😊出会いの泉😊

うんざりはちべえさん、こんにちは。

＞理屈では、Sが素数なら、左辺と右辺は計算と一致するが、合成数では左辺と右辺は一致しない。
しかし、計算上は左辺＝右辺は成立する。左辺を展開し計算すると右辺になる。

合成数の場合でも他の変形をすれば、一致しますよね。むしろ、素数の場合はこの変形で係数が全て素数倍になる事が見事ですね。
また、係数の符号が±で交替になっている事も面白いですね。数学的帰納法でちょっとやってみましたが、無理っぽいので止めました。
因みに、

N(N-1)=N^2-N（追加しました。）
N(N-1)(N-2)=(N^3-N)-3(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)=(N^7-N)-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)

これらの右辺の係数を各段それぞれ足すと、左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になるのも面白いですね。（証明は全然考えていません。）

うっかりしました。証明は簡単ですね。左辺のNの項の係数はｋ段目は(-1)^k・ｋ!で、右辺のNの係数は括弧の係数の和×(-1)ですから、「左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」のは当然でした。

壊れた扉様、こんばんは。

＞左辺のNの項の係数はｋ段目は(-1)^k・ｋ!で、右辺のNの係数は括弧の係数の和×(-1)ですから、「左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」のは当然でした。

もう少しわかりやすく説明してもらえないでしょうか？

うんざりはちべえさん、こんばんは。

私も書いた後に中途半端で変だなと思っていました。

左辺のNの項の係数は、N(N-1)(N-2)だったらNを外した(N-1)(N-2)の定数項と等しいですよね。N(N-1)(N-2)(N-3)だったら(N-1)(N-2)(N-3)の定数項と等しいという事です。（ここで、ｋ段目は(-1)^k・ｋ!なんて必要ありませんでした。）

また、右辺のNの項の係数は、(N^3-N)-3(N^2-N)だったら（　）の係数１と－３を足して－Nをかけるので、{１＋(－３)}×(－１)で最後の×(－１)で符号が逆になるので、「右辺の係数を各段それぞれ足すと、左辺のNを除いた定数項の符号を逆にした数になる」のは当然でしたという事です。（また、ちょっと分かり難いかもしれません。）

結局、うんざりはちべえさんが見い出した、N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)が成り立つ事がキーという事です。

N(N-a)=N^2-Na=(N^2-N)-Na+N=(N^2-N)+(1-a)N

N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+Nab+N-(a+b)N
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)+{ab+1-(a+b)}N
(%i3) factor(a*b+1-(a+b));因数分解せよ
(%o3) (a - 1) (b - 1)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N={-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
(%i5) factor(-a*b*c+1-(a+b+c)+(a*b+b*c+a*c));因数分解せよ
(%o5) - (a - 1) (b - 1) (c - 1)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
+abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N+(abc+abd+acd+bcd)N
(%i8) factor(a*b*c*d+1-(a+b+c+d)+(a*b+b*c+c*d+a*c+a*d+b*d)-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d));因数分解せよ
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)

ここで、a=1ですから0ですね。
この関係から
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)は、
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)
になるのでしょうね。

壊れた扉様、こんにちは。

(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)(e-1)とN(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)は、ほぼ同じだから、当たり前だというのがわかりました。

うんざりはちべえさん、こんにちは。

今朝は何故か投稿できませんでした。

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)
-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)N
(%i8) factor(a*b*c*d+1-(a+b+c+d)+(a*b+b*c+c*d+a*c+a*d+b*d)-(a*b*c+a*b*d+a*c*d+b*c*d));因数分解せよ
(%o8) (a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)

よって、N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)+(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)
と変形出来て、ａ＝１から、N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)と出来るのですね。

＞N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)
が上の結果から成り立つはずである。
うまい証明はないだろうか？

見事に自分で解決されましたね。
因みに、何次でも-abcdN+N-(a+b+c+d)N+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N-(abc+abd+acd+bcd)Nの部分はNの項になり、解と係数の関係と同じで±が交互になり、必ず ±(a - 1) (b - 1) (c - 1) (d - 1)…と因数分解でき、ａ＝１より、
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}=(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-2)(N^3-N)+a(s-1)(N^2-N)の形に出来るのですね。

等式は成り立つので、左辺の倍数と右辺の倍数は等しいのです。
ところが、合成数のとき、左辺と右辺が一致しないという理屈がおかしいのです。
つまりN^s-Nでｓが合成数ならsの倍数にならないということです。
たとえば、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
は左辺は4の倍数ですが、右辺の係数は6,11で共通の倍数を持ちません。N^4-Nが4の倍数とすると、ですから成り立ちません。
N^3-Nは３の倍数、N^2-Nは2の倍数ですから、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)=4a-6x3b+11x2c=4a-18b+22cで4の倍数にはなりません。
N^4-Nがいくつの倍数たとえば、ｘでも、xa-18b+22cはa,b,cに関わらず4の倍数にはなりません。
だから、合成数はなにか不思議な力が作用しているのです。

その理由がわかりません。

うんざりはちべえさん、おはようございます。

＞等式は成り立つので、左辺の倍数と右辺の倍数は等しいのです。
ところが、合成数のとき、左辺と右辺が一致しないという理屈がおかしいのです。

この右辺が×だけでつながった式ならおかしいですが、(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)は和と差でつながっているのでおかしくありません。確か、NHKの番組でも掛け算は簡単ですが足し算は難しいというような話をやっていましたよね。それと同じ事です。

・素数は、
２：N(N-1)=N^2-N
３：N(N-1)(N-2)=N^3-3N^2+2N=(N^3-N)-3(N^2-N)
５：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4) =(N^5-N)-10(N^4-N)+35(N^3-N)-50(N^2-N)
７：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6) =N^7-N-21(N^6-N)+175(N^5-N)-735(N^4-N)+1624(N^3-N)-1764(N^2-N)
注：175=5^2x7 735=3x5x7^2 1624=2^3x7x29 1764=2^2x3^2x7^2
すべて、係数が素数の倍数。
検算　右辺の因数分解の結果
(%i1) factor((N^3-N)-3*(N^2-N));
(%o1) (N - 2) (N - 1) N
(%i2) factor((N^5-N)-10*(N^4-N)+35*(N^3-N)-50*(N^2-N));
(%o2) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i3) factor(N^7-N-21*(N^6-N)+175*(N^5-N)-735*(N^4-N)+1624*(N^3-N)-1764*(N^2-N))
;
(%o3) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
あっている。


・合成数は、
４：N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
６：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
８：N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)

検算　右辺の因数分解の結果
(%i16) factor((N^4-N)-6*(N^3-N)+11*(N^2-N));
(%o16) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i17) factor((N^6-N)-15*(N^5-N)+85*(N^4-N)-225*(N^3-N)+274*(N^2-N));
(%o17) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
(%i18) factor((N^8-N)-28*(N^7-N)+322*(N^6-N)-1960*(N^5-N)+6769*(N^4-N)-13132*(N^3-N)+13068*(N^2-N));
(%o18) (N - 7) (N - 6) (N - 5) (N - 4) (N - 3) (N - 2) (N - 1) N
あっている。

さて、
N(N-1)(N-2)(N-3)=(N^4-N)-6(N^3-N)+11(N^2-N)
は、4の倍数であるが係数6=2x3,11は4の倍数でない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)=(N^6-N)-15(N^5-N)+85(N^4-N)-225(N^3-N)+274(N^2-N)
は、6の倍数であるが係数15=3x5,85=5x17,225=3^2x5^2,274=2x137は6の倍数でない。

N(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)(N-7)=(N^8-N)-28(N^7-N)+322(N^6-N)-1960(N^5-N)+6769(N^4-N)-13132(N^3-N)+13068(N^2-N)
は、8の倍数であるが係数28=2^2x7,322=2x7x23,1960=2^3x5x7^2,6769=7x967,13132=2^2x7^2x67,13068=2^2x3^3x11^2は8の倍数でない。

