😊出会いの泉😊

累乗和のバージョンアップ

3から109までには全部で28個の奇素数が存在するが
それから12個を取り出し、6個ずつの2組
A=[p1,p2,p3,p4,p5,p6]
B=[q1,q2,q3,q4,q5,q6]
に分ける。この時
p1^r+p2^r+p3^r+p4^r+p5^r+p6^r = q1^r+q2^r+q3^r+q4^r+q5^r+q6^r
が
r=1,2,3,4,5
全てで成立するという。
このような2組A,Bはどんな組合せか？

もしこれを見つけられた方は、どの様な手段をとり得られるものなのか粗筋を教えて欲しい。
（ある所でこんなものが成立できる組合わせが可能であることを知ったが、総当たり攻撃
の方法では私の残りの人生を使っても時間が無い！)

No.1670GAI2024年1月15日 17:44

[19, 29, 53, 73, 97, 107]
[17, 37, 43, 83, 89, 109]
ってことですか？

No.1671DD++2024年1月15日 21:28

あ、手段もでしたね。

数学感動秘話「複素世界の拡張」で私が半分まで提示した
[a+c, b+c, 2a+6b+c, 4a+4b+c, 5a+10b+c, 6a+9b+c]
[c, a+4b+c, 2a+b+c, 4a+9b+c, 5a+6b+c, 6a+10b+c]
で、a=12, b=2, c=17 を当てはめただけです。

これらを全て素数にしようとすれば、a は 6 の倍数、b は偶数、c は 7 以上の素数しかありえず、
6a+10b+c≦109 の範囲では (a,b) の取りうるパターンが 4 通りしかないので順に試しました。

No.1672DD++2024年1月15日 21:42

プログラムで探索しました。
(17,37,43,83,89,109)
(19,29,53,73,97,107)
実行時間0.5秒
手段の粗筋
・5乗のみで一致するものを探し、一致したら4乗以下を計算
・使用する最大の要素を決めてそれをp1とし、以降q1,p2,q2,p3,q3,p4,q4,p5,q5,p6の順に
未使用素数をあてはめていく（最後のq6はあてはめず合計の差の5乗根を計算）
ただしp1＞p2＞p3＞p4＞p5＞p6, q1＞q2＞q3＞q4＞q5＞q6
例えば最大がp1=97のとき次のq1は89,83,79,…の順にあてはめる
ここで、例えばp1=97,q1=71となったとき、q2≦67かつ97^5＞71^5+67^5×5から
q1≦71では解がないことがわかりますので、中止します。
# 97^5＞73^5+71^5+67^5+61^5+59^5+53^5のようにきちんと判定すれば73でも解がない
# ことがわかりますが、判定を粗くして5乗の回数を減らしています。
q1～p6すべてにおいてこの判定を入れます。
# 問題から考えると最大は109と予想できましたが、念のため
# 107以下を最大とした場合に解がないことも確認しました。
# ちなみに最大を109に固定するとEnterキーを離すまでに実行が終わります。

No.1673らすかる2024年1月15日 21:47

2016年に論文になったものが
DD++ さんによってとっくに一般化されていたことにビックリです。

http://eslpower.org/TarryPrb.htm#Ideal%20prime
で、
[19, 29, 53, 73, 97, 107]
[17, 37, 43, 83, 89, 109]
を探してください。

No.1674Dengan kesaktian Indukmu2024年1月15日 22:03

「10個の素数を5個ずつに分けて1～4乗で一致するようにする」にすると109まででは無理みたいですね。

No.1675らすかる2024年1月15日 22:16

数学感動秘話「複素世界の拡張」
を見て、こんなことを昔やっていたことを懐かしく思い出しました。
５年も経つとすっかり忘れてしまうものです。
改めて、こんな問題に深く関わるものなんだと認識を新たにします。
DD++さんが考えられていた5乗冪までのパラメータ解なら一発なんですね。
過去のノートのメモをふり返っていたら、DD++さんの他にパラメータ解として
S(a,b,c)=[6*a-3*b-8*c, 5*a-9*c, 4*a-4*b-3*c, 2*a+2*b-5*c, a-2*b+c, b]
T(a,b,c)=[6*a-2*b-9*c, 5*a-4*b-5*c, 4*a+b-8*c, 2*a-3*b, a+2*b-3*c, c]
を使うと
S(52,17,19)
%136 = [109, 89, 83, 43, 37, 17]
T(52,17,19)
%139 = [107, 97, 73, 53, 29, 19]
また
S(74,43,29)
%137= [83, 109, 37, 89, 17, 43]
T(74,43,29)
%140 = [97, 53, 107, 19, 73, 29]
など一発で求まることが出来ました。

