😊出会いの泉😊

自然数の分割数を勉強してみて

自然数nの分割数として
n=6なら
[6]
[1, 5]
[2, 4]
[3, 3]
[1, 1, 4]
[1, 2, 3]
[2, 2, 2]
[1, 1, 1, 3]
[1, 1, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1]
以上11通り
n=8なら
[8]
[1, 7]
[2, 6]
[3, 5]
[4, 4]
[1, 1, 6]
[1, 2, 5]
[1, 3, 4]
[2, 2, 4]
[2, 3, 3]
[1, 1, 1, 5]
[1, 1, 2, 4]
[1, 1, 3, 3]
[1, 2, 2, 3]
[2, 2, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 4]
[1, 1, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 3]
[1, 1, 1, 1, 2, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 2]
[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
以上22通りとnに対してその分割数が決まるので、それをP(n)で表すことにする。
n=1,2,3,･･･,20では
P(n);1,2,3,5,7,11,15,22,30,42,56,77,101,135,176,231,297,385,490,627
と言うことになる。

さてこの一見不規則な数の並びに例のラマヌジャンがn=0,1,2,3,･･･のすべてに対し
P(5*n+4)==0 (mod 5)
P(7*n+5)==0 (mod 7)
P(11*n+6)==0 (mod 11)
を発見する。
P(13*n+7)==0 (mod 13)
と調子に乗りたいが、これは全く成立しない。
1960年代でAtokinがやっと
P(11^3*13*n+237)==0 (mod 13)
を発見する。
その後
P(59^4*13*n+111247)==0 (mod 13)
も見つかる。

次の素数17では
P(23^3*17*n+2623)==0 (mod 17)
P(41^4*17*n+1122838)==0 (mod 17)

素数19では
P(101^4*19*n+815655)==0 (mod 19)
他に

P(999959^4*29*n+289956221336976431135321047)==0 (mod 29)

P(107^4*31*n+30064597)==0 (mod 31)

が成立しているという。

また素数5,7,11だけを組み合わせたような数には
If δ = 5^a*7^b*11^c and 24*λ ≡ 1 (mod δ),
then P(δ*n + λ) ≡ 0 (mod δ)
とラマヌジャンは予想する。

これを元に調べてみると1000以下にある条件数では
25=>P(25*n + 24)==0 (mod 25)
35=>P(35*n + 19)==0 (mod 35)
49=>P(49*n + 47)==0 (mod 49)
55=>P(55*n + 39)==0 (mod 55)
77=>P(77*n + 61)==0 (mod 77)
121=>P(121*n + 116)==0 (mod 121)
125=>P(125*n + 99)==0 (mod 125)
175=>P(175*n + 124)==0 (mod 175)
245=>P(245*n + 194)==0 (mod 245)
275=>P(275*n + 149)==0 (mod 275)
343=>P(343*n + 243)==0 (mod 343)
385=>P(385*n + 369)==0 (mod 385)
539=>P(539*n + 292)==0 (mod 539)
605=>P(605*n + 479)==0 (mod 605)
625=>P(625*n + 599)==0 (mod 625)
847=>P(847*n + 600)==0 (mod 847)
875=>P(875*n + 474)==0 (mod 875)
が起こることになる。

ところがここが数論の繊細で玲瓏,陰翳深い部分で
そのほとんどが成立するのであるが、ただ一つ
343=>P(343*n + 243)==0 (mod 343)
だけはn=0,1,2,･･･,20に対し
245,294,0,196,0,0,0,196,98,0,98,0,0,0,98,98,0,196,0,0,0
が並び、予想に反する。
他のより多くの実例を観察することでその原因が
343=7^3
で数を構成する素数7の部分の指数にあり、そこを変更して
一般に7^b -> 7^(floor(b/2)+1)
として処理せねばならないことが判明した。
即ちb=3なら
floor(3/2)+1=1+1=2
つまり(mod 343) ではなく(mod 7^2)=(mod 49)で処理せよ。
343=>P(343*n + 243)==0 (mod 49)なら
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0
と予想に合致する。
そこで次の変更が加えられた。

If δ = 5^a*7^b*11^c and 24*λ ≡ 1 (mod δ),
then P(δ*n + λ) ≡ 0 (mod 5^a*7^(floor(b/2)+1)*11^c)

ういうわけである。
一見不規則のようでも色々な微妙な不変規則が潜んでいるもんですね。

どなたか素数23に対する0に繋がる合同式をご存知ならお知らせ下さい。
(いろいろ文献やサイトを探し回ったのですが、これだけは見つけられなくいます。
また自分で探してみてはいるんですが
ひょんな事から次の式は(mod 23)では0にならないのだろうかと思った。
時間の関係で一部しか確認されていない。（でもこんなにあるわけないだろうに？）
P(37^4*23*n+631052)
P(67^4*23*n+5476393)
P(95^4*23*n+18897974)
P(133^4*23*n+29309936)
P(179^4*23*n+60460032)
P(185^4*23*n+103152724)

No.158GAI2022年8月9日 07:45

GAIさんによる御投稿「自然数の分割数を勉強してみて」に関連する話題について記載しているサイトをみつけましたので御報告いたします。
■分割数をグランドカノニカル分布で求める(http://zakii.la.coocan.jp/physics/75_partition_number.htm)です。

No.175Dengan kesaktian Indukmu2022年8月20日 15:08

返信 (1)

ガウス記号の不定積分

ガウス記号を含む関数の【定積分】についてはなんとかなるにしても
ガウス記号の【不定積分】ついてはなんとかなるとは思えないのです。

No.172Dengan kesaktian Indukmu2022年8月20日 06:41

リーマン積分では被積分関数の連続性が要請されますが、ガウス記号含む関数の【定積分】については
ルベーグ積分でやるんですかね？

No.173HP管理者2022年8月20日 06:43

ガウス記号も何とかなると思います。
例えば[x]の不定積分は(2x-[x]-1)[x]/2+Cと書けます。

No.174らすかる2022年8月20日 07:02

返信 (2)

絶対値の付いた多項式関数の不定積分

問題
∫|6x^2-18x+12|dxを求めよ。

No.159らすかる2022年8月15日 08:13

高校生のときに、以下の計算をした覚えがあります。
Abs(ｘ)＊ｘ＝±ｘ^2　なので、両辺を微分すると、（Abs(ｘ)＊ｘ)’＝±２ｘ＝２Abs(ｘ)　と書ける。
よって、２Abs(ｘ)の不定積分は、Abs(ｘ)＊ｘとなる。
絶対値のついた不定積分の問題はほとんど出題されないと思いますが、上記の計算をなぜか不思議な
感覚になったことを覚えています。

