😊出会いの泉😊

> 点で記した場合、１，４，５は上下左右対称ですが、
> ２，３，６の場合辺に平行なものが二通りあり、
> ３０×２×２×２＝１８０通りできる。

30×2×2×2=240です。

> 数字で表した場合、１以外は、対称ではないので、
> ３０×４＾５通りできる。大丈夫かなと？

1以外の向きは4通りですが1の向きも（単なる棒として）2通りありますので
30×2×4^5通りですね。

正四面体の場合
一色で塗る　１通り
二色で塗る　（１，３）（３，１）（２，２）の3通り
三色で塗る　（1，3）3通り
四色で塗る　1通り　
空間的で間違いがあるかも知れません
六面体に挑戦中

二色が3通り、三色が3通りということは色順を区別しているということですから
四色の場合は2通りになります。例えば色をa,b,c,dとしたときaの面を下にして
上からみたとき時計回りにb,c,dになるかd,c,bになるかの2通りです。

(x,y,z)=(0,0,0)
の解がありますので、1個ですね。

x^3+y^3=z^3には(0,t,t)という解がありますので無限個です。
他には
x^2+y^2=5^2, 0＜x＜y : 整数解1個
x^2+y^2=(5^2)^2, 0＜x＜y : 整数解2個
x^2+y^2=(5^3)^2, 0＜x＜y : 整数解3個
x^2+y^2=(5^4)^2, 0＜x＜y : 整数解4個
x^2+y^2=(5^5)^2, 0＜x＜y : 整数解5個
・・・
x^2+y^2=(5^n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
・・・

x^2+y^2=(5^n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
は
x^2+y^2=(5*n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
ではないでしょうか？

違います。
x^2+y^2=5^2, 0＜x＜y：整数解1個 (3,4)のみ
x^2+y^2=10^2, 0＜x＜y：整数解1個 (6,8)のみ
x^2+y^2=15^2, 0＜x＜y：整数解1個 (9,12)のみ
x^2+y^2=20^2, 0＜x＜y：整数解1個 (12,16)のみ
x^2+y^2=25^2, 0＜x＜y：整数解2個 (7,24)と(15,20)
x^2+y^2=30^2, 0＜x＜y：整数解1個 (18,24)のみ
のようになりますので明らかに「(5*n)^2」では合いません。「(5^n)^2」ならば
x^2+y^2=5^2, 0＜x＜y：整数解1個 (3,4)のみ
x^2+y^2=25^2, 0＜x＜y：整数解2個 (7,24)と(15,20)
x^2+y^2=125^2, 0＜x＜y：整数解3個 (35,120)と(44,117)と(75,100)
x^2+y^2=625^2, 0＜x＜y：整数解4個 (175,600)と(220,585)と(336,527)と(375,500)
のように確かに合います。

あ～そうだ！
完全に勘違いしていた。
でもよくこんな例を思いつきますね。

条件を入れると、より難しくなる印象でしたが、
一律に、求めて、すごいですね。
フェルマーの元来の問題は、自然数解は存在しないでした。
うっかりしてました。
整数解の条件だと、奇数の場合、（ｔ、－ｔ、０）もあり
無限個ありますね。
整数解のない式は、２＊ｘ＾２＋２＊ｙ＝１　面白くない式ですが。
ｘ＾２＋ｙ＾２＝０　（０，０）一個のみ
ｙ＾３＝ｘ＾２＋２（５，３）（ー５，３）二個のみｘ、ｙの順
ｙ＾２＝ｘ＾３　（８，４）（ー８，４）でしょうか？
ｙ＾３＝ｘ＾２＋１　は無し
ｙ＾２＝ｘ＾３＋１（2、３）（２，ー３）
一般に、解の個数は確定するのが、難しいそうなので、
知られている限りでどうでしょうか？

y^2=x^3 の解は (x,y)=(t^2,±t^3) で無限個
y^3=x^2+1 の解は (x,y)=(0,1)
y^2=x^3+1 の解は (x,y)=(-1,0),(0,±1),(2,±3)

