😊出会いの泉😊

折り紙を使うと角の３等分はおろか５等分もできるらしいですね。

定木とコンパスとでは出来ない正１１角形の作図もできるとか。
↓
https://core.ac.uk/download/pdf/59041733.pdf

平面に３点A,B,Cをとり、今角∠ABCを３等分することを試みる。
但し定規に２つの傷、もしくは目印としてP,Qの２点をマジックで印を付けておく。
①；直線AB上に点BからPQの距離と同じ長さとなるように、そこに点Oをとる。
② ; 点Oを通り直線BCに平行な線ODを引く。
③ ; 点Oを中心として半径OB(=PQ)である円を描く。
④ ; 定規を点Bを通る様にして、点Pが円と点Qが直線ODと重なる様に調整したら定規に線BEを引く。
　　(説明のために円と直線(=OD)との交点をそれぞれP,Qと名付ける。)

以上の作業から
△OPQ,△OBPは二等辺三角形より
∠POQ=∠PQO=θ　なら
∠OPB=∠OBQ=2θ　で
また平行から
∠OQB=∠CBQ=θ
これから
∠ABC=3θ

したがって角∠ABCの３等分線の一つは直線BEであり
後は角∠ABE=2θを従来のやり方でこれを２等分すればよい。

＊定規の目的を直線をただ引くという役目に、ちょっと手を加えるだけで全てが変化する
　ことが面白いです。

> 後は角∠ABE=2θを従来のやり方でこれを２等分すればよい。

せっかくいろいろ補助線がありますので、これを利用して
Qを中心としてPを通る円を描いて、円OとのPでない交点をFとすれば
BFがもう一つの三等分線になりますね。

> ④ ; 定規を点Bを通る様にして、点Pが円と点Qが直線ODと重なる様に調整したら定規に線BEを引く。

この条件を満たす定規の角度は全部で 6 つあります。
2 つは点 Q を点 O におき、定規を直線 AB に重ねて置く方法、
1 つは点 P を点 B に重ね、点 Q は点 O と異なるところに置く方法。
この 3 つは明らかに目的の線ではないので除外するとして、
残り 3 つのうちどの線を使って作図すればよいのでしょうか？

鋭角の場合は内角に 1 つと外角に 2 つなので内角にあるやつを選択すればいいとしても、鈍角の場合は内角に 2 つあります。

鈍角の場合は鋭角である外角を三等分したのちに三等分線から外側に60°の角度をとれば
鈍角の三等分線ができますので、鋭角だけ三等分できれば十分とも言えますね。

x[1]=2-√3
x[2]=(√3-1)/2
x[3]=(3-√3)/3
x[4]=√3/3
x[5]=(3-√3)/2
x[6]=√3-1

y[1]=(3-√2)/7
y[2]=(4-√2)/7
y[3]=(3+√2)/7
y[4]=(4+√2)/7
でしょうか。

またもや全問正解です。

２次無理数を有理数へ写像するアイデアをよく思いつくものですね。
というわけで

[0,1]区間で
?(x)=x
を満たすxは0,1/2,1以外にも存在していますが、その値は？
理屈的にはこの値は２次無理数のはずですよね。

0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
という値になりますが、これは2次無理数ではないですね。
（もしxが2次無理数なら?(x)は有理数なので?(x)=xにはなりません）

そうか！
例の不動点の小数第37位までを作る２次無理数で
gp > (sqrt(3219756132232550086641835218537)-1054710584836911)/(2*879764482467118)
%67 = 0.42037233942322307564099300664622187395
が作れたのでてっきり可能だろうと思ってしまった。
?(x)関数は連続ではないんですね。Pi/4や∛2などの点では繋がらない。
数ってどんだけあるんだってことですね。

ちなみに
1-0.42037233942322307564099300664622187394918986660061…
=0.57962766057677692435900699335377812605･･･
も不動点となりますね。

> ?(x)関数は連続ではないんですね。

連続関数と書かれています。
Pi/4などの数でも、上と下から有理数で押さえれば?(x)もいくらでも近い値になりますので、
その有理数の極限として表されるPi/4もその間の値として定義され、連続になりますね。

S1 = π/(2√3)
S2 = π/√6
S3 = π/3
S4 = log(2+√3)/√3
かな？

全て正解です。
(4)はasinh(√3)/√3　(asinh(x)はハイパボリックアークサイン)の式でも可です。

調和数列が、発散することから、
等差数列の逆数和も発散する。
公差がいくつでも、間が空いても、発散する。

等差数列の逆数和も発散する。
だが符号を交互にした交代級数にすると収束できます。
初項を1、公差をdにすると
d=1; S1=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+･････=log(2)
d=2; S2=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+･････=π/4
d=3; S3=1-1/4+1/7-1/10+1/13-1/16+･････=(π+√3*log(2))/(3*√3)
d=4; S4=1-1/5+1/9-1/13+1/17-1/21+･････=√2/8*(π+2*log(1+√2))
d=5; S5=1-1/6+1/11-1/16+1/21-1/26+･････=(2*log(2)+√(2+2/√5)*π+√5*log((3+√5)/2))/10
d=6; S6=1-1/7+1/13+1/19-1/25+1/31-1/37+･････=0.9037717737487720468･････
d=7; S7=0.91547952683･････
d=8; S8=0.92465170577･････
d=9; S9= 0.93203042415･････

S6とS8は
S6=(π+(√3)log(2+√3))/6
S8=(√(4+2√2)π+√(2-√2)log(7-4√2+2√(20-14√2))+√(2+√2)log(7+4√2+2√(20+14√2)))/16
と書けますね。

どうしてS7を飛ばしてS8（これも結構複雑）を出されたのだろうと
何気にS7へ挑戦していたら、たっぷりと時間をとられて

S7=1/7*(log(2)-2*sin(π/14)*log(2*sin(3*π/14))-2*cos(π/7)*log(2*sin(π/14))+2*sin(3*π/14)*log(2*cos(π/7)))+π/28*tan(π/14)+1/tan(π/14))

