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謹賀新年

あけましておめでとうございます。
本年もどうぞよろしくお願いいたします。

管理人さんのとネタがかぶりますが、珍しいことができる年なので……

問題。
7 つの 5 を使って、2023 を作ってください。
使える記号は、四則演算、括弧、累乗、小数点とします。

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こういうのはありですか?
(.5)^(-5.5-5.5)-5×5

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あー、そういえば .5 で 0.5 を表すルールを採用する場合もありましたね。

別解での正解とした上で、小数点を 5.5 としてのみ使用する想定解もぜひ探してみてください。

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ならば想定解はおそらく
2023 = (5-5/5)^5.5-5×5
だと思います。

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はい、その通りです。
非整数乗をまともに使えるのはおそらく各元号5年のみ、しかもそれが短く式を作るのに有効というのは非常に珍しいはず。

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今年しか起きない現象

何方か強力な計算手段をお持ちの方
2023^6=A^6+B^6+C^6+D^6+E^6+F^6+G^6
ただし
2023>A>B>C>D>E>F>G>0
を満たす整数(A,B,C,D,E,F,G)を発見願う。

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2023^6=1902^6+1548^6+1320^6+1136^6+345^6+240^6+30^6
が見つかりました(2023^6の全解探索時間45秒)。
(追記)
2024,2025,2026,…についても同様の分解があるのかと思って探したら、
2023はたまたま存在するだけで普通は存在しないのですね。
後になって検索して↓このページを見つけました。
https://sites.google.com/site/sevensixthpowers/

引用して返信編集・削除(編集済: 2023年01月02日 15:09)

新年のご挨拶

新年あけまして
今年もよろしくお願いします。

ここ10年間を準備しました。
2023 = (((((1+2)+3)×4+5)+6)×8+9)×7
2024 = ((((1÷2+3)+4)×5×6×9+7)-8)
2025 = (((((1-2)+3)+4)×5+6)×7×8+9)
2026 = ((((1÷2+3)+4)×5×6×9-7)+8)
2027 = (((1÷2×3+4)×5×8+6)×9-7)
2028 = (((1×2+3)÷4+5)×6×7-9)×8
2029 = (((((1+2)+3)+4)×5×6-9)×7-8)
2030 = (((1-2)÷3÷4+5)×8+9)×6×7
2031 = ((((1+2)×3×4-5)×7+8)×9+6)
2032 = (((((1+2)+3)×4+5)+6)×7+9)×8
2033 = ((((1+2)×3×4+5)×6+7)×8+9)

引用して返信編集・削除(未編集)

あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いいたします。

右辺の数字が1,2,3,4,5,6,7,8,9の順になっている式です。
2023 = (1-2+3+4+5+6)×7×(8+9)
2024 = 1+(2+3×(4-5+6))×7×(8+9)
2025 = 1+2-3+(4+5+6)×(7+8)×9
2026 = 1+2+(3+4×5-6)×7×(8+9)
2027 = 1-2+3+(4+5+6)×(7+8)×9
2028 = 1+2+(3+4+5×6×7+8)×9
2029 = (1+2+3+4)×(5×6×7-8)+9
2030 = 1×2+3+(4+5+6)×(7+8)×9
2031 = 1+2+3+(4+5+6)×(7+8)×9
2032 = 1+2×3+(4+5+6)×(7+8)×9
2033 = (1+2×(3+4)×(5+6+7))×8+9

引用して返信編集・削除(未編集)

正四面体の組み立て

立方体、五面体、不等辺な立体の色塗りを考えてましたが、
複雑で、ギブアップしました。
平面三角形の場合三辺が、a+b>c(最大)が、条件ですが
四面体のとき、6辺から、どの3辺をとっても、三角形が作れるならば、
四面体が作れそうですが、例外が、あれば、
他にどのような条件が必要でしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

やはり、条件不足のようです。
a<bとして、bで正三角形をつくり、その頂点からへの重心の長さをa
とすると、ぺちゃんこになってしまう。
やはり、立体はむずかしい

引用して返信編集・削除(未編集)

立体の塗分け

正六面体でサイコロを作る場合、転がしても同じにならないものは、
向かい合う面を和が7に作った場合二通り。
1,2,3が右回りと左回りがあり、正式には左回り。
制限をなくした場合30通りと理解してます。
点で記した場合、1,4,5は上下左右対称ですが、
2,3,6の場合辺に平行なものが二通りあり、
30×2×2×2=180通りできる。
数字で表した場合、1以外は、対称ではないので、
30×4^5通りできる。大丈夫かなと?

