😊出会いの泉😊

巻きつきが地面から離れる 2 点をそれぞれ地球中心と結んだとき、その間にできる角度を 2θ とおきます。

条件より
2Rtanθ + R(2π-2θ) = 2πR + 1
つまり
2tanθ - 2θ = 1/R

θ が微小だと思えば tanθ は
tanθ ≒ θ + (1/3)θ^3
と近似できるので、
(2/3)θ^3 = 1/R

よって、求める高さは
R(1/cosθ-1) ≒ (1/2)Rθ^2 = (3/4)*(2R/3)^(1/3)

実際の値とは異なりますが、計算しやすい R≒6144000 だと 120 m なので、それよりもうちょっと高いくらいですかね。
感覚的に 1km くらい行くかと思ってたのに意外と低い……。
計算ミスってないですよね？

2tanθ - 2θ = 1/R
辺りをコンピュータ等の利用で、θを探すと
θ=0,00617253･･･(rad)
辺りでこれから
最大121.56060･･･(m)
程度になりました。

私の印象ではこんなにも高くなるんかい！
の方での驚きでした。
DD++さんは逆なんですね。
直線と曲線はやっぱり違う性質を持っているんだな～（当たり前と言えば当たり前か？）
なおこの角度でR*θ=39369(m)なので
最高になる地点から約40ｋｍ東西でひもは地面から離れ始めることになる構造です。

全体を浮かせる場合は球が大きいと不利そう（実際はそうでもない）なのに対し、
一箇所だけ引っ張って浮かせるなら球は大きければ大きいだけ有利なのが明らかですからねえ。

ヤコビの二平方和定理から考えれば、素因数分解の形でいいなら手計算でもいけますよ。
2024/4 = 506 = 2*11*23 なので、
4で割ると1余る素数に小さい順に 23-1, 11-1, 2-1 を指数として与えればいいだけです。
つまり N = 5^22 * 13^10 * 17 ですかね。

……これ自体を年明けに出題すればよかったのでは？

DD++さん、御教示をまことに有難うございます。

OEISでみかけたのに、検索にかからなくて往生しておりました。

年賀挨拶のフライングは、ええと、もうクリスマスが過ぎたのでいいかなあと？【違】

URL がみつかりました。
https://oeis.org/A016032/b016032.txt

回答ではありません。申し訳ありません。
最近、こんなのを見かけまして目を丸くしていた次第です。

∫[0→1](1/x -floor(1/x))dx = 1 -γ

x=0 の付近で激しく振動する関数の定積分なのでどうやって求めるのかと思案投げ首です。

なお、wolfalpha では答えてくれませんでした。

∫[0→1](1/x-floor(1/x))dx
=∫[1/2→1](1/x-1)dx+∫[1/3→1/2](1/x-2)dx+∫[1/4→1/3](1/x-3)dx+…
=lim[n→∞]{∫[1/n→1](1/x)dx-Σ[k=2～n](1/n)}
=lim[n→∞]{logn-Σ[k=2～n](1/n)}
=-lim[n→∞]{Σ[k=2～n](1/n)-logn}
=1-lim[n→∞]{Σ[k=1～n](1/n)-logn}
=1-γ
となりますね。

∫[x=1→∞](1/floor(x)-1/x)dx=γ
となるようですね。

Euler's constant (or the Euler-Mascheroni constant), gamma.
と言われるγについて、Wikipediaでの記事を読んでみたら
γと円周率πとの関係が分かっていないという記述を見かけた。
例えばπと自然対数の底eとはこれをつなぐ関係式はしばしば見ることはあるが、
そういえばγとπはあまり見たことはなかった。

そこでなんかないのかと探し回ったら
Γ関数で
Γ(1/2)=√π
Γ'(1)=-γ
とガンマ関数で表現でき

またたまたま
γ^2+π^2/6=Γ''(1)=∫[x=0→∞]e^(-x)*(log(x))^2dx
が成立することを発見した。(A081855参照)

