

限定しても、解が無数にあるようですね。
恐ろしい。勉強になりました。
ｆ＝２ｘ＾２ー4ｘ＋2、ｇ＝√２ｘ＋1

初等幾何的でもないし速くもないですが、とりあえず三角関数を使わない解法です。
BD^2=xとおくと、
> 3辺の長さの2乗がp,q,rである三角形の面積は
> (1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
というヘロンの公式の亜種により
4△ABD=√{2(1296+153x)-(81+20736+x^2)}=√{(x-81)(225-x)}
4△BCD=√{2(2500+125x)-(625+10000+x^2)}=√{(x-25)(225-x)}
4S=4(△ABD+△BCD)=√{(x-81)(225-x)}+√{(x-25)(225-x)}
{4S}'=(306-2x)/{2√{(x-81)(225-x)}}+(250-2x)/{2√{(x-25)(225-x)}}
={(306-2x)√(x-25)+(250-2x)√(x-81)}/{2√{(x-25)(x-81)(225-x)}}
={(153-x)√(x-25)+(125-x)√(x-81)}/√{(x-25)(x-81)(225-x)}
(153-x)√(x-25)+(125-x)√(x-81)=0とすると
(153-x)√(x-25)=-(125-x)√(x-81)
(x-25)(153-x)^2=(x-81)(x-125)^2
(x-25)(x^2-306x+23409)=(x-81)(x^2-250x+15625)
x^3-331x^2+31059x-585225=x^3-331x^2+35875x-1265625
4816x=680400
∴43x=6075
よって面積の最大値は
S=(1/4){√{(x-81)(225-x)}+√{(x-25)(225-x)}}
=(√(225-x)/4){√(x-81)+√(x-25)}
={√(225*43-43x)/(4*43)}{√(43x-43*81)+√(43x-43*25)}
={√(9675-6075)/(4*43)}{√(6075-3483)+√(6075-1075)}
={√3600/(4*43)}{√2592+√5000}
={60/(4*43)}(√2){√1296+√2500}
={30/(2*43)}(√2)(36+50)
=(30/86)(√2)*86
=30√2

DD++さんの計算結果からABCDは円に内接することから
A(-6,0),B(6,0)とx軸上にとり、中点を原点としy軸の正の方向にCをとると
C(-16/9,40/9*sqrt(2)), D(-237/43,90/43*sqrt(2))
これより4点を通る円の方程式が
x^2+(y-3/8*sqrt(2))^2=(3/4*sqrt(129/2))^2
となりました。

ブレートシュナイダーの公式で示される四辺形の面積をぐっと睨むと、面積が最大になるのは、公式中の cos() に引き渡される変数の値が π/2 になるときとわかります。
この場合に四辺形は円に内接します。
この四辺形の面積はブラーマグプタの公式で求められます。

ということに？

ブレートシュナイダーの公式そのものは高校範囲ではなく、
じゃあ高校範囲の知識でブレートシュナイダーの公式の証明を書くかというと、多分私の解法より長くなりそうな気がします。

あと、ブラーマグプタは何のために持ち出されているんでしょう？
持ち出すことに何の意味もないような？

DD++さん。
まさしくおっしゃる通りですね。
高校数学のシバリを失念しておりました。

なお、ブラーマグプタについては
GAIさんが「ABCDは円に内接する」と書いておいででしてそのことが私の頭に反響しておりました。ならばブラーマグプタで面積が出ると。
ならばブラーマグプタでは処理できないときのブレートシュナイダーの公式から、【最大】が得られてもよいだろうとの
逆算の発想です。舞台裏はこんなところなのでした。

www.youtube.com/watch?v=Rgk0q6ecOeU&t=1000
↑こちらからの知識があったので[1]と[3]は計算不要でした。

ＧＡＩさん、本年もよろしくお願いします。
早速、解答は・・・。
［1］異なる４個のものから重複を許して２１個とる組合せの数に等しいので、4Ｈ21＝24Ｃ21＝24Ｃ3＝２０２４（通り）
［2］行列式を計算して、2024 となりました。
［3］Σ(k=1~22)ｋ(23－ｋ)＝23*22*23/2－22*23*45/６＝5819－3795＝2024

あけましておめでとうございます。

昨夕から昨夜にかけて
津波から逃げておりました。
予報では３メートル予想でしたので、自動車で１時間ほど内陸へ。
ラジオ聞いて、津波第２波の高さがそれほどでもなく、旧ツイッター情報でも被害もなさそうなのでようやく自宅にもどってご飯食べて酒喰らって寝つきました。