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月20日 16:29)

> 点で記した場合、1,4,5は上下左右対称ですが、
> 2,3,6の場合辺に平行なものが二通りあり、
> 30×2×2×2=180通りできる。

30×2×2×2=240です。

> 数字で表した場合、1以外は、対称ではないので、
> 30×4^5通りできる。大丈夫かなと?

1以外の向きは4通りですが1の向きも(単なる棒として)2通りありますので
30×2×4^5通りですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

正四面体の場合
一色で塗る 1通り
二色で塗る (1,3)(3,1)(2,2)の3通り
三色で塗る (1,3)3通り
四色で塗る 1通り 
空間的で間違いがあるかも知れません
六面体に挑戦中

引用して返信編集・削除(未編集)

二色が3通り、三色が3通りということは色順を区別しているということですから
四色の場合は2通りになります。例えば色をa,b,c,dとしたときaの面を下にして
上からみたとき時計回りにb,c,dになるかd,c,bになるかの2通りです。

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点と直線の定理(射影幾何)

私の好きな定理にデザルグの定理があります。この定理は定規だけで図を描くことができます。
また、パップスの六角形定理やその双対定理も定規だけで図が描けます。

同じように定規だけで図が描ける定理に出会ったので紹介したいと思います。


(射影)平面上に三角形ABCがある。
直線BC上に異なる2点D1,D2を、直線CA上に異なる2点E1,E2を、直線AB上に異なる2点F1,F2をとる。
ただし、3点D1,E1,F1は一直線上になく、3点D2,E2,F2も一直線上にないようにする。
直線E1F1とE2F2の交点をP、直線F1D1とF2D2の交点をQ、直線D1E1とD2E2の交点をRとおく。
このとき、次の二つの命題が成り立つ。
① 3直線AD1,BE1,CF1が共点 ⇔ 3直線PD2,QE2,RF2が共点
② 3直線AD2,BE2,CF2が共点 ⇔ 3直線PD1,QE1,RF1が共点


この定理の双対定理も定規だけで図が描けます。

引用して返信編集・削除(未編集)

解の個数

x^3+y^3=z^3 整数解の個数 0個
x^2+y^2=z^2 整数解の個数 無限
n=1,2,3…有限個を持つなど
方程式を、教えてください。

引用して返信編集・削除(未編集)

(x,y,z)=(0,0,0)
の解がありますので、1個ですね。

引用して返信編集・削除(未編集)

x^3+y^3=z^3には(0,t,t)という解がありますので無限個です。
他には
x^2+y^2=5^2, 0<x<y : 整数解1個
x^2+y^2=(5^2)^2, 0<x<y : 整数解2個
x^2+y^2=(5^3)^2, 0<x<y : 整数解3個
x^2+y^2=(5^4)^2, 0<x<y : 整数解4個
x^2+y^2=(5^5)^2, 0<x<y : 整数解5個
・・・
x^2+y^2=(5^n)^2, 0<x<y : 整数解n個
・・・

引用して返信編集・削除(未編集)

x^2+y^2=(5^n)^2, 0<x<y : 整数解n個

x^2+y^2=(5*n)^2, 0<x<y : 整数解n個
ではないでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

違います。
x^2+y^2=5^2, 0<x<y:整数解1個 (3,4)のみ
x^2+y^2=10^2, 0<x<y:整数解1個 (6,8)のみ
x^2+y^2=15^2, 0<x<y:整数解1個 (9,12)のみ
x^2+y^2=20^2, 0<x<y:整数解1個 (12,16)のみ
x^2+y^2=25^2, 0<x<y:整数解2個 (7,24)と(15,20)
x^2+y^2=30^2, 0<x<y:整数解1個 (18,24)のみ
のようになりますので明らかに「(5*n)^2」では合いません。「(5^n)^2」ならば
x^2+y^2=5^2, 0<x<y:整数解1個 (3,4)のみ
x^2+y^2=25^2, 0<x<y:整数解2個 (7,24)と(15,20)
x^2+y^2=125^2, 0<x<y:整数解3個 (35,120)と(44,117)と(75,100)
x^2+y^2=625^2, 0<x<y:整数解4個 (175,600)と(220,585)と(336,527)と(375,500)
のように確かに合います。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月07日 14:45)