これは２つを結びつける大きな関係ではなかろうか？
何方か他に何か２つを結ぶ関係式をご存知の方はお教え下さい。

本日みかけたのですが
∫[x=0→∞] ((sin(x)*log(x))/x)dx = -γ*π/2
なのだそうです。

【御参考】
https://mathlog.info/articles/FB8gF9bmpb3LJ5CDZBzo

計算機で確認したらピタリ同じ数値を確認しました。
sinとlogの組合せ！
数学って不思議で面白い。

凸五角形ABCDEに対して、∠A＝a、∠B＝b,∠C=c,∠D=d,∠E=e
置きます。
a=θ1＋Θ2＋Θ3 +0 + 0
b=０＋Θ2＋Θ3＋Θ4+0
c=０＋０＋Θ3＋Θ4＋Θ5 ＝A（Θ１，Θ２，Θ３，Θ４，Θ５）
d=Θ1＋０＋０＋Θ4＋Θ5　　　列ベクトル
e=Θ1＋Θ2＋０＋０＋Θ5
巡回行列Aは、正則で、逆行列を持ち、
与えられた（a,b,c,d,e)に対して、（Θ１，Θ２，Θ３，Θ４，Θ５）
が決まります。作図ができるか心配ですが、（角度が切り取りできれば、）
円周上に、一点A（仮）を適当にとり、左から、Θ1＝∠BAC,Θ２＝∠CAD,
Θ３＝∠DAEとして、点B,C,D,Eを定める。Θ４＝∠ECA,Θ５＝∠ADBになるように、改めて点AをBEの間に定めれば、できるかもしれませんが、自信がありません。

正方形BCDEと正三角形ABCとを作図します。
このときに凸五角形ABCDEの各頂点を同一円周上には配置できないと思われますけれども、私の題意読み違えなのでしょうか？

反例、ありがとうございます。
この場合、Θ２が、マイナスになりました。
正数値でも、分母が３の場合、作図が難しそうですね。

対角の和が、１８０°ならば、円に内接することが可能。
任意の五芒星（ペンタグラフ）は、円に内接させることができる。
（長さは同じでなくとも、角の並びが、同じという意味で）
任意の六芒星も、可能。

今晩は、「BSD予想」だそうです。
2023年12月6日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。
シーズン２はこれで終わりだそうです。

再放送は、
一回目12月 9日（土）Eテレ午後9:30～午後10:00
二回目12月13日（水）Eテレ午前0:55～午前1:25
だそうです。リンクを貼っておきます。

来週は「笑わない数学」の選の「素数」だそうです。つまり、シーズン１の再放送です。

今晩は、「素数」だそうです。
2023年12月13日 NHK総合午後11:00〜11:30
お見逃しなく。

再放送は、
一回目12月 16日（土）Eテレ午後9:30～午後10:00
二回目12月19日（水）Eテレ午前0:55～午前1:25
だそうです。

来週の「笑わない数学」は番組表にありません。これで、終わりかもしれません。
10月から12月までとなっておりましたので。

私はこの方面についてはまったく無知ですけれども、調べた結果をご報告させてください。
出来ましたならば、この報告をもとに、再度検証をお願いいたします。

■交点のない結び目のアレキサンダー多項式は
1
そのものです。

□交点のない結び目を
「自明な結び目」と言うのだそうです。

□自明な結び目のアレキサンダー多項式
についての説明が以下の PDF にあります。
http://www.f.waseda.jp/taniyama/mathsciknot/reports/23.pdf

以上です。
よろしくお願いいたします。

ありがとうございます。
自明な結び目を、変形（ひねり）交点を３つにして、方程式を計算すると、
１にならないので、困りました。求め方がおかしいんですね。

御参考。
アレキサンダー多項式ほか、有名どころの多項式を、結び目ごとに紹介しているサイトがあります。
注:httpsに対応しておらずhttpなサイトのため一部のブラウザではアクセスできないことがあります。

http://katlas.math.toronto.edu/wiki/The_Rolfsen_Knot_Table

たとえば自明な結び目であれば、
上記ページの「Knots with 7 or fewer crossings」にならんだ各結び目のうち、「0_1」のリンクを踏めば
http://katlas.math.toronto.edu/wiki/0_1
のページに飛びます。このページは自明な結び目のページです。
「Polynomial invariants」の欄に目をやり
そこにある
【Alexander polynomial】が、《1》
であることから、
自明な結び目のアレキサンダー多項式は 1 とわかるわけです。