なる決して美しくはない式でした。

なるべく統一して
t=sin(π/14)と置いて
S7=1/7*(log(2)-2*t*log(2*(3*t-4*t^3))-2*(1-2*t^2)*log(2*t)+2*(3*t-4*t^3)*log(2*(1-2*t^2)))+π/(28*t*sqrt(1-t^2))

で少しはショートに

S7の式をこねくり回して何とかきれいな形にしたところ、
S3,S5,S7,S9は同じ形で書けることがわかりました。

S3=(2/3){π/(4sin(π/3))
-cos(π/3)log(sin(π/6))}

S5=(2/5){π/(4sin(π/5))
-cos(π/5)log(sin(π/10))
-cos(3π/5)log(sin(3π/10))}

S7=(2/7){π/(4sin(π/7))
-cos(π/7)log(sin(π/14))
-cos(3π/7)log(sin(3π/14))
-cos(5π/7)log(sin(5π/14))}

S9=(2/9){π/(4sin(π/9))
-cos(π/9)log(sin(π/18))
-cos(3π/9)log(sin(3π/18))
-cos(5π/9)log(sin(5π/18))
-cos(7π/9)log(sin(7π/18))}

n=2m+1（m≧1）のとき
Sn=(2/n){π/(4sin(π/n))-Σ[k=1～m]cos((2k-1)π/n)log(sin((2k-1)π/(2n)))}
が成り立ちそうですね。

(追記)
偶数も

S2=(2/2){π/(4sin(π/2))
-cos(π/2)log(sin(π/4))}

S4=(2/4){π/(4sin(π/4))
-cos(π/4)log(sin(π/8))
-cos(3π/4)log(sin(3π/8))}

S6=(2/6){π/(4sin(π/6))
-cos(π/6)log(sin(π/12))
-cos(3π/6)log(sin(3π/12))
-cos(5π/6)log(sin(5π/12))}

S8=(2/8){π/(4sin(π/8))
-cos(π/8)log(sin(π/16))
-cos(3π/8)log(sin(3π/16))
-cos(5π/8)log(sin(5π/16))
-cos(7π/8)log(sin(7π/16))}

のように書けるようです。
偶奇合わせて
Sn=(2/n){π/(4sin(π/n))-Σ[k=1～[n/2]]cos((2k-1)π/n)log(sin((2k-1)π/(2n)))}
でOKでした。
（奇数の式のΣの終値のmを[n/2]に変えただけです）

昔この極限値はガンマ関数（gamma(x))を真数にとった対数(log(gamma(x)))の
導関数をとったd(log(gamma(x))/dxをpsi(x)関数と表示し
psi(x)=gamma'(x)/gamma(x)
の性質を利用することで、この公差d（初項は1)の等差数列の逆数での交代級数の
極限和T(d)が

T(d)=(psi((d+1)/(2*d))-psi(1/(2*d)))/(2*d)

で算出できるところから、数値を算出していました。

今回らすかるさんの式

S(n)=(2/n)*(Pi/(4*sin(Pi/n))-sum(k=1,floor(n/2),
cos((2*k-1)*Pi/n)*log(sin((2*k-1)*Pi/(2*n)))))

で2つの数量を見較べましたらピタリ２つは一致しました。(n=1は除外）


また以前こんな計算をしていて不思議に思ったことに
zeta(3) =1+1/2^3+1/3^3+1/4^3+1/5^3+･･･
3/4*zeta(3)=1-1/2^3+1/3^3-1/4^3+1/5^3-･･･
には円周率が現れないのに(zeta(5)にも)
1-1/3^3+1/5^3-1/7^3+1/9^3-1/11^3+･･･＝π^3/32
上の応用で(psi''(3/4)-psi''(1/4))/128 より計算可能('記号は微分を示す。)

1-1/3^5+1/5^5-1/7^5+1/9^5-1/11^5+･･･＝5*π^5/1536
(psi''''(3/4)-psi''''(1/4))/24576　より計算可能

と公差2で交代級数をとれば円周率が姿を現す。（他の公差dでは現れない。）

ディリクレ指標[1,-1,0]のL関数でも
1-1/2^3+1/4^3-1/5^3+1/7^3-1/8^3+1/10^3-1/11^3+･･･=4*π^3/(81*sqrt(3))
1-1/2^5+1/4^5-1/5^5+1/7^5-1/8^5+1/10^5-1/11^5+･･･=4*π^5/(729*sqrt(3))
やはり円周率が顔をのぞかせる。

たとえ交代級数的でもなく,＋符号だけの等差数列数のものでも
1/3^3+1/7^3+1/11^3+1/15^3+･･･+1/(4*n-1)^3+･･･=7/16*zeta(3)-π^3/64
やはり円周率が顔をのぞかせる。

ほんんとに無限は不思議です。

無限級数で、Σ１/N(数字の０の表示された数を除く)
が、収束することが知られていますが、
収束値が、２０くらいだったようですが、御存知の方よろしくお願いします。他の数字を除いた場合も調べています。

0を除く oeis.org/A082839 23.103447909420541616034054043325598138302800005282141886723094772…
1を除く oeis.org/A082830 16.176969528123444266579603880364009305567219790763133864516906490…
2を除く oeis.org/A082831 19.257356532808072224532776770194454115526053831154870149868362949…
3を除く oeis.org/A082832 20.569877950961230371075217419053111414153869674730783489508528500…
4を除く oeis.org/A082833 21.327465799590036686639401486939512843750951703270021817251189541…
5を除く oeis.org/A082834 21.834600812296918163407235040609182717846567515013918291679359184…
6を除く oeis.org/A082835 22.205598159556091884167380480007527105193856106668463270276938233…
7を除く oeis.org/A082836 22.493475311705945398176226915339775974005915541672512361791460444…
8を除く oeis.org/A082837 22.726365402679370602833644156742557889210702616360219843536376162…
9を除く oeis.org/A082838 22.920676619264150348163657094375931914944762436998481568541998356…
参考
http://shochandas.xsrv.jp/series/harmonicseries.htm