なぜこのような違いが出るのだろう？不思議です。

うんざりはちべえさん、こんにちは。

＞なぜこのような違いが出るのだろう？不思議です。

例えば、

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)
-abcN+N-(a+b+c)N+(ab+bc+ac)N={-abc+1-(a+b+c)+(ab+bc+ac)}N
(%i5) factor(-a*b*c+1-(a+b+c)+(a*b+b*c+a*c));因数分解せよ
(%o5) - (a - 1) (b - 1) (c - 1)

右辺の係数は(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)よりa+b+cとab+bc+acですが、これは前段階のN^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcNの係数と同じです。つまり、ａ＋ｂ＋ｃは１＋２＋３でこれは左辺の積が素数個の場合ではありませんが、
素数個の場合は、ｃ＝ｐ－１となり、１＋２＋３＋･･･＋(ｐ－１)となり、＝ｐ(ｐ－１)/２でｐは素数よりｐの倍数になるという訳です。
ただし、(ab+bc+ac)以下の場合は証明出来ていません。（昨日やって諦めました。）

壊れた扉様、こんにちは。

N(N-a)(N-b)=N^3-(a+b)N^2+Nab
=(N^3-N)-(a+b)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)=N^4-(a+b+c)N^3+(ab+bc+ac)N^2-abcN
=(N^4-N)-(a+b+c)(N^3-N)+(ab+bc+ac)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)=N^5-(a+b+c+d)N^4+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)N^3-(abc+abd+acd+bcd)N^2+abcdN
=(N^5-N)-(a+b+c+d)(N^4-N)+(ab+bc+cd+ac+ad+bd)(N^3-N)-(abc+abd+acd+bcd)(N^2-N)

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)
=N^6-(a+b+c+d+e)N^5+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)N^4-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)N^3+(abcd+abce+abde+acde+bcde)N^2-Nabcde
=(N^6-N)-(a+b+c+d+e)(N^5-N)+(ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de)(N^4-N)-(abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde)(N^3-N)+(abcd+abce+abde+acde+bcde)(N^2-N)

Sのとき、
=N^S-N-(1+2+3+・・・+S-1){N^(s-1)-N}・・・・
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
ここで、Sが素数ならS-1は偶数。よって{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で偶数なら、(s-1)は奇数で、s/2は2で割れて、sの倍数にならない。
ｓが合成数で奇数なら、(s-1)は偶数で2で割れて、{(s-1)S/2}は、sの倍数。
ｓが合成数で奇数なら、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}・・・・
{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}は、ｓの倍数になる。
すこし、進歩。

さて、
=N^S-N-{(s-1)S/2}{N^(s-1)-N}+{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}{N^(s-2)-N}・・・
そこで、
{ab+c(a+b)+d(a+b+c)+e(a+b+c+d)・・・}
より、
2x1+3x(1+2)+4x(1+2+3)+5x(1+2+3+4)・・・・+(s-1)(1+2+3+4+・・・・+(s-2))}
どうしたものか？

＞素数個の場合は、ｃ＝ｐ－１となり、１＋２＋３＋･･･＋(ｐ－１)となり、＝ｐ(ｐ－１)/２でｐは素数よりｐの倍数になるという訳です。

同じ結論になりました。ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。

＞ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。

鋭い所に気付かれましたね。一応、奇数の合成数の場合も調べてみました。

N*(N-1)*(N-2)*(N-3)*(N-4)*(N-5)*(N-6)*(N-7)*(N-8)*(N-9)*(N-10)*(N-11)*(N-12)*(N-13)*(N-14)を展開すると、

𝑁^15−105𝑁^14+5005𝑁^13−143325𝑁^12+2749747𝑁^11−37312275𝑁^10+368411615𝑁^9−2681453775𝑁^8+14409322928𝑁^7−56663366760𝑁^6+159721605680𝑁^5−310989260400𝑁^4+392156797824𝑁^3−283465647360𝑁^2+87178291200𝑁

やはり、素数じゃないと成り立たないみたいですね。

壊れた扉様、こんばんは。

105/15=7で15の倍数ですが、
5005=5x7x11x13は、15の倍数でないですね。
143325=3^2x5^2x7^2x13は、15の倍数ですね。
2749747=7x11x13x41x67は、15の倍数でないですね。
まあ、このへんでやめておきます。

15は係数がすべて15の倍数でないですね。つまり、15の倍数になれませんね。

もう少し式を整理させました。

N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)=N^7-(f+e+d+c+b+a)N^6
+ {(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab} N^5
- [{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f+{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d+abc] N^4
+ [{{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d +abc)}f+{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd] N^3
- [{{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd}f+abcde] N^2
+ abcdef N

規則正しくなってますが、これから得るものは、・・・・・？

さすがうんざりはちべえさん、諦めませんね。

＞N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)=N^7-(f+e+d+c+b+a)N^6
+ {(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab} N^5
- [{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}f+{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d+abc] N^4
+ [{{(c+b+a)d+(b+a)c+ab}e+{(b+a)c+ab}d +abc)}f+{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd] N^3
- [{{{(b+a)c+ab}d+abc}e+abcd}f+abcde] N^2
+ abcdef N

N^5の係数は解決しました。(e+d+c+b+a)f+(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+abは、a=1,b=2,…,f=p-1（ｐは素数）で、それぞれの括弧の右の数字は括弧の最後の数字の次の数字になっているので、ｆをｎ番目とすると、
Σ(n=1~p-1){n(n-1)/2}nで求められます。
∴Σ(n=1~p-1){n(n-1)/2}n=Σ(n=1~p-1){n^2(n-1)/2}=(1/2)Σ(n=1~p-1)(n^3-n^2)=(1/2)Σ(n=1~p-1)n^3－(1/2)Σ(n=1~p-1)n^2
=(1/2){p(p-1)/2}^2－(1/2){p(p-1)(2p-1)/6}=p^2(p-1)^2/8－p(p-1)(2p-1)/12=3p^2(p-1)^2/24－2p(p-1)(2p-1)/24
=p(p-1){3p(p-1)-2(2p-1)}/24=p(p-1)(3p^2-7p+2)/24=p(p-1)(p-2)(3p-1)/24
よって、係数はp(p-1)(p-2)(3p-1)/24でｐは素数よりｐの倍数になる。

因みに、N^4の一番左の{(d+c+b+a)e+(c+b+a)d+(b+a)c+ab}fを同じ方法でやると、
(p-1)Σ(n=1~p-1){(n-2)(n-1)/2}(n-1)でこれを計算すると、
={(p-1)/2}[{p(p-1)/2}^2－４{p(p-1)(2p-1)/6}＋5p(p-1)/2－2(p-1)}で初めの３項は問題ありませんが、最後の項は(p-1)^2で素数になりません。つまり、この分解方法ではダメみたいです。
念のため、この計算結果が正しい事はｐ＝７とすると５１０となり、また、{(4+3+2+1)5+(3+2+1)4+(2+1)3+1・2}6=510となる事から確認済みです。

壊れた扉様、おはようございます。

＞よって、係数はp(p-1)(p-2)(3p-1)/24でｐは素数よりｐの倍数になる。

pが合成数で24と素である場合、pの倍数になりませんかね？
ただし、(p-1)((3p-1)は24の倍数。

pが合成数で24と素である場合、pは２と３の倍数でないということで、たとえば、最小は25ですが、
(p-1)((3p-1)が(25-1)(75-1)で24の倍数ですよね。
すると、N^24とN^23を突破します。N^22は、どうでしょう？
順番に積み上げるしかありませんね。

でも、２４以下では、正しいことが証明されました。前進です。

うんざりはちべえさん、おはようございます。

＞pが合成数で24と素である場合、pの倍数になりませんかね？

以前の「ただし、奇数の合成数も倍数になるようです。残念。」の時も思ったのですが、この証明しようとしている法則は多分素数の場合しか成り立たないですよね。だから、素数以外の合成数の場合は全く考える必要がありません。（多分、うんざりはちべえさんとは見る角度が違っていて誤解されていると思います。）
念のため、左辺の積の数が素数個の場合のみを考えて（証明しようとして）いるという事です。
N(N-a)(N-b)(N-c)(N-d)(N-e)(N-f)は７個の積。（元に戻すとN(N-1)(N-2)(N-3)(N-4)(N-5)(N-6)）