No.161HP管理者2022年8月16日 06:57

解答
∫|6x^2-18x+12|dx
=(2x^3-9x^2+12x)-|x-1|(2x^2-7x+5)+|x-2|(2x^2-5x+2)+C
となります。

この問題については最近考えたのですが、一般の絶対値付き多項式の不定積分は以下のようになります。
n次多項式f(x)に対する∫|f(x)|dxの解は
F(x)=
∫f(x)dx　（n次の係数が正の場合）
-∫f(x)dx　（n次の係数が負の場合）
（積分定数は何でも可）
G(x,α)は{F(x)-F(α)}÷(x-α)の商
# G(x,α)={F(x)-F(α)}/(x-α)とするとx=αで定義されないのでNGで、
# G(x,α)はF(x)-F(α)を(x-α)で割った商とする必要があります。
そしてf(x)=0の実数解のうちx軸を横切る解
（つまりf(x)=0,f(x+ε)f(x-ε)＜0であるx）を小さい順に
a[1],a[2],…,a[m]とすると
mが偶数のとき
∫|f(x)|dx = F(x)+Σ[k=1～m](-1)^k・|x-a[k]|・G(x,a[k])
mが奇数のとき
∫|f(x)|dx = Σ[k=1～m](-1)^(k-1)・|x-a[k]|・G(x,a[k])
（いずれも積分定数省略）
となります。
（m=0のときは∫|f(x)|dx=F(x)+Cです。）

No.164らすかる2022年8月16日 22:26

∫|6x^2-18x+12|dx＝|x^2-3x+2|(2ｘ-3)+2|x-1|+|x-2|+C
でどうでしょうか？

No.165HP管理者2022年8月17日 12:40

f(x)=|x^2-3x+2|(2x-3)+2|x-1|+|x-2|とおくと
f(3/4)=41/32
f(1)=1
となって減少していますので、ちょっと違うようです。

No.166らすかる2022年8月17日 19:42

aを正の数とするとき
∫[-a,a]|x^2+x-2|dx
を計算せよ。

これに対して、この不定積分公式で処理すればどの様になるのですか？

No.167GAI2022年8月18日 05:53

f(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1)なのでf(x)=0の解はx=-2,1
（つまりm=2,a[1]=-2,a[2]=1）
F(x)=∫f(x)dx=x^3/3+x^2/2-2x　※定数項は0とする
G(x,-2)={F(x)-F(-2)}/(x+2)
={(x^3/3+x^2/2-2x)-(-8/3+2+4)}/(x+2)
=(2x^3+3x^2-12x-20)/(x+2)=(2x^2-x-10)/6
G(x,1)={F(x)-F(1)}/(x-1)
={(x^3/3+x^2/2-2x)-(1/3+1/2-2)}/(x-1)
=(2x^3+3x^2-12x+7)/{6(x-1)}=(2x^2+5x-7)/6
mは偶数なので
∫|f(x)|dx=F(x)+Σ[k=1～m](-1)^k・|x-a[k]|・G(x,a[k])+C
=(x^3/3+x^2/2-2x)-|x+2|(2x^2-x-10)/6+|x-1|(2x^2+5x-7)/6+C
={2x^3+3x^2-12x-|x+2|(2x^2-x-10)+|x-1|(2x^2+5x-7)}/6+C
よって
∫[-a,a]|x^2+x-2|dx
={2a^3+3a^2-12a-|a+2|(2a^2-a-10)+|a-1|(2a^2+5a-7)}/6
　-{-2a^3+3a^2+12a-|-a+2|(2a^2+a-10)+|-a-1|(2a^2-5a-7)}/6
={4a^3-24a-|a+2|(2a^2-a-10)-|a+1|(2a^2-5a-7)+|a-1|(2a^2+5a-7)+|a-2|(2a^2+a-10)}/6
={4a^3-24a-(a+2)(2a^2-a-10)-(a+1)(2a^2-5a-7)+|a-1|(2a^2+5a-7)+|a-2|(2a^2+a-10)}/6　（∵a＞0）
={27+|a-1|(2a^2+5a-7)+|a-2|(2a^2+a-10)}/6

No.168らすかる2022年8月18日 16:33

今まではグラフ等を利用し
aによって場合分けをして
0<a≦1なら-2/3*a^3+4*a
1≦a≦2ならa^2+7/3
2≦aなら2/3*a^3-4*a+9
と個別に答えていたと思います。

この公式により３つの場合に分けて記述していたものが
{27+|a-1|*(2*a^2+5*a-7)+|a-2|*(2*a^2+a-10)}/6
の一つの式だけで済ませれるのか！
(上記の3つの式から、この式を思いつくのは至難の技だが、
下の絶対値を含む式から上記の3つの式を導くのは容易い。）

No.169GAI2022年8月18日 21:13

返信 (7)

フィボナッチ数に関連して

フィボナッチ数の話題が出たので、関連して
x^nをx^2-x-1で割った商と余りにはフィボナッチ数が密接に関わってくる。

x^2 = (x^2 - x - 1)*(1) + (x + 1)
x^3 = (x^2 - x - 1)*(x + 1) + (2*x + 1)
x^4 = (x^2 - x - 1)*(x^2 + x + 2) + (3*x + 2)
x^5 = (x^2 - x - 1)*(x^3 + x^2 + 2*x + 3) + (5*x + 3)
x^6 = (x^2 - x - 1)*(x^4 + x^3 + 2*x^2 + 3*x + 5) + (8*x + 5)
x^7 = (x^2 - x - 1)*(x^5 + x^4 + 2*x^3 + 3*x^2 + 5*x + 8) + (13*x + 8)
x^8 = (x^2 - x - 1)*(x^6 + x^5 + 2*x^4 + 3*x^3 + 5*x^2 + 8*x + 13) + (21*x + 13)
x^9 = (x^2 - x - 1)*(x^7 + x^6 + 2*x^5 + 3*x^4 + 5*x^3 + 8*x^2 + 13*x + 21) + (34*x + 21)
x^10 = (x^2 - x - 1)*(x^8 + x^7 + 2*x^6 + 3*x^5 + 5*x^4 + 8*x^3 + 13*x^2 + 21*x + 34) + (55*x + 34)
x^11 = (x^2 - x - 1)*(x^9 + x^8 + 2*x^7 + 3*x^6 + 5*x^5 + 8*x^4 + 13*x^3 + 21*x^2 + 34*x + 55) + (89*x + 55)
x^12 = (x^2 - x - 1)*(x^10 + x^9 + 2*x^8 + 3*x^7 + 5*x^6 + 8*x^5 + 13*x^4 + 21*x^3 + 34*x^2 + 55*x + 89) + (144*x + 89)
x^13 = (x^2 - x - 1)*(x^11 + x^10 + 2*x^9 + 3*x^8 + 5*x^7 + 8*x^6 + 13*x^5 + 21*x^4 + 34*x^3 + 55*x^2 + 89*x + 144) + (233*x + 144)
x^14 = (x^2 - x - 1)*(x^12 + x^11 + 2*x^10 + 3*x^9 + 5*x^8 + 8*x^7 + 13*x^6 + 21*x^5 + 34*x^4 + 55*x^3 + 89*x^2 + 144*x + 233) + (377*x + 233)
x^15 = (x^2 - x - 1)*(x^13 + x^12 + 2*x^11 + 3*x^10 + 5*x^9 + 8*x^8 + 13*x^7 + 21*x^6 + 34*x^5 + 55*x^4 + 89*x^3 + 144*x^2 + 233*x + 377) + (610*x + 377)
･･････････････････