らすかるさん、いつも、ありがとうございます。
以前にも、同様の内容がありましたが、
０の数字を除いた極限値が一番大きくて、
１の数字を除いた極限値が一番小さい。
極限値の比較は、容易に示せたりしますか？
曖昧な質問ですが、知りたいです。
今、数字１のみで表される（１，１１，１１１，…）の逆数和をSとして、数字２のみで表される（２，２２，２２２，…）の極限値は２S。
多分、収束するとしてですが、調査中です。

1+1/11+1/111+…の極限値は
↓こちらにあります。
http://oeis.org/A065444
これが収束することは
1+1/11+1/111+…＜1+1/10+1/100+…=10/9から言えますね。
1/2+1/22+1/222+…の極限値は上記の半分です。

早速、ありがとうございます。
１/9=1/10+1/100＋…
　　　＜1/(10-1)+1/(100-1)+…
＝1/9+1/99+1/999+
=1/9(1+1/11+1/111+…)＝ｓ/9
1<s=
まで

s=1+1/11+1/111+…なのでs＞1は自明ですが、No.334の意図は何でしょうか？
ところで
1,1/11,1/111,…を1/9した1/9,1/99,1/999,…の小数を並べて書くと
0.11111111111111111111…
0.01010101010101010101…
0.00100100100100100100…
0.00010001000100010001…
0.00001000010000100001…
これを縦に足すと
小数第1位は 1の(正の)約数の個数
小数第2位は 2の約数の個数
小数第3位は 3の約数の個数
小数第4位は 4の約数の個数
小数第5位は 5の約数の個数
小数第6位は 6の約数の個数
・・・
のようになり、1,2,3,…の約数の個数は
1,2,2,4,2,4,2,4,3,4,2,6,2,4,4,5,2,6,2,6,…
ですから、
0.12242424342624452626…
を9倍すれば1+1/11+1/111+…の収束値になりますね。
（ただし約数の個数が10以上のときは上の桁に繰り上げる）

GAI様、こんばんは。

はじめまして。

この構造は、バーゼル問題と同じですね。

有理数の無限和が、無理数になる。

うんざりはちべえさんは、バーゼル問題について誤解していませんか？

有理数の無限和が有理数になる場合もあるのでは？

例えば、　１/（１・２）＋１/（２・３）＋１/（３・４）＋・・・＝１　ですよね．．．。

管理人様、こんばんは。

ああ、そうなんですか？

オイラーがどうやったかは、詳しくなると、
https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1583-12.pdf
に書いてありますが、よく理解できてません。

管理人様、

＞有理数の無限和が有理数になる場合もあるのでは？
＞例えば、　１/（１・２）＋１/（２・３）＋１/（３・４）＋・・・＝１　ですよね．．．。

管理人様のおかげで、有理数は四則演算で有理数で閉じていることと無限和が無理数になるという矛盾の手がかりが見えて来ました。

ありがとうございます。

これで、数学に対する不信感が幾分和らいだのです。

調和級数
Σ（ｎ＾ｓの逆数）＜ｓ/(s-1)…　＊
s＞１のとき、収束し、ｓ＝１のとき、発散することがよく知られています。
ところが、素数の逆数和が発散するのには、びっくりです。
流石に、双子素数の逆数和では、収束する。
収束と発散の境目は、難しいですね。

管理人様、おはようございます。

いつも、ご迷惑おかけします。

これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもので、私がそれを証明できる技量・ヒントは、現在持ち合わせておりません。

いずれか将来、そういうチャンスに恵まれたときまで、お待ちください。

また、投稿の余計な一文が管理人様のご機嫌を損ねたことをお許しください。

すると、すべての無限小数は、無理数になるのではないかという疑問が、生じると思います。

その疑問も答えは、
では、1/3は、無理数にならないのかというと、1/3は1÷3で、あまりが循環するから、循 環するのです。つ まり、１÷3=0.333・・・＋０．００・・・・１で、０．００・・・・１は、あまりです。

つまり、演算が可能な範囲で0.333・・・が並んでいるので、無限では、演算ができないので、1÷３は、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数です。

その説明では、√２は、無理数ですが、無限に計算してゆくので、無限では、演算ができないなら、有限小数になる可能性があります。したがって、有理数ですとなってしまうではないか？

それには、循環する無限小数は、有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数であるが、答えにならないでしょうか？
つまり、循環してないといけないのです。

０．９９９・・・は、根拠もなしにただ、９を並べ多数ですから、演算はどこにもありません。

循環小数は有理数なので、分数にできますが、０．９９９・・・は、分数にできません。私が、x=aとして、１０倍して引いてもx=aでした。
0.333・・・という循環小数を分数にする方法では、1/3になりますが、1/3は、０．３３３・・・より、＋０．００・・・・１で、０．００・・・・１は、あまりです。つまり、０．３３３・・・より大きくなっているのですから、循環小数を分数にする方法は、間違いです。

うんざりはちべえさん、論理が破綻していませんか？

論理が破綻してますか？どのへんでしょうか？それは、さておいて、多分、

＞これは、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が正しいという結論から、導き出されたもの　

もともと、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題が怪しいのです。

すると、すべての無限小数は、有理数になってしまいます。バーゼル問題が正しければ、すべての無限小数は、無理数になってしまいます。

＞循環する無限小数は、有理数に含まれますが、循環しない無限小数は無理数である。

からも矛盾します。

もともと、有理数は、四則演算で有理数で閉じているという事実でありながら、その無限和が無理数になるというバーゼル問題は、不適切な命題なんでしょうね。

これで終わりにしましょう。
長い間、ご迷惑おかけしました。

……関係があるのかもしれないと思いまして投稿いたします。

まずは参考文献のご案内から。

■《高校生における「無理数」の概念》（大山正信・米沢光洋）
( https://core.ac.uk/download/pdf/144571306.pdf )