2024 といえば、聞いたところでは以下が面白いのだそうです。珍しい数字ということで、しかも小学生にもわかるネタです。

https://t.co/wwW6gNE4SH

あけましておめでとうございます。
本年もよろしくお願い致します。

勝手に追加で
[4]
Σ[k=1…21] 18/{k(k+1)(k+2)(k+3)} の値は？

年明け早々に地震が来たり、日航機が海上保安庁の機体と接触して炎上するなど、波乱万丈の１年になりそうですね。皆さん、ご無事で何よりです。

あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします。


[4]
Σ[k=1…21] 18/{k(k+1)(k+2)(k+3)}
= Σ[k=1…21] { 6/{k(k+1)(k+2)} - 6/{(k+1)(k+2)(k+3)} }
= 6/(1*2*3) - 6/(22*23*24)
= 1 - 1/2024
= 2023/2024

巻きつきが地面から離れる 2 点をそれぞれ地球中心と結んだとき、その間にできる角度を 2θ とおきます。

条件より
2Rtanθ + R(2π-2θ) = 2πR + 1
つまり
2tanθ - 2θ = 1/R

θ が微小だと思えば tanθ は
tanθ ≒ θ + (1/3)θ^3
と近似できるので、
(2/3)θ^3 = 1/R

よって、求める高さは
R(1/cosθ-1) ≒ (1/2)Rθ^2 = (3/4)*(2R/3)^(1/3)

実際の値とは異なりますが、計算しやすい R≒6144000 だと 120 m なので、それよりもうちょっと高いくらいですかね。
感覚的に 1km くらい行くかと思ってたのに意外と低い……。
計算ミスってないですよね？

2tanθ - 2θ = 1/R
辺りをコンピュータ等の利用で、θを探すと
θ=0,00617253･･･(rad)
辺りでこれから
最大121.56060･･･(m)
程度になりました。

私の印象ではこんなにも高くなるんかい！
の方での驚きでした。
DD++さんは逆なんですね。
直線と曲線はやっぱり違う性質を持っているんだな～（当たり前と言えば当たり前か？）
なおこの角度でR*θ=39369(m)なので
最高になる地点から約40ｋｍ東西でひもは地面から離れ始めることになる構造です。

全体を浮かせる場合は球が大きいと不利そう（実際はそうでもない）なのに対し、
一箇所だけ引っ張って浮かせるなら球は大きければ大きいだけ有利なのが明らかですからねえ。

ヤコビの二平方和定理から考えれば、素因数分解の形でいいなら手計算でもいけますよ。
2024/4 = 506 = 2*11*23 なので、
4で割ると1余る素数に小さい順に 23-1, 11-1, 2-1 を指数として与えればいいだけです。
つまり N = 5^22 * 13^10 * 17 ですかね。

……これ自体を年明けに出題すればよかったのでは？

DD++さん、御教示をまことに有難うございます。

OEISでみかけたのに、検索にかからなくて往生しておりました。

年賀挨拶のフライングは、ええと、もうクリスマスが過ぎたのでいいかなあと？【違】

URL がみつかりました。
https://oeis.org/A016032/b016032.txt

回答ではありません。申し訳ありません。
最近、こんなのを見かけまして目を丸くしていた次第です。

∫[0→1](1/x -floor(1/x))dx = 1 -γ

x=0 の付近で激しく振動する関数の定積分なのでどうやって求めるのかと思案投げ首です。

なお、wolfalpha では答えてくれませんでした。

∫[0→1](1/x-floor(1/x))dx
=∫[1/2→1](1/x-1)dx+∫[1/3→1/2](1/x-2)dx+∫[1/4→1/3](1/x-3)dx+…
=lim[n→∞]{∫[1/n→1](1/x)dx-Σ[k=2～n](1/n)}
=lim[n→∞]{logn-Σ[k=2～n](1/n)}
=-lim[n→∞]{Σ[k=2～n](1/n)-logn}
=1-lim[n→∞]{Σ[k=1～n](1/n)-logn}
=1-γ
となりますね。

∫[x=1→∞](1/floor(x)-1/x)dx=γ
となるようですね。

Euler's constant (or the Euler-Mascheroni constant), gamma.
と言われるγについて、Wikipediaでの記事を読んでみたら
γと円周率πとの関係が分かっていないという記述を見かけた。
例えばπと自然対数の底eとはこれをつなぐ関係式はしばしば見ることはあるが、
そういえばγとπはあまり見たことはなかった。

そこでなんかないのかと探し回ったら
Γ関数で
Γ(1/2)=√π
Γ'(1)=-γ
とガンマ関数で表現でき

またたまたま
γ^2+π^2/6=Γ''(1)=∫[x=0→∞]e^(-x)*(log(x))^2dx
が成立することを発見した。(A081855参照)