No.156GAI2022年8月5日 09:31

返信

令和2年の投稿「フィボナッチ数のべき乗数」への返信：

>フィボナッチ数 {F(n)}：0,1,1,2,3,5,8,13,21,35,･･･　に関して、必ず示される漸化式が

>　　F(n+2)=F(n+1)+F(n)

>　そこで、このフィボナッチ数のm乗数:F(n)^mについて調べると、

>F(n+3)^2=2*F(n+2)^2+2*F(n+1)^2-F(n)^2

>F(n+4)^3=3*F(n+3)^3+6*F(n+2)^3-3*F(n+1)^3-F(n)^3

>F(n+5)^4=5*F(n+4)^4+15*F(n+3)^4-15*F(n+2)^4-5*F(n+1)^4+F(n)^4

>　　･･･････････････

>が成立しています。

>　m=5、6、･･･　に挑戦してほしい。

(F(n+6))^5, (F(n+7))^6 は次のようになります。
(F(n+6))^5=8*(F(n+5))^5+40*(F(n+4))^5-60*(F(n+3))^5-40*(F(n+2))^5+8*(F(n+1))^5+(F(n))^5,
(F(n+7))^6=13*(F(n+6))^6+104*(F(n+5))^6-260*(F(n+4))^6-260*(F(n+3))^6+104*(F(n+2))^6+13*(F(n+1))^6-(F(n))^6.

一般には、次のようになります。

mを正整数、s,tを実数(ただし、t^2+4*s≠0,t≠0)とするとき、漸化式
a(n+2)=s*a(n)+t*a(n+1)
を満たす数列 {a(n)} に対して、等式
(a(n+m+1))^m
=Σ[k=1～m+1](a(n+m+1-k))^m*((-1)^(k+1))*((-s)^(k*(k-1)/2))*(Π[j=1～k]A(m+2-j)/A(j))
が成り立ちます。
ここで、{A(n)}は以下で定まる数列です。
A(0)=0,
A(1)=1,
A(n+2)=s*A(n)+t*A(n+1) (n≧0).

(証明)
α=(t+√(t^2+4*s))/2,β=(t-√(t^2+4*s))/2 とします。
a(n)=v*α^n+w*β^n (v,wは定数) と表せます。
G(z)=Σ[n≧0](a(n))^m*z^n とおくと、
G(z)
=Σ[n≧0](v*α^n+w*β^n)^m*z^n
=Σ[n≧0]z^n*(Σ[j≧0]comb(m,j)*(v*α^n)^j*(w*β^n)^(m-j))
=Σ[n≧0]z^n*(Σ[j≧0]comb(m,j)*(v^j*w^(m-j))*((α/β)^j*β^m)^n)
=Σ[n≧0]Σ[j≧0]comb(m,j)*(v^j*w^(m-j))*(z*(α/β)^j*β^m)^n
=Σ[j≧0]comb(m,j)*(v^j*w^(m-j))*(Σ[n≧0](z*(α/β)^j*β^m)^n)
=Σ[j≧0]comb(m,j)*(v^j*w^(m-j))*(1/(1-z*(α/β)^j*β^m)).
よって、
G(z/(β^m))=Σ[j≧0]comb(m,j)*(v^j*w^(m-j))*(1/(1-z*(α/β)^j)).
両辺に Π[j=0～m](1-z*(α/β)^j) をかけると、
G(z/(β^m))*Π[j=0～m](1-z*(α/β)^j)=(zについてのm次以下の多項式)
となります。両辺の z^(n+m+1) の係数を比較して、
[z^(n+m+1)](G(z/(β^m))*Π[j=0～m](1-z*(α/β)^j))=0.

[z^(n+m+1)](G(z/(β^m))*Π[j=0～m](1-z*(α/β)^j))
=Σ[k=0～m+1]([z^(n+m+1-k)]G(z/(β^m)))*([z^k]Π[j=0～m](1-z*(α/β)^j))).

ここで、[z^(n+m+1-k)]G(z/(β^m))=(a(n+m+1-k))^m*(1/β)^(m*(n+m+1-k)).
また、[z^k]Π[j=0～m](1-z*(α/β)^j)は少々厄介ですが、
[z^k]Π[j=0～m](1-z*(α/β)^j)
=((-1)^k)*((α/β)^(k*(k-1)/2))*Π[j=1～k](1-(α/β)^(m+2-j))/(1-(α/β)^j)
となります。
(一般に、[z^k](Π[j=0～m](1-z*γ^j))
=((-1)^k)*(γ^(k*(k-1)/2))*Π[j=1～k](1-γ^(m+2-j))/(1-γ^j))
となります。このことは後に証明します。)

よって、
[z^(n+m+1)](G(z/(β^m))*Π[j=0～m](1-z*(α/β)^j))
=Σ[k=0～m+1](a(n+m+1-k))^m*(1/β)^(m*(n+m+1-k))*((-1)^k)*((α/β)^(k*(k-1)/2))*Π[j=1～k](1-(α/β)^(m+2-j))/(1-(α/β)^j)
=Σ[k=0～m+1](a(n+m+1-k))^m*((-1)^k)*((α*β)^(k*(k-1)/2))*(Π[j=1～k](β^(m+2-j)-α^(m+2-j))/(β^j-α^j))*(1/β)^(m*(n+m+1))
=Σ[k=0～m+1](a(n+m+1-k))^m*((-1)^k)*((-s)^(k*(k-1)/2))*(Π[j=1～k]A(m+2-j)/A(j))*(1/β)^(m*(n+m+1)).
これが 0 に等しいので、
(a(n+m+1))^m = Σ[k=1～m+1](a(n+m+1-k))^m*((-1)^(k+1))*((-s)^(k*(k-1)/2))*(Π[j=1～k]A(m+2-j)/A(j)).

------------------------------------------------------------------
[z^k](Π[j=0～m](1-z*γ^j))
=((-1)^k)*(γ^(k*(k-1)/2))*Π[j=1～k](1-γ^(m+2-j))/(1-γ^j)
であることの証明：

G(γ,z)=Π[j=0～m](1-z*γ^j)とおき、G(γ,z)を展開したときの z^k
の係数を U(γ,k) とします。
そうすると、G(γ,z)=Σ[k=0～m+1]U(γ,k)*z^k.

等式 (1-z*γ^(m+1))*G(γ,z)=(1-z)*G(γ,z*γ) が成り立ちます。
この等式の両辺のz^kの係数を比較して、
U(γ,k)-U(γ,k-1)*γ^(m+1)=U(γ,k)*γ^k-U(γ,k-1)*γ^(k-1).
よって、
U(γ,k)
=((γ^(m+1)-γ^(k-1))/(1-γ^k))*U(γ,k-1)
=((γ^(m+1)-γ^(k-1))*(γ^(m+1)-γ^(k-2))/((1-γ^k)*(1-γ^(k-1))))*U(γ,k-2)
=…
=(Π[j=1～k](γ^(m+1)-γ^(k-j))/(1-γ^j))*U(γ,0)
=Π[j=1～k](γ^(m+1)-γ^(k-j))/(1-γ^j)
=((-1)^k)*(γ^(k*(k-1)/2))*Π[j=1～k](1-γ^(m+2-j))/(1-γ^j).