この参考文献の p.10 から引用します。

-----
彼のこの誤解は,彼が【1】において,「無理数とは確定した数が存在しないもの」としているところから生じていると考えられる
-----

引用部分にある生徒の誤解は、「無限回の操作を必要とするのでいつまでたっても確定した値を取れない」といった気持ちからくるものなのであろうと推察されます。

自分自身を振り返りますと、小学生くらいの頃までは同じような気持ちが強かったと思います。

私の場合には中学一年の頃に出会った関根先生の教え方が上手だったのかもしれませんけれど、なんとなくですがこうした疑問は消えてしまいました。

関根先生は 確か、
「全ての有限小数は無限小数としても書くことができる、書き方が違うだけで値は同じだ」としつこく宣言していらっしゃいました。
こうした宣言を念仏もしくは御題目のようにことあるごとにバリトンの声で繰り返していらっしゃいました。
関根先生が好きな例題は１/４でした。
黒板に書くのはいつも
０.２５＝０.２４９９９９９９９９９………………………
でした。チョークで……を素早く黒板の端から端まで一気に書く必殺技をお持ちでして、一部の生徒たちも真似しようと奮闘していたことが懐かしく思い出されます。 これがなかなか難しいのですけれど。

尻切れトンボですけれども、今回の投稿は以上です。
追記：先程の参考文献で【切断】関連の問いかけを行なったときの生徒たちの反応についてのアンケート結果が出ていまして大変に興味深いものでした。

以上です。

　さて、うんざりはちべえさんは、おそらく、２人で行うグーチョキパーで行うジャンケンは（原理的には）公平であるとお考えの筈です。
　
ジャンケンぽんっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
あいこでしょっ、
勝ったー（負けたー）
　
という例のやつです。
　
《このジャンケンのルールは公平である》ことと
《３進法で記すときに １/２ ＝ ０.１１１１１１………（無限小数）の等式が成立する》
こととは同値であることを指摘しておきたく思います。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんばんは。

ありがとうございます。

> このことから、
> 0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
> は、無理数であるとなりますね。

なるわけないじゃないですか。
私の主張を勝手に捻じ曲げないでください。

続き2に入ってからの投稿を見ましたが、はちべえさんがやっていることは数学と呼べないように思います。

はちべえさんは、根拠があろうとなかろうと自分の予想が間違っているわけがないという前提に立っているように感じます。
そのような考え方は、良く言って宗教、悪く言えば妄想と呼ばれるべきものです。

ここは数学の場です。
証明が用意できないのならば（公理と定義を除き）どんな記述も真実かどうかわからない、という数学的立場で発言してください。

DD++様、おはようございます。

ご指摘ありがとうございます。

さて、https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...によれば、0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もあるそうです。それは、無限小を0とするかしないかの違いだそうです。

昨日は、2日も更新されず、これは、DD++様への返信が、必要であると気づいて、投稿したのですが、あの行は、DD++様の発言の回答には、不要であると気づいて、あの行を消そうと思った時に、管理人様の投稿があったのです。それで、不要な事態を招いてしまいました。

皆様、大変、ご迷惑おかけしました。

うんざりはちべえさんは、
　「0.999・・・=1という体系もあれば、0.999・・・<1という体系もある」
ということを知った上で、「0.999・・・=1という体系」は誤りだという立場なんですよね？

管理人様、おはようございます。

無限小を⊿とします。
０．９９９・・・=1の考えでは、⊿＝０です。
一方０．９９９・・・＜1の考えでは、⊿＞０です。

ここで、四則演算が、無限でも適用できるとします。

１）さて、実数は連続なので、a＋⊿=bとすると、a,bは隣り合うはずですね。
ところが、⊿=0なら、a=bで、同じものです。実数は、飛び飛びで、隣り合うものができない、連続でないとなりませんか？

２）有理数の稠密性で、a<bなら、a<(a+b)/2<bですね。(a+b)/2=cとおくと、
a<(a+c)/2<c<bで稠密なんですよね。

ここで、ｂ＝２⊿+aとすると、a<(a+b)/2<bは
a<(a+⊿)<a+2⊿
となりますね。⊿=0では、この不等式は成り立ちませんね。
すると、有理数の稠密性が成り立ちませんとなりませんか？

私は、普通の一般人なので、こんな初歩的な疑問です。

> さて、実数は連続なので、a＋⊿=bとすると、a,bは隣り合うはずですね。

「隣り合う」とは何を意味していますか？
そして、その意味の上で「a＋⊿=bとすると、a,bは隣り合う」の証明は？

DD++様、こんにちは。

a≠bとなるb>a>0とします。c=(b-a)とすると、cの最小値は、⊿になりますよね。

aとbの距離は、最小値⊿ですから、隣り合うとなると思います。

三次元のグラフ上のa,bとなると、話が違ってきますが、数直線で考えるとということです。

cの最小値は⊿しかないわけですから。

なお、以下の話は、ないものとしておきます。

１）連続なら、a<(a+b)/2<bが存在するから最小値は⊿/2だ、（無限小は⊿なので、）とはなりませんよね。

２）微分の⊿＞⊿^2>0も、ここでは、扱わないとします。

(1) 「隣り合う」という言葉を正確に定義してください。
(2) その c=
b-a に最小値は存在しません。

「隣り合うとは」
最小目盛り幅が⊿の数直線で、目盛り上のaの隣の目盛り上をbとして、隣り合うa,bと言ってます。
すべての点は、最小目盛り幅の自然数倍にあるとします。
ただし、a,bが3目盛り離れていると、中点cは1．5目盛りなので、目盛り上からずれてしまいます。
また、点間は、無限小以上を守らないといけないので、連続するには、すべての点は、最小目盛り幅でなければならないと思います。
デジタル的だと思うかもしれませんが、無限小間隔です。目盛りは可付番で、どれ一つ同じものはありません。