これは２つを結びつける大きな関係ではなかろうか？
何方か他に何か２つを結ぶ関係式をご存知の方はお教え下さい。

本日みかけたのですが
∫[x=0→∞] ((sin(x)*log(x))/x)dx = -γ*π/2
なのだそうです。

【御参考】
https://mathlog.info/articles/FB8gF9bmpb3LJ5CDZBzo

計算機で確認したらピタリ同じ数値を確認しました。
sinとlogの組合せ！
数学って不思議で面白い。

凸五角形ABCDEに対して、∠A＝a、∠B＝b,∠C=c,∠D=d,∠E=e
置きます。
a=θ1＋Θ2＋Θ3 +0 + 0
b=０＋Θ2＋Θ3＋Θ4+0
c=０＋０＋Θ3＋Θ4＋Θ5 ＝A（Θ１，Θ２，Θ３，Θ４，Θ５）
d=Θ1＋０＋０＋Θ4＋Θ5　　　列ベクトル
e=Θ1＋Θ2＋０＋０＋Θ5
巡回行列Aは、正則で、逆行列を持ち、
与えられた（a,b,c,d,e)に対して、（Θ１，Θ２，Θ３，Θ４，Θ５）
が決まります。作図ができるか心配ですが、（角度が切り取りできれば、）
円周上に、一点A（仮）を適当にとり、左から、Θ1＝∠BAC,Θ２＝∠CAD,
Θ３＝∠DAEとして、点B,C,D,Eを定める。Θ４＝∠ECA,Θ５＝∠ADBになるように、改めて点AをBEの間に定めれば、できるかもしれませんが、自信がありません。

正方形BCDEと正三角形ABCとを作図します。
このときに凸五角形ABCDEの各頂点を同一円周上には配置できないと思われますけれども、私の題意読み違えなのでしょうか？

反例、ありがとうございます。
この場合、Θ２が、マイナスになりました。
正数値でも、分母が３の場合、作図が難しそうですね。

対角の和が、１８０°ならば、円に内接することが可能。
任意の五芒星（ペンタグラフ）は、円に内接させることができる。
（長さは同じでなくとも、角の並びが、同じという意味で）
任意の六芒星も、可能。

今晩は、「BSD予想」だそうです。
2023年12月6日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。
シーズン２はこれで終わりだそうです。

再放送は、
一回目12月 9日（土）Eテレ午後9:30～午後10:00
二回目12月13日（水）Eテレ午前0:55～午前1:25
だそうです。リンクを貼っておきます。

来週は「笑わない数学」の選の「素数」だそうです。つまり、シーズン１の再放送です。

今晩は、「素数」だそうです。
2023年12月13日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。

再放送は、
一回目12月 16日（土）Eテレ午後9:30～午後10:00
二回目12月19日（水）Eテレ午前0:55～午前1:25
だそうです。

来週の「笑わない数学」は番組表にありません。これで、終わりかもしれません。
10月から12月までとなっておりましたので。

私はこの方面についてはまったく無知ですけれども、調べた結果をご報告させてください。
出来ましたならば、この報告をもとに、再度検証をお願いいたします。

■交点のない結び目のアレキサンダー多項式は
1
そのものです。

□交点のない結び目を
「自明な結び目」と言うのだそうです。

□自明な結び目のアレキサンダー多項式
についての説明が以下の PDF にあります。
http://www.f.waseda.jp/taniyama/mathsciknot/reports/23.pdf

以上です。
よろしくお願いいたします。

ありがとうございます。
自明な結び目を、変形（ひねり）交点を３つにして、方程式を計算すると、
１にならないので、困りました。求め方がおかしいんですね。

御参考。
アレキサンダー多項式ほか、有名どころの多項式を、結び目ごとに紹介しているサイトがあります。
注:httpsに対応しておらずhttpなサイトのため一部のブラウザではアクセスできないことがあります。

http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Rolfsen_Knot_Table

たとえば自明な結び目であれば、
上記ページの「Knots with 7 or fewer crossings」にならんだ各結び目のうち、「0_1」のリンクを踏めば
http://katlas.math.toronto.edu/wiki/0_1
のページに飛びます。このページは自明な結び目のページです。
「Polynomial invariants」の欄に目をやり
そこにある
【Alexander polynomial】が、《1》
であることから、
自明な結び目のアレキサンダー多項式は 1 とわかるわけです。

また、同様にして 3_1 のリンクを踏めばtrifoliate leaves (三つ葉)の結び目のページに飛びます。
http://katlas.math.toronto.edu/wiki/3_1

アレキサンダー多項式は
t +1/t -1
となるようですね。

この結び目は、裏返すとアレキサンダー多項式が違う形になるのではとぼんやりと記憶しているのですが、そちらについては今回ご案内したアクセス方法では検索できませんでした。ご容赦ください。

笑わない数学で紹介されていたアレキサンダー多項式の定義では
自明な結び目は色々な多項式が構成されてしまうみたいですね。
-tやt^2やt^2+t,etc
等出来てしまう。
自明でない結び目では固有の多項式となると思われます。