😊出会いの泉😊

直接関係は無いかもしれませんが以前から気になっていることがあり
曲率がどこも正である閉じた曲線C上で(曲率の値は一定でなくても構わない。)
任意の5点をとり
ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、中にダビデの星状の図形が構成される。
その星形の内部を塗り潰すと、5個の頂点を持つ図形ができる。
この時5つの頂点の内角をすべて足すと180°となる。
同じく
C上に任意の6点をとり
ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、閉じた3角形ができる。
続いて隣の点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、閉じた3角形が再びできる。
そこで上の様に中を塗り潰せば今度は6つの角をもつ星状の図形ができる。
この時6つの頂点の内角をすべて足すと360°となる。
以下同様に
C上に
任意の7点をとり
ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、7個の頂点を持つ星型図形ができる。
この時7つの頂点の内角をすべて足すと540°となる。
なお、2つ飛ばしで結んでいくと、その星形図形では7つの頂点の内角をすべて足すと180°となる。
C上に
任意の8点をとり
ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくとを2度繰り返すと、8個の頂点を持つ星型図形ができる。
この時8つの頂点の内角をすべて足すと720°となる。

この様に一般に1つ飛ばしに結んでいくn角を持つ星状図形で、そのすべての内角の和をとれば
180*(n-4)°となる。(n>=5)

は成立すると思われるんですがどうでしょうか？

これ、本当ですか？

六角形の内角をAからFとして
A = 0.5 * (arc BF)
E = 0.5 * (arc FD)
C = 0.5 * (arc DB)
A + C + E = 0.5*(720°)
A+ C + E = 360°

> 六角形の内角をAからFとして
> A = 0.5 * (arc BF)
> E = 0.5 * (arc FD)
> C = 0.5 * (arc DB)
> A + C + E = 0.5*(720°)
> A+ C + E = 360°

B,D,Fも結んでください。
Aの内角は∠CAEの部分となります。

三角形ACEからA+C+E=180°
同じく
三角形BDFからB+D+F=180°
よって
A+B+C+D+E+F=360°
の意味となります。

まじめに書いてみます。

『ある弧に対する中心角は、同一の弧の円周角の2倍である』
という定理において、中心角が180°を超えていても成り立つ、とします。（これ本当ですか？）

まず六角形 ABCDEF についてこれが円に内接することを要請しておきます。この円の中心をOとします。
∠FAB を、弧BFの円周角とみなします。このとき弧は長い方、すなわち、C,D,E,を通過するほうの弧とします。
∠FOB を、弧BFの中心角とします。弧の定義は先程と同じです。中心角は 180 °を超えることもあります。
同様にして ∠BCD, ∠DEF を円周角とみなします。また、∠BOD, ∠DOF を中心角とみなします。

３つの中心角の総和、∠FOB+∠BOD+∠DOF は、（円を２周しているので）720° となります。『ある弧に対する中心角は、同一の弧の円周角の2倍である』ので対応する円周角の総和である∠FAB+∠BCD+∠DEFは、720°の半分、すなわち360°となります。

《円に内接する六角形の内角を 1 つおきに足すと 360°》と言えることになるのではと。

2n角形についても同様ではないかと？

中心角を使えばそうなんですけど、「10 角形のときには 4 周しますよね」といわれても、一瞬「うーんどうなんですかね」ってなりません？
もっと直感的にそりゃそうだわってなる証明がないものかなあ、と。

こっちのほうが直接的ですかね。

2n角形が、円に内接しているので、各頂点と円の中心との間に線分を補助線として引いてあげると2n個の二等辺三角形があることになります。二等辺三角形ではふたつの底角が等しいことに注意し、2n個ある頂角の角度の和は360°であることにも留意します。もちろん各二等辺三角形の内角の和は180°です。