あ~そうだ!
完全に勘違いしていた。
でもよくこんな例を思いつきますね。

引用して返信編集・削除(未編集)

条件を入れると、より難しくなる印象でしたが、
一律に、求めて、すごいですね。
フェルマーの元来の問題は、自然数解は存在しないでした。
うっかりしてました。
整数解の条件だと、奇数の場合、(t、-t、0)もあり
無限個ありますね。
整数解のない式は、2*x^2+2*y=1 面白くない式ですが。
x^2+y^2=0 (0,0)一個のみ
y^3=x^2+2(5,3)(ー5,3)二個のみx、yの順
y^2=x^3 (8,4)(ー8,4)でしょうか?
y^3=x^2+1 は無し
y^2=x^3+1(2、3)(2,ー3)
一般に、解の個数は確定するのが、難しいそうなので、
知られている限りでどうでしょうか?

引用して返信編集・削除(未編集)

y^2=x^3 の解は (x,y)=(t^2,±t^3) で無限個
y^3=x^2+1 の解は (x,y)=(0,1)
y^2=x^3+1 の解は (x,y)=(-1,0),(0,±1),(2,±3)

引用して返信編集・削除(未編集)

ちなみに
x^2+y^2=(5^n)^2, 0<x<y : 整数解n個
の「5」は4n+1型の素数(5,13,17,29,37,…)なら何でもOKだと思います。

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかるさん、いつも、ありがとうございます。
解4個の場合 x^2+y^2=1 (±1,0)(0,±1)
解8個の場合 x^2+y^2=25 (±3,±4)(±4、±3)

xの一文字だけで、
(x-1)(x-2)…(x-n)=0

引用して返信編集・削除(未編集)

整数解 3個 の場合
y^2=x^3-x (ー1,0)(0,0)(1,0)
整数解 6個 場合
y(y-1)=x^3ーx
(ー1,0)(0,0)(1,0)
(ー1,1)(0,1)(1,1)

引用して返信編集・削除(未編集)

y(y-1)=x^3-xの解は他にもありますので6個ではありません。
(x,y)=(2,3),(2,-2),(6,15),(6,-14)

引用して返信編集・削除(未編集)

右辺の値が、6になる場合、直ぐに気づかれたみたいですね。
これだと、10個の解ということになりますが?
6,7,9個に挑戦します。

引用して返信編集・削除(未編集)

> これだと、10個の解ということになりますが?
そうですね。でもその10個以外に解がないかどうかはわかりません。

引用して返信編集・削除(未編集)

6個の整数解を持つ方程式
(y(y-1))^2=x(x-1)(x+1)
(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)
(ー1,0)(ー1,1)

引用して返信編集・削除(未編集)

x^2+y^2=(5^n)^2,0<x<yの整数解はn個ですが、
変数の大小関係の条件がない2変数の方程式で
整数解が任意の個数になるものを考えると、
(4x+1)^2+y^2=25^n の整数解は 2n+1個(n≧0)
4x^2+y^2=5^n の整数解は 2n+2個(n≧0)
のような例があり、任意の自然数nに対して
整数解がn個である2変数方程式が存在することがわかります。