また、同様にして 3_1 のリンクを踏めばtrifoliate leaves (三つ葉)の結び目のページに飛びます。
http://katlas.math.toronto.edu/wiki/3_1

アレキサンダー多項式は
t +1/t -1
となるようですね。

この結び目は、裏返すとアレキサンダー多項式が違う形になるのではとぼんやりと記憶しているのですが、そちらについては今回ご案内したアクセス方法では検索できませんでした。ご容赦ください。

笑わない数学で紹介されていたアレキサンダー多項式の定義では
自明な結び目は色々な多項式が構成されてしまうみたいですね。
-tやt^2やt^2+t,etc
等出来てしまう。
自明でない結び目では固有の多項式となると思われます。

10000x = 2020.30508……
101x = 20.4050813……
差し引き
9899x = 1999.9
よって
x = 19999/98990

流石に不自然かな？

gp > Z=0.202030508;
電卓程度なら許されているので
gp > for(n=1,10,print(n";"n*Z))
1;0.20203050800000000000
2;0.40406101600000000000
3;0.60609152400000000000
4;0.80812203200000000000
5;1.0101525400000000000
6;1.2121830480000000000
7;1.4142135560000000000
8;1.6162440640000000000
9;1.8182745720000000000
10;2.0203050800000000000

から7倍すると見たような数が並んだ。
だから
√2/7　辺りかな？

√2/7が「正解」です。
√2を2桁ずつに区切ると7の倍数が4つも連続していたことから7で割ってみたくなり、
割ったらたまたまフィボナッチ風の数字が出てきました。

>q は 任意の P(x) について
>常に 0 となりますか？

常に 0 となります。
次のファイルの67ページをご覧ください。
より一般的な結果が載っています。
https://cms.math.ca/wp-content/uploads/crux-pdfs/CRUXv32n5.pdf

上記ファイルは、
Canadian Mathematical Society の
「Crux Mathematicorum 2006年9月号」
のものです。

atさん。
誠に有難うございます。
早速勉強します。

q = 0 はわりと自明じゃないでしょうか？

方程式 P(x) = t の n 個の実数解の合計を S(t) とすると、
（ただし t はこの方程式が n 個の異なる実数解を持つ範囲を動く）
q というのは S’(0) のことなわけですが、
n≧2 であれば解と係数の関係より S(t) はそもそも定数関数です。

DD++さん、いつもいつも有難うございます。

御教示を頂きましたところの
《q というのは S’(0) 》
が理解できませんでした。

ひどく簡単なことに違いないと思いますけれども。恥ずかしながらお願いいたします。
噛み砕いて御教示を頂けないでしょうか。

宜しくお願い致します。

dengan さん

こんな感じで伝わりますでしょうか？


方程式 P(x) = 0 の解を小さい順に x = a[k] （1≦k≦n）とします。
曲線 y = P(x) と直線 y = 0 が、各 (a[k],0) に交点を作っている感じで図を思い浮かべてください。

ここから、直線 y = 0 をほんのわずかに上下にずらして y = t に移動させます。
すると、各交点 (a[k],0) も少し移動して y 座標が t になりますね。
このとき、各交点のごく近くでは曲線はほぼ傾き Q(a[k]) の直線になっており、交点は当然それをなぞるように移動します。
したがって、x 座標の変化は、y 座標の変化 t の 1/Q(a[k]) 倍となっています。

ということは、「交点の x 座標の合計 S(t) は、S(0) から qt だけ増加する」わけですが、
実はこの文だけ見れば q は微分係数 S’(0) の定義そのものです。

オオオ！！！
有難うございます、DD++さん。
私にも見えました。

(n,p)=(1,6),(2,8),(3,10),(4,12),…で成り立ちますので、pは一つに決まらず、問題が正しくないと思います。
と思いましたが、ひょっとして、一行目は「自然数nに対して」という意味で、答えがp=2n+4ということでしょうか。

GAIさま、らすかるさま、こんにちは。

らすかるさまと同じですが、
2^(2n)+2^(2n+3)+2^p=a^2とおくと、
2^(2n)+8*2^(2n)+2^p=a^2
9*2^(2n)+2^p=a^2
2^p=a^2-9*2^(2n)
2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
左辺は正だから、a-3*2^n>0

