😊出会いの泉😊

最近、　-1＝・・・９９９　という表記に触れ、不思議さを感じました。

表現というのは、違和感ありますね。まだ計算の途中みたいな、
同等になるということですか。
４sin(pai/4)cos(pai/4) も同等ですね。

0.999…＝１は、厳密には、極限の問題ですが、
ｘ　＝０.９９９９…とおいて、１０倍して
１0ｘ＝９.９９９…＝９＋０.９９９…＝９＋ｘ　より
９ｘ＝９　つまり、ｘ＝１が気に入ってます。

ちょっとKS様の計算に疑問ですが、

x=aとする。
　nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、
x=a

さて、ここで、a=0.9999・・・・,n=10を代入すると、　

　10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x= 9 ✕ 0.9999・・・ なお右辺の✕は掛け算のかけるという記号です。
両辺を10-1でわると、
x=0.999・・・・

となりませんか？

管理人さんのコメントに対してですが、、代数学的に、x=aは、10倍して、引いても、x=aなのです。

ですから、よく説明される
　10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
両辺を10-1でわると、
x=1
なんて、真っ赤な嘘です。
代数学的結論を否定するこの計算はおかしいのです。

別のはなしで説明すると、
x=1-0.1=0.9 とする。
　10x= 9
-) x= 0.9
9x= 8.1
x=0.9

x=1-0.01=0.99とする。
　10x= 9.9
-) x= 0.99
9x= 8.91
x=0.99

x=1-0.001=0.999とする。
　10x= 9.99
-) x= 0.999
9x= 8.991
x=0.999

同 様にして、x=1-10^(-n)とすると、｛　x=0.9999・・・・であるが｝
　10x=10{1-10^(-n)}
-) x= 1-10^(-n)
9x= 9-10 10^(-n)+10^(-n)
9x= 9-9 10^(-n)
x= 1-10^(-n)

よって、10^(-n)＞0であるから、{ 10^(-n)においてnは無限大であるから、10^(-n) は無限小である。}
x<1
つまり、
x≠1

ここで、もし、10^(-n)=0とすると、｛もし、10^(-n)=0 つまり、無限小は0であるなら｝
x= 1-10^(-n)=1　つまり、x=1であり、x=0.9999・・・・とはならない。

無限小を使ってもだめである。

私は、0.999・・・=1は、間違いだと思います。

1/3は、0.333・・・・となるということをよく考えると、1÷3はあ まりが出てきて、0.333・・・・・と、あまり０．０・・・・1ですね。無限に３が続くということは、あまりが無限に続くということです。あまりが、な くなったら、３は終わりです。ところが、０．３３３・・・・は、あまりがいらない、なくなると言っているのです。

したがって、1/3≠０．３３３・・・です。両辺を３倍するにしても、左辺は１ですが、小数計算は末位からするのが、規則ですが、そこを無理やり、３倍しても０．９９９・・・ですが、1/3✕3=1≠０．999・・・となり、1≠０．999・・・です。


また、ε-δ法は、実数なら、使えるかもしれないが、１０進数では使えないのである。

数直線で考えると、ε-δ法でできたとなるが、10進数で、0.999・・・をいくら1に近づけようと9を増やしても、0.999・・・でしかない のです。

なぜなら、0.999・・・・の9を使い果たしたら、桁上がりして1になるのであるからです。

9を使い果たすということは、0.0・・・・1がなければありえないのです。したがって、ε-δ法では、どこまで行っても0.999・・・に過ぎ ないのです。

０．９９９・・・＝１の問題は１０進数の問題であるから、明らかに、０．９９９・・・＜１なのです。

極限なら、０．９９９・・・はほぼ１でしょう。
しかし、等号で、結ぶことは、できません。

100歩譲りましょう。

NHK のBSPでみた「コ ズミック　フロント「相対論ｖｓ．量子論　事象の地平線と“異次元のダンス”」から思いました。

車いすの天才・ホーキング博士が提示した「ブラックホール情報パラドックス」で、ブラックホールは熱を出して、縮み消滅し、すべての情報は失われるといったの に、量子力学者たちは、情報は無くならないといい、論争になり、何年もかかって、超弦理論で、情報は無くならないと結論が出たのです。

さ て、自然数、１，２，３，・・・・と無限までゆくとします。偶数は、2nで、奇 数は2n+1です。では、無限大は、偶数ですか、奇数ですか？ととわれると、無限大は、どちらかわからないので、偶数でも、奇数でもないという説明では間 違っていると思います。