壊れた扉様、こんにちは。

もうスレッドも終わりですから、
＞素数の場合しか成り立たない
として終わりにしますか？

うんざりはちべえさん、こんにちは。

ええ、そうしましょう。今回は色々と収穫がありましたね。

うんざりはちべえと壊れた扉の定理１
N(N-1)(N-2)(N-3)・・・・{N-(S-1)}は必ず(N^S-N)-a1{N^(S-1)-N}+a2{N^(S-2)-N}・・・・-a(s-3)(N^3-N)+a(s-2)(N^2-N)の形に変形出来、右辺の係数の符号は±交互になり、その総和は(-1)^S・(S-1)!になる。（修正しました。）

うんざりはちべえと壊れた扉の定理２
１～ｐ－１までのｐ－１個の自然数の全ての２個の組み合わせの積の総和はｐの倍数になる。ただし、ｐ≧５
例えば、ｐ＝５の場合、1・2＋1・3＋1・4＋2・3＋2・4＋3・4＝３５で５の倍数。
ｐ＝７の場合、1・2＋1・3＋1・4＋1・5＋1・6＋2・3＋2・4＋2・5＋2・6＋3・4＋3・5＋3・6＋4・5＋4・6＋5・6＝１７５＝２５・７で７の倍数。

うんざりはちべえと壊れた扉の予想
１～ｐ－１までのｐ－１個の自然数の全ての２～ｐ－２個の組み合わせの積の総和はｐの倍数になる。
例えば、ｐ＝７の場合のｐ－２個の場合、1・2・3・4・5＋1・2・3・4・6＋1・2・3・5・6＋1・2・4・5・6＋1・3・4・5・6＋2・3・4・5・6＝１２０＋１４４＋１８０＋２４０＋３６０＋７２０＝１７６４＝２５２・７で７の倍数。よって、ｐの倍数になる。

「まほうじん」の字が違いますよ。
魔方陣と書きます。

それはともかくとして。

n≧3のとき、n(n-2)次元になると思います。
なので、4×4のときは8次元です。

一例：
[
[M+A+K, M+P, M-A-B-P, M+B-K ],
[M+Q, M+C-K, M+D+K, M-C-D-Q ],
[M-A+B-Q, M-D+K, M-C-K, M+A-B+C+D+Q ],
[M-B-K, M-C+D-P, M+A+B+C-D+P, M-A+K ],
]

職場でこの質問を投げたと思うてたのですがどうもネット環境か制限に引っ掛かっていたようで投稿できていませんでした。「あそびをせんとや」さんでは少し解説がされましたが矢張り数え方については言及がありませんでした。どうかよろしくお願いします。

B(3,2), つまりA,B,Cの3文字で2文字連鎖... なAABBCCACBのような循環文字列だと,
(3!)^(2^1)/3^2=3^2*2^2/3^2=2^2=4通りな筈ですが, ... これでも一寸どう数えてるのか見当がつきません。
と計算されていますが、
これは
B(3,2)=3!^(3^1)/3^2=6^3/9=216/9=24通りになりませんか？
M=[1,1,1,2,2,2,3,3,3]
からなる異なる3つの文字(ここでは1,2,3としておく。)をランダムに並べたとき(9!/(3!^3)=1680(通り))に
前から2つずつを区切って2語からなる単語を作っていくとき(最後の文字に最初の文字をくっつけたものも含む。）
、全て異なるものが構成出来る配列は次の216通りが可能であるが、各配列は9個をサイクリックにずらしていくと
各配列が同じものが9通りずつ次の216(通り)の中に現れる。(例えば1,27,91,57,187,115,133,193,145が同じ配列)
したがって216/9=24(通り)が実質的に異なる配列方法を持つことになる。

1;[1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 3]
2;[1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 3]
3;[1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 3]
4;[1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 3]
5;[1, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 2]
6;[1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 3, 3]
7;[1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 2]
8;[1, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 3]
9;[1, 1, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 2]
10;[1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 3]
11;[1, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 2]
12;[1, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 3]
13;[1, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 2]
14;[1, 1, 3, 1, 2, 3, 3, 2, 2]
15;[1, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 3]
16;[1, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3]
17;[1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 2]
18;[1, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 2]
19;[1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 2]
20;[1, 1, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 2]
21;[1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 2, 3]
22;[1, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3]
23;[1, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 2]
24;[1, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 2, 2]
25;[1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3]
26;[1, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 3]
27;[1, 2, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1]
28;[1, 2, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1]
29;[1, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 3]
30;[1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 3]
31;[1, 2, 2, 1, 3, 2, 3, 3, 1]
32;[1, 2, 2, 1, 3, 3, 2, 3, 1]
33;[1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2]
34;[1, 2, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 1]
35;[1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 3]
36;[1, 2, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 1]
37;[1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2]
38;[1, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 1]
39;[1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 3]
40;[1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 3, 1]
41;[1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 2]
42;[1, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 2, 1]
43;[1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 3]
44;[1, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 1]
45;[1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 2]
46;[1, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 2, 1]
47;[1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 3]
48;[1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 1]
49;[1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 2]
50;[1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 2]
51;[1, 3, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1]
52;[1, 3, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1]
53;[1, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3]
54;[1, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 1]
55;[1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3]
56;[1, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 1]
57;[1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2]
58;[1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 1]
59;[1, 3, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2]
60;[1, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1]
61;[1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 2]
62;[1, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 2]
63;[1, 3, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 1]
64;[1, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 1]
65;[1, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3]
66;[1, 3, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 1]
67;[1, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3]
68;[1, 3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 1]
69;[1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 2]
70;[1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 1]
71;[1, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 2]
72;[1, 3, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 1]
73;[2, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 3, 3]
74;[2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 3]
75;[2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 3, 2]
76;[2, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 2]
77;[2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 3, 3]
78;[2, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 3, 2]
79;[2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1]
80;[2, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 2]
81;[2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2, 3]
82;[2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3, 2]
83;[2, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1]
84;[2, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 2]
85;[2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 3]
86;[2, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 3]
87;[2, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2]
88;[2, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2]
89;[2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 3]
90;[2, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 2]
91;[2, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 1, 1]
92;[2, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 1, 2]
93;[2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 3]
94;[2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 2]
95;[2, 1, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 1]
96;[2, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 1, 2]
97;[2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 3]
98;[2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 1, 3]
99;[2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 3, 3]
100;[2, 2, 1, 1, 3, 2, 3, 3, 1]
101;[2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 3]
102;[2, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 1]
103;[2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 3, 3]
104;[2, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3]
105;[2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 3, 3]
106;[2, 2, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 1]
107;[2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 3]
108;[2, 2, 1, 3, 3, 2, 3, 1, 1]
109;[2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 3]
110;[2, 2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 1]
111;[2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 3]
112;[2, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 1]
113;[2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 1]
114;[2, 2, 3, 2, 1, 3, 3, 1, 1]
115;[2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 3]
116;[2, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 1]
117;[2, 2, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 3]
118;[2, 2, 3, 3, 1, 3, 2, 1, 1]
119;[2, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 1]
120;[2, 2, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 1]
121;[2, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2]
122;[2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3]
123;[2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2]
124;[2, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 1]
125;[2, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 2]
126;[2, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3]
127;[2, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 2]
128;[2, 3, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 1]
129;[2, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2]
130;[2, 3, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2]
131;[2, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1]
132;[2, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1]
133;[2, 3, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 2]
134;[2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3]
135;[2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 2]
136;[2, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 1]
137;[2, 3, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 2]
138;[2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3]
139;[2, 3, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 2]
140;[2, 3, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 1]
141;[2, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 2]
142;[2, 3, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 2]
143;[2, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 1]
144;[2, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1]
145;[3, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 3]
146;[3, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 2]
147;[3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 3]
148;[3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 3, 2]
149;[3, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 3]
150;[3, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1]
151;[3, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 3]
152;[3, 1, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1]
153;[3, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 3]
154;[3, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 2, 3]
155;[3, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 2, 2]
156;[3, 1, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 2]
157;[3, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3]
158;[3, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 2]
159;[3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 2, 3]
160;[3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 2]
161;[3, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3]
162;[3, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 1]
163;[3, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1, 3]
164;[3, 1, 2, 3, 3, 2, 2, 1, 1]
165;[3, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3]
166;[3, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3]
167;[3, 1, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 2]
168;[3, 1, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 2]
169;[3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 3]
170;[3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 1]
171;[3, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 3]
172;[3, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2, 2]
173;[3, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 3]
174;[3, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 1]
175;[3, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2, 3]
176;[3, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 2]
177;[3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 3]
178;[3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 3, 1]
179;[3, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 3]
180;[3, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 2]
181;[3, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1, 3]
182;[3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 1]
183;[3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 3]
184;[3, 2, 2, 1, 3, 3, 1, 1, 2]
185;[3, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 3]
186;[3, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1, 3]
187;[3, 2, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 1]
188;[3, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 1, 1]
189;[3, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3]
190;[3, 2, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3]
191;[3, 2, 3, 3, 1, 1, 2, 2, 1]
192;[3, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 1]
193;[3, 3, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 2]
194;[3, 3, 1, 1, 2, 2, 1, 3, 2]
195;[3, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 1]
196;[3, 3, 1, 1, 2, 3, 2, 2, 1]
197;[3, 3, 1, 1, 3, 2, 1, 2, 2]
198;[3, 3, 1, 1, 3, 2, 2, 1, 2]
199;[3, 3, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2]
200;[3, 3, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 2]
201;[3, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 1]
202;[3, 3, 1, 2, 3, 2, 2, 1, 1]
203;[3, 3, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 2]
204;[3, 3, 1, 3, 2, 2, 1, 1, 2]
205;[3, 3, 2, 1, 1, 2, 2, 3, 1]
206;[3, 3, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2]
207;[3, 3, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 1]
208;[3, 3, 2, 1, 3, 1, 1, 2, 2]
209;[3, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 3, 1]
210;[3, 3, 2, 2, 1, 1, 3, 1, 2]
211;[3, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 1]
212;[3, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 1, 2]
213;[3, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1]
214;[3, 3, 2, 2, 3, 1, 2, 1, 1]
215;[3, 3, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 1]
216;[3, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 1, 1]