らすかるさんのプログラムの組み方を読んで、こんな工夫をしない事には時間がいくらあっても求めることが不可能
であることが認識されました。
しかしリターンキーを離す瞬間に答えが求められるとは恐れ入ります。

様々なリンクをたどって情報を集めてみると
4乗冪までの素数組は
A=[401,521,641,881,911]
B=[431,461,701,821,941]
(2016年発表)
の様です。

さらに驚くべきは
A=[32058169621, 32367046651, 32732083141, 33883352071,
　 34585345321, 35680454791, 36915962911, 38011072381,
38713065631, 39864334561, 40229371051, 40538248081]
B=[32142408811, 32198568271, 32900561521, 33658714231,
34978461541, 35315418301, 37280999401, 37617956161,
38937703471, 39695856181, 40397849431, 40454008891]
の２組での12個ずつの素数では何と11乗冪までの等式が成立するという。
(2023,4,8発表)
ということで、つい最近の発見だそうです。
人間の探す執念は物凄いものですね。

No.1678GAI2024年1月16日 16:16

4乗冪までの素数組は、もっと小さいものがあります。
A=[23,31,103,109,167]
B=[13,59,67,131,163]
自分のプログラムで見つけた結果で、これが最小解です。
GAIさんが書かれた解は和が1342になるペアが5個となっている「対称な」解ですね。

No.1679らすかる2024年1月16日 18:01

ところで、5年前の私はパラメータ解を見つけた方法自体を伏せたみたいですね。
GAI さんの楽しみを奪わないためだったのか、それとも、いろんな探し方のアイデアが出ていたので他の方に変な先入観を与えないためだったのか……。

今回は開示した方が GAI さんが楽しめるんじゃないかということで、以下に意味深なことを記載しておきます。

f1(x) = x^17*(1-x^2)
f2(x) = 1-x^12
f3(x) = 1-x^14
f4(x) = 1-x^16
f5(x) = 1-x^18
f6(x) = 1-x^30

これらは全て、fn(1) = 0 となる多項式です。
さて、これら 6 つの式を掛け合わせて展開すると何が起こるでしょうか。

No.1681DD++2024年1月16日 18:43

無茶苦茶凄いことが起こるではないですか！
よくこんな母関数的式を思いつけますね？
DD++さんの頭の中はなんか違う。

らすかるさんが求めていた
4乗冪までの素数組は、もっと小さいものがあります。
A=[23,31,103,109,167]
B=[13,59,67,131,163]
というものを
DD++さんの手法で構成してみようと挑戦してみたら
P=x^78 - x^74 + x^68 + x^66 - x^62 + x^58 + x^56 + x^54 - x^52 + x^48 + x^46 + x^44 + 2*x^36 + x^34 + x^26 + x^24 + x^22 + x^14 + x^12 + 1
なるちょっと不細工な式を導入することにはなりましたが
x^13*(x^22-1)*(x^18-1)*(x^14-1)*(x^12-1)*(x^10-1)*P
で行けそうです。

<追伸>
最後の面倒なPを省略し、x^13を単にxで
x*(x^22-1)*(x^18-1)*(x^14-1)*(x^12-1)*(x^10-1)
を展開すると
A=[77, 53, 51, 49, 47, 45, 45, 43, 19, 15, 13, 11]
B=[67, 65, 63, 59, 35, 33, 33, 31, 29, 27, 25, 1]
のグループ分けが可能で
この12個ずつでの4乗冪までの等式が成立できることが起こせました。

No.1682GAI2024年1月17日 07:14

そうなんですよ。
この手法、展開後の項数が少ないことが、必ずしも展開前のパーツの項数が少ないことを意味しないのが難しい点です。
結局のところ、出てきた項がどのくらい効率よく消えてくれるか勝負なので……。

No.1683DD++2024年1月17日 20:50

返信 (10)

1/sin10° = √3 tan70° + 1

「筑駒、恐るべし」の記事の等式、私も以前考えたことがあって、もっとシンプルな証明を見つけていますので投稿します。

頂角 A = 20° の二等辺三角形 ABC を考え、BC = 2 とします。
辺 AB 上に ∠BCD = 20° となるように点 D をとり、辺 AC 上に CE = 1 となるように点 E をとります。