解の具体値
解1個: (4x+1)^2+y^2=25^0
(0,0)
解2個: 4x^2+y^2=5^0
(0,±1)
解3個: (4x+1)^2+y^2=25^1
(-1,±4),(1,0)
解4個: 4x^2+y^2=5^1
(±1,±1)
解5個: (4x+1)^2+y^2=25^2
(-4,±20),(-2,±24),(6,0)
解6個: 4x^2+y^2=5^2
(0,±5),(±2,±3)
解7個: (4x+1)^2+y^2=25^3
(-19,±100),(-9,±120),(29,±44),(31,0)
解8個: 4x^2+y^2=5^3
(±1,±11),(±5,±5)
解9個: (4x+1)^2+y^2=25^4
(-132,±336),(-94,±500),(-44,±600),(146,±220),(156,0)
解10個: 4x^2+y^2=5^4
(0,±25),(±10,±15),(±12,±7)
解11個: (4x+1)^2+y^2=25^5
(-659,±1680),(-469,±2500),(-219,±3000),(59,±3116),(731,±1100),(781,0)
解12個: 4x^2+y^2=5^5
(±5,±55),(±19,±41),(±25,±25)
解13個: (4x+1)^2+y^2=25^6
(-3294,±8400),(-2344,±12500),(-1094,±15000),(296,±15580),(2938,±10296),(3656,±5500),(3906,0)
解14個: 4x^2+y^2=5^6
(0,±125),(±22,±117),(±50,±75),(±60,±35)
解15個: (4x+1)^2+y^2=25^7
(-19111,±16124),(-16469,±42000),(-11719,±62500),(-5469,±75000),(1481,±77900),
(14691,±51480),(18281,±27500),(19531,0)
解16個: 4x^2+y^2=5^7
(±25,±275),(±95,±205),(±125,±125),(±139,±29)
解17個: (4x+1)^2+y^2=25^8
(-95554,±80620),(-82344,±210000),(-58594,±312500),(-27344,±375000),(7406,±389500),
(41208,±354144),(73456,±257400),(91406,±137500),(97656,0)
解18個: 4x^2+y^2=5^8
(0,±625),(±110,±585),(±168,±527),(±250,±375),(±300,±175)
解19個: (4x+1)^2+y^2=25^9
(-477769,±403100),(-411719,±1050000),(-292969,±1562500),(-136719,±1875000),(37031,±1947500),
(206041,±1770720),(230519,±1721764),(367281,±1287000),(457031,±687500),(488281,0)
解20個: 4x^2+y^2=5^9
(±125,±1375),(±359,±1199),(±475,±1025),(±625,±625),(±695,±145)

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月13日 12:03)

圧倒的な計算力ですね。
y^2=(x+1)(x+2)…(x+n)
(ー1,0)(ー2,0)…(ーn、0)
右辺に、一つでも、素数があれば、その最大値をPとし、
2P<N、ではない。なぜなら、P<2Pの間に、新たな素数が
必ず存在し、最大に反するからです。そうするとPについて、
平方でなくなり、右辺が平方数になるときは、0のときです。
素数がないとき、例えば
N!+2,…N!+N のときは、分かりません。
ので、他に、解があるかも知れませんが。

引用して返信編集・削除(未編集)

> N!+2,…N!+N のときは、分かりません。
> ので、他に、解があるかも知れませんが。

エルデシュ・セルフリッジの定理により
「連続する2つ以上の自然数の積は累乗数にならない」
とのことですので、0以外の解はないようです。

引用して返信編集・削除(未編集)

らすかるさんありがとうございます。
先人の肩に乗せて貰いました。難儀するところでした。
yは、平方、累乗でもいいんですね!

引用して返信編集・削除(未編集)

追伸、そういえば
自然数の連続数の和も、2の巾乗で表せないこと、
興味深い⁉️

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月15日 00:33)

逆に、2のべき乗でなければ、連続数の和で、表すことが可能。
一意的では、ないのが、残念ですが。素数は、一意的なのかな?

引用して返信編集・削除(未編集)

連続させない

(1)1から15までの整数の中から勝手に6個を取り出した時
連続する数字が表れないのは何通りあるか。

同じく
(2)1から39までの整数の中から勝手に19個を取り出す
場合は何通りあるか。

引用して返信編集・削除(未編集)

(1) 1~10から6個取り出して、小さい順に+0,+1,+2,+3,+4,+5すればいいから10C6=210通り
(2) 同様に(39-19+1)C19=210通り

引用して返信編集・削除(未編集)

コンピュータに頼りたくない。

通常の電卓ぐらいで次の合同式は解けますか?
(1)1234*x^567≡89 (mod 101)

(2)98*x^76543≡21 (mod 101)

引用して返信編集・削除(未編集)