つまり、⊿=0だと、すべての点が、座標で決められていれば、一点に重なります。座標とは無関係ならば、座標が１点になるので、多くの点が消えてしまいます。これは、先に、⊿＞０で座標が決まっていたものを、⊿＝０にするという勘違いですね。

c が目盛り上からずれてしまうというのは、
・c=(a+b)/2 は実数とは認めない
・この点の集合は全ての実数を表していない
のどちらですか？

ｃは、実数です。

目盛り上で、ないといけないというのではなくて、点と点の幅が⊿以上あればよいのではないでしょうか？

最初に書いたb=a+⊿です。これを目盛り付きの数直線で、説明したほうが、隣り合うということを説明しやすかったもので・・・・

だから、連続も、点と点の幅が⊿であれば、目盛り上である必要はないと書いたつもりです。

では、a と b の間が 3 目盛りだとして、
c=(a+b)/2 と d=(a+2b)/3 の表す点の幅はいくつですか？

うんざりはちべえさんがΔを持ち出していらしたので、横入りですけれどもひとことを。

うんざりはちべえさんが現在展開なさろうとしている無限小についてのお話しの筋立てには未来がありません。早晩、矛盾があちこちから吹き出して行き詰まります。やめておいたほうがいいです。

うんざりはちべえさんが、オリジナルな方法で、真剣に無限小を実数に組み込もうと思っていらっしゃるのであれば、
数学基礎論をひととおり勉強し、なかでもモデル理論について自信が持てるほどにしっかりと身につけ、
そうした武器を駆使した上でオリジナルの超実数について体系を構成していくべきです。
私たちは、通常、標準的なモデルの上で数学について語り合っています。
いま、うんざりはちべえさんは、標準的なモデルの上で、Δを持ち出していらっしゃいますが、これは不毛です。標準的なモデルにはおっしゃるような概念のつけいる隙はありません。

ですので、「私はこのように無限小を捉えたい」というのであれば、
全く新しい非標準的なモデルの上での数の体系を創造しなければなりません。
これは、素人には無理な話です。
テキトーにやろうとすると失敗するので、厳密なやり方をまずは学ぶ必要があるのです。たぶん、大学院レベル。

なお、新しいモデルの上で無限小を定式化し実数の体系を補完し新しい数の体系を生み出した事例は既に　*複数*　、存在していますが、
そうしたなかには、1＝０.９９９…を是とした体系も、1＞０.９９９…を是とした体系も、ともにあるのだそうですよ。
どれが正解だ、という問いは存在せず、「かくかくしかじかの手法で数の体系を構築したら、こうなった、おもろい。」でしかないのです。
重ねて申し上げますが、標準的なモデルでの上での実数体を前提としている、大概の数学掲示板では、１＝０.９９９……が真です。
これが偽だといいはじめると、おそらく会話がうまくいきません。

「だったら新しい体系を建設してもってきてね、数学基礎論の言葉で各種の述語を定義して、公理・定理の連鎖でもって、実数体の拡張をしてみてくださいね」としか、反応できませんよね。

※たしか、ロビンソン流の超準解析でも、１＝０.９９９……だった気がしますが、不勉強の私ですから眉唾ですね。

GAIさんによる御指摘の真偽を判定するには至りませんでしたけれども、少なくとも OEIS に誤植があろうことは確実と思われます。

実際に検算いたしますと、
A099291[5]+A099292[5]+A099293[5]+A099294[5]+A099295[5]+A099296[5]+A099297[5]+A099298[5]+A099299[5]+A099300[5]=
9999 +10137 +9908 +10025 +9971 +10026 +10028 +10025 +9978 +9902
=99999
となりまして
OEISが無矛盾であるときに期待される値である100000に1足りません。
GAIさんによる御提起に状況証拠となるやもしれません。

↓こちらで解決済みだと思います。
http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1309.html

あら！
近ごろ記憶障害が起き出しているのかも。
随分前に記録していたノートのメモを読み返していたら、この部分についての　”どうして違うのだろう？”
というコメントを残して居ったので、つい以前投稿していたことを全く忘れており再び投稿してしまった次第です。
お恥ずかしい。(先頭の3はカウントに入れるの間違いも犯していました。3は入れないが正しいです。）
ノートに投稿済みとメモを追加しておきました。

Dengan kesaktian Indukmu様、おはようございます。
はじめまして。

おしゃっていることが、レベルが高すぎて、理解できません。

No.254の有理数進数では、無理数を表せないと修正します。

> 有理数の四則演算なので、有理数で閉じているから、無限であっても、有理数のはずです。

なるほど、ではその証明をどうぞ。
四則演算一般でなく和の場合のみ、すなわち「有理数の総和は有理数である」という命題だけで構いません。

DD++様、遅れてすみません。２４時間に２０投稿という制限がありました。うっかりです。

これで、どうでしょう？

有理数と有理数の和が有理数であることを証明する。
数学的帰納法を使う。

a0/b0を初項とする。有理数である。
これに、a1/b1をたすと、
a0/b0+a1/b1=(b1a0+b0a1)/(b1b0)
であり、右辺は有理数である。

a0/b0からan/bnまでを足しても有理数cn/dnだったとする。
さて、これに、a(n+1)/b(n+1)を加えると、
cn/dn + a(n+1)/b(n+1) = {b(n+1) cn+dn a(n+1)}/{dn b(n+1)}
右辺は有理数である。

よって、数学的帰納法によって、証明された。

ちょっと、雑ですが、お許しください。

数学的帰納法は、任意の自然数nについてある条件が成立することを示す証明法です。
つまり、はちべえさんがここで証明した命題は正しくは「任意の自然数nについて任意のn個の有理数の総和は有理数となる」という命題です。