無限では、バーゼル問題でも、有理数（分数）は、四則演算で、有理数で閉じているのに、π^2/6という無理数になっているのです。

有理数で閉じているものが、無限で、無理数になるということは、有理数という情報が無限でなくなっているのです。

無限では、情報はなくなるのです。

ですから、自然数から派生した無限大も自然数もそういう情報なので、無限大は、情報がなくなって、自然数というこ ともありませんし、 無理数かもしれないし、虚数かもしれないし、複素数かもしれないし、これまでの概念を超えたものかもしれなくなるということです。そうなると、大小関係（情報）もなくなるということです。

ということにすれば、1/3=0.333・・・・となるのです。

（でも、これには根拠がありません。無理数、あるいは複素数かもしれませんから・・・・）

10進数について、注意書きをします。
10進数は、10個の記号をつかいます。０，１，２，３，４，５，６，７，８，９です。
記号を使い果たしたら、桁上がりします。つまり、９の次が必要にならないと、桁上がりしません。

０．９９９・・・と９を無限に並べても、９の次の記号が必要にならない限り、桁上がりは起きず、１にはなりません。

もし、超弦理論ででた結論で、無限でも情報が無くならないとすると、

√２は、
√2=1.414213562373095・・・
なので、桁ごとに表すと、次のようになります。
=1+4/10+1/10^2-+4/10^3-+2/10^4-+1/10^5-+3/10^6-+5/10^7-+6/10^8-+2/10^9-+・・・・
さて、右辺は、有理数の四則演算なので、有理数で閉じていますから、無限であっても有理数のはずです。
したがって、10進小数はすべて、有理数となるはずです。
つまり、10進小数は、無理数を含まない、すなわち、10進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
当然、2進数でも、桁ごとに表せば、有理数の四則演算なので、有理数で閉じていますから、無限であっても有理数のはずです。したがって、２進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
同様にして、自然数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？
同様にして、有理数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？

結論として、有理数進数は、無理数を含まないとなるのではないでしょうか？

うんざりはちべえさん、ご投稿ありがとうございます。うんざりはちべえさんの計算で
10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
　9x= 9×0.9999・・・
がよく分かりません。9.999・・・から0.999・・・を引いたら、9になると思うのですが、なぜ、
「9×0.999・・・」という書き方になるのでしょうか？

管理人さん、ご迷惑おかけします。連投しましたことをお許しください。

管理人さんの質問ですが、それは、次の代数式の計算に当てはめているからです。
x=aとする。
　nx=na
-) x= a
(n-1)x=(n-1)a
両辺を(n-1)でわると、
x=a

仮定が「x=aとする。」で、結論が「x=a」では、何も計算していないことにならないで
しょうか？うんざりはちべえさんの計算の真意は？

Komornik-Loreti 定数 というのがありまして、定義や、どんな数値になるのかについてを OEISの
「A055060」で参照できます。
今回はこの定数を q で表すこととします。
さて『1 の q進表現』を考えますと、1 = 0.11010011001011010010110011010011…
となりまして、この数は Thue-Morse 列 となります。

Thue-Morse 列につきましては、http://shochandas.xsrv.jp/mathbun/mathbun1053.html
に色々な関連事項が記載されています。

そも管理人さんが見たのは「……999=-1」なんですよね？
これは「0.999……=1」とは全く別の等式なわけですが議論が明後日の方向にすっ飛んでませんかね。
（前者は解析接続の話、後者は極限の話）

また、はちべえさんの論理に対して指摘を1つ。
はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。
で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう？

管理人さん、私は、
　10x=9.999・・・・
-) x= 0.999・・・・
9x=9
両辺を10-1でわると、
x=1

この計算の、10倍したものから引いて、0.999・・・が消えるという計算に疑問があったのです。
0.999・・・を桁移動しても、無限だから、小数部が、変わらないということを代数計算で、否定したのです。