No.154at2022年7月31日 10:41

2年前の投稿だったので忘れていました。
ちなみに10乗までの式を置いておきます。

F(n+8)^7=21*(F(n+7))^7+273*(F(n+6))^7-1092*(F(n+5))^7-1820*(F(n+4))^7 +1092*(F(n+3))^7+273*(F(n+2))^7-21*(F(n+1))^7-(F(n))^7

F(n+9)^8=34*(F(n+8))^8+714*(F(n+7))^8-4641*(F(n+6))^8-12376*(F(n+5))^8 +12376*(F(n+4))^8+4641*(F(n+3))^8-714*(F(n+2))^8-34*F(n+1))^8+(F(n))^8

F(n+10)^9=55*(F(n+9))^9+1870*(F(n+8))^9-19635*(F(n+7))^9-85085*(F(n+6))^9+136136*(F(n+5))^9+85085*(F(n+4))^9-19635*(F(n+3))^9-1870*(F(n+2))^9+55*(F(n+1))^9+(F(n))^9

F(n+11)^10=89*(F(n+10))^10+4895*(F(n+9))^10-83215*(F(n+8))^10-582505*(F(n+7))^10+1514513*(F(n+6))^10+1514513*(F(n+5))^10
-582505*(F(n+4))^10-83215*(F(n+3))^10+4895*(F(n+2))^10 +89*(F(n+1))^10-(F(n))^10

なお10乗の式を構成するには、プログラム的に
gp > A(n)=matrix(n,n,i,j,binomial(i-1,n-j));
gp > charpoly(A(11),x)
%150 =
x^11 - 89*x^10 - 4895*x^9 + 83215*x^8 + 582505*x^7 - 1514513*x^6
- 1514513*x^5 + 582505*x^4 + 83215*x^3 - 4895*x^2 - 89*x + 1
なお
gp > A(11)
%151 =
[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1]

[0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1]

[0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 1]

[0 0 0 0 0 0 0 1 3 3 1]

[0 0 0 0 0 0 1 4 6 4 1]

[0 0 0 0 0 1 5 10 10 5 1]

[0 0 0 0 1 6 15 20 15 6 1]

[0 0 0 1 7 21 35 35 21 7 1]

[0 0 1 8 28 56 70 56 28 8 1]

[0 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1]

[1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1]

の行列を意味する。(パスカルの三角形を右詰めで作る。)
この行列の特性方程式を導くのがcharpolyコマンドです。

この式から%150=0と置いて
一気に
x^11=89*x^10 + 4895*x^9 - 83215*x^8 - 582505*x^7 + 1514513*x^6
+ 1514513*x^5 - 582505*x^4 - 83215*x^3 + 4895*x^2 + 89*x - 1

の表示が入手でき、これを元に組み立てられる。

No.155GAI2022年8月1日 16:58

返信 (1)

フィボナッチ数の役割

自然数nが積においては素数が大切な役割を担うのに対し
和においてはフィボナッチ数{1,2,3,5,8,13,21,34,55,･･･}
がその任を担う位なことを教えてくれるのが
Zeckenrorf's Theorem(ゼッケンドリフの定理）で

”あらゆる自然数nは連続しないフィボナッチ数の和で必ず構成可能で
その表現はただ一通り”

というものに出会った。
確かに100までの自然数は
1 = 1
2 = 2
3 = 3
4 = 1 + 3
5 = 5
6 = 1 + 5
7 = 2 + 5
8 = 8
9 = 1 + 8
10 = 2 + 8
11 = 3 + 8
12 = 1 + 3 + 8
13 = 13
14 = 1 + 13
15 = 2 + 13
16 = 3 + 13
17 = 1 + 3 + 13
18 = 5 + 13
19 = 1 + 5 + 13
20 = 2 + 5 + 13
21 = 21
22 = 1 + 21
23 = 2 + 21
24 = 3 + 21
25 = 1 + 3 + 21
26 = 5 + 21
27 = 1 + 5 + 21
28 = 2 + 5 + 21
29 = 8 + 21
30 = 1 + 8 + 21
31 = 2 + 8 + 21
32 = 3 + 8 + 21
33 = 1 + 3 + 8 + 21
34 = 34
35 = 1 + 34
36 = 2 + 34
37 = 3 + 34
38 = 1 + 3 + 34
39 = 5 + 34
40 = 1 + 5 + 34
41 = 2 + 5 + 34
42 = 8 + 34
43 = 1 + 8 + 34
44 = 2 + 8 + 34
45 = 3 + 8 + 34
46 = 1 + 3 + 8 + 34
47 = 13 + 34
48 = 1 + 13 + 34
49 = 2 + 13 + 34
50 = 3 + 13 + 34
51 = 1 + 3 + 13 + 34
52 = 5 + 13 + 34
53 = 1 + 5 + 13 + 34
54 = 2 + 5 + 13 + 34
55 = 55
56 = 1 + 55
57 = 2 + 55
58 = 3 + 55
59 = 1 + 3 + 55
60 = 5 + 55
61 = 1 + 5 + 55
62 = 2 + 5 + 55
63 = 8 + 55
64 = 1 + 8 + 55
65 = 2 + 8 + 55
66 = 3 + 8 + 55
67 = 1 + 3 + 8 + 55
68 = 13 + 55
69 = 1 + 13 + 55
70 = 2 + 13 + 55
71 = 3 + 13 + 55
72 = 1 + 3 + 13 + 55
73 = 5 + 13 + 55
74 = 1 + 5 + 13 + 55
75 = 2 + 5 + 13 + 55
76 = 21 + 55
77 = 1 + 21 + 55
78 = 2 + 21 + 55
79 = 3 + 21 + 55
80 = 1 + 3 + 21 + 55
81 = 5 + 21 + 55
82 = 1 + 5 + 21 + 55
83 = 2 + 5 + 21 + 55
84 = 8 + 21 + 55
85 = 1 + 8 + 21 + 55
86 = 2 + 8 + 21 + 55
87 = 3 + 8 + 21 + 55
88 = 1 + 3 + 8 + 21 + 55
89 = 89
90 = 1 + 89
91 = 2 + 89
92 = 3 + 89
93 = 1 + 3 + 89
94 = 5 + 89
95 = 1 + 5 + 89
96 = 2 + 5 + 89
97 = 8 + 89
98 = 1 + 8 + 89
99 = 2 + 8 + 89
100 = 3 + 8 + 89
･･･････
といかにも素因数分解される様にしてフィボナッチ数分解されていく。