ちなみに
x^2+y^2=(5^n)^2, 0＜x＜y : 整数解n個
の「5」は4n+1型の素数(5,13,17,29,37,…)なら何でもOKだと思います。

らすかるさん、いつも、ありがとうございます。
解4個の場合　ｘ＾２＋ｙ＾2＝１　（±1，0）（0，±１）
解８個の場合　ｘ＾２＋ｙ＾２＝２５　（±３，±４）（±４、±３）

ｘの一文字だけで、
（ｘ－１）（ｘ－２）…（ｘ－ｎ）＝０

整数解　3個　の場合
ｙ＾2＝ｘ＾3－ｘ　（ー1，0）（0，0）（1，0）
整数解　６個　場合
ｙ（ｙ－1）＝ｘ＾３ーｘ
（ー1，0）（0，0）（1，0）
（ー1，1）（0，1）（1，1）

y(y-1)=x^3-xの解は他にもありますので6個ではありません。
(x,y)=(2,3),(2,-2),(6,15),(6,-14)

右辺の値が、６になる場合、直ぐに気づかれたみたいですね。
これだと、１０個の解ということになりますが？
６，７，９個に挑戦します。

> これだと、１０個の解ということになりますが？
そうですね。でもその10個以外に解がないかどうかはわかりません。

６個の整数解を持つ方程式
（ｙ（ｙ－１））＾２＝ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）
（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）
（ー1，0）（ー1，1）

x^2+y^2=(5^n)^2,0＜x＜yの整数解はn個ですが、
変数の大小関係の条件がない2変数の方程式で
整数解が任意の個数になるものを考えると、
(4x+1)^2+y^2=25^n の整数解は 2n+1個（n≧0）
4x^2+y^2=5^n の整数解は 2n+2個（n≧0）
のような例があり、任意の自然数nに対して
整数解がn個である2変数方程式が存在することがわかります。

解の具体値
解1個: (4x+1)^2+y^2=25^0
(0,0)
解2個: 4x^2+y^2=5^0
(0,±1)
解3個: (4x+1)^2+y^2=25^1
(-1,±4),(1,0)
解4個: 4x^2+y^2=5^1
(±1,±1)
解5個: (4x+1)^2+y^2=25^2
(-4,±20),(-2,±24),(6,0)
解6個: 4x^2+y^2=5^2
(0,±5),(±2,±3)
解7個: (4x+1)^2+y^2=25^3
(-19,±100),(-9,±120),(29,±44),(31,0)
解8個: 4x^2+y^2=5^3
(±1,±11),(±5,±5)
解9個: (4x+1)^2+y^2=25^4
(-132,±336),(-94,±500),(-44,±600),(146,±220),(156,0)
解10個: 4x^2+y^2=5^4
(0,±25),(±10,±15),(±12,±7)
解11個: (4x+1)^2+y^2=25^5
(-659,±1680),(-469,±2500),(-219,±3000),(59,±3116),(731,±1100),(781,0)
解12個: 4x^2+y^2=5^5
(±5,±55),(±19,±41),(±25,±25)
解13個: (4x+1)^2+y^2=25^6
(-3294,±8400),(-2344,±12500),(-1094,±15000),(296,±15580),(2938,±10296),(3656,±5500),(3906,0)
解14個: 4x^2+y^2=5^6
(0,±125),(±22,±117),(±50,±75),(±60,±35)
解15個: (4x+1)^2+y^2=25^7
(-19111,±16124),(-16469,±42000),(-11719,±62500),(-5469,±75000),(1481,±77900),
(14691,±51480),(18281,±27500),(19531,0)
解16個: 4x^2+y^2=5^7
(±25,±275),(±95,±205),(±125,±125),(±139,±29)
解17個: (4x+1)^2+y^2=25^8
(-95554,±80620),(-82344,±210000),(-58594,±312500),(-27344,±375000),(7406,±389500),
(41208,±354144),(73456,±257400),(91406,±137500),(97656,0)
解18個: 4x^2+y^2=5^8
(0,±625),(±110,±585),(±168,±527),(±250,±375),(±300,±175)
解19個: (4x+1)^2+y^2=25^9
(-477769,±403100),(-411719,±1050000),(-292969,±1562500),(-136719,±1875000),(37031,±1947500),
(206041,±1770720),(230519,±1721764),(367281,±1287000),(457031,±687500),(488281,0)
解20個: 4x^2+y^2=5^9
(±125,±1375),(±359,±1199),(±475,±1025),(±625,±625),(±695,±145)