少なくとも、小数計算は、原則として末位から行うもので、無限だから、末位はありえないので、この計算はできないと指摘しているWebもあります。

それもあったので、代数計算でやってみたら、x=aは、n倍して引いても、x=aであり、aの小数計算が不要であることが、示されました。

DD++様、はじめまして。

＞はちべえさんは「有限回の計算では閉じている処理が、無限回では閉じなくなることがある」と理解しているわけですよね。

これは、どこの話でしょうか？たくさん連投したもので、すみません。
バーゼル問題でしょうか？

＞で最後に9を付け足すという処理を繰り返したときに、有限回の処理では小数点の前の数が必ず0のまま保たれるのに対して、それを無限回やったら小数点の前の数字は0とは限らなくなるはずなんですが、はちべえさんは何を論拠にそれが0のままとしているのでしょう？

これも、どこの話でしょうか？ひらめきが悪くてすみません。

上はバーゼル問題のところの話ですね。
単なるはちべえさんの理解の確認程度です。

下はNo253の話です。

1 の値についての十進表現として自明な 1 と非自明な 0.99999… とがあることについて話題になっているようですね。
実のところ、1 の値について 2 通りの十進表現を許容することが標準的なモデルとなっていますのでなんら問題なしとしたいところではあります。

十進に限らなければ、たったの2通りでは済まないこともありえます。

黄金比を q で表すこととします。
ここで『1 の q進表現』についてさまざまな表現を列挙したく存じます。

いま、表現の循環部を()で囲むことといたします。
注:10進表現で()の使い方わ例示しますと、
1/3=0.(3)
ですし、
1/7=0.(142857)
とします。
本当は循環部の始めと終わりの桁の数字の上に「・」を書きたいのですが、今回は諦めることとし、()で代用します。

話を戻します。1の黄金比進表現をいくつか並べます。

1
1.(0) →無限小数
0.(10) →無限小数
0.11
0.1011
0.101011

この他にも多数あります。(上の例では可算無限個の表現がありますね）

以上、十進に限らなければ、たったの2通りでは済まないこともありえる、というお話をしました。

なお、前回に投稿した Komornik-Loreti 定数を基数とした表現を取りますと、1 の値の表現として非自明なものは、投稿済みのあの表現のたったの１個しかないそうです。

もっと驚くべきは、 基数を上手に選べば、1の値の表現が【非】可算無限個存在することもある、という……

以上は
https://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...
を参考にしております。

「3以上」でよいと思います。

「素数の奇素数」の意味がよくわかりません（素数番目の奇素数とかのタイポかなあと思いますが）が、
仮に奇素数を全部使ってよい場合でさえ「3以上」だと3が反例になるのでは？

あ、奇素数だったんですね。失礼しました。

# というか、奇素数に限る必要はないと思いますけどね。

ksさんの問題の仮定に加えて、《その二つの奇素数のうち「少なくとも一つ」は「双子素数の片割れ」とすることができる。》

こちらには反例があるでしょうか。

５＝３＋３－１
７＝３＋５－１
１１＝５＋７－１
１３＝３＋１１－１
１７＝７＋１１－１
１９＝７＋１３－１
２３＝１１＋１３－１
２９＝１３＋１７－１
……
このあたりまでは双子素数の片割れないし両方が右辺に顔を出すようにできるようです。

もっと左辺が大きい場合にはどうでしょうか？

確かに、３＝２＋２－１なのですが、２は、唯一偶数の素数で、
特別この時以外は、使わないので、奇素数＋奇素数ー１の場合だけにしました。あと同時に、
姉妹編、５以上の奇素数は、奇素数＋２のべき乗数で表せる
こちらは、すぐに見つかりました。最小数は？
謎の多い素数が、簡単な式で表せるほど、甘くはないと、
単純な式では、うまく反例があるとは思いますが。

反例となる最小の奇素数は、１２７ですね！

ｋｓさんからのコメント:
《５以上の素数は、二つの奇素数の和から、１を引いて表せる。》について、これに反例があるかどうかについては
ゴールドバッハ予想について参照すれば参考になろうかと存じます。

《その二つの奇素数のうち「少なくとも一つ」は「双子素数の片割れ」とすることができる。》に反例があるかどう
かについては 、OEISの「A295424」： Number of distinct twin primes which are in Goldbach partitions of 2n
が参考になります。

引用します。
”Conjecture. Further empirical examinations lead to a hypothesis that all even numbers n ＞ 4 have at least 1 twin prime in GP(n).”