この「連続しない」の条件を外せば、例えばn=100では
100=1+2+8+89
=3+8+34+55
=1+2+3+5+89
=1+2+8+34+55
=3+8+13+21+55
=1+2+3+5+34+55
=1+2+8+13+21+55
=1+2+3+5+13+21+55

とそれ以外にも8個、計9通りの構成が可能になる。

そこで
n=7777 の場合のZeckenrorf的分解型と
他の連続も許す分解型の実例を示してほしい。

もちろんプログラム的に作業されても構いませんが、計算にかかった時間を示してほしい。

No.147GAI2022年7月26日 09:19

7777
=1+3+21+987+6765 (Zeckendorf)
=1+3+8+13+987+6765
=1+3+21+377+610+6765
=1+3+8+13+377+610+6765
=1+3+21+144+233+610+6765
=1+3+8+13+144+233+610+6765
=1+3+21+55+89+233+610+6765
=1+3+8+13+55+89+233+610+6765
=1+3+8+13+21+34+89+233+610+6765
=1+3+21+987+2584+4181
=1+3+8+13+987+2584+4181
=1+3+21+377+610+2584+4181
=1+3+8+13+377+610+2584+4181
=1+3+21+144+233+610+2584+4181
=1+3+8+13+144+233+610+2584+4181
=1+3+21+55+89+233+610+2584+4181
=1+3+8+13+55+89+233+610+2584+4181
=1+3+8+13+21+34+89+233+610+2584+4181
=1+3+21+377+610+987+1597+4181
=1+3+8+13+377+610+987+1597+4181
=1+3+21+144+233+610+987+1597+4181
=1+3+8+13+144+233+610+987+1597+4181
=1+3+21+55+89+233+610+987+1597+4181
=1+3+8+13+55+89+233+610+987+1597+4181
=1+3+8+13+21+34+89+233+610+987+1597+4181
計25個
実行時間:約0.01秒

No.148らすかる2022年7月26日 18:54

Zeckendorfの表現を利用すると、その他の表し方を含む総数の個数を求める計算方法は色々な資料を読む中で分かって計算上直ぐに
求められる手段はわかりました。
ところがその実例はとなると、何とかゼッケンドルフのフィボナッチ数が使われる部分を1、使っていないものは0で表示していくとき
（7777=>[1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1]となる。）
本での説明ではこの列での1,0,0の部分を0,1,1へ変更すれば良いとの説明を読むが、桁がもっと短いものなら何とかそれで求まると
体験は出来るんですが、これを自動でプログラムしようとすると例えばこの例のように1,0,0 の部分が何通りもある場合、1か所だけ変更
や2か所同時に変更するなど、いろいろな枝分かれが起こっていってしまい、どの様に組んで行っていいのか分からなくなりました。
従って、フィボナッチ数の個数19から5,6,7,8,9,10,11,12個取り出す各組合せを和が7777になるものをチェックするという手法しかやれず
その計算時間は何と半日以上という,0.01秒が夢のまた夢の状態でした。

そこをらすかるさんはプログラム的にどのような経路で出力できたるのか粗筋的でも良いので教えて下さい。

No.149GAI2022年7月26日 20:00

大きい順にフィボナッチ数を使うかどうかで分岐します。
7777以下の最大のフィボナッチ数は6765
6765を使う場合と使わない場合で分岐
　6765を使う場合はあと1012
　1012以下の最大のフィボナッチ数は987
　987を使う場合と使わない場合で分岐
　　987を使う場合はあと25
　　　25以下の最大のフィボナッチ数は21
　　　21を使う場合と使わない場合で分岐
　　　　21を使う場合はあと4
　　　　　4以下の最大のフィボナッチ数は3
　　　　　3を使う場合と使わない場合で分岐
　　　　　　3を使う場合はあと1→1+3+21+987+6765
　　　　　　3を使わない場合はそれ未満のフィボナッチ数の和が4未満なので不適
　　　　21を使わない場合は次のフィボナッチ数は13
　　　　（このとき残りのフィボナッチ数の和が25以上かどうかチェックするが、32なのでOK）
　　　　13を使う場合と使わない場合で分岐
　　　　　13を使う場合はあと12
　　　　　　12以下の最大のフィボナッチ数は8
　　　　　　8を使う場合と使わない場合で分岐
　　　　　　　8を使う場合はあと4 → 上と同じ処理なので省略
　　　　　　　8を使わない場合はそれ未満のフィボナッチ数の和が12未満なので不適
　　　　　13を使わない場合はそれ未満のフィボナッチ数の和が25未満なので不適
　　987を使わない場合は次のフィボナッチ数は610
・・・・
実際には再帰で処理しており、また「分岐」と書いているのは実際に分岐しているわけではなく
「どのフィボナッチ数を使うか」という19ビットのフラグに1を立てるかどうかです。
また「それ未満のフィボナッチ数の和」がただちに得られるように、
Σ[k=1～n]F(k)のテーブルを最初に作っています。

No.150らすかる2022年7月26日 20:57

説明してもらったプログラムの分岐を再現しようとやっていたんですが
やはり難しく、もう単純に7777のZeckendorf表示
7777=[1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,1,0,1]
をレバースさせた
[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1]
において
[0,0,1]の部分があれば、そこを[1,1,0]へ変更させる作業をその都度
行い、新たにそれらを集めた集合を作っていくことを繰り返してみました。
2か所以上あっても、同時に変化させることはしなくてそれぞれの変化を
集めることにしました。
ですから、1回目の操作では次がその集合になります。

[[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1],
[ 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1],
[ 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1],
[ 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0]]

2回目はこの集合に対し同様な操作をそれぞれに行っていき、これの集合に
新たに追加していきました。
但し同じものが重なった場合はそれはその重なりを解消する操作を入れておきます。

これを数回繰り返しておけば、集まってくる集合の個数が一定の数に収斂していき
それ以上は増えも減りもしなくなりました。

これを見つけたら、その集合に対しフィボナッチ数を割り振って構成できました。
但し最後の成分が0があるものは、その0を取り除く作業をしておきます。

ここまでを自動でやらせるプログラムを準備したら、あっと言う間に全フィボナッチ数の
分解表現を並ばせることができました。

ちなみにn=123456でZeckendorf表示は、
[1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,
1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393]
までが使われるフィボナッチ数なので、最大なフィボナッチ数を採用していくと(貪欲法)
gp > 123456-121393　(25番目を使う)
%176 = 2063
gp > 2063-1597 (16番目を使う)
%177 = 466
gp > 466-377 (13番目を使う)
%178 = 89 (10番目を使う)
を使えばよいことになるので後は使われるフィボナッチ数を位取りで示せばよいので
123456=[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]