確かにこれで、個数が100個であろうが1万個であろうが、有理数のみからなる総和は有理数であることが保証されました。
しかし、数学的帰納法を用いた以上、そこには【その個数が自然数として表現できる限りは】という制約がついてきます。

無限は残念ながら自然数ではありませんね。
したがってこの証明では有理数のみからなる無限和が有理数になるかどうかは実は不明なままなんです。
無限和でも有理数だと主張したいのであれば、個数が自然数でなくても適用できる証明をしなくてはなりませんが、さて、どうでしょう？

DD++様、おはようございます。

＞無限和でも有理数だと主張したいのであれば、個数が自然数でなくても適用できる証明をしなくてはなりませんが、さて、どうでしょう？

困りました。

そこで、世間では、どうしているのだろうと、みると、
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
の「収束することの証明」では、無邪気に無限までなんの説明もなく、やっています。

まあ、参考にはなりませんね。困りました。いい案ないですかね？

ところで、放送大学の「初歩からの数学」で、有理数には、循環する無限小数はふくまれ、循環しない無限小数は無理数だと習いました。循環する無限小数は、例えば、1÷7ですが、あまりが循環するので、循環する無限小数となるのです。ところが、0.999・・・は、無限小数ですが、あまりはありません。つまり、あまりが循環する循環小数では、ないのです。したがって、無理数です。１は有理数で、0.999・・・は、無理数で、等号で結べませんと思います。

世間一般では、「0.999・・・」は循環小数だと思うのですが、うんざりはちべえさんはそう考えないわけですね？

管理人さん、おはようございます。

いつもご迷惑おかけします。

さて、０．９９９・・・は、ただ９を並べただけで、９が連続する（循環する）理由がないですよね。見かけは、循環しているように見えますが、ちがいますよね。
１÷７は、あまりが循環するから、循環小数になり、無限小数になります。

循環する根拠（理由）は、いりませんか？

１÷１を計算すれば、９が連続しませんか？

１÷１＝1で、長さ０の有限小数です。あまり、0です。

もしかして、
0.9999
1)1
　　10
　　 9
　　--------
　　　 10
　　　　9
　　　------
　　　　10
　　　　　9
　　　　-------
　　　　　10
　　　　　９
を言ってます？あまり１で循環させることもできます・・・
昔の同僚が、学校の数学の先生から１＝０．９９９・・・の証明として、説明されたと言ってました。

これで、１＝０．９９９・・・は、終わりにしますか？

> 困りました。いい案ないですかね？

ありません。なぜなら、実際には無限和の場合この命題は偽だからです。反例の1つがまさにバーゼル問題です。

同様に、交換法則、結合法則等も無限和においては成立せず、それどころか同じ内容の式であれば何回計算しても常に同じ答えになることすら保証されません。

もちろん、9を付け足していくという操作に関しても、有限回であれば当たり前のことが無限回で成り立つかどうかは逐一証明が必要です。
9を付け足しているだけでは繰り上がりが起こらない……本当に無限回でもそうですか？
というのが最初に私が指摘した内容です。

「あまり１で循環させることもできます・・・」とのことですが、どうするのでしょうか？

宇宙人との接触に成功し懸命に文化・学問の交流を試みはじめていました。
この宇宙人とのあいだで、地球の数学概念・数学記号について対話しています。
宇宙人側は万能翻訳機に近いものを持ってはいたのですが……
対話のなかで
不等号についてはすぐに宇宙人にご理解いただけました。
ところが等号についてはなかなかご理解いただけていません。

宇宙人側にとって、
1=0.999999……
がどうやら難関のようです。

十進の有限小数の範囲までなら等号の意味を理解はしてもらってはいるのですけれども。

そんなある日のこと、地球側の小さな子ども（ジョン）が、宇宙人の子ども（名前不明）と話はじめました。

ジョン
「あのねえ
Ａ＝Ｂ
について説明するよ。
もひとつなんでもいいから十進の有限小数となるＣをもってくる。
Ａ＜Ｃ　
Ｂ＜Ｃ　
がともになりたつか
Ａ＞Ｃ　
Ｂ＞Ｃ　
がともになりたつかの、
どちらかがどんなＣについても必ずいえるとき
Ａ＝Ｂ
というんだよ。 」

名無し（宇宙人の子）
「なあんだ、地球の等号って、そういうことなのか、悩んで損したなあ」

子どもたちの会話を聞いていた大人たちは喜びました。
地球の十進無限小数の概念が伝わった瞬間でした。

※あとでわかったことですが宇宙人の数学での数の表現は連分数展開を基調とするものだったのでした。


―――

という例えばなしはいかがでしょうか？

十進の有限小数の全体の集合をデデキントっぽく切断して十進の無限小数（循環小数または無理数）に拡大するというお伽噺です。

DD++様、こんにちは。

無限では、情報はなくなるという理解でいいのでしょうか？

管理人様、こんにちは。

＞「あまり１で循環させることもできます・・・」とのことですが、どうするのでしょうか？

管理人様の1÷１のことです。

Dengan kesaktian Indukmu様、こんにちは。

難しいお話ですが、お手数をおかけして、申しわけございません。

具体的にどう計算するのかを知りたいのですが…。

管理人様、No.275です。
　--------
１）１
で、あまり１として、
　　0.9
　--------
１）１0
　　　９
　　-----
　　　１
とあまり１にするのです。
　　0.9９
　--------
１）１0
　　　９
　　-----
　　　１０
　　　　９
　　　------
　　　　１
とあまり１にするのです。
もう説明不要でしょう？