△CBD も頂角 20° の二等辺三角形なので、CD = 2 です。
すると、△CDE は長さ 1 と 2 の辺の間が 60° という三角形なので、
これは直角三角形であり、AC⊥DE, DE = √3, ∠CDE = 30° が得られます。
したがって、∠ADE = 70° より AC = AE + CE = √3 tan70° + 1 となります。

一方、二等辺三角形 ABC そのものに注目すれば、AC = 1/sin10° であることは明らかです。
よって示されました。

No.1676DD++2024年1月16日 10:41

鮮やかですね！D、Eの設定が神がかっています。良いものを見させていただきました。

No.1677HP管理者2024年1月16日 13:45

ちなみに、頂角を 20° ではなく 2θ にとると、
2sin(3θ)+2cos(3θ)tan(90°-2θ)=1/sinθ
という一般化された式になります。

何かを考えたくてこの図を作った記憶があるんですが、一体何のためだったのか思い出せない悲しみ。

No.1680DD++2024年1月16日 18:28

返信 (2)

未来の数楽科

「数学科」ってどういうところですか？
思っていたとおり（予想通り）でしたか？

来生は
「数学科」「化学科」「経営学科」のどれかにいきたい。
どれに転んでも、ご縁があったところでいい。

私は、あまりにも難し過ぎる数学はやりたくない。

高校で、数Ⅰ・数ⅡＢ・数Ⅲ　だったから
大学では、数Ａ・数Ｂ・数Ｃ　や難関中学入試問題の算数
パズルやゲーム　
ができる亜型の数学科　または　数楽科　が誕生したらいいな～。

No.1668カルピス2024年1月14日 23:15

同感です。
数学＝海、山、宇宙のイメージ
「ｒ１ゲーム」思考型は、どうでしょう。

No.1669ks2024年1月15日 07:47

返信 (1)

その他の累乗和

累乗和について色々な場面で目にしていた組合せをノートにメモしていたものを
まとめて並べてみました。
これ以外にもまだあると思いますので、お気づきのものがありましたらお知らせ下さい。
またこれらはどの様な手法で発見できるのだろうか？

#2乗まで一致する
A=[1, 5, 6]
B=[2, 3, 7]
または
A=[1, 6, 8]
B=[2, 4, 9]
または
A=[1, 4, 6, 7]
B=[2, 3, 5, 8]
または
A=[1, 4, 7, 8]
B=[2, 3, 6, 9]

#3乗まで一致する
A=[1, 5, 8, 12]
B=[2, 3, 10, 11]
または
A=[1, 7, 8, 14]
B=[2, 4, 11, 13]
または
A=[1, 4, 8, 12, 17]
B=[2, 3, 7, 14, 16]
または
A=[1, 6, 10, 14, 17]
B=[2, 4, 11, 15, 16]
または
A=1, 10, 11, 12, 18]
B=[2, 6, 13, 15, 16]
または
A=[1, 7, 8, 9, 18]
B=[3, 4, 6, 13, 17]

#4乗まで一致する
A=[1, 5, 9, 17, 18]
B=[2, 3, 11, 15, 19]
または
A=[1, 7, 9, 18, 20]
B=[2, 4, 13, 15, 21]
または
A=[1,18, 20, 47, 49]
B=[5, 7, 34, 36, 53]
または
A=[1, 6, 7, 8, 14, 15]
B=[2, 3, 9, 10, 11, 16]
または
A=[1, 5, 8, 12, 18, 19]
B=[2, 3, 9, 13, 16, 20]

#5乗まで一致する
A=[1, 6, 7, 17, 18, 23]
B=[2, 3, 11, 13, 21, 22]

#6乗まで一致する
A=[1, 19, 20, 51, 57, 80, 82]
B=[2, 12, 31, 40, 69, 71, 85]
または
A=[1, 19, 28, 59, 65, 90, 102]
B=[2, 14, 39, 45, 76, 85, 103]
または
A=[1, 16, 26, 62, 75, 105, 107]
B=[5, 7, 37, 50, 86, 96, 111]

#7乗まで一致する
A=[1, 8, 26, 44, 54, 72, 90, 97]
B=[2, 6, 33, 34, 64, 65, 92, 96]