圧倒的な計算力ですね。
ｙ＾２＝（ｘ＋１）（ｘ＋２）…（ｘ＋ｎ）
（ー1，0）（ー2，0）…（ーｎ、0）
右辺に、一つでも、素数があれば、その最大値をPとし、
２P＜N、ではない。なぜなら、P＜２Pの間に、新たな素数が
必ず存在し、最大に反するからです。そうするとPについて、
平方でなくなり、右辺が平方数になるときは、０のときです。
素数がないとき、例えば
N!＋２，…N!＋N　のときは、分かりません。
ので、他に、解があるかも知れませんが。

> N!＋２，…N!＋N　のときは、分かりません。
> ので、他に、解があるかも知れませんが。

エルデシュ・セルフリッジの定理により
「連続する2つ以上の自然数の積は累乗数にならない」
とのことですので、0以外の解はないようです。

らすかるさんありがとうございます。
先人の肩に乗せて貰いました。難儀するところでした。
ｙは、平方、累乗でもいいんですね！

追伸、そういえば
自然数の連続数の和も、２の巾乗で表せないこと、
興味深い⁉️

逆に、２のべき乗でなければ、連続数の和で、表すことが可能。
一意的では、ないのが、残念ですが。素数は、一意的なのかな？

(1) 1～10から6個取り出して、小さい順に+0,+1,+2,+3,+4,+5すればいいから10C6=210通り
(2) 同様に(39-19+1)C19=210通り

全部手計算で電卓も使いませんでした。
(mod 101)は省略します。
(1)
x≡0は解にならないのでx^100≡1
また1234≡22なので1234*x^567≡22*x^67
22y≡89とすると
22y-101n=89
22(y-4)-101n=1
22(y-4-5n)+9n=1
9{2(y-4-5n)+n}+4(y-4-5n)=1
9(2y-8-9n)+4(y-4-5n)=1
2y-8-9n=1,y-4-5n=-2を解くとy=27,n=5
よって22y≡89の解はy≡27なので
x^67≡27を解けばよい。
x^201≡27^3=19683≡89
∴x≡89
(2)
x≡0は解にならないのでx^100≡1
また98≡-3なので98*x^76543≡-3*x^43
3*x^43≡-21
x^43≡-7
x^301≡(-7)^7=-343*2401≡-40*78≡-3120≡-90≡11
∴x≡11

ω^3=1を、成分にもつ、行列かな？

私も真似させてもらって

4行4列の単位行列を Ｅとします。
V,W,X,Y,Zを、成分が複素数であるところの
4行4列の行列とします。
ａ、ｂ、ｃ、ｄ、e を実数（スカラー）とします。

任意の ａ、ｂ、ｃ、d、 e について
(ａ^2 )*Ｅ = (ａ*V )^2
(ａ^2 +ｂ^2 )*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W )^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 )*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X )^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2)*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y)^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2 + e^2)*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y + e*Z)^2
(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 + d^2 + e^2)^k*Ｅ = (ａ*V +ｂ*W +ｃ*X + d*Y + e*Z)^(2*k) (k=2,3,4,･････)
が成り立つように
V,W,X,Y,Zを一組見つけて下さい。

掲示板における行列の表記法がよくわかりませんでしたので、OEISの真似をします。

２行２列の単位正方行列Ｅを
[1,0; 0,1]
と書きます。行ごとの delimiter として ; で表すつもりです。

Ｘ = [0, 1 ;1, 0]
Ｙ = [0,-i ;i, 0]
Ｚ = [1, 0 ;0,-1]

としておくと、任意の実数 a,b,c について

(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2)*Ｅ = (ａ*Ｘ +ｂ*Ｙ +ｃ*Ｚ)^2

となります。

パウリ行列として知られているようです。

四元数のi,j,kを用いると
a^2+b^2+c^2= - (a*i + b*j + c*k)^2
としていいのかな？

GAIさんによる次のお題につきまして。

(ａ^2 +ｂ^2 +ｃ^2 +ｄ^2)*Ｅ = (ａ*Ｖ +ｂ*Ｗ +ｃ*Ｘ +ｄ*Ｙ)^2

Ｖ = [0,0,0,1; 0,0,1,0; 0,1,0,0; 1,0,0,0]
Ｗ = [0,0,0,-i; 0,0,i,0; 0,-i,0,0; i,0,0,0]
Ｘ = [0,0,1,0; 0,0,0,-1; 1,0,0,0; 0,-1,0,0]
Ｙ = [1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,-1,0; 0,0,0,-1]
とするとよいようですね。