上からダイレクトに求める公式が得られると思います。

イメージがつきやすいと思うので六角形のケースを。

先の投稿に従い6つの二等辺三角形を作図します。すなわち。
頂角がA,底角がaの二等辺三角形。
頂角がB,底角がbの二等辺三角形。
頂角がC,底角がcの二等辺三角形。
頂角がE,底角がdの二等辺三角形。
頂角がE,底角がeの二等辺三角形。
頂角がF,底角がfの二等辺三角形。

求めたい《ひとつおきの内角の和》は
（f+a）+（b+c）+（d+e）
です。

すぐにわかることを並べると
A+a+a=180°
B+b+b=180°
C+c+c=180°
D+d+d=180°
E+e+e=180°
F+f+f=180°
A+B+C+……+F=360°

上を整理すれば
（f+a）+（b+c）+（d+e）=360°
が得られます。

ああ、なるほど、二等辺三角形を作る方法がありましたか。
これは確かに簡明。

二等辺三角形を作った後、「だから全内角の総和のピッタリ半分」という方向に行けばもっとストレートですかね？

1946にて。

> "GAI"さんが書かれました:
> 直接関係は無いかもしれませんが以前から気になっていることがあり
> 曲率がどこも正である閉じた曲線C上で(曲率の値は一定でなくても構わない。)
> 任意の5点をとり
> ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、中にダビデの星状の図形が構成される。
> その星形の内部を塗り潰すと、5個の頂点を持つ図形ができる。
> この時5つの頂点の内角をすべて足すと180°となる。
> 同じく
> C上に任意の6点をとり
> ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、閉じた3角形ができる。
> 続いて隣の点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、閉じた3角形が再びできる。
> そこで上の様に中を塗り潰せば今度は6つの角をもつ星状の図形ができる。
> この時6つの頂点の内角をすべて足すと360°となる。
> 以下同様に
> C上に
> 任意の7点をとり
> ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、7個の頂点を持つ星型図形ができる。
> この時7つの頂点の内角をすべて足すと540°となる。
> なお、2つ飛ばしで結んでいくと、その星形図形では7つの頂点の内角をすべて足すと180°となる。
> C上に
> 任意の8点をとり
> ある点から1つ飛ばしに直線を引いていくとを2度繰り返すと、8個の頂点を持つ星型図形ができる。
> この時8つの頂点の内角をすべて足すと720°となる。

> この様に一般に1つ飛ばしに結んでいくn角を持つ星状図形で、そのすべての内角の和をとれば
> 180*(n-4)°となる。(n>=5)

> は成立すると思われるんですがどうでしょうか？


↓↓↓↓
以下では n が奇数のときのみを考えます。(n>=5)
一つおきに点を結ぶ作図により星型 n 角形が生まれたものとします。すなわち、この星型 n 角形の内部に凸 n 角形が作図されたものとします。(必ず凸になるかどうか…わたしにはわかりませんでした。多分大丈夫？)
このときのみについて以下のように考えます。
・中にある凸 n 角形の外角の和は n によらず 360° です。
・凸 n 角形の各辺に三角形が n 個ぶん作図されています。これらの三角形の内角の総和は n*180° です。
・求めたい角の総和は後者から前者の２倍を引いたものです。
すなわち、 n*180 -720
よって GAI さんによる予想
180*(n-4)° (n>=5)
は上記のように私が設定した強い条件のもとでは正しそうです。
内部に凸 n 角形ができない場合は私にはとてもとても手がつけられませんでした。

n が偶数でも同じ理屈でしょっ、と知人に即座に言われて愕然としました。

外角を使わない別解を教えてもらいました。

n角形の内角の和をS(n) とします。
S(n) = 180°*(n-2)
(n>=5) のときに求める星型の頂角の角度の和 T(n) は
T(n) = 2*S(n) -n*S(3) = 180°*(2*n -4) -n*180° = 180°*(n -4)

なるほど……

GAI さんがおっしゃるに。
> C上に 任意の7点をとりある点から1つ飛ばしに直線を引いていくと、7個の頂点を持つ星型図形ができる。
> その星形図形では7つの頂点の内角をすべて足すと180°となる。