#8乗まで一致する
A=[−98, −82, −58, −34, 13, 16, 69, 75, 99]
B=[-99, -75, -69, -16, -13, 34, 58, 82, 98]
または
A=[-174, -148, -132, -50, -8, 63, 119, 161, 169]
B=[-169, -161, -119, -63, 8, 50, 132, 148, 174]

#9乗まで一致する
A=[99, 100, 188, 301, 313,-99, -100, -188, -301, -313]
B=[71, 131, 180, 307, 308,-71, -131, -180, -307,-308]
または
A=[103, 189, 366, 452, 515, -103, -189, -366, -452, -515]
B=[ 18, 245, 331, 471, 508, -18, -245, -331, -471, -508]

#10乗まで一致する
A=[1, 5, 11, 21, 36, 42, 48, 52, 54, 58, 79, 83, 94, 95]
B=[2, 3, 14, 18, 39, 43, 45, 49, 55, 61, 76, 86, 92, 96]

No.1665GAI2024年1月14日 07:24

この
#10乗まで一致する
A=[1, 5, 11, 21, 36, 42, 48, 52, 54, 58, 79, 83, 94, 95]
B=[2, 3, 14, 18, 39, 43, 45, 49, 55, 61, 76, 86, 92, 96]

は面白い形をしていますね。
A=[1, 5, 11, 21, 36, 42, 48, 52, 54, 58, 79, 83, 94, 95]
B=[97-1, 97-5, 97-11, 97-21, 97-36, 97-42, 97-48, 97-52, 97-54, 97-58, 97-79, 97-83, 97-94, 97-95]
となっていますので。

No.1666Dengan kesaktian Indukmu2024年1月14日 09:14

返信 (1)

累乗和

8個の累乗和
（1，８，２６，４４，５４，７２，９０，９７）と
（２，６，３３，３４，６４，６５，９２，９６）
０～７乗和まで、成立します。
友人が、プログラムして、みつけてくれました。

No.1658ks2024年1月13日 09:07

12個の累乗和
(0, 11, 24, 65, 90, 129, 173, 212, 237, 278, 291, 302) と
(3, 5, 30, 57, 104, 116, 186, 198, 245, 272, 297, 299)
なら0～11乗和まで成立すると思います。

No.1660GAI2024年1月13日 14:15

0乗和を考える上で、0は問題があると思います。

No.1662らすかる2024年1月13日 17:30

いろいろなプログラム言語で0^0(または0**0)を尋ねると
Mathematica では不定
Wolfram Alpha では未定義
Microfoft Excel では#NUM!
Python, Ruby, SageMath, PARI-GP, VBA, GAP, GRAPS 等多くのソフトでは1
を返すようですね。
PARIのソフトで計算確認していたものですから、つい0乗も含めて記述していました。
なおウィキペディアの「0の０乗」での記事に
計算機科学者のドナルド・クヌースは、0^0 は 1 でなければならないと強く主張している
という文章を載せていた。

No.1663GAI2024年1月13日 21:18

たしかクヌースには、そうすると計算機科学で使われる各種公式が綺麗になるという理由があったと思います。
蓋し、あまり深い理由ではありません。

※たとえば nC0 は 1 と考えたい。
すなわち、公式を素直に拡張すると
nC0=n!/(0!*(n-0)!) =1
としたい。
此れがキマるためには
0!=0^0=1
が要請される………など。

未確認ですが、Excelの表計算とExcelのvbaとで0^0の扱いが違う時期があったと記憶しています。今はどうなのでしょうか。

No.1664Dengan kesaktian Indukmu2024年1月13日 22:36

返信 (4)

４つの数

４つの数があり、それぞれ２乗して、和を取ると平方数になります。
また、４乗して、和を取ると平方数になります。
但し、（１，１，１，１）の場合を除く。

No.1646ks2024年1月11日 09:59

（2, 2, 2, 2）, （4, 4, 4, 4）, （8, 8, 8, 8）, ・・・
という自明な解もありますが、互いに素な異なる4数に限定すると
（26, 22, 7, 4）, （33, 27, 17, 3）, （46, 44, 13, 2）, （58, 17, 8, 2）,
（74, 52, 22, 19）, （75, 45, 35, 27）, （87, 82, 36, 6）, （118, 92, 31, 26）, ・・・