全部手計算で電卓も使いませんでした。
(mod 101)は省略します。
(1)
x≡0は解にならないのでx^100≡1
また1234≡22なので1234*x^567≡22*x^67
22y≡89とすると
22y-101n=89
22(y-4)-101n=1
22(y-4-5n)+9n=1
9{2(y-4-5n)+n}+4(y-4-5n)=1
9(2y-8-9n)+4(y-4-5n)=1
2y-8-9n=1,y-4-5n=-2を解くとy=27,n=5
よって22y≡89の解はy≡27なので
x^67≡27を解けばよい。
x^201≡27^3=19683≡89
∴x≡89
(2)
x≡0は解にならないのでx^100≡1
また98≡-3なので98*x^76543≡-3*x^43
3*x^43≡-21
x^43≡-7
x^301≡(-7)^7=-343*2401≡-40*78≡-3120≡-90≡11
∴x≡11

引用して返信編集・削除(未編集)

成分が複素数の2行2列の行列についての恒等式

2行2列の単位行列を E とします。
X、Y、Z を、成分が複素数であるところの
2行2列の行列とします。

a、b、c を実数(スカラー)とします。

任意の a、b、c について
(a^2 +b^2 +c^2)*E = (a*X +b*Y +c*Z)^2
が成り立つように
X、Y、Z を【ひとくみ】定めてください。

=======

これを考えたのはとある高名な物理学者です。

天才。
a^2 +b^2 +c^2 を因数分解してしまっています。

引用して返信編集・削除(未編集)

ω^3=1を、成分にもつ、行列かな?

引用して返信編集・削除(未編集)

私も真似させてもらって

4行4列の単位行列を Eとします。
V,W,X,Y,Zを、成分が複素数であるところの
4行4列の行列とします。
a、b、c、d、e を実数(スカラー)とします。

任意の a、b、c、d、 e について
(a^2 )*E = (a*V )^2
(a^2 +b^2 )*E = (a*V +b*W )^2
(a^2 +b^2 +c^2 )*E = (a*V +b*W +c*X )^2
(a^2 +b^2 +c^2 + d^2)*E = (a*V +b*W +c*X + d*Y)^2
(a^2 +b^2 +c^2 + d^2 + e^2)*E = (a*V +b*W +c*X + d*Y + e*Z)^2
(a^2 +b^2 +c^2 + d^2 + e^2)^k*E = (a*V +b*W +c*X + d*Y + e*Z)^(2*k) (k=2,3,4,・・・・・)
が成り立つように
V,W,X,Y,Zを一組見つけて下さい。

引用して返信編集・削除(編集済: 2022年12月07日 09:06)

掲示板における行列の表記法がよくわかりませんでしたので、OEISの真似をします。

2行2列の単位正方行列Eを
[1,0; 0,1]
と書きます。行ごとの delimiter として ; で表すつもりです。

X = [0, 1 ;1, 0]
Y = [0,-i ;i, 0]
Z = [1, 0 ;0,-1]

としておくと、任意の実数 a,b,c について

(a^2 +b^2 +c^2)*E = (a*X +b*Y +c*Z)^2

となります。

パウリ行列として知られているようです。

引用して返信編集・削除(未編集)

四元数のi,j,kを用いると
a^2+b^2+c^2= - (a*i + b*j + c*k)^2
としていいのかな?

引用して返信編集・削除(未編集)

GAIさんによる次のお題につきまして。

(a^2 +b^2 +c^2 +d^2)*E = (a*V +b*W +c*X +d*Y)^2

V = [0,0,0,1; 0,0,1,0; 0,1,0,0; 1,0,0,0]
W = [0,0,0,-i; 0,0,i,0; 0,-i,0,0; i,0,0,0]
X = [0,0,1,0; 0,0,0,-1; 1,0,0,0; 0,-1,0,0]
Y = [1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,-1,0; 0,0,0,-1]
とするとよいようですね。

上は、物理学者ディラックが示したものを、GAIさんの表現にあわせたものです。
ディラックは先述のパウリ行列を拡張しました。

引用して返信編集・削除(未編集)

Z=[0,0,i,0;0,0,0,i;-i,0,0,0;0,-i,0,0]
で行けると思います。
パウリとディラックはこんな型で繋がっているんですね。

引用して返信編集・削除(未編集)
合計1711件 (投稿280, 返信1431)

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