一般的に証明するにはどうしたらよいのか検討がつきません。内部に7角形ができていればラッキーなのですけれどもそうとも限りません。

なお、添付した参考図はいい加減なので……ご了承ください。一点で3直線が交わると嫌だなあという意味でしかありません。

証明らしきものを明日付でアップ予定です。

すいません。
錘と柱は、いくつでも増やせますね！

いくらでもありそうな感じですが、実際探索するといくらでもあります。
例えば
10+16+39=12+13+40=65
10*16*39=12*13*40=6240
100+108+119=102+105+120=327
100*108*119=102*105*120=1285200

らすかるさん、いつもありがとうございます。
３＋３＋１０＝２＋５＋９＝１６
３・３・１０＝２・５・９＝９０

３＋６＋８＝４＋４＋９＝１７
３・６・８＝４・４・９＝１４４

４＋１２＋５＝８＋３＋１０＝２１
４･１２・５＝８・３・１０＝２４０
どのように、求めたらいいのか分からなくて、
三ケタ、四ケタもあるんですね。
後、素因数が、２，３，５，７、１３、１７，がありますが、
１１も興味は尽きません。全ての素因数について、それを、含む
組もありそうですね。

４個組
１＋３＋４＋４＝２＋２＋２＋６＝１２
１･３・４・４＝２・２・２・６＝４８

５個組
１＋１＋３＋４＋４＝１＋２＋２＋２＋６＝１３
１・１・３・４・４＝１・２・２・２・６＝４８

1を足していけば、何個の組でも、作れそうですね。
両組に同じ数を使わない、と条件を変えればどうなるでしょうか？
6,7,8個の組も作れますか？

個数を、4個、から増やしていくことを、考えてみて、単純な解があり、条件を変えても、３個組と３個組を繋いでいけば、６個組ができるんですね。
５個組は、どうしたら、いいでしょうか？
果てしなく、続く問題ですが、難しくなります。
そうこうして、こんな、定理に出会いました。
素数の列で、等差になっているもの
長さ６のもの、7，37，67，97，127，157　等差が30

２００６年で、長さ26が最長
にも関わらず、Green-Tao　2004
素数のみから構成される任意の長さの等差数列が存在する。

具体的には見えないけれど、存在する。数学の力凄いです。

5個組は2個+3個でいいのでは？

> "ks"さんが書かれました:
> 素数の列で、等差になっているもの
> 長さ６のもの、7，37，67，97，127，157　等差が30

が面白かったので、その先を探してみた。
7個連続
[7, 157, 307, 457, 607, 757, 907]
[47, 257, 467, 677, 887, 1097, 1307]
[53, 1103, 2153, 3203, 4253, 5303, 6353]

8個連続
[61, 9931, 19801, 29671, 39541, 49411, 59281, 69151]
[73, 5953, 11833, 17713, 23593, 29473, 35353, 41233]
[103, 4723, 9343, 13963, 18583, 23203, 27823, 32443]
[199, 9439, 18679, 27919, 37159, 46399, 55639, 64879]

9個連続
[17, 6947, 13877, 20807, 27737, 34667, 41597, 48527, 55457]
[137, 8117, 16097, 24077, 32057, 40037, 48017, 55997, 63977]

10個連続
[199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879, 2089]
[443, 32783, 65123, 97463, 129803, 162143, 194483, 226823, 259163, 291503]

11個連続
[1619, 3413489, 6825359, 10237229, 13649099, 17060969, 20472839, 23884709, 27296579, 30708449, 34120319]
[3617, 213827, 424037, 634247, 844457, 1054667, 1264877, 1475087, 1685297, 1895507, 2105717]

12個連続
[18439, 33291679, 66564919, 99838159, 133111399, 166384639, 199657879, 232931119, 266204359, 299477599, 332750839, 366024079]