以上となります。

面白い問題ですね。

(1) 216 = 3^3 * 2^3, 162 = 3^4 * 2
(2) 592 = 2^4 * 37, 925 = 5^2 * 37
(3) 901 = 17 * 53, 910 = 2 * 5 * 7 * 13
(4)
(5) 180 = 2^2 * 3^2 * 5, 1080 = 2^3 * 3^3 *5
(6) 175 = 5^2 * 7, 1575 = 5^2 * 7 * 3^2
(7) 125 = 5^3, 512 = 2^9
(8) 625 = 5^4, 256 = 2^8
(9) 2401 = 7^4, 1024 = 2^10

(4) だけは理詰めでも当てずっぽうでも厳しそう……。


これも綺麗ですかね。
知らなきゃ難問だと思いますが。

ABC = p^2 * q^2 (p<q)
ACB = r^2
BCA = s^2

管理人様、DD++様
　ご回答ありがとうございます。正解です！

DD++様
　ＡＣ＝p^4　　ですね。
　数字の並びを知っていたら分かりますが、理詰めで解くならば素数の平方が3桁になるものを書き出して絞りそうです。

　(4) については、
　　　ＡＢＣとそのアナグラムが互いに素であれば素因数3を含まないこと、
　　　7*11*13＝1001＞999より、pは2または5であること
　　などを用いれば多少絞り込めますが、最後はしらみつぶしかなと思います。

（追記）
最終的には、
　ＡＢＣ＝p*q*r，　（ＡＢＣのアナグラム）＝s*t*u
のようなものを作りたかったのですが、私が手計算した限りでは存在しませんでした。

(4) 874 = 2 * 19 * 23, 847 = 11^2 * 7

s が　2 桁になるのは想定してなかった……。

(4)の解はもう一つありますね。

DD++様
　ありがとうございます。私の想定解でした。

らすかる様
　ありがとうございます。
　唯一解と思っていましたが、確かに s が２桁の解がもう１つありましたね。

管理人さんの解答である 174 と 147 は、素因数の 3 が重複してるので
「p、q、r、…… は、相異なる
素数とする。」
に反していますね。

DD++さん、ご指摘ありがとうございます。確かに、条件に反していましたね！

ひょっとして、以下の式でしょうか。

1^k+19^k+20^k+51^k+57^k+80^k+82^k ＝ 2^k+12^k+31^k+40^k+69^k+71^k+85^k
( k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 )

※上の式は本日、Google徘徊をしていて偶さかにみつけました。

⇒ Chen Shuwen's Equal Sums of Like Powers Page http://euler.free.fr/eslp/

またもやオイラープロジェクトです。

このドキュメントには「12個の累乗和」も例示されていました……

以前出会った等式の中にa,b,cを任意の自然数とし

(6*a-3*b-8*c)^k+(5*a-9*c)^k+(4*a-4*b-3*c)^k+(2*a+2*b-5*c)^k+(a-2*b+c)^k+b^k
=(6*a-2*b-9*c)^k+(5*a-4*b-5*c)^k+(4*a+b-8*c)^k+(2*a-3*b)^k+(a+2*b-3*c)^k+c^k

(但しk=0,1,2,3,4,5)

というものがありました。
こんなにも自由度がありながら成立できるなんてと思っていろいろa,b,cのパラメータを変化させてみて確かめたんですが
確かに等号が成立していきます。
中にはa,b,cの取り方によってはk=6,7,8,9,10,･･･でも等号OKというものもでてきます。

こんな式をよく思いつきますよね～

貴重な、スペシャルな解を、見つけてくださって、ありがとうございます。
私の、探索の中では、二けた以内の自然数解はありませんでした。
見つけたのは、二組。
（1，19，28，59，65，90，102）
≡（2，14，39，45，76，85，103）
（1，16，26，62，75，105，107）
≡（5，7、37，50，86，96，111）

最初の式が、間違えてました。
ABCD＋ADBC＞＝ACBD　でした
トレミーの不等式でした。
等式の部分が不足してます。

等号が成り立つ⇔（α－β）（γーδ）＝ｋ（αーδ）（βーγ）
⇔（α－β）（γーδ）/（αーδ）（γーβ）=ーk（実数）
⇔偏角を取ると、０ではなく、１８０°の場合になる
⇔ＡＲＧ（（α－β）（γーδ）/（αーδ）（γーβ））＝π
⇔ＡＲＧ（α－β/αーδ）＋ＡＲＧ（γーδ/γーβ）＝π
⇔∠ＤＡＢ＋∠ＤＣＢ＝π　対角の和がπ
⇔Ａ、Ｂ、C、Dは同一円周上の点