上は、物理学者ディラックが示したものを、GAIさんの表現にあわせたものです。
ディラックは先述のパウリ行列を拡張しました。

Z=[0,0,i,0;0,0,0,i;-i,0,0,0;0,-i,0,0]
で行けると思います。
パウリとディラックはこんな型で繋がっているんですね。

偶数丸めのデメリットについて改めて整理しながら補足すると…

今まで取り扱ってきた「真に取るべき値が決まっているのに，丸めによって発生した誤差によって真の値との誤差が生まれる，それが一方向に累積した結果として不公平を生じる」という問題点に対抗できるのが偶数丸めですね．一方で「真に取るべき値」が不明な（あるいはそれを計算するには計算コストの面で合理的ではない）計算をする場合，手元の結果に上ブレ下ブレどっちが起きているのか分からない（偶数+0.5と奇数+0.5の比率を事前に知る必要があり，丸めの方法だけでは対処できない誤差が生じうる）という問題が残りますね．

ここまで書いて，四捨五入と五捨六入を交互にすれば良いんじゃないかと思いましたが，それは各丸め操作の誤差の重みが毎回同じでないと不公平は解消されないな，とぬか喜びでした．（丸めるデータ列の奇数個目は大きく，偶数個目は小さく見積もられてしまうので）

１数のそれ自身を除く総和を、実際にやってみました。
素数の場合は、１になり、これ以上は連鎖が続きません。
３０→４２→５４→６６→７８→９０→１４４→２３５→４７
となり、９個つながりました。元の数になれば、社交数ですが、
こういった連鎖は、いったい、いくつまで続いているのでしょうか？
詳しい方、ご教授願います。

私は詳しくないですが
↓こちらに詳しく書かれています。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A4%BE%E4%BA%A4%E6%95%B0
今のところ見つかっている最長は28個の組らしいです。

gp > S(n)=sigma(n)-n;の計算で起こる経過を見てみると

n=14316から始めて繰り返してみました。
gp > S(14316)
%53 = 19116
gp > S(19116)
%54 = 31704
gp > S(31704)
%55 = 47616
gp > S(47616)
%56 = 83328
gp > S(83328)
%57 = 177792
gp > S(177792)
%58 = 295488
gp > S(295488)
%59 = 629072
gp > S(629072)
%60 = 589786
gp > S(589786)
%61 = 294896
gp > S(294896)
%62 = 358336
gp > S(358336)
%63 = 418904
gp > S(418904)
%64 = 366556
gp > S(366556)
%65 = 274924
gp > S(274924)
%66 = 275444
gp > S(275444)
%68 = 243760
gp > S(243760)
%69 = 376736
gp > S(376736)
%70 = 381028
gp > S(381028)
%71 = 285778
gp > S(285778)
%72 = 152990
gp > S(152990)
%77 = 122410
gp > S(122410)
%78 = 97946
gp > S(97946)
%79 = 48976
gp > S(48976)
%80 = 45946
gp > S(45946)
%81 = 22976
gp > S(22976)
%82 = 22744
gp > S(22744)
%83 = 19916
gp > S(19916)
%84 = 17716
gp > S(17716)
%85 = 14316