No.1647らすかる2024年1月11日 13:18

らすかるさん、ありがとうございます。
因みに、４つの数は、
３乗して和を取ると、平方数になります。

No.1650ks2024年1月12日 09:09

（4, 4, 4, 4）は何乗和でも平方数になります。

No.1654らすかる2024年1月12日 14:47

１０の約数の、約数の個数
１，2，2，4　をそれぞれ何乗しても、平方数になりました。
よく見ると、１＋A＋A＋A^2＝（１＋A）＾２
元々、平方数でした。無数。悪しからず

No.1656ks2024年1月13日 08:32

返信 (4)

合成関数

ｆ（ｇ（ｘ））＝４ｘ＾２　となるｆ、ｇを求む。
但し、（ｆ、ｇ）は、（ｘ＾２，２ｘ）、（４ｘ＾２、ｘ）、
（ｘ、４ｘ＾２）以外でお願いします。

No.1651ks2024年1月12日 09:16

（Ｆ，Ｇ）＝（（１/４）ｘ^4，２√ｘ）　など無数に存在するような．．．？出題の意図がよく分からない。

No.1652ＨＰ管理者2024年1月12日 12:00

(f,g)=(x+a,4x^2-a),(4(x-a)^2,x+a),((2x/a)^2,ax)
など（aは0でない実数定数）。

No.1653らすかる2024年1月12日 12:49

限定しても、解が無数にあるようですね。
恐ろしい。勉強になりました。
ｆ＝２ｘ＾２ー4ｘ＋2、ｇ＝√２ｘ＋1

No.1655ks2024年1月13日 08:26

返信 (3)

面積計算27

高校数学範囲で、以下より速い解法（特に、式をこねくり回さない初等幾何的解法）はあるんでしょうか？

-----

凸四角形のみ考えればいいことは明らかです。

∠D の大きさを変数 θ とおきます。
凸四角形のみ考えているので、0 < θ < π です。
∠B の大きさを変数 φ とおきます。
こちらは辺の長さの都合で「0 < φ < π よりは狭いある範囲」を動きます。

余弦定理で AC^2 を 2 通りに表すことにより、
3^2 + 5^2 - 2*3*5*cosθ = 10^2 + 12^2 - 2*10*12*cosφ
すなわち
34 - 30cosθ = 244 - 240cosφ
より
cosθ + 7 = 8cosφ …… (A)

「0 < φ < π よりは狭いある範囲」では cosφ は狭義単調減少関数なので、θ を決めれば φ が 1 つに決まる、
つまり φ は θ の関数とみなすことができます。

(A) 式を θ で微分すると、
-sinθ = -8sinφ*(dφ/dθ)
つまり、
dφ/dθ = (1/8)*(sinθ/sinφ)
と導関数が得られます。
また、sinθ > 0, sinφ > 0 であることから φ は θ の単調増加関数であることがわかります。

四角形の面積 S を考えます。
S = (1/2)*3*5*sinθ + (1/2)*10*12*sinφ
= (15/2)sinθ + 60sinφ
なので、
dS/dθ = (15/2)cosθ + 60cosφ*(dφ/dθ)
= (15/2)cosθ + (15/2)cosφ*(sinθ/sinφ)
= (15/2)*sin(θ+φ)/sinφ

sinφ > 0 であることから、
θ+φ ≦ π となる範囲では S は単調増加、
θ+φ ≧ π となる範囲では S は単調減少です。
これと φ が θ の単調増加関数であることを合わせて考えると、
θ+φ = π となるときが S が最大になるときです。

そのとき (A) 式から cosθ = -7/9, cosφ = 56/9
よって sinθ = sinφ = 4√2/9 なので
S = (15/2)*(4√2/9) + 60*(4√2/9) = 30√2