と解釈すればよいと思います。

暑い中での投稿で計算間違いや思い違いがあったかもしれません。
どう考えればあの計算式が得られるのかが知りたいのです。（適当な例を挙げたのが間違いだったかもしれません。）

「数学感動秘話」>「目指せ！最長不倒」
の話ですかね？

とりあえず(1)と(2)だけ

(1)
u=a+b, v=a-bとおくとu^2+v^2=2a^2+2b^2=2
P=-v^2が最小のとき|v|が最大なのでu=0,v=±√2
このときa=(u+v)/2=±1/√2,b=(u-v)/2=干1/√2（複号同順）
よってPは(a,b)=(1/√2,-1/√2),(-1/√2,1/√2)のとき
最小値P=-v^2=-2をとる。

(2)
Qが最小値をとるためにはa＞b＞cまたはb＞c＞aまたはc＞a＞b
（∵このときQ＜0、これ以外のときQ≧0）
なので対称性よりa＞b＞cとして考えればよい。
u=a+b+c, v=a-b, w=b-cとおくとv＞0,w＞0であり
a=(u+2v+w)/3
b=(u-v+w)/3
c=(u-v-2w)/3
a^2+b^2+c^2={(u+2v+w)/3}^2+{(u-v+w)/3}^2+{(u-v-2w)/3}^2
=(u^2+v^2+w^2+(v+w)^2)/3=1 … (a)
Q=(a-b)(b-c)(c-a)=-vw(v+w)
v＞0,w＞0なので、Qが最小⇔vw(v+w)が最大
(a)から|u|＞0のときvw(v+w)は最大ではない
（∵|u|＞0ならばu=0としてその分v,wを少し大きくできる）
∴u=0
このとき(a)から
v^2+w^2+(v+w)^2=3
vw={2(v+w)^2-3}/2
vw(v+w)={2(v+w)^2-3}(v+w)/2
となりvw(v+w)はv+wが最大のときに最大
また
v^2+w^2+(v+w)^2=3
2v^2+2w^2+2vw=3
4v^2+4w^2+4vw=6
3(v+w)^2+(v-w)^2=6
となりv+wの最大値はv=wのときで√2
v=w,v+w=√2,u=0からv=w=1/√2,(a,b,c)=(1/√2,0,-1/√2),vw(v+w)=1/√2
よってQは(a,b,c)=(1/√2,0,-1/√2),(0,-1/√2,1/√2),(-1/√2,1/√2,0)のとき
最小値Q=-1/√2をとる。

（追記）
(3)の予想
(a,b,c,d)=((√3+1)/4,(√3-1)/4,-(√3-1)/4,-(√3+1)/4)（の巡回も）のとき最小値R=-1/8

(再追記)
(3)も解決しました。
あるa,b,c,dでRが最小値をとるとき、
a→b→c→d→aまたはd←a←b←c←dのように巡回するように値を入れ替えても
条件を満たして同じ最小値をとるので、「a,b,c,dのうちaが最大」としてよい。
このとき、a＞b＞c＞dまたはa＞d＞c＞b。
（∵大小関係がこのどちらかのときR＜0、それ以外のときR≧0）
a＞d＞c＞bのとき、a,b,c,dすべての符号を反転しても条件を満たして
Rは同じ値をとる。このときb＞c＞d＞aとなるが、このb,c,d,aの値を順に
a,b,c,dとしてもやはり条件を満たしてRの値は変わらない。
従ってRが最小値をとるときa＞b＞c＞dのようにすることができるので、
a＞b＞c＞dという条件を追加しても最小値は変わらない。
よってこの条件を追加して考える。
u=a+b+c+d, v=a-b, w=b-c, x=c-dとおくとv＞0,w＞0,x＞0であり
a=(u+3v+2w+x)/4
b=(u-v+2w+x)/4
c=(u-v-2w+x)/4
d=(u-v-2w-3x)/4
a^2+b^2+c^2+d^2=(u^2+2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2)/4 … (b)
R=(a-b)(b-c)(c-d)(d-a)=-vwx(v+w+x)
v＞0,w＞0,x＞0なので、Rが最小⇔vwx(v+w+x)が最大
(b)から|u|＞0のときvwx(v+w+x)は最大ではない
（∵|u|＞0ならばu=0としてその分v,w,xを少し大きくできる）
∴u=0
このとき(b)から
2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2=4
xv={2(v+x)^2+(v+2w+x)^2-4}/4
vwx(v+w+x)=w{2(v+x)^2+(v+2w+x)^2-4}(v+w+x)/4
となりvwx(v+w+x)は（wを固定したとき）v+xが最大のときに最大
また
2(v+w)^2+2(w+x)^2+(x+v)^2=4
(v+x)^2+(v-x)^2+(v+2w+x)^2=4 … (c)
となるのでv+xが最大となるのはv=xのとき
(c)でv=xとすると
v^2+(v+w)^2=1
w＞0に注意してこれをwについて解くと
w=√(1-v^2)-v
v=sinθ（0＜θ＜π/2）とおくとcosθ=√(1-v^2)なので
w=cosθ-sinθ
vwx(v+w+x)=(sinθ)^2(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)
=(sinθ)^2{(cosθ)^2-(sinθ)^2}
=(sinθ)^2{1-2(sinθ)^2}
=(1/8){1-(4(sinθ)^2-1)^2}
よって4(sinθ)^2-1=0すなわちsinθ=1/2すなわちv=1/2,w=(√3-1)/2のときに
vwx(v+w+x)は最大値1/8をとる。
従ってu=0,v=x=1/2,w=(√3-1)/2から
a=(√3+1)/4, b=(√3-1)/4, c=-(√3-1)/4, d=-(√3+1)/4なので、Rは
(a,b,c,d)=((√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4),
((√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4, (√3+1)/4),
(-(√3-1)/4, -(√3+1)/4, (√3+1)/4, (√3-1)/4),
(-(√3+1)/4, (√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4)
のときに最小値-1/8をとる。