もちろん、
　　1
　-------
１）１
　　１
　　----
　　0
ですけどね。だから、1=0.999・・・となります。

もちろん、これは、方便に過ぎないと思いますが、あまり１で循環する無限小数となります。有理数になります。

1÷1で、あまり1が続く計算から、0.999…が循環小数であることを示されたわけですが、
このことは今まで言われていたことに矛盾しませんか？

0.999・・・は、無理数です。循環小数とする根拠がありませんからね。

この1÷１は、あくまで、方便です。0.999・・・を作るのに、インチキしてますからね。

1=0.999・・・を終わらせる方便です。管理人様の発案を利用しただけです。

この議論は、終わりにしないと、管理人様にもいつまでも迷惑をおかけし、他の人にも迷惑だと思いました。

本当は、これから、0.999・・・は、循環小数かという議論が、したかったのですが・・・。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0
には、0.999・・・は、循環小数と書かれています。

勝手な行動ばかりで、管理人様には、本当にすみません。

「情報が失われる」という数学的用語は私が知る限り存在しませんが、それを「演算について閉じなくなる」と同じ意味で用いているのであれば、そうです、無限の場合にはそうなることがあります。
また、そうならない場合でも、無限の場合でも適用可能な証明をするまでは断言することはできません。

DD++様、おはようございます。

＞なぜなら、実際には無限和の場合この命題は偽だからです。反例の1つがまさにバーゼル問題です。

このことから、
0.999・・・=9/10+9/10^2+9/10^3+9/10^4+・・・・
は、無理数であるとなりますね。

DD++様の
＞「情報が失われる」という数学的用語は私が知る限り存在しませんが、それを「演算について閉じなくなる」と同じ意味で用いているのであれば、そうです、無限の場合にはそうなることがあります。

は、理解できました。

>また、そうならない場合でも、無限の場合でも適用可能な証明をするまでは断言することはできません。

は、注意しておきます。

ありがとうございます。

「p≡1 (mod 8), (mod 12), (mod 5), (mod 28)のとき・・・であるが、それを満たす最小の素数は2521」
と言っているのでは？

最近、　-1＝・・・９９９　という表記に触れ、不思議さを感じました。

表現というのは、違和感ありますね。まだ計算の途中みたいな、
同等になるということですか。
４sin(pai/4)cos(pai/4) も同等ですね。

0.999…＝１は、厳密には、極限の問題ですが、
ｘ　＝０.９９９９…とおいて、１０倍して
１0ｘ＝９.９９９…＝９＋０.９９９…＝９＋ｘ　より
９ｘ＝９　つまり、ｘ＝１が気に入ってます。

ちょっとKS様の計算に疑問ですが、

x=aとする。
　nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、
x=a

さて、ここで、a=0.9999・・・・,n=10を代入すると、　

　10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x= 9 ✕ 0.9999・・・ なお右辺の✕は掛け算のかけるという記号です。
両辺を10-1でわると、
x=0.999・・・・

となりませんか？

管理人さんのコメントに対してですが、、代数学的に、x=aは、10倍して、引いても、x=aなのです。

ですから、よく説明される
　10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
両辺を10-1でわると、
x=1
なんて、真っ赤な嘘です。
代数学的結論を否定するこの計算はおかしいのです。

別のはなしで説明すると、
x=1-0.1=0.9 とする。
　10x= 9
-) x= 0.9
9x= 8.1
x=0.9

x=1-0.01=0.99とする。
　10x= 9.9
-) x= 0.99
9x= 8.91
x=0.99

x=1-0.001=0.999とする。
　10x= 9.99
-) x= 0.999
9x= 8.991
x=0.999

同 様にして、x=1-10^(-n)とすると、｛　x=0.9999・・・・であるが｝
　10x=10{1-10^(-n)}
-) x= 1-10^(-n)
9x= 9-10 10^(-n)+10^(-n)
9x= 9-9 10^(-n)
x= 1-10^(-n)

よって、10^(-n)＞0であるから、{ 10^(-n)においてnは無限大であるから、10^(-n) は無限小である。}
x<1
つまり、
x≠1

ここで、もし、10^(-n)=0とすると、｛もし、10^(-n)=0 つまり、無限小は0であるなら｝
x= 1-10^(-n)=1　つまり、x=1であり、x=0.9999・・・・とはならない。

無限小を使ってもだめである。

私は、0.999・・・=1は、間違いだと思います。

1/3は、0.333・・・・となるということをよく考えると、1÷3はあ まりが出てきて、0.333・・・・・と、あまり０．０・・・・1ですね。無限に３が続くということは、あまりが無限に続くということです。あまりが、な くなったら、３は終わりです。ところが、０．３３３・・・・は、あまりがいらない、なくなると言っているのです。

したがって、1/3≠０．３３３・・・です。両辺を３倍するにしても、左辺は１ですが、小数計算は末位からするのが、規則ですが、そこを無理やり、３倍しても０．９９９・・・ですが、1/3✕3=1≠０．999・・・となり、1≠０．999・・・です。


また、ε-δ法は、実数なら、使えるかもしれないが、１０進数では使えないのである。

数直線で考えると、ε-δ法でできたとなるが、10進数で、0.999・・・をいくら1に近づけようと9を増やしても、0.999・・・でしかない のです。

なぜなら、0.999・・・・の9を使い果たしたら、桁上がりして1になるのであるからです。

9を使い果たすということは、0.0・・・・1がなければありえないのです。したがって、ε-δ法では、どこまで行っても0.999・・・に過ぎ ないのです。

０．９９９・・・＝１の問題は１０進数の問題であるから、明らかに、０．９９９・・・＜１なのです。

極限なら、０．９９９・・・はほぼ１でしょう。
しかし、等号で、結ぶことは、できません。

100歩譲りましょう。

NHK のBSPでみた「コ ズミック　フロント「相対論ｖｓ．量子論　事象の地平線と“異次元のダンス”」から思いました。

車いすの天才・ホーキング博士が提示した「ブラックホール情報パラドックス」で、ブラックホールは熱を出して、縮み消滅し、すべての情報は失われるといったの に、量子力学者たちは、情報は無くならないといい、論争になり、何年もかかって、超弦理論で、情報は無くならないと結論が出たのです。