No.1638DD++2024年1月9日 22:47

初等幾何的でもないし速くもないですが、とりあえず三角関数を使わない解法です。
BD^2=xとおくと、
> 3辺の長さの2乗がp,q,rである三角形の面積は
> (1/4)√{2(pq+qr+rp)-(p^2+q^2+r^2)}
というヘロンの公式の亜種により
4△ABD=√{2(1296+153x)-(81+20736+x^2)}=√{(x-81)(225-x)}
4△BCD=√{2(2500+125x)-(625+10000+x^2)}=√{(x-25)(225-x)}
4S=4(△ABD+△BCD)=√{(x-81)(225-x)}+√{(x-25)(225-x)}
{4S}'=(306-2x)/{2√{(x-81)(225-x)}}+(250-2x)/{2√{(x-25)(225-x)}}
={(306-2x)√(x-25)+(250-2x)√(x-81)}/{2√{(x-25)(x-81)(225-x)}}
={(153-x)√(x-25)+(125-x)√(x-81)}/√{(x-25)(x-81)(225-x)}
(153-x)√(x-25)+(125-x)√(x-81)=0とすると
(153-x)√(x-25)=-(125-x)√(x-81)
(x-25)(153-x)^2=(x-81)(x-125)^2
(x-25)(x^2-306x+23409)=(x-81)(x^2-250x+15625)
x^3-331x^2+31059x-585225=x^3-331x^2+35875x-1265625
4816x=680400
∴43x=6075
よって面積の最大値は
S=(1/4){√{(x-81)(225-x)}+√{(x-25)(225-x)}}
=(√(225-x)/4){√(x-81)+√(x-25)}
={√(225*43-43x)/(4*43)}{√(43x-43*81)+√(43x-43*25)}
={√(9675-6075)/(4*43)}{√(6075-3483)+√(6075-1075)}
={√3600/(4*43)}{√2592+√5000}
={60/(4*43)}(√2){√1296+√2500}
={30/(2*43)}(√2)(36+50)
=(30/86)(√2)*86
=30√2

No.1639らすかる2024年1月10日 07:55

DD++さんの計算結果からABCDは円に内接することから
A(-6,0),B(6,0)とx軸上にとり、中点を原点としy軸の正の方向にCをとると
C(-16/9,40/9*sqrt(2)), D(-237/43,90/43*sqrt(2))
これより4点を通る円の方程式が
x^2+(y-3/8*sqrt(2))^2=(3/4*sqrt(129/2))^2
となりました。

No.1640GAI2024年1月10日 08:26

ブレートシュナイダーの公式で示される四辺形の面積をぐっと睨むと、面積が最大になるのは、公式中の cos() に引き渡される変数の値が π/2 になるときとわかります。
この場合に四辺形は円に内接します。
この四辺形の面積はブラーマグプタの公式で求められます。

ということに？

No.1642Dengan kesaktian Indukmu2024年1月10日 09:57

ブレートシュナイダーの公式そのものは高校範囲ではなく、
じゃあ高校範囲の知識でブレートシュナイダーの公式の証明を書くかというと、多分私の解法より長くなりそうな気がします。

あと、ブラーマグプタは何のために持ち出されているんでしょう？
持ち出すことに何の意味もないような？

No.1643DD++2024年1月10日 12:53

DD++さん。
まさしくおっしゃる通りですね。
高校数学のシバリを失念しておりました。

なお、ブラーマグプタについては
GAIさんが「ABCDは円に内接する」と書いておいででしてそのことが私の頭に反響しておりました。ならばブラーマグプタで面積が出ると。
ならばブラーマグプタでは処理できないときのブレートシュナイダーの公式から、【最大】が得られてもよいだろうとの
逆算の発想です。舞台裏はこんなところなのでした。

No.1649Dengan kesaktian Indukmu2024年1月11日 21:17

返信 (5)

新年のご挨拶、本年もよろしく

新年早々能登地震には驚きました。
ニュースの合間にご一考を

[1]
4つの非負整数a,b,c,dで
和が21を構成できるのは何通り？
(a,b,c,d)=
(21,0,0,0)
(20,1,0,0)
(20,0,1,0)
･･････
(0,0,0,21)

[2]
3×3のマトリックスMで22を始めとする
M=[binomial(22,1) binomial(22,2) binomial(22,3)]

　 [binomial(23,1) binomial(23,2) binomial(23,3)]

　[binomial(24,1) binomial(24,2) binomial(24,3)]

を成分に持つ行列式の値は？

[3]
自然数p,qで和を23とする
p+q=23
の関係をもつ(p,q)の取り合わせのすべてについて
p*qの値の和は？
1*22+2*21+3*20+･････+22*1

No.1622GAI2024年1月2日 09:43

www.youtube.com/watch?v=Rgk0q6ecOeU&t=1000
↑こちらからの知識があったので[1]と[3]は計算不要でした。

No.1623らすかる2024年1月2日 11:20

ＧＡＩさん、本年もよろしくお願いします。
早速、解答は・・・。
［1］異なる４個のものから重複を許して２１個とる組合せの数に等しいので、4Ｈ21＝24Ｃ21＝24Ｃ3＝２０２４（通り）
［2］行列式を計算して、2024 となりました。
［3］Σ(k=1~22)ｋ(23－ｋ)＝23*22*23/2－22*23*45/６＝5819－3795＝2024