# 問題がシンプルなので、もっと簡潔な解き方がありそうな気がします。

手計算でここまで探し出せる手腕に圧倒されます。
実は(3)は2022年度アジア太平洋数学ｵﾘﾝﾋﾟｯｸの第5問として問われている問題であり、
次元を変えるとどんなになるんだろうと調べたら面白かったので出題しておりました。
勿論手計算では私は歯が立ちませんのでWolfram Alphaさんの力をお借りして調査していました。

なお(3)での最小値を与える(a,b,c,d)の組合せではらすかるさんが示された4つの他に
(a,b,c,d)=(-(√3+1)/4, -(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4),
((√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4),
((√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4, -(√3-1)/4),
(-(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4)
もある様な調査結果を得ていたのですが、検討お願いします。

(3)での最大値を調査したら
(a,b,c,d)=(1/2,-1/2,1/2,-1/2)または(-1/2,1/2,-1/2,1/2)の時１
でもあるようでした。

> (a,b,c,d)=(-(√3+1)/4, -(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4),
> ((√3+1)/4, (√3-1)/4, -(√3-1)/4, -(√3+1)/4),
> ((√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4, -(√3-1)/4),
> (-(√3-1)/4, (√3-1)/4, (√3+1)/4, -(√3+1)/4)

あ、そうですね。
a＞d＞c＞bを排除するために自分の回答の先頭の方では言及していたのに、
長い回答を書いているうちに逆まわりも回答になることを忘れていました。

既に、同じ思いで記事を、投稿されていたのですね。
どんな数列でも、有限個の結果から、例えば、多項式で、
一般項を求めたとして、f(n)すると、
k(n-1)(n-2)(n-3)＋…+f(n)とすれば、
一意的に定まらないのではないか？という意味です。

(1)(2)
0<a<b<c<dのとき
(a+b+c+d)(1/a+1/b+1/c+1/d)
=4+(a/b+b/a)+(a/c+c/a)+(a/d+d/a)+(b/c+c/b)+(b/d+d/b)+(c/d+d/c)
＞4+2+2+2+2+2+2=16
なのでa4＞4,A4＞4
よって最小値はa4=A4=5であり
(x1,x2,x3,x4)=(6,15,28,35)のときa4=A4=5

2023年7月
千葉の幕張メッセで国際数学オリンピックが開催されたそうで
そこで出題された問題の中に（6問中の問題 4)

x1,x2,････,x2023を相異なる正の実数とする。任意のn=1,2,･･･,2023に対して

an=√(x1+x2+･･･+xn)(1/x1+1/x2+･･･+1/xn)

が整数であるとき,a2023≧3034 が成り立つことを示せ。

が問われたという。

らすかるさんが示されたように
a2023^2=(x1+x2+･･･+x2023)(1/x1+1/x2+･･･+1/x2023)
=1+1+･････+1+(x1/x2+x2/x1)+(x1/x3+x3/x1)+･････+(x2022/x2023+x2023/x2022)
>2023+2*2023C2=2023+2*2023*2022/2=2023^2
よって
a2023>2023
したがって
a2023≧2024
とならないんだろうかと疑問に思いました。

3034ってどこから現れるんだろうか？

その計算は
「a2023が整数であるとき、a2023≧2024」
を示していますね。これはこれで正しいのですが、元の問題は
「n=1～2023すべてに対してanが整数になる」
という条件が付いていますので、違いますね。
そして単に違うだけでなく、かなり難しいです。

こんな感じですかね？

見通しをよくするため、
a[n]=√(b[n]*c[n])
b[n] = x[1] + x[2] + …… + x[n]
c[n] = 1/x[1] + 1/x[2] + …… + 1/x[n]
と書くことにします。

1≦n≦2021 である任意の自然数 n について、
a[n+2]^2
= b[n+2]*c[n+2]
= (b[n]+x[n+1]+x[n+2]) * (c[n]+1/x[n+1]+1/x[n+2])
= b[n]*c[n] + b[n]/x[n+1] + c[n]*x[n+1] + b[n]/x[n+2] + c[n]*x[n+2] + x[n+1]/x[n+2] + x[n+2]/x[n+1] + 2
≧ b[n]*c[n] + 4√(b[n]*c[n]) + 4
　　（全ての項が正なので、第 2,3 項、第 4,5 項、第 6,7 項でそれぞれ相加相乗平均の関係を用いた）
= a[n]^2 + 4a[n] + 4
= (a[n]+2)^2
が成り立ちます。
a[n] および a[n+2] は明らかに正の数なので、これは a[n+2] ≧ a[n]+2 を意味します。

さて、ここで等号成立条件を考えます。
条件は b[n]/x[n+1] = c[n]*x[n+1] かつ b[n]/x[n+2] = c[n]*x[n+2] かつ x[n+1]/x[n+2] = x[n+2]/x[n+1] です。
しかし、x[n+1] と x[n+2] は異なる正の実数なので、3 つめの条件は絶対に成立しません。

ゆえに、a[n+2] ≧ a[n]+2 という不等式の等号が成立することは絶対になく、さらに a[n+2] も a[n] も整数であることから、
a[n+2] ≧ a[n]+3 が必ず成立すると言えます。

したがって、
a[2023] ≧ a[2021] + 3 ≧ a[2019] + 6 ≧ …… ≧ a[1] + 3033 = 3034
が成り立ちます。

よくこんな証明方法を思いつけますね。
a[n+2]≧a[n]+3
示すあたりの手際の良さに感動です。

ところでこの漸化式から
a[1]=1
a[2]=3
a[3]≧4
a[4]≧6
a[5]≧7
a[6]≧9
a[7]≧10
a[8]≧12
a[9]≧13
a[10]≧15
････････
a[2023]≧3034

と一般に全部等号にかえて数列を見るとk=1,2,3,･･･で
a[n]=3*k (n=2*kの時)
　　=3*k-2 (n=2*k-1の時)
これをOEISで検索するとA032766にヒットした。
そこでここでのリンクで
Erich Friedman, Problem of the month November 2009
を見てみると
n=2023と3034
を結ぶ組合わせの解釈として

超高層ビルに3台のエレベータが設置してあり、
各エレベータが全部の階ではなく、指定されたn回のフロアーしか
止まらないことになっており、その3台の止まる場所を上手く設計
しておけば、各どの階でも少なくとも2台のエレベータがやって来
ていて、どの階からでも好きな階にエレベータを乗り換えること
なく移動が出来る最高のビルの高さを与える。

という。
つまり3台のエレベータが各4回ずつどこかのフロアーに止まることに
して置おけば、そんな条件を満たすビルの高さは6階までは可能となる。
同じく
3台のエレベータが各７個のフロアーに止まるという条件で設計すれば
最高10階ビルまでは可能となる。

ということで
3台のエレベータが各2023回止まる階を決めて置き、上手く運行すれば
超高層ビルの3034階のどの階からでも効率よく他の階へのエレベータ移動
は運行可能と教えてくれる。

どのパターンも8重複になりますので、回転や裏返しを同一視した場合は全体の1/8すなわち240通りになります。
ちなみに
和22: 240通り
和23: 176通り
和24: 768通り
和25: 656通り
和26: 3120通り
和27: 656通り
和28: 768通り
和29: 176通り
和30: 240通り
となりますね。

n を固定して k を変化させたときの最大値
k を固定して n を変化させたときの最大値
2 つの意味に取れますが、前者でいいんですかね？

k 桁の自然数で、各位の数の和が n で、かつ「一の位が 0 である」個数を Qn(k) とします。
(1) 2<k<n 範囲で、Pn(k-1) と Qn(k) の関係は？
(2) 1<k<n 範囲で、Pn(k) と Qn(k) はどちらが大きい？
(3) 2<k<n 範囲で、Pn(k-1) と Pn(k) はどちらが大きい？
(4) 1<k<n 範囲で、Pn(k) が最大になるのは k がいくつのとき？
(5) n<10 範囲で、(4) のときの Pn(k) の値は？
---- ここまで簡単、ここから難問 ----
(6) n≧10 範囲で、(4) のときの Pn(k) の値は？