もし「存在できないことが証明されている」としたら
↓こちらの第5項に「0」が入れられるはずなので、
https://oeis.org/A264764
少なくとも非存在の証明はされていないと思います。

7項の6乗数の総和が6乗数となる式は
GAIさんから御提示頂いた式の他にも、たとえば
1645^6 = 1560^6 + 1299^6 + 864^6 + 702^6 + 618^6 + 430^6 + 150^6
など、幾つかが見つけられているようですね。

こうした式をデータベース化しているサイトがありまして、上記はそこから引きました。
一方
・6項の6乗数の総和が6乗数となる式
・5項の6乗数の総和が6乗数となる式
は、このデータベースには登録されていないようです。

■御参考データベース
Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers
http://euler.free.fr/database.txt

このサイトでの情報は物凄いですね。
色々な人が世界各地で膨大な時間を費やして、ふとした疑問に真剣に取り組んでいる有様は佐渡金山や石見銀山に見るような地下に張り巡らされている
鉱脈を掘って突き進む鉱山師の姿を彷彿と思い起こされます。
現代においては個人で掘り進むというより、どれだけ他人が掘った特色や系統を総合的に観察、分類していけるかが重要なんじゃないかと感じてしまう。こんな情報を集めれるリテラシーを鍛えねばと思います。

なおこのデータをソートして観察していたら
taxi cab 的造りで(6,3,3)のパターンが1934年Subba Rao氏が見つけたという
3^6+19^6+22^6=10^6+15^6+23^6
だけしか登録されていなかったので、少し範囲を広げて検索してみたら
36^6+37^6+67^6=15^6+52^6+65^6
33^6+47^6+74^6=23^6+54^6+73^6
32^6+43^6+81^6=3^6+55^6+80^6
37^6+50^6+81^6=11^6+65^6+78^6
などが比較的簡単に探すことができました。

そういえば
Degan さんのペンネームは「モスラの歌」からきているのですか？

六個の場合、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6=x^6-y^6=g^6
となるgは存在しない。

また、五個の場合、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=(x^3+y^3)(x^3-y^3)
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=x^6-y^6=f^6
となるfは存在しない。

というのは、どうでしょう？

7個でも、
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6+y^6=x^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=x^6-y^6
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=(x+y)(x^2-xy+y^2)(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に
a^6+b^6+c^6+d^6+e^6+f^6+g^6=x^6-y^6=h^6
となるhは存在しない。

となってしまうな。

だめでした。

a^3+b^3+y^3=x^3
a^3+b^3=x^3-y^3
a^3+b^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)
故に、
a^3+b^3=C^3
となるcは存在しない。

という具合に、フェルマーの最終定理もできてしまうなあ？

そうか、x^6-y^6となる必要はないんだ。x^3-y^3もおなじ。

7個の場合、合計数の素因数分解がu^6 v^6 z^6・・・であれば良く、 6個でも、5個でも、おなじ。

フェルマーの最終定理もおなじで、a^3+b^3+y^3=x^3でなくて、a^3+b~3=c^3であればいいんだな。

うっかりでした。

GAIさん、御明察です。ペンネームは「モスラの歌」からです。
この曲のカバーはいくつも出ていますが、やはり御初代様によるものが一番の好みです。

さて。話題を戻しますけれども。

GAI さんが探しておられた (6,1,5)の他、 (6,2,4)も、《探索すべし》というニーズがあった模様でして、
そこで一挙両得の探索として(6,2,5)を組織的に試みるプロジェクトがあったようです。
（変数のひとつが 0 であればという）

そして(6, 2, 5)は多量にみつかりましたが、(6,1,5)も (6,2,4)も見つからなかったようです。
今回は以下を見て投稿しております。

arXiv:1108.0462v1[math.NT]2Aug2011

All solutions of the Diophantine equation
a^6 + b^6 = c^6 + d^6 + e^6 + f^6 + g^6　for a, b, c, d, e, f, g < 250000
found with a distributed Boinc project
Robert Gerbicz
Jean-Charles Meyrignac
Uwe Beckert
August, 2011

※未来から見たら小さいレンジでの探索なのでしょうけれども…
(6,1,5)や (6,2,4)がひとつやふたつ見つかったしても〔仮定法過去〕私には不思議とは思えません。

以上です。