これにプログラムを適応したら
1; 89 + 377 + 1597 + 121393
2; 89 + 377 + 1597 + 46368 + 75025
3; 89 + 377 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
4; 89 + 377 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
5; 89 + 377 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
6; 89 + 377 + 610 + 987 + 121393
7; 89 + 377 + 610 + 987 + 46368 + 75025
8; 89 + 377 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
9; 89 + 377 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
10; 89 + 377 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
11; 89 + 144 + 233 + 1597 + 121393
12; 89 + 144 + 233 + 1597 + 46368 + 75025
13; 89 + 144 + 233 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
14; 89 + 144 + 233 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
15; 89 + 144 + 233 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
16; 89 + 144 + 233 + 610 + 987 + 121393
17; 89 + 144 + 233 + 610 + 987 + 46368 + 75025
18; 89 + 144 + 233 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
19; 89 + 144 + 233 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
20; 89 + 144 + 233 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
21; 34 + 55 + 377 + 1597 + 121393
22; 34 + 55 + 377 + 1597 + 46368 + 75025
23; 34 + 55 + 377 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
24; 34 + 55 + 377 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
25; 34 + 55 + 377 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
26; 34 + 55 + 377 + 610 + 987 + 121393
27; 34 + 55 + 377 + 610 + 987 + 46368 + 75025
28; 34 + 55 + 377 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
29; 34 + 55 + 377 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
30; 34 + 55 + 377 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
31; 34 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 121393
32; 34 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 46368 + 75025
33; 34 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
34; 34 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
35; 34 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
36; 34 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 121393
37; 34 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 46368 + 75025
38; 34 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
39; 34 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
40; 34 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
41; 13 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 121393
42; 13 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 46368 + 75025
43; 13 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
44; 13 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
45; 13 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
46; 13 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 121393
47; 13 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 46368 + 75025
48; 13 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
49; 13 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
50; 13 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
51; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 121393
52; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 46368 + 75025
53; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
54; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
55; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
56; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 121393
57; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 46368 + 75025
58; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
59; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
60; 13 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
61; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 121393
62; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 46368 + 75025
63; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
64; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
65; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
66; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 121393
67; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 46368 + 75025
68; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
69; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
70; 5 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
71; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 121393
72; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 46368 + 75025
73; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
74; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
75; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
76; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 121393
77; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 46368 + 75025
78; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
79; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
80; 5 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
81; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 121393
82; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 46368 + 75025
83; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
84; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
85; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
86; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 121393
87; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 46368 + 75025
88; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
89; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
90; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 377 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
91; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 121393
92; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 46368 + 75025
93; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 17711 + 28657 + 75025
94; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
95; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 1597 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
96; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 121393
97; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 46368 + 75025
98; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 17711 + 28657 + 75025
99; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 6765 + 10946 + 28657 + 75025
100; 2 + 3 + 8 + 21 + 55 + 144 + 233 + 610 + 987 + 2584 + 4181 + 10946 + 28657 + 75025
と一気に全部のフィボナッチ数での和に分解してくれました。
（従来の方法では3日は計算に要する時間がかかりそうです。）

また全部で100個の方法があることは、次の計算方法で求まるそうです。
123456=[1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
のZeckendorf表示から、これを0が続く数を10の指数に採用して
10^8*10^2*10^2*10^9
と表し
一般に10^dを次の2×2行列M(d)=[1 1]
[floor(d/2) ceil(d/2)] (floor;床関数、ceil;天井関数)

これにより上記の数は
M(8)*M(2)*M(2)*M(9)
= [1 1]*[1 1]^2*[1 1]
[4 4] [1 1] [4 5]

=[20 24]
[80 96]

最後にこの行列を[1 1],[1 0]~で挟み
[1 1]*[20 24]*[1]=[100]
[80 96] [0]
なる行列計算で処理できるという。（よくこんな方法を編み出すな～）

No.151GAI2022年7月28日 05:53

私の方法は何も考えずに和が目的の数になる組合せを探すだけなので、
おそらくZeckendorf表示から分解するGAIさんの方法の方が速いでしょうね。

No.153らすかる2022年7月28日 07:55

返信 (5)

２乗してみたら･･･

皆さん夏バテでしょうか？
余りに投稿が更新されないので、心配してます。

いつも勝手に投稿させてもらって恐縮なんですが、いつも見る画面が同じのも
退屈なので、この頃気付いたことを載せてみます。

138901917
の9桁の自然数を平方すると
138901917^2=19293742546274889
なる18桁の値になるが奇数位に着目すると
　　　　 =[1]9[2]9[3]7[4]2[5]4[6]2[7]4[8]8[9]
と綺麗に1～9の数字が順番通りに並んでいく。

そこで今度は9桁のある数を平方して18桁の数字が並んだ時
奇数位、偶数位共に必ず1から9までの数字が一度は出現している（順番は問わない）
状態が起こるものを探していたら（結構多く286通りもあった。）
その中に元の9桁の数が偶数のdigitsばかり(0を含む)で構成されているものがただ一つ
存在している。
偶数ばかりの数字なのに、これほど多種の数字をバランス良く生み出していくことに驚きました。
ではその9桁の整数を見つけて下さい。

更にバージョンアップして
10桁の整数で（ただし0から9までの数字を必ず一つは含む）
それを平方すると20桁の数となり
奇数位、偶数位にはどちらも0から9までの数字が一度は出現しているという。
その10桁の数とは?

No.140GAI2022年7月22日 06:38

一つ目は
660400884^2=436129327587981456
二つ目は
3284591706^2=10788542675123990436
と
3946751820^2=15576849928673312400
ですね。

No.141らすかる2022年7月22日 08:00

さすがにらすかるさん
仕事が早いですね。
なお偶数だけのdigitsでの例で
4044044202^2=16354293507729816804
はたまたま検索に引っかかったのですが、すべてについては未調査です。
他に存在しますか？

No.142GAI2022年7月22日 09:39

あと一つだけありますね。
6604008840^2=43612932758798145600
最初の解の10倍です。

No.143らすかる2022年7月22日 10:55

では類題です。
2乗すると0～9がそれぞれ3個ずつ登場する30桁の数になるような15桁の数で、
「数字が2種類のみ」かつ「回文（桁を逆順に並べても同じ）」となっている数は？

No.144らすかる2022年7月22日 17:36

寝掛けに投稿に気付いて、寝床でいろいろ方法を考えていた。
なかなか寝付けず、3時半ごろ起き上がりあれこれプログラムをどう組み上げていけばいいか
悪戦苦闘を繰り返す。
（例の15桁構成をくみ上げて行く手順に苦戦しました。中央部が２通りに分かれる可能性を持つ。）
何とか5時半ごろ、下のものにヒットしました。

677777767777776^2 = 459382702493824850617319506176

他のパターン(全部で8000通り近くある。)も調べましたが、これただ一例だけですよね。

No.145GAI2022年7月23日 05:51

はい、正解です。
2種類の数字で構成される15桁の自然数で2乗すると0～9が3個ずつになるものは
（プログラムにバグがなければ）全部で23通りで、そのうちこの一つが
面白い形だったので出題しました。
888988889888889 や 822288882228888 も比較的面白い形ですね。
565656565656555 は惜しい。

No.146らすかる2022年7月23日 07:18

返信 (6)

奇遇のバランス

異なる正の整数a,b(a<b)を準備する。
これから次の規則で次々と数列を構成していくものとする。

aが第1項
bが第2項
a+bが第3項
第4項はそれまで構成した2つの数でただ一通りの和で作られる第3項を越える
最小の整数とする。
第5項はそれまで構成した2つの数でただ一通りの和で作られる第4項を越える
最小の整数とする。
以下同様にしていくものとする。

<例>
a=1;b=2ならその列U(a,b)は
1,2,3,4,6,8,11,13,16,･･･
なぜなら
4=1+3
5=1+4=2+3と2通りの和で構成されてしまうので5はこの数列には入らない。
6=2+4のみ
7=1+6=3+4
8=2+6のみ
9=1+8=3+6
10=2+8=4+6
11=3+8のみ
12=1+11=4+8
13=2+11のみ
････

そこで、
U(2,3)の列を1000個並べたとすると、この中に偶数は何個含まれることになるでしょう？
また
U(2,5)ではどうなるか?