さ て、自然数、１，２，３，・・・・と無限までゆくとします。偶数は、2nで、奇 数は2n+1です。では、無限大は、偶数ですか、奇数ですか？ととわれると、無限大は、どちらかわからないので、偶数でも、奇数でもないという説明では間 違っていると思います。

無限では、バーゼル問題でも、有理数（分数）は、四則演算で、有理数で閉じているのに、π^2/6という無理数になっているのです。

有理数で閉じているものが、無限で、無理数になるということは、有理数という情報が無限でなくなっているのです。

無限では、情報はなくなるのです。

ですから、自然数から派生した無限大も自然数もそういう情報なので、無限大は、情報がなくなって、自然数というこ ともありませんし、 無理数かもしれないし、虚数かもしれないし、複素数かもしれないし、これまでの概念を超えたものかもしれなくなるということです。そうなると、大小関係（情報）もなくなるということです。

ということにすれば、1/3=0.333・・・・となるのです。

（でも、これには根拠がありません。無理数、あるいは複素数かもしれませんから・・・・）

10進数について、注意書きをします。
10進数は、10個の記号をつかいます。０，１，２，３，４，５，６，７，８，９です。
記号を使い果たしたら、桁上がりします。つまり、９の次が必要にならないと、桁上がりしません。

０．９９９・・・と９を無限に並べても、９の次の記号が必要にならない限り、桁上がりは起きず、１にはなりません。

もし、超弦理論ででた結論で、無限でも情報が無くならないとすると、

√２は、
√2=1.414213562373095・・・
なので、桁ごとに表すと、次のようになります。
=1+4/10+1/10^2-+4/10^3-+2/10^4-+1/10^5-+3/10^6-+5/10^7-+6/10^8-+2/10^9-+・・・・
さて、右辺は、有理数の四則演算なので、有理数で閉じていますから、無限であっても有理数のはずです。
したがって、10進小数はすべて、有理数となるはずです。
つまり、10進小数は、無理数を含まない、すなわち、10進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
当然、2進数でも、桁ごとに表せば、有理数の四則演算なので、有理数で閉じていますから、無限であっても有理数のはずです。したがって、２進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
同様にして、自然数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
同様にして、有理数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？

結論として、有理数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？

うんざりはちべえさん、ご投稿ありがとうございます。うんざりはちべえさんの計算で
10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
　9x= 9×0.9999・・・
がよく分かりません。9.999・・・から0.999・・・を引いたら、9になると思うのですが、なぜ、
「9×0.999・・・」という書き方になるのでしょうか？

管理人さん、ご迷惑おかけします。連投しましたことをお許しください。

管理人さんの質問ですが、それは、次の代数式の計算に当てはめているからです。
x=aとする。
　nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、
x=a

仮定が「x=aとする。」で、結論が「x=a」では、何も計算していないことにならないで
しょうか？うんざりはちべえさんの計算の真意は？

Komornik-Loreti 定数 というのがありまして、定義や、どんな数値になるのかについてを OEISの
「A055060」で参照できます。
今回はこの定数を q で表すこととします。
さて『1 の q進表現』を考えますと、1 = 0.11010011001011010010110011010011…
となりまして、この数は Thue-Morse 列 となります。

Thue-Morse 列につきましては、http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1053.html
に色々な関連事項が記載されています。

そも管理人さんが見たのは「……999=-1」なんですよね？
これは「0.999……=1」とは全く別の等式なわけですが議論が明後日の方向にすっ飛んでませんかね。
（前者は解析接続の話、後者は極限の話）

また、はちべえさんの論理に対して指摘を1つ。
はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。
で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう？

管理人さん、私は、
　10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
両辺を10-1でわると、
x=1

この計算の、10倍したものから引いて、0.999・・・が消えるという計算に疑問があったのです。
0.999・・・を桁移動しても、無限だから、小数部が、変わらないということを代数計算で、否定したのです。

少なくとも、小数計算は、原則として末位から行うもので、無限だから、末位はありえないので、この計算はできないと指摘しているWebもあります。

それもあったので、代数計算でやってみたら、x=aは、n倍して引いても、x=aであり、aの小数計算が不要であることが、示されました。

DD++様、はじめまして。

＞はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。

これは、どこの話でしょうか？たくさん連投したもので、すみません。
バーゼル問題でしょうか？

＞で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう？

これも、どこの話でしょうか？ひらめきが悪くてすみません。

上はバーゼル問題のところの話ですね。
単なるはちべえさんの理解の確認程度です。

下はNo253の話です。

1 の値についての十進表現として自明な 1 と非自明な 0.99999… とがあることについて話題になっているようですね。
実のところ、1 の値について 2 通りの十進表現を許容することが標準的なモデルとなっていますのでなんら問題なしとしたいところではあります。

十進に限らなければ、たったの2通りでは済まないこともありえます。

黄金比を q で表すこととします。
ここで『1 の q進表現』についてさまざまな表現を列挙したく存じます。

いま、表現の循環部を()で囲むことといたします。
注:10進表現で()の使い方わ例示しますと、
1/3=0.(3)
ですし、
1/7=0.(142857)
とします。
本当は循環部の始めと終わりの桁の数字の上に「・」を書きたいのですが、今回は諦めることとし、()で代用します。

話を戻します。1の黄金比進表現をいくつか並べます。

1
1.(0) →無限小数
0.(10) →無限小数
0.11
0.1011
0.101011

この他にも多数あります。(上の例では可算無限個の表現がありますね）

以上、十進に限らなければ、たったの2通りでは済まないこともありえる、というお話をしました。

なお、前回に投稿した Komornik-Loreti 定数を基数とした表現を取りますと、1 の値の表現として非自明なものは、投稿済みのあの表現のたったの１個しかないそうです。

もっと驚くべきは、 基数を上手に選べば、1の値の表現が【非】可算無限個存在することもある、という……

以上は
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
を参考にしております。