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。

nが素数のとき、a^n-a=nAが成り立つ。
nが素数でないとき（nが合成数）、a^n-a=nAが成り立たたない。

これは、自明だと思うのですが。

その「自明であること」の証明のつもりですが、論理は真偽の2値しかありません。
しかし、管理人さんはx>0　とかx≦0とか真偽の中身を問題にして違うことを言ってます。

わたしは、その「自明であること」の証明は、どうすれば良いのでしょうか？
と逆に、質問したいのです。

なお、Dengan kesaktian Indukmu様の指摘はおっしゃるとおりで私は正しいと思います。

はちべえさん。

とりいそぎ。
1286 の私の投稿は、昨夜、
Bing の生成AIに、
間違いを含む議論の作成を依頼した結果を
コピペしたものです。

※一週間ほど所要があり投稿は難しいですが
必ずみております。それでは。

うんざりはちべえさん、おはようございます。

＞nが素数のとき、a^n-a=nAが成り立つ。
nが素数でないとき（nが合成数）、a^n-a=nAが成り立たたない。
これは、自明だと思うのですが。

これは決して自明ではありません。ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3となる自然数が存在しない事が自明ではない事と同じレベルだと思います。
自明とは１＋１＝２と同じレベルです。

＞わたしは、その「自明であること」の証明は、どうすれば良いのでしょうか？
と逆に、質問したいのです。

例えば、三平方の定理の逆が成り立つ事はほぼ自明なような気がしますが、厳密に証明しなければなりません。実際、似たような中線定理の逆は成り立ちませんし。
個人的には、自明な事の証明には背理法が役に立つ場合が多いと思っていますが。
当然、今回の場合やａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3となる自然数が存在しない場合には使えませんが。

「自明」とは「誰でも簡単に証明できる」という意味です。
自分すら証明できない事柄は、「自明」なのではなく、「自分が何を言っているか自分で理解していない」だけです。

皆さんこんにちは。

前提条件があって、成り立っているものは、前提条件が成り立たねば、成り立たないのは当たり前でしょう。

三平方の定理では、「直角三角形において」という前提条件があります。これを否定したら、成り立たないのではありませんか。

「自然数a,b,cにおいて、」という前提条件があって、フェルマーの最終定理があるのです。前提条件を否定したら、フェルマーの最終定理は、成り立たないことは明らかです。

そういうことから、自明と言ったのです。
まあ、納得してもらえないでしょうね・・・・・

nが素数のとき、a^n-a=nAが成り立つ。
nが素数でないとき（nが合成数）、a^n-a=nAが成り立たたない。

別の方法でやってみました。

緑色のうんざりはちべえをクリックしてください。

7/12　8:51　編集済み

Dengan kesaktian Indukmu様、

＞Bing の生成AIに、

生成AIは、連立方程式も間違うので、「論理的に」というキーワードを挟むとうまく行く場合があるそうです。

しかし、生成AIの答えだったとは・・・・・残念

うんざりはちべえさん、こんにちは。

レポート読ませて頂きました。相変わらず見事な変形ですね。楽しませて頂きました。

＞・n=abが奇数の場合n=2αβ+1
N^(2αβ+1)-N=N{N^(2αβ)-1}=N(N^(αβ)-1}{N^(αβ)+1}={N^(αβ+1)-N}{N^(αβ)+1}
ここで、{N^(αβ+1)-N}は、例えばαβ=10なら、11の倍数になるが、n=2αβ+1=21とは一致しない。
{N^(αβ+1)-N}は、たとえαβ+1の倍数であっても、n=2αβ+1の倍数にはならない。
(ｎが素数の場合は、これにはあてはまらないことに注意）

左辺の２αβ＋１が素数とすると左辺は２αβ＋１の倍数で、右辺のαβ＋１が素数でも素数じゃなくても左辺の相方の約数になって問題ないと思います。（右辺のN^(αβ+1)-Nが、左辺＝(２αβ＋１)×ｘのｘの約数という事。）
当然、２αβ＋１が素数じゃない場合も同様です。
因みに、(ｎが素数の場合は、これにはあてはまらないことに注意）はどういう事でしょうか。結果ありきから考えているのでしょうか。

＞N^561-Nの場合
ｎ=561(3x11x17)ですから、奇数なので、{N^(αβ+1)-N}は、281の倍数となります。281は素数なので、
N^(2x280+1)-N={N^281-N}{N^280+1}
N^(2x280+1)-N=281A{N^280+1}
したがって、561の倍数にはなりません。

AまたはN^280+1が５６１の倍数かもしれませんよね。もっとも全てのNで成り立つとはとても思えませんが。

壊れた扉様、こんばんは。

相変わらず凄い理解力ですね。私は、人の書いたものを読むのに苦労します。
さて
そうですよね、N^(2αβ+1)-Nより、2αβ+1の倍数とすれば、それでおしまいですね。無駄な記述ですね。

ナンセンスでした。

N^561-N が 281 の倍数を示し、「281 と 561 は違う数だから N^561-N は 561 の倍数にならない」
という趣旨のことを述べていると認識しましたがあっていますか？

あっている場合、「　」内は何を根拠に言っているのですか？

壊れた扉さん

> もっとも全てのNで成り立つとはとても思えませんが。

私の名前のリンクから、wolfram 先生による計算結果をご覧ください。
2≦N≦30 の範囲では不足だとおっしゃるなら、範囲指定をご自身で変更して満足いくまでご確認ください。

さすが、DD++さん、脱帽です。

N＝ｐ・ｑの場合はダメなんですね。ｐ(ｑ－１)/(ｐ－１)が整数になる素数ｐ，ｑは存在しないんですね。（ｐ，ｑを入れ換えて両方とも整数になる。）
Ｎ＝ｐ・ｑ・ｒの場合は、ｐ(ｑｒ－１)/(ｐ－１)が整数になる素数は、DD++さんの例でｐ＝３，ｑ＝１１，ｒ＝１７の入れ換えとすると、
３(１１・１７－１)/(３－１)＝２７９
１１(３・１７－１)/(１１－１)＝５５
１７(３・１１－１)/(１７－１)＝３４
でＯＫなんですね。

一応、ｐ(ｑ－１)/(ｐ－１)が整数にならない証明は、ｐとｐ－１は連続する２整数なので互いに素。よって、整数になる場合は、ｐ－１がｑ－１の約数。∴ｐ－１≦ｑ－１　
ところが、この場合、ｐとｑを入れ換えた場合は分母の方が大きくなり整数にはならない。よって、２数の場合はダメである。

DD++様、こんにちは。

＞N^(2αβ+1)-N=N{N^(2αβ)-1}=N(N^(αβ)-1}{N^(αβ)+1}={N^(αβ+1)-N}{N^(αβ)+1}
より、2αβ+1=281のとき{N^(αβ+1)-N}より、141の倍数になるはずです。
しかし、wolframalphaに「Table[(N^141-N)mod141,{N,2,30}]」を入れると141の倍数にはなりません。また、wolframalphaに「Table[(N^281-N)mod141,{N,2,30}]」を入れると141の倍数にはなりません。