以上28回で元に戻ってきました。
なお14316を起こす事前の数は
S(7524)=14316
の様です。

> ３０→４２→５４→６６→７８→９０→１４４→２３５→４７
> となり、９個つながりました。

144の次は259だと思います。

らすかるさん、ありがとうございます。
30→４２→５４→６６→７８→９０→１４４→２５９→45→
33→15→9→4→3→1

tanの加法定理で計算していくだけですが、かなり長いです。
x=-arctan(1/88942800178226109582168404411725)
+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
とおくと
tan(x)={tan(-arctan(1/88942800178226109582168404411725))
+tan(arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882))}
/{1-tan(-arctan(1/88942800178226109582168404411725))
*tan(arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882))}
=(-1/88942800178226109582168404411725
+1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
/(1+1/88942800178226109582168404411725
*1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
=-9489/843978230891187553825195990678004927
なので
-arctan(1/88942800178226109582168404411725)
+arctan(1/61775097240445660329693394511093237957733203657982660526882)
=-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927)

x=-arctan(1/54838715017299308)-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927)
とおくと
tan(x)={tan(-arctan(1/54838715017299308))
+tan(-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927))}
/{1-tan(-arctan(1/54838715017299308))
*tan(-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927))}
=(-1/54838715017299308-9489/843978230891187553825195990678004927)
/(1-1/54838715017299308*9489/843978230891187553825195990678004927)
=-377467/20699805241434905130131
なので
-arctan(1/54838715017299308)-arctan(9489/843978230891187553825195990678004927)
=-arctan(377467/20699805241434905130131)

x=-arctan(1/99368343)-arctan(377467/20699805241434905130131)
とおくと
tan(x)={tan(-arctan(1/99368343))+tan(-arctan(377467/20699805241434905130131))}
/{1-tan(-arctan(1/99368343))*tan(-arctan(377467/20699805241434905130131))}
=(-1/99368343-377467/20699805241434905130131)
/(1-1/99368343*377467/20699805241434905130131)
=-1519876048/151027564181484889
なので
-arctan(1/99368343)-arctan(377467/20699805241434905130131)
=-arctan(1519876048/151027564181484889)

x=arctan(1/142057)-arctan(1519876048/151027564181484889)
とおくと
tan(x)={tan(arctan(1/142057))+tan(-arctan(1519876048/151027564181484889))}
/{1-tan(arctan(1/142057))*tan(-arctan(1519876048/151027564181484889))}
=(1/142057-1519876048/151027564181484889)/(1+1/142057*1519876048/151027564181484889)
=1466625710157/208642724182192949
なので
arctan(1/142057)-arctan(1519876048/151027564181484889)
=arctan(1466625710157/208642724182192949)

x=arctan(1466625710157/208642724182192949)
とおくと
tan(2x)=2tan(arctan(1466625710157/208642724182192949))
/{1-(tan(arctan(1466625710157/208642724182192949)))^2}
=(2*1466625710157/208642724182192949)/{1-(1466625710157/208642724182192949)^2}
=306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976
なので
2arctan(1466625710157/208642724182192949)
=arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)

x=arctan(1/275807)
+arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)
とおくと
tan(x)={tan(arctan(1/275807))
+tan(arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976))}/{1-tan(arctan(1/275807))
*tan(arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976))}
=(1/275807+306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)
/(1-1/275807*306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)=1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239
なので
arctan(1/275807)
+arctan(306000783522799810880723082993/21765893176007825702703449046175976)
=arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)

x=arctan(1/28)
とおくと
2x=arctan(2(1/28)/(1-(1/28)^2))=arctan(56/783)
4x=arctan(2(56/783)/(1-(56/783)^2))=arctan(87696/609953)
5x=arctan((87696/609953+1/28)/(1-87696/609953*1/28))=arctan(3065441/16990988)
10x=arctan(2(3065441/16990988)/(1-(3065441/16990988)^2))
=arctan(104169742491416/279296744691663)
11x=arctan((104169742491416/279296744691663+1/28)/(1-104169742491416/279296744691663*1/28))
=arctan(3196049534451311/7716139108875148)
22x=arctan(2(3196049534451311/7716139108875148)/(1-(3196049534451311/7716139108875148)^2))
=arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)
よって
22arctan(1/28)=arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)

そして
x=arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)
+arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
とおくと
tan(x)={tan(arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183))
+tan(arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239))}
/{1-tan(arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183))
*tan(arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239))}
=(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183
+1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
/(1-49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183
*1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
=1
なので
arctan(49322325613363940973893167838056/49324070120846121302260022403183)
+arctan(1744507482180328366854565127/98646395734210062276153190241239)
=arctan(1)
=π/4

らすかるさん、大変ありがとうございました。