2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
より、b+3,b-3が2^c,2^dになるのは、
b+3=2^cより、b=2^c-3
b-3=2^dより、b=2^d+3
WolfRamAlphaによると、整数解はb=5,c=3,d=1の1組しかない。

よって、a=5*2^nだとしてa-3*2^n=2*2^n
だとしてa+3*2^n=8*2^n
したがって、
2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
2^p=16*(2^n)* (2^n)=16*2^(2n)=2^4*2^(2n)=2^(2n+4)
ゆえにp=2n+4

多分「素因数分解の１意性」とタイトルからして、解法は間違っているとおもいます。

2^(2*n) + 2^(2*n+3) を 9*
2^(2*n) と書いていないのが不自然なので、問題を誤記しているのでしょう。

2^(2*n) + 2^(n+3) + 2^p
が正しい式で、答えは p=4 とかですかね。

2^(2*n) + 2^(n+3) + 2^p
の場合は、pが任意のnに対する定数ならばp=4しかないですが
「任意のn」をなくして「nに依存してよい」ならばnが奇数限定でp=(3n+5)/2という解もありますね。

うんざりはちべえさん、こんにちは。

＞2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)
より、b+3,b-3が2^c,2^dになるのは、
b+3=2^cより、b=2^c-3
b-3=2^dより、b=2^d+3
WolfRamAlphaによると、整数解はb=5,c=3,d=1の1組しかない。

これは手計算でもいけますね。
b+3=2^cより、b=2^c-3
b-3=2^dより、b=2^d+3
∴2^c-3＝2^d+3　∴2^c-2^d=6　∴2^(c-1)-2^(d-1)=3
右辺が奇数なので左辺も正の奇数で、d-1=0,c-1=2の場合しかない。
∴c=3,d=1　∴b=2^3-3=5
よって、整数解はb=5,c=3,d=1の1組しかない。

また、2^p=(a+3*2^n)(a-3*2^n)から、左辺が偶数(p≠0とする)より右辺も偶数で、
aは偶数よりa=2m(mは整数)と置くと、2^p=(2m+3*2^n)(2m-3*2^n)
∴2^(p-1)=(m+3*2^(n-1))(m-3*2^(n-1))
これを繰り返す事になるので、初めにa=b*2^n（n乗じゃないと右辺は奇数になってしまう）と置くと、
2^p=(b*2^n+3*2^n)(b*2^n-3*2^n)
∴2^(p-2n)=(b+3)(b-3)
よって、b+3=2^c，b-3=2^dと置くのですね。（p-2n>0）

題意より
2^(2*n)+2^(2*n+3)+2^p=m^2 (m;整数)
とおくと
2^p=m^2-2^(2*n)*(1+2^3)
=m^2-(2^n*3)^2
=(m-3*2^n)*(m+3*2^n)
ここに素因数分解の一意性から
m-3*2^n=2^s･････①
m+3*2^n=2^t･････②
を満たす(s<t)自然数s,tが存在する。
ただしs+t=p･････③
②-①より
3*2^(n+1)=2^t-2^s=2^s*(2^(t-s)-1)
ここに2^sは偶数より2^(t-s)-1=3でなければならない。
よって
2^(t-s)=2^2からt-s=2
このときs=n+1
これよりt=s+2=n+3
③からp=2*n+4


なるものを準備していました。
問題文の表現をどの様に表せばいいかの難しさを身に染みて感じます。



　　

壊れた扉さま、こんばんは。

なるほどです。
手計算でできますね。

GAIさま、こんばんは。

なるほど。
最初はその方向で・・・・でも、むつかしそうで、諦めました。

らすかるさん
n 依存の話をするなら、n が奇数限定で p = 3n-5 もありますし、n = 7 で p = 15 のようなかなり特殊な解もあります。
まあ、なんにせよ誤記ではなかったようですけれども。

GAI さん
9*4^n という簡素な表記にせず、わざわざ 2^(2*n)+2^(2*n+3) という表記にした理由はなんだったのでしょう？

管理人さまの解法はよくできていますね。