したがって、αβ+1=281は底なのです。281は素数でしたね。

では、2αβ+1=561ですが、wolframalphaに「Table[(N^561-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(2αβ+1)-Nは281の倍数になります。また、wolframalphaに「Table[(N^561-N)mod561,{N,2,30}]」を入れるとN^(2αβ+1)-Nは561の倍数になります。
次に、3αβ+1=841ですが、wolframalphaに「Table[(N^841-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(3αβ+1)-Nは281の倍数になります。
次に、4αβ+1=1121ですが、wolframalphaに「Table[(N^1121-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(4αβ+1)-Nは281の倍数になります。また、wolframalphaに「Table[(N^1121-N)mod561,{N,2,30}]」を入れるとN^(4αβ+1)-Nは561の倍数になります。
次に、5αβ+1=1401ですが、wolframalphaに「Table[(N^1401-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(5αβ+1)-Nは281の倍数になります。
次に、6αβ+1=1681ですが、wolframalphaに「Table[(N^1681-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(6αβ+1)-Nは281の倍数になります。また、wolframalphaに「Table[(N^1681-N)mod561,{N,2,30}]」を入れるとN^(6αβ+1)-Nは561の倍数になります。
次に、7αβ+1=1961ですが、wolframalphaに「Table[(N^1961-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(7αβ+1)-Nは281の倍数になります。
次に、8αβ+1=2241ですが、wolframalphaに「Table[(N^2241-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(8αβ+1)-Nは281の倍数になります。また、wolframalphaに「Table[(N^2241-N)mod561,{N,2,30}]」を入れるとN^(8αβ+1)-Nは561の倍数になります。
次に、9αβ+1=2521ですが、wolframalphaに「Table[(N^2521-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(9αβ+1)-Nは281の倍数になります。
次に、10αβ+1=2801ですが、wolframalphaに「Table[(N^2801-N)mod281,{N,2,30}]」を入れるとN^(10αβ+1)-Nは281の倍数になります。また、wolframalphaに「Table[(N^2801-N)mod561,{N,2,30}]」を入れるとN^(10αβ+1)-Nは561の倍数になります。

以上から、推察されるに、kαβ+1=280k+1は、N^(kαβ+1)-Nは281の倍数であるということです。
さらに、k=2jなら、kαβ+1=280k+1は、N^(kαβ+1)-Nは561の倍数であるということです。

それだけの式を並べ立てて、結局何がいいたいのか意味不明です。
私が訊いているのは「281 の倍数であるから 561 の倍数にはならない」とした根拠です。
はちべえさんがそれに答える気がないなら、対話の意思なしとみなして返信を打ち切ります。

ついでに言うと、2≦N≦30 の範囲でだけの確認は、文字通り 2≦N≦30 の範囲での確認でしかなく、N≧31 でも成り立つ保証には一切なりません。
倍数になると断言するには、特定範囲内だけの確認ではなく、全範囲で適用できる証明が必要です。


（追記）
前回投稿で入れたリンクが入りっぱなしだったので削除しました。

DD++様、こんばんは。

リンクより、
＞・nがn=ka+1の場合
そこで、n=ka+1という合成数の場合、
N^n-N=N^(ka+1)-N=N{(N^a)^k-1}
等比級数の和の公式より{(N^a)^k-1}/{(n^a)-1}={1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
よって、{(N^a)^k-1}={(n^a)-1}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
したがって、
=N{(N^a)-1}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
={N^(a+1)-N}{1+(N^a)+(N^a)^2+(N^a)^3+・・・+(N^a)^(k-2)}
より、{N^(a+1)-N}であるからa+1の倍数。ところで、N^(ka+1)-Nより、ka+1の倍数。
したがって、a+1を底としたka+1の倍数である。

＞N^561-Nの場合
ｎ=561(3x11x17)ですから、奇数なので、{N^(αβ+1)-N}は、281の倍数となります。281は素数なので、
N^(2x280+1)-N={N^281-N}{N^280+1}
N^(2x280+1)-N=281A{N^280+1}
そこで、n=ka+1という合成数の場合、a+1を底としたka+1の倍数であるから、a=280より、281を底とした2a+1=561である。

Dengan kesaktian Indukmu様から、日を改めて見直せというアドバイスをもらいましたが、ちょっと・・・・

これで、納得していただけますか？

なおNの範囲についてのご指摘は、別途に譲らせていただきます。

> a+1を底としたka+1の倍数

倍数に「底」なんて概念はありません。
独自用語を使いたいなら、まずそれの定義をしてください。

うんざりはちべえさん、こんばんは。

＞以上から、推察されるに、kαβ+1=280k+1は、N^(kαβ+1)-Nは281の倍数であるということです。
＞さらに、k=2jなら、kαβ+1=280k+1は、N^(kαβ+1)-Nは561の倍数であるということです。

Ｎ^(kαβ+1)－Ｎ＝Ｎ{(Ｎ^αβ)^k－１}＝Ｎ(Ｎ^αβ－１){(Ｎ^αβ)^(k-1)＋・・・＋１}
＝(Ｎ^(αβ+1)－N)(Ｎ^αβ^(k-1)＋・・・＋１)
ここで、αβ＝２８０よりαβ+1＝２８１で素数。よって、Ｎ^(αβ+1)－Ｎは２８１の倍数。
よって、Ｎ^(kαβ+1)－Ｎも２８１の倍数。

Ｎ^(2jαβ+1)－Ｎ＝Ｎ(Ｎ^2jαβ－１)＝Ｎ{(Ｎ^2αβ)^j－１}＝Ｎ(Ｎ^2αβ－１){(Ｎ^2αβ)^(j-1)＋・・・＋１}
＝(Ｎ^(2αβ+1)－Ｎ){(Ｎ^2αβ)^(j-1)＋・・・＋１}
ここで、αβ＝２８０より２αβ+1＝５６１は素数ではないが、DD++さんのNo.1267の投稿の「以上より、N^561 - N は 561 の倍数です」より、Ｎ^(2jαβ+1)－Ｎは５６１の倍数。
よって、Ｎ^(2jαβ+1)－Ｎも５６１の倍数。
念のため、２８１の倍数である事は上と同じ変形をすれば良い。

よって、示された。

DD++様、おはようございます。

＞倍数に「底」なんて概念はありません。
独自用語を使いたいなら、まずそれの定義をしてください。

もしかして、「底」を「てい」と読みました？私は、そこ、つまり、一番下、最小値というような意味合いです。倍数の初期値という意味合いです。

壊れた扉様、おはようございます。

まとめてくださったのですね。ありがとうございます。

倍数に「初期値」という概念もありません。

何にせよ、私の質問に答える気がないようですので、対話を試みるを諦めて、これで打ち切ります。
これ以上の私への返信も不要です。

GAI様、こんにちは。

一筆書きだと思いますが、Wikipedia一筆書きの「一筆書き可能かどうかの判定法」によると、
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊引用開始＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
ある連結グラフが一筆書き可能な場合の必要十分条件は、以下の条件のいずれか一方が成り立つことである（オイラー路参照）。

・　すべての頂点の次数（頂点につながっている辺の数）が偶数 →運筆が起点に戻る場合（閉路）
・　次数が奇数である頂点の数が2で、残りの頂点の次数は全て偶数　→運筆が起点に戻らない場合（閉路でない路）
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊引用終了＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
とあります。これを満足してますか？
管理人さんの図で見ると、頂点１,11,20,10,5,6,15,16は辺が３本で奇数で8です。
また、頂点2,3,4,12,13,14,9,8,7,19,18,17で辺が4本で偶数で12です。

偶数の場合「入り→出」の繰り返しで、通過点ですが、奇数は「出→入り→出」か「入り→出→入り」しかありえないので、出発点か終点です。だから、奇数は2つしかありえないのです。

勘違いでしたらすみません。

{A]
(1)頂点1を出発点とする一つの経路
1->10->9->2->12->11->20->19->18->8->3->13->14->17->7->4->5->6->16->15
で各頂点を一度ずつ訪れている。
（別にすべての辺を通れとは要求されていない。）

[B]
で頂点1を出発点とした場合の一例
1->2->9->19->18->8->3->4->7->17->16->6->5->15->14->13->12->11->20->10->1
（勿論一筆で描けますが、通常の一筆書きの問題とは趣旨を異にします。）

[B]は、すべての辺を1回だけ通ってないので、一筆書きとは言えませんね。

＞勿論一筆で描けますが、通常の一筆書きの問題とは趣旨を異にします。

そうなるしかありませんね。私の勘違いでした、すみません。

[B]の方が比較的簡単そうなので、そちらだけやりました。
あっているかどうかは自信がありません。


n個の立方体を横に並べたものを考える。
左端の立方体の左側の4個の頂点を順番にA,B,C,Dとし、そのすぐ右側の4個の頂点をそれぞれa,b,c,dとする。
左からi番目の立方体の右側の4個の頂点(=i+1番目の立方体の左側の4個の頂点)をまとめてi段目と称する。