No.134GAI2022年7月9日 08:08

U(2,3)に関しては管理人さんが調べられた1000個中、偶数は492個（約半数）
が発生しますが、これがU(2,5)になると1000個中僅かに2,12のみの2個しか発生しないそうです。
実は、この先どこまでも進んでもこの2個しか現れないという。
しかもU(2,3)に関しては何ら規則が見当たらないが、U(2,5)に関してはこれで発生する数列を{a(n)}(n=1,2,3,･･･）
で表すと(A007300参照のこと)

a(n+32)-a(n)=126 (n=7,8,9,･･･)の関係式が生まれてくるという。
同じく
U(2,7)では
a(n+26)-a(n)=126 (n=8,9,10,････)
U(2,9)では
a(n+444)-a(n)=1778 (n=9,10,11,････)
U(2,11)では
a(n+1628)-a(n)=6510 (n=10,11,12,････)
U(2,13)では
a(n+5906)-a(n)=23622 (n=11,12,13,････)
U(2,15)では
a(n+80)-a(n)=510 (n=12,13,14,････)
･･････････
以下
A100729;　A100730;　等参照

この様に一般に
U(2,2*n+1)型での数列発生からは
n=1では奇数、偶数が大体平等に発生するも
n>=2では偶数は僅かに2個のみしか現れず、しかも2個目の偶数発生から以降での数列では
その階差は長いスパンで一定の規則で繰り返す現象になるという。
ルールは同じでも、初期値の設定条件でこんなにもその後の数の発生が異なってくることにビックリしました。
OEISのサイトでのリンクを辿って行ってみて思ったことでした。

何方か
U(4,4*n+1) (n=1,2,3,･･･)
での数列{a(n)}について、上記A100729;　A100730;
に相当する数列を計算してもらえないですか？
たぶんこれはOEISには掲載されていないと思います。　
（一応n=1～5では調べてみましたが････)

No.135GAI2022年7月10日 11:08

とりあえず50個
U(4,5): a[n+32]-a[n]=192 (n≧10)
U(4,9): a[n+88]-a[n]=640 (n≧14)
U(4,13): a[n+104]-a[n]=896 (n≧17)
U(4,17): a[n+248]-a[n]=2304 (n≧21)
U(4,21): a[n+280]-a[n]=2816 (n≧24)
U(4,25): a[n+304]-a[n]=3328 (n≧28)
U(4,29): a[n+320]-a[n]=3840 (n≧31)
U(4,33): a[n+712]-a[n]=8704 (n≧35)
U(4,37): a[n+776]-a[n]=9728 (n≧38)
U(4,41): a[n+824]-a[n]=10752 (n≧42)
U(4,45): a[n+856]-a[n]=11776 (n≧45)
U(4,49): a[n+896]-a[n]=12800 (n≧49)
U(4,53): a[n+928]-a[n]=13824 (n≧52)
U(4,57): a[n+952]-a[n]=14848 (n≧56)
U(4,61): a[n+968]-a[n]=15872 (n≧59)
U(4,65): a[n+2072]-a[n]=33792 (n≧63)
U(4,69): a[n+2200]-a[n]=35840 (n≧66)
U(4,73): a[n+2296]-a[n]=37888 (n≧70)
U(4,77): a[n+2360]-a[n]=39936 (n≧73)
U(4,81): a[n+2440]-a[n]=41984 (n≧77)
U(4,85): a[n+2504]-a[n]=44032 (n≧80)
U(4,89): a[n+2552]-a[n]=46080 (n≧84)
U(4,93): a[n+2584]-a[n]=48128 (n≧87)
U(4,97): a[n+2656]-a[n]=50176 (n≧91)
U(4,101): a[n+2720]-a[n]=52224 (n≧94)
U(4,105): a[n+2768]-a[n]=54272 (n≧98)
U(4,109): a[n+2800]-a[n]=56320 (n≧101)
U(4,113): a[n+2840]-a[n]=58368 (n≧105)
U(4,117): a[n+2872]-a[n]=60416 (n≧108)
U(4,121): a[n+2896]-a[n]=62464 (n≧112)
U(4,125): a[n+2912]-a[n]=64512 (n≧115)
U(4,129): a[n+6088]-a[n]=133120 (n≧119)
U(4,133): a[n+6344]-a[n]=137216 (n≧122)
U(4,137): a[n+6536]-a[n]=141312 (n≧126)
U(4,141): a[n+6664]-a[n]=145408 (n≧129)
U(4,145): a[n+6824]-a[n]=149504 (n≧133)
U(4,149): a[n+6952]-a[n]=153600 (n≧136)
U(4,153): a[n+7048]-a[n]=157696 (n≧140)
U(4,157): a[n+7112]-a[n]=161792 (n≧143)
U(4,161): a[n+7256]-a[n]=165888 (n≧147)
U(4,165): a[n+7384]-a[n]=169984 (n≧150)
U(4,169): a[n+7480]-a[n]=174080 (n≧154)
U(4,173): a[n+7544]-a[n]=178176 (n≧157)
U(4,177): a[n+7624]-a[n]=182272 (n≧161)
U(4,181): a[n+7688]-a[n]=186368 (n≧164)
U(4,185): a[n+7736]-a[n]=190464 (n≧168)
U(4,189): a[n+7768]-a[n]=194560 (n≧171)
U(4,193): a[n+7904]-a[n]=198656 (n≧175)
U(4,197): a[n+8032]-a[n]=202752 (n≧178)
U(4,201): a[n+8128]-a[n]=206848 (n≧182)

No.136らすかる2022年7月10日 23:43

私が5個分の結果を知るために行った作業時間はたぶん2時間以上
これに対しらすかるさんは50個分の結果（数が大きくなるとそれだけ時間はかかると思うが･･･）
を難なく（最後のスパンは8128というと長さまで）示されていた。
これで私の2時間の作業も無駄ではなかった事が確認できてよかったです。
この結果は是非OEISへ登録してください。