13個連続
[4943, 65003, 125063, 185123, 245183, 305243, 365303, 425363, 485423, 545483, 605543, 665603, 725663]

探す範囲が予想もつかないので、適当な範囲でやっていますので、見落としているものもあるとは思われます。
14個以上に挑戦していましたが、自分で設定した範囲では探し出すことは出来ませんでいた。
何方か続き及び補充をお願いします。

検索していたら
146141+54444390*k
但し、0≤k≤13
が例示されていました。

OEISによれば
今みつかっている最も長い数列は次のものです。

A261152 - OEIS

https://oeis.org/A261152

> "Dengan kesaktian Indukmu"さんが書かれました:
> 検索していたら
> 146141+54444390*k
> 但し、0≤k≤13
> が例示されていました。


ありがとうございます。
次が見つからないはずだ。こんなにも初項が遠く離れているとは！
なお初項の数は偶数番目の素数を155個加えた値となることは偶然なのですかね？

gp > vector(155,i,prime(2*i))
%226 =
[3, 7, 13, 19, 29, 37, 43, 53, 61, 71, 79, 89, 101, 107, 113, 131, 139,
151, 163, 173, 181, 193, 199, 223, 229, 239, 251, 263, 271, 281, 293, 311,
317, 337, 349, 359, 373, 383, 397, 409, 421, 433, 443, 457, 463, 479, 491,
503, 521, 541, 557, 569, 577, 593, 601, 613, 619, 641, 647, 659, 673, 683,
701, 719, 733, 743, 757, 769, 787, 809, 821, 827, 839, 857, 863, 881, 887,
911, 929, 941, 953, 971, 983, 997, 1013, 1021, 1033, 1049, 1061, 1069, 1091,
1097, 1109, 1123, 1151, 1163, 1181, 1193, 1213, 1223, 1231, 1249, 1277, 1283,
1291, 1301, 1307, 1321, 1361, 1373, 1399, 1423, 1429, 1439, 1451, 1459, 1481,
1487, 1493, 1511, 1531, 1549, 1559, 1571, 1583, 1601, 1609, 1619, 1627, 1657,
1667, 1693, 1699, 1721, 1733, 1747, 1759, 1783, 1789, 1811, 1831, 1861, 1871,
1877, 1889, 1907, 1931, 1949, 1973, 1987, 1997, 2003, 2017, 2029, 2053]
gp > vecsum(%)
%227 = 146141

私も後で調べてみたら26個連続はA204189,A261140,A317163,A317164,A317255,A317259,A317914も見つかっているようですね。
また2019年4月に新たに発見され、連続27個のものがA327760に載っていました。
これって偶然範囲があえば新しき長さの等差数列素数を発見できるかも知れませんね。

お陰様で、五個の組が、見つかりました。
1＋4＋8＋9＋10＝2＋3＋5＋６＋16
1・4・8・9・10＝2・3・5・6・16
他にも、あるとは思いますが。

後半、そんなルートもあるんですね。

DP : PE = 1 : 4
DM : ME = 1 : 1
から
DP : PM : ME = 2 : 3 : 5
よって
△AMP = △AEP * (3/8) = 30

の方が模範解答にはよく使われる印象です。

「あと２つ」が97と997で正しければ、その次は999…(9が139個)…9997つまり10^140-3かな？
（もしかしたらそれより小さいものがあるかも）

この3つを探した後はもう諦めていました。
どうして第4のとんでもないものを見つけられたのか？？？

もしかして
99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか？
999･･･････････････9997(=10^990-3)もありですか？

https://stdkmd.net/nrr/9/99997.htm#primeが参考になりました。

> "らすかる"さんが書かれました:
> 「あと２つ」が97と997で正しければ、その次は999…(9が138個)…9997つまり10^140-3かな？
> （もしかしたらそれより小さいものがあるかも）