全部の頂点を通り出発点に最後に戻るコースの数は、すべての頂点を通るループの数の2倍(どちら周りかの区別)になるので、
どこを出発点にしてもコースの数は変わらない。その数を a[n] 通りとする。

以下ではAを出発点とするコースを考える。

1周してAに戻る一つ前の点はBかDかaのどれかであり、対称性からラスト前がBのコース数とラスト前がDのコース数は等しい。
このラスト前がBのコース数(=ラスト前がDのコース数)を b[n] 通りとする。

n=0の場合、すなわち単なる四角形ABCDを考えると、ラスト前がBのコースは
A→D→C→B→A
の1通りなので、 b[0]=1 であり、 a[0]=2 である。

n≧1の場合、0段目の4点を通る順番は以下の(1.1)から(3.4)までのいずれかになる。

(1.1) A→a→…→b→B→C→D→A
(1.2) A→B→b→…→c→C→D→A
(1.3) A→B→C→c→…→d→D→A
(1.4) A→B→C→D→d→…→a→A
(1.5) A→a→…→d→D→C→B→A
(1.6) A→D→d→…→c→C→B→A
(1.7) A→D→C→c→…→b→B→A
(1.8) A→D→C→B→b→…→a→A

(2.1) A→a→…→b→B→C→c→…→d→D→A
(2.2) A→B→b→…→c→C→D→d→…→a→A
(2.3) A→a→…→d→D→C→c→…→b→B→A
(2.4) A→D→d→…→c→C→B→b→…→a→A

(3.1) A→a→…→c→C→B→b→…→d→D→A
(3.2) A→B→b→…→d→D→C→c→…→a→A
(3.3) A→a→…→c→C→D→d→…→b→B→A
(3.4) A→D→d→…→b→B→C→c→…→a→A


〇(1.1)～(1.8)の場合
(1.1)を例に考えると、部分列a→…→bの箇所はn-1個の立方体でAを出発しラスト前がBになるコース数に等しいので b[n-1] 通りとなる。
(1.2)～(1.8)も同様に b[n-1] 通りである。


〇(2.1)～(2.4)の場合
(2.1)を例に考える。
部分列a→…→bの最高到達段をi段目、部分列c→…→dの最高到達段をj段目とする。
コースは全体としてすべての点を通るので、i,jの少なくとも一方はnとなる。
i=j=nの場合、二つの部分列はどちらも、右へ直進しn段目でひとつ隣へ移動し左へ直進して戻るコースしかないので、1通りである。
i<j=nの場合、部分列a→…→bは右へ直進しi段目でひとつ隣へ移動し左へ直進して戻ることになり、
部分列c→…→dはi+1段目まで右へ直進しi+1段目以降のすべての点を通った後i+1段目から1段目まで左へ直進することになる。
よってこの場合は、n-i-1個の立方体でAを出発しラスト前がBになるコース数に等しいので b[n-i-1] 通りとなる。
j<i=nの場合も同様に b[n-i-1] 通りとなる。
以上の3つの場合の数を合わせると(2.1)のコース数は、
1+2*Σ[i=1..n-1]b[n-i-1]
= 1+2*Σ[k=0..n-2]b[k]
通りとなる。
(2.2)～(2.4)も同様に 1+2*Σ[k=0..n-2]b[k] 通りである。


〇(3.1)～(3.4)の場合
結論として、この場合のコースは存在しない。その理由を以下に示す。
(3.1)を例に考える。
部分列a→…→cの最高到達段をi段目、部分列b→…→dの最高到達段をj段目とする。
コースは全体としてすべての点を通るので、i,jの少なくとも一方はnとなる。
i=j=nの場合、n段目までは直進で行き来するしかないが、n段目での二つの部分列のコースの両立ができないためこれはありえない。
i<j=nの場合、部分列a→…→cはi段目までのどこかの段でその段内の少なくとも3点を通ることになるが、
そうすると部分列b→…→dがその段を往復で通過するための少なくとも2点が確保できないためありえない。
j<i=nの場合も同様である。
以上より、(3.1)のコースは存在しないことがわかる。
(3.2)～(3.4)も同様である。


ここまでのことからn≧1のとき次の二つの式が得られる。
a[n] = 8*b[n-1] + 4*(1+2*Σ[k=0..n-2]b[k]) …式①
b[n] = 3*b[n-1] + 1*(1+2*Σ[k=0..n-2]b[k]) …式②

式②よりb[n]の漸化式
b[n] = 1 + 3*b[n-1] + 2*Σ[k=0..n-2]b[k] …式②'
が得られ、a[n]は式①から
a[n] = 4 + 8*Σ[k=0..n-1]b[k] …式①'
を使えば求まる。

GAIさんの問題[B]はn=4の場合なので、計算すると a[4]=612 通りとなる。


どうでしょうか、GAIさんが求めた数と同じになりましたでしょうか？

[A]
(1) 2918(通り)
(2) 2188(通り)
(3) 2116(通り)
であったのに対し
[B]
の元に戻れるコースに限定すると、どの頂点から出発しようが
元に戻れるコース数は一定で、りらひいさんが求められている612(通り)
ありました。
[A]の場合の様に出発点が異なれば当然異なる結果が起こるだろうと計算をすすめてみると、
勝手に決めつけていたことが見事に裏切られました。
しかし後から考えてみたら、閉じた経路はトポロジー的にどれも同じものであることになるように思えて納得しました。
頭の中だけでこの612を見つけられたことに驚きました。

どうやらあっていたようでよかったです。
n=4で成り立っているのならば漸化式は正しい可能性が高いですね。

とここまで書いた後、ふと思い立って調べてみたら、
OEISのA003699にハミルトン閉路の数(=コース数の半分)が載っていました。
ここの３項間漸化式を見るにもっとシンプルな考え方がありそうです。
最初から半分の数で検索しておけばよかったのか……。



私の投稿で一か所間違えていたので修正します。

〇(2.1)～(2.4)の場合　の中
誤：「j<i=nの場合も同様に b[n-i-1] 通りとなる。」
→
正：「j<i=nの場合も同様に考えて b[n-j-1] 通りとなる。」

りらひいさんのと考え方が共通する部分も多いですが、こんなのでどうでしょう。


n 個の立方体を左右一列に並べてある場合で考えます。

最も右側にある立方体の右側の面の頂点 4 つは、
・4 つを連続して通る（コ型）
・2 つをまず通り、後で残り 2 つを通る（二型）
のいずれかで通ることになります。
コ型のパターン数を コ[n], 二型のパターン数を 二[n] とします。

コ型について、右側の面の 4 頂点を削除して経路を短絡することを考えます。
GAI さんの図で例を挙げれば、……→4→5→6→16→15→14→…… を ……→4→14→…… に短絡するようなイメージです。
立方体 n+1 個の場合のコ型の経路全てを短絡すると、
立方体 n 個の場合のコ型の経路全種が 3 つずつおよび二型の経路全種が 2 つずつできるので、
コ[n+1] = 3*コ[n] + 2*二[n]

二型について、同様に考えます。
GAI さんの図で例を挙げれば、……→4→5→6→7→……→17→16→15→14→…… を ……→4→7→……→17→14→…… に短絡するようなイメージです。
立方体 n+1 個の場合の二型の経路全てを短絡すると、
立方体 n 個の場合のコ型の経路全種が 1 つずつおよび二型の経路全種が 1 つずつできるので、
二[n+1] = コ[n] + 二[n]

両漸化式から コ[n] を消去して
二[n+2] = 4*二[n+1] - 二[n]

また、コ[1] = 8, 二[1] = 4 なので、二[2] = 12, 二[3] = 44, 二[4] = 164, 二[5] = 612

よって、求める総数は コ[4] + 二[4] = 二[5] = 612 通りです。

ハミルトン閉路数も、a[n] = (1/2)*コ[n] + (1/2)*二[n] = (1/2)*二[n+1] と考えると、
a[1] = 6, a[2] = 22, a[n+2] = 4*a[n+1] - a[n]
という漸化式が成り立つことが示されます。
（ここでは n を立方体数として考えているので、A003699 とは n の値が 1 つずれます）