No.1624ＨＰ管理者2024年1月2日 11:22

あけましておめでとうございます。

昨夕から昨夜にかけて
津波から逃げておりました。
予報では３メートル予想でしたので、自動車で１時間ほど内陸へ。
ラジオ聞いて、津波第２波の高さがそれほどでもなく、旧ツイッター情報でも被害もなさそうなのでようやく自宅にもどってご飯食べて酒喰らって寝つきました。

2024 といえば、聞いたところでは以下が面白いのだそうです。珍しい数字ということで、しかも小学生にもわかるネタです。

https://t.co/wwW6gNE4SH

No.1625Dengan kesaktian Indukmu2024年1月2日 15:10

あけましておめでとうございます。
本年もよろしくお願い致します。

勝手に追加で
[4]
Σ[k=1…21] 18/{k(k+1)(k+2)(k+3)} の値は？

No.1626DD++2024年1月2日 20:18

年明け早々に地震が来たり、日航機が海上保安庁の機体と接触して炎上するなど、波乱万丈の１年になりそうですね。皆さん、ご無事で何よりです。

No.1627ＨＰ管理者2024年1月3日 00:37

あけましておめでとうございます。
今年もよろしくお願いします。

[4]
Σ[k=1…21] 18/{k(k+1)(k+2)(k+3)}
= Σ[k=1…21] { 6/{k(k+1)(k+2)} - 6/{(k+1)(k+2)(k+3)} }
= 6/(1*2*3) - 6/(22*23*24)
= 1 - 1/2024
= 2023/2024

No.1628りらひい2024年1月4日 02:54

返信 (6)

地球注連縄

よく地球の赤道上をひもで巻き付け、その長さに1(m)の長さのひもを継ぎ足して
再び赤道に巻き付けたとすると、どれだけの隙間を一周全体で空けることが出来るか？
の問いに対して
赤道半径をRとして
2*π*R+1=2*π*(R+x)から
x=1/(2*π)=0.159154･･･
で約16(cm)
と驚かされた。(Rの値には依存しない!)

そこで同じ設定で巻き付けたひもを一方に可能な限り引っ張りよせ、巻き付けた部分以外はピンと
ひもを張って、なるだけ空高い部分でひもを結ぶ様子を想像して欲しい。
さてこの様にして1(m)伸ばしたひもを赤道上でこの様に再び貼り付けて行ったとすると、
ひもはどれだけ地上より高い位置に上げることが可能か？
但し地球は完全楕円体とし赤道半径は6378137(m)とする。（Wikipediaより)

No.1614GAI2023年12月27日 15:47

巻きつきが地面から離れる 2 点をそれぞれ地球中心と結んだとき、その間にできる角度を 2θ とおきます。

条件より
2Rtanθ + R(2π-2θ) = 2πR + 1
つまり
2tanθ - 2θ = 1/R

θ が微小だと思えば tanθ は
tanθ ≒ θ + (1/3)θ^3
と近似できるので、
(2/3)θ^3 = 1/R

よって、求める高さは
R(1/cosθ-1) ≒ (1/2)Rθ^2 = (3/4)*(2R/3)^(1/3)

実際の値とは異なりますが、計算しやすい R≒6144000 だと 120 m なので、それよりもうちょっと高いくらいですかね。
感覚的に 1km くらい行くかと思ってたのに意外と低い……。
計算ミスってないですよね？

No.1619DD++2023年12月29日 08:18

2tanθ - 2θ = 1/R
辺りをコンピュータ等の利用で、θを探すと
θ=0,00617253･･･(rad)
辺りでこれから
最大121.56060･･･(m)
程度になりました。

私の印象ではこんなにも高くなるんかい！
の方での驚きでした。
DD++さんは逆なんですね。
直線と曲線はやっぱり違う性質を持っているんだな～（当たり前と言えば当たり前か？）
なおこの角度でR*θ=39369(m)なので
最高になる地点から約40ｋｍ東西でひもは地面から離れ始めることになる構造です。

No.1620GAI2023年12月29日 09:11

全体を浮かせる場合は球が大きいと不利そう（実際はそうでもない）なのに対し、
一箇所だけ引っ張って浮かせるなら球は大きければ大きいだけ有利なのが明らかですからねえ。

No.1621DD++2023年12月31日 09:26

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