これは
999…(9が139個)…9997でいいですよね？
すみません細かいことで

> 999…(9が139個)…9997でいいですよね？
おっしゃる通りです。単純に間違えました。
これは元記事を修正しました。

> 99999999999999997(=10^17-3)もいいのでしょうか？
それはNGです。
99999999999999997 番目の素数は
4185296581467695521 であり、
これ以下の素数で
999999999999999989
がありますので
99999999999999997は最後になりません。

999…(9が139個)…9997 (140桁) の場合は、
999…(9が139個)…9997 番目の素数は
32*********************** (143桁) という数であり、
999…(9が139個)…999 7x (141桁)
999…(9が139個)…999 8x (141桁)
999…(9が139個)…999 9x (141桁)
999…(9が139個)…999 7xx (142桁)
999…(9が139個)…999 8xx (142桁)
999…(9が139個)…999 9xx (142桁)
がすべて合成数であることが確認できたため、
999…(9が139個)…9997 は最後になり、条件を満たしています。

999･･･････････････9997(=10^990-3)の場合は、
999･･･････････････9997番目の素数が
約2.29×10^993であるため、
999･･･････････････9997x
999･･･････････････9998x
999･･･････････････9999x
999･･･････････････9997xx
999･･･････････････9998xx
999･･･････････････9999xx
999･･･････････････9997xxx
999･･･････････････9998xxx
999･･･････････････9999xxx
がすべて合成数であることが確認できればOKになりますが、
対象が結構多いので素数が含まれているのではないかという気がします。

「もしかしたらより小さいのがあるかも」というのは、
999･･････････991
などで条件を満たすものがもしあれば、という意味ですが、
末尾が1であるため確率的に低いと思い、未調査です。
これだけなら調査することはできますが、
n桁の最後が
999･･････････989 とか
999･･････････983 とか
999･･････････979
のような場合など考えると大変そうなので調査はやめました。

gp > for(i=70,99,if(isprime(10^2*(10^989-1)+i)==1,print1(10^2*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=700,999,if(isprime(10^3*(10^989-1)+i)==1,print1(10^3*(10^989-1)+i",")))
gp > for(i=7000,9999,if(isprime(10^4*(10^989-1)+i)==1,print1(10^4*(10^989-1)+i",")))
に対し何の反応も起きなかった。
一応下の989桁のものでもちゃんと素数と判定してくれる。
gp > isprime(10^990-3)
%53 = 1
即ち
10^990-3番目に出現する素数(994桁の2が頭にある素数)
より前にある素数で10^990-3より大きな素数は一個も存在しないと判定され、結局辞書式順序の最後に並ぶ。
よって求めるkの値として
10^140-3の次に10^990-3も認められる。

この判定でいいのでしょうか？
なお危なく次の素数が出現するも、10^990-3より前に辞書式順序では位置してくれるようです。
999･･･(9が989個)･･･999199
999･･･(9が989個)･･･999329
999･･･(9が989個)･･･9993893

そうですね、10^17-3で試すとちゃんと素数が表示されますので、問題ないと思います。

AB=AC=4、∠ABC≦30°である二等辺三角形ABCを適当に描く。
∠ABC≦30°なのでBC上にAE=2、∠AEB≧90°である点Eをとることができる。
このとき△ABCの外接円を描いてその円と直線AEとの交点のうち
Aでない方をDとすると、DE=6となる。

ということと同じですから、円の半径は「4以上」としか決まらず、求めることはできません。

らすかるさん
有難うございます。

一つだけ求める方法があります。
それは、この図を正確に書いて、定規で測る。

正確に書けている自身はありませんが
約５ですね。
こんな方法も「有り」かな？
計算で求めることが出来ないのなら最後の手段。。。

ブーイングが来そう（＾＾；

らすかるさん
昨日は超勘違い・超恥ずかしいことを書いてしまいました。
この場合、半径は定まらなく無数にあるのですね。

大変、お恥ずかしい限りです。