このサイクル探しをプログラム的にやろうと試みていたのですが、どうしてもアルゴリズムが
難しく、その作業はほとんど手作業状態でした。

No.137GAI2022年7月11日 05:55

> 数が大きくなるとそれだけ時間はかかると思うが･･･

そうですね。U(4,201)は3秒程ですが、U(4,401)になると1分程かかります。
（U(4,5)～U(4,201)全部では50秒程）
（ちなみにU(4,401)はa[n+24320]-a[n]=823296 (n≧357)です）

> このサイクル探しをプログラム的にやろうと試みていたのですが、どうしてもアルゴリズムが
> 難しく、その作業はほとんど手作業状態でした。

サイクル探しは少し悩みましたが、うまい方法を思いつきました。
a[3],a[4],a[5],…を順次求めていくと同時に1つ前との差分
(a[3]-a[2],a[4]-a[3],a[5]-a[4],…)を計算します。
そして「今までの差分と比較して最大かどうか」
（最大の更新時だけでなく最大値との一致も含む）
を調べて、最大値の場合は「今までの最大値」を更新する
（変わらない場合もある）とともに、そのときの
インデックス（a[n]-a[n-1]のn）を記憶します。
そのうえで「前回記憶したインデックスとの差」を
覚えておき、この差が同じ値で連続して何回か（例えば5回）
続いたら、それを仮に周期とします。
そして今まで求めた数列に対してa[n+k]-a[n]=dがしばらく
一定で続いているかどうかをうしろから順に調べて、
OKならばそれが周期に確定します。
この方法では、もし一周期の中に差分が最大値になるものが
複数個あると周期が正しく求まらないという問題はありますが、
とりあえずU(4,201)まででそのような問題は発生しませんでした。

> この結果は是非OEISへ登録してください。

英語が苦手で登録には一苦労しますので、もしよろしければ
GAIさんの方で(GAIさんの名前で)登録して頂ければと思います。

No.138らすかる2022年7月11日 08:52

返信 (4)

方程式と解

次の方程式の実数解をそれぞれ求めて下さい。

(1)x - √x - 1 = 0

(2)x - 1/√x - 2 = 0

(3)1/x - 1/(x-3) - 3 = 0

No.132GAI2022年7月8日 11:37

何の工夫もない解き方ですが

(1)
x-√x-1=0
x-1=√x　(※)
x^2-2x+1=x
x^2-3x+1=0
x=(3±√5)/2
(※)からx≧1なので、
条件を満たす解はx=(3+√5)/2

(2)
x-1/√x-2=0
x-2=1/√x　(※)
x^2-4x+4=1/x
x^3-4x^2+4x-1=0
(x^3-1)-4x(x-1)=0
(x-1)(x^2-3x+1)=0
x=1,(3±√5)/2
(※)からx≧2なので、
条件を満たす解はx=(3+√5)/2

(3)
1/x-1/(x-3)-3=0
(x-3)-x-3x(x-3)=0
x^2-3x+1=0
∴x=(3±√5)/2

No.133らすかる2022年7月8日 21:24

返信 (1)

指数探し

3^x+4^x=5^xを満たすx=?
と尋ねられるとx=2と答えられる。

では
(1) 2^x+3^x=4^xを満たすx=?
(2) 4^x+5^x=6^xを満たすx=?
(3) 4^x+6^x=9^xを満たすx=?

に対し(1),(2)はxを小数点以下16桁までを求め、(3)についてはxの明示式を示して下さい。

No.128GAI2022年7月5日 05:43

(1)
f(x)=2^x+3^x-4^xとします。
f(1.5)=2√2+3√3-8≒0.02458＞0、f(2)=4+9-16=-3＜0なので
解は1.5と2の間、しかも1.5にかなり近い方にあることがわかります。
g(a,b)={af(b)-bf(a)}/{f(b)-f(a)} とします。
f(a)≒0,f(b)≒0,a≠bとなるようにa=1.5,b=1.6とします。
（※f(a)とf(b)の符号が異なる必要はありません）
計算は小数点以下20桁(以下四捨五入)とします。
g(1.5,1.6)=1.50641450252233033645→a
g(1.50641450252233033645,1.6)=1.50705566866716387863→b
g(1.50641450252233033645,1.50705566866716387863)=1.50712664860928688768→a
g(1.50712664860928688768,1.50705566866716387863)=1.50712659163409698130→b
g(1.50712664860928688768,1.50712659163409698130)=1.50712659163865313369→a
g(1.50712659163865313369,1.50712659163409698130)=1.50712659163865313399→b
16桁以上求まったので終了
∴x≒1.507126591638653134

(2)
f(x)=4^x+5^x-6^xとします。
f(2)=16+25-36=5、f(2.5)=32+25√5-36√6≒-0.28＜0なので
解は2と2.5の間、しかも2.5にかなり近いほうにあることがわかります。
g(a,b)={af(b)-bf(a)}/{f(b)-f(a)} とします。
f(a)≒0,f(b)≒0,a≠bとなるようにa=2.4,b=2.5とします。
計算は小数点以下20桁(以下四捨五入)とします。
g(2.4,2.5)=2.48609166514948013282→a
g(2.48609166514948013282,2.5)=2.48790297657867599533→b
g(2.48609166514948013282,2.48790297657867599533)=2.48793928282775205771→a
g(2.48793928282775205771,2.48790297657867599533)=2.48793917311166965240→b
g(2.48793928282775205771,2.48793917311166965240)=2.48793917311817466637→a
g(2.48793917311817466637,2.48793917311166965240)=2.48793917311817466754→b
16桁以上求まったので終了
∴x≒2.48793917311817467

(3)
4^x+6^x=9^x
(2^x)^2+(2^x)(3^x)=(3^x)^2
(2^x)^2+(2^x)(3^x)-(3^x)^2=0
{2^(x+1)+(√5+1)(3^x)}{2^(x+1)-(√5-1)(3^x)}=0
2^(x+1)+(√5+1)(3^x)＞0なので
2^(x+1)-(√5-1)(3^x)=0
2^(x+1)=(√5-1)(3^x)
(3/2)^x=2/(√5-1)=(√5+1)/2
∴x=log((√5+1)/2)/log(3/2)≒1.1868143902809817

No.129らすかる2022年7月5日 15:28

g(a,b)={af(b)-bf(a)}/{f(b)-f(a)}
の式がこんな所で役立つんですね。
参考書には必ず上記の式を書き直す（=a-f(a)/f'(a) :as b→a)
問題が問われていた様に記憶していました。
つまりy=f(x)上での点(a,f(a))での接線がｘ軸と交わる座標
ひいてはその操作を繰り返すことによりf(x)=0の解xを導き出す
ニュートン法の活用に利用できるのか！

思ってもない手法で解決されていたのでとても参考になります。

No.130GAI2022年7月6日 06:24

この手法は何年か前に自分で考えたのですが、
今日検索してみたら既にありました（当然か…）。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B2%E7%B7%9A%E6%B3%95
「割線法」または「セカント法」というらしいです。

No.131らすかる2022年7月6日 19:25

返信 (3)

合計2287件 (投稿391, 返信1896)